BMS 2006 Mathematik Skript.Nb 2

2. Zahlenbereiche: , , , , ,

Zusammenfassung Dieses Kapitel beinhaltet zum grössten Teil eine Repetition von Inhalten, die schon auf der Sekundarstufe I in Mathematik unterrichtet wurden. In symstematischer Weise soll dieser Inhalt zusammengefasst werden.

Neu wird (vermutlich) der Stoff über die komplexen Zahlen sein.

Wir starten mit den natürlichen Zahlen und lernen die einfachsten Rechenoperationen (Addition, Multiplikation, Potenz) sowie die Rechengesetze (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz) kennen.

Wir lernen, dass bei den Berechnungen (ohne Klammernsetzung) das Ergebnis von der Präzedenz der Operatoren bzw. der Richtung der Abarbeitung der Operationen abhängt.

Wir lernen auch, dass es verschiedene Möglichkeiten gibt, eine natürliche Zahl darzustellen (Binär, Dezimal, Hexadezimal etc.).

Wir stellen sodann an einer einfachen Gleichung mit Addition (7 x 3) fest, dass wir innerhalb der natürlichen Zahlen keine Lösung angeben können. Wir müssen den Bereich der Zahlen auf die ganzen Zahlen erweitern.

Wir stellen jedoch schnell fest, dass wir auch innerhalb der ganzen Zahlen einfachste Gleichungen (z.B. 12 x 3) nicht lösen können und sind gezwungen den Zahlenbereich auf die rationalen Zahlen zu erweitern.

Dabei stellen wir fest, dass wir ganze Klassen von rationalen Zahlen zusammenfassen können, was uns auf die wichtigen Begriffe des Kürzens, des KGV, des GGT sowie der Primzahlen führt.

Aber auch im Bereich der rationalen Zahlen gibt es noch (einfache) Gleichungen, die sich nicht lösen lassen (z.B. x2 2). Dies führt uns auf die reellen Zahlen.

Reelle Zahlen werden mit -langen Dezimalbrüchen dargestellt, in der Praxis also nur ungenau, da z.B. im Taschenrechner und in Mikroprozessoren (Computern) für die (ganzen und reellen) Zahlen nur ein fixer, endlicher Speicherplatz reserviert ist. Diese Zahlen haben deshalb einerseits obere Grenzen und beschränkte Präzision. Wir werden dies in Abhängigkeit des Speicherplatzes für einige (Computer-)Zahlentypen kennenlernen.

Zum Abschluss der Reise durch das Gebiet der Zahlen lernen wir noch die komplexen Zahlen kennen, die die Lösung von vielen weiteren Gleichungen (z.B. x2 2), die mit den reellen Zahlen allein nicht lösbar wären, ermöglichen.

Lerninhalte Im Folgenden werden stichwortartig die Lerninhalte dieses Kapitels zusammengefasst.

Zahlen: Natürliche Zahlen, Ganze Zahlen, Rationale Zahlen, Reelle Zahlen, Komplexe Zahlen. Primzahlen, positive und negative Zahlen, Bruchzahlen (Stammbruch, echter und unechter Bruch), gemischte Zahl, Dezimalzahlen (endliche, periodische, reinperiodische, gemischtperiodische, Dezimalbruch), Binärzahlen, Hexadezimalzahlen, Römische Zahlen, Quadratzahlen, Kubikzahlen.

Rechenoperationen: Addition (Summe, Summand), Subtraktion (Differenz, Minuend, Subtrahend), Multiplikation (Produkt, Faktor), Division (Quotient, Dividend, Divisor), Potenz (Basis oder Grundzahl, Exponent oder Hochzahl).

Rechengesetze: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz. BMS 2006 Mathematik Skript.nb 2

Begriffe: Kardinalzahlen, Ordinalzahlen, abgeschlossen (bezüglich der Addition etc.), Kettenbruch, Zahlenstrahl, Zahlengerade, Neutrales Element (der Addition etc.), Inverses Element (der Addition etc.), Term, Termumformungen, Teiler, Vielfaches, GGT, KGV, gleichnamig machen, Hauptnenner, Rundungsregel,

Natürliche Zahlen

Einleitung

Der Zahlbegriff entwickelte sich aus zwei verschiedenen elementaren Bedrüfnissen der Menschen heraus.

Zum einen hatten die Menschen sehr frühzeitig das Bestreben, gleichartige Gegenstände oder Dinge, später auch Begriffe abzählen zu können (z.B. fünf Kinder, zwanzig Goldstücke etc.). Sieht man von der Natur der so gezählten Lebewesen und Gegenstände ab, so handelt es sich um die Zahlen aus der Folge ...

null, eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, ...

... die wir natürliche Zahlen nennen.

Der zweite Gesichtspunkt, der zu demselben Zahlbegriff führt, ist der, dass man schon sehr früh das Bedürfnis hatte, innerhalb einer bestimmten Gruppe (Menge) eine "Rangordnung" für die einzelnen Elemente dieser Gruppe einzuführen. So besass z.B. das erste Kind einer Familie weit grössere Rechte als das zweite Kind.

Die natürlichen Zahlen treten demzufolge in zwei Erscheinungsformen auf.

Wenn die natürlichen Zahlen dazu benutzt werden, um die Anzahl der Elemente anzugeben, so nennt man sie Kardinalzahlen. Benutzt man sie hingegen dazu, um die Rangordnung eines bestimmten Elements einer gewissen Menge anzugeben, so nennt man sie Ordinalzahlen.

Im Folgenden sind einige Eigenschaften der natürlichen Zahlen aufgelistet (ohne sie jedoch axiomatisch zu begründen bzw. herzuleiten):

Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem Symbol bezeichnet. Zu jeder natürlichen Zahl gibt es einen Nachfolger. Mit Ausnahme der Zahl 0 hat jede natürliche Zahl einen Vorgänger. Es gibt (abzählbar) unendlich viele natürliche Zahlen. Mit oder werden die natürlichen Zahlen, die grösser als Null sind bezeichnet. Die Operation "Bestimme einen Nachfolger" können wir auch mit der Operation "Addiere 1" bezeichnen; aus der natürli- chen Zahl n wird der Nachfolger m bestimmt mit: m n 1.

Die natürlichen Zahlen können auf verschiedene Weise (symbolisch, geometrisch) dargestellt werden. Wir werden dies in den nächsten Abschnitten noch genauer untersuchen.

Rechenoperationen Addition, Multiplikation, Potenz

Addition

In der Einleitung haben wir die einfachste Rechenoperation kennengelernt: nämlich den Nachfolger einer natürlichen Zahl zu bestimmen, was der Operation "Addiere 1" entspricht. Durch k-faches Anwenden dieser Operation kann die Operation "Addiere n und k" bzw. " n k" definiert werden: BMS 2006 Mathematik Skript.nb 3

n + 1´¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨≠+ … +¨¨¨¨¨¨¨¨1 + 1 Æ U n + k k

Die Addition ist abgeschlossen bezüglich der natürlichen Zahlen. Das heisst, wenn wir eine natürliche Zahl zu einer zweiten natürlichen Zahl addieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl.

Es gelten die folgenden Bezeichnungen für die einzelnen Argumente bzw. das Ergebnis einer Addition (es können auch mehr als zwei Summanden vorkommen).

Addition a b c Summand plus Summand gleich Summe H L

Für die Addition gelten die folgenden Gesetze.

Kommutativgesetz a b b a Assoziativgesetz a b c a b c H L H L

Das Assoziativgesetz heisst insbesondere, dass die Reihenfolge der Additionen keine Rolle spielt. Es resultiert das gleiche Ergebnis, wenn ich b und c addiere und dann a dazuaddiere, oder ob ich a und b addiere und dann c dazuaddiere.

Die Zahl 0 ist eine spezielle Zahl, da die Addition mit ihr (d.h. a 0 a) die Zahl unverändert lässt und wird als neutrales Element der Addition bezeichnet.

Multiplikation

Die Multiplikation ist einfach eine verkürzte Schreibweise für die Addition. Wenn eine Zahl mehrmals (z.B. n-mal) addiert wird, kann verkürzt geschrieben werden:

a´¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨≠+ a + …¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨+ a + a Æ U n ⋅ a n

Es gelten die folgenden Bezeichnungen für die einzelnen Argumente bzw. das Ergebnis einer Multiplikation (es können auch mehr als zwei Summanden vorkommen).

Multiplikation a b c Faktor mal Faktor gleich Produkt H L

Für die Multiplikation gelten die folgenden Gesetze.

Kommutativgesetz a b b a Assoziativgesetz a b c a b c H L H L

Die Zahl 1 ist eine spezielle Zahl, da die Multiplikaion mit ihr (d.h. 1 a a) die Zahl unverändert lässt und wird als neutrales Element der Multiplikation bezeichnet.

