Regelungstechnische Analyse und Synthese von MEMS mit elektrostatischem Wirkprinzip
von der Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik der Technischen Universität Chemnitz genehmigte
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor-Ingenieur (Dr.-Ing.)
vorgelegt von Dipl.-Ing. Heiko Wolfram
geboren am 28. September 1972 in Plauen
eingereicht am 22. Juni 2006
Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Wolfram Dötzel Technische Universität Chemnitz
Prof. Dr.-Ing. Jozef Suchý Technische Universität Chemnitz
Dr.-Ing. habil. Peter Schwarz Fraunhofer-Institut für Integrierte Schaltungen Außenstelle Entwurfsautomatisierung Dresden
Tag der Verleihung: 22. Mai 2007
Bibliographische Beschreibung
Regelungstechnische Analyse und Synthese von MEMS mit elektrostatischem Wirkprinzip
Wolfram, Heiko — 185 Seiten, 74 Abbildungen, 8 Tabellen, 172 Literaturstellen
Technische Universität Chemnitz Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik Dissertation, 2007 erschienen unter Shaker Verlag Aachen c Shaker Verlag 2007
ISBN 978-3-8322-6348-5 ISSN 0945-1005
Stichworte
Beschleunigungssensor elektrostatisches Wandlerprinzip Identifikation MEMS Modellbildung Regelung H-unendlich Regelung Nichtlineare Regelung Stabilitätsanalyse Ljapunow-Funktion
Kurzreferat
Die vorliegende Arbeit gibt eine umfassende Beschreibung elektrostatisch erregter und kapa- zitiv detektierter MEMS am Beispiel eines Beschleunigungssensors. Ausgehend von einem Feder-Masse-Dämpfer System wird ein mathematisches Modell des Gesamtsystems für den Reglerentwurf aufgestellt. Neuartige Identifikationsmethoden linearer und nichtlinearer Art er- möglichen eine Identifizierung des mechanischen Modells aus dem elektrostatischen System. Dadurch entfällt der Einsatz kostenintensiver optischer Messtechnik, wobei gleichzeitig die elektrische Signalstrecke identifiziert wird, die zum Reglerentwurf nötig ist.
Der Optimal-Reglerentwurf basiert auf dem bekannten Verfahren der H - und H2-Mini- ∞ mierung, dessen allgemeine Struktur Gütekriterien wie robuste Stabilität gegenüber Modellun- sicherheiten und geforderte Dynamiken zulässt. Aufgrund des nichtlinearen Verhaltens des Ge- samtsystems ist die Stabilität nur im Arbeitspunktbereich des für den Reglerentwurf entwickel- ten Modells garantiert. Die Stabilität innerhalb eines größeren Bereiches wird durch Betrach- tung einer geeigneten Energiefunktion und numerischer Berechnungen geprüft. Rauschquellen des Sensorsystems werden abgeschätzt und die Sensitivität des Gesamtsys- tems analysiert. Möglichkeiten zur Rauschminderung und Sensitivitätserhöhung werden ge- zeigt, und Entwurfskriterien geben Hinweise zum Entwurf eines Sensorsystems. Schwerpunkt der Arbeit ist die komplette regelungstechnische Analyse und Synthese eines elektrostatisch erregten und detektierten Beschleunigungssensors. Die Auswertung simulativer Ergebnisse und praktischer Messungen bestätigen die Theorie und demonstrieren die Leistung des Entwurfs. Vorwort
Die vorliegende Dissertationsschrift stellt Ergebnisse meiner Forschungsarbeit an der Profes- sur für Mikrosystem- und Gerätetechnik der TU Chemnitz vor. Ich möchte allen Mitarbeitern der Professur für Mikrosystem- und Gerätetechnik sowie des Zentrums für Mikrotechnologien für die gute Zusammenarbeit und die stets freundliche und unkomplizierte Arbeitsatmosphäre danken. Insbesondere bedanke ich mich bei:
Prof. Dr.-Ing. Wolfram Dötzel für die Betreuung der Arbeit, für die Fachdiskussionen und • Anregungen,
Dr.-Ing. habil. Peter Schwarz und Prof. Dr.-Ing. Jozef Suchý für die Übernahme der Be- • gutachtung,
Dr.-Ing. Steffen Kurth für Fachdiskussionen, Anregungen, Unterstützung bei den experi- • mentellen Analysen und die Durchsicht der Arbeit,
Prof. Dr.-Ing. habil. Jan Mehner für wertvolle Tipps, • den Mitarbeitern des ZfM, insbesondere Dipl.-Ing. Ralf Schmiedel und Dr.-Ing. habil. • Karla Hiller, die für das Design und die Durchführung der technologischen Abläufe ver- antwortlich waren,
Dipl.-Ing. Torsten Aurich der Firma GEMAC mbH in Chemnitz, der für den Aufbau der • Prototypen verantwortlich war und viele experimentelle Arbeiten durchführte,
meiner Verlobten Anita für ihre Hilfe bei der Durchsicht der Arbeit und ihre wertvollen • Hinweise zur sprachlichen Gestaltung.
Nicht zuletzt gilt mein besonderer Dank meinen Eltern und meinen Bruder Axel, auf deren Rat und Zuspruch ich mich immer stützen konnte und ich eine Menge Ermutigung gefunden habe.
Inhaltsverzeichnis
Glossar XI
1 Einführung 1 1.1 Mikrosysteme und Regelungstechnik ...... 1 1.2 Ziel der vorliegenden Arbeit ...... 2 1.3 Thematische Gliederung ...... 4
2 Design und Technologie 7 2.1 Einführung ...... 7 2.2 Antriebsprinzipien von Mikrosystemen ...... 8 2.2.1 Elektrostatisches Antriebsprinzip ...... 9 2.2.2 Elektrodynamisches Antriebsprinzip ...... 10 2.3 Aufbau ...... 11 2.4 Technologie ...... 12
3 Modellbildung 15 3.1 Einführung ...... 15 3.2 Mechanisches Modell ...... 16 3.3 Squeeze-Film Dämpfung ...... 17 3.3.1 Lösung des Squeeze-Film Problems ...... 19 3.3.2 Elektrisches Analogiemodell ...... 19 3.3.3 Zustandsraummodell ...... 22 3.4 Elektrostatisches Wirkprinzip ...... 24 3.4.1 Kapazitive Detektion der Auslenkung ...... 25 3.4.2 Elektrostatisches Moment ...... 28 3.5 Pulsbreitenansteuerung ...... 29 3.5.1 Statisches Verhalten ...... 30 3.5.2 Dynamisches Verhalten ...... 31 3.5.3 Einschaltverhalten ...... 31 3.6 Kleinsignalmodell ...... 32
4 Parameteridentifikation 35 4.1 Einführung ...... 35 VIII INHALTSVERZEICHNIS
4.2 Lineare Modellidentifikation ...... 36 4.2.1 Approximierte Methode ...... 37 4.2.2 Zwei-Stufen-Identifikation ...... 38 4.2.3 Praktisches Beispiel ...... 42 4.3 Identifikation in der geschlossenen Schleife ...... 46 4.4 Nichtlineare Modellidentifikation ...... 48 4.4.1 Blockorientierte Identifikation ...... 49 4.4.2 Identifikation mittels neuronalem Netzwerk ...... 53 4.4.3 Numerisches Beispiel ...... 56
5 Reglerentwurf 59 5.1 Einführung ...... 59 5.2 Linearer Reglerentwurf ...... 60 5.2.1 Einschränkung der Bandbreite ...... 60 5.2.2 Robust Control ...... 62 5.2.3 Stabilitätsbetrachtung ...... 70 5.2.4 Praktisches Beispiel ...... 73 5.3 Nichtlinearer Reglerentwurf ...... 79 5.3.1 Adaptive Regelung mit Referenzmodell ...... 80 5.3.2 Numerisches Beispiel ...... 84
6 Sensitivität 89 6.1 Einführung ...... 89 6.2 Digitalwandler ...... 90 6.2.1 D/A-Wandler ...... 90 6.2.2 A/D-Wandler ...... 91 6.3 Sensitivitätsanalyse ...... 92
7 Rauschen 97 7.1 Einführung ...... 97 7.2 Brownsches Rauschen ...... 97 7.3 Rauschen in elektronischen Bauelementen ...... 98 7.3.1 Widerstandsrauschen ...... 98 7.3.2 Dioden-Rauschen ...... 98 7.3.3 Rauschquellen eines Bipolartransistors ...... 98 7.3.4 Rauschquellen eines Feldeffekttransistors ...... 99 7.3.5 Verstärkerrauschen ...... 99 7.4 Quantisierungsrauschen ...... 100 7.4.1 Rauschen in D/A- und A/D-Wandlerstufen ...... 100 7.4.2 Quantisierungsrauschen in Rechenwerken ...... 103 7.5 PWM-Rauschen ...... 105 INHALTSVERZEICHNIS IX
8 Zusammenfassung und Ausblick 107
A Modellbildung 109 A.1 Squeeze-Film Dämpfung ...... 109 A.2 Lösung des Squeeze-Film Problems ...... 110 A.2.1 Translatorischer Fall ...... 110 A.2.2 Rotatorischer Fall mit variabler Rotationsachse ...... 111 A.3 Pulsbreitenansteuerung ...... 113 A.3.1 Statisches Verhalten ...... 113 A.3.2 Einschaltverhalten ...... 114 A.4 Modellierung des Anschlags ...... 114
B Reglerentwurf 121 B.1 Anti-Windup Maßnahmen ...... 121 B.2 Singulärwertzerlegung ...... 122 B.3 Normen ...... 122 B.3.1 Vektornormen ...... 123 B.3.2 Matrixnormen ...... 123 B.3.3 Signalnormen ...... 124 B.3.4 Systemnormen ...... 124 B.3.5 Zusammenhang zwischen Signal- und Systemnormen ...... 125 B.3.6 Berechnung der Systemnormen ...... 126
B.4 Lösung des H2- und H -Minimierungsproblems ...... 127 ∞ B.5 Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung ...... 129 B.6 Lösung der Diophantischen Gleichung ...... 131 B.7 Lösung der Ljapunow-Gleichung ...... 131
C Sensitivität 133 C.1 Berechnung des Signal-Rauschabstandes für Sigma-Delta-Wandler ...... 133 C.2 Numerische Systemoptimierung ...... 133
Literaturverzeichnis 143
Abbildungsverzeichnis 159
Tabellenverzeichnis 163 X INHALTSVERZEICHNIS Glossar
Abkürzungen
A/D Analog-nach-Digital-Wandler (engl. Analog-to-Digital Converter), S. 91.
ARMAX Autoregressiver Prozess mit gleitendem Mittel und externem Eingang (engl. Auto- Regressive Moving Average with external Input), S. 47.
ARX Autoregressiver Prozess mit externem Eingang (engl. Auto-Regressive with exter- nal Input), S. 44.
CF Charakteristische Funktion (engl. Characteristic Function), S. 101.
D/A Digital-nach-Analog-Wandler (engl. Digital-to-Analog Converter), S. 90.
DC Gleichstrom (engl. Direct Current), S. 32.
DGL Differentialgleichung, S. 15.
DSP Digitaler Signalprozessor, S. 49.
FEM Finite Elemente Methode, S. 20.
FET Feldeffekttransistor, S. 99.
FIR Nichtrekursiver Filter (engl. Finite Impulse Response), dessen Ausgang nur aus y(t) den aktuellen und vorherigen Eingangswerten berechnet wird: G(z) = x(t) = m j j=0 bjz− .
FOH HalteP glied erster Ordnung (engl. First-Order Hold), bei dem das zukünftige Signal x[kTs] x[(k 1)Ts] aus den vergangenen Werten extrapoliert wird: x(t) = x[kTs] + − − (t Ts − kT ) t [kT , (k + 1)T ), S. 90. s ∀ ∈ s s HF Hochfrequenz (engl. high frequency), S. 81.
IIR Rekursiver Filter (engl. Infinite Impulse Response), dessen Ausgang aus den ak- tuellen Eingangs- und vorherigen Ein- und Ausgangswerten bestimmt ist: G(z) = m −j y(t) j=0 bj z x(t) = n a z−i , S. 92. Pi=0 i P XII GLOSSAR
IV Methode der Instrumentellen Variablen (engl. Instrumental Variable Method), bei der durch geeignete Wahl der Regressionsmatrix die Korrelation mit dem Fehler- vektor minimiert wird, S. 53.
LFT Lineare Fraktionaltransformation (engl. Linear Fractional Transformation), S. 68.
LHP Linke Halbebene (engl. left-half Plane), S. 68.
LOCOS Lokaler Oxidationsprozess (engl. Local Oxidation), bei dem durch thermische Oxi-
dation des Siliziums mit Sauerstoff Siliziumdioxid SiO2 auf der Waferoberfläche entsteht, S. 13.
LSM Methode der kleinsten Quadrate (engl. Least-Square Method), bei der die Gütefunk- tion J(x) = 1 y Ax 2 über den gesuchten Vektor x minimiert wird, S. 52. 2 k − k2 LTI Linear zeitinvariant (engl. linear time-invariant), S. 32.
MEMS Elektromechanische Mikrosysteme (engl. Micro-Electro-Mechanical Systems), S. 1.
MRAC Adaptive Regelungen mit Referenzmodell (engl. Model-Reference Adaptive Con- trol), S. 80.
NL Nichtlinear (engl. nonlinear), S. 48.
OE Ausgangs-Fehler (engl. Output Error) Modell, S. 47.
OPV Operationsverstärker, S. 28.
PT1 Proportional wirkendes Verzögerungsglied erster Ordnung. Es gilt die Differential- dy(t) gleichung: T dt + y(t) = kpu(t), S. 38.
PT2 Proportional wirkendes Verzögerungsglied 2. Ordnung. Es gilt die Differentialglei- 2 d2y(t) dy(t) chung: T dt2 + 2dT dt + y(t) = kpu(t), S. 3.
PWM Pulsbreitenmodulation (engl. Pulse-Width Modulation), S. 29.
RHP Rechte Halbebene (engl. right-half Plane), S. 68.
RMS Effektivwert (engl. Root Mean Square), S. 124.
S/H Abtast- und Halteglied nullter Ordnung (engl. Sample-and-Hold).
SISO Regelstrecke mit skalarem Ein- und Ausgang (engl. single-input single-output), S. 70.
SNR Signal-Rausch-Abstand (engl. Signal-to-Noise Ratio), S. 26.
SOS Teilsysteme zweiter Ordnung (engl. Second-Order Sections), S. 103. GLOSSAR XIII
m n SVD Für jede Matrix A C × existiert eine Singulärwertzerlegung (engl. Singular ∈ H m m Value Decomposition) A = UΣV , wobei U C × aus den orthogonalen H n n ∈ Eigenvektoren von AA und V C × aus den orthogonalen Eigenvektoren ∈ von AHA gebildet wird. Die Singulärwerte sind die Wurzeln der Eigenwerte von H H m n σ (A) = λ (A A) = λ (AA ), wobei Σ R × die Singulärwerte in den i i i ∈ Diagonalelementenq enthält,qS. 122.
ZOH Halteglied nullter Ordnung (engl. Zero-Order Hold), dessen Ausgang bis zum näch- sten Tastzeitpunkt erhalten bleibt: x(t) = x[kT ] t [kT , (k + 1)T ), S. 90. s ∀ ∈ s s
Griechische Buchstaben
β Das differentielle Verhältnis des Kollektrostroms IC zum Basisstrom IB wird als (differentielle) Stomverstärkung β = ∂IC eines Bipolartransistors be- ∂IB UCE =const. zeichnet, S. 99. b β Normalisierte Plattenlänge β = a , S. 110.
X χ Normalisierte X-Achse χ = a , S. 19.
∆ Quantisierungsintervall, S. 100.
∆a Additive Modellunsicherheit wobei ∆a(jω) maxG G(jω) G0(jω) , ω | | ≥ ∈G | − | ∀ gilt und die Menge aller möglichen Regelstrecken definiert. G
G(jω) G0(jω) ∆m Multiplikative Modellunsicherheit wobei ∆m(jω) maxG − , ω | | ≥ ∈G G0(jω) ∀ gilt und die Menge aller möglichen Regelstrecken definiert. G
ε Permittivität (Dielektrizitätskonstante) ε = ε0εr, S. 25.
12 As ε0 Elektrische Feldkonstante ε0 = 8.854 10− Vm .
εr Permittivitätszahl.
η Normalisierte Auslenkung in Z-Richtung η = x , S. 19. d0
Y γ Normalisierte Y-Achse γ = a , S. 19.
λ0 Mittlere freie Weglänge eines Gasmoleküls bei Druck pa, S. 20.
µ Dynamische Viskosität, S. 18.
µeff Effektive dynamische Viskosität, S. 20.
µ Der Erwartungswert oder Mittelwert µ = E x definiert das arithmetische Mittel x x { } der Zufallsveränderlichen x.
ν Verschiebungsvektor, S. 16. XIV GLOSSAR
µ ν Kinematische Viskosität ν = % .
ω Kreisfrequenz ω = 2πf.
ω Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ˙, S. 19.
2 K ω0 Resonanzkreisfrequenz ω0 = J , S. 16.
ω180 Die Phasenschnittfrequenz (engl. Phase Crossover Frequency) ist diejenige Fre-
quenz, für die die Phasenverschiebung arg L(jω ) = 180◦ beträgt, S. 62. 180 − ω Die Bandbreite ω ist die Frequenz von S(jω) , die den Ordinatenwert 1 BS BS | | √2 ≈ 3 dB als Erstes von unten schneidet, S. 62. − ω Die Bandbreite ω ist die höchste Frequenz von T (jω) , die den Ordinatenwert BT BT | | 1 3 dB als Erstes von oben schneidet, S. 62. √2 ≈ −
ωc Die Schnittfrequenz (engl. Gain Crossover Frequency) ist die Frequenz, die den Ordinatenwert Eins als Erstes von oben schneidet: L(jω ) = 1. Meist wird die | c | Schnittfrequenz zur Definition der Bandbreite des geschlossenen Systems verwen-
det, da die Ungleichung ωBS < ωc < ωBT für Systeme mit PM < 90◦ gilt, S. 61.
Ω Die Nyquistfrequenz Ω ist definiert mit Ω = π und gibt die obere Schranke N N N Ts an, für die das (harmonische) Signal x(t) mit ω [0, Ω ) eindeutig durch seine x ∈ N Abtastwerte bestimmt ist, S. 45.
ωT Die Transitfrequenz des FET ist die Frequenz, bei der der Betrag der Kleinsignal-
stromverstärkung bei Betrieb im Abschnürbereich und konstantem UDS auf Eins abgenommen hat: iD(jωT ) = 1, S. 99. iG(jωT )
φ Normalisierter Druck φ = δp , S. 19. p0
ϕ Winkel, S. 19.
Φ Magnetischer Fluss Φ(t) = LiL(t), S. 19.
Φ Übergangsmatrix, Fundamentalmatrix oder Transitionsmatrix Φ(t) = e At = Antn ∞ n=0 n! , S. 30. P Φuv Die Fourier-Transformierte der Kreuzkovarianzfunktion Suv heißt Kreuzleistungs- jωτ dichte: Φuv(ω) = F Suv(τ) = ∞ Suv(τ) e − dτ, S. 46. { } −∞ R Φv Die Fourier-Transformierte der Autokovarianzfunktion Sv heißt Leistungsdichte: jωτ Φv(ω) = F Sv(τ) = ∞ Sv(τ) e − dτ, S. 46. { } −∞ R 2π Ψ Quantisierungsfrequenz Ψ = ∆ , S. 101.
% Dichte, S. 18. GLOSSAR XV
12µa2 σ Squeeze-Zahl σ = 2 , S. 19. p0d0
2 σx Die äquivalenten Ausdrücke Varianz, Streuung, Dispersion oder das Quadrat der
Standardabweichung σx definieren ein Maß für die Abweichung der Zufallsgröße x vom Mittelwert µ : σ2 = E (x µ )2 = E x2 µ2. x x { − x } { } − x
τt Mittlere Laufzeit der Elementarladung e von Kathode zur Anode einer Diode, S. 98.
c ζ Normalisierter Abstand der Rotationsachse zum Flächenmittelpunkt ζ = a , S. 20.
Lateinische Buchstaben a Plattenbreite, S. 19.
A Systemmatrix, S. 22.
a Beschleunigung, S. 32.
ab Breite des Federbandes, S. 16. am Breite der Masse, S. 16. b Plattenlänge, S. 19.
B Eingangsmatrix, S. 22. bb Länge des Federbandes, S. 16. bm Länge der Masse, S. 16. c Abstand der Rotationsachse zur Symmetrieachse in X-Richtung, S. 16.
C Kapazität, S. 19.
C Ausgangsmatrix, S. 22. c0 Schallgeschwindigkeit, S. 18.
D Dämpfungsmatrix, S. 16.
D Dämpfungskonstante, S. 19. d Tastverhältnis (engl. Duty Cycle), d [0, 1], S. 29. ∈ d Spaltabstand d = d0 + x, S. 110. d0 Komplementäres Tastverhältnis d0 = 1 d, S. 30. − d0 Grundspaltabstand, S. 18. dA/D Quantisierungsrauschen des A/D-Wandlers, S. 93. XVI GLOSSAR
db Dicke des Federbandes, S. 16.
dc Charakteristische Länge, S. 18.
dD/A Quantisierungsrauschen des D/A-Wandlers, S. 93.
del Verstärkerrauschen (bezogen auf den Eingang), S. 93.
dg Tiefe des Strömungskanals, S. 21.
dm Dicke der Masse, S. 16.
dmech Mechanisches Brownisches Rauschen, S. 93.
δp Druckänderung, S. 18.
Ds Squeeze-Film Anteil der Dämpfungsmatrix, S. 16.
19 e Elementarladung e = 1.602 10− C.
f Kraftvektor, S. 18.
F Kraft, S. 19.
f0 Eigenfrequenz, S. 16.
Fs Kraft der Squeeze-Film Dämpfung, S. 111.
G Schubmodul, S. 16.
1 G Elektrischer Leitwert G = R− , S. 19.
g Die Gewichtsfunktion (engl. Impulse Response) g(t) = C e At B + Dδ(t) ist die Antwort des Systems G(s) = [A, B, C, D] auf den Dirac-Impuls δ(t), S. 46.
G Übertragungsfunktion der Regelstrecke.
m g Fallbeschleunigung g = 9.81 s2 .
G0 Übertragungsfunktion der nominalen Regelstrecke, S. 46.
Gemech Übertragungsfunktion des elektromechanischen Modells, S. 32.
Gmech Übertragungsfunktion des mechanischen Modells, S. 23.
GM Der Amplitudenrand (engl. Gain Margin) gibt die maximale Schleifenverstärkung an, für die das geschlossene System instabil wird. Es gilt: GM = 1 , wobei abs L(jω180) bei mehreren Schnittpunkten der jeweils größte Wert L(jω ) benutzt wird, S. 62. | 180 | i Strom, S. 19. GLOSSAR XVII
iL Strom durch Spule, S. 23. is Strom durch die Zweige der Squeeze-Film Ersatzschaltung, S. 19.
It Torsionsträgheitsmoment, S. 16.
J Trägheitsmoment, S. 16.
K Steifigkeitsmatrix, S. 16.
K Torsionssteifigkeit, Federkonstante, S. 16.
K Übertragungsfunktion des Reglers.
23 J kB Boltzmannkonstante kB = 1.3807 10− K , S. 97.
Kn Knudsen-Zahl, S. 20.
Ks Squeeze-Film Anteil der Steifigkeitsmatrix, S. 16.
L Induktivität, S. 19.
L Übertragungsfunktion der offenen Kette (engl. Loop Transfer Function) L(s) = G(s)K(s).
Ls Squeeze-Film Induktivität, S. 19.
M Trägheitsmatrix, S. 16.
m Masse, S. 16.
M Moment, S. 19.
m Ordnung des Zählers, S. 24.
Ms Squeeze-Film Moment, S. 112.
Ma Mach-Zahl Ma = v , S. 18. c0 n Polytropenkoeffizient pV n = const. für einen polytropen Prozess, S. 18. n Ordnung des Nenners, S. 24.
B(s) n∗ Die relative Ordnung der Strecke G(s) = A(s) ist definiert als Differenz der Nen- nerordnung und Zählerordnung: n∗ = deg A(s) deg B(s) = n m, S. 81. − −
nx Anzahl der Strömungskanäle in X-Richtung, S. 21.
ny Anzahl der Strömungskanäle in Y-Richtung, S. 21. p Druck p = p0 + δp, S. 110. XVIII GLOSSAR
p0 Statischer Grunddruck, S. 18.
5 pa Referenzdruck pa = 10 Pa.
pel Elektrostatischer Lastvektor, S. 16.
pext Mechanischer Lastvektor, S. 16.
px Die Wahrscheinlichkeit P dafür, dass die kontinuierlichen Zufallsveränderliche x
im Intervall [a, b] liegt, lässt sich mit der stetigen Wahrscheinlichkeitsdichte px(x) b ∞ ausdrücken: P (a x b) = a px(x) dx, px(x) dx = 1. ≤ ≤ −∞ R R PM Der Phasenrand (engl. Phase Margin) bezeichnet den Abstand der Phase arg L(jωc)
zu 180◦: PM = arg L(jωc) + 180◦, S. 62.
Q0 Das Verhältnis der Resonanzamplitude zur statischen Auslenkung wird als Güte- ω0J faktor (Resonanzschärfe) Q0 = D bezeichnet, S. 105.
R Elektrischer Widerstand.
Rs Squeeze-Film Widerstand, S. 19.
Ruv Die Kreuzkorrelationsfunktion Ruv(τ) der Zufallsprozesse u und v ist der Erwar- tungswert des Produktes von u(t) und v(t τ): R (τ) = E u(t)v(t τ) , S. 46. − uv { − }
Rv Die Autokorrelationsfunktion Rv(τ) des Zufallsprozesses v ist der Erwartungswert des Produktes von v(t) und v(t τ): R (τ) = E v(t)v(t τ) , S. 46. − v { − } %vd Re Reynolds-Zahl Re = µ , S. 18.
Rekrit Kritische Reynolds-Zahl, Umschlagpunkt von laminarer in turbulente Strömung, S. 18.
ω%d2 Re∗ Modifizierte Reynolds-Zahl Re ∗ = µ , S. 109.
1 S Empfindlichkeitsfunktion (engl. Sensitivity Function) S(s) = 1+L(s) , S. 38.
S Die Änderung des Stroms als Folge der Änderung der Steuerspannung wird bei Transistoren als Steilheit bezeichnet. Für den Bipolartransistor gilt damit S = ∂IC und für den Feldeffekttransistor S = ∂ID , S. 99. ∂UBE UCE =const. ∂UGS UDS=const.
sf Fourier -Entwicklung der Funktion f(x), S. 110.
Suv Für einen skalaren Zufallsprozesses v ist die Kreuzkovarianzfunktion Suv(τ) defi- niert als: S (τ) = E [u(t) u¯][v(t τ) v¯] = R (τ) u¯v¯. uv { − − − } uv −
Sv Für einen skalaren Zufallsprozesses v ist die Autokovarianzfunktion Sv(τ) definiert als: S (τ) = E [v(t) v¯][v(t τ) v¯] = R (τ) v¯2. v { − − − } v − GLOSSAR XIX
t Zeit.
T Komplementäre Empfindlichkeitsfunktion (engl. Complementary Sensitivity Func- L(s) tion) T (s) = 1+L(s) , S. 63.
T Absolute Temperatur, S. 97.
Ts Abtastperiode eines zeitkontinuierlichen Signals x(t), S. 42. u Spannungsvektor, S. 16. u Spannung u = Φ˙, S. 19. u Eingangsvektor, S. 22. uC Spannung über Kondensator, S. 23. v Fluidgeschwindigkeit, Geschwindigkeit, S. 18. v Geschwindigkeits-Vektorfeld, S. 18.
W Die charakteristische Funktion W (u) ist definiert als Fouriertransformierte der Wahr- scheinlichkeitsdichte p, S. 101. wg Breite des Strömungskanals, S. 21. x Zustandsvektor, S. 22. y Ausgangsvektor, S. 22. z Verschiebung, S. 18.
Mathematische Zeichen und Funktionen
m n A† Pseudoinverse (Moore-Penrose Inverse) der Matrix A R × : ∈ T 1 T (A A)− A für RangA = n A† = . AT(AAT) 1 für RangA = m − AH Adjungierte einer komplexen Matrix A, die man aus deren konjugiert komplexen H T Matrix A∗ erhält: A = (A∗) .
C Menge der komplexen Zahlen z = a + jb mit a, b R. ∈ deg Die höchste Potenz eines eindimensionalen Polynoms wird als Ordnung bezeichnet. n n 1 Demnach hat das Polynom A(s) = ans + an 1s − + + a0 die Ordnung n, − · · · bezeichnet mit deg A(s) = n.
∆ Laplace-Operator ∆Φ = Φ. ∇ · ∇ XX GLOSSAR
d Differential-Operator für Funktionen einer Veränderlichen y = f(x).
n m m E x Moment n-ter Ordnung der Zufallsveränderlichen x: E x = ∞ x px(x) dx. { } { } −∞ R F Für die Beschreibung eines kontinuierlichen Signals f(t) im Frequenzbereich F (jω) jωt gilt die Fouriertransformation: F f(t) = F (jω) = ∞ f(t) e − dt. { } −∞ 1 R F − Die Fourier-Rücktransformation eines Signals F (jω) aus dem Frequenzbereich ist F 1 1 ∞ jωt definiert als: − F (jω) = f(t) = 2π F (jω) e dω. { } −∞ F R D Die Fouriertransformation der diskreten Sequenz yd(t) = k∞= ykδ(t kTs) −∞ − führt zur sogenannten zeitdiskreten Fouriertransformation: F y (t) = Y (jω) = P{ d } d jωkTs k∞= yk e − . −∞ P . Das Ergebnis der Floor-Funktion ist die größte Integerzahl, die kleiner oder gleich b c dem Parameter x ist und ist definiert mit: x = max k Z k < x . b c { ∈ | }
Hp Der Hardy Raum H definiert die Menge aller analytischen Funktionen in der rech-
ten komplexen Halbebene, wobei deren Hp-Norm endlich ist, S. 125.
I Einheitsmatrix.
inf Das Infimum definiert die größte untere Schranke einer Folge.
j Imaginäre Einheit j = √ 1. − L Für die Beschreibung einer Funktion f(t) im Bildbereich F (s) der komplexen Ver- änderlichen s = δ + jω gilt die Laplacetransformation: L f(t) = F (s) = { } ∞ st 0 f(t) e − dt, S. 32.
1 R L − Die Laplace-Rücktransformation eines Signals F (s) aus dem Bildbereich ist defi- δ+j L 1 1 ∞ st niert als: − F (s) = f(t) = 2πj δ j F (s) e ds. { } − ∞ R det Determinante det A der quadratischen Matrix A.
n n λ Ein Skalar λ heißt Eigenwert einer quadratischen Matrix A C × , wenn es einen i ∈ dazugehörigen (rechtsseitigen) Eigenvektor vi gibt mit: Avi = λivi.
a b a teilt b oder b ist ein Vielfaches von a: b = qa mit q Z. | ∈ T Nabla-Operator = ∂ ∂ ∂ . ∇ ∇ ∂x ∂y ∂z h i . Für die Vektor p-Norm mit x Cn gilt x = ( n x p)1/p für 1 p . k kp ∈ k kp i=1 | i| ≤ ≤ ∞ m n Die induzierte Matrixnorm für Matrix A C ×P ist dabei definiert als A p = Ax p ∈ k k sup Cn k k . x :x=0 x p ∈ 6 k k GLOSSAR XXI
. Für die Vektor 2-Norm oder auch Euklidische Norm, welche den kürzesten Abstand k k2 zweier Punkte definiert, gilt x = n x 2 für x Cn. k k2 i=1 | i| ∈ m n Die induzierte 2-Matrixnorm oder SpektralnormpP für Matrix A C × ist definiert ∈ H als der größte Singulärwert von A mit A = λmax (A A) = σ¯(A), S. 32. k k2 q N Menge der natürlichen Zahlen N = 0, 1, 2, 3, . . . . { } n m p q Als Kronecker-Produkt zweier Matrizen A R × und B R × bezeichnet man ⊗ a11B ∈ a1nB ∈ · · · . . . np nq die Vorschrift: A B = (a B) = . .. . R × . ⊗ ij . . ∈ am1B amnB · · · ∂ Differential-Operator für Funktionen mehrerer Veränderlichen y = f(x, y, . . .).
plim Eine Folge von Zufallsvariablen XN konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen eine
Konstante c (plim XN = c), wenn gilt: limN P( XN c < ε) = 1 für alle →∞ | − | ε > 0, das heißt, je größer N, umso wahrscheinlicher wird es, dass XN in einer ε- Umgebung um den Wahrscheinlichkeitsgrenzwert c liegt, S. 53.
Quantisierungsoperator, S. 100. Q ric Lösung P = ric(H) der Matrix-Riccati-Gleichung ATP + PA PSP + Q = 0, A S − wobei H = Q AT , die Hamilton-Matrix bezeichnet. − R Menge der reellen Zahlen.
s Laplace-Operator s = jω.
sup Das Supremum definiert die kleinste obere Schranke einer Folge, S. 124.
n n tr Die Spur tr(A) einer quadratischen Matrix A R × definiert die Summe der n ∈ Diagonalelemente: tr(A) = i=1 aii.
P m m n vec Spaltenvektoroperator, der alle Spalten a R einer Matrix A R × sequentiell ∈ T ∈ in einen Vektor schreibt vec(A) = aT . . . aT Rmn, S. 51. 1 n ∈ vec Reduzierter Spaltenvektoroperator einer symmetrischen Matrix, S. 132.
X Durch 2 teilbare Zahlen X = x x X x 2 . 2 2 { | ∈ ∧ | } X Positive Zahlenmenge X = x x X x > 0 . + + { | ∈ ∧ }
X∗ Zahlenmenge ohne Null X∗ = X 0 , S. 34. \ { } X Negative Zahlenmenge X = x x X x < 0 . − − { | ∈ ∧ }
X¯ Keine durch 2 teilbare Zahlen X¯ = X X , S. 110. 2 2 \ 2 XXII GLOSSAR
z Die Z -Transformation folgt mit der Substitution z = e sTs aus der Laplace-Trans- L formierten F ∗(s) der Impulsfolgefunktion: F ∗(s) = k∞=0 f(kTs)δ(t kTs) = ksT { − } ∞ f(kT ) e s , S. 42. k=0 s − P Z MengeP der ganzen Zahlen Z = . . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . . . { − − } Kapitel 1
Einführung
The hardest thing in the world to understand is the income tax. Albert Einstein (1879 – 1955), German-American physicist, 1921 Nobel Prize of physics
1.1 Mikrosysteme und Regelungstechnik
Infolge des Bedarfs nach kompakten und kleinen Gesamtsystemen wurde die Miniaturisie- rung in den letzten Jahren stark vorangetrieben. Beispiele dafür gibt es genug: Tintenstrahl- Druckköpfe, die Fotoqualität liefern; Blutzucker-Messgeräte nicht größer als der Handteller; Drucksensoren, die in Echtzeit den Reifeninnendruck überwachen; Mikrospiegel-Arrays zur Bildprojektion in Beamern; Mikrospiegel zur Laser-Projektion für das Fernsehen der Zukunft; implantierbare medizinische Dosier- und Überwachungssysteme; Mikroreaktoren für kleinste Volumina. Diese Liste ließe sich um eine Vielzahl weiterer Beispiele erweitern. Die Mikrosystemtechnik ist eine Technologie, die diese Verkleinerung ermöglicht. Sie ver- einigt die verschiedensten Technologien (z. B. Mikroelektronik, Mechanik, Chemie, Optik, Bio- und Nanotechnologie), Komponenten und Materialien zu intelligenten, miniaturisierten Ge- samtsystemen [Ste04]. Die Vorteile der Mikrosystemtechnik sind:
Produktionsschritte bauen auf die der Mikroelektronik auf, • in großen Stückzahlen produzierbar und damit sehr preiswert, • klein, sehr kompakt und sehr robust, • hohe Präzision und Zuverlässigkeit. • Aufgrund dieser Vorteile eignen sich mikro-elektromechanische Systeme (MEMS) für die kos- tengünstige Massenfertigung, was ein wesentliches Kriterium für die Autoindustrie ist. Weitere Vorteile sind die Integrierbarkeit der Elektronik und die Ressourcenschonung der Umwelt. Die 2 EINFÜHRUNG
(a) Zunehmende Vernetzung im Automobil (Bild- (b) Monitoring System [EDH+00] zur Mes- quelle:
Abb. 1.1: Beispiele zur Anwendung der Mikrosystemtechnik
hohe Zuverlässigkeit, Präzision und Robustheit macht die Mikrosystemtechnik für sicherheits- relevante (Abb. 1.1a) und medizinische Systeme (Abb. 1.1b) sehr interessant. Der steigende Bedarf nach preiswerten und kompakten Systemen erfordert eine zunehmen- de Komplexität und Integrationsdichte. Beispielhaft für diese rasante Zunahme der Integrati- onsdichte ist das Mooresche Gesetz [Moo65], das ursprünglich einen Zuwachs um den Faktor 2 pro Jahr vorhersagte (Abb. 1.2a). Aufgrund einer Verlangsamung der Entwicklung in den Fol- gejahren wurde dieser Wert später auf alle 24 Monate korrigiert. Dieser Trend zeigt sich auch in der Festplattentechnologie (Abb. 1.2b), bei der in den letzten Jahren die Kapazität alle 10 Jahre verhundertfacht wurde [GH96]. Erkennbar ist die zunehmende Komplexität auch in der Autoindustrie, die den Fahrer durch eine Vielzahl vernetzter Assistenz- und Sicherheitssysteme immer mehr entlastet. Diese steigenden Anforderungen an die Komplexität, Dynamik und Integration können nur durch den zunehmenden Einsatz von Steuerungs- und Regelungstechnik erfüllt werden. Schon heute wird die Regelungstechnik zur Dynamikverbesserung bei vielen MEMS eingesetzt und zukünftige Anwendungen werden intelligente Steuerungs- und Regelungskonzepte zur Verar- beitung der immer größer werdenden Informationsflut benötigen. Die Regelungstechnik wird damit immer mehr in den Vordergrund rücken, was eine genaue Analyse und Synthese der MEMS voraussetzt.
1.2 Ziel der vorliegenden Arbeit
Ziel der vorliegenden Arbeit ist die regelungstechnische Analyse und Synthese vom MEMS, bestehend aus einem elektrostatisch erregten und detektierten Feder-Masse-Dämpfer System. Diese häufig benutzte Anordnung wird beispielsweise in der Inertialsensorik [YAN98] zur Mes- sung von Beschleunigung und Drehrate [Bil00] oder zur Messung von Druck, Schallwellen 1.2 ZIEL DER VORLIEGENDEN ARBEIT 3
(a) Integrationslevel von integrierten Schaltung- (b) Kapazitätsentwicklung von Festplatten (Bild- en im Zeitraum von 1965–1975 (Bildquelle: quelle: [GH96]) [Moo65])
Abb. 1.2: Zukunftstrends in Mikroelektronik und Festplattentechnologie
und Vibrationen [Wib02, Sch05] eingesetzt. Typische Beispiele für Mikroaktoren sind Spie- gel [You93, Keh00, Spe05] und Kammantriebe [TNH89].
Bisher gab es nur sehr vereinzelt Anstrengungen, sich mit der regelungstechnischen Analyse
und Synthese der MEMS auseinanderzusetzen. Meist wurden dabei die MEMS als stabile PT2- Systeme angenommen (z. B. in [vVSW94, KLH98]), ohne jedoch eine tiefgründigere Untersu- chung vorzunehmen. Diese Art der Betrachtung ist besonders riskant, da beim Überschreiten des Pull-In Punktes, bei dem die Federkraft identisch der elektrostatischen Kraft ist, das Sys- temverhalten instabil wird. Zudem ist die Kapazität und elektrostatische Kraft stark nichtlinear und enthält Singulärpunkte, die eine Analyse erschweren.
Ziel ist es, eine umfassende Beschreibung von elektrostatisch erregten MEMS am Beispiel eines Beschleunigungssensors (Abb. 1.3) zu geben. Der Sensor wird dabei in einer geschlossen- en Regelungsschleife betrieben, wobei die Lage der seismischen Masse im Nullpunkt gefesselt wird.
Ausgehend von einem mathematischen Modell, welches das Sensorverhalten beschreibt, werden Identifikationsmethoden vorgestellt, die eine Modellanpassung an das reale System er- möglichen. Mittels eines Optimal-Reglerentwurfs wird die gewünschte Dynamik des geschlos- senen Systems realisiert. Grenzen und Probleme werden aufgezeigt und das Verhalten des Ge- samtsystems optimiert. 4 EINFÜHRUNG
Störgröße Beschleunigung
Messsignal
Ausgangs− Sensor signal
Stellsignal
Regeleinrichtung
Abb. 1.3: Beschleunigungssensor betrieben in einer geschlossenen Regelungsschleife
1.3 Thematische Gliederung
Kapitel 2 gibt einen Einblick in den Aufbau und die Fertigungstechnologie des Sensors. Dabei werden die Möglichkeiten der Erfassung der Beschleunigung und die Antriebsprinzipien in der Mikrosystemtechnik, die für die Regelung notwendig sind, dargestellt.
Die Beschreibung des Beschleunigungssensors als mathematisches Modell ist Gegenstand von Kapitel 3. Ausgehend von einem Feder-Masse Schwinger wird ein vereinfachtes Zustandsraum- modell für das Gesamtsystem entwickelt. Der in [GRY66] vorgestellte Ansatz zur Lösung des Squeeze-Film Problems über die Tren- nung der Variablen wird für rotatorische Systeme mit variabler Rotationsachse erweitert und mittels Analogiebeziehungen in ein elektrisches Netzwerk gewandelt. Eine vereinfachte, wenn- gleich auch grobe Methode zur Modellierung der Strömungskanäle wird vorgestellt und mit FEM-Ergebnissen verglichen. Im Anschluss wird das elektrostatische Wirkprinzip erklärt, welches zur Erzeugung der Stellkräfte dient und gleichzeitig Messmöglichkeiten im gleichen Feldraum zulässt. Ladungs- verstärker und Pulsbreitenansteuerung werden modelliert, die diese gleichzeitige Messung und Stellung ermöglichen und schaltungstechnisch sehr aufwandsarm sind.
Das mathematische Modell benötigt eine genaue Kenntnis der Modellparameter. Meist sind diese unbekannt oder können nur ungenau bestimmt werden. Eine Identifikation des mechani- schen Systems ist dabei nur durch kostenintensive Messtechnik (optische Messung, definierte mechanische Anregung) möglich, da die anliegende Sensorspannung und die Auslenkung das elektrostatische System stark verändern. Oft kann auch das mechanische System bei geringer Federkonstante und großer Masse, was zu einer hohen Neigung zum Anschlag der seismischen Masse an die Elektroden führt, nicht identifiziert werden. 1.3 THEMATISCHE GLIEDERUNG 5
In Kapitel 4 werden Identifikationsmethoden linearer und nichtlinearer Art entwickelt, die das zugrundeliegende mechanische System aus dem elektrostatischen System bestimmen. Teure Messtechnik kann damit komplett entfallen. Gleichzeitig identifiziert das Verfahren die elektri- sche Signalstrecke, die zum Reglerentwurf nötig ist. Die Identifikation kann aufgrund der Instabilität bei höheren Spannungen nur innerhalb der geschlossenen Schleife vorgenommen werden. Infolge der Korrelation zwischen Stellsignal und Messrauschen ergeben sich Probleme, die diskutiert werden. Im Anschluss werden Lösungen zur Umgehung des Problems gegeben. Das Kapitel endet mit theoretischen und praktischen Beispielen, die die mathematische Mo- dellbildung bestätigen.
Das Kapitel 5 stellt einen Optimal-Reglerentwurf vor, dessen Stabilität gegen Parameterschwan- kungen robust ist. Einschränkungen in der Dimensionierung des gewünschten dynamischen Verhaltens der geschlossenen Strecke werden gegeben. Der Reglerentwurf garantiert Stabilität für das Kleinsignalmodell, entwickelt für den Ar- beitspunkt. Aufgrund der Nichtlinearität ist eine Betrachtung des Gesamtsystems mittels Klein- signalmodell für den gesamten Ausschlagbereich nicht zulässig. Die Stabilität muss daher expli- zit durch Suchen nach einer geeigneten Energiefunktion für das Gesamtsystem getestet werden. Reale Systeme können aufgrund der theoretisch infiniten Kapazitätsdifferenz nicht den ge- samten Auslenkungsbereich beobachten. Auswirkungen einer Begrenzung des Messsignals wer- den untersucht und anhand von Beispielen überprüft. Das Verfahren der adaptiven Regelung mit Referenzmodell, dass bei langsam zeitveränderli- chen Systemen gute Ergebnisse erzielt, wird für den Beschleunigungssensor auf Anwendbarkeit geprüft. Probleme und ein möglicher Ausweg zur Anwendung der adaptiven Regelung werden gezeigt. Praktische und simulative Beispiele runden das Kapitel ab und zeigen das Potential des Reg- lerentwurfs.
Das Kapitel 6 beschäftigt sich mit der Sensitivitätsanalyse des Gesamtsystems. Es werden Be- dingungen zur Messung in einem bestimmten Messbereich abgeleitet und Signal-Rauschabstän- de möglicher Störungen berechnet. Durch eine dynamische Veränderung der Sensorspannung und Auslenkung ist es möglich einen erhöhten Signal-Rauschabstand zu erhalten, wobei Gren- zen und Möglichkeiten diskutiert werden.
Kapitel 7 untersucht die einzelnen Rauschquellen des Sensorsystems. Der Schwerpunkt liegt dabei bei der Untersuchung der digitalen Rauschquellen, wobei Möglichkeiten zur Minimierung des Quantisierungsrauschens gezeigt werden. 6 EINFÜHRUNG Kapitel 2
Design und Technologie
Gesetz ist die Regel, nach der das Dasein der Dinge bestimmbar ist. Immanuel Kant (1724 – 1804), deutscher Philosoph
2.1 Einführung
Neben der in dieser Arbeit verwendeten Methode der kapazitiven Erfassung der Beschleunigung gibt es eine Reihe anderer Lösungen, die eine Beschleunigungsmessung im open-loop Betrieb (Abb. 2.1) ermöglichen. Relevante Methoden sind dabei [YAN98]:
piezoresistive Erfassung, bei der durch einen Piezo-Widerstand, der am Punkt der ma- • ximalen Biegebeanspruchung angebracht ist, die auslenkungsabhängige Durchbiegung gemessen wird,
kapazitive Erfassung, über die Veränderung der Kapazität der Kondensatoranordnung, • Erfassung über Tunneleffekt, bei dem der abstandsabhängige Tunnelstrom zwischen einer • Spitze und Elektrode Aufschluss über die Auslenkung gibt,
resonante Erfassung, über die Frequenzverschiebung der Resonanzfrequenz, • thermische Erfassung, über die Messung der Temperaturverteilung. PSfrag replacements • u(t) Sensoraus− Beschleunigung gangssignal Messsignal Sensor Messsystem a(t) y(t)
Abb. 2.1: Open-loop Betrieb der Beschleunigungsmessung 8 DESIGN UND TECHNOLOGIE
Die kapazitive Erfassung vereint die Sensor- und Aktorwirkung mit einer Kondensatoranord- nung und macht eine extra Stellkomponente für den Betrieb in einer Regelschleife unnötig. Dabei wurde die Volumentechnologie favorisiert, die aufgrund der großen fertigbaren Massen eine höhere Auflösung zulässt. Die Dämpfung wurde durch den Einsatz von Strömungskanälen auf der Oberfläche der seismischen Masse minimiert.
