Research Collection

Doctoral Thesis

Die direkte Bestimmung der massgebenden Gleitfläche und des minimalen Gleitsicherheitsfaktors homogener und inhomogener Böschungen

Author(s): Gerber, Fritz Peter

Publication Date: 1965

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000091968

Rights / License: In Copyright - Non-Commercial Use Permitted

This page was generated automatically upon download from the ETH Zurich Research Collection. For more information please consult the Terms of use.

ETH Library Prom. Nr. 3622

Die direkte Bestimmung der maßgebenden Gleitfläche und des minimalen Gleitsicher¬ heitsfaktors homogener und inhomogener Böschungen

VON DER

EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE

IN ZÜRICH ZUR ERLANGUNG DER WÜRDE EINES

DOKTORS DER TECHNISCHEN WISSENSCHAFTEN

GENEHMIGTE

PROMOTIONSARBEIT

VORGELEGT VON

FRITZ PETER GERBER

dipl. Bauingenieur ETH

von Langnau i. E.

Referent: Herr Prof. G. Schnitter

Korreferent: Herr Prof. Dr. P. Läuchli

1965 Zürich Ed. Truninger VORWORT

In der vorliegenden Arbeit wird eine Methode zur mathematischen Be¬ stimmung der massgebenden Gleitfläche und damit des minimalen Gleitsicher¬ heitsfaktors beliebiger Böschungen entwickelt. Die praktische Anwendung des Verfahrens, welche erst meine Untersuchungen sinnvoll macht, soll da¬ bei durch das gegebene ALGOL - Programm erleichtert werden.

Es ist mir ein Bedürfnis an dieser Stelle allen die direkt oder indi¬ rekt zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben meinen herzlichsten Dank auszusprechen. Der Ausdruck meiner tiefsten Verbundenheit gilt vorab Herrn

Prof. G. Schnitter für seine umsichtige Leitung und für die von einer um¬ fangreichen Erfahrung gekennzeichneten Ratschlägen und Anregungen, sowie

Herrn Prof. Dr. P. Läuchli für die Uebernahme des Korreferats und für die wertvollen Hinweise mathematischer Art. Mein Dank richtet sich im weiteren auch an die Elektro - Watt, Zürich für den mir seinerzeit gewährten Urlaub und für den dort rege gepflegten Gedankenaustausch, sowie an die Herren des

Instituts für angewandte Mathematik der ETH für ihre aufbauende Mithilfe bei der Lösung programmtechnischer Probleme.

Zürich, April 1965 Fritz P. Gerber INHALTSVERZEICHNIS

Seite

1. Einleitung 1

1.1. Allgemeines 1

1.2. Die Methode von W. Fellenius 2

1.2.1. Porenwasserspannungen 6

1.2.2. Der Begriff der Gleitsicherheit. 7

1.3. Klassische Auswertungsverfahren 12

1.3.1. Variation von R, B und A 13

1.3.2. Verfahren mittels Isoasphalien 14

2. Das vorgeschlagene Auswertungsverfahren 16

2.1. Definitionen, Voraussetzungen und Annahmen 16

2.2. Prinzip des Verfahrens 17

2.3. Herleitung des Verfahrens für homogene Böschungen 25

2.3.1. Darstellung des Nenners N als Funktion von p 26

2.3.2. Darstellung des Zählers Z als Funktion von p 29

2.3.3. Massgebender Gleitkreis und minimale Gleitsicherheit 32

2.4. Herleitung des Verfahrens für inhomogene Böschungen 34

2.4.1. Darstellung des Nenners N als Funktion von p 35

2.4.2. Darstellung des Zählers Z als Funktion von p 38

2.4.3. Massgebender Gleitkreis und minimale Gleitsicherheit 41

3. Anleitung für die programmgesteuerte Berechnung 43

3.1. Voraussetzungen und Einschränkungen 43

3.1.1. Maschinentechnisch 43

3.1.2. Geometrisch 43

3.1.3. Erdbaumechanisch 44

3.1.4. Mathematisch 45

3.2. Input 48

3.3. ALGOL - Programm 51

3.4. Output 63

3.4.1. Resultate 63

3.4.2. Meldungen 63

4* Anwendungsbeispiele 65

4.1. Beispiel Nr. 1 65

4.2, Beispiel Nr. 2 68 Seite

4o3. Beispiel Nr. 3 70

4.4. Beispiel Nr. 4 73

Anhang 1 78

Anhang 2 79

Anhang 3 83

Anhang 4 86

Symbolregister 91 - 1 -

1. EINLEITUNG

1.1. Allgemeines

Jede Stabilitätsberechnung, gleich nach welcher Methode und in welcher

Form sie durchgeführt wird, bezweckt die Bestimmung der geringsten Gleitsicher¬ heit eines gegebenen Böschungsabschnittes, sei es zur Dimensionierung neuer, sei es zur Ueberprüfung bestehender Schüttungen. Die Zuverlässigkeit einer solchen Untersuchung hängt einmal davon ab, wie genau die gewählte Methode das wirkende Kräftespiel erfasst und wie gross der Einfluss der durch allenfalls notwendigen Annahmen entstehenden Unzulänglichkeiten ist. Von nicht geringerer

Bedeutung ist im weiteren die möglichst exakte Kenntnis der im Laboratorium und in situ zu bestimmenden materialtechnischen Kennziffern, besonders die der

und beiden Scherparameter c1 tgf •

Vorerst unterscheidet sich demnach eine Stabilitätsberechnung nicht von irgend einem anderen Dimensionierungsproblem des Bauingenieurwesens. Die prak¬ tische Anwendung zeigt jedoch, dass das mehrfach implizite Problem auch in

"einfacheren Fällen" zu recht umfangreichen Berechnungen führt; dies vor allem deshalb, weil die massgebende Gleitfläche und damit die minimale Gleitsicher¬ heit mit den bisher üblichen Methoden nicht direkt, sondern aus einer mehr oder weniger grossen Anzahl zu untersuchender Gleitflächen bestimmt wird. Aus dem soeben gesagten geht hervor, dass die Zuverlässigkeit einer Stabilitätsbe¬ rechnung, abgesehen von der angewandten Methode und von den gegebenen material¬ technischen Kennziffern, letztlich von der Anzahl untersuchter Gleitflächen ab¬ hängt, und dass auch für sogenannte einfachere Fälle ( Vorprojekte, rasche Kon¬ trollen, überschlagsmässige Dimensionierungen, etc. ) erst eine relativ grosse

Anzahl eine möglichst zutreffende Auswahl vorzunehmen gestattet.

Es war deshalb wünschenswert, diese bautechnisch uninteressante, innerste und daher bei jeder Berechnung mehrmals wiederkehrende Iteration genauer zu untersuchen, und Wege zu finden, welche die Empirie und die der Ausdauer des die Berechnung ausführenden Ingenieurs entsprechende Zufälligkeit durch ein ma¬ thematisches Verfahren ersetzen.

Die naheliegende Formulierung als Extrenalproblem führt, wie noch zu zei¬ gen sein wird, zum Ziel, gleichzeitig aber zu ungewohnten Definitionen und zu recht komplizierten Ausdrücken, deren numerische Lösung im Gegensatz zu den bisher üblichen graphischen Auswertungverfahren den Vorzug der Uebersichtlich- keit nicht mehr geniesst, und zu deren Dimensionen keine direkte Beziehung im gewöhnlichen Sinn mehr besteht.

Nun werden aber heute vermehrt elektronische Rechengeräte zur Lösung sol- - 2 -

cher Probleme eingesetzt, sodass die für Handberechnungen unerlässliche Beding¬ ung der Uebersichtlichkeit eine untergeordnete Rolle spielt, vorausgesetzt dass

die scheinbar umständlichere Lösung sich als wirtschaftlicher und als zuverläs¬

siger erweist. Daraus folgt, dass eine Anwendung der entwickelten Auswertungs¬ methode mit herkömmlichen Mitteln ( Tischrechenmaschinen ) im allgemeinen kaum von praktischem Vorteil sein dürfte, so dass dem im Kapitel 3 eingehend erläu¬

tertem ALGOL - Programm mehr als nur die übliche Bedeutung des Hilfsmittels

zukommt.

1.2. Die Methode von W. Fellenius

Obschon es nicht Gegenstand der vorliegenden Untersuchung sein kann auf die einzelnen Methoden der Stabilitätsberechnung und deren Problematik einzu¬ gehen, ist es im Interesse der Eindeutigkeit der verwendeten Definitionen un¬ umgänglich, die dem entwickelten Auswertungsverfahren zugrundegelegte, heute allgemein übliche Methode von W. Fellenius kurz zu erläutern und auf die um¬ strittene Erfassung der Grösse der Porenwasserspannungen und der Gleitsicher¬ heit im speziellen hinzuweisen.

Es wird die Richtigkeit der zwei folgenden fundamentalen Annahmen voraus¬ gesetzt:

- Die Gleitfläche besitzt die Form einer Kreiszylinderschale unendlicher Aus¬

dehnung.

- Das vor dem Bruch wirkende Kräftespiel bleibt im Augenblick des Bruches un¬

verändert erhalten.

Die erste Annahme, die, wie an mehreren grossen Rutschungen geodätisch nachgewiesen wurde, die tatsächlichen Verhältnisse relativ gut erfasst, ge¬ stattet die Formulierung als zweidimensionales Problem. Diese Vereinfachung ist durchaus gerechtfertigt, weil sie infolge der Vernachlässigung der Schalen¬ wirkung zu eher geringeren Gleitsicherheiten als in Wirklichkeit vorhanden sind führt.

Die zweite Annahme gestattet einen Vergleich zwischen Materialfestigkeit und wirkender Scherspannung, deren Verhältnis als Gleitsicherheitsfaktor F de¬ finiert wird. Wenn mit sj die Scherfestigkeit resp. die Scherspannung an der

Stelle i bezeichnet wird, muss also die Ungleichung

"t Material -i Fs °'Wirkern in jeder Lamelle i erfüllt sein. - 3 -

Zur Berechnung der Gleitsicherheit wird eine zur Kreiszylinderschale nor¬ male Scheibe der Sterke 1 (zweidimensionales Problem ) in vertikale Lamellen konstanter Ereite eingeteilt (Fig. 1 ). Die Anzahl Lamellen und damit der Be-

Fig. 1 trag der Lamellenbreite hängt von der verlangten Genauigkeit ab und spielt, wie an Hand des Beispiels Nr. 1 (Abschnitt 4 ) gezeigt wird, eine nicht unwesentli¬ che Rolle.Die Wahl eines an sich beliebigen Gleitkreisradius R vervollständigt die zur geometrischen Definition des Problems erforderlichen Angaben.

Innerhalb einer Lamelle i können k verscltiedene Schichten mit verschiede¬

nen materialtechnischen Eigenschaften auf¬

treten (Fig. 2 ). Das Lamellengewicht Gt be¬

rechnet sich dann beispielsweise zu

während für die als gewichtete arithmetische

Mittel berechneten Scherparameter c/ und tg

sowie für den Porenwasserspannungskoeffizien-

ten Bf und für die Ordinate ys. des Lamellen-

schwerpunktes die folgenden Beziehungen gelten

k.«

c, =-r- > (c'P \ 3.

Fig. 2 4. _ 4 -

5.

XI(*\*:v;) *£(o:v:) 6. >r G,

Die Wirkung eines unter einem gegenüber der Horizontalen beliebigen Win¬

kel | auftretenden Erdbebens wird durch Einführung der im Lamellenschwerpunkt

angreifenden Zusatzkraft TJ>G,. berücksichtigt. Der als Beschleunigungs- oder

Erdbebenkoeffizient bezeichnete Faktor 4 hängt von der im Gebiet der zu unter¬

suchenden Böschung registrierten Erdbebenintensität ab und muss von Fall zu

Fall festgelegt werden.

Durch Vernachlässigung der Seitenkräfte ( Srddrücke ) - eine Vereinfachung

die, wie die Erfahrung zeigt, im allgemeinen zulässig ist - wird der dem Stabi- litätsproblern inhärente eine Freiheitsgrad eliminiert. Nsch Einführung der dem

Betrage nach unbekannten Kräfte P{ (Normalkraft ) und T; (Tangential- oder

Scherkraft ) ergibt sich für jede Lamelle das in Fig. 3 aufgezeichnete Kräfte¬ spiel, welches zun Kräftepolygon der Fig. 4 führt. Dieses muss ja aus Gleich- gewichtsgründen für jede Lamelle geschlossen sein, wobei für die Kraft T,- noch die Bedingung der Gleichung 1 zu erfüllen ist.

dG,îin§

Fl£* S Pig, 4 - 5 -

Stellt man die Momentengleichgewichtöbedingung bezüglich dem Gleitkreis¬ mittelpunkt M für die Erdmasse oberhalb der Gleitfläche auf, so erhält man mit den Bezeichnungen der Fig. 3 die Gleichung

7. yTi s 2_J G< *< + ^Gi (*' *ln S + *cas l )

Nun darf aber die Scherkraft T,- höchstens einen gewissen Prozentsatz der Ha-

terialscherfestigkeit erreichen. Setzt man den Grenzwert

S,fc 8. *n =

in Gleichung 7 ein, so erhält man für den Gleitsicherheitsfaktor den Ausdruck

r^Ü5^

2Z G;X; +1?Si(Xit!n^ + i"4!)]

Andererseits ist die Materialscherfestigkeit s; definiert zu

S; - c! 4. t^'. (6-Nj - Ut) 10.

Die in jeder Lamelle gültige Kräftegleichgewichtsbedingung in radialer Rich¬

zum nämlich tung führt Betrag der Nornalkraft P; ,

Pt * G;cosd; - alG;sia(d;-|) 11.

sodass für die Kormalspannung 6^ geschrieben werden kann

^"T'T Gjcosol; -iJ'G;sin(o(l-f) 12.

Die Porenwasserspanrrung u£ wird als vom Porenwasser übernommener Anteil des

Ueberlagerungsdruckes definiert und berechnet sich, wie im Abschnitt 1.2.1.

nälier erläutert wird, aus dem für jedes Material experimentell zu bestimmenden

Porenwasserspannungskoeffizienten. Diese im wesentlichen \-cm Konsolidalions-

zustand abhängige und längs des Gieitkreises wirkende Spannung entspricht dem

Piezometerdruck, welcher je nach Materialeigenschaften einen gegenüber der

freien Oberfläche der Sickerströmung höheren Wasserstand erzeugen kann.

Führt man sf nach Gleichung 10 unter Benützung der Gleichung 12 in die

Gleichung 9 ein, so kann für F geschrieben werden - 6 -

F a —*— — 15.

Werden noch x{ durch R« sino(t und bj durch ß cosoQ ersetzt, so fuhrt die an¬

schliessende Division durch R zur bekannten Formel für den Gleitsicherheits¬

faktor F nach W. Fellenius, nämlich

14. y G; Sinti; + lJGt ^m*i Tir»^ +• |i cojf)

deren numerische Anwendung, wie das Beispiel Nr. 1 (Abschnitt 4 ) zeigt, re¬

lativ einfach ist. Zu der soeben hergeleiteten Methode sind ergänzend noch die

folgenden Bemerkungen anzubringen.

1.2.1. Porenwasserspannungen

Bekanntlich herrscht in jedem Punkt P(x,y) im Inneren einer Böschung ein

Druck, dessen Betrag von den materialtechnischen Eigenschaften und von der

geometrischen Ausdehnung der darüberliegenden Erdmasse abhängt. Dieser Druck

hat das Bestreben, das Porenvolumen zu verkleinern und damit das in den Poren

enthaltene Luft-Wasser-Gemisch zu verdrängen.Da je nach Durchlässigkeit des

Materials das Gemisch nur erschwert ausweichen kann, führt dieser Druck zu¬

nächst zur Auflösung der Luft im Wasser. Ist der Druck gross genug, so wird

nach Abschluss dieses Auflösungsvorganges ein Teil des Ueberlagerungsdruckes vom Porenwasser übernommen ( Porenwasserüberspannung u£ ). Steht oder stand die Böschung noch ganz oder teilweise unter Wasser, so wirkt im Bereich unter¬ halb der Sickerlinie zudem eine dem hydrostatischen Druck entsprechende Auf¬ triebsspannung at. Die Summe dieser einzeln oder gemeinsam wirkenden respektive nicht wirkenden Komponenten wird als Porenwasserspannung u bezeichnet und ist demnach vom Material, vom Belastungszustand und vom Ort abhängig. Diese den

Kora-zu-Kbrn-Druck und damit die Scherfestigkeit reduzierende Spannung liesse sich durch in die Böschung vorgetriebene Piezometer messen, wobei die in der

Fig. 5 dargestellten vier Fälle denkbar sind.

Der Betrag der Porenwasserspannung

lässt sich mit Hilfe des experimentell zu bestimmenden Porenwasserspannungs- -7 -

B*0 sicKcrlmie B*0

Fall Q XL = 0

Fall © u = u*

Fall © u = a Fall © u = a+u*

Fig. 5

koeffizienten B berechnen, für welchen je nach Versuchsanordnung die Defi¬ nition

16, B, -

oder

u*b; Bt 17.

anzutreffen ist.

Da einerseits zwischen den beiden Werten B, und B2 die Beziehung

18.

gilt, und andererseits die Trennung in die einzelnen Druckanteile a,- und u* allgemeinere Gültigkeit besitzt, wird dem noch herzuleitenden Auswertungsver¬ fahren die Definition des Porenwasserspannungskoeffizienten gemäss Gleichung

17 zugrunde gelegt, so dass die Formel von W. Fellenius (Gleichung 14 ) in vollständiger Schreibweise folgendermassen lautet

- y~jc|fi + ^Vi|ß.cosd£ -

1.2.2. Der Begriff der Gleitsicherheit

Gemäss Gleichung 1 wurde das Verhältnis zwischen Katerialscherfestig-

Iceit und wirksame!' Scherspannung als Gleitsicherheit definiert. Nun trägt aber dieser an sich willkürlich gewählte Proportionalitätsfaktor F, dessen

Wert von Fall zu Fall neu festgelegt werden muss, der unterschiedlichen Ge¬ nauigkeit bei der Bestimmung der einzelnen materialtechnischen Eigenschaften - 8 -

nur global Rechnung und kann somit nicht uneingeschränkt als quantitative

Aussage über die Gleitsicherheit gewertet werden. So führen beispielsweise

die durch die fast zufällige Selektion der untersuchten Materialproben be¬

dingte Unwiederholbarkeit der Versuchsgrundlagen sowie die verschieden em¬

pfindliche Messtechnik zu kleineren oder grösseren Streuungen der Ergebnissem.

Aus diesem Grund wäre es sinnreicher jeder Materialeigenschaft ihren eigenen

Sicherheitsfaktor zuzuordnen, der neben der Anzahl durchgeführter Versuche

auch die Streuungsverhältnisse, die mittleren Fehler und die messtechnischen

Unzulänglichkeiten zu berücksichtigen hätte. Diese Forderung ist umso berech¬

tigter, als der Einfluss der einzelnen Eigenschaften auf das Ergebnis der Be¬

rechnung, wie die folgenden Ueberlegungen zeigen, sehr unterschiedlich ist.

Es seien die materialtechnischen Eigenschaften c', tgS" und t sowie B

jeder massgebenden Schicht mit den mittleren Fehlern mc., m.,.-^, mj., und mg

bestimmt worden. Nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz gilt für den relativen

Fehler der Funktion F = TP die m^ f(c', tgf, , 1) Beziehung

20. TT1„ '^^vHw-GKr

Die partiellen Ableitungen von F gemäss Gleichung 19 nach den einzelnen Mate¬

rialeigenschaften betragen

in ÄL_ „ 21. bc» N

' ^sh(*-ri-** -&^fc F E[ftc"* L a 22. dtjl' N

EM cosot; 23. aß N

- -iMfc B& - N- 6F V-1 ts^fViCosdi sin(dj-§) B^j 24.

- I Vf Sinti; + TJ'Vc (sind; »inf + -jL «<*§) Z

Wie man sich leicht überzeugen kann, gilt nun für eine nicht mit der Böschung - 9-

zusammenfallenden Gleitfläche (R ^ oo) die folgende Kette von Ungleichungen

SF èF < <-^< 25. btf èë èc' o+g^'

Demnach kommt, von den mittleren Fehlern abgesehen, der Genauigkeit des Scher¬ winkels f die grösste, jener des Raumgewichtes tf die geringste Bedeutung zu.

Eine Möglichkeit den soeben erläuterten Forderungen möglichst zu entspre¬

chen bestünde darin, die einzelnen Sicherheitsfaktoren wie folgt zu definie¬ ren

- + — — 26. Fa 1 ma + + V Q

Darin bedeuten

Materialeigenschaft

mittlerer Fehler der Einzelmessung von a

grösster positiver scheinbarer Fehler

V. grösster negativer scheinbarer Fehler

a_ allgemeines arithmetisches Mittel sämtlicher Messungen

Anzahl durchgeführter Versuche

Anzahl minimal erforderlicher Versuche

Korrekturfaktor

Die stets positiven Zuschläge zum als absolutes Minimum zu fordernden Vert 1 sind umso kleiner, je grösser die Anzahl durchgeführter Versuche und je klei¬ ner die Streuung resp. der mittlere Fehler ist (Fig. 6 ).

Fig. 6 - 10 -

Die übliche Bestimmung des mittleren i'ehlers und der Streuungszahl an Hand

von Gauss'sehen Wahrscheinlichkeitskurven scheitert daran, dass in der Regel

die Anzahl durchgeführter Versuche zu klein ist, und dass im weiteren eine

eindeutige Häufung der Messresultate um den Mittelwert in -den seltensten Fäl¬

len klar zu erkennen ist (sog. Mischkurven mit mehreren Gipfeln ). Darum wird

in der Definition der Gleichung 26 der mittlere Fehler der Einzelmessung,

nämlich T.h-4 m. 27. na-i

und als "Streuungszahl" die zum Mittelwert proportionale totale Abweichung

(Differenz zwischen grösstem und kleinstem scheinbaren Fehler) verwendet.

Durch die Einführung des für die Materialeigenschaft charakteristischen

Wertes Va wird dafür gesorgt, dass bei zu geringer Anzahl Versuche der Sicher¬ heitsfaktor einen angemessenen Wert annimmt. Diese Zahl sowie die Anzahl na minimal erforderlicher Versuche müssen, wie bisher etwa der globale Sicher¬ heitsfaktor F nach Gleichung 1, durch die mit der Kontrolle der Berechnung

beauftragten Instanz von Fall zu Fall festgelegt werden. Durch der Bedeutung

der zu untersuchenden Böschung entsprechende Wahl der Werte Vg und insbesondere der imzahl na wird der Projektverfasser sozusagen automatisch dazu angehalten, die materialtechnischen Eigenschaften durch eine grosse Anzahl Versuche mög¬

lichst genau zu untersuchen. Wie der Fig. 6 und dem angewandten Beispiel Nr. 2

(Abschnitt 4 ) zu entnehmen ist, würde die Missachtung dieser Forderung zu sehr unwirtschaftlichen Dimensionierungen führen.

Eine solche in die einzelnen Sicherheitsfaktoren Aufteilung Fci , F+- ^i , Fg und F^ wirkt sich nun folgendermassen auf die Stabilitätsberechnung aus.

Nach der klassischen Definition (Gleichung 1 ) wird die gemessene Material¬ scherfestigkeit S£M (mittlere Enveloppe sämtlicher Mohr'sehen Spannungskreise) um den konstanten Faktor F reduziert und als höchst zulässige Scherspannung in die Berechnung eingeführt (Fig. 7 ). Es wird also

Si=4^(e„,-U.)

Gemäss dem soeben erläuterten Vorschlag dagegen, werden sämtliche material¬ technischen Eigenschaften um den ihnen entsprechenden Sicherheitsfaktor Fa reduziert. Es wird dann -11 -

Die so entstehende in Fig. 8 dargestellte Kurve definiert wiederum die höchst

zulässige wirksame Scherspannung.

Fig. 7 Fig. 8

Das Verhältnis zwischen gemessener und reduzierter Materialscherfestigkeit

ist allerdings nicht mehr konstant und kann daher in Gleichung 9 nicht mehr

ausgeklammert werden. Der bisher als F definierte Quotient der Gleichung 19

muss also gleich 1 gesetzt werden, so dass man

30. 2_\ Gi Sin^ + 1? G; /sind;Sin§ + •^•cosf)!

erhält. Ist der untersuchte Böschungsabschnitt richtig dimensioniert und damit

die Gleichung 30 erfüllt, so kann die Gleitsicherheit, für die man sich ja

schliesslich interessiert, durch Vergleich der gemessenen und der reduzierten

Materialscherfestigkeit, d. h. als allgemeines arithmetisches Mittel wie folgt berechnet werden

31.

