Notes Du Mont Royal ←

Notes du mont Royal www.notesdumontroyal.com 쐰 Cette œuvre est hébergée sur «ÿNo tes du mont Royalÿ» dans le cadre d’un exposé gratuit sur la littérature. SOURCE DES IMAGES Google Livres Orontij ’Finci Dcl PHI NATI S, REGII Mathematicamm profefloris. A IN SEX PRIORES LIBROS geomctricorum Clementorum Euclidis Megarcnfis Des monflra rioncs. Qpibus ipfius Euclidis tcxtus grflusfuis la: cis infertus cflzvnâ cum interprctationc v-s ".7 latin: ’Bartholamæi Zamberti Ve, neti,ad fidcm gcomctricâ pet f Î. cundcm Orontium f - .. recognita. ’ j i z à [J 16sans a,”Y r www CVMJ! P4MATH I; .571 figea J. 11’503? 1,0 Regis a .ecennlumus I . A P A R I I I S. Apucl Simoncm Colînæum. 1 y 3 6. Virefcit vuinere vin-us.

[15

REQChril’cianifiÎmo ac otcntifs. WGALLIARVM REGI. r ANCI’SCÔ" i Ï f f ljhuîus nominis primo,Orontius Fincus,Délphinas,S. D; l ---.-r*--.] Vm celebres illas a; fidiflîmas alites; fi ÉL-Ï Francifcc Rex inuiétiffime, quæ fol: ’ Mathematicghoc efi,difciplinæ me; y T rucrunt adpcllari, fub tuo felicipros qKÀ . 2j 7 fitcrcr nominc: rams admodum cf; é V a L x0i (Ë fendiÇCtiam in numcrofà auditorum f k g ’ÂK’KQ .5 multitudine)quifàtis fido ac libcrali Xe ,l animo,tam vrilc ac iucundum philo C f0 handi gcnus, à liminecvt aiunt) ’ :1: AÉ- ’ f urate,Nz ,ne Idrcâ ad Illlus penctraha, penitiorzïq; feercta,pcrucnircJ dignarentur.Cuius adeô mifêræ ac deplorandæ infelicitatis radicê, ex eo maximè pullulare vol facilè percèpizg; fine inclemcnria tëporis,fiue parcn’tü 8c præccptorü in: curia,Geometriæ nufquàm paguftauerinr elcmêta.fine uorum præuia,ac exaâà cognitioncmmnis prorfus, nedum Mat cmari- ca,ncgatur phi-lofoîhia. Perfcrutatur cnim Geomctria com-i: nuæ,ôc prout immo ilis cf’c,quàn ritaris accidentiamempc magnis. tudinum,& figurarü ration:s,affc&ioncs item,pofi rionéfq; diners fas:multiformia ipfarü difcrimina fubtili admodû examine d ifcu: tiëdo.Exordiû prætcrca fumità pet fore, 8c vulgo notis principijs. 8c potiflîmis dialcêtices innixa prçccp tis,ac colleâa fyllogifmiszad prima demonfirationü infurgit clemêtaà quibus par mediorû or: (une difcurrêdo,atq; fimplicia compôfitis,8ccôpofita fimplicibus comparando,progrcditur ad vltimaæd prOPria tandé fingula res foluendo principia.Quanquâ infupcr circa intelleâilia a: arbitras &a,qucmadmodü 8c diuina vcrfctur philofophia: fenfilia ramé 8c ipfi matcn’æ fubic&a,veluti phyfica ratiocinatio,fimul attin et: côpcritur. Et proindc fir.vt inulla diIèiplina certior cxifiar cos merria : vcl qua: antiquitatis dignitatc præccllat.Nulla ctiam qua: vires ingem’j magis foucat,augeat,l0cuplctétq;:vcl uæ ingenium ipfum ad puriora ftudia,omnitïmq; ingenuarum a inucntionum excogirationêædcb facile reddat,ac’ fuapte naturà propéfum. Ad: de quod vfui,8c cômodo generis humant plurimùm ccdit. Hinc phi.

prçclarailla 8c totiOrbi decora liberaliû artiü facultas, cæterarum mater se al-u’mna,ad vcterû philofophorü imita rionê,prudétiflîma Ennemi; infiimtioficpe quifpiâ in oélorumfeu (vt vocât)magi: &rorü ,ad mitratur ordiné,ni cü cæterisphilofophici difcu rfus au: thorib1is,fèx priores libros geometricorû’ elemétorü Euclidis (ahé audiuevit. uafi ig’noraris Geometriærudimentigad cæteras difci Elimsprælzlufà vidcatur cire via.Cuius rei vefiigia,Parifienfis ad: r ucobferuatacademiæqui.cnim ad laureâ adfpirât philofophicâ: iureiurido profitétur arâiflîmofefe prçnominatos Euclidis libres audiuifle;An ver?) illins Clementa,multis abhinc annis,qu;ad no flua viderintÇnedicâ intellcxerint) tépora (paucis forfitâ excep tis, quos æquus amauitIupiter)non aufim honefiè côfiteri.Nouerunt enirn linguli,etiâ exteri:quibus deliramétis nô modô fœcüdiflîma iuuenû ingenia haâenus torfèrint,aé pcnè dixerim deprauarint PlèuClOPhll’O’fOFhl, verumetiâomné boni extinxerint cruditionê’. Redittamé uus fingulis honos,fuzïq; dignitaszôc in prifiinü illlî difciplinarü fplendoréÇreieâis. barbaris,ac fophilticis nugis)pau la tim criât-a reduci côfpicimus. Id ’q; tuo in primis fauore,açlibe: rali fiJccurréte munifice’tia,Princcps humaniffimezqui primas in: termaiores tuas, non fine ma na tui nominis ac dignitatis ro a gatione, 8c incôparabili reipuË.cômodo,bonarü literarû [tu ia la: uere cœpifiific publicis augere rofelToribuan ter qUOs,rne libera liû Mat ematicarü inter retë. 1mul infiituifti:8c prçter decretû [li pendiü,nô afpernandis pîerûq; donafli mu neribus. Vt i gitur pro mea virili parte,tü crga munificentiâ tuâ,tum erga ipfam ré ub. debito fungar officio,8c prçtcr quotidianas le&iohqà,aliquo ho: minis veftigiûjn fidele tuæliberalitatis 8c clementiæ teflimoniü, pofieris relinquâ,vt’q; viâ ad grauio’ra ifs fimul aperiâ,qui matines matici fieri,boc efi,aliquid faire defiderât: côfcripfi nuper in fox (quos paulo antè dixi)libros Euclidis,cômentaria admodü vrilia, clariflima’fq; propofiçionum demôfirationes,ôc fub nomine aulpi: ciôq; ituo fcliciflîmo tandé’ ædidi.côfcripturus deinceps 8c fuo ædis tutus ordine(Deo in primis,8c tuo opitulâte fubfidio)cçtera mas thematicæ philofopbiæ rudimêtazquibus fludiofa iuuentus profi: ciëdo deleâabitur,& ad vberrimüÇvt f ero)prouehetur incremé’: nî.Interea clementiflime Rex.,hofce 138m: noflros,tuæ maieftati confccratosJiberaliter fufcipito. Vale Regum decus,8clitcrarü vnicum refugium; Lutetiæ Parifiorum, M. D. X X X V I.

aguis D. CIA-NDI 11v M .QV 1-:qu E, AC n p 2 fiudiofilm Leâ’orem. Ï . i mon; tondmmndideaefiudiofi nuage nm admodàni l r r eommunieamus ani’eno. toties promflàsJotie’fç defideratos in fix pria.

fixations .-Quibvsgætü ipfiusiiuelidis côthtumfitis lotis inferuimus’, En): tu»! interpretotione latinolïnrtbolcimzi Zamberti Veneti:quomvbigeometrieuinvgà efl ofimderefenfitm, en que: dent modeflia,fideliter emendauimus, ôfingalo in [nom redegimus harmonià’Jn primis itaç diffinitiones ipfiznguæ durions, gnian iuuenmn captas exprfieretælerun’que videlvontur interpretationis) qua pomma: elucidauimusfacilitamtam eæteroprineipior-amgenera, à quibusWiucrjà pra- blemotum «que theorematum multitudo eonfingit . mon»: pan?» tbeomnatùm ataxie problematumfubtiles difiieilejfç danonflrationes,toli artifieiopdeoq; ordiæ nota aefacili dzfcmfie confaipfimus,ê rônincentibus probanimusfillogifmis (mal ris tu»: in melius emniutatisJum retenter adinuentismullz’fque, præter en que in ipjo continuum Euelidefitbrogatisprincipiisfl’t nemofuturusfitqui legendo fimul non Volent inti: ’ ere : guigne minimü adderüerbum abfque temeritate,aut Jetraberefine mon poflit. MJ; qui»! ipfarum demonflrationumfiloemata fine figurasÇad rigorë ortisfea Iiteræ,propria manu depinximusquà on; ex omnipar. te buiclabori fomentas. mimoit uelibro defiribuntur triangulælinectpngnli, Æ; 1 paralleli,necnon quadrette Cr pagelogmmma tu»: iuuieem tumipfis’eomparota W à triangùlismnomon «que "Bungalow enfumer parallelcgrammù’dinea- Arma... [51.95 mm infirper tumfeflarum,tum eoniunïlarù’ odinuieem potefiates:boc efl,ex ipfis linei5,ar enrundemfegmentis refilltantium quadratorum ô reïlilineorum qualita- tes edoeentur. Tertio autenhcireulorum perfmtantur in [refîmes atç «274mm 43m1». [a in circula fi’btenjàrum,è iflbrum angulorü tu»: ad eentrü tum ad eireuli eircunfea ririom confiflentiam diferiminaaQuarto pore?» librojgurarum infniptiones, atç 7- cireunfiriptiones oflendùntur. Quinto, Magnitudinum rationes «que proportiœ r ne: inïmiuerfiim difeutiuntur.8exto deniqslibro, po]? difinitam rationum mmpo- 5 fitionem, lineoruni proportionalium inuentiones, rationes item orgue proportianes ’ figurorü,mirabili refiluuntur artt’fiingæ guidon omniafillogifmimum à eau fis,tum al: infiefiionibus ficmptisquæfidem efiirere pofluntfluo demonflrà’tur or- .no .i ’ ur. ’ ’n ’ quant i eæteræa e reüilineæ o . ligua o I n . a ne refiluunrur. Penes infipnlatnum à angulorum diuerfizm habitudinem, ea- rundë reîlilinearù’figurarum ottendütumonfiderantârwdifirimina. Et proinde liber- primusflniuerfizlior 1 eflfeeundoJerundus min. tertio, tertius quarto: êdeineeps

ita de eutetis.Nee alienuiïn velim habeas iudieiuntje propriisfingulorumlibrotü - agha: difinitionibus, Hos autan ex peintes libras,ad tontinuam [pet-tante: quantum çdiderit ont. temJeorfum de induflria col ibuit exponere.Nempe in gramen tum auditorum no- m’ flrorum,atqueprofegorum artiutn liberalium,nojlræpotwmumflmiuerfitatis Pa- rifienfisgui eafdem ibrosfisis tenentur. interpsetari difeipulisttum etià’ ab ipfirum dtfdpulorum non afinnandamntilitatem.Poteruntfiquidem eorundem lib?!» tu»: adminiculoMamfibi adïmiuerfam pararepbilofipbiam: prætipuè Ariflote- lieamquægeometrieum præfiepponerevidetur auditorenbinefitWt iis qui Geo. natrium ignorant, fubob turus difiieilt’fa; videatur Anfloteles. Quantum rigitur publieæjludentium conglutinas va itati, quàenlon à Fatma eæteros omise; bac in partejuperauerimus : non faeilè peufuadebitur ambitiofis illis étrantflimis tabulis,qui dans nibil agunt boni, [abritant protrabunt parafitieamJuum de omnibus impudente:- 4qu projette iudia’um. Sel tu æquijfime ac buntaniflime Le: flanqui iuditio,doïlrina ô eruditionepollesqui boni 37 æquifemper nofli confie lere,netignoras quàm pulebrum 57 quant deeorumfit,pro contenu dexteritate,eæo teros iuuare mortales:dum perlegerisfir perpenderisfingula,pottris apud. te tandem ’iudieare.Quàdfi bunelaborem nojlrum,tibi pergmtumovt optamus élite ramus)futurum aeeeperimusün reliquos omnes ipfius Euclidis libros non afienicï- da tibi Parabimus commentaria,alieîaa non minuthilia ë iucunda demü comma-g nitabimus’opera. Vole iglturintereafelieiterfi’ Cbnflianijfimo Frontarü Ray; meeœnati nojlro ClementiflimoÇeuiusfauore à auxilio idfaeimus quodfaeimus) via: in primis, dein rerum omnium felieijfimü impeearefue’eefllum. Vole ami. Lutetiæ Panfioruen man]? OHolm’ . Anna Cbnflifaluatoris M. D. X X X V I.

Ad Inuidum ex Martiali

Quiducis. düîjchon.vultus,8c nonividcs -lita libcnter: r Omnibus inuideas liuide,ncmo tibi. ’

INDEX OPERVM. AB ORONTIOHFINEO Del hinare,Regio Mathematicarum profiliorefin gratiam (tu ioforum omnium haâ’enus confiriptorum. - (Quæ ab eo ædita 8c iam imprefra (une. (Proromarhefisingcns volumen : in quo bac continentur. De Arithmetiœ praâiœJibri quatuor: bis qui ad mathematicam adfpirant philoë (o biam baud parum condimentes. De maria libri duoevbi de Ion ’tudinû, planorum,& (blidorü dimenfionibus. De Mundi fphæra,fiue Cofmograp ia,prima’ve Afironomiz parte, libri quinqua proprijs eiufdem Grigri oommentarijs elucidati. - De quadrantibus a fa ’ us horologijsJibri quatuor z in quibus putter aliorum emendaras muentioniestpluruna (no exœgirauit ingemo (du: digniflimaé Mueaæajatw fi (Arithmericz pralinez cdirio feelindagb ipfb authore eaffigaraguâafit ra,8( in funin andorem reflitumc recrfùm imprefl’a. Quadrans vniuerfalis aitrolabicuspmnibus Europz regionibus inferniês,eiufdem a ampliatis eum i f0 Afirolabio oommodiraris. Commenraria,fiue nitrations in (est primes libres elemenuorum Euclidis, Mmpræfenri contenta volumine. Acquaœrium Planetarû, intitumenno a: airera parte longiori ont!»

(Almanach côiunâionum &oppofitionum Luminariutn,cum ifs qu: ad codefiao Ricain pertinent oomputum: un. annis interniens- Aliud item almanach vniuerfile,vriliflîmis referturn oômoditaribns: ad plates an- nosprehenfum. inuiolabile,& ram latinè quam gallieè œnfcriptnm. . (ICharra fine Choragfaphia Galliarum,clegantiflimè depiâa. Yang? arbis deferiprio, geminaœrdis humani figura, a vnieo papiri folio camp

Ealdemr n orbis . defignatio, amphore a: vniœ humani iridem nordis eifigie coextenû. Viaticum diui Pauli: fine terrarum ad (au: feripturæ intelligenriam mœiÏariarü Chorographiam rimas zdidit. Nunç veto rami Terra fanât Chorographia, ad verum (quoad fieri posait) defcripra Poulpitunat propediem emittetur. Aedidir a alia quimplurima minutiorao nfaila(etiam gallia)quz longum elfe: recenfereSingula quoq; figuris elegitiflgmisæropria manu depiCtis,illuflrauit. ([Aliena pet eundem Oronrium emendata. Compmdinm fphzrz Ioannis à Saeroboannorationibus a: figuris omauit. t Theoriœs laineur-uni Georgij Purbachiy’fiholijsae figuris non afpernandis

Arithmeticen Ioannis Martini Blafiy’,prirnus in (barn redegir harmonium aigu» ras admodùm neœflàrias mmnumeris adiunxit. . a. Matnotes rirarn infuper philofophicum F.te Gregory Refèh.Cartufiani,fiJ:r. . . intestats . regtuicôt non afpernandis illuitrauit appert ieibus. Emendauit a: varios fub prælo alithoreæquos data przœnnitrimus opera- ŒCluç mie autëipfe moliarur Cronriusfequëti difces priuilegio. 9mm Mprfige.& nonIegis in: libenrer.

- ÊQ’C’op’pie du priuilege de ce prefent liure,8tl aultres oeuures contenues en icelluy.

Francoys Par la .grace de Dieu Roy de France,au pre: rioit de Paris,Baill de Rouen, Senefchal de LyonEt a tous noz aultes iulticiers, officiers,ou a leurs ieuxtenâs quil appartiëdra,iàlut.Nofii-e cher a: bien ame mai» lire Oronte Fine,leéteur ordinaire de par nous es feiêces Mathematicques,en no- lire ville a: vniuetfite dudiét PariszNous a filât entêdre,que auee grât peine a: labeur,Il a fait’t 8c côpille lufieurs liures 8C cartes,intitulez ainfi q] (enfuit,afiàuoir. Les cométaires fin les 1x premier-3,8: dixiefme liures de Euclide:& fur la perfpea &iue dicelluy.Trois lin res,touehât la rt de fanoit mefurer toutes lôgu«:urs,plates formes,ôc corps folides.Cinq liures,fur la Cofmographie ou Spherc du Môde,con cernans la premiere a: principalle partie Dafironomie. Vn Aflrolabe nouueau, auee le liure de la dedaration dicelluy.Vng quadrant reprelgentâ t ledit A firolabe, auee la declaratiô,tant en Latin que en langaige FricoysVne oeuure trefutile fur la theoricque des Planettes,auec les tables 8c inürumens a ce requis.Vng Acquao toire,pourfeauoir le cours 8c mouuement defdiétz Planetteszauec vng Directoire. Le tout nouuellement excogite,par lediél: Oroncezu les liures decla ratifz diceulx. Vn almanach a plufieurs annees,fort vtile. Plus oultre lefdiétz liures, a redigez en rme de deux gris rondeaulx hemifphericques,la defèription geogra hicque de tout le Mode. Aufli la defcripti on a: Carte de Europe,le plus au vray ifiinéte quil luy a elle polfible . En tous lchuelz liures a: cartes fufdiétes , (ont contenues plufieurs bonnes oeuures de trefgrant prouflît &vt’ilitem linltruétion,edification, 8c recreation des bons efperitz,qui (e vouldront applic uer ales veoir a: entêdre. Nous fu pliant 8c requerant, que a celte caufel I vuei ons permettre la’publicae tian d iâz liures 8: cartes , par noitre Royau me . ([Pource cit il,que nous ce confidere,defirans fauorilèr 8c gratifier au labeur dudiét O’tonce Fine . A icellu avons permis 8c oâroye, permeétons a; oflroÀôs,voulons,& nous plaiftnge par tel ou telz des im rimeurs iurez de noflredi Royaulme que b6 luy fèmbIera,il punie St luy loife ire imprimer lefdiétz liures a: cartes des intitulations delfufdio &csÆn deffcndât trelexpteflcmêt a tous aultreslibraires 8c imprimeurs de no: vil les 8c vniuerfitez quelz quilz (oient, linon celluy ou celux quien auront charge de par layqie durât le têps a! terme de dix ans prochain venilez nayëta’imprio merou faire imprimer,vendre ne lucider lefdiétz liures St cartes fiifdiâesfur peine damende arbitraire a: de côfifcation diceulx liures 8l tartes. Si voulons,vous mandons, ôta ehafcun de vous’en droiét iby a fi comme a luy appartiendra,Qpc de noz prefent grace cange permiflion &oâr ’,vous fanâtes fortifiez alaifl’ez eo diâ Oronte Pine,iouyt a: vfèr,Et icelles nordi s deffenfes entretenir, garder,& obitruer de poinét en poinCt, (clou a: ainfi que dia cit cy delTusCeflËns- tous aulo i tres empelëhemens’ au commire.Car tel cit naître plaifir. Donne aValence,le du: quiefme iout de Septe mbre,Lan de gratte mil cinq cens trente fix.Et de naître. l’e’ .gne le vingtdeuxiefme. Ainfi ligne p A V . 4 ’ Par le Roy,monfeigneur le Cardinal de Lorraine, 8c aultres prefèns. Et [telle a (impie queue. Preudonime.de cire Iaulne.

’ :32»:- Nsursautasses és’wesæâxæea’

D .Orontgij Finci6 î Delphinatis, Réa en MATH EMATICARVM morasse: ris,In Primum elementorum Euclidis,Demenfirationes. l CIPrineipiorutn Interpretatio. Cùiuilibet dia ECEPTVM EST AB OMNIBVS,VNAMQVAN. feiplinæ pu» que difeiplinâ propria fibi vêdicare principiazquçletfi nulle mais; pria «ripieno videârur indigere’ probatione,ex- ipfis tamen laneq- intelleâis prins da fort prinei cîpijs,ad ca quae eadem confequûuir principia,deuenire vel facile c6 pia. tingitjdçirco gemmé Principiortî geometricorû elucidatienê,pro. theoriamve in le: priores libres geometticorû dementorû Euclidis Megarenfis (quos in gratiam fludioforum omnium fuitepinius in! I terpretâdos)ptæmittere :atq; intelleâualem illam magnitudinum, 8c figurarum côtemplationem(prius,quàm ad propofitienum expefitionem deueniatnus) rudieribus geometricarum fpeculationum tyruueulis apatite, non duximus importunum. ([Triplieem itaque printipiorum ofl’endimus ordinem: vtpote, diffinitiones, terminorum Triplex ordo naturam exprimenteszpoflulata,ex ipfis colle&a diffinitienibuswt effarafeu cômunes leur principiorum seometricm centias,quæ dieuntur axiomata. In ’primis ergo dilfinitiones:dein reliqua fue dedarabimus tutu. ordine.lIAnimaduertendum cit igitur, fubiefl’um ipfius Geometriæ fore magnitudinem, à Geometria: - numero quidemôt materia (curium abûmâam.M,agnitudinis antemstl’iplex affignatur di: rubicâum. menfio.Aur enim magnitude lbnga tantùm imaginatur:autlonga,& lata: vel denique lem Triplex ima gnitudine dia 9,8: lara,fimiilque profunda,fiue mm abfirahitur. (menin: omnium mediatum vel im. menfio. mediatum principiû,pun&um(aliàs fignumxtï’e dicitur-Fingitut enim magnitude pet con Pûâû omni: dnuam filiipfius diuifionem( uâquàm in (emper diuifibilia dilhibuatut) deuenire tandem magnitudinis pnnelpium. ad pattern minimam, qu: vi elieet amplius diuidi non poflit, ac fiforet omni dimenlione, Püfll cû mi: A privera: irriter quidem vnitatis in difcreta quantitare . Vr- quemadmodùm ex vnitatis mu!» tare compara tiplieatione,omnis confidtur numeruszhaud diffimiliter ex huiufcemodi parte,vel indiums un. bili nota, pet abftraâum feu rranfrumptiuum eiufdem notulç motum,omnem etfingamus oriri feu produci magnitudiuë, Han: iraq; magnitudinis pattern minimâ, flue norulâ indis

s uifibilem feotfum abflraâam, punâum adpellamus:& ab Euclide ira primùm delèribitur, q (De punïlo,linea,atquejupeditie,Dfiinitiones. filtraiirlorâuieosârtir; I h " ’ r Punétum cit, cuius pars nulla. 4 Panama Id caquoit abittaétû hammam ipfius côtinul pas minimæomni dimêfione pana. tü imaginatut.([Ex euius équidé pûâi abitraEto defluxu, pet infinitaî fuiipfius multiplicatio Ve une: et .i në,longirudo dimenfionû primaria eôfieirurzquæ Linea vocitatur, in hune difiinita modüs au" punéto defert. «l’ami a), nixes émane. - a Linea verb,efl longitude latitudinis expers. , . Hoc ethlatitudine priuata.Cü enim punâû omni careat dimêfionezliio miauler; trauma ptiuo motu,taufat tantummodb longitudinem. r - » - I (raflai; à: adamantin. . 3 Lineæ autem limites, funt unâa. - Inti it cairn à un&o 86 ex infinitis confidmr n63: punflu’ ’ tur.0mnia porrbplineaflel ralenti, obliqua venir imaginais.l lin mg mm l tu.

z GEOMET. ÉLÉMENT. (50354: Wuui’tfiç" lm; indou nîçlQ’ huait; anneloit 15m. Re&a linea efi,quæ ex æquali fua interracetpunéta. 4 thote, u: à punflo in püâum breuiifimè dudtur,ipfa terminatiua punâa intermedijs æquaii po irione côneâenswti fubfcripta aIblaiinea reptçfentar. Cùm igitut à date pûéto, Rasta une: in darum quodcüque punâum vniea fit breuilfima via:fit, vt nulla recta iinea métier detur non du!" tee airera, fed quotquet ab eodetn punâo ad idem punétum producentur litiez reâægin vnam am candémq; iineam te6tam coincidaanecus cit de obliqua: quæ a pet contrariant ipiius reftæ diffinitienê facile defetibiturmam a obüquzmm ab eodem punéto ad idem pun&um,infinirç producûtur oblia ’ Ë ÊÊ à. 5mm; infini, qu: iineae,quæ circunfetentiarum portionescaâipellantur: dam ta diuerfitas. turque obliquis obliquions.Veluri, qu: ab cm pûéto and ’ r . punétum a pei- ipfum dl protrahuntur", oitendunt.IIEx une: autem imaginatio fluxu,acfi utcedentium adinuicem iinearum veitigium relinquetet , latitude dimenfionum airera tee rafla. [pondentet aequirimr,defu’ibitürç fuperficies. flâneraient: Je iris, il aïno: tu) au?" m’m in. Su PCI’fiCiCs efi,,quæ longitudincm, latitudmémq; atanrùm habet. e 5 Quai cùm exerdiatut à iinea, 8c ipfius liner terminatiua punéta,ad motum eiufdem , res étain val obliquam lineam delcribant,in eadémque [inca mata quiefcat ipfa fuperficies: res linquitur euidens qubd (Sanctuaire; aligne y! «and. V H Su Portoperficiei eùm linea,ad defcri ex tienem trama mata fit rficiei,re&a flint fuerit, lineæ. au; in longum lineæi v tee 6 &æ’vniformiter, breuiffimdzlue turlutte: fit upetficies,quæ plana dieitur, 8C in hune diffit nitur modum, «livrier! a; thu’ma’figr in; (fileur mais (49’ incurie aimiez; Ë x61. , Plana fuperficres cit,quæ ex æquali fixas interiacet lineas. 7 Id en, qu: pet totam raflant lineam quaquauerfum ace-0mn ç medatur , nulle prorfus inflexa curuamine: veiuti obiefta fun perfides elf. Curua fupera Hinc 6111112 fuperficiei diffinitio, pet centratiam elieitur iman ficies. pinatienem:quæ ex ea patte qua circunfleëtitur,c6caua: forint ecus autem, conuexa nominatur.quemadmodùm tibi repues . Œx fupetficieîfente: deniq; figura fluxu,folidum 31h. flue -cor us trina dimëe 2229m °’ fione,vtpore, longitudine, latitudine, arque prîfunditate cette tentü,abitra&iuè deittibitur.miod vel vnica tantummodo in! perfidewti fphæra k:pluriblifve luperficiebusfit cubum iltero s minaret . Sed dehis in poiterieribus iibtis i fins Euclidis trac Vnde fuperfio &andum . Igitur pro linearum arque Tape cierum varietate, dB"? me» diuerfôque corundem motu, feu abfiraéto defluxu : varia 8e ne infinita tu!!! lanorum 2:3? me" wifi etïâm folidOru m, hoc cit fuperficierum 8c corporum’abftprâhitur muititudoîpro ,, tum 8c anguiOrum varimte,diuerfis exprefla nominibus. ([De refiilineis angulis- Angullîs, (LANÇVLORYM IGITVR, QVIDAM prit-Nt: QVIDAM via. * gong? rb folidi.Pianos voatamus angulos,qui ex mutua concurrentium adinuicetn iinearum eau. ° fantur inclinauone. Solidi auteur dicuntur anguli,qui ex planorum angulotum cômrfii fie - I garanti" : de quibus in poitremis elementotum libris. Nunc itaque de planis traitandum Angulorudon anguiis. Pro quettî elucidatione animaduettendum eit,quotics iinea «au, altero limitant * 8° "me". 1- manente fixo,aitero autem moto,compietè circundueitur: defiribi fiiperficiem,quæ cireur lus adpellatur.vtpote,ii albl reéta,immoto purifie a,ex b1 in ope: dl 8re, rediens tandem

in b,drcumLIBER idem punâum a,completè reuoluatur: 1. defcribens , pianum circulare bladIe.Nam punâum b1 hoc mode circûdul &um, lineam efficit orbicularem,quæ dreunferentia diciturtôt immotum punâum a, medium,fiue centrum eiufdem voeatur eimrii.Hine erra cit fubitripta cireuli,8t in ordine decima uin ta diifinitio . Prius quàm autem eiufcemodi linea vniuet um h compleuerit orbe, diuerfas cum prima 8c refléta [inca Facit in! dinationes, nufquâ ab immoto recedende’ puât). Idée igitur linearum fupet eodem piano fefe ira eontingêtium inclinatio mutua,vel indurationis habitude (vt linearum a1 b! 8: arez vel niera: ald) a: non in direâum conititnrarumdroe efl,vnam candémque reétam iineam mir trime eflieientium (cuiufinodi funt arbre: ald,vei altier ale)planu8 vocitatur angulus:qui ab ipi’o Eudide,hoe mode confequenter diffinitur, (animal tarirais-le i si Marina (No myrtaie Htudorfinrîàomg uni [1’ flatta saucier «en aimant on mimât Won 8 Planus an lus,efi duarum linearum in plane fefe tangentium, 6: non in ireéto iacentium,ad airera tram inclinatio. Bac autem inclinatio de mais lineis potifiimùm venir intelligenda: tales enim anguli in Iris primis fex libris geometricorü elementOtrî præcipuè cenfiderâtunHinc dicit Euclide: , «du! k ad mixent; 1M ruila mimai flûtiau. ÂMJWËÆflMf «M’a?! "HIC. 9 Quande autem quæ angulum continent rcâæ 11116:8 fuerintJCs &ilineus angulus nuncupatur. Œod fi ezdem liner datum efficientes angulum fiterint obüquæsflue cumzîcummnflls Phnom!!! la dicetur angulus.quales flint qui à drcunferentiatum caufantur interfertionibus. Si auteur aloi-û drue»

A , N ; c v L r. ex reëtaatcuruacôfitiatut: anguius is mixtus ipiè venit "33- ad. Rem. CIuruhner. Mixa. andus . Veiuri i’unt anguii N X ex dimetiêtefeu chorda,8t ar- j l cabus circulorû eomprehenfi. ’ X il Potiflîma tamen inter pianos l . angulos,re&iiineorûomertas ( vtiapud fupra diximus)Ces babetur ceniîderatio. IIPenes quid reïlilineorum angulorutn attendenda magnitudo. ([CVIVSLIBET IGITVR ANGVLI PLAN! RECTILINEI MA gnimdo fine quantitas,dititur amis eireuii,ab ipfis iineis mais datû efficientibus anguium comprelrëfusxireuli inquâ,euius leentnî ad concurfumd diétarum linearû imaginatur,& qui ad cempletam minutie earundem lineatum molutionem defcribitur.Si dut: laque lineæ An , refit angulum continentes,quadrantê adamulfim com rehendant ipfius circuli: huiufmoe R , diangulus refluai dicitur. Si veto artum indudanr qua tante minoremæcutustoties ans Ami. rem idem artus,quadrantem exuperauerit circulizdatus anguius nominatur obtuiumosuod om’

ex(164...: ipfe üâîuîr’w’àeîu facile me... ne;celligitur (orgie au...» a... animeEudide,cum qui, 8995:5, a..- dicit, , de: film renardai ithsIXIîa Minium-ne M i4 ne toisant.en! 1° Çùm verb te&a linea laper reâam cenfifiens lineam, vrrobique âmgefli angulos adinuicem æquales feceritzreétus cit vterque æqualium mon ’ n angulerum.Et quæ fuperfiar méta linea,petpendicularis. vocita: aimât" tur,fuper quarn licteur. . a.ii.

4 GEOMET.ELEMENT. Cuiufmodi funtanguli alblcl 8c albid, à méta alla: taper res &am eldl ad petpendicuium incidente, caufati. Fit eniml méta , l ad, in quam cadit alb,dimetiens circuii, à eiteunduëta b1a,ciro ’ ca unâum bideferipti. Net poilant ijdem anguii able; 8c a! b! adinuicem æquales efië , quinu vter e quadrantan inclut -K b 4 da: circuii: à: ail)! re&a,fir et rectam ad! perpendicularis exie fiat. Ex quibus infert con equenter,quod I ŒAHBÀâee (fallut lis-irai miter agile. Obtufus angulus,maior cil: refile Ve angulus et FI g,indudens areum e; g, quadrante maierem, cleferipti site: punâum f1 eirculi.Dicitur autem idem anguius elliglobtufus: queniam elflôt flgllineç reâæpbtufam extrinfecus faciunt inclinationetn. » n n («site æ, il haleur! (refis.

AcutusVeluti angulus erfihtcuius verô,miner arcus ellrleodem circuii quadrantecit teâo. . ta. minet eit.Vnde fit,vt elfl8t 9h] reâamm linearum inclinatio, in atutam conueniat habitudinem.Œanto igitur obtufus angulus elfrglmaiet extiterit,tanto miner erit acutus elfih: ipfa Cu, (me, a", porto linea elf,incidens in glhlvocitetur. Et uoniâ eiufdem guli «en tout circuli quadrantes flint adinuieë tqualesenon tur- propterea C5 filiales. reftus angul’ aitero refüor angulo.Secus de obtufis,vel acutis obmrommanAmmmm & q angulis: o ra arcus u crrcun" ’ i’ r quad ’ °rate dé marores,as ce mve qu 10,5 4mm drame minores varij funt,at ue infiniti.Linearum itaq; maior un. aut nrinor longitudo,quema modùm nec magnitude cireuii,angld t’r non immutatzhoc cit, LIMITE qW neque maiorem,neque minorem eundem efficit anguium. rigidifiai.rit 1’ (De termina E1 figura. V (ICVM AVTEM OMNIS MAGNITVDO FINITA SIT, ET tetminatazdiflinit côfequêter Eudides ipfi’ magnitudinis terminrî,in hl’rc qui fequif merlu, (ego; i653 7nd; le: des.

Terminusthote,pun&um ipfius iineæ,linea efi,qued fupetficiei, fuperficiescuiufque denique folidizquemadmodûm finis cit. A 1, ex eorundem abitraétiua defcriptione facile celligitur.Itaque (2 xikwe içlmi (Cari une; il arrêt 39m mgnæ’uloor. I Figu ra fub aliquo,vel aliquibus tetnrin is cemprehenditu t. r4. Sub aliquo quidem,vt planü circulare,vel foiidum fphæricum: ub aliquibus vetb,vt triât i gulum vei quadrangulû inter planas,8t eubû aut pyramis inter foiidas,& qu: flint eiulcee Notandum. modi. Sed de pianis figurisme; de lineis 8c anguiis in codé piano conthutis,his le: priez ribus libris detetminandum. . V CIDe eireulo,eiiifque partibus. c IlINTER FIGVRAS,QVAE PLANAE VOCANTVR, EA DICI! tut elfe fimpiiciflîma,quæ vnice comprehenditugterminoxuiufmodi videtur elfe circulas; Hunc itaque primüm difiînit Euclides, «and»; la 95m mon réai guis apaisait mirâmes, il mon amie". «pas la? 434” «75: and: en tri-ni; en? gésier-me maint, licou a1 rabattaient: diminuions oiM ü ou; sial . Circulus, cit figura plana, vna linea contenta , quæ circunferen: 15 ria adpellaturzad quam ab vne punâo introrfum medie exifiéte,

omncs prodcuntcs lincæ,inLIBER ipfius circuli circunfcrëtiam 1. incidcn . , tes,adinuiccm (un: æqualcs. I Hçc diflinitio,cx data nupcrÇcùm de plan? IOquex-emur anguh’spbfirafliua circuli dcfcris - . priori: fit manifcfl’a. Cùm cnim alblrcâa lmca data, circum al puntlum oomplctè rcuoluin tu: : puna-am bl (ne matu circunfcrentiam canât, 8: immm tum pun&um al in circuli ccntrum permutatupHoc itaq; du culi œntrum,fccundum longimdinê ipfius wblreflæ En: ’33. t2, ex omni partc difhbit à. drcunFcrcntia. Ex q’uq nccèflûm cfi,omncs mâtas [incas ab ipfius circuli centre iir’circunferefià tian! dufdcm incidentes, fore cidcm alb (ex qu; cil-anus dei feribirur) arque adinuicem æquales. Hoc c0: , ciufdcni circuli ’circunfcrcntiam à fuo cêtro acqualitcr vndiguàqà «diflïarcflinç dicit confcqucntcr, ’ 1’ . c c (nid-renia fi m ,15 nué-M uAîm. A. 77 fi :6 Ccntrum vcrôjipfius cirEuIi, punâ’um adpcllatur. 4 h ’ n De punâo media vclim intelligas: vt pun&um a, in Obieâa circuli figura .b(cldzc. Lirïcæ maque limites fun: puna: : quorum immotumÇcirca quad vidclicct altcrum’ in circuü de; feriptio ne drcunduciturfin medio permanct,8t ccntrum cfficitur circuli. 7 v * fluât)?" k 17! nids; ëçîr N350: 7h03: 1’; fifres iywlng manVWrI www-1563:. minier 513 117; 5 ximmuosedwj’nc la; 0’95 il"?! 13: minium L , A! I7 Dimeticns circuli,cfi rcâa quædam linca Fer centrum.a&a,8( ex vrraquc parte m circuli circunfcrétiam tcrminata, quæ circulum

Cuiufmodi cfi [inca bldl fupra fcn’pti circuli bieldlc,pcr :Iccntrum vtrinquc prpduâa: n a: bifariam difpcfcit. ’ . . I . Dimctiën’s à quæcnnquc illi fimills.Dimcticns cnirn,fiuc diamcrcr, topriè circulorum cire videturèdiaa diagonioat a: gonius autem,rc6h’üncarum figurarumæxis verb,foli arum. l , l .7, . . .’ , . , xc diffama. IIHpuxtîxAm X3615 magma. 9éme m’ai n 7’13; figuier): à 1l " .’ Rumba «bi-rîn’ëxônh-ammgdw. , 18 Scmicirculusxfi figu ra quæ fub dimeticn tc,8c ca quœ ex ipfâ cifè culi circunfcrcntia fublata efhcôtinetu r. v V: ca figura , qua ex 9h! dimcticntc , 8c diinidîa areau cira cunfcrcncia f! g! hl comprchcnditqc . êctçiciicyluàginî cùm f , . I 1h gaîgrïnrzgn 31118 hncls quamhdlmçtlente,r) Œ’ruîpwc vafis-î infime: (Caïn 4:3de lui du: mafia. 19 Scâio circuli,cft figura qua: fub mâta linca, 8c. circuli-circu nfcrcns na aut malorc aut mmorc fem1c1rculo,contmctur. l Cùm cnim «a: [inca pcr circuli ccntrum,mù1imè (incitai, vainque rama: in circunfèrmtiam tcrminatunca circulum i2 pfum in binas partes difpefcit maqualcs , qu: drculi (caïd. ne: adpcllantur . Qqarum ca qu: ccnrrum indudit circuli, v: . klllmlobicâæ dcfcriptionis,maior dicirur: reliqua vcrè, vtkl mm,minor adpcllatuerfa porrb [inca rcéh klm,chprda fiuc Chorda. g m fubtenfa: 8c Comprchcnfa circunfcrcntiæ pars, arc": refpons Anus. dentcr nominatur. n ŒDc rcfiilineisfiguris. Chou cucvuuuu novaLM, (un vnxco CLLVDITVJR a.iij.

6 GEOMET.ELEMENT.V lirnitcfucccdunt rcftilincæ,hoccü,rc&is lincis terminatæ figuré, variam quidcm, ro me. . ni numcro,angulonlmvc qualitatc,dcnominatiouê obtinëtcszquæ imab Euclide (li iûtut, (Eyfidmuwxfl’paw , 7a? Nâaôr Wtæ’uzuu. . * Rcâilinéæ figuræ. funt quæ fub mais linçiscontinentur. v .. z, Trîlatcra fi!» l’on-b iutclï’rcétilineas figuras ,firimumlocum fibi vcndicant trilatcræ,fub tribus mais lis gui-a rectifia ncarü prima. ncià tofu tchcnl’æ’; quniam fiib duabus lincis mais non pote": côtincri figura, pet ipfiusr I lih’êæl’irë Ïæ défcriptioncm; Silbiungit itaq; gencralcm trilatcrarum figurarû diffinitioncm.

Trllà-tefæ figurætfunt quæ fub tribus mais continenturlincis. a Plis fiiçcgdum quadrilatcræ,à quaternario latcmm numcro dcnomlnatz. M».Œtçreoffikegt 13,112 nuées)!- z I I Ï A Quadrilatcræ figura: funt,quæ fub quatuor comprchécluntur reg a,

&islincis.. thuoniarp rcâilincamm figuramm i ,Yf fupra quadrilatcras , I . pet. Il, continuam A [stemm V adam.à ncm,infinita giflera: cxcrcfcclj’c multitudo,quam fingularim dercribcrc, longum ninüs vei impoflîbilclforct: idçitco reliquas Omncs’multilatcras adpcllauit Euclidcs, 8: fublncdiflî! nitionc complcxys en, A ’ t 4 ’ I ’ i ’ ’ ([PÏÀiîmÂAieè: afin? du; 519157615; nain! 68935! Magnum i- Multllatcræ figuræ, flint quæ fub Pluribus quàm quatuori métis z,

linèisî Quæ quidm’mültilatcræ-figuræJongè comfirehcndumur; facilioré ab angulisâ Qb îâfa - latcnî x multitudinc,. ’ a ï l fortiuntur nomêclaturâ:vtpote,peutagona,hcxagonabcptagonæo ogona, &c. Sunt cnin; in rcc’tilinca aucun figura rot anguli,quot a: latcra. Cùm autcm’omnismultilatcri figura immc me rc ’oluatur in trilatcras, vcl partim in trilatcrasgpa’rtim vert) in quadrüaa i tcras: fub’iuhgit propterca primùm trilatcrartî, dcînde quadrilatcuvumifigurhrum ab Tn’latcrarü ipfiç latcribus,tuin ab angulis fumpta difcrimina. Omnis inique tribun figura-5 mania la figurarü à la; féra flint adinuicem æqualià,vcl dito mrùmæut nullz. .i , . y l ,7. . l tcn’bus dilèrio mina. (Ira: il ma’Àfller gagnâmrjaâæiùeov un!) 1193016: Ègflàxfiîç Trilatcrarum porrb figurarum,æquilatcrü cit triangulum. quad :4. tria tontiner æqualia latcra. , Veluti fubfcripta in cxcmplum trianguli figura al8c qu: illi (huiles. ŒIaaMAîç fifi nèzNo nivaux ïmçïær aubain - Ilbféclcs’autëæf’t uod fub binis tantü çqualibus latcribus côtincf. 25 Cuiufmodi (un: triangula b,c,d,ad dariorcm fingulorum cuidcntiam depiâa. ([ZmAnavüJô ni; 795c bicuç’iæv mæeg’g. l l v il . A Scalcnum me) , cit quocl fub tribus inæqualibus latcribus con: 9,6

tinctur,V: obicéta é,f,g,triangula:8t i ’ ’ 5°? uæ fontÊ ciufcco 1- a r A n c c v r. A. marli .zAb angulis autem coti cm dilïcrentias t au MF m 5 nantireütur’ ipf; triangula.0mnis fiquîdcm tris (à à I g. anguli, vcl trcs anguli funt’iacuti , vei mus te! Ë a î &u’s 8c cætcri duo acuti , aut deniquc vnus obi duttufus duos 8: obtufos, reliqul vcl itidcm vnum reâfi acuti: 8c vnumduos 0b! cnim ’ la [Enrcâos tu" . tufum angulû in triangule offcndcrc nô cit f4 . fibileHancirenflamma ubfcribit itur Eudidcs, angularcm trilatcrarum h 5d? i ç Ï k

11:5er M TgtI’ÂNça! œpdmngfiom’mvwLIBER mimi: infini 1’931 699146 I.mima". a a; I :7 Amplius tala terarum fi urarum , reétangulum triangulùm en,

V:uod ifofœlcs re&um b,Vcl (calcium angulum triangidum c,proxin;a aber. dilfinitionc - angulis defcriptum. "mmdiffa (Aumgvfmr influé-aumrûu. b L . - 2.8. Amblygonium au tcm,qu.od obtufum angulum habet. A , Veluti autccedcns ifofcclcsld,fcal,crluîmvc triangulum g. IIOMIÏM, 76 me?! ôtâm- .122? 50’40’- . f , . , 29 Oxygonium verô,qu0d très ’hÏabet acu tos angulos. q Cuiuiinodi fun: :quilatcrum a,& ifofèclcscgtq; triangulum ièalcnum f:& qu: ci: limis lia funt triangula. Omnis porto trianguli vnumquodquc latusflætcris duobus cxprcffis, Bali: triiguli bali: vociratur. chuitur itag,re&âgula 8: amblygonia triangulazfore cantummodb ifofce. lia,ch falcnæOxygo nium autcmgëc æquilatcrumfiç ilofcclcs, 8c kalcnum ofiènditur tria. gulum.Qucmadmodùm ex fupraferiptis triangulomm liect clicctc figuris.lIHaud difiîmis liter quadrilatcrarum fi gurarum,tum ab angulorû rcftitudinc vcl obliquitatc,tum ab æquat Œîdfihtc ’ litatc vcl inzqualitatc latcrum,fuccedcntia eolliguntur difcrimina. "un" 581m" mais «çaæMa’gm gay-ronn-r’eguurov, , A!», «in» Idæàkgorfi , 7d, in. v9 , 09.901011". I ni diferimina 30 Quadrilaterarum autem figurarum’, quadratû quidem cit, quod &æquilaterum 8: reâangu um cit. . * I Veluti quadratumh. Oinnnis itaq; quadrati vnumquodquc Radix qua. , latus,tadix ciufdcm indifiïercntcr adpellatur. Fit cnim quadra; «inti. Il k! .1 tum , ex data une rcâa abfl’raéh’uè in (aplani reâifiîmè du: fla: qucmadmodùm numerus in fcipfum duâus, quadratum t (engaina; 8,3 59906le- cillât p.24) numerum.in: ladaMègom’. v I .4 .. 31 Altera parte longius, cf’t quod rcâangulum quidem.at æquilate: rum non cit. I ucmadmodû’ fuprafcripa figura k, quoad angulorum rcâitudincm conucniês cum ipfo qu to,diflîdcns autem ex parte latcrum. i 113’6an 16,3 îdfibeavw du ôgâmlmr 3: Rhombus,ci’tquæ’æquilateraæt rcâangula non en: - x - î ’ . Cuiufmodi cit figura] . Côuenit itaquc rhombus cumi f0 m quadrato, in fola latex-û zqualitate: habct cnim duos obtu os, 8c totidcm aeutos angulos,quatuor rcâorum fuhul efficientes

(Poumaxçkfld au? aï c’eût-dot quantitatcm.mais. 3g mvlwlî’ônç influe 1.3353 . a au Mm- F 9571m, à ôgâom’my. v r ’ , . v - 33 Rhomboides vcrô. ef’tquæ ex oppofito latcra 8c angulos habens æqualcs,nequeæquilatera,neque rc&angula cit. . ! Ogémadmodùm fuprà dcpiâa figura nurcpræfèntatôunnquc hæc omnia imper cnarraa ta quadrilatcramarallelogramma : id elbquorum oppofita latcra fun: adinuicem parallcla, P "m3109" feu æquidiftantia. Neluc plures quadrilaterarum 8c rcgularium figurarum contingit inues nid diffèrentiasùinc ’eit Euclide s, .- ’ ’ - ([Tdt R nef 73571:: flémœeyfiœcaëzm maïa». 34: Præ ter hæc autem reliqua quad rilatera,trapezia ad pellantu r. . I r a.iiij.

8 GEOMET.ELEMENT. In quibus videliect nulla oppofirorum vcl laterum,vel aqguo lorû imul obfcruatur æqualicasfiue refpôdentia: vcluti unt . m 8c o, 8c quæcunquc cis (inules quadrilaterorum deicriptio’

[Parallclarum lincarum dijfinitio Vitima. ŒuunguMI’dm 03007014 a1 7m; si 5m, à lnfiàMdplüm Wh; goy iQ’iuing un? niera âûïum’ne; WIJJIHUŒ iÂAûMuç. w ’ I f * . * nes.Parallelæ reâæ lineæ funt quæ in codcml exultantes, piano 38C ex 35 vtraquc parte in infinitum produâæ,in nulla Parte concurrunt. Qualcs tibi repræfentant albl8C mil lincæ reâæ. In quarum Ï " l vidcliccr altcram,vrpoœ alb,rc&a [inca clflad æquales feu res Il e 5 flacs incidês anguloszôc cû reliqua cidIrcâos itidcm vcl arqua: i les angulos efficit. Ex en cnim, alterius in alterâ æqualis vuo, V biq; lurgit inclinatiownde fit,vt ipia; data: lincæ in infinitû ex cet-fi vtraq: parte produétæ, æqualiter leu parallelicè dilientmufn quant adinuicem concurrentes. l finîfimm. quiulata. ORONTIVS. ECVNDO LOCO,SESE OFFERVNT POSTVLATA: QVAE petitioncs à nônullis ad cllâtur. Sunt autem pofiulata,gencralcs quçdam prOPOÛÜW euthanasia; nes,cx ipfis collecta difl-i’nitionibusquæ pendenter ab auditorc coneciïæ’ fion-1113m"! aiTumunrlîrvc in ordinem feu rationcm principij.Primum itaq; poftulatum,elt uiufmodl; fluviâmfiæî mande annela a,» mît nain N95" mwiir éprit. Ab omni punâo in omne Puné’tum,rc&am lineam ducere 1 Porci’t cnim datum quodcunq; punâum, in aliud quodlibet v J punâum,ctiam vbilibct imaginatû,pcr yiam abitraétiuè flué. I , I do breuiifimamzreé’tam defcribere lineam.quemadmodùm ex quatuor primis lice: cliccre diflinitionibus.Admittêda en: itaq; .I . une: 11853 quantalibetm quibus voluerimus punais, vbilibct indiffcrcntcr terminata. fixai marge-p.241" N907" un? à omni; iw’Aiva’aw’ miam. i Rectum lineam terminarâ,in continuum reâümq; roducech S Nm vtrunq; punâum ipfius du: refit: lincæ terminatiuum, per r eiufdem Pal". 6H defluxû,quantumlibct abitraftiuè continuatû: pardi ipfam q t 2- datam lincam œââ cl’ficere légion-cm. quemadmodùm ex data lincarum reflarum colligitut chEriptionc. fluai muai Rififi) mi 115.591.0411 and» firman; 0mni centra 8c interuallo circulum defcribere . a 3 Hoc ciblicet vbicunquc volueris centrum defignarc circuli, 5 » . 8c cil-ca idem centrum,ad libcram femidiametri quantitatem, ipfum figurare circulum. Aut (fi vclis) ex data quacunque li. nea méta terminera, altero eiufdcm lineæ termino vbiuis cob locato,per completam ipfius lime: circu nduâioncm,circulum N defcribcrc. Admittendi igitur funt, liber: quantitatis circuli, pro data lemidiametri vcl interualli magnitudine. (un: rien a2 6960:1 mica in; d’absence niai. . . Omnes angulos rectos admuicë æq uales cire. - 4

LIBER 1. ’9 Cùm cnim dati cuiuflibct anguli rc&i magnitudo quadrans cxiûat circuli, eiufde’mq; tir! culi quardrantcs fint adinuicem æqualcs:fit vt inter quofuis angulos reâos nulla poflit cire differentia,lcd omnes fint adinuicê æquales. (memadmodûm ex bis qu: reptima,nona, 8l dccima przmifimus difiinitionibus,cliccrc vcl facile potes. fixez! inti si; «Na Main , A3354: (uni-flans , ni; «’76; mi «Min? crânai nier (mi-w, «Na 69951 (Mia-MM 10:11,:tnCaMiu20m vei No «dm flûtiau W d’une", augurât-lm &MûMuçfio’ Ê aigu flair ou m No 5995: Minou; rufian. 5 Si in duas re&as lineas rcâa linea incidens,interiores 8( in eadem parte angulos duobus reâis minores fecerit: métas lincas in infi: nitum produâ’as concurrere neceflè cit, ad cas Partes in quibus anguli duobus mâts minores cx1ftunt. thotc,fi in métas aIbI8t cld,re&a incidcns eIf,intcriores angulos blclfl8t dlfzelfimul c5! paratos,duobus rcffis minores (eccrit:ipfie Iineæ albl8c cld,in infinitû produ&:,conueniêt tandem in g,ad partes quidcm M8: d. Qoniam plus inclina. tur adinuicem partes b!d,quàm ale. Vndc quanti) magis pros duccntur blc,8c dlfipartes,tanto propiorcs eificicntur, in vniî g. tandem fignum(vtpote g)concurrentes.Secus cit de ale,& cf! V partibus:proptcrca qubd anguli alclf78c lelelfunt duobus an! gulis re&is ranto maiorcs, quantb cifdcm mais minores Fuel rint ipfi bzclfzatq; dlfielanguli.lIPofTent 8: alia bis baud difiî: Dccçtcris a milia fubrogari poflulatæquæ cùm funt omnibus(ctiam rudiffimis)per fefe manifcfiawcl Matis. P qu: recenfeantur indigna, hoc quinario cum Euclide contenti erimus numero. I (Bond aima-c. Communcsfintcntiæ. O R O N T I V s. Axiomata,cf ELIQVVM EST TAN DEM, C0 MMVNES ELVCIDARE fata,fcu com Rfententias:quas grzei axiomataJarini verb effara folent adpcllarc.Slît igirur cômus muncs fentcn nes fentêtiæ,generalcs quædâ ac pcr fcfc manifcfiç propofitioncs,cômunitërvc fric tint. r2 ab omnibus,"8c in principij rationem vcl ordincm eoaffumptæ.Quarum prima cit hæc. fini 7&5 «du» lagmi &MûAozg i541 76L. ç. communes 1 Quæ cidcm æqualia,8c adinuicem fiant æqualia, fententiz rai i thote, fi al magnitudo fit æqualis b! magnitudini , cidem tionê a- ualù B uoquc blfit æqualis magnitudoznecclrum cit m8: amagnitu taris te [viciât Ï dines fore adinuicem æquales . Idem habcto iudicium de nus tes. e-ê- A... meris , arque cætcris ciufdem generis adinuicem comparabi. libus. fluidifiiez. in; Mari 3M: 3.67764. à, a; z Et fiæqualibus æqualia adiiciantur,emn-ia»crunt æqualia. fixai id 3:33 in» me &Çfllçtâlî’lù mixa-adulai «En 76:. 3 Et fi ab æqualibus æqualia auferâtur,quç relinquétur æqualia crût. Vt fi dlôc almagnitudinibus inuicëæ ualibus,æquales addantur magnitudines 98: g:con d f furgent 98C clgl magnitudines adinuicem paritcr æquales. "-.---*---* Quod fi verfavice ab ipfis dlf78t clglmagnitudinibus inuicem h-s.--....xfi æqualibu s,æquales tollantur fiquidê 8c glmagnitudinesuclin! qucntur dl& elmagnitudines rurfum adinuicem æqualcs. (me). in; bien; 76L 7d 5M: Kir 3116:. 4- Et fi inæqualibus æqualia adiungantur,omn1a lnæqualia erunt. un) 3430230 n’aient me domesâuîflni Mardis?" Énée. ’ 3 Et fi ab mæqualibus æqualia auferantur,reliqua inæqualia Ierunt.

m GEOMËT. ÉLÉMENT.» Si nanq; h,klmagnitudinibus inæqualibus,æqualcs adiungantur magnitudines l,m:conv furgent inæquales adinuicem magnitudines bllI8: lum. Aut fi ab eifdem inæqualibus man l gnimdinibus dans blll8: klm, æqualcs aufcrantur 118: m ,quæ u---h---i-----’ relinquentur bl8: klmagnitudincs, crût adinuicem inæquales. M- Vnde &verfa vicc,fi æqualibus inzqualia adiungantur,vel ab , zqualibus inzqualia aufcranturzconfurgentgut relinquentur inzqualia. Hz fun: igitur quinque præcipuæ communes ièntentiæ,rationem aqualitar fis inter magnitudines,atqg inuicê comparabilia,tum fat’ta inuicem eomparationc, mm ad! dendo,fubtrahcnd6ve occurrentem,refpicienncs. «mana à? «à? ûfiÉanù imbus; 33h. p Quai: eiufdem duplicia funt, adinuicem funt æqualia. . Cômuis l’en Hue eû,quç eiufdem flint æquè multiplicia,vcl æquè fuperparticulariafiut æquèfupero rida p tarit» particntia, vel(vc fummatim comprchendamyquè maiorazea funt adinuicê æqualia,nem0 ne maoris in: n pe quod æquali exchTu candem fuperent magnitudincm. Vt cqualitatis. l fi n18: a! magnitudines, ciufdë magnitudinis plfint çquè ma! v------« P iores,vtpote duplæ: ncocfl’um cit eaidê magnitudines m8: oI o fore adinuicem æqualcs.Nam æqualibus magnitudinibusèpfi plin cîfdcm m8: alcomprchcnfis,æquales addunrur exce us. Idem ccnièto de numcris,8: quibufcunq; inuicem comparabilibus rebus,eandem ad terni maioris inéqualitatis ra ticnem olbtinentibus. i (Mardi; «6455174100, i6: dMiîAoiçâ’b’. Et quæ cmfdem funtdimidium,æqualia funt adinuicem. :6. (Ententia, Hæc communis fèntentia, pro magnitudinibus rationê minoris inæqualitatis ad eandem pro ratio: mi! tcrtiam obfcruantibus magnitudinê, ira venir intelligendawt nous inæquaa nuas. N4 Y quæcüq; en! fdê funt çquè iubmultiplicia,aut fubiuperparticu s v---4----4 briawel fubfilperparticntiahoc cfi,zquè minora,ea lunt ad! t inuicem æqualia.thore,fi :118: rlmagnitudines,eiufdem man gnitudinis srfint(vcrbi gratia)fubduplac: illæ crunt adinuicem . æqualcs, roptcrea qubd æquali ab eadcm magnitudine fupercntur excclTu. (lutin: îQatIppo’Zorm if ÉMIAufiû, iMiAuç i515. Et quæ fibimet ipfis conueniunt,æqualia flint adinuicem. thotc,fi duç refit; Iineç in limitib9,duæve fuperficies in terminis,feu latcrib98: angulis, 8: qu ç funt fimilia fimilibus ex ôni parte côucniâtæa oportet adinuicê çquari, 8: ccôtrario. «w à 3M! nant à? niez; 154. .Totum cf’t fua parte maius. 9 Adde qubd 8: æquale fuis partibus intcgralibus, id en: qu: fimul fumptæ ipfum totum videntur integrare. (Kari «No 66350:: 33’910! à melîæva. Duæ reâæ lineæ fupcrficicm non concludunt. la Prius q cnim fuperficië côcluderc valcrêtwpcrçprctiû cfü,gcmim pûâa vtrîur datartî lineanî terminus limitâtia mutuo côuenire.Duæ itacp lineç reâç,à dato pûâo in atü pun &û producercntur:coinciderêt igitur in vnâ atq; candcm lineam reflâ,fuperficiem conclu! dere non valcnres.quëadmodùm ex ifs quç quarta przdiximus dif’ànitionc fit manifefium. (De Problcmate.Tbcoremate,atque Hypotbefi.

Problcmata. IEEX H18 ITAQVE SANE QVAM INTELLEÇTIS PRINCIO PÎÏS: comguntur problemata: hoc cit, ambigu: ropofitiones, fciIEitationéÎve,pra&icas fis Ibeorcmata gurarû affections difcutiêtesz8: Tbeoremata,i Icfl,fpeculatiuæ pro fitiones,præceptioo nis vraie; participes, quæ fingulis accidunt figuris un inf e&ione üudicâtcs.Qqæ quidê onmia tali flint artificio ab Euclide diflflbuta,vt ex ant entibus omnis fubfequcntitî vie R deatur pendcrc comprobatiozfia’t mutua fubminiftratio fingulorum inter fefe 8: problee Hypothcfcs. maturn 8: theorematumOgibus ufl’ragantur hypothefes,hoc cit,cx prçuiaifupradiâorum œgnitione,afiùmenti coneeiTæ fuppofitioncs.

tu nrxnm’aor amurer lied-rot Feôlejuc in. 11530101; a. tr

l ,Pl ais diamine inodœdmeœa’pimfifiwupîaüæitueop sinuant; a» ne L IBIS-(LI BRI 5P:R IMI a, Problema. r. - Propafitio Î: x. » r ï aussi, Vper data [inca recta terminaux, triangulû æq’uisf * r r ’. latcrum confiituere n l V ï O R O N TI V S.([Sit data reflâlinea terminata azb,cuius æfigætwfi r. limitesQ) fint az 8: bzpüétadùpcri . iqui oporteat. V,triangulü æqui» ;. hum?" .. . ’ ’Ï a latcrum côititurezboc cit, datam lineam reéhmterminatam n s? l in latus ipfius ooaptare triâguli,8’: reliqua duo latcra’,quæ fint cidcmzlinez datæ æqualia, ex fuperius enarratis principiis inueftigare. Ccntro igitur a,interuallo autê azb, deicribatiir circulas bzczd,’ i ’er tertium’ po’ûulatumÆt per idem poflulatum,ccntro rurfum b,eode’mq; internât: b!a,defcribatur circulus azcze. Cùm igitur circuli bradzô: vagin eadcm fint plano,8: cômuncm habane- femidiamctrummempe datam azbrreélamfiranfeatque peroonfiruftionem vains circunferentia pet cenu’um alteriuszneceiTum cfl,b(czd(çircunferentiâ partim me 4’ .Iintra circulum alclç,partim veto extra,8: e.c0ntrario,8:. propterea fefi: mutuo intCrfccare.Sit ergo feâionû alter i ra in punéto c,8:oonnc&antur tandem refis: lineæ me! * 8: bIc,per primü poltulatû.Triangulü ci! itaq; a,b,c,(nô congtuütenim,nc - in direétû côftituûtur ipfæ alb,blC, . 8: eiaxlincæ reétæ cd trigçnâ includût fupcrficiê azblc) v dico g; 8: æquiiaterü.Quoniâ punâum a,centrû cit cira culi blddzqualis efli vitur axeneâajpfi azb, pet dccimâquintâ diffinitionê. Rur, flimailllonïâ Imam!) ,ccntrû cit circuli azczezzqualisefi, pet eandë difl’initionè’ blczreéta,eidê azb.Duæ igitur azc,8: blc,eidê alb,fiinç æqua les: eapropter 8: æqualcs adinuicem,per primam communem (cntêtiam.Tres itaguqzzcgêfhihfcâ miens adinuicem æqualengitur fuper data. mita linea termiuata fifi "une gulum æquüatemmpalbonuod[facercoportebat-I a ; A, 1. mira; " L - a ç et - FQÔEW 15, a "la P6605014 il», . .- 0’ Pô; 1-5 élohim dupée 75 (N°601: irisé; î’aup 509504. flâna. Problema 2, I Propofitio 2. 3 D datum punâü,datæ reétç Iineæ æquam recta limâponeres O R O N T IVS.ŒSit datû punâû a,data vei-ô linea reâablczcui Ex cuits ad ipfum punétum a,aqua,m reâam lincam panet-e. Duamr icaque reéta az , pet primum poflulatum : fuper qua triangulum æquilaterum confiituatur azbz d, per primam propofitionemÆtcentro b,intc’ruallo autê.b9c;cirdalus dei-tribaux: cerf, pet çcrtium poitulatum;Atque per fècüdum poftulatum, producatur mâta bzdzm

n. GEOMET. ELEME’NT. ipfius circuli circunferentiam: fitq; dxc.Ccntto rurfum d,intctuallo autë dzc,circu . lus dcicribatur ezgzh, pet idem tertium poftulatû. P toc duœnîtque tandem refita dla,in circunfetentiam ipfius ezgzhzcirculi,per’fecûdum pofiulammfitq;dlg. Cùm igitur punfitum b,oentrüexiftat circuli cmf: æqualis cit bzczrefita ipfi b! e, pet decimamquintam dilfimtionem. - Rurfum quoniam punfitum d,cêttum cit Cl du circuli: arqua lis cit,per candem difïinitionem,te&a zezipfi dxg. ;;A,quibus Gauferâtur ard,8: bxdfinuicê æq uales(nempe ’lateta uianguliæquilateti)reliqua av g,te iquæ bze, pet tcrtiam oommunem Entëtiam etit æqualis .Atqui monfltatum cit, quôd 8: bxcz eidem bzeIcfl æqualis. Binæ, igitutaégzô: b4c, eidem bzezfunt æquales:quapropter 8: æquales adinuicem, pet primam communem feutentiamAd datum ergo pûfitum l azdatæ refit: linea: bzc, zqualis refita linea pofita cit azg.Quod oportuit fcciiTe. remania 7, Femme ’ 7. . Afoæoeüa’ôp Main]: âviuupfim’ô as péterioçfliî êÀa’w-ou irrup Eu 950:9 àçthâp. ’ ’ . ’ ’ Problema 3, - ï Propofitio 3 . - . DVabus dans refitislineis inæqualibus, à maiori minoriæquâ- 3 reâam lincam abfcindere. ï i i i - ’ OR ON T I VS.IISint data: binæ refit: Iineæ inæqualcs,alblquidë maiOt, minet; veto exdzcui receptû fit,ab ipfà maiore a:b,æquâ lincam’rcfitâ abfcindere’LAd datü: ergo punfitum a: altctum iplius maioris albz limitem,ieidiem minoti cde ponatur’ æqualis,per feeundam propofitionê: litt]; alc.Et centro -a,interuallo autem ale,circulas defcribatut elflg,Per tertium &ulatum. Cùm igitur au ex recta fit æqualis l i ipfi cId, "il; Cld minoripfaiazb, pet hypothefin :erit 8: alcrcadem albr minot. que: cnim funt æqualia,eiuûlem (ont æquè minota,per conuetiâm feptimæ cômunis (en îtêt:ia:.l.îgre(lietur ergo albzmaior ipia aze, circunferëtii circuli ezfrg,ad interuallum eiufdem aIeI defcripti, catir démq; circunferêtiam egrediendo feeabitzfecet igitut in 4- f. Et quoniâ punfitü’a,centrum cit circuli erfzg: . i . . V æqualis cit alfltefil’a ipfi are,pet decimam inti diffinio uonë.Exdê porrà ale, æqualis en a: refita-cldBinz igitur 3478: ad,ei cm aIeI flint æqualesæ: proptetea æquales adinuicê,per primai comment fentëtiam-Eit autë a: a! , pars ipfius maioris azb-Duabusergo lineis mais iriæqualibus datis,aIquuidê 8: czd: à maiori azb,fefita cit: ad) ipfi czdzminori æqualisQiod oportebat faoetc. Merlu: a, 11960001; «P. i ’ Al; décarbura: «de No mime?" , me «fluai mena; in; in inflige]: tariez, a! du: 7min: TE yau’çïo-up in, qui: M’a m imp îueaô’p onpximpfi fil: 6024 w fi M inpifwœl. 15 firlpüwll En) 43476qu imp "sang au Mime! m’a: ouïe hamac . flamba: invagineriez intégçfiç’æs à: in: menti * . -A Tbeorema r, Propojïtio 4; SI duo triâgula duoïlatera duobus lateribus arqualia Iliabucrint 4 alterü altcri,8: angulum angulo æqualem fub æqualibus refitis

lineis c0nrentum:8: bafin» bafi LIBER æqualcm habebunt,8: -L triangulum a triangulo æ uüm cric, 8: reliquiv anguli reliquis angulis æquales erunt alter a teri,(ub quibus æqualia latera (ubtenduntur. O R ON T I V S.([Sint bina triangula azbzcz8: d’elfihabentia duo latetaaybz 8: azgduobus .latetibus dzel8: d :fzaltetnatim æqualia,hoc cit,azbzipfi dle,8:azcxipfi dzfntqgangülum bzazc,: ualcm angulo exdzfz (ub :qualibus tefitis lineis contena to. Dico primùm, quod fis bxcleil: :qualis bafi ezf. Compatato nanq; triangulo Pan prima albzczipfi dlef, atque punfito azfuptadlcpûfitum oonflituto, extenfa’que refita Wh! imitât n , . a. .- (taper refitam. Ie:conueniet.punfi:ü’ blipfi punfito e:nam a ’ d au Api] dzerper bypothcfin efi :qualis.qu: autem (unt ’ ’ adinuicem :qualia,fibimctipfis conueniunt,pet conuet» I b pt; a r (am ofitau: communis fiententiæ. Et quoniam angulus bzalc,anguloezdzfl pet hypothefin quoque cil: :qualis: t cadet igitur,pcr eandem conucriamgzczrefitafuper re- ’ d fitam dszccus cnim alter angulorum foret reliquo ma- Ë x c ior,côtra i (am hypotbefin.Atcùm azcz8: dzfztefitæfint . (F ex eadcm ypothefi adinuicem æquales: conueniet rut- (um punfitum cnpfi punfito f,pct allegatam ofi’tau: communis (entend: conuet» fionetn.Bin: igitur refit: bzczô: ezf, ab codem communi püfito,ad idem commune punfitum educcntuncôucnient ergo adinuicem,per datam ipfius line: refit: chili» nitionemConucnicntibus cnim b,e!8: qulimitibus,fi eædem bzczô: elfz refit: mi- nimè conucnircnt: du: linc: refit: includetent fiiperficiem,contta dccimam com munem (ententiam,8: diffinitam rcfitatum linearum de(criptionem.conuenit itacp blCllPfi eÆCLu: autem fibimctipfis conueniuntgæqualia (uni: adinuicem,per cérat uam cômunem (en:entiam.bafis ergo bzc,bafi czfzcôcluditut æqualislIDioo ptz- par; (cama. tetea,9 trian lum azbzcztn’angulo dIezflæquum efi.Conueniunt cnim fingula. lacera ipfius a1 zotrianguli, fingulis dzezfz trianguli latcribus: 8: triangulum igitur triangulo conuenit. Vndc pet candem ofitauam commuhem (entêtiam,azbzcztriâ gulum, ipfi dxerfzttian lo :quum crit.I[Aio tâdem,reliquos angulos, reliquis an; me: pas; gulis,(ub quibus :qua ia (ubtenduntut latera,fore alterum altcri æqualcszvtpotc, azbrczipfi dxczfifilb quibus azcz8: dzf,8: axeszi fi dzfze,(ub quibus azbl 8: dxerlate» ra (ubtenduntut :qualia. Conueniunt cnim (ingula latera fingulis lateribus, (ub Fuibus ipfi continentur anguli. Ex laterum porto conucnientia :qualis eorüdcm ubfèquitur inclinatio.ex :quali autê inclinatione latcrum,content0tüangulorum côuincitur :qualitas. Si bina igitur triâgula duo lateta duobus latctibus æqualia habuctint 8:c. vt in theorema te.ngd erat demonflrandum-

wEpîdao’uûëp A 6:63:91: n°4761161: a! ci M4lb, mica peinai; 10m imam échiné. t. Wheaaôp rîmpiuhôpfiî fiai Mm prix: fait: aubinons influa. Q . a ’ - Theorema z, Propofitio 5. 5 ’ISoicelium triangulorum qui ad bafin (unt anguli,adinuicem .(un’tæquales : 8: produfitis æqualibus refitislincis , qui (ub bafi (unt anguli adinuicem æquales erunt. i ’ V O R O N T IV S.([Sit trian lfi i(o(cclcs azbzc: cuius lateta aIbI8: awfint ad» inuicem :qualia.H:e autëve us d,8: e,punâa,in côtinuû refihîmq; progucantu r0 .1. - -

14 GEOMET, ELEME’NT. pet (ecundum poiiulatum. Aioitaque primùm,angUIOS albÆfôi ami), quiad ba» fin-bchore adinuicê :qualcs:angulum ptæterea dÏbIc,angulo bœzelfub eadë bafi bzclcôfiitutofitidem coæquari. Sufcipiatur cnim in bzdzrefita côtingens punfitü, fit’q; illud d:8: data reâa bzd,(ece’tut ci :qualis Cze,pet tertiami propoiitionemzoon- Prima, on", nectantfirq; huas: czd,lineæ te&:,pet primü poftulantû. I Cùm igitur alblfit :qua. fionis difcur! fis ramper hypothefin,8: bzdzipfi cze,pet côittufihoneærit 8: azdnpfi aze,pet (ecun- ru” dam communê (ententiâ,æqualis.Bma ergo latera asz8: azeztrianguli arbxe,(unt i Ï æqualia duobus :1108: azdzttiâguli azczd,altetum alteti: eli’qî angulus qui-ad azfub ’ :quis latctibus comprehê(us,vtriq; triâgulo communis.Baiis igitut bœzbafi ezd; .eitxqualis,8: totü triangulum arbz ez toti triâg’ulo agadzæqualcatq; reliqui angu» . . . ,r . .- - 11’ reliquis angulis, tub quibus :qualia (ubtenduntut la! Secundus. reta,te(p6dentet:quales,vtpotezazbzezipfi azczd,8: azdz .czipfi azczbzpet quarté propofitionem. Rut(um,quo- niai bzdripfi czerpet confltufitionê cit :qualis,8: bzez ipfi cxdlæqualis ofienià cihbina proptetca lacera dzbz8: dzcz triâguli dlbzc,duobus czbz8: ezczipfius ezbzcz triâguli la- terib’ (untaltetnatim :qualia.8: côtétos (ub ipfis arqua- libus lateribus vangulos,vtpote,qui ad dI8: ezmonfitaui- p 7- v - mus :qualesæandémq; bafinfubtendunt broTriangulü ., - t. i jgitur.dxbze,trian.gulo ezbzcxeit :qualc, 8: reliquianguli reliquis angulis,(ub quibus :qualia (ubtenduntut lateta,admuicê æqualeszper ean dem quattâ propofitioné.Angulus itaq; dzbze, angulo blCICICÎÏ :qualis: necnô anv iRccollcfitio. gulus b!c:d,ipfi angulo b:c:c.Totus porto angulus azbze,toti angulo azczdz arqua» fignmmam lis nuper oitêfus ciblgitut fi ab cifdem :qualihus angulis azblezô: avent æqualcs ’ aufetantutanguli bzczdl8: czbze: qui relinquentut anguli azbzcz 8:al C: bz ad bafin bzc,etunt pet tertiam communem (entendant adinuicem :quales.Et qui (ub eadé bail bkci(unt anguli,vtpote,dzbzcz8: bzcre,nunc quoqs môfitati (unt :quales. 1(0- (celiü ergo triangulorû,qui ad bafin (unt anguli 8:c.vt in theotemate. QIOd demon

a l ŒHincfluate manifeftum oportebat. cfi,ttiangulum Corollarium.:quilaterum tres agulos adinuicem :quales continue. Qmmam binatim (umpta lateta, (empet o enduntut :qualia: 8: duo .quoq; anguli omnifariam (umpti con(cqucntcr :quales. 02:39:41»: 7, n 11959:0]; s. I .» Ap 71017608 ad «No www 7m: ixZÀIÎMGÇ mm ad «(en qui: ’1ch ww’œddmtu’vamc : ruâmeœîïax: àNMG annule Tbeorema 3, . .. Propofitio 6. 4 - . wItrian uli duo an guli,æ uales adinuicem fuerint: æ uales 6 quoq; angulos (ubtendentia latera æqualia adinuicem erunt. O R O N T I VS.I[Efto azb[cztriâgulû,cuius anguliarbIcz8: avezbzfint adinuicê :qualesDico propterea,quod latus azbzæqut’i cit la teti azoSi nanq; axbr 8: aICllateo ta forent in:qualia,altetum eflEt maiuszvtpote, azb.Poi(et itaq; à maioriazb,fèrari ipfi aIczminoti :qualis,pcr terni propofitioné.eiio i itur btd: 8:oonncfitatut cz dl tefi’ta,per primum poitulatumCadet igitur refita cz zintta triang’ulumazbzcdiui. .de’tq; lattis azb,8: angulum alabzin duos angulos,atq; datum azbælttiangulum in bina triangulaazczdt8: dzbrcAtqui wbzclttiangulum,ip(o dzbzcœtianguloÇncmpe Dcmôfiratio totum (na parte)maius eltzpet nonam communem (cntentiamQuèdfi ateltefi’ta ab impmbüi foret :qualis ipfi bxd,8: bzczfitvttiq; triangulo communis:cl(ent bina la teta azez8:

L I B E R *I. A 15’ obz trianguli mob, :qualia binis lateribus ezbz 8: bzdr ipfius trianguli ezbrd.quæ cùm æ uales adinuicem com, prehendantangulos albleôfi azobpcr h pothefinzbafis Wbflhtl azczbzttiangulifotet :qualis ba i czdzi fius tria guliczbzd,per quatrain propofitionem:ip(um cniq; triangulum a zbzc,ipfi triangule dzbzczzqualc, totum videli U .. I - k , .ceefu: patti.quod pet nonam communem (ententiâ cit impoilibileNon cit igitur azbziat’us,maius achimiliter oflendetur,quôd ncq; mi» nus.Acquü cit icaq; latus azb,ipfi lateri azc. Si trianguli itaq; duo anguli :qualcs adinuicem fuetintgzquales quoq3angulos (ubtcndentia lateta :qualia adinuicem etunthyod (actait oitendcndum. Corollarium. (I Et proinde fit manifcitum, triangulum :quiangulum, fore ver(a vice æquila te tumangulienim binatim (umpti,(cmpet ofi’enduntur :quales: 8: duo quoq; me, ra omnifatiam (umpta,te(pondenter :qualia- adipique «il, Pçfiewu a. Fi fifi; Émail; îuaa’ow’ dînai qui; àuuuîçiuœ’mgükm du: êuOâau humeriez hernie; Eôu maflûowroafllûç «’2’:th Kari 825M dupât.» irai qui émut pieu qui (tout arienne: fixateur. qui; if ôtai;Tbeorema îueéauso 4, Propijîtio i ’ - 7. . 7 SIVPCI’ eadcm refita linea, duabus ci(dem refitis lineis,aliæ du: . refit: lino: æquales airera alteri’non confiituentur. ad aliud atque aliud punfitum, ad eafdem partes, cofdcm fines primis te:

Ôfitis R O N T I Vlineis S. [Super data inquàmpoifidentes. refita linea azb, du: refitælineæ ’ azcz8: bzc,à limitibus 3:8: b,ad datum punfitum czconitimantur. Dico quod (upet eadcm azb,ali: du: refit: line:,vtpote azd:8: b.xd,ad aliud punfitum,hoc eft d, ad ea(dem quoq; partes,non œnftituentut ci(dem avel8:bwaltera alteti :quales,vtpote ardz p ipfi azc,8: bldzipfi bzc, eo(dem fines ax8: b,cum ci(dem primis refitis lineis azcÆ:

i bivpoflidentcs.C Aut cnim punfitum dxcadct in altctu’ tram linearum azcz8: bzc,vel intra ea(dcm,aut extra.Atæ 4 qui in altctutt’am datarum lineatum,ip(um d2punfitum , fi minimè poteit incidete. Çadat cnim (fi poifibile fit) in gagas?” refitam bzccoincidet igitur bzd!refita,(upet refitam bzc: a " 5 &icùm dzfit aliud pûfitum uam c, cri: eadcm bzd:pats ipfius bzc. Non erit igitur zd,:qualis’ bye: totum cnim foret :quale (u: parti,contra noua communem (Ententiam. Similitcroftendetut, neq; in alatefitam,ncq; in alterutri aut amant brezin continuü refittîmq; produfita’,cadct idem punfitû d.([Dico pt:tetea,q: neq; intta eafdë lineas azcz 8: Æ, ip- 8m (nm dxpüfitû poteit incidere.Eito enim(fi fueritpoflibile)vt in (ubIEtipta figuraê: c cônexa cldr refita,pct primü poftulatü,vtraq; azcz8: azd, et fècundü poftulatü,in continuü refitiîmq;,v(q; ad ex8: z figna roducatut.Triâgula igitutazczdxô: bIczdzfupet eadé ba iczdæôftitutaforêtifofcelia.8:angulus propret, ca azczd,:quus effet angulo azdzcmccnô bzczdIangulus, ipfi b:dzczte(pondenter: ualis,pcr primai patté quint: I ptopofitioniszô: pet (ccun â eiufdem propofitionis para tem,qui. (ub. eadcm . bafi 4 cdefiunt .anguli,a J]. dinqicë quoq;

x6 GEOMET.ELEMENT. forêt æquales:vtpote,czdlflipfi dzcœAngulus porto dlcze,mai0t cit angulo bzczd (nfipe totus (un patte)ea toptct 8: czdÆzangulus, foret codé angulo bzczdz maior; 8: maior oonfèquêtet ip oangulo bzdœnam :quales anguli,eiu(dé (unt :què ma» iotes,vel :què minores:per côuct(am (ext:,atq; (eptim: cômunis icntêti: inter» tctationëÆit autë czdz zangulus,pats ipfius anguli bzdeatticulatis igitur an rus,maiot effet totali: quod pet eandem nonam cômunë (ententiâ eftimpoffib’ e. Tertia 6;th difpofitio. ([Haud diflîmile fèquetur incôucnienszvbi datû punfitiî d,inciderit extra ptæfatas lincas refitas azcz8: bzc.Si nâqæid poilibile foret,vel eatum altcta qu: ex vpûfito, altcrâ qu: ex bziëcabit: aut nulla dabitur ptædifitatum ° a lineatü interièfitio.Seoet primùm azdzipfam bzc:8: con» nefitatutczdztcfita, pet primum poltulatum.Triangula rut(um axadrô: btcrdxeifcnt i(o(celia:8: qui ad eommuné vtriufq; triâguli bafin czdzfiunt anguli,pct primam par» tem ipfius quint: topofitionis,:quales adinuicemvt» pote,azCIdzipfi az c,8:bzc:dzipfi bzdlc.Atqui angulus azc1d,angulo bzexdzmaiOt cit, pet nonam communem (entendant: refita cnim bzu diuidit atbidzclquadrilaterum, 8: angulum propretea azCIngitur 8: ardlez angu- lu s,eodëa angulo b blczdzmaiot arma maior œnièquentet ip(o bzdICzanguloangu- lus porrô axdzc,cit pars ipfius anguli b:dlctefita nâq;ald,diuidit eûdem brdzclan- gulum,atq; azbzdlctquadtilatetumÆats itaq;,totum turfum excederetzquod ipfi non: oommuni videtut aduetfati (ententi:.Idem etiam concludetur,vbi azurcfita (ecuetit bldtvbi’ve unfitum dura (cor(um locabitut,vt nulla (ubièquatur prædifita- rum lineatû inter efitio. qucmadmodùm ex (ecunda figur: di(po itione deducerc ’ vcl facilè potes, czin d,atq; ê diuet(o permutato. Non (unt igitur azCI8: azdlrefit: line:,neq; bzelabldxadinuicem fimul :quales.Supcr eadcm ergo refita liùea,dua» bus ci(dem tefitis lineis 8:th in theoremateQiod demonfttate opottebat.

511Mo afiyœvœflaèe (fluome»: raflaient qui; a, (fluai Peôetmç«niveau; i644 in: îuœ’rieœp u, m’réeçfix’ . du me! qui: bien: ci fière loup, and qui; 7min: fifi 7min 1:01pm «tu; en 79mm iu- eaup «immatur- Q Tbcorema 5, Propofitio 8. I bina triangula, duo latera duobus lateribus alterum alteri S æqualia habuerint,8: bafin quoq; bafi æ ualêzangulum quoq; (ub æqualibus refitis lineis contentum æqua cm habebunt. i O R 0 N T I V S.I[Sint bina triangula axszI 8: dlezfihabëtia duo lateta azbz8: 8:alc,duobus lateribus dmô: dzftaltetnatim æ ualia,hoc eit,a!bzipfi die,8: aœlipfi dlfifitq; bafis bze,ba i dzftitidem :qualis.Aio itaq; angu lum bzazc,angulo ezdzfz et: tefpondentet :qualë.Com . patatis nanque adinuicem triangulis,8: punfito bzfupra V a cl punfitum ez conitituto, exten(aque bali bzu in tefitum ipfius ezf: conueniet punfitum clam punfito f, pet cono uerfim ofitau: cômunis (cntenti:.Côuenienti us autê l LÀ .ùr bz8: e,atq;cz& fzpunfitis,côueniet 8: punfitü azcû punfito ngoniâ fi az8: dtpunfita minimè côuenirennfèquere- tut exh pothefi latctü, 90(upet eadcm tefita linea bru - d a aut eÆ, uabus ci(dfi lineis albz8: aIc, vcl axez 8: aIf, ali: du: refit: line: dzbz8: d:c, (eu dzel8: dlf, ad aliud atq; aliud punfitum, hoc cit az 8: d,ad ea(dcm quoq; partes,

eofdem deniq; fines bi 8c me! nô: fzprimisLIBER redis lineis poflîdentes,aitera Il. alterfr7 confiituerêtur æquales.quod par antecedentê feptimâ propofitionë demonfiratü en impoifibileCôgruit igitur dlpunâû,ipfi punéto a: quapropter a: angulû bIazc, angulo ezdzfiœngruere neceffum efl,fore’q; illi æqualê.C6gruentibus cnim termi- niszoongruût a ipfæ limez re&æ.ex reétarû porrè cônenientia,fub quibus ipfi con tinêtur anguli:eadem furgit inclinatio.ex qua demum pari linearum inclinatione: eorundem angulorü conuincitur æqualitasÆrgo fi bina trian la, duo latera duo bus lare ribus un: in theoremate.ngd oportuit «moulina ’ t Feôijpœ fi, I retienne 9. Hp fioeâ’aup wviap tueüyfœppop fixa flpâp. Problcma 4, Propojïtio 9. 9 Arum angulum reâllmeumblfariam recale. . O R O N T I V S. ([Efto dams rcétüineus angulus avbzezquem Oportcat bifi. riam &care.Sufcipiatur igitur in azbzreâa cohtin’gens unâum d:fècettîrq; à relil qua bic, ipfi bidzæqualis, pet tertiâ propofitionem, fitq; illa bxe.Et pet primü po fluIatum,oonne&atur méta dæfupcr qui triangulum æquilaterû dxczf, pet primâ ropofitionem confiituatunconneâatur tandem méta bzf, pet idem primum po» EnlacumManifeŒum efl igitur,re6tam bzfzfècare datum angulum Ubucprotrahio tu: cnim ab angulo qui ad b,ad oppofitum an Ium qui ad fzin bzdzfzczquadrilateraAio quôd a: i (à izfidatum axbzcza ngulum bifaria’ &œtCùm cnim [v zper confit-u» mené fit æqualis ipfi bze,cômunis autem bzfibina imq; lacera dubœt bzfztrianguli dzbzfiduobus lateribus f? bd: bzeztrian uli fibœz (un: altematim æqualizEfi infuper f . bafis dzf, fi ezfzitidem æqualisfunt cnim latera mign- 3 c li æquilateri dzezfiAngulus igitur dzblfgngulp fzb!e,per oflauam propofitionem ci! æqualis.Datus itaqs, reâilineus angulus azbquifarùm à reâa b1fAëcatùr.Q10d facere oporœbat. ,

’ l . H9FeôfiMFæ «30066:1: yaviœy 71-th6va t, mon»; fixa: fluât). in Problmm y, Propofitid 16. m Atam reâam lineam terminatam bifariam (ccare. O R O N T I V S.([Sit data reâa une: tcrminata azb,quam bifarii fin: te fit o crzpretium. Conflituatur igitur (upet eadcm avb, triangulum æquilaterum avez ,per primant) propofitionem :feeeturq; et anteoedentem nonam propofitio» nem angul us Un [bifariam,re&a quidem ad,à punira c vin dzpunâumipfius brais avbz coextenfiDico lineâ azbzdatam,(ècari bifariam in püfl’o d. Cùm cnim amb! triangulum fit æquilatcrum,zqualis efl ava ipfi. czb: côa munis verô 0d.Binæ igitur mais: ex dz trianguh un! d, duabus (bus: abztriâguli dzczb,funtaltera alter: zquao les: a: qui (lib ipfis æquis lateribus oontinentur anguli, a d b pet eonfiruâioné fun: adinuicem æquales,hoceü,azcxd, ipfi dzczb.Bafis igituriaId,bafi dzbzefi zqualis,per qua!” mm propofitionemData i itur rem linea terminant azb,bifariam (zêta en in putt &od.ngd oportuitfcei c. bal]-

x8 GEOMET. EeLEMENT.. ’ lFeôfiMpœ s, . Fatima: un. a T H limée! Wiqz,â1rô 91” trêve un] mon: enflammes; 6996:; 74.qu iueâ’œp nappât? I Problema 6, Propojïtw r I. 5m75?-Ara reâa lilnea,à pü&o in ca data, reéram . lineam ad angu: los re&os excitant. O R O N T IV S.([Efio reCta linea data axb,datûmq; in ca pfiétû c:à quo Oportcat refilai lineâ adangulos re&os excitare.Suiè;piaf igitur in azezreâa,côtingês punétû: " fit’q;fllud d.fecerur prætetea à refila Ub,ip 1 drczæqualis,per tettiâ propofitionëmçë pote cze.deniq;fi1per reëfa dze, triâgulü æquilaterû côflituaf dzfze, pet primâ pro fidonêzcôneâatûtq; retira exf,per primü pofiulatüDi ç . on UfÆCââfld recrus angulos côfifizere (upet dati reâi whgponiâ dl czefl: æqualis ipfi cze,c6munis autê czfzdi- uidês fzezttiâgulûDuæ igitut 908c czdztriiguli fzczd, duabus fzczôc aeœrianguli fzcze,funr alteta alteti arqua» b les:8c bafis dzfzbafi fre,per œnûtuâionem zqualis.An’ à c ’gulus itaq; fzczd,angulo fzczezfub æqualibus mais lineis côtento,pet oflauam propofitionem efi æqualis. Rem igitutczfzconfifiens fu pet reââ azb,æquales vtrobique facir angulos: ergo reâos, pet decimam diflinitioncmA data igitur Æâo c,datæ refit: une: azb, teé’ca linea afiad reâos excitata efl angulosQuod ’endum fufceperamus. FgôbMpu 2, [leôeme :15. PI «tu «floeâôcp 30050:9 Müeopzêflrô ’FNÜM’TÊ- exprima-8 pi êsîp îvt’ émanaient. in. . Problcma 7, Propofitio 12. E9âx9Vper daram reâam wwwlineam infinitam, à datoW9. punâo quod . in Il ca non efi,perpendicularem reâam lineamdeducere. O R O N T I V S.l[Sit data retira linea infinira axb,datum veto üâum quod in ca non eficà quo,in ipfam azb,perpendicularem reétâ lineam de ucerc fit o et» Confiruéüofi pretium. In eodem itaque plana, in uo data a! bz reâa linea infinita, a: tum lu":- punâum c,ex altera quidem tte ip tus alb,contingens punâü fufcipiatur: fifi; illud d.Erit igirur czdzint um,dirimétq; ipiàm azbzreâam .Centro ergo c, interuallo autem czd, circulas defctibatur ezfzg, pet tettium [tulatum . Hic porto drculus ezfzg,cùm in eodem fit plano in uo 8c tefla wb, rt’q;finitus,eadem veto azbzinfinitafl ditempta ab intetuallo ad. ubtendet propterea idem exfzgzcirculus l pattern ipfius a!b,egredietârq; eadcm azb,re&a eircüfe- a. N rentiam i fins ezfzgr circuli,eandémque dtcunfere’tiam e tedien o fècabit.Secetigitut in GIS! fzpunéh’szdiuida» c I turq; reâa &fubtenfit ezfzbifitriamJn punch quidem h, v pet dedmâ propofitionemôt conneétantur tandem CM, mg: lm! a bah,atq; ufzteâæ,per primum poflulatü. Dicoitaq;,re * êta elbzpetpendiculariter incidete (upet datâ,re&i azb. , Qtioniamezhz æqualis cit ipfi M, pet conümâionem: czlv me. dirimens clesz triangulum, vrrique communis. Binz igiturczhzôc hzel trianguli ulve, duabus czhl a: 1va trian li ohé? funt alteta alteri æquales : bafis quoq; me, bafi C!fzæqualis,fpet decimam uintam difiînitionem. Acquus efl igitur angulus uhz:,angulo ahz zfub æquis latetibus côtento, pet oflaui propofitionë.

v. A... n.»...... -g

Reéh etgoolvoonfiilens (upet’ LIBER. datâ reéhm linea’ azb,zquales Ï. i vttobiqsfacit 19 angu los:ergo reétosÆt proinde eth’Ipcrpendicularis et! fu et azb,per dedmam diffini. tionem.Su t datam itaque reâam lineam infinitâ wifi dato punfto aquod in en non efi,de uCta cit perpendiculatis cthiod faire oportuit.