2.2 Antriebsprinzipien von Mikrosystemen
Die Beschleunigungsmessung im closed-loop Betrieb (Abb. 2.2) erfordert eine Stellung der
a(t) Störgröße Beschleunigung Messsignal Sensor Messsystem u(t) PSfrag replacements Stellsignal Stelleinrichtung Regeleinrichtung
y(t) Ausgangs− signal
Abb. 2.2: Closed-loop Betrieb der Beschleunigungsmessung
Mikrostruktur, um die Störung in Form der anliegenden Beschleunigung ausregeln zu können. Die wichtigsten Antriebsprinzipien in der Mikrosystemtechnik sind:
elektrostatisches Prinzip, das auf der Kraftwirkung zwischen Ladungen beruht, •
elektrodynamisches Prinzip, das die Kräfte von stromdurchflossenen Leitern im Magnet- • feld ausnutzt,
piezoelektrisches Prinzip, das auf der Wechselwirkung von elektrischen Größen (Feld- • stärke und dielektrische Verschiebung) mit mechanischen Größen (Spannung und Deh- nung) [GD06] beruht,
thermisches Prinzip, bei dem die Volumenänderung durch Hitze ausgenutzt wird. •
Aufgrund der hohen dynamischen Anforderungen, Stellkräfte und -wege werden das elektro- statische und elektrodynamische Prinzip für den möglichen Einsatz im Beschleunigungssensor favorisiert. 2.2 ANTRIEBSPRINZIPIEN VON MIKROSYSTEMEN 9
2.2.1 Elektrostatisches Antriebsprinzip
Das elektrostatische Prinzip ist wegen der niedrigen Leistungsaufnahme und der einfachen Her- stellung das dominierende Verfahren bei MEMS-Antrieben. Ein entscheidender Vorteil ist die erwähnte Sensor- und Aktorwirkung im gleichen Feldraum, die eine gleichzeitige Messung und Stellung ermöglichen.
Tab. 2.1: Laterale und vertikale einseitige Grundkonfiguration
Grundkonfiguration Merkmale
εab dC(x) εab C(x) = ; = 2 bewegte d x dx (d x) a Platte − − große Kapazitätsänderung PSfrag replacements x feststehende • Platte ertikal stark nichtlineare Kennlinie C(x) v • b Pull-In Effekt • d
a εb(a + x) dC(x) εb C(x) = ; = d dx d PSfrag replacements b x kleine Kapazitätsänderung • bewegte Platte lateral lineare Kennlinie C(x) • d kein Pull-In Effekt feststehende Platte •
Nachteilig wirkt sich die benötigte relativ hohe Ansteuerspannung aus, die bis zu 1000 V betragen kann. Speziell für die Regelungstechnik ist das stark nichtlineare Verhalten der elek- trostatischen Kraft unangenehm, die über die virtuelle Verrückung [GD06] aus der Veränderung der elektrischen Energie berechnet wird
dW u2 dC(x) F (u, x) = el = . (2.1) el dx 2 dx Diese hängt quadratisch von der Spannung ab, wobei nur anziehende Kräfte erzeugt werden können. Im Falle der vertikalen Grundkonfiguration (Tab. 2.1 oben) ergibt sich eine 1/x2-Abhängig- keit des Spaltes, die regelungstechnisch starke Probleme bereitet. Die Dynamik und statische Verstärkung sind somit stark spaltabhängig. Außerdem tritt bei ca. 1/3 des Elektrodenabstan- des der Pull-In Effekt auf, der das Feder-Masse System beim Überschreiten des Pull-In Punktes instabil werden lässt. Eine wesentliche Vereinfachung tritt bei Einsatz eines lateralen Antriebes (Tab. 2.1 unten) auf, der keine Veränderung des Elektrodenabstandes bewirkt. Hierbei ist die Kapazität linear 10 DESIGN UND TECHNOLOGIE
Tab. 2.2: Vor- und Nachteile des elektrostatischen Prinzips
Vorteile Nachteile einfache Konstruktion und Fabrikation hohe Spannungen notwendig • Sensor- und Aktorwirkung im gleichen • stark nichtlineares Verhalten der elek- • Feldraum • trostatischen Kraft (vertikal) geringe Leistungsaufnahme Einfluss parasitärer Kapazitäten • geringe Masse und dadurch hohe Eigen- • empfindlich gegen Dielektrizitätsänder- • frequenz des Systems • ung, bsp. Feuchte oder Fremdkörper geringer Temperatureinfluss nur anziehende Kräfte realisierbar • Kammstrukturen mit gewünschter Ka- • aufgrund des Squeeze-Film Effekts ist • pazitätskennlinie realisierbar • Dämpfung nichtlinear (vertikal)
von der Auslenkung abhängig und die elektrostatische Kraft auslenkungsunabhängig. Über die Optimierung der Fingerlängen von lateralen Kammantrieben [Wib02] kann darüberhinaus eine Anpassung an eine gewünschte Kapazitätskennlinie vorgenommen werden. Dieses Grundprinzip soll in der Arbeit nicht weiter diskutiert werden, da durch Bildung der Inversen des Spannungssignals eine Linearisierung der Regelschleife vorgenommen werden kann. In Tab. 2.2 sind weitere Vor- und Nachteile dieses Antriebsprinzips gegenübergestellt.
2.2.2 Elektrodynamisches Antriebsprinzip
Im Vergleich zu dem elektrostatischen Antrieb wird ein elektrodynamischer Aktor mit einer weitaus kleineren Spannung, aber einer höheren Leistungsaufnahme betrieben. Da bei dieser Antriebsart kein Spalt existiert, sind große Auslenkungen bei konstanter Dämpfungswirkung erreichbar. Prinzipiell kann der Aktor aufgedruckte oder aufgeklebte Permanentmagneten beinhalten und durch ein variables Magnetfeld ausgelenkt werden. Oder der Aktor besitzt selbst eine Spule und wird durch Stromfluss angeregt. Um dabei ein ausreichendes Moment M zu erzeugen
M = m B = I(A B) , (2.2) × × muss entweder ein starkes homogenes Magnetfeld B, oder ein hohes magnetisches Moment m vorhanden sein. Speziell für eine Leiterschleife ist das magnetische Moment proportional
Tab. 2.3: Vor- und Nachteile des elektrodynamischen Prinzips
Vorteile Nachteile große Auslenkungen realisierbar Hysterese ferromagnetischer Stoffe • kleine Spannung • hohe Leistungsaufnahme • erzeugte Kraft ist proportional zum • große Abmessungen bedingt durch Spu- • Strom • lenfläche oder Permanentmagneten Moment kann durch Veränderung der Verformung der Mikrostrukturen auf- • Flussdichte von „außen“ beeinflusst • grund erzeugter Verlustwärme strom- werden duchflossener Leiter Dämpfung ist linear, da spaltfreie An- • ordnung 2.3 AUFBAU 11 zum Strom I und der Leiterfläche A. Das lineare Verhalten vereinfacht damit die Regelung entscheidend. Nachteilig bei diesem Antrieb ist die erzeugte Verlustleistung in Form von Wärme, die zu Verformung der Mikrostrukturen führen kann. Eine Gegenüberstellung weiterer Vor- und Nach- teile dieses Prinzips erfolgt in Tab. 2.3.
2.3 Aufbau
Der Sensor ist als Glas-Silizium-Glas Sandwichstruktur aufgebaut und in Volumen-Mikrome- chanik gefertigt. Die an zwei Torsionsfederbalken aufgehängte seismische Masse zeigt Abb. 2.3a.
Anschlag
Seismische Masse Torsions− feder
Strömungskanäle
(a) REM-Aufnahme der seismischen Masse
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Anschlag ¡¡¡¡¡¡¡¡¡
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0¡0¡0¡0¡0 /¡/¡/¡/¡/ Durchkon− Druck− 0¡0¡0¡0¡0 Silizium
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(b) Schematischer Aufbau des Sensorchips (c) Photo
Abb. 2.3: Sensor-Chip 12 DESIGN UND TECHNOLOGIE
Die eingeätzten Gräben auf der Oberfläche der Masse bewirken eine merkliche Reduzierung der
Luftdämpfung, ohne das elektrische Feld stark zu beeinflussen. Aufoxidierte SiO2-Anschläge auf der Oberfläche der seismischen Masse verhindern den elektrischen Kontakt der Masse mit den Elektroden und außerdem ein Ankleben der Masse während des anodischen Bondens. Den Gesamtsensoraufbau zeigt Abb. 2.3b. Die Sensordeckel bestehen aus Glas, wobei die Aluminium-Elektroden auf den Glaswafer aufgesputtert sind. Die Glas-Silizium-Glas Anord- nung minimiert die parasitären Kapazitäten des Sensors und reduziert damit den Elektronikauf- wand. Bohrungen in den Glasdeckeln sorgen für den elektrischen Kontakt zu den Elektroden und für den Druckausgleich im Sensor. Der Atmosphärendruck garantiert einerseits gleichmä- ßige Bondergebnisse und andererseits eine konstante Squeeze-Film Dynamik in allen Sensoren.
2.4 Technologie
Die Technologieschritte zur Herstellung des Mittelwafers sind in Abb. 2.4 dargestellt. Die ver- tikale Federanordnung wurde dabei favorisiert, da einerseits der Prozessablauf verkürzt ist und pro Waferseite nur eine Maske zur Herstellung des Feder-Masse Systems benötigt wird. Ande- rerseits ist die Kontrolle während des Prozesses einfacher, denn Breite und Länge der Federn können während des Ätzprozesses leicht gemessen werden, wobei die Federdicke durch die Waferhöhe vorgegeben ist. Es bilden sich dabei nahezu senkrechte Federwände aus, denn die
Unterätzrate liegt in der gleichen Größenordnung wie die Tiefenätzrate [Sch02].
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Nitridauftragung
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¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ (b) Strukturierung, (h) Strukturierung ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
Silizium−
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¡ ¡ '¡'¡'¡'¡'¡'¡'¡'¡'¡'¡'¡'¡'¡'¡'¡'¡'¡'¡'¡'¡' (c) Lokale Oxidation (j) Silizium− (¡(¡(¡(¡(¡(¡(¡(¡(¡(¡(¡(¡(¡(¡(¡(¡(¡(¡(¡(¡(
(LOCOS) Nassätzen
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(d) Oxidätzen (k) Nitridätzen
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(f) Strukturierung (n) Oxidätzen,
Reinigung
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*¡*¡*¡* )¡)¡)¡) Silizium Siliziumoxid *¡*¡*¡* Siliziumnitrid
Abb. 2.4: Prozessablauf des Mittelwafers
Nach dem Einbringen notwendiger Justage- und Bondmarken auf den Wafer erfolgt eine Strukturierung des Feder-Masse Systems mittels Siliziumoxid und Siliziumnitrid (Abb. 2.4a). Mit KOH-Lösung wird eine 3 µm tiefe Grube beidseitig in den Wafer geätzt (Abb. 2.4b). Ein 2.4 TECHNOLOGIE 13
anschließender thermischer Oxidationsprozess (LOCOS) ermöglicht das Aufbringen einer 1 µm starken Oxidschicht zur Strukturierung der Anschläge (Abb. 2.4c–e). Der nächste Maskensatz dient der Strukturierung der 30 µm tiefen Strömungskanäle zur Minimierung der Luftdämpfung (Abb. 2.4f). Mit einer weiteren Strukturierung und einem anschließenden Ätzprozess beginnt die eigentliche Herstellung des Feder-Masse Systems (Abb. 2.4g–m). Nach dem Entfernen des überschüssigen Oxids (Abb. 2.4n) und anschließender Reinigung ist der Mittelwafer für den Bondprozess mit den Glasdeckeln bereit [Sch02].
300 µm
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¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢600 µm
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PSfrag replacements ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
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Abb. 2.5: Schema des Deckelaufbaus
Auf den Glaswafer werden Siliziumwafer aufgebondet und dieses Silizium strukturiert, um Kontaktinseln zu erhalten. Nachdem Löcher im Durchmesser von 500 µm in den Glaswafer ge- bohrt wurden, werden diese mit Aluminium zu- und die Gegenelektroden auf den Innenseiten der Glaswafer aufgesputtert (Abb. 2.5). Diese dienen der elektrischen Verbindung der Elektro- den mit den Kontaktinseln [Sch02].
Bei einer Temperatur von ca. 400 ◦C und einer Spannung von 300 V werden die Glas- und Siliziumwafer im anodischen Bondprozess zusammengefügt. Luftdruck garantiert eine gleich- mäßige Erhitzung der Wafer während des Bondprozesses und damit eine Minimierung der De- formation nach der Abkühlungsphase. Ein Bondgitter gewährleistet eine exakte Positionierung des elektrischen Feldes auf die zu verbindenden Sensorrahmen. Um ein Ankleben der seismi- schen Masse und einen Eintrag einer elektrischen Ladung auf die Oberfläche der elektrisch isolierenden Anschläge zu vermeiden, werden die Kontaktinseln und Mittelwafer potentialfrei verbunden. Durch einen anschließenden Sputterprozess werden metallische Kontaktinseln an den Seiten der vorher vereinzelten Sensoren angebracht. Bonddrähte verbinden die Inseln mit der Umge- bung. 14 DESIGN UND TECHNOLOGIE Kapitel 3
Modellbildung
Der Mensch ist das Modell der Welt. Leonardo da Vinci (1452 – 1519), italienisches Universalgenie, Maler, Bildhauer, Baumeister, Zeichner und Naturforscher
3.1 Einführung
Die Regelungstechnik arbeitet typischerweise mit Modellen, die das Verhalten komplexer dy- namischer Systeme durch Signale beschreiben. Die Analyse eines gegebenen realen Systems beginnt mit dem Aufstellen eines Modells, welches nur das Verhalten widerspiegelt, das für die entsprechende Regelungsaufgabe wichtig ist. Die gesuchten Beziehungen, typischerweise beschrieben in Form von (linearen) Differenti- algleichungen (DGL), können entweder aus den physikalischen Gesetzmäßigkeiten durch theo- retische Modellbildung abgeleitet oder durch experimentelle Modellbildung, die Identifikation, ermittelt werden. Modellbildung
Theoretisch Experimentell
Deterministisch Stochastisch
Offline Online
Grundsätzlich können die Modelle linearer oder nichtlinearer Art sein. Eine weitere Unter- scheidung der experimentellen Modellbildung kann beispielsweise weiter nach [Ise92] vorge- nommen werden:
Klassen von mathematischen Modellen (parametrische, nichtparametrische Modelle), • 16 MODELLBILDUNG
Klassen der verwendeten Signale (determiniert, stochastisch), • Fehler zwischen Prozess und Modell (Eingangsfehler, Ausgangsfehler, verallgemeinerter • Fehler),
Ablauf von Messung und Auswertung (online, offline), • Verwendete Algorithmen zur Datenverarbeitung (Echtzeitverarbeitung, Blockverarbei- • tung). Prinzipiell gilt: Das Modell widerspiegelt den Aufwand für den Reglerentwurf. Je einfacher das Modell und damit die Modellordnung ist, umso einfacher ist der dazugehörige Regler. Gegen- stand der Modellbildung sollte daher immer ein einfaches Modell sein.
3.2 Mechanisches Modell
Der elektrostatisch erregte Beschleunigungssensor kann im Allgemeinen als Feder-Masse Sys- tem im Frequenzbereich mit
ω2M + jω D + D (ω, ν(ω)) + K + K (ω, ν(ω)) ν(ω) = − { s } s pext (ω) + pel (ν(ω), u(ω)) (3.1) beschrieben werden, wobei M die Trägheitsmatrix, D die Dämpfungsmatrix, K die Steifig-
keitsmatrix, ν der komplexe Verschiebungsvektor, pel der komplexe elektrostatische Lastvektor
und pext die komplexe mechanische Last, die als Störgröße auftritt, darstellt. Dämpfungs- und Steifigkeitsmatrix setzen sich aus einem konstanten mechanischen Anteil und einem frequenz-
und auslenkungsabhängigen Squeeze-Film Anteil Ds und Ks zusammen, dessen Effekt in Ab- schnitt 3.3 genauer beschrieben wird. Die seismische Masse, die in den meisten Fällen als ein Starrkörper angenommen wird, hat aufgrund der elastischen Aufhängung mehrere Bewegungsfreiheitsgrade, die durch äußere Einflüsse angeregt werden können (Abb. 3.1). Um eine Anregung der höheren Modi zu mini- mieren, sollten diese in einem anderen Frequenzbereich als der Grundmode liegen. Diese sind in den meisten Fällen nicht beobachtbar und nicht steuerbar und stellen daher auch ein Problem des geregelten Kreises dar. Es ist somit die Aufgabe des Entwurfs, diese unerwünschten Be- wegungsmodi zu minimieren und außerhalb des Nutzfrequenzbereiches anzusiedeln, sodass sie weiterhin vernachlässigbar sind. Deshalb soll im Weiteren nur der Grundmode betrachtet werden, dessen Eigenfrequenz aus dem Trägheitsmoment J und der Torsionssteifigkeit K berechnet wird: 1 K f0 = . (3.2) 2π r J Trägheitsmoment und Torsionssteifigkeit können aus den mechanischen Gesetzen bestimmt werden
1 2 2 2 GIt J = m am + dm + 12c ; K = 2 (3.3) 12 bb 3.3 SQUEEZE-FILM DÄMPFUNG 17
(a) 1. Mode f0 = 359 Hz (b) 2. Mode f0 = 1329 Hz (c) 3. Mode f0 = 3231 Hz
(d) 4. Mode f0 = 17 kHz (e) 5. Mode f0 = 34 kHz (f) 6. Mode f0 = 90 kHz
(g) 7. Mode f0 = 123 kHz (h) 8. Mode f0 = 161 kHz (i) 9. Mode f0 = 166 kHz
Abb. 3.1: Freiheitsgrade aus der Modalanalyse
mit [WA85] 1 0.630 0.052 d I = 1 + a3d , n = b 1 , (3.4) t 3 − n n5 b b a ≥ b wobei die seismische Masse die Abmessungen a b d (Breite Länge Dicke) und m × m × m × × das Federband die Abmessungen a b d besitzt. Die Torsionssteifigkeit berechnet sich aus b × b × b Torsionsträgheitsmoment It und dem Schubmodul G. Die Konstante c definiert den Abstand der Rotationsachse zum Flächenmittelpunkt.
3.3 Squeeze-Film Dämpfung
Bei Mikrosystemen mit beweglichen Elementen spielt die Fluiddämpfung eine wichtige Rolle, da sie das Verhalten des Systems entscheidend verändert. Strömungsfelder innerhalb von Mi- 18 MODELLBILDUNG
krostrukturen können durch laminares Strömungsverhalten und inkompressible Newton-Fluide (z. B. Wasser oder Luft mit Geschwindigkeiten von weniger als 0.4 Ma) beschrieben werden. Kriterien für die Einordnung einer Strömung sind die Reynolds-Zahl Re und Mach-Zahl Ma
%vd v Re = c ; Ma = . (3.5) µ c0
In der Mikrosystemtechnik sind Reynolds-Zahlen kleiner als eins typisch und liegen damit deut-
lich unterhalb des Übergangs Re krit zum turbulenten Verhalten [Meh98, Ngu04]. Allgemeine Strömungsprobleme können durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben werden. Für ein inkompressibles Newton-Fluid bei laminarer Strömung innerhalb eines iso- thermen Prozesses (Polytropenkoeffizient n = 1) ergeben sich vereinfachte Navier-Stokes- Gleichungen im kartesischen Koordinatensystem [Sie00, Zie93]
Kontinuitätsgleichung: v = 0 (3.6a) ∇ · dv ∂v Bewegungsgleichung: % % + (v )v = f p + µ∆v . (3.6b) dt ≡ ∂t ∇ − ∇ Ein vereinfachter Ausdruck, die Reynolds-Schmierfilmgleichung, kann aus den Navier-Stokes- Gleichungen abgeleitet werden, welcher die Gasströmung zweier senkrecht zueinander beweg- ten parallelen Platten (Abb. 3.2) beschreibt1:
d2p δp d z 1 ∂ δp 0 0 ∆ = + . (3.7) 12µ p dt d n ∂t p 0 0 0 Voraussetzung für die Gültigkeit dieser DGL sind [GRY66]:
kleiner Grundspaltabstand d im Verhältnis zur Plattengröße, • 0 kleine Plattenauslenkung z im Verhältnis zum Grundspaltabstand d , • 0 kleine Druckänderungen δp im Verhältnis zum statischen Grunddruck p , • 0 ein polytroper Prozess mit pV n = const., • eine laminare, primär viskose Strömung, eine niedrige Reynolds-Zahl und eine parabel- • förmige Geschwindigkeitsverteilung.
Für den Typ dieser inhomogenen Diffusionsgleichung existieren zahlreiche analytische Lö- sungsansätze. Ein Lösungsansatz führt über Sinus- und Cosinus-Reihenentwicklung zu einem frequenzabhängigen Dämpfungs- und Federkraftanteil [Ble83, vW98, PKP+98]. Ein anderer Lösungsansatz über die Trennung der Variablen und anschließende Laplacetransformation der Zeitbereichslösung in den Frequenzbereich wurde für einfache Plattengeometrien in [GRY66] verfolgt. Dieser Lösungsansatz wird im Weiteren für die Lösung der partiellen DGL genutzt.
1 Die Herleitung der linearisierten partiellen DGL ist im Anhang A.1 zu finden. 3.3 SQUEEZE-FILM DÄMPFUNG 19
3.3.1 Lösung des Squeeze-Film Problems
Für den Fall eines isothermen Prozesses und der Normalisierung der kartesischen Koordinaten auf die Breite a der Platten, ergibt sich eine Vereinfachung von Gl. (3.7)
PSfrag replacements ∂2φ ∂2φ ∂φ ∂η (3.8) 2 + 2 = σ + a ∂χ ∂γ ∂t ∂t c − mit den Normalisierungen b d0 δp X Y z(χ) φ = ; χ = ; γ = ; η = Z p0 a a d0 z(X) ϕ(t) Y p, µ X und der Squeeze-Zahl z(t)
12µ 2 σ = 2 a . (3.9) p0d0 Abb. 3.2: Plattengeometrien Als Erregung η sei eine Sprungfunktion angenommen. Damit reduziert sich die DGL für t > 0 auf den homogenen Anteil
∂2φ ∂2φ ∂φ + = σ , (3.10) ∂χ2 ∂γ2 ∂t der sich einfach über den Separationsansatz φ(χ, γ, t) = Ψ(χ)Γ (γ)T (t) lösen lässt2.
3.3.2 Elektrisches Analogiemodell
Ausgehend von den Kraft-Strom-Analogiebeziehungen zwischen elektrischen und mechani- schen Komponenten (zusammengefasst in Tabelle 3.1), wurde in [VKLR95] die Squeeze-Film Dämpfung in eine sehr einfache Abbildung mittels elektrischen Netzwerkelementen transfor- miert und mittels Netzwerksimulator simuliert. Durch Vergleich der Frequenzabhängigkeiten der Feder- und Dämpfungskräfte konnte auf die Netzwerktopologie der Squeeze-Film Dämp- fung geschlossen werden. Diese wandelt sich dabei in Reihenschaltungen aus Widerstand und Induktivität um und liegenPSfragan der Spannungreplacementsu, welche die Geschwindigkeit der Verschiebung darstellt (Abb. 3.3).
Rs m,n Ls m,n is m,n(t) dΦ di = L s m,n + R i dt s m,n dt s m,n s m,n (3.11a) u(t) = Φ˙(t) ⇓ i (s) s s m,n = (3.11b) Φ(s) sLs m,n + Rs m,n Abb. 3.3: Analogiemodell des Squeeze-Film Effektes
2 Die Lösungen für die rotatorische und translatorische Bewegung sind im Anhang A.2 zu finden. 20 MODELLBILDUNG
Tab. 3.1: Beziehungen der mechan. und elektr. Komponenten bei Kraft-Strom-Analogie
Mechanisch Elektrisch translatorisch rotatorisch Masse m Trägheitsmoment J Kapazität C 1 Federkonstante K Federkonstante K inverse Induktivität L− 1 Dämpfung D Dämpfung D Leitwert G = R− Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ Spannung u = Φ˙ Kraft F Moment M Strom i
Verschiebung x Winkel ϕ magnetischer Fluss Φ = LiL
Für sinusförmige Signale ergibt sich aus Gl. (3.11a) das stationäre Verhalten
jωΦ = jωLs m,nIs m,n + Rs m,nIs m,n . (3.12)
1 Es lässt sich leicht daraus erkennen, dass der Strom Is m,n für hohe Frequenzen gegen Ls−m,nΦ
strebt. Für niedrige Frequenzen ist der Strom imaginär und tendiert in RichtungIs m,n/ω = 1 jRs−m,nΦ. Demnach wirkt sich die Dämpfung, welche aus dem Imaginärteil gebildet wird, nur im niedrigen Frequenzbereich aus und bedämpft das System dort stärker. Im hohen Frequenz- bereich steigt die Federkonstante, welche vom Realteil gebildet wird, und verschiebt die Reso- nanzfrequenz zu höheren Frequenzen. Eine entsprechende Übertragungsfunktion des Squeeze-Film Effektes (3.11b) kann aus dem Analogiemodell leicht ermittelt werden. Darüber hinaus wurde in [VKLR95] eine Approximation der effektiven dynamischen Vis- kosität für Gase innerhalb eines engen Spalts eingeführt, die in den meisten Publikationen ver- wendet wird: µ p λ a 0 (3.13) µeff = 1.159 , Kn = . 1 + 9.638Kn p0d0 Als Lösung der Squeeze-Film Dämpfung für den rotatorischen Fall mit variabler Rotationsachse ergeben sich die Netzwerkkomponenten
(2m 1)2n2d π4 m, n = 1, 2, 3, 4, . . . rot 0 (3.14a) Ls m,n = 3 −n 2 n , 8a bp0(1 + ( 1) + 4ζ (1 ( 1) )) max n 2 − − − | (2m 1)2n2d π6 a2 Rrot = − 0 n2 + (2m 1)2 , (3.14b) s m,n 8a3bp σ(1 + ( 1)n + 4ζ2(1 ( 1)n)) − b2 0 − − − wobei ζ = c/a den dimensionslosen, normalisierten Abstand der Rotationsachse zum Flächen- schwerpunkt darstellt. Die Lösung der Squeeze-Film Dämpfung ist für komplizierte mikromechanische Struktu- ren schwierig. Die Finite Elemente Methode (FEM) ist dabei der meist benutzte und präziseste Weg, die Dämpfung zu berechnen [MKB+98]. Leider eignet sich das FE-Modell aufgrund der sehr hohen Ordnung nicht für die regelungstechnische Modellbildung. Zudem ist die FE-Ana- lyse sehr zeitaufwendig und nicht transparent, was für Modellbildung und Optimierung sehr ungünstig ist. 3.3 SQUEEZE-FILM DÄMPFUNG 21
Eine analytische Berechnung wurde für perforierte Platten in [YPBF01, BYSF03] mittels modifizierter Reynolds-Gleichung durchgeführt. Eine andere Strategie wurde in [UUYS00] ver- folgt, bei der das Gasvolumen einer Platte mit Strömungskanälen in kleine Teile zerlegt und mittels linearisierter Reynolds-Gleichungen gelöst wurde. Das Problem ist dabei immer noch die hohe Ordnung des Modells. Eine sehr einfache, wenngleich auch ungenaue Möglichkeit der Modellierung der Squeeze- Film Dämpfung einer Rechteckplatte mit Strömungskanälen besteht in der Annahme von Luft-
druck innerhalb der Kanäle. Damit wird die Platte in (nx +1)(ny +1) Einzelplatten zerlegt. Die Lösungen des Squeeze-Film Problems können aufgrund der einheitlichen neuen Plattenabmes- sungen a n w b n w a˜ = − x g und ˜b = − y g (3.15) nx + 1 ny + 1 und Randbedingungen wieder zu einer Gesamtlösung zusammengefasst werden, wobei nx und ny die Anzahl der Kanäle in X- bzw. in Y-Richtung und wg die Breite der Strömungskanäle beschreiben. Für den translatorischen Fall ergeben sich die neuen Netzwerkkomponenten zu
˜tran 1 tran ˜tran 1 tran Rs m,n = Rs m,n und Ls m,n = Ls m,n . (3.16) (nx + 1)(ny + 1) (nx + 1)(ny + 1) Für den rotatorischen Fall ist der Rechenaufwand höher, da die Rotationsachse zu den einzelnen Platten in X-Richtung variiert. Ohne Berücksichtigung der Grabenbreite ergibt sich der neue Abstand zu n ζ˜ = ζ(1 + n ) + x n , n = 0, 1, 2, . . . , n . (3.17) x 2 − x Eine Summation der Momente über alle Platten liefert die neuen Werte der Squeeze-Film Dämpfung (1 + ( 1)n + 4ζ2(1 ( 1)n)) R˜rot = − − − Rrot (3.18a) s m,n (n + 1)(1 + ( 1)n + 4ζ¯2(1 ( 1)n)) s m,n y − − − (1 + ( 1)n + 4ζ2(1 ( 1)n)) L˜rot = − − − Lrot (3.18b) s m,n (n + 1)(1 + ( 1)n + 4ζ¯2(1 ( 1)n)) s m,n y − − − mit dem Korrekturfaktor aus den summierten Rotationsachsen nx 1 + n ζ¯2 = ζ˜2 = x (12ζ2 + 1)(1 + n )2 1 . (3.19) 12 x − n=0 X Die ermittelte Approximation ist gültig für kleine Grabenbreiten und für eine überschaubare Anzahl von Gräben a w n und b w n . g x g y Um Luftdruck innerhalb der Kanäle annehmen zu können wird ferner gefordert, dass die Grabentiefe ein Vielfaches im Verhältnis zum Grundspaltabstand d d und die Fläche der g 0 Einzelplatten a˜ ˜b nicht zu klein ist. × Das Beispiel3 in Abb. 3.4 zeigt die drastische Reduktion des Squeeze-Film Effekts durch Strömungskanäle. Fünf Strömungsgräben pro Achse erreichen dabei ein ähnliches Verhalten
3 Die Parameter am = a = 3.5 mm, bm = b = 3.5 mm, dm = 300 µm, fres = 600 Hz, wg = 60 µm und
dg = 30 µm wurden für die Analyse der translatorischen Bewegung verwendet. 22 MODELLBILDUNG
Bode−Diagramm 50 p = 0.1 mbar, p 0 = 1 mbar, Analytische Lösung 0 µ µ d 0 = 3 m ANSYS Ergebnis d 0 = 3 m 0
−50 p = 1 bar, p = 1 bar, Amplitude in dB −−> 0 0 µ µ d 0 = 3 m d 0 = 10 m −100 −2 −1 0 1 2 3 4 10 10 10 10 10 10 10
100 p = 1 bar, p 0 = 1 bar, p 0 = 1 bar, 0 µ µ µ d 0 = 20 m d 0 = 30 m d 0 = 3 m, 7x7 0
−100 Phase in deg −−> p 0 = 1 bar, µ d 0 = 3 m, 5x5 −200 −2 −1 0 1 2 3 4 10 10 10 10 10 10 10 Frequenz in Hz −−>
Abb. 3.4: Bodediagramme der analytischen Lösung im Vergleich zur FE-Analyse
wie eine Veränderung des Grundspaltabstands von 3 auf 10 µm. Das Beispiel zeigt weiterhin eine ausreichend gute Approximation zwischen der analytischen Lösung und der FE-Analyse, die den meisten praktischen Anwendungen genügt und eine tendenzielle Abschätzung ermög- licht.
3.3.3 Zustandsraummodell
Für den Reglerentwurf ist das Zustandsraummodell
x˙ = Ax + Bu (3.20a) y = Cx (3.20b)
von elementarer Bedeutung. Mittels der Anwendung der Kirchhoffchen Gesetze kann aus der PSfrag replacements
3.3 SQUEEZE-FILM DÄMPFUNG 23
Squeeze−Film−Effekt auf der Oberseite top top is = is m,n m,n 1 3 , , 1 1 bot P bot m,n top top top is = is m,n s s s m,n top R R R iext is
P 1 3 bot , , i 1 1 m,n iL s top s top s top s L L L
C R L 1 3 , , 1 1 m,n ot ot ot b b b s s s R R R 1 3 , , 1 1 m,n ot ot ot b s b s b s L L L
Squeeze−Film−Effekt auf der Unterseite
Abb. 3.5: Ersatzschaltung eines mikromechanischen Beschleunigungssensors
Ersatzschaltung des Sensors (Abb. 3.5) die Zustandsraumdarstellung
1 1 1 1 1 1 CR C C C C C − 1 − − − · · · − − L− 0 0 0 0 0 top · · · top 1 Rs 1,1 L − 0 top 0 0 0 s 1,1 L − s 1,1 1 Rbot bot − s 1,1 A = Ls 1,1 0 0 Lbot 0 0 (3.21a) − s 1,1 . . . . . ...... top top 1 Rs m,n Ls m,n− 0 0 0 top 0 · · · − Ls m,n 1 Rbot bot − s m,n Ls m,n 0 0 0 0 Lbot · · · − s m,n T B = 1 0 0 0 0 0 (3.21b) C · · · h i C = 0 L 0 0 0 0 (3.21c) · · · mit den Signalenh i T top bot top bot x = uC iL is 1,1 is 1,1 . . . is m,n is m,n (3.22a) h i u = iext ; y = Φ (3.22b) abgeleitet werden. Der einfache Aufbau des Zustandsraummodells erlaubt eine leichte Erhö- hung der Modellordnung, wobei die Zweige mit den Indizes top und bot den Squeeze-Film Effekt auf Ober- und Unterseite des Sensors darstellen. Die entsprechende Übertragungsfunkti- on ergibt sich damit zu
1 Gmech (s) = C(sI A)− B − 1 = . 1 s 2 s s s s + + Cs + top top + + + top top + L R R +L s Rbot +Lbot s R +L s Rbot +Lbot s s 1,1 s 1,1 s 1,1 s 1,1 · · · s m,n s m,n s m,n s m,n (3.23) 24 MODELLBILDUNG
Wie man leicht aus der Übertragungsfunktion (3.23) ermitteln kann, hat das Modell eine relative Ordnung von n m = 2. Der Ort der Nullstellen ergibt sich aus der Zeitkonstante des jeweiligen − RL-Zweiges. Eine Ein-Term Approximation mit nur einem Squeeze-Film Zweig ist für die meisten prak- tischen Anwendungen ausreichend [GRY66]. Der Ort der Nullstellen ist dabei identisch mit der Cut-Off Frequenz des Squeeze-Film-Mechanismus [vW98], bei der die frequenzabhängige Feder- und Dämpfungskonstante betragsmäßig gleich ist:
top 2 R π2p dtop 1 1 ztop = s 1,1 = 0 0 + (3.24a) 1 − Ltop − 12µ a2 b2 s 1,1 Rbot π2p dbot 2 1 1 zbot = s 1,1 = 0 0 + . (3.24b) 1 − Lbot − 12µ a2 b2 s 1,1 Die Squeeze-Film DämpfungsanteilePSfragauf Oberreplacements- und Unterseite des Sensors können als gleich angenommen werden, da die seismische Masse in Nulllage geregelt wird. Das Modell4 verein- facht sich somit weiter zu
iext is
1 1 1 CR C C − 1 − − A = L− 0 0 (3.25a) 1 Rs uC Rs L− 0 s − Ls T C R L B = 1 0 0 (3.25b) C iL Ls h i C = 0 L 0 (3.25c) h i T x = u i i C L s (3.25d) h i Abb. 3.6: Vereinfachte Ersatzschal- u = iext ; y = Φ , tung des Kleinsignalmodells und den Werten 1 1 R = Rtop Rbot (3.26a) s 2 s 1,1 ≈ 2 s 1,1 1 1 L = Ltop Lbot . (3.26b) s 2 s 1,1 ≈ 2 s 1,1 Die entsprechende Ersatzschaltung zeigt Abb. 3.6.
3.4 Elektrostatisches Wirkprinzip
In der Mikrosystemtechnik wird das elektrostatische Prinzip bevorzugt eingesetzt, da aufgrund der vorhandenen sehr geringen Spaltabstände große Kräfte und Kapazitätsänderungen erreicht werden können. Von Vorteil ist auch die einfache technologische Realisierbarkeit, die neben
4 Ein erweitertes Modell, dass das Anschlagverhalten berücksichtigt, ist im Anhang A.4 zu finden. 3.4 ELEKTROSTATISCHES WIRKPRINZIP 25
der Strukturierung und elektrischen Isolierung der Elektroden keine weiteren Prozessschritte notwendig macht. Weitere Vorteile liegen in der geringen Leistungsaufnahme elektrostatischer Aktoren, gerin- ger Toleranz bei der Fertigung und in der sehr geringen Temperaturempfindlichkeit, die aus der Temperaturabhängigkeit des Dielektrikums resultiert. Der entscheidendste Vorteil des elektrostatischen Prinzips ist die bekannte Sensor- und Ak- torwirkung im gleichen Feldraum. Ohne zusätzlichen Aufwand ist dabei eine Messung und gleichzeitige Stellung der Mikrostruktur möglich. Dies kann auch nachteilig sein, da sich durch die anliegenden Kräfte die Dynamik des Systems ändert und die Signaländerungen meist von nichtlinearer Natur sind und daher einen Mehraufwand bei der Signalauswertung und Regelung bedeuten. Kammelektrodenanordnungen vervielfachen dabei meist die Wirkung des elektrosta- tischen Feldes.
3.4.1 Kapazitive Detektion der Auslenkung
Grundsätzlich kann die Kapazitätsänderung durch Veränderung der Geometrieparameter, Plat- tenabstand oder der Fläche, erfolgen. Möglich ist auch die Veränderung des Dielektrikums, was bei chemischen und biologischen Sensoren Anwendung findet. Für die Positionsbestimmung findet in der Praxis die horizontale und vertikale Plattenver- schiebung Anwendung. Bevorzugt wird dabei das differenzielle Prinzip, welches den Nullpunkt linearisiert und vorzeichenbehaftete Signale liefert. Im Falle des Beschleunigungssensors ergibt sich die Kapazitätsänderung aus der Verkip- pung der seismischen Masse zu
a 2 c − εb 2εb 1 a sin ϕ C(ϕ) = dx = tanh− (3.27a) a c d0 + x sin ϕ sin ϕ 2(d0 c sin ϕ) Z− 2 − − ∞ ϕ2na2n+1 εb . (3.27b) ≈ 4n(2n + 1)(d cϕ)2n+1 n=0 0 X − Die Differenzkapazität von Ober- und Unterseite
2 2εb 1 4ac sin ϕ ∆C(ϕ) = C( ϕ) C(ϕ) = tanh− (3.28a) − − sin ϕ (a2 + 4c2) sin2 ϕ 4d2 − 0 2n+1 2n+1 ∞ ϕ2na2n+1 1 1 εb (3.28b) ≈ 4n(2n + 1) d + cϕ − d cϕ n=0 " 0 0 # X − mit
d0 dstop d0 dstop ϕ ( ϕmax , ϕmax ) , ϕmax = arcsin − − (3.29) ∈ − c + a ≈ c + a | | 2 | | 2 ergibt damit eine Sensitivität im Nullpunkt
d∆C(ϕ) 2εabc kc = = 2 . (3.30) dϕ ϕ=0 − d0 . 26 MODELLBILDUNG
Je nach Anwendung, Aufwand der Messschaltung und Messgüte existieren verschiedene Schal- tungstypen [Bax97] zur Auswertung der Kapazitätsänderung. Gleichspannungsschaltungen, die den geringsten Schaltungsaufwand, aber auch schlechte- sten Signal-Rauschabstand (SNR) besitzen, werden beispielsweise für Mikrofonanwendungen eingesetzt [FDA+01,BDF+04], da hier nur geringe bzw. keine Anforderungen an Driftstabilität und Messung von Gleichanteilen gestellt werden. Oszillatorschaltungen, welche einen weiteren Schaltungstyp darstellen, basieren auf der Veränderung der Eigenfrequenz von RC-, IC- oder LC-Schwingkreisen. LC-Oszillatoren stel- len die empfindlichste Messschaltung dar und wurden schon bei der frühen Bildsignalwieder- gabe von Platte [Cle78, PDK82] eingesetzt. Anwendung findet diese auch in der scannenden Kapazitätsmikroskopie [MB85, WHR89] und Messung hochgenauer Kapazitätsänderungen in Mikrosystemen [KOE05]. Der wohl verbreiteste Schaltungstyp ist der synchrone Demodulator, der sehr flexibel einge- setzt werden kann und eine hohe Messgüte erreicht. Verstärkerschaltungen treten als Impedanz- wandler [YSB94, BH96, Löh99], Ladungsinjizierer [NGDAC02, YÅKR03] oder als Ladungs- verstärker [MGKM93, HT97, LB99, GBB+01] auf, welcher die am meisten benutzte Schaltung darstellt.
Trägerfrequenzmessverfahren
Die Prinzipschaltung des Trägerfrequenzmessverfahrens, welches ein Impedanzmessverfahren
darstellt, zeigt Abb. 3.7. Nach der Summation der hochfrequenten Trägerspannung uT (t) =
HF−Erregerspannung uT (t) PSfrag replacements i(t) NF−Ausgangs− u(t) ∆i(t) signal
Erregerspannung Sensor Differenzbildung selektive Phasenschieber Tiefpass Verstärkung
Abb. 3.7: Blockdiagramm der Trägerfrequenzmessbrücke
uˆT sin ωT t und Stellsignal u(t) wird der resultierende Differenzstrom du(t) ∂C(t) du (t) ∂C(t) ∆i(t) = ∆C(t) + 2u(t) + ∆C(t) T +2u (t) (3.31) dt ∂t dt T ∂t niederfreq. Anteile Nutzsignal | {z } | {z } mit der Vereinfachung
C (t) C (t) = C(t) 1 ≈ 2 selektiv verstärkt, wobei niederfrequente Signale unterdrückt, aber Träger und die beiden Sei- tenbänder verstärkt werden. Eine Multiplikation mit dem phasenverschobenen Trägersignal de- 3.4 ELEKTROSTATISCHES WIRKPRINZIP 27
moduliert die Signale
∆i(t) ∆i(t) cos ω t [cos(ω t + ϕ)∆i(t)] = cos ϕ + cos(2ω t + ϕ) , (3.32) T T 2 2 T demoduliertes Nutzsignal | {z } wobei tatsächlich nur das Nutzsignal bei korrekter Phasenlage ϕ demoduliert wird, da uT gegen duT / dt um 90◦ phasenverschoben ist. Eine abschließende Tiefpassfilterung trennt das nieder- frequente Nutzsignal von den höherfrequenten Anteilen. Somit wirkt sich nur der Tiefpassfilter auf die Dynamik des Messsystems aus. Nachteilig bei dieser Schaltungsvariante ist der starke Einfluss von Parallelkapazitäten [Löh99], die eine geeignete Kompensation des Verluststroms erfordern.
Ladungsverstärker
Der Ladungsverstärker wandelt die zugeführte Ladung in eine entsprechende Spannung um. Die dabei realisierte Schaltung arbeitet mit sogenannter Switched-Capacitor Technik, wobei die Kapazitäten durch Schalter zyklisch ge- und entladen werden (Abb. 3.8).
Bei geschlossenem Schalter wird im ersten Takt der Integrationskondensator Cf entladen. Außerdem wird ein Spannungsfolger realisiert und die Mittelelektrode auf Nullpotential gezo- gen. PSfrag replacements
uC1 Cf V Q(t) Q(t) C1 V ua(t) = C −Cp + (1 + V )Cf ≈ − Cf 2 Cp (3.33a) ua uC2
Q(t) = C1(t)uC1 + C2(t)uC2 = u (C (t) C (t)) = u ∆C(t) . b 1 − 2 b (3.33b) Abb. 3.8: Blockdiagramm des La- dungsverstärkers Bei geöffnetem Schalter wird im zweiten Schritt der eigentliche Ladungsverstärker realisiert. Das Umschalten der Versorgungsspannung erzeugt einen kurzzeitigen Differenzumladestrom
beider Kapazitäten, der von der Schaltung in eine entsprechende Spannung ua verstärkt wird. Der Verstärkungsfaktor ist damit
ua ub ka = = . (3.34) ∆C(t) −Cf
Ein großer Vorteil dieser Schaltung ist der geringe Einfluss der parasitären Kapazitäten Cp, da diese auf virtueller Masse liegen und damit kurzgeschlossen sind. Weiterhin ist zu beachten, dass die Näherung in Gl. (3.33a) nur bei hoher Verstärkung V und C (1 + V )C seine p f Gültigkeit hat. 28 MODELLBILDUNG
Um Ladungsverluste gering zu halten, sollte der Operationsverstärker (OPV) einen sehr kleinen Eingangsstrom, sehr hohen Eingangswiderstand und Spannungsverstärkung aufweisen. Außerdem sollten Kabel, Kondensatoren und Schalter einen sehr hohen Isolationswiderstand besitzen. Aufgrund der sehr geringen Kapazität des Integrationskondensators und des endlich
großen Isolationswiderstandes Rf von Schalter und Kapazität entlädt sich dieser schnell. Die
Messzeit sollte deshalb kleiner als Rf Cf /100 sein, damit der Fehler nicht größer als 1 % wird [Sei89].
3.4.2 Elektrostatisches Moment
Das elektrostatische Moment ist für die starke Nichtlinearität des Systems verantwortlich. Die entstehenden partiellen Ableitungen nach den zeitabhängigen Größen sind dabei einerseits ver- antwortlich für die Veränderung der statischen Verstärkung (Abb. 3.9a). Andererseits verursacht
PSfrag replacements Störung
Mext (t) u u(t) ∂Mel ϕ(t) b ∂u ϕ=ϕ0 u=u0 Gmech 2 PSfrag replacementsStell− u signal mechan. Sensor M ϕ, u(t) b C1(t) − − 2 ϕ ∂Mel ∂ϕ ϕ=ϕ0 u=u0
0 Mel u(t) ub stop d M ϕ, u(t) + d C2(t) 2 elektrostat. System ub − 2
(a) Kleinsignalmodell im Arbeitspunkt (ϕ0, u0) (b) Berechnung des resultierenden Momentes
Abb. 3.9: Berechnungsmodelle des elektrostatischen Systems
die innere positive Rückführung eine Polverschiebung, den Effekt der sogenannten elektrosta- tischen Federerweichung. Anders wie bei einer negativen Schleifenverstärkung enden hier die Asymptoten der Wurzelortskurve für eine relative Ordnung n m = 2 bei auf der reellen − ∞ Achse. Für ein sehr großes elektrostatisches Feld sind daher alle Pole reell, was von Vorteil für den Reglerentwurf sein kann. Die Polverschiebung wird in den weiteren Kapiteln noch genauer untersucht, da diese ein entscheidendes Kriterium für die Wahl der Regelung darstellt und bei der Identifikation eine Rückrechnung möglich macht. Mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes kann über die Kapazität einfach das Moment be- stimmt werden:
u2 dC(ϕ) M(ϕ, u) = (3.35a) 2 dϕ 2 bεu cos ϕ ad0 sin ϕ 1 a sin ϕ = 2 a a tanh− . sin ϕ 2 d sin ϕ c + d sin ϕ c − 2(d0 c sin ϕ) " 0 − 2 0 − − 2 − # (3.35b) 3.5 PULSBREITENANSTEUERUNG 29
Aus Symmetriegründen wird angenommen, dass an den äußeren Elektroden die halbe Betriebs- spannung u /2 angelegt ist (Abb. 3.9b). Als Differenzmoment erhält man damit b ub ub ub ub Mel (ϕ, u) = M(ϕ, u + ) M( ϕ, u ) , u , (3.36a) 2 − − − 2 ∈ − 2 2 bε ∞ a1+2nϕ2n (2nd cϕ)(u 2u)2 h (2nd +icϕ)(u + 2u)2 0 − b − + 0 b , ≈ 8ϕ 4n(1 + 2n) (d + cϕ)2(1+n) (d cϕ)2(1+n) n=0 0 0 X − (3.36b) welches die Ableitungen nach den zeitabhängigen Größen im Arbeitspunkt liefert
2 2 ∂Mel εab(a + 12c ) 2 2 kϕ = = 3 (4u0 + ub ) (3.37a) ∂ϕ ϕ=0 24d0 u=u0
∂Mel . εabcub ku = = . (3.37b) ∂u ϕ=0 d2 u=u0 0 . 2 Die Spannung u0 kann dabei als quadratischer Mittelwert der Steuerspannung angesehen wer- 2 den. Bei der alternierenden Ansteuerung mittels Pulsbreitenmodulation (PWM) ist u0 gleich dem doppelten der Betriebsspannung, für eine kontinuierliche Ansteuerung ist der Mittelwert identisch Null.