Die numerische Anwendung dieses Vorschlages (Beispiel Nr. 2, Abschnitt 4 )

dass zeigt, bei vernünftiger Wahl der Grössen \£ und na sowie für eine zumut¬ bare Anzahl Versuche die erhaltene Gleitsicherheit nach Gleichung 31 nicht we¬ sentlich von dem heute für den untersuchten Belastungsfall gültigen erforder¬ lichen Sicherheitsfaktor abweicht. Aendert also die zugegebenermassen etwas umständlichere Definition der Gleitsicherheit bei normalen Verhältnissen nur wenig an der bisherigen Situation, so würde, wie Fig. 9 zeigt, eine zu geringe

Anzahl Versuche zu wesentlich flacheren Böschungen führen, während eingehendere - 12 -

materialtechnische Untersuchungen wirtschaftlichere Dimensionierungen zulassen

würden.

Klassische Gleitsicherheits¬ definition B= const > B*«,

Pig. 9

Die Tatsache, dass neben der Anzahl durchgeführter Versuche auch die Streuung, der mittlere Fehler sowie der unterschiedliche Einfluss der einzelnen Mate¬ rialeigenschaften auf das Ergebnis der Berechnung besser, ja überhaupt berück¬ sichtigt werden, dürfte den vermehrten Rechenaufwand bei der Anwendung der vor¬ geschlagenen Gleitsicherheitsdefinition selbst in relativ einfachen Fällen durchaus rechtfertigen.

1.3. Klassische Auswertungsverfahren

Ein Gleitkreis kann entweder durch das Punktepaar A,B und den Radius R oder durch das Punktepaar A,M definiert werden. Da die Lage des massgebenden

Gleitkreises nicht a priori bekannt ist, führt erst eine dreifache Iteration

(Variation von R, B und A ) beziehungsweise eine zweifache Iteration ( Varia¬

tion von M und A ) entsprechend dem Schema der Fig. 10 zu den gesuchten Wer¬

ten R*, B* und A*'resp. M* und A* und damit zur minimalen Gleitsicherheit der untersuchten Böschung. Dabei sind die folgenden zwei Verfahren üblich.

©H »A -®" FA* Mi'nimutn ? -® Kg) z^

IB *M -0- *,*" Minimum - -0-1

_ f ^Q

von F a Minimum IR Berechnung F^ B R ? ZZ3

Fig. 10 - 13 -

1.3.1. Variation von R, B und A

Auf der zu untersuchenden Böschung werden zwei zunächst beliebige Punkte

A und B gewählt ^Fig. 11 ). Für dieses Punktep&ar wird nun der Radius R vari-

Fig. 11

iert und die entsprechenden Gleitsicherheiten FABR nach GJexchung 19 berechnet.

Trägt man diese Sicherheitsfaktoren in Funktion von R e.uf, so erhält man die

Kurve der Fig. 12. Diese Kurven besitzen stets eine horizontale Asymptote,

Fig. 12 Fig. 13

deren Wert F^, der Gleitsicherheit der Verbindungsgeraden AB entspricht, und weisen im allgemeinen ein ausgesprochenes Minimum auf das mit FkB bezeichnet wird. Nun wird in einem zweiten Schritt die Lage des oberen Böschungspunktes variiert und für diese wiederum die zugehörigen Werte FA5 bestimmt. Trägt man letztere in Funktion der Ordinate xB auf, so erhält man etwa die Kurve der

aus welcher der Wert d.h. die für den Punkt A vorhandene Gleit¬ Fig. 13, FA , sicherheit entnommen werden kann. Durch Variation der Lage von A und Wiederho¬ lung der Iterationen für B und R, kann schliesslich der Wert Fmin als minimale - 14 -

Gleitsicherheit der Böschung ermittelt werden.

Wie leicht einzusehen ist, erfordert dieses Verfahren die Wahl mindestens

dreier Punkte A und für jeden Diskontinuitätsabschnitt je dreier Punkte B für welche mindestens drei Radien R zur eindeutigen Bestimmung der geringsten

Gleitsicherheiten nötig sind. Es müssen also bei adequater Festlegung der Va¬ riationsbereiche beispielsweise für die Böschung der Fig. 13 mindestens 5-7«3

d.h. 105 Gleitkreise berechnet werden. Da dieses Verfahren den infolge Inhomo¬

genität und geometrischer Form der Böschung entstehenden Uhstetigkeiten im Ver¬

lauf der Kuryen der Fig. 12 und 13 nur ungenügend gerecht wird, wurde das fol¬ gende, ebenfalls graphische Verfahren entwickelt.

1.3.2. Verfahren mittels Isoasphalien

Ordnet man jedem im Koordinatensystem x-y aufgezeichneten Gleitkreismit- telpunkt MCx^y*, ) den Sicherheitsfaktor des von ihm definierten Gleitkreises

zu, so können, analog zur Auswertung von Messtischaufnahmen, die Linien glei¬ cher Sicherheit - in der Folge Isoasphalien genannt - bestimmt werden (Fig. 14).

Definitionsgemäss weisen also alle Gleitkreise deren Mittelpunkte auf einer

1

— f\' con&t (isoasphalie )

M* - ^H

Av

* X XM

Fig. 14 - 15 -

Isoasphalie liegen dieselbe Gleitsicherheit auf. Der Kittelpunkt M*(x*,y£ )

des massgebenden Gleitkreises kann somit als "Zentrum" des Kurvenbildes er¬

mittelt werden. Die Erfahrung zeigt, dass die ellipsenförmigen Isoasphalien

sehr langgezogen sind, wobei die Richtung der "grossen Axe" nahezu mit der

Böschungsnormalen zusammenfällt. Man wird demnach die zu berechnenden Gleit¬

kreise so wählen, dass deren Mittelpunkte auf den Knotenpunkten eines Maschen¬

netzes mit den Richtungen

schenweite so anzuordnen, dass au etwa fünf Mai grösser ist als A/t. Mit diesem

Verfahren kann mit einer relativ geringen Anzahl Gleitkreisen (im Minimum

etwa 9 ) die Lage des massgebenden Mittelpunktes rasch abgeschätzt werden.

Andererseits ist es aber möglich, durch immer engere Maschen um den Punkt M*

eine praktisch beliebige Genauigkeit zu erreichen. Ein weiterer Vorteil der

Methode besteht darin, dass die von der Geometrie und den erdbaumechanischen

Eigenschaften herrührenden ünstetigkeiten erfasst und entsprechend berücksich¬

tigt werden können. Zeichnet man nun die Isoasphalien für verschiedene Bö¬

schungspunkte A auf, so ist das Problem gelöst. Die Bestimmung der minimalen

Gleitsicherheit für die Böschung der Fig. 11 würde beispielsweise 5*9 = 45

Gleitkreise d.h. etwa halb so viele als nach dem vorher erläuterten Verfahren

benötigen. Es ist klar, dass bei grösserer verlangter Genauigkeit die genannten

Ziffern wesentlich überschritten werden, sodass die eingangs aufgestellte Be¬ hauptung, wonach die Zuverlässigkeit einer Stabilitätsberechnung letztlich von

der Anzahl untersuchter Gleitkreise abhängig sei, hinreichend bewiesen ist«

Im folgenden wird nun ein Verfahren vorgeschlagen und hergeleitet, welches

zumindest für eine relativ grosse Anzahl von Fällen, die massgebende Gleit¬

fläche und damit die minimale Gleitsicherheit auf analytischem Weg zu berech¬

nen gestattet. - 16 -

2. DAS VORGESCHLAGENE AUSWERTUNGSVERFAHREN

2,1, Definitionen, Voraussetzungen und Annahmen

Eine Böschung wird dann als homogen definiert, wenn die Masse innerhalb

des um AB geschlagenen unteren Halbkreises aus nur einem Material besteht

(Fig. 15). Wird dagegen die Halbkreisfläche in Zonen verschiedener Material¬

eigenschaften unterteilt, so wird die Böschung als inhomogen bezeichnet

\,Fig. 16). In beiden Fällen können dabei die geometrische Form der Böschungs-

Fig. 15 Fig. 16

Oberfläche sowie der innere Aufbau oberhalb der Sehne AB beliebig sein. Es wird vorausgesetzt, dass die Böschungsoberfläche und die einzelnen Materialabgrenz¬ ungen sich durch je einen zusammenhängenden offenen Streckenzug definieren lassen. Einzelne in sich abgeschlossene Zonen ( Linsen) müssen durch ent¬ sprechende Anordnung der Jtreckenzüge erfasst werden.

Die Strecken n werden durch die Geradengleichungen

y=*nX+Xn 52.

sowie durch die Gültigkeitsgrenzen xn und xntl bezüglich eines Koordinaten¬ systems x-y charakterisiert. Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass die gesamte Böschung, deren Wasserseite links vorausgesetzt wird, im positiven ersten Quadranten liegt.

Steht die zu untersuchende Böschung teilweise unter Wasser, so wird die

Wasserlinie als Materialbegrenzung aufgefasst. Sie muss deshalb ebenfalls durch einen zusammenhängenden Streckenzug gegeben sein. Das Material oberhalb dieser Wasserlinie wird als natürlich feucht ( tt ), das Material unterhalb - 17 - dieser Linie als vollkommen gesättigt ( ft ) betrachtet.

Im übrigen gelten die im Abschnitt 1.2. getroffenen Annahmen, während wei¬

tere Definitionen und Voraussetzungen im Zusammenhang mit der Herleitung der

Methode in den entsprechenden Abschnitten formuliert werden. Sämtliche verwen¬ dete Symbole sind, mit Angaben über deren Bedeutung und Dimension, im Symbol¬ register ( Anhang S ) aufgeführt.

2.2. Prinzip des Verfahrens

Der Betrag der als Gleitsicherheitsfaktor definierten Grösse F hängt, wie

im Abschnitt 1 gezeigt wurde, im wesentlichen von der gewählten Gleitfläche ab.

Ein solcher Gleitkreis kann, für einen festen unteren Böschungspunkt A entweder durch die Mittelpunktskoordinaten xM und yM oder aber durch den oberen Punkt B und den Radius R gegeben werden. Die Gleitsicherheit FA der oberhalb des

Punktes A liegenden Böschung kann demnach als Funktion FA = f(xM,yM) oder als

Funktion FA = f(xB,R) dargestellt werden, wobei die zweite Form nach entsprech¬ ender Substitution stets auf die erste zurückgeführt werden kann. Diese Funk¬

tion, welche eine räumliche Fläche und im übrigen für FA = cor.st die Gleichung der Isoasphalien darstellt, besitzt wie schon gezeigt wurde stets einen oder mehrere Talpunkte, deren Lagen durch die Null gesetzten partiellen Ableitungen

und

= 0 34. *)!„

sowie mit Hilfe der Ungleichung

- > « 35- * (t^h^t) berechnet werden könnten. Diese naheliegende Art der MinimumbestimiBung erweist sich aber aus folgenden Gründen als nicht zweckmässig.

Die Formulierung als Extremalproblem setzt voraus, dass sämtliche Grössen des Quotienten nach Gleichung 19 als Funktionen von xM und yH dargestellt wer¬ den. Diese Funktionen sind aber infolge der nicht differenzierbaren Böschungs- oberfläche und der Unstetigkeiten des inneren Aufbaues selbst nicht differenzier¬ bar. Im weiteren sind die zwei Bestimmungsgleichungen 33 und 34 für die den massgebenden Gleitkreis charakterisierenden Grössen x* und y* nicht linear - 18 - und somit nur approximativ lösbar, sodass selbst eine Aufteilung in einzelne differenzierbare Bereiche nicht mit einem vernünftigen Rechenaufwand zum Ziel führen würde.

Es ist deshalb unumgänglich, den Quotienten der Gleichung 19 durch Fi¬ xierung des unteren und des oberen Böschungspunktes als Funktion eines ein¬ zigen Gleitkreisparämeter3 darzustellen. Entsprechende Untersuchungen haben ergeben, dass es zweckmässiger ist statt den Radius F den Abstand p des Gleit¬ kreismittelpunktes von der Sehne AB als Gleitkreisparameter in die Berechnung einzuführen. Somit müssen sämtliche vom Gleitkreis abhängige Grössen des Quo¬ tienten der Gleichung 19 als Funktionen von p dargestellt werden. Die Gleit¬ sicherheit FAB des Böschungsabschnittes AB kann demnach geschrieben werden zu

Die Null gesetzte erste Ableitung von F^B nach p führt kuj' Bestiimaungsgleichung

aus welcher der Wert p* des massgebenden Gleitkrei3es und damit die minimale

Gleitsicherheit F^a bestimmt werden kann. Das nunmehr stark vereinfachte Extre- malproblem kann d8bei nach folgendem schematischen Berechnungsablauf gelöst werden. i.Sjchjrrtt. Verschiebung des beliebig gewählten Koordinatensystems durch den unteren Böschungspunkt A und neue Definition der gegebenen geometrischen Grös¬ sen durch eine entsprechende Koordinatentransformation. Die^e zur Lösung des

Problems zwar nicht unerlässliche Massnahme wird getroffen, weil sie die Her¬ leitungen erheblich vereinfacht. Andere Koordinatentransformationen, etwa be¬ züglich des Gleitkreismittelpunktes, erweisen sich als wenig nützlich.

£.»Schritt_, Zerlegung der zu untersuchenden Böschung in einzelne, den Material¬ zonen entsprechenden Scheiben. Eine solche Aufteilung ist voraussetzungsgemäss geometrisch ohne weiteres möglich und entspricht erdb?,umecho.nisch einer Zerle¬ gung des Zählers Z(p) und des Nenners N(?) der Gleichung 39 in Teilsummen; bei¬ spielsweise

= . + + jbi N(P) V~ S~ GkjSin<*; «if G„.(sind; *in| co^) 38.

*• K L .

Dabei muss grundsätzlich zwischen homogenen und inhomogenen Böschungen unter¬ schieden werden. Im ersten Fall ( Fig. 17 ) lassen sich die nach der Zerlegung 19

Homogene Böschung

S,

Fis. 17

entstehenden Scheiben 3K stets durch den Bogen AB und einen zusammenhängen-

der Im din Streckenzug von A bis B beschreiben ( -Definition Homogene;tat ).

sowie inhomogenen Fall ( Fig0 18 ) sind die Scheiben SK durch den Bogen QKPK

Inhomoqene Böschung

S. S,.

+ ~~h

Fig. 18

durch den zusammenhängenden Streckenzug von QK bis PK charakterisiert, wo¬ bei allerdings dieae Anfangspunkte im Gegensatz zur homogenen Böschung vom

Gleitkreis, also von der gesuchten Grösse p abhängig sind.

Es ergibt sich daraus die Notwendigkeit entweder durch einschränkende

Bedingungen aer Inhomogeneitët oder durch Wahl eines geeigneten ersten Nä¬

Werte und herungswertes p0 die Scheiben durch schrittweise konstante xaji xp

abzugrenzen. Da die erste Möglichkeit in praktischer Sicht als relativ ein¬

schneidend su werten ist, wird bei inhomogenen Böschungen der Lösung des

Problems auf iterativem Weg den Vorzug gegeben; eine Massnahme die im Ab¬

schnitt 2.4 noch eingehender erläutert und begründet wird» 20 -

l.Sjchxitt. Unterteilung der Scheiben SK in die Intervalle xn « x < x„^,

und 20 ( Fig. 19 ). M

^nK "nK*'1

Fig. 19

Fig. 20

4_.S_chritJt, "Uêbergang von Summen zu Integralen durch Wahl vertikaler Lamellen

infinitesimaler Breite dx. In den einzelnen Bereichen nK wird beispielsweise

die Teilsumme ^GfSintli der k-ten Scheibe zu i

sin di —- 39. / . G^ ïKJhHsinadx

Da die Integrationsgrenzen x„k und x^, und wegen der Aufteilung in die Schei¬

ben S* und Bereiche nK auch die Katerialeigenschaften Konstanten sind, brau¬

chen nur noch die Integranden, d.h. die geometrischen Grössen als Funktionen von p dargestellt zu werden. Dabei sind für den Zähler Z(p) und für den Nenner

N(p) der Gloichun* 19 insgesamt vier Integraltypen zu unterscheiden, nämlich

= 40. ü0 (p) I h sind dx. - 21 -

-nu

41.

42. 3i Cp)-/hcostfdx und ^^-\lèï6* 43..

^.Sjîhritjt, Aufsummierung der Integrale von A bis B reap, von QK bis PK . Es wird also beispielsweise

* J Sintidx = YK 44. / GK.SintiLf \/> hK / , Ho. (p)

*n«

^.Schritjt. Aufsummierung über sämtliche Scheiben SK. Aus der Definition der

Höhen hx ( Fig. 21 ) folgt, dass beispielsweise als Raumgewicht für die Schei-

Fig. 21

be Su nicht etwa der ihr zugehörende Wert yK einzuführen ist sondern ein von der vorhergehenden ( übergeordneten ) Scheibe übrig gebliebener Restbetrag,

At= 2fK - YK-» 45.

der insbesondere auch negativ sein kann und in der Folge als résiduelles Raum¬ gewicht definiert wird. Die als Beispiel gewählte Teilsumme lässt sich somit als Summe von Teilsummen ausdrücken, nämlich

46.

i - 22 -

Nach erfolgter Aufsummierung über sämtliche Scheiben SK kann somit beispiels¬

weise der Nenner N(p) folgendermassen angeschrieben werden

47.

7_._Schri_tt_j_ Zusammenfassung der Summen und Darstellung des Zählers z(p) und

des Nenners N(p) der Gleichung 19 als explizite Funktionen der einzigen Unbe¬ kannten p. Man erhält, die teilweise umständliche Herleitung vorläufig über¬ springend, die beiden Funktionen

48. :Cp>- Z.P** Z-,p*Z.*^|£ ±] * (z.^p -2tp^Z5p')arct9(^)

und

N. + N(P)- N,p 49>

Im Fall einer homogenen Böschung sind also voraussetzungsgemäss die Koeffi¬ zienten Zj, sowie N0 und N, von p unabhängig und enthalten die zur geometri¬ schen und erdbaumechanischen Definition der Böschung und des Belastungszu- standes notwendigen Daten. Bemerkenswert ist, dass dabei der Nenner N(p) un¬ geachtet der Böschungsform, der materialtechnis hen Eigenschaften und des

Belastungszustandes linear von p abhängt. Ein weiteres Merkmal homogener

Böschungen ist die Tatsache, dass der Zähler und damit natürlich auch die Funktion FA6(p) je eine Asymtote aufweisen. Wird nämlich die Funktion arctg(^e) ebenfalls in eine Reihe von p entwickelt, so verschwindet für p>^ ^as qua¬ dratische Glied (Z_a+ jrZ3)~. Bei inhomogenen Böschungen dagegen, enthalten die Koeffizienten Zp, N0 und Nt

einen so dass in diesem Falle die Iteration vom implizite Fäherungswert üj ,

4. Schritt an bis zur Erreichung der verlangten Genauigkeit wiederholt werden muss.

8_._Siçhri_tt_i_ Bestimmung des den massgebenden Gleitkreis charakterisierenden Wer¬ tes p* durch Null gesetzte erste Ableitung von FAB nach p. Es wird

Die Bestimmung der, wenigstens für homogene Böschungen, einzigen reellen Wur¬ zel p* ( Fig. 22 ) der Potenzreihe nach Gleichung 50 kann sehr bequem nach dem quadratisch konvergenten Verfahren von Newton erfolgen. - 23 -

Schematischer Kurvenverlauf

bei homogenen- Böschungen

Fig. 22

Da cogenannte überhängende Gleitkreise erdbaumechanisch nicht denkbar sind, andererseits aber durch die Wahl eines zu grossen ersten Näherungswertes pS die Konvergenz der Wurzelbestimcung wegen der nach p* auftretenden Wende-

sich den steile von FA>B{p) ( Fig. 22 ) in Frage gestellt ist, empfiehlt es

eine vertikale Tan¬ Wert p* su wählen, für den der Gleitkreis bei B gerade gente aufweist ( Fig. 23 ).

Fig. 23

Mit '3em ersten Näherungswert

51.

lässt sich dann jede weitere Verbesserung dieses Wertes berechnen zu

Setzt man den so erhaltenen Wert p* in die Gleichungen 48 und 49 ein, so kann

für die gesuchte minimale Gleitsicherheit F^ schliesslich geschrieben werden

AB 53. N0*N,p

womit das Problem gelöst ist.

Sehr oft ist e3 bei Berücksichtigung von Erdbebenwirkungen notwendig den

ungünstigsten Richtungswinkel § der Erdbebenwelle zu schätzen oder ihn analog

zur Bestimmung von R* nach Abschnitt 1,3,1 graphisch zu ermitteln. Ohne weiter

auf die Detailherleitung einzugehen,sei hier erwähnt, dass mit Hilfe der Glei¬ chung 53 der für jeden Gleitkreis verschiedene ungünstigste Richtungswinkel |*

relativ einfach berechnet werden kann. Da z(p) und N(p) Punktionen von sinf

und cos£ sind, wird die Null gesetzte erste Ableitung von FAB nach | vom Typ

+ X, coi| *iiin\ * X» sinf <« | *X4 ««£ * Xs Sin f * X( = 0 » f(p,|) 54.

sein. Es zeigt sich, dass dabei X3= X^= 0 und X= "X-x ist, sodass man die Be-

s timmungsgleichung

X, + X4 Cos.^ + Xs.SinÇ =0 55.

erhält, aus der der massgebende Wert |* explizite zu

-*5*. iX^Xl*^- %» arcsw 56. x\ **

berechnet werden kann. Gestützt auf die bei verschiedenen Dammberechnungen ge¬ machten Erfahrungen besteht zwischen £ und PABR die in Fig, 24 aufgezeichnete

Abhängigkeit, Dabei entspricht der Wert § jeweils ungefähr dem halben vpn der

Sehne AB und der Horizontalen eingeschlossenen Winkel,

I* *

Fig. 24 - 25 -

2.3. Herleitung des Verfahrens für homogene Böschungen

Entsprechend den in den vorangegangenen Abschnitten formulierten Defini¬ tionen und Voraussetzungen können mit den Bezeichnungen der Fig. 25 der

x'

Fig. 25

Nenner H(p) und der Zähler Z(p) der Gleichung 19 im Falle einer homogenen

Böschung wie folgt angeschrieben werden

57.

B • *£"M

58.

X"k *«K X«* B *W+I - 26 -

Dank der Aufteilung in Scheiben konstanter Materialeigenschaften sind nur

noch die treometrischen Grössen der Inteeranden von p abhängig. En gelten

dabei die B-Ziehungen

y«=-T-T-P 59.

*-^ + "?p 60-

' R "Vp1*? 61*

V^-Ot-x«)1 COStt- 63. R

L - ZRarchjgL) 64.

' hw =XwK^>,->^ R*- (X- *h? 65.

hnk- *n„X +*„„- > + "\JR%- (x-x„)V 66.

" + - - 1 67. X i[^ ^R'-Cx-Xm)* «^X Xn

2.3.1. Darstellung des Nenners N als Funktion von p

Als einzige von p abhängige Grössen des Nenners N(p) nach Gleichung 57 sind vorerst die Integrale J0 und J, zu lösen.

Das Integral

- fhsintfdx - /T«X«-X - 1 68. D. -£- ^N ^R'- («-**)*' (x-X„]dx

kann in die beiden Teilintegrale

^ "JI**1" (**N "^ + Vh)x - (k-yM)xMjcix 69.

und

* T3os [(x-xN)^Rl-(x-x„)1' dx 70. zerlegt werden. Für das Integral J^ erhalt man sofort - 27 -

3°i= Î*V £ (^ + AX) -1«^+ £x* + *M*tX + C 71.

wobei définit:onsgomäsn

V= xx + x 72.

bedeutet. Das Integral J^ kann durch eine Reihe von partiellen Integrationen berechnet werden ( Herleitung im Anhang 1 ) und beträgt

2o,« -i[RMx-XMïf+ C 75.

Somit kann für das Integral J0 geschrieben werden

+ C 74i

Durch direkte Integration und nach kurzer Zwischenrechnung.erhält man für das

Integral J, die Lösung

^-^-|) + ^(W)**^-K^*^)*C 75.

Setzt man die und so die bestimmten Integrationsgrenzen xn< xn +, ein, können

und der k-ten Scheibe nach %K J(lL erfolgter Aufsuranierung

über sämtliche Intervalle nK berechnet werden zu

B B 76. Z_,3ox* K

und

ZX - " 77.

Werden noch di«? MittelpurJctskoordinaten ^M und yH nach Gleichungen 59 *md 60

in d:e Gleichungen 76 und 77 ein^führt, sc erhält man für fan Nenner N(p)

nach längerer Ifcformung und Aufsunanierung über sämtliche Scheiben SK schlieas- 28 -

lich^Lie Funktion

NcP>-(N0 + N,p)-£- 78.

Der Radius R braucht dabei nioht alo Funktion von p dargestellt y,u werden,

v/eil er wie später gezeigt wird dnrch Erweiterung des Quotienten nach Glei¬

chung 36 eliminiert werden kann.

Die Koeffizienten N, und N, enthalten nur noch die sur Definition der

Böschung und des*. Belaatungszustandes notwendiger, \mä somit bekannten geome¬

trischen und erdbaumechanischen Daten. Sie betragen

B B r r

o N.-^* - 79. B A «ß cos | r

~ 6"] Z_,[ ^« (*«V 'S«**' " X"h>h) *" ^«\, (X%*« "Xt>J)J

und

N, 80.