Oh. a: &p Mât:ôtée» êqr’ êueëap 50:65:10: s,ywvt’œa’ même mafijl’rm dm. ôçOàqfiî «fluoit: :7. 696m1; loue. muid:v Tbeorema 6, Propofitio 13. 13 ( Vm méta linea (upet teâam-confii’tens [inca angulos fecerit: aut duos teâos,aut duobus reâis æquales efficiet. O R O N T I V S. IIIncidat in uâm alblteétafupet teflam eld,efficiens angulo: azbzczôc atbzd. Anguli itaque altos: aIbId,aut (uni: æquales adinuicë,aut inæqua» les.Si æquales,ergo rein, et decimam diflinitionëzprima igitur pars veta. Quôd . fi inæquales extiterint ip 1 albŒlôC atbldzanguli,vtpote,al zareâo minot,& codé reéto maior azbzd: dico nihilominus eofdê angulos aszczôc azbzd,fote binis mais angulis æquales.Quoniam axbrclôca!b!dzanguli (un: in uales:non cit à?" afbl teétaypetpendiculatis (upet reflam ad, et conuetfim ip lus dedmæ di itionis. Excitetur ergo fuper data refit: linea cr ,â data in eapuné’to b, petpêdicularis b! a, pet vndecimatn propofitionemDiuidet itaq; reé’ta bzezangulum axbxdz teflo mao ioremzneenô méta azb,ipfum angulum elb Iczte&ü,maiorem acutoal bxc. Acquus cil igitut angulus ezbzc, binis anà lis azbzczôc azbze. oommunis adijciatut angulus g erbzd. ini imq; anguli crbzczôc elbzd,ttibus an i lis, hoc 3 cit aIbIc,a!bze,& ubzd,funt æ uales, pet feeû m com» munë fentëtiam.Angulus tu umubzd,æquus cit duobus angulis aszex a: erId. oommunis addatur angulus c à azbz e. Duo igirur angulialbzczôt a! bztd, tribus angulis, vtpote,azbrc,azbæ,& ezbzd,funt r candi femndâ com munè’ fententiâ æquales.Atqui monfiratü e39 a: anguli ex ma ezbzd,eifdem tri» bus æquantur angulis . Anguli porto qui ci(dem funt æquales angulis, adinuicem quoq; funt æquales, pet primam cômunem fentêriamJgitur anguli albzczôcazbzd, duobus ezbzoôt ezbzdtfunt z uales .Süt autem pet cono b * a c- h flruâionem an li elszzô: a zdzteé’ti..& duo igitutan- :bî à»: :133: gal!" atbœzôt ar zd, binis (un: mais zquales. Idem etii oflendetut, vbi av b! a angulus,fi1erit maior ipfo azbzd. W Cùm igitur méta linea,fupet teâam confifiens lineam’, angulos feceritaut duos rcâosputduobus refis æqua- v les eficiet. Quod oportebatdetnonfltate. 0691;»: a, l redonne t7. A]: 1:23: qui Mobilier) tri; nô; M (rimée, No Mica pl Wadàud pies d’un, très iota; www «fluait: deum loue auômpfivr’ 50W («un inimitié Mita. Tbcorema 7, Propqfitio x4. ,4 SI ad aliquam teâam lineam, arque ad eius punflum,duæ te: &ælineæ non ad eafdem pattes uâ’æ, vtto ique duobus te: &ls angulos æquales fecerint: ipfæ in diteâum reflua lineæ adim uicem etunt. O R O N Tl V S.([Ad datam cnim teétam lineam alb,atque ad eius punCtutn un):

zo GEOMET. ÉLÉMENT. b,duæ refit: lineæ lu c, a: brd,alteraquidem ad læuam c, reliqua veto ad dextram patté dloonueniites,angulos efficiant azbwôt aszd, zut refitos,aut duobus refitis æquales.Aio proptetea,tefitam lineam bzd,in ditefitum ipfius bzczfore c6flitutam, Denrôftratiç hac cit, vnam eande’mq; refitam eflicere lineâ- Nam fi refita bxd,non fuerit in dia ab "1’wa refitum ipfius brcIconftituta:ptodufita larcin continuü refitümq;,ab ipfo blvetfus e, pet (ecundum poitulatum,non cadet ipfa bœzcum brd. Cadat et (fi pollibile fit) inter axbrôc brd. Refita igitut alb,incidetet fuper refitam eleza angulos azbzuôc a aIble,aut refitos, vcl duobus refitis æquales,pet decimâ’ tettiam propofitionêAt ui duo apguli azbzcz 8c axbtdz aut tefiti funt,aut binis itidem refitis æquales,pet hypou c thefimAnguli itaq; azbzczôt arbzd,angulis aIbzczôc axbze, C a forent pet primam communë fententiâ æqualesDem- , pro igitur oommuni angulo albtcreliquus azbzdIreli- uo azbze,pet tertiam oommunë fententiam æquaretut,maior minori,hoe eft,totü uæ patti:quod pet nonam communem fententiam cit impoifibilel dem quoq; deo ducal" Înçonucmcnsfi rodufita bre,detut incidere fub ipfa brun ditefitum cit igitut btdupfi’bIc-quod emonlttandum fileta t.Si ad aliquâ igitur tefitam lineam, atq; ad crus pufitum duæ refit: lineæ,&c.vt in theoremat . - °

Ap dînal , «même 0:43am; répvomp v,02me Pçôômc «à; and: manip ne. www in: 41mm; miam. Tbeorema 8, Propofitio .15". .1, I duæ refitæ lineæ fe adinuicé fècuerintzangulos qui citca ver: ticem funt æquos adinuicem efficient. O R O NT I V S.l[Secent fèadinuicem bina refitælineæ azb,& Cld,in püfito quidem ezdioo quôd angulus atergæc-uus citangulo bze!d,citca ezvetticem pofito.ln- cidit cnim refita cle tin refitam a!3,eificiens an los alunai cIelblduobus refitis "æquales : pet decùnamtertiam propofitionem. efita infuper blel incidens fuper i . refitam eld,Facitangulos ambra blezdxbinis itidem teo fitis æquales:per eadcm decimamtertiam propofitionê. Anguli porto qui eifdem,vtpote binis tefitis æquantut: d 8c hi Fuoq; funtadinuicem æquales, pet prima commua : . nem ententiam.Et duo igituranguli amas: oezb,duobus "15°th 0054! b’c’d! flint æqualcs. Dempto itaque oommuni clelb:teliquus azezclteliquo blc’d,Pcr tertiam communem fentêtiam cit æqualisSimili difcurfu vm°nflrablmrai9 "Sali a’eId la: cIelbÆunt æquales adinuicem. Si du: igitur refit: limez (c admulccm recucrint,angulos qui eirca verticem flint, æquos adinuicem eflî tient-mm! °P°rtcbat OÜCHdCTC- Corollarium. (Il-fine manifeflum eft,quotlibet refitas [incas in eodem püfito (de adinuicem in- terfèœntesgngulos efficete quatuor refitis æquales.

I I ème afthq prixl Meflpœ T51: fiançât: 0, muséum l même inde 7min, a. W 781105731 M «aï Mappa’Zop isi. Ibeorem 9, Propofitio 16. Mnis triâguli vno latere produfito,extcri0t angulus utrifq; 16 mterioribus &ex oppofito maior cit. O R O N T I V S. (Etc datumazblczttiigulummuius mum latas,vtpote lue,

produœtur in direfitum ad punfitumLlBER qu; d, pet feeundum poîtulatum. 1., Aio ai. itaq; Pfimadmfl primùm,extetiotem angulum azerd,maiorem eITe intrinfeoo 8c ex oppofito bine. (tritiôis pars. Secetur cnim azczbifariam in püfito e,pet decimatn propofitionem:&connefitatut bzeltefita,per primü poftulatum. u: pet (ecundum poitulatum,extendatut in direfitum vetfus fificenîrq; refita ez æqualis ipfi blc, par renia propofiçioncm. un. dem connefitatur tefita ofipetidem primü poftulatum. Cùm igitut alezfit æqualis ezc,& bze’ipfi elfzitidem. æqualis,pet œnftrufitionem:binæ itaq; avezôc elbltttangu li azezb,duabus cm8: ezfztrianguli eerf, flint altera alteti æquales.& æquos adino uicê eificiuntangulos azezbzôc cIezf, pet dccimamquino a! 4’ tam propofitionem,nempe qui circa elvetticem. Bafis igitut azb,bafi ufzelt æqualis:& triangulum azezb,æquao le triangulo Clezfiatque reliquus angulus bme,teliquo C a ezafzæqualis, pet quarta propofitionemAngulus pet» to me! ,maior cit angulo azczfiper nonam communem fentëtiam:qua toptct a: ipfo bwczangulo maior.æqua. les cnim angu i,eiufdem funt æquè minores ([Dico in! Secunda par: fuper,quôd idem angulus atczd,mai0t cit a’rbzclangulo. Diuifa nanq; bau bifatiam in punfito g,& connexa azgz tefita,produfit2iq; ipfi azgæquali gzh,connexa item czh,atq; tandem produfita ale! in k,per nunc exptefla poltu ata,citata’fq; propofitioneszhaud diffimili difcurf u col» ligemus, angulum azblg,æquum elle angulo 10h. Et quoniam angulus blCIkfin’ gulo blethzmaiot cit, pet nonâ communem ententiâ:etit a idem angulus bzcxlv ipfb atbzczangulo maionAequus eft autem alczdtangulus ipii bzcxk,per decimam» quintam propofitionê:& angulus igitur azczdœodë angulo azbzamaiot cit.0mnis ita . trianguli vno latere produfito,exterior angulus vtrifq; interioribus 8c ex op. po ito maior chChlod erat demonittandum.

v Amie 15:74wi a! .Noyww’œcfiüo et que a, 6g08p P9601614 Munie écu, qui"! ptMMpCarôwœc.42.

Ibcorema to, Propofitio l7. ,7 Mnis trianguli,duo anguli duobus refitis funt minores,om: nifariam fumpti. O R ON T I V S. ([Sit triangulum albxc. Dico in primis,duos angulos azbzczôt a"îlbzduobus’refitis elle minores. Producatur cnim bzci latus in ditefitum qu; ad Prçdpua on! punCtum d:per fècundum poitulatum. Exterior igitut angulus aÆId,mai0t cit in, fioni: pan. tetiore 8c ex oppofito aszc,pet decimamiëxtam propofitronemA ddatut vttique a eorundem angulotum,communis alc’b. Duo igitut anguli albzaa avez b, duobus angulis azczbz yod! flint minores , et quartam communem fentennam. Angult porto axcïzaazadfiuobus tefitis funt æquales,pet de« b cl cimamtettiam topofitionêlît duo igitur anguli arbre! a: a!crb,eifdem inis refitis flint minores:ijdem nanq; an guli,æqualium angulorü æquè minores exifiunt. ([Nec diflîmili via, anguli bavez De eçterisan gulorum com &alCIb,duobus itidem tefitis oflendentut elfe minotesznecnon azbzczôt cmbzangu binationibm. li,produfito az’blvel a!czlatete,0mnis itaq; trianguli,duo anguli duobus tefitis funt minores,omnifariamfumpti.Quod cxpcdlcbat demonfttate. a

a: GEOMÉT. ÉLÉMENT. casernant la, raderai; in ’ 1 muât attachoit il [4522:9 animait, v1*le peigna yovl’azp 6mm. Tbeorema u, Propofitio 18. a OMnis trianguli mains latus,fub maiori angulo fubtenditur. 18 . O R O N T I VS.I[Sit triangulum atbzccuius latus azb,maius fit awlate. te.dico quôd axczbtangulus,maior cit an le azbzc.Secetur cnim à maiori atb,ipfi minori az cl’æqualis, et tertiam propo itionem : fit’q;illa.ald. a: connefitatur czdz tefita,per primum po ulatumDiuidit itaque refita UdItriangulum aszc,& angua ’ lum propterea a! cz b . Maiot cit igitut angulus ax et b1 à angulo palud, pet nonam communem fententiatn . Ipfi ’ porto azodz angulo,æquus cit angulus a! dl c, pet pria J mam pattern quint: repofitionis :funt cnim pet cona j [5 f e ftrufitionem muscat datera adinuicê æqualiaÉtazcxbl A il i . igitur angulus,maior eft angulo azdlc.Angulus rurfum l azdzc,maior cit interiere aux oppofito dzbzc,hoc cit azbzcr angulo,per decimama (titrant propofitionem. Multo maior igitut eft angulus azczb, ipfo dlbzcdèu azbzo anguloquod cnim maiore mains cit, à fortiori videtut tilt malus. Omnis itaque trianguli maius latus, fub maiori angulo fubtenditunQJod demonfttandum luiz ceperamus. aidante: «Il», 11966601; 49. And; ’Inyévou (and Trip mon 7mm: à pégwp anime?! ûqm’Téva. v Tbeorcma 12, " a Propofitio 19. Mnis trianguli maior angulusfub maiOri latere fubtè’ditur. 19 S) R O NT1 V ([Sit turfiim azbzcz triangulum, habens angulum azczb, maior: angulopazbzc.Aio veda vice,q2 latus alb, malus cit ipfo latere atc.Si nanq; atbtlatus,non taret mains azcellet igttut vcl eidê aroæquale,vel eo minusAequiî porto nô cit azbztpfi maquoniâ anguli azszzôc azezb, pet quintam propofitionem, ê . foret adinuicem æqualesfunt autem inæquales, pet hg;- pothefinmon cit igitur axbzlatus,æquale ipfi atoNeque cria minus cit azb, eodem alczlatere: elle: cnim. angulus - azob, minot angulo azblc, pet antecedenœmldecimam ofitauam propofitionem. hoc autem aduetlàtur hypo- . - thefi.Igitut aszlatus,n6 cit minus ipfoazCzlatere-Oitêv (un: cit autê,quôd nec eidem æquale. maiuseit igitut ipfum latus avb,eodem axa latere. Omnis ergo trianguli maior angulus,fub maiori latere fubtenditut.0410d

demonlttareenfreinte: fuerat r7, 11960:0]; operæpretium. n. 1 Aral; cruchon acidifia meueœtfliflsomicpézovéç duumvirat pîTœMpCœuôpwœt. Tbcorcma 13’, Propofitio zo. Mnis trianguli duo latera, relique funt maiora, quomodo: 20 cunque allumpta. O R O N T I V S.([Eito datum azlvc triangulumDico primùm, due lateta albl &azc,fore maiora relique bac. Producatur cnim et (êcundum poitulatum, refila czazin direfitum,quue ad punfitum dzfetetiîrq; a! refita,zqualis ipfi azb,per tertii

o propofitienemôc connefitatur b!dltefita,per.ALIBER primûrpoftulatum. 1.17 Cùm igiturazb, 2;. fit æqualis ipfi azd,per confirufitionermqui ad bafin. bzdlfuntanguluæquales adin’ uicem etunt,per quintam propofitionem, vtpotewbzd, azdzb.Angulus porto v dzbzc,maiot eftangulo aszdyper nonam communem (Ententiam: igitur 8c angulo ardlbImaior.Triangulum igitur drbze,habetangulum dzbzczmaiOté angulo bzdtc. r h , - ’ . z Omnis aute’. trianguli maiori,angulus fub maiori latere ” fiibte’nditur,pelt deéimatnfionam propofitionemtmains i ’ l en in ;dte?latus,ipfo latere dtb. Arqui 13m5» dzc, arquü I a .» .eft -ip adoras: atolatetibuæ data eftenim azd, ipfi aybr . - ; aqualis,-&»vttique iungitutazc. Duo igitut lattera azbz& p A q l alcfunt maiota relique bzc.Similiter oftendemus,qnèd Vaxbzôç bzc latera,maiora (un: relique arcatq; aves: 0b, teliquo azb, itidern mariera. Omnis maque trianguli duo lattera, relique flint mariera, quomodocunq; alfumpta.

.de l 933910.40: oportuit Ml; ’ 1’366th citenderc. A .« me. . . . , . . p l : Ap’lflya’wou âôi plaît? fiefbeâîp &mdî-wfibé’rop No êuOêoa oindçAa-usdeôdipfllz au.

sœflëcrqayrô’p Murray de aftyôvou «No «gamay, ÉMETTomW imanat, pétant dit ’vingt; p Tbcorema Malin. t4, Propcfitio v . 21.. h p - , a: I trianguli à limitibus vnius latetis, binæ refitæ lineæ introra j ï film conflituantur: quæ conflituuntut, reliquis trianguli bi: nis lateribus minores quidam etunt, maiotfimque angulum con:

O R O N T I V S.([In triangule cnim une; limitibus lateris bzc, duæ refit: li! ne: dlblat dlczintrerfum,ad pdnétumd; confiituantut. Aie itaque primùtn, ipiâs Prima parti: dzblôt cita lineas refitas, minores elle reliquis axbrôc azezlatettbusil’todufita nàn ’; Oltenfio. czd,quoufq;tinebunt. fêter latus alb,in punfito quidem e,pet fieundum oftulatum: erût’b’t’ i na latera azezôc azczttiaguliazelc,maiora relique e7c,per vige imam propofitionë. Addatut ipfis azezôt azc,atq; ipfi ezc, communis de; 3C compofita igiturazbz 8c ava latera,ip,fis ezblêc elczlateribus, pet qua tram cômunem à! ’ fèntentiam,erunt maiora.Bina tutfum latcta ezbzaz ezdz trianguli ezbzd,funt maiota relique bld,per eandem vi’ gefimam propofitionE.A ddatur ipfis inæqualibus, com, g q ’ l munis dIc.ergo bina lateta ezb!& elc,binis dlbx &dtczlio a q neis refitis (unttnaiota,pet eandem quattam cômunem 4 c ’ fèntêtiam. Oflenfum cit autem, quôd atbzôt azcx lattera, ’ eifdem Eszôt eæxfunt maiora.Multo igjtur maiora flint eadcm azbzô: atellateta, ipfis drbzôc ’dtCilineist refitis, à limitibus zêta introrfutn confiitutis. ([Dico præretea, quôd an lus bz ’dt c, maior cit angulo bIazc.Ttian» Secunda par: cnim ezbzd, exretiot angulus br Ire, maior cit inteti’ore 8l ex oppofito bz ad: idem quoque angulus bzezd, interietepôczex oppofito Uan c, ipfil’ls a’zeiç! trianguli maior,per decimamfextam propofitionemlongè itaque maior cit angulus bzdiç, ipfo czazc,hoc embuât! clangulo- Igitutii triâguli à limitibus vni’us lateris, bina: refit: lineæ,& quæ fcquuntut reliqua’,vt in theoremateQiod deinonftr’are opottebat. I ’ i * -

:4 GÉOMÉT.ELEMÉNT. reôfiwppœ v, Peo’Otore ne. x «gap Mirai: d’écrit iræ: and qui; modem; infléœcq,?n’7wvop cusiüaôwuflë Jill qui: . diésai; momifie péterons” niveau, avivait FrauMPCœvoWœa’fiZê: in médiocratie appétoit mi; 6h30 unifilaire aie MirricpéZovœa’ titan,an FrauMpCmthw’. . 7 . . ’ Problcma 8, Propofitio 22. t E X tribus refitis lineis,quæ finit tribus datis refitis lineis arqua: 22. ’ les.tr.iangulum çôfttucrc, Çflpertet autem duo latera, relique cire maiora quomodocunquc a umpta : quoniam trianguli bina lattera omodocunquc affumpta,reliquo flint maiora. 0 R O T Il V S.IIDcntut ergo ttes lime: refit: a, b;& c, adinuicem ita propage fionat:,Vt du: quemodoéunque aiTumpt:,fint maiotes reliquazvt otc,a.Æ( bzipl’a c,atq; bzôc aipfa a, denique ara ctipfa bzma’iores.Oportct cnim ip lus trianguli,ex tribus refitis lineis;qu: funt tribus datis :quales,côftrucndi duo latcra;teliquoeil.c Confhuaiofi maiora,pctvigcfimam propofitioncm. Allumatur itaque refita quædam linea,ex 5m” altera patte punfito dxlimitatannfinita veto lècundum reliquam.à qua (ecêtur trcs refit: lineæ, ipfis datis fingulatim :quales,per tertiam propofitionê: dzezquidem :qualis ipfi a, cÆIautcm ipfi b,8c fIgzipfi c.Et centre e,intcruallo alité erd, Circulus dcfctibatur dIhzkzccntro rurfum fiat intetuallo fzg,alius dcièribatur circulus g!hll, pet tertium poitulatumÆt quoniam circuli ddvlczôc gllvl,in eodem funt plano,& ezfrtcfita,ab vnius circuli centro,ad centtum altetius ptoduciturznccellum cit, coi: dem circules dlllIklôfi gtllefefe mutuo interfecare.Si manque minimè (e feutrent, - . . (cd ce adinuicem tangctent,vtpotc in punfito h:tüc re- êta ezfl ipfi b! :qualis,vttiufque circuli lcmidiametrum ’ necellatiocontincret. quapropter a duatum refitarum . ’aIGK clmagnitudinêÆiTct cnim crhlpars ipfius erfiæqua» 1 r lis drc,& proptcrea ipfi a:pars quoque hzflipfi fig, a ipfi Î p . . f p ergo cæqualisquemadmodùm ex decimaquinta diffini . tiene,& prima cômuni Entenda deducerc vcl facilè cit. Bina ergo triâguli latcra, cirent :qualia tcliquozcontra datam hypothefin,& vigefimam propofitionê. Lon- ge item .maius inconucniês fequctcturwbi circuli ipfi vtcunquc dtitarc pone têtu t. 4 eût Igltut circulas drhzk,citculum glhll.efl’o (èfitionum altera in punfito h: &cô- ncfitâtut refit: ezhlôc hl ,pcr primam poftulatum.Tria . angulû cit igirur ezlv E dico quèd ex tribus refitis lineis problematù - , . 4 côitrufitü,qu: flint tribus dans :quales.Cùm cnim pun °fimfi°- ) fitum czfitccntrum circuli dlhzk::qualis cit dlezipfi ezh, pet decimamquintam difiînitionê. ipfi porto dl e, fefita cit :qualis ipfi a.Bin: igitu t, hoc cit mât elh, eidem refit: drezfunt :quales:quaproptet a :qualcs adinuicem, pet primam communem (ententiamezfzautcm, ipfi b! . I data cit :qualis,pcr confirufitioncm. Rurfum quoniam .Puïïâum ficcntrum cit circuli gthllzæqualis cit fzhripfi ftg,pet candcm dccimam- h qumtam diflinitionem. ne autem 0g, (téta cit :qualis ipfi c.Érgo lev ôte, eidem ingfunt :quales:igitur à: :qualcs adinuicem,per eandem’ptimam cômunem fen- tçlltlam-Tres igitur refit: line: czh,exf,& fzh,ttibus datis a,b, a: c,funt adinuicem æqualcszôc confiitunnt triangulum czhlf. Ex tribus igitur refitis lineis exh,ezf, 8c filant tribus datis,hoc cit,a,b,& c,funt :qualcs,côitrufitum cit triangulum czhzf- de faaendum fufccpctamus. Ï

PeôlàkupœLIBER 6, retienne gy. l. i a; I l Pô; fi modernisée: «à rônæùâwü «m’a» "a? WMWWVÏOEMWPWJWP W viap êufiüpfœppop müôcæw. Problema 9, Propofitio 2.3. 2, D datam refitam lineam,ad datümque in ca punfitum, date angulo refitilineo,æqualem angulum refitilincü confiituete. O R O N T I V SIISit data tefita linea azb,& datutn in ca punfitum b,tcfitilincus petto angulus Cid!c:cui tcccptum fit, ad datam punfitum b, dat: refit: line: arb, :quum angulum refitilineum confiituete. Sufcipiatur itaq; in tzdzrefita centingês Fi M punfitum,fitq; illud czin d!ezquoque refita,centingcns punfitum, 8c illud fit c.cônc’ rag-ï; con fitatut deinde refita de, pet primum poitulatumEx tribus deniq; lineis refitis azb, bzf,& fla, qu: fint tribus datis,hoc eft,ipfius dere trianguli latcribus :qualcs, vtæ pote albzipfi od,& brfzipfi dze,atque fzaxifpfi clc,ttiangulum côftruaturazbzf, pet præcedétê vige imâlècundâ topofitionê. Dico an lü azbzfiæquü fore ipfi angulo to czdlc. Cùm cnim in: 5123:2: W [a d litre: refit: albxôt bzflttiâguli azbrfiduabus lineis tefitis ’ czdIôfi dzczttianguli etdle, intalreta alteti :qualcs,bafis quoquc arfibafi UUPCI’ conflrufitienem :qualiszerit an» gulus azbzfiangulo czdlezfub :qualibus refitis lineis con tcnto,per ofitauam propofitioné, :qualis Ad datam ergo lineam tcfitam abat datum in ca punfitü b,dato angulo refitilineo czdze,:quaa lis angulus refitilincus axbzfzconltitutus cftQiod feciflè oportuit. ’

A!) No clairon: acidifiaeidem: ranimait; qui;il, «fluai retisser; mimerait 76a; inadl. taxa-épais âme-(erg, qui: E dièyww’œp flic wviœe’fua’lom in; ’leù «2255 æïawp N°951: WEXONlUIflal du: Mary ’ ail; 6éme [teflon 3:4. Tbeorcma 15, Propofitio :4. :4 SI bina triangula,duo latcta duobus Iatetibus :qualia habues tint altetum alteri,angulum veto angulo maiorem fub æquis mais lineis contentum:bafin que ; bafi maiorem habebunt. 0 R O N T IV S. ([Sint bina triangula aIbzc, a: dIclf, habcntia duo latcra duobus latctibus altetum altcti:qualia,vtpotc,a1bripfi des: azezipfi dzf: fit’quc an» Eulus qui ad a, maior angulo qui ad d z fub :quis larctibus contente. Aie itaque, afianCIttianguli aIbzc,mai0tem elle bali cÆzttia’guli dzezf. Qyoniam angulus calma-i0 fi. . bta!c,mai0t cit angulo eldxfipct hypothefinzad datam ergo lineam refitam ezd,ad par: getter» datümque in ca punfitii d,dato angulo refitilineo bxazc,:qualis angulus refitilineus ” conitituatur cIdI , pet vi efimamtettiâ propofitionethtiq; demum axcz a: dÆ, :qualis ponatur I ,per ecûdamaut tettiam topofitionemxôncfitannîtq; refit: etglôz ng,pet fecû um peitulatû. Etunt itaqiina latera azbzôc axezttiâguli athc, :qualia duobus latetibus d!e!& (llgltrla nguli dIezgzaltetum alternat qui fub eifdê latctibuscontincntur anguli adinuicem :qualcs,pet eonftrufitionem. Bafis igitur a a a b! c, bafi cz g, pet quartam propofitionem cit :qualis. a ([His ita pr:milfis,quoniam trianguletum adinuicem i com pa tatoru m, varia contingit ha bitudozpotctit itaque refita ezg,diuerfis inciderc modis,vtpote, aut in direfitû . c--È .ipfius ezf, aut fupra,vel infra.Cadater o primùm in te» Nm", me, fitam ezf,vt in hac prima figur: difpo irionngttut cum rend! modus- g . . . . . c].t .

26 GÉOMÉT. ÉLÉMENT. in triangule dzerg, ab angulo qui ad dz in oppofitum la- n tus erg,rcfita producatut dzfidiuidês tum ex hypothefi, tum ex confltufitione ipfumezdrglangulüzdiuidet quoq; . - ipia adzf, bafina et g, in punfito quidcm f. Bit itaque bafis czf, pars ipfius et g: a prOpterea ipfà eIg, maior eadcm czfypcr nonam communem fententiamlpfi porto cxg, :qualis oitëlà cit bzc:8c bIczigitUt bafis,maior cit bafi ezf,per conuetiàm En: c6» man, m0 munis fèntëti: intetptetationemlIQJôd fi engrcfita inciderit fupra czf, velut in , du. (ècûda figurazfiet triangulü e!f!g,ex tribus bafibus côftitutum. Et quonii triangu li dIfzg,latus dlleateti dIg!eit :qualc :æquus etit et dzfzg! angulus,angulo dzng, pet quintam repofitionéAt ui dlgtfza ngulus,maiot cit an le ergrfipet nonam communem ententiamzôc dl Igzitaq; angulus,maiot etit ce cm an le czglf, pet candeur (en: cemmunis Entends; eonuerfioncm.Angulo turfum Æzg,maiot cit a d an ulus czfzg,nëpe totus fua pattczôc propterea ipfo an- ’ - gu ochlfztantô maior. Omnis porto triâguli mains la - tus,fub maiori angulo fubtenditut, pet decimamofitauâ propofitionë:maior cit itaq; ezg,ipfir ezftrcfital’tæolten’ (nm cit autê q: a: bzczipfi CIgIcoæquaturzbafis ergo bzc, Tm’mfius 3 bali clfxconfcquenter cit maior. ([Cùm autë elgrfub eaa dem clfivt in tertia figut: difpofitione,cccidcrit:idë etiâ c oncludctur’. Nain in triangule drug,à limitibus latetis d !c,bin: refit: line: dlfI a: clfzintterfum confiitucntutzerunt itaq; dzfrac ezfzrcliquis ipfius trianguli laterio bus dzgz’ôc etgtminotes,pet vigefimamprimam propofitioncm. Subdufitis ergo «me: d!glinuicem :qualibus:qu: telinquêtut etunt pa- . a a tirer inæquales, exgz quidcm maior czf. Ipfi potto exg, :qualis môlttata cit blc:côcludes ergo rutfum,btcxba» fin fore maiotêipiâ bali eIf. Igitur fi bina triâgula,duo lateta duobus latetibus :qualia habuetintaltetum alto IlfingUlum veto:8tc.vt in theoremateCëled oflendetc 15T. c z fuetat operæpretium. . ce) Juin (tripang ante (fluo Merlu:«situât; ouïe (fluai 4s, devenue neôeme. 765c Ële-îlfiœ’fieflp ne. barège, qui: 602011: du mît Morue mon: habitai Titi: ywu’œp aie yetiœa’ p.920»: 2E9: «tu «(zut il? ï: cap eueaap WXONup. . - fi " Tbcorcma t6, Propofitio 2;. I v l bina triangula duo lateta dUObus lateribus æqualia habue: 2.5 rint,bafin veto bali maiorem:angulum (tioq; fub æqualibus refitis lineis contentum,angulo maiorem ha cbunt. , O R O N T I V S.I[Dentur inquàm bina triangula azblcÆt dIesz, habcntia duo i lacera albzatak, duobus latetibus dlelôt dzfzæqualia altetum alteti,vtpotc,a1ba°pfi dzc,8( achipfi dzfieito autê bxcxbafis,maior ipfa cÆ A io veda vicc,angulum bzazc, angulo ezdxfreflc maiorem. (àponiam angulus blalcznon poteft in primis :quao lis e e angulo eIdtfibafis cnim b1e,bafi czfrpcr qua tram propofitionemforet :qualis. Éft autem szzbafis, maior ’ . ipfii czf, apet hA pethefin. . Ncq; turfum angulus b! am, ’ « miner erit cm angulo erdzf: quoniâ bafis brc, miner i 1’ c f itidem foret bali elf,pet antccedentê vigelîmamquartî

’ IL I B E R I. . 4 a7 propofitienem.Atqui data eûmeiottnon cit igitur angulus bzalqipib erdzfxangulo minor.Patuit autë g» nec eidem :qualiszetgo maior. , Si bina igitur. triangula duo latteras: teliqua,vt in theorematc.Qiod erat demonflrandu . ’ . l " 7 ’ h i le, varierai; ne. Ap Mo æiyavœ de du; ywviœe’ and; fluai 7mm; 76;; in auna-geai, mafia, m1 FM . mimeizpptë W95? ïdnüaï’nl ne: qui; ictus portants, i 7M: «(z-amouggl, W pianos? ïaopyetiëpnœd fraie zieutât; mimait; qui; Mamie mexiç in; 12g ana-(ex? gang. germent Tibia Marty miam Mimi paviez. I . . Tbeorcma t7, Propofitio 2.6. 26 I bina triangula,duos angulos duobus angulis alterum alteti :qualcs habuetint,’vn15mq; latus .vni lateri :quale,aut quod æ uis adiacet angulis , lautiquod fub vno :qualium an ulorum fultenditurzteliqua quoq;’latera reliquis latetibus æquafia alterrî alteri,ôc reliquum angulum relique angulo æqualem habebunt. O R O N T I V S. IISint duo triangula azbrcr a: dzezf, habëtia duos angules qui ad latus bzc, duobus angulis qui ad latus cri? altcrum altcri :qmles,vtpeœ,azer ipfi dlCr’fiôi alczbripfi dzfze,vnum pt:terea latus vni latcti :qualc: primo quidcm quod :quis adiacet angulis,hoc cit b4cx ipfi exfiDico ptoptetea,quod a: reliqua la- Prima partis tcra reliquis latctibusalterum alteri ha chût : ualia,a!bzquidem ipfi dre,& am 2m33"? ipfi M: atq; reliquum angulum bzazc,reliquo cz fz :qualem. Si nanq; albznon potl’icfi la; erit :qualis ipfi dxez’afltera earum maior etit,vtpote’azb.poterit igitur à maiori tu". azb,fecari,ipfi dzemiinïoriæqualis, pet tertiâ propofitionê. Abfcindatut etgo,fitq; bzgzô: connefitatur ngztefita, et primam itulatumBina itaq;latcra gzbzac bxcl trianguli grblc,duebus latetigus dzezôt cz [trianguli dlelf,erunt alternatim :qualia:8c qui ad b!& elfub :quis latetibus continentur anguli,adinuicem :qualcs,pet hyperhcfimBafis i itur ng,bafi dzf,& tcliquus angulus gœxbzteliquo qui ad f(fub que latus :qualc lâbtenditur)etit pet quarta propefitionem :qualis. Eidem para te qui ad frangulo,: uus citangulus arczb,perhypothcfin.duo i ituranguli azczbr 8K grwb,eidem qui a fzangulo etunt :qualcszôc propterea :quaîes adinuicem,per t primam communem [Ententiam totus itaque angulus, (u: parti :quabitut:quod pet nonam communem fententia cit impofllbilc.Non cit igitur azbrmaior ipià dre. fimilitet oitendctur,quôd neq; minor.ergo :qualis- Et p ’ quoniâ bzczipfi czfzpet hypothcfin cit :qualis: ina ideô lateta azbzôc blÇftl’Îâguli azbzc,duob9 latetibus dzezôçezfzttiaîguli dzerflfunt :qualia altcrum alternat :quales qui ad brôc ezcomprehendunt angulos,pet hypothco fin. bafis itaq; aIc,bafi dxf((èu reliquum latus,tcliquo lateti)atq;teliquus an lus braIc,reliquo czdlf, pet quattam propofitionem :quatur. l[Sint.aut.ê qu: ub al» Emfï tcto :qualium fubtenduntur angulerum latcra adinuicem :quallafalicet axb,ipfi fe da h):pos dle.Aio rurfum,quôd 8c reliqua lateta,reliquis lateribus habcbunt :qualia,altetü thcfi largua alteri,vtpotc azoipfi dzf,& bzczipfi ezf: arque reliquum angulum qui ad an relique qui ad dzæqualem. In primis enim,fi bzcmon fuetit arqua is ipfi ezf,alteta maior etit:e(toyetbi gratia ezfïpotetit ergo ab eadêmaioti czfifecati :qualis ipfi minori blC,PCt’ terriâ propofitionê. Secetut itaq;,8t fit ezhzconnefitatiîtq; drhzrefila,pet primum poitulatum. Étunt igitur bina lateta wbzü bzcz trianguli azbzc,.:qualia (3.1].

.3 4 GEOMET.ELEMENT. duobus latex-film; drus: exhztrianguli-dzelhlalterum alteri:&:quiad bla ezfub eifdê :quis latctibus continentur anguli’,funt pet hypothefin adinuicem :quale’s ; Bafis ergo azc,bafi dth: a teliquus angulus azcrb,teliquo dxhlcfifub quibus :qualia rab». tendûtur latera)pet qua ttam propofitienê :quabitur.Angulus porto dlfxc,eidem a" me azczb,pcr hypothefin cit :qualis. duo ttaq; anguli dzfzezôc dzhzc,eidem an» gui quiad czcrun’t :qualeszôc :qualcs propre rea adinuincem,pet primam cômu» 0 a i ncm fententiamln triangulo igitur dzflh,produfito fth a i lare te, cxtetior angulus dzhz c, intetiori 8c ex oppofito dxlev :quabitut an le: quad pe tu dccimamfextâ pro’ pofitionê cit impolli ile.Non cit igitur ezfimaior blcfi’ b f mili difcurfu monitrabitutq nec minor.:qu’alis cit igi . tut bic, eidem ezf. eftautê 8c aszipfi dzez pet hypothe» fin :qualis. Bin: igitur azblôc bzc,duabus rurfum drczôc cAfr’funt :quales alteta ab V teri:&’:quos adinuicem pet eandemhypothefin capiunt angulos.Reliquum ergo latus azc,tcliquo dkflhoc cit bafis bafi,atq;teliq11usangulus qui ada,tcliquo qui ad, d,refpondenter :quatur,per fæpius allegatamquattamptopofitionê. Etge fi bi» na triâgula dues angulos duobus angulis alterum alteti :quales habuetinnôt qu: fèquuntut teliqua,vt in theoremare.Quod oportuit demonittaffc.

Ap de.0 (No eeéeupaiueéœa’ émiât: ipnrfwTaŒ: tu, «à; I GîœMàzE il retienne ywtiow’ in: datam 01085,.meé2ÂP- x2. . - - » - Mi iourtocc-àl’ÀûMac d’1 iveêœa. . Tbeorema 18, v Propojîtio 27. p , . I in binas tcfi’tas lineas refita incidens linea , altçrnatim an: 17 gulos æquos adinuicem feceritzparallelæ adinuicem ipfæ te: fit: lineæ etunt. 4 o R o N T IV Saumur: refitæline: aimeras: in a. en. etfitefita, et: ficia’tq; alternes angulos azcxfrôc ezfidzæquales adinuicemAio qued azbztefita, pa» rallcla cit ipfi czd. Si nanq; minimè forent patallelæ:ptodufit: tandem in ali ua patte conuenirent,pet conucrfam vltimæ diflînitionisËConcurtant,ergo(fi pelain» lefit)ad partes b, d, in punfito quidcm g. Efficietur itaq; triangulum ezfz cuius cxtetiet angulus azerfiinterioti 8c ex oppofito czfzgzæquabitur:quod pet ecima” fextam propofitionem non videtut elle poilibileNon côueniunt igitur azb, &od, ad partes b,d. neque fimilitcr ad pattes a,c:idem nâq; (ca a Re quetctur inconueniens. Q1: autem in nulla parte con. ’ --” g ueniunt,pet vltimam diflinitionê cxiitunt parallel:.Igi- tut azb,patallela eft ipfi ad. Si in binas ergo refitas li- c fX ncas:& u: fe uuntur t li vt i th r mate. uod etat oitcndendum.q q e qua, n ce c (L I

A? au .(NO eidem: 69W aimez êfiqfifimflfi’ ne, Êüfiflwvlflv’ïfiü’ù’ retienne Kari àmvoarriop un. [9d fifi qui ’àtmt pieu ïnp «alibi nitrifiât. Ô âôi ont 5mm) pieu dlvaipôeûœîc leur; mimqrzxefl. MM: «infirme t’auras: ad «au. Tbeqrema 19, Propqfitio ’28. I in binas refitaslineas refita incidens linea,exteriorem angu: 2.81 k lum interiori 8c eppofito ad eafdem partes æqualem fecetit,

L l B E R ’ l . ’ ’ 29 aut intctio res 8c adeafdem partes duobus refitis çquales:parallelç crun t adin uicem ipfæ refitæ lineæ. i O R O N T I V S. ([Sint rutfum bin: linea: a1b,czd:8t in cas incidens exfrrefita, cfficiat primùm exte tierem angulû ezgza, interieri a ex oppofito ad eafdcm para tes gzhzoæquale m.Dico,quôd axbxipfi admit arallela.Angulus cnim glhxc,angu Prima partis le exgzazpet thothcfin cit :qualis.eidem tu um angulo elgza,:quus cit ad ver, °a°°fi°r ticem pofitus zglh: pet dccimamquintam propofitionê. Anguli tri) qui eidem :quâtut angulo,:quales funt adinuicem: pet primâ communem ententiâ.Anguè lus itaque bzgzh,:quatut alterne gIhchatallela cit igitur azbzipfi czd,per vigcfi» -c mamfizptimam propefitioncm. ([Sint tutfum interio’ Demôflratio J res and eafdem pattes azgllv 8c gxhzczan uli,binis .re’ M49 1mm a A 5 fitis :qualcs.Aio rutfum,quôd a eadcm aziipfi admit e i 17---3 parallcla. Anguli mnqsazglhz 8c bxgzh,duobus itidcm p refitis æquârut, pet dcumatntertiam propofitionê. Qgi f autêeifdem,vtpote binis refitis,funt:quales angulus: adinuicem funt :quales:-lpet primam communem fèntentiam. Duo itaque anguli alglh!& gxlvc,binis angu is algzhxac bzgzhzfunt :quales.A quibus fubdufito com: muni angulo axgzhnieliquus brgzh,teliquo 8c alterne angulo gzlvczæquabitunpct tertiam communem fententiam. Parallela cit igitur atbz ipfli 0d :per eandem vi’ gefimamièptimam propofitionem. Si in binas itaq; refitas ’ cas,tefita incidens li: nea:&c.vt in theoremate.Quod demonittate opettebat.

, 9:33vaée date «urgemment u, tueéoœ’ 11966101; Mât: âprniw’foum, anis: damât; no. renvida in: «imam , armé, and du) émût rit? citât and. ânovwaiopmgd ont damai: pie» loupage! qui; du? au). dût qui devrai Fig» chair; ôçeæîç i’datç. Tbeorema zo, Propofitio 29. v 29 . N parallelas tcfitas lineas, refita incidè’s linea: 8è alternatim an: gu os adinuicem :qualcs,8c cxtcriorem interieri 8c oppofito 8c ad cafdem partes æqualem,8c interiores, 8c ad eafdem partes duo:

busO R 0 N refitis T I V S. «au: æquales alb!& CIdzinuicem efiicit. patallel::in t quai. incidat tcfita cÆ. Dico primùm,q; alternatim fumptos angulos eificit :. uales:,vtpotc,3’glh’ÏPfi P’Îm’ÏhËW gxhxd. Nam fi azgzhznô fuctit :qualis ipfi an logxhzdzalter cetum maior cric. mm Pa"- ito maior(fi fieri pollit)azgzh:& vttiq; inæq ium anguletum,communis adda-i tur blgxh.Compofiti igitur anguli bzgzhzac gxhzd,ipfis aghas; bzgzhzangulis mi- . notes etunt:pcr quartant communem fententiam. Anguli portoalgllvôc bzgrh, - binis refitis fiant :quales:per decimamtettiam propofitionëlgitur brg!hz& g! (d! anguli, duobus refitis crunt mineresln refitas et e lineas a! bz a: czdirefita inti» deus elf, interiores 8c in eadcm patte angulos duo us refitis minores cflîciet. Con». uenient itaque tandem azbzôt czdz refit: line: in infinitum produfit: , ad pattes b, d: non .crunt ergo parallcl: , pet conueriàm vltim: diifinitioniso Hoc autem ’ 1 U " ’ ’ ’ aduetlàtur hypothefitæqualis cit igituran lus azgzh, b alterne gz d. ([Aio tutfum,eandcm Cl l refitam en Pars cette. l tcriorem angulum , vtpote a g! b , interieri &oppofie ’ te 8c ad cardent partes îzhld,.angule :qualcntcflîccxco, . p l Angulus fiquidcm erg! ,ipfi ad verticcm polît? 1’543: a t; ’ pet decimaniquintam propofitioncmeft :qualis:PawK I ou].

30- GÉOMET. ÉLÉMENT. 4 I f0 ’ qued8c gxhld. Bini itaq;anguli ezgzbzôt g!hzd,eidcm azgzhxfunt :quales:quapropter 8K :quales adinuicê, et Tertia pars. A primam commune fententtamalIcho tandem,quo 8c i a interiores 8c ad eafdem pattes fumptos angulos,vt o- T ’ tc,axgzlv& glhzc,binis refitis :quales efficit. Oftcniiitn , il . cit enim,qued angulus azgzh,altetno gzhldzcit :qualis. cômunis vttiq; :qualium addatur angulus gzhzc.Bini igitur anguli axgzhzôt gllVC, duobusa angulis gzhzczôcb glhzd,pet (ècundam. communem. lèntêtiam. adæquantut., Eifdem quoq; angulis Emma: gzhrd,bini refiti (ont :quales: pet decimamtertiam propofitionemlît azgx zigitur atq; glhlcranguli,duebus refitis,pet primam cômuo nem fententiâ coæquantut. In parallclas igitur refitas lineas,tefita incidens linea: a: alternatim angulos:& qu: fèquuntut teliqua,vt in theoremate . de opottuit

(Q1:demonfimflè- igitur in parallelas refitas . lineasCorollarium. incidit, a: in altcram petpcndiculatis exi- itincum reliqua itidcm cadit ad petpcndiculum.

v’I fifi eidem: éveil irisée; meénuîsoiflad ne, émana; Fedetarc éd Mariannes . 7L Tbeorema ’ 21, Propofitio 30.

V: eidem refit: lincæ parâlleli: 8C adinuicem funt parallcli. 30 O R O N T I V S.([Sit vtraq; arbzôt cld refita,eidem exf’parallela.Di- ce azbzipfi czdÆore itidem parallelas.Coincidat cnim in ipfas lineas,tcfita quædâ glhlk. Cùm igitur ptæfat: lime: in eodem exiftant plane, a: refita gIhI incidat in azbzôc czczpatallelaszcrit angulus alglh,altcrno glh’flæqualis,pcr primam pa ttem vigefimænon: propofitionis.Rurfum, quoniam refita glkl incidit in czfzôt cldlpa- i rallelas::quus etit interiot St oppofitus angulus hlkzd,exteriori a: ad eafdcm partes,hoc cit, eidem gIhIfIangulo, pet fëcundam pattcm i ’ eiufdê vigefimænonæpropofitionis. Duo itaq;an li alglhzôc b!kzd,hoc cit,a IgIkÆfi glkId,eidë angulo gît? funt :quales: a: :quales igitur adinuicem, pet primam communem fententiam.Sunt autem algxklôt gzkzdzan.. . . . uli alterni,à tefita gxkzin aszôt eldxtcfitas incide’tc eau» firi.Parallela cit igitur. albllpfi ezd,pct vigefimamlèptima m repofitione’. u: eidem igitur refit: line:patallel:: &adinuicctn flint paralle :. Quod opottc t oitenderc. 4 ’ V Corollart’um. (En: vni igitur parallclarum cit parallelatalteri quoquc parallcla cit. * a l . l Peôfiîsup: . l, Pedetine Nt. l A A176 a? «même? alose" ëueéqc meaêhtxuhop îueëœp kappip Wëp. ’ t , .2 ’ nomma to, Propofitio 31L a I r Et datum punfitum,datæ refit: lineæ parallelam refita’m linea 3: P’ am ducere. 0 R0 N T l V S.IIEite datam punfitü’ azdata veto linea refita,cui pet a! punfitiî 4 eportcat duterc parallelâ,fit brc.Sufcipiatut ergo in bchrcfita, côtingens punfitü d: &connefitatur azd’rcfitaàperlptimum poflulatum.Ad datam infuperlincam aId,& in ca datum punâum a. atoangulo refitilinco azdlb, :qualis angulus refitilincus

ï canitimarur dxaz et petL vigefimitettiampropofitidncrnal B É R l. gr 3.7.4..-..-...e Ét quoniam in refitas azexatq; bxcx refita incidit a1 d, effi- e cicns alternes angulos :qualcs,hoc cit aIdIbzipfi duvet haï-fic parallela cit igitur azezipfi bzc,petvigefimamfeptimatn l . rptopofitionem. Pet datum itaque punfitum a, dat: te; fit: litre: bxc, parallelam duximus aze.ded expediebat facete. eidem: ’ufl», redent; M5. AVTÔÇ afzytâvou plaie T51: margay MÆMOéa’uc, à irai; ravine «fluai and; citai; me! domanial; in 35.6 ont du): üag’tyfiitou fée wvi’m,diuai ôgeœîç ïaoa au. Tbeorema 22, Propojïtio 32. 32 OMms trianguli,vne latere produfito, exterror angulus binis interioribus &ex oppofito cit :qualis: -8( trianguli tres in; tet10tes an guli,binis funr refitis æquales. - 0 R O N T I V S.I[Sit triangulum a!blc:cuius vnum latus, vtpote blc, produca’ Prim: illatio tutu) d,pct fècüdum poftulatu.Aioprimi1m quôd exterior angulus alczd,binis inv ni: dcmôitraa p rio. tctiotibus a: ex eppofito,hoc cit albzc, a bzal czangulis cit æqualis-Ducatur cnim pet datum punfitum c, data: refit: line: alb,parallela cze: pet trigefimamptimam ptmfidonem.Qionùm igitur in azbtêc crelpa tallelas,tefita incidit alczæquus cit angulus bIaIc,altcrno am, pet prima pattern vigefimænon: propofitionis. Rota ru"liqueniam in eafdem parallelas asz a: cze,coincidit refita brd:exterior angulus emd,æqualis cit interieri 8 opp fito,& ad eafdcm partes azblc,pcr fecundâ par» t5 ciu dem vigefimænon: propofitionis.Portô fi arquai ’ S libus angulis,:quales addâtur anguli: qui inde côfut ë: 0 etuntadinuicem :qualcs, pet lècundam cômunem en- . I têtiamTotus igitur angulus atcxd, binis interioribus 8C oppofitis azbzczôt bIafczan’gulis eftæqualis.([Dico infu» Secund: par: L - .L----1 tis vcl marie: . per,qued eiufdem trian i ttes interiores .anguli,binis ni: oitenfio. flint rcfihs :quales. Permit cnim exteriorem an um alcld, :quû cire duobus au». gulis a’b’C’& blâÆQuibus :qualibus angulis, l idem communis addatutangulus i azerb:erunt pet (ècundam communem (Ententiam,ttes anguli azbtc,bzalc,&aIczb, filiales binis angulis ambla: azCzd.Eifdem potto angulis azCIbzôl axczd, due refiti Mdem æquina? a"glllliper decimamtertiâ propofitionâTres igitur anguli alblc, b’a’caa 3’C’bitl’iangUli aybzc,per primam communem fiententiam,binis flint refitis annales-Omnis itaque ttiâ li,vno latere produfitozlêt teliqua,vtintthtemate. de oportuit demonitta e- ’ Corollaprium. l ’ l [Il-fine fit manifeitum,cuiuflibet trianguli ttes angulos, :quales elfe tribus. angu; . g . ’ lis alteriùs cuiufcunq; trianguliaiempe quèdeifdemwtpote binis refitis vttobique fint :quales.’ .1 i w . ,.. AI "au; ïaœsëp la»!p (amezzanine . Gabarit: étant pieu Emidbyvüsaaa un newton Môme") acquitta7x7. T: P , mmeéMNÀÔlèafo- . v I i insu]... l i , Tbeorema 23, . Propojïtia . . 3;. ’ q A - 33, v a Quas &(parallelos,ad eafdem partes refit: lineas Coniungês; teszôc ip æ æquales &patallelæ (une - . v - 0 R 0 N T IV S. [[Sint :quales &adinuiccm parallel: refit: linc: alb, a: ad: c.iiij.

3: GÉOMÉT. ÉLÉMENT. quas ad eafdcm partes coniungant refit: aIc, a: bzd.Dioo azc, bzdIrefitas fpre adinuicem :qualcs a parallclas. Connefitatur cnim bzcrdiagenius,pet prima poitu» latum.In datas igitur azblôc 0d parallclas,tcfita incidens bzc,efficit alternes angu» los arbzczôc bzcldx adinuicem :quales: et rimam partem vigefimznop: propofi» tionis.Eit autem albzrefita :qualis ip l a ,per thethcfinæt vtrique comunis bzc. Bin: igitur azb, 8c bzcx trianguli az bzc, duabus lCl a: crdr trianguli bzczd,funt altcta alteri :quales: a: arques adinuicem continent angulos, ncmpcalternos a! blC.l 8c brodPet quartam ergo propofitionem,bafis aIczæqualis cit ipfi bzd:atquc telle nus angulus a! e! b , relique Cl bx dz :qualis , Ytpotc ’ 5 ub quibus :qualia fubtcnduntur lateta. In refitas itaque ’ lineas axczôc bzd,tefita incidens bzc,e&icit alternes angu» les azezbzôtczbzdzadinuicem :quales-patallela cit igitur c a ara refita ipfi bId, pet vigcfimamlè rimam pro lino» nem.Patuit autem g; a: eidem :qualis. Acquas igitur 8c patal clamât qu: equun- tut teliquamiod demonftrandum fuitepcramus. l 09459111»: mil , relierait Mi. r Trip meœnumoyfaêppwp xweiwp ad &WMW’Tl’op mâtent! me G yoviœtflaaa 5mm; écimoit in www dans: dix: ripe. , . Tbeorema 24, Propafitia 34. Atallelogtammomm locoru m,latera qu: ex oppofito,8c,ans p guli :qualia funt adinuicemzëc dimetiensea bifatiam feeat. Prima part. O R O N T I V S. [[Efto datum parallelogtammum an!cId:illius veto dimetiês bzeAio primùm,ipfius arbzczdz parallclogrammi latera qu: ex oppofito, 8c angulos fore adinuicem :qualiaJn parallclas cnim azblôc czdzrefita incidens bzc, facit alo ternes angulos azbzczêt bzczdz :quales adinuicem: pet primam pattern vigefim: non: propofitionis. Eadem quoq;bzcz incidens in parallclas amis: bzd, eflicit turo fum alternes angulos ambra: czbzdz adinuicem :qualcs, pet eandem vigcfimam- nonam propofitioncmDuo itaque tiangula a! b! a &bz a d, habent duos angulos» duobus angulis :qualcs altetum al teri:vmîmque latus vni lateri :quale,communc fcilicet bzc,qued :quis adiacet angulis.Reliqua igitur late ta reliquis lateribus crût :qualia alterü altcri,hoc eft,arbzipfi czd,&azczipfi bzdzatque teliquus angulus qui ad azreliquo ui ad dz :quabitut,pet vi efimamfextam propefitionem. Monfttao, uimus autem inos angulos qui circa b, uobus angulisqui circa clfore alternatim :quales: totus igitutangulus qui ad b, toti qui ad c, et fecundam communem [En tcntiam :quabitut. Parallelogrammi igitur az bx c1 ,la tera qu: ex oppofito,& ano Pars feelîda. a - I A b i :quantur adinuicem. IIDico t:tctea,quèd a dia mctiês illud bifariam fècat.0iten a cit cnim azbl:qua’ lis ipfi cId, atque a! c x ipfi bz-zd : e’ftque bx cz communis; c J Bina itaque triangula a! l)[ cz 8c bx cz d, habent fingula latera fingulis lateribus :qualia : et ces ui fub :qualibus lateribus continentur angulos (vti nunc monfttauimus) fingu atim :qualcs, vtpore arbr ex ipfi bz cz d , a: az a bx ipfi abz d:atque cum qui ad a! ci qui ad d! - :qualcm. Conuenit ergo triangulum alblC, triangule bwd. qu: autem fibimct» ipfis conueniunt, :qualia funt adinuicem: pet ofitauam communem fententiam. Triangulum igitur axbzezttianâilo bzczdzeit :quale.Dimcticns itaque bzc,datum parallelegrammum arbxczdlbi riam fethçod oitendendum fiictat.

eidem: tu,LIBER Feo’Oeaic M. I. 33 TA mennuhôyfœppœflûûôi «il; émis ténue 6m, and ci qui; amuï; «unanime, d’un .damnai; . . .Tbcoremar . 2.5, Propo trio 3 5. - Arallellegramma in eadcm bafi 8c in ci(dem parallelis exiitë;

011g.Ïtia,adinp;icem 9351 T I VIS-QISint parallgogtaçnma fu azbzezdz ne: ôtczdzezf, ualia. in eadcm h bafi1 Czd,4 arqugineifdgm parallclis azfzêtczdzœnfiimu Dico azszzdz parallclogrammum, :quqtneilcg dz..quparalle19grammo. Secet cnim in primis latus vnius, vtpotc. Prima (hm cz egltetius latus;.bz.d,.in punfitoquidem g.Ét quoniam parallelogrammorum Io. matis diffa! corum latera qu: et; oppofito Grilladinnicem :qualiaÏet trigefimâquattam pro: da. , pofitioncmzvtraqqeigttur azbzêg ez,f,:qualis cit ipfi cz lia,&adinuicem fiant. :qualia,i p Q1: paptimam autem communem eidem(ententiam: :qualis :qua-l cit igi. tut azbzlipfi ezf. Çomtnunis addatut bze: tota igitur azc, toti bzfz cri: :qualis, petfecundam communem fèntentiatn. Éft autem &azc, ipfi bzdzæqualis, pet eandem trigefimam quatrain propofiçiqnemÆin: itaque azczôç azc,ttianguli azcze,duabus . bzdz à: b1 fz trianguli bz dz fz :quales funt altera alteti: a :quos adinuicem continu nent angulos, nempe extetiotetn dz bz fz interioriquiad a, pet fècundam pattern - :vigefitnænon: propofitionisBafis itaq;czc,bafi dzf, pet 3»-- i u quatrain pro fitione cit :qualis. atq, triangulu azczez. D7 tria ngulo bz f. A quibus fubdufito aommuni triangule (3-5. bzczg:tcliquû f trapeziû . azbzgzgteliquo. . . tta. zio. ezfzdzg, - t c 4 pet tettiam communem fententiam : ua itur. Eifdcm mtfutn :qualibus trapezijs , commune adijciatur magnum cz z g: cenfutgent a] hmm], a czdz cz fz Parallelogramma adinuicem :q la, pet fesundatn comma, nem fentcntiamIIQgôd fi latus vnius parallel tammi,dimetics alterius cfiicia. DÎMËÎI fa tut, vt in hac fecunda gura:idem,fed patrie leuius,aon» and: a- . 51-7” dudetunTria’gula enimazbzcz a bzdz e, (u ’tafctipto du i feurfu oflen’dentur :qualia adinuicemqui us adiunfito t conimuni triangulobzodzconfutge’t azbzodzat bz czdzez S parallelogtamma rutfumadinuicem :qualia,per fècun» dam cômunem fententia. IINec minus facilè deducctur propofitienis intelligen- Tertia dito tiazvbi latus vnius parallelogrârni , in latus alterius inciderit, velu: in tertia figur: rentra. difpofitioneÆtût cnim rurfiim azbzôc ezfzæquales adinuicëzà quibus dempta com. muni bze,rcliqua azezteliqu: bzf,per tettia’ cômunem (entêtiam cri: :qualis. Hinc a, f triangulüazcze,triigulo bzdzf, Veluti fuptà môfttabitur, ’ :qualcQflî vtriq;: ualium anguletü,addatutcôtnune trapcziü ezbzczd:ref tabit incrutn azbzczdzparallclogtân . e a . mum,eidern parallelogramo adzczf,pet (cannelé cômu- nem fiententii :qualc. I itur parallelograîma in eadcm bafi,8( in ci(dem pataueo lis exificntiafidinuicem Ænt :qualia.ngd crat oitendendutn. Quimper us, radôme 7U. TA meœænîxàmppœ qui üôi’ rap imp Marat: armant! nô qui; àuauîq «agamie, l’au MUNI; 35. Tbeorema 26, Propofitio 36. 36 p Arallelogtamma in :qualibus bafibustôt in ci(dem parallclis exiitcntiamdinuicem funt :qualia.

34 GEOMET. ELEMENT. O R O N T I V S. ([Sint azbzczdzat ezfzgztharallelogramma,in bafibus :qualia bus czdzôt gzh, arque in ci(dem parallclis azfz a: czhzcôfiitentiaDico azbzczdzpatal’ lelogrammum,:quari parallelogtammo ezfzgzh. Connefitantur cnim refit: czez a: dzf,per primum poitulatum. Et quoniam parallclogrammum cit ezfzgzh,:qua lis cit ezfzi fi gzh, pet trigefimamquartâ propofigiouemÆidemquoq; g! ,æqualis cit czd,pcr ypothefimBin: igitur czdzôl ezfieidem gzhzfunt :quales:& propterea :quales adinuicem,per primam communem Œntfitiam. (tîntqs’adinuicem patalleæ 1:,ex hypothefi. Q9: autem :quales 8c parallclas coniungqn’t-lipe: refitæ, :quales funt 8c parallel:,pet trigefimamtettiam propofitionemret ciezi itur arque W9 i :quales flint 8c parallel:.Parallelogrammum eft itaque czdzeztÎIp l 1: ttô czdzezfz parallelogrammo,:quum eftazszzdzpatallelogtammum,pertrige imamquintam ptopofitionê: in eadcm cnim bafi Czd,atque in ci(dem parallclis az fzôt czhz confii- i’ I a mâter. Et pet eandcm trigefimamquintam prOpofitioo ncm,czfzgztharallelogtâmum, : uum cit ipfi czdzezfz parallelogrammofunr cnim in ca cm bafiezfiatquc in ci(dem parallclis axfz’ a: cz h. Bina igitur parallelogtarn- h ma azbzczdzôtezfzgzh, eidem parallclbgrammo czdzczfz funt’:qualia: uaptoptet 8c æ ualia adinuicem, et primam cômunem fentëriam. Idem ctiam o ndere licebit,d c quacunq; atal elogtam motum difpofitiene: hy» pothefi fèruata. v Parallelogtama i itur in libus :qualibus:8t c:tcta,vt in theo- remateClqod demonftratc oporte t. 5 L ’ a etôeupat ne, Peôkau. V 7x2. TA qui 018i ai; 120:7th du: and ci cette rivant; manitou; in: MM- Àoie p.Tbeorema l ’ l 27, Propofitiu 37. . Riangula in eadcm bafi, 8c in eifdem parallclis conflituta: 37 . adinuicem funt :qualia. O R O N T I V S.([Sint triangulaazbzczat dzbzc,in eadcm bali bzc, atq; in cifdë parallclis azdzôt bzczexiitenriaDico triangulum azbzc,:quati propterea triangule dzbzeProducatur cnim vttobiqueazdztefitawfq; ad’punfita ezôc f,pct primum po itulatum.8c pet punfitum bzdat: refit: line: azc,pata-llcla ducatut bze:atq;i fi bzdz parallcla czf,pct trigefimamptimâ propofitionem. Sunt itaqsazczbzezôt zbzczfz g ’ a J f parallelogramma, a in eadcm bafi bzc,atqucin ci(dem - parallclis bzczôc ezf,pet hypothefin côitituta: igitur ad» - , inuicem :c ualia,pet tri efimamquirrtam propoiîtienê. a. Trianguum otte ar c, dimidiûeft parallele ramo c mi azczbze,atq; zbzc,ttiigulum dimidiû ipfius dz zczfz parallclogrammi:dimetientcs cnim azbzôt Czd,ipià bifatiam feeant parallelogram» ma,per trigefimamquattam propofitienem. Œzaumm :qualium (un: dimidiû, :qualia funt adinuicem, pet feptimam Communê (ententiam. I itur azbzcztrian’ gulum,:quum cit dzbzcztria’gulo- Erge triangula in eadcm balëôl qu: itquütut rCllqlla.ŒJOd ofiendendum fuerat.

TA Grimm quil «et. eidem: iawplbaîawp ô’varx, un, «en! ai miam:qui: àu’raïç mexmîîsotsfim A». âme NM Mû!- Tbeomna 28, Propofitio 38. TRiangula in æqualibus bafibus,8c in eifdem parallclis con: 3g fiitutazadinuicem funt :qualia.

L l B É R I. 35’ O R N T I V S-ŒSint azbzczac dzezfztriangula,in bafibus :qualibus bzczôcezfi ineifdemq; pa tallelis azdzôt bzfzconitituta.Aio triangulum azblc, :quû cille dzczfz triangulo.Ptoduœtur cnim vttobique in direfitum a: continuum tefita azd,qu; ad 3’13 h’leiïhbpet fccundum poitulatum. Et pet datum punfitum b, dat: refit: li« ne: azc,paraliela ducatot bzg :atq; pet fzpunfitum ipfi dzczparallçla 5h,?" "figer. mamprtmampropofitioncm. Sunt igitur azczbzgz 8c dzczfzhz atallelogtamma, in bafibus quidcm :qualibus bzczôt ezfiac in ci(dem parallclis zfz &gzther hy- - 4 p, pothefin cenitituta: a: propret id :qualia adinuicem, perttigefimamfextam propofitionem.Atqui parallclov gamma azczbzgzôt dzezfzh,à dimetientibus azbz a: dzfz tfatiam feantut, pet trigcfimamquartam propofitioa C nemÆft igitur azbzcztriâ lum dimidifi ipfius azczbzgz parallelogtammi,atq; triâgulum dzczfzipfius dzczfz zpatallelogtammi dimidium. Qu: autë :qualium flint dimidium,ea flint adinuicë :qualia, perfcptimam coma munem (Ententiam: uum cit igitur triangulum azbzc,ipfi dzezfzttiangulo.Trian gula itaq; in :qualibus fibus:&c.vt in theoremate.(luod demonfttandum crat. eidem: ne, 11966:0: 7&9. Aiî’Cgcafiywvœ qui irai aie àUfiçWÇ dm «9:2 liai qui âuavt pieutait ci qui; armait maganant; 8511- i . , Tbcorcma 29, Propofitio 39. 39 ’ R iangula equalia,in eadcm bafi confiituta,8c ad cafdem par: *- teszôc in eifdem flint parallclis. » Conunfa 37. O R Or N TI V S. IISint in eadcm bafi bzc,atq;ad eafdemipattes az& dzttiangu- la azbzczôt dzbzczadinuicem :qualia.Diae g: ex azin dzeônexa linea refita, ipfi bzcz cit parallcla.Si nanq; azdznon filetit parallela ipfi bcheterit pet da tum punfitumi a,ipfi bzczduci parallcla,pet trigefimamprimâ propofitioncm.Ducatur igitut,8( fit aze:qu: vcl incidet fub azd,aut fuptaCadat primo infra,fi oilibilc fit:8( pet primtî mima oflag! poftulatum cônefitatur refita cze.qu: cùrn incidat intra dz zcztriangulum,& ab an- 50m amuï! gale qui ad czin bzdzfubtenfiim latus extcndatutzdiuidet’ ipfiim dzb’czttiangulum. a ’ IErunt itaq; albzczst czbzcztriangula in eadcm bafi bzc,ac in ci(dem pa rallelis azez ficha: confiirutaz:q uumv crit propterea triangulum czbzc,ipfi azbzcztriangulo,per rrigefima mièptimzïl propofitionemÆidem porte azszzttiangulo, :quû cit dzbzcz triangulum,pct hypothefin.Bina itaq; triangula dzbzczatezbzcfilidcm azbtcztrian- r e gulo crunt :qualia : a proinde :qualia adinuicemfct primamcommunê fèntentiamTtiâglflum ergo dz zc, :quum crit ipfi czbzc, mains fcilicet minoti,feu(mauis) totû (u: parti:quod nô cit oflibileNen cadit igitur azez . A. A parallela fub azd.lIldem equctur inconueniens,fi «de saga: dm, azezdetutinciderc (upet azdPredufita cnim bzdzpet Ramdam poftulatumfiqnuf: mât nier tandem cum en azc,pet quintum poitulatum:proptetea quôd refita azb,mci» dens in azezôtbzdzrefitasfacit interieres angulos 8K ad eafdë partes ’azbzdzôt bzazez minores duobus tefitisÇncmpe minores azbzczôc bzaze angulis,qui pet terpam par rem vigcfimænon: propofitionis etunt binis refitis :quales) Conncxa itaq; czez refita,pct rimum peftulatû,ca cadet extra dzbzeztriangulum:fiet toptctca triangulum dz zc,pats ipfiusïezbzcztrianguli. Vtrunque rutfumnpfi az zczconcludetut p:quale(ezbzczquidetnpettrigefimamlèptimâ propofitionê,8c dzbzçzper hypotbe» fin)& czbzczconfequentet ipfi dzb’zc,totum fu: parti:quod turfum cit impoillbile.

,6 a GEOMET. ELEMENT. omne liquidem totum cit lua pa rte mains,pet nonam communem lèntcntiaîNen cadit ergo parallela (upet azd. patuit quèd nec infraigitut ex azin ipfum d.Ttian gula igitur :qualiazôt qu: fequuntur reliqua.ngd oportuit oltendillè.

v A faire «riper: d’à 123ieidem: 769 ïaup mais À, «in: Feôetale notifiai qui aimai p. pieuflœaioi qui; à!» «de maganant: au]. Tbcorema 3o, Propqîtio 4o. R iangula :qualia in :qualibus bafibus cxilten tia,& ad cal; 4o Conuetfa 3 a. » dem pattes:& in ci(dem lunt parallclis. O R O N T I V S.IISint azbzcz& dzezfzttiâgula :qualia adinuicem,8t in bafibus :qualibus bzczôt ezf( in direfitü quidcm cxiltentibus,lèmpcr velim intelllgas)atq; ad eafdem pattes azôc dzconltituta: a connefitatur azdzrefita, pet primum poitula» tum.Aie g: azd,iplî bzfzclt pa tallcla.Nam li azdznon fuerit eidé bzfzpa tallcla:poterit pet datum punfitumazipli data: litre: bzfzalia quædam parallela duci,pet trige fimamprimam propofitionem.Ducaturigitur,fi polfibile lima fit azg.Cadetitaque azgzrefita vcl fupetazd, aut infra.Quodcüq; auté dederis:cam cü czd(vtraq; in dia refitû produfita)côuenire necellum elt.quoniâ ex azin ezconnexa pet imaginationê linea refita,incidit in azgzôt czd, elficiês angulos interiores a: ad cafdê partes azezdz Prima dame. a czazgzduobus refitis(veluti fuprà) minores. ([Incidat ergo primü azgzlub azd:8t dm connefitatur fzfg,per primû poltulatum,ditimens dzczfztriangulum. Erit igitur tria ’ angulum gzez ,:quü ipli az zcztriangulo,pet trigelimamofitauam propolitionem: funt cnim in bafibus :qualibus bzczôtezfzex hypothefi,8c in ci(dem parallclis azgz 8: bzfzpct datam confitufitionê. Ipli porte azbzczttiangulo,:quum cit pet hypœ thefin dzczfztriangulûïtiangula igitur dzezfzôt glezfieidem azbzcz triangule crût :qualia:8t :qualia propterea adinuicem,per primam communë fentcntiam. ltaq; trian ulum dzczfiæquum crit ipli gzezfzttiangulomaius feilicet minori,hoc clt,to Secûda par; tum u: partiquod pet nonam communem fiententiam cit impollibile.([At li de- flucùfflêm tut algzincidete fupcr azdzconuenient tu rfum azgz a ezd,ide’mque fublèquctur in- a S conueniens.Produfita fiquidem ezdzin g, pet (ecundum Î poltularumxônefitatur turfum fzg,pct primum,cadens extra dzczfzttiangulum.Tuncq; gzezfzôt d’ezfzttiâgula, eidem azbzczttiangulo concludentut :qualia:gzczfzqui- f dem pet trigefimamofitauam propofitionE,8t dzezfzpet iplàmlr otbefin. Vndc turfum totü gzezfzttiangulum,fu: parti,h0c elt, dzezfz triangulbîper primam communem fententiam :quabitut.quod pet iplam nonam communem fententiam elt impollibile. Cadit igitur parallela ex azin dz verticem. Concludendum ergo,triangula :qualia in :qualibus balibus cxiltentia,& ad cal: dem partes:& in ci(dem fore parallelis.ngd demonl’ttare fuetat opetæpretium. Notandum. (1: Eadem quoq; via,fuptadifitarum lèx propofitionum concludetutintentum, vbi pinta duobus oblata fuetintvel triangula vcl parallelogrâma :fafita binatim,iuxta - ypothefin,eorundem triangulerum velpatallelogtammorum comparatione.

- A9. mnMxMWœppopeidem: 715:7va M, Mary ItemPaiera: qui: àwùb tu). et? truiepu. âuauîç meuni-. i . Nus Ë,dliæàéalop (son ’15 menâtsflo’yfœppop il: 976w. I. A, A. VS i Tbeorema 3x, Propo me 41. I parallclogrammü 8c triangulum eandcm balîn habuerint, 41

in eifde’mq;. L fuetint I parallclis:B E trianguli R parallelogtammum I. h 3:,- du: lum clt. a O R O N T I V S. ([Elto parallelogrammum azbzczd, eandcm habens bafin czdz cum triangule czdze,in cifdémq; parallclis azczat czdzconltitutum.Aio azszzdzpaa p tallelogtammum,fore duplum iplius trianguli czdzc. Connefitatur cnim azdzreo éta,per primum poltulatum.Ttiangula igitur azczdzôt czdzezetuntadinuicë æ na» lamer trigelîmamfcptimam propolitionem: habêt cnim eandcm bafin czd,funtq; a 1, t e in eifdé parallclis azezôt czd. Atqui triangulum azczdz l dimidiû cit iplius azbzczdzpa tallelogrammizlècat cnim illud bifatiaml dimetiens az d, pet trigefimamquartam propofitionein: autem funt :qualia, ciufdem funt e dimidiumzper-conuctlam lèptim: communis lèntêtiæ. Triangulum igitur czdzcz,dimidium cit azbzczdzpatallelogtammi:8( ipfum itaque parallclogrâmum azbzczd,eiul.dem oùezttnnfuli duplum. Si parallelogtammü igitur a! triangulü:8tc. vt in theoremateOgo oportebat oltêdcte.][ldem quoq; Notanduin. v demonltrabiturwbi parallelogtammum ôc triangulum :quales vhabuerint bafes, in cifdémq; fuetint parallclis. Corollarium. (Il-lime fit manifelturn,cur in dimeticndis triangulomm areis,dimidium balis du! catur in perpendiculatem:aut ipfius. perpendicu .aris dimidiü,pet bafi n ipfam mul- tiplicetur.Pit cnim hoc mode dimidium parallclogrammi,quod in eadcm bali atq; in ci(dem collocatut parallclis cum ipfo triangule date.

Ta chauffa 019176316,» impperm"... meœbtfllôypœpyop tu, «triduumrenierai; si ai 41098.01] pp). Eueuyféppé ywviqc. Problcma. 11, Propofitio 42. 42 DAto triangule , :qualc parallclogtammum conltituerc,in date angulo refitilineo. O R O N T I V S. ([Sit datam azbzcztriangulum,cui oportcat in angulo :quaa li ci qui ad d,:quum parallelogrammum confiituetc. Diuidatut itaque bzczlatus Coftmâio Go bifatram in punfito e,pet decimam propofitionë: 8c connefitatur azezrefita,pet pria gare. mum pol’tulatumAd datam infupet lineam refitam ezc,datiîmq; in ca unfitum e, date angulo refitilineo qui ad d,:qualis angulus refitilinc’ côltituatur zechet vi. gcfimamtertiam propofitionemÆt pet punfituma,dat: refit: line: bzcz parallcla ducatut azgzatq; pet punfitum c,ipfi ezfzparallcla czg,pet trigefimamprimam propolitionem. Et quoniam azbzcza azezczttiangula,in bafibus funt : ualibus bzezêc Oitenfioipton ezc,atque in ci(dem parallclis azgzôc bzczeonltitutazipfa propterea Flint adinuicem blematis. :qualia,per trigelimamofitauam propolitionem. Ttiâgulum igitur azbzc,duplum cit azczczttianguli.Atqui parallelogtammû fzezczg,eiul3 dem azezczttiâguli duplum elt, pet quadragelîmam ria - main propoli nonemzhabent manque eandcm bafin zc, a F g in eildémquc funt parallclis azgzôt bchi: autem eiulï à e c dem funt duplicia , :qualia funt adinuicem: pet lèxtam 4 . communem Entêtiam. Parallclegrammû ergo fzezczg, - :quum iplî azbzcz triangulo date : (ulëipitquc angulum fzczc, :qualem ci quiad d, Date itaq; triangule, :qualc pa rallelogrammum con: itituitur,in date angulo refitilineo.Qiod faciendum crat. d .1.

38 GÉOMÉT..ELÉMENT.

Amiea eidem: meœMuÀoyeo’cppoU Àfla, T59 76W q "Fa" Peôetale 314W °P memûsmv’wwv . F7. "à me: I mueôpmufi’au àMiMiç flip. , i l Tbcorema 32, . Propofitio 43. Mnis parallclogrammi eorum qu: circa dimeticntem funt 43 Oparallelogrammorü fupplcmcnta,fibi inuicé funt :qualia. Pmlkbâïi O R O N T IV SIIParallelogramma cira *dimetientem alicuius dicuntut ellè parallelogrammi,quando eundem cum toto pollident dimetienntem..Supplemcnta Supplemêra. autem,voeantur reliqua parallclogtamma extra communem dimetientem confii- mm, Sjt igitur azbzczdz parallelogrammum,cutus dimetiens azd, 8c circai (un: dimetientê lint czgzac hzfzparallel tamma,fupplcmcnta veto lint ezhzat gz .qu: dico fore adinuicem :qualia. Par clogrammum cnim azbzczd,bifariam fecatur à dimetiente azd,pet trigefimamquartam propofitionemtigitur azbzdztriangulum, :quum cft ipfi triangulo azczd.Dimeticns infupet azk,bifariam lecat ezgzparallclo: ’ grammum,necnon 8c kzdz iplùm hzf,pet eandcm trige- a g î limamquattam propolîtionem; :q uum cit i itur azezkz e i k F triâgulum,ipfi azgzk :atq; trianguum kzhzdg, ipli szzdz trianguleSiautem :qualibus triâgulis :qualia iunganç tut triangulazomnia erütæqualia,pet lècundam commu C * ncm (ententiam.Triangula itaqsazezkzôtkzhzd,ttiangu lis azgzkzôt szzdzfunt :qualia.Patuit autem q: 8: totû azbzdzttiangulum,toti trian’ gulo azczdzitidem coæquatur. Porto li ab :qualibus triangulis,:qualia fubducan tut .triangulazqu: telinquentur,:qualia etût,pet tertiam communem lèntentiam. . Subdufitis itaq; triangulis azgzkz8( szzdzab ipfo azbzdztriâ lo,atq;’ azezk &kzhzdz triangulis,ab iplb triangule azezdzrelinquentut ngzôt ezhz upplementa adinuicem :qualia. Omnis ergo parallelogtammi:&cvt in theotcmate.(ëiod demonltratc , . fuerat oper:ptetium.reôfiihup: (fi, P369201; ’ * ifait. h ’ p’ ’ .’ I I Agir du: N°56: avariait...» diorflœ’ln appâte,ïavp:arueorztxuîtômppop morfilât: a! ai me; me. inauyfaêppç- . a Problcma n, Propofitio 44. A0 datam refitàmlineam: date triangule, :qualc parallclo: 44- gtammum conlttuCte,in date angulo refitilineo. ffumtfi.’ O R O N T I VS. [[Conlttuere parallelo tammum ad datam lineam refitam a: n "1mm", in date angulo refitilineo,elt ipfam lineam tam coallumete in latus ciufdem pa- rallelogrammizlic vt cademlinea cum alteto adiacentiurn latetunr, angulum corne prchendat :qualem ipli angulo date. Élto igitur data linea refita azb:ad qui opor» teat œnlttuere parallelogtammum,dato triangule cz:qualc,8c in angulo :quali ci Côltruôtio fi. qui ad d. Producatur in primis azbz refita in ditefitum quue ad punfitum c, pet là» Su"- . cundum poltulatum :&ad datam refitam lineam bze,ad datâmq; in ca punfitum b, date angulo refitilineo qui ad d,:qualis angulus refitilincus cenltituatut fzbzc,per vigcfimamtertiam propofitionem-Ln ipfo confequenter angulo fzbze,dato trianguv la e,:quale côltruatut parallclogrâmum fzgzelb,pet quadra efimâlècundam pro pofitioncmæxtendatiîtque ngzin direfitum vlque ad h,per cmndum poltulatum. x Per datam infuper punfitum a, vttique &fz bz 8c gz ez parallela ducatur hz a, pet

trigcfimam primam propofitionemzconnefitatlïrqbpcrLIBER primum poltulatum,dimea 1. ,, tiens hzb. Et quoniam in refitas gzez a hzb, refita incidens hzgzinteriores angulos 8c ad eafdem pa rtes gzhzbzôc hzgzc,duobus refitis minores elficit (trempe minores h a l ipfis zhzazôc hzgze,qui binis refitis pet vltimam pattern d r- vigc 1m:non: propofitionis liant :quales) concurrent l t 5 ergo tandem gzczôc hzb, in infinitum ad pattes bz a: cz produfit:,per quintum poltulatum. Ptoducitut i itur, c pet (ecundum poltulatumzôt concurrant in pûfito .Per î E x idem turfum poltulatum,cxtcndantur fzbzat hzgzquuc ad punfita l, 8c m: 8c pet darum punfitum lsvtriquc hzgz a azezpatallela dueatut lzk,pet trigelimamprimam propolîtionchIHis ira cette Demande firufitis, queniam hzgzlzkI parallclogtammi, cotum u: citca dimetientem hzkz "h "mm funt parallclagrammorum fupplementafibr inuicem unt :qualia,pcr qmdmgcfi, mamtertiam propolitionem: :quum cit fupplerncntum feu parallclogtammum azbzmzlzipfi fzgzezbzpatallelogrâmo. Eidem porto fzgzezbzparalleIOgtâmo, :quü cit datam cztriangulum,pet quadragelimamfecundam propofitionêuta cnim con. lttufitum elthitut parallelogrammum azbzmzl,ipli trian gale czper primam com munem fententiam coæquatut. Elt autem a: azbzmzanguus, ci qui ad dz :qualis: vtetque cnim :quatut Épfi fzbzc.afbtm’quidcm Fer dCClmaquintâ propolitionë, qui ad dzvetô pet vige imamtettrâ. CoalTumrtut præterea data linea refita azb, in laças ipfius azbzlzmzparallclogrâml. Ad datam igitur linea refitam azb,dato man gulo c, :qualc parallelogrammum conltruitut azbzmz l, in date angulo refitilinco azbzm,ei qui ad dzæquali. (190d facere oportebat. PeôfiiÀupœ :7, 11369101; , la, ô accora. Ëuema’chlç , imp mgüAuMyfœppop ausûërsaa ci «il mon, tueuypéppo finie:- Problcm’a 13, Propqfitio 4;. i 4’ DAto refitilineo, :qualc parallelogrammum côltituere,in da: to angulo refitllineo. O R O N T I VSIISit datum refitilineü azbzczd: cui epotteat conltruere :qualc parallelogrammum,in date angulo tefitrlineo quiad e.Cônefitatut ergo bzcztefita, pet primam poltulatum.8( date azbzczttiangulo,:quale parallelogrammum cona filmatut fzgzhzk,in date angulo refitilineo fzhz k,ei qui ad ez:quali:pcr quadrageo fimamlècundam propolîtionem. Ad datam infuper refitam linea gzk, date bzczdz triangulo,:quumaonfttuatut parallelegtammû gzkzlzm,in date angulo refitilineo gzkz m, :quali eidem qui ad c : pet antecedentê quadragelimamquattam propolio tienem. Oltcndendum elt itaque primùm,h:c duo pa rallelogrâma vnum cilice» te cp.1 rallclogtammum- uod ira fit manifeltquioniam anguli fzhzkz a: gz kz m, ci cm angulo qui ad cz unt :qualcs,pet côlttufitionemrfuntigitur :quales adinui- (un «sa... cem,per primam communem lèntentiam. Addatut vtriq; cômunis angulus zkzh: igitutanguli gzkzhzôt gzkzm,funt pst primam communem fiententiam,:qua es an Sam-i, Pan! a gulis fz kzôt gzkzh.Eifdê porte angulis fzhzkzôc gzkzh, lelogrammû. °[ f k duo refiti finit :quales anguli , pet vltimâ patté vigefh mznon: propofitioniszanguli igitur gzkzhzôt gzkzm,bi- c nis funt refitis :qualcs,pet eandê primai communê (en k tcntiam.In direfitü cit igitur hzkzipfi kzm,pct decimam« ,5 . quarta propolîtionë. Rurfum quoniâ angulus fig! k, le ’m oppolîto qui ad hz pet trigelimamquatti ptppelîtionê dl up

4o GE.OMÉT.ELÉMENT. elt a: aliszpatuit autem quôd a gzkzm. Bini itaque ana e guli zgzkzôc gzkzm,eidê qui ad hzfunt :qualcs:8t :qua- I f h les propterea adinuicem, pet primam communem feri- V ’ tentiamCommunis turfutn addatur angulus kzgzl.erüt c igitur fzgzkzôt kzgzlz anguli, binis interioribus et ad cal» - " k dem partes lzgzk a: gzkzm,per lècundam cômunem feu b. a l m tentiâ :quales. Iplis porte lzgzkzôt gzkzmz angulis, bini refiti co:quâtur, pet eandcm pattern vltimâ vigelimæo non: propolîtioniszpet primam ergo cômunem (ententiam,anguli fzgzkz st kzgzlz flint :quales duobus refitiandirefitum cit itaque fzgzipli gzl,per ipfam decimam» quatrain propofitioncmElt autem 8c fzgzipli hzk,atq; gzlzipli kzm,pct tri efimam- quartam propolîtionem :qualis:8( vtraquc vtriq; pa rallcla. Igitut lez 8c z m, pet lècundam communem lententiam,funt :quales adinuicem,at ne parallel::8c cas itaq; eoniungentes refit: line: fzhzôc lzm,:quales a parallel: unt, pet trigefimâ’ Dcmôltratio tettiam ptopofitioncm.Patallelogrammum cit igitur lezhzm. Huius autem pa ts ni: tefolutio. fzgzhzkztriangulo azbzcz:quatur:8c reliqua gzkzlzmzipli triangule bzczd,pcr iplam tonitrufitionem .ïTotum ergo fz lz hz kz parallelogrammum , ipli date az bz cz dz refitilineo cit-:qualezlulèipitque angulum fz hz mz :qualem date qui ad ez angulo.Dato itaque refitilinco azbzczd, :qualc cenltruximus parallelogrâmum lezhzm, Notandum. in date angulo refitilineo qui ad eQJod faciêdum propofuetamuslHdem quoq; liccbit oltendere ,vbi datam refitilineum , in pluta duobus feparabitur triangula. Cuilibet cnim triangule peculiare eonitruetut parallelogtammum, pet quadragelimamfecundam 8c quadragefimamquattam propolitionem: qu: fimulvnum efficere parallelogrâmû ipli date refitilineo :qualc, baud dillimili difcurlu côuincêtur. neôfiMp: «il, neôermç ps. Pô eût Noémie îueéoœ’ Tambour: odœçfoîxlœt. ’ Problcma r4, Propofitio 46. X data refita linea,quadtatum delètibete. O R 0 N T I V S. ([Elto data linea refita azb: ex qua lit opet:ptctium delèri- bete quadraturnA date itaque punéto a,ipfi refit: linc:azb,ad angulos refitos ex- citctur azc, pet vndecimam, propolitionem, indelinit: quidcm quantitatis, dona: ipfamfuperet azb. A qua lëcctur,:qualis eidem azb,: fit’q; az d, pet tettiam propoa litionem. Rurfum pet datum punfitum d , ipliazbz refit: parallcla ducatur dze, at- qUe pet punfitum z ipli a z dz parallcla bz e , pet trigcfimamptimam propofitioa . uôd deferi nem. Parallelogtammum elt igitur azbzdze:dico quôdôt quadratumNam patal- x gr? parallelo grammum fit lelogrammorum locorum latcra qu: ex oppofito,:quantur adinuicem: pet trigeo quadratum. , . fimamquattam propefitionem .Aequum cit i itur la» tus dzczipfi azb: atquebzezipfi azd.Süt autem azgzêt azd, pet conltrufitionê :qualesOgatuor igitur azb,azd,bzez 8c czdzlatcta,:qualia funt adinuicem: qu: cnim :quali, bus flint :qualia, 8c adinuicê :qualia funt, pet primam . - b. e communem Ententiam.Acquilaterû elt igitur azbzdzez parallelogtammum.Rurfum quoniam in parallclas azbzôc dzeztefita inciditazc:faa cit igitur interiores and eafdcm partes angulos bzazdzôc azdze,binis refitis :quales, pet vltimam pattern vigclim:non: propolîtionis.Refitus autem cit qui ad alangu luszigitur 8c qui ad dzrefitus.8( qui ex oppolîto œnlîltunt ad blé! ez anguli, itidcm refiti funt: pet eandcm trigefimâquattam propolitionem. Refitangulum elt igitur azbzdzezpatallezlogrâmum. Parait q: a :quilaterü: ergo quadra tü, pet trigelimam

i dilfinitionemŒx data igitur linea tcfitaLIBERK azb, quadratum delètipfimus.Qiod L- oper» 4.

tait([Qi: ab :qualibusfaille. igitur lineis . Corollarium.refitis quadrata defctibuntur,:qualia i funt adin» uicemzôl ediuerfo.qu: autem ab inæqualibus fiunt quadrata, font inequalia: maius quidcm quod à maiorcaninus autem quod à minore delèribitur. enseigna: e 7&7, ’ redorait: p2. i "N un; ôeecywil’Mè EITÔIMÇ, in émiait «leur: yetiœpdæwraviauç mana; Tapé, wvop’ïoop ïài,nîe Julia 4-59 Titi) ôeetpywviup enflammât: 69.611989 TEWIOIÇ. I l Tbcamna . 33, Propafitio 47. 47 N refitan lis ’ttiangulis,quadratum quod àlatere refitum an: gulum (u tendente fit,:quumelt quadratis qu: fiunt ex lare: tibus angulum refitum centlncntibusa 4 a O R O N T I V S.([Sit refitangulum triangulumazbzc,cuius liib bzazêc azczlateri’ bus côtcntus angulus,refitus cxiltat.Diao q: delEriptû ex bzczquadtaturn,ijs qu: ex bzazôt azczfiunt quadratis,eft :qualeDcfcribâtut ergo quadrata,pet quadragelimâ» fixai propofitioné’: ex bzczqui cm quadratiî bzczdzc,ex azbzvetô azbzfzg, 8c ex ipfo azczquadtatû azezhzk. Dcinde pet a punfitu,vtriq; bzdzôt czezparallcla ducatut azl: pet trigelimâptimâftopolirionê.Parallelogtâma igitur etunt bzlzôt czlzquadran- gula. Connefitâtut eniq; azdzôc czleme: refit::per primü peltulatum. Et quoniâ alterius par. ad refitam. lineâ azb,atq;ad eius punfitû a,du: refit: linea: azez &azgznô ad cardan .dcmôltra: partes dufit:,angulos vttobiq; refitbs cfficiuntthfiti cnim (unt,qui circa punfitü az côliltunt anguli)in direfitû cit igitur azcziplî az :& azbzconlèquêtct ipli azk,per de- cimâquartâ propolitionâPata lcl: itaqsfunt zfzac czgzlimiliter a: bzkzatq; czh.Cü portô omnes anguli refiti fint adinuicâ :qualcs,pet quartü poltulatum: crit angulus azbzf,:qualis angulo czbzd. Communis apponatur angulus az bz c: totus igitur g ’ arzbzd,toti fzbzcz angulo, pet feeundam cômunë (Enten- k . R tiam crit :qualis-Rurfum,quoniam pet trigelîmâ diffi» nitionem,:qualis elt azbzipli bzfiatquc bzczipfi bzd:funt J1 igitur bina latera azbz8( bzdzttianguli azbzd, duobus la! z teribus f7bz8t bzcztriiguli fzbzcz :qualia alterum alteti. a æ uales continent angulos azbzdzôt fzbzc.Bafis ergo azdz ali fzc,& tr’ lü azbzdztriangulo fzbzc, pet quara t5 :quatut top irionê. Ipfius potto trianguliaz bzd, duplum cit zlzparallelogrâmü, in eadcm bali bzd, atqs à - e ’ i in ci(dem parallclis azlzat bzdzaonltitutumzper quadra. p * . gelimamprimam topofitionem.8( pereandem propoo fitionem,azbzf’z zquadtatum,duplum iplîus zbzcztrianguli çb’abent cnim eandcm balin bzf,in cil e’mq; cenfiftunt parallelis fzbzôc gzc. Q1: autë :qualium duplicia funt,8t adinuicê’ liant :qualia:pcr Textam cômunem lEntentiâJgitur bzlzparallelov grammû,:quû eltzazbzflgzquadtato. Haut! dillimili via,oltendetut çzlzparallclo 3°" ’rl’w rammü,’:quû elle azczhzkzpatallelogramrno litre quadratoConnexislenitn azezôt t" ° m m Ëzhzlineis tefitis,pcr primam peltUIatumæ’runt rurfum azczczôfi blczhitri’âgula ad» inuicë’: ualia.Et Cùm ezlzpatalielo’grâmum duplum fitazczez trianguli, 8c quadra» tum azcjllzkzipfius bzczhztrianguli itidcm duplum, pet eandcm quadragefimipti» main. tppolitionemxoncludetut tandem parallelogramrnum czl,:quati quadrato azez 4 .LAthi bzlxa czllpatalldogtamma,conliciunt quadratum bzczüze, quad fit ex bchuadtatum ergo bzczdzc,æquunieltazbzfzgz 8c azczhzkz dcfcriptis ex azbzac (in):

41. GEOMET. ÉLÉMENT. LIB. I. , azczquadtatis. In teflangulis itaq;ttiangulis:& quæ fe untut teliqua,vt in theoa Notandum. remachgod expediebat demonfitavre. (IHqc fpeâa ile a: fempet admitâdum theorema , Pythagôtas in hisfettut offendifle nume- Vti;,3,4.,5: velue ex obieéh potes eliccre figuratin qua au. gulus qui ad bzteétus dl: 8c qualium partiaux albzlatus) efl trium,8c bIczquatuor,talium azoteâum fubtendens xç angulum ytepetitunmtinquies porté) 5,faeiunt amer es 3 vetôz9,& quater 4z(èdecim.atqui 9 8C 161côfidût 2;. Corollarium. (Un triatl lis itaque reflangulis,duobus lateribus datis,ipfotum admînicu!o,deb ucnite lice Et in cognitionem reli un pet quadratorum nempe tum additionem, cum fabduâionem adinuicem , 8c aten’s feu tadicis eorundem inuefiigationem. . Qemadmodùm in dimetiendis retum paflim offendes magnitudinibus. endenta: M! , radota-te pu. Ap 376w a?) Jean) filât; r7: gamay Te?a’:ywvop, 7039?? ouïe and: 3° homme? ëmâiu Mo mweôyflWvoKJ-thowu ratio: (mû 3? erôp 3° 974m: (No mâbeô’pôeü 831. Tbeorema 34, Propofitio. 48. . .I Côuetfa m. S I trianguli quod ab vnolaterum quadratum,æ üalefueriteis 48 «mm quæ reliquis trianguli la’ teribus 1 quadratiszangu l . us câprehen: fus fub reliquis trianguli duobuslateribus,tc&us er1t. ’ O R O N T I V SIIEflo mbæzttianguliquod ex bxczquadtatum,zquum eis qua: ex azbÆC alolatetibus fiât quadratisaio propterea,a ngulü bzàzçtfore teé’tû. . A da- to cnim puné’to a,datæ linea: alc,petpendiculatis excitetut axd:pet vndecimâ ptoa pofitionâEt pet tettiam propofitionê,ponatut a4dIipfi azbzæqualisæonneâatûrq; Cldzreâa,pet primû pofi’ulatû. Cùm igitur azbzipfi azdzfit arqua lis: æquü eft quad ex aszquadtatum,ei quod fit ex a!d,pet corollatium quadragefimzfextæ ptopofi» donis.Addatur vttiq;,id quad ex aICIquadtatü.Q5æ ex azbzigitur 8c alexquadrata, :qualia fimt eis qua: ex azqôt azdlquadtatisqaet (écum- dzm communë fentëtiam. Eis autem quæ ex azez 8c azdl quadratis,æq uum cil: quod ex czd,pcr antecedentë qua- dragefimalmleptimâ propofitionê: angulus cnim cwdz , reâtus en. . (and tatisportô qu: ex azbzôc azc,æquum t ° cit quod ex bchquadraçum :I pet bypotbefin. Q1: autê :qualibus funt æqualia,ea (un: æqualia adinuicàpet primé communê fententiam. Œadtatum igitur quad ex blc,æquum cit ci quodex czdxquadtatom Acqualis et]: ergo bIcIipfi cld:æqualia cnim quadras: funt,quæ 4b :qualibus defcnbuntut lineis mais. Pofita cit autem ydIipfi azbzæqualisfic gzczvtriq; cômunis.Bina ergo lare» ta azbzôc à?czttianguli atblgbim’s lateribus axas: axdztrianguli azcxdlfimt alterna! tim æqualia:bafis quoq; bxc,bafi cxdzæqualis.Attgulus igitut b7atc,anguloezazd,per oâaui propofitionê et! :qualis. 15R autë czazdgngulus reétugpet qonfituâionë: a: bzaz a igitur angulus reâus efi. ÏISÎ triangulijtaq; quodab me Jaterum quadratum:&c.Vt in theoremate.ngd crat oflendcn nm. "v ü h: z ; q q Ê.) Primi Libri GeonictticomtnaElemcn-tfiôrùllil),w; . l ’ I A N 123,30 Î, ’ J ,t - .grjpr’) r ’-

Ôiranti’j-l Pli-161.. Delphinatls, RC5

’GII MATHÉMAT’ICARV’M non-:550, , ris, In Sècundum. elementorum Euclidis,Demonfirationes. nrxAanor z’IOIXEMJN A-ex’revoNç t i Paeœnuàdmppop déonéudp. - Ap memnôyfæppop www méfia lira-ou &zrà «Mo 759 Tu) 690M: 7m

du; meuxwôpParallelogrammum 5mm. "angulum. . L V L A Mue parallelogrammum tait-angulum, rab d tu: bus reéhlmangulum comprehendentibus méfie lineis dicitur contineti. D g O R ON T I V S.I[Patallelogrammum,dicitut figura qua» Œid parait: ’ I drilateta;ex oppofitis lateribus adinuicem æqualibuseompre losrimum. WWfi henfa. Suntiautem parallielogtammorû quatuor tantummo’ Quotpatallc 65 generazvtpotc. quadratû,alteta.patte Iongius, thombus,& rhomboides:queme 1°93Wü admodüm trigefimatertia primi libti ante monuimus diffmitione.Vtrun ; rtô 3mm 8C quadratum 8! airera pa rte [ungiusgeâangulum adpellammôdnetû’tçëuüua’ bus lineispreëh’s ad reâum conuenientibus angulum ,quarum altera in teliquam: abflraâïue dual, ipfum efficit parallelogtammum. IIVt ex azbwdlpOtesAelicete’ 5"um . parallelogrammo:quod fub azbzôt akczlatetibus , teftum qui. ad axconptehendentiî À i ’ bus’angulum,continetur.Non poteflfenim angulus qui î ad vibre teâus , quin pet vigefimamnonam a trigefio a à 5 3 i mamqùattam propofitiofië Iibti primi, reliqui tres au. ’ ’ ’ l” ’ li fintitidem reâi’. Imaginanda efl igitur azbl reâa, l . ’ ° ° z figue dir’eâa via in ce: unâû bzdefiztibetelatus bzd. h c a vcl azcztefla m,vemre’ te o fluxu in b: atq; punâum Cl ’efficere000:9» Iatus czd. Ita enim .abfttaéfiuè ., x, defètihuntur ,; parallelogtamma. t. teâangula. Ad quOrum fitnilitudi’pem, numerus pet alium quenuis munemmmultiplicatus, planum atq; teââgulum eflîcit numetüzvti fubieâa videtur indican: figura,in qua - 6Nnitaltel’s’ pet szmuitiplicatægeddupt 3ezplai1’um 8c teâanguium numetum. ,1 ’ ;»’ . l . .. -.. e 1.NÔIWP’5-..ÎIÏ l. I q l And; Je meææxnfiowoippqu’ gazas gap qui: 81:5: Paroi! livrai: Ïp hueœMuMo .jféfipæp Ü’IIDMÆÆIÏQÜTDÎÇ nezagœm,7vé)pmp uœÀéo’Üw. I 1- ’ ’

4 z OMnis.v parallclogrâmizlçcl .- la: commquæ,16, C11134 q, dlmcuenœ . mus (am 1’ a paraile’logrammvrum,vnumquodq; 60mm CumJbïms fupplementis,gnomon vocetur. « d.iiij.

