Notes Du Mont Royal ←

Notes du mont Royal www.notesdumontroyal.com 쐰 Cette œuvre est hébergée sur «ÿNo tes du mont Royalÿ» dans le cadre d’un exposé gratuit sur la littérature. SOURCE DES IMAGES Google Livres FINAEI DELPH-INATIS, REGII MATHÉMATI: CARVM LVTETIAE PROFESSORIS, In fax priorcs libros Gcometricorurn clementorum Euclidis Megaréfis demOnfl’ratiog ncs,Rccèns auâæ,& cmcndatæzvnà cum ipfius Euclidis tcxtu græco,& interprctatione latina Bartholamæi Zambcrti Ve: neti.0mnia ad fidern gcomc: tricam,pcr cundé Oran: uum recogmta.

’8’ k, ROMA"08:0 n m °y A . .ëËÎÎÏî-YTETIAE PARISIÔRVM, Yar- Apud Simonem Colinæum.

l 1521;!» fiuçîëï SCÏH . FCum PriuilegioI f4. 4.. Régis Â RI. a

Vircfiit vulncre Virtus.

gênChriPci- -..---,--Q i . aniflÎmo ac po mais ’GALLIARVM REGI, FRANCISCO HVIVS nominis primo,Orontius Finæus Delphinas, S. D. Vm celebres illas 8C fidiflimas artes,Fran: cifce Rex inuiâifiimc, quæ folæ Mathe: ’ maticæ,hoc ei’r,difciplinæ meruerunt ad: , 1- A pellari , fub tuo fçliciprofiterer nomine: rares admodùm offendi (etiam’ in numes f rofa auditorü multitudine) qui faris fido in ac liberali animo,tam vrile ac iucundum Ë. - philofophandi genus,à limine (vt aiunt) falutare,ne dicam ad illius peuctralia, pes nitiora’q; fecreta , peruenire dignarentur. Cuius adcô miferæ ac deplorandæ infçlicitatis radie-e" ex c02m3Ximè P111: lulare vel facilè percepi : quèd fine inclemcntia tëporis , fine parentum 8c prçceptorum incuria,Geometricç nufquàm prægufiaucrint elemen: ta.fine quorum præuîa,aç exaâa cognitione : omnis prorfus , nedum Mathematica , negatur philofophia; Perfcrutatur cnim Geometria continuæ,8( prout immobilis efflquantitatis accidentiaznempe magni: tudinum, 8c figurarum rationes,aflë&iones item, pofitionéfque diners (as: multiformia ipfarum difcrimina fabrili-admodùm examine difcu: tiendo.Exordium præterea fumigà pet fefe,& vulgo notis principi 13.86 potilÏimis Dialeâices innixa præccptis, ac colleâa fyllogifmiszad pri: ma demonfizra’tionum infurgit demeura. à quibus pet mediorum ors dinem dilèurrendo,atque fimplicia compofitis , 8: compofita fim licis bus comparando,progreditur ad vltima:ad propria tandem finguîa res I foluendo principia. Quanquàm infuper circa intelleôtilia 85 abi’rraéta, quemadmodùm se diuina verfetur philofophia:fe11filia ramé & ipfi mas teriæ fubieéta,veluti phyfica ratiocinatio, fimul attingere comperitur. Et proinde fit, vr nulla difciplina certior exifiat Geometria: vel quæ i tout»! a file RoMA’kË- illam antiquitatis dignitate præcellat . Nulla etiam quæ vires ingenij "on: tamile magis foueat, augeat, locupletétque : vel quæ ingenium ipfum ad pus riora fiudia, omniümque ingenuarum adinuentionû excogitationem, adeô facile reddat,ac fuaate ’natura prope’fum.Adde quôd vfui,8c com: mode generis humani p urimùm cedit.Hinc præclara illa 8e toti Orbi décora liberalium artiû facultas,cæterarû mater 8: alumna,ad veterum p.111

l. "’È’m" au; 7 e a1Ie.

philofophorum imitationé’ , prudériflimafanciuitinflitutioneme quif; pian: in doâorum, fe’uÇvt vocantDmaîif’trorum admittatur ordinem, ni cû cçteris philofophici difcurfus aut oribus, fez priores libros geo: metricorum’elementorum Euclidis faltem audiuerit. quafi ignoratis Geometriæ rudimentis,ad ceteras difciplinas præclufa videatur elfe via. C uius rei vefiigia,Parifiëfis adhuc obferuat academia.Qgi enim ad lau: ream adfpirant philofophicam: iureiurando profitentur arétiflimofefe prænominatos Euclidis libros audiuiile.An veto illius elementa,multis ab hinc annis,quue ad noflra viderintCne dicam intellexerint)tempo: ra (paucis forfitan exceptis,quos æquus amauit lupiter) nô aufim ho: ’ nef’tè confiteri.Nouerunt enim finguli,etiam exterizquibus deliramens e ris non morio fœcundiiÏima iuuenum ingenia haâenus torièrint,ac pe: nè dixerim deprauarint pfèudophilofophi,verumetiam omnem bonam extinxerint eruditionem. Redit tamen fuus fingulis honos,fuaque di: gnitas: a in prif’tinum illum difeiplinarum fplendoremCreieâis barba: ris,ac fophifi’icis nugisDPaulatim cunâa reduci confpicimus. quue tuo in primis fauore,ac liberali fuccurrëte munificëtia,Princeps humaniflî: me: qui primus inter maiores taos , non fine magna tui nominîs ac dis Ignitatis propagationcfl incomparabili Reipu.commodo,bonarum li: terarum fiudia fouere cœ if’ti , 8c publicis augere profefforibus . Inter quos , me liberaliurn Mat ematicarum interpretem in primis inititui: flirôé præter decretum fiipendium, labarum meorum rationem te tans dem habiturû fœpius es pollicitus. Vt igitur pro mea virili parte , tum erga munificentiam tuam,tum erga ipfam Rempub.debito fungar cf: ficio,ôc præter pnblicas leâ’iones , al’iquod hominis vefiigium,in fidele tuæ liberalitatis 8c clementiæ tefi’imonium, pollens relinquam, vtque viam ad grauiora ijs fimul aperiam , qui mathematici fieri, hoc cit, ali: quid fcire defiderant: côfcripferam nuper in (ex (quos paulo antè dixi) libros Euclidis,commentaria admodùm vrilia, clariflimafque propofi: tionum demonflrationes, &fub nomine,aufpici6quev tuo fçliciffimo tandé ædideram.Qgæ à fiudiofa iuuenture,non fine magne eruditionis incremento,fic auidè recepta fueruntzvt iam dif’tributa fiat primæ ædi: tionis exemplaria. anpropter ipfas demonfirationes denuô recogno: ui, 8c emendaui, atq; ad eam perduxi fidelitatis rationem: vt Omni vel acceflione,vel detraâione,in pofierum carere facile poilint . ans rut: fum fub tuo nomme 81 aufpicio,in publicum redire conceffi.Reliquum cit igitur , vt hofce labores nofiros liberaliter fufcipere :.& tui Orontij tandem meminiile non graueris. Vale Regum decus,& literarum refus gium vnicum. Ex Lutetia Parifiorum,menfe Oâobri, Anno’Chrifi-i M. D. X X X V I: Et rurfus menfe Augufio, M. D. X L I I I I.

hIDEM ÔRONTIVS AI) CANDIDVMÜ quenque,ac fiudiofum Lec’torem.

v - Ecognouimus tandem,candide ac [ludiofi Leïlor, fr non fine ma: 1 gna rerumgeometricarum acceflione adauximus ô emendauimus, -» g æclitasfii erioribus annis in [ex prions libros elementorum Eucli- Ï dis,difciplinarum omnium facile ianitoris, demonflrationes : V712: à cum ipfius Euclidis contextugrecofiiis lacis infirmé interPreta- tione Latina Bartbolomæi Zamberti Veneti,9uam vbigewnetri- cum wifi: efl offendere , ca qua decet :modejliafideliter emendauimus. In mimis itague diflinitiones ipfiufluæ durioris,îuàm iuuenum captas expofceret,PIerunque Vides bantur interpretationis g Potijfimum li ri quina ) qua Potuimus elucidauimusfacilitate, a au; cætera principiorum gazera, à quibus Imiuerfiz problematum at ue tbeorematum multitudo conjurgit, infimm re egimus harmonium. Ipfinum pan?) t eorematum (11’un moblematumfubtiles diflicile’fque demonflrationes , tali artyidqadeâque ordinato ac fa- cili difiurfic confiripfimus, En conuincentibus probauimusfillogifmimmultis tum in me- lius commutatis,tum recens adinuentis:nullz’filue,præter ca quæ in if]; mutinent!" Bali: deJubrogatis principijswt nemofuturusjïtqui legendofmul "on Valt’dt intellçgmfluz’: que minimum addere ’verbum abfiîue temeritate,aut detraberefine iaïfura Poflît.Adde qui»! ipfarum demonflrationum [c ematafiuefijgurasmd rigorem artisfiu literæ,ProPria. manu depinximuszqub finis ex omni parte buic aborifaceremus. Primo itaç libr’oclef- feribütur triangula,lineæ,anguli,paralleli,necnô’ quadrata C1 Parallelocîramma tum inuicem tum ipfis comparata triangulis . Secundo, gnomon atque reflangu un: di initur a- rallelogrammumzlinearum infuPer tumfifiarumtum cmtinnflarum adinuicem paella- tes:boc dl, ex ipfis lineis, ac earundem figmentis reficltantium quadratorum Ë: reËlili. neorum qualitates edocentur . Tertio autem,circulorum perfirutantur infieïfionesmtque reïlarum in circulofiibtenjîzrum , ô ipjbrum angulorum tum ad centrum tum ad circuli circunferentiam confiflentium difirimina.anrto Porrb libro,ipfius trianguli dein regu: larium aliquot figurarum infiriptiones, atque circunfiriptiones cum ipfi oflenduntur cir: culo.QIiinto,magnitudinum rationes atqueProportioneSÇquæ totius artis eometricævi- dentur elfe tbefizurusy’n Vniueificm difiutiuntur.Sexto Jeniaue libro, pafâlfiinitam rationum compofitionemJinearum proportionalium inuentiones,rationes item atquepropor- tionesfigurarum , mirabili refiluuntur art9ïcio. uæ quidam omniaIyllogifmisJum à caujis,tum ab infieïlionibusfiimptis(quæfidem âcre Poflunt)fiio demonjlrâtur ordine.IncePit igitur Euclide: a triangulis,ë angulis, atque lineis reflisqnopterea uàd res flilinearumfigurarum Prima efl trilatera,in quant cæteræ reflilineæfiguræ refiluuntur. Pertes injuPerlaterum ET angulorum diuerfam babitudinem, earunclem reËiiIinearum - gurarum attenduntur,confiderantûrve difcrimina. Et Proinde liber primus, Vniunfiz ior eflficundoJecundus tertio, tertius quartofr deinceps ita de cæteris . N ec alienum Velu): au;

x Cui- bos [Ex li habeas iudicium , de Propriisfingulorum librorum diffinitionibus. Hos autemfex Prions bras [corficm adulent ouïs libros,ad continuà’jjaeïiantes quantitatemJeorfiim de induflria collibuit exponere.Nem- tins. 12e in grattant tum auditorum noflrorum,atque profejflirum artium liberalium,noflræ Po.- tijfimiim Academiæ Parifienfis , qui cofilem libros fuis tenentur intenpretari difiipulis: tum etiam ab ipjbrum difcipulorum non afinrnandam vtilitatem. Poteruntjïquidem ea- rundemfex librorum adminicule, Viam fibi ad Vniuerfam arare Pbilofipbiamqîræcipuè Ariflotelicam,quæ geometricum præfiipponerewdetur au itorem.bincfit,’vt iis qui Geo- metriam ignorant,fi4bobfcurus diflicilz’jque rideatur Arifloteles.thantum iËitur Publi- cæfludentium confuluerimus ytilitati,quàm longè præterea cæteros omnes ac in parte fitperauerimusmonfacilè perficadebitur ambituyïs illis êîmniflimis rabulis ac Pernitio- [films impofloribus, qui dum nibil agui": boni, fidritam Protrabunt Parajïticam,fi4um e omnibus impudenter audent proferre iudicium. Sed tu æquijfime ac bumanijfime Le- ïlor, qui iudicio, doËirina Ë; eruditione Folles, 59’ omnia boni 5’ æquifemper confidere nofli,nec ignoraSJuàm pulcbrum 51 quàm decorumfit,pro concejfa exteritate, cæteros iuuare mortales: um Perlegerisfî Perpenderisfingulaæoteris aPud te tandem iudicare. Qubdfi bunc laborem noflrum,tibi e’rgratumût optamus êfperamuflfuturum une: perimusün nilgau-v 0mm ipfius Euc idis libros non afixrnâda tibi Parabimus commentaria. Vale igitur fui’filmfælicitet:ê’ Cbriflianijfimo Frâcorum Regi,mecœnati noflro cle-. mentiflimoÇcuiusfauoi-e à auxilio bæc tibi communicamusflitæ in primi; , dan mm omnium fæliciflimum. imprecarefiiccejfiim. . Lutetiæ Parifiorum menfi: Auguflo . Anna Cbrtflifaluatoris M.D.X L I I 1-1.

ANTONIvs MIZALDVS MONSLVCIANVS,

Rnatus EuclidesLefiori. fuis coloribus, . O P i&orc prodit diligentc,fcdulô . Poithac legenduszqucm Fin azur reddidit Maiorc dignum protinus fpeétaculo: Manabit illi certa laus,8c præmium, Ni prorfus obfiet temporum vecordia: Pollêrc taris baud parùm cit fic artibus: l Illis àuêre,ac bas fouêrc chium.

.ÊyINDEX OPERVM,’ AB ORONTIO FINAEO ’ Delphinate,Regio Mathematicarum Lutetiæ profellore,ab hinc , minis X V I I I (quibus eafdem Mathematicas Lutetiæ publia de docere,ac inflaurare non ceflËiuit) fuccelliuè conferiptorum. ’ ï I (I In Primis quæ iam ædita,ô’ impreflîzfimt. k 1. De Afithmetiea puma, Libri quatuor , un? ad Mathematicam adfpirant phi» lofophiam pemtiles ac nccelfarijncr iam ’ti. r i - - i I - z. De Geometria praética, Libri duo: vbi de métis in circula fubtëfis:8t de’loigitudi- ’ num,planorum,& folidorum dimehfionibus. ’ ’ ’ ’r V 1- ’ . 2 Î . 1C s; s 3. De Mundi Sphæra , flue Cofmographia,primave Monod: parte,I-.ibri quinq;, proprijs eiufdem Qronti)’ com mentarijs elucidati:bis iam zditi, 8c abfque com-

4-- Dementarij’sfemelrw’ qUadrantibus 8: falaribus’ horol °is, Libri quatuor *z in quibusv i præter emenda- tas aliorum inuentionesplurima no excogitauit ingenio,& hydraulieum inter cætera horologium,æqua..ia defcribens horarum interualla; ’ i y. De finibus,hoc eû,re&isin eirculi quadrante fubteniîs, Libri duo:vnà cum eorundem finuum tabula,p’eripfum Orantium fideliter admodùm (opprima. -. . i . 6. Organum finuum : quo tutu geometrici , tum afironotnicicanones . ex: quatuor finuum proportione pendentes,certa ratione,ac amarra Militant trâlamt’ur. 7 Commentan’a, fine demonfléatione: in fcx prieures libros elementorum Geome« . tricorum Euclidis:quorum hæc cit æditio fecunda. 8. andrans vniuerfalis afirolabicus,omnibus Europz regionibus infimiës,eiufdem (8c amplioris) cü ipfo Afirolabio flue Planifphçrio cômoditatis: bis iam æditus. 9. - Aequatorium planerai-uni , fub quadrangula 8c altera parte longiori forma comprehenfum,bis itidem Ïæditum. ’ Ï i ’ q Io. Theoricæ planetarum gallicè confcriptæ,& elegantiflîmis figuris arnatæzvnà-eum u 8e Metheorofcopio Proie. i ’ g ’ u. Il Almanach oôiunâionum 8c oppofitionum Luminarium, cum ijs quæ ad eccho i fiaih’cum computum fpeéhre videntur,xxxv annis inferuiens. - I . Aliud item Almanach vniuerfile magis,vtiliilimis refenumN cômoditatibus,gal- licè 8c latinè æditum,pluribus annis duraturum. 13. Chorographia Galliarumfeu Charta Callicana,fzpius imprefla.. . I4. Defcriptio vniuerfi arbis , f ab gemma cordis humani figura,8c vnico papyri folio

15. Eiufdcm Orbis amplior defignatio ,in vnicam humani mais effigiem dudum comprehenfa.coextenûfæpiüfqueimpreifa. . ’ ’ . ,- .. 16. Chorographia terrarum , ad facræ feripturæ intelligentiam necdÏariarum,quam

17. ([DeVacant Circuli quadratura,Liber diui Pauli vnus:vbi peregrinationem. deareafeu dimêfione’ipfiu: . cireuli,8ci tao tione circunferentiz ad diametrum. v t 18. De multangularum omnium 8c regularium figurarû defcriptionegtam intra quàm extra circulum,ac fuper quauis data linea reéta, Liber haôtenus defideratus. 19. Deinuenienda longitudinis loeonî dînèrent-i3, aliterquàm pet Luxure: eclipfes, etiam data quouis tempore,Liber admodùm lingularis. v ü - 2°. Planifphærium geographicumzquo tum longitudinis arque latitudinis diffamât, tutu direétæ locorum deprehenduntur elongationes.

’ ’ i . i * -I[Qiiæ abfiilutaJëdnondum æditdfuntl Î’ il Î 7 " ’ Theoricæ motuum cæleflium in fuam harmoniam redaétz, peroppôrt’um’fq; me; is elegantiifimis,tum feholijs 8c demonitrationibus recensillufiratæ. . Liber de componendis artificialibus theoricis, tain peculiaribu’s quâm’genêrali ino firumen’to comprchenfiszquibus vera planetarüloca’,vel sans deprelïenduntur. De ratione partium vfiîque Amolabii fine Planifphærijdibri trauma cum ipfo in- itrumento, noua 8: eleganti vfuiq; paratiflima defc’riptione fabricato,ac geogra» I . phicis canonibus pet «indemOrontium recèns adinuentis illufirato. 4 I . ’ i . iLilium aitronomicum,vniue’rfiirn motuum cælefiium &th’eoricam se mon bre -- ’ui admodiîmque fubtilicompleâensartificiofipusplanè diuinum. . Direétorium planetarum,tum .circa limbum’ Altiûlàblfitum (cornai mimai a: - ...tione Contextum :ijs qui’iudicianamèexerçeut Afirologiam parodieraid’éque

’Nouæ l i- aliquot ,s...4. quadrantum - .455.) ,8: horariorum ’i anulorum. . Lat. deferiptiouesg I zain-codent Oronrio recêns excogitatçqu’ç cum priùsœditis haro-logijspropediem in luçem ,

IIGalliarumemmenant. Chorographianoua . ’. , 4ad iufiam. n »locorum- e .’ pofitionem n. s fumma diligen- riaau&a,emendata,8tdepi&a. a ,. .;..Î; -. 1. ’ - 1.2.: f .;k Topographia Delphinatus,Prouinciæ,Sabaudiæ,8:patrie: Pedemontanæ,ad viuü -

Nanaquantum Orbis ’defcriprlo fieri geminis potuit conflans hemilbhærijs’, figurata. ex fidelioribusterrarum- . ’ ., V 1. obfetuationibus deprumgm, - « - . l I . . (Melun nunc 51 alia quàm Plurima,tum circa re’liquosiEu’clidis libros,th inanal- gnan: Ptalemæi conflruïlionemquam vacant Almageflummtque cæleflium motuum tabulas: quæperinclementiam temporum , êdomeflicorum negociorum vigentcm multitudinemjnfica cogitur diflerre-tempora. - i i . I Adde qubd non Pauca ex alienis’emendauitmc in lucem emifit,& tum fibolijs ô ap- Pen dicibus, tumfiguris proifingulorum escigentia decorauit .- ngæciim longum ejfet ,jretenfere,dataIErætermittimus opera.

.gyAvîrHOR .IN INVID’VM. ; " :Omnicu’lafe Glis,caput papauere . . ’ , Oppletum agrel’ti,trunce,l’tipes A’ethiops: "V1: mortui,cuiüs iacetlcorpus pigru’tm”, . :Fortafle.vel fi paululurn vigilaueris, Impendis inguini,lufibus,gurturi: j - Noliinuidere vigiliaslo’ngasbonis, ; . Te non adurat doâa luclubratio. I ï il "Non inuideo rot vicia,non famnum tibi. Volitoper orgiaeebis in filentia. a --

’Ôrontij Fines-1 lphmatis, Re- GII MATHÉMATICARVM’, PROFESSan Ï ris , In lex priares libros elementorüm Euclidis , De: moni’cra tiones: recëns auétæ 8c emendaræ. ([Principiorum libri primi interpretatio. . . ECEPTVM EST AB-OMNIBVS,VNAMQVANe mufliktdia que difciplinâ propria fibi vêdicare principia:quç etfi nulla prorfus [41’le pro- videâtur indigere probatione,ex ipfis tamen faneq intelleétis prina t 7mm ’ j cipijs,ad ea quæ eadem confequûtur principia,deuenite vel facile c6 da fore pin: ’ tingit.Idcirco generalë principiorü geometricorü elucidationë,pro: dPid, theoriamve in (ex priores libros geometricorû elementorû Euclidis Mègarenfis ( quos in gratiam fiudioforum omnium fufcepimus me . terpretâdos ) præmittereætq; intelleâualem’illam magnitudinum, ’. 8c figurarum côtemplationem ( prias , quàm ad propofitionum ofienfionequdeueniamus) rudioribus geometricarum fpeculationum tymnculis aperire .pnoaldulfxulus importunum. . (Triplicemitaque principiorum offendimus ordinal : venet? a dlffimuOnessfel’mmomm Triplex ordo mmmm exprünemes.pomaa.a,cx Ip-IISICollefl’a armiiirionibusm effata,feu comunes (en; telltias,quæ die-unau axiomata In pnmis ergo diffinmqnes:dem reliqua ,qu declarabimus seometficorü. ordine.l[Animaduertendum’ cit igitur,fubie&um ipfius Geometriæ fare magnitudinem,à Gemma numeto quidem a: mareria feorfum abflraétam. Magnitudinis autem,rriplex ailigiiarur (a, t menfio.Aut enim magnitudo longa tantùm imaginatur, vt lineazaut l’onga 8c lata,veluti fils Triplex in ma perfides: vel deniq; longa se lata,fim1îlq; profunda flue craifa,hoc e&,folida flue corporea, gnitudine di- abftrahitut.Quorum omnium mediatum vel immediatû principiü,pun6tum(aliàs fignum) mafia. elfe dicitur.Fingitur enim magnitude pet cepntinüam’fuiipfius diuifionë (quâquàm in fem: puma ami; pet diuifibilia naruraliter diih’ibuaruthandemad pattern minimam,quæ videlicet amplius diuidi non poilit,ac fi foret omni dimenfione priuata:inltar quidem vnitatis in dif: "familias"; forera quantitate.Vt quemadmodùm ex vnitatis multiplicatione, omnis côficitur numerus: rimai cum k haud diflimiliter et huiufcemodi parte , vel indiuifibili nota , pet abitraétum feu tranfl’ume mime com. ptiuum eiufdem notule motum , omnem’eflîngamus oriri feu produci magnitudinë . H anc Parme. ’ ’ itaq; magnitudinis panent minimâ,fiue notulâ indiuifibilem feorfum abitraâam,pun&um ’ adpellamusiôc ab Euclide ira primùm defcribitur, , (De panRadium,atquefitpevficie,Diflinitiones. Œzupêôp istp,â pigea ôudltp. ’ ’ Purifiant 1 Punétum efi,cuius pars nulla. ’ l ’ ” ..I d cit, quad abltrach’i à côrinuo,velut ipfius côtinui pars minima, omni dimëfiorie priua: W lima ne . a tü imaginatur.l[Ex cuius quidê pûéti abih-aéto defluxu,per infinité fuiipfius multiplicatio- Modefifio ne, longitudo dimenfionû primatia côficitutzquar Linea vocitatut,in hune difiînita modrî, La". A . a ŒrçocppiiLmea veto,eltlong1tudo d’à, pince latitudinis . d expers. . - Hoc efl,latitudine priuata. Cû enim punéhî omni’carear dimëfionezfuo fluxu,feu trillant;

ptiuo(Il-expiais motueaufar a: «immunisa. tantummodo longitudinern. " 3 Lmeæ autem limites, funr punira. - , Incipit-mima punéto , 8c ex infinitis conficitur punétis , in punôhîmq; terminatur . Omnis porto lmea,v cl recta,vel obliqua venir imaginandaæ . . i ad.

a GEOMET. ÉLÉMENT. (Enfin kiwi, in; in: won" "Dis W inti; arpion mon. Rec’ta linea elbquæ ex æquali fua interiacet punâa. Vt pote,quæ à pun &oin püé’tum breuiflimè dudtur,ipfa remiinatiua puna: intermedijs "tu au, æquali pofitione côneâenszvti fubferip ta arbICllinea reprçfentat.Cùm igitura data püéto, "on W n. in datum quodcûque puné’tum vnica fit breuiffima via:’ fit,vt nulla reéta linea reâior detur mon altera,fed quotquot ab eodem punâo ad idem punétum producentur lineæ méta: , in main randémq; lineam reétam coincidant.Secus cil de obliquazquæ pet contratiam ipfius refit: dilfinitionê facile defcribiturmam a x 051W ab codem puné’to ad idem puna-nm , infinitç prddnçûtur oblia un"; w. qu: lineæ, qu: circunferentiarum portiones adpellantur:dans a h L c a diunfita. turque obliquis obliquiores. Veluti,quæ ab eadem pûâo and . , punétum cr pet ipfum dz protrahunturmfiendunt. (En: linea autem imaginario fluxu,acfi [uccedentium adinuicem linearum yeltigium relinqueret,latitudo dimenfionum altera res dtfifipfio. fpondenter acqumtur, defcnbmîrç fuperficxes. (amocher: isip,8pisoc mû mémo; pâtop in. . q Superfic1es cil: , quæ longttudmem , latitudinémq; tantùm hab et. t Q1132 cùm exordiatur àlinea , 8c ipfius limez terminatiua punâa , ad motum eiufdem , ne étant vçl obliquam lineam defcribant,in eadémque linea mata quiefcat ipfa fuperficies:tes linquitur cuidens,qubdfuperficiern terminât lineæ.hinc fubiungit Euclides. [Renomme d’à wigwam nappai. I Superficiei autem extrema funt lineæ. 6. Porte Cùm lineâsad Çemfprionem mata fuperficiei,re&a fuerir,atq; in longum fine: res &æ vniformiter,breuiflimequett l’aduâaifit livet-Gâteau: Diana dicirur , 8c in hune diifig

1154de iwioo’cvàoifisn i771; iglou au; îp’ mi; êuOëaf i349; . niturPlana fuperficies modum, efi,quæ ex .æquali fuas interiacete - lineas.- - 7 Id cit , quæ pet totam reétam ineam quaquauerfum aeComs modatur , nulloprorfus inflexa curuarnine : veluti obieéra in: perfides erf. mu l. i - Hum cum: fuperficiei diifinitio , pet contrariam ellCltur 1mn! [En ginationem:quæ ex ca parte qua circunfleétitur,côcaua:fotina fecus autë,curua fine Conuexa nominatut. quemadmodum tibi g Il repræfentat figura grhk Solidarum 04 i . IIEx faperficiei deniq; fiuxu, folldum’ flue corpus trima dime: fisc. fione,vr pote,longitudme,latitudine,atquetentû,abitra&iuè defcribitur.Œod vel profunditate vnica rantummodo comin: perficie,vti fphæra k: pluribüfve fuperficiebus,vt cubum lrter: minatur . Sedlde bis in poitefloribus libris ipfius Euclidis traa d &andum.Salidum porto motum,nullam videtur acquirere dis "a; fW. menfionem:fed ipfas dimenfiones augmentat,immutatque figuram. I gimr pro linearums de"; cor- arque fuperficierum varietare,diuerf6que eorundem matu, feu abilraéto defluxu: varia ,8: h n mm un: penè infinita tum planorum, Qtum etiam folidorum,hoc cil: fuperficierum 8c corporü arbitras: 593mm. hitur multitude , pro limitum 8: angulorum varietate,diuerfis expreifa nominibus. IlDe reîiilineis angulis. Merlu: ŒANGVLORVM. IGITVR,QVIDAM PLANI:QVIDÀM vs. rimas, to foli’di.Planos vocitamus angulos,qui ex mutua concurrentium adinuicem linearum eau solidur. fantur inclinationc. Solidi autem dicuntur anguli,qui ex planorum angulorum côcurfu fis gurantur: de quibus in poltremis elementorum libris . N une itague de planis traâandum immine. angulis.Pro quai-û elucidatione animaduertendum e&,quoties linea reâa,altero limitum go "0,044, manente fixo,altero autem moto,completè circunducitundefctibi fup erficiern,quæ cireur lus adpellatur. ytpote,fi albrreéta,inunoto punéto a,ex br in c,per dl 8c e ,rediés tandem

in b, circuin idem punéturn a,completë reuoluatur: defcribens planum circulareLIBER breldle.N am punâum b! hoc modeI circûdu:3 &um,lineam efficit orbicularem , que: circunferentia dicitur:8c immotum punétum a,medium , fine centrum eiufdem vocatur d a b circuli.Hinc orta cil: fubfcripta circuli, 8c in ordine decimaquin ’ ra difiînitio.Prius quàm autem eiufcemodi linea vniuerfum com pleuerit orbe , diuerfils cû prima 8c refléta linea facit inclinatio: ries ,nufquam ab immoto tecedendopû&0.H æc igitur linearum , fupet codem piano fefe ira contingentium inclinatio mutua-,v cl c inciinarionis habitudo(vt linearum arbrôc are,v el arerôtar d) 8c ’ non in direâum canititut arum,hoc cit , vnam eandémque reâam lineam minimèefficientis um (cuiufmodi funt arbrôc ard,velarc18c ale)planus vocitatur anguluszqui ab ipfo Euclide, hoc modo confequenrer diifinitur, ’ . a (zinzin-afin du poule, isîpû ai fluide No nappât! Wopoiop chtimi! 5 pli ivr’ eûOu’aeo’ sale paient très (intimant 1’55 nappât: m’ait. Planus angulus, el’t duarum linearum in plana ile-le tangentium,& non in direéto iaeentium,ad altetutram inclinatio. Hæc autem inclinatio de mais lineis potiffimùm venir intelligenda:tales enim anguli in bis primis fex libris geometricorü elementorü præcipuè confiderâtur.Hinc dicit Euclides,

(Imap d’à oui Wîxmi Titi! finals wœppœàsôbëm 541p, sied Kappa; stocké? llWVlfla 9 (11;me 31mm quæangulum cannent méta: linevifllërintaeftilineus

angulusquad fi eædem Minimum nuncupatur. efficientes angulum fuerinta " obliquæ , flue curuæ:curuilineus Planorum am (accru:- miaulas . quales funt,qui à circunferentiarum caulantur mterfettionibus . Si autem sudoraux dit. A n a - v L r. , i . ex reâa 8c. cama angulus ipfe surfine. Reâilinei. Curuilinei. Mixti. conficiatur : is mixtus venir ad; - pellandus. Velnti funr anguli ex v qf dimetiente,feu charriabus circulorum , 8c comprehenfil’oa arcua l . i rimma mimer pianos 3!!qu los, reâilineorum apud Geomen tras (vti fupta diximus) habetur . ’confideratio. . ŒPenes quid reFiilineorum angulorum attendenda magnitudo. q

ICVIVmagnitudo fiue SLIBET quadras,dicit11r IGITVR arcus circuli abANGVLI ipfis lineis reétis PI. datû AN!efficié’tibus RECTILINEI angulum comprehêfuszcirculi inquâ , cuius centrü ad concurfum di&arum linearû imaginaux-,8: qui ad completam minoris earundem linearum reuolutionem defcribitur . Si data: itaque lineæ anglas, K"

même angulum confluences, quadrantê adamuifim comprehendant ipfius citenli:huiufino; X di angulus reétus dicitur. Si veto arcum includant quadrante.minorem:acutus.onties au; rem idem arcus,quadranrem exuperauerit cireuli : datas angulus-nominatur obtufus.ngd obturas.us, i ex ipfo facile colligitur Euclide,cùm dicit, - I [Loup il": évoé: iqr’ iûeëœu sceau qui; Mie lopes ensima au; , ôe’ri isip incuries: fifi iam youëtutdi Hameau, Entière redevras,me si]! up hanap. cum verô reâa linea fuper indium confifiens lineam, vtrobique angu: a limai 10 di tao. los adinuicem æquales fece’ritzreé’tus cil: vterque æqualium angulorum. Et quæ fuperftat recta linea, "perpendicularis vocitatur,fuper quam ile: 1;"? tetit. i u a 0 y Û

4 GEOMET. ELEMENT. C uiuiinedi fiant anguli arbre! 8e arbrd, à reâa arbr fuper recta a 7’ mir ad perpendiculum incidente,caulari.Fit enim recta cld,in. l quam cadit arb,dimeriens circuli, à circunduéta b(a,circa Pline q &um b!defCtipti.NeC poilunt ijdem anguli arbrcrac arbrdr adin h uicem æquales cire , quinvterque quadrantem includar circuli: .4 b --s-- 8c arbr reé’ca,fu et teétam cldl perpendicularis exiitat. Ex qui: bus inferr confgquenretpbrufi et acuti anguli difiînitiones. CIAplbÀeîoc ratio: in»? 119’261: ôeeiç.

.VrObtufus angulus erfrg,includens angulus,ma10t arcum erg,quadrante maïorem,defcripti cil cireaepunâum. reâo. frcircu A Il li.Dicitur autem idem angulus erfrgrobrufuszquoniam e198: figlligeç te a, pbtufam en: I u trinfecus faciunt inclinationem. ’ i h I iiiii «0 griot Æbfil imbus-uni 6995;. i AcutusVeluti angulus erflhzcuiusvetô,mmor arcus erh,eodem cit circuli recto. quadrantb - s ri A. - ’ v13 minot eir.Vnde fir,vt UfI& frit! reé’tarum linearum inclinatio, ’ e v in acuram conueniat habitudinem . Quanta igirur obrufus ana ’ f gulus erfrgrmaior extiterit, ranto minot etit aèurus erfrh: ipfa ’ ï - Car omnes un porto linea erf,incidens in grhrvocireturÆt quoniâ eiufdë cire .------JJ- guli refii in- Cuit quadrantes funr adinuicè’ æqualesmon datur propterea res . uicëcquales. &us angulus, airera rcâior angulp.Secus de obtufis,vel acutis I i A Acutorqm (7 angulis:quoniâ arcus circuli quadrâre maiores,eodémve quadri . U obtulôruangu te minores,yarli funt,atque infiniti . Linearum itaq; maior aur lorum diurr- minot longitudo’, qunmdmodùm nec magnitude circuli , angulü non immutat: hoc cit; h finis. neque maiorem,n’eque minorem eunde emcit angulum. - Linearü un e :7 V A. mnimmutat.([CVM AVTEM OMNIS MAGNITVDO FINI’liAwerngET terminata:diffinir confequenter Euclides ipfius magnitudinis terminum,in hune qui fequig ([0909 isl, 8 muée in cigare. V qTerminusrut modum, ei’t,quod cuiufqüc - Afinis vcit. 15- Vrpote,pun6him ipfius lineæ,linea fuperficiei,fuperficics denique folidi:q1iemadmodùm ex eorundé abitraétiua defcriptione facile colligirurJtaque figura: tam planæ,quàm etiam

Œleipoefolidæ islflbrûm’i emmihac mvôp Seuilscolligitur wexôpæiop. diffinitio. . . Figura citquæ fub aliquo,velaliqu1bus termnus comprehenditur. I4- Sub aliquo quidem,vt planü circulare,vel folidum fphæricumfub aliquibus verô,vt (tians gulum vel quadrangulû inter planas ,8: cubü-aur pyramis inter folidas,8t quæ (une eiufizes Notmdum, modi.Sed de planis figuris,attp de lineis 8c angulis in codé plana conflitutis, bis le: pria l du? i ribus libris determinandum. . l” ŒDe circulo,eiiijque partibus. (INTER FIGVRAS,QVAE PLANAE VOCAINTVR sa nier. rur cire fimpliciflima,quæ vnico comprehenditur terminozcuiufinodi videtur cire circulas. Hum: itaque primùm diffinir Euclides, I t ŒxüuÀoo isi (kips: âôimdlap , dans Fiat; nappi’t Wxôpærop,.i mÀçim WWdœ; mais la; ico’oiêç armés «W denim? axipum 1mm; «mon ad maffieux: managiez: l ;

Circulus,el’témincez; guraplana,vna,linea étai. j q - ’ contenta, . g. H qua: I ï circunfeten . ria adpel: x; laturzad quam , ab me punéto introdumxmedio- exiltente , omnesp’ro;

.Y’

deuntes lineæ , in ipfiUS circuliLIBER circunfetentiam incidentes I. s , adinuiCcme 5 funt æquales. Hçc di nitio,ex data nuperÇcùm de planis loqueremur atrgulis)abltra&iua circuli defcri ’ ptione fit manifefiza . Cùm enim arbrreéta linea data,circum arpunâ’um completè reuolui I I l c rur:pun&um brfuo matu circunferentiam caufat , ë: immotum 1 km punétum axin circuli cêtrum permutarur.Hoc iraq; circuli cette K tram, fecundum longitudinem ipfius arbrreétœ linea: datæ, ex b omni parte diftabit à circunferentiaiEx quo necefium ell: , ont: b ines métas lineas,ab ipfius circuli centra in circunfete’riam eiufa dem incidentes , fore eidem ar b ( ex qua circulas defcribitur) arque adinuicem æquales.Hoc cit,eiufdem circuli circunferens riam à fuo cêtro æqualiter vndiquaq; .diflare. Hinc dicit confea quenter, (Excision: a; a? minage-ô "pâtir: uncÀê’rrm.

16 Centrum verô iplius circuli,pun&um adpellarur. De puné’to media v’elim intelligaszvt punétum a,in obieéta circuli fipura brcrdrelineæ nanque limites funt punéta: quorum immorumÇcitca quad videlicet a temm in circuli de: feriptione circumduciturfln media permanet,& centrum efficitur circuli. «mémo; «il? ü mixas , mystifia: ris , 875: a? aux: typai», un! nûmpüu W i ’ a: Tôt pie» 5657179 ’51? mirois fibrosesloea’yî’mc ml (fixa: Tipvd en suintoit. i .Dimetiens circuli, cit recta quædam linea pei- camrum actasëi 6X Vitra: l7 I que parte in circuli citcunfiaunbiazn terminata,quæ circulum bifariam A diipefcir. -- Cuiufinodi cit linea brdrfupra feripri circuli bradre,pet alcenrrum vtrinque produâa:8c Dimdimtù à quæcunque illi fimilis.Dimetiens enim,fiue diameter,proptiè circulorum elfe videtur: dia; dia Îo et 4- ganius autem,re&ilinearumfigurarum:axis verb,folidorum,er propriè ipfius fphæræ. 3e iflhîtia. (l: upmüæhop «ne, 851 ’rô flitxôpglrop oxi’jtœ’üb tu ris sbpiafu tu! fis hôMpcaroMÊn riens-ax Tic a?! MW wigwam ’ . v v 18 Semicitculus,eit figura quæ fabdimefimtqôc ca quæexipfa circuli cit: . 3. cunfetentia fublata eft,continetur. ’Vt ca figura,quæ ex frhrdimetiente, 8c dimidia circuli drenne ferentia frgrhrcomprehendirur. Semicitculus enim cùm fit dia midium circuli:non pareil: alijs lineis quàm dimetienre,& me; f . h dia claudi circunferentia. * I (lTpiipoe miam, 85 ml flûxôflhop «’56 «Macdfiaâ daim mûtçtgtiœa’.

19 Seâio circuli,eft figura quæ fub recta linea,8c circuli circunferentia aut 1V. d maiore aut minore femicrrculo,conrinetur. p’ au .Cùm enim recta linea pet circuli centrum minime ducitur, vttinque tamen in circunferenriamterminatur: ea circulum ipfum in binas partes difpefcit inæquales , quæ circuli feétiœ nes adpellanrut.Quarum en qua: centrum includit circuli,vt kl lrmlobieétæ defcriptionis, maiot dicitur: reliqua veto, vt km! m, minot adpellarur . Ipfa pari-b linea recta kl m, chorda fine fubrenfa: 8c comprehenfa circunferentiæ pars , arcus refpons Amis. denter nominatut. IIDe reÎfilineisfiguris. (toast Cincvrlutizu travaux, ovule VNICO CLIAVDITVR ’ i 3.11,0

I 6 GËOMET. ÉLÉMENT. limite,fuceedunt rec’tilineæ,hoc cit,re6tis lineis terminaræ figuræ,variam quidè’,pro larerü humera, angulonîmve qualitate,denominarionê obtinêres:quæ ira ab Euclide diifiniuntur. ŒEUGûyfœppa EXÉFÆ’IR 35157?! W êuOlôpvrfiëuxôMa. Reétilineæ figuræ,funtquæ fub teétis lineis continentut. i ac "hmm- Porrô inter rectilineas figuras ,primum locum fibi vendicâr rrilareræ,fub tribus reâis lis sa" "m1,; neis comprehenfæ. mioniam fub duabus lineis reétis non pareil: côtineri figura,per ipfius "paraffinât linea: reétæ defcriptionem.5ubiungit itaq; generalem trilaterarum figurarû difiînitionem. Trilateræ figutæ funt,quæ fub tribus mais continentut lineis. a: ’ His fucced unr quadrilateræ,à quarernario larerum numero denominatz. Œ’refgobwilôbeœ illi-,78: ciao mécroit. Quadrilaretæ figuræfunr, qua: fub quatuor comprehenduntur reâis a lineis. Et quoniam reâilinearum figurarum fupra quadrilareras pet Continuant larerum addirio nem,infinira viderur excrefcere multitudo,quam fingularim defcribere, longum mimis vel impoilibile foretzidcirca reliquas omnes multilatcras adpellauit Euclides, 8c Tub hac diflî

(randonneurnirione and: complexus me «146va il rwéewp cit. tout» ’ mitxôm.’ Multilateræ figura: funr, qua: fub pluribus quàm quatuor mais lineis a; comprehendunrur. ’ 0412 quide 1*N1ül"°" figuræ,longè faciliorë ab angulis,ïj ab ipfa larerum multirudine, f°rtiumur n°Ën°n°lammmi "Pote,pentagona,hexagona,hepragona, o&ogona,&c. Sunr enim in manu-1e: quacunqvfisurl 1°! au liqum ° *""* "Mn autem omnis multilatera figura immediare refoluarur in rrilateras, verparrim in rrilateras,pan.i.n yeti) in quadrilas reras:fubiungir proprerea primùm rrilaterarum,deinde quadrilaterarum fi fi 3mm,tuin ab ipfis lateribus,tum ab angulis fumpta difcrimina. Omnis itaquehtrilateræ guræ,aut tria la rera funt adinuicem æqualia,vel duo tanrùm,aut nulla. flïôp Je Tyæàiugœp qupdrop,lomaieop px): To,.)Ol6p 831,15 «par; 7m; ixop margée. maman. Trilaretarum porto figurarum,æquilarerum cit triangulum,quod tria ,4 lignai; 3,14: cantiner æqualia lateta. . "Mm m Veluti fubfcripra in exemplum trianguli figura ars: qu: illi limiles. "mm «imam; Jugé fière «Mo ponte lm axer ’514’853’ Ifofceles autem efl:,quod fub biais tanrum æqualibus lateribus con: 2;. tinerur. Cuiufinodi funr triangula b,c,d,ad dariorem fingulorum euidentiam depiéta. (Miami «fifi-ô fait 4E5; hlm ixop Neck. - Scalenum verô cit ,. quad fub tribus mæquahbus laseribus conti- 26-1

Ve obieâa e,f,g,triangula:8c qu: funr eiufce T R 1 A N I . . modi.([Ab angulis autem rotidem différentias nancifcuntur ipfa triangula.0nmis fiquidem tu: ’ netur.anguli,vel tres anguli lunt acuti,vel vnus recrusa? q 8c cæteri duo acuti , aur denique vous obtufus 8c reliqui itidê acuri:duos enim rectos aur duos 1’ r I f ’ a l. obrufos , vel vnum reâum a: vnü obtufum au: ° a W gulum in triangulo offendere non cit poflibile. Harle igitur ailgularem trilateratunl (infirma MSmfiqle M. siensisafqbictitu 93611965, - -- .

ŒBridigffiràmŒugap axiwapmqampwLlBER marmita figeai i361:1.. deo la?" paria; 7 . 27 Amplius trilaterarum figurarum, rectangulum rnangulum cit , quad reétum an ulum habet. . . j i 6 « . I . argalis difiro Vt ifofceles b ,vel fcalenum triangulum e,proxima diffimrione defcriprum. rama. (I AFCÀvydmop fini ixop épatera yearling. I ’ 2.8 Ambligonium aurem,quod obtufum angulum habet. Veluti antecedens ifofceles d,fcaleniimve rriangulum g. ([09:76va dîné tirât «ignée ixop priera. . v v 29 Oxygonium verb,qüod ttes habet acutas angulos. Cuiufinodi funr æquilarerum a,& ifofceles c,arque triangulum fcalenum qu: eis fimii . lia funt rriangula . Omnis porto trianguli vnumquodque latus,cæreris duobus expteflis, Bafis Magali bafis vocitatur.Sequirur itaque,re&angula 8c amblygonia triangulazfore tantummodo ifo ’ feelia,vel fcalena.0xygonium autem:8t æquilarerum, 8: ifofceles, 8: fcalenum offendirur rriâgulum.Quemadmodùm ex fuprafcripris rriangulorû licer clicere figuris. ÇHaud dime d 1 militer quadrilaterarum figurarum,rum ab angulorum rectitudinevel obliquirare, cum ab 0435 31 a”. æqualitate vel inæqualitate 1aterum,fuccedentia colligunrur difcnmma. m4" - (hep Je Trafawàeüewp oxupo’e’rop, trancherai: [4&4 flua îoôœàtveôp tri 3E1 me! deOoyévrop. 30 Œadtilaterarum autem figurarü,quadratum quidem efl:,quod 8c æqui larerum 8c rectangulum cit. "Eflw-I’ ’ Veluri quadratum h . Omnirffâque quadratîlvnufnquodque I ’ " lamxaamaqrdcm indiflïcxenrer adpellarur. Fit enim quadras Radiqu h k A , tum,ex data linea recta abitraétiuè in feipfam reétiflimè auna; drati. . quemadmodùm numerus in feipfum duétus, quadratum etficie l numerum. Œsfleôpunte Jim 89907430101: Main luisante» illi. 4 31 Altera parte longius, cil: quad reétangulum quidem, at æquilaterum

Quemadmodü fuprafcripra ligueur M angulorum reftitüdincm’conueniè’s cum ipfo, quadrato,diffidens autem ex patte larerum. ’ nonQIPôpCoç «ni, iodaitugop cit. M,obu âgeoydmp p du. V 32. Rhombus,efl: qua: æquilatera,at reâangula non cit. p Cuiufinodi cit figura l . Conuenir iraque rhombus cum ipfa quadrato , in fola latetû æqualitate:habet enim duos obtufos, 8c totidcm acuros angulos,quatuor reâorum limai efficientes. aŒPopCoddliç A «flâna quantitarem. 722c; ôm’ aimaiop daignés-s and yavioea’ 76:; 5cm; ixopfi dus-e 4 méningé; n r . 3h, acre ôgOoydvrop. ,’ q 33 Rhomboxdes mafia quæ ex oppoliro latera 8c angulos habens æqua: les,neque æquilarera,neque reétangula cit. gemadmodum fupra depiéta figura m repræfenrat.Siinrquehæc omnia nuper enarrara qua Elfqrergpagllelogrpmmaud (Îit,quorum oppofita latera funt adinuicem parallella,feu Farandogrë- æqui anria . eque p ures ua rilaterarum. 8c re larium fi r ’ t ’ ’ ’ i difl’erenriasminc dicit Euclidgs, gu .gu arum commglt Inn-cm m. ([Tàc illi mugir autisme rqéwàsueæflrmiàiœ massifia. .34- Præret hase autem reliqua quadrilarera,rrapezia adpellantur. . * ’ a.iiij.

8 GÉOMET. ÉLÉMENT. In quibusvidelîcet nulla oppofirarum vel larerum , vel ana gulorum fimul obferuatur æqualitas , flue tefpondenria: ve: t luti funr m8: o,8c quæcunque eis fistules quadrilarerotum de: ’ ° feriptiones. ŒParallelarum linearum diffinitiovltima.

ŒPacgéAuMi êmp iueëca d’une; ai d’5 «1’176 marida bavant; hallucinâmes in" ibis-494p io’ irai. «me au! pieu 1113i [radieriez melfidflp émaciera. 4 Parallelæ reâæ lineæ funr,quæ in eadem exiltentes plano",8c ex vtraque a): parte in infinitum produétæ,in nulla parte concutrunt.’ Qqales ribi tepræfentant albr8t crdrlineæ recta. In quarum . t vide icet alteram,vtpote a!b,re&a linea erfrad æquales feu te a l &os incidens angulos:8t cum reliqua crdrreâos itidem vel æ: quales angulos efficitJ-Ix eo enim, alterius in alteram æqualis vrrobique furAgir inclinatiownde fir,vr ipfæ daræ lineæ in infis C f J nitum ex vrr que parte produâæ,æqualiret feu parallelicè dia l fient,nufquàm adinuicem concurrentes. (La irripmu. Poflulata.

ÉCVNDOI o n LOCO o N SÉSE’r 1 OFFÉRVNTv s. î POSTVLATA: roflulata que qua: peririones à nonnullis adpellantut . Sunr autem poilulara, genetales quædam PïoPom’Îonessex livfic colleétæ diflînirianibusi qua: pendentet ab auditote cancel; fæ,pofiulamul’samlmuntlîrvejn ordinem feu rarionem principij.Ptimum itaq; poitulatum, IIHTiôw,cit huiufmodi, 5ms amerrie and: dal eau! h"Fini’aWWÔPWFP"? *1.- j p- , «W9. a Ah omni punâo in omne punâum,re&am lineam ducete.’ * " ’ 3 Farcir enim datum quodcunque pun&um,in aliud quodlibet ’ punâum , etiam vbiliber imaginarum , pet viam abl’rraériuè I fluendo breuiifimam: rectaux defcribere lineam. quemadmos .--.---. dum ex quatuor primis licer elicete diffinitionibusAdmitrens da cit iraq; linea mâta quanraliber,ac quibus voluerimus puna v a &is,v bilibet indifferenter temtinara. fixai Œt’lrteMWIyp influait mais: do «mixât; iras: EUBu’oeo’ üfiéndpl - Reâam lineam terminatam,in continuum reétümque producere. a. Nain vrtunque punâ’um ipfius datæ refit: lineæ temiinatiuum,per reétum eiufdem pun &i defluxum,quârumliber abl’rraé’tiuè continuarüzparell: ipfam daram lineam teétam efficere longiorem.quemadmodû ex das . a ra lineamm teé’carum colligirur defcriprione. ([Koci mari rivure mi SQnipm-I 11.6100de Omni centra 8c interuallo,circulum defcribete. 5 Hoc eit,licet vbicunque voluetis centrum defignare circuli, 8: circa idem centrum, ad libetam femidiamerri quantitatem, ipfum figurate circulum . Aut (fi velis ) ex data quacunque lia nea reéta tetminata , alterb eiufdem lineæ termina vbiuis cols locaro,per completam ipfius lineæ circumduâionem,citCulum defcribere.Admittendi igitut funr , liberæ quantitatis circuli, pro data femidiametri vel inrerualli magnitudine. (Kari même: ad 6360:) gomina l’eau (imines; êO’f. . 0mnes angulos reâos,admu1cem æquales elfe.

cum enim dari cuiufliber anguli teéti magnitudoLIBER, quadrans exiitat circuli ,1. eiufdémq; . cit. ., culi quadrantesfint adinuicem æquales: fit vt inter quafuis angulos teâos nulla poflir elfe diferenria, fed omnes fine adinuicë æquales.Qpemadmodùm ex hi: qua: feptima,nona,8c decima præmifimus diflinitionibus,elicere vel acilè potes. (Rosi Euc) ée No Eueeiota’ , iubêoc époi-infime, nuls 0477739 and :133 qui aime prier 74th , Mao 139pr iléus-MM qui, êuCaMôpflêroa où 4Mo «brou éberlua en” dardent , oupmaîwoa «innéisme , itp’ æ pieu êoippâfi; No 6908p aiderons ravina. p A " S Si in duas teétas lineas recta linea incidens , interiores 8c in eadem patte angulas duobus reétis minore; fecerit : reâas lineas in infinitum pro: dué’cas concurrere necelfe cil, ad cas partes in quibus anguli duobus tee cris minores exillâunt. I « - v - Vr pore,fi in re&as albrôc c1d,re&a incidës erf,interiores angulas brerfrôt drfrer fimul c6 I paratos,duobus te &is minores fecerittipfie linea: arbI8t ord, in infinitû produâæ,c6ueniêt tandem in g, ad pattes quidem br8t d. Quoniam plus inclina: . tut adinuicem partes brd, quàm arc . Vnde quanrô magis Pros ducenrur bre,8c drfrparres,tanrb propiotes eificienrut, in vmî 3” tandem fignumÇvtpoteÎxoncurtentes.Secus cit de ale,8ecrfl partibuszptopretea quo anguli arerfr8c crfrerfunr duobus ana gulis teâis tanro maiore: , quanta eifdem métis minores fines tint ipfi brerfrarq; drfreranguli . (Patient 8c alia bis haud diifmrilia fubtogari poitulara: mœurs, Po qu: cum funt omnibus(eriam tudifiîmis)pet fefe manifeita,vel qu; ,rçcenfieanru’ifldlgna, [1141413. hoc quinario cum Euclide contenti erimus mimera. j " ŒKuimùîaww . CumniuneSfententtæ. on o N ’r 1 v s. RELIQVVM EST TANDEM,C0MMVNES ELVCIDA Axiomatagfl te fententiaszquas græci-axiomara, latini veto effara fuient adpellate.Sunt igitut fat, I514 com- cômunes fentenriæ,generalcs quæda ac pet fefe manifeltæ propofitiones,cômunis mafias»: rérve [cita ab omnibus , 8c in principij rarianem vel ordinem coafi’umpræ. tannin prima fit. (En? en; àu’rô lagmi Emilia; isip 76:. ’ 4’" ’ , I citqua:i ieidemha:c. difiuîcèm æqualia,ôc A.f n A qi .a tu 3u it Vw.æqualia , pommant: . [au , a. l b q Vrpore,fi almagnitudo fit æqualis b! magnitudini,cidem qua. "hmm, "a. - æ p W t que brfir arquait: magnirudo c:neceffum en: aras armagnirudi. (un, "m. i c-L... nes fore adinuicem æquales. Idem habero iudicium de nume. 6mm. " ris,atque cæteris eiufdem generis adinuicem comparabilibus. ’ ’ ’ (ne! ion? idole 76: 7:65:03 au! 32s a isipiôt. V I ” 2. Et li æqualibus æquali-aladijcianturpmnia erunt- æqualia. (lied iod duré ioap’i’ôs dromeæifivd nœTaManiMo’e 3?": 76:. 3 Et fi ab æqualibus æqualia auferantur,quæ telinquentur æqualia erunt. Vr fi dl8t ermagnirudinibus inuiéem æqualibus,æquales addanrur magnitudines ne: g: confurgent dlfr8t erg magnitudines adinuicë parirer æquales. i bifi-E-i 043m1 fi vetfa vice ab ipfis drfrst ergrmagnirudinibus inuicem M æqualibus,æquale’s tollantur frquidé 8: grmagnitudinesztclinq quenrur drst ezmagnirudines turfum adinuicem æquales. in!) bien: la: aréostüflaî 8M lib-ipôbri” . i 4 Ét fi inæqualibus æqualia adiungantur , omnia inæqualia erunt. (ne! ion? dem-ô àvio’opi’êe âcpaactâil,rroîÀoMDÉ 3’519 25146:. I ’ À 5 Étfi ab inæqualibus æqua’lia auferantur,teliqua inæqualia erunt. .

x. GEOMET. ÉLÉMENT. Si nanque h,klmagnitudinibu: inæqualibus,æquales adiungârur magnitudineë l,m:Eônh (urgent inæqualcs adinuicem magnitudines hlm: kxm. Aut fi ab eifdem inæqualibus mas l gnirudinibus datis hIlz8c kzm, æquales auferantur 1l 8c m: qu: .---h---I----- rclinquentur hl 8c lamagnitudines , erunt adinuicê inæquaIes. Il l m ’ , Vnde 8c verra vice,fi æquah’bus inæqualia adiungantur,’ vel ab æqualdbus inæqualia auferantur : confurgent,aut relinquentur inæqualia. Hz (un: igitnr quinque præcipuæ communes fententiæ , rationem æqualirati: inter magnitudines,atque. inuicem comparabilia,tum faé’ca inuicem compararione,tum ad:

(Ixoâdendo,fubtrahend6ve «à a? «61?: ææàææœfiô: 0273th2 5311:. aoccurrentcm,refpicicntes. .- (Luge eiufdem duphcxa funt,ad1nu1cem (nm æqualia; Cô’mnnit fi!!- Hoc efifluæ’ eiufdem (un: æQUè multiPlÎdafl’ Cl æquè ("Pa Partial:Iria ’ au aiguë rabe" "m4,?" m- Pamentiaflelçvt [ammtim comprehendam)æquè maiorazca (un: adinuiCem æqualia,nem tian: maoris m l » pe quôd æqualiexceflü enndem fuperent magnitudinem. V: fi üqwium, n m8: almagnitudines , eiufdê magnitudinis pzfint arque maies Hh---v p res, vtpote duplæmeceflùm eû eafdê magnitudincs m8: o,fo: .0 Mrg-fld re adinuicem zquales. Nam æqualibuà magnitudinibus ipfi pl in eifdê mat ozcomprehenfis,æquales adduntur exccfl’ustcm. cenfeto de numeris,& quibufcunque inuicem comparabilibus rebus,candem ad tertiam ma ioris inæqualitatis rationem obtinentibus. ’ fixai çà 45” «25737 ü’mwfiô: «infime 35g. Et quæ elufdem fane dlmldlum, æqualia funt adinuicem; 7 Commis fin- Hæc cqmmunis fentè’tia,pro magnitudinibus rationcm minoris inæqualitarîs ad eandem renfla prora- tertiam obferuâtibus magnitudinem,ita venin: intelligenda: v: - . . I . . nque au cm un: æque ubmultxp11c1a,aut uperpartxcu WQMIÎW-tian: minori: s W. :me ’ CfPîmennavllm "4 ï quæcu Cflvwguè - [d f minora,eae f - - -(un: f -aldin; r uncem æquaIm.thore,fi qÆtnmagnltudlnes,ciufdem magnis ’ radiais Min: (verbi gratia) fubduplæ: illæ cran; adinuicem z. quales,propterea qubd æquali ab eadcîn magnitudine fuperentur excefiu. V . «me? qui îçaqpôzom id ëAhMfiG: cannois isip. V Et quæ fibimetipfis c nuemunt,æquaha funt admuicem, thore,fi duæ refl’ç lineçHËËusduçve fupficies in temlinis,feu lateribus ,8: angulis, &quç (une fimilia fimilibus ex,o p m parte côuem’âcœapportet adinuicê çquari,& ècôtrario. ŒKoà 8 ô’Àop fi pies; pâtofisl. . y T otum ef’c fila parte malus. l Acide partes integrales,qubd 8: zqualc fuis partibus integralibus,id cfl qu; fimul fumptz 9 ipfam rotum videntur inregrare. ’ fixai «No tûeêioa Xâewp à mgïxoualp. . ’ Duæ reâæ lineæ fuperficœm non concludunt. 1° Prius quàm enim fupèrficiem concludere valerent: operapretîüm effet , gemina pun&a vtriufque datarum lineamm termmos lunitant-ia mutuô côuenirc.Duæ iraque limez méta, à data punâo in datum punétum produccrentur:coinciderent igirur in vnam au; eandem : lineam rc&am,fuperficicm concludcre non valentes.quêadmodùm ex ijs,quæ quarta pas,

diximus ([Dcdiffinitione,fit Pfoblematekaeorcmamtque manifcftum. Hypotbefi. - fi. . , (EX H18 ITAQVE SANE QVNM INTELLECTIS PRIN. Problemata. cipijs,colliguntur problcmata:hbc eft,ambiguç propofitiones,fcifcitationéfve,pra&icas fi: TbGOTCIMM. gurarum afleétiones difcutientes:& Theoremara,id e&,fpeculatiuæ propofiriones,præceaï prionis vrcunque participes , quæ finguh’s accidunt figuris fola infpeétione diiudicantes; Œæ quidem omnia tali funt artificio ab Euclide difiributa , vt ex antecedenribus omni: fubfequenrium videatur pendere comprobatio : fia’tque mutua fubminifiratio fingulorum Hypothefu. inter (de 8: problematum 8c theorcmatum . Ogibus (ufFragantur hypothefes, ho; ça, en præuia fupradiQorum cognitione,afl"umenti cpnçefl’æ fuppdfiçioneg. 7

Le-" ,,flz

raxxvœ-aüxæxaç îêfis’ê-îî &swzszç me: I . finrxnmorl" .nlrnAI’or l lied-rotl . l l Femme: a, Temple et. I E171 fi; fléchie iam mette-Firmarlfinpîqhàtueop K EVCLIDI’S: LIE-RI .PRIMI’. : ’ I Problema I. l Propqfitio I. ’ ’ Vpet .data I linea . toits. r terminata,triangulum ’ équilateé

rumO R’O N Tconfituete. I V S. (Sir data refit: linea ’ temunata alb, euius limites Nommpofi. (in: v8: blpunôtazfupcn’ quam oporteat rriangulum æquilatetum con gommer. Rituere:h0c efl:,daram re&am lineam temünatam in brus ipfius coas Pngmmm. x pure rrianguli,& teliqua duo latera,quæ fint eidem lineæ datæ æquar lia, ex [apetius enarratis principijs inueftigare. Cent-to igirur a, in: teruallo autem a!b,defl:tibatur circulas brad,pet terrium pofiulatumÆt pet idem pofiula: tum,centro rùrfum b,eodémque inœruallo bla,defcribarur circulaselçze. Cùm igirur cit: culi blCldl8t wuelin eodem (in: plana a: commnnem habeant femidiametrü, nempe da. p nm yb,re&,m,mnfegtq..yerFormruËpommyniuc éreunfetentia pet centrum altetius: neceffum e&,blc1dlcircunfetennam pamm cil-cintra Circulum 210e,partim veto extra, a: ’ ’ è côttario,& propterea fefe marne inrq-(ecate.Sir ergo feé’tioa C num alter: in puna-o c,& c0 rfgéjtajntur tan-dem rcâ’æ lineæ a! 08C bzc,per primum pofiula ph. quangulum en iraque albzc, a . c (non congruunt enim, ncq; in iteétum côftiruunrur ipfæ azb, A btc,& Clal fine: teëtæ:fed trigonam includunt fupetficiem a! .bzc) dico qubd 8C æquilàtewm.ng iam punâum a,centrum ’ cit circulbeadaæquah: cf! igitur axer e&3,ipfi.a1b, pel- ded- . mamquinram difiinitionem.Rurfum,quoniam punâum b,Cene mim e&.circuli a!c!e:æqualis e&,per candem’ diffinirionem btateé’ca, eidem azb. Duæ igis tu, am, ac blc,eidem alb,funt æqualcs: eaptoprer 8: æquales adinuicem,per primam coma munem fenrenriam. Tres irai]; lineæ aIb,’btc,c1a,funt adinuicem æqualengitur fùper data reéta linea terminata Ub,côfi:itutû cit triangulû æquilaterû thc.ngd facete oportebat.

. refera. mélangea d’ami!" guide fi.æoedagzoaaqflagpaueaapoeæw. là, r retienne fi. . . .L . ° problma a, I Prïipqfitio 2.. ’ D datum punéhî,datæ teôtæ lmeæ æquam’ tcââO lineam panera. O R O N T I V5. lISit datùm ,punâum a, data verb linea re&a bic:cui expedir,ad ipfam punâum a,æquam mél-am lineam ponere.Ducatut iraque méta alb, pet primum poflulaa tumzfilpet qua triangulum æqujlare m conflit-narin- vbId, par prlmam propofirionemÆt centre b temallo autem blc,circut lus defl:ribatut ouf, pet terrium poitulatum.Atque pet fecunc dum poflulatum’,producatut mél-a ùbzin ipfius circuli circunfe rentiamzfi’tque dze.Cenrro rurfum d,intetuallo autem dlc, cirs calus defcribatur e’lglh, pet idem tertium pofiularum. Produi çanîrque tandem reâa dla,in circunferentiam ipfius, elgzh’zcirs l culi,per recundum pofiularumfitque dzg. Gùm igirut punCtum b,cenrrum arma: circuli

n: CEOMET. ELEMENT. ’cleIf: æqualis cit blclreâa ipfi bze, par decimamquintam diffiniriorieni . Rûrfum adam punétum d ,cenrtum eft ergxhlcitculizæqualis efi,pet candi diffinirionê,te&a dletipfi dg. A quibus fi àufetârur avd,& bldlinuicë æquales (nempe larera rtianguli æquilateri)reliqua alg,reliquz ble,pet tartiam communê fentenriam etit æqualis.Arqui monitrarum efi,quod 8c bzaeidem bxezefi æqualis.Binæ igitut alg,8t blc,eidem blelfimt æquales:quaptoptet 8: æquales adinuiCem,per primam communem fententiam. Ad darum ergo punétum aldatæ re&æ linea: bzc,æqualis,re&a,linea pofita eûarg.ngd oportuir fecliïe. I Femme. h . rem». au i z Io «114940511 iuolëp àw’ofopjcmrl si peignagfi iman la": îueà’œp .àçtÀëp. I ’ Problema 3,- Propofitia 32 Vabus dans refus lineis maqùphbugà maîoti minori æquam te: 3 &am lineam abfcmdere. , - i ’ ’ ’ 0 R 0 N T I V S.([Sint data: bina: raflé: lincaè inæquales,arlalquidem maiot,minot vetô . Cld:Cüi receptum fir,ab ipfa maiore azb,æquarn lineam retâtant abfcindete . Ad datum ergo punâ’um alalretum ipfius maioris azbzlimirem, eidem minoti adiponatut æqualis, pet (en cundam propofitionemflîtque ateÆtcentto a,interuallo aure ale, circulas defcribdtut elfl g,per tertium poftularum.Cùm igirur alezreé’ta fit æqualis ipfi adfitque CIWOI’ ipfâ a! b, pet hypothcfin: etit 8: vezeadem azlm’ninot. me enim funç æqualia,eiufdë (un: arque minora,pet conuerfamieptimæ coma munis fenrêtiæ. Egredietur ergo avbzmaiot ipfa ave,circûfetens « riâ circuli etftg , ad interuallum eiufdem vetdefcflpri , cana -*l’ démq; circunfetétiam egtediendo fecabit:fecer igitut in punéto f. Et quoniâ punâû-a,centrum cit circuli eÆfg: æqualis cf? :1sz me, et daïmuwfmfih diffinitionem .. Eidem potto C a 31e,æqua 1s e a: reéta Cld.Blnæ igirut 3105: ad, ejdé mezfimt ’ I æquales:& propterea æquales adinuicem , pet ptigmm commua nëm fententiamÆil autem a: alf, pars ’ fius maiotis azb.Duabus ergo lineis reËtis maqua. libus datis,a!lvquidê 8c ad:à,maiori a! ,feôta cit aszipfi ad! minoti æqualis.Qiod 01’013

[:94 t rebat facete..etdelpœ ne. 11366thï - ’ dl. I 1p Àu’o aflymæqûçdlüo aimfluîç dînai «imagier iam in banian basieçmxi 7M! 7min si ramie: la": infini: n’a-b 41W in? N°43; onpn’up, 6 fipfiémp tri 1.60204 loup i. 251,142 à crïyovop w «gringo iaup ïsaa, me! in Min-ad 7min me Mimi; flouai-Tom "tabla; fumige: Mfieqcfiç’ de au 7m: «fiançai ûwwe’vmp. Tbcorema 1. Propojïtio 4.. l duo triangula duo lateta dupBus lateribus æqualià habuetint al: 4 tetum alteri,8c an ulum a ’lo æqualem fub æqualibus mais li: neis contentum: 8c baËn bali ualem habebunr, 8c triangulum triangulo se uum etir,8c teliquiatiguli reliauis angulis æquales etunt altet’ . altetx,fu u1bus æqualla’lateta fubten untut. l l 0 R O N T V S.lISint bina tri-angula avbzcÆc dzetf,habenrià duo latera Mu a: ale,dud obus lateribus dtezôt dtfzaltetnarim æqualia, hoc e&,albzipfi dle,8( avaipfi dzf: au; aligne lum bzalc,æqualem angulo etdzfx fub æqualibus reâis lineis contento.Diço primùm,quod par; prima bafis blaeft æqualis bali ezf.Compatato nanq; trian o ubzclipfi dICIf, arque punâo a! theonmatis. fupra dz pûâum Confliruto,extenfaîque reéta wifi fupet &am dle:conueniet punéhî blipfi punâo e:nam azbz ipfi dzeI pet hypothefineft æqualisaquæ autem fun: adinuicem æqualia, ’ fibimetipfis conueniunr,per conuetfam citant communis fenrentiæ . Et quoniam angulus btazc,angulo e!d!f7 pet hy othefin quai; en: æqualisæadet igirut , pet candem conuetfam, alateéta,fup’et teâam dt . fecus enim alter anguletum foret teliquo maiot , côtta ipfam hypothefin.At cum avec dlftteétæ,fuitlex eadem hypothefi adinuicem æquales:c6ueniee

a. a tritium punâ’ü c1 ipfi punftoLIBER f, pet allegati cet-aux communis.I. 13 r’ fentenflæ conuetfionem.Binæ igitut reétæ hmm: exf,ab eodem z’ commun: punâo, ad idem commune punârum educentur:cons . b r’ I uenient8 ergo adinuicem , pet datam ipfius linea: reé’tæ diffini: Net d r tioncm.Conuenientibus enim b,el6c c,fllimitibus,ii eædcm bl i a! " 08: elftteâæ minime conuenirent:du:e lineœ reâæ includerent - p fuperfièiem,œntta decimam communem fententiam,& difiîni- q b tam teâarum linearum defctiptionem . conuenit iras; bzcr ipfi lclac eIfiQuæ. autë. fibimetipfis conueniunt,æqualia funt adinuicem, . g g F par o&auam cômunem fententiam.bafis ergo b!c,bafi eszcons cluditur æqualisJIDico prætetea,g; triangulum azbzc, trianglIlo (Vu læquum eiLConue; Pæslmdd. niant enim fingula lateta ipfius alblatrianguli, fingulis d!ezfltrianguli latetibus: 8è trian: lum igitut triangulo conuenit . Vnde pet eandein oâauam communem fententiam, al tu triangulum,ipfi dlezftttiangulo æquum exit. ([Aio tandem,teliquos angulos reliquis renia pas; anfgulis,fub quibus æqualia fubtenduntut latera,fote alteram alteri æqualeszvtpote ,alb[CI 1p 1 dzelf,fub quibus vas: d!f,8c azabzipfi dtfte,fub quibus azblac dzellateta fubtendun ïtut æqualia.Conueniunt enim fingula lateta fingulis lateribus, fub quibus ipfi continentur n ’ anguli.Ex laterum porto conuenientia æqualis eotundem fubfequitut inclinatio. ex æquali autem inclinatione laterum,contentorum angulorum conuincitur æqualitas. Si bina àgitut triangula,duo latera duobus latetibus æqualia habuerint &c.vt in theoremate. Quo erat Geéeupæ fi, , P969601; t. iq l 99 îWPdemonflrandum. "P06"? 0d 71959.75 M04 whim ËZMMM id-rùmmidôi . . 78W’- -- ’- W’P Ëuodëbœi 6’86 ’TiÙfia’flp piétin iam anime (mm. .. flairer-Mi: i Propofifia f. ,4 ISofœlium trianguloium ui ad bafîn funt anguli , adinuicem funt æqualeszôc produéh’s æquaîibus lineis,qui fub bali funt anguli adins uicem æquales erunt. i . 0 R O N T I V S.l[Sit triangulum ifofceles albtc: cuius latera albz8c alczfim adinuicem izqualia.Hæc autem verfus d,& e puritain continuum raft-limproducanturwer fecum :dum poflulatum.Aio iraque primum, angulos azbtczôc azub,qui ad bafin blc,fore adinuis cem æqualeszangulum pretetea dzblc,angllo bICJezfub eadem bafi bzdconitimto,itidem coæquari. Sufèipiatut enim in bzdlreéta contingens pun&um,fitq; illud d.& data teéta b! d,fecctur ei æqualis ae,pet tertiam propofitionemæôneétanttîtq; bze,& adzlineæ teétæ, pet primum poitulatum.Cùm igitur azbzfit æqualis alc,per hy othefin,& bzdlipfi cœ,per "in", 0mm confiruétionemzerit 8c aldlipfi agrier fecundam communem ententiâ,æqua1is.8ina ergo fionùdi a", latera azb(8c aleltrianguli vive, funt æqualia duobus qui? azdttrianguli arczd , alteram fia Ï 1 alteti: éit ue angulus ui ad a! fub æquis lateribus compîehenlus, vttique triangulo com: ’ munis.Ba 1s igitur bzez afi’ Chilien çqualis,8t totum triangulum axbzeztoti triangulo wadx - -’ æquale,atque teliqui anguli reliquis Iangulis,fub quibus æqualia [ fubtendunturlatera,refpondenter æquales,vtpotexatbzelipfi a! X Cid , 8c aldluipfi alezb:pet quartant propofitionem. Rurfum, a . quoniam b!dI ipfi au pet confiruâionem cil æqualis , 6c bzeI . ipfi ad! æqualis oflenfa cil: : bina proptetea lateta dtbz 8c die! trianguli dzblc,duobus elblôc efqipfius ethtcxtrianguli lateri. bus flint altematim æqualia . 8: contentes fub ipfis æq’ualibus latetibus ’angulos,vtpote,qui ad dJ& ennonftrauinius æquales: eandémque bafin fubtendunt bzc . Triangulum igitur dtbtc, triangulo eszyefl çquale,& reliqui anguli teliquis angulis,fub quibus æqualia fubtendlîtur lateta,adinuicem æquales: pet eande’ quattam propoiitionem. Angulus itaqg d!b!c, angulo bzczezeit æqualis : nec non angulus b[Cld,ipfi angulo czbze. Recolkflio Je Tous porto. angulus ’ æbre,toti angulo.;. voùæquafis nuper ofle’fus elLIgitur fi labeifdenli mëjhatimain

i4. GÈOMET..ELEMENT. æqualibus angulis albterôc a!cld,æquales auferàîtut anguli bzczdzôc ablezqui telinquencm; anguli azb!cl& alubxad bafin blc, erunt pet tettiam communem fententiam adinuicem se: oqualesÆt qui fub eadem bali btufunt anguli, vtpote,dzbtcz& bre! e, nunc quoq; mouline! unt æquales. Ifofcelium ergo triangulotum,qui ad bafin funt anguli, &c.vt in theoremate.

([HincQuod manifeflum demonfttare efl:,ttiangulum æquilaterum oportebat. ttes angulos adinuicem (coronarien. æquales continere. l mioniam binatim fumpta latera,femper offenduntur æqualia: 8c duo quoque anguli omni, .fariam fumpti,confequenter æquales. adipique. y, PgôOMç se 4 Ap «mon; «1Mo gomina iam anime aux, «à a! rivai mais fane 70W damâmes

«amenai,,Tbcorcma iam (Femme 3, Propofitio lamina. 6. » - ’ I trianguli duo anguli,æquales adinuicem fuetint : æquales que: que angulos fubtendenna lateta, æqualia adinuicem etunt. 0 R 0 N T l V S.lIEûo althItriangulû,cuius anguli avbzcxôc Nubzfint adinuicem arquales.Dico propterea, uod latus alblæquum en lateri aIc. Si nanq; azbz8c avalatera forent inæqualia,a1tetum e et mains:vtpote,a!b.Poifet itaque àmaiori ajb, fecari ipfi vuminod Væqualis,per tertiam propofitionem. efto igirur bzd: 8: conneâatur adltefta, pet primum pofl’ulatum. Cadet igirur re&a cszntta triangulurn azblc: diuidétque latus a! b, 6c angu: lum uchlin duos angulos,atque datum arbtclttiangulum in bina triangula azcz’dlôc dl b! c. Arqui albrcztriangulum, ipfo Ùb!Utriangulo(nempç totum fua parte)maius efl::per nua nam communem fententiam . oued fi azureéta foret æqualis ipfi bzd , 8c brelfit vtrique àMario mmflibili a triangule communisæfiènt bina latera azc;& Clbfl’rianguli me! vb,æqualia binis lareribus cxbzac bxdz ipfius trianguli obtd.quæ a cüflï me: adinuicê c6prehendât angulos azbzczat vamper hypothefin:bafis azbz dati maWtriangulifoœt æqualis bafi Cl dIipfius trianguli abzd,per quartai propofitioncnuiffum denirpi triangulum alb!c,ipfi triangulo dzblaæquaie ,rtotum videlicee B c fuæ parti. quod pet nonam communem fententiam eft impoifis p bile . Non cit igityr aszatus, mains me. Similiter oflendetur, quod neque minus . Acquum en: iraque lattis alb , ipfi lateri axe. Si trianguli iraque duo anguli,.æquales adinuicem fuerint z æquales quoque angulos fubtendentia latera,æqualia adinuicem emnt.Quod fuetat oflendendum. CICorollariwn. (Et proinde fit manifeitum, triangulum æquiangulum , fore verfa vice æquilaterum . au." ’ guli enim binatim fixmpti, femper offenduntur æquales: 8c duo quoque latera omnifatiam ’fumpta,tefpondenter æqualia. l - Epi. (atomise vrac 5cm; évadant dînai «il, qui; «inouïs P369201; ÊuOéoaç, aman Mo 2.mana Tous: tramiez barriez du eusœen’aarraa, mû; 2721M and am dupé? îvri très ôwrrà: pincé a’w’rà «régnas: ïxauvoa qui; té âexiç îueeiauç. r , l Thearefna 4., Propqfitio 7. o Vpet eadem teéta linea,duabus eifdem mais lineis,aliæ duæ refit: lineæ æquales airera alteri non conflituentur, ad aliud atque aliud" punâum,ad eafdem partes,eofdem fines prnms mais lineis poifidentes. c O R 0 N T I V S.lISupet data inquàm retira linea alb,duæ r66 &æ lineç aIClôc blc,à limitibus alôc b ,ad datum punâû acons , à l I Rituantur. Dico quod fuper eadem aIb, aliæ duæ teâæ lineæ, wtpote aIdÆc b!d,ad aliud pun&um,hociefl d,ad eafdê quoç partes ,non conflituentut eifdem alczôc blczaltera alteri arquas les,vtpote aldlipfi alc,& bzdzipfi b!c, eofdé fines ans: b, cum a b eifdem primis reétis lineis az a 8: ba apoflîdentes. Aut enim punél’um dzcadet in alterutram lineamm am! 8c bzc, vel intra eafdem,aut extragktqui in altgrutrahi daçarû linearum , ipfam dl summum minimè Pardi »

LIBER ’ I. K 1; incidere.Cadar 5mm poflibile son teâam bzc.coincidet igirur 1)de reâa, fuper teéram Primefignm’ b zcggcùm ù fit aliud punétum quàm c,erit eadem bld[pars ipfius bzc. Non etit igirur b! difpofirio. d, æqualis bic:totum enim foret æquale fuæ parti, contra nonam communem fententiam. Similiter oitenderur , quod neque in v0 reâam , neque in alterutram aut alczaut bIcAn continuum refihimque produiram, cadet idem punérum d. (Dico p’ræterea , quod neque semas!- intta eafdem lineas w08: bIc, ipfum dlpuné’tum poteil incidere . Eiro enimÇfi fuerit pofli: bile) vt in fubfcripta figura. 8: connexa cldIreâa, pet primum poitularum,vtraque azcz8: ald,per feeundum poitulatum, in continuum reérümqu e ,quue t F ad eI8: fzfigna producatur.Triangula igirur azczd18: btczdzfu; 1(8 pet eadem bafi admonirituta , forent ifofcclia. 8: an lus pro: Â pterea mari, æquus cirer angulo azdzc: necnon blcl langulus, ipfi btdtczrefpond’êrer æqualis,per primam pattern quints: pro; pofitionis: 8: pet feamdam eiufdem propofitionis partem, qui p ub radé bail Udlfiunt anguli,adinuicem,quog forent æquales: k a. 4 a v: ote, CldIfÀpfi dzc1e. Angulus potto drue, maior cit angu: lo ICId (trempe totus fua parte ) eaproptet 8: eldz’fz angulus, foret eadem angulo b!Cld!mai0r: 8: maior confequentet ipfo angulo btdtc. nam æquales anguli,eiufdem funt æque maiores,vel æquè minoreszper conuerfam fext’æ, arque feptimæ communis fententiæ interprerationem. en autem UdlfIangulus, pars ipfius auguli btdzc. Particularis igirur angulus,maior effet totali:quod pet eandem nonam communem fenten tiam cil irnpofiibile.l[Haud diflimile fequetùt inconuenienswbi datum punérum d ,incides Tf’fid figura rit extra præfatas lineas reétas a! Cl 8: bzc . Si nanque id poiÏibiie foret , vel earum airera d’lïfimm’ quæ ex alpunâo , alteram qua: ex btfecabit :aut nulla dabitur r r c4 prædiérarum linearum interfeério. Secet primum aldzipfam b1 î’x c:8: conneératut Ud!re&a,per primum pomflamm. Triangula 4 rurfum aludI 8:.btc1dI cirent ifofcelia z a: qui ad communem o, . «mile trianguli bafin adzfiunt anguli , pet primam partem A . ipfius quint: propofitionis, æquales adinuicem, vtpote,atczdz a i l, i fi aldtc,& bœldlipfi bzdzc. Atqui angulus azald,angulo bzcz lmaior efi,pet nonam communem fententiam:reéta enim bICI diuidit azbrdrdquadrilarerumfi: angulum propterea alungitur 8: azdICIangulus,eodem angulo bradzma-ior eiÏet:8: maior confequenrer ipfo bzdzclangulo.angulus porto aldzc,eft pars ipfius an li bldlc:te&a uamque ald,diuidit eundem b!dlczangulum,atque æbzdlu uadrilatetû.- ars itaq;,totü rurfum excedetet:quod ipfi nonæ communi viderur aduerfari ententiæJdê etiam concluderut,vhialc1reétafecuetit- bzdnbt’ve punéhun dIita feotfum locabirut,vt nulla fubfequatut prædiâarum lineamminterfeétio.quemadmodùm ex (calus da figura difpofitione deducete vel facile potes,cn’n d , arque èdiuetfo permutato . Non funt igirur ale! 8: aldzreâæ liriez », neque blc18: bzdtadinuicem fimul æquales . Super ca: dem ergo teéra linea,duabus eifdem métis lineis &c.vt in theoremate.Qx.od demonftrate V g I Quimper a, P366201; a. k Ap Mo afiyavœflàs J60 «augite qui: and mimais fût: in: mitigeur induriez, in: il": Ô opottebat.fifi! Mmpailàéwl iflp,uj du) 7mm: ai paria: idpïâd du: inti 79W* i009 êuNôpflüPuxoMrp.’ Tbeorema ’3’, Propofitio 8. , ” a a S I bina triangula,duo larera duobus latetibusaltetum alteti arqua: lia habuerint, 8: bafin quoque bali æqualem : angulum quoque A fub æquallbus mais lineis contentum æqualem habebunr. 1., 0 R O N T I V S. liSint bina triangulaNbId8: dz ez f, habentia duo latera azbz Vive, duobus lateribus dIez8: dIflalret . im æqualia , hoc cit, albtipfi dle ,8: arctipfi dlfifi’tque bafis btc,bafi dÆIitidem æqualis. l iraque angulum blaIc , angulo etdtftoflè refponden ter æqualem.Compararis nanque adinËçem triangulis , 8: punâo bzfupra puna-nm ezcons Aflituto , extenfaque bafi bza in re&um ipfius eÆ: conueniet punâum acum punch f,per ,3 conuerfam oâauç communis fententiç.Conuenientibus autem M8: e ,arque 08: ftpunôtis: I . conuenier8: punétum a! cum punéro d. (moniam fi 34.8: dl puné’ra minime cognenircnt: .1]. r

,6 » GEOMET. ÉLÉMENT.

fequ’eretut ex h pothefi larerum , ubd fu et eade’ revît ’ i a a - bayant elf, duzbus eifdem lineis sablât: alâvel ÜeI&ÂÎfh:lÎ; i Î A duæ reéræ lineæ dlbÆ: dtc,feu dlel8: dlf,ad aliud arque punâum, hoc cit al8: d,ad eafdem quoque partes, eofdena.’ de, ’ nique fines b: 8: dvel e! 8: f7 primis teâis lineis poflîdeintes, alteta alter: Confliruetenrur æquales . quod pet antecedentom feptimam propofitionem demonftrarum efi impoilibile . co’n. Bau! ac ,4 it eigirur f dz punérum,ipfi pun&o a: quapropter 8: angulum laIc,angulo eIdlf, congruere neceiTum cit, fotéque illi æqua L . lem . Congtuentibus enim terminis : con un: 8: ipfæ linea: te&æ. ex reftarum porto Conuenientia , (à? quibus ipfi conti; g le, Ê nenrut anguli:eadem furgit inclinario . ex qua demum pari lis nearum inclinatione: eorundem angulotum conuincitur æquas litas.Etgo bina triangula,duo lateta duobus latetibus 8:c. vt in theotemate.Œod opoùx

Pgéfiahpà dl, newton 0. g Triptait 1005m1: 7min: demonflrafië. inOôygœppop «fixa: entôla. ,. Problcma 4., Propqfitio 9. Arum angulum reérilineunnbifariam fecare. 9 0 R 0 N T I neume datus teâilineus angulus azbzc:quem oporreat bifariam feeate. .Sufcipiatur igirur in azbz reéra,contingens punc’tum d: fecetiirque à tcliqua blc , ipfi bzdz æqualis,pei- rerriarn propofitionenï, fitque illa ble.Et pet primum poflulatum,conne&atur «à: dIezfuper quam mangulum æquiIaterum dleIf,per primam propofitionem conflituas rur.conne&atur tandem retira bzf,per idem primum poflulatum.Manife&um eft igirur,tes r b amen; 8137m angulum meprottahitut enim ab ans gulo qui ad b, ad oppofitum angulum qui ad f,in bldzflelqua: drilateto. Aio quod 8:. ipfa blf,datum azbzcîângulum bifatiam fecat . Cùm enim bldl pet conilruérionem fit æqualis ipfi bre, a communis autem blf:bina iraque latera ùblæ bzftttianguli dl bzf,duobus iateribus flblat blenriangulifiblclfunt alternarim æqualia.E& infuper bafis dxf,bafi eIfAtidem æqualis:funt enim a f latera trianguli æquilareti dxeÆAngulus igirur dlb!f,angulo f1 i c bœ , pet ocrauam propofitionem cit æqualis . Datus iraque-tes &ilineus angulus albzc,bifariarn à recta blflfecatur.Œl.od facere oportebat. minium: t, Peo’eeare l. Trip manu Marty vivrieœo’niup,dlixœ TEPËp. Problcma f, ’ Propqfitio Io.

. Atam teâam lineam terminatani bifatiam fecate. Io O N I V S. Il Si: data teéta linea terminata alb , quam bifariam fecate fit opetæpretium.Confl:iruatur igirur fuper eadem axb,triangulum æquilaterum a!cxb,per pris mam propofitionem:fecetiirque pet antecedentem nonam pro: r a pofitionem angulus alclbzbitariam,re&a quidem c:d,à punc’io . c,in dt punâum ipfius latetis azbzcoextenfa.Dico lineam azbl datam , feeati bifariam in punéto d.Cùm enim axdbt mangue C .lum . fit æquilarerum,æqualis« . cit alaipfi ab:cômunis vctblczd. Binæ igirur aIc18cadltriangili a!c!d,duabus dICl 8: abttrians guli dlub,funt altera alter’i æqualesz8: qui fub ipfis æquis lares b ribus continentut anguli , pet coni’truérionem lunt adinuicem d æquales,hoc eir,alCId, ipfi dlclb. Bafis igirur ahi, bai] (une æqualis,pat quarram propofitionem.Data i girur recta linea rets minata aIb,bifariam feêta et: in punéto d.ngd oportuiè feciiTe.

a. ’LIBER 1. 1:7 1-3 mais;. PeintureMâœ,&1rê a: 125; am?s, MoinsN F98M!"péon . aïe: ôtois: au. raviœefiuOëwt’mwiv - Problcma 6, Propo trio v u. a ’ n Ara rectaW9. linea,à punâo in ca dato. , reétam- lineama ad angulos res Q R40 N T I V S.lIEilo te&a linea data alb,,dariimque in ea punâum e:à quo oporteat, reg lineaméros ad an os reâos excitareexcitare. . Sufcipiatur igirur in aIareéra . ,.4 contingens puna étumdi’tq; illud d. cetut ptæterea à reâa ab,ipfi dzaæqualis, pet tertiam propofitionem, mon ae.Deniq’ue luper reéra d(e , triangulum æquilatetum conflituarut dzfze , pet prie - mam propofirionemœonneâatiîrque reéra af,pet primum pas triduum . Dico aflteéram , ad reâos angulos confiitere fuper datam teàam alb.thoniam dlcl en æqualis ipfi ac , commua nis autem afldiuidens dlfzatriangulum.Duæ igirur fic! 8: a dltrianguii fxad,duabus flcl8: au rrianguli flac, funt airera alteri æquales:8: baiis ùfibafi fle,per conitruérionem æqualis. Angulus iraque flad, anguio fiaafub æquaiibus mais lineis . * contento,per oâauam propofitionem cit æquaiis.Re&a igirur a a; aficonfiftens friper reâam alb, æquales vrrobique facitangulosærgo teéros,per decimam . e i diflînitionennA date igirur punéto c,datæ reéræ linea: -alb,re&a linea aflad reâos excitaq ’ ’- ta cil: angulos.de faciendum fufceperamus. I 4. . l . pi moflât îueâœp.v-r-g ëwdçwfimô 18 z, dpoer- [En cypéoufiyà * Kami * Meutümp. V. tubât: , . ’ ’ WGFPÜPProfitant: il! A.innée Vfiropqfifio sa;a a n. Vpet datam te&am lineam infinisvnà date punéto quod in ea non q efi,perpenditularem recrus lineam deducere. O R O N T I V S.l[Sit data reâa linea infinita alb,datumïvetbpunérum quad in ca non eft czà quo ,in ipfam alb,perpendicularem te&am lineam deducqte fit operæpretiuian cos confinai. dem itaq; plano,in quo data albneâ’a linea infinita, 8: datum punérum c,ex oppoiita qui: fiston. ’ dem parte ipfius c, contingens punâumfiiièipiamr: fitqueillueld. Exit-igirur adI internais lum, dirimétç ipfam ab!re&am.Centto ergo c,interuallo autem ad,circuius defctibarut ezftg,per tertium poil’ulatum.Hic porto circuius ezfig , cùm in eodem fit piano in quo 8: recta alb,lïtque finitus,eadem veto albzinfinira, 8: dirempta ab intetualio adzfubtendet propterça idem elftgrcirculus pattern ipfius alb,egrediettirque eadem albiteâa circunferentiam ipfius afigzcirc’uli, eandem- A que circunferentiam egrediendo fecabit.Secet igirur in e18: fl . punétisidiuidatiîtque méta 8: fubtenfa ezfzbifariam , in punira b quidem h, pet decimam propqfitionem. 8: conneératur tandem ae,ah,arque lelreâæ,per primum poituiatum. Dico iraque, offenfio "a b refit-am ahlfpetpendicularirer incidere fupet datam reâam a! bleutais, I b.ngnam ah! æqualis cit ipiî hlf,per conitruétionemwlvves u ’ j. to dirimens aelfitriangulum, vrrique communia . Binæ igirur . l ahl8: bzarrianguii aive,duabus ahÆ: hlflrrianguli abri? fun: airera alteri æquaies:ba4 fis quoque ae,baii ai): ualis,per decimamquintam diffinitionem.Aequns cil: igirur angu. lus ahIe , angulo ahzfz ub æquis iateribus contento,per oâauam propofitionem . Reéta ergo abjcon litens fuper datam lacérant lineam alb,æquales vrrobique facit angulos:ergo teâosÆt proinde ahlperpendiculatis cit fupet aIb,pet decimam diifinitionem.Super das tain iraque teé’tam lineam infinitam a zb ,à data punâo aquod in ea non cit , deduCta cil: perpendicuiatis ah.ng’d fecifTe opottuit. O la uin! -6t69upœMen i’æ’ notifiant s,Norman»! retienne M; MW; :7.iam arum. l . h- w i - k fi a Q N-a’ un. b.üi3. x

18 GEOMET. ÉLÉMENT. Tbcarcma 6, Propofitio r3. l l, Vm reâa linea,fuper rèâam confifiem lineam angulos fecerxt:aut duos teétos,aut duobus redus æ uales efiicrer. , O R O N T I V S. (IIncidat inquart: abzœéra, uper reâarn ad,efl’lciens angulos ab!a8: aszd.Anguli iraque abxa8: aszd,aut (unt’æquales adinuicem,aur inæquales.Si æquaies, ergo teélti,pet decirnâ diifinitionem:prima igirur pars vera.Œod fi inæquales extirerinr ipfi atbza8: abtdtangulintpore, abzareâo minor,8: eodë retiro maior abIdzdico nihis leminus eofde’ angulos azbta8: azbrd,fore binis mais angulis æquales.Quoniam albra8: albldzanguli faut inæquales: nô cit igirur albIreâa,perpendicularis (uper teé’tam Cld,per conuetfamipfius decimæ diifinirionis. Exciterur ergo fuper data teâa linea ad ,à date in: ea pun&o b,petpendicularis bze,per vndecimam pro efirionem.Diuidet iraque recta bre, angulum abldzteâo maiotemznec non reâa alb,ip um angulum etbtateâum , maietem A acuro ablc.Aequus cit igirur anguius ethlc,binis angulis asza8: ajblc.communis adijcia , e tut anguius elbld.bini iraque anguii abla8: erzd, tribus ana a s guiis, oc cit albtc,alble,8: elb!d,funt æquales, pet fecundam communê fentêtiam.Angulus rurfum albzd,æquus cil: duobus angulis azbze18: etbld.communis addarut angulus azbtc. Duo . igirur anguii aviva 8: albId,tribus angulis, vrpote,alblc,abl’ 5-- e,8: ezbld,funr pet eandê fecüdam commune entêtiam arqua: les. Arqui monfitatum cit, quèd 8: anguli elbIa8: elb)d, en; dem tribus æquantur angulis. Anguii porto qui eifdem funt zquaies angulis , adinuicem quoque funt acquits , per primam communem fententiam. Igitut anguii albra8: albtd, a b c duobus ezb!a 8: abtdz fun: æquaies. Sunr autem pet confire: e b c. . L .. . b c, &ienem anguli etb!c18: elbIdzteéri.8: duo igirur anguh 1!be Cl! d- . ebd- 354d. 8: aIbId,binis funr teâis æqualestem etiam oflendetur, vbi a!bzaanguius,f’ueriemninr ipfo albld. Cùm igirur te&a linea, Taper-teinta confifrens lineam , an les fecerir : aut duos tes éros , aut duobus mais æquales e scie: . Quod epottebat de: menât-are. v , I â EN "en ’71WW934:p q a .1’5an menue âne-i aupriçfilüo Manag , p.3 redonne mai. 7E: azurât pieu MNM, :7. au: , I f p wifis Wriœo’fllwip ôeMs in: nocômpfiqr’ Mimi inonda hmm; évitiez:- Tbeorcma 7, Propefitio 14.. 4 SI ad aliquam reüam lineam,atq; ad eius punétum, duæ recta: linea: non ad eafdem partes duétæ,vttobiq, duo us redis angulos æquaies fecetint:ipiè in direérum reéræ linea: adinuicem erunt. O R 0 N T I V SJÎAd datam, enim refrain lineam alb,arque ad eius punâum b,duæ se &æ liner bIc,8: bld,alreta quidem ad læuam c,reiiqua veto ad dextram patrem dxconue. nientes:anguios.efficianr albza8: albld, aur reâos , aut duobus reêtis æquales . Aie pre: pterea,re&am lineam btd,in direétumi fins bzclfdi-e conflitutam,hoc cit,vnam eandémg reéram efficere lineam.N am fi reâa b: dînon fuerir in direétum i fius bleléonirituta:prœ l a6 un?035511 du&a blain continuum reérümque,ab filpfo bNerfus el pet fecun um poftuiatum, non ca: de: ipfa bzezcum bzd..Cadat et 0(fi po bile1 fit) inter albz8: bzd.Re&a igirur azb,incides ’ ter uper reâam au ad angulos Ublclôt azbl e, aut teâos,vel a duobus reâis æquales,per decimamtettiam propofitionem.At4 qui duo anguli aIbÆI8: albzdzaut re&i funr,aut binis itidemfre &is æquaies,pet bypethefin.Anguii iraque abeclB: abtd, ans e gulis aszcI8: aIbze,forent pet primam communem fententiam d æquales.Dempro igirur connnuni angulo alblcg:reliquus azbzdl relique a! bt e, pet tettiam communem fententiam æquatetur,’ maior minori,hoc cit,totum fixa: parti:quod pet nonam communem fententiam en impoiii, bile.Idem quoque deducerur inconueniens,fi produéta bte,detur incidere fub ipfa bld.In diteâum en igirur bldlipfi blc. ued demonitrandum fixerat.Si ad aliquam igirur reéram lineam, arque ad eius punâum du: mît: iineæ,8:ç.vt in rheeternate. V V - , .

