SAMMLUNG GÖSCHEN BAND 1109

Elemente der Funktionentheorie

von

Dr. Konrad Knopp f ehem. Professor der Mathematik an der Universität Tübingen

Mit 23 Figuren

Siebente Auflage

Sammlung Göschen Band 1109

Walter de Gruyter & Co. • Berlin 1966 vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer Karl J. Trübner • Veit & Comp. © Copyright 1966 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung — ]. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl }. Trübner—Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschließlich der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlags- handlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 77 13 660 — Drude: Lindemann & Lüdedce, Berlin 36. — Printed in Germany. Inhaltsverzeichnis.

Erster Abschnitt. Die komplexen Zahlen und ihre geometrische Darstellung. Seit« 1. Kapitel. Grundlagen. { 1. Einleitung 6 t 2. Du SyBtem der reellen Zahlen 8 f 3. Punkte nnd Vektoren der Ebene 13 2. Kapitel. Das System der komplexen Zahlen und die Gaußsche Zahlenebene. | 4. Geschichtliches 19 { 5. Einführung der komplexen Zahlen. Bezeichnungen .... 21 { 6. Gleichheit und Ungleichheit 26 i 7. Addition und Subtraktion 26 ( 8. Multiplikation und Division 28 { 8. Abgeleitete Kegeln. Potenzen 31 § 10. Das System der komplexen Zahlen als Erweiterung des Systems der reellen Zahlen 32 | 11. Trigonometrische Darstellung der komplexen Zahlen 34 } 12. Geometrische Darstellung von Multiplikation und Division 37 } 13. Ungleichungen und Beträge.- Beispiele 39 3. Kapitel. Die Riemannsche Zahlenkugel. { 14. Die stereographische Projektion 41 i 15. Die Riemannsche Zahlenkugel. Der Punkt a>. Beispiele 4S

Zweiter Abschnitt. Lineare Funktionen und Kreisverwandtschaft. 4. Kapitel. Abbildung durch lineare Funktionen. i 16. Abbildung durch ganze lineare Funktionen ...- 48 § 17. Abbildung durch die Funktion » = — 61 { 18. Abbildung durch beliebige lineare Funktionen 67 5. Kapitel. Normaliormen und besondere lineare Abbildungen. | 19. Die Gruppeneigenschaft der linearen Abbildungen 69 { 20. Fixpunkte und Kormalformen 61 | 21. Besondere lineare Abbildungen. Doppelverhiltnisse.... 65 i 22. Weitere Beispiele 68 1» 4 Inhaltsverzeichnis. Dritter Abschnitt. Mengen und Folgen. Potenzreihen. 6. Kapitel. Punkt- und Zahlenmengen. seit« § 23. Punktmengen 71 | 24. Beeile Zahlenmengen 73 § 25. Der Bolzano-Weierstraßsche Satz 76 7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Reihen. § 26. Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern 77 § 27. Zahlenfolgen mit reellen GUedef n 81 | 28. Unendliche Reihen 83 Kapitel. Potenzreihen. § 29. Der Konvergenzkreis 89 § 30. Das Rechnen mit Potenzreihen 92

Vierter Abschnitt. Analytische Funktionen und konforme Abbildung. 9. Kapitel. Funktionen einer komplexen Veränder- lichen. § 31. Begriff der Funktion einer komplexen Veränderlichen... 95 5 32. Grenzwerte von Funktionen 96 S 33. Stetigkeit 99 f 34. Dlfferenzierbarkeit 100 { 35. Eigenschaften der durch Potenzreihen dargestellten Funk- tionen 102 10. Kapitel. Analytische Funktionen und konforme Abbildung. i 36. Analytische Funktionen 106 S 37. Konforme Abbildung 108

Fünfter Abschnitt. Die elementaren Funktionen. 11. Kapitel. Potenz und Wurzel. Die rationalen Funk- tionen. . | 38. Potenz und Wurzel 111 § 39. Die ganzen rationalen Funktionen 115 § 40. Die gebrochenen rationalen Funktionen 116 12. Kapitel. Die Exponentialfunktion, die trigonome- trischen und die hyperbolischen Funktionen. } 41. Die Exponentlaifunktion 118 J 42. Die Funktionen cosz und Sinz 124 $ 43. Die Funktionen tgz und ctgz 128 { 44. Die hyperbolischen Funktionen 181 Inhaltsverzeichnis. — Literatur. 5 Seite 13. Kapitel. Der Logarithmus, die zyklometrischen Funktionen und die Binomialreihe. | 16. Oer Logarithmns 132 i M. Die lyktometrlaaben Funktionen IM | 47. Die BlnomUlralhe and dl« allgemeine Poteni 139 Register 142

Literatur.

Behnke, H., und K. Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 2. Aufl. Berlin, Heldelberg u. Göttingen 1962. Bicbcrbach, L.: Einführung in die Funktionentheorie. 3. Aufl. Stuttgart 1959. Burkhardt, H.: Funktionentheoretische Vorlesungen. Neu hrsg. von G. Faber. Bd. I, 1: Algebraische Analyst»; Bd. I, 2: Einführung in die Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Berlin u. Leipzig 1920/21. Caratheodory, C.: Funktionentheorie. Bd. I, Basel 1950. Dinghas, A.: Vorlesungen über Funktionentheorie. Berlin, Heidelberg u. Göttingin 1961. Heff ter, L.: Begründung der Funktionentheorie auf alten und neuen Wegen. 2. Aufl., Berlin, Heidelberg u. Göttingen 1960. Hornich, H.: Lehrbuch der Funktionentheorie. Wien 1950. Hurwitz, A., und B. Courant: Vorlesungen über allgemeine Funktionen- theorie und elliptische Funktionen. 3.. Aufl., Berlin, Heidelberg u. Göttingen 1929. Kneser, H.: Funktionentheorie. Göttingen 1958. Knopp, K.: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 4. Aufl., Berlin, Heidelberg u. Göttingen 1947. Mangoldt, II. v., und K. Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. Bd. I, 12. Aufl., Stuttgart 1962; Bd. II, 11. Aufl., Stuttgart 1962. Nielsen, N.: Elemente der Funktionentheorie. Leipzig 1911. Pringsheim, A., und G. Faber: Algebraische Analysis. Enzyklopädie d. math. Wissenschaften. Bd. II, C, 1 Leipzig 1909. Erster Abschnitt. Die komplexen Zahlen und ihre geometrische Darstellung. 1. Kapitel. Grundlagen. § 1. Einleitung. Unter dem Namen „Funktionentheorie" faßt man all die Untersuchungen zusammen, die sich ergeben, wenn man die Fragestellungen und Methoden der reellen Analysis (d. h. der gewöhnlichen Differential- und Integralrechnung und der mit diesen zusammenhängenden Gebiete) auf den Fall zu übertragen versucht, daß man für alle auftretenden Zahlen- größen (Konstante, unabhängige und abhängige Veränder- liche) komplexe Zahlen zuläßt, also Zahlen von der Form o + 6 —1. Solche Untersuchungen drängten sich schon früh bei verschiedenen Problemen der reellen Analysis ganz von selbst auf und sind zugleich mit der Uberwindung dieser im Laufe der Jahrhunderte erst zaghaft, bald mit immer schönerem Erfolge durchgeführt worden (Näheres s. § 4). Heute bildet die Funktionentheorie eines der ausgedehntesten und wichtigsten Gebiete der höheren Mathematik. In diesen „Elementen der Funktionentheorie" soll nur das Einfachste, aber für den weiteren Ausbau der Theorie Wichtigste1) behandelt werden. Dazu gehört zunächst eine Einführung in das System der komplexen Zahlen und das Rechnen mit diesen. Dazu gehört ferner die Übertragung

') Dieser Alubau findet sich dargestellt in den beiden Bändchen des Ver- fassers: Funktlonentheorle, Erster Teil: Grundlagen der allgemeinen Theorie (Irr analytischen Punktione», Ul. Auflag« 1901. Saiiimlung «dachen Xr.

§ 2. Das System der reellen Zahlen. Das System der reellen Zahlen setzen wir, was seinen praktischen Gebrauch anlangt, natürlich als bekannt voraus. Wegen ihrer grundsätzlichen Bedeutung sollen aber die wesent- lichen Gedanken, die zu seinem Aufbau führen, hier kurz dargelegt werden. Den Ausgangspunkt aller Betrachtungen über Zahlen bil- det die Folge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3,... und die beiden „Verknüpfungen" derselben, die als Addition und Multiplikation bezeichnet werden. Das Bedürfnis, diese beiden „umzukehren", zwingt alsbald zur Einführung der 0 (Null) und der negativen Zahlen und schließlich zu der der gebrochenen Zahlen. Die Gesamtheit der ganzen und ge- brochenen, positiven oder negativen Zahlen und der Null nennt man das System der (reellen) rationalen Zahlen. Mit diesen Zahlen, die jetzt kurz durch einen lateinischen Buchstaben bezeichnet werden sollen, kann man nach be- stimmten Kegeln rechnen, die man als die Grundgesetze der Arithmetik bezeichnet. Es sind die folgenden, bei denen unter „Zahlen" zunächst nur die eben genannten ratio- nalen Zahlen zu verstehen sind: I. Grundgesetze der Gleichheit und Anordnung. 1. Die Zahlen bilden eine geordnete Menge, d. h. zwischen irgend, zweien von ihnen, etwa a und b, besteht stets eine und nur eine der drei Beziehungen ab

>) Gelesen: o kleiner als b, a gleich 6, a größer als b; a>b Ist nur eine andere Schreibweise für b < o. — Die Negationen dieser drei Beziehungen schreibt man so: • 2t(< größer oder gleich b, a mindestens gleich b, a nicht kleiner als b). a + b (o ungleich b). «¿b (a kleiner oder gleich b, a höchstens gleich b, a nicht gröfler als b). § 2. Das System der reellen Zahlen. 9 Diese Anordnung gehorcht weiter den Gesetzen: 2. Es ist stets a = a. 3. Aus a=b folgt 6 = a. 4. Aus a = b und b = c folgt a — c. 5. Aus a^b und b 0 nennt man positiv, alle Zahlen <0 negativ. Wenn eine Zahl = 0 ist, sagt man auch, sie „ver- schwindet". II. Grundgesetze der Addition. 1. Je zwei Zahlen a und b kann man addieren; das Zeichen (a + b) oder a -f b bedeutet stets wieder eine bestimmte Zähl, die Snmme von a und b. — Diese Summenbildung gehorcht weiter den Gesetzen; 2. Aus a= a' und b—b' folgt a + b— a' + 6'. („Glei- ches zu Gleichem addiert gibt Gleiches.") 3. Es ist stets a + b= b + a. (Kommutationsgesetz.) 4. Es ist stets (a + ?>) + c = a + (b + c). (Assoziations- gesetz.) 5. Aus a

') Daß diese Zahl x durch a und b eindeutig bestimmt Ist, braucht nicht gefordert zu werden; es folgt leicht aus den übrigen Grundgesetzen, Insbeson- dere II, 5. 10 1. Kapitel. Grundlagen. 2. Aus a= a' und 6=6' folgt ab — a'b'. („Gleiches mit Gleichem multipliziert gibt Gleiches.") 3. Es ist stete ab — ba. (Kommutationsgesetz.) 4. Es ist stets (ab)c= a(bc). (Assoziationsgesetz.) 5. Es ist stets (a + 6)c = ac + bc. (Distributionsgesetz.) 6. Aua a< 6 und o-O folgt stets ac< bc. (Monoto- niegesetz.) Aus den bisher aufgezählten Grundgesetzen folgen in ein- fachster Weise, aber eben als beweisbare Tatsachen, die vier „Vorzeichenregeln" und als Ergänzung zu ihnen die Tatsache: Für jede Zahl a gilt a- 0=0. Da die vier Vorzeichenregeln insbesondere besagen: Aus a=f= 0 und b=j= 0 jolgt ab 4= 0, so folgt hieraus und aus der vorangehenden Tatsache noch der wichtige Satz. Ein Produkt zweier Zahlen ist dann und nur dann gleich 0, wenn wenigstens einer der beiden Faktoren gleich 0 ist. V. Grundgesetz der Division. Die Multiplikation ist, von einer Ausnahme abgesehen, umkehrbar, d. h. zu zwei Zählen a und b, deren erste 4= 0 ist, gibt es stets eine dritte Zahl x, so daß ax= b ist1). Man nennt die so bestimmte Zahl % den Quotienten von b und a und bezeichnet ihn mit —. a Alle diese Gesetze lassen sich, ausgehend von den ein- fachsten Tatsachen über natürliche Zahlen, sehr leicht be- weisen. Der Sinn unserer Zusammenstellung ist nun aber der, daß man, nachdem man die Gültigkeit dieser Grund- gesetze einmal gesichert hat, bei allem weiteren Arbeiten mit den Buchstabengrößen a,b,... auf die Bedeutung dieser Zeichen als rationale Zahlen nicht erneut zurückzugehen braucht: Allein aus der Gültigkeit der Grundgesetze lassen l) Wie bei der Subtraktion ist auch hier wieder x durch a und b eindeutig bestimmt. § 2. Dag System der reellen Zahlen. 11 sich rein formal1) alle weiteren Bechenregeln in völliger Strenge beweisen. Solche Regeln waren schon die zu IV genannten Tatsachen und Sätze. Dazu gehören aber weiter alle sogenannten Klammerregeln, das Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen, kurz alle Regeln der sogenannten Buch- stabenrechnung, auf die wir hier natürlich nicht weiter ein- gehen. Aus diesem wichtigen Umstand, daß man dabei auf die Bedeutung der Buchstabengrößen gar nicht einzugehen braucht, ergibt sich sofort die außerordentlich bedeutsame Folgerung: Wenn man irgendwelche anderen Dinge als ge- rade die rationalen Zahlen hat — wir werden sogleich solche anderen Dinge nennen —, die aber denselben Grund- gesetzen gehorchen, so kann man mit ihnen nach genau denselben Regeln rechnen wie mit den rationalen Zahlen. Jedes System von Dingen, für die das gilt, nennt man darum ein Zahlensystem, weil man, kurz gesagt, alle diejenigen Dinge Zahlen nennt, mit denen man im wesentlichen nach dien zusammengestellten Grundgesetzen operieren kann. Solche anderen Dinge, die auch allen unseren Grundge- setzen gehorchen, sind insbesondere die reellen Zahlen. Wir erinnern kurz daran, wie man zu ihnen gelangt: Das System der rationalen Zahlen ist insofern lückenhaft, als es sehr ein- fachen Forderungen nicht zu genügen vermag. So gibt es bekanntlich keine rationale Zahl, deren Quadrat = 2 ist. Die Tatsache aber, daß es rationale Zahlen gibt, deren Qua- drat so nahe bei 2 (oberhalb oder unterhalb) liegt wie man will, zusammen mit der bekannten Veranschaulichung der Dinge auf der Zahlengeraden (Näheres s. § 3) führt dazu, alle rationalen Zahlen in zwei Klassen einzuteilen, eine Klasse % die außer der Null und den negativen rationalen Zahlen alle die positiven enthält, deren Quadrat < 2 ist, und eine

') D.h. eben, ohne daO auf die Bedeutung der Zeichen eingegangen in Warden braucht. 12 1. Kapitel. Grundlagen. Klasse 3t', die alle positiven rationalen Zahlen enthält, deren Quadrat > 2 ist. Man sagt nun, durch diese Klasseneinteilung oder diesen Dedetindschen Schnitt (2t ] 21') im Bereich der rationalen Zahlen werde die „irrationale" Zahl erfaßt, deren Quadrat gleich 2 ist, und setzt geradezu (21121') = j/iT. Daß aber eine solche Klasseneinteilung eine Zahl definiert oder gar eine Zahl ist, kann nicht anders bewiesen werden als folgendermaßen: Man betrachtet die Gesamtheit aller nur denkbaren Klasseneinteilungen der rationalen Zahlen in zwei (nicht leere) Klassen 21 und 2t', die wie eben der Forderung genügen, daß jede Zahl der Klasse 21 kleiner ist als jede Zahl der Klasse 2t', und zeigt, daß diese Dedekindschen Schnitte (2112t') solche „an- deren Dinge" Bind, die bei geeigneten Festsetzungen über die Bedeutung der Zeichen =, <, + und • wieder unseren sämt- lichen Grundgesetzen genügen. Wie hierzu diese Fest- Betzungen zu treffen sind und wie der genannte Nachweis erbracht werden kann, soll hier natürlich nicht ausgeführt, sondern als bekannt angesehen werden1); der Weg dazu drängt Bich bei Veranschaulichung der Dinge auf der Zahlen- geraden ganz von selbst auf. Bezeichnet man aber jetzt diese Klasseneinteilungen kurz mit einem kleinen lateinischen Buch- staben, setzt etwa (2l|2l')= a usw., und nennt sie Zahlen, so gelten unter diesen Vereinbarungen ausnahmslos unsere sämtlichen Grundgesetze. Die so gewonnenen Dinge sind also Zahlen; sie bilden in ihrer Gesamtheit das System der reellen Zahlen. Bei der Deutung auf der Zahlengeraden (s. § 3) zeigt sich überdies, daß ein Teil der reellen Zahlen mit den bisherigen rationalen Zahlen zusammenfällt, ein anderer nicht. In diesem Sinne bildet das System der reellen Zahlen eine Erweiterung des Systems der rationalen Zahlen. Die nicht rationalen unter den reellen Zahlen nennt man irrational.

') Vgl. die S. 6 genannten Werke des Verfassern. §3. Punkte und Vektoren der Ebene. 13 Mit der Bildung des Systems der reellen Zahlen ist nun ein gewisser Abschluß erreicht. Denn es läßt sich zeigen, daß es weder ein anderes (von dem erhaltenen System der reellen Zahlen in irgendeinem wesentlichen Sinne verschiedenes) noch auch ein umfassenderes System von irgendwelchen Dingen gibt, das — wie man auch die Bedeutung der Zeichen =, <, + und • festsetzen mag — allen unseren Grundgesetzen genügt. Die hiermit angedeuteten Sätze bezeichnet man als den Einzigkeit«- bzw. Vollst&ndigkeitssatz für das System der reellen Zahlen. Eine abermalige Klasseneinteilung im System der reellen Zahlen führt nicht zu neuen Dingen, sondern immer wieder zu einer (schon vorhandenen) reellen Zahl. Macht man also im Bereich der reellen Zahlen einen Dedekindschen Schnitt, d.h. teilt man alle reellen Zahlen derart in zwei (nicht leere) Klassen 9i und 91', daß jede Zahl a aus 91 kleiner ist als jede Zahl a' aus 9t', so gilt der folgende oft als Dede- kindscher Hauptsatz bezeichnete Stetigkeitssatz für die reellen Zahlen: Satz. Ein solcher Dedekmdscher Schnitt im Bereich der reellen Zahlen definiert stets eine und nur eine reelle Zahl s, die „Schnittzahlderart, daß jedes a^L s, jedes a'^s ist. Die Schnittzahl s selbst härm zu 9t oder zu 91' gehören, je nach dem einteilenden Gesichtspunkt. Jede Zahl unterhalb s dagegen gehört zu 91, jede Zahl oberhalb s zu 9t'.

§ 3. Punkte und Vektoren der Ebene. Von den Grundbegriffen der analytischen Geometrie brauchen wir im folgenden nur das Allereinfachste und all- gemein Bekannte. Wir beschränken uns daher auf die Dar- legung der für ihren Aufbau grundsätzlich wichtigen Dinge. In bekannter Weise lassen sich zunächst die rationalen Zahlen als Punkte einer Zahlengeraden veranschaulichen, d. h. einer beliebigen (waagerecht gedachten) Geraden, auf 14 1. Kapitel. Grundlagen. der man zwei verschiedene Punkte 0 und E als Null- und Einheitspunkt, kurz als 0 und 1, gewählt hat, 1 rechts von 0. Daß die rationalen Zahlen eine geordnete Menge bilden, wird dadurch bildhaft anschaulich. Die in § 2 zusammengefaßten Betrachtungen lehren nun zunächst, daß hierbei zwar jeder rationalen Zahl genau ein Punkt — wir nennen ihn kurz einen rationalen Punkt — entspricht, daß aber nicht jeder Punkt der Geraden Bild einer rationalen Zahl ist. Es entspricht aber jedem Dedekindschen Schnitt im Bereich der rationalen Zahlen ein solcher für die rationalen Punkte: Sie weiden in zwei (nicht leere) Klassen 21 und 3T derart eingeteilt, daß jeder Punkt a aus 91 links von jedem Punkt a! aus 31' liegt. Die Anschauung verlangt hier gebieterisch, daß es dann stets einen Punkt s auf der Geraden gibt, der die beiden Klassen trennt, d. h. daß für alle a und a' immer a^s^a' ist. Die ausdrückliche An- erkennung dieser Tatsache bildet den Inhalt des Cantor- Dedekindschen Axioms: Jeder Schnitt im Bereich der rationalen Punkte definiert einen ganz bestimmten Punkt der Geraden, der die beiden Klassen des Schnittes trennt. Das heißt aber nichts anderes, als daß jeder reellen Zahl genau ein Punkt der Geraden als Bild entspricht und umge- kehrt. In diesem Sinne ist das System der reellen Zahlen umkehrbar eindeutig den Punkten der Zahlengeraden zuge- ordnet. Der am Ende des vorigen Paragraphen aufgeführte Stetigkeitssatz besagt bei dieser Abbildung: Teilt man alle Punkte der Zahlengeraden irgendwie in zwei nicht leere Klassen derart, daß jeder Punkt der ersten Klasse links von jedem Punkt der zweiten Klasse liegt, so gibt es stets genau einen Punkt, der beide Klassen trennt. Diese Abbildung der reellen Zahlen auf die Punkte einer Geraden bildet die Grundlage der analytischen Geometrie. Statt die reellen Zahlen durch die Punkte der Zahlengeraden §3. Punkte und Vektoren der Ebene. 15 zu veranschaulichen, ist es manchmal vorteilhafter, es durch die gerichteten Strecken, die Yektoren, auf dieser Geraden zu tun: Als Bild der reellen Zahl a sieht man die gerichtete Strecke an, die von 0 nach dem Punkt a führt oder jede andere Strecke, die die gleiche Länge und die gleiche Richtung wie die eben genannte hat. Die Zahl a heißt umgekehrt die Koordinate des veranschau- lichenden Vektors. Denkt man sich bei a eine Pfeilspitze, bei 0 eine Fiederung an die Strecke gezeichnet, so fliegen die die positiven Zahlen veranschaulichenden Vektoren nach rechts, die anderen nach linkB. Der Zahl 0 entspricht der Nullvektor, der keine Länge und keine (bestimmte) Rich- tung hat. Veranschaulicht die Abbildung der reellen Zahlen auf die Punkte der Geraden die Ordnung der reellen Zahlen be- sonders eindringlich, so ist die Abbildung der Zahlen durch die Vektoren besser geeignet, ihre Verknüpfungen zu veran- schaulichen: Der Addition entspricht da« Aneinander- fügen der Vektoren (vgl. S. 17 und § 7). Die Differenz b — a wird durch den Vektor veranschaulicht, der von dem Punkte a zu dem Punkte b führt. Die Multiplikation von a mit der positiven Zahl b bedeutet die Streckung des der Zahl a entsprechenden Vektors im Verhältnis 1:5 (vgl. § 12). Ist b negativ, so wird überdies die Richtung des erhaltenen Vektors umgedreht. Entsprechend wird die Di- vision veranschaulicht. Der Übergang zu den Grundlagen der analytischen Geo- metrie der Ebene erfordert nun keine neuen grundsätzlichen Erwägungen mehr: Man legt in die Ebene zwei Zahlen- geraden oder Achsen, von denen die zweite aus der ersten hervorgeht, indem man diese um den Nullpunkt im mathe- matisch positiven Sinne, d.h. im Gegensinn des Uhr- zeigers, um einen rechten Winkel dreht. Ein Punkt P der Ebene ist dann umkehrbar eindeutig dujch seine (senk- rechten) Projektionen P' und P" auf die erste bzw. zweite 16 1. Kapitel. Grundlagen. Achse bestimmt (vgl. Fig. 1), diese Projektionen sind wiederum eindeu- P" tig durch ihre Koordinaten x bzw. y festgelegt. Jedem Punkt ent- ^ spricht so genau ein geordnetes P' Zahlenpaar (x, y), d. h. ein Zahlen- paar, bei dem auf die Reihenfolge F'8- der beiden Zahlen zu achten ist, — und umgekehrt jedem solchen Zahlenpaar genau ein Punkt. In diesem Sinne wird also die Gesamtheit aller Punkte unserer Ebene durch die Gesamtheit aller Zahlenpaare (aj, y) geliefert, diese durch jene veranschaulicht. Das Paar der Zahlen x, y nennt man bekanntlich die (rechtwinkligen) kartesischen Koordinaten des dargestellten Punktes. In der Ebene ist es — in viel höherem Maße als auf der Geraden — für die Anwendung zweckmäßig, neben den Punkten die Vektoren, d.h. gerichtete Strecken zu be- trachten. Man sagt von zwei gerichteten Strecken (die Richtung denken wir uns wieder durch Spitze und Fiederung verdeutlicht), daß sie denselben Vektor darstellen, wenn sie die gleiche Länge und die gleiche Richtung haben, während man sonst von der Lage in der Ebene absieht. Solche Vek- toren bezeichnet man mit kleinen deutsehen Buchstaben: o, b,... ; man nennt sie zweidimensional im Gegensatz zu den zuvor auf der Geraden eingeführten eindimensionalen Vektoren. Projiziert man einen Vektor a auf die beiden Achsen, so erhält man auf diesen je einen (eindimensionalen) Vektor, die man als die Komponenten des Vektors ci bezeichnet. Sie veranschaulichen (auf ihrer Zahlengeraden) je eine reelle Zahl, die Koordinaten von a. Jedem Vektor entspricht so ein (geordnetes) Zahlenpaar (z, y). Da auch umgekehrt jedem solchen Zahlenpaar ein (eindimensionaler) Vektor auf jeder der Achsen entspricht und diese rückwärts sich als die Pro- § 3. Punkte und Vektoren der Ebene. 17 jektionen genau eines Vektors a der Ebene auffassen lassen, so können wir sagen: Die Gesamtheit aller Vektoren der Ebene wird durch die Gesamtheit aller Zahlenpaare (x, y) geliefert, diese durch jene veranschaulicht. Dem Zahlenpaar (0,0) entspricht der Nullvektor, der keine Länge und keine (bestimmte) Richtung hat. Denkt man sich alle Vektoren der Ebene von einem und demselben Punkte ausgehend, so nennt man sie ortsgebunden. Gehen sie insbesondere vom Ursprung (0,0) aus, so nennt man sie Radiivektoren. Die Spitze des Radiusvektors (x, y) liegt dann offenbar gerade im Punkte (x, y). Vom Parallelogramm der Kräfte her ist es jedem geläufig, zwei Vektoren a und b aneinander zu fügen, d. h. den Anfang des zweiten auf die Spitze des ersten zu legen. Der Vektor c, der von der Fiede- rung des ersten zur by Spitze des zweiten führt (s. Fig. 2a), ver- anschaulicht dann die Resultante der durch „, „ „, , ., , Fig. 2». Fig. 2b. die beiden ersten ver- anschaulichten Kräfte1). Man spricht hier von geome- trischer oder Vektoraddition und schreibt kurz et + b = c. Sind (a, a'), (jb, V), (c, c') die Koordinatenpaare dieser drei Vektoren, so ist bekanntlich a -f 6 = c, a! + V = c'. Neben den kartesischen Koordinaten benutzt man in der Ebene noch die sogenannten Polarkoordinaten: Ein Punkt P der Ebene bestimmt auch eindeutig seinen (nicht negativen) Abstand g vom Nullpunkt und im wesentlichen

') Oder man läßt a and £ von demselben Paukte ausgehen; c Ist dann die von diesem Punkte aasgehende Diagonale des durch a und i bestimmten Parallelogramms (s. Fig. 2 b). 18 1. Kapitel. Grundlagen. eindeutig auch den ersten Richtungswinkel

schon dann einander gleich, in Zeichen ein ganzzahliges Vielfaches von 2n ist. Zwischen den Polarkoordinaten Q,

(1) t-Y* + ?, cos (2) x = q cos Formel" zur Auflösung kubischer Gleichungen, die in dem Falle, daß die Gleichung drei reelle Wurzeln besitzt, diese Wurzeln in der angedeuteten „sinnlosen" Form lieferte. Ja, es stellte sich heraus, daß das Rechnen mit diesen „sinn- losen" Ausdrücken sehr oft wertvolle „reelle" Ergebnisse liefern konnte, teils bekannte auf viel kürzerem Wege, teils neue, die man erst nachträglich auf dem üblichen reellen Wege beweisen konnte; oft auch erlaubte es, schon hekannten Er- gebnissen eine befriedigendere Form zu geben. Für das letzte ist eins der schönsten Beispiele der Fundamentalsatz der Algebra, daß jede ganze rationale Funktion in ein Produkt von soviel Faktoren ersten Grades zerlegt werden kann als ihr Grad angibt. Während dieser Satz, wie schon die obige quadratische Gleichung zeigt, nicht immer richtig ist, solange man nur reelle Zahlen benutzt, wird er „formal" richtig, wenn man bei den Faktoren auch jene sinnlosen Ausdrücke zuläßt. Ein Beispiel für das andere sind die Ausdrücke für cos nx und sin nx durch die Potenzen von cos x und sin x (s. § 11), die man sehr schnell erhält, wenn man sich unbedenk- lich der Wurzeln aus negativen Zahlen bedient, wahrend sie auf „rein reellem" Wege nur, viel mühsamer zu beweisen sind. So kam es, daß man die Wurzeln aus negativen Zahlen nicht einfach verwarf, sondern sich ihrer in immer steigendem Maße und mit immer größerem Erfolge bediente, obwohl man ihnen keine unmittelbare Bedeutung zu geben vermochte und ihr Gebrauch daher rätselhaft und unbefriedigend blieb. Der größte Teil der Dinge, die in diesem Bändchen besprochen

l) Diese Bezeichnung bat Bich seit der Mitte des 17. Jahrhunderts einge- bürgert. Im Gegensatz.zu ihnen wurden alle gewöhnlichen Zahlen reelle Zahlen genannt. Eine solche Gegenüberstellung von reell und imagin&r findet sich wohl zuerst In der berühmten „Geometrie" von Descartes (Leyden 16S7). § 5. Einführung der komplexen Zahlen. Bezeichnungen. 21 werden, wurde schon gegen Ende des 17. und im Laufe des 18. Jahrhunderts, insbesondere von L. Euler (1708—1783) gefunden. Aber erst um die Wende des 18. Jahrhunderts begann man hier ganz klar zu sehen. Eine Abhandlung des Land- messers Caspar Wessel aus dem Jahre 1797 und ebenso eine solche von J.-R. Argand aus dem Jahre 1806, in denen eine Lösung des Rätsels gegeben wurde, fanden zunächst keine Beachtung. Nicht anders ging es ähnlichen Versuchen einiger weiterer Mathematiker. Erst als C. F. Gauß 1831, unab- hängig von seinen Vorgängern, dieselben Auffassungen ent- wickelte 1), war die Zeit für das volle Verständnis dieser Dinge reif geworden. In kurzer Zeit, insbesondere durch die rein arithmetisch gehaltene Darstellung von W. R. Hamilton aus dem Jahre 1837 — die Arbeiten der vorher genannten Mathematiker stellten die Dinge in geometrischem Gewände dar —, war alles geheimnisvolle und rätselhafte an jenen „sinnlosen Ausdrücken" verschwunden, die heute auf Grund einer geklärten Einstellung zu den Grundlagen unserer Wissen- schaft keinerlei begriffliche oder tatsächliche Schwierigkeiten mehr machen.

§ 5. Einführung der komplexen Zahlen. Bezeichnungen. Das System der reellen Zahlen hatte sich in vieler Hinsicht. insbesondere bei Anwendung auf geometrische Fragen (s. § 3) > als sehr viel leistungsfähiger erwiesen als das System der rationalen Zahlen: Das System der reellen Zahlen konnte umkehrbar eindeutig auf die Punkte oder Vektoren einer Geraden abgebildet werden und das Rechnen mit den reellen Zahlen konnte als ein Rechnen mit den Punkten oder Vek- toren der Geraden gedeutet werden. Diese Auffassung drängt nun förmlich dazu, gegenüber den neuen, in § 4 besprochenen

') C. F. Gauß, Göttlngische gelehrt« Anzeigen vom 23. April 1831. Werke Bd. 2, S. 167—178. 22 2. Kapitel. Dag System der komplexen Zahlen. Unmöglichkeiten den Versuch zu wagen, ein Rechnen mit den Funkten und Vektoren der Ebene (s. § 3) zu erklären und so ein System von Elementen zu schaffen, dem die aufgedeck- ten Unzulänglichkeiten des Systems der reellen Zahlen nicht mehr anhaften. Nach § 3 ist ein solcher Versuch gleich- bedeutend mit dem, ein Rechnen mit Zahlenpaaren zu er- klären. Das erste geschieht in der Sprache und den Dar- stellungen der Geometrie, das zweite in denen der Arithmetik. Wir werden im folgenden stets beides nebeneinander benutzen, und zwar werden wir die arithmetische Fassung bei allen grundsätzlichen Begriffen und Erklärungen wegen ihrer logischen Reinheit voranstellen, während die geometri- sche Form durch ihre anschauliche Kraft das Verständnis und den Überblick erleichtern soll. Wir betrachten also die Gesamtheit aller geordneten Paare aus zwei reellen Zahlen: («,«')• (/?, ß'),. ,.1). Anschaulich gefaßt betrachten wir also die Gesamtheit aller Punkte oder diejenige aller Vektoren einer gemäß § 3 mit einem Koordi- natenkreuz versehenen Ebene. Es wird sich zeigen, daß wir mit diesen Dingen bei geeigneten Festsetzungen über die Bedeutung vuii Gleichheit und Ungleichheit, Addition und Multiplikation werden rechnen können, und zwar im wesent- lichen genau wie mit den reellen Zahlen. Es wird sich also zeigen, daß diese Dinge als Zahlen angesehen werden können (s. § 2, S. 11). Vorbehaltlich dieses Nachweises wollen wir sie schon jetzt Zahlen, und zwar komplexe Zahlen nennen und mit einem kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnen, also etwa («,«')=«. 05,/3')= & setzen und wollen a, b,... zugleich auch als Zeichen für die die Zahlenpaare (<*, <%'), (ß,ß'),... veranschaulichenden Punkte ') Da wir die kleinen lateinischen Buchstaben a, b,... uns filr die Jetat zu schaffenden komplexen Zahlen vorbehalten wollen, sollen in diesem und den folgenden Paragraphen bis } 16 die reellen Zahlen mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet werden. § 6. Einführung der komplexen Zahlen. Bezeichnungen. 23 oder Vektoren der Ebene gebrauchen. Komplexe Zahlen sind also nichts anderes als geordnete Paare reeller Zahlen oder Punkte oder Vektoren der Ebene, für die eine Gleichheit, eine Addition und eine Multiplikation in bestimmter (in den §§6—8 ausgeführter) Weise erklärt sind. Die.Ebene, in der wir uns diese Punkte und Vektoren gezeichnet denken, nennt man die Ebene der komplexen Zahlen, auch die Gaußsche Zahlenebene oder kurz die Zahlenebene. Aus historischen Gründen und wegen der Zusammenhänge, die die folgenden Paragraphen nöcli genauer aufdecken werden, bezeichnet man die erste der beiden (kartesischen) Koordina- ten des Punktes a als den reellen Teil, die zweite als den imaginären Teil der komplexen Zahl a und schreibt dafür (l) «.(«) = «, 3(®) = «'- Demgemäß bezeichnet man die erste der beiden Koordinaten- achsen als die reelle Achse, die zweite als die imaginäre Achse, deren Hälften man auch als die positiven bzw. negativen Halbachsen unterscheidet. Durch jede der Achsen wird die Ebene in zwei Halbebenen zerlegt, die man gemäß ihrer Lage als obere und untere bzw. linke und rechte Halbebene unterscheidet. Den Koordinatenanfangs- punkt, also den Punkt oder da« Zahlenpaar (0,0) bzw. den Nullvektor, nennt man kurz denPunkt 0 oder den Nullpunkt der Ebene. Diejenigen komplexen Zahlen, deren darstellende Punkte auf der reellen Achse liegen,und deren Vektoren ihr also parallel sind, nennt man kurz reell, alle übrigen nicht reell oder irreell; diejenigen, für die der darstellende Punkt auf der imaginären Achse liegt (bzw. der Vektor ihr parallel ist), nennt man rein imaginär1). Die erste der beiden (gemäß § 3 eingeführten) Polar- koordinaten des Punktes a oder also die Länge des Vektors a, die wir mit ¡j bezeichnen wollen, nennt man den (absoluten)

') Durch die Ausführungen des { 10 werden diese letzten Bezeichnungen, wie schon betont, noch besser verständlich werden. 24 2. Kapitel. Das System der komplexen Zahlen. Betrag der komplexen Zahl a, die zweite besteht, sondern nur fordert, daß zwischen ihnen eine der beiden Beziehungen = oder 4= besteht. Die Ordnung der komplexen Zahlen ist also eine grundsätzlich andere als die der reellen Zahlen. Wir werden dann zeigen, daß bei geeigneten Festsetzungen über Gleichheit, Addition und Multiplikation unsere Zahlenpaare allen Grundgesetzen der Arithmetik gehorchen, wofern man diejenigen Gesetze, 26 2. Kapitel. Das System der komplexen Zahlen. in denen eines der Zeichen < oder > auftritt, in der nun gebotenen Weise abändert bzw. unterdrückt. Darum bleibt es gerechtfertigt und ist es allgemein üblich, diese Zahlenpaare ebenfalls als Zahlen, aber zum Unterschied gegen die bis- herigen reellen Zahlen nun eben als komplexe Zahlen zu bezeichnen.

§ 6. Gleichheit und Ungleichheit. Die Gleichheit zweier komplexer Zahlen erklärt man na- türlich durch das Zusammenfallen der darstellenden Punkte bzw. Vektoren: Erklärung. Die komplexen Zahlen a— («,«') und b = {ß,ß') heißen einander gleieh, in Zeichen a—b, wenn gleichzeitig

§ 7. Addition und Subtraktion. Wie man zwei Zahlenpaare zu addieren hat, wird durch die Figur des Parallelogramms der Kräfte nahegelegt:

') Wenn hier und im folgenden das Wort „offenbar" gebraucht wird, BO soll dies natürlich heißen, daB der Beweis der Behauptung so einfach ist, daß wir ihn dem Leser Überlassen dürfen. Es sei ihm aber dringend geraten, jeden solchen Nachweis einmal wirklich sorgf<ig durchzuführen. ') I, 5 könnte höchstens in der Form „Aus a = b, b + c folgt a + c" bei- behalten werden. Die Richtigkeit dieser Aussage ergibt sich aber schon (in- direkt) aus 1,3 und 1. § 7. Addition und Subtraktion. 27

Erklärung. Unter der Summe zweier komplexer Zahlen a - («,«') wnd b— (ß,ß') soll die komplexe Zahl c= () Bei II, 4 u. 5 bedeutet c natürlich eine beliebige dritte komplexe Zshl. ') Dies folgt auch am II, 2 und HI. 28 2. Kapitel. Das System der komplexen Zahlen. Läßt man die Vektoren a und 6 von demselben Punkt ausgehen, so wird die Differenz b — a durch denjenigen Vektor veranschaulicht, der von der Spitze von a zur Spitze von b führt (Fig. 8a). Benutzt man die Punkte a und 6, so wird b — a durch den Vek- tor veranschaulicht, a der von a nach b, \ also vom Subtrahen- \ b-a den zum Minuenden \ führt (Fig. 8 b). ffier- \ * nach bedeutet insbe- b sondere Hg- 8». Fig. ab. \b — a\ oder \a — b\ einfach den Abstand der beiden Punkte a und b. Diejenige nun notwendig vorhandene komplexe Zahl, die, bei der Ad- dition als Summand verwendet, keine Änderung hervorruft, ist offenbar die Zahl (0,0). Wir nennen sie daher (vgl. das in § 5 Gesagte) die Null und bezeichnen sie kurz mit 0. Der sie darstellende Punkt ist der Koordinatenanfangspunkt, der darstellende Vektor der Nullvektor. Da nun weiter 0 — a oder — a den Vektor bedeutet, der vom Punkt a nach 0 führt, der also gleiche Länge, aber entgegengesetzte Richtung hat wie a, so ist — a in Übereinstimmung mit dem schon in § 5 Gesagten die zu a entgegengesetzte komplexe Zahl.