44 GEOMET. ELEMENT. O R O N TI V S.II uanquàm gnomanem propriè intelligamus reâan lum: accipirur tameni fuptà’ cripta gnomonis diffinitio, pro quacunq; figura ex .uabu-s cuiufuis ablati parallelogrammifupplementis,& altera earum quæ c1tca dimetiea tem illius film parallclogtammorü oamprehenfaDiximus autetn quadragefimaa Vid°43PfimÎ terri: propofitione primi libri,quænam (in: parallelogramma area dimetientem alicuius eonfifientia parailelogtammizquæ item fin: eorundem parallçlogrammo Chaume! rum fupplementa.l[Sit igitur arbzczdearallelagtammum, ailliusdttneaens azd: en? 1m citca veto dimetientem confifl’anr gzezôc fzhr atallelogramma,atque illorum flip» plementa 5x93: ez .Dioo itaque glez allelogramtnu, h -p ’ I 5 vnà cum binis fupplementis zfzôt e! :gnamanem eifio s il Il cere flgxetheu fzazh.Cui fi a datut flhlparaüeloiîam- i mumtnotum integrabitur sublczd. au: fi eidem f7 Q pao rallelogrammo,gnomon circumpanatur fzgœzhmô mu- Cut talc: a0 c ç 4 tabirurfed augmentabitur figura. Bit autem eiufcemoo 5’de 91°! ’ i di nomonum tradita defcriptio,in pattium ablatorum mm’ in demanflratianibus parallcîogrammotum expeditiorem expreffionem,priimipa liter exeogitata. . . AfinV No encan,quarsenic dû i ha»: &WËÜÔÇa, rebelote 36: dimw’ûb iridium, a. ’i° Wxôpo top 6990743va rirai 79W «Mo inhala i’aap 35 matirai 41 «î; ôta-prima manchon; très]: Tympùrmp (atermoyaient ôeûowu’otg. ’ p Tbeorcma r. Propofitio x. S I fixerint bina: reâæ lineæ, feeertîrq; ipfarum airera in quor: Ï cunque fegmenra’: reâangulum comprehen-(um fui) duabus - mais lineis, æquum efl: eis quæ ab infeâa &quoliber fragmenta reâanguliscomprehenduntur. ’ I - ’ I Ç R O N T IV S.l[Sinr bina: re&æ linea: vivat ctquatum altera,vtpote azb, feu cetur in ald,dze,& elbzfegmentaAio quad fub azbzôc ipfa excomprehenfum méta” gulumætquum eü eis,quæ fub cl&a!dx8r dzezarque erbrcomprehenduntur teâan» gulis.A data cnim punfto a,datæ refis: lineæ azb,’re&a guædam,pervndecimâ pria mi libti propofitianemgd reâas excitetur angulas’,exc’edens datam lineâ c: à qua receturæqualis eidem e,pet rettii eiufdem primi,fit’q;alf. Per datü infu et pun- 7 &um flipfi aIbz tallela ducatur figure ue pet , d, 8c cl punéra ipfi ,az arque inuicem parafiez ducantut bzg, a du E I, dzh,& ezk,per tri efimamptimâ eiufdê ptimi . Retran- .1, A gula i itur funr aîzflgazh, dzk,& e(gr parallelogrima. 5:1,"me V f 1,; c k g Quæ ibetmfuperzôt blgzôc dIhzôç ezk,lpfi afflefl :qua- fitiane, nunc 4 lis,pcr trigefimamquattâ’ eiufdêiprimiœidê quoqwfœû :311: épée. :qualis c. ommCS igitur adinuxçË, au]; i fi ufunt arqua- mdm com, les: pet. primam communem Enteitriatn. Quod igitur (alias: au zcohtin’erur re- gitur multipli Gauguin m,æquum cf! ipfi azb:!!! uod fub czar dze,ipfi dlk: arq; id quad fub eadcm mm 08: czb,ipfi ezglreé’tangulo æqua e.Ipfis trô azh,d»k,8c e!gzre6bngulis, :quum cfl: albzfz z temngulummempe rotum uis partibus inregralibus limai fitmptis) eontineturq; fub azbzôc azfiquæipfi adam et! :qualis. Dati; igitur binis lineis reo Gris ulus: c,quod fub eifdem continetur reâangulumgquiun efl eis fui) inlë- , fla e, 8: quolibet ipfius azbz fègmentooomprehenduntut rectangulis. 9901” " tebat demonfltare. I . l , V r .

admit:L fla, iIl ’Feôeeotç B Efi. A R I I; 4; .EM’ Mât: Wœppii viet à; Étruxt , «à aie 8Mo me! barrées F)"- orpupo’n-op que": x1314": ôçBoya’amfi’o-œ j 354 T5 émît aïe 8M 1175m9. ’ I Tbc’orcma z, Propofitio a. ’ z S l retira linea fècerur vtcunq; : qua: fub rota 8c quolibetfegmè’: torumreftan blacam rehen. untur,æ ualia funrei uod ex Otota R O N T I V citS.([Re&a lineaquadrato. vtcunque’fecari dicirur,quæ in. quouis . ,data A illius Qgidreeam. puhétogbfq; partiû detetminatagu ratione,iudiifetentet P diuiditur.. cl-- Sit igitur aibzli» une? 7th” nez méta; uæ vtcunq; fecetur in c.Dioo g: fub azbzôr azc,atq; fub eadcm alblêtclbl que un côptehen a reâan la: æqua font ei,quod ex tata alblfit quadrato. Ex data nanq; azb,quadratum de ctibatut azbldze: pet quadragefimamfextâ timi.Et pet datam punétum c,vttiq; 8c azdzôc bxel parallcla ducatut czf: pet trigegmamptimam eiuiï dem primi libri propofitionemReâangula igitur funt,azf78c cœzpa tallelo rima: F atque ipfum azflfu aIdÆ azc, ipfum veto czez ub 0b] 8K ble, par primam huius diffinitianem comptehenfum. a C b * Et quoniam azbiôc azdzfunt bina: quædam liriez refit: ’85 ipfarü altera,fcilicet alb,fe&a cit in ancra: clbzfegmë» . ta, ex hypothefi. quæ igitur ab infeéta au d, 8c vtroque ! ’ . -fègmenta alczôc Czbzoontinêtut reâangulazzqua’fimt en 4-7» ’ . ç quad fub duabus lineis reCtis azbzôt azdzcôprehenditur i reflangulo,pet primam huius (ecundi propofirionem; Atqui bxexipfi azd,& vtraque ipfi azb,per trigefimamdiffinitionem primi en fritta» lisznecnon azbzdxelteftangulumfid quad ex ipfi albzfit quadratü. ,Quæ fub tata -;’gitur arb,& quolibet fegmenra azcxôc ab, teflangula comptehenduntut z æqualia unt ei quad ex tata arbreft quadratq (yod crat aftendendum. 4 ’ i ’a a

E Apîùeëœ houppa ôcï’ruxementir mpueiinb m mît; p 8M: 7, me! siéeI mécroie; ô"- vrpnpétop mûtexôWop " 7. . N I t ôeôoyénop 760p 35 76 ’11 «(ab T59 numéral: flnxowç 6e9cywvi’a,ixœal 7-5 àqrô a? t p meulais TIAIÎWÇ 79115006114». . ’ , U Thror’ema 3, 4 4 Propofitioq 3. , l p n 3 l Ireâa linea féCCtur nautique; reé’taingulum fiib rota 8c vno - V i? fegmentorum.c6prehenfum,æquum cit ci quad fub fègmen, tis com ’rehenditur reflangulofic ci quad ex præd’iâfa fegmento

fitO R ON qua T IV S.IIEito irato. axbxteôta , lineaqvtcunq;. . . * . fe6ta ,p in ’purifia p e.1 Aia quad Pub tata azbzôi alteto fègmentorum,vtpote azgœmprehéùfum reâa’n’gulutn: arquait; en eiquod fub avelêrczbzfe métis teétâgulo c6’tinetur,& ei quad ex codé fegtneii- to aICIfit quadratol I Defcrîatur cnim ex azc,quadta’tüia7czdxeÏer’ qùa dptagefimzî- [extam primi. a: producaturdzezin direéhî qu; ad f,’ per’fecun um parraina: P’çr a ’ J c 1, unôtum deniq; b, vtriq; araidzôr au parallcla ducarùÎt l I I ixfipet trigefim’âprimani ipfius primiReâ’âgulaigitui’ Tunt alfzù czfzpatallelogtatnhia, pet primam huius dif» A , . A, v a I nitianêEt quotiam a!bz 8: azdz binæ uædam tridentur I a ë f A eiTelineæ reëtæv:quarû alterar,vtpoteaz en pet l pothefin in azuôc czbzfegmit’aôub duabus igitur [mets

---...-vîfi-w 46 GEOMET. ÉLÉMENT. a c mais axbxôc azdmomptehêfum reflangulum azfiæquü cit eis quæ ab infeâa axdx a: quolibet fegmento axe! 8c obzcontinentut reCtangulis :pet primam huius (ecun- sdi pt aficionem, hoc cit reétangulis az ez &czf. At; a . f quia zteâangulumfiquum cit et quad fub tata azb,ôc i egmento achcantinetur: uam aldripfi axereit æqualis, pet triîefimam diifinitionem primi.Azezporrô quadratü,quad ex eadcm fegmen to me! eièribitut.Re&angulû deniq; cxfiæquü cit ei quad (ab azclôt czbrfegmentis cétinetuneit cnim elezeidë attraper ipfius quadrati diffinitianê :qualis. Sireéta igi tut linea alb,vtcûq; recetur in punâo creétangulü fub tata azbzôt alteto fegtnento mm azcœôprehenfumfiquü cit ei quad fub alezatelbt fegmentis fit teétangulo,ôc ci quad ex ptædiâo fegmento axa cit quadrata. ngd attendue oportebat. eidem: 6*, retienne dl. En: Mât wapiti nabi à; (11136,76 du?» «a; 8M; Ti’tfa’cyavop imp (son anise inti: 759 trppo’wwp flîfaqôvoiwtatl 75 file imà 19W TPHIJÆI’TQP miixopiva ôgOoyavia. Tbcorema 4, Propofitio 4. S I reéta linea fecetur vtcûq;:quadratum quad fit ex tota,æquü cit quad ratis que fiunt ex fegmëtis,& Cl quad bis fub fegmen v ris com rehenditur teâangulo, O R O T I V S.IISit Ubllinea reâa,quæ fecetut vtcunq; in pieu) C-DÎCO qua. dratum quad ex tata fit a! b, :quum cire eis quæ ex aimât 01V defiîfibumur qua’ dratis, 8c bis fub ava ôta b! lègmentis comptehenfi) reâangula- Defcribatur in primis ex arb,qua dratum albzdlezper quadragefimamiextam primi. Et conneél’av tut azezdimetiens,pet primum poitulatumôt pet datura punâum antique NCD St bzexparallela ducatur lelfccans azeIdimetientem in unâo g.Per punâum den niq; g,ipfis aszôt dlezparalleia ducatut hzk: pet triîefipmamprimam ciufdem prio mi. Cam igitur azbzdœlfit quadratü,æqualis eû- az zipfi bze:pet trigefimâ ip us l a . 4: 5 primi diŒnitianem.Ifafcelis igitur azbzeztrianguii, qui ad bafin azexfiunt anguli,hac cit bzweza azezb,funt pet floc tin-ora tu: a nônullis la g quinta m primi adinuicê :quales. Eiufdem porta trian aliter demom guli albreztres anguli, binis (unt métis æquales:per tri, (trafifed hac demonltratio L gefimamfecüda m primi. Reflus cit autem angulus qui cit omniû da a. .e ad b.reliqui igitur anguli bzafezôc aIer, vni reéto flint * riflima. - æqualesfuntautem a æquales adinuicemwterq; igitur dimidium efianguli teâi. Trianguli mtfum atcng tres anguli, duobus te&i5,pet ’ eandcm trigefimamiëcundam primi,oazquantur.azczgzporto angulus, teâus cit: nempe æqualis ipteriari,& ad eade partes qui ad b,per uigefimamnonâ ipfius pria im.i.Ergo teliqui duo angulicngôt azgze,vni teéta funt æqualesfed dimidium te» &i cit cIazgzangulusugitur &afglc,teé’ti itidcm cit dimidiü.Aequus cit propterea angulus czazgripfi azczg:pet primam communem fententiam. Et latus conièquen- ter azc,lateti czg,per fextam fprimi æqua1e.Efl- autem &azhzlatus,ipfi czg, necnon hIinpfi arczæquale:per ttige mamquartâ eiufdem primi. Acquilaterum cit itaq; :105th parallcla tammumtaio uod 8: reétangulummam angulus quiad! a,re» &us citReétanguëum porta fub uabus teâis lineis angulum reétû comprehen» dentibus,per primam huius diflinitionem,côtineri dicitur. quadratum cit igitur mugira: :quum ei quad ex arc. Haud diifimili difcurfu,kazparallelogrammü, qua ratü eiTe conuincetur:& æquale ci quad ex czbz.Nam æqualis cit Amide azc, pet eandcm trigefimamquartâ primi. Et quaniam æquum efl: hzfzfisipplementlî

ipfi czk, pet quadtagefimamt’ereiam primi : a: Cl kl id quad fub av Cl 8re! b, na’m ipfi me attenta cit æqualis 0g; Reé’tangula igitur ex k1 8c hzf, arqua funt ei,quod bis fub (Egmentis.comptehendimr,teétan la. Offenfiim cit autem algi 8c gœ! quadrata,eis fore :qualia! quærab eifdem egmentis’fiunt quadratis.Etiazgrigitut 8c gIe,vnà cum ab. a: hzfiæqunlia flint quadratis qua: fiant ex lègmëtis,& ei quad bis fub fiâmentis comprehenditur tefla’ngulo. Eifdem porta alg, gze,czk,& hzf; æquum e quadratum azbzdæ,ex ipfa azbzdefctiptummempe totum fuis partibus integralibus. QIad igitur ex tata azblfit uadratum :æquum cit quadratis quæ fiant ex azczôt crbziègmentisfic ei quad bis ub ci(dem fegtnentis comptehenditur teétangulo.Quad fuerat demanftrandum. Corollan’um. i ([Parallelagrammaigitur,quæ circa quadrati dimetientem côfiituntfore itidcm quadrataztelinquitut manifeitum. a -.

M, me", mPFÎI que? èç Nô:926:9qu and «546513 and in, trôla Permet:Mimi: «î; 8M: TFUPŒ’TNP .e. W» E kiwi? 599mm a: «a ana «a: FËXÈÙ 759 «par mmôwaïavv 35 75 W3 "fie imamat Trafaydvaa . - V x *" Tbeorema y, Propofitio y. , 5 . ’I reâa linea fée-engin æqualia,8t non æqualia:re&angulum S comprehenfum ab inæqualibus feifionibus totius,lvnâ cum quadraro quod’à media feétionum.æquum cit ci quad à dimidia

O R O N T I V S.([Sit rutfum albxlinea teéta:quæ bifariam Recrut-in punéto c, . atfit ue in nonquadrato. æqualia,in punëtodAio quad (ab. Mira;l dzbzcomptehenfump 4 V reflua a gu ü,vnà cum eo quad ex dzczquadtato: æquum cit ei,quad ex azudimidia fit qua» (1mm. ’Dcfcribaturergo ex azc,quadratum azczetfipst quadragefimamfextam pti Côfiruâio a. mi.& canneâatur dimetiens alf,pet primam paitulaturn. pet punflum infuper d, 8""!- vttique amer ezflpataliela ducatut dIg,fecans azfl dimetientem in punc’to h. Rut» film pet datum pûâum b,ducatutkllzm,i fis albzôc elfl atallela :per trigefitnâ» primam ipfius primitandem pet pûétum ,ipiîs azklôt a I parallcla ducatur b!m: . pet eandcm trigefimamptimam rimi. His ira canitruâtis,quoniam fupplemen» Demanda . ’ tumgz ,æ uum cit fuppiemè’ta dzl, pet quadragefimâ- Œmmtùc 5 tertiamip tus primizaddatut commune th-totum ergo a q il. avg,toti azlz reétangulo, pet fècundam communem feu. L k h m tentiâ crit zqualaAt czmleidem admit :qualc, pet tri» efimâfèxtâ eiufdé primi : flint cnim in bafibus :qualia gus vos: Ub,8( in ci(dem parallclis azblôc klm. Etazgz I. igitutipfi 0m, pet primam communem fententiam cit æquale.Addature r f rutfum commune teéhngulum dl]. Et dme igitur" ree’tangulum, pet eandemvfecundâ cômunem.iëntentiam,æquabitut gnomoni gaulai tqui dan! teââgulum :quum efl: ei quad iùb azdzat dszcontinetu tzquadtatum cit cnim azb, pet corollarium quartz propofitionis huius:& :qualis propterea and! ipfi dzh,fub qua &dzb,ipfum dlmlcôptehenditut reâangulû. uod igitut (ab azdrôc dszcom tinetut reétangulum, :quum et! gnomoni gall- A datut tandem commune que dratum hl f. Comprehenfum igitur fub w d7 a: dl bz teétangulum , vnà cum quadtata hlfgquum eft ïmmoni gzazl,atque ipfi quadrato hlf. (hiadratü porta hzf, :quum efl’ ci quad fu dlczmedio faâionum: fit cnim ex hIl, quæ ipfi dzc,pet tria gefimiquattâ primi eftæqualis. Quod igitur (ab aldzôt dxblcôtinetut teétangulû,

48 GEOMET. ÉLÉMENT. vni cum quadratoiquad ex dze, :quum cit manigzaILatque ipfi quadrato bsz Ipfis dcmum gIalegnamoni 8c quadrata If, :quum cit atheIt,quod a dimidia azczdefctiptum eit quadratumReâtan lum igitur oomprehlëfum fub azdz 8c dzbz in:qualibus feâionibuswnâ cum qua tata quad à media feâionü dlc, :quum cit ci quad ex arbxdimidia fit quadrato; ’Si reéta igitur linea,& qu: fequütur reliqua: vt in theoremate.Qiod aftendcndum (ufce’peramus. .

Al; êoeâac, 026314110: nuppîi win03 d’iXœ,t1n:o;c93 61èmes, A ami Euh-ivemême"; i7? ivGe’œc,75 s.3:73 mît me O’Ùg Eu TCWMPdEJÛ m7;WWKW’"WâtËWopôeooyômpwËè’îvd’nà «a; ipwéæa’ «a.

agnavzsfianp 85 T5 027113 1179 MKÈFOÜIIG il? "if ÊFWG’M’ mi fixatrmdpirnç à; àmà pian; être: www- Tbtorcma’ manda. 6,; ’ .- Propqfitio p6. j ’ . Itcé’ca linea bifariam fècerur,adiiciatu’t?uc ci aliqua rc&a li: nca in rcâumzrcâangulum comprchcn um fub rota cum ap: pofita a; au pofita,vnà cum quadrata quad fità dimidia. :quum cit ci quo "ex éonicâa ex dimidia 8c appofita,tâquàm ex vna des (cripto quadrato. ’ O R0 N T I V S. IIEfio albllinea teâafiâa bifatiâ in punéto c: cui teéta qu:- dam linea bldfin ditcétutn adijciatur.Dico,quod fub a rd,& dzbt comprehenfiim tec aigulumwnà cum ca quad ex c!bzquadrata::quû cit quadrato quad ex Cld. Fiat figura: con» cnim ex -c,d,quadmum czdlc7f,pcr quadragefimamfextam primi: 8c conneétatut’ P°fit1°- cpdqm- Primum pofiulatumPer punâum infu et b, vtnque celât dxfiper tri e» fimamprimam eiufdem primi,parallcla ducaturbzg,qu: fecet dimetientem ez An pomélo h. Rutfum pet punâum b,ducatut kIllm,ipfis wdza elflpatallela: necnon pet azpunftû, "ml; gazai dfml parallcla aIk, pet eandcm trigefimamptimam pria Citenfianis mi. Cùm igitur 1ch :qualis fit Ipfi Czbzper hypothefin, æ aIdIipfi klmlparallela: «man :quum en; azllparalleIOg ammum,ipfi Clhtpatallclogtammo, pet trigefimamfex» . a a C b a- tam primi. Eidem porto 0h, :quum cit hlft fupplemô tum: pet quadragefimamtertiam ciufdem primi.Et a4! k I . I a d m igitur ipfi hlf, pet primam communem fententiam efl: :qualc . Addatur vtrique :qualium commune Clin. tatum Igitur’a7ml reétangulum, gnomoni l! dt g, pet fe- Q .5 cundam communem fententiam æquabitut.A tqui azmI cit :qualc eiquod fub atdr 8C dl b! comprehenditur te- étangulmcontînctur cnim fub aldzôt dzm,qu: cit :qualis ipfi dxb, nam b! mz quao dratü dhpcr COYOllal’Îum quart: huius feeundi.Comprchenfutn igitur fub azdtôc d!bzrc&angulum,æquum cit nomani Il dt .commune turfum addatur llg,quod pet idem catollatium quart: ’uius cit quadratqui-iod igitur fub aIdÆc dzbzcô’ tinetut reftangulumynà cum ltglquadtatozæquû cit griamani 1rd zg,& eidem quadtata hg. Ipfis porrè gnomoni ltdlg, 8c quadrata Il g: :quum cit cld!ezfx quadra? tum.&lquadratum Dg, :quü cit ei quad ex crb; cit cnim lrhl(ex qua fit ipfum 1ng quadratum):qualis ipfi Czb,pcr trigefimamquattâ primi. Reâangulü igitur fub ald,hoc cit fub tata albkatm adpofita bzd,8c ipfa bzdladpofita comptehenfum,vnâ I cum quadrato quad fit à dimidia clb: :quü ei cit quad fit ex cld,hoc et! ex dimidia clb, a adpofitîji bd, tanquàm ex vna deièripto quadrato. Quad demonftrare fuerat opetæptetium.

MeninLIBER Ê; 11969:0",- a, Il. 49 E ApêueâœŒPÇWŒ www finestreîfo’qun: à; ËWXt’ïo in: ifs-i in"; 7511 "in; me 37W N’ai! mi Tic 5:4? 8M; c559 mi T5? a"? TPNPé’TWIJéquipois Tizlilgœqnq ad dul- m. moitît? ôdowvieiô 76 6m a: Mm? empara. flpmm Tbeorema 7, Propofitio 7. 7 I teétalinea fccctur vtcunquc:quod à tata ôtab vno fegmcn: tatum vtraque fiunt quadrata;æqualia funt rcâanqulo com: prchcnfo bis fiib tata 8c diffa fcgmcnto, 8C ci quad à te iquo reg: mento fit qu adrato. O R 0 N T 1V SIIData cnim reëta linea alb,vtcunq; fccetUt in punéto c. Aia ex tata azb, 8c vno fegmcntorü,vtpoteale,vtraq; defcripta quadratagæqualia fore eigquod bis fub albzôt axacôtinctur teétanfulofi: ci quad ex czbzfit quadrato. Ex Figut: [me ipfa cnim atb,dcfctibatut quadratum azbz Ic,pet quadragcfimamfcxtam primizôc 9mm conneé’tatur alezdimctiens,pet primum poitulatuml’er punétum deinde c, ducatur clfzipfis aIdzôt blezparallelaJecans azczdimctientem in g. 8c pet idem punétü g,vttique albzôc de parallcla turfum ducatut 111k: pet trigcfimamprimam primi. Étant igitur mais: flkzparallclogtammaæirca dimetientem aIezcôfiftentia,qua’ dratazper quart: liuius cotollarium. Et quoniam cliver hlfzfuppicmcntafunt pet Dmôfirafio quadragefimamtettiam ipfius primi adinuicem :qualia.addatUtvttique,commu» thmcmm” a «v L ne quadratum hchotum igitur azk,tati azf,pcr ictun’ dam communem fententiam crit :qualeEflautcm azkx h 8 k :quum ci quad fub tata alb,& fegmcnta aIcIcantinetur reâangulomam atc,ipfi azb, pet quadrati diifinitioncm cit :qualis.Re&angulis itaque aviva: aÆtæquum cit id, quad bis (ab azbzôt alCI cantinetut tcâangulum. 151de porto azklôt alfttcé’tangulis, :quatur gnomon fra’k, 8C quadratiîd infuper f hxc(bise cnim cum ipfis azkIêcalfircâangulisfincluditur quadratum hlc)gnoman igitur flalk,vnà cü quadrato Ive, :qualis cit ci quad bis fub albl a azczcamptchêditut tcâangulo.Addatur tu rfum cômune quadratum f1 k. Gno. mon igitur leaIlgvnà cum quadratis hzczat f!k:ei quad bis fub azbzôc azczcôtinetut tcâangula,8c ipfi quadrato kazefl :qualis. Atqui fzatlvgnomoni, a quadrato ka: :quum cit albtdlczquadtatuml itur quadratum azbzdxc,vnà cum quadrato hm: :quum cit côptehenfo bis fub aidât a’cl rcétangulo,& ipfi fzkzquadta to.Sed asz d’exquadtatü,ex tata axbldefcriptü efl.& hIclquadtatum,id quad fub alclfegmen» to.fzkzautcm :qualc ci, quad fit ex reliqua fegmento elb : fit cnim ex gzk,qu: ipfi clb,pcr trigefimamquattâ primi cit :qualis. Œad igitur ex tata albzôc fegmen» to aIcIvtraq; fiunt quadrata:: ualia funt rcétangulo comptchenfo bis fub tata azb, a diéto fegme’to vas: ci quad fub reliqua fegmento czbzfit quadra to. Si rcéta igitur linea:8cc. vt in theoremate. ngd oportuit aficndiflè. ; A9 évoé: mppù. estimerait: «muet à; ïTuxeflôTmfémerizsù aie 37mu, uod e562renfloue ’75]! napée?!» u. * , Ewdëxixôwop 63007:5va 7’52 6mn; Mm? T’aime Tî’l’faïâwd, initiât] tu; ’11 daté ai; 5M; m a? 9’8qu tr ipœmfis 5nd: paît; «vimaire: wattman. . . T tarama 8, Propofitio 8. 8 SI tcâalinca fcccrut vtcunquc : rcâangulum comptchcnfum quater fub tata 8c vno fegmentorum,cû c0 quad ex reliqua

Io GEOMET.ÉLEMENT. lcgmento cit quadrato,æquum cit ci quad fit ex rota 6c prædiâo fcgmento tanquam ab vna dcfcripto quadrato. O R O N T I V S.IIEltaaIbzre6ta linea,vcunque (bêta in punéto c. dico quad te, &angulum quater fub tata abat vno fegmentotü,vtpote bracomprehen um,vnà cum quadrato quad fit ex aIczæquum cit ci, uod ex aszôt eadcm fegmento bzc, a gaur: 05R"! tanquam ab vna delëtibitur quadrato. Pro ucatut cnim axbtin dire&um vetfus °° d,pet (ecundum paltulatum:ôt panamt bzdzæqualis ipfi bzc,per tettiam primi. Ex aIdI autem delèribatur quadratü azdzezf, pet quadragefimamfextam eiufdem primi:& canncétatur dimetiens czd,pcr primum poltulatumPct trigcfimamptimam deinde ipfius primi,per mac bxpunâa,ipfis mais: dzfparallel: ducâtur elgzôt bzle, dimetiêtem czdzfecantes in pûéfis h,l:& pet eandcm trigefimâp ri mam,pet punâa Demôfiratio hzôt l,ipfis azdzôc elflpa rallel: rurfum ducantur mznxoxôt pzqzt. Et quoniam pet th°°l°mm confltuétioncm czbziplî bzdxeft :qualis:8c qllq’pfi czb,necnon llt,ipfi bzd,per trige fimamquattam ptimiElt igitur qllxæqualis ip l la, pet primam communem fen- tentiamzqu: cnim :qualibus :qualia funt,ea funt :qualia adinuiccmôt hztvcôfe» quenter,ipfi nlozitidemconcludetur:qualis.Parallelogrammum itaque bztzæquü cit ipfi chat proinde qInzipfi lzozpa rallelogrammo :quale,per trigefi mamfextam a. L a ipfius primi: funt cnim bm St czIIin :qualibus balibus, l :7 ac in ci(dem parallclis canitituta,fimiliter a: quatque P a! r lto.Atqui allât lzoÆupplemëta eoruml qu: c1tca dime» m l! ---B- o tientem hzdzfunt pa rallelogrammotum, pet quadragefimamtertiam eiufdem primi :qualia funt a inuicem. Igitur bztzôc qInIpatallelogramma, :quis funt :qualia parallelogtammisæt :qua propterea adinuicë,pet cana g f dem primam communem fentcntiam. Quatuor igitur e g blr,exl,l!o,& qln,funt adinuicem :qualia: 8c quadrupla confequcntcr i fius czl. Infuper quoniam bzrzôt qInIpatallclogtâma,pet cotaln larium quart: Euius flint quadrata::qualis cit bzllipfi bld,5( qxhlipfi qzl,per ipfius quadrati diffinitionemEidem porto bzdzæqualis cit Ub,pet côltruétionem:& b!!! igitur ipfi czb,per prima communem fententiâ cil: :qua is.Ipli rutfum cszæqua- lis elt qzl,necnon aqzipfi bzlz: ualis, pet trigelimamquartam primizôt czqzigitut ipfi qll,per eandcm cômunem ententiâ eft :qualis.at th,cidem qutæqualis pr:» ollenfà elbôc caqxigiturfipfi qzh,pcr ipfam primam communê fententiam cil: :qualis.Patuit auté’,quôd a: hvnIipfi nzazitidem :qualis cit. Pa tallelogrammum igitur azqzipfi pzh,neenon hzkzipfi mfl,per trigefimamfextâ rimi oo:quatur:funt cnim alqlat plhlinibafibus :qualibuszac in eifdë parallclisÆmilitet 8c hlkzatq; nIroon Rituta. Ipla veto pzhzôc hzk,funt rutfum adinuicë :qualia,pet quadragefimâter tiam ipfius primiznempe fupplcmenta carG,qu: citca dimetientê exlzfunt paralle» lagrammor’um.Et axqzigitur and) parallelogtamma,:qualibus (tint :qualia pa- rallelogtâmiszôt :qualia propterea adinuicë, et primi communë fententia. (En. tuat igitur alq,pzh,Wk,& nlf, :qualia funt- a inuicem: 8c quadrupla oonfequenter ipfius anlpatallelogtâmiD(tenfùm cit autem? 8c bzr,Czl,lza, &qln, quadrupliî funt ipfius C1l.O&o igitur patallclogrâma,mzdzgxgnamonêcanitituentia,quadru plum efliiciunt totius aleparallelogrâmiÆll autëazlIpatalleIOgtâmü,ei quad fub atbfôc bIctcôtinetur reétan la :qualc:nam bll,ipfi bzc,:qualis affila elLReâan- gulum igitur quater fub a! la: bzczcôprehenfum,:quum cit gnomoni mzdngda datur commune quadratum mthiatet igitur fub albz8t blczcomptehenfum t’e- âangulü,vnâ a": quadrato mxg::quatur gnomoni mzdzg,& eidem ngl quadrato.

LIBER ’ Il. 3: Ipfis porta gnomoni mzdzg,& quadrato ml g: :quum cit quadratlî azdzcÆCam» prehëfum igitur qua ter fub azbzôt bzidzteétangulüwna cum quadrato ngzæquum eft,pet primam communem fcntentiam,ipfi quadrato azdzezfiAtqui mlgx uadra. tum :quum cit ci, quad ex azc: fit cnim ex pub, qu: eidem azc, pet tri e imam- quattam primi,elt :qualis.Qpadtatum ante azdfexf, :quum cit ei,qua ex alb[& bzcztanâ ex vna delàribitur quadrato:data cit emm bzd,ipfi blcz:qualis. Si reéta igitur linea azb,feceturvtcunque in punéto c:tcétangulum comptehenfum quater fub tata azbzôt fegmento bzc, cum ca quad ex reliqua lègmcnto axez cit quadrato, :quum cit ci quad fit fub tata alb,&pt:diéta lègmenta bxcz,tanquam ex vna de. (tripto quadrataquad demonlttate fuetat aperæpretium.

Ap ME:p mimi 0:51:93p: que? de i6: Rai hâtai 50ml cap0, âilld’ap 12:39:01; mît: 37m; 751: TFJIPÆ’GWF 9. v l A Evtfiféywm, dli’vàa’ta’laè 3h 7’511 à’mi frit ipwéœa’ (et). 7? Enduit 759 m4511 vevfwôvov- Tbeorema 9, - Propofitio 9. 9 I rcâa linea feccrut in :qualia 8c nô :qualia:quæ ab inæquaz S libus rotins fegmenti fiunt quadrata,dupla funt cius quad à dimidia,8c cius quad à media feétionum fit quadratorum. O R O N T I V SIISccetur cnim azblreéta bifariam,in punéto est in non :quae lia,in d.Aio quad delètipta ex axdzôt dzbzquadtata,dupla flint eorum qu: ex azez 840d fiunt quadratarum. A data cnim punéto c, dat: refit: line: alb, reéta linea Vt confiner! czezad teétos excitetur angulas,pet vndecimâ primi:& vttique iplatum azczôt 0b! d’ ligua ponatur :qualis,pet tettiâ eiufdcm primi.Conneétâtur deinde azezôc elb, pet pti» mum poltulatûPer punétû infuper d,ipfi czezducatut parallella dzf: atq; pet pun’ &um ,ipfi albxpatallela ducatur fzg,pet trigefimamptimâ ipfius primi.conne&ao tut tandem azf, pet idem primü poltulatum. Cùm igitur alczfit :qualis ipfi de: à??? 4m15 crit pet quintam primi, angulus cme,:qualis angulo azerc. Et quoniam trianguli 853:: "a emmures anguli,funt :quales duobus reétis,pet trigefimamfecundam ipfius pria mi,teétus cit autê qui ad c:teliqui igitur anguli elazezôt alezc,vni reéto funt :quales.funt autê :quales adinuicem,vterque igitur aazezôc azefc,reéti dimidius eft.Et proinde vtetq; eatû qui ad bafin e1b,’ifoli:elis emb, dimidius cit teéti.ltaq; totus e azezblangulus,ret’tus elt.Rurfum,quoniam eIngItrian. l guli tres anguli,binis teétis funt :qualcs,per eandê tria r gefimamfecüdam primi. reâus cit autem qui ad gznam :qualis interiati 8c oppofito ad eafdem pattes,qui ad c, . a . i: 5 pet vigefimamnonam primidimidius item rcéti cit,qUi . fub gæzf-Reliquus igitur qui fub ezflg, reéti itidcm cit dimidius.Ambo igitur eidem,vtpote dimidia vnius reéti,iîmt :quales:& :quales Proptcrca adinuicem,per primam communem fententiamEt latus cohlèquèntet ezg,lateti ng):quale,pet feXtâ primi.Haud dilfimiliviadatusfzddateti d’Ibzcôclui à ditur :qualc. His ira ptæoltenfis,quoniam azczæqualis eltipfi czezæquu cit qua; âctfilë’ôtpflî, dratü quad fit ex aze,ei quad ex UClfit quadratozper corollariü quadragefimæfem mîïc’tg’gâî; t: ipfius primi.Eis porta qu: ex azez 8c czezfiunt qua dratis,:quû cit quad ex ale! tianis. defctibitur, pet quadragefimamfeptimam eiufdem primiza propterea duplü cius ’ quad fit ex me. quad cnim binis :qualibus cit :quale,altetuttius :qualiû duplum cit. Item quoniam :qualis cit elglipfi gzfiæquum cit rurfum pet idem corollariu, delèriptum ex ezgzquadratum,ei quad fit ex glf. Eifdem porto quadratis qu: ex ezgxôt glfiæquum cit quad fit ex exf, pet eandcm penultimam primi.Duplum cit tu).

I1 l GEOMET. ÉLÉMENT. e 4 igitur quad ex exfxquadratum, cius quad ex ngzdefèti» bitat.Atqui ngzipfi eldzelt :qualis, pet tri efimâquar- a f tam rimi : &ab :qualibus reCtis, :qualia lèribuntut JË qua rata, pet corallatifi ipfius quadragefimælext: pri- a r 5 mi libti . Œad igitur ex cl f! quadratum, du lum elt cius quad fit ex Cl d. Oltenfum cit autem, de cri tü ex a’ciQUIdntümzduplum fore cius quad ex arc. Defcripta igitur ex azezôc ez l quao dura, du la flint eorum qu: ex azez &czdx fiant uadtatatum. Eis porté qu: ex 302454 cz ’quadratissæquum cit id quad ex alfzdelcribitut,pet quadragcfimamfeo Ptîmam Primifl’câüs ca cnim angulus azez E Defctiptû igitur ex aze quadratum, du lum cit eorum qu: ex aIczôt CIdt fiant quadratorum. Éi rurfum quad ex asz dcëribimr quadratosæqua faut qu: ex azdzôt dlfxquadtata,per eandcm quadrage fimamfeptimam primiztcétus cit cnim angulus qui ad d,per vigefimamnonaî ipfius primiœi: igitur ex ardzôc dIÛ vtraq; quadrata, dupla fant eorum qu: ex azczôt c’d’fium quadramrü- Atqui dlfzæqualis cit ipfi dIb:& ab :qualibus lmeis,:qualia dCËl’ibÜtur quadrata,pcr allegatû quadragefimælExt: primi catallatiüDcfctipta igitur ex a’d’ü d’1” quadratacorü qu: ex alezôc czdIfiunt quadratorü dupla faut. Si teéta igitur linea:&c. vt in thearematc. quad altendendum fafceperamus. etc-3eme: i, peôemç. l. Av iveêæ sampi 170198 JIIIXŒ,’7rfOSEOlÏ5° «à; àua-iîiueêi: aqr’ ÊuOéow’,’i° 50ml ai; me (M E’T’Î WrMKtlFé’ll Ô S ômà a: mannequine qui: Cùuœpçôqte: n?a’ryavœ,dlmào’tmoë 3h 1-871 657173 «il; ÛPIGGIOCÇ la! de inti «fic munirait, i147: aie üpiaa’oœ’ mai au; muapévtçfie 6mn! Fia; animezqmirâv flafarydvou. - ’ - Tbrarema to, Propojïtio IO- SI rcéta linea feectut bifariâ,apponaturaute’ ci quæpiâ rcéta li: la nca in rcâ’umzquod ex tata cum appafita,8t quad cx appofita vttaq; quadrata, dupla fantciusiquod ex dimidia, 8c cius quad ex adiacëtc dimidia 8c ad iunéta,tanëï ex vna deicriptorü qua tatami. 0 R O N T I V SIIData enimalblreéta linea, bifariam feeetur inc: addatürq: ci in ditcétum rcéta quædam linea bzd.Aio quad ex azdlôc dIbNttaque quadrata, dupla flint eorum qu: ex alczôt cxdzfiunt quadratorum. Excitetut cnim pet Vndc» Côltruëtio fi: cimam primi,à paneto czdat: teét: line: azd, ad angulos métas cze: panatlîtque gutæ. vtriq; azczôc elblæqualis,per tettiam ipfius ptimiconneétantut deinde az ez 8c czb, pet primü poftulatum.Et pet expunétum,ipfi azdlparallela ducatur ex finemon a: pet punétutn d,ipfi elezparallelazdzfiper trigefimamptimam eiufdem primi.In parallclas igitur 008c dIfireéta linea incidens ezfiintctiores a: ad eafdem pattes au; galas Clclflôt czfzd,binis teétis pet vigefimamnonam primi, efficit :quales. Atqui Iezflangulus,minat cit iplo au fi duo itaque anguli bzezfzôt lefd, à reéta ezf, in bleds: dzfzreétas incidente caulàti,binis teétis flint minores. Ptoduét: igitur-ph! a: fld,ad partes b,d,tandem concurrent,pet quintum poltulatumS-Praducâtur igitut,pcr lècundum poftulatiîxx conueniant in punt’ta g.8(conne&aturalg,pt:t primum paltulatum. Cùm igitur alczfit :qualis ipfi czez etitperquintam primi an- Oltëfio them gulus czazezæqualis angulo azelc.Et uaniam trianguliezazczttes anguli,binis funt rematis. métis :qualcs,pet trigefimamfecun m primizteétus cit autem,qui ad c.Reliqui igitur culas: czaICIanguli,vni refto fant :quales: qui Cùm fiat :quales adinuicë, vtetq; dimidius cit reéti. Et vtetq; propterea clezbzat czbzc, qui ad bafin et b,ifo. feelis ezczb,teéti dimidius eIt.Etgo tatas avezbzangulas cit teétus. Infuper, quonii

Pu. trigcfimamfccundam primi,ttiangulibzdzgzL I B E tres anguli,R (uneI :qualesl. Iduobuê il "aigrefins autem en qui ad dI(nam :qualis alterna czezd,pct vigefimamnanam mimi) a a, b; g! tcéti dimidius cit (:qualis liquidem ad verticem polira cl b1 e, par quindecimam ipfius primi) reliquus igitur angulus bzgxd, dimidius itidcm cit mâtAmbo ergo a,b,gi a [3ng dx anguli, eidem (hoc cit dimidia vnius hâblant :qualem: :qualesptoptetea adinuicê, pet primam communê lèntentiâ.hin’c bzdz lams,iPfi dlgllatcrl,PCf fextam primi refpondenter :quatut. Præte rea, quoniam ezfzgmiangali ttes anguli, binis teétis, pet’eandem trigefimamfccundam primi, fiant turfum :quales : tcétus cit autê qui ad f,(nam :qualis oppofito qui ad c, pet p trigcfimamquartam eiufdem primi)& eIngIreéti dimi’ . , I dius cit. teliquus igitur fzexgx dimidius itidcm cit rem. v l : Acqualis igitur cit angulus fzezg,ipfi Clgxfiper Prima," . a .---- 41 communem fententiam:8t latus confequentcr aplani , fzg,per fextam primi :qualc. His ira demôlttatis,quo» Detnôltratio 3’ m5 :qualis elt azczipfi czezquod igitur ex amalgamai], ni: refolatio. :quum en ci quad ex cœzfit quadra to,per corallatiumtqua . ta gefimæfcxt: ipfius timi.Eis porta qu: ex aICIôc çzczfiuntqlëadmlsæquu Ca ÏdquOd ex azel defcti- bitut,pet quadragefimamfeptimam primi. (yod igitur ex aze!fit quadratum, du» plum cit cius quad ex ale. Item.qu01!lîf!) :qualis a? 0l; lPfi fig: qu: ab ipfis de» lètibuntut quadrata, funt tutfum adinuicem :qualiaEifdemportô qu: ex ezfzac figÆum qùadmfisflquum ca- cx ugxdclèriptum quadratum,pet eandcm quadra. gcfimamfeptimam primi:tcétus cit cnim qur adÉangulus- QIOd igitur ex exgzfic quadratam,duplum cit cius quad ex ezfiAequalis autem cit ezfzipfi czd,pcr trigelî mamquattâ primizat qu: ab :qualibus feâlâdclèl’lbuntllr quadrata , :qualia (un: adinuicem,per ipfum quadragcfimzfext: primicatallatiumfhiod igitur ex ezgl fit quadratum,duplum cit cius quad ex c! .Oltendlmus autem delttiptü ex az e! quadratum,duplü itidcm fate cius quad fit ex yack]: lglflll’CjUa avec agami-3:1; qua drata,dupla (tint eorum qu: ex ale a: cl d! fiant quadratorUm. Eis autë qu: ex mais: erglfiùntquadtatis,:quû cit rutfam quad ex algldefcribitur,pet ipiàm qua. . dragefimamfcptimam primizteétus cit cnim alezg.angulus.Defctiptum itaque ex alglquadratum,duplum cit eorum qu: ex :08: odz fiant quadratorumÆi dcmfi quad ex az g! fit quadrato, :qualia (un! au: City-d’5! dlg! quadrata defcribuntut, pet (:pius allegatâ quadragefimamfeptimâ primuquaniam azdzgz angulus teétus elt.Etga delëtipta ex aIdlôt dxgxquadtata,eotu qu: ex azczat czdzfiunt quadratarü dupla fant.A equalisporra oltenlà dxb,ipfi dzg:& vnius propterea quadratum,alte» rias quadrato :qua fore necefiùm cit. de igitur ex tata albicû adpofita bzd, st quad ex eadcm bzdxadpofita vtra q; qÈiadrata:dupla fun: cius quad ex alcldimi’ dia,8t cius quad ex adiacente dimidia cl Æ: adiunéta bzdztanquâm ex vna defcri’ prorum quadratotum. quad demonltrate oportebat.

si: ÆoOâCâcp ëueê’œpremania: flyëpfiifl 13 me. r13 8M;a, mû retienne fiâtïen’flïmpupalrmp ne. wxôpt- vop ôgowétiopfi’coptïvoa rré?» 601d a? mon? ægipans flfi’fæyérô. ï . Ï: - Problcma t, Propryïtio tr. Il . I Atam reflam lincâplècarcwtquod ex rota 8c altctofcgmcn: to comprchcnfum rcétangulum,æquû fit ci quad firex relia quo (cgmento quad taro. O R O N T I V S.([Elto rcéta lineaazb:quam epotteat ira fecate,vt quad ex tata » eiij.

54 GEOMET.ELEMENT. alb,& alteta (cgmëro camptehcndemt rcâangulum, :quum fit ci quad à reli uo lègmenra fier quadrato. Ex azbzigitur,de(cribarur quadtarü axbmd, pet qua ta- gefimamlëxram primi.Ipfa poltmodùm Cza,bifariam (ccetut in pun6to e,pet deci- mata iplîus primi.8( pet primam poltularum, conneétatut ez bz recta. producatur deinde czazin reétü ver(as (,per (ecundum poltulatum:atq; ipfi bze, (ecetar :qua- I lis ezfipettettiam primi. Pet ip(am rur(um uadtagefimamlcxram primi, de cri! batur ex aÆquadtatum axfzglh: a: pet idem ecundum poftulatü,producatut i111! directe in k. Seéta cit igitur azbzin panéto h:idque rali tatiane,vr quad (ab a! A: bzhzcamptehcnditur rectangulum,:quum" fit ci quad ex azhlfit quadrato. Reéta Confirmario cnim linea oufeéta elt bifatiam in punéto c,cai in rcâum adpofira elt azf:compte- problemaris. hen(um igitur (ab 058c (zazteétangalumwnà cum quadrato quad fit ex exa,:quû’ cit quadra to uod ex ex f! de(eribirut , pet lèxtam huius propafirianem. Data cit autem cz (z ip iczbzæqualiszôc qu: ab :qualibus reétis quadtara delètibuntut,(unt adinuicem :qualia . Comptehen(um igitur (ab a (I a: (I aztcétangulum, vnà cum uadtato quad fit ex en: :quum cit ci quad ex ezbzde’ C ï? ç Paibitur quadrato. quadrato rutfum quad fit ex clb, :qualia (unr qu: ex ClaI 8c azbl delctibunrur quadrata, a pet quadra elîmam(eprimam primi.Reétangulum igi» 8 tur quad (a czfzôt fza1cantinetur, vnà cum ca quad ab 5 etaxfit quadrato::quarur eis,qu: ex c!az& avbIfiür qua- t dtatis.Aufetarur quadratum quad ex exalvtriquc communc.Reliquum ergo quad (ab crfl 8c fzazcontinetur rectangulum: :quum cit ci quad ex afbfdcfcribltur quadrato,per retriam cômunem (cntentiâAtqui albxczd! qiiadtarum cit id,quod fit ex abat ezgzteétâgulum,:qaum ci quad (ab czfx 8c (a, continerutz:qualis cit cnim fzgzipfi (a, (unt cnim eiufdcm quadrati lateta. Reétâ- gulum igitur cfg,:quum cit quadrato azbzczd. Auferatur pars elh, vttiq; commue nis.Reliquum iraq; teétangulum dzh, reliqua azgz quadrato, pet eandcm terriam communem (ententiam cit :quale.Porrô dIhzteétangulum,:quü cit ei quad (ab azbzôt bzh (cgmenta continetut:elt cnim bzd,ipfi azblæqualis, pet ipfius quadrati diffinirionemazgl veto, :quum cit ci quad ex hzax reliqua (egmento fit quadrato: de(cnpram cit cnim ex alflqu: ipfi axhzrutfum :quatur.Comptehë(um ergo (ab aszôc bIlvrcÇtangulum, :qua cit ci quad ex asz fit uadrata. Data igitur recta linea az b,-rali tartane lèéta cit in punéto h :vt compte en(um (ab rota azb, &vno (egmentorumÇvrpote blh) teétangalum, :quum fit ci quad ex reliqua (egmcnta hzazfit quadrataQiod fadendum (ultcpetamus. i v N 7’754, œpfihuyatiois 666314,»: finiraient me, am a:11960:0": Titi: àplàîiëœp minci: il!» mauviette magane en: 7590109, pêfep 35 m émît 78;; Titi: àPfiÂEæp amuserais flûteau]: WMWpfl’ô WixOWÇ: «flic 42!th puât; Mg mû). qui: àplbÀëarp ymiaqafiç’ fig infiMGâŒt il méfient m’- ,flfi’e,ml. aie œmMpfiœvoWnç ËIÏTÔÇ W ttilt; retreint mût; tri àplbÀéqc yam’qc. Tbeorema n, Propofitio ta. IN obrufiangulis triangulis, quad ab obtufum angulü (ubten: i denrclarcrc fit quadratum,maius cit eis a: fiant ab obtufum Il angulum compte cndétibus lateribus quadratis : côprehenfo bis (ab vno eorum, qu: (tint circa obtufum angulum, in uod pro: traétü cadit crpendicularis,ôc alÎumpto extrinfccus (a perpen: .diculari ad o rufum angulum.

.LIBER .11. H a, O R O N T I V S. ([Sir triangulum obtulîangulum (ca amblygonium azb:, liât bês obra(um an lum qui ad b-ptoducatat ergo czbzlarus in rectum ver(us d,per (ecundum paltu atam:& et duodecimam primi,à data punâo a,in produétum la tas Czb,pctpendicularis ucatut aId.Aio g: de(eriptum ex azczquadratum, eis qu: ex arblôc bzczfiunt quadratis,maius elt,camptehë(o bis (ab dzbzôt bzcz reétangula. Cùm cnim rcéta czd,vtcunq; (céta fit in b: delètiptum igitur ex dxcz quadratum, Dedué’rio me :quum cit eis qu: ex dxbzôt bxczquadratis,8c ci quad bis (ab dlb!8( bzczcôptchen- mmd’t ditur reétangulo,per quartam huius fècundiHis autem :qualibus,addatut cômuo ne quadratum quad ex axd.qu: igitur ex azdxôt dzClvrraq; quadrata, : ua (unr eis qu: ex azd,8t d!b,8c bzczfiunt quadratis,8t bis comprchenfo (ab dlbl .8: lateétan» gulo.Qiadratis porta qu: ex aldzôt d.zb,:quum cit id quad fit ex alb, pet quadra- gefimamlëptimam primigreétus cit cnim angulus qui ad d. Qi-Jadtata i ’rur a: a a; azdfôt dzc,eis a: fiant ex axbx 8:sz qua taris unt - :qualia,& ci qua bis (ab dzbzôt bzcx continetut reétan’ Q gala. Quadratis rutfum qu: ex az dz 8c dze, :quum cit quadratum quad exzazc,per eandcm quadragcfimamfc» d c primam primi.Ogod igitur ex a! cxfir quadratum,:quü cit eis qu: ex wbz& bzcz fiant quadtaris, a: comptehen- (a bis (ab dzbzôc bzcneétangula. Superar i itur delèri tam ex azquuadtatum, ca qu: ex axbzôc bzczfiunr quadrarazcôptehe a bis (ab dz zôt bzexteétâgula. In ab. tufiangulis i iranien amblyganijs triangulis:& qu: (equunrur teliqaniod opar tait aitendi e. Grappe: :15, redorai; i7. * N nie 55076M111; mirant; in and 4’ qui; ôfëœp 7min: minait": maigrît ’11?6Ê)0’ top ïÀæHÔp 3h T51: and me, qui» ôfê’aq: ravivera marquais!) flûteau Ti?œ7(:flôp,’75 7n- glonG) «me denim [4454 cama) 71431 ôéëœp roulais êqz’ tipi noieront fill’lÎMflë fis «ketchup. A toquue aidât fait Tic Mita me dît ôfa’qe ravies. Tbeorema ta, Propojïtio 13. t 13 IN oxyganijs rriangulis,quod ex acutum angulum (ubrenden » te latere fit quadrarû,minus cit eis qu: ex acutum anguliî com: prchendëribus lateribus fiant quadtariszcomprehenfo bis (ab vno eorum, qu: (unr circa acarum angulum in quad perpendicula: ris cadir,&(umpto inrus (ab perpendiculari ad acarum angulû’. A O R O N T I V S.([Sit datam ox oniam,fiue acariangulutn triangulum azbzc, 8c datas in ca acarus angulus qui ad, . Daeatur iraq; in larus bzc, à punéto a, quad in ca non elt,pctpcndicalatis atdzper duodecimam primi; Dico’quadratum quad fit ex azc,minas cch eis qu: ex azbzôc bzazfiüt quadratis,comptehen(o bis fiib 0b! p p 4 I St bzdzreétan la. l Reéta fiquidem linea bzc,(e6ta cit vtcunq; in püéto dzqaod i 3 fifi: «la tut ex tara a l&(e menta bldlvrtaq; quadrata,:qualia (unr com tehë(o bis ab à: rota C! bd: eadcm egmëto bld! rectangalo,’8r,ei quad ex reliqua egmêto de fit ’ quadrato:pct(eprimam huius (ecundi. Addatur ipfis :qualibus,c6munc quadra- f rû quad fit ex azd : qu: igitur ex czbzôt bzdlôt dzazfiunt a a i quadrata,:qualia (unt oomprchcnfo bis (ab oblat lel ’ teétan 10,8: eis qu: ex azdzôt dlczfiûnr quadratis,pct (ecun am communem (ententiâ.Eis autem qu: ex bIdl 8: dz ar fiant quadraris, :quum cit id quad ex az b! de» 1’ c (cribirut , pet quadragcfimam(eprimam primi: métas en").

s6 GEOMET. ÉLÉMENT. ” a cit cnim angulus qui adtd . Igitut quadrara qu: fiant ex albzôc bzc,:qualia (unr bis (umpta (ab oblat bxdtrcétan- gala, 8l eis qu: ex az dx a d’ex fiant quadraris. Ei(dem . . porta a: ex azdzôc dzczfiunt quadratis,:quü cit rur(um 13,1 4 c id quo ex aletdelèribirut,pet eandcm quadragefimam(en prima primi:re&us cit cnim, qui (ab azdtczangalus. (La: igitur ex azbzsr bICNtta q; quadrata,:qua (unt bis comptchenfo (ab cszôt bzdzte- &angulmarei quad ex aICIelt quadrato. Supctatat ergo id quad ex alclfit quadratum,ab ifs qu: ex alblôc b!clfiunr quadratis,oomprehcn(o bis (ab obis: bfdzreo (tangulo. In axyganijs iraq;,vcl acutia’galis rria’gulis: 8(th in theorcmateQuod oflendere factat opct:pretium. Corollarjum. - ŒHinc Facile colligirar,huiu(cemodi perpendiculatem,in reftâgulis triangulis,ab teillait) coincidere (upet ipfias trianguli latus,hoc elt,ncq; inrra, ncq; extra trian- lum:in amblygonijs veto extra, 8c in oxygonijs intra. Non patclt cnim in am- lygonijs neq; in oxygonijs,cam ipfo trianguli latere oonuemtc :obtu(as cnimvel acarus angulus,foret :qualis reéto,conrta vndccimam a: duodccimam difiinitianë primi.Similitcr nec in amblygamjs inrra,vcl in oxyganijs extra pareil: inciderezrüc cnim trianguli exterior angulus, minot ci(ct inrenore 8c ex oppofiro,canrta deei. Mm mamlèxta ipfius primi.I[Nec te fugiat in(uper, quad hic de latere oxygonij prao ponirat triâgulizverum eriam habere,de quocun ;latere angulum aœtam tain in rectangalis quàm amblygonijs triangulis (ubren ente. . Fedbhpœ fia, h Palerme «il. l a Joachim Mméppa fait marabouts miam. D Problema 2, Propofitio t4; Ara teétilineo,:quum quadratum canitiructc. x4 v, comme, OR O N T IIV S.lIElta datam reétilineû azcui oparrcat :qualc uadtatum con- da figura. ltirucre. In primis ergo" Ipfi aItcétilineo,:quale conflituarur para lelogrammum i redtangulum blç’dœ:pcr quadragefima mquinram primi. Si igitur clezôt eldtlate- ra fuermt adinuicem :quaha:canltabit iam i fias problema ris intenria,etit cnim bIcIdIelpatallclogtammam quadratum.At l latus clcz ipfi e!dlnan factit :qua- lcrakcrum coma! crit maillsxlto maius cze.Pradacarur igitur ouin rectum ver» (us f, pet (ecundum poRUIatam: deriîrque elf, ipfi eId[: ualis,per rertiam primi. Rcéta in(uper cIfIdiuidarur bifariam in anfta g,pct decimam eiu(dem primi. Et Çentl’o g,inretaallo autem gluant g!f, emicirculas delètibatur ohIfipet retriiî pofiulatum-Et pet (ecundum paltularum,ptoduætut dletin rectum v(qac ad h:& nommant: conncaâtur g’h’rcâaspet primam poftulatum. His ira canitruétis,quoniam tee a êta linea ct (l (céta cit in :qualia in g! si in non :qua» 5- lia in punâo c:teétangulum igitur comptehen(um (ab cz ez a eIf, vnà cum uadraro quad ex cl g, :quum cit ei quad à dimidia plcb de(eribirut uadta ra, pet quin» Iq tara huius . Acqua is cit autem g; gipfi gz h, pet decio h mamquintam dilfinitionem primi: a: ab :qualibus li- a neis reétis , :qualia de(eribanrar quad tata , pet corol- t latium quadragefimæfext: primi.Comptehen(um igi- tat(ub celât etfzteétangulumflnà cum quadrato quad ab exg::quum cit ci quad ex gIhÆt quadrataEi porta quad ex gzhzfit quadrato,

(:qualia (tint ca , qu: ex glel 8cLIBER Clhl delctibuntut , pet quadragefimamlcptimam 1L ,7 , primi: rectus cit cnim angulus qui ad e , pet decimamtertiam, aut vigefimamnonam ipfius primi. Comptehenfum igitur (ab au 8c ezfz rectangulum,vnà cum ca quad ex glCIfit quadrata::quum cit ifs, qu: ab eadcm gzex 8K ip(a ezht fiant quadratis. Tollatur id quad ex gz Cl fit quadratum,vtri(que :qualibus commune . Reliquum igitur rcétangulum (ab ez ex a: elfzcomprchcnfum,:quum crit de(etipro ex eIlv quadra! to: pet tertiam communem (ententiam . Ipfi porta (ab czezôt elfzcomptehenfo rectangulo,:quum cit bxczdzez parallelogtammum: ip(a cnim ezf,dara elt :qualis ez d. Igitut bzcz dxexpatalle..qlgtamma, :quum cit id qua ex uhzfit quadratum, pet primam

a. t communemtentiam.Ei- (en ce dem tur (un: .bx Utile! a parallelogram g. l mo,:quum cit datü v a! étionemPerazteétilineum, eand’cm itaque pri- et canltruv . mamcommunem (ententia, data azreétilinea::quû

p cit id quadfit quadra- ex exhl ne film. I de factar œnltimendum.. in Secundi Libri Gcomctticorum Elcmentarumgg FINIS. ’3’

’hQJ-W a 9Hflâ’i

Orontij Finci Œlphinatis, Re. GII MATH EMATICARVM PROFESSOg ris,In Tertium clcmcnrorum Euclidis,Dcmonlttatianes. 5::er 1A0! ne 1x21 on triton.

Isa: minon édifiai! ce! SËFI’Eoi émit land amatieh ceci. 5P ndafœpfi’ôu 501p. Difli’nitiones.

p :’ Equalcs circuli: (itur quoriî dimeriëtes (unr :qua: t les,ch quorum qu: ex centris (unræqualcs. Qales ribî tept:(enranr (ubferipti 318: blcireuli. Hinc parer circa! Clrcularû in, 10mm non :qualium diffinirio.qaarutn cnim dimetienres,vel qu: ex cqualiû cota ï V, centris factinr in:quales: 8c ipfi quoque inzquales erunr Mat traria dilfinie - » 7 r - ior aure crit, - rio. cuius dimetiens , vcl qu: ex cens m m m æ tro maior : minor vetb, cuius dia ’ * " meriens,vclextitetit. veluri (unt cl 8E qu: dleircua ex centra minar W w ,. ([5085:li:quorum miam MW Aimant, c,maior lime MM» ü adulatrice! cit ip(a rufiabhopdx d. ôu , ant . oùI Reéta linea circulum rangcre dicirut:qu: circuliî rangeas 8c eieg a &a,circulumtallent). non (ecar. ’ (1g: circuli Hane filai tcpmfinrat eIF, rangeas circulum gl la, in punch) (ecat. quidcm g.Qu: igitur cadit intra circulumzeieâa, circulum (e’ eare perhibcrut . velutl recta kl l, qu: datam kl ll mldrculum e t interfecar.(IKu’nMi W âmiiMpÀéyoîÏoa,3iTimê1fi’6Mai . ’ «infirmait: TËPVDUUIP lignine. p Circuli (c(e tangetc adinuicemdicunrurzqui (c(e inuicem range; 3 res,fi: non inuicem (ccant. Qqales ci(e videnrur nl0l8t orplcitculldn OIpunéto (c(e inuicem côtingentcs. Cùm porta CÎI’fllll (c(e Maman. vnius circunfierenria, alterius in: gredirut drcûièrenriam: rune hue

in(cemadicet-(cette. Veluti circuli circuli, ql rI s, 8e (c(e dicûtur in: n P 1 t tlslt, in punais quidcm rl a: SI (e mutuo interlecâres. 1125p uüukçiogy àfiékflp figuier: iueëoa Myorrœc, taupes! me? redît: ivr’ tuante au». à: TÔMŒI i651 àotppê’zop. à àwéxdpîtéymzfitp’ vip il Mal; unîterû- adviïh. In circula. :qualirera diftarea. centraa teétæline: . dicunrur:a caman 4

centra in cas perpendicularcsLIBER duétæ (unr :quales III.. Magis au té:9 dis x (tare dicitur:in quam maior perpendicularis cadit. Quemadmodùm in albrcldlcireulo, cuius centrant e, exiltÊ: a a tes litre: teét: alblôt ad,:qualirer ab eadcm centra ezdiltare il ç cenlèntur:ptoprcrea quad eIflôt elglperpcndicularcs,(unr in- . î P uicem :qualean circula porta hlkIlIm,euius eëtrutn n, Il! kl h k plus diltate dicitut à centra n, quàm Il m : quoniam petpem . vC Il dicularis mo,:naiar cit nIp. limita: uünM,3ki in WŒXÔM op exigu, riz-611 zoom trad ruilois MW. Ï Seâio Circulùefi figura comprchéla (ab teéta linea. 8c circuli cit: cu nferenria. la In exemplum habes alblelac dlelfleiteulorum (cétionesdab l e reétis al a 8c dl f, 8c a! 1)ch arque dl cl (l eiteunfctcnrijs rams Seétio,maiog ( . C Ï ptehenfas. Quantum a! b! a ecnttum iududens,maiar cit ip(a minot. 4 (Irpilpœ’rsva c r d’à dlelfl7min: 35,.7 enfbjjkopdfl extra initia-t iuee’œa’,6cenrrum talions œnitirura. a V î 6 Scétionis an lus: cltqui (ab tcéta lmea,8c c1rcuhc1rcunfcrcnria comprchen itur. Cuiufinodi cit angulus bIaIc,anteeedentis de(eriprionis:(ab alatcéta,& albl circunfercns ria comptehen(us.aur cldlfIangulus,qui (ab teéta dlf,& dleleircunfierêtia eonrinetur.qus - . , quidcm angulos mixtes vodrare (olemus:id clt,(ub teéta 8c curua linea comprehenfos. Anguh m 1159 Tllllflwn à 7min: 351584:11:13 flic maraud a? Tpûpéroeptnaefi rn empêcha) étai èv- 7’3’ ûôl’ dénégation ais inGe’ow’, I741; tu même a? Tpllpœ’roÇ,âÜltdbx95flpË00ê’œz.ü mixofllèin

7 Inyeti: (eétione W autè’ (fait angulus mgdbxeaa’ôp clt:cùm in circunfetcntia évasât. (cétionis , con: ringir aliquod punétum,& ab ca in reét: lime: fines,quæ bafis cit (eétionis,rcét: line: coniunguntur. Contentus aurë angulus,(ub, coniunétis rcétis lineis cit. * I Œmadmodùm ex (ablette delttiptionis angulis glhIk,& lImIn,deptehendetelicet.A püéto cnim h,in fines ipfius reétç . l I . g,k(qu: bafis dicitur)re&ç line: hlglôc hlkrcaniunétzmngun 3 g. n luta ip(um glhlltlin data (cétione,8c ad punétum hlconltituüt.

Cloque 5 :2 métiëxsaaaflûl 7min; EueëœrIdem âŒnMchêvaai cen(eto mm mûtçégda de p, ivt’llmlnlaltcrius induit: M7470: (cétionis angulo. ,

8 Cùmbarrira vcrb comprchendenresli fallu. 1 l hangulum . reétçlineæ,ali uam (agha? ("a me me m plant Circunferenriamzm 11137:!!! guluseiÎc d1c1rur. fi-gÇËÏÎLMJË. a 4m a figer 5:7 i i Veluti (tint olpl8C plqllineç reétte,angulü qu ad panétü pl 4.5.. 7’" la" 4’ M”; eomprehendentes,& alplqlfufeipiëres circunfetenriâ. In ip(a a (nèfle-z Æ”: r . a a . aigitur circunfetëtiaa ( Olplq, n eomptehenlùs a p angulus -cire dicitur.A "alu-41", . agui fi teét: line: angulum conitimêteæad centrum conne! Angulusint 7’" ’24" nianrcireuli : comprehenfus rac angulus in centra dicetut el( - 4’ a? (f 1’, cireuli,velati angulus rlslt,(ab teétis nszôt’sltlex rétro slpros V74 W9" ’" f"?

lingule à mais 351534119 deuntibusaficw naïf? 5:07? riz? comptehen(us. trimas-:95 infini: furtçtefiWop a; (TXÜFŒ fait W Q ’ (276?: 91° du) Mari Wikzto’ôp iueaôpflœrl fric émîtœpCœroMuç in" dan-5p meiatedœa’. 9 Seétor autem circuli:e(t Cùm ad cenrrum Circuit (terctit angulus,

60 GEOMET. ÉLÉMENT. comprehen(a’ figura (ab angulum comprchendentibus reétis lit neis,8c alfumpra (ab eis circunfercnria. Cuiufmadi elfe viderut figura rISIrIanteccdcntis de(etiptianis,(ub reétis lineis tlslôc sm angulum qui ad cenrrum s, multituenribus, 8c cireunferentia rItIcomprehenla. Differt igil tut (eétor a (cétione circuli. (kWh L "film, (qui: uaniam: flûtât! illri, que illuminât: Wfdfl’ lût, il ci oie et! yww’aui’ôti «inhuma; fait». ,ÆJW’" ”" J Similes (cétioncs Circuli: (unr a: angulos :quos (ufcrpiunr. vcl 10 ( 4 "M Ï "” 5 . in quibus anguli fibi inuicem unræquales. l7 N 55) MJ M Vri (ubieét: circuli (cétiones albch 8: dlelfzin quibus anguli b (’ 7 , A; [,1 J 4717;; (i 7M" qui ad bl8t e,(unt inuicem :qudes.gi3mms irai; circuli (cétis e * a il fi: ones (acrinr inæquales, polfunr nihilommus elle (imiles.Nam K6 M” "n i ’ fimilirudo (eâionum telpieit râtummada (ulteptarü angulo; d alitarëmô autem datamm (eétionum ma nitudinem. c S quêadmodüm angulorû magnitudo, non lineamm angulos ip(as compgdiendentium qui! rutnritarem: (cd eatundem linearum:qu (clam tefpicir g indinationem. FedfiÂH’La ne, retienne a. OU dioOcai’r&- mitans i- ndfifop îugëp. Problema r, Propofitio I. -Ati circuli,ccnrtuminuenire. .0 R O N T I V SlIElto datas axbzczcircaluszeuias oportear inuenite ( ;cenrtum.Ducatar in ip(a azbzczcircalo,reéta qu:dam linea bxc : qu: bio. i » ” fatiam (eccrur in d,per decimam primi.Età punéto d,dar: reétæline: bze,ad angulos teétos excitetur dfa,per-vndccimam eiu(dcm primi :producatürq; in reétum v(qac ad e,pet (ecundum poltulatum. Secetut tandem azet bifariam in plana-o (,per ip(am decimam primi-Dico,g fzpunétü,centtam cit ipfius dati aberJ . Circuli. Si cnim non (acrir in azezlinca reéta,erir igitur extra cam.e(to ((1 pollibile geluômnaîïfü fit)m par conneéta’tut gzb,gzd,8t gIare&:,per primam poltulatum.Er quoniam m b’dslp l dzezelt :qualis,& vrriq; cômunis dIg:bin: igitur bzdzôt dzgztriâguli bzdxg, duabus gldzôz dm! trianguli gzdzc, (uni: altera alteti :quales. Balis quaq;bzg, bali grc (fiflngorer cenrtum circuli) pet decimâqumram ria - midi nitionem elfct :qualis . Pet oétauâ igitur ip tus primi,angalus bzdzg, angulo gxdxcx (ab :quis lateribus comprchcn(0,rc(pondenrer :quaterur.Reéta itaq; linea de,incidês in reéti bzc,eflîcerer vttobiq;angulas :qua» es:etga reétos,per decimam pritni dilfinirianë. Reétus igitur effet bzdzgx an ulus.Atqui, bzdIaz reétus cit, pet œnltruétionemfuntês reéti omnesæquales adinuicem, pet quartum poltulatumEr bldzgziraq; angulus,:quus elferangulo bzdIaztotus vidcliccr (a: patti,contta nana commune (entenriâ.Reéta cnim dlazcadir inter bzdzôt dzg: diuiditq; propterea angulum bxdlg-Non cit igitur centtû azszzcirculi in g.Haud diffimiliter oitendemus,qa nec alibi â in püéta fiIgi tur fzcenrtü cit dati circulialbxc. Quod inuenicndü (actat. Corollarium. IISi igitur incitcalo reéta linea,aliam quandam reétam lineam bifiriamfl ad tec étos lècuetitangulasun ip(a diuidentc crit centmm dati circuli.

enfreint: a, radôme En ApKIÎlÛW dal rtile MWLIBER met No que"; cupëafl 115i tricliniumIII. daim. a WN» îuôâx Gide 61057:: a? «in: Tbeorema r, - Propqfitio a. a I in circuli circunfcrenria duo (acrinr punéta vtcunque cons ringentia : ad ca punéta applicara reéta inca, inrra ip(am cit: culum cadit. V O R O N T l V S. ([Sit azbzczdrculuszin cuius circunfetcnria fiat bar elvtcanq; contingenria punéta. Aia g: côncxa ex bxin clteéta linea,adir intra ci realum aIbtc. Si cnim non caditinrrazcaincidit i itur in comprehenfim circunfetentiam, vcl ca- orienta rani dit extra circulum.A tqui reéta ipâ, cum ipfias circuli circunferétia minimè patelt ("fig il" conuenitcman dilfetter cnim reétam àcuruaCadat igitur,fi palfibile fir,cxtra cirv Po e" culum azbzcôt inuenra ipfius circuli centra d,per primam huius, (afceprôq; püéto exin bzacircûferentiaæonneétantut dlb,dle,& dIczteét: line:,per primam poltu. I latum: producatiîrq; pet (ecundum poltalatü, reéta dzel in diteétum v(qac ad (,hoc cit, in eam qu: extra cadet: canccfla elt.Erunt igitur d!b,drc,& dte,adinuicem :qua les,pcr decimam uintam diffinitionem primi: 8c dlfzim (upet maior ip(a Ie,pet nonam communem (ententii. T Triangulum igitur crit dtbzf’c,arq; i(o(celcs :quaniam dzbz :qualis elt ipfi dzc. Vndc pet qu’intâ primi, anguli dzbæfôé dIch,qui ad balîn blf’czcrunt adinuicem :quales.Ttiangulû in(uper crit dIbIfiôc ip(am bzfilarus,prm duétum in c.exterior igitur angulus d’île, maior crit in: teflon a ex oppofito dl b! f, pet decimamfcxtam ipfiusptimi . Ipfi parti) dIblfI angulo,olten(us cit :qualis d’clfiôl dlflcr igiturangulus, ip(a dIcÆz an ula maior cricqu: cnim (unr :qualia eiu(dcm (unt :que minora,pet (eprim: camunis (eno renti: conuetfianem.ln trian ula igitur dxc!(,angulus quiad fimaior crit angulo qui ad Go amis pou-a, trianga i maius latas,(ab maiori angulo (ubrendirar,per der ï. cimamoétauam eiu(dcm primi.maius igitur crit lattas dze, ip(a dzf. Ipfi autem de, :qualis elt dlc,vti nupct altendimusÆt dIcIigitur maior crit ip(a dlfiminOt Vide» licct maiore,lèu pars rotozquod pet nonam communem (cntëtiam cit impoffibilc. Non cadit igitur connexa ex blin clteéta,exrta circulum azbzc, neq; in circunfcten’ riam berc: igitur intra. quad oitendendum (actar.

Ap ni mina i095: ni: 81è:eidem: ü un’æsfiuôâap muât mefi, IF wifi mêmedix: flambai «et; 6g ’ 7. . Eau; amuï: nuançai la) M6966: imitât trépanez! dix: 0’:th «pi. Tbeorema a, Propifirio 3. 3 I in circula reéta linea qu:dam pet centtum cxtenlà, quans S dam non pet cenrrum exten(am reétam lineam bifariam f6: cuctir: 8c ad angulos reétos ip(am di(pc(ccr. Et (1 ad angulos te: étos ip(am di(pc(car:bifariam quaq; ip(am fècabir. O R O N T I V S. IISit datas at b! cl circulas, a illius cenrrum d :reéta veto linea pet idem centtum exten(a fit axfiqu: aliam quandam reétam lineam bIcmon - duétam pet cenrrum, bifariamin primis (ecet, in punéto e. Ain quad a ad reétos (Il.

a: i GEO.MET.ELEMENT. eam limai di(pelcit angulosConneétantut cnim dIbzôt d!areét:,per primam po ltulatum.Cùm igitur ex hypothcfi reéta bzezfit :qualis ezc,8( ciletl’lq; commua nis:bin: i itur bzcz si ezdztrianguli bzeId, duabus des: cm trianguli tilde! (unr :quales a rera alteti.balîs quoq; bxd,bali dzcleltîæqualis,pct decimamquintâ «un. nitionem primiAngulus ergo bzczd,angulo dzezcÆub :quis la te ribus comprchcn (e,pet oétàuam iplius primi,elt :qualis.Reéta iraq; dzezconlîltcns (upet reéti bzc, elficitvttobiq; angulos adinuicem :qualcszcrgo reétos,per decimam eiu(dcm pti’ mi diflînitiancm. Reétus cit igitur vtetque angulorum qui (ab b! ez dl 8c (Il ez c. 9m fermait I , (ISecet rutfum eadcm azfgdatam ip(am beIad reétas P": i t angulos. Dico,ga a: bifariam eandcm ver(a vice diaidct. Eadem nanque .figut: manentc difpofirionc, quoniam vtetq;angu10tum qui circa etteétas elt, pet h pathelîn: reétan la igitur (unr btezdzôé d!ezCzrriangu a. qu: igi’. tut ex m8: cszrtaq; fiât quadrata,:qua (unt ci quad ex bzd: fimilitet a qu: ex dzelôc czc, ci quad fit ex dze, . perquadta climamfeptimâ(primi.Quadrarapartè a: , , f fiant ex b! le: drc,:qualia unt adinuicem,per qua ra- gclimæfcxt: primi libti corollariumzreéta cnim bzd,ipfi dzClelt :qualis,pet decima’mquintam iplîus primi dilfinitiancm. Q9: autem :qualibus :qualia fiant: ca (unrlinuicern :qualia,pcr primam communem (ententiam. Q9: igitur ex bzez ac czdxfiunr quadrata,:qua (unr eis, qu: ex des: exc. Tollarut cômunc quadratum quad fit ex czd:rcliquum ergo quadra ram quad ex bze,rcliqua quad fit ex ezc,per tettiam communem (Ententiam elt :qualc. Acqualia porto quadtara (unt,qu: ab :qualibus reétis de(eribunrutzper idem corollarium quadra efimælext: primi libti.Acqualis cit igitur. bzeriplî elc. Itaq; li in circula reéta inca qu:dam: 8c qu: lèquuntur reliqua.Qad demonlttate oportebat.

EnV et sedumv eidem: Mo infiltra trimaient: y, àmw,perlera; [A 87è: a? micron . (Il. ofaoetfiu K 76108019 , a» Aller: élixir. A, Tbeorema 3, Propofitio 4. SI in circula bin: reét: lime: (c(e inuicem (ecuerinr non pet 4. * Cefirrum exten(::(e(c inuicem bifariam non (ecabunt. O R ON I V S. ([Elto datas azszzdz circulus:in qua bin: reét: lime: azez a: bid,non pet centrum exten(æ, (c(e inuicê (ecent in punéto e.Aio q; altera altetam bifa riam non (ecar in eadcm punéto c. Inucniatut cnim centtü dati circuli a!blcxd, fir’q; illud (,per primam huius:8c conneétamrexf!teéta,per primam poltulatumSi Defnôümiç! igitur atezipfi ezczfue rit :qua lis:teéta ezfiper centrum exten(a,candem arcznô du» Sbmpmb’h étam pet cenrrum bifatiam (ecabir, &ad rectos igitur angulos, pet tettiam huius. Reétus crit iraq;azezfzangulus.Haad dillimilitet li bxezlit :qualis ipfi ezd: eadcm t ezfz ercenttum eduéta,ip(am’ bzdznon pet centrum ex» l ren m,bi(atiâ and reétosquoq;lcabirangulas;pcr ei- A ï dem tettiam huius.Reétus crit igitur angulus btezfïAta a qui reétam itidcm litre monltrauimus azez (z angulum: liint’q; reéti omnes inuicê :qualcs, pet quartum poltao latü-Aequus crit igitur bIeI langulus, ipfi angulo aIcIlî Angulas porta azczf, elt pars iplias blezfz anguli: reéta liquident cla,cadit inter bzezôt ezfzreétas, diuidirq;pro- .ptctea ip(am angulum bzexfiTorus iraq; bxezfzangulus,

kLIBER 11L» a (il: parti aIeszerit :qualis: quod per nonâ cômunë fententiâ en impoflîbile . Si in circuloigitur azbzczdzbinæ reâæ linea: vos: bzdfife inuicè’ femen’nr nô pet ceno trum extêfzzfefe inuicë bifariâ non (ecabunt. Quod ofiendere fixera: operæpretiû’.

E Ap «Mo sedum:. cedex Tipwaly &NMmÜuA 4*, (sont redonne hum à ami ndgop. a. p Tbeorema 4, Propajîtio 5. 5 ’ I bini circuli fefe inuicem facucrint : mon crit e0mm idem centrum. ’ ’ I « - v ’" r ’ l 0R ONT I V S.I[Bini cnim circuli: Mme: dxbze, fefe inuicem fêtent in’duo bus pun&is,guorum alterum fit.b.Dico quôd ipforum circulorû non ca idem cen trum. Si eIÊm-fileritflpofiîbilewt idem habeant centrum:efio illud f. a: conneâan- (mense un, tu: Plus: f7c,per primam poftulatumzextëdânîrq; pet (ecundum poüulâtumxadé fun-1.319 impof ’- 9mn reâum vfipad e. ’ Sîîigitur flpunâum;fîæerit cen trû circuli aIbIc crit fzca’pfi fzbzæqualis, par. decimam. guintam diflîniçionem nmLSi idem quoque npunâum , centrumiextiterit ip nus dzbœzcirculizæquahs rurfum crit fzezeidem fil), pet eandcm deçimgmquintam diffi» , initionêBinæ igitur flua fie,eidem fIbzerüt’ æquales:8c. :quales propterea adinuicê,pcr primi communê (enta, I . tiâ.Aequalis igitur critfæIipfÎfIGatqui flapats cit ipf o. a; fœ:tottî igitur effet squale fuæ parti.0mne porto totû ,eft (a: pane mains,pe: nonam communem (ententiamü itur punâum f, non efi commune cençmm da; tomm adams; dxbxezcirculorü. 1’ bini imp menins; quæ &qnütur reliqua. quad receperamus ofiendendum. n ’ Î ’ ’ n . . etc u s, I Parisien . I e. ne, 3V E A9660 minot Mona: &ZMMp àù,oôu ïsoa àwôp’ïv ohm? unifia). ’ Tbeorema 5, Propojîtio 6., I . 6 ’ Iduo circuli f6 adinuicem tetigcrinc : eorum nono efl: idem

O R O N T I V S.IIDe circulis potiffimùmintelligit Euclides,quotjum vous in! tu aliü collocatur. Ta ngâtigitur fe bini circuli aubwôt drbze,in püflo b.Dico rur Idem qui: [m9 (banquète! ipforum circulorum non efl idem communecentrumôi id cnim fuerit 338:":gf’mmgt’, poifibilezefiocentrum. illud fiôzconneéhntur fszôc fze,per primû poflulatum: 8c pet, fecun. . 5m. . P dum pofiulatum extendatur in re&um fiezin unétum c. Si fligitur punâumfit centrum a! hm a circuli: :qualis ’erit 1-7 ez ip 1 fz b ; pet decimamquintam diffini» ’ rionem primi Item fi idem punéhî ficentrum fuerit cit. culi dzbzezæqualis rurfum crit fmeidem fxb, pet eâçlem decimamquintam ipfius primi difiînitionê . Bina: igitur fluât fze,eidem fibzerunt :qualem: propterea æquales adinuicem,per rimam communê (Entendam. Ergo fic, æqualis crit ip 1 fze. eff autem fle,pars ipfius fzcztota igi tut fzqfuæ parti flezooæquabiturquod et nonam com munê fententiam non videtur efle pofiî ile. Et o puna 4 n &um f, non e11 idem commune centrum eorunfem en» culomm azbmôc dzbœg’ntusfe adinuicem tan;îentium(nam de ifs qui fe tangunt extra,per (è fit manifefiumfii duo igitur circa i:&c.vt in theoremateQJod opar? mit ofiendifle. si):

64 . GEOMEII’iE-LEMENT.

. huük’lxwâfiinîç"ï f "i 5141167138 ’ minimum: MME ru cupê’opfi .s,; Pûïfh indagues" nor’Eop F uü::Àov,œarè z. Q’ dieu dupentne ’.

- wââhfiwârpiœëoamvïç mû; uüukopweyisu W’ïîœl ëp’iïnb udmpfimxrsuô Mot- arûn’îô’ d? Ëmœpààü binoit «ü; SÈfi’ëuohfpunîïs àwérrteopïpëzw 35. dïûo N Fâvop îueëoç: ’ inca 5071i» a? am? dupés WbtéÉËUTœt 716:9; itèp udnÀop,îzp’ aérage: «se immine. i . Tbmrwa 6, Propofitimn7p. p . . il. in. diamant) circuli. aliquéd eontmgar pu né’tum 91194; mi; mime circuli cenrtum fit,ab eo’que puna-o m c1 rÇqum. quai, dam-rieêtæïli-neæprocidanr:maxima et’ir in qua centrum. mmlma Verô reliqua; . raliarurn verôJèmper proplnquior cr qua; pet cette .. Ç j Ît’rumîëxptpèm’jirurg remoriore maior cfi . Duæiautem folurn tek i ï linea; æquakàab eodgm punâo incirculum cadunt, ad vtrafque arresrminim’æh ï ’- 7. H - O Il O NT TV7 SIIEflo flattas circulus aæzezhxuius tentrum f, dimetiens vetô axfze,8æ contingent; in e’o punâum g,guod non efl circulicenttumzptocidentes au rem et e’o’deüj punâo grin ipfius circuli éiicünferentiam lineæ méta-Jim glb,gIc, &"gvd. me primùrn, g; gagea omniummiaximafic nglminimatallarum [90m3, P3" Prime gzbzfipfi ’gianrfipin uior, maior ip(a gzgatq; gIczctemotiore gadlmarot. Conne- thc°r°mm*’ &ârut emmi-Voilà: fadareétàè,pret primam poflulatum. Cùm igitur 93,1’pfi 91). pet: decimâquinta’m difl’îr’i’itidiuemprimi,fitæqualis,8( vtrïqàvcommunis fig: bine igitur ngziôcfæfiuabus gxffatïfabz une æqdalês. Æzponô-&-fzb;maloœs funupfi gzbzomnisf’fii" idé’ittianguffbina lateta;re!iqno unr maiora-quomodoœnqnfïunh pta,pervige imam p;imi.Et g!azigitur,ipfa gzhzmaioreœquærdnrm Gant æqualia; eiu(dcm (une saque maiora! pet ipfius fextæ communis fe’nrcntiæ conuerfionem. Item quoniam :qualis e11 fabripfi ’fœ,8(’ ’zfirurfum vtriq; communistbinæ igitur ngzôc fzbzttianguli ngab,duàbusl ngxôr zemianguli gifle; faut æquales alteta al- tçri.Atgui grfrbæanguiusgnaior çfi ipfi) grfzofub æqui5;1areribus comprehenfœœ- . êta cnim fzc,cadit inter fzbz& 958c diuidit propterea ipfum an lum ngszafis itaq; grb,balfiv gzçzmaior empet vigefimam uattam primi.Simi i difcu rfù,gzczipfâ i ’i j L ’ ’ ’ 4 grdzmaior Offengetunlnfiiperèluoniam faons: gzdz ma- ioresfunt ip(a fzd,per i (am vigefimam primi, a: æquat lis cil fzezipfi fzd, pet ecimamquintam eiu(dcm primi L A difiînitionemtig’itut figtôt gui, marbres flint ea dem 9e; . Pu? cnim funt æflualia,eiufdem film: æquè minora,p’er il leprimæ communis fententiæ conuetfionem; Tollatur cômunis fzg:etgo reliqua gkdzteliqua gae, pet quintam p V jicommunem (ententiam crit maior. Omnium itaq; ma n "N i V ” i ” xima eûgI a, minima veror’te’liqua gze : aliatum porto, Secunda Pa" glbzmaiOt ipfafgIc, &eadê gzc’z ip(a gzdz itidcm maior. ([Dico præterea quôd ab eadcm panera Ïg,du2;e.rç’aàe linea! coincidunç æquales,ad vttafq; pattes ipfius gIeI minimæsvrpo’t’e’ipfi gægqualis ver(us h.Ad datam cnim rcââ lineam gzfldàtümq; in ea punétum .fidatôangulo reâilineogyfzcæqualis angulus reétilineus oonftitua tuf gif’h,per nigefimamtertiam primi . tonncâatur deinde gah, pet, primum poa fiüÎatum-Cùm igitur fzc,ipfi fzhzfit æqu’alis,per decimamquintâ ipfius primi diffi- nîtioncmfl gfflvtriq; communis:binæ ergo giflât fzcatrianguli grfzc;duabus ngfôë fzhatrianguli grfthfunt airera altcti æqualegôt arques inuicê comprehendunt m9 gulos,pet côflruâionemBafis igitur gIc,bafi gzh,pet quartam eiufdem primidi?