LIBE R I. » l r9 E créeraiA]: (No Mère: 14mm": i1, êmiMflà: même me: noeuçîapymi’m, n. l’au; ânon; animai; Tbcorcma 8, Propcfitio 1;. r; I duæ «a: lineæ i2: adinuicem feeuerintmnguios qui circa venir i cem fun:,æquos adinuicem eilîçienrQ i I

O R 0 N T I V S.(Secent il: adinuicem bina: reâæ; lineæ alb,8: ad , in puné’to quidem czdico quad angulus alelç,æquus cit anguie bleld , circa elverticem pofito; Incidit enim retira aelin mon: alb,eificiens angulos amas: aelbl duobus mais æquaies : pet decia mamtettiam propofitionem . Reéra infuper blelincidens fupet c rectaux ad , facit angulos aelbl 8: bleldl binis itidem redis :quaies : pet eandem decimamtertiam propofitionem.Anguli K erre qui eifdem , vrpote binis mais æquanrur: 8: hi quoque T unt adinuicem æquales , pet primam Communem fententiam. I. a ’ d Et duo igirur anguli alela8: aelb,duobus angulis aelbl8: bl I eldlfunt æquales.Dempto iraque communi aelb:reiiquus alelareiiquo bleld,pet tertiam n communem fentenriam cil æqualis. Simili difcurfu monfl’rabitur, qubd anguii aleldl 8: a elblfunr æquales adinuicem.Si duæ igirur reéræ linea: (e adinuicem fecuerint,angulos qui circa verticem funt,æquos adinuicem efficient.Qued oportebat oitendere. (caoua-iam. (H inc manifeftum cit, quotiibet refus lineas in eodem punEro fefe adinuicem interfecan. res, angulos eificete quatuor teé’tis æquales. I I Arras. 8«racina ’ » pie; a 751ia a margay I0 e F46M: ameutaiv ’ W mm ai nWieNÏ’rOp le. à a . 0073: :9 un. Embrayage-nid.ÏVTheorema 9, Propqfitio. V v V 16. 777w, - .. l 15 O mnis rrianguli vno latere produâo,extetior angulus vrrifque in: rerioribus 8: ex oppofiro maior eil. 0 R 0 N T I V S.(Eflo datum alblcltriaguium,cuius vnum iatus,vtpote blc, roducas’ tut in direâum ad punâum quue d, et feeundum poiruIatum.Aio iraque ptim m , ex. m au". i terietem angulum alad , maiorem e e intrinfeco 8: ex oppoiîte blalc.Secetur enim ala hm, bifatiam in punéroe,per decimâ propofitionemzat conne&aturblelrc&a, et primum po: pas. finlarum. qua: pet feeundum poiluiatum,extendarur in direé’tum verfus fiigcetiirque teéta ’ elflæqualis ipfi ble,per tertiam ptopofitionem.tandem conneératur recta af,per idem Pli: ’ mum poilulatum..Cùm igirur alelfit æqualis elc,8:blelipii elflitidem æquaiis,per confina &ionem:binæ iraque alel8: elbltriangirli alelb,duabus ael8: elfltrianguiîaelffiùnt aire: , l ra alteri æquales. 8: æquos adinuicem efficiunt angulos alelbl 8: aelf, pet decimamquintam propofirionem,nempe qui circa elverticem . Bafis igirur alb,bafi aileil zquaiis:8: trianguiurn alelb, æ uale triangule clelf, atq; teliquus angulus blale,telia que claillatqualis,per quartam propofirionem. Angulus port?) alad,maior eft anguie alaf,pet nonâ communem fentétiam: quapropter 8: ipfe blalaanguio maiot.æquales enim anguli,e4 iufdem fun: arque minores. (Dico infupet,quod idem angulus M alad,maior cil: albla anguie . Diuifa nanque blcl bifarîam in pas. , punéro g ,8: connexa alglteéra,produ&aitp ipfi alglæquaii glh, connexa item ah ,23? tandem produâa alain k,per nunc ex: preiïa peilulata, citarafq; propoiitiones:haud d’ unili difcurfu coiligemus,angulum alblg, aequum eiTe anguie glah.Et quoniam angulus blak,anguio blahlmaior efl:,pet nenni com -munern fententiam : erit &idem angulus blaklipfo alblaangulo maior. Acquus cit autem aladlangulus ipfi blak,’pet decimamquintâ propofitionem:8: angulus igirur aladleodem anguie alblamaiet cfi.0mnis iras; trianguii vno latere produâo,extetior angùlus vttifcp interioribus 8: ex oppofite maies citoàued erat demonitrandum. bang.

a; GEoMÉT. ÉLÉMENT.

I I l Ami;6:6ng afryévàu ai d’unr, WII’W,J.6011966:0": 8308p mon êmmvênii il. pempmsm; Tbeortma Io, Propojïtio 17. O Mnis trianguli,duo anguli duobus mais funt minores , emmi-à: x7 l tiam fumpti. O R O N T I V S. (Sir rrianguiurn alblc. Dico in primis,duos angulos albla 8: alab,-. 1’13:de a» duobus mais cire minores. Producatut enim b! allatus in direétum,quue ad punétum d: flefionir pas. pet lecundum poitularumÆxterim igirur anguius alad,maior cit inretiote 8: ex oppofito a alblc,pet decimamfextam propoiitionem . Addatur strie; ce; tandem-angulorum,communis alab.Due igirur anguii albla 8: alab,duobus anguiis alabl8: alcldlfunt minores,per uat , tam communem fententiam.Anguii petto alabl8: alad,duo. bus teétis funt zquales , pet decirnamrertiam propofitionem. ’- û Û . 1’ c Et duo igirur anguli albla8: alab,eifdem binis teétis funtmi Dentaire!!! notes: ijdem nanque an li, æqualium angulorum arqué minores exiftunr. (N ec diilimili film com’ via,anguli d blala8: ala ,duobus itidem reétis oitendentut elfe minores: necnon albla8: gybzanguii,p;odu&o alb,vel alaiatere. Omnis un; trianguli,due anguii duobus mais funt minores ,omnifariam fumpŒngd expediebat demonitrare. ne, redonne (il. I Ami: Gendron ipè’zop mimine-i9 pétard: rotions Mamie. Tbcorema n, - Propofitio 18. - Mnis. triangulime: maius latus,fub maiori anguie fubrendirur. la 0 R0 N T I VS. (Sir triangulum alblc: cuius latus alb, mains fit alaiatere. dis ce quôd al a’bl anguius, maior cit anguie al b1 c. Secetut enim à maiori al b, ipiî mines ri alaæqualis,per tertiam propufidonemzfirque i112 ald.8: conneétatut adlteéta, pet prit; murn peituiatum.Diuidit iraque reéta adltriangulum Wb’csôt angulum propretea alab. a Maiot cil: igirur anguius alabl anguie alad,pernonam coma munem fententiam.Ipfi porto aladlanguio,çquus cit anguiua aldlc,per primam pattern quint: propofitionis: funt enim pet J . conitruérionem ala8: aldliateta adinuicem æquaiia.Et alabl k c igirur angulus,maior cit anguie aldlc. Anguius rutfum aldlc, r i maior cit interiete 8: ex oppofito dlblc,hoc cit alblaanguio, pet decimamfextam propofirionern: Multo maior igirur cit angulus alab, ipfo dlblafeu alblclangulo.quod enim maiore mains e&,afonrot1 videtura cire mains.0mnis iras; triais: guli mains iatus,fub maiori anguie fabrendrtunQuod demonitrandurn fuieeperamus. ’ r stéatite 415, redonne sa. l I Arrêt 417476900 ian vip pâton 707M) W580? 4516112?! hircin. Tbcorcma 12., V Propojîtio 19. .Mnis trianguli maior angulus,fub maiori latere fubtenditur. r9 ,8 O R ON T I V S.(Sit rurfuma lblattiangulum , habês angulumalab,maiorem anguie alblc.Aio verfa vice,quod lat-us alb,maius cit ipfo latere ale. Si manque albl iatus, non foret mains alc:eiTet igirur vel eidem alcl æquale , vel eo minus . Acquum potto non cit alblipfi alc:quoniam anguli albla8: alab,pet quintam propofitionem , forent adinuia a cem æquales.funt autem inzquales,per hypothefin.non cit igia tut albllatus,æquale ipfi alc.Neque etiam minus cit alb,eodem;.: -L. alaiaterezeifet enim anguius alab,minot angulo alblc,pet au tecedentem decimam0&auam propofitionem . hoc autemads ueriarut hypothefiJgitur albllatus , non cit minus ipfo Mage C . tere.ofl:enfum cil: aurem,qubd nec eidem aequale.Maius cit tut i mm lat-us alb,eodcm alaiatere.0mnis ergo trianguli maior angulus,fub maiori laïcs te in tendirur. mer! demonihjage figera: opetæpretium.

LIBER 1. q a: i H Ami; affine et! «Mo adchampi: a :7, Minis nasale pétois 605m2"! a. - ’ prGmôWw. Tbcorcma 13,. Propefitio 2.0. q ,. a, Mnis rrianguli duo latera,reliquo funr maiora,quomodocunq;

O R 0 N aiTumpta.T I V S.(Efto datum alblc triangulnm.Dice * ’ primùm,duo lareta albl8: alc,foa te maiora relique blc.Ptoducatur enim pet fecundum peitulatum,reéta au! in direétum, quue ad punétum dzfecettitque aldlreéta, æqualis ipii alb, pet tertiam propofitronem. 8: conneEtatur bldlteéta,per primum poftulatum.Cùm igirur alb,fit æquaiis ipfi ald,pet ces flruétionem:qui ad bafin bldlfunt anguii, æquales adinuicem erunt, pet quintam propolis tionem ,vtpote,albld,ipfi aldlb.Angulus porte dlble,maior cit anguie albld, pet nonam communem fente ntiam:igitur 8: an le aldlblmaior.Tnangulurn igirur dlblc, habet ans. d gulum blcl maietem anguie bldl c. Omnis autem triangulr maior angulus fub maiori latere fubtendirut, pet decimamnm a narn propofitionem.maius cit iraque dlalatus,ipfo latere blc. Atqui latus dlc, æquurn cit ipfis al bl8: alcl latetibus: data cit B c enim ald,ipii alblæqualis , 8: vtrique iungitur ale. Duo igirur l iatera albl8: alc,funt maiora relique blc.Sirniiitet ofiêdemus, quôd albl8: blc latetalmaiora fun: relique alc:atque ala8: ab,reliquo albl itidem mares ra.0mnis iraque trianguli duo lareta,relique fun: maiora,quemodecunq; ailùmpta. Qged estima: nil, retienne au. oportuitEn Gendron dal miam mâtereau: eitendiife. étui 4’957 W789 No insane: niai; Maman, i vé rusa:- Oâeæfl’fi’î Mati-5p If apayévovcflûo railway, NTTOW; p6: influa, péan; au niiez: 1;ng

’Tbeorema 14., Propojïtio 21. S I trianguli à iimitibus vnius lateris,binæ reétæ linea: inttetfum con: 3! itituanrur:quæ confliruuntur, reliquis trianguli binis lateribus mi: notesfaner. quidem erunt,rnaiorémque angulum continebunr.- I * O R 0 N T I V S.(In triig-ulo enim allyle) limitibus latetis blc,duæ reétæ linea: dlbl8: dlaintrerfum,ad punétum dlconlltituantur. Aie iraq; primum, ipfas dlbl8: dlcliineas tes prime partît &as,mineres elfe reliquis albl8: alaiateribus.Produéta nanque ad,queufqi fecet iatus al fi Ï0m10- . b,in punéto quidem e,per fecundum poltuiatum:erunr bina lareta alel8: alattianguli alel c,maiora relique elc,per vigefimam propofitionem.Addatur ipfis alel8: ale, atq; ipfi elc, communis elb.8: cempofita igirur albl8:lalaiatera,ipfis elbl 8: elcllateribus,pet quartai communem fententiam,erunt mas iota.Bina rurfum lateta elbl8: eldlttianguli elbld, funt maie; ta relique bld,per eadem vigefimam propefitionem.Addatur ipfis inæqualibus,communis dlc.etgo bina lateta elbl8: elc,bb nis dlbl8: dlalineis reftis funr maiora,per eandë quartam cem munem (ententiam.0itenfum cit autë,qued albl8: alaiatera, eifdê elbl8: elafunt maiora. Muito igirur maiora fun: eadem albl8: alaiatera,ipfis dlbl8: dlalineis reétis,à iimiribus bl8: ainttorfum côititutisi, (Dico præœrea,qued angulus bldlc,maior cit anguie blalc.Ttian «au: gulienim elbld,extetior anguius bldlc,maior cit interiore 8: ex oppoiito bleldzidê que? angulus blel d, interiere 8: ex oppefire elalc,ipfius, alela trianguli maior, pet decimamç fextam’prepofitionem.Longè iraque maior cit angulus bldlc, ipio elalc,hec eit,blalaans guio.Igitut fi triâguli à limitibus vnius’ iatetis,binæ reéta: lineæ,8: quæ fequuntur reliquat, v: in theorematethuod demonflnre apertebat. I v - ’ Pgôchœ Il, retienne x6. Ex «au MW «ramenard. W! être est irritative"! 274592:95:21? til site fraie

r J "x , u. Ib-x

1 a: GEOMET. ÉLÉMENT. momie mon; situa, maires pêcha: unanime , 8E: ’rô midi 4806W si: jfiweàs; fi; ÀOI’IFÎÇ pataud dm, enim MpMeMœd. , p p 4 Problema 8, Propo Itio 22.. l Ï X tribus rectis lineis , qua: funrqttibus datis reâis linei Ëæquales, zz- trianguium côitruererorret autem duo latera, relique cire ma: rota quomodocunque afin mptazquoniam trianguli bina’latera queute; docunque aflumpra,reliquo fun: maiora. l - " zzz. 0 R O N T I V S.(Denrurerge tres lineæ reétæ a,b,8:c,adinuicem ira proportionna, v: du: quomodecunque alTumptæ,fint maieres reliqua:vtpete,al8: blipfa c,atque bl8: cl ne a,denique al8: aipfa blmaiores . Opottet enim ipfius trianguli,ex tribus reétis lineis, . quæ funt tribus datis æquales, côitruendi duo larera , relique cire maiora , pet vigefimam confluait» propofitionem.AiÏumatur iraque recta quædam linea,ex airera parte punéto dllimitataüm firm- finira veto fecundum reliquamà qua fecenrut tres refit; lineæ,ipfis datis fingulatim arqua: les ,pet tertiam propefitionem: dlelquidem a: ualis ipfi a,elflautem ipii b ,8:flglipfi c . Et centre e, interuailo autem el d, circulas de cribatur dlhlk: centre rurfum f, 8:intetuais Io flg, aiius defctibarut circulus glhll, pet tettium poituiatum. Et quoniam circuli dlhlkl .8: glhll,in eodem (un: piano,8: elflreéta,ab vnius circuli centro,ad centrum altetius pro: 4 ’ ducitutznecefi’um cit, eofdem circules dlhlkl8: glhlilfefe mus A q rue interfecate.Si nanque minimè fe fecarent , fed fefe adinuis d e l, cem tangetent,vrpote in punéto h: rune recta elflipfi blæquaz lis ,vttiufque circuli femidiamertum neCeifario contineret.quas propret 8: duarum te&arum al8: amagnirudinem. Efiet enim VW-gg, p elhlpars ipfius elf,æqualis dle,8: propretea ipfi azpats queque 11’ faiPfi 9&8! ipfi ergo aæquaiis.quemadmodùm ce. docimnquinta diffinitione , 8: prima communi fententia deduccre velfaeilè cit . Bina et o trianguli lateta , effent æquaiia relia quo:centta datam hypothefin,8: vigefimam propo irienem.I.engè item mains inconuenis ens requeretut : vbi circuli ipfi vrcunque diitate ponetentur . Secat igirur circules dlhlk, circulum glhli . cite feétienum airera in punéto h:8: cenneâantut reétæ elhl 8: hlf , pet primum poftuiarum.Triang-ulum ell- igirur elhlfzdico quod ex tribus reétis lineis confirus a i maman &um,qua: fun: tribus datis æquales.Cùm enim punétum elfit centrum circuli dlhlk:æqua: oflenfio. lis cit dIelipfi ell;,per decimamquintam diffinitienem.ipfa pot; T’a-"l n l lT-L se dlc, (téta cit æqualis ipfi a . Binæ igirut,hec cit al8: elh,ei: . dem reétæ dlelfunt :qualcszquapreptet 8: æquaies adinuicem, l. l pet primam comtnunem fenrentiam.elflauremï, ipfi bldata cit æquaiis pet conflruétionem.Rurfum quoniam punétum f, cens rrum cit circuli glhllnequalis cit flhlipi’i flg , pet eandem de; cimam quintam diifinirionem . ipfa aurem flg ,8 feéta cit æqua: lis ipfi c.Ergo flhl8: c,eidem flglfunt æquaies:igirut 8: arquas les adinuicem , pet eandem primam communem fentenriam. . Ttes igirur liriez te&ç elh,elf,8: flh,tribus datis a,b,8:c,funt adinuicem æquales: 8: conitiruunr triangulum elhlf. Ex tribus igirur teétis lineis elh,el f,8: flh,quæ tribus datis,hoc eit,a,b ,8: c,funt zquales, conittuétum eit triangulum elhlf. Qued faciendum fufceperamus. " P6942?. Acacia-gFemme Mât: «a! 757136;0, retienne être? etptiçflfi mon; a). me: animâmes 7:01? 7min: Î iueümppopl Problcma méfiant. 9, Propqfitio 2.3. l l D datam reétam lineam,ad datumque in ca punétum,daro angu: 2.3 le reétilineo,æqualem angulum reétilineum confiiruere. O R O N T I V S. (Sir data méta linea alb,8: datum in ca puna-nm b, reâiiineus pet: l figura eôîlia to anguius adle:cui-receptum fir,ad datum punétum b,daræ reét: lineæ alb, æquum an: un... gulum rectilineurn multituereæufcipiatur iraque in adlreéta contingens punétrunfitque

LlBER 1.. . . a; illud c:in dlelqrîoque re&a,Cenringens punétum,8: illud fit e.tenne&atut deinde te&a cl Figurer-on- e,pet primum peituiatumÆx tribus denique lineis reétis alb,blf,8: fla,quæ fint tribus da: fiiturio. tis,hec eit,ipfius adle trian ilateribus æquales,vtpete alblipfi ad,8: blflipfi dle,at:p 5 a lalipfi elc,trianguium confinratur alblf,pet pratcedentem vis gefimamfecûdam propolîtienem.Dico angulum alblf,æquum . fore i fi anguie date adle . Cùm enim binæ lineæ recta: albl Co’clufio pto- r 8: bl lttianguli alblfiduabus lineis teétis adl8: dlelrtianguli birmans. 3 a f S ’- 8 adlelfint airera alteri æquales,bafis queq; alf,bafi aelper con » b I ittuCtionem æquaiis: etit anguius al b lf, anguie adlel fub a: qualibus mais lineis contento,per oâauam propofitionem,ze qualis. Ad datam ergo lineam teftam alb,8: datum in ea puna &um b, date anguie reétilineo adl e: æqualis angulus reétilineus al bl fl conitirutus cit. Qged fecifiè oportuir. ’ , En un’ armon: ardente Tête No mugît; ne, qui; «fluai Paiera: deum; les; in inamical:mil. tueriez, l qui: dit 7min Tisww’œs [tricota in du) ria-8 «W hop 80469 ammoniums) qui: fioient fie M me [idioteTbcorcma î’fl. 1;. Propofitio a i ’ 2.4.. ,4, I bina triangula , duo latera «duobus lateribus æqualia habuerint . altetum alteri , angulum veto anguie maiorem Tub æquis mais lineis contentum:bafin queque,bafi maiorem habebunt. 0 R O N T 1V S.(Sint bina rriangula alblc,8: dlelf,habenria duo latera duobus lare: ribus aiterum alteri æquaiia,vrpote alblipfi dle,8: alaipfi dlf:fi’r ue an s qui ad a,ma ior anguie qui ad dlfub arquis lateri us contento.Aio itaque,bafin la, ianguli alblc,ma: . iotem elfe bali ,elfltrianguli dlelfiOgerriam angulus blalc,maiot en anguie chili, pet hy: confinait» pothefinzad datam ergo lineam teftam eld,ad datümque in ca punétum d, date anguie te: figura gem- ctiiinee blalc,a:qualis anguius reâilineus confiituarur eldlg,per vigefimamtertiam propo ralit. fitienem.Vtrique demum ala8: dlf,æqualis ponatur dlg,per fecundam au: tertiam propo fitienem:conne&antlirque «en: elgl8: lf,per fecunduin peitularum.Erunt iraque bina la sera albl8: alatrianguli alblc,æquaiia uobus lateribus dlel8: dlglrrianguii dlelglalterû alteri : 8: qui fub eifdem lateribus continentur anguli,adinuicem æquaies, pet conItruCtios nem.8afis igirur blc,baii elg, pet quattam propofitionem cit arqualis. (His ira ptæmiliîs, ’ a . d quoniam triangulorum adinuicem cempatatorum,v aria continf 1’ gît habitudo:poterit iraque recta elg, diuerfis incidere medis, vtpore,autin diteétum ipfius elf,aut fupra,vel infra.Cadat ers primas infù ’ ’ . go primum in teétam elf, vt in hac prima figura: difpofirione., midi modus. gitut cum in triangule dlel ,ab anguie qui ad dl in oppofitû latus el ,reéta producarur dl ,diuidens turn ex hypothefi,rum ex con &iene ipfum eldlglangulum:diuidet queque ipfa dl f,bafin elg,in punéte quidem am itaq; bafis elf, ars ipfius elg:8: proprerea ipfa el ,mas ior eadem elf,per nonam communem fententiam. pfi porto elg, arqualis. ofienfa cit lc:8: blaigitur bafis,maior en bali elf,per côuerfam (en: communis fente’riç interprerarionem. l . (038d fi elglreâ’a incident fupta elf,velut in fecunda figutazfiet rrianguium elflg,ex tris scandas in» Â bus bafibus cenititutumÆt quoniam trianguli dlflg,latus dlfllateri dlgleit æquaie: æquus du, - etit 8: dlflglangulus, anguie dlglf, pet quintam propofitionè’. a d . Arqui dl lflangulus , maior cit anguie aglf, pet nonam com: a munem ententiam:8: dlflglitaque anguius, maior etit eadem . anguie elglf, pet eandem fait: communis fenrentiæ conuets 8 fionem. Angule rurfum dlflg, maior cit angulus elflg, nempe . LL---.... totus fua parte:8: proprerea ipfe anguie elglfltanre maior.Oz mnis porte trianguli maior anguius,fub maioti latere fubrendi: tut, pet decimamnonam propofitionem: maior efl: iraque elg, ipfa el fl teéta . Ptæeitenfum cit autem,qued 8: bl a ipfi cl gl ceæquarut: bafis ergo bl c, elflcôfequenrer cit maior. arcum autem elglfub eadê elf,vr in tetria figuræ djipofitione, amodias.

a, GEOMET. ÉLÉMENT. ceciderir: idem etiam cencludetut . Nam in trian Io dlelg; à limitibus latetls dlc, binæ teâæ lineæ dlfl 8: el l inrtorfum conflituenturærunt itaq; dlfl8: elfl reliquis ipfius trianguli la; . ’teribus dlgl8: elglminores,pet vigefimamptimam propofities nem.Subdu&is ergo dlfl8: dlglinuicem æquaiibus: quæ relina ’ quêtur,etrît pariter inæquales,elglquidem maior elfilpfi porte 5 elg, æqualis menitrara cit blc: cencludes ergo rurfum, blabaa fin fore maiotem ipTa bali elf. Igitut fi bina triangula, duo larera duobus lateribus æqualia habuetint alteram alteri,angulum verbiæc; vt in theoremare. 930:1 eitendere fuetat opes ræpretium. 4. zip , Non arboretum;l cadence: No chopât: 4s, qui; l Moi Primate matriçai: lût; ne. in; item-égara imrieqcfllùfiai au: du ais flânas: 201m être!) Titi! 7min «in; amical M2010: 34 ’11!" Ôwô fifi 701w me; 8.. WüMW’IF- i ,ES . Ileorema bina triangula 16,duo latera Propofitio duobus lateribus 2;. æquaiia habuerint,ba: z; fin veto bali maiorem: angulum ququ fub æqualibus métis lineis

contentuO R O N T I V S.(Dentur m,angulo inquàm bina maioremrriangula albla8: dlelf, habebunt. habentia duo larera i .al 1 bl8: alc,duobus lateribus dlel8: dlfl zquaiia alterum alteri, vtpete, albl ipfi dlc, 8: alcl ipfi dl f: cite autem bl a bafis, maior ipfa el f. Aie verfavice,anguium blalc,angulo eldl a h fleife maiorem . qneniam angulus blalanon potelt in primis ’ æqualis eiTe angulo el dlf: bafis enim blc,bafi elfl pet quarram topofirionem forer æquaiisÆit autem blabafis, maior ipfa el âper hypoehefin.Neque rurfum angulus blalc,miner etit codé , anguie eldlfiquoniam bafis blc,minot itidem foret bali elf,per ’1’ c f antecedenrem vigefimamquartam propofitionem . Arqui data cit maior:non cit igirur angulus blalc,ipfo eldlflanguio minor.Patuir aurë quod nec eidem æquaiisærgo maior.Si bina igirur trianguladuo latera:8: reliqua, vtiri theeremare. ngd

eratAl: No demenltrandum, 7;in vène-MoOtôelypk inota’ qui: dirai 75mm.1, «au:i Paiera-le in binatim: tuaient, .us. Kari- .pfut Ar A marsupial prié aimait inhiber qui) 7R5; qui: 7m: WVI’WÊaû, W mfdiou’àp rirai par: m fait muables! 76:; Martine raierait: qui; Miami; «impie me: 2:4 Ëm’Tieœp me régentai qui: Marty gouttait: tri Min-5 7min . ’ . ITbeor’ema bina triangula,duos 17,angulos Propqfitio duobus angulis alterum2.6. alteri. arqua: :6 les habueringvmîm ue latus vni lateri æquale, au: quod æquis ad: jacet. anguiis,aut quod ub vno æqualium anguiorum fubtendirur: te: liqua quoq; latera’reliquis lateribus æqualia alterü alteri , 8: reliquum angulum relique angu oiæqualern habebunt. O R O N T I V S.(Sint duo triangula albla8: dlelf,habentia dues angulos qui ad latus blc,duobus angulis qui ad larus elflalterum alteri çquales,v rpote,alblaipfi dlelf,8: alabl ipfi dlfle,vnum ptæretea latus vni lateri æquaie: primo quidem qued requis adiacer angus Prime fait? lis ,hec ei’: blclipfi elfiDico proptereà, ued 8: reiiqua larera reliquis lateribus alterum al- dtmonflrdfïos teti habebunt æqualia,alblquidem ipfi dle,8: alaipfi dlf: arque teliquum angulum blalc, ex ne in" relique eldlflæquaiem. Sinanque albl non fuerit æqualis ipfi dle: airera carummaiot etit, i par fi la:- ’v rpote alb. eterit igirur à maieti alb, fécati ipfi dlelminori æqualis, pet tertiam propolis rani. tionem.Ab cindatut ergo,fi’tcp blg:8: conneétatur aglteéta,per primum poitularum.Bina iraque iatera glbl8: blclttianguli glblc,duobus lateribus dlel8: elfltrianguli dlelf, etunt alternatim æquaiiaz8: qui ad bl8: elfub æquis lateribus côtinêtur anguii,adinuicê.æquaies,

.q-

pet hypothefin. Bafis igirurL ag,bafi Ï. dlf,8: I reliquusB E angulus R glab,reliquo la a;qui ad fÇfubA que lares æquaie fubtenditut) cri: pet quartam. propefitienem æqualis. Eidem porte qui ad f! angulo,æquus cit angulus alab,pet hypothefin. Duo igirur anguli alabl8: glab, eidem 3 d anguie quiad fletûr æquaiesz8: prepterea æquales adinuicem, g pet primam communem fentenriam.totus iraque angulus, fuæ parti æquabiturzquod pet nonam communem fenrenriam eitim poflîbile.Nen cit igirur alblmaier ipfa dle.fimilirer oitenderur, qued neque miner. ergo æqualis . Et qùoniam blc,ipfi elflper . L h pothefinc v cit æqualis:bina ideo latera albl8: blartianguli al blc,duebus lateribus dlel8: dlflrrianguli dlelf,funt æqualia airetû alteriz8: æquales qui ad bl8: elcomptehendùnt angulos,pet hypethefin.bafis itaq; alc,bafi dlfÇ feu reliquû lattis, relique lateri)atq reliquus angulus blalc,teiiquo eldlf,per quatram propofitionem arqua: , . Il; g tut . (Sint autem qua: fub altere æquaiium fubtenduntur angulorum lateta,adinuicem 2c O fie qualia:fcilicet alb,ipfi dle.Aio rurfum,qued 8: reliqua latera, reliquis lateribus habebunt æppdrtis,ex æqualia,alterum alteri,vtpete alaipfi dlf,8: bla ipfi elf: arque teliquum angulum qui ad [couda lapât a ,relique qui ad dlæquaiemJn primis enim,fi blanon filérlt æqualis ipfi elf, airera maior tbefi latente erit:eito verbi gratia elf.poterit ergo ab eadem maieti elf, fecati a: ualis ipfi minori blc, pet tertiam prepofitione rit-.Secetur itaque,8: fit elhzconneâatiitque Ihlreéta,per primum peitulatumÆrunrigitur bina lateta albl8: blatriangulialblc,æqualia duobus lateribus dl .el 8: elhltrianguli dlelhlalrerum alteriz8: qui ad bl8: el fub eifdem æ uis lateribus contia nenrur anguii,funt pet hypothefin adinuicem æquales.Bafis ergo alc, afi dlh:8: reliquus angulus alab,teliquo dlhleÇfub quibus æqualia fubtendunrut iatera)pa quartam propolis tionem æquabitut . Anguius porte dlfle,eidem anguie alab,pet hypothefin cit æquaiis. idue iraq; anguli (Miras; whle,eidem anguie qui ad clerût æqualesz8: æquaies prepterea a; a v adinuicem,pe’t primam communem fententiam. In triangule ’ igirur dlflh, produéte flhliatete, exterier angulus dlblc, in; tetieri 8: ex eppofito dlflhlæquabirut anguie:quod pet dCCia mamfextam propofirienem eit impoflibile. N6 eit igirur elf, maior blc.fimiii difcutfu monitrabitur,qubd nec minonæquas c f lis cit igirur blc,eidem elfieit autem 8: alblipfi dlelper hype thefin æquaiis. Binæ igirur albl8: blc,duabus tutfum dlel 8: elfl fun: æquaies airera alter t1:8: æquos adinuicem pet eandem hypothefin capiunr angulos.Reiiquum ergo larus alc, relique dlf,hoc cit bali: bafi,atqs reliquus angulus qui ad a,reliquo qui ad.d,refpendenter æquarur,pet fæpius aiiegatam quartam propofitienem . Etgo fi bina trianguia duos aligna 103 du°bus 31131113 ialterum alteri æ unies habuerint:8: qua: fequuntur reliqua, vt in rhee, temate . quad eportuitidemenitraiile. ’ » » ’l Ap, , a:, dive, etÔE’VW tuerie: :0054: "la iP-mffgôg l’amiral: «en; «71mg ne. 70mm.ï p ’ 76,9 hum; mm’meémmo. mû

ne: émince;Tiieorema la 1èueêoa. 8, Propafitio 2.7.r . . . - 2.7 I in binas reétas lineas recta incidens linea,alrernatirn angulos æquos ladmurcem fecetit:parallelæ adinuicem ipfæ reétæ linea: erunr. O R O N T I V S.(Sint bina: reétæ linea: alb,8: ad,8: in cas incidat elflreéta, efficiara. que alternes angulos alelfl8: elfldlæquales adinuicem . Aie quod alblteéta, parailela en: ipfi ad.51 nanque minimè forent paraiielætptoduétæ tandem in aliqua parte conuenirent, pet conuetfam vltimae diffinitienis. Concurrant etgoÇ fi poilibiie fit)ad partes b,d,in pull: Q0 quidem g. Efficierur iraque rrianguium elflg,cuius,exretier angulus alelf,interiori 8: et eppofito elflglæquabiturzquod pet decimâfexrarn prepefitionem non viderur elfe pailla bile . Non conueniunt igirur alb, 8: ad ,ad partes lad s neque ’ 3 Ne funiiiter ad partes a,c: idem nanque requeretur inconueniensa . 8 mine autem in nuila patte conueniunt, pet vltimam difiînitio. Aï e t-X nem exiitunt parallelze . Igitur alb,parallela eft ipfi ad. Si in L binas ergo reétas lineas:8: qua: fequuntut reliqua, vr in theea temate. Qged. etatA eitenden dum.c.j. - I ’ , . A .’ .

a: GEOMET. ÉLÉMENT.

Ap à; «No inerme’ iueâœ estima: êpqd’rfi’aôt, Titi: inde la, jeûnai -airai; limiers ne) àwwmrl’opuj êtri un. de! me .. pieu iflp enim mais cimentai êtri qui âuaûpieu divan: ôeeœiç 76:; mû, mgébtnîsor inonda «Minou: 0:2 iueëoa. ’ . I Tbcorcma 19, Prepqfitio 2.8. S I in binas teétasi’lineas teéta incidens linea , extetiorem angulum 2.8 mtetiori 8: oppofite ad cardé pattes æqualem fecerir, aut interio: res 8: ad eafdem partes duobus mais æquales: paralleiæ erunt adinui: cem ipfæ reâ’æ lineæ. A OpR 0 N I V S.(Sint turfum bine lineç alb,ad:8: in cas incidës elflteéta,efliciat pti muni exterierem angulum elgla,inrerioti 8: ex oppefite ad eafdem partes glhlaæqualem. PrirMparti: Dico,quod alblipfi adleit parallela . Angulus enim glhlc, anguie elglalper hypothefin o enfla. cit-æqualisxidem rutfum anguie elgla,æquus cit ad vetticem pefitus blglh:pet decimams quintam propefitionem . Anguii potto qui eidem æquantut anguie , æquaies (un: adinuia cemzper prlmam communem fententiam . Angulus iraque blglh , æquatur alterne glhlc. e Parallela cit igirur alblipfi eld,per vigefimamfeprimam propo l fitionem.(Sint tutfum inreriotes 8: ad eafdem patres alglhl8: Demôfiatio a g 5 glhlclanguli,binis teétis æquales.Aio turfum, qued 8: eadem [raide partis V a alb,ipfi adl cit paraliela. Anguii nanq; alglhl8: blglh,duobus 08------E-----g iridem reétis arquantur , pet decimamtertiam propofitionem. V qui autem eifdem , vtpote binis reétis,funt æquales anguli,8: f adinuicem (une æquales : pet primam communem fententiam. Duo iraq; anguli alglhl8: glhlc,binis angulis alglhl8: bl lhlfunt æquales.A quibus fubs du&e communi anguie alglhzteliquus blglh, relique 8: terne anguie glhlaæquabitur: pet tertiam communem fententiam.Paraiiela cit igirur alblipfi adzpet eandem vigefimams. feptimam propofitionem.Si in binas iraque reÇtas lineas,re&a incidens linea:8:c.vt in thee: renieraŒed demonftrare oportebar. I . à:GKSQHFG qui; mgæîMÀaç leader; iueêœ n, ipqfiqiïoeau, retienne anis: nitratai ywviœcne. 765c àmûMæ «mafia! Titi: ËK’ïÊQ fifi civile, ued. âvrwocmfop, and irritai âme! pieu lm, M 7&4 03’113? w E734 au. damé pieu (fluait; ôeeœîc Tente. . Tbeorema’ 2.0, Frapofitio 2.9, l . I N parallelas reétas lmeas,’re&a1nc1dens 11nea:8: alternatim angulos 2.9 . admurce’ æquales,8: exterierem interrori 8: oppefito 8: ad eafdâpar: tes æqualè’,8: mterrores 8: ad eafdé’ pattes duobus reins æquales e c1t. Prima theo- 0 R O N T I V S.(Sint albl8: adlinuicem parallelæzin quas incidat teéta elf. Dico pria rematir pas. mùm,quod alternatim fumptes angulos efficit æqualeswtpete, alglhlipfi glhld. Nam fi alglhlnon filerit æqualis ipfi anguie glhldzalrer eorü maior etit.Eil-o maiot(fi fierir poflît) alglhz8: vttique inæquaimm angulorum,c0mmunis addarur blglh.Compofiri igirutaniguz Il blglhl8: glhld,ipfis alglhl8: blglhlanguiis minores etuntzper quattam communem en; renriam. Anguii porte alglhl8: blglh,binis teétis funr æquales:pet decimamtertiam pros pefitionemJgitur blglhl8: glhldlanguli,duobus tectis emnr minotes.In teétas ergo linea las albl8: Cldlteéta incidens elf, inreriores 8: in eadem patte angulos duobus mais mines res efficiet.Conuenienr iraque tandem albl8: cldlrectæ lineæ c 8 » in infinitum productæ,ad partes bldzper’ quintum poitularum: ,av----3 A 5 non c etunr l ergo paralielæ , pet conuetfam vitimæ diffinirionis. . , d t -r Hoc autem aduetfatur hypothefizæquaiis cit igirur angulus-al PdYIfiCüdde c7 a h . r J 7 glh,alrerno glhld. (Aie tutfum,eandem elflteétam exterier j fa ’ rem angulum,vtpore elglb,interiotr 8: eppofito 8: ad eafdem . pattes glhldlangulo, æqualem eificete . Angulus fiquidem el glb,ipfi ad vetticem pefiro alglh, pet decimamquintam prepofirionem cit æquaiis: parure l quod 8: glhld. Biniitaq; anguli elglbl8: glhld, eidem alglhlfunt æquales:quaproptcr 8:

æquales adinuicem,per primam communemLIBER fentemiamJIDico I.» tâdcm,qubd v 8c interiorésv Tenu pas. a: ad eafdem partes fum ros angulos,vtpote,algIhx 8c gIhIç, binis métis æqüajçs cflîcit. Ofienfum cit cnim,qub "aggulus alglh,alrcmo gIhldIeft tqualisæonununîsptriq; æqua. hum addatur angulus g!hléx3ini igitur anguli algllvôc gllvc,duobus angulis glthlôC g; hxd, et fecundam communem fententiam adæquantur. Eifdcm qËoq; angulis 3111108: l 111d, ini rcâi (un: æqualcs:per decimamtertiamîpropofitioncm. t avgÆzigitur fig; glEl .uanguli,duobus rcâis,per rimant communem ententiam coæquantur.1n parallclarigi. tut rcâas lineas,rc&a inci ans lineam: alternatim angulos:8c qu: fequuntur reliqua,vr in thcorematc.ngd opormir danonIh-aflë. (Corollarim. (E 041-2 igirur in paralielas métas lineas incidig, 8c in alteram pcrycndicularis enflât: cum (cliqua iridein cadit ad perpendiculum. . I 1 ai ève-iv Maïa:que meo’AAnÀoc,nd ne, 1169:th âmcid memnmt. A. Tbcorcma. 2.x, Propo m’a 30. ù . . 5o. Væ c1dem rcétæ 1ms: paralleh:&’ admuîccm flint parallclm. I O R O N T l V S. (Sir vtraqs albl8: adlreâa,cidcm elf! parallela . Dico ubl . . a: c1 d! fore itidem parallelas . Coincidat enim in ipfas lineas, reâa quædam gIhzk.Cùm igirur præfatæ une: in eadem exaltant plano,& mita gllvincidat in avbÆc a .Q’kparallelamrit angulus :vyh,alterno glhlfxæqualis , pet primam pattern vigefimænonæ ’ propofitionis. Rurfum,quoniam reéta glu incidit in un: a a 8 ü. 1, dlparallelas : æquu: cric interipr 8: oppofitus angulus h-And, I .4 exteriori a: ad eafdë mes,hoc dt, eidem ghlflanguloæer *’---sh-----f recundarn pattern du dem vigefunærionæ propofitionis.Duo c . a itaq; an uli alglhzat hIkldIhoc el’t,:ngkI& lkM,cidem ans k gale gz flfilm talma: æqualcs igirur a inuicem, cr pris matu Communem en:entiam.Sunt autem alpins: gz dans ” 3111i altcmyà «a: gIinn albl8: adn-eàas incidente caufati. Panne]: et! igitur vbzipfi ad, pet vigefimamlcptimam propofitionem .- 03: eidem igitulj refit: linea: parallelæ: ac adinuicem fun: pardlelæ.ngd oponebat oflendere. llanrolhimn. . filogæ vni igirur paralielarum dt parafielacalteri queque verfivice pataugis; en. . P343039:Pô û m0416- nfiouyri un?! l îuea’çmea’zluhop, 1:95am iuoâap nappât: ne. W11- v ’ Problema Io, Propofitio 3:. 3.; Et datü punâum,datæ Vreâæ lineæ parallclâ rcââ lineam ducats; A O R ON T I V S.([Efio datum punâû adam vert» linea re&3,cui pet avpuné’tum oponeat duccre paralielamflt blc.Sufcipiarur ergo, in harem , contivngcns- puas I au!!! d:8: conneâarur aIdIreéta,per primum poftulatum.Ad datam infupcr lineam ud,8c in ca datum punCtum a, (faro angulo red’ilineo aldIb,æqualis a ç angulus rcétilineus conflit-nanar dan: pervigefunamtertiam propofirjonemÆt quoniam in métas alclatg blclreâa incidit 5 c ald,efficiens alternas angulos æqualcs,hoc efl,ald!blipfi du! ’ ctparallela efiigitur avenpfi blc,per vigefimamfèptimam prou, pofitionem.Pcr datum iræ; punétum afin: méta: une: blc, parauelam duximus ale.Qt-tod expcdiebat faute. .» I I - I Alu-5c 4317M!!! play cap munem; www , à fini; 70m: me! me «’73; . 9:69:14:timings To1; 35.604 0373; a? 731761110th, ara;fifi. wvlw,Àud Qui; - frou g 601p l ,-

.3: - O Mnis Tbeorema trianguli vno latere, a, Proquîtioproduéto,cxtcrior angulus32. I binis ; A inte- v rioribus a: ex oppofito cft æqgaliszôc trianguli ces muriates au

guli,binis9 R O N T I V S. ÇSit triangulumfiant avive: mais gigs 1mm! æqualcs. «page bic, prôducamï . , 4 . 94.13.

:8 GEOMET. ÉLÉMENT. d,per feeundurn péituiatùiri. Aie primùm qubd exteridr angulus alud, binis interioribuj - maisWilh- demie 6C ex oppofito,hoc cit alb!c,& blalaangulis cit æqualis.Ducatur enim pet datum punétum firme. c,datæ refit: linea: alb,parallèla duper trigcfimamprimam. propofitionem. ngniam igis tut in albzat delparalle asgrcéta incidit a!c:æquus cit angulus blalc,altemo vue,per pria matu pattern vigefimænonæ propofirionis.Rurfum,quoniam in eafdcm parallelas albl8: Cl e,coincidit reéta bal: exterior angulùs eldd, æqualis cit interiori 8: oppofito , ad eafdcm partes alblc,perfecundam partem eiufdem vigefimænonæ pro pofitionis.Porrb fi :qualibus angulis,æqualcs addantur aragne li:qui inde confurgent,erunr adinuicem æqualcs,pcr recundam l communem fentenriam.Totus igirur angulus aICId,binis inter scande par rioribus 8: oppofitis alblcl 8: blaanngulis cit æqualis.lIDico tif 11:le - infuper; qubd eiufdem rrianguli trcs interiorcs anguli , binis ni: ojbnfio. faut métis æquales.Paruit enim exteriorem angulum alcid,æquum elfe duobus angulis al bfclôt bivawibus æqualibus angulis,fi idem communis addatur angulus alczbzcrunt pet fccundam communem fententiam,tres anguli arblc,b!aœ,& alab , æquales binis angulis NOMS! UCIdÆifdem pan-ù angulis aICIlec akcId, duo reéti itidem æquantur anguli,per - dmmîlmtel’t’iam propofitionem . Tres igirur anguli arbrc,bwc,8c alab,trianguli abeC, per primam communem fententiam,binis funt métis æquales.0mnis itaqué trianguli,vno latere pr’oduéto:& reliqua,vt in theorcmate.qud oportuit demonftrafïe. IICorolhrim dirime fit manifeitum,cuiuflibct trian li trcs angulos,æqualcs cire tribus angulis alterius cumfcunque maillimempc qubd e’ dem,vtpote binis métis vuobique fint æquales.

I 70:66:11p M9140: and magnans; êqrî ne, «flânât P360001: pieu èmzamüana îuoëaufi M. foiron fou: 11 and WeéÂWn 5d. Theorcma 23, Propofitio 33. Ù l :ans 8c parallelos, ad eafdem partes reétæ lincæ coniungentes: 3; ,i si 11358 æqualcs Bi parallclæ fiant. .0 R O N T I V S. (Sint æquales 8c adinuicem paralldz rcôtæ linez.aIb,êt calquas ad cafdem partes coniungant refit: alc,& b!d.Dico N08: bldzreétasfore adinuicem æquales 8c patafiolas. Cônèétatur enim bladiagonius,per primum poftulatum-In datas 15km a’b’ & czd parallelas,rcéta incidens brc,efficit alternes angulos alblclôc bIcldÆdinuicem çquaa leszper primam partem vigefimænonæ propofitionis.Eit autem albl reéta æqualis ipfi ad, i pet hjrpothcfin:& vtrique communis brc.Binæ igirur alblat blclrrianguli alblc,duabus bi, 08: c1dltriangulib!cxd,funt airera alteri æquales:& æquos adinuicem continentpangulos, nempe alternas ubmlôc blCld. Par quai-mm ergo propofitionem,bafis aluminait: en: ipfi I bldzatque reliquat an lus flab,reliquo clbldlæqualisgtpote Î B Tub quibus æqualia fa tenduntur latcraJn métas. iraque lineas * alel8: bld,reéta incidens blc, efficir alternes angulos alablôc c a elbIdladinuicë æqualcs . parallela cit igirur moreau ipfi brd, . pcr vigefimamfeprùnam propofitionem. Parait autem qubd 8c ddemiæqualisAcquas igirur ¶llelas:8c qu: fequum-ur reliquaqrod demonitrandum Infceperamus.eidem: ad, . .Vi reflua; M. i l . .9! meœRUMJfoîppwp page": «1 ôtas-amical: daguait" un! wvîœzfiaaa «N’imçââ, x mi! althæa àu’rëcfli’xa «Qui. I .1 ’ V Tbeorcma 2.4; Proptyitio 34.. . t ,2 aralleloggammorum locorum , lacera iræ ex’oppofito t, 8: anguli 34. æqgalia finit adinuicemzëc dimctiens ca ifarlam fecat. . ’ . p, Wapm. UR’ 0 T I V S . (IEfto datum paralielogrammum y blCld: illius verb dimeuens bre. Aio primùm , ipfius u b! a! d! parallclogrammi latera qua: ex oppofitf! s 5C angu1°s Ê” adinuicem æqualialn paralielas enim albl 8c CIdA-céta incidens blcsfac" 31t°m°s anal? a! b! Cl 8c b! a d! æquales adinuicemper primam pattern figefimæ mm PmPofinoms’

LIBER . I. ’ . - 29 Eadem queque b4aincideiis in paraUelas suas: b!d,efficit rurfum altemos au los avwa et chIdI adinuicem æquales , pet eandem vigefimamnonam propofitionem . uo iraque trianguler azbzcÆc brad,habent duos angulos duobus angulis æquales aitertî alteri:vnümç que larus vni lateri æquale,commune (cilicet brc,quod æquis adiacct angulis.Reliqua iÎ’; tut latera,teliquis lateribus crunt æqualia altetum alteri,hoc cit, azbripfi ad,8: aloipfi I d:atqu,e reliquus angulus qui ad alteliquo qui ad dæquabirur, pet vigefimamfextam pro; pofitionem. Monftrauimus autem binos angulos qui circa b ,duobus angulis qui circa leo: n: alternatim æqualcs: rotus igirur angulus quigad b , toti qui ad e,per feeundam commua nem fententiam æquabiurr.Paralielogratnmi igirur albchd,lat-era quæ ex oppofito , 86 am . « and. a b guli æquantur ,adinuicem.lIDico ptætetea, qubd 8c dimetiens’ Rififi i W’ illud bifariamd fecat . Oitenfa cit enim albz æqualis ipfi crd,at: que alaipfi bldzëitque b!cœommunis.Bina itaque triangule: a) brcI8c brcId , habent fingula latera fingulis lateribus æqualia: c. J a: cos qui fiib æqualibus lateribus côtinentut angulos(vti nunc monitrauimus)fin latim æquales,vtpote axbzcjipfi b1czd,& avezbripfi abzd z atque cum l ui ad wei qui ad ræqualem.Conuenit ergo triangulum a!bzc,triangulo b!c1d.Quæ autem abimetipfis conueniunt, æqualia (un: adinuicem:per ottauam communem fentenriam. Tri; angulum igirur azblc,triangulo bxddzelt æqualc. Dimetiens iraque bzc, datum pataude: grammum albrczdlbifariam [eaux Quodoftendendum fuerat.

A meaMuMmppœ, au ïqriaideur: ait émît Mm «imamat! cine, matît; âu’mïs Faim-1o; meaAiMîcfi’aœ M. , i ànimœ 35g.Tkeommq - . l g1;, v, ’ .Propofitio . 35. i 3’ .PAmudograma in Gàdem 1313, 8C in eifdem parallelis exiitentia: adinuicemfuntæqualiap - t a" »- I " n 0 R O N T I V S. (Sint atallclogtamma vbœzdziôëcIdzeIF,ineadem bafi eld,atque iti eifdem parallelis a!f1& ud’Iconftituta. Dico arbreldrp failelogrammummquum eer adl th erflpatallelogrâmoôecet’ enim in primis lattis vnius,vtpote cœ,altetius Iatus bzd,in paru I °" &o- quidem g.Et quoniam parallelogrammorum loba-uni Iatera’quæ ex oppofito faut adins d’ifc’ .uicem æqualia,per trigefimamquattatu propofirioncniwttaque igirur azblac elf,æqualis cit "mm. ipfi admise autem eidem æqualia,& adinuicem-[nm’æqualia;pet primam communem (en tcntiammqualis cit igitur axb,ipfi eff. Communis addatur bleuira igirur àle,toti tut? cric I , æquaIis,pet fecundam co’mtnunem feptentiarnÆit autem 8c azc,îpfi bzdzzqualis, pet eau: dem trigefimamquartam propofitionemBinæ itaq; aras: a!e,trianguü aide,duabus bIdl .8: bd? trianguli bldlfl æquales funt alter: alteri : 8c arques adinuicem continent angulos; nempe exteriorem dlbzfrintetiori qui, ad a,p’er fecundam attem.’vigefunænotiæ.propofis l L e J v tionis.Bafis iraque Ue,bafi dl ,pet quatrain propofitionem cit ( . æqualis:atque triangulum a!c!e,triangulo brdÆA quibus fixb! p . duétoconununi trian lo brezg: reliquum napezium arbrgzc, H relique trapezio elfI g ,per tertiam communem fententiam . (A VæquabitutÆifdem turfiun æqualibus trapezijs, commune adijs , p ,çiatur triangulum Cldlgmonfurgent azbzcrdzôc czdrezfzparalle. . . logtamma adinuicem æqualia,’ perifecûdam communem fententiamJIngd fi latus vnius D’Ifi’WM a lb 1 H parallelogrammi,dimetiens ait-crins efficiatut,vt inhac fecun; Wh- dafi razidem,fed paulb leuius,côclu’detut. Dimetîens enim U bre, ifariam diuidit Nbludfparallelogrammûzfiniilitcr 8c in . -dlipfum pmllelogtammü bzczdIe, per trigefimamquatti-prœ a EcfitionemÆit igimt,yt vttaque pan-anelogramma alblcldYGC - rddle,eiufdem trianguli erdAînt dupliciazôl proindearqùa lia adinuicem,per fextam cotiununem fautentiatn.,CINec minus facilè deducerur propofi; ’ f tionis intelligêtiatvbi lams vnius parallelo ammi,’ifi latus a]: tarins inciderit,vclut if: tarda figura: difpo irione. Bruni; enim 4 turfum albl 8: eer æquales.adinuice’:à quibus dempta commu l a ’ . ni bVe, reliqua azur-cliquai bzf, pet tertiâ communë (entêtiam c-u etit squalis.Hinc triangulû aggtriangulo bldlffleluti fuptà b.i1j.

3. . h GEOMET. ÉLÉMENT. monittabitur,zquale.Qubd fi vtrique æqualium angulorum, addatur commune trapczium ezbzuàrefultabititerum arbzczdr parallelogtammum,eide’ parallelogtammo adzerf, pet t Ramdam communem fententiam æqualngitut parallelogtamma in eadem bafi,8c in eifi dem parallelis exiitentia,adinuicem fun: æqualia.030d erat oitendendum. - . n Oiôenpœ us, retienne 78. TA meaAuM’fœppœ ’rà êvri 715p Trop 502ml; 3m,(qd a; animai; mMfloiçfim (infime 3511- i Tbeorcma 2.6, v Propqfitio 36. P Arallelogtamma in æqualibus bafibus’,8c in eifdem parallelis du: 36

O R pO N fientiamdmulcem T I V S. (ISint azbrcxdxat a 2gzhrparallelogtamma,in film: bafibusæ ualia. æqualibus Cldl . à: gzh,atque in eifdem parallelis alfzôcahzconfiitentia.Dico azbradr arailelogtammum, aquati parallelogtammo erfxgzh.Conne&antur enim teétæ clez85 dl , pet primum poftu. latum.Et quoniam parallelogtammum cit ezfzgzh,æqualis cit ezflipfi grh,pet trigefimatns quattam propofitionem.Eidem quoque g!h,æqualis cit Ud,pet hypothefin. Binæ igirur cl rhô: erf,eidem gzhjfunt æqualeszôc propretea æquales adinuicem,pet primam communem fententiam. füntque adinuicem parallelæ, ex hypothefi. Œæ autem æquales a parallelas coniungunt linea: reétæ,æquales funt 8c parallelæ, pet trigefimamtertiam propofitionetn: 8: aerigitut arque drf,æquales funt 8: parallelæ.Parallelo tammum eft iraque czdlelf. Ipfi porto Udzezfzparallelogrammo, æquum cit azbladr parafielogtammum, pet trigefimaœ quintam propofitionemün eadem enim bafi Cld,atque in eifdem parallelis azfzôc elhlcons a e ftituuntur. Et et eandem tri efimam uinram pro ofitionem, I l » effrgrhrpatallelogtammum, æquum cit ipfi cldzezfrparalleloa grammozfunt enim in eadem bali erf,atque in eifdem parafiez , 1 I V lis alfl8t Ub.Bina igirur parallelogtamma albrczdiat eÆzgzh, ’ c h eidem parallelogrammo adzezfrfunt æqualiazquaproptet 8c æ: qualia adinuicem , petf primam communemP fententiamg .. qIdem etiam oftendereP licebit,de quacunqè parallelogrammotum difpofitione:hypothefi fetuata. ParalleloËtamma igitut in , bafibus æqualibus:8c cætera,vt in thcotemate.qud demonittare oporte at.

A arôme: 75: i713 «fie émie3:33:11).qu Mme dragua nô «au,» émieKg; maganoit, Pçôflmc 76: 42mm; 5’510. NE. Q , . Tbeorema 2.7, r Propqfitio I 57. » Riangula in eadem bafi,8c m-eifdem pataUelis côftltutamdmuicem 37

Ot R Ofunt N T I V S.(Sint æqualia. triangula arbIcÆc dzbzc,in - eadem , bafi. bic, arque in eifdem pas rallelis ajdr 8c bIU exiftentia. Dico triangulum azblc, æquari prepterea triangule dlbxc. Ptoducatut enim vrrobique aldzteéta,’ quue ad çunéta clôt f, pet primum poitulatum, 8c pet puiiétum bldatæ tectæ lineæ alc,patallela ducatut bze:atque ipfi bzdzparallela af,pet c a d i ’ f nigefimamptimam propofitionem. Sunt iraque aIUbœr 8c dl ’ blCIpratallelogtamma,8c in eadem bafi bzc, arque in eifdem parallelis [MUSC erf,per hypothefin confiitutazigitut adinuicë æqualia,per ttigefimamquintam .ptopofitionem. Triangulum J - porto azbæ, dimidium cit parallelogtammi azuble,atq; dzbr Utriangulum,dimidiumla C - ipfius dlbzafzparallelogtammi:dimetientes enim azbrôt cld,ipfa bifariam (cant parallelogtamma,per trigefimamquartâ propofitionem.Quæ autem arqua: lium funt dimidium,æqualia funt adinuicem”, pet feptimam Communem fentétiam. Igitut azbrcztriangulumgquumeft dzbrcrtrianguloÆrgo triangula in eadem bafi:8c qua: fequun Wr teliq’umfiod oftendendum fuerat. ’ l a ’ V , Il; 576W "a? hi 759 700p Mceœp-fimmqieadem: a; qui; aimai:tu, mgœJMÀMçJCâ: raflant flaflas au.510111. . . I . a Tbcorcma a8, v Propofitio 38. e ’ l Î-Riangula m .æquahbus bafibus, ,8: in eifdem parallelxs conftituta: 33 adinuicem funt æqualia.

t. - » ,LIBÉR 1. , ’ si O R 0 N T I V S.(Sint alb!c18c dlelfrtriangula, in bafibus æqualibus brc18t ezf, in en? démque parallelis azdzôc brfrcôftitutaAio triangulum albzc, æquum elfe drelfztriangulo. Ptoducatur enim vrrobique in direétum 8c continuum teéta aId,- quue ad gzôt hxpunéta, pet fecundum poitulatum.Et et datum punéttun b ,datæ reétæ linea: axe,patallela ducatut bzg:atque pet fzpûétum,ipfi ezpatallela fzh,pet trigefimam primam propofitionem.Sunt ’ igirur arabjgrôc drelfzhrpatallelogramma , in bafibus, quidem æqualibus bras: ezf, ac in 1 d F eifdem parallelis brflôc glhlpet hypothefin conflituta: 8c pros g i --"-- ’ ptet id æqualia adinuiccm , pet ttigefimamfextam propofitioc vnem.Atqui parallelogramma aIcAygÆt dÆIÜh , à dimetienti; bus arbzôc dzfrbifatiam fecantut,pet ttigefimamquattam propo fitionem. Bit igirur albrczttiangulum,dimidiurn ipfius alabrgl ., parallelogrammi : atque triangulum drerf,ipfius drezflthatal; lelogtammi dimidiquqæ aute’ æqualium funt dimidium,ea funt adinuicem æqualia, pet feptimam communem fentEtiam . æquum cit igirur triangulum Ubfc,ipfi drerfzttiangulo. Triangula itaque in æqualibus bafibus: &c.vt in theotemate.030d demonfttandutn etat. enseigna: 19, retienne M. A 76: ’ïfllybm ’rà: ini aie initie Mmô’mgwd et» qui: âwà: pieu , ml ai and; àuauîç

«nantîtes Tbcoremaflip. - 2.9, Propofitio 3’9. . 39 TRiangula æqualia , ’ eadem bafi c0nitituta,ôc ad eafdem parteszôc

O R 0in N T Ieifdcm-funt V S.(Sint in eadem bafi blc,atque parai ad eafdem elis. pattes .aux Cm"!à d,trianguia 2le 37. 08: drbzaadinuicem æqualia.Dico quôd ex aIin dzconnexailin’ea te&a,ipfi bldefi paralle la.Si nanque ald,non,fiietit parallela ipfi bzc :. poterit pet datum punétum a,ipfi blcx duci parallela,pet trigefimamptimam ropofitionem . Ducatut igirur,8c fit aIezquàe vel incidec fub ald,aut fupta.Cadat primo in ’aQfi pofiîbile fit:& pet primü poitulatumconneétatut re- Mafia. êta de. qua: cùm incidat intra dzbzattia ngulum,8c ab angulo qui ad c,in.brd(fubtenfumfiouù lift: latus cxtendatur: diuidet ipfam dszczttiangulum.rE-nmt itaqueazbraat teilbIUtriangula, renfla, in eadem bafi bzc,ac in eifdem parallelis azexô: brc conItituta:æquum erit prepterea trima gùlum exbxc,ipfi aIbrcztriangulo,pér trigefimamfeptimam propofitionemÆidem potto u . brcltriangulo , æquum cit dlbrczttian uni , pethypothefin. Bina itaq; trianguja d!blU& exbrc, ci E azbzd triangulo etunç æqualia:8c toinde æqualia adinuicem,pet primam communem - fententiafn.Ttiangu1um ergo dlbIc,æ’quum erit ipfi errc,mas b - r l: ius (cilicet nunoti,feuÇmauis)totum fur patti:quod non cit p06 - .’ i ’ * fibiie; N n caditigitur aleTparallelaJub azd . Eidetn fchuetur smda dlfli inconueniens , fi eadem arez denu’inddere-fupçt ald . Ptoduéta enim brdlpct fecunduni matie. poitulatum,COnueniet tandem cum ipfa axe,per quintum poftulatumzptoptetea qubd méta aIb,incidens in avalât bfdneftasfacit intetiotes angulos 8c ad eafdem partes albzdvac’bn aluminates duobus teétis(nempe minores albchôc bxaze angulis, qui pet tertiam pattern vîgefimænonæ propofitionis ctunt binis teétis æqualcs)Connexa itaque welreéta,pet primum poitulatum, ca cadet extradzbzattianguiumçfiet propterea triangulum dzbrc , pars ipfius elbzczttianguli. Vrrunque turfum,ipfi albzczconcludetur æquale (e!blclquidem pet tri efmnamfeptimam propofitionem , a: djblClpcr hypothefin)8c elblCIconfequentet ipfi dl rc,totum fuæ pattizquod rurfum eûimpofiibileænine fiquidem rotum cit fua parte ma ius , pet nonam communem fententiam. N oneadit ergo parallela fupet ad. patuit quôd me infia’igim’ ex 5V 19 inum drIFÏIPgula igirur æqualia:& qua: fequuntut reliqua . Quoi opottuitoftendiflie, "’ * . ’ - . . v i . Aïôwrl’wfveœüvritôe kwhéawyâiwgm’iwîdàvàûpéenpgloïmîçâuquïemî75’ ’IPQBI’WIÇ. p.1 i I, i . ï . 4 I’ - www? .Tbtormaesd,ï-J;Pr01xfitio 4.0... a , ï i .5 4o . Riangula æqualia,i’n çqualibiis exiflentia,& adea’fdem par: 8 ’ teszôcineifdemfuntpatallelis. i .i pflyïcmnfds . qui.

32; H GEOMET; ÉLÉMENT. O R 0 N T l V S.I[Sint axbrcÆc’ drelfltriangula æqualia adinuicem,& in bafibus æquaà libus bzcÆc eif (in direétum quidem exiitentibusgfemper velim intelligas)atq; ad eafdem pattes a! 8c dlconitituta: 8c conneétatut aldlteâta, pet primum poitulatum. Aie qubd a! d ,ipfi bzfreit parallela.N am fi aldmon fiierit eidem bxftparallela’: poterit pet datum puna étum a,ipfi datæ linea: bzfralia quædam paraliela dud, pet trigefimamprimam propofitioa nem.Ducatur igitut,fi poflibile finac fit azg.Cadet itaq; axgneéta,vel fupra ald,aut infra. - qudcunq; autem dederis:eam cum eld(vttacp in diteétum produéta)conuenire neceffum efi.quoniam ex aIin elconnexa pet imaginationê linea recta,incidit in algÆC eld,efficiens . 3351108 inteïiores 8C ad eafdem partes meulât eralgrduobus reétis (veluti fuprà) mine: Prima deuton res.([Incidat ergo primum azngub ald: 8: conneétatur fig, pet primum poftulatum, diris dif- mens dlelÛt’riangulum. Erit igirur triangulum grerflæquum ipfi azbzcztriangulo, pet tria - fatma. gefimamoétauam propofitionem:funt enim in bafibus æqualibus bzczôc eÆlex hypotheii, A 8c in eifdem parallelis azgzôt bzfz par datam confinaienem . Ipfi potto ybIdnjangulo, æquum cit pet hypothefin drerfztriangulum. Triangula igirur dlerfzôt gluf, eidem albl clttianguio etunt æqualia:& æqualia propretea adinuicem,pet primam communem fenten tiam.Itacp triangulum dIelf,æquum etit ipfi gtezfrttiangulo:maius fcilicet minoti,hoc cit, «M44 1"" tornm ("æ Parti, quad per,nonam communem fentendam cit impoflibile. (At fi detut a! fi!" diifnm’ glincidere fupet 3U dzconuenient turfum azgrsc eld,idémq; fubfequetur inconueniens.Pro-z "4’ l, 8 . duéta fi uidem eIdzin g,pet feeundum poitulatumzconneétatut rutfum rg,per primum,cadens extra drerfzttiangulum-TIÎHCÇ . - gzetfzac dleIfll’riangula, eidenpazbrcl triangulo condudentut æqualiazgzelfz uidem pet trigefimamoétauam propofitionem, ç 8l dlerfzpet ip am hypothefin.Vnde turfum totum gfelÛlTlan I "gulum,fuæ patti,hoc eit,dxerfzttiangulo, pet primam commua hem fententiam æquabirut.quod pet ipfam nonam communem fententiam citinipoflibile. Cadit igirur parallela ex afin dlvetticem. Concludendlî ergo,ttiâgula æqualia in æqualis . . bus bafibus exiitentia,8c ad eafdem patteszôc in eifdem fore parallelis.Quod demonittare A m’admr "f fuerat operæptetium .e (I Eadem quoq; via,fuptadiétarum fex propofitionum conclu’detur. ’ ’ "tintentum," vbi’plura duobus oblata fuerint vel triangula yel parallelogtamma: flatta bina» ’ - " tim,iuxta hypothefin,eotundem triangulorum vel parallelogtatnmomm computatione. - I . . 3, , 9:63:94: i M, . 11:66:01; pu. . , Ali menanhôyfœppop 0161W? Mal: 7654 qui: &wiümwü ai qui; émît meœXuîMtc il, » . . dhamma]: "un 6° meœzkunômppopfl dandins. V I i A Probiema 3x, v v Propqfitio 41. a I parallelogtammum 8c mangulum eandem bafin habuetmt,1n en; 41 H m démq; fuermt parallehsz. trianguli parallelogtammum duplum cit. O R O N T I. Ve S.(Eito parallelogrammum albzczd,eandé habens bafin adlcum triait: 5qu adze,in eifdémq; paralielis avers: Udlconititutum.Aio azbzcxdzpatallelogrammum, tore duplum ipfius trianguli adte.Conneétatur enimajdrreéta , pet primum poituiatum. ’ Triangula i gitur a!Cldl& Udrelerunt adinuicem æqualia,pet trigefimamfeptimam propoti " a - 5 - V é - * fitionem:habent enim eandem bafin Cid, fiintque in eifdem par ’ u ’ ranchs azerôc czd. Atqui triangulum wadzdimidium cit ipfius I ubzadrparaiielogtammi : fecat enim illud bifatiam dimetiens ald , pet tri efimamquartam propofitionem . Q: aure (une æqualia,eiu dem funt dimidimn: pet conuerfam feptimie coma - - . . [munis (ententiæthiangulum igirur adze,dimidium cit arbra dI parallelogtammiwt ipfum itacp parallelogtammum albzad,eiufdemUdzelttiang-uli du - plum. Si parallelogtammum igirur 8: triangqum: 8:c.-v: in theoremate.Quod opottebac flagada". oitendete.lLIdem quoque’det’nonittabitut; vbi paralielogtammum 8c triangulumïîæquales habuetint bafes,in eifdéthque fuerint parallelis. , . . ŒWMm. . . IIHinc fit manifeftum, cur, in’dimetpiendis trian V lorum ateis , dimidium bafis ducatut in perpendiculairemaut àpfius perpendicularis dimidium,’ pet bafin ipfam multiplicetur . Fit i * , I 1. enimih’oc inodo’dimi ium patallelogtammi, quad in eàdçm bafi,atque in cifdem cqllocag nupatalleliscumipfo triangqu data. kiwi I m I "i

. l 1’ng la, . LIBERIméfiai: fifi. I. V, 33v l a 1000041 afgydvç, iaap meœMÀômppop miauôwfl 43 1086m; iuoméppç 7mm a ’ Problcma n, Proptfitio 24.. i 42 Ato trian.gulo,æquale parallelogratnmum côftituere,in dato ans

0 R 0 Ngulo T I V S.(Sit datumteétilineo. alblcltriangulum,cui opotteat - in« angulo æquali ei qui ad dl CM æquum parallelogtammum conflituete.Diuidatut itaq; bzalams bifariam in punéto e ,pcr fis": dec’imam propofitionem:& conneétatur verteéta,pet primum poftulatum.Ad datam inqu pet lineam reétam ezc,dattîmque in ea punétum e ,dato anguie reétilineo quiad d,æqualis angulus reétilineus côftituatut flac: pet vigefimà’tettiam propofitionem.Et pet punétum a, atæ te(t:e linea: blaparallela ducatut alg: atq; pet punétum c,ipfi elflpatallela dg,per oflmfi° in" trigefimamptimam propofitionem.Et quoniam arbleÆc vexUttianguia,in bafibus flint au NM. qualibus blèlôt etc,atque in eifdetn parallelis a! A: blaconititutazipfi propterea funt ad: inuicem æqualia,per trigefimamoétauam propo ltionem.Triangulum igirur aszc,dupIum a F g cit mezanimguli. Atqui paralielogrammum’ÛeIag, eiufdem v aterCIttianguli duplum eit,pet quadragefimamprimam prqpo: p fitionemzhabent nanque eandem bafin bzc, in eifdémque unt parallelis 2Vgl8z blcœgæ autem eiufdem funt duplicia,æqualia a e c funt adinuicemzpet fextam communem fententiam . Paralleloa cl grammum ergo fœtug, æquum ipfi aIbl a triangulo data: (in -’ ’ cipi’tque angulum flelc,æqualem ci qui ad d.Dato iraque tris b angulo,æquale parallelogtammum conftituitut, in dato angulo te&ilineo.QLtod faciendum etat. ’ etÔe’W A5) retienne P7- I I me; meœîltlh’yfœ’puw,75p am du) influeroit memnîsnæéppwp «à mentant gôpœqufi’ôt émanai; 85g. l e .Tbeorcma 32,. V Propqfitio 43. 43 - O Mnis parallelogtammi earum qua; circa dimetientem funt pas .- tallelogtatnmotum fupplementafibi inuicem funt æqualia. 0 R O N T I V S. (I Parallelogtamm circa dignetientem alicuius dicuntut eiTe parai: Pudding!- lelogtammi , quando eundem cum toto poffident dimetientem. Supplementa autem,voa m cira di- cantur reliqua paralielogtamma extra, communem dimctientem conftituta .Sit igirur a; magnum. bladlparailelogrammum,cuius dimetiens ad,8: circa ipfum dimetientem fini-ergs: hÆl supplnmnæ. parallelogtamma,fupplementa veto fin; and: gIfiquæ dico fore adinuicem’æqualia. Pas tallelo ammum enim albrcrd;bifatiam fecatur a dingetiente ald, pet trigefimamquattam Pope moncmzigitm- atbadmiangulumfiquum cit ipiî triangulo aICId.Dimetiens infqpet a i L alk,bifariam fecat elglpatalielogrâmum,nemon 8c khilip um F lvf,pet eandem ttigefunamquartam propofitionanæquum cit -- k " f igirur alelkxttiangulumfipfi azglkzatq; triangulum kAVd, ipfi k kIfIdzttianguloÆi autem æqualibus triangulis æqualia iungana p tut triangula: omnia erunt æqualia, pet fecundam communem C --n------4 fententiam.Ttiangula iraque vains: kxhrd,triangulis afgÀCI 8c» klfldlfunt æqualia . Parait autem quod 8c rot-û albldltrian! gulum, toti triangule NUdIitidê cozquatur.Potto fi ab æqualibus trianguiis,æqualia fubo ducantut triangula:quæ telin ue’tut æqualia etüt,pet tertiam communê fentëtiam.Subdua titis itacp triangulis atglkzôt frd,ab ipfo albldIttiangulo,atque alu]: St krhzdltriangus lis ,ab ipfo triangulo aladztelinquentut gÆIôc eIhIfupplernëta adinuicem æqualia.0mnis ergo paralielogtammi:&c.vt in theoremate,ngd demonitrate fuetat opetæpretium.

A85! du! indien îueâæp w M0541 w061i? p in? WMnÀôyfappop mgœficwp a! "F 4095Wt i5, 7m14:MM ëuemæppç. fifi. i , .

54 GEOMET. ’E’LÉM’ÉNT.’ . Problcma’ au; t Propofitio 4.4.. A D datam rectam lineam : data triangulo , æquale parallclogtam: 44 mum conflruere, m data anguie refitilmeo. groumait Ô R O N T I V S. CEConi’cituete parallelogtathmum ad datam lineam teétam,& in dato- 5’1de angulo teâilineo,eft ipfam lineam datam eoaiTuinete in lat-us eiufdem pamllelogrammirfie vr eadem linea cum altero adiacentium larerum , angulum Comprehendat æqualem ipfi , angulo dato.Eito igirur data linea reéta arb: ad quam opotteat conitituete parallelogram. Culinaio’ mum,dato triangqu craquaie, 8: in angulo æquali ei qui ad d . Producatur in primis arbr figure. reéta in direétum quue ad punétumv e,per feeundum poftulatumzôt ad datam reâam lines am bre,ad datümque in ea punëtumb , dato angulo teCtilineo qui ad d , æqualis angulus reétilineus conitituatut frbre,pet vigefimamtettiam propoiitionem. In ipfo confequenter anguio frbre,dato triangulo c,atquale conitruatut paralieiogrammum frgrerb,pet quadra: gefimamfeCundam propofitionemæxtendatdrq grfr in direétum qu; 3d h: Fer («andain poitulatum.Pet datum infuper punétum a, vttique 8c frbr8t glerparallela ducatur hIa,per trigefimam primam propofitionemzconne’étaturquegper primum poflulafumtdîmetîem hl b.Et quoniam in reétas grel8c hrb,reéta incidens hrgrinteriores angulos a: ad eafdem par: i. , I, a . 1 tes grhrbr8.c hrgre,duobus teâis minores efficitCnempe minores d ipfis grivelât hrgre , qui binis rectis pet vltimam partent vigefi. ç 5 m- m mænonæ propofitionis funt æquales) concurrent ergo tandem gr er8c hrb,in infinitum ad partes brât erproduétæ,petquintum po. finlatum.Ptoducantur l ’tur,pet fecundum poitulatumzac concut tant in punéto k.Peti En! rutfum poftulatum, extendantur frbl t 8 r î a: hra,quue ad punéta ira: nua: per datum pilum kwtrique 1V Mmfiufio gr A8: arerp arallela ducatur krl,pet trigefimamptimam propofitionemÆHis ira conittuétis, a) "151mo. quoniam hrgrkrlrparailelogtammi,eotum qua: cita dimetientem hrkrfunt parallelogtams morum fupplementa,fibi inuicem fun: 2qualia,pet adragefimamtettiam propofitionem: zquum cit fupplementum feu parallelogta’inmum ar rmrl, ipfi frbrergr parallelogtammo. Eidem porto rbrergrparallelogrammo,æquü eft datum crttiangulum,pet quadragefimamp fecundam propofitionem: ita enim conittuétum eit.Igitut paralielogtammüm Vb’m’biPfi triangulo crpet primam Communem fententiam coxquaturÆit autem a: MW angulus,ei qui ad dr æqualis : vtetque enim æquatur ipfi frbre , arbrmrquidem per deCImamqumtam PV°P°fitÎ°ncmyqui ad dlvcrè pet vigefimamtettiam.Coaffumit-ur ptztetea data linea teéta ’ arb,in lama ipfius arbrlrnvpatailelogtammi.Ad datam igirur lineam retâtant albfiato 11’133 gulo c,atquale parallelo ammum conIttuitur albrmrl, in date angulo reaümco Nb’maCÏ qui ad maquaii.Qod acete opottebat.

V5 «Nadia: inaméppbfiavpFemme meœmnbfœppop c7, amiètes: redent: ai «ü and"; p.1. (voméppowviœi I Prob ma 13,. Frapofitio 4.5. Ato rectilineo, æquale paralielogrammum conflituere,in dato an 4;

O R 0 N T I V S.(Sit datum reétilineum arbrcrd:cui opotteat confituete æquale partait leiogrammum,inIo dato teétihneo.angulo rectilineo qui ad’e.Conneétatut ergo. brcrteéta,pett primum poitulatum.8c dato arbrcrttiangulo,æquale paralielogtammum côitituatur frgrhrk, in dan to angulo rectilineo frhrk,ei qui ad eræquali: pet quadra eflmamfecundâ propofitionem. Ad datam infiiper teétam lineam grk,dato brudrtriangu o, æ uum conftruatur paralielqa gtammum grltrirm,in dato angulo rectilineo grkrm,æquali ci cm qui ad ezper antecedeo , cem quadragefimamquattam propofitionem . Oftendendum cit iraque primum, hæc duo KMŒM’ patauelo anima vnum efficere paralielogtammum:quod ira fit manifeitum.Qu-oniam.ans a4 P47 4m10; guli frhr r8: grkrm, eidem angulo qui ad erfunt zquales,per conittuétionem: flint igirur 874WW æquales adinuicem,per primam communem fententiam. Addatut vtri communis angua emmîiwd lus glklhzi ’tut an li grkrhrôt grkrm,fimt pet rimam communem ententiam,æquales libârmm angulis frhr 8c gr rh.Eifdem porto angulis flhrîtlôt grkrh, duo anguli reéti funt arqua! les ,.pet vltimam pattern vi efimænonæ propofitionismnguli igirur grkrhrac grklmibinis unt redis æquales,per eau cm primam communem feotentiamJu direétû cit igirur bric,

ipfi kr m, pet decimamquattam LIpropofitionem. B Rutfum ER quoniam L. angulus frl gr it,à; oppofito qui ad hr pet trigefimamquattam propofitionem cit æqualis : patuit autem qubd 8c grkrm. i Bini itaq; anguli fr grkr& grkrm,eidem qui ad hrfunt æquaieszôc æquales prepterea adinuis a .-- cem,per primam ’communem fententiam.Communis turfum ad: p1 F k datur angulus krgrl.,etunt igirur frgrkrSc krgrlranguli,binis in, tetiotibus 8c ad eafdetn pattes lr g rk 8c grkrm , pet feeundam communem fententiam æquales . Ipfis orro lrg rkr 8c grkrmr c I anguiis,bini teéti coæquantut , pet ean em pattern vltimam vis l 5 k gefimænonæ proppfitionis:pet primam et o communem fenten 1 i i V tiam,anguli frgr 8c krgrlrfunt z ales uobus re&is.In dire, 5 fit! 1’ ’m étum cit itaque frgripfi grl,pet ip m decimamquattam propos fitionemÆit autem 8c frgripfi hrk,atque grlripfi krm, pet trigefimamquattam propofitios. nem æqualiszat vtraque vtrique parallela.Igitut frira: hlm,pet fecundam communem feus tentiam,funt æquales adinuicem, atque parallelæ: St cas iraque coniungentes refit: lineæ frhrôc lrm,æquales a: paralielæ funt,per trigefimamrettiam propofitionem.Patallelograma w mum eftigitut frlrhrm.Huius autem pars frgrhrkrtriangulo arbrcræquaturzôc reliqua grkr thfl lrmripfi triangule brcrd,per ipfam côltruétionem.Totum ergo frlrhrkrparallelogtammum "fille. ipfi dato arbrcrdrreétilineo cit æquale:fufcipitque angulum frhrmræqualem dato qui ad er m. angulo.Dato iraque teétilineo arbrcrd, æquale con-ittuximus paralielogrammum frlrhrm, i in data angulo reétilineo qui ad e. Quod fadendum propofuetamuslildem quoi; licebit Ramdam; oftendere,vbi datum teÇtilineum,in plura duobus fepatabitut triâguia. C uilibet enim trians guio peculiate conitruetut parallelogtammum,pet quadragefimamfecundam 8c quadrages fimamquattam propofitionem:quæ fimul vnum eflîcete parallelogtammutn ipii dato teétit linea æquale,haud diflimili difcurfu conuincentut.

lq k PôFemme: tif; &de Mans 14713470109un, 11969101; ximénia. i pf- Problcma 14., Propcyïtio 46. 45 EX data reéta linea,quadtatum defcribete. O R 0 N T 1V S.([Eito data linea reéta arbzex qua fit opetæptetium defctibete quadras tum.A dato iraque punéto a,ipfi reétæ linea: arb,ad angulostectos excitetut arc,pet vnde cimam propfitionem,indefinitç quidem quantitatis,donec ipfam fupetet alb.A qua fecetut æqualis eidem arbzfi’tque ard,pet tertiam propofitionem . Rutfum pet datum punétum d, ipfi arbrteftæ parallela ducatur dre,atque pet punfl’um bripfi ardrpatallela bre,pet trigefin mamptimâ propofitionem.Parallelogtammum eft igirur arbrdrezdico qubd 8c quadratum. 043M defivîo Nam paralieiogrammomm iocotum latera quæ ex oppofito,æquantut adinuicemzpet trige: puni: patelle i a d I fimamquattam ptopofitionem.Aequum cit i ’tut latus dre,ipfi ogrmnum *. arb:atque bre,ipfi ard . Sunt autem arbr8car , pet Coûfifllàioa fit guarani. nem zquales.Quatuot igirur arb,ard,brer8c erdriatera,æqualia v .funt adinuicem:quæ enim æqualibus funt æqualia,8c adinuicem æqualia funt , pet primam communem fententiam . Acquilatea G mm cit igitur arbrdrerpatalielogtammum.Rutfum quoniam in parallelas arbr 8c drerreéta incidit arc: facit igirur intetiotes 8c ad eafdem partes angulos brardr8c ardre’,binis reétis æquales,pet vltimam’pattem vigefimatnonæ propofitionis.Re; étus autem cit qui ad aranguluszigitur 8: ui ad drteétus . 8c qui ex oppofito confiitunt ad br8c eranguli , itidem teéti funt: pet eandem trigefunatnquattam propofitionem.Reétans gulum cit igirur arbrdrerparallelo ammum.Patuit qubd 8c æquilatetumærgo uadtatum, pet trigefimam diflinitionemÆx ara igitut linea teéta arb,quadtatum defcripËmthqod

oportuitfig!!! ab æqualibus fecifl’e. igirur lineis ateétis Œcmüariam.’ quadrata defcribuntur , æqualia. . . funt adinuicemz8t ediuetfo . qua: autem ab inæqualibus fiunt quadrata , funt inequaliazmaius quidem quod à x maiore,minus autem quod a minore defcribitur. . v Menin: -, A), P360641; [42. I . . . ’ " EN fiai; devinant; ergotâmes 1’" demi «kaki! ôgOIip 701M! WTÂW maïa; mm" («p.ÜHflDÏÇ dm: 1-61: du) ôgeip rating WXWËp autem: mayôvow- i ’

36 GEOMET. ÉLÉMENT. p Tbeorcma 3;, Proptfitio 47. - l N reétangulis t’rangulis, quadratum quod à latere teétum angulum "47 i fubtendente fit,æquum e quadratis que fiunt ex lateribus angulum i teétum tontinentibus. 0R O N T I V S.(ISit teétangulum triangulum arbrc,cuius fub brar8: arcrlatetibus com tentus angulus,teétus exiltat. Dico quôd defcriptum ex brcrquadratum,ijs quæ ex brar8: arcrfiunt quadratis,eit æquale. Defcribantut ergo quadrata,pet quadragefimamfextam pro: pofitionemzex braquidem quadratum brcrdre,ex arbrveto arbrfrg,8: ex ipfo arcrquadtaa e. tum arcrhrk.Deinde pet a punétum, vttique brdr 8: der parallela ducatur arl: pet trigefi mamptimam propofitionem.Parallelogtamma igitur etunt brlr8: crquuadtangula.Connes étantur denique ardr8: crfrlineæ teétæ:pet primum poitulatumÆt quoniam ad reétam linea am alb, atque ad eius punétum a, duæteétæ linea: ara 8: a! gr non ad eafdem pattes duo éÏi’tïgâltlgulos vttobique rectos efficiuntûeéti enim fun:,qui circa punétum arConfiltunt an- . gulum direétum eft igirur araipfi arg:8: arbrconfequentet ipfi ark, pet decimamquartam, Alterilusipar- propofitionem. Parallelæ iraque fuut brfr8: crgzfimilitet 8: brkratque crh.Cum porto orna tu demoflrq. nes anguli reâi fin: adinuicem æquales,per quartum poftulatumzetit angulus arbrf,æquaa) ne. l) k lis an gulo crbrd. Communis apponatut angulus arbr cztotus igis - A tut arbrd, toti frbrcrangulo,per fecundam communem (entent tiam erit æqualis . Rutfum, quoniam pet trigefimam diffinitioa ’ l1 nem,æqualis cit arbripfi brf,atque brcripfi brdzfunt igltut bina p 7 lateta arbr8: brdrtrianguli arbr d, duobus lateribus frbr8: brcl i trianguli frbrcræqualia alterum alteri.8: æquales continent am gulos arbrdr8: frbrc.Bafis ergo ardrbafi frc,8: triangulum arbr drtriangulo frbrc, pet quai-tant æquatut propofitionem . Ipfius porto trianguli arbrd,duplum cit brlrpatallelogrammum,in cas dem bali brd,atque in eildem parallelis arlr8: brdrconititutum: .4 ’ e pet quadragefimamptimam propofitionem.8: pet eandem ptopofitionem,arbrfrgrquadtatum, duplum ipfius frbrcrttianguli: habent enim eandem bafin brf, in eifdémque confiitunt parallelis frbr8: grc . Qqæ autem æqualium duplicia funt,8: adinuicem flint æqualia:pet [extam communem fententiamJgin Italique par. tut brlrpatallelogtammum,æquum eftrarbrfrgrquadrato. Haud diflîmili via,oftendetut cr tu oflmfio. lrpatallelogrammurn,æquum e e arcrhrkrpatallelogtammo fine quadrato. Connexis enim arer8: brhrlineis reétis, pet primumpoftulatumtetunt tutfum arCr ers: brcrhrttiangula ad: t inu1cem æqualiaÆtcùm crlrparallelogrammum duplum fit arcrerttianguli,8: quadratû arc! ’ hrkripfius brcrhltrianguli itidem duplum,per eandem quadragefimamptimam propofitioç nemzconcludetut tandem paralielogtammum crl,æquati quadrato arcrhrk.Atqui brlr8: cl - lrpatallelogtamma,conficiunt quadratum brcrdre, quod fit ex brc:quadtatû ergo brcrdre, il æquum eit arbrfrgrô: arcrhrkrdefcriptis’ex arbr8: arcrquadtatis.In teétangulis iraque tria Roman", angulis:8: qua: fequuntut reliqua,vtin theotemate. mail expediebat demonlltareJIHoc v ’ , i îpeâabile 8: fempet admitandum theotema,Pythagoras in bis a ttut offendifiè numeris,3,4.,;:e velu: ex obieéta potes elicere figura.in qua angulus qui ad b,re&us elt:8: qualiü pattium arin 3 ’ 7 ’ lattis cit trium,8:brcrquatuor,talium arcrreétû fubtendens ans X gulum yrreperitur.Qiinquies porto ;,faciunt 2;:tet 3 verorg, i h 4-1-3! C 8: quater 4rfedecim.atqui 9 8: 16rconficiunt 2.5. (Un triangulis iraque’ IICorollmium,teëtangulis , duobus lateribus dans I , ipfotumadminiculo,deuenire licebit in cognitionem teliqui: pet quadratorum nernpe tum additionem , tum fubduétioa nem adinuicem,8: latetis feu radicis eorundem inueitigationem.Nam’cognitis (verbi gras ria) arbrô: arcrlatetibus,vttunque in fefe multiplicetut 8: quadratum iplius arbra quadra- to ipfius arcrfubducatutztelinquetut enim quadratum quod fit ex brc,cuius tadix quadrata ofiendet ipfius brulongitudinem. Baud diffimilitet cognitis brcrô: arcrlatetibus, cogno- fcetut ipfius arbrlongitudo . Subduétis enim 9rd 3;, telinquentur 16: quorum radix cit 4. Atq; fubtraétis 16rà 1;, relinquentur 9:quorum-tadix cit 3. Idem velim habeas iudicium, de cætetis. quibufcunque fmiilibus.Qiemadmodum in dirnetiendis terum longitudinibus,

LIBER I. » ’- 37 paflîm obferuari Comptobabis. p I - .En p41904140 eidem: 1’- àqni puât et: 45161138.: Mi, flœéyovopfiaap mienne- ü, me 5:46 tu Aoiuôpnœfidve pu. l * » 82:0 maies, enrayèrent, inoMu prix 6755 q’W Mmëp fric 71917618 No démâta,

TbearemaÊ 54., î Propofitio 48.’ ôgQI’Itrianguli quad adivnoA. larerum i quadratum,æqualep fuetit eis me fait! va: à reliquis trianguli lateribus qu’adtatisÎ: angulus com: "W’ rehenfus ub reliquis trianguli duobus lateribus, teétusetit. 0 R ON T I V SJIElto arbrcrttianguli quod ex brcrquadtatû,æquum eis quæ ex arbr8: arcrlatetibus fiunt quadratiszaio toptetea,angulum brarcrfote teétum. A data enim pun- etc a,datæ linea: arc,perpendicu aris excitetut ardzpet vndecimam propofitionem. Et pet tertiam propofitionem, ponatut ardripfi arbræqualis: conneétaa a turque crdr méta, pet primum poftulatuthùm igirur arbripfi a ardrfit æqualisuequum elt quod ex arbrquadratum, ci quod fit I ex ard, pet corollatium quadragefimæfextte propofitionis: Aria datur vttique,id quod ex araquadratum.Quæ ex arbrigitur 8: C I .arcrquadtata,æqualia funt eis quæ ex arcr8: ardrquadtatis: pet , - a fecundam communem fentëtiamÆis autem quæ ex arcr& ardr ï quadrarimquü cit qubd ex crd,pet antecedêtem quadragefimanifeptimâ propofitionem: angulus enim crardr refit-us cit. Qqadratis potto qua: ex alb,8: arc,æquü cit qubd ex bre! quadratum:pet hypothefin.Qqæ ante æqualibus fun: æqualia, ea (un: æqualia adinuicem pet primam communem fentêtiam.Quadtatum i itur quod ex brc,æquum elt ei quod ex crdrquadrato . Acqualis en: ergo brcripfi cr : æqualia enim quadrata funt, qua: ab æqualibus defcribuntut lineis re’étis . Pofita cit autem ardripfi albraqualis, 8: arcrvttique communis.Bina ergo latera arbr8: arcrttianguli arbrc,binis. lateribus arcr8: ardrttianguli arcrdrfunt altematim æqualia:bafis que; que brc,bafi crdræqualis. Angulus igirur brarc, anguie crard, pet oâauam propofitionem cit æqualis. Bit autem dard, angulus teétus, pet conltruétionem: 8: blalcr igitut angulus teétus cit. Si trianguli itaque quod ab vno larerum fit quadratum , æquale fuetit eis qu: à reliquis triait; guli lateribus defcribuntut quadratiszangui lus comptehenfus fub reliquis trians guli duobus lateribus , teétus etit.Quod tandem oiten: dendum fufcepes ramus. ï.

à Ptimi Libti Geometricorum Elementorum, fié Ex Otontij Finæi Delthegij Marche: i maticarum profelloris,tecèns auéta 8: emendata ’ traditione, FINIS.

