Mathematische Leitfäden Herausgegeben von em. o. Prof. Dr. phi!. Dr. h.c. G. Köthe, Universität Frankfurt/M., und o. Prof. Dr. rer. nat. G. Trautmann, Universität Kaiserslautern

Real Variable and Integration With Historical Notes by J. J. BENEDETTO, Prof. at the University of Maryland 278 pages. Paper DM 48,- Spectral Synthesis by J. J. BENEDETTO, Prof. at the University of Maryland 278 pages. Paper DM 72,-

Partial Differential Equations An Introduction by Dr. rer. nat. G. HELLWIG, o. Prof. at the Technische Hochschule Aachen 2nd edition. xi, 259 pages with 35 figures. Paper 48,- Einführung in die mathematische Logik Klassische Prädikatenlogik Von Dr. rer. nat. H. HERMES, o. Prof. an der Universität Freiburg i. Br. 4. Auflage. 206 Seiten. Kar!. DM 34,- Funk tionalanalysis Von Dr. rer. nato H. HEUSER, O. Prof. an der Universität Karlsruhe 416 Seiten mit 6 Bildern, 462 Aufgaben und 50 Beispielen. Kart. DM 58,- Lineare Integraloperatoren Von Prof. Dr. rer. nat. K. JÖRGENS 224 Seiten mit 6 Bildern, 222 Aufgaben und zahlreichen Beispielen. Kart. DM 48,- Moduln und Ringe Von Dr. rer. nato F. KASCH, O. Prof. an der Universität München 328 Seiten mit 176 Übungen und zahlreichen Beispielen. Kart. 0 M 52,- Gewöhnliche Differentialgleichungen Von Dr. rer. nat. H. W. KNOBLOCH, O. Prof. an der Universität Würzburg und Dr. phi!. F. KAPPEL, O. Prof. an der Universität Graz 332 Seiten mit 29 Bildern und 98 Aufgaben. Kart. DM 48,- Garbentheorie Von Dr. rer. nato R. KULTZE, Prof. an der Universität Frankfurt/M. 179 Seiten mit 77 Aufgaben und zahlreichen Beispielen. Kart. DM 44,- Differentialgeometrie Von Dr. rer. nat. D. LAUGWITZ, Prof. an der Technischen Hochschule Darmstadt 3. Auflage. 183 Seiten mit 44 Bildern. Ln. DM 44,-

Fortsetzung dritte Umschlagseite

B. G. Teubner Stuttgart Mathematische Leitfäden Herausgegeben von em. o. Prof. Dr. phil. Dr. h. c. G. Köthe, Universität Frankfurt IM., und o. Prof. Dr. rer. nat. G. Trautmann, Universität Kaiserslautern

Einführung in die harmonische Analyse

Von Dr. rer. nat. Walter Schempp Ord. Professor an der Universität Siegen (Gesamthochschule) und Dr. sc. math. Bernd Dreseler apl. Professor an der Universität Siegen (Gesamthochschule)

Mit 3 Figuren, 205 Aufgaben und' 116 Beispielen

B. G. Teubner Stuttgart 1980 Ord. Prof. Dr. rer. nat. Walter Schempp

Geboren 1938 in Tübingen. Von 1958 bis 1964 Studium der Mathematik und Physik an der Universität Tübingen, 1965 Diplom. Anschließend praktische Tätigkeit an Rechenzentren in Tübingen, Darmstadt und Bochum. 1968 Promotion an der Ruhr-Universität Bochum und nach Tätigkeit als wiss. Assistent und Lehrbeauftragter 1970 Habilitation in Bochum. 1970 Dozent, 1971 wiss. Rat und Professor sowie apl. Professor an der Abteilung für Mathematik der Ruhr-Universität Bochum. Seit 1973 Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik I an der Universität Siegen (Gesamthochschule) und Mitglied des Gründungssenats. apl. Prof. Dr. sc. math. Bemd Dreseler

Geboren 1943 in Wuppertal. Von 1964 bis 1971 Studium der Mathematik und Physik an den Universitäten Köln und Bochum, 1971 Diplom, anschließend Verwalter der Stelle eines wiss. Assisten• ten an der Universität Mannheim (WH), 1972 Promotion. Nach Assistententätigkeiten in Bochum und Siegen 1977 Habilitation an der Universität Siegen (Gesamthochschule), 1978 Lehrstuhlvertre• tung an der Universität Duisburg (Gesamthochschule). 1980 apl. Professor an der Universität Siegen (Gesamthochschule).