3.5 Pulsbreitenansteuerung
Durch Veränderung des Tastverhältnisses d [0, 1] steuert der PWM-Treiber die Lage der Mas- ∈ se. Außerdem realisiert die Spannungsumschaltung den Ladungsfluss zum Ladungsverstärker. Intuitiv kann man davon ausgehen, dass die PWM den Mittelwert der Steuerspannung durch
das Tastverhältnis ändert und damit eine Verstärkung von ub vom Tastverhältnis zur Steuerspan- nung auftritt. Die Modellbildung soll zeigen, ob es dennoch Unterschiede zu dieser vereinfach- ten Betrachtungsweise gibt. Beide Schaltzustände können getrennt voneinander betrachtet werden, sie sind im Folgen- den zu einem Mittelwertmodell [MC77,MC81,LCdF83] zusammengefasst. Die beiden Zustän- de ergeben sich zu PSfrag replacements u b upwm(t, d) 2 x − x˙ + = Ax+ + Bu , t [kT, kT + t0] , k N x+ ∀ ∈ ∈ t (3.38a) t0 T ub 2 x˙ = Ax Bu , t [kT + t0, (k + 1)T ] , − − − − ∀ ∈ dT d0T (3.38b) Abb. 3.10: Definition der PWM- Intervalle
wobei t0 = dT den Umschaltzeitpunkt innerhalb einer Periode definiert. Da die Zustände nicht abrupt springen können, gilt für den Umschaltzeitpunkt zwischen dem Zustandsvektor der po- 30 MODELLBILDUNG
sitiven Betriebsspannung x+ und der negativen Betriebsspannung x außerdem die Randbedin- − gung
x+(t = t0) = x (t = t0) . (3.39) −
Beide Zustände können mit Hilfe der Bewegungsgleichung
t x(t) = Φ(t)x(0) + Φ(t τ)Bu(τ) dτ , Φ(t) = e At (3.40) − Z0 gelöst werden. Falls das Eingangssignal unabhängig von der Zeit und die Determinante der Systemmatrix A ungleich Null ist, lässt sich das Integral der Bewegungsgleichung, welches die erzwungene Bewegung repräsentiert, geschlossen lösen:
1 Aτ τ=t 1 A− e Bu = A− [Φ(t) I] Bu = Ψ(t)Bu . (3.41) τ=0 −
Das Ergebnis der Be wegungsgleichungen kann somit explizit angegeben werden:
x˙ = Ax + Bu = x (t) = Φ(t)x (0) + Ψ(t)Bu (3.42a) + + ⇒ + + x˙ = Ax Bu = x (t) = Φ(t t0)x (t0) Ψ(t t0)Bu . (3.42b) − − − ⇒ − − − − −
3.5.1 Statisches Verhalten
Im statischen Zustand ist der Anfangswert identisch dem Endwert und damit eine weitere Rand- bedingung
x+(t = kT ) = x (t = (k + 1)T ) (3.43) −
in jeder Periode gültig. Setzt man die Gln. (3.42) ineinander ein mit Berücksichtigung von (3.39) und (3.43), so ergeben sich die Minimal- und Maximalwerte der PWM-Schwingung5 zu
1 x (t , d) A− [(d d0)I dd0T A] Bu (3.44a) + 0 ≈ − − − 1 x (T, d) A− [(d d0)I + dd0T A] Bu , (3.44b) − ≈ − −
wobei d0 = 1 d das komplementäre Tastverhältnis darstellt. Für hohe Frequenzen tendieren − beide Zustände in Richtung eines gemittelten Zustandsvektors
1 ub x¯(d) = A− (2d 1)Bu , u = . (3.45) − − 2 Wie nicht anders zu erwarten war, ergibt sich die statische Verstärkung der PWM zu
ub d kpwm = (2d 1) = u . (3.46) 2 dd − b
5 Eine genaue Analyse ist im Anhang A.3 zu finden. 3.5 PULSBREITENANSTEUERUNG 31
3.5.2 Dynamisches Verhalten
Betrachtet man nur den Zustand am Ende einer Periode, so ergibt sich unter Berücksichtigung von (3.39) der Periodenendwert
x (T, d) = Φ(T )x(0) + [Ψ(T ) 2Ψ(d0T )] Bu − − Φ(T )x(0) + (2d 1)Ψ(T )Bu , (3.47) ≈ − was tatsächlich mit dem ungeschalteten System
x˙ (d) = Ax + (2d 1)Bu (3.48) − übereinstimmt. Auch hier ergibt sich die Verstärkung von Gl. (3.46) für das dynamische Ver- halten des Systems.
3.5.3 Einschaltverhalten
Bedingt durch das Aufschalten von Sinusanteilen, welche aus der Fouriertransformation des PWM-Signals entstehen
1 2ub ∞ 1 2π F upwm (t, d = ) = sin((2n 1)ωpwm t) , ωpwm = 2πfpwm = , 2 π 2n 1 − T n=1 − X (3.49)
zeigt das System6 beim Einschalten der PWM ein Impulsverhalten (Abb. 3.11a). Diese Störung
Simulationsergebnis für d = 0.5 Einschwingverhalten 0.1 40 Rechteckschwingung Sinusgrundschwingung 35 0.08 Impulsantwort 30
0.06 25 −−> 2 20 0.04 y(t) end t t=0
Σ 15 0.02
Ausgangsamplitude −−> 10 0 d opt = 0.378 5
−0.02 0 0 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −3 Zeit in sec. −−> x 10 Tastverhältnis d −−>
(a) Einschaltverhalten für d = 0.5 (b) Überschwingen bei Einschalttastverhältnissen
Abb. 3.11: Einschaltverhalten der PWM am Regelstreckeneingang kann bei Systemen mit geringer Dämpfung unerwünscht sein, die da- mit eine stark ungedämpfte Schwingung verursachen. Ein unerwünschtes Verhalten kann auch
6 Für das Beispiel wurde eine PT -Strecke mit 1 und gewählt. 2 G(s) = s2 1 +s 0.6 +1 fpwm = 10 kHz (2π1000)2 π1000 32 MODELLBILDUNG
bei einer PWM mit großer Amplitude und geringer Frequenz auftreten, da der Impuls mit einer 7 Verstärkung von 2ub/πωpwm auf den Streckeneingang aufgeschaltet wird. Eine entsprechende Kompensation kann daher durch einen Gegenimpuls erfolgen, was aber nur bei entsprechender Stellreserve möglich ist. Eine andere Möglichkeit ist das Finden eines optimalen Anfangstastverhältnisses, welches das Schwingen im Einschaltzeitpunkt minimiert. Der Umschaltpunkt am Ende der ersten Peri- ode berechnet sich zu
x1 (T, d) = Φ(d0T )x1+ Ψ(d0T )Bu , x1+ = Ψ(dT )Bu (3.50a) − − = [Ψ(T ) 2Ψ(d0T )] Bu (2d 1)T Bu . (3.50b) − ≈ −
Für die Optimierung soll der Umschaltpunkt x1 eine minimale Entfernung zum statischen − Umkehrpunkt (3.44b) haben. Damit ergibt sich das Gütefunktional zu
1 T 1 J(d) = x˜ x˜ = min , x˜ = x1 (T, d) x (T, d = ) . (3.51) 2 ⇒ − − − 2 Durch Lösen des Optimierungsproblems8 und Umstellung ergibt sich eine Vektornorm für d von T T 1 1 u B [T A + 4I]− [T A + 3I] Bu d(T ) = (3.52a) 2 uTBTBu 1 1 d(T ) [T A + 4I]− [T A + 3I] . (3.52b) ≤ 2 2
Für hohe Frequenzen ist die Systemmatrix einflusslos und die Vektornorm (3.52a) tendiert in Richtung eines optimalen Tastverhältnisses der ersten Periode 3 dopt = lim d(T ) = = 0.375 . (3.53) T 0 → 8 Wie das Beispiel in Abb. 3.11b zeigt, bewegt sich das Optimum tatsächlich im Bereich des
berechneten Tastverhältnisses dopt . Bei einer praktischen Realisierung kann das Verhältnis als Initialisierungswert direkt im Regler abgelegt werden.
3.6 Kleinsignalmodell
Wird das Modell (3.25) mit den entsprechenden Verstärkungsfaktoren (3.30, 3.34, 3.37, 3.46) kombiniert, ergibt sich das lineare zeitinvariante (LTI) Kleinsignalmodell (Abb. 3.12)
x˙ = (A + kϕBC) x + Bkukpwm u Gemech (s) = (3.54) ( y = kakcCx . für den Reglerentwurf. Eine Zusammenfassung aller Verstärkungen ist in Tabelle 3.2 angege- ben. 7 L ωpwm Die Laplacetransformation der Grundschwingung ergibt sin ωpwm t = s2 ω2 und damit eine DC-Ver- { } + pwm stärkung von 1 . ωpwm 8 Detailliertere Informationen gibt Anhang A.3. 3.6 KLEINSIGNALMODELL 33 Ausgangs− signal ) t ( u a k ) t Ladungsverstärker ( C ∆ c k ) t ( ϕ ch me G Kleinsignalmodell mechan. Sensor ) ext t ( a M g 3.12: k . b Störung Ab elektrostat. System u ϕ k k ) t ( pwm u pwm k PWM−Ansteuerung ) t ( d Stell− signal replacements PSfrag 34 MODELLBILDUNG bzgl. Squeeze-Film-Anteile elektrostat. kinemat. PWM-Ansteuerung Kapazitätsabhängigkei Ladungsv Resonanzfrequenz mechan. der P Z-Achse erstärk V arameter Anteile erstärkung er PSfrag replacements t z ϕ ( X − ( t c ) ) R k L z x s tr s tr m ( t an an = m,n m,n ) = 2 εab d % = = 0 3 Si (4 f a m m 0 b m k 64 u 64 2 2 = c translatorisch 0 2 b n n abp p, m = abp k + 2 2 2 g 1 d d d µ π − u 0 0 0 m = 0 r b 2 σ π π 2 ) ; 6 4 d m εab ; K m 0 2 , K T n m, 2 ab = k + a u n 24 . a = ∈ Z 3.2: 2 E b b m 2 N εabu b 3 I Y 2 ¯ 2 d X 0 2 PSfrag Zusammenf d b 0 replacements z ( z k X − ( t c ϕ ) ) R J L = s r s r = ot ot ϕ m,n m,n ( εa 6 12 t 1 ) d 3 0 3 assung m b = = (4 m m u 4 16 k k 16 b a 0 2 2 2 g c m 2 a p, n n + a r = 3 = 2 2 otatorisch 3 µ bp + d d u bp der − 0 0 ma b 2 0 d 2 π π 0 ) εa σ m 2 6 4 ; d 0 2 2 , Systemv b ; n 2 k m K + u n a ∈ ∈ = = a k k 2 Z pwm a N N b εa 2 m 2 ∗ 2 ¯ = GI 2 erstärkungen Y , 2 2 b d X bu b − 0 2 = t d C b u 0 u f b b R L s r s r ot ot f m,n m,n 0 = im PSfrag = = 2 1 π k replacements 8 8 Nullpunkt ϕ a a r J 3 3 = z bp bp ( z K = X J ( t ) ) 0 0 εab σ (1 12 1 (1 ϕ ( + m (2 a ( (2 + 24 2 t ( m ) m − + a ( d − m 2 0 3 − 1) − 12 r 1) b otatorisch n 1) + 1) c k k p, n + 2 2 g c d 2 ) µ + n m 2 = n = 4 (4 2 ζ 2 4 d + u − mc 2 d ζ 0 (1 0 2 0 2 π 12 2 π (1 + (v 4 εabc d − 6 c 0 2 ariabel) − u 2 ( b 2 − ( − ) ; − 1) ; a c 1) n K n )) Z )) = , k u Y 2 X m, = n GI b 2 d b εabcu 0 n + t d ∈ a 0 2 2 N (2 b ∗ m b 2 − 1) 2 Kapitel 4
Parameteridentifikation
Jede Erkenntnis ist ein Identifizieren des Nichtgleichen. Friedrich Nietzsche (1844 – 1900), deutscher Philosoph, Essayist, Lyriker und Schriftsteller
4.1 Einführung
Ein weiterer Schritt der Modellbildung ist die Identifikation des Systems aus den gemessenen Daten. Zum Einen kann damit das theoretische Modell validiert und zum Anderen eine genaue Parameteranpassung (Abb. 4.1) vorgenommen werden.
Streckeneingang Streckenausgang (nicht)lineares System
mathematisches Modell
Parameter− Modellfehler anpassung
Abb. 4.1: Identifikation zur Parameteranpassung
Da Fertigungsparameter stark variieren und sich unerwünschte Einflüsse auf die Parameter mehr oder minder auswirken können, ist eine genaue Parameteridentifikation durchaus gerecht- fertigt. Beispielsweise ist der Sensorinnendruck beim anodischen Bonden nicht genau bekannt und kann sich durch Bildung von Sauerstoff ändern. Aufgrund eines Temperaturgradienten kön- nen zudem mechanische Verspannungen beim Bondprozess auftreten und die hohe Bondspan- nung Ladungsträger einprägen, welche die resultierende Federkonstante entscheidend verän- dert. 36 PARAMETERIDENTIFIKATION
In diesem Kapitel werden Identifikationsmethoden, basierend auf linearen und nichtlinearen Modellen vorgestellt, die auf einfachen Matrixoperationen aufbauen und die Reglereinstellung des instabilen Systems ermöglichen. Praktische und numerische Beispiele runden das Kapitel der Identifikation ab.
4.2 Lineare Modellidentifikation
Für die Modellbildung in Kapitel 3 ist die Kenntnis des zugrunde liegenden mechanischen Sys- tems erforderlich. Da die anliegende Sensorspannung und die Auslenkung der seismischen Mas- se das resultierende System (3.54) stark ändern, ist die Identifikation des zugrundeliegenden mechanischen Systems keine triviale Aufgabe. Zur Identifikation des mechanischen Systems muss eine genau bekannte Beschleunigung eingeprägt und zudem die Auslenkung optisch er- fasst werden [DUK98a, DUK98b, LWv05]. Dadurch wird eine Systemveränderung durch die Elektrostatik bei Spannungseinprägung vermieden, was aber einerseits kostenintensive Mess- technik erfordert und andererseits einen lichtdurchlässigen Kanal zur Messung der Auslenkung voraussetzt.
Beschleunigung Ladungs− verstärker
+u
Cf + −
−u Sensor Identifikation
u y
t Regler x PWM−Einheit A/D−Konverter
dB Anregung
ω Ausgangs− filter DSP Digital
Ausgang
Abb. 4.2: Blockdiagramm des Systems
Eine wesentlich einfachere Methode wäre die Identifikation des elektrostatischen Gesamt- systems (Abb. 4.2) und eine Rückrechnung auf das mechanische System. Teure Messtechnik würde damit entfallen, da für die Regelung genau dieser Signalflussweg genutzt werden wür- de. Eine genaue Kalibrierung der Beschleunigung ist zwar mit dieser Technik nicht möglich, was aber unerheblich für die Regelung ist, da diese im geschlossenen Kreis als Störgröße auf- tritt. Das gemessene Stellsignal, welches proportional zur Störgröße im Arbeitspunkt ist, wird 4.2 LINEARE MODELLIDENTIFIKATION 37
maßgeblich durch das Messsystem mitbestimmt. Eine Identifikationsmethode soll deshalb vorgestellt werden, um die näherungsweise Ein- stellung des Reglers zu ermöglichen. In einem weiteren Schritt wird der Einfluss der Betriebs- spannung genauer untersucht und eine Methode zur präziseren Ermittlung des mechanischen Systems entwickelt.
4.2.1 Approximierte Methode
Eine Identifikation des offenen Systems unter Betriebsspannung, die um ein Vielfaches höher liegt als die Stabilitätsgrenze im Nullpunkt
3 uns 24Kd0 ub = mit u0 = ub , (4.1) s5εab(a2 + 12c2) ist aufgrund der Instabilität der Strecke nicht möglich, wobei die Grenze aus der Identität von mechanischer und elektromechanischer Federkonstante hervorgeht. Die Reglerparameter kön- nen aus dem theoretischen Modell entworfen werden, was aber möglicherweise in Instabilität mündet, da die Sensorcharakteristiken und -parameter stark variieren. Möglicherweise sind an- dere Parameter nicht messbar und unzureichende Annahmen gemacht worden. Deshalb wird eine approximierte Identifikationsmethode vorgeschlagen, die zwar nicht das mechanische Mo- dell genau bestimmt, aber eine erste Reglereinstellung ermöglicht.
Da die Betriebsspannung ub in (3.37a) quadratisch eingeht, wirkt sich eine Spannung von ub < 1 V nur mäßig auf die Änderung der Dynamik aus. Voraussetzung hierfür ist eine Span- uns nung, die um ein Vielfaches kleiner ist als die Pull-In Spannung ub . In der ersten Identifi- kationsstufe wird daher eine minimale Betriebsspannung umin uuns angelegt, die einerseits b b eine elektrostatische Anregung des Sensors im stabilen Arbeitsbereich und damit eine Open- Loop Identifikation zulässt und andererseits den Einfluss des elektrostatischen Feldes gering hält. Das normierte System aus der Identifikation kann nun mittels Gleichung (3.54) auf Be- triebsspannung expandiert und dem Reglerentwurf zugeführt werden. Im zweiten Schritt wird eine weitere Identifikation im Closed-Loop Betrieb unter Nennbe- triebsspannung1 vorgenommen. Falls die Parameter aus dem ersten Schritt zum realen System variieren, wird in diesem Schritt eine Feineinstellung realisiert.
Die Identifikationsschritte für den Reglerentwurf gestalten sich somit wie folgt:
(1) Identifikation des approximierten, nicht normierten mechanischen Systems aus dem appr min elektromechanischen System G Gemech (u ), mech ≈ b appr 2 (2) Normierung der statischen Verstärkung Gmech (s = 0) = 1/K = 1/ωres J,
(3) Berechnung des Gesamtmodells mittels Gleichung (3.54) unter Einbezug des elektrostatischen Systems bei Nennbetriebsspannung,
1 Als Nennbetriebsspannung wird die gewünschte Sensor-Betriebsspannung bezeichnet, mir der das Gesamtsys- tem arbeiten soll. 38 PARAMETERIDENTIFIKATION
(4) Reglerentwurf,
(5) Test des Reglers im geschlossenen System unter einer Betriebsspannung, die Systemstabilität garantiert,
(6) Falls das dynamische Verhalten inakzeptabel ist oder die Betriebsspannung nicht der Nennbetriebsspannung entspricht: (Erneute) Identifikation des Gesamtmodells im Closed-Loop Betrieb und fortfahren mit Punkt (4).
Meist enthalten Regler einen integralen Anteil zur Kompensation des stationären Fehlers. Bei der Störübertragungsfunktion S(s) und G(s)S(s) des geschlossenen Systems taucht dieser Pol als Nullstelle auf der imaginären Achse auf und blockiert die Frequenz ω = 0 rad/sec. Das Übertragungsverhalten wird zu Null und naheliegende Frequenzen werden stark bedämpft, was zu einem sehr kleinen Signal-Rauschverhältnis und damit zu einer schlechten Schätzung in diesem Frequenzbereich führt. Die Erregung sollte daher am Eingang des Reglers anliegen, um eine möglichst genaue Identifikation des stationären Verhaltens zu ermöglichen. Gewisse Einschränkungen sind bei der Identifikation in der geschlossenen Schleife zu er- warten, da der Streckeneingang und die Ausgangsstörung miteinander korreliert sind. Der Ab- schnitt 4.3 beschäftigt sich daher genauer mit der Identifikation in der geschlossenen Schleife.
4.2.2 Zwei-Stufen-Identifikation
uns Falls die Pull-In Spannung ub aufgrund einer sehr kleinen Federkonstante oder eines geringen min Abstands d0 im Bereich von ub liegt, versagt die vorgestellte Methode. Ein weiterer Grund für das Versagen kann eine ungenau bestimmte oder unbekannte mechanische Resonanzfre- quenz sein, die in ein unkorrektes expandiertes Modell mündet. Möglicherweise verhindert auch die Schaltungstechnik eine Identifikation bei niedriger Spannung. Aus den Experimen- ten in [VKLR95] ist bekannt, dass die Systemparameter auch durch eine gering veränderte Biasspannung stark variieren und damit eine genaue Identifikation des mechanischen Systems unmöglich ist. Alle diese Probleme geben Anlass zu einer detaillierteren Untersuchung des Einflusses der Spannung auf das System. Dies würde auch die theoretischen Annahmen prüfen.
Wie schon aus Kapitel 3 bekannt, erzeugt der Squeeze-Film Effekt einen reellen Pol p1, der
die Dämpfung maßgeblich beeinflusst und eine reale Nullstelle z1, die bei der Cut-Off Frequenz liegt. Unter der Annahme, dass der reelle Pol dominant ist, kann das mechanische Modell
m (s z ) G (s) = k i=1 − i , m = 1 , n = 3 (4.2) mech p n (s p ) Qj=1 − j Q zu einem PT1-System reduziert werden, welches für den niedrigen Frequenzbereich gültig ist. Eine große Dämpfung wird beispielweise bei verhältnismäßig hohen Sensorinnendrücken und geringen Spaltabständen erreicht (Abb. 4.3). 4.2 LINEARE MODELLIDENTIFIKATION 39
Polverschiebung für verschiedene Innendrücke 5 Polverschiebung für verschiedene Spaltabstände x 10 5 3 x 10 2 p0 = 1e+03 mbar niedriger Druck d0 = 0.5 µm kleiner Spalt hoher Druck großer Spalt 2 1.5
p0 = 1e+03 mbar 1 d0 = 2.32 µm 1 p0 = 50.9 mbar 0.5 d0 = 11.3 µm
p0 = 2.15 mbar p0 = 0.1 mbar d0 = 50 µm 8000 0 p0 = 0.1 mbar 0 6000 p0 = 2.15 mbar p0 = 0.1 mbar d0 = 0.5 µm 4000 p0 = 50.9 mbar −0.5 2000 d0 = 11.3 µm 0 Imaginärteil −−> −1 Imaginärteil −−> −2000 d0 = 2.32 µm −1 Imaginärteil −−> −4000 d0 = 0.5 µm −2 −6000 −1.5 −6000 −4000 −2000 0 p0 = 1e+03 mbar Realteil −−> d0 = 0.5 µm −3 −2 −4000 −3500 −3000 −2500 −2000 −1500 −1000 −500 0 −2 −1.5 −1 −0.5 0 5 Realteil −−> Realteil −−> x 10
(a) Änderung des Sensorinnendrucks p0 (b) Änderung des Spaltabstands d0
2 Abb. 4.3: Lage der Pole in Abhängigkeit von Sensorinnendruck p0 und Spaltabstand d0
Bei Vernachlässigung der nicht-dominanten Pole p2, p3 und der Nullstelle z1 ergibt sich das resultierende elektrostatische System
kˆG (s) kˆk˜ G (s) = mech = p (4.3) emech ˜ 1 kϕGmech (s) s (p1 + kϕkp) − e − e mit dem mechanischen Systeme und der äußeren Schleifenverstärkung:
k˜ G (s) = p , kˆ = k k k k . mech s p u a c pwm − 1 e Der Pol des elektrostatischen Modells liegt damit bei
el ˜ p1 (ub) = p1 + kpkϕ (4.4) und bewegt sich mit steigendem Einfluss des elektrostatischen Feldes in Richtung + auf der ∞ reellen Achse. Da der Einfluss der Betriebsspannung ub auf kϕ quadratisch ist, bewegt sich der
Realteil des Pols auf einer Parabel mit Parameter ub. Für Systeme mit höherer Ordnung gilt ein ähnliches Verhalten. Auch hier bewegen sich die Real- und Imaginärteile der Pole auf einer konvexen Funktion3 (Abb. 4.4a). Voraussetzung
2 Die Parameter am = a = 3.5 mm, bm = b = 3.5 mm, dm = 300 µm, d0 = 3 µm, p0 = 100 mbar und fres = 600 Hz wurden für die Kalkulation in translatorischer Bewegung verwendet. 3 Eine Funktion f(x) ist im Intervall [a, b] konvex, falls für zwei Punkte x , x [a, b] und für ein beliebiges 1 2 ∈ λ (0, 1) die Ungleichung f[λx + (1 λ)x ] λf(x ) + (1 λ)f(x ) gilt. Die Funktion ist damit konvex, ∈ 1 − 2 ≤ 1 − 2 falls alle Sekanten, die das Punktepaar verbinden, oberhalb des Funktionsverlaufs liegen. 40 PARAMETERIDENTIFIKATION
hierfür ist ein streng monotones4 und stetig differenzierbares Verhalten5 von Real- und Ima- el ginärteil der Pole pi (ub) = f(pi; p1 . . . pi 1, pi+1 . . . pn, z1 . . . zm, ub). Das globale Optimum − ist gleichzeitig der Ort der mechanischen Pole, dessen Beweis sich aus den Voraussetzungen ergibt.
Reeller Pol p (ub) Imaginärer Pol p (ub) 1 4 3 x 10 120 −7.6 Modell Polynomapproximation −7.7 Im 100 2. Ordnung p2 −7.8 80 −7.9 Imaginärteil −−> ub 60 −8 ↑ 0 20 40
z1 Instabile Region 40 −880
p Realteil −−> 1 Re −900 PSfrag replacements 20 Vereinigungspunkt −920
0 Realteil −−> −940
−20 −960 p 0 20 40 0 20 40 3 S−Domäne ub in Volt −−> ub in Volt −−>
(a) Wurzelortskurve (b) Polorte
Abb. 4.4: Lage der Pole und Nullstellen in Abhängigkeit von der Betriebsspannung ub
Wie das Beispiel6 in Abb. 4.4b zeigt, bewegen sich die Pole im niedrigen Spannungsbe- reich tatsächlich auf einer parabelähnlichen Funktion. Eine Approximation des Verhaltens ist daher mittels einer Parabel einfach möglich. Deren Scheitel ergeben approximierte Werte der gesuchten mechanischen Pole. Ein weiterer Vorteil der Parabelapproximation liegt dabei auf der Hand: Eine vollständige Beschreibung ist mit nur zwei Messpunkten möglich. Da der An- stieg im Scheitel der Parabel gering ist, erklärt dies auch die Approximationsmethode aus dem vorangegangenen Abschnitt.
Aus dem mechanischen Modell (4.2) ergibt sich damit für das elektrostatische System in
4 Genügt eine Funktion im Definitionsbereich für beliebige Argumente x1 und x2 mit x2 > x1 der Bedingung
f(x2) > f(x1) bzw. f(x2) < f(x1), dann wird sie streng monoton wachsende bzw. streng monoton fallende Funktion genannt. 5 Verzweigung- und Vereinigungspunkte der Wurzelortskurve stellen hierbei Knickpunkte dar, in denen die Kurve sprunghaft die Richtung ändert. Stetige Funktionen ergeben einen zusammenhängenden Kurvenverlauf. Weist die Kurve einen Knick auf, dann existiert nur die linksseitige und rechtsseitige Ableitung, d. h. die Ableitungs- funktion ist unstetig bzw. stückweise stetig. 6 Siehe Fußnote 2 4.2 LINEARE MODELLIDENTIFIKATION 41 monischer7 Polynomschreibweise:
m i=1(s zi) Gemech (s, u ) = kˆk − (4.5a) b p n (s pel (u )) jQ=1 − j b m (s z ) = kˆk Q i=1 − i , n > m . (4.5b) p n (s p ) k k m (s z ) j=1 − Qj − p ϕ i=1 − i Q Q Die statische Verstärkung von Gemech ist dabei von kˆkp und den Orten aller Pole und Nullstellen abhängig. Um ein monisches Nennerpolynom zu garantieren, wird außerdem ein mechanisches System gefordert, welches streng proper8 ist.
Die Identifikation des mechanischen Systems kann somit wie folgt verlaufen:
1. Die Polverschiebung durch das elektrostatische Feld lässt sich im Bereich geringer Spannungen durch eine Parabelapproximation nähern:
pel (u ) ϕre + ϕre u2 + j ϕim + ϕim u2 , j = 1 . . . n . (4.6) j b ≈ 0(j) 2(j) b 0(j) 2(j) b Der Scheitel der Parabeln definiert dabei den approximierten Ort der mechanischen Pole re im ϕ0(j) + jϕ0(j). Die Verstärkung des mechanischen Systems kann aus dem approximierten PT1-System abgeleitet werden:
re 2 ϕ2(1)ub kp k˜p = . (4.7) ≈ kϕ
Analog gilt bei einem approximierten PT2-System für schwingungsfähige Systeme
im im 2 2ϕ0(j)ϕ2(j)ub kp , j = 1, 2 (4.8) ≈ − kϕ
unter der Voraussetzung, dass k k ϕim 2 ist. | p ϕ| | 0(j)|
2. Die Verstärkung kpkˆ im Vorwärtszweig des elektrostatischen Systems Gemech ergibt sich aus dem Quotienten der Produkte aller Pol- und Nullstellen:
n el p (ub) k kˆ = G (s = 0, u ) j=1 j . (4.9) p emech b m z Q i=1 i Q ˆ Die Abhängigkeit der Verstärkung kpk von der Betriebsspannung ub ist im Arbeitspunkt kubisch
ˆ 3 kpk = ϕ3ub , (4.10)
wobei aus dieser Spannungsabhängigkeit unbekannte Verstärkungen in Form eines
Korrekturfaktors kcorr in der Schleife bestimmt werden können.
7 n n 1 Ein Polynom anx +an 1x − + +a1x+a0 ist monisch, falls der Koeffizient der höchsten Potenz identisch − · · · Eins ist. 8 Ein System G(s) ist streng proper, falls G(s) 0 für s strebt und damit n > m gilt. → → ∞ 42 PARAMETERIDENTIFIKATION
Da die Identifikation meist ein diskretes Modell liefert, ist das Auffinden der Pole und Null- stellen im s-Raum keine triviale Aufgabe. Für die Pole existiert eine einheitliche Transformati- on [KFP96, ÁDF03]
Z . s d ..... t e sTs , (4.11)
daher ist die Lage der abgebildeten Pole genau bekannt. Anders verhalten sich die Nullstellen des Systems. Die Orte der Nullstellen sind hochgradig komplexe Funktionen, die sich aus den
Parametern des kontinuierlichen Systems ergeben [Söd90], wie das einfache PT2-Beispiel zeigt:
Z 1 . G(s) = d ...... t (s + ω1)(s + ω2) Tsω2 Tsω1 Tsω1 Tsω2 ω (1 e − )(z e − ) ω (1 e − )(z e − ) G(z) = 1 − − − 2 − − . (4.12) ω ω (ω ω )(z e Tsω1 )(z e Tsω2 ) 1 2 1 − 2 − − − − Um die Transformation zu vermeiden, wäre auch die direkte Identifikation des kontinuierlichen Systems [SFBC95, SFCB97, GMR03] ein möglicher Ausweg. Da das elektrostatische Feld die Orte der Nullstellen nicht beeinflusst, ist für die Berech-
nung in (4.9) ein Mittelwert der einzelnen Nullstellen z¯i sinnvoll. Es muss jedoch im Einzel- nen festgestellt werden, ob die identifizierten Pole tatsächlich von der Spannung abhängen und die Nullstellen ein stationäres Verhalten aufweisen. Bei einem Ordnungsüberschuss oder Ord- nungsmangel könnte beispielsweise eine stochastische Pol- und Nullstellenverteilung auftreten.
4.2.3 Praktisches Beispiel
Approximierte Methode
Für die approximierte Methode wird ein Sensor betrachtet, der wegen Verspannungen mit hoher Biasspannung betrieben werden musste. Ein idealer Betrieb in der ersten Identifikationsstufe war daher nicht möglich, das Beispiel zeigt aber deutlich die unterschiedlichen Ergebnisse der einzelnen Identifikationsstufen. Im ersten Schritt wurde der Sensor im stabilen Bereich9 angeregt (Abb. 4.5a), dessen Daten für die Ermittlung des mechanischen Systems benutzt wurden. Die in einem weiteren Experi-
ment bestimmte mittlere mechanische Eigenfrequenz lag dabei bei ca. f¯res = 600 Hz, die für die statische Verstärkung des mechanischen Systems angenommen wurde. Das Streckenausgangs- und Stellsignal der Simulation und des realen Systems, betrieben
unter einer Betriebsspannung von ub = 10 V, zeigt Abb. 4.5b. Die angestrebte Nennbetriebs- nenn spannung betrug dabei ub = 20 V, die möglicherweise aufgrund einer anderen mechanischen Eigenfrequenz und zu hohen Sensorbiasspannung nicht erreicht wurde. Nach einer weiteren Identifizierungsiteration konnte der Sensor unter Nennbetriebsspan- nung betrieben werden (Abb. 4.5c), die auch für die Simulation verwendet wurde.
9 Anregung: Rechteckspannung 1.1 Hz, Amplitude 100 mV; Bias an Sensoroberseite/-unterseite: 0.7 V/3.4 V. 4.2 LINEARE MODELLIDENTIFIKATION 43
Ausgangssignal der Regelstrecke 0.1
0.05
0 Ausgangssignal Bias an Oberseite −0.05
Amplitude in V −−> −0.1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Stellsignal des Reglers 0.5 Messung Bias an Unterseite Simulation
0 Eingangssignal
Amplitude in V −−> −0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Zeit in sec. −−>
(a) Oszillogramm der Sensoranregung im stabilen (b) Ausgangs- und Stellsignal der Simulation und
Bereich des realen Systems bei ub = 10 V
Bode−Diagramm Identifikations− und Reglerdesignmodell Ausgangssignal der Regelstrecke 0.1 20 0.05 0
0 −20 Identifikationsmodell in z −40 Identifikationsmodell in s −0.05 −60 Ordnungsreduziertes Modell in s
Amplitude in V −−> −0.1 Reglerdesignmodell 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Amplitude in dB −−> −80 Stellsignal des Reglers 100 0.1 0 0.05 −100
0 −200 −300 −0.05 Phase in deg −−> −400 1 2 3 4 5 Amplitude in V −−> −0.1 10 10 10 10 10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Zeit in sec. −−> Frequenz in rad/sec. −−>
(c) Ausgangs- und Stellsignal nach einmaliger Ite- (d) Bodediagramme der Modelle des ersten und
ration bei ub = 20 V zweiten Identifikationsschritts
Abb. 4.5: Erster und zweiter Identifikationsschritt des praktischen Beispiels
Abb. 4.5d zeigt die Bodediagramme der Modelle des ersten und zweiten Identifikations- schritts. Deutlich sind dabei Unterschiede in der DC-Verstärkung und der Dynamik zwischen den Modellen zu sehen, was die Vermutung einer zu hohen Sensorbiasspannung und damit Dynamikänderung und anderen mechanischen Eigenfrequenz bestätigt. Möglicherweise sind auch nicht im Modell berücksichtigte Verstärkungen die Ursache der starken Abweichung der statischen Verstärkung. Für den Reglerentwurf10 kam die H -Methode zum Einsatz, die im ∞ Kapitel 5 noch näher erläutert wird.
sM −1 ω 10 H 1 1 s + b Für den -Entwurf wurden die Gewichte Wu− = , We = , Ww = 1 verwendet, wobei Ms = 2, ∞ 2 s+ωb ωb = 2π200 Hz und 0 ist. → 44 PARAMETERIDENTIFIKATION
Zwei-Stufen-Identifikation
Das Ergebnis der Zwei-Stufen-Identifikation zeigt Abb. 4.6. Das Bodediagramm des identifi- zierten ARX-Modells11 der Ordnung n = 10 ist in Abb. 4.6a zu sehen. Deutlich im Bild zu
erkennen ist der 20 dB/Dec-Amplitudenabfall und eine Phasendifferenz von 90◦, was tatsäch-
lich auf ein PT1-System schließen lässt. Im Phasengang ist weiterhin der typische Phasenabfall des diskreten Systems zu erkennen [ÁDF03], der aus der Totzeit zwischen den Abtastzeitpunk- ten resultiert.
Bode−Diagramme Pol p (ub) in S−Domain 1 40 800 u 20 b 2 700 p = −93.66 + 0.9498*u 1 b 0 Eigenfrequenz f = 1081.7 Hz 600 −20 Stabilitätsrand bei ub = 9.93 V −40 500
Amplitude in dB −−> −60 400 gemessen 100 Parabelapproximation 300
50 Realteil −−> 200
ub 100 0
Phase in deg −−> 0
1 2 3 4 10 10 10 10 −100 0 5 10 15 20 25 30 Frequenz in rad/sec. −−> ub in Volt −−>
(a) Bodediagramme (b) Polort des dominierenden Pols
Statische Verstärkung des elektrostatischen Systems Systemverstärkung k(u ) 25 b 0 20 3 k(u ) = −0.2147*u 15 −1000 b b corrfak = −0.1959 10 b −2000 5
0 −3000 −5 berechnet Verstärkung k(u ) −−> −10 −4000 DC−Verstärkung −−> Approximation 3ter Ordnung −15 −5000 −20 gemessen approximiert −25 −6000 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 ub in Volt −−> ub in Volt −−>
(c) statische Systemverstärkung (d) berechnete Verstärkung im Vorwärtszweig
Abb. 4.6: Einfluss des elektrostatischen Feldes
Die Abhängigkeit des Polortes des dominierenden Pols ist in Abb. 4.6b zu sehen, wobei die Parabelapproximation eine sehr gute Übereinstimmung mit den gemessenen Werten aufweist.
11 Der autoregressive Prozess mit externem Eingang (ARX) basiert auf der Annahme, dass weißes Rauschen, − B(z 1) 1 gefiltert durch die Systempole als Messfehler auftaucht: y(t) = A(z−1) u(t) + A(z−1) e(t). 4.2 LINEARE MODELLIDENTIFIKATION 45
Abb. 4.6c zeigt die gemessene statische Streckenverstärkung des elektrostatischen Systems und Abb. 4.6d die rückgerechnete Verstärkung des Vorwärtszweiges. Auch hier ist eine gute Über- einstimmung mit der Approximation erkennbar. Ein mögliches Problem der Zwei-Stufen-Identifikation ist in Abb. 4.6c zu erkennen. Da die beiden Optimierungsstufen voneinander entkoppelt sind, ergibt sich ein deutlicher Fehler nahe der Polstelle in der statischen Systemverstärkung.
Pol p (ub) in S−Domain Bode−Diagramme 1 1000 50 p = −60.72 + 0.5631*u 2 closed−loop 1 b u open−loop b 800 Eigenfrequenz f = 1131.2 Hz 0 Stabilitätsrand bei ub = 10.384 V
600 2 −50 p = −60.93 + 0.5658*u 1 b Amplitude in dB −−> Eigenfrequenz f = 1130.4 Hz 400 500 Stabilitätsrand bei ub = 10.377 V
0 Realteil −−> 200 −500
−1000 0 gemessen Parabelapproximation Phase in deg −−> −1500 0 2 4 10 10 10 −200 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Frequenz in rad/sec. −−> ub in Volt −−>
(a) Bodediagramme (b) Polort des dominierenden Pols
Statische Verstärkung des elektrostatischen Systems Systemverstärkung k(u ) b 150 0
100 −200 k(u ) = −40.9*u b b −400 corrfak = −62.64 50
b −600
0 −800
−1000 −50 k(u ) = −45.97*u −1200 b b
Verstärkung k(u ) −−> corrfak = −70.75 DC−Verstärkung −−> −100 −1400 gemessen −1600 berechnet −150 approximiert Approximation 1ter Ordnung −1800
−200 −2000 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 5 10 15 20 25 30 35 40 ub in Volt −−> ub in Volt −−>
(c) statische Systemverstärkung (d) berechnete Verstärkung im Vorwärtszweig
Abb. 4.7: Einfluss des elektrostatischen Feldes bei veränderter Schaltungskonfiguration
Eine zweite Schaltungskonfiguration mittels Trägerfrequenzmessbrücke ist in Abb. 4.7 zu sehen. Sehr gut im Bodediagramm (Abb. 4.7a) zu erkennen, ist die selektive Frequenzverstär-
kung nahe der Nyquistfrequenz ΩN . Da sich die Frequenzverstärkung nicht mit der Spannung ändert, ist diese tatsächlich dem Messsystem zugeordnet. Auch hier lässt sich der Ort des dominanten Pols mittels Parabel approximieren (Abb. 4.7b). In dieser Schaltungskonfiguration ist der Ladungsverstärker und die PWM-Ansteuerung nicht 46 PARAMETERIDENTIFIKATION
PSfrag replacementsvorhanden. Die Verstärkung im Vorwärtszweig ist damit proportional zu ub, wie Abb. 4.7d zeigt.
4.3 Identifikation in der geschlossenen Schleife
Viele technische Prozesse können aus den verschiedensten Gründen nur in der geschlossenen Schleife identifiziert werden. Gründe dafür sind, wie im Falle des Beschleunigungssensors, ein instabiler Prozess, Sicherheitsgründe oder andere, z. B. ökonomische Gründe.
e(t)
w(t) = w (t) + Kw (t) w (t) 1 2 1 C 1 H (z− ) D 0 v(t) w2(t) S u(t) B y(t) R A 1 1 K(z− ) G0(z− )
Abb. 4.8: Blockdiagramm des geschlossenen Systems
Das fundamentale Problem der Identifikation in der geschlossenen Schleife ist dabei die Korrelation zwischen Stellsignal u(t) und dem Messrauschen v(t), wie Abb. 4.8 zeigt. Damit ergeben sich unter anderem folgende Probleme [Lju99]:
Einfache Regler ergeben möglicherweise keine informativen Signale, aus denen sich die • Strecke eindeutig identifizieren lässt.
Die Spektralanalyse ergibt einen Mittelwert, der zwischen G für rauschfreie geschlos- • 0 sene Systeme mit Φ (ω) = 0 und 1/K für nicht angeregte Strecken mit Φ (ω) = 0 v − w liegt:
jω jω ˆ jω Φyu(ω) G0(e )Φw(ω) K(e − )Φv(ω) G(e ) = = − 2 . Φu(ω) Φ (ω) + K(e jω) Φ (ω) w | | v
Die Korrelationsanalyse ergibt eine Gewichtsfunktion mit Biasanteil •
∞ R (τ) = g (t)R (τ t) dt + R (τ) , yu 0 u − uv Z−∞ da für das geschlossene System die Voraussetzung E u(t)v(t τ) = 0 nicht gegeben { − } ist. 4.3 IDENTIFIKATION IN DER GESCHLOSSENEN SCHLEIFE 47
Eine Konsistenz der Ausgangs-Fehler (OE) Modelle12 mit Prädiktionsfehler • 1 1 1 ε(t, θ) = y(t) yˆ(t, θ) = H(z− , θ)− y(t) G(z− , θ)u(t) − − 1 1 1 1 G0(z− ) G(z− , θ) 1 + K(z− )G (z− , θ) = 1 − 1 1 w(t) + 1 1 1 v(t) H(z− , θ)(1 + K(z− )G0(z− )) H(z− , θ)(1 + K(z− )G0(z− )) ist nicht gegeben. Es existiert dabei keine einfache Lösung für den Rauschfilter H, um den zweiten Term unabhängig von θ werden zu lassen, wie es mit H(θ) = 1 für den Open-Loop Betrieb der Fall wäre. Nicht alle Methoden sind damit zur Identifikation der Strecke im geschlossenen Betrieb an- wendbar. In der Literatur wurden verschiedene Ansätze zur Identifikation in der geschlossenen Schlei- fe vorgeschlagen. Je nachdem, ob der Regler in der Feedback-Schleife und extra Signale be- kannt sind, kann eine Unterteilung der Identifikationsmethoden erfolgen [Lju99, FL99]: 1. Direkte Methode: Die Strecke wird ohne Berücksichtigung der Rückführung identifi- ziert. Die Identifizierung erfolgt mit den Messwerten der Ein- und Ausgangssignale.
2. Indirekte Methode: Unter Kenntnis des (linearen) Reglers wird aus einer identifizierten Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises auf das Modell der Strecke geschlossen.
3. Joint Input-Output Methode: Zur Identifizierung wird bei dieser Methode das Strecken- eingangs- und Ausgangssignal herangezogen, wobei das System durch die Führungsgrö- ße w angeregt wird. Durch Analyse erhält man den linearen Regler und das unbekannte Modell. Die direkte Identifikation ist die wohl populärste Methode, da keine Kenntnisse über die Rück- führung benötigt werden. Um die oben erwähnten Probleme für die direkte Identifikation zu minimieren, sollte Folgendes beachtet werden [Van98, Lju99]: Eine ausreichende Anregung der Regelstrecke mit w ist gegeben. • Der Regler K hat eine ausreichend hohe Ordnung oder ist nichtlinear. • Das Rauschmodell H kann durch H(θ) beschrieben werden. • 0 Das Signal-Rauschverhältnis am Eingang u ist hoch. • Ein weiteres Problem der direkten Identifikation resultiert für instabile Systeme aus dem Prä- diktormodell [Lju99]
1 1 1 1 1 yˆ(t, θ) = H(z− , θ)− G(z− , θ)u(t) + 1 H(z− , θ)− y(t) , (4.13) − welches für Prädiktionsfehlermethoden stabilsein muss. Dies gilt beispielsweise für ARX und ARMAX-Modelle13, bei denen sich die instabilen Pole der Strecke G durch die des Filters H kürzen. 12 Das OE-Modell basiert auf der Annahme, dass der Messfehler ungefiltertes weißes Rauschen ist und damit − B(z 1) y(t) = A(z−1) u(t) + e(t). 13 Der autoregressive Prozess mit gleitendem Mittel und externem Eingang (ARMAX) ist eine Erweiterung des − − B(z 1) C(z 1) ARX-Modells und ist definiert durch y(t) = A(z−1) u(t) + A(z−1) e(t). 48 PARAMETERIDENTIFIKATION
4.4 Nichtlineare Modellidentifikation
Die meisten dynamischen Vorgänge und Systeme, die in Natur und Technik anzutreffen sind, weisen nichtlineares (NL) Verhalten auf. Dies trifft auch auf die MEMS zu, wie in Kapitel 3 ausführlich dargestellt wurde. Es liegt daher die Vermutung nahe, die Identifikation auch nicht- linear zu gestalten. PSfrag replacements Wiener−Modell
y(t) G1(s) NL G2(s) u(t) Hammerstein−Modell
Abb. 4.9: Kaskadiertes Wiener-Hammerstein-Modell
Leider gibt es für NL-Systeme keine universellen Identifikationstechniken, wie man es von LTI-Systemen her kennt. Diese hängen sehr von den a-priori Kenntnissen, beispielsweise der Struktur des Systems ab. Eine Einteilung der Identifikationsmethoden aufgrund der System- struktur oder mathematischen Beschreibung ist daher möglich in [HK99]:
nichtparametrische Modelle, die theoretisch eine infinite Anzahl von Parametern benöti- • gen (z. B. Volterra-Reihen und deren orthogonale Repräsentation, die Wiener-Reihen),
kaskadierte oder blockorientierte Modelle (z. B. Wiener- oder Hammersteinmodelle in • Abb. 4.9),
parametrische Modelle, die mit einer finiten Anzahl von Parametern beschrieben werden • können.