.i C:.38 I À oront’llI Flnæl Delphlnatls, Re- on .MATHEMA’TICARVMÀ PROFESSO: ris, In Secundum elementorum Euclidis 5 Demoni’trationes. EtxAÉI’Aor mon mon entravon. i A Pœeœmmépfœppop deowôviop. I , l t l Ap meœnnmiçfœppop ôgOoyduopgu-tèrixufiœ: Mita-ou liai-Mo 1’51: qui: seau yoviap

WXWÔ]Parallclogrammum ivodôp. raflanguium. ’ Mue parallelogtammum "rectangulum, fub duabus te I étum angulum comprehendentibus teétis lineisdici: citur contineri. O R 0 N T I V S . llParallelogtammum,dicitur figura uadrilatea - p ta,fub oppolitis lateribus adinuicem æqualibus comptehê a.Sunt au: . A! rem para lelogrammorum quatuor tantummodb encra:vtpote,quas I dtatû,alteta parte longius,thon’ibus,8: thomboiÎes:quemadmodùm ttigefimatettia primi libri antè monuimus diifinitione.Vttun potto 8: quadratum 8: aire. ra parte longius , teétangulum adpellatur:continetiîtque fub îuabus lineis reétis ad teâtum conuenientibus angulum,quatû altera in reliquam ablttaétiuè du&a,îpfum efficit parallelo: grammum.([Vt ex arbrcrdrpotes elicere atallelogtammo:quod fub arbr8: arcrlatetibus, î a b reétum qui a arcomptehendentibus angulum,côtinetur.N on . . . . . potelt enim angulus qu1 ad arfore reétus,qum pet Vigefimam: o o o e nonam 8: trigefimamquartam propofitionem libti primi , relia 0 0 30° 0 0 qui ttes anguli fint iti em teéti.Imaginanda cit igirur arbr te- o° ’I ’ ° ° ôta,a fluete direétao via ino c: 8: punétum o brdefcribere I latus, brd.. . ° ’ ° ° ° A vel arcrteétam, venir: recto fluxu in b: arque punétum creffis cere lattis crd.Ita enim abltraétiuè defcribuntut parallelogramma rectangula. Ad quorum fimilitudinem, numerus pet alium quenuis numerum multiplicatus,planum arque teétana gulum efficit numetumzvti fubiecta viderur indicate figura,in qua 6rvnitates pet jrmultia plicatæ,reddunt 3orplanum 8: reétangulum numetum. (Corollafium. l l .CIQi-emadmodum igirur æquales numeti petinumetos æquales multiplicati , æquales mut: Cem procreant. numetos : baud diliimiliter fub æqualibus reétis comprehenfia rectangula, æqualia fun:i ’ néper: adinuicem. tri. l i Ï i H Arrêt dit meœnmoypéppou mugis 759 116M. qui; 8192 [AÎ’ŒOp àwô’pfip meœJÀtÀopfép- i pop âniovoüddl me (fluai memueépua,rôpop Mafia. .QI-zjdgnomon. .Mnis parallelo tammi,loci eorum quæ circa dimetientemil- z lius flint parallâogtanxnorunuvnumquodque earum cum bi .. . ’nis fupplementis,gnomon vicetur. p i 0 R 0 N T I V S.(Œmqum gnomonem,ptoptiè intelligamus teétangulum: accrpitur

LIBER 1. . r- ,7 pailîm obferuati comprobabis. Î V .Ara . ŒWW’È0:69pm and puai: mW M, margay même": whavopflaapî, me d’un:pi. mW Acta-apn’rrquu ô go mâchait; madame; à onpâiu 7min: in?» m Murs; que Groin: «No mâtina!) e9li i s a , Tbeorema" 34, i Propofitio. 48.8 i « le Itrianguli quad ad vno larerum quadratum,æquale fuetit eis cm]; tu qua: à teli uis trianguli lateribus quadratis’: angulus com: m6 i rehenfus liib reliquis trianguli duobus lateribus, teétus crin R O N T I V S.(lÎEito arbrcrtrianguli quod ex braquadtatû,æquum eis quæex arbr8e alcrlatetibus fiant quadratistaio proprerea,angulum brarcrfote rectum. A dato enim pum Etc a,dat:e linea: arc,perpendicu arisi excitetur aldzpet,vndecimam propofitionem. Et pet a tertiam ptopofitionem, ponatut ardripfi arbræqualis: conneétas tIîrque crdr teéta, pet primum poltulatum. Cùm igirur arbripli a ardrfit æqualiszæquum cit quod ex arbrquadratum, ci quodfit ex ard, pet corollatium quadragefimæfextæ propofitiouis. Ail: datur vttique,id quod ex arcrquadratum.Quæ ex arbrigitut 8: C arcrquadrata,æqualia funt eis quæ ex arcr8: ardrquadtatis: pet x i v . . feeundam communem fentëtiamÆis autem qu: ex arcr8: ardl quadratisgæquû elt qubd ex crd,pet aritecedëtem quadragefimamfeptimâ propofitionem: angulus enim crardr reétus cit. Œadratis porto na: ex alb,8: arc,æquû eft quod ex brcr V g quadratum:pet. hypothefin.Œi-æ autë æqualibus unt æqualia, ea fun: æqualia adinuicem petprimam communem fentêtim.wadtamm igirur quod ex brc,æquum cit ei quod ,- ex crdrquadtato . Acqualis cit ergo brcripli crd: æqualia enim quadrata funt, qu: ab æqualibus defcribuntur lineis teétis . Pofita cit autem ardripfi arbræqualis, 8: aravtrique communis.Bina ergo latera arbr8: arcrtrianguli arbrc,binis. lateribus arcr8: ardrttianguli arcrdrfunt altematim æqualia:bafis que; que brc,bafi crdræqualis. Angulus igitut brarc, angulo crard, pet oâauam propofitionem cit æqualis. Eit autem crard, angulus reétus, pet conltruétionem: 8: bralcr igirur angulus reétus cit. Si trianguli iraque quad ab vno laterum fit qua: dratum , æquale fuerit eis quæ à reliquis triant guli lateribus defcribuntur quadratisumgua lus comprehenfus Tub reliquis triant guli duobus lateribus , teétus crinmt-od tandem oltens dendum filfCCPCa i tamus.

à Primi Libri Geometticotum Elementotum, fié Ex Orontij Finæi ADelphiRegij Marthe: maticatum profefl’oris,recèns . I ïauéta 8: emendata. i ’ traditione, dur-1ms:

38 Q figé-fia Jèîï’ &fi’esr’*ax*.’è-’Ë’è’i x Oronu]mx Flnæll. V Delph1nat15;Rc-- a l GII MATHÉMATICARVM 13110515350; ris,.In Secundum elementorum Euclidis , Demonflrationcs. summum nounou munem - I’ H . PœeœRng’yfœypop 690616va .Ap meœnnôgfœypop ôgaoyôuopmâèfixwfim limon: W 160 cap dû: «Sam 7min

wxwô’ç (1104811.Paralldogrammum refiàngulum. . ’ - , Mne pàrallelogrammum reâangulum, fub duabus re 1 ’ &um angulum comprehcndentibus reâisÀlincis dici: V

(Laid pâma: O R O N T I V S . (Parallelogrammumdicitur figura uadrilares Iogrammum. ’ (d J A 4 ra,fub oppo’fitismut lateribus adinuicemcontmen. æqualibus comprehê?a.8unr - au:. . ngt page ’ J rem parallelogrammorum quatuor tantummodb encrazvtpote, na: 1037W dratû,altcra parte longius,rhombus,& rhomboi eszquemadmo ùm mm nigefimatertia primi libri antè monuimus diffinitione.Vtrun pou-b 8: quadratum 8: alte- Ûra parte longius. , reâangulum , adpellamræontinetürque . . fub uabus- lineis mais ad reflum conuenientibùs angulum,quanî altera in reliquam abi’craéfiuè du&a,ipfum efficit parallelos Exemplm. grammum.([Vt ex albICIdlpotes elicere parallelogrammozquod fub albzôc valareribus, . O g . o a b reâum qui ad aIcomprehendentibus angulum,côtinetur.Non . . . . . poteft enim angulus qui ad azforc reâus,quin pet vigefimany sa a à o o nonam a: tri fimam uartam propofitionem libri primi , relu 0 ’ 9 ° 0 qui tres angu i fine iti cm reâi.Imaginanda efi igirur albl res ’- ’ ° ° ’ &a,fluere direfl’a via in c: 8: punâum bldcfcribere latus bd. ° ’ ’ ’ ’ 6 cl vel alateâam, venin: rcâo fluxu in b: arque punâum clefiîa cere brus adira enim abi’craâiuê defcribuntur paralielogramma reâangula. 5d quorum fimilitu’dinem, numerus pet alium quenuis numerum multiplicatus,planum atque reâan: gulum efficit numerumzvtifubieâa viderur indicare figura,in qua 6lvnitatcs pet 57multi. plicatæ,reddunt gozplanum 8: reétangulum numerum. (ICWoÛm’ium. ŒQgemadmodum igirur æquales numeri pet numeros æquales multiplicati , æquales inuis cem procreant numeros : haud diffimiliter fub æqualibus métis comprehcnfa reétangula, æqualia fum- adinuicem. rvàpop tri. I l Ami; au meœnaho’yféypou 3(de 4’59 «A; 714.5 673: fieroit âv’rëpfip meœMW’WO’IP’ [un ômwvowîlùb un"; (fluai memueépœamâjmp Mafia.

V7.7”e (Leidgnomon. î: ,Mnis parallclogrammi,loci earum qua: circa dîmctientem il- 2. à lius (un: parallclogram’morum,vnumquodquc earum cum bi K ,44 nis fupplemcntis,gnomon vicetur. - ’ O R 0 N T I V S.([annquàm gnomonem,propxîiè intelligamus reaangulum: accxplrur

LIBER IÎ. i 4:. N E MÊQGêËTÎ’EFM.. mien 71109? ’à; ï’ruxea, ,orê même àarà tri; 8M; c’eœobwvop, «fl- 70011km d n79: i rhô m7 fi v 7 Tlxtpoî’rap rrwçœyômgmd 75 du; 61:6 11557 Tyupé’rijtfiuxopëlç ôgBoæwu’q). ’ Tbeorema 4, Fraprjîtio ’4.

J. I méta- linea fecetut vtc’unque: quadratum quod fit ex foira-,- y k à; æunum efl: quadratis quæ fiant ex’ fegmentis , 8c ci quad bis fi: lègmentis comptehenditut réâmgu’lo. ’ ’

O R, O N T I V S.([Sit azbzlinea refit: , quæ fecetut vteunque in punâo c.Dico quadra: rum quad ex rota fitwb,æquum cire eis: qu: ex M08: Ublfe’gmentis defcribuntur quadra? tins: bis fub eifden’l fegmentis comptehenfo reâangulo.Defçribatut in timis ex azb,quas dratum a!bzd]e:pet quadragefimamfextam primi . Et contieé’tatut ale! imetîens, pet pria muni pofiulatum.8c pet datum punâum c, vtriquc anime blezparallela ducatur af,fecans Meldimetientem in punâo g.Per punâum denique g,ipfis Mans: dletpatallela ducatur hl k:pcr’trigefimamprimam eiufdem primi. Cùm igirur aIbtdœAîr quadratûgæ ualis eRaIb’l a; r b ipfi bze:per nigefimâ ipfius primi diffinitionê. I ofcelis igirur - alblel trianguli, qui ad bafin ava fiunt anguli , hoc cit bzaxel . b k 8: vezb,funt pet quintam primi adinuicem æquales. Eiufde’m me mark Ë " porrb trianguli azbtemtes anguli,binis [in]: teé’tis æqualeszpet "f4 a "W1 n ’ i trigefimamfecundam eiufdem primi.Re&us cf: autem angulus. l" du" d” qui ad b . teliqui igirur anguli .bzazel 8: alu]: ’, vni teâo’ fun; W” du", a! ’ e æqualesfunt autem a: æquales adinuicemzvterque igirur dimi: la dm dium eft anguli rem. T tianguli rutfum Magnus anguli,dum finît" en °1 bus teâis,pet eandem trigefimamfecundam primi,eoæ uaneut.angulus portb alelg,te&us W (14’, * efimempe æqualis interioti,& ad eafdem partes qui a b,per vigefimamnonam ipfius pria n "M. mi.Etgo teliqui duo auguli dazgzôc alglc,vni reâo (une æqualesfed angulus cfalg,dimial dioreâi æqualis’ præofienfus efl:’8c avgxaigitur angulus,re&i itidem cit dimidius.Aequus eftptoptetea angulus czaIglipfi alglczper primam communem fententiarn.Et lams coures queuter azc,lateti c!g,per fextam primi æqualeÆItautem 8c a!hllatus,ipfi Ug,ncc non hl ,ipfi alczæqualerpet trigefimamquartam eiufdem primi . Acquilatetum efi: iraque :42qu zparallelogrammumAio qubd 8c teâangulumznam angulus qui adla,re&us efLReâan: lum pou-b fub duabus reCtis lineis angulum reâum comptehendentibus’ , pet primam grains difl’mitionem,contineri dicitut. quadratum eft igirur magma: æquum ei qulod et ale. Haud diflîmili difcutfu,fiktpatallelogtammum, quadratum cire Conuincerur:& arquas le ei quod ex ab . Nam æ ualis eft glkveidetn alc,per eandem trigefimamquattam primi. ’ Et quoniam æquum efi: hz lfupplementum ipfi ak,pet quadragefimamtettiam primizôc eis dem qk,id’quod .fub vexât ab Continetur a: ualeÇnam ale! attentât en? æqualisîi fi (Vg)8C proinde æquale ipfi hIfiReâangulis igirur cl a: hIf,zquu,m et! id quod bis.fub fîgmentis vos: c7 b l conptehenditur teétangulum . Ofienfum-eft autem qu: abieifdem fegmentis fiunt quadrata,ipfis alglôî gœlquadtatis fore æqualia. mye igirur exviaICI8c Ublfegmentis fiunt quadrata,&- id quad bis [ab eifdem fegmentis comptehenditur teâangulum: ipfis u g,g1e,’uk,& h!f,fune æqualiçÆifdem peut) avg,gte,uk,& hIf,æquumefl;quadratum albl dIe; ex ipfa aIbÆefcript-umznempe totum fuis partibus integtalibus . Quo V igirur ex rota albzfiç quadrat’unnæquum dl quadratis qua: fiant ex alclôt dbtfegmentis , 8c ei quad bi: fub veifdem fegmencis comptehenditut reâangulp.Œod fuerat demonfh’andum. :1

IIParallelogtammaI ’ , h ’ . , ([carollm’mn.’ igimr,quçî circa quadrati , ’ dimetiencem ’ confdtuntfore itidem quadras telinquitur manifeflum. i " . - ’ t . - New: t, ’ 9969m I. h . - , E A? n°58 MP143! 771095 à; 3’65 and 05168,15 W 1’57 évidai: fie 8M; Tppéq’op mixé; W°P 599°?6Iloyjpî7à â 5m45 flic parât a) fi; appât: wadeflaup «a am aie input: ceioæ’ TE’IfOQÔvQI. d V , V. H 3 - . . Ibeormm- ’ 5, Propofitiom. f. ,

4:. GEOMET. ELBMENT.. le I reé’ca linea feeetur in æqualia,8c non æ ualia: reâangulùm j comptehenfum à!) inæqualibus feétioni us totiuS,vnà cum quadrato quad à media feâianum,æquum en: ci quad à dimi:

diaO R O N fitT I V S.(ISitqu rurfùm tata. albllînea . teâazquæ bifariam fecetut in punâo c,atque in nô æqualiafin punâo d.Aio-quod fub aldlôt dzblcom tehêfum reétangulum,vnà cum ca cauliruâîo quad ex dlclquadratoæquum eû ei,quod ex évadimi i3 fit quadrato,DefCtibatur ergo et ligure. a!c,quadtatum acheÆ: pet quadtagefimamfextam primis: canneétaturidimetiens alf,pet primum poflulatumper punâum infupet d,vttique alelôc dflpatallela ducatur dlg,fecan:. azfldimetientem in punéta h , Rurfum pet datum punâum h, ducatur k!1xm,ipfis ubac y ezfzparallelazpeta nigefimamptimam h ipfius primi. . tandem pet punétum b ,ipfis avivât qll i Dtmonllmio parallela ducatur bxm:pet eandem nigefimamprimam primi. Hi: ita canIhuétis,quoniam charmait, fupplementum glk,æquum et! fupplemento dl! , pet quadrage: a a i c b fimamtettiam ipfius primizaddatut cômune euh. totlî ergo au g teâangulum,totivazlneétangulo,pet fecundâ communem feria ’g’hl’m tendam erit æquale. A: dmlrec’tangulum,eidem avlzeft æquale, t q . pet nigefimamfextam eiufdê primi : funt enim in bafibus æquas e a; f libus vos: Ub,8c in eifdem parallelis albxôt klm. Et alglitaç ’ ’ teâangulum,ipfi am , pet primam communem fentçntiam en æquale.Addatur turfum commune reâangulum dll . Et dmvigitut te&angulum,pet eau; dem fecundam communem &ntentiam,æquabitut gnomoni guli. Acqui dmvreâtangulo, æquum cit id quad Tub azdÆc dxbxcontinetur:quadtatum cit enim alb, et corollarium quat tæ propofitionis huius : a: æqualis prepterea avdzipfi dxh,fub qua 8: b,ipfum dmvcoms ptehenditut reâangulum. Qod igirur fub axdxôt dlblcontinetut teâangulum,æquum et! pet primai communem fententiam gnomoni gnvl. Addatut tandem ei quad fub 3d &d!bl continetut teâangula,quadtatum quad fit ex dm: 8e ipfi gnomoni glall,quadtatum lvflei quad ex dlClfil’ æqualeÇ fit enim ex hll,quæ ipfi dlclpet trigefimamquartam primi efl æquaa lis.) Comptehenfum igirur fub sud! 8c dlblteé’tangulum , vnà cum quadrato quad ex ad, æquum efl: pet primam communem fententiam gnomoni glazl,atque ipfi quadrato h ,f. Ipfis demum gla’lllgnomoni 8c quadrato hxf,æquum efl azClezf,quad à dimidia anvdefcriptum cit quadratum . Quod igirur fub azdl 8c dxb! inæqualibus feâtianibus continetut teâang-ua lum, vnà cum quadrato uod à media feâionum dIc, æquum eft pet primam communem fententiam ei’quad ex au xdimidia fit quadrato. Si reâa igirur linea, 8c quæ fequuntut tes liquazvt in theotemàte.Q1lad eflendendum fufcepetamus. ’ IAp 05(5ngMât: 7mm nuai; fixa, msseij «fié s, me M Mâtnewton ëqr’êuOëœeflà a’nrô flic 3M; «râpais. i a WWWbm mît www"; Wflpfilop ôeonémp, [Arrêt ’F in") si; imitée; une» ’yc’oujaap fifrê ami fait 0191(an in]? «a; fuguée; a) r13 «cocufiai»; in; and par: 5:10:me Wtwrôva. Tbco’remd 6 ,v Propo ttio 6 . - 4 a y ’Iteâa hnea blfariam feeetut, adljcmnîrque etahqua refit: 11- 5 à « * . nea m reâûzreâangulû côprehenfum fub tata cü appofita a: in. lappofitawnà cü quadrato quad fit à dumdxa,æquü, efi: Cl quad ex cameCta exdumdxa 8c appofita,tanquam ex vna defcnpta quadrato. O R 0 N T I V S.(IEfla albllinea te&a,fe&a bifatiam in punâo c:cui reâa quædâ linea dexin diteétum adijciatur.Dico,quod fub ad,8: ùblcomptehêfum teââ lum,vnà cum en quad ex abxquadtatoæquû cit quadrato quod ex eldJFiat enim ex a , quadratü Cldl ligne fom- elÛper Puadtagefimamfextam rimi:8cconne&atur eld,pet primum pofiulatum.Per puna palma. &um in upet b,vtriq; Cie-I8: dl ,pet ttigefimamptimâ eiufdé primi,parallela ducatur bug, quæ fecet dimetientem etdzin punâo h.Rurfum pet pùnâum h ,ducatut kAzm,ipfit ald!8C elflpatallelamecnon pet aupunâû,vttitp oyat dzanatallela alk,p’et eandê ttigefimampti: oflafmfi; 1mm primi. Cùm igirur uaæqualis fit ipfi cszpet hypothefin, 8c udxip’fi klmIparallela: dedufiio. æquum CR glvpataueiogtanunum,ipfi gypatçglelogtammomer trigefunamfextam primi.

a c- L a Eidem porta alb,:equumLIBER efi: hzfzfupplcmcntumzpct IL, quadragc.43 fimamtettiam eiufdê primi.Et aIlIigitur ipfi hlf,pet primam c6 . J» l m munë fententiam cfi.æqualc.Addatut,vttig æqualitî,commune q rcâan lum dm.totum igirur avmncââgulumgnamani [Id] g,pct ecundâ communë fententiam æquabitut.Atqui amure; &âgulo,æquum en: id quad fub aldxôt dxbzcamptehenditur te Ë f &angulû: çantinetur enim fub azdzôc dxm,quæ cil æqualis ipiî dlb,nam bquuadtatum cft,pet corollarium quart-æ huius feeundi.Comptchcnfum igirur Tub azdIôt dlbfitcétangulumgqumn en: gnomoni lIdlg.Addatur rurfum ci quad fub azdz8c , àblCâtinetut teââgulo,quadtatum quad ex bIczipfi potto gnamoni lxdxg, quadratû hg! ci quad ex blUfit æqualeÇnam blçlipfi hlllpct tri cfimâquattâ primi cfl: æqualis,& ipfam llg,pet corollatium quartz huius quadratû.)qu igirur fub azdzat dbecontinctur rc&an ’ gulum,vnà cum ca quad ex bICIfit quadratoæquû cit gnomoni lld!g,& ipfi quadrato l,g. Eifdcm porta gnomoni lldlg,& quadrato lxg:æquum cit Cldlclflquadtatum. Reââgulum igitut fub avd,hoc cit fub tata albzcum adpafita bld,& ipfa bldladpofita comptehcnfum, vnà cum quadrato quad fit à dimidia Clbxcquum ci enquod fit ex Cld, hoc ci]: ex dimidia ab,8c adpofita b!d,tanq ex vna dcfcripta quadrato.ngd dcmôih-arc fuctat apetæprcciü. exigu": 2, reflétois a. En Mât: WFFÎ que! ès (Taxe, 15 àvrô mît 8M: à àqf déca’fiï vmpéa’fllmî dump- aôîâèæ Twrbwwlaçfiêt 3H si; 11 «me dab aie flammé üôeupxfis ægipans Wexoflfio ôeeoyavliçvflai T6 àvrËIiËanrS’ TpipœTQ- Ti’lfflÔVQr Tbeorema 7, Propofiiio 7. .. A à teâa linea fècctut vtcunquc: quod’a tata 8cx ab vno lègmena Ï q torum vttaquc fiunt quadrata: æqualia film: rcétangulo com: i’ a! ptehenfo bis fub tata 8c dié’to fègtnento , 8c ci quad à reliquo fienta fit quadrato. O R O N T I V S. (Data enim méta-linea aub, vrcunq; feeetur in pun&a c. Aio ex tata albI8C vno fegmcntorum,vtpate ale; ivttaquc defcripta quadrata: æqualia fate ci quad bis i fub aublôc alUcominerur tcâangulo, a: ci quad ex abzfit quadrato. .Ex ipfa enim aszdcs Figure pria - feribatur quadratum albldlc, pet quadragcfimamfcxtam primi: 8: canneétatur aleldimcs pantin. .t1cns,per primum paihilatum. Pet punâ’um deinde c,ducatur uflipfis aldÆt b’C!P3Y2116’ la,feœns aIeldimeticntcm in g.& pet idem punâum g,vttitp wbÆc ùclpatallcla rurfum - ducatur h!k:pet trigefimamptimam primi. Erunt igirur hzclac fiklpatallelogtamma,circa idimeticntem alezconfiil’entia, adtata: pet quattæ huius corallatium. Et quoniam c kl8t Demanfifdtio , hlflfupplementa,funt pet quadragefinnmtcrtiam ipfius primi adinuicem æqualiaæddatut tbtortmtis. . a 1! L vrriq;,cammunc quadratû hIc.Tatû igirur tcâangulû alk,toti alfipcr fccundâ communê’ (enta-iam cric æqualcÆfl: autem ipfi la sa k alla æquum id quad fub tata aub, a: fegmento ale! continent reâanguloznam alc,ipfi uh,pet quadrati diflînitionë cit æquzs lis.Re&angulis itaq; alklsc aIf,æ uum cit id quad bis fub 3be 8c aluœntinctur reflua lum.Ei dem porta allas: azfxtcâans d . e gulis,æquatut gnomon Ialk,fit quadratü infupet hzc (bis enim ’, , cû ipfis 21108: alfltcâangulis,includimr quadratû hjc)gnomon 13ml; Üallt,vnà cum uddrato hxc,æqtialis cil: ci quad bis fub alblôt ialucomptchcnditut regagulomddarur in u cr ci quad fub alblôt uacôtmctur re&âgulo,quadtatû quad ex cl hardé P0115 gnomoni Aviva: quadrato ivc,quadratû 0k! ci quad ex Clblfit æqualc (ni oblat glkIzqualcs flint adinuicem,per trigcfimamquattam rimi.)Quod igirur fub aubl8c valus comprehenditur rcâangulûflnà’cumco quad ex CIEffit quadratoæquum en: gno "mm 93’188! ipfis 01:18: hchquadtatistfis porta gnomoni fzazk,8cquadtata flkzæquum dt qlfadtaeum ubzdœgnem e totum fuis partibus integtalibusÆfi’autem azbzdxexquadta mmzld quad ex tata vbzdc criptum cftzôt hlc,id quad fub alclfegmento. ngd igirur ex r un: Nbsôf Îegmcnta velvtraquc fiunt quadratazæqualia funt tcâangulo comprehenfa bis rab F09 Ubac diéto fegmento avc,8c ci quad fub relique fegmento Ubffit quadrato.Si te

Ct: igitur linea:&c.yt in theotemate.ngd apattuit oitcndiffe.«mai. .

44. GEOMET. ÉLÉMENT.

En iueëiœ wœFPÎi rpxeül à;adapte ïtruxmî recréai; u, W nifeb neumeaisys «où 05:31:45.7 n. ’Tpnpéfapprflbu- N XÔMOP ôgBoyéuop,ptràt a? inti si; Mm? TPIÎFŒ’TEÇ Teqfœyc’ovsfioap 85 a; ’ri Gard mît 8M; a) 73 «mais Tpüpœmweâvrô paît; «barmaid-i ’rflfæyôvç. i Tbeorçma 8, Propojïtio 8. V" Iteéta linea (carat Vtcunque: reâanguium comprehenfum a à guetter fub tata 8c vno [cgmé’torumfium eo quad ex reliqua cgmenra cfl: quadrato, æquum cil ci quad fit ex rota 8c pas diâo fegmenta tanquam ab vna de cripta quadrato. O R 0 N T I V S.(IEflowbIreâalinca,vtcunq; feéta in punâo c.dico quad reâangulû quater fub rota azb,& vno fegmcnrorum , vtporc bch comptchenfum, vnà cum quadrato quad fit ex alc:atquum efi ci,quod ex albl8: eadem fe enta bic, tanquam ab vna defcric Figure ton- (hlm quadrato.Ptoducatur enim arbrin ditcétum vet us d,pcr fccundum paflulatumzôt po flvudio. natutbzdzæqualis ipfibxc, pet tertiam primi.Ex aldlautem defcribatut quadratum axdzezf, pet quadragefimamfextam eiufdem primi:8c conneâatut dimeticns ez d, pet primum pas (tulatum.Pet trigefimamptimam deinde ipfius rimi,pct 08C blpunâaflpfis Nc’ôf dÆPa’ rallclæ ducantut agzat blk,dimeticntem ezdx cames in punais h,l:& pet eandem trigcs fimamptxma,pct punâa hzac l,ipfis aldzôt cri? parallelæ rutfum d antut nvhxozôt plllr. Demonflratio Et quoniam pet confiruâionempbvipfi bzdlei’c æqualis:8c qllïipfi Clb,nccnon Vrzïpfi b’ theotematis. d,pcr trigefimamquartam primiÆft igirur qllzæqualis ipfi llt,pet primam communem feu tentiam:quæ enim æqualibus æqualia funt,ea funt æqualia adinuicem.8c hznlcôfequenrer, lpfi.n!ol 1tidem conc udetut æqualis. Parallelogtammum ira ue bxnæquum cit ipfi ad,8: I proinde qmnpfi llozparallelagrammo æquale,per rrigefimam extâ ipfius primi: funt enim a..*---c a bmôc au in æqualibus bafibus, ac in eifdem paralielis confis l 7 tuta,fimilitct 8c qmzarqi lzo. At ui ails: lrozfupplementa ca: raz-&- 1-- 1, 1-1 rum quæ circa dimetientem hldx rit parallelogtammorum,pcr

r.1 l phéÏnfl-o quadragefimamtcttiam eiufdem primiæqualia fiant adinuicem. I p I gimt bltlat qlnIpatallclagtamma,æquis funt æqualia paralles lagtammis:8t arqua ptOptetca adinuicem, pet eandem primam communem fentcntiam. OÆatuot i gimt bit,al,lzo,& qln,funt ’ adinuicem çqualia:& quadrupla côfequentet ipfius al. lnfupct 1 . F quoniam buns: qanpatallclogtamma , pet corallatium quart: e g K huius flint quadratamqualis cil bIl!ipfi bld,8C thliPfi qil, pet ipfius quadrati diffinitionemÆidcm potto brdxæqualis ci’t clb,per confimâiancm:& b!!! igitut ipfi ab, pet primam communem fehrentiam cit æqualis.Ipfi tutfum elbzzqualis cit qA, necnon cquipfi bzllæqualis,pct trigcfimamquartâ primi:& exq! igitur ipfi qu,per eaqs dem communem fentenriam cft æquaiis.at qlivcidem qlllæqualis ptçoflîenfa cita: aqzi 5 "tut,ipfi qlh, pet ipfam primam cammunem fententiam cit æqualis . Patuit autem,quad 8c hflvipfi maxiridem æqualis cit. Patailelagtammum igirur alqripfi prh,nccnon hzkzipfi n! f7,pet trigcfimamfcxtam primi coæquarut:funt enim aquôc pzhlfimilitet a: hzklatque tuf! in bafibusæqualibusz ac in eifdcm parallclis, canitituta; Vttunquc igirur azqz& pxh, dimi: i dium efl: ipfiusazhmecnon vrrunque Musc mf,ipfius hifldimidiumÆt quoniam alhxôt hl flfupplemenra earum qu: circa dimctientcm cldlfunt parallelagtammorum, æqualia funr adinuicem,per quadragcfimâterriam primi: 8: qui: æqualium finit dimidium,ea funt adin; uiccm æ alia,pet feptimam communem fententiam . Quatuor igirur alq,plh,hlk,8( MF, æqualia unt adinuicem:& quadrupla confcquentet ipfius aquparallclogtammiflitenfum cit autem,quad 8c bzt,c11,l!o’,& qln,quadruplû (un: ipfius 01.0610 igitut parallelogram: maImldIgzgnomonem canitituentia,quadtuplum cfiîciunt tarins albparalielogtammi.Elt autem azlfpatallclogtammo, id quad fub arbzôc blacantinetut tcétangulum. zquale: mm bxllipfi bzcæqualis airenfa e&.Rc&angulum igirur quater fub alblôt bracamptehenfum, æquum cit gnomoni mldl g. Addatut, ci quad fub aIbI8c blCl quater comptehcnditut rez &angula,quadtatum quad cx a!c:ipfi autem gnomoni mldxg,quadtatum mIgœidcm quad ex aztyfit æqualeÇnam alc,ipfi mxhlper trigcfimamquattam primi cit æqualis.)Quatct igis tut Tub. azb4 8c bzacamptehenfum reâangulum, vnà cum quadrato quad ex ale: aquatut

quadtarum,duplum cû eius quadLI ex cif. BAcqualis E autem R cit Icifiipfi I. Cid, 47’ pet tri efimams quatram primizst quæ ab æqualibus tcétis defcribunrur quadrata,æqualia funr a inuicem, pet ipfum quadra efimæfexræ primi catollatium. ngd igirur ex eigifir quadratum, du. plum cit eius quo ex eid.0&endimus autem dcfcriptü ex aiciquadrarum,duplum iridem’ fate eius quad fit ex aigŒæ igirur ex aieiat cigivrraque quadrata,dupla funr earum qu: ex aiciôt adifiunr quadratarum. Eis autem qu: ex aiei8c cigifiunt quadtaris, æquum cil turfum quad ex aigidefcribirut,pet ipiam quadragefimamfcprimam primi:te&us cit enim aicigiangulus.De criprum iraque ex aigi quadratum, duplum cit earum quæ ex ai08t ci difiunt quadratarumÆi dcmum quad ex aigifir quadrato; ualia funr quç ex aidi& digi quadrara deicribunrur,pcr (æpius allcgaram quadragefimam cprimam primi:quoniam aidi giangulus,re&us efhEtgo defcripta ex aidi8t digiquadrara, earum quæiex vos: Cidifilîe quadrarorû dupla funr.Ac2ualis porto oflcnfa dib,ipfi dig:8r vnius proprereà quadratum, alrctius quadrato æquum arc ncceflùm cit . æqod i ’rut ex rata aibicum adpofita bid,8c quad ex eadem bidiadpofira «tu; quadrata: upla gant eius quad ex aiadimidia, 8: eius quad ex adiacenrc dimidia àbi 8c adiunéra bidi tanquam ex vna defcriptotum quadrath rum.ngd demonitrate opartcbar. -

leoeâ’ôzp inê’œp «mahdis: à l’aimantriz-b 0* 8M; mi «rît-16Wne, redorai; mW empâtai: thôwop«a. .69- Boydmpfioop rima 75 and a? Mm? Tpipame madre). Problcma 1, Propofitio u. i si .Aram reéram lineam feeatcwr quad ex tara a: airera (egméro icomptehcnfum reâangulum,æquum fit ei quad fit ex reliqua Il j fegmcnro quadrato. O R 0 N T I V S. (En-a rcâa linea aib:quam aporrcar ira fecare,vr quad ex rota albiSC airera fegmento comprehendctut rcétangulum,2quum fit ci quad à reliquo fegmenro fier quadtara.Ex aibiigirur,deferibarut quadratum aibICid, pet quadragefimamfexram primi. Ipfa poihnodùm ua,bifatiam (cccrur in punfta e,per decimam ipfius primi.&0pcr primum paflularum,connc&arut eibire&2.ptaducatut deinde eiaiin rcâum vcrfus f,pct fecundum poflularumzarque ipfi bic ,feccrur æqualis eif, et tertiam primi. Pet ipfam rutfum quadra; gefimamfexram primi,defcribarur ex aif,quad)tatum aifigih:& pet idem fecundum poilus larum, producarur gihidireâè in k . Se&a cit igirur aibiin panera hn’dquc tali tarionc,vt quad fub albl8C bihicomprehenditurreâangulum,æquum fit ci quad ex ailvfir uadta’ro. Rcéra enim linea Ciaife&a efl: bifatiam in puna-0 e,cui in rcCrum adpofira cit ai :compte: henfum igirur iub cifi 8c fiaiteâanguium , vnà cum quadrato quad fit ex cia, æquum cfr quadrato quad ex cifidcferibirlu,pet fcxram huius topofitionem.Data cit autem eifiipfi eibi :qualis : 8: qua: ab æqualibus rcâis quadtara îefCtibunrut , funr adinuicem æqualia. Comprchenfum igirur Tub eifi8c f7aiteétangulum,vnà cû qua: ’ c , g ç drara quad fit ex eia:æquum cit ci quad ex eibidcfcribirur qua l draro.Q1-adtara rurfum quad fit ex eib,æqualia flint uæ ex ci aise aibidcfcribunrut quadrata , et quadra efimam cprimam primi.Re&angulum igirur quad ub Cifi& figaicantinerur, vnà h g cum ea quad ab eiaifit quadrato:æquarut cis,quæ ex eiaiat ai b bifiunr quadtaris . Auferarur quadratum quad un, vrrique commune . Reliquurn ergo quad fub elfi 8c fiaiconrinerut tc- v &angulumzæquum et! ci quad ex aibidefcribirut quadrata,pet tertiam communem fententiam . Arqui aibiadiquadrarum cit id , quad fit ex aib.8r eigi h rcetangulum,æquwn ci quad .fub eifi 8: fia,cantinctut : æqualis cit enim figi ipfi fiagfunr enim eiufdem quadtari latcra. Refran Ium igirur eig , æquum cit quadrato alblCld.All6 feratur pars dh,vttique communis.Rc iquum iraque tcétangulum dih,rcliquo aigiquadtag to ,pct eandcmtettiam communem fentcntiam cit æquale.Potra dihiteâtangulumfiquum cit c1 quad fub aibiat bi h fegmcnro cantinenûzcfi enim bid , ipfi aibiæqualis , pet ipfius quadtari diŒnirioncm.aigivcra , æquum cit ci quad ex blairdi qua fegmento fit uadtas" to:defcripuun cit enim exaif, quæ ipfi aihirurfum 2quarur. Comprehcnfum ergo ub albl I & bihitcâangulûflquum en: ci quad ex aihifir quadrato. Data igirur reéta linea aib, rali ’

La GEOMET.; ÉLÉMENT. rarione feâa cit in punâo hzvr comptehcnfum fub rota aib, 8c vno fegmcnratum «rpote bih)te&angulum , æquum ’fir ci quad ex tcliquo fegmenra hiaifir quadrato.Quod faciens

. etéeüpœENdum me &pfihuyww’oie . me,fufccperamus. «pauma méhalla and ag qui; àpfikâæp in», wviatp v dmflvümramugü; c me? I ’ yovobpëtop 35 m isard a’îu azyme": enflammât: drapât: axîfœyémp , 75 ’16);st M9 me d’alun prît 0’57 1765i du: àpthê’œp yofiœpfilp’ vip inMëGz à noiera; audibles) que. margrave 5ms «’33 fie môia’am’ïos ’11? 0’unch armiez. ’ ’ V p Tbcorema n, Propofitio 12.. f1 N obrufianguhs man gulis , quad ad obtufum angulum fub: u j rendere latere fit quadratum,ma1us cit eis qua: fiunr ad obru: ’ fum angulum comprehendcnribus lateribus quadraris: com: prchenfo bis fub vno eorü, quæ funt c1rca obrufum angulum,in quad protraâum cadit perpend1culatxs,& aiÏumpro exrnnfccus fub petpen:

dlcularlO R O N T I V S. (Sir ad triangulum obrufum obrufiangulum feuangulum. amblygonium albiC, lhabens i n ab: r11mm angulum qui ab b.producarur ergo Cibilarus in teâum vetfus d,pcr fecûdum poilu: 131111113! pet duodecimam primi,à data punâa a,in produérum larus Cib, petpendicularis . ducatur aid.Aio quad defcriprum ex aiciquadtarum,cis quæ ex albiôtbicifiunr quadtatis, Deduflro tbe- malus CR , ca [prehenfo bis fub chia: bidi teâangulo. Cùm enim recta Cid , vrcunque camails. feâa fit in .b:de critpum igirur ex diciquadrarum,æquum cil-eis quæ ex dibiôt biciquadtas "31,8: Cl quad bis fub dibiôc bicicomprehenditur rcâangulo , pet quarram huius fecundi. His aurem æqualibus,addarur commune quadratum quad ex aid . quæ igirur ex aidiôtdi Civtraque quadrata,æqua funr eis quæ ex aid,& dib , 8: bicifiunt quadratis,&.bis comptes henfo fub dibi8c bieireâanguio.Œadtatis porto quœ ex aidi8c dib,æquum cit id quad fic- cx. a i b , pet qu’adragcfimamfeptimam primi:re&us cit enim angulus quiad d. Quadrant a . i ’rut qua: ex aJdi 8c dic,eis qua: fiunr ex aibi8c biciquadraris (En æqualia,8c ci quad bis fub dibiôc biciconrincrur refrangug la.andtatis rurfum qu: ex aidi8t die, æquum cit quadratum . quad ex aICipet eandem quadragefimamfcptimam primi.Quad. - igirur ex aICIfir quadratum , æquum cit eis quæ ex aibi8c bic» 0 d fi c fiant.quadraris,& comptehenfa bis fub dibi8c bicireérangula. Supctat igirur deictiprum. ex aiciquadtarum, ca qui: ex aibi8c biCifiunr quadrara:comprchenfo bis iub eib i 8c bidireérangulo . In abrufianguiis igirur, feu amblygonijs triangulis:8c qu: fequuntut teliqua.qud aporruir oflendiifc.

dl si "DE’ ôÊMÏI’MÇGrimpe: «fadings ôta-ô 43 qui;JE, ôfêœp 7min:retienne mimique menaçai; 7911302761011, 47. p i p iÀfc’ïôp 3h 79W ôta-619W du; ôflœp yuw’œp maquât: munem: Trafatydepyrômfibuxowo f1"; 4mm [Mât 7’57 mû). qui: ôéëœp 7min: îo’ il: à même uri’IFTMad ait ôteroMmeoMn du); 07:8 759 Meurs 7:69 figeât; Tania. . . . H w h Tbcorcma 12., Propqfitio 13. T N oxyganijs rriangulis,quod ex acarum angulum fubrendcn: 1, i " relaterc fit quadratum,minus efi eis quæ ex acutùm angulum en comprehcn entibus lateribus fiunr quadraris : comprchenfo t 1s ub vno earum, qua: fun: circa acutum angulum in quad perpendi; cularis cadit, 8c fumpro 1nrus fub perpendiculari ad acurur’n angulum. .0 R 0 N T I V SI. (Sir datum axygonium,fiue acuriangulum triangulum aibic,8c darus in ca acarus angulus qui ad b. Ducarut iraque in larus bic,à punâa a,quod in ca nantir, - perpendicularis aid:pct duodecimam primi.Dico quadratum quad fit ex aic,minus efl’eeis

quadratum,duplum en eius quad ex cif. Acqualis autem efl: cifii ipfi Cid, pet rrigefimam; quarram primizat que ab æqualibus reâis dcfcribunrut quadrata,æqualia funr adinuicem, pet ipfum quadra cfimæfexræ primi coroiiarium. 030d igirur ex cigifir quadratum, du; plum cil: eius que ex eid.0ftcndirnus autem defcriprû ex aieiquadtarum,duplum iridem fore eius quad fit ex aic.Qgæ igirur ex aieiar’cig’ivrraquc quadrata,dupla funr earum qu: ex aiCiôc ddifiunt quadratorum. Bis autem qu: ex aiei8c cigifiunr quadraris, æquum en: tutfum quad ex aigidefcribirut,pet ipfam quadragefunamfeprimam primi:te&us et! enim aicigianguius.De criprum iraque ex aigi quadratum, duplum cit earum quæ ex aidât a ,difiunt quadrarorumÆi dcmum quad ex aigifir uadtara,æ uaiia funr quç ex aidi8c digi quadtara defcribunrur,pet fæpius allegaram quadltagefim cptimam primi:quaniam aid! giatàgulusfieérus cfhErga dcfcripta ex aidi8t digiquadtara, earum qu: ex aiCI8c Cidifiût qua atotû dupla funr.Ae lis potto alterna di ,ipfi dige8tqvnius roprcrcà quadratum, alterius quadrato æquum arc neccifum cit . uod igirur ex rota aibicum adpofira bid,&’ quad ex eadem bidiadpafira vrracp quadrara: uplaiunr eiusquod ex aicidimidia, 8c eius - quad ex adiacenre dimidia eibi 8c adiuné’ra bidi ranquam ex vna deicripratum quadrato: mm.ngd demonih-arc oportebar.

HpÀoOâGq) ÎWëœp flpâ’p,à’stPeinture à «au a! 8M; mi sût-:03 ne, m empâtois Paiera-n; Msxôfdbiop 69- a. , I 9076:44:57on d’un 15 and a? Mm? TPÜWÇ magnéto. l Probicma 1, Propofitio u. n Ï’ I ’ æ Aram tcâam lineam fecarcwr quad ex rota 8c airera fegméro comprehcnfum reétanguium,æquum fir ci quad fit ex tcliquo

O R 0 N rT Ifcgmcnro V S. urne recta linea uadtaro. aib:quam aportear ’ ira fecarc,vr quad ex rata aibiôt airera fegmcnro comprehcndetut teâangulum,æquum fit ci quad à tcliquo fegmenro fier quadrata.Ex aibiigirur,defcribamrquadrarum aibiad, pet quadragefimamfextam primi. Ipfà poflmadùm cia,bifatiam fecerur in punâo e,per decimam ipfius primi.&!pcr primum poitularum,conne&atur eibitctïra.ptaducarur deinde Ciaiin rectum verfus f,pet fecundum poitulariunarque ipfi bic,fccerut aequalis eif, et tertiam primi. Pct ipfam turfum quadra: gcfimamfcxtam primi,defcribatur ex aif,qua tatum aifigih:& pet idem feeundum poiiua latum, producarur gihidireâè in k . Seâa cit igirur aibiin unâo hu’dque tali tarianc,vt quad fub aibiôc bihicomptehendirur te&angulum,æquum ir ci quad ex aihifir drara. Reéta enim linea ciaifeâa cit bifatiam in punéra e,cui in rectum adpofira cit ai :compres cm p henfum igirur fub Cifi a: fiaiteâangulum , vnà cum quadtaro quad fit ex cia, æquum cit quadrato quad ex eifidefctibimr,pct fcxram huius tapofirionem.Dara cil: autem eifiipfi cibi æqualis : 8c qua: ab æquaiibus rcâis quadtara cfcribuntur , fun: adinuicem æqualia; Comprehcnfum igirur fub Cifi& fiaireérangulum,vnà cû qua: c . , p ç drara quad fit ex eia:æquum cit ci quad ex eibidefcribirut qua draro.Quadtato turfum quad fit ex eib,æqualia funr uæ ex ci ai8c aibidefcribunrur quadrata , et quadragefimam cptimam N primi.Re&angulum igirur quad ub cifi8c fiaiconrinctur, vnà’ h g cum ca quad ab eiaifir quadtarazzquarut eis,quæ ex eiai8t ai bifiunr quadratis . Aufetatur quadratum quad ex eia, vrriquc . commune . Reliquuml ergo quad fub cifi 8c fiaiconrinerut ter . -. &angulumzæquum cit ci uod ex aibidefcribirur quadtaro,per tertiam communem fenrcnriam . Arqui aibiadiquadrarum cit id , quad fit ex aib.8t eigi re&angulum,a:quum ci quad Tub Cifi a: fia,canrinetur : æqualis ci! enim figi ipfi fia,funt enim eiufdem quadtari iatcra. Reétangulum igirur agi, æquum cit quadrato albiCid.Aus fetarut pars eih,vrrique commufiis.Reliquum iraque rectangulum dih,reliqua aigiquadtas to,pct eandem tertiam Communem fentenriam cit tquale.Porta dihircâangulum,æquum en: ci quad fub àibiat bi h fegmento continctur:cfl: enim bid , ipfi aibiæqualis ’, pet ipfius quadrati diffinitioncmmigiverô , æquum et! ci quad ex hiaiteliquo fegmenro fit uadtas to:dcfcr1prum cit enim ex aif,quæ ipfi aihirurfum æquarut. Comprehenfum ergo du) aibi 5l b’hlnaimguhîsæquum en: ci quad ex aihifit quadrato. Data igirur recta linea aib, tali

a GEOMET. ÉLÉMENT. rariane fc&a cit in punâo luvt camprchenfum fub rota aib, a: vno fcgmetïtotum (tripote bih)te&angulum , æquum fit ci quad ex tcliquo fcgmenra hiaifir quadrato.ngd faciem dum fufcepetamus. . 4 « N un,» &pfikupwvlotq «podium?ardé: 5m13 «a, a: qui; épelant:P969201; 7min]: «(murrhine 115.. mima; nuerai» a l yovop,p’ëgop 8h m me q’fii 5:pr «muscat: mistigris!) mayoral; , ’76 affixe» Ma me damiers prâkn’flï nib. "du! 4:pr Morfal), i4? il: Ëxmeëôc il noierais; miam, lui mît ôta flileleœvo [Apte iuTot d’ail Tic moira in? épeura ywviqc. t ’ Tbeorcma 11, Piopojïtio 12.. N abrufianguiis rrian gulis , quad ad obrufum angulum fub: n. 4. rendërc latere fit quadratum,maiUS cil: eis que fiunr ad obruz. I . fum angulum comprchendcnribus lateribus quadraris: com: Prchcnfo bis fub vno eorû, q’uæ’ funr circa obrufum anguium,in quad prortaâum cadit perpendiculatis,8c aifumpro extrinfecus fub petpcn:

dlCUiarlO R O N T I V S. (Sir rtiangulumad obrufum obrufiangulum feu amblygonium angulum. aibic, habens Iab: cumin angulum qui ab b.producarur ergo cibiiatus in reftum vcrfus d,pcr fectîdum pofiuc lâfumïôt pet duodecimam primi,à data punâo a,in produérum latusLÇib, perpendicularis . I duçatul’ aid.Aio quad defcriprum ex aiciquadtarum,cis quæ ex albiâtbiafiunt quadraris, mais? the- maius eft , comrprehenfo bis fub .Cibiac bidi rectangula. Cùm enim recta ad , vrcunque «matu. feâa fit in bzde crirpum igirur ex dICIquadtarum,a:quum en eis quæ ex dibi8c bICIquadta: I "8355 Cl quad bis fub dibi8c biucomprehenditur rc&angulo , pet quartam huius fecundi. H18 autem æqualibus,addarut commune quadratum quad ex aid . quæ igirur ex aidiôc di civrtaque quadrata,æqua funr eis qua ex aid,8c dib , 8c bieifiunr quadraris,8t bis comptes henfo fub dibi8C bicireâangido.quadrafis porto quæîex aidiôc dib,a:quum cit id quad fit ex a i b , pet quadragefimamfeprimam primiztcél’us et! enim angulus qui ad d. Qqadmra- a r . a igirur quæ ex aidi 8l dic,eis quæ fiunr ex.aibi& biCiquadraris funr æqualia,8c ci quad bis fub dibiôc bicicanrinetur teflang’ua . p la.Q1-adtaris rutfum qui ex aidiôc dic , æquum cit quadratum quad ex aicipet eandem quadragefimamfcprimam primiŒod - v igirur ex aiCifit quadratum , æquum cit eis quæ ex aibiôc bic! » d fi c . fiunr quadraris,&camptchenfo bis fub dibi8c biUtcCranguio’; . l . Su .cratigirur dciiztiprum ex aiciquadrarum, ca qu: ex aibi8c, bicifiunr quadratazcomprche a bis fub eib i 8c bidireérangulo . In abrufiangulis igirur, feu amblygonijs rriangulis:8c qu: fcquunrut tcliqua.ngd opotruit oflendiflc.

l fi 7079 ôfuyau’oieA wadings 926w»: àqrô 43 qui: ôfëæp 1,6, 7min! mirifiquereniera-Je mægæc TE’ÏfO’QiOIOp, :7. A p Marié!» 3S1 d’à? â’n’à 19W du: ôflœp 7min: mangeât, mtueëp rrsayœydepyrômfiuxoMç - f1"; W76 plaît W wüôfëay jûWÎœp io’ vip in aderne vni’IFfl,Kgd ’13; àvroMpCœvoM»; civile in"; m7; Mm «tu dirige vous. ’ I V Tbeorema n, ’ Propqfitiv 13. V N oxygonijs trianguiis,quod ex acurum angulum fubrcnden: 13 te latere fit quadratum,minus au eis quæ ex acurum angulum I un comprehcndentibus lateribus fiunt quadtaris : comptehenfo t ls ub vno earum, quæ funr circa acurum angulum in quad perpendiï- cuiatis cadit; 8c ibmpto mrus fub perpendicuiati ad acurum angulum. 0 R 0 N T I V S. (Sir datum oxyganium,fiuc acutiangulum triangulum aibic,& dams in ca acarus angulus qui ad b. Ducarur iraque in larus bic,à punâo a,quod in eo non cit, perpendicularis aidzpcr duodecimam primi.Dica quadratum quad fit ex aic,minus elfe eis

,v LIBER n.- . ’49 gaz ex ulve: bIczfiunt quanti: , comprehenro bis rab am: bldlreûangulo . Reâ’a Il; sümarfa fluo quidem linea blc,fe&a eflvrcunqueqin pnn&o d:quod igirur ex rota Ubl8C fegmento bah "men: afin: vrraque quadras; æqualia fimt comprehenl’o bis tub tota dbz8c eadem fegmento bain-eu fic. étangulo,-& Ci quad ex rdiguo fegmcnto dIcl fit quadrato : pet (cptimam huius femmdh a o VA datur ipfis æquàlibus commune quadratum quad fit ex azdzquç ,, e 4 igirur ex Cfbl.8c bzdzae dlazfiuntzquàdrata ,oæqualia fun: compte: -’ «henfo’his flibcszsc b!dzre&angulo 5 80 eis qua: ex aldÆc dlClfio ’unt quadratis,’ per’fecundam communem fententiam . Eis autem V flua! ex buire: dIaIfium’ quadratis, æquum and quad ex aszdea c ; Gibitur , Fer quadragefim’amfeptimam primi:re&us en: em.m ana - agulus qui adtddgitur quadrata quçrfiûr-ex musc bzc,çquaha fur": bis fumpto fub abzâc bldlreâangulofit eis qu: ex aIdÆc dlufiunt quadratisÆifdem porc rb quæ .ex ald!& dIUfiunt quadratis,æquum en rurfizm idquod ex aeadefcribituræer un dem quadragefimamfeptimam prunizreél’us» en enim,qui fub avdldangulus.Quæ igitur ex Wb’æ bICNtraque QUIdf3t3;2qua (un: bis comprehenfo fub Clblôt bldzreâangulo , 8c et quod ex venait quadrato. Superatur ergo id quad ex mufle quadratum,ab ifs qu: ex :4sz 8c bICI fiunt quadraris , comprehenfo bis fub ubac bzdzreâ’angulan oxygonijs iraque; vel acutlangulis-triangulis: &c.vt in theorémate . Quod oflendere fixera: operæpretiumo

(1H luc facxlè colligitur,huiufcemodi perpendicularem,in rectangulis triangulismecefiâriô C°mC1dSr° f9?" iPfius trianguli latu.s,hoc efl,neque intra, neque extra triangul-umtin am5 blygonffi. VÊÏÔ, 315ml,(coronarien 55 in oxygonijs mm . Non potcft enim perpendicularis ipfa inam’ [35’30"03 neque ln oxygonijs triangulis,cum ipfo trianguli latere conuenire:obtufils enim 791394th ??g"1usyforet æqualis méta ,Zconrra vridecimam 8c duodecimam difi’lnitioncm prum. sumlntef nec in amblygonijs inrra,ve1 in oxygonijs extra potefl incidere:tunc enim etnanguhnextenor angulus,minor effet inter-ion se ex oppofito,contra decimamfextam ipû . (ius pr1m1.l[Nec te fugiat infuper,qubd hic de latere oxy gonij proponitur trianguliwerum mutilant! mangïdisetiam rubêcnâente. habcre q q en: de angulum uocun acurum tamin ne reétanguhs lat .4 quàmam . b1 yg ouïs1 4 . ’ . Ménage Il»; 11966101; un ..,. .J n Amen-1 tueupféypë 700p enrobant; «Kim. q à - .3: Problcma z, Propofitio I4-

.AtOO R 0 N Trefllhnemæquum I V S.([Eflo datum reâilineuin quadratuma:cui oporteat æquaIe conflituere. quadratum W conflua" l u .. :5. bconmtuere-In primis ergo ipfi azreé’tilineo,æquale confliruatur paralllelograms 44 fi8"4e 111qu rcâungulum blcldle: pet quadragefimamquintam primi.Si igirur clel 8c eld!latera, fixermt admmcem æqualia: confiabic iam ipfius problematis intentio , crie enim hmm, pdrallelogrammum quadratum.Ae fi latus Ciel ipfi eudInon filerie æquale, alternm eorum en: maluszeflo mains c1e.Producaturigitur ouin reâ’um verfus f, pet fecundum poflula; Fu’nÊdenîrque elf,ipfi eIdIæqualis, pet tertiam primi. Reâa infuper afldiuidatur bifari: q am in puna-o g , per decîmam eiufdem primi . Et centro g,intere la C uallo autem gluant glf,femicirculus defcribatur UhIfzper terris 11m poflulatumÆt per fecundum poflulatum , producarur dzelin ,reétum quue ad 11:8: conneél’atur glhzre&3,per primum pofiulas g mm. His in coni’cruâis,quoniam reâ’a linea czfzfeâa efl: in œqua Maya!" l lia in g!& in non æqualia in puné’to e: reâangulum igirur com, 121’05qu à e prehenfum fub une: elf,vnâ cum quadrato quad ex elg,æquum e’ft ci quod à dimidia glfzdefcribirur quadrato , pet quintam hui f ius u. Acqualis en: autem glflipfi geh,per decimamquintam difiî! nitionem primi:& ab æqualibus lineis reâis , æqualia defcribuns I fur quadrata,pet corollarium quadragefimæfexræ primi.Compres henfum igirur fub ava: elfIreCtang-ulum , vnà cum quadrato quod ab elg: æquum CR ci quOd ex g!h!fic quadratoÆi porrè quad ex gihlfit quadrato,æqualia funr ea, quæ ex gæl 8e ezhzdefcfibuntugper quadra efimamfeptimam primizreé’tus cit enim angulus qui ad c, P" deumamœrçiam , au: vigc unamnonam ipfius primi . Comprehenfum igitËr fub me!

0’.

,6 GEOMET. ÉLÉMENT. se eIflreâangulum, vnà cum eo qubd ex glei fit quadrato: æquum cil-ifs, qu: ab «au; gaza: ipfa’ elhlfiunt quadratis. Tollatur id quod ex glufit quadratum,vtrifip arquas ’ libus commune . Reliquum igitur reétangulum fub Cl e! 8c e! f7 comprehenfum, zquum cri: defcripto ex eIhlquadrato: pet tertiam commanem fentenriam. , Ipfi peut) fub Clelôt en? comprehenfo reâangulo,’ æquum en beadzee ’ parallelogrammum: ipr enim a f, data en taudis e! d . Igitur b ’ bzadlelparallelogrammo, æquuni efEid quo et e hIfit qan dramm, pet-primam communem fentenriamÆi’dem rare v sfum buadœzpara’llelogrammdgquun’l cit datum a! reâilineum , pet conflrué’tionem . Per eandem un; primam communem fententiam,da. to airea’ilineo: æquum dt id quad - ex ex w fit quadramm.Quod f fuerat in primis cons ’ ’ nimeudum. «a. - u .

Ê.) Secundi Libri GebmetrieOrUm Elemeutorutu, je 1 N b 1 s.

o Ôrontij .xFihèi,Dclphinatis,chij MATHÉMATICARVM* PROFESSORIS,V IN Tertium elementorum Euclidis,Demonfirationcs. ExKAElAOX mon: mon TPITON. Gent. 124141:61:10: êaîpÂp ad dépara: âaîp kami and in n’fi’ï uohfopfiœc 5019.

Equales circuli funt,quorum dimetiëtes (un: æquales: d ve quorum qua: ex centris (une æquales. . n anles tibi repræfentant fubfcripti a! 8c bœirculi . Hinc pater cil-eus W1? 1* . lorum non æqualium diffinitio. Qorum enim dunetiêtee, vel qu: ex ’quflàâi a": x . q centris fuerint inæqualeszôca ipfi quoque . inæquales 4 crane arcum Manet fifi!" L . ’ * autem erit, cuius m quæ’ " ’ex I .centro dimericns maior:minor , vel m verb,cus m m u I - norius extiterit dimetiens,vel . veluti funt me: decir:quæ ex centre mis W w w culi:quorum c ,maior cit ipfo d. ŒEWËœ miam: Mm Mywoaflî’me émana!» fi dans a] ùünowufiu 04’404 vêla autan; Reâa linea circulum tangue dicitur : qua: c1rculum tangens 8: méta, circulum non ficat, Hanc tibi repræfentat ezf, tangens circulum gIh , in punâo î que circuli quidem g.Q1;e igirur cadit intra circulum: eieéta, circulum fe: lem. care perhibetur. veluti recta k! l, quæ datum kl Il ml circulum e f interfecat. (miam: Ëtpo’nFreâw «immola Myonoafltm WMM àAiMp,ôu Tipvoump amm- ercuhfefe tangere admulcem dicunturzqul fifi: adinuicem tangentes,

feQuales non effe vidétur inuicem mode oIpIcimxli,in fecant. ozpunào [Jeb inuicem contingentes.ICùm par: circuli fifi r2: vnius circunferentia , alterius ingres hurlante]. ditur aream: tune huiufcemodi circuli, qlrls,&fefe mu,dicuntur in punâis quidem interfecare. v8: si Veluti circuli n P q t

([39 1:an 743p àm’xdp fi sachez M500: Abonoaflaupœî ôta-d a? unitifs if ôtais mitent» 5v. fe76143104: mutub in: En. pétai; fi inégal: interfecantes.Abæqfiç’ M ijpe’cop mienne mima. ’ ’ v In circula æqualiter diffame à centro recta linea: dicuntur: cùm à cens tro in cas penpendiculares duâæ funt æquâles.Magis autem difiarc dig cîtur:in quam maior perpendicularis- cadit. ’ Qqêadmodùm in aubzcldlcirculo,cuius centrum e,cxiflentes a linea: reflue albzôc cld,æqualiter ab codé centra eI diflare Cent 4 p fentur:propterea 9 exfzac ezgzperpëdicularesjunt inuieê’ arqua 4l lean circule peut) hkulIm,cuius centrû n,plus difhre dicitur hlklà. cêtro n,q Dm:quouiâ perpendicularie gagman! en En). c . «I E.ii

sa GEOMET.ELEMENT. (une: aunait?) ad maexâwop axiuœyizi’rt Eueéœa’ me! «une mûmeéœa’. Seine c1rcullzefl figura côprehêfit fub mita linea,8( circuli circüfcre’tia. y sema: maior, In exemplum habes azbzaôc dzezfl circulorum fe&iones:fub b minon mais mua: dif, 8c avsz arque dzexfœircunferentijs comme; e benfas.anrum albzcxcentrum includens,maior eft ipfa dlelfI Q (I TpiFœ’ro; myome 85,»? Wexopdlp 67:6 me êqu’œa’, mi aux: meêœa’. Seétiomsextra anguluazefl.qu1 centrum fub méta linea, conftiruta. 8c circuli circunferenna com: c 6f rehenditur. Cuiufmodi efl: angulus blaze, antecede’ris defcriptioniszfub alateâa,& azbzcircûferem ria comprehenfus . aul- eldxfxangulus,qui fub reâa dxf , 8c dlelcircunferentia continerur. Anguli mixti. quos quidem angulos mixtos vocitare folemus:id efl:,fub recta &curua linea côprehëfos. ([Ep Tpûyœm d’à ravive tu , 800w ivrù ne mimées? a? fpüpœToc,7snçeE tu Eulaëopfiui au; à??? En. dû «sigma: au; îuee’œffimç 35 Moi; a? ægipançfimgaùxeôflp Maud: i mtexowv 7min:

tian)In feâione m" autem Eux-4510464051: angulus efizcùm in circunferentia êuedôp. factionis côtingit v - 7 aliquod Punâumfl ab c0 in reâæ lineæ fines , quæ bafis cf’c factions, rcâæ lxneæ côlunguntur:Conte’tus angulus, fub coniûétis métis hnels. Qemadmodùm ex lubieâæ defcriptionis angulis gxhzk, 8c I llmlu,deprehendere licer. A punâo enim h, in fines ipfius res &æ gxk (quæ bafis dicitur) reâæ linea: h gzëc hxkxconiunâæ: angulum ipfum gxhxkxin data feâione,& ad punâum hxconflit g k n

([0114:munt.Idem 41è ad museau ccnletoqui: ywvn’ap Même de àvapCdmoî1x mmlalrerius me: fifizçéedœpfiqr’ feétionisun»; Mythe: fit: anguie. k enimCum verô c0mprehendentes ûyww’œ. angulum reâæ - lineæ,aliquam I - 8 fufciplunt c1rcunFerent1amun 11h angulus cire dicttur. p Veluri fun: oxpxac pqulineæ reâæ,angulü qui ad’pûâü plcom prehende’tes,8t olpxqÆufcipientes circüferêtiam.1nipfa igirur Angulu: in circunferêtia 0!pxq,comprehenfus angulus effe dicimr.qud fi o centra. reâç lineç angulum côftjtuenres,ad centrü conueniant circuli: comprehêfus tûc angulus in cëtro dicetur cfie circuligveluri an: Élus risxt,fub métis rzsxôc sztlex centre slprodèuntibué comprehenfus. roua); du nous 35 ,’8qup 1:26; (se? wifis émît a? dans un à 7mm a!) fluxôpafop vxîjw me: 79W du: 7mm mûtexwôp iuedô’p,t(oâ un; àvapfiœvoWucfiœ” àuflû’ mimant Seâor autem circuli eflzcùm ad centrum circuli fierait angulus,com: 9 A Prehcnfà figura fil!) angLIlum comprehëdentibus métis lineis,8c afl-um:

taCuiufmodi fub cire eisviderur figurac1rcunferent1a. rmtlantecedentis defcriptionis,fub reâisq lineisa . and: . angulum qui ad centrum s1conftituentibus,& ci:Cunferentia uvcomprehenfa.D1fi’ert 1gb

flambetur TFÉFKWfeâor,à aux); 35,08 feétione d’ex6luæ1œ7miœa’ circuli. 76:5»? a; de ce!b 70mmI ’ Toutà «mm: 8d?- Slmdesfèéhones Circull (hmm: angulos æqugs,fufc1plutave.1m qm’ I bus anguli fibi inuicem funEËquales. a I . b ,e Vti fubieâæ circuli feâiqnes albkcI8C dlekfiin guibus anguli q ui.....,, ad bzsc e,funt inuicê æquales.Œâuis . itaq;...,..l° circuli feé’tiones ’ 4 c î . alain: inæquales,poflunt nihilominus eITe fimiles.Nam fimili: . . . rude feâionû refpicit tantummodb fufceptorü angulorû æquahtatçnon au’te dararuxn fg: &ionum magnitudinem.quemadmodù3pangulorum magnxtudo’, noillflçaruhangulos npfos comprehendentium quantitatemzfed earundem linearum (clam refpxcxt mclmanonem.

LIBER in.” . 53 Pèicnpœ ce, rationne Ë oSÀoodrrG- xünM à noierai: èueëp. Problcma i1, Propqfitio I. ne îAti circuli, centrum muemre. . A l0 R O N T I V S. (IEflo datas a! b! a circulus: cuius oporteat inuenire dem »ttum.Ducatur in ipfo Ub!cl circulo, mâta quædam linea blc: qu: bifariam (es w a! icetu’t in d,pcr decimam primi. Et à pun&o d,datæ redît: linea; bxc,ad angulos reétos excitetur dla,per vndecimam eiufdem primi: producatûrque in reâum quue ad e, per fecûdum poitulatum.Secetut tandem alexbifariam in punâo f,pet ipfam decimam pria mi.Dico,qubd flpunétum,centtum et! ipfius dati avb7czcirculi.Si enim non fuerit in aIezli nea re&2,crit igirur extra eani.efl:o(fi pofiibile fit)in g:8c c’onneé’tantur gfb,gzd,8c gIche: . &æ,per primum poûulatumÆt quoniam b!d,ipfi dxcleft æqualis,& vrriq; Communis dzg: D’f’Wfi’aif a l binæ igitut bzdÆc dlgItriâguli bIdzg,duabus gldzac d!cltrian5 45 WMÏîb’h guli gxdlc,funt alteta alteri æquales. Bafis quoq; bzg, bali glc . (fi glforct centrum circuii)per decimamquintam primi diffinis ’tiOnem effet æqualis. Per oâauam igirur ipfius primi, angulus v ; bldlg,anguio gldICIfub æquis lateribus comprehenfo,refpons denter æquaretur.Re&a itaq; linea îgxd, incidens in reâam b! , - *c;efiîceret vrrobiq; angulos tqualeàærgo-t &os,per decimam Üprirni diffinitionem.Re&us igirur eiTet b; gIangulus . Atqui b[dxalre&us efi,per confiruétionem: mon; redû omnes arqua; les adinuicem,peri uartû pofiul’atum. Et bzdlglitaq; angulus, uquus effet angulôîydlartotus videlicet fuæ arti, contra nos nain communem fententiam.Re&a enim dzazcadit inter bxdxôc dxg: diui itque prepterea angulum bxdlg.Non et! igirur centrumaszcncircuii in vg.Haud diffimiliter ofièndemus, uod nec alibi quam in punéto f. Igitut f7 centrum efl’ dati circuli 21be . Quod inuenienjs, .dumICESi igirur infixent. circqu recta linea,aliam - I quidam11’. reâamlineam quadrim- bifatiam,8c âdteâgs fecueç rit anguloszin ipfa diuidente erit centrum ’dati circuli.

Agi «un:- ivri oasienne: mie nûmgdoæ’ M095êûo mêmea, 11966:0";0.115001? Ëvri 76: c’en-ô: 01111674:En ’intim- * - NK-ÏUÜËŒ,GÎWÏÇ Wërraa a? minier, ’ Tbeorema .1, fi Propqfitio z. il in circuli cercunfetentia duo fiiennt punâa vtcunque contins . gentla:ad ca punâa applicata teâaiinea,intra1pfum Circulum 5.1. Icadlt. O R 0 N T I V S. (SitalbIClcù-ailusün cuius circunfetentia (in): bl8: clvtcunque com tingentia punéta. Aio qubd connexa ex blin Uteâa linea , cadit intra circulum albÆ . Si enim non cadit intta : coincidit igirur in comprehenfam circunferentiam , vei cadit extra circulum. Atquireéta ipfa, cum ipfius circuli circunferentia minime potefi conuenitemon I differtet enim reâum à cutuo.Cadat igirur , fi pombile fit,cxs oflenjîo fur- tracirailum albxc.& inuento ipfius circuli centro d,pcr primam [am cr tm- huius, fufèeptéque punâo cl in bIczcircunfetentiazconneétau: poflî ile. tut dxb,dle,& (Var-cet: linea: , pet primum poitulatum api-04 ducattîrqlieeper (ecundum .po’fiulatum , teé’ca dlel in direé’tum ’ quue ad f,hoc efl’, in eam qui: extra cadete conceiTa efl’Ærunt igirur dIb,dJe,& dlc,adinuicemæquales,pet decimamquintam diffinitionem primi: 8c dzf! infupet maior ipfa dm , pet nonam communem fententiam. T riangulum iraque etit dzblflc,atque ifofceles:quoniam dxblæqualis et! ipfi dlc . Vnde pet quintam primi,angulidzbla& dlelb,quiiad bafin blflc:erunt adinuicem æquaies.Triangulum infuper etit dIb!F,& ipfam blantus,pro: . duâum in c: exteriorigitur angulus (un c , maior etit interiore 5c ex oppofito Idxbzf,per * - ’ au].

.. 54. I GEOM-ET.- ÉLÉMENT. L decimamfextam ipfius primi. Ipfi peut, dxbxfzangulo, oftenfus cit æqualis dlczfist dlflci igirur angulus , ipfo d!lefllngulo maior etit.quæ enim funt æqualia,eiufdem flint. æ ne un. nora,per feptimæ communis feutentiæ-côuerfioneni. In triangule igirur dlelflangu us qui ad flmaior etit angulo qui ad c.0mnis porto trianguli mains lattis, fub maieti angulo Tuba tenditut,pet decimamoâauam eiufdë primi.maius igirur erit iatus dlc’,ipfo dIf. Ipfi autem * dzc,æqualis et! àe,vti’nuîet oflendimusÆt dzeligitut,maiot etit ipfa dzf,minot videiicet maiore,feu pars toto:quo pet nonam communem fentëtiam cit impoifibileNon cadit igi. tut connexa ex blin Ureéta,extta circulum alblc,neç in circunferentiam bleIc: igirur un ’ tta.ngd ofiendendumMW": I5; 1196M; 7.firent. ’ Api»? une me de 8E üudæghûüpnnà par 81.3: Æ gniafs fixa ennuyai 6M. Eâu’rûb 4111.5: lied-M me» 6e0àçâu1ùbfipvyfigddiixaâwùbfipâ. - - . A ’ Tbcorcma a, l Propofitio .5. Il in circulo teâa linea quædam pet centrum extenfa , quam: 3 sa;dam non pet centrum exteniàm teaam lineam bifariam fez a). cuetit: 8c ad angulos teâos ipfam difpefcet . Et fi ad angulos rectos ipfam difpefcatzbifatiam quoq; ipfam recalait. 9 R 0 N T I V S.(Sit datus avive l circulus , a: illius centrum d : recta veto linea pet Idem centrum extenfa fit axf,quæ aliam quandam teâam lineam bIcmon duâam et cens trum,b1fatiam imprimis fecet,in punâ’o e.Aio qubd 6c ad teâos eam fimul difpe cit angu los.Conne&âtur enim dlbl8: dzaret’tæ,pet primum poitulatum.Cùm igitut ex hypothefi’ recta bMVfit æqualis eœ,& etdxvttique communis:binæ igirur bIeIac exdzttian li bleld, «du? divis: eldttianguli dxezafunt æquales alteta alteri. bafis’quoque bxd, afi dtczefl: .æquêllsæcr decimamquintam diffinitionem primi. Angulusergo b[ezd,angulo dlchlfub i a"1ms lateribus cOm tchenfo,pet o&auam ipfius primi, en; æqualis.Re&a itaqueldzelcono. miens ’fuPel’ reâam !c,efl’ïcit vrrobique angulos adinuicem’æquales: ergo teâos,pet deo Clmam eiufdem primi diflînitionemÆeëtus cit igieut vter ue angulorum qui fub Mucha: Parsfe’cmda i a , . dlelC. (Secet tutfum eadem aÂdatami famszIad rectos ans confia FM! - a gulos. Dico,qubd 8c bifatiam eandê ve vice diuidet. Eadem ’ nanq; figuræ manente difpofitione,quoniam œqualis cit d!b,1pfî d7c,pet circuli diflînitionemæquus cf! proinde angulus dlbxc, .angulo dlelh,pet quintam primi.Re&us infupet dle!b,te&o d! elclitidem æqualis efi,per quantum poitulatum.Reliquus igitut angulus bld!e,teliquo’ezdrc,pet cotoilatium trigefimœfecundæ primi,& tertiam communem fententiam eitæquaiis.Bina.1taque l triangula bldlelôc eldlc,habcnt duo lateta b7dl& dle,bm1s la: teribus eldIôc dzaæqualia altetum alteri (mm brdripfi dxclefl: . æquale,& dtezvttique commune) 8c angulum anguie æqualem’ tub æquis lateribus contentum. Bafis igirur bze,bafi etc, pet quartant eiufdem primidi: a: i qualis.([Potefi 8c hæc feeunda pars ita demonflrati: quoniam vtetque angul tum qui Citez elteâus oe&,pet hypothefin: te&angula igirur flint bIeIdl& dlezClttiangulaîLgç î mir et bled: eldtvttaque fiunt quadrata,æqua funt ei quod ex bId: fimiliter 6c quæ ex clôt el c,ei quad fit ex dlc, pet uadtagefimamfeptimam primi . Qqadtat potto qu: fiant ex b! r dIôc dm , æqualia flint a inuicem , pet quadragefimæfextæ primi hbti cotoliarium: re&a - enim brd,i’pfi dIcleit æqualis,pet decimamquintam ipfius primi diffinitionem.Quæ autem æqualibus æqualia funt:ea funt inuicem æqualia,pe’t primam Communem fententiam.045æ i itur ex bxenSc eIdIfiunt quadrata,æqua funt eis,quæ ex dœÆt exc.Tollatut cômune qua: (garum quod fit ex eld:teliquum ergo quadratum quod ex bIe,teliquo quod fit ex erc, et tertiam communem fentêtiam en æquale.Aequalia otto quadrata funt,quæ ab æquali us métis defcribuntur:pet idem coroliatium quadrage imæfextæ timi libti.Aequalis cit ifs tut bletipfirechtaque fi in circqu teéta linea quaedâ: 8c qui: equuntur reliqua. qud 6* inculture oportebat, . . . * 4 - , ’

LIBER 111. . ne j * ’ 03439.":Ap ci sedum No 7, mon *- trépanais Peætflç «influant ’ 61èdl. a? . micron L 05mn, du trimant éminent . Tbeortma 3, Propqfitia 4. fixa.a ï I in cnculo bmæi Itette lmeç. ’ fefe munem feeuetint,nô pet cens ttum extenfædëfi: inuicem bifanamlnon fècabunt. I , O R 0 N T I V S.([Efto damnaIblczdIcitculusnn quo binæ teâæ lineæ ale! r ’ ’ a: btd , non pet centrum extenfæ , (de inuicem fecent in punâ’o e. Aio quod airera alteram bifatiam non feeat in eadem puné’to e:vtpote,fi alelfecuerit bifatiam ipfam bxd,eadem nihilominus alc,abi fa bldtbifatiam non diuidetut.Inueniatut enim centrum dati circuli alblddfitque illud , et primam huiuszôc conneCtatur elf!te&a,pet primum poitulatum. Si igirur aleIipfi au etit æqualis:te&a exfzpet centrum exte’fà,eandem ale! Demonfiratz’o non duâam pet centrum bifatiam fecabit, 8c ad teétos igitut angulos , pet tertiam huius. 45 impoflibih A Reâus etit iraque aIeIfxL Haud diflîmilitet angulus fi Inc! fit æqualis . ipfi eldzeadem eÆlpet cêttum eduç êta, ipfam b!dInon pet centrum ex: Atenfam,bifatiam 8: ad rectos quocp fecabit angulos,pet eidem tertiam huius.Re&us erit igitut angulus b! eÆAt qui rectum iridem Pore mon, (iranimus aleIfmngulû: fume; refl’i omne: inuicê æquales, pet quattum . poflulatum.Aequus etit igirur blerfrangulusfipfi angulo alelfiAngulus P9113) Nelfaefi P3" ipfius bxelf!anguli: reéta fiquidem da,cadit inter bxelsc elfx teâas, druiditque prepterea jpfum angulum blelf. Totus iraque blelf!angulus,fuæ parti aleIfletit æquaixs:qu.od pet no nam communem fententiam en: impoffibile. Si in citculo igirur albrcldl hm: refit: linea: avec bldfiefe inuicem fecuerint, non pet centrum extenfæ: fefe inuicem bifariam non feq * cabunt. 030d oflendete fuerat opetæptecium. i .

Ap No. Quietmâchas mignon: a: ahiMçpim dl, itouretienne W à 51073 «mon . s.

,4 I bini circulifefeTbeorema inuitem fècuerintmon 4, Propqfitia crit earum idem 5. cette. A

"idem centtum.Si enim fuerit pofiîbile;vt idem habeant centrumefio illud fiât conneâ’an; 01W!" ""4 tut Must 0c , pet primum pofiulatum : extendantlîrque pet (ce W 4b m? 0! .cundum poflulatum, eadem flelin te&um quue ad e.Si igitut fibllx. Üpunétûfiietit centrum circuli alblc, etit flc,ipfi fibzæqualis; 1 pet decimamquintâ diffinitionëprimi.8i idem quoq; punétum ficenttum extitetit ipfius dlbretcitculizæ ualis rutfnm etitfiel eidem f7b,pet eandê decimamquintâ di nitionê: producetut enim fIbl ex communi centra in vtriufque circuli circunfeten. thiamine igitut flua: er,eidem frbIetunt æquales : 8c arqua: p les propretea adinuicem,per primam communem fententiam. Acqualis igirur etit flflipfi 9c. atqui fzc,pats en ipfius fle: terum igirur eifet zquale fuse patti.0mne potto totmn eil fua patte maius,pet nonam communem entenfiamzigitut pua &um ânon cit commune centrum datotum arbxc,& dszexcitculotum . Si bini iraque cit. culi:8c qu: fequuntur reliqua.ngd recepetamus oftendendum. . ’ A? au. mata.a QtÔQIlPfl Monet: àRiiMp’oiadmûx t, newtonin: &u’rôp faims s. unhfop. - warcma 5, . Propqfitio ü 6. I , e.u1;.

:6 GEOMET. ÉLÉMENT. I I duo circuli fe adinuicem intus tetigetintæorùm nô cpt idem 6

O R 0 N T I V S. (De circuli: potiiiîmum intelligit Euclides,quorum vnus 1 c n intra alium collocatur.Tangât igirur-ile bini circuli albfdôt dzb(e,in pûâo b. flapi W Dico turfum,qubd ipfomm circulorumnon cit-idem Commandant-mm. Si id enim fuetit - figumdi m0, poifibileæftolccntrum. illud fiat conneétatutfzbtac flC,pÇr primum poitulatum:8c pet feeundum. .po dans MP4 1, ftulatum extëdatur in rectum fleuri punétum c.Si frigitut nm fibili. i r &um,fit cêtrum vaczcitculi: æqualis etit fiezipfiiflb,pet ecig maquintam diffinitionem primi.Itemifi idem punétum f,cen; tram erit circuli dxbxe: æqualis turi’um erit Üexeidem fib,pet eandem decimamquintâ i fins primi diffinitionemmam f7blex communi Centto, in vttiu circuli producetu-t circonfete’tiam. Binç igitut 908c fle,eidë zbrerunt æquales:8t propterea çquav les adinuicem,pet primi commune fententiamÆrgo fzc,æquas lis etit ipfi fze.efi autê fre,pars ipfius flc:tota igirur f!c,fuç par: v a g ri fzetcoæ uabitut.quod pet nonam communem fentëriam non videttIr elle poflîbileÆrgo punâum ,non cil idem commune centrum eorundem circula; mm arbrCIôc dzble,intus fe adinuicem tangentium (mm de ijs qui fe tangunt extra,pet le i fit manifeflrum)Si duo igirur circuli:&c.vt in theotematet.ngd oportuit oitendiflè.. endenta: s, Feô9iflç z. .Ap minou: En) dûs SËFË’IfU Niqu rn dupât)? , 3 lui 3h noierois famine!) , and illi a? «mais Ç Ml’viïamp EuOé’oa qui; 713c 15;: KÜKÂthtWIfl) p9); in»: Eç’ il; à noieropfiîiœgsu 5’ iÀormi. W il" 0’:wa èâ,û inlay 13:31;: 7? unhfoupiic ânérreeufp p.920) 315. 2m50 du pive; iueëoa 701m 7 and??? 3:07? calmis menez-taciturne: très 169 uÜnÀopfiç’îmÊfifiœ triis iMxl’suç- i Theorema 6, Propofitio 7. - A I in diametto circuli aliquod contingat punétum quod mini: E mèlcitculi centrum fit,ab coque punéto in circulum quædam . recta: lineæ procidant: maxima etit in qua centrum, minima veto teliqua.Aliatum veto,fem pet propinquiot ci que pet centrum ex: tenditut,remotiore maior efl:. Duæ autem folùm reétæ lmeæ æquales, ab. eodem punâoln Circulum cadunt,ad vttafque pattes minlmæ. O R 0 N T I V S.(IEüo datus circulas alclexh,cuius centrum f,dimetiens veto alf!e,& contingens in eo punâum g,quod non cil: circuli centrum : ptocidentes autem ex eadem punch gzin ipfius circuli circunfetentiam lineæ teétæ, fint gzb,gxc , 8: gId.Aio primum, qubd gzalefl omnium maxima,& gzezminima:aliariî potto,gxbzi fi glalpmpinquior,maiot ’ ipfa gxc,atq; glc,temotiore gzdlmaiot. Conneâârur enim fzb, zc,8c fId!re&æ,per primü . 1’475 Prima poftulatum.Cùm igirur fla,ipfi 0b, pet decimamquintam difiînitionem primi,fit æqualis, tbemmatis. 8c vrriquc communis f7g:binæ igirur ngzac f7a,duabus gÆÆC Ùbrfunt æquales.Potto gÆI r I 8: f!b,maiores funt ipfa gzb:omnis fiquidem trianguli bina lateta,teliquo funt maiora quo: modocunque aiTumpta, pet vigefimam primi . Et gtazigitut , ipfa grbxmaiot eftzquæ enim flint æqualia, eiufdem funt æquè maiora , pet ipfius fextæ communis fententiæ conuetfim nem.Item quoniam æqualis en fxbzipfi fzc,& grfrtutfum vrriquc communis:binæ igirur g! 1’785 fzbztrianguli ngxb, duabus ngÆc Ûcltrianguli gffxc,funt æ uaIes alteta alteri. Atqui ngzblangulus, maior en ipfo. glf! CI ub æquis lateribus comptehenfo: recta enim ftc,cadlt mtet fzb!8c fig,& diuidit propretea ipfum angulum nglerafis itag- gzb, bali gr a maior en, pet vigefimamquattam primi. Smuii dikutfu,g!dipfa gldrmaiOt ofiendetur. Infupet quonlam 9g! i 8c gIdlmaiotes fun: ipfa fxd,pet ipfam vigefimam primx,.&.æs qualis cit fxelipfi fld,pet decimamquintam eiufdem primi dtifi a nitionemu’gitur figlôc gld,maiores funt eadem fie. qua.- enim flint æqualia, eiufdé funt æquè minota,pet feptimæ communis

fententiæ conuetfionem. Tollatur CommunisLIBER flg:etgo reliqua gldlteliquaIII. gle,pet v quintam f7 communem fententiam etit maior. Omnium itaque maxima cit gla , minima veto teliqua gle:aliarum pottb,glblmaiot ipfa glc,& eadem glelipfa gldlitidem maior. (Dico Præt’ee manda pas. tea,quod ab eor’em pun&o g, duæ teâæ lineæ coincidunt æquales , -ad-vttafque partes IL. i fins glelminimæwtpote ipfi glc, æqualis vetfus h . Ad datam enim teâam lineam glf, atiîmque in ea punétum f,dato anguie retïtilineo glflc:æqualis angulus teétilineus comme tuatut glfl h, pet vigefimamtettiam primi . conneé’catut deinde gl h, pet primum poitulae tum.Cum igirur flc,ipfi flhlfit æqualis,per decimamquintam ipfius primi difl’înitionem,8t glflvttique communis:binæ ergo glflôc flelttianguli glflc , duabus glf l 8: flhlttianguli glflhlfunt alteta alteri æquales:& æquos inuicem comptehendunt angulos,pet côittuétiœ nemtBafis igirur glc,bafi glh,pet quartant eiufdem primi eit æqualis. ([Aio tandem ,qubd Tertid pars. ipfi glc,ab eodem punâo g,alia quam glhlnon cadet æqualis. Si enim id poilîbile fuetit: aut illa cadet fupta punétum h ,vel infia . Si cecidetit fupta,vetfus aztunc ipfa erit propins quiot ei qua: pet centrum,vtpote ipfi gla,etgo maior ipfa glhltemotiore, pet primam par: rem iam demonlttatam: 8c maior con equentet ipfa glc.qud fi detut incidere infra puna &um h ,vetfus eztunc ipfa linea,temotior erit ab eadem glalquæ pet centrum. ergo minot ipfa glhlptopinquiote,pet eandem ptæoitenfam primam pattern: 8c minot igirur ipfa glc. Similiter oitendemus,quod nec ipfi glhlaiia quam gleldabitut æqualis, ab eodem punâo g,8t ad partes bld. De cæteris quibufcunque,idem refpondentet fubfequeturlgitut fi in diametto circuli aliquod contingat punétum:& quæ fequuntut reliqua.qud demoni’ttan: dum fuetat. - Ap’ aux; t 111005111ardente: «mêlois inca-égrenéa, militai; du a? expiés avec; u. 451! adulai: 8365m incanta maie, 59 [du la): 62è a? noi?zs,oàâ Man-ad à; ï’rUXE,’1,W [4&3 mû; du: milita WQîedœp abonnfiu’ëp îu94ôp,pe7i’su M à 325:7? uûayswôp titi ËMop,àà à inlay fric 813; ’5’! tdfifrie âwéîûopwéZop issu. mais (Fa nebe’rùù tumuli wçéedœp môflifiwô’p nom, inexisn’flôz flip il mugi) 131-: «tués and ais ôZçpiafap’W au 3:75.101: ôté üiniop dg êMxisnfliiç amodiois 3h]: ilo’âiwpflüo illi pivop iueâaa tiam magnifiant duré 73’ captée 1-69 mm ëqa’ inédit: aie immine. p Tbeorema 7, ï. Propofitia 8. a I extra circulum fuicipiatur aliquod punâum,ab coque pun: ’ &o ad circulum deducantur teâæ lineæ aliquæ,quatum qui: x; dem vna pet centrumgextendatumeliquæ veto vtcunque: In ’concauam circunfetentiam cadentium reétatum lineatum,maxima cit, qua: t centrumduâa efl:Aliarum autem lempet ci quæ pet centrum tran t propinquior,remotiore maior cpt . In c’uruam veto circunferena tiam cadétium teétatum linearum,minima dlc,-que inter punéturn 8c dis medentê iacetznnnimæ veto propinquior,femper remotiOre minor efl’. Duæ autem tâtùm teétæ lineae, ab eo punéto in ipfum circulum cadunt æquales, ad vtrafque partes mmimæ.’ t . ([0 R 0 N T I V SJIElÏo circulus alblc,datum veto unît-nm extra circulumdzâ quo in ipfum circulum procidant recta lineæ dla,dle,dlf,8c dlb,cutuamteiufdem cireuli citcurifenÎ têtiam in punais g,h,lt,c,difpefcentes:quatum dlal pet ipfius circuli centrum .(quod fit ) extêdatut.Dico primum, quod in alblconcauamtçitcunfetëtiam,boc en intta circulum,caa un prima dentium reâatum lineatum,maxima- et! dla,’pet llcenttum eduéta:8c qui: illivicinior dlc, menottais. remotiote dlflmaiot, eadémq; dlflmaiot ne: dlb, Conneâantut enim lle,llf,8c llblteâæ lineæ, pet primum poitulatum. Et quoniam æqualis cit llal ,ipfi il e, pet decimamquintam diffinitionem primi, 8: vttiqueicommunis dll:tota igirur dla,ipïîs dlll8c lle,per fecundam communemlfententiam en: æqualis. ’Atqui dl l, 8c il el-bina ipfius dlll el trianguli lateta. funt maiora tcliquo dlc, pet vigefimam primii 8c ipfa igirur dla, maior en: ipfa dle. æqualia enim eiufdë funt zquè maiora, pet fextæ cômunis’ fentç’tiæ côuetfionem. Infuper,quoniam

sa GEOMET. ÉLÉMENT. llel ipfi llf, pet eandem decimamquintam diffinitionem primi en: æqualis,8c vrriquc communis dllzbinæ igirur dlll 8c lleltria i anguli dllle,duabus dlll8c llfl trianguli dlllf, funt æquales ale teta alteri,per eandem feeundam cômunem fententiam.Angua lus potto dllle,maior cit ipfo dlllflfub æquis lateribus compte. henfo:te&a fiquidem llf,cadit inter dlllôc lle, diuiditque pro. i a pterea ipfum angulum dllle.Bafis igirur dle’,bafi dlflmaior en, pet vigefimamquartâ primi. Et proinde dlf, maior effipfa dlb. Igitur dlalmaxima citât dlelipfa dlf, au; dlflipfa dlblmaiot. (I Dico ptæterea , quod incidentium in cutuam feu conuexam I circunferentiam glc,hoc et! extra circulum, minima cil: dlc: a: qu: ipfi dlelminimæ propinquior fempet temotiOte minot,hoc efl,dlklipfa dlh,& dlhlipfa dlg.Conne&antut,enim llg,llh,& llklteâæ, pet primum poitulatumÆt quoniam trianguli dlkll, bina lateta dlklôc kll,teliquo dll, pet vigefimâ primi funt mas ’ iota,tollantut llcl 8: kll, que pet decimamquintâ ipfius primi diffinitionem (ont æquales. R eliqua igirur dlc,reliqua dzk,pet quintâ communem fentêtiam etit minor.Item,quoniam trianguli dlhll,à limitibus latetis dll,duæ reâæ linea: dlkl8: klllintrotfum conitituuntut: ipfæ igirur confiitutæ, reliquis ipfius trianguli lateribus dlbl8: hll,pet vigefimamptimam ipfius primi,funt minores.Aufetantut llhlâc llk,per ipfam decimamquintam diifinitionem primi,adinuicem æquales.Reliqua igirur dlk,reliqua dlhlminot etit,per eandem quintam communem rententiamÆt dlhlptoptetea minot erit ipfa dlg;Minima igirur cit dlc:8c qua: illi propinquior dlklminot ipfa dl h , eade’mque dlhltemotiore dlglitidem minot. IIAio Tarife par. tandem,quod bina: tantùm æquales,à püéto d,in circulum ipfam alblclcadunt, ad vttafqç. pattes ipfius dlClminimæ,fiue in concauam, fine in cutuam inciderint circunfetentiamwt: pote,ipfi dlhlvna tantùm in primis 2qualis,ad alteram partem ipfius dlc,verfus m.Ad te; &am enim dll,atque ad datum in ea punâum l,dato angulo teâilineo dlllh: tequalis ans gulus te&ilineus confiituatut dlllm,pet vigefimamtettiam primi. 8C conneétatut dlm,pet primum poltulatum.Cùm igirur llhlipfi llmlfit æqualis,per decimamquintam ipfius primi diffinitionem,8c vrriquc communis dll: bina: igirur dlllôt llhlttianguii dlllh,duabus dlll 8: llmlttianguli dlllm,funt æquales altera alteri: a: æquos inuicem comprehenduntangus los,pet confituétionemBafis igirur dlhlbafi dlm,pet quatrain primi cit æqualis.Neque ipfi dlhlalia cadit çqualis,prçter dlm:& ediuerfo.Aut enim caderet inter hl8c mlpunétaminc: que minot effet vtraque 8C dlhlôc dlm,nem e vicinior ipfi dlclminimæ.vel cadetet extra punâa hl 8: mlvetfus a: art-une temotior e et ab eadem minima , 8c propretea major ipfa dlhlvel dlm,pet primam partem iam demonflratam.Haud alitet,fi angulo teâilineo dllle, æqualis angulus confiituatut dllln , pet eandem vigefimamtettiam primi, 8c conneétatut teâa dlnl et primum poitulatumripia dln,ipfi dlelconcludetur æqualis. N ec poterit ipn fis dlel8: lnlalia datiæqualis.quoniam vel ca etit vicinior ei qu: pet centrum,vei ab eas dem remotior,quam fint ipfæ dlelôc dln, 8c proinde vttaque maior aut minor,pet primam huiufce demonflrationis pattem:quæ fimul ,impoilîbilia funt.N on cadunt igitut ab eodem punéto d,in circulum ipfumalblc, plutes duabus mais lineis æquales , ad vttafque pattes ipfius dlclminimæ,aut dlalmaximæ.8i extraigitut circulum:&c,vtin theotemate . ngd

IIŒætandem igirur à pun&o etat extra oitendendum. vcitculum date, in circulum ipfam . » cadunt (mollement. reétæ lineæ,ab ipfil t minima ,vel maxima(qu:e pet centrum)æquè diftanteszæquales funt adinuicem, 8c è diueti . fo,fiue in concauam,fiue in cutuam aut Côuexam inciderint eiufdem circuli citcûferentiam. GEOEIPŒ n,* î . retienne 0. l a Ap bien mon ni aupâop 6573;, aîné du a? «mais 7E9; vip mm momifioit; W86 No Mëoa itou, (ré Nom «immanente? 35 mimi. Tbeorema 8, Propqfitio 9. .7.--.-n.,, in circulo’fufcipiatut punâum aliquod, 8c ab eo punéto ad J âcitculum cadant pintes quam duæ teétæ lineæ æquales:fufce: ptum punétum,centtum ipfius cit circuli. ’

L’IBER 111.- " V i :9 o R O N T I’V S. (I Sit intta circulum blafuiëeptum punétum d: à quo in eundem circulum cadant plures quam du: teetæ lineæ inuicem æguales , dl a , dl b, 8c dl c. Aio que"! punâum de, cit centrum ipiîus circuli alblc .’ Conneétantur enim alblôt blcl reître, ver Primum poftulatümfecetlîrque.bifatiarn’alblin punâo e ,8; blclin punéto f,pet deci; mm primi.Conne&antut rutfum dlel8: dlf,pet idem primum pofiulatum: 8e pet fecundnm poftulatû, producarur in diteâumytrobiq; ad punch quidem g,hlae k,l. Cùm igirur alelfit arqualis elb,& vtricp communis ne: tbenema :5 V eldtbinæ igirur-alel8: eldlttlangulî aleld , duabus blelat eldl aliter oflendi I ""ttîanguli bleld,funt squales airera alteticbafis quoque dla,ba: pote]? : fed d d i h. fi d’5; Fer hYPOIbefin cl? æquali’s.Angulus igitut aleld,æquus heurt demoa s g 7 " -p en pet o&auam’ptimi,angulo bleldzae proinde vtetque nous, literie potiflî’ pet decimamipfius primi diifinitionem . Reâa igirur (gante mas l ’ . afin flb,bif3’riam’ 8c ad rectos angulos interfeciatün di te itaque glh,erit centrum ipfius albldcitculi,pet corollatium’ i l . - primæ huius tettij. Baud diflltnili via oûendetut,eiufdem cit; v cuit centtum’fote in te&a kll. In vttaque igirur 8c glbl8: kl], en centrum dm circali alblc:8cI in punêto percenc propterea vrriquc communi. Atqui nullum au: ud punEtum-habent commune, tætet ipfam d:pun&unti itur d,centtum eiiipfius alblCl drame si ergo intra circulum ufci iamt ûétum ali mais: u: fe uuntutteli ua. uod OPOl’l’uitldemonfil-afl’c. P .- . P.’ V . .a q q l Meupü a, . - ph? ... KrnMc’ôwripM 1:61:10p une! ancien: enliai EN»

Tbco’rema, ’ i Propqfi’tio , 16. r -’: ., IïCÙlUS:CÎrCUIum in pluribus duobus punais non (ècat. , W ’ 0 R 0 N T I V S-ŒSecet mimai poflîbile nourrains alblc,t:itculum dlclf, q il [invpluribus duobus punâis , hoc ef’c in punchs b,c,e,f.Et Mdpiatur centrum r Ï 511m"? ci"3115’ËVlW-thi’rprimam huius, fitquev’illud gis: connearantut glb,glc; gle,8t glflteétæ, pet primum poflulatum :Çùmigitut punâur’nigfit centrum ’ . circuli alblc:etuntglb,gle.,gle,& glfladinuicem æquales, pet decimamquintam primi lihri diffinitionem -. Et quoniam b,c,c, mec rurfitm f,funt.œmmunes vtriufque-circuli feâiones , pet hypothefin: aliter pofmÏ’ erit puné’mm g; , vomique fufceptum intra circulum dlelfi-Ab [:5 vflmëtal’d ipfo iraque punâo g,in eandem circulum dlelf,cadunt pintes bac potion"! quam du: teétæ lineæ inuicem æqualeswtpote glb, glc,fgle,* exijiimo de: R-glfiEtit ergo puna-nm g,centtum eiufdem circuli dlel ,pet monflflmfli ’ antecedenrem nonam propofidonemAtqui idem punétum g, i centrum en ipfluSle!ClCifCüli-..0110111111,kat; circulonî alblc, a: dlelfl [de inuicem fecanvtiumjdem etit centrum : quod pet quintam huius tertij, non en poflibile.’Citculus ergo,citculum in plutibus duobus punchs non feeat. Œod oûendere filetai.- operaepretium. - . * " ’ ’ . eidem: I, 4 4 méfiai: il la. I l" a]; 160 enliant Wœvvæâmmwov’ude,og M05 me» mimique, fini l Einti 2617va1, me: and inGaIÀoMqfiari fifiâwmpilp Mâvoart’îô’ www " I . Tbeorema I 1o, l Propofitio un e Ibini orbes fe introrfum adinuicem tetigetint , fufcipianttits que eoruxptentra : ad eorum centra applicata teâa linea 8c deâa,in cdntaâum circulorum cadit; 0 R O N T I-V’S.(IDuo enim circuli alblCI8c aldle,fe introtfum adinuicem tangant,in pun&o quidem a ’: fitque nous albldcîrculi centrum f, ipfius me Ndlel’cene trum g.Dico qubd ad centra flg,applicata .re&a iinea,8c eieéiratid eii,inidite&nm vtrinqu’e’ Mario Pmduaaîcadil’ in Côtaâum a.Si enim non cecidetit in punetum azcadet igirur a1ib.Cadat abmpojfibüi. "8°(fi Pofiîbile fit)vt cieéta vertus g,in dlat blptinâafitranç diriment circunfetentx’am.