L k

Damit ist aber der im Übrigen für die hier nicht speziell! hergeleitete For¬

mel von A. W. Bishop gleichlautende Nenner der Gle:chur.g 19 h\h lineare

Funktion von p dargestellt ( Fig. 26 ). Dank cLeser bisher ur,bekannten und

für homogene Böschungen im Sinn der Definition im Absohr.Ltl 2.1 gültigen Tat¬

sache kann die spätere Bestimmung von FAB und p* ( taa^sgebenier U^eit.crets }

wesentlich vereinfacht werden.

N i

A/Cp) = N0 + N, p

~7

Fig. 26 - 29 -

2.5.2. Darstellung .des Zählers Z, eis Funktion von p

In der Zählerfunktion Z(p) nach Gleichung 58 sind das Kohasionsgiied, die

Integrale Jz und J3 sowie das schon im Abschnitt 2.3.1. gelöste Integral J„

( Gleichung 74 ) von p abhängig.

Für das Kohasionsgiied erhält man sofort

-i- c'L - 81. R 2CRlarc*S(i)

Das Integral

-i- 3,* [hcosddx » [ *X+X-y(t+'\/R,-(x-xM)'v' VrT-Cx"M7 82. kann in die beiden Teilintegrale

83.

und

dx 04.

zerlegt werden. Die Lösung des ersten Teilintegrals ist besonders einfach und lautet

3,«j(^^ xHxl-£x5) + C 85. wahrend die Lösung des zweiten Tsiiintegrals eine relativ umständliche, in

Anhang 2 hergeleitete Berechnung erfordert. Diese führt zur unendlichen Reihe

86.

sodass für das Integral Jz geschrieben werden kann

X - X* + + * + ^HX* ^ B_, p* B., p B. C 87. -^-[^ /*V

Analog dazu lasst sich das Integral

J^d*W dx 88. in die zwei Teilintegrale - 30 -

89.

und

90.

zerlegen. Die Lösung des ersten Teilintegrals ist elementar, während diejenige des zweiten Teilintegrals gemäss der Herleitung im Anhang 3 wiederum zu einer unendlichen Reihe führt» nämlich

91.

Das Integral J3 kann rtexnach geschrieben werden zu

92.

Nach erfolgter Einsetzung der Integrationsgrenzen xni< und x^*, und anschlies¬ sender AufsAincierung über sämtliche Intervalle nK erhält man für die bestimm¬

' * "**' ten Integrale JJ und J» der k-ten Scheibe die unendlichen Reihen

B 8

" «» 93. E* T " . II»! und

94.

Führt man die Mittelpunktskoordinaten xN und yM nach Gleichungen 59 und 60 in die Gleichungen 93 und 94 ein, no erhält man nach Aufsummierung Über sämtliche

Scheiben SK gemäss der Herleitung im Anhang 4 für die Zählerfunktion Z(p) die. in der Fig. 27 graphisch dargestellte unendliche Reihe

• + 95. z

T' Z-2pr*Z.,p* 2Î V^ +[Z- 2,p-ZlPz +ZaP,]arc^)

und zu denen der Die Koeffizienten , Z, enthalten, analog Z_, , Z.„ Z^, Z„, Z, Z3

Hennerfunkiion, nur noch die zur Definition der Böschung und des Belastungs- sustandes notwendigen geometrischen und erdbaumechanischen Daten und lassen sich wie folgt berechnen. ^)\&p>

.IMtfq

Fig. r,

Z.-(iî[w'4.v.V0fw*BÇft»)]

97.

Z* = 2C* «-^'(Sw + B^Av) 9ß.

99.

100.

*.- (4)V 101.

• - z. (OV . 102.

*.- 103, - 32 -

Somit ist auch der Zähler z(p) der Gleichung 19 als Punktion der gesuchten

Grösse p dargestellt. Allerdings ist es mit Hilfe der bekannten Konvergenz¬

kriterien nicht gelungen über das Konvergenzverhalten der unendlichen Reihe

nach Gleichung 95 restlose Klarheit zu schaffen. Tatsächlich ist ja eine all¬

fällige Divergenz dieser Funktion, als Folge der Umgruppierung der absolut

konvergenten Reihen der Anhänge 2 und 3, zumindest theoretisch denkbar. Nun

lässt aber der an einigen Beispielen ( Abschnitt 4 ) erbrachte numerische

Nachweis die Vermutung zu, dass in Fällen von praktischer Bedeutung ( vernünf¬

tiger innerer Böschungsaufbau, üblicher Variationsbereich der materialtechni¬

scher Eigenschaften ) die für Z(p) erhaltene unendliche Reihe und damit natür¬

lich auch der Quotient FAe(p) konvergiert.

2.3.3. Massgebender Gleitkreis und minimale Gleitsicherheit

Nachdem der Nenner und der Zähler der Gleichung 19 als Funktionen von p

dargestellt worden sind ( Gleichungen 78 und 95) kann die Gleitsicherheit

eines beliebigen Gleitkreises wie folgt berechnet werden

^ * » Z.z p* Z-, p (Z0+ Z4 p *Z»P% Z,fP)arc^ jfc- *zT Z^ P/1 ,*'» ICH. *«p No + Nip

Das Minimum FAB der Funktion FAk - f(p) ( minimale Gleitsicherheit des Bö¬

schungsabschnittes AB ) ist bekanntlich durch eine horizontale Tangente ge¬

kennzeichnet. Somit führt die Null gesetzte erste Ableitung dieser Funktion

nach p zur Bestimmungsgleichung für die den massgebenden Gleitkreis des Bö¬

p* schungsabschnittes AB charakterisierenden Grösse , nämlich m>

j>~£ _ i CN,+ N,pj 'J' J_ Vdv - + * (2o + 2, p Z*p* Zs p'Jij) P%(dY* r 105. ip

- N, [Z.e p* + Z-. p + (2. + 2,p+ Zi p1**,^)**^) +Xfer p>)

Nach kurzer Umformung erhält man die Gleichung

(N^N.p)(zi*ZiP)[2parct3(Ä)-4] R^N.^-H^arc^) §

welche im allgemeinen nur eine reelle Nullstelle aufweist. Diese kann sehr be¬

quem nach dem quadratisch konvergenten Verfahren von Newton berechnet werden, - 33 -

wobei die Anzahl ji* zu berücksichtigender Glieder der Gleichung 106 von der ver¬

langten Genauigkeit abhängt xind demnach von Fall zu Fall bestimmt werden muss.

Die nunmehr endliche Reihe für $(p) lautet

(N0vN,p)(z2+Z5p)[2pard9(4)-4] + R*(NoZ,-N,Z2)arc^L) + §(P) = 0= ) 107.

während man für die zur WürzeIbestimmung benötigten Ableitung der Funktion

$(p) nach p analog dsn Ausdruck

* b§M 2(M^N,P)f(Zl+323p)arc^(4:)- 4-&[p(£**2»p) R*f»] l J >- 108. ^"""èp j ^a»

erhält. Ausgehend vom ersten Näherungswert

d 3b Po " 109.

kann nun die gesuchte Nullstelle p* durch sukzessive Approximation berechnet

werden. Für die Verbesserung des jeweiligen Näherungswertes gilt dabei die

Beziehung

110. vw

Besteht aus geometrischen oder erdbaumechanischen Gründen ( beispielsweise

infolge einer tingünatig verlaufenden Sickerlinie ) Anlass zur Annahme, dass

die Gleichung 105 mehrere Nullstellen aufweist, so müssen die entsprechenden

relativen Minima der Funktion FA6p durch Berechnung nach Gleichung 104 für

verschiedene Wert* von p näher untersucht werden. Die Stelle des absoluten

Minimums ist sodann als erster Näherungswert in die Gleichung 110 einzuführen.

Ein solches Vergehen wäre ja in diesem Fall auch nach der klassischen Methode

des Abschnittes 1.3.1 unerlässlich. Da aber die Berechnung von F^p nach Glei¬

chung 104 wesentlich rascher zum Ziele führt als diejenige nach Gleichung 19

erweist sich das vorgeschlagene Auswertungsverfahren gegenüber den bisher

üblichen Methoden selbst in solch seltenen Fällen als zweckmässiger.

Setzt man den so berechneten Wert p* in die Gleichung 104 ein, so erhält

man schliesslich die gesuchte minimale Gleitsicherheit ?M. Somit ist es ge¬

lungen für homogene Böschungen in Sinne der Definition des Abschnittes 2.1 den massgebenden Gleitkreis und die minimale Gleitsicherheit direkt zu berechnen. - 34 -

2.4. Herleitung des Verfahrens für inhomogene Böschungen

Entsprechend den in den Abschnitten 2.1. und 2.2 formulierten Definitionen und Voraussetzungen können in Fall einer inhomogenen Böschung einzelne Scheiben sowie die freie Oberfläche der Sickerströmung vom Gleitkreis geschnitten werden

( Fig. 28 ). Da nun einerseits über den Verlauf der die Scheiben SK definieren-

Fig. 28

den Streckenzüge keinerlei einschränkende Bedingungen gestellt worden sind und andererseits der Gleitkreisparameter p als gesuchte Grösse unbekannt ist,

die und nicht berechnet werden. Diese können Schnittpunkte QK. , W, W2 allgemein

Schnittpunkte werden aber als Summationsgrenzen in den weiteren Berechnungen verwendet, sodass sie entweder gegeben ( beispielsweise die Punkte A und B )

für oder aber als Funktionen von p definiert sein müssen. Bekanntlich gelten die Koordinaten und die Beziehungen xQ , yQ t

xM - afc(v-*0 ± V^(1+*,*V (w-vT 111. XQ*. = » + *;

und

+ 112. ^QK. » *K- X> V

sodass es leicht einzusehen ist, dass deren Einführung in die weiteren Berech¬

die 111 und 112 nur ab¬ nungen, abgesehen von der Tatsache dass Gleichungen schnittsweise gültig sind, wenig erfolgversprechend ist. Will man nicht auf die Allgemeingültigkeit der Formeln verzichten, so ergibt sich daraus, wie 35 - schon im Abschnitt 2.2. kurz erwähnt, die Notwendigkeit die Schnittpunkte durch

Wahl eines adequaten ersten Näherungswertes p„ schrittweise konstant zu halten und den begangenen Fehler iterativ zu verkleinern. Dass dabei diese Iteration relativ rasch konvergiert kann an Hand der Fig. 29 gezeigt werden. Vorerst

Fig. 29 Fig. 30

werden mit dem ersten Näherungswert p„die Koordinaten der Schnittpunkte Qv nach Gleichungen 111 und 112 berechnet. Nach Aufsummierung über die nunmehr konstanten Summationsgrenzen und über sämtliche Scheiben SK sowie anschliessen¬ der Berechnung analog zur Anleitung der Abschnitte 2.3.1. und 2.3.2. erhält man eine erste Näherungsfunktion F0*Bp(p0»p) deren Minimum F.^ gemäss Abschnitt

2.3.3. bestimmt werden kann. Die Stelle p* dieses Minimums wird als neuer Nä¬ herungswert p, in die Berechnung der Schnittpunkte Q^eingeführt.und man erhält die zweite Näherungsfunktion resp. das zweite Minimum F,XB. Dieses und vor allem jedes weitere Minimum FJAB kann nun innerhalb der üblichen Genauigkeit kaum wesentlich vom vorhergehenden Wert Fj.,^B abweichen, da einerseits, wie ein Blick auf 30 der Variation der Koordinaten bei Wahl des Fig. zeigt, xQ , vernünftiger ersten Näherungswertes p0 relativ enge Grenzen gesetzt sind, und andererseits der Wert x,, einen prozentual geringen Einfluss auf die gesamte Berechnung aus¬

übt.

Neben dieser an sich überwindbaren Schwierigkeit sind aber speziell im

Zusammenhang mit den bei inhomogenen Böschungen auftretenden Unstetigkeiten einige zusätzliche Fragen zu untersuchen die im Folgenden sowie in der Beschrei¬ bung des ALGOL- Programms ( Abschnitt 3 ) einzeln erläutert werden.

2.4.1. Darstellung des Nenners N als Funktion von p

Analog zur Berechnung im homogenen Fall ( Abschnitt 2.3*1. ) sind als ein¬ zige vom Gleitkreis abhängige Grössen die Integrale J0 und J\ als Funktionen

in eine von p darzustellen. Wird die zu untersuchende Böschung gemäss Fig. 31 - 36 -

inhomogen inhomogen + homogen

Fig. 31

homogene und eine inhomogene Teilböschung zerlegt, so kann für den Nenner ge¬

schrieben werden

N(p),h * No + N.p * NN(p)iH 113.

Die Koeffizienten N0 und N, können nach Gleichungen 79 und 80 berechnet werden

während für die mit NN(p)iH bezeichnete Teilsumme über sämtliche Bereiche nK,

und Scheiben SKi der inhomogenen Teilböschung die Beziehung

,r Q». NN(P)iH - Z- ^[(,+fe^'v +i^^l^n,]- 114« k' A

gilt. Die bestimmten Integrale J0 und lassen sich nach dem Einsetzen der J,„ .

Integrationsgrenzen za, und Xq^ in die Gleichungen 74 und 75 und anschliessen¬

der Aufsumioierung von A bis Q^wie folgt berechnen

UK- z 3. =~ Q"' Ok', 115. r - 37 -

"H1

116. i. , n..

Setzt man die aufsummierten Integrale unter Beachtung der Gleichungen 59 und

60 in die Gleichung 114 ein, so erhält man für die Teilsumme NN(p)-,H nach

kurzer Ifaformung die Funktion

NN(p")lH - (nNo * NN.p « NNap1)-^- 117.

Die Koeffizienten NN0, NN, und NNZberechnen sich dabei zu

^ (*.-Xq«,)(*-*,) * T5"(>- W)% %K *&> (l + aJsinf)

NN„ / AY 118. L i kit'

Vcosf.

(l*lJsinf)

- NN.-ä-Z!a*- *B(xl, + #..) + ü» Uta«- (*%« -XnH.)] 119.

+ 1?co5 f | XÖM. (*bX, -N)BXQ,.) + X82_l>v(*VM -*"«,)]

NN, 120.

Im Gegensatz zur homogenen Böschung enthalten diese Koeffizienten neben den

geometrischen und erdbaumechanischen Daten noch die Koordinaten und x^, yg (.

Da diese Schnittpunktkoordinaten von p abhängen, müssen die Koeffizienten NN0,

NN, und fflt für jeden Iterationsschritt neu berechnet werden.

Wird NN(p)lH nach Gleichung 117 in Gleichung 113 eingeführt, so erhält man für den Nenner N(p)iH schliesslich die Funktion

N(p)i« N« + NNo + (N, + NN.^p + NN* p4 121.

welche implizite einen Näherungswert pj enthält. - 38 -

2.4.2. Darstellung des Zählers Z als Punktion von p

Waren im homogenen Fall die Werte c', tgf ' und B längs der gesamten Gleit¬

fläche konstant, so ist dies bei inhomogenen Böschungen nur noch abschnittswei¬

se, nämlich innerhalb der Bereiche x« * x £ x0, der Fall. Es ist deshalb unum-

gänglich zur Darstellung des Zählers als Funktion von p nebst der Zerlegung in

die Intervalle n„ und in die Scheiben SK, auch noch eine Zerlegung in vertikale

Lamellen gemäss Fig. 32 vorzunehmen. Die Summation von A bis B wird somit in

Fig. 32

die Teilsummen von Q„. bis (}„.,., aufgeteilt, wobei diese Schnittpunkte definitions-

gemäss schrittweise konstant, d.h. von p unabhängig sind. Da im weiteren auch

die freie Oberfläche der Sickerströmung vom Gleitkreis geschnitten werden kann,

ist für die Berechnung des Auftriebanteils die Summation von W, bis Wj und

nicht wie im homogenen Fall von A bis B durchzuführen.

Analog zur Herleitung im Abschnitt 2.3.2. müssen die Integrale J0, J2 und

Js sowie das Kohäsionsglied als Funktionen von p dargestellt werden. Mit der

Abkürzung

*9»'»' ~x" x°v-*m A„. I arctq - arc ho 122.

lässt sich das Kohäsionsglied anschreiben zu

I>,-i[.eÇ(c;.,v)] 123.

Werden die Integrationsgrenzen xtt, und xQh. in die Integrale der Gleichungen

74, 87 und 92 eingesetzt, so erhält man mit den Bezeichnungen der Fig. 32 - 39 -

Xa, -=- 124. a

~ * (*•*. - xO + ** XU £ ~ x*Sh. ) + (xw «v. 1 125. ^ R

Xq„, + B-j p* + B-, p + B„ * ^P/1

-yti*°? \ 126.

FUhrt man die Mittelpunktskoordinaten xM und yM sowie den Radius E nach Glei¬ chungen 59, 60 und 61 in die Gleichungen 124, 125 und 126 ein, so erhält man für die Zählerfunktion Z(p)iH im inhomogenen Fall nach längerer Umformung die unendliche Reihe

- + + 127. Z(pVm Y ZZ^ ZZ^ZZ.p +ZZ0 ZZ-tp»+ZZ^p zz.^zz^

Nun enthalten aber die Koeffizienten ZZS, ZZt, ZZ,, ZZ„ und ZZ^u im Gegensatz zu den Koeffizienten der Gleichung 95 neben den zur Definition der Böschung und des Belastungszustandes notwendigen geometrischen und erdbaumechanischen

Daten auch noch die vom Aufbau und implizite vom jeweiligen Näherungswert pj

Für die somit bei Itera¬ abhängigen Schnittpunktkoordinaten x^.und y^ ,. jedem tionsschritt neu zu berechnenden Koeffizienten gelten dabei die folgenden Be¬ ziehungen

ZZ.--SH 128. K' KM \l, K

-* ZZ 129.

zz, = (4yss 130.

zz.-(4?zz» 131. - 40 -

K1 J KIk'J ZZ-*

QkV,

J QH'

*x* (Xvr^K- ) ft» - Xv, -**) + ZV* + - - £ 2Z-=2d X* (Kv. **,,) (x6 - XQk,( - XQi. ) +

a«-

'J *fc') I QK, J

-^^z^" V+9S>:K^v«-Xa^v' +Z]x"(x^-x»)

(i+i5sinl)X]AYi

+ ~iï^T ZIk(K^-x"kX3Xb~zX*V'_ *Xn«)l

T (V, -xv)(*b-XqkV, "xO +ift^, - &) +

+ V« Ï ft«*. - *•)ft» - * 3«A. " ÎK«) +

zz0 =

J ft,' .

Kv, K,-*») - 4l - xv [w(K-*•)* |] - -M'y [vif -•53-4, ft» Q»Vi -f2_,[^n»(xnll*1-x„1()(3xB-^x„Ät,-^xnH,)] - J ««' J

Zm QmVi _ r - iXZ [Xw (Xv"*' -Xw)ftxB- ZXwm- 2XW)1

zz,=< v^f r ^*'*V \1 - 41 -

2.4.3. Massgebender Gleitkreis und minimale Gleitsicherheit

Nachdem auch für die inhomogene Böschung- der Nenner und der Zähler der

Gleichung 19 als Funktionen von p dargestellt worden sind, kann die Gleit¬ sicherheit FfcBpiH eines beliebigen Gleitkreises berechnet werden zu

jU.co

ZZsp* * * +ZZ«, +ZZ* +Z_,Z^~ (zZa-*-ZZ.z)p* (zZ,+ZZ-t)p 136. *Bp iH N, + NN„ +• (N, + NN,) p + NNZ pz

Nun enthalten aber mit Ausnahme von N0 und N, sämtliche Koeffizienten impli¬ zite den Die welche demnach nur für diesen Näherungswert pj . Gleichung 136,

Wert exakt gültig ist, liefert für ein beliebiges p und insbesondere für die gesuchte massgebende Grösse p* lediglich Näherungswerte, die jedoch wie im

Abschnitt 2.4.1. begründet wurde im allgemeinen nicht wesentlich von den effek¬ tiven Werten abweichen können.

Das Minimum der somit nur innerhalb eines Iterationsschrittes gültigen

Funktion FABpiH kann analog zu dem im Abschnitt 2.3.3. erläuterten Verfahren bestimmt werden. Wird die Reihe der Gleichung 127 wiederum nach einem endli¬ chen Glied p* abgebrochen, so erhält man für die zur Berechnung des Minimums notwendigen Ableitungen die zwei folgenden endlichen Reihen

NNjZZj p* + 2(N1 + NNl)zz5pî +

•[3(N.+ NN,)zZj + (n,+ NN,)(ZZ£ +ZZ.z) - NN* (zZ>ZZ-,)]p* +

+ [2(N.*NN0)(zZz + ZZ.t) - 2NNt(2Z0+ZZ„)lp+-

' f 137. ftp)iH - + (n.+ NN.)(zz,+ZZ-.) (n. + NN^ZZo+ZZ.) -3NN»ZZ, -

- ZZ[(/*-')(n,*MM0)zZ/1.1 +Oi*0(N1*NN,)zZ/, + Oi«)NNtZZ/l*I]-^-

2[(n.* NNo)(zZ2*-ZZ.t) - NNa(zZ0-ZZo)] +4NNtZZsp* + 6(N,*IM.)ZZ5P* +

+ 2[3(N0 + NN„)ZZ3 +(N1*NN,)(ZZÎ+ZZ-Î) - NN* (zz>ZZ-,)]p + VCpV« = 138.

+ __ [(/M-0(N0^NK0)ZZ/1.1 (^(n.+ NN^ZZ,, +(yu*3)NN,Z2/w,]^*- [(^-OC^NmOzz^h *(/h)(n1*mn,)ZZ/1*]^;1 +/(/**')(N«*NM')pê- - 42 -

Die Nullstelle der Punktion welche durch -p* $(p),-M , sukzessive Approximation

nach Gleichung 110 berechnet werden kann, wird als neuer Näherungswert in die

Berechnung der Schnittpunkte QKi eingeführt und die Iteration solange wieder¬

holt, bis die verlangte Genauigkeit erreicht wird. Diese doppelte Iteration,

welche auf den ersten Blick kaum schneller zum Ziele zu führen scheint als die

Methode der Isoasphalien ( Abschnitt 1.3.2. ), erweist sich indessen aus fol¬

genden Gründen als vorteilhaft.

Infolge des unstetigen Aufbaues einer inhomogenen Böschung, wird die

Gleitsicherheit in Punktion von p eine unstetige "Girlanden-Form", etwa gemäss

Fig. 33 aufweisen. Durch die Annahme eines ersten Näherungswertes p0 wird die

< F,*B (p.»p) foab(p.,p)

P*p'* tf-P.

Fig. 33

wahre Gleitsicherheitsfunktion F(p) durch eine stetige Näherungsfunktion F6(p)

ersetzt, welche an der Stelle p0 die effektive Gleitsicherheit liefert. Die

Minimumsabszisse p* der Funktion F0(p) wird nun als zweiter Näherungswert p,

in die Berechnung eingeführt. Man erhält die Funktion F,(p), welche für den

Wert p, wiederum die effektive Gleitsicherheit liefert und demnach an dieser

Stelle mit der wahren Gleitsicherheitsfunktion F(p) übereinstimmt. Da bei nicht

zu extremem Aufbau der zu untersuchenden Böschung die Funktion F(p) ein ausge¬

sprochenes Minimum aufweist, und jeder Iterationsschritt zwangsläufig auf einen

Punkt dieser Funktion führt, werden die jeweils nach der soeben hergeleiteten

Methode berechneten Näherungswerte -pf tatsächlich Verbesserungen und der erhal¬ tene Wert F(p*) die gesuchte minimale Gleitsicherheit sein. Besitzen einzelne

Bereiche der "Girlande" eigene ( relative ) Minima, so müssen diese durch Be¬

rechnung für verschiedene Werte von p näher untersucht werden. Analog zur homo¬

genen Böschung führt auch hier die Berechnung nach Gleichung 136 bei vergleich¬ barer Genauigkeit rascher zum Ziel als die herkömmliche Lamellenmethode. Somit

ist es gelungen, den massgebenden Gleitkreis und die minimale Gleitsicherheit auch für inhomogene Böschungen auf analytischem Weg zu berechnen. - 43 -

3. ANLEITUNG FUER DIE PROGRAMMGESTEUERTE BERECHNUNG

3.1. Voraussetzungen und Einschränkungen

3.1.1. Maschinentechnisch

Eine der wichtigsten Voraussetzungen bei der Entwicklung des soeben be¬ sprochenen Auswertungsverfahren3 war die Anwendung der Methode mit Hilfe di¬ gitaler Rechenmaschinen. Diese Voraussetzung ist insofern von Bedeutung, als deren Erfüllung es erlaubt die sonst üblichen Kriterien ( Einfachheit, Ueber- sichtlichkeit, Eignung zur tabellarischen Berechnung, etc. ) weniger sorgsam zu beachten und dafür das Problem allgemeiner zu formulieren. Von dieser

Ueberlegung ist nicht nur bei der Entwicklung neuer Methoden, sondern auch bei der Aufstellung eines Programms und in noch grösserem Mass bei der Wahl der Programmierungssprache auszugehen.

