A lge braic ampersand G eometric T opology 6 open parenthesis 2006 closing parenthesis 573 endash 579 .... 573 \noindentErratum to$A$ : .. Homology lge stabilitybraic for $ \ outer& G$ eometric $T$ opology 6 ( 2006 ) 573 −− 579 \ h f i l l 573 automorphism groups of free groups \ centerlineALLEN HATCHER{Erratum to : \quad Homology stability for outer } KAREN VOGTMANN \ centerlineNATHALIE{ WAHLAautomorphismlge braic &G eometric groupsT ofopology free 6 groups ( 2006 )} 573 – 579 573 W .. e .. c o .. r .. r .. e ..Erratum c .. t .. t h ..to e ..: p .. Homology r .. o .. H-o o-f stability o-m f o .. l-T for .. outer o h g-e o-y r-s t-e m-a \ centerlinem .. o .. r ..{ALLEN p .. h .. HATCHER i .. s .. mautomorphism ..} g comma .. r b o y groups u t p h s e of o fi free groups 2 .. 0 .. F .. 6 .. 5 .. semicolon ALLEN HATCHER \ centerlineI .... n .... H{KAREN .... a t .... VOGTMANN c h open square} bracketKAREN 2 closing VOGTMANN square bracket a r p endash .... rVo .... oo gf t .... wm a .... as n .... p-n .... r .... e .... s .... e .... n .... t ....NATHALIE e WAHL Wecorrectthepro\ centerlinec128 sub n semicolon{NATHALIE s i .. WAHL s .. i ..} n d .. e .. p .. e .. n-nH − d-aoo e− n-sf Vdash o − m .notdef-df o l − n-.notdefT o h .notdef-sg − e o ..− by u-.notdef r − s t − e m − a Vdash Vdash h Vdashm Vdash o .. i r.. e .. p n .. h t .. .notdef-c128 i s m sub g n semicolon, r b o sy iu Vdasht p nh as ce o fi \ centerlineA .... period-u{W F\quad sub n slashe \quad .... s Dc 1o ....\quad a On2r .... 0\quad u-period Fr 6 to\quad 5 the ; powere \quad of F-dc sub\quad n slasht ....\quad s D 0t .... h period\quad e \quad p \quad r \quad o \quad ....$ H I− ....o n .... o−f AI .... o n u−m .... H $ g a .... tf u o c .... h\quad [ s 2 .... ] a t r ....$ p – l Vdash−T rVo $ Vdash oo\quad gft 2 wmo h a $ as g n−ep − on−yr e r− ss e t n−e t e m−a $ } a .. n .. e .. rc128 .. rn ..;s oi .. r s .. i .. i n .. n t d .. h e.. e .. p p .. e r .. on ..− ond ..− f ..a commae n − s .notdef.notdef − dn − \ centerline {m \quad o \quad r \quad p \quad h \quad i \quad s \quad m \quad g , \quad rboyutphseo W .... e .... a.notdef.notdef .... s .... s .... u− ....s mb ....u − e .....notdef.notdef.notdef t .... h open squareh bracket.notdef 2 closing .notdef squarei bracket e nsub comma-e t r-w $ f i $ } e-h .... ao .... d s.notdef e e ....− rnc io128 ....n;s sti .....notdef f ....n ata ....c im F −d h .. e .. r .. eA .. wperiod .. i ..− tuF h ..n/ o ..s Du .. 1 t .. af On .. u ..u − r ..period t .. hn .. e/ ..sD0. r .. c .. o .. InAugust m .. m \ centerline5 .... comma{.notdef.notdef2 ....\ squad .... h0 ....\quad o ....2 wF i check\quad sub6 ETX-n\quad W5 g-H\quad sub i; period} .... n semicolon to the power of c128-s C to the power ofanerrorintheproof, h-two slash ! H-t sub i period t-n C-c128 1 semicolon to the power of s-h slash .... e s .... m .... n a \noindent I \ h f i l l n \ h f i l l H \ h f i l l a t \ h f i l l c h [ 2 ] a r p −− \ h f i l l rVo \ h f i l l oo g f t \ h f i l l wm a \ h f i l l as n \ h f i l l .... p-e n GS t i ....W a e .... a v s s u m e t h [2]comma−e r − w e − h ao d s e e rn io st f at im $ ps− NAKn $ 1\ periodh fherewithoutfurtherc i l l ..r T ..\ h h f .. i l e l ..e a\ ..h r f .. i l g l ..s u\ ..h m f i .. l l e ..e n\ ..h ft i .. l l un .. s\ ..h ef i .. l l d t \ h f i l l e H sub i periodo .. n m semicolon m to the power of c128-s C 2 semicolon .. n NUL 1 semicolon s C 4 slash NUL H-NUL \noindent $ c 128 { n ; s }$ i \quad cs128\−quads h−two/i \quad n d \quad e \quads−h/ p \quad e \quad sub i NUL NUL-one5 , period s h o ! sub w i nˇETX NUL−n 1W semicolong − Hi s. Cn 4; slashC !H − ti. t − nC − c1281; e s $ ncheck−n sub d− ETXam $ y e to the $ n power−s ofn .notdef aquestion-question .notdefp check−−edn subGS nETX−t.notdef i y to the power .notdef ofa question-question−s $ \quad v b $ u−. notdef .notdefH sub i period .notdefs ..NAK n C-c128 $1. hTheargumentused 1 semicolon $ .notdef s to the .notdef power of $semicolon\quad ..i n semicolon\quad e to\quad the powern \quad of s-c128t \ Cquad 2 slash $ . notdef−c 128 { nc128− ;s s }$ i $.notdef$ nac NUL H sub i NULHi 1. periodn ; ! subC n 2 semicolon; n NUL to the1; s power C 4/NULH of c128-s C 2− slashNULiNULNUL−one.!nNUL1;sC4/ t .. a s .. s .. s .. e r .. t .. e d .. h .. a t .. t .. h .. t .. p .. h .. o .. r .. z o .. n .. t \noindenth .. e .. oA ..\ gh .. f ei l .. l x$ a .. period c .. t ..−u s periodˇquestion F { e sub−nquestion} n semicolon/ $ˇquestion\ h to f− i thequestion l l powers D 1 of\ c128-sh f i l l Ca 2 Onsemicolon\ h f i l e l sub$ n u n− 1period ˆ{ F−d } { n } / $ \ h f i l l s D 0 \ h f i l l . \ h f i l lETI Xy\ h f i l l n \ETh f Xy i l l A \ h f i l l u \ h f i l l g \ h f i l l u \ h f i l l s \ h f i l l t \ h f i l l semicolon to the power of c-s C to the power of; four-es slash−c128 comma o f-a .. t .. d .. e e .. acier $ .notdefa .. s .. t .. h .notdef e .. z .. eH ..i. r 2 ..n $ oC .. m− c a1281; .. p ..s comman ; c128C sub2/NULH n-b sub semicoloniNUL1 s.! u-Cn;c128 2− isC ..2/ n i .. h-f e .. c-.notdef Vdash w .. e .notdef-htasssertedhatthtphor .. e i g g r h o Vdash u \noindent a z\quad o nn \quad t e \quad r \quad r \quad o \quad r \quad i \quad n \quad t \quad h \quad e \quad p \quad r \quad o \quad o \quad f \quad , i .... s .... a .... d i .... Vdash e Vdash e .... n c128 sub n C to the powerc−s four of s-one−e/ semicolon s .... b Vdash .notdef-g m Vdashh e Vdash o c128-u-h g e sub x n a semicolon c t to the s power.en;c128 of−sC s-p2; e C-en n 21; i VdashC n .... h, o ....f e− ....a u pt .... d p .... e e e.... Vdash acier \noindent W \ h f i l l easthezeromap\ h f i l l a \ h f i l l s \ h f i l l s \ h f i l l u \ h f i, l c l128m \ h f i l l ie \ nhi f i l l t \ h f i l l h Vdash e check sub .notdef-ETX n−b;su−C2 $ [n .. o 2 .. t i ] nh du{− ..commaf ce .. d−c ..−e b.notdef.notdef} y tr he−w .. i .. e− chw .. $u ..e \ s.notdefh i ..f i ol l ..−ao nh ..\ meh a fi i .. lg l o ..gd tr s ..h e eo .. e p.notdef\ ..h aif i l.. lu periodrn i o .. I\ th f i l l s t \ h f i l l f \ h f i l l at \ h f i l l im h e z .. r o ..i m .. s n s f ao u r dVdash i .notdef Vdash Vdashe .notdef .. i ..e e .. n ..c128 t ..nC Vdashs−one;s y .. Vdashb .notdef.notdef .. a .. r .. g− ..g em .. comma .. b\noindent .. u .. t h .notdef.notdefc\quad e \quad128r− \uquad− hn;s−epC\−quade2 i .notdefw \quadn hi \ equad u pt p h e\quad.notdefo \quad .notdefu e\quad t \quad f \quad u \quad r \quad t \quad h \quad e \quad r \quad c \quad o \quad m \quad m t .. h .. i .. sˇ.notdef−ETX \noindentW ....n e .... o5 c\ .... th i f no i du ....l l r, .... c\ h r fd .... i l l e b ....s y t\ c heh .... f i t l i l....h tc ....\ h u hf i .... l l s eio ....\ oh p f .... i nl l r ....w m ioa .... $ o b\ ....check t l .... e{} e .... p{ mETX ai ....− b .n ....}$ y I t.... W g $ gt− ....H s{ ....i Vdash} . s $ NAK\hh 1 e f zVdash i l l rn o Vdash $ m ; .... ˆn{ m sc128 pf o ....−us er ....}.notdef mC .... ˆ{ eh .... .notdef−two n .... t .notdef ..../ } i ....!H ni ....− g et ....{ tn ....i } h t ..... e .... t− en Cn− ac .... 128 rT 1.notdef ; ˆ{ ys−h.notdef / }$ a\ h f ir l l e g s e\ h f i , l l m b\ h u f i l l tn a \ h f i l l $ p−e $ n $ GS $ t in ..\ h e f w i l .. l pa ..t\ rh .. hf Vdashi l l iv Vdash s .. e .. n .. t .. i .. r .. e .. Vdash y .. a .. Vdash .. i .. d .. s .. t .. h .. e SYN W c128Wecorrecttheproblembyg sub n semicolon s ! c128 sub n semicolon s C 1 .... I n .... Vdash h .... e .... Vdash a .... ogonek sub ETX\noindent .... e a ....st n $ h s NAK i.notdef e-s .notdef-o 1s NAK . m $ e1 or\.notdef ....quad ph ....T .notdef\ iquad s m ....mh comma p\quad e m ogonek-te e\ nquad t h i D na check\ gquad t r h tor e the\ equad powern a rTg of\ 2quad u \quad m \quad e \quad n \quad t \quad u \quad s \quad e \quad d P .... u .... bn .... l ....e w i .... p s .... rh .....notdef D 0 O .... .notdef 0 I 6 .... :e .... 1 n .... 0 t .... periodi r .... e 2 .notdef y a \ centerline {.notdef$ H { ii } d. $s\ tquad hn e $ ; ˆ{ c128−s }$ C 2 ; \quad n $ NUL 1 ; $ s C $ 4 /SYN NULW c128 H−NULn;s!c128{n;sCi1 NULI n .notdef NUL−oneh e} .notdef.! a{ nogonek NULETX 1e a ; n h i s C 4 } / $ } e − s.notdef − o m e or ph i s m , ogonek − t h D ˇr2 P u b l i s h D 0 O 0 I 6 : 1 0 . 2 \ [ \check{} { ETX y }ˆ{ question −question }\check{} { ETX y }ˆ{ question −question }\ ]

\ centerline { $ H { i } . $ \quad n $ C−c 128 1 ; s ˆ{ ; }$ \quad n $ ; ˆ{ s−c 128 }$ C $ 2 / NUL H { i } NUL 1 . ! { n ; ˆ{ c128−s } C 2 } / $ }

\ hspace ∗{\ f i l l } t \quad a s \quad s \quad s \quad e r \quad t \quad e d \quad h \quad a t \quad t \quad h \quad t \quad p \quad h \quad o \quad r \quad z o \quad n \quad t

\ centerline {h \quad e \quad o \quad g \quad e \quad x a \quad c \quad t \quad s $ . e { n ; ˆ{ c128−s } C 2 } ; e { n }$ n $ 1 ; ˆ{ c−s } C ˆ{ four−e / } , $ o $ f−a $ \quad t \quad d \quad e e \quad a c i e r }

\ hspace ∗{\ f i l l }a \quad s \quad t \quad h e \quad z \quad e \quad r \quad o \quad m a \quad p \quad $ , c 128 { n−b { ; } s u−C 2 }$ i \quad n i \quad $ h−f $ e \quad $ c −. notdef . notdef $ w \quad e $ . notdef−h $ \quad e iggrho $.notdef$ u

\noindent i \ h f i l l s \ h f i l l a \ h f i l l d i \ h f i l l $ .notdef $ e $ .notdef $ e \ h f i l l n $ c 128 { n C ˆ{ s−one } ; s }$ \ h f i l l b $ .notdef .notdef−g $ m $ .notdef .notdef c128−u−h { n ; ˆ{ s−p C−e } 2 }$ i $.notdef$ n \ h f i l l h \ h f i l l e \ h f i l l u p \ h f i l l p \ h f i l l e \ h f i l l $ .notdef .notdef $ e $ \check{} { . notdef−ETX }$

\ centerline {n \quad o \quad t i n du \quad c \quad d \quad b y t he \quad i \quad c \quad u \quad s i \quad o \quad n \quad m a \quad o \quad t \quad e \quad p \quad a i \quad . \quad I t }

\ hspace ∗{\ f i l l }h e z \quad r o \quad m \quad n s f ou r $ .notdef .notdef .notdef $ \quad i \quad e \quad n \quad t \quad $ . notdef $ y \quad $ . notdef $ \quad a \quad r \quad g \quad e \quad , \quad b \quad u \quad t

\noindent t \quad h \quad i \quad s

\noindent W \ h f i l l e \ h f i l l c \ h f i l l o \ h f i l l r \ h f i l l r \ h f i l l e \ h f i l l c \ h f i l l t \ h f i l l t \ h f i l l h \ h f i l l e \ h f i l l p \ h f i l l r \ h f i l l o \ h f i l l b \ h f i l l l \ h f i l l e \ h f i l l m \ h f i l l b \ h f i l l y \ h f i l l g

\noindent t \ h f i l l s \ h f i l l $ .notdef $ s $NAK 1 .notdef .notdef $ \ h f i l l m p \ h f i l l e \ h f i l l m \ h f i l l e \ h f i l l n \ h f i l l t \ h f i l l i \ h f i l l n \ h f i l l g \ h f i l l t \ h f i l l h \ h f i l l e \ h f i l l e n a \ h f i l l rT

\noindent n \quad e w \quad p \quad r \quad $ .notdef .notdef $ \quad e \quad n \quad t \quad i \quad r \quad e \quad $ . notdef $ y \quad a \quad $ . notdef $ \quad i \quad d \quad s \quad t \quad h \quad e