.60 GEOMET. EÏLEMENT. 8c Conneetatur alf,& alglrec’ta,per printum pehlatiîm.Triati gulum etit igirur algl f: 8c duo prepterea lattera al gl 8: glf, Ca mm maiora tcliquo al f, pet vigefimam primi , Atqui ipfi al f; æflualfs ca f7 b ( Viraque enim à centto f, in circunfetentiam emmi! N hl C) 8l a! l ignare; glf,L maiotes flint eadem fl b; To113? 9 g a "flâne inæqnalibus communis : reliqua igirur affranchiras En) l maior etit , pet quintam communem fentenc 933:1: IPfi PQWË’ngæquaIis eft gld(vnaque enim à centre g, in catcunfetennamjpfius aldleleiteuli)8c gldligitur maior etit . ’Plâ 3454]": enim flint aequalia, eiufdem funt arque maiora:pet V v A Textæ pommunis (entendre conuetfionem. Ipfa potto gld,pats . , xpfius glb: pars igirur entmamrtoto , contra nonam Communem fententiam . Cadit Ru l’ l3?" f’g’eïeâailn Contamm 3-ncogimur Milne. demonfttatione,centtum interietis cita dîffofimv cul! Cîfml Proprium 1001m ( W 06111311 fatilliatüamus infpeâioni)vel inuiti collocarezquan- quamld Videafl’l" abfurdum-Nîm .3! hypothefimeceffum en lineam flglblttâfite pet cem a "a fig. non poterît iraque tèêta fl glbl ad aliud punc’tum quam . 5 . ad alpetuenite,8çfimul tranfire pet g,quin ipfam gl centrum à fuo loco dimoneatur: aut connexa alfllinea,tanquam teéta ima ginetut. Non cran; enim l pet aduerfatium flgéôc glaæ’ in dire. A3 &um conflitutæ (alias enim fequetetut propoiitionis intentio) 8c proinde inclinabuntut adinuicem : 8c vnà cum alf, triangule lü alglflde neceflitate conflituent.Œiæ enim ùnpoilibilia funt, c depingi minime poilant : fed folo intelleâuali difcutfii canoit . .pienda funtJntelligendum cil: itagçenttum g(quanuis dimoa . 9 . uèarur)à proprio nô, tecedete loCozaut-linea alf,ac fi refit: foret imaginandaleftJVe in hac feeunda figutazin’ qua turfum duo latetaalglôc glf;funt maiora tertio alf,pet vigefi’mam primi,& proinde maiora ipfa flglb,qu:e pet circuli difiinitionem ipfi alfleit æqualis . Sublata porto Communi patte glfitelinquetut alglmaiotnipfa gld,pet. tertiam Communem fententiam. In circule iraque al dl e, qui: a centra! gl in circunfetem tiam rodeunt lineæ recta: gla,&v g! d , non etunt inuiCem æqualeszcontra decimam un); tam iifinitionem primi . Cadit igirur flgleie&a,in contaâum a.Ergo fi bini orbes e ina " trotfum:&c.vt in theotemate.Œiod ofiendendum filetât. Ig Ap Mafia:2min minot difforma tu, emmi, ’ êmiçfimalienne Mina? «and W æ. maman», I - 516613: p Q 5m- i’ . épi;v Tbtarema aimera." u, . Propifitio I I ’ l - 12,.. I au Iduo cucul: fêle adinuicem exterius tetigetintmd centra to: Il .4, ’ tumapplicata recta linea,pet contaé’tum tranfibit. up, , .-...O R 0 N T I V S.(Tangant fe exterius bini circulialblaaedlblefin punch I Un... quidem b:fi’tque ipfius alblclcitculi centrumeg ipfius .dlblelcemrum g-AÏO. 145 qui pina: quôd confirma flglreâa linea, tranfibit pet contaél’um b. , Si enim non tranfietit pet puna p ofimdmdimo &um b ,ttanfeatÇ fi poilibile fit)pet clac elpun&a:&conne&anmt blfl 8c blglreétæ lineæ, du; 46 MP9]; pet primum poiiulatumÆt quoniam punâum f,centtum cit circuli alblcæqualis crie flb’l fiait; ipfi lcl,pet decimamquintam diifinitionem primi. Rutfutn quoniam g,centtumreûcircttij dlblezæqualis etit pet eandem decimamquintam primi diffinie av tionein glb,ipfi gle. Binæ igirur flb786.blg,duabus flelôt elg, I pet [amarinai .oonununem ,iènteritiam etunt ’æquales . Tota potto flg,ipfis fiels: elglmaior eft( nempe clelextta circules incidente particula)’ Et tora igirur f7g,maiot en e’ifdem flblacï blg.Intriangulo mon flblg,b,ina huera fiblac brg,etunt minora tcliquo flngunt. autem maiora,pet vigefimam primi.quæ’ - fimul impoffibilia-funt.lgitut à centro flad centrum gladplicaæ " ta teé’ca linea flg,tranfit pet Contaâ’um b.Si duo igirur circuli : et quæ fequuntur reliqua: 030d demô’ltrate opottebatlîln hac igitut,veluti proxirna propofitione,autintelle&uali difcurfu , au: oculari infpeéijione demonfhjatiqm incantendum en. Cùm non poflit igirur,

. LIBER 111; I a: flgllinea teâa alibi rranfire,quàm par conraâum b:etunt ce’rta f, g ,à fuis vetis fedibusÇolieniionis gratia)dimouenda:aut pro, (lutta flelelgllinea, 8: fi obliqua videarut, rec’ta tamen imagiæ nanda efi,8c cum duabus fl bl 8c blg (quæ pet aduerfatium in: clinabunrur adinuicem, 8c non etunt in diteél’um confiitutæ ) triangulum efficient blflg.Vr ex hac potes elicere figuranquæ te ad ptiltinum deducet inconueniens. même» (la, rameau on V Kan; dans aux ËQÉ’IÎTHQ maiora expiai MW finitudes 030135604 ’rt inde Wtœc. ’ Tbeortma 12., Propqfitio 13. , irculus circulum non tangir inplutibus punais vno:& fi exc a

a a,0 R 0tra,& N T I V S. (Hangar fi mtus in primis circulustangat. alblCId,circulum . - - bleldlf,ino De cirmlirfi A ’ trorfum( fi fuetir poilibile)in punétis b,d:Iïtque i fius alblcldlcitculi centrum intraifiim un g,citculi autem bleldlf,centtum b.Adplicata igitur ex glin hl . gambas. recta linea,8c eie&a:cadet in punâa Conraétuum b, d, pet vu; decimam huius fecundi libri.Et quoniam glcenttum cil circuli alblCld:etit glb , ipfi g l d ,r pet circuli diifinitionemæqualis... Tollatur glh,ab ipfa gld: eadem ergoaglb , teliqua hldlmaiot 1’ A à etit. Rutfum quoniam hlcentrum en circuli bleldlf: æqualis ’ etir hlb,ipfi hld , pet eandem circuli diffinit’ionem . Tollatur rurfum glh,ab ipfii hlbzteliqua igirur glb , minpt etit ipfa hld. Oftenfum cit autem,quèd 8C multb maior: quod non elt poflîs bile . Non tangir igirur circulus alblcldl circulum bleldlffim trorfum,in plutibus unétis vno.([Secet tutfum circulas albld, De circuli: circulum azudlexrerius in punchs al8: Cl Ç fi id’fuetit poflibile) 8C conneâatut recta alc1 Mme?! pet primum pofiulatumÆt quoniam in circunfetêtia circuli alblçgduo funt accepta pûâa extra. - al8: c: adplicata igirur teâa linea alc,intta ipfum circulum cas der, pet fecûdam huius tettij:etgo extra circulû aldlc.Rutfum a quoniam eadem al a: c l punéta in circunferentia ipfius aldlcl circuli Coaffumpta funt Ç vtpote vrriquc circulo communia)eas dem igirur recta alc , cadet intra circulum aldlc , pet eandem fecundam huius : 8: extra igitut circulum alblc.Patuir autem, quod 8c intta ipfum alblClcitculum cadit eadem alc,atque ex: tta ipfum aldlclcitculum.Cader igirur intta a: extra vttumque darotum circulorum : quod cit impoilibile . Non tangir ergo i circulus alblcl circulum a l d l c l exretius in plutibus punâîs vno.Patuir, quad nec introtfum.qud cite ndete firent opetæpretium.

Na raidie) eadem: à in: mangiez); à’fiÉinflp :7, ôtai-à Femme a? «datam ad ioop étripade:«il. «in?» " a? a mitre, l’eau enim; êaip. 4 A Tbeorema 13, Propofitio 14.. (a, N atculo reflet lmeæ funt æquales , qua: æq’ualiter dil’ta’nt à et cërto:& fi æquahtet dii’canr à centro,aequales adinuicem font. 0 R O N T 17V S. (Sint in Circule albrczd , cuius centrum epbina: recta: lis Pars prima I - -F-- neæ albl& odlinuicem-ptimùm æquales. Aio qubd 8c æqualitet (liftant à cens tto e.Diuidatur enim alblbifariam in puncto flac eldlin punch g , pet decimam primizôc datam. conneâantut ela,elb,elc,eld,elf, 8c elgllineæ teétæ,pet primum poitulatum . Reéti fun: itacp anguli qui circa 98: glpunéta côfifl-untzôr ipfie elflar elg,in eafdê albl& eldlpetpens diculates,p’et tertiam huius tertij. Et quoniâ alblteéta,zqualis cil: pet hypothefin ipfi eld, a alelipfi eldlæqualis: duo itaq; latera blalac alelttianguli blale, duobus lateribus eldlar dlUtrianguli eldlafunt æqualia alretum alteri. bali: quoq; ble,bafi elClitidemtæqualis cit. Angulus igirur qui ad a,angulo qui ad dlper oâauam primi en æqualis . Reâus ptæterea I ’ . ’ " ’ Ri.

a GEOMETÆL’EMENT, - alfil e , reëto a g! dz par quart-nm æquarur poflulanim . Bina ergo triangula alfzezôc dzeig,habe’t duos angulos duobus angulis zqua: les alternm alteri : 8c vnum lattis vni lateri æquale , quad fub vno æqualium fubtenditur angulorü,vrpote axexipfi exd.Reliqua igirur laura reliquis lateribus habebût æqualia alterum alteri,per vigefia mamfextâ primi.fed azfzipfi dzgxæqualis en: (fun: enim ipfarü albl 8: Udzinuicë æqualium idimidium) reliqua igirur elf, reliquæ chl efl æqualis. Q1322 igirur in ub,&ùdre&as,ex cenrro eIdeducûtur perpendicularesufzôc,exg,æquales fun: adinuicëidifiant ergo vbi 8c dÆzreâæ æquali ter ab codé centro elipfius albzadzcirculi,per quatrain huius tertij diffinirionêJIEfto autê ezf,ipfi ezgxæqualié,hoc efl,difi:êt albI8C dm! 5:0»:ch par: zqualiter ab codé cirre e.DiCo quôd albl’æqualis- cibi fi adÆifdê nant]; confitu&is,quoc cumula pre niam triai a alezflôc dlezngunt re&âgula,8c ui ad x8: glçôfifiunt anguli re&1:quæ igiç- «dans. tur ex au de fœxdefcribûtur quadrata, zqualia unt ci quo ex ave,fimi1iter 8c ca qua: fiant ex dzgÆ: g!e,ei and ex dzeIæqualia,per penultimâ prùni.Porrb ale,ipfi dœkefl æqualis: a: ex i fis efcripta quadrata inuicê æqualia,per corolIariû 46.i fins primi.Œæ’ aurê æquali us unt æqualia,ea (un: æqualia adinuicë,per primi cômunê entêtiam.Qgæ igirur ex alfxac fœxfiimt quadrata,çqua funt eis qui ex dxgzat gze.quorü id quod ex fze,ei quad fit ex gIeIper idem corollarium cit æqualeJ-Iis itaq; fubtraé’tis,reliquü quod ex NÛreliquo quad ex d!g!fit quadrato per renié cômunê fententiâ cit æqualeÆr proinde larus a!f,latcs ri dlg,refpondëter æqualerfius porrb axflduplà ePc aIb,& cldApfius dx Iitidë dupla.quç zut-E æqiialium dqplicia funt, æqualia funt adinuicê, pet fextâ communë entêtiammequa; lis cf! igirur albxipfi czd.In circule itacp refit: lineæ fun: æquales, quæ æqualiter dif’cant à. centrons: fi æquahtcr difiât à céno,æquales adinuicê funt.ngd receperamus oflêdcndû. EN’uuuÀQ I I pour: . MI que 831pi siégéoçn’fiï M, (M 5mm. rameau;æà à innopv’ëndîvflic MÔTËNPPGIZOP le. 359° l I Tbeorema 14, Propqfitio 1;. p: N Circulo, max1mus qu1dem ef’c dimetiens : aliarum autem If (Empcr propmquxor centro,remotiore maior. -4 C ÇO R o N T I v mm: in circula alblcld,cuiuscëtrum e,dimeriens me: Cmflruîtur. ï- . ’ i ’ 1Pfi Centra vicinior blc,remorior zut-ë fIg.Aio quùd avdxquœ pet centrfi, maxi- figura. ma eûtblçlverb,maior ipfa fzg.Diuidarur enim bzcxbifariam in punâo 11,8: figzin punâo Ë?" deClmâ primi:8C conneâârur cibla: elk,per primû poflulatum.Perpcndicularis cric ISWË4 elhffilpcr I blc,atq; lezszuper af! :per tertiam - huius tertij.Maior0 erir itaq; perpendic culêm e’knipfa exh,per quartai huius iffinitionem.Secetur ira à maiori exk,ipfi ezhxmis non æqualis,per tertiam primizfi’tq; ell.8c per darû punâum l, me reétæ linea: flg,paralç lela ducatur mm : per trigefimarnprimam primi.cadet igirur eAzad perpendiculum (uper mm: cr corollarium vigefimæxionæ ipfius pria mi.Et quoniâ ezhxefi æqu is ipfi exl:diflâti itur bÆ!8C mmncquas liter à centro e,per quartant huius tertij di mitionem: fiintque,per decimamquartâ ipfius tertij,inuicë zquales.Conne&antur demum, per primum poftulatum,ezf,eIg,elm,& cm: qu: per circuli diffini: tionem,2quales funt adinuicem.Cùm igirur exalipfi exm,& exdzipfi ammum eln,per circuli diffinitionem fit æqualis: tata yd, binis mlelôt cm, tinrent. pet fecundam communem fententiam æquabitur.Binæ porrb avens: . . . eznxtrianguli nuem,funt maiores reliqua mln,per vîgefimam primi. a! althæa", maior cit eade’ numacjpfamnfoquenrer bœImaior,per côuerfam fextæ at * feptimæ communis fentenriæ interpretationem.Rurfum quoniam æqualis cit eImz-ipfi ez , 8c elnzipfi elg:bina igirur latex-a rivas: elmrriâguli mem,binis lateribus ficus: exgmian guli flelg,funt æqualia alterum alteri: 8c qui fub mleInIangulus,eo qui fub fielglmaiorû-e &æ fiquidem elf785 elg,Coincidunt inter cama: eln,ipfum angulü mzemzdiuide’res) bafis igirur mln,per vigefimamquartâ primi , bafi flgxmaior efi.Ipfi porrb mmlæqualis cit blc. a blaigitur,eft eadem fxgnnaior:quæ enim fun: æqualia,eiufdem funt æquè maiora.oflens fum cf! autem,qubd 8C azdîifpfa bzczmaior efl:.Dimetiens iraque avd, cit omnium maxima: 6c b!dcentro vicim’or,ipfa lglremotiore maior. Œod oportuit ofiendifle.

LIBER ILII. 63 ,5 slwçqfl, a; du); 7,3; 6992m,-9663m: ôc’zr’ daguer le, âyopv’mfimâç reôeeaie au" au a?a; nûmmgâ à: vip PMRÉÙ d’un: aïs are Êuoëœa’ fic TÊWÊQËW) 916?," aimât a" ÊPWËT W105i I7 W ipmuxN’a wviœfimënf ôâéow’ WVÎW iueuî’féPF’ la?!" 35?"? m 7mm! am"? Tbtorcma 15’, ’meofitio I6. 15 f ; I 1) iVæ à diametri circuli extremitatead angulos reâos ducitur; r , ’extra ipfum circulum cad1t:8c in locum "inter ipfam œâam li: 5?; neam 8c Circunferentiam,altera méta linea non cadet:& fenil: circuli angulus, omni angulo acuto reâilineo maior cfl : reliquus au:

ORtem,m1nor.r 0 N T I V S. Cil-2&0 , , circulas alb zc, 8c illius centrum d,dimetiens veto alc:ac ab a! dimctientis exuemitaœ,ad angulos reâos excitetur ave,per vndecimam primi. Dico prie Prima par: mùm. , qubd ra! e! reâa extrai ipfum cadit. circulum . Sufcipiarur e enim in ipfa ez -a , contin: gens aliquod punâum : fitque illud e. 8: conneâatur exd,per primum poflulatum. Trian: Maudit. gulum erit igirur ezwd.omnis porro trianguii tres interiores anguli,binis métis funt æquas les:per trigefimamfecundam primi. reâus cit autem qui ad a , per confimâionem . Relie qui igitur qui ad eus: d l finit anguli,vni reâo fun: æquales: a: eorum propcerea quilibet, ipfo re&o qui ad aminor . In triangulo autem maior angulus, fub maiori latere fubtendia tur,pçr decimamnonam primi: maior cit igirur dlc, ipfa axd, quæ eft ipfius dari circuli feo midimercr.Eg1-edimr ergo dm, circunferentiam ipfius aIbzczcirculiæadi’tque pun&um e! extra eandem circulum avive. Haud diffimilis cric, cæterorum punétorum ipfius avez demonfirario . Cadit ergo rota aze,extra datum circulum albzc. IIAio rurfum,quod inter reé’tam ale,8c circunferentiam alb,non cadit airera mâta linea.Si enim id fac mamm- rit poifibile: efio au f. 8: ad datam œâam lineam aI d , ad da: tümque in ca pun&um d,dato angulo reé’tilineo en! f, æqualis angulus reâilineus çonfiiruatur av dx g: per vigefimamrerriain primi.Vrerque igirur aldzg,8t guvd,pars crii- ipfius exazdzôc re &o prgterea miner . In reâas iraque azfÆc dfg, méta incidit aid, e ciens interiores 8C in eadem parte angulos binis reâis minoresüpfæ igirur alf78c d’Sain infinitum PWduâæztmdem conèurrenr,per quintam po: d Punanlm 3’ T’iafigülum en: iraque ngdæuius rres interior finlatum:res anguli binis re&is,per conueniant eidem trlgefimmfecundâ ergo a . aniifimtq Squales.& qui fub gIaldl a: aIdxgzanguli, vni re&o , hoc efl, 1Pfi c’a’d’cî’æqummr C dams eft enim azdxg, æqualis ipfi elaIÛReliquus igirur algld’reâFs ca: mm" Proptem Vîl’Oque, a: g!aldl8( aldIg. Vnde rurfum afdxfemidiametef gm31°ï aï 1Pf3 d’g:P°r eandem decimamnonam primi.Ca dit igirur pûéhîm g,intra circulul afb’cærâo 55 Wffrcaaan il":1 Püftum g)circulum ipfum interfecat, vtpote in f. Non c241lt "a? 3’ 17 "a a: un" "am 3le,8t circunferentiam alb. (Dico tandem, qubd angulus blaIdnpfius wbquemicirculi, omni acuro 8c reâilineo ans Tertît par: lo maior ethreliquus autem ( VtP°t°:b’a’°) mulon Cùm cnim angulus claldffit reétus, de anguie-c5. a: diuifus à fola circunferentia 3’13, Ênœr quam 55 reâam 3’ W non cadit altera reâa linea ( vti nunc oftenfum cit) non potdt 1Pf° anglfms b’îVe’biïîl’tiri : a: proinde non minuetur mW. neque augebirur confequenter ipfe blaszgitur angulus Mzd,fub aszcircunferenria , a: aldlreâa comprehenfus,omni acuto "535mo maiÔr CÎÏ angulœbzazezuràsquffilb eadem icircunferenria, 8c avança-a continerm’ ( quem angulum C°ntifigentiæ nommant confueuiæ mus)omni iridem acutoMlineo 2113m0 mima cfithæ omnia fuere demonfh-anda. - (qui: igirur ab extremitare dimetiends datî circlIIi,ad reâos ducitur angulos,ipfum cire culum, tangir, iIL’Carollaium. , idque in vno tanrummodo punâo : ad duo enim punâa adplicata , reâa’iic nea,per fecundam huius tertij,cadit intra datum circulum. -

1 k Po nonamp PgôCMpœ 09528,13? Moche; A. grimes P960201; MOMM Êuiëœp Je. Wœppàp W9, .i].

64. GEOMET.ELEMENT. Problcma a, Propofitio I7. v I parc pûéto,daro circule, contingenté reé’cam lineam ducerc- r7 cmfimmo ,0 R 0 N T I V S.(ISir æpunâum datum:à quo oporteat in datum circulum . figura; bzczdx contingentem reâam lineam ducere . Inueniarut ipfius bl cl d l circuli V il. centrum,pet primam huius rertij , fitque illud e:8c connectaient axexreâa , pet prinium poffulatumquæ cùm ab interiore punâ’o e, ad extetius punâum aldeducatur,fe. cab":-btddfcucunfercntiamzfecet igirur in punâo»b.& centro e,interuallo autem eta,cirs culus defcrlbal’ur a!9g,pcr tertium pofluiatum. Poflmodùm à pun&o b ,datæ refit: linea: ale,ad réacs angulos excitetur blfiper vndecimam primi. 8c connectant eÆ, et primum a pofiulatum : me eandem circunfetentiam blcld, ecet tutfum in punéto c. onneâatur demum aIc,per idem primum pofius . latum. Dicoq quodpet circuli ale difl-înitionem,æqualis , Contingit circulum! fit azexipfi blcld etf,8c . bletipfi Cum elc:enim f etunt bina latera vexa: ezCItriâguli aleIc,æqualia duobus fzel 8c ubztrianguli fierzôc communem comptehendunt angulum gui ad e.Bafis igirur aICtbafi Üb,& trian lum alelczttiangulo tezb,& reliqui anguli reliquis angulis( ub quibus æqualia fub: g tenduntut lateta ) pet quattam primi coæquantur . æqualis cf! i - igirur angulus atcœ,an lo erlf. Angulus porto etbtf,te&us cit: igirur 8c qui fub atcleHeŒtus. Et quoniam au emidiametet cit ipfius b!cldtcitculi,8c ab illius dimetientis extremitate c,eadê amIad reâos excitata cit angulos: ipfa ergo ale! tangir circulum blCl d, pet corollarium decimæfextœ huius rertij. Igitur à dato punâo a,dato btc!dzcirculo,contingcntem reâam lineam duximus. ngd facere oportebat.

A? "508 êÇéfiu’rœI me îueê’œ,a’nrâetéenim dia a? whigs ËWÎ’TMJ 15, âtpîip retienne irrizébxefi me Mât: à Em-tu. - 2611x9ë65,u029tnçïsoa î’n-i Titi; à’rfi’opiîfiiiv. Tbcorema 16 Propofitio 18. I cmculum tetigerit aliqua recta lineazà centro autem in con 18 A, taâum comméra fixent aliqua reâa linea:comunéta,petpcn l, dicularis eut in contingente. mec «literie: O R O N T l V S. (ISit datur circulas wac,quem tungar teâa linea dte,in punâo qui: [hindi poufi, dem c:fi’tque centrum ipfius circuli fisc canneâatut fzclteâa,per primiî poihilatum.Dico fia bic dans. quod flc,perpendicularis cit ipfi d!e.Si enim flc,non fuerit perpendiculatis ipfi mentant firà’di modus a 0098: ftclelanguli, pet decimæ diffinitionis primi libti cons reflet. I - uerfioncm, inæquales, 8c proinde alter reâo maior, alter veto minor.nam dzc1fI8c fluetanguli,per decimamterriam primi bi nis reétis (un: æquales. Efio maior (fi fuerit poflibilc) 8c obtu: fus flueœrit iraque dIcIfIacutusÆr quoniam reâa dlc, tangit circulum aIblc,per hypothefinüpfum igirur nô fecat circulum. Cadit iraque circunfetentia blc, inter dm! a: clfllineas rcâas: 8: proinde acutus a: reétilineus angulus dlczf,mai0t cric angu: Io fcmicirculi bzclflex circunfetentia bchôt teâa afIçomprenp J » c --ë henfo. Dabitur iraque te&ilineus 8: acutus angulus, maior au: lo femicirculi : contra decimamfextam huius tettij propofi: tionemoAngulus, "3° d’tï’fgdllon cit recto minot: fimilirer ofiendetur, quôd nec réac ma: ior.efi igirur rectums: qui fub 9°:qu angulus,iridem recrus. 8: proinde méta 0c, in ipfam dt e! perpendicularis cil, pet decimam primi difiïnitionem. Si circulum iraque tetigcrit aliqua tc&a linea:&c.vt in theotematc.Quod demonfttandum filetait.

E A]: afin! vËæo’zfifloâ eadem: me Mère, 3m13 (M &ÇÎÎÇiz, ai ËMOMÇWQW 11366101; 68939 renia; 399594 Muffin 19. i imageai aie âxeéa’nç isoa «naîtrois fi infirmas. , i Tbcorcma 17, p Propofitio 19’. x,

. I’circuluin tetigeritLIBER aliqua reâa linea, à contacta III. autem ipfi a; tangenti ad angulos rcâos recta linea quædam excitetur i in à sa; excitara eut centrum Circuit. p , . O R O N-T I V S.([Eito circulas azbzc:qué’rurfum tangat reâa dze,in punâo c.8c à daro punéto crdatæ reâæ h’neæ dxe,ad reétos excitetut angulos cza:petvndecimam primi.Dia Demoxflratia co qubd in ua,e& centrum ipfius dati circuli vbzc.Si enim non filetit in recta dazetit au, ab impolIibili cubi.Efto (fi poflibile fit) in punâo fiat conneé’tatut ftclteâa,pet primum poitulatumÆt V quoniam recta quædam linea dlc,tangit pet hypothcfin circulum a!b!c,à centro autem f, in contaétum c,coniun&a cric flateéta linea: coniunéta igirur fic, perpendicularis etit in contingente damer antecedenrem decimamoâcauam huius tertij propofitionem. Reéhis erit igirur vtetque angulorum dzczf,& ttcze.Atqui pet confira &ionemtangulus dlctalteétus eihfiîntque reéti omnes inuicem æquales , pet quartum pofiuiatum.vAequus etit igirur angulus dlcla,ipfi anguie dxcÆEfl: autê dICIf, pars ipfius anguli dlaa: recta fiquidem flc,cadit intra circulum,ac inter dtct 8c Walras êtas, diuiditque propretea ipfum angulum dzaa. Totus igirur angulus dtcza,fuæ parti dlczf,æquabitut:quod pet nonam com .. munem fententiam cit impoflibiie.Centrum itaq; circuli albzc, non en: in punâ’o fihaud diliimiliter oitendemus,qubd nec au: bi: ptætet quàm in ale; Si circulum ergo tetigetit aliqua teâa linea:8( quæ fequuntut reliqua.ngd oportuit demonfitaire.’ etôeuput tu, Feôûtmc u. N miam i néo; 125 adam wwùfihwàam’op à?) air,- vieîoç ai mm , Sang aid: àugùig Wiehp Mary ïxœaip nandou. * q Tbtorcmæ 18, Propqfitio 1.0. ao de?"g m iN circule angulus qui ad centtu,duplus cit eius qui ad Circun: ferennam: quando anguli eandem arcunferentiam habuerint. q V"! xi? 0 R 0 N T I V S.(ISit Nbxcldlcirculusmd cuius centrum e, fit angulus and, ad circunferentiam autem Clald, 8c vtriufq; bafis eadem circunfcrentia czd. Aio qubd au: 1 Il » A . i - . . . . 0355110 aigus" gains dezd, ipfius anguli Ualdzduplus cit, Côneâatur enim aze,per primum poituiatum: a: pet fecundum poftuiatum,direae producarur in fiCùm igitur pet circuli diflînitionem, tu: qui ad tir alelfit zquaiis efc: æquus eit angulus elalc, ipfi unguis! ultra, par quintam primi. Anguii mfmmiam iraque cuvas; ezczazfimu] fumpri,altetuttius cotum dupli funtwtpote ipfius emzc. Exte: includit cm; ’ riot porto angulus elcÆ,binis î’tetioribus 8c ex oppofito eIach tram. a * 8c etda,pet trigefimamfecundam primi cit æqualis.quæ autem flint æqualia, eiufdem duplicia funt:pet conuerfam fexrz com. munis fententiæ. Duplus efl: igitur delflangulus, ipfius elalc. Et proinde angulus fleld,ipfius elatdlanguli duplus efl.Totus iraque angulus deld, torius anguii awùœnfequentet cit du; plus. Si enim æquè multiplicibus , addantut asque muitiplicia: (Li-gaula idem arqué iridem multiplicia refultabunt. lIQubd fi angulusiqui ad angul’ qui 4d A citcunfetëtiam,fiietit extra cëttum ipfius circuli, veiuti czbtd: drcüfere’tian idem nihilominus fabfequeturœonnexa enim reâa ble,pet pri 7 mum poftulatum,& ditcâè ptoduçtvaîiflngzper fiendum: con; non tapit rem cludemusct velufi’ihchgt eadem quinta a: trigefimafecundâ pnmx,angulum elexg,dup1um in!" cirait). fore ipfius anguli Cible. q’nvtum dÆfgl pars ipfam anguli de! g, .duplus tutfum cit partis i fins clble,vtpote anguli elbzdzreliguus igirur angulus czwdzqui ad centrum,duplus iris Je," dt reliqui a b! d! qui ad circun etentiatn dan confiituirut circuli. In circulo iraque angulus qui ad centrum, duplus cit eius qui ad circunfetentiam z quando ipfi anguli coma munem bafin eandem circunferentiam habuerint . uod filtrat ofiendendum. me" .3, A newton une. Extrait? 9? T5 M www www mm éd" I guarana i9: ËÏOPQfi"? 11’. En:

66 GEOMET. ÉLÉMENT. âges ïN Circule qui in eodcm fegmento funt anguli : fibi inuicem a:

ne figmmto:313 O R O N T931 1V S.lISint funt ptimùm inæqualcs. fegmentoiemicitailo - maioriezald , dati fimicircalo , 5-”) ’ b azbchdlcitculimnguii Uald, 8c d!blU . Dico eofdem angulos ualdzat dlbÆ, A maori. fore adinuicem æquales . Inueniatut enim centrum ipfius azblczdzcirculi, pet primam hua ius tertij,fitque illud e:8c conrieââtur une: ezd, pet primum poftulatum.Cùm igirur ana gulus cteldzad centrum exiflat circuli , umdzvero angulus ad a citcunfercntiam,habeafntque bafin eandem,& communemicits cunfetentiam ad : angulus prepterea czexd,duplus efi,pet ana tecedentem vigefimam propofitionem,anguli uald . Angulus iraque cla!d,dimidius cit ipfius anguli Uetd . Et proinde præa fatus angulus oud, duplus en: ipfius anguli dlbzc:atquc idem angulus dlbtc,eiufdem Cleldnmguli dimidius.Quæ autem eiuf: dem funt dimidium , ca funt adinuicem zqua’lia:per feptimam communem fententiam . Acquus cit igirur angulus 031d , au: ne [33mm . A gulo d!blc . ([Sint rutfum in fegmento bzazd t femicirculo mit fimimulo nori,ipfius azbzadzcuculi,bludx& dtetbtan li.Hos dico fos mimi, re fimilitet æquales . Conncâatur enim teéta ale, pet primum pofiulatumdi’tque ipfamm azdzôc b!e!fe&io f. Etit igirur axcze , fegmentum maiuszôc qui in eodem fegm.ento maiori funt anguli atbzeÆt e[d!a,per primam pattern iam demonitra: tam,adinuicem æquales.Et quoniam trianguli axbzf,interiores 8c qui ex oppofito funt anguli advint ftazb, extrinfeco bzfzdt coæ uantur anguloznecnon 8c duo anguli etdlfÆc fletdzipfius dIe! zttianguli , eidem extrinfeco blfld l funt iridem æquales, pet trigefimamfecundâ primi. Duo igirur anguii atbtfzsc flazb, duobus angulis eldzfzat fœzd,fimt pet primam communem feu tentiam æquales . Aquibus fi demantut æquales anguli a! b! f! a: Udlf: reliquus bIaJfireliquo dlelf,hoc cit, btaldzipfi dxexb, pet tertiam communem fententiam etit æqualis . Idem quo: . que demonitrate licebit de angulis in femicirculo conflitutis. In citCulo igitut,qui in eodem fegmento flint anguli,fibi inuicem funt æqualcs . ngd tes cepetamus oflendendum. etôewœ x», - a vîeôetme ne. - l ’ np tu? me «diaule noçaaàiugopfl Mondial: yww’oafluaip 8390:7; fait: êaip.

N circulis quadrilaterorumTbcorema exif’centium 2.0, Propofitio anguli,qui ex oppo: n. n. -

* Ofitozduobus R O N I I V S.([Sit in aubICIdlcirculo, redis flintquadrilaterum æ alblCld.diC0uales. anguç * ’ v los qui ad axa: c , funilitet qui ad bl8C dxex oppofito confiituuntut,duobus res &is coæquati.Conne&antut enim Must b!dlte&æ,pet primum pofiulatum . Triangulum cit igitur albtc.Et quoniam angulo btaÏlc,æquus eft angulus cldlb , pet antecedenrem via gefimamprimam huius tettij:funt. enim in eodem fegmento blaIdzc.Anguio rurfum azub, i a l æqualis cit angulus bIdla, pet eandem vigefimamprimam bu: ius tettiji: in eodem manque fegmentoi confiitunt az dz c l b. Totus igitur qui fub atdIc l continetut angulus , binis angulis b’alCÆC alab ( nempe fuis partibus integrahbus ) coæquatur. Adijcîmvtfifipîquadibus,com1unis angulus alblc. duo igis tut anguli alblcl 8c Cldla, tribus angulis bzaxc,:vczb, 8c Ubla, ipfius v b! c! trianguli, funt pet feeundam communem fentenç tiam æqualesÆifdem porto tribus angulis eiufdem azbzczttianç guli, duo teéfi funt æquales anguli : omnis fiquidcm trianguli, tres interiores anguli binis funt reftis æquales,pet trigefimama . fecundam primi.Qui igirur ex oppofito funt anguli azbzc,8c cl d’ amer Prima"! communem [entent-iam , (un; æquales duobus métis . Nec diffimiliter

LIBER 111. a 67 oi’tendemus,qubd anguli bwdzôc dxczb , duobus iridem métis coéquantur. I gimr in cit! culis quadrilaterotum exiftentiumanguli , qui ex oppofitio : duobus reâis flint æquales. quod demonfttate opottebat. ’ E oséPi aïe émie nîuoâœc une, Mo Tpüpaau racisme minoit Sima: a) aimée, ôu1:7. mœOüaovrmi iti-inti ânon: pëei. Tbeorenm 2.1, , - Pràpfitio 23.

ç Vper eadem tcé’ta linea,duæ ibâiones circulorum fimilcs ,I 8c a": r ’- a l...,m ptu nmnæquales non confirment-Ut ad eafdcm partes. 0 R O N T I V S.([Supct eadem nanque reâa linea am , binæ 8C inæquales . 1 l un circulomm feâiones,atb!cz uidem maior,minor autem aldlc,ad eafdcm P3" tes b,dzconflituantut . Dico qubd ipfæ eâiones non funt fimiles , 85e fimul inæquales . Si enim id fuetit poffibile: extendatut teâ’a quædam linea azdIb, qu: fecet vttanque feâionem, maiotem quidem in 13,55 iPfam minorem in d:8c conneétanturblcfic cld t re&æ , pet primum poitulatum.Ttiangulü etit igirur btc,d: cuius vnum latus bld, producitur in a. exteriortigitur angulus a! dt c, interiore 8c ex a . A. C oppofito elbzdxmaiot eit, pet decimamfextam primi. Qubd fi r v . . ’ . ’ fegmentum a!dlcl,fuetit ipfi albzc l fimile : æquus erit angulus a!dIc,e1dem angulo Cibld , pet vltimam huius tertij difl’mitionem. fimiles manque feé’tios nes c1rculi funt,quæ angulos æquos fufcipiuntÆfi’et igitur angulus aldtc, maior angulo C’ btd, arque eidem æqualis: quod cil impoffibile. Super eadem iraque reâa linea , dune fez (floues circulorum fimiles,8c inæquales non conflituentut ad cafdem partes. Quod oiten: dere fuetat operæptetium. v T ’ pA una «cap advenue M459 51mn Tpûpwm nib, uiîuMp,i’6: 11960th Jeannot: 501p.mil. ’ Tbeorema 22, Propofitio 2.4. Vpet æ uaIibus mais lineis fimiles circulorum (cafettes cô- flitutæ, ibi inuicem funt æquaIes. ; Il a. 0 0(N T I V S. (I Conflituantut enim (uper æqualibus reâis lineis a1 b, I 8c ad,fimiles circulorum feâiones alexb,8cle7d.Dico qubd feâio azexb,fe4 &iom Ufldlcit æqualis.Compatatiananque adinuicem ipfic 31015.18: ufzdzfe&ionibus,8c punâo leupta punétum a!Collocato,extenfique teéta linea Ud!in direétum ipfius atb:c6 gruet punâum d,ipfi puné’to b.quæ enim flint æqualia,fibimetipfis c6ueniunt,per oétauæ communis fententiæ conuetfionem.Conueniente autê reflua CldÀpfi azb,c6ueniet 8c Ufldl circunferentia,ipfi aler:& illi confequcnter etit æqualis.Tunc enim fupet eadem reâa 8c communi linea aIvael dd,duæ circulorum feitiones conflituentur fimiieszigitut 8c æqua! les,pet vigefimamtettiam huius. Acquaiis cit igirur alezbzipfi ufzd. (I 0321.1 fi non fuetis Alideiufiiem contenais hac demonfttatione,8c dixetis fotfan circunfes tbeorematis . e - tentiam clfld,ipfi ale!b[ minime conuenire : tune vel al: oflenfio. tera alteram fecabit,vel vna cadet intta reliquam.Secent ’ si fe primum (fi pofiibile fit)in punâo g.Et quoniam fe fez l cant iam,in cômunibus punais a, vael c,d: fecabût fefc inuicem circuli , quorum funt feéfionegLirtphribus duot t Fbus punétis.quod . pet decinuImÜÎ . terri; ., cit impofiîa aI èlb I i Gr Rlc Â- bile.e d 035d ’ fivna cecideritintta teliquam,vrpote clfldl imam alezb: idë quod in proxima fequetut inconueniens, . - velut ex ipia potes elicere figura.Extetiot enim angulus .. .L qui ad f,ttianguli athbxaut ezf!d,maior erit inttinfeco 8C ex oppofito qui ad e,per decimamfextam primi:ac eidem, zqualis, pertfimilium feâtionum diifinitionem,quodbd non eft .-pofiîbile.Congtuit iraque circunfetetia aftd,ipfi avetb:quem: admodùm 8! mais! cl d, ipfi at b. quæ autem fibinietipfis conueniunt ,væqualia funt adinc I uiccm:pet o&auam communem Tententiam.Aequalis cit igitut feétio a!elb,ipfi czf7d.Igis tut [uper æqualibus mais linéis,fimiles circulorum feétiones conflitutæ, fibiÊnuicem funt au).

se d GEOMET. ÉLÉMENT. æquales.ngd receperamus ofiendendum. * PQÔCÀNFGE 7, Feôeemee sa. q I nous TIMiPu’mç dioBQiq-oçflepaœvmédm «à: uüuÀop 6&6? 8&1 Tpîpæ. Problema 3, l Propofitio 2;. I n W Itculi fèétione data:dcfcribete circulum, cuius cit Rôtie; 25’ 0 R 0 N T I V S. Il Eflo data circuli feâio arbr c, cuius centrum opotteat 1 v .1 : inuenite : hoc cit, circulum cuius cil feâio defcribere . Secetut iraque agate: , g êtay bifatiam in punéto d, pet decimam primi . Et pet vndecimam eiufdem I" bi W primi,à punâo dxipfius azctreétæ lineæ,petpendicularis excitetur dIb:8c con: nectatut ubxrefta, pet primum poftulatum. Triangulum erit igirur albxd: cuius angulug btazd,ipfi anguie dlbzalerit æqualis, aut eo minot, vel eodem m bal-m. angulo maior. Si æqualis Ç vt in hac prima figura) æqualis etit h ’ ’ ,fimfiom dif azd,ipfi dab,per fextam primi. Eidë porto ald,æqualis cit dxc, firmid. pet confiruâionemnSc dtbzigitut ipfi dtc,per primam commun nem fentenriam erit æqualis. Tres iraque vd,ùb,& dlc,etüt inuicem æquales. Cadent ergo à punél’o d ,in circunfetentiam atbtc,plurer quam duæ teétç lineç æquales:erit igirur püâü d, I A 5m44 diffa centrum circuli,cuius aIthIefl: feâio,per nonam huius tettij.(IAt fi angulus blald,minot "mu. fiietit angulo dlbzaÇvt in fecûdafigura: difpofitione)cô&ituatut ad datum pûâum aidant reâæ lineç alb,dato angqu reâilineo dlbm,æqualis angulus rectilineus buvezpet vigefiq mamtettiam primi.Et quoniam trianguli albzd,angulus qui ad » dz’reâus eihigirur 8: qui ad bx minot cit teâo,pet trigeiimam: 1’a c fecundam primi.Angulo autem dsza, dams cit æqualis bzate: 8c btazezigitut angulus teâo minot cibincidit itaq; teâa linea v azb,in azelôt humectas, efficiens interiores 85 in eadem patte a c V angulos, duobus reâis minores: conuenient igirur a!el& bldl . v in reétum produâæ,pet quintum poitulatum.conueniant ergo ad punftum e:8c côneétatur ezareéta,per primum poftulatum.Cùm igirur angulus elalb; æquus fit anguie albte:æquaiis cit ave,ipfi etb,per fextam primi.Rutfum quoniam atdsiPfi. dzctefl æqualis, 8c dzezvrriq; communiszbina igirur latera axdlæ dlettrianguli aldle,binis lateribus exdÆc dzczttianguli e!Ùc,funt æqualia altetum alternat æquales comptehè’dunt angulos,nempe reâos qui circa d. Bafis igirur exc,bafi aze, pet quartam primi cit æquahs. Eidem potto aze, æqualis oiiëfa cit elb:trcsrigitur-vc,trbïcc e7c,funt adinuicem zquales. , Quatre turfum,ex noua huius tertij,punCtü ezcêtrü etit circuli, L 78,54 gifle. cuius a!blc1e& featioJIngd fi idë augulus b!ald,maiot extis mm, tetit ipfo dzbtazidem œfpôdentet conciudetur.Dato enim rut fum angulo blaze,ipfi dl la,pet vigefimâtertiam ptimi,æqua. li:côciudemus ( veluti fuprà)ex fexta primi,etbtfote æqualem îpfi atezac eidem ale,ipfam etc,petiquattam ipfius primi, con; equentet æquari . Et proinde punâum e,centtum erit circuli, cuius aIbthefi fe&i0:per nonam huius tertij. (confiaient. (Hinc fit manifefium,in femicitculo anguli’i blald, fore arquas v - lem ipfi dlblazin feâione autem femicirculo minote,minotem:& in maiore,maiotem. Alfa (7 mui- i113 S T E T A I. I V S modus vniuerfalis inueniendi ptæfatum centrum,cuicunque fed utrfilior eiufn &Îonl dam indiiferentet adcommodus. Allumantur iraque in data circunferentia fine fe- a; pauma. étione æbzc,ma vtcunque wntingentia puna-a: fintque a,b,c. Conne&antur deinde wb, tir oflmfio. 8c blureâæmer primum Pofiulatutn. ma oflmodùm bifa, tiam diuidatut,per decimam primiw lquidem in panât) d ,8: badin puna-o e.A punais autem dzac e,in eafdem axbzôc bic, petpendicuiates excitentut dxfzôc etf,pet vndecimam eiufdem primi. Cùm igirur vterque angulorum b!dlf!& blelfffit reétus: teâa qua: ex püéto dzin puné’tû eIptoducetur,v truntp diuidet angulû.quæ cùm incidat in dÆÆc elf!re&as,efficiet proptetea intetiotes 8: eadem patte angulos dl q f! ,8: cl dl f! dquus

reétis minores. ConèurtentI LIBÉR igitur dzfzôc e!f!produ&æ,pet 111. quintum pofiulatum28t s9 fefe tans dem interfecabunt in eodem punëto f. Et quoniam teéta quædam linea dlf, quandam te; &am lineam axb,bifatiam 8: ad teétos difpefcit angulos:in ipfa igirur (UÜCIÏ centtü circuo , li. 8c proinde in ezflteéta,etit eiufdë circuli centrum:pet corollatium prime huius tertij.Eft - igirur cêtrum circuli, cuius feâio cit ubIczin punéto f,vttiç 8c dzflat elficommuni.Data igirur circuli feétione albludefcribitut circulas cuius cit fe&i0.Quod oportuit oflendiife. eadem: a), retienne us. N qui; iam; intitule ai, iam ravina îqri in» umwdô’p fatiguai, ioda-t 1E9; me mitent; (cuire me); qui; mandant; 301 hetman. b Tbeorema 2.5, Propqfitio 1.6. . 2.6 sa j N æquaIibus’circulis æquales anguli , in æqualibus circun: f; fetentijs fubtenduntut: etfi ad centra , etfi a circunferentias tu; I îdcduâi fuerint. I ’ O R O N T I V S. (Sint binicitculi a!blcldl& eÆIglh,inuicê æquales: in quibus saquai les deducantur anguli,ad cotum quidem centra k,l,anguli brkxd, 8c Üllhzad circunferena rias autem,blaIdl8c flcth.Dico qubd bICIdtcircunferentia,æqualis efi ftgthcircunferenc ptlæ. Conneâantur enim in primis btdl8c flhlteâæ,pet primum poitulatum . Et quoniam Fer hypothefin circuli albladÆc ethglh,funt inuicem æquaieszquæ igitur ex eorum cens

a c tris prodeunt reâæquales lino: adinuicem, , funt pet primam au In" ius tettii diffinirionem.Duæ igirur blklôC kzdztrianguli bzktd’,duabus f!ll& ithlttianguli ÛUhlfunt æqua les alterazalteti: a: æquos inuicem, qui ad 108: izcomprehcndunt angu los.Bafis itaq; bId,bafi Ûh,per quat tam primi cit æqualis.Rutfum qum 8. niam angulus qui ad a l æquus. en: b’îVdJeâîonïi gulo 93’111?" decimamui adhuius tertij e diffinitionemz8c ,v fimilis uper æquaiibus cit reâis cons.feâ-io . fifiunt bldlôc fIh.Aequalis efiigitur feétio blwd,ipfi fleIhzfuper æqualibus enim teétis lio neis fimiles circulorum femmes confiicutæfibi inuicem funt æ uales,pet vigefimamquàr tam huius tertij.Atqui totus arbzadlcirculusfioti erfrgvh’i eîrcîn o en æqualis. fi ab æquaa libus autem circulis,æquales auferantut circunferentiæzquæ relinquentut æqualcs crût,pcr tertiam communem fententiam.Aequalis eft igitut circunfetentia btcld, ipfi flglh. In æ- vqualibus ergo citculis:&c.vt in theotemateüod demonitrandum filerai". cameline: adl, retienne né. v ’ N qui; faon: témoigné îqri hop miçtgdëp fitcnuijm 7m1’aa,ïo’oa cimam; émir, ioda-t très qui; momifias 7R5; ouïe attaquaient; 501 hennin. 4 . I , . Tbeorema 2.4., Prapofitio a7. ;. n . - N æqualibusv Circuits, anguli qu1 fupet æquaIes Circunfeteng: » rias deducuntur , fibi inuicem flint æqualcs: a: fi ad centrai ç a"! 8c fi ad c1tcunfetent1as fuerint deduéti. a. a .. - a A - ’1” ” . ’ ’ i i ’ I l O R 0L1 T I V s . ([Hæc en connu-fa præcedentis . Sint ergo in citciiiis cimam": æqualibus avivas: dlCIÎ-JUPoriæqualibus Circunfercutijs blclôc ezf,anguli blglCIôt eghIf, «dans a6. p ad eorum centra g,h:ad circunferentias autem,blaIcI&’eIdlf.Aio qubd angulus qui ad g, æquus cit anguio qui ad hmecnon qui ad a, æquaiis ci qui ad d.In primis enim,fi angulus btgtc,afigulo ethlfmon filetit æqualis:altet eorum erit maior . Eîto maiotÇii poflibile fit) bxgtc:& ad datam reEtam lineam gIc, ad datumque in ca punétum g,dato angulo reâtilic nec elhl f , æqualis angulus reâilineus confiituatut’klgtc , pet vigefimamtertiam primi. Maior erit iraque angulus blglc, ipfo klgxclangulo : incidétque prepterea reâa glk , in! ter blgISt gtc l reâas , 8c proinde fecabit circunfetentiam klÇl ipfa b l c l minorem g At

7o . GEOMET. ÉLÉMENT. ’ quoniam in circulis çqualibus equai les anguli , in æqualibus circunfes rentijs fubtenduntur , pet anteces dentem vigefimamfextam ptopo; fitionem: æqualis erit circunfetenc ria ive , ipfi elf . Eidem potto cita cunferentiæ elf,æqualis efl: pet hyn pothefin circunfetentia b l c . 8c bœzigitut circunferentia , ipfi klc, pet primam communem fentena minoriytOtÜmVetiam erit [me Partiw æqualis quod et nonam communem : maior fententîai’n efl: videlicet imPofl’ibile . N on a , CR igirur angulus biglc,maio,r ip o elhlfifimilitet oflendemus,qubd neque minor.Eit igia n" æqualïscEt quoniam pet Vlgcfimam huius tertij,angulus blaIc,dimidius cit eius qui ad centrum gmecnon ac e’dlfiangulus’imus CM ad cëtrum hIdimidius.quæ autê eiufdem vel æquaiium funt dimidium,æqua1ia funt adinuicem: pet (cptimam communem fententiam. , Et "3mm igirur b’alcamgïflo cldlfleit æqualian zqualibus ergo circulis,anguli qui (in pet æquales citcunfetenrias:8c qua: fequuntur teiiqua.Quod en: ofiendcndum,

N "’7’ 7°"? "Mmr à 7mNew Mê’wfi’ôas mimaient"a Peôetaie ëooae’a’audù A?! Pétonfli au.Pélonflü’. 4re iWovœfiiîTbeorema 2 y, Propofitio Mou. 28. . . tu a... N æquahbus CerUIlS æquales reâæ lineæ , æquales Circunfes 28 fait prentias auferuntzmamtern maton,mmorem autem minon. f À N! 0 R ON T I V S.IISint bini circuli alblç!d!& eIÛgIhIinuicem æquales,quos V. - ,- --- rum-centta-k,l:in ipfis veto æqualibus circulis,æquales fint reétæ lineæ bld,& 911, aufetentes circunferentias bzal d! quidem 8c flexhlmaiores, minores autem btUdI 8C figIh. Aio qubd .citcunfetentia blaxd,citcunferentiæ f! «huit æqualis: necnon 8c brad, ipfi flglh. Conneâanmt enim Muet kld, arque fxlxac DhItcétæ, pet primum pofiulatum. Cùm igitur ex hypothefi , circuli ’ Nblcldl 8c ezfxgzh[ fint æquales: 8c a æquales quoq) adinuiccm etunt qu: ex earum centris deducentur lineæ te&æ,per primam huius terri] dira. nitionem . Duæ itaque brins: lydr man li bIlUd,binit 9118: thttiâs guli ll!h,funt æquaies altera alteri: bafis quoq; blc,bafi 9h42 hypothen . fin æqualis . Angulus igirur b1 bd, C *ae’qua1is.In,angulo æqualibus Üllh, potto pet circulis oâauam æquales anguli,& pritni ad cëtra deduâi,incit - æqualibus’ . . i cucu, ferentijs fubtenduntutzper vigefimamfextam huius tertij A. Et blCldligitur circunfetentia, .ipfi flglhlcircüfetentiæ ei’t æqualis.Atqui totus aIblqdzcirculus,rot-i ezf! lh l circula pet hypothefin æquatur:8c fi ab æqualibus circulis æquales aufetantut circun lerentiæ,qua’: te; Iinquentur æquales etunt,pet tertiam communem fententiam.Reliqua igirur cntmnferma fia b’a’d: "11?» FI e l h l cit æqualis. Igitut’ in circulis æqualibus æquales rem! 1111633: 34113168 Circunferentias aufetunt:maiorem maiori,minorem autem minon. Œod demonv arare fuctat; 0:69:11»: operæprctium. us, 11969:0"; ne. A . * - N. mais mais minus «(m-ber»); 76:; Maginot: 8116504: &z-Efiwmp. Ç

-1 .i 11:; Tbeorcma ÎN’ æquaIibus circulis:fub 26, ’ æqualibusPropo circunferentijs,æquales (tic 29. , V te. :9 ’ (ne linea: fubtenduntur. A ’ i a ’ .0 R40 N T I V -S.lIHæc cit conuetfa proximè antecedentis propofitionis.’

.LIBER 111.. b 7. Sint igirur rutfum æquales circuli azbzddlac et f a g l h , quorum centra k , l : fintque in eifdem circulis ,blcldlôc flgzhlcircunfetentiç inuicem æquales.DiCo qubd connexæ bldlæ Ûhztefl’æ lineæ,çquales funt adinuicem.Ptoducantur enim ex centra k,te&æ linea: Mina: 8c kldmecnon ex centrol,re&æ lineæ fIlÆc 1th , pet primum poftulatum . Et quoniam ex hypothefi ’circunferentia bICId,æqualis cit circunferentfaè flglhzæqualis cil: propretea ana plus blkldlangulo fllIh,pet vigefunamfeptimam huius tettij. Rurfum quoniam dati cit.

5 u ï culi pet hypothefin:quales funt : 8c que inuicem ex eorum centris igitur kt&1,pet primam huius dif: finitionem flint æquales . Acquales iraque inuicem flint bIlt, bd,le,8c 11h.Ttiangula ergo bIkIdl8t flllh, 4 1 habent duo lateta duobus lateribus a: ualia alteram alternat contentas fa acquis lateribus angulos inui. q cem æquales.Bafis igirur bid , bali g flh, pet quatrain primi eit æqualis. I" aluniras ergo circulis,fub æqualibus circunfetentijs, æquaies teétæ linea: fubtenduns tut.ngd oportuitReômpa demonftraifc. (fi, liguiez: A. I i H9 10956:1! Wçéedœp W940: ripant. Problema i 4., Propofitio y 3°. x Atam circunfetentiam bifatiam difcindere. O R O N T 1V S.([Eito data circunferentia azb ! c : quam oporteat bifatiam difcindere.Conne&atUt ergo reéta linea aIc,pet primum pofiulatum: quæ bifas , , 5 etiam fecetur in punâ’o d,pcr decimam primi.Et pet vndecimam eiufdem primi, à dato punéto d ,datæ reétæ lineæ alc,ad angulos teâos excitetur dlbzcôneâantiirq; ybI 8: bic l lineæ teétæ , pet primum pofiulatumi. Cùm igirur aldl ipfi dIcAît æqualis, 8c dlblvtriq; communis: bina ita ne latera iazdl8c dlbtttianguli aldlb , duobus lateribus bldI8C atrian: guli bldlclfimt æqualia alteram alteri: a: æquos inuicem com. ptehendunt angulos , nempe rectos . Bafis igitumvb,bafi b!c, C pet quartant primi en: arquant. Animales porto lineæ in eodem circulo,æquales circunferentias auferunt, maiorem maiori,mio a cI-L. notem autem minori,pet vigefimamoétauam huius tertij . Ac) qualis cit ergo aIbIcitcunferentia , ipfi bre . Data iraque circunferentia azb I c , bifatiam difeinditur in punéto b.Ogod facere opottebat..

, N minorai A?) aï 7:5 ipmuuN’çadipique 70110569631 ne, 3511511 Feôeeme F2 00’ pélot: Tflpmfimap fientai «Fa tu? d’5 Mangez» (Bangui ëqri à p61 a? gémine TpiMoç 7min, pâton: 3511 égaie: à Je fi iM’îiovoç Tpipéïoç yuviafimw 351: égaie. V V . Tbeorcma 27, Propofitio 31. N circulo, angulus qui in femicuculo cit , redît-us efi:qui’au: à. l rem in maiori fegmento,ininor reâozquivetà inmiimri reg. l .3 f Fi mento,maiot.eit re&o.,Et infupet. angulus maioris fegmenti, f ” M ” teéto quidem minorât: minoris autem fègmenti angulus,

minorefiteâo.0 R 0 N T I V S.([Sit datus circulus ’ Q albtcldœuius H - v- centrum e , dimetiens veto ald:defo criptus autem in femicitculo augulus,fit albld.8c fuiÊipiatur in bldlpcircunferentiae’oontim gens aliquod punétum fit ue illudczôt pet primum poitulatum conneâantut refit: linea: ,quôd angulus albldlteétus ethExteudatut enim,pet.fecum Prima cliente; eyb,bxe,8cdum poitulatum. , axbneéta inczd.Dico direétum, retînt f .. igitut ’ zqualis fit ave,ipfi elb,pet. mais par.

7. GEOMET. ,ELEMENT. circuli diffinitionem: æquus etit angulus e l a ! b , ipfi angulo albxe,per quintam primi.Et pro-inde zqualis cit angulus ezbzd, ipfi angulo btdxezæqualis fiquidem cit elblteéta ipfi e! d , pet eandem circuli diffinitionem . Totu’s iraque angulus albld,bî4 nie angulis blazdÆc 3.!de t cit æqualis 4. Eifdem- priè angulis bxudIôt aldlb , arquas eft extetiotiang’ulus 4111)],ij pet trigefia mam fecundam primi . Duo icaque anguli vbldl& dlblf, cil; dem angulisblatdIBC aldtblfunt æqualeszigitut a: squales ad: inuicem , pet primam communem fententiam . Reéta igitut bid! incidens (uper alf , eflîcit vrrobique angulos adinuicem l :qualesærgo teâos , pet decimam ipfius primi diffinitionem. g V Reétus cit igitut angulus 3Ude in dato confiitens femicirculo. "rimai; ’ (Dico infupet qubd angulus qui ad a l exiltens in maiori feg. mento bIazd , te&o minot cit . Trianguli fiquidem ubldlttes anguli, binis teétis pet tria gefimamfecundam primi funt æquales . Reétus cit autem qui adt b Ç veluti nunc oitendis mus)reliqui igirur qui ad a, 8C qui ad d , vni teé’to funt æquales : 8c proinde vterque teéto Par: tafia. minot . ([Aio confequenter,quod a: angulus qui ad clin fegmento bzczd! femicitculo mis nori,’maiot cit reéto. . Nain alb!Cldlquadtilatetum cit, 8c in dato confiiiens circulo.In cira culis potto quadrilaterorum exifientium, anguli qui ex oppofito duobus teétis funt arqua: iles,per vigefimamfecundam huius tertij . Qui igirur ad al8: dexiitunt anguli,binis reétis funt æquales . Angulus porto qui ad a , teéto minot oitenfus eihigitur 8c qui ad c, hoc efl: 044m fub blodzcontinetur angulus,reéto maior cit. (Dico tandem, quod angulus maiotis fegs dé theotema- menti bIald.vtpote alb!cld,fub azbzreéta,8c circunferentia blCld l Comptehenfus , maior 81’s pas. en: teéto . Minoris autem fegmenti angulus,veluti czbld, fub eadem btudzcircunferentia 8c reéta bIdI comprehenfus , reéto minot cit . An i enim reétilinei albIdl8C dxblfireâi funt:cad1’tque bldIreéta lutta datum circulum,per gandam huius tettij.Eadem iraque res étabtd, diuidit ipfum angulum fub albtreéta, 8c b!cld!circunferentia comprehenfum : 8c proinde reétus angulus albl d , eiufdem anguli fub albzreéta 8: Citcûfetentia blcldzcomg ptebenfi fit pars . Omne potto totum,efi: fua atte maius, pet nonam communem fentenè tiam.Datus igirur fegmenti maioris angulus,iEub alb!teé’ta , St bicld l circunferentia cons . P47: quinte itcntus,reéto maior eit.(lR utfum,quoniam reéta bld,cadit intra datum circulum,ac btflexç a ultima. tra:diuidit iraque circunferentia blcld,ipfum angulum reétuni dthfiEt proinde datur ans gulus fub bzdlteétaÆc eadem circunferentia bzczdlcomprehenfus,pats eflipfius anguii tel éti dtbzflOmnis autem pars minot cit toto, , par ipfiua .nonaceuinmunis (ententiæ Conuets fionem. Angulus igirur legmenti minoris , fub dtbtreélta 8c btadzcitcunfetentia compte; henfus,minot cit teéto .- ln circulo iraque angulus qui in femicitculo eit:8c qu: fequuntur reliqua.Qi-iod oportebat oitendete. à . . IleoILtrium primum. (Ex hac,& decimafexta huius tettij pro ofitione fit manifeltum , quod tametfi in mixtis angulis , fub teéta linea 8: circuli circunflîàrentia comprehenfis , detut minot arque maior toétoznunquàm tamen dabitur æqualis. (Corollm’imfmdum. ESequitur etiam ex huiufce ptopofitionis demonittatione, quod in triangulis angulus qui reliquis duobus æquatur,reéhis cit. ([Et .quando vrrobique confiltentes anguli,eifdem ans guli: fuerint æqualeswterque zqualium angulomm reétus erit. . - - etiam»: au, rejetait . N!» A1: mitons Wroâ tu; ËUOËœ,&arô 0è mît âçîc iti-i «zip uduMp 6kon tu; M59: filmé: flip uüûsopfiç mais; www; 16; ai êççâfi’oMç, fana loufiat: qui; 05 qui; üœnàf a? semenci-

paai WIÎWÇ.Tbeorema 5 ’ I28. a Propofitio- a - * 32..I a I circulum tetigetit aliqua teéta linea,à contaétu autem ex. 32 A tendatut quædam reéta linea circulum diipefcens : anguli il quos efiîcit ad tangèntem, æquales faut» eis,qui alterniin en: H culi fegmentis confiflunt,angulis. O R O N T I V S.lIEito enim circulus althId,quem tangat teéta linea ezftin punéto d: à contaétu autem d , extendatut reâa quædam linea d I b , dipefcens datum circulum

atblad . Aio quod angulus bzd l e , æqualisLIBER cit angulo qui in lègmento ’ 73 blald:& angulus Qà’Jo diffa bxd!f,ei qui in fegmento bICIdIitidem zqualian primis enim,aut.bzdxreéta [uper reétam fcës, orthogo- .ufxad rectos incidet angulosmut non.Si ad tettesmcidetit angulos: ca tranfibit pet cem "au; (Il «a ri .mmfiflvïcicnirque dimedens ipfius aIbICIdICitculi,pet decimamnonam huius tertij . (aï garum. autem in vaccine [enflait-ado confiltet angulus,teétus erit,per antecedentem trigefimam. primam ipfius tettij . bine pet quattum poitulatum,vterque res élus qui circa d,vtrique teéto in alternis femicirculis conflitu, to etit zqualis . IISed cite hl dl minimè perpendiculatis fupet ruade ex- elf:8t pet vndecimam primi,à dato punéto d,datæ teétæ linea: tenfd , non (fi eIf,perpendiculatis excitetur ald.Sumatut prçterca in bzdtcits orthogonali: . cunfetentia punétum aliquod , fîtque illud c : 8c pet primum tu"! tangente poitulatum,conne&antut teétæ alb,blc,atque cld.Cùm igirur Circuit"?!- ex hypothefi,reéta linea elf,tangat ipfum albladlcirculum,à . contaétu autem d,ipfi tangenti etftad teâos angulos excitata f cit ald:ttanfit igirur aldzteéta pet centrum , fitque dimetiens I ipfius albchdIcitculi, pet decimamnonam huius tertij.Triana guli igirur atlvd,angulus qui ad blin ipfo exiitens femicirculo , pet antecedenrem trigefis mamptimam huius tertij, teétus efl::reliqui iraque anguli aldlbIôt btald,vni re&o,pet tria gefimamfecundam primi,funt çquales . Angulus potto a l d l e , reéhrs eft : qui igitut fub azdzblôc bzaldlcontinentut anguli , ipfi angulo azdzelfunt æquales . vttique autem æquan lium,communis elt aldlbzteliquus igirur btdIe,reliquo bINdÇ qui alternus in btaldlfegmëu to confil’tit) angulo , pet tertiam communem fententiam cit æ alis . Rurfum quoniam anguli btdzelat bldxf,duobus teétis,per dicimamtertiam primi, ont zquales:eifdem quo: que duobus reétis,æquales funt ui in ubxadtquadtilatero , ex oppofito confiitunt anguo li blaldlôt blc1d,per vi cf ecundam huius tettij. Et anguli igirur bIaldtôc blcld,ips fis angulis btdteÆ: bt fifunt pet primam communem fententiam æquales: quorum alter, vtpote bIald, alteri bldlezæqualis præofienfus eft . Reliquus igitut angulus bldlf,reliquo 8c alterno bzc1d,per tertiam communem fententiam coæquatur. V Si circulum igirur tetia gerit aliqua reéta linea:&c.vt in theotemate. Quod recepetamus oitendendum. , Peômpœ t, P3605011: A). Pi mît lamine iuodato’ W Tpîfwt «tous &xôwop Novice 7ch , ai lacérai gaviez ïueuà WFM. Problema y, Propofitio 53. p , ,9 Vper data teéta linea,defcribete feétionem circuli,capientem i .3 ,

j a4’ 11’ . angulum æquaIem dato angulo teétihneo. i l2,7; t I[Ad 0 R 0 N T I V S.([Sit data teéta linea vb,dams potto angulus teétilineus a . ’5’ qui ad afin; receptû defcribere fuper albldtculi fe&ionë,quæ capiat anguliî ipiî dato angulo dæqualem.Datus icaque angulus, aut etit te&us,aut acutus,vel obtufus. ngda de: 1 e Efto primum reé’tus,vt in prima figura.Secetut ergo ipfa alblrca tu: angulus ’ &a linea bifatiam, pet decimam primi , in punéto d:& centto rifla: CIL, d,interuallo autem dla,vel dlb, circulus defcribatur alab,pet tertium poftulatum. Sumatut deinde contingens aliquod puna 6mm in alterntto femicirculo , fi’tque illud e : a: coniungantut A atel8c ethtlineæ reéta: , pet primum poftulatum. Et quoniam femicirculus cit Nelb:angulus igirur qui ad e, pet trigefimams primam huius tettij teétus eft , 8c ipfi propretea angulo c, pet quattum poitulatum equalis.DefCtiptus cil: iraque fuper albzre, C &a,femicitculus aIer,fufcipiens angulum qui ad e,dato angut lo CI: ualemJISit autem ipfe datas angulus Uacutus,velut in Ch»! Java; feeunda figura defcriptione . Ad atam iraque teétam lincama l b , dattimque in ea puna galure]? au» &um a,dato angulo reétilineo c:æqualis an us teétilineus conflituatut btald,per vigefia tu: t mamtcrtîam primi.Etit igitur angulus btal acutus:& proinde al b , fupet ipfam a!dmon l’atrium en perpendicularis. Excitetut ergo pet vndecimam primi, à dato punéto aldatæ reé’tæ li; ne rufian. n61! afd , Pergcndiculatis aie: diuidatiirque ipfii aIbIteéta bifariam in punéto f , pet deci: tin. 1mm lPfius [mm o 5C ter vndecimam. . eiufdem. . primi-, , à. data . punâo , f, 6.1..ipfi u ba reétae.

’74- s GEOMET.ELEMENT. lineç ad angulos tcétos excitetur flg.Conuenient iraque averse fig,pet quintum poitulatumzinteriotcs enim 8: in ca cm parte I anguli atflgtee gtazf,binis rcétis funt minotes.c6ncniant igirur ad punâû g:& conneétatut bxgzreéta,pet primum poflulatum. Cùm igirur alflipfi flblfit æqualis,8c vtricp communis fIgzduæ igitut azfzôt figzttianguli a l f1 g , duabus nglôc fxbztrianguli Q; g gtflb,funt æquales alteta alteri . 8: æquos inuicem capiunt ana gulosznempe teétos, qui circa f . Bafis igitur vg , bafi gtb,per a quartam primi cit æqualis . Centre iraque g , interuailo autem , glalvel ’gIb,citculus defcribatur alelb,pet tertiam poftulatum. Il tranfibit ergo circulus UCIb,Per ipfius albllimitcsÆxtenfaigio d tut aIelreéta, pet fecundum poftulatum,in circunfctentiam ip. fins circuli:conneétatur teé’ca bic , pet primum poftulatum. Et miam. Je. quoniam aldl méta, ab a! punéto ipfius ax e! dimetientis extremitate , ad reétos cit angu. maltraim’, , los:tangit igitut aldIipfum alctbzcirculü , pet corollatium decimæfcxtæ huius tertij.Rur. fum,quoniam reéta quædam linea avd,tangit ipfam aletblcitculum,à contaétu autê extcns fa cit reéta quædam linea alblcirculum difpefccnszangulus igirur qui ad elconfiftens in ale tetno fegmento alezb,angulo blazdlqucm facit extenfa atbtcum tangente aJd , pet trige. fimamfccundam huius tertij cit æqualis.Eidem potto blatd, æquus cit an lus c,pet cons (ÏtuéÏionemAngulus igirur qui ad e , dato angulo c , pet primam commu cm fententiam cit æqualis.Supet data iraque rcéta linea aIb,defcriptum cit circuli fegmcntum and), fufs 03Mo idem Cipicns angulum qui ad e,dato angulo czæqualcm. 11de fi datus angulus elfuerit obtus a a. fils:haud diiTimili via ,propofitionis intentum petficietut.Dato enim rurfum angulo bzwd, tu, 4191m4, ipfi angulo clæquali , pet vigcfimamtettiam primi: 8c alblteéta diuifa bifariam in punéto Ira. fzpct decimam,excitata’que perpendiculari fzgzpct vndecimam eiufdem primi:conucnient rurfum axezac fngin rectum cxtëfœ,pet quintum poftulatü(anguli enim alflg!8c gmÆIfunt h minores duobus tcétis)conueniant ergo ad punétum g.& g c ’ fumpto puné’to h, prout in athlcitcunfcrential contigctit: conneétantut ath,hl b , 8c blg!lineæ teétæ , pet rimum poitulatum. Cùm igirur aIfAit æqualis Ûb , 8c zgzvtti. atfôlutio du a V N que communis:duo lateta avine fzgttrianguli alfzg,duo. "infirmant: bus lateribus ngzôc ftblttianguli gtfzb,funt æqualia altc: priori fimilis. d tum alternat æquales inuicem continent angulos,vtpotc z reâos qui crca punétum f. Bafis igirur aIg , bali gtb,pet quattam primi cit zqualis.Centto iraque g,intcruallo au: tem gzalvcl grb,defcribatur alubtcirculus , pet tertiam poltulatumxranfibit ergo circulus ipfc, pet limites data: teétæ lineæ alb.Hinc tutfum,quoniam rcéta azdzab extremitatc dimcticntis alelad tcétos excitata cit angulos:tangit igirur aldzipfum alelbzcirculum , pet corollatium decimæfex: I ta: huius tettij.Item quoniam atdtreâa tangir azezblcirculum , à Contaétu autem cxtenfa cit aszteéta,citculum difpcfcens:angulus igirur qui ad h!confifl:cns in alterno circuli fegs mento alth, angulo bIaIdlfub contingente dzazôc extenfa aIbzcomptchenfo, pet trigefia mamfecundam huius tertij cit æqualis . Eidem quoque angulo brand , æquus cit pet cons firuétionem angulus qui ad c . Qui igitur ad clac hlpunéta confiflunt anguli , pet primam Communem fententiam , flint inuicem æqualcs. Itaque fupet data tcéta linea azb,dcfcris bitur feétio circuli alhlbl capiens angulum qui ad h l æqualem dato angulo reétilineo qui a d c.Quod facete oportebat. ’ F9667». s, 11960:0"; Ml. Allô a? 00900.76; doguin W &xômp wviup’ib’lw ail «fichier! 7min LËUOUQfœ’FFQ. Problcma 6, i Propqfitio 34.. Dato circulo,fË:gmentnm abfcindctc,capiens angulum arqua:

Conflruflio w lem dato angulo tcétilinco. * I )Ç. V :0 R 0 N T l V S.(Sit datas circulus azblc: alquo oportçarfe’ 611mm 2M? figure. ’cindete,capiens angulum æqualem dato angulo qui addîÀ dato igirur punéto

e,dueatut recta linea elflcontingens ipfum albICI circulum in i 1 punéto b,pet decimamfeptimam huius tertij . 8c ad datam te. étain lineam b! f, datquue in ca puné’tum b, data angulo te, étilineo qui ad d,aqualis angulus teétilineus côitituatur ubtf, pet vigefimamtertiam primi. et pet primum poitulatum, cons iungantut albl 8c am! liriez teétæ comprehendcntes angulum qui ad a. Cùm .igitur teéta quædam linea bz f7 tangat circulum Demonflratic a! b1 c, 8: à cantaâu b! alia quædam linea reéta hl cl extenfa elhcitculum difpefcens: angulus igirur qui ad aIexiitens in al: poum. terna fcgmento blalc,æquus cit ipfl angulo czbÆ,quem cfficit , teéta blalcum tangente blf,per trigefimamfecundâ huius ter: tij. Eidem porto abelangulo , æquus cit pet confitué’tiancm angulus d. Eitigitur fub bza4c!contentus angulus, æqualis ipfi . angulo d, pet primam communem rententiam . A data iraque circula albIc, fe mentum abfcinditur blalc, capicns angulum qui ad alæqualcm data au: gula teétilineo .ngd oportuit fccifie. I estampa ne, P3695014; N. . zip-o; mima Mo Mana reparu. àÀIiM , en: m «a; pût «une» wexômi enflammai. 35 w dab 19W a: M’ont «primi, mexopgia ôepoywvia. Tbeartma 29 Propofitio 3]. l i Î? ,nâfé. I in circula duæ teétæ lincæ le adinuicem lccnerint:tc&angu: Î . l à, lum comprehefum fnb feétranibus vnius, æqnum cit ci quad MI a i m . rabv fcgmcntis alterius comptehcnditiir tcétangulo. a .0 R O N T I V S.llIn data enim circula alblcld, bits: reétclincæ alçl8c bid, feinuiccm fcccnt in punéto e.Aia quad reétangulû camprchcnfum fub New: clc,æquum cil: compte bcnfaz fub blelôc uexdlrcétangulo’Jn - primis iraquelvel. vttaque . lineatûttanfit . pet centrum. a a circuli,vclivna tantùm, aut neutra . Tranfeatptimùm vttaque m un; pet centrume, vt in prima figura . Etunt igirur, pet decimam.- fifi imin- quintam diffinitioncm primi,aze,clc,ble,"8clezdlinuicem arqua: cum à; les:nempe eiufdem circuli fenudiamctti.Quod igirur fub avezin flafla-o. i elclfit tcétangulum,æquum cit ei,quod fub [MUSC eldzcontinc tut reétangula,per corollatium quadragefimæfextç primi libri: funt enim ambatcétangula quadrata , 8c fub æqualibus métis com rehcnfa. ESediam airera tantümoda linearû,vtpate arc, saga lima c tranFcat pet centrum , quad fit f: recétque reliquam bzdzin ca; dem unéto e.secabic igirur azaipfam bldlin duo æqualia,vel in P . S bifatiamæc ad métas igirur eam fecabit angulos,per tertiam uahuius non tcttij. æqualia Cannes fluo. . Secet étatut ergo tcéta be,per primum poftulatum. Reétangulum erit iraque triangulum blelf. Et quoniam recta axafœatur in æqualia in punéta f,& in non æqualia in punéta e:quod igi tut fub aIeIôc elacontinetur reétangulum,vnà cum quadrato quad ex etfiæquü cit ci! cr quintam fccûdi,quod ab f!clfit quadrataÆi potto quad ab (lia fit quadrato,æquum cit id quad ex blf,per lcorollatium quadra efimæfextat primi:æqualis fiquidem en; be,ipfi fic. Compte, fienfum igirur fub NefôC c!cltc&angulum, vnà cum quadrato quad ex e!f:æquum cit quadrato quad fit ex bÆ. Quadrato au: tcm quad fit ex bzflæqualia funt pet quadragefimamfeptimam primi,quat ex blcV8C ctfldefcribuntut quadrata.Comptchè’fum iraque fub alel8: elareé’tangulum,vna Cam quadrato quad fit ex cIfiæquum cit quadratis qua fiant ex; bxez& elfiAblato. igis’ . turcommuni quadrato quad ex e,f:reliquum fub alelôt eleicô; , - ptehcnfum tcétangulum: æquum .etit, pet-tertiam communem fententiam,teliquo quad ex bleIdefcribitut quadrato. Qqadautcm ex b" exfit quadratum, idem cit quad fuis baya: cldl comprehenfum teé’tanguliirn :; en: enim pet hypothefinvblel ipfi eldlæqualis,Comprehenfiun igirur fui: alu-85 eIcIteétangulum,æquum en reétangulo, - "W h M ’ G.ij.

75. GEOME.T;EL’EMENT. taraudent lia quad fub bœzôt CIdIèontinctur. (103M fi alClp’cr fxCenti-ü êdu&a,ipfam bzdman duâam natrum difpo pet centrum fecuerit inæqualiter 8c ad angulos impares: idem non minus facile conclude. fitio tatin. . tur.Diuidatur enim bxdzreâ’a bifariam in punâo g,per decimâ primi:8c côneâanrur flgz arque f1d,per primum paflulatum.Cùm igirur frgxper centrum eduâa,ipfilm bzdman du: &am pet centrum bifariam diuidat:& ad reétas quoque eam difpefcet angulos,per tertiam huius tertij.Re&us erit igirur vterque angulorum qui circa g: 8: proinde m’angula flg!dl 8c flgœncétangulLEt quoniam refit; vobifar’iam feeatur in punâo fiât in non æqualia in punèto e:quod igirur fub and: exacantinemr reâangulum , vnà cum quadrato quad ex a . ezf,æquum ïefi ei quad exfzczdefcribitur quadrato, et quintam a a fecundi.andrata autem quad ex flc,æquum cit idJ quad fit ex fldrxqualis fiquidemefi: ficIipfi fzd, per decimamquintam ip; (ius primi difl’înitionem. Quadrato’ raz-film quad ex exf,æqualia funt defcripta ex fzgzôcgzelquadrata, pet quadragefimam feps F timam eiufdem primi. Camprchenfum igirur fub alel8: chlrc; &angulum, vnà cum defcriptis ex flglôt gxexquadratiszæquum cit quadrato quad fit ex fld.andrato inlùper quad fit ex 9d, equalia [une tu; ex fzgxôt gzdlfiunt quadrata,pet eandem qua: (a3. dragefimam cptimam prinn.Quodigitur fub ued: elacôtinea , i. i . 4 tut reâangulü,vnà cum quadratisquç exfigwc gœzçquum eflc eis,quæ ex fzglôt gldlfiunt quadrgtis.Subdu&a igirur quad ex f!g,vtrifq; communi: relis quum fub axel8c elclcôprehe’nfum re&angulû,vnà cü quadrato quad ex gxe,æquum cit ci uod ex gldlfit quadratmEidë mrfim quad ex gxdefir quadrata,æquum eltcomprehenfum ub bœÆc ezdnec’tâgulumflnà cum. en quad ex eadem gzezfit quadrata,pet-eandem quina iam feeundi: diuidirur enim 1)de bifariam in punâ’a g, 8c in non æqualia in punâa e. Q: autem eidê æqualia fange: fait zqualia adinuicem,per primam communë fententiam.Re. &àngulum in fub vus: eIUcomprehenfuîn, vnà cum quadrato quad ex gle: æquum efi comprehe’fa (u bœch eIdneââgula,vnà cum codé quadrato quad fit ex gre. Ablata aus rem cômuni quadrataquad ex gÆ;reliquû fub meus: chl côprehenfum reétâgulü,reliqua quad fub bxez 8c exdxcantinetur refihngulo,per tertiam communê fententiam efl æquale. ([Neurra demùm fupradiâarum lineamm et cénum educatur Ç vt in bis vltimis figuris) 034m a. fine vna fecet aliam per zqualiaJiue’ non: itque rut-(nm ipfius circuli centrü f . Canneétae diffdrü liera. tur igirur exflrefl’a , pet primum poftulatumzôc vrraque 3108C bxdlbifariam diuidatut,per rüdifiaofrtio. decimam primi , vaquidem in g , 8c bldl in punâ’o h. 8c canneétantur demum flb, IC, f!e,fig,& th,per primü paflulatum.Diuidet ergo flgzipfam uuad refîtes angulos: fimi, liter 8c flhjipfam bxd,per tertiam huius t’en-ü propafitianem: enîntque triangula figIelôc ezfzh,necnon flglaâc &sz reâangula . Et quaniam.azclbifariam fecatur in g, 8C in non æqualia in punâa e:.camprehenfum igirur fub axas: excxreâangulum , vnà cum ea quad ex guelfit quadrato,æquum ’cfi pet quintam feeundi quadrato quad fit ex gIc.Addarur c6:

mune quadratum, ’ad ex f! Idefcfibimr:quad igirur fub averse elcl confinant reâangu lum,vnà cum qua taris qu: un: ex fngac g!e,binis quadrati: qu: ex fxgzsc glc, pet ter! tiam communem fententiam efi- zquale.Quadraris pat-ra qu: fiunt ex flgtôc gœ,æquû CR adratum uod fit ex eÆeis item quæ ex fngac gxafiûr quadratis,æquum efl: id quad ex "l,pet qua ragefimamfe rimai primi.ngd igirur fub vexa: CICICom’inetur wangulum, fifi cum quadrato quad Et ex elf, æquum efi quadrato uod ex flc.Ip,fi41ëte!n flaqua! du flb,per circuli diflînitianêminc pet corallariû quadragcfgwkfiæ Pr"m dcmeWm

ex fszquadratum, æquum eît wei quad fitLIBER ex fzc . Comprehenfum igirurm; fub une:r excites77 &angulum,vnà cum quadrato quad fit ex elfiæquum eûquadrata quad fit ex flb.Et pro; inde quad fub bxezôc, e!d[continetur reâangulum,vnà cum ipfo quadrato quad fit ex elf: æquum cit eidem quadrato,quod fit ex fib.0&æ autem eidem æqualia,& adinuicem æqua lia funr,peræptimam communem fententiam. Comptehenfum igirur fub aleIGt eereôtans gulum,vnà cum quadrato quad fit ex elfzæquatur reétangulo, quad fub -bIel& eld! cantîs netur,ac ipfi qua tata quad fit ex elf. Dempta iraque communi quadrato quad ex ezfirea liquum [ubalelôc elCIcamprehenfum reâangulum, tcliquo quad fub bIèIôc adl cantines tut reftangula,per tertiam communem fententiam cit æquale.In rima autem trium antes cedentium figuratum, vbi alubifariam fecat ipfam bId, erit fiel uper eadem b!dlperpena diculatis:& quadratü quad fit ex flb,ijs quæ ex blelôt eIfzfiunt quadratis æqualeJ-Iinc fa: cilè concludetur,quadratum quad ex ble,feu teâangulum fub blel8c eldlcarnprehenfum, æquum fate" teâan la quad fub alel8: e! cl cantinetur. Si igimr in circula du: reflue lia neæ fe adinuicem ecuerint:&c.ivt in theotemate.Quad demonfln’are oportebat.

Ap nom ,naos » (nGascon cupâap indic, A, and âm’- renierai; M «a; nô uâuMp 76.. gaga-(fion «Mo encan, tu! Un?) 5:qu flinguai: rétamai JE www; au 76. m 37mg nia; caprine and en; indic àmMpCœvoMuç,pwufùflfl crispés son! aie-mm; megxôpatop ôefloyômp 123199765 6min ai; iamflowuç ’rmfœwvr’a.’ Tbcorcma 3a, Propofitio 36. I extra circulum fumattur punâum aliquod, ab ca ne in cit: « :culum cadant duæ reâæ lincæ,& earum altera circa u’m difpe h ’fcat,alte;a veto tangat:quod fub tata difpefcente,& extrinfè: cus (umpta inter punâum 8c cutuam circünferêtiam comprehenditur i reâangulum,æquumlcfi et quad fit ex tangente quadrato. 0 R O N T I V S-ïDc tangente hic velim intelligas , quæ inter punâumvexteriùs fuma ptum,& cantaétum ipfum intetcipitutÆfta igirur datus circulas avsz , extra quem fuma: tut puné’cum d:& à pûâa dzin ip um circulû cadant bina: retâte lineç dxbÆc dzarc,quatum dIbItangat ipfum circulum ,rdzaÆI veto eundem circulum difpefcat.Aio quad rectangu. lum fub adxôc dlvcamprehcnfumæquum efl: quadrata,quad fit ex dlb.Aut enim recta li; d hea dIazUtranfit pet circuli centrum, vel extraïranfeat prima vu «Ma « par centrum , fitque illud e: a: connectant ezbl reâa , pet pri; ’drculû,triftt t mum poflulatum.AequaIis cit igirur a!e,ipfi elc, pet circuli (fifi pet centrum. finirianem.Difcinditur iraque alabifatiam,in punch e:8( illi in tçâum adijcitur a! d. Quaü igirur fub Cldlin dIazcontinctur te; &anguluannà cumea quad ex velfit quadrato:æquum empei- fextam feeûdi,quadtata quad fit ex exd.Ei porta quad ex alezfit quadrato,æquum cit quadratum quad ex b! e : funt enim alezat ble, et ipfius cireuli diffinitianem, inuicem æquales . Compte, A ben um igitur fub cldl8C dlaxreâangulumflnà cum eo quad ex b!elfit quadratozæquum en quadrata,quad ex exd.andrata rurfum quad fit ex eld,çqua; lia funt,quæ ex dxbÆt blezvtraque fiunt quadrata,pet quadragefunamfeptimam rimum; gulus enim qui ad b,per decimamaâauam huius tettij,re&us cit . quad igirur ub Cldlôt dlalcontinetur reâangulum , vnà cum ea,quad ex blclfit quadratazæquum cit eis,quæ ex dlblôt bleIfiût quadratis.Subdu&a itaq; cammuni quadrata,quad exbxen’eliquû quad filb au: dlaIcantinetur reââguiumfiquum cit pet tertiam communem fententiam tcliquo, quad ex tangente dxbxfitquadrata. (Non extendatur autem dlaICIreéta pet centrû ipfius «un, titan ipfius circuli, quad rurfum fit e. 8c diuidatur aICIbifariam in punâa f;per decimam rimi: canneé’tannîrtp pet primum poftulatum en, exb, exd, 8c efo Diuidetigitur elfæ’an ê ale! la»:us tmfit a, pff lanlgaganaliter,per tertiam huius tcttij:& elblpcrpendicularis erit ad tange’ntem bld, pet centrum. decxmamoétauam eiufdem terri] . thuaniam uabifariam diuiditur in punâ’o f,cui in res &um adpafilta.e&ald:quad igitur fub c1dIin dlalcanrinetut re&angulum,vnà cum eo quad ex Vf’dermbm" quat tatane quam eü,per fextam ipfius femdi, quadrato quaâfit ex dÆ .111.

73- GEOMET. ÉLÉMENT. Addatur commune quadratü,quad d fit ex fze.comptehenfum igirur fub Cldl 8: dzazreétangulum , vnà cum defctiptis ex ait? 8: fle: quadratis: æquum eftquadratis, qua: ex dlfÆc fte!defetibuntut . Qadtatis porta qu: fiunt ex aÆl 8: fle , æquum cit 5 quadratû quad ex alezeis item quæ ex dzfÆ: fze,fiût quadratis,æquum id quad ex ipfa dle,per quadragefis mamfeptimâ primi. quad fit igirur C ex cszn dz a, vnà cum ea quad ex azexfit quadrataæquû en cit quadrato quad ,fit ex dxe.041adrata rurfum quad fitaze,æqulî dt id quad ex ezb:æqualis cit enim aIe,ipfi exb,pet ipfam circuli diffinitionem.ngd igin tut fub Cldz8: dm! continetur teâangulum, vnà cum quadrato quad fit ex elb:æquum en: quadrato, quad fit ex derpfi autem quad ex dlelfit quadratazæqualia funt , pet eandem quadragefimamfeptimam primi,defcripta ex erx8: bxd[quadrata . Comprehenfum igirur ex CldÀn dtalreâangulumflnà cum quadrato quad ex ab: zquum cit eis,quæv ex eadem elbz8: ipfa bzdlfiunt quadratis.Ablata iraque quadrato quad ex e!blvtrique æqualium c6 i muni:reliquum exudlin dzaIcamptehenfum te&angulum,reliqua quad ex tangente bldl fit quadrato , pet tertiam communem fententiam cit æquale. Igirut fi extra circulum fut maturpuné’cum aliquad:8: quæ fequuntut reliqua;and aficndendumfufcepetamus.