Die Vielfalt der Maschinentypen und die zumindest heute noch inangelnde

Standarisierung der Formulierung arithmetischer und logischer Operationen

Hessen es angezeigt erscheinen das im folgenden zu besprechende Programm mit einer auf breiter Basis anwendbaren problemorientierten Sprache zu be¬ schreiben. Als solche kommt die speziell für technisch-mathematische Zwecke entwickelte ALGOL - Programmerungssprache in Frage, umsomehr als deren ex¬ plizite Ausdrucksweise es auch einem mit Programmen weniger vertrauten Inge¬ nieur durchaus ermöglicht den Programmablauf zu verstehen. Als Folge der fehlenden Normierung müssen der maschinengebundene In- und Output sowie die

Fragen der Speicherkapazität den Möglichkeiten des verfügbaren Computers an- gepasst werden. Das vorliegende ALGOL - Programm ( Abschnitt 3.3. ) verwen¬ det die vom Compiler der CDC - 1604 A verarbeitbaren Ein - und Ausgabeproze¬ duren und setzt einen "unendlich" grossen Speicher voraus. Die Matrizendar¬ stellung zusammengehörender Zahlengruppen lässt allerdings eine zweckmässige

Segmentierung in sozusagen beliebig kleine Zahlenblöcke ( etwa auf Magnet¬ band, Trommelspeicher, usw..) ohne weiteres zu.

3.1.2. Geometrisch

Das gegebene ALGOL - Programm setzt die eindeutige geometrische Defi¬ nition der zu untersuchenden Böschung ( Topographie, Aufbau, Böschungsnei¬ gungen, Schichtstärken, etc. ) voraus, sodass Aenderungen geometrischer Daten, etwa auf Grund der Resultate nicht in einem Arbeitsgang behandelt werden können. Eine entsprechende Programmerweiterung wäre denkbar aber kaum sinn*- voll, da solche Aenderungen zur Hauptsache auf Grund praktisch- oekonomischer

Ueberlegungen vorgenommen werden. - 44 -

Eine Böschung gilt dann als geometrisch eindeutig definiert, wenn sämt¬

liche Punktkoordinaten und Geradengleichungskoeffizienten bezüglich eines be¬

liebigen rechtwinkligen Koordinatensystems bekannt sind. Es empfiehlt sich das

Koordinatensystem so zu wählen, dass die Böschung ( wasserseite links ) im ersten positiven Quadranten liegt. Die Böschung kann einen beliebigen Aufbau besitzen. Es wird vorausgesetzt, dass jede Materialschicht durch einen Stre¬ ckenzug definiert ist. Jede Strecke entspricht einer zwischen PL9 ( Punkt links ) und PR9 ( Punkt rechts ) gültigen nicht vertikalen Geraden g, welche durch die Geradengleichung y = Aax + B^ und den Parameter <0^ charakterisiert ist (<ü<^ = 0 : Oberflächengerade; 6>»= 1 : gewöhnliche Gerade; 0^= 2 : Gerade der Wasserlinie ). Der Streckenzug beginnt mit der Geraden mit dem kleinsten

Wert xru und ist so zu wählen, dass die Bedingung x^ xmM stets erfüllt ist.

Wo der Aufbau dies nicht zulässt, sind Hilfsstrecken einzuführen ( siehe Bei¬ spiel Kr. 4 ). Nummerierung und Anzahl der Punkte und der Geraden sind frei.

Alles was unterhalb des Streckenzuges liegt, wird als zur Materialschicht ge¬ hörend betrachtet ( Scheibe ). Die Anzahl Schichten ist frei; die Reihenfolge muss aber so gewählt werden, dass die einzelnen Schichten der Böschung jewei- len als Differenz zweier aufeinanderfolgenden Scheiben resultieren. Eine Stre¬ cke kann Bestandteil mehrerer Streckenzüge sein.

3.1.3. Erdbaumechanisch

Eine Böschung ist dann materialtechnisch eindeutig definiert, wenn die erdbaumechanischen Eigenschaften (^, tg*f, c', B, AP ) jeder Schicht bekannt sind. Die bei Stabilitätsberechnungen üblicher Art nicht notwendige Angabe AP bezieht sich auf die Berücksichtigung des Auftriebes ( AP = 0 : Schicht über

Wasser; AP = 1 : Schicht unter Wasser ). Vom Programm aus gesehen können zwei

Schichten mit identischen Eigenschaften als eine Scheibe betrachtet werden.

Die Entscheidung ob die Böschung als homogen oder inhomogen im Sinn der Defi¬ nition des Abschnittes 2.1» zu betrachten ist erfolgt automatisch. Die Aende- rung der Materialeigenschaften in einem Arbeitsgang ist zur Vornahme gewisser

Variantenuntersuchungen im Programm vorgesehen. Dagegen wird aus geometrischen

Gründen jeder Belastungsfall, insbesondere die verschiedenen Stufen einer

Wasserspiegelabsenkung, einzeln behandelt, weil die unterschiedlichen Lagen der Sickerlinie jeweils zu einer neuen Definition der Materialschichten führt.

Der Kapillarsaum kann wenn nötig durch Abstufung des Raumgewichts (tfc -*•£« ) und des Parameters AP ( 0-»l ) berücksichtigt werden. Die Erdbebenwirkung wird in einem Arbeitsgang behandelt, wobei die Koeffizienten *\J und | während der

Berechnung beliebig variiert werden können.

Es wird die Gleitsicherheit eines durch den unteren und oberen Böschungs- - 45 -

Punktes ( A und B ) definierten Böschungsabschnittes nach der Methode von W.

Fellenius berechnet und zwar für

ART := 0 die Gleitsicherheit eines gegebenen Gleitkreises

ART = 1 die minimale Gleitsicherheit des Böschungsabschnittes AB ausgehend

von Po = d als erster Näherungswert

ART = 2 die minimale Gleitsicherheit des Böschungsabschnittes AB ausgehend

von einem gegebenen Näherungswert.

Das vorliegende Programm kann beispielsweise durch Einfügung des in einem an¬

deren Zusammenhang aufgestellten ALGOL - Programms zur Berechnung der Gleit¬

sicherheit nach den impliziten Formeln von A. W. Bishop oder N. Jaribu, und

Eingabe von ART>3 praktisch beliebig erweitert werden.

3.1.4. Mathematisch

Die Darstellung der Zählerfunktion als unendliche Reihe sowie die ite¬

rative Berechnung der massgebenden Gleitfläche im inhomogenen Fall sind an

die Voraussetzung der Konvergenz der entsprechenden Verfahren geknüpft. Wie

im Abschnitt 2.3»2. kurz erwähnt gelingt es jedoch weder die Konvergenz

streng zu beweisen, noch allgemein gültige Angaben über vom vorgeschlagenen

Verfahren nicht erfassbare Fälle zu machen. Die Einschränkungen der Methode

können somit nicht explizite formuliert werden. Im ALGOL - Programm sind

deshalb neben den notwendigen Abbruchkriterien eine Anzahl Kontrollen ein¬

gebaut, welche kritische Fälle mit den zur weiteren Bearbeitung notwendigen

Angaben ohne Programmunterbruch ausscheiden. Die folgenden Massnahmen sind

dabei von besonderer Bedeutung.

Die für die Zählerfunktion entwickelte Reihe nach Gleichung 127 kann

schematisch wie folgt angeschrieben werden

/l'«e c K»kt Wim \ s / A^,,, 139.

m*l

In der praktischen Anwendung wird man die Reihe für Z(p) nach Erreichung

einer bestimmten Genauigkeit ( z.B. l#o) abbrechen, während für die Summe

' im besten y A^%ft Fall die Rechengenauigkeit d.h. etwa lO"** gefordert wer-

den kann. Da nun diese Summe die Reihenentwicklung des Kreisabschnittes dar¬

stellt, wird die Reihe Z(p) für Werte p» d gut und für Werte p$- schlecht

Im konvergieren. allerdings erdbaumechanisch nicht erheblichen Fall p = 0

wird die Reihe sogar divergieren. ( Fig. 34 ).

Die bisher durchgeführten numerischen Anwendungen ( über 200 Fälle an

drei verschiedenen Böschungsprofilen ) haben gezeigt, dass die Zählerfunk¬

tion bis etwa J*= IQ gedämpft sinoxdal konvergiert, dass sich aber die - 46 -

Fig. 34

2(pj

Fig. 35 - 47 -

Dämpfungsfunktion nach Ueherschreitung von /*= 10 wieder öffnet ( Fig. 35 )•

Diese Erscheinung ist auf die limitierte Genauigkeit hei der Berechnung der

' Summe \ Au*»» zurückzuführen und hat zur Folge, dass vor allem für P^T" das

Genauigkeitskriterium für Z(p) überhaupt nie erreicht wird. Aus diesem Grunde sind für die Reihe z(p) in ALGOL - Programm die drei folgenden Abbruchkrite¬ rien formuliert worden.

Die Reihe Z(p) wrid abgebrochen

= - wenn der Absolutbetrag des zuletzt berechneten Gliedes weniger als 6 lfot,

des bisherigen Wertes von

- wenn die Amplitude der Funktion z(p,yu) erstmals wieder zunimmt. Dem Zähler

wird das arithmetische Mittel zwischen den zwei letzten Extremwerten als

Wert zugeordnet. Die bisherigen Werte werden ausgedruckt.

- wenn keines der vorhergehenden Kriterien bis u= 19 erfüllt ist» Wert Zuord¬

nung und spezielle Angaben wie zuvor.

Im Abschnitt 2.2 wurde aus verschiedenen Gründen empfohlen die Iteration der massgebenden Gleitfläche inhomogener Böschungen mit möglichst kleinen Werten p£ einzuleiten, was sicherlich dann zweckmässig ist, wenn die Zählerfunktion gut konvergiert. Im Lichte der soeben erläuterten numerisch bedingten Uhge- nauigkeit der Zählerfunktion könnte allerdings diese Methode in gewissen Fällen nicht zum Ziele führen. Um solche Fälle ebenfalls zu erfassen wurde im ALGOL -

Programm ein Iterationsverfahren eingebaut, .welches im wesentlichen auf fol¬ genden Ueberlegungen beruht.

Erdbaumechanisch ist nur die Nullstelle der Funktion 0(p) = — ^und nicht der gesamte Verlauf der Kurve ( Fig. 22 ) interessant. Man könnte also diese Ableitung beispielsweise durch die logarithmische Funktion

WO. ftp) s A(p-) * CctCa-p)

ersetzen. Der Reziprokwert des einzigen Parameters a stellt dann die Null- stelie der Funktion A(p), d.h. die nächste Approximation dar, welche sich a'is der Ableitung gemäss Gleichung 137 ausgehend von einem ersten Näherungswert p0 (z.B. p„= d ) rekursiv zu

« = = 141. 3. 3T-T je. -g. „

berechnen lässt. Bor Vorteil dieser Methode liegt darin, dass einmal der erste

Näherungswert so gewählt werden kann, dass die Zählerfunktion gut konvergiert - 48 - und iE weiteren die Nullstelle der Funktion A(p) definitionsgemMss iE posi¬ tiven Bereich liegt, was prograinErtechnisch von nicht su unterschätzender Be¬ deutung ist.

Diese Iteration wird abgebrochen wenn eines der vier folgenden Krite-' rien erfüllt ist.

- Der Unterschied zwischen neuem und bisherigem Wert von Fab(p) ist kleiner

als l^o.

- Der Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Näherungswerten p ist

kleiner als iß.

- Die wahre Kurve F(p) ist durch einen unregelmüssigen Verlauf ( Girlanden-

linie } charakterisiert. Die bisherigen Werte werden gedruckt,

- Keines der vorhergehenden Kriterien ist mich 20 Schritter erfüllt. Die

bisherigen Werte werden gedruckt.

Diese Kriterien, weiche gleichseitig die mathematischen Dinschränkungen des

ALGOL - Programs darstellen, haben sich, wie die Vergleiche im Abschnitt 4 zeigen, als wirksam und für praktische Belange &ls genügend genau erwiesen.

3.2. Input

Das ALGOL - Programs setzt die Eingabe der Daten in der im Input-Dia- granm gegebenen Reihenfolge voraus ( Fig. 36 und 37 ). Die Zahlentypen und deren Bedeutung sind dabei wie folgt vereinbart ( f: Zahl mit festem Komma; b: Zahl mit beweglichem Komma ).

Variable Typ Bedeutung Grenzen

IC f Anzahl Zeilen des Titels >1

„LI Liste Beliebiger alphamerischer Text ( Tita]) 80 Zei/Zeile

pmax f Max. Anzahl Punkte >0

gmax f Max. Anzahl Geraden >/0

jraax f Max. Anzahl Schichten »0

gjmax f Max. Anzahl Geraden eines Schicht- atre ckenzuges »0

m f Laufvariable ( Punktrsuraœer ) 0 < m $ pmax pch(m,l) b X-Koordinate des Punktes m -OO^X $» pch(m,2) b Y_ n h n h -bo^Y$*0»

m Laufvariable ( Geradennummer ) 0$ m £ gmax gchl(m,l) b Steigungskoeffizient Am *©o

b Achsenabschnitt gchl(m,2) B^ # — gch2(mtl) f Nummer des linken Begrenzung3punktss 0 4 PL $ pmax gch2(m,2) f 11 '• rechten " OéPR^pmax gch2(m,3) f Geradenart 0«W*2 - 49 -

Variable Typ Bedeutung Grenzen

m f Laufvariable ( Schichtnuamer ) Oim ^ jiaax

mchl(m,l) b Raumgewicht Y >0

mcW(ra,2) b Tangens des Scherwinkels ^P >0

mchl(m,3) b Kohäsion c' >0

ÎHCh]ÀEl,4) "r\ Porenwasserspannur.gskoeffizient B 0 ^BS 1

tr.ohl(m,5) h Auftriebsparanieter A 0SAS1

nch2(n,-l) -L Anzahl Geraden des Schichtstreckenzuges 0 S t « gjmax

Zi'ïn2(m,j) JP" ItaïKer der j-ten Gerade des Streckensuges OSn^gmax

XA b Abssisse des unteren Boschungspunkies A -o*4XA<*f>-

GA f Nucmier der Geraden auf welcher der Punkt A liegt OiGASgmax

XB

GB f Number der Geraden auf welcher der Punkt 3 liegt 0£GB*gmax

V7 f Parameter des Belastungszustandes I£w£4

t f Parameter für Erdbebenberücksichtigung 0 oder 1

Thêta b Beschieunigungskoeffizient V OSlIil

Xi b Richtungswinkel der Bebenweile É OSfi^ÏÏ

ART f Art der Berechnung 0 £ART i 2

RUS f Sprunganvfeisungs parameter -1*HUE«8

J _ _ £n«»_»f _*il« Im 8r>8'r'c^'6~»P~RuTv JlX!L Falls AKT *, r_J ,

RUE—1 'RUE* 0

RUE s 8 'RUEa 7

IPmav Qm»ir jm«x u ft»»yic>

STMfPfkMM M

'RUFal

Fig. 36 - 50

Fig. 37 INPUT.- DIAGRAMM

® © N RÜE=1 —I— *m Z3Z N t:= 1 RUE=2 x—

t: = t+1 N

Zeile RUE=3

N N t=m RUE=4

N

pmax, gmax RUE=5 1— +jmax,gjmax N t:= 0 RUE=6

t:= t+1 N 1 m,X,Y RUE=7

N N t= pmax RUE=8 •

t:= 0 *n,V,tg

t:= t+1 c',B,AP

m,A,B, N *PL,PR, RUE=Ü T—

N N t= gmax RUE= -1

t:= 0 RUE

a t:= t+1 -**-

Po

*B,AP,AG N j:= 0 ART=1 —I— j:= j+1

GNR t art ± N j= AG W.f

N t= jmax H * t=i T * *XA,GA —» *XB,GB w - 51 -

3.3. ALGOL - Programm

'BEGIN' 'COMMENT' DIREKTE BESTIMMUNG DER MASSGEBENDEN KREIS¬ ZYLINDRISCHEN GLEITFLAECHE NACH DER METHODE VON F. P. GERBER SOWIE DER MINIMALEN GLEIT¬ SICHERHEIT NACH DER METHODE VON W. FELLEN I US: 'INTEGER' GJMAX,GMAX,JMAX,M,PMAX; 'PROCEDURE' TITEL(M); 'INTEGER' M; 'BEGIN' 'INTEGER' A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,V; " 'FORMAT' Fl:- " (A8, A8-, A8, A8, AB, AB, A8, A8, A8, A8) ; 'LIST' Li:- A,B.C,D,E,F,G,H, l,J; OUTPUT(51,"(lHi)"); 'FOR' V:- l 'STEP' l 'UNTIL' M 'DO' 'BEGIN' INPUT(5o,Fl,Li); OUTPÜT(5l,Fl,Li); 'END'; 'END' TITEL; Loi: READ(M); TITEL(M); READ(PMAX,GMAX,JMAX,GJMAX); 'BEGIN' 'REAL' C0o,C0i,C02,CXI,D,D2,N,No,Ni,N2,Po,SXI,THETA,VF, XAU,XB,XBU,XI,XL,XM,XR,XWl,XW2,YAU,YB,YBU,YD,YM,Z, ZQo,ZQl,ZQ2,ZQ3,ZWo,ZWl,ZW2,ZW3,Zl,Z2,Z3,Z 4,Z5,Z 6,Z7; 'INTEGER' A,AA,APP,ART,HOM,J,MUE,MUMAX,S,SMAX,T,Vl,V2,V3,W,Wi; 'ARRAY' Ai[i:22,i:3],A2[1:22,-1:2o,1:2],GCHi[o:GMAX,1:6], KCH[o:2o,i:2],MCHi[o:JMAX,i:7],MUECH[-2:2o,i:4], PCH[o:PMAX i:43* 'INTEGER' 'ARRAY' GCH2C0 :GMAX, l :5 3 ,MCH2Co : JMAX,-l-.GJMAX] ; 'FOR' M:= o 'STEP' l 'UNTIL' PMAX 'DO' READ(T,PCH[M,1],PCH[M,23); 'FOR' M: = o 'STEP' 1 'UNTIL' GMAX 'DO' READ(T,GCH1[M,1],GCH1 CM,2],GCH2[M,l],GCH2[M,2],GCH2[M,3] ) ; 'FOR' M:- o 'STEP' l 'UNTIL' JMAX 'DO' 'BEGIN' READ(T); 'FOR' T:« l 'STEP' l 'UNTIL' 5 'DO' READ(MCHiCM,T]); MCHiCM.61:- MCHi[M,i]; MCHiCM,73:- MCHiCM,3]; READ(T); MCH2[M,-l]:- T; 'FOR' J:- o 'STEP' l 'UNTIL' T 'DO' READ(MCH2[M,J3); 'FOR' J: = T+i 'STEP' l 'UNTIL' GJMAX 'DO' MCH2CM,J3:= -l; 'END'; AiCi,i]:= l; AiCi,23:= 0.25; AiCi,3]:= 0.5; A1C2,13:- 0.5; Ai[2,23:« 1/6; Ai[2,3]:= o; 'FOR' M:- 3 'STEP' 2 'UNTIL' 21 'DO' 'BEGIN' J:= M+i; T:- M-2; Ai[M,i3:- Ai[T,i]~T/(M-i); AiCM,2]:- AiCT,2]~M/J; . AiCM,33:= Ai[T,33~T~T/(M>«J); AlCJ,i3:= A1CM-1,13~T/J; AlCJ,23:= AlCM-l,2]-M-M/(J-(M+2)); Al[J,33:- o; 'END'; Lo2: READ(XAU,M); YAU:- XAU~GCHiCM,1]+GCHi[M,2 ] ; Lo3: READ(XBU,M); YBU:- XBU~GCHlCM,1]+GCHi[M,2]; 'IF' XBU 'NOT LESS' XAU 'THEN' 'BEGIN' XM:- XAU; YM:« YAU; XB:- XBU; YB:- YBU; 'END' 'ELSE' 'BEGIN' XM:= XBU; YM:- YBU; XB:- XAU; YB:= YAU; 'END'; XB:- XB-XM; VF:- l/XB; Z6:- XB-XB; Z7:- Z6-XB; YB:- VF-(YB-YM); HOM:- o; MUEMAX:- 2; 'FOR' M:= o 'STEP' l 'UNTIL* JMAX 'DO' 'BEGIN' MCHiCM,i]:- Z7~MCHiCM,63; MCHi[M,3]:- Zô~MCHiCM,73; ' 'END'; 'FOR' M:- o 'STEP' 1 'UNTIL' PMAX 'DO' 'BEGIN' PCHCM,33:= VF~(PCH[M,l3-XM); PCHCM,43:- VF~(PCH[M,23-YM); 'END'; _

'FOR' M:= o 'STEP' 1 'UNTIL' GMAX 'DO' 'BEGI N' GCHi[M,3l:= Zi:= GCHi[M,i]; GCHi[M,4]:= VF~(XM~Zl+GCHi[M,2]-YM); 'IF' HOM 'EQUAL' o 'THEN' 'BEGIN* T:= GCH2[M,i]; J:= GCH2[M,2]; Zl:- PCHCT,3]; Z2:= PCH[J,3]; F' Z2 GREATER' o 'AND' 1 'GREATER' Zi 'THEN' 'BEGIN' 'IF' PCH[T,4] 'LESS' Zl-YB 'OR' PCH[J,4] 'LESS' Z2-YB 'THEN' HOM:- 'END'; 'END'; 'END'; YM:- YB-YB; D2:- l+YM; D:- SQRT(D2); YD:- -YB/D; SXI: = -0.5-YB-D; XL:- l+YM+YM+YM; XI := XL+YM+YM; XM = XL/3; " XR:= o.25-D2-(XL+XL-i); XL:- (i+XL)/9; CXI:- 0.5/YD; A2E1,-1,l3 -YB; A2[l,-l,2] Zi:- o.5~D] A2[l,o,i] Z2: = o.5*«D» D2; A2[l,o,2] Zi: = Zi-SX A2tl,l,l] Z3: = Z2-SXI ; A2[i,i,2] Z4:- Z3-CXI; A2[l,2, 1] Z5:- Z3-SXI ; A2[l,2,2] Z5-CXI; A2[2,o, 1] -Z2; A2[2,o,2] -4-Z1/3; A2[2,l, 1] Zl:« -3-Z3; A2[2,l,2] Z5:- -Z2-XM; A2[2,2, 1] -Z2~XR; A2[2,2,2] 2~Zl~XL; A2[3,1, 1 ] Z3+Z3; A2[3, 1,2] -0.75-Z5; A2[3,2, 1] :=» Zl = 2-Z4' XI; A2[3,2,2] Z2:= o.75>«Z3»«(2+XI ); A2[4,2 l] := -o 5-Zi; A2[4,2,2] -8«Z2/i5; Lo4 READ(W); L05 READ(T); 'IF' T 'EQUAL* 0 'THEN' THETA:- XI:= o 'ELSE1 Lo6 READ(THETA,XI); SXI:- 1+THETA~SIN(XI); CXI:- THETA~COS(XI); Lo7 READ(ART); 'IF' ART 'EQUAL' 1 'THEN' Po:= D-XB 'ELSE' Lo8 READ(Po); Po:= VF-Po; APP: = o Lo9 KCH[APP,i]:= Po; MUE: = -2; aa: = wi:= o, XM: 0.5+P0-YD; YM: 0.5-YB+P0/D; 'FOR' M: = 'STEP' 1 'UNTIL' GMAX 'DO' 'BEGI N' GCHi[M,5l: GCHi[M,6]:- o; GCH2CM,4]:- END' 'IF' HOM 'EQUAL' 1 'THEN'

'FOR» M:= o 'STEP' 1 'UNTIL' UMAX 'DO'

- »*TrP» o 'UNTIL' 'DO' 'FOR' J:- -STEP' 1 MCH2[M,-1] 'BEGIN' T MCH2[M,J]; A:- GCH2[T,4]; XL:- PCHCGCH2CT,1],3]; XR = PCH[GCH2[T,2],3]; 'IF' o 'LESS' XR 'AND' 1 'GREATER' XL 'THEN'

'BEGIN' 'IF' A 'EQUAL' o 'THEN' 'BEGIN' S:- o; Zl:- GCHiCT, 3];_Z2:- GCHUT,4]; Z3"— i+Zi**Zi* Z4: XM-Zl-iZ2-YM)fWZ2:-'Z4-Z4-Z3-Z2«(Z2-YM-YM); A:- 5; ' IF' Z2 'GREATER' o 'THEN' 'BEGI N' S:= 1; Z2:> SQRT(Z2); Zi: = GCHi[Tf5l:- (Z4-Z2)/Z3; Z3:= GCHi[T,6] = (Z4+Z2)/Z3; 'IF' Zl 'NOT LESS' XL 'AND' XR 'NOT LESS' Zl 'THEN'

'BEGIN' 'IF' M 'EQUAL' o 'THEN' A: ELSE1 'BEGIN' A: = 1; AA:= AA+i; 'END'; 'END'; 'IF' Z3 'NOT LESS' XL 'AND' XR 'NOT LESS' Z3 'THEN:

