Research Collection Doctoral Thesis Die direkte Bestimmung der massgebenden Gleitfläche und des minimalen Gleitsicherheitsfaktors homogener und inhomogener Böschungen Author(s): Gerber, Fritz Peter Publication Date: 1965 Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000091968 Rights / License: In Copyright - Non-Commercial Use Permitted This page was generated automatically upon download from the ETH Zurich Research Collection. For more information please consult the Terms of use. ETH Library Prom. Nr. 3622 Die direkte Bestimmung der maßgebenden Gleitfläche und des minimalen Gleitsicher¬ heitsfaktors homogener und inhomogener Böschungen VON DER EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN ZÜRICH ZUR ERLANGUNG DER WÜRDE EINES DOKTORS DER TECHNISCHEN WISSENSCHAFTEN GENEHMIGTE PROMOTIONSARBEIT VORGELEGT VON FRITZ PETER GERBER dipl. Bauingenieur ETH von Langnau i. E. Referent: Herr Prof. G. Schnitter Korreferent: Herr Prof. Dr. P. Läuchli 1965 Zürich Ed. Truninger VORWORT In der vorliegenden Arbeit wird eine Methode zur mathematischen Be¬ stimmung der massgebenden Gleitfläche und damit des minimalen Gleitsicher¬ heitsfaktors beliebiger Böschungen entwickelt. Die praktische Anwendung des Verfahrens, welche erst meine Untersuchungen sinnvoll macht, soll da¬ bei durch das gegebene ALGOL - Programm erleichtert werden. Es ist mir ein Bedürfnis an dieser Stelle allen die direkt oder indi¬ rekt zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben meinen herzlichsten Dank auszusprechen. Der Ausdruck meiner tiefsten Verbundenheit gilt vorab Herrn Prof. G. Schnitter für seine umsichtige Leitung und für die von einer um¬ fangreichen Erfahrung gekennzeichneten Ratschlägen und Anregungen, sowie Herrn Prof. Dr. P. Läuchli für die Uebernahme des Korreferats und für die wertvollen Hinweise mathematischer Art. Mein Dank richtet sich im weiteren auch an die Elektro - Watt, Zürich für den mir seinerzeit gewährten Urlaub und für den dort rege gepflegten Gedankenaustausch, sowie an die Herren des Instituts für angewandte Mathematik der ETH für ihre aufbauende Mithilfe bei der Lösung programmtechnischer Probleme. Zürich, April 1965 Fritz P. Gerber INHALTSVERZEICHNIS Seite 1. Einleitung 1 1.1. Allgemeines 1 1.2. Die Methode von W. Fellenius 2 1.2.1. Porenwasserspannungen 6 1.2.2. Der Begriff der Gleitsicherheit. 7 1.3. Klassische Auswertungsverfahren 12 1.3.1. Variation von R, B und A 13 1.3.2. Verfahren mittels Isoasphalien 14 2. Das vorgeschlagene Auswertungsverfahren 16 2.1. Definitionen, Voraussetzungen und Annahmen 16 2.2. Prinzip des Verfahrens 17 2.3. Herleitung des Verfahrens für homogene Böschungen 25 2.3.1. Darstellung des Nenners N als Funktion von p 26 2.3.2. Darstellung des Zählers Z als Funktion von p 29 2.3.3. Massgebender Gleitkreis und minimale Gleitsicherheit 32 2.4. Herleitung des Verfahrens für inhomogene Böschungen 34 2.4.1. Darstellung des Nenners N als Funktion von p 35 2.4.2. Darstellung des Zählers Z als Funktion von p 38 2.4.3. Massgebender Gleitkreis und minimale Gleitsicherheit 41 3. Anleitung für die programmgesteuerte Berechnung 43 3.1. Voraussetzungen und Einschränkungen 43 3.1.1. Maschinentechnisch 43 3.1.2. Geometrisch 43 