IIQu-orlibet igirur teâangula, fub reâis fingulis ex eadem punâa extra circulum fumpto deduétis , arque circulumipfum difpefcentibus , 8: extrinfecus fumptis inter pun&um 8: cutuam circunferentiam comptehenfazfunt inuicem æqualia . Nam eidem æqualia quadras ra,quad ex ipfa tangente defcribitur. ï - n

Ap miam: M995 a: dupée]:- aderne: ÊuTôq,â7rô du a? dupasM, me?» . 1’59v Fnümpaeoazïfibmy ’Ounc No Encan,M. I v I û par àwô’p fripa 1-69 uûnÀop,ü du qunë dû qui riz-ô ait «il»; «refluent, M aie ix’ràc-àmÀœpCœvoMn piqué!) 451-: (mais un! mi; nuera; www , :001: a?) aimé Tic me» Œifiwuj fiat’fiëôc MNLS’NGI a? miam. ’ q, u Tbearema 3x, Propqfitia fi, cannerjâ [me r je I extra circulum fumatut punétum aliquod,8: ab eo punira 37 «demis. ’ in circulum duæ reétæ lineæ ceciderinr,8: earum altera cucu: V q lum fècet,altera veto cadat : fit autem quad fit fub tata du: Pefcente 8: extrinfecus fumpta inter punâum 8: cutuam circunferen: t13m,æqualc cl quad fitex cadente:cadens.c1rculum ranger. O R 0 N T I V S.(IHæc cit conuetfà prçcedentisz8: de cadente rurfum venir intelligenda ,quæ inter punétum datum extra circulum ,8: ipfum canmétutn comprehenditur.Sit igi: a tut tutfum extra circulum albz c x , fufceptum punâ’um d,à quo in eandem circulum du: ptacidant lineæ teâæ , d l b l quidem in circulum incidens,dzaIcIveta eundem circulum difpefcens:fit autem receptuma. , vt id quad fub aùin dlaIcoms prehenditur reâangulum,æquum fit ei quad ex cadence dlblfit quadrato . Aîo quad dsztangit circulumtabean primis enim aut dz b l circulum difpefcens tranfit pet ipfius circuli centrum Prima figure ( quad rurfum fit ex ) vel extra g Detur primtun:8: connectant diffamait. elbzreéta,pet primum paftularum.Cùm igirur uobifatiam diui: b. p, datur in punéta e, 8: eidem adpanatut in dire&um ald:etit fub dein dIaIcamprehenfum reâangulum,vnà cum quadrato quad fit ex a!e,æqua1e quadrato quad ex eId,per &xtam feeundi. Ipfi porta aleæqualis eft exb, pet circuli diffiniti’anem: 8: ab arqua: libus mais æqualis defcribuntut quadrata,pet catallarium quaM

LIBER in. l .79 dragefimæfexræ primi l. comptehenfa igirur fiib Cldl in dIaIteâangula,vnà cum ea quad ex elbxfir quadrato, equû eft quadratum quad fit ex eld.Eidem porta fub ddlin dlazcom; prehenfo teâangulo: æquû cit quadratum trad fit ex bld,pet hypathefinogad igirur-ex eldlfit quadratumæquum cit eis qu: ex dl 18: b: e l quadratis defcribunrut . Reâus cit igirur angulusqui. ad b,per vltimamptimithinc et carallatium decimæfexræ huius terrij, ipfa dibzrangir circulum in punâa b. Il Sed di pefcar dlaIClreâ’a eundem circulum alibi, Smith fi a quàm pet centrum : vr in fecunda vel rertiafigural 8: diuidatut axa bifanam in punêta f, figuratif. pet decimam primiz8: conneâanmr pet primum pafiulatum ale,erl8: erfiPerpendicula. ris etir igiruteszfuper ave,pet tertiam huius tettijz8: Nelf,atque exfzdzttiangula, teétans gula.His ira conlÏtuQirs,erirrutfum pet eandem fextam (eaundi,comprehenfum fub czdzin . d I t ’ - a ’ ’ ’ i - l - dxalteâangulum , vnà cum quadrato t quad ex axf,çquale quadratoex dIf; Addarur quad vrrobiq; quadratum fit i quad fit ex fle.Camptehenfum igirur A ub cldlô: dzaxteâangulumwnà cum ’ quadratis qu: fiât ex alfI8: fxezçquaa lia funr eis,pet fecundam communem fententiam,quæ. ex dlflôi fzexquadraa ris defcribûrutÆis autem quæ ex azfl 8: fiexquadratis defcribunrutæquurn cit quadtarumquad fitex e[a,per pe.

fit ex elb ., Bis rurfum qu .x exa Idlfl8: nultimam fie le quadraris primi defcribunrur : 8: proinde: æquum cit petid eandemquad penulrimam primi,id quad fit ex e!d.Quad igirur fub odzin dxaxcanrinerur teâangulum, vnà cum eo quad exerb z fir- quadraraxequum cil: quadrato quad fir ex eId . Eidem porta fub cldlin dzazcomptehenfa teâangula,æquum cit pet hypothefin , quad ex bldlfit qua: draram. Qqæ igirur-ex dlbx8: blcl quadtara defcribunrurzæqualia fun: ci, quad ex eldxfir quadtara.Et proinde angulus qui ad bxteâus eft,per vltimâ ipfius primi:8: bIdxpraprerea tangir circulum aIbl c l d, pet ipfam decimæfexræ huius terrij carrollatium.0su-ad fuerar - aflendendum . (I Pareil: 8: hæc vltima propafiria aliter in vniuerfum demanfttari , vnica nié aliter a tantummada’coaffumpta figura: in hunc qui fequirut madum . A data puné’ta d,dato cit- umiuerfiliter cula albIc, Contingens recta linea ducatur , pet decimamfeprimam huius tertijzfx’tque illa mai: olim: dle. Ipfius autem circuli centrum cita f: 8: pet primum paftularum canneétanrur refit: lit dm. ne: fxb,f7d,8: fie, Erir igirur 9e, perpendiculatis in contingente dIe, pet decimarnaâa: . uam huius terrij:8: proinde angulus dxexfzteétus. Cùm igirur à punira dlcadant binæ lineæ teâæ dzalcz8: dle,quarü altera, vrpote dxaxc,circulû fecar,reliqua*verb dIeIipfum tangir circun lumzquad igirur ex dzezfit quadratum,çquum cit comprehenfo Tub cIdx8: dzalreélsangula,pet’anrecedëtem rrigefimamfextam propofitianem.Eidem porta quad ex cldIin dialfit te&âgulo, æquum cit pet hypathefin,quad ex dzbzfit quadratü. Œæ igic tut ex d!bl8C drelfiunr quadrara, funr pet primam communem fenrentiam inuicem æqualia. Et proinde recta d!b,æqualis ipfi dt e, pet carallarij uadragefimæfexræ primi canuerfionem. Acqualis turfum cit I el ipfi f! b, pet fæpius alle aram circuli difi’inirianem . Binæ igirur dlbl8: bxfl rrianguli bzf, duabus dleI8: ezfzttlanguli dxezf,funt æquales altera alterizhabéntque 4 eandem bafin communem dzf. Angulus itaq; dxbxf,ipfi angulo dlelf,pet ’oérauam primi cit æqualis . Arqui dzexflangulus cit recrus: 8:,qui fub dzb!fxigi:- rut cantinera: angulus,reé’tus elhElt autem fxblfemidiameter citculi,8: alteta igirur pars n diamertigà cuius extrenrirare b ,ad angulos reâas excitarut bld:tangit igirur bldicirculum ipfum alblC, pet carallatium decimæfextæ huius terrij. Idem quaq; deducetut,vbi dzaza teâa pet cem-tu ipfius tranfibit circuli. Si extraicirculum igirur fumatur punâtum aliquod: 8:c.in in iâfa theotemate.Quad tandem filtrat afiendendum. Tertij Libri Geametticorum Elementotum, fia ri IN Nt i 1Gain. s.- P cl

8o. àx’âôïv’ï’? 7” ------Sexagsôesemxæéë&awgæg . * A Orontijt a Finæi,Delphinatis,Regij MATHÉMATICARVM PROFESSORIS, In Quantum eletnenrorum Enuclidis,Demanfirationes. ne ÈIKAEIAOI 2TOIXBION TETAPTO N. (Intel fi infaiqxzfiwggd marouflant uxipœfleoi f. Xi)»: infléypœppop à; exigu îueüyfœppop 37916»:on Abeawflaupîuésn 4K7 flingu- l mW: quipofloçyauô’pflèuç défiât; a? à; 3 imitant»: Mura. Q i I (ID: infiriptione a: circunfcriptionefigurarum,Dfinitiones 7. ne Igura reâtilinea , in figura reâilinea defcribi dicitur: t quando vnufquilque infcripræ figuræ angulus, vnum: - uodque larus eiusinqua defcribirur,rangir. r l ratifia: fi 514012,); 6&3. Uxfipœ filâtwa’thôui Khan, lump in?" 6167W: l " fi mimopælxfinàsuçwt’xë a? tout). amincîmau ww- p Figura autem fimil’iter circa figuram defcribi dicitur: z i quando vnumquodque larus circunfcripræ , vnumquenque angulum eius circum quam defcribirur tangit.’ 0 R O N T I V S. llHuiufcemadi figuratum infcriprianes ac circunfcriptianes, de l’egus latibus,hac cit æqualia larera,8: angulo? inuicë æquales habêribus(exceptis farfitan man ulis,in qua: cæteræ refaluunrut reétilineæ figutæ)veniunr potiflimùmintelligendæ. Ins - ’ Q, figuré. Ëtibunrurprætetea , arque inuicem circunfcribunrut reâilineæ ùfèfibfitwv ranrummoda figuræ,quæ eiufde’ funt fpeciei:vrpate,rriangulum arcmfiyibm triangula,quadrarü quadrata,pe’tagonû pentagona:8:c.0patrer tu Mia. enim-rot effe latera circunfcripræ, quot ipfius infctiptæ (un: ana guli.CLuanquàm porta circulus non, fit figura teâilinea: propret illius tamen regulariratem, paiTunr 8: ipfæ teflilineæ ac tequila: teræ figuræ,circula infcribi ac citcûfcribi,8:’e diuerfa. In exemi plum igirur primat ac fecûdæ diffinitianis,habes obieâü alblU rrian lum æquilaterum,defcriprû in d!elfIrtiangula:vel ipfum ’ dxez zrtiangulum,ipfi abecxrriangula tefpandenter ctrcunfctiprum. (Exige: au êuaüafeupop ée mimi! infamant: ammum Mayenne a? WÇ0M8,WP trou mît il? du; ce!) cour. v Figura reétilineadn circula defcribi diciturzquando vnufquifque angu: 3 4 lus infcriptæ,circuli circunferenriam tangir. fixâmes au 71m «kapo: firmament: Àêyrraafifmp i a? «aux? 7155ka ixia!!! Wilœü’ü mm. 3 würyçéae’rm Mura. Circulus verô,circa figuramreâilineain defcribi dicitur:quando circaz 4. li Circunferentia, vnumquenque eius, circum quam defcribifüf: mg": lum tangir. la a v

I ’Figu’taLIBER’IIII. circularis , ab vnifatmem a: reg-1mm circunferenna: curfigurdBt a I riæ à centra diitanriam , reâilineas omnes ac regularesrfirgus culai; "au: 3x ras,rutn intta,’ tutu extra facile capir : lingules angulos i cri. mi; Menu. ptz, vel amnia circunfcripræ contingens lateta . Quemadmas tu acini: . b a i à dùm in præcedenrium terri: 8: quarræ diffinitianum elucida: 4l Arionem,afl-endit defcriprum in aszCIdIcitcula quadratumwel ’ 1g h d idem .citculu: ,quadrara albxadlcircunfcriprus. ’ , i - Il, xénon; du. épice il: enim; héraut ËWIÔW, leur!) in? m5; , C un amateur: indue ramera, a? à; 8 ingéaîfoa Mrm. ’ f Circulus autem,in figura rectilineadefèribi dicitutquando circuli cit: " cunfèrentia,vnumquadque larus eius in qua-defctibirut tangir. (Influx au îufld’yfœppop iam minet «armement miroita, draguât délaçât «il; fluaient Wieeee’iœa’fl’ë WWMONS Méfie-ou. - l I 6 Figura me, refhlinea , c1rca Cireulum defiztibi dicitur: quando vuumt quodque latus circunfcti tæ,circuli circunfetenriam tangir. v In exempluml,habes circulû a! lcld,in quadraraieIflgIhldes h fcriprum : arque idem quadratum elfIg. l h , defcriprum circa N a eundem circulum albladeem refpandenrer velim intelligas n . il de cætetis quibufcunque te ulatibus figuris,in circula,vel cira a ’ î ’ ca.eundemvcitculum,ptius i’ffinita tarione. ’ defcriptis. K b1 (30957:: à; minot. oiæqpôzlæm Abandon. «a: Œîeœ’m émiât: v - ç Ë’nÎ’IÎÎÇ wigwam; a? miam. - 7 Reâa linea circula congruere dicitur : quando eius extrema, in Circuli Circunferenriam cadunr... c . k Œanquàm hæc vltima diffinitia, ram de circuli dimerienrù - ’ bus ,quàm de cetetis teâis non pet centrum eduâis ( quas van .cans chatdas)fir intelligendazipfis tamen recrus circuli dime: cienre minores patifiîmùm refpicere viderur, quæ fun! videli! cet lacera infCtibendarum ultra circulum reétilinearum figuras i tutu. .Çuiufinadi viderur elfe recta bxc:cuius extrema,fiue lia la mires’bx8: a,in dari circuli alb!c1qirCunfetentiam cadunc. l PeO’CÀIpœ et, retiennes a. I le in?!» «110005413: uôxîsopfn 6100401; îuodçpli pélot: ardu flic ü "in! sbpï’ïfôkh’ «embua. il , 1Problcma ’ ’ i p Ç- 1,. p Prépofitio i. * - a; N data c1rculo,datæ recta: lmeæ minime maiori Circuli drames l

l 7.1 v , l f2 tta exifientiœqualem feâàm lineam coaprare." . i l l 4 4 31° 0 R O N T I V S . [Sir data teâa linea a , non maior dimerienre dansirculi bIdd (non inrrarer enim circulum, fi forer maior: quoniam in encula maximas eû’dimetiens,pet decimamquintam tertij) in qua quidem circula oporteatl .fi (la-(æ 3a; lineæ a, æqualem reflamlineam caaptarc . Praducarur ergo circuli b!cld,. uncnfllïq i Erir iraque azreé’ta linea,aur æqualis ipfi dimetienrizaur ca nunarêi 291311831131 a)??? efl: te&a linea cld,æqualis ipfi data: reâæ liriez a. Quad fi al I recta linea,rfiierit minot dimeriente cld: feeetur àmaiari cld, ipfi alminoti æqualis,pet tertiam primi: firque illa cle. Etkcena rra Cl interuailo autem c1e,defi:tibarur Circulus bzexf, pet rerc tium pafiulatum. Secabit’i itur Circulus bzexf, datum bx a dl circulum : funt enim in eo cm plana , 8: femidiametet vnius - pars dimetrentis alterius, arque vnius circunfetentia pairim in; v . rta reliquum,parrim veto extra. Secet igirur in puné’ta b:8: pet g primum pofiulafllm , cmmtnitatur recta bzc. .Coaptatuç iraque

82. GEOMET. ÉLÉMENT. b:clte&a,in data bICIdIcirculozcadunt enim extrema bl8: e,in ipfius bICldI cirquli circuit fetentiam.Aia quad æqualis cil ipfi a.Qqaniam puné’tum acêtrum et: circuli bIaIf: æqua. lis et! igirur bzuipfi cze,per circuli diflînitianemÆidëpartb de,æqua1is en alreâa linea, i pet côflruétianem.Duæ igitutwinquàm ,8: bzc,eidem clexfunr :quales: &ptoinde æqua. les adinuicem,per primam communem fententiam.Datz igirur refît: linea: a,æqualis retira linea bzcnn data encula bICIdlcaapratur.041-ad oportebat facere. . E a, unanime, i 1:anl . PampaMin! vrombiras» . A, moletai:trimer 62934444- 15. . i Problema. 2., - Propofitio a: j ,, N data circula, data triangu a, æquiangulum triangulum a ’ Ï defcribere.’ i " - i ’ ’ , 0 O N T 1 V S . (I Efl’a datum triangulum aszc, cui aporreat defctibere Confiruéîio v Q l . æqmangulum triangulum, in data circula dlezf. A data igirur pun&a g,daro . figure. Circule dxezficanîlillqgens recta linea ducatur gldIh,rangens ipfum circulum dzexfxin puna (ta d,pcr decuna cptimam rettijÆr ad datam teàâ lineam dzh, datqu; in ea puna-nm ’ I cl . d, data angulo teâilinea quilad b,æqualis angulus teâilineus confiiruatur f!dlh,per vigefimamtettiam primi. 8: er eandem, angulo qui ad c,æqualis angulus Confiimatur adi em pûâum d, au teâz une: gld,fîtque gzdIe: ipfis dIez8: d! f, circula dle!f!coaptaris.canne&atut demum exfxreâa,pet primum pas 0Mo, ’ ftularum. Et quoniamcirculü dlexf,rangir quædam recta linea l Mardis?"- gldzh,a côtaétu autem d,re&a quadam linea dlfzextenditur, circulum difpefcêsmngulus igirur qui ad e,in alterna fegmenro dxezf,angula fldlh, pet rrigefimamfecûdam rertij efl æqualis. Eidem porta angùla fxdzh, datur eh æqualis angulus qui ad bzper primi igirur cômunem fentenriam,angulus qui ad b, æquus et! angulo qui ad e. Et proinde angulus qui ad f, ipfi angulo qui ad axqualis.Reliquus igirur,angulus qui ad a,reliquo qui ad d,pcr trigefimaîa fecundam primi cit æqualis.Aequiangulum cit iraque triangulum dlclfiipfi axblczrriangu la, defcribitiitque in data circula dlelf. In data igirurcîrculo,data rriangula, æquiangu: lum triangulum defa-ibitur.and redire oportuit. .- i IBai Femme 743p 4*on xüxÀoqueHloedm y, renierait afiydvëfimômp 133170199" 7.. www. , ’ . Problctna 3, Propqfitio t 3. . Itca datum circulum,daro tifangulo,æquiangulum triangu. 3

ai Os R lumO N T 1V defcribere. S, ([Sir datum triangulrim A ulve; datus veto Circulus dlc!f, ’ i - ,circa quem expediar defcribere rtiangulum æquiangulum ipfi aIbZCIrtian la data.Praducatur iraque in direétum ex vrtaque parte lattis b!c,in gI8: hlpunâa, pet ecun - dum poftularum:fi’tque pet primam terrij,ipfius circuli azblczcenrtum k,8: côneé’tatut dlkl ,femidiameter,per primum paflularum. Ad punâum deinde k, datæ recta: lineæ dlk, ipfi angulo azb!glæqualis angulus confiiruatut dIkxe,pet vigefimamrertiam primi: 8: pet cati. dem,ad idem punétum k,datç reâç (me: elk,angulus c6fl:iruarur e!kIflipfi angulo aithl lzqualis..,A, punëtis autem d,e,f,.adre&as vtrinque excitentur angulos dll,d7-m,elm,ezn, fzn,8: le,per vndecimam primi:quæ pet decimamquarraî eiufi. dem primi , in direétum confliruentut , arque pet corallarium ’ 1

uBJ l, m,n,’ decimæfexræ terrij, tan ent-ipfum cirCqum in panaris d ,e,f, l v - conueniéntcp ad unéta ,m,n.Cannexa enim dlexper primum c g, v fiant pafiulatum,diui et vrrunque angulum re&um ui ad d,8: qui ’ ad ezefidérqueptaptetea ad eafdem partes ve us m, inreria- ’ res angulos mI e! 8: dxelmxbinis re&is minores . quare pet quinrum poil-ula m, conuenient dzmx8: emv in unâum m. Et proinde ezwæ xn,in punéhî n:atq; dlllôt fll,a punétum l. 7,. Triangulum erit i gitutll ml n: 8: circa datum circulum d! «fig "l

I et fextam difiinitianem huius defcriptum.LIBER Dico, quad 8: albIClrriangulo,eftun. v æquian.3; a www»! rum. mgadrilaterum enim dImxelk,connexa mlk,in bina rriangula diuiderur:8: cuiufliïelr gulum l; "au, rrianguli tres anguli,binis teétis,per trigefimamfecundam primi,funt æquales. Et quatuor ipfi 435,6,fit igirur anguli ipfius ’quadrilareri dmvezl: , (un: æquales quatuor teâir.quarum qui ad dI8: dquîdgldltm. e,te&i funt pet confhu&ianein:teliqui igirur qui ad ml8: k!pun&a confiitunr anguli,duo. bus reâis caæquanrur.Eifdem quoqj duobus reCtiS,æquales (un: pet decimamtettiam pris ’ mi,arbzgz8: alb!clanguli.Aequales igirur fun: anguli qui ad m8: k!pû&a,hac cil: dIm!eI 8: dlkxe, ipfis angulis albxgÆ: azbl c,pet primam communem fentenriam.Angulus porta alb!g,angulo dkue,pet côlfruâ’ianem eftiæqualiszreliquus igirur dnnle, feu qui ad mIam pulus,reliquo qui fub albxc,pet tertiam communem fenrentiam en æqualis. Haud diilimi itet afiendemus an lum qui ad n,zqualem effe angulo alab:arque teliquum angulû qui ad l,reliquo qui fub îaxatan’dè’ caæquari.Aequiangulum cit igirur llrrvnztriangulum’dpfi data triangqu alblczdefcribitiîrtp circa datum circulum dlelf. Circa datum itacp circulum, data rriangula,xquiangulum de criprum cit triangulumlwod faciendum fuerart i fléchira: dl, i renierai; dt. le ’rô mon affamant: aux» imaÉstoas v Problcma 4, , Propcyïtio 4. A. N darohtriangulo,circulum defèribere. g O R O N T I V S.([Eflo darfi triangulû alblc, in qua apartear circullî defcric bere. Secëtut ergo bifariam,pet nonâ primi,qui fub albch& alablcôrinenrur p-7. mu 7 angulizreâis quidem lineis bldx8: dlc,in pria-uni d,pcr quintam aftularum, tandem conuenienriburJîr ab ipfo pun&o d,in teâas azb,b:c,8: Cla, perpen iculares de: ducanrur d!e,d!f,8: dlg,per duodecimam primi.quæ quidê perpendiculares,cadenr necefi faria intra datum triangulumttametfi laterales eiufdem rrianguli lineæ non finr infiniræ,vr eadem ptæfuppanit duodecima (Aliâs enim produétis in infinitum eiufdem rtianguli lares tibus,quue ad cafum perpendiculariumzrriangula canitiruerenrur,quatum exretiat anguo lus non eiTet maior intetiate 8: ex oppofira,canrra decimamfexram ipfius primi. ) His ira ptæpataris, aio primum, dle,dxf, 8: dxg, fate inuicem æquales. Triangula enim bIe(dl8: dxfxb,habent- duos angulos duobus angulis zquales: vrpare, elb!dli fi dlblflpet Confins &ianem,8: reâum qui ad e,re&o qui ad f,pet quarrum poftulatü.ha entinfu et vnum la: ’ rus,vni lareri-çqualeæômune fcilicer bld, quad fil vno æqua- lium fubrendirur angulorum;Reliqua iraque lateta,teli uis la. retibus hablebunt æqnalia alteram alteri, etvigefimam exram primi. Acqualis eit igirur d l e , ipfi d l . 8: proinde d!g,ipfi dxfxitidem æqualis.Hinc pet primam communem fentenriam, dzelarq; dxg, inuicem æquales erunt. Ttes igirur dle,dlf,arq; d!g,æquales funr adinuicem.Centto igirur d ,inreruallo autem c dIe,aut dxfiaut dzg,citculus defctibatut eÆ! ,per tertiam a! Ruiarum.Tranfibit ergo Circulus ipfe,per ea cm puna-a e, ,g: tangéntque proprerea eundem circulum eIflg,ipfa alb,blc,& ua,dari albICItrianguli la: rera,pet decimæfexrœ retrij corollariumæxcitantur enim ad rectos angulas,ab ipfam di merienrium dle,dÆ,8: dlg,extremiraribus.Citculus autem in figura teâilinea defcribi dia cirur:quanda circuli citainferentia,vnumquodque lattis eius in qua defcribirur tangitîpet quintâ huius quarri difiinitianem. In data itag triâgula vbzc,circ’ulus defcribirm’ e! l . 041ml oportuit fecifle. . ’ I a i ’ ’ ’ I refilai»: t, I ratifioit. il lia qui Mil: affamois, mimi: www. w Problema y, Prapofitio y. a. Itca datum triangulum,c1tculum"defcribere.A . . "1 v 0 R O N TIV S . (lSirrrian nm alblczcitca quadte mm fit defcribete ’" ’F circulum . Secenrut iraque bi ariam,per decimam primi-Saïd: bldipfius- dati rrianguli larerazin punâis quidem dl8: e.Ab ipfis deinde punâis dI8: c,ad te. W411, fig. &os.cxciltenrur angulos dzfxô: eIf,per vndecimam ipfius primi. Aia primum, n, "4474. "êtas dIflôC cIfIm ducatur! produétas, tandem conuenite . Connexa enim teâa dxe,per tu, ’

:4 GEOMET. ÉLÉMENT. primum pafiularumzea diuidet vrrunque teCtum angulum bldlfl8t blel f.8: proinde in l’en &as dlfl8: elf,re6ta incidens dle:efficierl ad eafdem pattes interiores angulos,duobus te. b &is minores . Canuenient igirur ipfz dlfl8: elf l pet quintum paitularumzconueniant itaque,ad punétum fiAut igirur f’l’u’" &um cadet intra triangulû alblc, aut (uper latus alc,vel extra Prima fi a ipfum alblarrianguium.Cadat primùm intra triangulum,velua âpreté: ri, in prima figura: difpafirione: 8: côneCtârur, pet rimum pas (tularum,fla,f7b,-8: flcllineæ refilai. Cùm igirur 3’ fit æquaüs c ipfiidlb ,8: vtri cômunis dlfietûr duo lareta aldl8: dlflttians guli aldlf , duo us lateribus fldl 8: dlbltrianguli fldlblæquas 1a alterû alteri: 8: æquo: inuicem côtinent nylon?" quart . . tu!!! pailulatumrnempe reétas,qui circa d . Ba 1s igirur 3’659 fi flb,pet quatrain primi en æqualis.Haud diifimiliret oilëdetut,qubd flc,eidem flblçquaa lis une: proinde fla,æqualis ipfi flc,per primam communem fentenriam . Tres igirur fla, flb l,8: flc,funt inuicem æquales. Centra iraque f,inrerualla autem fla ,vel flb,aut flc:circuius defcribatur alblClg,pet terrium paltularum.Tranfibit i gitut defctiptus ipfe Circulus, pet [aunera a,b,c,ad quæ dati trianguli albIClcontinenrut anguli: tangéttp PYOPfcrea l’Pfius Circuit cucunferentia,vanuenque angulum dati alblelrrianguli . Erga pet quarratn bu. ius uatti diifinirianem , circa datum rriangulum alblC, m’a" . lus efcribitutJIConcurtant autem ipfæ re&ç lineç 0985 U!» fuper larus alc, vt in fecunda figura: 8: conneétatur fl b. PC? primum poil-ulatum. Baud diilimiliter aile ndemus, quad fla! ipfi flbleü æqualismecnan 8: flc,eidem 013,?" eandem qua" tain primi . Hinc tutfum, iuxta præmiffam demanfitatianem, calligemus ttes tafias lineas fla,flb,8: flc,fare inuicem çquaa les . Qqapraprer fi centra f, interualla autem fla , vel flb,aur flc, Circulus pet tertium defcribatur pollularumzis pet 131111515a a,b,c,tranfite cogetur.Ipfius iraque circuli circunferentiaitîm’ get vnum quenque angulum ipfius alblCIrrianguli:defcriberiitque prepterea Circulus ipfe, circa datum triangulum alblc,perieandem quatrain huius atri libti diffinitianem.([5ed ratafia", conueniant demum ipfz dlfl8: elflperpendiculares,exrta arum albIClttiangulumiVl’ hi" difpofitio, ber vltima defcriptionis formula: 8: canneé’tanrur rutfum fla, flb , 8: fICIlinea: reflue, pet primum pollularum . Simili ptar- fus concludemus altenfione , rres refilas lineas fla,flb, 8: flc, fate rutfum inuicem æquales . habent enim rriangula aldlfl8: fldlb,dua lattera aldl8: dlf,duobus lateribus fldl8: dlblçqua. lia alterum alteri: 8: æquas angulos , vtpate rectos qui circa dlconrinentia . vnde pet quattam ipfius primi , bafis alf, bali flb , concluderur zqualis . Et proinde flc,æqualis eidem flb. Hinc pet primam communem rententiam fla,ipfi flclxquabi. rutztres quoque fla,flb,8: flc, tandem conuincentur æquales. . Œaproptet delcripra,per terrium pallulatum,pra centro’flad i fins fla,vel flb,aut flClinteruallum circulo:tranfibit ipfius circuli circuiiferentia, pet ca. cm punâa a,b,c,ad qua: dati rrianguli alblClconueniuntlareta. Hinc pet quartam huius quarri dilfinitionem,defaipms erit idem Circulus,citca datum alblClrtiangulum.ngd fa:

ciendum(Ex bis ,8: trigefimaprima (ufceperamus. rerrij fit manifefium llCoroUm’um. , quad dùm flcenttum circuli cadit inrra datum alblClrriangulum:angulus qui ad blreCta minot eft,nempe in fegmenta femicircu, la maiori confiilens.Dum autem cadit in latus blc:angulus ipfe qui ad b ,in femicircula efi, 8: proinde te&uS.Quanda veto centrum i (un: cadit extra datum triangulum:idem angu: lusrëui ad b l "fla maior cit , vtpare in lje’gmenra femicirculo minari conflitutus. Hinc ve a vice (equimr,quod dum angulus qui ad bleu acurus,circunfcribendi circuli centrum cadit intra datum triangulutn: fi autem reétus extitetit , cadit in medium fubtenfi lateris: quad fi idem angulus. fuerit obrufus,eadit centrum extra ipfam triangulum datum: -

En rôt. 19W?"V P8690: «Moi Ævdvîlrréwa r relierai: Le: S.

’LIBÉRAIIII.’ a; Problema 6, ù propofitio 86. 2.185181 data c1rcula,quadtatum defctibere. 83-, l O R O N T I V S. (IEito datus Circulus alblCld,cuius centtû e:in qua quidem a? Kg." ç circula ,aparteat defcribere quadratum. C oaptenturigitu’r ipfi alblcldlcirCula, dimerienres alel8: bld,ad refilas angulos fefe inuicë dirimâtesz8: coniungano - tut alb,blc,Ud,8: dlallinez te&2,pet primû ailulariî. quadrilaterü etit igi’ rut albICld:& jan-a data circulü,per tertiam huius quatti iffinirionê defctiptûz’ vnufquifq; enim angulus infctipti quadrilareti,circuli citcüferenriam tâgit.Aio ipfam albladlquadris 90’51"14 de; laterû,fare quadratû.Nam ela,elb,elc,8: eldllinez re&æ,funr pet circuli diffinitionë inui Wflrdù’m cem æqualeszex centra enim,in circüferentiamBinç igirur alel P4752 L 8: elbltriâg’uli alelb;duabus bICISç eluttiiguli blelc,caæquân î rur:8: çquos inuicë comme: angulas,nemp’e refilas qui ad cens rrum e.Bafis igirur alb,bafi blc,pet quatrain primi cil æqualis. ’ c Et proinde aldl8: dlc,tû inuicem,tum vrtitp ipfatû albl8: blc, oflendenrut æquales . Acquilarerum cititaque alblCldlquadri: larerum.Infuper,quaniam alc,dimeriens cil ipfius’ dati circuli: vterque propretea angulorum qui ad bl8: qui ad d ,eft in femio. circula,8: proinde teCtus,per rrigefimamprimam retrij. Et pet eandem,qui ad al8: elfunr anguli,itidem refitizdimeriens enim cil hld. Reâangulum cil: igirur ipfum alblcldlquadtilaterum. Parait qubd 8: æquilatetumtetga quadratum , pet rrigefimam ipfius primi diffinirianem. In data igirur circula alblcld,quadrarum defaibimt.Qqad facete oportebat.

pI I IPQÔCNIIM: Bai. fait: 109W uôuÀopflflféwup 2, wwéxlrw-Paiera!) A z. . Problema 7, Propofitio 7. Itca datum Circulum, qUadrarum delcribere. V ’ O R O N T I’ V S. ([Sit datus circulas albleldzcirca quem receprum fit quai t dratum defcribere. Caextendantut ergo ipfius dati circuli dimuicnres alCl8: bld , in centra ’elad refilas fefe dirimentes angulos.Ét pet ipfamm dimetiens rium extrema punfita a,b,c,d,parallelæ ducanrut, pet ttigefimamptimam pria mi:flglquidem 8: hlklipfi bld,flklautem &glhÂpfi alc , ad punch tandem f,g,h,k,inui: cem concurrentesÇconuenienr enim pet quinrum poitularum , fi inrelligantur refitæ lineæ alb,blc,Cld,8: dla,interiates 8: ad eafdem pattes angulos binis refitis minores efficientes) .Qæ autem eidem refila: linea: parallelæz8: adinuicem , et trigefimami fius primi , (une b k paralielçParallela cil igirur gglipfi hlk,8: fl ipfi glhz8: pro: g inde uadtilaterum figlhlklparallelag’tammum,atque fingula ” ’ in ca cm flglblklcamprehenfa quadrilatera iridem parallelas gramma. Dico ipfum flglhlklparallelagtammum, fate qua, tu); Mari. dratumzdefcriptiimque circa datum alblCldlcirculumPatalles tu", W411; C logrammorum enimlacorum latera qu: ex appafiro , æqualîa apennin»: , j fun: adinuicem, pet trigefimamquattam primi.a:qualis cil igi! fi: guarani. un f’g’iPfi hlk,8t flklipfi glh: necnon vtraque flgl8: hlklipfi a e bld, vttaque rutfum flkl8: glhlipfi alclzqualis . Porta alclae f f le bld,:quales funt adinuicemznempe eiufdem circuli dimeti’ens tes . Quart autem æqualibus æqualia funr: ca quo ue funt inuis cem æqualia,per primam communem fententiam. Quatuor igirur flg,glh,hl ,8: klfifunt adinuicem æquales: 8: proinde flglhlklparallela ammum,æquilaterum . Parallelogtamt x morum turfum alb,blc,c1d, 8: dla , qui ex appo ira (un: anguli, æquales funt adinuicem, pet eandem rrigefimamquarram primi:æquales funt igirur finguli qui ad punâa f , g,h,k, funt anguli,firigulis qui ad elcentrum ex appafito canfifiunr angulis.Anguli porto qui cit: C3 c,1I’ericonlh’ufitionem refiti funt:8: refiti igirur funr,qui ad punfita fig,h,k,canrînentur. Refi’tangulum cit iraque flgllvklparallelogrammum . Patuit quad: 8: æquilatetumzefl: iîit 036d ipfum rut quadratum,pet rtigcfimam ipfius primi diffinitionem. Aia demum,quad 8: circa a» quadratum. rum circuli albICldldefCtibirurJn parallelas enim flglôt bld,tefita incidés ale,facit alter: circula tirai: nos angulos alelbl8: elalfifimiliret. 8: aleldlatq; elalg,inuicê æquales,per vigqgmânanam [hiberna .1.

86 GEOMÉTpÉLEMÉNT. primi.Atqui refiti flint qui fub alelbl8: aleld,pet canflrufi’tianemz8: vterque igirur qui cira ca a,tefil:us eil.Haud aliter ailendemus,qubd8: reliqui Circa punfita b,c,dlcanfiilentes au; guli,refirqunt.CLu-æ autem à circuli dimetienrium extremitatibus, ad refitas ducuntur au. ’ gulaszipfum circulum tangunt, pet decimæfcxtæ tertij corollarium . Tangit igirur vnum. quodque larus ipfius quadtari flglhlk,circunfetenriam dati alblddlcirculiJgirur et fexs tam huius quarti diffinitioncm,circa datum circulum alblCId,quadtarü defcribirur lglhlk. , and faciendum recepetamus. a Peinture a, v pelletoit u. I au «a mais flœéyavopadxmp ÏMŒ’W. Problema 8, Propqfitio 8. a... ’ 5; N data quadrata,circulum defcribetc. ’ PCl l0 R O N T I V S. (Un quadrato enim alblcld , circulum defcribere fit opes mm- infcfi, m’a l5 tæprerium . Secetur iraque bifariam vttunque larus albl8: blc, in punfitis qui: w,- dn-uu x identifiât fgper decimam primi.æquales erunt igirur ale,elb,blf,8: fidadinuîa indigna cem,pet feptimam communem fententiamznempe arqualium larerum albl8: blCldimidiæ. Rutfum pet trigefimamprimam eiufdê primi,pet punfitum e,ipfis aldl8: blcl parallcla du: carur elg:pet flautê punfitum,ipfis albl8: Cldlparallela flh,fecans candê elglin punfita k. Parallelagramma funt igirur al f, fl d, dlc, 8: elcznecnan elf,flg , glh,8: hle . Parallelac I grammarum autem locarum latera qua: ex qppofira , 8: angu, B 1 ’ c li, æqualia funt adinuicê: pet trigcfimamquarram ipfius primi. Parallelagrammi igirur dle,angulus qui ad e,æqualis cil appas lita qui ad d : ipfius item elclpatallelogtammi angulus qui ad c,appafito qui ad c litidcm æqualis. qu autem ad cl8: dlconn k fiilunt anguli,rcfiti funt,per quadrati diifinirionem. Rcfitns eil g igirur vterque angulus, qui circa punfitum c.Haud diflimiliter 4 olienderur,qubd vterque angulus,qui circa f,aut g,vel hl une fitum, refi’tus cil . Ac ualis infupet cil: klh,ipfi ale , 8: kl lipfi elb:item klelipfi b l 2, 8: klgldemum ipfi flc.Atqui alc,clb;, a h blf,8: flc,funt æquales adinuicem: qua: autem aequalibus finir æqualia , 8: adinuicem æqualia flint , pet primam communem Abfôlutio pro fcnrêtiam.Qua’tiIot igirur kl e,klf,klg,8: klh,æqualcs funt adinuicem; Centra ergo k,ins bleutais. teruallo autem kle’,vel klf,aut klg,feu k7 h , circulus pet rertium defcribarut poilularum elflglh . Tranfibit igirur ipfius circuli circunfctcntia, pet eadem punfil’a c,f,g,h,ipfarum clgl8: flhldimctientium extremitatesæum quibus demerientibus,ipfius alblcldlquadrati latera,ad refitos(vtiprïæaiienfum efl)canucniunt angulos.Tangit ergo cirCuli elflglhlcirs cunfcrcntia,vnumquodque latus eiufdem quadrari alblCld , pet decimæfcxtæ terri) corals .Iatium . Hinc et quintam huius quarti diffinirianem,in daro’quadrato alblcl d , Circulus defcribitut cl lglh.Quad faciendum fuerat. p i i

. Bel 46 Àoin. WéWYOlJflGÜKÀOP Pacifique 9,www. reflua; 4 I 9. Problema 9, propgïtio 9. t . . g Itca datum quadratum,c1rculum dcfcribete. ’ 5 0 R O N T I V S.([Éilo quadratum alblCId,circa quad oparreat defcribere v: drmferip au; .- I a: circulum.Conncfil’antur igirur alc18: bldlrefitx lineæ,per,ptimum pailularum, hardi circuï 1- .. in punfita elfefe inuicem diriment-es . Et quoniam pet quadrati diifinirianem, centrum in. æqualls cil alblipfi blc,8: bldlvtri ne communis:binæ igirur albl8: bldltrian: mur, guli albld,duabus dlbl8: blorrianguli dlblc, unt æquales altera alteri: 8: bali: ald , bali dlelitidem æqualis.Angulus igirur albld,angulo dlblc,per afilauam primi cil: æqualis.Tas tus iraque an lus. al bl c, bifariam diuiditut fub refila bl d. Haud aliter maniltabimus quadvnufqui que teliquotum angulorum qui fub blald,blCld,8: aldlc,bifatiam iridem fub ipfà bld,8: alelrefita diuiditut. Angulus porta alblc, angulo blald,per quarri’i paftularum cil æqualismempe refitus refito.Quæ autem æqualium fun: dimidium,æqualia funr adinuic cem,pet feprimam cômunem fententiam. Acqualiseil igirur angulus alble,angula elalb:

J , 87A. .LIBÉR I’III. i 8: proinde latus ela, lareti elb,œquale,per fexram primi. E0: L C dem prarfus mada afiendemus,elCl8: eldlrefitas,rum adinuic a Cem,rum ipfis elal8: elblrefiris lineis caæquari.Quaruat i gitur e i l ela,elb,elc,8: eld,æquales flint adinuicem.Cenrra igrirut e,in: Oflmfio pro: rerualla aute’ ela,vel elb,aut elc, vel eld,circulus,de cribatur, blmatis pri- I pet retrium poilulatum.Ttanfibit ergo defcriptus Circulus pet ori fimilù. , - punfita a,b,c,d:quapropter 8: ipfius circuli circunferentia,tan a « . cl get vnumquenque angulum ipfius quadtari alblCld. Per qimr: . . tam igirur huius quarti diifinitianem z circa datum quadratum alblCld,citculus defcribirur. quad oportuit feciffe. .17imam; «17;waMéfiance: ausMnafixop Wh??? nainei, in?retienne Mou 709451: diminuions a. dît 1Mark. a, - iSolEelesi Problema rriangu-lum Io, conflituere Propqfitio , habens vnumquenque Io. L cas tutu ui ad bafin flint angulatum,duplum reli ui. O R O T I V S.([Hoc quæfitum,ad fucccdenrium propo irionum démons Coxflrufilio t A - firarioncm, ira confirmarur. Sir data refita quædam linea alb:quæ pet vndeciæ mam fecundi ira fecetur in punfi’to lc,vt comptehe’fum fub tata albl8: fegmêra blCltefil’an: figura. i gulum,æquum fit ei quad ex tcliquo fegmëra alclfit quadrata.Ét cërra a,inrerualla autem alb,circulus defcribarut bldle,per tertiam paitulatum. Ét pet primam huius quarti,in cira cula bldle,datæ refila: lineæ alCl(quæ non cil maior ipfius circuli diametto)æqualis refila linea à punfita blcoaprerutzfitque bld . Cannefitanrlîtque aldl8: Cldl lineæ refila: , pet prit mum pollulatum.Ttiangulum erit igirur albld , arque ifofccles : æqualis cit enim alblipfi ald,pet quindecimam diflinitianem primi. Dico quad vnufquifquc angulorum qui ad ba: fin bld,duplua cit reliqui anguli qui ad a. Circa enim triangulum alCld,pet quintam huius ollenfio prog quarri,defcribarut cireulus aleldlfiEt uoniâ pet côiltufitionem, quad fub albl8: blacant biematit. rinerur reâangulum ,8 æquü cil ei quad ex clalfir quadratoz8: ipfi Claldata cil: æqualis bld; ab æqualibus autem refitis æqualia defcribunrut quadrata , pet catallarium quadragcfimæ fexta: primi. Comprebenfum igirur fub albl8: blc l tefikangu: b . lum,xquum cil ei,quod ex bldlfit quadrato.Atqui blpunfitum extra circulum alCldlfl fulcipitur,ab coq; in circulum geminæ procidunt lineæ refiræ albl8: bld,quartî altera vtpore alblcirs culum (cent, airera veto bldlcadir : 6(le fub tara difpefcenre 8: extrinfecus fumpta blClcamptehenfum refirâgulum,æquale ci quad ex cadenre bldlfit quadrata.Cadens igirur bld,:angit V pervlrimam tertij circulum aladlflin punfi’ra dlvrtiq; circula c6muni.Rurfum quoniam bld l refita tangir circulum alcldlf, 8: à canrafiru d l extendirur refila quædam linea dlclcitculum difpefcenszangulus igirur bldlc,angula clald , (qui in alterna confiftit fegmenra)per trigefimamfecüdam tertii,eft æqualis. . i Q138d fi vni? æqualium an lotû addatur communis angulus aldlc: rarus angulus aldlb, duobus qui ub elaldl8: al lleunr angulis,etit pet fecundam communem fententiam æqualis. Eifdem porta qui fub clal’dl8: aldlClcantinentut angulis, exteriar angulus blcldlper rrigefimamfecûdam primi çaæquamt. Pet rimarn igiruricomi munê fentetiti’am,angulus aldlb,angulo blCldleit æqualis.Angula tu um aldlb,æquus en angulus elbld,aut(ii velis)al,bld,pcr quintâ primi:funr enim ad bafin bldlifofcelis rriangu li albld.Duo itaq; anguli blcldl8: Clbld,’eidê angulo aldlblfunr æquales : 8: æquales pros Ptcrca:adiniiicem,pet primam commune fententiam.Hinc latus eldllateti bld,per fcxtam ipfius primi coèquarut.Sedeidem bld,æqualis cil pet côfh’uâianem alc.binæ igirur alel8: i adieidem bldlfunr æqualesz8: æquales itaç turfum adinuicem, pet eidem pritnam com: munem fenrentiam.Angulus igirur aldlc,angulo clald,per candê quintam primi cit arquas lis : 8: vterque proprerea dimidius ipfius anguli aldlb, nam angulus aldlbleifdern angulis aldlcl8: Claldlzqualis iam oitenfus ell . Duplus cil igirur angulus aldlb,ipfius anguli qui ad a.Éidem porto angulo aldlb,a:qualis rutfum cil albld:quæ autem æqualia funr,ciufdem flint duplicia,per (extat- communis fenrenriæ côuerfionem. Et albldlitaq; anguëismiufdem .1).

88 GEOMET. ÉLÉMENT. anguli qui ad alduplusiridem cil. Ifofceles ergo rriangulum canitiruitur albl d , habcnt r vvnumquenç cari qui ad bafin bldlfunr angularû duplum teliqui.and facere oportebat.

1c 48.1100044115. Panique ammopflrtmüywrop un, loiraàdbeôp 11966501; TE ml inyôviop infédiaaa (a. - , Problcma n, Propofitio u. N data circula , pentagonum æquilarerum 8: æquiangulum Il

cëjirufilioitt- Â defcribete. O R 0 N T I V S.GIEfto datas Circulus alblcldle , in quo receprû fit defcrià a fiYÎbfndÎ PC": -I il - - bere pentaganum æquilaterû’ 8: æquiangulum. Côilituatur [Der antecedenrem agoni. decimam propofirianem, rriangulum flglh: cuius vnufquifcpl earum qui ad bafin glhlfunt .angularum,duplus fit reliqui anguli qui ad filât pet fecundam huius quarti,in data circula ’albchdle,dato triangule flglh,æquiangulum rriangulumdefcribatur alaeflrque angulus qui ad c,angula qui ad flæqmlis.Cüm igirur vterq; angulorum qui ad bafin lh,duplus fit . reliqui qui ad f: etir 8: vterque earum qui ad baiin ale , teliquiIanguli qui a clitidem dm plus.Secetur itaq; bifariam,per nonam primi, vterq; angulorum qui fub Clale8: alelctpros dufi’tis in citcunfetenriam aldl8: elbllincis refitis: 8: cannefitârut alb,blc,cld,8: dlellincæ tcfil’æ,per primû poilularum.Penraganum cil itaq; alblCldlelrefitilineum:8: in data circup Q1311 infiYÏ. la , pet tertiam huius quarti diflînitianem defcriptum I. ([Aia ptum penta- primùnfiqubd 8: æquilaterum.Nam angulus qui fub alele,dis gonaux fit 1e- midius cil vrriufrp çqualium angulorum qui fub clalel8: alelc. quilaterum. fed anguli elaldl8: dl al e, ipfiur Clal e, anguli item alelbl8: blelc,ipfius achleunt dimidiûzfeâi enim fun: bifariâ clalcl8: alelcl anguli . Quæ autem eiufdem , vel æqualium funr dimis t dium,æqualia funt adinuicem, pet feptimam communem (en; tentiam. qunque igirur anguli al a e, alclb, blêmi C’â’dgôf h dlalc,adcirmnferentiam ipiius circuli côfifienres , lulu adlm . uiccm æquales.In eadè’ potto circula æqualcs angulum î "3’ libus circunfetentijs fubtenduntur, crû ad centrum hetfi ad circunfcrenriam deduâi et rint,’pet vigefimamfextam tcrtij. Quint; ergo citcûérenriæ alb,blc,CId,dIC,8C e’aiæqua’ les fun: adinuicem. In eadem rurfum circula, fub æqualibus circunferçnrijs æquales refila! linea: fubtendunrur, pet vigefimamnanam ipfius tcttij.Aequales iraque inuicem fun: præ- faras circunferenrias fubtendentes lineæ même: proinde alblcldlel pentagonum æquilas 043M idem terum.l[Dica tandem quad 8: æquian lum.Œaniam circunferenria alb, circunfetenriæ pentagone)" cl d l cil æqualiszfi vrriq; æqualium a datutcommunis citcunferentia aleld , refultabunt fit 81515408140 aleldlcl8: blalcldlcitcu’nfetenriæ,per fecundam communem fenrentiam inuicem equaler. hlm. I Sub ipfa porta circunfetenria aleldlc,deducirur angulus alblcziiib ipfa autem blaleld,ans gulus Iblcld,8( vter? ad circunfcre’riam eiufdem circuli.Aequalis cil igirur angulus alblc, angulo blcl d z fub æqualibus enim circunferenrijs,:equales deducuntur anguli , in eadem patiifimum circulo,erfi ad centrum etii ad circunfctêtiam fuerint dedu&i,per vigefimama feprimam rerrij. Haud difiimiliret ailendcmus,reliquas angulos qui fub Cldle’,8: dlela,8c elalb,tum inuicem,rum vnicuiq; ipfamm alblCl8: blCIdlcaæquati.Aequiangulum cil igi. rut alblcld-le,pcnragonû.paruir quad 8: æquilarerum. In data itaq; circula,pentaganum æquilaretum 8: æquiangulum defcripfimus.Qqad faciendum recepetamus.

-. Bel.- Peinture: au «loboient uûxÀopflromEyoeop ic,’ P966601: iam dlleôp ce. ’11 and. impérial: .- Ptoblcma 12., Propqfitiq 12. l p Itca datum circulum, pentagonum æquilarerung 55 filma!" n

.5A; O R Ogulum N T I V S..l[Sit rutfum’datus defcribere. Circulus alblCl.dl.e,cuius A .centrumficits - tîtagoni pro- a ca quem oparreat defcriberc pentaganum æquilarerum 8: æquiangulum. De: fofiti circuit- feribarur in primis ini fa circula data, pentagonû æquilaterum 8: æquiâgulum alblCldle, Ictiptio. pet antecedenrem vn ecimam propafitianem:8: canncfitanrur fla,flb,flc,fld,8: flelfemin » diametri,per primum pailulatum. Apunfitis autem a,b,c,d,e,ad W8 3mm? [damnait

LIBER 1.1.11. . 39» angulos alg,alh,blh,blk,c1k,cll,dll,dlm,elml8: elg, pet vndecimam primi.In ditefirum igirur conflituenrut glalh,hlblk,lell,lldlm, 8: mlelg , pet decimâquarram eiufdem pria miztange’ntq; circulum datum,pet decimæfexræ tertij corollatium, in punfiris quidem a,b,, c,d,e.C6uenient infuper ad punira g,h,k,l,m.Refi’ta enim alb,incidcns in glbl8: hlklrea filas , diuidir vrtunq; angulum refirum qui fub flalhl8: hlblf,eificitque prepterea interios res 8: in cade parte angulos alblhl8: hlalblduabus refitis minaresmeceflùm cil igirut,rea firas glbl8: hlklin infinitum produâas,tandem cômrtete ad pattes h,per quintam poum ’ latum.Haud dillimilitet afiendemus,quad hlkl8: klllcôuenicnt ad punfiÏum k,atq; klll8: lltnlad punfitum l, necnon llml8: mlglad punfi’tum m:8: mlgltandem glhlad punfitum g. Pêragonum cil igirur glhlklllm:8: circa datum circulum alblcld,pet fexram huius quarti . . N diflinirionem,defcriprum . (IAia iam quad 8: æquilaretum. Caniunganrur enim flg, flh, 0435 mm" 8: flkltefiræ lincæ,pet primum poilulatû. Cùm igirur flalipfi flb,per circuli diifinitianem ÏCÏ’P’um’ a fit æqualis:ifofceles cil: rriangulum alflb,8: proinde angulus flalb,angula flbla , pet quim tagopumfit . "tain ipfius primi cit æqualis.Atqui refirus flalh,refita flblh,per quartum pailulatum æquus «qmlatefm cibteliquus igirur angulus alblh, tcliquo blalb,pet tertiam cômunem femé’tiam ca æqua, ’ t lis.Et lattis propretea alhllareri blh,pcr fexram eiufdem primi æquum efl:.Similiret citent. detut quad alglipfi gle,-8:lblklipfi klcl cil æq’ualisz8: confequ’enrer ira de cæretis. Rurfum quoniam alflipii flblefi: equu 118,35 ml! vrriquc cômunis z duo igirur latera alflS: flhltriam l guli alflh, duobus hlfl8: flblrrianguli hlflbg’funt æqualia als - terum alteri:bafis quaq; alh,bafi hlblæqualis. Angulus igirur i alflh,angulo hlflblçqualiseil,per ofitauâ primiz8: vterq; pro, a inde,ipfius anguli alflbldimidius .’ Eodem mada calligcmug, angulum alflgl dimidiü fare ipfius. anguli alflc. Arqui anguli al lbl8: alfle, æquales fun: adinuicë, per,vigefimamfeprimany g e . rettij z nempe ad centrum f, fub circunferentiis albl8: alelina - . . uiccm æqualibus dedufiti.mæ autë æqualium fum- dimidium; zqualia fun: adinuicem, pet (cptimam communem fcnrenriam.Acqualis cit igirur angulus Mû 8,339110 Vf’hiæ "iam flalg,re&o flalh,per quarrumnpafhilatum æqualis.Triangula igirur alflgl8: alflh,liabcnt duos angulos duobus angulis æquales alteram alteri,vniîm:3 lattis alflvrriqmommune, quod æquis adiacer angulis: reliqua igirur latera,reliquis lateri! bus æqualia habebqnt,per Vigcfimamfextam primi.Aequalis efi i itur alglipfi alb,8: rota canfcquenter glhliplîus alhldupla. Haud aliter ailëdemus quad lkgdupla cit ipfius blh. , Porta albl8: hlb,æqua1es præafignfae funLŒæ autem æqualium duplicia funr,adinuicem (un: æ ualia , petfext’am communem fentcntiamzæqualis elligîrur glhlipfi hllr. Similiret quoqi emôfl’rabîl’uriqubd cætera ipiîus pentagani latera,vrpate kll,llm,8: mlg,bifatiam diuidunrur: 8: tum inuicem,tum vrriquei fatum glbl8: hlklfunt æqualia . Acquilaterum p - ; ’ I cit igirur glhlklllmlpentaganum . ([Dica tandem. quad 8: æquiangulum.waniam enim 041M fac a" aitenfum cil alh,ipfi hlblfore æqualem,necnô 8: algl-ipii gle:quatuot igirur alh,hlb;alg,’ CWÏmP’W’ 8: gle,æquales funr.adinuiccm.Bina ergo" niangula 31h,!) ,3; a,gœ,habem. duo hmm duo, pentang bus lateribus æqualia alteram alteri, 8: bafin alb, bafi alel æqualem ( funt enim lateta ini fit lWWy’ faipti alblddlelpentagani æquilateti 8: æquianguli ) angulus igirur alhybfingul’o ygœl hlm. pet afitauam primi cil æqualis . Similiter oilendemus,quad reliqui an li qui fub blklc,8: V aldin? d: "V3311"! inuicem, tum’vtriq; ipfomm alglel8: alhlblre pandentet coæquan: tut.Aequiangulum en itaq; gghlklllmlpenra onum; Paruit quad 8: æquilaretum: defcric priîmque circa alblCldlcl circulum. Circa dgarum ergo circulum alblcldle, pentagonum , . aquilaretum 8: æquiangulum defcribirut glhlklllm.and oportuit fedii’et-i v ,

m «à 81°in, orpaiyavopfiïsip Pellan! 102545:61:36!» il); retisser;0re and. iaoyôytopfiüflup r ’ ’137, . ’ V v . Problema 13, Propojïtio 13. l 13 N data pêtagono æquilatero 8: equiâ’gulo,cirCulü defèr’ibete, g . i” 1 O R O N T I VS . (Bila datum pentaganum æquilatetum 8: æquiangulurn m ., . IL yl alblCldle, in quo expediar’defcribetc circulum . Secetur in primis vtetqçam w m "F A , .- gu arum albla8: blalelbifariam, pet nonam primi , fub refiris quidem lineis fiibæifi’w 3m88. blfiquas opetæptetium cit tandem conuenire.Angulus enim alblc,minlqr cil: duobus l "W’.

9° GEOMET. ÉLÉMENT. refitis Ç nain alias albl 8: blc, in refitum canitituerenrut) quapropter 8: angulus alblf,dîe midius ipfius anguli alblc,rc&o minot ciblât proindem blalf,rcfil:o iridem minar.Hinc fit, vt refila alb,incidat in albl8: blfllineas te&as,efficiens in eadem parte inretiorcs angulos binis mais minores. Côcurtent igirut,per quintum pailulatum alfl8: blflin direfirum pros dufitæn’dque intta datum pentaganum. An’gulo enim alblc,appanirut lattis dle:8: cldlla- rus ,ipfi blalelangula.Re&a igirur alflin refitum extenfafiàdet in latus Cld: 8: ipfa blf, in lattis dlezfcfe inuicem intta datum interfecantcs pentagonum . Secenr (e igirur, 8: cancutranr in la» a punfila fiAia punfitum f,fore cëtrum defcribcndi in data peut tagana circuli. Connefitanrur enim flc, fld , 8: flellincæ te: .ËMW (tituber primum pofrularum.Cùm igirur alb,fir æqualis blc,8: un f, b’fwrrique communis : etunr bina lareta albl 8: blfltrianguli la?" alblf , duobus lateribus elhl 8: blflttianguli clblflalternarim a - m æq’ualia: 8: qui fub requis lateribus continentur anguli alblfl8: w e U Æ, film pet confltufitianem adinuicem æquales.Bafis igirur ’ a . alf,baii flc,8: an lus blalf,an la blclf et arram pnmr cil æqualis.Angulus porta blalf,dimidius cligilpfius anguli gale: 8: ipfiPblaglelgqualik ana SURE" WUd, Per hypathefin . 033e autem inuicem æqualia funt,eiufdem vel æqualium dia midium eiTe videntut: pet feptimæ communis fentenriæ canuerfianem . Angulus igirur . blclf , dimidius cit ipfius anguli blale , 8: proinde anguli blcl d:teliquus infupcr angulus fICld,dimidius iridem cil eiufdem anguli blCld . Bifariam iraque diuiditut angulus blCld, ,filb refila le . N ec diffimilitet aficnderur,vtctque teliquotum angulorum qui fub cldlel8: dlela,bifatiama difcindi ni fub refitis lineis dlfl8:. elfiatque flc,fld,8:. flelrefiras,rum inuicem, tutu ipfis flal8: flblcoæquati.Diuidanrur canfcquenrer fingula ipfius pentagoni lateta bi: . fat1am,per decimam primi,in punfiris g,h,k,l,m:8: canneâanrur refila: lineæ flg,flh,f!k, .Îll,8: flm,pet primü paflulatum. Etunt igirur fingulæ ipfarum larerû medierarcs inuicem arquales:quæ enim æqualium flint dimidium,æqualia (uni: adinuicem , pet (cptimam com; munem fententiam. Et quoniam triangulatum glblleCflblhl, duo lareta glblôt b]f)du°1 - bus lateribus flbl8: blhl unt æqualia altcrum alteri, 8: angulus lblflangula flblhlæqliaf lis:bafis igirur glf,bafi flh,pet quartam primieflt æqualisJ-Iaud iflîmilitcr ailendenrur res liquæ flk,fll,8: flm,rum inuicem, rumvtriq; ipfamm flgl8: flhlcoæquari . Qinque ergo Hammam reâæ linea: flg,flh,flk,fll,8: flm,funr æquales adinuicem. Centra iraque f,interualla ana ablôlxra re[ô- rem flg,aur flh, vel flk,fen fll,aut flm,circulus defcribatut glhlklllm,pet terrium poil-ut lutin. latum . Tranfibir ergo ipfius circuli circunfetenria, pet lingula- punfira g,h,k,l,m.Ér quos niam rriangularum alglfl8: flglb , duo latera algl8: glf , duobus flgl8: glblfunt æqualia I alteram alteri,8: bafis alflbafi flblæqualiszangulus igirur alglffirëê’lllo flglb,p.et ofitauam primi cil æqualisz8: proinde vterque tefitùs pet decimam primidi mitionem. Haud aliter ailenderur vterque angulus qui circa reliqua puna-a h,k,l,m,eflè.refitus.Tangit iraque da: ’ ri circuli circüfetentia fingula ipfius pentaganilatera,per decimæfextæ rettij corollatium. C irculus porta in figura refitilinea dcfctibi dicitur,quâda circuli çircûfetentia,vnumquadn que larus eius in qua defcribirut tangir: pet quintam huius quarti diifinirianem . In data igirur pentagano alblcldle,citculus deiëribirut glhlklllm.Quad cxpediebatfacete. Wichita: "Il, 11969:0); «Il. Ed ’18 Joan wWIopfi ifs-ipîoziaàôlleôp a! mâ- iaayc’inopwüflxop WWIÏW. Problcma 14., Propofitio r4, v . I ü Itca datum pentagonum æquilarerum’ 8: æquiangulum, cit: 14. a»: » v , I. [Ï ï;(«fig O R O N T I Vculum S . ([Sit datum entaganum delcribere. æquilaterum 8: æquiangulum . , i la alblCldlc, circa quad circulum de cribere fit opetæpretium. Secetur bifariam vterque angulorum qui fub alblCl8C blale,pet nonam primi, produfitis alfl8: blfllineis l’es &is:quç pet quintam pofrulatum ,cancurtent tandem adinuicem inrta datum pentaganum, vterque enim angulus qui fub alblfl 8: flalblrcfira minar clic, nëpe dimidius anguli ipfius pentagani,qui binis reâis minot ethoncurtanrigitur ad punfitum f:8: connefit’antur flc, fld,8: flellineæ refiræ,per primum poitularumÆr quoniam angulus alblc,angula*blaleleii: æqiialis:8: qu: eiufdemvel æqualium faut dunidium, æqualiafunt adùfiIÎC’ïiPel’ (cptimam

LIBER 1111. l .9: c cômunem fentè’tiain.Angulus igirur alblf, angulo flalblzequæ lis ell:8: larus prepterea alf,lareri flblæquale,per fextâ primi. Rurfum quoniam larus alb, lateti blclcfl: :quale, 8: blfl vrriq; a commune : bina ergo lateta albl8: blflrrianguli alblf,binis la; reribus flbl8: blCIrrianguli flblc,funr :qualia alterum altetizôc :quos inuicem continent angulos pet canilru&ianem.Bafis igi: tut alf,bafi flc,per quartam primi cil: :qualis:8: reliquus angua lus blclf,reliqua flalblæqualis.Angulus porta flalb,dimidium a e engin li blale:8: blclfligitut angulus,dimidium efl; ipfius au: gulis lCId.qu: enim æ ualia funt,eiufdem vel :qualium funr dimidium,per feprim: communis fententi: canner ianem. Reliquus igirur angulus flqjd, eiufdê anguli bladlcil dimidiûz8: proinde ipfi angulo blclflçqualis.Haud aliter oiiendetut fldlipfi flb, 8: flelipfi flc: 8: omnes demum quinque linc: refit: , ex punâa flin fingulos angulos incidentes coæquari.Cenrra igirur f,interualla autem fla, vel flb,aut flc,vel fld, aut fle,citculus defcribarut albladlezper tertiû pailularum.Venier ergo ipfius circuli Cire cunferentia,per fingula punfita a,b,c, ,e:tangétcp propretea vnumquenque angulum dati pentagani. Circa datum igirur pentaganum :quilaretum 8: :quiangulum alblCldlezcirs culus,pet quatram huius diffinitionë, defcribirut.and faciendum fuetat. Paripr le, retienne a u. le flip diamine: xûûopfifo’rymop, icôwàweôp me and. imanat: imitaient. l Problema 1;, Propqfitio 1;. N data circula , hexagonum æquilaterum 8: æquiangulum defcribere. l f O R 0 N T I V S.(Eiia datus circulus alblCldlelf,cuius centrum g: in quo A quidem circula oparreat defcribere hexagonû :quilarerum 8: :quiangulum. Caaprerur iraque in circula albladlelf, dimeriens elf.Et centra f, interualla autem flg, defcribarut pet tertiam pailularum Circulus alglelh. Et quoniam ptæfati circuli in eadem Infm’ tic pro fun: plana,cammunem habentes femidiamertum flg, 8: centrum vnius in alterius citcuna, pofiti me" ferentia canitiruirurzfit vt vnus prædifirorum circulorum, fit partim intra reliquum,partim ni. veto extra . Vnde neceiTum ell,circulum alglelh,inretfecare datum circulum albladlelf: quue pet decimam tertij,in duobus târummadb punfitis,vtpotc a,8: e.Caniungantur igis rut alg;8: elglline: refitæ, pet primum pailularum : .8: pet fer cundum poitularum,dire&e producârur in punfi’ta b ,d.Rurfum et idem primum pailulatum , cannefilanrut refit: litre: a lb, blc,Cld,dle,elf,8: fla. H exaganum cit iraque alblCldlelflrez firilineumz8: in data circula , pet tertiam huius quarti diflini: tianem, .defcriptum . ([Aio primum ipfam fore :quilaterum. Quaniam punfitum glcenrrum cil circuli alblcldlelf: :qualis 0454 infert- ell igirur alg,ipfi glf, pet circuli diifinitianem . Rurfum quo; ptuvi bauge niam punfitum f l centrum en: circuli alglelh : :qualis cil,pcr nmfit qui: eandem circuli diifinirianem, alflipfi flg . Bin: igirur algl8: larerum, alf, eidem flglfunt :qualcs:8: :quales prepterea adinuicem, pet primam communem fententiam . Acquilatetum cil igirur Il ipfum alflgltriangulum:8: proinde :quiangulum, pet quint: -. libti primi carollarium. Et quoniam pet rrigefimamfecundam Primi , omnis trianguli rres anguli funt :quales duobus tefil’is : quiliberttium angulorum eiufdem rrianguli alflg, vnum rertium duorum refirarum comptehendir . Angulus iraque alglf,duatum refitarum tertium cil . Et proinde rriangulum elflg,æquilarctum 8: :quian: lum eit:8: angulus confequenrer flgle,vnum iridem rerrium duorum refitarum. Rcfira in: uper alg,canfiilens (uper refiram ble:efficit duos angulos blglal8: alglelbinis refiris equa: la, Perdecimamtertiam ipfius primi. quorum alglel duo rerria eorundem duorum retiro; tum comptehendimcliquus igirur angulus blgla, vni tertio duorum refirorum cil :qualis. Quilibet igirur triurn angulorum blgla,alglf,8: flgle,vni tertio duorum refitarü cit çqua; lis::8: :quales ab id adinuicem,pet primam cômunem fentêtiam.Er qui ad vetticem igirur c°nfifiüt 338W b(gIC,clgld,8:’ . dlglc,eifdê A.iiij. angulis,pet decimâquintam primi caçquantur:

92 ’ GEOMET. ÉLÉMENT. l hac cit, dlglelipfi blgla,-8C clgldlipfi alglf, arque blglclipfi flîle. Hinc colligirut , (ex angulos ad gl centrum dedufitos fore inuicem :quales. In ca cm potto circula :qualcs anguli,in :qualibus citcunfetentijs fubtendunrur , per.vigefimamfextam tcrtij.Sex igirur circunferenriæ alb,blc,cld,dle,elf,8: fla,funr adinuicem :quales . Sub :qualibus rurfum citcunferentijs,:quales refit: lineæ, pet vigefimamnonam rertij fubrenduntur.Sex iraque p . 4 refit: line: alb,blc,Cld,dle,elf,8: fla,fibi inuicem co:quantur.Aequilarerum cit proprets 04103 "le be’ c3 hexagonum alblcldlelfill’Dico iam quad 8: :quiangulum.N am circunfctentia alb,cir9 xdg’Înm fif cunfetenti: Cldlelt :qualis:fi addarut igirur communis citcunferentia dlelfla: confutgent æqu’dng’dur pet fécundam communem fententiam,:quales circunferenri: Cldlelfla,8C dlelflalb. Sub ipfa porta circunferentia Cldl elfla,cantinerur angulus alblc:fub ipfaverb circunferentia dlelflalb,angulus blcld. Anguli aure’ qui fupet :qualetcitcunferenrias in eadem circula deducütut,fibi inuicem funt :quales,erfi ad centra,erfi ad citcunfetétias dedufiti fuerint, pervigefimâfeptimam tettij.Aequalis eitigirur angulus alblc,angula blCId. Haud aliter m6itrabitur,quad reliqui anguli ipfius alblCldlelflhexagoni, vtpote Cldle,dlelf,8: elfla, rum libi inuicem,tum vrriq; .ipfatum alblcl8: bladlcoæquantut. Acquiangulum cit igirur ipfum alblCldlelflhexagonum.Paruir iam 9 8: æquilatcnîfl in dam 5110110 defcriPmmr V Mia eiufdem hexagoni de- (Idem rurfum hexagonum :quilatetum 8: :quiangulum aliter a firiptio facil. in data defcribirutcitculo.Sit datus Circulus alblddlclfiin que defcribarur in primis triangulum :quilarerum &læquiangulum, lim. pet feeundam huius quarti . Erunt igirur arcus al bl c, Utile, 8 b. 3’ f7 a, film par vigefimamfextam, rum pet vigefimamofitauam ipfius terrii inuidem æquales. Diuidarur quilibet ipforum rrium arcuum bifatiam,per trigefimam eiufdem rertij, in unfitis qui! dem b,d,f:8: cannefitanrur alb,blc,Cld,dle,elf,8: lalline: res &ææer Primum poitularum. Dcfcriprû erit igirur hexqganum alblCldlel fl in data circula pet tertiam huius quarti di initia: . nem: quad palam cit fate :quilatcrum.Singuli enim arcus ipfa L d larera fubtendëtes,:quales funr.adinuicë,nempe :qualium (hoc eit)ipTarum alblc,Cldle, 8: elflaldimidij z 8: fub :qualibus eiufdem circuli atcubus,:quales fubrenduntur refit: lia ne:,per vigefimamnanam eiufdem rertii.Aequalia (un: igirur ipfius hexagoni latera. Aio quad 8: :quales c6prehendunt angulas.vniquifcp enim ipfius hexagoni angulus fub :quaa libus deducirur atcubus, nempe fub quatuor citcunferenri: partibus,qualium ipià citcuns fetenria cit (ex. Acquales igirur funt adinuicem ipfius hexagoni anguli,pet vigefimamfe. primam eiufdem tertij. In data igirur circula alblcldlelf,hexagonû :quilarerû 8: :quiana gulum defcribirut.Qiiod feciiTe oportuit. ’ (Carmin- (IHinc fit manifeftum,quad hexagoni larus,ei qu: ex centra circuli, in qua ipfum defcri: bitur hexagonum,cit :quale.0ftenfa cit enim vrtaq; alflô: flc( qu: larera fun: hexagoni) ipfi flglqu: ex centra gl:qualis:8: alflipii alg,atque flelipfi elglitidem :qualis. vicinale be- (IItem fi pet punfita a,b,c,d,e,f,refit: ducâtur line:’circulum angulum cir- ipfum contingentes,8: cum illius dimerientibus ad refitas cons mfaibatur. uenienrcs angulos: hexagonum :quilatetü 8: :quiangulum cit , ca datum circulum defcriberut. quemadmodùm ex duodecima huius quarti propofiriane de pentagano , 8: obiefita fi uta vel ne circuli in facilè deducerur. ([Prætctea, nec minus facilè in data. exaga: data benga- no æquilarera 8: :quiangula,circulum defcribere,8: circunfcri ne infaiptia. bere paterimus: pet ca qu: decimatctria 8: decimaquarta pro: ne, a: circum- Pqfil’ionefic pentagano ipfalpræaitenfa fuanuqd ex fupradis raipfiom. fitisi’calligere oportebat. l’aimait: i5, relierai: tr. I: Tôp 8006m: nu’uÀop mutemâexdyovopfiaimweôv "ï mît-3’409: .I "a: ,, Probltma 16, Propqfitio r6. . N data circulo,quintidecagonum :quilaterum 8: :quiangu: 16 ’ lum defcribere. , v, 7’ O R O N T I V S. (ISir datus circulus al.blcl dl e,in qua receprum fit defcria bere quintidecaganum :quilaterum 8: :quiangulum. D’efcribatur primis fupet data

pLIBER’ un. ’ . .5; que iam refit: linea rerminara rriangulum :quilaretiî, pet primam primizquad pet quint: eiu dem primi corallariurn,erir :quiangulum. Hui: paitmadum triangula,:quiangulum rutfum dcfcribarur rriangulum in data circula alblCldle , pet fecundam huius quarti pro. - pofitionemzfitque alcle.lrem à punfita a, in eadem circula albICldle, pentagonum :qui: larerum 8: :quiangulum déferibarur albldlflg , pet vndecimam huius quarti . Etir igirur Artificiofi la. rriangulum alclelæquilaterum,per fexr: primi libri carollariumzcuius larus-quodlibet,fub, nm 7mm, tendit tertiam circunferenti: pattern circuli alblcldle. quodlibet autem ipfius albldlflg, agoni «in. ’ i pentagaui latus fubrendir quintam eiufde’ circunferenri: par. «me. Item . Qqaliuin igirur pattium vel fegmentarum -, tara circuli alblcldlel citcunferenria cit quindecim : talium fegmentum alblCIetir quinque,8: vttunque fegmenrum albl8: bldlttium, ’. 8: proinde totum fegmentum albld,fex. Ér quoniatn fegmens tum alblcœit quinqzerir teliqua pars cldlfexrumipfius albld, feu tertium ipfius bl d, 8: tarius ptapterea al blCIdl el circuli quindecimum. Coniunfita igirur cldlrefita,per primum pollua larum , erit latus quintidecagani in data circula defcribendi. Cui- fi :quales refitas lineas in data circula alblCl dlc, ab ipfa n quidem punfitodlverfus el8: alin.Clcantinuè,pet primam hua ius quarti caapraueris: erit in codé circula deicriprum quintis - decagonum :quilarerum. (IPotcrüt 8: fingulorum quindecim dandina fegmenratum diftinfitiones,per ipfius pentagani :quilareri 8: :quianguli, in data circula alblcldle,geminatam turfum .defcriprianem abrineti,à punfitis quidem cl8: e:8: compara: ris inuicem fegmëtis,dcmôltratiuè concludi.Qemadmodùm ex ipfa licer infpicere figura. (ïAia iam quad ipfam quintidecaganum :quilarerum,cit :quiangulum,Quibuflibet enim Qgëd Jefirii angulis,fub duobus quibufvis ipfius iquinridecagoni lateribus ad citcunfetentiam comptes primi quinüe henfis, :qualer fubtendûrur circunfetêtiæznempe fegmcnratum inuicem :qualium (redit: decagouum cim,qualium tarus Circulus cit quindecim.ln eadem porta circula ,anguli qui friper arquas æqidlatenî, les citcunfcrenrias deducuntur,iibi inuicem funr :quales,etfi ad centra,ctfi ad citcüferen fit «alangui rias filerint dedufiti,pcr vigefimamfeptimâ retrij.Aequiangulû cit igirur ipfam alblCldlel lm, ,quinridecaganum.Paruir quad 8: :quilarerum,8: in data circula deitriptumJn data iraq; circula alblCldle,quinridecaganum :quilarerum 8: :quiangulum defcribitur . Œad (me .dem[038d fi par faciendum fingulas fegmentarum 8:teceperamus. angulorum quinridecagoni diitinfitiones,refitæŒWW. du canrur litre: circulum ipfam contingentes,8: ad refitas angulos cum produfitis èceng l rto femidiamerris conuenienres : quintidecaganum :quilarerum 8: æ uiangug lum,citca datum circulum defcriberuraquemadmodùm duadecima uius quarti propafitiane , de circunfcribenda rradidimus pentagone. CH and diilimiliter,pet ca quç decimatertia 8: decimaquats e ra eiufdem quarti propoiitiane,de pentagonis oitens - a funm’n data quintidecagana æquilatero 8c æquiangula circulum defcribere , ac circunfcribere licebit.

ÊÜ Œarti libri Geometticorum Elementarum, F I h N I s. . ( )v î

94-

ggkcazraëî’âi’ëê’fir’îïè’à’êèm KirVJr-QK’A’W’ 9a i ’

,Orontlj F1næ1,Delphinatis,Regij ’ MATHREMATICARVM PROFESSORIS, In quinrumiElementarum Euclidis, Demonftrariones. CIDifiinitionum elua’datio hon affermirent. ORONTIVS. -» OSTQVAM EVCLIDÉS QVATVOR ANTE. J cedentibus libris,quantitaris côtinu: qualirarem,illiiifq; dimenfianes apertè demanftrauit : iam binis fuccedentibus libris , magnirudinum i rationes , arque proportiones , aurriilimisp’rafequimr aftenfionibus. scapin huius n Haine iraque libri quinti fcapus cit , de propartionibus in vniuera libri quinti. -’" film pertrafitarezfingula enim qu: in ea demonitranrurmon falùm ad geomerricam videnrur fpefitare contemplatianem,fed commune ali: a quid habent cum Arithmerica,8: Mufica, 8: cum dofitrinis omnibus qu: fub mathemarica tradirianc comptehenduntur. Verùm quoniam dei-proportianibus . fatmas cit fetma,prapotrio autem rarianum viderur eife fimiliruda: de rationibas,quibus . I a ipf: companuntut proportianes , in primis rractandum cit. prias enim aportet agnafcere nuptiaux fimplicia,quàm campafita. Cùm igirur binai magnitudines inuicem comparâtut:h: a: comparatio. culdubio aur :quales, aur inæquales affenduntut . Praprium enim quantitaris eife di nie Habitude. Atiitoteles,fecundum eam :quale,vel inæquale dici,8: huiufcemadi compararia,habiruda lima. dicitur:quam Euclides,ad vererum imitationem,ratianem appellat. Ipf: autem magnitus -dines,rermini rani: vacitanrutzill’a quidem qu: alteri referrur, antecedens: : reliqua me, C°nfcquens, 3d quam fcilicct: alterius fit comparatio. Id porta, qua altera diltat à teliqua: differentia proptiè dicitur. (Quarks iraque propafit: 8: adinuicem campant: magnirun dînes,fi1erint inæquales, 8: minot metiârut maiorern, hoc eit,aliquotienr fumpta , feu pet , datum aliquem multiplicara numerum , ipfam maiorem reltiruir magnitudinem: rune mis nor magnitudo,pars ipfias maioris dicitur:quam valgus peculiari nomenclaruta,iuxra mal CŒ°Ë4 I riplicarianis numerum,multiplicatiuam feu quatam pattern eiufdem maiori: adpellar.Qgç m’hl’lmtl’ ab Euclide fic primum diflinimt. film": naturaliser zIorxatoN FBMFTON. e ŒMïeoc 35 itérai): ptfieafl-ô ÏÂawop’Îë pagnotions maupmçiî 75 pâzop. Pars eitlmagnituda magnitadinis minor maiorls, quando minor me: kWh 9’" YËPOÊC,titurmaiarem. binis magnitudinibus daris , quarum i zairera *- bipedalis ïr- , altera : veto. fextupedalis t4 partis. antan-quoniam bipcdalis ter fumpra,feu pet tria multiplicata,fexrupedalem meritur mac gnxmdrnem:idcirca bipedalis magnitudo,pats cit ipfius fextupcdalis magnitudinis,8: rets Mültîpltx- fla pars eiufdë fextupedalis peculiari difcrerione vocatut . alfa porta maior magnituda, r Q1133! minot fuprafcripta multiplicatiane metitur: multiplex ipfius minotis adpellatut mas SmËufhîllühoc eft,mulratîens ipfam minorem comptehendens magnitudinem,v cl ex mais t’PÏICI eiufdtm minaris tepetiriane confargens.Hinc dicit Euclides. ŒmlhoeraÀœoiop wifi: piaffois a? iÀéwovoçÆwp manut’œiiirœ: «un a? intime- M ultiplex aurcm,maior minare,quando eam merirur minot. exemplum VÏ in Præêmlmpta nuper cxêplo, fexrupedalis magnitude multiplex dicirur ipfius bipea multipliât. d alis magnitudinis,vtpore,q; mulrariês,lwc cit tet,eandê bipedalë côtinear magnitudinë,

feu quam bipedalis ter multiplicaraLIBER metirur.8: propretea fexrupedalis,rriplexV. T x ipfius 9: bipes dalis peculiari refirifitione vocatut.(ICùm autem minot magnitudo aliquodês fumpta,fen Purs adgngu multiplicata,plus au: minus efficir,quàm fit ipfa magnitudo maiotznô quora,fed adgtega riua pars ipfias maiatis viderur cife magnitudinis , ex quatis fcilicet partibus adgtegara, W 0 ab ipfatum patrium quararum rum numera,rum qualirare denominanda Veluri quadrupe Exemplum. vdalis ad fexruptdalem relata magnitudinem,adgregariua pars eiufdem fextupedalis dicen da cit magnitudinis. Campanirur enim ex geminis bipedalibus magnitudinibus,.quanim quæliber tertiam fextupedalis pattern eflîcit: hinc bipartiens terrias eiufdem fextupedalis denominaturJlQu: igirur adinuicem campatar: magnitudines,c6muni aliqua meriunrur cimè’ficrabiler magnitudinezcammenfurabiles,fi:u communicantes,8: rarianales adpellanrut. Cuiufinodi (7 rarianales funr omnes numeti,à binaria in infinitü diitriburi,quas indilfetcnter meritur vniraszamnes magnitudines, infuper ad numcras relarærmagnirudines, dererminarâ inter fefc rariané vel habitudinem. obtinenres;Qgibus autem non accidir cômunis aliqua,8: pet numerü expteifa menfura:in: Hameau? - commêfurabiles,8: incommunicâtes,irrationalefve dicûrut magnitudines,quarû habitude fablier (7 ir- dererminaris non exprimitur numeris.Veluri fun: diaganius,8: latus quadrari geamertici. rarianales. Illa igirur rarianalium vel irrationalium,feu commenfutabilium,8: incammenfutabilium magnitudinum campatatia,vcl habitudo,ratio (quemadmadùm fuptà difitumcibà vctcs ribus adpellarurzqu: ab Euclide in hunc madum difiinitut, a i ’ «A5704 35 (No [49405]! ôpoytvôp rimât villÂlKÔW’m’. «et; 82mm: qui: mime. . Rath en: duarum magnitudinum eiufdem generis,aliquatenus adinui:

Sala enim vniuaca veniunr inter fefe campatanda,vtpare, numerus numero,linea lineæ, Q4 imite»: cemfupcrficies fiiperficiei, quædam folidum folido,fanus fana,habitudo. rem us rempati, velociras velacitari,8: i i comparant. qu: funr huiufcemadi.Inrer ca enim quç diuerfarum unr generum,nullavidetur accidetc comparatio.!IOlÏendirut autem ratio inter numcras abfolurè confideratas,quâ atithmeri: , Ratio cam nuncupamus rationem:inrérve fanotas,hac elt,ad fanatum harmaniam relaros’nume: Aritkmetiw ras, qu: harmonica ratio dicitur: vel inter abitrafitas tain à matu , rum à matetia magni: Harmonica. tudines,qu: ratio geamcrrica proptiè nominatur. qnæmnque porta. rationcs inter iPros Geomettica. inueniunrut inumcros,eædë inter fingula continuarum offenduntut’ encra:at nain è diuet: fa.Arirhmerica fiquidcm taria,tantummado tarionalium viderur e c magnimdinungea: metrica vera,ram rationalium quam irrationalium contemplarur magnitudinum habitudi: " nem.Qg:cunq; infuper tarianis diuetfirarcs vni côtinu’arumaccidunr generi,vrpore lineis: cxretis continuarum viderur euenire generibus,fuperficieius inqaàm 8: folidis.quad ipfis non folet acciderc numeris.Idcitca de geamcrriCa,8: veluri principatü abrinenre rariane, hoc loco trafitare principaliret intendir Euclides.(IDuplcx cit aure ratio geamerticazalres Ratio ta quidem :qualiraris,cuius difcrenria nulla eft:alrera veto inæqualitaris,cuius rarianales Acqualitatir; fpecics funr quinque:rtes quidem fimplices,vrpore multiplex, fuperpatricularis , 8: fripera faqualitatir. partiësz8: du: ex eis côpafiræ, fcilicet multiplex fuperparticularis, 8: multiplex fupcrpat: tiens.Prima igirur dafitrina fimpliciam,poitea cçr’er’a in vniuerfum perfcrurantur rationum difcrîminazdebct enim fimpliciû dafitrina,in omnibus dafittinâ ptæcedetc compafitarum. llMulriplicern iraq; falemus adpellare rarianë,quaries maior magnitudo minarêÇvri fuprà Ratio multi- difitum cibpluries 8: adæquarè comprehëdit magnitudinemzqu: in duplam vt quarernatij riez: ad binarium,rriplam veluri fenarij ad i film binarium,quadruplam vrduodenatij ad ternat tiam", 8: deinceps ira quantumliber fa diuiditut, tout maior magnitudo bis,ter , quater, pluriéfve minorem comprehendir. ’Supetparricu atis autem ratia’dicitur,cùm maior ma: 51:1:anch gniruda minorem femel,8: quaram infuper minons parrem cantiner: qu: feiqualreta dicip [ont rafio- tut vt remarij ad binatiû,aut fefquirerria veluri quaternarij ad ternatium, vel fefquiquarra vt quinatij. ad uatematium,8: rcfpa’n’denrer ira quantumlibet,pram pars ipfa alteram min naris magma: inis parrem,vel rerriam,aur quartam,aliamvë quota parrem efficir, à, data A quouis mimera denaminatam; ’Superpartienrem vert, tarionem.adpellamus,quaries ma. Rutio flip"- i ior magnitudo minorem iridem femel compreh endir,8: continge’tem pr:retca vel adgre’ Pmim.’ . gatiuam eiufdem minoris pattern , ex quotis i fias minoris partibus compafiram: qu: va: ria,Pro numcra ac ratione partium,farritut di crimina, geminaindigenria Inumera,altero quippe multitudinem,»alteta autem nomenclatutam talium partium exprimenrezfic tamen I vr ipfe numetatar,à denvaminaratefala vnirare fupererur. Alia enim fuperbiparriês rerrias - dicitut,vr quinarij ad remariâtalia faperttipartiës quartas,velut fcptenarij adqua’retnariû:

96 GEOMET. ÉLÉMENT. alia ma fuperquadripartienc quinras,veluti nouenarij ad quinarium , a: deinceps in fine Multiplexfü- natu,vocitarur. (EHinc facile colligimr,vtriufcp compofirarum rationum diffinitio.Multi. Pnparficulan plex enim 8: fuperparticularis ratio dicituif,cùm maior magnitudo minoré pluries, 8c que. ris. tam infuper eiufdem minoris pattern comprehendit . Multiplex denique 8c fuperpartien; Multiplexfû- ratio nominatur,quoties eadem magnitudo maior,minorem iridem pluries , 8c parte vlrra perpartim. non quotam,fed ex quotis eiufdem minoris partibus adgregatam confiner . Q: tum pro varient: multiplicis,tum pro vtriufq; &Iuperparticularis 8c fuperpartientis diuerfitate,in sarde ratio- varia,8c (fi liceat diacre) infinita compofirarum rationum partiuntur difcritnina.(ICæterz ms. autem ab his magnitudinum habitudines,quarum denominationes ignoramus:furdæ irras Notmdum. donaléfvc nuncupantur. Porrb hæc omnia velim intelligas,dum maiore: minoribus com parantur magnitudinumâ fi minores ipfis maioribus comparentur magnitudinibusJubra; .tionales erunt minores maioribu:.Hinc talium magnitudinû rationes,lubmultiplices,fubs (uperparriculares,fubfuperpartiêtes,fubmultiplices fuperpam’culares,& fubmultiplices fils mutina" perparticntes,pro ratione atq; tranfpofitiduc tenninorum,adpellantur.(ICuiuflibet autem comparution: fuprafcriprarum rationum cum alia quavis fimili ratione comparatio vel habitude ( non vt magnitudo magnitudini, fed vt hæc ratio cum illa ratione comparamr)proportio dicitur: cuius hæc cit fummaria diffinitio, Œ Avakoyl’œ N 859,11 7’55 M709 ôpoco’m. 4 ProportioHoc efi,duarum plurilimve vcrô,efi geometricarü rationum rationü fimilitudo.vt identitas. fi dupli duplæ, fchual. a . teram fefqualterz,pluréfve duplas,aut fchualteras,8c alias quafcunq; fimilcs rationes inui. 13:me cem comparauerisr Nam de Arithmerica proportione,quam vocant æqualium differentias aritbmetica. mm inter dal-os numeros obferuaram progreflîonemznihil ad præfentem doârinam. N cep ne mafiupro de proportione mufica,quæ potins harmonia quædâ cire viderur:vrpote,qu2 fit cùm oblaa fortiche. ris tribus numeris,quam rationem maximus obtinet ad minimum , eam quoq; (cruat diffa renfla maximi fupra medium ad différentîam medij fupra minimum , in fuprafcripta ratio. num fimilirudine minimè confifiens. Sicuti enim arithmerica progreflîo,à mufica differre pe hiberur harmonia:fic 8c gcometrica proportio (qua: fol: peculiari nomine proportionis . venir adpellanda)abvtraque diflinguiturJIEfl; autem geometrica proportio,aut continua, "mW" 34° au: difcontinua.Continuam adpellamus proportionemfiùm datis quotlibet eiufdem gene "fatma con- ris quantitatibuspmnium antecedenrium ad proximè fuecedenres continuara fematur ras m tionis habitudo:fic vt prima folùm antecedentisflltima verô confequentis,intermediç aui, i rem 8c antecedcntis 8: confequentis flingmrur oflïcio.thote cùm prima ad (ecundâ cairn femat rationem,quam fecunda ad tertiam,& tertia ad quarram,& deinceps ira quantumli. 5014 maiqu bec. Œæcunq; igirur continua proportione ligantur,eiufdem oporter cire gencris:proptei continua pro: necefi’ariam cuiuflibet antecedentis cum fuo confequente refpondêtiam,& Continuandam partbmligan inuicem comparabilium habitudinem, flue relationem. ŒDifcontinua verb proportio,fit: flir- . " v Cùm oblatis quatuor,pluribüfve quiritaribus,prima ad fecüdam eam habet ratione’,quam Difi’minua tertia ad quartam,8t quinra ad fextam,8c côfequemer ira quantülibet.Huiufcemodi nanq; proportio geo rationum fimilitudo, vel identitas, proportio,fed difcdntinua vocitatur. confequcns enim meniez. primat rationis,non fit anteccdens recundæmeq; item confequens ipfius fecundæ, in terri; Centre diuer- rationis continuatur antecedenswclur ipfi continu: diximus euenire proportioni. PofTum: fidifiôfinm irai; genere diuerfa,difCOntinua inuicem proportion colligarizob fingulorum antecedeni. proportionem dum,ad fingula confequenria,feparatim faâam comparationem. Eadem nanq; ratio intcf obfiruant. duos accidcns numeros:potefl fimul inter duas lineas,binzifve fuperficies,aut alias quafvis cannait". inuicem comparabiles inueniri magnitudines. H inc patet,difcôtinuam proportiqncm fub pari femper terminorum comptehendi ’numero:côtinuam verb tam parcm,quàm imparcm admittcre terminorum feu quantitatum multitudinem. . . CIME!» Ëxdp 7&3: filma: 119401.: AWœcfi flümœcflmmræàœmzôm 53mm «2619634411; » Rationcm habere adinulcem magmtudines dicuntur,quæ poiÏunt muI y dewww; magnitudi PoiÏ tiplicatæipfius ratioais, arque proportiçnis inuicem adfignatas diffinitiones excederc. : defcribit confequenter 1 . ne: rationna Euclideçfluahter muicem comparai? magnitudines rationem habere dicitur. Cùm igitui: bubon difii. F2!!! iatioualium quàm irrationalium hic perfcrutenrur magnitudinum habitudines,& ipfa mm. i manonaliu magnitudiuum habitudo,tum nobis,rum ipfi raturant ignpt3,dcuominationê

LIBERV.’.,J -97 ab aliquo non valeur accipere numero:coa&us en: Eudideszt generalern quandam ratios gallium 8c irrationalinm perfcriberet difiinitionem) ad comparatarum inuicem magnitudi. num côfu ere multiplicationem,hoc efl,peripfarum magnitudinum æquè multiplicia difa finire,qua iter magnitudo alteri comparara magnitudini-ra’tionem habere dicatur.Si igirur l magnitu do almagnitudini blcomparemr,& ambæ æqualitct multiplicentur,hoc efl,amba; En"? "me rum fumâmr æquè multiplicia,elquidem ipfius a,8: dzipfius b: ’4’ W quam rationem habebit multiplex Clad multiplex d ,cam femaç ( a w bit 8c aImagnitudo,ad bzmagnirudinem . Quafi ignora inter a! p p B H ’ 8c bldifierentia,per multiplicationë ipfamm au geatur magnitu; J l l l dinum:& in rationis ignotæ nos inducat agnirionem.Tanta il, NWWt quidem multiplicium cum fubmultiplicibus,feu partibusinuenitur cire fiatemitar: vt ipfa; asque multiplices magnitudines non poffint aliquam rationalem au: irrationalem inter fefe habitudinem obferuare,quinlea fimul partibus accidatiiibmultiplicibus,&lè contrario. I (Inpw sans R674) layée» Mira eïvwflreâïfupqrçôe limonai. 713ml! firent TÊfluêTop, tout: ora; «a «animal 9’13 iodai; mmœaàéawn’fiî ü ÀW’S «direz-afin: ici-aime umlmouiœdiœp? m0, ômmoufi mîmu’aàæafoæpôp Wh» W3 , î a)": incitant ,17 5211.: 1’65 Ë, ü fifre: mixa Àweiv’m xaTa’cRxIÂœn * I 4 k ’ 6 In eadem ramone magnitudmes dicuntur elle , prima ad ramdam-85 p tertia ad quartam : quando prima: 8c tertiæ æquè multipliera, fècundæ. a: quarta: æîuè multipliera,iuxta quamuxs multiplicationem,vtraque vtranque ve vnà excedunt , vel vnà æquales fiant , vel vnà deficumt

fumptæOitenfa rationis au]; proportionis admurcem. diffinirione , qualiter infuper magnitudines , . w rationetn I o?!I magnio . habere adinuicemiudicentur: diifinit refpondenrer Euclides , quônam modo magnitudis’ tu brrr fuma: nes ipfa: fiant proportionales,hoc efl,fimilem videantur obrinere rationem,vhabitudi1m’fve dem ration: i nancifcantur identitatem. Quæ diffinitio,non potuit per alicuiusl præcedentium quinque renfilant. ’ rationalium fpecierum ipfius rationis vel habitudinis,vtpote aut multiplicis, aut fupetpara x ticularis , aut fuperpartientis,vel multiplicis fu erparticularis,vel denique multipliéis (in perpartientis defcribi fimilitudinem: propret urdasÇvt vocaut)irrationalium magnitudi’ hum habitudines, quarum denominationes exprimi non poflîmt. Configiendum ergo foa te exiftimauit Euclides, ad contingentem æquè multiplicium habitudinem,tam continuê, p quam feparatim faâa earundem magnitudinum relatione. Nam in proportionibus, ficuti Notdndiom. antecedentia adinuicem,& ipfa pariter confequentia , mutuam quandam inter fefe videns tut habere relationemzhaud diilîmiliter ipforum antecedentium,pariter 8: confequentium æquè multiplicia,iuxta quamuis multiplicationem coalï’umpta, fratema quadam rationum colligantur fimilitudine,atque è diuerfoztametfi alia inter ipfa arque multiplicia,ab.ea qua: inter partes offenditur fubmultiplices,contingat plerunque rationum identitas . Qubd au; rem ex multiplièium proportione,earundem partium, fub multiplicitîmve magnitudinum t prpæportiowel è côtrario ubfequatur:fuccedentibus ollendetur propofirionibus.prius enim di nire,quàm diflînirorum concludere neceiïitatem cit operæpretium. (ECùm itaq; fimi; mWfiom litudo rationis,binarium ad minus rationum, 8c proinde quatemarium magnitudinum vis flua-dam, deatur exoptare numerumzait Euclides,magnitudines in eadem elfe tatiofle,prîma quidem ad fecundam,& tertia ad quartamzquando primat 8c tertiæ,hoc eft antecedentium magnis tudinum fumptis arque multiplicibu: , 8c confequenrium iridem magnitudinum , fècundæ videlicet 8: quartægæquè multiplicibus ( etiam in alia quauis al) anteçedentium multiplia émane ) coaiïumptis, multiplex prima ad multiplex fecundæ eam femat rationem,quam multiplex tertiæ ad multiplex quartz:fiue ipfa ratio maioris,aut minoris extiterit marqua; litatis . Hæc enim de exceffii , val defeé’tu proportionali veniunr intelligenda. Velut ex Exemplunu ’ obieâa numerorum potes colligere fora, mula.In qua numeri dati fint a,b,c,d:8c C ipforum a l 8c c , primi inquàm 8c tertij aequè multiplias e, f, nempe duplimu: Il 4. l merorumquarti æquè iridem autem multipliœ8,g,h,vtpote bi,d, hoc tripli.Er citI quoniam fecundi Il mumultiplex 8: eladt4 multiplia",1I . , . . a r

9s GEOMET. ÉLÉMENT. gzeam habet rationem, quam multiplex fzad multiplicem hÇvtrobique enim (efquitertia) necefl’um cil: primum numerum and fcct’idum numerum bzeam fimul obferuate rationem, "l quam tertius numerus dad quartiî d ,nempe duplam.H and aliter de magnitudinibus, flue De comme continuis intelligito . (Hinc fit,vt in continuè proportionatis , vbi videlicet confequens oportim- primæ rationis fit antecedens fecundæ , fumenda fint æquè multiplicia fingularum magnis E514 . tudinum iuXta eandem multiplicationem,hoc elhaut fimul tripla, aut fimul quadrupla,8tc. prepterea qubd fecunda magnitudo , ipfius terri: fimul-funâatui- officie, 8c gemmas pas gamin, tentia magnitudines repræfentet; Yt datis in exemplum a, , c , numeris:quorum arque à T bNu c continÎIè - multiplices Mohà-Ies dem (in:iplîus a,8:d,e,f,vtpote elipfius b,atque tripli,d!quinflipfius c. Î Î f ’ A 3 ’ Si multiplex dlad multiplicem eïhabuerit * 6 Âe ’ èmu’m, Il eam rationem,quam idem e! ad fituncal l4 il z a" p œs’ primus numerus ad fecûdum bteam fimul , obferuabit rationem,quam idem numerus b,ad tertium c.quemadmodùm ex ipfa numero: rum potes elicere defcriptione:in qua tam dati numeri a,b,c,quàm eorundem numerorum arque multiplices d ,e,f,fub dupla inuicem ratione proportionantur. » ŒTà Jlè cap àu’rôp zygoma: Pt’yéell Myopwioîîioyop Mât». A DWIW Eandem auté habentes rationê magnitudines,proportionales vocëtur. 7 memlw’ Cùm enim proportio rationum fit identitaszfit vt magnitudines, qua: in eadé offendens tut elfe rarione,vel inter quas ratîomim offendetur fimilitudo (flue continua flue difconti: nua eiufdem rationis obferuetur identitas) proportionales adpellentur. dl: 0’33? a; 79W, l’abîme maillomàœoiop ml fi airé?! inhumant; W690 F a? .(Mlnfi’s mnœmaalv, «il du 7’52 tiffes mzÀœŒÀémop , pli Mixa f7? film de8,Tôît 76 . arram: sitôt; 1-5 Jïiui’llboppéziivœ Myop ïxdp Mflmfii’wû irô «fini: me?» in) miaulait. ,lmPrormîo: Qllando vcrô æquè multiplicmm multiplex primi excellent multi: 8 plex fècundi , multiplex autem terti; non excellent multiplex quarti: finifio. tune primum ad fccundum maiorem rationem habere dicetur , quam tertiam ad uartum. Œemadmod m datarum magnitudinum continuam vel difContinuam proportionem, ex coaiTumptorum arque multiplicium , 8c ordinatim comparatorum profportione pendere diffinitumlelhhaud diflîmiliter 8: improportionalium magnitudinum dl proportio , ex fus i prafcripto modo fumptorum arqué multi licium diiproportione,verfa tice colligitur. En: Difpropom’o. enim idifproportio,rationum diflimilitu o:vtpote,quando prima magnitudo ad. lecundam a z maiorem vel minorem rationë habet,quàm tertia ad quarti. Huius itaq; diffinitionis hæc Diffinitionis ce Emma . Si quatuor oblatarum magnitudinum coalYumantur æquè multipliait primæ 8c interpretqtio. tertiæ,atq; feeundæ 8c quartæ,& multiplex primæ ad multiplex fecundx maiore rationem . habuetit,quàm multiplex tertiæad multiplex quartæ:tûc prima magnitudo ad feeundam maiotem iridem rationem obferuabit,quàm tertia ad quartami8c fi minorem,minorem. Bit proinde rationum fubfcquetur diminilitudo,ergo difproportiozfiue ipfa: magnitudines cos tinua , vel difcontinua ratione ., feu relatione terminorum inuicem conferantur . quorum - exempla date,inutile iudicamus:vtpote,quæ à contraria proportionalium interpretatione

colligiH inc fit,vt cùmvel æquèymuvltiplicium facile poifunt. fuprafcripto . modo, . . coalfii’mptorum,multiplex V (Icorollarium. primi h . non excellent multiplex recundi,fed multiplex tertij excellent multiplex quarti:tunc pas muni ad feeundum minorem rationem habere diCetur,quàm tertium ad quartum. ([Avœloyi’œ émoi afiaip Seau; îMxi’soic 359. - ’ [Proportio autem,in tribus terminis ad minus efi. 9 De continua velim intelli as proportione.Cùm enim proportio rationü exiflat fimilitus do: operæpretium cit in iplg proportione duas ad minus inuicem fimiles occurrere ratio: nes,& proinde termines quatuor, duo inquàm antecedentia 8: totidem confequentia . Et quoniam in proportione continua, confequens primæ rationis fit antecedens fecundæ , in difcontinua verb minimèzfit vt continua proportio non poflît confiltere in paucioribus tri; bus tenninis,difcontinua autem in paucioribus quatuor. Hi filmiergo numeri temiinorum

minimi,inter quos videtur accidere LIBERproportio:maximi vero,nufquam v. dabilesl a funt,vtpote, 99 quoniam fimilitudo rationum in infinitum potelt deuenire numerum. .10un afin ptyéflu âvaEÀoyop Êflll 41359731111659 qD’Îflrmp, diduction M709 6&9 Aéywoafii’wôb 1:8; rai Jivfiopgqup illi fluages: layée»: Mékong To m6701: 7E9; d’à Thæflap, fifîŒàœciom 167°, ïxdp Aéyéqzfii’wfië mû; 75 dlu’rrfibop,m n’ai: îfi; iti Mêopfioc bip in àmÀoy’iœ ôqréçxili. llo anndo tres magnitudines proportionales fuerint : prima ad tertiam duplo maiorem rationem habcrc dicetur,quam ad feeundam. quando m mgmîu- autem quatuor magnitudines proportionales fuerint: prima ad quar: 4° gamma, tain tripla maiorem rationem habere dicetur, quam ad lècundam , 84 Pumas; fem et ordine. vna. plus, quoufque- a fit abfoluta x proportio. l a la Hic diffinit. Euclides. . quam . rationem . habeatin prima magnitudoce ad vltimam,inmue continue o ptoportionalibus. Senfus iraque diifinitionis e&,qubd in proportione continua ratio ex tre marum magnitudinum,ex fingulis rationibus in eadem occurrëtibus proportione inuicem . . compofitis generatur.Hinc fit,vt in minima proportionc, qu: fub tribus comprehenditur vbi ne; un. terminis,prima magnitudo ad vltimam duplo maiorem rationem habere dicatur,quàm ha tùm magnum beat ad fecundam,hoc ell,ex ipfis duabus rationibus fimilibus,primæ inquàm magnitudis dine, "01m. ni: ad fecundam,8c eiufdem fecundæ ad tertiam inuicem Compofitis,vel altera earum du: finales. i plata confurgentem.Multiplicandi funt igirur ipfari’i rationum denominatores adinuicem: producetur enim optatæ rationis denominator.quemadmodùm fecundo capite,libri quam ti noltrœ docuimus Arithmeticæzôc quinta diffinitione libri fexti clarius oltendemus.8int exempli caufa obiecti numeri a,b,c, fub dupla ratione propors Emplm. c nonati.vtraque igitur ratio a binario denommatur numero.Bis A . autem duo cflîciunt quatuor: à quibus ratio primi numeri ad Il.a I b6o . ’tertiü,hocp 3. cit,alad . Cldenominabitur.Erit. . A . ergoa primi . ad. ipfum . ’ . . tertium ratio quadrupla,feu przmi ad fecundû duplicataJIPon v5,» quam, . tu fi quatuor extiterint magnitudines continue iridem propor; "agui-mame: tionales:prima ad quartam triplo maiorem rationem habere dicetur,quàm ad fecundâ,hoc com-nué tu, efi,ex tribus ratiombus,primæ quidem ad fecundam, 8c fecundæ ald tertiam, arque tortue m par". ad quartai generatam.Sed animaduertas oportet, qubd in trium aut plurium rationû coms 50mm. ’ pofitione,operæpretium cit ex duabuâ primis vnam efiîçere ratio’nem,8c ex illa confeque’s Notmm. ter 8c fuccedente rertia vnâ rurfum conitituereiôc deincepsita quantumlibct,pr0’ datarum rationû multitudine.Dentur in exemplû quatuor numeri continue proportionales d,e,f,g, i 6. I 8. 4.. a. fub dupla iridem ratione diftributi.Quælibct igirur trium ratio: Exmplm’ d . e f d num,à binaria rurfum denominatur numero.bis autem duo ,ef: q ficiunt quatuor: quæ ofiendunr primum numerum ad tertium,’ vel feeundum ad quartum,quadruplam obtinerc rationem. bis autem quatuor,reitituunt oéto:à quibus octupla ratio denomi. natur . Aio itaq; eundem primum numerum ad quartum,o&ui I plain feruate rationem.quæ non prepterea primi ad fecundü triplata ratio vocitatur,quèdfl ipfa ratioJ primi ad fecundum pet tria fit multiplicanda : fed quoniam ter in eadem proporâ’ tione reperiatur,ex qua quidem triplici ratione,extremorum ratio fuprafcripto modo cons furgit. Eadem quoque ratio primi ad quartum refultabit,fi eam rationem quæ el’t primi ad tertium,vel fecundi ad quartum,per rationem eiufdem primi ad fecûdum multiplicaueris. Vtraque enim in præaflumpto nurnerorum excmplo cit quadrupla : quæ in duplam duéta; . refliruit o&up1am.([ uod fi quinque magnitudines continuè tuerim proportionales, pri; vbi i m, ma ad quintam quadrup o maiorem rationê habere dicetiu’,quàm ad fecundamzfi fex,quin ne] un»; fa: tuplo maioré,8c confequenrer ira,vna femper ordinatim adiunéta ratione, pro extenfione un magnum proportionis,vel adiunéto magnitudinum continue proportionalium numero. ’ dans; " CIGpôÀoyœ gnian Mythe manip?! bipare: nie influant! Je hippie: qui; ËWDWOK. Il Similis rationis magnitudines dicuntur, antecedentia antevcedcntibus,

a:p Idlelt,fimilitudo confequentia rationum inter eafdem confequentibus. magnitudines inuicem proportionales, me non ami:(os tionumfimù tu; lum inuenitur pet relationem antecedentium ad fua confequentia,vel è diuerfozfed tum ex litudine. , Lij. l

l Ioo GEOMET. ÉLÉMENT. ipforum antecedentium,tum etiam côfequenrium inuicem faéta comparatione. Ex ibus fiibfcripræ rationum illationes,fpeciéfve proportionû deriuatæ funt:quæ Primùm d. mua, tur ab Euclide,poltea fuo elucidantur 8: oflenduntur ordine. flamme; Mm 859w: 73’ rififis vrai»: ’16 üæâlllrovmd a MM?! me "à mon. Permutata ratio efl:,acceprio antecedentis ad antecedens,& confequen Il

Permutdtd thore,lî fuerint quatuor magnitudines inuicem proportionalcs a,b,c,d,ficut quidem u [Eu "riperaris ad b,ita czadad dzinferamus confequens. aurem,8c permutarim igirur ficur l al .8 6 ratio. ad c,ita bzad d.Hanc rationum illationem,permuratam adpel 2’ 4l; c’ lamus.permutatur enim confequens primat rationis, in antece; . .dens fecundæ:8c antecedens eiufdem fecundæ rationis,in con fequens ipfius primat vertitur. Primæ iracp rationis vterqi-ters t l minus ,antecedentiszôc vterque terminus lecundæ rationis,confequentis fungitur officio. ŒAvaËImep 7ième ŒJlN-iç a? Empîia à; üyupJWoUflQIoç ail ûyéMop à; ËŒ’ÜMoy.