§ 8. Multiplikation und Division. Im Anschluß an die Erklärung der Addition läge es nahe, als Produkt der Zahlenpaare (<%, <%') und (ß, ß') das Zahlenpaar (

(ab) e = (ocß-oc'ß', aß' + a'ß) (y, y') = ([«¡8 -<*'/?'] 7 ~ laß' + «'ß] y'i l*ß ~*'ß'] / + [aß'+»'ß ]y). Für a(bc) dagegen findet man das Zahlenpaar

(»[ßy—ß'y']-cc'W + ß'y], *[ßf + ß'y] + *'\ßy-,S'y'])- Die beiden erhaltenen Zahlenpaare sind aber, da für die reellen Zahlen «,/?,... die Gesetze IV gelten, tatsächlich dieselben. Ganz ähnlich verläuft der Beweis von IV, 5, den wir dem Leser überlassen. Daß unsere Multiplikation auch dem Gesetz IV, 6 in der abgeänderten Form (s. o.) genügt1), ist nun leicht zu sehen: Da man es auch in der Form „Aus b — a 4= 0 und c 4= 0 folgt (b — a) • c=t= 0" aussprechen kann, so ist es offenbar enthalten in dem einander gleich, n&mllch beide = (0, 0). Bei dieser Erklärung wäre also aach der nachstehend bewiesene „Sati" falsch. ') Dies folgt auch ans IV, 2 und V. 30 2. Kapitel. Das System der komplexen Zahlen. Satz. Ein Produkt zweier komplexer Zahlen ist dann und nur dann gleich Null, wenn wenigstens einer der beiden Faktoren gleich Null xsl. In der Tat, wenn a=f= 0, aber «6=0 ist, so muß 6=0 sein. Denn «6 = 0 bedeutet, wenn a= («,«'). 6 = (ß, ß') ist, daß die beiden Gleichungen otß—oc'ß' = 0 und otß' + (x'ß = 0 gelten. Multipliziert man von diesen die erste mit «, die zweite mit od und addiert sie, so ergibt sich (a2+«'2)|3= 0. Da aber a =)= 0 gerade bedeutet, daß die reelle Zahl a2 + a'2 4=0 ist, und da für reelle Zahlen unser Satz richtig ist (s. § 2, IV, Satz), so folgt hieraus, daß ß = 0 sein muß. Ganz analog ergibt sich durch Elimination von ß, daß auch ß' = 0, also 6=0 sein muß. — Daß umgekehrt «6=0 ist, wenn a oder 6 gleich 0 ist, folgt unmittelbar aus der Erklärung der Multipli- kation. Die durch die Erklärung festgelegte Multiplikation genügt also den sämtlichen Grundgesetzen IV. Eine ähnliche Rech- nung wie die eben durchgeführte zeigt aber weiter, daß auch das Grundgesetz V erfüllt ist: Sind nämlich a = («,«') 4= 0 und 6 = (ß, ß') beliebig gegeben, so wird die Existenz einer komplexen Zahl x = (f, £') behauptet, für die ax=b, d. h. «f+«'f)=(A/n oder oc£—<%'£' = ß und

§ 9. Abgeleitete Regeln. Potenzen. Durch die Betrachtungen der §§ 6—8 ist nun der in § 5 geforderte Nachweis erbracht, daß, wenn man die Zahlenpaare oder also die Punkte oder die Vektoren der Ebene abkürzend mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet und sie ein- fach Zahlen nennt, wenn ferner Gleichheit, Addition und Multiplikation so festgelegt werden, wie wir es getan haben, — daß dann alle Grundgesetze der Arithmetik, in denen und bei deren Beweis nur das Gleichheitszeichen auftritt, ausnahmslos gültig bleiben. Die übrigen werden teils bedeutungslos, teils sind sie in ihrer Fornt ein wenig zu ändern. Daraus folgt aber (vgl. hierzu die Ausführungen in § 2) ganz von selbst, daß auch alle weiteren Regeln der ge- wöhnlichen Buchstabenrechnung, in denen und bei deren Be- weise kein Ungleichheitszeichen vorkommt, ohne weiteres gül- tig bleiben, wenn die Buchstaben nun komplexe Zahlen be- deuten. Man sagt kurz: Mit den komplexen Zahlen darf man formal so rechnen wie mit den reellen Zahlen. Eine richtige Buchstabenrechnung „im Reellen", in der nur Gleichungen auftreten, bleibt auch „im Komplexen" richtig. Bei dem Rechnen mit Ungleichungen dagegen ist zu beachten, daß das Gesetz I, 5 ausgefallen ist und daß I, 1 sowie II, 5 und IV, 6 in der besprochenen Weise abzuändern sind. Als einfachste Beispiele heben wir zunächst das Rech- nen mit Potenzen und die Gültigkeit des binomischen Lehrsatzes hervor: Ist a eine beliebige komplexe und n eine natürliche Zahl, so bezeichnet man wie im Beeilen das Produkt aus n Faktoren, die alle gleich a sind, mit a". Und 32 2. Kapitel. Das System der komplexen Zahlen. die gleichen Erwägungen wie dort führen dazu, falls die Basis a=)= 0 ist, unter a° die Zahl 1 und unter a~n den Wert — zu verstehen. Nach diesen Festsetzungen ist die Potenz ffl" al für jeden ganzzahligen Exponenten k erklärt, und für das Rechnen mit diesen Potenzen gelten die drei Regeln alal = al+l, (a*)J = atl, a* • V* = (ab)*, bei denen die Basis 0 nur auftreten darf, wenn der Exponent positiv ist. Sind a und b zwei beliebige komplexe Zahlen und ist n eine natürliche Zahl, so ist (a + b)n = a» + (l) &+.•.+(")«"-'&" + ... +ft"

Die vier tirundoperationen, Addition, Subtraktion, Multi- plikation und Division, bezeichnet man als die rationalen Rechenoperationen. Schließt man die Division aus, so spricht man von den ganzen rationalen Operationen. Ein Ausdruck, der (wie z. B. der vorstehende) aus irgendwelchen Buchstabengrößen und Zahlen durch Anwendung der ratio- nalen Rechenoperationen (in endlicher Anzahl) gebildet ist, nennt man darum einen rationalen Ausdruck, insbeson- dere einen ganzen rationalen Ausdruck, wenn nur die ganzen Operationen verwendet werden.

§10. Das System der komplexen Zahlen als Er- weiterung des Systems der reellen Zahlen. Auf Grund der historischen Entwicklung, die sich in den in § 5 eingeführten Bezeichnungen widerspiegelt, hat man in dem System der komplexen Zahlen ganz selbstverständlich eine Erweiterung des Systems der reellen Zahlen gesehen. § 10. Erweiterung des Systems der reellen Zahlen. 33 Wir haben noch klarzustellen, inwiefern das der Fall ist. Denn Paare von reellen Zahlen sind nicht selbst reelle Zahlen. Diejenigen Zahlenpaare («, 0) aber, deren zweite Koordinate = 0 ist, deren darstellende Punkte also auf „der reellen Achse" liegen, scheinen in einem ganz bestimmten Sinne doch wirklich reelle Zahlen zu sein. Was soll das bedeuten? Es ist dies: Wenn man für jedes Zahlenpaar (a, 0) abkürzend einmal einfach « setzt, so prüft man sofort nach, daß jede Rechnung, die nach den für das Rechnen mit Zahlenpaaren festgelegten Regeln verläuft und die ausschließlich Zahlen- paare der Form («, 0) verwendet, in eine richtige Rechnung mit reellen Zahlen übergeht. In der Tat geht dadurch Gleich- heit, Summe und Produkt zweier solcher Paare (<%, 0) und (ß, 0) in Gleichheit, Summe und Produkt von« und ß über; und das genügt. Man drückt dies aus, indem man sagt: Das Teilsystem aller Zahlenpaare («, 0) ist hinsichtlich ihrer Ver- knüpfung durch Addition und Multiplikation dem System aller reellen Zahlen isomorph. Darum darf man geradezu («,0) = « setzen und das Paar (a, 0) unbedenklich als mit der reellen Zahl « identisch ansehen. Dann darf aber (0,a') = «'(0,1) gesetzt werden, weil ja nach § 8 und der getroffenen Verabredung «'(0,1)= («',0). (0,1)= (0,«') ist. Und schließlich kann nun ein beliebiges Zahlenpaar in der Form («,«') = («, 0) + (0,«') = a + a'(0,1) dargestellt werden: Alle Zahlenpaare können also unter aus- schließlicher Benutzung des einen Zahlenpaares (0,1) in dieser Form dargestellt werden. Setzt man, wie es Euler1) zuerst tat, für dieses Zahlenpaar abkürzend den Buchstaben t,

>) In der Abhandlung „De formulis differentlalibufl ...", die 1777 der Petersburger Akademie vorgelegt, aber erst nach Eulers Tode veröffentlicht wurde. Einen systematischen Gebrauch des Buchstabens t für die imaginäre Einheit hat erst Gaufi gemacht, der sich desselben seit 1801 bedient. Knopp, Elemente der Funktionentheorie. 2 34 2. Kapitel. Das System der komplexen Zahlen. (0,1) = i, so kann («, «') = c -+- a i gesetzt werden, und diese Darstellung ist offenbar völlig ein- deutig. Nach § 8 ist schließlich (0,1)-(0,1)= (-1,0)=-1, also <*= —1. Unser neues Zahlensystem enthält also auch solche Zahlen, deren Quadrat negativ-reiell ist, — und ebenso sind, wie sich zeigen wird, all die übrigen in § 4 erwähnten „Unmög- lichkeiten" nun zu Realitäten geworden. In diesem Sinne also bildet es eine folgerichtige Erweiterung des Systems der reellen Zahlen, und zwar ciae wiche,' du- die Unzulänglich- keiten des letzteren nicht mehr besitzt. Weil endlich jede komplexe Zahl a= («,«') in der Form a =

§ 11. Trigonometrische Darstellung der komplexen Zahlen. Im vorangehenden haben wir zur Darstellung der Punkte und Vektoren die kartesischen Koordinaten benutzt. Nimmt man Polarkoordinater, so werden die Dinge teils einfacher, teils weniger einfach. § 11. Trigonometrische Darstellung der komplexen Zahlen. 36 Sind g und

(1) a— q cos

+ i sin + i sin ip), so ist dann und nur dann a — b, wenn Q = a und (wofern nicht beide = 0 sind) zugleich q> = y>, d. h.

(mod 2jr)ist. Summe und Differenz von a und b lassen sich bei Be- nutzung der trigonometrischen Darstellung nicht so einfach ausdrücken. Es sei dem Leser als Übung empfohlen, die Darstellung anzugeben. Da aber die Vektoren a, b und a + b (s. Fig. 7 a) ein Dreieck bilden, 30 liefert der hekannte Ratz, daß in einem Dreieck jede Seite höchstens glcich der Summe der beiden andern ist. die wichtige Ung t. Vhimg (Näh. 3. § 13) (2) ¡a + H^|ffl| + |6|, die man kurz die Dreiecksnngleichnng nennt, ujid nach dem entsprechenden Satz für die Differenz zweier Dreiecksseiten liefert die Darstellung der Differenz b — a, in Fig. 8a die weitere Ungleichung (3) !&-«!=> |J|- |«|. 36 2. Kapitel. Das System der komplexen Zahlen. Multiplikation und Division dagegen lassen sich einfacher ausdrücken. Es ist nämlich nach § 8 zunächst ab= {(xß— — sin

sin tp + sin q> cos y>) = per sin (

), so daß

(4) ab OB q>O (cos (

Ganz ebenso zeigt man (oder indem man von — • a= b, a 0. a ausgeht), daß für a=f= 0

(6) — = — (cos(y>—

(9) "o" ™

Wiederholte Anwendung von Multiplikation und Division führt endlich zu der sogen. Jloivreschen Formel: (10) an™[p(cos+4 sin y)]"=p" (cos ro y+i sinn

— cos"—2

§ 12. Geometrische Darstellung von Multiplikation und Division. Aus den Betrachtungen des vorigen Paragraphen ergibt sich nun die sehr einfache geometrische Darstellung der Multi- plikation und Division. Aus den dortigen Formeln (4) und (6) liest man die folgenden Konstruktionen der Vektoren ab und b , — ab, wenn a a— q (cos

') Wenn hier und Im folgenden von einer Drehung im positiven Sinne um den Winkel =• oder < i Ist. Das Wort Streckung wird also auch gebraucht, wenn tat- sächlich eine Verkürzung oder gar keine Änderung vorgenommen wird. 38 2. Kapitel. Das System der komplexen Zahlen. im Verhältnis o : 1, so erhält man den Vektor —. a Nur eine etwas andere Fassung dieser Konstruktion ist die folgende: Man markiere (s. Fig. 9) die Punkte 0, 1, a und l und lege an die Strecke von 0 nach b ein dem Dreieck 01a gleichsinnig ähnliches Dreieck, derart, daß die Strecken 0... 1

ab U. 0 l MFlg. 9. Pig. 10. und 0... 6 einander entsprechende Seiten werden. Die dritte Ecke dieses Dreiecks ist dann der Punkt ab. Fügt man aber das Dreieck so an (s. Fig. 10), daß die Seiten 0... a und 0... b einander entsprechen, so stellt der dritte Eckpunkt den Quotienten — dar. Insbesondere findet man

den zu a reziproken Punkt , in- dem man an die Strecke 0. •. 1 ein zu 0 1 a gleichsinnig ähnliches Drei- eck so anlegt, daß die Seiten 0 ... a und 0... 1 entsprechende Seiten Fig. 11. werden. Der dritte Eckpunkt des- selben liefert den Punkt, - (s. Fig. 11). Genaueres in §17. a § 13. Ungleichungen und Beträge. Beispiele. 39 § 13. Ungleichungen und Beträge. Beispiele. Von den sich auf Ungleichungen beziehenden Grund- gesetzen ist 1,5 weggefallen, und die anderen drei haben die in den §§ 6, 7 und 8 genannte vereinfachte Form erhalten. Diese Regeln sind so einfach, daß ihre Anwendung keiner weiteren Erläuterung bedarf. Dagegen soll auf das Rechnen mit den Beträgen noch etwas näher eingegangen werden, da es im folgenden besonders oft verwendet wird. Es beruht im wesentlichen auf den drei in den vorangehenden Para- graphen festgestellten Tatsachen: I. Der Betrag |a| einer komplexen Zahl a ist eine reeüe, nicht-negative Zahl, die dann und nur dann gleich 0 ist, wenn a—0 ist. II. Es ist |a&|= \ a\ • |6|. III. Es ist |a + 6|<; |a| +j6|. Den Beweis der letzten Tatsache, der sogen. Dreiecks- ungleichung, hatten wir geometrisch geführt. Analytisch kann er so geliefert werden: Die Behauptung besagt, daß für vier beliebige reelle Zahlen «,«',/3,ß' stets V(oc + ßf + («' + ß'f 5? J/«2 + <*'2 + Vßl + ß"2 sein soll. Durch zweimaliges Quadrieren findet man aber, daß diese Ungleichung sicher dann richtig ist, wenn die Un- gleichung (i) {ocß'-yßf^ o gilt, — und das letztere ist doch gewiß der Fall. Aus II oder aus der Erklärung selbst folgt noch, daß I—|-M ist, und nach III ist nun weiter |«|=|(fl + J) + (_ft)|^|« + 6| + H| oder |a + i|^|a|-|i|. Da man a und b vertauschen darf, so ergibt sich schließlich die etwas schärfere Ungleichung 40 2. Kapitel. Das System der komplexen Zahlen. III' |« + 6|^||a|-|i||, die man ebenfalls als Dreiecksungleichung bezeichnet. Wir beschließen dieses Kapitel, indem wir noch eine Reihe einfacher Anwendungen geben, die sich aus den Vereinbarungen und Sätzen der vorangehenden Paragraphen ergeben und die in der Folge oft verwendet werden. 1. Aus der Dreiecksungleichung folgt durch wiederholte Anwen- dung: Wenn a,, a,,..., ap irgend p komplexe Zahlen sind, so ist stets l«i+flt+' • •+«#! ^ KI+KI+* • •+!«,!•

Den Vektor (a, + at -| + cip) findet man, indem man die Vektoren alt at,..., Oj, aneinander fügt und nun den Anfang des ersten mit der Spitze des letzten verbindet. Für das Produkt gilt dagegen («!«,.. .a^l = 1^1-|a,|...ja,,|. Da der Betrag Izl einer komplexen Zahl z1) ihren Abstand vom Nullpunkt und der Betrag der Differenz (2,— 2, | zweier Zahlen und z, den Abstand der entsprechenden Punkte bedeu- tet, so ergeben sich weiter die folgenden einfachen Tatsachen: 2. Ist für eine komplexe Zahl 2 der Betrag \e | = 1, so liegt ihr Bildpunkt auf der Kreislinie mit dem Radius 1 um den Null- Ckt, dem sog. Einheitskreise. Umgekehrt ist für jeden kt 2, der dort liegt, | z | = 1. Die Gleichung | z | = 1 kann in diesem Sinne als die Gleichung des Einheitskreises ange- sehen werden: Sie ist dann und nur dann erfüllt, wenn 2 auf dem Einheitskreise liegt. Für diese z und nur für diese hat die trigono- metrische Darstellung die Form 2 = cos

) Im folgenden wird für eine beliebige komplexe Zahl gern der Buch- stabe t verwendet, während die Buchstaben a,b,... für bestimmt ausge- wählte Zahlen vorbehalten werden. § 14. Die stereographische Projektion. 41 5. Ebenso ist \z — a | q oder I z — a | < g die Gleichung der Fläche des genannten Kreises. Bei der ersten ist die Peri- pherie, der Rand der Kreisfläche, dieser hinzugerechnet, bei der zweiten nicht. Eine ähnlich einfache Bedeutung haben etwa die Ungleichungen \z — \z — a\>Q, Qt<\z — a\< Qv Die letzte bedeutet die Fläche des Kreisringes zwischen den Kreisen mit und gt um den Punkt a, ausschließlich der beiden Ränder. 6. Ist e eine gegebene positive Zahl, so nennt man dio Kreis- fläche | 2 — a | < e kurz eine (kreisförmige) «-Umgebung von a. Wird a=a+ »<*', z=x + iy gesetzt, so nennt man entsprechend die durch | x — a | < e, | y — <*'J < £. bestimmte Quadratfläche eine quadratische E-Umgebung von a. 7. Ist für eine komplexe Zahl z so bedeutet dies, daß ihr Abstand | z — 11 von dem Punkt + 1 gleich ihrem Abstand | z — (—1)1 von dem Punkte — 1 ist. Sie liegt also auf der imaginären Ach se. Die hingeschriebene Glei- chung kann also als die Gleichung dieser Achse angesehen werden. Dies gilt aber auch von der einfacheren Gleichung $R(2) = 0. 8.91(2)2:0 charakterisiert in ähnlichem Sinne die rechte Halbebene (einschl. ihres Randes, der imaginären Achse), und ebenso einfach ist die Deutung der Ungleichungen SR (z) < 0, 3(2) go, 3(2) >o. 3. Kapitel. Die Riemannsche Zahlenkugel. § 14. Die stereographische Projektion. Bisher haben wir zur Veranschaulichung der komplexen Zahlen die Ebene der analytischen Geometrie benutzt. Für viele Zwecke erweist es sich als günstiger, dazu die Kugel zu verwenden. Soll sie dasselbe leisten, so müssen wir eine Zuordnung zwischen den Punkten der Kugel und denen der Ebene herstellen, müssen also, wie man kurz sagt, die Kugel (umkehrbar-eindeutig) auf die. Ebene abbilden. Die Her- stellung einer solchen Abbildung ist das alte Problem der Herstellung geographischer Karten. Sie kann in der ver- 42 3. Kapitel. Die Riemannsche Zahlenkugel. schiedensten Weise durchgeführt werden. Aber es ist be- kannt, daß dabei notwendig Verzerrungen 'eintreten: Es ist nicht möglich, die Abbildung so durchzuführen, daß die Karte dem Original geometrisch ähnlich ist. Man darf also bei einer Karte nur fragen: Welche Dinge (Abstände, Winkel, Flächen, Formen usw.) stehen zu denen des Originals in einem festen Verhältnis, welche nicht, und welcher Art sind im letzteren Falle die Änderungen? Für unsere Zwecke kommt nur die als stereographische Projektion be- kannte Abbildung in Frage. Sie wird folgendermaßen her- gestellt: Auf die xt/-Ebene der analytischen Geometrie1) legen wir eine Kugel vom Durchmesser 1 derart, daß sie die Ebene im Koordinatenanfangspunkt 0 berührt. Um uns bequem ausdrücken zu können, bedienen wir uns auf der Kugel der üblichen geographischen Bezeichnungen und nennen dem- gemäß den Berührungspunkt 0 den Südpol und den diametral gegenüberliegenden Punkt den Nordpol N. Von diesem Nordpol aus legen wir nun die Halbstrahlen, die die Ebene, und folglich auch die Kugel in einem zweiten, von N ver- schiedenen Punkte treffen. Den (von N verschiedenen) Punkt der Kugel und den Punkt der Ebene, die auf demselben Halbstrahl liegen, ordnen wir ein- ander zu (s. Fig. 12). Dadurch entspricht offenbar jedem Punkt P der Ebene genau ein von N verschiedener Punkt P' der Kugel und umgekehrt. Kurz: Die Kugelfläche (aus der der Nordpol wegzudenken Flg. 12. ist) ist umkehrbar-ein- ') In diesem Paragraphen sollen alle Zahlen wieder reell sein; wir bewegen uns gani Im Beeilen. — Die zy-Ebene denken wir uns horizontal vor uns liegend. § 14. Die stereographische Projektion. 43 deutig au! die Ebene abgebildet. Es ist klar, daß hierbei die in der. Nähe des Südpols gelegenen Teile der Kugel eine ge- ringe, die beim Nordpol gelegenen eine starke Verzerrung er- leiden. Was bleibt bei dieser Abbildung erhalten ? Es ist das Ziel der folgenden Betrachtungen, zu zeigen, daß die Abbildung kreisverwandt und winkeltren ist. Das erste soll heißen, daß jeder Kreis auf der Kugel auf einen Kreis oder eine Gerade der Ebene abgebildet wird (und umgekehrt); das zweite, daß irgend zwei Kreise und allgemeiner irgend zwei Kurven auf der Kugel sich unter demselben Winkel schneiden wie ihre Bilder in der Ebene (und umgekehrt). Man übersieht zunächst ohne weiteres, daß die Breiten- kreise der Kugel in die konzentrischen Kreise der Ebene um 0 übergehen, während die Halbmeridiane der Kugel den Halbstrahlen aus 0 entsprechen. Da wir der Kugel den Durchmesser 1 gegeben haben, geht insbesondere ihr Äquator in den Kreis mit dem Radius 1 um 0 über. Für die geographische Längenangabe wollen wir als Nullmeridian denjenigen wählen, der der positiven z-Achse entspricht, und allgemein als geographische Länge eines bestimmten Halbmeridians den ersten Richtungswinkel des ihm ent- sprechenden Halbstrahles aus 0 nehmen. Weiter ist sofort zu übersehen, daß eihe Gerade der Ebene in einen Kreis durch den Nordpol übergeht, denn die Halb- strahlen aus N nach den Punkten der Geraden bilden eine Ebene, die die Kugel in dem Bildkreis der Geraden schneidet. Wir zeigen nun: Zwei Gerade der Ebene schneiden sich unter demselben Winkel wie ihre Bildkreise auf der Kugel. Das ist fast selbstverständlich. Denn haben wir in der Ebene zwei Geraden, die sich im Punkte P schneiden, so schneiden sich ihre Bildkreise in dem P ent- sprechenden Punkte P' und im Nordpol N und an beiden Stellen gewiß unter demselben Winkel. Ziehen wir aber am Nordpol die Tangenten an die beiden Bildkreise, so sind diese 44 3. Kapitel. Die Riemannsche Zahlenkugel. den gegebenen Geraden (im Räume) parallel, da die Tangential- ebene der Kugel im Nordpol zu unserer zy-Ebene parallel ist. Der Winkel zwischen den Geraden bei P in der Ebene ist also derselbe wie der Winkel zwischen den Bildkreisen am Nordpol und also auch wie der zwischen den Bildkreisen bei P'. Haben wir in der Ebene eine Kurve £ mit einer sie in P berührenden Tangente, so geht diese Figur bei der Abbil- dung auf die Kugel über in eine gewisse Bildkurve SB' und den Bildkreis der Tangente, der im Bildpunkt P' von P berührt. Und hieraus folgt dann weiter sofort, daß irgend zwei Kurven der Ebene sich unter demselben Winkel schneiden wie ihre Bilder auf der Kugel: Die stereographische Abbildung ist tvinkeltreu. Um die Kreisverwandtschaft zu beweisen, wollen wir die Abbildung analytisch darstellen. Dazu führen wir ein räumliches rechtwinkliges Koordinatensystem f »7 £ ein, dessen und ^-Aphse mit der x- bzw. y-Achse unserer xy- Ebene zusammenfallen sollen, wälirend die positive f-Achse die Richtung des Durchmessers ON haben soll. Denken wir nun durch die (räumliche) Figur 12 die die Punkte 0, N, P, P' enthaltende Ebene gelegt, so N" erhalten wir die Figur 13, in der noch die Strecke OP' und ä das Lot P'Q von P' auf ON -TK gezeichnet wurden. In ihr ist OP=e%*+y* und OQ= Setzen wir noch zur Abkür- 0 p zung P'Q = q', SO liefern die rechtwinkligen Dreiecke der Fi«-1S- Figur die beiden Proportionen C:e'=e:l und e': (l-f)= e :1. Aus ihnen ergibt sich §15. Die Riemannsche Zahlenkugel. Der Punkt oo. Beispiele. 45

s l + e2' ^ i + e2' Da nun schließlich, wenn wir den ersten Richtungswinkel des Strahles OP in der Ebene wieder mit

und ebenso f = p'cos

2 < ) *=rb> y-ilc> (t+l, d.h. (f|f?, für den umgekehrten Zusammenhang. Betrachten wir nun in der Ebene einen Kreis oder eine Gerade, so heißt das, daß wir alle Punkte (x, y) der Ebene ins Auge fassen, für die eine Gleichung der Form (3) a[* + #) + ßx + yy + & = o erfüllt ist, in der ß, y, d reelle Zahlen sind und 4«<5 <ß2+yi ist. Sie bilden einen Kreis oder eine Gerade, je nachdem <%={=0 oder = 0 ist. Für die Bildpunkte f, rj, t, auf der Kugel besteht dann die Gleichung .5(1-0=0. Diese Gleichung ist aber linear. Alle unsere Bildpunkte liegen also auf derselben Ebene durch die Kugel, sie liefern daher einen Kreis, w. z. b. w.

§ 15. Die Riemannsche Zahlenkugel. Der Punkt oc. Beispiele. Wir kehren nun zu dem System der komplexen Zahlen zurück 1 Bisher hatten wir die komplexe Zahl z — (x, y) = x + iy durch den Punkt (x, y) veranschaulicht. Wir 46 3. Kapitel. Die Riemannsche Zahlenkugel. ordnen ihr jetzt auch den Punkt zu, der dem Punkte (x, y) vermöge der in § 14 beschriebenen stereographischen Pro- jektion entspricht, und nennen auch diesen kurz den Punkt z. Dann entspricht die Gesamtheit der komplexen Zahlen um- kehrbar eindeutig den vom Kordpol verschiedenen Punkten der Kugel, die wir darum die komplexe oder die Riemann- sche Zahlenkugel oder kurz die Zahlenkugel nennen. Es ist nützlich, sich eine möglichst lebendige Vorstellung von der Verteilung der Zahlen auf der Zahlenkugel zu verschaffen. Wir machen daher die folgenden einfachen Feststellungen, deren Begründung sich jeder selbst wird geben können: 1. Der Einheitskreis (s. §13,2) geht in den Äquator, sein Inneres in die südliche, sein Äußeres in die nördliche Halbkugel über. 2. Die Halbstrahlen aus 0 entsprechen den Halbmeridianen; der erste Richtungswinkel des. Strahles ist dabei die geographische Länge des Meridians. Insbesondere geht die positive reelle Achse in den Nullmeridian, die negative in den von der Länge 180°, die positive und negative imaginäre Halbachse in die Halbmeridiane der Länge ± 90° über. Die Kreise um 0 in der Ebene entsprechen den Breitenkreisen auf der Kugel. Hat der Kreis in der Ebene den Radius r, so wird die geographische Breite ß des entsprechenden Breitenkreises1) durch die Formel

(1) geliefert. Man liest dies aus Fig. 13 ab, in der 2VOP' = •ZNPO Die obere Halbebene liefert die hintere (öst- liehe) Halbkugel, die untere die vordere oder westliche. Die rechte und linke Halbebene liefern ebenso die rechte und linke Halbkugel. 3. Der Punkt 2 = (z, y) — x + iy = r (cos

Zweiter Abschnitt. Lineare Funktionen und Kreisverwandtschaft. 4. Kapitel. Abbildung durch lineare Funktionen. % 16. Abbildung durch ganze lineare Funktionen. Mit dem Begriff einer Funktion komplexen Argumentes werden wir uns im IV. Abschnitt genauer beschäftigen« Man spricht von einer Funktion, wenn jeder komplexen Zahl z durch eine Vorschrift i'inc neue komplexe Zahl w zuge- ordnet ist. In diesem Abschnitt wollen wir uns nur mit einer ganz einfachen Zuordnung dieser Art beschäftigen: Wenn a, b, c, d bestimmt gegebene komplexe Zahlen sind, so soll jedem Wert z der Wert ti \ az+l

zugeordnet werden. Man spricht dann von einer linearen Funktion. Im Reellen macht man sich den Verlauf einer Funktion t/ = f(x) anschaulich, indem man in einer xy- Ebene die entsprechende Kurve zeichnet, deren Gleichung y = f(x) ist. Im Komplexen muß man zwei Ebenen be- nutzen. In der einen, der «-Ebene, markiert man den Wert der unabhängigen Veränderlichen z, in der anderen, der wEbene oder Bildebene, den ihm zugeordneten Wert w; und indem man sich dies für alle Werte t getan denkt, erhält man eine Abbildung der z- in die «-Ebene. Benutzt § 16. Abbildung durch ganze lineare Funktionen. 49 man Zahlenkugeln statt der Ebenen, so erhält man ent- sprechend eine Abbildung der «-Kogel auf die u;-Kugel. Manchmal ist es auch bequem, sich z- und w-Ebene bzw. -Kugel zusammenfallend zu denken. Man spricht dann von einer Abbildung der ¿-Ebene oder -Kugel in sich selbst. Gerade bei den zunächst behandelten einfachsten Abbil- dungen ist diese Vorstellung vorteilhaft. Im folgenden sollen die durch die linearen Funktionen (1) vermittelten Abbildungen näher untersucht werden. Man nennt sie kurz lineare Abbildungen oder Transforma- tionen. Wir beginnen mit den ganzen linearen Funk- tionen, d. h. denen der Form (2) w * a» + b. 1. Es sei a== 1. Wir haben dann die Funktion (3) w=s + 6 vor uns. Ist hier b = 0, so handelt es sich um die Identit&t, bei der Bild und Original zusammenfallen. Ist 6=4= 0, so erhalt man zu jedem z den Bildpunkt, indem man an den Radiusvektor z den Vektor b ansetzt. Seine Spitze liefert dann den Bildpunkt w. Aus jeder Figur der Ebene entsteht also die Bildfigur, indem wir sie der Translation oder Parallelverschiebong (&), d. h. der durch den Vektor b nach Größe und Richtung bestimmten Parallelverschiebung, unterwerfen. Bild und Original sind einander kongruent. 2. Es sei jetzt b — 0, die Funktion also von der Form (4) w— az und n=4= 01). Dann wird zu jedem Punkt z der Bildpunkt erhalten, indem er mit ein und derselben Zahl o multipliziert wird. Nach § 12 erhält man ihn also, indem man den Radius- vektor a um den Winkel arc a im positiven Sinne dreht und hernach im Verhältnis 1 : ] a | streckt. Man bezeichnet diese ') Ist a <*• 0, ao tat die Funktion Identisch konstant = 0, d.h. jedem z wird als Bild ein und derselbe Punkt zugewiesen. Von dieser degenerierten Abbildung, die kein Interesse bietet, wird Im folgenden abgesehen 50 4. Kapitel. Abbildung durch lineare Funktionen. Abbildung darum kurz als die Drehstreckung (a) mit dem Zentrum 0. Ist insbesondere | a \ = 1, also a von der Form a— cos« + ¿sin«, so reduziert sie sich auf eine reine Drehung («), d. h. um den Winkel«, mit dem Zentrum 0. Diese Ab- bildung ist offenbar wieder eine kongruente Abbildung. Ist andererseits «= 0(mod2tc), d.h. a positiv-reell, etwa = A, so handelt es sich um die reine Streckung 1 : A. Diese Abbildung ist eine Ähnlichkeitsabbildung mit dem Zentrum 0; Original und Bild sind einander geometrisch ähn- lich, und ihr Ähnlichkeitsverhältnis ist 1 : A. Bei beliebigem a =}= 0 ist also die Abbildung w— az eine Ähnlichkeitsabbildung mit dem Zentrum 0; das Ähn- lichkeitsverhältnis von Original zu Bild ist 1 : [ a |. Für a = 1 geht sie natürlich wieder in die Identität über. Die Drehstreckung (a) kann auch ausgeführt werden, in- dem man erst im Verhältnis 1 : | a | streckt und dann um den Winkel arc a dreht: Drehung und Streckung sind (bei gleichem Zentrum) vertauschbare Operationen. 3. Ist endlich eine beliebige ganze lineare Funktion w= az + b vorgelegt, bei der nur o =f= 0 vorausgesetzt wird (weil sonst die Abbildung wieder degeneriert), so kann das Bild w aus dem Original z erhalten werden, indem man erst die Dreh- streckung (a) und dann die Translation (b) ausführt. Die Schreibweise zeigt aber, daß man zum gleichen Ziele kommt, wenn man erst die Translation und dann die Drehstreckung (a) aus- führt, — letztere mit dem durch die Translation nach 0 gelangten Punkte als Zentrum. Beide Wege zeigen, daß die Abbildung (2) durch ganze lineare Funktionen eine § 17. Abbildung durch die Funktion w = 1/z. 51

Ähnlichkeitstransformation ist: Original und Bild jeder Figur sind einander ähnlich iin Verhältnis 1: | a |. Zur Veranschaulichung dieser Abbildung haben wir die Ebene benutzt. Die Kugel ist hierzu weniger gut geeignet, weil die Ad- dition (Translation) sich dort nicht so eindrucksvoll darstellt. Auch die Multiplikation (Drehstreckung) läßt sich nicht so gut, aber doch einigermaßen deutlich veranschaulichen: Der Drehung der Ebene mit dem Zentrum 0 entspricht natürlich eine Drehung der Kugel um die Nordsüdachse. Bei der Streckung 1 : A (mit dem Zentrum 0) muß man sich vorstellen, daß die Oberfläche der Kugel (wie eine Gummihaut) vom Südpol weggezogen und gegen den Nordpol hingedrückt wird oder umgekehrt, je nachdem ist.

§ 17. Abbildung durch die Funktion w . x Die Abbildung durch die einfachste gebrochene lineare Funktion

(1) — i untersucht sich am leichtesten, wenn man in beiden Ebenen Polarkoordinaten benutzt. Wir setzen z = q (cos

+ i sin y>). Nach § 11, (8) ist dann

(2) a—— und y= — V- w hat also den reziproken Betrag und den entgegenge- setzten Arcus wie z. Den Übergang von z zu w vollzieht man daher vorteilhaft in zwei Schritten: 1) den Übergang von einem Punkte z zu demjenigen Punkte z', der den gleichen Arcus, aber den reziproken Betrag hat; und 2) den Übergang von dem erhaltenen Punkte z' zu dem- jenigen Punkte 10, der den gleichen Betrag aber den entgegengesetzten Arcus hat. 52 4. Kapitel. Abbildung durch lineare Funktionen. Der zweite Schritt ist besonders leicht zu übersehen, er bedeutet den Übergang von einer Zahl zur konjugierten, also einfach eine Spiegelung an der reellen Achse in der Ebene bzw. an der Ebene des Nullmeridians auf der Kugel. Der erste Schritt, bei dem vom Punkte z mit den Polar- koordinaten o,

= 1/z. 53 beiden Spiegelungen können aber offenbar durch die eine Spiegelung an der Schnittgeraden der genannten beiden Ebenen ersetzt werden oder, was auf dasselbe herauskommt, durch eine Drehung der Kugel üm diese Gerade als Achse um 180°. Diese Achse verbindet die Kugelpunkte +1 und — 1 miteinander. Die Abbildung (1) ist also, aüf der Kugel gedeutet, eine ganz übersichtliche kongruente Abbildung. Da bei der genannten Drehung der Südpol in den Nordpol, dieser in jenen übergeht, so ist es sinnvoll, die Punkte 0 und oo als Bilder voneinander vermöge der Abbildung (1) anzusehen. In diesem Sinne (aber auch nur in diesem Sinne) setzt man in der Funktionentheorie

was eben nicht mehr und nicht weniger besagen soll, als daß bei der. Abbildung (1) 0 in oo und oo in 0 übergeht. Auf Grund dieser Festsetzung vermittelt nun w = eine umkehrbar eindeutige Abbildung der beiden Vollkugeln auf- einander. Jeder Punkt geht dabei in einen bestimmten anderen Punkt über, mit Ausnahme der beiden Punkte ± 1, von denen jeder sich selbst entspricht. Man nennt sie die Fixpunkte der Abbildung. In der Ebene ist die Deutung unserer Abbildung nicht ganz so einfach; es ist aber von Wichtigkeit, sie auch hier genau zu kennen. Der zweite der obigen Schritte war eine Spiegelung an der reellen Achse. Jede Figur geht also in eine kongruente.über, aber „mit Umlegung der Winkel", da eine positive Drehung durch die Spiegelung in eine nega- tive übergeht und umgekehrt. Der erste Schritt, der ana- lytisch durch die Gleichungen (3) gegeben war, verlangt den Ubergang von einem Punkte e=j= 0 der Ebene zu dem- jenigen Punkte z\ der auf demselben Halbstrahl aus 0 liegt, 54 4. Kapitel. Abbildung durch lineare Funktionen. aber von 0 den reziproken Abstand hat. Diese Abbildung für sich genommen bezeichnet man als die Abbildung durch reziproke Radien, als Spiegelung oder In- version am Einheitskreise. Ihre wichtigsten Eigen- schaften sind die folgenden: 1. Es ist z' = -i-, da z' zu — konjugiert ist1). z z 2. Die Spiegelung am Einheitskreise ist involutorisch. Das soll heißen; Wenn z' das Bild von z ist, so ist umgekehrt z das Bild von z'. 3. Wie man zu einem Punkte z sein Spiegelbild z' am Einheitskreise durch elementar-geometrische Konstruktion findet, liest man aus Fig. 15 a und b ab, in denen der Kreis •¿'den Einheitskreis der Ebene bedeutet. Liegt 2 außerhalb desselben, so liegt € innerhalb und umgekehrt. Liegt z auf der Peripherie des Einheitskreises, so ist 2' mit z identisch. Liegt z sehr nahe am Flg. 15a. Flg. 16b. Nullpunkt, so liegt 4 weit ab von ihm. Auch hiernach wird es verständlich, daß man als Bild des Punktes 0 sinnvollerweise den Punkt oo anzusehen hat und umgekehrt. Und vor allem wird es hier voll ver- ständlich, warum man die komplexe Zahlenebene durch genau einen uneigentlichen Punkt, eben den Punkt oo, abschließt. Die weiteren Eigenschaften der Abbildung durch rezi- proke Badien ergeben sich sehr einfach, indem wir von der ') Der Punkt — z' liegt auf der Kugel diametral zum Punkte z. Man nennt darum auch die Punkte (Zahlen) 2 und — diametral zueinander. z § 17. Abbildung durch die Funktion w = 1\t. 55 zuvor benutzten Kugel durch stereographische Projektion zur Ebene übergehen. So ergibt sich sofort: 4. Die Spiegelung am Einheitskreise ist kreisverwandt und wirikeüreu — letzteres jedoch mit Umlegung der Winkel. Denn auf der Kugel gedeutet hat die Ab- bildung als gewöhnliche Spiegelung an der Äquatorebene gewiß diese Eigenschaften. Beide bleiben aber auch bei der stereographischen Projektion erhalten. Unterscheiden wir in der Ebene zwischen den „wirklichen" Kreisen und Geraden (die wir ja in § 14 zu einer einzigen Gesamtheit zu- sammenfaßten), so ergeben sich ohne weiteres die folgenden Einzeltatsachen über die Spiegelung am Einheitskreise: a) Eine Gerade, die nicht durch den Nullpunkt geht, wird 1 zu einem wirklichen Kreise, der durch den Nullpunkt geht )k b) Eine Gerade, die durch den Nullpunkt geht, entspricht als Ganzes sich selbst. c) Ein wirklicher Kreis, der durch den Nullpunkt geht, wird zu einer Geraden, die nicht durch den Nullpunkt geht. d) Ein wirklicher Kreis, der nicht durch den Nullpunkt geht, wird wieder ein wirklicher Kreis, der nicht durch den Nullpunkt geht. e) Jeder Kreis, der den Einheitskreis unter einem rechten Winkel schneidet (man nennt ihn einen Orthogonalkreis zum Einheitskreis), geht als Ganzes in sich selbst über. (Denn auf der Kugel entspricht ihm wegen der Winkeltreue und Kreisverwandtschaft der stereographischen Projektion ein Kreis, der zum Äquator symmetrisch liegt, also bei der Spiegelung an diesem in sich selbst übergeht.) f) Schneiden sich zwei Orthogonalkreise des Einheits- kreises (zu denen wir auch die Geraden durch 0 rechnen dürfen), so liegen die Schnittpunkte spiegelbildlich zum Ein-

') Ein Kugelkreis, der durch den Nordpol, aber nicht durch den Sfidpol geht, geht durch Spiegelung an der Xqoatorebene In einen Kugelkrela Aber, der durch den Sfldpol, aber nicht durch den Nordpol geht. — Ähnlich einfach sind die Beweise der Tatsachen b), c) und d). 56 4. Kapitel. Abbildung durch lineare Funktionen. heitskreise. (Denn auf der Kugel liegen sie spiegelbildlich zum Äquator.) Und umgekehrt: Geht ein Kreis durch zwei zum Einheitskreise spiegelbildliche Punkte, so ist er ein Orthogonalkreis zum Einheitskreise. Wir haben die Eigenschaften der Spiegelung am Einheitskreise abgeleitet, indem wir die ihr auf der Kugel entsprechende gewöhn- liche Spiegelung an der Äquatorebene durch stereographische Pro- jektion in die Ebene übersetzten. Es ist auch nicht schwer, sie ohne Benutzung der Kugel zu gewinnen. Bezeichnen wir die kartesischen Koordinaten von z und z' mit (x, y) bzw. (x\ y'), X Xr V tf' so ist — = — (= cos w) und —=—,(= sin g>). Wegen op' = 1 ee 6 9 und g* = ** + y1, e'1 = + y12 ist also x'= ¿«T71' und umgekehrt x' v' + y"' ® x^ + ?/'«• Jede Gerade und jeder Kreis der Ebene kann nun durch eine Glei- chung der Form «(x2 + y*) + ßx + yy + <5 = 0 dargestellt werden, wenn <%, ß, y, 6 geeignete reelle Zahlen bedeuten. Ersetzt man x, y durch ihre Werte (7), so zeigt sich, daß die Bild- pnnkte (s', y') die Gleichung

§ 18. Abbildung durch beliebige lineare Funktionen. Ist endlich eine beliebige lineare Funktion et \ ae+b (1) ®= -n ez -f- a vorgelegt, so dürfen c und d nicht beide verschwinden. Ist nun c = 0, also d 4= 0, so handelt es sich um die ganze lineare Funktion «>= —za + —b , deren Abbildung wir schon kennen. Ist aber e =)= 0, so kann man (1) in der Form schreiben ad — bc 1 a (2) «,= T-J + —• c cz + d c Aus ihr liest man ab, daß (1) dann und nur dann identisch konstant ist (die Abbildung also degeneriert), wenn die Deter- minante der 4 Koeffizienten gleich Null ist1). Wir setzen daher bei allen im folgenden auftretenden line- aren Funktionen der Form (1) voraus, daß (3) ad — Jc+O

') Das gilt offenbar auch für den Fall, dafi c = 0 Ist. — Han beachte, dafl ee bei (1) auf einen den Koeffizienten a, b, c, i gemeinsamen, von 0 verschiedenen Faktor nicht ankommt. 58 4. Kapitel. Abbildung durch lineare Funktionen. ist. Dann kann die durch (1) vermittelte Abbildung in drei Schritten erhalten werden: 1) durch die Abbildung z' — cz + d, 2) durch die Abbildung z" = -i- und z 3) durch die Abbildung w — a^" -f \ mit «i = ad — bc, t>i=—a • c c Die erste und dritte sind Ähnlichkeitsabbildungen, die zweite ist die in § 17 untersuchte. Wir haben daher sofort den fol- genden Hauptsatz: Satz 1. Durch (1) wird eine umkehrbar eindeutige Albüdung der vollen z-Kugel auf die volle w-Kugel vermittelt. Diese Ab- bildung ist wtnkeUreu und kreisverwatuli. Insbesondere geht der Punkt z — d in w= oo über (denn er liefert zunächst c z' = 0, dann z" — oo und folglich auch w= co) und 2= oo in ic = —a . Es ist daher sinngemäß, wenn wir in Ergänzung von §17 (5) festsetzen, daß bei Betrachtung linearer Funktionen g- oo +b^ a_ c • oo + d c sein soll. Der Punkt z, dessen Bild ein gegebener Punkt w sein soll, wird nach (1) durch —dw 4- b (6) ^ ew — a geliefert. (6) nennt man darum die zu (1) inverse lineare Funktion. Sie hat dieselbe Koeffizientendeterminante wie (1). Unter dem Winkel zweier Kurven in oo ist natürlich der Winkel zu verstehen, den sie auf d.er Kugelim Nordpol miteinander bilden. Danach iBt auch klar, was die Winkel- § 19. Die Gruppeneigenschsft der linearen Abbildungen. 59 treue bedeutet, wenn der Bildpunkt oder sein Original oder beide in 00 liegen. Bei der Betrachtung linearer Funktionen spielt also der Punkt 00 in keiner Weise eine Sonderrolle gegenüber den anderen Punkten. Auf Grund des letzten Satzes in § 17 können wir schließ- lich noch den folgenden aussprechen: Satz 2. Bei jeder Abbildung der Form (1) geht die Figur eines Kreises1) und zweier in bezug auf ihn spiegelbildlicher Punkte m eine ebensolche Figur über.. Denn die Ähnlichkeits- transformationen 1) und 3) haben gewiß diese Eigenschaft und 2) ebenfalls, da diese sich durch zwei Spiegelungen er- zeugen läßt, deren jede nach dem Satz des § 17 wiederum jene Eigenschaft hat.