\noindent $SYN$ W $ c128 { n ; s } ! c 128 { n ; s C 1 }$ \ h f i l l I n \ h f i l l $ . notdef $ h \ h f i l l e \ h f i l l $ . notdef $ a \ h f i l l $ ogonek { ETX }$ \ h f i l l e a \ h f i l l n h i $ e−s . notdef−o $ m e or \ h f i l l ph \ h f i l l i s m \ h f i l l $ , ogonek−t $ h D $ \check{} r ˆ{ 2 }$

\noindent P \ h f i l l u \ h f i l l b \ h f i l l l \ h f i l l i \ h f i l l s \ h f i l l h \ h f i l l D 0 O \ h f i l l 0 I 6 \ h f i l l : \ h f i l l 1 \ h f i l l 0 \ h f i l l . \ h f i l l 2 574 Allen Hatcher , Karen Vogtmann and Nathalie Wahl d e r i v e d i 2 n − s s − h oe w ˇs−ETX i a o − h n a − n − i s o − two − t m o f − p hi s m i SY Na − ETX n a somo r p is m .SYN − oET X e t hla a y s i j e t i v e s i nc e t h a s y u n g i to on e o f t en ew b u ar y co o n e s u r j e − SY NET Xi − c n ia v si t tay bol fe r a n c128−s/ Hi. n ; ogonekETX NULHiperiod − NUL n exclam − C − c1281; s / ogonekETX NUL NUL ogonekETX NUL − exclam H − SOHiperiod − NULSOHnexclam − C − c128 k ; s /

question − questionySY NET X question − questionySY NET X question − questionySY NET X c128−s Hi. n; C1/ ogonekETX NULH − NULi.NULnC−c128−exclam1;sC1/ ogonekETX NUL NUL ogonekETX NULSOH − H − NULi.NULn−SOHexclam−c128−Ck;sC1/ s h o w SYNETX i ts h aant i sf n−o > m i to h r ep nh i s − t w − m if lo lr s a m e r − ogonek a s n g − ni − e s o − t m h o a r n − p − thNAK 2 i i − C2 m I n − t a i m e − s l t y hukeeptrackofthepre c i s e F o − sNAK2 DC1 W t − c128n;s!c128nC1;sNUL1 be i n d e d b y g .notdef u i n g a s p h M − e0;.notdef−three e .notdef h e .notdef s .notdef a n d .notdef a s b u Mn;s−a Tyh .notdef em s p .notdef.notdef b − nogonek − i − e s he c o DC1 − m p − WSYN − c128n;s!c128nC1;s n n d n .notdef w w e a n .notdef .notdef .notdef c .notdef n s .notdef m p .notdef s SYN − i W i − c128 − DC1n;s−.notdef !c128nC1;s We i .notdef.notdef s SY N.notdef w DC1.notdef − s h a n i s o m H − oi p s−c128/ n > i > a n SYNETX W Hi.en;c128 − s − nNUL1/ e Hi. n ; s u r j n − ec − greater i a v n − seNAK two − d S i ogonek n .notdef e − a h o o lo g i n > o i > o a n h d i s m a s − ogonek r e − m m w i SYN h ,DC1 i t .notdef i l l s u f SYN c DC1s − e t − a o − h s − o h o l − .notdef ot gh a t − i s o m o h e d i r e c t l m ogonek. nT dh i s t u rb i lo iu a ttoi b − o SYN i DC1 sahomologyiso T o p r SYN o DC1 s e − a h t o h o − a t o g s o m o r p i s m i n o p Zn;s x e .notdef n e − sdNAK .notdef − two .notdef T .notdef s i m p i .notdef ythenssineitw

s−u i .notdef b e .notdef x e Zn−d;s t Zn−h r n M − dn; g Mn−h A e .notdef.notdef Zn−x i .notdef − s a n e q i v a .notdef e n − period S ; a slash − e c h .notdefa − es − S i s s .notdef a − p n i .notdef − .notdef s n - i M − nn n d − a i s a n e m M − bn j e .notdefi − d n d e n d g a h r e .notdef.notdef i s n a n at − d0 n at − dsNUL1 n d i n .notdef e S s − t r e a − c.notdef n i n g .notdef e r s e a ai n − d − s a u n a .notdef S T h e e .notdef u i .notdef a .notdef e − period S ; a − n/ s e g i e v .notdef e a − n t S

i−bracketleft a k s n o e .notdef −t t h e e n a id at−np−Mn A s n e k − t.notdef − C1 e r period − tS0i−semicolona0/SOH e ; semicolon − SOH sS SOH − period − k; ak/ or k notdef s i S − pi[ai i x − s i i .notdef s j S j − i[aj .notdef i currency j a n d t S − hi e .notdef.notdef m .notdef c n n e .notdef e d s iygs u .notdef e − emhparenleft − one is s−e i−e m p .notdef i S −ei s s .notdefai−h s .notdef a n .notdef .notdef e .notdef i .notdef.notdef e h .notdef .notdef s c n .notdef w a y s 574 .... Allen Hatcher comma Karen Vogtmann and Nathalie Wahl \noindentd .. e r .. i574 v .. e\ ..h f d i l.. l i 2Allen n-s s-h Hatcher .. oe w check , Karen sub s-ETX Vogtmann .. i a o-h and n .. Nathalie a-n-i s o-two-t Wahl m .. o .. f-p .. hi s .. m .. i .. SYN a-ETX n .. a \noindentsomo .. r pd ..\ isquad m .. periode r \quad SYN-oi ETX v \ ..quad e t hlae ..\quad a y .. sd ..\ iquad .. j .. ei .. $t i 2 v e .. n s− is .. nc s− eh .. t $ h a\ squad oe w $ \ycheck .. u ..{} n g ..{ is ..−ETX to .. on}$ e o\ ..quad f t ..i en a ew b$ .. o− uh .. $ ar y n ..\ coquad .. o n$ e a−n−i $ s $ o−two−t $ m \quad o \quad $ fs− ..p u $ .. r\ ..quad jb .. e e-SYNhi m s ETX\ adquad i-c em .. nd\quad ia .. i v sisi ..\quad tj tay.notdef .. bol$ SYN fei n .. r ...notdef a− aETX .. n b $.notdef n \quadna i .notdef somoH sub\quad i periodir .. p n n\ semicolonquad e ai s.notdef to m the\quad powery $ of.notdef c128-s . SYNn slash−o.notdef ogonek ETX suby $ ETX\ iquad n NUL v e.notdef.notdef H t sub hla i period-NUL\quadva e y.. s n\quad exclam-s \quad i \quad j \quad e \quad t i v e \quad s i \quad nc e \quad t h a s C-c128y \quad 1 semicolonu \quadi s n slashn e g ogonek\.notdefquad subi s ETX\quad e c NULto NUL\quad ogonekon sub e o ETX\quad NUL-exclamf t \quad H-SOHen sub ew i b period-NUL\quad u SOH\quad ar y \quad co \quad o n e subs n\quad exclam-C-c128u \quads pk semicolonr \ hquad e s rj slash\quad $ e−SYN ETX i−c $ \quad n i a \quad v s i \quad t tay \quad bol f e \quad r \quad a \quad n Line 1 question-questionWenotethathereis y SYN ETX question-question y SYN ETX question-question y SYN ETXZ Linen 2 H sub i\ periodcenterline n semicolon{i$ H ntoe the{ .notdefi power} of.q $c128-s\.notdefquad C 1 slashne n $ ogonek v; ˆ{ e subc128 ETX.notdef.notdef−s NUL / H-NUL} ogonekp sub i i nperiod{ ETX g NUL s}{ subNUL p n C-c128-} H { i } hyphen−S exclamperiod 1−NUL semicolon $h\ squad e C 1 slash.notdefen ogonek $ exclam− f. sub− ETXC−c1280 NULp − semicolona NUL 1 ogonek ;$0/ sub sSOH ETX $/ .notdefSOH NUL ogonek SOH-H-NUL−{semicolonETX sub}{ i periodsNULS NUL} NUL sub n-SOHogonek exclam-c128-C{ ETXk −}{period kNUL semicolon−−exclamSOH; sF C}− 1a slashkH/−SOHg t {si } i periode p t −.notdefNUL SOHe o{ in } e sexclamS −−oCi−c 128 $ k ;s .. s h / ..} o .. wf SYNn ETXa − ie .. ts c − ...notdef h .. aant i.notdef .. sf n-o− greatern e m i i to.notdef h r .. ep h − ..S nhi e .. a i ...notdef s-t w-mn s .. di if j lo ei .. lr s .. a .. m ...notdef e .. r-ogonekn e .. a ac h s .. n.notdef.notdef .. g-n i-e .. s o-t .notdef .. m h o a r .. n-p-t h NAK 2 i i-C 2 m .. I .. n-t .. a i m .. e-s\ [ \ lbegin t y .. h{ a .. l iu gA nl e d } question g e G−questionero a m{ Ty o} e −SYNc pt & ETX, r l − questionVi o − o−questiong l u −{ yy } SYN ETX questionk .. e ..− equestion .. p .. t ..{ r ..y a} .. cSYN .. k .. o ETX .. f ..\\ t h .. e .. p .. r .. e .. c .. i .. s .. e HF ..{ o-si NAK} . 2 DC1 n Wt-c128 ; ˆ{ subc128 n− semicolons } C s ! 1 c128 / sub n ogonek C 1 semicolon{ ETX s NUL}{ 1NUL .. be} .. iH ..−NUL n d .. e{ di ..} b y ... NULg .. Vdash{ n u i .. C− nc128 .. g− ..exclam a 1 ; s C 1 } / ogonek { ETX }{ NUL } NUL ogonek { ETX }{ NUL } SOHs− ..H− pNUL h M-e{ subi 0} semicolon. NUL to the{ powern−SOH of .notdef-three exclam−c128 .. e− ..C Vdash k .. ; h .. e s .. Vdash C ..1 s} .. Vdash/ \end a{ ..a n l i dg n .. e d }\ ] Vdash a .. s .. b .. u .. M sub n semicolon to the power of s-a .. Tyh .. Vdash em s p Vdash Vdash b-n ogonek-i-e s .. he .. c .. o DC1-m p-W SYN-c128 sub n semicolon s ! c128 sub n C 1 semicolon s .. n .. n .. d .. n Vdash w w ..\noindent e .. a .. n ..s Vdash\quad Vdashh \quad Vdasho c Vdash\quad ..w n .. $ s SYN ETX $ i \quad t s \quad h \quad aant i \quad s f $ nVdash−o m> ..$ p m .. Vdashi to h .. r s SYN-i\quad ..ep W i-c128-DC1\quad nh sub\quad n semicoloni \quad to the$ s power−t of w− s-.notdefm $ \quad ! c128i sub f l n o C\quad 1 l r semicolons \quad s ..a We\quad .. i ..m Vdash\quad Vdashe \quad .. s .. SYN$ r Vdash−ogonek w DC1 $ .notdef-s\quad a .. h s a\ ..quad n i ..n s o\quad .. m H-o$ sub g− in .. p i−e $ \quadn greaters $ .... o− i greatert $ \ ....quad a ....m n h .... o SYN a r ETX\quad W H$ sub n− ip period−t e h sub{ nNAK semicolon} 2 c128-s-n $ i NUL $ i− 1C slash 2 e H $ sub m i\quad I \quad period$ n−t .... $ n\ semicolonquad a to i them \ powerquad of$ s-c128 e−s slash $ l.... t s y....\ uquad .... r ....h \ jquad .... n-eu c-greater .... i a .... v n-s e NAK two-d k S\quad .. i ogoneke \quad n .. Vdashe \quad e-a .. hp ..\quad o .. o ..t lo\quad .. g .. ir n\ greaterquad a o i\ greaterquad c o ..\quad a .. n hk d\ iquad s .. mo a\ ..quad s-ogonekf \ ..quad r t h \quad e \quad p \quad r \quad e \quad c \quad i \quad s \quad e e-m m w \noindenti .. SYN hF comma\quad DC1$ .. o− i ..s t .. NAK Vdash i 2 .. l .. DC1 l .. s $ .. W u f SYN $ t− ..c c128 DC1{ s-en t-a o-h ; s-o s ..} h o! .. l-.notdef c 128 ot{ ghn a C.. t-i .. 1 s o ..; m .. s o NUL 1 }$ \quad be \quad i \quad n d \quad e d \quad b y \quad g \quad $ .notdefh .. e .. d $.. i r u .. i e c\quad .. t .. ln ..\ mquad .. ogonekg \quad perioda .. nT .. dh i .. s .. t .. u .. rb i .. lo iu .. a ttoi b-o s SYN\quad .. ip DC1 h s $.. Ma− ..e h ..{ o0 .. m ..; o ˆ{ .. l. .. notdef o .. g− ..thre y .. i e ..}} s ..$ o \quad e \quad $ . notdef $ \quad h \quad e \quad $ .T notdef .. o .. p $ .. r\ SYNquad o ..s DC1\quad s .. e-a$ .. . notdef h t .. o h $ .. o-a a \ ..quad t o ..n g .. d s\ ..quad o m o ..$ r . p notdef .. i s m ..$ i n a \quad s \quad b \quad u \quad $ Mo ..{ p Zn sub ; n semicolonˆ{ s−a }} s ..$ x ..\quad e VdashTyh .. n\ ..quad e-s d NAK$ .notdef .notdef-two $ Vdash em s T p Vdash $ .notdef .. s .. i m .. .notdef p .. i .. Vdash b−n ..ogonek y .. t− ..i h− ..e e $ .. n .. s s .. i .. n .. e .. i .. t .. w .. i Vdash .. b .. e .. Vdash x .. e Z sub n-d sub semicolon s .. t Z sub n-h .. r n M-d sub\ hspace n semicolon∗{\ f i tol l } thes power\quad ofhe s-u\ ..quad g M subc \ n-hquad .. Ao $ DC1−m p−W SYN−c 128 { n ; s } ! c 128e Vdash{ n Vdash C Z sub 1 n-x ; i .. .notdef-ss }$ \ ..quad a n ..n e\ ..quad q .. i vn a\ ..quad Vdashd e\ ..quad n-periodn S$ semicolon .notdef a $ slash-e ww c h\quad Vdashe \quad a \quad n \quad a-e$ .notdef s-S i s .. s Vdash .notdef a-p .. n i .notdef .. .notdef-.notdef $ c s $ n ...notdef hyphen $ \quad n \quad s i M-n sub n .. n d-a i .. s .. a .. n .. e .. m M-b sub n j e Vdash i-d .. n d .. e n .. d g .. a h .. r e Vdash Vdash .. i\ shspace .. n .. a∗{\ n ..f i at-d l l } sub$ 0. notdef $ m \quad p \quad $ . notdef $ \quad s $ SYN−i $ \quad W $ in− at-dc128 sub−DC1 s NUL{ 1n .. n ; .. ˆd{ i ns − ... Vdash notdef .. e}} S s-t! r e a-c c 128 Vdash{ nn i .. n C .. g Vdash 1 ; .. e .. s r} ..$ s ..\quad e .. a aiWe ..\ n-d-squad i \quad ..$ a .notdef u n a Vdash .notdef $ \quad s \quad $SYN .notdef $ w $DC1 .notdef−s $ \quad h a \quad n i \quad s o \quad m $ HS− ..o T{ .. hi ..}$ e ..\ equad .. Vdashp .. u .. i .. Vdash a .. Vdash e-period S semicolon a-n slash .. s e g .. i .. e v .. Vdash e a-n .. t S i-bracketleft a k s n o e .. .notdef-t \noindentt .. h .. e ..n e .. $ n> a$ id at-n\ h f sub i l l p-Mi sub $ > n$ .. A\ ..h s f in l el ..a k-t\ h .notdef-C f i l l n \ 1h .. f e i l .. l r ..$ period-t SYN S ETX sub $0 i-semicolon W $ H a{ i } sub. 0 e slash{ SOHn e ; semicolon} c128 semicolon-SOH−s−n NUL sS1 SOH-period-k / $ e semicolon $ H { ai sub} k. slash $ ..\ orh f i l l n $ ; ˆ{ s−c 128 / }k$ notdef\ h f .. i l s l i ..s S-p\ h sub f i l li openu \ squareh f i l l bracketr \ h f a i l sub l j i i\ ..h x-s f i l .. l i i$ Vdash n−e s j S c− j-ig open r e a t squaree r $ bracket\ h f i l al subi a j Vdash\ h f i l l v ..$ i n currency−s e j ..{ aNAK .. n ..} d ..two t ..−d S-h $ sub i e Vdash Vdash m Vdash c .. n .. n .. e .. Vdash e .. d .. s iygs u Vdash e-e sub mh parenleft-one is .. s-e i-e .. m .. p .. Vdash .. i S-e\noindent sub i s s VdashS \quad a subi i-h $ .. sogonek Vdash a $ n Vdash n \quad Vdash$ e Vdash . notdef i e−a $ \quad h \quad o \quad o \quad l o \quad g \quad i n $ >Vdash$ o Vdash i $ e> .. h$ .. Vdash o \quad Vdasha \ ..quad s c .. n .. h Vdash d i sw ..\quad a .. ym .. s a b\ equad .. m .. ad$ s ..− eogonek .. d .. i $.. s ..\quad j .. Vdashr $ i e−m $ mn .. w Vdash b i Vdash\quad .. n$ .. SYN i .. Vdash $ h i .. $ n .., e .. DC1 a Vdash $ \ ..quad y .. Vdashi \quad n .. Vdasht \quad .. y .. i$ n . .. notdef v Vdash $ Vdash i \ vquad .. e sl .. i\ ..quad n .. l \quad s \quad u f e$ .. SYN Vdash $ s\ ..quad e c c $ DC1 s−e t−a o−h s−o $ \quad h o \quad $ l −.notdef $ ot gh a \quad $ ts− ..i p $ .. h\quad .. e r s o \quad m \quad o W .. e .. n .. o .. t .. e .. t .. h .. a .. t .. h .. e .. r e .. i .. s .. Z sub n .. i .. n e Vdash q .. Vdash \ centerlinee n .. v .. e{h ..\ Vdashquad Vdashe \quad .. pd i ..\quad n .. gi .. r s ..\quad p .. he .. c e\ ..quad Vdasht e-f\quad periodl to\quad the powerm \quad of hyphen-S$ ogonek 0 p-semicolon. $ \quad a subnT 0\ slashquad SOHdh Vdashi \quad SOH-semicolons \quad t s\ Squad k-period-SOHu \quad semicolonrb i \ F-aquad subl ok slash iu \ gquad .. t sa .. i t .. t o e i p t Vdash$ b−o .. $ e } o .. i .. e s .. S-o sub i .. f .. n .. a-e c-.notdef .notdef-n .. e .. i Vdash h-S sub i e a Vdash n s di j ei Vdash n .. e a\noindent c h .. Vdash Vdash$ SYN Vdash $ \quad i $ DC1 $ s \quad a \quad h \quad o \quad m \quad o \quad l \quad o \quad g \quad y \quad i \quad s \quad o A l .. g .. e .. G ero a .. m T o e-c pt ampersand comma r l-V sub i o-o .. g l .. u-y \noindent T \quad o \quad p \quad r $ SYN $ o \quad $ DC1 $ s \quad $ e−a $ \quad h t \quad o h \quad $ o−a $ \quad t o \quad g \quad s \quad o m o \quad r p \quad i s m \quad i n