Conuerfa ratio,elt acceptio confequentis tanquam antecedentis,ad au: 13 tecedcns tanquam ad confequens. Id ell,confequentium in antecedentia,& antecedentium in confequentia permutatio:ran tionem maioris inæqualiratis,in rationem minoris,aurè diuerfo,conuerrendo.Vt fi alad b! eam habuerir rationem quam and d:& à conuerfa temunorum ratione inferamus.ergo fia mandant. cut bzad a,ira drad c. Igitur in permurara arque conueria ratione,nulla terminorum fubs fequitur alteratio:fed 8: antecedentia,& confequentia marient fubltanrialiter eadem. [Izüvewî’çMyzs 35,7xâdaç a? loupas Pt’l’â’ïî’ E’TTDWÉflÎJÇ ivôç ne); àuvû 46 Émiluælop. Compofita ratio,cfi acceptio anteccdêtis cum confequétc,ficut vnius, Illatio ratio: adSolemus nonnunquàmiplum in proportionibus,arguere confequens. à diuifis ad coniunéta : vnde huiufcec , p ni! à dium! modi rationis illatio,compofita,feu côiunéta ratio dicitur. Bit enim acceptio cuiufliber ans 43 com-10134. tecedentis cum proprio confequente,tanquam vnius antece; n 8 z Exemplum. dentis,ad ipfum côfequens. thote,fi and bzeam habear ras ab’ , a ’ a" a; ï” d’ rionem, quam Cf ad d:8c coniunétim inferamus. Igitur ficur ’ . l ’ ’ azbzad b,ita czdzad d.aug,ërur enim proportionaliter antece: U k dentia,per côfe uentium ipforum compofirionem.Huic con; traria cit diuifa, eu difiunéta ratiozquæ ira diffinitur,’ Œchîew-iç 7x67; mfltÎNLIÇ cg üflûûkllçfiî W630! «il ùinop a? êmaplbls 1E9; &Wà 76 Ê’nfiWop. Diuifà ratio,efi: acceptio excelTus , quo cxcedit antecedens ipfam con: illatio ratio-fequens,ad , Hoc cit, comparatio diiferentiæ ipfum cuiulliber antecedentisconfèquens. filpra confequens proprium,i l ad . m’a anim- ipfum confequens.Veluti fi eadé fit ratio azbzad b ,quæ cit Cldfad d:8c diuifim in hüc mas aima dum inferarurJgitur ficut and b,ita czad d.Ell: enim azdilferentia,qua rota ybz ipfam bi fuperar:& Ultidem differenria,qua rota Udœxcedit ipfam d.Hic autem modus arguendi, à coniuné’tis ad diuifa nuncuparur. " F (hua-wok A678 8H, ANA; a? humas me?» qui: mokhblî Mixa «à üyéMop a? initiés. Conuerfio.rationis,efl: acceptio antecedentis ad exceflum, quo exccdit 16 an tecedens ipfum .conlèqucns. ’ I - Em’fi fi” "r Hanc rationis illarionem : pleriqîeeuerfam feu reflexam nominant . En: enim comparatio r fieu 7450- cuiufliber antecedenris,ad differentiam , qua idem antecedens funin excedir confequens. Exempli gratia.Sit rurfum veluri azbtad b,ita czdzad d:8c c6: un 85.- 4. a. 4. a" uertamus in hune modum .pErgo ficut azbzad a, ira CIdzad c. 1b. b. a. ra, d, c. Sunr enim afôc C! différentia: , quibus 1348: dzab ipfis a IbÆc V’ v Notamlum. UdzfuperanturJ n compofita igirur, 8c diuifa ratione, ac Cons w " uerfione rationis, quanquàm nihil fumatur extrinfecûialteranè ’ tut nihilominus termni,ijdem fecundum fubllantiam minimè permanentes.

fluiez A574: liblflidômp (me!) pensum Émail amis loup val anone au; dm. Mpgœnwdpâ- Gai iræ M8 Myoflviup â à; ai qui; même twiflsmflzî «enim ça ÈME 30mg a,» au; «limais ptyêùoinlv manip mais 13 ammum âmæçflsïiduç à? anomal; agrifœîemp æpifiæp. I7 Acqua ratio elhpluribus exifientibus magnitudinibus,8ç alijs eis arqua: libus multitudine , cum duabUs fumptis 8: in eadem ratione : quando fuerir lieur in primis magnitudinibus primum ad-vltimum , fic in fe: candis magnitudinibus primum ad vltimam . Vel aliter : aCceptio ex: tremoru m,pcr fubtraétlonem mediorum. y V Exempli gratia, finr primi ordinis quâtitares a,b,c, fecûdi veto d,e,f:fi’tq; and btveluri dxad e,& bxad aficut e!ad f: yel and bllicut elad au btad aveluti dzad e:8t concludens 6 3 a. do fubinferamus.gitur ficut and c,ira dlad f. H üczmodum au 73-7 l z 8 4 guendi,ex æqualr, aut .exlæqua ratione vocitainus. Vr fi y ad. Infirmdi me; a. b; a d. a fi bl8: dlad elfefqualteram,b!autem ad 08: elad frduplam Obtis ’ du: ex que nuerir rationemtvel and bzôt eIadIfldupla ,’ biautem ad czar: ratione. v que d l ad e! fefqualtera ratione proportionetur: necelTum cil: q ’ alad c,atque dlad f,triplam obfemare rationem.vt ex ipfa nu. merorum potes elicere formula.Aequa igirur ratio,ram in ijs quæ ordinarain , quam etiam i perturbaram obfemanr proportionem reperirur. dirimait?" évaluiez www i à: MM»? mais îzrâwoamus biwa? mais 43 MM»: î «ne and à; nippai: «a; dans «bilame imitât!» me; 52m6 tu. l la Ordinata proportio el’t,cùm fuerit antecedens ad Confequens,ficut an: a teccdens ad confirqpens: 8c canfcqucns ad rem aliam,ficur conIEquens ad rem aliam. nExpediris quæ ex eademlptoporrio’ne fubinferunrur rationum çomparationibus: diflinir tandem Euclides,binas proportionum fpecics,inrer gominas proportionalium magnitudi’ num ordines accidentes.0rdinatam iraque proportionem adpellamus,quando antecedem rium 8; confequenrium ordinarim fit comparatio,Vt fi bini (verbi gratia)fiierint numero. Exemple»: or. ’ i ’ rum ordines,axblczinquàmprimus,& dxexflfecundus: dinar: prog a b c d l ’ t flueritque axad b!vcluti d!ad e,& bzad a lieur e! ad f. portionis. 9 6 3 ni 8 4 Banc rationumidentitarem,ordinatam falemus vocis. tare proportionem.Huiç contraria cit perturbata,qu;e fic dilfinitur, IITemgœyWu illi âmhoyia 3558404: T551: du me]: prflôpmj 5mm! 760p âne-aïe i- ndien pigea: à; .148?! si qui; même payieeaip biwa]: , mais î7r6Wop,3u’rOÇ ai qui; hmm; peyéllrmp imi- pxfiop imputois z émirs et? qui; arrêtant imam iÙnlWop argile MM m, 80762; ai mais Âm- 16Foiç peyîOtmpÏiyzÎWop partie ’6ch m. .1 :9 Perturbata autem’proportio ei’r,quando tribus exifientibus magnitu: dinibus , 8c alijs eisæqualibus multitudine : fit’ficur quidem in primis magnitudinibus antecedensad confequens , fic in feeundis magnitudi: nibus antecedens ad confèquens:ficut autem in primis magnitudinibus confequens ad rem aliam,fic in feeundis res alia ad antecedens. Hæc dilfiiu’tio rani lucida efl:,vr ampliori non videatur indigere declararione. Non grata a b l c d e t uaberis tamen exemplarem intelligere formulam.Sinr Exil?!" PH. 6 I V 4 v 6 4 3 igirur rurfum aIb!c, 8: dIeIfIgemini numerorum ordlâ un crdr neszfi’rque and b!ficut eIad f, 8c bzad clvelufl dxad e. tiam. Hunc itacp inuerfum proportionis ordinem,perturbatam proportionè’ adpellamus.(IPrærer ne extmlà, lias autë,Zambertus Venerus adiecir exrêfæ atq; inotdinatæ proportionis diffiniriones,abt arque hardi- ipfius ordinatæ au; perrurbata: proportionis diuidition-ibus minime difcrepâtemquas rum- nata, ratione. I.iij.

m GEOME’IÜELEMENT. quia in grxcis nufquàm reperi’ exemplaribus , rum qubd mihi fuperabundare videantur, confultô prætermifi. Omnis fiquidem extenfa proportio,ordinata clins: inordinata,eadem Notdndum. quæ perturbara. Ni forfitan voluerimus extenfam proportionem , terminorum vtriufque ordinis continuatam præfupponere relationem: cùm fcilicet præcedentium rationum con: i fequentia,fiunt antecedentia fuccedentium .« Vr extenfa proportio,conrinuè proportionaa lium folummodô refpiciat magnitudinum habitudinem ’: otdinata me, , tain continué, quam difcontinuè proportionata.Et fic extenfa ropotrio,fimul erit brdinatazfed non 0ms nis ordinata,exrenfa vocabitur. Idem velim’ ha cas iurliciùm,de mordinata arque PERTUIS. j. Juin; bata proportione.enseigna à, , relierois. 7 . .,A ne.- i àp E ômfiûouïpryieyfimwvoui permis l’appui militas, insola tués! îodmemW Empfiawzaào’toiop 33è 19 7’57 lames!) îyôçflwm’mraïc’zoiu ’t’sm and au! ’ll’DË’m 4R7 méfiât. Tbcorema i, v Propofitio i. I ’fiierint Î uæliber magnitudines quarumlibet magnitudi: p um æquaclium numero,lîngulæ fingularum a: uè multipli: a ’cesëquotuple’x cit vnius vna magnitudo , torup ices erunr 8c

O R O N T I V S.(IExordium fumir Euclides,à ratione multiplici. quæ cit omniiî fimpliç omnescillima,vtpore,quæ vnico omnium.denominarur 8c exptimitur numero.Air a iratp’ primùm.Si quotlis. ber antecede’tes magnitudines,totidem confequenrium magnitudinû,in data ratione mais tiplici filerint proportionaleszomnes antecedenres omnium confequentium,vtvna antecea dentium ad fuam confequentem , in eadem ratione, multiplici coniunétim proportionales I erunt . Sint enim azblôc czdxquzlibct ma nitudi’nçs,ipfarum ex8c fzmagnitudinumarquaà lium numero,lîngulœ fingularum æquè mu tiplices:irtpote,a1btiplius e,8( czdziplîus’fiAio, atbz8t c1 dz magnitudines , totuplices fore ipfamm cl8C fimagnitudinum , quotuplex cit w b! ipfius e,vel Cldz ipfius f. N am ex hypothefi, rot funr magnitudines in ,a!b, æquales ipli e:quot in odzmagnitudine, æquaIes ipfi f . Sir vrraque multitude, æqualis numero g. Et diltinguantur(exempli gratia) in alb,’magnitudines zquales iplî e, iuxta numerum g, Notandum. fintque azh,hzk,8t klb:in ipfo’porrb cjd,æquales ipfi f,quæ fin: cal,lzm,8r nvd . Cuilibet a B R enim magnitudini,quorliber dari,vel adfignari poch æquales, r---v---4--h recipiendum ’elt. Omnis præterea magnitudo,in determinatas [kA-mi quorlibet,8cadinuicem :quales partes C etfi forfitan nondum F-F-4-l-qv præoltenfuni fuerit, quanam ratione’i’d exequatur) abltraâiuë . r--f---q faitem parribilis du mélique magnitudo quæliber difcrerione Dedué’lxo rixe - quadam C ac fi foot um diltinél’a foret) annorari . cum igirur "mm- aihxæqualis fit ipfi e,’& ampli Exquales erunr azhgsc al,ipfis elôç ftmagnirùdinibus, et , fecundam communem fentenriam. Rurfum quoniam æqualis cit l’Vklipfi e, 8c Unvip if: æquales rurlùm erunt,per eandem communem fententiam, hzszz lzm, ipfis e,& f. Haud dilfimiliter oliendetur,quôd 8c cæteræ klblôi Wd,eifdem ez8c fzcoæquantur.Quories igiè rur azbz continet ipfam e , aut odlipfam firories abat czd, eafdem «a: fzfirnul comptes hendunt , nempe fecundum eundein numerum g . oîoruplex igirur oit albx iplîus’ e , vel (7d! ipfius f: rotuplices funt azbzæ Cld,ipfarum W8: .Idem refpondenter licebit ol’œnde- re:vbi plures duabus,plurium fuerint arque multiplias. Hoc autem in difcretis e’uidentius manifeltatur:quemadmodùm fubieétæ formula: videntur indicare numeri.Si fiierinr igirur a. I ’ . I 1-.- ., i tu n a. a. to16 - aoa. Coniunâi. o l . i Coniunâi. 6o I Coniunâi’. I quœliber3 magnitudines 12.I0 quarumlibet 20 magnitudinum:’ ’ l &c,7. vr in theoremate. Quod oporte: bat demonll’rare. . . -

Ap flaqua lâll’rôb’oua aiderait: hein-te meÂémowd [3, 713pr retienne variants, EN a) vrill’rfi’opfla. p alangui: . * lama; mammopflod iam! tiTéea-ouuœd Grimm organum Œêpfiopfilôlnfiïou iodai; ïsœc mbhœræîto’taiopmgd oringuai 31ml: tracteur].L B - Io; Tbcorema 2., Propofitio z. * . V ’ ê I prima focundæ æquè fuerit multiplex 8c terria quartæ,fuerit ’ .5 autem 8c quinta recundæ æquo multiplex 8c fexra quarræ: 8c .» , ’ compofirah" prima 8c quinta fecundæ æquè multiplex erit , 8c

0tertia R O N T I V S ac.(IId cit lifexta æquè multiplicibus,æquè quartæ. multiplices addâtur" magnitudines. confurgent æquè multiplices . Sint enim fex magnitudines, alb!prima,czfecunda,dlelterc ria,t7quarra,bxgxquinra,8c elhlfexra : quarum prima aszfecun’dæ afir æquè multiplex,ac a M terris dÆIipfius quartz E8: quinta rurfum bzgxeiufdem feeun; pc . dz Clæquè multiplex effo,ac fexta eIhxeiufdem fzquartæ.’ Aio ! qubd compofita ex prima 8c quinta vrpote a!g,ipfius fecundæ ç ’--’ h clerit arque multiplex : ac rerria a: feutra fimul , videlicer dzb, P--i ipfius quartæ f. Cùm enim ex hypothefi, æquè multiplex cit I I a!bn’pfius c , vt djexi fins f: quot igirur magnitudines funt in azbarquales ipfi c,rot funr 8c in dze,æquales ipli ’. Rurfum quoniam bxgzæquè multiplex www. eltIeiufdem, c,ac ezhzeiufdem firot igirur funt ma’gnitudines eidem aæquales in blg’qUOt 8c in ezwæquales eidem f. Quot- igitur funt magnitudines inrora azg , ipfi dæqualesttot .. il?" 8U" rota Whflquales ipfi»f.fi enim æqualibus multitudinibus,æquales addanrur mula ’- titudines:refultabunt,per fecundam communem fenrêtiam, multitudines adinuicem arquas ksfmgotuplex igirur cit algxipfius czrotuplex cit dxhxipfius f.Sed VgrcontinCt Primam a: quintam magmrudinc’:dzhzautem,rertii &[extâ . Et côpofita igirur prima 8c quinra aigsfe’ and; demie multiplex eritzac renia 8c fexta dlh,ipfius quartz filgiturfi prima fecûdç çquè . fixent multiplex , 8c terria quartz z 8: quæ fequuntur reliqua . Quod fiierat oflendendum. Ap mon «Mini» mais, à mMéflopflg(ardents: fions terœ’qirafiwçei 7, «fi iovëmperlerai; maltraitée 7. p «a 4* arrêts miraud «Mn «W moévmm’mpop êtmlSP’as toréai; isoa marmité. diopflà Mil? Jim 25,78 (flip? «réent. Tbeorema 5, Propofitio 3. a l; I primum fecundi æquè fuerit multiplex,8c tertium quarti, 1 et Î fumantur autem æquè multiplicia primi 8c tcrtij: 8c æ uè v - .v fumptorum vtrunque vtriufque æquè erit multiplex , te: rum quidem fecundi,altetum autem quarti. 0 R 0 N T 1V SJIH oc el’t,quæ arque multiplirium,funt arque multiplicia: cadi partium arque multiplicia funr . Sir primum azfecundi barque multiplex, ac tertiam Uipfius quarti d:& accipiantur ipforum az8t clæquê’multiplicia,elf!& glh.DiCo qubd exfiram multiplex e l m f elti fins fecundi b , quam multiplex en l h l ipfius quarti d. p -- C m enim per hypothefin , totuplex ir ezflipfius a, quotu, ( L-h-v lex cit glhxipfius czror igirur erunt magnitudines in exflçquaa °L. l; ’ B es ipfi a,quot in magnitudine g!hlæquales ipfi c . Sir vtraque l? ° multitude, iuxta numerum les: diIcernanrurÇmaioris cuider» çLP-I tiæ gratia)in erf,magnitudines xquales ipli a,iïntque ell,lxm, I - i ’ ’ 4 i a: mlfiôc in g l htmagnirudine , ipfi Cl :quales , vtpote gm, nm , &ozh. Et quoniam per hypothefin , æquè multiplex cit alipfius b,atque cli fins d.El’t autem exllipli a, a: gznxipfi c i et confiruâionem æqualis. Prima: 0]an Acqualia porto eiu dem funr arque multiplicia , pei- fextæ di nitionis primi libri conuers di cur- fionem. Acquè multiplex igirur cit ellzipfius b,ac gInlipfius d.Er proinde lxmzæquè muls fils. ’ tiplex iridem cit ipfius b , ac molipfius d .’ Sunr iraque fex magnitudincs a quImIm Pr 11m . ’ .iiij.

104. GEOMET. ÉLÉMENT. ezlzfecundæ bz æ ne multi lex eli,ac terri: gznzipfius quarra: c m d: quinta rurfumtlzmz eiufdem fecundæ bzæquè multiplex cit, .r-L-Tl-j ac fexta nz oz eiufdem quartæ d . Et compofita igirur prima 8C quintal ezmz ipfius fecundæ dz æquè multiplex cit, ac ter-ria 8c --l n o b I fexta gzozipfius quarræ dzper antecedenrem fecundam propo: rL-L-r----ic - Secüdus,prio- fitionem. Rurfum quoniam æqualis cit mzfzipfi a,8c ozhz ipfi Kt-d-fi ri fimilir, c:æquè!mulriplex iridem erit mzfzipfius b, arque ozhzipfius d, 5-4 (tafia olim- pet eandê fextædiflînitionis primi libri Conuerfionem. Ofiena fionis. fum cit autem,ezmz& gzozipfarum bz8c dzfore arque multiplices.Sunt iraq; rurfum fox mai gnirudines,quarü prima ezmzfecundæ bzæquè multiplex en, ac rerria gzozipfius quarræ de quinra infuper mzfzeiufdem (ecundæ bz æquè cit multiplex, ac fexta ozhzeiufdê quartæ d. Et compofita i itur prima 8c quinta ez f, ipfius fecundæ bzæquè multiplex cit, ac terria 8c fexta gzhzeiuf em quart: diper allegatam huius quinti fecüdam propofitionem. Et daine ce s ira quantumlibet,prioribus confequentes adiungendo magnitudines,pro contingente ip arum æquè multiplicium ezfz8c gzhzmultitudine. Atqui multitudo ezl,lzm,8c mzf,muls titudini gzn,nzo,8c ozhz æqualis elhvtraq; enim ipfi kznumero æqualis. Si igirur primum fecundi æquè fuerit multiplex 8c tertiam quarri:8tc.vt in theoremate. Quod fuerat ciron; l dendum. eadem: dl, lipémie dl. Ap mon!) me Mondial; 713p ôtlmlp in Myopfil 9’751: arroi: mirmmgd dû Mm amm- tzwko’eaiœ fion arram and orin: arrêt qui ionisa; mMœŒÂémœ a? 3mm: and. manégea mô’ tinamou? multimœoiœopôpflîip âwôp ifs 1670p Àweim modum. . Tbeorema 4, Propofitio 4. lI primum ad lècundum eandem habuerit rationem , 8c ter: 4’ ltium ad quartum:8cæquè multiplicia primi 84 tertij,ad æquè multiplicia lècundi 8c quarti iuxta quanuis multiplicatio nem,eandem habebunt rationem lumpta adinuicem. . Delæquè mal 0 R 0 N T I.V S.([Sicuti enim ex ipforü æquè multiplicium proportione,datas magnitua. tiplicium (7 dînes in eadem elfe ratione , ’fexra huius quinti vifa Ieltinnuere difFiniriozhaud diliimiliter fibmultipli- ex ipfarum magnitudinum habitudine proportionata,eorüdem æquè multiplicium verfa via du»! propor- ce côcluditur rationis idëtitas.râ ra cit æquè multipliciû cum fubmultiplicibus neceflitudo; tiane recipro- Elfe igirur vt primum azad fecundû bzeande’ habear rationê,quam cztertium ad quartü d:’ cd. 8c accipianrur ipforum az8c c,hoc cit , primi 8c terrij arque multiplicia ezôt f,fecundi paris ter 8c quarri,vtpote,ipforum bz8t dzalia iridem arque multiplicia gz8c h.Aio qubd ezmultis plex primi, ad g z multiplex fecundi eandem habet rationem , quam fzmulriplex tertij ad hzmultiplex quarti . Sumantur enim ipforum ez8c fiæquèi multiplicia kz8c l:ipforum’ porto Demflratîo gzôt b,alia fimiliter arque multiplicia mz& n. Cùm igirur ezro theorematis. tuplex fit ipfius a,quotuplex en; fzipfius c,8c ipforiî ez8t fzfumc pra funt æquè multiplicia kz 8c lz primæ inquàm a: terri: ma: gnitudinis:igitur æquè multiplex cit kzipfius a,8: lzipfius c,per tertiam huius quinti. 8C pet eandem æquè multiplex en: mzipz fins b,atque nzipfius d.Eltautem ex hypothefi,lîcut azad bzita czad d: 8c ipforum az8c cz oitenfa funr æquè multiplicia kz8c l, T i necnon ipforum bz 8c dzalia iridem æquè multiplicia in z 8: n. Bit i gitur ficut kzad m,ira lzad nzper conuerfionem fextæ dii’fis I I Ï f I nirionis huius uinri. hoc cil: , ficurmultiplex rimi ad multi: .r plex fecundi,it?i multiplex terrij ad multiplex guarqufa pore k e à) m l n rô kz8c l,ipforiî ez8t fzfunt æquè multipliciazmzvero 8c nzæquè multiplicia ipforum gz8c h,per conltruâionemÆlt igirur vt ezad g , fic fzad h:per fextam huius quinti diifinirionem.Atqui ez8c f,funt æquè multiplicia primi 8c rerrijzgzautem 8c h, fecundi 8c quarti alia iridem æquè multiplicia. Si primum igirur ad feeundum eandem ha: buerit rarionem:8c quæfequuntur reliqua.Q1pd demonltrandum fufceperamus. -Lemmd,fiue alfumptum. t . IIEr quoniam ofienfum cit, qubd multiplex kzad multiplex mzfe babet,vr multiplex lzad

multiplex n.fi igirur kzexcedit m,.LIBER 8: lzproporrionaliter excedir -V. m8: fi æquale, 7 :quale28: io; li minus,itidem proportionalirer minus. Quare 8: verfa vice,fi mzexcedit k, 8: IVPrOPOI’l’ÎOa nalirer excedir l: 8: fi æquale, æquale: fi autem minus, 8: proportionaliter denique minus. Et proinde, pet fextam huius quinti diffinitionem,etit vr gzad e,iic bzad f: arquerefpom ter fient bzad a,ira dzad c. - a ([Si quatuor igirur magnitudines fuerint proportionales:8: ècontra,feu à Conuerfa ratione Camp r4- proporüonalesi ,, erunr EcmlIarim. me: videlicer confequentium tanquam antecedentium,ad , p antece’c dentia tanquam ad confequentia telatione. ’ - m . Ap pirate payiez;miam [bien Ë mAææàémp t, relierai; , fifi chargeai âmereoioo; c. » , i.la: ail- anlpp I filvîsomî-îanîuiç ion mammogôouma’zoiop 8’51 ml flop fi 8M. x t : . Tbcorema 5-, Propofitio y. p l I a. I magnitudo magnitudinis læquè fuerir multiplex , 8: ablata ,. . . ablatæ:8:reliqua reliquæ erit multiplex, quotuplex rota to:

0s R 0. T ,I Vtius S.(IElto magnitudoel’r multiplex;azbzmagnirudinis czdzram I multiplex j . ,;quàm multi: plex cit ablara azezablatæ czf . Dico teliquam ezb,teliquæ fzdzrotuplicem fore,quotuplex cit rota azbzrotius czd.Ponatut enim ezbzæquè multiplex ipfius zc,vt azez ipfius czfiCùm xfl’umptam. igirur tum pet hypothefin, tum pet confituâion’em , rotuplex it azezipfius czf,quotuplex Demonflretio . cit ezbzipfius gzc : quotup’lex autem cl! yna vnius,.toruplices funt 8: omnes omnium , pet theotem- primam huius quinti . Quoruplex cit iraque azez ipfius czf , rotuplex cit 8: rota azbztotius ng.At quotuplex cit azezipfius czf,toruplex cit 8: eadem azbzipfiusczd , pet hypothefin. l a e 1, Et azbzigitut vtriufque 8: ngz8: czdzefl: æquè multiplexzôt pro: "--”-’---- g, H inde vttaque ng z 8: czd , eiufdem azbzæquè fubmultiplex cit. A Œæ autem eiufdem fun: æquè fubmulriplicia,æqualia fun: ad» inuicem,per feptimam communem’fe’nrentiam. Acqualis cit igirur ngzipfi czd,8: vrriquc communis czfzqua dempta, teliqua gzczreliquz fz d , pet tertiam communem fenrentiam elt æqualis . Acqualia tutfum eiufdem funt arque fubmultiplicia , pet ipfius feptimæ comâ munis fententiæ conuer,llonem.Er gzcz igirur arque fzd , eiufdem ezlîzlunr æquè fubmultis plices:8: proinde ezbzvtriufque 8: glus: fzdz æquè cit multiplex . Porto ezbzæquè multi: Plana iPfius gœ , pet confiraétionqm- , vr azezipfius czf.Er eadem proprerea ezb , ipfius fzdztam multiplex efi,quàm multiplex cit ipfa azezeiufde’ ufiArqui pet hypothefin azezro i tuplex cit ipfius czf,quotuplex efl: rota azbztotius cxd.Er reliqua igirur ezb,teliquç fzdzçquè multiplex efi,atque rota azbztotius czd. Ergo fi magnitudo magnitudinis æquè fueritmul: tiplex 8: ablara ablatæ , &reliqua reliquæ:8:c . vr in theotemare i Quod oflendere fiierat operæpretium. ’ - ’ - - 8’ , Al; «No mie» «fluo 1,194051:ardente: iodure Ë mMœGÀdmœ, s, I redorai; and humectai: s. qui: ’ 19WÇ am. A lapina: p " Ë mnxæàémœmod iræ Mimi «m’aimais in! in 559,»? iodai-ç 0’:wa müxwàéoinc.’ . , ,V.Tbeorrma .6, Propofitio 6. f Iduæ magnitudines,duarum magnitudinü æquè fuerinr muls tiplices,8: ablatæ aliquæ,earû arque fuetmt multiplices :8: res

. l1 uæ. 9;. eifde’m vel æquales funt,vel equè ipfarum multiplices. 0 R O N T I V S . (ISit azbzmagnitu’d’o tain multiplex ipfius c,quàm multiplex cit dzez ipfius flaque infuper multiplex clic l’ablara azgzeiufdem c,vr ablata hzezipliusf. I Aio quôd rçliquæ gzbz8: dzh,ipfis cz8: fzaurfunt aquaIes alteta’ alterizvel earun’dem cz8: fzèquë mula tiplices.Efto primum,vr gzbzfit æqualis ipfi c:dico qubd 8: dzh,ipfi fz elt æqualîs’ .,Det’ur Prima thora enim ezkzipfi fzæqualis. Cùm igirur azgzxquepmultiplex fit ipfius c,irt hzczipfius f,perhyg matis siffle- porhefin. Porto gzbzæqualis cit ipfinczper. li porhefiii’: 8: ezkzipfi f,pet confiméti’opemÆt renfià. j æquèigitur multi lex eft alblipfius è, 8: bz zipfiiis’f.Ponitut autem ex hypothefi,îazbzæs què multiplex ip ius c,v’r dzezipfius f.Et vrracp igirur’dzez8: hzk,æquè cit multiplex’ipfius f:

l ne GEOMET. ÉLÉMENT. nempc vt azbzipfius c. Q2: autë eiufdê’ fun: æquè multiplicia, g æqualia fun: adinuicem, pet fexræ comunis fentetiæ interpre; p cl ’ rationem.Aequalis cit cippe dzezipli hzk,8: vrriq; cômunis hze: a h e k ea itaq; dempta,reliqua zhzreliquae ezkzerit pet tertiam coma 1lf ”--*---’ munclfentenriama . æqualisJEidé. . ., potto ezk,æqualis. - en: pet. cons . v :---i limât-mué ipfa fzma itudo.Binæ igirur magnitudines dzhz8: f,eidem ezszunt aquales:8: proinde æ uales a inuicem,pet primam communem fenrenn 5001214 tu; tiam. Si reliqua igirur gzb,fit æqualis ip l c:8: reliqua dzh,ipfi fzerir æqualisÆngd fi-gzbz "mais diffo- fuetir multiplex iplîus czaio tefpondenrer dlh,æ uè multiplicë fore ipfius fingtuplex cil: mm. enim gzbzipfius c,totuplex afl’umatut ezk-zipfius . Et quoniam et hy othefin,-azgz prima fecüdæ czæquè cit multiplex, ac tertia hzezquartæ Equinra ru um gzbzeiufdê fecundæ cz tam multiplex cil: pet conflruâionë,quàm multiplex cit fexra ezkzeiufdê quartç fiEt coma a g h polira igirur prima 8: uinra a1b,eiufdem fecundæ czæquà erit E multiplex,ac tertia 8: exta hzkzipfius quartz f, pet fecundam g [1 e if 111111118 quinti . Quoruplex cit autem azbzipfius c, rotuplex data L. cit dzezipfiusf,per hypothefin . Et vttaque igirur dz ez 8: hzk, æquè en multiplex ipfius f,vr azbzipfius c.Hinc pet fextam c6 mmunem fententiam,æqualis rurfum cit dzezipfi hzk,8: vrriq; cômunis hzezqua fubttaéta, reliqua dzhzreliquz ezk,pet ipfam tertiam cômunem’fenrentiam,elt æqualis.Àequalia pot ra eiufdem finir æquè multiplicia, pet ipfius fextæ communis fententiæ conuerfionem . Et. dzhzigitut 8: ezk, eiufdem fz æquè multiplicia funr. At czkzipfius fztam multiplex en per- conftruétionem,quàm multiplex cit gzbzipfius c.Et teliqua igirur dzhz arque en multiplex » ipfius f,quotuplex cit teliqua gzbzipfius c . Hæc autem omnia fubfequens numeroruin, ad aciliotem demonllrarionis inrelligentiam adiunéta,corroborar formula.

az . : Exemplm in 1 ramait. Si du:I iraque 1. magnitudinesz8: 2. qu:2. fequuntur VÊteliqua.Quod fiietar oflendendum. . A l6:I «à: à’êu’rb. exigu 769a. âwôp îxd aboyai e, à âu’rô« a.arrêtretienne oit me. vt a. DT i IEqualcsTbeorema ad eande’,eandê 7 Ihabentlrationëz8: Propofitio eadem,ad 7. equales.- . r 7 8,0 0 N T I V S.(Sint binæ 8: inuicë çquales magnitudines az8: b,ad aliam uandam magnitudinem relatç,vtpote c.Dico prim m,az8: bzad eidem czean- Prima d’un; iI; cm habete rationê.Aifumantur enim ipfamm az8: b ,æquè multiplices dz8: e: mais pas. ipfius autê c,alia vtcunq; multiplex fiCùm igirur arque multiplex fit dzipfius a,vt ez ipfius 13,8: pet h porhefin az8: bzmagnitudines (in: adinuicê æquales:etit 8: dzçqualis ipli e.quç enim eiuf em vel æqualium funr æquè multiplicia,æqua1ia funt adinuicê,per fextam coma munem fententiam.Atqui fzmagnitudo binas ipfius czreptæfenrans arque multipliCes,fibic . p si g , met æqualis cit. Vr fe habet igirur dz multiplex ad f, ira ezad eandem finam quæ flint aqualia,eiufdë funr æquè multiplicia, x e aut fubmultiplicia, pet fextæ aur feptimæ communis fentcntiæ ,..L..l if l ’ - conuerfionemÆlt . b, , aurê. azptima magnitudo,czfecûda,bztctria, 8: czrutfum in ordine;quarta:fiintq; dz8: ezipfatum az8: bzçquë multiplicia,primæ inquàm 8: tertiæ magnitudinis-z fzpotro bis repetita , ipfius czbis tepea tendæ,hoc cit,fecundæ 8: quartæ alia vtcunq; multiplex,I’ræofi:enfum cit infuper dzmultis plex primæ ad fzmulriplex fecundæ ira fe habere, vt ezmulriplex tertiæ ad ipfum fzmulris plex quartæ.Eft igirur pet fexam huius quinti dilfinitionem, vt azad c,ira bzad eandem c. Acquales igirur magnitudines az8: b , ad eandem magnitudinem c,eandem habear taries P4?! nem . ([Aio quoque,eandem magni tudinem c , ad az8: bzinuicem æquales magnitudines, thermaux. eandem verfa vice obferuare rationem . Hoc autem’c’onuerfo licebit ordinc concludere. Ollendemus enim(veluti fuprà)dz 8: ezmultipliCes , fore rurfum inuicem œquales:8: fzbis

coafl’umpta , gemmas arque multiplices. LIBER repræfentare non denegabitut .V. Et proinde d iciz ad" fzira fe habere concluderur,vt czad eandem fihinc pet afinmptumfiue lemma quartz pro, pofitionis huius quinti,fzad dzfe habebit , vr eadem fzad e . El’r autem fz primat 8: terri: magnitudinis,hoc elhiplius czbis reperendæ arque multiplexzdzverb 8: ezfecundæ 8: quam tæ,v ote ipfarum az8: bzzquè multiplicesÆfl: igirur vt czad a, fic eadem czad h,per eau; demzxram huius quinti difiinitionem.l[ldem quoq; à Connerfa ratione,per quartz propo: Idem aliter. fitionis huius quinti corollarium,leuius concludere licebit. Si quatuor enim magnitudines fuerint proportionales,8: e contra proportionales erunt. Arquioi’renfum ei’t azad czeandem’ habere rationê,quam bzad eandem c:8: ècôtra igirur,vrczad a,ita eadem czad b.Aequales ergo ad eandem,eandem habent tationem:8: eadem ad æquales.qud oportuit oliendifl’e;

. . av bâtois pureau: à p.501: maiseadem: à éveil pilou: Myopa, retisser;1x4 hip à (Mali: me! u. à âwô î 71:5: . qui Wîobpa’zom 8670p îxd hi) dira; «à flop. i Tbeorcma 8, Propofiti’o a. ’ Næqualium magnitudinû maior ad eâ’dem,maioré’ tarionem habet,quàm minor:8: eadem ad minorem maiorem rationem I habet,quam ad maiorem. 0 R 0 N T I V S.(ISinr binæ magnitudines inæquales , a z bzquidem maiot,8: ruminer: dzautem alia quædam magnitudo . Aio primum qubd azbzad dzmaiorem tationem habet, quam czad ipfam d. Cùm enim ex hypothefi azbzlît maior magnitudine c:comprehendet iraque azbzmagnitudo eandem c, 8: aliquam infuper magnitudinem . Sir igirur ezb,æquaa p l lis ipli c,8: azeztefidua eiufde’ magnitudinis pars.Etunr ergo azez8: ezbzaut inæquales, aut Prime partir :quales adinuicê.Sintx primû- inæquales,8: azezminor ipfa ezb.Sufcipiatur autë iplius mina difierëtiaprù ris azezvtcunque multiplex,maius tamen ipfa magnitudine dzfi’tque illud fzg.Quàm multi; plex infuper cil: fzgzipfius aze:tam multiplex detut gzhziplius ezb,8: kzipfius c.Sufcipiatur me p r rurfum duplum iplius d,vtpote l:poltea rriplum,fitque illud m . 8: deinceps ira, vno feins pet adiunétozquarenus refuitet multiplex ipfius d,proximb mains ipfo gzh,id eit,quod in; ter multiplicia i fius dzper continuam fimplicis additionem confutgentia , primo incipiat excedere gzh: in; illud nz quadruplum’ipfius d. Eric ergo gzhzmultiplex,proxîmb minus Demonflratia ipfo 11:8: proinde non minus ipfo mrhoc efi,aut illi æquale,aur eo maius.(lîHis ira confins dufiië prima . &is,.quoniam æquè multiplex ell: fzgzipfius aze , vt gzhzipfius difiaeïlid- W e » l ezb : quoruplex lgitur cil: fzgzipfius aze,totuplex cit fzhzipfius MJ I x p W alb,?er pnmamlhmus quinti.Sed quoruplex cit fzgzipfius ale, i-I-H ’ rotuplex et]: kl ipfius c . Et fzhzigitur tain multiplex en: ipfius »---o---c alb,quàm multiplex cil: k,ipfius c:nempe vr fzgzipfius aze.Ino (uper quoniam æquè multiplex cit gzhzipfius ezb,vr kzipfius c: Lr-4----l---lm--1---o--l 8: ezbflPfi a?" Cçnlh’uétionem cil: æqualis. quæ autem æquaa lium funt arque multiplicia,çqualia funt adinuicem,pet fextam ’ communem fentenriam. Acqualis cit igirur gzhzipfi k. Verùm gzhzipfa mz non cit minot, vti nuper oflenfum efl:8: flgdâlta CR maior ipfa d.tota igirur fzh, binis dz8: mzerit maior. Sunr autem dz8: mzipfi nzæquales.efi: enim nzquadruplum ipfius d,8: mztriplum,vnà cum ipfa dzefliciens quadruplunLEt fzhzigirut ipfo nzmaius eft:nam idem , æqualium en: æquè mains.Porro kzipfi gzhzæqualis ofienfa cit: 8: l: z igirur minot cil: ipfa n . Arqui fzhz8:-ka ipfarum asz 8: c , prima: inquam 8: terri: magnitudinis funt æquè multipliciamzvero vro minque multiplex ipfius dzfecundam 8: quatrain magnitudinem repræfentantis , 8: multi. - plex prima excedir multiplex fccundæ: ar multiplex tertiæ non excedir multiplex-quartz; Prima igirur a z bz ad feeundam d zmaiotem rationem habet, f’fi-MF-Li-t-hl quam tertia cz ad quatrain d: pet o&auam diffinitionem huius a i k ’ quinti. a Œôd fi az ez fuerir maior ezb, multiplicetur iam ipfa F-.4P- l "hmm i m” quatcnminfilr atmultiplex maiusipfaidzmagiiiru: lm" m (une :6,th illud glhezbztâ . multiplex(L in multiplex accipiatur fzgzipfius info etaze,8: cit rurfum gzhz ipfius ipfius c. ’ l i li i-fi-l subi-amant patenta multiplex ipfius d, ,pximb mains ipfa 9g: Huy rurfum nzquadruplû iplius d.Haud diflîmiliter oltêdemus,

108 - GEOMET. ÉLÉMENT. forain fzhzipfius azbzfore toruplicë, quoruplex cil: gzhzipfius ezb:8: demum fzhz8: biplan", i ofimfionir te rum azbz8: czæquèiridem fore multiplices . item gzhzæquari ipfi k. Et quoniam nzmulri. filma. plex,ptoximo maius cit fzgznon cit igirur fzg,minus ipfo m.Arqui gzhzmaius cit ipfo d,pcr confiruêtionemxotum igirur fzh,ipfis dz8: mzmaius elt:8: maius côfequentet ipfo n.Portb kznon excedir ipfum nieil: enim k,lipfi gzhzæquale , quod tain multiplex cit ipfius minoris ezb,quam multiplex cil: flgziplius maioris aze. "qui: autem inarqualium funt æquè multiplie cia,funr refpondenter inzqualiaÆt kzigitur,minus en: ipfa fzg : 8: ipfa nzptoprerea long!- minus. Rurfum iraque multiplex primi excedir multiplex fecundi:ar multiplex rerrij,non ’ excedir multiplex quarti . Pet ipfam igirur oâauam huius quinti diffinitionem , primum Tamamfdë azb,ad fecundum dzmaiorem rationem haber,quâm tertium czad quatrain d.([Potro cum prima parti, aze,fiietit æqualis ipfi ezbzvttaque erit æqualis ipfi c. Cuiufiiber iraque ipfiirum trium ma. dijïtrmm. i l l g I I in gnitudinum , fumenda fun: arque multiplicia, ipfo dzmaiota; a g p à fzgzquidem ipfius ale , 8: gzhzipfius ezb , 8: kzrutfumipfius c: a, k quæ pet fextam communem fententiam,etunt adinuicemçqua- I I lia.Item nzmultiplex ipfius d, quod illarum quolibet proximb in , , .maius exiflat:ytpote,triplü ipfius d.Quibus conitruâtis, citons n denrur rurfum fzhz8: k,ipfatum azbz8: czfore requitt multiplicia: 8: fzhzmulriplex prim: magnitudinis,exCedereipfum nzmulris plex fecundæ:kzautem multiplex tertiæ , non excedete multiplex quartæ.Hinc priori deo Parsfiamda duaione .Colligemus,azbzad dzmaiotê habete rationë,quàm czad ipfam d.!IDico infuper, pfindpdi: quôd eadem ma nitudo d,ad minoré czmaiorem rationem habet, q ad maiorem azb. Hoc tbewmdm, autem ex fupra ctipto difcutfu , immutato magnitudinum 8: arque multiplicium ordine, baud obfcurè colligemus.Cùm enim omnibus modis ptzoflenfum fit , fzhzexcedere ipfum n ,8: kzab codem nzfuperari:8: conuetfim igitiit,nrexcedit k,non excedir autem fzh.Potrb nzeft multiplex ipfius d,hoc elr,ptimæ 8: tertiæ magnitudinis : kzautem multiplex fecun: dæxwpote C,8: fzhzæquè multiplex quartæ,fcilicet azb . Multiplex infuper primæ,excedir multiplex fecuiidæ: ar multiplex terri: non excedir multiplex quarta: . Per oétauam ergo diffinitionem huius quinti,ptima dzad fecundam cz maiorem rationem habcr,quàm terria dzad quartam azb.Ergo dzad minorem Umaiorem rationem habet,quam ad maiorem azb. Inæqualium igirur magnitudinum:8:c.vt in thooremate.Quod oitendete oportebat.

v A mât, 73 5501-8 159 àu’rôpGrégupm igame: Myopfiæàmlihi: 0, relieroit W59 Ë 7° 04”" 9. 7°? v «un? ! , ! p , p :Xl MWl’inôfïêm mi MUNI; 3’59. 4 I ’Tbcorema 9, " Propofitio 9. . , . l l ,æ ad eandem , eandem habent rationem , æpualcs inuicem 9 k J4 .funtiôc ad quas eadem eandem habet ratione,ip ç fun: çquales. "me P4755 m4 3 O R O N T I V S.Œicin vniuerfum ofiendendum proponitur, quod prima, 017ml?!) ab in: fexra,atque feptima communi fententia , 8: illarum conuerfione , in rationem allùmpfera; pOHÎbili. mus principij.thote quôd ca quæ eidë æquaIia,vel eiufdë fun: arque maiora,vel æquè mie nota:funt adinuicem æqualia,8: è diuetfo. Sint et o datæ magnitudines az8: b,ad eandem magnitudinem czeandem rationem obrinentes . Aio quod :qualis en a,ipfi b.Nam li az8: blmagnitudines,fotent inæquales:maior ad eandem cl maiorem rationem haberet, quam minora PC? Primam pattern antecedentis octane: propofitionis huius quinti . ’Habet autem vtraque ipfamm az8: bzeandem rationem ad ipfamrpâpler hypothelàn. H jabotent igàtuif’taz8: n a; l à b,eandem,at ue diue rationem a ean cm enquo e ims P475 &de . » , c l poflibile.Aeqciialis cit iraque a , iplî b . ([un fi czad eafdem tbCOTWÏJ- - az8: bzeandê habuerit ratione: dico rurfum,qubd az8: bzæqua’ les fun: adinuicem.Si enim forent inæquales : eadem czad ipias az8: bzmagnitudines cant dem non haberet rarionem,ad minorem enim maiorem rationem obrinetet,quàm ad maie! , rem,per fecundam pattern eiufdemoétauœ propofirionis’.Supponitur autem , eadem czad ipfas az8:-bzeandem habete rationem.Eadem iraque magnitudo c,ad ipfas az8: bzmagnitup dines,eandem fimul arque diuerfam rationemhaberet . Quodlvidetur abfutdum.Aequalis cit igirur azipfi b . 030d fufcepetamus ofiendendum. Idem quoque refpondenter oftem deturtvbi plutes duobus ad eandem,vel eadem ad plates eandem rationem habuerint.

LIBER V; reg Op me; 76, n’en?»enfreinte: 3670p êxôiTwp, ’76i, Îôpplatovœ I PgôGEtnç Myop ixopfinëvo P5261: 11’ illa-l - : maltaI illi 76 Tâwà piéger: Myop ixia ËKËW ËWW 558° Theorema io, Propofiti’o to. ’ g) eandem rationem habentium , maiorem rationem habens, a, illa maior cil: : adl quam autem eadem maiorem rationem ha:

0. R w0 N Tbet,illa I V S.(Sint rurfum minot az8: bzmagnirudines cit. - ad eandem magnitudinem czcoms Prima Mme-j . parar::habearque azad czmaiorem rationë,quàm bzad eandemc. Dico .qu’èd a,ipfa bzmas mati: pas. ior efi.Quoniam fi non fuerit maiortvel erit :qualis ipfi b,vel eadem minor.Aequalis pet, to non efr azipfi b:haberent enim az8: bzeandem rationem ad c z magnitudinem , pet pria b a main pattern fepritn: propofitionis huius quinti, quod aduete l-”--* l--t-i-* fatut hypothefi.Non cil: igirur a,:qualis ipfi b. Baud dilfimi: ’--c-’-’ - liter oitendetur , qubd un; minot elt azipfa bzquoniam azma: i gnitudo, minorem rationê habete: ad czmagnitudinem,quàm ipfa bzad eandem c,p et primam partam oétau: propofirionis eiufdem quinti.habet autem l azmaiotem rationem, quàm bzad eandem czper hpporhefin . Habetet igirur azad czmaioe rem 8: minorem rationem,quàm bzad ipfam cŒod non cit poflîbile.Itaque aznon cit mi: riot b:neque eidevari nunc ofiendimus):qualis . Et azigitur , ipfa bzmaior elblIQubd fi Partis [aida eadem magnitudo c, maiorem rationem habuerit ad bzquàm ad azdico rurfum,azfore ma: demonfirm iotem ipfa b . Non erit enim ajipfi bzæqualis : quoniam czad a, eandem rationem haberer quam ad bzpet fecundam pattern prçallegat: feptimæ propofitiouis.Habet autem c,inmoa rem rationem ad a ,quàm ad b,ex hypothefi.qu: fimul Rare non pofiunt.Non cit igirur a, ipfi b z :qualis . Nequc etiam minor:tunc enim czad ipfam a zmaiotem rationem haberet, quàm ad b, pet fecundam pattern ipfius oâau: propofitionis huius quinti . Haber autem cz minorem rationem ad a,quàm ad. b ,ex ipfa hypothefi.Haberet iraque czminorem fimul at ue maiorem rationem ad a,quànf ad b.quod viderur impolfibilngirut aznon ell; minor ip a b.allenfum cil, qubd nec eidem æqualis . Maior cit iraque rurfum azipfa b. Ad cana dem ergo rationem habentiumz8: qu: fequuntur teliqua.Quuod oportuit demonfiralïe.

I Gel àuw M10: oi éminçaieider àMliÂOlc A: àolp raclera-1g oî âunl. rot. l Tbeorcma tr, Propo m’a u. eidem funt eædem rationes, 8: adinuicem flint eædem: - O R 0 N T I VS.(ISinr eidem rationi qu: azad b,eædem rationes qu: czad d, 8: czad fiAio quod rationes czad dz 8: czad f,funt eædem adinuicem:ficut ’ quidem czad d , fic czad f. Accipiantur enim ipfamm antecedentium a , c,e, :què multiplicia g,h,k:ipfarum autem confequentium b,d,f,alia quæuis :què multi licia l,m,n. Cùm igirur ex hypothefi azad bzeandem habear rationem,quam czad d,8: ip arum Difi’urfüs au az8: c,primæ inquam 8: terri: magnitudinis,fumpta finr çquè multiplicia g,h,fecundç ruts que multiplie fum 8: quart: , vtpote ipfamm bz8: dzalia iridem arque multi: - plicia l,m:8: :què multiplicia igirur g,h,ad :què multiplicia l, m, eandem habent rationem fumpta adinuicem , pet quartamr huius quinti . Itaque fi gzexcedit l, 8: h z proportionalirer ex: ’ ccdit m:8: fi :quale,:quale:fi autem minus,itidcm proportio: 1 naliter minus . Infuper quoniam pet ipfam hypothefin, ficut 3’ à, b I I azad b,ita czad f: 8: ipfatum az8: b , prim: vidclicet 8: terri: h H magnitudinis,fumpta funt :què multiplicia gzk , fecund: tu" i w n fum 8: quartæ,vtpotek e f ipfarum bz8: f , alia vtcunque arque muln. - . tiplicia lzn.Si iraque gzexceditl,8: kzptopottionaliret excedir; nzetfi :quale,:quale:fi ver-è minus , itidemfptoportionaliter minus , pet eandem quartam huius quinti propofirionem.Atqui pratoften um efi,qubd fi gzexcedit l,excedir 8: hzipfum Refilatîo de- mzetfi æquaIe,æquale:fi autem minus ,8:! thtoporrionaliret minus elt ipfo m. quapropter mjlratimdlc fi hzc’xcedit m,excedir 8: kzproportionaliter ipfum n:8:. fi. hzæquatur . . Aipfi m4, KIL coæquatur 8:

no GEOMET. ÉLÉMENT. kApfi mac fi minus filetât w ipfa m , 8c kldcmum proportionalitct minus cil ipfo n.P0trb hlSC kxipfamm Clé: e, primæ vidclicet 8c terri: magnitudinis data funt æquè multiplicia: ipfatum autem dl 8: f , hoc cit fccundæ 8C quattæ,alia vtcunque æquè multiplicia mlôc n. En igirur pet fextam huius quinti diffinitionemficut Uad d ,ita and f. thæ eidem iraque fun: eædcm rationes,&adinuicem fum- eædem.ngd filent oficndendum. . fiApi. ômûouua. 0663erP9462. bélemnites: en 2pac, mW i78MœanB; P369501; hm àqmp’ïnopflwac &mm 1:. t «à bÜMaflÛÇ 62mm «à impala. Tbcorcma 12., Propofitio n. I fuctint quælibct magnitudines proportioncm habcntcs: Il * erit ficut vna antecedentium adtlvnam con’fequentium , fic I omnes antecedentes ad omnes coufiquentes. T I V S. Œngd in prima huius quinti propofitione,de ratione tâtùm præoflena fum cit multiplici: hic de Tub quacûq; ratione proportionatis magnitudinibus,vniuctfalirer ptoponit Euclides. Sinritacp a,b,c,d,e,f7quotlibet magnitudincs inuicem proportionales: - ficut quidë azad b,ita elad d,fic1îtcp cmd d,fic elad f. Aio qubd quam rationem habet alad -b.’°am baba si C°mP°fit8 3106,1d côiunétas b!dÆSufcipiâtut enim ipfamm antecedexts . Hum a!cIe,æquè multiplicia g,h,k:8c ipfàtum côfcquentium b,d,f,alia quæuis æquè multta 04mm f1 licia l,m,n.Cùm fit igirur vt azad b ,fic Clad d , 8c ipfamm alôe Uæquè multi?licia film g, T’a "fmfPh’ ,Êpfuû vert: b , d , alia iridem æquë multiplicia l,m : [icul- fe habet igirur gmd l,fic Ivad au" mÏ’m-u i? "m m , Pa quartam hum: quinti . Rutfum quoniam cit vt clad d , fic 091d fiat Îme’m metmfl mac eIæquè multiplicia funt h , k , ipfamm autem dzf,alia vtcunqg æquè multi licia m,n: iafl’ù’fi’fi ficut (e habet-i itur lu multi lex ad ipfam m , fic ’3d Mur" m mû? n,pet eandë qugattam ipfius qginti.Vt autê (c habet hmd m,fic a. : f". 5 V gzad Mi: habete præofltcnfum cit. El! igirur Vl’ g’ad ,l’fic 1U ad 4 Wmm’ Î n,pet anteccdëtem vndecimam propofitionem.8unt n’a? g,h, k,8c l,m,n,multiplicia inuicë proportiomlia : ficut qu!de g’ad l 1&6th m,& kad n . Igitut fi gtmulti lex excedir l,exced1t 3 li k l m 11 86 hlptopottionalitetipfumm,necnô 8c Iipfum mât fi gIçqua’ ruriPfi Læquum CR 8c htipfi m, 8c k Itefpondcrttct lpfi nzfiaua . ’ tcm gIminus fixerit ipfa I,cft 8: hlptopottionahtct nynus lpfo I Î Î "1,8: kzdemû ipfa n.Et proinde fi g!multiplçx exccdxt l,exces a Ë «9 d - durit 8C g ,h,k!multiplicia proportionalitet 1pfal , m , n : 8: fi M æquû et! gzipfi l,æqualîa funt 8: g , h , k [ ipfîs l,m,n:fi autem V glfit minus ipfa l,erunt 8c eadem g,h,k,eifde 1 ,m,n a tanldem æquè minora: Pcr (flûtiau! 8C quartam cômunem fentëtiam . Atqui g,h,kzmagnxtçd1txet, ipfamm a’c’e’magnimdinum ramper côûtuâionem fingulæ fingularum æquè mulnphccs: , quoruplex igirur efl: vnius vna magnitudo, hoc en: gt g. L R’hak’ Un)? ipfius a,totuplices fun: 8c omnes glhlk, omniü alan, av * b. 3’55 b’d’ ’ Sam th" pet primam eiufdem quinti. Et proinde quotuplex et! Prima. lecunda. tenta. quarta. l I. llipfius b rotuplices (un: Ummlipfamm bzdÆSunt itaq; gÆc güvk; iP ara Mat 3’C’e’hËm En off" e&,primaË a: tcrtiæ magnitudinis æquè multiplicialeautcm l a: llmlnffecundæ W5C tu": bldÆ,æquè iridem multiplicia . Et oflenfum en , qubd fi glmultiplex excedit l’excedit 85 ’ g’h’k’Proponionalit-ct ipfam lmvnzcrfi æquale,æquale:fi vert) minus,indc proportlonalît: ter mînus.Eft igitur pet fextam huius quinti diffinitioncm, fieu: and b,fic Ucfeæompo la ta ad b!dlfœompofitam:hoc eft,ficut vna antecedentium ad vnam confequent1um,fic 0ms nes antecedentes ad omnes confequcntes. 030d demonfirandum fufcePcmmus- I" quo’ t hlm omnium rationalefn confirmationeth, ûbicétam com-camphre numetorum formulam-

Il z 4.

LIBER v. - * m Apfircô’WMrù’ p . GtÔfImfl NW’W’ÛP émût: &ququ 47, F1709 P3601419«a: mœmwfl’mô 1:6: caqueta: . ne. . mon Mm MM? Wîwmmôs me: même «très MWwa Mm 395 M) «emmy «à; Étang. . a Tbcorema I3,’ Propiftio 13. Iprima adifècundam eandem ha uerit rationem , 8c tettia ad quartam,tettia autem ad quartam maiorem ratipdnem habear .7 1’" lquàm qumta ad lèxtamzptima quoque ad (Ecûdam maiorem r rationem habebit,quàm qumta ad fèxtam. . p .f "l O.R O NIT I V S . (IHabeat enim prima magnitudo alad (ecûdam bleandem ration’èm, quam tertia clad quart-am dupli: portât tertia c1 ad eidem quartant damaiotê rationem ha. l 4 beat,quàm elquinta ad fA’extam magnitudinem . Aio qubd la: av prima magnitudo ad fcs z cundam blmaiorem iridem rationê habebit,quàm ipfa quuinta ad eidem (eiu-am fiMulti. plicetur enim vttaque ipfarum a , b : fintque eatundem a,,b,wtcunquemultiplicia g,h,fed gxmaius ipfa h.poteit enim Utoties multiplicari,quoufque multiplex ipfius alfuperet mal. tiplex eiufdem,b.03àm multiplex infinpet en: glipfius a, tam multiplex detut kzipfius a,8: Dipfius e.Rurfum quam multiplex efi hlipfius b,tam multiplex e110 mzipfiusd,8c mipfius . . If. cum igitur azad bleâdem ratione habeat,quam ciad d ,fi’nt- Difèarfûsmul que gÆt k! prim: a: tertia: æquè multiplicia , lvaute’ 8: mires tipliciumad cûdæ 8: quartz æquè itidem multiplicia:fi g l itaq; excedit b, themmati: l excedir a: kzipfum m,per quartam huius quinti.Atqui ngupes illarum" ne: rat h,per cômuâionêzôc kligitut fupetat m.Rutfum quoniam perdaCEtium. czad dl maiorem rationem habet,quàm czad flac ipfarum 08: v Il eIprimæ inquàm a: terri: magnitudinis,æquè multiplicia (uni: 8’ kmln k,l,fecüdæ porrb dl8t quartz f7 alia vtcunq; æquè multiplicia Ï 1 m,n:fi kzigitur excedir m, nô excedir llipfum n,pet côuetfioa I 1 U I triem oâaue diffinitionis eiufdë quinti.Portô kati nunc offerts . um efi)excedit m:8: lai itur non excedir n,-Excedit anti 8: l Ü Ve U ipfum h,fiintç gzôc llipârû al8c c,hoc efi,primæ 8c tertiç mg; gnitudinis arque multiplicia,pet côl’ttuâionëzhlrutfum 8: wipfarü bl8: flvtpote fecüdæ. 8c quarte alia vtcunç æquè multipliciazôt gamultiplex ptimæ excedir multiplex fecüdæ,lzau té multiplex tcrtiæ nô excedir nlmultiplex quartæ.Ptima igituraIad fecundâ b,maiorem rationem habet,quàm cttettia ad quartant f,per.o&auâ huius quinti diffinitionemÆtgo fi prima ad fecundaî candi ratione’ habuerit:8cc.vt in theotemate.œod oportuit ofimdifle.

A]: virant: me; finira-flopaid» 769 âtmlp me: in Myomgâ la", «ringsreflux: «à; æiTæjTopzn-ô 14’. ’ . dit diraient; a? «fia-a pétai. â, and gré muflerie? «1702478 pâtop’imcxëvi’anyfinmîcp Mobmmp. Tbtorema 14, . Propofitio l 14.. n , ; -:. c I prima ad fècundam eandem habuetit rationem, 8c tertia ad ë quartamzprima verô tertia maior filerit,8( fecûda quarta ma: , ’ 1 .. ior erit:etfi æ ualis,æqualls:etfi m1not,mmor; O R 0 N T I V S.(ISint ver i gratia quatuor magnitudines a,b,c,dzinuicë proportiona’ les:ficut quidem alad b,ita au! d.fit autem primum , a I maior ipfa c:dico qubd a: b,ipfa dzrefpondenter cit maior.Cùm enim ex hypothefi ufit maior c:habebit igirur and bzma: clamée prit a * iotem rationem,quàm Clad eandem b ,per oâaui huius quinti. m4 maior a]! 1,, ’ En autem tatio and bœad.em,quæ c7ad d , pet hypothefin:& tænia. ç x a igirur ad dzmaiorem rationem habet , quam eadem czad b. dm Ad quam autem eadem maiorem rationemhabetzac illa minot I cit , pet fecundam pattern decimæ propofitionis ipfius quinti. p I I k Minot cit itaq; d, ipfa 13:8: btproptetea ipfa dlmaior. ŒŒbd Canada pri- fi alfuetlt minor c:etit &blminot ipfa dlmagnitudine.Rurfum enim pet eandem oétauam M4 ("M efi t huius quinti,Clmaior,ad. A ipfam .,bzmaio’rem V V.rationem ,- habebit,quam .. a alminor mû. ad eandem . b. "1114-

m. K GEOMET.!ELEMENT. anm rationem porto habet azad b,eam femat ex hypothefi and d . ÀEt cligitur ad blmai . iotem tationé habet, quam ad d.Efl igitut bnninor ipfa d,pcr vbi prima a. ipfam decimam eiufdem quinti.ÇIPottb fi alfuerit :qualis ipfi gantera) b *-’ ’ b:haud difiimilitcr oftëdemus , bifote æqualemipfi .Aequao CP---*-- l les enim aI8c czad eandem bleandem rationem habebunt,per d’T-*--’l [cptimam huius .quinti.Sed quam rationem habet azad h, cant rurfum-habet aad d,pcr hypotheân . Et cligÎtm’ ad vtranque 5 1 blc; d,eandem obfetuabit tationem.Ad qua: autem eadem eandem habet rationem, ipfa: fume uales,pet nonâ ipfius quinti propofitionë.Aequalis erit igirur inpfi d. Si prima igio un ad ecüdâ eandé habuerit rationê:8c que (equütur teliqua. ngd demôitrare oportebat.

i l A pieu me W011»:WWGÏGCÇ,fièvâuTôpËxdbâ’yopyNMËIW-MTÉMM.endenta: ce, , , facilitai; tu . . p Pbcortma 1;, ’ Propqfitio, "1;. ’ Artes eodem modo multiplicium, eandem rationem habent 15 fumptæ adinuicem. , 0 R O N T I V S.l[Sint albl8: eld,ipfatum crac flzquè multipliceszAio para . («A rem czad patté fœandem rationë habete,quam aibzmultiplex ad Udlmultipli I cê.Cùm enim azb! æquè multiplex fit ipfius e,vtudlipfius fiquot igirur partes flint in albl æquales ipfi e,tot funt &in eldiæquales ipfi fiSint exé’ li gratia iuxta numetü g: a: difiin gai-ut alvin partes æquales ipfi e, fintq; ath,hIk, 8c k! : necnon 8c Cldlin partes æquales ’ a Ï, k h ipfi f,vtpote in clm,mll,& VdÆrit itacp multitude ipfarü alla, g hlk,&lvb,multitudini czm,mxl58t lzdzæqualiswtraque enim ç l m a. æqualis ipfi numero g.Rurfum quoniâ alh,hzk,,& kxbzeidem V f 57mm æquales : funt igirur æquales adinuicem , pet primam ’-’-’-’* Ï l corbmunem-fententiam.& proinde 0m, 8c nul,lad,funt que; " I A , I que adinuicem æquales . Acquales porrb ad eandem habent rationem, 8: eadem ad æqualestpet (cptimam huius quinti . lift igirur vt alh z ad al , fic hakIad llm,8t kzbmd Wd.Pto ortionales igirur funt ipfa: alh,hIk,& klb,ipfis 01,8: lzm, mzd.E-t ficut igitur v’na antecedentium ad vnam confequentium , fic omnes antecedentes ad omnes confequentes , pet duodecimam ipfiusquinti . Etgo ficut alhaad (il 1;, fic rota alblad totam ud.æqualis potto cit Uhlîpfi e,8t Clmlipfi f: St :quales ad eafde,eadem;has beur-rationem,per ipfam huius quinti feptimam.Et (leur igirur wblmultiplexfid adz trial tiplicem:fic pars c,ad part-cm F. Pattes iraque eodem modo multiplicxum , eandemtanoa nem habentvfumptæ adinuicem.QuOd ofiendendum fixent. ’ , . "

i . adipiqueA9 fia-area: payée. (déloyal: (9, -and ’ chimât; retienne odéîxoyop itou. l5. l » i T bcorcma 16, i Propofitzo 16. - I quatuor magnitudines proportionales fuermt : ô: permu: 16 . tanin proportionales .erunt. ’ O R 0 N T 1V S. (ISint vetbi- Fana quatuor magnitudines a,b,c,d , inuia l’ [la mita-oct - . - ’ cem ptopottionales1ficut azad b, dad d.Dico1c qubd-ôt uicifiim,lioc elhpet: mon: de. "matin! Proportionales exiituntflicut quidem and c,*fic bzad d.Acciplantut enim ipiarum a a,b, æquè multiplias e, f: ipfamm quoque c , d , alia: vtçuncp ’ * æquè multiplices g,h . Cùm igirur æ ne multiplex fit elxpiius a,vt fiipfius bzetit vt and b,fic ezad .nam pattes eodeni moa 1 do multiplicium,eâdem rationem habent lumptæ adinuicem, ’ pet antecedêtem decimamquintam propofitionem 7 Yt autem . azad b,iîc fe habet czad d,pcr hypothefin.Et fient igirur .ezad . f,fic czad dznam quæ eidem flint eædê rationes , 8c adinuicem Ï funt eædem , pet vndecimam huius quinti . Infupet quoniam e 3* ’ g c a i æquè multiplex cit glipfius c, vt hzipfius d:erit rurqu vt czad M d,iic glad h,per eandem quindecimam huius qumti.Sicut pofl ’ to dard d, fic e!ad flfe habete ptæoflrenfum et! : (leur igitur "3d fafiC glad h,per ipfam vndecimam ipfius quinti.Quatuor itaq; magnitudmes e*,f,g,h,

funt inuicem proportionales:habétque primaLIBER etad feçundam fœam V. rationem ,.4113 quam tettia gaad quatrain h. Si prima igituit e, futur maior tenta gzôt feeunda f 5 iplâ hzquarta maior etirzetfi æqualis,æqualis:etfi minot , muior , pet.decimamquattam eiufdem quinti . Atqui «a: f,ipfatû anse b,hoc eflptimæ 8C tettiæ magnttudmisÇde illationis ordine velim intelli: gas)funt æquè multiplices:glautem 85 h ,Ifecudiæ quartz , vtpote ipfamm 08C dzæquè rurfum multiplicesÆft igirur pet fexta huius quinti difiimtionem, vt prima alad fecfidam c,fic tettia blad quattam d. Si quatuor igirur magnitudines proportionales filetint:8tpetn mutatim feu vicifiim proportionales etunt.Quod etat demonittandum. I Gide» g si, Mékong ’ la. I E, A9 WMŒ’lWfl gifle)! œiàîyoyop rimai 67gaeeoêm «3023W itou. v Tlgcorcma 17, Propqfitio x7. . il I côpofitæ magnitudines proportionales filètint: diuifæ que; que proportionales etunt. * 0 R O N T I V 3 . (ISinr çompofitæ magnitudines alb,btc,dle,8c etf,inui: 1314173 Mm: a cem proportionales:ficut alb!ad b l c , fic dte!ad eÆAio qubd 8c diuifæ pro; fiat modus et portionales etuntzficut quidem aload ab,fic dzfxad fle.Accipiâtur enim ipfamm aleph, guendidcoms dzf,8c f!e,çquè multiplices gth,hlk,lzm,& numipfatum rurfum bzc,ezf, alia: iridem æquè pofitis 4d di- l g Il à q multiplia? k’9,& HjP- HÎS in côfiruâis,quoniâ gIhlôc hlkl MF. . magnttudmesgpfatu 2140 St Ubtmagnitudinû æqualiû numeto a. i fingulæ finglllamm, pet coltruâionemfimt æquè multiplices: l d e quoruplex igirur efivna g l h ! vnius aIc , totuplex cit 8c rota gzkxtotius alb,pet primam huius quinti . Quotuplex autem cit gxhlipfius alc,totuplex cit l!m,ipfius dtf,per confituétionem: quam multiplex cit igirur gtkzipfius a!b,t3m. multiplex efi lmvipfius dzf,per vndecimam W. Wh. Un]. ipfius quintl.Rutfum quoniamlmV8C mzn,ipfatum dlflôt ftemqualium "a a". l dÆ I numeto fingulæfiugularutn æquè finir multiplices,pet ipfam côittuétios nemzquotuplex igirur e11 vna lmvvmus dÆ , totuplex cit rota lltvto’tius . dle , pet eandem primam huius quinti . Quoruplex autem cit lmvipfius d l f , totuplicem - oflendimus gzkzipfius a! bzquotuplex cil-igirur glkfipfius aIb; totuplex cit lzmipfius dze, Wh l Dm. m pet ipfam vndecimam eiufdem quinti.Sunt itaq; gxkxac lm, ipiàtü avec .alb W d (ile! çquè multiplices.Item quoniam æquè multiplex cit hzkxipfius b’C,vt - mmnpfius eIf.qumta rurfum klo,e1ufdem lycæquè multiplex cit, vt fax; ta nlpIeiufdern fifi-Et côpofita igirur hIo,eiufdê bIUçquè erit multiplex,ac tota mlpleiuiê dem affluer fecundam huius quinti . Et proinde h!ol& mlp, ipfamm bœuf: etfzfunt æquè multipliccsjnfupet quoniam ex hypohefi,ficut azb,ad luc,fic dlc!ad ezfiaz ipfamm azbtôc dxe,ptimæ. inquàmI 8C la.tettiæ,æquè multiplices . fun: .gaina: lmzipfatû. .rurfum bzcz8c, e!f,hoc en recundæ 8c quartz , æquèitidem multiplices hxthc m4) . Eft igirur vt gzkzad hm, fic ’ Imzad mlp , pet quattam huius quinti . Aufetantut vttifque gale. hm. lm. mlp. cômunes htk,8t mm:vt teliquaigitur glhl ad teliquam km, azb. bu. dm. cl f. fic lImzteliqua ad teliquâ nzp, pet tertiam 8: quintam cômuv nem fententiam. Si enim ab æquè multiplicibus,æquè multiplicia aufetantut:relinquentut asque multiplicianitur fi glhlexcedit km, excedit 8c llmzptopottionalitet ipfam nzp:etfi æqualis,æqualis:fi autem minot,itidem proportionaliter minor.Atqui glhl5C lzm, tir-na: 8c tettiæ magnitudinisCiuxta otdinem illationis) hoc eli:,ipfatum aIc1 8t dlfIdatæ unt æquè multiplices: km a veto 8c nxp , ipfamm ohm: fie,fecundæ ius gflî. klo. Inn. mp. quam 8c quarta: magnitudinis æquè itidem multiplices, Prima . igirurau. ezb. am, dli. ad in.fecundam tuba eam rationem habet: quarti tertia d!f,ad quattam fze , pet fextam huius quinti diifitiitionê. Si com ofitæ itaq; magnitudines Proportiouales filerint,diuifç quoq; proportionales erûc.ngd (il cepetamus ofiendendum. ’

Ap (.1quI paie» exigu»: «3021x0709 Ê,tu. me! GlyæeeîvquPeo’Oem odo’zMyop in. itou. ’ . A a Tbeorcma- "18, 4 ProMïtio 18, " a Idlulfæ t magnitudlnes proportionales fuermt: compofitæ VH quoquelptopottioinales 9c a a n aetunt. ’ .va a . I ’ * K.iij.

r m,- GEOMET.ELEMENT. Compofitd ra O R 0 N T I V S. il: Sint diuifæ magnitudines a!c,clb, d)f,& 9e, inuicem proportionaa tio,fiue argué les:ficut amati Clb,fic dzfrad fze.Aio qubd 8: compofitæ,erunt verfa vice proportionales: di modusà di ficut quidem azbrad bIc, fic dictat! eÆ Sicut enim arblad blc, fic dlelad aliam quandam uijïs ad com magnitudinem fe habete necefum citHæc autem magnituclo,fi nô filetit elfzetit vel ipfa iman. erÜmaiot,aut eadem minor.Eflo primum albrad bIc,ficut dlCI - i , i ç g ad maioremÇfi poflibile fuetit)ipfa erfivtpote ad ezg. Erit igis À i tut ficut aszad bzc,fic drerad elg.Si compofitç autem magma tudines proportionales fuerintzdiuifæ quoque proportionales erunt,per antecedenrem de. Prima ofien- cimamfeptimam propofitionem . Etit ira ne ficut aœIad ab, fic dz g! ad gle. Sicut port?) fioni: difi’mn aldad ob,fic pet hypothefin drfmd fie. tgo ficut drflad fle, ni, f a, c - d, .. tu. fic d!glad gzeznam quæ eidem funt eædem rationet,adinuicem f ’ c, b: alf- funt eædem,pet vndecimam huius quinti . Quatuor iraque mac gnitudines drf,fxe,dzg,atque g!e,futit inuicem proportionales, 8: prima dzf,maiot cit ter; ria dlg:& feeunda igirur fle, maior erit quarta g,e, pet decimamquattam eiufdem quinti. Atqui fre,minot cit ipfa gze’,pet hypothefin.Erit itaq; er,minot fimul 8c maior eade’ gÆI magnitudine.quod cil impoflîbile.N6 cit igirur ficut Ublad blc,fic dlerad maiotê ipfa elf. scanda par: (I Aio rurfum, quôd neq; ad minorem ipfa ezf: vtpote ezb. Concludemus enim itetum ex fine diffama decimafeptima a: vndecima huius quinti,fote ficut dÆlad fre,fic d!h,ad hzezvtrobique et. "3” L,-.-.S:.....-b. nim lieur aluad Clb.Ét quoniam prima drf,minot cit tettia drh: M? erit rurfum pet ipfam decimamquartam eiufdem quinti , fecuns , da fxe,minor quarta h!e.Supponitur d, fi a, c. du h. autem maior: quæ fimul Gare non poifunt . Non cit ergo ficut ç, e c, b. h, a. axbzad brc, fic d!ez ad minorem elf. patuit qubd neque ad mav maiorem.Et ficut igirur azbrad brc,fic dlezad ipfam tuf. Itaq; fi diuifæ magnitudines pro: portionales fuetint:compofitæ quoque proportionales erunt . ngd oflendete fixerait open tæptetium.

AH -à; 3M,l alogique9:6; n°58070: épuçant? «rôt;:0, mezoàp, 11969601; a) a?» amap curât tu Mmôp 49. «au, l q i à; 87mgTbeorcma tara; 19, Propofitio 87mg, 19. . . I fuerit fient totum ad totum,fic ablatam ad ablatum:8c te: I9 g llqluum ad reliquum,etit ficut totum ad totum. O 0 N T I V S. (IQubd quinta huius,de ratione multipli tantùtn propos v fume videtutzhæc de quibufcunque rationibus in vniuerfum proponit.Sitig1à tut vt terum abead totum dd,fic ablatum ale!ad ablatum aï. Aio teliquum elblad relio quum t7dal’bte ficut idem totum axblad idem totum Cl d. Cùm enim lit velut ally ad ad, a e . V b fic amas! dt", ver hypotllefinïerit alb,- i ad. m, un f a i pet decxmamfextam huius quinti, W a: permutatimad ar e, ficficut CI dt azbrcompofita compofita ad cr f. . W Cùm autem compofitæ magnitudincs proportionales funt , 8: diuifæ quoque flint propors tionales,pet decimâfeptimam huius quintiptopofitionem . Et a". "b. Un 9d.- fient igirur aIez ad e! b, fic czfzad 0d: 8c permutatim rurfum: pet eandem decimamfextam huius quinti,ficut azezablatal ad ’ To". Alma Rdiqua. ablatam czf,fic teliqua elbzad teli: alla l . o uam fzd.Sicut orto ablata alelad, - ,6 d 3mm. "bini. gblatam c1f,fic forum aIbIad totum Ud,pet hypothefinRelib quum igitut elblad teliquum fld,fe habet vt torum albrad to: tutu czd,per vndecimâ eiufdë quinti. Si fiietxt ergo ficut tout ad rommzôccwt in theotemate.Quod expedxebat demôi’rrate. IIEt quoniam erat ex hypothefi,vt(11mm: azbrald culÏfiCmad me 0&8: a permutatim nm . deinde. - avt azb!. alb. A ad. ezb. 9d. ad Ue,fiç crdxad c!f.Nunc potto oflcnfilm 6&un fiCut albl ’ Î - ad Cld,fic ezbzad fzd.Et permutatim iraque rurfum,vt aled w ab, fic c1 dz ad f1 d, pet (æpius alle’gatam decimamfextam

huius quinti . Fit igirur,vt ficut albladLIBER axe,fic cldlad eIfi arque V. rurfum velut -. idem Il; azbrad elb,fic(Et proinde conuerfio idem tationis,hoc udzad e&,acceptio 9d. antetedentis (carollarium. ad exceifum quo antecedé’s conunfro ne; ipfam excedit confequens,fit manifeita. - tionis. Menu: Il” F95M"; u. , M Ë rifla ptyiflnfigd 51Mo: éraflai: i6: 75 gifle «influa Mpfimômflgd a; Jan-5 La. En», N in: du qui arrisa-op a? arias [465209 ê, un). 76 triquent: a? in: me; (son , de!) loup,

ïdbyfiê’rp Wwop,ïhmop.a Tbtorema 2.0, p Proîiïîtio 2.0. . ’ V

20 I fuerint tres magnitudines,’ 8c læ eifdem æ uales numero, J, binatim fumptæ,8c in eadem rationeàex æqua i autem prima tertia maior fuerit,& quarta fèxta maior erit: etfi æqualis , æ:

qualiszetfi0 R 0 N T l V S.([Sint ttes magnitudines minot,minor. a,b,c, a: rurfum aliæ (res dIeIf,i ’ cum duabu’s Acquà’ ratio? otdinatim fumptis in eadem ratione:vtpote,ficut azad b,fic dlad e,iicut item blad c,iic e! në refpicietiçt ad f. Aio quodt fi arfuetit. maior ipfa c,erit ex æquali dzmai’or ipfa fietfi æqualis,æqualis:fi in ardinatù. autem minor,itidem minot. Sit ptimùm a,maiot ipfa c.Et quoniam cit ficut brad c,fic e! Prima difierî ad f: erit a: à conuetfa ratione, ficut cIad b,iîc frad e, pet cor t tollatium quartz huius quinti . verùm c1 minot efi a, pet h a til- . l pothefim , 8c blalia quædam magnitudo: habet igirur alad Z! Ï l maiorem rationem , quam Cl ad eandem b, pet primamipata rem oâauz huius quinti. Sicut potto a ad b, fic f! ad e:-8c al igirur ad bzmaiotem tationê habet, quam fiad e. Sieur rurfum azad b,fic dIad e,per hypothefin: 8c dxigitut ad elmaiotem ras tionem habet,quàm fzad ipfam c.dAd eandem autem rationem e habentium, maiorem rationem habens illa maior cit, pet riccie main ipfius quinti. Et dligitut,ipfa flmaiot en. ŒŒÔd fi aIfit manda au? , æqualis ipfi czetit 8: dæqpalis ipfi f. habebunt enim al8: Cl ad rentât. eandem breandem tationem,pet primam patté feptimæ huius quinti. Et quoniam en fient alad b,fic drad e,iicrîtq; aad b,ficfrad ipfam e:habebût qüoque dl& Ûeandcm rationem ad ipfam eQæ autem ad eandem eandem habent rationem,æqua1es adinuicem flint, pet primam partem nous: ipfius quinti.Aequalis cit igirur d ,ipfi (illi-land difiimilitet oilend’ei renia diffa tutrqubd fi alfuetit minot ipfa c:etit confequenter dzminor ipfa f. Tunc enim czad buna: iotem rationem habebit,quàm alad ipfam b ,per eandem oâauam huius quinti. El! autem vt and b,fic d!ad e ,per hypothefin: ficürque c!ad b,fic fard ezfe habete ptæofienfum cit. Et proinde fIad e!maiorem rationem habebit,quàm dzad ipfam e.Hinc rurfum pet primam artem decimæ eiufdem quinti,flipfa d!majot etitzôc detopterea ipfaiflminora Itaque fi , etint tre: magnitudines,8c alia: eifdem æquales numetozôc qua: fequuntut teliquanggod oportuit demonittaife.

Ap qui; page", M 62Mo:artémia: aluni; 76: 1-6 milieu raz, cüvdluo a Mpewômcxfiwdl’aileron Ï? T5ne. âu’Tô . Nt 79j Je 1:41:va 021759 û ocôœMw’œfili’ in dû on) ruffian a? frein: pâlot filtrai T5 Tl: nuent: a? in?! pétoit kamicîcp l’abbïflyflâfp Mopfihwop. Tbeorema 2.1, Proprfitio 2.1. Il f I fuerint ttcs magnitudînes , 8c aliæ eifdem æquales numes l ro,binarim fumptæ,& in eadem’tatione,fuetit autem pettur u bata eatû proportio: ex æquali veto prima tertia maiOt fut: 1155! quarta fcxta maior crinctfi æqualis,æqualis:etfi minor,m1nor. O R O N T l V S . (Sint ttes magnitudines a,b,c,& rurfum alia: ttes d,e,f,cum duabus dupa? 74504 perturbarim in eadem ratione Conflumptis:vtpore,ficut alad b,fic erad fifiCtÎtCB bzad c,fic n? reflaitiîtid dzad e. Dico quod li alfuerit maior c, erit ex æquali’dmiaiot f: etfi æqualis, Ëqualis : etfi in Ptflïkdfiio a .1111.