5. Kapitel- Normalformen und besondere lineare Abbildungen. § 19. Die Gruppeneigenschaft der linearen Ab- bildungen. Geht man von einer z-Ebene durch eine erste lineare Abbildung

w -sSi-w zunächst zu einer ¿-Ebene, von dieser durch die lineare Abbildung (2) «aä + H in die w-Ebene über, so wird der direkte Übergang von der 2- in die w-Ebene, wie man leicht ausrechnet, durch die Funktion (3) C2 + a ') Die Geradeu sollen hier mit eingeschlossen sein. 60 6. Kapitel. Normalformen und besondere lineare Abbildungen. vermittelt, für die die 4 Koeffizienten aus der „Matrizen- gleichung" a 6\ _ {<% ü /«! M /«¡¡«i + Vi. *»h +

c dl \c2 d2) \Cj dj \c2®i + d2cv c2bt + d2dj abgelesen werden können1). Durch Zusammensetzung zweier linearer Abbildungen g = ^(z), w = ¿2(j) entsteht also wieder eine lineare Abbildung (4) m=k(h(z))=hh(z)-

Wenn und l2 nicht degenerieren, so tut es auch l nicht, denn nach dem Multiplikationssatz der Determinanten oder durch einfaches Ausrechnen findet man, daß a b

2 u entspricht ). Auf Grund dieser Feststellungen können wir. sagen: ') Es werden die Zeilen der voranstellenden Matrix mit den Spalten der nachfolgenden „komponiert", d. b. es wird die Summe der Produkte der entsprechenden Elemente von beiden gebildet, — ganz wie bei der Multi- plikation von Determinanten. •) Oder (JJ mit a + 0. §20. Fixpunkte und Normalformen. 61 Satz. Die linearen Abbildungen bilden eine Gruppe, wenn die Zusammensetzung der linearen Funktionen als Gruppen- multiplikation benutzt wird. Die Identität ist die Einheit der Gruppe, inverse Funktionen sind inverse Elemente.

§ 20. Fixpunkte und Normalformen. Schon in § 17 sprachen wir von Fixpunkten einer Ab- bildung. Darunter sollen Punkte verstanden werden, die mit ihrem Bild zusammenfallen. Soll dies für einen Punkt z bei der Abbildung az + b (1) w=-^-=m cz -f- a der Fall sein, so muß für ihn (2) az + b, = z oder cz2 — (a — d)z — 6=0 cz + d sein. Da dies eine quadratische Gleichung für z ist, deren Koeffizienten nur dann sämtlich verschwinden, wenn die Ab- bildung die Identität ist (a = d 4= 0, b — c= 0), so haben wir sofort den Satz 1. Eine von der Identität verschiedene lineare Ab- bildung hat höchstens zwei Fixpunkte. — Weiß man also von einer linearen Abbildung, daß sie mindestens drei Fixpunkte hat, so muß sie die Identität sein. Ist c4= 0, die Abbildung also eine gebrochene lineare, so liegen beide Fixpunkte (die natürlich auch zusammenfallen können) im Endlichen. Ist c= 0, handelt es sich also um eine ganze lineare Abbildung, so liegt mindestens einer der Fixpunkte in oo (das ging schon aus § 16 hervor). Ist überdies a = d (aber b 4= 0), so handelt es sich um die Trans- lation, bei der nur der Punkt oo festbleibt. Wir haben also als Ergänzung zum vorigen Satz den Satz 2. Der Punkt od ist dann und nur dann Fixpunkt, wenn die lineare Abbildung ganz ist; er ist dann und nur 62 6. Kapitel. Norm&lformen und besondere lineare Abbildungen. dann der einzige Fixpunkt, wenn es sieh um eine Translaiion handelt. Durch Benutzung der Fixpunkte kann man sich einen noch lebendigeren Einblick in das Wesen der linearen Abbildung ver- schaffen. 1) Ist zunächst (3) w = az + b eine von der Translation verschiedene ganze lineare Abbildung (a 4= 1), so hat sie außer dem Punkt oo den im Endlichen gelegenen Firpunkt

Mit seiner Benutzung kann die Abbildung (3) auf die Form (6) w-C = a(»-0 gebracht und daher folgendermaßen gedeutet werden: Man führe mit der z-Ebene zunächst die Translation z — £ aus (sie schiebt den Punkt f nach Null). Man mache nun vom Nullpunkt aus die Drehstreckung (a) und bringe endlich durch eine Translation den Punkt 0 wieder nach f. Oder also: Die Abbildung (3) bedeutet einfach eine Drehstreckung (a) mit dem Fixpunkt £ als Zentrum! Damit ist sie vollkommen übersichtlich geworden. Insbesondere zeigt sich, daß das Büschel der Geraden durch £ und die Schar der konzentrischen Kreise um £ je als Ganzes in sich übergehen, bei einer reinen Drehung (| a \ = 1) jeder der Kreise einzeln für sich, bei einer reinen Streckung (a > 0) jede der Geraden einzeln für sich. 2) Es sei jetzt e * 0, so daß beide Fixpunkte, wir nennen sie £j und £ä, im Endlichen liegen. Es sei überd.ss ^4= £,. Dann folgt aus der Kreisver- wandtschaft sofort: Das Büschel der Kreise durch fj und £, geht als Ganzes in sich über (Fig. 16). Folgendermaßen erhalten wir darüber noch genau- ere Auskunft: Flg. l«. Durch die Abbildung § 20. Fixpunktc und Nörmalformen. 63

(6) 3 = «-f. die f, nach 0 und J2 nach oo bringt, wird das Büschel der Fig. 16 auf das Geradenbiischel der Fig. 17, die Kreise durch 0 und oo, abgebildet. Hierbei liege das erste in der 2-, das zweite in der J-Ebene. Denken wir uns aber das erste in der w-, das zweite in einer w-Ebene, so wird analog durch die Fig. 16 auf die Fig. 17 abge- bildet. Wegen der Gruppeneigen- schaft der linearen Funktionen ist hierdurch und durch die Ab- Flg. 17. bildung (1) eine lineare Abbildung der j- auf die to-Ebene ver- mittelt, nämlich die Abbildung (8) »® = ioI!rl(i)- Da diese aber 0 und oo zu Fixpunkten hat, ist es nach 1) eine Dreh- streckung mit dem Zentrum 0, hat also die einfache Form m = aj, wo a eine gewisse komplexe Zahl bedeuten soll. Mit Benutzung der Fixpunkte kann also (1) auf folgende Normalform gebracht werden — f. (9) «-C« Den Wert von a findet man sofort, indem man z = oo setzt, was a w — — liefert. Es ist also c a — c f, (10) a — cf, Die durchgeführte Betrachtung lehrt aber gleich noch mehr: Da es zum Geradenbüschel der Fig. 17 eine Schar von Orthogonal- kreisen gibt, nämlich die SchaT der Kreise um 0, so gibt es auch in Fig. 16 zu dem Büschel der „Kreise durch Cj und eine Schar von Orthogonalkreisen, die wir kurz die Schar der „Kreise um und Cg" nennen wollen. Auch diese Schar, also die vollständige Fig. 16, geht bei der Abbildung (1) als Ganzes in sich über. Wir können darüber hinaus noch genauer sagen: a) Igt | a | = 1, so ist ro = aj eine reine Drehung, und folglich geht jeder der Kreiße der zweiten Schar als Ganzes in sich über, 64 5. Kapitel. Normalformen und besondere lineare Abbildungen. während die der ersten Schar unter sich vertauscht werden. Die Abbildung (1) heifit dann elliptisch. b) Ist a positiv-reell, so ist es gerade umgekehrt. Die Ab- bildung (1) heißt dann hyperbolisch. c) Ist |a[ ^ 1 und a nicht posi- tiv-reell, so heißt die Abbildung loxodromiseh. Man erhält sie, indem man die Schritte a) und b) nacheinander ausführt1). 3) Bs sei jetzt wieder c =# 0, aber nun £, = Cv Die Abbildung heißt dann parabolisch1). Die Gesamtheit aller Kreise durch den 1 Fixpunkt — wir nennen ihn £ — geht als Ganzes in sich über. Eine Schar von Kreisen durch f, die dort eine gemeinsame Tangente haben (s. Fig. 18), bleibt eben- falls als Ganzes ungeändert. Dies und weitere Einzelheiten erkennt pjg. 18 man wieder deutlicher, wenn man den Fixpunkt (aus der z-Ebene and aus der ¡¿-Ebene) durch die Hilfsabbildungen (11) j= -^—r bzw. tt>= 1 £ " w—f nach oo wirft. Die genannten Kreise gehen dann in die Geraden der Ebene über, bei gemeinsamer Tangente in eine Schar von Parallelen. Wieder sind }- und tu-Ebene linear aufeinander ab- gebildet. Da hierbei aber oo der einzige Fixpunkt ist, so gehen sie durch eine Translation to=j + b auseinander hervor. Im parabolischen Falle kann also (1) auf die Form (12) _L_ —_L_ + J v u> — C s —C gebracht werden. Und weil z = oo und w = ~ zusammengehören, muß ') Benutzt man die Hilfsebene der Fig. 17, bo kann man die einzelnen Schritte noch genauer verfolgen. ') Bei den ganzen linearen Abbildungen gebraucht man natürlich die- selben Bezeichnungen: Ist sie eine Translation, so heißt sie parabolisch; ist sie eine Drehstreckung aus dem Fixpunkt (vgl. (5)), so heißt eie loxodromiseh, bei reiner Streckung hyperbolisch und bei reiner Drehung elliptisch. §21. Besondere lineare Abbildungen. Doppelverhältnisse. 65

(13) sein. Die Schar von Kreisen in der ¿-Ebene durch f, die dort eine gemeinsame Tangente haben, geht durch (11) in eine Schar von Parallelen der §-Ebene über. Diese bleibt bei der Translation (b) als Ganzes ungeändert und führt also vermöge (11) zu der Aus- gangsschar zurück.

§ 21, Besondere lineare Abbildungen. Doppelverhältnisse. Das Wichtigste von allem bisherigen bleibt der Satz 1 des § 18, insbesondere also, daß durch lineare Abbildungen Kreise immer auf Kreise abgebildet werden. Es soll nun genauer untersucht werden, in welcher Weise dies geschieht. Wir beweisen dazu zunächst den Satz 1. Drei gegebene getrennte Punkte zlt z2, z3 können stets durch eine und nur eine lineare Abbildung w = l(z) in drei vorgeschriebene getrennte Punkte wv w2, w3 übergeführt werden1). Beweis. Die Gleichung

W — w1 W2 — W1 Z — Zj z2 — Zj (1) w — w3 definiert eine ganz bestimmte lineare Funktion u>= i(z). Denn links steht eine lineare Funktion von w, rechts eine solche von z. Nennen wir sie (w) und ^(2), so ist w= l(z) = l^l2(z). Gemäß § 18 (4) ist dabei zu verein- baren, daß man, wenn einer der Punkte z„ oder wr der Punkt 00 ist, den Quotienten derjenigen beiden Differenzen, die ihn enthalten, durch 1 zu ersetzen hat. Diese Funktion to= Z(z) leistet aber das Verlangte. Denn l^{z) hat für z — zlt z2, z3 der Reihe nach die Werte 0,1,00, und ^(w) erhält diese Werte wiederum für w = wx, w2, w3. Also ist l (z,) = w„

') Unter den Punkten zv und uy (r = 1,2,3) darf auch Je einmal der Punkt od auftreten. Knopp, Element« der FunktlonenUieorie. 3 66 6. Kapitel. Normalformen und besondere lineare Abbildungen (v=l, 2, 3). Leistet die lineare Funktion w = L(z) das gleiche, so hat die lineare Funktion L~1l(z) offenbar die drei getrennten Fixpunkte zlt z2, z3, ist also nach § 20, Satz 1 die Identität. Also ist L(z) = l(z). Damit ist alles bewiesen. Durch drei in bestimmter Reihenfolge gegebene (getrennte) Punkte ist nun eine orientierte Kreislinie (bezw. eine orien- tierte Gerade) eindeutig bestimmt. Aus Satz 1 folgt also sofort weiter der Satz 2. Eine gegebene orientierte Kreislinie der z-Ebene oder -Kugel kann stets auf eine und nur eine Weise auf eine gegebene orientierte Kreislinie der w-Ebene so abgebildet werden, daß dabei drei gegebene Punkte des z-Kreises in drei gegebene Punkte des w-Kreises übergehen, wofern auf beiden Kreisen die Punkte im Sinne der Orientierung aufeinander folgen. Die Zahlenkugel wird durch eine Kreislinie in zwei Kugel- kappen zerlegt. Wir wollen diejenige als „das Innere" des Kreises bezeichnen, die zur Linken der Orientierung liegt, die andere als „das Äußere" des Kreises — und wollen die entsprechende Vereinbarung auch auf die Ebene übertragen '). Da nun die Abbildung der Vollkugeln durch lineare Funk- tionen umkehrbar eindeutig und überdies winkeltreu ist, so folgt jetzt in Ergänzung zu Satz 2: Satz 3. Die in Satz 2 genannte lineare Funktion bildet das Innere des z-Kreises umkehrbar eindeutig auf das Innere des w-Kreises ab. Ebenso natürlich auch das Äußere des ersten auf das Äußere des zweiten. Die hierdurch festgestellte Eigenschaft der linearen Funk- tionen, daß, wenn sie zwei orientierte Kreislinien aufeinander abbilden, sie auch deren Innengebiete (und ebenso deren Außengebiete) umkehrbar-eindeutig aufeinander abbilden, nennt man ihre Gebietstreae. ') Wird also z. B. die imaginäre Achse von unten nach oben orientiert, so ist die linke Halbebene das Innere, die rechte das Äußere. §21. Besondere lineare Abbildungen. Doppelverhältnisse. 67 Beispiele für diese und die weiterhin genannten Abbildun- gen folgen in § 22. Die eigentümlichen in (1) auftretenden Ausdrücke nennt man Doppelverhältnisse. Es gilt genauer die Erklärung. Sind z2, z3, z4 vier getrennte Punkte der Kugel, so soll der Ausdruck

(2) D(hWt)='LZf-:^ z i H 2 ' *3 als ihr Doppelverhältnis bezeichnet werden. Liegt einer der Punkte in co, so tritt die oben gemachte Vereinbarung in Kraftx). Aus dem Beweis des Satzes 1 folgt nun unmittelbar der Satz 4. Das Doppelverhältnis von vier Punkten bleibt linearen Abbildungen gegenüber invariant. — Das soll heißen: Gehen die vier Punkte z, durch die Abbildung w— l(z) in die Punkte w„ (v = 1,2,3,4), über, so ist D(M)1W2wsW4)= Diz&z^). Da nämlich w= l(z) das leistet, was in Satz 1 gefordert ist, so ist es die durch (1) gegebene Funktion. Da sie auch z4 in «>4 überführt, so liefert (1) für z= z4, w= wi unmittelbar die Behauptung. Statt durch drei Punkte der Peripherie kann man einen orientierten Kreis auch durch einen Punkt derselben und durch ein Paar in bezug auf den Kreis spiegelbildlicher Punkte geben. Das liefert im Anschluß an Satz 1 den Satz 6. Ein orientierter z-Kreis kann stets auf eine und nur eine Weise auf einen orientierten w-Kreis so abgebüdet werden, daß dabei ein gegebener Randpunkt z1 und ein gegebener innerer Punkt z0 des z-Kreises in entsprechend gelegene vor- geschriebene Punkte wt und w0 übergehen. ') Die Reihenfolge der vier Punkte ist hierbei nicht sehr wesentlich, doch inuB die einmal gewählte natürlich festgehalten werden. Permutiert man die vier Punkte auf alle möglichen Arten, BO erhält man nicht 24 verschiedene Werte des Doppelverhältnisses, sondern höchstens 6. Ist einer der Werte 1 = t, so sind die andern i , 1 — d, —1 ——, öd—- —— un1 d ^ \ö Diese Werte können teilweise fibereinstimmen. y- 68 6. Kapitel. Normalformen und besondere lineare Abbildungen

Beweis. Sind z'0 und w'0 die Spiegelbilder von z0 bzw. w0 je an ihrem Kreis, so muß eine lineare Funktion, die das Verlangte leistet, nach § 18, Satz 2 auch z'0 in w'a überführen. Nur die aus

(3) D (wlt io0, w0, w)= D (z1, z0, z'0, z) sich ergebende lineare Funktion kann also das Verlangte leisten, und nach der Vorbemerkung ist dies auch der Fall.

§ 22. Weitere Beispiele. 1. Abbildung der oberen Halbebene (OH) auf den Einheitskreis (.EK). a) Fordern wir etwa, daB der innere Punkt t der OH in den Mittelpunkt des EK und der Randpunkt 0 der OH in den Bandpunkt — 1 des EK übergeht, so ist die Abbildung nach § 21, Satz 5 ein- deutig bestimmt. Da sie — t nach oo wirft, gehen also die Punkte 2 = i, 0, — t der Reihe nach in w = 0, — 1, oo über1). Nach § 21, Satz 1 ist also ... w — 0 z — t 0 — t , z —» (1) zn=ö = FTVo + i oder w = i die gesuchte Abbildung. Für jedes reelle z wird | w | = 1, wie man leicht verifiziert. Durch die inverse Funktion

(2) <"±1 to — 1 wird umgekehrt der EK der ««-Ebene auf die obere w-Halbebene abgebildet. Die weiteren Einzelheiten der Abbildung werden noch lebendiger, wenn man sich fragt, welche Kurven der Oflin die Radien des EK und welche in die zum EK konzentrischen kleineren Kreise übergehen. Wegen der Kreisverwandtschaft folgt sofort: Die Teile der durch + i und — < gehenden Kreise, die in der OH liegen, werden zu den Radien, die dort liegenden Orthogonalkreise „um +1 und — t" werden zu den zum EK konzentrischen kleineren Kreisen. Durch diese Abbildung wird übrigens der erste Quadrant der

>) Wir ordnen abdehtliob die drei Punkte so an, daB w, oo Ist. Denn dann hat £(u u> u u>) die einfache Form IC — und enthalt also die Va- t t a tr, — »i riable w, nach der tum Söhlufi aufzulösen Ist, nur im Zfthler. § 22. Weitere Beispiele. 69 «-Ebene auf die untere Hälfte des EK, also eine Viertelebene auf einen Halbkreis abgebildet1). b) Fordern wir etwas allgemeiner, daß der in der OH gelegene Punkt 20, (3(30) > 0), in den Nullpunkt und der Randpunkt », (« reell), in den Randpunkt — 1 übergeht, so leistet

(3) = (|c| = l), 1 a— z0 Z — Z0 Z — 20 das Verlangte. Die übrigen Einzelheiten sind ganz ähnlich wie unter a).- c) Auch die Forderung, daß die drei Randpunkte 0,1, oo der OH in die Randpunkte i, — 1, — t des EK übergehen sollen, bestimmt die Abbildung eindeutig. Man findet (und kann es durch Einsetzen der z-Werte nachträglich bestätigen): (4fA\ ) io = — .zi—. — i . z -+- i 2. Die OH der z-Ebene soll so auf die obere Halbebene der w-Ebene abgebildet Vierden, daß die Punkte z = oo, 0,1 in die Punkte w = 0,1, oo übergehen. Die Abbildung ist hierdurch eindeutig bestimmt. Man findet ähnlich wie in 1.: (5) —f4i- Was wird bei dieser Abbildung aus den Parallelen zur reellen, was aus denen zur imaginären Achse? Was aus den beiden Quadranten der Halbebene ? Wie lauten die Antworten auf die „inverse" Frage ? 3. Es soll das Äußere des EK auf die rechte Halbebene ab- gebildet werden. Werfen wir etwa die Punkte z = 1, — t, — 1 nach w = i, 0, oo, so liegen die betrachteten Gebiete in beiden Ebenen zur Linken der dadurch gegebenen Orientierung. Also leistet die Abbildung

(6) M = + q + 0« + (-i + 0 z + 1 Z + l das Verlangte. Man mache sich weiter klar, was hierbei aus den zum EK konzentrischen (größeren) Kreisen und was aus den außer- halb des EK gelegenen Teilen der Halbstrahlen aus 0 wird. 4. Es soll der EK so auf sich selbst abgebildet werden, daß dor innere Punkt z0, (| z0 | < 1), zum Mittelpunkt wird. ') Es sei dem Leser dringend empfahlen, Bich für alle besprochenen Ab- bildungen einfache Zeichnungen iu machen und dabei entsprechende Punkte, Band- oder Gebietsteile durch gleiche Farben oder Strichelungen deutlich werden zu lassen. 70 5. Kapitel. Normalformen und besondere lineare Abbildungen.

Soll 20 nach 0 kommen, so muß (nach § 18, Satz 2) der zu s0 bezüglich des Einheitskreises spiegelbildliche Punkt = J- nachoo ®o geworfen werden. Die gesuchte lineare Funktion hat daher not- wendig die Form ' ~~ ' oder = & 1

Der Radius des Bildkreises wird aber dann und nur dann wieder = 1 sein, wenn das Bild des Punktes + 1 den Betrag 1 hat, wenn also

= I e' I = 1 2(1 — 1 ist. Insbesondere leistet also die Funktion z — za das Verlangte. 5. Durch lineare Abbildung lassen sich stets zioei Kreise, die keinen gemeinsamen Punkt haben, in zwei konzentrische Kreise verwandeln. Denn zwei solche Kreise (mögen sie einander um- schließen oder nicht) lassen sich stets (und auf genau eine Art) als zwei Kreise aus einer Schar der bei Fig. 16 beschriebenen Art auf- fassen, d. h. es gibt genau ein Paar von Punkten ^ und f2, so daß die gegebenen Kreise zu der Schar der „Kreise um ft und £2" ge- hören1). Die Abbildung

W= jr z — Ca leistet dann offenbar das Verlangte. — Endlich beweisen wir noch den Satz: 6. Das Doppelverhättnis von vier Punkten ist dann und nur dann reell, wenn die Punkte auf einem Kreise (oder einer Geraden) liegen. Soll es nämlich reell sein, so müssen Zl — 2, z2 — 2, «ix- - und arc 24 — 23 22 — Z3 Fig. 19. entweder gleich sein oder sich nur um ± 7t unterscheiden. Da aber der erste ') Man findet die „Grundpunkte" f, und (i der Schar, indem man die Zentrale der Krelee rieht. {, und C, teilen dann das Paar der Schnittpunkte jedes der Kreise mit ihr harmonisch. § 23. Punktmengen. 71 are den Winkel bedeutet, um den man die von z3 nach z4 führende Richtung im positiven Sinne drehen muß, bis sie in die von zr nach z4 führende übergeht, und da der zweite arc eine analoge Bedeutung hat, lehren die elementaren Sätze über Umfangswinkel die Richtigkeit des Satzes (s. Fig. 19), — mag das Punktepaar 2S, z, durch das Paar z„ z3 getrennt werden oder nicht.

Dritter Abschnitt. Mengen und Folgen. Potenzreihen. 6. Kapitel. Punkt- und Zahlenmengen. § 23. Punktmengen. Wenn man aus der Gesamtheit aller komplexen Zahlen nach irgendeinem Gesichtspunkt endlich oder unendlich viele aussondert, so bilden diese eine Zahlenmenge, die entsprechenden Punkte eine Punktmenge1). Eine solche Menge fSl sieht man als gegeben oder definiert an, wenn der aussondernde Gesichtspunkt so gefaßt ist, daß von jeder Zahl feststeht, ob sie zur Menge gehört oder nicht, und wenn nur das eine oder das andere möglich ist. Die einzelnen Zahlen (Punkte) der Menge werden ihre Elemente genannt. Dabei ist zugelassen, daß der aussondernde Gesichtspunkt so gefaßt ist, daß es keine Zahl der betreffenden Art gibt — man spricht dann von der leeren Menge — oder daß alle Zahlen dazu- gehören. — Einfache Beispiele von solchen Mengen sind die folgenden: 2R,. Alle komplexen Zahlen, bei denen Real- und Imaginärteil ganzzahlig sind. Die Punkte dieser Menge nennt man die Gitter- punkte der Ebene. ÜJtj. Alle komplexen Zahlen, bei denen Real- und Imaginärteil rational sind. 2Kj. Alle reellen Zahlen. ') Zur VeranRchautichung benutzen wir tn diesem Kapitel nur die Ebene. Der Punkt OD BOU einstweilen nicht benutzt weiden. 72 C. Kapitel. Punkt-und Zahlenmengen.

2R.. Alle Zahlen der Form 1 4- —, bei der n eine natürliche 4 n Zahl ist. 1 % 2R«. Alle Zahlen der Form —|—, bei der m und n natürliche m n Zahlen sind. 9Jl,. Alle komplesen Zahlen z, für die | z | < 1 ist. Die in § 13,4. bis 8. behandelten Beziehungen definieren je eine bestimmte Punktmenge. Eine Menge 2JI heißt beschränkt, wenn es eine positive Zahl K gibt, so daß „für alle z der Menge" (d. h. für jede Zahl z, die zu 2JI gehört) ist. Eine solche Zahl K heißt dann eine Schranke für die (Beträge der Zahlen der) Menge. Andernfalls heißt 2Jt nicht beschränkt. Die 4., 5. und 6. der als Beispiel gegebenen Mengen ist beschränkt, die andern sind es nicht. Die Ge- samtheit der Punkte, die nicht zu 2JI gehören, bilden die Komplementärmenge zu SR. Hat ein Punkt ( der Ebene die Eigenschaft, daß in jeder e-Umgebung (s. § 13, 6.) von ihm unendlich viele Punkte der Menge EK liegen, so heißt £ ein Häulungspunkt von 2Ji.

äJij hat keinen Häufungspunkt, für 5Dt2 ist jeder Punkt der Ebene Häufungspunkt. 2Jl4 hat den Punkt + 1 als Häufungs- punkt: 3Kb den Punkt 0 und alle Punkte der Formen — und — m n (m, n natürliche Zahlen). Für 30^ ist jeder Punkt £ mit | £ | ^ 1 ein Häufungspunkt. In §§ 24 und 25 werden wir den wichtigen Bolzano- Weierstraßschen Satz beweisen: Satz. Jede beschränkte unendliche (d. h. aus unendlich vielen Punkten bestehende) Punktmenge hat mindestens einen Häufungspunkt. Ein zu 9R gehöriger Punkt heißt „isoliert", wenn in einer e-Umgebung desselben kein weiterer Punkt von 9K liegt. § 24. Reelle Zahlenmengen. 73 Er heißt ein innerer Punkt von SDt, wenn eine £-Umgebung desselben ganz zu SDl gehört. SJtj, 2Jl4 und 2Jfs bestehen nur aus isolierten, ÜD2, besteht nur aus inneren Punkten. Ein Punkt £ der Ebene (er mag zu SR gehören oder nicht) heißt ein Randpunkt von SR, wenn in jeder £-Umgebung von ihm mindestens ein Punkt liegt, der zu 2R gehört, und mindestens einer, der nicht zu 2JI gehört. Alle als Beispiele gegebenen Mengen, außer 2Jtg, bestehen nur aus Randpunkten. Für 3Rj sind die Punkte t mit | £ | = 1 Randpunkte und nur diese. Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn alle ihre Häu- fungspunkte zu ihr gehören; sie heißt offen, wenn sie nur aus inneren Punkten besteht. ÜDlj und SOI3 sind abgeschlossen, die übrigen Beispielmengen sind es nicht; ist offen.

§ 24. Reelle Zahlenmengen. Beschränkt man sich bei den Betrachtungen des vorigen Paragraphen auf die Gesamtheit der reellen Zahlen, so gelangt man entsprechend zu dem Begriff der reellen Zahlen- oder Punktmengen. Die Definitionen bleiben wesentlich dieselben. Es ist nur zu beachten, daß unter der Komple- mentärmenge von 2JI nur die Menge aller reellen Zahlen zu verstehen ist, die nicht zu ÜJi gehören, und daß unter der «-Umgebung einer reellen Zahl £ nur die reellen Zahlen x zu verstehen sind, für die | x — f | < e ist. Hiervon ab- gesehen bleiben alle Erklärungen genau dieselben1). Doch ergeben sich einige neue Einzelheiten, weil die reellen Zahlen eine geordnete Menge bilden: Eine reelle Menge heißt nach links beschränkt, wenn 2 es eine Zahl Kt gibt ), so daß für alle x der Menge x^Ki ist. Sind alle x sS Kr, so heißt die Menge nach rechts be- ') Doch Ist in beachten, daO jede reelle Menge auch als komplexe Zahlen- menge aufgefaßt «erden kann, da die reellen Zahlen Im System der kom- plexen Zahlen enthalten sind. ") Die „Zahlen" sollen In diesem Paragraphen stets reelle Zahlen sein. 74 6. Kapitel. Punkt- und Zahlenmengen. schränkt. Ki heißt eine linke oder untere, K, eine rechte oder obere Schranke. Jene kann durch jede kleinere, diese durch jede größere Zahl ersetzt werden, aber nicht umgekehrt. Unter allen unteren Schranken gibt es aber eine größte, d. h. es gibt eine Zahl y mit den beiden Eigenschaften: 1. Links von y liegt kein Punkt der Menge; kurz: es ist kein x 0 ist mindestens ein x < y + e. Diese Zahl y heißt die untere Grenze der Menge (ab- gekürzt: fin inf, d. h. finis inferior, oder fin). Wir beweisen also den Satz 1. Jede nach links beschränkte (nicht leere) Menge 2Ji besitzt eine wohlbestimmte untere Grenze y = fin 9JI. Beweis. Man teilt die Gesamtheit aller reellen Zahlen in zwei Klassen St, 9t'. In die Klasse 9t tut man alle reeller Zahlen a, für die kein x < a, in die Klasse 9t' dagegen jede Zahl a', für die mindestens ein x 0, so gehört y + e zu 9t', und es gibt daher mindestens ein x< y + e, w. z. b. w. Entsprechend definiert man als die obere Grenze einer Menge (fin sup, d. h. finis superior, oder fin) die Zahl y mit den beiden Eigenschaften: 1. Es ist kein x >y'. 2. Wie auch e > 0 gewählt wird, es ist mindestens ein x >y' — e. — Über sie gilt der analog zu beweisende §24. Reelle Zahlenmengen. 75 Satz 2. Jede nach rechts beschränkte (nicht leere) Menge 2ft besitzt eine bestimmte obere Grenze y' = fin 9Ji. Eine beiderseits beschränkte Menge besitzt also eine bestimmte untere und eine bestimmte obere Grenze. Beide Zahlen brauchen nicht selbst Punkte der Menge zu sein. Ist eine Menge nach links nicht beschränkt, so sagt man auch, ihre untere Grenze sei —oo; ist sie nach rechte nicht be- schränkt, so sagt man entsprechend, ihre obere Grenze sei +oo. Wir können jetzt im Reellen den schon in § 23 genannten Bolzano-Weierstraßschen Satz beweisen. Der Beweis verläuft ganz ähnlich wie der eben durchgeführte: Man teile wieder die Gesamtheit aller reellen Zahlen in zwei Klassen 91,21'. In die Klasse 91 tue man jede Zahl a, links von der keine oder höchstens endlich viele Punkte der Menge liegen: höchstens endlich viele x/n' + e. 2) Es gibt unendlich viele x> ¡j! — s, wie auch die positive Zahl c gewählt werden mag. Es ist ersichtlich stets fi^/j,'. Beide Punkte brauchen nicht zur Menge zu ge- hören. Sie heißen zusammen dieHauptlimitesder Menge. Ist eine Menge nach links nicht beschränkt, so bezeichnet man —oo als ihren unteren Limes; ebenso +oo als ihren oberen Limes, wenn sie nach rechts nicht beschränkt ist. Ist schließlich die Menge zwar nach rechts, aber nicht nach links beschränkt und hat sie im Endlichen überhaupt keinen Häufungspunkt, so wird man sinngemäß —oo auch als ihren lim sup und in dem „spiegelbildlichen" Falle + oo als ihren liminf ansprechen. Die Menge der reellen Zahlen, die zwischen zwei reellen Zahlen a und b, (a < b), liegen — sie erfüllen eine Strecke der Zahlengeraden —, nennt man das Intervall a.. .b. Es heißt abgeschlossen oder offen, je nachdem die End- punkte ihm zugerechnet werden oder nicht. Das erstere bezeichnet man mit

§ 25. Der Bolzano-WeierstTaßsche Satz. Gestützt auf den Bolzano-Weierstraßschen Satz im Beeilen (§ 24) können wir ihn nun auch im Komplexen beweisen. Es sei also eine beschränkte unendliche Punkt- menge in der ¿-Ebene. Dann können wir folgendermaßen einen Häufungspunkt £ derselben aufzeigen: Die reelle Menge der Zahlen x= SR(e), (z in 2JI), ist ent- weder wieder eine beschränkte unendliche (reelle) Menge und hat dann nach § 24 mindestens einen Häufungspunkt § 26. Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern. 77 oder sie ist endlich. Dann muß es aber unter ihren endlich vielen Elementen mindestens eines geben, es heiße so daß für unendlich viele z der Menge 31(2) = f ist. In jedem Falle gibt es also eine reelle Zahl so daß bei jedem e > 0 für unendlich viele z der Menge f — e 6. In 83' tun wir alle Zahlen V, für die dies nicht der Fall ist. Diese Einteilung (83 | 83') ist offenbar ein Schnitt. Er definiere die reelle Zahl rj. Dann ist f = £ + ir/ ein Häufungspunkt von 3W. Denn ist e > 0 beliebig gegeben, so gehört r) + e zur Klasse 83'; es gibt also einen e'-Streifen um £ mit 0 < e' < e, so daß in ihm nur endlich viele i der Menge einen imaginären Teil 3 (2) > f\ + e haben. Da aber 7/—e zu 83 gehört, gibt es dort unendlich viele z mit 3(z) > r\—e. Daher liegen unendlich viele z der Menge in dem Bechteck i —<»(«)<£+ e', »?-e< 3(z) <»? + £, also auch unendlich viele in der quadratischen E-tJmgebung von w. z. b. w.

7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Reihen. § 26. Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern. Wird durch eine eindeutige Vorschrift jeder natürlichen Zahl 1,2,3,... je eine bestimmte komplexe Zahl z1; z2, z3,... zugeordnet, so entsteht eine Zahlenfolge, die man kurz mit (z„) oder (z^ bezeichnet. Die 2» heißen ihre Glieder. Die Werte der Glieder brauchen nicht von- 78 7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Beihen. einander verschieden zu sein. Oft stellt man noch ein „nulltes" Glied 20 als Anfängsglied voran. Einfache Beispiele sind die folgenden: 1. (an), d. h. die Folge der Zahlen 1, a, a2,..., o",..., bei der a eine gegebene Zahl ist. 2. f-Y d. h. die Folge der Zahlen 1,^,...,-, ..., l). \nj ¿6 n

3. Die Folge (zn) mit z0 = 1, zx = i, zn = (z„_1 + zn_2) für n ¿2.

Die den Zahlen zB entsprechenden Punkte bilden eine Punktfolge. Tritt ein und derselbe Punkt mehrfach bzw. unendlich oft in der Folge auf, so „zählt er" mehrfach bzw. unendlich oft. Ist umgekehrt 3K eine (unendliche) Punktmenge und kann man die Punkte derart mit zv z2, . . . bezeichnen, daß dabei jeder Punkt von 9JI eine Nummer erhält, so heißt 2Ji eine abzählbare Punktmenge. Die Mengen TOL SDtj, 2Rj und 9J?S in § 23 sind abzählbar, 9J!3 und 2J?8 sind es nicht. (Auf den Beweis dieser Behauptung soll hier nicht eingegangen werden.) Bei den Punktmengen setzten wir selbstverständlich voraus, daß je zwei ihrer Elemente verschieden sind; bei den Gliedern einer beliebigen Folge braucht dies nicht der Fall zu sein. Wir können daher auch sagen: Eine Zahlenfolge ist eine abzählbare (und in bestimmter Weise abgezahlte) Punktmenge, bei der aber zugelassen wird, daß ein und der- selbe Punkt mehrmals oder sogar unendlich oft gezählt wird. Die bei den Punktmengen eingeführten Bezeichnungen über- tragen sich daher sinngemäß auf Zahlenfolgen.