Ein sehr eleganter Ansatz ist dabei die Volterra-Reihenentwicklung, die eine geschlossene ma- thematische Darstellung für eine größere Klasse nichtlinearer Systeme möglich macht. Die un- endliche Reihe
i ∞ ∞ ∞ y(t) = . . . g (τ , . . . , τ ) u(t τ ) dτ . . . dτ (4.14a) i 1 i − j 1 i i=0 Z−∞ Z−∞ j=1 X t Yt t = g + g (τ )u(t τ ) dτ + g (τ , τ )u(t τ )u(t τ ) dτ dτ + . . . 0 1 1 − 1 1 2 1 2 − 1 − 2 1 2 Z0 Z0 Z0 (4.14b)
von verallgemeinerten Faltungsintegralen stellt eine Darstellungsform des Ein- und Ausgangs-
verhaltens von NL-Systemen dar. Die Gewichtsfunktion gi heißt Volterra-Kern i-ter Ordnung, für die Kausalität14 gefordert wird.
14 Die Werte der Eingangsgröße beeinflussen das Systemverhalten nur für zukünftige Zeitpunkte. 4.4 NICHTLINEARE MODELLIDENTIFIKATION 49
Analog kann die diskrete Darstellungsform für eine Umsetzung in einem digitalen Signal- prozessor (DSP) gewählt werden
i ∞ ∞ ∞ y[k] = h (κ , . . . , κ ) u[k κ ] (4.15a) · · · i 1 i − j i=0 κ =0 κ =0 j=1 X X1 Xi Y k k k = h + h (κ )u[k κ ] + h (κ , κ )u[k κ ]u[k κ ] + . . . , 0 1 1 − 1 2 1 2 − 1 − 2 κ =0 κ =0 κ =0 X1 X1 X2 (4.15b)
sofern die Reihe und die Kerne endlich sind. Problematisch dabei ist die benötigte Abtastfre- quenz, da bei sinusförmiger Erregung die Ausgangsschwingung aus Vielfachen und Summen der Frequenzen der Eingangsschwingungen besteht. Die Amplitude der Ausgangsschwingung besteht zudem aus Potenzen und Produkte der Eingangsschwingungsamplituden, damit sind die Terme höherer Ordnung der Volterra-Reihe dominant [Fra97]. Voraussetzung hierfür sind Terme, deren Betrag größer als Eins ist, andernfalls verringert sich der Einfluss bei höheren Potenzen. Obwohl die NL-Identifikation schon ausgiebig in vielen Büchern [HK99, Liu01, DPO02] und Publikationen [GS01] behandelt wurde, blieb die Anwendung bei MEMS nur auf vereinzel- te Fälle beschränkt. Eine sehr interessante Methode zur Parameterbestimmung zeigt [BHL+04]: Mit Hilfe der Newton-Methode werden die mechanischen und elektrostatischen Parameter eines MEMS-Schalters bestimmt, wobei aufgrund der Diskretisierung und Bestimmung von Jacobi-, Hessesche Matrix und deren Inverse ein großer rechentechnischer Aufwand betrieben wird. Zu- dem ist das Suchen des globalen Minimums keine triviale Aufgabe, sofern das Optimierungs- kriterium keine konvexe Funktion darstellt. Eine andere Methode mit Hilfe von neuronalen Netzen zeigt [GSR99,Gau00]. Auch hier ist der rechentechnische Aufwand zum Anlernen des Netzes hoch. Außerdem lässt das Black-Box Modell keinen Einblick in die innere Struktur und interne Abhängigkeiten zu, was nachteilig für eine eventuelle Parameteroptimierung und -anpassung ist.
4.4.1 Blockorientierte Identifikation
Die Systemstruktur (Abb. 4.10) des elektromechanischen Systems ist genau bekannt. Damit kann eine blockorientierte Identifikation zum Einsatz kommen, die eine bessere Darstellung der inneren Vorgänge und Parameterabhängigkeiten erlaubt, als es bei parametrischen und nichtpa- rametrischen Modellen der Fall ist. Aufbauend auf die Wiener-Hammerstein Parameterschätzung [Bai98,Bai02] soll dieser Al- gorithmus für elektromechanische Systeme abgeändert und simulativ überprüft werden. Der Fakt, dass der Algorithmus auf einfachen Matrixoperationen aufbaut, macht die Methode für die Online-Identifikation attraktiv. Gegeben ist das mechanische Eingrößensystem, welches als linear-zeitinvariant und strikt 50 PARAMETERIDENTIFIKATION PSfrag replacements
Mmech (t)
u(t) ϕ(t) Mel (t) f(ϕ, u) Gmech (s)
Abb. 4.10: Systemstruktur
proper angenommen wird, in diskreter Schreibweise
1 d m 1 B(z− ) bdz− + + bmz− Gmech (z− ) = = · · · , n m , 1 d m (4.16) A(z 1) 1 + a z 1 + + a z n ≥ ≤ ≤ − 1 − · · · n − und die Nichtlinearität des elektrostatischen Momentes (3.36) als genäherte Taylorreihe mit
r q l m Mel (ϕ, u) = f(ϕ, u) u α ϕ , α = 0 . (4.17) ≈ lm 00 m=0 Xl=0 X Dabei wird eine biasfreie Funktion, die durch den Koordinatenursprung für f(0, 0) verläuft, angenommen. Durch Einsetzen beider Gleichungen ergibt sich die Differenzengleichung
1 1 ϕ(t) = (1 A(z− ))ϕ(t) + B(z− )f(ϕ(t), u(t)) . (4.18) − Die Parameter des LTI-Systems werden mit den Vektoren
T a = a a . . . a Rn (4.19a) 1 2 n ∈ T h i m d+1 b = b b . . . b R − (4.19b) d d+1 m ∈ h i und die Parameter der Nichtlinearität mit dem Vektor
? ? α02 . . . α0q
α10 α11 . . . α1q (q+1)(r+1) 2 α = vec . . R − (4.20) . .. . ∈ . . . αr0 αr1 . . . αrq beschrieben. Die dazugehörigen Ein- und Ausgangswerte sind im Vektor
? ? ϕ[k]2 . . . ϕ[k]q q u[k] u[k]ϕ[k] . . . u[k]ϕ[k] (q+1)(r+1) 2 µ[k] = vec . . R − (4.21) . .. . ∈ . . . u[k]r u[k]rϕ[k] . . . u[k]rϕ[k]q 4.4 NICHTLINEARE MODELLIDENTIFIKATION 51
enthalten. Der Spaltenvektoroperator wird dabei mit vec(.) und dessen Rücktransformation mit 1 vec− (.) bezeichnet. Die Elemente ? bleiben für die Berechnungen unberücksichtigt. Damit ergibt sich für die Differenzengleichung (4.18) die Vektorform
ϕ[k] = φT[k]θ (4.22) mit den Parametern
a˜ (m d+1)((q+1)(r+1) 2)+n θ = R − − (4.23a) "θbα# ∈
0d 1 − a˜ = a α b Rn (4.23b) − 01 ∈ 0n m − T (m d+1)((q+1)(r+1) 2) θ = vec(bα ) R − − (4.23c) bα ∈ und den Ein- und Ausgangswerten
T T T (m d+1)((q+1)(r+1) 2)+n φ[k] = φ [k] φ [k] R − − (4.24a) − ϕ uϕ ∈ h i T φ [k] = ϕ[k 1] . . . ϕ[k n] Rn (4.24b) ϕ − − ∈ h µT[k d] i . − (m d+1)((q+1)(r+1) 2) φ [k] = vec . R − − . (4.24c) uϕ ∈ µT[k m] − Aus der Gleichung (4.23b) ist erkennbar, dass aufgrund der Rückführung des linearen Anteils
α01 der Taylorreihe das Nennerpolynom des LTI-Systems geändert wird. Eine Rückrechnung auf die Originalgrößen ist damit nur möglich, falls
der Parameter α und die statische Verstärkung des LTI-Systems bekannt ist und damit • 01 auf die Parameter des Nenners a geschlossen werden kann,
die Parameter des LTI-Systems a und b bekannt sind und damit α ermittelt werden • 01 kann.
Weiterhin ist in (4.23c) erkennbar, dass auch diese Darstellung nicht eindeutig ist. Aus Sicht der Ein- und Ausgangswerte sind die Systemparameter νb und α/ν für eine reelle, von Null verschiedene Konstante ν nicht unterscheidbar.
Eine eindeutige Darstellung ergibt sich unter der Annahme von bd = 1 und α01 = 0. Zähler- 1 und Nennerpolynom von Gmech (z− ) sind damit beide monisch und die identifizierten Pole in a˜ werden als Pole des LTI-Systems angenommen. Eine Zusammenfassung aller Messwerte für die Zeitpunkte k = 0, . . . , N, wobei zur ein- deutigen Lösbarkeit N (m d + 1)((q + 1)(r + 1) 2) + 2n 1 gefordert wird, ergibt die ≥ − − − Regressionsformel
yN = ΦN θ + eN (4.25) 52 PARAMETERIDENTIFIKATION
mit den Ausgangswerten und der Regressionsmatrix
T N n+1 y = ϕ[n] . . . ϕ[N] R − (4.26a) N ∈ T h i (N n+1) ((m d+1)((q+1)(r+1) 2)+n) Φ = φ[n] . . . φ[N] R − × − − . (4.26b) N ∈ h i Der Vektor eN definiert das Messrauschen je Tastzeitpunkt k
T N n+1 e = e[n] . . . e[N] R − , (4.27) N ∈ h i wobei für eine biasfreie Schätzung der Parameter unkorreliertes weißes Rauschen mit Erwar- tungswert E e(t) = 0 und Varianz λ gefordert wird. { } 0 Basierend auf der Methode der kleinsten Quadrate (LSM) und der Singulärwertzerlegung (SVD) ergibt sich folgende Vorgehensweise:
(1) Messung der Eingangs- u[k] und Ausgangswerte ϕ[k] des elektromechanischen Systems für die Zeitpunkte k = 0, . . . , N.
(2) Aufstellen des Ausgangsvektors (4.26a) und Berechnung der Regressionsmatrix (4.26b).
(3) Löse das Regressionsproblem nach dem Prinzip der kleinsten Quadrate
ˆ(LS) T 1 T θ = (ΦN ΦN )− ΦN yN . (4.28)
(4) Extrahiere θˆbα aus dem geschätzten Parametervektor θˆ und benutze die SVD zur Berechnung von bˆ und αˆ
T 1 UΣV = vec− (θˆbα) (4.29)
mit
ˆ 1 b = u1 und αˆ = u(1,1)σ1v1 . (4.30) u(1,1)
(5) Mit dem in Abschnitt 4.2.2 vorgestellten Algorithmus kann in einem weiteren Schritt die
Rückrechnung auf das mechanische System und Bestimmung von αˆ01 erfolgen.
Problematisch für die Systemidentifikation ist die benötigte hohe Ordnung der Taylorreihe, um die Nichtlinearität in einem größeren Bereich gut abbilden zu können. Da es sich bei der Mo-
mentenfunktion (3.36) um eine stückweise stetige Funktion mit Singularitäten bei ϕˆmax mit
d ϕˆ = arcsin 0 (4.31) max c + a | | 2 handelt, macht sich diese Problematik hier besonders bemerkbar: Für eine endliche Reihe ist
der Fehler zwischen beiden Funktionen bei ϕˆmax infinitesimal. Der beschriebene Algorithmus 4.4 NICHTLINEARE MODELLIDENTIFIKATION 53
eignet sich daher nur bedingt für die Approximation der Momentenfunktion in einem größeren Bereich. Ein weiteres Problem für die Identifikation stellt eine mögliche Korrelation zwischen Re-
gressionsmatrix ΦN und dem Fehler eN dar, welche in einen geschätzten Parametervektor mit Bias mündet. Die Instrumental Variable (IV) Methode [Lju99, SH04] stellt ein Verfahren dar,
um durch eine abgeänderte Regressionsmatrix ΨN
T T T ΨN yN = ΨN ΦN θ + ΨN eN (4.32) die Korrelation zwischen dem Fehlervektor zu minimieren. Für einen konsistent geschätzten Parametervektor (plim θˆ = θ) müssen dabei die beiden Voraussetzungen
T (a) plimN ΨN ΦN existiert und ist nicht singulär, →∞ T (b) plimN ΨN eN = 0 →∞ gelten. Anwendung fand diese Methode auch bei der nichtlinearen Systemidentifikation [Mzy00, Mzy02, HM04] von Wiener-Hammerstein Systemen. Voraussetzung für die Anwendung der IV-Methode ist eine stabile Strecke, um auf das rauschfreie Ausgangssignal rückrechnen zu können. Eine Anwendung für den instabil betriebenen Beschleunigungssensor ist daher mit dieser Methode nicht möglich.
4.4.2 Identifikation mittels neuronalem Netzwerk
Eine weitere Möglichkeit der Identifikation von NL-Systemen sind neuronale Netze. Diese Net- ze sind künstliche Nachbildungen des Nervensystems, bestehend aus einer Vielzahl von Ner- venzellen, die in einer Netzstruktur verbunden sind.
PSfrag replacementsu(t) Nichtlineares y(t) dynamisches System e(t) Einzelnes Neuron: statischer u0 = +1 Eingang 1/z b1 1/z Gewichte Bias y (t) Ausgang 1/z nn u1 x1 w11 (x ) θ 1 y1 1/z Neuronales Netzwerk Nichtlineare Funktion Eingänge up w1p
Abb. 4.11: Identifikation mittels neuronalem Netzwerk
Die künstlichen Nervenzellen (Abb. 4.11), die sogenannten Neuronen, bestehen aus einem Summierer, der die gewichteten Eingänge zusammenfasst, und einer nichtlinearen statischen 54 PARAMETERIDENTIFIKATION
Funktion. Die Neuronen werden dabei meist in Schichten angeordnet, denen verschiedene Auf- gaben zugeordnet werden. Die Eingangsschicht nimmt Signale von der Außenwelt auf, oh- ne eine weitere Funktion zu haben. Die Neuronen in den Zwischenschichten, den versteckten Schichten, verarbeiten die Signale und die Ausgangsschicht gibt die Information des Netzes an die Außenwelt ab.
Eingangs− Ausgangs− signale signale
Eingangs− erste zweite Ausgangs− schicht versteckte versteckte schicht Schicht Schicht
Abb. 4.12: Mehrschicht-Perzeptron mit zwei versteckten Schichten
Ein wichtiger Spezialfall sind dabei vorwärtsgerichtete Verbindungsstrukturen, die soge- nannten Mehrschicht-Perzeptronen (Abb. 4.12). Jedes Neuron gibt dabei sein Signal nur an andere Neuronen weiter, die in einer der nachfolgenden Schichten liegen
(L) (L) (L 1) (L 1) (1) (1) (1) (L 1) (L) f nn (u) = θ W θ − W − . . . θ W u + b + b − + b , · · · (4.33)
wobei W die Gewichtsmatrix, b den Bias- und θ den Funktionsvektor der jeweiligen Schicht,
sowie u den Eingangsvektor, f nn den Ausgangsvektor und L die Anzahl der Schichten definiert. Einen wichtigen Beweis im Zusammenhang mit Mehrschicht-Perzeptronen wurde in [Cyb88, Cyb89], [WGH+92, Kapitel 3] erbracht: Die Eigenschaft als universelle Funktionsapproxi- matoren zu fungieren. Dabei wurde gezeigt, dass ein Mehrschicht-Perzeptron mit einer oder mehreren verstecken Schichten und mit beliebig gewählter Schwellwertfunktion15 jede Borel- messbare Funktion16 einer kompakten Grundmenge so genau wie notwendig abbilden kann. Gründe für das Nichterreichen der gewünschten Approximationsgenauigkeit können dabei sein [WGH+92]:
unzureichendes Anlernen des neuronalen Netzes, • 15 Die Schwellwert oder auch Aktivierungsfunktion θ : R [0, 1] ist eine monoton steigende Funktion mit den → Grenzwerten limx θ(x) = 0 und limx θ(x) = 1. →−∞ →∞ 16 Als Maß versteht man in der Maßtheorie eine Zuordnung von reellen oder komplexen Zahlen zu einem Teilmen- gensystem über einer Grundmenge, wobei die Zuordnung bestimmte Eigenschaften besitzen soll. Die Maßtheo- rie verallgemeinert damit die elementargeometrischen Begriffe wie Streckenlänge, Flächeninhalt oder Volumen und ordnet auch komplizierteren Mengen ein Maß zu. 4.4 NICHTLINEARE MODELLIDENTIFIKATION 55
zu geringe Anzahl von Neuronen in den versteckten Schichten, • das Bestehen einer stochastischen, anstatt einer deterministischen Beziehung zwischen • den Eingabe- und Zielwerten.
Aufgrund dieser wichtigen Eigenschaft ist es mit der in Abb. 4.11 gezeigten Struktur auch möglich, nichtlineare diskrete dynamische Systeme der Form
x[k + 1] = f(x[k], u[k]) (4.34)
zu approximieren. Es hat sich aber in der Praxis gezeigt, dass ein neuronales Netz mit zwei ver- steckten Schichten schneller trainiert werden kann und dazu mit weniger Neuronen auskommt. Ein weiterer Vorteil für ein Netzwerk mit zwei versteckten Schichten ist die Lösbarkeit rege- lungstechnischer Probleme mit diskontinuierlicher Feedback-Stabilisierung [Son93]. Der Backpropagation-Algorithmus [RHW86], [RMt86, Kapitel 8] stellt dabei eine einfache iterative Methode zum Anlernen des neuronalen Netzes dar, welcher auf dem Gradientenver- fahren beruht und leicht in parallele Hardware implementierbar ist:
N (m) (m) (m) (m) ν(m) (m 1) w w + ∆w , ∆w = η δ y − (4.35) ij ← ij ij ij − i j ν=1 X mit
(m) (m) ν (m) dθ (xi ) (yi yi ) (m) Ausgangsschicht m = L , − − dxi ν(m) εν δi = i dθ(m)(x(m)) ν(m+1) (m+1) i | {zδk } wki (m) versteckte Schichten 1 m < L . − dxi ≤ k P (4.36) Der Parameter N definiert dabei die Anzahl der Trainingsdaten zum Anlernen des neuronalen Netzwerks und η die Lernrate des Backpropagation-Algorithmus. Nachteilig für diesen Algo- rithmus ist dabei [Ng97]:
langsame Konvergenzgeschwindigkeit, • sensitiv zu den Initialisierungswerten, • konvergiert möglicherweise in lokalen Minima, • instabil, falls die Lernrate zu groß gewählt wurde. • Eine simple Möglichkeit zur signifikanten Erhöhung der Konvergenzgeschwindigkeit ist die Einführung eines Momenten-Terms [RHW86] in die Berechnung der Gewichtsänderung (4.35)
N (m) ν(m) (m 1) (m) ∆w η δ y − + α∆w (4.37) ij ← − i j ij ν=1 X 56 PARAMETERIDENTIFIKATION
mit Momenten-Konstante α [0, 1]. Der Gradient ist dabei proportional zur Änderungsge- ∈ schwindigkeit anstatt von der Position abzuhängen. Weitere Möglichkeiten zur Beseitigung der Nachteile ist der Einsatz adaptiver Algorithmen zur Änderung der Lernrate oder Methoden zweiter Ordnung, die aber eine Berechnung der Hesseschen Matrix und deren Inverse erfordern und damit sehr rechenaufwendig sind.
(a) Unterbestimmt (b) Korrekt (c) Überbestimmt
Abb. 4.13: Unter- und überbestimmte Approximation (Bildquelle: [LGT96])
Ein weiteres Problem des neuronalen Netzwerks ist die Bestimmung der günstigsten An- zahl von Neuronen im Netzwerk, die von verschiedensten Faktoren, z. B. der Komplexität des Problems oder des Rauschens abhängig sind. Sind im Netzwerk zu wenig Neuronen in den versteckten Schichten vorhanden, ergibt sich ein großer Fehler beim Trainieren des Netzwerks (Abb. 4.13a) aber auch ein großer allgemeiner Fehler. In diesem Fall ergibt sich somit ein hoher statistischer Bias. Für den anderen Fall eines zu großen Netzwerks ergibt sich zwar ein niedriger Fehler beim Anlernen des Netzwerks, aber ein großer allgemeiner Fehler (Abb. 4.13c). Dieser Fall mündet dabei in eine große Varianz, was in [GBD91] ausführlich diskutiert wurde. Ziel ist es durch eine optimale Größe [LGT96] oder optimales Anlernen des Netzwerks [Sar95] den Bias und die Varianz der Schätzung zu minimieren.
4.4.3 Numerisches Beispiel
Aufgrund der beschriebenen Vorteile blockorientierter Modelle sei das numerische Beispiel17 nur auf diese Art des Identifikationsmodells beschränkt. Als Identifikationsmodell wurde dabei ein elektrostatischer Mikrospiegel angenommen, da hier einerseits die Strecke in einem großen Ausschlagbereich stabil ist und diese nicht im geschlossenen Regelkreis betrieben werden muss. Andererseits ist der Winkel direkt optisch messbar und eine Betrachtung des elektrostatischen Systems, wie in Abb. 4.10 auf Seite 50 gezeigt, möglich.
17 4 Für die Simulation wurde ein PT2-System mit den Parametern kp = 7600 rad/Nm, Tp = 3.141 10− sec und
dp = 0.0368 verwendet. Der Spiegel hat die Abmessungen b = 6.0 mm, l = 9 mm und einen Grundspaltabstand
von d0 = 210 µm. Beide Elektroden liegen auf halber Betriebsspannung von ub = 1000 V und das diskrete
System arbeitet mit einer Abtastfrequenz von fs = 20 kHz. 4.4 NICHTLINEARE MODELLIDENTIFIKATION 57
Das Eingangssignal ist biasfreies gleichverteiltes weißes Rauschen in den Schranken von 140 V. Für die Monte-Carlo Simulation wurden jeweils Datenpakete mit N = 10 000 Punkten verwendet. Weiterhin wurden die Identifikationsparameter m = 2, n = 2 und d = 1 für das LTI-System und q = 3, r = 2 für die Taylorapproximation angenommen. Als Parameter in einer 95-prozentigen Vertrauensgrenze18 ergeben sich
T ˆ 1 1 b = 1 8.0102 10− 1.7063 10− (4.38a) T h 5 i 1 5 a˜ˆ = 1.9669 2.7963 10− 9.8464 10− 2.3771 10− (4.38b) − h i und die Schätzung der Nichtlinearität
? ? 1 7 8 7 7 vec− (αˆ ) = 8.5400 10− 6.0372 10− 1.1233 10− 1.9649 10− . . . − 12 11 − 8 9 4.7837 10− 2.5063 10− 1.7363 10− 2.9507 10− 4 3 1 7.1219 10− 2.4041 10− 1.4248 2.7369 10− − 4 5 3 3 1.5393 10− 4.0478 10− 1.0033 10− 3.8316 10− . (4.39) − 7 7 − 5 5 1.8859 10− 5.4503 10− 3.4506 10− 1.0714 10− − Aus Abb. 4.14a ist erkennbar, dass aufgrund der relativ niedrigen Ordnung der Approximati-
on der Fehler bei großen Werten stark ansteigt. Abb. 4.14b zeigt die Bodediagramme des PT2-
−5 Funktionsplot x 10 Bode−Diagramme 1.5
0 1
u = 500 V −50
el 0.5 −100
u = 0 V Amplitude in dB −−> 0
0 Simulationsmodell −0.5 Approximiertes Modell −100 u = −500 V
−1 −200 Approximation Elektrostatisches Moment M in Nm −−> Phase in deg −−> NL−Funktion −300 −1.5 4 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 10 Winkel phi in rad −−> Frequenz in rad/sec. −−>
(a) Nichtlinearität (b) Normalisiertes LTI-System
Abb. 4.14: Simulationsmodell im Vergleich mit dem geschätzten Modell
Systems im Vergleich mit dem geschätzten LTI-System. Erkennbar ist hier eine sehr gute Ap- proximation, was auch aus den Werten in (4.38) hervorgeht. Abb. 4.15 zeigt einen direkten Vergleich zwischen den Simulationsergebnissen der linea- ren und nichtlinearen Identifikation. Tatsächlich zeigt die NL-Identifikation (Abb. 4.15b) einen
(x−µ)2 18 1 plus/minus der doppelten Standardabweichung σ der Normalverteilung ϕ(x) = e − 2σ2 σ√2π 58 PARAMETERIDENTIFIKATION
Simulationsergebnisse für lineares Modell Simulationsergebnisse für NL−Modell 0.03 0.03 Simulationsmodell Simulationsmodell Approximiertes Modell Approximiertes Modell 0.02 0.02
0.01 0.01
0 0
Winkel phi in rad −−> −0.01 −0.01 Winkel phi in rad −−>
−0.02 −0.02 Fehler: 0.042447 Fehler: 0.00043946
−0.03 −0.03 0 2000 4000 6000 8000 10000 0 2000 4000 6000 8000 10000 Abtastzeitpunkte −−> Abtastzeitpunkte −−>
(a) linear (b) nichtlinear
Abb. 4.15: Simulationsergebnisse des linearen und NL-Modells
geringeren Fehler. Der Fehler vergrößert sich dabei aufgrund der niedrigen Taylorapproximati- onsordnung für große Winkel. Die lineare ARX-Identifikation (Abb. 4.15a) zeigt gute Approximationsergebnisse im mitt- leren Ausschlagbereich, da einerseits der quadratische Fehler für kleine Ausschläge gering und andererseits die Wahrscheinlichkeit für sehr große Winkel klein ist. Kapitel 5
Reglerentwurf
Alles, was die Natur selbst anordnet, ist zu irgendeiner Absicht gut. Die ganze Natur überhaupt ist eigentlich nichts anderes, als ein Zusammenhang von Erscheinungen nach Regeln; und es gibt überall keine Regellosigkeit. Immanuel Kant (1724 – 1804), deutscher Philosoph
5.1 Einführung
Aufgabe der Regelungstechnik ist die zielgerichtete Beeinflussung eines Prozesses, sodass die- ser in einer vorgegebenen Weise abläuft. Regelungsziel kann einerseits die Nachführung der Regelgröße auf einer Sollwerttrajektorie (Folgeregelung) oder die Kompensation von Störun- gen bei konstanter Führungsgröße (Störgrößenregelung) sein (Abb. 5.1).
Störgröße PSfrag replacements d(t) Führungs− Regel− Stell− größe abweichung größe Regelgröße Regeleinrichtung Regelstrecke w(t) e(t) u(t) y(t)
Abb. 5.1: Grundstruktur des Regelkreises
Gesucht ist eine Regeleinrichtung (Regler) K, die aus den vorgegebenen und den gemes- senen Werten eine solche Stellgröße ermittelt, dass das geregelte System G das Regelungsziel erfüllt [Lun96]. Grundsätzlich kann die Regeleinrichtung linearer oder nichtlinearer Art sein, die für das Sensorsystem in diesem Kapitel entwickelt und getestet werden. 60 REGLERENTWURF
5.2 Linearer Reglerentwurf
Die wohl einfachste Art des Reglerentwurfs ist die Entwicklung eines linearen und zeitunab- hängigen (LTI) Reglergesetzes. Dazu existieren eine Vielzahl von Entwurfsverfahren mathe- matisch einfachster [ZN42, Bod45, CHR52, Opp64, Rei96, etc.] und aufwändiger Art [Kal60, Ack72,CMT87,DGKF89,Ehr91, etc.], die aus dem Modell des LTI-Systems einen Regler syn- thetisieren. Ausgangspunkt der Betrachtung des linearen Reglerentwurfs ist das nichtlineare Zustands- raummodell
x˙ = f(x(t), u(t)) (5.1a) y(t) = g(x(t), u(t)) , (5.1b)
welches im Arbeitspunkt linearisiert wird. Der Grund der Linearisierung ist das im Allgemei- nen für regelungstechnische Aufgaben interessierende Verhalten eines Systems in der näheren Umgebung eines Arbeitspunktes. Die Linearisierung lautet damit
dδx ∂f ∂f = δx(t) + δu(t) = Aδx(t) + Bδu(t) (5.2a) dt ∂x x=x0 ∂u x=x0 u=u0 u=u0 ∂g. ∂g. δy(t) = δx(t) + δu(t) = Cδx(t) + Dδu(t) , (5.2b) ∂x x=x0 ∂u x=x0 u=u0 u=u0 welche die Bewegung. um den Arbeitspunkt. beschreibt. Bei MEMS wurde unter anderem die sehr einfache P-Regelung [vVSW94] und Sigma-Delta Modulation [LLB95, LB99, Han04] eingesetzt, deren dynamisches Verhalten zum Teil durch
Korrekturnetzwerke verbessert wurde. Ein phasenanhebendes PD-T1-Glied (Lead-Filter) wurde erfolgreich bei Mikrospiegel-Applikationen [WHJ+00] und elektrostatisch-mikromechanischen Aktoren [HWHP99] verwendet. Der Kalman-Beobachter wurde zur Bestimmung von Position und Geschwindigkeit bei Mikroaktoren [CHH96] eingesetzt. Die Regelung erfolgte dabei über einen integrierenden Regelalgorithmus mit Polzuweisung. Weitere Reglerkonzepte wie PI, PD, PID-Regler [KLH98,HWHP99] und prädiktive Regelungen [Keh00,BK05] fanden Anwendung bei MEMS-Aktoren und Beschleunigungssensoren. Bei einfachen Reglerverfahren ist die geringe Anzahl der veränderbaren Freiheitsgrade und die damit unzureichende Abstimmbarkeit des dynamischen Verhaltens problematisch. Außer bei der Polzuweisung und prädiktiven Regelung beruhen die Reglereinstellungen auf prakti- schen Tests, die Expertenwissen voraussetzen und damit eine Einstellung von Sensoren mit verschiedenen Parametern unmöglich machen. Deshalb soll ein Optimalreglerentwurf einge- setzt werden, der eine einfache Einstellung ermöglicht und zudem ausreichende Robustheit aufweist.
5.2.1 Einschränkung der Bandbreite
Eine Einschränkung in der Dimensionierung der gewünschten Bandbreite des geschlossenen Systems ist zu erwarten, da das elektrostatisch angeregte System instabil ist und das digitale 5.2 LINEARER REGLERENTWURF 61
System aufgrund der Rechen- und Wandlungszeiten Totzeitglieder1 enthält, die die Phasenlage verändern. Die frühe Arbeit von Bode [Bod45] gab einen ersten Einblick in die grundsätzlichen Ein- schränkung in der Dimensionierung des geschlossenen Systems. Die dazu vorgeschlagene Ideal Loop Transfer Function der offenen Kette mit einen Abfall von 20 dB/Dekade über den ge- − samten Frequenzbereich und einer gewünschten Bandbreite von ωc ω abs L(jω) = abs G(jω)K(jω) = c (5.3) { } ω soll näher untersucht und daraus Beschränkungen abgeleitet werden.
Bode−Diagramm 60 40 20 0 1 GM −20
Amplitude in dB −−> −40 −140 −160 −180 P M −200 −220 PSfrag replacements −240 −260 Phase in deg −−> −280 ωc ω180 Frequenz in rad/sec. −−>
Abb. 5.2: Phasen- und Amplitudenrand der offenen Kette mit instabiler Pol- und Nullstelle
+ + Da instabile Pole pj und Nullstellen zi nicht gekürzt werden dürfen, ergibt sich die re- sultierende Übertragungsfunktion der offenen Kette bei Vorhandensein instabiler Wurzeln zu
+ + ( 1)m+ ω m s z+ n s + p+ L(s) = − c − i j , z+, p+ C Re[z+], Re[p+] R , (5.4) s s + z+ s p+ i j ∈ ∧ i j ∈ + i=1 i j=1 j Y Y − wobei m+ und n+ die Anzahl der instabilen Nullstellen bzw. der instabilen Polstellen dar- stellt. Pole und Nullstellen treten für den komplexen Fall in konjugiert komplexen Paaren auf. Aufgrund des Nyquistkriteriums umschließt die Ortskurve der offenen Kette L(jω) für ω = . . . eines stabilen geschlossenen Regelkreises den Punkt 1 in der komplexen −∞ ∞ − Ebene n+-mal im Uhrzeigersinn (n+-mal entgegen dem Uhrzeigersinn). − 1 θ s 1 Durch die Padé-Approximation erster Ordnung kann das Totzeitglied θs − 2 in ein Allpassglied umge- e− 1+ θ s ≈ 2 wandelt werden, das eine instabile Nullstelle enthält. 62 REGLERENTWURF
Wird nur ein reeller instabiler Pol und eine reelle instabile Nullstelle betrachtet, ergeben sich vereinfachte Phasen- und Amplitudenbeziehungen ω abs L(jω) = c (5.5a) ω n arg L(jω) = arctan (5.5b) − d mit
n = ω4 + z+p+ 2 ω2 p+2 4z+p+ + z+2 − − d = 2ω z + p+ ω2 +z+p+ . − Die beiden Phasenschnittfrequenzen ergeben sich für diesen Fall zu
1 ω = z+ p+ p+2 6z+p+ + z+2 . (5.6) 1801/2 2 − − q Wird ein minimaler Amplitudenrand von GM = 2 angestrebt, so muss der Abstand des instabi- len Pols von der Nullstelle mindestens ein Verhältnis von 5 + √41 z+ p+ 8p+ (5.7) ≥ 5 + √41 ≈ − aufweisen. Der hierbei berechnete Phasenrand von PM = 12.68◦ ist zu klein, typischerweise
werden Phasenränder größer als 30◦ gefordert. Für den Fall der Vorgabe des Phasenrandes von
PM = 30◦ ergibt sich ein Amplitudenrand von GM = 3.15 und ein Verhältnis von
z+ 7 + 4√3 p+ 14p+ . (5.8) ≥ ≈ Damit müssen für den Fall der idealen offenen Kette der instabile Pol und die instabile Nullstelle mindestens 1.1 Dekaden auseinanderliegen, um eine akzeptable Robustheit zu erzielen. Dennoch ist es möglich, auch mit geringeren Abständen eine ausreichende Robustheit zu + erzielen. In [SP96] wird gezeigt, dass ein Verhältnis von mindestens 2 zwischen ωc und p und + zwischen z und ωc ausreicht, eine genügende Systemrobustheit zu erhalten. In [Åst00] wur- de eine Schnittfrequenz empfohlen, die sich aus dem geometrischen Mittelwert von instabiler Null- und Polstelle berechnet. Geht man davon aus, dass die Totzeit aufgrund der hohen Ab- tastzeit sehr gering ist, dann sollte für den Entwurf ein Verhältnis von mindestens 2 zwischen + der Schnittfrequenz ωc und dem instabilen Pol p ausreichen, eine genügend hohe Robustheit zu erzielen.
5.2.2 Robust Control
Im Abschnitt 5.2.1 wurde die gewünschte Dynamik unter Vorgabe der Übertragungsfunktion der offenen Kette eingestellt. Die erzielte Dynamik des geschlossenen Systems liegt dabei im Bereich [SP96]
ωBS < ωc < ωBT (5.9) PSfrag replacements 5.2 LINEARER REGLERENTWURF 63
di d
w e u ug y K(s) G(s)
n
Abb. 5.3: Standardregelkreis
der 3 dB-Knickfrequenzen von S(jω) und T (jω) für Systeme mit einem Phasenrand von − PM < 90◦. Analog kann die gewünschte Dynamik durch eine obere Grenze an den interessierenden Übertragungsfunktionen des geschlossenen Systems (Abb. 5.3)
y(s) T(s) S(s)G(s) S(s) T(s) w(s) − u (s) K(s)S(s) S (s) K(s)S(s) K(s)S(s) d (s) g = i − − i (5.10) u(s) K(s)S(s) Ti(s) K(s)S(s) K(s)S(s) d(s) − − − w(s) y(s) S(s) S(s)G(s) S(s) T(s) n(s) − − − mit
Li(s) = K(s)G(s) (Streckeneingangsübertragungsfkt. der offenen Kette) (5.11a) L(s) = G(s)K(s) (Streckenausgangsübertragungsfkt. der offenen Kette) (5.11b) 1 Si(s) = (I + Li(s))− (Eingangsempfindlichkeitsfunktion) (5.11c) 1 S(s) = (I + L(s))− (Ausgangsempfindlichkeitsfunktion) (5.11d) T (s) = I S (s) (komplementäre Eingangsempfindlichkeitsfunktion) (5.11e) i − i T(s) = I S(s) (komplementäre Ausgangsempfindlichkeitsfunktion) (5.11f) − vorgegeben und unter Einbezug aller stabilisierenden Regler K(s) optimiert werden. Für ein optimales Führungsverhalten y(t) =! w(t) müsste demnach die Führungsübertragungsfunktion T identisch Eins und die Störübertragungsfunktionen der einzelnen Störungen identisch Null sein. Anhand der Identität (5.11e) oder (5.11f) wird klar, dass diese Forderung nur innerhalb verschiedener Frequenzbereiche realisierbar ist und die Schwierigkeit in der Formulierung ge- eigneter Gütekriterien darstellt. Um Ein- und Ausgangsstörungen, die typischerweise bei nied- rigen Frequenzen auftreten, zu kompensieren, sollte die Empfindlichkeitsfunktion in diesem Frequenzbereich
σ S(jω) 1 σ K(jω) 1 , 0 ω ωlow (5.12) { } ⇐⇒ { } ≤ ≤ 64 REGLERENTWURF
gering sein. Im Gegensatz dazu erfordert Messrauschen, das bei hohen Frequenzen auftritt, eine niedrige komplementäre Empfindlichkeitsfunktion im oberen Frequenzbereich
σ T(jω) 1 σ K(jω) 1 , ωhigh ω , (5.13) { } ⇐⇒ { } ≤ ≤ ∞ was außerdem die Robustheit gegenüber multiplikativen unmodellierten Dynamiken2 erhöht. PSfrag replacements PSfrag replacements
εS 1 εT 1 We MS | | Wy MMS T | | M S(jω) T | | ωBS T (jω) 1 | | ωBT ωBT ω ω 1 BS 1 ω We 1 | |
Wy | | εS εT S(jω) | | T (jω) | |
(a) Gewichtung We an S(jω) (b) Gewichtung Wy an T (jω)
Abb. 5.4: Dynamikvorgabe durch frequenzabhängige Gewichtung
Abb. 5.4 zeigt eine mögliche Gewichtung der Empfindlichkeitsfunktion und der komple- mentären Empfindlichkeitsfunktion
s k ωBT k k + ωBS s + k W (s) = √MS ; W (s) = √MT (5.14) e k y k s + ωBS √εS ! s√εT + ωBT !
für die im letzten Absatz formulierten Gütekriterien, in dessen Grenzen sich beide Übertra- gungsfunktionen bewegen dürfen. Der Parameter k definiert den k 20 dB/Dec-Anstieg bzw. Abfall innerhalb der obereren · und unteren Grenze. Um die Forderung der vollständigen Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit instabiler Pole durch die Regelung zu erfüllen, dürfen die Wichtungsmatrizen keinen Pol auf der imaginären Achse aufweisen, was durch den Parameter ε verhindert wird. Abb. 5.5 zeigt die Zusammenhänge zwischen den Betragsmaxima, Überschwingweite, Pha-
senrand und Dämpfung eines PT2-Gliedes mit der Übertragungsfunktion der offenen Kette
1 L(s) = . (5.15) sT (2d + sT )
Eine vereinfachte Beziehung zwischen Phasen- und Amplitudenrand und den Betragsmaxima
2 G(jω) G0(jω) Multiplikative Modellunsicherheiten ∆m(jω) maxG − , ω aus der Menge aller mög- | | ≥ ∈G G0(jω) ∀ lichen Regelstrecken repräsentieren die unmodellierten Dynamik en eines Systems in der Form G(s) = G G0(s)[1 + ∆m(s)]. 5.2 LINEARER REGLERENTWURF 65
Betragsmaximum M und Dämpfung Betragsmaximum M und Dämpfung T S 5.5 5.5 1 1 + 4d2(1 2d2) + √1 + 8d2 5 5 MS = − 2s 2d2(1 d2) − PSfrag replacements 4.5 PSfrag replacements 4.5 2d 4 1 2d 4 −−>
MT = −−> T PM = arctan PM = arctan 2 S 3.5 2d√1 d 3.5 √4d2 + 1 2d2 − √4d2 + 1 2d2 − 3 1− 3 MT = p p 2 2.5 2d√1 d 2.5 Amplitude M − Amplitude M 2 2 2 1 1 + 4d (1 2d ) + √1 + 8d 2 2 MS = −2 2 2s 2d (1 d ) 1.5 1.5 − πd 1 πd 1 ∆h = exp 0 0.2 0.4 ∆0.6h = exp0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −√1 d2 Dämpfung d −−> −√1 d2 Dämpfung d −−> − −
(a) Betragsmaximum von T (jω) und Dämpfung (b) Betragsmaximum von S(jω) und Dämpfung
Überschwingweite und Dämpfung Phasenrand und Dämpfung 1 80
0.9 70 0.8 PSfrag replacements PSfrag replacements 60 0.7 πd 2d ∆h = exp 50 0.6 2 PM = arctan h −−> −√1 d √ 2 2 ∆ 4d + 1 2d 0.5 − 40 1− 1 MT = 0.4 MT = p 2 2 30 2d
2d√1 d 2d√1 d Phasenrand PM −−> Amplitude 0.3 PM = arctan − − 2 2 2 2 √ 2 2 2 √ 2 20 √4d + 1 2d 1 1 + 4d (1 2d ) + 1 + 8d 0.2 1 1 + 4d (1 2d ) + 1 + 8d − MS = − MS = − 2 2 2 2 10 p 2s 2d (1 d ) 0.1 2s 2d (1 d ) − − 0 πd 0 0 0.2 0.4 ∆0.6h = exp0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Dämpfung d −−> −√1 d2 Dämpfung d −−> − (c) Überschwingweite und Dämpfung (d) Phasenrand und Dämpfung
Abb. 5.5: Zusammenhang zwischen Maxima und Dämpfung für PT2-System
stellt [SP96]
M 1 GM S ; PM 2 arcsin (5.16a) ≥ MS 1 ≥ 2MS −1 1 GM 1 + ; PM 2 arcsin (5.16b) ≥ MT ≥ 2MT
her. Durch ein Betragsmaximum von MS < 2 werden die für eine ausreichende Robustheit
üblichen Werte von GM > 2 und PM > 30◦ erreicht. Die Betragsforderung im Zusammenhang mit den Wichtungsfaktoren lautet damit
S(s) W (s) und T (s) W (s) , s = jω , ω (5.17) | | ≤ | e | | | ≤ | y | ∀ 66 REGLERENTWURF
oder in „gestapelter“ Schreibweise
W (s)S(s) N(s) = sup σ N(jω) < 1 , N(s) = e , (5.18) k k∞ ω { } "Wy(s)T (s)# um das geforderte Gütekriterium zu erfüllen. Diese Art des Gütefunktionals wird auch Mixed- Sensitivity genannt, da unter Vorgabe von Empfindlichkeitsfunktion und weiteren Übertragungs- funktionen des geschlossenen Kreises die -Norm3 ∞ inf N(K) (5.19) K k k∞ über alle stabilisierenden Regler K(s) minimiert wird. Eine Minimierung der Infinity-Norm allein über die Empfindlichkeitsfunktionen ist aufgrund der Identität (5.11f) wenig sinnvoll. Außerdem würden bei minimalphasigen4 Systemen Regler mit unendlicher Verstärkung entste- hen. Im Allgemeinen wird daher eine Gewichtung am Stellsignal u(t) in das Standardproblem mit einbezogen.
Allgemeine Beschreibung
Das im letzten Abschnitt definierte Entwurfsproblem kann auf die allgemeine Form in Abb. 5.6 gebracht werden. Der Block P(s) enthält hierbei das Modell der Strecke und alle Wichtungs- funktionen.
(gewichtete) w z (gewichtete) exogene Eingänge exogene Ausgänge PSfrag replacements P(s)
u v Stellsignale Messsignale
K(s) N(s)
Abb. 5.6: Allgemeine Blockbeschreibung eines Regelungssystems
Dabei definieren die Eingangssignale der Übertragungsfunktion N(s) des geschlossenen Kreises die auftretenden Störungen, Sollwerte und Führungssignale und die Ausgangssignale die zu minimierenden Fehlergrößen wie Stellsignale oder Regelfehler. Prinzipiell kann dabei jedes beliebige Entwurfsproblem auf diese Form der Beschreibung gebracht werden.
3 Eine Zusammenfassung des Begriffs „Normen“ ist im Anhang Abschnitt B.3 und die Lösung des Minimierungs- problems im Abschnitt B.4 zu finden. 4 Z(s) Eine Übertragungsfunktion G(s) = N(s) ist minimalphasig, falls Z(s) Hurwitz ist. Das Polynom A(x) = n n 1 anx + an 1x − + + a1x + a0 ist Hurwitz, falls alle Wurzeln von A(x) = 0 in der negativen Halbebene − · · · der komplexen Zahlenebene liegen. 5.2 LINEARER REGLERENTWURF 67
Gesucht ist dabei ein Regler K(s), der die Wirkung der Eingangssignale w(t) auf die Fehler- größen z(t) bezüglich einer bestimmten Norm minimiert. Durch Partionierung der Streckenmatrix P(s) mit den Signalen w, z, u und v ergibt sich die allgemeine Streckenkonfiguration
z(s) P (s) P (s) w(s) = 11 12 . (5.20) "v(s)# "P21(s) P22(s)# "u(s)#
P(s) Analog kann dazu| die Zustandsraumdarstellung{z } (Abb. 5.7) der Strecke
D11
D12 w B1 PSfrag replacements u z B2 C1
R v AP C2
D21
D22 P(s)
K(s)
Abb. 5.7: Allgemeine Blockbeschreibung in State-Space Form
x A x B w B u ˙ = P + 1 + 2 AP B1 B2 z = C x + D w + D u C D D (5.21) 1 11 12 ⇐⇒ 1 11 12 C D D v = C2x + D21w + D22u 2 21 22 aus den Partitionen
P11(s) = [AP , B1, C1, D11] ; P12(s) = [AP , B2, C1, D12] (5.22a)
P21(s) = [AP , B1, C2, D21] ; P22(s) = [AP , B2, C2, D22] (5.22b)
definiert werden. Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Systems lautet somit
1 N(s) = F P(s), K(s) = P (s) + P (s)K(s)[I P (s)K(s)]− P (s) , (5.23) l{ } 11 12 − 22 21 68 REGLERENTWURF
welche eine untere lineare Fraktionaltransformation (LFT) von P(s) mit Parameter K(s) dar- stellt.