æqualisIIAiO tandem,quèd ipfiLIBER glc,ab eodem unâo g,alia Iquwquàm gzhznon cadet rem-aa, Pan, æqualis.Si cnim id poilibile fireritzaut illa cadet upra punâum h,vel infra. Si’ccci. derit fupta vetfus amine ipfà crit propinquior ei qu: pet centrum,vtpote ipfi glas ergo maior ipfiaglvremotioœæer primam pattern ram demonfitatamzâr maior confèquenter ip gonJôdfi detur rncidere infra punâum h,verfus e: tunc ipû linea, remorior crit ab eadem gzazquæ pet centtum. ergo minot ipfà gzthropjn. quiore,per eandcm præoilenfam primam partem:ôc minor igitur ip(a gæ. Simili. ter oflendemus,g; nec ipfi gzhxalia quàm gœzdabitur æqualis,ab eodem punâo g, a: ad partes bzd. De cætetis quibufcunq;,idem refpondëter fubfequetur. Igitut fi in diametro circuli aliquod contingat punCtü: 8c qu: fequuntur reliqua . Q1041 demonfirandurn fuerat- etéenpœ z, Peôôtazç u. Ap minora mer fra mapëop êwbqàmô du a? dupés mûr; flip miaou": 679:95’019 îueëoa ravie, E154» Fia: A): 81è. 1? gaffa, xi 5’ Mat-«là; irruxt, 9P Mil 7E9; "tu! nasilla: Wifiœp men. wifiwôp îue45p, psys» W5: 62è a? n°37193. en?!) dû 55mg, été à. âniers nie æfiuu’fa, ai; àœérreeop , pépri’sœr-ôc à me»; du) amphi: mgupigdœp wümafifi’wôp imam , nazis»: [661 3’59 in Prima) fifi truités Ô aie flçpicfwrôp 5’ 3:wa &èi :3040!) as èmxisne, fic àwdvreeôp 51km imam. No à pénal; iueâoa itou marnant: (in)??? ougévmôç 769 Ku’uÀop E42 mon. en: aie êsz’suç. Tbeorema 7, Propofitio 8. 3 SI extra circulum fuicipiarur aliquod punâum,ab coque pun: &o ad circulum deducantur recta: lineç aliquæ,quarû quidcm vina pet centrum ex tendatu r, reliquæ veto vtcunquezln côuexam circunferen riam cadentium reâamm lineamm, maxima efl,quæ pet cenrrû duéta eibI n curuam veto circunferentiam cadentium reétarum linearum,minima cit, que: inter punéhrm 8c dimetien: té iacer.minimæ veto propinquior: femper remotiore minor cit. Duæ autem tantùm teâæ lineæ,ab eo pun&o cadunt æquales,ad vtrafque partes minimæ. O R O N T I V SIL-lifta circulas avbzc, datum veto unCtum extra circulum d: à quo in ip(am circulum procidât reâæ linea: dza,dre,gxf,ôc dzb, curuam eiu(dcm circuli circunferentiam in punais g,h,k,c,difpefèëtes:quarum dzazper ipfius circuo li centtum(quod fît l)extendatur.Dico primum,ga in au bz conuexâ circunfetëtiam’ pub: a" ’ cade’tium reétarum lineamm,maxima cit dza,pet lice!» monceau. trum eduétazôc qua: illivicinior dze,remotiore dzfz maior,eadémq; dzfzmaior ip(a dlb.Conne&antur cnim De; lzfiôclzbzreâæ lineæ, pet primam poitulatur’nÆt que» niam æqualis cil lzazipfi lze,per decimamquinram diffi» nitionem primi,& "vtriq; communis dzhtota igitur dza, ipfis dz l! a Il e, pet (ecundapm communem (ententiam cit æqualis. Arqui dzl, a: lzwbina ipfius dleCI trianguli laterafunt maior: reliquo dz e, pet vigeiîmam primi: 8c ip(a igitur dt a, maior cit ip(a dz e. :qualia cnim eiui: dem fun: arqué maiora, pet fextæ communis fententiæ côuetfionem.1nfupet,quoniam lIezipfi lzfiper eandcm decimamquintam. au].dilïinitionem primi ei’t îqualis , 8c

66 . GEOMET. ÉLÉMENT. vrriq; cômunis dll : binæ igitur dzlzôc lzex triâguli dzlxe, duabus dxlxôc lzfztrianguli dzlxfifunt :quales airera alteti, pet eandem feeundam communem fententiam. Ana lus porto dllle,maior efi’ ipfo dzlzfz fub acquis lateri; En c6prehenfo:re&a figuidélIficadit inter dIlzôt lze,dio uidr’tq; propterea ipfum angulum dzlie.Bafis igitur dze, bafi dlfimaiOt eihper vigefimamquartâ primi.Et proin» V de dzflmaior eflipfa dIngitut draimaxima cil: 8c die! Pat: feeüda. ip(a dlfiatq; dzflipfa dzbzmaiOtlIDico ptæterea,gp inci dentiû in curuâ circunfetentiâ xc,minima cit dictât qua: ipfi diczminimæ propinquior,isemper temotiore minot, hoc efl,dxkzipfa dzh,8( dlhzipfa dzg.Conne&antur cnim lIg,lzh,& lzkzreâæ,per primü pofiulatüÆtquoniâ trian li dxkxl,binalatera dIklôc kIl, relique dll,PCl’ vigefimâ primi funt maioraztollâ’ tut lie! 8c kzl,quæ et decimâquintâ ipfius primi diffinitioné funt æqualesRcliqua igitur d!c,rcliqua k,per quintam communem (ententiam crit minor.Item,.quo» niarn trianguli dlhll,à limitibus lateris dz], du: refit: linea: dlkz &kzlz introrfum confiituuntur: ipfæ igitur confiitutæ, reliquis ipfius trianguli lateribus dzlvôc lvl, pet vigefimamptimam ipfius primi,funt niinores..Auferâturl!h!8( Me, pet ip(am decimamquintam diffinitionem primi,adinuicem æquales.Reliqua igitur dzk,reliqua dalvminor etit,pet eandcm quintam communé fententiamJît dihlpropterea minor crit ip(a dag. Minima igitur cit dIc: 8c qua: illi propinquior dlkl minor ipfil Terri: pars. dIh,eade’mq; drhiremotiore d!glitidem minot. (IAio tandem,quôd bina: tantùm æquales,à puné’to d,in circulumi (un) aszcxcadunt,ad vttafque partes ipfius dzcz minimæ:vtpote,ipfi dIthna tamtam æqualis,ad alreti partem ipfius dac,verfus m. Ad reétam cnim (Marque ad datum in ea puné’tum l,dato angulo reétilineo drllh: :qualis angulus reâilineus confiituatur dIlIm, petvigefimâtertiam primiôc con- neâatur dzm,per primum poiiulatumCùm igiturlxhlipfi llmlfit æqualis,per deo cimamquintam ipfius primi diffinitionem,ôc vttique cômunis dxlzbinæ igitur d! l! 8K lllvttianguli dIlIh,duabus dlliôt lzmt trianguli dllim, funt :quales altera alteri: a æquos inuicem comprehendunt angulos,per œnftruâionem. Bafis igitur dzlv bafi dam, et quarta primi cit æqualisNeq; ipfi dzhialiacadit æqualis,prætet drm, a cdiuer o.Aut cnim caderet inter h!8( mxpunâa:t1încq;minor aile: vtraq; 8c dlhl 8: dlm,nempe vicinior ipfi dzczminimæwel caderet extra pûâa hlôc mzverfus a: 8C tüc remorior effet ab eadcm minima,& propterea maior ip(a dilvvel dlm,per prio .mam patté iam demonftratam. Idem quoq;,ac non diffimili via licebit oflendere, de reâis in conuexam eiu(dcm circuli circunfetëtiam coincidentibus,ad vtrafque partes ipfius dzazmaximæ. Non cadunt igitur ab codé punâo d,in circulü ip(am azbzc,plures duabus teâis lineis æquales,ad vtrafq; pa rtes ipfius dzcz minimæ,aut draxmaximæ. Si extra igitur circulum : azc, vt in theoremate . ngd tandem crat Oncndcndum’ CoroiIarium. ([Qiæ igitur à püfto extra circulü dato,in circulum ip(am cadunt teflæ line:,ab ipfa minima,vel maxima (qua: pet centrü) æquè diftâtes:æqnales flint adinuicem, a è diuerfo,fiue in conuexâ, fine in curai inciderint eiu(dcm circuli citcüferêtiam. 6:69:41»: u, 11969:0"; l à. Ap «aux: 7mm; tu anpêop d’àfiâ’n’ô à 7? and?! 7:69:76p uüuÀop watthfiamp raflés; ü (Mo iuaëoa iman?» Ànçeip avpfiop,uoi’rfop 35 a"? miam. Theorcma 8, Propofitio 9. I in circulo fuicipiarur punâ’um aliquod, 8c ab eo pu n&o a

circulum cadant plutesLIBER quàm duæ te&ç lineæ æquales:11L fufceptum 67 unûum.ccnrrum ipfius cit circuli. I a O R0 N T I V S-(ISit intra circulum aszcx (uiceptum püâum d: à quo in eun’ dem circulum cardant plures quàm du: reérz linea inuicê æquales,dza,dzb, ù die. Aio quôd punâum d, cit centrum (ipfius circuli azbzc. Conneâantur cnim abat bzczreâæ, et primum poflularum: ecetürq;bifariam axbiin punâo e,8( badin pû- &o f,per ecimam primi.conne&antur turfum dzezôc dlfipet idem primam potin latumzôc pet (ecundum pofiulatum,producantur in diteé’tum vttobique ad panera quidcm g,lv8c k,l. Cùm igitur axezfit æqualis elb,8c vttique communis eld:binæ floc theorea ma aliterofiê k igitur alexôc ezdztrianguli azezd,duabus bxexôt eldzttian di pareil: (cd hase et! demô K. guli blezd,funt æquales altera alteri:bafis quoq; claba- (tratio potifl’i âl 1 dlb,per hypothefin en: æqualiaAngulus igiturazezd, ma. N a æquus cit pet oflauam primi,angulo bI e! d: 8c proinde g h vtetque reâus,per decimam ipfius primi diffinitionem. m j Reéta igitur gzh,re&am azb,bifariam 8c ad reâos angu- r c los interfecanin difpefcente itaqrglh,etitcentrum ipfius y azbzczcirculi, pet corollarium prima: huius tertiy’ Haud diflÎmili via oflendetur, eiu(dcm circuli cëtrum fore in refrain].e In vtraq; igiturôc. gIhzôc kz l,eit centrum dati circuli azbzc : a: in punâo propterea vttiq; communi. Arqui nullum aliud püâum habent commune,præter ip(am d:punâum igitur d, centrû cit ipfius azbzcz circuli. Si ergo intra circulum fufcipiatut punéhî aliquod:8( quæ (equuntur reliqua. (Lucd oportuit demôflraile.

KIKÂM,’ ôu même! mimi. rimai9 Ômême: n capace 9; Feôesmgî 6Mo. 4 Tbcorema 9, Propofitio Io. 1° Itculus,citculum in pluribus duobus punais non fecat. 0 Rio N T I V s-CISecet cnim (fi poifibile fit) circulus azbl c, circulum.dxezf, in pluribus duobus punâis,hoc cit in mais b,c,e,f.Erfufcipiatur centrum ipfius Clr CHU a’bÆPcr prima huius,fiti1;illud) g: 8c côneâantur gxb,glc,g!e,i8( gifireâæ,pet primam pofiulatü. Cùm igitur punftum g,fit centrum circuliaszcerunt g!b,g[e, gœ, 8c gifladinuicê :quales, pet decrmamqumtam primi libri diffinirionem.Et quoniam b,c,e,f, funt commu- Bac rurfum nes vttiufque circuli fefliones,per hypothefinzerit pun» aliter pomif: (et ofiêdi,fed &um g,vtcunq;fufceptum intta circulum dzezf. Ab rpio liane potiorê itaq; punâo ,in eundem circulum dzCIficadunt plures exifiimo deo â duæ reâæ inez inuicem æqualeazvîpote glb,gzc,gze, mômationê. a ngErit ergo püâum g,cëtrum erpf emcirculi dzezf, pet anrecedenrë nonam propofitrone .IAtqur idem pun- &um g,centrum cit ipfius a! Æ’Cll’Cull. Duorum itaque eirculorum azbæ,& dzelfifefe inuicem (ècantium,idem crit centru:quod pet qlnîle tam huius tertii,nô cil poilibile. Circulus ergo,citculum in plurrbus duobus puais non (car. Œod ofiendere fuerat operæpretium.

Ap d’un’ uu’nMr eidem: icpa’cv’r’fwrrœc a, «imams P3591019" nitée, qui. me... &uvtôp aunoiâxfime. (il?! p mitre: a , . ban-69 dûtzazrwlzæî-u êueëœ Kari îuMbÀoMk,ûÜi du) Cùflmpàp armât-ou? «vamp. Tbeorcma Io, Propifitio n. Il SI bini orbes fe introrfum adinuicem tetigetint, fufèipiâturq; * en):

68 GEOMETELEMENT. eorum centra: ad eorum centra applicata te&alinea 8c eieëta, in contaé’rum circulorum cadit. O R O N T I V SJIDuo cnim circuli azbzcz 8c azd!e,fè introrfum adinuicem taira gant,in punéto quidem a: fitq; ipfius azbzczcirculi centrum fiipfius veto ardiezcen Dernôflratiç. trum g.Dico quod ad centra fig, applicata refila linea,8c eieâa: caditin contaétum ab’mlmmbm a.Si cnim non ceciderit in punétum a:cadet igituralibi.Cadat etgoCfi poilîbile fît) vt eieéta ver(us g, in dzôc bxpunâa: 8: conneftatur azgi recta, pet primum poilu- latumTrian lum crit igitur azglfzôc duo propterea la tera aigzêt g! ,erunt maiora teliquo an, pet vigefimam primi.Atqui ipfi aIfiæqualis cit flb(vtraq; cnim à cêtro f,in circunferentiam circuli axbzc)8t azgdgitur 81 343m3 iores (un: eadcm fib.Tollarur fzg,vtrifque inzqualibus cômunis: reliqua igitur aIg, reliqua (gxbzmaiOt crit, pet quintam communem fiententiamlp 1 porto aIg,æqualis cit gidCVtraque cnim à centra g,in circunfercntiâ ipfius azdzezcirculi)& gzdzi itur maior erit ip(a gzb. quæ cnim flint æqualia,eiufdë (in: æque maiora: pet ferra: cômu- nis fententiæ conuerfionemlpfi porrè gzd,pars en ipfius glb: pars igitur crit ma: . I iot toto,contra nonam communem EntentiiCadit igitur fIg!eie&a,in contaétû a. Phâgâms dl (I Quôd fi ngzconnexa,& eieéta ver(us fidetur incidere veluti germa: centrum f! Po i cxteriotis circuli azbzqcxtra circulum interiorem mdœœonfiituatur: idem nihilo» minus fubfequetur inconueniens.Connexa cnim 8c eieéta glfzcz reâa,producatut in direCtum vetfus g,ad dzôc bzpunâa,per primum poitulatum. Etunt itaque titr- fum azg!&glf,mai0tesipfa fla,per ipfimvigefi mâ primi libri propofitionem.Eidem potto fza,æqualis eft fzc,pet decimamquintam diffinitionem ipfius primi.Igitut axgl 8c glf, maiores funtipfa flc. Eidem rurfum fz c, æqualis ’ cit 9b, pet eandcm decimâquintâ primi libridiifinitioa néÆtazgrigitut 8( gzfimaiores funt ip(a fzb,per feptimæ cômunis fententiæ côuerfionê.Auferatur fzgx vttifq; in» :qualibus cômunis.Reliqua igitur mg, reliqua gzb, per’ quintam cômunem fententiam maior erit:8( multô igi’ tut maior ip(a gzd,quæ pars cit ipfius gIb. In circula itaq; azdlc, qua: à centro Iin circûfctentiâ prodeunt lineæ redits: gla,& gzdmon crût inujcê æqualcsxontra cd- mâquintam diflînitionè’ primi. Cadit igitur fzgieieitafin côtaâü a. Ergo fi bini 0re bes fe introrfum:&c.vt in theoremate.Qiod oitendendum fuera t.

Ap «fluoI une:’ eidem»: &fiawoa &btuüwp sa, émincfi retienne ûÊl cinabre: azin-5p If). fifilzâbywpivbô’ù flic impie flûteront. Tbcorcma tr, Propojïtio n. SI duo. circuli fefe adinuicem exterius tetigerintzad centra eo rum a pplicata reâa linea,per contaâum tranfibir. O RI O.N T I V SlITa ngât (e exterius bini circuliarszzôc dzbze,in pûCto quidi b:fitq; Ipfius aszCIcitculi centrum fia: ipfius dszeæentrum g.Aio quèd connexa fzgx reéta linea,tra’fibit pet oontaétum b- Si cnim non tranfierit pet punâum b, tranfeat(fi poilîbrle fit)pet on ezpunftaæc côneétantur bzfzôc bzglreétæ lineæ,per ,

4 LIBER- 111. « a; primam poflulatumÆt quoniam punétum ficenttum eit circuli aIbzc:æqualis crit Idem qui pti’ fzbzipfifzcz,pet decimamquintam diflinitionê primi; Rurfum quoniam gzcentrû oflendêdi ma du: ab irnpof cit circuli dzbzezæqualis crit pet eandcm decimamquin. fihili. primi diffinitionem gzb,ipfi gze- Bina: igitur fzbzôc . bzg, duabus 908c ezg, perficundam communë fentene . tiam etunt æquales.Tota porto 9g, ipiîs 1908: etglmao - rot efiÇnemfpe- cxexextra circulas incidente particula) Et tata igitur xg,mai0t cit eifdem fzbz 8c bzg.In triangula . .. .7 ira ’ xbzg,bina latera fibzfiôt bzg,.erunt minora reliqua fingunt-autë maiora, et vige imam primiquæ fimul impoilibilia funr.Igituriâ cen tro’fzad centrum gla plicata reéta linea flg,tranfit pet contaâum b. Si duo igitur circuli:&.quz Requuntut reliqua. Quod demanfttare oparteba t. ’ -Ç . - ’ 0:69pm: 15, ’ Paieme- . .. :7. rnÀQ- miton: aine W11; mon aunât; li une? iv,êoâ me citât. ion? 1-: and; Watt-ou. i - ’f Tbconma 12, l " q’Propofiti’o - 13.

13 . itCùlus circulum non tan git in plutibns punâis vnozëc fi ex:

O R 0 tra,ôefipNT I V S. IITangat in intusprimis circulus tangat. azbzczd,circulum - bxexdzf,» a introf’r De circuli: fefe inrtorfum fum(fi fuerit poilibilc)in punais b,dzfit’ ;ipfius azbzczdz circuli centrum g, circuli rangentibus. ’ A ; a autem bzezdzëcentrum h. Adplicata igitur ex gz in 1;! reéti: linea,8c eieéta: cadet in’punéta Contactum b,d,.per vndecimam huius (ècundi libri. Et quoniam glcentrum a cit circuliaxbzczdærit gzb,ipfigzd,. pet circuli diflînitio- nem æqualis.Tollatur«g(h,ab ip(a gzd:ea,dem ergo gzb, a reliqua hid[ maior crit. Rurfum quoniam h! centrum cit circuli bzeldzf: æqualis crit hzb, ipfi hkd,per,eandem circuli diffinitionem. Tollatur rurfum gzh, ab ipia hzb: , . 4 reliqua igitur’gz b , minot crit ip(a hz d. Ofienfilm cit, autem, quad 8c multè maior : quad non eit poifibile . Non tangit igitur circplus, aszczdicirculum blezdlfz introrfirm in pluribuspûâis vno.([8ecct..ruriùm circa” De cirerais g fe rangû r en lus azbzgdrculum awdrextetius in punais mat 0(fi id fuetit poifibile)8c conne; tra. étalait reEta axolper primam poflulatumÆt quoniâ in circunferentia circuli axbzc, ” i - duo funt accepta puné’ta axa; c :adplicata igitur reéta lie. nea azc,intra ip(am circulum cadet,per fècundam huius: ergo extra circulum az dzc; R urfum quoniâ. eadcm al, a; ’ a czpunéta in drcunfetentia ipfius az dz a circuli coaifumg pta (ante vtpote vttique circula communia) eadcm igiçnr reâa alc,cadet intra circulum azdzc,per eandcm (centraj dam huius:8( extra igiturcirculum azbzc; Permit autem, . .. quad a: intra ipfum’azbzciçirculü cadit eadcm azc,atquc extra ’ipfiim azdxcxcitculumCadet igitur intra 8c extra vttumq; datorrum circula» tumzquod eft impoflibile. Non tangit et o circulus azbzczcitculü azdzcxcxterius in pluribus pûfl’is vno.Patuit,q: nec intro um. Qui oitêdere fuera t operæpretifi.

E N Nadir:,I etéenpœ itou Mana, Tony .àtréxxo-ip 47, I5mn) , .7’27 P9662036 nomes and ce! 7021p "fi. intimant: . me 4l? A I udqfwfi’aoa &ÏÀIÎÂOOK êaip. Ï , I v I u « e. v I I ï Thearema r3, Propofitio I 141. ï ’ W x x4 IN ci rculo te&æ lineç Illnt æquales,quæ æqualitetdiftât à cetto:

7o GEOMET. ELEMENT. 8c fi æqualiter diftant à centro,æquales adinuicem film. Pars in: O R O N T I V S. (I Sint in circula albxcxd,cuius cêtrum e,binæ teâæ lineæ a! dieateprbatis. b! 8c dlczinuicem primùm æquales.Aia g: 8: æqualiter diftant à centra e. In reétas enim azbzô: dzc,â punâo ezquodin eis non eit,perpendiculares deducantut ezfzôc ezg,per duodecimâ primi: 8c conneââtur reétz lineæ- eza,ezb,exc,& ex d,per primi poitulatum, qua: pet circuli diffinitionem erunt adinuièë æquales. Cùm igitur te» êta quædamlinea exflpet centrum eduéta,ipfam albzteétam non pet centrum ex» tenfam,ad métas diuidatangulas : &bifariam quoq; illam [camper tertiam huius.Aequalis cit igitur azf,ipiî fzbza vtraq; propterea dimidium ipfius alb. Et roinde dzg,ipfi aaefiæqualisæt vtraque dimidium ip lus die. r Atquiax l et hgpohefinfiqualis cit ipfi dlaquæ autem æqualium unt imidium,ea funt inuicë æqualia,per (E. primi cômunê fententiâæcqualis efl: i ’tut ax f, ipii dzg, a fzbzcôfequëter ipfi glcEt quoniâ al x :qualis cit ipii dzc,8( en Iipfi ezdzbina igitur lacera en! 8c abe trianguli ezaxb,duobus lateribus ezdzac dmœrîanguli ezdzc,funt æqualia alterum alteri: bafis’ ï i quoq; ezb,bafi ezc,pet circuli diffinitioné, æqualis.Angulus igiï qui ad a,’angula qui ad dz: ualis eihperoëtauâ primi. Rutfum. quoniâ æqualis eit czar ipfi ezd, &azfl ipfi dlgczlbina ergo latera elaxôtazfztrianguli exaxfiduabus lateribus ezdÆC dzgltrian guli czdzgzfimt :qualia altetüalteti:8t qui fub :quis lateribus c6tinentur anguli, in. uicë æqmles.Bafis igitur ezfibafi et pet qua tri ipfius primi cit :qualis. qui: igi- turin azb a: dzclteâas,ex centra ez educuntut perpendicularcs ez Æ: aga: uales fantadinuicëzdifia’t ergo adya drczreftæ æqualitet ab eadê cëtra ezipfius az wd! Secunda par: GÎl’CllIÎ,pCr quartant huius diffinitionemlIEfia autem elfiipfi ezgzæqualis, hoc cit, eôuerfa pu: «demis. (liftent azbzôt dlczæqualiter ab eadcm cëtro e.Dico quad axbl :qualis cit ipfi dm. - Eifdem nanq; aonfiruftisroflendemus veluti fuprà,vttanq; albxôc dzczbifariâ difcin di ab ipfis elfzôt efg!petpê’dicularibus: arque azfxæqualem fate ipfi dIg, 8c fxbzcan- fequentet ipfi gIcIæpualemCùm igitur :qualis fit czalipfi eld,& ezflipfi erg: bina ergo latetaalelôt e! xtrianguli azexfibinis lateribus dzezôc eIgztrianguli d4ezglfirnt alternatim æqualia:bafis quoque azflbafi dzgzæqualis.Angulus igitur azeIfiangulo dxezg,per oâauamdptimi cit æqualis.Et proinde ai fub bzezfx angulus, ci qui firb clelgiitidem aften etur æqualisTatus itaq; azez langulus,tati angulo dzexc, pet fècundam communem (Ententiam cil: :qualis. Bina ergo triangula axezbl a dIezc, habent duo latera axas: ezb, duobus dlez Stem! æqualia alterum alteri (ex centra ’ cnim in circunfere’tiam eiu(dcm circuli azszzd)8( qui fub eifdem æqualibus redis lin-eisocontinentur anguli,inuicë æquales. Bafis igitur azb,bafi draper quarta i fins primi cit æ ualis. In circula itaq; teâæ linea: fiant æquales,quæ æqualiter iftât centto:& læqualiter diflant à centra, :quales adinuicem fiant. and recepeta» mus aftendendum. p

EN urina [moisir. Grappe: [4&5 8km üÂZgîpan-nw - nil, dit P360601; mm. ôté i Ëyywp a? *uüfifovyrie Il. «irréfl- ’ en: 116’209 354» . i Tbeorema r4. Propojïtio 1;. l I N circula.maximus quidcm cit dimetienszaliatum au rem (cm: pet propinquior centro,remotiore maior. If O R O N T I VS. ([Sitin circula azbzczd, cuius centrum e, dimetiens a! d: 8c ipfi

centra vicinior blc,temoti0t.LIBER autem fxg.Aio quad azdxquæ .111.. pet cenrtü,maxima . 7: cit: Cankruitur a bzazvera maior ipfit fig.A centra enim e,in eafdem refus bzezôc fzg,petpendicula’ Sun res deducantur ezhÆt ezk: pet duodecimam primi. Maiar erit itaq; perpendicula» ris ezk,ipfa ezlzper quintam huius diffinitionêSecetur itaque à maiori ezk,ipfi e!lv minori :qualis,pet tertiam primi:fitl1;exl..& pet datam puné’tum l, data: recta li; I ne: fxg,patallela ducatur ma n: pet rrigefimamprimam b a m primi.cadet igiturezlzad perpendiculum fuper mzn:pet ’ corollarium vigefimænonæ ipfius rimi.Et quaniâ eth cit :qualis ipfi ez l: difiant igitur bzezôt mmlæqualiter à cëtta e,pet quartam huius tertii diffinitionern: fiîntq;, pet decimamquarta m ipiius tettij,inuicem æ uales.C6- neâantur demum,pet primam pafiulatü, ez ,ezg, ezm, 8: eznzquæ pet circuli diffinitioncm,æquales fiant adinuio cem.Cum igitur exazipfi ezm, 8c czdtipfi cm, pet circuli Demafiratur difiînitionë fit aqualis:tota azd, binis mzezôt cm, pet fe- mmm-n cundam communem fententiâ æquabitut.Binæ porta mzezac ezmtrianguli mxem, funt maiares reliqua mzn,pervigefimâ primis: a!dzigitUt, maior eit eadcm mm: &ipia’canfequentet bzcz maior, pet oonuetfàm fextæ atq; ièptimæ communis fènv tentiæ interpretatianemRurfum quoniam :qualis eft ezmxipfi ezfiôt eznzipfi e! . bina i itur lateta mIezat un! trianguli mxem, binis lateribus flua ez a triangu i fzezg, unt æqualia alterum alternat qui fub mzeznzangulus,eo qui fub (gag! maior (reétæ fiquidem ezfxôt exg,caincidunt inter ezmzôt em,ipfum angulü mœlnzdiui- dentes)bafis igitur mm,per vigefimamquattaî ptimi,bafi figxmaiar eit. Ipfi parrô’ mznzæqualis eit bxc.& bzaigitur cit eadcm flgzmaiar: qua: cnim fiant æqualia,eiai3 dem faut æquè maioràaflenfum efl autem,quôd &pazd, ipfà bzcz maior ei’r.Dime’ tiens itaq; une omnium maxima:& bruantro vicinior,ipfa flglremotiore ma! iar.and oportuit oflendiiTe. . aï: 813,459 fi miaou:aôeupa: riche 69022; àet’ u, ëueoza’ Peôesare. &TOWII; inca-ô; K. matou ü milan v, (on! ée vip 11413256 mâts-op mît! infléchi a) flic www ,ia’ieœ îueâœ ôu nîm’mo’ëeroam) ü N a? üptxuuN’u panama»; ôféow’ paviœo’ Euemaêpps pénal) 315M à Marbihi-îiwp. . Ibeorema 1;, Propofitio r6. ’6 Va: à diametri ciréuli extremitate ad an gulas re&os ducitur, extra ip(am circulum cadit: 8c in lacum inter lpiam te: étant ineam 8c circunfetentiam,alreta recta linea nô cadet. 8c (en micitculi angulus, omni angulo acuto reéhlmeo maior cit: relis . quus au tem,minor. t p 0R0 N .T I V S.(IEito drculus azbzc,8c illius centrum d,dimetiens verôaze: 8c c ’ l ab azdimetientis extremitate, ad angulos rectos excite» tutà’ze,per vndecimâ primiDica primü,quad aIeIteéta Prima par; extra ip(am cadit circulum.Sufcipiatur enim in ip(a eza, th°°r°mm contingens aliquod punâumüit’q; illud e. a: conneâatur ezd, pet’primû paitulatum. Triangulü etit igitur eIald. omnis porta trianguli ttes interiores anguli, inis mais funt :qualeszpet trigefimamfecundam primi.re&us cit autem quiad a, pet confiruétibnemReliqui igitur qui ad e! a dx fiant anguli, vni reéta fiant :qua es : a: eorum

7a. GEOMET. ÉLÉMENT. raptetea ilibet, ip(a qui ad azreé’ta minot. In triangula autem maior angulus, ab maiorilïtere fubtenditur,per decimamnonam rimi:maiat cit igitur dze, ip(a aId, qu: eft ipfius daticitculi ièmidiametet. Egre itur ergo dze, cireunfetentiam ipiius azbzczcitculixaditq; punâum ezextra eandcm circa. nm azbzc. Haud drilirm lis erit,c:terarum punéhatû ipfius azezdemôitratio. Cadit ergo tata aze,extta dan Pan renauda mm circulum azbzclIAia rurfum,quôd inter reétam az e, 8c circunferentiam az b, nô cadit aire ra rec’talineaSi cnim id firerit poilibile:eita azf.8( ad datam reétam lineam azd,ad datrîmq; in ea pun d’un: d,data angulo reùilineo ezazf, :qualis angulus te! étilineus côitituatut azdzgzpet vigefima mtettiam primi. c Vterq; igiturazdzg,& gzazd,pats crit i fins ezazd: atte- Eto pro tetea minarJn reâas itaq; az zac dz g, reCta incidit ahi efficiens interiores 8c in eadcm patte angulos binis reftis minoteszipf: igitur azfz a dzg,in infinitum produ&:,tandem concurrent,per quintumpofiulatum, côueniât ergo ad punch? .Triangulü cit ira q; azgzdzcuius ttes interiores anguli bi nis reétis,pet candi trige rmifecûdâ primi,funt :quales.8c qui fub gIazdz 8c azdzgz anguli,vni re&o,hoc e , ipfi ezazdzoaæquantur (datas cit cnim azdzg, :qualis ipii ezazf)Reliquus i itur azgzd,te&us eihôt maior propterea vtroq;,8t gzazdzôtazdzg. Vndc rutfum az zibmidiameter, maior et! ip(a dzg, pet eandcm decimamnonam primiCadit igitur pûâum g,intra circulum azbzcergo a: azfzreéta (in qua punéhî g)citculum ip(am intetfeeat,vtpate in fiNan cadit itaq; azfzteéta, inter reétam azc, Terri: par: a: circunferentii azbJIDico tandems: angulus bzazdzipfius azbzczfemicitculipm- ËËC’Ë-Ïô’ ni acuto a: teflilineo angulo maior eihteliquus autem(vtpote,bzazc) minor.Cùm enim angulus ezazdzfit rectums: diuifus à (ah circunfetentia azb,intet quam a: re- étant azeznon cadit altera reCta linea(vti nunc oitenfum dt) non pateit ipfe angulus bzazezbipattiti:8c proinde non minuetur neq; augebitur confèquëter ipfe bzazd. Igitut angulus bzazd,fub azbzdrcunferêtia,& azdzteé’ta comprehenfus, omni acuto reétilinea maior citangulazbzazel veto, qui fub eadcm citcunferentia,ôt azez refila oontinetutÇquem an lum contingëtiæ nominate confueuimus)omni itidcm acu’ to 8c reétilineo angu a minet film]: amnia fuere demanfttanda. Corollarium. ŒQM igitur ab extremitate dimetientis dati circuli , ad reétos ducitur angulos, ip(am citculü tangit, idq; in vno tantummoda pun&0:ad duo cnim punâa adplio tata reâa linea,pet Ramdam huius tettij,cadit intra datam circulum h

l k Pô «000419- eupa’sfl’ë PeÔfiNllmJoeaîqüu un: Mowlw Martyfi, Paiera:wapiti; Mp6 r2. r Problema z, Propofitio 17. L p Data pun&0,dato ci rculo,con tin gen té recta lineam ducere.’ Côlh-uàio fia 17 sur; O 3,0 N TI V,S.([Sit azpüâum datû: à qua oporteat in datam circulum bzczdzoontmîentem reétam lineam ducere.Inueniatut ipfius bzczdzcirculi centnî, pet primam uius tertij:fit’q; illud czar canneftatutazez refta , t primam poitua latum:quæ cùm ab interiore punéto e, ad extetius punëtum azdïîlucaturfecabit bz ezd ’cxtcüfetentiamlècet igitur in puna-o b.ac centroe,interualla autem e! a, circulus deferrba tut a ’fzg,pet tettium paftula tum. Pailmadùm à punéta b,dat: rth: lmeæ az e, ad métas angulos excitetur bz f: pervndeeimam primis: conneftatut ezf, pet primam paitularum: qu: eandcm circunferentiam bzczd, feeet rurfirm in

piétaLIBER aConneétatut demüazc, III. t idem primû ’73 poil-ula tû.Dicag:azc,cantingir circulüz zczd.Cü enim pet circu- Demande li diifinitionê,:qualis fit azezlpfi ezf,& bzezipfi ezc: crime bina Iatera azezôc ezczttiiguli azcze,:qualia duobus fzez a: ezbztrianguli fzezb:8t communê comprehendunt angulum qui ad e. Bafis igitur azobafi fzb, 8: triangulum azczcztriangulo fze zb, a teliqui an li reliquis angulis (Tub quibus :qualia fubtendunturïltera) pet quartant primi coæquantur. :qualis efi igitur angulus azcze, an» gala ezbzfÏAngulus porta ezbzfzreél-us eihigitur 8c qui fub azczezteétusÆt quonii ezafemediameter cit ipfius bzczdzcirculi,8c ab illius dimetientis extremita te c, ca. dem azczad reûos excitata cit angulos:ipfa et a azcztangit circulum bzezd, r co- rollariü decimæfext: huius terni. Igitut à to punétoa,datobzczdzcitcu o,oano tingentem reétam lineam duximus. Œad facete oportebat.

Ap adula bêtifierai au; iuGê’œ,eidem: 3mn) à??? a", mafia P9606011: âôi du) àçùp ûfiuôlzxoî au.au infini fiat. 1611x0665,ao’c9tm tua rial qui: Wowlw. Tbeorema r6, Propofitio 18. 18 - I circulum tetigcrir aliqua recta linea , à centra auté’ in con: . raffum coniuncïta fuerit aliqua rectalinca:caniun&a,petpena dicularis crit in contingente. O R O N T I V S.([Sit datas Circulus azbzc,quem tangat refta linea dze,in punira quidcm czfitq; centrum ipfius circuli fia: oonneétatut fzcz reéta,pet primü po- fiulatumDioo quad fzc, perpendicularis eft ipfi dze.Si cnim fzc,non firetit erpenv Hinc aliter on dicula ris ipfi dze:etût dlle’ôtszzezanguli, pet decim: diffinitionis primi li ri oon- mcm uerfionem,in:quales,alter quidcm reéto maiat,alterve midi modus ra minanEfto maior(fi filetit paifibile)& abtufus fzcze: Emma etititaq;dzczf7acums.lîtquoniam reéta dze,tangitcircu’ lum azbzc,pet h] tefin:ipfum igitur nô (ecatcirculum. Cadit itaq; circu étia bzc,inter dzaa czfzhneas reculs: &prainde acutus a: reflilineus an lus dzczfimaiOterit angulo femicitculr bzczf,ex circun tenria bluet reéta cz flcamprehenfa Dabitur itaque teflilineus ü matas ana gulus,rnaiot angulo femicirculi: contra decimamiExum huius tertij propofitionâAngulus ergo dzCzflnon cit retro minanfimilitet afiem detur,quad nec reâa maior.eit igitur métas: a: qui fub fzczez continetut angulus, itidem reâus.8( proinde teâa fla, in ip(am dzez perpendicularis eû,per decimam primi diflînitionê. Si circulum itaq; tetigetit aliqua recta ’lineazatclvt in theateo mate.Quod demanitrandum fuerat. - 9:63er le, retienne f :0. Av 105W W44 me Mât 2 au?! du ôtait «il MON! me?! Mât W Mil Kappa 4’:th Tic 55x060; 15m 15 uchrorfi :0508. Tbeorema 17, Propofitio r9. 1, S l circulum tetigeritaliqua recta linea,à contaâu autè’ ipfi tans genti ad angulos reétos recta linea qu:dam excitetutzin excra tata crit centrum Circuli. si

«74 - GEOMET. ELEMENT.’ O R O N T I V SIIIiflocirculus azbzczquem rutfum tangat recta dze, in punéta - as: àdatOfpûCto c.dat: reét: lime: dze, ad reétos excitetur angulos czazpet vnde» Demôflratio cimam ’ primi. Dico q: in cza,eit centrum ipfius dati circuli azbzc. Si cnim non file» ab impaifib’ rit in reétaczazetit alicubi-Eitodî paiïibile fit)in punâo in conneÇtatur fzczrefta, pet primam poitulatumÆt quoniam reéta qu:dam linea dze, tangit pet hypathe» -fin ci rculum azbzc,à centra autê f,in contaCtum c,caniunéta crit fzczteâa lmea:con ’ iunâa igitur fz c, perpendicularis crit in contingente dze, pet antecedentem decio mamaétau’am huius tertijpropofitionem . Reâus crit Igitut vtetque angulorum ’ i ’ dzcz fiatïszIe.Atqui pet conflruétronem,an lus dzczaz a ’ reétusefftfuntq; reéti omnes inuicem :qua e.s,per quar tum poitulatum. Acquus erit igitur angulus dzcra , ipfi angulo dzczfïEfl: autem dzczfipa rs ipfius anguli ’dzczazre- êta fiquidem fzc,cadit intracirculu m,ac inter dzczôc czaz reétas,diuiditq; propterea ipfum angulum dzcza. Totus igitur angulus dICza,fu: parti dzczf,:quabitur:quad pet nonam communem fente’tiam en: impoifibileCentrum . itaque circuli azbzc,non cit in punéto fihaud diiTimiliter I A oitendemus, g: nec alibi: ptætet à: in azc. Si circulü ergo tetigetit aliqua reâa linea:& qu: (equuntur reliqua. Œod oportuit demôfiraflè.

N dansi I à aideur:mûrir-ô KWQ in,yœviœ,dlmiœoiap Feéetmci 3h" dis ’ très se. aimeéqcfi’rœp qui; âu- qui: miam!) M019 ip(am où raviva. . Tbearema :8, Propofitio 20; . a, IN circula angulus qui ad centnî, duplus cit cius qui ad circun! 20 ferenriam: quanda angulieandem Citcüferentiam habuerint. O R O N T I V S. IISit azbzczdl circulas : ad cuius centrum e, fit angulus cze zd, ad citcunfetentiam au tem czazd,8( vtriufq; bafis eadê circunfetentia clzd. Aia quad angulus czezd,ipfius anguli czazdzduplus ethonneftatur cnim aze,per primû po aida angu itulatum:& pet fecundum paitula:um,diteétè producatur in f. Cùm igitur pet cit» lus uiadcrr: cun rêtiam coli diffinitianem,azezfit :qualis ezc::quus eflangulus ezazc,ipfi angulo czeza,pet includit cen: quintâ primi.Anguli itaq; ezazczôt ezcza fimul fumpti,alteruttius eoptü dupli funt: tram. vtpoteipfius ezazc.Exterior potto angulus czezf, binis interioribus 8c ex oppofito r ezazczôt ezcza, pet trigefimamfecundam primidi æquao lis.qu:autem funt :qualia, eiu(dcm duplicia funt:pet , conuerfam fextæ communis fententiæduplusefi igitur czezfzangulus,ipfius ezazc. Et proinde angulus fzezdzip- fius ezazdza nguli duplus en. Taras itaq;angulus czezd, V totius anguli cz az dz confequenter cit duplus . Si cnim :què multiplicibus,addâtut :què multiplicia: :què iti- aida idem dem multiplicia tefultabuntlIOgôd fi angulus qui ad angul’ qui ad circunferentiam,fi1etit extra centrum ipfius circuli,ve- citcü ferenti a nô capit cerv luti ezbzd:idem nihilaminus fubfcqueturzConnexa enim trum circuli. ï reCta bze, pet primam poitulatû, 8c diteâè rodué’ta in gzper (ecundumzconcludemus veluti fuprà, ex eadcm quinta 8c trige Imafecunda primliangulum czezg,duplum fore ipfius anguli czbze. quorum dzez zpars ipfius anguli Clclg,duplus rurfum cit partis ipfius czbze,vtpote anguli ezbzîteliquusi i tut angulus czezdzqui ad centrum, duplus itidcm cit teliqui czbzdzqui ad eircunfëÏ rentiam dati confiituitur circuli. In circula itaq; angulus qui ad centrum,duplus

en cius qui ad cireunferentiam:LIBER grande ipfi anguli communem 111.- bafin eandcm . a, cit. cunferentiam babuerinthod crat oflendendum. casée. se, ’ Femme me. l E,N mina et! ai 72551075 ægipan yaviaa,î’6u anime Mg. Tbcorema :9, Propofitio 2:. 21 N circula qui in eadcm fegmcnto funtanguli :fibi inuicem fu n t :quales. O R O N T I V S. QI Sint primùm in fegmenta femicirculo maioricz az dz dati Defegmenta azbzczdzcirculianguli czazdeC dzbzcz.Dica eofde’ angulos czazdzôt dzbzc,fote adin. fernieuculo maiori. uicem aqualeanueniatur cnim centrum ipfius azbzczdzcirculi,pet primam huius rcttij,fit’q; illud e:& aonneâantut ezczôc ezd,per primam poitulatum. Cùm i itur an lus czezdzad centrum exiiht circuli,czazdzvero an. gu us ad circunfetentiam,habeantq; bafin communem eandcm circunfetentiam ezdzangulus propterea czez d, duplus ait, et antecedêtem vigefimam propofiu’oncm anguli czaz .. Angulus itaque czaz d, dimidius cit ipfius anguliczeszt proinde. præfatus angulus czezd,du lus cit ipfius anguli dzbzc:atq; idem angulus dzbzc,eiu dem czezdzan Ii dimidius. Q1: autem eiufdem flint dimidium,ea unt adinuicem :qualia:per feptimam commu r nem (Ententiâ. Acquus cit igitur an lus clazd,angulo dzbzc. ([Sint turfum in (cgmento bzazdzièmicitcula minori,ip rus azbzczdzcirculi, De fegmento bzazdz a: dz e zbz anguli. Hos dico fore fimiliter :quales. Conneâatut cnim méta femicirculo azc,per primam paîtula’tumzfitq; ipfatum azdzôt bzezfeâia fiE rit igitur azcze, fegé minon! mentum mains: 8c qui in eodem (Egmento maiori faut anguli azbz ez 8c ezdza , pet L primam pattern iam demonitratam ,adinuicem :qua» a e . les.thuoniam trianguli azbzfiinteriores 8c qui ex appa fito flint anguliazbzfzôc fzazb,extrinfeco bzfzdzcoæquan pi: tut angulo: necnon 8c duo anguli ezdzfz 8c fz ez dz ipfius a ezfzdztria nguli,eidë extrinfeca bzfzdzfunt itidê :quales, pet trigefimaîfecüdam primi.duai itur anguli azbzfz8c i fzazb,duobus angulis ezdzfzôt fzez ,funt pet primi com munem fententiâ æ uales.A quibus fi demantur æ uales anguliazbzfzôc ez zfireliquus bzazfiteliquo dzezf, oc efl,bzazdz ipfi dzezb, pet tettiam communem (enrênant crit :qualis.Idem quoque demôfirate licebit in (Emicircula. In circula igitut,qui in eadcm fegmento font anguli,fibi inuicem funt :quales. maori recepetamus a. fiendendum.

rap ai TOI; 1161m ouGEÔQNIJŒ qsï’œmiuewpœi acrimonie-iot: 7m1iœc,d*uoipu, Paiera; demi; 76:1 ut. échu I q Theorema zo, Propofitio 2.2. 32 N circulis quadrilaretatum exifientium anguli , qui ex appas fitozduobus teâis funt :quales. t A O R O N T I V S. (ISir in azbzczdz circula, quadrilaterum azbzczd: dico angulos qui ad az8( c, fimiliter qui ad bz8t dzex appofita c6itituütur,duabus reétis caæqua’ ri. Conneâantur cnim azcz8cbzdzte&:,pet primùm poitulatumTtiangulum cit igitur azbzc. Et quoniam an gala bzazc,æquuscfl angulus czdzb,pet antecedentem g.ij.

-76 - . GEO.MET.EILEMENT. vigefimamptimam huius tertiËfuntenim in eadcm fe’gmê’ta bzazdic.Angula tut! fum azczb,:qualis cit an lus zdza,per eandcm vige imâprimam huius terti)’: in eodê nanq; fègmêto con ifiunt azdzCzbgTotus igitur qui fabazdzczcôtinetur angu lus,binis an ulis bzazczôt azczb(nempe fuis partib’ integralibus)co:quatursAdijg ciatut vtriiâ; æqualibus,cômunis angulus azbzc. duo igitur anguli azbzczôt ezdza, tribus angulis bzazc,azCzb,& Czbza,ipfius azbzcz triangw , li, funt pet (ecundam communem (Ententiam :quales. Eifdem. porta tribus an lis eiufdêazbzczttianguli,duo reéti flint :quales angu izomnis fiquidem triiguli,-tres interiores angulibinis flint teâis :quales ,per trigefi- mamfecundâ primimii igitur exioppaiito funt anguli» azbzc, 8c ezdza, pet primam communem Entëtiamfunr :quales duobus reétisNec diflimilitet ofiëdemus,quôd l angulibzald Æ! dzezb,duabus itidcm teâis ooæquantut. - Iîgitur in circulis quadrilaterorum exiitentiû anguli,qui ex appafitmduobus mais unt :qualesA.Quad demonfira te oportebat.

E pi’ tri; - aurifie(9:69qu iueèiow’ «fluona, ægipan: ’ 11969601; RUIKÂwp 8140m Kariup. hégôu australiennes! zifii qui dans i.trot i ’ Tbeorcma pie». 2.1, Prapofitio . t 23. Vper eadcmvteâalinea, du: feétiones circulorum fimiles, 8c 23 inæquales non confiituentur ad eafdem patres. L. o R ONT I V S. ([Supe’tadem nanque recta lineaazc,binæ 8c inæquales cira culotum Eâiones,azbzvquid,em maior,minor autem azdzc, ad eafdem. partes b, dzcon’itiruanturDico q; ip(a: feâiones nô funt fimiles,8( fimul inæquales.Si cnim i ’ i [id fuetit paifibile: extendatur reéta qu:dam linea azdz b,?uæ fècet vtranq; feétionem, maiarem quidcm in b,8c am minoré in dzôc conneâa ntut bzc,& czdzre&:,per primum pofiulatû.Triangulum crit igitur bzczd: cuius . a c. vnum latus bzd,producitur in a.,extetior igitur angulus , azdzc,intetiore St ex appafito ezbzdzmaior cit , pet decio mamfextam primi. Quôd fi (e mentum azdzcz,fueritipfi azbzczfimile::quus crit angulus azdzc,eidem angulo czgzd , pet vltimam huius tertij diifinitionemfimiles nanq; feâiones circuli (unt,qu: angulos :quos fuûipiüt. Effet igiturangulus azdz c,maiorangulaczbz.d,atq::eidem æqualis:quod cit impoflibile- Super eadcm itaq; reâa linea ,du: feâianes Circulotum fimiles,ô( inæquales nonconfiituêmr ad cal: i dem partesœiad oitendere fuerat operæpretium. . Œéeupœ 1:15, P369101; mil. A âÔi’icrwyiuNôp Spore: Tpûpœnuguüuîxwyfi’ôc annal; èaip Thcorema 2.2, Propofitio 24, a SVperæqualibus redits lineis fimiles circulorum feâianes con: 24 ititutæ,’fibi inuicem funtæquales. . O, R 0 N T I V S. IIConitituantur cnim (upet :qualibus teâis lineis azb,& c,d, fi miles circulorum fèâianes azezb,’ô( czfzd.Dico g: (bada azezb,fe&ioni oz fz dz cil: :qualisComparatis nanque adinuicem ipfis azezbzôt czfzdzfeâianibus, à: punira crfupra puné’tum ar collocato, extenfa q; reéta linea czdzin direëtum ipfius azbzoon» ’gtuet punéIum d, ipfi punâo biqu: cnim funt :qualia, fibimetipfis conueniunt,

r aâau: cômunis (entend:LIBER conuerfionem. Canueniente 111. autem recta adz, ipfi,7 azb,aonaeniet 8: czfzdz circunferentia ipfi azez b: et illi canièqaentet crit :quali . Tune cnim (upet eadcm reéta a: oammunilinea azbzvel czd,du: circulorum (écria nes oonitiruentut fimiles:i itur 8c :quales, pet vigefimam tettiam huius.Aequao lis cit igitur azezbzipfi czfz . (Club fi non fireris contentas hac demonfiratione, A": «très: 8c dixeris farfan citcunferentiam cz fzd, jpfi n°4,, theorematia ç minimè conuenite:tunc vcl airera alteram [kabig 0m vcl vna cadet intta teliquam.Secentiè primùmdî a si c poflibile fit)in punéto g.Et quoniame (un: hm, d in communibus puais a,bzvel c,d:iëcabant (de ino c uicê circuli, quorü fiant feâiones, in pluribus duo- ; 0 bus üétis.quad pet decimam huius tertij, cit in», po bilngèd fi vna ceciderit intra teliquam,vto pote czfzdzintra azezbzidë quad in proxima iëqae» tut inconueniës,velut ex ip(a potes elicere figura. Exterior cnim angulus qui ad f, trianguli ezfzbz aut ezfzd, maior crit intrinfeoo a: et oppofita qui ad e,pet decimâfèxtâ primizac eidem :qualis,pet fimiliü feâianü difl-initionê,quad non cit paflibileCangruit itaque circunferentia czfzd,ipfi azezb: nemadmodùm 8c retira ezdzipfi azb. qu: autem fibirnetipfis conueniunt, :qualia 21m adinuicem:per octauam cômunem (ententiamAequalis e11: igitur i’eâia ale! b,ipfi afzdjgitut (upet :qualibus mais lineis,fimiles circulorum feétianes côm- tut:,fibi inuicem faut :quales. Quod tecepetamus ofiendendum.

Ka IN ægipan:www JiOOGhQ-o, a, redorai;trôla miam (Gratte 8k)ne. q-Fîæm, Problema 3, Propqfitio 2.5. z, Irculi feâione data:defcribere circulum.cuius cit feâ’io. O R O N T I V S. «me data circuli feCtio az bz c, cuius centrum aparteat inuenite:hac cit,citculum cuius ça feCtio defcribereSecetut ira ue azczteéta bifa’ riam in uné’to d, pet decimam primi - 8c pet vndecimam eiuf cm primi, à punflo dzip rus azczreétæ line:,petpendicularis exciteturdzb:& côneétatut azbz reéta, N h " pet primam poiiulatum. Triangulum crit igitur azbzd: cuius" angulus bzazd , ipfi angulo dzbzazetit :qualis, aut - . ca minar, vel codé angulo maior. Si :qualis (vt in hac Prima huius prima figura): ualis erit azd, ipfi d’5, P" (fifi Primic °fiflêfil°im du: a c Eidem porta az ,æqualis efl: dzc,pet confituâianem: 8: dzbzi itutipfi dzc,per primam communem (ententiam crit :qualis-Tus itaque azd,dzî,& dzc,erunt inuicem :quales.CadEt ergo à pana &o d,in circüferentiâ azbze,plures quàm du: mât: linea: :quales:erit igitur un- Gram d,centrum cireuli,cuius azbzczeit (camper nonam huius tertij. ([At’ un! s i a5. galas bzazd,minor filent angulo dzbza(vt in feeunda figura: difpofitione) côititua- "au tut ad datam punétum azdat: refit: line: a’b, data ana 5 gala teâilineo dzbza,:qualis angulus reétilineus bzaze: a. pet vigefimamtettiam primi . Et quoniam trianguli a! . c zd,angulus qui ad dzreâus eitigitur 8c qui ad biminor cit recta, pet trigefimamfecundam primi. Angula autê dzbza,datas eû :qualis bzaze:& bzalezigitur angulus (ce (tu minorîeit. incidit imp tefla linea azb,in azezôt.bzdzre&as,eificicns interiores par 5.11,:

73 GEOMET. ÉLÉMENT. in eadcm patterangulos, duobus reâis minores : conuenient igitur azez!!! bzdz-in , reétam produét: ,per quintam poi’rulatum. oanuenrat 1’ ergo ad punâum e : a conneétatut ez cz teâa , pet pri- . mura poitulatum- Cùm igitur angulus ezazb, :quus fit . . A a c angulo azbze::qaalis cil: aze,ipfi ezb, perfixtam anIô Rurfum quoniam azd, ipfi dzez eit a: ualis, a: dzez vtra. . que communis : bina igitur lateta az z Ë: dz ez trianguli azdze,binis lateribus ezdza dzczttianguli ezdzc,funt :qualia altera alter]: 8c :quao les comprehendunt angulos,nempe rectos qui caca d.Bafis igitur ezc,ba.fi.aze,pet qua tram primi cil: :qualisÆidem porta aze,:qualis oftenfa eftezbtttesuigitur azc, czb,8( ezc,fùnt adinuicem :quales. Q9311: rurfùm , ex nana halas terti;,pun&um . . czcentrum eritcitculi,cuius azbzczeit feâio. 0:de fi idem angulus bzazd,maior :3]? mira . ; extiterit ip(a dzbza:idem refpondenter concludeturDa» a ’ . ’ to cnim rurfum angulo bzaze,ipfi dzbza, pet v1 efimam tettiam primi,:qaali:c6cludemus( veluti fapta)ex (exo ta primi , ezbzfore :qualem ipfi azezac e1demaze,ipfam ezc , pet quattam ipfius primi,confequentet :quari. Et proinde punâum e,centrum erit circulizcaius azbzczeit (camper nonam huius tettij. Caroliarium. ([Hinc fit manifeitû,in (Emicircula angulum bzazdfore æqualë ipfi dzbza:in feCtione autê fèmicirculo minore,m1nore’:& in maiore maiorë.5 Mû ami" [DE S T E T A L I V S modus vniuerfalis inueniendi præfatû centtü,cuicunq;- EËËËLËÏSÏ feétiani data: indifferentet adcammodus. Ailùmantur ita ue in data circunfineno citenfia. ria fine feâione azbzc, tria vtcunque contingentia punéta: 1nt’q; a,b,c. Conneâanv tut deinde azb, a bzczre&:,pet primam poflulatum.vtraq; poflmodùm bifatiam diuidarur,per decimâ priminzbzqu-idem in puna-o d,8t bzcz in unâa e.A panaris autem dz8c e,in eafdem azbz&bzc,petpendiculares excitentut zfzôt ezf, pet vnde» i b cimam eiu(dcm primi. Cùm igitur vtetque angulatum bzdzfzôtbzezfzfit te&us:re&a qu: ex punâo dzin püâiï ezptodacetut, vtrüq; diuidet angulum.qu: Cùm incidat in dzfzôc ezfzreétas,eificiet propterea interiores a: in cao dem parte angulos dzesz a ezdzfz duobus mais mina- a res. Côcurrent igitur (me: ezfzpraduétæ, pet quintam poitulatum,ô( fefe tandem intedêcabunt in eodem puna &a EEt quoniam teâa qu:dam linea dzfiquandam reétam lineam azb,bifariam a: ad rectos difpefcitangulosnn ip(a igitur dzfzefl’ centrü circuli.8( proinde in .çzfzre» &a,erit eiufdem circulicenttumzpet corollarium prima: huius tettij. Bit igitur CE? ttû circuli,cuius fèé’tio et! azbzc,in punâofivtriq; ac dzfzôt ezfzcômuni..Datai itur. circuli feâione azbzc,defi:ribitut circulas cuius cit icône.de opottuitaitê lies

i le i N qui;V iout 014397114: minore ad, 76:1 yawl’œtûôi imp a), margay P369101; fitCIiltœaIfiod’rtŒËoe qui; et. mariole, ’ k Euh: nazie Weimar,» En fielbviuqœz. Tbcorcma 2;, Propofitio 26 . i I N :qualibus circulis :quales anguli,in :qualibus Citêaniieren: 26 tifs fubtendunrur: etfi ad centra, etfi ad circunfetentias dedu: &iO R O N T I Vfacrint. S.l[Sint binicirculiazbzczdz 8c ezfzgzhzl ’ inuicem i :quales:in qui;

LIBER 111. 79 f bus :quales dedacantur anguli,ad eorum quidcm centra k,l, an li bzkzd,8t FMI: ad circunferentias autem,bzazdz& fzethioa quad bzezdzcircan rêtia,:qualis cit fzgzhzeircunfe’tentiæ.Connectantur cnim in primis bzdzôt fzhzteEtz, pet primam (tulatüÆt quoniam perihypothefin circuli azbzczdzat ezfzgzhzfunt inuicë’:qua. * regain: igitur ex eorum centris prodeût reét: line:,funt :quales adinuicem, pet . . primaa, huius tettij nem.Du:igitutdiflînitio bz lez 8c lez dz tria nguli bzkzd, iduabus lez& lzhztriâ li lezhzfiîtæquales alterazaltïri: a arquas inuicë, qui ad kzac lzcôptehêdunt an gulasBafis itaq; bzd,bafi fzh, et natta primi cit :qualis. C a am quaniâ angulus qui i c,fimflis4 v, enI féerie) I b bzazdfeftianiI - ad fzezh,a,:quus et decimam cit huius angulo tettij diffinitianê qui : a: (a. ad au :qualibus redis côfiitunt bzdzôc fz . Acqualis cit i itur feétio bzazd,ipfi fzezh: pet :qualibus cnim métis lineis fimiles circulorum eétianes canititutæ, fibi inuicem (un: :qualcs,pet vigefimamquartam huius tettij. Atqui tatas azbzczdz cit» culas,tori ezfzgzhzcirculo eit :qualis.fi ab :qualibus autem circulis, :quales aufe rantut circunfetenti::qu: telinquentut: uales etunt,per tettiam cômunem (En tentiamAequalis cit igitur dMnRrentùïlcld,ipfi fzgzh. In :qualibus ergo cire culis:&c.vt in thearemate.(ëiod demonitrandum filent. i émierai: ” mil, raderai; «a. N qui; fait enflammas! ûBi imp m9461: kremlins: paumier»: MM; êoiyfiodfl I me nie naififoitfiœlfl «in; qui"; Wargame au! hfimfi’m. . z Tbeorema 2.4, Propofitio 2.7. - 27 ” IN :qualibus circulis,anguli qui filPCl’ :quales circunferentias deducuntat, fibi inuicem flint :quales : etfi ad centra, erfi ad

circunfetentias0 R 0 N T 1V SŒHæc cit côuetfa ptæcedentis.Sintfiierint ergodedaâi in circulis :qualibus. , V à?! P? azbzczôt dzezfifuper :qualibus circunferêti ’s bzczôt ezf,anguli bzgzczôt ezhzfiad 60 nm i mm centra g, h: ad circunferentias autem bzazczôt ezdzf. Aio quôd’angulus qui ad g,:qaus cit angulo qui ad hmecnon qui ad a,:qualis ci qui ad . In primis enim,fi angulus bzgzczangu a ezhzfznô factit :qualisaltet eorum etit’maiat. lifta maior (fi poflibile figâîlgzcôtad datam reétam lineam gzc, ad datümqçiini ea punétum g, . dam angulo r ’ inca ezhzfiæqualis angulus reétilineus conflituatut kIgIc,pet vi4 v ’ - - i ’ i gefimamtettiam primi. Man c1 l iot etititàque angulus bzgzg ipfb klgzclangulo: incidétque proptereareâagzk,intetbz a: gzczteétas, a proinde fêta. bit citefiferentii kzczipfa bzcz minorâAt quoniâ in circulis " . 4 :qualibus :quales anguli,in :qualibus circunferêtijs fab-

gefihramièxtâ»prapofitioncm::qualis, . , têduntut,perantecedentëïï crit circunfetentia kzc,ipfi ezfÎEidem ,4 porta . gui].

8° - GEOMET.!ELEMENT. ciramferentî: ezf, :qualis cil: pet hypathelîn circunferentia bzc. si!» cz igitutcir- canferentia,ipfi kzc,pet primam communem Ententiam crit :qualiszmaiomdeo lice: minori,tottîrnve (a: partiquad pet nonam comme fententiâ en impoifibile. Non cit igitur angulus bzgzc,maiar ipr ezhzf: fimilitet aitendemus,qaad neq; mi- r nor.Eit igitur :qualisthuaniam pet vigefimam huius tertij,angulus bzazc,dimi dius cit eius qui ad centrum gznecnan a: ezdzfzangulusjllias qui ad centrum bzdi- midius.qu: autê ciufdem vcl :qlualium Tant dimidiû,:qualia fun: adinuicem: pet ûptimam communem fententiâÆtangulus igitur bzazc,angulo ezdzfzelt :qualis. In :qualibus ergo circulis,:n li qui (upet :quales circunferentiasæt qu: fequuno tut reliqanuod crat alleu endura. « Neuf;eidem: lame Illch a!la, 16a Mana relierai; leur: W m unifia un. A): ’ ou v fi? ’- (otmiù dièh’efionfli êM’eîlou. , e N ’ la Tbeorema’ 2;, Propofitio 28. N :qualibus circulis :quales reâælineæ , :quales circunfeten: :8 tias aufetunt:maiaremmaiori,minarem au rem minori. O R O N T I V S.I[Sint bini circuliazbzczdzôt ezfzgzhzinuicem :quales,quotum centra k,l:in ipfis veto :qualibuscirculis,:quales fin: reét: line: bzd, 8c fzh,aufe. tentes circunlretentes bzaldlquidem a: fze’zh maiores,minates autem bzczdzac fzgz. h.Aio quad circunferentia blazd,circunferenti: flezhzeit :qualisznecnan a: bzczd, ipfi fzgdmOanneétantur cnim bzkzôt kzdgtque lezac lzhz reflue, pet primü paîtra» -. latum.Cü igitur ex hypothefi circuli azszz dz 8c ez fz gz hz fin: :quales:& :quales quoq; adinuice’ etunt qu: ex eorum l cêtris deduce’tur line: re&:, pet primam huius tertij diffi- ’ nitionem. Du: itaq; bzkzôc lez dztrianguli bzkzd,binis fz lz a: llhztrianguli lezh, flint :quaa

e,bafiV fzh,pet . . hypathefin. les airera :qualis. Angulus alteti:b’afis igitur bzkzd,angulo quoq; lerh,per 5l aftauam primieitæqualisln :qualibus porta circulis : uales anguli,8t adic’entta deduâi, in :qualibus ’eircunferentijs fubtenduntur:pet filegatam vigefimamfextam huius terti;:.Et bzczdzigitutcircunferentia,ipiî fzgzhzeircunfetëti: cil: :qualis. Atqui tatas »azbzczdlcirculus,tati ezfzgzhz circula par hypathefin :quatut :8: fi ab :qualibus citculis :quales auferantut cireunferentiæ, qu: telinq uentur :quales etunt, et ’tertiam communem fententiam. Reli ua igitur circunzrëtentia bzazd, reliqu: zezhzeit :qualis. Igitut in circulis :quali us :quales reét: lineæ, :quales citaî- ferenrias aufetuncmaiorem maiori,minatëautem minoti. Qad demôftrate fuerat operzpretium. » , eczéma: sa, redoroit 1:9. - Nez-oie fait minou dab qui; leur; WWJGa 5065m affinerai i Tbeorema 26. Prapojîtio a9. IN :qualibus circulis: (ab :qualibus cireunferétiis,æquales res 39 canera " U en: lime: fubtenduntut.’ i mats". 9R Q N T 10V SIR-la: et! conaerfa praximê anteCedentis propofitianis.Sint

[LIBER â L .II-lLîi’î- . 3l igitur ru’tfum :qualc-s. circuli azbzczdz&;ezfzgzb,quoram tétra k,l: fifirq’; in ci(dem circulis, bzczdzôt flngcitcûferentizinaicem :quales. Dico quùdœnncx’à bzaze; fzhzreé’t: line:,æquales faut adinuicem. Praduca’tur’euim ex centra lardât: litre: bzkzôt kzdznecnan ex; central,re&æ,line: lezac Izh,perprimum pofiularû. E: quo. v . à -.- niam ex hypothefi circunferentia bzczdëæqualis eficircunferenti: fzgzh: :qualis cit propterea angulus bzlrzdz angulo lezh ,fper vigefima mfeptimam huius tertij. Rutfum quoniam dati circuli pet bypothe in flint inuicem :quales: a qu: ex ca. tum centris igitur k1 au, par primam huius diffinitionem funt :quales . Aeqaac les itaque inuicem Emtbzhkz d, le,& Ma. Triangula ergo bzkz dz a lezh , habent duo latera duobus lateribus :qualia alterum alteti: 8c con tentas (ab :quis la teribus an galas inuicem :quales. Bafis igitur bzd,bafi fz b, pet quartam rimi eft :qualis . In a» quali as ergo circulis,fub a, . j Aqualibus circunfietêtijsaquat .8 les «et: line: fabtendantur. ’ Œod oportuit demonittalTe. r FeôfiÂaFæ I dl, Feôôtmç À. l H9 N°565? Wfiedœp du: Tipvop. Problema 4, Propofi’tio 30. 3° Aram c1tcunfetentiam bifatiam .d ifcindete. i OR O N T I V SIR-Silo data citcüfetentia azbchuam epotteat bifatiam - difcinderc-Conncâatur ergo refila linea azc,per primiî poitulatum z qu: bifatiam facetut in unéto d,per decimam primi.Et pet vndecimam eiufdem primi , à data punâo d, at: refit: line: azc, ad angulos rectos excitetur dzb:conne&anturq; az bzôt bzczline: te&:,per primam poitulatum. Cùm igi- » turazdzipfi dzCzfit :qualis,8t dzbzvtriq: communis:bina itaq; la teta azdzôc dzbzttianguli azdzb,duabus lateribus bzdzôt dzcztrianguli bzdICzfimt :qualia alterum alternat :quas inuicem com rehendunt angulos,nempe reétos. Bafis igiturzazb,bafipbzc,pet quatrain primi cit :qualis. Acquales porta lime: in eadë citculo,:quales circunfe» rentias, aufetunt,maiorem maiori, minorem autem minori,per vigefimamoétauâ huius tertif.Aequalis cit ergo azbzdtcunferenria, ipli bzc. Data itaq; atcunfeten’ ria azbzc, bifariam diicinditut in punâo b. (and facere oportebat. amena: ne, 1196km: M. N KÜKÀQflî W a); 7,5 tyrannie) 7min, de!!! 35ml: à ai Z12? païen Tfimrnfihèîlapôg- I ancra: ci me?) inanimation ôeOiÇnKad nib? il [à a? pézorQ- arpiMvaa’arméfap Iïlsip agaça. da a? anrpûpæpg- 7min,in 359 639k. , - . Tbcorema 27, l Propqfitio 3l. 3! I Na citculo,an galas qui in (émicirculo efl,te&as efcqui au rem n in maiori fegmento, minot rcâozqui veto in minori fegmem .ta,mai.or cit te&0.Et in(uper-angulus maioris fegméti,re&o qui: d cm maior cit: minoris au tem-fegmenti an galus,minor cit recta.

82 GEOMET. ÉLÉMENT. 0 R O N T I V S.([Sit datas circuluslazbzcz’d :cuius centrum e, dimetiens verdi azdzdefcriptus autemzin (emicitcalo angulus,lit azbzd. a: (u(cipiatar in eadcm cit, cula cantingens ali aodpnnâurn,lît’q;-illud c281 pet primam poitalatum,conne- Prima theare hâtantut reét: line: zc,bze,& ad. Dico primam ,quôd an las azbzdz recrus eit. matis par: . Extendatur enim,pen(ecundum poftulatum,azbzre&a in ire&um,ver(us f. Cùm - a f igitur :qualis fit ale , ipfi ezb, peracitcali diflinitionem: :quas crit angulus ezazb,ipfi angulo azbzc, r quintam :ptimiÆt proinde :qualis cit angulus ezbz ,i 1 an a - zdzezæqualis iiquidë eitezbzreéta ipfi ezd, et ean E cit coli dif’rînitionë. T otus itaq; angulus azbzd, inis angulis n bzazdzôt azdzbzeit :qualis.Ei(dem porta angulis bzazdz Ha . &Iazdzb,:quus cit extetiorangulus dzbzf, pet trigefimi (ecundâ primiDuoita ne anguli azbzdzôt dzbzfieiiîlem angulis bzazdzôcazdzbz ant :quales:igitur &æquales ad- v inuicem,pet primam communem (ententiam. Reéh i- « 1’ gitur bzdlincidës (upet azf, efiicit vttobique angulos ad» inuicem :qualeszerga reétos,per decimam iplîus primi diffinitionem. Reâus elt Pars (ccüda. igitur angulus azbzczin data confiitens fèmicirtulo. ([Dico in(uper quad angulus qui ad a! exiitens in maiori (egmento bz az d, reéto minor eil. Trianguli fiquidem azbzdltres anguli,binis mais pet trigefimamlècundam primifunt :quales-Reims eit autem quiadzb(velati nunc oitendimus )teliqui igitur qui ad a,& qui ad d,vni Para tertia. recta (unt :quales: 8c proinde vtetque teâa minor. ([Aia confequentet quad a: an lus qui ad czin lègmentobzadz(emicirculo minati,maior cit reétoNam azbz czÎquuadtilaterü embat in data confiitens circula.In circulis porta quadrilateratum exifientiam,anguli qui ex oppofita duobus mais (untæquales, pet vigefimamlcf cundam huius tertiiQri igitur ad az8c czexiiiuntangali,binis mais faut :quales. Angalus porto qui ad a , recto minarolten(us eitzi itur a: uiad c,hoc cit (ab bz Œarta eiu(o .czdzcôtineturangulusneâo maior cit. ([Dico ta em,qua an ulus maioris (eg- de thearernaa menti bzazd,’vtpote. azszzd,(ab azbzteâ-afl circunferentia bzcz ,côprehen(us,ma’ tir pars. ior elt reâaMinaris aatë (e menti angulus,veluti czbzd,(ub eadcm bzczdzcitcun» fetentia 81 teâa bzdzcom reEen(us,re&o minat eiLAngulienim reétilineiazbzdz a: dzbzfzreéti (anacadit’ ; zdzreéta intta datam circulum,per (ecundam huius ter» tiiÉadem itaqueâa bzd,diuidit ip(am angulum (ab azbzreâa,& bzczdzcircüfeten» - ria comprehen(um: a: proinde reétas angulus azbzd, eiu(dcm anguli (ab azbzreâa 8c circunferentia bzezdzoomptehenfi fit pars.Omne parti) tatam,elt (ua parte mav ius, pet nonam cômunem lententiam. Datus igitur (egmenti maioris angulus,(ab l Pars quinta azbzreéta,& bzczdz ci rcunfe rentia contentas,re&a maior en. (IRurfum, quoniam a: vltima. recta bzd,cadit intta datam circulum,8t b fzextta:diuidit itaq; circunferentia bzczd, ip(am angulum reétam dzbzfaÉt proinde datas angulus (ab bzdzteétazôc eadem circunferentia bzczdzcamprehê(us,pars cit ipfius anguli reéti dzbzf. Omnis autem pars minor cit toto,pet ipfius non: communis (ententi: conuerfianem.Angulus igiturfègmentî minaris , (ab dzbzteéta &bzczdzcitcunfercntia com rehen(us,minot cit re&o. In circula itaq; angulus qui in ténacitcalo cit; 81 qu: eqauntur relia qangod oportebat oftendere. i Corollarium primam. CI Ex hac,81 decimafexta huius tettij propofitione fit manifefl-um, quad rametfi in mixtis angulis, (ab reéta linea a: circuli circunferentia comprehenfis,detur minor arque maior reétomunqaàm tamen dabitar :qualis.

LIBERCorollariumficundam. 111. I a 1. [[Sequitur etiam ex’huiu(ce propofitionis demanitratione,qaôd in triangulis ano galas qui reliquis duobus :quatur,re&us cit. (I Et quando vttobiqUe côfifientes I anguli,ei(dem angulis fuerint :qualeswterq; :qualium angularum recrus crit. ’ ’Giéçkpœ un, P360101; i MS. 111511718 iaévfi’nœl me (allât, 51713 d’à 017e âQÎÇ 1115i 7611116111011 81.;er aie iota: ftp- - ’Wër’rbp uvuÂbp, de mmë ywn’œ’emebç «il EWNQ, 76:1 (verrou «le air finît damât! fl’xded’Tfàipœq-fuflwt.’ v ’ l l ’ * . 5,2. i "(fibranne- :8, . 4 Propqfitio 32.. 3:. S I ,circulamgtctigerit aliqua recta linea, a con raft-u autem ex: tendatur qu:dam; réifia linea circulum di(pe(cè’s: an guli qaos efiîcitad tangëtem, :quales (unteis,qaialtetniin circuli lègmen: ris confiftunt,angulis. O R O N T1 V S. [Rifle cnim-circulas az szz’cl , quem tangat reéta linea ezfzin punâo dzà côtaétu autem d,extendatut recta qu:dam linea dzb, di(pe(cês datam circulum azbzczd. Aie quad angulus bzdze , :qualis cit angulo qui in lègmento bz azd:& angulus bzdzf,ei qui in (cgmento bzczdz itidcm :qualis. In rimis enim,aut Œâ’da di(pe bzdzteéta (upet reétam ezfzad teâos incidet angulos:aut nan.Sia métas inciderit (ce: otthago ualis eû ad ri angulos:ea tranfibit pet centrum,efi-icietürque dimetiës ipfiusazbzczdzcitculi, pet . gentem. decimamnanam huius tertij.Qyi autem in vttoq; (emicitculo côfifiet angulus, re- a (tus etit,per antecedentê trigefimamprimi ipfius tertij.hinc pet quartam poilu]: tu,vterque recrus qui circa d,vtrique reâo in alternis &micirculis confiituto crit :qualis. ([Sed cita dzbzmi- Quanda en tenfa non en nimè perpendicularis (upet ezfiôc pet vndecimâ primi,â arthogonalis data punâo d,dat: re&: lime: ezf, erpendicalaris ex’ cum a gente citetat azd.Sumatur præterea in bz circiifetentia puna circulum. étain aliquod , fit’q; illud c: 8c pet rimam poitulatum, conneélâtut redît: azb, bze,atque czd.Cüm igitur ex hy- patefi,te&a linea ezf, tangat ip(am azbzczdz citculum,à contacta autem d,ipfi tangêti ezfzad tettes angulos ex» ’ citata cit azdrtranfit igiturazdz teâa pet centrum, fir’ , dimetiês ipfius azbzczdzcirculi,pet decimânanâ 11uius tertij.Triâ’guli igitur azbzï angulus qui ad bzin ip(a exifiens (emicitcalo,pet antecedentê trigefima’primâ bu, ius tettij,re&us cit: teliqui itaq;anguliazdzbz& bzazd,vni tette, pet tri efimam(ea candam primi,(unt :quales.A ngulus porrô azdze,te&us eitzqui igitur ab azdzbzôt bzazdzcôtinentur angali,ipfi an loazdzez(unt :quales.vtriq;autê :qualiû,cômua nis cit azdzbzreliquus igitur bzdgzle’, reliqua bzaz d(qai alternas in bzazdz lègmenta confiltit)angulo,pertettiam communem (ententiam cit :qualis. Rur(um quoniâ anguli bzdzezôt bzdzfiduobus reétis,pet decimamtertiam primi,fimt :qualesæi(dë quoq; duobus reâis,:quales (unt qui in azbzczdz quadrilateto, ex oppofito confio l fiant anguli bzazdzôt bzczd, et vigefimam(ecundam huius tertij. Et anguli igitur bzazdzêt bzazd,ipfis angulis bzdzezôt bzdzf, flint pet primam communem (ententiâ :quales:quorum alter,vtpote blazd,alteri bzdzezæqualis pt:oflenfùs efl.Reliquus igitarangulus bzdzfireliquo St alterna bzczd, pet tertiam communem fèntentiam coæquatut. Si circulum igitur tetigetit aliqua reCta lineazqôcc. vt in theoremate. Ogod tecepetamus oitendendum.

34 p GEOMET. ÉLÉMENT.

pl me dosant 2119M11361917111111: Tpîpu 1161018 «flexôplvop 7min: a, newton bramai! 61186011 717, 701i: . Eîvema’teee- ’ Probiema y, , Propofitio 33. Vper data refita linea,dc(cribete (efitianem circuli,capientem 33 angulum :qualem data angulo refitilinca. A. l w O K O N TI V S. ([Sit data refita linea azb,datus porta angulus tefitilineus qui ad cfit’q; tcccptum de(eribcte circuli &fitionem, qu: capiat angulum ipfi data ana 163511116 du I gala aæqualemDatus itaq; angalus,aat crit refitus,aat acatuSNd Obmfusr 5&0 m a primü reétos,vt in prima figura.Secctut ergo ip(a azbz m dt e tefita linea bifariam,per decimam rimi,in punfito d: a: centra d,intetualla autem dza,vel,dzb,circulus de(tribao tut azezb, pet tettium paitulatum.Sumatut deinde con- a I, tingens aliqaod punfitum in altetatro (emicirculo, fit’q; illud e: 81 côiangantur azezôc ezbzline: refit:,pet primü " poitulatum. ’ Et quoniâ (emicitcalas cit azezb:angulus igitur qui ad e,pet trigefimamprimâ huius terri] refitas c eit,8t ipfi propterea angulo c, et quattum poitulatum :qualis.De(criptas cit itaque (:per azbztefita,ièmicitca Clin (la? in las ’azezb,(a(cipiês angulum qui ad e,data angulo cz:qualcm.([Sit autem ipiè da- mna am, tus angulus czacutus, velat in (ecunda figur: de(eriptione. Ad datam itaq; refitam Ptniû 58m: lineam azb,dat1îmq; in ca unfitum a,data angulo refitilinea c::qualis angulus tco muai” fitilineus canitituatut bzaz ,per vigefimamtertiâ primi. Erit igitur angulus bzazdz acutas:& proinde azb,fi1pet iplam azdznon cit perpendicularis.Excitetut ergo pet vndecimam primi,à data panfito azdat: refit: litre: azd,petpcndicularis aze: diui- darürq; ip(aazbztefita bifatia’ in punfita f, pet decimam ipfius primis: pet vndecimâ eiu(dcm.hku. primi,à data pan fito f, ipfi a z bz refit: line: ad angulos refitos excitetur fzg. Conaenicnt itaq; azez& 9g, pet quintam poitulatü: interiores cnim a: in eadcm parte anguli azfzglôc gzazf; binis refitis (unr minores. côaeniant igitur ad punfitam gzôc cônefitatur bzgzrefita,pet primü poitulatum. Cùm igitur azfzipfi (zbzfit :qualis,8( vtriq; cômunis fzg: du: p4 igitur azfzôt (zgztrianguli azfzg, duabas ngzôt (zbztrian- guli ngzb,(unt :quales altcra alteri.& :quas inuicê ca- iüt angulosmempc refitos,qui circa f. Bafis igitur azg, o fi gzb,per quatrain primi cit :qualis. Centra itaq; g, interuallo autem gzazvel gzh, circulas deiètibatur azezb, et tettium poftulatum. tranfibit ergo Circulus azezb,per ipfias azbzlimites.Extenë igitur azezrefita, pet là» cundum poitulatum,in circunfcrentiam ipfias circuli:cônefitatut refita bze,pct pri- Refolntip de: matu paitalatum. Et quoniam azdztefita,ab azpunfito ipfius azez dimetientis ex: Mmmm’i tremitate,ad refitas cit angulas:tangit igitur azdzip(am azezbz circulam,pcr caralo larium decim:(ext: huius tettij.Rüt(um,quaniam tefita qu:dam linea azd,tangit ip(am azezbzcitculumi, à oontafitu autem extenfà cit refita qu:dam linea azbzdr- culum di(pc(cens:angulus igitur ai ad ez confiitcns in alterna (cgmento azezb,an- la bzazdzqaem facit extepia az Icum tangente azd,per trigeiimamfecundi hua rus tertij cit :qualisÆidem patte bzazd,:quus cit angulus e,pet oanitrufitionem. - Angulus igitur qui ad e,dataangula e,pet primi commanê (entêtiam cit :qualis:

Super data iaq; refita linea azb,de(èti-ptum cit circuli (egmentam azezb,(alî:ipiens angulum ai ad c,dato angulo cz:qual.cm.IIQlad fi datas angulus czfiretit obtao aida idem (uszhaud ’ilimili via propopoiîtianis intentum petficietat.Dato cnim rar(um an &gulus (la? gala bzazd,ipii angulo cz:quali,pet vigefimâtcttiâ primizôc azbz refita diuiia bifa» en obturas. tiam in punfito fzper decimâ,excitataq;- perpendiculari8; fzgz pet vndecimâ eiu(dcm primi:oonaenient rur(um azez 8c fzgz in reétam cxtcnfirætr qui m poftulatam (anguli cnim azfzgzôt gzazfz(unt minores duabas refitis)conue tant ergo ad puna q fitum g.8c (umpta punfito b,ptout in azbzdtcunfe’ rentia conügcritxônefitantur azh,hzb,8( bzgzlinc: refitæ, pet primü poitulatum Cùm igitur azfzfir Reblutia de: :qualis fzb,8( f1gzvtriq;communis:duo latera azfz môfirariam’a 81 fzgz trian li azfzg, duobus lateribus ngz &(zbz priori trianguli g! zb,(unt :qualia alteriî altctiz8t :quales inuicem continent angulos ,vtpote refitos qui circa punfitü (Bafis igitur azg,bafi gzb, pet quarta primi cit :qualis. Centra itaque g,interualla autê gzazvcl gzb,de(cribatarazezbzcirculus,per tettium Panama. ttâfibit ergo circulas ip(e,pet limites dat: refit: linea: azb.Hinc rur(um quoniam refita azdza cxtremitate dimetientis azezad refitos excitata cit angulos: tangit igitur azdzipfum azezbzcirculum,per corollarium decimæfcxt: huius tertij. -À Item quoniam Nana; mugit azezbzcitculumà côtafitu autem extenla.eit azbztefita,citculum di(pc(cens:angulus igitur a! ad hzcanfilté’s in alterna circuli (ègmcn to azhzb,angulo bzazdz(ub contingente zaz8c exten(a azbzcom rehen(o,per trige- fimamiëcundam huius tettij cit :qualis.Eidem quoq1angalo zazd,:quus cit pet conftrufitionem angulus qui ad chi igitur ad cz8t thunfita confinant anguli,per primam communem (ententiam,(unt inuicem :quales. Ira :(uper data tefita li» nca azb,de(cribitut (efitio circuli azhzbzcapiens angulü qui ad :qualem data au» gala refitilinea quiad c. quad faccte oportebat. A nia. - 11366711111: s, P966101: 716?. Pô a? JloOaÉTQ- 1115117121, 7113;»: àcprÀëp «(4*in yearling fait!) ai 610061111 7mn; 306v WPFQ’ Problema 6, Propofitio 34. Date circulo,(egmentum ab(cindere,capiës angulum :qua: lem data an gala rectilineo. 0 R0 N T I V S.I[Sit datas circulas azbzcz à que epotteat (cgmê’tum abltinde» Confituâi’o te,capiens angulum :qualem data angulo qui ad d. A data igitur punfita e, duca- figure. tur refita linea czfzcantingës ip(am azbzczdreulum in punfito b,pcr decimamfèpti- mam huius terrifiât ad data refitam lineam bzf, darümq; ’ a in ca anfitum b,dato angulo refitilineo qui ad d,:qaalis angu as tefitilineus canitituatut czbzf, pet vigcfimâtera tiam primi.8( pet primü poitulatam, coniungantut azbz 8K az cz line: refit: comprehendentes angulum qui ad a. Cùm igitur refita qu:dâ linea bzfztangat citcalü azbzc,8( Demôlhatio problernatil. à contafita bzalia qu:dâ linea refit’a bzaz exten(a eft,circu lam di(pc(cës: angulus igitur ai ad azexiitcns in alterna lègmêto bzazc,:quus eiti 1 angulo czbzf, uem eflio cit refita bzczcum tangêtc bsz, et tri efimam ccandam huius terrij.Eidem patte ezbzfgangu e,:quus cit pet c6 ittufitianem angulus d. Bit igitur (ab bz az czclqntentus a].

86 GEOMET. ÉLÉMENT, angulus, :qualis ipfi angulo d,per primam communem (Ententiam. A data itaque v circula azbzc,(egmentum ab(cinditat bzazc,cap1cns angulum qui ad az:qaalcm da» to angulo refitilineo d.Q10d oporturt fecxiTe.

Ap ai une,j, «No oréenp: iueâoa et vamp M’aime, ne, 11è riz-b 119661015 11’811 flic par Tpnrféæwp mitiga- M. . I E, W09 âgeayéviopfi’aap Ski 755p r13 triqua napée-al: WiXOWÇ ôeûoywuç. - i Tbeorema 29, Propofitro 3 y. I in circula du: refit: lime: (tr-adinuicem (ecuerintztcfitang-u: 33’ I ’ lam comptehcnfum (ab fefitionibus vnius, :qua cit cl quod (ab le mentis alterius comprehenditur refitangalo. O R O N T I V S.([In data cnim circula azbzczd, bin: refit: lineæazcz8t bzd,(e inuicem (lacent in punfita e. Aie quad refitangalam comprehen(um (ab azez8c ezc, :quum eit comprehenfo (ab bzez81 ezdzrefitangulo. In primis itaq;,vcl vtraque lia i ’ nea rum tranfit pet centrum Circuli,vel vna tantum, aut Prima linea; a «I neutra. Tranfèat primùm vtraque pet centrum e,vtin F5 (4°. mû prima figura.Erunt igitur,per decxmamqumtam diflim- ecatlu po. tioncm primi,aze,ezc, ze,8( czdIinuicem æ uales:nempe eiu(dë circuli (emidiametrtœiodi 1ttar ub azezin ezcz fit refitangulam,:quum cit ei,qua (ab bzez8c ezdzcon- tinetur refitangulo,percotollariam quadragefimæièxtæ firia. .primi . libri: (untenim. I ambo refitangula. U quadrata, &(ub :qualibus refitis c6prehen(a.([Sed i5 airera tantümodô iincatum,vtpote azc,traniëat pet centra,quod fit fifecétql; reliquam bzdzin’eadem Sen-,4, une, punfito e.Secabitigitur azc,1pfarn bzdzm duo :qualia,ve in duo ne :qualia.Secet "î (u radiâæ rimam bifatiam:8c ad tcfitos 1g1tut eam (ecabit angulos,pet terriam huius terri]. "î 41 P°fiti°- Connefitatur ergo refita bzf,per primam poitulatam.Refitâgalum crit itaq; trian. gulum bzezfiÉr queniam refita azczfècatur in :qualia in punfito (,8c in non :qualia in punfito e: quad igitur (ab azczôc ezcz continetut refitangulum,vnà cum quadrato to quad ex czf, :quum cit d,per quintam (ecundi,quod ab fœzfit quadrato.Ei par; . ra quad ab szlfit quadrato, :quum cit id quad ex bzfi pet corollariû quadragefimæièxt: primizæqualis liqui- dcm cit bzfzipfi fzc.Comptehê(urn igitur (ab azcz8tczcz refitangalum vnà cum qua drato quad ex ezfiæquam cit qüadrate quad fit ex bz f. (Enduro autem quad fit ex bzfiæqualia (unt pet quadragcfimamitptimâ primi,qu: si ex bzczôc ezfzdefcribuntur quadrata.Côprehen(um itaq; (ab azez8( ezczrefitangulum,vnà cum quadrato quad fit ex ezfiæquum cit quadratis qu: fiât ex bzezôc czfiAblao to igitur communi quadrato quad ex ezfireliquam (ab azez8c czez comptchcn(um refitâgulum: :quum crit, pet tcrtiam communem (én- tentiâ,tcliquo quad ex bzczde(ctibirur quadrato. Quod autem ex bzez fit quadrato tum,idem cit quad (ab bzc 84 cldzcomprebenfum refitangulumzelt cnim pet hypo thefin bzelipfi ezdzæqaalis.Comprehen(um igitur (ab azezôt ezczrefitangalü, :qua 52"!"de n, cit refitan ula,qaod (ab bzez81 czdzcontinetur. (Quôd fi azczpet (z centrum edu- nearum di(po fita,ip(am zdznon dafitam pet centra (ecaetit inæqualiter: idem non minus (acilë fifi° "mia- concludetur.A data cnim punfito f, in ipiâm bzd, perpendicularis ducatur fzg, pet duodecimam primats: connefitatur (d,per primû poflulatun’rCùm igitur (zgzper centrum edafita,ipiam bzdznan dufitam pet centrum ad refitas diuidat-angalos :81

LIBER ’ 111; ,7- iplâm qaaq; bifatiam dif lèct,per renia huius. Acqualis crit 1g1tar bzgz ipfi gal, 81 triangula (zgzd,atque zgzezrefitangulaÆt quoniam refita azezbifariam (statut in punfito (,81 in nô :qualia in punfito et quad igitur (ab azcz8c czez continetut refitzîo gulum,vnà cum quadrato quad ex ezf, :quum cit ci quad ex fzcz deltribitut qua. dtara, pet quintam (ecundi: Quadrato autem quad ex fze,:qaü cit id quad fit ex fzd: :qualis fiquidem en fzc; ipfi (z d, pet decimâqaintam ipfius primi diffinjtionem, Quadrato rur(um quad ex ez f, :qualia (unt de(eripta ex (zgz8t gz cz quadrata,fpet quadra cfimâlèptimâ dur; dem primiCam tehen am igitur ub azcz81 czczrefitam gulum,vnà cum eièriptis ex fzgz8t gzezqaad ratis::qu1î cit quadrato quad fit ex fzd.Quadtata in(uper quod fic ex (zd,:quaiia (unt qu: ex fzgz8c gzdzfiüt quad rata, pet eandcm quadragcfimamfeptimam primi. ngd igitur (ab azez81 ezczcontinetar refitan lam,vnà cû quadratis qu: ex 53,34 gœæquü en: eis,qu: ex (zgzôtgzdzfiunt qua ratis-Subdufito igitur quad ex fzg,vtri(q; commu ni: reliquum (ab azez8( ezczcamptehcn(um refitangulum,vnà cum quadrato quad ex gzc,:quum cit ci quad ex zdzfir quadrato-Eidem rur(um quad ex gzdzfit quadra to,:quam cit comprehcn am (ab bzez 81 czdz refitangulum, vnâ cum ce uod ex eadcm gzezfit quadrato,per eandcm quintam (ecundndiuidirut cnim bzdzlifæ ria in g,8( in non :qualiain punfito eQJ: autE eidem :qualia (unt, ca (unt:qua» lia adinuicem, pet primam communem (ententiam. Refitangulum itaq;(ub azcz8c czezcôprehen(um,vnà cum quadrato quad ex gIe: :qua cit côprehen(o (ab bzez8t ezdzrefitâguio,vnà cü eadcm quadrato quad fit ex gze.Ablato aurë cômuni quadra to quad ex gzezteliqaü (ab azez8c czczcôprchêiùm refitâgulû,teliqao quad (ab bch 8: ezdzcôtinetur refitanguio,per tcrtiâ cômunê (entériam cit :qualaIINcutra de! mumqfupradifitatü linearü pet cëttum educatut(vt in hac vltima figura) fiat vna natta r21 fècctaliâ pet :qualia,fiue nôzfit’q; rur(um ipfius circuiiccntrü ECônefitatqtigitut gaina ligna: rû di(pafitio. ezfz tefita,per primü poftulatüz8c à centra fiin vttanq; azez 81 bzd,ad refitos deducâo i tut angulos fzgz8r fzh,per dUOdccimâ primi: connefitana turque demü bzfz8(fzc,pcr idem primam poftula tü.Di- aider ergo (zgzipiam azezbifariam,fimiiitet 8c fzhzip(am bzd,per tertiâ huius terrij propofitionemærtîntq; trian» gala fzgzez8t ezfzh,necnon fzgzcz8t (zbzhz tefitanguia. Et quaniâ azczbifa tiâ fècatutin g, &in non :qualia in puna fito e:côprehen(um igitur(ubazez8( ezcz tefitangulû,vna - c cum eo quad ex gzezfit quadrata,:quü cit pet quintam ficundi uadraro quad fit ex gzc.Addaturcômunc quadratü,quad ex fzgzdelttibio tur:quo igitur (ab azez8( ezczcôtinerat refitâgulum,vnà cum quadratis qu: fiant ex fzgz8c gzc,binis quadratis qu: ex fzgz8t zc, pet terriam communem Entëtiam cit a: ualeQaadratis parrô qu: fiant ex âgz8t gze, :quü eitquadratum quad fit K ex ezi1:eis item qu: ex fzgz8r glezfiunt qua tatis,:quü id quo ex fzc, pet quadra. gefimamlëptimam primi. quad igiturfub azez8( czez continetut refitangulam,’vnâ cum quadrato quad fit ex ezf, :qpû cit quadrato quad ex fzeJ fi autem fzczæqua- lis cit (zb,pet circuli difFinitionE: inc pet caroiiatiû quadraglc 1mæièxt: primi de’ itriptû ex (zbzquadrarü,:quum cit ci quad fit ex fchôpte en(um igitur (ab azez 8! czcztefitan lü,vnà cum quadrato quad fit ex ezfiæquü cit quadrato quad fit ex (zb.Et proin e quad (ab bzez8t czdzcôtinetut reéti û,*vnà cü ip(oqcua irato quad fit ex ezfiæquum cit eidem quadrato,quad fit ex fz Qu: autem ci :qualia,8c . . cl].

