Regelungstechnische Analyse Und Synthese Von MEMS Mit Elektrostatischem Wirkprinzip
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Regelungstechnische Analyse und Synthese von MEMS mit elektrostatischem Wirkprinzip von der Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik der Technischen Universität Chemnitz genehmigte Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades Doktor-Ingenieur (Dr.-Ing.) vorgelegt von Dipl.-Ing. Heiko Wolfram geboren am 28. September 1972 in Plauen eingereicht am 22. Juni 2006 Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Wolfram Dötzel Technische Universität Chemnitz Prof. Dr.-Ing. Jozef Suchý Technische Universität Chemnitz Dr.-Ing. habil. Peter Schwarz Fraunhofer-Institut für Integrierte Schaltungen Außenstelle Entwurfsautomatisierung Dresden Tag der Verleihung: 22. Mai 2007 Bibliographische Beschreibung Regelungstechnische Analyse und Synthese von MEMS mit elektrostatischem Wirkprinzip Wolfram, Heiko — 185 Seiten, 74 Abbildungen, 8 Tabellen, 172 Literaturstellen Technische Universität Chemnitz Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik Dissertation, 2007 erschienen unter Shaker Verlag Aachen c Shaker Verlag 2007 ISBN 978-3-8322-6348-5 ISSN 0945-1005 Stichworte Beschleunigungssensor elektrostatisches Wandlerprinzip Identifikation MEMS Modellbildung Regelung H-unendlich Regelung Nichtlineare Regelung Stabilitätsanalyse Ljapunow-Funktion Kurzreferat Die vorliegende Arbeit gibt eine umfassende Beschreibung elektrostatisch erregter und kapa- zitiv detektierter MEMS am Beispiel eines Beschleunigungssensors. Ausgehend von einem Feder-Masse-Dämpfer System wird ein mathematisches Modell des Gesamtsystems für den Reglerentwurf aufgestellt. Neuartige Identifikationsmethoden linearer und nichtlinearer Art er- möglichen eine Identifizierung des mechanischen Modells aus dem elektrostatischen System. Dadurch entfällt der Einsatz kostenintensiver optischer Messtechnik, wobei gleichzeitig die elektrische Signalstrecke identifiziert wird, die zum Reglerentwurf nötig ist. Der Optimal-Reglerentwurf basiert auf dem bekannten Verfahren der H - und H2-Mini- 1 mierung, dessen allgemeine Struktur Gütekriterien wie robuste Stabilität gegenüber Modellun- sicherheiten und geforderte Dynamiken zulässt. Aufgrund des nichtlinearen Verhaltens des Ge- samtsystems ist die Stabilität nur im Arbeitspunktbereich des für den Reglerentwurf entwickel- ten Modells garantiert. Die Stabilität innerhalb eines größeren Bereiches wird durch Betrach- tung einer geeigneten Energiefunktion und numerischer Berechnungen geprüft. Rauschquellen des Sensorsystems werden abgeschätzt und die Sensitivität des Gesamtsys- tems analysiert. Möglichkeiten zur Rauschminderung und Sensitivitätserhöhung werden ge- zeigt, und Entwurfskriterien geben Hinweise zum Entwurf eines Sensorsystems. Schwerpunkt der Arbeit ist die komplette regelungstechnische Analyse und Synthese eines elektrostatisch erregten und detektierten Beschleunigungssensors. Die Auswertung simulativer Ergebnisse und praktischer Messungen bestätigen die Theorie und demonstrieren die Leistung des Entwurfs. Vorwort Die vorliegende Dissertationsschrift stellt Ergebnisse meiner Forschungsarbeit an der Profes- sur für Mikrosystem- und Gerätetechnik der TU Chemnitz vor. Ich möchte allen Mitarbeitern der Professur für Mikrosystem- und Gerätetechnik sowie des Zentrums für Mikrotechnologien für die gute Zusammenarbeit und die stets freundliche und unkomplizierte Arbeitsatmosphäre danken. Insbesondere bedanke ich mich bei: Prof. Dr.