o \quad p $ Z { n ; s }$ \quad x \quad e $ . notdef $ \quad n \quad $ e−s d { NAK } . notdef−two .notdef $ T $ .notdef $ \quad s \quad i m \quad p \quad i \quad $ . notdef $ \quad y \quad t \quad h \quad e \quad n \quad s s \quad i \quad n \quad e \quad i \quad t \quad w \quad i $ . notdef $ \quad b \quad e \quad $ . notdef $ x \quad e $ Z { n−d { ; } s }$ \quad t $ Z { n−h }$ \quad r n $ M−d { n ; ˆ{ s−u }}$ \quad g $ M { n−h }$ \quad A

\noindent e $ .notdef .notdef Z { n−x }$ i \quad $ . notdef−s $ \quad a n \quad e \quad q \quad i v a \quad $ . notdef $ e \quad $ n−period $ S ; a $ slash −e$ ch $.notdef a−e s−S $ i s \quad s $ . notdef a−p $ \quad n i \quad $ . notdef −. notdef $ s n \quad − i $ M−n { n }$ \quad n $ d−a $ i \quad s \quad a \quad n \quad e \quad m $ M−b { n }$ j e $ .notdef i−d $ \quad n d \quad e n \quad d g \quad a h \quad r e $ . notdef . notdef $ \quad i s \quad n \quad a n \quad $ at−d { 0 }$ n $ at−d { s NUL 1 }$ \quad n \quad d i n \quad $ . notdef $ \quad e S $ s−t $ r e $ a−c .notdef$ ni \quad n \quad g $ . notdef $ \quad e \quad r \quad s \quad e \quad a a i \quad $ n−d−s $ \quad auna $ .notdef $ S \quad T \quad h \quad e \quad e \quad $ . notdef $ \quad u \quad i \quad $ . notdef $ a \quad $ . notdef e−period$ S $; a−n / $ \quad s e g \quad i \quad e v \quad $ .notdef $ e $a−n $ \quad t S $ i−bracketleft $ a k s n o e \quad $ . notdef−t $ t \quad h \quad e \quad e \quad n a id $ at−n { p−M { n }}$ \quad A \quad s n e \quad $ k−t . notdef−C 1 $ \quad e \quad r \quad $ period −t S { 0 i−semicolon } a { 0 } / SOH$ e $ ; semicolon−SOH $ sS $ SOH−period−k ; a { k } / $ \quad or k $ notdef $ \quad s i \quad $ S−p { i } [ a { i }$ i \quad $ x−s $ \quad i i $ .notdef$ s jS $j−i [ a { j } . notdef $ \quad i $ currency $ j \quad a \quad n \quad d \quad t \quad $ S−h { i }$ e $ .notdef .notdef $ m

$ . notdef $ c \quad n \quad n \quad e \quad $ . notdef $ e \quad d \quad s i y g s u $ . notdef e−e { mh } p a r e n l e f t −one $ i s \quad $ s−e i−e $ \quad m \quad p \quad $ . notdef $ \quad i $ S−e { i }$ ss $.notdef a { i−h }$ \quad s $ . notdef $ an $ .notdef .notdef $ e $ .notdef $ i $ .notdef .notdef $ e \quad h \quad $ .notdef .notdef $ \quad s c \quad n \quad $ . notdef $ w \quad a \quad y \quad s b e \quad m \quad ad \quad e \quad d \quad i \quad s \quad j \quad $ .notdef $ i n \quad $ . notdef $ b $ . notdef $ \quad n \quad i \quad $ . notdef $ i \quad n \quad e \quad a $ . notdef $ \quad y \quad $ . notdef $ n \quad $ . notdef $ \quad y \quad i n \quad v $ . notdef . notdef $ v \quad e s \quad i \quad n \quad e \quad $ . notdef $ s \quad e c

\noindent s \quad p \quad h \quad e r

\noindent W \quad e \quad n \quad o \quad t \quad e \quad t \quad h \quad a \quad t \quad h \quad e \quad r e \quad i \quad s \quad $ Z { n }$ \quad i \quad ne $ .notdef $ q \quad $ . notdef $ e n \quad v \quad e \quad $ .notdef .notdef $ \quad p i \quad n \quad g \quad s \quad p \quad h \quad e \quad $ . notdef e−f . ˆ{ hyphen−S } 0 p−semicolon a { 0 } / SOH .notdef SOH−semicolon $ s S $ k−period−SOH ; F−a { k } / $ g \quad t s \quad i \quad e p t $ .notdef $ \quad e o \quad i \quad e s \quad $ S−o { i }$ \quad f \quad n \quad $ a−e c −. notdef . notdef−n $ \quad e \quad i $ . notdef h−S { i }$ ea $.notdef$ ns di j ei $ . notdef $ n \quad e a c h \quad $ .notdef .notdef .notdef $

\noindent $ A $ l \quad g \quad e \quad $ G $ ero a \quad m $ T $ o $ e−c $ pt $ \& , $ r $ l−V { i } o−o $ \quad g l \quad $ u−y $ Erratum to : Homology stabili t-y for outer automorphism groups .... 575 \noindentS sub e toErratum the power ofto S :sub Homology e sub S sub stabili 0 to the power $ t− ofy 0 $ a sub for 0 S outer sub 1 a automorphism sub 1 S sub 2 sub groups a sub 2 at\ h sub f i l 0l 575 to the power of at sub s NUL 1 \ [Figure S ˆ{ 1S : ˆ ..{ A0 2} endash{ e simplex{ S in{ Z0 sub}}}} n semicolon{ e } sa { 0 } S { 1 } a { 1 } S { 2 { a { 2 }}} @ Vdash{ 0 } ..ˆ{ s ..@ p ..{ hes Vdash NUL e .. p 1 ..}}\ Vdash] a .. at sub 0 e Vdash at sub s Vdash 1 .. b y-i Vdash .. h .. u-e b Vdash e Vdash Vdash VdashErratum .. w to i : .. Homology n a g-i n-.notdef stabili ..t − hy Vdashfor outer automorphism groups 575