,88 GEOMET. ÉLÉMENT. adinuicem :qualia (unt,pet primam communem ièntenriam. Comprebeniùm 1g1» rur(ub azcz8t czeztefitangulum,vnà cum quadrato quad fit ex ezfi :quatut refitan» gu10,quad (ab bzezôt czdzconrinetut,ac ipfi quadrato quad fit ex czfiDempta iraq; cômuni quadrato quad ex ezf: reliquum (ab ale! 8c czez comprehen(am refitan lumJeliquo quad (ab bzez81 czdICOnrinetur refitangula, et tertiam comanem en» rentia cit :qualc. Si igitur in circula du: refit: une: e adinuicem (ecuerinr: 811:. vr in theotemate. and demonitrare oportebat. erôeup: A, redonne le. A11 111311713 New 111 npâop invar, a) aux 51m? 0169; flip 1161171011 «Soufflan Mo .îuflâ’aa, (et! Il W 5:07:23p trima fait: 111511301511 dit ëça’nfl’wœu â’sœt 15 tian 8.701s au; 111151116119 (et! aie ana; émîtœpflmvolw’nemâxfû 1’501 «qui! and «il; avertie WW,WXOM011 de» 90761111170111: 76 (and: mît; iqwniîolLQ’zuç q-mpœpwviçi A Tbeorema go, Propofitio 36. I extra circulum (amatur panfitum aliqaod, ab caque in cit: 36 J ;culum cadant du: refit: lime: , 8c eatü airera c1rcalum di(pes ’ (car, airera veto tangat: quad (ab tata di(pc(cente, 86 extrinfecus . (umpta inter punfitum 86 cutuam circunferentiam comprehens ditur refitangulum, :quum cit ci quad fit ex tangente quadrato. O R O N TII V S. ([Élto datas circulas azbz c, extra quem (amatut punfitum de 81 à punfito dzin ip(am circulum cadant bin: refitæline: dzbz8c dzaIc,quatum dlbz tangat ip(am circulum,dzazczvetô eandcm circulum di(pc(catAio quad refitâgulû (ab ezdza dza comptehéfumæquum cit quadra to,quod fit ex dzb. Aat cnim refit: vbidifpefcês .1 linea dzazcztranfit pet ci rcali cenrrü,vel extra.Tran(cat mu!" "fifi: . primo pet centrum,fitq; illude: &œnnefitatur ezbz te» pet centrum. v fita,per primam poitulatum.Aeqaalis cit igitur aze,i fi ezc, pet circuli difl-înitionem. Difcindituritaquc azez i» 1, fariam,in punfito e:8: illi in reétam adijcirur azd. quad igitur (ab czdz in dzaz continetut tefitâgulü,vnà cum ca quad ex azczfit quad rata::quû cit, pet (extam (ecundi, C quadrato quad fit ex ezd. Ei porta quad ex azczlfit qua» . - taro,:quum cit quadrarü quad ex bze: (unt cnim azez 8: ble,per ipfius circuli difiînitioncm, inuicem :quales. Comptcbenfum igitur fi1b czdz 81 dzaztefitangulum,vnà cum ca quad ex bzczfit quadrato: :quum cit quadra» to,quod ex ezd. Quadrato rur(um quad fit ex czd,:qualia (unt,qu: ex dsz8c bzaz vtraque fiant quadrata,per quadragcfimamièptimam primi: angulus cnim qui ad b,pcr decimamofitauam huius tettij, refitus cit. chiadigitur (ab czdz8c dzaz coati» netur refitangulam,vnà cum ce, quad ex bzcz fit quadrato: :quum cit eis,qu: ex dzbz8t bzezfiunt quadratis.Subdufita itaque communi quadrato, quad ex bze: reli» l quum quad (ub’czdzôt dzazcantinerut refitangulum, :quum cit pet tcrtiam cômu- ggajdo circa 11cm (ententiam reiiqao,quad ex tangente dzbzfit quadratalINon extendatur au- lnq’ :13?ch rem dzazcztcfita pet centrü ipfius circuli,quod rur(um fit e. 8131 centre e, in reétam ammîtpfl azc, perpendicularis deducatur ezf, et duodecimam primi: connefitanrürque pet primam poftula tum, eza, clbzôc ez z litre: refit:.-Erit igitur vtetq; angulorum qui ad bz& qui ad (Ircfitus:diaidet1îrquc rur(um azczbiFariam in punfito litai in reétam coniunfita cit azdœnod igitur ex czdzin dzazcontinetur refitangulum, vnà cum ca

quadLIBER ex azfzdefctibirar quadrata::quû’ 111.1 en, pet [hum a, a ipfius (ecundi, quadrato quad fit ex dzf. Addatut com» tanne quadratum,qu fit ex (Incomptehenfiim igitur fi1b ezdza dza! refitanguium,vnà cum de(eripris ex azfz 181 flaqua draris,:quum cit quadratis,qu: ex d If! 81 (lez de(eribuntur. Quadratis porta qu: fiant ex azfz 81 fie, a :quum’eit quadratum quad ex aze:eis item qu: ex dzfz 81 fze,fiant quadratis,:quü id quad ex ip(a dze, pet qua» . dragefimamieprimam primi. de fit igitur ex cz dz in dza,vnà cum eo quad ex aiezfit quadrata::quû cit qua» . dtato,quod fit ex dze. quadrato rur(um quad fitex a le, :quum en id quad ex.-c1b::qnalis.cftenimale,ipfi ezb,per ip(am circuli difFinitio» 11cm. uod igitur (ab ezdza dlazcôtinctur refitan Iam, vnà tumquadrato quad fit ex ez 1 uam cit quadrata,qued fit ex dzc. Ip 1. autem quad ex dzezfit quadra» to: :qualia nt, pet eandcm quadragefimam(qptima’m primi, de(eripta ex erbzar bzdzquadrara.Camptehen(um igitur ex czdzin laxrefitigalumflnà cum qua d taro quad ex czb. uû cit eis,qu: ex eadcm ezb181 ip(a bzdzfiunt quadratis.Ablata itaq: quadratogqh ex ezbzvrtique :qualiam côm’uni:tcliquam exadzin d la Icomprc» henibm t ngulum,reliquo quodex tangente bldlfit dtato, pet terriam com munem (ententiâ cit :qualc. Igitut fi extra circulum umatur punfitü aliquod:8t qu: (equuntur reliqua 041M oitendendum (u(ceperamus. ’ » Coroiiarium. (IOgatlibct igitur refitangula,fi1b refitis fingulis ex eadcm püfito extra circulum (umpta dedufitis,atqac circulum ip(am di(pc(centibus,81 extrinfècuslirmpris inter panfitam 81 curuam circunferenriam comptehcnia:(unt inuicem :qualia . Nam ci» dem :qualia quadrata,qued ex ip(a tangente de(eribirut.

A11 miam MW r11aéeIPN aupâopiufldefi’uà M, FMa: fi and: q me: un 7511 11de Maman; 1Mo in. i I imagier) à la?» 81117511 même 0511 1115117105! J": mafflu; M15 W «il; 871111: «paient, m «il; ème; àmhpbaupim fifi) 1-311 0’11de 119d «il: nuait Maud, loup w; du? 017e Mnfi’âcnfi 12943M756: (0:41am ü 116117111. a, ’ Tbeorema 31, Propofitio 37. 37 I extra circulum (umatut’ punfitum aliquod,81 ab ce punâo feÏËF’ in circulum du: refit: linc: cecidetint,81 carum airera circa; lum (eccr,alrcta vcrb cadat:fir au rem quad fit (ab tata di(pc(ccn: te 81 extrin(ecus (umpta inter punfitum 81 curuam citcunfercn. tiam,:quale ci quod’fit ex cadente:cadens circulum tan get. O R O N T I V S. ([Hæe cit conuetia pt:cedenris.Sit igitur rur(um extra circa lum azbzc,,(u(ceptam punfitum d,à que in eandcm circulum du: procidant line: refitæ,dzbzquidem in circulum incidens,dzazczveta eandcm circulum di(pc(cêszfit autem tcccptum,vr id quod(abczd1in dzalcomptehcnditur refitan alum,:quum fit ci quad ex cadentc dzbzfit quadrato-Aie quad dlbzrangir circula albzc. A da» to cnim punfita d,data circula azbzc,conringens refita linea ducatur, pet decimam» (eprimam huius terrijzfirqfliia dze.Ipfius autem circuli centrum cita E81 pet primü pollulatum connefitantur refit: line: fzb,f’d,81 (ze.Etir igitur (Iczperpendicularis in contingente dze, pet decirnamafitauam huius terri]: 81 proinde an lus dzezfz 11;.

,9 a GEOMET.-ELEMENT. 1.13.111. refitus. Cf: igitur à punfita dzeadanr bin: linc: refit: . dzach81 dze,quarum altera,vrparc dzazc,citculum iëcat, v reliqua veto dzezip(um tangit circulum :quod ligitur ex dzezfit quadratum, :quum cit comptehcnfa ( ezd181 dzaztefitangulo,pcr antecedêrem trigefimamfèxtâ pro» pofitionemÆidem porta quad ex czdzin dzazfit refitan» . gula,:qaum cit» pet h porhcfin,quod ex dzbzfit quadra tamtquzigitutex dz z 81 dIez fiant quadrata, (unt pet - primam communi (ententiam inuicem :qualia.Et pro» inde refita dzb, :qualis ipfi dze, pet catolla tij quad » fimzfèxtæptimiconucrfionê. Acqualis rur(um cit zeI ipiî’fzb,per (:pius tallegaram circuli dilfiiritionemBin: b igitur dzbz81 bzfztrianguli dzbzfiduabus dzez81ezfzrrian» p . ’ le H i ; guli dzezfz(unt :quales airera altcri: habénrque eandcm Enfin communem (DE Angulus itaque dzbzfiipfi angulo-dzezfi-per efitauam primi 1 cit æqœlls1Atqur dzezfzan las cit refitus:81 qui (ab dzbzfzigitur continetur angu» lus, .rcétusefl. à Bit autem zbziëmidiamctcr circuli, 81 airera igitur pars diametti, acarus extremrtate b,ad angulos refilas excitatut bzd:tangir igitur bzdzcitcalum :pfum azbzgpct corollarium decim:(cxt: huius tettifldem quoq; deducetur,vbi . (3’01”66? par centrum ipfius tranfibit circuli. Si extra circulum igitutfumatur punfitu aliquod:81c. vtinip(o thearematc.Quad tandem fuerat oitcndendum.

311.1511111 ,Lib’riÏGeamettic’eram Eiementarumeg FINIS? a-

O ontij Finci J .elphinatisîRe-i GII MATHÉMATICARVM PROFESSO: ris,In Quartum elementarum Eaclidis,Demonittatiancs. j EIKAEIAOI stouts-1011 1111111310111 V 1 -. Ï mali: ËW MÎWWNPMeMe» a Kir": Mômwov évasive iveümppovîméorôïa Rama, 8111111181 et: 4:17. Wapiti allume 76111553415511; margea 1?- ëe aeméçeroa Maïa. (De infrriprioiie a: tirmdfiriptianefigatarum, Difiinitiones 7. i Iguta’tcfitilinea, 111111511111 refitilinea de(cribi dicis Z tar:qaanda vnufqui que inicriptæfigutç angulus, Ï vnumquodque [aras cius inqua de(eribirut régir. hg? (Intime; ôpoiæç 2168i 323*101 WWÉÇCQM 71134112811111 braisa 0516110 " j çà; wmc’popels, tuaient 71011:4”?- wfibi 8 www 52’73"04!» .1 figura autem fimiliœr circa figuram de(cribi dis n citat:quando vnumquadq;latas circan(cript:,vnumquenq; au: - gulum cius citcum , uam de(eribirut tangit. . 0 R 0 N T I V SliHuiulEcmodi figuratum in(ctiprioncs ac circunfctiptiones,de tcgun laribas,hoc cit,:qualia larera,81 angulos inuicê :quales babcnribusCexeeptis fiotfitan trian gaiis,in qu: c:tcr: refoluunrur refitilinc: figut:)veniunt potiiiimùm intelligendæ. In; d q (cribunrar ptzterca,atquc inuicem circunicribuntur refitilincç 11,5 ranriimada fi ut:,qu: eiu(dcm (unr (pccieizvtpote, triangulû in «31111111 81 1 1, triâgulo,quia rarû quadrato, pêtagonü pêragonoz81e. Oportet c’""alc."b?"’ cnim rot ci(clarcta dtcüittiptæ,quot ipfius in(criptç (ant an. a" a une 5 guli. 05anquàm porta circulas non fit figura refitilinea : pro. prerillius ramcn tegulariraremi, poilant 81 ip(æ refitiline: ac :quiiaret: figut:,eireuio in(ctibi ac eircunitribi,81 è diuet(o. p In exêplum igitur prim: ac (ecund: diffinirionis,l1abes abc , iefitum azbzczrriangulum uilatcrum,de(criptû in dzezfzrriam gala:ch ip(am dzezfztriangulumfipfi azbzczttiangulo te pondentet dteunltriptum. «2361p: 1M iueri’ypœprpop ée 11151110!) 17mm 71674701587119 incisa 7min: et immola, p 821131171111 aira? 1161018 «tramage. ,," ., . 3 Figura refit111nea,in circula de(cribi dicitur:quanda vnufquifquc angulus in(criypr:.cirlculi circunfetentiam tangit. I 4 q ÉKÜxÀQ» 1,13.:er 16513610103114 Rire-eaJ’rœp à 15: 111511713 armaient: tués-11e 7.1111121101, .78 W3 71111302411701: 3111137041. Il 1 . - 1 4 Circulus vera,circa figuram refitilineam de(cribi diciturzquanda 11111,:

9, GEOMET. ELBMENT.’ circuii «circunfcrcntia, vnumqucnquc cius. circum qùam defërîg bitur, angulum tangit. figura drmlan’s,ob vniformem a: regulatam drcunferen- tiæ à cëtro diftancîam, manu neas omnes ac reguhres figuras, a mm înm,tü extra Facilè capit: fingulo: angulos înfcriptæ,vel omni: circunfcript: œndngês lacera. Qqêadmodùm in par cedentium tarti: a: quartz diffinitionum duddadonêpflm: b J dit deûriptum in albicldl circula quadratum: vcl idem circa! hurlante a1bædrcircunfcriptus. ’ » - I A méthane «N épela; à; mime Àïflaa êméçtçfiwfiaupi a? nû- , c un Wëeaœ bais»: «imam? ée 8 iméçïïau mqaa. * Circulus autem in figura reâilinea dcfèribi dicitur: qgâdo circa: 5 li circunfcrcntia,vnumquodq; latus cius in qua de(cribitur tâglt. (Exige: «Ire iuüôryfœppep 71m uüzhop 15?!)va kéfiææhî’mp ’uw’m 0161192: 315i; fixé. un mûmeéœo’fl’â dhamma: Êoa’ann’rœc. à Figu ra verô rcâxlinca,c1rca crrculü dcfcribl diciturzquando vnü: 6 q-uodque lams circuufèriBtæ. circuli circunfçrcntiam tangit.

In exemplum, babas circulum albICId, in cjùadrato uFIgIhI - V En Q acièriptum: arque idem quadratum e! f7 g! h, defcriptum cira 1 a a :eundem rhénium wbIcrd. [dem refpondenter vclim intelli- ’ gaz de carrai: quibulèunque regularibus figurian circulo,vd - circa eundzm circulam,pnus diflinita ration: defcrîprîs. b . J Claveau: ée nônMp dœepôttâva firman, 801:9 wifi-69m âne ’ ç «fic, :15? flic www»? fi sedums. H Rcâa Iincaci’rculo congruerc diciturzquan: ’ f c 4 f8 ’ do cius cxtrema,1n circuli Circunfèrcnriam cadunt.

manquàm hœc vltima diffinirio,tam de circuli dimetientil. . bus,quàm de cætçris reflis non et cétrum «mais (qua: v0: cant chordas)lît intelligcndafigias tamçn refus circuli dime! fiente minores potimmùm relpicere videtur,quç fiant videliz (et latere: înlèribendarum infra circulum reflilinearum figura b c rum. Cuiufmodi vidctur en": rec’ta blézcuius extrema,fiue ü! mites bzaz c, in dati circuli albICIcircunfcrcntiam cadunt.

I Fçôbltpœle Trip 41°9in xüuÀop a, a? Femme«flafla; inci; pl pèze" ’ a. 51mg ai; a? mon: prîa’fIKJdŒ iu- Oëœp dœepôa’oa. ’ « Problema r, Propajïtio r. la.y x l.9 N dato circulo,datæ rcâæ linea: minimè maioricirculi i diamctro exiflentiæqualcm rcâam lineam coaptarc. ’ - - O R O N T I V S.lISit data rafla linea a, non maior dimetientc dati circuli blc’dl(non intrant-cnim circulum, fi foret maior: quoniam in circula ma’ ximus cit dimetiens,pcr decima mquintam terni) in quo quidcm circula oporteac ipfi du: refit: une: a, æqmlê reéti [inci empare. Producaturcrgo circuli bzczd,

dimetiës ad .Erit imq; aneâa linea,autLIBER :qualis isafi dimetiêtiauteo IIIII. minotsi’ n:qua 9; coaptata cit refta linea a d,zqualis ipfi tæ reétælineæ a.Qnôd fi azreâa linea,fuerit minot dimetiente czdzfècetur à maiori czd, ipfi a minori arc ualis, pet tertiâ primi:fit’q; üla cle. Et centro c,interua Io autè’ ce, de(cribatur’ circulas bielf, pet tettium poflulatüv Secabit igitur Circulus bzezfidal tum blczùdrmlumfunt cnim in eodem plano,8( vnius circunfercntia partim intra reliquum,partim vcrô en? tra.8ecetigitur in flac b:& pet primum poflulatum, conneftatur refila mCoa tatar itaq; bzcn-efla,in da- to bchdzcirculozcadunt cnim extrema blù c,in ipfius zadu circuli circunfercntii. Aio quôd æqualis efl’ ipfi a.(QJoniam punâum clcentrum cit circuli bœlfiæqualis efl’ igitur blaipfi Cle,pe’r ci rcuii diffinitioncmEidcm porrô me, :qualis eff aneâa linea,per confiruétionemDuæ igitur, avinquàm, 8c blgcidcm cœzfunt :quales: 8: proinde :quales adinuicem,per primam communem fententiâ. Datæi itur rco a: lineæa,æqualis reCta linea bzc,in dato circulo bwdz ooaptatùr. Quodgoportc- bat facere.

le 769 41mm: 1:65:10p,méfiant dloOivrn fi, ifIMIQ, . retienne 10376140.: «lobant: fla. iméw. i . n . Problcma z, Proptyïtio a. 3 IN dato circuio,dato triangulo,æquiangulum triangulum des

O R O N T I V 8.1[Efio datam trian Ium azbzc,cui oportear dei’cribcre :qui- angulumfcribcrc. triangulû,in dato circula dzez .A datoI igitur i punéto g,dato circula dzezfi Confiruâîo contingens recta linea ducatur gIdzh,tangens ip um circulû dœÆin pun&0.d,per 59"- decimamiëptimam tertij.Et ad datam reéhm lineam dzh,danîmq; in ca punflum i - a i, d,dato angulo reâilinco qui ad b,a’qualis angulus te. &ilineus côfiituatur fzdzh,per vigcfimamtertiam pri- . mi:8c pet candem,angulo qui adc,œqualis angulus côo . k a fiituatur ad idem püétum d,dat: refit: lineæ gamay gldæ:ipfis dzezôc dxf, circula dœÆz coaptatisœôneâa’ , v f tut demum ezfz rcâa,per primü poflulatum. Et quoa 03,350 P", niamcirculüldzelf, tangit qu:dam reâa linea gzdxh,à blcmatù. côtaftu autem d, rcâa qu:dam linea dzflextcnditur, circulum di(iaefcësza ngulus igitur qui ad e,in alterno fegçnêto dzclfiangulo fzdzh, ’ et trigcfimamfecun â tertij cil æquaiis.Eidê porrô angulo fidzh,datus en arqua- fis angulus qui ad bzper primam igitur communem Ententiamangulus qui ad b, :quas cit angulo qui ad e.Et proinde angulus qui ad fiipfi angulo qui ad marqua- lis.Reliquus igiturzaugulus qui ad a,reliquo qui ad d,per trigcîimamfecûda m primi cfl æquaIiS.Aequiangulum cit itaq; triangulum dzexf, ipfi axbza trianguloxie- - Eribiuîrque in dard circulo dzezf. In date igitur circula, dato triangula, æquian- gulum triangulum de(cribitur. Quod fedflepportuit.

’ se; «il: 6109M: un’uÀop,wi peôfilnpœ dlooîvrn 715’176va,imc’anop 7, 11960:0; affirmoit fifizyfédoa. 7. V Î i i i ’ Problema 3, Propcrtio 3. 3 a Irca datam circulum,dato triangu o, æquiangulum trian: gulum dcfcribcrc.

,4 GEOMET. ÉLÉMENT. 0 R O N T I V S. IISit datum triangulum azbzgdarus vctô circulas dmf, circa uem expediat deiètibere triangulum æquiangulum ipii azbzczttiangulo dato.Pto» catut itaq; in direéium ex vttaq; patte iatus [3min gals: in punéh,per fecûdum pofiulatûditq; pet primam tertij,ipfius circuli aabxczcêttum k, 8c conneâatut dlkl (emidiametet,pct primü pofiulatumAd punâum deinde k,datæ reâæ linea: (me, ipfi angulo aszgz :qualis angulus conflituatut dzkIe, pet vigefimamtetuam Prie me: pet eandcm,ad idem punétum k,datæ refit: linea: ezk, angulus conftmiatur ex’szzipfi an Io azczhzæ ualis.A punais autem d,e,f, ad tcflos vttinq; exdtêtur angulos dzl, m,czm,emæn,& le,pet vndecimam primi: quæ pet decimamquarta uam eiu(dcm primi,in diteâum confiitucntur, atq; pet cotolla tiam decimæfextæ tertij, tan en: ip(am circulum in puuâis d,e, f, conue- 926.45"? . a nic’ntq; a püâa l,m,n. Connexa cnim dlezpet primi i: "m5"! ’ I pofl’ulatum,diuidet vtrunq; angulum reé’tum qui ad d, c b a: qui ad ezefliciétq; propterea ad eafdcm pattes ver(us - m, interiores angulos mldzel 8c dlczmlbinis rcâis [nia f nores.quate pet quintum poflulatumponuenicnt dIuv a: ezmlin punâum m.Et proinde cava fzn,in punâum marque dzllôtfd, ad punétum LTriangulum crit igitur lrmzn:& circa datum circulum dœlf, pet fèxtam diffini- m tionem huius defctiptum. Dico, q 8c azbtczttiangulo, "ad "il!" ci! æquiangulum.Quadtilatetum cnim dzmaezk,cônexa mzk,in bina triangula dia fifiÎgË’fi; uidetur:8( cuiuflibet triâguli ttcs anguli,binis teâis,pet trigcfimamfccundam pri- :quiîgulum. mi, flint æqualesÆt quatuor igitur anguli ipfius quadrilateti danpÆIUnt æquaa les quatuor reâis.quorum qui ad dza e,te&i funt pet confituétioncmzreliqui igitur qui ad ml &w punch confiiiunt anguli, duobus reâis coæ uantur. Eifdem quoq; duobus te&i5,æqualcs flint pet decimamtertiam primi, az zgz a: azbw an» guli.Acquaies igitur (un: anguli qui ad mm kzpunfla,hoc cit diezôc dzkle,i fis angulis azbthôc aszc,per primam communem fententiamAngqus ortô au zg, angulo d!klc,pcr conflruétionem eft æqualiszrcliquus igitur dtmze, eu qui ad ml au ulus,teliquo qui fui) azbzc,pet tettiam cômunem fententiâ cit æqualis. Haud di militer ofiendemus angulum qui ad n,æqualcm efl’e angulo azczb: atq; reliquiî angulum qui ad l,teliquo qui fub bzawtandê coæquati. Acquiangulum cit igitur lzmxnltriâgulumjpfi date triangulo azbzc : deiètibitûtq; circa datam citculû dzeÆ Cita datum itaq; citculum,dato triangulo, zquiaugulum dcfctiptum en: triangulum.ngd faciendum fuetat. . Îleo’IèMpœ (n, Peôetmc i (fi. l ,1; 75 «mon. agirent: 1:64:10p I, . Problema 4, a LProPofitio 4, N dato triangulo,circulum defctibere. 4 0 O N TI V S. datum triangulum azbzc, in quo oporteat circulum de: fètibete. Secentut ergo bifatiam, pet nonam primi, qui fub azbzcz a melba continentur anguli : refus quidcm lineis bz dz a: dz c, in punâum d, pet quintum pofiulatum, tandem conuenientibus. Erà unâo d,in teâas azb, bzc, 8c cza, petpcn’ n dicuiares dedueitur d!e,d!f,& dtg,pet uodccimam primiAio ira ;primùm, dm, . dtfiôc dzg,fbte inuicem æqualcs.Ttiangula cnim bœzdzôc dÆzb,ha nt duos angu los duobus angulis æquales:vtpote,elbtdzipfi dlb!flper côiituâionê’,8c rectum qui ad c,te&o qui ad f,pet quattum poiiulatumhabent infupet vnumlatus,vni lateri

LIBER. 1111. * 9, a cqualeæômune (cilice: bId,quod fub vno æqualium fini» tenditurangulorumReliqua itaque lateta,teliquis lare. ’ tibus habebunt :qualia alterum altcti, et vigcfimam- (cimam primiAcqualis cit igitur dze,ip 1 dzf.8( proinde e a g dzg,ipii dÆIitidem æqualis.Hinc pet primam communê a - I fententiam,dzexatque dlgimiœm :quales etunt.Tres c igitur dxc,dlf,atque dxg,æqualcs funt adinuicem.Centro I’ ’ - igitur d, interuallo autem dze,aut dzf, aut dlg, Circulus deiEribatut clflg,per tettium -pofl’ulatum.Tranfibit ergo circulus ipfe,pet eadcm punéta c,figttange’ntque propterea cundem circulum eÆzg,ipfa a1b,bzc,8(aa,dari - ’ azbzcxttia nguli latera, pet decimæfextæ tertij corollarium:cxcitantut cnim ad tec &os an ulos,ab iplbtum dimetientium dze,drf,& dlg,cxtremitatibus.Circulus au» tem in gura teftilinca de(cribi dicitunquando circuli circunferentia, vnumquoda que latus cius in qua defcribiturmngit,pet quintam huius quarti diflinitionê. In data itaque triangule azbzc, circulas deictibitut ezfngiod oportuit fedfle. PgôfiaMpæ t, 11369th g. se): 75 d’oeil: urinant: uu’uÀop mixésloa. Problema y; Propofitio 5. I Itca datum triangulum,circulum de(cribcte. 0 R Q N T I V S.I[Sit triangulum azbzcz circa quod tcccptum fit de(cribere cit; culumScccntur itaq;bifatiam,pet decimam primi,axly8( bau ipfius dati trian li latcta:in punâis quidcm dzôc c.Ab ipfis deinde punéris dza e,ad reâos excitetur angulos dzfzac ezfipet vndecimâ ipfius primiAio primum,rc&as dzfz 8c elflin di. Generali: in gut: prcpu rectum produftas,tandem conuenite. Cônexa cnim reCta d’e,pcr primum potine ratio; lacum:ca diuidet vttunquc rcftü angulum bIdlfzôc b’eÆSK proinde in redus M’a: ezfireéta incidês dze:cfficietlad cafdem partes interiores angulos,duobus reétis mi nores.Conucnicnt igitur ip(æ d I9 8c esz pet quintü po» finlatumxonueniant itaque,ad punâum EAutigirur f! punâum cadet Entra triangulum au bIc,aut (upet latus azc, vcl extra ip(am aIszI triangulum . Cadat primùm Prima fi r: diffamé: intta triangulü,vclut in prima figuræ difpolïtionezôc con r ncéhntur,pct primum poflulatumfia, Plus: Palme: I reâæ.Cùm igitur azd,fit :qualis ipfi dIb,i& vtriq; com» munis dl fierun.t duo latera azdza: dz f! trianguli azdIf, duobus lateribus fzdza dzblttianguli fzd1bl æqualia al- tetü alterizôl æquos inuicë continent angulos,pet quattum pofiulatumzncmpe re- &os,qui circa d.Bafis igitur alfibafi fIb,per quartam primi cil: æqualis.Haud diffi. militerofie’dctur,quôd flc,cidem f7blæqualis citât proinde fla,æqualis ipfi fzc,per primam communem fententiam.Ttes igitur f!a,fsz,8c ftc,funt inuicem :quales. Centre itaq; fiinteruallo autem 93,ch ftb,aut flccirculus de(cribatut a ’lvczg, pet tettium pofiulatum.Ttanfibit igitur defètiptus ip(e Circulus, pet punâa a, b, c,ad quæ dati trianguliazbzclcontinenmt anguliztangerquc propterea ipfius circuli Cil” amfcrcnria,vnumquenque angulum da ri azbtcztrianguliÆrgo pet quartam huius quatti diifinitionem,citca datum triangulum azblc, Circulus difcribiturlIConcur’ Secunda fin tant autem ipfæ reâæ lincæ dei-Æ ezfifupct la tus aIc,vt in fiicccdenti figurants: con» Il aimerais. neâatur Db,pcr primum pofiulatum.Haud diifimilitct ofiendemus, quôd fla ipfi flbzefl æqualismecnon 8: fzc,cidcm fzb,pct eandcm quattam primi-Hinc rur(um,

se r GEBMET. ÉLÉMENT. i 5 iuxta przmiifam demonfirationem, eolligemus ttes te- - êtas lineas fza,fzb,8( fzc,fote inuicem æqualeaQçapto’ ptet fi centra flintetualloautem fza,vel fzb,aut flc,citcu . lus pet tertiû defcribaturpofiulatüzis pet punâa a,b’c’ a ç tranfite oogetuerfius itaque circuli citcunfercntia?tan- et vnumquenque angulum ipfius a! b1 a triangule-de. ctibetürque propterea eirculus ip(e , circa datum trian. gulum az zc,pet eandcm quarta uius quatti llbfl drift l nitionemIISed conueniant demum ip(a dlflôc ezflpet» Ted! figure pendiculates,extra datum azbtcztriangulumwt habet vltima de criptionis formu- dlq’dm” la: 8c conneâantut rur(um Üa,fzb,8c fzcdineæ tectæ,pet primum poitulatumSimi li prorfus concludemus olienfione,ttes «au lineas fza,f!b,& fIc,fore rur(um in. uicem æqualcs.habent cnim triangula axdlfzàéfzdlb,duo lacera aldlôt dÆ, duobus lateribus fzdzôt dzbmqualia alterum alteri:& æquos angulos,vtpote rectos qui cir- . L ca d!contincntia.vndc pet quarta ipfius primi, bafisazf, bafi fzb,concludetur :qualis. Et proinde fic, æqualis eidem flb.Hinc pet primam communem (ententiam fla, a c ipfi ftczæquabitunttes quoque fla,fzb,8( fic,tandcm con uincentur :quales. Ogaptoptct deièripto, pet tettium f poliulatum,pro centra f,ad ipfius fza,vel 9b, aut Pain- tetuallum circula :ttanfibit ipfius circuli citcunfctentia, g pet eadcm punch a,b,c,ad qua: dati trianguli azbœzoona . ueniüt lateta.Hinc pet quartam huius quatti diifinitioncm,dCÊrlptus crit idem circulus,citca datum alb’ctttiangulum.Quod faaendum

fufcepetamus.(En: his,8( tri efimaprima tettij t fitCorollarium. manifeflurp,qu bd dùmqftcenttum circuli cadit intra datam aîœzttiangulumrangulus qui ad bzrefto minet cfl, nempe in (egme- to femicitculo maiori confiflençDùm autem cadit in latus bzc: angulus ipfc quiad b,in fcmicitculo efi,& proinde teâus. Œâdo veto centrû ipfum cadit extra dattî triangulu’mtidcm angulus quiad bneâo maiorcii, vtpotc in fegmento femicitcu- lominori côfiitutus. Hinc veria vice fequitut, quôd in oxygonijs triâgulis circui- fcrflaendi circuli centrii cadit intta datum triangulum: in teâangulis veto,in medi nm (ubtenfi iateriszin amblygonijs deniq; triâgulis,extta ipfum triangulü datum. c reôfiakupœ s, P369201; s. le ttin: moine: m’mÀop flago’eywvop éminça. ’ - - Problcma 6, . Propofitio 6 N dato citculo,quadratum de(cribete. 0 R O N T I V S. [Il-2&0 datus Circulus albzczd,euius centtü ezin quo quidcm cita L culo o orteat deièribete quadratum. Coaptcntur igitur ipfi a! tudzcitculo,dimeticntcs azCIôt bzd,ad teâos ana gulos fefe inuicem ditimentcs: 8: coniunganturavb, lue, ctd,& d’allincæ reâæ,pet primü poiiulatum. Qtiadtilao e tetû etitigitut aIbzczd: &intta datum circulum,Pcr ter» tiâ huius quarti difiinitionê delctiptumzvnufquqwnim angulus infcripti quadrilateri,citculi citcunfetê’tiam tana Potîmnaîëa git. Aio iplûm azbzczw quadrilaterum, fore quadratum. FËËWW d Nam e!a,ezb,elc,& cIdzlineæ refit, (un: pet circuli diflia nitionêinuicê æquales:ex centra cnim in citcunfetentii.

Binæ igitur aIeÆc ezbmianguliLIBER azetb,duabus bIeI8t ezclttianguli un. lame 9-,-marquant: 8c :quas inuicê continent angulos,nëpe teâos qui ad centtii e.Bafis igitur alb,baiî bzc,pet quarta primi cit æqualislît proinde a! t8: dratum inuicE,tum vtriq; ip(à. rü azbzôt bze,aflendentur :qualcs.Aequilatetum cit itaq; azbmdl quadrilatcrum. Infuper,quoniam azc,dimetiens cit ip lus dati circulitvterque pro terea angulorû qui ad bl8( qui ad d,eft in fèmicircula,8c proinde teâus, pet trige imamprimâ (et. tij.Et pet eandcm,qui ad ara cÆunt anguli,itidem teâi:dzimetiens cnim cit bzd.Re angulum cit igitur i pfiim azbœzdlquadtilatetumPatuit quad a: æquilatcrû’ : et. go quadra tü,pet trigefima ipfius primi diii’initionê- In data igitur circula azbzczd, quadratum de(cribiturxluod facete oportebat. remange 2, redorai; a. 5.3i Tôp diminua uüuÀop,7t’?&7wvop Problema 7, Propo m’a 7. 7 Cires: datam citculum,quadratum cfcribere. O R O N T I V SJISit datas circulus azbzczdæitca quem tcccptum litquadtattî dei’cribete.Coextendantut ergo ipfius daticitculi dimetientes vos: bzd,in centra e! ad mâtas ("de dirimentes angulos. Et pet ipfotum dimetientium extrema puna êta a,b,c,d,patallelæ ducitur,pet trigefimamptimam primiÆgzquidem a hzkzipiî btd,lemutem 8c gzlvipfi arc,ad panifia tandem flg,h,k,inuiae’(veluti cum ipfis dimetientibus)coucutrentes.(ç1æ autem eidem tette: lineæ parallelæ:&adinuicem, pet trigeiimami (ius primi, un: parallelæ.Parallela efi igitur flgÀpfi hzk, 8c MU i fi glh: 8c tain e quadrilatetum ftglhtktpatallelogrammum, atq; fingulain coo dem Ogllv lcôptehenfa quadrilateta itidê parallelogrâma. Dico ip(am flgzlyk) Q5134 «Un! la parallcldîtammumfote quadratum:deictiptümq;circa 8 L datum at zczdz citculum.Patallelogtammorü enimvlo- quadratum, eorum latera quæ ex oppofito,æqualia funtadinuicem, et trigefimamquattâ primi. æqualis en i itur f7 t ipfi

C I E49 a: levi fi gIhznecnon vtraque ftglôt du ip lbld, vtraque tu nm fana: glhnpfi alezæqualisPorto azczôt bzd,æquales funt adinuicemmcmpe eiu(dcm circuli dia metiêtes.Quæ autem :qualibus :qualia funt, ea quoq; f k flint inuicem æqualia,fpet primam communem renter» l tiam.03atuor igitur xg,gzh, Mas: kzfifùnt’adinuicetn :quales: 8: proinde fIglhzkzparallelogtammuc . m,æquilaterum.. q Parallelogtammo. tum rur(um azb, bzc, etd,8( dza, qui ex oppofito funt anguli,æquales (un: adinuio ccm,pet eandcm trigefimamquartam primi:æquales funt igitur fin li qui ad pria ôta fig,h,k, funt anguli, fingulis qui ad Cl centrum ex oppofito con xfluntan lis. Anguli porto qui circa e,pet cofltué’tionê teâi filmât reéti igitur (unt,qui a puna fla fig,h,k, continentut.Re&angulum cit itaque fzgthzklpatallelogtâmum. Patuit quad 8c zquilaterumæii igitur quadratum, pet trigefimam iplius primi diflinitio- uem. Aio demum,quod 8c circa datum circulumabeczdzdelctibitut-In parallcla! (ZEN let"!!! cnim fIgIôc bzd,re&a incidens axe, facit alternas angulos axerbzôt aazfifimilitet a: aleldlatque eIatg,inuicem :quales, pet vigefimamnonam primi. Atqui reéti (un: battu. qui fub ambla aleld, pet confiruâionem: 8 vtetque igitur qui citca a, reflus cil- Haud aliter ofiendemus,quèd & teliqui circa punâa b,adzcôfifientes anguli,re&i funt.Quæ autem à circuli dimetienrium extremitatibus,ad rectos ducuntur anguo . los :ipfum circulum tangunt, pet decimæfextæ tettij corollarium. Tangit- igitur 4 tr

98 GEOMET. ÉLÉMENT. vnumquodque latus i pfius quadrati fzgzhzk , citcunfetentiam dati ubzczdl circuli: Ëgimt pet ièxtam huius uatti diffinitionê,citca datum circulum vblczd,quadtatu efcribitur fzgahzkfiëiod faciendum tecepetamus.

le i0 &in 11?oêyavop,uüu7xop1136wa u, Femme u. I Problcma 8, Propo m’a 8. , N data quadrato,circulum de cribere. ’ 8 O R O N T I V S.l[In quadrato cnim azbtczd, circulum deictibetcfit operepte en", Mai, dumSecetur itaque bifariam vttunq;latus albzac bzc,in punais quidcm-cm fipet bêdicirquliiu decimam primiæquales crût igitur ave,ezb,bxf,& fzczadinuicem, et feptimâ com» "flâna munem fententiâmcmpe æqualium latctum arbzôc’ bzczdimidiæ. et trigefimâprio mam turfum eiu(dcm rimi,per punétü e,ipfis azdzôt bchpatallela ducatur ez . et ftautem unâum, i lS arbz 8c Cldl parallcla fzh, fecans eandcm czgzin pun o k. Paralle ogramma ont igitur atfifzd, dze,8t ezc: necnon eÆ, fig, glh,8( hmPataL lelogrammorum autem locorum latera quæ ex oppafi- 5 1 c to, 8c anguli,æqualia funt adinuicem: pet trigefimam- qua tram ipfius primi. Parallelogtammi igitur dl e, an- X gulus qui ad e, :qualis cit oppofito qui ad d:ipfius item ezczpatallelogtammi angulus qui ad e, oppofito quiad e v - (viridem æqualis.qui autem ad czaz dzconiiflunt anguli, k . reâifunt, pet quadrati diifinitianem. Rcâus cit igitur vtetque angulus,qui circa punâum e.Haud diliimilitet oflcndetur, quad vtetque angulus, qui circa fiant , vcl a h d lupunâum,re&us cit. Acqualis in(uper cit hzb,ip [azc, a lui? ipfi ezb: item bu ipfi be, &lvgtdemum i pli fic. Atqui ale, er, bl fiat f7c,lùnt :quales adinuicem: quæ autë :qualibus funt arqualia, &adinuicem æqualia funt, pet primamcommunem fententialeatuOt igi- Abmuh-o a, tur klc,ldf, kIg,& kth,æquales unt adinuicemCentto ergo k,intetuallo autê me, blanatis. vcl kxfiaut kzg,feu klh,circulus pet tettiü deièribatut pafiulatû ezfzgzh. Tranfibit igitur ipfius circuli circunfetentia,pet eadcm punîta e,f,g,h,ipforü e! gl8t fihldime ticntium extremitates: cum quibus dimetiêtibus,ipfius axbzcquuadrati lateta,ad rectos (vt præolicnfum cil: ) conueniunt angulos. Tangit ergo circuli ezfzgzlvcito cunfetentia,vnüquodq;latus eiu(dcm quadrati azbzczd,pet decimzicxtæ tertij cm tollarium . Hinc pet quintam huius quarti dilfinitianê, in data quadrato atbzud, circulas dcictibitut ezfiglh. Œod faciendum fuetat.

I l sav àPeôflaNqu: mon. flfiéwaOp,ltl)lltÀôp O, maman o. Problemq 9, l Propofitio 9. p Irca datum quadratum,citculum de(cribere. 9 O R O N T I V S. ([Efla quadratum arbzcxd,citœ quad opotteat deiènbete cit- Vtciçcunrcrj; culamOonneâantur igitutarctôc bzdtteâæ lineæ, pet primü poliulatum, in pun- hmm "Wh &oeÆefeinuicem ditimentes.E thuaniâ pet quadratidiifinitionem,æ1ualis cit me avbtipfi blc, 8c bldIth’lquc communis : bina: igitur azbz8t bzdltrianguli at "Il, duabus dzblat b!cr trianguli dtbzcx (ont æquales altera alternat baiis azd,bafi dzczitidê :qualis . A ngulus igitutalbzd, angulo dIbIc,pet oâauam primi cil: :qualis. Totus itaq; angulus azbrc, bifariam diuiditut fub recta bal. Haud aliter monflrabimus

r.:LIBramrlu.» quad vnufquifq; reliquorum an lotum uifub 9, bzaz d, , bzczd,8c azdze,bifariam itidcm (u ip(a bz , 8c azcz reéta la C diuiditunAngulus porto azbzc, angulo bzazd,pet quat. » tutu poiiulatum cil: æqualis: nempe retins teflo. Que autem æqualium (une dimidium , :qualia funt adinuia . cem, pet ièptimam communem fententiam . Acqualis Il self igitur angulus az bz e, angulo ez az b :&proinde la: I a A - J tus cza,latcti ez b, æ uale,.per (hum primi. Eadem » . f g pratfus modo ofien emus,ezcz 8c ez dz refus, tum ad- . l v I p . - inuicem , tum i lis cz az a ez bz mais lineis coæquari. . Quatuor igitur eza,ezb,ezc58c ezd,æquales unt adinuicem.Cëtro igitur e;interualæ Oficnfio (ne: la autem eza, Ve] ezb,aut ezc, vcl czd, circulas defcribatut,pct tettium poflulatum, "9m ("Ù Tranribitergo defcriptus circulas pet punâa une» d :qua torturât ipfius’ circuli °" ’ circunferêtia tan tvnûqucnq;angulum ipfius quadrati az zczd. L Per qua t’tâ igiè: tut huius. quatti .ffinitioncmzcirca datum quadratum azbzczd,circl,ilus de(eribirut; Quad oportuit fccilie. A. v . l . ; 129mAht méfiance: cri-yaourt 005W , ixop 4, bwrigœp 113606014 4P; 7E9: ’15 bien nourrain r. amadou - L m7; ’ Problcma ra, Propgfitio 10. V - 7 1o .SofcelesMunie. triangulum côliituere, . habens. m vnumquenque .. . eoruml . Iqui ad bafin funt angulorum,duplum teliqui. l I a i ’ i0 R 0 N Tl V S.([Hoc quæfitum,ad fuccedentiü propofitionum demoniita’tioi v ncm,ita confirmatunSit data recta quædam linea azb:quæ pervndeciniam (ecundi Confit-nain ira fecetur in punéto c,vt comptehenfum fub tata azbz ôtiegmcnto bz cz reétangu- 53m” ; î lum,zquum fit ci quad ex reliqua (cgmento aiczfit quadrataEt centra azinrerual. la autë a7b,circulus defctibatur bzdze,per tettium poiiulatumÆt palpant huius quarti, in circula bzdze, da tæ reâæ linea: az cz (qua: non eii maior ip rus effeuilla; midiametto)æqualis recta linea coaptetu t:fit’q; bzd. canneâitiîtq; azdza gaminez reétæ,pcr primum aliulatum.Triangulum crit igitur azbzd,atq; ifoicelesæ ualis . cit cnim azbzipfi az ,per quindecimam dilfinitionem primi. Dico quad vnu quirqs’ étrenna pro. angularum quiad bafin bzd,duplus efl teliqui anguli qui ada.Circa cnim triangu- bkmtïs- » ; lum azczd,per quintam huius quarti,defctibatut Circulus azczdzf. Et quoniam et confiruâionem,quod (ubazbzêc bzczcôtinetut reâangulum,zquum efl ei quo ex czazfit quadrato:8c ipfi ezazda ta cit æqualis bzd, ab :qualibus autem teâis æqualia b de(cribü tut quadrata, pet corollatiü quadragefimæfex,» tæ primiCôprehenfum igitur fub azbzô: szzrcétangui- ’ lum, :quum efi ci, quad ex bzdzfit quadrato. Arqui bz punâü extra circulum azczdzfzfufcipitur, ab cd ; in cit: culum geminæ irocidunt linea recta: azbzôc bzd, quatü . . l. z alteta vtpotc az zcitculum’ fetagaltera veto bzdz cadit, . i l i elf’qslfub tata dilpefcëte 8c extrinfecus fumpta bzczcom’ pre en(um reflangulüfiquale ei quad ex endente bzdz fit quadratoCadcns igitur bzd,tangit pet vltimam ter; tif circulum azczdzf, in pûfto dzvttiq; circula communi. ’ a . - Rurfum r jnoniâ bzdzteâa tangit circulü azczdzf,8( à c6- ita&u dzextëditut recta quædâ linea dzezcirculum difpefcens: angulus igitur bzdze, angulo czazd,(qui in alterna confiait &gmento) pet trigciimâ fecundam tettij, cit i I i " " ’ ’ Mi.

prao GEOMET. ÉLÉMENT. :qualis.miôdfi,vttique :qualium angulotum addatur camunis angulus azdzcztotus angulus azdzb, duobus qui fub’czazdzôtazdzczfunt angulis,etit pet fecundam com- . munem fentè’tiam æqualisJîifdem potto q ui fub czazdz a: azdzczcôtinentur angulis, exterior angulus bzczd, pst trigefimamiëcüdam primi aozquatunPer primi i itur communem (Ententiâ, angulus azdzb,angulo bzcz cit * i2qualis.Angqu rur(um azdzb,æquus ci! angulus czbzd, aut(fi velis) azbzd,per quintâ primifunt cnim ad bafin . t bzdzifafcelis ttiâguli azbzd.Duo itaque anguli bzczdz a: j " - v ’ l - V " ’czbzd,eidem angulo azdzbzfiintæquales:&-æ uales to» . Ë. pictea’adinuicè’,per primi CommunËIEntentiâ.Hinclatus czdzlateribz , et exti ipfius primi couquaturJEdeidem bzd,æqualis en pet confituétionem azc. in: tut azczat czd,eidem bzdzfunt æqualeszôc æquales itaq; rur(um adinuicê,per eadcm primam cômunem (ententiam; Angulus igitur azdzc,angulo czazd,pet candi? quintam primi cil æqualis:8( vtetq; propterea dimidius ipfius anguli azdzb,nâ angulus azdzbzcifdem angulis azdICzôchazdzæqualis iam ofienfus cil. Duplus eft igitur angulus azdzb,ipfius anguli qui ad a. Eidem porto angulo azdzb, :qualis rur(um cit azbzd:quæ autem :qualia funt,eiufdem flint duplicia,pet fextæ communis Enten- t ria: conuctfionem. Et azbzdzitaq; angulus, eiu(dcm anguli qui ad azduplus itidcm. eii. Ifofceles ergo triangulum coni’tituitut albzd,habens vnumquenq; eorum qui ad bafin bzdzfunt angulorum duplum reliquiquod facere oportebat, I ,

’ . . ’ le trépanaient:. ,, reétam: KÛKÂOP, mmÉWIopîaôaMbeépfl m, renieroit wiœyéuoy ëméw; m- ,. .. Q: V, z” .l Prablcma n, Propofitia in.” l il A . N data circulo,pentagonum æquilateturn &plæquiang’ulum de: Il

o .R(fériberen O N T I V SlIEfio datas ’Circulus u :azbzczdze,in . a . qua tcccptum fit de(cribete Gamin pentagonum æquilaterum &çlæquiangulum, Conflituatur pet antecedentem deci fmïwqdlrm main propofitionem, triangulum fzgzh: cuius vnufquifq; eorum qui ad bafin gzhz hmm flint angu arum, duplus fit reliquianguli qui ad f. Et pet (ecundam huius quatti, in datocir’culo azbzczdze,dato I triangula fzgzh,æquiangulum triangulum deicriba- tut amura; angulus qui-ad c,angulo qui ad fzzqualis.Cùm igiturvtcrq;an la. tum qui ad bafin gzh,duplus fit teliqui qui ad fi crit 8c vter ne eorum qui ad afin aze,teliqui.anguli qui ad ciitidem duplus.Secctur itaque bi?atiam,pet nonam primi,vte rqà angulotum qui fub cza zezôc azezc,ptodu&is in citcunferétiam azdza: ezbz reétis:& connectantut azb,b’zc,czd,& dzezlineæ reâz,per primam pofiulatum.Pen’- taganum cfi itaq; azbzczdzeltcflilincumzôc in data citculo,per tertiam huius quaro udd inti-ri. I . . ri diifinitionem de(criptum. CIAio primùm, q: 8c æquio :5tupenra fit æquâaa a. k latcrû.Nam angulus qui fub azcze, dimidius cit vtriul’q; texan. . æqualium angulorum qui fub czazez 8c azezc. (cd anguli - ’czazdzôt dzazc, ipfius czaze : anguli item azezbz 8c bzezc, . ipfius azezcz’funt dimidium,fe&i cnim flint bifariâ czazez 4 a: azezczangulirQiæ autem ciufdem,vel æqualium fiant ’ dimidium,zqualia flint adinuicê,pet (eptimam comma

5*W uem fententiam.Quinq; igituta li azcze,azezb,bzezc, 4 czazd,8( dzaze, ad circüfetentiâ ip tus circuli aonfiiiêtes,

faut adinuicê cqualean eadcmLIBER porta circula æquales anguli,in un.æqualibus cireur» m fetêtijs (ubtenduntumtfi ad centrum, etfi ad citcunferentiam deduâi fueri nt pet vigefimamfextam ternj.Q1inq;etgo citcunferêtiæ alb,bzc,czd,dzc,&r c,3,æqu’alcs [une adinuicem - In eadcm rur(um circula, fub :qualibus circunfetentijs æq uales reftælineæ fubtenduntur,pet vigefimamnonam ipfius territ. Acquales itaq; inui. cem funt ptæfatas citcunfctentias fubtendentes litiez rufians: promde albzcrdzcz pentagonum æquilatetum. ([Dioo tandem 9 8: æquiangulum.Qmm’am circunfc Qôd idë pê rentia azb,citcunferentiæ czdzel’t æqualis :fi vttiq; æqualium addatur camunis m. ragonum fi: æquiangulû. cunfetentia azezd,refultabunt azczdzczô: bzazezdzcitcunfctentiæ,pcr (ecundam c6; munem Ententiam inuicem æquales.Sub ipfa porto circunfetentia azeïd ’c, dada. citut angulus azbzc’:fub ip(a autem bzazezd,angulus bzczd,8: vte rq; ad ci tcunfcruno tiam eiu(dcm circuli. Acqualis cil igitutangulus azbzc, angulo bz cz d: fub æquaJ ’. bus cnim circunfetentijs :quales deducunturanguli, in codcm potiffimü guano. etfi ad centrum etiî ad citcunferentiam fuerint deduéti , pet vi efimamfeptlmarr; tettij. Haud diflîmiliter ofiendemus , reliques angulos qui (hg czdze, a dzeza’ 8c . ezazb,tum inuicem,tum vnicuiq; ip(atum azbzczô: bzczdz coæquari. Acqmangulum r cit igiturazbzczdze,pentagonü.paruit q; &æquilatctum. In data itaq; citculo,pen taganû æquilatetü a: æquiangulum de(cripfimus.Quod fadendum tecepetamus.

’ se),P436151» ftp 0066m: nduhopflràaüymopiaüræàâbgôp Il?» même 11 trad imdvlop :5. fifiljfœ’ælaœt. . 5 ; Problema n, ’Prapofitio 12.. Irca datum circ’ulum,pentagonum æquilatetum 8: æquians 12

0 R O Ngulum T I VS; ([Sit rur(um de(cribcre. datus Circulus azbz cz dz e,’cuius .centrum I .f: circa qUem oporteat de(cribere pétagonum zquilatetum 8: æquiangulum. Defcribat -tur in primis in ip(a circula dato,pentag0nü æquilatctû ô: æquiâgulum azbzczdze, Pentagoni p4 pet antecedentem vndecimam propoiîtionem:8: côncâantur fza,fzb,fzc,fzd,8: fzez pofiti cire un! feriptio. cmidiametri,pet primam pofiulatum.A punais autem a,b,c,d,e,ad te&os vtrinq; fulcitëtur angulos azg,azh,bzh,bzk,czk,czl,dzl,dzm,czmz8: ezg,pct vndecimam pti» mi.ln direâum igitur œnflimenmr gzazh,hzbzk,kzczl,lzdIm,ô: m’elg, pet decrmâ- quattam eiu(dcm primi: tan éntq; crtculum datam, pet decimafextæ tertij corol» larium,in punais quidcm a,b,c,d,e.Conuenientin(uper ad panifia g,h,k,l,m. Re- êta cnim alb,incidês in gzhzat hzkzreâas,diuidit vttunq; angulum reétum qui fub fzazhzô: hzbzf, efficitque propterea interiores a: in eadcm patte angulos azbzhzô: bzazbzduobus mais minoresmeceflùm cit igitut,re6tas gzhz8: hzkzin infinitû prao duCtas,tandem concuttete ad partes h, pet quintum pofiulatum. Haud diiiimili- i l " ter oliendemus,quôd hzkzô: kzlz conuenient ad puna-û k,atq; kzlz8: lzmzad punétum l, necnonlzmzô: ngz ad punétumsm:ngztandem 8: gzhzad punôtü g.Pentago nü cit igitur gzhzkzlzm:8: circa datü circulû azbzczd,per (extâ huius quarti diflinitionê,dclètiptû.I[Aio iam q; 8: Qdd circun æquilatcrüCôiuhgâtur cnim fzg,fzh,8: fzkzreêtæ linea, faiptum peu ragonum fit cl pet primü poliulattîReCtâgula igiictût azfzhzô: hzfzbz :quilatetü. ’ trian ula.vnde pet quadragcfimâfeptimâ primiquæ ab 8 m ipfis aux azh Ivttaq; fiât qua drata,zqualia funt ei quad . ’ e , . ’ v ex Plus: pet câdê,quæ ex fzbz&bzh,eidê quod ex fzhzfit quadrato :qualia. Q9: igitur ex fzaz 8: azhzfiüt quadtara,eis qu: ex fzbzdîbzhzfiüt 1.1l].

.roz GEOMET. EL’EMENT. quadratis, funt primam communem (ententiam :qualia: quorum id quad ex fia,ei quad ex fzbfdfiaquale, pet corollatiü quadragefimæfextæ primimam fza,ipiî fzbzælqualis efi,pet circuli difiînitionemReliquum igitur quad ex azbz fit quadra» tutu, reliqua quad ex hzbzpet tettiatn cômunem fententiam eil’ æquale: 8: tomde azh,ipfi hzb,pet idem :quatut corollarium.Similiter ofiendetut q: azgz ip 1 gze, 8: bzkzipfi kzczeii æ ualis:8:confequentetita de cæteris. Rurfum quoniam azfzipfi fzbzeft æqualis,8: zhzvtrique c6munis:duo i itur la tera azfz8: fzhz trianguli azfzh, duabas hzfz8: fzbzttianguli hzfzb, funt :qua ia alterum .alteri:bafis quoq; azh,baiî hzbzæqualis.Angulus igitur azfzh, an la hzfzbzæqualis cit, pet oftauam primi: 8: vtetque proinde,ipfius anguliazfzbz imidius. Eadem modo colligemus,angulum az’fzgzdimidiû fore ipfius anguli azfze. Atqui anguli azfzbz8: azfze, :quales funt ado inuicem,per vigefimamfeptimam tettij: nempe ad centrum f, (ab citcunfetentijs rizbz8: azezinuicem :quali us deduâi.Q1æ autem zqualium funt dimidium,æqua lia funt adinuicem,petfeptimam communem fententiamAequalis cit igitur angu lus azfzg, angulo az fz h: 8: recrus fzazg, reéto flazh, pet qua tram poiiulatum æqualis.Triangula igitur azfzgz8: c azfzh,habent duos angulos duobus angulis æquales alte [ rum alterivntîmq; latas azfzvttiq; cômune,quodæ uis adiacet angulis : reliqua igitur latera, reliquis lateri us z ualia, 8: reliquum anguli reliqua angulo :quali hao a bdlaunt,petvigefimamlextam primi.A ualis cit igitur azgzipfi azh,8: tata confèquentet gzhz ip ius az hz dupla: A necnon angulus az zf,angulofzhzazæqualis.Haud aWaaliter . oflendemus quad zlt,dupla cit ipfius bzh.Potto azhz8: h’b,æqualcs præofienfæ limt:quæ autem æqualium duplicia funt, adinuicem fùnt aqulalia,l)cr (imam cômunem lèntentia. Acqualis efi igitur gzhzipli hzk. Similitet quoq;clemonfitab1tut,quôd cætera iplius entagani latera,vtpote kzl,lzm,8: ng, . n , mm ÎUUÎCCmMm vttique ipfâtum gzhz8: zszunt :qualia. Acquilatetû cit igitur 31:3, La: gzhzkzlzmz pentagonum. (IDiao tandem quad 8: æquiangulum . Quoniam cnim engonum lit :qualis en 1’h’lPfi 11’188! hIfzvtriq; cômunis:binæ igitur azhz8: hzfzttiâguli azhzf, "quintidi- duabus fzhl8: hzbzttiâguli fzhzb,funt :quales altera alteri:bafis quoq; azfibafi fzbz :qualis,pet diffinitionem circuliAngulus igitur azhzf,angulo fzhzb,pcr oflauâ pri mi cit æqualisTotus itaq; angulus azhzb,ipfius azhzfzduplus eii.Haud aliter mon- iirabitut,quôd angulus azgzfiangulo flgzezitidem coæquatur: totrîquazgze,duplus cf! xplius azngÎAnguli porta azngz8: azhzflæqualcs nunc aftenfi (un: :iquæ autem æqualxum duplicia funt,adinuicem (un: æqualia,per fextam commune (ententiam, Acqualls cit igitur angulus azgze,angulo azhzb.Similitet oitendemus,quad teliqui anguli qur fub bzklcfit c:lld,atq; dzmze,tum inuicem, tum vttique ipfomm azgzez 8: azhzbzrel’pondcntet coæquantunA equiangulum canaque gzhzkzlzmz pentagoo num.Patuit quad 8: æquilaterumadefizriptümq; circa azbzczdzezcitculü. Citcalda- tum ergo Circulum azbzczdze,pentagonü æquilaterum 8: æquiangulum de(cribitut gzhzkzlzm.Quod oportuit fediTe. Feôflîsnpœ 17, 11360101: 57-. I; 6° &in mvdwyopfi 35;. iodaiâlzeôp in and imitai: nüuhopfimaîslæ. I l Problcmai r3, Propofitio 13. . N data péragono æquilateto &æquiangulo,citculü de(cribere. 13 Ç R O N Tll V 81113110 datam pentagonü zquilatetü 8: æquian l6 azbzczdze, ln’qllo expedlat defirxbere circulum.Secetur in primis vtetq; angu arum azbzcza:

bzazezbifariam,per nana primi,fi1bBIBER mais quidcm lineisiazfz8: IIII. bzfzquas opetæptea la; Vt MF"? il tium cit tandem conuenite.Angulus cnim azbzc,minor cit duobus reâis(nam alias azbz8: bzc,in rectum conflituerentur)qua toptct 8:angulus azbzf, dimidius ipfius anguli azbzc,te&o minet cit. Et proinde zazfirectoitidê miner; Hinc fit,vt reéti azb, incidat in.azfz8: bzleineas reétas,e&îciês in eadê patte interiores angulos binis reâis minotes.Concurrent igitut,pet quintum pofiulatum azfz8: bzfz in diteâum produétæud’q; intta datum penta-gonum-Angulo cnim azbzc,opponitur latus dze:8: c 8:czdzl atus,ipfi bzazezan lo.Re&a igitur azfzin reétam extenla,cadet in lattis cz :8: ipfi bzf, in latus dze: (de ino a uicem intra datum interfecantes pentaganum. Secêt le c1igitut,8: concurtant in punâo f. Aio punéhî f, fate cen- Y trum defcribendi in data pêtagono circuli. Conneétan- tur cnim fzc,fzd,8: fzezlineæ rechaper primum pofiulav tumCùm igitur azb,fit æqualis bzc,8: bzfivtrique cômu- mm me!" niszetunt bina lateta azbz8: bzfz trianguli azbzf, duobus 37, mat. ç, la teribus czbz8: bzfzttiâguli czbzfzalternatim æqualia: 8: mm," "Il: * qui (ab æquis lateribus côtinêtut an li az bz fz8: czbzf, fi." "ut-da" fiant pet côittué’tionë adinuicem æquales.Bafis igiturazf, bafi zc, 8:angulus bzazf, angulo bzczf,pet quartai primi cit æqualis.Angulus pottô bzazfidimidius cf! ipfius anguli bzaze, 8: ipfi bzaze,2qualis angulus bzczd,per h othefin.Q1æ autem inuicem :qualia funt,eiufdem vcl æquaIium dimidium e evidentur: pet feptimæ cô- munis (Ententiæ conueriionâAngulus igitur ’bzczfidimidius cit ipfius anguli bzaze, 8: proinde anguli bzczd: reliquus infupet an lus-fzod, dimidius itidcm cil eiufdê anguli szzd.Bifatiam itaque diuiditut angu us szzd,fub teâa czfÏNec diflimilitet afiendetut,vterque reliquorum an lotum qui fub czdzez8: dzeza, biiatiam difcim difub reétis lineis dzfz8: ezf. Con equenter à purifia fz in fingula ipfius pentago ni latera,petpendiculares deducâtut fz fzh,fzk,le, 8: fzm,pet duodecimam primi. Et quoniam trian lorum bzfz , 8: bz zh , angulus fgzbzfz arquas efi angulofzbzh, necnon 8: recrus zngzreâo bzîzfzpet natrum po ulatum æqualis,latus in(uper bzfzvttique triangula commune, quad ub vno: ualium fubtenditur angulotum: reliqua igitur lateta, reliquis lateribus :qualia ha ebunt alterum alteri, pet vige» fimamiextam primi.Aequalis cit igitur fzgzipfi fzh. Haud diflimiliter oflendentut teliquæ perpendicularcs fzk, 91,8: fzm,tum inuicem, tum vtriq; ipiàrum fzgz8: fzhz coarquariQuinque et o recta! linea fig,fzh,fzk,fil,& fzm,funt æquales adinuicem. Centra itaq; f, intctuaîlo autem fzg,aut fzh,vel fzk,feu le,aut fzm,citculus deiètiba Problematie tut gzhzkzlzm,pet tettium poiiulatum. Tranfibit ergo ipfius circuli, citcunferen- agami "fi tia,pet fin la punâa g,h,k,l,m. thuoniam ab ci(dem punctis g,h,l:,l, m, eorun» ’ dem (cmi iamettorii extremitatibus,dati pentagoni lateta ad redîtes excitata (uni: angulos : ranger propterea eiu(dcm circuli citcunferentia fingula ipfius dati pentagoni latera,per dedmæièxtæ tettij corollarium Circulus portô in figura reéti» iine’a de(cribi dicitur,quando circuli circunfetentiævnumquodq; latus cius in qua ’defiztibitut tanginper quintam huius quarti diifinitianem. In data igitur pentago no azbzczdze,citcu. us delctibitut gzhzkzlzm. (190d expediebat face te.

-, EdI il?I neôflûwpœdicoip mWnpfi 851: iamâlzeôpdl, redorait ’11 and influoit, «il. 1:61:10p . I w ï l Problcma. r4, Propofitio 14. 14 C ltca datam pentagonumæquilatetum 8: çquiangulum,cir:

culum de(cribere. l ’ i.iiij-

t 104 GEOMET. ELEMENT. O R O N T I V SlISit datam peau num æquilatetam 8: æquiangulam a zbz czdze, circa quodcirculum defcti etc lt opetæpretium. Secetut bifatxa yterque h angulorum qui (ab azbzcz8: bzaze,pet nonam primi, productis azljz8: bzlemeis tec trinqua: Veluti parait in antecedente decrmatettiap topofi tronc,cocuttent tandem Q! âPmëî’ adinuiccmintta datam pentagonum.Concu.ttant igitur rur(um ad panâum fiPro fis fifi: ximam itaque tecolligendo demonftratione, rur(um afiendere llCCbltecæçcl’OS an- mision- gulos qui rab bzczd,czdze, 8: dzezazbifarxam fecati,fub mais quidcm lineis czfidzi; I v 8: ezf: qucmadmodùm ex ipfa ptæcedente decrmatettia potes elicete pt0pofitione. Et quoniam angulus az’bzf, o h dimidium efi anguli azbzc, 8:angulus bzazfidimidiu 1p, J fias anguli bzaze, [and]; pet hypothefinanguliazbzcz 8: 1 bzaIe inuicê :qualcszangalus igitur azbzf, angulo bzazf, pet (cptimâ cômunë fentêtiâ æquus eihquæ cnim arqua l liü (un: dimidiü,æqu’alia faut admaicê . Etproinde latas fza,laterii7b,per fextâ primi,elt æquale. Eodë prorfas modohcôcludcmus,cæteras teétas lineas fzc, fzd,8: fze,tu fibi inuicë,tü vttiq; ipiatû’ fzaz8: fzbzcoæquari. Quinq; ergolineæ rcâæ fza,fzb,fzc, fzd,8: fze,æqua les faut adinuicem. Centra igitur fiinteruallo autem fza,vel fzb,aut fzc,vel fzd,aut fze,circulas de(cribatut azbzczdze,per tertiü poiiulatum.Ven1et et! go ipfius circuli citcunferentia,pcr lingule punch a,b,c, d,e:tangetque propterea vnumquenq; angulum dati pentagoni. Cxtca datumigitatpenltaganunræquila’o terum &zæquiangulam azbzczdze: citculus,pet quattam’huxus diifimtione,defcn- bitunOgod fadendum fuerat. .

le 759 fluoit":- Peôfiîrupæ nûuhopfifèyævop iaâwàôizgo’p a, Eadem; 7e and lauydwop ce îmoîslzau Problcma 1;, Propofitiov 1;. - q « N dato citculo,hexagonü æquilaterû 8: æquiâ’gulü deièribetc. 15 f0 R O N Tl V S. (IEfio datas circulas azbzodzezf, cuius centrum g:in quo qui» dem circula oportear de(cribete hexagonum a: uilaterum 8: æquiangulum. Coa- Infcfipfio pro pretur itaq; in circula azbzczdzezfidimetiens cz .Et centra f, intctuallo autem fzg, P9fitih°n8° de(cribatut pet tettium poliulatum circulas az zczh.Et quoniam præfati circuli in a feodem faut plano,communem habentes femiËiametrum fzg,8: centrum vnius in alterius citcunfetentia conflituitutdit vt vnus V tœdiâorum circulorum,fit pattim ’intta reliquum,partim veto extra.Vnde nece am efi,circulum azgzezh,intetfecare datam circulum azszzdzezF. id’q; pet decimam tertij,in duobus tâtummodo puno &is,vtpote a,8: e. Coniungantut igitur azg,8: ezgzlineæ reâæ,pet primam poiiuo latum :8: pet (ecundam pofialatum, directe producan- tut in panifia b, d. Rurfum pet idem primam poiiulae tam,conne&antut recta: lineæazb,bzc,Czd,dze,ezfi 8: fza. Hexagonum cit itaq; azbzczdzezfzreâilincumzü in data to citculo,per tettiam huius uatti diffinitionem,deii:ri- tum. ([Aio primam ip(am te à ila terri. anniam punâum zcenttû cit circuli azbzcz zezfiæqualis eii igia tut azg,ip tngrper circuli diffinitionâRutfum quoniam punétum fz centrum cit circuli azgz ez h:æqualis efi,pet eandcm circuli diflinitionem, azfzipfi fz g- Binæ igitur az gz8: azf, eidë fzgz faut æquales:8: æquales propterea adinuicem,per primam cômunem (entêtant. Acquilatetü

O L’Ï’BlER’ 1111;”. mi et! igitur ip(am azfzgzt-riangulum:8: proinde æquianguhitn, pet quint: libti primi .- corollatium.- Et quoniam pet trigefimamfecundam primi,omnis trianguli tres ana guli funt æqaales duobus teflis:quilibet trium angulorum eiu(dcm ttiâ li azfzg, v vnum tettium duatum reétotum comprehendit . Angulus itaque az gz , duatum rectoram tettium efl. Et proinde triangulum ezfzg, æquilaterum 8: æquian lum i eliz8: angulus. côlèqùentat fzgle,vnum itidem tettium duatum rectoraux. téta in(uper azg, confiftens fupet reéti bze:eflicit duos angulos bzgzaz8: azgzez binis te- fris æquales, pet decimam tettiam iplias primi. quorum azïe duo tertia eorundem duotum rcaorüfcomprehenditztcliquus igitur angulus zgza,vni tertio duo- tutu rectoraux et! :qualis. ’Ttes igitur anguli bzgza,azng, 8: fzgze, vni tertio dua’e rum teâomm faut :qualesz8: aquales ab 1d adinuicem, pet primamcommunem , Ententiam; i Et qui ad getticcm igitutcôliiiunt anguli bzgzc,czgzd, a: dzgze,cirdcni ; v angulis,petdecimamquintam primi coæquantar: hoc eü,dzgzezipfi bzgza,& czgzdx . ipfi azgzfia tq; bzgzczipfi fzgze. Hinc œlligiturJex an los ad gzcêttum deduâos fore inuicem :quales. "In eadcm potto circula æqua es anguli , in æqualibus cit- cunfetenti ’s (ubtenduntut, pet vigefimamfixta tertij. Sex igitur circunferentiæ azb,bzc,ad,dze,ezf, 8: fza,fant adinuicem arquait . Sub æqualibus rur(um citcanfe- rentijs,æ uales recta: lineæ, pet vigefimânonâ terrij fübtenduntur.Sex itaq; recta: linea: azb, zc,czd,dze,czf,8: fza,fibi inuicem coæquâtunAequila tetum cit proptetr ca hexagonum azbzczdzezE ([Dico iam quad 8: æquiangulumNam citcunferen’ Q- udd idem hexagonû lit tia azb, circunfetentiæcz dz efl :qualis: fi addatur igitur communis circunferentia :quiangulû. dzezfzazconfirrgent pet (ecundam communem Ententianyæquales citcunferentiæ czdzezfza,8: dzezfzazb. Sub ip(a porto circunferentia czdzezfza,cantinetut angulus azbzczrub ipfayverô circunferentia dzezfzazb,an lus bzczd. Anguli autem qui fupet æquales citcanfetentias in eodem circula educuntur, fibiinuicem funtæqua: les,etfi ad centra, etlî ad circunfetentias, deduâi filerait, pet vigefimamfiptimam tettij. Acqualis efi igitur angulus azbzc,angulo bzczd. Haud aliter môfirabitur, quad teliqui anguli ipfius az zczdzezfzhexagoni, vtpotc czdze, dzezf, 8: ezfza, tum fibi inuicem,tum vtriq; ipfotum azbzcz8: bzczdzcoœquantur. Acquiangulü efi igitur ip(am azbzczdzezfzhexagonum. Parait iam quôd 8: æquilateruhi58: in data cit calo de(criptam. In data igiturcitculo azbzczdzcz fz hexagonum æquilaterum 8: .æquiangulum de(eribirut. Quod fecifle oportuit. ’ i * ’ Corollarium. lIHinc fit manifeiiumgqubd hexa goni latus,ei que: excentra eirculi,in quo ip(am difcribitut hexagonum’,e fi :qualc. I i i (Item fi pet punira a,b,c,d,e,f,re&æ ducitutlineæ citculü ip(am contingentes,8: V: ciranlo be cii,illius dimetiëtibus ad reétos côuenientes anguloszhe x gamin du r fi xagonum æ uilateram 8: æqurangulum caca datam cit» ce mbatur. B f V a. culum defèribcturquemadmodùm ex duodecima huius uatti propafitione depentagono, 8: obie&a figura vel 4» i cilè deducetur.([Ptætetea,nec minus facile in data he De ctranlr’ ’ in data hexago à .xagono æquilatero 8: æquiangulo,circulü defcribere, 8: no infctiptrœ Ô a e circunicribere patetimus:pet caqua: decimatettia 8: de- ne ac circun: Ccimaquarta . propofitione’, . de pentagonoipfo ptæoiienfa ÏŒPŒW- H .4 f fimt.QJOÇl ex fapradiâis caluigete oportebat. a

I . leFedflaÀnpœ 75;: émirat: minai: nevrtmdluw’rywropflaôwàüzçôv :9, reniflât: a1 me! inféw. If. . .

x06 GEOMET. ÉLÉMENT. . .VPtoblnna r6, ’ .Propofitio 16.-, i «. a. N data citculo,quintidecagonum æquilatctum 8: æquiangu: r6

Ql, .RO lumN T I. V S.([Sit de(cribere. datas circulas azbzcz dze ,. in .ac tcccptum. A litdeictiberci v a quintidecagonam æquilaterum 8: æquiangulum. D cribatut in primis fapet data quapiam reéti linea tcrminata triangulum æquilaterum,pet primai primi:quod pet quintæ eiu(dcm primi corollarium crit æquiangalum . Haie poitmodû trian- la, æquiangulum rur(um de(cribatur triangulum in datocitculo azbzczdze , pet ecandam huius quarti propofitionem:fit’q;azcz e. Item à püâo a, in eadcm circula az bz czdz c, pentagonum æquilaterum 8: æquiangulum de(cribatur a! bzdz fz g, anisent; la pet vndecimam huius quarti. Eric igitur triangulum azczezæqailatetutn, pet (Ex- gngzgli’fàlf ta; primi libri corollarium : cuius latus quodlibet , fabtendit tettiam citcunfeten» uentio. tu: pattemcitcali az bz cz dz e. quodlibet autem ipfius a! bz dz fz , pentagoni la- V tus fiibtendit quintam eiuf’dem circun crêtiæ pattem- Qêlalium igitur partium vcl lègmêtomm , tata circuli az zczdzezcircunferëtia cit quindecim:talium fègmen» . I tum azszzetit quinq;,8: vttunque (à mêtû azbz8: bzdz t triû,8:-proinde totü fègmëtü azbzd, ex. Et uoniâ Ego mêtû azbzczefi quinq;:etit reliqua pars czdzicitxtü ipfius azbzd,feu tettium ipfius bzd,8: totius propterea azbzcz dzczcitculi quindecimum. Çaniunc’ta igitutczdzreé’ta; - e pet primü poiiulatü, etitlatus quintidecagoni in data circula defcribendiCui fi œquales reétas lineas,in data ., . , V circula azszzdiegab ipfo quidcm panifia dzverfus ez8: azin czaontinuc,pet primam huius quarti coaptaueris:etit in eadcm circula del’cti: Idem aliter. ptum quintidecagonum æquilaterum . ([Poterunt 8: .fingulomm quindecim Ego" mentorum diitinétiones,pct ipfius pentagouiiæ. uilateti 8: æquiâguli,in data cira calo azbzczdze,geminatam rur(um de(criptioné altincràâ panaris quidcm cz8: ez8: cqmparatis inuicem fegment s,demonfttatiuèconcludi. (lucmadmodùm ex ipfa uôdaefcri. Llicet infpicere figura. lIAio iam quad ipfum’qaintidecagonum æquilatetum,elt guglful’g’iî’ æquiangulam . Œibuflibet cnim angulis,fiib duobus quibufuis ipfius quintideca» qu. mû, a: goni lateribus ad citcunfetentiam comprehenfis , æ uales fubtendunturcircunfe’o 3°"Îm5ulü- tcntiæznempe icgmcntorum inuicem æqualium ttedecim , qualium tatas circulas cit quindecimJn eadcm porto citculo,anguli qui (upet :quales citcunlierêtias de dacuntur, fibiinuiccm fantæquales , etfi ad centra , etfi ad citcunfetentias fuerint , . deduéti,pet vigclimamfcptimam tcrtij. Acquiangulü cit. igitur ip(am azszldzezi Q .qpintidecagonuml’atuit qaèd8: æquilaterum , 8: in data circula de(criptum. In - * to itaque circula azbzczdze, quintidecaganam æquilatetum 8: æ uiangulum dea .Ëribimt.Qiod tandem facien am tecepetamus. Cam larium, I Il Quôd fi pet fingalas fragmentatum 8: angalorum quintidccagoni diûinétiones, n a refit: ducatur lineæ circulum ip(am contingentes, 8: ad reâos angulos cum prao ’ duétis è centra lëmidiametris conuenientcs : quintidccagonum æquilaterum 8: zquiangalum , circa datam circula deicribemt- quemadmadùm duodecima huius quarti propoiitionc,dc citcunfètibendo tradidimus pentagone. (IHaud dilli militet,per ca qua: decimatcrtia 8: decimaquarta eiufdê quarti propolitione, de péta- gonis ofienfa faunin data quintidecagono æquilatero 8: æquiangulo, circulum de» feribere,ac citcunfctibete liccbit. PÜQuartilibri geometricorü elementorü; F I I snë

Stkaââaes’ës’mxekelra tâtht-QK” va

Orontij Finci Delphinatis, Re- GII MATHÉMATICARVM PROFESSO: ris, I n (brintum elemen tatum Euclidis,Demonltrationes. [Dzflinitionum clùcidatio non (flamande. ORONTIVS. OSTQVAM EVCLIDES QVATVOR ANTE. cedentibas libtis, uantitatis continut qualitateni,illiaiq; dimenfioa - nes apertè demo auitziam binis fuccedentibuslibris,magnitadinü rationes,atque proportianes,acatifiimis profequitut olienfianibus. H uius itaq; libti quinti fenpus eit,de proportionibus in vniuerfum sans huius

l pemaâaretfingula cnim que in eo dernôlirâtutmô folùm ad geome Il quind- tricâ videntur fpcâate eontêplationê, fed cômune aliquid habit cum r ’ Arithmetica,8: Mufica,8:eum doârinis omnibus que rab mathema! tica traditione côpteliendûtut.Vetûm quoniâ de proportionibus fiiturus et! fermo,ptopor rio alité tationü videtut elle limilitudotde rationibus, quibus ipfæ côponuntur proportion . nes,in primis traâandiî citprius cnim opottet agnofcere fimplicia,q côpofita. Cùm igitur De magnifia: bin: magnitudines inuite coparantutihæ proculdubio aat :quales,aut inzquales offenduc nahuadirima côpa» tut. Propriû cnim quantitatis cire difiinit Ariltoteles,fecundü eam æquale,vel inæquale’ dit ci.8: huiulcemodi c6patatio,babitudo diciturzquâ Euclides, ad veterü imitationem,rationë Hamac. adpellat. Ipiie autë magnitudines,temiini tune vaeitâtur: illa aidé qu: alteti referait, an. Ratio. tecedEs:teliqua veto,confequens,ad quam fcilicet alterius fit copatatio.Id porto,an airera diliat à teliquazdifietëtia proptiè dicitut. IIOÆoties itaq; propofitæ à adinuicë rompant: magnitudinesfiierint inaequales, 8: minor metitut maiori, hoc eli,allquotiens fumpta,feu pet datam aliquem multiplicata numerum, ipfam maiatem militait magnitudinem : tune minot magnitudo,pars ipfius maioris dicitur: quam valgus peculiati nomenclatura, iuxta Qëou (au multiplicationis numerum,multiplicatiuam feu quotam pattem eiufdem maioris adpellat. m apurait Q5: ab Euclide ira primùm diffinitut, in [un EÏKAE IAOI ETOIXEION PEMI’TONy «Maeg. 85 pigent Ftyiescnb haras-op a? péZovoçJaup mmpefivd patati. I i Pars cit magnitudo magnitudinis minot maioris,quando minet me HUIT maIOtcm. thote,binis magnitudinibus datis,qaarum alteta bipedalis,altera veto (extupedalis ex! 5,515 qua inat,quoniam bipedalis ter famptà,feu pet tria maltiplicita,fextupedalern metitut magniv t: partir. tudinêzidcitco bipedalis magnitudo pars cit ipfius fextupedalis magnitudinls,8: tettia pars eiufdem ièxtupedalis peculiati dilcretione vocatur. (IIpfa porta maior magnitudo, quam am le minor faprafcripta multiplicatione metitut: multiplex ipfius minoris adpellatut magnitus M P x’ dinis,hoc efi,multotiens ipfam minorem comprehendens magnitudinem,vel ex multipliai * ciu Idem minoris repetitione confurgensJ-Iinc dicit Euclides. lipomœma’zaiop 5,15 pâton? ikâwov&,8mp unmpæ’firoa «(au a? êMfilov&-. 2 Multiplex au tem,maior mmore,quando eammetitur miner. E . Vt in. ptæaffumpto. . . nupet . exêplo,lextupedalis. . . . magnitude. remplümd multiplexdiaf ipfius bipedaii: apudg,

ros l GEOMET. ÉLÉMENT. magnitudinis,vtpote,9 mairetiens,hac efl ter, eandcm bipedalcm cantineat angulum, feu quam bipedalis ter multiplicata metitut.8: propterea extupcdalis, triplex i fias bips dalis peculiari reiiriâiane vocaturJICùm autem minot magnituda aliquotiës umpta, leu un adgrega multiplicata,plus aut minus efficit,quàm fit ipfa magnitudo maiot:n6 quota, .fed adgtegac tiua. tiua pars ipfius maioris videtureiIe magnitudinis,ex quotis icilicet partibus ’adgtegata,ab ipfatum pattiam quotatum tum namero, tum qualitate denominanda. Veluti quadrupet implora. dalis ad fèxtu pedalem relata magnitudinè’ , adgregatiua pars eiu(dcm fextupedalis dicenda . cit magnitudinis.Componitur cnim ex geminis bipedalibus magnitudinibus,quatum ne! libet tertiam fextupedalis pattern effidnhinc bipartiens tertias eiu(dcm feztupedalis eno Cômenfiirabi minaturllîQa: igitur adinuicem campant: magnitudines, cômuni aliqua metiuntur ma- les 8: ration: gnitudine: commenfiitabiles, leu communicâtes,8c rationales adpellantut.Caiulinodi funt le: magana. dines. omnes numeti, à binario in infinitum dilitibati,quos indifiëtenter metitat vnitas: omnes infapet ad numeros relat: magnitudines, determinatam inter f efe tationem vcl habitudin I ncommenfa uem obtinentes.Qaibas autem non accidit aliqua 8: pet numerum expteiÎa menfura:incô! rabiles 8: in: menfurabiles,8: incammunicâtes,irtationaléfve dieantur magnitudines, quarum babitudo tiennes. determinatis non exprimitur numeris.Veluti funt diagonius,8: latus uadtati geomettici. Illa igitur rationalium vcl irrationalium,feu cômerifurabilium 8: inenmenfutabilium ma gnitudinum eomparatio,vel habitudo,tatio (quemadmodùm faptà dictant cilla vetetibas adpellatur:qa: ab Euclide in hune modum diffinitut, (MW 35 Ne W059 ôpoyvô’p in m’ai vruNuônau «6:82am: ont: dXiau’. Ratio cit duatum magnitudinum ciu fdem generis aliquatenus adinuicem qu:dam habitude. acinuieern Sala cnim vniuoea venîunt inter fiefe comparanda,vtpote,numetus numero, linea fiacre, patentas .fupetficies fuperficiei,folidam folido,fonus fono,têpus tempori,velocitas velocitati,8: qu; faut buia fcemodi.Inter ca enim que diuetforam funt generam,nulla videtut accidete com Ratio i paratiO. lIOflënditut autem ratio inter numetos abfolutè eoniideratos, quam aridimetici Arithmetica. nuncupamus rationemzinte’tve fonotos,hoc elbad Ibnorum hotmoniam relatas numerus, Harmonica. qu: harmonica ratio dicitut: vcl inter abltraâas tum à matetia,tum à numero magnitudi: Gconiettica. nes,qu: ratio geomettica proptiè nominatut. Quæeun ue ne rationes inteti los in! ueniuntur numeros,e:dem inter fingula continuomm agendiiiitut generazat non diners fo.Arithmetica fiquidem tatio,tantummodo rationalium videtut effe magnitudinum:geot metrica veto , tam rationaliû quam irrationalium eontemplatar magnitudinum habitudit uem. Quittant; infupet rationis diuerlitates vni eontinuarü accidunt generi,vtpote lineis: c:teris continuotü videntut euenire generibus,fuperficiebus inquàm 8: folidis. quad ipfis non folet accidete numeris.Idcitco de geometrica, 8: veluti principatam obtinê’te tarione, Ratio hoc loco trachre principaliter intendit EuclideslIDaplex cit autem ratio geometricazalteo :qualitatis. . ta quidë :qualitatis,euius diffetëtia nulla eftzalteta veto in:qualitatis,cuias rationales fpe inqualitatis cies funt quinq;: tres quidë fimplices,vtpote multiplex,fupetparticularis,8: fupetpartiëszôc da: ex eis côpofitæ, fcilicet multiplex faperpatticularis,8: multiplex fupctpartiens. Primo igitur dofl’rina fimplicium, poitea caetera in vniuerfum perfctutâtut rationum difctimina: debet cnim fim liciam do&rina, in omnibus doctrinam pt:cedere compofitoram. IIMulI Ratio multi! tipliaem ita olemus adpellare rationem,quoties maior magnitudo minorem (vti faptà diâum elbp uries 8: adæquatè comprehëdit magnitudinem: qu: in duplam vt quaternan’j ad binariam, triplam veluti fenarij ad ipfam binarium , quadruplam vt duodenarij ad teta narium,8: deinceps ira quantumlibet fabdiuiditur,ptout maior magnitudo bis,ter,qaatet, Su articu pluriéfve minorem eomptehendit. Supetpartieularis autë ratio dieitut,tlim maior magni bringue. tudo minorem femel,8: quotam in laper minori sjpattem continetzqu: fefqualteta dicitur vt ternarij ad binarium, aut fefî’qaitertia veluti quaternatij ad ternariû, vcl iefquiquarta vt quinarij ad quaternatium,8: te pondentet ira quantumlibet,prout pars ipfa alteram mino ris magnitudinis pattem,vel tettiam, aut quartarn, alidmve quatam partem efficit, à data Ratio Taper: quouis numero denominatam. .Superpartientem veto tationem adpellamus,quoties mas partitas. rat inagnitudo minorem itidcm femel comptehendit, 8: contingentent pt:tetea vcl adgre gariuam eiufdem minoris pattem,ex quotis i fias minoris partibus aompoiitarn: qu: van ria,pro numcro ac tatione partium, fortitur ifcn’mina. Mia cnim fuperbipartiens tertiaa

dicitur, vt quinarij ad ternarium: alia fupertripartîens quartas, veiut feptenarîj ad quater! narium:alia vero fuperquadripartiensLIBER quintu,veluti nouenarij adV. quinariü,8: deinceps109 ira fine flatu,vocitatur. Hinc facile colligitutwtriufcp oôpofitarum rationum diffinitio.Muls Multipkx fui tiplex cnim 8: fu rparticularis ratio dicitur,cùm maior magnitudo minoré pluties,8: quo. pet-particula: ris. tam infuper ciu dem minoris partem comprehendiLMultiplex deniç 8: fuperpartiens ras Multiplex fila tic nominatur , quoties eadcm magnitudo maior, minorem itidcm pluries , 8: partem vis martiens. tra non quotam, fed ex quotis ciu dem minoris partibus adgregatam confiner. Q1: mm pro varietate multiplicis,tum pro vtriufque 8: fuperparticularis 8: fuperpartientis druerfis tate,in varia,8:(fi liceat dicere)infinita compofitarum rationû partiuntur difcrimina. Ct: Sutdæ ratio: ter: autem ab bis magnitudinum habitudines,quarum denominationes ignoramustfu rdæ net. irrationaléfve nuncupantur. Porto hæc omnia velim intelligas, dam maiores minoribus Notandum. comparantur magnitudines: nam fi minores ipfis maioribus comparétur magnitudinibus , fubrationales erunt minores maioribus.Hinc talium magnitudinum rationes,fubmultiplis ces,fubfuperparticulares,fubfuperpartientes,fubmultiplices fuperparticularesfi: Iubmultis plices fuperpattientes,pro ration: arque tranfpofitione terminorû,adpellâtur. lICuiuflibet De rationna: autem fuprafitriptarum rationiî cum alîa quauis fimili ratione côparatio vcl habitudo( non côparatione. vt magnitude ma itudini, fed vt hac ratio cumilla ratione comparatur) proportio dieu turzcuius hzc eft ummaria diflinitio, CIAvœMfiœ à 3215i: Tôp Mywp ôpow’qnê. 4. Proporuo verô,e& rationum Identitas. Ho: efl,lduarû pluriiîmve geomctrîcarû’rationû fimilitudo.vt fi duplam duplæ,iëfqua14 œram fifqualteræ, plurefve duplasgut fefqualteras , 8: alias quafcunque fimiles rationes inuicem comparaueris. Nam e arithmetica ratione , quam vocant zqualium diŒerentiar De ration: à: rithmetica. mm inter datos numeros obieruatarn progreflionemznihil ad præièntem do&rinam. Nes De muflca ra que de ration: muficaj’quar potins harmonia uædâ effe videturzvtpote,quæ fit Cùm oblat none. eis tribus numeris,quam rationem maximus o tinet ad minimum,eam quoq; fèruat diflïes rentia maximi fupra medium ad diferentiam medij fupra minimum , in fuprà fcripta ras tionum fimilitudine minimè confiflens. Sicuti cnim arithmetica progreflîo, à mafia difs ferre perbibetur harmonia : fic 8: geomettica proportio C quæ fol: peculiari nomine pro, portionis venir adpellanda)ab vtraque difiinguitur. 11H! au tem geometrica proportio au: continua , aut difcontinua . Continuam adpellamus proportionem , Cùm datis quodibet rroportiogeo’ eiuidem generis uantitatibus,omnium antecedentium ad proximè fuccedentes côtinuata metrica com feruatur rationis abirudo:fic vt prima folùm antecedentis,vltima vert) c6fequentis,inter; tinua mediæ autem 8: antecedentis 8: confequentis fungantur officio.thote Cùm prima ad recundam eam feruat rationem,quam fecunda ad tertiam, 8: tertia ad quartam , 8: deinceps in quantumlibet. 03:an igitur continua proportioneligantur , eiu(dcm oportet elfe Sala vniuoc: generis:propter neceiTariam cuiuflibet antecedentis cum fuo confequente refpondentiam, côrinna mon 8: continuâdam inuicem c6parabilium habitudinem,fiue relationem. lIDifcontinua vert: portione Hg! tuf proportio,fit:cùm oblatis quatuor,plurib1îfve quantitatibus,prima ad fecundâ eam habet Difèontinua rationem,quam tertia ad quartam,8: quinta ad fextam,8: conièquentur ita quantumlibet. pporrio geo o Huiufiemodi nanq; rationû fimilitudo,vel identitas,proportio,ied difcontinua vocitatur. mettica. conf uens cnim primat rationis,n0n fit antecedens iecundæzneq; item oonfequens ipfius fecun a,in rertiæ rationis continuanir anteCedêswelut ipfi côtinuæ diximuS’euenire pror portioni. PoiTunt itaque genere diuerfa, difcôtinua inuicem proportione colligarimb fini Generediuers gulorum antecedentium,ad fingula confequentia,iëparatim fa&am comparationê. Eadem fa difcôtinui nanque ratio inter duos accidens numeros : poteil firnul inter duas lineas, binafVe Tu ers pro ortionê oh cruant. fides,aut alias quafuis inuicem comparabiles inueniri magnitudines. Hinc patet,di com Corollarium. tinuam proportionem fub pari femper terminorum comprehendi numero:continuâ vero tam parem,quàm imparem admittere terminorum feu quantitatum multitudinem. (Ami: (3019 7E9: 5mm; F4949» Mfloafl dirima-va «andain-104104410: «immola Wêxdp. 5 Rationem habcre admuncé magnitudines dlcuntur,quæ pofrunc Œonam 1nd multipliant inuicem excedere. do magnifia Poil ipfius rafionisgtcpproportionîs adfi natas diffinitiones: defcribit côfcquëter En: dine: rationê dida,qualiter inuicem comparai: magnitu ’ e: rationë habere dicâtur. Cùm igitur tam habere difu niantur.