Multiplikation und Addition

Weiters gibt es ein Rechengesetz, das sowohl die Multiplikation als auch die Addition enthält:

Distributivgesetz a b c a b a c H L

Die Menge der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation . Das heisst, dass die Addition (und damit die Multiplikation) zweier natürlicher Zahlen wieder eine natürliche Zahl ist.

Interpretation von gemischten Ausdrücken

Ein wichtiger Punkt betrifft auch die Interpretation von gemischten Ausdrücken. Wie ist zum Beispiel der Ausdruck

3 8 2 BMS 2006 Mathematik Skript.nb 4

zu interpretieren? Sollen zuerst 3 und 8 multipliziert und dann 2 dazuaddiert werden ODER sollen zuerst 2 und 3 addiert und dann mit 8 multipliziert werden.

In solchen Fällen entscheidet die Präzedenz der Operatoren (+ bzw. ·). Und es gilt die Konvention:

"Punkt vor Strich" Rechnung, was soviel heisst, dass zuerst die Punktrechnung (Multiplikation, Division) und dann die Strichrechnung (+, -) durchgeführt werden soll.

Durch Anbringen von Klammern kann die Reihenfolge der Operationen immer eindeutig festgelegt werden:

2 3 8 40 H L 3 8 2 26

Bemerkung:

Verschiedene Taschenrechner können die Reihenfolge der Operationen unterschiedlich behandeln. Texas Instruments BAII Plus: "2 3 8 " 40 Sharp EL-509A: "2 3 8 " 26 Es gibt auch Taschenrechner, bei denen die zu verwendende Einstellung geändert werden kann. Ein ähnliches Problem wie bei der Präzedenz (von Addition und Multiplikation) betrifft die Frage, ob Ausdrücke mit gleichen Operatoren von links oder von rechts abgearbeitet werden sollen. Bei der Addition und Multiplikation spielt dies keine Rolle (es gilt das Assoziativgesetz). Dies stimmt jedoch nicht für die Subtraktion und die Division: Konkret Was ist 8 3 2 ? Computer rechnen bei Ausdrücken gleicher Hierarchie von links nach rechts, also (8 3 2. L Auch diese Zweideutigkeit kann mit Klammern vermieden werden.

8 3 2 5 2 3 H L 8 3 2 8 1 7 H L Potenz

Die Potenz ist einfach eine verkürzte Schreibweise für die Multiplikation.

Wenn eine Zahl mehrmals (z.B. n-mal) mit sich selbst multipliziert wird, kann verkürzt geschrieben werden:

´¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨≠a a …¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨ a a Æ U an n

Potenz an c Basis hoch Exponent gleich Potenz zur Basis a H L H L Statt Exponent kann man auch den Ausdruck Hochzahl und statt Basis kann man auch den Ausdruck Grundzahl verwenden. an wir gelesen: "a hoch n" Die am häufigsten auftretenden Potenzen sind die zweite und dritte Potenz. Die zweite Potenz nennt man auch Quadrat. Der Name kommt daher, dass ein Quadrat mit der Seitenlänge a den Flächen- inhalt a2 hat. Dies führt auch auf den Begriff der Quadratzahlen: das sind die Zahlen, die sich als a2 schreiben lassen. a2 wird auch als "a Quadrat" gelesen. Die dritte Potenz nennt man auch Kubus. Der Name kommt daher, dass ein Würfel (lat. Kubus) mit der Seitenlänge a den Volumeninhalt a3 hat. Dies führt auch auf den Begriff der Kubikzahlen: das sind die Zahlen, die sich als a3 schreiben lassen.

Es gelten die folgenden Regeln für Potenzen ( a 0; m, n ):

a0 1 BMS 2006 Mathematik Skript.nb 5

1 an an

amn am an

am n am n H L Bemerkungen Das Multiplikationszeichen (oben mit · dargestellt) wird vielfach weggelassen oder durch ein anderes Zeichen dargestellt: a b a b a b a b Es gilt die Konvention: Punktrechnung vor Strichrechnung (falls keine Klammern gesetzt wurden), genauer Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion. Die Zahl 0 wird auch als das neutrale Element der Addition bezeichnet, da a 0 a gilt. Die Zahl 1 wird auch als das neutrale Element der Multiplikation bezeichnet, da a 1 a gilt.

Geometrische Darstellung der natürlichen Zahlen

Vektor

Man kann sich eine natürliche Zahl auch als Pfeil (Vektor) vorstellen, wobei das Verhältnis der Länge des Vektors zur Länge eines Einheitsvektors (der per definitionem die Länge 1 hat) der zu repräsentierenden Zahl entspricht. In der folgenden Graphik sind (z.B.) die drei Vektoren der Länge 4 (rot), der Länge 1 (blau) und der Länge 3 (grün) dargestellt. Alle Vektoren zeigen in die gleiche Richtung.

Eine natürliche Zahl ist also durch einen eindeutigen Vektor (Pfeil der entsprechenden Länge) gekennzeichnet. Wenn man alle Vektoren beim untenstehenden Zahlenstrahl beim Wert 0 anbindet ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

... kann man auch jede natürliche Zahl mit einem Punkt auf dem (sogenannten) Zahlenstrahl identifizieren.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Die nächste Graphik zeigt noch anschaulich die Addition 3 1 4. Der Vektor der Länge 1 (blau) startet beim Endpunkt des Vektors der Länge 3 (grün). Es resultiert ein Vektor der Länge 4 mit dem Endpunkt 4.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Symbolische Darstellung der natürlichen Zahlen

Im Gespräch (und schriftlich bei kleinen Zahlen) werden die natürlichen Zahlen durch (Zahl)wörter ... BMS 2006 Mathematik Skript.nb 6

eins, fünf, zwölf, ...

... und zusammengesetzte Wörter ...

einunddreissig, hundertzehn zwei Millionen fünfhundert Tausend und dreizehn (2'500'013)

... repräsentiert.

Zur (abkürzenden) Darstellung der natürlichen Zahlen verwendete man in den verschiedenen Zeitepochen und in den verschiedenen Kulturkreisen die unterschiedlichsten Symbole (Zahlsymbole, Zeichen, Zahlzeichen). Sie können grundsätzlich in verschiedene Kategorien eingeteilt werden, in Additionssysteme und Stellenwertsyssteme.

Bei den Additionssystemen setzt sich eine Zahl aus der Addition oder Subtraktion der Werte für die einzelnen Symbole zusammen (z.B. Römische Zahlen). Bei einem Stellenwertsystem (Positionssystem) wird der Wert eines Symbols zusätzlich noch durch die Position bestimmt (z.B. Dezimalsystem).

Römische Zahlen

Das Römische Zahlensystem ist ein Additionssysstem. Dabei wird der Zahlenwert durch Addition und Subtraktion der vorkommenden Zahlzeichen bestimmt.

Bei den römischen Zahlen werden die Zahlzeichen I, V, X, L, C, D, M verwendet. Sie stehen für die (dezimalen) Zahlen 1, 5, 10, 50, 100, 500 und 1000.

Die Römischen Zahlen sind nur von historischem Interesse. Sie eignen sich weder gut zur Darstellung noch gut zum Rechnen.

Beachte: wenn ein Zahlzeichen vor einem Zahlzeichen mit grösserem Wert steht, wird das Zahlzeichen subtrahiert (das Vorzeichen und damit der Wert des Zahlzeichens wird also genaugenommen auch hier durch die Position mitbestimmt):

910 IX

Weitere Beispiele:

310 III

49 10 XLIX

3383 10 MMMCCCLXXXIII

Dezimaldarstellung (Basis 10)

Die meisten Länder der Welt benützen heute das sogenannte Dezimalsystem. Hier werden die 10 Zahlzeichen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 zur Darstellung der Zahlen und die Zahl 10 (lat. decim) als Basis verwendet.

Die Position dieser Zahlzeichen bestimmt den Wert dieser Zahlzeichen (Zahlzeichen ganz rechts: mal 1; 2. Zeichen von rechts: mal 10, etc. mal 100, 1000, ...). Zum Beispiel hat das Zahlzeichen 3 in der Zahl 367 den Wert 300.

Ausführlich kann die Zahl 367 so zerlegt werden ...

367 10 ´¨¨¨¨¨¨¨≠3 100 Æ¨¨¨¨¨ ´¨¨¨¨¨≠6 10 Æ¨¨¨ ™7 1 300 60 7

... oder in Potenzenschreibweise ...

2 1 0 367 10 3´¨¨¨¨¨¨¨≠ 10 Æ¨¨¨¨¨ 6´¨¨¨¨¨¨¨≠ 10 Æ¨¨¨¨¨ ´¨¨¨¨¨¨¨≠7 10 Æ¨¨¨¨¨ 300 60 7

Wir wissen ja, dass 10 0 1, 10 1 10 , 10 2 100 , ...