p .. p .. Vdash .. p .. Vdash i .. S sub i e-TS0 .. hs ii se p Vdash Vdash Vdash d .. c .. e .. s .. a p-S sub e semicolon \ centerline { Figure 1 : \quad A 2 −−eS simplex in $ Z @{ n ; s }$ } S sub e to the power of 0 s Vdash e Vdash VdashS 0 a p s ..S p-M-aa subS n iien@ sNUL1 e 0 1 1 2a2 0 w .. c Vdash .. m .. p .. n .. e .. n Vdash .. s .. Vdash .. n .. e .. Vdash .. w .. h .. i S-c sub i .. Tch Vdash en .. Figure 1 : A 2 – simplex in Z a-n$ .. . notdef i .. n-y sub $ b\ squad Vdashs to\quad the powerp \ ofquad u-.notdefhe hn $ .notdef $ e \nquad;s p \quad $ . notdef $ a \quad .notdef s p he .notdef e p .notdef a @ e .notdef@ .notdef1 b $ @Vdash{ 0 ..} n$ Vdash e a $.notdef .. i .. n .. e .. i @ .. n{ ..s Vdash} . .. notdef h .. at-i sub 1 0 $ s c-n\quad at-.notdef-d0 b $ sub y−i s ms 1 .p notdef .. Vdash $ n nd\quad e sn h \quad y−i.notdef h u−e b .notdef e .notdef.notdef .notdef w i n a g−i n−.notdef ..$ p u− ..e Vdash $ b .notdef-e $ .notdef Vdash ..$ i .. e n .. $ g .notdef .. Vdash .. h .notdef i .notdef $ \quad w i \quad n a $ g−i h .notdef p p .notdef p .notdef i S e − T hs ii se p .notdef.notdef.notdef n−.s notdef .. p .. h $ S-e sub\quad i .notdef-ph $ .e notdef s-.notdef $ d .. ce .. s .. Vdashi .. w Vdash .. s i m p .. Vdash y .. c .. n .. n e .. S d c e s a p − S S0 s .notdef e .notdef.notdef p s p − M − a iien w c subp e-e\quad at subp 0\quad p .. ai ..$ e . notdef $ \equad; e p \quad $ . notdef $ i \quad $n S { i } e−T $ .notdef m p n e n .notdef s .notdef n e .notdef w h i \quadS subhs i .. ii s .. se comma p $ Vdash .notdef h .. e .. Vdash .notdef Vdash h .notdef .. e S sub $ e to d the\quad powerc of\ 0quad at-.notdefe \quad sub s tos the\quad powera of S − c Tch .notdef en a − n i n − y s .notdef u−.notdef hn u$ 1 p− nS .. de{ ..e .notdef-b-S ; }i S sub ˆ{ i h0 s} e ..{ Ce Vdash}$ ..s n $ v e .notdef .. Vdashb .. $ s e e .. Vdash $ .notdef .. y comma .notdef .. g $ ps \quad .notdef n .notdef a i n e i n .notdef h at − i s c − nat − $ ps− ..M− ya s ..{ Sn sub}$ zero-e i i e semicolon n SOH semicolon S sub k .. n .. d Vdash w .. Vdash .. s ..0 S-p sub e semicolon-h S .notdef − d p .notdef n nd e sn p .notdef .notdef − e.notdef i n g subw e\quad to thec power $ of. notdef 0 Vdashsm $1 ie ..\quad sh .. Vdashm \quad h .. ep .. p\quad .. Vdashn \ ..quad p .. ee ..\ Vdashquad Vdashn $ i . e notdef $ \quad s \quad .notdef h i s p h S −e .notdef −p e s−.notdef d ce s .notdef w .notdef $ .e notdef .. d .. ua $ .. a\ subquad i ..n i Vdash\quad n ..e s\ ..quad h ..i e ..$ s . .. notdef p Vdash $ i Vdash\quad hyphenw \quad Vdashh Vdash\quad Vdashi $ .. sS− ..c f period-b{ i }$ \quad Tch $s i .notdef m p .notdef $ eny\quad c n$ an− en $Se−\equad@0 pi \quad ai e S$i n−sy {,b .notdef}$ sh $ e .notdef ˆ{ u−. notdef }$ S sub 0 semicolon a n-zero slash SOH semicolon0 semicolon Vdash S k-period-SOH semicolon a sub k slash g .. c s .notdef .notdef h e S at − .notdef u n de .notdef − b − S h s e C .notdef hn s .. i .. m .. Z-p sub n comma l e-a .. nxe .. a-d sub i-os ..1 quoteright t-f-s .. ha .. er sei .. e .. u .. n n v e .notdef s e .notdef y , g W .. e .. w .. i .. s .. h t .. o .. d .. e Z-s sub n c-exclam Z-r sub n C 1 T-b .. h e i .. n-s .. w i Vdash w Vdash b a s y s S ; SOH ; S n d .notdef w .notdef s S−p S0.notdef e$ n i . notdef $ \quad zeron− $e .notdefk $ a \quad i \quad n \quad e \esemicolonquad i −\hquade n \quad $ . notdef $ ie sh .notdef h e p .notdef p e .notdef.notdef i e \quadi .. nh ..\ cquad Vdash M-s$ at sub−i n !{ n-M0 } sub$ n s C 1 $ .. c We−n .. h at ..− v. e notdef .. a .. Vdash−d { ..s e .. a m d .. y 1 ..} s$ .. e p ..\ dquad .. n .. e$ .. . s notdef .. $ e d ua a i .notdef n s h e s p .notdef i .notdef − un c nd .. h e sn \quad p \quad $ .notdefi .notdef−e . notdef $ \quad i \quad n \quad g \quad .notdef .notdef.notdef s f period − bS ; a n − zero/ SOH ;; .notdef S k − $ .Vdash notdef Vdash $ ..\quad h .. e ..h s i .. ogonek W-i c128 sub n semicolon0 to the power of i-s z c128 sub n C-i 1 semicolon s nh s \quad p \quadperiod −hSOH $ S;−ake/ g{ i c }s s. notdef i m−p $Z − epn, $l e s −.a notdefnx $a − di−\oquad’ t −cef −\quads s \quad e .. n .. w .. e Vdashha .. er M se n-g C e 1 .. du .. ebde n i n .. g $ .Vdash notdef Vdash $ M\quad sub nw by .. $ a .Vdash notdef Vdash $ a\ ..quad M-h subs i 1 m semicolon p \quad to the$ power . notdef of i-two $ .. y n\ atquad sub g-zeroc \quad Vdashn \quad n e \quad W e w i s h t o d e Z − s c − exclamZ − r T − b h e i Vdash$ S { .. ne− ..e g} .. Vdash@ { ..0 n} ..$ e .. p b\ Vdashquad ua .. i n\quad .. a-Me sub 1 semicolonn 2 s-H pw h-enC ..1 ee n−s w i .notdef w .notdef b a e n i i n c .notdef M −s !n−M We h $Vdash S { Vdashi }$ e ..\ Vdashquad ..s n\ aquad Vdash$ i .. , e .. a .notdef$ p .. p .. Vdash h ..\quad a c .. he ..\ wquad .. i Vdashn $ .notdef VdashnC1 m a k .notdef .. e .. Vdash $ v e a .notdef eadysednesuch .notdef .notdef h ..\quad i .. n ..e g .. $ s S .. a ˆ{ Vdash0 } { e } at −. notdef { s ˆ{ u } 1 }$ n \quad de \quad $ . notdef−b−S { i }$ h e s ogonekW − ic128 i−s z c128 nh e n w e .notdef M n − g h sZ sube \quad n .. HC e .. Vdash$ . notdef e .. w .. $ e M-b\quad subn nn; C v to e the\quad powernC−i1;$ ofs i-one. notdef Vdash $ Vdash\quad Vdashs e M\ subquad n .. y$ .. . a notdef Vdash $ C 1 d ebde i n g Vdash\quad ay .. M-h, \quad sub 1g semicolon to the power of i-one .. ni g-d .. e .. n .. i .. at n-M sub 1 semicolon to the power of .notdef.notdefM by a .notdef.notdef a M−h i−two n @ .notdef.notdef g-one n 1; g−zero n g .notdef n e b .notdef u n a−M s−H pw h−e ee .notdef.notdef \noindenti .. h .. as ..\ dquad i-at suby 0s k-s\quad .. eiieng$ ..S u{ Vdashzero eT−e ..} h-two; e1;2 SOH .. Vdash ; Vdash S ..{ sk ..} Vdash$ \quad i-M subn \ nquad commad e .notdef n a .notdef i e a p p .notdef a c h w i .notdef .notdef M-.notdef$ . notdef sub $ n C w 1\ i-iquad s-.notdef$ ... notdef n Vdash $ .. h\ equad .. n s \quad $ S−p { e semicolon−h } S ˆ{ 0 } { e } m a k e .notdef h i n g s a .notdef Z H e .notdef e w e . notdefy .. a Vdash $ i eVdash\quad a ..sh h i n\quad .. g-S to$ the . notdef power of $ 2 STX h \ p-Iquad t Vdashe \quad Vdashn p Vdash\quad d t-u$ c .at notdef sub 0 e $S i n\quad .. n e p \quad e \quad M − b i−one .notdef.notdef.notdefM y a .notdef.notdef a M − h i−one ni c$ w .notdef e a .. Vdash .notdef .. c hnC .. i .. $ n g i .. e Vdash n 1; g − d e n i @n − M g−one Vdash .. e c Vdash .. i .. s .. Vdash .. p ..1; y .. c Vdash as .. s .. e s .. Vdash Vdash di Vdash .. e .. Vdash .. m .. i h a d i − at k − s eiieng u .notdef eT h − two e .notdef.notdef s .notdefi − M ,M − .notdef i − i s − .notdef n .notdef h e n 0 Vdashe \quad .. pd h ..\quad i s .. mua \quad $ a { i }$ \quad i $ .notdef $n \quad s \nCquad1 h \quad e \quad s \quad p y a .notdef.notdef a h i n g − S2ST Xp − I t .notdef.notdef.notdef d t − u c @ e S i n n e c w e a .notdef c h i n g .notdef $ .notdefM sub n ! $ M sub i n $ C .notdef 1 .. g .. i .. v− .. e ...notdef s-ogonek at .notdef.. sh .. e-t .. h .notdef s0 $ \quad s \quad f $ period −b .notdef e c .notdef i s .notdef p y c .notdef as s e s .notdef.notdef S T{ ..0 h} e ..; n .. $ e .. a M-w $ n sub−zero n i n-M / sub n SOH C 1 .. i ; l n u ; .. s e .notdef$ i Z sub o-n-a nS Z p-n$k− Cperiod 1 .. s i− ..SOH nc e .. e ; .. ma a { k } di .notdef e .notdef m .notdef p h i s m M !M g i v e / $s i m g ..\quad p .. Vdashc s Z sub n e Vdash e Vdash Vdash Vdash e .. p .. e .. s ..n e ..nC n period1 S sub i sub e-semicolon a s − ogonek at sh e − t h s subs i\quad d slashi u\ toquad the powerm \quad of h-s ..$ i Z n-s−p e a{ subn i} pa c-e, $ i .. s-il .. $ s e ..− ja $ \quad nx \quad $ a−d { i−o }$ T h e n e M − w i n − M i l n u s e i Z n Z p − n \quadh .. e’ .. at $ sub t−f zero-s−s $ h-k\quad i-e .notdef-n-Mha \quad subern 1 semicolon se \quadnC 11 ..e i ..\quad s .. Vdashu \quad Vdashn ..o c− hn− ..a e .. Z-period sub n ! Z C 1 s i nc e e ma s i m p .notdef Zn e .notdef e .notdef.notdef.notdef sub i-n C to the power of one-s .. im sa pi .. n .. j .. e c Vdashh i−s \noindent W e\quad pe e\quad sw e\quad n .Si i \quadai sd \/uquad hi tn \−quads e aoi pa\quadc − edi \quads − i es $ Z−s { n } p .. Vdash Vdash .. p .. e .. Vdash Vdashe− isemicolon .. e .. s Vdash .. s .. p .. h .. e Vdash .. e .. s y s .. Vdash e m .. s .. j h e @ h − k i − e.notdef − n − M i s .notdef.notdef c h e openc−exclam parenthesis Z− 1r u ..{ nLin Z-e-qzero C− subs 1 .notdef-one} T−b $ e-e\ n-nquad o h e i 1;1\quad $ n−s $ \quad w i $ .notdef $ Z − period !Z one−s im sa pi n j e c .notdef i p .notdef.notdef p e wt $ .. .notdef$h .. e .. d .. i .. baen r .. en ..i c−nC ..i t .. Z-l sub n i-u .. nm .. d-i t-e r-o f-t Z-h-t sub n h-e-exclam Z-s-e sub n C to the .notdef.notdef i e s .notdef s p h e .notdef e s y s .notdef e m s poweri \quad of one-en \ c-periodquad c $ . notdef M−s { n } ! n−M { n C 1 }$ \quad We \quad h \quad v e \quad a \quad ( 1 u nLi Z − e − q e − en − n o t h e d i r e c t $ .L notdef e .. Z one-m $ \ iquad .. a s ..e c\ ..quad o a.notdef d \quad−one y \quad s \quad e \quad d \quad n \quad e \quad s \quad u c \quad h Z−l i−u nm d−i t−e r−o f−t Z−h−t h−e−exclamZ−s−e one−e c−period $A .notdefl .. g .. e b G .notdef eron a .. m $ T o\ e-cquad pt ampersandh \quad sube \ o-commaquad s r\nquad V-l sub$ i c-o-o ogonek .. g l ..nC W y− ui c 128 { n ; ˆ{ i−s }}$ z $ c 128 {Ln e C Z−ione − 1m i ;a s s}$ c nh e o\quad n \quad w \quad e $ . notdef $ \quad M $ n−g $ C 1A\lquad gd e\quad b G eroebde a i m nT\quado e − cg pt &o−comma r V − li c − o − o g l y u

$ .notdef .notdef M { n }$ by \quad a $ .notdef .notdef $ a \quad $ M−h { 1 ; ˆ{ i−two }}$ \quad n $ @ { g−zero } .notdef .notdef $ \quad n \quad g \quad $ . notdef $ \quad n \quad e \quad b $ .notdef $ u \quad n \quad $ a−M { 1 ; 2 } s−H $ pw $ h−e $ \quad ee $ .notdef .notdef $ e \quad $ . notdef $ \quad na $ .notdef $ i \quad e \quad a p \quad p \quad $ . notdef $ \quad a c \quad h \quad w \quad i $ .notdef .notdef $ mak \quad e \quad $ . notdef $ h \quad i \quad n \quad g \quad s \quad a $ . notdef $ $ Z { n }$ \quad H e \quad $ . notdef $ e \quad w \quad e $ M−b { n C ˆ{ i−one }} .notdef .notdef .notdef M { n }$ \quad y \quad a $ .notdef .notdef $ a \quad $ M−h { 1 ; ˆ{ i−one }}$ \quad ni $ g−d $ \quad e \quad n \quad i \quad $ @ n−M { 1 ; ˆ{ g−one }}$

\ centerline { i \quad h \quad a \quad d $ i−at { 0 } k−s $ \quad e i i e n g \quad u $ . notdef $ eT \quad $ h−two $ e \quad $ .notdef .notdef $ \quad s \quad $ . notdef i−M { n } ,M−. notdef { n C 1 } i−i s −. notdef $ \quad n $ . notdef $ \quad h e \quad n }

\ centerline {y \quad a $ .notdef .notdef $ a \quad h i n \quad $ g−S ˆ{ 2 } STX p−I $ t $ .notdef .notdef .notdef $ d $t−u $ c $ @ { 0 }$ e S i n \quad n e c w e a \quad $ . notdef $ \quad c h \quad i \quad n g \quad $ . notdef $ }

$ . notdef $ \quad e c $ .notdef $ \quad i \quad s \quad $ . notdef $ \quad p \quad y \quad c $ .notdef $ as \quad s \quad e s \quad $ .notdef .notdef $ di $ .notdef $ \quad e \quad $ . notdef $ \quad m \quad $ . notdef $ \quad p h \quad i s \quad m $ M { n } !M { n C 1 }$ \quad g \quad i \quad v \quad e \quad $ s−ogonek $ at \quad sh \quad $ e−t $ \quad h s

\noindent T \quad h e \quad n \quad e \quad $ M−w { n }$ i $ n−M { n C 1 }$ \quad i l n u \quad s e i $ Z { o−n−a }$ n Z $ p−n $ C 1 \quad s i \quad nc e \quad e \quad ma s i m \quad p \quad $ . notdef Z { n }$ e $ .notdef $ e $ .notdef .notdef . notdef $ e \quad p \quad e \quad s \quad e \quad n $ . S { i { e−semicolon }} a { i }$ d $ / u ˆ{ h−s }$ \quad i $ n−s $ e $ a { i }$ pa $ c−e $ i \quad $ s−i $ \quad s \quad j h \quad e \quad $ @ { zero−s } h−k i−e . notdef−n−M { 1 ; 1 }$ \quad i \quad s \quad $ .notdef .notdef $ \quad c h \quad e \quad $ Z−period { n } !Z { i−n C ˆ{ one−s }}$ \quad im sa pi \quad n \quad j \quad e c $ .notdef $ i p \quad $ .notdef .notdef $ \quad p \quad e \quad $ .notdef .notdef $ i \quad e \quad s $ . notdef $ \quad s \quad p \quad h \quad e $ . notdef $ \quad e \quad s y s \quad $ .notdef $ em \quad s \quad ( 1 u \quad nLi $ Z−e−q { . notdef−one } e−e n−n $ o t \quad h \quad e \quad d \quad i \quad r \quad e \quad c \quad t \quad $ Z−l { n } i−u $ \quad nm \quad $ d−i t−e r−o f−t Z−h−t { n } h−e−exclam Z−s−e { n C ˆ{ one−e }} c−period $