Für das Problem in (5.18) ergibt sich unter Einbezug der dritten Gewichtung Wu(s) am Stellsignal u das S/KS/T-Standardproblem
T N(s) = We(s)S(s) Wu(s)K(s)S(s) Wy(s)T(s) (5.24) h i mit der Zustandsraumdarstellung der Strecke
A 0 0 0 0 B
BeC Ae 0 0 Be BeD AP = − ; BP = − (5.25a) 0 0 Au 0 0 Bu B C 0 0 A 0 B D y y y D C C 0 0 D D D − e e e − e 0 0 Cu 0 0 Du C = ; D = (5.25b) P D C 0 0 C P 0 D D y y y C 0 0 0 I D − − und den Wichtungsfunktionen
Ae Be Au Bu Ay By We(s) = ; Wu(s) = ; Wy(s) = . (5.26) "Ce De# "Cu Du# "Cy Dy#
Die Gewichtung Wu sollte den Stellaufwand im niedrigen Frequenzbereich begrenzen, um den
Arbeitsbereich des Stellantriebes nicht zu verlassen. Im hohen Frequenzbereich begrenzt Wu nicht nur die maximale Dynamik des Antriebes, sondern definiert auch die Form von σ K 5 { } (limω S(jω) = I) und ist ein Maß additiver unmodellierter Dynamiken . Um Messrauschen →∞ zu unterdrücken, sollte der Regler K Tiefpassverhalten haben (vgl. (5.13)). Der bevorzugte Ein- satz des S/KS/T-Standardproblems liegt bei einer Führungsregelung, da nur das Führungssignal als Eingang berücksichtigt wird. Problematisch bei dieser Gewichtung ist das Wiederauftreten der Streckenpole des offenen Kreises als Pole des geschlossenen Kreises. Instabile Pole werden dabei in die linke komplexe Halbebene (LHP) gespiegelt [Kwa93]. Bemerkbar macht sich diese ungünstige Konfiguration besonders bei Störgrößen am Eingang der Strecke G, die aufgrund der Kompensation nicht ausgeregelt werden können. Das Problem wird vermieden, falls die Wichtungsfunktionen die gespiegelten Streckenpole und die Zähler die gewünschten Pole als Nullstellen mit enthalten. Anhand der geforderten Polstellen lässt sich somit eine Polvorgabe erzielen, die als Partial Pole-Placement [Kwa93] bezeichnet wird.
5 Additive Modellunsicherheiten ∆a(jω) maxG G(jω) G0(jω) , ω aus der Menge aller möglichen | | ≥ ∈G | − | ∀ Regelstrecken repräsentieren die unmodellierten Dynamiken eines Systems in der Form G(s) = G (s) + G 0 ∆a(s). PSfrag replacements
5.2 LINEARER REGLERENTWURF 69
ze ww We(s) Ww(s) w zu z Wu(s)
wd zy Wd(s) Wy(s) u y e v G(s) P(s)
K(s)
Abb. 5.8: Blockdiagramm des S/KS/GS/T-Standardproblems
Eine andere Möglichkeit zur Vermeidung des Problems ist der Einbezug einer Störung am Eingang der Strecke (Abb. 5.8). Das neue Standardproblem ergibt die N-Matrix
W (s)S(s)W (s) W (s)S(s)G(s)W (s) e w − e d N(s) = W (s)K(s)S(s)W (s) W (s)T (s)W (s) (5.27) u w − u i d W (s)T(s)W (s) W (s)S(s)G(s)W (s) y w y d und die für den Entwurf nötige Zustandsraumdarstellung der P-Matrix
A 0 0 0 0 BCd B C A 0 0 B C B DC − e e e w − e d 0 0 Au 0 0 0 A = (5.28a) P B C 0 0 A 0 B DC y y y d 0 0 0 0 Aw 0 0 0 0 0 0 A d T 0 BeDw 0 0 Bw 0 B = BD B DD 0 B DD 0 B (5.28b) P d − e d y d d B B D B B D 0 0 − e u y D C C 0 0 D C D DC − e e e w − e d 0 0 Cu 0 0 0 C = (5.28c) P D C 0 0 C 0 D DC y y y d C 0 0 0 Cw DCd − − D D D DD D D e w − e d − e 0 0 Du D = (5.28d) P 0 D DD D D y d y Dw DDd D − − 70 REGLERENTWURF
mit den Wichtungsfunktionen der Eingänge
Aw Bw Ad Bd Ww(s) = ; Wd(s) = . (5.29) "Cw Dw# "Cd Dd# Das neue Standardproblem beinhaltet die Gewichtung an der Übertragungsfunktion SG, wel- che ausschlaggebend für die Eingangsstörsignalunterdrückung ist und damit die Dynamik der Ausregelung der anliegenden Beschleunigung angibt.
5.2.3 Stabilitätsbetrachtung
Ist die Strecke mit Hilfe eines LTI-Reglers beobachtbar und stabilisierbar, so ist die Stabilität für das im Nullpunkt linearisierten Systems garantiert. Je größer dabei der Phasenrand und Amplitudenrand des Systems mit skalarem Ein- und Ausgang (SISO) sind, desto größer ist auch die Robustheit des Regelkreises gegenüber Modellunsicherheiten. Leider kann die Stabilität des auslenkungs- und stellsignalabhängigen NL-Systems nicht oh- ne weiteres geprüft werden. Über auslenkungsabhängige Linearisierung und Berechnung von Phasen- und Amplitudenrand wurde in [LF04] die Stabilität eines Mikroaktors betrachtet. Eine ähnliche Betrachtungsweise erfolgte in [BAF+03], wobei hier die Wurzelortskurve bei maxi- maler6 und minimaler Auslenkungen zur Stabilitätsprüfung eines Mikrospiegels herangezogen wurde. Zur Prüfung der Systemstabilität des Beschleunigungssensors wird ein anderer Weg be- schritten: Die indirekte und direkte Methode nach Ljapunow. Da die indirekte Methode nur die Stabilität der Gleichgewichtslage untersucht, soll mit der direkten Methode nach einer energie- ähnlichen Funktion gesucht werden, die die lokale Stabilität innerhalb eines größeren Bereiches garantiert. Da reale Systeme aufgrund der theoretisch infiniten Kapazitätsdifferenz nicht den gesamten Auslenkungsbereich beobachten können, werden im Weiteren die Auswirkungen einer Begren- zung des Messsignals anhand eines Beispiels untersucht.
Stabilität des NL-Systems
Einen sehr allgemeinen Ansatz zur Betrachtung der Stabilität von NL-Systemen formulierte der russische Mathematiker Alexander M. Ljapunow im 19. Jahrhundert. Über eine direkte und indi-
rekte Methode betrachtete dieser die Stabilität im Gleichgewichtspunkt x∗ = 0 des autonomen Systems7
x˙ = f(x) , (5.30)
welcher die mathematische Beziehung
0 = f(x∗) (5.31)
6 Die maximale Auslenkung des Spiegels war dabei geringer als der Pull-In Punkt des Spiegels. 7 n n Für die Lösung der Abbildung f : R R wird lokale Existenz und Eindeutigkeit in R R gefordert, das B → B ⊂ anhand der Lipschitz-Bedingung und des Existenzsatzes von Cauchy geprüft werden kann. 5.2 LINEARER REGLERENTWURF 71
erfüllt. Stabilität garantiert eine nach oben beschränkte Systemtrajektorie in einer Hyperkugel mit Ursprung 0 für jede Zeit t 0, d. h. für jedes ε > 0 existiert ein δ = δ(ε) > 0 mit [Kha02]: ≥
x(0) < δ = x(t) < ε , t 0 . (5.32) k k ⇒ k k ∀ ≥ Wandert die Trajektorie zudem für die Zeit t in den Gleichgewichtspunkt x 0, so ist → ∞ → dieser Punkt asymptotisch stabil.
Direkte Methode: Die Stabilitätsbetrachtung mittels der direkten Methode stellt eine sehr lei- stungsstarke Methode dar. Der fundamentale Hintergrund basiert auf einer Verallgemeinerung des Begriffs Energie, der aber nicht an physikalische Zusammenhänge gebunden sein muss. Mit Hilfe einer skalaren Energiefunktion ist es damit möglich, auf die Stabilität eines Systems zu schließen [SL91]:
Eine Energie von Null entspricht dem Gleichgewichtspunkt x = x˙ = 0 (Das System • enthält werder potentielle noch kinetische Energie),
Bei asymptotischer Stabilität konvergiert die mechanische Energie gegen Null, • Instabilität liegt bei einem Ansteigen der mechanischen Energie vor. • Die Energiefunktion V (x) erfüllt hierbei verschiedene mathematische Voraussetzungen, auf die nicht weiter eingegangen werden soll. Ist jedoch die kontinuierlich differenzierbare Funktion V : R innerhalb eines geschlossenen Gebietes Rn mit dem Gleichgewichtspunkt BR → BR ⊂ 0 positiv definit8 und die Zeitableitung V˙ x(t) entlang der Systemtrajektorie (5.30) negativ { } semi-definit ist, so ist dieser Gleichgewichtspunkt lokal stabil. Falls diese beiden Bedingungen erfüllt sind, wird von einer Ljapunow-Funktion gesprochen (Abb. 5.9). Problematisch ist die Suche nach einer geeigneten Ljapunow-Funktion, die diese Bedin- gungen erfüllt und somit auf die Stabilität geschlossen werden kann. Meist werden hier intuitiv physikalische Zusammenhänge genutzt. Weitere Möglichkeiten bilden besondere Konstruktio- nen der Energiefunktion (z. B. Methode von Krasovskii [SL91]) oder Rückrechnung unter Vor- gabe der Gradientenfunktion (Variable Gradienten-Methode [Kha02]).
Indirekte Methode: Die Stabilität in der Umgebung des Ursprungs kann über die indirekte Methode der Linearisierung geprüft werden
∂f(x) A = , (5.33) ∂x x=0 . 8 Eine kontinuierliche differenzierbare Funktion V : Rn R wird als positiv definit in einem Gebiet Rn → U ⊂ mit 0 bezeichnet, falls die Bedingungen V (0) = 0 und V (x) > 0 für x x = 0 erfüllt sind. Erfüllt ∈ U ∈ U ∧ 6 die Funktion nur die etwas schwächere Bedingung V (x) 0, so wird diese als positiv semi-definit bezeichnet. ≥ 72 REGLERENTWURF
V (x1, x2)
PSfrag replacements
V x(t) { } V = V2
V1 < V2
V = V1
x2
R x (t) B x(t) = 1 "x2(t)#
x1
Abb. 5.9: Ljapunow-Funktion
wobei alle Eigenwerte von A bei asymptotischer Stabilität einen negativen Realteil haben müs- sen. Dies folgt aus der Betrachtung von V (x) = xTPx als Ljapunow-Funktion und deren Ableitung [Kha02]
V˙ (x) = xTPf(x) + f T(x)Px , f(x) = Ax + g(x) = xTP [Ax + g(x)] + xTAT + gT(x) Px T T T T T = x PA + A P x + 2x Pg(x) = x Qx + 2x Pg(x) − T 2 < x Qx + 2γ P 2 x 2 − k k k k 2 < λmin (Q) 2γ P x − { − k k2} k k2 mit
T 2 x Qx λmin (Q) x , und g(x) < γ x , ≥ k k2 k k2 k k2 wobei g(x) die Terme höherer Ordnung und Q eine symmetrisch positiv definite Matrix9 de-
finieren. Ein ausreichend kleines γ < λmin (Q)/2 P garantiert die asymptotische Stabilität k k2 des Nullpunktes.
Stabilitätsanalyse des Beschleunigungssensors: Für die Stabilitätsanalyse soll anhand des
einfachsten Falls eines PT1-Systems als mechanisches Modell und eines PI-Reglers
kp b1s + b0 Gmech (s) = ; K(s) = (5.35) T1s + 1 s erfolgen. Der PI-Regler ist dabei der einfachste Regler am mechanischen System, der zur be- handelten idealen Übertragungsfunktion des offenen Kreises (5.3) führt. Für das nichtlineare
9 Eine symmetrische Matrix A = AT ist genau dann positiv definit, falls alle Eigenwerte λ(A) positiv sind und damit xTAx > 0 x = 0 gilt. ∀ 6 5.2 LINEARER REGLERENTWURF 73
System (5.30) ergibt sich
˙ 1 ϕ [ ϕ + kpMel (ϕ, u)] T1 − = d∆C(ϕ) dϕ . (5.36) "u# "kpwm ka b0∆C(ϕ) + b1 dϕ dt # Die Jacobi-Matrix ergibth sich damit zu i
∂f ∂f1 ∂f1 = ∂x1 ∂x2 (5.37a) ∂x ∂f2 ∂f2 " ∂x1 ∂x2 # 1 + kp ∂Mel kp ∂Mel T1 T1 ∂ϕ T1 ∂u = − 2 . (5.37b) d∆C ∂f1 d ∆C dϕ b1kpkpwm ka d∆C ∂Mel kpwm k b + b + b 2 " a dϕ 0 1 ∂x1 1 dϕ dt T1 dϕ ∂u # Das linearisierte Modelln im Ursprungh lauteti damit o 1 ( 1 + k k ) kpku T1 p ϕ T1 A − (5.38) = ∂f1 b1kpwm kakckpku , kpwm kakc b0 + b1 ∂x1 x=0 T1 wobei hier ausgenutzt wurde, dass der Punkt ϕ = 0 ein Wendepunkt darstellt. Die zweite Ableitung von ∆C(ϕ) wird damit an diesem Punkt zu Null. Durch Vorgabe der Übertragungsfunktion des offenen Kreises (5.4) ergeben sich die Reg- lerparameter
ωc ωcT1 b0 = ( 1 + kpkϕ) , b1 = . (5.39) −kpkpwm kakcku − −kpkpwm kakcku Eingesetzt in (5.38) reduziert sich die Jacobi-Matrix im Punkt 0 zu
1 kpku ( 1 + kpkϕ) A = T1 − T1 . (5.40) 2ωc ( 1 + kpkϕ) ωc "− kpku − − # Liegen die Eigenwerte des linearisierten Systems
2 1 1 ( 1 + kpkϕ) ωc ( 1 + kpkϕ) ωc T1 ω T1 − − c λ1/2 = − − v ( 1 + kpkϕ) (5.41) 2 u 4 − T − u 1 in der linken komplexen Halbebene undtdamit
1 el ωc > ( 1 + kpkϕ) = p1 (ub) (5.42) T1 − ist asymptotische Stabilität in der näheren Umgebung des Gleichgewichtspunktes x = 0 garan- tiert.
5.2.4 Praktisches Beispiel
Aus der Systemidentifikation wurde das mechanische Modell 0.2249 G = ; k = 0.45 (5.43) mech s + 52.63 corr eines Sensors bestimmt, wobei der translatorische Ansatz aufgrund einer einfachereren Berech- nung genutzt wurde. 74 REGLERENTWURF
Reglerentwurf
Abb. 5.10 zeigt das Ergebnis der H -Minimierung, bei dem die S/KS-Gewichtung ∞
Regelstreckenausgang Regelstreckenausgang (Zoom) 0.1 Gemessen 0.02 0.05 Simuliertes LTI−System 0 Simuliertes NL−System 0 −0.02 −0.04
Ausgang −−> −0.05 Ausgang −−> −0.06 −0.1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 Regelstreckeneingang Regelstreckeneingang (Zoom) 0.2 0.1 0.1
0 0.05
Eingang −−> −0.1 Eingang −−> 0 −0.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 Zeit in sec. −−> Zeit in sec. −−>
(a) Systemantwort bei ub = 10 V
Regelstreckenausgang Regelstreckenausgang (Zoom) 0.1 Gemessen 0.02 0.05 Simuliertes LTI−System 0 Simuliertes NL−System 0 −0.02 −0.04
Ausgang −−> −0.05 Ausgang −−> −0.06 −0.08 −0.1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.14 0.145 0.15 0.155 0.16 0.165
Regelstreckeneingang −3 Regelstreckeneingang (Zoom) x 10 0.05
20
0 10
Eingang −−> Eingang −−> 0
−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.14 0.145 0.15 0.155 0.16 0.165 Zeit in sec. −−> Zeit in sec. −−>
(b) Systemantwort bei ub = 20 V
Abb. 5.10: Gemessene und simulierte Antworten des geschlossenen Systems
1 1 1 sMS− + ωB Wu− (s) = , We(s) = mit MS = 2 , ωB = 2π200 Hz , 0 2 s + ωB → (5.44)
für den Reglerentwurf eingesetzt wurde. Die Bandbreite des geschlossenen Systems ist durch
ωB definiert, wobei eine ausreichende Robustheit von GM > 2 und P M > 30◦ durch MS vor- gegeben ist. Die Wichtung am Stellsignal u begrenzt das Stellsignal auf das maximal mögliche Tastverhältnis von d = [0, 1] bei angenommener Führungssignalamplitude von w = 1. | | 5.2 LINEARER REGLERENTWURF 75
Die gemessenen Resultate zeigen eine sehr gute Übereinstimmung mit den simulierten Er- gebnissen. Logischerweise zeigt das lineare Simulationsmodell eine geringere Abweichung, da dieses für das angelegte Störsignal10 identifiziert wurde. Ein etwas größerer Fehler in der Dy- namik und im statischen Verhalten ergibt sich bei Verwendung eines NL-Modells, obwohl die Amplitude der Störung sehr gering ist. Bei der Störsignalunterdrückung (Abb. 5.10a) bei niedriger Sensorbetriebsspannung wird das Problem des Wiederauftretens der Polstellen des offenen Kreises sichtbar. Außerdem ver- stärkt dieses langsame Einschwingen das nichtlineare Verhalten der Strecke.
Gewichtung an S(jw) Gewichtung an T(jw) 200 170 S(jw) (W *W )−1 160 150 e w 10 100 0 50 −10 0 −20 −50 −30
Singulärwerte in dB −−> Singulärwerte in dB −−> T(jw) −100 (W *W )−1 −40 u d (W *W )−1 y w −150 −50
−200 −60 −5 0 5 2 3 4 5 10 10 10 10 10 10 10 Frequenz in rad/sec. −−> Frequenz in rad/sec. −−>
(a) Gewichtung an S(jω) (b) Gewichtung an T (jω)
Gewichtung an G(jw)*S(jw) Gewichtung an K(jw)*S(jw) 20 160
0 140
−20 120 100 −40 K(jw)*S(jw) 80 (W *W )−1 −60 u w 60 −80 G(jw)*S(jw) 40 −1 −100 (W *W ) y d −1 20 Singulärwerte in dB −−> (W *W ) Singulärwerte in dB −−> e d −120 0
−140 −20
−160 −40 −5 0 5 0 1 2 3 4 5 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Frequenz in rad/sec. −−> Frequenz in rad/sec. −−>
(c) Gewichtung an G(jω)S(jω) (d) Gewichtung an K(jω)S(jω)
Abb. 5.11: Gewichtungsfunktionen an den Übertragungsfunktionen des geschlossenen Kreises bei einer Betriebsspannung von ub = 10 V
10 Rechtecksignal am Reglereingang mit einer Amplitude von 50 mV und einer Periodendauer von T = 4096 Ts 4096 mit der Abtastzeit von Ts = 60 MHz . 76 REGLERENTWURF
Abb. 5.11 zeigt das erweiterte S/KS/GS/T-Gewichtungsschema an den Übertragungsfunk- tionen des Regelkreises mit den Gewichten
Ww(s) = , Wd(s) = Md (5.45a) 1 1 sMS− + ωBS s + ωBT MT− 1 We(s) = , Wu(s) = , Wy(s) = My− (5.45b) s + ωBS s + ωBT mit
kg Md = gmax , MS = My = 2.5 , MT = 2Md (5.46a) kpwm ku ω = 2π200 Hz , ω = 10ω S , 0 . (5.46b) BS BT B → Hauptziel ist hierbei die Minimierung der Wichtungsfunktionen G(jω)S(jω) und T (jω), die das Ausregelverhalten der seismischen Masse und die Übertragungsfunktion des Messsystems
repräsentiert. Um die Rangforderungen von D12 und D21 zu erfüllen und damit eine direkte
Wirkung von w auf v bzw. von u auf z zu erhalten, müssen die Gewichte Wd(s) und Wu(s) existieren und proper sein. Abb. 5.12 zeigt das Systemverhalten im Zeitbereich. Alle Übertragungsfunktionen zeigen dabei ein ähnliches dynamisches Verhalten. Somit wurde das Wiederauftreten der Streckenpole mit dieser Konfiguration verhindert.
Stabilitätsanalyse
Aufgrund der Komplexität und nichtlinearen Zusammenhänge des Systems ist die Suche nach einer geeigneten Ljapunow-Funktion nicht trivial. Sehr vielversprechend ist die Annahme einer Ljapunow-Funktion der Form 1 V (x) = xTPx , (5.47) 2 wobei die Matrix P aus der Linearisierung (5.38) und der Lösung der Identität
PA + ATP = Q = I (5.48) − − bestimmt wurde. Die Definitheit der quadratischen Matrix P kann beispielsweise auch durch Prüfung aller Hauptminoren11 erfolgen, wobei diese bei positiver Definitheit größer als Null sind. Tatsächlich ist die Ableitung der Ljapunow-Funktion (Abb. 5.13b) innerhalb eines großen Bereiches gleicher Energien (Abb. 5.13a) negativ definit und damit lokal asymptotisch stabil. Einzig in der Umgebung der maximalen positiven und negativen Auslenkung verlässt die Funk- tion den negativen Wertebereich R (roter Bereich). Somit ist in diesem Bereich keine Aussage − über die Stabilität möglich.
11 n n Sei A eine symmetrische Matrix in R × . Dann heißt die Determinante der Untermatrix det Ak = a11 . . . a1k . . . det . . . k-te Hauptminor von A. . . . ak1 . . . akk 5.2 LINEARER REGLERENTWURF 77
Streckeneingang Streckenausgang 0.15 0.1 gemessen 0.08 simuliertes NL−System 0.1 0.06
0.04 0.05 0.02
0 0
Amplitude −−> −0.02 Amplitude −−> −0.05 −0.04
−0.06 −0.1 gemessen simuliertes NL−System −0.08
−0.15 −0.1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Zeit in sec. −−> Zeit in sec. −−>
(a) Störverhalten bei Ausgangsstörungen (b) Führungsverhalten
Streckenausgang Streckeneingang 0.03 0.4
gemessen 0.3 0.02 simuliertes NL−System 0.2
0.01 0.1
0 0 Amplitude −−>
Amplitude −−> −0.1 −0.01 −0.2
−0.02 −0.3 gemessen simuliertes NL−System −0.03 −0.4 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Zeit in sec. −−> Zeit in sec. −−>
(c) Störverhalten bei Eingangsstörungen (d) Stellverhalten
Abb. 5.12: Übertragungsverhalten des geschlossenen Systems bei einer Betriebsspannung von ub = 10 V
Wegen der theoretisch infiniten Kapazitätsdifferenz beinhalten praktische Realisierungen eine Begrenzung des Messsignals. Abb. 5.14 zeigt die Stabilitätseinbußen bei einer Begren- zung des Ladungsverstärkerausgangs auf 5 V, wobei die Sättigungsfunktion durch die stetig differenzierbare Funktion des Tangens hyperbolicus (Abb. 5.14a) angenähert wurde. In Abb. 5.14b ist der ausgedehnte mögliche instabile Bereich deutlich erkennbar. Da die Beobachtung der Auslenkung nicht mehr den gesamten Auslenkungsbereich abdeckt, ist mit einer Einschränkung der Stabilität zu rechnen. Bei praktischen Realisierungen ist daher ein Kompromiss zwischen Stabilität und Sensitivität zu finden. Ein ähnliches Stabilitätsverhalten zeigt sich auch bei Prüfung der Eigenwerte (Abb. 5.15) der auslenkungsabhängigen Linearisierung (5.37). Hier ist jedoch der mögliche instabile Be- reich im Gegensatz zu den Abbildungen 5.13b und 5.14b deutlich weiter ausgedehnt. 78 REGLERENTWURF
10
mögliche instabile Region 5
dV/dt u 0 0 10 -100 -200 5 −5 -300 0 u -2 · 10-6
−10 0 -5 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 2 · 10-6 x 10−6 -10
(a) Konturdiagramm der Ljapunow-Funkti- (b) Ableitung der Ljapunow-Funktion on
Abb. 5.13: Ljapunow-Stabilität des Beschleunigungssensors bei ωc = 2π200 Hz
Sättigungsfunktionen 5 10 mögliche instabile 4 Sättigung Region Approximation 5 3 u dV/dt 0 2 0 -100 1 -5 -200 0 -300 -10
sat(x) −−> −1
−2
−3 -2 · 10-6 −4 0 −5 x −15 −10 −5 0 5 10 15 -6 x −−> 2 · 10
(a) Sättigungsfunktion (b) Ableitung der Ljapunow-Funktion
Abb. 5.14: Ljapunow-Stabilität des Beschleunigungssensors bei Messsignalbegrenzung
Eine genauere Prüfung der Stabilität erfolgte durch numerische Berechnungen [AP99] und eine Auswertung des Verlaufs der Trajektorien in der Phasenebene. Wie Abb. 5.16a zeigt, ist das System tatsächlich innerhalb des gesamten Ausschlagbereichs asymptotisch stabil. Abb. 5.16b zeigt die eingegrenzte Stabilität bei Messsignalbegrenzung, wobei die instabile Region (rot schraffierter Bereich) im Gegensatz zum erwarteten Bereich in Abb. 5.14b deutlich kleiner ist. Aufgabe einer erweiterten Analyse kann das Suchen einer geeigneteren Ljapunow-Funktion sein, die die Ergebnisse in Abb. 5.16 besser wiedergibt. 5.3 NICHTLINEARER REGLERENTWURF 79
10 10 mögliche instabile mögliche instabile Region Region 5 5 λmax λ u max u 0 0 0 0 -200 -5 -1000 -5 -2000 -400 -3000 -600 -10 -10
-2 · 10-6 -2 · 10-6
0 0 x x 2 · 10-6 2 · 10-6
(a) Ohne Messsignalbegrenzung (b) Mit Messsignalbegrenzung
Abb. 5.15: Stabilität des Beschleunigungssensors anhand der maximalen Eigenwerte
x ’ = sysfun(1,x,u) x ’ = ssatsysfun(1,x,u)
u ’ = sysfun(2,x,u) u ’ = ssatsysfun(2,x,u)
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10 10 ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤
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8 8 ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤
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6 6 ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤
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¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤instabile
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4 Region
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2 2 ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤
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0 0 ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤
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−2 −2 ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤ instabile
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¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤ Region
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−8 −8 ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤
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(a) System ohne Messsignalbegrenzung (b) System bei Messsignalbegrenzung
Abb. 5.16: Trajektorien des nichtlinearen Systems bei ωc = 2π200 Hz
5.3 Nichtlinearer Reglerentwurf
Wie die meisten Prozesse in Natur und Technik zeigen auch MEMS infolge der Elektrostatik ein nichtlineares Verhalten. Aufgrund des Differenzialprinzips kann in einem größeren Bereich um den Arbeitspunkt lineares Verhalten angenommen werden. Bei größeren Auslenkungen versagt die Methode und es müssen andere Wege gesucht werden, das System zu regeln. Leider gibt es keine universelle Regelstrategien, die bei allen NL-Systemen anwendbar sind. Eine sehr einfache Methode ist dabei das Gain-Scheduling [RS00], bei dem eine Scheduling- Variable die Parameter des linearen Reglers je nach Arbeitspunkt ändert. Voraussetzung ist hier- für eine langsam veränderliche Scheduling-Variable, die die Streckennichtlinearität beschreibt. Diese Art der Regelung wurde bei Mikrospiegeln [BAF+03,JUS+03] eingesetzt, wobei hier nur 80 REGLERENTWURF
die Schleifenverstärkung angepasst wurde. Eine andere Möglichkeit ist die Feedback-Linearisierung [Isi95], bei der das System durch nichtlineare Inversion linearisiert wird. Diese Inversion setzt einerseits eine perfekte Kürzung der Nichtlinearität voraus und andererseits die Existenz der Inversen. Bei der Positionierung von Mikrospiegeln mittels PID-Reglung [JUS+03] fand die Feedback-Linearisierung Anwen- dung. Der quadratische Einfluss der Spannung wurde in [BHL+04, BLP+05] mittels Inverser eliminiert, wobei ein PD-Regler mit Feed-Forward Steuerung zum Einsatz kam. Das generel- le Problem der Linearisierung bei Mikrosystemen ist die Messung aller Bewegungsformen, da diese Strukturen keine starrachsigen Gebilde darstellen. Sehr erwähnenswert ist die Sliding-Mode Regelung [Utk77], die bei der Positionierung eines Mikrospiegels [YSKM03, SYM04, SYM05] zur Anwendung kam. Vorteil dieser strukturum- schaltenden Regelung ist die hohe Robustheit gegenüber Parameterschwankungen und unmo- dellierten Dynamiken. Nachteilig wirkt sich das hochfrequente Schalten aus, was zu niedriger Regelgenauigkeit, hohem Wärmeverlust in energetischen Schaltungen und hoher Abnutzung bewegter mechanischer Teile führt. Außerdem können unmodellierte Dynamiken im oberen Frequenzbereich angeregt werden, die die Regelgüte beeinträchtigen und zu Instabilität führen könnten [Kha02]. Weiterhin interessant ist die adaptive Regelung mit Referenzmodell (MRAC), bei der das gewünschte dynamische Verhalten durch das Referenzmodell bestimmt ist. Adaptive Refe- renzmodellsysteme sind für die Regelung von Mikrospiegeln [LWYC04] sowie Gyroskopen [PHT01, PH03] eingesetzt worden, sowie ein neuronales Netzwerk mit Referenzmodell für die Regelung eines Beschleunigungssensors [GFRS00]. Problematisch für adaptive Regelun- gen sind einerseits schnelle zeitvariante Systeme, bei der die Adaption nicht mehr folgen kann. Weitere Voraussetzungen und Einschränkungen sind bei der Wahl des Referenzmodells und der Regelstrecke gegeben.
5.3.1 Adaptive Regelung mit Referenzmodell
Bei vielen technischen Prozessen sind deren dynamische Parameter unbekannt oder variieren mit der Zeit. Die adaptive Regelung ist eine Möglichkeit, ohne oder mit geringer a-priori Kennt- nis der Parameter diese Systeme zu regeln. Als adaptive Regelungen werden Techniken bezeichnet, die einen systematischen Ansatz zur automatischen Reglereinstellung in Echtzeit verfolgen, um damit das gewünschte dynami- sche Verhalten der geschlossenen Regelschleife aufrecht zu erhalten, falls die Streckenparame- ter unbekannt sind und/oder mit der Zeit variieren [LLM98]. Den generellen Aufbau der adaptiven Regelung mit Referenzmodell zeigt Abb. 5.17. Diese besteht aus der unbekannten Regelstrecke B(s) G(s) = k , (5.49) p A(s) dem Referenzmodell Bm(s) Gm(s) = km , (5.50) Am(s) 5.3 NICHTLINEARER REGLERENTWURF 81
Referenz− ym(t) Modell
w(t) Regel− Regel− e(t) PSfrag replacements einrichtung u(t) strecke y(t)
geschätzte Adaptions− Parmeter gesetz
Abb. 5.17: Struktur der adaptiven Regelung mit Referenzmodell
welches das gewünschte dynamische Verhalten der geschlossenen Regelschleife beschreibt, dem einstellbaren Regler und einem Adaptionsgesetz, was die einstellbaren Reglerparameter aktualisiert. Für den Fall, dass nur der Eingang und der Ausgang der Strecke gemessen werden kann, ergeben sich für die Referenzmodelladaption folgende Einschränkungen in der Wahl der Strecke und des Modells [IS96]:
Die Strecke ist minimalphasig. • Die Ordnung n des Nenners A(s) ist bekannt. Ausreichend ist die Kenntnis einer oberen • Schranke n¯ mit n¯ n. ≥
Die relative Ordnung n∗ = deg A(s) deg B(s) der Strecke ist bekannt. • − n∗ Das Vorzeichen der Strecken-HF-Verstärkung kp = limω G(jω)(jω) ist bekannt. • →∞ Die Polynome B (s) und A (s) des Referenzmodells sind monisch und Hurwitz. Die • m m relative Ordnung nm∗ von Gm(s) ist identisch der relativen Ordnung n∗. Die für die Regelung mit Referenzmodell verwendete Reglerstruktur ist in Abb. 5.18 dargestellt. Das Stellsignal der Struktur [IS96] ergibt sich zu
T T n¯ 1 u(t) = θ ω (t) + θ ω (t) + θ y(t) + θ w(t) , θ , θ R − , θ , θ R (5.51) 1 1 2 2 20 0 1 2 ∈ 20 0 ∈ mit den gefilterten Signalen
α(s) α(s) n¯ 1 ω (t) = u(t) ; ω (t) = y(t) , ω , ω R − (5.52) 1 Λ(s) 2 Λ(s) 1 2 ∈ und den Filterparametern
T 2 n¯ 2 n¯ 1 α(s) = 1 s s . . . s R − (5.53a) − ∈ h n¯ 1 i n¯ 2 Λ(s) = Λ0(s)Bm(s) = s − + λn¯ 2s − + + λ1s + λ0 . (5.53b) − · · · PSfrag replacements 82 REGLERENTWURF
w(t) u(t) y(t) θ0 G(s)
T ω1 α(s) θ1 Λ(s)
T ω2 α(s) θ2 Λ(s)
θ20
Abb. 5.18: Struktur der Regelung
Der Nenner Λ(s) ist dabei ein monisches Polynom der Ordnung n¯ 1, der die Nullstellen des − Referenzmodells enthält. Für den geschlossenen Regelkreis wird gefordert, dass dieser identisch
dem Referenzmodell ist. Um das Regelungsziel durch Polzuweisung zu erreichen, muss θ0∗ =
km/kp gelten und die Identität
T T A(s)[Λ(s) θ∗ α(s)] k B(s)[θ∗ α(s) + θ∗ Λ(s)] = Λ (s)B(s)A (s) (5.54) − 1 − p 2 20 0 m deg(.)=n+(n¯ 1) deg(.)=(n¯ 1 mm)+m+nm − − − erfüllt|sein. Dies macht auch die{zVoraussetzungen der Minimalphasigk} | {zeit deutlich:} Aufgrund der stabilen Nullstellen von Modell, Strecke und der stabilen Wurzeln von Λ(s) kann eine Pol- Nullstellenkürzung nur in der negativen Halbebene der komplexen Zahlenebene geschehen. Die Identität der relativen Ordnung von Modell und Strecke ergibt sich aus der Ordnungsbetrach- tung von Gl. (5.54). Voraussetzung für die eindeutige Lösbarkeit der Diophantischen Gleichung12 (5.54) sind teilerfremde13 Polynome A(s), B(s) und dass die obere Schranke n¯ identisch n ist.
Wahl des Adaptionsgesetzes
Um ein einfaches Adaptionsgesetz für Strecken mit beliebiger relativer Ordnung zu erhalten, wird der Fehler zwischen Strecke und Modell durch ein Hilfsfehlersignal [SL91]
ξ(t) = θT(t) G (s) [ω(t)] G (s) θT(t)ω(t) (5.55) m − m ω m(t) mit | {z }
T θ(t) = θT(t) θT(t) θ (t) θ (t) R2n¯ 1 2 20 0 ∈ h Ti ω(t) = ωT(t) ωT(t) y(t) w(t) R2n¯ 1 2 ∈ h i 12 Eine Lösungsmöglichkeit der Diophantischen Gleichung ist im Anhang Abschnitt B.6 zu finden. 13 Zwei Polynome A(s) und B(s) sind teilerfremd (relativ prim), falls Polynome C(s) und D(s) existieren, die die Bezout-Identität A(s)C(s) + B(s)D(s) = 1 erfüllen. 5.3 NICHTLINEARER REGLERENTWURF 83
künstlich vergrößert. Der neue Fehler ergibt sich damit zu ˜T (t) = e(t) + ρ(t)ξ(t) = ρ∗θ (t)ωm(t) + ρ˜(t)ξ(t) , (5.56)
wobei ρ(t) den Schätzwert von ρ∗ = 1/θ∗ und θ˜(t) = θ(t) θ∗, ρ˜(t) = ρ(t) ρ∗ die Para- 0 − − meterfehler definieren. Das erweiterte Fehlersignal ist damit in den Parameterfehlern linear und die positiv definite Energiefunktion [TK96]
1 T 1 1 2 V (θ˜(t), ρ˜(t)) = ρ∗ θ˜ (t)Γ− θ˜(t) + γ− ρ˜ (t) (5.57) 2 | | mit den symmetrisch, positiv definiten Adaptionsschrittweiten Γ und γ. Bei Benutzung der Gradientenmethode mit normalisierten Signalen zur Aktualisierung der geschätzten Parameter sign(ρ )Γ(t)ω (t) θ˙ (t) = ∗ m (5.58a) − m2(t) γ(t)ξ(t) ρ˙(t) = , m(t) = 1 + ωT (t)ω (t) + ξT(t)ξ(t) (5.58b) − m2(t) m m p ergibt sich eine negativ definite Ableitung [TK96] 2(t) V˙ (θ˜(t), ρ˜(t)) = , (5.59) −m2(t) die die globale Konvergenz des Fehlersignals bei ausreichender Anregung garantiert.
Probleme der adaptiven Regelung am Beschleunigungssensor
Geht man davon aus, dass sich die Dynamik des Beschleunigungssensors innerhalb des Arbeits- punktes nur gering ändert, ergeben sich weitere Probleme für das adaptive Reglerkonzept:
Das Messsignal tritt als Störgröße auf und ist im Regelfall nicht messbar. • Eine Adaption bei Stell- und/oder Messgrößenbegrenzung führt zu Fehlern, die mögli- • cherweise in ein instabiles Verhalten mündet.
Die Regelung enthält keinen I-Anteil und damit ist das Stellsignal, was als Maß für die • Beschleunigung gilt, fehlerbehaftet.
Die Regelung kann außerhalb des linearisierten Bereiches zu Instabilität führen. Dies trifft • beispielsweise beim Einschalten des Messsystems oder bei Anschlag der seismischen Masse zu.
Da das Messsignal nicht messbar ist, kann das adaptive Tuning nur bei der Eichung des Mess- systems vorgenommen werden. Für den Regelfall ist die Adaption abgeschaltet und die Adap- tionsschrittweiten sind identisch Null. Ein weiterer Fall der Abschaltung der Adaption tritt bei der Begrenzung der Stell- und/oder Messgröße auf.
Bei Einsatz des internen Modellprinzips [IS96], bei dem die Polynome Qw(s) und Qd(s) mit
Qw(s)w(s) = 0 ; Qd(s)d(s) = 0 84 REGLERENTWURF
als Faktor 1/Qw(s)Qd(s) in die Berechnung des Reglers einfließen, kann der Effekt von Füh- rungssignal w(t) und Störsignal d(t) auf die Regelabweichung e(t) = w(t) y(t) zu Null − reduziert werden. Bei Einsatz einer adaptiven Regelung nach dem indirekten Verfahren kann
die Kenntnis von Qw und Qd direkt in den Reglerentwurf mit einfließen. Problematisch für das adaptive System ist die sich stark ändernde Dynamik aufgrund der Nichtlinearität innerhalb des gesamten Ausschlagbereiches. Eine hohe Adaptionsschrittweite wäre in der Lage der Dynamikänderung zu folgen, aber sie könnte auch zu Schwingungen in der Parameterschätzung führen und Rauschen verstärken. Abb. 5.19 zeigt eine mögliche Lösung
Referenz− ym(t) Modell
w(t) Regel− u(t) Regel− e(t) einrichtung strecke y(t)
PSfrag replacements
Inter− Adaptions− polation gesetz
Abb. 5.19: Adaptive Regelung mit Interpolation
des Problems, bei der für unterschiedliche Auslenkungen und Ansteuerspannungen jeweils eine lineare Parameteradaption vorgenommen wird. Die Reglerparameter werden dem Regler über Interpolation für die jeweils aktuelle Position und Stellgröße zugeführt, wobei dies einem Gain- Scheduling entsprechen würde. Da das Stellsignal und die Auslenkung begrenzt sind, existieren Grenzen für die Dynamikänderung. Eine weitere Voraussetzung ist eine kontinuierliche Para- meteränderung, sodass eine Interpolation ermöglicht wird.
5.3.2 Numerisches Beispiel
Als numerisches Beispiel für die MRAC wurde das in Abschnitt 4.2.3 identifizierte PT1-Sys- 14 tem aus der Zwei-Stufen-Identifikation und ein PT1-Referenzmodell mit 200 Hz Bandbreite verwendet. Das Ergebnis der Simulation für zwei verschiedene Amplitudenwerte des Anregungssig- nals zeigt Abb. 5.20, wobei ein Rechtecksignal15 als Anregungssignal verwendet wurde. Als Initialwert des Parametervektors wurde θ(0) = [ 0.5, 1]T gewählt. In Abb. 5.20a ist sehr − 14 Weitere Parameter sind am = 3.5 mm, bm = 3.5 mm, dm = 300 µm, d0 = 3 µm und ub = 20 V. 15 Rechtecksignal mit Frequenz von 10 Hz und einer Amplitude von 100 mV und 500 mV. 5.3 NICHTLINEARER REGLERENTWURF 85
Fehlersignal Parameterfehler 0.05 0.25
0.04 0.2 0.03
0.02 0.15
0.01
(t) −−> 0.1 θ ~ 0 0.05 −0.01 Amplitude e(t) −−> −0.02 Amplitude 0 −0.03 −0.05 −0.04
−0.05 −0.1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Zeit in sec. −−> Zeit in sec. −−>
(a) Fehlersignal und Parameterfehler bei Anregungsamplitude von 100 mV
Fehlersignal Parameterfehler 0.25 0.25
0.2 0.2
0.15 0.15
0.1
0.1 (t) −−> θ ~ 0.05 0.05 0 Amplitude e(t) −−> 0 Amplitude −0.05
−0.05 −0.1
−0.1 −0.15 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Zeit in sec. −−> Zeit in sec. −−>
(b) Fehlersignal und Parameterfehler bei Anregungsamplitude von 500 mV
Abb. 5.20: Fehlersignale bei unterschiedlicher Anregungsamplitude gut erkennbar, dass bei einer sehr geringen Anregungsamplitude der Parametervektor gegen T θ∗ = [ 0.732, 0.898] strebt und damit beide Fehler langsam gegen Null konvergieren. Obwohl − die Anregung in Abb. 5.20b mit einer noch relativ geringen Amplitude von 500 mV erfolgte, streben die Parameter gegen gänzlich andere Werte, die in einem anderen Aussteuerungsbereich möglicherweise zu Instabilitäten führen können. Da die Adaption der schnellen dynamischen Änderung der Strecke nicht folgen kann, konvergiert des Fehlersignal nicht gegen Null. Die MRAC ist damit nur für geringfügige Auslenkungen innerhalb eines bestimmten Arbeitspunk- tes anwendbar.
Abb. 5.21 zeigt das Simulationsmodell, wobei für eine relative Ordnung von n∗ = 1 auf- grund des strikt positiv reellen16 Referenzmodells vereinfachte Beziehungen in der Wahl des
16 Eine Übertragungsfunktion G(s) ist positiv reell, falls Re[G(s)] 0 Re[s] 0 gilt. Sie ist strikt positiv ≥ ∀ ≥ reell, falls G(s ε) positiv reell für einige ε > 0 ist. − 86 REGLERENTWURF
Adaptionsgesetzes17 gelten.
17 siehe dazu beispielsweise in [IS96] oder [SL91] 5.3 NICHTLINEARER REGLERENTWURF 87 [e] [e] [w] −0.14693 y(t) Korrekturfaktor e(t) w(t) u(t) u(t) Adaptionsgesetz d(t) C Amplifier Charging MRA Ladungsverstärker PWM der PWM Generator 1 modell u(t) 2*pi*200 Referenz− s+2*pi*200 u_pwm(t) 0.8131 −0.7516 Display u(t) x(t) Punkt−Produkt Simulationsmodell mech. Sensor 5.21: elektrostat. Anziehung . b F_el(t) [w] Ab F(t) Theta(t) 1 s Integrator Theta(t)’ −K− Masse Produkt omega(t) w(t) a(t) 100 1 3 2 HF−Verstärkung e(t) y(t) Lernrate −sign(num_all(1)) w(t) signal Adaptionsgesetz störung 0.0 * gravity Führungs− Eingangs− 88 REGLERENTWURF Kapitel 6
Sensitivität
Good sense, which only is the gift of Heaven, And though no science, fairly worth the seven. Alexander Pope (1688 – 1744), English poet and critic
6.1 Einführung
Ein sehr wichtiger Aspekt bei Messsystemen ist deren statisches und dynamisches Verhalten. Dafür werden vom Hersteller für das jeweilige Messsystem Kenngrößen definiert, sodass die Auswahl eines geeigneten Messinstruments für ein bestimmtes Problem möglich ist. Eine wichtige Größe, die das statische Verhalten charakterisiert, ist die Empfindlichkeit. Sie
ist definiert als Änderung der Ausgangsgröße xa bezogen auf die sie verursachende Wirkung
der Eingangsgröße xe und kann aus der partiellen Ableitung ∂x E = a (6.1) ∂xe bestimmt werden [Müh01].
Eingangs− Antialiasing− Abtast− und A/D− Digitales D/A− Rekonstruk− Ausgangs− signal filter Halteglied Konverter System Konverter tionsfilter signal
Abb. 6.1: Systemstruktur des digitalen Systems
Da bei digitalen Systemen (Abb. 6.1) nur eine endliche Wortbreite zur binären Zahlendar- stellung zur Verfügung steht, spielen das Auflösevermögen und die Grenzwerte der Zahlendar- stellung eine wichtige Rolle. Die Auflösung definiert dabei die kleinste darstellbare bzw. unter- scheidbare Änderung der Ausgangsgröße und ist identisch mit dem Quantisierungsintervall des digitalen Systems. Weitere statische Kenngrößen sind der Anzeigebereich, in dessen Grenzen die Messwerte angezeigt werden, und der Messbereich, für den die angegebenen Genauigkeitsangaben gelten. 90 SENSITIVITÄT
Eine wichtige Rolle für die Charakterisierung des dynamischen Verhaltens des Messsys- tems spielt die Grenzfrequenz, die den 3 dB-Amplitudenabfall zwischen statischer und dy- − namischer Messung definiert. Diese wird durch die Entwurfsparameter der Regelung bestimmt und wurde genauer im Kapitel 5 erläutert.