no I GEOMET. ELEMENT. rationalium quam irrationalium hic perfcrutentur magnitudinü habitudines , 8: ip(a irraa ticnalium magnitudinum habitudo,tum nobis,tum ipfi naturç fit ignora,denominationem ab aliquo non valens accipere numero: coa&us cit EuclidesÇvt generalem quandam rationalium 8: irrationalium præfcriberet difiinifionem ) ad côparatarum inuicem magnitudio num confugere multiplicationè’,hoc cit, per ipfarum magnitudinum æquè mulriplicia difi finire, qualiter magnitudo alteri comparara magnitudini rarionem habere dicatur . Si igiI Exemphm. tur magnitudo aImagnirudini blcomparetur , 8: ambæ æqualiter multiplicentur , hoc cit, ’ ambarum fumantur æquè multiplicia,clquidem ipfius a,8: dl .c P-F-F-l ipfius b: quam rarionem habebir multiplex czad multiplex d, ( Ê - eam feruabir 8: armagnirudo,ad bImagnitudinem.Quafi igno A HI p ra inter 218: bldifferentia,per multiplicationem ipfarû augeal ’ rur magnitudinum:8: in rationis ignora nos inducat agnitio- N°tmdum- uem. Tanra liquidé multiplicium cû fubmultiplicibus,feu partibus inuenirur elfe fraterniI ras:vr ipfi; æquè multiplices magnitudines nô poflînt aliquâ rationalé’ aut irrationalë inter fefe habitudinê obferuare, quin ea fimul partibus accidar fubmultiplicibus, 8: è œnmrio. (139153? Jeune" Mn.» [4234914 Réparez: tÎvœcflreô’Toanbc Muni) op,t(gà afin!) 71231: Têtue-Top, d’un: vni: 7? 7134373 a) «fia-8 larium mMæ’UÂœ’d’lœ,Tôp f?- dlâbféev Kari TeTéQTulccéuic amh- Àœmœaiwpflae’ ômcovoîn mMœ’mÂœa-ioca’pôp M0211? op imæievfi Hum indvruy’i 621m i6: Ë, î bâfra: Mixa 7xmoiun MTéMUÀœ. * I n cadé’ rarione magnitudines clicütur effe,pr1ma ad feeundâ 8: ter 6 ria ad quarrâzquâdo prime; 8c rerriç çquè multipliciaJècüdç 8: quar rçæquè multiplicia, iuxta cluâuis multiplicationë vtraq; vtrâq; vcl vnà excedüt,vcl vnà æqua es funr,vel vni deficiût fiîpræ adinuicè’. (la!!! magni: Ofienfo qualiter magnitudines rationê habere adinuicè’ iudicenrurrdiffinit refpondenter 33223:: Euclides,quonam mode magnitudines ipfç fimilem videâturobtinere rationê,habitudinifi confinant ve nantifcanrur idcnriratem. qu: difl-initio non potuit per alicuius præcedentium quinq; rationalium f cierum ipfius ratioiiis vcl habitudinis,vtpore aur multiplicis,aut fuperpara ticularis, aur uperparrienris,vel multiplicis fuperparticularis, veldeniq; multiplias fuper: partienris de(cribi fimilitudinem:propter furdas (vt vomît) irrationaliü magnitudinum ha! bitudines, quarum denominationes exprimi non poiTunr . Confugiendum ergo fore exit fiimauit Euclides,ad contingenrem æquè multiplicium babirudinem, ram continuè, quam Notandum. reparatim faâa earüdem magnitudinum relatione. Nam in roportionibus fleuri anteoea dentia adinuicem ,8: ipfa pariter confequenria,mutuam quanti-am inter fefe vidEtur habere relationem: baud diffimiliter ipforum antecedentium, parirer 8: côfequentium æquè mal! tiplicia, iuxra quamuis multiplicationem coaiTumptafratema quadam rationum colligam tur fimilirudine, arque è diuerfo : tametfi alia inter ip(a æquè multiplicia , ab ca uz inter partes offenditur fubmultiplices, contingat plerunque rationum identiras. (ne, autè’ ex multiplicium proportione,earundem partiû, fub multiplicilîmve magnitudinû proportio, vcl è contrarie fubfequatur:fuccedenribus oflê’detur propofirionibus.prius cnim diffinire, Difiinnionis quàm diffinirorum concludere neceflirarem en: operæprerium. IICùm itaque fimilirudo cundum rationis,binarium ad minus rationum, 8: proinde quaternarium magnitudinum videarur exoprare numerum:ait Euclides,magnitudines in eadcm cire rarione,prima quidcm ad [en cundam,8: rertia ad quartam:quando primæ 8: rertiæ,hoc cit antecedentiü magnitudinum fumptis æquè multiplicibus,8: confequentium itidcm magnitudinum, (ècüdæ videlicer 8: puant , æquè multiplicibus(etiam in alia qüauis ab antecedentiurn multiplicatione) coafs umptis,mulriplex prima: ad mulriplex fecüdæ eam fiant rarionem,quam multiplex ter! tiæ ad multiplex quartæ:fiueipfa ratio maioris , aut mînoris extiterir inæqualitatis.HæC cnim de excefru,vel defeâu proportionali veniür inrelli enda. Velur ex obieâa numeroa sampan, rurn potes colligere formulant qua nu! a b l c Id meri dati finr a,b,c,d:8: ipforum al8: c, ,12. 6 I 8 4. Nu.difcontinuè proportionales. primi inquàm 8: rertij æquè multiplices e - "f h . . p eifincmpedupümumemmm aunein bfid) 2.4 x 8 16 n. Aequè multiplias.

hoc en (brandi 8: quarti æquè itidcmLIBER multiplices ngtpote V. tripliEr quoniâ’ m multiplex cl ad multipliœm gleam habet rationem, quam multi lex fiad multiplicem h (vttobiq; cnim &fquitertia) neceifum et! primum numerum and eamdum numerum bleam limai obier une rationem,un tertius numerus clad quartû d,nempe duplamHaud aliterde magnitudinibus, flue continuis ûirdligito. (I Hinc fit,vt in continuè proportionatis, vbi videlicet ne - e confèquens prima rarionis fit antecedens feeundæ,fumenda fint æquè multiplicia fingulas mm magnitudinum iuxra eandcm multi licationem,hoc efl,aut fimul tripla,aut fimul qua: En. druP13,açc, 9 fecûda magnitu ,ipfius terri: fimul fungatur officia, 8: gemmas Vt dati: in exemplum a,b,r,numeris: quorum æquè &th multiplices fint d,e,f,v te tri lÏ,dl ni 3 C dem ipfius a,8: elipfiustbîarç ffipfiugc. s42. Si multiplex dzad multiplicê e! habuerit e eam rationem, quam idem Cl ad f: tune Il a; rimus numerus ad fecundum b! eam fanal obferuabit rationem,quam idem numerus b,a tertiü c. quemadmodûm ex ip(a nua memrum potes elicere defc iptioneu’n qua tain dati numeri a,b,c, q eorüdem numerorutn zquè multiplices d,e,f,fub- upla inuicem ratione proportionanrur. i IITà: dû 743p àwôp ixovwgtyîü Myop,oa’a’:7lmp unifia. . 7 Eandem autem ha entes ramonent magnitudines, proportiona, .Difiînftio à» parti i Q Cùm cnim proportio rarionum fit idëtiras: fit vt magnitudines,quæ in eadcm ofl’enden! tut e115: ratione,vel inter qua: rationum offendetur iimilirudofliue continua,fiue difoonti. lesnua eiu (dem rationis vocentur. obferuetur identiras)proportionales adpellenrur. g v «mais au il? idoine magnitude"; 7514231 a? n°678 manganine!) Mx. ’Fû’ d’an-698 mWeimb d’à il aria-8 mnmémopmb Min r??? 4170297: mmmdafiôfl 15 «têtu: «en in firmans gazon: Mm: îxap Myifwfiwfi’ à EI’Iromebe 15 mimenp. a Quando ver?) æquè multhlIClÜ multiplex primi exceircrir mul: Im- portioo riplcx iëcundi , mulriâlcx autem terrij non excellait multiplex MEN, 13’ quarrizrunc primum a fècundum maiorem rarionem habere dis nm. cerur,quàm terrium ad quartum. Œemadmodùm datarum magnitudinum continuam vel difcontinuam proportionem, ex coafTumptorum æquè multiplicium, 8: ordinarim œmparatorum pro trione pendere diffinitum eflzhaud diffîmiliter 8: improporrionalium magnitudinum dilpropOrtio,ex fus prafcripto modo fumptorum æquè multipliciü difpro rtione, verfa vice colligirur. E1! cnim difproportio,rationû diiïîmilitudo:vtpote,quan o prima magnitudo ad feeundâ ma biwa iorem vei minorem rationem habet,q tertia ad quarram.Huius itaque diifinitionis hac cil: fumma. Si quatuor oblararum magnitudinü maffumanrur tqui: multiplicia prima 8: ters Dmnîfi’oni. tiæ,arq; fecundæ 8:.quartæ , 8: multiplex primæ ad multiplex fecundæ maiorem rationem hmm, habuerit,q multiplex terri: ad multiplex quarræ:runc prima magnitudo ad fecundâ maiorem itidcm rationem obieruabir, uam terria ad quartâ:8: fi-minorê,minorê. Et proinde rationum fubfequetur diflîmilirudlo,ergo difproportio: flue ipfæ magnitudines continua, vel difcontinua rarione,feu relatione terminorum inuicem conferârur. Quorum exempla dare,inutile iudieamus : vtpotc , qu: à contnria proportionalium interpretarione eolligi vei facile polrunt. (hmm: 505 fla)? 390i: Maxime 85g. , 9 Proporrio au rem in tribus termmxs ad minus efl. De continua velim intelli as proportione.Cùm cnim proportio rationü exiftat fimilituo do:opetæprerium en: in ip a proportione duas ad minus inuicem fimiles occurrere ration net,8: proinde terminos quatuor,duo inquàm antecedenria 8: totidê confequêtia. Et un: niam in prOporrione continua, confequens primæ rationis fit antecedës faund:,in di con ’tinua me minimè : fit vt continua proportio non poiTit eonfiltere in paucioïbus tribu! Il].

m. GEOMET.;ELE’MENT. temünistifcentinua autem in paucioiibus quatuor.Hi fiant ergonumeri terminerum mie nimi,inter.quos videtut accidere proportie:maximi «remarqua dabiles funt,vtpote,quoI niam fimilitude rationum in infinitum petelt deuenire numerum. gouet: afin: payée»: Rva’cîxoyop fa, 15 «rôti-op 11694: ab fifl’rop, distanciaient 1670p Ëxup Abattu, - lime 7:6va Æiufleopo’mp i menaça payât?» aman a?» maïeur: «anagramman- ciovœ Myop ïxqp 157411197715? très 15 dem-009,9 Été ifüç îvl fléchirai; 34! il àvœÀoyiœ ôœëszç. ilauïartîïgf Quando rrcs magnitudines proportionales fiiermr:pr1ma ad ter: Io magnitude tiam duplicê rationem habere dicetur;quam ad ficundam.Quan côrinuè m. do autem quatuor magnitudines proporuonales fuermnprima "mad 1* ad quartamvltimâ triplicem ramoné in habere .dicerur, . .quam . ad. (ecundi, 8: fiemper ordine vna plus,quoufq; fit abfoluta proportio. Hic diffinit Euclides uam rarionem habeat prima magnitude ad vltimam,in continue proportionalibus. Sen us irai; difflnitienispeft,quod in propertione continua ratio extre marum magnitudinum,ex fingulis rationibus in eadcm eccurrêribus proportione inuicem , compofiris generatur.Hinc fit,vtin minima proportione, quæ fub tribus comprehenditur g? ".2: terminis,prima magnitude ad vltimam duplicem rationem habere dicarur,quàm ad feam dine, "53:," dam,hoc elbex ipfis duabus rationibus fimilibus, prime inquàm magnitudinis ad faundâ, rionales. 8: eiufdem feeunda: ad rertiam inuicem cempefitis,vel altera earum du plara confurgentê. Multiplicandi flint igitur ipfarum ratienum deneminareres adinuicem :- producetur cnim opratæ rationis deneminarer.quemadmodùm (ecûde capite, libri quarti noitræ docuimus Arithmeticæ.8: quinta diffinitione libri fexti clarius oitendemus. Sint exempli caula obiev Exemplum’ &i numeri a,b,c,lùb dupla ratiene proportionatLvtraque igi . . i ’ tur ratio à binario denominatur numero.Bis autem duo afin l: Î; ciunt quatuor:à quibus ratio primi numeri ad tertiü, hoc en, si and adeneminabitur. Erit ergo primi ad ipfum tertium ratio V ’ niquant quadrupla, fieu primi ad fecundum duplicata. (Porto fi qua! magnifiai, tuer extiterint magnitudines côrinuè itidcm proportionales: , - ne: continué prima ad quartam triplicem rationem habere diœrurîquàm ad fecundam,hoc e&,ex tribus rarienibus,primæ quidcm ad fecundam, 8: fedmdæ a rertiam, arq; terriæ ad quartam 3e. sotandum’ neratam. Sed animaduertas opprret,qued in trium aut plurium rationum compefitione, ’ operæpretium cit ex duabus prums vnam efficere rationem,8: ex illa confequenter 8: fut: cedente tertialvnam rur(um cenftituere:8: deinceps ira quanrumlibet,pre datamm rationiî Exemplum. multitudine. Dentur in exemplum uaruer numeri continue proportionales d,e,f,g, Tub pupla itidcm ratiene difiributi . 03: ’bet igitur trium tarie: .5; ,. 4. :- num,-à binario rur(um deneminarur numero. bis autê duo, d e E g ’ efl-îdunt quaruor,quæ oltêdunt primam numerum ad terriii, vcl fecundum ad quantum, uadruplam obrinere rationem:bis I autem quatuor,rei’rituiir e ,à quibus,e&upla ratio denemia A natur . Aie itaque eundem primü numerurn ad uartû,e&us , plam femare rationê.quæ non propterea primia (ecundum triplara ratio vocitatur,qubd ipfa ratio primi ad (ecundum par tria fit multiplicanda:fed quoniam ter in eadcm proper riene reperiatur,ex qua quidcm triplici rarione,extremorum ratio fup’rafcripte mode cen furgit. 4 Eadem quoque ratio primi ad quarrum refulrabit,fi eam rationem qua: cil primi ad tertiumguel &cundi ad quarrum, pet radai-lem eiufdem primi ad feeundum multipliai ueris.Vtraque enimin præafTum to numerorum exemple cit quadrupla: quæ in duplam Vbi inque duéta, refiituir cétuplam. CIŒb fi quint; magnitudines côtinuè fuerint’ proportienales, VS! P il": flic prima ad quintam quadruplicem rarionem habere dicetur, quam ad fecundam:fi lbx,quin glifagmm tuplam,8: conf uenter ita,vna femper ordinatim adiunâa ratione, pro exrêfienc pr0porq i tienis,vel adiun magnitudinum continue proportionalium numero. . flopo’Aow pas». 7&mi tisonnai litai: biffin: qui; mWotçflaB infirme qui; Momie. Similis rarioms magnirud mes dicunrur,anrccedentia anteceden: n tibus,8: confequenria cen fequcnrlbus.

’ Id elbfimilirudo rationum interLIBER eafdem magnitudines inuicem v. proportionales,non - 3,, il). pt varia ru lùm inuenitur per relationem antecedentium ad fua confequêtia,vel è diuerfo: Ted tum ex trenum fimju îpforum antecedentium,rum etiam confequenrium inuicem Faâa comparationeÆx quibus radine. iubfcriptæ rarienum illationes, fpedéfve proportionum deriuaræ funnquæ primùm diffa; niuntur ab Euclide,poiiea lue ducidantur 8: oilenduntur ordine. ŒMà; A6709 Œ,Ài«l«aç 7? www: mût: 15 iyzîWopgal üîmMa mais 15 îwipgvop. n Permutata ratio.efi acceprio antecedentis ad antecedens,8: confia quentls ad confequens. thote, fi fuerint quatuor magnitudines inuicem propertionales a,b,c,d, lieur quidcm a. 4. . 5. 3. alad b,ita clad d:inferamus autem,8: permutatim igitur ficut a b c d and c,ita blad d.Hanc rationum illationem, permuraram ads Curhçc ratio w pellalnus. permutarur cnim côfequens primæ rationis,in ans nis illatio per- . tecedens fecundæz8: antecedens eiufdem femndæ rationis,in mutata diw confequens ipfius prima vertitur.Primæi rationis vtetq; (tu. terminus,antecedentis:8: vterç terminus feeundz rarionis,oonfequentis ngitur officie. ŒAIéMNpM’yoc ïkifisîshc’îë ËŒDILXAIIU au: DUNwfllûs 13 MMopôçîm-Gflop. . 13 Connerfa ratio,eft acceptle cenfequetls tanquam antecedentis, ad antecedens ranquàm ad confequens. Id e&,cenfequentium in antecedentia,8: antecedenrium in conf uentiagrmutario: rarionem maioris inzqualiratisjn ratienem minoris,aut è diuerfo,couerten .Vt fi and b! eam habuerir rationem,quam. .aad d:8: àd côuerfa terminorum e ratione pinferamus. ergo. fig eut blad a,ita diadle. Igitur in permutara arq; conuerfa ratione, nulla terminorum tub! Netandum. . fequitur alrenrio:fed 8: antecedentia,8: oenfequentia manenr fubflanrialiter eadcm. «hmm; le): 35,7li’xlaç7î balai"; fifi: de? imaginaire mach; acini: si! îmfiwop. r4 Compofira ratio, cfi acceprio antecedentis cum cenfequente, fis. cut vn1us,ad 1pfum confèquens. l Solemus nonnunquàm in proportienibus arguere à diuifis ad oeniunâa: vnde buiufces Iliade ration modi rarienis illario,c6pofira, feu coniunfia ratio dicitur. En enim acceptie cuiuflibet an: ni: d diuifis m à .. fi 4. z. tecedenris cum proprio confequente, tanquàm vnius anteces ad côiunfia. » a b. a. b. cd. c. d. dentis,ad ipfum cenfequens. thete,fi and bleâ habear ras Exemphun. l U rionem, qui clad d:8: côiunérim inferamus. Igitut ficut aIbI ad b,ita cldIad d.augentur enim propertionaliter antecedenn tia,per cenièquentium ipforum oompefirionem.Huic afin-a» ria et! diuifa,feu difiunâa ratiezquæ ira difiînitur, Maigrir A678 isi,7ki’ælu; as üweeoxâçfii MËXJ 15 bêtifier?- Wapiti: «à: dural, 15 biffin: r; Diuifa ratio,efl acceprio exceflùs,quo excedit antecedens ipfilm confèqucnsmd ipfum confiequens. Hoc eli,cemparatio diflèrentiæ cuiuilibet antecedenris filpra conf eus proprium, ad Illatio ration i (un: cenfequens.Veluti fi eadè’ fit ratio aIbzad b, qu: cil adlad d:8: ’ ifim in banc me: ni: d côiüâia dît!!! inferatunlgitur fient and b,ira clad d.Elt cnim aldiiïerentia, qua rota alblipfàm blfils addiuifa. perat:8:.clitidem diferentia,qua rota adlexcedft ipfam d.l-iic autê modus arguendi,à com iunâis ad diuifa nuncuparur. GAIanâqi Ni): 33, Malte a? hvpirvnebe de Wxibfi mi iinop a? imprévu. 16 Côuerfie rationis, cit acceptio antecedenris ad exceflum, que ex: cedit antecedcns ipfum confcquens. Banc euerfam rationem pleriq; nominant. El! cnim comparatio cuiuflibet antecedentis, Encrfa ratio. ad differentiam,qua idem antecedens fuum excedir confequens. Exempli gratia.Sit mrfum kCiij.

1.4 GEOMET. ÉLÉMENT. 53mm veluti alblad b,iratld1add:8:cenuertannisinbunemodü.lib n, s. 4. c. a. go fieu: azbz. ad a,ita cldl ad c. Sunt cnim a] 8: adiiferentiæ, ab..- b. c quibus 08: dlab iplîs alb18: adlfuperantur. In œmpofita W W Notandum. tur,8: diuifa ratione,ac conuerfiene rationis,quanquam fumatur extrinfecum: alterantur nihilominus mini, ijdem

amies(ecundum A6701; wyaàaôva fubfiantiam ô’îfmp www?) me»minime amuît imp permanentes13 61509 61.0 du Mime». . . . . géminé a; me am: un): am iam qui; «humectant «en! 399c 1* Magna"! vos ai qui; dôbrfiè’ou; [mohawk m5009 mais à hmm 571W 0,138" T m5830 m? Acqua ratio,efi pluribus exiftenribus magnrtudm1bus,8: aliysels 16 dwvirîwv-æqualibus multitudi ne,cum duabus l fum. . ris .8: m.. eadcm . ratione: quando fuerir ficur in primis magniru imbus primam ad vitra mum,fic in fiacundis magnitudini us primû ad vlt1mum.Vclalis ter.acceprio cxrremorum, per fubrraâionem mediorum. ExemPlÎ grifiafint primi erdinis quantitaœs a,b,c,fecundi veto d,e,f:fitq; and blvelud and 6,85 blad (meut elad fzvel and blficut ezad S8: blad civeluti dlad e:8: ooncludendo fubo Inferde me inferamungitur fieu: alad c,ita dlad f. Hum: medum argué: 5 g , du! et :qua di,ex æ uali, aut ex :qua ratione vocitamus. Vtfi a ad bl8: î i c 3 n s 4 ratione. l dIad eI efqualreram, blautem ad a8: eI ad fiduplam obtinue: a. b. c- d- G. f. rit rationemwel and bl8: elad fldupla,bl autem ad uatque dl W ad elfefqualtera ratione preportionetur: necefiîim en: al ad c, arque dlad firriplam obieruare rationem. v’t ex ip(a numeros

firman-pinrum (infiniepotes 35g , Barry elicete à: biwopqœôc formula. 8116W» , 804.08 WWOP’IPË I . I "à ’31D- 1 Wopâ 6V: and à; 216mm!) me and a1,8wwc hiémal: arrêt En!) tu. Ordinata proportio, cil Cùm filCl’lt antecedcns ad confequens, fi: t7 cut antece ens ad confequ ês:8: confequés ad rem aliam, leur con fequens ad rem aliam. " Exp editis ,quæ ex eadcm proportione fubinferunrur rarionurn eompararionibus: diflinit tandem Euclides,binas proportionum fpedes,inter geminos proportienalium magnitudi- hum ordines accidentes. Ordinatam itaque proportionem adpellamus, quando antecedeno 515W 0’41” tium 8: cafequêrium ordinatim fit cemparatio..Vt fi bininerbi gratia) filerint numerum!!! nata; propo" ordines,alblain uâ primus,8: dlelfifecûdus: hérite; nous. and blveluti dla e,8: blad aficutelad fil-lie rationû a b c d e f identitarem,’erdinatam folemus vocitare proporriot 9 6 3 u 8 4 nem.Huic contraria en: perturbata,quæ fic diffinirur, I urqmpan au àuÂQ-iœ 359,st 713151) 6319W pmeëpmd ânon: imp ânerie dans; yî’viïœcùt A?! d’un même [47401019 nippon arrise imipflvopfiu’raç ci qui: ÀM’ae p1- yÉOwIp ÛTIÏWOP mais îwûwopzôc Je ci au": «ténu pedum êdeop «MM ru, 8mm: aidait Lemû’ozç poétisoit: biftuop arrêt and m. Perru rbata autë proportio,efl: quando tribus exiftcntibus magni: tudinibus,8: aljis eis æqualibus multitudine:fit ficut uidë in pris mis magnitudinibus antecedens ad côfequens,fic in amndis ma: gnirudinibus antecedens ad confè ucns:ficur au té in primis ma: . gnitudinibus cenfequens ad rem iam, fic in feeundis res alia ad antecedens.

Hz: tam lucida efi,vt amLIBER ieri non videatur dedarationeNon v. * us grauav beris tamen exemplarem intelligere mulanx. Sint. a l 5., c I . a I e r Exëpll pas. ; iam! mît!!!" albIC)& dlelfl - inumererum ("dit 6 p I 6 i - ratio nes: fitque and blfieur el a f,8: blad aveluri dlad e. l 4 i ’ ’ Hun: irai; inuerfum proportionis ordinê, rbaram proportionê adpellamusJIPræter De cataire, hasaurê, Zibertus Veneurs adiecit exten æat inordinatz propertienis diifinitionesgb ipfiusordinaæa perturba: proportionis di ’tionibus minimè diftrepâteszqiiasmm qui: in gracia nu quam reperi exemplatibus,tum qued mihi fuperabundate videantur,e5n me ul prztermifi. Omnis fiquidem extenfa propertie,ordinata efi:8: inordinata,ead5 que perturbata. Ni forfitan voluctimus extenfam reportionemmnninomm vtriuf. enliais Notandum. continuatam przfu ponere relationemxüm prenedmtium ratienum c6 equentia, fiant antecedentia uccedenrium. Vt extenfa propertio, continue proportionalium folumt mode refpiciat magnitudinum habirudinëwrdinara ver-b,a!!! continue, qIIàm dîrfiàntîmlè V proportionnait fic extenfa proportio,fimul erit ordinara:fed non omnis «diamantent fa vocabitur. Idem velim habeas iudicium,de inordinata atq; perturbata proportione.

Oléglfm: a, newton" a. «a; g? Maïa Webômwiîp pensai: ivoirin rainé-fixas» buis-s Murmmmë mYop,ôawaÀémop 359ip1’fi7 pfieô’p lvàç,muwœMm (sa; le) mimine: m M. Tbtortma 1, Propojïtio 1. A , :9 I fixerint quæliber magnitudines quarumliber magniru: 325p dinumæqualium numero, fingulaz fingulanî æquè mu]: Vs ” a tiplices: quotuplex efl vnius vna magnitude, totuplices erunr 8: omnes omnium. l I ’ I O R O N T-I V S. ŒSint Il!!! delquuæliQer magnitudines, ip(am-cf aima. itudinumtæqualium numero,fingulæ fingùlarum asque multipliœszvtpotewbl ipfius e,8: czdIipfius EAio,asz8: czdzmagnitudines,totuplices fore i (arum HG! f7 magnitudinum,quotuplex ci! albxipfius e,vel czdzipfîus E Naine): yporhefi,tot fun: magnitudines in azb, uales ipfi e : quotin a magnitudine, :quales ipii f. Sir vtraque multitudo,zqua is numero girdifiin rur(exê’ li gratia)in a:b,ma gnitudines :quales ipfi e,iuxta numerii g, fint’q;v ,h!k,8: kl : in ip(a perte ad, :quales ipfi fiquz fint ol,l:m,8: nvd. Cuilibet cnim magnitudini, quotlibçt dati, Natacha; a h È b veladfignari poire :quales, retipiendû cft.0mnis præ« ç i rerea magnitude,in dererminaras quodibet,8:adinuicê g 1 n a :quales partes (etfi forfitan nondum præofienfum file L3... Æ rit, quanam ratione idpexæquatur) abfiraâiuè (a! té par» . tibilis cit. Cùm i ’tur azhzæqualis fit ipfi e,8: cszfi f: Deduaio du :quales eruntallv8: cIl,ipfis ez8: fImagnituîilnibus, pet (ecundam oommunë feria matis. tendam. Rurfum queniâ :qualis et! hzkzipfi e,8: llmlipfi flaquales rur(um crût, per eandcm communem fententiam,bzlv8: lzm,ipfis ei8: fiHaud dimmiliter 0&5. detur,quôd 8: caret: klb: 8: nvd, eifdem U8: t7 ce: uanrur. Quoties igitur arb! œntinetipüm c,aut Cldzipi’am Etoties a7bz8: czd,eafdem ez8: fzfimul cem rchen» dunt,nempe (ecundum eundem numerum gOJæŒplœt igitur eft azblip lus e,vel cldzipfius fitotuplices funt azbÆ: czd,ipfinî ez8: f. Hoc autem in difcretis cuida tins manifei’catur: quemadmodùm fubieâi formulas videntut indique numeri. Si fixerint igitur qualibet magnitudines qua rumlibet magnitudinum:8:c,vt in theore mate;de oportebat demonfirare. I , k.iiij.

a i eidem: -I fi, l ’ ratienum 15.- p ’ - A9 «son... hmm... induit memorandum mari «rimi trimerai A: a arapvfiop au». m’en intime meokKoâ hTop nTéenumgâ &uîroip fiæflp, «si. ognfiopflku- afi’wîavimç i504: mNŒMmopmod afinp,lœ:iix’[op TËIéQ’IDU. Tbtortma a, . Propofitio a. V S I prima fècundæ æquè fiJerirvmulriplex 8: tcrria quarræfucrit Z autem 8: quinta fècundæ æquè multiplex 8: fexta quartæ: 8: i compofita prima 8: qu inta fècundæ æquè multiplex crit, 8: terria 8: fcxta quartz. p O R O N T I V SlISint cnim Ex magnitudines,albIprima,cxfècunda,dleltertia, flquarta,blgzquinta,8: ezlvfextæquarum prima axbziècundæ czfit arque multiplex, - E g ac rertia dxezipfius quarta: f: 8: quinta ruriùm blâlciuiï c dem fecunda: Clæquè multiplex cite, ac fexra e! zeiuf- Î: z h dem flquartæ. Aie quôd compofita ex prima 8: quinta Lq vtpotc alg,i(pfius (and: aerit arque multiplexac ret- tia 8: fixa imul, vidclicer d! la, ipfius quartz f. Cùm cnim ex hypothefigquè multiplex cit albzipfius c,vt dzuipfius f: que: igitur ma- Dernmraflo theerematis. gnitudines ont in alblæquales ipfi c,tot (un: 8: in d:e,iæquales ipfi f. Rurfum que» niam bzglæquè multiplex cit eiu(dcm c,ac ez hleiufdem f: rot igitur fun: ma ia tudines eidem czaquales in blg,quot 8: in elhlæquales eidem f. ngt igitur (il: magnitudines in rota azg,ipfi cæquales: rot (un: 8: in rota dlh, :quales ipfi f. fi e- nim æquè multiplicibus,æquè multiplices addantur magnitudinesxôfurgét arqué multiplices. Sed a! ,continet primi 8: quintam magnitudinê:d:hlautê,terriam 8: fextam. Et compo ira igitur prima 8: quinta aIg,fecundæ czæquè multipex erir:ac tertia 8:fexta dlh,ipfius’quartæ f. Igitut fi prima (cuida: æquè Fuerit multiplex, 8: terris quartæ:8: quæ lèquuntur reliqanuod fuerat oüendendum.

A1: airant: chiniez:’ endenta idéale Ë mszaiopmod 7, retienne avinai: caméeirsfllmpeii 7. l Je iodait m7: Weimar a? «févr: «(gai affirmmd diriez: il? M 4206ka lithopop hmm-ée: iodant 15m mmmmopà [431,5 dlwirieapb 5,65 «réera. Tbcartma ;,’ Propofirio 3. i5! primum fècundi æquèfuerit multiplex,8: rerrium quarti. funiârurautem æquè multiplicia primi 8: terrifia æquè fums prorum vtrunque vrriufqgæquè crit multiplex, alterum quidcm (cen ndi,alrcrum autem quarti. i O RÇ N T 18V S. ([Sit primum alfecundi buque multiplex,ac tettium a i fins qua rti d: 8: aocipiantur ipforum al8: vaque multiplicia:,czfzô: zh. Dico i uôdezfl am multiplex cil: ipfius’fecundi b,quàm multiplex efi Ilvi Fins quarti - Cùm e l m genim pet hypothcfin, torup ex lit exfzipfius a, quoru- .a a . plex cit gzlvipfius c:tot igitur erû’timagnitudines in esz (L :quales ipfi a, quot in magnitudine gzhzæ uales ipfi c. g n ’ , o a i: Sir vtraq; multitudo,iuxta numerum 1:8: difcernantur ne i. l V . (maioris euidcntiæ gratia)in ezflmagnirudines :quales L I :pfi a, fint’que ell,lzm,8: mzfi 8: in gxhxmagnirudinejpa ICI :quales ,vtpote glu, me, 8: exh. Et quoniam pet

hypotbefin,æquè,multiplex efi-alipfius b,atq; Clipfius dia autem elllipfi a,8: gmz Prunus onen :pfi czper côfituftionem :qualisAequaliazpôrrôLIBER eiu(de’ (un: æquè multiplicia,. u7. et "mû Mm" en: diffinitionis primi libri tonucrfienem.Aequè multiplex igitur en: ellzipgus [a b,ac gzrvipfius’dEt proinde maque multiplexiridem cil ipfius b,ac Nez ipfius d.5unt itaque (ex,rnagnitudines,quatû.prjma ezlzfecundæ braque, multiplex efl’, ac (qu’a gflvipfius quartz dziquinta rur(um 11m! eiu(dcm (ecundæ buque multi. plex eii,ac (exta nzozeiufdemquartæ dit compofita igitur prima .GCqumta czin: ipfius fècundæ dræquè multiplex efi,ac tertia 8: (exta g:ezipfius quarra: d:per anteoedentem (cuidait: propoûtionem. Rutfum quoniam :qualis cit mA) ipfi a,8: Secûdus,pn’o 0th ipfic: zquè. multiplex iridien: mlfxipiîus b,atq; othipfius d,per. eandê (extæ fi ("nain dm diflinitienis primi libriconuerfienemOiienfum cil autem ezmz8: ginipiarum bz dm" 8: dlfore æquè multipliceS.Sunt itaq; rur(um Ex nugnitudines,quatû;prima qui; (ecundæ blæquè multiplex cit, ac tettia gzo: ipfius quartz dziquinta in(uper qui) eiu(dcm (ecundæ bzæquè efi multiplex,ac (exta ozhleiu(dem quartz d.Er compofita igitur prima 8: quinta ezfi ipfius (caïdat bzæquè multiplex efi,a’cfltettia 8: (exra gihzeiufdem quarta: d: pet allegatathuius quinti (ecundam propo’litienemv. Et deinceps itaquantumlibet,ptiotibus confèquentes adiungendo magnitudines,pro contingente ipibrum æquè multiplicium ezfz8: gzhzmultitudineArqui. multitude ezl,lzm,8: nvfimultitudini gzn,nzo,8: ezhzæqualis efi:vtraque cnim ipfi .kmumeto :qualis. Si igitur primü (ecundi æquê filetit multiplex 8: tettiü quartiz8cc. vt in theorcmate. (yod fuetat ofiendendum. .

Ap- marrois ŒÔeN’w nôtdiêu’rteop ’rôp 6*, (’11!po ratifient; in Âdflp,Ô effroi: 4’. arrêt triquetropmad ’ 7 » tôt idéale V mammaire fait: même tu) cette mais fait même mzhamàa’mœ Æ «flattiez; a ma de?! un? 601mm?» mnœraàœama’pôy, po àwôp M7op Meim uœTéAMM. 7 Tbtortma 4, Prapofitiq 4. 4. , I rimam ad (ecundum eandcm habuerit rationem,8: rerriü , a quartum: 8: æquè multiplicia primi 8: tertij ad æquè mal: tiplicia (ecundi-8: quarti i’uxta quâuis multiplicationcm,eandem habebunt rarionem (umpta adinuicem. i - 0 R O N T I V S. (IEfl’o cnim vt primüazad (ecundum bxeandem babeat ratio . nem,quam Utettium ad quartum. d: 8: aocipiantur iplbrum ax8: c, hoc cit, primi8: tertij arque multiplicia ez8: (,(ecundi pariter 8: quarti,vtpote, ip(orum bz8: dl alia itidcm arque multiplicia gl8: h. Aie quèd etmultiplex primi, ad g! multiplex (eo cundi eandcm habet tationem,quam (multiplex terri] ad hzmultiplex quarti.Su’ . mantur cnim ip(oruin ex8: (,æquè multiplicia kz8: l:ip(orü porte gz8: haha fimili’ ter arque multiplicia mz8: n. Cùm igitur extotuplex fit ipfius a,quotuplex cit f! Emmnà? ipfius c, 8: ip(orü e18: (z, (umpta (unt arque multi licia «mm i k:8:l:igitur zquè multiplex cit kzipfius 21,8: bip ius c, - pet tertiâ huius quinti. 8: pet eandcm æquè multiplex - , efi wipfius b,atq; nlipfius d. Bit autem ex hypothefi, fieu: a! ad b1 ira czad d: 8: ip(orum az8: e! oflenfi (un: * arque multiplicia kz8: l, necnon ip(orum b:8: dz alia iti’ ’ - dem arque multiplicia nu 8: n. m igitur fient-k» ad m, ira il ad n: pet conuerfienem (extæ diflînitionis huius l 1 l I . l quint1.Sicu ri cnim ex lpfbrum arque multiplrmum pre- flanc-ù, and, k w," .1 w n pertione,daras magnitudines in eadé elTe tatione,(exta mulfiphcium huius. quinti: vi(aDexêmul cit innuete diffinitiœhaud diflimiliret

us GEOMET. ÉLÉMENT. ex ip(atum magnitudinû habitudine proportionata,eorundem æquè multiplicium i ’ tarionis vetfiwice concluditur identitas. tarira efi arque i multiplicium cum (ubmultiplicibus necefiitudodîfi "igi» tut v: kzad m,ita Lad mhoc cfi,ficut multiplex primi ad multiplex fëcüdi,ita multiplex tertij ad multiplex quatti.Ip(a petrô kz 8: l, ip(erü ez8: frfunt zquè multiplicia: i T - mlverô 8: maque multiplicia ip(orû gz8: b,pcr confitu- - étionemJEft igitutvt elad g,fic fzad h: pet (extam huius i ï I quinti diifinitionem. Atqui ez8: f,(unt arque multiplicia e a i. un f a nprimi 8::ertij:gzautem8:h,(ecundi 8:quatti aliaitidem " d ’ X.) æquè multiplicia. Si primû igitur ad fècundü eandcm habuetit rationê:8: que fèquuntur teliqua.QJod demôfirandum (u(ceperamus.

([Et quonii oûêfiim e&,quôdLemma,fiue multiplex klad multiplex aflumptum;mzfe habet,vt multiplex s [lad multiplex n. fi igitur kiexcedit m,8: llprepottionaliter excedit n: 8: fi æquale, :qualem: fi minus,itidem proportic’maliter minus. Silure 8: ver(a vice, fi nvexce- dit k,8: n! topottionaliter excedit 1:8: fi zquale,æ e:fi autem minus,8: propor» tienaliter denique minus . Et proinde, pet (extam uius quinti diifinitionem, crit v: gzad e,fic lvad fiatque tefpondentet ficur blad a,ita dzad c. Corollarium. Çonuetfa tu IISi quatuor igitur magnitudines fuerint proportienales: 8: ècentra, (tu à côueria m ratione proportionales etunt: (aéra videlicet con(cquentium tanquàm antecedentium,ad antecedentia tanquàm ad confequentia relatione. ’ enfreinte: t, retienne t. a! FM?- pmess imine ë ammtæMmpfime menai &çmethrçmd à Marie sa Mm? Intime i504: amm’nàémop,66màémôp 8h do 3Mp ü au. Tbeortma 5, Propqfitia y. SI magnitude magnitudinis æquèfuetit multiplex. 8:ablata S ablatæ:8: reliqua reliquat crit multiplex.quotuplex rota totius

0cit R9 N T multiplex.I V 8.112110 magnitude a:bzmagnitudinis i I cIdztam multiplex,quâm multiplex cit ablata azelablatæ cÆDice reliquam Clb, reliquat fldl toruplieem (0a Affmnphm- te,quotuplex efi rota azbztotius od.Ponatur cnim elbxæquè multiplex ipfius gzc, Dmmfio. vt agenpfius oECùm igitur tü pet hypothefin,tum pet confiruâionè’,tetuplex fit theotematis. aven Gus afiquotuplex ci! ezbzipfius glcquoruplex autem et: vna vnius,tetu li, ces un: 8: omnes omnium,per primi huius quintimiotuplex cit itaq; azezip ius afitotuplex cit 8: rota azbztotius ng. A: quotuplex cit amipfius a f, totuplcx cit 8: eadcm aszipfius ad, pet hypothefin. Et azb: igitur vtriu(que 8: gl (z 8: 0d! eft a e 5 æ ue multiplex:8: proinde vtraque gxfz &Ud, eiu(dcm W4 az ne uè ubmultiplex cit. Q1: autem eiu(dcm (un: æquê (u multi licia,æqualia (enradinuicem, pet (eptimam communem (ententiamAequalis e igitur ngzipfi czd,8: vttique communis cffiqua dempta,reliqua gIczreliquæ (d,per tettiam cômunem (ententiâ efi :qua» lis . ne ualia rur(um eiu(dcm (unt tqui: (ubmultiplicia, pet ipfius (eptimz com» - munis ententiæcpnuerfionemEt glCIigitut at ue f7d,eiu(dem azbzfunt æquè (ubo multiplias:8: proinde aszvtriu(que 8: gzcz8: :dIæquê efl multiplex. Porto ezbz :que multiplex et): ipiius g(c,peroenfituétienë,vt aze ipfius 08E: eadê propterea

CIb,ipfillS (zdztam multiplex cit, quam multiplex et: ip(a azez eiu(dcm cIE Atqui pet hypothefin azeItetuplex cit ipfius czfiquotuplex cit tota azbztotius cdeEt relio qua igitur eib,reliquæ fidzælqluè multiplex efi,arq; rota albztetius czd. Ergo fi ma gnitudo magnitudinis æquè crit multiplex 8:ablata ablatæ,8: reliqua teliquæ:8:c. vt in theoremateond ofiendere (liera: opetæptctium. .. - Gedçnyœ s, reétam; s. E ":6360 1457:9»: J160 7:27:95p iodure Êmhilœræàéoiœmj âqàœcereoiau’ïivà 759 0’:wa iodé lez-«11v fiflzfir” in ’l ne v in; fimnœwàémæ,xpâ qui lamaient àunîçn’im i6: 351:,iiavîmç Étui? maremme..- . Tbtorerna 6, Propofitio 6. .7 . I duæ magnitudines duarü magnitudinû æquè filerinr multi: S plices, 8: ablatæ aliquæ earum æquè fuerint multipliccs:8: te: r: je: .. liquæ ci(dem vcl æquales (unt,vel æque ip(atum multiplices. O R O N T I V S.([Sit aIbImagnitudo tam multiplex ipfius c, ë multiplex cit diezipfius fiæquè in(uper multiplex eflo ablata axgzeiu(dem e,vt abla ta hzetipfius (Aie q: reliquæglbz8: dlh, ipfis 06: (laut (unt æquales airera alteti: vcl earundem a 8: fzæquè multiplicesÆfio primüvt g:bzfit æqualis ipfi cdicoquôd 8: dllvipfi (z Prima theore cf: œqualisDetur cnim e!k!ipfi fiæqualis. C6 igitur azgz arque multiplex fit ipfius matis dilferên e,vt hœzipfius (,per byporbefimPorrô g:b:æqualis cit ipfi e,pet hypothefinz8: ezkz ria. ipfi fiper côfiruâionëÆtæquè igitur multiplex cit axbzipfius.c,8: hIinpfius (Po nitut autem ex hypothefi,azbzæquè multiplex ipfius e,vt dzezipfius EEtvttaq; igia v tut dlez8: h:k,æquè cil multiplex ipfius fi nempevt azbzipfius c.Oxuæ autem eiufï a a dem (unr æquè multiplicia,æqualia (unt adinuicem,per (exta: communis (Ententiæ mterptetarionem. Acqualis 9-4 l efi ergo dæzipfi h:k,8: vttiq; communis hz e: ca itaque di-L-a-Î-JFa 3’ dempta,reliqua à . dxlvreliquæ. . .ezkzetit . pet tettiam como f..... munem (cntentiâ :qualis.Eidem porrô elk, æqualis cit pet confiruâionè’ ip(a fxmagnitudoBinæ igitur magnitudines dlhz8: ficidem 0k; fimt æquales:8: proinde æquales adinuicë,per primai cômunë (entenriaî. Si reliqua - igitur gIb,fitæqualis ipfi c8: teli ua dzh,ipfi (fait æqualislIQJ. fi gxbzfuerit mul Seeüda theoa tiplexipfius czaio tc(pondcnter :h,æquè multiplia? fore ipfius f. Œotuplex efi: rematis dit?» enimiglblipfius c,tôtuplex alTumatur ezkzipfius (Et quoniam pet bypothefin,algt rentia. prima (ecundæ cz æquè cit multiplex, ac tettia hl e! quattæ f: quinta rur(um gz ; eiu(dcm (ècundæ Gram multiplex cf: pet confiruâionëâ multiplex cit (exta eku 1 a: l eiu(dcm quartz f. Et compofita igitutlptima 8: quinta i c azb, eiu(dcm fècûdæ e! arque crit multiplex,ac tertia 8: r l e . (exta hlkzipfius quattæ (,per (cuida huius quinti.an tuplex cit autë azbzipfius c,toruplcx data eli dze: ipfius (,per bypotbefinÆr vtraque igitur dzez 8: hik,æquè et: multiplex ip(ius (,vt azbdpfius eHinc pet Grimm communem (entêtiam,æqualis rur(um cf: dze!ipfi hzk,8:vrriq;cemmunis hzezqua (ubtra&a,reliqua dzlvreliquæ ezk,pet i (am tettiam cômunem (ententiam, cit æqualis. Acqualia porrô eiu(dcm (unt arque multiplicia,per ipfius (exta: communis (cntentiæ c6uctfionem.Et dzhz igitur 8: ezkzciufdcm fzæquè multiplicia (unt. Are: inpfius fztâ multiplex cit pet confituâionem, quam multiplex cit gzb: ipfius c.Er reliqua igitur d! la: arque cf: multiplex ipfius fiquotuplex cit reliqua glbz ipfius c. Hæc autë omnia (ub(equës i numctorüad facilierë demôi’rra tienis intelligentiâ adiunâa,cotrobotat formula.

ne GEOMET. ÉLÉMENT.

Exemphmin A i ’ datz.

Ce Il 2. 3 n. itaque3 endente v z, ’ Ppôetme p a. r1- ara. l 15765112); à n’aie-b 1511520751) ixia néronien! à «un 1:25:70: 76:. Tbcorcma 7, ’ Propofitio 7. AE uales ad eandê,eandé habét rationë:8: eadcm ad zquales, 7 O R O T I V SJISint bina: 8: inuicem zquales magnitudines M8: b,ad aliam quandam magnitudinem telatz,vtpore c.Dioo primü,al8: bIad eandcm cœandem vvqu-w Prima theote habere tationem.AlTumantur cnim i (arum az8: bzzquè multiplices d’8: e: ipfius matis para. autem c,alia vtcunque multiplex (.Cum igitur zquè multiplex fit dzipfius a,vt cl ipfius b, 8: et hypothefin az8: bz magnitudines fintadinuicem zquales: crit 8: dr zqualis ip l e.quz cnim eiu(dcm vcl zqualium (un: zque multiplicia,zqualia (unt adinuicem,per (extam communem (ententiamAtqui (Imagnitudo binas ipfius e! teptz(entans zquè multipliâefs,fibimedt zqqialis effth (e habfet igitur déplultidlex a ,ita cza ean cm :nam uz unt z ua ciu cm *--4-*-* P-J-fi (un: zquè multiplicia aut (uquultipliciaî pet (extz aut e-a-i i-v-t (eptimz communis (ententiz conuetfionemÆfi: autem "7H ’ A aIptima magnitudo,cz(î:cüda,bztertia,8: czrutfum in otdine quarra: lunt’q; d:8: ezipütum az8: brzquè multiplia cia, rimz inquàm 8: tertiz magnitudinistfr’ponô bis repetita,ipfius obis rcpctô dz, oc ei’t, (ecundz 8: quartz alia vtcunq; multiplex. Przofien(um cit in(uper d! multiplex primz ad f! multiplex (ecundz ira (e habete,vt ezmultiplex tertiz ad io p(um ((multiplex qua ttz.Eii igitur pet (êxtam huius quinti diifinirionem,vt a! ad c,ira bzad eandcm c. Acquales igitur magnitudines a! 8: b,ad eandcm magnitudinem c,eandcm habent rationem. lIAio quoq;,candem magnitudinem c,ad :18: b1 Pars feeunda inuicem zquales magnitudines,eandem ver a vice oblëruare rationem. Hoc aure theorematit. oonuerfo licebit ordine concludereOflendemus enim(veluti (uptà)dz8: et multia plices,fore rur(um inuicê zquales:8: f!bis ceaifumpta, gemmas zquè multiplias teprzfentate non dencgabiturÆr proinde dzad (tira il: habere concludetut,vt ezad eandcm fihinc pet alfumptum,fiue lemma quartz propofitionis huius uinti,frad dxfi: habebir,vt eadcm (ad e. Bit autem frprimz 8: tertiz magnitudinisghocefifip- fius obis tepetëdz zquè multiplex:dlverô 8: ezfcœndz 8: quartz,vtpote ip(àtum az8: bzzquè multiplicesÆft i itur vt clad a, fic eadcm czad b, pet eandem fèxtam Idem aliter. huius quinti diffinitionemlI dem quoq; à conuetià ratione, pet quartz propoli- tionis huius quinti corollarium,leuius conclude te licebit. Si qua tuer cnim magma radines (uetint proportionales,8: è contra rqportionalcs etunt. Arqui oflenlum cit and ezeandem habere rationem, uam za eandcm c: 8:3: côtra igitur,vt clad a,ita eadcm and b. Acquales ergo a eandcm,eandem habent rationemz8: eadcm ad zquales. Quod oportuit ofiendilfe. eeôenpœ Il, P969201: u. nil éditais ptyeô’p à-pâzop arrêt à deus-ô pâlotte M701: in! i716) àïMoytiæd à barré virée T6 ïMiop,pe-izovœ A67opi’xe 071:6; mais ’rà pétois. I Tbtorema 8, Propojîtio 8. Næqualium magnitudinum maior ad câdem,maiorem rationè’ 3

habe r. quam minor:8: LIBEReadcm ad minorem maiorem V. rarienem rat ha: bet,quàm ad maiorcm. 0 R O N Tl V S. IISint binz magnitudines inzqualesgzbzquidem maiot,8: cz miner: dzautem alia quzdam magnitude. Aio primùm quèd azbzad dzmaiorê tao tienë haber, quam czad ip(am d. Cùm enim ex hypothcfi azbzfit maior magni. tudine c: comprehendet itaq; azbzmagnitude eandcm e,8: aliquam in(uper ma io tudinê.8it igitur ezb,zqualis ipfi e,8: azezrefidua eiu(dcm magnitudinis pars. tût ergo azez8: ezbzaut inzquales,aut z uales adinuicê. Sint primü inzquales,8: azez Prime partis mineti (a ezb.Su(cipiatut autem ip ius minoris azezvtcun ;multiplex, maius tao diffama pris ma. men ip magnitudine dtfitë; illud fngiâm multi lex i upet efi fzgzipfius azc, tam multiplex detur zhzip ius ezb,8: kzipfius c.S cipiatur rur(um duplum ipfius d,vtpote l:pofiea trip um,fit’:g illud m.8: deinceps ita,vno (emper adiüâe: quate» nus tefultet multiplex ipfius , proximô mains ip(e k,id cit, quod inter multiplicia ipfius dz pet continuam fimplicis additienem oon(urgentia, primo incipiat ex. cedete une; illud nzquadtuplum ipfius d.Erit ergo kzmultiplex,ptoximô minus ip(e m8: proinde non minus ip(a m.IIHis ira ooniiruétis,tp:onii zquè multiplex Demôltratio eiufdë prime w cit (zglipfius aze,vt zhzi ezr:quol:uplex igitur cil: diiferentiz a . . à g (z zi fins aze,totup exe z zip ius az , et rimi hu- a k mg qliiinti.Sed qvotuplex cil (zgzipfius azâtolt’uplex cil kzipfius c. Etfz ’ itur tam multiplex efiiplius azb, q a; . , , multiplex efl’ k,ip lus c. In(uper quoniam z uè multi. a l , , , , plex cit gzhzipfius ezb,vt kzipfius c8:ezbzi iczper c6- iiruétienê cit zqualis.quz autë zqualiü (un: zquè mul- i tiplicia,zqualia (unt adinuicem, pet (Extam communem (ententiam. Acqualis et: igitur gzhzipfi k.Verùm kzip(a mznô efi minor,vti nu pet ofien(um el’tz8: gzhzita ; eadcm mznen crit minor.Potrb fzgzdara cit maior ip d.8: rota igitur fzh,binis 8:mzerit maior-Sunt autem dz8: mzipfi nzzqualeszli enim nzquadtuplum ipfius d,8: mztriplum,vnà cum ip(e dzcfliciens quadruplum. Et (zhzigitur ip(e nzmaius cimam idem,zqualium cl! zquè malus.At’ ui (z z8: k,iplarum azbz8: c,primz in uam 8: tertiz magnitudinis (unt zquè mu tipliciatnz Vetô vtcunq; multiplex ip. ius dzfecundam 8: quatrain magnitudinem teprzfentâtis.8: multiplex primz ex. . cedit multiplex (ecundam: multiplex tertiz non excedit multiplex quartz.Ptima igitur azbzad (ecundam dzmaiotem rationem habet, quam tertia ezad quattam d: pet oflauam diflinitionem huius quinti. IIQièd fi azezfuetit maior ezb, multiplin Einfdëprinre f cetut imp ip(a ezbzmitàer,qparenlpsdinfililtgï multiplex partir, "(cré "-r-t-t-L-Â malus i a magnitu ine: it’q; i u gz . uam mu rio ria (etunda. w k à plex ùlëlpcl’ cf: zhzipfius ezb, t5 multiplex aedpiatut MI fzgzipfius aze: 8: zrurfum ipfius eSubfumatur ptzter- m ’ ea multiplex ipfius d,pteximo maius ip(e (zg: me; rut» a, l (nm nzquadtuplum ipfius d. Haud di militer oliende mus,tetam fzhzipfius azbzfote totuplicê,quotuplex cit gzhzipfius ezb: 8: demutn fzhz8: k, ipiarum azbz8: czzquè itidcm fore multiplias. OfiEfionit tu item glhzzquati ip(i k- Et quoniam nzmultiplex,preximo mains efi fzg : non cl: (clade. . igitur fzg,minus ip(e m.Atquifgthmaius cit ip(e d,per oonfituâionemxotum igitur (zb, i fis dz 8: m: maius e :8: mains oonfequentet ip(e n- Porte kl non ex» œdir ip(tlitn ntefi cnim k, ipfi zhzzquale, quod tain multiplex cil: ipfius. minotis ezb,quàm multiplex eft fzgzip ius maioris aze. quz autem inzqualium (unt zquè multiplicia,(untl tefpendentetLi. inzqualia. Et kz igitur, minus-cit ip(e (zg: 8: ip(e n!

12.2 GEO.MET. ÉLÉMENT. propterea lôgè minus. Rurfum itaq; multiplex primi excedit multipexlECiidi: at multiplex tertij,nô excedit multiplex quartLPer ip(am igitur oâauâ hunus quinti dlffinitïoncmn rimam axb,ad fècundum dzmaiorem rationem habctâ tettiü czad Tç’fia mm? quartum d-IIForrô Cùm aze,fi1erit æqualis ipfi clbzvtraquc crit zqualit ip(i c. Cu. fiféfênïfaîm iuflibet itaq; ipfarum trium magnitudinumfumêda funt æquè [pultlpllClagxpfO dz i maiora: fzgxquidem ipfius aze,& gxhzxpfius ezb,8t kzrur LF-F-L-t-l-fi fum i fius c. uæ et fextam communem Ententiam, î-f-lb à etuntgdinuicë æqgalialttm mmultiplex ipfius d, quod ’--*-*”-* illorum quolibet proximô mains exiflat. Qiibus tond En , fituétispftendëtur ru rfum fzhzôt k,ipiàtum aszôc czfoé u , .p Ï, , te æquè multiplicia:8( flhlmultiplex primas magnitudi.’ nis,excedete ipfum nImultiplex fecundædvautem mul tiplexÏ tertiæ,non excedete multiplex quartæ.Hinc priori deduâione colligemus, EÆPËÏË: axbzad dzmaiorë habere rationë, quam and ip(am d. (Dico infuper,quôd eadcm orcmatis. magnitude d,ad minorem czmaiorem rationê habet,quàm ad maiorem alb. Hoc autem ex (uprafcripto difcurfu, immutato magnitudinü a: æquè multiplicium or; dine,haud o (Eure colligemus. Cùm cnim omnibus modis præollëfum fit,thzex. cedere ip(am n,8( anb codé mfuperati: 8c côuerfim igitur,nzexcedit k, nô excedit autê fzh.Porrô meft multiplex ipfius d,hoc efl:,ptimæ 8( tertiz magnitudinisdvauo rem multiplex feeundæ,vtpote e,8: fzhz æquè multiplex quartæ, .fcilicet axb. Mal, tiplcx infuper primæ,excedit multiplex fècundæ :at multiplex tertiæ non excedit multiplex quartæ. Per oâauam ergo difiinitionem huius quinti,ptima dlad fècun- dam cimaiorem rationem habet,quâm tertia dzad quartam axb. Ergo dzad mina» rem cxmaiorem rationem habet, quam ad maiorem azb. Inæqualium igitur ma» gnitudinum: &cwt in theorema &de ofiendere oportebat. ’ ’

A 7R5; 15: vautré , trôpQiÔeNPœ àwrôp î’xovrm: 16743573: «infime9, même"filmai 719:0; ë 7554176 9. rap évita, - ,L ïxd Abopwigmëva 76: annal; 35 . l

Vær adTbeorcma eandcm . eandcm 9, habent Propofitio rationem, æquales v 9. inuita. .9 cem funt: 8c ad quas eadcm eandcm habetlrationem , ilpfaex funt æquales. Wh”! Partis O R O N T I V S.IISint bina: magnitudines aIôc b, ad tertiam cleandem rationë obtinentes. A10 quad :qualis cil a,ipfi b. Nam fi Mât bzmagnitudmçsforent me æquales:maior ad eidem meaiorem rationem haberet,quàm minor,per primam ofienfio.pattern antecedentis oâauæ. ’ propofitionis . t huius- .quintiHabet . - autem. vtraq; ip(a- rum azôc bleandem rationem ad ip(am c,per hypothefin. Haberent igitur a1 8L b, f eandcm,atq; diueri’am rationê ad eandcm czquod cit impoilîbile.Aequalis cit itaq; âfireïua’àfr a h à a,ipfi 50de fi czadeafdem axa: bzeandem habuetit . g rationem: dico rur(um, quod a!&bxæquales flint adma I i . uicem.Si cnim forêt inæqualesæadem ezadipiâs mat b! - magnitudines eandcm non haberet rationem ad minorem cnim maiorem ratioo nem ’obtincret,quàm ad maiorem,per recundam pattern eiu(dcm oâauæ propofië tionisSupponitur autem,eadem clad ip(as m8: bzeandem habere ra tionem. Eadë itaq; magnitudo c",ad ip(as axôtbzmagnitudinesxandem fimul atq; diuerfam rationem habciet.Quod videtut abfurdUm. Acqualis cit igitur azipfi b. ngd’ fufcepe» ramas oficndeu . i ’ . ’ 7.

L I B E R V. i la; op 11239 a?! acini» 16709 Exôfl’wpnbeidem: du: pâton: i, 167wretienne ixopfixëvo gazez: l.353*693 5’ 15 M pâton Myop ïxafiuêivo ïMiioy 8’519. Tbeomna Io, Propcyîtio 1o. 1° ’ D eandcm rationem habentium, maiorem rationem lia: ’ bens,illa maior cit : ad quam autem eadcm maiorem ra: tionem habet, illa miner cit. 0 R O N T I V S. ([Sint rur(um allât b! magnitudines ad eandcm magnitudinê Prima tilt-etc cleomparatæzhabeatq; and czmaiorem rationem,quàm bzad eandcm c.Dico quèd mati: pas. :1,in bzmaior eithoniam fi non filetit maior: vel etit :qualis ipfi b, vcl ea dem minonAequalis porto non cit azipfi b:haberët cnim axa: bx eandcm rationem ad b a umagnitudinem, pet primam pattern feptimæ topo. FM ç . fitionis huius quinti. quod aduetlatur h pothe 1. Non " cit igitur a,æqualis ipfi b. Haud difiîmilitetofiêdetur, quôd neqsminor cil axipfa bzquoniam azmagnitudo, minorem rationem habetet ad czmagnitudinem,quàm i pfa bzad eandcm e,pet primam partem oâauæ topo fitionis eiu(dcm quinti.habetautem a, maiorem rationem, quam bzad eandlm Cl pet hypothefimHaberet igitur aIad szai0tem à minorem rationem,quâm bxad ip(am c. Quod non cit poffibile. Itaque alnon cit minet b: neque eidem(vti nunc t oflendimus) æqualis. Et axigitur, ip(a bxmaior en. (IQuôd fi eadcm magnitudo Partis (écuma de «même» c, maiorem rationem habuerit ad bz quàm ad a: dico rutfum,alfote maiorem ip(a tic. b.Non eritenim alipii bxæqualis:quoniâ’ and a,candem rationem habetet qui ad b,pcr (ecundam patté præallegatæ feptimæ propofitionis. Habet autë c,maiorë ra tionë ad mg ad b,cx hypothefiquœ fimul (l’arc non polluntNon efti itur a,ipfi b! :qualis. Neq; etiâ minor:tunc cnim czad ip(am aImaiorë tationê ha ret, q ad b, pet fècundâ patté ipfius oâauæ propofitionis huius quintiHabet autë Cl minoré ra tionem ad a,q ad b,ex ip(a hypothefiHaberet itaqsc1min0tem fimul atq; maio- rêltationem ad a,quàm ad b.quod videtut impoflibileJ itur aman cil minot ipfi b.afiêfum efi,quèd nec eidê zqualiS.Mai0t cil itaq; tut um azipfi b. Ad eandcm ergo rationem habentiû:& quæ fequuntur reliqua.CL’uod oportuit demonfttafle.

I (sa? æuw A670) ciOsée»: «imamat ùMâÀoiç Id, êalp retienne oî émoi. la. Tbeorzma- n, Propofitio n. Il Væ eidem funteædem rationes,8c adinuicem funt eædem. i O R O N T I V S. IISint eidem rationi qua: and b, cædcm rationes qua: czad dl azezad fiAio quôd rationes c1 ad dza: ezad f, funt ezdem adinuicem:iicut quidcm ezad d,iîc ezad fiAccipiantur cnim ipfàmm antecedentium a,c, e, zque multiplile A gzhlkx-pfatü autë confeque’tium b,d,f,alia uæuxs æque multiplicia l,m,n. Cùm igitur ex hypothe lazad bzean dem habeat rationem , quam czad d, a: ipfarum au 8c ce Difcurfut a a î 1 primæ inquâ a tertiz magnitudinis, fumpta fint æque qué multipr * multiplicia g, h,fecundæ rur(um a quattæ,vtpotei fatiam. tum bzôrdœlia itidcm æquë multiplicia l, m:igitur l. l I - 3’ a I l-cxcedit’ l, &hIproportionalitet excedit m, flaqua e, Il i 3 m k f " zqualefli autem minus,itidem proportionalitet minus, l i’ pet fèxtæ diffinitionis huius quinti conuerfionemlnfu- pet quoniam pet ip(am bypothefin, fient and b,ita eIad fia: ipû rum mît.l.),primæ 4;.

12.4 GEOMET. ÉLÉMENT. videlicet a tertiz magnitudinis,fumpta (un: æquèmultiplicia gxk,feçundæ tutfum a: quattæ,vtpote ipfarum bxôt fialia vtcunq; æquo multnphcxa lin. fi Itaq; glcxccdlt l,& k!ptoportionalitet excedit nzetfi æquale, zquale: fi vetèminus,itidem proportionalitet minus, pet eadcm fi:xtæ diffinitionis côuerfionê.Atqui ptæofiêfum cil, 9 fi gzexceditl,excedit St lvipfum mzetfi æquale, aquale: miam-O de, I fi autem minus,ôcthropottionalitet minus eihpfo in. môflmionis. i g a 5 I QIaptoptet fi bzexcedit m,excedit 8c klptopottionall- l l V h l tet ipfiim mon fi hxæquatut ipfi m,coæquatut a ltnpfi t h w n mat fi minus fuetit hxipfo m,& kxdemum proportiona- s liter minus efi: ipfo n. Porto ’hzôt kzipfatum czaz c,pri- m3 Videlicet 5C tertiz magnitudinis data flint æquè multipliciazipfàtum autem dl ’ & Choc fifi fècundæ 8! quattæ,alia vtcunque æquè multiplicia mxôc n.Efi igitur pet (exta huius quinti diffinitionë,ficut czad d,in ezad f. Q9: eidem itaq; film eædem tationes,& adinuicem funt eædem.Chiod fuetat ofiendendum.

Ap anémia! M7661:adipique hanap, ïsoa in; Îp le, 75;; Mafia)!»retienne 18:99 îp :6.759 îmwmpfiu’rat E 62mm naîüyziwœflût amena: næîŒÜWœ- Tbeorema 12, Propofitio i2. - I fuerint quælibet magnitudines proportionem habentes:erit Il S ficut vna antecedentium ad vnam confequentium,fic omnes antecedentes ad omnes confequentes. t O R O N TI V SlISint a,b,c, 8( d,e,fz quotlibet magnitudines inuicem propor- tionaleszficut quidcm and b,ita czad d,ficutq; exad d,fic elad f. Aio uod quam tationem habet and b, eam habent 5c compofitæ azcze,ad conitinétas zdÆSufcipii- tut cnim Épfiirum antecedentium azcze,:què multiplicia g,h,k:& ipiàtü confitqucn» Quatuor a". tium b,d, ,alia quæuis æquè multiplicia l,m,n.Cùm fiti ’tur vt and b,fic cz ad d, 8: ipfatum ava: czæquè multiplicia funt g,h,ipfiirum veto ,d, alia itidcm æquè mul- proportion» tiplicia lzm: ficutfe habet igitur gladl,fic hzad i fum m,pet quattam huius quinti. guin’mkm’. Rurfum quoniam cit vt czad d,fic ez ad f, a iplgtum czaz ez æquè multiplicia fiant mainmfubti, hzk,xpfarum autem dzfialia vtalnq; zque multiplient m,n: fient (e habet igitutlv "SnadïnuëtiO-arum i multiplex magm adipfiim m, fic. k. [ad t ipfum . n. , pet. eandcm. . quattam ipfius quinti. Vtautem fi: habet hzad m, fic gx ad Me habere ptæofienfum efi. Efi igitutvt g! ad l, fic kz ad n, pet antecedentem vndecimam propo’fitionem. Sunt itaque g,h,k,& l,m,n, multiplicia inuicem prop0to h k tionaliazficutquidem gzad l,fic hzad m,& k ad n. Igitut 1mn fi gz multiplex excedit], excedit 8c hz proportionaliter . ipfum m,necuô 8c kzipfiim tua fi gæquatutipfi La:un l I Ï citât hzipfivF-l-dw m,& kxtefpondenter ipfi n: fi autem gxmi- è d ’ nus fiietit ipfi) l, cit a: lu proportiOnaliter minus ipfi) m,& kzdemûipfi) n.Et proinde fi g! multiplex excedit l,excedunt 8c g,h,kzmultiplicia proportionalitet ip(a l,m,n:8ç fi :quum cil gzipfi l, :qualia funt a g,h,klipfis l,m,n:fi autem gxfit minus ip(b l, etunt 8c eadcm g,h,k, ci(dem l, m, n, tandem æquè minora, pet (ecundam a: quartamcommlmcm (53W tentiam.Atqui g,h, kl magnitudines, ipiàtum a, c, e! magnitudinum fimt pet con! ftruâionem fingulæ fingulanim æquè multipliœszquotuplex- igitur eû- unjus un

L magnitudo,hocefiglipfiusI B E R a,totuplices v. funta; a: .8; féal:- omnes gzhzk,omniü azcze, pur-mû eiu(dcm "En (gaga-réé; quinti.Et proinde quotuplex e lz ipfius b, to. J tuplices fiant lzmznzipfatum bzdlfiSunt itaque 56mm; thés la gzlvk,ipûru axa: 34763106 6fi,ptimæ a: tertiz magnitudinis æquè multiplicia: f’mm’ °M Êautemxa lzmmxfecûdæbzôttcrtiæ bzdlflæquè itidé multiplicia.Et ofie’fiim cit? a. fi gxmultl’plcx excedit l,exçcdlt a: gxhlkzproportionaliter i (un) lzmm : etfi zquale,æquale:fi veto minus,1tldcm proportionaliter minus. E i itur pet Extam huius uinti diflinitionem,ficut ami b,fic aïcœzoompofita ad b! f) compofitatn:hoc en, icut vna antecedentium ad vnam œnlèquentium, fic omnes antecedentes ad omnes confequentes-Qlod demonflrandum fiifœpetamus.

A? flan"?A W mewfl&"ITQW’ÛP 0’) à "73? Feümc (kl! 10,709,104 i). fifi? me); Tîwenpflpiqapj me 7;. E’mlmv Film 157°? infime «MW a?» mon datam mû; M1991, Faim M. yeti typique aigrira!) ne); ïaiTop. ’ Tbcorcma :3, Propofitio 13. 13 I prima ad (ecundam eandcm habuetit rationem,8c tettia ad quartant, tettia autem ad quattam maiorem rationê habeat quam quinta ad .fèxtam:prima quoque ad feeundam maiorem ra. tionem habebit,quàm quinta a fextam. O R O N T I V S. IIHabeat enim’ prima magnitudo a! ad (ecundam bz eandcm rationem, quam tettia czad uartam d upla porto tertia oad eandcm qua mm dz maiorem rationë habea t, qu m erquinta ad fzièx ram magnitudinem. Aie quôd a: aJprima magnitude ad (ecundam bzmaiorem itidcm rationem habebit.quàm ip(a elquinta ad eandcm (extam f. Multiplicetut cnim vtraque ip(arum a, b: fintfi; earundem a,b,vtcunq; multiplicia g,h, cd gx mains ipfi) h . potefi cnim altoties mulo tiplicati,quoufq; multiplex ipfius aÆupetet multiplex eiu(dcm b.Qiàmmultiplex in(uper cit glipfius a,tam multiplex detur kApfius c,8( lzipfius e. Rutfum â mulo tiplex et! hlipfius b,tam multiplex efio mlipfius d,8( nzipfius f. Cùm igitur and 1?"qu mal: bxeandem tationê habeat,qua m czad d,fint ’q; gIa klpri; ma: a tertiz æquè multiplicia, hz autem a m! (ècundæ illationê nos a: quartz æquè itidcm multipliciazfi intaquc excedit h, Pfldmnuü. excedit a kxipfum m,per fextæ dilfinitionis huius quinti côuetfionem.Atqui Ifu etat h, pet confituétionem: a kzigitur fuperat m. ut um quoniâ exad d! maiorem g k m l 11 rationem habetfi ezad F, a ipfatü a a: e! rima inquàm Ï ï a tertiz magnitudinis,æquè multiplicia (Plant k,l,fi:cüdæ l l) l potto dza quartz t7 alia vtcun s arque multiplicia m, n: à a; U r kzigitut excedit m,non exce it lzipfum n,pet conuet V fionem oflauæ difl’înitionis eiu(dcm quinti.Portô kati nunc ofienfum cit) excedit m: a lxigitut non excedit n.Excedit autem a: glipfum h,funt’q; gzôc Ixipi’arum alôt e,hoc cit, prima: a tertiz magnitudinis arque multipli cia, pet œnfiruâionemzhx rur(um a nlipfarü blêt f, vtpotc (ecundæ a: quartz alia vtcunque æquè multiplicia:& gxmultiplex prima: excedit multiplex recundæJtau- tem multiplex tertiz nô excedit nlmultiplex quartz. prima igitur azad fècundam bxmaiorem tationem habet,quàm eztertia ad quartam f, pet oflauam huius quinti La].

12.6 GEOMET. ÉLÉMENT. diffinitionem’. Eth fi prima ad (ecundam eandcm rationè’ habuetit: Sic-w in dico tentate.Qiod oportuit ofiendifiè. ’ L I I. p - rAl:il 4119503117163: 0&6qu élimoit 735p nil,âuaàp in Myopfi-I’Êi’np Peôemt mec: Tlîœflw: 11’ dl.du W57°llæ p: I l I573 P520? à Jltüfteop IF trimas pâzop ï;oq::tëp loup,î’o’ap,uoçp EMMMfiWop. * , l Tbeorcma t4, Propofitio r4. I prima ad fècundam eandcm habuerit rationem,8c toma ad r4 quartâ:prima Verô tertia maior fiJetit,8c fecunda quarta mas ior etit:erfi æqualis,æqualis: etfi minor,minor. W I . o n ’ O R0 N T I V S. IISint vetbi gratia quatuor magnitudines a,b.,c,d.zinuicelpto» rtionalcszficut quidcm and b,ita czad d.fit autem pnmum,azmaior ip(a cdico a: ÈËËÊÉ 8C b,iplà dztefpondentet efl: maionCùm cnim ex hypothefi a! fit maior chabebit tertia- a, , igitur and bz maiotemtationem, quam Cf ad eandcm 5h-.. b,pcr oâauam huius quintLEfi’ autem ratio aladbz ea- c dem,quæ exad d,per hypothefin: a en itur ad dzmaio. d.--4. rem ta tionem habet,quàm eadcm cla b.Ad quam au. . . r - - tem eadcm maiorem tationem habet: a fila minot cil, etfècundam pattern decimæ propofitionis ipfius quinti.Minot en; imine d, ip(a Œ’nfb P"; :8! btproptcl’ca i913 dfmaiorlIQiôd fi ax fuetit minot c: crit a: b! mineti fa dl :Êâ’fm ° magnitudine.Rur(um cnim pcr eandcm cannai huius quinti, a! maior, ad ip m b1 . maiotem tationê habebit,quam azminor ad eandcm b. 04mm rationemnpottô ha» bet and b,cam feulai: ex hypothefi and dEt a i itur adblmaiotem tationé habet, n a v . n quam ad d.Eft igiturîzminotipfa d, pet ip(am decimi Vbîl’n’ma 3! ; l l , l eiu(dcm quinti. (Porto fi alfuetit æqualisi fi bzhaud «firman? hl l difiimilitetofiendemus, bÆore :qualem ip id. Ac ua Ê » les cnim alôc a ad eandcm b! eandcm rationem ha ce . bunt,pet feptimam huius quinti-fed quam tationem ha bct a’ad 5,65 rur(um 113th C!ad d,per bypothefinEt czigitut ad vtranque bz a: d, eandcm oblËÇuabit rationem. Ad quas autë eadcm eandcm habet rationem, ipfæ flint zquales, Fer nonam ipfius quinti propofitionem . Acqualis crit igitur b! ipfi ’ Si prima igitur ad (ecundi eandemhabuetit rationem : a: quæ (equuntur teliqaniod demonfitare oportebat,

» . .. A. Pie»Oséevpœ me badina; mmmœaloisflôp u, retienne àwrôp ïxd Myopfiwçeému li. utémnM. - Tbeorema 1;, Propojïtio. 1;. I Attes eodem modo multiplicium,eandem rationem habent 15

OR O (umpta;N T I V SlISint albzôc czdIipfittumadinuicem. ez8: flæquè multiplices.Aio I pattern. ezad pattern fzeandem tationem habere,quam arbzmultiplex ad cxdzmultiplioem. Cùm cnim azbzæquè multiplex fit ipfius e,vt czdn’ fins fiquot igitur partes film in azbzæquales ipfi e,tot funt 8 in Cid! zquales ipfi Sint exêpli gratia iuxta numeo tü g: et difiingatut aszin pattes zquales ipfi e,fint’q;azh,lvk,& kzbmecnon 8c ad! a h. R h in partes zquales ipfi f, vtpotc inu m, m! l, a: lld. Eric g , itaq; multitudo ipûtü a!h,hlk, a: k!b,multitudini e! m, a mzl, a ll dx :qualis : vtraque cnim :qualis ipffi mimera f . .Rutfiim uaniam ah, hzk,& lvbzeidem ez unt zqua- 7 Enfant igictlut zquales adinuicê,pet primam communê

rententiam. a: proinde 0m, 8:LIBER" mA, lzd, finit quoque adinuicem v zquales. -l Acqualesa? porto ad eandcm,vel æquales,eandcm habent rationem,& eadcm ad z uales: pet feptimam huius quintiÆft igitur vt allvad clm,fic hzkxad mzl,8c kaza lld. Proo portionalcs igitur flint ip(a: azb, hzk, a: klb,i°pfis um,& mll, lxd. Et ficut igitur vna antecedentium ad vnam oonfequentium , fic omnes antecedentes ad omnes coule» quentes,pet duodecimam ipfius quintiJ-ngo ficut alhzad am,fic tata azbzad totam eld.æqualis orrè efl azhn’pfi e,8: czmzipfi fiEt ficut igitur pars ezad patté fific arbx multiplex a5 adzmultiplicem. Pattes itaq; eodem mode multiplieiü,eandem rationem habent (umpta: adinuicemQuod ofiendendum fuerat. i l

Agi ria-«ça payée» océan«MM-pop il, andas, damât; flemme délayoit irai. it. Tbcorema r6, Propofitio i6. 16 S I quatuor magnitudines proportionales fuetint: 8c permuta: tim proportionales erunt. O R O N T I V S.([Sint vetbi ratia quatuor magnitudines a,b,c,d, inuicê proa metrî portionales:ficutal ad b,fic CI ad Dico quèd 8c vicifiîm,hoc cil, permutatim pro, gràgdm" portionales exiftuntzficut quidcm and c,fic bzad d. Accipiantut enimipfarum a, b, . æquè multiplias e, fiipfiirû quoq; c,d,aliæ vtcûq; æquè multiplias g,h.Cùm igitur æquè multiplex fit ezipfius a,vt fiipfius b:erit vt aIad b,fic ezadfi na partes eadcm ’ modo multiplicium , eandcm rationem habent (umpta adinuicem,per antecedentem decimamquintam topo fitioneth autem alad b,fic le habet clad d, pet ypoa tbefin.& ficutigitur exad fific czad dznâ quæ eidem fiant - eadcm tationes, &adinuicem (ont eadcm, et vndecit . mam huius quinti . In(uper quoniam æque multiplex l Ï cit gripfius c,vt hxipfius d :etit rur(um vt trad d,fic gzad i . . a li, pet eandcm quindecimam huius quinti.ficut potto c1 e 3 ad d,fic elad me habere ptzofienfum cil. 8c ficut igitur a e! ad f, fic ad h , pet ipfum vndecimam ipfius quinti. Q1atuoritaq; magnitudines e,f;g,h, unt inuicem proportionales: habétque prima exad (ecundam fleam rationem,quam tettia glad quarta h: Si prima igitur e,fuetit maior tertia g:8( feeüda fiipfa hzquarta maior crit: etfi aqualis,æqualis: etfi minor, minor,pet decimamquarta eiu(dcm quintiAtqui clôt fiipfarum azôc b,hoc cit pri. mat a: tertiz magnitudinis (de illationis ordine velim intelligas) funt zquè multio pliccsîg’autcm 84 h,fi:cundz a: quattæ,vtpote ipfiirum cza: dz zquè rur(um multi. plices. lift igitur pet fixum huius quinti diffinitionem, vt prima azad fècundam c, - fic tafia b,ad quarté d. Si quatuor igitur magnitudines proportionales fuetintzôc ’ permutatim feu vicifiîm proportionales etuntœiod crat demonfitandum.

A9 mudwœ W9" «délayai:(aidante: Égal lbietobau i2, redoroit oeiüoyop filma. 42. , . v r Tbcorcma i7, Propofitio, r7. . ’ Ï; ’ r7 S I côpofitæ magnitudines proportionales fiietin t:diuifie quo:

O R.Oque N T I V S.([Sintproportionales côpofitæ ma gnitudines alb,bxc,d!e, etunt. 8c eÆ, inuicem t .proo C 3330333; l o portionales: ficut alb!ad blc,fic dzezad eÆAio quôd a: diuifæ proportionales crût: guendi a com fiait quidcm azezad ab,fic dlfxad fie. Accipiantur cnim ipfatum azc, ezb,dzf, 8c 0e, 59:53 ad 41’ I l.ülj- .

A 1:8 GEOMET. ÉLÉMENT. asque multiplices gzb,lvk,llm,8c numipfarum rur(um blClôC exf, alia itidem acquit multiplices hogôt mp. His ita commuais, quoniam glhzat hl kz magnitudines, r ipfiatum azczôt Cbemagnitudinü zqualium numetofino u-L-A gulæ fingularum,per confituétionë, (ont æque multipli» ah-L" ces:quotuplexi itur cit vna gzhx vnius arc, totuplex cil: .41. a: tota gxlvtotius azb, etprimam huius quint-ultima! v plex autem cit g!hxip iusarc,totuplex cit l!m,ipfius dzfi pet confimâionëïam maltiplex cit igitur gzltzipfius alb, quam multiplex efi lmv ipfius dzf, pet vndecimam ipfius quinti.Rurfum quoniam mua: mmzipfatum dxf? a: flez æqualium numeto fingulæ fingulatü æquè flint multipli- [37.11 8’!” .13: ces,per ip(am eonflruâionêzquotuplex igitur efi: vna lzmzvnius ----’- dzfitotuplex cil tota lm! totius dz e, pet eandcm primam huius quinti.Qiomplexautem cil: lxmxipfius dzfitotuplicem ofiendimus gzinpfius axb: quotuplex cit igitur kuipfius azb,totuplex cil: lznzipfius dxe,petipfarn vndecimâ l,m- ll m ciu dem quintiSunt itaq; Ava: lm,iplarûaIbz& dlczæquè mal. lâLEÉ-dl-fi-rdl-e: tiplices. Item quoniâ æque multi lex efi hzkxipfius bxczvt man. . ipfius ezfiquinta rur(um kxo,eiuf cm bluæquè multiplex ef’t, vt (au nIpl eiu(dcm eÆEt compofita igitur hxo,eiufdem blCI æquè crit multiplex, ac tata mIpzeiufdem elfipet (ecundam huius quinti.Et proinde hzozôt mlp,ipfiitiî bzczôc ezfzfunt æquè multiplices. In(uper quoniam ex hypothefi, ficut azb, ad bxc; fic d’elâd U5 86 ipfiarum axblôc dze,prirnæ inquàm a tertiz zquè multiplices funt g; 10.84! n: ipfarum turfumbl cl a: e! f, hoc cit feeundæ 8c quarta, æquè itidcm multiplices hzozôc mIp.Eit igitur vt gIkxad h!o,fic lznzad m!p, pet quartam huius LSZIÉLJ tho-LllnL l 3P; Puinti.4ufetaili1turàvtiiifque cîmufiieslhlk, ôîlmznzvâ reo j Wh. l me. I d’6. I e, f. q linqua igitur g! Ia te iquam go, ic ztmte iqua a teo iquam nIp, pet tettiam 84 quintam comunem fenteno tiâ.Igitur fi glhzexceditkzo,excedit a lzmr proportionaliter ip(am n! p: etfi aqualis,æqualis:fi autë minot,itidem prOpottionaliter minor.Atqui Ava lzm, prima 8c tertiz magnitudinisûuxta ordinem illationis)hoc efi,ipfatû alc!8( dIfldatæ flint .wh-Îklmv arque multipliceszkœzverô 8c mp, ipfatum czbz 8K fie, fè» la; -» ’ -d; - - ’ - cundæ inquàm 8c quartœma nitudinis æquèitidem mul p ices. rima igituralc,a ecun am et leam rationem babenquambiwa-1.1,. tettia dÆ, ad quartam fle, pet (exta.- huius d quinti d diffinitionë. b Si- com pofitæ itaque magnitudines proportionales fixerint,diuifæ quoque proportionales etuntQuod fufceperamus ofiendendum. endenta: tu, Peâewit in. Ap d’iggiiwu Patio» 0550210709 fié Gau’rwim œia’zhoyop itou. szorcma 18, Propqfitio 18. I diuifæ magnitudines proportionales fuerinncôpofitæ que; 18 que proportionales etunt. ÇomP°fitm O R0 N T I V S.I[Sint diuifæ magnitudines aIC,Clb,dlf,8c fze,inuicem propor- cm"tio,fiue ma", argiu 4 tionales:ficut azclad czb,fic dzflad er.Aio quôd a: compofitæ,ctunt verCa vice pro , diuifis ad con portionaleszficut quidcm alb!ad bzc,fic dlezad eÆSicut cnim albxad bxc,fic dzez ad men aliam quidam magnitudinem r: habere neceiTum eftHæc autem magnitudo,fi nô fuetit ezfietit Vel ip(a ezfxmaior,aut eadcm minonEfio primüuarblad blc,ficut dxei prima ondin a , g la ad maiorë(fi poifibile fuetit)ipià exfivtpote ad ezg. Erit fif’m’ tulle"? I igitur ficutaz zad blc, fic d! ez ad ez . Si compofitatauo tu â Ë tem magnitudines proportionales etinndiuifæ quoq;

prOportionales etunt,per antecedentêideeimamièptimamL l B E R propofitionemÆrit - V. i2 ita» 9 I-dl-f-Î-r-m que ficut amad cxb,fic dlgzad gIe.Sicut portôazcxadezb’, Em fie pet hypothefin dzfz ad fze. Eth ficut dt fz ad fze, fic ----- a dzgzad gIeznam qu: eidem (ont eadcm ta tiones, adinui’ cem (un: eædem,pet vndecimamhuius quintilœiatuor itaque magnitudines dit; fze,dxg,atq; gœfunt inuicem proportionales,& prima dzfimaior cf! tertia dzgza fecunda igitur fze,maior crit quarta gle,pet decimamquartam eiu(dcm quinti.Atqui fze,minot cit ipfii gzc,pet hypotbefin.Etit itaque fze,minor fimul 8c maior eadcm a s ’ 1,4 glezmagnitudine . uod cit impolTibile Non cil igitur ç g. ficut azbzad bzc,fic dzezad maiorem ip(a exflIAio tub Secundwm fum,quôd neque ad minorem ip(a ezfzvtpote ezh.Cono fine diffèrent cludemus cnim iterü ex decimafeptima a vndecima huius quinti, fore ficut dÆl m m ad fze,fic dlh, ad hxe:vtrobique cnim fieutalczad exb. Et :TM Ml quoniam prima dxfiminor cit tertia dzh: crit turfum pet . ip(am decimamqua tram eiu(dcm quinti,fecunda fze,mi. nor quarta hze.Supponi’tur autë maionquæ fimul fiare non pofiunt. Non cil ergo ficut axbxad b’ze,fie dxezad minoré eÆpatuit quôd neq; ad maiorcm.Et ficut igitur aszad bze,fic dze,ad ip(am ezf. Itaque fi diuifæ magnitudines proportionales fiJCr rinnCOmpofitæ quoq; proportionales emnt.Qiod ofiendete fuetat operæptetiû- ’

0Ap ilI (2e esôenpœ flop ne); 3My,8u’rws éparpillaii9, radotait très; àqmupteippgl in i0. eràpvieîoç dolerait» inci, du; ahanâtTbcorcma I9,87mg. Propqfitio r9. ’ 19 Ifuetit fieu: totum ad totum,fic ablatum ad ablarum:8c reli: 4 quam ad reliquum,eritficut totum ad totum. r 0 R 0 N T I V 5; [Bit inquàm torii azblad toti’i ezd,velut ablatü aIez ad ablatü ezf. Ait) reliquum eûbzad teliquû fzd,fote fient idem totû axbzad idem totum ad. ’ Cùm cnim fit velutalbzad eId,fieaIelad czf, pet hypothefin: crit pet decimam» I ’ 3 A (extam huius quinti, 8c pet; a,b, 6d. a,c, a; a . Q l b mutatim ficut a z b1 compo» fita* ’ "ad A . eaxe, fitaad clf.fic Cùm cz autem dzcompo com- . w . pofitæ magnitudines proportionales flint, a diuifæ quoque finit proportionales, pet decimamfiaptimam huius quinti propofitionem. me, à!” cf". si Et ficut igitur axexad ezb, fic elfzad 9d. a permutatim turfum,pet,eandem decimamfèxtam huius quinti, fi» Tom film. Rama tut azez ablata,ad ablatà’ czf, I . p p a,b.t,d. a,e. e,f. e,b. Bd. fie reliqua exbzad teliquam 9d. Sicut porto ablata aveI ’ l ad ablatam czEfic totum albtad totum admet hYPOËhc fin. Reliquum igitur ezbz ad reliquum fId, fi: habet vt totum’axblad totum exd,pet vndecimam eiu(dcm quin tî. 5l filait ergo ficut totum ad totum : ôte. vt in theoremate. Qui expediebat l Lemme; [ius aflumptum. demonfitate.finît quoniam crat ex hypothefi,vt azbzad czd,fie azezad elfiôz permutatim i deinde rab. c,d. a,b, 5d: ,vt aIbzad aze,fic czdzad elf. Nunc porto ofienfum cf139 I » fient azbzad erd,fic ezbzad fzd.8c permutatim itaque rut . ’fum,vt albxad ezb, fierez dzad fzd, pet fæpius allegatam

a. GEOMET. ÉLÉMENT. decimamlèxtâ huius quinti.Et igitur vt fieut azbzad azc, fie eldzad ezf: atq; rur(um velut idem azbzad ezb,fieidem czdzad fzd. Corollan’um, Çanpetfiotæ IIEt proinde côuetfio tationis, hoc efi’,aoceptio antecedëtis ad excefium quo ante mm” cedens ip(am excedit eonfequens,fit manifefia. l

Ali Ë fia pariait, la! «l’abîmeadipique émît 76: incriminele, - 11360101;«influa MpCmôptm, andle. 01’ (gel M5 MM), «il? in illi vil «paroi: r? arias piger: fi, un! ml triment.» r? infra P520? itou, uêp l’eupfioopw’êcp ïÀmop,îMoi-op. " . Theorema 20, Propofitio zo. I fiJCl’lnt ttes magnitudines, 8c aliæeifdem zquales numeto, 2° binatim fiimptæ,& in eadcm ratione,ex æquali autem prima tertia maior fueritzôc quarta fexta maior etit:etfi æqualis,æqua:

Oliszctfi R O N T I V S.minor, ([Sint ttes magnitudines miner. a,b,c, i a: rur(um aliæ ttes dzezf, cum i né rerpi’ciên’a duabus ordinatim fumptis in cade ratione: vtpote,ficut azad b,fic dzad e,fieutitem in °’di""l*’ bn’ad C,fic ezad fiAio quiad fi azfiietit maior ip(a c,etit ex :quali dzmaior ip(a fietfi PrimaÆquarn digne æqualis,æqualis:fi autê ratio minor,itidem minor.’ . Sit primùm. . a,maior . .i (a e.Et. quo-- na. nia’ cit ficut bzad c, fie ezad fierit a: à eonuetfii tatione,fieut ezad b,fic zad e,pet no: l rollatiû qua ttæ huius quinti.vetiî ezminot cit a, pet hya ï pothefin,& bzalia quædam magnitudo:habct igiturazad zmaiotem rationem,quàm czad eandembàperIptimam pattëoétauæ huius quinti. Sieur porto ez a b, ic fzad e: &azigiwt ad bzmaiorem rationem habet,quàm fzad e. Sicut turfiim azad b,fic dzad e,pet hypothefin: a: dz igi» Ï Î tut ad ez maiorem tationem habet, quam fzad ip(am e. c c c a e - f n A d eandcm autem tationë habentium, maiorem ratio av g nem habens illa maior efi,pet decimam ipfius quinti-Et 3364: dm, r. . dzigitur,ipfà fzmaior cit. (I uod fi az fit æqualis ipfi c: rentia. crit a dzæqualis ipfi f.habebunt cnim azôr czad eandcm z eandcm rationem, t primam pattern (eptimæ huius quinti.Et quoniam cit .ficut azad b,fic dzad e,ficutq; ezad b,fic fzad ip(am ezhabebunt quoq; dza! fz eandcm vrationem ad ip(am e. qu: autem ad eandcm tandem habent rationem,:quales adinuicem flint, pet primam Tertia diffa Pattern non? i fins quintLAcqualis efi: igitur d,ipfi EÇIHaud difiimilitet ofiëde- "Mia. l tur,quôdl fi az crit minor ip(a c: crit confèquenter dz miner ip(a E Tune cnim ez ad bz maiotem tationem habebit,quâm azad ip(am b,pcr eandcm oâauam huius quinti.Et autê vt azad b,fic dzad e,p r hypothefinzficâtq; ezad b,fic fzad ezfi: habere ptæofienfum cit . Et proinde fzad ez aiotem tationem babebit, quam dzad ipfàmi e.Hinc turfiiin et primam pattern decimæ eiu(dcm quinti,fzipfa dzmai0t crit: 8: d’PTOPmca lP a f7 01mm o Itaq; fi fuetint tres magnitudines,& alia eifdë zquales numetozôt qu: fèquuntut teliqanuod oportuit demonfitalTe. (adipique un, PQÔBMÇ , iræ. En! Engin: ptyîewtod m3: âunîç la: il: maso; «influa Àœpfliaadptvœ, me! êp 76 êwrê’ aboi «fil TEWMWII «075p ü aciœîloyiœfili’ ïaaà à m8709 Hun: pâleur 75 rio Menin? bips F5201: iræ: uàÏcp inpfi’avpgrëp ËMwop,ïÀœo.J-op. T eorcma 21, Propofitio zt. I fiiermt tres magnitudines, a: aliæ ci(dem zquales numeto, binatimN fumptæ,& a in .eadcm a ratione,fuerit a autem perturbata 2!

earü proportio:ex æquali veto prima tettia maior fiierit,-ôc quart: ta fex’ta maior crit: etfi æqualis,æqualiS; etfi minor,minor.