3.1.3. Erdbaumechanisch 44 3.1.4. Mathematisch 45 3.2. Input 48 3.3. ALGOL - Programm 51 3.4. Output 63 3.4.1. Resultate 63 3.4.2. Meldungen 63 4* Anwendungsbeispiele 65 4.1. Beispiel Nr. 1 65 4.2, Beispiel Nr. 2 68 Seite 4o3. Beispiel Nr. 3 70 4.4. Beispiel Nr. 4 73 Anhang 1 78 Anhang 2 79 Anhang 3 83 Anhang 4 86 Symbolregister 91 - 1 - 1. EINLEITUNG 1.1. Allgemeines Jede Stabilitätsberechnung, gleich nach welcher Methode und in welcher Form sie durchgeführt wird, bezweckt die Bestimmung der geringsten Gleitsicher¬ heit eines gegebenen Böschungsabschnittes, sei es zur Dimensionierung neuer, sei es zur Ueberprüfung bestehender Schüttungen. Die Zuverlässigkeit einer solchen Untersuchung hängt einmal davon ab, wie genau die gewählte Methode das wirkende Kräftespiel erfasst und wie gross der Einfluss der durch allenfalls notwendigen Annahmen entstehenden Unzulänglichkeiten ist. Von nicht geringerer Bedeutung ist im weiteren die möglichst exakte Kenntnis der im Laboratorium und in situ zu bestimmenden materialtechnischen Kennziffern, besonders die der und beiden Scherparameter c1 tgf • Vorerst unterscheidet sich demnach eine Stabilitätsberechnung nicht von irgend einem anderen Dimensionierungsproblem des Bauingenieurwesens. Die prak¬ tische Anwendung zeigt jedoch, dass das mehrfach implizite Problem auch in "einfacheren Fällen" zu recht umfangreichen Berechnungen führt; dies vor allem deshalb, weil die massgebende Gleitfläche und damit die minimale Gleitsicher¬ heit mit den bisher üblichen Methoden nicht direkt, sondern aus einer mehr oder weniger grossen Anzahl zu untersuchender Gleitflächen bestimmt wird. Aus dem soeben gesagten geht hervor, dass die Zuverlässigkeit einer Stabilitätsbe¬ rechnung, abgesehen von der angewandten Methode und von den gegebenen material¬ technischen Kennziffern, letztlich von der Anzahl untersuchter Gleitflächen ab¬ hängt, und dass auch für sogenannte einfachere Fälle ( Vorprojekte, rasche Kon¬ trollen, überschlagsmässige Dimensionierungen, etc. ) erst eine relativ grosse Anzahl eine möglichst zutreffende Auswahl vorzunehmen gestattet. Es war deshalb wünschenswert, diese bautechnisch uninteressante, innerste und daher bei jeder Berechnung mehrmals wiederkehrende Iteration genauer zu untersuchen, und Wege zu finden, welche die Empirie und die der Ausdauer des die Berechnung ausführenden Ingenieurs entsprechende Zufälligkeit durch ein ma¬ thematisches Verfahren ersetzen. Die naheliegende Formulierung als Extrenalproblem führt, wie noch zu zei¬ gen sein wird, zum Ziel, gleichzeitig aber zu ungewohnten Definitionen und zu recht komplizierten Ausdrücken, deren numerische Lösung im Gegensatz zu den bisher üblichen graphischen Auswertungverfahren den Vorzug der Uebersichtlich- keit nicht mehr geniesst, und zu deren Dimensionen keine direkte Beziehung im gewöhnlichen Sinn mehr besteht. Nun werden aber heute vermehrt elektronische Rechengeräte zur Lösung sol- - 2 - cher Probleme eingesetzt, sodass die für Handberechnungen unerlässliche Beding¬ ung der Uebersichtlichkeit eine untergeordnete Rolle spielt, vorausgesetzt dass die scheinbar umständlichere Lösung sich als wirtschaftlicher und als zuverläs¬ siger erweist. Daraus folgt, dass eine Anwendung der entwickelten Auswertungs¬ methode mit herkömmlichen Mitteln ( Tischrechenmaschinen ) im allgemeinen kaum von praktischem Vorteil sein dürfte, so dass dem im Kapitel 3 eingehend erläu¬ tertem ALGOL - Programm mehr als nur die übliche Bedeutung des Hilfsmittels zukommt. 