Zahlen werden standardmässig im Dezimalsystem angegeben. Wenn also keine Basis angegeben wird (d.h. 367) wird die Basis 10 angenommen (d.h. 367 367 10 ). BMS 2006 Mathematik Skript.nb 7

Binäre Darstellung (Basis 2)

Die binären Zahlen sind gleich aufgebaut, es werden jedoch nur die beiden Zahlzeichen 0 und 1 und die Basis 2 verwendet. Analog wird der Wert des Zahlzeichens durch die Position des Zahlzeichens bestimmt (von rechts: mal 1, 2, 4, 8, etc.).

Die binäre Zahl 101 hat demnach den Wert ...

1 0 2 101 2 0´¨¨¨¨¨≠ 2 Æ¨¨¨ 1´¨¨¨¨¨≠ 2 Æ¨¨¨ ´¨¨¨¨¨≠1 2 Æ¨¨¨ 4 0 1 5 0 1 4

Die binären Zahlen spielen eine wichtige Rolle im Bereich der Computer (Mikroprozessoren), weil sich zwei Zustände (0/1) sehr einfach (es fliesst Strom/es fliesst kein Strom) repräsentieren lassen.

Hexadezimale Darstellung (Basis 16)

Die hexdezimalen Zahlen sind gleich aufgebaut, es werden jedoch die 16 Ziffern 0, 1, ...8, 9, A, B, C, D, E, F und die Basis 16 verwendet. Die Ziffer A entspricht dabei dem (dezimalen) Wert 10, B dem Wert 11, ..., F dem Wert 15.

Analog wird der Wert der Ziffer durch die Position der Ziffer bestimmt (von rechts: mal 1, 16, 256 etc.).

Die hexadezimale Zahl 3A hat demnach den Wert ...

1 0 3 A16 3´¨¨¨¨¨¨¨≠ 16 Æ¨¨¨¨¨ ´¨¨¨¨¨¨¨¨≠10 16¨¨¨¨¨¨ Æ 48 10 58 48 10

Ganze Zahlen Die natürlichen Zahlen reichen nicht aus, um auch die Umkehroperation der Addition durchzuführen: d.h. ein x zu bestimmen, so dass a # a b c; c # c x a, konkret z.B. 3 # 3 4 7; 7 # 7 x 3.

Innerhalb der natürlichen Zahlen hat die Gleichung 7 x 3 keine Lösung.

Wenn wir jedoch den Zahlenbereich auf die negativen Zahlen erweitern ...

... − 4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

... können wir obige Gleichung lösen: x 4 (d.h. das inverse Element von 4 bezüglich der Addition).

Zahlen, die grösser als Null sind haben das + (plus) als Vorzeichen (oder kein Vorzeichen) und werden positive Zahlen genannt. Zahlen, die kleiner als Null sind haben das - (minus) als Vorzeichen und werden negative Zahlen genannt.

Die Menge der ganzen Zahlen wird mit dem Symbol dargestellt. Die positiven ganzen Zahlen werden mit , die negativen ganzen Zahlen mit bezeichnet. Es gilt 0 . ‹ ‹ 8 < ‹ Mit der Operation "Betrag" (Abkürzung: ... ) kann eine negative Zahl in eine positive umgewandelt werden. 3 3. Die † § † § Operation ändert nichts an einer positiven Zahl: 3 3. † § Der Zahlen strahl wird auf die Zahlen gerade erweitert.

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bemerkungen:

Es gibt (abzählbar) unendlich viele ganze Zahlen. Die ganzen Zahlen enthalten die natürlichen Zahlen. Die Zahl a wird auch als das inverse Element von a bezüglich der Addition bezeichnet, da a a 0 gilt. H L Die Menge der ganzen Zahlen ist abgeschlossen bezüglich der Addition, Multiplikation und Subtraktion. In Computerprogrammen werden die ganzen Zahlen auch mit Integer bezeichnet. BMS 2006 Mathematik Skript.nb 8

Subtraktion Die Rechenoperation Subtraktion kann definiert werden als die Addition mit dem inversen Element: d.h. a b a b . H L In dieser Gleichung ist links das Operationszeichen " " und rechts das Vorzeichen " ". Die Sutraktion und die Addition sind Umkehroperationen zueinander, da jede Addition durch die Subtraktion rückgängig gemacht werden kann. Es gelten die folgenden Bezeichnungen:

Subtraktion a b c Minuend minus Sutrahend gleich Differenz H L Für die Subtraktion gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz.

Rationale Zahlen

Mit den ganzen Zahlen können schon mehr Gleichungen aufgelöst werden (als mit den natürlichen Zahlen allein).

b Die ganzen Zahlen reichen jedoch nicht aus, um auch die Umkehroperation der Multiplikation a SQQT c durchzuführen: d.h. ein x 4 x x so zu bestimmen, dass c SQQT a, konkret z.B. 3 SQQT 12 und 12 SQQT 3

Innerhalb der ganzen Zahlen hat die Gleichung 12 x 3 keine Lösung.

Wenn wir jedoch den Zahlenbereich auf die rationalen Zahlen erweitern ...

1 1 2 1 0, ± , ± , ± , ± ... 1 2 1 3

3 1 ... können wir obige Gleichung lösen: x 12 4 .

Bemerkungen:

Die Menge der rationalen Zahlen wird mit dem Symbol dargestellt. p Sie umfassen alle Terme (Brüche) q , wobei p und q ganze Zahlen und q 0 ist. p Alternative Formulierung: Sie umfassen alle Brüche q , wobei p eine ganze Zahl und q aus ist. Die Menge der rationalen Zahlen ist abgeschlossen bezüglich der Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division (ausser durch 0). Es gibt (abzählbar) viele ganze Zahlen. Das Abzählverfahren kann z.B. mit dem Cantor'schen Zählverfahren durch- geführt werden. Die rationalen Zahlen enthalten die ganzen (und natürlichen) Zahlen. 1 1 1 Die rationalen Zahlen liegen auch auf der Zahlengeraden ( 3 , 4 , 2 sind hier als Beispiel dargestellt).

1 1 -1 − 0 1 2 2

1 1 Die Zahl a wird auch als das inverse Element der Multiplikation bezeichnet, da a a 1 gilt.

Die Rechenoperation Division ( a a : b a b) kann definiert werden als die Multiplikation mit dem inversen Element: d.h. a a 1 b ê b b

Division a c Dividend durch Divisor gleich Quotient bzw. Dividend gleich Quotient H b L H Divisor L BMS 2006 Mathematik Skript.nb 9

Dividend Zähler Bruch Bruch Quotient Divisor Nenner

Für die Division gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz. Durch 0 darf nicht dividiert werden. a a a 1 1 1 1 Die folgenden Brüche sind gleichwertig: b b b a b a b a b a b ...

Die rationalen Zahlen umfassen eigentlich Klassen von Zahlen. So gehören zum Beispiel die folgenden rationalen Zahlen ...

1 2 3 478763902657 , , , ..., , ... 3 6 9 1436291707971

... zur gleichen Klasse, d.h. sie stellen auf der Zahlengeraden den gleichen Punkt dar.

Wir wollen im Folgenden (aus Anschaulichkeitsgründen) eine rationale Zahl mit einem möglichst kleinen Zähler und Nenner darstellen.

Dieses Vorhaben führt uns auf die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen, die Primfaktorzerlegung und die Begriffe kgV und ggT sowie die Umformung (bzw. das Kürzen) von Brüchen, was wir im folgenden Einschub genauer untersuchen wollen.

Einschub: Primzahlen, ggT, kgV

Ein allgemeines Produkt a b kann folgendermassen geschrieben werden:

a b n mit a, b, n a und b sind Teiler von n (in Kurzschreibweise a n und b n » » L n ist ein Vielfaches von a und b. b ist der komplementäre Teiler zu a bezüglich n.

Die Teiler der Zahl n umfassen die Menge aller Zahlen, die die Zahl n ohne Rest teilen. Die Teiler 1 und n werden als unechte Teiler bezeichnet, die übrigen als echte Teiler.

Die Vielfachen der Zahl a umfassen die Menge a, 2a, 3a, ... . Die Zahl a wird als unechtes Vielfaches von a bezeichnet die anderen 8 < als echte Vielfache.

Mit Ausnahme der Quadratzahlen (d.h. 1, 4, 9, 16, ...) hat jede natürliche Zahl stets eine gerade Anzahl von Teilern. Jede natürliche Zahl a ist (unechter) Teiler und (unechtes) Vielfaches von sich selbst ( a a): denn a 1 a. » Jede natürliche Zahl a ist Teiler der Zahl 0 ( a 0): denn a 0 0. » Jede natürliche Zahl a hat den Teiler 1 ( 1 a): denn 1 a a. » Wenn a b und b c, dann gilt a c. » » » a n kann auch als "a teilt n" ausgesprochen werden. »

T bezeichnet die Menge aller Teiler von n. Zum Beispiel T 1, 2, 4, 8 . n 8 8 <

Natürliche Zahlen, die den Teiler 2 haben, heissen gerade Zahlen; die anderen werden ungerade Zahlen genannt.