O R O N T I V S.([Sint ttes .magnitudines r a,b,c,i; a: rntfum 13! aliæ ttes d, e, ficnm Æqni ration nem refpicien duabns pettutbatim in eadcm ratione coalTumptis: vtpotc, fient az ad b, fic ezad f, ria in permit, ficr’itq; bzad c,fic dzad e.Dico qnèd fi azfuetit maior c,etit ex :quali dzmaior fi etfi batis. æqualis,arqnalis: etfi minor,minor.Sit primùm azmaior ciam redpio probandum, Qando pria quôd dzfit maior f. Et quoniâ efi: fient bzad c,fic dzad e,perhypothefinzetit à con» ma maior cit netfa ratione,vt ezad b,fic ezad d,per quartz huius quinti corollatiû.Rutfum quo tertia. niarn azmaior efi c,at’bzalia qu:dam ma gnitndo:habet 1 igitur az ad bzmaiOtem tationem,quàm ezad eandcm b, pet primam pattern oâauæ huius quinti.Sicut potto az ’ ad b,fic ex hypothefi ezad f: ficrîtq; ezad b, fie ezad d (vti i nunc oflenfirm efi).& ezptoptetea ad fzmaiorem rationê , habctâ ad d.Ad qui autë eadcm magnitndo maiori ta! tionê habet,8c illa minot efi: pe t fècnndâ patté decimæ I - ipfius quinti.Efl’ igitur fiipfa diminor:8( dzptopterea ma a c e iot HI Haud difiimilitet fi azfnerit æqualis ipfi’e: ofien: Vbi prima a: g detur 8c dzæqualis ipfi ENam azôc c, ad eandcm bzean. quaturtcrtiç. dem rationê habebüt: pet primâ pattern fèptimæ huius quinti.Et quoniâ cit ficut azad b,fic ez ad f, fiCtîtq; ezad b,fic ez ad d: a: ez igitur ad vttanq; dz8c fzeâdem rationë habebit.Ad qnas autê eadcm eandcm habct rationE, ’ ipfæ funt zqualesirplet fiacundani pattern nonæ ipfius quinti. Aeqnalis crit igitur d, i ipfi fiIIItem fi az crit minor e: dico tandem, g: a: dzminot etitf- Tune cnim ezad quando prie b. ’maiorem tationê habebit,quàm azad eandcm b:per eandcm oâanâ huius quin» ma minet cit ter-ria. ti-Et càm fit velutezad b,fic ezad d,ficûtq; azad b,fic ’eïad f(VClUÏÎ fuptà dednétum cil) habebit confitqnentet ezad dzmaiOtE tationemâ ezad EAd quam me eadcm maiorem rationem habet,& illa minor efizpet (ècundam pattemvdeeimæ eiu(dcm quinti.Efiitaq; dzipfii fzminot. 15’th fi fiietint ttes ma gnitudineè:8(c.vt in theoreo . matçQiod ofiendendnm fuerat.

Ap Minéraux).- N pryieiiardente: a) 6222m: «En:51mn; leur P969101; à 47.11590; cürdluo me). Mpbævôwœ a ’ ai’ Gel riva-5 Myomgâ Jli’ in ira-(9g? &u’rôîsôyç itou. 4 Tbcorcma 22, a Propofitio. 22. 22 I fuerint quælibet ma gninidines,8c aliç’eifdem æquales numc to, binatim fumptæ in eadcm ratione : 8c ex æquali in eadcm ratione etuth O R O N T IV SlISint vetbi gratia tres magnitudines a,b,c,& alia: ci(dem nu- Æqua ratio mcro zquales d,e,f,cum duabas ordinatim fiimptis in eadcm ratione:vtpote,ficnt in ordinatis. azad b,fic dzad e,ficut autê bzad c-,fic ezad fDico quôd extremæ vtrinfque ordinis magnitudines, ex æqnali in eadcm ratione etuntzficut quidë azad c,fic dzad fiAcci- piantut cnim ipfiitnm a,dlarquè multiplices g,li: ipfàrû veto b,e,aliz itidcm æqnè multiplices k,l: ipfiitû deniq; c,f,vtcunq; etiam multiplices m, n. Cùm fit igitur vt azad b,fie dzad ce: ipfirum a,d,lioe efi’ primæ a: tertiæ,æquè multiplices fint g,h:fi:- eiîdæ autem a quattæ,vtpote iplarü b,e,aliar itidcm arque multiplices k,l.Efi igitur fient gz multiplex ad kzmulitiplicë,fic bzad l: pet " uartam huius quinti.Et proinde film: kzad m,fie- lzad n:efi*enim ex hypothefi,vr zad c,fic ezad fiat ipfiitum bze,at: que multiplices k,l:ipfariî anti cf, æquè rur(um multiplices m,n,pet côfirnâione.

agi .GEOMET. ÉLÉMENT. Sunt ergo g,lt,m,tres magnitudines,& h,l,n,aliæ ci(dem numeto æquales,eum duv l abus ordinatim fumptis ineadem ratione:fieut quidcm gzad k,fic bzad l,ficrîtq; kz ad m, fic 1nd n. Si gzitaq; fuetit maior ipfi m,& ex :quali hzipfi nzmaior etitzetfi æqualis,æqualis:etfi minot,minot,pet huius quinti vi gefimam.A tqui g,li,ipfatû a,d, hoc cit primat a: tertiz l ma ’tudinis(quoad illationis ordinê)datz fiant æquè I I . l mufliplieeszmmzantê feenndæ à: quartæ,vtpote ipfiiriî w l e c,flzquè itidê multiplicesÆit i ’tut pet fextâ huiufiae quinti dilfinitionê,vtptima aza feeundâ czfic dztettia Vbl limitai , au ad quattam EIIIdemquoq; licebit ofiendere,vbi pluo bu: me tes tribus in vttoq; magnitudinû extitetint ordine.Vt’ magnitudi’ pote fi fuerint uatnot a, b,c,d, a: alia: quatuor e,f,g,h: capitanat on dine. a,imilitet ofien emus cum tribus primis magnitudinio bus a,b,e,& e,f,g,fote velutazad c,fie ezad g.Et rur(um cum tribus fuceedentibus (feennda vttobique putter». mifia,& ooalTumpta quarta)vtpote a,c,d, a e,g,h,eono . . cludemus veluti fia tà,fote vt azad d,fie ezad h. Et de: "109?? quanmmlibctæro vtrinf ne ordinis m titudine. Si fiaetint ergo quæübet magnitudines,8c aliæ eide a: u es numerorôt qua: (c. a, b, c, d. quontut reliqua.de ofien endum propofueramus. pI e! f! g, h-

E?» fiœpmeufi’l. l MçupœEn: honnie i6: 15au, miam Palerme 60.6le M MÔWa a). 05 w 45:07:; N379,V a; du mmwû imam ûhmÀoflœ,M «N inci ânée? Mm (sur. Tbtorema 2;, ’ Propofitio 23. I facrint ttes magnitudines , aliæ’que eifdem æqnales numez 23 to , binatim fumptæ in eadcm ratione, fuetit autem permit: bata earnm’ proportio:8c ex æqnali in eadcm ratione etunt. t O R O N T I V S.I[Sint ttes magnitudines a,b,c,& alia: ci(dem mimera zquales agita de d,e,f,cum duabas in eadcm ratione perturbatim coailumptiszficut quidcm azad b, 1933:5» tu. -r fic ez ad f, ficütque bz ad e, fie dzad e. Aie fore ex :qua tatione,ficut azad e, fic dzad f. Afiumantur cnim ip(a! n ru-m a,b,d,æquè multiplices g,h,k:ipfiirnm porto e,e,f, 3112 itidcm æqnè multiplices l,m,n. Cùm ergo g,h,ip- 1 l fatum a,b,fint pet eonfituétionem æquè multiplices, 8: a 1,, à Ê) pattes eodem mode multipliciû eandcm habeât ratio- m uem (umpta adinuicem,per nindecimam huius uin- r, ta : efiigitnt vtazad b,fic gza h.fieut autê azad b, ac ez ad fiper hypothefin:& fient igitur gzad h,fic ezadfipct vndecimam ipfius quinti. Rutfum quoniam m,n, i la» tiam e,f;fiint æqînè multiplicesaerit rur(um pet eau cm quandeeimam uius quinti,vt ezad f, fic mzad n. Sial: porto ezad fific z ad h, le habere monfitatum eft: 8c lent itaque gza h, fie mlad n, pet ip(am vndecimam eiufdem quinti. In(uper quoniam efi fient bz ad ez fie dzad e,pet h pothefin,&ipfiitü b,dzfumptæ fiant æquè multiplices ,k: ipfiatû veto e,e,aliæitidemæqnè mul- .l taplices l,mÆll igitur va: hz multiplex,ad lz multipliai,

fic kzad m, pet quatrain huius quinti propofitionem. Ofiefifum en. autem, uôd fient zad h,fic mzad néant itaque g,li,l,ttes magnitudines;& k,m,n, au: ci dem æq es numero,cnm duabus in eadem ratione perturbatimeoaifumptisrfient qui. dem gzad h,fic’ mzad n,fieut turfnm bzad l, fie kzad m.Ergo fiAgzfiietit maior l, crit ex :quali kzmaior mat fi æqualis,æqnalis:fi autem minor,iti em minet, pet vige. fimamptimam huius quinti. Porto g,ltzfunt zquèmultipliees ipfiatnm a,d,primæ 8 tertiz magnitudinis ( feruato illationis ordine) lzantem a: n zfiteundæ a: quat» tæ,lioe efiipfarurn e,fzzquè rur(um multiplices,per eonfirnâionem. Efi igiturvt prima az ad (ecundam e,fic tettia dzad quattam f: et fextam eiu(dcm quinti diffi- nitionemSi fnetint igitur tres magnitudinesaliæâz ci(dem æqualcs:&c.vt in theo- tomate.and oportuit ofiendifie. l Av tripang. m6;Menu: Jlrii’æteop 4-89 mil, mon :90! Myomgà raserai; pin!) 7,29; qum, un.) axa à a «a; v l flop trêve dlrüneop Tôp èu’ràp 1670p, «on! hareng très; q-Êrmp, m canner? flan? a 099m? «à &û’fleq’flôl’ àWôl’ :5" MWPflDâ vagirai: «et! tua-op mût; trianguli, Tbeorema 2.4. Propofitio :4. 24- I ptimum ad (ecundum eandcm habuetit rationem , 8c ter, tium ad quattum, habuerlt autem et quintam ad fecundnm eandcm rationem 8c foxmm ad quattnmzôc eompofita primùm 8c nintum ad (ecundum eandcm babebunttationem,8c tettium

do8c R o Nextum T I V 5.1[Habeat adprimüm quarturn. azbzad lècnndü ezcandem l tationem,quam tettium azczad quartnm fiqUintnm rurqu bzgzad fitcundum c,eandern quoq; ratio mm habcatfluam renom ezhzad ipfum fzquattum.Aio,quèd a: compofita primü 8c quintam az g, eandcm rationem habebütad idem fe- fiL-.---l?----g cundum c,quam tettium a: lextum dzbzadidem quai» a Cr------* h tutti f. Cùm cnim fit cxhypothefi,vt bzgzad c,fie ezbz a------e’--* ad E8: à connetfii itaq; ratione, crit vtcz ad bzg,fie fz ad f’--* ’ ezh,per corollatiiî quarta: huius quinti. Ptæterea quoniam ex ip(a hypothefi,efi fient azbzad c,fie dzezad fifieut rur(um ez ad bzg, fic fzad ezh.Et ex :quali igitur,ficut azbzad bzg,fic dzezad ezh :per vigefimâfecüdam huius uinti. Diuifæ itaq; magnitudines az b,bzg, dze,8( ezh, a, b. Cc b’zc a, °a fi °’h’ Ïunt proportionales.Et eompofitæigitur,Pcr decimam V oâauam ipfius quinti,prop0ttionales etunt: vtaz zad b’g’fic d,h,1d exh. Reeeptum efi antë,ficut bzgzad e,fic ezhzadf. Et ex :qualgi igio î a h h c a tut,pet eandcm vigefimamfecundam quinti, fient azgz fit, x’ ’ ’ k ad c,fic dzbzad f. 15th fi primnm ad ièœndum eandcm habnetit rationem , a: tettium ad quattum a a qua: fia» qunntur teliqiaanod expediebat demonfitare.

ApK’ËMœeæ Mir ’gaza; imp il, ara ne, F5750!) Personne and qui Miroir au. , No un Mitral: pigea au il. Il31’ Tbeorema SI quatuor magnitudines 2;, Propqfitio proportionales fuerint,as. maxima a: . minima reliquis maiores etunt. m.j.

134. GEOMET.!LEMENT. LIE. V. O R-ON TIV 5. IISi’nt quatuoreinfdem’ entais-magnitudines azb, czdze, a: f, itmicemproportiOnales, fient quidcm asza czd, fic ezad fafit’q; azb’zomnium maxima,fzverô minimaDioo quo azbzat f,-reliqi’ais ezdza ezf’unt maiores. Quoniam cnim azbzomnium quatuor (râpponitut tra’axima:maior cil igitur azb,ipfa ezmagni- x * tu ’ne;A maiori itaq; azb,fecetut :qualis ipfi ezminoti, FL-F-r-a-g-rl’ pet tettiam ptimi:fit’q; azanrfum, quoniâ en: vt azbz Mai - ’ ad ezd,fie ezad f,prirna antemazb,maior cit tertia e :8: f I ’ ’ ’ l feennda i ’tnt czd,ipfii fzquatta maioretit,per decimâo vn----- . - quartam uius quintiA’maio’ti rur(um czd,fecetur ipfi fzæ ualis, peteandem tettiam primi:fit’que ezh.Cùm i itur fit vt azbzad ezd,fic et ad ,84 :qualis fit azgzipfi e,8: ezhzipfi f: cit igitur vt azËIad czd, fie az zadezh,laoc cit, fient totnm azbz ad totnm cz d, fie ablatum az I ad ablatum czb . t reliquum itaque gzbzad reliquum hzdzerit fient totnm azbza totnm ezd:per decimamnonarn ipfins quinti-Prima autem azbzmaior eil tettia czd:& feeunda itaque gzb,mai0t crit quarta bzd, pet ipfim decimamquartam eiu(dcm quinti. Porto az gz æqualis cit iris e: ôtez hzipfi f, pet eonfirnétionem. Binæ igitur az gz 8: f, duabus Cz 80e, fiant pet lècundam communem (ententiam æqnales.Si au. p rem inæqualia :qualibus adinngantut,ornnia ctunt inæqualia: pet quartam communem (entêtiamÆt quoniam ipfis azgz i. a fz additur gz b, i fis autem cz hz 8c ezadditur bzd, a: maior cit gzgzipfa hz dzmaiores ergo (une - azbzmaxima’st fzminima,reliquis czdz ’ 8c ez magnitudinibns. maod te- eepetarnns ofiendendutn.

anQuinti Libri Gnometticorum Elenaentorumçg FINIS. 3’

i-la? 0,2 .[.f’m w 9k. zyfi «ç: ra Orontijv(mz Finei Delphinatis, , i Re: ou MATHÉMATICA VM PRÔrEsso. ris, In Sextnm elementornm Euclidis,Demonfirationes. - 4 EIKAEIAOI nous: on muon. Geai t. Optima Mômppœ «59,36: de 41 www (ximam Nul-iam aie ruai de

thymine Mûeàtfivéloyop.([Drflinitioms ’ y. I l ’- Ca: fi Imiles figuræ (unt,quæ 5c angulos æquales habêt ’ ad vnum,ôt quæ circa angulos zquales funtlatea

l thote,fira fiierintproportionalia. bina triangula azblc,& dlezflinnieem æquiaïflâ; . ç la: fiieti’tque angulus qui ad al :qualis angulo qui ad d, a: qui a e en: angulus ei qui ad e, at ne is qui ad aangnlo qui ad flrefpôdentet :qualis. fitque in n et vtazbz V ’ lattas ad bze,fie dzezad elfivtqi bzaad cza, fie ezüad 5d: arque demurn fient ezazad azb, fie fidzad dze. Huiufeernodi manque a triangula, firnilia nuncupamus: etiam fi fiiez-in: inæqnalia. c ŒALmWOÔrm du animé 851i , 84a? iranien ’7’ mitèrent: WMN’T! and www M. 7m (501p. a Reciproeæ autem fignræ fiant, quando in vtraq; figura anteecdë tes 8c eonfeqnentes termini rationales fiierint. De reftilineis videtut intelligere figntis . quemadmodûm . s fi dnotum te&ilineorum 8c æquiangnlorum al bzcz 8c dzble, anguliî qui Pub azbzat bze,ad qui fiib dzbzôt blezeôtinetur çqua l lem habêtîuin:fiierit fient latus azblad [anis bld,fie lattis ez b1 ad latns bzezaut fiait albzad bze,fic dzblarl ble.Tali nanq; mon do fit antecedentiurn 8c confiaquentium terminorum,lioe cit - le mmparatorum adinuicem laten’i,quæ citcnm :quales angna los,refiexa toportio,teeiproeâve rationum fimi’litndo:dieaîn c turque ein cemodi fignrz,alm adinuicem comparantiit,ieeiptoe:. (Angora and pictai: MyopMâu oanioÜw Àiwmflaiup î à; in 8M «(in 15 pâlot: Tpîpœfiin’ug . à PÊZOP’HÊÇÇ à hanap. 3 Per extremam 8c mediam rationé,te&a linea diuidi dieitut: qui: do fiierit fient rota ad mains fegmentum,fic mains ad minus. thote, fi data recta linea azbz dinidatui- in pun&o e: fiie- a g . l tîtque vt rota alblad fegmentnm mains bze,fie idem fegmen ’- tnm bze,ad reliquum cza. (iræ wading exigera-oc béai! on"; aberroit ûôl TE) Mary uéOïïQ- halai». 4 Altitude cil, vniufcniufque figurera verticc ad bafin perpendicu: latis deduâa. m.ij.

:36 ’ GEOMET. ÉLÉMENT. Exempli gratia,trianguli al b! a altitude crit a! dz méta lis a nez, ab al vertice ad bafin bzcz pe dieulariter incidens. Et bexagoni elflgzaltitudinem efien t perpendicularis e1la,quç ab comme, in bafin fiydedudtur. j L c A670: in Aéywp’euyuâôw’xéyrœifiqup câËMy’wp arthritiques: W imitât monoman- maâëôrimmôoa airoit. . Ratio ex duabus rationibus, ant ex pluribus eôfia-re diertut : qua: de rationiî quâtitatesr multiplicatæ,aliquam efiîciunt quâtitatem. Decôpofin’o, Exptefiimus. diffinitione, tettiaa libri quind,quidni . ratione adpellemus:g guet infuper ta- ne ratienum, tienü fuerint fpeeies fine difliereritiae,atç fingula in vniuerfum eomprelaeri a ratienii diren- wattman mina.Nunc porte diffinit Euclides,quenâ mode ratio ex tarionibuseôponifen centiare dl man t catnr.Éa nan ratio ex ratienibus oenfiat,fiue eôponitur:quarü quantitates innieê multipli eatæ illam cere vidëtur.De ea rationis côpefitienefeu ratienalium terminorû illatiene, laie minime velim intelligaszquam decimaqnattalibri quinti diffi nitione, eôpofitam ratin- ’ nem adpellauimuszaeeeptionem videlieet antecedentis’cum eonfeqnente,fieut vnius,ad ipv fiim confequens. Aline! fiquidem efi,ratienê ex rationibus eôpeneteaalind me in propo" tionibus,à diulfis ratienum terminis ad ceniunébes fine compofites, ratienum fubinfetre - leflifimîi fimilitudinern.llAit igitur Eudides,rationem ex binis aut pluribus ratienibns eomponi,fio mmP’cmw ne confiatexùm datariî ratienum quantitates fiaerint adinuieê multiplieatæ,8c aliam quanta l ’ piam genuerint rationis quantitatern. Éa cnim quantitas,ratienem exprimait, iræ ex dans * rationibns procteaturÆit autem laninfeemodi quititatum multiplicatie,iriter uamm tant Vbi plates du tummode ratienum quantitates. Nain vbi plures fêle obtulerint rationes:ea in primis cel- abszuumït ligarut ratie,qu: ex multiplicatiene duatum primarum quantitati’i genetaturÆx hac poib n "a medrim ratione 8e fequente tertia,alia ratio pteeteanda efi. Hinc rur(um, pet quantitatû huiufce rationis a: fuceedentis quartz multiplieationem,eenfiirgës ratio tandem eliciatur. quue deinceps,pto datammi ratienum multitudine:fine datæ rationes eiufdem,aut diuetfa: fuetint fpeeiei,8t fub continua aut difcentinuaptdinata’ve feu perturbata proportione con Notanduin. flitutz. Adde qubd hac intelligenda fnnt de tationibus emnine maioris , vcl omnino minotis inæqualitatisNam fi vna tepofitariim ratienum foret maioris, alteta veto mineti: inqualitatis ( de quibus tettia ifiînitione libri quinti) tune quantitas maioris , pet quama titatem mineti: venitet dinidenda : refultans cnim quantitas , proereatam inde rationem uçnam fint ofiendet . ŒŒantitates auteur ratienum hic veeat Eudides , non cas quæ fub dati: confit l?"°"u qua" uentur ratienibus :çfed numetes, à quibus rationes ipfæ deneminantur. Vt due, à quibus mue” dupla : tria, à quibus triplazôc quatuet,vnde quadrupla ratio in multiplicibus exprimait. Aut in fuperpartieulatibus vnum a: dimidium,à que (Efqualteta: vnum 8c tettium , à que a fiefquitertia : vnum in(uper 8e quartum , vnde fefquiquarta ratio nemenelatutam aeeipit. Item vnum 8: duo tertiz , vnde rationem fuperbipattientem tertias :atque vnum 8c tria quarta, ex quibus fupetttipartientem quartas in fuperpattientibus adpellamus.Haud aliea num habere iudicium , de ratienibus ex multipliei 8: luperpattieulari ratione, aut ex mult tiplici 8c fuperpartiente eompefitis: a: dans quibnfcunquefingulatnm quint; ratienalium fpecierum diferentijs. Éprlütbira ŒESTO, LVCIDIOR IS INTELLIGÉN TIAE GRATIA, 0A5 :îbmlstclgk’l tain exemplum ratio multiplex,ipfius inquàm and bldupla:ponatiîtq; inter :16: b,alia qua» un mimi . da magnitude e,fubfi:fquitettia ipfins a,& fifqnalteta ipfius .Aio rationem azad b, compeni fine confiate,ex ratione al 4 ad e,8: ratione ezad b.rNam fi quantitas rationis azad e,v a 3 z. te vnum 8c tettium , pei- rationis quantitatem ipfius on, vnum inquàm 8: dimidium multi lieetnt:ptouenient due) Exëplidemôa quibus dupla tafiaÇquâ barbet aza b)nominatur. Cùm cnim l mame amagnitudo ad azmagnitudinem fit lubiefquitertiafid bzau. a I ’5’. l t4 terri fefqualtera: qualium igitur pattium’ clefi trium, talium necefiîam efi azfore quatuor, 8c bzduarü fimiliumHabet igis tut azad bztationem,quam quatuor ad duo:& proinde duplam,ex fefquitettia ipfiur and e,

’LIBÉ-R VI. 137 a: fefqualtera ipfius dad bztefultantern.(ISit rutfiim in maierem expreîfionemjnret «et Exemplaî vbi [ualia qu:dam magnitude d,fiabttipla ipfius c,ipfius autem blfubdupla.Aio quoq; rationê tres ratione: aIad , ex ratienibus and e, 6c ezad d,atque dzad bzeonfiare. (que’tnm via: Duee cnim vnum 8c tettii’i rationis al ad cl deneminatorern, mineti: efiim in m’a deneminatorern tri pla, qu: efi ezad d: fient quatuor, cqualitata’s) eandcm cape efiêdentia and dzquadruplam ebtinere tationem.Ét quoni’â nunt multipli dzad bz ratio minoris eft inæqualitatis, trempe fubdnpla: di- «Il. uidam quatuor, à quibus neminatur quadrupla, pet duoi a fins fubduplz dencminatoremi prouenient cnim due,dup a ( u: efi ipfius and b)tationem denominantia.Nam cum dl Ofienfie tint; filladuplum fit ipfius b,a: fubtriplum ipfius c: ualium igitur dem exëpli. dlefi vnum,talium bzefi duotum,8t atrium fimilinm. Item quoniam and (lea fefquitertiû: aliam Propmea a efi trium, alerit quatuor.8ed qualium defi trium,blduorum efië de4 &nrn cit: qualium in; blelt duorum,alquatuer crit fimilium.Quatu0t tutfnm ad duo, "tionem habent duplam,qualem and baobtinete fuppofuimus.lISed demns exemplnm in Exemplfi de ratione fupetparticulari: fin; and blfefqnaltera, ad dantem ratione fripera fefquiquinta,8t ezad bzfefquipuarta. Dico rationem fefqualr P . l . teram , ex fefquiquatta 6c le quiquinta tefultare. Si nanque multiplicauen’s vnum 8: quartum,per vni’i 8: quintumrprm ueniet vnum a: dimidium,à quibus fefqnaltera ratio denoml natur. Cùm cnim elfubfefquiqnintum fit ipfius a,& fiéfquit Indnétio. quartai ipfius b: ualiû ergo partii’i clefi qulnç, tallant aleriçz tur,8: bzquatuor unifiai. habent autem fex ad quatuor,velnti and birationem fefqualteram. noya fi ezmagnitudo fiaerit Aliud exêpliî ipfius azfefquitettla, 8: dupla ipfius b,vt in feeûda figurante fuperparticue multiplieabis vnum 8c tettium fubfef uitettizÇquz efi: and latta, vbi vna rationis mine e)denominaterem, pet due,à quibus pla ratio ipfius CI ad ris cit inçqna bideneminatur.Diuides itaque duo,pet mû 8: tettium:pros literie. pterea qued alad matie mutatis fit inæqualitatis.Vnum igia rut 8c tettium,eflieiunt quatuor tertiazdue autem, tertia fex. Diuide itaque fez pet quatuor a proueniet vnum 8c dimidia um,fefqualtetæ rationis (qu: efi and b) denor’ninator.Nam Exç’pli-declav cairn a ad a1 fit fefqnitertium, ad b! autem duplumzqualiur’n ratio. proinde pattium clefi quatuor, talium azefi trium, a: bldnaa raina fimiliumRatio igitur and b,efi vt tria ad duo,quæ fefi ’ qualtera nuncupamrllldem in Taper?arriente ratione tandê Exe’pla’a de fw ebfi:ruari videbis . Sit cnim al adl uperbipattiens renias: perpattientis 8: inter allô: blinddat c, fnbfefquiqnattum ipfiiis a,8c fefqulà copofitione. Ï tettium ipfins b.Diee iam ratione and b,eomponi ex ration ne and elfefquiquatta,& fefquitertia ipfius elad b. Multipliv eetur cnim vnum 8c quartum, pa- vnum 8c tettiumzfiet vnfi 8c due tertia,vnde fuperbipartiês ter-rias (qu: efi ipfins and ’ .Pdenominatnt. Opertet cnim proptet ratienum hyperliea omne carie es, qualium partium cl fiietit quatuor, tallnm blfote trium, pli. 8c alquinqne fimilium. mutique porto ad tria, eam feruant tationê, quam and bmêpe fuperbi artiëtem tertialeQibd Aliud filpere fi inter :18: aineiderit magnitude ,fefquiquinta ipfins a, 86 partiêtir e15: ipfiu: elfefqnalreta. Ratio and b,ex rationibus al ad d, 8c dl plinn,vbi tu: rationfi mine ad c,atcp clad blinderai comporterait. Dune cnim vnum 8c ter rit efi influa tium rationis ezad bzdeneminatotem, in vnum 8c dimidium litata’r. dencminatorê rationis quam habet dlad e : fient duo,à qui: bus ratio dzad bidenominatut, vtpotc dupla. At quoniâ and dix-ado minoris efi: inzqualitatismêpe fubfefquiquinta: diuin dam ipfa dupflper vnum 8C quintum, in hune mednm.vnum &qnintum, durit quintal fez : a: duo,vettuntur in deum me Il].

l 138 v GEOMET. ÉLÉMENT. quinta. Diuido ergo deeem pet fex: proneninnt vnum a: duo tertia,a quibus ratio alad bi, Süman’a exe enominanda en, qu: fuperbipartiens tertias adpellatur. Idem quoque pet fuperins ex! y pli recolleâio preffam partium cum-ratienibus datis, 8C rationû cum partibus refpondentiam, deducerc vcl facile lieebit:qnalium cnim partium elfuerit quatuor,8t dlfex,talium bletit trium, 8c al Notandnm. quinque fimilinm.Hine rurfum eôfurgit and biratio,vtqninque ad trialIPotre fi forfitan in hac partium quotatum, feu fraâionum vulgarium multiplicatiene minus fiaen’s exerev De fra&ionü tatuszeôfnlite libtû firenndrî nefir: Atitbmetie: praâiœ. Nee volumus te latere,huiufeea afironemica: modi quantitatumCà quibus datte rationes nominantut) tum exprefiionem,turn etiâ mult rü cômoditao te in tationü tiplieatienem,per afirone mieas,hee cit fexagenatias integretum frattienesÇqu: ferupnla, côpofitionib’ feu minuta vocant)indiffi:tentet ab folui poife: de quibus libre tertio einfdem Aritbmeticç nofir: abundè traâanimus. Efi cnim fexagenatins numerus, prepter partiiî quotarum in ce eontentatum multitudinem,emnibus retum fnppu tationibus indifiërentet adcômedus. fIftimi exepli IICenferamus in exemplum vtrnncp ealcnlumzôt primam rationis eompofitienem, vbi ra- upputatio fraétiones , P tionem azad bldu plam,ex fefqualtera 8c fefquitertia côfiate.menftrauimns,rurfum examia vulgates. nemus. Multiplice itaque vnum St dimidium,per vnum 8: tertiû,in hune qui fequitut me dum.Dueo primùm lntegta in fefezfit vnum integrû.Deinde numetatetem fraétienis mu! tiplicand:,in integrnm multiplicandszatque numeratetem multiplicâtis,pet integrû mal! tiplicandzzptocreabuntut cnim ftaâienes prietibus baudl diffis I - ëXlt«i miles,vtpote dimidir’a,& vnum tertium,qnç teduéta ad vnam fra X I. (tionem fimplieem,efficiunt qu inqne fexta.Tandem mnltiplioe L. 90,...".Vt fraâiones ipf as adinuicem,numetatores quidcm pet fefe,atque 3 î. denominatoteszfiet vnum tantummodo fextum. Compeno vnrî la fextum &qninqne fextazeonfnrgunt fexta lèx,quæ vnum valët x .3.6 al integ’rum priori integto adijciendnm.Refultabunt itatp duo in: z Eiufdë exem tegra,à quibus prepefita ratio dupla denonainatnr.(IVerûm ide V pli fupputav pet afitonomiea inquiramns fetupula fine minuta.Denominater itaque fefqualter: ratie- tie,p Fraâio; nis,etit vnum integrum,8t triginta integti minuta: ipfiusverb fefquitertiæ rationis denc- ne: affronte: micas. minator,vnuan itidcm integrnm 8e minuta viginti . Sunt cnim triginra,dimidium : vaguai antem,tertiû fexagenarij numeri.Dnco igitur triginta minuta, z in minuta viginti:finnt feciîda fexeëta, qu: dinifa pet fexagim lntegta. Minuta. guida- ta,tefiituunt deci? minuta.h:e fubferibe fiio leee.Deinde mali a se. 0° tiplice vni’i integrû pet ipfa viginti minuta:tedeunt minuta vis a ac. oc ganti.li:c note fub pnetib’deeem minutas.Pofiea duce trigim r o floc ta minuta in Vnnm integrr’a: refiituuntnr minuta trigintaÇnam ac 1 o fraâion peto integra t mnltiplicata,fimilemI o n o videtut o produceteI N fia. t se 51° &ienêÆibns fubnotatis, multipliee integta adinuicê, 8c vnü z il 5 tantnminode refiituitur integrnm. Compeno tâdem deeem,...-.....-..---æ-. . viginti St triginta minuta,confutgiît fexaginta, qu: vnum valent integrumprieri demum adiungendum.Preneniunt igitur ex hac quadratum multiplicatione due integra, à quibus du pla ratio( qu: crat and b )venit denominanda.In mais tefpondenter facito,fiue vnlga ribus,fine afironemieis inuet vti ftaftienibus. r r Alius modus côpenêdi ra: (IE S T E T ALIV S RATIONALIVM QVANTITATVM mnltiplicandi modus,ipfis potifiimnm numeris,ad numerümve relatis quantitatibus peut tient: adinni cem. p liatis: fine numeri ipfi in maioris aut mineris inæqualitatis ratione propenantur. Nana ex eorundem numererum fub datis tationibus oenfiitutorum multiplicatiene,nnmeri proetea antnr,fub eompofita,vel inde confiante ratione fe babentes.Multiplieandi fnnt itarp primi antecedentes numeri adinuicem,& antecedens ipfius eompofit: rationis efficietur.Deinde Primû’ uem: eonfequentesitidem inter fefe dueendi,’vt eonfeqnens einldem rationis genetetur. CIRepeo pli’i de topo; tatur in maiotem fingialerum enidentiam , antecedentis primat eompofitienis exemplnm: fitione multi: pliois. fintç rurfum numeti,tria ad due in ratione fefqualteta , 8c quatuor ad tria in fefquitertia ratione cenfiituti. Due igitur annteeedentes numetes . illi-quam". 3 inter fere,vrpen: quatuor in tria: fient duodeeim,qu: me gfifquimfia. I 32. g pro generat: rationis antecedente fubnetabis.Pofiea MP1: ex cime côPofita. u 5 confequentesdaec en tria a: duo,inuicem mulpllcate:

Q s

fient fendu (de produêtçi rationisa WLIIBËR conf uentê exprimêtia numerû’.A tqui.VI. duodeeîm adl fez,139 duplam confia: obtinere rationem-,ex- efqualrera 8: fifiluïtertia refixltantê. (Sint rurfum Seeüdiî exào bin: fafiomflœ" (illide fubfifquitcrtia, vtdtâium ad quatuor: alter-a veto dupla,veluti Ff’de r e . . . uatuor-a uo.Si com fitâex bis volueris obtinere d m." "P?" ubtlequœma’ 3 Ï gadonem,ducito tria inzîxatuorwnum vidèlîcet anne- Pmcuhm’ s" ! "aima ratio Igs cedentium in reliquum: fient duodecim. Pofhnodùm J ’ z d ipfa œnfequentîa inuicê multiplicato,vtpote quatuor in duozfient o&o.Porro duodecim ad 0&0, 1H ualter-â rationem obferuant,qualem exema. plo quartoÇdenonfinatorem dupla, per ipfius ubfefquitertiz denominatorem dinidenda) , . - reperimus. (Il-land diffimiliter ex fef ui uam 8:12:01 T955 en l Iliade îfngqïîguaÏm’ 5 4 quitertiaweluti quine; ad quatuor,8c (émaner ad tria,- P.l" dcfœl’dî , e ma: * 3 uperbipartîens renias producetur : quemadmodùm "319m? puperbipmm’ rem” 10-4 z obieâa môflrat formula.Ex antecedentium nanq; mu! P . tipldcationefient vigintîzex multiplicatione me: eonfequentium,duodecim.confinent aurê v1gum femel duodecim,& duo in(uper eorundem tertia.lIEt proinde non minus Facile col . Quintupla. si 1 ’ . Dupla. a. * Il g ’ q li em’ ex uintur Rano îSubdupla. z---4. Ratio fSefquitertia. 4-3] Ëgnî Éplaîëfqualtera. ro---4 Dupla fupbiptiês renias 8-3I Plam’fefqu 31m5" necnon ex dupla 8c fefquitertia, duplam fuperbipartientem tertias refultare.Sed hæc de ras tionum compofitionefiue rationalium quantitatum multiplicatione,fint fatis. z Corollarium. ŒHINC FIT MANIFESTVM QVOdD SI A QVALIBET R A: De fubtrao r tione compofitawnaquæg componentium fubtrahatur : premier ipfarum componentium &ione ratio: reliqua.Subtnhitur quidcm ratio,non omnis indiffemter à qualibet:fed minot tantùm à mî adinuicê. maiori.Hæc autem radonum difgregatio pet diuifionem,ficuti compofitio Pcr multipliai tionem abfoluituru’dq; rurfum dupliciterllln primis cnim fi compofitæ rationis denoml’ Prim’ marina. K natorem,per denominatorem alterius eomponêtium diuifi:ris:habebis reliquæ rationis des nominatoremfiue numeros in reliâa ratione côflitutostorter autê (vbi alterius vcl vtris ufi; rationis dencminator,înte3ro 8c fraâo exprimetur numero)ipfa integra adfimile geï nus denominationis cum propria,vel occurrent: fraâione reducere: poflea numerarorê dis uidendæ rationis,per communê multiplicare denominatoremfiet cnim reliâærationismua merator . Deinde numer’atorem diuidentis , in eundembommunem denominatorem duces re, uam eiu(dcm relia: rationis prodibit denominator . Œemadmodùm ex faundo libre noftræ de rehendere potes Arithmeticæ. (Refumatur in exemplû ratio dupla,ex fèfquia Primfi ne!» renia «Et efqualtera refultans: (in; propofitam alteram componenrium, vtpotc fefquiters 9111m. ’ tiam,ab ipfa dupla ratione fubducefe.Denominator itaq; fefquitertiç,eft dmum 8: tertium, LXL que quatuor efficiüt .t’ertiazduo autë,à quibus dupla denominarur ratio,’con 3 3 cinnt renia fex.Diuide itaq; fex rertia,per quatuor terria,in hune modü. t Duc (ex in tria,fient decem 8c o&o:& rurfum quatuor pet tria multiplient n to, fient duodecim. Et quoniam decem 8c 0&0 continent femel duodecim, 8C alteram eorundem partennreliâa itaq; ratio,fefqualtera eflJIDeturvrurfum fefqualtera Secundum ,rario,à qua velis auFerre fifquiquintam v Ex vno itaq; a: dimidio,à quibus fefqualtera deno exemplunl. 3 X 6 minatur,fiunt tria fecûda: ex vno autem 8: quinto,ipfius fefquiÆzintæ de? T. T nominatore , fiunt quinta (ex. dinidenda fun: igitur tria (ecun , pet (a H quinta.Duc itaq; tria in quinq;,fient quindecimzpofiea (ex in duo multipli "- cato,prouenient duodecim.Et quoniam quindecim ad duodecim rationem habent fiefquiquartâ : idcirco refléta ratio feiquiquarta dicetur.Nam ex fiefquiquarta 8c fefi quiquinta ratione, fefqualteraÇvelut-i fuprà deduximus)generatur.

(POTERIS ET IDEM FER NVMEROS IN DATIS RATIO! Alias fubtrav ,nibus confümms rcfpondenter abfoluere.Dëtur cnim rurfum numeri, fub antecedentibus hendi modus rationibus côiütuti,vtpote duo ad vnum in dupla,& quatuor ad tria in fefquitertia ratio; rationes adin ne le habentesfitque veluti prius,fefquitertia ab ipfa dupla ratione fubducêda. Scribatur uicem. - m4113.

r40 I GEOMET. ÉLÉMENT: in timisl’ iteitia,fubeadëtatîonedupla. Poilu 1 l Du gamma. , multiplicato uo in nia,boc ell,antecede’s diuidendæ Sefquiœrtia. rationis,in confequës diuidêtis:fiêt (et. Rurfum ducit a seîëmkera’rdiéh. to vnû in quatuor,vtpoteconfequës ipfius6--4- dinidenda . - rationis,inP diuidentis 4X; antecedens: fient quatuot.AP* ratione igitur à quam habent1 IExad qua! Aliud exzplü mor,reli&a ratio denominanda ethuæ rurfum effendimr felqualtera. llSubducamus ruts fum ad maiorem fingulorum refpondentiam,à fefqualtera rationgpratfatam rationem (et? quiquintam. Propone itaque tibi numetos fub dati: rationibus multitutoswtpotemia ad uom felqualteta , 8c fez ad quinque in fefquiquuv B- 1 talqualœra ratio. Î ta . Et polira fef ui uinta Tub fef ualteta,ducito tria . . in quinque:fient(àuiîidecim . pont; multiplicato duo r z pet fex, rouenîent duodecim . Habent autem quins [Ü-fil ï (L ’ . decim a duodecim,rationem lèfquiquartam, qualem fuperius offendinius.Haud alita-fie carrais quibufcunç inuicem fubducendis facito rationibus. 8c fi minus m hoc genere cals culi fuetis exercitatus, ad caput feœndum libriquatti ipfius Arithmeticç nolh’æ oôfixgito. . .1p . A Grimm mi qui mMuMnœppœflùque litai! a, 15 azin-ô reétam salât 5m!) 7&9: ËMÀaiîfla-îg a. I p à; où fiaient. Tbcorema 1, Propofitio r. . 3,3; ,Riangula a; parallelogramma, quæ fub eadcm funt altis . ,3?! »tudine:ad le inuicem funt,vt hales. fi- 0 R 0 N T I V S.([Sint bina triangula alluma: aICId,totidémque pa- rallclogramma. p czez idem arque cf, fub eadcm altitudine, feu perpendiculati ex a1 vettice in bull ba in incidente confiituta.Aio triangulumal bzcz ad triangulum 5 figura côflia alezdÂè habere,veluti bafis bœxad bafin cul. Cùm cnim e10 a: csz parallelogtam- tune. ma,in eadcm fintaltitudinezin direétum et! igitur ezazipfi aÆ, arque bzczipfi ad,& proinde clflipfi bzdzparallelzl’roducamt igitur teâa’lwd! ex vtraque atte in cô- tinuum tcêtumqsfid gaz hlpunâazpet (ecundum poltulatumSecetur einde bzgz :qualis ipfi lyc,necnon dzl!& lzhlipfi uquualesqaer tertiam rimi.& pet primtî Prima deduo poflulatu,oonne&antur azg,axl,& azlvlineæ teôtæCùm itaq; gl ,ipfi bzcz fit :qua! I &io theow lima-un: triangula yg!b!8( azbzcxin bafibus æqualibus,& in ci(dem parallclis ezfzôc matis,de tria angulis p f gzhzconltimtafl proptereainuicem æ ualiæpet trigefi- mamoâauâ primia: proinde azcxd,az me: aIllhItriano gula, ualia quoq; etuntadinuicem.(ë10tuplex igitur efl gIcz afis,ipfius b!c:totuplcx et! triigulû azgzc,ipfius azbzcztriiguliquotuplex rur(um cit crhzbafis ipfius ad: totuplex cil a: amhzttiangulum, ipfius trianguli azczd. 8’ a è e l B Si bafis itaq; gzc,maior cit bali ah: crit argzotriangu lum,ttiangulo alchiptopottionalitet malus . Et fi gwat CIhzbalEs ,fuetint inuicem zquales: erunt azglaôc atczhztriangulafiqualia quoque adinuicem. Quôd fi bafis glqminOt extitetit bali c.1h:erit a: au g! v triangulum, iplb atcth triangulo æquè itidcm minus. Quatuoritaque magnitudinum, duarüinquàm bafium brus: czd, totidémq; triangulotü azblczôc azcxd, (umpta funt æquè ms . multiplicia prima: a tettizmecnon lècundæ a quartz, 3’?" 0R 3’810 laICIh- alia vtcunque æquè multiplicia . Etficut multiplex pri- ’°- Ud- a’b’c. lamai tu: magnitudinis,ad multiplex fècundæ,hoc efl,gchba- pl fiS,adbafin oh: fic multi lex tertiz, ad multiplex quarc tæ,vtpote azglczttungulumgd triangulum azczh, e habere præofienfum thicut

igitur prima,’ad Mandarin przdiëhmmLIBER magnitudinumfic V1.tertia ad quartam: :41 r extâ ipfius quinti diffinitionâVt bafis ergo blc, ad bafin czdzfic triangulum az æ, . ad triangulü azczd.ngd ptius veniebat ofiendendumIanupet quoniam azbzcz sauna? a!" triangulum,8c pa rallelogrammû ezc,in eadcm (un: bafi,& in ci(dem parallclis con» fiituta:duplum cit emparallelogrammum ipfius albzatriâguli, pet quadragefimâ .lclogtammis. I primam primuôt propterea czfzparallelogrammumnipfius trianguli azczdz itidcm duplumSunt igitur avec exfxpatallelogtammajplbrum a[bzcz& awdztrian o- rum æquè multipliciaPartes autem arque multiplicium,eandem rationem ha nt fumptæ adinuicem:per decimamquintam uinti.Vtiîitur azbzcztriangulügd tria! gulum azczd: fic parallelogrammum ezc,a clfiparal elogrammumDfienfum cit lm autem azbzuttian lum,ad triâgulum azczdz fe habere, Veluti bzabafis,a bafin cdeinæ itaque rationes,vtpote bzcxbafis,ad bafin czd,:t ne parallelogtammi ezuad afipatallelogtammum,eæ cm funt cum ratione ipfius azbzatriangulifid triâgulum alCld.Œlæ autem eidem (uni: eadcm rationes, a: adinuicem flint eadcm: pet vn’decimâ eiu(dcm quintit Hi igitur vt bafis bIc,ad ba» fin czddîc parallelogrammum etc,ad et? atallelogtammum. Poterit a: ipforum Notandum. parallelogtammorum tatio,quemadmo ùm a: triangulorü,feorfum demonflrati: . de(criptis (upet gzh, dt l, a: Mu bafibus, a: in eadcm altitudine parallelogrammis. Triangula ita ue 8c parallelogramma, qu: fub eadcm funt altitudine:ad a: inuicem (unt,vt ba es.QuM crat ofiendendum.

A1: «foin: mugît Plat: «ramdamadapte âxelj me êueëœ là, meébkulotfivéloyop retienne ’rtpâ [5. «de V. . Ë? F01M débet); : uj êàzp ad 7’17 374w malaxai MM?» mplyflôaip, filial dû; «faire ’ tamtam: iueëœ,meà7ùù Miami (son üqftydm débâti: meo’dÀquc. Tbeornna z, Propofitio 2. I trianguli ad vnum laterum aâa fiJetit aliqua refila linea pa Srallela:proportionaliter fecatipfius triâîuli ateta.Etfi trian: guli latera proportionalitet fe&a fuerinna lègmenta cônexa res . êta linea.parallela ad reliquum crit ipfius trianguli la tus. O R O N T l V S.I[In triigulo cnim alblc,agatut méta dle, ipfi bzczlateri paral- lclaDico quôd ipfa dœ,fecat alblôc azerlatera proportionalitet: ficut quidcm and; ad.dzb,fic azezad emConneétantur cnim bzeza czdzlineæ reâæ : pet primü poilu. Prima mon - latu m.Etunt ita ue babels: cœzdxtriangula, in eadcm matis pars. .bafi dze,ac in eif ë parallclis baya dze: 8: proinde inui» cem zqualia,per trigefimamfeptimi primi. Efi autë a: azdze,aliud quoddam triangulum. Idem porto triangua lum,ad :qualia triangula eandcm babel: rationem:perfe ptimarn quinti. Et o fientazdzer triangulum , and trian: gulum bzdz: :fic i cm triangulum azdxe, ad czezdz tri» an lum . El! autem al dl e z triangulum, ad triangulum bz dm , veluti bafis az d! ad afin dzb: pet primam huius fexti . (untenim fub eadcm vertice e, a: roinde * fub eadcm altitudine . Et ficut igitur bafis a! , ad bat Eddzblaüzebldzelaidzeufli fin dt b : fic aId-Ieztriangulum,’ ad triangulum c1 et d, ’ per’vndecimam quinti. Sicut rurfum azdmtriangu» - luni,ad triangulum’cœzdzfic bafis a!e,ad bafin ezc,pet eandem’ptimâ huiusifextiIunt cnim a[dzex a and!

.42. GEOMET. ÉLÉMENT. triangula,fiib eadcm verrine d:8: fiib eadcm confi: uêter altitudine. Et fient igitur aldzbafis,ad bafin dlb. IC bafis vend bafin ezc,pet ean la] blâme de] la]: de, dem vndecimam quinti.Seœt ergo dze! parallclanpfa * a! b! a u cziateta,in punais dza e! proportionalitet. Parti: fecfidç ([Sed iam efio vt azdzad dzb,fic aze zad en: a: côneéta- WMŒ tut reéta doper primam poltulatumAio verfà vice,dzetipfi bzc1 fore parallclam. Cônexis enim(veluti ptius)bzezatq; czdIreé’tis,pet idem primum pofiulatum: crit rurfum,per primam huius fexti,ttian lü atdlez ad triangulum b!dIe,veluti bafis WWdJ-el azdlad ba in dzb.At fient azd!ad dzb,ficper hypochcfin - atelad elcEt ficut igitur pet vndecimam quinti,azezad W ezc:fic azdzezttiangulü,ad triangulü bIdIe.Sicut rur(um pet eandcm prima lèxti,ate1bafis,ad bafin en: fic idem triigulü ardlc,ad triangulum czeszt proinde ficut azdzezttiangulüad triangulum lædlc.g,d,cimne,cla,dlc.ae,d bldte:fic idem triangulum azdle,ad triangulü CICId,pcr W ipfa bzdzezacV vndecimâ czezdz ipfius triangula,eandem quintildem ergo triangulum habet rationem. aldle,ad I Ad que: autem triangula,idem triangulum eandcm ha bet rationemzôt ipfa fimt inuicem æqualia, pet nonam eiu(dcm quinti.Aequû eft igitur bzdteztrian lum, ipo . fi cæzdœriâgulaQJæ Cùm in eadcm fint ba l dle,& ad eafdem parteszôc in ci(dem quoque funt parallclis, pet .4 trigefimamnonâ primi. Parallela efi itaq; dze, ipfi bze. Si trian li ergo ad vnum latus : 8m. vt in theoremate. c Œod emonfitate oportebat.

Ap 4306!! 7min: «fixé:Melun: Tpueîj, il ôfrëpvowœ 7, 7M redonneywviaap Élisée: TËPN 7.(on! de): Menu: au? nie Mme 489 &u’rôp ifs A6709 qui; Mlmîc a? 974m; amalgama 66:9 «DE «il; dénue Tyiparm, ’69 ëu’rôp Ëxe 16709 ouïe Mamie a? «foins anneau: 5nd 41g noevq’ic dal Tibia npipfiôlftmupb’m iuaêçfilixœ TÏFIE qui: a? 376w ymiœp. Tbcorema 3, Propqfitio 3. SI trianguli angulus bifatiam feeetur,difpefcens autem angu lum reâa linea feeuerit 8c bafin :bafis (egmenta eandcm ha: bebunt rationem,tcliquis ipfius triâguli lateribus.Et fi bafis fega menta eandcm habuetint rationem,teliquis ipfius trianguli lare: ribus:à vertice ad bafin coniunâa méta inca, bifatiam difpefcit trianguli angulum. 0 R 0 N T I V «Si; datum avive! triangulum, cuius angulus bIazerbifatiam fèÇCWr,pcl’ nonam primi:re&a quidcm ald,bafin ip(am bxclitidem feeante in pun- F’W 05W (to d-Alo quôd bIdzadldœIfi: habet,vt bzatad alc.Per da tum cnim punfl’um b,da- un ta: refit: linea: atd,pamllth ducatur bze, pet trigefimamptimam primi: produca- e 4 tfitque elaIreEta,pet (ecundum pofiulatû,donec conueo nerit in punétü deum ipfa ble,fecetitq; triâgulû bletc. Conueniet autem cæcum bze, pet quintum pofiulatü: propterea g: anguli efbÆIôC bzcze,duobus redis fiant mi I tiares. ni angulus elblgexteriori 8c oppofito atdzc, et b vigefimamnonam primi efi æqualis:& duoanguli w tu 8c dzaaztrianguli azdnginis mais minores cxifiût,per

ipfius primi deciinamfeptimâ;LIBER His ira tonitruais, quoniam VI-. in ’patallelas azdza:, t4; Primù pardi b! e,re&æ incident az bzaz en: æ ualis cit angulus azbte! alterna bzazdnecnon’a’n’ °fi°nfi°è tetior azezbzexten’oti a: exo po ato dialc,pet vilËefimamnonâ primiAtqui bzazdz 8c wvaangulifunt inuicë p rrhypothefin æ ua es:duo itaqsanguli atbzezôc amb; a :quales proinde fiant adinuicemhinc latus at ,lateti azc, etfèxtam primi,æquale. Trianguli demü b4elc,ad lattas btezaâsa cit atallelus az ,per confituâionê: lècat igiuataxdzptopomionalitetdpfius ttianguli teta,pet (ecundam huius fexti, ficut quidcm bIdzad d’arme eyaza’d achpfi potto exa,ofiëfa et! æqualis bzaz uales autê ad îœndem,eandemshabëtltationemtpet fi: timâ quinti.Et ficut igitur bzdgd dm: - fic"bxa,adalc.l[3it autem vtxbxd’zad dwqfic [and axas: connectant azdzteéta,per Pat: (canada primam pofiulatum. Dico verfa vice,quôd azù recta bifariam difèindit angulum mm” "Je a (blâma? cal-mW plains figura, quoniam ex hypothefi tcccptum efi,ficut 22m En; bldlad dlc,fie bzai’adalafedrp’et-fecundi huius (Exti,-ficut bxùad dxc,vfic eaalad aze: W in triangula cnim bzad , ad lams bzexaéta cit paralleo ’ *- lus azd.Binæ itaq; rationes,bzatinquàm ad azc, a: cza! . A ad azc, eidem rationi btdzad dtcz fiant eadcm :8: ptœ - V pterea cardent-adinuicem,per vndecimam quinti.Et fit eut igitur blalad azc,fic elalad tandem axc.Qgæ autem ad eandem,eandem habent rationemzayquales fiant adinuicem, pet nonam ipfius quinti.Aequalis en itaque b! a,ipfi 021:8 proinde qui ad bafin bzelfunt anguli,adinuicem :qualcs,pet quintam ÀA-A- A4-4,.-L primia hoc cit, azblezipfi azezbÆt quoniam parallcla et! azdzipfi bze, a: in cas incio dunt atbzôt czezlineæ reétæzaiqualis efl angulus bzazdzaltetno a1bze,necnon 8c ex. tetior angulus dwcxinteriori a: oppofito aætb, pet vigefimamnonâ ipfius primi. Ofienfum eft autêgangulos aszezôc azezbzfore inuicem zquales. qu: verô arqua» libus’zqualia funt,ea quoq; inuicem fiant zqualia:pet prima: communis (ententi: interpreutionemA’equa’lis cili igitur angulus blald,a ngulo dlalcEt proinde angu lus blazc,fiab azdzteéh bifatiam difcinditur. Si trianguli itaque angulus .bifatiam A-..4A4J-- feeeturiôc que (equuntur teliqüæand demonfirancum (ufceperatnus, ’

m immiapîayémpwdo’ûioflp. (anima: êoip xi «aimai Vadam Ifait «il,iôa; wviœe’ng P369201; ôpôîioyot 0:2 dl. v . renia très Tôt; wviaw’ mimât: margeai. l , a - a Tbeorema 4, Propafitio 4. 4 Equ iangulotum triangulorum , propo’ttionalia fiant Iateta quæ circai æquales angulos: 8c fimi is fiant tationis.quæ :quas libus angulis lateta fubtenduntur. * ’ " O R0 N T I V S. (Sint bina triangula inuicem acquian b,aIbzczôt dtcletfitq; angulus alb!CIæqualis angulo dm’e,8( bwczangulus ipficz’ le,atg;a’zi’f1b(ipfi angu. lo dzezc." Aie latere ipforum tria ngulorum akbmôt dÆICIqŒ citcum :qua les an» gulos,fore proportionalia:& quéangulis fubtenduntut alibus,eiufdem elle ta - ’ tionis.- Conitituatut cnim bzcz tus’,indite&umi fins Conûmâiofl vend autem efficietur, Cùm anguli szzdzôc dzczez irais 5m” A reétis’fiaetint æquales,per decimamquarta primi. Pto- duæntut- infiapet bxala etdzlatetajn t’eâü a: continuai ad partes aza: d,per (ecundumpbfiulatüdonec tandem in vnum congtediantur punétûJd cnim pet quintam finlatü euenite neceffum cit, propterea quôd anguli 9 a!bIc!& aIUb, duobus mais pet decimafeptimâ primi

144 h GEOMET. ÉLÉMENT. funt minores: 8l angulus dIeICIangulo azezbz pet hypotbefin efi: :qualis. Ex que fit, vt anguli uber a: dlelb, ci(dem angulis azbzcz a: azez ba fint zquales : a: pro. inde binis mais itidcm minores. Et quoniam ex hypothefi angu us dl exe , in- grigri a: oppofito ad eafdem partes mbxcz cit æqualis angulo, necnon flambai fi dchCIitidem interieri 8c op fito :qualis : paralle efiigitur czdzipfi bzfiôt azc1ip a m,per vigefimamoéta- uam primi.Patallelo tammum efiitaq; azczdtfiat to inde ambitus oppo aco fiù æqualc, fi’militet a: at ’pfi Demôlhatio I czd,pet trigefimâquattâ eiude primi. His ita confira füs,quomâ trianguli bzfze, ad latus flua: efi: parallcla azc : (ecat igitur azc,ipfius trhnguli latera ÊI’OPOI’üO b c e naIitet,per lecundâ huius ("extigficut uidem zazad azf, ’fic bIClad me: :qualis ofienfa en: azfiipfi adæquales autem a eandcm,eandem ab. dm? b,a de. habent rationé:ô( eadcm ad :qualcs,pet feptimâ quin- v Î r ti. Et fient igitur azb, ad dzcfic bic, ad cze.Et etmuta. tim in(uper, acutazb,ad btcfic dzc,ad cze,per ecimam. (extam eiu(dcm quinti . Item quoniam ipfius trianguli bz fz e, ad lams bzf, aâa cf: parallela cld:fecat tut! nm eadcm czd,:iufdem trianguli lacera ptopottionalitet,per eandcm (ecundam huius Frti,ficut quidë bze,ad clezfic fzd,ad dze-Ipfi porto f! d, vb’c’ c’e’ c’a’ ad’ (tan efi æqualis azc. Et ficut igitur blc,ad cœ:fic val w etd,per eandë lëptimâ quinti. atq; rurfum permuta- tam,per apfius quinti decimamlèxtâ,ficut bzcz ad cza:fic vend etd-Iam itaq; ofiëfùm eft,ficut axbtad bzclfic dIczad cze:ficaîtq; blaad cla,fic a: vend ezd. Sunt igitur ttes magnitudines alb,blc,8c czazôc alia: eifdé zquales nu aIb,bIc,cIa. dlc,cle,e1d. Encre dIc,cze,8c czd, cû duab’ fumptis in eadê rationnât V x :qua igitur ratione,etit ficut ba, ad alc:fic etii 0d, ddxe. Acquia lorû itaq; triangulorfi atbzezôt dche, proportionalia fiant latera uæ circü :qua es anguloszôt fimilis fiant rationis qua: :qualibus angulis latera fu tenduntut.and demonftrandum fiaerat. a? Marina «au,» «uneMenin odéMyop a,anima. 119665019 i500 «ra’çzymm 76:; e ne tâte www w au,» ad ôpôhryoi aiment) amputait Tbcorcma 5, Propofitio. 5. S I duo triangula,latera propiortionalia habuerint:æquiangula erunt triangula,&æquales abebunt an gulos fub quibus eiuf: dem rationis latera fubtenduntur. O R O N T I V S. ([Hzc efi conuerfi ptæcedentis: uæ non potuit eadcm figu. ra,vel deduétioneÇquemadmodàm feeunda 8c tettia o lèruauimus propofitione) demonfirati. Sint igitur bina triâgula alblczôc dzezfihabentia latera roportionaa liaaficut quidcm azb,ad bxc,fic daetad exf, acütq; szzad cza,fic ezflad fszio triangula ipfa aszcxôc dzelf, fore æquiangula a a: :quales angulos oomprehendete , fub quibus eiufdem rationis lateta fubtenduntut : vtpotc , angulum axb!c,æ uum fore angulo dleÆ, a: angulum bzczalangulo elfl ,atque angulum bmczangulo ezdzf. c f Ad datam cnim reétam lineam ezf,& data illius pun- . 3 flave: fidatis angulis teflilineis aabzczôtaxczbfiquales

an uli eonfiituâtur,pet vigefimamtettiamLIBER primi: erlquuidem v1. ipfi azbzc,& 14; ezfzgl ipfi a! e! b. Et quoniam anguli a!blez St aIczb , pet decimamfeptimam ipfius ptio mi, binis teâis funt minoreszôt fx ez gt itaque ac eIfng anguli binis itidem reétis minores etunt.Conuenient ergo tandem ezg!& fthteétæ line:,per quintum poilu latum. Conueniant ad punâum g. triangulum etit igitur ezfzg:8( reliquus angulus qui ad g,tcliquo qui ad alæqualis,per corollatiü trigefi mæfecundæ eiu(dcm primi, . . vnà cum ipfa tettia communi fententia. Acquiangula fiant itaque albz cz &eIfzgz gugâg°m de triangula,8( proinde lateta ipfotum proportionalia, quæ circum zquales an ulos: . St fimilis fiant rationis, uæ æqualibus angulislateta fubtêduntur,per quattâîuius W. l fitxti. Efi igitur ficut azbzad bzezfic gzezad eÆfieut por» w. roalbzad bzc, fie cil pet hypothefin dzez ad ip(am eÆ. Et fiait igitur dzezad etfific gtezad eandcm ezf, et vn. decimam quinti.Qaæautem ad eandcm eandê bent I rationem,æquales funtadinuieë,pet nonam quinti: æqualis efi igitur dze, ipfi ez g. Haud dilfimilitet ofiendemus dÆ, ipfi ftglæqualemœadem cnim etfzad vtranque, tum ex hypothefi,tum ex quarta huius lèxti,eandem habet rationemzne’pe quam bletad ela. Ad quas porto magnitudines, eadcm magnitudo eandê habet ramoné, ipfa: funt æquales,pet eandcm nonam quinti. Et quoniâ :qualis efidœzipfi ezg, vttique autem cômunis erfibinæ itaq; dzeza eÆzttianguli dzezfiduabus Flezôt etgl trianguli et f! gz funt zquales alteta alteti.8c bafis dzfibafi 9g! :qualis. Angulus igitur dœif, angulo Flelglfiab :qualibus reâis comptehenfo, pet oâauam primi, efi æqualis. Nec dilfimili via demonfitabimus,angulum ezdzf, angulo etglfæqua lemzatq; ctfzd,ipfi ezfzgfiampet enim ipibrum trian ulorum bina latera,binis late- ribusalterum altetioffendentur æqualiamecnon a: afis,bafi æqualis.Eteôtentos propterea fub :qualibus lineis mais angulos,æquales habebunt : pet eandé 0&3- uam primi.I-Iis præofienfis,quoniam angulus dælfiæqualis efi angulo 90g: eidë Reroluriothe quoq; an Io f!elg,æquus efi pet confituétionem angulus athc.Duo itaq; anguli «mm. azbthôc ’ezfieidem angulo faezgÆunt æ ualeszôc proinde zquales adinuicem,per primam communem fententia m.Pa ti di eutfu angulus azezb,an lo dzftemeenon 8c blatc’angulusfipfi eldÆzangulo côeludetut :qualis. Acquia’gu a fiant itaq; afblC, a dlelf! triangula. Si bina ergo triangula: ôte. vt in theoremate. Quod oportuit ofiendifie. GUSQMFœ s, Feôotm; s. Ap 4Mo ’fi’ywvœ Fiel: vaœp Pro? 7min: fait!) fibwî de l’oued ywvîotd de Gilbeàc E a’cvéÀoyopfieoydwœ (son Tôt «gammé in; 2go «du; www, in” à; a2 ôpôÀayoa and!» Tbeorcma 6, Propofitio 6. 6 Ien bina triangula imtàvxaip. vnum angulum vni an gulo æqualem timbue: S tint, 8c circum æquales angulos lateta proportionalia: æqpis angula etunt trianguia. 8c æquales habebunt angulosfub qui us eiu(dcm rationis latera fubtenduntur. O R O N T 1V S.([Sint rurfum bina triangula albÆlôi dzezfihabëtia vnum an» gulum vni angulo zqualem,thote eum qui ad btei qui ad etatq ue circum eofdem æquales angulos lateta proportionalia,ficut azblad ble,fic dzezad eIfiDico ipfa tria» gula aIb vêt d aezfifore æquiangula: &angulum blazer angulo ezdlfiatq; arob, lipfi dzflel refpondenteteoæquati. Ad datam cnim reétam lineamdle, datümq; illius Figure com punétum e,vttiq; æqualium qui ad bIôt etfunt angulorû,æqualis au lus eonfiitua 9mm turdtezg,pet vigefimamtertiâ primi:& pet eandem,ad punétû d,ip i angulo baye! nq.

i146 GEOMET. ÉLÉMENT. æqualisi rurfum confiituatutangulus ezdxgÆt quoniam duo anguli azbaclôt bavez funt minores duobus teâis,pet decimamlèptimam ipfius prima:erunt a apfi angu» li dzelgzsz ezdzgzbinis itidcm reâis minoresConuenient ergo tandem dIg(& mg; teâæ in continuum produâæ,pet quintum pofiulatumzfit aillaru conçut-fias in pun- i Deduâio éto g. Triangulum crit itaq; dteIg: a reliquus angulusqua ad g, telaquo quiad Cl theorematis. æqualis,per tertiam communem (ententiam, 8c ipfius tragefimzfeeundæ puma tollatiumAequiangula fiant itaque aabfczôcdaezgzttaa- J gula:& proinde lateta ipforum proportaonalaa,fimalafq; rationis etunt que :qualibus angulis lateta fubtenduntur,pet quatrain huius fexti. Et ficut igatural ba ad bzc, C f fie dzezad eIg Sieur porto azblad bzc,fic pet hypothefin d’elad eIfiEt fient igitur dzetad ezfific ipfa dl etad e! g: quæ cnim eidem funt eædem rationes, 8c adinuicem font eædem, pet vndecimam quinti.Eadem itaque d!e,ad ip(as ezflôc ezgaeandem habet tationem:æqualas efi agi. Refolutio de. flac. eaf l alb. bic ldle. cag-J tut eafzipfi ezg, pet nonam ipfius quinti. His ita præ. môfitationis . -.:7 "i’ V ofienfis, quoniam zqualis cit Cl f7 ipfi U g, vtraque au. w tcm cômunis dzezbinæ itaq; dzetêc esz trianguli dz ex fi I duabus dzezôc eIgI trianguli dzezg, funt zquales altera alteri: 8c :quas adinuicem continent angulos, pet confituâionem . Bafis ergo dzf, bafi d! tefi æqualis,& totnm triangulum toti triangula æquale,teliqui infiapet an guli refiquis angulis zquales fub quibus æqualia fubtendunturlatetazpet quartam primi.Aequalis efi igitur angulus ezdzflipfi etd!g,atq; is qui ad fzei qui ad g,æqua- lis.Sed eidem angulo ezdzg,æqualis efi pet eonfiruâionêangulus bzaze: eidem in- (uper quiad g,is qui ad caitidem :qualis. qua: autem eidem :qualia a: adinuicem fiant :qualiazpet primam communem fentEtiamAequus efi igitur angulus e! dIf, ipfi bza ze: necnon wdlfxe,ipfi angulo atczb.Reliquü porto angulum dzelf, reliqua atblc, ex hypothefi tece imus æqualem . Acquiangula itaque fiant azbzcz 8C daesz triangula :8( zquales habent angulos, fub quibus eiu(dcm rationis lateta fubteno duntut. Ergo fi bina triangula:& qu: fèquütut reliqua.and demonfitate fiacrat operæptetaum. " Ap Mo vehme play 76min:cadeauta: paît 7m12; faire2, redora-acixia , nib) Li aère aimai2- wviœa’ , «à; v ratifiait: àvaZÀo’yop , vrô’p dit ÀOl’UÂïp Encafi’œp dam airant iNÊoa-ovœ il pla iMœ-om 69e et: : fondue Etna ’rà «521’wa , mai l’atout ïfa Tire mainte , rai-Æ. de âaéhoyop êoip 0:1 malaxai. Tbcorcma 7, Propofitio. 7. S I bina triâgula vnum angulum vni angulo æqualè’ habuerint, 7 careum autem alios an gulos lacera proportionalia , reliquorû veto vtrunq; fimul aut minorem aut non minoré I’C&0 :æquian: gula erunt triangula, 8c æquales habebunt angulos, circum quos proportionalia funr lacera.

Prima dico, O R O N T I V SIESint bina tria ngula azbzcÆt dtezfivnum angulum vni angu» rematis fine lo,vtpote cum qui ad alei qui ad dlæqualem habentiazôc circum alios angulos, fei- hypothefis part. lice: alblezôc dzezlea tera proportionalia,ficut quidcm azbzad bac, fic dIezad ezfite- liquonî porto qui ad czôt fxfunt angulorum, vtetque primiam fit reéto minon Aio albœrô: dzerfxtriangulafore æ uiangula:& angulum alszIæquû elfe angulo dzeaf, atque reliquum azoblreliquo fiel itidcm æqualem. In primis enim,velangulus

albmœa minus angulo dzezfivelLIBER eidéinçqualinSiæqualis fiaetitv1. aIbICIipfi ,47- dzexf: reliquus a, ab reliqua dzfœ, pet corollaraum trigefimæfecundæ primi, a: tettiam communem fèntcmiamfirit æqualis.& Ptoinde ip(a triangula aabwôt dlezf! :quiangula. Quôd fi angulus azbzgnon fuetit æqualis ipfi dlelfialtet eorum,teliquo maiorcritæfiom Po [bile fiaerit)azbzczangulus,ap(o dzezfzangulo maior. a ad da- um reétam lineam a[b,& datum in ca punétum b:ipfi angulo d’eafxæqualis an a lus goum-mataf a,b[g, PC; yigefimâtettiâ primi:producatairq; bxgn’n latus azc.eum cnim angulus 3,1, A; dans fit maior angulo dzezf, cadet reéta bzg!intet aIbIac bœI lattera. His ita eonfiruâis,quoniam :qualis efi angu» Demônraflo I lus qui ad azei qui ad d a: qui (ub azbz zei ui (ub dlczfz eiufië wifi": :qualis: reliquus igittir angulus aIgIg b, tilliquo d, 9:, 3331311332111» pet corollarium trigefimæ(eeundæ primi, a: tertiam c5 B munem (entêtiam etit :qualis. Et proinde azbzgm-js. . - gulum,ipfi dzetfzttiangulo æquian ulü.Hinc pet qua t» mm huius (exti, proportionalia etuntlatera qua: a: ualibus (u tenduntur angulis: ficut quidem daezad ezfifie aabzad bzg. fient porto Ic’Iadlezf, fic tcccptum cit axbl Ta! Ex] W Mg ad bcht fient igitur albzad bzc, fie azbzad bzg, pet vndecimam quinti. Eadem itaque azb,ad vtranq; ipfiatum W bzczôa bzg, eandcm habet rationemzzqualis etitigitur aszipfi bzg,per noua ipfius quinti.hinc pet quinti primi,angulus blClgIangqu blglclca’it equalis.Angulus portb bang, minor reéto (up fitus citât bzgzczpropterea angulus teâo minOt etat. Rush autem bzg, imides upetlatus azc, eificit az zbzac’ bzglcl angulos binis reétis zquales , pet decimatet. tiam primi.Et quoniam zgae,reéto minor ofië(us ellzopetæpretium efi,azgzbzan» gulum,re&o fore maioremHuic autem ofienfus efi :qualis dlfze:8( an ulus itaq; dIfze,te&o maior etit.Atqui (upponitut tette minor:quæ fimul impo abalia (une. Nô cit igitur atbchangulus, maior angulo d lezfihaud diifimilitet ofiêdetut,qa neq; minor. Acqualis igitur efi angulus a! zc,ipfi dxexf. Hinc reliquus qui adc, reliquo qui ad fz(vti fiaptà)eoneludetut æqualis : 8c triangula confitquenter azbzc, 8c daexfI inuicem æquiangula.l[Sed efio fimul vtetq; eorum quiad ezad-7 fiant angulorum, Pars reaanda non minet te&o.Aio rur(um trian la a’blcl 8c dzezf, F2100??? * «I eiTe anihilominusæquiangula. Con métis nanq;(velu» fis a ,5 - C , ti (uprà)figutæ pattabus: baud diffimilitet ofiêdemus, tu. g bzezatq; bngIateta fore inuicem æqualia:8( angulü propterea bzezg, angulo blgzcl pet quintam primi re(pono denter eoæqua ti. Et quoniam angulus bzczgznô minot efi: reétoznee eodem teflo minor erit angulus bzgontianîuli itaq; btheIduo ana guli qui ad bafin e!g,binis reâis non etunt minoreszcôtra ecimamiêptimâ ipfius primiNon efi igitur azblelangulus,mai0t angulo dlelfineq; eodem angulo minot. Acqualis efi propterea angulus albzc,ipfi dzezfiôt reliquus atclb, relique dzfzezeon (equenter :qualis ,veluti (u ra deduftum elLAequiangula fiant igitur azbzcz 8c dœzfztriangulazôc zquales ha ntangulos,cireum quas proportionalia fiant lateta. (yod ofiendendum tecepetamus.

Ap ai ôeeofiaw’o dynamitai:meulant un; 690E; malard a, àôi’neume «au Mon: me. a. dodine-à avec; fifi nôtre «finira aimé 851 (se) Tl 3M and anime. Tbcorema 8, Propafitio 8. , 3 S I in triâgulo teââgulo.ab angulo reéto in bafin perpè’dieulatas n.ij.

:48 GEOMET. ÉLÉMENT. I agatut: qu: ad perpendiculatem triangula , fimilia fiant coti, a:

v O R O N T I V S. IIEfio reflangulum triangulum aabac, habens angùlü qui (rab baaaateétnmæt à dataN punâo a,(upet datamx reétam lineam bac, perpendicularis taon de cariaadinuicem. deducatur aad, et duodecimam primi.Cadet enim huiulcemodi PchCndIClJllflsg. . 3;me intta datam aabacattian lnm: ip(um’q; in bina diuidet triangula. Si cnim merde- . te: extra,produ&o baea tete v(q; ad ip(am perpendiculatem, triâgulum eflîcerco tut,cnius exteriot an lus minot ci(et interiore a: exo pofito, nempe acntus tc- ne, contra decimam extam primi. Neq; in altetutrum tetû aut aaba ant aaeapoo terit eoineidere: duo cnim anguli eiu(dcm trianguli non efiènt binis mais minq- res,œntra eiu(dcm primi decimamièptimam. Cadit igitur intra aabaca triangula. uddfniaw Aio itaq; aabadaôc aadaeatriangula, toti aabac,atq; inuicem fore fimilia- (Un pria 55:32;: mis q: triangulum aabadafimile fit toti aabacin hune ofienditut modum. Anguille .,b,c, cnim aadab,:quus cit angulo baaac,per quattum pofiulatum,nêpe teâus te&0.&. a angulus qui ad b,vtriq; triangula communis. Etgo te» liquus aacab,reliquo baaad,pet corollarium trigefim:- (ecund: primi, a: tettiam communem (ententiam efi: :qualis. Acquiangula fiant itaq; aabaca a aabada triangula: 8c proinde qu: circum :quales angulos fiant la. b teta,inuieem proportionalia,pet quartam huius fixa) Sicut igitur bacaad eaa;tti’anguli aabacfie aaaad aad,trian li aabad.fieut ptætetea claaad aab,ipfius aabaattiangulizfic aadaad dab,ipfius aaba attiangulificut demum eabaad baa,ein(dem trian li aabacfic aabaad bad,eiu(dem trianguli aabad. Simile . efi itaq; trian lnm aaba ,toti aabaeattiangulo: pet primam huius (tarti difl’initioi a»?! ï? nem.lI Haud difiimili via ofiendemus,ttiangulum aadaea ipfi toti aabaca fore fimi. b,cz fille de le.Re&us cnim angulus aadac,te&o baaae,pet quattum :quatut pofiulatum. a is fichât!" qui ad caefi angulus,vttique rur(um triâgulo communis. reliquus ergo daaacaan- mi gulus,reliquo aabac (veluti (uprà deduximus) efi :qualis. Acquian a itaq; fiant aabaeaôt aadae triangula.Hinc pet quartam huius (exti,proportiona ia etunt latera qu: circum :quales fiant angulos. fient quidcm baea ad caa , trianguli aabae: fic aaea ad ead,ttianguli aadaefieut rur(um caaaad aab,ipfius aabacattianguli: fie cadaad daa,ipfiusaadacatriâguli.fieut prætetea eabaad baa,eiu(dem trianguliaabaezfic caaa ad azd,eiu(dem trian liaadae. Simile efi: igitur aadaca triangulum, toti aabaca pet Q1366] and, eandcm primam diifiiiitionem huius (exti. IIReliqnum en, demonftrate gipfia a àîrdâfrtfim aabadaôc aadacatriangula fimilia fiant adinuicem. Id autem ex (npradié’tis ofienfio- à; bibus,haud difficile eolligemus.Angulus cnim baaad,angulo qui ad ca t:ofien(us en :qualiszat is qui ad b,ipfi daaaereliqui autem fiant reéti, vtpotc aa baat aadaea anguli:& proinde :quales adinuicem,per idem quattum pofiulatumAequiangua lnm efi itaq; aabada triangulum, i fi triangula aadae. Et fient igitur aacaadacad, fic baaaadaaad.fieut ptztetea cadaad gaïac aadaad dab. fient demû eaaaad aad, fic aabl ad bad.Propottionalia nanq; (une lateta, qu: circum :quales angulos:per (:pius allegatam quattam huius (ExtiTrian la itaq; aabadaat aadae, fimilia fiant adinui- cemzpet tandem primam huius (Exti iffinitionem. Si in teâangulo i itur trima 8010.3!) angulo te&0:&e.vt in theotemate.Quod oportuit demonfita et

(Et quoniam ofiêfum efi fient Corollara’um.cadaad dza,fie aadaad dlbzficut in(uper eabaad. baa, fic aabaad bzd,: ficaîtque baeaad eaa,fie aacaad ead.aProinde manifefium efi,qu bd in triangaaloteétangulo deduéta ex angulo teâo’in bafin perpendicularis, efi media

proportionalis inter’ipfius bafisLIBER fegmenthatvnumquodq: ptæteteava. lateri i reétam :49 ioontinentintn angulum ,medium itidcm proportionaleefi: inter bafin à: (egmeno tum,qnod cum ip(o eongteditur latere.

I H; aoûtions imam mimoit:ne pigé» 63mm: émia. a, reflua; O. Problema a,- I Propofitio 9. 9 Ara te&a linea,ordinatam pattern ablcindete. O R 0 N T I V S. ([Ordinatam pattern hic vocat Euclides,qu: ab ordinato ali- Ordinata quo denominatut nnmeto, a: quota pars integt: magnitudinis ab ipfis nuncupad pars quid. tut arithmeticiswti (ecnnda fine dimidia pars qu: à binario, tettia qu: à tema rio, 8t’quarta (qu: ab ip(o quaternatio numero denominatut. Sir igitur data linea reo Ë xeqtmtio po fla aab:à qua fit operæptetium ordinatam aliquam,vt- bleuaata’s. C pote tettiam abfcinderecpartemA data itaq; punéto a, reéta qu:dam linea pro ucatur aae, contingentem qui (ub bIaIca cum eadcm elficiens angulum. Ipfius potto aac,libernm aliqnod unéhî ver(us aa(u(cipiatur :fitq; illud d. Secentur dein e ipfi aadI: uales daea a eae,pet . tettiam primi:& conneétatur recta ac, pet primam po Rulatuanandem pet punâû d,ipfi bacapatallela ducatur daf, et trigefimampri- main eiu(dcm primi. Triangulum efi itaqaaaeab, a ad lattas ca a aâa efi parallcla daftfecat igitur drfa ipfius trianguli lateta proportionalitet , pet (ecundam huius (exti,fieut quidcm cadaad daa,fic bafaad faa.Et à oompofita igitur ratione, fient eaaa ad aad,fie blalad aafipet decimâoâauam quinti. Tripla efi autem claa i fins aad: a: baaaigitur ipfius alfaitidë crit tripla,& proinde aafa tertiz pars ipfius aa . Data ira» que mita linea aab, ordinatam pattern (nempe tettiam) abfcidimus. ondfacere

I up dioeëth iueôap ëT’DlTOP,’1îremania: élohim; Mât: fi, vinifia I ôpoa’we newton «par. l l. oportebat.Probleina z, Propofitio ao.i , QAtam reétam lineam non (etiam, dat: refît: linea: (cet: fi. Io

O N T l V S.([Sitrut(um aabadata 8! in(eé’ra linea tefia,aaeavetô vtennq; (eo êta in puné’tismiliter dza: e.Côponantut antë (ecarc.aablôtaacadat: raft: line:,ad contingenté . * angulum. qui(ub baaacôt conneétatur refl’a bac,pet primum pofiulatumPet pnn ôta con(equentet d’8: e,ipfi baqparallel: dueantur refit: line: dlfaat eagritidem a: - pet punâum d,ipfi aabI arailela ducatur dahal, pet trigefimamptimam primi, die uidens eagain punétor h. atallelogtâma fiant itaq; da la: hab. :qualis cit propteto ca (agaipfi dah,& gabaipfi a]: pet trigefimamqnatta ip’ fins primi. Hisita ptzmiffis, uaniam trianguli aaeag, Pmblernatla ad latus eagaaéta efi parallcla (:(eœti itur dafaipfins amatie. trianguli lateta proportionaliter, per ecundam huius - (exti . Et fieuti itur aada ad dae, fic aafaad fag. In(uper a b quoniaî trian idacal, ad lattas calaaâa et! arallela cab: fit rur(um pet eandcm quartam huius exti,fieutdaeaad eac, fie dahaa hal. Ipfi ve» r6 da ha :qualis ofienfia cit fig, arque ipfi halaæqnalis gab.Aequales potto ad ealî dem, eadcm habent rationem,&,e:dem ad :quales:pet (eptimâ uinti.Sieut itaqa daeaad eae,fic fagaad glb.Pt:ofien(um cit autem,ficut aldaad dae:fic aafaad fag. Et du).

.rto GEOMET.«EI’JEME’NT. fientigitutiaadaaddaefie and fagaficûtq; daeaad me: fagaad gab. Damier-go a; &ahnea infeétaaab,dat: refit: fine: vtennq; (en: aae,fimiliter (cœtuts’QIuod fia eiendum tecepetamus. . - .- ’ A . . I .

Io (licenciait: êueaô’pflfi’flwremuant âvo’zÀoyopmÊMdbeëp. 7, 11969601; au. Problcma 3, Propofitio - u. DVabus datis reétislineis,tertiam proportionalemlinuenire, Il . ’ O R 0 N T I V S. ([Sint dat: bin: reéti: lineæ arabas: cad,quibusatettiam.opot- emmenoit reat inuenite proportionalem.Ad datum’itaque punflum a,datæ reétæ-line: cada surc- I’ :qualis teéta linea ponatut ale, pet (ecüdam primi,contingentem qui [(ub eaaaba I i efiiciens angulum.Et ipfis aabaat aaeain continuum teââmq; ad faôc gapunéta pro» a a :1 i g i duâiswttiq; ip(atü eada &aaea :qualis abfcindatnr baf, il , . Il pet tertiam ipfins primizcôneftataîrq; teâa bae,per pti I ï - mum pofiulatumPer trigefimam deinde primi einfdê . a- l V - - sa primi:per datü punéh’a f, ipfi blea parallela ducatur fag, L n’a a! ’ conueniens cum aaeaad punétû g.Conuenient cnim tan sa 4 et ”- . dem pet quintum pofiulatûzptoptereaga angulieaaabl a; aabaeatrianguli aaeab, fiant pet decimam(eptimam primi binis métis-minores, a: ipfi angulo aabaeaintetioa’,ôt ad ea(dem partes qui ad (a pet vigefimamnonam Dmôflraïîo i ius primi :qualis. His ira eonfiruâis , quoniam trianguli aagafa ad latus (aga Pi°bl°mm aâa cit parallcla-baefiœtigitur bae’aipfins algafatrianguli lateta proportiOnalitet, pet quatrain huius (exti,fic’ut’quidetn aabvadbafifieaaeaad eag.Aequalis porto cil cadavtriq;ipfiatum aaeaôc bafapet eonfirué’tibnem :êtæquales ad eandcm,eandem habent tationem,& eadcm ad :qualcs,pet (eptimam quinti. Et fient igitur aabaad ead,fie eadcm cadaad eag.Datis itaq; binis mais lineis aabaôt ead,tettia proportiot ualis inuenta efi: eag.ngd oportuit feeifie. A . Peôfiahpœ «fi, 11969601; il?» Paô’p hanap iu0489,flTW àm’cÀowp Wôlagê’p. . 1 A Probltma 4, Proptfitio 12. p . Ribus datis re&islineis, quartam proportionaleari inuenire. Il 0R ON T I V S.I[Sint dat: ttes lime: refit: a,b,e,quibus oporteat quartam in- augura: pre. uenite proportionalemCôfiituantut itaq; bin: qu:dam refit: linea: daeaatq; dafi 9mm contingentem qui (ub eadafaa ngulum efficientes. Secettîtq; pet tettiam primi ipfi aaæqualis dag,ipfi veto baatqualis gags: ipfi ea:qualis dah.Et connexa gah,per pti miam pofiulatumzducatureafa ipfi gahrparallela,per trigefin’aamptimi ipfius pri- ’ a I mi. Pet (ecundum tandem pofiulatum ipf: dahaôc eafa a I in continuum teâunaq;,produeantur:donee conueniant ’ ad punâum (Concurrent cnim tâdem:quemadmodùm Demôfiratio ais tefolutio. i ex præeedenti potes elicete demonfirationçHis in hâta modum præpa tatis,qnoniam triangulum cit dafae,& ad latus ea(aaCl-a cit parallcla gala: proportionalia itaq; fiant

P s e reliquatum latetum (cgmêta, pet quattam huius (exti, fient dagaad gae,fic dahaad hafiIpfi potto dagaæqualis cit a,8: baipfi gae, atq; Cl ipfi daha:qualis,pet confiruâionemAequales autem ad eandcm, eandcm habent ta» tionem,8t eadcm ad :qualcs,pet fitptimâ quinti.Et fient igitur aaad b, fie caad haf. ’

Tribus itaq; mais lineis datis,a,b,c,quattamL Ï B inuenitnus E R proportionalë V1. bafitir Quod

- ’ reétam: a, FQËOEŒÇ a7. fiaciendnmfiaetat.to LaOeo’ôp inaôp,pîeiw marrois webeaaeiip. » - a’ 4 v Problema 5, Propofitio r3. 13 DVabus datis re&islaneis,mediam proporriOnalem inuenire. O R O N T I V S. ([Sint dat: bin: reét: line: aabaa cad, inter quas receptü fit mediam inuenire pro portionalem.Produeatut ergo alteta earü,vtpote aaba in te, Conlhuétid etiam a cantinuû Ve lis e,iîer (ecûdum pofiulatüœc ab(cindatur baeaipfi cadaæqua- figura. ’ « is,pet tertiam primi.Et diui(a aaeabifariam,per decimâ , ipfius primi :deferibatnr ad alteriattius partis internai: * lnm (emicircnlus aafae,per tettium pofiulatumA pua» etc deniq; b,perpendicularis excitetur bai, pet vndeci- a e mana primi: a conneâantut aafaôc faea fine: reétæ, pet cy----acl primû ofiulatum. His ira confiruâis,quoniam tria» Sümatia pro: (guli aa aea angulus qui ad fa efi in (emicitcalozis pto- blematis ollé fie. terea reétns efi,per trige ami rimam tertij. Reftâgulum efi itaqsaafaeattiangno um,& ab angulo retro ni ad ain bafin aaeaperpêdiculatis demittitur fabÆfi igi» tur ipfia petpédieularis (a Camedia proportionalis inter aaba8c baea ipfins bafis (eg- menu, pet primam pattern corollarij caftan: huius (exti.Efi igitur vt aaba ad bat; fic b,pad bae.Ipfi portô baeaæqualis efi czd,pcr confituâionem: a: :quales ad e5- dem,eandem habêt ra tionem, 8c eadcm ad :quales, pet fèptimam quinti. Et fient igitur aaba ad baf, fic bafaadaead. Binis itaq; mais lineis datis, aabaôc ead, media proportionalis innenta cit baf.0410d oportebat facete.

niaient:4 n’a06.5er and pinta FJËÏO’ËU e, ixônap, Paiera; 7min: meazhnno’yfaiypop, «fi. odaammaiwæaap ce! . maugœëœl’mei «daïôteyma’ow’mj 5p meœflxîsoypdppap [du paôj loup îxôvtop 7n- tiep,œâmtnüroœoap «2 laitueœîœimei qui; 76:9 wviœdâëc 359 êuâvœ. * l Tbtortma 9,. ». Propofitioi. a4. I4 Equalium 8c vnum vni :qualem habêtiurn angulum parais " lelogrammorum: reeip roea fiant latera,quæ citcumæquales angulos . Et quorum parallelogtammorum vnum angulum vni angulo :qua cm habentium , reciptoea fiant latera , qu: circum :quales angulos:ea quoque (untæqualia. O R O N TI V S. ([Sint bina parallelogramma inuicem :qualia, abacas: dabte, angulum qui (ub aabaôt bae,ei qui(ub dabaôc baeacontinetut :qualê habentia. Dia Pars prima I c , ce quôd ip(orum parallelogtammorum aabaeaôc dab !ea rheoremarit. reei rocafiant latera,qu:eircum :quales anguloszficnt qui cm aabaad bac, fie dabaad bac. Confiitaaantur cnim Q e aaba& baealatera in diteâumzhoc autem fiet,cùm an .. li aabaeaat eabaea fiaerint :quales duobus re&i5,per de: cl b. cimamquartam q rimi. In diteétum quoq; tune etir daba a I ipfi bac,pet ean cm propofitionem:anguli cnim dabaea 8c tabac, binis itidcm teâis,per primam a: (ecundam eommunë (ententiam ,tetunt . :quales-Compleatut tandem cabaeaparallelograinmum: produâis in continuum a mu].

as: GEOMET. ÉLÉMENT. reâûmq; datornmparallelogtammorü lateribus,per entamant fi:cundum pofiulatu. Cùm igitur aabacapatallelogram ÆÎmœ mû, :qualc fit et hypothe an ipfi dabaeaparallclogra- a I b e me, &abaea afiud quoddam vttique oomparabile pa» tallelogrammumœrit proinde vt aabIC! parallelogtam . mum,ad parallelogrammum eabae, fic parallclogramo - d A mum dabaea ad idem eabaea parallelogtammü. Aeqnaa ’ l les cnim ma nitudines ad eandcm magnitudinem, eandcm habent rationem,per fèptimam quanti. Sieur potto aabaca parallclogramnuî,ad parallclogramtnü eabae, fic et rimi huius (exti,bafis aaba ad bafin bac. (nb eadê cnim (un: altitudine ip(a hag-bleiaIFIchIeIŒFIeccaslel aabaca a: eabaea parallelogramma. Et fient igitur bafis . aaba ad bafin bac, fie pet vndecimam quinti,dabaeapao . tallelogrammum, ad parallclogtammum eabae. Sieur rur(um pet eandcm primam huius (exti, dabaeaparal’ IcÏnglmmum, ad ip(um parallelogrammum eabae , fic bafis daba ad bafin bac. lavable] dîbae.cabaej dabbac] Et fient igitur pet ip(am vndecimam uinti aabaad bac, fic daba ad bac. Datomm itaque paral elogrammotum aabaeaêt dabae, teciptoca fiant lacera qu: circum :qua» les angulos: pet (ecundam huius (exti diifinitionem. accu-da par: (Sed cita vt qui ad ba fiant anguli :quales fint adinuicem, 8c eitcü ea(dem :qua- theorematis, les angulos ,latera tccip rocè proportionalia,ficut aabaad bae,fie dabaadabacAio ver Donnerfa prie (a vice,qa aabacaparallcloî’ammumfl nm cit ipfi dabaeaparallelogtammo. Receo ptum cit cnim ex hypo efi,vt aabaa bac, fie daba ad bac.Sed fient aaba ad baea fic phlegme] aab.bae[ a,b, hg pet pramaan huius (carra, parallclogrammum aabaca ad eabaeaparallelo rammum.Et fient agatut aabaeapa rallelogtammü,a , parallelogtammum cabac,fie pet vndecimam quinti daba ad bac. Sieur rur(um daba ad (aabaccabaqdab.baeldabaeabaq bac, fic pet eandcm primam huius fixti , paralleloo grammum dabaeaad eabaeaparallelogtammnmEt fient igitur pet ip(am vndecimam quinti aabaca paral- i t lelogrammum,ad eabaea parallelogrâmum, fic arai- lelogrammu dlb’ca 8d îdë Ubaea parallclogrammûVtrunq; igitur aabaeaat baea PafiilÜdogfimUmaad idem. pâtallelogramma’a eabaea habet eandë rationem. :quaî (a lm]: aabfg’Pall’alldOgflmmü ipfi dabaea pa rallelogrâmo, per nonâ ipfius quinti. Acqualan igitur &vnum vni :qualem babétium angulum parallclogtammoa filmai qu: (equuntur reliqanuod ofienden’dum fiaetat.