Als Häufungspunkt oder Häulungswert einer Folge (zB) wird man daher eine Zahl f bezeichnen, wenn bei jedem e > 0 unendlich viele z„ in der e-Umgebung von £ liegen,

') Bei dieser Folge Ist es schon wegen der Form des Gliedes selbstver- ständlich, daß der Anfangswert nicht n = 0, sondern n = 1 sein soll. Ähn- liches Ist im folgenden öfter zu beachten. § 26. Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern. 79 wenn also für unendlich viele w

(1) ¡zn-a »0 = %(e) ). In diesem Falle nennt man £ den Grenzwert der Folge (zB) und schreibt dafür lim z„ = £ oder ?„->•£ mit oder ohne den Zusatz „für + oo". Von der Zahlen- folge selbst sagt man, sie sei konvergent mit dem Grenz- wert C oder sie strebe gegen Die notwendige und hinreichende Bedingung für das Eintreten dieses Falles nennt das Allgemeine Cauchysche Konvergenzprinzip: Satz 1. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Folge z0, zlt z2,... einen Grenzwert hat, ist diese: Bei beliebig gegebenen e > 0 gibt es stets eine Zahl n0 = n0 («), so daß für aUe n > w0 und alle p >0 (2) \zn+r~zn\0 für n > «j (e) CI<1«, also für alle n > % und alle p > 0 l) Letztens, well die Stelle n„ von der ab die Beziehung (1) erfüllt ist von der Wahl von e abhängt. 80 7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Reihen. I 2»+p — I = I (Z»+p — 0 — (*» — 0 I < £ . — letzteres nach § 11 (2). Die Bedingung ist also notwendig. 2. Ist umgekehrt (2) erfüllt, so ist die Folge (z„) be- scÜränkt. Denn wählt man etwa e = 1, so entspricht dieser Wahl von e ein %, so daß für alle « > % I *» — I < 1 und also | I < K, | + 1 ist. Die größte der Zahlen | zx |, | z2\,..., | ?Bl_! |, \z„t \ + 1 ist also eine Schranke für die Menge. Nach dem Bolzano-

Weierstraßschen Satz hat also (zB) mindestens einen Häu- fungspunkt C- Hätte sie nun noch einen zweiten Häufungs- punkt ?'4=?> so wäre e = ——f | eine positive Zahl, 3 und es lägen unendlich viele z„ in der «-Umgebung von f, unendlich viele andere in der e-Umgebung von Oberhalb jeder Zahl w0 gäbe es also noch ein n und ein n-\-p, so daß | zn+p—z„ | > e wäre, entgegen der Voraussetzung. Also ist f der einzige Häufungspunkt. Bei beliebigem e > 0 gilt daher | zn — £ | < e für fast alle n, es strebt f, w. z. b. w. Jede Zahlenfolge, die nicht konvergiert, wird divergent genannt. Konvergiert eine Zahlenfolge gegen 0, z„->- 0, so nennt man sie eine Nallfolge. Über das Rechnen mit konvergenten Zahlenfolgen gelten die folgenden einfachen, aber wichtigen Sätze, die genau wie im Reellen bewiesen werden:

Satz 2. Strebt die Folge die Folge z'n-+ und sind c, c' zwei beliebige komplexe Zahlen, so ist auch die Folge (w„) mit den Gliedern w>„= czfl + c'z'n konvergent, und es strebt

Satz 3. Unter denselben Voraussetzungen wie. beim vorigen Satz ist auch die Folge (wn) mit den Gliedern wn = znz'n kon- vergent, und es strebt «>„-»££'. Satz 4. Strebt ?„ — C> sind alle z„ 4= 0 und ist auch £ 0, § 27. Zahlenfolgen mit reellen Gliedern 81

so ist auch die Folge (wn) mit den Gliedern wn — — konvergent,

und es strebt wn-+ — . Satz 5. Strebt und ist eine Teüfolge1) der Folge (z„), so strebt auch

§ 27. Zahlenfolgen mit reellen Gliedern. Sind alle Glieder einer Zahlenfolge reell, so nennt man sie kurz eine reelle Zahlenfolge. Da diese als Sonderfall unter den „komplexen" Zahlenfolgen enthalten sind, so sind die Betrachtungen des vorigen Paragraphen auch für diese reellen Zahlenfolgen (xn) gültig. Im Anschluß an § 24 er- geben sich hier aber einige weitere Einzelheiten: Eine nach links beschränkte Zahlenfolge (a*) hat eine wohlbestimmte untere Grenze y, die durch die beiden Bedingungen charakterisiert ist, daß kein xn < y, aber bei beliebigem e > 0 mindestens .ein x„ < y + e ist. Ent- sprechendes gilt für die obere Grenze y'. Ebenso hat sie einen wohlbestimmten unteren Limes /bt, in Zeichen lim inf xn = n oder lim xn == fx, der die beiden Bedingungen erfüllt, daß bei jedem e > 0 höchstens endlich viele xn< ¡x — e, aber unendlich viele xn

Eine reelle Zahlenfolge (xn) heißt monoton wachsend, wenn stets xnist, monoton fallend, wenn stets xn 3: xn+i ist. Für diese gilt der wichtige Satz 1. Eine monoton wachsende Zahlenfolge ist dann und nur dann konvergent, wenn sie nach rechts beschränkt ist; eine monoton fallende dann und nur dann, wenn sie nach links beschränkt ist. Denn ihr lim sup bzw. ihr lim inf ist offenbar ihr einziger Häufungswert. Er gibt also auch den Grenz- wert an. Nunmehr können wir auch dem Dedekindschen Schnitt eine für die Anwendungen oft handlichere Form geben: Es sei (a») eine reelle, monoton wachsende Zahlenfolge und (a^) eine reelle, monoton fallende Zahlenfolge. Überdies sei stets a„ < a'n. Endlich strebe a'n — an=ln-+ 0. Da dann das Intervall

und X' — X^ln. Also ist X' — X, und dieser Punkt gehört allen Intervallen an. Eine von X verschiedene Zahl V kann aber nicht auch allen Intervallen angehören, weil sonst die Länge aller Intervalle mindestens gleich dem (positiven) Abstand von X und X* sein müßte, während doch die Längen I*-* 0 streben sollen. Die in diesem Paragraphen und in § 24 behandelten Dinge gehören ausschließlich der Lehre von den reellen Zahlen bzw. Zahlenmengen an. Wir durften daher annehmen, daß der Leser mit ihnen im wesentlichen schon vertraut ist, und uns demgemäß kurz fassen. Das gleiche gilt von der im §28. Unendliche Reihen. 83 folgenden Paragraphen behandelten Lehre von den unend- lichen Reihen im Beeilen.

§ 28. Unendliche Reihen. Eine Zahlenfolge wird sehr oft mittelbar dadurch ge- geben, daß eine erste Zahlenfolge (eB) als unmittelbar ge- geben gedacht wird und aus dieser durch die Festsetzungen = ®0 Sj = -(- Cj, S2 = Cq -)- Cj c2 und allgemein c (1) s»=c0 + iH He», (»=0,1,2,...), eine neue Zahlenfolge (s„) hergeleitet wird. Diese bezeichnet man dann kurz durch das Symbol 00 (2) 2cn oder einfach 2cn n-0 und nennt sie eine unendliche Reihe, die en ihre Glieder, die s„ ihre Teilsummen. Das Symbol (2) bedeutet also die Folge der Teilsummen (1). Ist diese letztere konvergent (bzw. divergent), so nennt man auch die Reihe (2) konver- gent (bzw. diveigent). Im ersten Falle wird der Grenzwert s von sn als der Wert oder als die Summe der Reihe (2) bezeichnet. Das Zeichen (2) wird dann auch als Zeichen für die Zahl s selbst benutzt: (3) ic =s. »—o n Das Cauchysch-e Konvergenzprinzip des § 26 liefert hier sofort den Satz 1. Die Reihe 21 cn ist dann und nur dann konvergent, wenn nach Wahl von e sich stets eine Stelle n0 — %(e) so an- geben läßt, daß für alle n > n0 und alle p >0 (4) | cB+1 + cb+2 4 f- cn+p | < e ausfällt. Aus diesem Satze folgen sofort die beiden folgenden: Satz 2. Bei einer konvergenten Reihe 2!en bilden die 84 7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Reihen.

Glieder eine Nvüfolge: cn-»0. Denn für p = 1 besagt (4j, daß von einer Stelle ab | cn+i | < e ist. Satz 3. Wenn die Reihe 2!\cn\ (die positive reelle Glieder hat) konvergiert, so ist auch die Reihe J£cn konvergent. Denn es ist ja stets (s. § 13,1)

|C»+1 + Cn+2 + • • • +

Erklärung. Eine Reihe 2!cn heißt absolut konvergent, wenn die Reihe 21\cn\ konvergiert. Ist £cn konvergent, ¿|cB| dagegen nicht, so wird 21 cn genauer bedingt (oder „nur be- dingt") konvergent genannt. Durch diese Erklärung und den Satz 3 ist die Frage nach der absoluten Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern vollständig auf eine Konvergenzfrage für Reihen mit positiven reellen Gliedern zurückgeführt. Wir können da- her öhne weiteres die folgenden wichtigen Kriterien für die absolute Konvergenz einer Reihe £cn mit komplexen Gliedern formulieren, da es sich bei ihnen einfach um die als bekannt anzusehenden Konvergenzkriterien für die reelle Reihe 2\cn\ handelt. I. Konvergenzkriterien für die absolute Kon- vergenz von Reihen mit komplexen Gliedern: 1. ist dann und nur dann absolut konvergent, wenn die Folge der reellen, monoton wachsenden Zählen

"„= | c01 + | cx | + • • • + | iB | beschränkt ist. — Die weiteren Kriterien haben nur hin- reichenden Charakter. Aus 1 folgt zunächst unmittelbar das sogenannte Vergleichs- oder Majorantenkriterium: 2. Ist £yn eine konvergente Reihe mit reellen positiven Gliedern, und ist \cn\"SLyn für fast alle n, so ist die Reihe 2ck absolut konvergent. — Für die Anwendung besonders wichtig sind endlich die beiden folgenden: § 28. Unendliche Reihen. 85

3. £ en ist absolut konvergent, wenn für ein festes positives y < 1 von einer Stelle an

(5) ^ y < 1 ist oder wenn lim = ¿<1 e. ist. Denn mit dem zweiten ist für y = ^ (1+A) < 1 auch das erste von einer Stelle ab erfüllt. Dagegen ist £cn divergent, wenn von einer Stelle an

(6) y > 1 ist oder wenn lim = X >1 is

4. £cn ist absolut konvergent, wenn für ein festes positives y < 1 von einer Stelle ab

(7) ]/TcnT^ y < 1 isi oder wenn lim Y \cn\ = ^ < 1 Mi. Dagegen ist JE cn divergent, wenn für unendlich viele n

(8) V I c„ | ^ 1 oder wenn lim / | c„ | = X > 1 ist. Denn in beiden Fällen bilden die en keine Nullfolge. — Die Kriterien 3. nennt man Quotientenkriterien, die Kriterien 4. Wurzelkriterien. II. Auch die Regeln für das Rechnen mit konvergenten Reihen sind formal die gleichen wie im Reellen und folgen wie diese aus den entsprechenden Regeln für das Rechnen mit konver- genten Zahlenfolgen: 1. Sind £ en und cB' zwei konvergente Reihen mit den Summen s und s' und sind c und c' zwei beliebige komplexe Zahlen, so ist auch die Reihe

2! (cc, + c'c'n) sowie die ohne Klammem angesetzte Reihe

cc0+c'c'0+cc1-\-c'c1-+cc2+ . . . konvergent und beide haben die Summe cs+c's'. (Beweis nach § 26, Satz 2 und § 28, Satz 2.) Man sagt, daß man konvergente 86 7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Reihen. Reihen gliedweise mit einer Konstanten multipli- zieren und daß man sie gliedweise addieren darf.

Ist (kn) eine Folge natürlicher Zahlen, in der jede natür- liche Zahl (evtl. auch die 0) ein- und nur einmal vorkommt, so nennt man die Reihe mit c'n = cift eine Umord- nimg der Reihe JS c». Über diese gilt 2. Ist die Reihe JE cn absolut konvergent mit der Summe s, so ist auch jede Umordnung 2c'n derselben absolut konvergent und hat dieselbe Summe s1). Beweis. Wird e > 0 beliebig gegeben, so läßt sich nach Voraussetzung m so wählen, daß für jedes p (9) I 1 + I Cm+2 IH hl I < e ausfällt. Wir wählen nun n0 so groß, daß unter den Zahlen fc0, kv..., fe„o die Zahlen 0,1,..., m sämtlich vorgekommen sind. Werden dann die Teilsummen von mit be- zeichnet, so heben sich für n > rc0 in der Differenz st, — sn die Glieder c0, cv ..cm sämtlich fort, und es bleiben nur endlich viele Glieder stehen, deren Summe wegen (9) sicher < s ist. Für n > n0 ist also | s'„ —sn | < e. Es strebt (s'n—sn)->- 0 und folglich s'„ = sn+(s„—s„) s, d. h. auch £ c'n ist konver- gent und hat die Summe s. Ebenso ist mit X Kl auch X\c'„\ konvergent, also ¿c'„ absolut konvergent. 2a. Ist J!cn absolut konvergent, so ist auch jede Teilreihe c,,+cVi+ • • • ... , (0 ^ v0 < v1 < ...), absolut kon- vergent. 3. Es seien jetzt 2!cn und irgend zwei unendliche Reihen. Wir bilden die Produkte ekc't, (fc= 0,1,2,...,!= 0,1,2,...), je eines Gliedes der ersten mit je einem Gliede der zweiten Reihe. Diese Produkte kann man in der mannigfachsten Weise zu einer einfachen Folge (pn) anordnen. Dazu ordne man die Produkte zunächst wie bei einer Determinante ') Ohne Bewela sei hinzugefügt, daß für Reihen, die nur bedingt konver- gieren, dieser Satz nicht gilt. §28. Unendliche Reihen. 87 (k= Zeilennumm r, 1= Spaltennummer) an:

• • • clcXt> C1C11 CjCji • • • ^2^0» c2"2i • • •

Die Anordnung nach Schräglinien erhält man dann, indem man die Produkte hinschreibt, für die k + Z der Reihe nach die Werte 0,1, 2,... hat, jede Schräglinie etwa von oben nach unten durchlaufend. Die Anordnung nach Quadraten bekommt man, indem man die diesen Schräg- linien entsprechenden Quadrate der Reihe nach heranzieht, d. h. die Produkte, für die k und Z = 0, f^ 1, iS 2,... sind.

Jede so erhaltene Reihe 2 pn heißt eine Produktreihe der beiden Reihen J£cn und Von diesen gilt: Sind die Reihen 2Jen und £c'n beide absolut konvergent und sind s und s' ihre Summen, so ist auch jede Produktreihe derselben absolut konverg°nt und hat die Summe ss'. Beweis. Es ist offenbar IPol + IPll + ••• + !Pj ^ (W + • • • + \Cn\) (141 + • • • + 141), wenn nur m groß genug genommen wird. Die Folge der Teilsummen von JE|pJ ist also beschränkt und folglich 2 pn absolut konvergent. Wegen 2. hat also jede Produktreihe dieselbe Summe S, da sie voneinander nur Umordnungen sind. Bedeutet aber (pn) insbesondere die Anordnung nach Quadraten, so ist + <4 + • • • + O («£ + 4 + • • • + 4) = Po + PH 1- P(»+D"-i- Für n-*-co folgt hieraus (unter Benutzung der Sätze 3 und 5 aus § 26) 8= ss'. 4. Faßt man bei einer konvergenten unendlichen Reihe 2cn mit der Summe s aufeinanderfolgende Glieder in be- liebiger Weise durch eine Klammer zu je einem neuen Gliede zusammen, bildet also etwa die Reihe 88 7. Kapitel. Zahlenfolgen. Unendliche Reihen.

(C0 + Ci H 1- Ct.) + (c*.+i H h <*,) + -1 h et,) H , deren Glieder nun C0, Cv... heißen mögen, bo sägt man, 2!Cn sei aus 21cn durch Assoziation der Glieder ent- standen. Darüber gilt:

Ist 21 cn konvergent und = s, so ist auch jede daraus durch Assoziation der Glieder entstehende Reihe 2Cn konvergent und hat dieselbe Summe s. — Denn die Folge der Teilsummen von 21Cn ist offenbar eine Teillolge der Folge der Teilsummen von 21 cn. Ist 21 cn absolut konvergent, so ist es ersichtlich auch 21 Cn. 5. Eine solche Assoziation von Gliedern hat man be- sonders oft bei der nach Schräglinien angeordneten Pro- duktreihe zweier Beihen 21 cn und 21 c'n zu bilden. Faßt man die in derselben Schräglinie stehenden Produkte durch eine Klammer zusammen, bildet also die Beihe

(11) io(c0^ + + • • • + cnci), so nennt man diese das Cauchysche Produkt der ge- gebenen Beihen. Aus den beiden letzten Sätzen folgt: Das Cauchysche Produkt zweier absolut konvergenter Reihen ist wieder absolut konvergent, und es gilt die Gleichung

(12) i (C c; + 1 + • • • + C c' )= ( i f ) ( 2 c'n) . n—0 0 n 0 v»=0 ' B\f>=0 y Beispiele für diese Dinge enthält das nächste Kapitel und der ganze 5. Abschnitt. Ohne Beweis sei endlich noch der folgende etwas weiter- gehende Satz hinzugefügt, dessen Beweis, wie der aller vor- angehenden Sätze, genau der gleiche ist wie im Beeilen: 6. Es sei, ähnlich wie bei (10), eine unendliche Matrix der Form coe

(14) (*= 0,1,2,...), und alle „Spaltenreihen" (15) Je« (Z= 0,1,2,...), i=0 absolut konvergent. Das gleiche gilt von den Reihen und 21 Sh und es ist

(16) Jzt= 2cn. v ' i-0 (Cauchyscher Doppelreihensatz.)

8. Kapitel. Potenzreihen. § 29. Der Konvergenzkreis. Für die Funktionentheorie sind besonders diejenigen n Reihen J£c„ von Bedeutung, für die c„ die Form an(z — z0) hat, also die Reihen

a 2 z n (1) n-|0 »( - o) = «0 + «xC*—ib) + • • • + *(«-«•)"+ • •: Man nennt sie Potenzreiben mit dem „Mittelpunkt" ¡^ und den „Koeffizienten" an. Man denkt sich z0 und die a„ gegeben, und die erste Frage lautet: Für welche z ist die gegebene Reihe konvergent, für welche nicht ? Beispiele. 1. z0 — 0, alle a„ = 1. Das liefert die sogenannte geometrische Reihe (2) J; zn ¡3 1+ 2 + 2« + • • • + zn + • • • . n-0 Nach dem Majoranten-, Wurzel- oder Quotientenkriterium erkennt man, daß diese Reihe für | s | < 1 absolut konvergiert. Für I z | ^ 1 ist sie divergent, da dann die Folge der Glieder nicht gegen 0 strebt. Die geometrische Reihe ist also genau im Innern des Einheits- kreises absolut konvergent, sonst divergent. Da für | z \ < 1 überdies zn-+ 0 strebt, so streben die Teilsummen 90 8. Kapitel Potenzreihen. l-zn+1 1 i + s + • • • + sn =; 1 — z 1 — z 1 —z 1 — z Im Innern des Einheitskreises stellt also die geometrische Reihe die lineare Funktion —— dar: 1 —z i = (l'KD- «=• * * 2. Die Potenzreihe

Z n n„i n ist, wie man ebenso leicht feststellt, für alle z der offenen Kreis- scheibe I z — 11 < 1 absolut konvergent. Für die z mit I z — 11 >1 ist sie divergent. Die Frage der Konvergenz in den Randpunkten | z — 11 = 1 lassen wir offen. 3. Die Potenzreihe ist, wie das Quotientenkriterium sofort lehrt, für alle z absolut konvergent; man nennt sie darum beständig konvergent. Näheres über diese Reihe im 12. Kapitel. 4. Die Potenzreihe ¿nni? kann für kein z * 0 konvergieren da die Glieder der Reihe für ein e 4= 0 keine Nullfolge bilden. Eine solche Potenzreihe heifit nirgends konvergent. Durch diese Beispiele ist schon das typische Verhalten beliebiger Potenzreihen aufgedeckt. Wir beweisen darüber den n Hauptsatz. Ist J£on{z — z0) eine Potemreihe, die weder beständig, noch nirgends konvergent ist, so gibt es eine bestimmte positive Zahl r derart, daß die Reihe in allen Punkten der offenen Kreisscheibe \s — z0| < r absolut konvergiert, in allen Punkten z mit | z — za | > r jedoch divergiert. In den Rand- •punkten \z — z0| = r kann sie konvergieren oder auch diver- gieren1). Den Kreis |z—ZQ\ < r nennt man daher kurz den Kon- vergenzkreis, seinen Radius den Konvergenzradius der

i) Diese Punkte werden meist, diejenigen mit z — z0| > r stets außer acht gelassen. § 29. Der Konvergenzkreis. 91 Reihe. Ist sie beständig konvergent, so setzt man r = + oo, ist sie nirgends konvergent, r= 0. Wir erbringen den Beweis, indem wir zugleich zeigen; Zusatz. Der Konvergenzradius der Potenzreihe 2 OLJZ—ZQ)* hat dm Wert

üm/KI » Oder genauer: Wird lim ]/\ a* | = /i gesetzt, so ist r= —, =+oo oder =0, je nachdem 0

ist. — Für jedes feste z=t= J0 ist nämlich n

lim \/\an (2—z0)»| = \z—z0\^\

Ist also 0<(m< + oo, r = — und | z—z0 \ < r, so ist die f1 Potenzreihe nach § 28, I, 4 absolut konvergent. Ist fi= 0, so ist sie nach demselben Kriterium für jedes z absolut konvergent. Ist im ersten Falle | z—z01 > r, im Falle fi = + oo auch nur z=t=z0, so ist der in Rede stehende lim > 1

n bzw. +oo; es ist also sicher unendlich oft \an(z—z0) \ > 1, unsere Potenzreihe folglich divergent. ') Hier wird der fast selbstverständliche Satz benutz«, daC für jede reelle

Zahlenfolge (xn) und jedes reelle y > 0 stets Um y xn = y lim xn iBt, wofern der rechten Seite für lim xn = +• od ebenfalls der Wert + w gegeben wird. 92 8. Kapitel. Potenzreihen.

Da die behandelten drei Fälle sich gegenseitig ausschließen n -und weitere Fälle (wegen |/| oj ^ 0) nicht möglich sind, so folgt noch, daß die für ihr Eintreten genannten Bedin- gungen nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig sind. Die Potenzreihe 1 (6) ^ + 2a,(c-z0) + • • • + na»(z-z^' + •••

-1 n = i «a» - Zo)" E i> + l)aB+1 (2 - z0) n—1 »—0 nennt man die (formal) abgeleitete Reihe zuEan(z—z0)". M Wegen /n 1 hat sie denselben Radius wie diese. Dasselbe gilt auch von der (formal) integrierten Reihe

§ 30. Das Rechnen mit Potenzreihen. Bei den weiteren Betrachtungen wollen wir annehmen, 1 daß 20= 0 ist, was offenbar keine Einschränkung bedeutet ). Nach der Regel II, 1 in § 28 folgt dann unmittelbar, daß man eine Potenzreihe gliedweise mit einer Konstanten multiplizieren und daß man zwei Potenzreihen glied- weise addieren darf, (1) + = £ (a» + &„)*", wenn nur e für jede der Reihen im Innern des Konvergenz- kreises liegt. Unter derselben Bedingung darf man auch ihr Cauchysches Produkt bilden (§ 28, II, 5):

(2) (JE0*0) (2bnP) = £(aj>n + «l&n—i + • • • + 0,60)2»,

>) Denn man kann ja (2 — »,) = z' setzen nnd hernach den Akzent weg- lassen. § 30. Das Rechnen mit Potenzreihen. 93 und man erkennt, daß diese Form der Produktbildung gerade für die Potenzreihen von besonderer Bedeutung ist. Durch wiederholte Anwendung ergibt sich, daß die Potenzen einer 2 8 Potenzreihe (^an2") , (^«„z") usw. als Potenzreihen dar- gestellt werden können, solange z im Innern des Konvergenz- kreises liegt. Wir setzen etwa1) (3) (27 «»O' = £«»(* = 1,2,3,...). Um die Division von Potenzreihen zu beherrschen, ge- nügt es, den reziproken Wert einer Potenzreihe 1 _ 1

»o +

(6) - = 1 + u> + w2 + • • • • i — w Gemäß (3) folgen aber aus (5) die Entwicklungen w = 5jZ + + • • •

+ ...

') Auf die BUdnng der Koefttilenten aW für grOBere Werte von k wollen wir nicht eingehen, de tot für das folgende such nloht wichtig. ') In 5 35 werden wir sehen, dafi dies für alle hinreichend nahe bei 0 ge- legenen Funkte z der Fall Ist. 94 8. Kapitel Potenzreihen. Weil nun die bisher benutzten Reihen auch alle konvergent sind, wenn die a» und bn und z durch ihre absoluten Beträge ersetzt werden, so sind in diesem Schema auch die Spalten- reihen (absolut) konvergent, und wenn man setzt, so ist (nach § 28, II, 6) OB 0» (8) 2 ciz* = der Summe der Zeilenreihen, d. h. = Mit den so errechneten Koeffizienten cj ist also, falls z im Innern des Konvergenzkreises der Reihen (5) liegt und falls die Summe der zweiten dieser Reihen < 1 ist,

1+v+ i-(V+W--r •' - (Wegen einer bequemeren Berechnung der Koeffizienten vgl. § 41, 9.) Durch eine nur geringfügige Verallgemeinerung der letzten Betrachtung beweist man endlich noch den folgenden weiter- gehenden Satz. Ist 2 (5') w=b1z+ 62z +--- eine Potenzreihe mit dem positiven Radius r und ist

(6') \D=ea + ß1» + ßt*+--- eine weitere Potemreihe mit dem positiven Radius R, so darf man für alle z, die ihrem Betrage nach < r sind und für die noch (5") + + ist1), die erste Reihe in diezweile „einsetzen". Das soll heißen: Wenn man, wie eben, die Gleichungen (7) bildet, diese der Reihe nach mit ßv ßt,... multipliziert, so sind die Spaüenreihen des so entstehenden Schemas (7) wiederum konvergent. Und setzt man ihre Summen wieder = <\z, ct&,..., so ist auch die Potemreihe •) Auch dies ist für alle hinreichend nahe bei 0 gelegenen Punkte 2 von selbst der F&1L § 31. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 96

(8') c0 + c1z->rcii?-\ für die genannten z konvergent. Mit Benutzung der im nächsten Kapitel genauer erläu- terten Begriffe kann überdies hinzugefügt werden: Stellt (5') die Funktion f(z), (6') die Funktion g(w) dar, so stellt die Potenzreihe (8') die mittelbare Funktion g{f{z)) dar.

Vierter Abschnitt. Analytische Funktionen und konforme Abbildung. 9. Kapitel. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. § 81. Begriff der Funktion einer komplexen. Veränderlichen. Auch der Begriff der Punktion wird im Komplexen formal genau so wie im Reellen erklärt: Ist 2JI eine beliebige Punktmenge und darf z einen belie- bigen Punkt derselben bedeuten, so heißt z eine (komplexe) Veränderliche oder Variable und 9JI ihr Variabilitäts- bereieh. Bestellt dann weiter eine Vorschrift, auf Grund deren jedem Punkte z aus äJi ein bestimmter neuer Zali- lonwert w zugeordnet wird, so heißt w eine (eindeu- tige) Funktion der (komplexen) Veränderlichen z\ in Zeichen (1) «=/«, indem / (oder ein anderer geeigneter Buchstabe wie F, g, h usw.) symbolisch für die irgendwie gegebene Vorschrift gesetzt wird. 2Jt heißt der Definitionsbereich der Funk- tion, z ihr Argument, die Gesamtheit der den Punkten z zugeordneten Werte w ihr Wertevorrat. Im folgenden werden wir nur den Fall betrachten, daß SR 96 9. K&piteL Funktionen einer komplexen Veränderlichen. ein Kreisgebiet oder die ganze Ebene ist (manchmal mit Aus- nahme einzelner Punkte) und daß der Funktionswert w= /(«) durch einen einfachen Rechenausdruck oder als Summe einer Potenzreihe gegeben wird. Im IL Abschnitt lernten wir schon die linearen Funk- tionen kennen. Eine naheliegende Verallgemeinerung bilden die rationalen Funktionen, d. h. diejenigen, bei denen die Rechenvorschrift die Variable z mit irgendwelchen Kon- stanten durch die rationalen Rechenoperationen verbindet und die daher auf die Form í (2) ft„ + 61g + y + --- +v« «o + aie +•"'' + af>2P gebracht werden können. Werden nur die ganzen Opera- tionen benutzt, so heißt der Ausdruck eine ganze rationale Funktion und kann auf die Form 2 (3) a0 + a^z + Ojz H b ^ gebracht werden. (Im V. Abschnitt werden diese und die anderen sogenannten „elementaren Funktionen" etwas näher besprochen). Jede Potenzreihe definiert in ihrem Konvergenz- kreise eine Funktion der komplexen Veränderlichen z. Die geometrische Veranschaulichung einer solchen Funk- tion komplexen Argumentes wird im nächsten Kapitel be- handelt.

§ 32. Grenzwerte von Funktionen. Ist £ ein Häufungspunkt für die Punkte des Definitions- bereiches 2R einer Funktion w=f(z), so sagt man — formal ge- nau wie im Reellen —, es strebe (1) /(«)->• tu oder für z-»£ (zauf9R) oder es sei (2) lim/(e) = ®, Z—C wenn die eine oder andere der beiden folgenden Bedingungen § 32. Grenzwerte von Punktionen. 97 erfüllt ist1): 1) Nach Wahl von e > 0 läßt sich ein <5= ¿(e) >0 so angeben, daß für alle dem Definitionsbereich von f(z) ange- hörenden und der Bedingung 0 < | z — f | < <5 genügenden Werte von z stets (3) | /(«)-«, |c, (0<|i-f|<«). ausfällt. 2) Für jede dem Definitionsbereich von /(z) entnommene und strebende Zahlenfolge (z„), deren Glieder sämtlich von £ verschieden sind, strebt stets die Folge der zugehörigen Funktionswerte wn= f{zn)—cd*). Diese beiden Bedingungen sind völlig äquivalent. Daß die zweite erfüllt ist, wenn es die erste ist, ist selbstverständlich, da ja fast alle zH in der ¿-Umgebung von £ liegen, wenn zn-+ £ strebt. Ist umgekehrt die erste Bedingung nicht er- füllt, so kann es auch die zweite nicht sein. Denn ist die erste Bedingung nicht erfüllt, so heißt dies: Es gibt ein e0 > 0 mit der Eigenschaft, daß in jeder Nähe von f Punkte 2 liegen, für die | /(z) — &> 1e0 ist. Dann kann man aber auch eine Folge (z„) solcher z-Werte angeben, die rückt, für die aber /(zn) nicht gegen a> strebt. Da die Erklärung für die Aussagen (1) und (2) formal genau dieselbe ist wie im Beeilen, so gelten auch für das Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen kom- plexer Veränderlicher dieselben Regeln wie dort: I. Sind /¡(z) und /2(z) beide auf der Punktmenge erklärt, so ist es auch

«1/1(2) + ej2{z),

wenn ct und c2 irgend zwei komplexe Zahlen bedeuten. Ist £ ein Häufungspunkt von 9JI und strebt nun für z— i) Da bei den folgenden Bedingungen ein Funlctlonawert an der Stelle z = { selbst gar nicht auftritt, so braucht /(z) in C selbst nicht definiert zu sein. ') Wahrend im Reellen die Ann&herung der Veränderlichen an eine be- stimmte Stelle nur von links oder recht« (oder von beiden Selten) her erfolgen kann, kann im Komplexen z bezw. zn von allen Sellen her an die Stelle { herangehen. Knopp, Elemente der Funktioaentheorle. 4 98 9. Kapitel. Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

und h 00 so strebt

(4) /(z) = c1/1(«) + c2/,(e)-c1o)1 + e,to2, insbesondere (z) ± /j(2)-"a>i ±<ÜJ und (z) -» ^ cu!- IL Unter denselben Voraussetzungen wie unter 1) strebt

III. Unter denselben Voraussetzungen und wenn «j2=t=0, also auch /2(z)=}=0 ist in 0 < |z — £]< <5, so strebt für z — [

/2(z)cu,' Diese Regeln folgen überdies unmittelbar aus den entspre- chenden Kegeln für das Rechnen mit konvergenten Zahlen- folgen (§ 26) auf Grund der Erklärung 2). Beispiele. 1) Wird eine Funktion w = f(z) dadurch erklärt, daß man für jedes z das zugeordnete w gleich ein und derselben Konstanten e setzt, so sagt man, es sei f(z) identisch gleich e oder identisch konstant. Für diese Funktion ist natürlich auch lim f(z) = c für z-«-i und dies an jeder Stelle f. 2) Ist f(z) = z für jedes z, so ist für diese Funktion offenbar lim f(z) = C »-+C an jeder Stelle 3) Durch mehrmalige Anwendung von II folgt nun, daß auch die ganzzahlige Potenz z* an jeder Stelle £ für f den Grenzwert hat: für 4) Durch Anwendung von I und II folgt aus diesen Beispielen p weiter, daß, wenn f(t) = a0 + c^z + • • • + apz eine behebige ganze rationale Funktion ist, für jedes f die Beziehung gilt \imf(z)=f(C). 6) Durch Anwendung von III folgt hieraus schließlich, daß, wenn g(z) = ba + \z H -f ^ z® eine zweite ganze rationale Funktion ist, für jedes f, für das /(f) 4= 0 ist, die Beziehung gilt

lim g(g) ( 9(0 m m~ §33. Stetigkeit. 99 Eine rationale Funktion hat also bei Annäherung von z an jede Stelle an der ihr Nenner nicht verschwindet, den dortigen Funk- tionswert zum Grenzwert. § 33. Stetigkeit. Der bei dem letzten Beispiel angetroffene Fall ist be- sonders wichtig. Wir legen ihn durch eine besondere Er- klärung fest: Erklärung. 1) Eine Funktion }(z) heißt an einer inneren Stelle £ ihres Definitionsbereiches stetig, wenn lim /(«)=/(£) ist. — Benutzt man die beiden Erklärungen des Grenzwertes aus § 32, so kann man auch sagen, daß /(z) an der Stelle £ stetig heißt, wenn die eine oder die andere der beiden fol- genden (äquivalenten) Bedingungen erfüllt ist: 2) Jedem e > 0 läßt sich ein d — d (e) > 0 so zuordnen, daß für alle z mit |z— £ | «fer lim" («>=/(£)), existiert. Semen Wert nennt man die Ableitung oder den Differentialquotienten der Funktion f(z) an der Stelle £ und bezeichnet ihn mit m m •">• Unter .Benutzung der beiden Bedingungen für die Exi- stenz eines Grenzwertes aus § 32 können wir auch sagen, eine Funktion w = f(z) heißt an der Stelle £ difierenzierbar, wenn die eine oder andere der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist: 2) Es existiert eine Zahl co', so daß jedem e > 0 ein d = d (s) >0 so zugeordnet werden kann, daß für alle e mit 0< \z — C| ', so daß für jede dem Defi- nitionsbereich von /(z) entnommene und gegen f strebende Zahlenfolge (zn), deren Glieder alle =j= £ sind, die Folge der Differenzenquotienten «>„ —co (O z» —£ strebt. l) Bei den letzten drei Bezeichnungen maß die Stelle t — C dann noch hinzugefügt werden oder AUS dem Zusammenhang heraus bekannt sein. §34. Differenzierbarkeit. 101 Da diese Erklärung der Differenzierbarkeit formal genau dieselbe ist wie im Reellen und weil das Rechnen mit Zahlen- folgen und Grenzwerten sich genau wie dort vollzieht, so ist auch der Beweis für die folgenden Grundregeln der Diffe- rentialrechnung genau der gleiche wie im Reellen:

Sind die beiden Funktionen ^(z) und f2(z) an der Stelle £ differenzierbar, so ist auch

I. die Funktion /(z) = c1f1(z) + c2f2(z) an der Stelle £ differenzierbar, und es ist

II. die Funktion f(z) = /j(z) • /2(z) an der Stelle f diffe- renzierbar, und es ist

/'(£) = /i(0/2(C) + /i(C)/i(0; III. die Funktion f(z) =rr\ an der steUe £ differen- /i(2) zierbar, falls f1 (£) 4= 0 ist, und es ist

1 (MO)2 Beispiele. 1) Ist f(z) identisch = c, so ist offenbar an jeder Stelle f (£)= 0. 2) Ist f(z) — 2, so folgt ebenso unmittelbar aus der Erklärung, daß an jeder Stelle f'(f) = 1 ist. 3) Durch wiederholte Anwendung der Regel II folgt jetzt: Für jeden natürlichen Exponenten k und an jeder Stelle £ ist

de ~ • 4) Nun folgt weiter durch Anwendung der Regeln I—III, daß auch die Ableitung einer rationalen Funktion an jeder Stelle existiert, an der ihr Nenner nicht verschwindet, und daß sie nach denselben Regeln errechnet wird wie im Reellen. So hat z. B. die lineare Funktion at \ - an der Stelle f =|= — — die Ableitung cz + a c ad — be H + dr Ist der Definitionsbereich SR einer Funktion /(z) offen (s. § 23) und ist /(«) an j eder Stelle z desselben difierenzierbar, 102 9. Kapitel. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. so ist f'(z) wiederum eine in 501 definierte Funktion, die man kurz die Ableitung von f(z) in SR nennt. Ist diese erneut in SR differenzierbar, so erhält man die zweite Ableitung f" (z) von f{z) in 2JI, und entsprechend gelangt man zu den Ableitungen höherer Ordnung. Die rationalen Funk- tionen haben Ableitungen jeder Ordnung. Ihr Definitions- bereich ist die ganze Ebene, aus der die Stellen ausgeschlossen sind, wo der Nenner der Funktion verschwindet.