116 GEOMET. ELEMENT. 045Mo pri. minot,minor.Sit primum almaior miam recipio probandü,qubd dlfit maior fiEr’quoniam me maior efl efi fient brad..c,fic dard e,per hypothefinærit à conuetia tatione,vt Clad b,fic eIad d, pet , mon. quart: huius quinti corollatium.Rutfum quoniam armaiot e11 c,8t bzalia quædam magnitudo:habet igirur and bzmaiotc’ tationem,quàm czad eandé b, pet primam pattern oé’tau: huius quinti.Sicut porto and brfic ex hypothefi trad filleul: ue Uad b,fic czad d(vti nunc olim; fum cit).& elptoptetea a Ümaiotè’ tationê habet,quàm ad d, Ad quam autem eadem magnitudo maiorem rationem habet, 8c illa minot eft:per fecundam pattern decimç ipfius quinti.Efi: V55 ce . igirur ffipfa dzminot:& d[proptetea maior f.(IHaud difiimilis quand ter- ret fi alfuetit :qualis ipfi czoftendetur 8c drzqualis ipfi fiNam me. I I al8: c, ad eandem b! eandem rationem habebunt: pet primam a I c a e pattern feptim: huius quinti.Et quoniam cit ficut azad b,fic cl d Kg? ad f,fic1îtq; czad b,fic czad d:& etigitut ad vnam; dzôc fzeans h dem ratione habebit.Ad qua: autem eadem eandem habet ra: tionë,ipfæ (untflæqualcswcr feeundâ patté non: ipfius quinti.Aequalis erit igirur d,ipfi f. cumin pri. (Item fi alfiietit minot c:dico tande’,qubd 8c dIminot erit fiTunc enim Clad blmaiorem me minot e]! rationem habebit,quàm and eandem bzpet eandem oâauam huius quinti. Et cùm fit vea me... lut czad b,fic elad d, ficrirq; azad b,iic erad f ( veluti fuptà deduâum en) habebit confer quêter czad dlmaiorem rarionem,quàm erad f.Ad quam autem eadem maiorem rationem h haber,& illa minor efi:pet fecundam pattern decimæ eiufdem. quinti.Eit irai; dripfa fimi: ’ fluor. Etgo fi fixer-in: ttes magnitudines:8cc.vt in theoaemate.Quod ofiendendum fuetat. eadem: ne, P3606019 ne. E ApË ômoêcaïu pariera and une ironie in; me. m1590; aüleuo Mpmvôwœ a; 6g? Jan-ô M- 740,qu diffa?! îp àurro Àôyç-ïsœc. Tbtorcma 2.2, Propofitio 2.2.. I fuerinr quælibet magnitudines,8c alia: eifdem æquales nu: il lmeto,binatim fumptæ in cade rationezôc ex æquali in eadem .9 ratione etunt. 11ch ratio O R 0 N T I V S.(Sint vetbi gratia ttes magnitudines a,b,c,8c alia: eifdem numero æ: in oïdiums. .quales d, e, f, cum duabus ordinatim fumpris in eadem tatione:vtpote, ficut a,ad b,iic d! ad e,iicut autem brad c,fic czad fiDico qubd extrem: vttiufque ordinis magnitudines,ex æqualijn eadem ratione etunt: ficut quidem and c, fic dlad f. Accipiantur enim ipfatum - a a,d,æquè multiplices g,h:ipfatum veto b,e,a1i: iridem arque multiplices k,l:ipfatû deniq; c,f,vrcunque etiam multiplices m,n. Cùm fit igirur vt alad b,fic dzad e:& ipfarû a,d,hoc cit prim: 8C tettiæ,œquè multiplices fin: g,h:fecundæ autem 8c uattæ,vtpote ipfarû lue, aliæ iridem :què multiplices k,l.Eft igirur ficut g,multiplex ad rmultiplicem,fic htad l: pet quatrain huius uinri.Er proinde etit,vt klad m,fic lzad mefi enim ex hypothefi,vt b! ad c,fic czadf,8c ip arum b,e,œquè multiplices k,l:ipfatum autem c,f, :què rurfum multi; " plices m,n,per c6fitu&ionem.Sunt ergo g,k,m,ttes magnitun dines,& h,l,n, alia: eifdem numeto :quales, cum duabus otdi; a narim fumptis inG; eadem ratione: ficur quidë grad k, fic bzad l, 9:)Ï fiait klad m,fic 1nd n.Si gritaque fuetit maior ipfa m,8c ex O1 :qua i hzipfa wmaiot etit:etfi æqualis,æqualis:etfi minot,mi: nor, pet huius quinti vigefimam. Atqui g, h, ipiarum a, d, hoc h cit prim: 8: terri: magnitudinis Ç quoad illationis ordinem) l Î darse funr æquè multiplices:m,nlaurem fecundæù quartz, vr. HP-I-l-fli.*A pote ipfatum c,fl:què iridë multiplices. Bit igirur pet fextam vbi plura: tri - huiufce quinti difiînitionem, vt prima azad fecundam c: fic dl bus in utroq; terria,ad quatrain fiIIIdem quoque licebit ofiendere, vbi plu; magnitudinü tes tribus in vtroqne ma ’tudinum extirerinr ordine. Vrpote fi fuetint quatuor a,b,c, ,8: aliæ quatuor e,f,g,h:fimilitet 0&5 extitcriut or- p l demus cum tribus primis magnitudinibus a,b,c,8c e, f, g, fore dine. l . velut a! ad c, fic e!ad g. Et rurfum cum tribus fuccedenribus m

) L-ISBER V; A A » - ’Ïw 117 :(fecunda vrrobique præremiifia, a: coafi’umpra quarta) vtpote a,c,d, 8c e,g,h:conc1ude. mus veluti fuptà,fote vr alad d,fic c,ad h. Et deincepa quantumliber, pro vrriufque ordir nia multitudine. Si fuerinr ergo quælibet magnitudines,8c ah: a b c d f h’ eifdem æquales numeto:&’ qu: fequrmrut teliqua . Quod omni 3:; I " q dendum propofueramus. ’ . . p A9 Ë aria: papier:’ ,ï eidem:and dm: d’amie i6: ’rô «Miena), Chiche refluas MpCœIôMœ ci (gel 3:11.754 dry. 767’993 h cm manigançai» ÊUTËÈ fiiànMy’œ,m diffa or’ à?) 420w 1679 itou. p . l A’Tbcorcma 2.3, l, Propzyïtio 2.3. . i . .’ r le; I fuerint tres rmagnitudines,aliæiqi; eifilem :quales numeto, I I "x; [binatim fumpt: in eadem ratione , filent autem pettutbata - earum proportio: 8c ex :quali in eadem ratiOne erunt. 0 ON T I V S. (Sint tres’magnirudines a,b,c,8c aliæ eifdem numeto :quales d,e,f, acquit ratio cum duabus in eadem ratione perturbar’im coaiTumptis: fient quidem :V ad b, fic e! ad f, in fatum. I ficdrque bl ad c, fic dz ad e. Aio fore ex æqua ratione, ficut a, m, ad crfic d,ad f. a Afiùmantut enim ipfarum’ a, b,- d, arque multi: î lplices g,h,k:ipfarum porto czeIf, ali: iridê æquè multiplices, t ’ I n l,m,n. Cùm ergo g,"li,ipfarum a, b, fiat-pet confituâiouem 1 :què multiplices , 84 patres eadem modo multiplicium caris 1 Î ï dem habeanr rationem fumpræ adinuicem , pet quindecimam a L ç a pi huius quimçefiigitut vr âiad b,ficlg[ad b.Sieut autem a ad b, V - m fic elad f, et b. orhefinzôc fient i itur lad b,fic elad f, pet f , h . ,1 - k l 1-, I vndec1mam rpfius qu1ntl . Rutfiim quoniam m,n,1pfatum e,f, A A , P funt., arque Y? multiplices , i°. eritg rurfum ,8 pet eandem. r qumdecrmam. , ï v v l huius quinti,vt czad fific mrad n.Sicur porto erad f,fic grad hl p fe’habete monfttatum eft:8c ficur itaq; g!ad h,fiC W ad "a P" ipfam vndecimam eiufdem quinti, Infupet quoniam cit fient I bIad c,fic dIad e,per hypothefin:8c ipiatum b,d,fumpr: fimt . æquè multiplices lh,k:jpfarum veto c,e, alia: itidemaequè multiplices l,m.Efi igirur vt hzmultiplex,ad llmultiplicem, fic kl ad tu, pet quatrain huius quinti propofitionem . Ofienfum e11 autem qubd ficut-glad h,fic rivad n.Sunr itaq; g,h,l,rtes mas " gnitudines,& 4k,m,n,aliæ eifdêpatquales numeto , cum duabus lin eadem rationchperturbar’im.coaŒumpris: fient quidem lad .L hafiC de n,.ficut rurfumhIadl, fic krad Ergo fi g, erit maior l,etit ex :quali kImaiOt n:8r fi :qualis,æqualis:fi autemminor,iridem minot,pet via gefimamptimâ huius. quinti.Potto g,k,funr :què multiplices ipfamm a,d,ptim: 8c terri: magnitudinis (femaro illatioms ordinejnllaurem-ôr n, fecurid: 8c quai-tabac cit ipfarum c,f,:què rurfum multiplices , pet confituâionem. Bit igirur vt prima.de [ecundam c,fic rettia d, ad quatrain f:(pet fextam eiufdem quinti diffinirionem. Si fuerinr igirur tres mac ghirudinüe, aliæque ei dem æquales: Secat in theotemate. ngd oportuit ofiendifie.

En arram vitae J’MovvàiI adl; émir132692019 in: Album»! arma « airée :udi. momifiai p. j«in ; mi «il? aio? mais «Fumier "il: MWW, a) imputât Tiwemuæâ morum mô’mplwd «in: flop arrêt dltü’lfiopflîp àimlp :54 Minium giflant. and imaginât tiqueurs. Tbcorcma 2.4, . ProPofitio a4. 7 7;" I primum ad recuudum eandé habUerit rationem,&;tettium t I -adquatrum,habuetir amerri 8c quintum ad feeiidum eandem . 7* rationem 86 fextum ad quattü:& eompofita’ptimum 8c quin: tum ad feeundum eandem habebunt rationem , 8: terrium 8c lexrum ad quartum. i

118 GEOMET. ÉLÉMENT. LIBER V. O R O N T l V S. liquod fecunda huius quinti, de ratione tantùm propofuitmulriplici: hæc indifetentet ad omnem rationum (de extendit fimilitudinem. Habeat iraq; primum azb,ad fecüdum eleandem rationem,quam tetrium dle,ad quarrum fiquinrum tutfus bzg1 ad fecundum c, eandem quoque rationem habear, quam fexrum erh,ad ipfam flquatrum. a h g Aio , quod 8c compofira primum 8c quintum al g, eandem ta. c rionem habebunt ad idem fecudum e:quam retrium 8e fextum , a i s h d!h,adidem quarrum fiCùm enim fit ex hypothefi,vr brgrad c,fic erhlad f:8ç à conuetfa ira ratione,erit vr czad bzg,’fic f1 a V ad exh,pet corollarium quart: ius quinti.Pr:retea quoniam exF---- ipfa hypothefi, cit lieur azbrad . c, fie Idrerad f:4 ficur rurfum a and bIg,fiCd fxad exh. Et ex a)b.c.bzg. * (miam. aîclllâlli igirur,ficur,a1b!ad bzg,fic dlexad ezh:pet vigefimamfe. I - cundamfv-a huius quinti.Diuif: - . irai; . magnitudines . . , alb,b!g,dre, ’ 8c elh,funt ptopottionalesÆt compofit: igirur,’per decimam o&auam’ipfius quinti,ptoporrionales eruntzvr alglad blg,fic dlblad eIh.Receptum cit aus a . alg.gx .c. lh.hle. . em,ficut bzgrad c,fic erhrad f.Er ex çquali igirur-,per eandem V igefimamfecundam quinti,ficut aIgrad c,fic dzhjad f.Etgo fi rimum ad (carndum eandem habuerit rationem , 8: retrium ad quai-tantôt qu: fequuntur teliqua.Quod expediebar demonfitate.

Ap me: profil: «HÀMQ in?) piano!me la!in, rrô redoroit iuxta-056Mo M ne. Mmô’p P624378 flip. Tbcorcma 2;, Propqfitia 2;. i I quatuor magnitudines proportionales fuerint , maxima 8: a; a minima reliquis maiotes etunt. î ’ O R 0 N T I V S. Il Sint quatuor eiufdem generis magnitudines alb,CId,e, ’ 8c f,inuicem proportionales,ficur quidê albzad cId,fic czad fzfircp alblomnium maxima,f7verb minima.Dico quod albl8: f,teliquis UdIôC elfunt minores.ngniam enim albromnium quatuor fupponirut maxima:maior efi igirur azb,ipfa eImagnirudine. A ma; i 1, iori iraque alb,fecerut :qualis’ipfi czminotiÊper tertiam primi: .2-a -.-....-î-., h J (in; arg. Rurfum,quoniam cit vr azbrad a fic elad2 f, prima e autem alb,maiot cit rettia e:8t fecunda igirur od,ipfa f!quara . f ’ ra maior etit,pet decimamquarram huius quinti.A maiori rut: lum crd,fecerut ipfi fIæqualis, pet eandem tertiam primizfi’rcp Il ah. Cùm igirur fit vr albzad ad, fic eIad f, a: æqualis fit wgripfi e, a: ahr ipii f: cit igi Q tut vt aIbrad ad,fical rad clh,hoc eir,ficur torii azbzad rorum crd,fic ablatam algl ad ablarum Clh.Et te iquum irai; glblad teliquum brdzetit,ficut terum albIad to; I mm a d: et decimamnonam ipfius quinti. Prima autem 0b! maior eft rettia a d:& ecunda iraque gzb,maior erit quarta h!d,pet ipfam decimamquar: ram eiufdem quinti. Porto algzæqualis cit ipfi e:8r ubipfi f,pet con. irradiionem. Bin: igirur aIglôr , duabus ohm: e, funt pet fecuns dam communem fentêtiam :quales.Si autem inæqualia arqua: ’ libus adiunganrut , omnia erunr inæqualia: pet quarram communem fentenriam. Et quoniam i fis a! gz a: f! additur gzb, ipfis autem Clhl a: cl ad itur lard, 8: maior cit glbripfa hIdzmaiote: ergo funt albl. v maxima a: fl minima , reliquis e! dl 8c eI nugnitudinibus.Quodmus ofiendendum. recepetaa « . ) . x I, ÊO . Quinti. . . libri ( Geometticorums. ) . à Elemeutorum, fia . , FINIS.ï

119 il a. a t i réifia. x Orontij.eaxea Finæi,Delphinatis,Regij Hz ° ’ MATHÉMATICÀRVM PROFESSORIS, In fextum Elementorum Euclidis, Demonfirationes. RDEIKABIAOI atournoit BKTO N.

More Ukipm îueôygœppp: 359,86: ont: fi amide :xd aunât fiœpànâ qui: 6M 413; 1’

’7min; ce" une.» Ü.Dijfinitiones ’éveilleroit. y. I l ’ .1 [miles figuræ funt,quæ St angulos æquales habent ad . vnum , 8c qu: circa angulos æquales funtlatera pro:

’ ’Vrpore,fi portionalia. firetinr bina rriangula alblc,8r l dielfzinuieëæqiiiangula, A, * ë fiietitq; angulus qui ad azæqualis angulo qui ad d,& qui ad bleir au; ’ gulus ei qui ad c,atq; is qui ad e! angulo a A i il qui ad fltefpondentet :qualis.fi’rq; infuç pet vr albrlarus ad blc, fic dl eIad elf: vrq; blc! ad en, fie esz il ad 0d: arq; demü ficur oxalad azb,fic fldzad dle.Huiufcemodi manip rriangula,fimilia nûcupamus: etiam fi fuetint in: ualia. C f IIAvanrtvaôqu d’à «Migrant: 05115841:pr 3* un nimbant g (nippon 1.6on 3019. 2- Reeiptocæ autem figura: funr,quando m vttaque- figura antecedenres 8c eonlèquentes tetmlru rarianales fuerint. De’teâilineis viderur intelligete figuri: . quemadmodùm fi , duorum teâilineorum 8c :quiangulorum a!bIU& dlble,angu lutin qui fub alblôt blc,ei qui fub dlbl8: blelconrinerut :quaç lem habërium:fuerit. lieur larus albrad latus brd,fic lattis ezb! ad lattis blc:aut ficur albfad b!e,fic dIbIad blc.Tali nant; mo do fit antecedentium 8c confequenrium terminorum, hoc tilt, A Compatarorum adinuicem larerum,quar citcum :quales angua los,teflexa proportio,teciptocaïve rationum fimilirudo:dicun;. l c . turque eiufcemodi figut:,cùm adinuicem comparantur,teciptoc:. V (hum me pénal: Mm inca: miam Mura, 8m à au; à au: ne. çà pager fpîpœJWDI 3 rràPer exrtemam pétunât 8: mediam à iMarop. tationem,te&a ’ ’ linea diu1di d1c1rur: quando fuerir ficut rota ad malus lègmenrum,fie mams’aLd minus. Pet exrtemam 8c mediam tationem,hoc efi,pet exrremos 8c à g à medios terminos rationum fimilirudinem confiiruenres.th0u re,fi data méta linea azbzdiuidarur in puna-o e: fuen’tque vt rota albl ad fegmenrurn mao ius ble,fic idem fegmentum blc,ad teliquum ela. I140; 35,ng cXifiaTôÇi buté mît noeuçic En qui! béa-1p Ira’rOËToç «baffle. 4 Alntudo efl: , vmufcuiufque figuræ à verrier ad bafin perpendicularis deduéi’a. ’ à -

tao GEOMET. ELBMENTy Exempli gratia, rtian li az bzcz altitudo,erit az dz recta lia pnea, ab azvetrice ad ba in bzcz petpendieulariter incidens . Et hexagoni ezfzgzalritudinem,ofiendet petpendicularis ezh,quç , a p.- ab ezvertice,in bafin fzgzdeducitut. L c (A5709 in Nin mon 169474! , hip a! 7’57 Mywp WfiNKÔ’m’flÇ icp’ incinère mm... mœofiëexmmrôal rimée. Ratio ex duabus raionibus,aut ex pluribus conflue dicitur:quando ta f tionum quantitates multiplicatæ,aliquam efficmnt quantitatem.’- De cipofifiane Expreffimus difl’înitione tettia libri quinti,quidnam rationem adpellemus: quot infuper rationum , in: rationum fuetint’fpecies. fiueh diferenti:,arq; fingulaS in vniuerfum comptehenfa rationum terpretatio difctimina.Nunc porto diffinit Euclides, quônam modo ratio ex tarionibus comPOHÏ: feu notanda. confrate dicatur.Ea nant; ratio ex tationibus confiar,fiue componirurzquatum quanritares inuicem multiplicat: illam efiîcere videntur.De ea rationis compofitione,feu tatiomlinm terminorum illarione,l-iic minime velim intelligaszquam decimaquatra libri quinti diffinia rione,compofitam rationem adpellauimus: acceptionem videlicet antecedentis cum com fequê’re,fieur vnius,ad ipfum confequens.Aliud fiquidem efi,tationem ex tarionibus com’ ponete:aliud veto in proportionibus, à diuifis rationum terminis ad coniunâos fine coma Difibzitioni: pofitos,tarionum fubinferre fimilirudinem.l[Ait igirur Euclides,rationem ex binis aut plu interpretario. tibus rarionibus componi,fiue Confiateæùm datamm rationum quantitates fuetint adinui: cem multiplicat:,8t aliam quampiam genuetint tationis quanrirarem. Ea enim quantitas, vbi plura: du rationem exprimir,qu: ex datis tationibus procteatur.Fir,autem huiufcemodi quadratum «bu; ratite- multiplicatio,inret duatum tanrummodo rationum quirirates. Nam vbi plutes fefe obtus lerint rationeszea in primis colligatut tatio,qu: ex multiplicatione duarû primamm quam rint raflant. tiratum genetarut.Ex hac pofimodùm ratione 8c (e uente tertia,alia ratio procreanda cil. Hinc rurfum, pet quantifarum huiufce tarionis 8c uccedenris quart: multiplicationem, confurgens ratio tandem eliciarut.quue deinceps,pto datamm rationum multitudinezfiue dat: rationes eiufdë,aut diuetfæ fuetint fpeciei,& fub côtinua aut difcontinua ordinataîvev Notandum. feu pettutbata proportione confiituræ. Adde quod h:c inrelligenda flint, de rationibus qu: fimul maioris,vel fimul minoris funt inæqualitatis . N am fi vna ptopofitarû rationum foret maioris,alteta veto minoris in:qualiratis:tunc quanriras maioris,pet quiritarem mi; notis veniter diuidenda:tefultans enimquanriras,proCtearâ inde rationem ofiender.Quod 043mm: nemo haâenus animaduerterar.lima-amiraux autem rationû hic vocat Euclides,non illas ratinai qua qu: fub datis continêtut tarionibus:fed. cas quantitates,à quibus rationes ipf: denominana mm. tur.Vr in difcretis duo ,à quibus dupla:tria,a quibus triplazôt quaruot,vnde quadrupla ratio in multiplicibus exprimirut.Aut in fupetpatriculatibus vnum 8c dimidium, à quo fefquals retazvnum 8c tertium,à quo fefquitetriazvnum infuper 8c quattum,vnde fefquiquarra ratio nomëclatutam accipir.Irem vnum 8c duo rettia,vnde rationem fulpetbiparrientem tettias: au; vnum 8c tria quatra,ex quibus fupetrripatrientem quarras in uperpartienribus adpela lamus.Haud alienum habete iudicium , de tarionibus ex multiplici 8: fupetpartieulati ta: rione,aur ex multiplici 8c fupetpattiente compofitiszôc daris quibufcuncp fingulatum quinque rationalium f ecietum diffetentijs. N ecnon Br de furdis irrationalium quantitatum tan tionibus:qu: ex utdis iridem 8c ignotis tationibus confiai-e videnrut. Exemplü ubi (IESTO, LViCIDIORIS lNTELLIGENTIAE GRATIA, DA: ratio multi- tain exemplum ratio multi lex,ipfius inquàm azad bzdupla:ponatlirque inter az8: b, alia plex ex bini: quædam magnitudo c, fub lefquitetria ipfius a, 8c fefqualrera componitur ipfius b.Aio rationem azad b ,componi ’fiue confiate, ex ratio, 4 3 rationibus. ne azad c, 8c ratione czad b. am fi quantiras .tationis azad c, v z vtpote vnuer retrium,pet rationis quâtiratem ipfius czad b, I ynum inquàm 8c dimidium multiplicetut : prouenienr duo, à Rempli de- quibus dupla»tario(quam habet azad b)nominatut.Cùm enim - l c monflratio. ezma nirudo ad azmagnimdinem fit fubfefquitertia , ad bzaus I T l I à? rem efqualtetaiqualium igirur pattium czefi: trium,talium ne, ceffum cit azfo’te quatuot,8c bzduatum fimilium. Haber igirur - . - azad bztationem,quam quatuor ad duo:8r proinde duplam, ex (efquirertia ipfius azad c,ar

fefqualtera ipfius czad bztefultantem.LIBER ESir rurfum in maiorem V1.exptefiionem,inrer 4 ezSt in bi Exemplû niai alia quædam magnitudo d,iubrtipla ipfius c,ipfius autem bifubdupla.Aio quoqs rationem tre: rationes azad b,ex tationibus azad c, St czad d, arque d’ad bzconfiarc. (quarta?) and 3 Duco enim vnum St retrium ta°tionis azad czdenominatotem, Minoris tjiino in tria denominarotem rriplæ,qu: efi: cz ad d:fient quatuot,o: qualium; fiendenria azad dzquadruplambbrinere rationem. Et quoniam eandemlcom. n dzad bzratio,minotis cit inazqualiraris, nempefubdupla: diui: ponant mul- .. da quatuot,à quibus nominarut quadrupla,per duo ipfius fub: tapin-cm; dupl: denominatorem:ptouenient enim duo,duplam(qu: efi ipfius azad b)tarionem denominanria.Nam cum dzfubduplum ofimfia eiuf: I , fit ipfius b, St fubtriplum ipfius c: qualium igirur dzefi vnum, dem ampli. talium bzeir duorum,8t czttium fimilium.Irem quoniam azad c cil: fefquitertiùm : qualium . propretea czeft trium,azerir quatuor.Sed qualium czefi trium, bzduorû eiTe deduâum efi: qualium itaq; bzefi duorum,azquatuot erit fimilium. Œatuot rurfum ad duo,rarionem haa bent duplam,qualem azad blobtinete fuppofuimus.l[Sed demus exemplum in ratione fus Exemplum de ’ petpatticularizfirque azad bzfefqualteta,ad Claurem fefquiquin rationefùpm f ta,St czad bzfefquiquarta.Dico rationem fefqualrerâ,ex fefqui: Particulari. 4. quarta Stfefquiquinta refultare.Si nanq; multiplicauetis vnum p St quartum,pet vnü St quintû: ptouenier vnum St dimidium,à quibus fefqualreta ratio denommatur. Cùm enim czfubfefqui: Indufïîv- quinrum fit ipfius a, St fefquiquattum ipfius b: qualium ergo partium czefi quinq;,ralium azetit fex, St bzquatuot fimilium. Î: abenr autem [ex ad quatuor, veluti azad b,rationem fefqual: tetam. (1045M fi ez magnitudo fuetit ipfius azfefquitettia , St Aliud entame dupla ipfius b,vt in fecunda figutaznon multiplieabis vnum St plüfilpnpdre retrium fubfefquiretri: (qu: cit azad c) denominatorem, pet rit-devis .115 fduo,à quibus dupla ratio ipfius czad bzdenominatur. Diuides un rationumà 3 iraque duo,per vnam St rerrium: proprerea quod azad cztatio minon: e]! in: Î - a. minons fit in:qualitatis.Vnum igirur St tertiam, eificiût qua: :qualiratis. ’ tuot rerriazduo autem,rettia fex.Diuide itaq; (ex pet quatuor: proueniet vnum St dimidium, fefqualtet: tarionis (qu: efi az . , A. C e z ad b) den’ominaror. N am cùm cz ad az fit fefquirerrium, ad bz Exemplrdttla 3 autem duplum:qua1ium proinde partium czefi quaruor,talium ratio. a! eft trium, St blduatum fimilium. Ratio igirur azad b, cit vt tria ad duo, qu: fefqualreta nuncupatur. ("Idem in fuperpars HWPMÊ’È’ tienre ratione tandem obferuati videbis . Sir enim az ad bz fus filpflpm’flem 4. perbipatriens rerriaszôt inter azSt bzincidat c, fiibfefquiquartû C°mP°fit1°m° 3 l ipfius a, St fefquiterrium ipfius b. Dico iam rationem az ad b, componi ex ratione az ad cl fefquiquarta, St fefquirerria ipfius i czad b.Mulriplicerut enim vnum St quattum,pet vnum St ter; tium:fiet vnum St duo tertia,vnde fuperbipattiës tertiasÇ qu: I à, I à, cit ipfius azad b)denominarur.0portet enim propret rationum oflenfio un» hypothefes, qualium partium czfiierit quatuor, talium bz fore pli. rrium,8t azquinque fimilium. (minque porto ad tria, eam feta c I nant tationem,quam azad b:nempe (uperbipattienrem ter-rias. . lngàd fi inter azSt czineiderit magnitudo d,fefquiquira ipfius aliud friper; a,8t ipfiusczfefqualrera. Ratio azad b,ex rationibus azad d,8t pariais exit . dzad c,atque czad bzitidem componerut. Duco enim vnum St plum,ubi une rettium rationis czad bzdenominatorem,in vnum St dimidium rationum mî- denominatorem tationis quam habet dzad c: fient duo,à qui: nui-i: cil in:- bus ratio dzad bzdepominarur,vtpote dupla.At quoniam azad qualium. . A dltario minotis cit in:qualitaris,nempe fubfefquiquinta: diui: . damipfa duo pet vnum St quintum,in hunc modum. vnum St quintum,efficiunr quinta fexzôt duo,vertunrut in decem quina- ta.Diuido ergo decem pet fex:ptoueniûr vnum St duo ’tertia, v - . . àquibus ratio azad bzdenominâda eit,qu: fupetbipartiens tettias adpellatut. Idem quoq; Sil-mm exe- Pel: fuperius expreflam pattiû ou rationibus datis,St rationû cum partibus refpoLndentiam, pitrecolltâwo .1. t

raz GEOMET. ÉLÉMENT. deducete vel facile licebit: qualium enim partium Clfiletit quatuot,8t dzfex, talium bzerit trium , St a! quinque fimilium . Hinc rurfum confutgir az ad bz ratio , vt quinque ad tria. truandant. (lÎPortb fi forfitan in hac partium quotarum,feu fraétionum vulgatium multiplieatione mi, p: fumant: nus filetis exercitatus, confnlito librum fecundum noftt: Arithmetic: ptaâicæ. Nec vos dhamma-4. lumns te latere, huiufcemodi quantitatum Ç à quibus datæ rationes nominanrut) tum ex. mm comma. ptefiionem,tum etiam multiplicatione’,per aittonomieas, hoc cit fexagenarias inregrorum dansât r4. fraôtiones( qu: fcrupula,feu minuta vocant)indiiïetëtet abfolui poire: de quibus libto ter. tionum com. rio eiufde’ Aritbmetic: moût: abundè ttaétauimus. En: enim fexagenatius numerus, pro: pofitionibus. ptcrflgartium quotarum in eo contenratum multirudinem,omnibus terum fupputarionibus . indi etcntet adcommodus. liConfetamus in exemplnm vtrunque calculum: St primam ra; Primi exê’pli rionis compofitionem,vbi rationem azad bzduplam,ex fefqualtera St fefquitettia centiare flippaient», monfitanimus,tutfum examinemus. Multiplico iratp vnum St dimidium,per vnum St (et: pnfrafiimu rium,in hune qui fequitur modum.Duca primum integta in fefezfit vnü integrum.Deinde vulgates. numeratorem ftaétionis mnltiplieand:,in integtum mnltiplicantiszatq; numeratorem mu! tiplicanris,per integtum mnltiplicandæzprocreabnntur enim fia l -:T 3 j- : &iones priotibus baud diifimiles,vtpote dimidium,St vnnm ter; I r r X r rium,qu: teduéta ad vnam fraâionem fimplicem,efficiunr quin 3 ’- t 3 que fexra.Tandem multiplico fraâ’iones ipfas adinuicem,nume tarares quidem pet (efe,atcp denominatores : fier vnum tantum; .1. modo fexrum.Compono vnnm fextam St quinque fexta:confura hlm 0x gant fexra [ex , qu: vnum valent integtum priori inregto adij. a. z ciendumzRefulrabunt iraque duo integra,à quibus propofita ta: rio dupla denominaturlchtùm idem pet afironomica inqniraa EnPlilfgp;:tï Ë - mus ferupula fineminuta . penominatot iraqueifefqualrer: rationis,erit vnum inregrurn, rio , pq fra. St triginta mtegti minuta: ipfius veto (efquirertiærationisidenominaror, vnum iridem in. mon; 411". regtum St minuta vigmn.8unt enim.ttiginta,dimidiurn: vrginti autem,retrinm fexagenaa ’ nomma, Î M. ta SCŒÏ tu numer1.Duco igirur ttlginta minuta,m minuta v1gmr1:fiunt nœgn’ m" ’ ’ (ecunda (excenra,qu: druifa pet fexagmra,tefiituunt deeê mu î à: â: nuta.h:c fubfetibo (ne loco. Deinde multiplico vnum inregriî pet ipfa viginri minuta: tedeunt minuta viginri. hæc noto fub à: 3:: prioribus decem minuris.Pofiea.d.uco rriginta minuta in vnum l o Wo- integmmzrefiimunnn minuta rtiginta (tiam fiaâio pet inregra -z--- -â-- 6 multiplicara, fimilem viderur producere fraéhonem) . Quibus fubnotatis,multiplico integra adinuicem: St vnum tantummo. do refiitnitut inregrum. Compono tandem decem,viginri St triginra minnrarconfurgnnt fexaginta,qu: vnum valent integrum priori demum adiungendum . Proueniunt igirur ex hac quantitatum multiplicatione duo integta , à quibus dupla ratio ( qu: erat az ad b) venir denominanda. In cætetis tefpondenter façito,fiue vulgaribus , fine afironomicis in: net vri ftaâionibus. Lliusmodus ([EST ET ALIVS RATIOINALIVM QVANTITATVM compontndi multiplicandi modus,ipfis poriifimùm numeris,ad numertimve relatis quantitaribus pecus rationes radins liatis, fine numeri ipfi in maiotis ant minotis inæqualiratis ratione proponanrur . Nam ex uiccm. eorundem numerotum fub datis rationibus confiritutottî multiplicatione,numeti ptocreana rut,fub compofita,vel inde confiante ratione fe habentes.Multiplicandi funr itaq; primum b antecedenres numeri adinuicemzôt antecedês ipfius compofit: rationis efficietur.Deinde q confequentes iridem inter fefe ducendi,vt confequens eiufdem tarionis genet-crut . (IR es Prima"! me," petatnrw in maiorem fingulotum euidentiam,antecedëris prim: compofirionis excmplum: P10"! Je 60m.- fi’ntque rurfum numeri,ttia ad duo in ratione fefqualtera, St quatuor ad tria in fefquitertia Pofim’" W1 ratione confiituti . Duc igirur antecedentes numerus tiplicia. Ratio Îfquêlm”(epqmemna. 3-1 ’4-3 f f interv a l e’ e,vtpote’ -fi r du quatuor decim u:in tria. en o U 9 q Duph ex arde", côpofim I 2&6 pto enetat: rarioms anœcedente fubnotabis. Polka Secundtî exi- con equenres,hoc et! tria St duo,rnuicem multiplicato: Plüfi; compo fient fex,eiufdë produâæ rationis ctifeguentê exprimêtia numerü.Atqui duodecim ad fex, ’ fifione friper- duplam tonflat obtinete rationem,ex efqualteta St fefquitertia refultâtem. (ISint rurfum ranimions. bmæ rationesfiltera quidem fubfefquitettia,vt trium. ad quatuor: alteraivetb dupla,veluflj

Ratio Subfefquitertia. 3----l4. quatuorLIBER ad duo.Si Fornpofitam V1; ex his volueris . .123 obtinere Dupla. 4 z ratlonem?duc1to tua m quatuor,vnum vxdellcet anteces .v Selqualtera ratio. I a--8 dendum m rellquum: fient duodecxm. Pofimodum lpfa . confequentia inuicem multiplicato , vtpote quatuor in renia," "a duo:fient oé’to.Porrb duodecim ad 0&0, fefqualteram rationem obferuant, qualem exems Plan. de com. plo quarto (denominatorem duplæ,per ipfius fubfcquitertiae Idenominatorem diuidendo) Pofifiomjù- reperimus.([Haud dlflîmrhter ex fefquxquarta 8: fefqurs Perpdnknm. Ratio fefquiquarta. 5-4. tertia,veluti quinque ad quatuor, & quatuor ad tria, fus fefquitertia; 4-; petbipartiês’ renias producetur: quemadmodùm obieâa Supetbipattiens renias. 20-; I a. monIh’at formula.Ex antecedentium manque multiplias fionefiem- viginti: ex multiplication: verù canfequentium , duodecim. coqntinentautem viginti femel duodecim,& duo infuper eorundê tertlaJIEt romde non mmus facxle cola ligemus,ex quintupla 8: fubdupla ramone, œuflarl duplam efqualteram:uecnon ex dupla 8c fefquitettia, duplam fuperbipartientenr ternas refultare.S.ed hac de ratlonum comporta tione,fiue rationalium quantitatum multrphcatronefinr fans. l Ram’fëfbdxæ. uintu la.a. 1.-4. 5-1 RanoîSefquitertia. . Dupla. ’ 2.--r4-3 upla fefqualtera. 10---4 Duplaluperbipattienstertias 8-3 ([Corollarium. ŒHINC FIT MANIFESTVM, QVOD SI A Q’VALIBET m’ûumabt ratione compofita,vnaquæq; componentium fubrrahatur:profi1iet ipfirum com ponenn’um m "tionum reliqua. Subtrahitur quidem ratio,non omnis indiffcrenter à qualibct: fed minot tantùm à adl-m maiori.Hæc autem rationum difgregatio pet diuifionem,ficuti compofitio pet multipliez, tionem abfoluiruru’dcp rurfum dupliciter.l[In primis enim,fi compofitæ rationis denomi: natorem,per denomigatorem alterius componêtium diuiferis:habebis reliquat rationis de; nominatorem,fiue numeros in refléta ratione conflitutos.0portet autem (vbi alterius vel vtriufque rationis denominator,integro 8c fraéto exprimetur numero)ipfa integra ad fimi le genus denominationis cum propria,wel occurrente fiaé’tione teducere: pofiea numeras totem diuidendæ rarionis,per communem multiplicare denominatorem,fiet enim reliât: rationis. numerator.Deinde numeratorem diuidentis,in eandem communem denominath rem ducere,nam eiufdem reliât: rationis prodibit denominator.Quemadmodùm ex fecun do libre nofiræ deprehendere potes Arithmetîcæ. (IRefumatur in exemplum ratio ’dupla, mmodfi. ex fefquitertia 8: Iefqualtera refultans: fitque propofitum alteram componentium, vtpote . fefquitertiam,ab ipfa dupla ratione fubduccrc.Denominator iraque fefquirertiæ,eft vnum primum un" a 4 a: tertium,quæ quatuor efficiunt tertia:duo autem,à quibus dupla denomi; Ph". . natur ratio,conficiunt tertia fex.Diuide itaq; fex tertia, par quatuor tertia, 1 3 in hune modum.Duc (ex in tria,fient decem 8c o&o:&rutfum quatuor pet Î tria multiPlicamfient duodecim. Et quoniam decem 8c 0&0 Continent (et me] duodecim,8( alteram eorunde’ partemzreliéra itacp ratio ,fefqualtera en; (IDetur rurfum fefqualtera ratio ,à qua velis auferre fefquiquintâÆx vno itaq; 8c dimidio,à sema; en: quibus fefqualtera denominatur,fiunt tria fecûdazex vno autê 8c quinto,ipfius fchuiquintç Pan". 3 6 deuomimtatmefiunt quinta fex.diuidenda funt igirur tria fecunda,per fez ’ qumta.Duc En]; tria in quinq;,fient quindecim:po&ea fex in duo multipli. I arc,prouemet duodecim. Et quoniâ quindecim ad duodecim,rationê ha; * J- bët fefqulquartiddcirco reliâa ratio ,fefquiquarta dicetur.Nâ ex fefquiquar Il ta 8c fefquiquinta ratione,fefqualtera(veluti fuprà deduximus)generatur.

IIPOTERIStionibus conflitutos ET refpondenter IDEM abfoluere. PERNVMEROS Dentur enim rurfum IN numeri,filb DATIS antecedenç RA: lampa": W modus ribus rationibus Conflituti, vtpote duo ad vnum in dupla,& quatuor ad tria in fefquitertia "tiam, au, ratione f: habentes : fi’tque veluti prius , fchuitertia ab ipfa dupla ratione fubducenda. uiccm. I z , DuPh’dI-uidmm. Scribatur in primis fefquitertia,fub eadem ratione dupla. EX; SÉQuitfl-fia. Pofiea multiplicato duo in tria , hoc efl,anteccdens diui- t 5...- 4 saqualmafleugta, dendæ rationis,in confequcns diuidëtis:fient fex.Rurfum Ëudto guli quatuorfltpote çôfequçns ipfius diuidendç - I Li].

12.4 ’ GEOMET.ELEMENT. rationis, in diuidentis ancedenszfient quatuor . A ratione igirur quam habear (ex ad qua. Aliud exem- tuor,reli&a ratio denominanda elhquæ rurfum offenditur fefqualtera . IISubducamus ruts plant. fum,ad maiorem fingulorum refpondentiam,à fefqualtera ratione, præfatam rationem (et; quiquintam. Propone iraque tibi numeros fub datisrationibus çonftitutoswtpote , tria ad duo in fefquialtera,& (ex ad quinque in lefquiquintadît 3 z [minauda "no. a pofita fefquxqumta fub fefqualtera: duCito tria in quint 6 q; refqufquinta. que,fient quindecim. poflea multiplicato duo pet (ex, I 5 - l z regagnant prouenient duodecim . Habent autem quindecim ad . duodecim, rationem fefquiquattam , qualem fuperius offendimus . Baud aliter,decæteris quibufcunque inuicem fubducendis facito rationibus.& fi minus in hoc genere calculi flics ris exercitatus,ad caput fecundum libri quarti ipfius Arithmeticæ noftræ confiigito. l

A "tyran and on! meælknîtôyfappæ(ardente: , qui. «(æ-à a, 76113696019 531176340; 81m: , 7:8;ce. datum: I * un. à; i cri fléau. . chorcma 1, Propqfitio I. I Riangula 8c parallelogramma , quæ fub eadem flint altitudi: ne:ad fe inuicem funt,vt haïes. l O R ON T I V S.lISint bina triangula azbœrôc alc!d,totidémg parallelogtâ et elcr quidem atq; uf,fub eadem altitudine,feu perpendiculari ex aNerticc . in brdzbafin incidente confiituta . Aio in primis,triangulum azbzciad rriangulum a!CId!fe figure confit" habere,veluti bafis brczad bafin ad.Cùm enim ezczac afiparallelogramma,in eadem fint tutio. V altitudinain dircétum efligitur ezavipfi azf,atcp bzczipfi ad,8: proinde ezfzipfi bzdrparala lela.Producatur igitur reâa brdzex vtraque parte in continuum reéhîmque,ad gz8t hlpunn &azper fecundum pofiulatum .r Secetur deinde brg,æqualis ipfi brcmecnon dlllSC l!h,ipfi .Cldlæqualeszper tertiam primi.& per primum poflulatum, conneâantur azg,all,8c alh!lio Prima dedu. neæ retâte . Cùm iraque g!b,ipfi blclfit æqualis : erunt triangula alglblôc alblClin 53m3": (lia fluore- æqualibus, 8c in eifdem parallelis e498: glhtconf’titul’aîæ PË°’ mafigde tri- pterea inuicem çqualia,per trigefimamoé’cauam primi. 8C prout; angulis. de azad,axdzlz& azlzhzrriangula,æqualia quoque erunt adinuis ce".ngtuplex igirur cit glclbafis, ipfiusblc:totuplex el’t mans gulû alglc,ipfius albzutriâguli . quoruplex rurfum cit erhzbaî fis,ipfius ad:totuplex efl 8c azczhA-riangulum, ipfius trianguli azad.Si bafis iraque gzc, maior cil: bafi alunit argrcztriangus q lum,triâgulo aIclhIproportionaliter mains.Et fi gzdôt czhzbaa fes , fuerint inuicem æquales : erunt axgzc18c alcrhztriangula, æqualia quoque adinuicem. Œôd fi bali: grc , minot extiterit bafi ah: erit 8c algzcltriangulum , ipfo aicxhltriangulo æquè iridem minus.Quatuor iraque magnitudinum,duarum inquàm bafium brus: eld,th m tidémque triâgulorum azbzczôc arcrd,fumpta funt æquèimul: V tiplicia primæ 8c tertiæznecnon fecundæ 86 quartz , alia vta I2". Wh» 3’52". NUE cunque æquè multiplicia.Et ficut multiplex primæ magnitua IM- Ud- 3A3". a’c’d- dinis,ad multiplex fecundæ , hoc efl,glc2bafis,ad bafin 6th V V fic multiplex tertiæ,ad multiplex quartæ,vtpote argrcztrians gulum,ad rriangulum arable habete præoflenfum ethicut i itur prima,ad feeûdam præs diâarum magnitudinum:fic tcrtia ad quartam,per fextam ip ius quinti difl’mitionem . Y: bafis ergo blc,ad bafin czd:fic triangulum arbrc , ad rriangulum aludmod prias sternes manda theo- bat ofiendendum . EInfuper quoniam a!bIc!triangulum, 8c parallelogrammum vain 63’ rtmatis refri- demfunt bali, 8c in eifdem parallelis confiituta: duplum en: ezaparallelogrammuxnifPÛUS lutio,de peut! aszcrtrianguli,per quadragefimamprimâ primi:& prepterea cIflparallelogrammum,1Pfil-l3 lclogranlmis. trianguli areldlitidem duplum. Sunr igirur (vus: clflparallelogramma , ipforum aflJICISC wudltriangulorum æquè multiplicia.Partes autem arque multiplicium, eandem ramonem habent fumptæ adinuicem- et decimâquintam quinti-Vt igi’ s m2] un alb[cl magulum , ad triangulum arcId:fic parallelograma bzc.cld. azb!c.alumum cm , .ad andCl f! parallelogrammum . .- . Ofltenfum cit autem alblcztriangulumfi’d triâgulû aleldxfe habere , veluti bzclba; x fis, ad bafin c r d . Binæ iraque rationes , vtpote blubafisfld

’ bafin eld,atque parallelogrammi. , LIBER au ad elflparallelogtammum, V1. eædem (ont çum. ratione12; ipfius akbzcltrianguli, ad rriangulum aleld. Que autem eidem funt eædem rationes,& ad: inuicem funt eadem: pet vndecimam eiufdem quinti. Bit igirur vt bafis blc,ad bafin ad: fic parallelogrammum eIc,ad elfl parallelogrammum. Poterit 8c ipforum parallelogram; Notàdum. morum4 ratio,quemadmodùm - 8c, triangulotum,feotfum demonilrari : defcriptis fuper gzb, dll,& lthbafibus , a: in eadem altitudine parallelo ammis. Triangula iraque 8c paralle ’ logrâma,quæ fub cade funt altitudine:ad fe inuicê- unt,vt bafes.Quod erat oflendeudum.

.Ap mécrue amère «me [du 19W b, maleaf MÊME 42,465 me iueâa J5- anguillule; ’ , 5:10?wa «qui 1-22; in 73176118 «vampire: and îàp ont??? crains aimai àvo’moyop TPKÛËŒBÎ îni tâte mage p- àmupblu inOâæflægô: qui: ÂOWIÎIII "sont a? 41°de mtugàzy mgéMoq. l Tbeorema a, 4 Propcfitio’ a. ’ I l. I trianguli ad vnam larerum aâa fuerit aliqua reé’ta linea parallela:propottionaliter fecatipfius triâguli atera.Et fi trian: guli latera proportionaliter feâa fuerint z ad fegmenta con: nexa reâa linea,parallela ad teliquum erit ipfius trianguli latus. O R O N T I V S.([In triangule enim aszc , agatut re&a du: , ipfi blalateri parallela. Dico primum ipfam dze,fecare abus: aICIlateta proportionaliter:ficut quidem aidzad dzb, fic azezad a c. Conneâantur enim bzeÆc udtlineæ reéhe : pet pris Prima thon; ’mum poll-ulatum. Étant itague brdzezôt merda triangula, in eadem mais Pars. bafi dle,ac in eifdem parallelis blCl& d!e:& proinde inuicê æqualia, pet trigefimamfeptimam primi. Eft autem 8c aldIe, aliud quoddam d C triangulum. idem potto rriangulum , ad æqualia triangula eandem habet rationemzper feptimam quinti. Ergo ficut atdteltriangulum, 1, ad rriangulum bIdle: fic idem trian lum azdxe, ad dudnriangun lum- En autem aIdËezârigmgulumfi rriangulum bldre,velu;ill:afis

a Pmmlammwalelalvdle’c’ufl, aId!ad ba in l : dem et verticerimam e,& gaula: huius fub eademfexti.funtvenim altitudine.Et ficut igia u cos tut bafis aId, ad baûn dib: fic aIdIe! rriangulum, ad trians lum cl cl d, pet vndecimam quinti . Sicut rurfum azdreI rriangulum, ad rriangulum ae!d:fic bafis aIe,ad bafin ezc, d dib i d et eandem primam huius fexti.funr enim aIdIeiôt a chll La, ’ la, "W" la’u’”! l triangula fub eadem vertice (1:8: fub eadem confequenrer al, . titudine.Et fient igirur aldIbalîs,ad bafin drbdîc bafis a!è,ad bailli etc, pet eandem vndecimâ quinti.Secar ergo dlexparala lela,ipfa aIbÆc alellatera, in panaris dla: eiproportionaliter. (Sed iam du, v: anima a,b,fic alerad elc:8t côneâatur reâa dlc,per primum poftulatiî. Parti: [t’aide ’ VAio verfa vicc,dIeIipfi bIcIforc pârallelâ. Cônâzis enim(veluti ptius)bzelatcp dd!r;&is, MonfiIdù. cri cm primû o latum:erit rurfum, et rimâ huius exti, ’ He’e’cla’d’d’blyd’e’b’d’ilîriangulum aldtlîvad triangulû bIdIe,vePlutiÊbafis aldlad balla * ’ dlb.At fient azdzad dlb,fic pet hypothefin alezad ezc.Et ficut ’ igitut pet vndecimam quinti,aleIad eIc:fic aldlc! triangulû, ad rriangulum bzdle.Sicut rurfum pet eandem primam ferai, IaIdIe.bzdzelazemcIudze.cxudlalelbafis,ad bafin elczfic idem triangulû aldze,ad trian lum deldÆt proinde ficut azdlettriangulum,ad triangulû zdze: fic idem rriangulum aldze, ad triangulum oud, pet vndeci. main ipfius quinti.Idem ergo triangulû aldze,’ ad ipfa brdzel . . 8c Cleldltriangula,eandë habet rationem.Ad qu: autê trian gala idem triangulum eandem habet rationem: 8c ipfa flint inuicem æquaIia , pet nonam emmem Cluîîlti.Aequum cit igirur bzdlemiangulumfipfi aerdztrianguloQgæ cùm in eas . de"! fint hui dle,& ad eafdem patterns: in eifdem quoque funt parallelis,per nigefimams , nonam primi.Parallela cit itaq; We,ipfi blc.Si trianguli ergo ad vnam latus:&c.Vt in theo, temate.Quod. demonfl’i’are, i oportebat. . . . . ’Lui. i ’ v »

l 12.6 GEOMET. ÉLÉMENT. .

Ap 71°06’)!!! 7min:. Meute: «Nm mon du Tipvouou à, qui; ’ 7min!)rem": iueêœ film! a: du! qui) , bémpnà: ai; Maroc 713p àuaip 2’54 A6701: qui; Roman-7’52 Gradin: müeœîtmgd îàzp Tôt tic béate; T’ai- pmufliip âimlp ïxd Myopfluîc Mimi"; a? 01°:va ruâmeœîçù’nô 4’ menoit irai qui» magnifiqu- gwwau êu95œ,dlixœ vêpre! qui: 7’27 4194W: 70net. Tbcorcma 3, Propojïtio 3. "- ï; I trianguli angulus bifariam fècetut,difpefcens autem anis 3 lumïeâa linea ficuerit 8c bafinrbafis fegmen’ta eandem

. bebuntv -vï?â.’:;5 rationem,reliquis ipfius trianguli lateribus.Et fi ba: fis Ifczgmenta eandem habuerint rationem,reliquis ipfius trianguli lares vribus:à verticc ad bafin coniunâa reâa’linea, bifariam difpe cit trian: guli angulum. O R O N T I V S. Il Sir datum axbtcztriangulum, cuius angulus’braIabifariam feeetur, figure m- pet nonam primi:re&a quidem ald,bafin ipfam blaitidem fecante in puna-0 d. Aio qubd Mit». bzd,ad dchfe habet:vt bxa,ad alc.Per datum enim punétum b, datæ reflue linea azd, pas tallela ducatur ble,(per trigefimamprimam primizproducatiîrtp Ualreâa,per fecun um poil-ulatum,donec conuenerit in purin étum etcum ipfa bie,feceri’tque rriangulum bzele; Conueniet autem Uazcum ble,per quintam poftulatum : prepterea qubd anguli elblCJSC b[CIe,duobus re&is flint minores.nam angulus ezbic,exteriori 8C oppofito aldlc, pet vigefimamnonam primi cit æqualiszôc duo anguli azdtclac ùaw trianguli aldlc, binis reâis minores exifl-unt , pet ipfius primi decimamfeptimam; Prime parti His ita Conflmâis,quoniam in parallelas a[dz8c bze,re&a: incidunt une: ezc: æqualis en: «me. angulus vbrezalterno brald,necnô interior alexbzexlteriori 8c ex oppofito dlalc,per vÏes funamnonam primi. Atqui blaIdÆt dxaluanguliJunt inuicê pet hypothefin æquales: uo iraque anguli albre! 8c azezb, æquales proinde funt adinuicem . hinç latus a! b, lateri me, pet fextam primi,æquale.Trianguli demùm blNCfld latus breIaéta cit parallelus azd, pet conihuâionem: fecat igirur atdlproportionaliter ipfius trianguli latera,per fecundam hua ,ius [exti,ficut quidem bzd,ad dtc,fic eza,ad azc.1pfi porto e!a,olie’fanefl :quali: bta.æquac les autem ad eandem,eandem habent rationem: pet (cptimam quinti. Et ficut igirur bid, ad dlczfic bIa,ad aIc-IISit autem vt bzdzad dtc,fic baud alc: 8c côneétatur a!dlre&a,pet Pommade primum poil-ulatum . Dico verfa vice ,I quèd udl reâa bifariam difcindit angulum hmm. flacon ’, Confituéta enim vt prius figura, quoniam ex hypothefi receptum cit, ficut brdzad dtc,fic , tomera pri- ’ bIaIad au; fed pet fecundam huius [exti,ficut bldzad dzc,’fic bla.alc. l b!d.d!c. I «and! «and azc:in triangulo enim bAwd, ad latus blez aâja cit pat in. tallelus atd. Bin:: itaque rationes,bzal inquàm ad atc,& exal ad aic,eidem rationi bxdlad dzafunt eædemzôc propterea est: dem adinuicem,pet vndecimam ’quinti.Et ficut ig’tur bzalad . alc,fic e!a,ad eandem alc.Quœ autem ad eandem,eandem habent rationem: æquales funt adinuiCem,per nonam ipfius quinti. Acqualis efl: itaq; bta,ipfi eza:& proinde qui ad bafin - blezfunt anguli, adinuicem æquales, pet quintam primi, hoc cit, axbœzipfi azezb. Et que! niam parallela cit azdIipfi bze,’& in eas incidunt a1b18cl elCIIineæ reétæ : æqualis cit anguc lus blazdlaltemo a! b! e, necnon 8c exterier angulus dzarq interiori 8c ex oppofito alerb, pet vigefnnamnonam ipfius primi. Oflenfum en: autem,angulos azbtelôt alesz fore inuis cem æquales.quæ veto æqualibus æqualia funt,ea quoque inuicem funt æqualiazperlprimæ communis fententiæ interpretationem. Acquali: cit igirur angulus bzaxd,angulo dralc.Et proinde angulus blaIc,fub ajdlreéta bifariam difcinditur.Si trianguli iraque angulus bifaa tiam fecetur:8t.quæ fequuntur reliqua.ng’d demonftrandum fufceperamus.

TOP ïml’wp ÎMVOP,RËOÉÀ070p êaîpeidem: aï mtueœîfiim-Œ. qui; il, l’au; nuançaiP9665015 âpôîxoyoi 0:3 dl. I bini de ibvcçyou’a; Wfivvcæmweæî.

I LIBER VI. ’ l 117 Tbeorema 4, Propofitid 4’. n; Equiangulorfi triangulorum, proportionalia funt latcra quæ ’73. circum æquales angulosük fifnilis funt rationis, qua: æquali: ’ il bus angulis lateta ubtenduntut. O R O-N T I V S. [[Sint bina triangula inuicem æquiangula,alblcl& dlclc: (in; angulus azblelæqualis angulo. drag! blalaangulus ipfi Cldœ,atque.alCJblipfi angulo dlelc.Aio latera ipforum triangulotum aibÆISc drelelquæ circum æquales angulos , fore proportiot naliazôt quæ angulis fubtenduntur æqualibus,eiufdem elfe rationis,ficut quidê alblad’btc, fic dlclad de, ficdtque hm! ad cza, fic de! ad eId,’ atque fient dal ad alb, fic eIdIad dm. Conflituatur enim in direétum bina eorundem triangulotum latera , ca fcilicet qu: arqua: Confirufl-io libus fubtenduntut angulis:vtpote bIczlatus,in direÇtum ipfius de.id autê efl’icietur, cùm figure. , anguli bieldlac dlcre, binis métis fuetint æquales,per decimamquartam primi.Ptoducam tut infu et blalôc eldIlatera in reétum 8c continuum ad partes vêt d,pcr fecundum poftu latum: onec tandemin vnum congtediantur unétum. Id enim pet quintum pofiulatum euenire neceflum elhpropterea qubd anguli a! [08C alob, duobus re&is pet decimamfea ptimam primi funt minoreszôc angulus dIeÆIang-ulo UCIblpcr hypothefin cit equalis. Ex quo fit, vthanguli ohms: dlezb,eifdem angulis axbzaôt flabzfint æquales:& proinde bis . a nis métis iridem minores . Et quoniam ex hypothefi angulus f ’ dIcIe,interiori 8c oppofito ad eafdem partes a!b!cleft æqualis angulo, necnon 8c al a bi ipfi d! e! c1 itidem interiori 8: op: pofito :qualis : parallela en: igirur eldIipfi blf,& araipfi fie, . i d pet vigefimamoâauam primi . .Parallelogrammum cit iraque aleldzf: &proinde aIcAatus oppofito 9d! æquale, fimilitet 8c C 2 alflipfi eld,pet trigefimamquarrâ eiufdem primi. Hi: ira c6: DWIÏVW é e firuâis;quoniam trianguli btfze,ad latus 9e,a&a en: parallela 9705W. * alczfecat igirur alc,ipfius trianguli latera proportionaliter,per - feeundam huius fextizficut quidem bzalôc alf, fic blClad de. 8c æqualis ofienfaefi azf,ipfi am, du. bu, c,e, Cld.æquales autem ad eandem ,eandem habear tationem:8t eadem ad equales,per feptimam quinti.Et ficutigitur albrad w dlc:fic blc,ad .cle.Et permutatim infupet,ficut alb,ad bzc:fic . a dlc,ad elc,per decimamfextâ eiufdem quinti.Item quoniam ipfius trianguli blfle, ad lattis bzf,a&a cit parallela’cld: fecat rurfum eadem ad,eiufdem "au. "a (la. "a. trianguli lacera proportionaliter,per eandem fecundam huius fexti: ficut quidem hm; ad de, fic fldlad dle. Ipfi potto fId, n oflëfalefi :quali: alcÆt fient igitur blc,ad Cletfic dand ad, pet eandem [cptimam quinti . arque rurfum petmutatim , pet ipfius quinti decimamfextam; ficut blaad da: fic czetad etd. Iam itaq; citenfutn efl:,ficut albzadzbzcfic dldadœœficûtî bluad Cla,fic 8c delad ad. Sunr igitur tres magnitudines alb, b!c, 8c Un: 8c aliæ eif em æquales numero dm, de, . a,b,b,c,c,a. (1,609: A. 8c e,d,curn duabus fumptis in eade’ ratione,Et ex æqua igirur V ratione,erit ficut b!a, ad a!c:iîc etiam cld,ad die,’ per Vigefia mamfecundam quinti . Aequiangulorum itaque triangulorum albxcÆc dlClc, proportionalia flint latera qui: circum æquales angulos:8: fimilis funt rationis, qui: :qualibus angulislateta fubtenduntur.Quod demom fitandum fuetat. ’ . V ’ " . Ap Mo veina; «à; mange;eadem: daim?» animato: jin»: e, Œà IŒlybfiœflæl 5946m; fait; 251 quela yo- v . u’ac 64” à; «2 épila)»: rainage) «(æ-oïdium». a a q .- Tbeorcma x, Propofitio f. î ’ 5 a 7 7’: il duo triangula,latera proportionalia habuetintnequ-iangula x erunt triangula,8c æ uales habebût angulos fub quibus eiuf: c dem tationis latera ubtenduntur. e ’ R O N T IZV S. (Ha-cit conuetia præcedentis que non potuit eadeiln figura , vel . . . .111]. *

12.8 r GEOMET. ÉLÉMENT. deduâione ( quemadmodùm fecunda a! tertia obfetuauimus propofitione) demonflrati. t Sint igirur bina triangula aibtez a: dze! f, habentia latera to ortionalia : fient fluidem l ç a! b, ad b!.e, fic dtclad en"; ficut præterea bzaad cza, fic ez za 9d, ficut denique clalad I" a!b,fie fIdAd dze. Aio triangula ipfa alb!CI 8c dl e! f, fore æ- ’ - quiangula: 8c æquales angulos comprehendere , fub quibus a ’ , eiufdem rationis latera fubtendunturzvtpote, angulum alblc, l Confiuaio æquum fore angulo dIex f, 6c angulum blcl a! angulo en?! d, fig". e . f arque angulum bzalel angulo eldÆ Ad datam enim reâam b c p I lineam elf,& data illius punâa clôt f,datis angulis teé’tilineis. azbÆISt alub, æquales anguli conitituantur, pet vigefimama tertiam primi: fie! l quidemi fi azbzc, 8c un lipfi aIcfb- Et quoniam anguli vêle! 8: ale! , pet decimam cptimam ipfius 3 primi,binis te&is funtminores:8t fiezgzitaque ac elftgxangu. li,binis iridem métis minores etunt. Conuenient ergo tandem eIglôc flglteâzq linez,per quintum pofiulatum . Conueniant ad punâum g. rriangulum erit igirur etfrg: 8: teliquus oflîfim’; d:- angulus qui ad ,teliquo quiad a!æqualis,pet corollarium trigefimæfecundæ eiufdem pris ’ mi,vna cum ip a tertia communi fententia. A’equiangula funt iraque alblCI8c ezflgl trian; gula,8t proinde latera ipforum proportionalia,quæ circum æquales angulos: 8: fimilis flint ’ tationis,quæ àqualibus anguli:J laâega fubtêduntur,pet quartam huius fextiÆft igirur figut - p . . L az za zc,fic IeIad ezfificut orrè azb!ad b!c,fic cit pet a lumen. Jill) M l SIC en l pothefin ùezagipfm elfiEt fiât igirur dlerad eÆ , fic glCIQYd i ’ eandem elf,per vndecimam quinti. u: autem ad eandé,eandem habent rationem,a:quales funt a inuicë,per nonam quina . ti:æqualis cit igirur dle,ipfi etg.Haud difiîmiliter oflendemus d!f,ipfi f7 laïqualem.eadem enim eÆIad vtranque,tum ex hypothefi,tum ex quarta huius [exti,eandgemhabet rationem: nempe quam bzclad cza . Ad quas porrb magnitudines,eao dem magnitudo eandem habet rationem, ipfz funt æquales, pet eandem nonam quinti. Etyquoniam :quali: efi; ùe,ipfi Hg , vttiq; autem cômunis etfibinæ itaq; dzexôc elfztrians guli d!e,f,duabus fluât elgxtrianguli e l f l g l funt æquales airera a1teri.8c bafis dÆ,bafi n Ûg!æqualis.Angulus igirur dxexf,angulo fiexglfub æqualibus te&is côptehenfo,perP5 0&2» uam primi , cit æqualis. N ec dilfimili via demonftrabimus,angulum cldifî, angulo agit; æqualemzatq elffdîiipfi elflg.femper enim ipforum triangulotum bina lacera, binis lateris bus altetuml alteri o endentur æqualiamecnon 6c bafis,bafi :qualis. Et contentes propre: RClôIlItÎo fiât; rea fub æqualibus lineis téâis angulos,æquales habebunt:per eandem oûauam primi.His amatis. ptæofienfis,quoniam angulus drelf, :qualis cil angulo f1ezg:eidem quoque an .10 flezg, arquas cit pet confituâionem angulus alblc . Duo iraque anguli vivais: dIel ,eidem ans gulo fretgz funt æquales:8c proinde æquales adinuicem , prer primam communem fentem tiam.Pari difeutfu angulus alab,angulo dler: necnon a: buvaangulusfipfi eIdzfzangulo eoncludetur rqualis.Aequiangula (une itague arbzc,& dleifltr’iangula. Si bina ergo trian: gula:&c.vt in theptemate. ngd oportuit oitendiiTe. y . Ap No urinant pfut: 7minabyme: piffa yttria fait» s, in: ,11960501; vni-6b). du «à; in; 7min côtes. «impôt;t l - Mékong : infime: itou Tà: 4;:le , la! 701x; Ëfd très muas, 69’624; 0:2 épinant-Meneur ’ évacua. WTbcorema l I 6; .Propqfitio 6. i l ï I bina triangula vnum angulum vni angulo æqualem habue: 6 p tint,8c circum æquales angulos latera proportionalia; æquis 3 angula etunt triâgula,& æquales habebunt angulos,fub.qu13 - bus eiufdem rationis latera fubtenduntUt. l - , - 0 O N T I V S.([Sint rurfum bina triangula albld 8c «par, habentia ynum angulum - vni angulo æqualem , vtpote cum qui ad blei qui ad e: arque circum eo’fdem æquales an: gulos latera proportionalia, fient azbtad blc , fic dlezad elf. Dico ipfa triangula aIbzcÆt figura! com. dIeÆ,fote aquiangulawt angulum blalçlangulo e[dlf , au; alabgipfi dzfzezrefpondenter pofitio. «inquart. Ad datam enim teétam dle,dattinicp illius punétum e,vtrique sequaIiuxn

qui ad bl8: exfunt angulorum z æqualisLIBER angulus confiituatut dxer’g,petvigefimamrertiamVI. i 129 primi.& pet eandem,ad punétum d,ipfi angulo bxazczæqualis’ rurfum confiituarur angulus ezdxgÆt quoniam duo anguli albzczôc blalc,fnnt minorps duobus reâis,per decimamfeps timam ipfius primizerunt 8: ipfiianguli dzeng8c ezdlgtbinis iridem reâis minotes.Conue: nient ergo tandem dfglôc elgl reflue in continuum produâæ, pet quintum pofiuiarum:fit illarum concutfus in punôto g. Triangulum erit iraque dlet g: 8c reliquus angulus qui ad Deduflio tinta g,reliquo qui ad czæquaiis,pet tertiam communem fentenriam,8c ipfius trigefimæfecundç «mais. i a . primi eoroilatium. Acquiâgula funt itaq; aIblUSC dtezgxttian: - I ri ’ gula:& proinde larera ipforum proportionalia , fimili’fq; ratio; ’ - nis etunt qui: æqüalibus angulis lateta fubrenduntur,pet quars I tam huius -fexti.Et ficut igirur alb,ad blc:fic dxe,ad e!g.Sicut c f porto a!b,ad blc: fic pet hypothefin dze,ad elf.Et fient igitut K D1 dzexad eÆfic’ipfa dxe!ad exg:quç enim eidem funt eædem ra: i e riones,& adinuicê’ funt eædem,per,vndecimam quinti.Eadem iraque dze , ad ipfas ufzôt leigzeandem habet rationem : æquaiis cit igirur erfzipfi Hg,per næfôlutio de- nonam ipfius quinti. His ira præofiëfis,quoniam æqualis cit l 3’5’ b’c’ l dm "L [31E ’E’Ël Uflipfi elg, vrriquc autem communis djeibinæ iraque dlexac môflfatiælil. elfzttianguiidzezf , duabns dzelat e!glrtianguli dlezg , flint :quales airera alteri: 8t æquos adinuicem continent angulos, pet confiruétionemÆafis ergo dtf,bafi dlgzefi æqualis, 8c tas " tum rriangulum toti triangulo æquale : reliqui infuper anguli reliquis angulis æquales fub ’ quibus çqualia fubtêduntur latera,pet quartam primi.Aequalis cit igirur angulus ezdtftipfi etdtg, au; is qui ad ftei qui ad g,arquaiis.Sed eidem angulo e!dzg,æqualis cit pet Confit-us &ionem angulus btaxc:eide’ infuper qui ad g,is qui ad cliridem æqualis.qpæ autem eidem .æqualia:8c adinuicem funr æqualia,per primam communem fententiam . Acquus cit igirur angulus ezdjf,ipfi blalcznecnon &Idlf!e,ipfi angulo mob. Reliquû porto angulum dIeÆ, tcliquo albxc,ex hypothefi tecepimus æqualë.Aequiangula itaq; funt aszclac mafia-iam gula:8( æquales habent angulos, fub quibus eiufdem tarionis lacera fubte’nduntut. Ergo fi bina triangulaïôt qua: fequuntnt teliqua.ngd demonfitare fuetat opetæptetium. 1 92691440: 1 2, Paiera; g. Ap «No affama: piapymiœppiât’ 76Mo: falun in, alibi li Tôt; imide 7mm a Tôt: aimait: àvaiîtoyopfifiî dit Àontôp itur-[Watt fripa in: êMwemîî Pin Mes-ove ôeefiçzîmévm (sur; «à fifilyœvœ,l(œî in; ïfd d’à; amide-mm à; avoinerai: àofp ad mitigeai. Tbcortma 7, Propofitio 7. V a ’ ;I bina triâgula vnum angulum vni angulo æqualem habue: a tint, circum autem alios angulos latera proportipnalia,relis . quorum veto vrrunq; fimul aut minorem aut non minorem te&o:æquiangula etunt ’ttiâgula,8c æquales habebunt angulos,circ;um quos proportionalia funt lateta. ’- 0 R O N T I V S. ([Sint bina triangula aszczôt dtetf,vnum angulum vni angulo,vtpo: Prima theote- t,e,eum qui ad ami quiad dzæqualem habentia’: 8c circum alios angulos , fcilicet albzcÆc mati: ,fiut l7! dlezf,lateta proportionalia, fient quidê albzad bIc,fic dœlad ezf: teliquotum potto qui ad potbcfi: pars.

clôt fifunt angulorum, vterque primum fit reéto minor.Aio aibœlat dlelfzrtiangulafote p æquiâgula:8t angulum azbzclatquû efiè angulo dlezf,atq; teliquum alablreliquo dlfœliÇîi dem æqualê. In primis enim,vel an lus atbtcxæqualis efi: angulo dzelf, vel eidë inæqua: l lis . Si æqualis fuetit albIClîpfi dlez :reliquus aNJb tcliquo dzf!e,pet corollariü trigefimæc fecnndæ primi,8t tertiam communem fententiam , erit æqualis . 8: proinde ipfa triangula albldac dtezflæquiangula. quôd fi angulus azbzc, non fuctit si æqualis ipfi dzexfialtet eorum,teliquo maior 31:.an Ç fi poiiit bile fueiir)azbzczanguius,ipfo dzezfxan lo maior.8t ad datam re&am lineam aIb,8c datum in ca pun b:ipfi angulo dtezfz L r f æqualis angulus confiituatut alblg,pet vigefnnamtettiam pri: 1 mi. producattitque blglin latus ale: cùm enim angulus azbzc,

13° il GEOMET. ÉLÉMENT. r Demonflntio .datus fit maior angulo (ile! f, cadet reéta blgl inter a! b! 8c bz c1 latera. His ira confira; enflé W &is , quoniam æqualis cit angulus qui ad alei qui ad d, 8c qui fub alblgl ei qui fub (lÆlfl partù,ab im- æqualis:teliquus igirur angulus alglb,teliquo d!f!e,per corol- pgibih’. iatium rrigefim: enndç primi,& tertiame communem fentena tiam erit œqualisÆt proinde alb!gltriangulü,ipfi dlelfflriann I g gulo æqnianguium . Hinc pet quatrain huius fexti , propor- x tionalia erunt latera qua circum æquales angulos : fient qui. ’ la dem dxe!ad eÆ, fie a!bfad bzg. fient porto dz czad e!f, fie te. eeptû cit azbrad blc.Et fient igirur abead blc,fic aIbtad bug, pet vndecimam quintiJEadem itaq; azb,ad vttanq; ipfàtum bras: blg,eâdem habet ratio: .nemtçqualis erit igitut bxuipfi blg,pet nonâ ipfius quinti.Hinc pet quinti primi,angulus szlg,angulo blglclerit :qualis.Angulus potto brug, minot I 3’ b. b": I d’ et vfl me V2 l mac [uppofitus efir: a; blger prepterea angulus,re&o minot erit. Et quoniam angulus qui ad f! reéto minot efi,& ei arqua. lis cit a!gzb, a: b!g!clitidem teéto minotÇvti mie ofiêfum cit) duo itaq; anguli bzgza,& btgzc,à teâa bznguper alexincidens te caufati,duobus reâis etunt minotes:c6tta decimâterriam primi.Nô et! igirur alb!Clane gulus,maiot angulo dzezf. baud difiimilitet ofiendetur, qubd ne minot . Acqualis igirur cit angulus atbzc,ipfi dlelf. Hinc reliquus qui ad c,reliquo qui a flÇvti fuptà)côc1uderur smml’ P0” æquaiiszat rrianguia c6fequentet azbzcÆc dtezf,inuicem æquiâgnia.lISed efio fimni vter: thermauxS i que eorum qui ad e18: f! funt anguiorum,n6 minot re&o:hoc Il" l’yffltb" a . Il eit,aut vterque te&us,vel vterque reé’to maiot.Si vterque tes fi’ d’We’ù! êtas extiretir Ç cum reéti omnes,petquatrum pofiularum fine adinuicem æquales) fiatim côcludetut propofitionis intêtum.

- g de fi vter fiietitUblcl8c te&o du! maior: ,efie inuicem aio æquiâgula. nihilominus Confltuétis rriangula nanq;(ve. c luri fuptà) fig-ut: partibus: baud diifimilirer ofiendemus, bau * atq; btgxiareta , elfe inuicem æqualia:8c angulum propterea qug , angulo bthCIper quine ram primi refpondêter coarquari. Et quoniam angulus bICIg!maiot eit reéto:8c eadem re- &o maior erit angulus bzgzc.Ttianguli irai; gxbze,duo anguli broyat bxgtabinis teétis erunt maioteszquod pet decimamfeptimam primi cit impofiibiie . Non ei’t igirur aszcxana gulus,maiot angulo dzelf: neq; eodê angulo minor.Aequalis cit propterea angulus ubac, lipfi dlelf:& reliquus atczb,reliquo dlflexconfequenter æqualis,veluti fuprà dedué’tum efi. .Aequiangula funtigirur axbzezôc dlezf!ttiangula:8c æquales habent angulos , circum quos proportionalia funt latera.Quod oitendendum tecepetarnus:

I E Ap a;. ôe’OMUÏÇ l. 9:0quopovafiqtô nife 836i; mixe u, 6.er du) 11966:0]; Mg!» méfient; àxogîflà: mena ’73 xa- il; l oiçç «mm une au en m ne me 422mm. À t Tbcorcma 8, Proptfitio 8. ’ I(lin triangulo reâangulo, ab angulo reâo in bafin perpen: 8 dlcnlans agatnr:quæ ad perpendicularem triangula , fimilia a [une tomât adinuicem. x0 R O N T I V S . (I Efio reâangulnm trian lnm aIbl e habens an lnm i Tub b! axe! reâ-nm: 8c à dato punâo a , [uper datamgureétam linea’m blc, petpïdicuigl’lis des azote de «(à ducatur a! d, pet duodecimam primi. Cadet enim huiufcemodi petpendieulatis, intta da: zpfius pape» tum a1 in e! rriangulumnpfiîmque in bina diuidet triangula. Si enim incident extra, pro- diculam. duéto b! q latere quue ad ipfam perpendicuiatem, rriangulum eflicetetur, cuius exteriar angulus minot eiTet interiote a: ex oppofito,nempe acutus teéto , contra decimamiextam primi . Neq; ln alteruttü larerum autalbzaut aIclpotetit coincidere:duo enim anguli eiuf- . dem alanguit non efiÎmt binis mais minores contra eiufdem primi decimamfeptimam. 044M "un! Cadit igirur mtta aibteztriangnlum. Aio itaq; albrdzsc axdzczttianguia,rori azbze, arque S’il?" "bd; inuicem fore fimiliaJiIn primis qubd rriangulum ajbxd,fimile fit toi-i azbrcin hune oflena jingle]?! tu: iditur modum.Angulus enim aldzb,œquus efi angulo blalc,per quattum pofiularum,nema W m pelteâus re&o.8c angulus qui ad b,vttiç triangule cômunis. Ergo reliquus aIczb,teliqùo

bzald,per corollarium. LIBERtri efimæfecundæ primi,& tertiamV1. commune * fentëriam : .131 efiæqualis. Acquiangula font irai; algbchôc arbrdltriangula : 8c proinde qnæ circum æqnale: angulos (tint latera,innicem proportionalia,pet quarti huius fexti.Sieut igirur bchad cla,trianguli alblC1fiC bzaxad afd,trianguli aIbId.ficut prçtetea czazad alb, a ipfius azbÆI triangnli: fie ardtad dzb, ipfius azbl d! rrianguli. fient demnm elblad bxa,eiufdê trianguli azblczfic albxad bzd, eiufdem triangnli arbzd.Simile cit itaq; triâgulum alel, toti azbchttiangulozpet primam huius fexti diffinirionemÆHaud a 1, c difiimili via ofiêdemns, rriangulum axdluipfi’toti wbICIfote Q2 ride tu? fimile. Reétus enim angulus aid! c, retiro blal e, pet quattum gala «(mafia æquarut poi’tnlatum.8c is qui ad deit angulus, vrriq; rurfum triangule communis.reliquus" milefitcvdxcz ergo d!a!czangulns,teliquo albzc(veluti fuprà deduximus) cit æqualis. Aeqniangula iraq; magnum; funt albIClBC azdzc triangnia.Hinc pet quarram huius fexti,proportionalia crût latera quæ circum æqnales funr angulos.ficut quidem b!czad cla, trianguli alblczfic azCIad eld,trian: guli aldIeficnt rurfum clalad azb,ipfius Ubrcztriâgulimc czdzad d!a,ipfius ald[c!triangu ii.ficut præterea ablad bIa,eiufdem trianguii albfczfic elalad axd, eiufdê trianguli azdlc. Simile cit igirur wdfdtfiangulum,toti a!bzc:per eandem primam diffinitionê huius fexti. l ŒReliquum efi:,demonfitate quôd ipfa albldlôt aIdIeIrriangula fimilia funt adinuicem.Id 045M ybxd, autem ex fupradiâis ofienfionibns,haud difficile colligemns.Angulus enim bratd,angulo (faldflyhi. qui ad Upræofienfus cit æqualis: 8t is qui ad b,ipfi dzazc. reliqui autem funt rem, vtpote 4,15.qu azdlbzôc ardzaangnli: a: proinde æquales adinuieê,pet idem quattü pofiularumy.Aequian; adinuicemfi, gulum cit iraq; azb!dztt-iangulum,ipfi triangulo admit fient igirur a(clad ad,fic bzalad muid, ald.ficut ptætetea eldzad dza,fie aldzad dzb.fieut demnm ezazad ald,fic alblad b! d. Pro, pottionalia nanque funt latera,qnæ circum æquales angulos:per fepius allegatam quartam huius fexti.Ttiangula itaq; albldfôt a!dxe,funilia funt adinuicemzper eandem primam bus ius fexti diffinitionem.Si in reétangulo igirur trianguio,ab angulo Ite&0:8te. vt in theorea materd(IEt quoniâ oitëfum oportuit cit fient demonfiraife.crdtad dla,fic Nùad dIbzficut . Œcwoüarium. infuper elbIad bIa,fic alblad bld:fic1îtque brczad ela,fic alclad eld . Proinde manifeil-um efi,quèd in triangulo reâam lo deduéta ex angulo teéto in bafin petpëdicuiaris,eft media proportionalis intetipflfins. afis fegmenta: 8c vnumquodq; ptætetea larerum teétnm côtinenrium angulum , medium iridem proportionale eii inter bafin 8c fegmentum,quod cum ipfa congtedirut latere. (uandam. (Ex hoc eorollario fit pandentet manifeftum , quaiirer dans binis lineis mais duæ mediç lincæ teâæ in eadem ratione côtinuè proportionales teperianrut. vt in noitra Circull qua! dtatnra demonfitauimus. ’ ’ Hg idéer; êuOéœsflô «paumait:Femme pigne Mât. a, Mime Problema I, Propofitio 9. . Ï aAta méta linea,otdinatam pattern abfeindere. v .0 R O N T I V S . (IOrdinatam pattern hic vocat Euclides,quæ ab ordinato aliquo denominatur numero, 8c quota pars integræ magnitudinis ab ipfis nnns ordinant V fin cupatut arithmeticis : vti fecunda fine dimidia pars quæ à binario, tettia quæ à P47; quid. tematio,8c quarta quæ ab ipfo quaternario numerotdenominatur. Sir igirur data linea tes fla axb:à qua fit opetæpretium ordinatam aliquam,vtpote tertiâ abfeindere artem.A da; taquai-t’a j to itaque unâo a, méta quandam linea producatut ale , contingentem qui (Pub bxalclcum FM; eadem e eiens angulum. Ipfius potto aIc,iibernm aliquod punCtum vetfus arfufcipiatur: ’ v in; illud d. Secenrut deinde ipfi azdæquales dzezac eze, pet tertiam primi: 8c conne&arur re&a bIc , pet primum poi’tulaa . tain . Tandem pet pnnétum d,ipfi blopatalieia ducatur dÆ, pet rrigefimâptimam eiufdê primi.Ttiâgnium en itaq; azab, 8c ad iatus ezb ! a&a cit parallela d f f : fecat igirur dzfzipfius trianguli lateta proportionalitet,pet fecundâ huius fexti,fient quidë adzad du, fic blfzad fla. Et à côpofita igirur ratione, fient elalad ald,fic blyad alfiper decimâoâauam quinti.Ttipla efi: autem claIipfius ald: a v A . , l

m * GEOMET. ELEMENT. 8K arbrigitut ipfius azfzitidem erit rripla,8( proinde azfztettia pars ipfius a!b . Data iraque teâa linea azb,otdinatam partemÇnempe tertiam)abfcidimus.Quod facere oportebat. manique fla, P3686019 i. - up 2509:?ch êu94œp hpmœfi mon... and; ’riTpuppîn épointe flpêp. ’ Problema a, Propofitio Io. ’ in a Atam reâam lineam non itétam,datæ reéiæ lineæ leétæ fimi: 4, to

N IIE:x liter feeare. ,une; En! O R OIN T I V S . ([Sit rurfum azbzdata 8c infeâ’a linea reéta , alelverb vtn cunque feôza in punâis dus: e . Componanrut autem azbzôt aleldatæ refit: lia neæ,ad -)contingentem angulum qui fub bralczôc conneétatut teâa bic, pet primum portas l iatum . Pet puné’ta confequentet dzôc e ,ipfi bic,patallelæ ducâtur teétæ linea: dzfz 8c ez : iridem 8c pet punétum d ,ipfi aibzparallela ducatur dlhll , pet trigefimâprimam primi,dgi uidens e z g z in punéto h . Parallelogtamma funt itaque,dxgi8c ivb: 8c æqualis propretea c flgfipfi d!h,& gibzipfi hil, pet trigefimamqnattam ipfius pris "051mm, mi. His ita premifiis,qnoniâ trianguli azexg,ad iatus ezglaâa ,fignfio. ç cit parallela dzf: fecat igitut dzfzipfius rrianguli lateta propota. p tionaliter, et fecnndam huius fexti.Et fient igirur azdzad die, h 1 fic wfzad gglnfupet quoniam triâguli rital, ad latus ulzaâa efi: parallela eth: fit rurfum pet eandem fecundam huius (exti, a b fient dzerad elc, fic dzhzad M . Ipfi me dzhzarqualis oflenfa cit fzg,arque ipfi hIlzæqualis gzb.Aequales porto ad eafdem, eandem habent rarionem,8c eædem ad æqiialeszpet feptimam quinti . Sieur iraque dlezad eœ,fic fzglad gzb.Præofiena fum en antë,ficut aldxad dze,fic azfzad fzg.Et fient igirur azdrad dze,fic alfzad flgzficütcp dlelad eIc,fic frgrad grb.Data ergo recta linea infeéta a!b,daræ rait: litiez vrcunque (es &æ azc,fimilitet fecatut.Quod faciendum receperamus. PQo’flzbupœ y, P969501; tu. An 1.09405]: Equôp,’TfI’1fib étamerois ramifiée. Problcma 3, Propqfitio il. Vabus datis redus lme1s,tertiam proportionalem muemre. Il O R O N T I V S . (ISint data: bine reétæ lineæ aib t 8c ad, quibus tertiam Confirufiio opotteat inuenire proportionalem.Ad datum iraque punâ’um a,datae reâæ lia figut - . v uneæ czdzæqualis teâa linea ponatut ale,per fecundam primi,c6ringentem qui fiibeiazb7efficiens angulum.Et ipfis azbnSc azezin continuum reéhimque ad 08C glpunéta produétiswttiq; ipfarum cidÆt azetæqualis abfcindatur blf,per tertiam ipfius primi:cones g &arütque teéta bIe , pet primum poitulatum . Pet trigefimam deinde primi eiufdem primi: pet datum püâ’um flipfi bzelpa: b talleia ducatur f!g,conueniens cum aiezad punlâum g.C6uen À nient enim tandem pet quintum poitulatum : propterea uod f anguli etalblôc azbteitrianguli aletb , (une pet decimam epti: a mam primi binis mais minores , 8c ipfi angulo albœxinterior, CI----I cl - 8c ad eafdem partes quiad f7 pet tigcfimamnonam ipfins prit Demonflydtia mi :qualis. His ira confituâis , quoniam trianguli agngr ad lattis fzg[ aâ-a cit parallela paumait. bre: feeat igirur bletipfius alglfxttianguli latera proportionalitet,pet feeundam huius fex; ti,fieut quidë azbzad bzf,fic azezad mg. Acqualis porto eii udntriq; ipfarûazeiôt bzfxper confltuétionem28c æquales ad eanldem,eâdem habent rationem, 8: eadem ad æqualesspËr feptimam quinti.Et fient igirur arbiad Ud,fic eadem czdzad erg. Datis iraque binis teins lineis axbxôc cld,tettia proportionalis inuenta cit erg.Quod oportuit feeiflè. FgàCMpœ dl, . IFeo’Otaic ifia. Piôp maies; îuedôpfl-wéçw âvéÀoyop mesa-ébeâp. i v v ’ Problema 4, v Propojitio la. a Rribus datis mais lineis , quartam proportionalem muemre. Il Fig"? Pm’ Î O R A0 N T I V S.(ISint daræ tres lineç reâç a,b,c,quibus opotreat quatrain P474310. inuenire proportionalem.Coni’cituantut iraque bina: quædam teétæ linea: die,

r arque dlf,contingentemt quiv fub LIBER eIdzflangulum efl’icientes.Secetiîrque V1. pet ltertiam .133, primi, ipfi alæqnalis dlg , ipfi veto blæqualis gags: ipfi onqualis dab . Et connexa gzh’Pfl. Pris mum poitulatutn:ducatnr e!ffipfi g!hlparallela,pet trigefirnâprimam ipfius primi . Pet ra, I cundum tandem poiiulatum ipfa: dlhl 8: etfzin continuum te: . p...-5?. f &nmque,producanrnr:donec conuenianr ad punâum f. Con: Demô’liratfo- .putrent enim tandem: quemadmodùm ex præcedêti potes elis ni: rejôlutio. cete demonftrationeliis in hune modum’ptçpatatis,quoniam rriangulum cit dzfle,8c ad latus elfra’éta eii parallela gzh: pro: portionalia itaq; funt teliquotum larerum fegmêta , pet recuit: dam huius fexti , fient dzglad gte , fic drhzad hif. Ipfi porto e l dngæquaiis cit a , 8: bzipfi gIe , arque a ipfi dthxæqualis,pet confiruâionem.Aequales antem,ad eandem eandem habent rarionem,8c eadem ad arqua; les,pet [cptimam quinti.Et ficnt igirur and b,fic c!ad hxf . Tribus iraque reé’tis lineis da; tis,a,b,c:quartam inuenimns proportidnaiem hzfingd faciendum fuerat. mélange: à, I retienne. :7. Io louvé]; êuNôp,pielœ étament: mendiait). Problcma y, Propofitio t3. ï; Vabus datis reâislineis, mediam proportionalem inuenire. A ;; O R Ô N T I V S.(ISint data: binz refît: lineæ,arbz& 0d : inter quas reces. o prum fit,mediam inuenire proportionalem. Pro ducatur ergo altera earum,vts conflîuâlofi’ xi pote axblin teâum 8c continuum verfus e , pet feeundum poitulatum : a: ab? me. indarut bœlipfi ad z æqualis , pet tertiam primi . Et dinifa alezbifatiam , pet decimam J: ipfius primizdefcribarur ad altetuttius partis interuallum femi; citenlus alfze,per tertium pofiularum. A punâo deniq; h,per: pendiculatis excitetur bzf,per vndecimam prinii:8t côneâans tur azfz8c flel linea teck: , pet primum pofiulatum. His ita Sûmafid P704 confirnétis, quoniam triangnli azfzetangulus qui ad fzefi in (e: l’imam OIE: a e micitculo: 1s propterea reâus eit,per trigefimâptimam rettij. fid- c*-”’*cl Reâangulum cit iraque alfzeztriangulnm , 8c ab angulo reâo qui ad fzin bafin ale! perpê’diculatis demittitur flbÆfi igitur ipfa petpendicularis f!b,mea . dia proportionalis inter a!bz& bzexipfius bafis fegmëta, pet primam partê’cotollarij 06h: uæ huius fexri . en igirur vr anhfiad bxf,fic*bzf1ad bIe . Ipfi potto brexæqnaiis cit c!d,pe’t confiruétionem:8t æqnales ad eidemfiandem habent rationem, 8c eadem ad æquales,peti feptimam quinti. Et fient igirur alblad blf,fic blf!adrud. Binis iraque métis-lineis daris, axbÆc ad,media proportionalis inuenta cit bÆqud oportebat facete. - ’ Menin: 0, I retienne «il. rap inepte k) pian: pu? faim ixôwapyon’æp WeœquÂotyféplzwp,œËmmm519œmpoé me, goal, ad du). «viciât; ywvîœ; : M 89 meunuhonvdzppap, pima par? fait. ëxôvfrop yan’ap, «immariveœcnp ad matai 716M de 76:; wvthçfiïô: me iatium. i h ’ Tbcorema 9, Propofitio I4. , t zêta Eqnalium 8c vnum vni æqualem habentium angulum paral: k. leiogrammorumueciproca (uni: latera, quæ circum æquales V Ê W angulos. Et quorum parallelogrammorum vnum angulum vni angulo æqualem habétium,reciproca (uni: latera, qnæ citcü arqua:

0Rles O N angulos:eaT I V S.IISint bina parallelogtamtna quoque inuicem flint çqnalia,axblcl8c æqualia. dlble , angulum l qui fiib albl8: bzc,ei qui fub dIb18t blercôtinetut æqualem habétia. Dico ipforum parai: un prime leiogrammorlî azbtczôt d!b!eilatera, quæ citcû æquales angulos fore reciptoeè proportioa gbgwmgù. naiia:ficnt quidê axbtad bze,fic drbtad bzc.C6fiituanrur enim a!br8t brellateta in direâü: hoc autem fier , cum anguliaibzcl 8c ablezfuetint æquales duobus mais , pet decimam quattam primLIn direâû quoq; tune erit dzbripfi bIc, pet eandem propofitionem: an guli enim dlblerac cxblc,binis iridem teétis , pet primam 8C fecnndam communem fente’tiam, x ’ M. j.

134. GEOMET. ÉLÉMENT. c - ernnr æquales.Compleatur tandem abzezpatalieiogtammnm: . . produétis in continuum reéhîmq; datotum parallelogtammo: mufle W l I tnm lateribus,per feeundum poiiulatum.Cùm igirur aIbzelpa. parfis oflEfia. a 5 e tallelograrnmum , æquale fit pet hypothefin ipfi dlbICI parais - lelogtammo,8c elblelaliud quoddam vrriquc eomparabile pas talleioîrammum : erit proinde vtwbzapatallelo âmum, ad paralle ogtammum Clb!e,fic parallelogrâmum d! Ielad idem clbœIparalielogrâmum.Aequales enim magnitudines,ad eau, dem magnitudinem eandem habent tationetn,per (cptimam quinti. Sieur porrb alblU a. tailelogrammum,ad paralleiogrammum uble,fic pet primam huius fexri,bafis aIbIad bas Hum!a,b,c.c,b,dd,b,e.ub,el fin b ! e : fub eadem enim fiant altitudine,ipfa a z b l c x a: V ablezpatailelogtamma . Et fient i itur bafis azb , ad bafin bxe:fic pet vndecimam quinti , d! tu arallelogtammum, ad parallelo ammum bee. Sieur tu nm pet eandem pri: - mam huius exti,dIbIetparallelogrammum,ad iPrimi P" 31’ lelogtammum Clivezfic bafis wb,ad bafin bœÆtfieut igirur pet ipfam vndecimam quinti, [Ml alblad ble,fic dtblad bzc , Datorum itacp paraileiogtammo- æ tutu wbzu& dlblc, teciproca funt lateta quæ circum æquat Salade pas les angulos: pet fecundam huius fexri diffinitionem . ([Sed maternais, ei’ro vr ni ad bzfnnt anguli æquales fint adinuicem a a à" ronflerfi l- ’ cum eo dé æ uales an los lareta reci tocè proportionalia, me. P" gcfîlâajb’ad b’csfic dzbzad blc.Aio verfa vqiee, quo arbluparalleloËTammumiæquum dt 1p i xbzezpatallelogtammo,Rcccprfi cit enim ex hypothefifltybxad ble,fic dlblad btc. W Sed fient azb,ad blc: fic pet primam huius fexti,parallelos x z grammum atbœ, ad ezbtetparallelogtâmum . Et fient igis W tut aliam! parallelogtâ’mum , ad parallelogtammum able: fic pet vndecimam quinti,dbead blc.Sicur rurfum dlb,ad lalblCJVbchCUbblc d!ble.csze bzc:fic pet eadem primam huius fexri, parallelogrammum dzble,ad e! b l e l paralleiogrammum . Et fient igirur pet ipfam vndecimâ quinti,azb[elpatallelogrâmü,ad abretpaa rallelogtammum: fic paralielogrammum 0b! e , ad idem abxezparallelogrâmum. Vrtunq; igirur axb[a& dtbzetpa; rallelogtammum,ad idem paralielogrammnm czbzeI habet eandem rationem : æqnum en "Taque a] bchPatallelogtammum,ipfi dzbœlpataileiogtammo , pet nonam ipfius quinti. Acqualmm igitursôcvnum vni æqualem habenrinm angulum parallelogrammorum:8r que fequunrur reliquaŒod ofiendendum fuerar. l l lQiflofPKœîv Matis1- piffaient; 0:69pm ixônup wviœp agrainai! i, , «âmmmâueamp P966501; cd mangea vé mihi n. . p Tac 46:: ww’œsmgci a; par: piaf: icup ixôwop www aimntativeémp ad maçonné W taciôtcwnbcsfiôc Karman. ’ i Tbcorema Io, Propqfitio 1;.