CIP-Kurztite1aufnahme der Deutschen Bibliothek

Schempp, Walter: Einführung in die harmonische Analyse / von Walter Schempp u. Bernd Dreseler. - Stuttgart: Teubner, 1980. (Mathematische Leitfaden) ISBN 978-3-519-02220-6 ISBN 978-3-322-99591-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-99591-9 NE: Dreseler, Bernd:

Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, besonders die der Übersetzung, des Nachdrucks, der Bildentnahme, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege, der Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei Verwertung von Teilen des Werkes, dem Verlag vorbehalten. Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielfältigung ist an den Verlag gemäß § 54 UrhG eine Vergütung zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. © B. G. Teubner, Stuttgart 1980

Satz: Schmitt u. Köhler, Würzburg-Heidingsfeld Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen Am Anfang war die Symmetrie W. Heisenberg, Der Teil und das Ganze Vorwort

Es bezeichne Si die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen vom Betrag 1 und L 2 (Si) den zum Lebesgue-Maß konstruierten komplexen Hilbert-Raum über Si. Jedem Punkt SESl ist ein Translationsoperator y(s) von L2 (Sl) in sich zugeordnet, welcher! E L 2 (Si) in z ---> !(S-l z) überführt. Die Abbildung S --->y (s) ist eine Darstellung der Gruppe Si. Betrachtet man die jedem!E U (S 1) zugeordnete F ourier- Reihe L Cn zn, so erhält man eine Zerlegung von U(Sl) in die eindimensionalen neZ Untervektorräume (Hn)nez, die aus allen komplexen Vielfachen der Funktionen z --->z" bestehen. Auf jedem der Räume (Hn)nez operieren die linearen Abbildungen (y(s»)seSI irreduzibel. Das Entwickeln in Fourier-Reihen kann demnach als Zerlegen der Darstellung y in irreduzible Teildarstellungen aufgefaßt werden. Diese zunächst ungewohnte Sicht der Fourier-Reihen hat sich als sehr fruchtbar erwiesen. Nach heutiger Erkenntnis besteht das Hauptproblem der harmonischen Analyse in der Zerlegung linearer Gruppendarstellungen in "elementare" Teildarstellungen. Mit Hilfe dieser Abstraktion erhält die Theorie der Fourier-Reihen, der Fourier-Integrale und der Entwicklungen nach einer großen Klasse spezieller Funktionen einen gemeinsamen Rahmen. Zugleich wird deutlich, warum die Theorie der Fourier-Reihen aus dieser Sicht von relativ elementarem Charakter ist: Die Kommutativität der Gruppe Si impliziert die Eindimensionalität der Vektorräume (Hn)nez. Das vorliegende Buch soll in die harmonische Analyse unter Betonung des gruppentheoretischen Standpunktes einführen. Im ersten Teil werden die wichtigsten klassischen Ergebnisse über Fourier-Reihen und Fourier-Integrale in mehreren Variablen behandelt, während der zweite Teil an die Grundresultate der nicht• kommutativen harmonischen Analyse heranführt und ihre Beziehung zu Entwicklun• gen nach speziellen Funktionen aufzeigt. Der erste Teil, der aus den Kapiteln I und 11 besteht, ist auf zwei Ziele hin ausgerichtet. Zum einen umfaßt er den Stoff der harmonischen Analyse, den nach Auffassung der Autoren jeder Student der Mathematik und Physik kennenlernen sollte. Deshalb erscheint es wichtig, die Anwendung der Ergebnisse auf verschiedenartige Probleme vorzuführen. Erwähnt seien in diesem Zusammenhang das Cauchy-Problem der schwingenden Saite (I. 5, I. 8), das isoperimetrische Problem (I. 10), das Fouriersehe Ringproblem (1.10), die Wärmeleitung im unendlich langen Stab (I. 10), die Heisenbergsche Unschärferelation (11.7) und der Satz von Minkowski (11.7). Zum andern dient der erste Teil der Motivation der nicht-kommutativen harmonischen Analyse. Aus diesem Grund wird der Leser bereits frühzeitig (I. 2) mit dem Begriff der Vorwort 5 unitären Gruppendarstellung und dem Satz über die Eindimensionalität der irreduziblen unitären Darstellungen abelscher