Man kann gerade Zahlen p allgemein so darstellen: p 2n ( n ) Man kann ungerade Zahlen p allgemein so darstellen: p 2n 1 ( n ) Es gibt viele gerade und ungerade (natürliche) Zahlen. BMS 2006 Mathematik Skript.nb 10

Weiters gelten die folgenden Aussagen: Eine Zahl ist genau dann teilbar durch ...

2 wenn ihre letzte Ziffer durch 2 teilbar ist . 3 wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. 4 wenn die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildeteZahl durch 4 teilbarist. 5 wenn ihre letzte Ziffer eine 5 oder 0 ist. 6 wenn sie gerade ist UND wenn sich ihre Quersumme durch 3 teilen lässt. 8 wenn die aus ihren letzten drei Ziffern gebildeteZahl durch 8 teilbar ist. 9 wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. 10 wenn sie mit einer 0 endet.

Eine natürliche Zahl n r 2 , die nur die beiden trivialen (unechten) Teiler 1 und n besitzt, heisst Primzahl. H L Alternative Formulierung: Eine Zahl mit genau 2 (verschiedenen) Teilern heisst Primzahl.

Die Zahl 2 ist die kleinste Primzahl und zugleich die einzige gerade Primzahl.

Es gibt viele Primzahlen

Beweis (von Euklid)

Zum Beweis gehen wir von der Behauptung aus, dass es nur endlich viele Primzahlen p1,p2, ... pngebe, und bilden daraus die Zahl a p1p2 ... pn 1. Da bei Division von a durch p1,p2, ... pnstets der Rest 1 bleibt, ist a durch keine dieser Primzahlen teilbar. Somit ist die Zahl a entweder eine weitere Primzahl oder teilbar durch eine Primzahl, die nicht auf der Liste ist. Die Liste ist also nicht vollständig und die neue Primzahl muss zur Liste dazuaddiert addiert werden. Durch wiederholte Anwendung des obigen Tricks kann geschlossen werden, dass jede endliche Liste von Primzahlen unvollständig ist. Es gibt also viele Primzahlen. QED.

Die ersten 100 Primzahlen sind

TableForm Partition Table p , i, 1, 100 , 10 @ @ @ i 8

Sieb des Eratosthenes

Zur Bestimmung der Primzahlen im Zahlenbereich 2, n kann das "Sieb des Eratosthenes" Verfahren verwendet werden. @ D Dies ist ein uraltes Verfahren, das auf den antiken Philologen, Mathematiker und Geographen Eratosthenes (276-194 v. Chr.) zurückgeht und besteht aus den folgenden Schritten:

Zuerst schreibt man alle Zahlen von 2 bis n in einer Liste. Dann streicht man alle echten Vielfachen von 2 (d.h. alle durch 2 teilbaren Zahlen). Dann streicht man wiederholt alle echten Vielfachen der nächsten ungestrichenen Zahl (d.h. Vielfachen von 3, 5, 7, ...)

Sieb des Eratosthenes für den Zahlenbereich 2, 30 . @ D 2 3 ¯¯4¯¯¯ 5 ¯¯6¯¯¯ 7 ¯¯8¯¯¯ ¯¯9¯¯¯ ¯10¯¯¯¯ 11 ¯¯¯¯¯12 13 ¯¯¯¯¯14 ¯¯¯¯¯15 ¯¯¯¯¯16 17 ¯¯¯¯¯18 19 ¯¯¯¯¯20 ¯¯¯¯¯21 ¯¯¯¯¯22 23 ¯¯¯¯¯24 ¯¯¯¯¯25 ¯¯¯¯¯26 ¯¯¯¯¯27 ¯¯¯¯¯28 29 ¯¯¯¯¯30 BMS 2006 Mathematik Skript.nb 11

Jede natürliche Zahl, die keine Primzahl ist, kann in (nichttriviale, echte) Teiler zerlegt werden. Dieses Verfahren kann solange wiederholt werden bis nur noch Primzahlen als Teiler vorliegen. Diese Teiler werden Primteiler genannt und die dazugehörige eindeutige Darstellung eines Produkts als Primfaktorzerlegung.

Zur Bestimmung der Primfaktoren kann man systematisch vorgehen, indem man der Reihe nach alle Primzahlen 2, 3, 5, 7, ... als Teiler überprüft. Idealerweise schreibt man die Zahlen untereinander und es resultiert das folgende Schema:

Beispielsweise für die Zahl 120 :

120 2 » 60 2 » 30 2 » 15 3 » 5 5 » 1 Die Primfaktoren von 120 sind: {2, 2, 2, 3, 5}

Beispielsweise für die Zahl 42 :

42 2 » 21 3 » 7 7 » 1 Die Primfaktoren von 42 sind: {2, 3, 7}

Die Primfaktorzerlegung für die Zahlen 50 lautet.

2 21 3 31 4 22 5 51 6 21 31 7 71 8 23 9 32 10 21 51 11 11 1 12 22 31 13 13 1 14 21 71 15 31 51 16 24 17 17 1 18 21 32 19 19 1 20 22 51 21 31 71 22 21 11 1 23 23 1 24 23 31 25 52 26 21 13 1 27 33 28 22 71 29 29 1 30 21 31 51 31 31 1 32 25 33 31 11 1 34 21 17 1 35 51 71 36 22 32 37 37 1 38 21 19 1 39 31 13 1 40 23 51 41 41 1 42 21 31 71 43 43 1 44 22 11 1 45 32 51 46 21 23 1 47 47 1 48 24 31 49 72 50 21 52 51 31 17 1

Zu zwei vorgegebenen natürlichen Zahlen a und b findet man den grössten gemeinsamen Teiler ( ggT) durch Multiplikation der jeweils kleineren Potenz der in beiden Zerlegungen vorkommenden Primteiler.

Beispiel - ggT von 16 und 40

Die Primzahlzerlegung ergibt: 16 24 und 40 23 51. Die kleinere Potenz für den Primfaktor 2 ist 23 und die kleinere Potenz für den Primfaktor 5 ist 50. Der ggT ist demnach 23 50 8.

Zu zwei vorgegebenen natürlichen Zahlen a und b findet man das kleinste gemeinsame Vielfache ( kgV) durch Multiplikation der höchsten Potenzen aller vorkommenden Primteiler.

Beispiel - kgV von 16 und 40

Die Primzahlzerlegung ergibt: 16 24 und 40 23 51. Die höchsten vorkommenden Potenzen sind 24 und 51. Der kgV ist demnach 24 51 80 . BMS 2006 Mathematik Skript.nb 12

Beispiel -Anschauliche Ermittlung des kgV und des ggT für 16 und 40

Anschaulich kann man den ggT und das kgV auch ermitteln, indem man die Primfaktorzerlegung in folgender Weise überein- anderschreibt und für den ggT die gemeinsamen und das kgV alle Potenzen übernimmt:

16 = 2 2 2 2

40 = 2 2 2 5

ggT = 2 2 2 = 8

kgV= 2 2 2 2 5 = 80

Das Produkt a b, der kgV(a,b) sowie der ggT(a,b) erfüllen die folgende Gleichung: a b kgV a, b ggT a, b . H L H L Diese Gleichung kann zur schnellen Berechnung des kgV (ggT) verwendet verwendet werden, falls der ggT (kgV) bekannt ist, sowie zur schnellen Überprüfung der Berechnung des kgV und ggT. Für unser obiges Beispiel führt diese Beziehung auf 16 40 80 8, was korrekt ist.

Rationale Zahlen (Fortsetzung)

Der im Einschub diskutierte ggT kann nun verwendet werden, um eine rationale Zahl mit kleinerem Zähler und Nenner darzustellen. Es gilt nämlich:

p Um eine rationale Zahl q mit kleinstmöglichem Zähler und Nenner darzustellen, müssen der Zähler und der Nenner durch den ggT(p,q) geteilt werden.

16 Beispiel 40 ggT 16 , 40 8 (siehe oben) H L 16 16 8 2 ê 40 40 8 5 ê Weiters kann das im Einschub diskutierte kgV nun verwendet werden, um rationale Zahlen besser miteinander vergleichen zu können. Es gilt nämlich:

Die Grösse von zwei Brüchen ( p1 , p2 ) lässt sich am einfachsten vergleichen, wenn man sie durch Erweitern (d.h. Zähler und Nenner q1 q2 mit der gleichen Zahl multiplizieren) gleichnamig macht (d.h. auf den gleichen Nenner bringt). Dieser gemeinsame Nenner wird Hauptnenner genannt.

Es gibt viele Hauptnenner. Der kleinste Hauptnenner ist das kgV der beiden Nenner: d.h. kgV( q1, q2). Der einfachst zu berechnende Hauptnenner ist das Produkt der beiden Nenner: d.h. q1 q2.