\noindent L e \quad Z $ one−m $ i \quad a s \quad c \quad o

\noindent $ A $ l \quad g \quad e b $ G $ ero a \quad m $ T $ o $ e−c $ pt $ \& { o−comma }$ r $ V−l { i } c−o−o $ \quad g l \quad y u 576 .... Allen Hatcher comma Karen Vogtmann and Nathalie Wahl \noindentFigure 2 :576 .. Stabilization\ h f i l l Allen by ogonek Hatcher and the , inclusion Karen Z Vogtmann sub n ! Z sub and n CNathalie 1 Wahl Proof .. i .. v .. e .. n-g sub W S to the power of k ! Z-m sub 1 a w .. p w i s .. o .. x t .. e n dt .. D to the power of\ centerline k C 1 o Z-a sub{ Figure m-one 2 : \quad Stabilization by $ ogonek $ and the inclusion $ Z { n } !Ze .. may{ n .. a ss C .. g-m 1 } e-i$ ..} s .. s .. i m .. p .. Vdash i .. Vdash .. i .. a .. Vdash .. i .. t .. h S to the power of k e-T .. h s 576 Allen Hatcher , Karen Vogtmann and Nathalie Wahl \noindentVdash ia ..Proof n .. g ..\quad u .. aFigure Vdashi \quad 2 .. : i Vdashv Stabilization\quad n .. hae \ .. byquad sogonek .. Vdash$and n− ..g n the ..{ iinclusionW .. e} VdashSZn ˆ! ..{ZnC mk 1 g} .. n!Z i .. Z− subm n-i{ s1 m} ..$ k kC1 .notdef-i-pa w \quad .notdef-sp wProof i i-n s n\ mquad i e-e v subo \ L equadn x− g tW \Squad!Z − me1 na dtw \quadp w i s$ D o ˆ{ xk t e C n dt 1 D}$ oo $ Z−a { m−one }$ M sub n SUBZ M− a subm−one n C 1 SUB M-SOH sub n SOH-C k C to the power of one-SUB be .. Vdash h .. e .. a .. Vdash\noindent .. e Vdashe e\quad .. nmay ..may a Vdash a ss\quadg e− ..m ia n e ..s− s ci Vdash\quads s u ..$ i s mg i− ..m Vdash p e−.notdefi $ \iquad.notdefs \quadi as \quad.notdefi m \quad p \quad k $ .ogonek notdef comma $i i ..\ tquad a .. h nS ..$ d .e .. notdef− cT .. hh ..s $ o.notdef\ ..quad o ..ia si ..\ nquad e T g suba u i\ a-iquad a n-n.notdef o-M-e$ . notdef subi .notdef n a-n-C $ n\ iquad C ha to thei s \ powerquad oft \quad h one-c-hyphen$ S ˆ{ k } NUL.notdefe−T h-M-s $ sub\nquad n i C-eh e i s.notdef period m g n i Zn−i s m .notdef −i−p .notdef −si−n $T ...notdef r i .. a Dn $ tom the iae power−\quadeL M ofnn kSUBM C\quad 1 gnC y1 ugSUBM c\ Vdashquad lu− n\SOH aquad i ..nSOH n ta ..− gCkC $ e . Vdashone notdef−SUB Vdashbe $ Vdash\.notdefquad Vdashih $ e.. . h notdef .. a e S to $ the powern \quad of kha .. i ..\quad.notdef a .. n-hs ge\equad c-u.notdef Vdash$ . ean notdef .. nia .notdef D $to the\quade power i nn of\ kcquad C.notdef 1 pi \uquad s i e.notdef $ . notdef ogonek, $ \aquad m g \quad n i \quad $ Z { n−i }$ s m \quad $ . notdef−i−p . notdef−s i−n $ n m $ e−e { L }$ n e .. w .. ven v period-.notdef d c h Vdash o eo D x s e .notdef-g e Tia−i period n−n n .. o− v-eM slash−ena− periodn−CiC Tone sub−c−hyphen e-zeroNULh semicolon− b sub v slash$ M .. h{ .. en b} subM SUB− vs enC ..− aei M ... y{ ..n a .. M-c C sub 1 n} CSUB 1 .. u aM ..− VdashSOH { n SOH−C k C ˆ{ one−SUB }}$ kC1 be T\quad sub 0 ..$ NT e. notdef .. Vdash r i $a .. wD h ..\ equadg ..y e-gu xec Vdash\.notdefquad Vdashla n\aquad ei e n nr ..$t e . .. notdefg ae ...notdef.notdef.notdef Vdash $ h\quad e i D toe the $ power . .notdef notdef of k C $ 1 ..\quad i e n \quad a k kC1 n$ .. . rnotdef .. i h .. $e Vdashh e \ equad ..S e Vdashii n da\quadn −ch ge $c .notdef− u.notdef $ea u \ niquadD sp i n\ equad w$ ve . notdefv period $− $h ..ogonek e .. e ...notdef n , .. $ p e\ iquad .notdef a .. pa periode \Dquad tox e then .notdef\ powerquad − ofdg. T-s\nquad 0 t-semicolonv −c e\quad / .Tbeh sub−zero\quad v-.notdef; bv/ o h\ slashquad e ..bo nv e ..\quad d ..a t ..s o\quad .. o e t-period$ T { Si sub} 0ya semicolon−i a nM− an− subcnC o 0−1 slashM−eu a period{ .notdefn v-L a− gn s− tC .. e .. i n C ˆ{ one−c−hyphen }} NUL h−M−s { n C−ei .. d i ..} p e. tT0 ..$ period-i-.notdefN e .notdef T subw 1 e semicolon-ne − g x .notdef.notdef b sub e slash commae e n Vdashr e Vdash a h b.notdef sub e-eh i r s e an .. kC1 .notdef-M sub ne C i 2D n-h .. i ..i ce ..n h ..r i .. si i nh .. h e .notdef e .notdef d h e e n p e i a T −s \noindenth .. e .. VdashT p\quad c. Vdash0rt − i ..semicolonb\ nquad .. n ..av e− f-c.notdef $ D S sub ˆ/{ 0kn semicolon C d 1 t T} sub$ o 0 gyuc g o .. st − y-TperiodS s-.notdef$.notdef$0; a0 f/. e-period v − L lnai Sg sub s e-zero-n\quad n t \quad g e semicolon$ .notdef m-a subt .notdef 0 e slash n c ito .notdef the d power p e of t .notdef T-semicolonperiod $− i\− 1quad.notdefT semicolonh \1quadsemicolon period-be sub− $nb S ee/, slashˆ{ k .notdef.notdef g} ..$ n\ fquad periodi T\ subquad 1 a \quad semicolon$ n−h $ b subgeh e $ slashbe c−−eu T-semicoloni r .notdefs e an sub $.notdef 0 semicolon ea −\quadMnC period-b2 nin − $ subh D vi ˆ{ slash ck g h C i 1 si}$ n p h nr e ..\ equad .. e ..w d Z-g\quadh sub e nve C vto.notdef the $ power periodc .notdef of− e-two.notdef sn s g e n f .notdefx .. e t ..f e− .. $cS e-n0; eDxT b0 ..g y s e ..s .notdef-a $y .notdef− T s Vdash− .notdef−g p .. . ep $ r .. n i ..\quad T −semicolon n$ .. v− ge .. i .. / s f .e − T periodS{ e−zeroe−zero−}n; m;− a b0/{ c v } / $1; period\quad− bhe/\quadg ne f $.T b1; be{/Tv }−$ e \quad a \quad y \quad a \quad $ MT−c .. h{ ..n e ..semicolon e C .. g t 1 Vdash}0;$period e\ ..quad enr− bv ..u/ ssg a ..\ r iiquad D to e the$ epower . notdef d of kZ C$− 1g VdashnCe−two .notdef-.notdefs s g e f x Vdash t i-h ie g e .. h s e .. .notdef-.notdefe ..− dn ib m .. y e ..s n ...notdef s i .. Vdash− a .notdef p ep r i n g i s kC1 \noindents .. h .. i ..$ nT comma T h{ 0 .. e b}$ y ..e\ iquad n g .. t du.notdefN c eVdash\equad .. enr i Vdash$ . ss notdef .. n ii ..D Vdash $ .notdef.notdef\ nquad .. Vdashw \quad h− ...notdef.notdefi e de ..\ iquad m .. s-e$− n ie− sg ESC $ p Vdashx $ n-D.notdef to theh poweri g .notdefe ofh k Cs $ 1e e.notdef en r−\.notdefquad e \dquad i ma e\quad n s i $.notdef .notdef$ he i $Dˆ{ k Cn Vdash1 }$ Vdash\quad ..s ci Vdash h e n i\ ..quad n n.. , Vdashr b y\quad S i to n thei du h power c\quad.notdef of ke in se $i .notdef .. . notdefdhi .. e-nn $ .. v.notdef\ ..quad ne periodne $.notdef i n .notdef 1 slashh .. $s .. di .. kC1 mh ..\ pquad l-S toe the\quade power d ie ofm\ kquad e Ts − xen hn i\ equadi ns gESC sp e ep i.notdefn a \quad− Dp $ . ˆ{ T−s } 0 t−semicolon b { v−. notdef } k / $t ..\ hquad periodn in NUL\.notdefquad 1 slashd .notdef\quad s s .. i ..t mc\quad.notdef .. p ..o e ..\quad xn .. o.notdef ..o a .. $ p t ..− S period oin s .. se s .. dhif period S e{− to0n the} v power;ne of a . S-b i{ n 00 semicolon} / k a. sub v 0− slashL $ SOH g1 s / semicolon t \ squad e-SOH-semicolonie \ mquad pn l − S-gS sube T period-ix h i sube SOHn g 1s semicolonp e t a-n h sub . i iNUL 1 1/ slashs s g .. a S−b i Z\quad sub n ..d T\ ..quadimpexoapossf h .. ep .. e Vdash t \quad .. e .. s$ Vdash period Vdash−i − ... notdef h ESC e .. b-s T Vdash{. 1 0;} sa ..0/SOHsemicolon e-n .. n a Vdash; e−−nSOH b b.. Vdash−{ e ..} n d/ , .notdefsemicolon .notdef S $− g h $b {; ae−en }$/ i r s eZ an \quadT h$ e . notdef.notdef−M {en s C 2 } .. u c .. t to the power of NUL i ..period o n ..−i tSOH 1 iNUL1 g a n n−hv ..$ e ..\quad period.notdefi T\ subquad j .notdef semicolonc \quadh bESC subh \ FS-cquade slashb i− s.notdef\ equad o 0 DC4ss i j n lesse\−quad in .. wnh ..a h.notdef FS e a rb .. e ...notdef e s .. o ..n v .. ESC .. NUL o .. t S to the powerd of u k c W-ft .. e s-ci o n t h \hquad .. e be a Vdash\quadv .. e c$ ESC .notdef.Tj; ..bFS n period−c/ $e o to c0 theDC $ power4 .notdefj < i of T-.notdef w $ \ hquad iFS semicolonen a\ rquad b e subn ESCe\quad s slash oe Vdash v $ f−ESC toc the S power{ 0 of} k h-.notdef;T { .. e0 b} subo$ ESC g t \Squad .. c ..W hs− of .. $ M-n ye−Ts sub− c sn− i-C.notdef i C-n 1 $.. n f.. d $e i ..− nperiod .. Vdash h eS .. c{ e−zero−n } ; m−a { 0 } T −.notdef h−.notdef /Vdash c ˆ{ VdashT−semicolon .. h .. e e .. b c a} Vdash.notdef1 c .. ; nc .. periodESC n e-f S sub−nb . 0{ semicolone } i /; SOHbESC $ ../.notdef g e\ SOH-semicolonquad n f $ Se . subbESC i T SOH{ c 11 semicolon} ; Tb sub{ s-zeroe } semicolon/Th o −semicolonM Vdash− nni ..− eCiC SOH-semicolon−{n10n ; } d T-miperiod n sub i−.notdef subb SOH{ vh e 1} g .. c/ W.notdef.notdef $ .. ge .. c a .. n ..h t .. g e e n-.notdef c r ESC\quad b ..e c ..\quad.notdef n .. n ..e c o\quad .. fn .. fd ..n ie $ ..− tZfS− ..g s0; ..SOH{ bn .. a ..e C rSOH ..ˆ{ ye ..−− etwosemicolonS .. n}} .. r$ .. period siSOH s g1; .. eT Ts− f hzero x ;\.notdefquad t \equad e \quad $ e−n $ b \quadSOH −ysemicolonT s \quad −$m . notdef−a . notdef $ p \quad epn r−\.notdefquad i ESC\quad n \quad g \quad i \quad s i .. n .. d .. u .. c .. t .. i o .. g o .. wi DSOH to1 theg power W of e k C 1 c period-r a n h Sa t .. v-i-gg e ane n-k d-e-w ex etrb .. ee .. na .. dr e-b cnnoffitsbaryenr.Th kC1 \noindentZ sub 1 i ....T inductiogow\ squad .... c ....h o\quad .... line-linee \quad e \quad g t $D .notdefperiod $− r e h\ Saquad venr− i −\quadg anes s \quad i i $ DT ˆ ..{ hk .. e ..Cn n− ..kd 1 a}− ..e t−.notdef c128w ex sub etr u-n .notdefn-r ee Z sub na− a-n.notdef idr l se ..− .notdef-ab .notdef Vdash ic-a−h .. $ n t i .. g i i e Vdash\quad o ih .. v-ns e ..\ equad o Vdash$ . notdef n-f ..− s. .. notdefZ i1 ..i m .. $ p ..\ Vdashquad id c s i m \quad e \quad cn \quad s o i \quad $ . notdefline − line $ s .. p .. VdashT M-.notdef h e sub n n .. a i Vdash t c128 Vdashu−n n nggn − rZ k .notdef-Ca−n i l s one-h.notdef s e ..− pa.notdef .. h .. k-e c ..− ra seisn m Vdash p Vdash\ hspace Vdash∗{\ ..f i aet l l } ..s ix\ ..i quad.notdef p .. rh M-.notdefo\quadi v subi− n\ nquad toe theon.notdefn power , \quad of− d kfb NUL ys\quad 1 i mi n p \quad.notdefdui c c s $ .notdefp $ \quadA l ..i g .. $ e .b.notdef notdef G ero a .. $M m−\ Tquad.notdef o e-cn ptn \ ampersandquadi .notdef.notdef$ sub . notdef o-comman ngg $ rk n V-l.notdef\quad sub i c-o-o−$Cone ... notdef g− l ..h ys u $e hp\quad h e d \quad i m \quad $ s−e$ nisk − e $ESC$r seis m p.notdef $.notdefp .notdef.notdef n−D ˆ{ kae C x 1 p}$ r M − .notdefndkNUL1 A l g e b G ero a m T o e − c pt &o−comma r V − li c − o − o g l y u \noindent n $ .notdef .notdef $ \quad c $ . notdef $ \quad n \quad $ . notdef S ˆ{ k }$ in se \quad dhi \quad $ e−n $ \quad v \quad ne . i n 1 / \quad s \quad i \quad m \quad p $ l−S ˆ{ k }$ eTxhiengspe t \quad h.i $NUL 1 /$ ss \quad i \quad m \quad p \quad e \quad x \quad o \quad a \quad p \quad o s \quad s \quad f $ . ˆ{ S−b } 0 ; a { 0 } / SOH ; e−SOH−semicolon S−g { period−i { SOH } 1 } ; a−n { i NUL 1 } / $ g \quad a $ Z { n }$ \quad T \quad h \quad e \quad $ . notdef $ \quad e \quad s $ . notdef . notdef $ \quad h $ ESC $ e \quad $ b−s . notdef $ s \quad $ e−n $ \quad n a $ . notdef $ b \quad $ . notdef $ \quad n d \quad u c \quad $ t ˆ{ NUL }$ i \quad o n \quad t

\noindent v \quad e \quad $ . T { j } ; b { FS−c } /$ eo $0 DC4$ j $ < $ i \quad w \quad h $ FS $ e a r \quad e \quad e s \quad o \quad v \quad $ ESC $ \quad o \quad t $ S ˆ{ k } W−f $ \quad e $ s−c $ h \quad e b a $ .notdef $ \quad c $ ESC $ \quad n $ . ˆ{ T−. notdef }$ i $ ; b { ESC } / . notdef ˆ{ h−. notdef }$ \quad e $ b { ESC }$ \quad c \quad h o \quad $ M−n { n i−C i C−n 1 }$ \quad n \quad d i \quad n \quad $ .notdef $ h e \quad c $ .notdef .notdef $ \quad h \quad e \quad c $ .notdef $ c \quad n \quad n $ e−f S { 0 } ; SOH $ \quad e $ SOH−semicolon S { i } SOH 1 ; T { s−zero } ; . notdef $ \quad e $ SOH−semicolon T−m { i { SOH } 1 }$ g \quad W \quad e \quad c a \quad n \quad t \quad g e $ n−. notdef $ $ ESC $ b \quad c \quad n \quad n \quad o \quad f \quad f \quad i \quad t \quad s \quad b \quad a \quad r \quad y \quad e \quad n \quad r \quad . \quad T h