-Ing. Wolfram Dötzel für die Betreuung der Arbeit, für die Fachdiskussionen und • Anregungen, Dr.-Ing. habil. Peter Schwarz und Prof. Dr.-Ing. Jozef Suchý für die Übernahme der Be- • gutachtung, Dr.-Ing. Steffen Kurth für Fachdiskussionen, Anregungen, Unterstützung bei den experi- • mentellen Analysen und die Durchsicht der Arbeit, Prof. Dr.-Ing. habil. Jan Mehner für wertvolle Tipps, • den Mitarbeitern des ZfM, insbesondere Dipl.-Ing. Ralf Schmiedel und Dr.-Ing. habil. • Karla Hiller, die für das Design und die Durchführung der technologischen Abläufe ver- antwortlich waren, Dipl.-Ing. Torsten Aurich der Firma GEMAC mbH in Chemnitz, der für den Aufbau der • Prototypen verantwortlich war und viele experimentelle Arbeiten durchführte, meiner Verlobten Anita für ihre Hilfe bei der Durchsicht der Arbeit und ihre wertvollen • Hinweise zur sprachlichen Gestaltung. Nicht zuletzt gilt mein besonderer Dank meinen Eltern und meinen Bruder Axel, auf deren Rat und Zuspruch ich mich immer stützen konnte und ich eine Menge Ermutigung gefunden habe. Inhaltsverzeichnis Glossar XI 1 Einführung 1 1.1 Mikrosysteme und Regelungstechnik . 1 1.2 Ziel der vorliegenden Arbeit . 2 1.3 Thematische Gliederung . 4 2 Design und Technologie 7 2.1 Einführung . 7 2.2 Antriebsprinzipien von Mikrosystemen . 8 2.2.1 Elektrostatisches Antriebsprinzip . 9 2.2.2 Elektrodynamisches Antriebsprinzip . 10 2.3 Aufbau . 11 2.4 Technologie . 12 3 Modellbildung 15 3.1 Einführung . 15 3.2 Mechanisches Modell . 16 3.3 Squeeze-Film Dämpfung . 17 3.3.1 Lösung des Squeeze-Film Problems . 19 3.3.2 Elektrisches Analogiemodell . 19 3.3.3 Zustandsraummodell . 22 3.4 Elektrostatisches Wirkprinzip . 24 3.4.1 Kapazitive Detektion der Auslenkung . 25 3.4.2 Elektrostatisches Moment . 28 3.5 Pulsbreitenansteuerung . 29 3.5.1 Statisches Verhalten . 30 3.5.2 Dynamisches Verhalten . 31 3.5.3 Einschaltverhalten . 31 3.6 Kleinsignalmodell . 32 4 Parameteridentifikation 35 4.1 Einführung . 35 VIII INHALTSVERZEICHNIS 4.2 Lineare Modellidentifikation . 36 4.2.1 Approximierte Methode . 37 4.2.2 Zwei-Stufen-Identifikation . 38 4.2.3 Praktisches Beispiel . 42 4.3 Identifikation in der geschlossenen Schleife . 46 4.4 Nichtlineare Modellidentifikation . 48 4.4.1 Blockorientierte Identifikation . 49 4.4.2 Identifikation mittels neuronalem Netzwerk . 53 4.4.3 Numerisches Beispiel . 56 5 Reglerentwurf 59 5.1 Einführung . 59 5.2 Linearer Reglerentwurf . 60 5.2.1 Einschränkung der Bandbreite . 60 5.2.2 Robust Control . 62 5.2.3 Stabilitätsbetrachtung . 70 5.2.4 Praktisches Beispiel . 73 5.3 Nichtlinearer Reglerentwurf . 79 5.3.1 Adaptive Regelung mit Referenzmodell . 80 5.3.2 Numerisches Beispiel . 84 6 Sensitivität 89 6.1 Einführung . 89 6.2 Digitalwandler . 90 6.2.1 D/A-Wandler . 90 6.2.2 A/D-Wandler . 91 6.3 Sensitivitätsanalyse . 92 7 Rauschen 97 7.1 Einführung . 97 7.2 Brownsches Rauschen . 97 7.3 Rauschen in elektronischen Bauelementen . 98 7.3.1 Widerstandsrauschen . 98 7.3.2 Dioden-Rauschen . 