topologiseher Gruppen konfrontiert. Der zweite Teil beginnt in Kapitel III mit dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz des Haar-Maßes auflokalkompakten topologischen Gruppen. Damit wird für beliebige lokalkompakte Gruppen ein Ersatz für das Lebesgue-Maß geschaffen, das im ersten Teil eine so zentrale Rolle spielt. Für die späteren Resultate darf man es allerdings nicht mit dem Existenz-Satz für das Haar-Maß bewenden lassen. MitHilfe der Integration auf homogenen Mannigfaltigkeiten wird in III. 3 für eine Reihe von Beispielen das Haar-Maß explizit berechnet. Bis heute ist ein fast unübersehbarer Reichtum von Ergebnissen auf dem Gebiet der nicht-kommutativen harmonischen Analyse bekannt. Es haben sich dabei sehr verschiedenartige Theorien herausgebildet, die sich mit ihren spezifischen Methoden auf gewisse Klassen von Gruppen konzentrieren. Unter diesen Theorien zeichnet sich die harmonische Analyse auf kompakten Gruppen (Kapitel IV) durch ihre Abgerun• detheit aus. Will man sich nicht nur auf den kompakten Fall beschränken, so bietet sich die harmonische Analyse zonaler Funktionen zu Gelfand-Paaren als eine umfassende, im Rahmen eines einführenden Buches noch darstellbare Theorie an (Kapitel V). Insbesondere umfaßt sie die harmonische Analyse auf lokalkompakten abelschen Gruppen (V. 5). Jeder Autor einer Einführung in ein so vielschichtiges und weitläufiges Gebiet wie die harmonische Analyse hat einen Kompromiß zu finden zwischen der Darstellung möglichst tiefer Ergebnisse bei einzelnen Gruppen und der Beschreibung prinzipieller Resultate, wie zum Beispiel Sätze vom Riemann-Lebesgue-Typ oder Plancherel• Identitäten, für möglichst umfassende Klassen von Gruppen. Wie es wohl einem mathematischen Leitfaden gebührt, neigt die vorliegende Darstellung dem zweiten Standpunkt zu. Deshalb mußte eine Reihe wichtiger Gegenstände unberücksichtigt bleiben, wie etwa eine detaillierte Beschreibung der Transformationsmethoden bei gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen, der komplexen Methoden in der harmonischen Analyse (Hardy-Räume, Sätze vom Paley-Wiener-Typ), der Multipli• katorentheorie, eine über die elementare Theorie der linearen Lie-Gruppen hinaus• gehende Theorie der Lie-Gruppen (halbeinfache Lie-Gruppen, Weylsche Charakter• und Dimensionsformeln) und die harmonische Analyse auf symmetrischen Mannig• faltigkeiten. Angeregt wurde dieses Buch durch Vorlesungen und Seminare, welche die Autoren an den Universitäten Bochum, Duisburg, Mannheim und Siegen gehalten haben. Wie diese Veranstaltungen wendet es sich primär an Studenten der Mathematik und Physik mittlerer Semester. Die erforderlichen Vorkenntnisse sind auf Seite 6 zusammengestellt. Jedem Kapitel sind Ergänzungen und Bemerkungen angefügt, die parallel zu jedem Abschnitt gelesen werden sollten. Die angegebene Literatur - in erster Linie Übersichtsartikel und Lehrbücher - ist zur Anregung weiterer Studien gedacht. Außerdem sei die Bearbeitung der Aufgaben empfohlen, die nicht nur zur Einübung des behandelten Stoffes dienen, sondern auch den Text ergänzen. Eine knappe Auswahl weiterführender Lehrbücher findet man am Schluß des Buches. 6 Vorkenntnisse

Teile von Kapitel V wurden besonders durch die Arbeiten von Herrn Dr. Tom Koornwinder (Mathematisch Centrum, Amsterdam) beeinflußt. Wir danken ihm insbesondere für die Überlassung seiner zum Teil noch nicht veröffentlichten Arbeiten. Unser Dank richtet sich auch an Herrn Dipl.-Math. Dr. Rudolf Hrach (Siegen) für wertvolle Anregungen und an Herrn Professor Dr. Krzysztof Maurin (Warschau) für sein Interesse an der Entstehung des Buches. Außerdem sind wir der Lehrstuhlsekretä• rin, Frau Änne Wagner, für ihre unermüdliche Hilfe beim Schreiben des Manuskriptes und dem Teubner-Verlag für die sehr angenehme Zusammenarbeit dankbar.