'BEGIN' 'IF' M 'EQUAL' o 'THEN' A-- 4 'ELSE' 'BEGIN' AA:= AA+i; 'IF' A 'EQUAL' 1 'THEN' A:= 3 'ELSE' A; 2; 'END'; 'END'; 'END'; GCH2[T,4]: 'END'; 'END'; 'END': - 53-

'BEGIN' 'ARRAY' ACHi[o:AA, 1:2]; 'INTEGER' 'ARRAY' ACH2Co:AA]; ACHiCo,i]:= ACHi[o,2]:= o; SMAX:= o; 'IF' AA 'NOT EQUAL' o 'THEN' 'BEGIN' J:- 1; 'FOR' M:« o 'STEP' 1 'UNTIL' GMAX 'DO' 'BEGIN' T:= GCH2[M,4]; 'IF' 3 'NOT LESS' T 'AND' T 'NOT EQUAL' o 'THEN' •BEGIN' J:» J+i; 'IF' T 'NOT EQUAL' 2 'THEN' Zi:= GCHi[M,5] 'ELSE' Lio: Zl:= 6CHi[Mf6]; T:= T+i; ACHi[J-i,i]:= Zi; ACHi[J-i,2]:- Zi-GCHi[M,3]+GCHi[M,4]; 'IF' T 'EQUAL' 4 'THEN' 'GO TO' Llo; 'END,'; 'END'; 'FOR' J:= o 'STEP' l 'UNTIL' AA-i 'DO' 'FOR' M:- J+i 'STEP' l 'UNTIL' AA 'DO' 'BEGIN' Zi:- ACHl[M,l]; Z2; = ACHi[M,2]; •IF' Zl 'LESS' ACHi[J,i] 'THEN' 'BEGIN' ACHl[M,l]:= ACHi[J,i]; ACHl[M,2]:= ACHi[J,2]; ACHUJ,l]:= Zl; ACHi[J,2];= Z2 ; 'END'; 'END'; 'END'; 'FOR' A:= o 'STEP' 1 'UNTIL' AA 'DO' 'BEGIN' ACH2[A]:= T:= o; Zi:= ACHi[A,i]; Z2;= ACHi[A,2]; 'FOR' M:- 1 'STEP' 1 'UNTIL' UMAX 'DO' 'BEGIN' 'FOR' J:= o 'STEP' 1 'UNTIL' MCH2[M,-il 'DO' 'BEGIN' S:= MCH2[M,J]; 'IF' Zl 'LESS' PCH[GCH2[S,2],3] 'THEN' 'BEGIN' Z3:» Zl-GCHitS,3]+GCHi[S,4]; 'IF' Z3 'GREATER' Z2 'THEN' T:= ACH2[A]:= T+i 'ELSE' 'BEGIN' Z4:= (Zi-XM)/(YM-Z2 ); Vi:= ABS(loo~(Z3-Z2)); 'IF' Vl 'EQUAL' o 'AND' GCHl[S,3] 'GREATER' Z4 'THEN' T:= ACH2[A]:- T+i; 'END'; 'GO TO' Lll; 'END'; 'END'; Lll: 'END'; 'IF' SMAX 'LESS' T 'THEN' SMAX:= T; ' 'END ; 'BEGIN' 'ARRAY' ACH3[o:AA,o:SMAX,o: 21,l: 4]; 'INTEGER' 'ARRAY' ACH4Co:AA,o:SMAX,l:3]; 'FOR' A:- o 'STEP' l 'UNTIL' AA 'DO' 'BEGIN' M:- -1 ; 'FOR' S:= o 'STEP' l 'UNTIL' ACH2CA] 'DO' 'BEGIN' Vl:- o; M:- M+i; Zl:- l; 'FOR' V2:= o 'STEP' l 'UNTIL' MCH2[M,-i] 'DO' 'BEGIN' J:= MCH2[M,V2]; Z5:= PCH[GCH2[J,2],3]; 'IF' ACHi[A,i] 'NOT LESS' Z5 'THEN' 'GO TO' Ll2; 'IF' Vl 'EQUAL' o 'THEN' 'BEGIN' ACH4CA,S,i]:- M; ACH4[A,S,2]:= V2; Vi:= l; 'END'; 'IF' A 'NOT EQUAL' AA 'THEN' Zl:- ACHi[A+l,l]; 'IF' Z5 'NOT LESS' Zl 'THEN' 'BEGIN' ACH4CA,S,3l:- V2; 'GO TO' Li3; 'END'; Li2: 'END'; Li3: 'END'; 'END'; - 54 -

No:= Ni:= N2:= ZQo:= ZQi:= ZWo:= ZWi:= C0o:= COi:= C02:= o V3:= MUE+2; 'IF' MUEMAX 'NOT LESS' MUE 'THEN' 'GO TO' Li7; 'BEGIN' 'REAL' 'PROCEDURE' A2QUER(YB,D,M,MUE,AQl,V,OMi); 'REAL' AQi,D,OMi,YB; »INTEGER» M,MUE,V; 'BEGIN' 'REAL' A,Al,A2,B,OM,R2,R3,Xl,X2,X3,X4; 'INTEGER' 11, 12, 13, U,J,K,R,Ri,S,SCHRITT,T,TAU,Ti; 'ARRAY' A3[o:MUE-M+i+V+V]; 'REAL' 'PROCEDURE' ATIEFB(A,B); 'INTEGER' A-,B; 'BEGIN' 'REAL' Xl; 'INTEGER' K; Xi:= l* 'IF' B 'GREATER' A 'THEN' Xl:- o »ELSE» 'IF' A 'GREATER' B 'AND' B 'NOT EQUAL' o »THEN»

'FOR' K:= o 'STEP' l 'UNTIL' B-i 'DO' Xl:- Xi~(A-K)/(K+l); ATIEFB:- Xl; 'END' ATIEFB; Ai:- AQl; OM: = OMi; K:- MUE-M+i+V+V; Xi:= M; J:= ENTIER(o.5-Xi)-l; Xl:- K; TAU:- ENTIER(o.5~Xi); Xl:- -YB/D; X2:= Xl«Xi; B:- A:- o; SCHRITT:- o; 11:- -l; 'FOR' T:= l 'STEP' l 'UNTIL' M 'DO' 11:- -11; A2:= Il-(i-V-M); 'IF' ll 'EQUAL' 1 'THEN' J:= J+l-V; 'IF' V 'EQUAL' l 'AND» MUE 'NOT EQUAL' M-3 'THEN' 'BEGIN' 'IF' Il 'EQUAL' -l 'THEN' 'BEGIN' 'FOR' T:= l 'STEP' l 'UNTIL' K 'DO' 11:- -11; 'IF' Il 'EQUAL' l 'THEN' OM:= o 'ELSE' 'FOR' T:= M-l 'STEP' 2 'UNTIL' MUE »DO» OM:= -o.2 5~OM~D~D~(T-2)/(T-M+3); 'END'; 'END'; J:- J+i; SCHRITT:- SCHRITT+i; 'IF' SCHRITT 'EQUAL' loi 'THEN' 'BEGIN' 'IF' V 'EQUAL' o 'THEN' OUTPUT(5l, "(42H0DER ITERATIV BERECHNETE WERT FUER A2QUER(, I3,1H,,I3,1H))",M,MUE) 'ELSE' OUTPUT(5l, "(42H0DER ITERATIV BERECHNETE WERT FUER D2QUER(, 13,lH,, l3,iH))",M,MUE); OUTPUT(51,"(l3H ERREICHT DIE, 48H VERLANGTE GENAUIGKEIT NACH loo SCHRITTEN NICHT./ 39H DIE ZULETZT BERECHNETEN WERTE BETRAGEN)"); MF' V 'EQUAL' o 'THEN' OUTPUT(51, "(4iH J A2QUER(J-l) A2QUER(J))") 'ELSE' 0UTPUT(5l, "(4lH J D2QUER(J-l) D2QUER(J))"); Xl:- A2~(B+0M); X2:= A2~(A+0M); OUTPUT(51, " (I5,2E2o.10) " ,SCHRITT,Xl,X2); 'GO TO' Li6; 'END'; B:= A; 13:» J+J; S:- 13-M+V+V; A:= o; R:= 13—1 ; Ri:- R-i; - 55 -

'FOR' T:« o 'STEP' l 'UNTIL' TAU »DO' 'BEGIN'

'IF' SCHRITT 'GREATER' 1 'AND' A3[T] 'NOT EQUAL' o 'THEN' »BEGIN' 14:- S-K+T+T; X3:= S«(S-i)-A3CT]-X2/(I4-(I4-i)); A3[TD:- X3-(2-(J+T-i)-i)/(R-2); 'END' 'ELSE' •BEGIN'

'IF' T 'EQUAL' o 'THEN'

'BEGIN' MF' S 'LESS' K 'THEN' A3[o]:= o 'ELSE' 'BEGIN' A3[ol:= EXP(K~LN(o.5)); 'IF' S 'NOT EQUAL' K 'THEN' 'BEGIN' X3:= l; 'FOR' Ti:» l 'STEP' l 'UNTIL' S-K 'DO' X3:= X A3[o]:- ATIEFB(S,K)-X3xA3[o]; 'END' ; 'END'; 'END' 'ELSE' 'BEGIN' Tl:- K-T-T; 12:= l; 'FOR' li:- l 'STEP' l 'UNTIL' T 'DO' l2:= -4-12

'IF' S 'LESS'. Tl 'THEN' A3[T]:= o 'ELSE' 'BEGIN' R3:= l; 'FOR' 14:» o 'STEP' l 'UNTIL' J-2 'DO' R3:- R3~(J+T+U)/(J+U); 'FOR' 14:» J+J+T-i 'STEP' l 'UNTIL' J+J+T+T-2 R3:= R3-I4; X3:= l* 'IF' S 'NOT EQUAL' Tl 'THEN' 'FOR' 14:- 1 'STEP' l 'UNTIL' S-Ti 'DO' X3:= X

'IF' Tl 'EQUAL' o 'THEN' X4:- l 'ELSE' X4:= EXP(Ti~LN(o.5) ) ; A3 CT]:« ATIEFB(S,Tl)~X3~X4~R3/l2: A3CT3:- A3CT]~EXP((T+T)~LN(o.5~D)); 'END'; 'END'; 'END'; A:= A+A3CT]; 'END'; 'IF' SCHRITT 'GREATER* l 'THEN' Ai:= Ai~R«(R-2+V+V)/((S-V)~(S+V-i)); A := B+AiMA * MF' A 'EQUAL' o 'THEN' 'GO TO' L15; 'IF' b-9 'LESS' ABS(l-B/A) 'THEN' 'GO TO' L15; A2QUER:= A2~(0M+A); 'END' A2QUER; MUEMAX:- MUEMAX+i; 'FOR' M:- 1 'STEP' l 'UNTIL' V3 'DO' 'BEGIN' Vi:= o; Zi:= o; V2:= l; Z2:= Ai[M,2]; A2CM,MUE,ll:- A2QUER(YB,D,M,V3-i,Ai[Mfi],Vi,Zi): A2[M,MUE,2]:- A2QUER(YB,D,M+i,MUE,Z2,V2,Ai[M,3]); 'END'; ' 'END ;

MF' V3 'EQUAL' o

'THEN' 'FOR' M:- -2 'STEP' l 'UNTIL' 0 'DO' MUECH[M,i]:= MUECHCM,2]:= MUECHCM,3]:= o 'ELSE' MUECH[MUE,l3:= MUECHCMUE,2]:= MUECHCMUE,3]:= o; - 56 -

'BEGIN' 'REAL' Bl,Blo,B3o,B31,BHl,BHio,GAMl,Nol,No2,No3,No4,Nil, Nl2,Ni3,Ni4,N2i,N2 3,NHoi,NHo2,NHn,NHi2,NH2,Qi,Qio,Qi2, Q2,Q2o,Q2 2,Q3o,Q31,Q32,QHl,QHlo,QHl2,Sl,SUM,Tl,T2,T3, T4,T5,T6,T7,THl,TH2,TH3,TH4,TH5,WA,YL,YR,Yl,Y2; 'FOR' A:- o 'STEP' l 'UNTIL' AA 'DO'

inr/M ki 'BEGIN' 'FOR' M:= o 'STEP' 1 'UNTIL' GMAX 'DO' GCH2[M,5]:- SUM:= Bi:- Qi:- Q2: GAMi:« WA:= Ti: = T2:= T3:= o XL:= ACHi[A,i]; YL: ACHi[A,2]; 'IF' A 'EQUAL' AA 'THEN' 'BEGIN' XR:- l; YR:= YB; 'END' 'ELSE' 'BEGIN' XR:- ACHiCA+1,1]; YR: = ACHiCA+1,23; 'END1 'IF' V3 'EQUAL' o 'THEN' 'BEGIN'

Bio:- Qi2:= Qio: Q22 Q2o T4 T5: = Noi:= N02:- Nil: N12 N2i o : 'IF' AA 'EQUAL' o 'THEN' 'BEGIN' NHol: YB-D2/12; NHo2:= BHio:= D2/12; NH11: NHi2:= NH2:- BHi:- o; QHio: -D2~(3+YB~YB)/i2; QHi:- -o.5~YB» D; QH12: -1; THi:- YB/12; TH4:= -0.5/D; TH3 : TH5:- YB; TH2:- 2-TH4/3; 'END' 'ELSE' 'BEGIN'

Zu- (YR = x.„ YR+YR~YL+YL~YL)/3; Z5: YB; Z2: = (XR~XR+XR~XL+XL~XL)/6; Z3: = o.5-(XR-XL)-(l-YB-YB-XR-XL); Z4: = (YR-YL)«(Zl+o.25»«YB~YB-o.5~YB~(YR+YL)); NHol - Z4+o.25«YB»«(XR-XL)~(l-XR-XL); NH02 = (XR-XL)-(o.25-(XR+XL)-Z2); NH11 = (Z3+(YR-YL)~(YB-YR-YL))/D: NH12 - BHi:- o.5~YD~(XR~XR-XL-XL); NH2 = (YR-YL-YB~(XR-XL))/D2; BHio = (XR-XL)-(o.25"(XR+XL)+Z2«(Z5»«Z5-l)); QH12 = XL-XR; QHio:= o.25~D2~QHi2; QHi = TH3:» TH5:= o; Zi:- XR-XR; Z2:= XL-XL; Z3 Z2-Z1; Z4:» Z2~XL-Zl~XR; THi = o 25~YB~Z3; TH2:= Z4/(D+D+D); TH4:- o.5~Z3/D; 'END'; ' END ' 'ELSE' 'BEGIN'

'IF' AA 'EQUAL' 0 'THEN' 'BEGIN' Z2: = V3+1; Z3:= V3-Z2; Z4 Z2-D; THi:= o.5-(V3-i)«YB/Z3; TH2 := -1/Z4; TH3:= YB; 'END' 'ELSE' 'BEGIN'

'IF' XL 'EQUAL' o 'THEN' Zi:= o 'ELSE' Zi: EXP(V3-LN(XL)); Z2:= EXP(V3~LN(XR)): Z3 (V3+l)«D; TH3:= o: THi:- o.5~YB~(Zi-Z2)/V3 TH2:= (Zi«XL-Z2~XR)/Z: 'END'; 'END'; - 57

'FOR' S:- o 'STEP' 1 'UNTIL' ACH2CA] 'DO1 'BEGIN' Tl THi; T2:- TH2; T3:= TH3; T6:- o; J • ACH4[A,S,1]; VI » ACH4[A,S,2]; V2:- ACH4[A,S,3]; T MCH2[J,Vl]; M:- MCH2[J,V2]; Zl GCHi[T,4]+XL~GCHi[T,3]; Z2 GCHi[M,4]+XR~GCHi[M,3]; 'IF V3 'EQUAL' o 'THEN' 'BEGIN' No3:- NHoi No4:- NHo2 Ni3: NH11; Ni4: = NH12; N23:- NH2; B3©:- BHio B3l: BHi; Q3o: = QHio; Q3l:« QHi; Q32:- QH12 T4 :- TH4; T5 :« TH5; T7 ' 'IF' AA NOT EQUAL o 'THEN' 'BEGIN' Z4 (XR~Z2~Z2-XL»«Zl~Zi)/3; Z3 = o.25~(XR~Z2-XL~Zl): Z5 - (XR~XR~Z2-XL~XL-Zl)/3; No3 » N03+Z5-Z3; No4 = No4+YB~Z3-o.5~Z4; Nl3 - Nl3-2~YD~Z3; NU = N14+2-Z3/D: B3o = B3o+YB~(Z3-Z5); B31 - B31+2-Z3/D Q3o » Q30+YB-D2- Z3-Z5); Q31 = Q31-2«D»«Z3 Tl » T1+Z5; T3: T3+Z5+Z5+Z5; T5 T5+Z3+Z3+Z3+Z3; 'END', 'END' 'ELSE'

'IF' AA 'NOT EQUAL' o 'THEN 'BEGIN'

'IF' XL 'EQUAL' o 'THEN' Z3:> ELSE' Z3:= EXP(V3~LN(XL)); Z4:- EXP(V3-LN(XR)); Z5:= Z2~Z4-Zi~Z3; Tl:» Ti+Z5/(V3+l); T3:= T3+Z5; 'END'; 'FOR' M:- Vi 'STEP' 1 'UNTIL' V2 'DO' 'BEGIN' T:- MCH2[J,M]; Z3: = GCHi[T,4]; 'IF' M 'EQUAL' Vl 'THEN' Zl:- XL 'ELSE' Zi:> PCHCGCH2CT,i],3]; Yl:= Zi«GCHi[T,3]+Z3; 'IF' M 'EQUAL' V2 'THEN' Z2:= XR 'ELSE' Z2:= PCH[GCH2[T,2],3]; Y2:» Z2~GCHi[T,3]+Z3; 'IF' GCH2[T,3] 'EQUAL' 2 'AND' GCH2[T,5] 'EQUAL' o 'THEN' 'BEGIN' GCH2CT,5]:- Si:- 1; 'IF' HOM 'EQHAL' o 'THEN' 'BEGIN'

WA : — 1 •

'IF' Wi''EQUAL' o 'THEN' 'BEGIN' Wi:= 1; XWi:= Zl; 'END'; XW2:- Z2; 'END'; 'END'

'ELSE' Si:- o; - 58 -

'IF' V3 'EQUAL' o 'THEN' 'BEGIN' Z4:« Z3«(Z2-Zi); Z?: = Z3~(Z2»«Y2-Zi»«Yi )/6; No3: = No3+Z4-((Z2+Zl)/6-o.25); No4: = No4+Z4~(o.25~YB-Z3/6)-Z5; Z5:» 0.5-Z4/D; Ni3: = Ni3-o.5~YD~Z4; Ni4: = N14+Z5; B3i:» B31+Z5; Z5:- YB-Z4»'(o.25-(Z2+Zi)/6); B3o: = B30+Z5; Q3l:= Q31-0.5-D-Z4; Q3o:= Q30+D2-Z5; 'IF' Si »EQUAL' l 'THEN' 'BEGI N» Q2o » Q2o+D2«Z5; Z5:= Z2~Y2-Zi«Yi; T7:- T7+Z5; Q2 - Q2-o.5~D-(Z4+Z5); Z3:= Z2~Z2«Y2-Zi~Zi»«Yi ; T6 = T6+Z3; Z5:= YB~D2~(o.25~Z5-Z3/3); Q2o » Q2o+o.25»«D2*«(Zi-Z2) + Z5; Q22:- Q22+Z1-Z2; 'IF' HOM 'EQUAL' l 'THEN' 'BEGI N' Z3:- Po«Po+o.25-D2; Yi:- Zi-XM; Y2:- Z2-XM; Z5: - ARCTAN(Y2/SQRT(Z3-Y2-Y2)); WA: = WA+ABS(Z5-ARCTAN(Yi/SQRT(Z3-Yl~Yi))); 'END', 'END'; Z5:«= o.5~Z4~(Z2+Zi); Ti:- T1+Z5/3; T3:= T3+Z5; T5:- T5+Z4; T6:= T6+S1-Z5; T7:= T7+Si~Z4; 'END' 'ELSE' 'BEGIN' Z?:= EXP(V3~LN(Z2)) ; 'IF' Zl »NOT EQUAL' o 'THEN' Zl:- EXP(V3~LN(Zi)); Z3:- Z3«(Z2-Zi)/V3; T6: T6+Sl~(Z2-Y2-Zi~Yi); Ti:- Ti+Z3/(V3+i); T3:= T3+Z3; T6:= T6+S1-Z3; •END'; •END'; Z3:= MCHi[J,i]-GAMi; SUM: = SUM+Z3; 'IF' V3 'EQUAL' o 'THEN» 'BEGIN' ACH3[A,S,o,i]:« Ti; ACH3CA,S,o,2l:- T4; ACH3[A,S,o,3]: = T5 ACH3[A,S,o,4]:« T7 ; ACH3CA,Sf1,4]:= T6 ACH3[A,S,i,2]:- T2; ACH3[A,S,if3] T3 Nol:= Nol+No3~Z3; No2 No2+No4~Z3 Nil:* Nn+Ni3~Z3; Nl2: Nl2+Ni4~Z3 N2i:= N21+N23-Z3; Bio Blo+B3o~Z3 Bl := Bl +B31-Z3; Ql2: Q12+Q32-Z3 Qi := Ql +Q31-Z3; Q10: Qlo+Q3o-Z3 'END' 'ELSE' •BEGIN' ACH3CA,S,MUE,i]:« Ti; ACH3CA,S,MUE+l,2]:- T2 ACH3CA,S,MUE+1,3]:- T3; ACH3[A,S,MUE+l, 4] :> T6; Zl:- ACH3[A,S,o,2-]~A2[i,MUE,i]; Z2:= ACH3[A,S,o,3]~A2[i,MUE,2]; Z4:= ACH3[A,S,o,4]~A2[l,MUE,2]; 'FOR' T:= 1 'STEP' l 'UNTIL' MUE+l 'DO' 'BEGIN' Zl:- Zi+ACH3[A,S,T-i,i]~A2[T,MUE-l,i]+ ACH3[AfS,T,2]«A2CT+i,MUE,i]; Z2:= Z2+ACH3[A,S,T,3]-A2CT+i,MUE,2]; Z4:= Z4+ACH3[A,S,T,4>A2[T+1,MUE,2]; 'END'; Bi:= B1+Z1-Z3; Qi:- Q1-Z2-Z3; Q2:» Q2-Z4; 'END'; GAMi:= MCHi[J,il; ' 'END : - 59 -

Z2:= MCHi[J,2]; Z3:= MCHi[J,3l; Z4:= MCHiCJ,4]; Z5:= MCHiCJ,5l; MF' V3 'EQUAL' o 'THEN' 'BEGIIN No:» No+Noi~SXl+No2«CXI; Ni: = Ni+Nii~SXI+Ni2~CXI; N2: = N2+N2I' «SX MUECH[-i,l]:- MUECH[-l,i]+Bl-Z2; MUECHC 0,1]:- MUECHC o, 1 ]+Blo~Z2 ; MUECHC-2,2]:= MUECHC-2,2 ]+Ql2~Z2>«Z4 ; MUECH[-i,2]:- MUECH[-i,2]+Qi~Z2~Z4; MUECHC 0,2]:= MUECHC o,2]+Qio~Z2«Z4; MUECHC-2,3]:- MUECHC-2,3]+Q22-Z2-Z5; MUECHC-1,3]:- MUECHC-r,3]+Q2-Z2«Z5; MUECHC o,3]:= MUECHC o,3]+Q2o~Z2~Z5; C0o:= CO0-N0I-Z2; COi:- C0i-Nii«Z2; C02:- C02-N21-Z2; Zl:- WA~Z2~Z5; 'IF' HOM 'EQUAL' o 'THEN' Z5:- 1 'ELSE' »BEGIN' Z5:= ARCTAN((XR-XM)/(YM-YR)): ' Z5:= ABS(Z5-ARCTAN((XL-XM)/(YM-YL))); 'END'; Z2:= Z5-SUM-Z2-Z4; ZQo:- ZQo+Z5~(Z3+Z3); 'IF' W EQUAL' 2 'OR' W 'EQUAL' 4 'THEN' ' 'BEGIN' ZWo:= ZWo+YB-Zl; ZWl: = ZW1+Z1; 'END 'IF' W EQUAL' 3 'OR' W 'EQUAL' 4 'THEN' 'BEGIN' ZQo:- ZQ0+YB-Z2; ZQi: = ZQ1+Z2; 'END' 'END' 'ELSE' 'BEGIN' MUECHCMUE,l]: MUECHCMUE,l]+Z2«Bl; MUECHCMUE,2]: MUECHCMUE,2]+Z2~Z4~Ql; MUECHCMUE.3D: MUECHCMUE,3l+Z2~Z5~Q2; 'END'; 'END'; 'IF' V3 'EQUAL' o 'THEN' 'BEGIN' ZWo:- Z7-ZW0; ZWi Z7-ZW1; HOM 'IF' 'EQUAL' o 'THEN 'BEG N' Zl - 2~ARCTAN(o.5~D/Po); Z2:- XWi-XM; Z3: = XW2-XM Z4 - P0-P0+0.25-D2; Z2:» ARCTAN(Z2/SQRT(Z4-Z2»«Z2) 5; Z2 = ABS(Z2-ARCTAN(Z3/SQRT(Z4-Z3-Z3))); ZQo := Z1-ZQ0; ZQi:- Zi~ZQi; ZWo:= Z2-ZW0; ZWi 2«ZWl; 'END' N:= No+Po~(Ni+Po*«N2); Zl:- C02-CXI; Z3:- o.25~D2; ZQ3:- ZQi/D; ZQ2:= 0.5-ZQ0; ZV/3:= ZV»i/D; ZW2:- 0.5 «ZWo; ZQi:- Z3-ZQ3; ZQo:- Z3-ZQ2; ZWi:= Z3-ZW3; ZWo:- Z3 «ZW2: 'FOR' T:- -2 'STEP' l 'UNTIL' o 'DO' 'BEGIN' 'IF' W 'EQUAL' 2 'OR' W 'EQUAL' 4 'THEN Zl:- Zi+Z7~MUECHCT,3]; MF' W 'EQUAL' 3 'OR' W 'EQUAL' 4 'THEN Zl:- Zi+MUECHCT,2]; MUECHCT.4]:- Zl; 'IF' T 'EQUAL' -2 'THEN' Zl MUECH[T+l,l]-SXI + COi' CXI; 'IF' T 'EQUAL' -1 'THEN* Zl MUECHCT+l,l]~SXI+COo' CXI; »END'; Zl:» MUECH[-2,4]; Z2:= MUECHC-l,41; Z3:» MUECH[o,43; Z:- Po~(ZQl+ZWi+Z2+Po~(ZQ2+ZW2+Zi+Po~(ZQ3+ZV/3))); MUECHCo,i3:= Z:= Z+ZQ0+ZW0+Z3; MUE: = GO TO' Li4 'END' - 60 -