Ist ft(z) eine Funktion mit dem Definitionsbereich SD^ und liegen alle Werte dieser Funktion in dem Definitions- bereich 9Jl2 einer zweiten Funktion f2 (z), so kann man die mittelbare Funktion /M=/.(/lM) bilden, deren Definitionsbereich wiederum ^ ist. Für ihre Differentiation gilt wie im Beeilen die sogen. Kettenregel iv. /'(0 = /4(/i(C» falls die „innere" Funktion /¿(z) an der Stelle £ und die

„äußere" Funktion /,(«) an der Stelle £i= /x(f) differenzier- bar ist. § 35. Eigenschaften der durch Potenzreihen dar- gestellten Funktionen. Es sei jetzt eine beliebige Potenzreihe 09 1 (1) a0 + a^ + a2z* H = 2 a*? vorgelegt1), deren Konvergenzradius r positiv (oder oo) ist.8) In jedem inneren Punkte ihres Konvergenzkreises hat sie eine bestimmte Summe. Diese ist also eine in | z \ < r durch die Potenzreihe definierte Funktion f(z). Von ihr sagt man auch, sie sei durch die Potenzreihe dargestellt oder in die Potenzreihe entwickelt, und schreibt ') Wie schon in f 30 betont, bedeutet es keine Einschränkung, daß wir annehmen, daS der Mittelpunkt z0 = 0 ist. Die nachfolgenden Sätze 1 bis 7 selten also bei slnngenmner Änderung des Wortlautee auch für Funktionen die durch l'otcnzreihen mit beliebigem Mittelpunkt 2„ dargestellt werden. •) Die nirgend« konvergenten Fotenireihen werden nach wie vor aua- lieschlossen. § 36. Durch Potenzreiben dargestellte Funktionen. 103

(2) /(«) = Die ersten Eigenschaften solcher durch Potenzreihen dar- gestellten Funktionen — diese Funktionen sind, wie der weitere Ausbau der Funktionentheorie lehrt, die allein wich- tigen — werden durch die folgenden Sätze festgestellt: Satz 1. Die durch (2) dargestellte Funktion ist in 2=0 stetig. Beweis. Wird q mit 0 < q < r beliebig gewählt, so ist OC n 1 die Reihe £\an\Q ~ konvergent; ihre Summe heiße K. »=i Sei mm (>„) eine Nullfolge, die dem IMinitionsbereieh der Funktion / (2) angehört. Für fast alle Indizes v gilt dann Kiep und für diese z„ ist

Also strebt ffo)— a^— /(0), was die Stetigkeit von f(z) in 0 beweist. — Aus diesem Satze ergibt sich leicht der wichtige Identitätssatz für Potenzreihen: Satz 2. Sind die beiden Potenereihen und beide für \z \

o, + a1 z + da z* + • • • = b0 + 2 + V + •" • folgt für 2 = 0 zunächst a0 = b0. Demgemäß ist, wenigstens für alle z mit 0 < | z | < g, auch

a1 + atz'+ bl + btf+.... 1 Läßt man hierin 2-»0 rücken ), so folgt weiter, daß a1= bt ist. Analoge Schlüsse liefern nun der Reihe nach (schärfer: durch Induktion) die Gleichungen an ^ bn für n --= 2, 3 Da es für diese Schlüsse schon ausreicht, wenn z eine -»0 rückende Punktfolge (z») durchläuft, so lehrt der Be- ') Bier Ist es wesentlich, daft bei dem GrenxproieD i-»0 der Punkt c den Punkt 0 nicht tu betreten hat (s. § 32, 1. Fußnote). 104 9. Kapitel. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. weis noch, daß es für- die Identität der beiden Potenzreihen hinreichend ist, wenn sie in unendlich vielen verschiedenen, sich in 0 häufenden Punkten dieselbe Summe haben. Dieser Identitätssatz besagt, daß ein und dieselbe Funk- tion nicht auf zwei verschiedene Arten in eine Potenzreihe entwickelt werden kann: Ist sie überhaupt in eine Potenz- reihe (mit dem Mittelpunkt z0) entwickelbar, so ist dies nur auf eine Weise möglich. Satz 3. Die durch (2) dargestellte Funktion läßt sich auch um jeden anderen im Innern des Konvergemkreises gelegenen Punkt % als Mittelpunkt im, eine Potenzreihe entioickeln. Ist also | | < r, so gibt es stets eine und nur eine Potemreihe

(3) ioJt(2-2l)* mit positivem Konvergemradius rlt die in den den beiden Kon- vergenzkreisen gemeinsamen Punkten z ebenfalls die Summe f(z) hat. Und zwar ist (4) und der Radius rx ist mindestens = r — \z1\. Beweis. Eb ist z — + (? — 2i). also (5) /(«)= ifck- n—0 1 = ^a^z? + .r (z — Zx) +

Denkt man sich die Glieder dieser Reihe so untereinander geschrieben, daß die dieselbe Potenz von («—2X) ent- haltenden Summanden untereinander stehen, so erhält man ein Schema wie in § 28, II, 6, dessen Zeilensummen dann eben die Glieder der Reihe (5) sind. Die ft-te Spaltenreihe aber hat gerade die Summe b^{z — wofern die in (4) angegebene Bedeutung hat. Der angeführte Satz aus § 28 § 36. Durch Potenzreihen dargestellte Funktionen. 105 würde also unmittelbar die behauptete Gleichung (6) f(z)^lb (z-zi)* i—O t beweisen, falls die Voraussetzungen zur Anwendung jenes Satzes erfüllt sind. Das ist aber der Fall. Denn ersetzt man in dem erhaltenen Schema alle Elemente durch ihre Beträge, so ist die w-te Zeilensumme = \an\[\z1\ \z — []". Die Summe über diese Zeilensummen, also die Eeihe

ist aber noch konvergent, wenn nur ¡2,1 + 1« — zx| < r oder | z — z1 \ < r — \zl\ ist. Damit ist alles bewiesen, ein- schließlich des Zusatzes, daß die Entwicklung (6) einen Radius rjSi r — | Zj | hat. Satz 4. Die durch (2) dargestellte Funktion ist an jeder (inneren) Stelle z1 ihres Konvergenzkreises stetig. Beweis. In einer Umgebung von z1 wird f(z) auch durch die Reihe (6), also wieder durch eine Potenzreihe dargestellt. Da diese nach Satz 1 eine in ihrem Mittelpunkt z1 stetige Funktion darstellt, so ist /(z) in zx stetig. Satz 5. Die durch (2) dargestellte Funktion ist an jeder Stelle z1 ihres Konvergenzkreises differenzierbar, und die dortige Ableitung kann durch gliedweise Differentiation gewonnen werden, d. h. es ist (7) /'&) = 1 na zTX = 1 (» + l)«„+i z\. n=l n n»»0

Beweis. Nach (6) ist

z — z1

Hieraus folgt, da die rechts stehende Potenzreihe eine in z1 stetige Funktiof'(zn )=bdarstellt = , J(nunmittelba+ 1Kr die*? Behauptung. : l 1 fQ +1 106 10. Kapitel. Analytische Funktionen und konforme Abbildung. Satz 6. Die durch (2) dargestellte Funktion ist an jeder Stelle z1 ihres Konvergenzkreises beliebig oft differemierbar und es ist für k = 1,2,3,...

AO = k\bk = £ (n + 1) (n + 2).. • (n + k) an+iz^ »—o oder, übersichtlicher geschrieben,

(8) ¿/«W-H-ifi1).-^". Beweis. Für jedes | z \ < r ist nach Satz 5

r(e)=J(n>»0 « + l)«»+!«". Die Ableitung /' (z) wird also wieder durch eine Potenzreihe mit demselben Radius dargestellt. Nach demselben Satz 5 ist also

/"(z) = J (» + 1) (n + 2) an+2z", usw. Setzt man schließlich die in (8) erhaltenen Werte für in die Reihe (6) ein, so erhält man die sogen. Taylorsche Reihe, d. h. den Satz 7. Die durch (2) dargestellte Funktion läßt sich für eine Umgebung jedes (inneren) Punktes zx ihres Konvergenz- kreises durch die Potemreihe

darstellen. — Die bedeutsamsten Beispiele zu diesen Sätzen bringt der V. Abschnitt.

10. Kapitel. Analytische Funktionen und konforme Abbildung. § 36. Analytische Funktionen. Während die vorangehenden Dinge eine genaue Über- tragung der entsprechenden Betrachtungen im Reellen dar- § 36. Analytische Funktionen. 107 stellen, tritt nach Einführung der Differenzier!)arkeit ein tief- gehender Unterschied zwischen den Funktionen reellen und denen komplexen Argumentes auf: Während bei Funktionen f(x) einer reellen Veränderlichen aus der Tatsache, daß sie differenzierbar ist, gar nichts über die etwaigen höheren Ab- leitungen zu folgen braucht — die erste Ableitung /' (z) braucht bekanntlich nicht wiederum differenzierbar, ja nicht einmal stetig zu sein —, zeigt sich bei Funktionen f(z) einer kom- plexen Veränderlichen, daß aus der Existenz einer ersten Ab- leitung ganz von selbst die Existenz aller höheren Ab- leitungen folgt. Genauer formuliert, gilt der Satz. Wenn eine Funktion f(z) in einem. Gebiete erklärt ist und wenn sie dort eine Ableitung f(z) hat, so besitzt sie dort auch alle höheren Ableitungen /" (z), /"' (z),.... (Unter einem Gebiete versteht man dabei eine offene und zusammen- hängende Punktmenge, d.h. eine offene Punktmenge, bei der man je zwei ihrer Punkte durch einen Streckenzug ver- binden kann, der ganz in der Punktmenge verläuft.) Diesen Satz können wir hier nicht beweisen. Er liegt ziemlich tief und kann erst bei weiterem Ausbau der Funk- tionentheorie mit Hilfe ihrer Integralrechnung bewiesen wer- den '). Er läßt es aber verständlich erscheinen, daß man die in Gebieten differenzierbaren Funktionen mit einem beson- deren Namen belegt hat: Erklärung. Eine in einem Gebiete difjeremierbare Funk- tion f(z) wird eine dort reguläre analytische (oder auch nur: reguläre, oder nur: analytische) Funktion genannt. Das betreffende Gebiet heißt ein Regularitätsgebiet der Funktion. Von jedem einzelnen Punkte desselben sagt man, daß die Funk- tion in ihm regulär sei. Die rationalen Funktionen sind in der ganzen Ebene, von der die Nullstellen ihres Nenners ausgeschlossen sind, regulär.

') Vgl. Fktth. I, § 18. 108 10. Kapitel. Analytisch« Funktionen und konforme Abbildung Jede Potenzreihe stellt im Innern ihres Konvergenzkreises eine analytische Funktion dar; dieser ist ein Regularitäts- gebiet für die dargestellte Funktion.

§ 37. Konforme Abbildung. Den Verlauf einer reellen Funktion y= f(x) einer reellen Veränderlichen kann man sich in bekannter Weise durch ihr geometrisches Bild in einer «¡/-Ebene veranschaulichen. Bei einer Funktion komplexen Argumentes w= f(z) ist etwas Entsprechendes nicht ohne weiteres möglich, da s und w je zwei Koordinaten haben. Man behilft sich dadurch, daß man zwei Ebenen, eine z-Ebene und eine w-Ebcne, benutzt. In der ersten markiert man den Punkt z, in der zweiten den ihm durch die Funktion zugeordneten Punkt w=f(zf). Dadurch wird jedem Punkt des Definitionsbereiches 9JÍ von f(z) ein Bildpunkt w zugeordnet, kurz: Der Bereicli wird in die w-Ebene abgebildet. Für die linearen Funktionen ist uns diese Abbildung schon vertraut (s. II. Abschnitt). Wir wollen jetzt für beliebige Funktionen u>= f(z) feststellen, was den Eigenschaften der Stetigkeit und der Differenzier- barkeit bei der Abbildung entspricht. Die Stetigkeit einer Funktion w — f(z) an einer Stelle £ ist sehr leicht geometrisch zu deuten. Die zweite Form der in § 33 gegebenen Erklärung besagt offenbar dies: Wenn man um den Bildpunkt a> = /(£) des Punktes £ einen (beliebig kleinen) Kreis mit dem Radius e > 0 beschreibt, so kann stets ein so kleiner Kreis (sein Radius heiße ö) um den Punkt £ beschrieben werden,, daß die Bilder aller Punkte dieses Kreises um £ in dem gewählten Kreise um co liegen. Das Bild »liegt also in vorgeschriebener Nähe von co, wenn nur der Originalpunkt z in hinreichender Nähe von £ liegt. In

*) Oder: Man denkt Bich Im Punkte t der ¿-Ebene den Fnnktionawert » " /(«) „angeheftet", den Pnnktz tum „Träger" des Kunktlonswerte«u> gemacht, dai Oeflnitlonigsbiet mit Funktlunawerten he legt" §37. Konforme Abbüdung. 109 diesem Sinne (aber auch nur in diesem) darf man kurz sagen: Benachbarte Punkte der z-Ebene werden auf benachbarte Punkte der te-Ebene abgebildet; oder: Einer kleinen Be- wegung von z entspricht auch eine kleine Bewegung des Bildes w. Hieraus folgt insbesondere: Ist /(z) an jeder Stelle eines Gebietes stetig, so hat jede in ihm gelegene stetige Kurve als Bild wiederum eine stetige Kurve1). Etwas weniger einfach, aber von grundlegender Wichtig- keit ist die geometrische Deutung der Differenzier- barkeit. Wir erhalten sie auf folgende Weise: u>= /(z) sei in einem Kreisgebiet $ mit dem Mittelpunkt £ erklärt und in £ difierenzierbar. Die Ableitung /'(£) sei von 0 ver- schieden. Wir wollen weiter voraussetzen, daß zwei ver- schiedene Punkte z aus ® auch zwei verschiedene Bildpunkte w liefern2), und wollen die weiteren Betrachtungen auf ffi beschränken. Es sei nun ! ein beliebiges von £ ausgehendes (orientiertes) Kurvenstück, das in £ eine (Halb-) Tangente t besitzt. Dann zeigen wir zunächst: Die Büdkurve V hat im Büdpunkte &> = /(£) auch eine Tangente t', und diese erscheint gegen t um den Winkel arc /' (£) im positivem Sinne gedreht. Beweis. Wir wählen auf i eine Punktfolge (wn) mit wn -* co, deren Glieder aber alle =j= w sind (Fig. 20). Ist dann zn das Urbild zu wn, so liegt die Folge (z„) auf f, es strebt zn ->•£, aber ihre Glie-_1 der sind alle 4= £• Da- her strebt (s. § 34,3) Fig. 20. ') In besonderen Fällen kann diene degenerieren; t. B. wenn /(z) identisch konstant ist. *) Bei dem weiteren Ausbau der Funktionentheorie wird gezeigt, daß dies nnter der Voraussetzung f (C) #0 ganz von selbst der Fall ist, wenn der Badius von 9 nicht zu groB Ist. (Vgl. Fktth. I, § 34.) 110 10. Kapitel. Analytische Funktionen und konforme Abbildung.

(1) r=r-r) — arc(z„ — £)-* arc/'(£). Die beiden Winkel linker Hand sind die ersten Richtungs- winkel der Sekante von a> nach wn bzw. von £ nach zn. Weil nun t in £ eine Tangente haben soll, so strebt arc (2» — £) gegen den ersten Richtungswinkel dieser Tangente t, wenn w->-oo rückt. Nennen wir ihn r und setzen arc /' (£) = «, so strebt nach (2) (3) arc- (wn — tu) ->• r + «. Das besagt aber gerade, daß auch !' eine Tangente hat und daß ihr erster Richtungswinkel = r +

(4) ^—yr-*•!/'(Ol strebt, drückt ebenfalls eine wichtige geometrische Eigenschaft der Abbildung aus. Hier stehen links in Zähler und Nenner die Längen der Vektoren von ein Dreieck, das dem der drei Punkte z nahezu ähnlich ist, — und zwar um so genauer, je kleiner die Dreiecke sind. Man nennt darum die beschriebene Abbildung auch in den kleinsten Teilen ähnlich. Da die linearen Funktionen von höchstens einer Stelle ab- gesehen in der ganzen Ebene regulär sind und da nach § 34, Beispl. 4 ihre Ableitung nirgends = 0 ist, so erhalten wir aus dem vorangehenden einen neuen Beweis für die Winkeltreue der durch sie vermittelten Abbildung und erfahren überdies, daß diese Abbildung konform ist. Weitere konforme Ab- bildungen werden wir im nächsten Abschnitt kennenlernen.

Fünfter Abschnitt. Die elementaren Funktionen. 11. Kapitel. Potenz und Wurzel. Die rationalen Funktionen. § 88. Potenz und Wurzel. Unter den rationalen Funktionen sind nächst den linearen, die wir im II. Abschnitt kennenlernten, die Potenzen, d. h. die Funktionen (1) w=z* die einfachsten, bei denen k eine natürliche Zahl bedeuten soll, 112 11. Kapitel. Potenz und Wurzel. Die rationalen Funktionen. die wir uns sogleich > 1 denken. Wir wissen schon, daß eine solche Funktion in der ganzen Ebene stetig und difierenzierbar, also analytisch ist und daß ihre Ableitung to' = kzh~l ist. Die Ableitung ist also in der ganzen Ebene von 0 verschieden, außer im Nullpunkt. Die Funktion (1) vermittelt also von der z-Ebene eine überall konforme Abbildung, außer im Null- punkt. Wir wollen diese Abbildung für den Fall k = 2, also die Abbildung durch die Funktion (2) w>=z4 etwas genauer untersuchen. Wir zeigen zunächst: Durch (2) wird die (offene) rechte Halbebene umkehrbar ein- deutig und ausnahmslos konform auf die längs der negativen reellen Achse aufgeschnittene w-Ebene abgebildet, d. h. auf die Gesamtheit der Punkte der w-Ebene, die von 0 und den negativ-reellen Punkten verschieden sind. Setzt man nämlich wie bisher | z | = g und arc z = q>, so wird nach § 11 (5) (3) |to| = g2, arcw=2 q>. Durchläuft nun z den in der rechten Halbebene gelegenen 71 71 Halbkreis | z | = q, — — <

0 nirgends verschwindet, die Be- §38. Potenz und Wurzel. 113 hauptung schon bewiesen. Die umkehrbare Eindeutigkeit bleibt erhalten, wenn man zu der Halbebene 91 (z) > 0 noch die positiv-imaginäre Achse und zu der aufgeschnittenen to-Ebene noch den „oberen" Rand hinzunimmt, die sich offenbar wiederum vermöge (2) umkehrbar eindeutig ent- sprechen. Die Winkeltreue ist aber im Nullpunkt gestört, da nach (3) die Winkel am Nullpunkt bei der Abbildung ver- doppelt werden. Ganz ebenso erkennt man, daß auch die linke Halbebene 9t(z) < 0, zu der die negativ-imaginäre Achse hinzogenommen sei (für deren Punkte also + ^ <

= 0, der nur für z = 0 angenommen wird. Um diese doppelte Belegung der w-Ebene anschaulicher zu übersehen, denkt man sich zweck- mäßig die beiden vorher erhaltenen aufgeschnittenen Exemplare der ««-Ebene aufeinander gelegt. Heftet man dann die beiden Nullpunkte zusammen und fügt die Blätter „über Kreuz", d. h. den oberen Rand jedes Blattes mit dem unteren Rand des anderen zusammenfügend, aneinander*), so erhält man ein eigentümliches Gebilde, das man als die Rlemannsche Fläehe der Funktion w — z* bezeichnet. Auf ihr ist jeder von 0 verschiedene Punkt zweimal (an aufeinanderliegenden Stellen), der Nullpunkt aber nur genau einmal vorhanden. Auf diese Riemannsche Fläche wird nun durch unsere Funktion w — 2* die (schlichte) z-Ebene um- kehrbar-eindeutig und, von dem Windungspunkte oder Verzweigungspunkte in 0 abgesehen, auch konform abge- bildet. — Auf eine eingehendere Behandlung solcher Riemannscher Flächen kann hier aber nicht eingegangen werden. Näheres s. Fktth. 1 und II.

') Wegen (—z2 folgt dies natürlich auch unmittelbar ans dem zu- vor Bewiesenen. •) Das läBt sich nur In Oedanken ausführen, da bei einem materiellen Model] die Durchdringung der beiden Blfitter nur unvollkommen realisier- bar ist. 114 11. Kapitel. Potenz und Wurzel. Die rationalen Funktionen. Auch bei Benutzung kartesischer Koordinaten erhält man einen guten Einblick in die durch (2) vermittelte Abbildung. Setzt man z = x + iy, w = w +B<> ist nach (2) (4) u= x2 — y2, v=2xy. Hieraus ist zu entnehmen, daß die auf den Hyperbeln 3? — y2 = const gelegenen Punkte z in die auf den Geraden u = const gelegenen übergehen. Ebönso gehen die Hyperbeln xy — const in die Geraden v = const über. Wegen der Winkeltreue der Abbildung schneidet jede Hyperbel der einen Schar eine jede der anderen Schar unter einem rechten Winkel. Ebenso leicht erkennt man aus (4), daß die Geraden x = const bzw. y — const der z-Ebene bei der Abbildung in zwei konfokale Parabelscharen mit dem Brennpunkt in 0 übergehen, die wiederum zueinander orthogonal sind. Die Abbildung durch die Funktion (1) mit k > 2 ist bei Benutzung von Polarkoordinaten genau so leicht zu studieren wie im Falle k = 2. An die Stelle der Halbebene hat man nur einen Winkelraum von der Öffnung 2— 71 un d dem Scheitel- K punkt in 0 zu setzen, und aus der doppelten Belegung der w-Ebene wird eine fe-fache. Auch bei Benutzung kartesischer Koordinaten entstehen keine grundsätzlichen Schwierigkeiten. Nur sind die den Hyperbeln und Parabeln entsprechenden Kurven für k > 2 nicht mehr so einfach; es sind algebraische Kurven fe-ter Ordnung. Da die Abbildung zwischen der schlichten z-Ebene und der fc-fach überdeckten «J-Ebene eine (vom Nullpunkt ab- gesehen) umkehrbar eindeutige ist, so können bei der ganzen Betrachtung ohne weiteres z und w vertauscht, d. h. w als der gegebene und z als der zugeordnete Wert betrachtet werden. Wir erhalten dann sofort: Bei gegebenem w 4= 0 gibt es genau k verschiedene Werte z, für die = w ist. Diese liegen sämtlich auf demselben Kreise § 39. Die ganzen rationalen Funktionen. 115 um den Nullpunkt der -z-Ebene und bilden dort die Ecken eines regelmäßigen k-Ecks. Jeden dieser *Wert e nennt man eine ft-te Wurzel aas w, in Zeichen: V~w. Dieses Zeichen ist also—im Gegensatz zu den im Reellen üblichen Festsetzungen — ein seinem Wesen nach mehrdeutiges, nämlich ¿-deutiges Symbol. Unabhängig vom-vorigen erkennt man dies so: Ist w = a (cos rp + t sin y>), z = g (cos rp + i sin q>), so muß wegen (1) (6) ß* = a, k sein. Die erste dieser Gleichungen wird, da q und a positiv sind, bei gegebenem a für genau einen Wert g, nämlich für den (im Reeflen eindeutig bestimmten, wieder positiven) Wurzelwert g = Yä erfüllt. Die zweite aber wird, da die „Gleichheit" zweier Winkel nur ihre Kongruenz mod 27t bedeutet, durch k verschiedene Winkel

noch durch die Werte ^(v + 2»), £ (V + • • •• ^ (V + — 1)«) und k nur durch diese. Also hat j/iö für w 4= 0 die k Werte (61 irl V + 2 Vit , . . v + 2v3t\ w Ke(cos -—£ h tsin-—^ j,v= 0,1,2 ,...,k — 1. k t |/0 dagegen ist eindeutig = 0 zu setzen. Als Hauptwert von bezeichnet man denjenigen der Werte (6), den man erhält, wenn für y> der Hauptwert von arc w genommen und v = .0 gesetzt wird. — Weiter kann hier auf das Studium der Wurzelfunktionen nicht eingegangen werden.

§ 39. Die ganzen rationalen Funktionen. Die genaue Untersuchung der ganzen rationalen Funk- tionen oder, wie man kurz sagt, der Polynome, also der Funktionen der Form (1) M)= 0„ + Oji + «sa2 H hOp«", ist der Hauptgegenstand der klassischen Algebra, auf die hier 116 11. Kapitel. Potenz und Wurzel. Die rationalen Funktionen. natürlich nicht eingegangen wird. Doch soll wenigstens der Satz genannt werden, der in ihr eine besonders wichtige Stellung einnimmt und den man deswegen den Fundamen- talsatz der Algebra genannt hat. Die Möglichkeit, diesen Satz zu beweisen, ist es vor allem gewesen (vgl. § 4), die der allgemeinen Anerkennung der komplexen Zahlen den Weg bereitet hat. Fondamentalsatz der Algebra. Jedes Polynom in z (2) g{z) = 00 + «!*+ • • • (dp 4= 0), dessen „Grad" pS: 1 ist, läßt sich in genau p lineare Faktoren zerlegen, d. h. es gibt p (nicht notwendig verschiedene) Zahlen h> h> • • 80 ¿aß (3) g{z)=ap(z-z1){z — z2).--{z — zp) ist. — Außer den Beweisen, wie sie die Algebra liefert, gibt es mehrere rein funktionentheoretische, von denen drei in Fktth. I, § 28 u. 35, und Fktth. II, § 11 zu finden sind. Die verschiedenen unter den Zahlen zv z2,..., zv% die wir mit • •., (12g fc 2s p) bezeichnen wollen, nennt man kurz die Wurzeln oder Nullstellen des Polynoms (2).' Tritt C, im ganzen «,-mal unter z1,.. .,zp auf, (v = 1,2 so sagt man, sei eine Wurzel oder Nullstelle der Ordnung <%,. Es ist natürlich + «j + (- «t= P> und statt (3) können wir schreiben

(4) g{z)=av{z- W (2 - ...(«- tkr. Diese Darstellung eines Polynoms nennt man seine Prodnkt- darstellung.

§ 40. Die gebrochenen rationalen Funktionen. Eine rationale Funktion f(z) heißt gebrochen, wenn sie nicht als ganze rationale Funktion dargestellt werden kann. Sie läßt sich dann auf die Form § 40. Die gebrochenen rationalen Funktionen. 117

bringen, in der g(z) und h(z) Polynome sind Und der Grad von g mindestens = 1 ist. Auch von diesen gebrochenen rationalen Funktionen soll hier nur ein Satz genannt werden, der Satz von der Teilbruchzerlegung der rationalen Funk- tionen, der in der Algebra bewiesen zu werden pflegt, der in der Funktionentheorie aber erst nach weiterem Ausbau be- wiesen werden kann. (s. Fktth. I, § 35). Eine rationale Funk- tion der besonders einfachen Form

(s-O" bei der c =f= 0 und £ je eine komplexe und y eine natürliche Zahl bedeuten soll, nennt man einen Teilbrach. Mit dieser Bezeichnung gilt der Satz. Jede rationale Funktion läßt sieh, — und im wesentlichen nur auf genau eine Weise — als Summe einer ganzen rationalen Funktion und endlieh vieler Teü- brüche darstellen. Genauer: Handelt es sich um die rationale Funktion (1) und besitzt in ihr der Nenner g(z) die in § 39 (4) angegebene Produktdarstellung, so gibt es genau ein Polynom q(z) und genau p komplexe Zahlen c^, so daß /(z) die Darstellung /(.) = ,(,> + + + ... + «-Ci («-Ci) («—Ci)1

, c*i , cta , , c*»t («-«r' besitzt. — Über die konforme Abbildung, die durch rationale 118 12. Kapitel. Die Exponentialfunktion. Funktionen vermittelt wird, die von den linearen Funktionen verschieden sind, lassen sich nur in besonderen Fällen ein- fache Aussagen machen.

12. Kapitel. Die Exponentialfunktion, die trigonometrischen und die hyperbolischen Funktionen. § 41. Die Exponentialfunktion. Die Potenzreihe z2 zn »2" (1) i + «+ _+ ... + _ + . 2! w! „-To«! ist, wie schon in § 29,3 festgestellt wurde, beständig konvergent. Sie definiert daher eine in der ganzen Ebene reguläre ana- lytische Funktion oder, wie man kurz sagt, eine ganze Funktion. Da die Reihe (1) für reelles z — x, wie aus der Differential- und Integralrechnung her bekannt ist, die Ex- ponentialfunktion ex darstellt, so nennt man auch die durch (1) in der ganzen z-Ebene dargestellte Funktion komplexen Argumentes die Exponentialfunktion und bezeichnet sie mit ez. Man definiert also für komplexe Exponenten z die Potenz e* eindeutig durch die Festsetzung OB

Zu dieser Definition ist man berechtigt, einmal, weil das Zeichen e2 für komplexe z ja bisher überhaupt keine Be- deutung hatte, und weiter, weil die nun festgelegte Bedeu- tung, wie die nachfolgende Untersuchung zeigen wird, sich als zweckmäßig und sinnvoll aufdrängt. Überdies kann es nach §36, Satz 2 außer (1) keine andere Potenzreihe mit dem Mittel- punkt 0 geben, die für die in der Nähe von 0 gelegenen reellen Werte von z — x dieselbe Summe e1 hat wie (1). Unsere Reihe setzt, wie man sagt, die reelle Funktion e* ins Komplexe fort. Die folgenden Feststellungen werden §41. Die Exponentialfunktion. 119 zeigen, daß auch die Eigenschaften der reellen Funktion e weitgehend der analytischen Funktion e* zukommen, an der wir aber wichtige neue Eigenschaften kennenlernen werden: 1. Wie im Reellen gilt auch im Komplexen das Additions- theorem (3) «»«• e*'3ce^+z>. Denn da die Reihe (1) für jedes z absolut konvergiert, so darf man die Reihen für e*> und e*> nach der Cauchyschen Regel multiplizieren (s. § 28). Das n-te Glied der Produkt- reihe wird dann

n! (»— 1)! 1! "'"(n —v)! r! ^ ~r nl 1_ < J< 4 w! + U) T » +''' + UT* ! +''" + n = (h + %)' n! ' Daher ist in der Tat 1 5 . J 5 = j? (2i + *)" n-o n! »=o n! n-o n! ' was die Behauptung (3) beweist. 2. Die Formel (3) setzt uns jetzt instand, die Werte von e* bei gegebenem z wirklich zu berechnen. Ist nämlich 2 = x + iy, so ist nach (3) ez= e*+*y= ex • e*». Nach (2) ist aber auf Grund von § 28, II, 1 und 2a weiter »-0 n! > (2k)l t-o ' (2fc + l)! Hier stehen aber rechter Hand zwei reelle Potenzreihen, deren Summen, wie aus der reellen Analysis bekannt ist, cos y bzw. sin y sind. Da man diese Werte sowie e* bei gegebenem x und y aus den üblichen logarithmisch-trigonometrischen Tafeln ablesen und also als bekannt ansehen kann, so ist durch die Formel 120 12. Kapitel. Die Exponentialfunktion. (4) e'= e'+to = ex(eos y + i sin .y) die numerische Berechnung von e2 in einfacher Weise er- möglicht. 3. Aus (4) lesen wir noch ab, daß (5) |«*| = ««<*) und arc ( + > sin q> = schreiben darf. Insbesondere ist hiernach (7) = m ni e"* = e~M = — 1, e2 = i, e 2 = — i. Ferner sieht man, daß der Funktionswert e* dann und nur dann reell ist, wenn sin y = 0, also y = $(z) = hi ist, — wenn also z auf der hierdurch gegebenen Schar von Paral- lelen zur reellen Achse (oder auf ihr selbst) gelegen ist. 4. Die Formel (7) in Verbindung mit dem Additions- theorem (3) lehrt nun weiter, daß für jedes z ei+Zm= gl . e2m= gl ist. Die Exponentialfunktion ist also periodisch mit der Periode 2ni: Ihr Wert ändert sich nicht, wenn das Argument 2 um 2ni vermehrt wird. Allgemeiner ist nun natürlich auch für jedes ganze fe (8) e*+*ivit = e«. In Punkten der z-Ebene, die durch ein- oder mehrmalige An- wendung der Translation 2 ni auseinander hervorgehen, hat e* denselben Wert. ö. Es gilt aber auch das Umgekehrte: Wenn für zwei 1 Stellen z1 und z2 die Gleichung e'» = e * besteht, so unter- scheiden sie sich nur um ein ganzzahliges Vielfaches von 2 ni, d. h. es muß (9) 2j= Zj + 2kni sein. Aus e*> = e2» folgt nämlich zunächst (nach (3)), daß e*»—!'»= 1 sein muß. Ist aber § 41. Die Exponentialfunktion. 121 ez= e*+

Insbesondere ist die Ableitung also überall von 0 verschieden, und folglich wird die ganze z-Ebene durch die Funktion w = e* ausnahmslos konform abgebildet. 8. Diese Abbildung ist auch im einzelnen leicht zu über- 122 12. Kapitel. Die Exponentialfunktion. sehen: Wir denken uns- in dem Fundanientalstreifen (10) der Fig. 22 die Parallelgeraden zu den Rändern gezogen und von links nach rechts

T zogen und von unten Fig. 22. nach oben orientiert. Durchläuft z eine der erstgenannten Geraden von links nach rechts, so heißt dies, daß wir in z = x + iy den imaginären Teil y fest wählen und x alle reellen Zahlen wachsend durchlaufen lassen. Nach (5) hat dann der Bildpunkt w den festen Arcus y, liegt also auf dem Halbstrahl aus 0, der diesem Arcus entspricht, während sein Betrag e* die Werte von 0 nach + oo wachsend durch- läuft. Der Bildpunkt durchläuft also den genannten Halb- strahl von 0 (ausschl.) nach oo (ausschl.); Strahl und Halb- strahl entsprechen sich umkehrbar-eindeutig. Durchläuft z eine der zu zweit genannten Strecken von unten nach oben, so heißt dies, daß wir x fest lassen und daß y die Werte von —n (ausschl.) bis +n (einschl.) durchläuft. Nach (5) hat dann w den festen Betrag e*, läuft also auf dem Kreise mit dem Radius e* um den Nullpunkt der tu-Ebene, und zwar genau einmal im positiven Sinne herum, bei der negativ- reellen Achse (ausschl.) beginnend bis zu dieser (einschl.) zurück. Es wird also insbesondere das Innere des Funda- mentalstreifens umkehrbar-eindeutig und ausnahmslos kon- form auf das Innere der längs der negativ-reellen Achse auf- geschnittenen w-Ebene abgebildet. 9. Von besonderem Interesse für mannigfache Untersuchungen (s. § 43) ist noch die Aufgabe, die Funktion 1 w (12) 21 + 31 § 41. Die Exponentialfunktion. 123 in eine Potenzreihe mit dem Mittelpunkt 0 zu entwickeln. Nach § 30 ist dies jedenfalls für eine gewisse Umgebung des Nullpunkts möglich. Die Koeffizienten der gewonnenen Entwicklung bezeichnen Bn wir aus historischen Gründen mit — , setzen also n 1r

(i3).—7-ir—+ + + 21 3! Statt nun die Koeffizienten nach der allgemeinen Methode des § 30 zu berechnen, geht man hier und in allen analogen Fällen so vor: Nach (13) ist

d. h. durch Ausmultiplikation der beiden links stehenden Potenz- reihen muß sich eine Potenzreihe ergeben, deren konstantes Glied = 1 ist, deren übrige Koeffizienten sämtlich = 0 sind. Das liefert die unendlich vielen Gleichungen I B» 1 Bn-1 Ii, 1 _ Q II n! 21 (»— 1)! ^n!l! + (n + l)I ' (»=1,2,...). Nach Multiplikation mit (n +1) 1 erscheinen hier links die Bino- mialkoeffizienten der (» + l)-ten Potenz. Die Gleichungen lauten also r 2 Bj + 1 =0 3 Ba + 3 ßj + 1 =0 (14) 4B3+6Bj+4B1 + 1 =0 5 B4 + 10 Ba + 10 Ba + 5 Bi + 1 = 0 aus denen sich der Reihe nach

B, = — Bg = Bs = 0, B, = — -fa, B, = 0, Ba = Vi> • • • ergibt. Diese Zahlen werden die Bernoullischen Zahlen genannt. Sie sind, wie die Rechnung zeigt, sämtlich rationale Zahlen. Sie dürfen, da die Rechnung keinerlei grundsätzliche Schwierigkeiten macht, als „bekannt" angesehen werden. Außer Bx haben alle B„ mit ungeradem Index » den Wert 0. Es folgt dies (unter Anwendung des Satzes 2 in § 36) daraus, daß, wie man leicht nachprüft,

e» —1 ^ 2 eine gerade Funktion von z ist, d.h. für —z denselben Wert hat wie für z. 124 12. Kapitel. Die Exponentialfunktion. g 42. Die Funktionen cos z und sin z. Ganz entsprechende Erwägungen wie die zu Beginn des vorigen Paragraphen angestellten führen zwangsläufig dazu, die trigonometrischen Funktionen cos x und sin x für kom- plexe Argumente durch die Festsetzungen

(1) co8* = l-- + -- + ...=£(-!)*_

und

3! ' 6! ' (2Ä + 1)! zu definieren. Da die beiden Reihen wie die Exponential- reihe beständig konvergieren, so sind hierdurch auch cos z und sin z als ganze Funktionen erklärt, cos z ist eine gerade, sin z eine ungerade Funktion, d. h. es ist für jedes z (3) cos (— z) = cos z, sin (—z)=—sinz. Der schon in § 41,3 für reelle Argumente benutzte Zusammen-, hang zwischen unseren drei Reihen besteht nun offenbar auch für komplexe Argumente, d. h. für jedes komplexe z gelten die sog. Eulerschen Formeln (4) eu = cos z + i sin z, eu + e~u e" - e~u (o) cos«s , sin* = —— .

Zu ihrem Beweise braucht mau nur fur die auf tretenden Kuuk- tionswerte die sie definierenden Potenzreihen einzusetzen, wo- durch sich nach § 28, II, 1 auf beiden Seiten jeder der Glei- chungen die gleiche Reihensumme ergibt. Wegeiulieses überaus einfachen Zusammenhanges zwlachen cosz und sinz auf der einen und e* auf der anderen Seite bieten die Untersuchungen von cosz und sinz keine neuen Schwierigkeiten. Alles ergibt sich sehr einfach aus den in § 41 festgestellten Tatsachen. § 42. Die Funktionen cos 2 und sin s. 125 1. Die aus dem Reellen her bekannten Additionstheoreme für die Funktionen cos und sin gelten auch im Komplexen, d. h. für beliebige komplex-e Zahlen % und z2 ist stets cos (»i + «») s= cos «i cos «« — sin «t sin «t, sin («i + x%) = cos «i sin + sin cos . Denn nach (5) und § 41 (3) ist efciefe. e-fei cos(*i + z2)= g , woraus sich unter Benutzung von (4) sofort die erste der Formeln (6) ergibt. Ganz entsprechend beweist man die zweite. 2. Auch die aus dem Reellen her bekannten Periodizitäts- eigenschaften bleiben im Komplexen erhalten. Beide Funk- tionen haben die (reelle) Periode 2tz, d. h. es ist für jedes z cos (z + 2n) = cos z, sin (z + 2jr) = sin z. Zum Beweise hat man nur bei den links stehenden Ausdrücken die eben bewiesenen Additionstheoreme anzuwenden und zu beachten, daß cos 2n = 1, sin 2n — 0 ist. 3_Da die in 1. und 2. festgestellten Tatsachen formal die gleichen sind wie im Reellen, so bleiben auch alle Folgerungen bestehen, die rein formal aus diesen Tatsachen gezogen werden können. Das ist aber der gesamte Formelapparat der sog. Goniometrie. Es gelten also z. B. die Formeln cos2 z + sin2 z = 1, cos 2 z = cos2 z — sin2 z, sin 2 z = 2 cos z sin z,

008 usw cos z1 + cos z2 = 2 cos 2 —' ' ungeändert für beliebige komplexe Argumente z, zv z2. Es erübrigt sich, alle diese Formeln im einzelnen hinzuschreiben. 4. Auch die Berechnung der Funktionswerte cosz und sin z macht keine Schwierigkeiten. Denn für z — x + iy ist unter Benutzung von (6) und (4) 126 12. Kapitel. Die Exponentialfunktion.

cos {x + iy) = | + ev + e* — e~» -- COS X tSUIX , ¿1 2 und entsprechend e' + e-» e» — (8) sin (a; + ti/)= suis Mcosa; . a 2 5. Die aus dem Reellen her bekannten Nullstellen von cosz und sinz sind auch im Komplexen die einzigen. Soll nämlich cosz = 0 sein, so muß nach (5) eu= —e~oder —1 — eM sein. Nach §41 (9) ist also notwendig 2iz = ni + 2kni, d. h. *=(2* + l)J. Und soll sin e = 0 sein, so folgt analog, daß z=kn sein muß, (k|0, ganz).