3 7 Vergleich der beiden Brüche 4 und 9 (mit Hauptnenner q1 q2) 3 7 Die beiden Brüche 4 und 9 werden verglichen, indem man beide Brüche auf den Hauptnenner 4 9 36 erweitert, also 39 27 74 28 49 36 und 94 36 . Jetzt sieht man sofort, welcher Bruch der grössere ist.

13 20 Vergleich der beiden Brüche 18 und 27 ( mit Hauptnenner kgV( q1, q2)) Das kgV 18, 27 ist 54. H L 13 20 13 3 39 20 2 40 Die beiden Brüche 18 und 27 werden auf den Hauptnenner 54 erweitert. Dies ergibt 18 3 54 und 27 2 54 . Jetzt sieht man sofort, welcher Bruch der grössere ist. BMS 2006 Mathematik Skript.nb 13

Je nach Grösse und Verhältnis von Zähler und Nenner gibt es unterschiedliche Bezeichnungen von Brüchen.

Einen Bruch mit dem Zähler 1 nennt man Stammbruch. Ist der Zähler kleiner als der Nenner, so spricht man von echten Brüchen , im andern Fall von unechten Brüchen . Jeder unechte Bruch lässt sich durch Abspalten einer ganzen Zahl in eine gemischte Zahl umschreiben.

Beispiele

1 1 Stammbrüche: 5 ; - 3 1 3 2 Echte Brüche: 5 ; 5 ; - 3 4 1 8 2 Unechte Brüche und gemischte Zahlen: 3 1 3 ; 3 2 3 3 4 Ganze Zahlen als unechte Brüche: 3 1 ; 4 1

Brüche können in der Dezimaldarstellung dargestellt werden. Wenn der Nenner in der Primfaktorzerlegung nur die Faktoren 2 und/oder 5 enthält, lässt er sich mit einer endlichen Anzahl von Stellen nach dem Komma darstellen ( endliche Dezimalzahl ); andernfalls wiederholt sich eine bestimmte Folge von Zahlen oft ( periodische Dezimalzahl ). Die Periode wird mit einem waagrechten Strich über allen sich wiederholenden Nachkommazahlen gekennzeichnet. Wenn die Periode gleich hinter dem Komma beginnt spricht man von reinperiodischen Dezimalzahlen , andernfalls von gemischtperiodischen Dezimalzahlen . Statt Dezimalzahl wird auch der Ausdruck Dezimalbruch verwendet.

p Die Länge der Periode eines Bruches q kann natürlich maximal q 1 Stellen erreichen, da bei der Division durch den Nenner q ja auch nur q 1 verschiedene Reste auftreten können und bei einer Periode der entstehende Rest von Null verschieden sein muss. 2 3 Endliche Dezimalzahlen: 5 0.4 , 10 0.3 1 9 Reinperiodische Dezimalzahlen: 3 0. 3, 7 1. 285714 5 3 Gemischtperiodische Dezimalzahlen: 6 0.8 3, 900 0.00 3 Bei der Verwendung von Dezimalzahlen hat man den Vorteil, die Grösse einer rationalen Zahl leichter abschätzen zu können, doch müssen periodische Dezimalbrüche in der Praxis als endliche Näherungszahlen gerundet werden. Die Rechnung wird dadurch manchmal ungenau.

Eine endliche Dezimalzahl wird in einen Bruch umgewandelt, indem man die Nachkommastellen als Zähler und den Nenner als der Stellenzahl entsprechende Zehnerpotenz darstellt.

45 0.45 ergibt 100 87901 5.87901 ergibt 5 100000

Eine reinperiodische Dezimalzahl wird in einen Bruch umgewandelt, indem man den Zähler gleich der periodischen Zahlenfolge setzt und der Nenner soviele Neuner enthält wie die Periode lang ist.

3 1 0.3 gibt 9 3 636 212 0.636 gibt 999 333 Beweis 1000 0. 636 = 636. 636 / subtrahiere 0. 636 999 0. 636 = 636 / dividiere durch 999 636 0.636 = 999

Die folgende Rundungsregel gilt für alle Zweige der Wissenschaft und Technik:

Rundungsregel: Soll der Dezimalbruch oder auch eine ganze Zahl auf n Stellen (vor oder hinter dem Komma) gerundet werden, so ist für die Rundung die ( n 1)-te Stelle massgebend. Die n-te Stelle wird aufgerundet, wenn die nachfolgende Stelle eine 5, 6, 7, 8 oder 9 ist; andernfalls wird abgerundet. Gerundete Zahlen werden durch das Zeichen gekennzeichnet, das "angenähert gleich" oder "rund" gelesen wird. BMS 2006 Mathematik Skript.nb 14

3435 3400 gerundet auf Hunderter H L 3435 3440 gerundet auf Zehner H L 1.095 1.10 gerundet auf Zehntel H L 1.095 1.10 gerundet auf Hundertstel H L Eine beim Runden als letzte Ziffer entstehende Null darf nicht weggelassen werden, da durch ihr ausdrückliches Mitschreiben angedeutet wird, dass die gerundete Dezimalzahl bis zu dieser Stelle genau ist und dass die durch das Runden entstandene Ungenauigkeit 5 Stellen der nächsten Dezimalstelle nicht übersteigt. Genauso dürfen bei gerundeten Dezimalbrüchen keine Nullen angehängt werden, da dies eine nicht vorhandene Genauigkeit vortäuschen würde. Man darf nicht zweimal hintereinander runden, da dies Fehler verursacht. Beispielsweise ergibt die Zahl 57445 auf Hunderter gerundet 57400. Wenn man die Zahl zunächst auf Zehner rundet (57450) und anschliessend auf Hunderter rundet erhält man mit 57500 ein unterschiedliches Ergebnis. Zuweilen werden die Fehlergrenzen bei gerundeten Zahlen mit angegeben z.B. 0.143 0.0005

Einschub: Rechenregeln, Terme und Termumformungen Die meisten der folgenden Definitionen, Rechenregeln und Gesetze, haben wir schon auf der Sekundarstufe I kennengelernt und werden hier nur zusammenfassend dargestellt.

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen (Platzhalter), Symbolen für mathematische Operationen (+, -, ·, :) sowie Klammern zur Gruppierung enthält. Terme sind sozusagen die grammatikalisch korrekten Wörter oder Wortgruppen in der Sprache der Mathematik.

Beispiele: a b, 4x , x s 3 x2 H L Gegenbeispiele (keine Terme): 9 5, y 2x 4, x x  20 8 » <

Distributivgesetz (und daraus ableitbar)

a b c a b a c H L a b c a b a c H L a b c d a b a c a d b c d a H L H L a b c a c b c H L ê ê ê

Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, so erhalten alle Summanden innerhalb der Klammer das umgekehrte Vorzeichen, wenn die Klammer aufgelöst wird.

a b c d a b c d H L a b c d a b c d H L

Zahlen, die nacheinander subtrahiert werden sollen, kann man auch addieren und en bloc als Summe sutrahieren.

a b c d e a b c d e H L

Das Produkt (bzw. der Quotient) zweier ganzer Zahlen ist genau dann positiv, wenn beide Faktoren (bzw. der Dividend und der Divisor) dasselbe Vorzeichen besitzen; im andern Fall ist das Produkt (bzw. der Quotient) negativ.

+ × + = + ; + × − = − ; H L H L H L H L H L H L − × + = − ; − × − = + ; H L H L H L H L H L H L + : + = + ; + : − = − ; H L H L H L H L H L H L − : + = − ; − : − = + ; H L H L H L H L H L H L BMS 2006 Mathematik Skript.nb 15

Die Ordnungsrelation (  , , , ) dreht sich bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl (bzw. bei der Division durch eine negative Zahl) um.

c  0 a  b c a c b ﬂ

Multipliziert man den Zähler a und den Nenner b eines Bruches mit derselben Zahl ( 0), so hat man den Bruch erweitert. Der Wert des Bruches bleibt dabei unverändert.

a a c ; c 0 b b c

Dividiert man den Zähler a und den Nenner b eines Bruches durch dieselbe Zahl ( 0), so hat man den Bruch gekürzt. Der Wert des Bruches bleibt dabei unverändert. Wenn man den Bruch mit dem ggT von a und b kürzt, erhält man die kleinstmöglichen ganzen Zahlen.

a a : c a ; c 0 b b : c c b c

Ein Bruch darf nicht mit Null erweitert oder gekürzt werden.

a c Kreuzregel: Die Brüche b und d sind genau dann gleich und gehen durch Erweitern oder Kürzen ineinander über, wenn a d b d ist.

