BMS 2006 Mathematik Skript.Nb 2
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2. Zahlenbereiche: , , , , , Zusammenfassung Dieses Kapitel beinhaltet zum grössten Teil eine Repetition von Inhalten, die schon auf der Sekundarstufe I in Mathematik unterrichtet wurden. In symstematischer Weise soll dieser Inhalt zusammengefasst werden. Neu wird (vermutlich) der Stoff über die komplexen Zahlen sein. Wir starten mit den natürlichen Zahlen und lernen die einfachsten Rechenoperationen (Addition, Multiplikation, Potenz) sowie die Rechengesetze (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz) kennen. Wir lernen, dass bei den Berechnungen (ohne Klammernsetzung) das Ergebnis von der Präzedenz der Operatoren bzw. der Richtung der Abarbeitung der Operationen abhängt. Wir lernen auch, dass es verschiedene Möglichkeiten gibt, eine natürliche Zahl darzustellen (Binär, Dezimal, Hexadezimal etc.). Wir stellen sodann an einer einfachen Gleichung mit Addition (7 + x = 3) fest, dass wir innerhalb der natürlichen Zahlen keine Lösung angeben können. Wir müssen den Bereich der Zahlen auf die ganzen Zahlen erweitern. Wir stellen jedoch schnell fest, dass wir auch innerhalb der ganzen Zahlen einfachste Gleichungen (z.B. 12 ÿ x = 3) nicht lösen können und sind gezwungen den Zahlenbereich auf die rationalen Zahlen zu erweitern. Dabei stellen wir fest, dass wir ganze Klassen von rationalen Zahlen zusammenfassen können, was uns auf die wichtigen Begriffe des Kürzens, des KGV, des GGT sowie der Primzahlen führt. Aber auch im Bereich der rationalen Zahlen gibt es noch (einfache) Gleichungen, die sich nicht lösen lassen (z.B. x2 = 2). Dies führt uns auf die reellen Zahlen. Reelle Zahlen werden mit ¶-langen Dezimalbrüchen dargestellt, in der Praxis also nur ungenau, da z.B. im Taschenrechner und in Mikroprozessoren (Computern) für die (ganzen und reellen) Zahlen nur ein fixer, endlicher Speicherplatz reserviert ist. Diese Zahlen haben deshalb einerseits obere Grenzen und beschränkte Präzision. Wir werden dies in Abhängigkeit des Speicherplatzes für einige (Computer-)Zahlentypen kennenlernen. Zum Abschluss der Reise durch das Gebiet der Zahlen lernen wir noch die komplexen Zahlen kennen, die die Lösung von vielen weiteren Gleichungen (z.B. x2 = -2), die mit den reellen Zahlen allein nicht lösbar wären, ermöglichen. Lerninhalte Im Folgenden werden stichwortartig die Lerninhalte dieses Kapitels zusammengefasst. Zahlen: Natürliche Zahlen, Ganze Zahlen, Rationale Zahlen, Reelle Zahlen, Komplexe Zahlen. Primzahlen, positive und negative Zahlen, Bruchzahlen (Stammbruch, echter und unechter Bruch), gemischte Zahl, Dezimalzahlen (endliche, periodische, reinperiodische, gemischtperiodische, Dezimalbruch), Binärzahlen, Hexadezimalzahlen, Römische Zahlen, Quadratzahlen, Kubikzahlen. Rechenoperationen: Addition (Summe, Summand), Subtraktion (Differenz, Minuend, Subtrahend), Multiplikation (Produkt, Faktor), Division (Quotient, Dividend, Divisor), Potenz (Basis oder Grundzahl, Exponent oder Hochzahl). Rechengesetze: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz. BMS 2006 Mathematik Skript.nb 2 Begriffe: Kardinalzahlen, Ordinalzahlen, abgeschlossen (bezüglich der Addition etc.), Kettenbruch, Zahlenstrahl, Zahlengerade, Neutrales Element (der