6. Es ist genau dann cos % = cos zv wenn zt = i 2kn ist, — also unter denselben Bedingungen wie im Beeilen. Z 4- Zn I I Wegen cos % — cos ^ = 2 sin 1 • ^ sinn - kann näm- O Ct Höh diese Differenz nur dann gleich 0 sein, wenn (s. 5.) -i -K ¿'i 'i — ------oder - t " ein ganzzahliges Vielfaches von n ist. ¿i u Entsprechend ergibt sich, daß dann und nur dann sin z2 = sin 2, tsi, wenn zt= z1-[-2kn oder zi = n — z1 + 2kn ist, — also wieder wie im Reellen. 7. Die Funktionen cos z und sin z nehmen in einem Peri- odenstreifen, etwa in dem Streifen (9) —TT <9t(i)iS +71, jeden von ± 1 verschiedenen Wert an genau zwei verschie- denen Stellen an, wahrend die beiden Werte ± 1 je an genau einer Stelle des Streifens angenommen werden. § 42. Die Funktionen cos z und sin z. 127 An der Stelle 0 ist cos z — 1, an der Stelle n ist cos z— —1. Nach 6. können dieselben Werte an keiner zweiten Stelle des Streifens angenommen werden. Ist aber w eine beliebige von ± 1 verschiedene komplexe Zahl und soll cos 2 = w sein, so muß nach (5) fc 2 gfc e—fc = 2w oder also e = w + jA" — 1 sein. Wegen »4= ±1 hat das Zeichen j/u>2 — 1 und also auch w + j/iu2— 1 genau zwei verschiedene Werte und w2. Beide sind =4= 0- Nach § 41,6. hat daher jede der beiden z Gleichungen e* = w1 und e = w2 genau eine Lösung z in dem Streifen —n < $(z) ^ Also hat jede der Gleichungen fo iz e = Wj, e — w2 genau eine Lösung z in dem Streifen —7t <3+ Nennt man sie z1 bzw. 2a, so ist Zj =|= zt und cos 2j = cos za= w. Eine dritte Stelle z, für die cos s = w wäre, kann es aber nach 6. nicht geben. — Für die Funktion sin z verläuft der Beweis ganz analog. 8. Durch gliedweise Differentiation der Reihen (1) und (2) ergibt sich wie im Reellen, daß für jedes z d cos 2 . d sin 2 ist. Die durch die Funktion w = cos z vermittelte Abbildung ist also überall konform außer an den Stellen ht; die durch w = sin 2 vermittelte Abbildung überall außer an den Stellen

9. Die Einzelheiten dieser Abbildung ergeben sich aus den Formeln (7) und (8). (7) lehrt z. B., daß bei der Ab- bildung durch w = cos 2 die Geraden bzw. Strecken, die zu den Rändern des Periodenstreifens parallel sind, in kon- fokale Hyperbeln bzw. Ellipsen übergehen. Die (sehr ein- fache) Ausführung des Beweises müssen wir dem Leser über- lassen. 128 12. Kapitel. Die Exponentialfunktion. § 43. Die Funktionen tg« und ctg Die Funktionen tg z und ctg z werden für komplexe Ar- gumente wie im Reellen durch die Festsetzung sinz cos z (1) tgz=-—, tgz = -— cosz c Sinz definiert. Da cos z und sin z in der ganzen Ebene regulär sind, so ist es tg z überall da, wo cos z ={= 0 ist, also in der ganzen 7t Ebene, mit Ausnahme der Punkte (2fe +1)—-. Ebenso ist ¿ ctg z in der ganzen Ebene regulär, außer an den Stellen kn. Die weiteren Eigenschaften lassen sich leicht aus den uns nun bekannten Eigenschaften der Funktionen cos z und sin z bzw. e2 ableiten: 1. Die Potenzreihenentwicklung beider Funktionen ergibt sich aus der in § 41,9 behandelten Divisionsaufgabe. Es ist cosz + ,e2fa + l 2 i (2) = * + also nach § 41,9

z ctg z = iz + = ÍZ +1 + B1(2tz) + |?(2 izf+ • •:

Weil nun —-5-ist und weil alle Bemoullischen Zahlen Q mit ungeradem Index verschwinden, ist

tk (3/o\) actg*=l——_„*„ _ 1 2* B%x z +-... + (-1) b -p^jj-2 B%h «jth +••. •

= 1 — — z2 — — z4 . 3 45 945 Da nun weiter tgz = ctg z — 2 ctg 2 z ist, so folgt aus (3) sofort die Entwicklung von tg z: § 43. Die Funktionen tg 2 und ctg 2. 129 4*3 (4) tg * am -—- B.ü -t- . . .

B»***"' + • • •

Diese Potenzreihen haben sicher einen positiven Konvergenz- radius. Dessen genauer Wert ergibt sich aber erst durch tiefergehende Betrachtungen; er iat = 7t für die Reihe (3), -j- für die Reihe (4). (Vgl. Fktth. I, § 31.) u 2. Die formalen Eigenschaften, die in den Additions- theoremen und den übrigen goniometrischen Formeln zum Ausdruck kommen (z. B. in der eben zum Beweis von (4) benutzten), sind natürlich aus dem gleichen Grunde wie bei cos 2 und sin z dieselben wie im Beeilen. Wir können daher darauf verzichten, diese Formeln im einzelnen hinzuschreiben. 3. Aus dem Additionstheorem folgt, daß auch die Perio- dizitätseigenschaften dieselben sind wie im Reellen; es ist für jedes 2 (5) tg(2+7l)= tg2, Ctg (2 + 7l) = Ctg 2. Als Periodenstreifen pflegt man den Streifen n n T<«M£+T zu wählen. — Ähnlich wie bei cos 2 und sin t l&ßt sich auch hier genauer zeigen: Wenn tg21=tg2l ist, so unterscheiden sich Zy und 2, nur um ein ganzzahliges Viel- faches von 71, und das gleiche gilt für ctg z. Unsere Funk- tionen haben also an zwei verschiedenen Stetten dann und nur dann denselben Wert, uoenn diese Stellen durch eine ein- oder mehrmalige Translaiion (n) auseinander hervorgehen. Denn sowohl aus tgz1= tg2g wie aus ctg ^ = ctg 2, folgt, daß sin(2, — 2^) = 0, also (s. § 42, 6) zt — e^—kn sein muß. Knopp, Elemente der FanktloDentheorte. 5 130 12. Kapitel. Die Exponentialfunktion.

7t 7t 4. In dem Periodenstreifen —— +— nehmen u u tg z und ctg z jeden komplexen Wert, der von i i verschieden ist, genau einmal an; die Werte ± i dagegen werden überhaupt nicht angenommen. Es genügt, dies für ctg z zu beweisen. Denn wegen tg z • ctg z = 1 ergibt sich dann die Behauptung für tg z ganz von selbst. Die Gleichung ctg z = ± i würde 2t nun nach (2) bedeuten, daß - = 0 oder = — 2» sein — 1 müßte. Das erste ist gewiß für keinen Wert von z möglich, und das zweite würde fordern, daß e2fe = 0 wäre, was auch niemals der Fall ist. Also ist stets ctg z 4= ± i. Ist aber w eine beliebige von ± i verschiedene Zahl, so bedeutet nach (2) die Gleichung ctg z = w, daß 1 , w + t (6) t „. =w oder ——: v ' e2^— 1 w — t sein soll. Da hier rechts ein bestimmter und überdies von 0 verschiedener Wert steht, so gibt es nach § 41,6 genau eine w + i Zahlz' in — n < 3(z') ^ + n, für die e* = ——. ist. Also JJ jjr gibt es auch nur genau einen Wert z mit —— < Üi (2) ^ +—, a a für den die zweite der Gleichungen (6) besteht, für den also ctg z = w ist. 5. Die Ableitungen unserer Funktionen ergeben sich natür- lich einfach aus den Deiinitionsgleichungen (1). Es ist wie im Beeilen d tg z 1 d ctg z 1 dz cos2 z' dz sin2 z Da diese Ableitungen ersichtlich nirgends verschwinden, so ist die Abbildung, die durch unsere Funktionen vermittelt wird, an jeder Stelle, an der die Funktionen definiert sind, §44. Die hyperbolischen Funktionen. 131 konform. Auf Einzelheiten dieser Abbildung wollen wir nicht eingehen.

§ 44. Die hyperbolischen Funktionen. Für mancherlei Anwendungen ist es zweckmäßig, neben den trigonometrischen Funktionen noch die sog. hyperboli- schen Funktionen ©ofz,©inz einzuführen1). Sie werden durch die wiederum beständig konvergenten Potenzreihen

(l) goi2=i + ii + ft+...,

(2) , + + definiert, sind also gleichfalls ganze Funktionen. Sie hängen mit cosz und sinz, wie die Reihendarstellungen zeigen, durch die einfachen Formeln (3) ®of z = cos (iz), ©in z = — i sin (iz) zusammen. Diese lehren, daß alle Eigenschaften der neuen Funktionen und der für sie gültige Formelapparat sehr ähn- lich ausfallen wie bei cos z und sin z, so ähnlich, daß es sich fast erübrigt, alle Einzelheiten auszuführen. Wir heben darum nur das Wichtigste ohne Beweis hervor: 1. 6of z ist eine gerade, ©in z eine ungerade Funktion. 2. Es ist _ , e*+e~:' e*—e~' „ „ ©oj z =—-—, ©mz =—-—, e*=©oiz + ©mz. u u 3. Die Additionstheoreme lauten:

6of (z! + Zj) = Eof Zi 6of z2 + Sin z^in z2,

©ilt (zx + z2) = ©of z^in z2 +©in z, ©of z2.

l) Gelegentlich werden auch noch die Funktionen _ @in» . „. ffofr Ifl t = -=-rUou- und Ctg i = ©inj benutzt, die wir liier indessen nicht betrachten wollen. 132 13. Kapitel. Der Logarithmus. 4. Aus diesen folgt z. B. (Eoj* z —©in* 2=1, <5of 2 z= gof* z + ©in* z, UBW. 5. Beide Funktionen sind periodisch mit der Periode 2ni. 6. Es ist d Sof z d<8tn z _ , —-— = ©m z, —— = 6of z. dz dz

13. Kapitel. Der Logarithmus, die zyklometrischen Funktionen und die allgemeine Potenz. § 45. Der Logarithmus. Der (natürliche) Logarithmus wird wie im Reellen als Umkehrung der Exponentialfunktion erklärt. Da diese letztere sich aber im Komplexen als periodisch erwiesen hat, so treten bei der weiteren Untersuchung des Logarithmus etwas tiefer- gehende Unterschiede als sonst gegen das Beeile auf. Erkl&rnng. Die Zahl b soll ein natürlicher Logarithmus von a heißen, in Zeichen (sloga, wenn S' — a ist. Nach § 41,5 und 6 hat daher jede von 0 verschiedene Zahl a unendlich viele natürliche Logarithmen, genau einer von diesen, man nennt ihn den Haaptwert des Logarithmus von a, genügt der Bedingung, daß sein imaginärer Teil zwischen —71 (ausschl.) und +n (einschl.) gelegen ist. Alle übrigen Logarithmen derselben Zahl a unterscheiden sich von dem Hauptwert nur um additiv hinzutretende Vielfache von 2ni und heißen die Nebenwerte von loga. Bezeichnet man den Hauptwert etwa mit Log a, so liefert die Formel (1) loga=Loga + 2*m\ (*= 0, ± 1, ± 2,...), die sämtlichen Werte von log a. Für die Zahl 0 aber kann (wegen § 41, 6) kein Logarithmus erklärt werden. § 46. Der Logarithmus. 133 Ist (2) \a\ — A und ist der Hauptwert von arc a = «, so folgt überdies aus § 41, 6 sofort, daß (3) Log a = log A + i» ist, wenn unter log A der aus der reellen Analysis her be- kannte (eindeutige, reelle) natürliche Logarithmus der positi- ven Zahl A verstanden wird. Alle Werte von logo haben also denselben Realteil log A, und die Imaginärteile unter- scheiden sich nur um Vielfache von 2 n. Nach § 41, 3 ist (4) Log(—l) = ni, Logi = £jri, Log(— i)= — Die bekannten Rechenregeln für natürliche Logarithmen, nämlich log (z^) = log zt + log gj , 2 #= 0. h 4= 0). 1 (5) log = log zx — log zt,

log 2* = k log z, (2 0, k ganz), gelten jetzt, weil formal aus der gegebenen Erklärung des Logarithmus folgend, ebenfalls. Doch sind sie wegen der Vieldeutigkeit des Zeichens log dahin zu verstehen, daß jeder Wert der einen Seite auch unter den Werten der anderen Seite enthalten ist. Da es sich bei der Funktion w — log z nur um die Um- kehrung der Beziehung e" = z handelt, so liefern uns die Ausführungen in § 41, 8 auch sofort alle Einzelheiten der Abbildung, die durch die Logarithmusfunktion geliefert wird. Man hat dort nur sinngemäß z und \o zu vertauschen. Durch den Hauptwert w = Log z wird also das Innere der längs der negativ- reellenAchse aufgeschnittenen z-Ebene umkehrbar eindeutig und ausnahmslos konform auf das Innere des Strei- fens —n < 3(w) < +7r der w-Ebene abgebildet. Folgendermaßen kann man endlich erkennen, daß der Hauptwert von log —- für |z| < 1 durch dieselbe Reihe X — z 134 13. Kapitel. Der Logarithmus, dargestellt wird wie im Beeilen, daß also für | z \ < 1 (6) Log — = 2*-- i — z »d n 1 m xn ist. Da für reelle | 1 nämlich log = _ ist, x \ < 1; — x «=i « so ist die mittelbare Funktion r^ 1 1 — x Das besagt genauer: Wenn man (s. die letzten Ausführungen in § 30) in die Potenzreihe

(7) 1 + H.L + ... + £+... die Potenzreihe „=, + _ /jjf+l ... + _ + ... einsetzt, so erhält man als Ergebnis die geometrische Reihe Z"af, da diese die Entwicklung von * darstellt. Da diese 1 — x Operation des Einsetzens einer Potenzreihe in eine andere eine rein formale ist, so muß man auch die geometrische Reihe erhalten, wenn man in die Exponentialreihe ufi tc* (8) ! + „ + _ + ... + _+... die Potenzreihe • «, + _ + ... + _ + ... einsetzt. Also ist für | z | < 1 e— 1 °° zn 1 e " = - , d.h. <2-= log, . 1 — Z n**l » 1 — Z Daß die Reihe nun gerade den Hauptwert darstellt, daß für §46. Der Logarithmus. 136 / ® z" \ | z | < 1 also —% <3 2! — ^ + n ist, erkennt man \»—I n / so: Dieser imaginäre Teil der Reihensumme ist nach (3) gleich einem der Werte von arc -—also = y> + 2kn, wenn rp den Hauptwert dieses Arcus bedeutet. Dieser Hauptwert ip 71 7t genügt aber für | z | < 1 der Bedingung — — < ip < + — . 2 a Für z = 0 liefert die Reihe nun gewiß den Hauptwert Log 1; es muß also k = 0 genommen werden. Und da sich J? in | z | < 1 stetig mit z ändert, so muß dauernd k — 0 sein. Aus (6) folgt noch, indem man z durch — z ersetzt und das Vorzeichen wechselt: (9) + = + |«|<1. Die Summe der Reihen (6) und (9) liefert schließlich noch die Reihe ** zs (10) Logl±i = 2 + + + 1 •"* z * T T Wir bestimmen endlich noch die Ableitung der Logarith- musfunktion. Ist z im Innern der wie oben aufgeschnittenen Ebene gelegen, so ist für alle hinreichend kleinen h =j= 0

Log (z + h) — Log z= Log (l + y)

h l zur Abkürzung — = h', so wird z Log (z + h) — Log z 1 Log (1 + h')

h eh' Die Reihe (9) lehrt aber, daß für A'-<-0 der letzte Quotient ») SsS auch diese B«lhe den links stehenden Hauptwort darstellt, bedarf einer kleinen Überlegung, die wir dem Leser überlassen. 136 13. Kapitel. Der Logarithmus. 1 strebt. Also ist im Innern der aufgeschnittenen Ebene überall d Log z 1 ...... „ , . , d log * 1 —, = — und somit für alle z 4= 0 auch 2— — —. dz z dz z

§ 46. Die zyklometrischen Funktionen. Eine entsprechende „Umkehrung", wie sie im vorigen Paragraphen mit der Exponentialfunktion vorgenommen wurde, kann man auf Grund der Ergebnisse in den §§ 42, 43 auch mit den trigonometrischen Funktionen vornehmen. Das führt zu den zyklometrischen Funktionen. Wir be- schränken uns auf die Umkehrung von sin z und tg z. L Die Gleichung sin w = z hat nach § 42,6 und 7 bei beliebig gegebenem z unendlich viele Lösungen w. Ist w* eine bestimmte derselben, so sind alle übrigen in den beiden Formeln (l)w* + 2toi und n — w* + 2kn, (fc= 0, ± 1, ± 2,...), enthalten. Hieraus schließt man leicht, daß es unter diesen Werten immer genau einen gibt, der in dem Streifen

(2) -I^SR^^+I liegt, wofern man von diesem noch den unterhalb der Achse des Reellen gelegenen Teil des Randes wegläßt (s. Fig. 2S). In diesem Sinne besitzt also die sin- Funktion eine eindeutige Umkehrung; man bezeichnet sie mit (3) w =tarc sin«, genauer als den Hauptwert dieser ? Funktion, alle anderen Werte (1) als deren Nebenwerte. Da (vgl. § 42, 7) die Gleichung sin w — z mit der Glei- ng. 23. chung eiu — tz + —z1 gleichbe- § 46. Die zyklometrischen Funktionen. 137 deutend ist, so ist (4) arc sin 2=-r-log (¿2+j/l— 2*). Doch ist diese Gleichung wieder so zu verstehen, daß jeder Wert der einen Seite unter den Werten der anderen Seite enthalten ist. Wie sich also sin 2 durch die Exponentialfunk- tion ausdrücken läßt, so läßt sich umgekehrt aresin2 im wesentlichen durch die Logarithmusfunktion ausdrücken. Genau entsprechende Erwägungen wie in § 42 lehren nun, daß die aus dem Beeilen her bekannte Reihenentwicklung der reellen arc sin-Funktion auch im Komplexen gültig bleiben muß. Es ist also für | 21 < 1 , 1 «s , 1*3 »s , 1.3.5 #T , arc sin «=«.-)— • — 4- »— 4- . — +••«, (5) 2 3 2*4 5 2«4«6 ' (I»I<1)> und zwar stellt auch diese Reihe gerade den Hauptwert unserer Funktion dar. Denn das ist nach dessen Erklärung dann und nur dann der Fall, wenn die Reihensumme (5) einen 7t Realteil hat, dessen Betrag < — ist. Es ist aber tatsächlich a I5R Kt + ") = arc sin 121 < arc sin 1 = —. u Aus dem Reellen weiß man überdies, daß die Darstellung (5) auch noch für 2 = + 1 richtig ist, daß also 71 11 1*31 (6) 2 = 1+2-3+2-4-5+-" ist. IL Die Gleichung tg w = 2 hat nach § 43,4 bei belie- big gegebenem z ± t stets genau eine Lösung w mit 71 71 —2<31(W) = Y- 138 13. Kapitel. Der Logarithmus. Man bezeichnet sie als den Hauptwert der Funktion (7) W = arc tg z. Alle übrigen Lösungen derselben Gleichung, die aus der Haupt- lösung durch Addition beliebiger ganzzahliger Vielfacher von 7t entstehen, bilden die Nebenwerte dieser Funktion. Da die Gleichung tg w = z mit der Gleichung 1 ei»-ri» , „. l + »z — 5-= « oder eZw= , . i e»" + eH» 1—iz gleichbedeutend ist, so hat man in

(8) tc=arctg2=-log1—Vg eine Darstellung der arc tg-Funktion durch den Logarithmus. Die Gleichung (8) ist natürlich wieder so zu verstehen, daß jeder Wert der einen Seite unter den Werten der anderen Seite enthalten ist. Endlich lehren die gleichen Erwägungen wie in den voran- gehenden Fällen, daß für | z | < 1 gi ¿i (9) arctgar = *-j + + (|*|<1), ist, — eine Entwicklung, die man gemäß (8) auch sofort aus der Entwicklung § 45 (10) herleiten kann. Diese Her- leitung lehrt auch, daß die Reihe in (9) gerade wieder den Hauptwert von arc tg 2 darstellt. Denn diese Reihe entsteht, wenn (vgl. (8)) in

W=il0g(l+t2) + il0g1-^ für die Logarithmen rechter Hand die Reihen (6) bzw. (9) aus § 45 benutzt werden. Da diese eine Summe haben, deren 71 7t Imaginärteil zwischen ——und + — liegt, so hat die Reihe a o 7t 7t in (9) einen Realteil, der ebenfalls zwischen — — und + — 2 u liegt. § 47. Die Binomialreihe und die allgemeine Potenz. 139 § 47. Die Binomialreihe nnd die allgemeine Potenz. Im Beeilen versteht man unter der Binomialreihe die Reihe (i) »-o W 1.2

^ 1.2...» ^ ' Sie ist, wie das Quotientenkriterium mühelos lehrt, für |a;| < 1 konvergent; « darf dabei eine beliebige reelle Zahl bedeuten. Die Summe dieser Reihe ist die im Reellen völlig eindeutig (als positiver Wert) definierte Potenz (2) (1 + xf der für [ x| <1 positiven Basis (1 + x) zum Exponenten«. Wir werden sehen, daß auch diese Tatsachen im wesentlichen erhalten bleiben, wenn wir für x und « komplexe Zahlen zulassen. Dazu bedarf es zunächst der folgenden Erklärung. Ist b eine von Null verschiedene und a eine ganz beliebige komplexe Zahl, so versteht man unter der (all- gemeinen) Potenz ft° jeden der durch die Formel (3) ba = eal9tb gelieferten Werte. Als Hauptwert von b" bezeichnet man den- jenigen der Werte (3), den man erhält, wenn dort für log b dessen Hauptwert genommen wird. So ist z. B. .» »log» —iL—afcji

Unter diesen nunendlic h vielen (sämtlich reellen 1) Werten von t4 ist e 2 der Hauptwert1). l) Ohne Begründung sei hervorgehoben, daß fSr die oben erklärte all- gemeine Potenz die alten Bechenregeln b*. ba' - ba+a' nnd (ft0)«' 6°°' 140 13. Kapitel. Der Logarithmus. Nun ist im Reellen für | x| < 1 und reelles » einerseits « «logU+i) + + (1 + x) — e • = e v 2 3 andererseits

Das bedeutet aber: Wenn man in die Exponentialreilie für e' die Reihe y — tx^x — ^H ) einsetzt und gemäß § 30 nach Potenzen von x ordnet, so erhält man die Binomialreihe. Dieses rein formale Rechnen bleibt natürlich auch richtig, wenn « und z komplexe Zahlen bedeuten. Setzt man also die für |2|<1 absolut konvergente Potenzreihe / 2* z3 \ (4) w = «I« — j + j h • • • I. (« beliebig komplex), deren Wert dann der mit « multiplizierte Hauptwert von log (1 + z) ist, in die Exponentialreihe für ew ein und ordnet nach Potenzen von z, so muß sich wieder die Binomalreihe

, a(a — 1)... ( ' • —• •• IUI III IP 1 I •• «»» X | f t ^ 1.2...» T ergeben, und deren Summe muß der Hauptwert von

(6) (l + 2f sein, — wofern nur die ausgeführte Umordnung im Sinne des § 30 erlaubt ist. Das ist aber gewiß der Fall, da die Ex- ponentialreihe beständig konvergiert und die Reihe (4) für ¡¿| < 1 konvergent bleibt, wenn alle ihre Summanden durch lieht mehr gelten, — nicht einmal In dem erweiterten Sinne, daB jeder Wext der einen Seite unter den Werten der anderen Seite enthalten Ist. Vielmehr •teilt hier in beiden Oleiehongen die linke Seite mehr Werte dar als die rechte. §47. Die Binomialreihe und die allgemeine Potenz. 141 deren Beträge ersetzt werden1). Also stellt die Reihe (ö) für alle | z \ < 1 und beliebige komplexe » den Hauptwert der Potenz (6) dar, — dieser ist als Funktion von z in die Potenzreihe (5) entwickelbar.

') Hieran« folgt von selbst, daß die Binomialreihe für | z | < 1 absolut konvergiert. Dies erkennt man auch direkt ganz leicht mit Hilfe des Qnotlenten- kriteriums, da für n -* • lUO'-MMH^-h*' strebt und 1z1 < 1 sein soll. Register.

Abbildung 42 ff., 57 ff., Cardano 19 Fast alle 79 68 ff. Caochy 78 Fixpunkte 53, 61 —, degenerierte 49 —sches Konvergenzprin- Fliehe eines Kreises 40 —, durch reziproke Ra- zip 7», 83 Formales Rechnen 11, 19, dien 63 Produkt 88 20, 31 —, konforme 108 ff. cos 2 124 ff. Fortsetzung Ins Kom- Abgeleitete Reihe 92 Hof z 131 plexe 118 Abgeschlossen 73, 76 ctg 2 128 ff. Fundamentalbereloh 121 Ableitung 100,102,109 Fundamentalsatz d. Al- —en hSh. Ordnung 102 gebra 20,116 Darstellung durch Fotenz- Funktion 48, 95 Absolute Konvergenz 84 ff. relhen 102 ff. Absoluter Betrag 23, 39f. —, analytische 107 —, geometrische 37 —, ganze 118, 124, 131 Abstand 28 —, kartesische 35 Abz&blbar 78 —, ganze rationale 116 —, trigonometrische 36 —, gebrochene lineare 51 Achsen 15,23 Dedeklndscher Schnitt 12 Addition 8, 9, 16, 26 —, gerade 124 —, geometrische 17 — Hauptsatz 13 —, hyperbolische 131 Additionstheoreme 119, Deflnltionsbereich 95 —, lineare 48 ff. 125 Diametral 64 —, mittelbare 95 Differentialquotient 100, —, rationale 96,116 Ähnlich, In den kleinsten 109 —, trigonometrische Teilen 111 Differenz 9,15,27 Ahnllchkeltsabbildung 50 Differenzlerbarkelt 100 124 ff. Analytlsoh 107 Distributionsgesetz 10 —, ungerade 124 Aneinanderfügen 16, 17 Divergent 80, 83 —, zyktometrlsche 136 IT. Anordnung 8 Division 10, 16, 28, 37 f. Funktionentheorie 6 —, geometrische 7 arc sin z 136 — von Potenzreihen 93 arc tg z 138 DoppelverhAltnlsse 67 ff. Arcus 24 Drehstreckung 49 flaui), C. F. 21,33 Argand, I.-R., 21 Drehung 16, 37, 50 —«che Zahlenebene 23 Argument 24, 95 Dreieoksunglelchung 35, Gebiet 107 Assoziation bei Seihen 88 Gebiets treue 66 Assoziationsgesetz 9,10 39 Geometrische Reihe 89 Ausdruck, rationaler 32 Geordnet 8, 15, 16, 73 &u8eres eines Kreises 66 Eigentliche Ebene 47 Gitterpunkte 71 — Punkte 47 Gleichheit 8, 26 Bedingt konvergent 84 Einheitskreis 40 Glieder 77.83 Bernoullische Zahlen 123 Elnzlgkeltssatz 13 Goniometrie 125 Beschränkt 72, 73, 76 Elemente 71 Grenze, untere, obere 74, Beständig konvergent 90 Elliptische Abbildung 61 81 Betrag, absoluter 23, 39f. Entgegengesetzt 24, 28 Grenzwert 79 BUdpunkt 108 Entwicklung in Potenz- —e von Funktionen 96ff. Binomlalrelhe 139 f. reihen 102 ff. Grundgesetze d. Arithme- Binomischer Lehrsatt 31 Erweiterung des Zahlen- tik 8 ff. Bolzano-WelerstraCscher systems 32 f. Gruppe 61 Satz 72, 76, 7» Euler 21, 33,124 —sehe Formeln 124 Exponentialfunktion 90, Halbachsen 23 Cantor-Dedekindsches U8ff. Halbebenen 27 Axiom 14 Hamilton, W. R., 21 Cardanlsche Formel 20 H&ufongsgrenze 75, 81 Register. 143 H&ufhngspunkt 72, 78 Mittelbare Funktion 05, Beeile Achse 23 Htuftmgswert 78 102 Beeller TeU 23 Hauptllmltea 76, 81 Molvresche Formel 36 Regulär 107 Hauptwert 18, 24, 115, Monoton fallend, wach- Belhen, unendliche 83 ff. 132, 136 f. send 82 Bein imaginär 23 Hyperbolische Abbildung Monotoniegesetz 0,10 Bezlprok 38 «1 Multiplikation 8, 0,15, 28, Blchtungsfaktor 86 — Funktionen 131 37 f. BichtnngBwinkel 18 Blemann 45, 46, 113 < 33 Nirgends konvergent 90 —sehe Flache 113 Identisch konstant 49, Normalform 63 08 Kuli 8,28 Schräglinien, Anordnung Identität 40 Nullfolge 80 nach 87 Identltttssati für Potenz- Nullpunkt 23 Schranke 72 ff. reihen 103 Nullstelle 116 sin z 124 ff. Imaginäre Achse 23 Nullvektor 15,17 Sin z 131 —r TeU 23 Spaltenreihen 89 Innerer Punkt 73 Offen 73, 76 Spiegelbildlich 24 Inneres eines Kreises 66 Ordnung e. Nullstelle 116 Spiegelung 62, 63, 66 Intervall 70 Orthogonalkreis 55, 57 Stereographische Projek- —schachtelnng 82 Ortsgebunden 17 tion 42 ff. Invariant 67 Stetigkeit 00,100 Invers 68 Parabolische Abbildung 64 SteÜgkeltssatz 13,14 Inversion 63 Parallelogramm d. Kr&fte Streben gegen 79 Involntorlsch 54 17 Streckung 16,37, 50 Irreell 23 Parallelverschiebung 49 Subtraktion 9, 26 Summe 9, 27, 83 Isolierter Paukt 72 Periode 120,125 Isomorph 33 Periodenstreifen 126, 129 Polarkoordinaten 17 Taylorsche Reihe 106 Polynome 115 Teilbrfiche 117 K artesische Darstellung Potenz 31,111,189 tg z 128 ff. 35 Potenzreihen 89ff., 102ff. Transformation, lineare, — Koordinaten 16 Produkt 0, 29 49 Kettenregel 102 Produktdarstellung 116 Translation 49 Kommutatlonsgesets 9,10 Produktreihe 87 Trigonometrische Darstel- Komplement&nxienge 72 Projektion, stereographi- lung 35 Komponenten 16 sche 42 ff. Konform 111 Punktfolge s. Zahlen- Umgebung 41 Konjugiert 24 folge Umlegung d. Winkel 63 Konvergent 70, 83 Punktmenge 71 ff. Umordnung 86 Konvergenz kreis 00 —, reelle 73 Cmordnungssatz, großer Konvergenzkriterien 84 ff. 88 Konvergenzradius 90 f. Quadraten, Anordnung Unelgentlioher Punkt 47 Koordinaten 15,16 nach 87 Unendlich 47 Kreisverwandt 43, 54 f. Quotient 10, 30 Ungleichheit 26 Quotientenkriterium 85 Ungleichungen 38 ff. Leere Menge 71 Radiusvektor 17 Variabilltltsberelch 95 Limes, unterer, oberer Band 40 Variable 05 75f-, 81 Bandpunkt 73 Vektor 15 ff. Logarithmus 132 ff. Bechenoperationen, ratio- Vektoraddition 17, 27 Loxodromisch 64 nale 32 Veränderliche 06 Bechenregeln,, abgeleitete Vergleichskriterium 84 Majorantenkriterium 84 11, 31 Verknüpfungen 8 MaBstabstreu 110 Rechnen mit Grenzwerten Vertauschbar 50 Motrlzenglelchung 59 80, 85, 97 VerzweigungBpunkt 113 Mehrdeutig 115 Reell 23 Vollst&ndlgkeitssatz 13 144 Register. w-Ebene, w-Kugel 48 Zahlen 10,11, 22 Zahlenfolge, reelle 81 Wart einer Kelhe 83 —, gebrochene 8 Zahlengeräde 11, 12, 13 Wertevorrat 95 —, Irrationale 12 Zahlenkngel 7, 45 ff. Wamel, C., 21 —, komplexe 6, 21 ff. Zahlenmenge s. Punkt- Wlndnngsponkt 118 —, natürliche 8 menge Winkeltreu 43, S5f., 110 —, negative 8 Zahlenpaare 22 Wnnel 111,114f. —, rationale 8 r-Ebene, 2-Kugel 48, 49 — e. Polynoms 116 —-, reelle 11,12 Zeilenreihen 88 Wunelkritertam 85 Zahlenebene 7, 23,26 Zusammenhängend 107 Zahlenfolge 77 Zweidimensional 16 SAMMLUNG GÖSCHEN

GESAMTVERZEICHNIS

Jeder Band DM 3,60 - Doppelband DM 5,80 Dreifachband DM 7,80

Frühjahr 1966

WALTER DE GRUYTER & CO • BERLIN 30 Inhaltsübersicht

Biologie 16 Musik . . 5 Botanik 17 Orientalistik . . 9 Chemie 15 Pädagogik . . 3 Deutsche Sprache u. Literatur 7 Philosophie . . 3 Elektrotechnik 20 Physik . . 14 Englisch 8 Psychologie . . 3 Erd- u. Länderkunde .... 10 Publizistik Geologie 18 Religion . . 4 Germanisch 8 Romanisch . . 8 Geschichte 5 Slavische Sprachen . . . . 9 Griechisch 9 Soziologie Hoch- u. Tiefbau 23 Statistik Indogermanisch 8 Technik Kartographie 10 Technologie . . 16 Kristallographie 18 Volkswirtschaft ...... 10 Kunst 5 Vermessungswesen . . . . . 22 Land- u. Forstwirtschaft . . 18 Wasserbau . . 23 Lateinisch 9 Zoologie . . 17 Maschinenbau 20 Autorenregister . . . . . 31 Mathematik 12 Bandnummernfolge . . . . 24 Mineralogie 18 Geisteswissenschaften Philosophie Einführung In die Philosophie von H. Leisegang t. 5. Auflage. 146 Sei- ten. 1963.(281) Hauptprobleme der Philosophie von G. Simmel f. 8., unveränderte Auflage. 177 Seiten. 1964. (500) Geschichte der Philosophie I: Die griechische Philosophie von W.Capelle. l.Teil. Von Thaies bis Leukippos. 3., erweiterte Auflage. Etwa 135 Seiten. 1966. (857) II: Die griechische Philosophie von W. Capelle."2.Teil. Von der Sophistik bis zum Tode Piatons. 3., stark erweiterte Auf- lage. Eiwa 144 Seiten. 1966. In Vorbereitung (858) III: Die griechische Philosophie von W.Capelle. 3. Teil. Vom Tode Piatons bis zur Alten Stoa 2., stark erweiterte Auflage. 132 Seiten. 1954. (859) IV: Die griechische Philosophie von W.Capelle. 4. Teil. Von der Alten Stoa bis zum Eklektizismus im 1. Jh. v. Chr. 2., stark erweiterte Auflage. 132 Seiten 1954. (863) V: Die Philosophie des Mittelalters von J. Koch. In Vor- bereitung. (826) VI: Von der Renaissance bis Kant von K. Schilling. 234 Seiten. 1954. (394/394a) VII: Immanuel Kant von G. Lehmann. In Vorbereitung. (536) VIII: Die Philosophie des 19. Jahrhunderts von O.Lehmann. 1. Teil. 15 Seiten. 1953. (571) IX: Die Philosophie des 19. Jahrhunderts von G.Lehmann. 2. Teil. 168 Seiten. 1953. (709) X: Die Philosophie im ersten Drittel des 20. Jahrhun- derts l.Teil von G. Lehmann. 128 Seiten. 1957. (845) XI: Die Philosophie im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts 2. Teil von G. Lehmann. 114 Seiten, i960. (850) Die geistige Situation der Zelt (1931) von K. Jaspers. 6. Abdruck der im Sommer 1932 bearbeiteten 5. Auflage. 211 Seiten. 1965. (1000) Erkenntnistheorie von G. Kropp. l.Teil: Allgemeine Grundlegung. 143 Seiten. 1950. (807) Formale Logik von P. Lorenzen. 3., verbesserte Auflage. Etwa 165 Sei- ten. 1966. (1176/1176a) Philosophisches Wörterbuch von M. Apel f. 5., völlig neu bearbeitete Auflage von P. Ludz. 315 Seiten. 1958. (1031/1031 a) Philosophische Anthropologie. Menschliche Selbstdeutung in Geschichte und Gegenwart von M. Landmann. 2., durchgesehene Auflage. 223 Seiten. 1964. (156/156a) Pädagogik, Psychologie, Soziologie Geschichte der Pädagogik von Herrn. Weimer 17. Auflage von Heinz Weimer. 184 Seiten. 1966. (145,145a) Therapeutische Psychologie. Ihr Weg durch die Psychoanalyse von W. M. Kranefeldt. Mit einer Einführung von C. G. jung. 3. Auf- lage. 152 Seiten. 1956. (1034) 3 GEISTESWISSENSCHAFTEN Allgemeine Psychologie von Th. Erismann f. 4 Bände. I: Grundprobleme. 3. Auflage. 146 Selten. 1965. (831) II: Grundarten des psychischen Geschehens. 2., neubear- beitete Auflage. 248 Seiten. 1959. (832/832a) III: Experimentelle Psychologie und ihre Grundlagen. 1. Teil. 2., neubearbeitete Auflage. 112 Seiten, 7 Abbildungen. 1962.(833) IV: Experimentelle Psychologie und ihre Grundlagen. 2. Teil. 2., neubearbeitete Auflage. 199 Seiten, 20 Abbildungen. 1962. (834/834a) Soziologie. Geschichte und Hauptprobleme von L. von Wiese. 7. Auflage. 176 Seiten. 1964.(101) Ideengeschichte der sozialen Bewegung des 19. und 20. Jh. von W. Hof- mann. 243 Seiten. 1962. (1205/1205a) Sozialpsychologie von P R. Hofstätter. 2. Auflage. 191 Seiten, 18 Ab- bildungen. 1964. (104/104a) Psychologie des Berufs- und Wirtschaftslebens von W. Moede f. 190 Selten, 48 Abbildungen. 1958. (851/851 a) Industrie- und Betriebssoziologie von R. Dahrendorf. 3. Auflage. 142 Sei- ten. 3 Figuren. 1965. (103) Wirtschaftssoziologie von F. Fürstenberg. 122 Seiten. 1961. (1193) Einfahrung In die Sozialethik von H.-D. Wendland. 144 S. 1963. (1203) Religion Jesus von M. Dibelius f. 3. Auflage, mit einem Nachtrag von W. G. Kümmel. 140 Seiten. 1960. (1130) Paulus von M. Dibelius t. Nach dem Tode des Verfassers herausge- geben und zu Ende geführt von W. G. Kümmel. 3., durchgesehene Auflage. 156 Seiten. 1964. (1160) Luther von F Lau 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Etwa 170 Seiten. 1966. (1187) Melanchthon von R. Sturperich. 139 Seiten. 1960. (1190) Zwlngll von F. Schmidt-Clausing. 119 Seiten. 1965. (1219) Sören Kierkegaard. Leben u.Werk von H.Gerdes. 134 Seiten. 1966.(1221) Einführung In die Konfessionskunde der orthodoxen Kirchen von K. Onasch. 291 Seiten. 1962. (1197/1197 a) Geschichte des christlichen Gottesdienstes von W. Nagel. 215 Seiten. 1962. (1202/1202a) Geschichte Israels. Von den Anfängen bis zur Zerstörung des Tempels (70 n.Chr.) von E.L. Ehrlich. 2. Auf1.1966.1 n Vorbereitung. (231 /231 a) Römische Religionsgeschichte von F. Auheim. 2 Bände. 2., umgearbei- tete Auflage. I: Grundlagen und Grundbegriffe. 116 Seiten. 1956. (1035) II: Der geschichtliche Ablauf. 164Seiten. 1956. (1052) Die Religion des Buddhismus von D. Schimgloff. 2 Bände. I: Der HeilswegdesMönchstums. 122 Selten, 11 Abbildungen, 1 Karte. 1962. (174) II: Der Heilsweg für die Welt. 129Seiten, 9 Abbildungen, 1 Karte. 1963. (770) 4 GEISTESWISSENSCHAFTEN Musik Musikästhetik von H. J. Moser. 180 Seiten. Mit zahlreichen Noten- beispielen. 1953. (344) Systematische Modulation von R. Hernried. 2. Auflage. 136 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1950. (1094) Der polyphone Satz von E. Pepping. 2 Bände. I: Der cantus-f irmus-Satz. 2. Auflage. 233 Seiten. Mit zahl- reichen Notenbeispielen. 1950. (1148) II: Übungen im doppelten Kontrapunkt und im Kanon. 137 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1957. (1164/1164a) Allgemeine Musiklehre von H. J. Moser. 2., durchgesehene Auflage. 155 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1955. (220/220a) Harmonielehre von H. J. Moser. 2 Bände. I: 109 Selten. Mit 120 Notenbeispielen. 1954. (809) II: In Vorbereitung. (810) Die Musik des 19. Jahrhunderts von W. Oehlmann. 180 Seiten. 1953. (170) Die Musik des 20. Jahrhunderts von W. Oehlmann. 312 Seiten. 1961. (171/171 a) Technik der deutschen Gesangskunst von H. J. Moser. 3., durchgesehene und verbesserte Auflage. 144 Seiten, 5 Figuren sowie Tabellen und Notenbeispiele. 1954. (576/576 a) Die Kunst des Dlriglerens von H. W. von Waltershausen t- 2., vermehrte Auflage. 138 Selten. Mit 19 Notenbeispielen 1954. (1147) Die Technik des Klavierspiels aus dem Geiste des musikalischen Kunst- werkes von K. Schubert f. 3. Auflage. 110 Seiten. Mit Notenbei- spielen. 1954. (1045) Kunst Stilkunde von H. Weigert. 2 Bände. 3., durchgesehene und ergänzte Auflage. I: Vorzeit, Antike, Mittelalter. 136 Seiten, 94 Abbildungen. 1958. (80) II: Spätmittelalter und Neuzeit. 150 Seiten, 88 Abbildungen. 1958. (781) Archäologie von A. Rumpf. 3 Bände. I: Einleitung, historischer Überblick. 143 Seiten, 6 Ab- bildungen, 12 Tafeln. 1953. (538) II: Die Archäologensprache. Die antiken Reproduktionen. 136 Seiten. 7 Abbildungen, 12 Tafeln. 1956. (539) III: In Vorbereitung. (540) Geschichte Einführung In die Geschichtswissenschaft von P. Kirn. 4., durchgesehene Auflage. 127 Seiten. 1963. (270) Einführung in die Zeitgeschichte von B. Scheurig. 101 Seiten. 1962. (1204) 5 GEISTESWISSENSCHAFTEN