a c a d b d b d

a + c Brüche b d werden addiert (bzw. subtrahiert), indem man sie zunächst gleichnamig macht. Dies kann einerseits geschehen, indem man den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten Bruch mit dem Nenner des ersten Bruchs multipliziert a d + c b b d d b . Der gemeinsame Nenner ist b d. Andererseits kann man beide Brüche auch auf das kgV der beiden Nenner erweitern. Die anschlissende Addition (bzw. Subtraktion) der neuen Zähler ergibt den Zähler der Summe (bzw. der Differenz); der Nenner bleibt beibehalten. 1 3 1 ⋅ 8 3 ⋅ 12 8 36 44 11 Methode 1 : + = + = + = = 12 8 12 ⋅ 8 8 ⋅ 12 96 96 96 24 1 3 1 ⋅ 2 3 ⋅ 3 2 9 11 Methode 2 : + = + = + = 12 8 12 ⋅ 2 8 ⋅ 3 24 24 24

a c Zwei Brüche b und d werden miteinander multipliziert, indem man die vorkommenden Zähler und Nenner getrennt multipliziert: a c ac a c a c a d ad b d bd . Bei der Division von zwei Brüchen b und d wird mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert: b : d b c bc . Die Multiplikation (und Division) von Brüchen ist somit einfacher als die Addition bzw. Subtraktion von Brüchen.

a a c b Die Division : kann auch als Doppelbruch geschrieben werden c b d d

Reelle Zahlen

Durch Erweiterung von den natürlichen auf die ganzen Zahlen und dann auf die rationalen Zahlen konnte die Anzahl der möglichen Berechnungen bedeutend erweitert werden.

Sie reichen jedoch noch nicht aus, um auch die folgende Gleichung zu lösen:

x2 = 2 BMS 2006 Mathematik Skript.nb 16

Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist.

Beweis

Wir nehmen an, dass es zwei positive natürliche Zahlen p und q gibt, die die folgende Gleichung erfüllen:

p 2 2 J q N

Daraus folgt:

p2 2 q2

Daraus folgt, dass p2 q2 0 und dass p2 eine gerade Zahl ist. Daraus folgt, dass auch p eine gerade Zahl ist (und nicht eine ungerade, da eine quadrierte ungerade Zahl immer auch ungerade wäre), also p 2 r (für ein bestimmtes r), und somit eingesetzt:

2 r 2 2 q2 H L q2 2 r2

Wir schliessen daraus q2 r2 0 und dass q2 und q gerade Zahlen sind und mit dem Ansatz q 2 s das obige Argument wiederholen und erhalten schlussendlich eine lange Kette von Ungleichungen ...

p2 q2 r2 s2 … 0

wobei alle Terme positiv sind. Dies kann jedoch nicht sein. Es gibt nicht viele positive ganze Zahlen zwischen 0 und p2.

Unsere Schlussfolgerungen führen also auf einen Widerspruch. Damit ist bewiesen, dass die Annahme falsch war. QED.

Bemerkung:

p Häufig wird ein etwas kürzerer Beweis gezeigt, wo man aber zusätzlich (ohne zu zeigen) voraussetzt, dass der Bruch q vollständig gekürzt ist und p und q keine gemeinsamen Faktoren mehr haben.

Wurzel ziehen

Wir haben für die Zahl 2 bewiesen, dass die Umkehroperation ( x = è2 !2!!! = è!2!!!) zum Quadrieren ( x2 = 2) aus der Menge der rationalen Zahlen hinausführt. Dies gilt nicht nur für die Umkehroperation zur Potenz mit dem Exponent 2.

Wir können allgemeiner für eine Potenz mit einem Exponenent ( 0) definieren.

Wurzelziehen q Wurzelexponent è!b!!! a è!Radikand!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Wurzel wert H L

q Die q-te Wurzel aus einer Zahl b ist diejenige Zahl a, deren Potenz mit dem Exponenten q gleich b ist: è!b!!! a b = aq für alle b 0 und q \ {0}

Statt Wurzelziehen sagt man auch Radizieren. Ist n 2 spricht man von der Quadratwurzel. Ist n 3 spricht man der Kubikwurzel Wie jede Subtraktion als Addition und jede Division als Multiplikation kann auch jede Wurzel als Potenz geschrieben q 1 werden: è!b!!! b q .

m m n q n m Wenn der Exponent q eine rationale Zahl ist ( q n ), so ist auch eine Darstellung in der folgenden Form möglich : b b è!b!!!!!! mit n und m . BMS 2006 Mathematik Skript.nb 17

q 1 Der Exponent darf auch negativ sein. Dann gilt: b bq . Die Basis b muss von 0 verschieden sein, da sonst die Division durch Null entsteht.

Die Potenzrechnung und die Wurzelrechnung sind im Bereich der nichtnegativen Zahlen Umkehroperationen zueinander; die q-te q q q Wurzel hebt die q-te Potenz wieder auf und umgekehrt: è!b!!q!!! è!b!!! b I M Für alle Zahlen a gilt: a0 = 1 Der Wert 00 wird nicht einheitlich definiert. Ein Taschenrechner gibt einen "Error" zurück. Wie wir jedoch später sehen werden gilt obige Beziehung ( a0 1) auch für a gleich 0: d.h. 00 1

n Für geradzahlige Wurzelexponenten n ist die Wurzel è!b!!! (in ) nur definiert, wenn b eine positive Zahl oder gleich Null ist; für ungerade n darf b auch negativ sein.

2 è!!!!3!!! nicht definiert in H L 3 è!!!!!8!!! 2 in H L

Aus der Gleichheit zweier Quadrate ( x2 4) kann nicht auf die Gleichheit zweier Wurzeln ( x 2) geschlossen werden, denn è!x!!2!!! è!4!!! x 2 x 2 x 2 † § ﬁ

Potenz- und Wurzelgesetze

Auf die Angabe des Definitionsbereiches für m, n, q, ... wird verzichtet. Es gelten jedoch die gleichen Einschränkungen wie im vorigen Abschnitt. Wir vereinbaren stillschweigend dass ...

die Radikanden nichtnegative reelle Zahlen; die Zähler der Exponenten ganze Zahlen; die Nenner der Exponenten natürliche Zahlen 0; sowie allfällige Nenner von Null verschieden; sind.

Potenzen und Wurzeln dürfen nur addiert (subtrahiert) werden, wenn sowohl die Exponenten als auch die Basen übereinstimmen: x an y an x y an H L

Potenzen können folgendermassen miteinander multipliziert werden, falls die Basen übereinstimmen : an am anm

Daraus folgt auch für Wurzeln und die Division:

n m 1 1 1 1 mn m n è!a!!! è!a!!! a n a m a n m a m n è!a!!m!!!!!n!!!

an n m nm mn 1 am a a a a H L amn

n a 1 n 1 1 mn m n è!!!! a ê n m m n mn m 1 m a a è!a!!!!!!!!!! è!a!!! a ê

Potenzen und Wurzeln können folgendermassen miteinander multipliziert werden, falls die Exponenten übereinstimmen : an bn a b n H L

Ausserdem gilt: an m an m H L

Daraus folgt auch für Wurzeln und die Division: BMS 2006 Mathematik Skript.nb 18

n n n è!a!!! è!b!!! è!a!!! b!!!

n n n a anbn an b1 a b1 a n bn H L H L H b L

n è!a!!! n a n . .. è!b!!! "##b####

Potenzumformungen

Die folgenden Formeln können dazu verwendet, Summen (und Differenzen) in Produkte umzuformen. Dies ist u.a. zum Kürzen wichtig.

a2 b2 unzerlegbar in

a2 b2 a b a b H L H L a3 b3 a b a2 b a b2 H L H L a3 b3 a b a2 b a b2 H L H L Binomische Formeln:

a b 2 a2 2 b a b2 H L a b 2 a2 2 b a b2 H L a b 3 a3 3 b a2 3 b2 a b3 H L a b 3 a3 3 b a2 3 b2 a b3 H L Mit Hilfe des Pascal'schen Dreiecks lassen sich Ausdrücke a b n mit grösseren n sehr schnell berechnen. H L

Irrationale Zahlen

So wie die Subtraktion (Umkehroperation der Addition) aus der Menge der natürlichen Zahlen auf und die Division (Umkehroperation der Multiplikation) aus der Menge der ganzen Zahlen hinaus auf geführt hat, führt auch das Radiz- ieren (die Umkehroperation des Potenzierens) aus der Menge der rationalen Zahlen hinaus und zwar auf die Menge der sogenannten reellen Zahlen .

Die Menge der reellen Zahlen beinhaltet somit die rationalen sowie die (neuen) irrationalen Zahlen .

‹ Eine reelle Zahl ist also entweder rational oder irrational.

Eine irrationale Zahl lässt sich weder durch eine endliche noch durch eine unendliche periodische Dezimalzahl darstellen, sondern nur mittels einer unendliche nicht-periodischen Dezimalzahl. Es kann gezeigt werden, dass è!p!!! irrational ist, wenn p eine Primzahl ist.