Addition etc.), Inverses Element (der Addition etc.), Term, Termumformungen, Teiler, Vielfaches, GGT, KGV, gleichnamig machen, Hauptnenner, Rundungsregel, Natürliche Zahlen Einleitung Der Zahlbegriff entwickelte sich aus zwei verschiedenen elementaren Bedrüfnissen der Menschen heraus. Zum einen hatten die Menschen sehr frühzeitig das Bestreben, gleichartige Gegenstände oder Dinge, später auch Begriffe abzählen zu können (z.B. fünf Kinder, zwanzig Goldstücke etc.). Sieht man von der Natur der so gezählten Lebewesen und Gegenstände ab, so handelt es sich um die Zahlen aus der Folge ... null, eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, ... ... die wir natürliche Zahlen nennen. Der zweite Gesichtspunkt, der zu demselben Zahlbegriff führt, ist der, dass man schon sehr früh das Bedürfnis hatte, innerhalb einer bestimmten Gruppe (Menge) eine "Rangordnung" für die einzelnen Elemente dieser Gruppe einzuführen. So besass z.B. das erste Kind einer Familie weit grössere Rechte als das zweite Kind. Die natürlichen Zahlen treten demzufolge in zwei Erscheinungsformen auf. Wenn die natürlichen Zahlen dazu benutzt werden, um die Anzahl der Elemente anzugeben, so nennt man sie Kardinalzahlen. Benutzt man sie hingegen dazu, um die Rangordnung eines bestimmten Elements einer gewissen Menge anzugeben, so nennt man sie Ordinalzahlen. Im Folgenden sind einige Eigenschaften der natürlichen Zahlen aufgelistet (ohne sie jedoch axiomatisch zu begründen bzw. herzuleiten): † Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem Symbol bezeichnet. † Zu jeder natürlichen Zahl gibt es einen Nachfolger. † Mit Ausnahme der Zahl 0 hat jede natürliche Zahl einen Vorgänger. † Es gibt (abzählbar) unendlich viele natürliche Zahlen. † Mit + oder * werden die natürlichen Zahlen, die grösser als Null sind bezeichnet. † Die Operation "Bestimme einen Nachfolger" können wir auch mit der Operation "Addiere 1" bezeichnen; aus der natürli- chen Zahl n wird der Nachfolger m bestimmt mit: m = n + 1. Die natürlichen Zahlen können auf verschiedene Weise (symbolisch, geometrisch) dargestellt werden. Wir werden dies in den nächsten Abschnitten noch genauer untersuchen. Rechenoperationen Addition, Multiplikation, Potenz Addition In der Einleitung haben wir die einfachste Rechenoperation kennengelernt: nämlich den Nachfolger einer natürlichen Zahl zu bestimmen, was der Operation "Addiere 1" entspricht. Durch k-faches Anwenden dieser Operation kann die Operation "Addiere n und k" bzw. " n + k" definiert werden: BMS 2006 Mathematik Skript.nb 3 n + ´¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨≠1 + … +¨¨¨¨¨¨¨¨1 + 1 Æ U n + k k Die Addition ist abgeschlossen bezüglich der natürlichen Zahlen. Das heisst, wenn wir eine natürliche Zahl zu einer zweiten natürlichen Zahl addieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl. Es gelten die folgenden Bezeichnungen für die einzelnen Argumente bzw. das Ergebnis einer Addition (es können auch mehr als zwei Summanden vorkommen). Addition a + b = c Summand plus Summand gleich Summe H L Für die Addition gelten die folgenden Gesetze. Kommutativgesetz a + b = b + a Assoziativgesetz a + b + c = a + b + c H L H L Das Assoziativgesetz heisst insbesondere, dass die Reihenfolge der Additionen keine Rolle spielt. Es