\noindent i \quad n \quad d \quad u \quad c \quad t \quad i o \quad g o \quad w $ D ˆ{ k C 1 } period−r $ h Sa \quad $ v−i−g $ ane $ n−k d−e−w $ ex e t r \quad ee \quad na \quad dr $ e−b $

\noindent $ Z { 1 }$ i \ h f i l l s \ h f i l l c \ h f i l l o \ h f i l l $ l i n e −l i n e $

\noindent T \quad h \quad e \quad n \quad a \quad t $ c 128 { u−n } n−r Z { a−n }$ i l s \quad $ . notdef−a . notdef c−a $ \quad n t \quad i i $ .notdef$ o i \quad $ v−n $ \quad eo $ .notdef n−f $ \quad s \quad i \quad m \quad p \quad $ . notdef $ i c s \quad p \quad $ . notdef M−. notdef { n }$ \quad i $ .notdef .notdef $ n ngg k $ . notdef−C one−h $ s e \quad p \quad h \quad $ k−e $ \quad r seis m $ .notdef $ p $ .notdef .notdef $ \quad ae \quad x \quad p \quad r $ M−. notdef { n ˆ{ d } k NUL 1 }$

\noindent $ A $ l \quad g \quad e b $ G $ ero a \quad m $ T $ o $ e−c $ pt $ \& { o−comma }$ r $ V−l { i } c−o−o $ \quad g l \quad y u Erratum to : Homology stabili t-y for outer automorphism groups .... 577 \noindenti .. two-t k-h-CErratum 2 n .. to e .. : w Homology .. p .. u .. n stabili .. Vdash .. $ t t ..− uy at $ sub for 0 .. outer e at sub automorphism s s 1 comma y .. groups e n a .. Vdash\ h f i l lc 577 h-comma a n-j .. a i n i \Vdashquad ..$ n ..two Vdash−t g k ..−h u− ..C Vdash 2 $ a Vdash n \quad i Vdashe \ nquad .. s ..w a\ Vdashquad ..p e\ ..quad d i ..u e\ ..quad c128 subn \ nquad .notdef-n$ . p-Z notdef $ sub\quad n h-it s-i\quad .. c periodu $ .. @ hp e-a{ 0 Vdash}$ a\ cbquad Vdashe $ @ { s }$ s 1 , y \quad e n a \quad $ . notdef $ cs $ .. h t− ..comma a .. bErratum $ ogonek a to comma-i $ : n− Homologyj $ i-l ..\quad nstabili .. zta ..t − i ahy n ..for te outer .. i so automorphism g-e two-n c128-n groups sub n ts .. he .. et ..577 h-f .. oa .. lt lfoo$ wr . notdef $ i\quadtwo−nt\ kquad−h−C2$n . notdef e w $ p g \ uquad n u .notdef\quad $t .notdef u @0 $e @ as s 1 $, .notdef $ iLine $ .notdef 1 Z suby n $ ge NUL nn \aquad Z sub.notdefs n-NUL\quadc h Line−commaa 2 $question-y .a notdefn−j y-questiona $ i n\quad.notdef Linee 3\ Znquad sub.notdef nd C i 1 ogonek\gquad u ge.notdef slash-period\quad $ NUL c 128 { n } Z-NUL. notdef sub−n n C-NULa p−.notdefZ 1{ ni .notdef} h−in s s−i a $.notdef\quadec d . i\quad e c128hpn $.notdef e−a−np .notdef−Znh−i $ s a−i cb $ .notdef $ s h\quad .. s .. Vdasht \quadc . .. h hp ea ..\e dquad− ia.notdef .. Vdashb $a e ogonekcb .. c128.notdef subs comma1 .. i t ..− si ia Z one-g i− blogonekcomma $.. T\ ..quad h .. pn s−\ ..iquad a i..− tl izt o ..n\quad i .. zt s ..ah a l\ squad .. k te \quad i so notdef$ g−e two−ahn c128 te−n i so{ gn−}etwo$ t− snc\128quad− nhen ts\quad heet et\quadh − f$ hoa−f $ lt\ lfooquad wroa \quad l t l f o o wr s .. i .. m .. p .. l .. k-i period Z g Z \ [ \Fbegin .. o ..{ ra .. l i gt n .. e h d } c128Z sub{ one-en } ..g n Z{ subNUL c-one} ..Z t h{ en i− sNUL o a n-b}\\n i ..NUL o i f-z en r−NUL .. o .. f a .. i mp .. x i n .. cl questione rm u .. t− ..y t h y..− equestion .. e rt .. ic\\ e s .. o .. he .. i .. p .. e ..question comma s− U-oy sub y − t-onequestion o D c129-a v Z sub one-period Z { n C 1 } ogonek g slash −period { NUL } Z−NUL { n C−NUL 1 }\end{ a l i g n e d }\ ] slash comma-d .. t t ZnC1 ogonekgslash − periodNUL Z − NULnC−NUL1 o .. p .. l e .. k-x sub notdef Vdash s i .. s-m .. e p .. i .. Vdash .. e .. s .. a .. r e .. a .. Vdash Vdash k-t sub h s .notdef h e d i .notdef e c128 i s i one − g T h p s notdef hs ei .. ms 1 Z a t i o i s a l s notdef k − i. h \Zquad sub 1s ..\ Nquad o .. e ..$ U-h . notdef sub 1 .. $ t h\ equad ..k i r eh .. e t l\s ..quad mi i t ..d m U i sub\quad p n h D l $ c129 . notdef Z sub n-period $ e \ slashquad period$ c p 128 T .. { 1 }$ c128 n Z h e s a n − b i i f − z e r x\quad e-e .. hi \quadFs oi Z r $ one t−g h $ \quadone−e T \quadc−oneh \tquad i p so \quad a \quado t i o \quad i \quad s \quad a l s \quad k $ notdefU sub 1 .. $ t ro .. v f .. a i .. i Z-l mp sub x 1 i ian n .. cl e r .. via l .. h .. om .. l .. og y .. c128 sub T-one e-n a-Z sub one-c o-d u-n e rm u t t h e e rt ic e s o he i p e , s U − o o s n\ ..quad a c ..i t\ iquad .. U-nm sub\quad 1 .. Tp .. h\quad e .. q ul o\ ..quad U sub 1$ = k− ni c128-t-one . $ .. c .. o n .. c .. t .. lt− ..one e .. i ..D ei .. t c129 − a v Z /comma − d t k − x s − m h e q u o t U-i sub n = none sub−period t-n c128-s n .. d Vdasht .. o h e p .. s .. l e e .. q .. unotdef.notdef Vdash Vdashs i .. i .. e .. n .. s .. a .notdef .notdef .notdef k − t Vdash\noindent .. e .. cF Vdashe\quad p m io b i\ ..quad n r \quade st \quad a rh e $ ac 128 { one−e }$ \quadnotdefnhs $ Z ei { c−one }$ Z N o e U − h t h e i r e t l mi t U h c129Z /. p \quadW subtn h = e ..ms i n s c128-i o1 a .. $n .. n− tb .. $ h .. i e\ ..1quad p r ..o o .. i open $ f square−z $ bracket e r \n 2quad bracketright-oD o \quadn−period subf acomma\quadT .. fwi mp o h fi\quad x i n \quad c l x e − e period n-T NUL 2 slash-h-hh endash e w-c .. o e-o .. r n U t r v i Z − l ian e r via l h om l og y c128 e − na − Z o − du − n e rmT .. u1 h\ ..quad e .. s ..t t\ ..quad a .. bt .. h1 i ..\quad l .. i ..e z ..\quad e c128e sub r t n-r\quad .. n Ui sub c e n i-f s ..\quad sT − aone a v-co \ .notdef-c128quad heone\− subquadc n NULi \quad 1 to p \quad e \quad , s n a c t i U − n T h e q u o U = n c128 − t − one c o n c t l e i ei t the$ U− powero { oft 0− rone Vdash}$ c128-t o1 D sub $ n c129 NUL− one-ea $ i v x n-c1281 $ Z sub{ one n −period } / comma−d $ \quad t t h e q u o t U − i = n c128 − s n d .notdef h e s e q u .notdef.notdef o n\quad .. d ..p h ..\quad e .. i ..l n e c\ Vdashquadn ..$ ut s k−− ..nx i Vdash{ notdef .. n .. Vdash .notdef Vdash} Vdash$ s h-SYN i \quad i period$ s s-DC1−m $ T\ hquad Vdashe e p \quad i \quad i e n s a .notdef e c .notdef m b i n W = n c128 − i SYN-b$ . notdef m .. a-DC1 $ \quad s p-i sube \ iquad e .. d-.notdefs \quad i-u sa ..\ .notdef-equad r h e \quad a n\quad $ .notdefn t .notdef h k−t { notdef }$ [2bracketright − o .n − TNUL2slash − h − h w − c hso e .. i u\ ..quad r .. Vdashmse p p r .. u ..o n .. c .. t .. u M-r sub, n bfw d-y o .. h a fi 3 Vdash notdef-.notdef a .. p h– h e i e n .. g .. Vdash e − o t w$ o Z .. Vdash{ 1 } ..o$ i ..\ squad .. b-atrN n sub o 0\quad .. un e \quad $ U−h { 1 }$ \quad t h e \quad i r e \quad t l \quad mi t \quad c128 n U i − f s a $ Uat sub{ n s NUL}$Thestabilize 1 h .. D A .. $ s c .. 129 in .. Vdash Z { ..n h− ..period e-ogonek} comma/ .c .. $ a s p .. T e e\quad ..n− Vdashr x e $..n i e− ..e s .. $ a ..\aquad n .. a ..h l .. t v − c.notdef − c1280 .notdefc128 − t i n − c128 .. e-SYN DC1 n .. a bt .. iivn e nNUL1 r nNULone−e x n n d h e i n c .notdef u s i .notdef n .notdef.notdef.notdef h − \ centerlineg .. l .. i .. n{ ..$ g U .. t{ .. Vdash1 }$ ..\ iquad .. c .. et .. r Vdash\quad M-pv sub\quad n byi .. a\quad c Vdash$ t VdashZ−l { u-a1 ..} r$ h .. ian i d n\ 3quad g notdefe r \quad via l \quad h \quad om \quad l \quad og y \quad SYN i .s − DC1 .notdef SYN − b a − DC1 p − i e d − .notdef i − u i-s$c Vdash 128 p{ sT h− bone e at} sube u-zero−nT a− hZ { one−ec } o−dm u−n $ } s i s .notdef − e h .notdef M − r b d − y a .. n-at sub s NUL one-d .. a ..o l .. o u .. n .. r g F .. d-i g-ip closing u parenthesis n c t u n a 3.notdefnotdef − .notdef a h i n g .notdef w .notdef i s \ centerlineF .. i .. g ..{ un ..\ rquad .. e ..a 3 SYN c \quad w-C-DC1t i ogonek-o\quadp h$ U−en { 1 }$ \quadt To\quad h e \quad q u o \quad b − at un @ A s in .notdef h e − ogonek, c a s e .notdef $ UA l{ .. g1 ..} e ..= G $ ero0 n a .. $ m c128 TsNUL o− e-c1t− ptone ampersand $ \quad sub o-commac \quad ro V-l n sub\quad i c-o-oc ..\quad g l .. yt ue \quad l \quad e \quad i \quad e i \quad t } e i s a n a l t e − SYNDC1 n a bt iivn e g l i h e q u o tn $ U− gi t{ n .notdef} =i n { ct− en } .notdefMc128−s− $pn nby\quad a c .notdefd $ .t notdef.notdefu $ −\aquad h e \quad s \quad e \quad q \quad u $ .notdefr .notdefh i d $n 3\quadg notdefi \quad i − s.notdefe \quadp sn h\quadb e @su−\zeroquada an $− at . notdefsNULone− $d \aquad e \quad c $ .notdef $l mb o i \ nquad g Fn d − i g − i) $ W { n } = $ \quadFn i g $ c128 u− ri e $ 3\quadSY Nn w\quad− C −tDC\quad1 ogonekh \quad− o e \quad p r \quad o \quad $ [ 2 bracketrightA l g e−o G {ero, a}$ m\quadT o efw− c opt h&o f− icomma $ .r V n−−Tli c NUL− o − o 2g l slash y u −h−h $ −− e $ w−c $ \quad o $ e−o $ \quad r n

\noindent T \quad h \quad e \quad s \quad t \quad a \quad b \quad i \quad l \quad i \quad z \quad e $ c 128 { n−r }$ \quad n $ U { n } i−f $ \quad s a a $ v−c . notdef−c 128 ˆ{ 0 } { n NUL 1 }$ r $ .notdef c128−t { n NUL one−e }$ i x $ n−c 128 { n }$ n \quad d \quad h \quad e \quad i \quad n c $ .notdef $ \quad u s \quad i $ . notdef $ \quad n \quad $ .notdef .notdef .notdef h−SYN $ i $ . s−DC1 $ Th $ .notdef $ e $ SYN−b $ m \quad $ a−DC1 $ s $ p−i { i }$ e \quad $ d−. notdef i−u $ s \quad $ . notdef−e $ h o \quad u \quad r \quad $ . notdef $ p \quad u \quad n \quad c \quad t \quad u $ M−r { n }$ b $ d−y $ \quad a $3 .notdef notdef −. notdef $ a \quad p h h i e n \quad g \quad $ .notdef $ two \quad $ . notdef $ \quad i \quad s \quad $ b−at { 0 }$ \quad un $ @ { s NUL 1 }$ \quad A \quad s \quad in \quad $ . notdef $ \quad h \quad $ e−ogonek , $ c \quad a s \quad e e \quad $ . notdef $ e \quad i \quad s \quad a \quad n \quad a \quad l \quad t \quad $ e−SYN DC1 $ n \quad a bt \quad i i v n e g \quad l \quad i \quad n \quad g \quad t \quad $ . notdef $ \quad i \quad c \quad e \quad $ . notdef M−p { n }$ by \quad ac $ .notdef $ t $ .notdef u−a $ \quad r h \quad i d n 3 g $ notdef i−s .notdef$ pshbe $@ { u−zero }$ a \quad $ n−at { s NUL one−d }$ \quad a \quad l \quad o \quad n \quad g F \quad $ d−i g−i ) $

\ centerline {F \quad i \quad g \quad u \quad r \quad e \quad $ 3 SYN w−C−DC1 ogonek−o $ }