Zl:- MUECH[MUE,i]~SXI; 'IF' W 'EQUAL' 2 'OR' W 'EQUAL' 4 'THEN' Zl:= Zi+Z7-Ml)ECH[MUE,3]; 'IF' W 'EQUAL' 3 'OR' W 'EQUAL' 4 'THEN'

. Zi:- Zi+MUECH[MUE,2]; MUECH[MUE,43:= Zi; 'IF' MUE 'EQUAL' 1 'THEN' Z2:- Zi/Po; 'IF' MUE 'EQUAL' 2 'THEN' Z2:- Zi/(Po~Po); 'IF' MUE 'NOT LESS' 3 'THEN' Z2:= Zi/EXP(MUE~LN(Po)); MUECH[MUE,l]:= Z:= Z+Z2: Li8: 'IF' b-3 'LESS' ABS(Z2/N) 'THEN' 'BEGIN' 'IF' 3 'NOT LESS' MUE 'THEN' 'BEGIN' MUE:- MUE+l; 'GO TO' Ll4; 'END'; Vl : = o; 'FOR' M:- o 'STEP' l 'UNTIL' MUE-2 'DO' 'BEGIN' 'IF' Vl 'NOT EQUAL' 3 'THEN' 'BEGIN' Zl:= MUECH[M,1]; Z2: = MUECH[M+1,l]; Z3:= MUECH[M+2,1]; 'IF' (Z2-Zl)-(Z3-Z2) 'LESS' o 'THEN' 'BEGIN' T3:= o.5~(Z3-Z2-Z2+Zi); T4: = Z2-T3-Z1; T5:= -0.5-T4/T3; Z5:= Zi+T5~(T4+T5~T3); 'IF' Vl 'EQUAL' o 'THEN' 'BEGIN' Vl:- l; XL:= Z4:- Z5; Ti:- ABS(Z4); 'END' 'ELSE' 'BEGIN' T2:= ABS(Z4-Z5); 'IF' Tl 'NOT LESS' T2 'OR' Vl 'EQUAL' 1 'THEN' 'BEGIN' Ti:= T2; 'IF' Vl 'EQUAL' l 'THEN' Vl:- 2 'ELSE' XL:= XR; XR:- Z5; 'END' 'ELSE' 'BEGIN' Vi:- 3; V3: = M+2; Z:- o.5~(XR+XL); Zi:- ABS(Z-Z3); 'FOR' V2:- M+i 'STEP' -1 'UNTIL' o 'DO' 'BEGIN' Z2:- MUECH[V2,1]; Z3:= ABS(Z-Z2); 'IF' Zl 'GREATER' Z3 'THEN' 'BEGIN' Zl:- Z3; V3:- V2; 'END'; 'END'; 'END'; 'END'; 'END'; 'END'; 'END'; 'IF' Vl 'NOT EQUAL' 3 'THEN' 'BEGIN' Z:= MUECH[MUE,l]; 'IF' 19 'NOT LESS' MUE 'THEN' 'BEGIN' MUE:= MUE+l; 'GO TO' Ll4; 'END'; 'END'; ZAEHLERFUNKTION ERREICHT BEI MUE= 0UTPUT(5l, "(39HoDIE , I 4,15H DIE VERLANGTE/ 53H GENAUIGKEIT NOCH NICHT. DIE NAEHERUNGSWERTE BETRAGEN// 21H MUE Z(MUE))",MUE); 'FOR' T:- o 'STEP' 1 'UNTIL' MUE 'DO' 0UTPUT(51,"(l3,E2 3.1o)",T,MUECH[T,l]); BERECHNUNG WIRD FUER Z- 0UTPUT(51, "(29H0DIE , E2o.lo,l6H WEITERGEFUEHRT)",Z); 'END'; - 61 -

KCH[APP,2]:= XR:= Z/N; 'IF' ART 'EQUAL' o 'THEN' ' " 'BEGI N OUTPUT( 51, (////3oHo , 34H // 4lH RESULTATE FUER DIE GEGEBENE GLEITFLAECHE)"); XL:= Po; 'GO TO' L23; 'END'; Li9: 'IF' APP 'EQUAL' o 'THEN' XL:- o.75~D 'ELSE' 'BEGIN' Zl:= (KCH[APP-i,2]-XR)/(KCH[APP-i,l]-Po); XL:= o.5~(Po+KCH[APP-i,i])/EXP(Zi/XB); 'END' ; Z2:= Z4:- o; 'IF' b-2 'NOT LESS' ABS((Po-XL)~XB) 'THEN' 'GO TO' L21; 'IF' APP 'EQUAL' o 'THEN' L2o: 'BEGIN' APP:= APP+i; 'IF' HOM 'EQUAL'. 1 'THEN' 'BEGIN' Po:= XL; 'GO TO' Lo9; 'END'; Zl := ARCTAN(o.5~D/XL)/ARCTAN(o.5«D/Po); ZQo:= Z1-ZQ0; ZQi:- Z1-ZQ1; ZQ2: = Z1-ZQ2; ZQ3: = Zi>«ZQ3; Zl := XWi-XM; Z2:= XW2-XM; Z3:= Po-Po+o.2 5~D2; Z4 := ARCTAN(Zl/SQRT(Z3-Zl~Zi)); Z4 := ABS(Z4-ARCTAN(Z2/SQRT(Z3rZ2»«Z2))); XM := o.5+YD~XL; YM:= 0.5-YB+XL/D; Po;= KCHCAPP,l]:= XL; Zl := XWi-XM; Z2: = XW2-XM; Z3:= Po-Po+o.25-D2; Z5 := ARCTAN(Zl/SQRT(Z3-Zi~Zl)); Z5 := ABS(Z5-ARCTAN(Z2/SQRT(Z3-Z2»«Z2))); Zl:» Z5/Z4; ZWo:= Z1-ZW0; ZWi:= Z1-ZW1; ZW2:= Z1-ZW2: ZW3:= Zi«ZW3; Z:= Po-(ZQ2+ZW2+MUECHC-2,4]+Po*«(ZQ3+ZW3)); Z:= ZQo+ZWo+MUECHCof4]+Po-(ZQl+ZWi+MUECH[-i,4]+Z); MUECH[o,i]:- Z; N:= N0+P0-N1; Zi:- 1; 'FOR' M:- 1 'STEP' 1 'UNTIL' MUE 'DO' 'BEGIN' Zi:= Z1/P0; Z2:= MUECH[M,4>Zi; Z:= MUECH[M,i]:= Z+Z2; 'END'; 'GO TO' L18; 'END'; Zl:- KCH[APP-i,i]; Z2:- KCH[APP-i,2]; 'IF' Po 'GREATER' Zl

'THEN' 'BEGIN' Z3:- Po; Z4:= XR; 'END' . 'ELSE' 'BEGIN' Z3:= Zl; Z4:- Z2; Zl:- Po; Z2:= XR; 'END'; 'IF' Z2 'GREATER' Z4 'THEN' •BEGIN' 'IF' XL 'GREATER' Zl 'THEN' 'GO TO' L21; 'GO TO' L24; 'END'; 'IF' Z2 'EQUAL' Z4 'THEN' 'GOTO' L2o; 'IF' XL 'NOT LESS' Z3 'THEN' 'GO TO' L24; L2i: 'IF' 0.001 'NOT LESS' ABS(Z2-Z4) 'THEN' 'BEGI N ' » ' OUTPUT( 51, (////3oHo , 34H //15H RESULTATE FUER, 46H DIE DIREKT BESTIMMTE MASSGEBENDE GLEITFLAECHE)"); 'GO TO' L2 3; 'END'; L22: 'IF' 19 'NOT LESS' APP 'THEN' 'GO TO' L2o; OUTPUT(51,"(////23HoDIE DIREKTE BESTIMMUNG, 34H DER MASSGEBENDEN GLEITFLAECHE IST/ 5lH NACH 2o ITERATIONSSCHRITTEN NOCH NICHT ERFOLGREICH)"); 'GO TO' L25; 'END'; 'END'; ' 'END ; -62-

L23: T:= b5>«THETA; Z3:= XB~(o. 5~YB+XL/D)+YAU; Z4:= XB~Po; Zl:- XB~SQRT(o.25~D2+XL~XL); Z2: = XB~(o.5+YD~XL)+XAU; 'IF' XBU 'NOT LESS' XAU 'THEN' OUTPUT(5l,''(12H0WASSERSEITE)'') 'ELSE' OUTPUT(5l,"(loHoLUFTSEITE)"); OUTPUT(5l,"( 34H UNTERER BOESCHUNGSPUNKT XA« ,Flo.3,7H YA= ,Flo.3/ 34H OBERER BOESCHUNGSPUNKT XB= ,Flo.3,7H YB= ,Fio.3/ 34H MITTELPUNKT XM= ,Flo.3,7H YM= ,Fio.3/ PM- 34H RADIUS UND SEHNENABSTAND RM= fFlo.3,7H . Flo.3/)",XAU,YAU,XBU,YBU,Z2,Z3,Zi ,Z4); IF' ART 'EQUAL' o 'THEN OUTPUT(51, "(16H GLEITSICHERHEIT, 3QH NACH FELLEN I US FUER DEN BELASTUNGSFALL)") 'ELSE OUTPUT(5l,"(25H MINIMALE GLEITSICHERHEIT, 39H NACH FELLEN I US FUER DEN BELASTUNGSFALL)"); 'IF' 'EQUAL' o 'THEN OUTPUT(51,"(l4H OHNE ERDBEBEN)") 'ELSE OUTPUT(51,"(23H MIT ERDBEBEN ( THETA= ,F7.3, 7H XI- ,Fl3.9,2H ))",THETA,XI); 'IF' W 'EQUAL' 1 'OR' W 'EQUAL' 3 'THEN OUTPUT(51,"(l4H OHNE AUFTR EBV ) 'ELSE OUTPUT(51,"(l4H MIT AUFTR EBV ); 'IF W 'EQUAL' 1 'OR' W 'EQUAL' 2 'THEN OUTPUT(51,"(27H OHNE PORENWASSERSPANNUNGEN/ 'ELSE OUTPUT(5l, "(27H MIT PORENWASSERSPANNUNGEN/ n, 'IF' ART 'EQUAL' o 'THEN 0UTPUT(51, " (5oX,3HF= ,F8.3) " .XR) " " 'ELSE 6HFM I N= F8 . XR OUTPUT( 51, ( 47 X, , 3) , ) ; " 34Ho OUTPUT( 51, ( , 3oH ////)"); •GO TO' L2 6; L24: OUTPUT(5l,"(////29HoDIE MASSGEBENDE GLEITFLAECHE, 28H KANN WEGEN UNREGELMAESSIGER/9H FORM DER, 47H WAHREN KURVE F(P) NICHT DIREKT BESTIMMT WERDEN)"); L25: OUTPUT(5l,"(l4H DIE EINZELNEN, 45H APPROXIMATIONEN FUEHRTEN ZU FOLGENDEN WERTEN/ 26H APPR Po(APPR) Fo(APPR))"); 'FOR' M:= o 'STEP' l 'UNTIL' APP 'DO' 'BEGIN' Zi:-,XB~KCH[M,i]: OUTPUT(5l,"(U,2Fil.3)",M,Zi,KCH[M,2]); 'END'; L26: 'BEGIN' 'SWITCH' SW:= Loi,Lo2,Lo3,Lo4,Lo5,L06,Lo7, L08; Vi:» o: L27: READ(M); 'IF' M 'NOT EQUAL' -1 'THEN' 'BEGIN' Vi:- V1+1; 'IF' M 'NOT EQUAL' o 'THEN' 'GO TO' SW[M]; READ(M,MCHi[M,l],MCHi[M,2],MCHi[M,3],MCHi[M,4],MCHi[M,5]); " 'IF' Vl 'EQUAL' 1 'THEN' OUTPUT(5l, (//// 36H AENDERUNG DER MATERIALEIGENSCHAFTEN)"); OUTPUT(51,"(8HoSCHICHT, I5, 14H GAMMA =,F9.2/ 8X,19H TGPHI -fF9.2/8X,19H KOHAESION =,F9.2/ 8X,19H BQUER -,F9.2/8X,19H AUFTRIEB = ,F9.2)' M,MCHi[M,i],MCHitM,2],MCHi[M,3],MCHi[M,4],MCHi'[M,5]); MCHi[M,6]:= MCHi[M,i]; MCHl[M,7]:- MCHi[M,3]; MCHi[M,i]:= Z7-MCHi[M,6]; MCHi[M,.3]:= Z6-MCH1 [M, 7 ] ; 'GO TO' L27; 'END'; 'END'; END': END -63-

3.4. Output

3.4.1. Resultate

Den Resultatentabellen können alle die Gleitfläche und den Belastungs¬ zustand charakterisierenden Grössen sowie die erhaltene Gleitsicherheit entnommen werden. Sie werden in folgender Form gedruckt.

RESULTATE FUER DIE DIREKT BESTIMMTE MASSGEBENDE GLSITFLAECHE

WASSERSEITE UNTERER BOESCHUKGSPÜNKT XA= 194.500 YA= 128.000 OBERER BOESCHUNGSPUNKT XB= 410.000 YB= 212.000 MITTELPUNKT XM= 234.212 ïm= 344.550 RADIUS UND SEHNENABSTAND RM= 220.161 31= 187.341

MINIMALE GLEITSICHERHEIT NACH FELLENIUS FUER DEN BELASTUNGSFALL MIT ERDBEBEN ( THETA= .100 XI= 0 ) OHNE AUFTRIEB MIT PCRENWASSERSPANNUNGEN

FMIN= 1.202

Der am Anfang des Programms eingegebene Text wird zeichengetreu auf dem

Drucker wiedergegeben und ist ebenfalls als Resultat zu werten. Dieser be¬

liebige alphamerische Text kann alle vom Benutzer gewünschten Angaben ( z.B.

Objektname und - Nummer, Datum, Verrechnung, etc ) enthalten.

3.4.2. Meldungen

Erreicht eine der Iterationen nach einer bestimmten Anzahl Schritten die vorgesehene Genauigkeit nicht ( "totlaufende" Prozesse ), oder sind die erhaltenen Werte sinnlos oder widersprüchig, so wird die Anweisungsserie unterbrochen und eine entsprechende Meldung ausgedruckt. Die Meldung ent¬ hält Angaben über den Grund des Unterbruches ( oder des Abbruches ) sowie

über die getroffenen Massnahmen zur Weiterführung der Berechnung. Im ALGOL -

Programm sind die folgenden Meldungen vorgesehen.

Meldung 1

DER ITERATIV BERECHNETE WERT FUER A20JUER(5,9)

ERREICHT DIE VERLANGTE GENAUIGKEIT NACH 100 SCHRITTEN NICHT.

DIE ZULETZT BERECHNETEN WERTE BETRAGEN

J A2QUER(j-i; A2QUER(J)

100 -1.547096642E 6 -I.547096383E 6 - 64 -

Meldung 2

DIE ZAEHLERFUNKTION ERREICHT BEI MUE= 8 DIE VERLANGTE GENAUIGKEIT NOCH NICHT. DIE NÄHERUNGSWERTE BETRAGEN

MUE z(MUE) 0 1.3136491781E 06 1 1.0089791009E 06 2 1.2007036O72E 06

• *

8 1.2008146823E 06

DIE BERECHNUNG WIRD PUER Z= 1.2013583209E 06 WEITERGEFUSHRT

Meldung 3

DIE DIREKTE BESTIMMUNG DER MASSGEBENDEN GLEITFLAECHE IST NACH 20 ITERATIONSSCHRITTEN NOCH NICHT ERPOLGREICH

Meldung 4

DIE MASSGEBENDE GLEITFLAECHE KANN WEGEN UNREGELMAESSIGER FORM DER WAHREN KURVE F(p) NICHT DIREKT BESTIMMT WERDEN

Meldung 5

DIE EINZELNEN APPROXIMATIONEN FUEHRTEN ZU FOLGENDEN WERTEN APPR Pö(APPR) PO(APPR) 0 231.293 1.697 1 173.469 1.120 2 2C0.374 1.319

• • «

• • •

• • • 20 175.071 1.131

Meldung 6

AENDERUNG DER MATERIALEIGENSCHAFTEN

SCHICHT 9 GAMMA = 2.36

TGPHI = 0.87

KOHAESION = 1.00

BQUER = 0.15

AUFTRIEB = 0.00

Auf weitere Output-statements, z.B. Meldung bei nichtkonformer oder unvoll¬ ständiger Eingabe, Auftreten negativer Argumente bei LN- oder Wurzelfunktio- nen, usw. wurde verzichtet, weil die Fehlerursache nicht ohne weiteres pro¬ grammgesteuert behoben werden kann und zudem solche Meldungen im Allgemeinen vom Computer automatisch erstattet werden und in den meisten Fällen zu einem

Betriebsstop führen. - 65 -

4. ANWENDÏÏNGSBEISPIELE

4.1. Beispiel Nr. 1

Dieses Beispiel dient unter anderem dazu

- Missverständnisse bezüglich der Anwendung der Formel von W. Fellenius, beson¬

ders über die Einführung der Porenwasserspannungen und der Erdbebenkräfte aus-

zuschliessen,

- den Verlauf der Funktion F - f(p) im homogenen und inhomogenen Fall zu zeigen,

- die minimale Gleitsicherheit für ein festes Punktepaar A,B zu bestimmen,

- einen direkten Vergleich mit den Resultaten des Beispiels Nr. 3 (Anwendung der

entwickelten Methode) zu gestatten und schliesslich

- die Abhängigkeit des Gleitsicherheitsfaktors von der Anzahl Lamellen numerisch

zu beweisen.

Das den Berechnungen zugrundegelegte Profil (Fig. 38 und Tab. l) hat durch

den ausgefallenen Aufbau wohl keine praktische Bedeutung ist aber so gewählt

worden, weil erst dadurch möglichst viele Randeffekte erfasst und deren richti¬

ge Behandlung durch das ALGOL-Programm überprüft werden können.

Da die Methode von W. Fellenius schon im Abschnitt 1.2 hergeleitet und

eingehend erläutert wurde, kann hier auf ein Kommentar der in Tab. 2 darge¬

stellten numerischen Anwendung verzichtet werden.

Die Resultate der Berechnungen und der Verlauf der Funktion F = f(p) für

sämtliche Belastungsfälle können den vergleichenden Tabellen und Kurven des

Beispiels Nr. 3 entnommen werden.

j V. tgf' c1 tot A Test- Böschung

0 2.51 0.S2 2.50 0.15 0

1 2.60 0.92 2.50 0.15 1 2 2.37 0.75 5.13 0.05 0 0 ^ s 2.42 0.93 0.00 0.00 1

4 2.15 0.81 1.50 0.10 1

Tab. © 1. Materialdaten © ©

Sickerlinie tf = 0.07 © J =% R = 30.0

XA = 18.0

XB = 50.0 - 66 -

Tab. 2. Anwendung der Formel von W. Fellenius

1 T.. to*:. H. B.. "l. u L. COS«*, SINd, Gl TGf, c! U( h \

0 2.51 .92 7.50 .15 .5714 0 2.60 .92 ?.50 .15 .792.» ! .9608 1^9608 .51087 .85966 3.4951 .9? 2.50 .5234 .7717 14.6289 1 2.51 .92 7.50 .15 1.7143 0 R.60 .92 '.50 .15 2.2221 i ./7/5 1.7775 .56319 .82633 'io.:«4 .9? 2.5' 1.5104 2.2065 14.9290 ? 2.51 .92 2.50 .15 2.857) 0 2.60 .92 2.50 .15 3.1606 .^278 2.42 .93 0 0 .3015 .9149 1.6427 .60923 .79299 16.1186 .93 1.11 1,0704 '3.4498 15.1219 3 2.51 .92 ».50 .15 4.0000 0 2.60 .92 2.50 .15 2.6000 0 2.4? .93 0 0 1.9531) 1.53B6 1.5386 .6503? .75966 21.5263 .93 0 0 4.5429 15.2072 4 2.51 .92 2.50 .15 4.6429 0 2.60 .92 2.50 .15 1.6571 0 2.42 .93 0 0 3.5197 .7342 2.15 .81 1.50 .10 .14515 .7213 1.4555 .68735 .72633 25.3115 .87 .74 1.2538 5.5133 15.4824 5 2.51 .92 2.50 .15 4.7857 0 2.60 .92 2.50 .15 1.1143 0 2.42 .93 0 0 4.1556 0 2.15 .81 1.50 .10 1.117= 1.3875 1.3875 .72094 .69299 27.3684 .81 1.50 2.7359 6,3799 15,9269 » 2.51 .92 2.50 .15 4.9286 0 2.60 .92 ?.5D .15 .3714 0 2.42 .93 0 0 6.4609 .7899 2.15 .81 1.50 .10 .331? .5410 1.3309 .75156 .65966 29.6839 .88 .61 1.2062 7.1570 16.4225 7 2.51 .92 2.50 .15 5.0714 0 2.37 .75 5.13 .05 .2619 0 2.42 .93 0 0 7.5990 1.2831 1.2831 .77956 .62633 31.7396 .93 0 0 7.5932 16.8988 8 2.-51 .92 ?,50 .15 4.7143 0 2.37 .75 5.13 .05 .7857 0 2.4J .93 0 0 7.7020 1.2421 1.2421 .80521 .59299 32.3339 .93 0 0 7.6967 17,4960 9 2.51 .92 2.50 .15 3.8571 0 2.37 .75 5.13 .05 1.3095 0 2.42 .93 0 0 7.7410 1.2069 1.2069 .82872 .55966 31.5183 .93 0 0 7.7361 18.3571 10 2.51 .92 ?.50 .15 3.0000 0 2.37 .75 5.13 .05 1.S333 0 2.42 .93 0 0 7.7217 1.1762 1.1762 .85028 .52633 30.5607 .93 0 0 7.7168 19.1915 11 2.51 .92 2.50 .15 2.1429 0 2.37 .75 5.13 .05 2.3571 0 - 2.42 .93 0 0 7.3708 .2824 2.15 .81 1.50 .10 .2766 .8671 1.1495 .87003 .49299 29.3969 .84 1.13 2.2172 7.6431 19.9862 12 2.51 .92 2.50 .15 1.2857 0 2.37 .75 5.13 .05 2.881T 0 2.42 .93 0 0 6.3333 0 2.15 .81 1.50 .10 1.199' 1 .1261 1.1261 .88810 .45966 27.9387 .81 1.50 2.7936 7.5187 20.7284 13 2.51 .92 7.50 .15 .428^ 0 2.37 .75 5.13 .05 3.2589 0 2.42 .93 0 0 5.4125 0 2.15 .81 '.50 .10 2.0837 1.1056 1.1056 .90457 .42633 26.3775 .81 1.50. 2.6375 7.4924 21.4584 14 2.37 .75 5.13 .05 3.1339 0 7.42 .93 0 0 4.637=5 0 22.1310 2.15 .81 1.50 .10 2.9329 J.08/6 1.0876 .91954 .39299 24.9559 .81 1.50 2.4954 7.5668 15 2.37 .75 5.13 .05 2.6518 0 2.42 .93 0 0 3.8958 0 2.15 .81 • .50 .10 3.705? * .0718 1.0718 .93308 .35966 23.6804 .81 1.50 2.3679 7.5983 22.7453 16 2.37 .75 5.13 .05 2.169* 0 2.42 .93 0 0 LI"""« 5 23.3494 2.15 .81 1.50 .10 4.404= 1.0580 1.0580 .94526 .32633 22.3255 .81 1.50 2.2324 7.5887 17 2,37 .75 5.13 .05 1.687= 0 2.42 .93 0 0 2.479? 0 2.15 .81 '.50 .10 5.0*36 1.0460 1.0460 .95611 .29299 20.-8858 .81 1.50 2.0884 7.5396 23.9440 18 2.37 .75 5.13 .05 1.2054 0 2.42 .93 0 0 1.7708 0 2.15 .81 1.50 .10 5.6846 1.0356 1.0356 .96570 .25966 19.3640 .81 1.50 1.9363 7.4523 24.5312 19 2.37 .75 5.13 .05 .723? •o 2.42 .93 0 0 1.0625 0 2.15 .81 1.50 .10 6.2685 1.0267 1.0267 .97405 .22633 17.7625 .81 1.50 1.7762 7.3280 25.1138 20 2.37 .75 5.13 .05 .2411 0 2.42 .93 0 0 .354? 0 2.15 .81 1.50 .10 6.8163 1.0192 1.0192 .98120 .19299 16.0835 .81 1.50 1.6083 7.1675 25.6959 21 2.15 .81 1.50 .10 P 0 2.15 .81 1.50 .10 6.8288 1.0130 1.0130 .98717 .15966 14.6820 .81 1.50 1,4681 6.8260 26.1979 2? 2.15 .81 1.50 .10 0 0 26.6035 2.15 .81 1.50 .10 6.3067 1.0081 1.0081 .99199 .12633 13.5594 .81 1.50 1.3559 6.3038 23 2.15 .81 1.50 .10 0 0 26.9920 2.19 .81 l.fO .10 5.7504 1..0044 1.0044 .99567 .09299 12.3633 .81 1.50 1.2363 5.7476 24 2.15 .81 1.50 .10 0 0 2.IS .81 1.50 .10 5.1603 1.0018 1.0018 .99822 .05966 11.0946 .81 1.50 1.1094 5.1575 27.3636 25 2.15 .81 1.50 .10 0 0 27.7185 2.15 .81 1.50 .10 4.5367 1.0004 1.0004 .99965 .02633 9.7538 .81 1.50 .9753 4.5339 26 2.J5 .81 1.50 .10 r 0 28.0567 2.15 .81 1.50 .10 3.8797 1.0001 1.0001 .99998 -.00701 8.3413 .81 1.50 .8341 3.8769 27 2.15 .81 • .50 .10 r 0 28.3615 2.15 .81 1.50 .10 3.2226 1.0009 1.0009 .99919 -.04034 6.9287 .81 1.50 .6928 3.2199 2« 2.15 .81 ' .50 .10 p 0 28.6329 2.15 .81 1.50 .10 2.5655 1.0078 1.0028 .99728 -.07367 5.5159 .81 1.50 .5516 2.5627 ' 29 2.15 .81 1.50 .10 0 28.8875 2.15 .81 1.50 .10 1.8746 1.0058 1.0058 .99426 -.10701 4.0308 .81 1.50 .4031 1.8720 3(1 2.15 .81 1.50 .in 0 29.1252 2.15 .81 ! .50 .10 1.150! 1.0100 1.0100 .99010 -.14034 2.4728 .81 1.50 .2473 1.1473 3' 2.15 .81 1.50 .10 r 0 .0841 .3882 29.3456 2.15 .81 1.50 .10 .3911 1.0155 1.0155 .98480 -.17367 .8409 .81 1.50 1