Eqnalium 8c vnü vniæqualem habêtinm angulum triâgulo: 15’ l 4 l rumzteCiproca funtlarera,quæ Circü æquales âgulos.Et quo: «EN "i mm vnam vni angulü æqualem habétium rriâgnlorum reci: proca fiant larera,quæ circum æquales angulosæa quoq; (itur æqualia. Prima tbeore 0 R 0 N T I V S. (i Sint bina a: inuicem æqualia triangula la t J matit pas. acinus: dzble,anguiü qui fnb albIBC blc,eî qui fub dlbl8( blc! ’ ’ entlnetur arquaient habitia.Dico lareta ipforü axbchat dlblcl manguloruquæ circum eofde’ æquales funt angulos,fore teei: procè proportionalia: fient quidem a!bzad blc, fic dzblad blc. Collecè’tut enim wbzæ blezlatera in direéhî,8r dlbzipfi blc: quemadmodùm præcedenri’demonfttatione,ex decimaquarta * Pr "11th parallelogtammorû deduétû en: lareribus.Conne&a4 rut demnm teéi’a wd,per primü poitulatnmJ-Zr quoniam pet hypothefin,æqnumc efi atbzet C

rriangulum,ipfi triangule dlbxe: 8:LIBER albIdtalind quoddam vrriquc V1. côpatabile v rriangulum. I3; Et fient igirur axbrdxtriangulum ad rriangulum aIbIc,fic idem rriangulum aszdxad trian: gulum dtbxezeadem enim magnitudo , ad æquales eandem habet tationem,pet (cptimam quinti.Sicut porto ttiâguium albtdmd triâgulnm dsze,fic pet primam huius fexti,albzad b!e . Et fient igirur pet vndecimam quinti,albzad ble,fie azbldltriangulum ad rriangulum lybldmbflialblddjbœlalbqbœl azbzc.Rurfum,vt rriangulum albtdzad rriangulum azblc: fic pet eandem timam huius fexti,dlb!ad blc.Ergo fient ’ aIbzad b!e,fic szad bzc , pet ipfam vndecimam quinti. Triâgnlotû irai; albeI8t dzbze,lareta qua: circum æquas les an ulos reci tocè funr to ottionalia : et fecundam la’b’b’e I a’b’dJ’b’fl d’b’bÆl huius 5iîexti diffirîirionem. (ÊSeld receptum fil; angulos qui par: ficunda, I ad bzfore inuicë :quales, 8c quæ circum eofdem æquales conuerfi pri- angulos lateta teciptoeè proportionalia: fient albzad blc, me. .fic dzbtad b!c.Aio quôd atblczttiangnlnm,çquum efi: ipfi l aszdmbœ l aleMe i drbivc I d!bleltriangulo. Efi enim ex hypothefi,ficnt aIblad bze, fic dxbtad blc. Sed fient azbmd bzezfic azbtdmiangulum ad rriangulum dzble,per primam huius fexti.Et fient igis rut dzbtad bzc: fic pet vndecimam quinti,aszdxrtiangut inazblcldzbbn] aAVchÆIe] lû,ad triâgulum dlbIC. Sieur rurfum dlbzad blczfic trian: gulum arbidmd rriangulum aIbzc , pet (supins allegatam primam huius fexri. Et proinde fient albx dztriangulum, ad rriangulum azblc:fic pet vndecimâ ipfius quinti,idem . . - albIdttriâg-ulum,adirtiâgnlum dlbÆ.Ad quas potto mas gnitudines,eadem magnitudo eandê habet tationemzipfæ pet nonam eiufdem quinti,funt :quales.Aequum efi igirur azbzczttiâgnlumfipfi triâgulo dlbxe. Acqualium itaq; 8c vnum vni æqualem habenrium angulum:&c.vt in theoremare.Quod oportebat demonfirare.

Ap marger?’ . mesas:fi ’ mêlerois(adipique 501, 76 rirai) 79W le, dupai» :1366qu Msxôpwp épendwop, as. ’i’aop I .35 En? flan-il iI’lÏv ptqop’æüëiexowo épanouie) . and à vrà leu-à 79W me". Wexôwop ôgBoya’mop, 7009 N993 rimi 19k paroi: Wexowç deeoyœviomi Tiara’efid’ êueâoafivoéhoyop ioula-au. I Tbeorema u, Propofitio 16. a - a i quatuor teétæ lineaë’ptoporrionales fuerint : quad fub ex: tremis comprehenfum teâangnlum,æquum efi ei,quod fub .. , medqs continetur reâangnlo. Et fi fub extremis côprehen: fum reâangulnm,æquum fuerit ei,quod fub medijs côrinerur reâans gulo:quatuor teétæ lineæ proportionales erunr. 0 R O N T I V S. ([Sint daræ quatuor teétæ linea! difcôtinnè proportionales aIb,CId,e, 8C fificut axbfad eld,fic czad f.Aio qubd fub extremis a!bx& fzcomprehëfum teéi’âgulum, Prime profil æquum CÏÏ ci quad fub mediis Cldl8( eneétâgulo continetur. A datis enim punais az8: cl demanfiratio. dararü lineamm azbz8c ad ,perpendiculares excitêtut algzôc ah,pêr vndecimâ primi:fece- riitq;. . algnequalis 158: Clhlæqualis ipfi ipfi e,per tertiam ipfius primi propofitionë.& duâis Étang Rênudlsœer rrigefimam eiufdem primi:compleanrut gzb,8r hldlparallelo rama. 1.: qu°ma receptum tell: vt albtad cxd,fic eIad fiIpfi porto elæqualis efi ezb,8: ipfi Iæqua- 1s azg,pet confituéhonemzôr æqnales ad eandem, eidem habent tationem,pet (cptimam Q; a quinti.I-Zfi igirur vt abead eld,fic ctivad axg . Parallelogtamz l V morum iraque gsz 8c bld, larera quæ circum æquales funt an gulosÇvrpote rectos qui ad az8: e) reciprocè funr proportionaa lia . Acquum cit proinde glbzpatallelogrammumjpfi hxdzpas a la ë--a rallelogtammo, pet fecundam pattern decimæqnarræ propofis p-e--1 à... rionis huius fexti . Bit autem gzbzparallelagrammum id quod . fub axb!& f, parallelogtammum veto hzdlid quad fub UdlBC elcontinerur reéi’angulum : æqualis efi enim alvipfi e, 8c algtipfi f , pet eonfituétionem. Comptehëfnm iraq; fub extremis albl8: fiteérâgulum, ei g: fub medijs Cldl8C ezcôtinerur M.ij.

136 GEOMET. ÉLÉMENT. Samarie par i l; reâangnio, cil: æqualeJIÉfio nunc vr ipfum glblfnb extremis tir comtale: . eomprehenfum refiangulum,æquum fit hldlreétangulo,quod priarir, offen- fub medijs eldl8r elcontinetnr.Dico vetfa vice,quarnor ipfas fia. reâas lineas fore inuicê proportionales. Eadem nâq; manêre l . eonitrnétione, quoniam glblefi id quod fub albl8: alg,ipfum a ’ i , veto hldlid qnod fub eldl8r clhlcontmetur reâ’angnlum,pet a f primam diffinitionem fecundi:8r elipfi elb,ath flipfi alg,pet côfitnâtione’ zqualis.Efi iras; glblid quod fnb albl8: f,necnô 8: hldlid quod fub eldlôc el Comprehêdirut teââgnlum.Sed id quod fub albl& flcomptehêdirur teétâgulum, æquum cit ei pet hypothefin qnod fub cldl8t elcôtinerut reââgulo.Aequû en: igirur glblreétâgu ium,ipfi reétâgulo hldz8r angulus qui ad al angulo qui ad clæqualis,pet quatrü pofiulatü, nempe reétns re&o.Aequalium porto 8: vnam vni æquaiem habêrinm angulum parallelos grammorü,teciproca fnnt lateta qu: circû æquaies angulos, pet primam pattern ipfius de, cimæquatrz huius fexri.Ét fient igirur alblad cld,fic elhlad alg.Ipfi potto elhlæqnalis en: e,8c flipfi alg,per ipfam confiruétionêzæquales ptærerea ad eandem,eâdem habêt ratione, 8c cade ad æquales,per feptimâ quinti.Efi: igirur vt alblad eld,fic elad f. Si quatuor iracp reci-æ lineæ proportionales fiierintz8c qua: fequuntut teliqna.0sigod etar ofiendendum. 666311,»: ([5, P966201; le. En «en; Mana 50:2wa 301,76 rimi en; duewpmmXcîWop ôeeoydviopfibop 35 (se? iam «in péan; wagnéromad été W 79W &neæp mitxôwop ôeeoyévfop, iam: i] (se) duré ai: pieu; 7:73dede très ëueâoa âvâMop ËUWTW. U K Tbcorcma 12., Propofitio r7. , ’l A I tres recta: lineæ proportionales fuerint: quod fnb extremis i7 i comprehe’fum reâangulû,æquü cit ci quod à media fit qua- . draro.Er fi quod fub extremis côtinerut reââgulû,æquû fue ci quod à media fit quadrato:ipfæ rtes reâç lineæ proportionales etunt. l0 R O N T I V S.lISint rtes refit; lineç côtinuè proportionales alb,cld,8t e:ficut alblad par: prima eld,fic eldlad e. Dico qubd fub albl8: elcomprehenfum teétangulum,æqunm cit ei quod theotemate. à media eldlfit quadrato . Defcribatur enim ex albl8: blflquæ fit æqualis ipfi e, reâangus lnm alf,pet vndecimam , 8c tertiam , arque trigefimamptimam primi:cx cld.’verb,quadras tum clg,per ipfius primi quadragefimamfextam. Acqualis erit igirur dlg,ipfi eld,per ipfius a quadrati diifinirionemzôr æquales ad eandem,eâdem habent tationem,pet (cptimam quine ri . Sieur igirur alblad cld,fie dlglad e . Quatuor iraque reflue f lineæ alb,cld,dlg ,8: e,funt difcontinue proportionales.Comn i , prehenfum ergo fub extremis teâangulumpequum cit ci quod l e fub medijs teâangulo continerur: pet primam partem antecen a h i: . denris decimæfexræ propofitionis. Sed reâangulum alfieft id ’ quod fub albl8C e,nam blflefi æqualis ipfi e,per confirné’rionem: teâangulum autem elg, id quod ex Udlquadratum. 030d igirur fub extremis albl8: elcomptehenditut reâangu- l scanda par: lum,atquû cit ei quod à media eldlfit quadrato.lISed detur,vt id quod fnb albl8: elcontis eanurrfi pri- nerur teétangnlnm , æqunm fit ei quod ex cldlfit quadrato . Aio refpondenrer, fore fient alblad eld,fic cldlad e.Éifdem nanque veluti fuprà côih-uâiszquoniam id quod fnb albl8: W. elcontinetnr teâanguium,æquum cit ci pet hypothefin quod ex eldlfit quadrato . Sed ei quod fub albl8c elcontinetnr te&angulo,æquum cit teââgulum alf,(æqualis fiquidem efi: blflipfi e,per c6firu&ionem)8c clg,id quod ex eldlfir quadratum.Aequiî eft igirur alflteo &âgulum ipfi quadrato elg.Quadtatum potto elglfnb duabus reétis lineis cldl& dlg,per primam diflînitionem feenndi continernt.Quatuor iraque funt recta: linea: alb,cld,dlg,8c blfi8c quod fub extremis albl8t blflre&angulum côtinerut, æquum cit ei qnod fub medijs eldlôc dlglcomprehenditur teâangulo . Proportionales iraque funr eædem quaruorreé’tæ linea: , pet fecundam pat-rem ipfius antecedentis decimæfextæ propofitionis: fient alblad eld,fic dlglad blf . Sed elipfi blflpet eonitruétionem efi: æqualis: 8t cldlipfi dlg,per qua: drari diflînitionematqnales potto ad eandem, eâdem habe’t tationem,8r eædem ad arquas les,per feptimâ quinti.Éfi igirur vt alblad eld,fic eadE cldlad e. Si tres itaq; re&æ lineæ proportionales fuetint:&c.vr in rheoremate.Q1,od demonitrandum receperamus.

. .’..’Z.Î.LiIB.4É.Rl V1. 137 ,

. v nenni»:p5 qü’ç’dïoûém insécurité * s. 41004"?F26M: www? W5?" un la! ’ me": ’ Kiwi"? MWFW ’ Ahmed-44a. , ’ 1 i i ’ » K Prqblcma 6, g Propofitio 18. 5,141 Data’reâalmeazdatoreétilineo finnle,fimilitétqne pofitum

x?” un"54,; o R 0 N T I rectilinenmV ’S.([Sir datum reâilinenm alblCId,dara dcfcribere. veto linea recta elf, I ’ v T J ex qua,vel fuper quam,oporteat ipfi alblcldlreftilinee fimile fimilitérqne ofià rum defcribere re&iiineum.Cenne&arur iraqs alclteéta,per primum poil-uiatumÆt a das Defaiptio ram rectam lineam elf,8t data illius punch el8c fidatis angulis elalblôr alblc,:quales pet pofiri rem o vigefimamtertiam primi côitituantur anguli, glelflquidem ipfi elalb,& elflglipfi alblc.Ér mi. quoniam anguli c1albl8t alblc , pet decimamfeptimam primi,funr minores duobus re&is: 8c ipfi quoq; anguli glelfl8r elflg,binis itidë reé’tis fimt minores.concnttent ergo tandem elgl8c flglin continuum teéhîmq; produâæ,pet quintam poil-ulatumzconneniant itacp ad punétnm g.Reliquns igirur angulus elglf, relique alclb, pet corollarium trigefimæfeeuna i dz primi,8t tertiam cômunem fentenriam erit æqualis.Aequis angulum efi: prepterea elflgltriangulum,ipfi albleltrianguie. i Ad datam rurfum lineam reâam elg,8c data illius püâa clôt g:datis angulis dlalcl8c aleld, æquales anguli pet eandem vit f gefimamtertiam primi eonfiituantut,hlelglqnidemipfi dlale, , 8c elglhlipfi aleld.8t producantut elhl a: glh,,pet feeundum pofiularumzdonecfieluti ptiores)congtediantut ad punétum h.Etit irai-p teliquus angulus ’ qui ad h,teliquo qui ad dlcôfequêtet çqnalis:8c proinde elglhlttiâgulum,ipfi alcldltrians , gulo æqniangulum.Aequiangulum infuper efi elflglrtiangulü,ipfi triangule alble.Aequis "calmar-ù angulorum porto triangulorum proportionalia funt latera,quæ circü æquales angulos,per Mm "[35 quarram huius fexri . Efi igirur vr alblad blc , fie elflad flg . fient infuper blelad ale, fichtre, flglad elg. fient ptætetea alelad eld, fic elglad glh. Et ex :quali ’igitut,pet vigefimam. ’ 1 blc, Natalia g. e, g. g"?! feeundam uinti,ficur blCJad eld,fie flglad glh. Rntfum efi: , fient eldla . dla, fic glhlad hle. 8c fient dl alad ale, fic hlel l ad elg.fieutrp alelad alb,fic elglad elf. Et ex :quali rurfum, pet eandem’-vigefimamfeenndam quinti, fient dlalad alb, fic blclad elf. Et quoniam angulus glelfian le elalbleii æqnalis, 8c hlelglipfi dlalc: terne prepterea angulus hlelf , tori dlalb,pet ecundam Communem fententiam :quaiis efi. Et l (in. ,, c. a, b. l h, e U "F pitaude terus flglh,totibDCIdltefpondentet :qualis. Angut ’ xi ’l s porto qui ad flangule qui ad b: 8c teliquus qui ad h, teiù W W que qui ad dl æqnalis efienfns cit ,, Acquiangninm cit iraque l el fl gl hl» teâilinenm , ipfi te&iiinee alblad. Parait, quod a: lareta quæ circum æ uales fnnt angulos , cum eadem habetproportionalia : fient albl ad blc, fic elflad flg: icut item b’lCIad eld, fic flglad glhz8c fient eldlad dla, fie glhlad 1V 95 fient deni ne dlalad alb,fic hlelad elf. Simile cit iraque reétiiineum elflglh, ipfi res ’ &ilmeo alblel ,arqne fimiliret pefitumzpet primam huius fexri diflinitionem. Super data igirur recta linea elf,dato reétiiinee alblad,fimiie funiiirérq; pofirum reâiiineum dcfetia

Faim. en eÆlWthod feeifi’e oportuit. ’ . , v"(V . A 514M: fiflwiiœfllûe. - New inule: ciet limoit" 11eému MW 35 W ôpoÂn’ywp F0? aiglefin,I L ’w 5 - Tbcorema 13, Propofitio 19 x e a Imiliaettiangnla; adinuicem in duplomaiotefnntïrationela: terum fimilisrarionis. a f . » v r". z " - O TII V S.(Sint bina 8c fimilia ,vhoc efi: æquiangidpae proportion» . hum laternmttianguia,alble18t dlelfzhabëria angulum. ’ uiad’bla: ualem au; guio qui ad e, fient al bl ad blc , fic dlelad elf. Dico rriangulum’îl’bl’elad liatigùlum Mm bilai dlelfldupie maiptê habete tarione’,qnàm lattis blc1ad iam: elf: hoc clignât! tine ïpifiis fwfiÙ’dÏIÎm’l V b! cl "langui: ad rriangulum dl elf, et ratione lâFinsbl cl ad brus cl f1 pet (aplani ria.

138- GEOMET. ÉLÉMENT. multiplicata confurgît-In primis itaq;,aut blelefi æqnaiis ipfi elf,aut inæqudis. Si æ’qiialit-E a , J erit fient alblad elf,fic dlelad blc.çqnales enim ad eidem-aidé ’ k habent tationem,8r eadem ad æquales , pet feptimâ quinti.Ée proinde rriâguia albla8: dlelf, habebunt vnum angulum vni angulo æqualem: 8c qué circû æquales anguloslateta teeipron i , . f ce pre rrionalia.Aequü erit itaq; rriangulum alblCIipfi trian: . . L c E gulo lelf,per feenndam pattern decimæquintç huius fexti:fil cuti 8: bafis blc,bafi elf . Atqui ratio :qualitaris eorundem triangulernm , ex ipfa ratione , arquant-ans larerum blelôc elfldupiicata,id efi,per feipfam multiplicara confiirgit.QnantiU rates enim duarum tarionü equalita’ris , pet quinti diffinitio’nem huius fexti inuicem muln 4 l tiplicatæztefl’iruunr æqualitatis iridem quantitatemJI At fi blelfiierit inæ ualis ipfi elf,al. Sermtddeïuf- reta earum erit maiet.Éfio blc,ipfa elflmaiotÆr ipfis blelôtv elfirerria fii cipiatur propon dem 011mm; tionaiis hl g, pet vndecimam huius fexti:ficut blelad elf,fic elflad blg.8t Conneétatnt re.’ xis dignifie. En alg,pet primum poilularum Ç cum enim blclmaiot fit ’elf, multi» maior erit igirur ipfa blg:poterir itaq; blglfecati ab eadem blc ) Et quoniam cit vt alblad blc,fic dlelad elf:8c permutarim igirut,per fedecimâ quinti,fient alblad dle,fic blelad elf. Sieur potto blelad alb.dle.’ clf,fic bleui: elflad ICIŒg. lblg:8c l proinde fient alblad dle,fic pet vndecimâ .ç- - quinti elflad-blg . Triangulotnm itaq; alblgl8r dlelf, vnû an. a gulum qui ad blvni angulo qui ad elæqualem habenrium,teci- proCa (ont iateta quai citcü æ’quales angulos. Aeqnum cit iraq; i ’. . alblglttiâgnium,ipfi rriâgn’lo dlelf,per feeüdam pattern quin. deum huius fexti . Rurfnm quoniam cit fient blelad elf, fie el fl ad bl g: tres iraque te, être linea: (tint proportionales . Prima igirur ad tertiam , duplo maiorem rationem habet, i quam ad fecundam: pet decimam ipfius quinti diffinitionem. A v . I A i Seda fient . prima blelad tertiam blg , fie albl Cl rriangulum ad ’ i ’ a rriangulum al blg,pet primam huius fexti: fub codé enim funr » . vertice,atqne in eadem altitudine’ipfa triâgulaÆt rriangulum I .igirnt albl cl ad rriangulum albl’g , duplo maiorem rationem I A- Vl habet la quam,c e bleladf elf. Ipfi potto alblgltriangulo, æquum efi: rriangulum dl el f: 8c idem rriangulum ad æqualia triangula eandem habet rationem, pet feptrmam quinti.Er rriangulum igirur alblelad iangulum dlelf, duplo maiore rationem habetquam blelad elfihoc efi,ex duab’us tationibus blelad elflinuicem mnitiplicatis con furgentem.5imilia iraque triangula,in duplo maiore ratione flint larerum fimilis rationis.

QuodliFir proinde demonfirandum manifeitum, quad fi "es receperamus.méta: linea fucrint proportionalesærit l l v uanæfim. fient prima 3d tertiam, fic quod à prima defcribirur te&a’ngnlum,ad fimile fimilitérq; pofitum teétana t ’ ’ gulum quod à fecunda. Ofienfnm cit enim fient blelad blg,fic 1 a dl. albldtriâgulum ad triangniû alblg.Et fient igirur blelad blg, p t A- .’ d - fic alclteétangulum ad dlflreââgnlum. Omne fiqnidë renflant I7 Je t I f gulum,diuifibile cit in duo fimilia 8: æqualia rriangula,pet tria , V .» ,., . germnmquarmm Pflmi,Q1!icquid igirur de triangule ad trian. gulum præofienfnm efizid pet decimamqnintam quinti de trianguli fimnibus 85 æqualibus ad fimilia 8c aeqnalia triangula telatis,fubfequi necefium efi. V i

TA- diront 6:69pm amMyom,ëe «fi,un? Spore: ’ l’aimant;arôme dimeêraaflaâ le5:70.06 k ’3’v mîei’bm 5F°À°W me and, glosait) Il! flambant: élimaient Myopïxd, hit i flan?" "damai "la du) 5F°M7°P h Tbeorcmà. r4, Prqpqfitio ne. 524.5 Imiliapolygona, in fimilia triangula diuidnntur,8c in arqua: Il. p lia numerozôc æqua ratione rotis . Et polygonum ad polygo: p " * U i.- num duplo maiorem rationem habet , quam fimilis rationis

--*,j k- 0 ,O .N a,T I V. S.(Sint13m8 bina ad 8c fimilia Emilia polygonal rationis alblddlelôt flglhlkll:latus. habe’ria l I ’ angulii qui ad flangnlo qui ad alæquaiem,8c eum qui ad gleî qui 3d 13:36 fifi 1d 1V à qui 3d gaz fic

LIBER v1: I 33; de cætc’t’isfiîtqùe vt lamé subxad bœ,fic flglad gxh,ficdtq1îe blêîad damé glhiad h,k,& deince s ita,feruata latemm 8c angulorû refpondentia.Dico primùm,quôd ipfa alblcldlel .m’m M5 8c fig! klepoly ona,in Emilia 8: :quali: numero diuidütur triangula.Cônc&âtur enim m Pa!!! aras: a!d,necn6 Ava: filmineæ re&æ,per primû poftularumÆr quoniam par hypothefin Choc cfi,darâ polygonorum ümüitudinem) angulus qui ad blzquus en "anguloqui ad g,8c v a d fient lat-us alblad blc,fic flglad g!h:fit vt bina triangula ulve! 86 flglh,habeant-vnum angulum vni angulo æqualem, 8b I è circû æquales angulos lacera proportionalid.Aequimgula uni: - g( [prepterea aleCIBC figIhltriangula , per fextam huius fend: se æqualcs habêt angulos,-fub quibus eiufdem rationi: lacera (ab: . tcndunrur,vtpote angulü blalClangqu g!fzh,8:.angulû bzcza! . d h k ipfi gthfiHinc par quartam eiufdem fcxti,propdrtionalia fun: lattera quæ circum æqualcs angulos:& fimil-is rationis,quæ æqualibus angulis lattera fubtena duntur. fleuri ’rur vend blç,fic fIlvad lh; Sed cr h ou .’ . . h . . thefin,vt blczagd Cid fic glhlad 111k. Et en? :quali gitan-fiât La" 5k "a I 9h glh En: l alcmd udzfic filmer hIk,pcr vigefimamfecundam quinti. «Et W quoniam totus angulus blddfiotiangulo zhzk,per hypothefin cit ’æqUalis,& angulus bICIa,ipfi- glhl arquais nunc offenfits cibi-clignas igirur aleld; tcliquo flhzk,pcr tertiam communi fente’tiam cit æqualime-iangula iracp aœldÆc f1h!k, habent rurlùm vnam angulum vni angulo æqualem, a: qui circum æquales angulos latent proportionaliazæquiangula fun: .igitur mucha: fIhzkztriangula, pcr’eandem fextam huius fexri.Et pet quarram ipfius fexti,laœra qui: circum æquales angulos propOrtioninaHa’ud diflîmilitcrvoftendetur rriangulum aldle,rriangulb fllvlÆore æquiangulum: 8C proportio: nana quæ circum æqualcs angulos habete lattera . Simile cit iraque abecztriangulum ipfi d flglhm-iangulo, 8: alcidApfiÆhzk, necnon avdrcz ipfi triangula Mal: par primam huius fexti libri d lffinitionem.Data igirur albeIdœIôc fzgdhfkdlrpolygonamn fimilia 8c æqualia humera triangula diuiduntur. CIDico infuper,quôd ipfa triangula funt inuicem,atquc rotis Pars [manda ifpfis polygonis proportionalia :ficur rriangulum avde ad triangulum fng h,- fic UŒdIad thermaux. lhlk,& azdIeIad fIkxlz rriangulum:fic1îtqs aubA-Jrriangulum ad ipfum rriangulum figzh, fic uqudchpolygonum ad polygonum flglh!kl1. Cùm enim aszCItriaqgulum fimile fit flgIh!trian lo,fi’nt(p 21108: fzhzfimilis rationi: .lateraztriangulum i itur alblcmd m’angu lnm Ügdh,Ë:plo maiorem rationem habctgquàni lattis alezad [stuc AI, par antecedentçm decimamnonam propofitionem. Et proinde rriangulum azCId,ad rriangulum flhAUdu Io iridem maiorem rationem haber,quàm idem brus uaadlatus fzh.Qgç autan; eidem un: eædem rationes,zdinuiccm (un: eædem:per vndecimam quinti. Et ficut igitur albIUtriana gulum ad rriangulum Ûg!h,fic rriangulum aludmd rriangulum Mu]; Rurfiun quoniam rriangulum aleldzfimüe et! trian lo fzhAc,8c latus aldrfimilis rationis cum fzk;m’anguhî prepterea aleld,ad rriangulum zhxlvduplp maioremrarionem habet, quàm latus animal latus flbper ipfâm antecedenrem decimamnonam huius fcxti.Er trian lum côfequenter svdœ,ad triangulû fzkzllduplo itidë maiorê rationné habet,quàm idem gras azdyad ipfam Ian-us MME: fient igirur azadztriangulum,ad rriangulum leàIk:ficdper mutiler!) É-nlzi’elcigmm

filma 0gb [flua fÆlkEdR. , uinti, 0kg Bon-b trian aleldlâld lum flhIk,fic au [clpatuit a azbëïztriangulum, trian um l ad. leu: triangulum ÛgzhÆr fient igirur’,pcr vndecimâ ipfius quinti,triaugulum szcmd triangulû flglhflîcrriann - . lum aldœmd triâgulum Ûkll.Proporrîonalia in? funt ipfa nuper expreflâ triangulazficutdaszCIad flgvli,fic afcldlad fzhzk,& aldICIad fllv . Bit igirurper duodecimam quinti,ficur vnum antecedêtium ajSicut-wblc: u ’ i0 I J vnam confequenriumzfic omnîa antecedentia,ad omnia confie: fic-ale! d. ad f1 lk. quentia. Sicut itaq; trian 1mn allyc, ad rriangulum 09h: fi fui-al dl e.-.. , 01:11. albIcldlclpolygonum,a pôlygonû fIgAvleSunt igirur ipfi triangula tum mmcem,tum ipfis cotis polygonis proportionalia. ŒAîo demü,quôd.polygonû ybrcldze,ad flglbkgl, remît p4". duplatam rationem habet,quam latus alblad fimilis radotais 1211:: f7 901;;me cit emm vtpiangulum Ùblc,ad rriangulum Ügzhüîc albldùclpolygonü,ad polygonuflgÆIkzl. ’ Sed triangulam azbzc,ad flgzhzduplo maiorê’ rationem habet,quàm dIbzlaçu’à , ad fimilis rationis lattis fig,per antecedentem decimamnonam propofitioncm hum: fextam mufle nanque ofienfum cit ublcltrianguhlmgipfi f1 g! hmjiangulo. Et polyâonçfn igiru: . l in]. d

14°. x GEOMET. FILE MENT. axbfczdle,ad polygonum flgihlkllIdupIo maiorem ratiouem habet, quam lattis albiad fi; milis rationi: 13m vfzg’. Simili: iraque poiygona:&c.vt in theotemate.ngd fuerat oflzem

- (Ficdendum. iraque genet-aliter . . manifefium .. i I (ICoroudrium , qubd fimiies quæcunque reâiiineæmm. figuræ, x in duplo maiore ratione flint adinuicem fimilis rationi: laterumzid efl: , quod ratio fimilium reéfilia nearum figuratum,ex duplo maiore fimiiium laterum ratione confurgitJd enim primi) pa; tait in triangulis,&’re&âguiis,fiue quadrarismunc autem in polygonis, 8c omnia polygot na in triangula diuifibilia funt.Hic 8c in fimilibus quibufcunque propofitionibus 8c corollaa rijs,per duplo maiorem rationem ipfa ratione data,non eam velim intelligas quæ fier duo: fed qu: pei- fei iam multiplicata confurgit.’ ’ (mandrinant fmdm. ([Sequitur ru am, qubd li tre: reflue une: fuerint proportionales: erit fient prima ad ter: tiam,fic defcripta (uper primam vel à prima fpecics reé’tilinei,ad fimilem fimilitérque pas fitamifpeciem;qu:à fecunda vei fupra femmdam confcribitur.0&enfum cit enim poly on c num albludie,ad polygonum figIhAvllduplam rationem as - Il ben-e,iquam lattis azbla latus f!g.Et fi ipfarum albÆC fuguer. tiam acceperimus proportionalem, pet vndecimam huius fez» ’ fr. ti,vtpote mm: ipfa u blad ml il! duplam iridem rationem hac n bebit,quam cadi aduad fzg,per decimâ diffinitiorrê quinti.Et proinde ficut ubzad mln,fic aVbIClreâ’ilineü ad fimile fimilitérq; pofitû reétilineû fuglh.

A étiré? ineméppqeidem)»: 3110m and émusa, P360105; 35g aposte. v 7 m. i " Tbeorcma 1;, Propojïtio 21. î) Væ eidem reé’cilineo funt fimilîazôt adinuicem finit fimilia. 2.x O R O N T I V S . (I Sint bina reâilinea :V bl 08: ù e! f, eidem reâilineo . ’lgIhAvfimilia. Dico albchre&ilineum, fimile fore reâilineo dleÆ. Cùm enim r ’ Îex hypothefi albldôt guhI kzreétilinea, fimilia fin: adinuicem: habebunt pro: pterea angulos equales ad vnum,& qu: circum çquales amigne los funt iateta proportionalia:per prime difl’înitionis huius en ti conuerfionem. Et proinde reâilinea dhlflac 411k; uiana gula erunt,& proportionaliumitidem Iaterum:c ex ip h a f. pothefi fimilia finr adinuicem.8it vterque angulorum qui ad l a: e,ipfi angulo qui ad h!æqualis:& ficut gIhlad hlk,fic aIblad k blc,8: dleIad elf. Et quoniam angulus qui ad blæqualis et! angulo qui ad b,ac eidem au. I , lo qui ad hlæqualis angulus qui ad e: angulus igirur qui ad [angulo qui ad e,per primam cômunem fententiam efl arquas lis.Infuper quoniam cit vt azbuad blc,fic gland hukzficut rurs fum gv bzad blc, fic dlemd ezf. Et ficut igirur alblad bic, fic . pet vndecimam quinti, dzelad e!f. Proportionalia iraque fane Iatera,quæ circum eofdem æquales angulos qui ad bI8c e. Haud diffimiliter oflendemus, r reliquos an los ipfius albicneâilinei,reliquis angulis ipfius dIeÆl fore inuicê æquales: 8C circum eof ê zquales angulos iateta proportionalia.Simile eii itaq; ublc1 reé’tilineum, ipfi reé’cilineo dle!f,per primam huius fexti difiînitionem.ngd oportebat demonftrare.

- www-«4:; îuûëoa’ MÀoyop i endenta: 305ml Tà as, &qr’ a610781: rentai; îuodmppœ ’ ne. 31:04:57: and a,ma»: âm- finœpwœyân’ûsoyop iman. x8511 au! àrw’ âUTZSp îueiÎn’œflm dilué?! au! égaie; Mimfll Mn: damneroit 3319:! àwæiod Mât: èvéîxoyop (canna. , i , . l , . ’ Tbcorcma 16, , Propqfitio 2:. - ’ » - - i I quatuor reétæ lmeæ proportionales fuerint : 8c ab eis real: a: Ï linea fimilla fimihtérq; dcfcrrpta, proportionaha erunt . Eu; fi .4 ab lpfis reâilmcafimua fimx..1térq; defcripta , propoijtionalla fuermtzlpfæ quoque reâæ lmeæ proportionales crunt. , I A 1 ,’ un prima O R 0 N T I V S.(Sint quatuor mél-ç lineç difcôtinuè proportionales alb5c1d,elf;& glh: thermaux. ficur quidem azblad ad, fic eÆzad glh. Et pet decimamét’auam huius (émiai: qui: v5! . ’ ,

de cld,fimiiia fimilitétq; pofita te&ilineaLIBER defctibâtutJIalbÆt mlczdzac V1.pet eandè’ decimâ, 14x oâauâ,ab ipfis 098C gIh,alia quçdâ fimilia fimilitérq; pofita te&ilinea,xvezft8c ongh.Aio fore ficut itazivad trimai, fic nzetftad olgzh. Inueniatut enim . ipfis aszac ad,tettia proportionalis p:ipfis autë eÆlôc gth,tets m ria iridem proportionalia t, pet vndecimâ huius fexti.Cü fit igi i à , tut ex hypothefi,vt azbzad czdzfic etftad g!h:& pet côfituétios a d T nem,ficut Udlad p,fic gIhmd r.Et ex çqua igirur tatione,ficut v aIbtad pzfic elflad t,per vigefimâfecundam quinti.Sicut pottô athlad p,fic lzalbzteétilineumfid te&ilineü mICId:lpet fecundlî I Îazb. ad. p J, ut; glh. t ]cotollariû vigefimæ uius fexti. t I Et fient igirur ltazbzteâilineum, 8’ h T W ad reâiiineum mthd:fic pet vndecimâ ipfius quinti,ezfzad r." .------’--’ Sicut rurfum eIf ad t: fic et idem corollatium reâilineum Jva’bim’ddl Wh P l e, *-JIVClÜad teâilineum olgz . Et fient itaq; ltazb,ad mlcld: fic i pet eandë. vndecimâf. t . . quinti,nfeIfzad ’ ’ . ’ ozgthJISi aure fuetit vt 5m44 P4" llalblad mlcld, fic mexftad w th: dico verra vice, uatuor ’ - lineas métas azb,ad, eIf, 8: gz h, fore proportionales , ficut un. Jl’a’b’m’c’dle’t’rln’e’f’wg’h l alblad Cld,fiC exfxad gzh.Datis enim tribus métis lineis azb, g q conuerfi pri ’ ad,8: elfzquatta inueniatut proportionalis slt, pet duodecis mi huius fexti.Et pet decimamoëtauâ’eiufdê fexti,ab eadem sut,ipfis nzetfl a: olglhl fimile fimilitétq; ofitû teâilineum deicribatut vlslt.Ét quoniâ efl: vt a!b!ad cld,fic ezfzad m:8: ab ipfis az z8c czdtfimilia fi. militérq; pofita defcribuntur reâilinea llalblôt mICId,ab ipfis autem 0085 un fimilia iris dem fimilitétq; pofita te&ilinea mafia: visnaEii igirur pet primam pattem iam demôiitas tam huius propofitionis,ficut ltazblad mIUd,fic mezflad vlslt.Receptum cit autë ex hya ]meÆozgthIltatb.mzcldln!elf.ulsIt I Pqthefifl’t 1’ 5V bd 4d mais, fic n’e’f’ad °]g’.h’ .Et fient igirur mezfzad olglh: fic pet vndec1mam quinti, mut? ad VISlt.Ead5 itaq; magnitudo welf,ad vttafq; otgzhl 8: vISlt,eandem habet rationem.Aequum efi igirur l’en

eidem. I &ilineum fimile, fimilitétq; clgzh,ipfi pofitum,pet Conitruâionem.8imilia vIslt:pet nonâ pottb quinti.E& fimilitétq; pofita,& autem in; 8c Rypotbefir.’ lucet-11 æquaiia teëtilineamb æqualibus,aut [uper æqualibus reftis lineis defctibuntut. Ace quahs cit igirur Huipfi gzh. Bit autem vt albtad cld, fic etftad slt. ipfi port-b sur, æqualis ofieufa cil g!h:& eadem ad æquales,eandem habet rationem, pet feptimam quinti. Et fia . eut igirur alb!ad cld:fic ezf,ad glh. Et o fi quatuor reflue litiez proportionales fuetint:& qua: [equuntut teliqua.Œod oitenden um fufcepetamus. ŒLemmafiue afinmptum. (quôd autem fimilia,fimilitétque pofita,& inuicem a: ualia teâilinea,habeant fimilis ra: Hypotbefi: d noms latera inuicem æquaiiazfic demoniitatut.Sint nm æqualia,8c fimilia, fimiiitérque demonflntia. o v- pofita teâilineaptgzhlôc vxslt: fi’tq; vt otgzad gth, fic wslad s!t.Aio qubd glhlôt slt,funt inuicem æquales.Si nanq; fuetint Il . inæqualesælteta maior etit.Eiio( fi poflibile fit)glh,maiot mu t Et quoniam ePc vt oignit! glh,fic vlslad Nt: 8c econtta igitur, vel à conuetfa tatione,ficut g!htad ozg,fic erit szuad vls:pet cotoilariü quartæ libti quinti. Sed prima gzhlmaiot ei’c renia Slt: 8: fecunda iraque otg, quarta vtsImaiot erit, pet chia . o, mam uartam ipfius qumti.Binæ ira 0l l& zh,duabus wsz8c sztteiflunt maiotes : 8: proinde ipfutgteâilinegum ozgl h, mains reéhlineo vlsIt.quæ enim fub maioribus teâis comptehenduntut,maiota erre neceiTum cit. EH: autem eidem æquale,pet hypothefin: qu: fimul impofl’ibilia (une. Non efligitut gzh, maior ipfa sIt.Similiter oflendetur,qubd neque minot.Aequalis cit iraque glhleidem m. Quod filetât oitendendum.

. l A. hydne: euse!) meœnulôgçœppœnüç v «’19le la, 167w 1x4P9691014 «zip mnéMop in 7811 Meueôp. 27. , ( r .Tbcorema 17:, Propofitio 2.3. I EquianFula parallelogtamma,"adinuicem rationem habent

142 GEOMETrELEMENTI. O R O N T I V S. (I De lateribus velim intelligas , quæ circum æquales funt angulos. Sint igirur bina parallelogtamma inuicem æquiangula, a! bt c, 8: dlbte: quorum angulus Partiüfiguræ qui fub albÆC bzc,angulo qui fub dtbl8( bletconrinerur fit æqualis . Dico alblczparallelo: parferai-i0. grammum , ad parallelogtammum dz b! e, rationem habete compofiram ex ratione lares rum azbzadIbIe,& Clbflld bzd. Conflituanrur enim azbtac brellai-cm in direétum : hoc au. rem fier, cùm anguli Cl bl a, 8c ct bz cz duobus reâis Fuetint æquales, pet decimamquat. ram primi . tunc quoque in ditec’tum erit c1 b! ipfi bz d, pet eandem propofitionem: nam anguli et bt cl 8c et bz d, pet primam 8c tertiam communem fentenriam , duobus iridem teâis æquabunrut.Com learut denique parallelogtammum ctbtezptoduétis in continuum a teâümque,pet fecund poitulatum,eotundem parallelogtammotum lareribus.Ptoponaa f- tut infuper recta quædam linea f: 8: tribus datis tcâis lineis r azb,bze,& fiquarra fubfumarur proportionalis g, pet duodeci: . mam huius fexri.Erit igirur vt aIb,ad bzezfic f,ad g.Er pet eau , x dem duodecimam propofitionem,rtibus daris rec’tisiineis ab, a f Î: c bxd,8c g: quarta rurfum proportionalis accipiatut h. Eric ergo t-t-fi vr ab,ad bldzfic glad h.E& autem ficut :med bIe,fic fIad g. . Rariones iracp ipfius fiad g, 8c gzad h: eædem fiant ipfis ratios I-----I J nibus axbtad bre,8c elblad brd.Rario porrb fœdth, componis rut ex ratione ipfius ftad g,atque ipfius gr ad h: veluti quinta huius fexri ptçmifTum en: diffinirioneÆt proinde ratio flad h,componirur ex ratione lares PdeiPud de. rum axblad bze,8c clbmd bzd.His ptæoflëfis,quoniam azbzcrôr czbzczpatallelogtâma, fub monllrationi: eadem furiralritudinezad fe inuicem igirur funr vr bafes,pet primâ huius fexri.Sicut igirur ftfôlufioo l f, 3 l vulve. l Mofchdbflafbfid bre: fic al’btcl parallelogrammum, ad parallelograma. a mum Ub!e.Sicut autem azbt ad b! e, fic pet conflruâionem’ fzad g.Et ficut igirur f,ad gzfic pet vndecimam quinti,atbtcl i parallelogtammum , ad Clbl et parallelogtammum.Infupet, quoniam czbzelù dzbzelpatallelogtammafin eadem (un: als titudine:ad (a inuicem rurfum (un: vt bafes , pet eandem primam huius fexri . Sieur ergo » Clbflld bzdzfic parallelogtammum czbze,ad dtblezparallelogtammum.Sicur porto o’b, ad» li. h thd lubmdflyel bzdzfic pet confiruâionem ,ad h.Et ficut igirur gtad h: fic parallelogtammutn czbte,a dlblexpatallelo rammum , pet. ipfam vndeCimam quinti . Et quoniam oflen um eii, vt f1 ad g,fic a!szlpataIIelogrammum,ad parallelogrammum Clbfe: ficut rurfum g! ad h, fic idem parallelogrammum Cl b! e, a?! dxbtez arallelo rammum. Ex ua i itur ratione, et vi e 1s Ï E 9’ h’ 13’ b’ 5’" b’ a” b’ flmamfelcundam ëiufdem quintijlficutgfzad h:fic azbïcxpatâilea W .- Wlogrammumfid dtbtetpatallelogrammum . Atqui ratio fzad ’ ’ h,compofita cit C vti fuprà deduximus ) ex ratione larerum azbtad b!c,8c Ubtad bld. Et parallelogtâmum igirur alb1Cl ad parallelogtammum dtbte, rationem habet compofiram ex ratione larerum albzad bre, 8; Ubflld bl d.Aequiangula itaq; parallelogramma, rationem habent compofiram ex lare: r » rlëësiëngulos inuicem æquales continenribus.Œbd demonfltandum fuetatJIHaud rififi; mil: difcurfu probabis,eandê ratione albtclparallelogtammi ad parallelogtammum dzbte, compom ex ratione laretis azbzad btd, arque Clbmd blczvbi tribus daris teâis azb,bzd,86 f,quarram dedetis proportionalem g.& rurfum tribus datis ab,ble,8t g,quarram accepes ris proportionalem h ,per duodecimam huius fexti propbfirionem.

I l N°39 meœnuhoyfoëppseider , 72: 71m qui: au, 815:1;wa P3661101: mgœblwîxdyfœppx , apura 351:61. w et -

57W)Tbeorema and 18,(immole. Propojïtio 2.4.. - I7 1giMnis parallelogtammî,quæ circa dimerienté’ parallelogtam: 24 v ’ mazfimilia finit toti,& adinuicem. a k O R O N T I V S. (IEflo datum parallelogtammum azbtczd,cuius dimeriens ’ fit alc,8c circa ipfam dimerienrem parallelogranuna,e!f,& glh.Aio ipfa dflôC

LIBER-V1. ’ 14; gzhtparalielogramma,toti para-lieiogtamrno azbtczd,atque inuicem fore finiilia.Qubd au: Qàdezfipaa rem ezfiparailelogtammum,rori azbzcldtfir fimilezfic demonii-ratut. In primis enim,æqui: rallelograma angulum cit ipfam ezftparallelogtamimum,eidem azbtczdlpatallelogrammo.Nam angulus mû, fimilefit qui ad a,vtti que parallelogrammo communis efi.Infuper, quo; mi 4th m1. niam parallela en; fll,ipfi b1c:æquaiis cit angulus atfll,ipfi angu b j Io athcznecnon 8: azlzf,ipfi afCIb,per vigefimamnonam primi. , Angulusc d pottb qui fub flamant blalc,vtriquc triangulo azbzu f l h 8c azftitcommunis cit. Acquiangulum en: iraq; rriangulum alfzi, triangule asz-c; Baud diffimilirer rriangulum and, triangula 4 azdIczoiiender’ut æquiangulumiôc angulus alezl!angulo aldæl æquaiis,atque allleIipfi anguloaIUd.Si autem æquales anguli, c æquali bus componantut anguliszconfutgent pet fecundam com b--.-- munem’ fenrenriam, æquaLes anguli. Acquus cit igirur angulus leze,ipfi bzad:&torum ptoinde parallelogrammum etf, tori atthIdtæquiangulum. Aio quodproporrionalia habent larera quæ circum æquaies angulos . quoniam 2!sz a: aÆzll triangula funtÇvti nuper ofiêfum efi)inuicem æquiangulazptoponionalia iraque fun: latera 5,3, au, M1. f". 3,1. a". quæ eircû æquales angulos,per quatram huius fexti.Sieur igi: rut bzazad ale, fic fayard all: item fient alexad ald, fic aIlzad j W W ale.Et ex arqua igirur ratione,fiCur bIa,ad ald: fic fta,ad aze. Ptopottionalia iraque fun: latera,quæ circum angulum qui ad alvrtique paralleiogrammo eommunem.Rutfum erit pet eandem quartam fexti,,fieur azb! ad blc,fic avfmd le:fic1irq; bIclad Cla, fic ftlzad in . Sieur rurfum azczad cld,fic une! lIe: fleur denique eldlad dIa , fic lletad ela . Et quoniam oflenfum eii,vt btUad ela,fic ftltad Dazfiçut ptætetea vend e1d,fic atlzad l!e.Er ex arqua igirur ratione,pet vigefimamfeeuns dam quinti,ficur bload czdzfic letad l!e. lalbtlbxelchalIrzdl ]dza!l iam [9V l la! l Ve! l Un] i

Acquiangulorum iraque paralleiogtammotum aszd d! 8c ezf , proportionalia fiant iateta quæ circum æquales angulos.Simile cit igirur eszpatallelogtammumjpfi atbzcrdtpatalle: logtammo :v pet primam huius fexti diffinitionem. Haud diifimili via, gtbpatdlelogrm: QIMXIËWO mum’iPfi UblCJÙ paralielogtammo fimile fore conuincetur: eundem qui prius, vetfus au: flaflogrdmû gulum c, 8c ipfam gz 1V paralleiogtammum tefpondenter itetando difcutfum.. Br proinde Cid: «lamai! vtrunque ipforumV crûs: gthtparallelogtâmotumfimile V eii eidem azblcldtparalielogramç fafimik. mo.Omne autem parallelogrammum, teâilineum eft:8c qui: eidem reâilineo funt fimilia, quad e470: 8e adinuicem fimilia funr,p.etivigefimamprimam huius fexti.Simile cit igirur eIftpatailelo: , Mfimilid grammum,ipiî gIhIparallelogtammo. Omnis itaq; parallelogtammi, qui: circa dimerient à"; M. I rem parallelogtammazfimilia funt tori,& adinuicem.Quod oportuit oflendiiï’e.

a ÀOUém îwmàppo alumnat!mamie: âne; w Main: 709,113 z, àu’rô raierai; avaliôtæva. ne. . , r i Problcma 7, Propqfitio. 2.; Ato teâilineo fimile,8c alij data æquale,idem confiituete. ’ p fa J; O R O N T I V S. ([Sint bina reétilinea, albchinquàm,& d:fi’tque recepai, ’ vira ipfi daro aIblclteâilineo fimile,ipfi veto dlæqua; a p 7 3. Q; le,idem reétilineum confiituere.Ad datam iraque - l Perm teé’tam iineâ blc, 8c in dato angulo qui fub elbIC, repremittlo date reCtilineo an le , æquale confiruarut parallelogrammum . du delà’iptia. blf: fimiliter a: ad refrain lineam fzc,arque*in dato angulo qui b c 8’ fub flClgl ei qui fub erxctæquali,daro. reâilineo d,p’quale ruts ’ , fum paralielogrammum confiituatut ezb, pet quadragefimatns . quattam, a: quadragefimamquintam primi, vttoque teétilineo t f h ’ (fi expediar) in triangula Vdiftributo. Et quoniâ angulus 90g, ’ arquas cit angulo etbtc, pet confituétionêflrrique autem coma q Î Î munis bzaf : anguli proprerea bzclfl a: 00g, duobus angulis eszczôc’ bIczf,funr pet feeûdam cômunem (entêtiam çquales, 1 m

r44 GEOMET.-ÉLÉMENT. fed anguli e!b!C!& b!c!f,funr æquales duobus te&is,per vigefimamnonam ipftus primi.Et duo igirur anguli b!c!f!8c f!c!g,binis iridem reâis funr æ uales.In diteCtû cit igirur blc, ipfi C! g, pet decimamquarram eiufdem primi: 8c e! f! con equentet ipfi fIh. Biais infuper datis teâis lineis b!e! 8: dg, media proportionalis inueniarur v lamper decimamrettiam huius fexti.Er pet decimamoâauam I eiufdem fexri,fuper data teâa linea l!m,daro reâilineo a!b!c, - fimile fimilirétque pofirum teâilineum defctibarur n!1!m. Aio Dmoflrdtiud reé’tilineum n!l!m,æquum fore ipfi d.Cùm enim ttes limez res PTGMGMÎJ &æ b!c,i!m, 8c e!g, fin: pet confltuâionem continue proporn "[51"! ÏO’ tionales:etir pet feeundum corollarium vigefimæ huius fexri,fis v eut prima ad rerriam,fic fpecies teétilinei qu: à prima ,ad fimis lem fimilire’tque pofiram fpeciem quæ à fecunda . Sieur igirur b!c,ad e!g: fic a!b!c! reâilineum, ad reâilineum n!l!m. Sieur potto b!c,ad c!g:fic b!f!patallelogtammum,ad paralleiogtam’ muni e!h,per primam huius fexri:funt enim in eadem alrirudi: 1 m ne e!f.Etgo fleur a!b!ateétiiineum,ad teâilineum n! l! m: fic . . et vndecimam quinti, b! f! arallelo ammum ad annela JMïlb-[fizlb-Afc-m-Igrammum e!h. Sed teâilinefim a!b!cïræquum cit peE confiras . &ionem ipfi b!f!patallelogrammo:& teâilineum i girut n!l!m, ipfi parallelogrammo e!h!pet decimamquartâ quinti cit æqua! p le. Eidem rurfum parallelogrammo c! h, æquum efl d! teétilis neum,pet confituûionemwr n!l!m!iraque re&ilineum,ipfi d!re&ilineo,pet primam com! munem fenrenriam efi: æquale.Confiru&um cit autem 8c ipfi a!b!ufimile.Idem iraque res &ilineum n!l!m,ipfi daro teétilineo a!b!e!fimile,& alij. daro fcilicet-dlæquale côiiiturum cithod ’eflîcere oportebat. i ’ l -: A9 ardente: and mgæîàumôyféppa mgflhflôyfœppop 40, retienne équerrerai 3 F015!) meut. 3M) «a! 5mm; m’a WOszonip Wriœp ixop àw’êfafiü fifi! êta-hi) wpwfop iti-i 6.2? 8M). incôrtma 19, 4 Propqfitio 26. t * I à parallelogtammo parallelogtammum aufetatur , fîmile 2.6 roti 8c fimilitet pofitum , communem angulum habens ci: en arcum eundem dimerientem cpt ton. O R O N T I V S.([De dimerienre velim inreiligas,qui ab ipfo cômuni angulo,in «l’un? opp’ofitum exrêdirur. Efio darum parallelogtammum a!b!e!dzà quo fimile fimilirétq; po la tum,& communem illi habens angulum qui ad a ,auferatut diiiinguariirve paralleiograms . mum a!e!f!g.Dico ipfa a!b!e!d!8c a!e!f!g!paralielogtamma,eitca eundem fore dimerieng rem a!f!c:hoc cit dimerien’tem a!f!CItorius parallelogtammi a!b!e!d,ttanfire pet angulum I ofimfio theo- ’ qui ad f,8c unique parallelo ammo fore communem.Si enim tematis ab im , a!c!non rranfierit pet firtan car (fi poiïîbile fit) vr a!b!c. fecas poflïbüi. bit igirur a!b!c, aut eIf, aut f!g!iarus ipfius a!e!f!g! parallela: -gtammi. Secet ipfum larus e!f,in punéto h. 8c pet punâum h, r vrriquc ipfarum a! e! 8: fig! parallela ducatur h!l, pet rtigefia mamptimam primi, Etit iraqtie e!l!parallelogtammum, 8c cit: ca eundem dimerienrem cum ipfo a! b! c!d!patallelogtammo. Simile erit igirur e!1! parallelogrammum, ipfi a!b!e!d! parais h lelogrammo , pet vigeiimamquatramhuius fexri. Eidem pots tb a!b! e! d! parallelogtammo , fimile cit pet hypothefin , ipfum e! f! g! paralielogtamo . mum.Quæ autem eidem teâilineo fimilia,& adinuicem fimilia funr,petvigefimampl’imam huius fexri. Simile erit iraque elllparallelogtammum,ipfi e!f!g!patallelogtammo. Similia porto parallelogtainma funr,quæ angulos æquales habent ad vnum , 8: quæ circa angulos æquales lareta proportionalia , pet primæ diifinirionis huius fexri conueriîonem . Et fleur igirur elalad a!g,fic e!a!ad a!l. Ad quas autem eadem,eandem habet rationem, ipfa: fun: v æquales,pet nonam quinti.Aequa1is foret igirur a!g,ipfi a!1,totum fuæ patti:quod pet mon: nam communem fentenriam eii impoiïibile . Idem etiam fubfequerut inconueniens , vbi

pofueris eandem aleldimerieniem’.LIBER feeare larus f!g.Tranfit igirur.VI. a!c!torius a!b!e!d!patalc, r45" leiogrammi dimeriens,pet angulum atque punétum f: 8c proinde ipiitm a!e!f!g!paralleios grammum,citcum eundem dimerienrem en: rori a!b!e!d!patallelogtammo. Igitut fi à pas rallelogtammo paralieiogtammum aufetatut: ôtent in theoremare.ngd demoni’itare fixe; rat opetæptetium. : " i r ’"il! ardente: W «page! «www x, Peûwtdlç W9 üæfianomp ne.fiœmnloypéppop , and inactiva-up " adam flamnhmaippols 81mm tu a) ôpol’axxdpxeioœ w 5m) a: ipld’dæç bamçowa: Pîyiîdp 35,15 d’un?» ai; intimées mgæfiœzhôwop meuhômppopfipoiop 89 (se) indiquai. Theonma zo, Propofitio :7. .Mnium parallelafigrammorum circum eandem teâam lineam ’l toieâtorum , de icientiiîmque fpecie parallelogtammis [intis a. q . , ’iibus pfimilite’rq; pofiris ci quod àdimidia defcriprum ei’r: ma: ximum ei’t quad àdimidia proieétum parallelogrammum , fimile axis

O R O N T I 4V S. IIDeficere fpecie .dicirut parallelogtammum, daro parallelogrammo: P5 ficusquando vrtunq; parallelorgtammum fumpto. friper eadem te&a linea eôfifiens,altetum n x deeft alteri, r PST"? ad complendum fimilis peciei parallelogrammum fiiper roram datam refit-am lineam ce; Mit": [PET- extenfum. Vel dum compatatum atailelogtammum,teliquo deficir ab ipfo fimilis fpeciei dm’ P04 parallelogtammo, (uper totam ip am teétam lineam confiiruro. Sir igirur data recta linea °37m’z:° a!b,fe&a bifatiam in c, pet decimam primi:defcribar1irque à dimidia c!b ,contingens pas m4 "a rallelogrammum ad . qura veto datam reâam lineam a!b,gemina comparentut paralle: "34’" En" logtamma.airerum proieétum à tcliqua dimidia alc,vtpore ne, fimîie fimilitétque deferis "4’ prum exiflens fumpro c! d, 8c deficiens fpecie ipfa au toto a!d!patallelogtammo: aires tum autem a!f,fupet a!g!comparatum maiore dimidia ipfius a!b,& proinde fubingtediens e A ipfum parallelogrammum c!d,deficiénfqg (pecie parallelogram me g ! h , fimili fimilitetque pofiro ipfi c ! d ! quod à dimidia Ub!defi:tiprum cit, ad complendum ipfum a!b!patallelogranu l mum.Dico qubd a!e!patallelogrammum,maius cit a!f!patalles ., t.» i f h logtammo. . Cùm enim ex hypothefi g!h!parallelogtammum, Demi!" "à fimile fit ipii paralleiogrammo Cld: circum igirur eundem fun: a ’ 3 dimerientem e!f!b,pet vigefimamfextam huius fexri.Ptoduca. sur ergo g?f)in teétum 8: continuum quue ad latus e!d,rper feeundum pofiularum. Parait ielogrammi igirur e!d , earum quæ circa dimerienrem unr parallelogtammotum fupfale: méta c!f!8r f!d, funr pet quadragefunamrerriam primi adinuicem æqualia. Addarur vrriq; commune g!h.totum ergo c!b,tori g!d,pet fecundâ communem fenrêtiam cit æquaieJEia dem porrb c!b, æquum cit c!l,per triiefimamfextam primizfunr enim in bafibus æqualibus a!C!& e!b, in eifdémque parallelis a! A! llh. Et g!d! iraque, ipfi cil!pet primam commit: nem fenrenriam æquum eihCommune rurfum addarur elf. rotus igirur gnomon abld,r04 ri a! flpatallelogtammo cit æquale . Sed totum parallelogtammum e! d , maius cit pet ne: nam communem fententiam,ipfo gnomone c!b!d : 8c proinde ipfo a!f!maius. Acquum cil: porto a!e!patallelogtamnium, ipfi e! d!patallelogtammo , et eandem rtigefimamfexram primi:in bafibus enim funt æqualibus vous: c!b,atque in ei dem parallelis a!b!8t e!d.Qgæ autem (une æqualia,eiufdê funt æquè maiora: pet fexræ communis fenrentiæ côuerfionem. m m Maius en: itaq; parallelogtammum a!e,ipfo a!f!parallelogramg t mo. (Sed efio a!f! parallelogrammum, proieétum (uper a! g, 83610144!!!"- hm e minore dimidia ipfius a!b!lineç darç,& egtediês ipfum a!e!pas alita parallelogtammum: deficiens tutfum fpecie ipfa !b!patalleioq 703M grâmo, fimili fimilirétque po firo ipfi c!d,g: à dimidia elbldefi criptum eü, ad complendum rotum a! m! parallelogtammum. k a Aio qubd a: a!e!patallelo ammum,maiusleft ipfa alfiparalles 4 . a b logtammo.Cùm enim ex yporhefi ad!8c f!b!parailelogtams Immune. g c ma , (imilia fint:citcum eandem proprerea dimerientem f!e!b., N11..

me GEOMET. ÉLÉMENT. p’et vig’efimamfextamhuius fexri confiiruentuti Compleanrur iraque, pet trigefimamprii main primi,& fecundum poftularum,h!l!8t a!m!parailelogtamma:vt in ipfa continerut fis a.Et quoniam parallelogtamma flint a!1!8t c!m:funr igirur pet rrigefimamquattam pri; mi,n!1!8t llmlipfis a!CI& e!b!qu: ex oppofiro,arque inuicem equales. Et proinde me!pat tallelogrammum, ipfi e!m!patallelogrammo, pet rrigefimamfcxram primi :quale. Eidem potto e!m,:quum cit e!g, pet ’quadtagefimamtettiam ipfius primi. Et me!iraque ipfi e!g, pet, primam communem fenrenriam cil: :quale. ’Subduâo igirur h!1:teliquum e!g,teliquo n!h!maius cit .,Si autem inæqualibus e!g!8c n!h,:qualia vel idem commune a!b!appona’s runomnia,per quartant communem fentenriam, erunt inæqualia. confutger igirur a!e!pa; iallelogtammum, maius ipfa a!f!puallelogtamm°. Omnium iraque paralielogrammorum. iuxta eandem lineam confifienrium,& deficientium fpeciezôc qu: fequunrut reliqua.04;od oflendeudum receperamus. ., I l .lgaeà-A meeting1136ch Euüôœp a,(9g? Permet;me": 61:0pr in; mnmqupop un; , WWÀËp, A à marrer au: meaÂHÀoyféprJpofq) am w monnaie un «a ladiôwop imam . FM) Àê iam matchâmti 9520p du: a? am fie immigre mMoNs, ôydx’op ô’n’Fv i tanpéa’opfl’i’t a": in") mît ipwéœmod 5 16 apoiop mm». . ’ Problema 8, Propqfitio. 28. fée D datam teétam lineâ,daro reâilineo æ ’uaIe parallelogram: 18 Q d ’69; mum,compatare,deficiens fpecie paralle ogrammo fimiii da: (7 to. Oportet iam datum te&ilineum,cui expedit’ çquum com: patate, non mains cire eo quod à dimidia compararum,fimilibus exi: fientibus fumptis,& eius quad à dimidia,& cui expedit fimile deficete. Ndfld’m’r O R O N T I V S.([Ofienfum cit enim antecedêti vigefimafeprima propofirione,omnium parallelogtammorum iuxta eandem mél-am lineam compatarorum , deficienrilimque [pet Cie fimilibus fimilirérç pofiris parallelogtammis ei quod à dimidia defetibitur: maximum cire quod à dimidia compararum parallelogrammü,fimile exifiens fumpto. Oporrer iraq; datum teétilineum, on ad datam reâam lineam :quale comparandum cit parallelogtams mumznô mains eiTe eo quod à dimidia ipfius dar: reci-e lime: compararut,fimilibus fimilis térq; pofitis exiiiëribus vrtiufq; compatati paralielogtammi defeâionibus Ç ad complenda fimilis fpeciei parallelogtamma (uper roram datam teâam lineam coextenfa)eius inquàm . quod à dimidia , a: eius cui fimile fimilirétque pofirum eidem quod à dimidia defiirutum Interpretdhv cit parallelogtammum.([Sir et o data recta linea,a!b: datum veto reâilineum, cui opor: P7 01’10"455- ter ad datam re&am lineam a! læquum parallelogrammum cdmpatare,eito c,non exiiiês mains ce quot! à dimidia compararut,fimilibus exiftenribus vrtiufq; defeétionibustfiim autem parallelogtammum , cui expedit fimile deficete,fit d. Recipio iraque ad datam te. &am lineam a!b,daro teâilineo c,:quum parallelogrammum I compatare, deficiens fpecie parallelogtammo ipfi d!fimili. Se; cerur iraque a!b!teâa’ bifatiam in puna-o e,per decimâ primi. Et pet decimamoftauam huius fexri,à data te&a linea c!b,das to reftilineo d, fimile fimilirérque pofirum reâilineum Ç quod erit 8c parallelogtammum ) defcribarut e!f! g: compleariitque pet rtigefimamptimam ipfius primi , 8: feeundum poituiarum, ’ W 011m4 a!e!f!patallelogtammum.Aur igirur a!e!f!patallelogtammum, finit diffr- :quum en: ipfi re&ilineo c,aut eo maius : non enim minus die "m’a. poreft,per aifumpram ex antecedenri vigefimafeprima propos Ü fitione problematis determinationem. Si :quale fixerir a!e!f! Difientid [ê- parallelogtammum, ipfi teétilineo c: iam comparatum erit ad cumda,o’ab- datam teâam lineam alb, date teâilineo c, :quale parallelo. 131m partîü, grammum a!e!f, deficiens fpeeie aralleiogtammo e!f!g!fimili.ipfi d. At fi a!e!f!patallei I figure tom- logrammum, eodem e!te&ilineo erit mains: erit Br e!f!g!patallelogtammum, arque itîo pofitio. dem mains ipfo c.funr*enim a!e!f! a: e!f!g!paralle’logtammà , in bafibus :qualibus aidât

LIBER v1. * 14-, elb,arque in eifdem paralielis a!b!at’ f!g:8: proinde!pet rrigeiîmamfextam primi,inuicem :qualia . Exceffiii autem flue re&ilineo , quo e! f! g! parallelogtammum fupetar. ipfum e! :quale, ipfi aurê d!fimile funilirétq; pofirum,idem confituarut h!k!1 , pet vigefimamquino tam huius fexri.Eidem potto d!fimile cit e!f!g,per confiru&ionê:8c h!k!l!igitut fimile cit r ipfi elfxg, pet vigefimamptimam eiufdem fexri . Similes autem rebâüine: fi rat, habent angulos :quales ad vnum,8: qu: circum angulos :quales larera proportiona ia,pet prim: diifinitionis huius fexri conuetfionem . Sir igirur angulus qui ad k, æqualis angulo qui ad fier fleur e!f!ad f!g,fic h!k!ad k!l.Er quoniam e!f!g! paralleiogrammum, :qu m cit ipfis 08: h!lzmaius cit igirur e!f!g,ipfo h!l.8: proinde latus e!f,maius ipfa h!k:8: !g,ipfo k!!! iridem mains.0flenfum efl’ enim lemmare vigefimœfecund: huius fexri,fimilia fimilirérq; polira 8: inuiccm :qualia teâilinea:habere fimilis tarionis iateta adinuicem æqualia.Etgo qu: fimilia funt 8: fimiliter pofira,fed inæqualia:habenr fimilis tarionis iateta in:qualia,8: proinde maiora qu: funr maioris, 8: minora qu: minotis funt teétilinei . Maius cit iraque f!e!ipfo h!k,8: f!g!ipfo k!l.Secerut igirur pet tertiam primi, ipfi h!k!:qualis flm, 8: ipfi k!l!:qualis f!n:8: pet nigefimamptimam ipfius primi,compleatur m!o!n,8: teliqua parais lelogtamma,vr in figura. Acquum cit igirur mm!patallelogrammum,ipfi h!lzatque eidem fimileIed h!l,ipfi e!f!g!fimile efl,per conih-uétionem: 8: mlnligirur, ipfi e!f!g!fimile cit, pet eandem vigefimamptirnam huius fexri.Circum ergo eundem fun: dimerienrem f!o!b, l ipfa e!f!g!8: nun!parallelogtamma,per vigefimamfextam eiufdem fexri.Er proinde parai, lelogtammum r!s,ipfi m!n,arque rori e!f!g!fimile cit, pet vi efimamquatram huius fexri: arque demnm ipfi d!fimile,per ipfam vigefimamptimam eiu dem fexti. His ira premiiiis, 1,, a; u Je;- quoniam e!f!g!parailelogtammum, ipfis a8: h!l!eii :quale,8: ipfum h!l!:qualç, ipfi mm: ,mflrmm teliquus proinde gnomon m!b!n,te&ilineo e,per tertiam communem fentenriîm cit çqua: "filma. lis.Rutfum quoniam e!o!fupplemcntum,:quum et! o!g!fuppiemenro,per quadra efimams tertiam primi:addarut vrriquc commune t!s.totum igirur els, rori t!g:pet feeun am com: munem fenrentiam cit :quale.Sed eidem e(s, æquum cit ami, pet rtigefimamfeiiram pris mizfunr enim a! m!8: e!s , in bafibus :qualibus, ac in eifdem parailelis. Et a!m,igirut ipfi t!g, pet primam communem fenrentiam :quum efi:. Adponarut rurfum vrriquc commune e!o:rorum igirur a!o, ipfi e!o!g!aur in! b! wgnomoni’, pet eandem feeundam communem fenrenriam en: :quale. Eidem porto gnomoni m! b!n, :quum cit reâilineum c:8: qu: eis dem equalia,adinuicem funt :qualia,per primam communem fentenriam.Aequum efl: igio rut a!o!parallelogtammum, ipfi teâilineo c:defieirque fpecie( ad complendum a!SIparals. lelogtammum)ipfo r!s!patallelogtanuno,quod fimile eii ipfi d. Ad datam ira ue rec’tam lineam a!b,daro reétilineo c,:quum p’atallelogtammum comparauimus a!o,de ciens (pet - de parallelogtammo t!s,daro parallelogtammo d!firtxili.030d oportebat facete. l PedCMp: Q, Paiera; 1:0. Main-là: moflât. iuGâap En? mon: iueuyfo’t’upo in]: aîœMogfœppop flaflahêpfl’æû- fiaMopêiN fianukoyfaëppç époiç heurts. ’ Problcma 9, Propqfitio ,29." ù ï 19’ du V 3D datam rcâam lineam , dato reâilineo , æquaIe parallela: :grammum ptætendete , excedens fpecie paralleIOgtammo V I ifimih dato. . vOAR 0 N T I V S.(Sir rurfum data méta linea a!b,datum veto teétüineum c,darum infu pet parallelogrammum d. Opetæpterium itaq; fir,ad datam teétam lineam a!b,dato teâii. Iineo c,æquum parallelogrammum comparare,exeedens Funilis fpecieipatallelogranunum fuper rotam a!b!compararum, paralielogrammo ipfi d!fimili..Seeerur iraque primum a!b! Hep-mm fi reâa bifariamin punâo e,per decimam primi.8: à data recta linea c!b!daro teétilinèo. d, giflâfif’fiu 0? fimiie fimilirérque pofirum reétilineumÇ 8: proinde parallelogtâmum)defCtibatut e!f!g!b: (lifterais pre- pet decimamoâauam huius fexti.Vrrifq; præretea 8: elglpatallelogtammo 8: ateé’tilineo amblait. :quale,ipfi autem d! fimile fimiiirérque pofirum, idem cpniiiruarur h!k!l: peryigeiirnam; quintam ipfius fexri. Vttunq; igirur e!g!8: h!l,i fi.d!iimiie e038: proinde e! ’8: -h!l!fimis lia adinuicem, pet vigefimamptimam eiufdem exri.Similia veto teâilinea, eut angus los :qualcs ad vnum,8:qu: circum :quales angulos iateta proportionaliæper prim: difi rfinirionis ’ huius [cariN.ij. conuetfionemÆito igirur angulus -- qui ad k,:qua1isiangulo qui ad f:8:

148. GEOMET.’ELEMENT. fleur elf!ad f!g, fic h!k!ad k!l. Et quoniam h!l,vttifque limai 8: e!g!patallelogrâmo, 8: ipfi c!re&iiineo cit :quale,pet con- fituérionemmaius cit igirur h!i, ipfo e!g!patallelogtammo.8: latus propterea h!k!ipfo e!f! mains: necnon 8: k! llmaius ipfo f! g : pet ea qu: proxima annotauimus propoiirione , au: pet lemmatis vigefimæfeeund: huius demoniirationemÆtoduean tut iraque in teétum 8: côtinuum,f!e!8: f!g!vetfus m!8: n,per p ifecundum poitulatum:fecet1irque ipfi h!k!:qualis f!m,ipfi au;- 3- n rem k!llæqualis f!n,pet retriâ primi.Complearur deinde mm! parallelogtammum , pet nigefimamptimam ipfius primi , vnà c1 cum t!s , arque cæteris qu: in figura flint parallelogtammis. e b c Parallelogtammum iraque m!n,:quum efl: 8: fimile ipii h!l.fed î p eidem h!llfimile ofienfum cit e!g:fimile cit igirur ium,ipfi elg, pet vigefimâptimam huius fexri.8: proinde ipfa e!g!8: m!n!pa. m r ° rallelogtamma , circa eundem dimerientem f!b!o , pet vigefis mamfexram ipfius fexti funt eoniiituta. Rurfum quoniam e!g!8: t!s!patallelogramma,cits ca eundem funr dimerientem flb! o: fimile en: propretea, pet vigefimamquartam eiufdem . . fexri,t!S!patallelogtammum,ipfi e!g,atque toti nvn,8: proinde ipfi d! paralielogtammo. A mfimfi’ "m His ira ræmiflîs uoniam m! iti f h l 8: ’ f ih l if 8:1 ! l at il 1 a firdtiomcipali: grammo daman 8: PUteâiiineo ,9. p n,æquum.cl :quale:8: m!n!ig1tur,eifdem 1p il ! , 1p e!g!parallel.ogtammo um ! !vrti que 8:e clrcâihneog p a .e o ° en: :quale.quæ enim inuicem æqualta,e1fdem :qualia (untzpet prim: communis fentenri: conuetfioueym . Subduéto igirur communi! e! g:teliquum c! re&ilineum,teliquo gnomoni e!o!(g,pet tertiam communem fententiam,eii :quaie. Et quoniam g!s!fupplementum,ipfi. en! upplemêto,per quadragefimamtetriam primi en :qualez’8: eidem e!t,æquum cit a!m, pet rtigefimamfextam eiufdem primi, nempe in :quali bafi,ac in eifdem parallelis canins turo.Et a!m!igirut ipfi g!s,per primam commuem fentenriam :quum eIt.Commune adpo’. natut e!o:eonfurget itaq; a!o!patallelogtammum,ipfi e!o!g!gnomoni,pet fecundam coma munem fenrentiam,æquale.Sed eidem gnomoni e!o!g,æquum cit teâilineum c:8: quç eis dem æqualia , adinuicem funr-æqualia pet primam communem fentenriam. Et a! o!igirur paralielogtammum , :quum cit ipii daro teétilineo c; exceditque fimilis fpeciei parallelo: grammum a!t!fuper totam reâam a! b!eomparatum, ipfo parallelogtammo t! s,quod ipfi d!fimile oitenfum cit . Ad datam igirur teâam lineam alb, date teétilineo c,atquale coma patatum cit parallelogrammü a!o , excedens fimilis fpeciei parallelogtammû a!t!fupet to! tam a!b!comparatum, parallelogrammo t!s,fimili daro parailelogtammo d. ngd fadent dum receperamus.

* Hpp 41950:4 I Osée» Êu95œp armfiëaa’WüDfixeop a: a, 17369:0" and pieuta Myop Ttpâ’p.7s. Problema Io, Propqfitio 30. Atamteâarn lineam tetminatam, pet exrtemam ac mediam 30 rationem dlfpefcete. 4 . Problmati: i O R0 N T I V S.(IReéta linea pet exrtemam &mediam rationem feeati di- interpretatid. . citur: uando fic defpefçitur , vt rota ad vnam fe mentorum eandem habear . rationem , quami cm fegmentum ad teliquum. Eito igirur ara méta quædatn linea ter. saquai, de, minuta a!b, quam oporteat pet exrtemam 8: mediam difpefcete rationem. Secetur iraque mmflmfiu a!b! rcâa in punétoqc, pet vndecimam fecundi: vt quod fub rota a! b I8: alteto fegmento fiæfgmai,’ alelcomprehenditur re&anguiuni,çquum fit ei quod ex c!b!teliquo fegme’to’ fit quadrato. J a a g , h Ptopofitis itaquertibus teâis lineis a!bi, b! c,’8: da, qùod fuh ( I * v - extremis a ! b!8: e! a! eontinerut teétangulum , :quum erit ei quod à media blCIfit quadratodpf: igirur-tre: re&: line: proportionales etût,per fecunn dam pattern decimæfeprim: huius fexti: fient a!b!ad blc, ficb!clad da. Data ergo. reâa linea a! b, pet exrtemam 8: mediam rationem feeatut in c , 8: illius fegmentlim malus cit un" 4154 me b!c. IAut fi velis,defcribatut ex a! b! reâa linea data,quadtatuma!b!c, pet quadragefii n’ont damon- mamfextam primi.Et ad datam teé’tam lineam b!c,dato quadrato alblc,:quum parallela 1174". grammum compatetut e! d, excedens funilis’fpeeiei parallelogrammum U-elfupet rotant.

LIBER v1.4 ’ a, b!e!eomparatum, ipfo d!b! parallelogtammo fimili a!b!c! data: pet antecedenrem vigefia mamnonam propofltionemÆr quoniam flmile en: a!b!e,ipfl d!b,8: quadratum cit a!b!c,8e vrriquc commune cle: ablata iraque de , teliquum a!f! relique d d!b, pet tertiam Communem fententiam cit :quale.8: qui circa e ! funt anguli, :quales funt adinuicem, pet decimam quintam primi, vel quartum poflularum . Acqualium potto 8: vnum vni a A e B æqualem habentium angulum parallelogrammorum , teciproca funr latera qu: circum :quales angulos :pet decimamquartam huius fexri . Et fleur igirur e! f! ad e! d , flc b! e! ad e!a . Sed b!e!:quaiis cit e!d , 8: a!b!ipfl blc, pet quadtari difi’mitionem: eidem rurfum b!e,çqualis efl: e!f,pet trigrflmamquattam primi. - Et e!f! igirur, ipfl a! b, pet primam communem fenrenriam efl: c :qualis.Aequales autem ad eandem,eandem habent rationem, f 8: eadem ad equ’ales:pet feptnnami I quinti.Et fleur igirur a!b!ad b!e,fle b!e!ad e!a. Data igirur teétalinea’ a!b,pet exrtemam &mediam rationem,in putts &o e!diipefdtur. miod oportuit feciire. I i . ’ ’ eadem:N qui: ôeeoyœvioce me,macéroit, frôPeaux; aimé ai; qui: ôeeùp M. www WTJVÉO’NÇ «défiait smog, Yang 85 mais Jura 79W qui: ôeeip priai: WCXOWIÔ’p 4516?!er 614*th , au: épieu; et and éponte dœmçopæimç. Tbcorema 21,. Propbfitio 3:. ,, a. i N reétanguhs triangulisxàluç ab teâum angulum fubtenden: , te latere fpectes:æqualise e1s,quæ ab reâ’ü angulüm câpres hêdétibus laretibus fpectebus fimilibus,flmilitérq; defctiptis. 0 R O N T I V S . (Quod de quadratislfupetficiebus , propofuit quadrageflmafeptima Ï’ÛWP’SMÎÎ’ primizhic de quibufcunque-teétilineotum fpeciebus,ptoponit Euclides, VEito igirur datum www"? teétangulum rriangulum a!b! c, teâum habens an ulum qui ad a. Dico quod fpecics ne? Cm" imam? étilinei , qu: defcribitutex me! teétum angulum ubtendente: :qualis cit ambabus flmii fig?" d’fim a a libus flmilitétque deferiptis fpeciebus , ab ipfls a!b!8: a! c!tes- 1mm- &um angulumcontinentibus. A dato enim punâo a,iîxpet dai tam teé’tam lineam b!c,petpëdiculatis deducarut a!d,per duo: decimam primi: qu:.pet o&auam huius fexti , cadet intta du. tum a!b!c!ttiangulü,ipflimq; in bina diuidet rtiâgula a!b!d!8: , c a!d!c,toti a!b! C! arque adinuicem flmiiia.Defcribatut infuper d - ex b!c,conringens,8: cuiufcunque libuerit fpeeiei teâiiineum b!e:8: à datis teâis lineis a!b!8: a!c, dato rectilineo ble,flmiæ lia flmilitérque poflra rectilinea deièribantur a!f!8: a!g,perdes-’ c cimâoétauam huius (cati; Br quoniam flmiie un! b!e!ttianu: Demjiratia - lum ipfl a!b!d!triangulo, 8: qui ad b!angulus vrriquc coma ipfius tintons munisœit igirur-vr e!b!ad b!a,fle a!b!ad b!d.funtita ue b!e!8: a!b, flmilis tationis iateta. mais. Sitmha porto triangula,adinuicem in dupla ratione unr flmilis tationis larerum,per decis mamnonam eiufdem fexti. Triangulum igirur a!b!e,ad rriangulum a!b!d,duplam rationem habet quam b!e!larus ad latus a!b. Rutfum quoniam b!e!teétilineum , flmile cit ipfl alf: flmlles autem te&ilineæ figutæ, in dupla ratione funt adinuicem fimilis tarionis larerum, fief Prlmum Cofouarillm vigeflm: huius fexri.Et b!e!iraque te&ilineum,duplam rationem aber, quàm lattis b!e!ad fimilis rationi: iatus a!b. Oflenfum cit autem, quod 8: triangus lum.a!b!c!ad rriangulum a!b!d,dupiam iridem tationê habet quam iatuibwad latusazbt. lit fleur igirur a!b!e!ttian lum ad rriangulum a!b!.d,flc pet vndecimam quinti,b!e!te&in lineam a teétiiincum a! .8: à eonuetfa infuper tarione,flcur a!b!drttiangulum ad triangu. lum alblcrflc a! f! teâilineum , ad re&ilineum b! e, pet quart: ipflus quinti cotoilariutntî Haud diflimiliter oitendemus rriangulum a!b!CIad rriangulum a!d!c, arque b!e!teétiiis. fileuîflfid reâllineum a!g,dupiicem iridem habete tationem,quàm larus band flmilistac noms iatus a!e.Er proinde fore fleur a!b!e!triangulum,ad rriangulum a!d!c:fle b!e! mâtin lineum,ad reâilineum a!g. Et econrtà "tutfiun,flcut triangula ald!c,ad rriangulumalbflc,’ r ’ N.iij.

1:0 GEOMET.:ELEM. fic algrreâ’ilineumgd reâilineum bIe.Paruit autê,qubd fient albldrtrîa lû ad trianguc’ lnm axbrc,fic alflreâcilineum ad reâilineum bIe.Primum i itur albld,ad ecundum alblCl eandem habet rationem,& tertium aIflad quantum bœ:haEet rurfum 8: quintum ardrclad femndum a!bœleandem rationem,& fextum alglad ipfam quartum bref: compofita igi. tur primum 8c quintam a1brdl8c a!drc,ad fecundum alblCIeandem habebunt rationem,& tertiam azfzcum fexto azgmd ipfum quartum bre:per vigefimamquartam ipfius uinti.Sed axbrdrôt azdzclrriangula, æqualia (un: ipfi alblcjtriangulo , tanquàm partes ip?um terum albzatriangulum integrantes ; 8c ipfa igirur alflôc alglreékilinea , ipfi brelreâilineo fun: æqualia.Aequum eü ergo reâilineum quod ex bIe, eis qu: ex albIôc uafimilibus fimilio Idem alia r4- térque defcriptis.lIIdem etiam ofiendere licebit,ex fecundo corollario eiufdem vigefimç n’one demnm huius fexti:coa(fumptis propret fimilitudinem triangulorum arblc, arbld, 8c aId!c, tribus ’ liure. métis lineis blc,azb,& bldzproportionalibusfic alijs tribus iridem proportionalibus , hm, aga: c1d.Erir enim per idem corollarium,ficut brand bld,fic bœlad alfificûtque eadem blclad ad,fic b!e!ad alg.Hinc ipfamm trium linearum blc,bld,8t dlc,quemadmodùm a: fupradiâorum triangulorum adminiculo,conclufionê baud diffiniili poreris elicere difcur.’ fu.In reâangulis igirur rriangulis,quæ ad reâum angulum fubtendente latere fpecieszôcc. vt in theotemate.Quod oflendendum fuerat. a . ’ Grimpe x6, retienne M; Ap (No affirma: 01171163 xœ’rà piaf 7min, Tête «Mo miüeàc me fluai daleau; «MM- Mp ixovqu,ô’se ôpoAôyaç âu7’fl’î débâte and fiænihouç Jura: cd Àomœl’zW araba I «op maæœî, iw’ busât; influa. Problcma 2.1,, Propbfitio 32. I duo triangula componantur ad vnum angulum, duo lare: 32. ra duobus lateribus proportionalia habentia, v: fint eiufdem c p rationis earum latera 8c parallela .: reliquat ipforum triangulorum latera,in reâam lineam crunt. I ’. O R O N T I V S. (Sint bina triangula a!b!clôc dlele,ad vnam angulum qui fub alUd, compofita,habêtia duo latera bava: aldduobus lateribus czd1& dzczproportionaüa, ficut blazad alain eldmd dle:fi’nt uc eiufdem ratiohis latera inuicem parallela,vtpote aIinpfi eld, 8: alclipfi dle. Dico qnb reliqua latera blclôt de, in reâam lineam funt conflituta. oflmfio flaco- Cùm enim ex hypothcfi a! b z 8c c r d l tînt parallelæ , 8: in cas incidat a! è: erit angulus braIc,æqualis alterno aleld,pcr vigefimânonam primi.Haud diffimilitcr quoniam azapar rallcla cit ipfi dze, a: in cas incidit méta cId:erit pet eandem.vigefimamnonam primi,am m. gulus cidre,alterno alcldfltidem zqualis.Duo iraque anguli bzazCIôt c1d!e,cidem angulo aIczdIfunt æquales: 8c proinde çquales adinuicemgpér primam communem fenrentiam.Bis na iraque triangula albICIôc dICIe,habent vnam angulum vni angulo çqualem,& qua: cirs cum çquales angulos latera proportionalia:çquiangula ergo funt ipfa azbzczac dzczemians gula,& squales habët angulos fub quibus eiufdem rationis la: a tera fubtendunrur,per fextam huius’fextiI. ’Aequus en itaq; am - A gulus ezb!a,angulo dlcle.0ftenfum eû autê,qubd a: bandant

gulus,æquusç efl âgulo alud.Duo igirur anguli azadlat d!cle, duobus angulis bardât Ublarfimt æquales.Totus rurfum qui fub giclezcôtinetur angulus,eifdê angulis aucuba: dlClengquao , b , c lis efLEt proinde âgulus alcle,duobus âgulis bavas: elbmlefi æqualis . Communis addarur angulus a!o b: duo jgitur anguli alabIôc alde,tribus angulis blaIc,aÆIb,8tICIbla!ipfius azblcztrianguli,funt pet fecundam communem fenrentiam æquales . Sed eifdem tribus angulis ipfius a! b! c! rrianguli, [une aquales duo reâi,per rrigefimamfecundam primi. Et duo itaq; anguli uobus: a!cœ,duog I bus reâis per primam communem fenrentiam coæquant-ur.Ad datam ergo. reâ’am lineam a!o,atq; ad eius punétum c, du: refit: linea: b1 08: czexnon ad .eafdem partes du&2,effir dam vrrobique angulos alabl8: axezezbini: re&is æquales: ipfa: igirur rcâæ fines: hmm alevin direé’tum feu reétam lineam,per decimamquartam ipfius primi fun: conflitutæ. Erg go fi bina triangula:& qua: fequuntur rehqua.Quod oportuit demonftraifc. U

: - LIBER v1; . , 4 m

’ eidem:N me leur: KÜKÀMÇ na, i , ad. gaminarenierai 4-69 âwôp A). 16709 i figue . v. qui; ’ mm ’ W 5p fiatÆMmp’, ioda-g aga; qui; aderne, «un «En me margina; 6m panama: dû and 64 napée, (in l’ me IWOIÇ mæémoa. ’ a , i v - Tbcorcma 2.3, Propqfitio. 33; w r , N. æqualibus Circulis, an ull eandem habent rationem îpiîs p 4 eirçunfercntus’m quibus educunturætfi ad centra,etfi ad cira . . r cunferentlas fuermt deduéh.Tum etiam fiâores,tâ’quam ad

Q R O N T I V .S. (Sint bini 8: adinuicem æquales circuli,albla& drezfiad quorü ceni tra,centra Æ: b,ad i deducantur blglclôcconfhtutl. erhzf,ad circunferentias autem,b] . arc,& . ezdIF,r ciral qui ereptias NM: eIf!comprehendcntes.Aio primùm,qubd veluti circa nferentia blc,ad exfœircunferentiam, fie angulus blglclad angulum erlvf, necnon 8c angulus buveur! am. gulum eIdÆ Conneétanrur. enim per primum pofiulatum bz a a; e, f. a: in dati: circulis aszaôc dIeÆ,datis reEtis lineis b U8: eÆ,non maioribus eorundem circulorum dimetien tibuszquotcunque æquales reétæ lineæ ordine coaptentur,akl& kIlApfi .blc,atquefmy8c mzrvipfi erfræquales,per primam quarti.& per primum poflulatum,conne&antur g!k,gll, lym,& hmzreëtæ lineæÆt quoniam æquales (un: bchcxk,& k,In-e&æ lineæ:æquales funt De argalis ç d o 8c circunferentiæ bl c, clk, 8: kil! ad centrum. eafdem reâas inuicë æquales fuba , tendentcs, per vigefimamoâ’auam n tertii.Hinc pet vigefimâfeptimam eiufiië tertii , anguli bzgrc, ogflc, m 8c klgll, æquale: funt adinuicë. Et proinde anguli ej w f, f7 hl m, .8; mrhm,adiuuicem patiner æquales. Œotuplex igirur efl: Mal! cirçuna i ferentia,ipfius circunferentiæ. blc: rotuplex et! angulus bi g! l! ipfiut anguli b! g! c. quotuplex infuper et! cl f7 tu circunfcrentia , ipfius circunferentiæ ezf: to, tuplex citât angulus e! h! n, ipfius anguli elilvf. quia æquè multiplicia, æquè multiplicium funt æquè maiora, vel æquè minora. Si iraquecircunferentia brclIr maior cit cirmnferentia afin: æquè maior cil: a: angulus bIgIllipfo angulo e!h1n:8t fi æqualls, æqualis:fi autem mia C, f i A. i. . nor,itidem proportionaliterminotimatuor itaq; magnitus "tu" "a." æ l" au; dinum , vtpote 13708: erfIcircunferentiarum,& angulorum NUL "lm. 98’ ’ e’ b4? b!glcl 8c eAvT, fumpta finit æquë multiplicia primæ 8c ter; b’ c’ e, fi b’g’c’ e, I ’ tiætnecnon femndæ &quartœ alia vtcunque æquè multiplia v V cia.& fieu: multiplex primæ,ad multiplex fecundæzfic muln - k l tiplex tertîz,ad multiplex quartz fe habete dedud’um cit. In eadem ratione igirur cit prima ad fecûdam,8t terri: ad quartam,per fextâ ipfiuâ quinti diffinitionemzboc e&,ficut brdcircunferentiagd èrfzcircunferentiammc angulus bzglc,ad angulum ezhxf. ([151- quoniam angulus blgÆlduplus cit anguli blarc, 8c elhlfiipfius ezdlfr De anguli: iridem duplus,per vigcfimâ terrij. Sunt itaqs bzglcjôc uh!0anguli,ipforü bIalcÆC ezdrfl qui ad circunferè’tias flint angulorum’,æquèlmultiplices;Partes autem eadem modo multi. mafias.4d CET plicium,eandem rationë habent fumptæ adinuiccmzper decimamquihtam eiufdem quinti. man) rationem igitur habet angulus blglc;ad angulü elhlfzeam habet 8: angulus bralc, ; ad angulumz’erdÆOlÏenfum en autë,qubd au ulus bugrcl mc’dfnygk’mvfl b,a[c’fldlfl ad angulum ethfleam habet rationem:quam Ezclcircunfe rentia,ad circunferentiam eIf. Et bzazczigitur angulus! ad . angulum erdzfœam habet rationem,per vndecimâ quinti: i " uam biqcircunferfipfia,ad,eircunferentiam eÆ (Dico in; ne (53mm fuper,qubd (leur eadem circunfereritia bzc,"ad circunferentiam’ erfific gszszeé’cor , ad [es , &orem hleIf. Coafl’umantur enim in blaôc CIkrcircunferêtijs,contingenria ligna ol8t nô: ’ comméhntur blo,olc,cxr,8c rlkllineç reétæ,per primum poltulatumÆtquoniam trianguli

-.....-- l... m GEOMET.ÎELEM..LIB. v1. glblCl duo latera bzgÆc gIc, Tant :quali; duobus Cl g! &gîkl triang.u1i algzk, pet quini decimam diffinitionem primi,& æquos adinuicem continent angulos,bafis quoq; bld bali 01:ch æqualis: terum itaque rriangulum gr b! c, toti triangule czg!k,per quartam ipfius primi,eft æquale. Rurfum quoniam bracircunferentia, :qualis cit circunferentiæ akzfi a rota aublclcircunferentiafiædem’æquales aufcranturcircunferentiæ,reliqua blazczreliquz Clapk,’per tertiam communem l’enqtentiam, cit æqualis . Et proinde au li hmIclôc clrlk, æquales funt adinuicê,per vigcfimamfeptimâ tertij. Similis en: igirur e&io b!olc,fe&ioni çlflk,pc11 decimâ ipfius tertij diflînitionézù in æqualibus métis lineis blclôc Uklcôllitutæ funt.Aequalis cit igirur feétio bzoIc,fe&ioni cmk,per yigefimamquartam eiufdem tertij. t.quoniam æquum en rriangulum g! brc 3 triangule Clgfk:totus prepterea feâor gr blc, toti cugzszeâorimer fecurfdam cômunem fentêtiam cit :qualis. Et proinde [citer grlvl, vtrique ipforum grblc,8( ngllUconuincitur æqualis. Tres ira ue feél’ores glbœ,CIgAv& glkrl,funt æquales adinuicemJ-Iaqd diflîmilitçr, feâores chl ,fzhrm, a: hzmIn, inuicem amirales fore cô’Cludentur.ngtuplex cit igiruricircûfetentia brdl,ipfius buacircûferentiç: rotuplex cit gxbzlzfeâorfipfius feâoris glb!c.Et proinde quoruplex cit drçûferëria afin. ipfius. ufœircûferentiæ:rotuplex cit à: fcâor hIeln, ipfius fe&oris’h!eIfiEr ,fibÆIllcirr cunferentia, maior cil: ipfa eÆln: æquè maior cit 8c feâor gIbIl, ipfius feàorià hIeln:& fi? ’2qualis,æqualisç& fi minor,itidem proportionalitcr miner. fiatuor itaq; magnitudinum,- duarum inquàm circunferentiarum brus: ezf,5c duorum feéi-orum gleV 8c WelfJumpta’ Cirtunfcrentiæ. 5630,65. funt æquè multiplicialprimæ a: tertiæ,necnon fecundæ; b, C, l. e, f, n. 2,1V]. h, N n, 8c quartz alia «au? çquè multipliciazôcvtmultiplex- tu c. N ç. 2, b, c. h, e, Î primç ad multiplex ecûdæ,fic multiplex tertiç ad mul t tiplex quarta: ’fe habere deduâ’um cit. Prima igirur ad fecundam,eandem habet rationem, 8c tertia ad quartam,per fextam diffinitionem quinti. Sicut igirur circunfcrentia b!e!ad circunferentiam eÆzfic glb!czfe&or,ad feâorem hlezf. v In æqualibus igirur circulis, anguli eandem habent rationem ipfis circunferenti)s in qui: bus deducuntur:etfi ad centra ,etfi ad circunferentias filerint deduâi.Tum etiam fiacres, tanquam ad centra confiituti.Quod tandem receperamus oflendendum.

(Et proinde manifcfium e&,qubd veluti feâor ad feél’orem,fic pervndecimam quinti ans -guluç nad angulumwtrobique " ([Corollerium. enim ratio offenditur,quz circûferentiæ ad circunferentiam. I EXTiI L IB’RI G E’OMETRIC.ORVM v . Elemcntorum EuclidisMegarenfis, Ex Orontij p Einæ’iDelphinatis,Re ij Mathematica: l mm Lutètiæpt -cfi.oi’is,recèns M i, sulfita 8c emendata. l i V i auditions, i il; AIFINIS. Virgfcitvulncr’evirtus.. *

Regiflrum. - h" z. 3. 3. 3. 3.3.3.3. 3. 3.3.3.3. z. 30-A.B.C.D.E.F,G.H.I.K.L.M.N. Î v