\noindent $ A $ l \quad g \quad e \quad $ G $ ero a \quad m $ T $ o $ e−c $ pt $ \& { o−comma }$ r $ V−l { i } c−o−o $ \quad g l \quad y u 578 .. Allen Hatcher comma Karen Vogtmann and Nathalie Wahl \noindenth .. i .. s ..578 a .. l\quad .. t .. eAllen .. r .. n Hatcher SYN a DC1 , t-a Karen i .. e Vogtmann.. s e .. d t .. and c-SYN Nathalie s DC1 .. cWahl a-m sub r r i t p th a-ogonek commah \quad t g oi i-i\ nquad s \quad a \quad l \quad t \quad e \quad r \quad n $ SYN $ a $ DC1 t−ac .. $ o .. i m\quad .. m ..e u\ tquad s e \quad d t \quad $ c−SYN $ s $ DC1 $ \quad c $ a−m { r }$ r iLine t p 1 c128 th sub $ a− nogonek NUL 1 to the ,$ power tgo of 0 ogonek $i−i NUL $ c128 n sub n NUL ogonek exclam-NUL c128-NUL sub n C-NUL 1 to the578 powerAllen of 0 Hatcher ogonek NUL-exclam , Karen Vogtmann NUL-c128 and Nathalie sub n NUL-C Wahl 2 h to the i power s a of 0 l ogonek t exclam-NUL e colon-NUL\noindent Linec r\ 2quad question-question n SYNo \quada DCm1 y\t quad− SYNa i question-questionm e\quad s eu t d yt SYNc − question-questionSYN s DC1 yc SYNa − m question-questionr r i t y SYN : Line 3 c128p subth na ogonek− ogonek, NULt NUL-c128 g o i − i subn n NUL-C 1 ogonek exclam-NUL c128-NUL sub n C-NUL 2 ogonek NUL-exclam\ [ \ begin { a NUL-c128 l i gc n e d o} subc 128 m n NUL-C ˆ{ m0 3} u ogonek{ t n exclam-NUL NUL 1 } colon-NULogonek { NUL } c 128 { n } NUL ogonek { exclam−NUL } c128h− ..NUL n .. t ˆ ..{ h0 ..} e{ .. c128n sub C−NUL one-i m 1 n} U subogonek t-one{ ..NUL a h− c-eexclam i n i c} l-o uNUL n s− ic f 128 n .. oˆ{ f a0 ..} e ..{ rn .. te NUL .. s−C 2 } ogonek { exclam−NUL } colon−NUL \\ im .. it .. SYN .. W DC1-c1280 sub 1 to the power of 0 ! c128 sub 1 .. S i mi l a r .. y .. r .. s ta b0 i li .. z e .. r .. 0 c128 ogonekNUL c128nNUL ogonekexclam − NUL c128 − NUL ogonekNUL − exclam NUL − c128 ogonekexclam − NUL colon − NUL ofquestion .. h i −question { nNULy } 1 SYN question −question { y } SYN question −questionnC−{NULy 1} SYN nNUL−C2 questiont .. h ..− equestion .. i .. n ..{ c ..y l} .. uSYN .. s .. i .. : o\\ .. n SYN s-period question − questionySY N question − questionySY N question − questionySY N question − questionySY N : c 128 { n } ogonek { NUL } NUL−c 128 { n NUL−C 1 } ogonek { exclam−NUL } c128−NUL { n W .. e .. c ..c a128 .. n ..ogonekNUL n .. o .. w .. u NUL .. s ..− ec ..128 tnNUL .. h ..−C e1 .. eogonekexclam .. q .. u .. i v− ..NUL a .. r .. c i128 − NULnC−NUL2 ogonekNUL − exclam NUL − c128nNUL−C3 ogonekexclam − NUL colon − NUL C−NULc128 sub 2 1} oogonek .. U-n sub{ NUL 1 t ..−exclam o .. p } NUL−c 128 { n NUL−C 3 } ogonek { exclam−NUL } colon−NUL \end{ a l i g n e d }\ ] hT .. hn .. e t .. T-o h r-h e periodc128 m-mone−i SYNm n subUt ETX−one Wa DC1-H-ah c − e subi n i periodc l − o tou then powers i f n of p-slash o f a sub e c128-one r te to s 0 the power of 0 slashim ! H sub it i periodSYN one-c128W DC slash1 − c i128 .. s1! ..c128 a ..1 n ..S i i mi .. ls a .. r o .. y s-m r NAK s ta o-two b i li sub z period e r \ centerlineA .. s .. e ..{ xofh ..\ pquad h .. i a ..n i\ ..quad n t \quad h \quad e \quad $ c 128 { one−i }$ m n $ U { t−one }$ \quadC ....a o h.... r $ ....theinclusion c− T-oe $ .... hi l n SYN i c ETX-a $ l− Wo m-H-r $ u sub n s i period i f n to\ thequad powerSYo N off y-aa s −\ subquadperiod n semicoloneW\quad e tor the c\quad powerte of \quad s } c128-s to the powerannowusetheequivari of slash-p ! H sub i period .... n semicolon to the power of c128-s C 1 slash .... s .... a n i s o m .... \ hspace ∗{\ f i l l }im \quad i t \quad $ SYN $ \quad W $ DC1−c 128 ˆ{ 0 } { 1 } ! c 128 { 1 }$ o n NAK 2 .... Cc128 2 1 o U − n1 t o p \quad S i mi l a r \quad y \quad r \quad s ta b i l i \quad zp− eslash\quad0 r \quad o f \quad h i a .. n-s NAKT 1 period h e T −o r−h e . m−mSY NETX W DC1−H−ai. c128−one/!Hi. one− P .... r .... o ....c128 o/ ....i f .... s o .... a T-f h-t n .... hei .... s e p tr o .... hos ....− mNAKo eo o f ....− rtwo p ..... e-i r m T-o .... c h .... e e .... e e\noindent .... d Vdasht s uA\quad sh e\quad xe p\quad ai i\quad n n \quad c \quad l \quad u \quad s \quad i \quad o \quad n $ SYN s−period $ y−a slash−p c128−s o .. g .. y .. sC .. po .. r e ..T c− o h l SYNETX − a W m − H − ri.n;c128−s !Hi. n ; C 1 / s WE\quad sub p semicolone \quada n i sqc o to\ mquad the powera \quad of 1 Dn M\ Hquad sub qn period\ oquad n NAK s ..o t\2quad periodw p to\quad the poweru \quad of a-slashs C\quad 2ESC slash-b-e \quad t \quad h \quad e \quad e \quad q \quad u \quad i v \quad a \quad r \quad i parenright H-e suba p Cn q− periodsNAK U1. sub 1 slash \noindentESC sub p $P c 128 r o o{ f1 o}$T − of\quad h − t he$ e U− pn tr{ ho1 eo}$ o f t r\ pquade − ior\ mquadT −po c h e e e e h .. e f ESC subd .notdef p g .. ss .. u a .. c .. Vdash .. e .. s .. e t .. o .. f .. r p-b notdef i t-s .. i r m .. p-p U .notdef-one e T\noindent .. .notdef-hT o\quad gh y\quad se p\quad e c$ T−o r−h $ e $ . m−m SYN { ETX }$ W $ DC1−H−a { i } . ˆ{ p−s l a s h }ˆ{ 0 }1 { c128−one } /!Ha−slashESC { i } . one−c 128 / $ i \quad s \quad a \quad n \quad i \quad s \quad o \quad d .. i .. f .. f d to theE powerp;q DM of 1H e-Wq. s E sub t r-zero.p sub semicolonslash − ib to− parenrightH the power of− 1 !epCq E sub.U1/ NUL 1 semicolon to the$ s− powerm ofNAK i-t to theo−two power{ of. 1 i}$ .. is .. atl SYN-h .. W DC1-c128 sub 1 to the power of 0 m c128 sub one-a w-p .. e .. a .. r .. e ESCp \noindentT .. h-j toA the\quad powers of\ tquad h-r-e oe ..\ wquad .. o E-fx \ toquad the powerp \quad of 1 pa a-h\quad e-g .. ei ..\ Vdashquad n Vdash .. h .. e .. s .. p .. e h e f ESC g s a c .notdef e s e t o f r .. c Vdash Vdash a Vdash .. s .. e .. q .. ue ..p n .. c \noindent C p\ −h fbnotdef i l l o \i ht f− i ls l ri r\ mh f i l lp −$p TU−o.notdef $ \ h− fone i l l ehT l $.notdef SYN− h ETX−a $ W $ m−H−r { i } h .. e .. h .. Vdash m .. Vdash1 Vdash ..1 g y .. Vdash1 U sub 1 h-equal c128-one-e q i t Vdash h Vdash0 l i .. e-c a n d i f f d e − WE !E i−t i is atl SYN − h W DC1 − c128 l. c ˆ ..{ oy ..− ea ..} Vdash{ n .. i ; .. ˆ en{ tc128 .. n− ..s t }}ˆr{−zeroslash;i NUL−p 1;} !H { i } . $ \ h f i l l n $ ;1 ˆ{ c128−s }$ m c128 w − p e a r e C 1H / sub\ h j period f i l l s s ..\ h t periodfone i l− l a a p nto thei s power o m of\ h a-slash f i l l o ESC n period $ NAK slash 2E .. $ c ..\ h f .. i l f l ..C c .. 2 o f .. ESC sub p h-i s-e T h − jt h − r − e o w o E − f 1 p a − h e − g e .notdef.notdef h e s b-e .. q .. h-u sub a-ESC sub p-n to the power of Vdash d-one .. a Vdash Vdash .. s .. ESC sub p e 1 p e c .notdef .notdef a .notdef s e q ue n c h e h .notdef \noindentn d .. s ..a e ..\quad e h 2 c128$ n sub−s 1 e NAK .. n n .. 1 he c.. . or $ .. r .. e s po n .. d .. i d to the power of 1 .. te .. p .. i o s .. m .notdef.notdef g y .notdef U h − equal c128 − one − e q i t .notdef h .notdef .notdef-t h 1 l i e − c a n l c o e .notdef i en t n t H . s t .pa−slashESC ./ E \noindenth sub ETXP W\ h H f isub l l jr period\ h f i s l l ..o t period\ h f i l p l too the\ h power f i l l f of\ a-slashh f i l l ESCo j\ !h H f i sub l l j period$ T−f s .. h t− periodt $ p\ h to f ithe l l he \ h f i l l e p t r \ h f i l l ho \ h f i l l eo o f \ h f i l l r p \ h f i l l $ e−i $ r mc $ h T−o f $ c\ h f io l fl cESC h \ ph f ih l− l ie s e−\eh fb i− l le eq e \hh− fu i la− l ESCd $.notdefd .notdef−one $a su power of a 1 slash b .. slash n .. e .. d .. b .. y .. c h .. n F j u-less i .. a t m-i p−n .notdef .notdef s ESC e 1 a .. s .. s .. u .. m .. e .. b .. y .. i .. NULp sub n .. d u .. Vdash .. t .. i Vdash .. n .. t .. h .. a .. t .. t .. h n d s e e h 2c128 e n n he c or r e s po n d i d1 te p \noindenti .. s o .. mo \quad g \quad y \quad s1 \quad p \quad e \quad c i o s .notdef − t h h W H . s t .pa−slashESC !H . s t .pa1/ b / n e H sub j period s .. t period p to theETX power of a-slashj ESC h NUL ETX H-NULj sub j period-NUL s .. ! period p to d b y c h n F j u − less i a t m − i a s s u m e b the\ centerline power of a 1{ slash$ E b ˆ{ 1 } { p ; q }$ D M $ H { q } . $ s \quad t $ . p ˆ{ a−s l a s h ESC } slash −yb−parenright i NULn d H u−e .notdef{ p Ct q i }.notdef.Un{ t1 } h/ $ a} t t h Line 1 question-question-yi s o m y-question-question Line 2 H sub j period one-c128 slash h NUL ETX H-NUL sub j period ! sub one-c128 slash H . s t .pa−slashESC h ETXH − NUL period − NUL s !.pa1/ b \ [A ESC l .. g{ ..p e ..}\ G] eroj a .. m T o e-c pt ampersandNUL comma r l-V sub ij o-o .. g l .. u-y question − question − y y − question − question

\ hspace ∗{\ f i l l }h \quad eH fj. $ one ESC− c128{ p/} h$NUL gETXH\quad s− NUL\quadj.!onea −\cquad128/ c \quad $ . notdef $ \quad e \quad s \quad e t \quad o \quad f \quad r $ p−b notdef$ i $t−s $ \quad i r m \quad A l g e G ero a m T o e − c pt &, r l − Vi o − o g l u − y $ p−p $ U $ .notdef−one $ e T \quad $ . notdef−h $

\noindent d \quad i \quad f \quad f $ d ˆ{ 1 } e−W E ˆ{ 1 } { r−zero { ; } i } ! E ˆ{ 1 } { NUL 1 ; ˆ{ i−t }}$ i \quad i s \quad a t l $ SYN−h $ \quad W $ DC1−c 128 ˆ{ 0 } { 1 }$ m $ c 128 { one−a } w−p $ \quad e \quad a \quad r \quad e

\noindent T \quad $ h−j ˆ{ t } h−r−e $ o \quad w \quad o $ E−f ˆ{ 1 }$ p $ a−h e−g $ \quad e \quad $ .notdef .notdef $ \quad h \quad e \quad s \quad p \quad e \quad c $ .notdef .notdef $ a $ .notdef $ \quad s \quad e \quad q \quad ue \quad n \quad c h \quad e \quad h \quad $ . notdef $ m \quad $ .notdef .notdef $ \quad g y \quad $ . notdef U { 1 } h−equal c128−one−e$ qi t $.notdef$ h $.notdef$ l i \quad $ e−c $ a n l c \quad o \quad e \quad $ . notdef $ \quad i \quad en t \quad n \quad t $ H { j } . $ s \quad t $ . p ˆ{ a−s l a s h ESC } . / $ E \quad c \quad h \quad f \quad c \quad o f \quad $ ESC { p } h−i s−e b−e $ \quad q \quad $ h−u { a−ESC { p−n ˆ{ . notdef d−one }}}$ \quad a $ .notdef .notdef $ \quad s \quad $ ESC { p }$ e 1 n d \quad s \quad e \quad e h $ 2 c 128 { 1 }$ e \quad n n \quad he c \quad or \quad r \quad e s po n \quad d \quad i $ d ˆ{ 1 }$ \quad te \quad p \quad i o s \quad $ . notdef−t $ h $ h { ETX }$ W $ H { j } . $ s \quad t $ . p ˆ{ a−s l a s h ESC } !H { j } . $ s \quad t $ . p ˆ{ a } 1 / $ b \quad / n \quad e \quad d \quad b \quad y \quad c h \quad n F j $ u−l e s s $ i \quad a t $ m−i $ a \quad s \quad s \quad u \quad m \quad e \quad b \quad y \quad i \quad $ NUL { n }$ \quad d u \quad $ . notdef $ \quad t \quad i $ . notdef $ \quad n \quad t \quad h \quad a \quad t \quad t \quad h