21--'• _-T-Jlf.r„.coSol- «G'S'N '«-f"} ' » Fl» • 1.819 1.602 £5'S"«o(

2k« -"=*'• -5»COSol-L« *)} 2[c'«L-T-,<»'• [3-COSol- «G^SINiÄ-f>-l'»]} » • 1.003 F3» 1.144 SO*ä'N V[g«M'Ii»- • ;«(SIM»S!Nf"•CGSf/X)] 2{c'«- '} 20*'-*T"*'*l"*-r,S<<- *S«SlNtcl-J)-i«(A»U)'l .996 ,873 5I[j«M-lct» • r-,.S;Nf;-»~«CO':J/.*>] -67-

Wie die Resultate der Tab. 3 und die entsprechende Kurve der Fig. 39 zeigen, ist der Einfluas der Anzahl Lamellen auf den Gleitsicherheitsfaktor relativ gering. So ist, zumindest im vorliegenden Fall, bei 20 Lamellen nur mit einem

Fehler von öa. 1 $»zu rechnen. Von besonderer Tragweite ist indessen die Tat¬ sache, dass mit zunehmender Anzahl Lamellen die Gleitsicherheit zu- oder ab¬ nehmen kann. Anders ausgedrückt kann die Einteilung in wenigen Lamellen be¬

" " sonders im Fall mit Erdbeben zu einer zu optimistischen Beurteilung der

Gleitsicherheit führen. Diese Abhängigkeit ist in erster Linie auf die zu ungenaue Berechnung des Winkels ot und keineswegs etwa auf den ausgefallenen

Aufbau der untersuchten Böschung zurückzuführen.

Daraus ergibt sich zwangsläufig die Konsequenz, dass bei Anwendung der

Lamellenmethode offenbar die alte Ingenieurregel, wonach überschlägige Dimen¬

sionierungen auf der "sicheren Seite" sein sollen, nicht immer gilt. Die im

Abschnitt 1.1 aufgestellte Behauptung über den Umfang der Berechnungen be¬

steht somit zu recht.

Anzahl Lamellen Ohne Erdbeben Mit Erdbeben Lamellen Breite F e& F efoo

1 32.000 1.9274 200.00 1.7828 169.00 2 16.000 1.6221 8.90 1.5084 10.00 4 8.000 1.6030 3.00 1.4940 20.30 8 4.000 1.6061 1.06 1.5170 5.24 16 2.000 1.6075 0.19 1.5226 1.57 32 1.000 1.6077 0.06 1.5242 0.52 64 0.500 1.6078 0.00 1,5248 0.13 128 0.250 1.6078 0.00 1.5249 0.07 256 0.125 1.6078 0.00 1.5250 0.00

Tab. 3. Abhängigkeit der Gleitsicherheit von der Lamellenbreite

F,

\

" >0 460-

\ mi- i Erdlleben

1.55- —\ '

•5 \

F«f(ii •0 -

1.50- K^

» A\ li / 6 3 2 4 1 28 z5(, irrigt

Fig. 39 - 68 -

4.2. Beispiel Nr. 2

Dieses Beispiel dient dem Vergleich zwischen erforderlichen Böschungsnei¬

gungen bei Anwendung der klassischen Gleitsicherheitsdefinition und bei An¬

wendung der im Abschnitt 1,2.2 vorgeschlagenen Gleitsicherheitsdefinition.

Die maximal tolerierbare Neigung einer Böschung ist abhängig von den Ma'te-

rialeigenschaften einerseits und von den einzuhaltenden Gleitsicherheits-

fak'toren andererseits. Da es hier lediglich um einen Vergleich geht, wird

c' = B = 0 angenommen während für IT und tgf die Mittelwerte S= 2.25 t/m3und

tg*P = 0.70 gelten sollen. In einem solchen Fall ist bekanntlich der massge¬

bende Gieitkreis mit der BöschungsOberfläche identisch ( R =o°). Nach der heute allgemein üblichen Gleitsicherheitsdefinition gilt somit für die Bö-

schungsneigung tgt* die Beziehung

ÏQd < £- • fo f 142.

unabhängig davon mit welcher Genauigkeit ( Streuung ) und auf Grund wievieler

Messungen die Mittelwerte der Materialeigenschaften bestimmt worden sind.

Diese Einflussgrössen können nun bei Anwendung der Gleitsicherheitsdefinition nach Abschnitt 1.2.2 berücksichtigt werden« Dabei sollen, um einen möglichst konkreten und von anderen Einflussgrössen freien Vergleich durchführen zu können, die Werte 0 und n für alle Materialien gleich sein» Im vorliegenden

Fall werden die selbst für kleinere Schüttungen durchaus zumutbaren Werte

^=^1= 0.1 und Hy= n^= 5 angenommen.

Da die Anzahl tatsächlich durchgeführter Versuche kleiner, gleich oder grösser als n sein kann wurden in der Zusammenstellung der Tabelle 4 diese drei Fälle gesondert untersuchte

Es zeigt sich, dass die Durchführung einer zu geringen Anzahl Versuche

( n5j ), die zwangsläufig auch auf zuverlässigere

Mittelwerte führt, eine leicht wirtschaftlichere Dimensionierung als bei An¬ wendung der klassischen Gleitsicherheitsdefinition zulassen würde,( Fig. 40 ).

Besonders ausgeprägt ist die angemessene Berücksichtigung eingehender Mate¬ rialuntersuchungen bei der Festlegung der erforderlichen Gleitsicherheits¬ faktoren ( F = 2.07 bei nna ). -69-

Tah. 4. Anwendung der vorgeschlagenen Gleitsicherheitsdefinition

n< n. n« Ha n>Ba 3 fc tgV V« tg«P' Sc tgV

1 2.26 0.66 2.25 0.70 2.25 0.70

2 2.31 0.65 2.20 0.65 2.20 0.65

3 2.18 0.79 2.18 0.65 2.18 0.65

4 - - 2.31 0.79 2.31 0.79

5 - - 2.31 0.71 2.31 0.71

"

6 - - - 2.21 0.68

7 - - - - 2.19 0.72

8 - - - - 2.26 0.74

9 - - - - 2.29 0.70

10 - - - - 2.30 0.66

ma 0.0655 0.0781 0.0602 0.0574 0.0516 0.0437

• 0.06 0.09 0.06 0.09 0.06 0.09

V. -0.07 -0.05 -0.07 -0.05 -0.07 -0.05

arn 2.25 0.70 2.25 0.70 2.25 0.70

Fa 2.0760 2.0878 1.3035 1.3115 1.1037 1.1094

a* 1.083 0.336 1.725 0.533 2.040 0.632

' oC* go 10« 22° 10« 29° 50'

Ferf. 2. 07 i.:50 i.:L0

klassisct

Fig. 40 - 70 -

4.3. Beispiel Nr. 3

Hauptzwecke dieses Beispiels sind

- die Anwendung des vorgeschlagenen Auswertungsverfahrens sowie des dazuge¬

hörenden ALGOL - Programms auf homogene und inhomogene Böschungen,

- der Vergleich der erhaltenen Resultaten mit denjenigen- der klassischen

Berechnungsmethode,

- die Ueberprüfung der Wirksamkeit der im ALGOL - Programm eingebauten Ite¬

rationsverfahren, Kontrollen und Abbruchkriterien durch Berücksichtigung

selten vorkommender Fälle ( ungewöhnlicher Aufbau der untersuchten Bö¬

schung ),

Von zentraler Bedeutung für die Anwendung des vorgeschlagenen Auswertungsver¬ fahrens ist die Scheibeneinteilung der zu untersuchenden Böschung; dies vor allem deshalb, weil eine solche Zerlegung bei der klassischen Methode nicht notwendig und somit ungewohnt ist, dann aber auch, weil durch ungeschickte

Wahl der Scheibenreihonfolge der Rechenablauf stark verlangsamt und damit der

Zeitgewinn gegenüber den bisherigen Auswertungsverfahren empfindlich redu¬ ziert wird. In vorliegender! Fall erfolgte die Scheibeneinteilung gemäss

Fig. 41, wobei im homogenen Fall nur die Schichten 0 und 2 im inhomogenen

Fall alle Schichten berücksichtigt werden.

Betrachtet man die in den Tabellen 5 und 6 zusammengestellten Resultate

Fig. 41 - 71 -

Tab. 5. Vergleich der Resultate für die homogene Böschung

Lamellenmethode Integralme thode R s = 2 s=3 s = 2 s = 3 t=0 t=l t=0 t=l t=0 t=l t=0 t=l

20.0 1.610 1.436 2.171 1.935 1.243 1.102 2.889 2.593 22.0 1.532 1.358 1.989 1.764 1.513 1.341 1.966 1.743 24.0 1.502 1.326 1.901 1.680 1.497 1.321 1.864 1.646 26.0 1.492 1.314 1.853 1.633 1.489 1.316 1.867 1.646 28.0 1.493 1.312 1.825 1.605 1.494 1.309 1.812 1.594 30.0 1.499 1.315 1.809 lo589 1.498 1.317 1.802 1.583 32.0 1.508 1.321 1.800 1.579 1.509 1.322 1.797 1.576 34.0 1.519 1.329 1.797 1.574 1.520 1.330 1.794 1.572 36.0 1.532 1.339 1.796 1.572 1.530 1.338 1.805 1.571 38.0 1.545 1.350 1.799 1.573 1.544 1.349 1.805 1.578 40.0 1.559 1.360 1.802 1.575 1.558 1.360 1.807 1.579 42.0 1.572 1.371 1.807 1.578 1.572 1.371 1.811 1.581 44.0 1.586 1.383 1.813 1.582 1.586 1.382 1.815 1.584 46.0 1.600 1.394 1.819 1.586 1.599 1.393 1.821 1.588

R* = 28-185 l.t'ü5

Direkt bestimmte r* = 29.212 1.326 massgebende Gleitfläche r* = 35.534 1*797

R* = 37.789 1.573

Tab. 6. Vergleich der Resultate für die inhomogene Böschung

Lamellenmethode Integralmethode R s = 2 s = 3 s = 2 s = 3 t=0 t=l t=0 t=l t=0 t=l t=0 t=l

20.0 1.156 1.037 1.892 1.696 0.849 0.755 2.490 2.248 22o0 1.121 0.997 1.734 1.544 1.122 0.998 1.740 1.550 24.0 1.114 0.985 1.668 1.480 1.130 1.000 1.656 1.469 26.0 1.120 Q.987 1.677 1.483 1.134 0.999 1.668 1.475 28.0 1.130 0.993 1.673 1.476 1.140 1.003 1.672 1.474 30.0 1.143 1.003 1.674 1.473 1.151 1.010 1.676 1.475 32.0 1.158 1.014 1.678 1.475 1.159 1.015 1.679 1.476 34.0 1.173 1.026 1.685 1.479 1.173 1.026 1.683 1.477 36.0 1.188 1.038 1.693 1.485 1.188 1.038 1.692 1.484 38.0 1.203 1.050 1.703 1.491 1.202 1.049 1.702 1.491 40.0 1.218 1.062 1.713 1.499 1.217 1.062 1.712 1.498 42.0 1.233 1.075 1.720 1.504 1.233 1.074 1.720 1.504 44.0 1.247 1.087 1.727 1.509 1.247 1.086 1.727 1.509 46.0 1.261 1.C93 1.734 1.514 1.261 1.098 1.734 1.514

R* = 24.9öS 1.151

Direkt bestimiate R* = 26,906 1.001 massgebende Gleitfläche R* = 27.975 1.672 R* = 30.382 1.475

sowie die Kurvenbilder der Figuren 42 und 43, so stellt man fest, dass für beide Belastungsfälle die Abweichungen der erhaltenen Gleitsicherheiten für p > d unwesentlich und für p < — sprunghaft sind und zwar gleichgültig ob mit - 72 -

oder ohne Erdbeben ( t = 1 reap, t = 0 ) gerechnet wurde. Das Minimum konnte in allen Fallen direkt bestimmt werden. Die Übereinstimmung des direkt be¬ rechneten Minimums mit dem effektiven Minimum ist für die homogene Böschung vollkommen, während im inhomogenen Fall ein relativer Extremwert berechnet wurde, welcher gerade das absolute Minimum darstellt. Die Abweichungen vom wahren Minimum sind im weiteren beim Auftreten einer Sickerlinie und der da¬ mit verbundenen Porenwasserspannungen ( s = 2 ) erwartungsgemäss grösser als sonst, liegen aber mit AP < 0.017 in der Grössenordnung von 1$ und somit innerhalb der tolerierten Grenze.

Homogen ohne Erdbeben

Fig. 42

Inhomogen mit Erdbeben

Fig. 43 - 73 -

4.4. Beispiel Nr. 4

In diesem Beispiel wird das vorgeschlagene Auswertungsverfahren auf

einen praktischen Fall angewandt. Beim untersuchten Profil ( Fig. 44 )

der handelt es sich um eine der Varianten für die Talsperre Santa Maria

Kraftwerke Sedrun ( Vorderrhein AG ), die dann allerdings au Gunsten einer

Betonstaumauer fallen gelassen wurde. Die Wahl des Profiltyps ( Aufbau,

Höhe, geometrische Form, etc. ) sowie die Lösung erdbaumechanischer Fragen

( Sickerlinie, Materialeigenschaften, Schichtstärken, etc. ) waren nicht

Gegenstand dieser Arbeit und wurden deshalb als gegeben betrachtet. Im

speziellen sind untersucht worden

- Direkte Bestimmung des massgebenden Gleitkreises und der minimalen

Gleitsicherheit für einen festen unteren Böschungspunkt und fünf oberen

Böschungspunkten,

- Einfluss der Variation des Porenwasserspannungskoeffizienten für das

Kernmaterial auf die minimale Gleitsicherheit und auf die Lage des mass¬

gebenden Gleitkreises,

- Einfluss der Variation des Erdbebenkoeffizienten ^ auf die Gleitsicher¬

heit und auf die Lage des massgebenden Gleitkreises,

- Verlauf der Funktion F = f(p) für verschiedene Werte von p ( resp. R ),

berechnet nach der klassischen und nach der vorgeschlagenen Methode,

- Vergleich des Zeitaufwandes beider Methoden,

- Zeitaufwand für höhere Genauigkeit.

Die für die erfolgreiche Anwendung des vorgeschlagenen Auswertungsverfahrens

eine entscheidende Rolle spielende Scheibeneinteilung erfolgte gemäss der

Zusammenstellung der Tabelle 7, wobei die Zuordnung der Punkt-, Geraden-

und Schichtnummern der Fig. 44 entnommen werden kann. Wichtig in diesem

Zusammenhang ist die Einführung der Hilfsgeraden 88, 89 und 90 sowie der

Schichten 10, 11 und 12. Diese Anordnung ist nötig, weil sonst die Bedin¬

gung Xj< Xj-M ( siehe Abschnitt 3.1.2. ) für die Streckenzüge der Mate¬

rialschichten 13, 14 und 15 nicht erfüllt wäre.

Die Berechnung erfolgte für den Belastungszustand " rasche Absenkung ",

mit Porenwasserspamiungen ( s = 3 ) mit und ohne Erdbeben {$ = 0.10, § = 0°).

Als unterer Böschungspunkt vmrde der Punkt P,3 gewählt, während die Lage

des oberen Böschungspunktes in Abständen von 5n vom Punkt P« an gegen die

Talseite fünf Mal verschoben wurde ( XB = 400,0 bis XB = 420.0 ). Die Re¬

sultate der direkten Bestimmung der massgebenden Gleitfläche sowie der mi¬

nimalen Gleitsicherheit können der Tabelle 8 entnommen werden. Beachtens¬

wert ist die Tatsache, dass, wie übrigens auch im Beispiel Nr. 3, <üe mass- Leer - Vide - Empty • VORLAGE-GROSS-ETH*

Vorlage > A3

* V 0 AGE-GROSS-ET H * - 75 -

gebenden Gleitkreise mit und ohne Erdbebenberücksichtigung praktisch iden¬

tisch sind; die bei klassischen Berechnungen bisher übliche Annahme, dass

der Einfluss des Erdbebens auf die Lage der massgebenden Gleitfläche ver¬

nachlässigbar sei, erweist sich somit als zutreffend. Wie die Fig. 45 deut¬

lich zeigt, liegt die kritische Gleitfläche hinter der Dammkrone, was

durchaus den bei der Berechnung verschiedener Dämme ähnlicher Art geraachten

Erfahrungen entspricht.

Tab. 8. Minimale Gleitsicherheit für variables XB

t == 0 t =: 1 XB R F R F

400.00 214.840 2.043 214.986 1.564 405.00 198.432 1.664 * 213.960 1.348 410.00 209.707 1.540* 220.161 1.202 415.00 205c716 1.438 206.006 1.089 420o00 234.784 1.641 234c048 1.246

* Iteration nach 20 Schritten abgebrochen

^nin

2.0-

1.5-

1.0-

400 410 420 XB

Fig. 45

In einem weiteren Schritt wurde der Porenwasserspannungskoeffizient B für das Kernmaterial variiert. Die Abhängigkeit der minimalen Gleitsicherheit von dieser ist in Einflussgrösse Fig. 46 dargestellt. Die Lage dar massge¬ benden Gleitfläche war praktisch unabhängig von der Variation von B (AR < 0.5), was mit Rücksicht auf die geringe Mächtigkeit der betroffenen Schicht nicht weiter erstaunlich ist. Die Variation des Beschleunigungsfaktors ^ für das horizontal angenommene Erdbeben rührte -zu der in Fig. 47 aufgezeichneten

zwischen und Die Abhängigkeit Fm;n "$ , Lage der massgebenden Gleitfiäche wurde von dieser Variation nicht beeinflusst. - 76 -

fw„ ' i

2.0-

1.5 - ^K

10 - ^-^f

1 1 1 B 0.30 0.45 0.60

Fig. 46 Fig. 47

Das vorliegende Profil wurde noch mit Hilfe eines früher aufgestellten ALGOL -

Programms und mit derselben Rechenmaschine ( CDC 1604-A des Rechenzentrums

der ETH )t nach der klassischen Methode berechnet. Da für beide Berechnungs-

arten die gleiche Rechengenauigkeit gefordert wurde, sind die Abweichungen

der Resultate und der jeweils nötige Zeitaufwand unmittelbar vergleichbar.

Die Resultate der Berechnungen sind in Tabelle 9 zusammengestellt und in

Fig. 48 aufgezeichnet. Auch hier sind die Abweichungen für p<— grösser als 2 d Tür P>~T doch ist die Uebereinstimnrung des effektiven Minimums mit dem di¬

rekt berechneten Wert Fm«, in beiden Fällen ( t = 0 und t = 1 ) praktisch vollkommen, sodass sich ein spezieller Kommentar der Resultate erübrigt. Von

gewissem Interesse ist die Tatsache, dass im vorliegenden Fall die Berechnung

Tab. 9. Vergleich der Resultate

Lamellenmethode Integralmethode p t = 0 t = 1 t = 0 t = 1

8C 38.542 30.750 38.428 30o666 100 12.294 9o780 12.329 9.807 120 1.886 1.442 1.924 1.472 140 1.731 1.319 1.758 1.342 160 1.401 1.059 1.420 1.075 180 1.448 1.097 1.461 1.107 200 1.501 1.137 1.502 1.139 230 1.589 1.208 1.589 1.208

240 - - 1.620 1.233

260 1.684 1.284 - -

280 - - 1.756 1.340

290 1.800 1.375 - - 310 1.945 1.491 1.944 1.491 350 1.959 1.501 1.958 1.500

p* = 169.308 1.438 p* = 169.613 1„089 - 77 -

Fmîn i \\ 2.00- t'O \ y Integralmethode

\v/ y— Lamellenmethode V

b'\

- \ 1.50

AF« 0.036 \^v Vj-^f

-

AF« 0.039 >\iy^^

1.00 - Û. p . d P- r a

1 | i i | i i | i 1 1 ' ' 1 1 1 1 1 100 150 200 250 300 350 P

Fig. 48

eines einzelnen Gleitkreises nach der vorgeschlagenen Methode ungefähr 5 Mal

schneller erfolgt als nach der klassischen Lamellenmethode. Die Berechnung

aller in diesem Beispiel erwähnten Fällen für eine Genauigkeit von ÀF<1$

dauerte 34 Minuten, um den Zeitaufwand bei höherer Genauigkeit festzustellen,

wurde die Berechnung für ÛF = l$o wiederholt. Die dazu benötigte Maschinen¬

zeit ist zwar mit 56 Minuten nicht wie die geforderte Genauigkeit 10 Kai

grösser, doch dürfte sich dieser Aufwand von der praktischen Benützung des

Programms aus gesehen umso weniger rechtfertigen^ als die Resultate nur un¬

wesentliche Aenderungen erfuhren (AF< 0.001 und AR ^0.5 m ).

Die Wirksamkeit der im Programm eingebauten Abbruchkriterien und Itera¬

tionsverfahren sowie der vorgeschlagenen Methode zur direkten Bestimmung der

massgebenden Glsitflâche? und der dazugehörenden minimalen Gleitsicherheit ist

damit numerisch bewiesen. - 78 - Anhang 1

Gesucht wird die Lösung d^s Integrals

3* - f[(l.x^c)fiMH?]dt - J(D£x^);i7dx Al.l«

für reelle Werte und beliebige Js J6 .

Durch sukzessive partielle Integration erhältman

A1.2.

A1.3.

+ ("3c * ?** -^^)|^dx - ("3«£- S*x**ü«x)^7 A1.4.

4. C AI.5.

A1.6.

*C AI.7. 3r

AI.8.

- * + c = [^ *fr-**H **- (**>)] *t ? fr ***.)/£+ A1.9.

*^i ^-t^f^^-^ïH-^^-ïC^^*?^*^-)aresin + C A1.10. - 79 - Anhang 2

Gesucht, wird die Lösung des Integrals

•Za - [[(** + K - *, ty r- {%-*,)*] ck A2.1.