1.2. Die Methode von W. Fellenius Obschon es nicht Gegenstand der vorliegenden Untersuchung sein kann auf die einzelnen Methoden der Stabilitätsberechnung und deren Problematik einzu¬ gehen, ist es im Interesse der Eindeutigkeit der verwendeten Definitionen un¬ umgänglich, die dem entwickelten Auswertungsverfahren zugrundegelegte, heute allgemein übliche Methode von W. Fellenius kurz zu erläutern und auf die um¬ strittene Erfassung der Grösse der Porenwasserspannungen und der Gleitsicher¬ heit im speziellen hinzuweisen. Es wird die Richtigkeit der zwei folgenden fundamentalen Annahmen voraus¬ gesetzt: - Die Gleitfläche besitzt die Form einer Kreiszylinderschale unendlicher Aus¬ dehnung. - Das vor dem Bruch wirkende Kräftespiel bleibt im Augenblick des Bruches un¬ verändert erhalten. Die erste Annahme, die, wie an mehreren grossen Rutschungen geodätisch nachgewiesen wurde, die tatsächlichen Verhältnisse relativ gut erfasst, ge¬ stattet die Formulierung als zweidimensionales Problem. Diese Vereinfachung ist durchaus gerechtfertigt, weil sie infolge der Vernachlässigung der Schalen¬ wirkung zu eher geringeren Gleitsicherheiten als in Wirklichkeit vorhanden sind führt. Die zweite Annahme gestattet einen Vergleich zwischen Materialfestigkeit und wirkender Scherspannung, deren Verhältnis als Gleitsicherheitsfaktor F de¬ finiert wird. Wenn mit sj die Scherfestigkeit resp. die Scherspannung an der Stelle i bezeichnet wird, muss also die Ungleichung "t Material -i Fs °'Wirkern in jeder Lamelle i erfüllt sein. - 3 - Zur Berechnung der Gleitsicherheit wird eine zur Kreiszylinderschale nor¬ male Scheibe der Sterke 1 (zweidimensionales Problem ) in vertikale Lamellen konstanter Ereite eingeteilt (Fig. 1 ). Die Anzahl Lamellen und damit der Be- Fig. 1 trag der Lamellenbreite hängt von der verlangten Genauigkeit ab und spielt, wie an Hand des Beispiels Nr. 1 (Abschnitt 4 ) gezeigt wird, eine nicht unwesentli¬ che Rolle.Die Wahl eines an sich beliebigen Gleitkreisradius R vervollständigt die zur geometrischen Definition des Problems erforderlichen Angaben. Innerhalb einer Lamelle i können k verscltiedene Schichten mit verschiede¬ nen materialtechnischen Eigenschaften auf¬ treten (Fig. 2 ). Das Lamellengewicht Gt be¬ rechnet sich dann beispielsweise zu während für die als gewichtete arithmetische Mittel berechneten Scherparameter c/ und tg<f.' sowie für den Porenwasserspannungskoeffizien- ten Bf und für die Ordinate ys. des Lamellen- schwerpunktes die folgenden Beziehungen gelten k.« c, =-r- > (c'P \ 3. Fig. 2 4. _ 4 - 5. XI(*\*:v;) *£(o:v:) 6. >r G, Die Wirkung eines unter einem gegenüber der Horizontalen beliebigen Win¬ kel | auftretenden Erdbebens wird durch Einführung der im Lamellenschwerpunkt angreifenden Zusatzkraft TJ>G,. berücksichtigt. Der als Beschleunigungs- oder Erdbebenkoeffizient bezeichnete Faktor 4 hängt von der im Gebiet der zu unter¬ suchenden Böschung registrierten Erdbebenintensität