6.2 Digitalwandler
Wie schon in der Einführung erwähnt, bilden die Digitalwandler ein „Nadelöhr“ im digitalen System. Einerseits besitzen sie aufgrund der Ganzzahldarstellung obere und untere Grenzen bei der Wandlung. Andererseits kann die Wortbreite zur Auflösungserhöhung bzw. Messbereichs- erweiterung nicht beliebig gesteigert werden, da die Wandlungszeit und/oder der schaltungs- technische Aufwand zunehmen. Wichtig für die Linearität und Genauigkeit des Messsystems sind Wandlerfehler, die bei realen Digitalwandlern auftreten [PM96]:
Offset- und Verstärkungsfehler, die durch Kompensation beseitigt werden können, •
Linearitätsfehler, hervorgerufen durch differentielle und integrale Nichtlinearitäten, •
Codesprünge, die durch die differentielle Nichtlinearitäten hervorgerufen werden können. •
Die Art der verwendeten Wandlerstruktur beeinflusst dabei entscheidend die Auflösung, Wand- lungszeit und auch die Größe der einzelnen Fehler.
6.2.1 D/A-Wandler
Der Digital-nach-Analog (D/A) Wandler dekodiert das binäre Wort in diskrete analoge Pegel. Meist geschieht dies über analoge Netzwerke, deren Ausgangspegel über binäre Schalter ge- steuert wird. Eine andere Möglichkeit ist die Delta-Modulation, die für den A/D-Wandler aus- führlicher erläutert wird. Ein Rekonstruktionsfilter (Tiefpassfilter) am Ausgang des D/A-Wandlers, dessen idealer Amplitudengang dem eines Rechtecks entspricht [OS89]
T ω π , s Ts Gr(jω) = ∀ | | ≤ (6.2) 0 ω > π , ∀ | | Ts filtert das digitaleSignal in den Grenzen der Nyquistfrequenz. Praktische Realisierungen bein- halten meist ein Halteglied nullter Ordnung (ZOH), gefolgt von einem Tiefpassfilter zur Glät- tung. Andere Realisierungen können ein Halteglied erster Ordnung (FOH) zur Extrapolation oder Interpolationsfilter enthalten. 6.2 DIGITALWANDLER 91
6.2.2 A/D-Wandler
Der Analog-nach-Digital (A/D) Wandler kodiert das analoge Signal in ein digitales Wort. Je nach gewünschter Auflösung und Wandlungszeit existieren dabei eine Vielzahl von Wandlerar- chitekturen. Erwähnt sei die sukzessive Approximation nach dem Wägeverfahren, integrierende Umsetzverfahren, Parallel-A/D-Wandler und die Delta-Modulation. Um eine Mehrdeutigkeit des diskretisierten Signals zu vermeiden (Aliasing), muss die Band- breite des Eingangssignals auf Frequenzen unterhalb der Nyquistfrequenz begrenzt werden. Idealerweise geschieht dies mit einem Anti-Aliasing Tiefpassfilter, der nur Frequenzen in die- sem Bereich zulässt: 1 ω < π , Ts Ga(jω) = ∀ | | (6.3) 0 ω π . ∀ | | ≥ Ts Sigma-Delta-Wandler
Sigma-Delta-Wandler [IY63] beruhen auf einer Ein-Bit Pulscodemodulation, wobei durch Über- abtastung (Oversampling) und Filterung ein vergleichbares (B + 1)-Bit quantisiertes Signal erzeugt wird. Vorteil der Wandlung ist einerseits der einfache Aufbau (Abb. 6.2) des Wand-
PSfrag replacements 1−Bit Tiefpass− Integrator Quantisierer filter
x(t) e(t) y(t) ylp (t) 1 (.) Glp (z− ) Q
1 z− 1 B(z− )
1−Bit−D/A
1 C(z− ) Sigma−Delta−Modulator
Abb. 6.2: Sigma-Delta A/D-Wandler erster Ordnung
lers und dadurch einfache Implementation in Hardware und andererseits der verbesserte Signal- Rauschabstand durch Filterung des Quantisierungsrauschens (Noise Shaping). Aufgrund der 1- Bit Pulscodemodulation und der anschließenden digitalen Filterung reduzieren sich außerdem die Linearitätsfehler. Mit der Reduzierung des Quantisierungsrauschens im Frequenzbereich des Nutzsignals durch
den Noise-Shaping Filter Gns ergibt sich eine entsprechende Auflösung. Mittels Vergleich der Übertragungsfunktionen
1 y(t) = x(t) + Gns (z− )d (t) q ⇐⇒ B(z 1)x(t) d (t) − q (6.4) y(t) = 1 1 + 1 1 1 + B(z− )C(z− ) 1 + B(z− )C(z− ) 92 SENSITIVITÄT
ergeben sich die beiden Filter im Vorwärts- und Rückwärtszweig:
1 1 1 1 − und − − (6.5) B(z ) = 1 C(z ) = 1 Gns (z ) . Gns (z− ) − Bei Verwendung eines Hochpassfilters erster Ordnung (n = 1) zur Unterdrückung des Quanti- sierungsrauschens
1 1 n Gns (z− ) = (1 z− ) (6.6) − ergibt sich, wie in Abb. 6.2 gezeigt, ein Integrator im Vorwärtszweig und ein 1-Bit D/A-Wandler (modelliert als Verzögerungsglied) im Feedbackzweig. Bei Ordnungen größer als zwei ist eine Realisierung schwieriger. Um die Stabilität des Wandlers dafür zu garantieren, müssen Nullstellen in die Übertragungsfunktion des Vorwärts- zweiges eingeführt werden [MW98]. Der SNR des Sigma-Delta-Wandlers hängt dabei nicht nur von der Ordnung des Hoch- passfilters, sondern auch von der Signal-Überabtastung m ab:
SNR 3.01(2n + 1) log m dB . (6.7) Σ/∆ ' 2 Eine geeignetere Approximation des SNR, bei dem auch die Stabilität und maximale Eingangs- amplitude berücksichtigt wird, ist in [Kar94] zu finden. Die Demodulation des pulscodierten Signals am Ausgang des Sigma-Delta Modulators ist im einfachsten Fall mittels Mittelwertbildung über m Werte möglich
m 1 k k − m 1 1 i 1 1 z− G (z− ) = z− = − , (6.8) lp m m 1 z 1 i=0 ! − X − wobei k die Filterordnung angibt. Durch Fortschreiben der Summe für zwei nacheinander lie- gende Tastzeitpunkte ergibt sich dabei die Struktur des IIR-Filters. Ein effizienter Weg zur Im- plementation des Filters ist in [Kar94] beschrieben worden.
6.3 Sensitivitätsanalyse
Um einen geforderten Messbereich der Beschleunigung bis amax realisieren zu können, muss die seismische Masse in jeder Lage steuerbar sein. Daher muss die Ungleichung k a g max < 1 (6.9) M (sign( c)ϕ , ub ) el max 2 −
gelten, um in jeder möglichen Position ein ausreichendes Moment für die Positionsstellung aufbringen zu können. Für das Regelungssystem wird weiterhin Beobachtbarkeit im gesamten Auslenkungsbereich verlangt, sodass auch die Ungleichung k ∆C(ϕ ) a max < 1 (6.10) A
PSfrag replacements6.3 SENSITIVITÄTSANALYSE 93
gelten muss. Für den A/D-Konverter mit dem Messbereich [ A, +A] wird damit gefordert, − dass die maximal mögliche Kapazitätsänderung durch diesen aufgelöst werden kann und nicht begrenzt wird1.
dmech del Regelstrecke
a(t) Mkin ϕ kg Gmech + Mel
kϕ
Gel
Gg Stelleinrichtung y(t) Messsystem
ku kpwm K ka kc
Gu Ga dD/A dA/D
Abb. 6.3: Kleinsignalmodell des Beschleunigungssensors
Für das Kleinsignalmodell des Beschleunigungssensors in Abb. 6.3 mit dem Brownschen
Rauschen dmech , dem Verstärkerrauschen del (bezogen auf den Eingang) und dem Quantisie-
rungsrauschen des A/D- und D/A-Wandlers dA/D und dD/A ergibt sich das Ausgangssignal zu
y = SKGaGel dmech + SKGadel + TidD/A + KSdA/D + SKGaGel kga . (6.11)
Das Ausgangsleistungsspektrum berechnet sich damit zu
mech el Φy Φy 2 2 2 2 2 2 2 Φ (ω) = S K G Gel Φmech (ω) + S K G Φel (ω) + . . . y | | | | | a| | | | | | | | a| 2 2 2 2 2 2 2 2 z T Φ }|(ω) + K S {Φ z (ω) + }|S K G{ Gel k Φ (ω) , (6.12) | i| D/A | | | | A/D | | | | | a| | | g a D/A A/D Φa Φy Φy y | {z } | {z } | {z }
mech el a D/A A/D wobei das Leistungsspektrum in Komponenten Φy , Φy , Φy, Φy und Φy der jeweiligen Eingangsgrößen unterteilt ist. Bezüglich dieser Rauschkomponenten ergeben sich die frequenz-
1 Eine erweiterte Sensitivitätsanalyse über Optimierung ist im Anhang Abschnitt C.2 zu finden. 94 SENSITIVITÄT
abhängigen Signal-Rauschabstände:
a 2 Φy kg Φa SNRmech = 10 log mech = 10 log (6.13a) Φy Φmech a 2 2 Φ Gel k Φ y | | g a SNRel = 10 log el = 10 log (6.13b) Φy Φel a 2 2 2 Φ G Gel k Φ y | a| | | g a SNRA/D = 10 log A/D = 10 log (6.13c) Φy ΦA/D a 2 Φ k Φa SNR = 10 log y = 10 log g . (6.13d) D/A D/A G 2Φ Φy | u| D/A Interessant ist, dass die einzelnen Signal-Rauschabstände unabhängig von der Rückführung sind. Der gleiche Signal-Rauschabstand würde sich dabei auch bei der offenen Kette ergeben, wie in [Han04] gezeigt wurde. Für die weiteren Berechnungen werden die Annahmen getroffen, dass das Messsystem und die Stelleinrichtung nur statische Verstärkungen beinhalten und das mechanische System durch
ein PT -System Gmech (s) = k˜ /(s p ) beschrieben werden kann. Werden die Verstärkungen 1 p − 1 aus Tab. 3.2 in die Gleichungen (6.13) eingesetzt, resultieren die Signal-Rauschabstände e 2 (mc) Φa SNRmech = 10 log 2 (6.14a) σmech (mc)2Φ SNR = 10 log a (6.14b) el 2 p1 ω2 2 ˜ + kϕ + ˜2 σel kp kp 4ε2a2b2 m2c4u2Φ SNR = 10 log m m b a (6.14c) A/D 2 2 4 p1 ω2 2 Cf d0 ˜ + kϕ + ˜2 σ kp kp A/D (% d d2)2Φ Si m 0 a (6.14d) SNRD/A = 10 log 2 2 2 , (εub ) σD/A
2 2 2 2 mit den Varianzen der einzelnen Rauschsignale σmech , σel , σA/D und σD/A. Aus den Gln. (6.14) erkennt man, dass mit Vergrößerung der Masse eine Empfindlichkeits- erhöhung für alle Signal-Rauschabstände möglich ist. Zu beachten ist dabei, dass eine Vergrö- ßerung der Masse auch den Messbereich (6.9) verringert und zudem eine Massevergrößerung in der Mikrosystemtechnik eher von theoretischer Natur ist. Unter der Voraussetzung, dass das mechanische Brownsche Rauschen und das Verstärker- rauschen vernachlässigbar sind, verbleiben nur die beiden Rauschquellen der Quantisierungs- stufen, die durch Veränderung der Spannung beeinflussbar sind. Eine Verringerung der Span- nung erhöht den SNR, aber verringert auch gleichzeitig den maximalen Messbereich. Interes- sant wäre in diesem Zusammenhang eine dynamische Veränderung der Spannung zur Auflö- sungserhöhung, ähnlich wie in [BL00] im Zusammenhang mit einem skalierbaren Quantisierer theoretisch vorgestellt.
Einen interessanten Aspekt zeigt Gl. (6.14c): Geht der Term p1/k˜p + kϕ gegen Null, bewegt 6.3 SENSITIVITÄTSANALYSE 95
sich der SNR für den statischen Fall gegen unendlich. Der Pol des elektrostatischen Modells
p pel (u ) = p + k˜ k = k˜ 1 + k (6.15) 1 b 1 p ϕ p ˜ ϕ kp ! enthält den selben Term, womit der Pol in Richtung imaginärer Achse wandert. Problematisch ist dabei das mögliche Wiederauftreten der Regelstreckenpole in den Übertragungsfunktionen des geschlossenen Kreises, was in ein kriechendes Verhalten mündet. Dies kann zwar mit einem geeigneten Reglerentwurf unterdrückt werden, bedeutet aber einen erhöhten Stellaufwand. Um dennoch eine ausreichende Bandbreite des elektromechanischen Systems zu erhalten, ist eine Erhöhung der Bandbreite des mechanischen Systems erforderlich. Dies kann beispiels- weise durch Evakuierung des Sensors oder Erhöhung der Anzahl der Strömungskanäle gesche- hen.
SNR A/D
SNRD/A 0.02 50 0.00004 30 0.01 40 0.00002 25 0 30 0 20 -0.0005 20 ub in V -0.0005 ub in V 0 0 15 10 phi in rad 0.0005 phi in rad 0.0005 10 0
(a) SNR des D/A-Wandlers (b) SNR des A/D-Wandlers bei f = 0 Hz
SNRA/D SNRA/D 0.002 0.02 50 0.0015 50 0.01 40 0.001 40 0.0005 0 30 0 30 ub in V -0.0005 20 -0.0005 20 ub in V 0 10 0 10 phi in rad 0.0005 phi in rad 0.0005 0 0
(c) SNR des A/D-Wandlers bei f = 50 Hz (d) SNR des A/D-Wandlers bei f = 150 Hz
Abb. 6.4: Rauschabstände der Wandler in Abhängigkeit vom Auslenkungswinkel und Betriebs- spannung
Wie das Beispiel2 in Abb. 6.4 zeigt, ist der SNR der beiden Wandlerstufen nicht nur von der
2 57904 Das identifizierte PT1-System Gmech (s) = s+93.66 mit den Parametern am = 3.5 mm, bm = 3.5 mm, dm = 300 µm und d0 = 3 µm wurde für die Kalkulation verwendet. 96 SENSITIVITÄT
Betriebsspannung, sondern auch von der Position der seismischen Masse abhängig. Demnach ist der SNR in der Nulllage maximal für den D/A-Wandler und für den A/D-Wandler oberhalb des Maximums
3 2 4 2 2 opt 2√6d0 ω + p1 ub = mit u0 = 0 (6.16) 2 2 εab(ap+ 12c )k˜p q der Betriebsspannung. Unterhalb dieses Maximums kann durch entsprechende Positionsverstel- lung der seismischen Masse eine Erhöhung des SNR des A/D-Wandlers erfolgen.
Zur Erhöhung des SNR des A/D-Wandlers kann auch die Kapazität Cf verändert werden, was aber in eine Minimierung der maximal detektierbaren Auslenkung (6.10) mündet. Eine bessere Alternative der Erhöhung des Rauschabstandes des A/D-Wandlers ist der Einsatz ei- nes kompandierenden3 Quantisierers. Damit ergibt sich einerseits eine Beobachtbarkeit für die maximale Auslenkung und andererseits eine tatsächliche Erhöhung des SNR für den gesamten Messbereich, da die seismische Masse in Nulllage geregelt wird.
3 Der Vorgang der Kompandierung, zusammengesetzt aus den Begriffen Kompression und Expansion, verändert das zu quantisierende Signal mittels nichtlinearer Kennlinie so, dass kleine Signalwerte angehoben und grö- ßere komprimiert werden. Die nichtlineare Verzerrung wird nach der Quantisierung durch Expandierung mit entsprechender inverser Kennlinie wieder ausgeglichen [Mäu91]. Kapitel 7
Rauschen
Noise proves nothing. Often a hen who has merely laid an egg cackles as if she laid an asteroid. Mark Twain (1835 – 1910), American Humorist, Writer and Lecturer
7.1 Einführung
Im mechanischen Sensor wie auch in der Elektronik gibt es Rauschquellen, die letztendlich die Empfindlichkeit des Messsystems bestimmen. Liegt die Amplitude des Messsignals im Bereich der Rauschamplitude, so ist keine ausreichende Unterscheidung mehr möglich. Die Empfind- lichkeitsgrenze des Messsystems ist damit erreicht. Naheliegend ist daher die Untersuchung und Optimierung der einzelnen Rauschquellen, um den Signal-Rauschabstand anzuheben und damit eine Empfindlichkeitssteigerung zu erreichen.
7.2 Brownsches Rauschen
Luftmoleküle bewegen sich aufgrund ihrer thermischen oder kinetischen Energie ungeordnet im Raum, genannt Brownsche Bewegung. Als Folge der Kollision der Luftmoleküle mit der seismischen Masse entsteht das Brownsche Rauschen. Für das thermische Rauschen gilt die spektrale Leistungsdichte [Gab93]
ΦM (f) = 4kBT D , (7.1)
wobei kB die Boltzmannkonstante und T die absolute Temperatur sind. Damit hängt das Rauschspektrum nur von der Dämpfung des Feder-Masse Systems ab. Eine Verkleinerung der Luftdämpfung würde demnach auch die maximal mögliche Auflösung in Bezug auf das thermische Rauschen erhöhen. 98 RAUSCHEN
7.3 Rauschen in elektronischen Bauelementen
In Widerständen und pn-Übergängen treten Rauschströme bzw. -spannungen auf, die aufgrund der thermischen Bewegung der Ladungsträger und des Durchtritts einzelner Ladungsträger durch den pn-Übergang entstehen.
7.3.1 Widerstandsrauschen
Rauschen in Widerständen wird durch die Brownsche Bewegung der frei beweglichen Ladungs- träger erzeugt. Als Folge der Ladungsträgerbewegung entsteht eine elektrische Spannung zwi- schen den Endpunkten des Leiters. Je nach Art des Rauschersatzschaltbildes (Strom- oder Span- nungsquelle) ergeben sich die Leistungsspektren von Spannung und Strom im Leerlauf [Mül90]
Φu(f) = 4kBT R (7.2a) 4k T Φ (f) = B (7.2b) i R mit dem Widerstand R zwischen den Leiterenden.
7.3.2 Dioden-Rauschen
Auch in den Bahnwiderständen von pn-Übergängen tritt thermisches Rauschen auf. Da die frei
beweglichen Elektronen nur die endliche Elementarladung e in einer bestimmten Laufzeit τt übertragen können, wird der Diodenstrom aus einzelnen Stromimpulsen, den Influenzstromim- pulsen, gebildet. Wegen der statistischen Verteilung der Stromimpulse, wird dieses Rauschen auch mit dem Auftreffen von Schrotkörnern auf eine Platte, dem Schrotrauschen, verglichen. Entspricht die Form der Influenzstromimpulse denen von Rechteckimpulsen, ergibt sich das Leistungsspektrum des Schrotrauschens zu [Mül90]
sin2(πfτ ) t (7.3) Φi(f) = 2eId 2 (πfτt)
mit dem durch die Diode fließende Gleichstrom Id.
7.3.3 Rauschquellen eines Bipolartransistors
Da ein Bipolartransistor funktionsmäßig aus zwei gegeneinander geschalteten Dioden besteht, sind auch die Rauscheffekte identisch denen von Dioden. Innerhalb des Bipolartransistors treten dabei folgende Rauschquellen auf [TS02]:
Thermisches Rauschen des Basisbahnwiderstandes, • Schrotrauschen des Basisstroms, • Schrotrauschen des Kollektorstroms. • 7.3 RAUSCHEN IN ELEKTRONISCHEN BAUELEMENTEN 99
Eine vereinfachte Beschreibung der spektralen Leistungsdichten im Bereich mittlerer Frequen- zen und im Bereich kleiner bis mittlerer Ströme ergibt [TS02] 2k T Φ (f) = B + 4k T R (7.4a) u S B B 2k T S Φ (f) = B (7.4b) i β mit der Steilheit S des Transistors.
Ein rauscharmer Bipolartransistor muss demzufolge einen kleinen Basisbahnwiderstand RB und eine hohe Stromverstärkung β aufweisen. Der Basisbahnwiderstand ist im Allgemeinen umgekehrt proportional zur Chipgröße des Transistors und die Stromverstärkung ist durch die Technologie vorgegeben [TS02].
7.3.4 Rauschquellen eines Feldeffekttransistors
Feldeffekttransistoren (FET) steuern mit Hilfe des elektrischen Feldes den Widerstand zwischen der Source- und der Drain-Elektrode. Das thermische Rauschen des Kanalwiderstandes spielt bei diesem Transistortyp daher eine dominante Rolle. Bei einem FET treten im Abschnürbereich, in dem sich der Transistor wie eine Stromquelle verhält, folgende Rauschquellen auf [TS02]: Thermisches Rauschen des Gate-Bahnwiderstandes, wobei alle anderen Bahnwiderstände • vernachlässigt werden können.
Thermisches Rauschen und 1/f-Rauschen des Kanals, dessen Leistungsspektrum propor- • tional zu 1/f ist.
Induziertes Gate-Rauschen, dass durch thermisches Rauschen des Kanals verursacht und • durch kapazitive Koppelung vom Kanal auf das Gate übertragen wird. Eine vereinfachte Beschreibung des Rauschens im Bereich mittlerer Frequenzen ergibt [Mül90]
8 k T Φ (f) = B (7.5a) u 3 S 8 2πf 2 Φ (f) = k T S (7.5b) i 3 B ω T mit der Transitfrequenz ωT des Feldeffekttransistors.
7.3.5 Verstärkerrauschen
Rauschquellen innerhalb von integrierten Schaltungen gehen aus Widerständen, Transistoren und Dioden hervor. Kapazitäten und Induktivitäten sind rauschfrei. Der Bipolartransistor erzielt bei niederohmigen Quellen ein deutlich besseres Rauschverhalten als der FET. Umgekehrt zeigt der FET ein deutlich besseres Verhalten bei hochohmigen Quellen. Bei einer seriellen Verkopplung von Verstärkerstufen dominiert das Rauschverhalten der ersten Verstärkerstufe, falls die Verstärkung dieser Stufe nicht zu klein ist [Sei89]. 100 RAUSCHEN
7.4 Quantisierungsrauschen
Bei der Reglersynthese wird im Allgemeinen angenommen, dass alle Signale, Koeffizienten und Ergebnisse zur Menge der reellen Zahlen gehören. Die digitale Signalverarbeitung mit- tels Mikrocomputer benutzt aber die binäre Zahlendarstellung in einem binärem Zahlensystem wie Festkomma- oder Fließkommadarstellung, die immer eine endliche Genauigkeit aufweisen. Dabei kommt es nicht nur bei Berechnungen in der Arithmetikeinheit des Mikrocomputers, son- dern auch bei der Umwandlung der analogen in digitale Signale zu Rundungsverlusten.
PSfrag replacements 7.4.1 Rauschen in D/A- undPSfragA/D-Wreplacementsandlerstufen
Analoge Signale müssen für die digitale Signalverarbeitung diskretisiert werden. Die Signale
(w) (w) Q Q 3∆ 7 2 ∆
5 2∆ 2 ∆ ∆ 3 2 ∆ 9 ∆ 7 ∆ 5 ∆ 3 ∆ ∆ − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 ∆ 2 ∆ 3 5 7 w 4∆ 3∆ 2∆ ∆ 2 2 ∆ 2 ∆ 2 ∆ − − − − ∆ ∆∆ 2∆ 3∆ 4d w − 2 9 − 2 ∆ 2∆ − 3 ∆ − − 2 3∆ 5 ∆ − − 2 4∆ 7 ∆ − − 2
w 1 (w) = ∆ + w 1 Q ∆ 2 (w) = ∆ + Q ∆ 2 j k (a) Mid-Tread Quantisierer (b) Mid-Riser Quantisierer
Abb. 7.3: Arten der Quantisierung und deren mathematische Beschreibung
werden dabei mit der Zeit und aufgrund der endlichen Zahlendarstellung mit der Amplitude dis- kretisiert (Abb. 7.3). Während die Zeitdiskretisierung mit linearen mathematischen Operationen beschreibbar ist, gilt dies für die Amplitudenquantisierung nicht [Kol88]. Daher wird Quantisierungsrauschen meist vereinfacht als gleichverteiltes, unkorreliertes weißes Rauschen angenommen:
∆ ∆ x (t) = (x(t)) x (t) = x(t) + q(t) , q(t) , . (7.6) q Q ⇐⇒ q ∈ − 2 2 Tatsächlich kann in den meisten Fällen dieses vereinfachte Modell (Abb. 7.4) angenommen wer- den, vorausgesetzt das Signal ist ausreichend komplex und das Quantisierungsintervall klein. 7.4 QUANTISIERUNGSRAUSCHEN 101
(w) Q
PSfrag replacements x(t) xq(t) w
dq
xq(t) x(t)
∆ k∆+ 2 ∞ δ(x k∆) px(τ) dτ k= − k∆ ∆ p (x) −∞ − 2 p (x) x P R xq
x(t) xq(t)
x q(t) x 3∆ ∆ ∆ 3∆ − − 1 pq(x) ∆
x
∆ ∆ − 2 2
Abb. 7.4: Vereinfachtes Modell des Quantisierers
Die Varianz des gleichverteilten weißen Rauschens für einen (B + 1)-Bit Quantisierer be- rechnet sich damit zu
2 2 ∆ B σ = , ∆ = 2− A (7.7) q 12 mit der maximalen Amplitude A des Quantisierers. Der Signal-Rauschabstand erhöht sich damit für jedes zusätzlich eingefügtes Bit um ca. 6 dB.
Auflösungserhöhung
Obwohl die Quantisierung nicht wie die Zeitdiskretisierung mit linearen mathematischen Ope- rationen beschreibbar ist, können analoge Phänomene beschrieben werden. In [WKL96] wurde ein Quantisierungstheorem, ähnlich dem Shannonschen Abtasttheorem, aufgestellt, welches die Rekonstruktion der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Eingangssignals ermöglicht. In der Tat wird mit der Quantisierung die Wahrscheinlichkeitsdichte „abgetastet“. Um ein Aliasing der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zu vermeiden, muss die charakteristische Funk- tion (CF) [WKL96]
∞ jux π Ψ W (u) = F p (x) = p (x) e − dx = 0 für u > = , (7.8) x { x } x | | ∆ 2 Z−∞ 102 RAUSCHEN
die Fouriertransformierte der Wahrscheinlichkeitsdichte px, „bandbegrenzt“ sein. In diesem Fall
ist eine Rekonstruktion von Wx aus der CF der Impulsfolge pxq
∆u ∞ sin F 2 Wxq (u) = pxq (x) = Gx(u + kΦ) mit Gx(u) = ∆u Wx(u) (7.9) k= 2 X−∞ möglich. Für die meisten praktischen Anwendungen genügt eine Charakterisierung anhand der stati- stischen Momente. Da diese aus den Ableitungen der CF im Nullpunkt entstehen, reicht eine Bandbegrenzung um den Nullpunkt aus. Um diese Überlappungen für die Ableitungen zu ver- meiden, gilt [LWV92]
m d Gx(u) Z∗ (7.10) m = 0 k . du u=kΨ ∀ ∈ . Ist Gl. (7.10) erfüllt, berechnet sich das Moment m-ter Ordnung zu dmG (u) m m x (7.11) E xq = j m , { } du u=0 . wobei das entsprechende statistische Moment des Eingangssignals x mit Hilfe der Sheppard- Korrekturfaktoren [WKL96]
E x = E x 0 (7.12a) { } { q} − ∆2 E x2 = E x2 (7.12b) { } { q} − 12 ∆2 E x3 = E x3 3 E x (7.12c) { } { q} − { q} 12 . .
bestimmt wird. Ein entsprechend aufgeschaltetes externes Rauschsignal (Dither) vor der Quantisierung ver- bessert dabei zum Einen die Unkorreliertheit zwischen Quantisierungsfehler und Eingangssig- nal. Zum Anderen dient es zur „Filterung“ des Eingangssignals, um ein Aliasing der Wahr- scheinlichkeitsdichtefunktion zu vermeiden. Dies entspricht genau der Tiefpass-Filterung im Zeitbereich. Auch hier wird Information zerstört, um eine Missinterpretation zu vermeiden. Der Entwurf beinhaltet somit ein geeignetes Dither-Signal, welches an das Quantisierungsintervall angepasst ist und damit so wenig wie möglich Information zerstört (Varianzen addieren sich, falls unkorreliert). Tatsächlich können mit der Aufschaltung von Dither die Auflösung erhöht [EA04, Bli94] und Linearitätsfehler [Bra95] minimiert werden. Ein Dither ν mit dreieckiger Verteilungsfunk- tion (Summation von zwei gleichverteilten Rauschsignalen) erweist sich am günstigsten, da ei- nerseits ein Aliasing nach (7.10) für die ersten beiden Momente vermieden wird. Andererseits ist der Quantisierungsfehler (x + ν) x für diese Momente unabhängig vom Eingangssig- Q − nal [WLVW00]. 7.4 QUANTISIERUNGSRAUSCHEN 103
7.4.2 Quantisierungsrauschen in Rechenwerken
Rundungsverluste treten nicht nur bei der Quantisierung der reellen Koeffizienten auf, sondern auch bei arithmetischen Berechnungen. Weiterhin ist die Zahlendarstellung endlich, was einen Überlauf bei der Zahlendarstellung produzieren könnte. Durch geeignete Normierung bei der Betrachtung aller maximal möglichen Signale und weitere Maßnahmen, wie zum Beispiel In- tegrator Anti-Windup1, lässt sich dieses Problem vermeiden.
Koeffizientenquantisierung
Eine Koeffizientenquantisierung der IIR-Filterparameter verändert wesentlich die Lage der Pole
Polorte mit 4−bit Koeffizientenquantisierung Polorte mit 8−bit Koeffizientenquantisierung 1 1
0.8 0.8
0.6 0.6
0.4 0.4
0.2 0.2
0 0
−0.2 −0.2
Imaginärteil −−> −0.4 Imaginärteil −−> −0.4
−0.6 −0.6
−0.8 −0.8
−1 −1 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 Realteil −−> Realteil −−>
(a) (3 + 1)-Bit Quantisierung (b) (7 + 1)-Bit Quantisierung
Abb. 7.5: Polorte bei unterschiedlicher Quantisierung und Nullstellen. Abb. 7.5 zeigt für ein System zweiter Ordnung (SOS), dass diese Quantisierung für die Lage der Pole innerhalb des Einheitskreises nicht unerheblich ist. Die imaginären Pole z = r exp( jθ) liegen dabei auf einem Raster, welches aus konzentrischen Kreisen (entspre- 1/2 chend der Quantisierung von r2) und vertikalen Linien (entsprechend der Quantisierung von 2r cos θ) gebildet wird [OS89]. Imaginäre Pole mit einem geringen Winkel θ können dabei mit einem äußerst hohen Quantisierungsfehler behaftet sein. Falls dabei das Regelsystem sehr emp- findlich gegenüber Schwankungen der Pol-/Nullstellenorte ist, kann dies im äußersten Fall zur Instabilität des Gesamtsystems führen. Eine Möglichkeit der Verbesserung dieses Verhaltens zeigt [RG67] mit einer gekoppelten Form für ein SOS, welche ein äquidistantes Raster im z-Raum erzeugt.
1 Siehe dazu Abschnitt B.1 104 RAUSCHEN
Quantisierungsrauschen in der Recheneinheit
Wie schon in der Einleitung erwähnt, treten aufgrund der begrenzten Genauigkeit auch Run- dungsverluste bei der Berechnung des Filterausgangssignals
m n y[k] = b u[k i] a y[k i] (7.13) j − − i − j=0 i=1 X X in der Arithmetikeinheit auf. Unter der Annahme, dass eine (B + 1)-Bit Festkommazahlendar- stellung gewählt wurde, muss auch das Produkt der Bitlänge (2B + 1) auf die Länge (B + 1)- Bit durch Skalierung, Rundung oder Abschneiden reduziert werden. Auch hier kann das Quantisierungsrauschen vereinfacht als gleichverteiltes, unkorreliertes PSfrag replacementsweißes Rauschen angenommen werden, dass eine unabhängige Betrachtung jeder einzelnen Rauschquelle ermöglicht. Einen Überblick der beiden Arten der Rundung gibt Tab. 7.1.
qb0 [kT ]
x[kT ] yˆ[kT ] b0
1/z qb1 [kT ] qa1 [kT ] 1/z
b1 a1
1/z qb2 [kT ] qa2 [kT ] 1/z
b2 a2
Abb. 7.6: Quantisierungsmodell des IIR-Filters 2. Ordnung
Tatsächlich ist es möglich den Rechenfehler eines IIR-Filters n-ter Ordnung durch geeig- nete Zerlegung und Skalierung zu minimieren und einen Überlauf zu verhindern. Dazu wurden
Tab. 7.1: Fehlermodell bei Rundung und Kürzung
Rundung Kürzung
1 B 1 B Fehlerintervall q[kT ] 2− , 2− B ∈ −2 2 q[kT ] 2− , 0 ∈ − B 2− Mittelwert µ = 0 µq = q − 2
2 2B 2 2B Varianz σ2 = − σ2 = − q 12 q 12 7.5 PWM-RAUSCHEN 105
2 in [Jac70] unter Betrachtung der Lp-Norm einfache Regeln aufgestellt, die die Spitzenverstär- kung der Teilsysteme minimiert [OS89]:
(1) Der Pol, der am dichtesten am Einheitskreis liegt, sollte mit der Nullstelle gepaart werden, die dem Pol in der z-Ebene am nächsten ist.
(2) Die Regel (1) wird so oft angewendet, bis alle Pole und Nullstellen zu Paaren geordnet sind.
(3) Die resultierenden Teilsysteme zweiter Ordnung (Abb. 7.6) sollten nach der Nähe ihrer Pole zum Einheitskreis geordnet werden, entweder nach abnehmenden oder zunehmen- den Abstand zum Einheitskreis.
Um die Varianz des Ausgangsrauschens zu minimieren, sollten Teilsysteme mit hoher Güte am Anfang der Reihenschaltung platziert werden. Andererseits sollten diese Teilsysteme am Ende der Reihenschaltung liegen, damit aufgrund der Produktbildung der einzelnen Übertragungs- funktionen Überläufe vermieden werden. Für den rechnergestützten Entwurf sind in [Deh76] Möglichkeiten der Optimierung der Filter-Rauschleistung über die Pol-Nullstellen-Zuordnung, SOS-Anordnung und Skalierung vor- gestellt worden.
7.5 PWM-Rauschen
Da das System durch die PWM zwischen positiver und negativer Betriebsspannung periodisch geschaltet wird, entsteht am Ausgang der Strecke ein Signal, welches zwischen dem Maximal- und Minimalwert (3.44) schwankt. Die Schwankungsbreite für den eingeschwungenen Zustand ergibt sich damit zu
∆y = C [x+(t0, d) x (T, d)] 2dd0T CBu . (7.14) − − ≈ Für hohe PWM-Frequenzen kann ein annähernd linearer Anstieg und Abfall angenommen wer- den, wobei sich damit ein gleichverteiltes Ausgangssignal mit der Varianz
∆y2 (dd T CBu)2 σ = 0 (7.15a) y ≈ 12 3 und dem Mittelwert
1 µ Cx¯(d) = CA− (d d0)Bu (7.15b) y ≈ − − ergibt.
2 Der Hilbert Raum L definiert einen vollständigen metrischen Raum mit der Norm x = x, x aus dessen k k h i Skalarprodukt x, x . h i p 106 RAUSCHEN Kapitel 8
Zusammenfassung und Ausblick
Im Rahmen dieser Arbeit ist es gelungen, eine umfassende Beschreibung elektrostatisch erregter und kapazitiv detektierter MEMS am Beispiel eines Beschleunigungssensors zu geben. Ausgehend von einem Feder-Masse-Dämpfer System und unter Berücksichtigung des Squee- ze-Film Problems wurde ein mathematisches Modell des Sensors mit variabler Rotationsachse für den Zustandsraum entwickelt, dessen Ordnung sich wegen des einfachen Aufbaus leicht erhöhen lässt. Eine sehr einfache Methode zur Modellierung von Strömungskanälen wurde vor- gestellt, deren Ergebnis mit dem von FEM-Berechnungen vergleichbar ist. Dies macht eine einfache Abschätzung der Dynamik des Sensors möglich. Es wurde die Kapazitätsauswertung mittels Trägerfrequenzmessverfahren und Ladungsver- stärker modelliert. Das Hauptaugenmerk lag auf der Verwendung eines geschalteten Ladungs- verstärkers, der gleichzeitig eine Pulsbreitenansteuerung ermöglicht und schaltungstechnisch sehr aufwandsarm ist. Die PWM-Ansteuerung wurde über eine Mittelungsmethode modelliert, was eine genauere Analyse des dynamischen Verhaltens der geschalteten Strecke ermöglichte. Außerdem zeigte sich beim Einschalten der PWM ein störendes Impulsverhalten, das mittels Optimierung minimiert wurde. Weiterhin wurden Identifikationsmethoden linearer und nichtlinearer Art vorgestellt, die ei- ne Identifizierung des mechanischen Modells aus dem elektrostatischen Modell ermöglichen. Die lineare sowie nichtlineare Methode basiert auf einfachen Matrixoperationen, die sich für eine online Identifikation leicht umsetzen lassen. Für die lineare Identifikationsmethode wurde der quadratische Einfluss der Sensorbetriebs- spannung ausgenutzt. Es wurde gezeigt, dass die Polwanderung im niedrigen Spannungsbereich durch eine Parabel genähert werden kann und somit ein Rückschluss auf die mechanischen Pole möglich ist. Durch eine weitere kubische Polynomapproximation wird auf die Schleifenverstär- kung geschlossen. Praktische Beispiele bestätigten die mathematische Modellbildung. Die Identifikation kann aufgrund der Instabilität bei höheren Spannungen nur innerhalb der geschlossenen Schleife vorgenommen werden. Diskutiert wurden die daraus resultierenden Pro- bleme und es wurden Lösungsvorschläge zur Minimierung des Problems für die direkte Identi- fikation gegeben. Die im Weiteren vorgestellte blockorientierte Identifikation ermöglicht die gleichzeitige 108 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
Schätzung von LTI-System und elektrostatischer Nichtlinearität. Das blockorientierte Modell wurde aufgrund der bekannten Struktur des Systems gewählt. Vorteilhaft gegenüber parametri- schen oder nichtparametrischen Modellen ist der Einblick in die inneren Abhängigkeiten, was für eventuelle Parameteranpassung oder -optimierung günstig ist.
Für den Reglerentwurf wurde das H2- und H -Design gewählt, dessen allgemeine Struktur ∞ Gütekriterien wie robuste Stabilität gegenüber Modellunsicherheiten und geforderte Dynami- ken zulässt. Das allgemeine S/KS-Standardproblem wurde um die benötigten Übertragungs- funktionen G(s)S(s) und T(s) der Eingangsstörgrößenregelung erweitert und die benötigten Zustandsraummatrizen für den Reglerentwurf entwickelt. Die gewünschte Bandbreite des geschlossenen Systems wird durch instabile Pole und Null- stellen eingeschränkt. Entwurfskriterien wurden zur Dimensionierung der gewünschten Band- breite gegeben. Die Stabilitätsuntersuchung erfolgte mittels indirekter und direkter Methode nach Ljapun- ow. Durch das Aufstellen einer geeigneten Ljapunow-Funktion wurde die lokale Stabilität des Gleichgewichtspunktes innerhalb eines großen Bereiches nachgewiesen. Da reale Systeme aufgrund der theoretisch infiniten Kapazitätsdifferenz nicht den gesam- ten Auslenkungsbereich beobachten können, wurden die Auswirkungen einer Begrenzung des Messsignals untersucht. Numerische Beispiele bestätigten die Minderung der Stabilität. Das Verfahren der adaptiven Regelung mit Referenzmodell zeigte sich als Beispiel des nichtlinearen Reglerentwurfs als wenig erfolgreich. Problematisch ist einerseits die schnelle Dynamikänderung aufgrund der Auslenkung und Änderung der Steuerspannung. Andererseits definiert die Struktur eine Folgeregelung, das Messsystem aber selbst ist eine Störgrößenrege- lung mit der unbekannten Störgröße „Beschleunigung“. Die Empfindlichkeit und das Auflösevermögen spielen bei Messsystemen eine entschei- dende Rolle. Der Schwerpunkt lag bei der Untersuchung der digitalen Rauschquellen, welche aufgrund der Signaldiskretisierung ein „Nadelöhr“ im Messsystem darstellen. Durch Ditheraufschaltung mit dreieckiger Verteilungsfunktion lässt sich ein Aliasing der ersten beiden Wahrscheinlichkeitsmomente vermeiden und damit eine Auflösungserhöhung er- reichen. Eine geeignete Struktur, Zerlegung und Skalierung des IIR-Filters minimiert außerdem die Rechenfehler des digitalen Reglers. Eine weitere Möglichkeit ist der Einsatz von kompan- dierenden Quantisierern, welche die Quantisierungsstufen nichtlinear verzerren. Die Analyse des Ausgangsleistungsspektrums zeigte, dass die Signal-Rauschabstände un- abhängig von der Regelung sind. Darüber hinaus verändern Sensorspannung und Auslenkung den SNR. Durch gezielte dynamische Veränderung der Spannung ist es damit möglich, die Auflösung unter Verlust der Bandbreite zu erhöhen. Entwurfskriterien geben Hinweise für den Aufbau eines neuen Sensorsystems. Weitere Analysen sind bei der Stabilität gefordert, beispielsweise das Suchen nach einer geeigneteren Ljapunow-Funktion und die Ausweitung der Stabilitätsbetrachtung auf kompli- ziertere Reglerstrukturen. Die Messsignalbegrenzung und dessen Auswirkung auf die Stabilität kann die Grundlage weiterer Untersuchungen und dieser Widerspruch Aufgabe einer Optimie- rung sein. Anhang A
Modellbildung
A.1 Squeeze-Film Dämpfung
Die Reynoldsgleichung eines kompressiblen Newton-Fluides bei laminarer Strömung ergibt sich aus der stationären Lösung der Bewegungsgleichung und der Kontinuitätsgleichung für die Quetschströmung in Z-Richtung [Gro59]: ∂ %d3 ∂p ∂ %d3 ∂p d% + = 12d + 12% (v (d) v (0)) . (A.1) ∂x µ ∂x ∂y µ ∂y dt z − z Voraussetzung für die Gültigkeit dieser vereinfachten Annahme ist die modifizierte Reynolds- Zahl nach [Lan62]: ω%d2 Re∗ = 1 . (A.2) µ Aus dem Sonderfall der Quetschströmung für inkompressible Fluide mit d%/ dt = 0 im Spalt zweier paralleler Platten resultiert eine Poissonsche Differentialgleichung für kartesische Koor- dinaten ∂2p ∂2p 12µ + = v . (A.3) ∂x2 ∂y2 d3 z Eine Approximation des Squeeze-Film Verhaltens eines kompressiblen Mediums leitet sich aus der Polytropengleichung
n n pV = p%− = const. , 1 n κ (A.4) ≤ ≤ eines polytropen Prozesses ab. Der Polytropenkoeffizient n liegt dabei zwischen dem isother- mem Prozess mit n = 1 und dem adiabatischen Prozess mit Koeffizient κ. Gleichung (A.1) reduziert sich damit auf 3 n 3 n n ∂ d p− ∂p ∂ d p− ∂p ∂p− n dd + = 12 d + p− , (A.5) ∂x µ ∂x ∂y µ ∂y ∂t dt den Typ einer homogenen Diffusionsgleichung. Eine weitere Ausmultiplikation ergibt
3 2 2 d n 1 ∂p ∂p n dd d ∂p p− + + ∆p = p− + . (A.6) 12µ np ∂x ∂y dt np ∂t " # ! 110 MODELLBILDUNG
Durch Aufsplittung des Drucks p = p0 + δp und des Spaltabstandes d = d0 + z in einen kon- stanten und einen veränderlichen Anteil und eine weitere Vernachlässigung der Terme zweiter Ordnung ergibt sich eine vereinfachte, lineare Abhängigkeit d2p δp d z 1 ∂ δp 0 0 ∆ = + (A.7) 12µ p dt d n ∂t p 0 0 0 in Form einer inhomogenen Diffusionsgleichung.