resultiert das gleiche Ergebnis, wenn ich b und c addiere und dann a dazuaddiere, oder ob ich a und b addiere und dann c dazuaddiere. Die Zahl 0 ist eine spezielle Zahl, da die Addition mit ihr (d.h. a + 0 = a) die Zahl unverändert lässt und wird als neutrales Element der Addition bezeichnet. Multiplikation Die Multiplikation ist einfach eine verkürzte Schreibweise für die Addition. Wenn eine Zahl mehrmals (z.B. n-mal) addiert wird, kann verkürzt geschrieben werden: ´¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨≠a + a + …¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨+ a + a Æ U n ⋅ a n Es gelten die folgenden Bezeichnungen für die einzelnen Argumente bzw. das Ergebnis einer Multiplikation (es können auch mehr als zwei Summanden vorkommen). Multiplikation a ÿ b = c Faktor mal Faktor gleich Produkt H L Für die Multiplikation gelten die folgenden Gesetze. Kommutativgesetz a ÿ b = b ÿ a Assoziativgesetz a ÿ b ÿ c = a ÿ b ÿ c H L H L Die Zahl 1 ist eine spezielle Zahl, da die Multiplikaion mit ihr (d.h. 1 ÿ a = a) die Zahl unverändert lässt und wird als neutrales Element der Multiplikation bezeichnet. Multiplikation und Addition Weiters gibt es ein Rechengesetz, das sowohl die Multiplikation als auch die Addition enthält: Distributivgesetz a ÿ b + c = a ÿ b + a ÿ c H L Die Menge der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation . Das heisst, dass die Addition (und damit die Multiplikation) zweier natürlicher Zahlen wieder eine natürliche Zahl ist. Interpretation von gemischten Ausdrücken Ein wichtiger Punkt betrifft auch die Interpretation von gemischten Ausdrücken. Wie ist zum Beispiel der Ausdruck 3 ÿ 8 + 2 BMS 2006 Mathematik Skript.nb 4 zu interpretieren? Sollen zuerst 3 und 8 multipliziert und dann 2 dazuaddiert werden ODER sollen zuerst 2 und 3 addiert und dann mit 8 multipliziert werden. In solchen Fällen entscheidet die Präzedenz der Operatoren (+ bzw. ·). Und es gilt die Konvention: † "Punkt vor Strich" Rechnung, was soviel heisst, dass zuerst die Punktrechnung (Multiplikation, Division) und dann die Strichrechnung (+, -) durchgeführt werden soll. Durch Anbringen von Klammern kann die Reihenfolge der Operationen immer eindeutig festgelegt werden: 2 + 3 ÿ 8 = 40 H L 3 ÿ 8 + 2 = 26 Bemerkung: † Verschiedene Taschenrechner können die Reihenfolge der Operationen unterschiedlich behandeln. † Texas Instruments BAII Plus: "2 + 3 ÿ 8 = " Ø 40 † Sharp EL-509A: " 2 + 3 ÿ 8 = " Ø 26 † Es gibt auch Taschenrechner, bei denen die zu verwendende Einstellung geändert werden kann. † Ein ähnliches Problem wie bei der Präzedenz (von Addition und Multiplikation) betrifft die Frage, ob Ausdrücke mit gleichen Operatoren von links oder von rechts abgearbeitet werden sollen. Bei der Addition und Multiplikation spielt dies keine Rolle (es gilt das Assoziativgesetz). Dies stimmt jedoch nicht für die Subtraktion und die Division: Konkret Was ist 8 - 3 - 2 ? Computer rechnen bei Ausdrücken gleicher Hierarchie von links nach rechts, also (8 - 3 - 2. L † Auch diese Zweideutigkeit kann mit Klammern vermieden werden. 8 - 3 - 2 = 5 - 2 = 3 H L 8 - 3 - 2 = 8 - 1 = 7 H L Potenz Die Potenz ist einfach eine verkürzte Schreibweise für die Multiplikation. Wenn eine Zahl mehrmals (z.B. n-mal) mit sich selbst multipliziert wird,