Tnp imp 6 pinta: paê imp ingérantenfin: mina]! a, «rayâmpwdrnmmlveœaap retienne li. ,:2 ralinguai datai me; me W’lmüfld a? plut paît 14mg ixônœp rating Mandarinat: ce! «fiançai 4:1in qui; i6: nimbaTbcorema- Io, au Propagfitio item. 1;. ’ - . AEqualaumôt vnaî vni :qualem ba curium angulum triangu U lomm:recaptoea fiant latera,qn: circum :quales angulos. E t quorum vnum vna angulum :qualem habentium trianguloru na recaproea (untlatera,qu: circum :quales angulos: ca quoq; fiant

Prima theote matas part. :qualia,O R O N T I V 5. (Sint bina triangula ’aabada: . dabae, . angulum qui (nb aaba a:

bagei qui (nb dabaô: baeacontinetnrLIBER :qualem babeuriæDioo lateraV1. ipfiarum aabacain a: dabaca triangulornm, qu: circum eo(dem :quales (untangulos, (0re teeiprocè topettionalia:fieut quidcm aabaad bac, fie dabaad bac. Colloeentut cnim aaba 8c aealatera in direétum, a: daba ipfi bac: quemadmodùm pr:eedenti demonfiratio ne, ex decimaquarta primi, de parallclogrammora’a de- ’ dnétum en: lateribus. Conncétatur dcmü reéta aad, pet primam poitulatumÆt quoniam pet bypotbefin, :quaî . cit aabaeattiangulum,ipfi triangulo dabae: 8c aabadaaliud quoddamttriq; oomparabile triangulum.Et fient igitur aabadatriangnlum ad trian lnm aabac, fie idem triâgno . lnm aabada ade triangulum able: eadcm cnim magnitudo,ad :quales eandcm habet rationem,pet (cptimam quinti.Sicut porto triangn lnm aabadaad triangulum dabae,fic pet primam huius (exti, aabaad bIc.Et fient igi’ tut r vndecimam uanti,aabaad ba e, fic aabada trian lnm ad triangulum aabae. [USE-aabaclumæble aIËÆIclRuŒum vt triâgnlum aa ad! ad triangulum aabae,fic pet eandcm primam huius fexti,dabaa bae.Etgo fient aabaad bae,fic dabaad bac,pct ip(am vndecimam quinti. triangnlonî itaq; abacas: dabae, lacera qu: circai :qua- ;bage a’b’d-a’blc æb-b’CI les angulos reeiprocè fiant proportionalia: pet (ecundi huius (exti diifinitionem. IISed tcccptum fit angulos à?" a? qui ad bafore inuicem :quales, a qu: circum eofdem mg, :quales angulos lacera teciprocè proportionalia: fient "limé bæafic d’blad bÆAio q: aabaeatriangulum,:quum efi ipfi dablea’triangulo. En enam ex hypotbefi fient aabaad bae,fie dabaad bac.Sed fient aabaad bae,fic aabada lainant" Mutuel dm, lm trian nm ad triangnlü dabaerper primam huius (ex- - " ’ ti.Et acut igitur dabaad bac,fie pet vndecimam quinti, aabadattia lnm ad triangulum dabae. Sieut rurfiam dabaad bac, e triangulum aabadaad triangulum aabae, pet (:pins allegatam primi huius fi:xtiJît proinde fiait aabada triangulum ad tri» aabadaabaqdaËbacËabaddabflangulum aabae,fic pet vndecimam i fins quinti,idem aabadattiangulnm ad triangulum da le.Ad uas pote rô magnitudines, eadè’ ma gnitudo eandcm ber taa tionem:ip(: pet nonam eiu(dcm quinti,(unt :quales. Acquum citi ’tut aabaeattiangulum,ipfi rriangulo dabae. Acqualium itaq; a: vni vni :qualê ntiü angnlûzâtevt in theoremateQuod oportebat demonfirare.

’1 Ap TMQKeider Mana étireroisau, du, redora-ac ab dab m cheap mexéplbop as. ôçeoydvaop, iGp Ski l LE riflai 78;: pieu? WCXONO demi-patientai à 15 rimi: en: ducal: WXÔMop 69. «réunifiant Ë (se? Mia ü? picot WtXOIIQ’IQ ôeômvio, ad fiancer; Méta , entama Tbcorema n, Propqfitio a6. l5 I quatuor rait: linea: proportionales fiaerint: quod (nb ex: aüowmo S tremis comprehenfum reétangulnm, . :quum cit ci, quad (nb mediis continetut reétangulo. Et fi (nb extremis comprehen, fiam reétangulum,:quum fuerit ci, quod (nb medijs continetut reétangulomuatuor reétæ fine: proportionales crunt. l 0 R0 N T I V S. (Sint data: quatuor reét’: litre: di(oontinuè proportionales

1S4- GEOMET. ÉLÉMENT. Prim: paru, aab,cad,e,& fificut aabaad caddie eaad fiAio g: (nb extremis aabaôt (acomptebenfiam deqaôfiratio. refitangulum,:quum cit ci quad (nb medijs eadaa catcfitangulo continetut A da- ris cnim punfitis aaôt eadatatum linearnm aaba 8: cad, perpendicularcs excitentut aagaôt cab,per vndecimam primi: (ecctaîtq; aaga :qualis ipfi fiôccaba :qualis ipfi e, pet tertiam ipfius primi propofitionem. 8c dufitis vttinq; pa tallelis, pet trigefimî eiu(dcm primi,eompleantnt alias: badapa tallelogra mma. Et quoniam tcccptum cit vt aabaad cad,fie eaad filpfi rrô eaæqualis efieah,& ipfi faæqualis aag,pcr con . ftrufitionem:& :quales ad ean em,eandem habent tationcm,pet (cptimam quinti. v I, Bit igitutvt aabaad crd, fic eabaad aag. Parallelogrâmoo l rum ataq; gabaat bad,latera qu: circum : uales(vtpote refitos qui ad ale: c)fiantangulos,reciproee fiant proporo p tionalia.Aequum cit proinde glba parallelogtammum a b a: a ipfi badaparallelogrammo,perlècundam pattern deci- ’-T-" bit-.4 mæqnatt: propofitionis huius (exti. Efiautê ga ba a- tallelogram mû id qnod (nb aablôt (,patallelogtaîmum veto badaid quad (nb ca la: eacontinctur refitangulum::q)ualis cit cnim eabaipfi e,8: aagaipfi f, pet côfitufitioa nem.Compteben(um itaq;(u extremis aabaôt fatefitangnlnm,ei uod (nb medijs Secundæpara cada8t eaeontinetut tefitangulo,efi :qualc. lIEfio nunc vt ip(um a a (nb extremis ris conuetf: medijs cadaôt ca priorit,ofiem comprehenfnm refitangulnm,:quum fit badarefitangulo,quod fifi) ne. , continctntDieo ver(a vice, quatuor ip(as refitas lineas fore inuicem pro ortionao les. Eadem manque mancnte confirufitione, quoniam glba cit id quod ub aaba a: aag,ip(um veto hadaid quod (nb ezdza cablœntinetut refitangnlum,pct primi dif- . finitionê (ecundi: a: eaipfi cab,atq;flipfi a! ,per confirufitioncm :qualis. Bit ataq; gabaid quod (nb aabaad, necnon a: bada a quod (nb cadrat eacotnptcbendatur te» fitangulumSed id quod (nb aabaêt (aeôptebcnditur refitangulum,:quum cit ei pet bypotbefin quod (nb cadaôt clcontinetur refitanguloAcqnü cit igitur gabarefitan, gulum,ipfi refitigulo badzôc angulus qui ad aaangulo qui ad cazqualis,pcr quartai pofiulatü,nempe reflus refito. Acqua ium porto a vnum vni :qualem babétiuan angulum parallclagrammorû,reciptoea fiant lateta qu: circum :quales angulos, pet primam pattern ipfius decimæquatt: huius (exta.Et fient igitur aabaad cad,fic eabaad aangfi porto cabaæqualis cit e,8: flipfi aag,per ip(am confitufitionê: :quales pr:tctea ad eandcm,eandcm habent rationem,& eadcm ad :qualcs,pet (cptimam quinti.Et igitur vt aabaad ead,fie eaad f. Si quatuor itaque refit: lanc: prao portionalcs fiaerint:8( qu: (equuntur reliqua. Œod crat oficndendum.

Ap tarât; Méta àva’cÀoyopmeula: 501 , 15 dab 45, flip ameuta i retienne Wxôwopôeondwopficapïfi 42. v . and cric pine magnéto. Kari à ab veut T59 &KQNp Wxôlùaop ôçuyc’mopfiauy En? inti; trie phare transmigra 7E5; îueâoa Myop ËODV’TW. Tbeorcma 12, Propofitio a7. p S I tres refit: lincæ proportionales fiaetint: quod (nb extremis 17 comptcbcn film refitangulû,:quü cit ci quod à media fit qua: drato. Et fi quod (nb extremis continetut refitangulum,æquum (ne rit ci quod à media fit quadrato: ip(æ trcs refit: lincæ prOpor: tionalcs crunt. 0 R O N T I V S. ([Sint ttes refit: line: continnê proportionales aab, cad, a: e: Pars prima fieutaab’ad cld,fi’c eadaad e. Dico quiad (ubalbaôt elcomprchenfum refitangulum, theoreuaatis. :quum cit ci quad à media cadafitquadrato. Dcferabatur cnim ex aabaôt bafaqu:

fit :qualis i fi c,re&an lnm aIfiperLIBER vndecimam,& tertiam, V1. atq; trigefimâptimâ . :15 ptimizex cz Iverô,qua ratum cippet ipfius primi quadragefimamiëxtamA equa lis crit igitur dzg,ipfi ad, pet ip ius quadrati diffinitionem: a: zquales ad eandcm, eandcm habent rationê,per feptimam quinti.Sicut igitur azbl ad cId, fic dzgl ad e. Ogatuot itaque mât: limez azb,ad, dzg,& e, flint difcô» . f ’--g tinuè proportionales.Côptehenfum ergo fub extremis ’--l le reétangulumfiquum et! ei quad fub medijs teflangu- a L c la côtinetunper primam pattem antecedentis decimæa fèxtæ propafitionis.Sed reétangulû azfieflid quad fub albzôt e,nam alfzcfi :qualis ipfi e,pet confltuâionemueâangulum autem 0g, id quad ex crd!quadratum.Qiod igitutfub extremis adam ex comptehëditut reéti» Seeûda par: gulum,æquû cit ei quad à media cIdIfit quadrato. ([Sed detur vt id quad (nb albz conueth prio a: elcontinetur reâangulum,æquû fit ei quad ex CldÆt quadrato.Aio tefponden’ ter,fore ficut aIblad ezd,fic crdlad e.Eifdem nanq;veluti fuprâ confiruétis: quoniâ id quad fub aIbÆc eI continêtur reétangulum,æquû cit ci pet hypothefin quad ex eldzfit quadrato.Sed ei quad fub azblôc ezoontinetur reâangulo,æquum et! redan- gulum azf,(æqualis fiquidem cit bzfripfi e,pet confitufl’ionem) a ch, id quad ex eldIfit quadratumAequum cil igitur azfzreâangulum ipfi quadrato 0g. (laadræ turn porta ngzfub duabus teâis lineis eldIôc dz , pet primam diffinitionem recu- di c6tinetut.Q1atu0t itaque funt refit: linea: aIË,czd,dlg.& bzfiôc quad fub exttea mis azbz8( bzfzreâangulum continetur, :quum efl’ ei quad fub medijs czdIôK dlgr aomprehenditur reétangulo . Ptoportionales itaque flint eædem quatuor refit Ii- neæ,per (ècüdam artem ipfius antecedentis decimæfèxtæ propofitionisdicut ab! ad czd,fic dzglad ÆSed ezipfi blfflper confltuâionem cf! :qualis : &cIdIipfi dzg, pet quadrati diflînitionemæquales porto ad eandcm,eandem habent ta tionem,8c eædem ad :qualcs,per (cptimam quinti.Et igitur vt arblad 0d, fic eadcm ad! ad e. Si ttes itaq; reâælineæ proportionales fuetint:&c.vt in theoremate.0410d dea monfltandum tecepetamus. Feôfihpœ ç, redent": un. p6 aie diamine inéœa’XeeÏ «haïrai influygaêppç agonira a) égaies: uëpzvop ËUGWP’ pop âvœyféæLw. Problcma 6, Propofitio 18. - V 18 AData méta linea: data reâilineo fimile,fimilitétq; pofituin

O R O reâilineumN T I V S.([Sitdatum reâilineû aszcId,data de(cribete. veto linea teâa ezf,ex qua . vel (upet quam,oporteat ipfi aibzczdrtee’tilineo fimile fimilitérque pofitutn de(ètia bere re&ilineum.Conne&atur itaq; azczreéta,per primam poflulatumôc ad datam Defcn’ptio pofiti. i reétam lineam e[f,& data illius punira ez8: f, datisangulis e!axbz& azbrc, zquales nei. pet vigefimâtettiam primi confiituâtur anguli,g!ezf7quidê ipfi Czaxb, a: ezfzgl ipfi azbzc.Et quoniâ anguli czazbzôcazleper decimifeptimi primi,fimt minores duoo bus teâis:&ipfi quoq;anguli gIeÆzac eif!g,binis itidcm métis flint minores. con. current ergo tandem ezgzôt fIinn continuum reéhîmq; produâæ,per quintum po flulatumxôueniant itaq; ad punétû g.Reliquus igitur angulus elglf, reliqua azerb, pet corollarium trigefimæfecundæ primi,& tertiam c6» g munem (ententiam crit æqualisAequian lnm eft pro a pretea elfzgztriâgulumjpfi azbzcztriangu a. Ad datam è L t rurfum lineam reétam a? a: data illius puna: ex a: g: a f datise angulis ’ damât aza zquales anguli pet eandcm

156 GEOMET. ÉLÉMENT. vigefimamtertiam primi conflituâtut,hzezgquidem ipfi dzazc,& .etgfhz ipfi atczd. g Producâmr avec [b,pcr fecundum poftulatum:donec (veluti priares)congte diantur ad punôtum .Etit itaq; teliquus angulus qui ad h,reliquo qui ad dzconfe» queuter :qualis: a proinde enghzttiangulumefi azcxdz triangula æquian ulum. Acquiangulum infupet cit ezfzgztriangulum, 1p l mana Ptoblematir gala azbchequiangulatum porta triangulorum pro» oflenfiua tu v portionalia (ont latera,quæ citcü zquales angulos,per lutin. uartam huius (exti. Eftigitur vt aIbz ad bIc,*fic ezfz ad a 5 f glgficut in(uper blelad alc,fic flgzad elg.ficut przterea azezad czd,fic Ugæd gzh. Et ex :quali igitut.per vigefimamfiecundam quinti, fi- W eut bzcz ad czd, fic fngad gr h. Rurfum cf! ficut cl dz ad L--L-5--g-5-J. ’ . ’ ’ i dla,fic gth ad hle. Et ficut dzatad alC,fiC hzezad e1g.fi- W cütq; atclad atb,fic ethad eÆ Et ex :quali rurfum, pet eandcm vigefimamfecundam quinti,iîcut dzatad azb, fic hlclad eÆ Et quoniam angulus gzelfia ngulo exaIbœfi zqualis:&hmgI ipfi dlazc: totus propterea angulus hteIfltoti d’alb,pct (ecundam cômunem Ententiâ :qua: m, me. aA). "ne. ag- eÆ l lis en. Et proinde totus fzgzh, totibmdz tefpondentet aequalis.Angulus potto qui ad fiangulo qui ad b: 8( teo W W liquus qui ad h, reliqua quiad dz æqualis oflenfus cil: Acquiangulum cil itaque eÆI lhz reétilineum, ipfi re- âilimo a’bdc’drpîmitfluèd 8c lateta qu: citcü æquales (ânt angulos,cum eodem habet proportionaliazficutazblad bzc,fic etfzad 9g: fient item bzczad crd, fic fig! ad 34W fia" C’d’ad d’aJÎC gthlad hie:ficut denique dlalad azb,fic hIeIad eÆ. Simile cit itaq; reétilineum ezfxgxh,ipfi teâilincoatbtcldfitq; fimilitet pofitü : pet primi huius fini dlffiflîtionem- Super data igitur reéta linea eflfidato teâilineo azbzczd, Émile fimilitérq; pofitum reétilineum de(criptû cil ezflgrh.Qiod faille oportuit.

p A apura artyovœflebçl GEÔQN Mm ci Àtwîxœoiow a t7, MM) Femme 35 7&7 ôpoMywp I0. méhari. Tbcorcma 13, Propofitio 19. Imilia triangulazadinuicem in du pla flint ratione latetum fis I9 milis rationis. OR O N TI V S . IISint bina a: fimilia , hoceft zquian la a: proportionalium latetum triangula,azbzcz& dIcÆhabcntia angulum qui a b! æqualcm angulo qui ad e,8: ficutazblad bzc,fic dzezad ezf. Dico triangulum a!bzc1 ad triangulum dIesz duplicem habere rationem,quam latus bICzad lams etfifeu quad ratio ipfius azbw trianguli ad triangulum dœIflcx lateris bzczad latus eÆi duplara ratione côfurgit. Prima gnan, In primis itaq; aut bxelefl æqualis ipfi e!f,aut inæqualis. Si æqualis:etitficut azbz fionîs (55:15: n’a. ad etf,fic dzezad blaæquales cnim ad eandcm,eandem habent rationem,8c eadcm ad :qualcs,pet (cptimam quinti. Et proinde triangula a azblczôc dleÆhabebüt vnü angulum vni angulo arqua- - lem:8( quæ circû zquales angulos latera reciptoce proa portionalia. Acquum crit itaque triangulum azbzczipfi f triangula dzezfiper (ecundam patté decimæquintæ huius fextùficuti 8c bafis btc,bafi eÆAtqui ratio æqualita tisla eorundem c triangulorum,ex ipfi ratione zqualitatis latetû bzcz8( exfzduplicata, aut quouis alia ma o multiplicata côfurgit. Œantitates cnim duatum rationum æqualitatis,pet quintam diffinitionem huius (exti multiplicatæ: refrituunt :qualia tatis itidcm quidtatem-(IAt fi bzczfucrit inæqualis ipfi ezfialtera earü crit maior.

Bila ba c, i a ezfx maior. EtLIBER ipfis Me! 8c ez f, tettia füfèiv1. iatur to ttionalisU, b! à r pet vndecilinam huius (exti :ficut bzczad ezfific ezfxad b! 8c cogneÊÏOatUt refila azg’ à? pet primam poftulatumÆt quoniâ cit vt axblad bzc, fic dzezad ezfi a: petmu tatim "i’dm’ëm’ igitur,per fedecitnam quinti,iicutazblad dze,fic bzaad ezf. Sicut porrô bzczad elfi fait» dle. l blc. elf. i etf. blg,l fic ezfiad larges: proinde fieu: æbzad dze, fic pet vndecimam qumti exfzad btg.Ttiangulotum itaq; azbzg! 8c dœzflvnü angulum quiad blvni angulo qui ad elæqua- lem habentium, teciproca flint lateta que: circü æq uales angulos.Aequum eft itaq;azbzgltriangulum,ipfi trian ula dterflper (ecundam pattern quindecimæ huius fexti.Rurfum quoniâ efi ficutîzuad ezflfic exfzad brg: ttes itaque teâæ lineæ (une proportionales.Ptima iFio a tut ad tettiam,duplicem rationem habet, quam ad . cundam: pet decunam huius quinti diffinitionem. Sed ficut prima brand tertiam b[g,fic alblCl triâgulum ad triangulum Nbfg, Fer primam huius (extizfub eodem enim funt vetuce,atqi;e in eadcm altitudine ipfa trian Lla.Et triangulumc e igitur f azbtcxad triangulum az zg, duplam ra’tionê habet quam Eczad eÆIpfi porto azbzgt trian la, :quum cit triangulum dIeIfi a: idem triano gulum ad :qualia trian la ean cm habet rationem, petfèptimam quinti. Et trian lum igitur axbrcza triangulum dzezf, duplicem rationem habet quam b!czad a?! Simila itaq; triangula, in dupla ratione flint latetû fimilis rationis. quad dg. monfitandum tecepetamus. Corollarium. (Fit proinde manifefhî,quôd fi tres teâæ lineæ fuetint proportionaleszerit ficut prima ad tertiam , fic quad à prima de(cribitut reétam lum, ad fimile fimilite’rq; po türeCtangulumi uod à ecunda.0flenfum cit enim î--’ a icut lucrad b! fic a! Iattiangulü ad triagulum azblg. l 1...! Et fient i itur l-czad bz fic aza redan lum ad dIfl b i i r teflanguameuta: Ml, Feôemç um. I le. g, go A agora mmimfiçnû 8140m «rhume «fliqueâ’rœc,mi à: la: a?» ma0&-,rœd quam. 7x me narguai ’àamM’æwvop dhamma Myopi’xaflwû ûôpôîxoyg- «MME: très ’er ôpôhoyop 455151:92:41. q t 2° Imilia polygona,inTbeorema fimilia triangula I4, diuiduntur,8c Propofitio in æquas 20. s S lia numeto:& æqua ratione taris. Et Polygonum ad polygo: num duplicem rationem habet,quàm fimilis rationis latus ad fi:

O R O N T I V S. (I Sint bina 8c fimilia polygona wbzaùu& Üglhlkll: habenv milisria angulum qui ad fzangulorationis qui ad azæqualem, 8c cumlatus. qui ad gzei quiad b, a:, qui ad hm qui a e,8: fic de cætetis:fitq; vt latus azbzad bac,fic fzgzad gzh,!îcfitq; blCl ad Ud,fic Ilvad hzk,& deinceps ita,feruata laterü 8mn O - a gulorü te pondentia. Dico primü,quèd ipfa axbwdter Pmnhe"? ’ e a f; z lv kl l! polygona , in fimilia 8: :qualia humera mm W” Idiui untut triangula.Conneââtut cnim azczôt azd,nec» non Mixa fzkzlineæ rem, pet primum poitulatum. Et c h k quoniâ pet hypothefin (hoc en, datam polygonorü fi- militudiné)angulus qui ad braquus cit angulo qui ad g, 0.].

:58 f GEOMET.]ËLEMENT. a ficut latus aszad bzc, fic flgzad gzh: fit vt bina triangula azlvczôc fzgzli,habeant vnum angulum vni angulo :qualem, à: uæ circü zquales angulos latera proportionalia. Acquian ula flint ptoptetea az 7C! a: &ng triangula, pet (extam huius fextizôc zquales hagbem angulos,fub quibus eiu(dcm tationis lateta rubtenduntut, vtpotc angulum bz ai alangulo ngzh, a: angulum lycxanpfi gzhzf. Hinc pet quai? tam eiu(dcm fexti,ptôportionalia (un: lateta qua: circum arqua-les angulos,8c fimio lis rationis qua: æqualibus aËgulàs laàega gubtcîîduntllll’ :rficut 1 itur âlczaidrbzc, fic

iam b’c’ ad I ML g’hî’lflad hlk.g Et extha :quali’iîgcitutficut t - e et azezad tiein,vt cld,fic leëzad tua cz,ic I l hIk:pet vigefimamfecundam quinti.Et quoniam totus angulus blCl d,toti angulo x k, pet hypothefin cit æqualis,8c angulus, bloa,ipfi gllvflæqualis nunc ofien us eflzreliquus igitur axod, reliqua fzhzk,pet tettiam communem fententiâ efi æqualis.Ttiangulaitaq;azcxdz 8c flhIk,habent rurfum vnum angulum vni angulo æqualem,ôc qu: circum arqua» les angulos lateta proportionalia: æquiangula fiant igitur atczdÆc fzglhz triangula,pet eandcm (extam huius fextiÆt pet quattam ipfius (exti, lateta qu: circum zquales angulos proportionalia. Haud difiîmiliter ofiendetut triangulum azdze, a. . triangula fIkIlIf0te æquiangulüæc pt0p0ttionalia qua: circum zquales an ulos habere lateta.Simile cit icaque e lalszxttianscvplü ip l figzh’zttiangulo, 8: awdzipfi fihzk, necnon aIdIezipfi triangula ftkzl: pet primi huius fitxti . libri diifinitionëData igitur ad)! UdÆl 8C fig!hzkzllpo- c h la lygona,in fimilia 8c æqualia numeto triâgula diuidûtut. Pars femnda (IDico in(uper,? ipfa triangula (untinuicê,atq; totisnipfis polygonis ptopottiona theorematis. liazficut triangulü azszzad triangulû fIgIh,fic alcldtad flhzk,& a(dzezad fzkzlzttiâ- gulûzfictîtq; albœlttiangulum ad ipfum triangulû fngh, fic albtczdlezpolygonum ad poly onü ftgzhzkllCùm cnim aszCttriangulû fimile fit fIgIhxtriangulo,fintq; aIctat fz lfimilis rationis latera:ttiangulum igitur aIbIcI ad triangulum fzgzh, du. plicem rationê habet, uam latus awad latus En, pet antecedentê decimamnoni propofitionê.Et proinde triâgulum athdIad triangulû fzhtklduplatam itidcm ra- tionê habet,quam idem lams azezad latus f!h.Qiæ autë eidem funt cædem ratio nes,adinuicê funteædemzper vndecimâ quinti.Et ficut igitur azbzcztriangulum ad l trianpulum fIÎzh,fic triangulumaxudlad ttiangulum fzhlk. Rurfum quoniâ tria angu um azez t imile efi triâgulo flhIk,& latus azdtfimilis rationis cum fzkætian- lum propterea azczdzad triâgulum fzhtktduplatam rationem habet,quam latus a!dzad lattis ftk,pet ipfam antecedentem decimamnonam huius firxti-Et triangulum confequëtet a!dlelad trian ulum fzkzlzduplatam itidcm rationë habet,quam idem latus a!dlad ipfum latus fgkÆt fient igitur azcldxttiangulum,ad triangulum fzhzk:fic per eandcm vndecimâ quinti,triangulum aldzezad triangulum fzkzl.Sicut [a,infig,hla,c,d,gh,kfa,d,e, mmîporrô aiczdlad fzhlk,fit patuitaxbzc. :riangulum ad triangulum fzgzh. Et ficut igitur, pet vndecimam ipfius quinti,triangulum azbl’ctad triangulü fzgzh: . l p fic triangulum azdzetad triangulum fzkxl. Ptopor tionalia itaque funt ipfa nuper exptefia triangulazficutaIblCzad ffglh, fic azczdlad fzhtk,& azdzezad FtkzlÆft igitur pet duodecimâ quin Sicut-alblc. ta t7 g! h. ti,ficut vnü antecedentium ad vnum confiequentiû:fic fic-w Cld- f7 hl k- omma antecedentia,ad omnia confequëtiaSicut itaq; &-a’d’e’ f’ k’ 1’ dâ l triangulum a! [y c, ad triangulum 9gb: fic az bz Cl dl ez polygonum, ad polygoa nulm fzgthzkzl. Sunt igitur ipfa triangula tum inuicem, cum ipfis totis polygonis

proportionalia. [[Aio demû g:LIBER polygonü atbzexdle,ad f7 zlvkll,dnplatam .Vt, rationê U, Tertia part. abet,quam latns azbtad fimilis rationis latns fngfienËim cit cnim vt trianguliî abec,ad trianîilum flglhîfic azbzeldzez al gonum,ad polygonum Dgxhxkzlôed triangulum 3a and triangulum (’7ng up atam rationem habet,quam ,atbzlatus ad fimilis rationis latns fig, pet antecedentem decimamnonâ propofitionem huius (exti; fimile nanq; ofienfum cit aszez triangulum, i pfi flgthzttiangulo. Et pon hum igitur aszerd!e,ad polygonum flgzhlktlIduplatam rationem habet,quam la» tus aabaad fimilis rationis latus 0g. Similia itaq; polygona: 8Ce. vt in theoretnare. Quod fuetat ofiendendnm. Corollarium primam. . [[Pit itaq; generaliter manifefium, 9 fimiles quæeunq; reétilineæ figutæ,in dupla ratione (un: adinuicem fimilis rationis latetumzid efi,g: ratio fimilium teâilinea rü figuratum , ex duplara fimilium laterum ratione confnrgit. Id cnim primô patuit in triangulis,& reétangulis,fiue quadratismnneanrem in polygonis,& omnia poly gona in triangula diuifibilia funt. Corollariumficundum. ([Sequitut rurfum,quôd fi tres teâæ lineæ fuerint pro ttionales : crit fient ptio ma ad tertiam, fie de(ètipra fiiper primam vcl à prima peeies reétilinei, ad fimilè’. fimilite’tq; pofitam fpeciem,quæ à feeunda vcl in ta iècundam eonferibitur.0 fieu film cit cnim polyfonû azbtczdze,adîpolygonnm lgthzkzllduplam rationë habere, quam latus azbza latus fig. a: fi ip arum atbtôc fzgltertiam aeceperimus propor» tionalem,pet vndecimam huius fexti,v te mm: ipfa C abead mInIduplam itidcm rationê habe it,quam eadê il atbxad fig,pet decimam diffinitionem quinti.Et proin- fi de fient albzad min, fie albzwreâilinenm ad fimile fimi m liretqne pofitum reâilinenm figlh. g

T mesquin:A (se? azin-ô iuemo’z’zpo Spore:n, «on! retienne 55min"; 859 filmez. aux. Tbcorema 15, Propofitia ait. 2! V Væ eidem reâilineo funt fimilia:&adinuicem funt fimilia. 0 R O N Tl V S. ([Sint bina reâüinea alblCl 8K dIezf, eidem teflilineo glhlkl i fimilia.Dieo azble!re&ilineum,fimile fate reétilineo dzeÆCùm enim ex hypothefi able! 8c gzhlkz ’reétilinea , fimilia fint adinuicem : habebunt propterea angulos zquales ad vnum, a: quæ circum zquales angulos fiant lateta prrqponionalia : pet rimæ diffinitionis huius fêtai conne ionem.Et promo . de teâilinea dzelflôc g!hzk,æqniangula etüt,& propor» ’ tionaliü itidcm latetû: Cùm ex ipfa hypotbefi fimilia fin: l i adinuicemSitvtetq; angulorum ni ad bis: e,ipfi angu- i *. la qui ad hzæqualis:& fient gIhza hzk, fie atblad blC, a: k dzemd ezf. Et quoniam angulus quiad bzæqualis et! angulo qui ad 11,8: eidë angulo quiad hl :qualis angulus qui ad e: angulus igitur qui ad bzangulo qui ad e,pet primam oommnnê (ententiam cit :qualis. Infiifper quo. pub. RIE 7117127 M. niam cf! vt albzad ble,fic zlvad hxk:fieut tutn m glhl ad hzk, fie dteIad ezfaEt leur i itur albzad bze , fic et W vndecimam quinti,dzexad ezf. topottiomlia itaq;Ænt i latera,quæ eiteü ea(dem zquales angulos qui ad bxôt e. on": I

me GEOMET. ELEM’ENT. Haud difiîmiliter ofiendemns , reliquus angulos ipfius ax bzcz reftilinei, reliquis angulis ipfius dzexflibte inuicem zquales: 8c circum ea(dem zquales angulos lare. ta proportionaliaSimile cit itaq; atbyezteétilineûjpfi reétilineo dzezf, pet primam huius (exti diffinitionemxlnod oportebat demonfirare.

’ ’ 6&6erAp Tiarwgtc îueëoec,àva’:7xoyop a, Femme 5mm Tôt n’ai âcu’rô’p un. îuen’yfœppœ Sportifs me! Main; y Eo’cvœyeyfœppkw’œfirdkoyop in»: . n34: 7è à’æ’ Jan-5;: iuoüçfœppœ aimé?! and 6140!»; wmeœywœ àvéÀoyop-iîyæi Livret) aliam 504:wa (canna. Theorema 16, Propgfitio 2.2. I quatuor recta: lincæ proportionales fuerint:8c ab eis te&ilis a: S nea fimilia fimilite’tqne deièripta, proportionalia crunt. Et fi ab ipfis teâilinea fimilia fimilitétqne de eripta, proportionalia fiietint:ipfæ quoque reâæplineæ proportionales crunt. O R O N T I V S.([Sint quatuor reétæ lineæ difeôrinuè proportionales axb,eld, Pa" 93m3. ezf,8c gxh:fieut quidcm azblad ezd,fie elfzad gzh. Et pet thcmmm’ decimamoâanam huius Exti,ab ipfis albzôc ezd,fimilia - m fimilire’rq; ira reétilinea de(cribanturdmbzôc wud: &pet ean cm decimamoâauâ, ab ipfis ezflac g;h, alia T.- qu:dam fimilia fimilite’r ne pofita teflilinea, n! ez 98: 1 ozgzh. Aie fore fient lm zad mzczd,fic rimi) ad azgzh. V I Inucniatut cnim ipfis azbz a a d, tettia ptopottionalis fi pzipfis autem ezfzôc gzh,tettia itidcm proportionalis t, e 3, .-..Ê1’ pet vndecimam huius (Exti. Cùm fit igitur exA hypothea n [azb, ad- p 1 cl f. 31h. r4 fi,vt atbl ad eld,fic ezfzad glh, a: pet eonfiruéhonem fient cnim! p,fie gzhzad t.Et ex æqua igitur ratione, fient asz ad p:fie elfzbad r, pet viglejfimamfeenndam rî-TT - uinti.Sient ortô a! zad ,fic lm l teâilineumgd l i la, m’ait" ’ P geai ineum iivczd :per feegndnm corollarium vigea ’ « fimæ huius (exti . Et fient igitur Il a! b! reétilinenm, l ad reétilincû nvczd:fie pet vndecimam ipfins quin- ’ 1,3,b,m,c,d en; r mafia, m. ti,ezfx ad t. Sieur mrfillfi ezF, ad tzfic, petidem’ eo- i I tollatinm , reétilinenm werfzad reétilineum oxgzh. v ’ Et fient itaque Dazb,ad mxezd :fie pet eandcm vnde- Secunda par: ’ cimam quinti, nlexfI ad orgxh. (ISi autem fnetit .Vt siffla 9"” lmbxad trvczd,fic nlelfzad oIgIh:dico vetfa viee,quatuor lineas, refilas alb,CId,lel ’ 84 g’hforç proportionales,fieut azbzad eld,fie aliud glh. Datis enim tribus mais lineis azb,ezd,&etfiqnartainneniatnt topotticnalis m,per duodecimâ huius fexti.E,t pet decimamoétauam einfdem,a eadcm szt,ipfis mezfzôc oz xhzfimile fimia litétqne pofitum reâilineum de(eriba tut wsqutquoniam cil vt azîzad czd,fie esz - ad Slt,8( ab ipfis axbtô: cldzfimilia fimilite’tque pofita defiribnntnr reétilinea lzalbl a mzezd,ab ipfis autem elfzôc sztlfimilia itidcm fimilitétq; pofita reâilinea mexfl i 8c wsrtzefi igitur pet primam pattern iam demonfiratâ huius propofitionis,fient llalbzad mzczd , fic ntexflï ad wszt. Receptnm et! autem ex hypothefi, vr lzazbzad lnlelfiolglhlllllb.mlcldInlelleSltlanCKi ’ fic "’°’f’34.9’8’hi Et (kari in" maffia - - azgzhrfic pet vndecimam quinti,nze( rad wszt. Ea- - dem itaquemagnitudo Mer f, ad vttafq; O[glhl a: - , wszt,eandemhabet rationem. Acquum cit igitur

reâilineum azgzh,ipfi.wslt : petLIBER nonam quinti. Ed antë a:V1. eidem fimile,fimilitérq; a 16! pofitnm,pet eonfitné’tionem. Similia porto fimilite’tque pofita,& inuicem :qualia reétilineazab :qualibus, aur fiiper :qualibus reétis line’is deiëtibûtutAeqnais cil: ’ itur smipfi gIb.Efi alité vt albzad ejd,fie eIfIad Slt- ipfi porto Slt,æqualis ofieno a cit g!b:8’c eadem ad æquales,eandern habet rationem,pet (cptimam quinti.Et fient igitur atblad ad:fie e7f,ad gzh,-Ergofi quatuor reétæ linea proportionales file. tintât quæfeqnuntnr teliquamiod ofiendendum fuièepeta mus. i- I . i ’ Lemmafiue aflumptum. IIQgôd autem fimilia, fimilitérquë pofita, a: inuicem :qualia teâilinea,habeant fimilis rationis latera inuicem :qualiazfie demonfitatut.Sint rurfum æqnalia,8( fimilia, fîmilite’rque pofita teâilinea, otgzhxôc wskt: fitq; i ’ « v vt orgxad gzh,fic wszad stt.Aio quad gzhxôc szt,funt ino il l uicem æënalesôi nanque fnerint inæquales: airera maa iot crit. fia (fi poifibile fit) gzh, maior salît quoniam cit vt wgtad glh,fie wszad sztzôt eaontra igitut,vel à conuetfa ratione,fieut glhlad ozg,fie crit swad ws:per corollarium quartz libri quinti.Sed prima gzh,maior cil: tettia me: fi:ennda itaque ozg,quatta wszmaior crit, pet decima mquartam ipfius , quintiBinæ itaque ozglôt gzh,dnabus V!Sl8( smerunt ma m ioreszac rainde ipfum reétilineü a; gz h, mains teâilineo wszLEfi’ antê’ eidem æquale,pet ypothefin: qu: fimnl impofiibilia fùnt. Non en: igitur zh,mai0t ipfii stcSimilitet ofiendetut, quad neq; minot. Acqualis cit itaq; gzh,:i cm szt. ngd fnerat ofiendendum. eiÔeNPœ le, newton me. A imine: meœîÀlÀôyfœPPuflleoç film: Abat: (x4 I139 «infiltrera tu; munem. Tbcorcma i7, Propo trio 23. 23 EquianIgula paralleloîramma, a inuicemrationem habent compo iram ex lateri us. O R O N T I V S. (ID: lateribus velim intelligas, quæ circum zquales funtan’ gnlos.Sint igitur bina pa rallelogramma inuieê æqniangula,axbrcz& dzbze: quorum angulus qui (nb az bt 8c bze,angnlo qui fnb dlblôt bzcz continetut fit æqualisJDieo aIbzelparallelogtammum, ad parallelogrammum ùbze, rationem habere com r fitam ex ratione latetutn arbxad bze,& ezbzad bld.Com Pattifi figure L flitnantnt cnim azbz 8c bxez latera in diteflum: bocana .ptzpatatlo. Î tem fiet, eùm anguli ezbzal a able! duobus reétis fueo : tint zquales, pet decimamquartam primi. tune quoq; a g . à in direétnm etit (V bi ipfi bi d, pet eandcm propofitio PAL, uem: uam an li erbzetôc e!bId,pet rimam 8c tertiam .-L1-. communem ententiam, duobusiti em mais æquabü- ’ tut . Compleatnt denique parallelogtammnm a b1 e: produflis in continuum reéhîmqne, pet (ecundum poftnlatum,e0tnndem parallc- ogrammotumlateribns . Propanatnt in(uper refila qu:dam linea f: 8c tribus da? tis mais lineis az b, b l e , a: f: quarta. fubfumarut proportionalis g; et duodeei« mam huius fexti . Etit igitur vt azb,ad b! e : fief, ad g.Et pet eandem odeeimam topofitionem, tribus dans mais lineis er, bzd, a: g: quarta rurfum pro trima» fis accipiatnr h. Eric ergo vt ezb,ad btdzfie d h. Bit autem fienta! bz ad z e, fie fz ad g. rationes itaque ipfins f1 ad g, a: gz a h : ezdem fiant ipfis rationibns a! bz ad ble,& Cllv ad bxd. Ratio porta f! ad b,eomponitut ex ratione ipfius f! ad g, arque 0.11].

162 GEOMET. ÉLÉMENT.

æ 1 ipfius gl, adh :velnti quina huius (exti præmifium cil: diifinitione . Et proinde ra« Prfcipua de: rio fIad h, com onitut’ ex ratione laterum a!bz ad ble, 8c chtad bzd. His ptæoftê- fis, quoniam a! æ! a sabrez parallelogtamma fubeadem (une altitudinerad fe inuicem igitur funr vt baies. pet primam huius (exti. Sieutitaque alb,ad bze: fic asze parallelogtammnm,ad parallelogrammnm et b!e. Sieur autem azbl ad ble," fic pet -f Wœnfiruéfionem f! ad g. Et fient igitur fiad g: fie pet vu J-ïj- --’-- ’ decimamquinti , an b1 et parallelogtammnm, ad ezbzel parallelogtammnm . In(uper quoniam chzezôc dl bx cl parallelogramma , in eadcm funt a-ltitndinezad fi: inuicem rur(um (tint vr bafes, pet eandcm primamhnius fèxti. Sieur ergo cz bz ad bzd: fic parallelogrammum ezbre,ad dzbzezparallelogtarnmum. Sieur porto ub,ad bld: ,Îflgggïdm fie pet eonfiruétionem g, ad h. Et fient igitur glad h:fic w ’ v pa rallelagrammnm czbzc, ad dszez parallclbgtà’mum, p- petipiam vndecimamquintiÆt quoniam ofiêfnm cit, . ’ * vt f1 ad ,fieazbzaparallelogrammü,ad parallelogramo mum et b1 e : fient rurfum gt ad h, fie idem parallelogrammnm e! bz e, ad dz b1 e! [le parallcla rammum . lit-ex :qua igitur ratione, pet vi- , V gefimam eeüdam eiu(dcm quinti, ieut ftad h: fie aszcz W . . pa rallelogtammnm,ad dzbœzparallelogrammû. Atqui , s y . ratio f1 ad h , com ofita efl’ (vti fuprà dednximus) ex c ratione laterum at I ad b! e, a: e! b; ad bzd. Et paralle» logtam mum igitur azbzexad parallelogtammnm dzbze, ta tionem habet aompofitam ex ra tione lare mm arbIad «l f h c bze, 8c ctbzad bzd. Acquiangnla itaque parallelogram- 6-3 ’ ma, rationem habent eompofitam ex lateribus ,angna h l, los inuicem zquales continentibus.Qnod demonftran- OiôeNPæ tu, 11969:0; mil. , àAna; meanukoaça’cppx,dnm Tôt mû).fumt. Titi: Stépnfop meœbkulo’mppœfipom i 8k) ’ , 41Tbeorema 5M: and 18, Propajïtio(influe. .24. . Mnis parallelogrammi, qnæ circa dimetiérem pa tallelogra: :4 r . ’Ommfimilia flint tari, 8c adinuicem. i0 R O N T I V S. (IEfio datnm parallelogrammumazbzczd,cuius dimetiens fit aidât circa ipfum dimetientem parallel tamma,ezfza( gzh.Aio ipfa en? 84 glhlpa- tallelogramma,toti parallelogtammo az zezd,a tqne in, &côlg «2.53,3 uicem fore fimilia. Trianguli cnim alblc, ad latus bl e! i fimfle 5513:3:- aâa cit parallcla le:fecatigitnr lelipfius trianguli late’ a,b,c,d, a preportionalitet,petfecundam huius fexn’, fient bzfz ad f4, fic ci l; ad Il a.T rianguli rurfum az dl e, ad latus d’eraéta efi’pai-allela ezlzfeeat igitur cl]! ipfins trianguli lare ra proportionaliter,pcr eidem ratinai huius (exti, ficut c4, ad la, fic dze! ad eI’a. Sieutportô ezlz ad lla,fie L oncnfum cfl’bzfzad fait: fient igitur bzfzad fza, fic et i . mf, f7 a la l. i, a l a, e. e, a l vndecimâ quinti, dteza eIa.Si autem diuifz magnituo V dines,proportionales fnerinnoompofitæ quoq; propor- ’- v tionales crût, pet decimamoâanatn quinti. Et fieutigi- tut bzakad axf,fie dxalad a1e.Et permutatim rurfum,pet

l b1 a. a: l dl a. a1 e. [decimamfextamL I eiu(dcmBER quinti,fieut V1. bzalad azd,fiei6; Pal A ad aze. Proportionalia itaq; fimt lateta, quæ circum au» w gulum qui ad alvtriqne pa tallel rammo communem. Infupet,quoniam parallcla efi xlIipfi bze: :qualis cit angulus azfxl,ipfi angulo albzcneenô ô: alllf,ipfi azezb,per vi efimamnonam pria mi.Angnlns porto qui fiib invitant bzatqvttique rriangnloatgzelac alflll communis eibA equiangulü cit itaque rriangulü alfxl,rriâ la azbzc Haud diifimiliter rria’o gulum azezl,triagul,o aldæl ofienderut æqniangu ûzôt angulus atezltangulo aIdIeI arqua lis,atque azlzetipfi angulo alczd- Si autem æquales anguli,æqualibus eôponano tut angulisæonfur entper (ecundam cômunem fententiâ,zquales angulLAequus efr igiturangnlns r il e, ipfi blcz d: 8c totnm proinde parallelogtammnm ezf, tari azbzczdzæqniangnlnmRutfnm quoniam aIlezôt aIbICIrriangula,fimiliter 8c azellz arque azdze,fnnt inuicem æquiangnla : r9portionalia ira ne film latera, qu: eitefi zquales angulos, pet qua tram huius exri. Sieur igitur afbxad bze, fic axflad le: fia eûtqne bzeIad cza,fie lelad lta.Sient rurfum azela czd, ficalltad Le: fient denique ezdxad dla, fie DU ad cza. Et quoniam ofienfum efi,vt bzoad 0a, fic lelad lza: fient ptzretea azeIad eId,fie alllad lze.Et ex arqua igitur ratione,pet vigefimamfeeûdam quinti,fient bzelad eId,fie lezad lxe. ’ - lalbllblCIICIalICldlIdlall lalfflfilllllal Ili’ellelîll

Aeqniangulornm itaque parallelogtammorum a! b; c: dia elfipropottionalia (tint lateta qu: circum zquales angulos . Simile efi igitur cl fr parallelogrammnm, ipfi albICIdl parallelogtammo: pet primam huius (exti diifinirionem. Haud dilfimilr nasal»! via,glhlparallelogtammum,ipfi albIUdl parallelogrammo fimile fore eanuineerur: 31;? au eundem qui prius,verfiis angulum e,8: ipfnm glu parallelogtammum refpondeno fit fitnh; ’ ’ ter itetando difeutfnm. Et proinde vttunque ipfornm e198: gllyparallelogtammoa rum,fimilc efi eidem albladlpatallelogtammoOmne autem parallel rammum, na un a: teâilineum efi:8c quæ eidem reâilineo funt fimilia, &adinuieem fimi ia fiant, pet g, , fimilia viîefimamprimam huius fextiSimile efi igitur e;fipatallelogrammnm,ipfi glhlpa fintadmmë- ta lelogrammo. Omnis itaque parallelogrammi,quæ circa dimetientë parallcla- gramma,fimilia funt toti,8( adinuicem.Qiod oportuit ofiendifie. PeôfiMPœ 2, retienne ne a Min inOvyfo’zppç 8poiop,xgti 6272m «Nehru iam?! 55015 miam. Problema 7, Propofitio 2.5. 25 Arc teâilineo fimile,8calij data æquale,idem confirmera. O R O N T I V S . ([Sinr bina reétilinea, wb!ainqnàm a: d :fit’ r tcccptum, ipfi data a! b1 e! reétilineo fimile , ipfi veto zquale , idem refrilineum eôfiituete. Ad datam itaque reétam lineam Pattium gigue J bzc,ôc in dato angulo qui fiib elblc, data reétilineo azbzc, à:

c æquale2’ confirnatur parallelogtammum b1 f: fimiliter a: 4 ad reétam lineam figatque in data angulo qui (nb i709 l ei qui (nb elbloæquali, data reétilineo d,æqnale rurfum ï h parallelogrammum eonititua tut clh,per quadragefim a quarram,8c quadragefimamquintam primi,vrtoqne. te» &ilineo(fi expediat)in triâgnla difitibuto .Er quoniam angulus fidgfiquus et! angulo able,per eôfituétionem, 1 vttique autem communis bief: anguli propterea bICIf, 0.1"].

x64. GEOMET. ÉLÉMENT. a: flClgl duobus angulis ezbm a: ublf, fnnt pet feenndam communem (ententiam æ uales.fed anguli eszelô: brafifunt zquales duobus teâis,per viFefi ma mnonam iprus ptimi.Ét duo igitur anguli bzczftôc fzezg,binis itidcm reétis unt zquales. In iteétnm efti itur bze,ipfi ezg,pet decimamquartam eiu(dcm primi: a exfz confe- qnenretipfi 0 . Binis infupet datis mais lineis blCl& agîmedia pro rtionalis inueniatnr llm,per decimamtertiam huius exti.Er pet a decimamoâauam eiu(dcm (exti, (upet data reéta linea d 11m, data reétilineo ax b! e, fimile fimilitérque pofitnm g. teâilineum de(eribatur,nzllm.-Aio te&ilineum nxlrm, Demonûtatù æquum fore ipfi d.Cùm cnim tres lineæ refis: ble,llm, na pmbletnao .. a: ezg,fint pet eonfiruâionem côtinuè proportionales: de refolurio. la e h etit pet ibenndum eorollatiü vigefimæ huius (exti ,fia ent rima ad- rettiam,fie fpeeies reétilinei qnæ à prima, ad fimilem fimilitétque pofitam fpeeiem que: à feenn- i da.Sient igitur bze,ad algzfie aIbIczreé’tilineumgd reéti lineû ntlzm.Sicut porta bze,ad cr . fie bth parallelogrâo mum,ad. parallelogtammum1 m exh, pet primam huius (exti 15m cnim in eadcm al. titudine czfiÉtgo fient albICIreétilineum,ad reâüineum nIlzmzfic pet vndetimam qninri,bxfzpatallelogrammum,ad parallelogtammnm [uhlanÎImIblaelgl 51 f. CAL] exh. Sed reflilinenmazblefiquum cit pet aonfiruëtim uem ipfi bzfzpa tallelogrâmo:& reâilineü igitur mlzm, ipfi parallelogtammo ezthet decimamquartam quin» ti cit æqualeÆidem rurfum parallelogtâmo ah, æqnü cit dmeâilinenm,pet oonfiruftionemæc nllzmziraq; teâilineum, ipfi dxteétilineo,’ gerptimam communem fèntêriam cil: zquale. Confituâû cil: autem 8c ipfi azbleI un e. Idem itaque reâilineum nIlIm,ipfi data rectilineo azbtczfimilefl alij date (direct dzzquale eonfiitntnm eûQiod effieete oportebat. eidem: to, Feo’OMÇ la. A1: 5m) mgænnboyféppa meœbhnîxéyfœppop drainerai 3F016p’fl w 3R9 a) égaiera néflopwoiüp ywviœp ËXOp àua’ômfiü Titi: anar. Wpîop 85 (se) 5M). l Tbeqrema r9, Propqfitio 26. ’ I à parallelogtammo parallelogrammnm aufetatut, 8c fimile 26 S tari 8c fimilirer pofirum,eommnnem angulum habens ei:eirs cum enndem dimetientem cit roti. O R O N T I V S. ([Efio darnm parallelogrammnm azbzexd; à quo fimile fimi’ lirétque pofitnm,8( communem illi habens an lnm qui ad a, aufetarut difiingua’ tütve pa rallelogtammum aterftg. Dico ipfiiaz lezdl &azezfng parallelogtamrna, cita enndem fore dimetientem axflc:hoe efi dimetientem az f7 a rotins pa tallelo» grammiatbzeld,tranfire pet angulum qui ad fia: vttiq; Ofiëfio tirer» parallelogrammo fore communem. Si cnim axcmon tematis ab in W poilibili. tranfierit pet F. tranièat (fi poilibile fit)vt azbzc. fi:eabit igitur azhte,ant ezf,ant fnglatus ipfius azezflgzpa talle- logrammiSecet ipfum larns ezfiin pnnâo h.8( pet puna , &nm h,vtrique ip(àtü aœzôt flglparallela ducatur hll, a pet trigefimamprimam primi. Etit itaque ezlz paralle- a ogrammum , a: circa enndem dimetientem cum ipfa aIbIcIdzpatallelogtammoSimile crit igitur ezlz parallelogrammum, ipfi azbzexdl

parallelagtamma,pet vigefimauiquaLIBER mm huius fexti.Eîdem’porrô VI. azbzczd « r65pa rail, elagramma,fimile cil: pet hypothefimipfum ezfiglparallelogrammum. (au ana cem eidem reétilineo fimilia,8c adinuicem fimilia fnnt,pet vigefimamprimam hua ms fextrlSimile erir itaque exllpatallelogtammumjpfi ezfzgtpatallelogr’a mma.Si- milia porta parallelogtamma funt, qu: angulos zquales habent ad vnum,ôc qua: l circa angulos zquales lacera proportionalia,pet prima: diifinitionis huius (exti connetfionë.Er fient igitur czaz ad a.zg,fic eIaxad ezLAd quas autë eadcm, eandê habet ratione m,ipfie fiant :qualcs,pet nonam quinti.Aequa- lis foret igitur a;g,ipfi axl,totum in: patti:qnad pet no tram eommunë ententiam cit impofiibileJdem etiam fubfequetnr ineôneniens,vbi pofueris eundê azetdimea ’ rientê feeate larns fig.Tranfit igitur azotatius azbzadz parallelogtammi dimetiens,per angulum atq; pnnétû f: 8c proinde ipfum azetfzgz parallelogtammum,eireum enndem dimetientem cit tari albwdz parallelogtam» ma. Igitnrfi à parallelogtammo parallelogtammum aufetatur: 8(th in theore- matngod demonfitate fnerar opetæpretium. caséeuse: u, Paletot; k tuf. M1109 W Titi: émiai; iueâœp üfiœnowapqîœfinojféypwpflod amati.- I l Top me: fianukonéppoie épointe?! 6 épelais nappant; (se) and 43 ilng èm- çfœaowçmiyisôp 85”39 cita-ô fuît àpieécta’ æœeœhnôwop œwngzwppop, Jimmy A3p Tbeorcma M émdppxrn. zo, Propojïtio . 2.7.i 27 O Mninm parallelogtâmorum circum eandcm reétam lineam proieâornm, defieientidmâ; fpeciepatallelogtammis fimi: libus fimilite’rque pofitis ci quo à dimi ia deieriptum cit: ma: ximum cit quad àdimidia proieânm parallelogtammum,»fimile

a R o N T 1V s. ([Deficete fpeeie dieitnt parallelogrammum , dm parallcla exiitens (umpta. a, - I ’ thomodo p: grammmquando vttunqne parallelogtammum (upet .eadem teâa linea eonfiftê’s, ta elogtimiî - defieiarfpeeie alterum deefi alteri; ad eamplendum fimilis fpeeiei parallelogtammum [upet to data patelle» tatn datam reétam lineam coexte’fnm. Ve! dam eôpararum parallcla rammum; logtammo. reliquofdefieit ab ipfa fimilis f eciei parallelogrammo, fi: et teram ip am reétam lineam eonflirnto. Siti ’tut (La reéta linea azb,fe&a bip tiam in e,pet decimam Prima rincer! primi:defcribatrîrqne à ’midia ob,eontingens parallelogrammnm ezd.quta ma matit (liftât datam reétam lineam azb, gemina oompatentnr parallelagtamma. alterum proie! tu. &um à reliqua dimidia ale,vrpote aIe, fimile fimilite’rq; de(eriptü exifiens (umpta czd,& defieiè’s fpeeie ipfa CldIâ rota aldz parallelagtatn- monlretum autem azfifnper ax g! comparatum maiore dimidia ipfins ax b, 8c proinde fubingtediens ipfum pao rallelagtâmum czd, defieie’nfqne fpeeie a rallelogram- 1 b ma gzh,fimili fimilitérqlue pofitoi fi ez ! quad à dimi» h diaczbldeietiptum en; complen nm ipfum axthatal al 3 lelogrammnm. Dieoquôd atezpatallelo mana. ius cit ezfzparallelogtamma. Cùm enim exhypothefi gzlv parai elogramrputn, Demôfitatio. fimile fit ipfi parallelogtamma e!d:eitenmi itur enndem Tnnt dimetientem etfzb, pet vigefimamfiurtam huius me. Pmduœrurletgo gr t7 in teflum a: continuum

:66 GEOMET. ÉLÉMENT. qune ad larns ad, et fqeüdum poilulatumParallelogtimi igitur ezd,earnm qu: circa dimetientem unt parallelogtammomm lutâplementa «in: fld,funt pet quao i dragefimamtettiam rimi adinuicem :qualia. A datur vttique commune gzh. totnm ergo ezb,roti g! ,per (ecundam communem fententiâ efi æquale.Eidem por- to 0h,:quum cil czl,pet tri efimamièxram primi: (ont enim in bafibns :qualibus arma ezb,in eifde’mqne par elis azbzôc lzh.Er gzdxiraqne,ipfi ezllpet primam com p, v A munem (ententiam :quum cit. Commune turfum ad- " daturcif. totns igitur gnomon cszd,torialfz parallcla: grammo cit æquale. Sed totnm parallelogrâmum a d, l b mains cit pet nonam communem fententiamdpfo gno f moue czbzd:8( proinde ipfi) axflmaius.Aequnm cit par» a Ï: 8 b ta azexpatallelogtammum, ipfi ad! parallelogrammo, pet eandcm trigefimamfextam rimi: in bafibus cnim funt æ ualibus alcxôt elb,arq; in eifdem parallclis azbzô: ez Q1: aurê fnnt zqualia,eiuiiiem fnnt zquè maiora: pet fèxtæ communis feritentiæ cônerfionem.Maius Secunda theo cil: itaque parallelogtammnm ale,ipfo axfzparallelogtammo.([Sed cita axftparal- oretnatis dit) lelogrammum,p toieétum (upet azg,minote dimidia i fins albllineæ data, 8c egre» fetentia. q diens ip(am alerparallelogtâmnm:defieiens rurfum eeiei (a fzbzpatallelagtam L m ma, fimili fimilitérqne po ira i liI Cl d, quad à dimidia q ezbzdeferiptum efi,ad eomplendnm totnm aImzpatallea J! e a logtammnm-Aio quad a: azupatallelagrammum, ma- Demôûtatio. ins cit ipfa alftpatallelogrâmo. Cùm cnim ex hypotheo fieldlôc flbxpatallelagramma , fimilia fint : circum enn- a; dem propterea dimetientê Pub, pet vigefimamfextam , huius fexti confiitnentnr. Compleantnt itaque, pet trio n gefimamprimam primi,& (ecundum pofiulatumdvll 8c axmlparallelogtamma:L e vt in ipfa continetut figura. Et quoniam parallelogramma flint aIlzôc elm: (un: igitur pet trigefi mamqua tri primi, rylzôc lxnv ipfis me! a ezbz qu: ex oplpofitaatqne inuicem æqualesJîr proinde nzex parallelagtammum, ipfi . emvpata elagtarnmo,pet trigefimâfextam primi æqualeÆidem porta exm,æquu efi: erg,per quadtagefimamtettiam i pfius primi.Et nzelitaque ipfi erg,pet primam communem fentenuam ei’t æquale.Snbdu&o igitut hIl:.reliqnum eIg,reliquo nth mains.efi.Si. autem inæqualibns engôc mlvæqualia vel idem commune arhI appao tatarqomma,pet quartam communem (Ententiam,ernnt inæqnaliaconfii rget igi’ eut azezparallelagtammummaius ipfa arflpatallelogrammo. Omnium itaq; parallelogram mornm iuxta eandcm lineam confifientium, a: deficientium fpecie : 8c qnæ feqnuntnt reliqua. (yod ofiendendnm tecepetamus-

Agit( d’oeëfup p - magma: wfiâœp w mais. Euemélea11,. .i609 Patiente wœeuîfiukôaçæppop la. magnifiera flânaient: agit! nœeamukoyfdppafipoiç ô’vrn (9,2? dioOfirnAâ d’il a?! dulcifioit Mü- I mppgpfiidlâ m’y wœeffiœkëmii pagel: dm a? M ai; âpredœd mezzanopp’ls, 690mm dînai; rlcbhultpet’rwpfl ’11 fie üpiaëœa’,md 5 «fifi 8mm: intimai. s . , ’ - Problema 8, Propofitio. 2.8. - AD datam reétam lineam , data reétilineo æquale parallcla: 28 1 . rammum comparare,defieiens fpeeie paral elogrammo fi: mil: ara. Oporrer iam darnm reétilinenm.cui expedit æqnum compararcmôhmains cire eo quad à dimidia compararû,fimilibus

LIBER v1. . .57- exiitentibns fuinptis, 8: cius quad à dimidia, 8c cui expedit rimi: le defieere.

O R O T I V S.([O fienfum cit cnim antecedenti vigefimafeptima propofitio» Notafidunî t ne, omrnnm parallelogtammatum inxta eandcm reétam lineam compatatatum, defieientiiîmq; fpeeie imilibns fimilite’tqne pofitis parallelogtammis ei quad à di midia deièrxbgtnr: maximum die quad à dimidia compatarum parallelogrammû’, fimile exritens (umpta. Oportetiraque darnm reâilinenm,eni ad datam reétam lineam :qualc comparandum cit parallelogtammumtnô mains elfe eo quad adio midia ipfius datæ refit liriez eomparatnr, fimilibns fimlitétque ofitis exiitentio bus vttiufq; compatati parallelagrammi defeétianibns(ad camp enda fimilis (pe- q eiei patallelogtamma (upet toram datam reétam lineam eoextenfa) cius inqnàm quad à dimidia,& eius cui fimile fimilitétq; pofitü eidem uod à dimidia defutun’i efi parallelogtammum. [[Sit ergo data retira linea , azb: tum vetô teflilinenm, Interpretatia cui opartet ad datam teétam linea al bz :quum parallelagrammû com atate,efio FoblmflIq gnon exifiens mains eo quad à dimidia eomparatur,fimilibusexifienri us vrriufu que defeâionibus. Ipfum autem arallelogtammum, cui ex pedit fimile deficere, fit d. ecipioitaq; ad datam reétam lineam azb, data reétilinea e,:quum parallelogtammü eomparare,defi- cicns fpeeie parallelogtâma ipfi d! fimili. Secetnr itaa que a1 xreéta bifatiam in (1&0 e,pet decimam primi. Et pet decimamoâanam uius fexti,â data un: linea l ezb,dato reâilineo d, fimile fimilitérq; pofitum teâili» neü (quad crit 8c parallelagrammü) de(cribatut ezfzg: eompleatiîtque pet trigefimamptimam ipfins primi, a: feeüdum pafiulatum,axezfzpatallelogrammum.Aut Prima 0M igitur aIelfrpatallelogtammnm,æquum eft ipfi reculi- fianit difetô v neo c,ant eo mains:non cnim minus elle pareil, pet af- ria. fumptâ ex antecedenti vigefimafeprima propafirione problematis determinatiæ nem. Si æquale fuerit axetfiparallelogrammnmjpfi teâilineo e : iam eomparatû erit ad datam reétam lineam azb,dato reâilineo e,:quale parallelogtammû yeti; defieiens fpecie parallcla rammo ex f? gr fimili ipfi d. A t fi atezfzpatallelogram- Difetëtia (en mü,eodem CI reâilinea crit mains : crit 8c eÆzgzpa tallelogrà’mum,atquè itidcm cunda, a: a!» (bluta pardi mains ipfa e. fitnt cnim azerfxô: exfzgxparallelogram ma, in ba fi bus :qualibus axez figure compo a: ezb,atq; in ci(dem parallclis ’aVbzat fig: a: proinde,per trigefi mamfextam primi, fitia. inuicem æqualiaÆxeeiTui autem fine teflilineo, quo Uflg! atallelogrammum fii- lperatipiùrn elæqnale,ipfi autemdt fimile fimiliterque po rtum,idem eonfiruatnt 7kz1,per vigefimamquinram huius fextLÉidem porta dlfimile efi: ezft , pet cana fitnflionemœl hzlzigitut fimile cit i fi ezfzg,pet vigefimamptimam einËdem (exti. Similes autem teflilineæ figutæ,ha ut angulos zquales ad vnum, 8: qnæ circum angulos zquales latera proportionalia,per primat diflînitionis huius (exti eôuerfio nem.Sit igitur angulus qui ad k,æqualis angulo qui ad fiat fient eIfxad fzg,fie hllCl ad kzl.Et quoniam ezfzgzpa rallelogrammnm,æqunm en: ipfisezôt ivl: mains efr igi tut ezfzg,ipfo hzl. a: proinde larns etfimains ipfa hzkzôc f! ipfa kIlIitidem mains. Secetut pet tertiam primi, ipfi lvkzatqualis 9m,& ipfi kz Iæqnalis fznzôc pet trigefimamprimam ipfins primi,eomplearut nuam,ô( relût): pa rallelogramma,vt in fi ra .Aeqnum efl’ igitur mm Ipatallelogrammum,ipfi tlzatq; eidem fimilefed hxl, ipfi ezfzglfimile efi,pet eonfitnâionemzôt mzwigimt,ipfi eszgIfimile efi,per ean- em vigefimamptimam huius fexti.Citenm ergo enn cm fnnt dimetiêtem f!0lb,

168 GEOMET. ÉLÉMENT. i [a elflgzal mlnlparallelogramma,pervigefimamiextam eiu(dcm fexti. Et proin- e parallelogtammnm tzs,ipfi.nvn,atq; tari elfrgzfimile efi,pet vigefimamquarci huius fexti:atq; demnm ipfi dIfimile,peri (am vigefimamprimam eiu(dcm (exti. Principat de: His ira pr:mifiis,qnoniam 09g! para elogtammum, ipfis au hflœft :qualc, ÏÆËW’ a ipfum hllzæquale ipfi nvn:reliquns proinde gnomon ’ ml zn,te&ilineo e,pet rertiâ communë (ententiam cil: :qualis.Rurfum quoniam ezozfupplemeptnmgqunm cit ozngupplemêto, pet quadragefimamtetriam primi: addatur vttiq; commune tl s. totnm igitur e!s,toti tzg: ’ pet (ecundam communem fentenriam cit :qualc . Sed eidem ezs, :quum cit azin, et trigefimamfextam pri» mi:funr enim azmzôc els,in bafibns :qualibus,ae in eiiï dem parallelis.Et azm,igirut ipfi tzg, pet primam com B munem fententiam :qnü eftAdponatur rurfum vttiq; - . , t commune etoztotum igitur axa, ipfi ezozgtaut mxblnl gnomoni,pet eandcm (tenndam communem fententiam cil :quale. Éidem porto ."°m°m PVb’niæquü cit reâilineum car qu: eidem :qualia,adinnicê funr :qua- ,la’Pcr HUM!!! communi: fententiam.Aequü eft igitur ara! parallelogtammnm, 1Pfi refllllnco Gdc’âClt sfpeeie(ad eomplendnm axszparallelogtammnmfipfo ml parallelagrammo,quo fimile eftipfi d. Ad datam itaque reétam lineamaxb,daa toîcallmco Caïquum parallelogrammum eamparanimus aza, defieiens fpeeie parallelogrammo tzs,dato parallelogtamma dzfimili. 0410d oportebat facete.

écu pa... «N°564:. feôlepœ tueê’œp Gel dloOËVrn6, 113695019 ëuemoîpya iGp aîœllkuMmppop ne. fiaMëp, mêfiœàhop enfla vîœbhuhonéppa épia (9g? doum. ProbIema 9, Propo trio 2.9. AU dati reétam lineâ,dato re&ilineo,æ uale parallelogram: z9 mû ptætendere,exeedens fpecie paralle ogrâmo fimili data. O R N T I V S. ([Sit rurfum data reéra linea a! b, darnm veto teâilineum c, darnm mfnpet parallelogtammum d . Opeta’ptetium itaque fit, ad datam reétam g Engin a! b, data teâilineo e, :quum parallelogrammum comparare , excedens . imilis fpectetpatallelogtammum (upet teram atbzeam atatnm, parallclogram’ 9:23:13: (a mo.ipfi ùfimi i. Secetur itaque primùm a z bx méta bi tiam , in punCto e , pet ë mis P", decrmam primi . 8c à data reéta linea azb, data teâilineo d, fimile fimilite’tqne po» cabala. iulm teâilinenm (8c ptomde parallelogrammnm)de(cribatnt ezfzgzb :per deci- i mamoétanamfi huius fextLVrtifque pt:retea ôtez tpa» tallelno rama &ezreâilinea :quale,ipfi autem dz figmile .fimilitetq; pafitnm,idem eonfiituatur hzkd: pet vigefi» mamqumtam .ipfins fèxtinrnnq; igitur agitât hzlJPfi f, dffimile citât proinde exgzôc hzlzfimilia adinuicem, par c v1 efimamptimâ eiu(dcm fèxti.Similia veto reétilinea, ha entangnlos :quales ad vnum, 8c qu: circum :qua- f n les angulos lateta proportionalia:per prim: diffinirio- a ms huius (exti conuerfionem.Eftaigiturangulus qui ad . k, :qualis angulo qui ad f: 8c fient mi? ad fzg,fic blkzad a e kIlÆt quanta hll,vttifq; fimul a: ezgzparallclogrammO. 8: ipfi Cl reâilinea cit :qualc, pet eonitruétianë: mains m 1. 0 efiigitur h!l,ipfoezgzpatallelagrâmo.&larns propterea

11!inpr eÆ’maiusznecnon 8c kxlxmaiusLIBER ipfa fig. Producantnt V1. itaque in reétnm.169 a continuum,fzez& fzgzverrns mm n,pet (ecundum pofinlatnmzfèeenîthe 1" fi hzkl :qualis fzm,ipfi autem kzlzæqualis fzn,pet tettia primi. Compleatnt dein e mm! parallcla tâmum,per trigefimâprimaî ipfius primi,vnâ cum rzs,atq; cæteris qu: in figura nnr arallelogrammis. Parallelagrammnm itaq; mm, :quum efi 8c fimile ipfi hll. ed eidem hzll fimile ofienfnm cit eIg:fimile eft igitur mm, ipfi elg, pet vigefimamptimâ huius (exti. a proinde ip(a etglôc mmt atallelogtâma,circa enndem dimetientê f1bzo,per vi efimamièxtam ipfius (exti guru confiitnta. Rut» film quoniam elgzôt rxSIpatalleFagtammafiitea enndem fiinr dimetientem fzbzo: ,fimile efi propterea,pet vigefimamqnartam eiu(dcm (exti, tIStpatallelogrammû, g 1, ipfi ezg, arq; tari mm, a: proinde ipfi dtparallelogram’ me. His ira præmiflîs,quonia m!n,:qunm cit ipfi hzl, Difèurfus pria a: ipfum hIlIvtrifq; 8c eIgI atallelogrâmo &cxteétilineo ci palis damât :quale : 86 mmIigirur, eif ê elgzparallelagtâmo 8: exte- iltationis. p &ilineo cil: :quale.qu: cnim inuicë :qualia,eifdë :qualia (nnnper prima: cômunis (ententi: conuerfionë.Suba duâo igitur cômunizetg: reliquum czreâilineü,teliquo f 3 ,1 gnamoniezmg,pet tertiâ commune’ ièntenriâ,efi :qua- i i le. Et quoniam glszfupplementumjpfi emfupplemen- a to,per quadragefimamrettiam primi efi :qualem: eidê î e [a ezr,:quum efi alm,pet trigefi mamfextam eiu(dcm primi, nempe in :quali bafi, ac in eifdem parallclis confii» in r 0 tuto. Étatmdgirur ipfi FIs,per primam commune? feno tentiam :quum eft.Commune adponatnt cza: con urger itaq; aIaI parallelogrammnm,ipfi etolgzgnomoni,per fècnndam commune fententiam,:quale. Sed eidem gnomani ezazg,:quii cil: reâilineû c8: qu: eidem :qualia,adinuicem fnnt :qualia, pet prima communem fentêriam. Et azozigitut parallelogrammû, :quum cit ipfi data refrilineo czexcedirq; fimilis fpeeiei pa rallelogrammnm azrzfnpet toram te» &am a!bzcompararnm,ipio parallcla rammo tzs,quod ipfi dzfimile ofienfnm efir. Ad datam igitur reétam lineam azb, to reâilineo e,:quale compatarum cit parallelogtammum azo,excedës fimilis fpeciei parallelogtammumazr z (upet rotam , albzcompararum,parallelogrammo rzs, fimili data parallelogrammo d. (and faciendum tecepetamus. pgôfiMpix i, Femme A Hi! meëaup iuaëœp vrmdbow’pivlwfineop la! piGp M709 flpëp. Problcma ra, Propofitia 30. 30 DAram reétam lineam terminatam,per extremam ac media rationem d ifpefeete. O R O N T I V S. ([Reéralinea pet extremam 8c mediam rationem (cari dici- Pmblematia rut: quâdo fie difpefcitnr,vt rota ad vnum fegmentarnm eandcm habeat rationem, interpretario quam idem fegmentnm ad reliquum. Efio igitur data reéta linea rerminara az b, E xecurio de; quam oportear pet extremam a: mediam difpefeere rationem-Seeerut itaque aaba monfitatiua teâa in pnnâo e,pet vndecimam iècundizvt quad fnb tara azbz a: altero (egmenta problematis. aza comprehenditnr teâangulum, :quum fit ei quad à cd)! reliqua (egmenta fit a g I, quadrato.Propofiris itaque tribus mais lineis alb, bzcz ’- & eIa,qnod (nb extremis atbzôzczaxconrinetur reérangu lum,:qnum etit ei quad à media blafit uadratonf: igitur tres refit: line: pto- pattionales etunt,per decimâfeptimam uius fexri,fienratbz ad bze, fie bzelad cza.

P-l’

t7o GEOMET. ÉLÉMENT. Data ergo reéta linea av b,pcr exrremam a: mediam rationem feeatur in e,8: illius Idem alia ta: fegmentum mains cit bzclIAurfi velis defetibatnt ex azbtreâa linea data,quadta tione demoru tu m albzc,per quadragefimamièxtam primi. Et ad datam reétam lineam bzc,dato (une. quadrato atbzc,:qnum parallelogrammum compatetur czd,excedens fimilis (pen eiei parollelogtammum ezelfnper toram bchcomparatum,ipfb dbeparallelagtam ma fimiliaxbzczdatozper antecedentem vigefimamnonam propafitianem.Et quaniam fimile efi azbzc,ipfi dzb, a: quadratum cit arbzc: a: dzbti ’tur. cil: quadratum. Rurfum quoniam e! dt parallelogrammum, :quum cit qua taro axbzexac vttique commune cze:ablato itaque eze,teliquum azftteliqno dzb,per tertiam communem [Ententiam cit :quales: qui circa exfunt anguli,:quales fimr adinuicem, pet decimamquintam primi, vcl quartum finlatum . Aeqnalium porta 8c vnum vni :qualem abenrium angulum parallelogtâmorum,reeipto- ca funtlatera qu:drcnm :quales angulos: pet decimi» qua tram huius (exti. Et fient igitur esz ad ezd,fic bzezad cza-Sed bzezæqnalis cit etd, &albzipfi bzc, pet quadrati diffinirionemzeidem rurfum bzc,:qnalis cit exfipet trigefimamquartam primi.IEtezfxigitn r,ipfi azb,per primi f C communem (ententiam efi :qualis.Aequales autem ad eandem,eandem habent rationem,8c eadcm ad :quales:pet (cptimam quinti.Et fient igitur albzad bze,fic bxelad cza. Data igitur recta linea azb, pet extremam 8c mediam rationem,in punâo etdifpefeitur.0410d oportuit fecifie.

N mais ôeeoyavioiç eidem:976’6ch aga fiaqûb 5963:9 m, wviœp «(maremmeF36M; «talalgie Mg, M. l iam: 3H me ôtai: TÔ’p «tu. 63m www WXOUCÔ’II Chimay Mm,nîg épointe en i9

épointeTbeornna Wopciote. 21, Propofitio 31. A. N reétaqgulis rriangulis,qnæ ab rectum angulum fubtenden: si te latere peeies: :qualis cit eis,qu: ab reéhî angulum compte: hendenribus lateribus fpeeiebus fimilibus,fimilitérq; deicripris. O R O N TI V S. IIand de quadratis fuperficiebus, propofnit quadragefimao Interpretario feptima primi:hic de quibnfennq; reétilineorum fpeeiebus,ptoponit Euclides. Efio theotematis eû partiü fign igitur darnm teâan lnm triangulum azbzc, reâû ha» te dcfctiptiaa bens angulum qui a a.Dico quad fpeeies reétilinei,qn: ne. de(cribitnt ex bch’edum angulum fubrendente::qua- q lis efl ambabns fimilibns fimilirétque de(eripris (peeieo i . n bus,ab ipfis albIac azez reâum angulum conunentibns. d A daroenim punétoa, (upet datam reétam linea bxe, perpendicularis deducatut ard,pet duodecimam primi: qu: pet aérauam huius fexti,œdet inrra darnm azbr a triangulum, ipfiîmque in bina diuidet rriâgula arbzdx 8c azdtqtotiazbzczatqne adinuicem fimiliaDefetibatnt infuper ex bzc,contingens, &cniufcunqne libuerit fpeeiei reétilinenm bic: a à datis reétis lineis azbzd: azc,data refrilineo ble, fimilia fimilitétque pofita reâilinea de» Dernôfiratio fêtibantur affilât avg,pet decimamoétana ipfius firxti. Et quoniâ fimile cit azbzcz ipfius theoteo matis. triangulum ipfi aszdztriangnlafit qui ad bzangnlns vttique communis : cit igitur

vr clblad bza,fic axbxad bxdfuntL imp 1thblcÆC albfimilis v1. rationis latera. Similia.7. para rà triangula,adinnieem in du la ratione funt fimilis rationis latetum,per decimi.: nonam eiu(dcm fextLTtiâgufum igitur azbzc,ad rriâgnlnm atbzd,dn iam rarion’êi habet quam bzcz larns ad larns Nb- Rntfum quoniâ bœlrcâilincüfimile cit ipfi: a’Æ: fimiles antê refriline: figurât. in dupla ratione finit adinuicë fimilis rationis lao terni, et primü corollatiû vi efim: huius fexriÆt bletiraq; reétilineû,duplâ ratio. nêha t quam larns bzezad imilis rationis larns azb.0fienfum cit aura? a: trian» gulum albIUild triangulum azbzd,dnplamirideru rationem habet quam larns bzcz ad larns axb.Et fient igitur athrezttiangnlu ad triangulum azbzd,fic pet vndecimam. quintibzcncétüincum ad reétilineum aÆôc à conuerfa infiiper rarione,fieutaIbldI triangulum ad triangulum asze,fic ad) teâilinenm ad reétilmeum bz e, pet cart: ipfius quinti corollarium. Haud difiimilirer o endemns triangulum al bz ezad triangulum wdzg atq; tuer reétilineum ad reétilinenm alg, duplicem itidcm habere rarionem,qnam larns bru ad fimilis rationis larns aze. Et proinde fore fient arbte! a y triangulum ad triagnlum azdlc, fie bzcz reétilineuni ad rectilineü azg. Et econtta tutfnm,fieur triangnlû azdle, ê ad triangulum atbxc,fic azglïteôtilineûad reétilineû bze. ù - Parnir aure m,quôd fient tubai! triangulum ad triangnr lnm azbre,fie azflreérilineum ad refrilineum bte. Ptimum igitur axbzd,ad (eeûdnm azbzezeandem habet rationê,& tettium azfzad quattnm bze: habet rurfum 8c quiné rnm azdzexad (ecundum azblueandem rationem,!!! fextum azgzad ipfnm quartnm bzeÆtcompofita igitur primum 8c quintü aszdxôt aldze, ad (ecundum azbzcz cane. dem habebnnr tatianem,& tettium art? cum fexto alglad ipfnm quantum bze: pet vigefimamquarrâ ipfius quinti.Sed azbzdzôc azdfczrria’gulagqnalia fnnr ipfi albÆl: triangula,tanquàm patres ipfum totnm azbzqtrtangulum integtantes:& ipfii igitur azfzôt az IteErilinea,ipfi btezreétilineo fiant :qualiæAequum cit ergo teâilineum uod cxgbze,eis qu: ex azbzôc azczfimilibns fimilire’tq; deièti tis.IIIdem cria airé» Idem alia tu etc licebit, ex feeundo cotolla rio eiu(dcm vigefim: huius exti: eoaifnmptis to; mdfim tet’fimilirndinem triangulorum azbtc,albld,& aIdze,tribus reétis lineis bzc, aïzar . i bzdzpropattionalibus, a: alijs tribus itidcm roparrianalibns, bze,ate, au d. Erit cnim pet idem eorollarinm,fient bxczad bld, 1c bzcz ad azf: fieiîrqne eadcm b! ex ad ad,fic blelad alg.I-Iineipürnm triumlineatum bze,bld, a: dze, quemadmodùm a: i fiipradiétornm triangulatum adminicule, conclnfionem baud diflimili poteris elicere difeurfn. In reérâgnlis igitur triangulis,qn: ad reânm angulum fubtcndcntc latere fpecies:&e.vt in theoremaraQiod ofiendendum filtrat. I - , Il eidem: rifla, l’affirme me». A9 No «me. matai narrât piap gamina-à: No 411611361; me «fluai maigret; crié- EM’yop îxw,ô’st «a 6,40wa W mage. la! ’6’th dm: :2 Maud 776 «prévoit menhirs’ influera îGrroa. - . *’ l Tbeorema 2.2,, Prâpofitio sa. . ,3, I duo triangula componantnr a vnum angulum, duo lare; ra duobus lateribus proparrioualia habenria, vt fiat eiu(dcm, rationis eorum larera a: parallcla: reliqua ipforunfr’tiangnla’rum latera,in reétam lineam crunt. A ’ a Ë ï î O R0 N Tl V S.([Sint bina triangula aszelôt dme,advnum qui (nb 1 E Pcl’.

.7. ’ GEOMET. ÉLÉMENT. azeldleampofitadiabêria duo latera bzad: amduobns lateribus eldIGÇ dxexprapara tionalia,fiœtbzatad aIcâra adtad dze:finrq; eiu(dcm rationislareta inuicem paralg lela,vtpote albzipfi ezd,& azaipfi dze. Dico nàd reliqua latera blclôt (a,in reéti Ofiëfia tirer» lineam flint confiitnta. Cùm enim ex h t efi aszat OÙ fint parallel:,& in cas remaria. incidat axcerit angulus bzaze! :qualis cerna aleld, pet vigefimamnonam primi. Haud difiimilitetquoniam azelpatallela cit ipfi dIe,& in cas incidit teCta eld: crit pet eandem vigefimamnonam primi,angulus czdIe,alterno veld! itidcm :qualis. Duo itaq; anguli brava: eIdze,eidem an la azezdlfunt :quales:& "proinde :qua. lesadinuicem,pet primam communem ententiam.Bina itaque triangula allumât dzcle,habent vnum angulum vni angulo :qualem,8( qu: circum :quales angulos lacera proportionalia::qniangula ergo funr ipfa asza a dlezez rriangnla.& : a - les habët angulos (nb quibus einfdê rationis latera nba a renduntur, pet fèxtam huius fexti.Aeqnus eir iraq; ana d gulus czbza,angulo dlele.0fienfum cit aura? a blaJCI an lus,:qu’ cit angulo azcdena igitur anguliaxczdz a ïeIe,dnobus angulis leCISC clbzazfnnt :quales.To I b e tus rurfum qui (nb amer c6tinetur angulus, ci(dem au» il ’ gulis athdIôc drcIet:qnalis duit proinde angnl’ une, duobus angulis bzatczçt etbzatefi :qualis.C6mnnis addatur an lus azez : duo igi’ tut anguli azelbtôc aIcIe,rribus angulis bzale, aIab, 8c ezbzatip ius azbzcz trianguli, flint pet (ecundam communem (ententiam :quales.Sed ci(dem tribus angulis ipfius azbzczrriâgulifnnt :quales duo reéti, pet rrigefimamfircuudam primi. Et duo, itaqne’anguli alcibIôc aICIe,duobns mais pet primam communem (ententiam coo. :qnantnt.Ad datam ergo reétam lineam achatq; ad eins pnnétum c,du: refit: li» ne: [valant czez non ad ea(dem patres dn&:, efficiunt vttobique angulos alcth se aluezbinis mais :quales : ipf: i ’tnt reét: line: bICI amen]: diteérû feu reétam lineam, r decimamquarram ip ius primi funrconfiitutæ. Ergofi bina triangula: q 8: qu: eqnuntur reliqua. Quod expediebat demonfirafie.

’, N aurifieeiÔellFfl xümoiswd’ywu’æt in.ne), a’urrôp Myoprelierai; (ksar agît; Macadam 7x7. iip’ 3p 35mm, ioda: mûr; qui; tronçonnèrent: 716:9; qui; de! flamande: M Ô à; reprît, faire qui»; qui; «mon; envisa’ewoi. ’ i . Ibrorema 23, q Proppfiltiq 3;. q 1 »N-æ?ualibus circulis,angnli eandcm habent rationem ipfis cira 33 eun erériis in quibus de ueütnr:etfi ad centra, etfi ad eircunfe rêrias fnerinr dedué’ti.Tum etiâ feé’cores, ran’q’ ad centra eôiiituti.

O R O N T IIV S.l[Sint bini a: adinuicë : uales CirflllifilblClôC dz ex fiad quorü centra glu b,an li dedncâtnr biwa: ezlv ,ad cireunferêtias autê, bzalc,& ezdlfi . eircunferentias IcÆerfzeompte endentes. Aio primùm,quèd veluti citeunfeo rentia bze,ad ezfzcitennferentia’r,fic angulus bngC! ad angulum elhlfinecnon 8:angulus bzaload angulum eidlf. Conneétantn’r cnim pet primam pofiulatnm blCl a: e758: in dati: circulis azbœzôt dreyfidatis reétis lineis peaufina ’maiotibus eaa a * rundein circulorum dimetientibus:quorenn[q-, :qualesreét: line:,Otdine eoapten mugira: kzllipfibmarq; fzm,& mlnlipfi e z: uales, pet rima quartier pet prî- m1080": a mam pofltrlatum,conne&antur gzk,gIl,hlm, a: lnlreé’t: iriez. Et quonii :qua- ld centrum. les fnnthc,cIlt,. 8c km refit: line:,q :quales finit 8l eireunferenti: b7 e, cl k, 81 in]! eafdenr retins inuicem’:qnales (nbtendëtes, pet vigefimamoétanam tettij. Hinc

ÇLÏBER " [VILpar vigefimiiêprima’ a 17j eiufdë ’ . tertij,angnli bl l e, cl lk, a: kl gl l, :qualesgfunt agdinui- cem.Et proinde lielhlf, flhlm, a mlhln,a ’nnicë pa- ritet:quales.Qiotu lex igi tut efiblel Il circun erentia, ipfius eircunferenti: blC: to»

fiu s anguli. biglc.quoruplexio e N . Z ruplex infii et cil: elilnleiteunferêtia,ipfins cit an lus blel leitenn l], têti:: ip- complexât 8:angulus elhln,ip ius angulielhlfiSi itaqscircunferëtia blclll maior cit eitcunferêtia elflnezquèmaiot eft 8c angulus blgll,ipib angulo elh’ln:& fi :qua lis,:qualis:fi autem minot, itidem proportionaliter minot. Quatuor itaq; magni- 1 Ürcunfeflentiæ Anguli. u - tudinnm,vtpote blelôt elfleirennfetêriarnm,& an- blel l. eli7n. blgll. eIhm. " ælorum b’g’c’ &Ê’h’f’ (umpta ("tu æqUè mum’ - b, c, e, ç, v - b,g,c. e, h, ç; l plieia prim: 8c tertîzmlecnô feepnd: a: lqualrtar alia vtenn ne: uèmu ri ieia. 8c leurmu ri ex ri- V V- m:,admnliliplex iteiindmfic multiplex t5tti:,P ad multiplex quartæfi: habere deduânm efi. In eadcm ratione igitur efi prima ad a. eundam,& terria ad quartani,per Grimm ipfius uinti diffinirionémoc efl,ficut blcl eircunferentia,ad elficirennferentia:fic angulusbl lc,ad angulum elhlf. (Dit quo-i De angulis g - nia angulus blglelduplns efi: anguli blale, a: elhliêipfius eldlflitidem duplus, pet ad eirennferë tiam. vigefimam terrifiant itaque blglClôt elhlflanguli, ipforum blalcl a: eldlflqui ad citcunferentias’fnnr angulatü, :qnè multiplices. Pattes acté eadcm modo multia plicinm, eandcm rationem habentfiimpt: adinuicem:per’deeimamquintam eiuiï dem quintiQuam ratianê igitur habet angulus blglc, ad angulum elhlfi eam ha- Ë, c, a; lb,g,c.e,h,f lblmxülç- berk angulus blalc,adangnlnm eldlfiOflenfnm cil: - . autem,qnôd angulus blglelad angulum el hl il eam habet rationem:qnam blclcireûferentia,ad eirennferentia elfiÉtblalcligirutangulus,ad angulum eldlfl eam habet rationem,per vndecimam quinti:quam blcl eiteunferentia, ad cireunfe. tentiam elfilIDico in(uper quad fient eadcm eiteunferentia ble, ad eireunfetentia’ De regarib’. . elfific glblelfeérar,ad feflorcm hlelfiCoafinmantur cnim in blel& elkleiteunfetë» riis,eontingentia figna,al& nô: eonneétantur bla,0le,elt,& rlklline: re&:,per ri mum pofinlatumÆt quoniâ trianguli glbleldua larera blglôc glc,funt :qualia no bus elglôt glklttianguli elglk, pet quindeeimam diffinitionem primi,8c æquos ad- ’ inuicem continent angulos,bafis quoq; blclbafi elklefi :qualis: totnm itaque trian gulum glblc,toti triâgulo elglk,pet quarta ipfius primi,efi :quale. Rurfum qua» niam blClcirennferenria,:qualis cit eitennferenti: elktfi à rota al bl Cl eirennferena ’a,e:dê :quales auferantur cirennfe tenti:,reliqua blalelreliqnæ elalk, pet terriâ communem feriteiitiam,efi :qualiSLEtproinde anguli-blOlel 86 utlkætquales fiant adinuicem, pet vigefimamfeptima’m tertij. Similis eft igitur. feâidbl ale, frétioni eltlk, pet decimam ipfius me; diifinitionem : trin :qualibus. métis-lineis bl. à 8; elklconfiitut: film. Aeqnalis efl igitur feétio blOlc,fe&ioni eltlk, pet vigefirtiam« quarram eiufdem tettij.Et quoniam :quum oit triangulum glblc,triangnlo clglk: totus propterea (cérat glble, tari clglklfeCtOri,rper iceuudamcommunem (ententiam cil æqualis.Et proinde (cérat lkll,Vtrique ipibrum glble,8(; elglklconuinei- tut æqualisTtes itaque («Stores giblc,clglk,,& glkllfnnt :quales a inuicê.I-Iaud diilîmiliterfed’orcs hl el f, il hl m, 8c hl ml n, inuicem :quales fore concludentut. p.11].

.74 GEOMET. BLÉ-MENT. LIB.Vl.f QEetnplex eit igitur drainferentia blel l, ipfius blcl circnnferenti: :tatuplex et! g! l 1l fe&0t,ip ins (clitoris gl bl c. Et proinde quotuplex cit eirennferentia elfln, ipfius elflcircnnfetenti::totuplcx cit 8c (cérat hl el n, ipfius reétam hlelf- Érgo fi blellleircunferêria,maier cit ipfa elfln::què maior cit a: (cérat glbll, ipfius feéteo ris. hleln:& fi :qualis,:Ëualis:& fi minor,itidem proportionaliter minor.Qçatuor itaque ma irndinnm, uarnm inquàm eitcunferêriatum blClô: elf, a: duatum feo éternm gl 708: hlelfifnmpra (une :qnè multiplicia prim: 8: terriæ, necnô feeuno C. nf remit 5mm I d: 8c quart: alia vtennq; : ne multiplicia:8c vt mul l "a e ’ tiplex prim: ad mnlriplexiècûdæfie multiplex ter l b’aL a fi ni g’b’ L hl c, n’ ri: ad multiplex quartæie habere dednétû efi.Prio V V margitnr ad fi:cudam,eandem habet ratione,8( 0ere l blc. . el, ria f.ad quarram,per glue. (extam hlelf. difi-inirionem’qumtiSio . . . . . cuti ’rur eircnnferenria blc, ad citcunfetentiam elfi ficglblCl (caret, ad cabrent thlÊ! In :qualibus igitur circulis , anguli eandcm habent rationem ipfis circun- ferentijs in quibus deduenntnr : etfi ad centra,erfi ad eireunfetenrias fuerint dedn» &i.T nm etiamfeâores,tanqnàm ad centra eanititntiQuod tandem tecepetamus ofiendendnm. n ’Cerollarium. IIÉt roinde manifefinm efl,quôd veluti reflet- ad fèflorè’,fie pet vndecimâ’ quinti angu us ad angulum: vttobique cnim ratio eflîenditnt, qu: eircunferenri: ad eito eunferentiam.

ÉQSEXTI L IBRI GEOMETRICOÎ rum Elementerü Euclidis Megarenfis, Ex Otonrij Finei Delphinatis,Regij Marhemaricarum pro: fefforis . tradia ’ 1 z riene,

E" -I N I S. Virefeirvnlnete vinas.

Errata qu: in paueis admodùm aceidere exemplarrbns. Pagina 9.fub prima cômnni fenrè’tiade ,fir :qualis magnitude cnecefium dure. Pagina 49. linea prima demanflratienismelle quèd,& lege’aia ex tata abstenue, quad ex tara.Regiitrum. ’ 4 , .133333333533333?’fila-bader’. g. h- 1.1:. l. m.n.a. p.