A.2 Lösung des Squeeze-Film Problems
A.2.1 Translatorischer Fall
Mittels Separationsansatz φ(χ, γ, t) = Ψ(χ)Γ (γ)T (t) erhält man aus (3.10) die linearen DGL’en und deren Lösung
Ψ 00 + µΨ = 0 = Ψ(χ) = A cos(√µχ) + B sin(√µχ) (A.8a) ⇒ χ χ Γ 00 + ϑΓ = 0 = Γ (γ) = A cos(√ϑγ) + B sin(√ϑγ) (A.8b) ⇒ γ γ λ λ T 0 + T = 0 = T (t) = C exp t ; λ = µ + ϑ , (A.8c) σ ⇒ t −σ die den Randbedingungen des Drucks 1 β b φ(χ = , γ, t) = 0 ; φ(χ, γ = , t) = 0 mit β = (A.9a) 2 2 a und dessen Ableitung
∂φ ∂φ = 0 ; = 0 (A.9b) ∂χ χ=0,γ=0 ∂γ χ=0,γ=0 . . genügen müssen. Dies erfordert, dass die Sinusanteile Bχ = 0 und Bγ = 0 verschwinden und die Eigenwerte den Gleichungen mπ m2 √µ = nπ ; √ϑ = ; λ = µ + ϑ = π2 n2 + , m, n = 1, 3, 5, 7, . . . (A.10) β β2 genügen. Die Eigenlösung von φ ergibt sich zu
2 2 ∞ ∞ mπ 2 m π n + 2 σ t φ(χ, γ, t) = Am,n cos(nπχ) cos( γ) e − β . (A.11) β m=1, n=1, mXN¯ nXN¯ ∈ 2 ∈ 2 Um die Anfangsbedingung z φ(χ, γ, t = 0) = η = (A.12) d0 und die Nebenbedingungen (A.9) zu erfüllen, muss die Druckverteilung einer Rechteckschwin- gung in X- und Y-Richtung genügen. Durch Einsetzen der Fourierreihe (A.13) für die beiden Rechteckschwingungen A.2 LÖSUNG DES SQUEEZE-FILM PROBLEMS 111
1
0.5 n 1 4 ∞ ( 1) − sf (x) = − cos[(2n 1)πx] (A.13) −1 −0.5 0.5 1 π 2n 1 − −0.5 n=1 − X −1
Abb. A.1: Fourier-Entwicklung des Rechtecksignals in beide Raumrichtungen ergeben sich die Koeffizienten Am,n und somit die Druckverteilung des normierten Druckes zu
42η ∞ ∞ ( 1)m+n (2m 1)π φ(χ, γ, t) = − cos[(2n 1)πχ] cos[ − γ] π2 (2m 1)(2n 1) − β m=1 n=1 − − (A.14) X X2 − 2 π (2n 1)2+ (2m 1) t e − σ − β2 . ×
Um die eigentliche Squeeze-Kraft Fs zu erhalten, muss die Druckverteilung über die gesamte Plattenfläche integriert werden:
β 1 2 2 2 2 ∞ ∞ 64abp0η n2+ m π t 2 − β2 σ (A.15) Fs(t) = p0a φ(χ, γ, t) dχ dγ = 2 2 4 e . β 1 m n π Z− 2 Z− 2 m=1, n=1, mXN¯ nXN¯ ∈ 2 ∈ 2
Die Übertragungsfunktion von z(s) nach Fs(s) ergibt sich aus der Laplacetransformierten von (A.15) und der Sprungfunktion zu
F (s) ∞ ∞ 64abp s s = 0 . (A.16) 2 2 4 2 2 z(s) m n d0π π 2 m m=1, n=1, s + n + 2 N N σ β mX2¯ nX2¯ ∈ ∈ Mittels Vergleich des Resultats aus Gl. (3.11) ergeben sich für die Übertragungsfunktion (A.16) die elektrischen Komponenten
m2n2d π4 tran 0 (A.17a) Ls m,n = 2 ; m, n = 1, 3, 5, 7, . . . 64a βp0 m2n2d π6 m2 Rtran = 0 n2 + . (A.17b) s m,n 64a2βp σ β2 0 A.2.2 Rotatorischer Fall mit variabler Rotationsachse
Ausgehend von der partiellen DGL (3.8) und der Verschiebung z = ϕ(X c) ergibt sich eine − veränderte Störung aϕ c η = (χ ζ) = η¯(χ ζ) mit ζ = , (A.18) d0 − − a und eine veränderte Randbedingungen des Drucks
1 β φ(χ = , γ, t) = φ(χ = ζ, γ, t) = 0 ; φ(χ, γ = , t) = 0 . (A.19) 2 2 112 MODELLBILDUNG
An den Außenkanten und auf der Rotationsachse liegt Referenzdruck an. Um den Randbedin- gungen des Drucks zu genügen, müssen die Eigenwerte die Gleichungen
(2m 1)π √µ = nπ ; √ϑ = − (A.20a) β (2m 1)2 λ = µ + ϑ = π2 n2 + − , m, n = 1, 2, 3, 4, . . . (A.20b) β2
erfüllen und für ungerade n der Sinusanteil Bχ = 0 und für gerade n der Cosinusanteil Aχ = 0 verschwinden. Die Grundlösung von φ ergibt sich damit zu
∞ ∞ φ(χ, γ, t) = (Am,n cos(nπχ) + Bm,n sin(nπχ)) m=1 n=1 (A.21) X X − 2 2 (2m 1)π n2+ (2m 1) π t cos( − γ) e − β2 σ . × β
Um die Anfangsbedingung (A.18) und Nebenbedingungen (A.19) zum Zeitpunkt t = 0 zu er- füllen, muss die Druckverteilung einer Rechteckschwingung mit überlagerter Sägezahnschwin- gung
0.75 0.5 2 ∞ 2ζ n 1 n 0.25 sf (x) = sin( π) cos(nπx)+ cos( π) sin(nπx) −π n 2 n 2 −1 −0.5 0.5 1 n=1 −0.25 X −0.5 (A.22) −0.75
Abb. A.2: Rechteckschwingung mit überlagerter Sägezahnschwingung
in X-Richtung und in Y-Richtung einer Rechteckschwingung genügen. Die Anfangsbedingung φ(χ = ζ, γ, t) = 0, bei denen ζ / 0, 1/2 ist, kann für ein finites n nur annähernd erfüllt ∈ { } werden. Durch Einsetzen der Fourierreihen der jeweiligen Raumkoordinaten ergibt sich die Druck- verteilung des normierten Drucks:
8η¯ ∞ ∞ 2ζ n 1 n φ(χ, γ, t) = sin( π) cos(nπχ) + cos( π) sin(nπχ) −π2 n 2 n 2 m=1 n=1 (A.23) X X 2 2 m 1 π 2 (2m−1) ( 1) − (2m 1)π n + 2 t − cos[ − γ] e − σ β . × 2m 1 β −
Das Squeeze-Moment Ms, integriert über die gesamte Plattenfläche, ergibt sich damit zu
β 1 2 2 3 Ms(t) = p0a (χ ζ)φ(χ, γ, t) dχ dγ (A.24a) β 1 − Z− 2 Z− 2 − 2 2 8a2bp η¯ ∞ ∞ 1 + ( 1)n + 4ζ2(1 ( 1)n) n2+ (2m 1) π t = 0 − − − e − β2 σ . (A.24b) π4 (2m 1)2n2 m=1 n=1 X X − A.3 PULSBREITENANSTEUERUNG 113
Die Laplacetransformation von (A.24)
M (s) 8a3bp ∞ ∞ 1 + ( 1)n + 4ζ2(1 ( 1)n) s s = 0 − − − (A.25) 4 2 2 2 2 ϕ(s) d0π (2m 1) n π 2 (2m 1) m=1 n=1 s + n + −2 X X − σ β und ein anschließender Vergleich ergeben die elektrischen Komponenten
(2m 1)2n2d π4 m, n = 1, 2, 3, 4, . . . rot 0 (A.26a) Ls m,n = 4 − n 2 n ; 8a βp0(1 + ( 1) + 4ζ (1 ( 1) )) max n 2 − − − | (2m 1)2n2d π6 (2m 1)2 Rrot = − 0 n2 + − . (A.26b) s m,n 8a4βp σ(1 + ( 1)n + 4ζ2(1 ( 1)n)) β2 0 − − − Da sich die Grundlösung (A.21) für χ aus zwei Teilen zusammensetzt, muss n immer als gerade Zahl enden.
A.3 Pulsbreitenansteuerung
A.3.1 Statisches Verhalten
Ausgehend von der Lösung beider Schaltzustände (3.42) ergeben sich durch Einsetzen der Randbedingungen (3.39, 3.43) die Minimal- und Maximalwerte einer PWM-Schwingung zu
1 x (t , d) = [I Φ(T )]− [Ψ(dT ) Φ(dT )Ψ(d0T )] Bu (A.27a) + 0 − − 1 x (T, d) = [I Φ(T )]− [Φ(d0T )Ψ(dT ) Ψ(d0T )] Bu . (A.27b) − − − Mittels den Approximationen erster Ordnung der Transitionsmatrix Φ und Ψ
Φ(t) I + tA , Ψ(t) tI (A.28) ≈ ≈ vereinfachen sich die Gleichungen zu (3.44). Hilfreich für die Berechnungen ist die Identität T T [I Φ(T )] = I Φ( ) I + Φ( ) , (A.29) − − 2 2 welche die Gleichungen (A.27) für ein Tastverhältnis von d = d0 = 1/2 zu 1 1 T − T 1 x (t , d = ) = I + Φ( ) Ψ( )Bu [4I + T A]− T Bu (A.30a) + 0 2 2 2 ≈ 1 1 T − T 1 x (T, d = ) = I + Φ( ) Ψ( )Bu [4I + T A]− T Bu (A.30b) − 2 − 2 2 ≈ − vereinfacht. Für die Berechnung der Schwankungsbreite gilt:
∆x = x+(t0, d) x (T, d) (A.31a) − − 1 = [I Φ(T )]− [I Φ(d0T )] Ψ(dT ) + [I Φ(dT )] Ψ(d0T ) Bu (A.31b) − { − − } 1 1 1 = A− (Φ(T ) I) − A− [Φ(d0T ) I] Ψ(dT ) + [Φ(dT ) I] Ψ(d0T ) Bu − { − − } (A.31c) 1 = Ψ− (T ) [Ψ(d0T )Ψ(dT ) + Ψ(dT )Ψ(d0T )] Bu . (A.31d) 114 MODELLBILDUNG
Aufgrund der Kommutativität
B e A = e A B ; e A+B = e A e B für AB = BA (A.32)
der Matrizen Ψ(dT ) und Ψ(d0T ) vereinfacht sich (A.31d) weiter zu
1 ∆x = 2Ψ− (T )Ψ(d0T )Ψ(dT )Bu . (A.33)
A.3.2 Einschaltverhalten
Für das Vorhandensein eines Extremums müssen die notwendigen Bedingungen
T 2 dJ dx1 (T, d) d J − x und (A.34) = ˜ = 0 2 0 dd d=d dd dd d=d ≥ opt d=dopt opt . . . erfüllt sein. Bei Einsetzen der Beziehungen (3.50b) und (A.30b) in (A.34) folgt
1 dJ T T T T − T = u B 2T Φ(d0T ) Ψ(T ) 2Ψ(d0T ) + I + Φ( ) Ψ( ) Bu (A.35a) dd − 2 2 ! T T 2 T 1 u B 2T I + 2d0T A (2d 1)I + [4I + T A]− T Bu . (A.35b) ≈ − Wird der quadratische Term vernachlässigt, ergibt sich eine lineare Abhängigkeit
dJ T T 1 u B 2T 2dI [4I + T A]− [3I + T A] T Bu = 0 (A.36) dd ≈ − und deren 2. Ableitung
d2J 4T 2uTBTBu 0 , (A.37) dd2 ≈ ≥ was tatsächlich auf ein globales Minimum schließen lässt. Umgestellt nach dem Tastverhältnis d mündet die Gleichung (A.36) in (3.52a).
A.4 Modellierung des Anschlags
Das Verhalten bei Anschlag der Masse spielt eine große Rolle beim Einschalten des Systems und bei Überlastung. Das Regelsystem sollte dennoch stabil sein und die Masse wieder in Ru- helage positionieren können. Eine genaue Modellierung des Anschlagverhaltens ist dabei nicht ohne weiteres möglich, da innere Vorgänge genau untersucht werden müssten. Beispielsweise kann bei einseitigem An- schlag eine Taumelbewegung der Masse oder eine Verschiebung der Rotationsachse zur Auflage hin erfolgen (Abb. A.3). A.4 MODELLIERUNG DES ANSCHLAGS 115
Auflage
Abb. A.3: Möglicher Wechsel der Rotationsachse bei Anschlag durch Federbiegung
Mathematisches Modell
Meist wurde für die Modellierung und Simulation sehr vereinfacht ein Begrenzungsglied zur Limitierung des Weges (z. B. in [KLH98, BAM05]) verwendet, ohne jedoch die abrupte Verän- derung der Beschleunigung und Geschwindigkeit zu berücksichtigen. Ein vereinfachtes Modell, das die ruckartige Veränderung beinhaltet und damit das Verhal- PSfrag replacements ten bei Anschlag besser repräsentiert, zeigt Abb. A.4. Der Anschlag wird dabei als Feder kb
x0 d k ds
ks x1
m
x2 x3 kb
x4
Abb. A.4: Modell des Beschleunigungssensors mit Anschlag
genähert, die bei Auftreffen das Gesamtsystem augenblicklich versteift und eine Gegenkraft er- zeugt. Das mechanische Modell in Abb. A.4 kann in den beiden Knotenpunkten mit den DGL’en
mx¨ + dx˙ + kx + k (x x ) = k F , x < x (A.38a) 2 2 2 s 2 − 1 p ∀ 2 3 mx¨ + dx˙ + (k + k )x + k (x x ) = k F + k x , x x (A.38b) 2 2 b 2 s 2 − 1 p b 3 ∀ 2 ≥ 3 und
k (x x ) + d x˙ = 0 (A.39) s 1 − 2 s 1 vollständig beschrieben werden. Die Zustandsraum-Form zur Umsetzung im Simulationsmo- 116 MODELLBILDUNG
dell ergibt sich zu . ks ks x1 0 x1 0 0 − ds ds F x = 0 0 1 x + 0 0 (A.40a) 2 · 2 · k+ks+k (x2) kp k (x2) "x3# x˙ ks b d x˙ b 2 m − m − m 2 m m x1 0 x2 < x3 y = 0 1 0 x , mit k (x ) = (A.40b) 2 b 2 · kb x2 x3 . h i x˙ 2 ≥ Realisierung in Matlab
Eine Gewinnung der Parameter des mechanischen Modells (A.40) ist nichttrivial und wurde mittels nichtlinearer Optimierung des Phasen- und Amplitudenganges
J = (20 log abs G(jω) 20 log abs G˜(jω))2 + . . . − + (arg G(jω) arg G˜(jω))2 = min (A.41) − ⇒ mit
1 s + ks m dsm G˜(s) = kp (A.42) s3 + d + ks s2 + ksd + k+ks s + ksk m ds dsm m dsm gelöst. Maßgeblich für das Ergebnis der Optimierung ist die Initialisierung des Parametervektors.
Für die Initialisierung wurden dabei kp = 1 und d = 0 gesetzt und die übrigen Parameter durch Vergleich der Koeffizienten von (A.42) mit der Übertragungsfunktion ermittelt.
Matlab-Funktion zur Bestimmung der Parameter
% SENSOR_OPTIM Bestimmung o p t i m a l e s Feder Masse System m i t Squeeze Film Dämpfung − − − − − 2 % % A u f r u f [ s _ p l a n t , x o p t ] = s e n s o r _ o p t i m ( s _ r e f e r e n c e , . . . 4 % ’ s t r ’ , [ c0params ] , [ x0 ] ) % 6 % s _ r e f e r e n c e = R e f e r e n z s y s t e m % s t r = O p t i m i e r u n g s F u n k t i o n : − 8 % : ’ b ’ > Phase und A m p l i t u d e % : ’ n ’ −−> Real und I m a g i n ä r t e i l −− − 10 % c0params = S t r u c t u r m i t möglichen K o n s t a n t e n % [C0 , G0 , L0 , Ls , Rs , k0 ] 12 % x0 = A n f a n g s w e r t e , i n R e i h e n f o l g e [ C0 , G0 , L0 , Ls , Rs , k0 ] , % d i e n i c h t i n c0params genannt wurden . 14 % % x o p t = O p t i m i e r t e Werte i n S t r u k t u r 16 % s _ p l a n t = O p t i m i e r t e s Feder Masse System % s _ p l a n t = t f ( x o p t−. k0 x o−p t . L0 [ x o p t . Ls , x o p t . Rs ] , . . . ∗ ∗ 18 % [ x o p t . C0 x o p t . L0 x o p t . Ls , . . . % x o p t . G0∗ x o p t . L0∗ x o p t . Ls + x o p t . C0 x o p t . L0 x o p t . Rs , . . . ∗ ∗ ∗ ∗ 20 % x o p t . L0 + x o p t . Ls + x o p t . G0 x o p t . L0 x o p t . Rs , x o p t . Rs ] ) ; % ∗ ∗ 22 % Heiko Wolfram , TUC 2004 % 24 % $Id : s e n s o r _ o p t i m .m, v 0 . 3 2 0 0 4 / 0 7 / 0 2 0 9 : 0 7 : 3 1 hwol Exp $ A.4 MODELLIERUNG DES ANSCHLAGS 117
26 f u n c t i o n [ s _ p l a n t , xopt ] = s e n s o r _ o p t i m ( s _ r e f e r e n c e , s t r , c0params , x0 ) ,
28 % i n i t i a l i s i e r e A n f a n g s w e r t e s _ p l a n t = [ ] ; 30 xopt = [ ] ;
32 % F e l d e r [ Masse , Dämpfer G0 = 1 / R0 , Feder , Feder Squeeze Film , . . . % Dämpfer Squeeze Film , V e r s t ä r k u n g ] ; − − 34 f i e l d s = { ’ C0 ’ , ’ G0’ , ’ L0 ’ , ’ Ls ’ , ’ Rs ’ , ’ k0 ’ } ;
36 % f a l l s zu wenig Prameter i f nargin < 1 , 38 disp ( [ ’ ERROR: Usage s e n s o r _ o p t i m ( s _ r e f e r e n c e , s t r , [ x0 ] ) ’ ] ) ; break ; ∗∗∗ 40 end ;
42 % i s t Optimierung gegeben ? i f nargin < 2 | isempty ( s t r ) , 44 s t r = ’ b ’ ; e l s e i f s t r ( 1 ) ~ = ’ b ’ & s t r ( 1 ) ~ = ’ n ’ , 46 disp ( [ ’ ERROR: O p t i m i z a t i o n must be ’ ’ b ’ ’ or ’ ’ n ’ ’ ! ’ ] ) ; break ; ∗∗∗ 48 end ;
50 f i g = f i g u r e ; i f s t r ( 1 ) = = ’ b ’ , 52 % bekomme Phase und A m p l i t u d e Werte aus Bodediagramm [ p 1 _ r e f , p 2 _ r e f −, omega ] = bode−( s _ r e f e r e n c e ) ; 54 % Drucke Bode Diagramm t i t l e ( ’ Bode D−iagram of R e f e r e n c e System ’ ) ; 56 s u b p l o t ( 2 , 1 , 1 ) ; semilogx ( omega ( : ) , 2 0 log10 ( p 1 _ r e f ( : ) ) , ’ r ’ ) ; y l a b e l ( ’ Amplitude >’ ) ; t i t l e ( ’ Bode ∗Diagram of R e f e r e n c e System ’ ) ; −− 58 s u b p l o t ( 2 , 1 , 2 ) ; semilogx ( omega ( : ) , p 2 _ r e f ( : ) , ’ r ’ ) ; x l a b e l ( ’ Omega >’ ) ; y l a b e l ( ’ Phase >’ ) ; −− −− 60 e l s e ; % bekomme Real und I m a g i n ä r w e r t e − 62 [ p 1 _ r e f , p 2 _ r e f , omega ] = n y q u i s t ( s _ r e f e r e n c e ) ; % Drucke N y q u i s t P l o t − 64 p l o t ( p 1 _ r e f ( : ) , p 2 _ r e f ( : ) , ’ r ’ ) ; y l a b e l ( ’ I m a g i n a r y P a r t >’ ) ; x l a b e l ( ’ Real P a r t >’ ) ; −− −− 66 t i t l e ( ’ N y q u i s t Diagram of R e f e r e n c e System ’ ) ; end ; 68 % s i n d Vorgaben gemacht ? 70 i f nargin < 3 | isempty ( c0params ) , c0params = [ ] ; 72 end ;
74 % s i n d A n f a n g s w e r t e gegeben ? i f nargin < 4 | isempty ( x0 ) , 76 % e r h a l t e Z ä h l e r und Nenner Werte − 78 [ num , den ] = t f d a t a ( s _ r e f e r e n c e , ’ v ’ ) ;
80 % i s t Ordnung des Modells zu g e r i n g , dann breche ab i f l e n g t h ( r o o t s ( num ) ) < 1 | . . . 82 l e n g t h ( r o o t s ( den ) ) < 1 , disp ( [ ’ ERROR: Order f o r s n a p p i n g s t a r t i n g v a l u e s t o o low ’ ] ) ; ∗∗∗ 84 break ; end ; 86 % Warnung , f a l l l s Ordnung des Modells n i c h t s t i m m t 88 i f l e n g t h ( r o o t s ( num ) ) ~ = 1 | . . . l e n g t h ( r o o t s ( den ) ) ~ = 3 , 90 disp ( [ ’ WARNING: Order f o r I n p u t Model n o t c o r r e c t ’ ] ) ; disp ( [ ’ ∗∗∗ Try t o f i n d s t a r t i n g v a l u e s n e v e r t−h e l e s s . . . ’ ] ) ; 92 end ;
94 % Monisches Polynom e r z e u g e n i f den ( 1 ) ~ = 1 , 96 num = num / den ( 1 ) ; den = den / den ( 1 ) ; 98 end ; 118 MODELLBILDUNG
100 % Berechne A n f a n g s w e r t e m i t t l e s des Modells : % Gs ( s ) = ks / ( Co s ^ 2 + Go s + 1 / Lo + s / ( Ls s + Rs ) ) ; Gs = 0 ; ks = 1 ; ∗ ∗ ∗ 102 % 1 / C0 s + Rs / ( Co Ls ) % = ∗ ∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 104 % s ^ 3 + Rs / Ls s ^ 2 + ( Lo + Ls ) / ( Co Lo Ls ) s + Rs / ( Co Lo Ls ) % ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 106 k0 = 1 ; G0 = 0 ; % V e r e i n f a c h u n g 108 C0 = 1 / num ( end 1); L0 = num ( end ) / −den ( end ) ; % G( 0 ) = k0 L0 ∗ 110 wc = num ( end ) / num ( end 1 ) ; % wc = Rs / Ls = 1 / t a u _ s q ; Ls = L0 / ( C0 L0 den ( end− 1 ) 1 ) ; ∗ ∗ − − 112 Rs = wc Ls ; ∗
114 x0 = [ ] ; f o r k = 1 : l e n g t h ( f i e l d s ) , 116 i f ~ i s f i e l d ( c0params , f i e l d s {k } ) , e v a l ( [ ’ x0 = [x0 ; ’ , f i e l d s {k } , ’ ] ; ’ ] ) ; 118 end ; end ; 120 end ; % i f n a r g i n < 3 | i s e m p t y ( x0 ) , 122 pause ( 0 . 5 ) ; 124 disp ( ’ Run O p t i m i z a t i o n . . . ’ ) ; 126 o p t i o n s = o p t i m s e t ( ’ f m i n s e a r c h ’ ) ;
128 % Suche Optimum [ xopt ] = f m i n s e a r c h ( ’ s e n s o r _ f u n ’ , x0 ( : ) , o p t i o n s , . . . 130 [ p 1 _ r e f ( : ) , p 2 _ r e f ( : ) , omega ( : ) ] , c0params , s t r ) ;
132 % E r m i t t l e Bode Werte und F e h l e r des o p t i m i e r t e n S y s t e m s [ error , s _ p l a n t−, xopt ] = s e n s o r _ f u n ( xopt ( : ) , . . . 134 [ p 1 _ r e f ( : ) , p 2 _ r e f ( : ) , omega ( : ) ] , c0params , s t r ) ;
136 i f s t r ( 1 ) = = ’ b ’ , [ p1 , p2 ] = bode ( s _ p l a n t , omega ( : ) ) ; 138 e l s e ; [ p1 , p2 ] = n y q u i s t ( s _ p l a n t , omega ( : ) ) ; 140 end ;
142 % G r a p h i s c h e r V e r g l e i c h der Modelle f i g u r e ( f i g ) ; 144 i f s t r ( 1 ) = = ’ b ’ , s u b p l o t ( 2 , 1 , 1 ) ; 146 semilogx ( omega ( : ) , 2 0 log10 ( p 1 _ r e f ( : ) ) , ’ r ’ , . . . omega ( : ) , 2 0 ∗ log10 ( p1 ( : ) ) , ’ b ’ ) ; ∗ 148 y l a b e l ( ’ Amplitude >’ ) ; t i t l e ( ’ Bode Diagram−−of R e f e r e n c e and S p r i n g Mass System ’ ) ; − − 150 s u b p l o t ( 2 , 1 , 2 ) ; 152 semilogx ( omega ( : ) , p 2 _ r e f ( : ) , ’ r ’ , . . . omega ( : ) , p2 ( : ) , ’ b ’ ) ; 154 x l a b e l ( ’ Omega >’ ) ; y l a b e l ( ’ Phase >’ ) ; e l s e ; −− −− 156 p l o t ( p 1 _ r e f ( : ) , p 2 _ r e f ( : ) , ’ r ’ , . . . p1 ( : ) , p2 ( : ) , ’ b ’ ) ; 158 y l a b e l ( ’ I m a g i n a r y P a r t >’ ) ; x l a b e l ( ’ Real P a r t >’ ) ; t i t l e ( ’ N y q u i s t Diagram −of− R e f e r e n c e System ’ ) ; −− 160 end ;
162 % Legende legend ( ’ R e f e r e n c e System ’ , ’ S p r i n g Mass System ’ , 4 ) ; − 164 % Ausgabe v e r s c h i e d e n e r Werte 166 x t i c k s = g e t ( gca , ’ X t i c k ’ ) ; y t i c k s = g e t ( gca , ’ Y t i c k ’ ) ; h = t e x t ( x t i c k s ( 1 ) , y t i c k s ( 1 ) , ’ 1 2 3 ’ , ’ V i s i b l e ’ , ’ o f f ’ ) ; 168 e x t = g e t ( h , ’ E x t e n t ’ ) ; d e l e t e ( h ) ; 170 h e i g h t = e x t ( 4 ) ; width = e x t ( 3 ) ; 172 i f strcmp ( g e t ( gca , ’ XScale ’ ) , ’ l o g ’ ) , width = log10 ( width ) ; A.4 MODELLIERUNG DES ANSCHLAGS 119
174 end ; x v a l = x t i c k s ( 1 ) + width ; 176 t e x t ( x v a l , y t i c k s ( 1 ) + h e i g h t , [ ’ F e h l e r : ’ , m a t 2 s t r ( error , 3 ) ] ) 178 t e x t ( x v a l , y t i c k s ( 1 ) + 2 . 5 h e i g h t , . . . [ ’ Cross Over Frequenc∗y : ’ , m a t 2 s t r ( 1 / ( 2 pi ) xopt . Rs / xopt . Ls , 3 ) , ’ Hz ’ ] ) ; ∗ ∗ 180 t e x t ( x v a l , y t i c k s ( 1 ) + 3 . 5 h e i g h t , . . . [ ’ Resonance Frequency∗ : ’ , . . . 182 m a t 2 s t r ( 1 / ( 2 pi ) s q r t ( 1 / ( xopt . C0 / xopt . L0 ) ) , 3 ) , ’ Hz ’ ] ) ; ∗ ∗
184 %% END f u n c t i o n [ s _ p l a n t , x o p t ] = s e n s o r _ o p t i m ( s _ r e f e r e n c e )
Optimierungsfunktion
% SENSOR_FUN O p t i m i e r u n g s f u n k t i o n f ü r s e n s o r _ o p t i m .m − 2 % % A u f r u f : [ e r r o r , s _ p l a n t , cparams ] = s e n s o r _ f u n ( xvec , v a l u e s , c0params , s t r ) 4 % % xvec = V e c t o r w i t h p a r a m e t e r s , which are n o t i n S t r u c t u r e 6 % c0params % v a l u e s = [ mag , phase , omega ] or [ r e a l , imag , omega ] 8 % c0params = S t r u c t u r e w i t h p o s s i b l e f i e l d s [ C0 , G0 , L0 , Ls , Rs , k0 ] , % which are c o n s t a n t p a r a m e t e r s . 10 % s t r = ’ n ’ or ’ b ’ f o r N y q u i s t or Bode P l o t % 12 % 2 1 . 0 5 . 0 4 Heiko Wolfram , TUC % 14 % $Id : s e n s o r _ f u n .m, v 0 . 3 2 0 0 4 / 0 7 / 0 2 0 9 : 0 7 : 3 1 hwol Exp $
16 f u n c t i o n [ error , s _ p l a n t , c 0 p a r ] = s e n s o r _ f u n ( xvec , v a l u e s , c 0 p a r , s t r ) ,
18 % Keine n e g a t i v e n Werte xvec = abs ( xvec ) ; 20 % F e l d e r [ Masse , Dämpfer G0 = 1 / R0 , Feder , Feder Squeeze Film , . . . − 22 % Dämpfer Squeeze Film , V e r s t ä r k u n g ] ; f i e l d s = { ’ C0 ’ , ’ G0’ , ’ L0−’ , ’ Ls ’ , ’ Rs ’ , ’ k0 ’ } ; 24 m = 1 ; 26 f o r k = 1 : l e n g t h ( f i e l d s ) , i f ~ i s f i e l d ( c 0 p a r , f i e l d s {k } ) , 28 c 0 p a r = s e t f i e l d ( c 0 p a r , f i e l d s {k } , xvec (m ) ) ; m = m + 1 ; 30 end ; end ; 32 % Ü b e r t r a g u n g s f u n k t i o n S t r e c k e : 34 % k0 % Gc ( s)= −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 36 % s % C0 s ^ 2 + G0 s + 1 / L0 + ∗ ∗ −−−−−−−−− 38 % Rs + Ls s ∗
40 % Mathematica : % ======42 % gp = k0 / ( C0 s ^ 2 + G0 s + 1 / L0 + s / ( Ls s + Rs ) ) ; % g f = Factor ∗[ gp ] ; ∗ ∗ 44 % num = R e v e r s e [ C o e f f i c i e n t L i s t [ Numerator [ g f ] , s ] ] ; % den = R e v e r s e [ C o e f f i c i e n t L i s t [ Denominator [ g f ] , s ] ] ; 46 s _ p l a n t = t f ( c 0 p a r . k0 c 0 p a r . L0 [ c 0 p a r . Ls , c 0 p a r . Rs ] , . . . [ c 0 p a r . C∗0 c 0 p a r . L0∗ c 0 p a r . Ls , . . . ∗ ∗ 48 c 0 p a r . L0 ( c 0 p a r . G0 c 0 p a r . Ls + c 0 p a r . C0 c 0 p a r . Rs ) , . . . c 0 p a r . L0 ∗+ c 0 p a r . L∗s + c 0 p a r . G0 c 0 p a r . L∗0 c 0 p a r . Rs , . . . ∗ ∗ 50 c 0 p a r . Rs ] ) ;
52 i f s t r ( 1 ) = = ’ b ’ , % Berechnung Phase und A m p l i t u d e 54 % norm ( phase ( : ) p h a s e r e f ( : ) ) + norm (20 log10 ( mag ( : ) ) 2 0 log10 ( magref ( : ) ) ) ; [ v1 , v2 ] = bode (−s _ p l a n t , v a l u e s ( : , 3 ) ) ; ∗ − ∗ 56 % F e h l e r z w i s c h e n den Modellen im Bode Diagramm − 120 MODELLBILDUNG
58 error = norm ( v2 ( : ) v a l u e s ( : , 2 ) ) + . . . norm (20 log−10 ( v1 ( : ) . / v a l u e s ( : , 1 ) ) ) ; ∗ 60 e l s e ; % Berechnung Real und I m a g i n ä r t e i l − 62 [ v1 , v2 ] = n y q u i s t ( s _ p l a n t , v a l u e s ( : , 3 ) ) ;
64 error = norm ( v1 ( : ) v a l u e s ( : , 1 ) ) + . . . norm ( v2 ( : ) − v a l u e s ( : , 2 ) ) ; − 66 end ;
68 %% END f u n c t i o n [ e r r o r , s _ p l a n t ] = s e n s o r _ f u n ( xvec , magref , p h a s e r e f , omega ) Anhang B
Reglerentwurf
B.1 Anti-Windup Maßnahmen
Bei linearen Reglern können große Stellsignalamplituden entstehen, die für reale Systeme be- schränkt werden müssen. Die Beschränkung des realen Stellsignals ist mit Hilfe des Sättigungs- operators
umax für u(t) > umax u˜(t) = sat u(t) = u(t) für u(t) [u , u ] (B.1) { } min max ∈ umin für u(t) < umin dargestellt. Probleme ergeben sich bei Reglern mit I-Anteil. Bei dem sogenannten Windup-Phänomen integriert der Integrator auch nach dem Erreichen der Sättigungsgrenze die Stellgröße immer PSfrag replacementsweiter auf. Anti-Windup Maßnahmen vermeiden dieses Weiterintegrieren, sobald die Sättigung erreicht ist.
y(t) 1 u(t) y u˜(t) 1 S(z− ) 1 u P (z− )
1 (R P )(z− ) −
Abb. B.1: Digitaler Regler mit Anti-Windup Dynamik [LLM98]
Abb. B.1 zeigt eine Realisierungsmöglichkeit, die eine Dynamik innerhalb des Sättigungs- bereiches zulässt. Das gewünschte Anti-Windup Verhalten ist definiert mit dem monischen und 1 Hurwitz-stabilen Polynom P (z− ). Aus Gründen der Realisierbarkeit muss die Ungleichung
1 1 deg P (z− ) deg R(z− ) (B.2) ≥ erfüllt sein. Ist das Stellsignal u(t) nicht begrenzt, ergibt sich die Übertragungsfunktion des 122 REGLERENTWURF
Reglers
−1 S(z ) 1 P (z−1) S(z− ) − (B.3) (R P )(z 1) = 1 . − − R(z− ) 1 + P (z 1)
B.2 Singulärwertzerlegung
Die Singulärwertzerlegung (SVD) ist eine Matrix-Faktorisierung, die bei vielen technisch-ma- l m thematischen Problemen gefunden werden kann. Jede komplexe Matrix A C × kann mittels ∈ SVD faktorisiert werden [BSMM01]
k H H A = UΣV = σiuivi , k = min(l, m) , (B.4) i=1 X 1 l l m m l m mit den orthogonalen Matrizen U C × und V C × und der Diagonalmatrix Σ R × , ∈ ∈ ∈ die in den Diagonalelementen die positiven Singulärwerte σi in absteigender Ordnung enthält. Die Singulärwerte sind die Quadratwurzeln der k größten Eigenwerte von AAH und AHA [SP96]
H H σi = λi(AA ) = λi(A A) . (B.5) q q Analog definieren U und V die Matrix der Eigenvektoren von AAH bzw. von AHA
(AAH)U = UΣΣH und (AHA)V = VΣHΣ . (B.6)
Die Spalten der Matrix V definieren die Eingangsrichtung einer linearen Transformation mit A. Entsprechend bestimmen die Spalten der Matrix U die Ausgangsrichtung der Transformation [SP96]:
Avi = σiui . (B.7)
Der Singulärwert σi bestimmt dabei die Verstärkung für die jeweilige Richtung.
B.3 Normen
Die Norm im mathematischen Sinne beschreibt die „Größe“ von Elementen im sogenannten metrischen Raum als positive reelle Zahl, wobei folgende Eigenschaften erfüllt sein müssen [BSMM01]:
1. x 0, k k ≥ 2. x = 0 genau dann, wenn x = 0, k k 3. αx = α x (Homogenität), k k | |k k 4. x + y x + y (Dreiecksungleichung). k k ≤ k k k k 1 1 Orthogonale Matrizen sind (komplexe) quadratische Matrizen, deren Inverse U− gleich der (konjugiert) trans- ponierten Matrix UH ist. Die Eigenwerte orthogonaler Matrizen haben den Absolutwert Eins. B.3 NORMEN 123
B.3.1 Vektornormen
Existiert ein Vektor x mit n Elementen im komplexen Raum Cn, so kann die Vektor p-Norm als
−1 n p x = x p , p 1 (B.8) k kp | i| ≥ i=1 ! X definiert werden. Für p = 1, 2, ergeben sich die Spezialfälle [BSMM01]: ∞ n x = x Betragssummennorm (B.9a) k k1 | i| i=1 X n x = x 2 Euklidische Norm (B.9b) k k2 v | i| u i=1 uX t x = max xi Maximumnorm . (B.9c) ∞ 1 i n k k ≤ ≤ | | Die Vektornorm definiert daher ein Maß der Länge eines Vektors.
B.3.2 Matrixnormen
m n Als direkte Erweiterung der Vektor p-Normen auf Matrizen (A C × ) ergeben sich die Fälle ∈ für p = 1, 2, [SP96]: ∞ m n
A sum = a Matrixsummennorm (B.10a) k k | ij| i=1 j=1 X X m n A = a 2 = tr(AHA) Frobenius-Matrixnorm (B.10b) k kF v | ij| u i=1 j=1 uX X q t A max = max aij Maximale Elementnorm . (B.10c) k k 1 i m | | 1≤j≤ n ≤ ≤ Da die Konsistenzbedingung
AB A B (B.11) k k ≤ k k · k k für die Norm (B.10c) nicht erfüllt ist, bezeichnet sie daher nur eine verallgemeinerte Ma- trixnorm [SP96].
Induzierte Matrixnormen: Sehr zweckmäßig ist es eine Norm für Matrizen zu definieren, welche das Verhältnis von Vektor p-Norm des Eingangsvektors mit dem linear transformierten Ausgangsvektor
Ax p A p = sup k k (B.12) k k x=0 x p 6 k k 124 REGLERENTWURF
durch Matrix A beschreibt. Die induzierte Matrixnorm gibt die maximal mögliche Verstärkung einer linearen Transformation an. Für die induzierten Normen p = 1, 2, ergeben sich die ∞ Fälle [BSMM01]:
m
A 1 = max aij Spaltensummennorm (B.13a) k k 1 j n | | ≤ ≤ i=1 X A = σ(A) = ρ(AHA) Spektralnorm oder größter Singulärwert (B.13b) k k2 n q A = max aij Zeilensummennorm . (B.13c) k k∞ 1 i m | | ≤ ≤ j=1 X Der Spektralradius ρ(A) = max λ (A) ist definiert als der Betrag des größten Eigenwertes i | i | der Matrix A.
B.3.3 Signalnormen
Für zeitveränderliche Signale können zur Vektornorm ähnliche Maße definiert werden:
−1 n p ∞ x = x (t) p dt . (B.14) k kp | i | i=1 ! Z−∞ X Zu beachten ist dabei die Beschränktheit der Normen am jeweiligen Zeitsignalverlauf. Die häu- figsten Normen für zeitveränderliche Signale sind [SP96]:
n ∞ x = x (t) dt 1-Norm (B.15a) k k1 | i | i=1 Z−∞ X n ∞ x = x (t) 2 dt 2-Norm, Energie des Signals (B.15b) k k2 v | i | u i=1 uZ−∞ X t x = sup max xi(t) -Norm, Spitzenwert . (B.15c) k k∞ t 1 i n | | ∞ ≤ ≤ Der Effektivwert (RMS) eines Signals kann als weitere „Norm“ [SP96]
T n 1 2 x rms = lim xi(t) dt (B.16) k k T v2T | | →∞ u T i=1 u Z− X t ähnlich der 2-Norm definiert werden. Dieser ist im eigentlichen Sinne nur eine Semi-Norm, da die Eigenschaft 2 nicht erfüllt ist.
B.3.4 Systemnormen
Mit Hilfe der Systemnormen lassen sich Aussagen über das Verhältnis der Normen von Ein- gangssignal u(t) und Ausgangssignal y(t) eines linearen Systems (Abb. B.2) treffen. Ähnlich wie die induzierten Matrixnormen definieren sie die maximale Systemverstärkung des linearen B.3 PSfragNORMENreplacements 125
u(t) y(t) G(s)
Abb. B.2: Systemverstärkung
Systems G(s). Von technischem Interesse sind dabei die H2- und H -Norm, die unterschied- ∞ liche physikalische Sachverhalte beschreiben.
Der Hardy Raum Hp definiert dabei die Menge aller Funktionen, die analytisch in der rech-
ten komplexen Halbebene sind und deren Hp-Norm endlich ist.
H2-Norm
Die H2-Norm definiert die Summe der Betragsflächen aller Übertragungsfunktionen
1 ∞ 1 ∞ G(s) = tr GH(jω)G(jω) dω = σ2 G(jω) dω . (B.17) k k2 2π { } 2π i { } s s i Z−∞ Z−∞ X Für eine finite Norm muss das System G(s) strikt proper sein und darf keine Pole auf der imaginären Achse aufweisen. Mit Hilfe des Parsevalschen Theorems kann (B.17) für stabile Strecken in den Zeitbereich überführt werden
∞ T G(s) 2 = g(t) 2 = tr g (t)g(t) dt (B.18) k k k k s { } Z−∞ und ist damit identisch der 2-Norm der Impulsantwort.
H∞-Norm
Die H -Norm definiert das Maximum des Betrages aller Übertragungsfunktionen ∞ G(s) = sup σ G(jω) (B.19) k k∞ ω { } über alle Frequenzen. Die Bedingungen für eine finite Norm sind weniger restriktiv als bei der
H2-Norm. Sie ist nur dann endlich, falls G(s) keine Pole auf der imaginären Achse besitzt.
B.3.5 Zusammenhang zwischen Signal- und Systemnormen
Während die H -Norm die ungünstigste Verstärkung bei einer bestimmten Frequenz und Rich- ∞ tung des Eingangssignals definiert, beschreibt die H2-Norm die mittlere Verstärkung aller Fre- quenzen und Richtungen (Quadrat aller Singulärwerte über alle Frequenzen). Tabelle B.1 zeigt den Zusammenhang der Ausgangsnormen und den Systemnormen für zwei Testfunktionen. Das System G(s) wurde dabei als strikt proper und stabil angenommen, wobei g(t) die Gewichtsfunktion definiert. Tabelle B.2 zeigt den Zusammenhang zwischen der Systemverstärkung und den verschie- denen Normen von Ein- und Ausgängen. Die Diagonalelemente der Tabelle bezeichnen dabei
die induzierten Normen der Ein- und Ausgangssignale. Die H2-Norm ist damit weder eine in- duzierte Norm noch erfüllt sie die Bedingung (B.11) für Matrixnormen. 126 REGLERENTWURF
Tab. B.1: Zusammenhang zwischen den Ausgangsnormen und Systemnormen [SP96]
Out In u(t) = δ(t) u(t) = sin(ωt) \ y G(s) (keine Systemnullstellen bei ω) k k2 k k2 ∞ y g(t) σ G(jω) ∞ ∞ k k k k 1 { } y rms 0 σ G(jω) k k √2 { } Tab. B.2: Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangsnormen und Systemverstärkung [SP96]
Out In u 2 u u rms \ k k k k∞ k k y 2 G(s) (gewöhnlich) k k k k∞ ∞ ∞ y G(s) 2 g(t) 1 (gewöhnlich) k k∞ k k k k ∞ y rms 0 G(s) G(s) k k ≤ k k∞ k k∞ B.3.6 Berechnung der Systemnormen
Für die Zustandsraumdarstellung der Strecke
1 A B G(s) = C(sI A)− B + D = (B.20) − "C D# sollen die beiden Systemnormen bestimmt werden.
Berechnung der H2-Norm
Die H2-Norm eines stabilen Systems kann aus der Impulsantwort g(t) = C e At B + Dδ(t) (B.21) bestimmt werden. Da für eine finite Norm das System streng proper sein muss, gilt für die Durchgangsmatrix D = 0. Aus Gl. (B.18) ergibt sich unter Ausnutzung der zyklischen Ver- tauschbarkeit der Matrizen innerhalb des Trace-Operators
∞ T T ∞ ATt T At G(s) 2 = tr g (t)g(t) dt = tr B e C C e dt B (B.22a) k k s { } s Z−∞ Z−∞ Wo
∞ ∞ T = tr g(t)gT(t) dt = tr C | e At BB{zT e A t dt}CT , (B.22b) s { } s Z−∞ Z−∞ Wc wobei Wc und Wo die Gramsche Steuerbarkeitsmatrix| bzw. die{zGramsche }Beobachtbarkeits- matrix definieren. Steuerbarkeitsmatrix und Beobachtbarkeitsmatrix sind die Lösungen der Lja- punow-Gleichungen
ATW + W A = CTC (B.23a) o o − AW + W AT = BBT . (B.23b) c c −
Die Berechnung der H2-Norm erfordert die Lösung einer linearen Gleichung, was in einer endlichen Anzahl von Rechenschritten möglich ist. B.4 LÖSUNG DES H2- UND H -MINIMIERUNGSPROBLEMS 127 ∞
Berechnung der H∞-Norm
Im Gegensatz zur H2-Norm muss die H -Norm über Suchalgorithmen bestimmt werden. Bei- ∞ spielsweise können die Singulärwerte für verschiedene Frequenzen bestimmt werden, was aber möglicherweise nicht zum Supremum führt. Ein in [BBK88] vorgeschlagenes Verfahren be- stimmt iterativ die Norm über einen Parameter γ, der eine obere Grenze der H -Norm defi- ∞ niert [Bur99]:
σ G(jω) < γ λ GH(jω)G(jω) < γ2 λ γ2I GH(jω)G(jω) > 0 . { } ⇐⇒ { } ⇐⇒ { − } (B.24)
2 H 1 Gleichbedeutend ist die Aussage, dass [γ I G (jω)G(jω)]− keinen Pol auf der imaginären − Achse aufweisen darf. Durch Einsetzen von (B.20) und dessen adjungiertes System GT( s) = − [ AT, CT, BT, DT] folgt [Bur99] − − A 0 B T T −T γ2I GH(jω)G(jω) = " C C A # "C D# . (B.25) − − − T T 2 T D C B (γ I D D) − h i Nach der Inversion ergibt sich die Systemmatrix [Mül96, Bur99]
A 0 B 2 T T T − A[γ2I GH(jω)G(jω)] 1 = T T −T (γ I D D) D C B − " C C A # − "C D# − − − h i 1 T 1 T A + BR− D C BR− B (B.26) = T 1 T − 1 T T C (I + DR− D )C (A + BR− D C) " − # R = γ2I DTD , − die eine Hamilton-Matrix darstellt. Durch eine iterative Verminderung des Parameters γ und der Prüfung der Eigenwerte lässt sich damit eine Aussage über die obere Schranke σ G(jω) { } treffen.
B.4 Lösung des H2- und H∞-Minimierungsproblems
Die Lösungen des Minimierungsproblems im H2- und H -Raum lässt sich sehr elegant in ∞ der Zustandsraumdarstellung angegeben. Auf eine Herleitung sei verzichtet und auf [DGKF89, ZD98, Gee99] verwiesen.
H2-Problem [ZD98]: Das H2-Regelungsproblem bestimmt einen realisierbaren Regler, der die Strecke G(s) intern stabilisiert und die H2-Norm der Übertragungsfunktion N(s) von w nach z minimiert. Für die Existenz eines stabilisierenden und realisierbaren Reglers K(s) seien die folgenden Voraussetzungen erfüllt: 128 REGLERENTWURF
2 3 (i) Das System (AP , B2) sei vollständig steuerbar und (AP , C2) vollständig beobachtbar ,
(ii) D11 = 0,
T T (iii) D12 und D21 haben vollen Rang, d. h. R1 = D12D12 und R2 = D21D21 sind invertierbar,
A jωI B (iv) P − 2 hat vollen Spalten-Rang für alle ω und damit keinen nicht-beobacht- " C1 D12# baren Pol auf der imaginären Achse,
A jωI B (v) P − 1 hat vollen Zeilen-Rang für alle ω und damit keinen nicht-steuerbaren " C2 D21# Pol auf der imaginären Achse.
Der 2-Norm optimale Regler hat das Zustandsraummodell
A + B F + L (C + D F ) L K(s) = P 2 2 2 2 22 2 − 2 (B.27) " F2 0 # mit der Beobachter- und Reglerverstärkungsmatrix
T T 1 L = (Y C + B D )R− (B.28a) 2 − 2 2 1 21 2 1 T T F = R− (B X + D C ) (B.28b) 2 − 1 2 2 12 1 und den beiden Lösungen der Matrix-Riccati-Gleichungen
T 1 T T 1 (AP B1D21R2− C2) C2 R2− C2 Y2 = ric − T 1 T − T 1 (B.29a) B (I D R− D )B (A B D R− C ) "− 1 − 21 2 21 1 − P − 1 21 2 2 #! 1 T 1 T A B R− D C B R− B X P 2 1 12 1 2 1 2 (B.29b) 2 = ric T − 1 T − 1 T T . C (I D R− D )C (A B R− D C ) "− 1 − 12 1 12 1 − P − 2 1 12 1 #!