Siegen, im Dezember 1978 Walter Schempp Bernd Dreseler

Vorkenntnisse

Auch eine "Einführung" in die harmonische Analyse kann nicht beanspruchen, ohne gewisse Vorkenntnisse verständlich zu sein. Vorausgesetzt werden Kenntnisse aus der Analysis und Algebra, etwa im Umfang der üblichen Anfänger-Vorlesungen, sowie Grundkenntnisse aus der - Allgemeinen Topologie - Integrationstheorie - Funktionalanalysis Für die letzteren Gebiete sei etwa auf die folgenden Lehrbücher verwiesen: Schubert, H.: Topologie. 4. Aufl. Stuttgart: B. G. Teubner 1975 Hewitt, E., Stromberg, K.: Real and abstract analysis. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1969 Heuser, H.: Funktionalanalysis. Stuttgart: B. G. Teubner 1975 Nützlich sind an einigen Stellen auch Grundkenntnisse aus der Theorie der topologischen Vektorräume und Distributionen. Geeignet für den Anfänger ist dazu der Text von T reve s, F.: Topological vector spaces, distributions and kernels. New Y ork- London: Academic Press 1967 Natürlich umfassen die hier genannten Bücher sehr viel mehr, als für das Verständnis des vorliegenden Bandes tatsächlich benötigt wird. Vielleicht können aber diese Hinweise manchen Leser dazu anregen, seine Kenntnisse aus den oben genannten Gebieten an Hand der harmonischen Analyse zu festigen und zu vertiefen. Inhalt

Erster Teil

I Harmonische Analyse auf der n-dimensionalen Torusgruppe Tn 1 Periodische Funktionen . . . 9 2 Trigonometrische Polynome 16 3 Fourier-Reihen ...... 27 4 Die Banach-Algebra V (Tn) . 37 5 Fourier-Reihen differenzierbarer Funktionen 50 6 Der Satz von Charshiladze-Lozinski . 57 7 Approximative Einheiten auf Tn 60 8 Periodische Distributionen . 68 9 Die Banach-Algebra .ß(Tn) ... 78 10 Anwendungen ...... 87 11 Ergänzungen und Bemerkungen 94

11 Harmonische Analyse auf dem n-dimensionalen reellen euklidischen Raum Rn 1 V-Theorie der Fourier-Transformation 99 2 Rasch abklingende Funktionen . 110 3 Funktionen von positivem Typ . 124 4 Radiale Funktionen 130 5 Poisson-Formeln. 140 6 Faltungskerne ... 144 7 Anwendungen . . . 149 8 Ergänzungen und Bemerkungen 155

Zweiter Teil

111 Das Haar-Maß auf lokalkompakten topologischen Gruppen 1 Die Existenz des Haar-Maßes ...... 159 2 Die Unität des Haar-Maßes ...... 164 3 Integration auf homogenen Mannigfaltigkeiten . 167 4 Die Faltung...... 177 5 Ergänzungen und Bemerkungen ...... 181 8 Inhalt

IV Harmonische Analyse auf kompakten topologischen Gruppen 1 Der Satz von Peter-Weyl ...... 183 2 Charaktere kompakter topologischer Gruppen . . . . . 196 3 Die Fourier-Transformation auf kompakten Gruppen. 200 4 Elementare Theorie der linearen Lie-Gruppen. 206 5 Die spezielle unitäre Gruppe SU(2, C) . 217 6 Ergänzungen und Bemerkungen ...... 227 v Harmonische Analyse und Gelfand-Paare 1 Kompakte Gelfand-Paare ...... 231 2 Die Paare (SO (n, R), SO (n -1, R», n;;;' 3, und (U(n,C), U(n-1, C», n;;;.2 .... . 239 3 Gelfand-Paare ...... 254 4 Die sphärische Fourier-Transformation ...... 264 5 Harmonische Analyse auf lokalkompakten abelschen Gruppen 271 6 Ergänzungen und Bemerkungen ...... 276

Weiterftihrende Literatur. 279

Literaturverzeichnis . . . 280

Verzeichnis der Symbole . 286

Namen- und Sachverzeichnis. 293