Zeitrechnung der römischen Kaiserzeit, des Mittelalters und der Neuzeit für die Jahre 1—2000 n. Chr. von H. Lietzmann t. 3. Auflage, durch- gesehen von K.Aland. 130 Seiten. 1956. (1085) Kultur der Urzeit von F. Behn. '• Bände. 4. Auflage der Kultur der Urzeit Bd. 1—3 von M. Hoernes. I: Die vormetallischen Kulturen. (Die Steinzeiten Europas. Gleichartige Kulturen i> anderen Erdteilen.) 172 Seiten, 48 Ab- bildungen. 1950. (564) II: Die älteren Metallkulturen. (Der Beginn der Metall- benutzung, Kupfer- und Bronzezeit in Europa, im Orient und in Amerika.) 160 Seiten, 67 Abbildungen. 1950. (565) III: Die jüngeren Metallkulturen. (Das Eisen als Kultur- metall, Hallstatt-Latene-Kultur in Europa. Das erste Auf- treten des Eisens in den anderen Weltteilen.) 149 Seiten, 60 Abbildungen. 1950. (566) Vorgeschichte Europas von F. Behn. Völlig neue Bearbeitung der 7. Auflage der „Urgeschichte der Menschheit" von M. Hoernes. 125 Seiten, 47 Abbildungen. 1949. (42) Der Eintritt der Germanen in die Geschichte von J. Halter f. 3. Auflage, durchgesehen von H. Dannenbauer. 120 Seiten, 6 Kartenskizzen. 1957.(1117) Von den Karolingern zu den Staufern. Die altdeutsche Kaiserzeit (900—1250) von J. Haller f. 4., durchgesehene Auflage von H. Dannenbauer. 142 Seiten, 4 Karten. 1958. (1065) Von den Staufern zu den Habsburgern. Auflösung des Reichs und Emporkommen der Landesstaaten (1250 —1519) von J. Haller f. 2., durchgesehene Auflage von H. Dannenbauer. 118 Seiten, 6 Kartenskizzen. 1960. (1077) Deutsche Geschichte im Zeitalter der Reformation, der Gegenreforma- tion uncl des dreißigjährigen Krieges von F. Härtung. 2., durch- gesehene Auflage. 128 Seiten. 1963 (1105) Deutsche Geschichte von 1648—1740. Politischer und geistiger Wieder- aulbau von W. Treue. 120 Seiten. 1956. (35) Deutsche Geschichte von 1713—1806. Von der Schaffung des europäi- schen Gleichgewichts bis zu Napoleons Herrschaft von W. Treue. 168 Seiten. 1957. (39) Deutsche Geschichte von 1806—1890. Vom Ende des alten bis zur Höhe des neuen Reiches von W. Treue. 128 Seiten. 1961. (893) Deutsche Geschichte von 1890 bis zur Gegenwart von W. Treue. In Vorbereitung. (894) Quellenkunde der Deutschen Geschichte Im Mittelalter (bis zur Mitte des 15. Jahrhunderts) von K. Jacob f. 3 Bände. I: Einleitung. Allgemeiner Teil. Die Zeit der Karolinger. 6. Auflage, bearbeitet von H. Hohenleutner. 127 Seiten. 1959. (279) II: Die Kaiserzeit (911—1250). 5. Auflage, neubearbeitet von H. Hohenleutner. 141 Seiten. 1961. (280) Iii: Das Snätmittelalter (vom Interregnum bis 1500). Heraus- gegeben von F. Weden. 152 Seiten. 1952. (284) 6 GEISTESWISSENSCHAFTEN Geschichte Englands von H. Preller. 2 Bände. I: bis 1815. 3., stark umgearbeitete Auflage. 135 Seiten, 7 Stamm- tafeln, 2 Karten. 1952. (375) II: Von 1815 bis 1910. 2., völlig umgearbeitete Auflage. 118 Seiten, 1 Stammtafel, 7 Karten. 1954. (1088) Römische Geschichte von F. Altheim. 4 Bände. 2., verbesserte Auflage. I: Bis zur Schlacht bei Pydna (168 v. Chr.). 124 Seiten. 1956. (19) II: Bis zur Schlacht bei Actium (31 v. Chr.). 129 Seiten, 1956.(677) III: Bis zur Schlacht an der Milvischen Brücke (312 n. Chr.). 148 Seiten. 1958. (679) IV: Bis zur Schlacht am Yarmuk (636 n. Chr.). In Vorberei- tung. (684) Geschichte der Vereinigten Staaten von Amerika von O. Graf zu Stolberg- Wernigerode. 192 Seiten, 10 Karten. 1956. (1051/1051 a) Deutsche Sprache und Literatur Geschichte der Deutschen Sprache von H. Sperber. 5., neubearbeitete Auflage von P. von Polenz. 136 Seiten. 1966. (915) Deutsches Rechtschreibungswörterbuch von M. Gottschald f. 2., ver- besserte Auflage. 219 Seiten. 1953. (200/200a) Deutsche Wortkunde. Kulturgeschichte des deutschen Wortschatzes von A. Schirmer. 5. Auflage von W. Mitzka. 125 Seiten. 1965. (929) Deutsche Sprachlehre von W. Hofstaetter. 10. Auflage. Völlige Um- arbeitung der 8. Auflage. 150 Seiten. 1960. (20) Stimmkunde für Beruf, Kunst und Heilzwecke von H. Biehle. 111 Sei- ten. 1955. (60) Redetechnik. Einführung in die Rhetorik von H. Biehle. 2., erweiterte Auflage. 151 Seiten. 1961. (61) Sprechen und Sprachpflege (Die Kunst des Sprechens) von H. Feist. 3.Aufl. Etwa99Seiten,25Abbildungen. 1966 InVorbereitung(1122) Deutsches Dichten und Denken * on der germanischen bis zur stauflschen Zelt von H. Naumann f. (Deutsche Literaturgeschichte vom 5.—13. Jahrhundert.) 3., verbesserte Auflage. 1966 (1121) Deutsches Dichten und Denken vom Mittelalter zur Neuzelt von G. Müller (1270 bis 1700). 3., durchgesehene Auflage. 159 Seiten. In Vor- bereitung. (1086) Deutsches Dichten und Denken von der Aufklärung bis zum Realismus (Deutsche Literaturgeschichte von 1700—1890) von K. Viltor t- 3., durchgesehene Auflage. 159 Seiten. 1958. (1096) Deutsche Heldensage von H. Schneider. 2. Auflage, bearbeitet von R. Wisniewski. 148 Seiten. 1964. (32) DerNIbelunge N"t in Auswahl mit kurzem Wörterbuch von K. Langosch. 11., durcfrgesenene Auflage. 166 Seiten. 1966. (1) Kudrun und Dietrich-Epen in Auswahl mit Wörterbuch von 0. L. Jiric- zek. 6. Auflage, bearbeitet von R. Wisniewski. 173 Seiten. 1957. (10) Wolfram von Eschenbach. Parzlfal. Eine Auswahl mit Anmerkungen und Wörterbuch von H. Jantzen. 3. Auflage, bearbeitet von H. Kolb. 128 Selten. 1966. (921) 7 GEISTESWISSENSCHAFTEN Hartmann von Aue. Der arme Heinrich nebst einer Auswahl aus der „Klage" dem „Gregorius" und den Liedern (mit einem Wörter- verzeichnis) herausgegeben von F. Maurer. 96 Seiten. 1958. (18) Gottfried von Straßburg. Tristan und Isolde in Auswahl herausgegeben von F. Maurer. 2. Auflage. 142 Seiten. 1965. (22) Die deutschen Personennamen von M. Gottschald f. 2., verbesserte Auflage. 151 Seiten. 1955. (422) Althochdeutsches Elementarbuch. Grammatik und Texte von H. Nau- mann f und W. Betz. 4., verbesserte und vermehrte Auflage. 183 Seiten. 1966. In Vorbereitung. (1111/1111 a) Mittelhochdeutsche Grammatik von H. de Boor und R. Wisniewski. 4.f verbesserte und ergänzte Auflage. 150 Seiten. 1965. (1108) Indogermanisch, Germanisch Indogermanische Sprachwissenschaft von H. Krähe. 2 Bände. 4., über- arbeitete Auflage. I: Einleitung und Lautlehre. 110 Seiten. 1962. (59) II: Formenlehre. 100 Seiten. 1963. (64) Sanskrit-Grammatik mit sprachvergleichenden Erläuterungen von M. Mayrhcfer. 2., völlig neu bearbeitete Auflage. 110 Seiten. 1965. (1158/1158a) Gotisches Elementarbuch. Grammatik. Texte mit Übersetzung und Erläuterungen von H. Hempel. 4., neubearbeitete Auflage. 166 Sei- ten. 1965. (79/79 a) Altnordisches Elementarbuch. Einführung, Grammatik, Texte (zum Teil mit Ubersetzung) und Wörterbuch von F. Ranke. 3., völlig umgearb. Auflage von D. Hofmann. Etwa 180 Seiten. 1966. Im Druck. (1115/1115a) Germanische Sprachwissenschaft von H. Krähe. 3 Bände. I: Einleitung und Lautlehre. 5-, überarbeitete Auflage. 147 Seiten. 1963. (238) II: Formenlehre. 5., verbesserte Auflage. 149 Seiten. 1965. (780) III: Wortbildungslehre von W. Meid. Etwa 240 Seiten. 1966. (1218/1218a/1218b) Englisch, Romanisch .Altenglisches Elementarbuch. Einführung, Grammatik, Texte mit Über- setzung und Wörterbuch von M. Lehnert. 6., verbesserte Auflage. 178 Seiten. 1965. (1125) Historische neuenglische Laut- und Formenlehre von E. Ekwall. 4., verbesserte Auflage. 150 Seiten. 1965. (735) Englische Phonetik von H. Mutschmann t- 2. Auflage, bearbeitet von 0. Scherer. 127 Seiten. 1963. (601) Englische Literaturgeschichte von F. Schubel. 4 Bände. I: Die alt- und mittelenglische Periode. 163 Seiten. 1954. (1114) II: Von der Renaissance bis zur Aufklärung. 160 Selten. 1956.(1116) III: Romantik und Viktorianismus. 160Seiten. 1960. (1124) 8 GEISTESWISSENSCHAFTEN

Beowulf von M. Lehrteri. Eine Auswahl mit Einführung, teilweiser Übersetzung, Anmerkungen und etymologischem Wörterbuch. 3., verbesserte Autlage. 135 Seiten. 1959. (1135) Shakespeare von P. Meißner f. 2. Auflage, neubearbeitet von M. Leh- nen. 136 Seiten. 1954.(1142) Romanische Sprachwissenschaft von H. Lausberg. 4 Bände. I: Einleitung und Vokalismus. 2., durchgesehene Auflage. 211 Seiten. 1963. (128/128a) II: Konsonantismus. 2. Auflage. In Vorbereitung. (250) III: Formenlehre. 1. Teil. 99 Seiten. 1962. (1199) III: Formenlehre. 2. Teil. S. 99—260. 1962. (1200/1200a) IV: Wortlehre. In Vorbereitung. (1208) Griechisch, Lateinisch Griechische Sprachwissenschaft von W. Brandenstein. 3 Bände. I: Einleitung, Lautsystem, Etymologie. 160 Seiten. 1954. (117) II: Wortbildung und Formenlehre. 192Seiten. 1959. (118/ 118a) III: Syntax I.Einleitung. Die Flexibilien. 145 Seiten. 1966. (924/ 924a) Geschichte der griechischen Sprache. 2 Bände I: Bis zum Ausgang der klassischen Zeit von O. Hoff- mann f. 3. Auflage, bearbeitet von A. Debrunner f. 156 Seiten. 1953.(111) II: Grundfragen und Grundzüge des nachklassischen Griechisch von A. Debrunner t. 144 Seiten. 1954. (114) Geschichte der griechischen Literatur von W. Nestle. 2 Bände. 3. Auf- lage, bearbeitet von IV. Liebich. I: 144 Seiten. 1961. (70) II: 149 Seiten. 1963. (557) Grammatik der neugriechischen Volkssprache von J. Kalitsunakis. 3., wesentlich erweiterte und verbesserte Auflage. 196 Seiten. 1963. (756/756a) Neugriechisch-deutsches Gesprächsbuch von J. Kalitsunakis. 2. Auf- lage, bearbeitet von A. Steinmetz. 99 Seiten. 1960. (587) Geschichte der lateinischen Sprache von F. Stolz und A. Debrunner f. 4. Auflage, bearbeitet von W. P.Schmid. 1966. In Vorbereitung. (492/492a/708b) Geschichte der römischen Literatur von L. Bieler. 2., verbesserte Auf- lage. 2 Bände. I: Die Literatur der Republik. 160 Seiten. 1965. (52) II: Die Literatur der Kaiserzeit. 133 Seiten. 1965. (866) Orientalistik, Slavische Sprachen Die Keilschrift von B. Meissner. 3. Auflage, neubearbeitet von K. Ober- huber. Etwa 150 Seiten. 1966. (708/708a/708b) Die Hieroglyphen von A. Erman. 3. Auflage, neu bearbeitet von O. Krückmann. 1966. In Vorbereitung. (608/608a/608b) 9 GEISTESWISSENSCHAFTEN

Hebräische Grammatik von R. Meyer. 3 Bände. I: Ein leitung, Schrift-und Laut lehre. 3., neubearbeitete Auf- lage. 120 Seiten. 1966. (763/763 a/763b) II: Formenlehre und Flexionstabellen. 3. Autlage. In Vor- bereitung. (764/764a/764b) III: Satzlehre. In Vorbereitung (765/765a/765b) Hebräisches Textbuch zu G. Beer-R. Meyer, Hebräische Grammatik von R. Meyer. 170 Seiten. 1960. (769/769 a) Slavlsche Sprachwissenschaft von H. Bräuer. 2 Bände. I: Einleitung, Lautlehre. 221 Seiten. 1961. (1191/1191a) Vergleichende Geschichte der slavlschen Literaturen von D. Tschiiewskij. 2 Bände. 1966. In Vorbereitung. I: Einführung. Anfänge des slavischen Schrifttums bis zum Klassizismus. (1222) II: Romantik bis zur Moderne. (1223) Russische Grammatik von E. Berneker f. 6., verbesserte Auflage von M. Vasmer f. 155 Seiten. 1961. (66) Polnische Grammatik von N. Damerau. Etwa 140 Seiten. 1966. (942/ 942a)

Erd- und Länderkunde, Kartographie

Afrika von F. Jaeger. Ein geographischer Überblick. 2 Bände. 3. Auflage. I: Der Lebensraum. 179 Seiten, 18 Abbildungen. In Vorberei- tung. (910) II: Mensch und Kultur. 155 Seiten, 6 Abbildungen. In Vor- bereitung. (911) Australien und Ozeanien von H. J. Krug. 176 Seiten, 46 Skizzen. 1953. (319) Kartographie von V. Heissler. 2. Auflage. 213 Seiten, 125 Abb., 8 An- lagen. 1966. (30/30a)

Volkswirtschaft, Statistik, Publizistik

Allgemeine Betriebswirtschaftslehre von K.Mellerowlcz. 4 Bände. II. und 12., durchgesehene Auflage. I: 224 Seiten. 1964. (1008/1008 a) II: 188 Seiten. 1966. (1153/1153a) III: 260 Seiten. 1963. (U54/U54a) IV: 209 Seiten. 1963. (1186/1186a) Allgemeine Volkswirtschaftslehre von A. Paulsen. 4 Bände. I: Grundlegung, Wirtschaftskreislauf. 7. Auflage. 159 Sei- ten. 11 Abbildungen. 1966. (1169) II: Haushalte, Unternehmungen, Marktformen. 7. Auflage. 172 Seiten. 31 Abbildungen. 1966. (1170) III: Produktionsfaktoren. 4. Auflage. 198 Seiten, 24 Abbildun- gen. 1965. (1171) IV: Gesamtbeschäftigung, Konjunkturen, Wachstum. 4., neubearbeitete und ergänzte Auflage. 188 Seiten. 1966.(1172) 10 GEISTESWISSENSCHAFTEN Geschichte der Volkswirtschaftslehre von S. Wendt. 182 S. 1961. (1194) Allgemeine Volkswirtschaftspolitik von H. Ohm. 2 Bände. I: Systematisch-Theoretische Grundlegung. 2., verbesser- te und ergänzte Auflage. 137 Seiten, 6 Abbildungen. 1965. (1195) II: Der volkswirtschaftliche Gesamtorganismus als Ob- jekt der Wirtschaftspolitik. In Vorbereitung. (1196)' Finanzwissenschaft von H. Kolms. 4 Bände. I: Grundlegung, öffentliche Ausgaben. 3., verbesserte Auf- lage. 159 Seiten. 1966. (148) II: Erwerbseinkünfte, Gebühren und Beiträge, Allge- meine Steuerlehre. 3., verbesserte Auflage. 148 Seiten. 1966. In Vorbereitung (391) III: Besondere Steuerlehre. 178 Seiten. 1962. (776) IV: öffentlicher Kredit, öffentlicher Haushalt. Finanz- ausgleich. 191 Seiten. 1964. (782/782a) Finanzmathematik von M.Nicolas. 192 Seiten, 11 Tafeln, 8 Tabellen und 72 Beispiele. 1959. (1183/1183a) Buchhaltung und Bilanz von E. Kosiol. 170 Seiten. 1964. (1213/1213a) Industrie- und Betriebssoziologie von R. Dahrendorf. 3. Auflage. 142 Seiten, 3 Figuren. 1965. (103) Wirtschaftssoziologie von F. Fürstenberg. 122 Seiten. 1961. (1193) Psychologie des Berufs- und Wirtschaftslebens von W. Moedef. 190 Sei- ten, 48 Abbildungen. 1958. (851 /851a) Einführung in die Arbeltswissenschaft von H. H. Hilf. 169 Seiten, 57 Ab- bildungen. 1964. (1212,'1212a) Allgemeine Methodenlehre der Statistik von J. Pfanzagl. 2 Bände. I: E.ementare Methoden unter besonderer Berücksich- tigung der Anwendungen in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. 3., neubearbeitete Auflage.266Seiten, 50 Abbildungen. 1966. (746/746a) II: Höhere Methoden unter besonderer Berücksichtigung der Anwendungen in Naturwissenschaften, Medizin und Technik. 2., verbesserte Auflage. 315 Seiten, 41 Abbil- dungen. 1966. (747/747 a) Zeltungslehre von E. Dovifat. 2 Bände. 4., neubearbeitete Auflage. I: Theoretische und rechtliche Grundlagen — Nachricht und Meinung — Sprache und Form. 149 Seiten. 1962. (1039) II: Redaktion — Die Sparten: Verlag und Vertrieb, Wirtschaft und Technik — Sicherung der öffentlichen Aufgabe. 168 Seiten. 1962. (1040)

11 Naturwissenschaften

Mathematik

Geschichte der Mathematik von J. E. Hofmann. 4 Bände. I: Von den Anfängen bis zum Auftreten von Fermat und Descartes. 2., verbesserte und vermehrte Auflage. 251 Seiten. 1963. (226/226a) II: Von Fermat und Descartes bis zur Erfindung des Calculus und bis zumAusbau der neuen Methoden. 109 Seiten. 1957. (875) III: Von den Auseinandersetzungen um den Calculusbis zur französischen Revolution. 107 Seiten. 1957. (882) IV: Geschichte der Mathematik der neuesten Zeit von N. Sluloff. In Vorbereitung. (883) Mathematische Formelsammlung von F. O. Ringleb. 8., erweiterte Auf- lage. Etwa 320 Seiten. 40 Figuren. 1966. (51/51 a) Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für logarithmisches und trigono- metrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt von H. Schu- bert und R. Haussner. 3., neubearbeitete Auflage von J. Erlebach. 158 Seiten. 1960. (81) Fünfstellige Logarithmen mit mehreren graphischen Rechentafeln und häufig vorkommenden Zahlenwerten von A. Adler. 4. Auflage, überarbeitet von J. Erlebach. 127 Seiten, 1 Tafel. 1962. (423) Arithmetik von P. B. Fischer f. 3. Auflage von H. Rohrbach. 152 Seiten, 19 Abbildungen. 1958. (47) Höhere Algebra von H. Hasse. 2 Bände. I: Lineare Gleichungen. 5., neubearbeitete Auflage. 150 Seiten. 1963.(931) II: Gleichungen höheren Grades. 4., durchgesehene Auflage. 158 Seiten, 5 Figuren. 1958. (932) Aufgabensammlung zur höheren Algebra von H. Hasse und W. Klobe. 3., verbesserte Auflage. 183 Seiten. 1961. (1082) Elementare und klassische Algebra vom modernen Standpunkt von W. Krull. 2 Bände. I: 3., erweiterte Auflage. 148 Seiten. 1963. (930) II: 132 Seiten. 1959. (933) Lineare Programmierung von H. Langen. Etwa 200 Seiten. (1206/1206a) Algebraische Kurven und Flächen von W. Burau. 2 Bände. I: Algebraische Kurven der Ebene. 153 Seiten, 28 Abbil- dungen. 1962. (435) II: Algebraische Flächen 3. Grades und Raumkurven 3. und 4. Grades. 162 Seiten, 17 Abbildungen. 1962. (436/436a) Einführung in die Zahlentheorie von A. Scholz f. Uberarbeitet und herausgegeben von B. Schoeneberg. 4. Auflage. Etwa 128 Seiten. 1966. (1131) Formale Logik von P. Loremen. 2., verbesserte Auflage. Etwa 165 Seiten. 1962. (1176/1176a) 12 NATURWISSENSCHAFTEN

Topologle von W Franz. 2 Bände. I: Allgemeine Topologie. 2., verbesserte Auflage. 144Seiten, 9 Figuren. 1965. (1181) II: Algebraische Topologie. 153 Seiten. 1965. (1182/1182a) Elemente der Funktionentheorie von K. Knopp t. 7. Auflage. 144 Seiten, 23 Figuren. 1966. (1109) Funktionentheorie von K. Knopp t. 2 Bände. 11. Auflage. I: Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen. 144Selten, 8 Figuren. 1965. (668) II: Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie. 130Seiten, 7 Figuren. 1965. (703) Aufgabensammlung zur Funktionentheorie von K. Knopp t. 2 Bände. I: Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie. 7. Auf- lage. 135 Seiten. 1965. (877) II: Aufgaben zur höheren Funktionentheorie. 6. Auflage 151 Seiten. 1964. (878) Differential- und Integralrechnung von M. Barner. (Früher Witting). 4 gände. I: Grenzwertbegriff, Differentialrechnung. 2., durchge- sehene Auflage. 176 Seiten, 39 Figuren. 1963. (86) Gewöhnliche Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 7 , neubearbeitete und erweiterte Auflage. 142 Seiten. 1965. (920/920a) Partielle Differentialgleichungen von Q. Hoheisel. 4., durchgesehene Auflage. 128 Seiten. 1960. (1003) Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differential- gleichungen von G. Hoheisel. 4., neubearbeitete Auflage. 153 Seiten. 1964. (1059/t059a) Integralgleichungen von G. Hoheisel. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 112 Seiten. 1963. (1099) Mengenlehre von E. Kamke. 5. Auflage. 194 Seiten, 6 Figuren. 1965. (999/999 a) Gruppentheorie von L. Baumgartner. 4., erweiterte Auflage. 190 Seiten, 3 Tafeln. 1964. (837/837 a) Ebene und sphärische Trigonometrie von G. Hessenbergt. 5. Auflage, durchgesehen von H. Kneser. 172 Seiten, 60 Figuren. 1957. (99) Darstellende Geometrie von W. Haack. 3 Bände. I: Die wichtigsten Darstellungsmethoden. Grund- und Aufriß ebenflächiger Körper. 5. Auflage. 113 Seiten 120 Abbildungen. 1965. (142) II: Körper mit krummen Begrenzungsflächen. Kotierte Projektionen. 4., durchgesehene Auflage. 129 Seiten, 86 Ab- bildungen. 1965. (143) III: Axonometrie und Perspektive. 3. Auflage. 129 Seiten, 100 Abbildungen. 1965. (144) Analytische Geometrie von K. P. Grotemeyer. 3., neubearbeitete Auf- lage. 218 Seiten, 73 Abbildungen. 1964. (65/65a) Nichteuklidische Geometrie. Hyperbolische Geometrie der Ebene von R.Baldust. 4. Auflage, bearbeitet und ergänzt von F. Löbell. 158 Seiten, 75 Figuren. 1964. (970/970a)

13 NATURWISSENSCHAFTEN Differentialgeometrie von K. Strubecker. 3 Bände. I: Kurventheorie der Ebene und des Raumes. 2., erweiterte Auflage. 253 Seiten, 45 Figuren. 1964. (II 13/1113a) II: Theorie der Flächenmetrik. 195 Seiten, 14 Figuren. 1958. (1179/1179a) III: Theorie der Flächenkrümmung. 254 Seiten, 38 Figuren. 1959. (1180/1180a) Variationsrechnung von L. Koschmieder. 2 Bände. 2., neubearbeitete Auflage. I: Das freie und gebundene Extrem einfacher Grund- integrale. 128 Seiten, 23 Figuren. 1962. (1074) II: Anwendung klassischer Verfahren auf allgemeine Fragen des Extrems. — Neuere unmittelbare Ver- fahren. In Vorbereitung. (1075) Einführung In die konforme Abbildung von L. Bieberbach. 6. Auflage. Etwa 180 Seiten, 42 Figuren. 1966. In Vorbereitung. (768/768a) Vektoren und Matrizen von S. Valentiner. 3. Auflage. (10., erweiterte Auflage der „Vektoranalysis"). Mit Anhang: Aufgaben zur Vektor- rechnung von H. König. 206 Seiten, 35 Figuren. 1963. (354/354a) Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der MaOtheorie von H. Bauer. 2 Bände. I: 154 Seiten. 1964. (1216/1216a) II: In Vorbereitung. (1217) Versicherungsmathematik von F. Böhm. 2 Bände. I: Elemente der Versicherungsrechnung. 3., vermehrte und verbesserte Auflage. Durchgesehener Neudruck. 151 Seiten. 1953.(180) II: Lebens' ersicherungsmathematik. Einführung in die technischen Grundlagen der Sozialversicherung. 2., verbesserte und vermehrte Auflage. 205 Seiten. 1953. (917/917a) Finanzmathematik von M.Nicolas. 192 Seiten, 11 Tafeln, 8 Tabellen und 72 Beispiele. 1959. (1183/1183a) Kinematik von H. R. Müller. 171 Seiten, 75 Figuren. 1963. (584/584a)

Physik

Einführung in die theoretische Physik von W. Döring. 5 Bände. I: Mechanik. 3., verbesserte Aufl. 125 Seiten, 23 Abb. 1965.(76) II: Das elektromagnetische Feld. 2., verbesserte Auflage. 132 Seiten, 15 Abbildungen. 1962. (77) III: Optik. 2., verbesserte Auflage. 117 Seiten, 32 Abbildungen. 1963. (78) IV: Thermodynamik. 2., verbesserte Auflage. 107 Seiten, 9 Ab- bildungen. 1964. (374) V: Statistische Mechanik. 2., verbesserte Auflage. 114 Seiten, 12 Abbildungen. 1966. (1017) Mechanik deformierbarer Körper von M. Päsler. 199 Seiten, 48 Ab- bildungen. 1960. (1189/1189a) 14 NATURWISSENSCHAFTEN Atomphysik von K. Bechert, Ch. Gerthsen t und A. Flammersfeld. 7 Bände. 4., durchgesehene Auflage. I: Allgemeine Grundlagen. 1. Teil von A. Flammersfeld. 124 Seiten, 35 Abbildungen. 1959. (1009) II: Allgemeine Grundlagen. '2. Teil von A. Flammersfeld. 112 Seiten, 47 Abbildungen. 1963. (1033) III: Theorie des Atombaus. 1. Teil von K. Bechert. 148 Seiten, 16 Abbildungen. 1963. (1123/1123a) IV: Theorie des Atombaus. 2. Teil von K. Bechert. 170 Seiten, 14 Abbildungen. 1963. (1165/1165a) Differentialgleichungen der Physik von F. Sauter. 4., durchgesehene und ergänzte Auflage. 148 Seiten, 16 Figuren. 1966. (1070) Physikalische Formelsammlung von G. Mahler. t. Fortgeführt von K. Mahler. Neubearbeitet von H. Oraewe. 11. Auflage. 167 Seiten, 69 Figuren. 1963. (136) Physikalische Aufgabensammlung mit Ergebnissen von G. Mahler t. Fortgeführt von K. Mahler. Neubearbeitet von H. Graewe. 12. Auf- lage. 141 Seiten. 1964. (243) Chemie

Geschichte der Chemie In kurzgefaßter Darstellung von G. Lockemann. 2 Bände. 2. Auflage. I: Vom Altertum bis zur Entdeckung des Sauerstoffs. 142 Seiten, 8 Bildnisse. In Vorbereitung. (264) II: Von der Entdeckung des Sauerstoffs bis zur Gegen- wart. 151 Seiten, 16 Bildnisse. In Vorbereitung (265/265a) Anorganische Chemie von W. Klemm. 13. Auflage. 255 Seiten, 34 Ab- bildungen. 1964. (37/37 a) Organische Chemie von W. Schlenk jun. 10., erweiterte Auflage. 273 Seiten, 16 Abbildungen. 1965. (38/38a) Physikalische Methoden in der Organischen Chemie von G. Kresze. 2 Bände. 1: 119 Seiten, 65 Abbildungen. 1962. (44) II: 164 Seiten. 1962. (45/45a) Allgemeine und physikalische Chemie von W. Schulze. 2 Bände. I: 6., verbesserte Auflage. 139 Seiten, 10 Figuren. 1964. (71) II: 6., verbesserte Auflage. 178 Selten, 37 Figuren. 1966. (698/698a) Molekülbau. Theoretische Grundlagen und Methoden der Struktur- ermittlung von W.Schulze. 123 Seiten, 43 Figuren. 1958. (786) Einfache Versuche zur allgemeinen und physikalischen Chemie von E. Dehn. 371 Versuche mit 40 Abbildungen. 272 Seiten. 1962. (1201/1201 a) Physikalisch-chemische Rechenaufgaben von E. Asmus. 3., verbesserte Auflage. 96 Seiten. 1958. (445) Maßanalyse. Theorie und Praxis der klassischen und der elektrochemi- schen Titrierverfahren von G. Jander und K. F. Jahr. 10., er- weiterte Auflage, mitbearbeitet von H. Knoll. 358 Seiten, 56 Fi- guren. 1963. (221/221 a) 15 NATURWISSENSCHAFTEN

Qualitative Analyse von H. Hofmann u. G. Jander. 2., durchgesehene und verbesserte Auflage. 308 Seiten, 5 Abbildungen. 1963. (247/247 a) Stöchlometrische Aufgabensammlung von W. Bahrdt t und R. Scheer. Mit den Ergebnissen. 8., durchgesehene Auflage. 119 Seiten. 1964. (452) Elektrochemie von K. Vetter. 2 Bände. I: In Vorbereitung. (252) II: In Vorbereitung. (253) Kristallchemie von J. Zemann. Etwa 160 Seiten, 90 Abbildungen. 1966. In Vorbereitung. (1220/1220a) Technologie Die Chemie der Kunststoffe von K. Hamann, unter Mitarbeit von W. Funke und H. D. Hermann. 2. Aufl. 143 Seiten. 1966. In Vor- bereitung. (1173/1173a) Warenkunde von K. Hassak und E. Beutel t. 2 Bände. I: Anorganische Waren sowie Kohle und Erdöl. S.Auf- lage. Neubearbeitet von A. Kutzelnigg. 119 Seiten, 18 Figuren. 1958. (222) II: Organische Waren. 8. Auflage. Vollständig neu bearbeitet von A. Kutzelnigg. 157 Seiten, 32 Figuren. 1959. (223) Die Fette und öle von Th. Klug. 6., verbesserte Auflage. 143 Seiten. 1961. (335) Die Seifenfabrikation von K. Braun t- 3., neubearbeitete und ver- besserte Auflage von Th. Klug. 116 Seiten, 18 Abbildungen. 1953. (336) Thermische Verfahrenstechnik von H. Bock. 3 Bände. I: Eigenschaften und Verhalten der realen Stoffe. 164 Sei- ten, 28 Abbildungen. 1963. (1209/1209a) II: Funktion und Berechnung der elementaren Geräte. 195 Seiten, 54 Abbildungen. 1964. (1210/1210a) III: Fließbilder, ihre Funktion und ihr Zusammenbau aus Geräten. 224 Seiten. 67 Abbildungen. 1965. (1211/1211 a) Textilindustrie von A. Blümcke. 1: Spinnerei und Zwirnerei. 111 Seiten, 43 Abbildungen. 1954. (184) Biologie Einführung In die allgemeine Biologie und ihre philosophischen Grund" und Grenzfragen von M. Hartmann. 2., unveränderte Auflage- 132 Seiten, 2 Abbildungen. 1965. (96) Hormone von G. Koller. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 187 Seiten, 60 Abbildungen, 19 Tabellen. 1949. (1141) Fortpflanzung im Tier- und Pflanzenreich von J. Hämmerling. 2., ergänzte Auflage. 135 Seiten. 101 Abbildungen. 1951. (1138) Geschlecht und Geschlechtsbestimmung im Tier- und Pflanzenreich von M. Hartmann. 2., verbesserte Auflage. 116 Seiten, 61 Abbildungen, 7 Tabellen. 1951. (1127) 16 NATURWISSENSCHAFTEN Symbiose der Tiere mit pflanzlichen Mikroorganismen von P. Buchner. 2. verbesserte und vermehrte Auflage. 130 Seiten 121 Abbildungen. 1949. (1128) Grundriß der allgemeinen Mikrobiologie von W. u. A. Schwariz. 2 Bände. 2., verbesserte und ergänzte Auflage. I: 147 Seiten, 25 Abbildungen. 1960. (1155) II: 142 Seiten, 29 Abbildungen. 1961. (1157) Botanik Entwicklungsgeschichte des Pflanzenreiches von H. Heil. 2. Auflage. 138 Seiten, 94 Abbildungen, 1 Tabelle. 1950. (1137) Morphologie der Pflanzen von L. Geitler. 3., umgearbeitete Auflage. 126 Seiten, 114 Abbildungen. 1953. (141) Pflanzengeographie von L. Dielst. 5., völlig neu bearbeitete Auflage von F. Maltick. 195 Seiten, 2 Karten. 1958. (389/389a) Die Laubhölzer. Kurzgefaßte Beschreibung der in Mitteleuropa ge- deihenden Laubbäume und Sträucher von F.W. Neger f und E. Münch f. 3., durchgesehene Auflage, herausgegeben von B. Hu~ ber. 143 Seiten, 63 Figuren, 7 Tabellen. 1950. (718) Die Nadelhölzer (Koniferen) und übrigen Gymnospermen von F. W. Negerf und E. Münch t. 4. Auflage, durchgesehen und er-änzt von B. Huber. 140 Seiten, 75 Figuren, 4 Tabellen, 3 Karten. 1952. (355) Pflanzenzüchtung von H. Kuckuck. 2 Bände. I: Grundzüge der Pflanzenzüchtung. 3., völlig umgearbeitete und erweiterte Auflage. 132 Seiten, 22 Abbildungen. 1952. (1134) II: Spezielle gartenbauliche Pflanzenzüchtung (Züchtung von Gemüse, Obst und Blumen). 178 Seiten, 27 Abbildungen. 1957. (1178/1178a) Zoologie Entwicklungsphysiologie der Tiere von F. Seidel. 2 Bände. I: Ei und Furchung. 2. Auflage. Etwa 160 Seiten, 61 Abbil- dungen. 1966. (1162) II: Körpergrundgestalt und Organbildung. 2. Auflage. In Vorbereitung (1163) Vergleichende Physiologie der Tiere von K. Herter. 2 Bände. 4. Auflage der „Tierphysiologie". I: Stoff- und Energiewechsel. Neu bearbeitet von K. Urich. 158 Seiten, Bl Abbildungen. 1966. (972/972a) II: Bewegung und Reizerscheinungen. Neu bearbeitet von G. Birukow.'In Vorbereitung. (973) Das Tierreich I: Einzeller, Protozoen von E. Reichenow. 115 Seiten. 59 Ab- bildungen. 1956. (444) II: Schwämme und Hohltiere von H. J. Hannemann. 95 Sei- ten, 80 Abbildungen. 1956. (442) 17 NATURWISSENSCHAFTEN

III: Würmer. Platt-, Hohl-, Schnurwürmer, Kamptozoen, Ringel- würmer, Protracheaten, Bärtierchen, Zungenwürmer von S. Jaeckel. 114 Seiten, 36 Abbildungen. 1955. (439) IV, 1: Krebse von H. E. Gruner und K. Deckert. 114 Seiten, 43 Ab- bildungen. 1956. (443) IV, 2: Spinnentiere (Trilobitomorphen, Fühlerlose) und Tau- sendfüßler von A. Kaestner. 96 Seiten, 55 Abbildungen. 1955.(1161) IV, 3: Insekten von H. von Lengerken. 2., verbesserte Auflage. 140 Selten 59 Abbildungen. 1966. (594) V: Weichtiere. Urmollusken, Schnecken, Muscheln und Kopf- füßer von S. Jaeckel. 92 Seiten. 34 Figuren. 1954. (440) VI: Stachelhäuter. Tentakulaten, Binnenatmer und Pfeilwürmer von S. Jaeckel. 100 Seiten, 46 Abbildungen. 1955. (441) VII, 1: Manteltiere, Schädellose, Rundmäuler von Th. Haltenorth. In Vorbereitung. (448) VII, 2: Fische von D. Lüdemann. 130 Seiten, 65 Abbildungen. 1955.(356) VII, 3: Lurche (Chordatiere) von K. Herter. 143 Seiten, 129 Abbil- dungen. 1955.(847) VII, 4: Kriechtiere (Chordatiere) von K./iertfir.200Seiten, 142 Ab- bildungen. 1960. (447/447 a) VII, 5: Vögel (Chordatiere) von H.-A. Freye. 156 Seiten, 69 Figu- ren. 1960. (869) VII, 6: Säugetiere (Chordatiere) von Th. Haltenorth. In Vorberei- tung. (282) Land- und Forstwirtschaft Landwirtschaftliche Tierzucht. Die Züchtung und Haltung der land- wirtschaftlichen Nutztiere von H. Vogel. 139 Seiten, 11 Abbildun- gen. 1952. (228) Kulturtechnische Bodenverbesserungen von O. Fauser. 2 Bände. 5., verbesserte und vermehrte Auflage. I: Allgemeines, Entwässerung. 127 Seiten, 49 Abbildungen. 1959.(691) II: Bewässerung, Ödlandkultur, Flurbereinigung. 159 Sei- ten, 71 Abbildungen. 1961. (692) Agrikulturchemie von K. Scharrer. 2 Bände. I: Pflanzenernährung. 143 Seiten. 1953. (329) II: Futtermittelkunde. 192 Seiten. 1956. (330/330a) Geologie, Mineralogie, Kristallographie Geologie von F. Latze. 3., verbesserte Auflage. 179 Seiten, 80 Abbil- dungen. 1965. (13/13a) Mineral- und Erzlagerstattenkunde von H. Huttenlocher f. 2 Bände. 2., neubearbeitete Auflage von P. Ramdohr. I: 137 Seiten, 40 Abbildungen, 2 Tabellen. 1965. (1014/1014a) II: 135 Selten, 41 Abbildungen. 1965. (1015/1015a) 18 NATU RW ISS ENSCHAFTEN Allgemeine Mineralogie. 11., erweiterte Auflage der „Mineralogie" von R. Brauns t. neubearbeitet von K. F. Chudoba. 152 Seiten, 143 Textfiguren, 1 Tafel, 3 Tabellen. 1963. (29/29a) Spezielle Mineralogie. 11., erweiterte Auflage der „Mineralogie" von R. Brauns t, bearbeitet von K. F. Chudoba. 193 Seiten, 127 Text- figuren, 6 Tabellen. 1964. (31/31 a) Petrographle (Gesteinskunde) von W. Bruhrts t. Neubearbeitet von P. Ramdohr 6., erweiterte Auflage. Etwa 141 Seiten, 21 Figuren. 1966. (173) Krlstallchem'te von J. Zemann. Etwa 160 Selten, 90 Abbildungen. 1966. (1220/1220a) Kristallographie von W. Bruhns f. 6. Auflage, neubearbeitet von P. Ramdohr. 115 Seiten, 164 Abbildungen. 1965. (210) Einführung in die Kristalloptik von E. Buchwald. 5., verbesserte Auflage. 128 Seiten 117 Figuren. 1963. (619/619 a) Lötrohrproblerkunde. Mineraldiagnose mit Lötrohr und Tüpfelreak- tion von M. Henglein. 4., durchgesehene und erweiterte Auflage. 108 Seiten, 12 Figuren. 1962. (483)