H∞-Problem [ZD98, Gee99]: Gesucht ist ein zulässiger suboptimaler Regler K(s) , dessen -Norm der Übertragungsfunktion N(s) von w nach z kleiner ist als eine obere Schranke γ. ∞ Analog seien für die Existenz des suboptimalen Reglers folgende Voraussetzungen erfüllt:
(i) Das System (AP , B2) sei vollständig steuerbar und (AP , C2) vollständig beobachtbar,
(ii) σ D < γ, { 11}
(iii) D12 und D21 haben vollen Rang,
A jωI B (iv) P − 2 hat vollen Spalten-Rang für alle ω, " C1 D12#
Te A AT 2 W P t B BT P t Dabei sei die Gramsche Steuerbarkeitsmatrix c = 0 e 2 2 e dt für eine beliebige Endzeit posi- xTW x x tiv definit, d. h. wenn c > 0 = 0 gilt. R ∀ 6 Te AT A 3 W P t CTC P t Dabei sei die Gramsche Beobachtbarkeitsmatrix o = 0 e 2 2 e dt für eine beliebige Endzeit positiv definit. R B.5 LÖSUNG DER MATRIX-RICCATI-GLEICHUNG 129
A jωI B (v) P − 1 hat vollen Zeilen-Rang für alle ω. " C2 D21#
Der H optimale Regler hat das Zustandsraummodell ∞
AP + B1F1 + B2F2 + L (C2 + D21F1 + D22F2 ) L K(s) = ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − ∞ (B.30) F 0 " ∞ # mit der Beobachter- und Reglerverstärkungsmatrix
1 T ˆ − T ˜ L = L1 L2 = (B1R D21 + Y C ) (B.31a) ∞ ∞ ∞ − ∞ h i F1 1 T T F = ∞ = R− (D1 C1 + B X ) (B.31b) ∞ F2 − • ∞ " ∞# und den Lösungen der Matrix-Riccati-Gleichungen
AP 0 B 1 T T H = R− D C1 B (B.32a) ∞ T T T 1 " C1 C1 AP # − " C1 D1 # • − − − • h i T 1 T T (AP B1F1 ) γ2 F2 D12D12F2 J = − ∞ ∞ ∞ + . . . (B.32b) ∞ " 0 (AP B1F1 ) # − − ∞ ˜ T 1 T T C 1 1 2 F D D11 1 ˜ − ˆ − T ˜ γ 2 12 ˆ − T 1 T 1 R D21R B C + ∞ R B1 2 D11D12F2 ˆ − T 1 γ ∞ − " B1R D # " B1 # − 21 h i − h i X = ric(H ) ; Y = ric(J ) (B.32c) ∞ ∞ ∞ ∞ mit
2 T γ I 0 R = D1 D1 ; D1 = D11 D12 ; B = B1 B2 (B.33a) • • − " 0 0# • h i h i 1 1 Rˆ = I DT D ; R˜ = D Rˆ − DT − γ2 11 11 21 21 (B.33b) 1 1 ˜ ˆ − T C = C2 D21F1 + D21R D11D12F2 . − ∞ γ2 ∞
Für γ geht dabei der H -optimale Regler exakt in den H2-Norm optimalen Regler → ∞ ∞ über. Terme, die den Parameter γ beinhalten können als Erweiterung der Beobachter-Struktur
aufgefasst werden, die die ungünstigste Störung wworst mit berücksichtigt.
B.5 Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung [Lun97]
Durch Umformung der Riccati-Gleichung in Matrixform entsteht
T A S I A P + PA PSP + Q = P I T = 0 , (B.34) − "Q A # " P# h i − − 130 REGLERENTWURF
wobei die in der Mitte stehende Matrix
A S H = (B.35) Q AT " − # als Hamilton-Matrix bezeichnet wird. Durch Ähnlichkeitstransformation mit der Transformati- onsmatrix
I 0 T = (B.36) P I "− # ergibt sich die Abbildung
˜ 1 A SP S A S T− HT = − = . (B.37) ATP + PA PSP + Q (A SP) 0 A˜ " − − − # " − # Die Hamilton-Matrix enthält folglich die Eigenwerte der neuen Systemmatrix A˜ und der zur Imaginärachse symmetrisch liegenden Eigenwerte, wobei sich die charakteristische Gleichung der Hamilton-Matrix
det(λI H) = det(λI + A˜ ) det(λI A˜ ) = 0 (B.38) − − ergibt. Bildet man die Matrix V aus den Eigenvektoren der Eigenwerte der Hamilton-Matrix
mit negativen Realteilen λi
T 2n n n n V = V V C × , V , V C × (B.39) 1 2 ∈ 1 2 ∈ h i so gilt
V1 V1 H = diag λi , i = 1 . . . n . (B.40) "V2# "V2#
1 Nach der Multiplikation mit V1− von rechts ergibt sich
1 I V1 diag λiV1− H 1 = 1 (B.41) "V2V1− # "V2 diag λiV1− #
1 und nach einer weiteren Multiplikation mit V V− I von links − 2 1 h i
1 I V2V1− I H 1 = 0 (B.42) − "V2V1− # h i Aus Vergleich mit Gl. (B.34) ergibt sich für P die Beziehung
1 P = ric(H) = V V− . (B.43) − 2 1 Die Ricatti-Gleichung kann somit aus den Eigenvektoren der Hamilton-Matrix bestimmt wer- den. B.6 LÖSUNG DER DIOPHANTISCHEN GLEICHUNG 131
B.6 Lösung der Diophantischen Gleichung [ÅW95]
Sind die Polynome A(s) und B(s) teilerfremd, existiert immer eine Lösung für die Diophanti- sche Gleichung
A(s)C(s) + B(s)D(s) = X(s) . (B.44)
Tatsächlich hat die Gleichung mehrere Lösungen, da weitere Lösungen
C(s) = C (s) + B(s)Q(s) , D(s) = D (s) A(s)Q(s) (B.45) 0 0 − mittels eines beliebigen Polynoms Q(s) gebildet werden können. Ein lineares Gleichungssystem entsteht beim Ausmultiplizieren und Sortieren der Koeffizi- enten der einzelnen Ordnungen
1 0 . . . 0 b0 0 . . . 0 ...... a1 1 . . b1 b0 . . c x a 1 1 − 1 ...... a2 a1 . 0 b2 b1 . 0 . . . . . . ...... c . . . 1 . . . b0 k xn an = − , (B.46) an an 1 . . . a1 bn bn 1 . . . b1 d0 xn+1 − − ...... . . 0 an . . 0 bn . . . . . . ...... dl xk+l+1 . . . an 1 . . bn 1 − − 0 . . . 0 a 0 . . . 0 b n n welches beispielsweise über die Pseudoinverse gelöst werden kann. Die Matrix, genannt Syl- vestermatrix, ist nichtsingulär und damit lösbar, falls die Polynome A(s) und B(s) teilerfremd sind.
B.7 Lösung der Ljapunow-Gleichung
Unter Anwendung des Kronecker-Produkts und Ausnutzung der Äquivalenz
AXB = C (BT A) vec(X) = vec(C) (B.47) ⇐⇒ ⊗ folgt:
ATP + PA = Q (B.48a) − ATPI + IPA = IQI (B.48b) − (I AT + AT I) vec(P) = (I I) vec(Q) . (B.48c) ⊗ ⊗ − ⊗ T n n 2 Da P = P R × eine symmetrische Matrix ist, verringert sich die Berechnung von n auf ∈ n(n + 1)/2 Matrixelemente. Unter Einführung eines reduzierten Spaltenvektoroperators
T 1 n(n+1) vec(P) = p p p p p R 2 (B.49) 11 · · · n1 22 · · · n2 · · · nn ∈ h i 132 REGLERENTWURF
n2 n (n+1) und zugehöriger Duplikationsmatrix D R × 2 , die nur von der Dimension n abhängig n ∈ ist
vec(P) = Dnvec(P) , (B.50)
ergibt sich für (B.48c) die Reduzierung [ZTI03]
(I AT + AT I)D vec(P) = D vec(Q) (B.51a) ⊗ ⊗ n − n T T D† (I A + A I)D vec(P) = vec(Q) (B.51b) n ⊗ ⊗ n − und damit die Lösung
T T 1 vec(P) = D† (I A + A I)D − vec(Q) . (B.52) − n ⊗ ⊗ n Anhang C
Sensitivität
C.1 Berechnung des Signal-Rauschabstandes für Sigma-Delta- Wandler
Entsprechend der Definition von z ergibt sich der Amplitudengang des Hochpassfilters (6.6) zu [PM96]
2 n 2n πf Gns (f) = 4 sin . (C.1) | | fs Die mittlere Rauschleistung des quantisierten Signals innerhalb des interessierenden Frequenz- bandes, bezogen auf den Ausgang y, ist damit
f0 q q 2 2 Sy (0) = (σy) = Gns (f) Φq(f) df (C.2a) f0 | | Z− σ2π2n 2f 2n+1 q 0 , (C.2b) ≈ 2n + 1 f s 2 wobei Φq(f) = σq /fs die Leistungsdichte des Quantisierungsrauschens angibt und die Si- nusfunktion mittels Taylorentwicklung (2n + 1)-ter Ordnung approximiert wurde. Der Signal- Rauschabstand σ2 σ πn x q (C.3) SNRΣ/∆ 10 log q 2 = 20 log σx 20 log + 10(2n + 1) log m ≈ (σy) − √2n + 1
ergibt sich für die Substitution f0 = fs/2 und fs = mfs.
C.2 Numerische Systemoptimierung
In Abschnitt 6.3 wurde die Sensitivitätsanalyse anhand der maximalen Signale vorgenommen. Eine deutlich höhere Auflösung lässt sich mittels der maximal auftretenden Signale erreichen. Wird das Messsystem mit einem, im Abschnitt 6.3 beschriebenen kompandierenden Quan- tisierer betrieben, so ist die Auflösung nur noch durch die linear quantisierte Stelleinrichtung 134 SENSITIVITÄT
begrenzt. Der größtmögliche SNR des D/A-Wandlers ergibt sich bei Ausnutzung des gesamten
Stellsignal-Wertebereichs [ umax , umax ] und somit −
k amax M (ϕ = 0, u = umax ) = k umax (C.4) | g | ≡ | el | | u |
für den statischen Zustand. Nimmt man ein dynamisches Überschwingen von 30% an, so ergibt sich ein Spaltabstand für die maximale Auflösung
εu u 7 d = b max mit u = u , (C.5) 0 % d a max 20 b r Si m max
wobei die Sensorspannung und die Dicke der seismischen Masse als gegeben vorausgesetzt werden. Als Kriterium für den Entwurf der Regelung soll die ideale offene Kette (5.3) angenommen werden, die eine simple Rechenvorschrift darstellt und zudem eine einfache Abschätzung für andere Entwurfsverfahren ermöglicht.
Calculates Capacistance of the two Plate System and amplifies the difference Capacistance
Last Rev.: 29.11.2002 Heiko Wolfram
1 epsilon0*lm*bm*( 1/(d0+u[1]) − 1/(d0−u[1]) ) delta C(t) ub/Cf 1 x(t) x~(t) u(t) x(t) u(t) −d0 < x(t) < +d0 Capacistance Gain
Sum g(t) x’ = Ax+Bu −K− x(t) Charging 2 F_kin(t) F(t) y = Cx+Du Amplifier x_u(t) Input Gravity Gravity * Mass Sensor 1 Charging Amplifier Disturbance x(t)
(abs(u[1]) >= d0) | (abs(u[2]) > ub/2) STOP
Closed Loop Sensor System Out of Range or Unstable Stop Simulation for System Optimization F_el(t) (c) Heiko Wolfram, TUC 2006 numc(s) denc(s) Plate Attraction Control 3 u(t)
Plate Attraction Force of two parallel Plates: One Plate moves Toward Base Plate and other Plate moves backward Base Plate
Last Rev.: 29.11.2002 Heiko Wolfram
2 u(t) u~(t) 0.5 * epsilon0 * lm * bm * ( ( (ub/2 − u[1]) / (d0 − u[2]) )^2 − ( (ub/2 + u[1]) / (d0 + u[2]) )^2 ) 1 u(t) F_el(t) −ub/2 <= u(t) <= +ub/2 Plate Attraction Force Out1 x~(t)
1 x(t) x(t) Memory −d0 < x(t) < +d0
Abb. C.1: Simulationsmodell zur Sensoroptimierung C.2 NUMERISCHE SYSTEMOPTIMIERUNG 135
Für die Systemoptimierung des Modells in Abb. C.1 wird die Verlustfunktion
∞ 2 2 2 J = w1ϕ (t) + w2ϕ˙ (t) + w3u˙ (t) dt + . . . 0 Z 2 ∞ 2 ub w4ϕ (t) dt + w5 u = min (C.6) t 2 − ∞ ⇒ Z 5% mit der 5%-Einschwingzeit eines PT2-Gliedes ln 0.05 t5% = (C.7) − dcl ωcl und der statischen Verstärkung % d a d2 u = Si m max 0 , (C.8) ∞ εub die durch den Simulationsendwert u(t) approximiert wird, angenommen. Bewertet werden mit dem Gewicht w1 der Stellaufwand, mit w2 und w3 hohe Geschwindigkeiten in der Auslenkung und im Stellsignal, mit w4 das Abklingverhalten und mit w5 die Sensitivität.
Optimierung der Sensorparameter f und u res b 6 Optimierung der Sensorparameter a = b und f x 10 m m res 3
2.5
2 6 x 10 1.5 2 1 1.5 0.5 Minimierungsfunktion −−> 1 0 0.01 Sensorspannung50 in V −−> 0.008 45 0.5 40 0.006 35 Minimierungsfunktion −−> 0.004 30 0 1600 0.002 25 1200 1400 1500 1000 1250 1000 0 800 750 500 20 400 600 Resonanzfrequenz in Hz −−> Länge und Breite in mm −−> Resonanzfrequenz in Hz −−>
(a) Abmaße und Resonanzfrequenz (b) Resonanzfrequenz und Spannung
Abb. C.2: Verlustfunktion in Abhängigkeit von ub, fres , am und bm
Abb. C.2 zeigt die Abhängigkeiten der Verlustfunktion zwischen der Resonanzfrequenz und den Abmessungen der seismischen Masse und zwischen der Resonanzfrequenz und der Sensorspannung. Da die Verlustfunktion sehr komplex ist und diese keine konvexe Funktion darstellt, ergeben sich lokale Optima. Das Optimierungsergebnis ist somit stark von den Initia- lisierungswerten abhängig. Beispielsweise ergibt sich ein Optimum für die im nachfolgenden Abschnitt C.2 aufgelisteten Matlab-Funktionen bei:
am = 3.215 mm ; bm = 3.473 mm ; fres = 1377 Hz ; ub = 23.76 V , wobei die Werte
dm = 300 µm ; d0 = 6 µm ; nx = ny = 5 ; p0 = 1 bar 136 SENSITIVITÄT
Verstärkerausgang x (t) Stellsignal u(t) u 12 0.5
0 10
−0.5 8
−1 6
−1.5 Amplitude −−>
Amplitude −−> 4 −2
Fehler = 9.110e+03 2 −2.5
−3 0 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0 0.005 0.01 0.015 0.02 Zeit in sec. −−> Zeit in sec. −−>
(a) Ausgangssignal des Ladungsverstärkers (b) Stellsignal
Abb. C.3: Simulationsergebnis der Optimierung
für die Optimierung vorgegeben waren. Abb. C.3 zeigt das Simulationsergebnis bei einer Sprung-
Anregung von amax = 10g. Die erreichten Optimierungsergebnisse hängen stark von den Ge- wichtungen der Optimierungskriterien und auch von den Simulationsparametern ab. Zukünftige Berechnungen können beispielsweise auch den Phasen- oder Amplitudenrand in die Verlustfunktion mit einfließen lassen, um gewisse Stabilitätsanforderungen zu erzielen.
Matlab-Scripte und Funktionen
Main-Script
% Optimierung der E n t w u r f s p a r a m e t e r 2 % % ( c ) Heiko Wolfram , TUC 2006 4 % S c r i p t M o d e l l w e r t e 6 i f ~ e x i s t ( ’ model_params ’ ) , m o d e l v a l u e s ; 8 end ;
10 % Ö f f n e S i m u l i n k F i l e i f ~ strcmp ( b d r o o−t , model_params . sim ) , 12 e v a l ( model_params . sim ) ; end ; 14 % S t a r t p a r a m e t e r z u r Optimierung 16 x0 = [ model_params . lm , model_params . bm , model_params . f r e s , model_params . ub ] ; f i e l d n a m e s = { ’ lm ’ , ’bm’ , ’ f r e s ’ , ’ ub ’ } ; 18 disp ( ’ Run O p t i m i z a t i o n f o r f i e l d s : ’ ) ; 20 disp ( f i e l d n a m e s ) ;
22 % O p t i m i e r u n g s o p t i o n e n o p t i o n s = o p t i m s e t ( ’ f m i n s e a r c h ’ ) ; 24 o p t i o n s = o p t i m s e t ( o p t i o n s , ’ MaxFunEvals ’ , ’100 numberOfVaria bl e s ’ , . . . ’ MaxIter ’ , ’100 numberOfVari∗a bl e s ’ , . . . ∗ 26 ’ TolFun ’ , 1 e 1, ’ TolX ’ , 1 e 1); − −
28 % Suche Optimum C.2 NUMERISCHE SYSTEMOPTIMIERUNG 137
[ xopt ] = f m i n s e a r c h ( ’ s e n s e _ f u n ’ , x0 ( : ) , o p t i o n s , . . . 30 f i e l d n a m e s , model_params ) ;
32 % Graphische Ausgabe disp ( [ ’ X_opt = ’ , m a t 2 s t r ( xopt , 4 ) ] ) ; 34 s e n s e _ f u n ( xopt , f i e l d n a m e s , model_params ) ;
36 %%% End o f F i l e %%%
Optimierungsfunktion
f u n c t i o n [ error ] = s e n s o r _ f u n ( xvec , f i e l d n a m e s , params ) , 2 % SENSOR_FUN O p t i m i e r u n g s f u n k t i o n f ü r s e n s e _ o p t i m .m % − 4 % A u f r u f : [ e r r o r ] = s e n s o r _ f u n ( xvec , f i e l d n a m e s , params ) % 6 % xvec = V e c t o r w i t h p a r a m e t e r s % f i e l d n a m e s = Fieldnames o f xvec 8 % c0params = S t r u c t u r e w i t h p o s s i b l e f i e l d s : % { ’ lm ’ , ’ bm ’ , ’ nx ’ , ’ ny ’ , ’dm ’ , ’ f r e s ’ , ’ Pa ’ , ’ d0 ’ , ’ ub ’ , 10 % ’ Cf ’ , ’ sim ’ , ’ wcl ’ , ’ t e n d ’ } % 12 % ( c ) Heiko Wolfram , TUC 2006
14 % Immer p o s i t i v xvec = abs ( xvec ) ; 16 f o r k = 1 : l e n g t h ( f i e l d n a m e s ) , 18 params = s e t f i e l d ( params , f i e l d n a m e s {k } , xvec ( k ) ) ; end ; 20 % Übertragen der Parameter i n S i m u l i n k F i l e − 22 s e t _ p a r a m ( [ params . sim , ’ / Sensor System ’ ] , . . . ’ MaskValueString ’ , [−. . . 24 s p r i n t f ( ’%.10 g ’ , params . lm ) , ’ | ’ , . . . s p r i n t f ( ’%.10 g ’ , params . bm ) , ’ | ’ , . . . 26 s p r i n t f ( ’%.10 g ’ , params . dm ) , ’ | ’ , . . . s p r i n t f ( ’%.10 g ’ , params . d0 ) , ’ | ’ , . . . 28 s p r i n t f ( ’%.10 g ’ , params . ub ) , ’ | ’ , . . . s p r i n t f ( ’%.10 g ’ , params . Cf ) ] ) ; 30 % A u f r u f des Squeeze Film Modells − 32 [A , B , C , D ] = s q u e e z e _ m o d e l l ( params ) ;
34 % Übertragen der Sensor Parameter i n S i m u l i n k F i l e s e t _ p a r a m ( [ params . sim , ’−/ Sensor System / Sensor ’−] , . . . − 36 ’A’ , m a t 2 s t r (A , 1 0 ) , . . . ’B’ , m a t 2 s t r (B , 1 0 ) , . . . 38 ’C’ , m a t 2 s t r (C , 1 0 ) , . . . ’D’ , m a t 2 s t r (D , 1 0 ) , . . . 40 ’X0’ , m a t 2 s t r ( z e r o s ( s i z e (A , 1 ) , 1 ) ) ) ;
42 % E l e k t r o s t a t i s c h e s Modell [A , B , C , D ] = s q u e e z e _ e l _ m o d e l l (A , B , C , D , params ) ; 44 % R e g l e r : 46 [ numc , denc ] = i n v e r s e c o n t r o l (A, B , C ,D , params . wcl ) ;
48 % Übertragen der Sensor Parameter i n S i m u l i n k F i l e % ( pos . Feedback i n S c h−l e i f e ) − 50 s e t _ p a r a m ( [ params . sim , ’ / Sensor System / C o n t r o l ’ ] , . . . ’ Numerator ’ , [ ’ [ ’ ,−s p r i n t f ( ’ %.10g ’ , numc ) , ’ ] ’ ] , . . . − 52 ’ Denominator ’ , [ ’ [ ’ , s p r i n t f ( ’ %.10g ’ , denc ) , ’ ] ’ ] ) ;
54 % S i m u l a t i o n s o p t i o n e n o p t i o n s = s i m s e t ( . . . 56 ’ AbsTol ’ , ’ a u t o ’ , . . . ’ Debug ’ , ’ o f f ’ , . . . 58 ’ Decimation ’ , 1 , . . . ’ DstWorkspace ’ , ’ c u r r e n t ’ , . . . 60 ’ F i n a l S t a t e N a m e ’ , ’ ’ , . . . 138 SENSITIVITÄT
’ F i x e d S t e p ’ , 1 e 0 6 , . . . − 62 ’ I n i t i a l S t a t e ’ , [ ] , . . . ’ I n i t i a l S t e p ’ , ’ a u t o ’ , . . . 64 ’ MaxOrder ’ , 5 , . . . ’ SaveFormat ’ , ’ Matrix ’ , . . . 66 ’ MaxRows ’ , 0 , . . . ’ MaxStep ’ , 1 e 0 5 , . . . − 68 ’ O u t p u t P o i n t s ’ , ’ a l l ’ , . . . ’ O u t p u t V a r i a b l e s ’ , ’ t y ’ , . . . 70 ’ R e f i n e ’ , 1 , . . . ’ RelTol ’ , 1 e 0 3 , . . . − 72 ’ S o l v e r ’ , ’ ode45 ’ , . . . % ’ ode45 ’ , ’ ode23s ’ , ’ ode5 ’ , ’ ode4 ’ ’ SrcWorkspace ’ , ’ base ’ , . . . 74 ’ Trace ’ , ’ ’ , . . . ’ ZeroCross ’ , ’ on ’ ) ; 76 % S i m u l i e r e System ( Output : [ x ( t ) , x_u ( t ) , u ( t ) ] ) 78 [ time , ans , yout ] = sim ( params . sim , params . t e n d , o p t i o n s ) ;
80 % F e h l e r b e r e c h n u n g i f ( time ( end ) < params . t e n d ) , 82 error = i n f ; % System i n s t a b i l oder S t e l l g r e n z e e r r e i c h t 84 e l s e ; 86 % Berechne 5% Überschwin gw e i t e f ü r PT2 G l i e d ( D = 0 . 7 ) : − − 88 t 5 = 1 / ( 0 . 7 params . wcl ) l o g ( 0 . 0 5 ) ; i n d e x−= f i n d∗( time > t 5 ) ; ∗ 90 % Zu m i n i m i e r e n d e r F e h l e r m i t Gewichtung : 92 % w e i g h t s ( 1 ) . . . Auslenkung smooth ( dx ( t ) / d ( t ) > min ) % w e i g h t s ( 2 ) . . . S t e l l a u f w a n d ( I n t [ x ( t ) ^ 2 , { t , −0−, t e n d } > min ] ) −− 94 % w e i g h t s ( 3 ) . . . s c h n e l l a b k l i n g e n ( I n t [ x ( t ) ^ 2 , { t , t 5 , t e n d } > min ] ) % w e i g h t s ( 4 ) . . . Auslenkung smooth ( du ( t ) / d ( t ) > min ) −− −− 96 % w e i g h t s ( 5 ) . . . m ö g l i c h s t großer Hub nahe ub ( [ ub u ( t e n d )]^2, > min ) error = params . w e i g h t s ( 1 ) sum ( ( d i f f ( yout ( : , 2 ) ) . / −d i f f ( time ) ) . ^−2 −) + . . . ∗ 98 params . w e i g h t s ( 2 ) . . . sum ( ( d i f f ( time ) . y∗out ( 1 : end 1 , 2 ) ) . ^ 2 ) + . . . ∗ − 100 params . w e i g h t s ( 3 ) . . . sum ( ( d i f f ( time ( i n d∗e x ) ) . yout ( i n d e x ( 1 : end 1 ) , 2 ) ) . ^ 2 ) + . . . ∗ − 102 params . w e i g h t s ( 4 ) sum ( ( d i f f ( yout ( : , 3 ) ) . / d i f f ( time ) ) . ^ 2 ) + . . . params . w e i g h t s ( 5 ) ∗ ( params . ub / 2 yout ( end , 3 ) ) . ^ 2 ; ∗ − 104 end ;
106 i f nargout < 1 ,
108 f i g u r e ( 1 ) ; c l f ; p l o t ( time , yout ( : , 2 ) ) ; grid on ; x l a b e l ( ’ time i n s e c >’ ) ; y l a b e l ( ’ Amplitude >’ ) ; −− −− 110 t i t l e ( ’ A m p l i f i e r Output x_u ( t ) ’ ) ;
112 ylim = g e t ( gca , ’ Ylim ’ ) ; xlim = g e t ( gca , ’ Xlim ’ ) ; t e x t ( 1 / 5 xlim ( 2 ) , ylim ( 1 ) + 1 / 5 ( ylim (2) ylim ( 1 ) ) , . . . ∗ ∗ − 114 s p r i n t f ( ’ E r r o r = %.3d ’ , error ) ) ;
116 f i g u r e ( 2 ) ; c l f ; p l o t ( time , yout ( : , 3 ) ) ; grid on ; x l a b e l ( ’ time i n s e c >’ ) ; y l a b e l ( ’ Amplitude >’ ) ; −− −− 118 t i t l e ( ’ C o n t r o l S i g n a l u ( t ) ’ ) ;
120 c l e a r error ;
122 end ;
124 %% End : f u n c t i o n s e n s o r _ f u n ( xvec , f i e l d n a m e s , params )
Parameterinitialisierung
% I n i t i a l i s i e r u n g s w e r t e f ü r B e s c h l e u n i g u n g s s e n s o r 2 % % $Id : m o d e l v a l u e s .m, v 1 . 0 . 1 . 2 2 0 0 5 / 0 1 / 2 8 1 3 : 1 3 : 4 9 hwol Exp $ 4 C.2 NUMERISCHE SYSTEMOPTIMIERUNG 139
6 % S c r i p t f i l e disp ( ’ E v a l u a t e m o d e l v a l u e s .m . . . ’ ) ; 8 % V o r s a e t z e : 10 p i c o = 1 0 ^ ( 1 2 ) ; nano = 1 0 ^ ( 9 ) ; micro = 1 0 ^ ( 6 ) ; m i l l i = 1 0 ^ ( 3 ) ; k i l o = 1 0 ^ 3−; mega = 1 0 ^ 6 ; g i −g a = 1 0 ^ 9 ; − − 12 % Druck 14 bar = 1 0 ^ 5 ;
16 % Modellparamter model_params = s t r u c t ( . . . 18 ’ lm ’ , 3 . 5 m i l l i , . . . % Länge der Masse ’bm’ , 3 . 5 ∗ m i l l i , . . . % B r e i t e der Masse ∗ 20 ’ nx ’ , 5 , . . . % Gräben i n x R i c h t u n g ’ ny ’ , 5 , . . . % Gräben i n y−R i c h t u n g − 22 ’dm’ , 3 0 0 micro , . . . % Höhe der Masse ’ f r e s ’ , 1∗0 0 0 , . . . % E i g e n f r e q u e n z mechan . System i n Hz 24 ’ Pa ’ , 1 bar , . . . % I n n e n d r u c k ’ d0 ’ , 6 ∗. 0 micro , . . . % P l a t t e n a b s t a n d f ü r Squeeze E f f e k t ∗ − 26 ’ ub ’ , 3 0 , . . . % DC Spannung am Sensor ’ Cf ’ , 4 7 p i c o , . . . −% Kondensator im Feedbackzweig des V e r s t ä r k e r s ∗ 28 ’ wcl ’ , 2 pi 2 0 0 , . . . % S c h n i t t f r e q u e n z ’ sim ’ , ’∗s_op∗tim ’ , . . . % S i m u l a t i o n s f i l e 30 ’ t e n d ’ , 2 0 m i l l i , . . . % S i m u l a t i o n s z e i t ’ w e i g h t s ’ ,∗[ 1 0 0 1 E 8, 1E+ 9 , 1 0 0 1E + 9 , 1 E 7 , 1 0 ] . . . % Gewichtungen der Optimierung ∗ − ∗ − 32 ) ;
34 % Gewichtung : % w e i g h t s ( 1 ) . . . Auslenkung smooth ( dx ( t ) / d ( t ) > min ) −− 36 % w e i g h t s ( 2 ) . . . S t e l l a u f w a n d ( I n t [ x ( t ) ^ 2 , { t , 0 , t e n d } > min ] ) % w e i g h t s ( 3 ) . . . s c h n e l l a b k l i n g e n ( I n t [ x ( t ) ^ 2 , { t , t 5 , −t−e n d } > min ] ) −− 38 % w e i g h t s ( 4 ) . . . Auslenkung smooth ( du ( t ) / d ( t ) > min ) % w e i g h t s ( 5 ) . . . m ö g l i c h s t großer Hub nahe ub (−[−ub u ( t e n d )]^2 > min ) − −− 40 %S c r i p t f i l e End 42 disp ( ’ E x i t m o d e l v a l u e s .m . . . ’ ) ;
44 %% End m o d e l v a l u e s .m
Squeeze-Film Modell
f u n c t i o n [ A , B , C , D , Rs , Ls ] = s q u e e z e _ m o d e l l ( p a r a m s t r u c t ) , 2 % Squeeze Film Modell % − 4 % Masse : % p a r a m s t r u c t . lm = Länge Masse 6 % p a r a m s t r u c t . bm = B r e i t e Masse % p a r a m s t r u c t . dm = Dicke Masse 8 % % Mechan . System : 10 % p a r a m s t r u c t . f r e s = R e s o n a n z f r e q u e n z i n Hz % 12 % Squeeze Parameter : % p a r a m s t r u c t . d0 = P l a t t e n a b s t a n d 14 % p a r a m s t r u c t . Pa = I n n e n d r u c k % 16 % $Id : s q u e e z e _ m o d e l l .m, v 1 . 0 . 1 . 2 2 0 0 5 / 0 5 / 2 4 0 8 : 3 3 : 1 9 hwol Exp $
18 % V o r s a e t z e : nano = 1 0 ^ ( 9 ) ; micro = 1 0 ^ ( 6 ) ; g i g a = 1 0 ^ 9 ; − − 20 % Druck 22 bar = 1 0 ^ 5 ;
24 % K o n s t a n t e n S i l i z i u m r h o _ s i = 2 3 2 9 ; 26 Emod = 1 6 9 E+9;
28 % K o n s t a n t e n L u f t ( dynamische V i s k o s i t ä t und 140 SENSITIVITÄT
% m i t t l e r e f r e i e Weglänge der Gasmoleküle ) 30 e t h a = 1 8 . 3 E 6; lambda0 = 6 6−. 9 E 9; − 32 % Außendruck 34 p a r a m s t r u c t . P0 = 1 E+5;
36 % Squeeze a u f Ober und U n t e r s e i t e > Lges = 1 / 2 Ls , Rges = 1 / 2 Rs p a r a m s t r u c t . c o r r f a k− = 1 / 2 ; −− 38
40 % Berechnung der Masse : mass = r h o _ s i p a r a m s t r u c t . lm p a r a m s t r u c t . bm p a r a m s t r u c t . dm ; ∗ ∗ ∗ 42 % E i g e n f r e q u e n z mechan . System 44 k _ s p r i n g = ( p a r a m s t r u c t . f r e s 2 pi ) ^ 2 mass ; ∗ ∗ ∗
46 % B e r ü c k s i c h t i g u n g der Gräben p a r a m s t r u c t . lm = p a r a m s t r u c t . lm / ( p a r a m s t r u c t . nx + 1 ) ; 48 p a r a m s t r u c t . bm = p a r a m s t r u c t . bm / ( p a r a m s t r u c t . ny + 1 ) ; p a r a m s t r u c t . c o r r f a k = p a r a m s t r u c t . c o r r f a k 1 / . . . ∗ 50 ( ( p a r a m s t r u c t . nx + 1 ) ( p a r a m s t r u c t . ny + 1 ) ) ; ∗
52 % T . V e i j o l a e t a l . / S e n s o r s and A c t u a t o r s A 4 8 ( 1 9 9 5 ) 2 3 9 2 4 8 kn = p a r a m s t r u c t . P0 lambda0 / . . . % Knudsen Zahl Kn = lambda −/ d0 ∗ 54 ( p a r a m s t r u c t . d0 p a r a m s t r u c t . Pa ) ; % lambda = P0 / Pa lambda0 e t h a 1 = e t h a / ( 1 + 9 . 6∗3 8 kn ^ 1 . 1 5 9 ) ; % E f f e k t i v e V i s k o s i∗t ä t ∗ 56 % T . V e i j o l a e t a l . / S e n s o r s and A c t u a t o r s A 4 8 ( 1 9 9 5 ) 2 3 9 2 4 8 − 58 % Squeeze Werte der e i n f a c h e n E r s a t z s c h a l t u n g Ls = p a r a−m s t r u c t . c o r r f a k pi ^4 p a r a m s t r u c t . d0 / . . . ∗ ∗ 60 ( 6 4 ( p a r a m s t r u c t . bm p a r a m s t r u c t . lm ) p a r a m s t r u c t . Pa ) ; Rs = p a r ∗a m s t r u c t . c o r r f a k ∗ ( 1 + ( p a r a m s t r u∗c t . bm / p a r a m s t r u c t . lm ) ^ 2 ) . . . ∗ ∗ 62 pi ^6 p a r a m s t r u c t . d0 ^ 3 / . . . ( 7 6 8∗ ( p a r a m s t r u c t . bm p a r a m s t r u c t . lm ) p a r a m s t r u c t . bm^2 e t h a 1 ) ; ∗ ∗ ∗ ∗ 64 % A u f s t e l l e n der S y s t e m m a t r i x 66 A = [ 0 , 1 / mass , 1 / mass ; . . . k _ s−p r i n g , 0 ,− 0 ; . . . 68 1 / Ls , 0 , Rs / Ls ] ; B = [ 1 / mass ; 0−; 0 ] ; 70 C = [ 0 1 / k _ s p r i n g 0 ] ; D = 0 ; 72 %%End : f u n c t i o n s q u e e z e _ m o d e l l ( p a r a m s t r u c t )
Elektrostatisches Modell
f u n c t i o n [ A , B , C , D ] = s q u e e z e _ e l _ m o d e l l (A , B , C , D , p a r a m s t r u c t ) , 2 % E l e k t r o s t a t i s c h e s Gesamtmodell % 4 % Masse : % p a r a m s t r u c t . lm = Länge Masse 6 % p a r a m s t r u c t . bm = B r e i t e Masse % p a r a m s t r u c t . d0 = P l a t t e n a b s t a n d 8 % % Spannungen : 10 % p a r a m s t r u c t . ub = s t a t . Ansteuerspann un g % 12 % V e r s t ä r k e r : % p a r a m s t r u c t . Cf = Kondensator im Feedbackzweig des V e r s t ä r k e r s 14 % % $Id : s q u e e z e _ e l _ m o d e l l .m, v 1 . 0 . 1 . 1 2 0 0 4 / 0 2 / 2 5 1 0 : 1 3 : 5 2 hwol Exp $ 16 % M a t e r i a l k o n s t a n t s and o t h e r c o n s t a n t s 18 e p s i l o n 0 = 8 . 8 5 4 1 9 7 8E 12; −
20 % E l e c t r o s t a t i c Force : % Fel = 0 . 5 e p s i l o n 0 lm bm ( ( ( ub / 2 u ) / ( d0 d ) ) ^ 2 ( ( ub / 2 + u ) / ( d0 + d ) ) ^ 2 ) ∗ ∗ ∗ ∗ − − − 22 % % dFel / dx = e l e c t r i c a l s p r i n g f o r c e a t x = 0 and v o l t a g e u e f f = 0 C.2 NUMERISCHE SYSTEMOPTIMIERUNG 141
24 k e l = 0 . 5 e p s i l o n 0 p a r a m s t r u c t . lm p a r a m s t r u c t . bm . . . p a r∗a m s t r u c t . ∗ub ^ 2 / p a r a m s t r u c∗t . d0 ^ 3 ; ∗ 26 % dFel / du = E l e c t r i c a l p l a t e a t t r a c t i o n gain a t x = 0 28 ku = e p s i l o n 0 p a r a m s t r u c t . lm p a r a m s t r u c t . bm p a r a m s t r u c t . ub / . . . −p a r a m s t r u c∗t . d0 ^ 2 ; ∗ ∗ 30 % A m p l f i e r : 32 % delata_C = e p s i l o n 0 lm bm ( 1 / ( d0 + d ) 1 / ( d0 d ) ) ; % uout = d e l t a _ C ub∗/ Cf∗; ∗ − − ∗ 34 % % Gain from c h a r g i n g a m p l i f i e r ( T a y l o r e x p a n s i o n a t x = 0 ) 36 ka = 2 e p s i l o n 0 p a r a m s t r u c t . bm p a r a m s t r u c t . lm p a r a m s t r u c t . ub / . . . −( p∗a r a m s t r u c∗t . Cf p a r a m s t r u c∗t . d0 ^ 2 ) ; ∗ ∗ 38 % E l e c t r o s t a t i c System 40 A = A + k e l B C ; B = ku B ; ∗ ∗ ∗ 42 C = ka C ; ∗
44 %End : f u n c t i o n s q u e e z e _ e l _ m o d e l l ( A , B , C , D , p a r a m s t r u c t )
Inverse Regelung
f u n c t i o n [ numc , denc ] = i n v e r s e c o n t r o l (A , B , C , D , wcl ) , 2 % i n v e r s e c o n t r o l .m I n v e r s e C o n t r o l Design I n v e r t s t h e minimum phase s y s t e m and % adds t h e s t a b l e z−e r o s / p o l e s t o t h e u n s t a b l−e p o l e s / z e r o s , so t h a t t h e open 4 % loop f u n c t i o n has a s l o p e o f 1 f o r a l l f r e q u e n c i e s . I t a l s o % adds a f i l t e r t o have a r o l l −o f f r a t e g r e a t e r than one . − 6 % % V a r i a b l e s : [ A , B , C , D] = System 8 % wcl = c r o s s over Frequency % 10 % $Id : i n v e r s e c o n t r o l d s n .m, v 1 . 0 . 1 . 5 2 0 0 5 / 0 2 / 0 4 1 0 : 2 3 : 5 6 hwol Exp $
12 % Get p o l e s and z e r o s o f model [ z , p , k ] = s s 2 z p (A , B , C , D ) ; 14 % Get u n s t a b l e p o l e s and z e r o s and make i t s t a b l e 16 index_p = f i n d ( r e a l ( p ) > 0 ) ; p ( index_p ) = p ( index_p ) ; − 18 i n d e x _ z = f i n d ( r e a l ( z ) > 0 ) ; z ( i n d e x _ z ) = z ( i n d e x _ z ) ; − 20 % R e a l i s i e r b a r k e i t 22 pminusz = l e n g t h ( p ) l e n g t h ( z ) ; −
24 % I n v e r s e dynamics f o r c o n t r o l [ numc , denc ] = z p 2 t f ( p ( : ) , z ( : ) , 1 ) ; 26 % C o n s t a n t s high gain f i l t e r 28 t _ h = 1 / ( wcl 1 0 ) ; % t i m e c o n s t a n t high gain f i l t e r d_h = 0 . 8 ; %∗damping c o n s t a n t high gain f i l t e r 30 % Add f i l t e r 32 numf = 1 ; denf = [ t _ h ^ 2 , 2 d_h t _ h , 1 ] ; ∗ ∗ 34 % C o r r e c t Gain and add F i l t e r 36 numc = ( 1 ) ^ l e n g t h ( index_p ) wcl / LocalDCGain (A , B , C , D ) . . . % m u l t i p l y w i t h wcl 1−/ LocalDCGain ( numc , ∗denc ) conv ( numc , numf ) ; % c o∗r r e c t gain ∗ 38 denc = [ conv ( denc , denf ) , 0 ] ; % add high gain f i l t e r and I Part pminusz = pminusz 3 ; % PT2 F i l t e r + I Part − − − − 40 % Make System r e a l i z e a b l e 42 i f ( pminusz ) > 0 , N = wcl 1 0 0 0 ; ∗ 44 denf = 1 / ( N) ^ pminusz poly( N ones ( 1 , pminusz ) ) ; ∗ − ∗
46 denc = conv ( denc , denf ) ; end ; 142 SENSITIVITÄT
48 % End : i n v e r s e c o n t r o l (A , B , C , D , wcl ) 50
52 %======% LocalDCgain 54 % C a l c u l a t e s F_el ( x , u ) %======56 % f u n c t i o n [ g a i n ] = LocalDCGain (A , B , C , D ) ; 58 i f nargin = = 2 , 60 % T r a n s f e r f u n c t i o n d e s c r i p t i o n 62 g a i n = A( end ) / B( end ) ;
64 e l s e i f nargin = = 4 ,
66 g a i n = C /A B + D; − ∗
68 end ;
70 % End : LocalDCGain ( num , den )
72 % === End Of F i l e ======Literaturverzeichnis
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1.1 Beispiele zur Anwendung der Mikrosystemtechnik ...... 2 1.2 Zukunftstrends in Mikroelektronik und Festplattentechnologie ...... 3 1.3 Beschleunigungssensor betrieben in einer geschlossenen Regelungsschleife . . 4
2.1 Open-loop Betrieb der Beschleunigungsmessung ...... 7 2.2 Closed-loop Betrieb der Beschleunigungsmessung ...... 8 2.3 Sensor-Chip ...... 11 2.4 Prozessablauf des Mittelwafers ...... 12 2.5 Schema des Deckelaufbaus ...... 13
Einteilung der Modellbildung ...... 15 3.1 Freiheitsgrade aus der Modalanalyse ...... 17 3.2 Plattengeometrien ...... 19 3.3 Analogiemodell des Squeeze-Film Effektes ...... 19 3.4 Bodediagramme der analytischen Lösung im Vergleich zur FE-Analyse . . . . 22 3.5 Ersatzschaltung eines mikromechanischen Beschleunigungssensors ...... 23 3.6 Vereinfachte Ersatzschaltung des Kleinsignalmodells ...... 24 3.7 Blockdiagramm der Trägerfrequenzmessbrücke ...... 26 3.8 Blockdiagramm des Ladungsverstärkers ...... 27 3.9 Berechnungsmodelle des elektrostatischen Systems ...... 28 3.10 Definition der PWM-Intervalle ...... 29 3.11 Einschaltverhalten der PWM ...... 31 3.12 Kleinsignalmodell ...... 33
4.1 Identifikation zur Parameteranpassung ...... 35 4.2 Blockdiagramm des Systems ...... 36
4.3 Lage der Pole in Abhängigkeit von Sensorinnendruck p0 und Spaltabstand d0 . 39
4.4 Lage der Pole und Nullstellen in Abhängigkeit von der Betriebsspannung ub . . 40 4.5 Erster und zweiter Identifikationsschritt des praktischen Beispiels ...... 43 4.6 Einfluss des elektrostatischen Feldes ...... 44 4.7 Einfluss des elektrostatischen Feldes bei veränderter Schaltungskonfiguration . 45 4.8 Blockdiagramm des geschlossenen Systems ...... 46 4.9 Kaskadiertes Wiener-Hammerstein-Modell ...... 48 4.10 Systemstruktur ...... 50 160 ABBILDUNGSVERZEICHNIS
4.11 Identifikation mittels neuronalem Netzwerk ...... 53 4.12 Mehrschicht-Perzeptron mit zwei versteckten Schichten ...... 54 4.13 Unter- und überbestimmte Approximation ...... 56 4.14 Simulationsmodell im Vergleich mit dem geschätzten Modell ...... 57 4.15 Simulationsergebnisse des linearen und NL-Modells ...... 58
5.1 Grundstruktur des Regelkreises ...... 59 5.2 Phasen- und Amplitudenrand mit instabiler Pol- und Nullstelle ...... 61 5.3 Standardregelkreis ...... 63 5.4 Dynamikvorgabe durch frequenzabhängige Gewichtung ...... 64
5.5 Zusammenhang zwischen Maxima und Dämpfung für PT2-System ...... 65 5.6 Allgemeine Blockbeschreibung eines Regelungssystems ...... 66 5.7 Allgemeine Blockbeschreibung in State-Space Form ...... 67 5.8 Blockdiagramm des S/KS/GS/T-Standardproblems ...... 69 5.9 Ljapunow-Funktion ...... 72 5.10 Gemessene und simulierte Antworten des geschlossenen Systems ...... 74 5.11 S/KS/GS/T-Gewichtungsfunktionen des Regelkreises ...... 75 5.12 Übertragungsverhalten des geschlossenen Systems ...... 77
5.13 Ljapunow-Stabilität des Beschleunigungssensors bei ωc = 2π200 Hz ...... 78 5.14 Ljapunow-Stabilität des Beschleunigungssensors bei Messsignalbegrenzung . . 78 5.15 Stabilität des Beschleunigungssensors anhand der maximalen Eigenwerte . . . 79
5.16 Trajektorien des nichtlinearen Systems bei ωc = 2π200 Hz ...... 79 5.17 Struktur der adaptiven Regelung mit Referenzmodell ...... 81 5.18 Struktur der Regelung ...... 82 5.19 Adaptive Regelung mit Interpolation ...... 84 5.20 Fehlersignale bei unterschiedlicher Anregungsamplitude ...... 85 5.21 Simulationsmodell der MRAC ...... 87
6.1 Systemstruktur des digitalen Systems ...... 89 6.2 Sigma-Delta A/D-Wandler erster Ordnung ...... 91 6.3 Kleinsignalmodell des Beschleunigungssensors ...... 93
6.4 Rauschabstände der Wandler in Abhängigkeit von ϕ und ub ...... 95
7.3 Arten der Quantisierung und deren mathematische Beschreibung ...... 100 7.4 Vereinfachtes Modell des Quantisierers ...... 101 7.5 Polorte bei unterschiedlicher Quantisierung ...... 103 7.6 Quantisierungsmodell des IIR-Filters 2. Ordnung ...... 104
A.1 Fourier-Entwicklung des Rechtecksignals ...... 111 A.2 Rechteckschwingung mit überlagerter Sägezahnschwingung ...... 112 A.3 Möglicher Wechsel der Rotationsachse bei Anschlag durch Federbiegung . . . 115 A.4 Modell des Beschleunigungssensors mit Anschlag ...... 115 ABBILDUNGSVERZEICHNIS 161
B.1 Digitaler Regler mit Anti-Windup Dynamik ...... 121 B.2 Systemverstärkung ...... 125
C.1 Simulationsmodell zur Sensoroptimierung ...... 134
C.2 Verlustfunktion in Abhängigkeit von ub, fres , am und bm ...... 135 C.3 Simulationsergebnis der Optimierung ...... 136 162 ABBILDUNGSVERZEICHNIS Tabellenverzeichnis
2.1 Laterale und vertikale einseitige Grundkonfiguration ...... 9 2.2 Vor- und Nachteile des elektrostatischen Prinzips ...... 10 2.3 Vor- und Nachteile des elektrodynamischen Prinzips ...... 10
3.1 Beziehungen der mechan. und elektr. Komponenten bei Kraft-Strom-Analogie . 20 3.2 Zusammenfassung der Systemverstärkungen im Nullpunkt ...... 34
7.1 Fehlermodell bei Rundung und Kürzung ...... 104
B.1 Zusammenhang zwischen den Ausgangsnormen und Systemnormen ...... 126 B.2 Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangsnormen und Systemverstärkung . 126