98 7.3.3 Rauschquellen eines Bipolartransistors . 98 7.3.4 Rauschquellen eines Feldeffekttransistors . 99 7.3.5 Verstärkerrauschen . 99 7.4 Quantisierungsrauschen . 100 7.4.1 Rauschen in D/A- und A/D-Wandlerstufen . 100 7.4.2 Quantisierungsrauschen in Rechenwerken . 103 7.5 PWM-Rauschen . 105 INHALTSVERZEICHNIS IX 8 Zusammenfassung und Ausblick 107 A Modellbildung 109 A.1 Squeeze-Film Dämpfung . 109 A.2 Lösung des Squeeze-Film Problems . 110 A.2.1 Translatorischer Fall . 110 A.2.2 Rotatorischer Fall mit variabler Rotationsachse . 111 A.3 Pulsbreitenansteuerung . 113 A.3.1 Statisches Verhalten . 113 A.3.2 Einschaltverhalten . 114 A.4 Modellierung des Anschlags . 114 B Reglerentwurf 121 B.1 Anti-Windup Maßnahmen . 121 B.2 Singulärwertzerlegung . 122 B.3 Normen . 122 B.3.1 Vektornormen . 123 B.3.2 Matrixnormen . 123 B.3.3 Signalnormen . 124 B.3.4 Systemnormen . 124 B.3.5 Zusammenhang zwischen Signal- und Systemnormen . 125 B.3.6 Berechnung der Systemnormen . 126 B.4 Lösung des H2- und H -Minimierungsproblems . 127 1 B.5 Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung . 129 B.6 Lösung der Diophantischen Gleichung . 131 B.7 Lösung der Ljapunow-Gleichung . 131 C Sensitivität 133 C.1 Berechnung des Signal-Rauschabstandes für Sigma-Delta-Wandler . 133 C.2 Numerische Systemoptimierung . 133 Literaturverzeichnis 143 Abbildungsverzeichnis 159 Tabellenverzeichnis 163 X INHALTSVERZEICHNIS Glossar Abkürzungen A/D Analog-nach-Digital-Wandler (engl. Analog-to-Digital Converter), S. 91. ARMAX Autoregressiver Prozess mit gleitendem Mittel und externem Eingang (engl. Auto- Regressive Moving Average with external Input), S. 47. ARX Autoregressiver Prozess mit externem Eingang (engl. Auto-Regressive with exter- nal Input), S. 44. CF Charakteristische Funktion (engl. Characteristic Function), S. 101. D/A Digital-nach-Analog-Wandler (engl. Digital-to-Analog Converter), S. 90. DC Gleichstrom (engl. Direct Current), S. 32. DGL Differentialgleichung, S. 15. DSP Digitaler Signalprozessor, S. 49. FEM Finite Elemente Methode, S. 20. FET Feldeffekttransistor, S. 99. FIR Nichtrekursiver Filter (engl. Finite Impulse Response), dessen Ausgang nur aus y(t) den aktuellen und vorherigen Eingangswerten berechnet wird: G(z) = x(t) = m j j=0 bjz− . FOH HalteP glied erster Ordnung (engl. First-Order Hold), bei dem das zukünftige Signal x[kTs] x[(k 1)Ts] aus den vergangenen Werten extrapoliert wird: x(t) = x[kTs] + − − (t Ts − kT ) t [kT ; (k + 1)T ), S. 90. s 8 2 s s HF Hochfrequenz (engl. high frequency), S. 81. IIR Rekursiver Filter (engl. Infinite Impulse Response), dessen Ausgang aus den ak- tuellen Eingangs- und vorherigen Ein- und Ausgangswerten bestimmt ist: G(z) = m −j y(t) j=0 bj z x(t) = n a z−i , S. 92. Pi=0 i P XII GLOSSAR IV Methode der Instrumentellen Variablen (engl. Instrumental Variable Method), bei der durch geeignete Wahl der Regressionsmatrix die Korrelation mit dem Fehler- vektor minimiert wird, S. 53. LFT Lineare Fraktionaltransformation (engl. Linear Fractional Transformation), S. 68. LHP Linke Halbebene (engl. left-half Plane), S. 68. LOCOS Lokaler Oxidationsprozess (engl. Local Oxidation), bei dem durch thermische Oxi- dation des Siliziums mit Sauerstoff Siliziumdioxid SiO2 auf der Waferoberfläche entsteht, S. 13. LSM Methode