Irrationale Zahlen, die sich auf Wurzelausdrücke zurückführen lassen werden als algebraisch irrational bezeichnet; solche, bei denen dies nicht gelingt, transzendent irrational .

Die Kreiszahl Pi (3.141592653589793...) sowie die Eulerzahl E (2.718281828459045...) sind transzendent irrational.

è!2!!! ist eine algebraisch irrationale Zahl. BMS 2006 Mathematik Skript.nb 19

Zahlendarstellungen in Computern In den Computern, in Prozessoren und in Taschenrechnern werden die Zahlen in der binären Darstellung dargestellt. Die maximale Grösse von ganzen Zahlen, aber auch die Genauigkeit der reellen Zahlen hängt ab von der Anzahl Bytes, die für die Abspeicherung einer Zahl verwendet werden.

Ein Byte entspricht dabei 8 Bits. Für den Datentyp Unsigned (d.h. ganze Zahl ohne Vorzeichen) können damit die Zahlen von 0 ('00000000', 8 Nullen) bis 255 ('11111111', 8 Einsen) dargestellt werden, insgesamt also 256 Zahlen.

Die Programmiersprachen (C, C++, Java, JavaScript, ...) verwenden unterschiedliche Datentypen. JavaScript unterscheidet beispielsweise nicht zwischen ganzen und Dezimalzahlen und stellt alle Zahlen im 64-Bit-Gleitkommaformat dar.

Java andererseits kennt die folgenden Datentypen:

Name Länge in Bytes Wertebereich byte 1 128 bis 127 short 2 32768 bis 32767 int 4 231 bis 231 1 long 8 263 bis 263 1 float 4 1.40239846 10 45 bis 3.40282347 10 38 double 8 4.94065645841246544 10 324 bis 1.79 ... 10 308

Für ganze Zahlen wird ein Bit für das Vorzeichen verwendet. Damit lassen sich mit einem Byte Zahlen von -128 bis 127 darstellen.

Reelle Zahlen werden mit 2, 4 oder 8 Bytes abgespeichert. Dabei wird ein Teil für die Mantisse, ein anderer Teil für den Exponent verwendet.

Auf Grund der begrenzten Anzahl von Stellen rechnet ein Prozessor oder Taschenrechner mit fixer Präzision. Insbesondere bei der Subtraktion von Zahlen, die sich nur um einen kleinen Wert unterscheiden (z.B. 1'000'000 - 1'000'001), kann die begrenzte Präzision zu Fehlern führen.

Bei CAS (Computer Algebra Systems) kann mit (fast) beliebig grossen ganzen Zahlen gerechnet werden. Als Beispiel:

12 330

134837656471779928001118540055115333836537733184209356997941166830182238194443420953011766675444744476 38955416237808429640667834167148377648711982773432526453419800059881911999461894485497615083084215570 98938581822915299347184942365053665416965650321226811284069639177913178041573967728865165401308749283 13314546959792080404103269560297837868053670001639424

Diese Zahl entspricht in Dezimalschreibweise (auf 20 Stellen genau) ...

N 12 330 , 20 @ D 1.34837656471779928001118540055115333837`20.*^356

Diese Zahl (Exponent 356) wäre zu gross für Java.

Der folgende Ausdruck gibt die Zahl Pi auf 200 Stellen genau an. Dies übersteigt bei weitem die Präzision einer reellen Zahl in Java (die Mantisse hat für den Datentyp double in Java nur rund 15 Ziffern).

N , 200 @ D 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798 21480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644 288109757`200. BMS 2006 Mathematik Skript.nb 20

Bemerkungen:

Im Computer sind die Zahlen 0 und 0.0 nicht identisch.

Komplexe Zahlen

http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/complex1.html

Definition der imaginären Einheit

Durch Erweiterung von den Natürlichen auf die Ganzen Zahlen, dann auf die Rationalen Zahlen und schlussendlich auf die Reellen Zahlen konnte die Klasse der Gleichungen, die im entsprechenden Zahlenbereich gelöst werden können, bedeutend erweitert werden.

Die Bereich der Reellen Zahlen reicht jedoch immer noch nicht aus, um zum Beispiel auch die folgende Gleichung (in ) lösen zu können:

x2 1

Denn alle quadrierten reellen Zahlen sind grösser oder gleich 0. Wenn wir jedoch definieren ...

Definition: die imaginäre Einheit erfüllt die Gleichung 2 U 1

... kann auch die obige Gleichung gelöst werden, denn die neu eingeführte imaginäre Einheit löst diese direkt.

Summen- und Paardarstellung

Diese imaginäre Einheit nimmt eine zentrale Stellung ein, da durch Addition und Multiplikation reeller Zahlen mit der imaginären Einheit jede andere komplexe Zahl konstruiert werden kann (z.B. 5 6, 3 , 4.7 3.2 )

Definition: Eine (allgemeine) komplexe Zahl z hat in der Summendarstellung die Form z x y, wobei x und y reelle Zahlen sind: x wird Realteil und y wird Imaginärteil der komplexen Zahl genannt.

Es können die beiden Funktionen Re z und Im z definiert werden, die den Realteil von z x y bzw. den Imaginärteil von @ D @ D z zurückgeben: also Re x y x und Im x y y. @ D @ D

Eine komplexe Zahl kann auch als geordnetes Paar x; y oder x, y reeller Zahlen, dargestellt werden ( Paardarstellung). H L 8 < BMS 2006 Mathematik Skript.nb 21

Während die reellen Zahlen als Punkt auf einer 1-dimensionalen Zahlengerade dargestellt werden können, ...

... lassen sich die komplexen Zahlen (z.B. z x i y oder x; y ) als Punkte (oder Ortsvektoren) in der sogenannten komplexen H L (2-dimensionalen) Ebene bzw. Gauss'schen Zahlenebene darstellen.

Dabei stellt der Realteil x die Abszisse und der Imaginärteil y die Ordinate des der komplexen Zahl z x i y bzw. x; y H L bzw. x, y zugeordneten Punktes dar. Diese Zuordnung ist eindeutig. Jedem Punkt der komplexen Ebene entspricht genau 8 < eine komplexe Zahl und jeder komplexen Zahl entspricht genau ein Punkt dieser Ebene.

Polardarstellung

Es gilt allgemein die folgende wichtige Formel: cos sin H L H L Und daraus speziell für 180 Grad : 1 0 H L

Daraus folgt, dass sich jede komplexe Zahl x y (kartesische Koordinaten) auch in der Form r (Polarkoordinaten) darstellen lässt:

z x y r r cos sin r cos r sin H H L H LL H L H L Dabei ist r der Betrag (Modulus) der komplexen Zahl z und die Phase (Argument, Winkel). Die Umrechnung zwischen x, y und H L r, erfolgt mit folgenden Formeln: H L r è!x!!2!!!!!!!!y!!!2!! tan 1 y H x L x r cos y r sin H L H L

5 i Komplexe Ebene 4 i z 3 i

2 i r

1 i y φ x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 −1 i

−2 i

−3 i

−4 i

−5 i

Bemerkungen Die Menge der komplexen Zahlen wird mit bezeichnet. Die komplexen Zahlen mit einem Imaginärteil gleich 0 sind die reellen Zahlen. Die komplexen Zahlen mit einem Realteil gleich 0 werden als rein imaginäre Zahlen bezeichnet: z.B. 5 , . BMS 2006 Mathematik Skript.nb 22

Für das Rechnen mit komplexen Zahlen gelten die bekannten Gesetze der Algebra (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz).

Für die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division gelten die folgenden Rechenregeln.

Addition und Sutraktion (komponentenweise)

a b c d a c b d H L H L H L H L a b c d a c b d H L H L H L H L

Multiplikation

a b c d a c b d b c a d H L H L H L H L

Dies kann durch Ausmultiplizieren und unter Verwendung von " b d 2 b d b d " gezeigt werden. Division

a b a b c d a cb c a d b d a cb d b ca d H L H L H L c d c d c d c2d2 c2d2 c2d2 H L H L

Dies kann durch Multiplikation des Zählers und des Nenners mit c d (der zu c d komplex konjugierten Zahl, siehe später) und unter Verwendung von " b d 2 b d b d " gezeigt werden werden. Die reellen Zahlen liegen auf der Reellen Achse (Realachse) und die rein imaginären Zahlen auf der Imaginären Achse (Imaginärachse). Die komplexen Zahlen lassen sich nicht grössenmässig vergleichen (d.h. mit <, >, ...). Allerdings kann man über den Abstand eines komplexen Punktes in der Gauss'schen Zahlenebene vom Ursprung eine Art Grössenvergleich unter den komplexen Zahlen herstellen. Unter dem Abstand r eines komplexen Punktes z x i y vom Ursprung bzw. dem Betrag oder Modulus z einer komplexen Zahl z x i y versteht man die reelle, nichtnegative Zahl † § r z è!x!!2!!!!!!!!y!!2!!!(Satz von Pythagoras). † § Der Betrag von z beträgt z "#cos#############2#######sin############2### è!1!!! 1; das heisst, die komplexe Zahl liegt auf dem † § H L H L Einheitskreis. z x i y und z x i y nennt man konjugiert zueinander . z kann aus z durch Spiegelung an der Realachse erhalten werden. Das Produkt z z beträgt x2 y2 wie man durch Ausmultiplikation leicht nachrechnen kann, ist also immer eine nichtnegative reelle Zahl.