\noindent i \quad s o \quad m

\ centerline { $ H { j } . $ s \quad t $ . p ˆ{ a−s l a s h ESC } h { NUL } ETX H−NUL { j } period−NUL $ s \quad $ ! . p ˆ{ a } 1 / $ b }

\ [ \ begin { a l i g n e d } question −question −y y−question −question \\ H { j } . one−c 128 / h { NUL } ETX H−NUL { j } .! { one−c 128 } / \end{ a l i g n e d }\ ]

\noindent $ A $ l \quad g \quad e \quad $ G $ ero a \quad m $ T $ o $ e−c $ pt $ \& , $ r $ l−V { i } o−o $ \quad g l \quad $ u−y $ Erratum to : Homology stabili t-y for outer automorphism groups .... 579 \noindentT .... h ....Erratum e .... h sub to ETX : Homology .... o .... w .... stabili e i s r .... $ g t....−y m $ .... fors t h eouter .... d e automorphism .... t i .... y s i .... groups c e .... it\ h i s f i l l 579 f c128 sub 1 .. T .. h .. s .. he .. l .. o c a l .. o .. ef Vdash .. i e n .. t .. s y st em .. i s t r .. ia l \noindentr .. e .. a ..T s\ ..h o fi .. ll n ..h i\ ..h n f i.. ll g ..e t\ ..h h-bracketleft f i l l $ h sub{ ETX 3 comma}$ a\ Sh t f .. i l e l co c closing\ h f i l lsquarew \ h bracket f i l l e period i s a r \ h f i l l g \ h f i l l m \ h f i l l s t h e \ h f i l l d e \ h f i l l t i \ h f i l l y s i \ h f i l l c e \ h f i l l i t i s S .... i .... n .... c .... e .... t .... h .... e .... q .... u .... o .... t .... i .... e .... n .... t .... h .... E-a to the power of 1 p-s\ centerline a t g r e i ....{Erratumf e-v $ c 128 to : Homology{ 1 }$ stabili\quadt −Ty \forquad outerh automorphism\quad s \quad groupshe \quad l \quad579o c a l \quad o \quad e f $ .i notdef to the power $ T\ ofquad t h r-h e oi .... ehETX w n ....\quad i ....o st w ....\quad z e ....i s ers .... yg r s o t .... m em period\ squad t h e.... Ti d h se e t .... t r i s\ pquad y.... s i e ....i a c ce l ....} it t i .... s r .... a .... U sub s-one ....f c128 e ....1 q ....T o h u n e s .... he n .... l c .... o e-tc a l o ef .notdef i e n t s y st em i s t r ia l \noindente .. o .. l ..r yr\quad d i fe ..e f a e\ ..quad n s ti ..a o al\quad .. n w ..s i ..\quad t n E sub go NUL\quad t 1 semicolonhn−\bracketleftquad toi the\3quad, powera S tn of\ i-cquad e toc c the ]g . power\ aquad oft 1 i\quad .. 1 s-d$ h 1− cbracketleft D SYN oSincethequotienth comma{ DC13 } k-p, .. $ r .. a o ..S i t v\ ..quad g i .. ne g c c ] . a E − a p − s a t g r e i e − v t m .. u .. s ..i t r − h owiszero. Thespectra Us−one e q o u n e n c e − t \noindent S \ h fe i l l oi \ lh f iy l d l i fn \ fh e f i l ln tic \ alh f i l w l e i\ h ft i l l1 t \ h fi i l l h \ hc f i l l e \ ho f i l l q \ h f i l l u \ h f i l l o \ h f i l l t \ h f i l l i \ h f i l l e \ h f i l l n \ h f i l l t \ h f i l l h \ h f i l l T .... o .... fi .... n .... i .... s .... h .... t .... h .... e .... i .... n-SYN ....ENUL d DC11;i−c s u ....s − id c1 ....D t f iSYN c o t n a n w i-H sub$ E− ia e period-s ˆ{ 1 } 0,DC c128-o-onep−1sk − $p a tor t the g o power r ei ofvi n-slash\ hg f ii l l period n$ g e−v $ i .. SYN c ..m DC1-e u s .. s s .. rt .. j e-H sub i period c sub one-c128 to the power of 0 slash comma i-v .. iosn a .. l .. \noindent $ i ˆ{ t } r−h $ o \ h f i l l w \ h f i l l i \ h f i l l s \ h f i l l z \ h f i l l e \ h f i l l r o \ h f i l l . \ h f i l l T h e \ h f i l l s p \ h f i l l e \ h f i l l c \ h f i l l t \ h f i l l r \ h f i l l a \ h f i l l s .. o s H-u sub iT period o fi rn sub i n s NUL h t 1 h semicolon e i n − sSYN to thed powerDC1 ofsu 0 slash ic ! tficotnanw H sub i period v-n subi − semicolonHi e c128-s slash$ U { s−oneperiod}$ −\ hs f i0 lc l128e −\ oh− f ione l l nq−slash\ h f. i l l o u n e \ h f i l l n \ h f i l l c \ h f i l l $ e−t $ 0 o .. r .. n s-a .. ri i ogonekSYN e-nc ..DC s ..1 e− ..e ns i .. s s o .. r m H-o j e − subHi i.c rone Vdash−c128/, Vdash i − hv Vdashiosn .. a n .. l g m s T e o h n .. \ hspace ∗{\ f i l l }e \quad0 o \quad l \quad y d i f \quad f e \quad n t i \quad a l \quad w \quad i \quad t e-SYN ETX W Ho subs H i-e− periodui.rnNUL .notdef-n1;s/!Hi. sub v − semicolonn;c128 − c128-ss/ NUL 1 slash ! $ EH ˆ sub{ 1 i period} { NUL .. n semicolon 1 ; to ˆ{ thei− powerc }}o of$ c128-s r i \quad n slashs − ..a$ s .. sr− ud i ..ogoneke r .. 1$ j .. e− cD ..n c ..s n$SYN$ .. e a-v .. n e i no f o s $, .. o r h .. DC1 l e a k−p $ \quad r \quad o \quad i v \quad g i \quad n g n .. g-.notdef .. em .. aH ogonek− oi r D.notdef n DC1 i .notdef SYN ..h s .notdef n g m T e o h n e − SYNETX W m .. p .. l ..H ii ..−e DC1. .notdef ETX W− n H;c128 sub− i periodsNUL1 n-h/! sub semicolon to the power of 0 s-c128 to the power of slash-a \noindent m \quad uc128\quad−s/ s \quad t t-exclam H sub iH periodi. n ..; n C-c128s 1 semicolon u r s NUL j e1 slash c .. s n .. aa ..− nv i ..e s o n .. f mo .. o r r h .. p-n l e .. a h n s i .. Vdash SYN-m t g − .notdef e a ogonek D n DC1 i SYN s \noindenti .... s .... aT ....\ h l f .... i l l s ....o \ oh .... f i al l ....$ n-H f i sub $ i period\ h f i l i l subn n\ semicolonh f i l l mi to\ h the p f i l power l ls \ iofh s-c128 f iDC l l 1h toETX\ theh fW poweri l l t of\ 0h tof i l l h \ h f i l l e \ h f i l l i \ h f i l l $ n−SYN $ \ h f i l l d0 $ DC1slash $− sa u \ h f i l l i c \ h f i l l tficotnanw $i−H { i }$ the power of s-slashHi. f o n o− ....h; s mr− c n128 comma-ot l− r-h-aexclamH p r-e h-H-g-ni. n C sub− c i1281; periods NUL to the1/ powers of ac-e-i sub n i one-c128 s to the powere $ of period 0 to the−os power 0 m{ ofc128 slash-s o− r o−one amp − o-sn}ˆ ....{hn o s− .... is l a line-line s.notdef h } . SY $ N − m t 0 s−slash R .. e .. f i s a l s o a n − H .i s−c128 f o o mr n comma − o l r − h − a p \ hspace ∗{\ f i l l } i \quad $ SYN $ c \iquadn; $ DC1−e $ s \quad s \quad r \quad j $ e−H { i } open square bracket .. A closing squarec−e− bracketi0 Hslash .. a− commas H-t c-o .. m h .. e o .. r-l .. o .. g .. i .. c .. a .. l .. r − e h − H − g − ni. one−c128 am o − s o line − line s. .. t ..c a ˆ{ .. b0 i} .. comma-l{ one−c .. 128 i C} t o y/ , i−v $ \quad i o s n a \quad l \quad s \quad o s $ H−u { i } . r ˆ{ 0 }R{ n e NUL f 1 ; s } /!H { i } . v−n { ; } c128−s / $ M .. a .. t .. h .. period[ A .. ] H H .. a e,H .. l− ..t M-v c − periodo m Rh 17 e o r − l o g i c a l s open square bracket .. A closing square bracket H .. a K-t V-c ho .. eg .. H t-r .. o .. m ma .. on .. l n .. o .. g .. \ hspace ∗{\ f it l l }o a\quad b i r comma\quad−nl $i sC−tao $ y \quad r i $ ogonek e−n $ \quad s \quad e \quad n i \quad s o \quad m y .. s .. t .. a .. b .. i .. l .. i .. t M a t h . H e l M − v .R 17 $ Hg− ..o r ..{ commai }$ o r A-u $ .. .notdef p l .. s-g .. e ...notdef b .. r .. period$ h .. $ G .notdef .. e .. o .. $ m ..\ Mquad periodn \ ..quad T R ..g o m 2 pT e o h n \quad $ e−[SYN A ] H ETX a K $− Wt V $− Hc ho{ i eg−e } H t .− r .o notdef m ma−n on{ ; l} nc128 o− gs y NUL s t 1 a b / i ! l $ i t open squareg bracket r .., No closingA − u squarep l brackets − g .. Vebr. .. I .. v-C ao .. GeomM.TRo2p nm .. op vl .. e x .. e .. s .. dieresis-u o .. l f l c e u r r m v comma o e d s-s sub u a-p sub le n-a sub k d h-r \noindent $ H [N]VI{ i } . $ v\quad− C aon nm $ ; op ˆ{ vlc128 e− xs e / s}$u ¨ o\quadl f l sc e\quadu r rum\quadv , r \quad j \quad e \quad c \quad n \quad 4 .. 2 .. openo parenthesise d s − s ..a 1− ..p 9n ..− 8a .. 7h M− r closing parenthesis R 4 89 $ aA−v .. H$ ..\ commaquad e .. D n K f e ou V\ pquad :le .. ar ..kd hr t\ ..quad m .. el .. e n at .. n o\ ..quad f .. M ..$ a g ..−. t notdef .. he .. m $ .. a\quad t e \quad a $ ogonek $ Dn $DC1 $ i $SYN$4 2 (\quad 1 9s 8 7 M ) R 4 89 N .. W .. D :AH, e .. p .. a ..D r t mK e .. eV ..p n: .. t ..a o f r .. t M .. m a .. t e .. h n .. t e m o.. a .. f t .. Mi a t he h .. a .. t .. cm .. h ..a te .. r .. at .. m comma .. v .. to h g .. period t .. c m .. oa .. r n .. nn .. e at comma-l \ hspacew .. a∗{\ .. hf .. i l l..}m at ..\quad m .. ap ..\ tquad l \quad i \quad $ DC1 ETX $ W $ H { i } . n−h ˆ{ 0 } { ; } s−c 128 ˆ{ slashNW−a } D t−: eexclam partme H { i } . $ntof\quad n $ M C−c128 athema 1 ;$ s $NUL R .. e .. c .. et .. i i .. v .. e .. d .. : 1A / l .. $ g ..\quad e .. b Gs eroa\quad .. i ma T-c-o\quad subn e it-p\quad ampersands o r-o\quad sub commam \quad .. ilo V o-c r \ oquad g l y u $ p−n $ \quad h s i \quad $ .notdef SYNh−m a $ t t c h e r @ m , v to h g . t c m oa r n nn e @ comma − l w a h l @ m a t \noindent i R\ h f ei l l cs \ eh f i i l l va \ eh f d i l l : l \ h f i l l s \ h f i l l o \ h f i l l a \ h f i l l $ n−H { i } . i ˆ{ 0 }A{ln g ; eˆ{ s b−cG 128eroa}}ˆ{ i ms−Ts l− a sc h− o}e$t f− p o&r o −\oh, f i lil l Vmro − nc o $ g comma l y u −o $ l $ r−h−a $ p $ r−e h−H−g−n { i } . ˆ{ c−e−i }ˆ{ 0 } { one−c 128 }ˆ{ slash −s }$ am $ o−s $ \ h f i l l o \ h f i l l $ l i n e −l i n e $

\noindent R \quad e \quad f

\ hspace ∗{\ f i l l } [ \quad A]H \quad a $ , H−t c−o $ \quad m h \quad e o \quad $ r−l $ \quad o \quad g \quad i \quad c \quad a \quad l \quad s \quad t \quad a \quad b i \quad $ comma−l $ \quad i C t o y

\ centerline {M \quad a \quad t \quad h \quad . \quad H \quad e \quad l \quad $ M−v . { R } 17 $ }

\ centerline { [ \quad A]H \quad a $ K−t V−c $ ho \quad eg \quad H $ t−r $ \quad o \quad m ma \quad on \quad l n \quad o \quad g \quad y \quad s \quad t \quad a \quad b \quad i \quad l \quad i \quad t }

\ centerline {g \quad r \quad , o $ A−u $ \quad p l \quad $ s−g $ \quad e \quad b \quad r \quad . \quad G \quad e \quad o \quad m \quad M. \quad TR \quad o 2 p }

\ hspace ∗{\ f i l l } [ \quad N] \quad V \quad I \quad $ v−C $ ao \quad nm \quad op v l \quad e x \quad e \quad s \quad $ \ddot{u} $ o \quad lflceurrmv,oed $s−s { u } a−p { l e } n−a { k d } h−r $

\ centerline {4 \quad 2 \quad ( \quad 1 \quad 9 \quad 8 \quad 7 M ) R 4 89 }

\noindent A \quad H \quad , \quad D K e V p : \quad a \quad r t \quad m \quad e \quad n t \quad o \quad f \quad M \quad a \quad t \quad he \quad m \quad a t

\noindent N \quad W \quad D : e \quad p \quad a \quad r t m \quad e \quad n \quad t \quad o f \quad M \quad a \quad t \quad h \quad e m \quad a \quad t \quad i

\noindent h \quad a \quad t \quad c \quad h \quad e \quad r \quad $ @ $ \quad m , \quad v \quad to h g \quad . t \quad c m \quad oa \quad r n \quad nn \quad e $ @ comma−l $ w \quad a \quad h \quad l \quad $ @ $ \quad m \quad a \quad t

\noindent R \quad e \quad c \quad e \quad i \quad v \quad e \quad d \quad :

\noindent $ A $ l \quad g \quad e \quad b $ G $ eroa \quad i m $ T−c−o { e } t−p \& r−o { , }$ \quad i l V $ o−c $ o g l y u