19 Technik Graphische Darstellung In Wissenschaft und Technik von M. Pirani. 3., erweiterte Auflage bearbeitet von J. Fischer unter Benutzung der von I. Runge besorgten 2. Auflage. 216 Seiten, 104 Abbildun- gen. 1957. (728/728a) Technische Tabellen und Formeln von W. Müller. 5., verbesserte und erweiterte Auflage von E.Schulze. 165 Seiten, 114 Abbildungen, 99 Tafeln. 1962. (579) Einführung In die Arbeltswissenschaft von H. H. Hilf. 164 Seiten, 57 Abbildungen. 1964. (1212/1212a) Grundlagen der Straßenverkehrstechnik. Theorie der Leistungsfähigkeit von E. Engel. 101 Seiten, 55 Abbildungen. 1962. (1198) Elektrotechnik Grundlagen der allgemeinen Elektrotechnik von O. Mohr. 3. Auflage. 260 Seiten, 136 Bilder, 14 Tafeln. 1965. (196/196a) Die Gleichstrommaschine von K. Humburg. 2 Bände. 2., durchgesehene Auflage. I: 102 Seiten, 59 Abbildungen. 1956. (257) II: 101 Seiten, 38 Abbildungen. 1956. (881) Die Synchronmaschine von W. Putz. 92 Seiten, 64 Bilder. 1962. (1146) Induktionsmaschinen von F. Unger. 2., erweiterte Auflage. 142 Seiten, 49 Abbildungen. 1954. (1140) Die komplexe Berechnung von Wechselstromschaltungen von H. H. Meinke. 3., neubearb. Aufl. 185 S., 126 Abb. 1965. (1156/1156a) Theoretische Grundlagen zur Berechnung der Schaltgerate von F. Kessel- ring. 4. Auflage. In Vorbereitung. (711) Einführung In die Technik selbsttätiger Regelungen von W. zur Megeäe. 3., durchgesehene Aufl. 180 S., 86 Abb. 1966. In Vorb. (714/714a) Elektromotorische Antriebe (Grundlagen für die Berechnung) von A. Schwaiger. 4., neubearbeitete Auflage. In Vorbereitung. (827) Überspannungen und Überspannungsschutz von G. Frühauf. Durch- gesehener Neudruck. 122 Seiten, 98 Abbildungen. 1950. (1132) Elektrische Höchstspannungs-Schaltanlagen. Für Freiluft und Innen- anordnung von G. Meiners und K.-H. Wiesenewsky. 138 Seiten, 58 Abbildungen. 1964. (796/796a) Transformatoren von W. Schäfer. 4., überarbeitete und ergänzte Auf- lage. 130 Seiten, 73 Abbildungen. 1962. (952) Maschinenbau Thermische Verfahrenstechnik von H. Bock. 3 Bände. I: Eigenschaften und Verhalten der realen Stoffe. 164 Sei- ten, 28 Abbildungen. 1963. (1209/1209a) II: Funktion und Berechnung der elementaren Geräte. 195 Seiten, 54 Abbildungen. 1964. (1210/1210a) III: Fließbilder, ihre Funktion und ihr Zusammenbau aus Geräten. 224 Seiten, 67 Abbildungen. 1965. (121I/1211a) Technische Thermodynamik von U. Grigull. Mit 74 Abbildungen, 7 Tabellen. 1966. In Vorbereitung (1084/1084a) 20 TECHNIK

Metallkunde von H. Borchers. 3 Bände. I: Aufbau der Metalle und Legierungen. 6. Auflage. 120 Sei- ten, 90 Abbildungen, 2 Tabellen. 1964. (432) II: Eigenschaften, Grundzüge der Form- und Zustands- gebung. 5., ergänzte und durchgesehene Auflage. 182 Seiten, 107 Abbildungen, 10 Tabellen. 1963. (433/433a) III: Die metallkundlichen Untersuchungsmethoden von E. Hanke. In Vorbereitung (434) Die Werkstoffe des Maschinenbaues von A. Thum t und C. M. v. Mey- senbug. 2 Bände. I: Einführung in die Werkstoffprüfung. 2., neubearbeitete Auflage. 100 Seiten, 7 Tabellen, 56 Abbildungen. 1956. (476) II: Die Konstruktionswerkstoffe. 132 Seiten,40 Abbildungen. 1959.(936) Dynamik von W. Müller. 2 Bände. 2., verbesserte Auflage. I: Dynamik des Einzelkörpers. 128 Seiten, 48 Figuren. 1952. (902) II: Systeme von starren Körpern. 102 Seiten, 41 Figuren. 1952. (903) Technische Schwingungslehre von L. Zipperer. 2 Bände. 2., neube- arbeitete Auflage. I: Allgemeine Schwingungsgleichungen, einfache Schwinger. 120 Seiten, 101 Abbildungen. 1953. (953) II: Torsionsschwingungen in Maschinenanlagen. 102 Sei- ten, 59 Abbildungen. 1955. (961/961 a) Werkzeugmaschinen für Metallbearbeitung von K. P. Matthes 2 Bände. 1: 100 Seiten, 27 Abbildungen, 11 Zahlentafeln, 1 Tafelanhang. 1954. (561) II: Fertigungstechnische Grundlagen der neuzeitlichen Metallbearbeitung. 101 Seiten, 30 Abbildungen, 5 Tafeln. 1955.(562) Das Maschinenzeichnen mit Einführung In das Konstruieren von W. Tochtermann. 2 Bände. 4. Auflage. I: Das Maschinenzeichnen. 156 Seiten, 75 Tafeln. 1950. (589) II: Ausgeführte Konstruktionsbeispiele. 130 Seiten, 58 Ta- feln. 1950. (590) Die Maschinenelemente von E. A. vom Ende f. 4., überarbeitete Auf- lage. 184 Seiten, 179 Figuren, 11 Tafeln. 1963. (3/3a) Die Maschinen der Eisenhüttenwerke von L. Engel. 156 Seiten, 95 Ab- bildungen. 1957. (583/583a) Walzwerke von H. Sedlaczek t unter Mitarbeit von F. Fischer und M. Buch. 232 Seiten, 157 Abbildungen. 1958. (580/580a) Getriebelehre von P. Qrodzinski t. 2 Bände. 3., neubearbeitete Auflage von G. Lechner. I: Geometrische Grundlagen. 164 S., 131 Fig. 1960. (1061) II: Angewandte Getriebelehre. In Vorbereitung. (1062) Kinematik von H. R. Müller. 171 Seiten, 75 Figuren. 1963. (584/584a) Gießereitechnik von H. Jungbluth. 2 Bände. I: Eisengießerei. 126 Seiten, 44 Abbildungen. 1951.(1159) 21 TECHNIK Die Dampfkessel einschließlich Feuerungen und Hilfseinrichtungen. Physikalische und chemische Grundlagen, Berechnung und Kon- struktion, Vorschriften und Beispiele von W. Marcard. 3., neube- arbeitete Auflage von G. Beyer. 2 Bände. I: Physikalische und chemische Grundlagen, Wärme- lehre, Wärmeübertragung, Verbrennung. 133 Seiten, 35 Bilder, 26 Tabellen. 1964. (9/9a) II: Berechnung und Konstruktion, Dampfkessel, Hilfseinrichtungen. Feuerungen, Berechnungen. Etwa 120 Seiten, 45 Bilder. 1966. (521/521a) Die Dampfturbinen. Ihre Wirkungsweise, Berechnung und Konstruk- tion von C. Zietemann. 3 Bände. I: Theorie der Dampfturbinen. 4. Auflage. 139 Seiten, 48 Ab- bildungen. 1966. In Vorbereitung. (274) II: Die Berechnung der Dampfturbinen und die Kon- struktion der Einzelteile. 4., verbesserte Auflage. 132 Sei- ten, 111 Abbildungen. 1966. In Vorbereitung. (715) III: Die Regelung der Dampfturbinen, die Bauarten, Turbinen für Sonderzwecke, Kondensationsanlagen. 3., verbesserte Auflage. 126 Seiten, 90 Abbildungen. 1956. (716) Verbrennungsmotoren von W. Endres. 3 Bände. I: Überblick. Motor-Brennstoffe. Verbrennung im Motor allgemein, im Otto- und Diesel-Motor. 153 Seiten, 57 Ab- bildungen. 1958. (1076,1076a) II: Gaswechsel Vorgang. Aufladen. Leistung, mittl. Druck, Reibung. Wirkungsgrade und Kraftstoffverbrauch. Etwa 170 Seiten, 61 Abbildungen. 1966. (1184/1184a) III: Die Einzelteile des Verbrennungsmotors. In Vorbe- reitung. (1185/1185a) Autogenes Schwellten und Schneiden von H. Niese. 5. Auflage, neu- bearbeitet von A. Küchler. 136 Seiten, 71 Figuren. 1953. (499) Die elektrischen SchwelBverfahren von H. Niese. 2. Auflage, neube- arbeitet von H.Dienst. 136 Seiten, 58 Abbildungen. 1955. (1020) Die Hebezeuge. Entwurf von Winden und Kranen von G. Tafel. 2., ver- besserte Auflage. 176 Seiten, 230 Figuren. 1954. (414/414a)

Vermessungswesen Vermessungskunde von W. Großmann. 3 Bände. I: Stückvermessung und Nivellieren. 12., verbesserte Auf- lage. 156 Seiten, 122 Figuren. 1965. (468) II: Horizontalaufnahmen und ebene Rechnungen. 9., ver- besserte Auflage. 136 Seiten, 101 Figuren. 1963. (469) III: Trigonometrische und barometrische Höhenmessung. Tachymetrie und Absteckungen. 8., verbesserte Auflage. 140 Seiten, 102 Figuren. 1965. (862) Kartographie von V. Heissler. 2. Auflage. 213 Seiten, 125 Abb., 8 Anla- gen. 1966. (30/30 a) , Photogrammetrle von G. Lehmann. 2., verbesserte und erweiterte Auf- lage. 205 Seiten, 136 Abbildungen. 1966. (1188/1188 a) 22 TECHNIK Wasserbau Wasserkraftanlagen von A. Ludin unter Mitarbeit von W. Borkenstein. 2 Bände. I: Planung, Grundlagen und Grundzüge. 124 Seiten, 60 Ab- bildungen. 1955.(665) II: Anordnung und Ausbildung der Hauptbauwerke. 184 Seiten, 91 Abbildungen. 1958. (666/666a) Verkehrswasserbau von H. Dehnert. 3 Bände. I: Entwurfsgrundlagen, Flußregelungen. 103 Seiten,53 Ab- bildungen. 1950. (585) II: Flußkanalisierung und Schiffahrtskanäle. 94 Seiten, 60 Abbildungen. 1950. (597) III: Schleusen und Hebewerke. 98Seiten, 70 Abbildungen. 1950. (1152) Wehr- und Stauanlagen von H. Dehnert, 134 Seiten, 90 Abbildungen. 1952. (965) Talsperren von F. Tölke. 122 Seiten, 70 Abbildungen. 1953. (1044)

Hoch- and Tiefbau Die wichtigsten Baustoffe des Hoch- und Tiefbaus von O. Graf f. 4., ver- besserte Auflage. 131 Seiten, 63 Abbildungen. 1953. (984) Baustoffverarbeitung und Baustellenprüfung des Betons von A. Klein- logel. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 126 Seiten, 35 Ab- bildungen. 1951. (978) Festigkeitslehre. 2 Bände. I: Elastizität, Plastizität und Festigkeit der Baustoffe und Bauteile von W.Gehlert und W. Herberg. Durchge- sehener und erweiterter Neudruck. 159 Seiten, 118 Abbildungen. 1952.(1144) II: Formänderung, Platten, Stabilität und Bruchhypo- thesen von W. Herberg und N.Dimitrov. 187 Seiten, 94 Ab- bildungen. 1955. (1145/1145a) Grundlagen des Stahlbetonbaues von A. Troche. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 208 Seiten, 75 Abbildungen, 17 Bemessungs- tafeln, 20 Rechenbeispiele. 1953. (1078) Statik der Baukonstruktionen von A. Teichmann. 3 Bände. I: Grundlagen. 101 Seiten, 51 Abbildungen, 8 Formeltafeln. 1956. (119) II: Statisch bestimmte Stabwerke. 107 Seiten, 52 Abbildun- gen, 7 Tafeln. 1957. (120) III. Statisch unbestimmte Systeme. 112Seiten, 34 Abbildun- gen, 7 Formeltafeln. 1958. (122) Fenster, Türen, Tore aus Holz und Metall. Eine Anleitung zu ihrer guten Gestaltung, wirtschaftlichen Bemessung und handwerks- gerechten Konstruktion von W. Wickop t. 5. Auflage ge- plant. (1092) 23 TECHNIK Heizung und Lüftung von W. Körting. 2 Bände. 9., neubearbeitete Auflage. I: Das Wesen und die Berechnung der Heizungs- und Lüftungsanlagen. 171 Seiten, 29 Abbildungen, 36 Zahlen- tafeln. 1962. (342/342 a) II: Die Ausführung der Heizungs- und Lüftungsanlagen. 1966. In Vorbereitung. (343) Industrielle Kraft- und Wärmewirtschaft von F. A. F. Schmidt und A. Beckers. 167 Seiten, 73 Abbildungen. 1957. (318/318a)

Sammlung Göschen/Bandnummernfolge

I Langosch, Der Nibelunge Nöt 45/45 a Kresze, Physikalische Me- 3/3 a v. Ende, Maschinenele- thoden in der Organischen mente Chemie II 9/9a Marcard-Beyer, Dampf- 47 Fischer-Rohrbach, Arithmetik kessel I 51/51a Ringleb, Mathem. For- 10 Jiriczek-Wisniewski, Kudrun melsammlung und Dietrich-Epen 52 Bieler, Rom. Literaturgesch. I I3/13a Lotze, Geologie 59 Krähe, Indog. Sprachwiss. I 18 Maurer, Hartmann von Aue, Der arme Heinrich 60 Biehle, Stimmkunde 19 Altheim, Römische Geschich- 61 Biehle, Redetechnik te I 64 Krähe, Indog. Sprachwiss. II 20 Hofstaetter, Dt. Sprachlehre 65/65 a Grotemeyer, Analyt. 22 Maurer, Gottfried von Strass- Geometrie burg 66 Berneker-Vasmer, Russische 29/29a Brauns-Chudoba, Allge- Grammatik meine Mineralogie 70 Nestle-Liebich, Gesch. d. 30/30a Heissler, Kartographie griechischen Literatur I 31/31 a Brauns-Chudoba, Speziel- 71 Schulze, Allgemeine und phy- le Mineralogie sikalische Chemie I 32 Schneider-Wisniewski, Deut- 76 Döring, Einf. i. d. th. Phy- sche Heldensage sik I 35 Treue, Dt. Geschichte von 77 Döring, Einf. i. d. th. Phy- 1648—1740 sik II 37/37 a Klemm, Anorganische 78 Döring, Einf. i. d. th. Phy- Chemie sik III 38/38a Schlenk, Organische Che- 79/79a Hempel, Got. Elementar- mie buch 39 Treue, Dt. Geschichte von 80 Weigert, Stilkunde I 1713—1806 81 Schubert-Haussner-Erlebach 42 Behn-Hoernes, Vorgeschichte Vierstell. Logarithmentafeln Europas 86 Barner, Differential- u. Inte- 44 Kresze, Physikalische Metho- gralrechnung I den in der Organischen Che- 96 Hartmann, Einf. in die all- mie I gem. Biologie 24 99 Hessenberg-Kneser, Ebene 221/221 a Jander-Jahr-Knoll, und sphär. Trigonometrie Maßanalyse 101 v. Wiese, Soziologie 222 Hassak-Beutel-Kutzelnigg, 103 Dahrendorf, Industrie- und . Warenkunde I Betriebssoziologie 223 Hassak-Beutel-Kutzelnigg, 104/104 a Hofstätter, Sozialpsy- Warenkunde II chologie 226/226 a Hofmann, Gesch. der 111 Hoffmann-Debrunner,Gesch. Mathematik I der griechischen Sprache I 228 Vogel, Landw. Tierzucht 114 Debrunner, Gesch. der grie- 231/231 a Ehrlich, Gesch. Israels chischen Sprache II 238 Krähe, Germ. Sprachwiss. I 117 Brandenstein, Griechische 243 Mahler-Graewe, Physikal. Sprachwissenschaft I Aufgabensammlung 118/118a Brandenstein, Griechi- 247/247 a Hof mann-Jander, Qua- sche Sprachwissenschaft 11 litative Analyse 119 Teichmann, Statik der Bau- 250 Lausberg, Romanische konstruktionen I Sprachwissenschaft II 120 Teichmann, Statik der Bau- 252 Vetter, Elektrochemie I konstruktionen II 253 Vetter, Elektrochemie 11 122 Teichmann, Statik der Bau- 257 Humburg, Gleichstromma- konstruktionen III schine I 128/128a Lausberg, Romanische 264 Lockemann, Gesch. der Sprachwissenschaft I Chemie I 136 Mahler-Graewe, Physikal. 265/265 a Lockemann, Geschichte Formelsammlung der Chemie II 141 Geitler, Morphologie der 270 Kirn, Einführung in die Ge- Pflanzen schichtswissenschaft 142 Haack, Darst. Geometrie I 274 Zietemann, Dampfturbinen 1 143 Haack, Darst. Geometrie II 279 Jacob-Hohenleutner, 144 Haack, Darst. Geometrie III Quellenkunde der deutschen 145/ 145a Weimer, Gesch. der Geschichte I Pädagogik 280 Jacob-Hohenleutner, Quel- 148 Kolms, Finanzwissenschaft I lenkunde der deutschen Ge- 156/156a Landmann, Philosophi- schichte II sche Anthropologie 281 Leisegang, Einführung in die 170 Oehlmann, Musik des 19. Jhs. Philosophie 171/171 a Oehlmann, Musik des 282 Haltenorth, Säugetiere 20. Jhs. 284 Jacob-Weden, Quellenkunde 173 Bruhns-Ramdohr, Pétro- der deutschen Geschichte 111 graphie 318/318a Schmidt-Beckers, In- 174 Schlingloff, Religion des dustrielle Kraft- u. Wärme- Buddhismus I wirtschaft 180 Böhm, Versicherungsmathe- 319 Krug, Australien und Oze- matik I anien 184 Blümcke, Textilindustrie I 329 Scharrer, Agrikulturchemie I 196/196a Mohr, Grundlagen der 330/330a Scharrer, Agrikultur- allgem. Elektrotechnik chemie II 200/200 a Gottschald, Dt. Recht- 335 Klug, Fette und öle schreibungswörterbuch 336 Braun-Klug, Seifenfabrika- 210 Bruhns-Ramdohr, Kristallo- tion graphie 342/342 a Körting, Heizung und 220/220a Moser, Allg. Musiklehre Lüftung I 25 343 Körting, Heizung und Lüf- 499 Niese-Küchler, Autogenes tung II Schweißen 344 Moser, Musikästhetik 500 Simmel, Hauptprobleme der 354/354a Valentiner-König, Vek- Philosophie toren und Matrizen 521/521a Marcard-Beyer, Dampf- 355 Neger-Münch-Huber, Nadel- kessel II hölzer 536 Lehmann, Kant 356 Lüdemann, Fische 538 Rumpf, Archäologie I 374 Döring,Einf. i.d.th. PhysiklV 539 Rumpf, Archäologie II 375 Preller, Geschichte Englandsl 540 Rumpf, Archäologie 111 389/389 a Diels-Mattick, Pflanzen- 557 Nestle-Liebich, Gesch. der geographie griech. Literatur II 391 Kolms, Finanzwissenschaftll 561 Matthes, Werkzeugmaschi- 394/394a Schilling, Von der Re- nen I naissance bis Kant 562 Matthes, Werkzeugmaschi- 414/414a Tafel, Hebezeuge nen II 422 Gottschald, Dt. Personen- 564 Behn-Hoernes, Kultur der namen Urzeit I 423 Adler-Erlebach, Fünfstellige 565 Behn-Hoernes, Kultur der Logarithmen Urzeit II 432 Borchers, Metallkunde I 566 Behn-Hoernes, Kultur der 433/433a Borchers,Metallkunden Urzeit III 434 Borchers-Hanke, Metall- 571 Lehmann, Philosophie des kunde III 19. Jahrhunderts I 435 Burau, Algebr. Kurven u. 576/576 a Moser, Gesangskunst Flächen I 579 Müller-Schulze, Techn. Ta- 436/436 a Burau, Algebr. Kurven bellen und Flächen II 580/580a Sedlaczek-Fischer- 439 Jaeckel. Würmer Buch, Walzwerke 440 Jaeckel, Weichtiere 583/583 a Engel, Maschinen der 441 Jaeckel, Stachelhäuter Eisenhüttenwerke 442 Hannemann, Schwämme und 584/584a Müller, Kinematik Hohltiere 585 Dehnert, Verkehrswasser- 443 Gruner-Deckert, Krebse bau I 444 Reichenow Einzeller 587 Kaiitsunakis-Steinmetz.Neu- 445 Asmus, Physikal.-chem. Re- riech.-dt. Gesprächsbuch chenaufgaben f 'ochtermann, Maschinen- 447/447 a Herter, Kriechtiere zeichnen I 448 Haltenorth, Manteltiere 590 Tochtermann, Maschinen- 452 Bahrdt-Scheer, Stöchiome- zeichnen II trische Aufgabensammlung 594 v. Lengerken, Insekten 468 Großmann, Vermessungs- 597 Dehnert, Verkehrswasser- kunde I bau II 469 Großmann, Vermessungs- 601 Mutschmann-Scherer, Engl. kunde II Phonetik 476 Thum-Meysenbug, Die Werk- 608/608 a/608b Erman-Krück- stoffe des Maschinenbaues I mann, Hieroglyphen 483 Henglein, Lötrohrprobier- 619/619a Buchwald, Kristalloptik kunde 665 Ludin-Borkenstein, Wasser- 492/492aStoIz-Debrunner-Schmid kraftanlagen I Geschichte der lateinischen 666/666a Ludin-Borkenstein, Sprache Wasserkraftanlagen II 26 668 Knopp, Funktionentheorie I 782/782 a Kolms, Finanzwissen- 677 Altheim, Rom. Geschichte II schaft IV 679 Altheim, Rom. Geschichte III 786 Schulze, Molekülbau 796/796 a Meiners-Wiesenewsky, 684 Altheim Rom. Geschichte IV Elektr. Höchstspannungs- 691 Fauser, Kulturtechn. Boden- Schaltan lagen verbesserungen I 807 Kropp, Erkenntnistheorie 692 Fauser, Kulturtechn. Boden- 809 Moser Harmonielehre I verbesserungen II 810 Moser Harmonielehre II 698/698a Schulze Allgemeine u. 826 Koch, Philosophie d. Mittel- physikalische Chemie II alters 703 Knopp, Funktionentheorie II 827 Schwaiger, Elektromotori- 708/708a/708b Meissner-Oberhu- sche Antriebe ber, Keilschrift 831 Erismann, Allg. Psycholo- 709 Lehmann, Philosophie des gie I 19 Jahrhunderts II 832/832 a Erismann, Allg. Psy- 711 Kesselring, Berechnung der chologie II Schaltgeräte 833 Erismann, Allg. Psycholo- 714/714a zur Megede, Technik gie III selbsttätiger Regelungen 834/834 a Erismann, Allg. Psy- 715 Ztetemann, Dampfturbinen chologie IV 837/837 a Baumgartner, Gruppen- 716 Zietemann, Dampfturbinen theorie III 845 Lehmann, Philosophie im 718 Neger-Münch-Huber, Laub- ersten Drittel des 20. Jhs. I hölzer 847 Herter, Lurche 728/728 a Pirani-Fischer-Runge, 850 Lehmann, Philosophie im Graph. Darstellung in Wis- ersten Drittel des 20 Jhs. 11 senschaft u. Technik 851/851 a Moede, Psychologie des 735 Ekwall, Historische neuengl. Berufs- und Wirtschafts- Laut- und Formenlehre lebens 746/746 a Pfanzagl, Allg. Metho- 857 Capelle, Griech. Philosophie I denlehre der Statistik I 858 Capelle, Griech. Philos. II 747/747 a Pfanzagl, Allg. Metho- 859 Capelle, Griech. Philos. III denlehre der Statistik II 862 Großmann, Vermessungs- 756/756 a Kalitsunakis, Gramm. kunde III d. Neugriech. Volksspr. 863 Capelle, Griech. Philos. IV 763/763a/763b Meyer, Hebräische 866 Bieler, Rom. Literaturge- Grammatik I schichte II 764/764a/764b Meyer, Hebräische 869 Freye, Vögel Grammatik II 875 Hofmann, Geschichte der 765/765 a/7 65b Meyer, Hebräische Mathematik II Grammatik III 877 Knopp, Aufgabensammlung 768/768a Bieberbach, Einführung zur Funktionentheorie I in die konforme Abbildung 878 Knopp, Aufgabensammlung 769/769a Beer-Meyer, Hebräi- zur Funktionentheorie II sches Textbuch 881 Humburg, Gleichstromma- 770 Schlingloff, Religion des schine II Buddhismus II 882 Hofmann, Geschichte der 776 Kolms, Finanzwissensch. III Mathematik III 780 Krähe, Germ. Sprachwiss. II 883 Stuloff, Mathematik der 781 Weigert Stilkunde II neuesten Zeit 27 893 Treue, Dt. Geschichte von 1003 Hoheisel, Partielle Diffe- 1806—1890 rentialgleichung 894 Treue, Dt. Geschichte von 1008/1008a Mellerowicz, Allgem. 1890 bis zur Gegenwart Betriebswirtschaftslehre I 902 Müller, Dynamik I 1009 Bechert-Gerthsen-Flam- 903 Müller, Dynamik II mersfeld, Atomphysik I 910 Jaeger, Afrika I 1014/ 1014a Huttenlocher-Ram- 911 Jaeger, Afrika II dohr, Mineral- und Erzla- 915 Sperber-v. Polenz, Gesch. der gerstättenkunde I Deutschen Sprache 1015/1015a Huttenlocher-Ram- 917/917a Böhm, Versicherungs- dohr, Mineral- u. Erzlager- mathematik II stättenkunde II 920/920a Hoheisel, Gewöhnliche 1017 Döring, Einf. i. d. th. Physik Differentialgleichungen V 921 Jantzen-Kolb, W. v. Eschen- 1020 Niese-Dienst, Elektrische bach. Parzival Schweißverfahren 924/924a Brandenstein, Griechi- 1031/1031 a Apel-Ludz, Philoso- sche Sprachwissenschaft III phisches Wörterbuch 929 Schirmer-Mitzka, Dt. Wort- 1033 Bechert-Gerthsen-Flam- kunde mersfeld, Atomphysik II 930 Krull, Elementare und klas- 1034 Kranefeldt-Jung Thera- sische Algebra I peutische Psychologie 931 Hasse, Höhere Algebra I 1035 Altheim, Rom. Religions- 932 Hasse, Höhere Algebra II geschichte I 933 Krull, Elementare und klas- 1039 Dovifat, Zeitungslehre I sische Algebra II 1040 Dovifat, Zeitungslehre II 936 Thum-Meysenbug, Werk- 1044 Tölke, Talsperren stoffe d.Maschinenbaues II 1045 Schubert, Technik des Kla- 942/942 a Damerau, Polnische vierspiels Grammatik 1051/1051 a Stolberg-Wernige- 952 Schäfer, Transformatoren rode, Gesch. d. Vereinigten 953 Zipperer, Techn. Schwin- Staaten gungslehre I 1052 Althelm, Rom. Religions- 961/961 a Zipperer, Techn. geschichte II Schwingungslehre II 1059/1059a Hoheisel, Aufgaben- 965 Dehnert, Wehr- und Stau- slg. z. d. gew. u. part. Diffe- anlagen rentialgleichungen 970/970a Baldus-Löbell, Nicht- 1061 Grodzinski-Lechner, Getrie- euklidische Geometrie belehre I 972/972a Herter-Urich, Verglei- 1062 Grodzinski-Lechner, Getrie- chende PhysiologlederTiere I belehre II 973 Herter-Birukow, Verglei- 1065 Haller-Dannenbauer, Von chende Physiologie der d. Karolingern zu den Stau- Tiere II fern 978 Kleinlogel, Baustoffverar- 1070 Sauter, Differentialglei- beitung und Baustellen- chungen der Physik prüfung d. Betons 1074 Koschmieder, Variations- 984 Graf, Baustoffe des Hoch- rechnung I und Tiefbaues 1075 Koschmieder, Variations- 999/999 a Kamke, Mengenlehre rechnung II 1000 Jaspers, Geistige Situat. der 1076/1076a Endres, Verbren- Zeit nungsmotoren I 28 1077 Haller-Dannenbauer, Von 1127 Hartmann, Geschlecht u. den Staufern zu den Habs- Geschlechtsbestimmung im burgern Tier- und Pflanzenreich 1078 Troche, Stahlbetonbau 1128 Buchner, Symbiose d. Tiere 1082 Hasse-Klobe, Aufgaben- 1130 Dibelius-Kümmel, Jesus sammlung zur höheren Al- 1131 Scholz-Schoeneberg, Ein- gebra führung in die Zahlentheorie 1084/1084a Grigull, Techn. Ther- 1132 Frühauf, Überspannungen modynamik 1134 Kuckuck, Pflanzenzüch- 1085 Lietzmann-Aland, Zeitrech- tung I nung 1135 Lehnert, Beowulf 1086 Müller, Dt. Dichten und Denken 1137 Heil, Entwicklungsgesch. d. 1088 Preller, Gesch. Englands II Pflanzenreiches 1138 Hämmerling, Fortpflan- 1092 Wickop, Fenster, Türen, zung im Tier- und Pflanzen- Tore reich 1094 Hernried, System, Modula- tion 1140 Unger Induktionsmaschine 1096 Vietor, Dt. Dichten und 1141 Koller Hormone Denken 1142 Meissner-Lehnert, Shake- 1099 Hoheisel, Integralgleichun- speare gen 1144 Gehler-Herberg, Festig- 1105 Härtung, Dt. Geächichte im keitslehre I Zeitalter der Reformation 1145/1145a Herberg-Dimitrov, 1108 de Boor-Wisniewski, Mittel- Festigkeitslehre II hochdeutsche Grammatik 1146 Putz, Synchronmaschine 1109 Knopp, Elemente der Funk- 1147 v. Waltershausen, Kunst d. tionentheorie Dirigierens 1111/1111 a Naumann-Betz, Alt- 1148 Pepping, Der polyphone hochdt. Elementarbuch Satz I 1113/1113a Strubecker, Differen- 1152 Dehnert, Verkehrswasser- tialgeometrie I bau III 1114 Schubel, Engl. Literaturge- 1153/1153a Mellerowicz, Aiigem. schichte I Betriebswirtschaftslehre II 1115/1115 a Ranke-Hof mann, Alt- 1154/1154a Mellerowicz, Aiigem. nord. Elementarbuch Betriebswirtschaftslehre III 1116 Schubel, Engl. Literaturge- 1155 Schwartz, Mikrobiologie I schichte II 1156/1156a Meinke, Komplexe 1117 Haller-Dannenbauer, Ein- Berechnungen v. Wechsei- tritt der Germanen in die stromschaltungen Geschichte 1157 Schwartz, Mikrobiologie II 1121 Naumann, Dt. Dichten u. 1158/1158a Mayrhofer, Sanskrit- Denken Grammatik 1122 Feist, Sprechen und Sprach- 1159 Jungbiuth, Gießereitechniki pflege 1160 Dibelius-Kümmel, Paulus 1123/1123 a Bechert-Gerthsen- 1161 Kaestner, Spinnentiere Flammersfeld, Atomphysik 1162 Seidel, Entwicklungsphy- siologie der Tiere I 1124 Schubel, Engl. Literaturge- 1163 Seidel, Entwicklungs- schichte III physiologie der Tiere II 1125 Lehnert, Altengl. Elemen- 1164/1164a Pepping, Der poly- tarbuch phone Satz II 29 1165/1165 a Bechert-Gerthsen- 1197/1197a Onasch, Einf. in die Flammersfeld Atomphy- Konfessionskunde der or- sik IV thodoxen Kirchen 1169 Paulsen, Allgemeine Volks- 1198 Engel, Straßenverkehrs- wirtschaftslehre I technik 1170 Paulsen, Allgemeine Volks- 1199 Lausberg, Romanische wirtschaftslehre II Sprachwissenschaft III, 1171 Paulsen. Allgemeine Volks- 1. Teil wirtschaftslehre III 1200/1200 a Lausberg, Roma- 1172 Paulsen, Allgemeine Volks- nische Sprachwissenschaft wirtschaftslehre IV III, 2. Teil 1173/1173a Hamann-Funke-Her- 1201/1201 a Dehn, Versuche zur mann, Chemie der Kunst- allgem. u. phys. Chemie stoffe 1202/1202 a Nagel, Gesch. des 1176/1176a Lorenzen, Form Lo- Christi. Gottesdienstes gik 1203 Wendland, Sozialethik 1178/1178a Kuckuck, Pflanzen- 1204 Scheurig, Zeitgeschichte züchtung II 1205/1205a Hofmann Ideenge- 1179/1179a Strubecker Differen- schichte d. soz. Bewegung tialgeometrie II 1206/1206a Langen Lineare Pro- 1180/1180a Strubecker. Differen- grammierung tialgeometrie III 1208 Lausberg, Romanische 1181 Franz, Topologie I Sprachwissenschaft IV 1182/1182a Franz, Topologie II 1209/1209 a Bock, Therm. Ver- 1183/1183a Nicolas, Finanzma- fahrenstechnik I- thematik 1210/1210a Bock. Therm. Ver- 1184/1184a Endres, Verbren- fahrenstechnik II nungsmotoren II 1211/121 la Bock, Therm. Ver- 1185/1185a Endres; Verbren- fahrenstechnik III nungsmotoren III 1212/1212a Hilf, Arbeitswissen- 1186/1186a Mellerowicz, Allgem. schaft Betriebswirtschaftslehre IV 1213/1213a Kosiol, Buchhaltung 1187 Lau, Luther und Bilanz 1188/1188a Lehmann, Photo- 1216/1216 a Bauer, Wahrschein- grammetrie lichkeitstheorie I 1189/1189a Päsler, Mechanik 1217 Bauer, Wahrscheinlichkeits- 1190 Stupperich. Melanchthon theorie 11 1191/1191a Bräuer, Slav. Sprach- 1218/1218a/1218b Meid, Germ. wissenschaft I Sprachwiss. III 1193 Fürstenberg, Wirtschafts- 1219 Schmidt-Clausing, Zwingli soziologie 1220/1220a Zemann, Kristallche- 1194 Wendt, Gesch. d. Volks- mie wirtschaftslehre 1221 Gerdes, Kierkegaard 1195 Ohm Allgem. Volkswirt- 1222 Tschiiewskij, Slav. Litera- schaftspolitik I turen I 1196 Ohm, Allgem. Volkswirt- 1223 Tschiiewskij, Slav. Litera- schaftspolitik II turen II

30 Autorenregister

Adler 12 Diels 17 Hasse 12 Aland 6 Dienst 22 Haussner 12 Altheim 4, 7 Dimitrov 23 Heil 17 Apel Döring 14 Heissler 10, 22 Asmus 15 Dovifat 11 Hempel 8 Ehrlich 4 Henglein 19 Bahrdt 16 Herberg 23 Baldus 13 Ekwall 8 Ende, vom 21 Hermann 16 Barner 13 Hernried 5 Bauer 14 Endres 22 Engel, E. 20 Herter 17, 18 Baumgartner 13 Hessenberg 13 Bechert 15 Engel, L. 21 Erismann 4 Hilf 11, 20 Beckers 24 Hoernes 6 Beer 10 Erlebach 12 Erman 9 Hoffmann, O. 9 Behn 6 Hefmann, D. 8 Berneker 10 Fauser 18 Hofmann, H. 16 Betz 8 Feist 7 Hofmann, J. E. 12 Beutel 16 Fischer, F. 21 Hofmann, W. 4 Beyer 22 Fischer, J. 20 Hofstätter 4 Bieberbach 14 Fischer, P. B. 12 Hofstaetter 7 Biehle 7 Flammersfeld 15 Hoheisel 13 Bieler 9 Franz 13 Hohenleutner 6 Birukow 17 Freye 18 Huber 17 Blümcke 16 Frühauf 20 Humburg 20 Bock 16, 20 Fürstenberg 4, 11 Huttenlocher 18 Böhm 14 Funke 16 de Boor 8 Gehler 23 Jacob 6 Borchers 21 Geitler 17 Jaeckel 18 Borkensteia23 Gerdes 4 Jaeger 10 Jahr 15 Bräuer 10 Gerthsen 15 Brandenstein 9 Jander15 16 Gottschald 7, 8 Jantzen 7 Braun 16 Graewe 15 Brauns 19 Jaspers 3 Graf 23 Jiriczek 7 Bruhns 19 Grlgull 20 Buch 21 Jung 3 Grodzinski 21 Jungbluth 21 Buchner 17 Großmann 22 Buchwald 19 Grotemeyer 13 Kaestner 18 Burau 12 Gruner 18 Kalitsunakis 9 Capelle 3 Kamke 13 Chudoba 19 Haack 13 Kesselring 20 Hämmerling 16 Kirn 5 Dahrendorf 4, 11 Haller 6 Kleinloge! 23 Damerau 10 Haltenorth 18 Klemm 15 Dannenbauer 6 Hamann 16 Klobe 12 Debrunner 9 Hanke 21 Klug 16 Deckert 18 Hannemann 17 Kneser 13 Dehn 15 Hartmann 16 Knoll 15 Dehnert 23 Härtung 6 Knopp 13 Dibelius 4 Hassak 16 Koch 3 König 14 Meyer 10 Schneider 7 Körting 24 Meysenbug v 21 Schoeneberg 12 Kolb 7 Mitzka 7 Scholz 12 Koller 16 Moede 4, 11 Schubel 8 Kolms 11 Mohr 20 Schubert, H. 12 Koschmieder 14 Moser 5 Schubert, K. 5 Kosiol 11 Müller, G. 7 Schulze, E. 20 Krähe 8 Müller, H. R. 14, 21 Schulze, W. 15 Kranefeldt 3 Müller, W. 20, 21 Schwaiger 20 Kresze 15 Münch 17 Schwartz W u.A. 17 Kropp 3 Mutschmann 8 Sedlaczek 21 Krückmann 9 Seidel 17 Krug 10 Nagel 4 Simmel 3 Krull 12 Naumann 7, 8 Sperber 7 Kuckuck 17 Neger 17 Steinmetz 9 Küchler 22 Nestle 9 Stolberg-Wernige- Kümmel 4 Nicolas 11,14 rode, zu 7 Kutzelnigg 16 Niese 22 Stolz 9 Landmann 3 Strubecker 14 Langen 12 Oberhuber 9 Stuloff 12 Langosch 7 Oehlmann 5 Stupperich 4 Lau 4 Ohm 11 Tafel 22 Lausberg 9 Onasch 4 Teichmann 23 Lech n er 21 Päsler 14 Thum 21 Lehmann, G. 3 Paulsen 10 Tochtermann 21 Lehmann, G. 22 Pepping 5 Tölke 23 Lehnert 8, 9 Pfanzagl 11 Treue 6 Leisegang 3 Pi rani 20 Troche 23 Lengerken, von 18 Polenz, von 7 Tschizewskij 10 Liebich 9 Preller 7 Unger 20 Lietzmann 6 Putz 20 Urich 17 Lockemann 15 Valentiner 14 Löbell 13 Ramdohr 18, 19 Vasmer 10 Lorenzen 3., 12 Ranke 8 Vetter 16 Lotze 18 Reichenow 17 Vi tor 7 Ludin 23 Ringleb 12 Vogel 18 Ludz 3 Rohrbach 12 Lüdemann 18 Rumpf 5 Runge 20 Waltershausen, v. 5 Mahler 15 Sauter 15 Weden 6 Marcard 22 Schäfer 20 Weigert 5 Matthes 21 Scharrer 18 Weimer 3 Mattick 17 Scheer 16 Wendland 4 Maurer 8 Scherer 8 Wendt 11 Mayrhofer 8 Scheu rig 5 Wickop 23 Megede, zur 20 Schilling 3 Wiese, von 4 Meid 8 Schirmer 7 Wiesenewsky 20 Meiners 20 Schlenk 15 Wisniewskl 7, 8 Meinke 20 Schlingloff 4 Witting 13 Meissner, B. 9 Schmid 9 Zemann 16, 19 Meißner, P. 9 Schmidt 24 Zietemann 22 Mellerowiez 10 Schmidt-Clausing 4 Zipperer 21 32 Printed in Germany 150. 11.66