Jede komplexe Zahl kann auch auch als Vektor oder gerichteter Pfeil (in der Gauss'schen Ebene) aufgefasst werden.

Die komplexe Addition z z1 z2 entspricht dabei einer Vektoraddition bzw. der Verschiebung des Punktes z1 um den

Vektor z2. Die komplexe Multiplikation z z1 z2 (mit z2 r2 2 ) entspricht einer Rotation des Punktes z1 (um den Winkel 2 um

den Ursprung) plus Streckung um den Faktor r2. Dies kann man in der Polardarstellung der komplexen Zahlen leicht verifizieren: mit z1 r1 1 und z2 r2 2 folgt:

z z1 z2 r1 1 r2 2 r1 r2 1 2 r1 r2 H 1 2L . Die Division komplexer Zahlen ist ähnlich wie bei der Multiplikation sehr viel einfacher in der Polardarstellung als in der Komponentenschreibweise. Bei der Division ist der Betrag des Quotienten gleich dem Quotienten der Einzelbeträge und das Argument gleich der Differenz der Einzelargumente:

z1 r1 z H 1 2L z2 r2 Das neutrale Element bezüglich der Addition ist (die reelle Zahl) 0. BMS 2006 Mathematik Skript.nb 23

Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist (die reelle Zahl) 1. Das inverse Element zu x y bezüglich der Additon ist x y. x y x y x y x2y2 H L H L Das inverse Element zu x y bezüglich der Multiplikation ist x2y2 . Denn x2y2 x2y2 1. Rechenregeln für komplexe Zahlen z, w: z 0 † § z 0 z 0 † § w z w z † § † § † § Dreiecksungleichung: w z w z † § † § † § Die Menge ist nicht identisch zur Menge der reellen Zahlenpaare ( 2, Vektorraum). Die Addition ist gleich wie für den Raum 2 definiert, die Multiplikation ist jedoch speziell für .

Warum brauchen wir komplexe Zahlen ?

Die folgenden Abschnitte beschreiben einige wichtige Punkte, warum es Sinn macht sich mit den komplexen Zahlen zu beschäftigen.

Physikalische Grössen

Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Bereiche, in denen im wirklichen Leben die komplexen Zahlen eine wichtige Rolle spielen:

1.) Physikalische Grössen, die natürlicherweise mit komplexen Zahlen (und nicht mit reellen Zahlen) beschrieben werden.

2.) Physikalische Grössen, die - auch wenn sie mit reellen Zahlen beschrieben werden - am besten mittels der Mathematik von komplexen Zahlen verstanden werden.

Es gibt relativ wenige Grössen aus dem ersten Bereich, während die Grössen aus dem zweiten Bereich sehr häufig sind. Als Beispiel für den ersten Bereich sei der (komplexe) Brechwert eines Mediums angegeben: n n k. Hier beschreibt k die Absorption des Mediums.

Polynomgleichungen

Der Fundamentalsatz der Algebra sagt aus, dass jedes Polynom n-ten Grades genau n komplexe oder reelle Lösungen hat. Zu jeder komplexen Lösung z ist auch die konjugiert komplexe Zahl z eine Lösung.

Mit anderen Worten: zur Lösung der (einfachen algebraischen Polynome) brauchen wir die komplexen Zahlen.

Beispiele:

Solve x2 10 x 40 0, x @ D x 5 è!15!!!!!! , x 5 è!15!!!!!! 99 = 9 ==

Solve x2 49 0, x @ D x 7 , x 7 88 < 8 <<

Physikalische Gleichungen

Die komplexen Zahlen werden nicht nur gebraucht, um algebraische Gleichungen zu lösen oder um physikalische Grössen zu beschreiben, sondern kommen explizit auch in wichtigen Gleichungen der Physik vor: z.B. der Schrödinger Gleichung.

Die Schrödingergleichung geht dabei aus der Gleichung für die Energie ...

2 ÷p” E 2 m V BMS 2006 Mathematik Skript.nb 24

mit totaler Energie E, Impuls p, Masse m und potentieller Energie V

... durch die Substitution der Energie und des Impulses durch Ableitungen nach dem Ort bzw. der Zeit ( p Ñ x , ÷” ê ÷” E t) hervor: ê Ñ2 2 dt 2 m x2 V

Geometrie in der Ebene

Geometrische Vorgänge in der Ebene lassen sich sehr einfach mit komplexen Zahlen beschreiben.

Translation: Addition bzw. Subtraktion von komplexen Zahlen;

Rotation, Streckung: Multiplikation und Division von komplexen Zahlen;

Spiegelung an der Reellen Achse : z Komplex Konjugieren;

Spiegelung an der Reellen Achse : z Komplex Konjugieren und mit -1 multiplizieren;

Herleitung der Additionsformeln für Sinus und Cosinus

Mit Hilfe der komplexen Zahlen lassen sich sehr einfach Winkelsätze für den Sinus und Cosinus herleiten. Beispielsweise führt ...

@ D cos sin H L H L @ D cos sin H L H L @ D cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin H H L H LL H H L H LL H H L H L H L H LL H H L H L H L H LL ... das Gleichsetzen der Realteile und Imaginärteile auf:

cos cos cos sin sin H L H L H L H L H L sin cos sin cos sin H L H L H L H L H L

Mandelbrot Menge

Eine sehr einfache Iterationsvorschrift für komplexe Zahlen c führt auf die einzigartige Mandelbrotmenge.

2 zn1 zn c und z0 0

Zahlen c, die mit dieser Vorschrift endlich bleiben, werden schwarz eingefärbt; den anderen Zahlen wird - je nachdem wie schnell sie ins divergieren - eine Farbe zugewiesen. Dies führt auf sehr interessante fraktale Strukturen.

Die Mandelbrotmenge wird mit dem Programm "C:\Programme\ModelingReality\Mandelbrot.exe" illustriert. BMS 2006 Mathematik Skript.nb 25

Elektrischer Stromkreis, Impedanz

Für einen Widerstand R in einem Stromkreis gilt die folgende Beziehung zwischen dem Strom I und der Spannung U.

U RI

Dabei ist der Widerstand eine reelle Grösse. Durch Definition der komplexen Impedanz Z ...

1 Z R L C

... kann auch die Wirkung einer Induktivität L sowie einer Kapazität C für einen Wechselstrom beschrieben werden:

U ZI

Die komplexen Terme beschreiben automatisch die frequenzabhängig ( ) Abschwächung und Phasenverschiebung des Stromes.

Übersicht über die behandelten Zahlenbereiche

Mengendarstellung

Wir haben in den vergangenen Abschnitten verschiedene Einteilungen der Zahlenbereiche durchgeführt. In zusammenfas- sender Darstellung soll dies hier dargestellt werden.

Es gelten ausserdem die folgenden Beziehungen:

0 ‹ 8 < 0 ‹ ‹ 8 <

‹ BMS 2006 Mathematik Skript.nb 26

Rechengesetze

Die folgenden Rechengesetze gelten für alle Zahlenbereiche

Kommutativgesetz a bezüglich Addition a b b a L b bezüglich Multiplikation a b b a L

Assoziativgesetz a bezüglich Addition a b c a b c L H L H L b bezüglich Multiplikation a b c a b c L H L H L

Neutrales Element a bezüglich Addition 0 da a 0 0 L H L b bezüglich Multiplikation 1 da a 1 a L H L

Gleichheitsgesetze a bezüglich Addition a b a c b c L b bezüglich Multiplikation a b a c b c L

Die folgenden Rechengesetze gelten für alle Zahlenbereiche ausser

Trichotomiegesetz für zwei Zahlen a, b gilt immer : a b oder a b oder a  b

Transitivitätsgesetz a  b a c  b c

Monotoniegesetzeder Ordnungsrelation a bezüglich Addition a  b, c 0 c a  c b L b bezüglich Multiplikation a  b, c  0 c a c b L

Die folgenden Rechengesetze gelten für alle Zahlenbereiche ausser

Inverses Element a bezüglich der Addition a weil a a 0 L H L b bezüglich der Multiplikation 1 weil a 1 1 L a a

Betrag ≤Ø a a 0 Reelle Zahlen: a ≤∞ † § ± a a  0

Komplexe Zahlen: z è!x!!2!!!!!!!!y!!2!!! † §