Durch partielle Integration könnte das Integral Js auf den im Anhang 1 gelös¬

ten Typus JA zurückgeführt werden. Eine entsprechende Untersuchung hat „iedoch

gezeigt, dass diese naheliegende Lösung sich bei ihrer späteren Verwendung

weniger gut eignet als die im folgenden hergeleitete Lösung als Reihe.

Die Reihenentwicklung der Wurzel lautet

A2.2.

oder nach erfolgter Ausmultiplikation und nach Potenzen von x geordnet

RWi-^^y - a0 >- a.x + a,** *ah^* *amxm + A2.3.

Die Koeffizienten a dieser definitionsgemäss konvergenten Potenzreihe ( es

ist die Bedingung R ^ x - x„ stets erfüllt ) berechnen sich zu

v v *ifcî* «(*)' mm> *•'•

~ * ~ * * t "R <-i.?.a -R* l''.vtu' v

4*•«•»'-R*

oder allgemein zu

JBOO rr Cz*)J J£I / (2i \ AP r -«A*,.-- A2.6. a«*C~1) / . U-JflO^fri-Q K*-

Das welches Integral Jt , nunmehr

+ • ^ + a„x.m + dx A2. 9. 3» » [(*X + X-^m)(^m a.X a.x% a»Xs •••) - - 80 Anhang 2

lautet, lässt sich durch gliedweise Integration sofort lösen« Man erhält nach

Potenzen vcn x geordnet den Ausdruck

\ - *.(*-3*)* +[^M« + a,(>v->)j^+ + jaB.^4.a„CN-ÏH)]^-' + .... 4- C A2.10.

oder, nach Zusammenfass/img der Glieder y = $x + X. und kurzer Zwischenrechnung die nichtabbrechende und noch von p abhängige Suircne

Tfc- > am.t -r^-x - -£->J +C A2.ll. «\«i

Unter 3eachtung der Gleichung 60 und nach Einführung der Abkürzungen

— + A2.12. 9l- XmN —; ^X"1 -—N»Xm

und

n = —Li«/ A2.13.

kann für das Integral J8 geschrJeben werden

38 - 2_. a-« (®«» +-CI« p) ^'1A' m* t

Nun müssen noch die Glieder

*4"m s

als Funktionen von der Koeffizienten am ( Gleichung A2.8. ) p dargestellt werden. Es ist

oier allgemein und für r > 1 - 81 - Anhang 2

Aus der Definition von xM nach Gleichung 55 folgt andererseits

A2.18.

Setzt man R nach Gleichung A2.17 und xM nach Gleichung A2.18 in die Glei¬

chung A2A5 ein, p-o erhält man

= ~ + + + 1 "o A, m At m*i r-i A2.19, -R»" pm-' Aj- ptn

wobei für die von Koeffizienten wie nach Rech¬ p unabhängigen Am .T längerer

nung gezeigt werden kann das folgende Bildungsgesetz gilt

ê.f-!*w?(cO

A2.20.

i-0

Mit der Abkürzung

- ( H \ fr»! A2.21.

und nach Einfiihpmg der von j und m abhängigen Glieder J, nach Gleichung

A2.19 in die Gleichung A208 erhält cian für die Koeffizienten am die Summe

j = oo

mM 3--C-0 Vi E[ Vi.r ^ A2.22. j.ç*i«»>i;

oder mit der zusätzlichen Abkürzung

m+l A2.23.

und nach Potenzen von p geordnet

?=«

< 1 * a A2-24' * ' a">* A"\">-< A"7" "«.«>*' -E^-i- "^7 pm p«*« t*m-\

Fuhrt man die soeben berechneten Koeffizienten aR in die Gleichung A2.14 ein, so kann für Jg geschrieben werden - 82 - Anhang 2

m*oo

« * + * + c A2.25. 3, 3„ (0* A, p) 2_l (©«« Ä- P) 2Ü *«.e ?

Mit den Abkürzungen

B-, = A2.26.

B. e, £ +ä, i» + Äi A,„ A2.27.

= ©, * B„ § Xit À,, *©, * Ar A,, A2„28. " t. A,.o

B, = ©i Ay ^iÄl(1 *-©3 Äv +i2ïA*#1 +XUA»,, A2.29.

B* » Q* Ä\, * SLk Ai#% * ©3 Äv + lij Aî)3 *©4 Äv 4- n« Aa;i + £Lr Â\3 A2*30.

A2.31.

erhält man schliesslich für das gesuchte Integral Ja die unendliche Reihe

« + + + 1 A2.32. 3& B-, pT B., p B. B. * 2_. BA \ + C -83- Anhang 3

Gesucht wird die Lösung des Integrals

fcx + X - )}«) R CIw dx A3.1.

als Punktion von p. Durch Substitution und kurzer Zwj schenrechnung erhält man

- - + R*3M = R*. X [xMarcsin (1^-) ^] + U %>":sin (^ü ) C A3.2.

Die Wurzelfunktion J7 wurde im Anhang 2 ( Gleichung A2.2 ) bereits in eine Reihe entwickelt. Die Reihenentwicklung der zyklometrischen Funktion lautet

. x-yM M fx-x*^, m-3/x-*hV T , /x-*h"\ A3.3.

oder, nach Potenzen von x geordnet

3„ c b0 + b,x + b,x% bjxV + b„y + A3.4.

wobei für die wie leicht werden das Koeffizienten bm , gezeigt kann, folgende

Bildungsgesetz gilt

m+i a xr^ V7 y*! fr)? A3.5. K « (-0 j'?r^M)

Durch Einsetzen dieser Potenzreihen in Gleichung A3.2 erhält man

tf (b„XM -a.) - ^aresin (^^-) + C + A3.6. •»- 2_[(bmXM -am)xmM (xx+A) + (bWM - b„,xM + am)xxm-J

Mit den Abkürzungen

a xMbm - am #m A3.7.

A3.8.

und

Dre * if (b0XM - a0) - yMarcsin + C (-~^-) A3.9. - 84 - Anhang 3

wird

r* rX= A3.10.

Inter Verwendung der Bildungsgesetze nach Gleichungen A2.8 und A3.5 erhält man

für die soeben eingeführten Abkürzungen die Ausdrücke

Jr-oo

«V.-tt\ (">-*)' w !_ *„-c-|)

und

" —— V bm-< 0m = §m A3.12. m-i

Setzt man diese in die Gleichungen.A3.8 und A3.10 ein, so kann für das gesuchte

Integral geschrieben werden

IK.-eO

R1 +^Ax"" * A3.13. Rl310- 3 m-i '] ****

Analog zur Herleitung im Anhang ? können die noch von p abhängigen Glieder

*"1 - _*ü -i p* A3.14.

der Gleichung A3.5 als unendliche Reihen angeschrieben werden. Es ist dann

1(1 \ A3.15.

wobei für die Koeffizienten D^-.das folgende Bildungsgesets gilt

b=Z-i SinM)

' A3.16. U%i.T Z_^ \r-«A <»/ Uy W 2*t'.(r-.)'[KmM)l fc*o •

Werden noch die weiteren Abkürzungen

A3.17. - 85 - Anhang 3

A3.18.

und

j = ao

A3.19.

eingeführt, so lassen sich die von p abhängigen Koeffizienten §mvie folgt

berechnen

f*0O

Setzt man nun f„ nach Gleichung A3.20 ind Gleichung A3.13 ein, so wird

R^* = R'3« + Yj [*"* + ^*iZ K?r\ A3.21.

Mit den zusätzlichen Abkürzungen

A3.22.

QM - rt d,,., A3.23.

Qo « R 5,,. + P3 D3j. A3.24.

Q, « r, 5ti, + Ps Ds,i + r* D4t, A3.25.

^ = Px d»,^ + Ps By, * r; d^ + r^*»D/^,/^ A3.26.

und nach = = Aufsummierung von m 2 an ( für m 1 wird §m= 0 ) erhält msn schliesslich für das gesuchte Integral die unendliche Reihe

A3.27, /"5 - 86 - Anhang 4

Berechniing der Koeffizienten Z/t der Zählerfunktion

Werden die bestimmten und nach Integrale J0 , Jt Js Gleichungen 76, 93 und

94 sowie des Kohäsionsglied nach Gleichung 81 in die Gleichung 58 eingeführt,

so erhält man nach kurzer Umformung und unter Beachtung der Definitionsglei¬

chungen 59, 60 und 61 für die Zählerfunktion den Ausdruck W^,»,&*»p)(^"EÄ»lpt*8ir]*«^ft)- -{tf.

8 ft.M ( ZfP)s A4.1. «vDp J

Nach Einführung der Abkürzungen

2»" (?)*[«c'*ii»H'«'(«»*BÇft*)] A4.2.

Z,- |x»t5<»,(».*6Efe*) A4.3.

A4.4.

2.-«rz. A4.5.

kann für den mit arctg(^) zu multiplizierenden Term geschrieben werden

» *• Z Zo Z, p 4- Z\ p* + Z3p* A4-.6.

Nun wird jedem restlichen Glied der Gleichung A4.1 ein mulüplikativer Faktor

Zyu derart zugeordnet, dass/t gerade die negative Potenz von p angibt. Man er¬ hält somit für Z(p) in abgekürzter Schreibweise

Z(p)« (Zo^Z.p + Z.p'+Z5p5)arc^(i)+Z.tp^2.,p+Z0^-Z,^-»- A4.7,

Die einzelnen Koeffizienten können dabei wie folgt berechnet werden

a Z.t- V- (l*^«nf)I]ft[^*Ç(^j]-X»[^4.BÇ^] A4.8. - 87 - Anhang 4

A4.9.

- 'V E* \^äm+t*-*] -b[*.(4)vIX] A4.10. 't—' IK K

A4.11.

A4.12.

-**£% + Etf[HsM)EB/% "bEm A4.13. A H K & J Nun enthalten aber diese Koeffizienten Z^, noch die Werte 3^ und Q~ deren

Berechnung- ira Anhang 2 resp. 3 hergeleitet wurde. Wie im folgenden am Beispiel der Summe XZB<»«R gezeigt wird, können die Werte B^ und Q»^ als relativ einfache Funktionen der bekannten Daten und geometrischen xB, yB , d, X«,, x„K dargestellt werden.

Gemäss Gleichung A2.28 lässt sich B0 berechnen eu

Bo » ©, £ + nt Äv + 9i Â,,, + ä& Av A4.14.

Für die Koeffizienten ©,, Q8, £ix und Xi5 erhält iran aii3 der Definition nach

Gleichungen A2.12 und A2.13 sofort

A4.15.

A4.16.

A4.17.

A4.18.

Dic3e Werte können nach erfolgter Einsetzung der Integrationsgraden r:n>( und

und anschliessender xn 4) Aufsummierrng über 3äir.tliche Intervalle angeschrie¬ ben werfen zu

A4.19. - 88 - Anhang 4

A4.20.

a

A4.21. E".-i*^ d

1*5 I> ï d A4.22.

Für die Koeffizienten erhält man den Definitionen der A,^ , A,0 » A» t gemäss

Gleichungen A2.23 , A2.21 und A2.20 die Ausdrücke

A4.23.

A4.24.

A2i A4.25.

Werden die soeben berechneten Werte in die Gleichung A4.14 eingesetzt, so kann für die Summe Y2^°, geschrieben werden

Z!6^ -§(^+^)*?E^(k«-x%)-5î£;^(<«-x%) a4-26-

Analog dazu lassen sich die weiteren Sumaen 2^3,, und 5ZQa ^s-ch zum Teil längeren Umformungen berechnen. Da einerseits kein allgemein gültiges Bil- dungsgesetz für die Summen JZ^M nacn der Darstellung der Gleichung A4.26 gefunden wurde, und andererseits die bisherigen Anwendungen gezeigt haben, dass die Zählerfunktion ohne nennenswerte Genauigkeitseinbusse nach dem

Glied Zt abgebrochen werden kann, wurden nur die im folgenden angegebenen speziellen Summen explizite berechnet.

A4.27.

A zZ B-'n„a ïiL^ (*«.«»-*H») A4.28. A A

A4.29. A A A

- ~ 2_. ** A4.30. 4 1-* N"k (*V-i -*\.) 24 X| ^-V (*%*» X"h) I , BInK !ï ' ~ A A 'a

A4.31. Eb. «40 XB 8*£ + SÔÎJ ZLi ^"« (Xv-i-Xn*) - 89 - Anhang 4

A4.32.

A4.33-

ZV, K K

ft B % Z>, ^dl+i^,E>S.(^«-^)-i|C4^)r^[x^<-ïaig^] A4.34. ^ A A.

Ä A £«.-W- M.35.

Küssen aus Genauigkeit tsgründen welter» Werte J^B., 1 »rechnet werden, so können

dies» ceEäss der allgemeinen Anleitung im Anhang 2 rflsp. 3 berechnet werden.

Setst ein nun in dies» Susanen die Gleichungen A4.8 , A4.9 « A4.10 , A4.31 und

sc f'c A4,12 »in, erhalt can schliesslich für Koeffizienten 2^.r Z_, , Z0

und Zt die Ausdrücke

z-2- -^•m,(,Pw*5Z!äv) A4.36.

.-Ö)V ' A4.37.

- +[ O^Sinf)^ + »Je»f § B^l|^*èk(V.-^ 2. = (j)V .A4.38.

5«- *S A4.39.

Im folgenden soll noch das Verhalten der Punktion Z(p) nach Gleichung A4.7

näher untersucht werden. Für p>— lautet die Reihenentwicklung der arctg-

Funktion nach p bekanntlich - 90 - Anhang 4

•^-fWtëJViWp-Wp'4 A4.40.

Wird diese Reihe in die Gleichung A4.7 eingeführt, so erhält man nach kurzer

Zwischenrechnung und Ordnung nach Potenzen von p für die Zählerfunktion Z(p) die unendliche Reihe

[z_2 * izty * [z., + Ü)2i]p +z. + gz, -i(#)s23 *

ZCp) » S A4.41.

i /*-'

Da nun, wie ein Vergleich der Gleichungen A4.5 ( A4.3 ) und A4.36 sofort zeigt, die Beziehung

Z_2 + £z3 =o A4.42.

gilt, verschwindet für p^— das quadratische Glied und die Zählerfunktion nähert sich für p-*e»der Geraden

A4.43. z'- z_ +äz2 p +z0+|z,-i(fj3z3

Das asymtotische Verhalten der Zählerfunktion ist insofern von Bedeutung, als wegen der Linearität von N(p) ( siehe Abschnitt 2.3.1 ) für den Quotienten nach Gleichung 19 im Grenzfall die Beziehung

Z-' + 'Zg ftm FA>(p) - ftm -gö * " const' A4.44. Nto gilt, womit diese in der Erdbaumechanik aus der Erfahrung längst bekannte

Tatsache auch mathematisch bewiesen ist. - 91 -

SYMBOLREGISTER

Zum 1. Mal Symbol Bedeutung Dimension verwendet auf Seite

6 a« Mittlere hydrostatische Druckhöhe m

- a Allgemein eine Materialeigenschaft 9

— am Aligemeines arithmetisches Mittel, auch 9

Koeffizienten einer unendlichen Reihe - A 2.1.

- 10 aj Einzelmessung der Eigenschaft a

A Unterer Böschungspunkt - 3

A' Massgebender unterer Böschungspunkt - 12

Mathematische Abkürzung - A 2.3.

- A 2.3. m.i Ve - A 2.3. bt Lamellenbreite m 4

bm Koeffizient einer unendlichen Reihe - A 3.1.

B Oberer Böschungspunkt - 3

B* Massgebender oberer Böschungspunkt - 12

B Porenwasserspannungskoeffizient - 3

B-z m 29

B-, m* 29 Koeffizienten der unendlichen Reihe B. m» 29 für das Integral Jt

B/l m'"3 29 c' Effektive ( wirksame ) Kohäsion t/m* 1

C Integrationskonstante - 27

d Abstand zwischen den Punkten A und B m 22

Mathematische Abkürzung - A 3.2.

Dm#j - A 3.3.

- A 3.3.

Gleitsicherheitsfaktor - 2

Sicherheitsfaktor für die Mate¬

rialeigenschaft a - 9

F* Neu definierter Gleitsicherheitsfaktor - 11

Minimale Gleitsicherheit der

Böschung oberhalb des Punktes A - 12

Minimale des CAB Gleitsicherheit Böschungsabschnittes AB _ 12

F, Gleitsicherheit eines be¬ ABU liebigen Gleitkreises 12 - 92 -

Zum 1. Mal Symbol Bedeutung Dimension verwendet auf Seite

Gleitsicherheit eines be¬ rA6p liebigen Gleitkreises 32

Gleitsicherheit der Ver¬

bindungsgeraden AB ( R =oo) — 13

Minimale Gleitsicherheit der gesamten

gesamten Böschung - 13

rJkB Näherungswert der Gleitsicher¬

heit bei inhomogenen Böschungen - 35

G Gewicht t 3

h Allgemein eine Höhe m 20

hi Mittlere Lamellenhöhe m 4

hp Piezometerhöhe m 6

i Lamellenindex - 2

3 Iterationsindex, auch — 22

laufender Index bei Summationen - A 2.1.

J. Abkürzung für ein Integral m1 20

J, m* 21

Ji m* 21

m* 21

Teilintegral m* 26

m* 26

m1 29

m1 29

m1 30

m* 30

Ja Mathematische Abkürzung - A 1.

JS - A 1.

J6 - A 1.

Jr - A 1.

- A 2.1.

- A 2.2.

ii J.o - A 3.1.

h J„ - A 3.1.

ii J« - A 3.1.

h J.5 - A 3.2.

k Materialindex - 3

h k' - 34

L Gleitkreisbog< m 25 - 93 -

Zum 1. Mal Symbol Bedeutung Dimension verwendet auf Seite

li Bogenlänge in der i-ten Lamelle m 3

e Laufender Index hei Summationen A 2.3.

m Laufender Index bei Summationen A 2.1.

ma Mittlerer Fehler der Einzel¬ messung von a 8

mr Relativer Fehler 8

M Gleitkreismittelpunkt 4

M* Mittelpunkt des massgebenden Kreises 12

M» Mittelpunkt des ersten Näherungsgleitkreises 23

na Anzahl durchgeführter Versuche 9

H, Anzahl minimal erforderlicher Versuche 9

Gültigkeitsintervall, auch 20 Nummer einer Geraden 25

N Nenner

NCrt Nennerfunktion bei homogenen Böschungen t 18

No Koeffizient der Nennerfunktion t 22

N, ti ii ii t/m 22 N(p")rH Nennerfunktion bei inhomo¬ genen Böschungen t 36

NN(f^iH Teilsumme von N(p),-H t 36

NN«, Koeffizient von NN(p)jH t 36

NN, t/m 36

NNZ t/m1 36

P Abstand zwischen dem Gleitkreis¬ mittelpunkt und der Sehne AB m 18

P* Massgebender Wert von p m 18

P. Näherungswert für p m 19

Näherungswert bei der Iteration von p* m 33

P Normalkraft t 4

P' Effektive Normalkraft t 4

Schnittpunkt des Gleitkreises mit einer der Geraden der k-ten Materialschicht 19

Schnittpunkt des Gleitkreises mit einer

der Geraden der k-ten Materialschicht - 19

Q-. m 30

Q. Koeffizienten der unendlichen Reihe m 30

Q, für das Integral J3 m 30

m 30 - 94 -

Zum 1. Mal /mbol Bedeutung Dimension verwendet auf Seite

R Gleitkreisradius m 3

r Laufender Index bei Summationen - A 2.2.

2 St Scherfestigkeit, Scherspannung t/m1

s Als Exponent: Mathematische Abkürzung - A 2.2.

Sk Scheibe, k-te Materialschicht - 19

t Laufender Index bei Summationen - 22

T Tangential- oder Scherkraft t 4

u Porenwassers pannung t/m* 5

u* Porenwasserüberspannung t/m1 6

vt Grösster positiver scheinbarer Fehler - 9

V. Grösster negativer scheinbarer Fehler - 9

V Volumen ms 3

w Index zur Kennzeichnung

der Wasserlinie M 25

V, Schnittpunkte des Gleitkreises - 34

wt mit der Wasserlinie - 34

x Abszissenaxe - 4

x' Abszissenaxe des ursprünglichen Systems - 25

Gleit¬ Xi Abszissendifferenz zwischen dem kreismittelpunkt und der Lamellenmitte m 4

y Ordinatenaxe - 4

y' Qrdinatenaxe des ursprünglichen Systems - 25

ys Schwerpunktsordinate m 3

y« Ordinatendifferenz zwischen dem Gleit¬ kreismittelpunkt und dem Schwerpunkt m 4

z Zähler t 7

ZCp) Zählerfunktion bei homogenen Böschungen t 18

z.» t/m* 22

z., t/m 22

z. t 22

Z/l Koeffizienten der Zählerfunktion tm* 22

z. bei homogenen Böschungen t 30

z, t/m 30

Zt t/m* 30

zs t/ms 30

Z

iH Zählerfunktion bei inhomogenen Böschungen t 39 - 95 -

Zum 1. Mal Symbol Bedeutung Dimension verwendet auf Seite

ZZ. t 39

ZZ, t/m 39

ZZ, t/m1 39

ZZj Koeffizienten der Zählerfunktion t/m' 39

39 ZZ., bei inhomogenen Böschungen t/m*

ZZ., t/m 39

ZZ, t 39

ZZi tm* 39

Richtungswinkel der Tangente

an den Gleitkreis - 4

y Raumgewicht t/m' 8

y' Feuchtraumgewicht t/m' 3

y' Nassraumgewicht t/m' 3

Spez. Gewicht von Wasser t/m» 6

aï Résiduelles Raumgewicht t/m* 22 K

Mathematische Abkürzung - A 3.3.

Erdbeben- oder Beschleunigungskoeffizient - 4

e Mathematische Abkürzung - A 2.2.

Steigungsziffer der Geraden n - 16

Ordinatenabschnitt der Geraden n m 16

Mathematische Abkürzung - 38

Laufender Index bei Summationen, auch — 22

Axe eines Hilfskoordinatensystems - 14

Maschenweite m 14

F Anzahl zu berücksichtigender Glieder der Zählerfunktion - 33

Korrekturfaktor - 9

Richtungswinkel der Erdbebenwelle - 4

Massgebende Erdbebenrichtung - 24

Normalspannung t/m* 5

r Laufender Index bei Summationen - A 2.3.

Winkel der inneren Reibung, Scherwinkel - 1

Reduzierter Scherwinkel - 4

Erste Ableitung von F nach p

bei homogenen Böschungen - 32

Erste Ableitung von P nach p bei inhomogenen Böschungen 41 - 96'-

Zum 1. Mal Symbôl Bedeutung Dimension verwendet auf Seite

ft» Mathematische Abkürzung A 3.1.

X, 24

•5C, 24

Koeffizienten der Bestimmungs- 24

tu gleiehung für f 24

24

24

Erste Ableitung von §(p) nach p bei homogenen Böschungen 33

V(PÏ Erste Ableitung von $(p)i„ nach p bei inhomogenen Böschungen 41

V« Mathematische Abkürzung A 3.1.

CO Axe eines Hilfskoordinatensystems 14

Maschenweite m 14

Mathematische Abkürzung A 3.2.

A 2.2. Curriculum Vitae

von Fritz Peter Gerber

Als Sohn von Fritz Gerber, Ing. und Emmy Gerber,

geb. Kindlimann, am 19. Mai 1932 geboren.

1932 - 1934 Celerina / GR

1934 - 1937 Vicosoprano / GR

1937 - 1947 Quito, Ecuador, Süd-Amerika; daselbst:

1938 - 1939 1. Primär in der Deutschen Schule Quito

1939 - 1940 Privatunterricht

1940 - 1945 3. Primär bis 1. Sekundär American School of Quito

1945 - 1947 2. und 3. Sekundär Colegio La Salle Quito. Dann

1947 - 1952 Kantonsschule Trogen, Maturabschluss Typ C

1952 - 1957 Studium und Diplomabschluss an der Abteilung für Bau¬ ingenieurwesen der Eidg. Technischen Hochschule, unter¬ brochen durch verschiedene Praktika (l953 Brunner Riddes, 1955 Baustrag, 1956 H. Hatt-Haller, 1957 Elektro-Watt) sowie Militärdienst (1953 RS, 1955 UOS und 1956 OS).

1958 - 1964 Angestellter der Elektro-Watt, Abteilung Talsperrenbau. Selbständige Berechnung der Staudämme Mattmark /VS, Pinios /Griechenland, sowie weiterer kleinerer Dämme. Aufstellung verschiedener ALGOL-Programme (Staukurven, Staudämme, statische Berechnung doppelt gekrümmter Mauern usf.)

Von 1962 an teilweise beurlaubt für den Ausbau der in diesem Zusammenhang gesammelten Erfahrungen zu einer Promotionsarbeit.

Seit 1958 verheiratet und Vater zweier Mädchen (Isabel 1961 und Caroline 1964)

Sprachen: Deutsch, französisch, englisch und spanisch in Wort und Schrift; italienisch Kenntnisse.