“Marta Abreu” De Las Villas Facultad De Ingeniería
UNIVERSIDAD CENTRAL “MARTA ABREU” DE LAS VILLAS
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Trabajo de Diploma
“Materiales complementarios y aplicación del Matlab y Simulink para la solución de ejercicios de circuitos eléctricos con ayuda de la Transformada de Fourier”
Autor: Luis Daniel Marrero Mesa Tutoresr: Dr. Avertano Hernández Stuart MSc. Juan Curbelo Cancio
Santa Clara, Cuba 2012 "Año 54 de la Revolución"
Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas
Facultad de Ingeniería Eléctrica
Departamento de Circuitos Eléctricos TRABAJO DE DIPLOMA
Materiales complementarios y aplicación del Matlab y Simulink para la solución de ejercicios de circuitos eléctricos con ayuda de la Transformada de Fourier
Autor: Luis Daniel Marrero Mesa lmmesa @uclv.edu.cu Tutor: Dr. Avertano Hernández Stuart MSc. Juan Curbelo Cancio
Santa Clara
2012
“Año 54 de la Revolución” Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Ingeniería Eléctrica, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.
Firma del Autor
Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.
Firma del Tutor Firma del Jefe de Departamento donde se defiende el trabajo
Firma del Responsable de Información Científico-Técnica i
PENSAMIENTO
“Cada alumno debe trazarse su cuadro propio del contenido entero de la ciencia; debe en lo posible familiarizarse en todos los hechos que la ciencia estudia, y aprender cómo se estudia el andamiaje de principios que de lo particular lo eleva a las leyes generales en que se engloba cada materia de estudio “
Enrique José Varona ii
DEDICATORIA
Sería poco racional si no entendiera que siempre se puede más, pero también si pensara que un ser humano aislado de los demás, logra vencer los retos de la vida moderna. Por lo tanto, dedico este trabajo, a todos los que me apoyaron desde cualquier punto de vista.
Especial reconocimiento, agradecimiento y respeto a mi tutor MSc. Juan Curbelo Cancio.
A mi familia por su apoyo, comprensión y paciencia. iii
TAREA TÉCNICA
Plan de Trabajo:
Ø Revisión y estudio de la bibliografía y preparación metodológica existente acerca del análisis y solución de ejercicios de circuitos eléctricos utilizando la transformada de Fourier.
Ø Actualizar los contenidos teóricos usando textos básicos y materiales de estudio publicados en Internet.
Ø Estudiar los contenidos fundamentales del lenguaje de programación Matlab y el empleo de su simulador Simulink, que permitan elevar los conocimientos del estudiante en el área de la programación y simulación.
Ø Resolver, de forma analítica, ejercicios típicos, adecuadamente seleccionados, que ilustren de manera coherente el tratamiento de este tema en la asignatura Circuitos Eléctricos III. Llevar a cabo la solución de los mismos, total o parcialmente, mediante programas elaborados en Matlab y finalmente obtener la solución elaborando modelos, utilizando el simulador Simulink.
Ø Organizar adecuadamente la estructura de la tesis basándose en un diseño metodológico estratégico según la didáctica de la asignatura y las orientaciones y normas aprobadas por el MES.
Firma del Autor Firma del Tutor iv
RESUMEN
El trabajo de diploma centra su contenido en un conjunto de ejercicios típicos de circuitos eléctricos, adecuadamente seleccionados, las soluciones de los cuales ilustran la aplicación de la transformada de Fourier y el uso del lenguaje de programación Matlab y su simulador Simulink, desarrollando y enriqueciendo de manera coherente el tratamiento de este tema en la asignatura Circuitos Eléctricos III. Para el logro del objetivo propuesto se realiza una amplia revisión y análisis bibliográfico para obtener los fundamentos teóricos en que se sustenta la propuesta que da respuesta a la situación problémica declarada. El informe de investigación constituye un medio que podrá ser utilizado como fuente de consulta de la temática que aborda, lo que se recoge en las conclusiones a que se arriba. ÍNDICE v
ÍNDICE
PENSAMIENTO...... i
DEDICATORIA...... ii
TAREA TÉCNICA...... iii
RESUMEN ...... iv
INTRODUCCIÓN...... 1
ORGANIZACIÓN DEL INFORME ...... 4
CAPÍTULO 1. Revisión Bibliográfica...... 5
1.1 Definición de la transformada de Fourier...... 5
1.2 Algunas propiedades de la transformada de Fourier...... 9
1.3 Significado físico de la transformada de Fourier...... 10
1.4 Pares de transformadas de Fourier para algunas funciones del tiempo simples ...... 13
1.5 Función del sistema y respuesta en el dominio de la frecuencia...... 19
1.6 Significado físico de la función del sistema...... 21
1.7 Aplicación de la transformada de Fourier en la solución de circuitos eléctricos...... 27
CAPÍTULO 2. Ejemplos Resueltos...... 28
Ejemplo 2.1...... 29
Ejemplo 2.2...... 32
Ejemplo 2.3...... 36 ÍNDICE vi
Ejemplo 2.4...... 40
Ejemplo 2.5...... 43
Ejemplo 2.6...... 48
Ejemplo 2.7...... 51
Ejemplo 2.8...... 55
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES...... 61
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: ...... 62 INTRODUCCIÓN 1
INTRODUCCIÓN
La representación que el hombre tiene del mundo ha evolucionado a través de los siglos, estos cambios han marchado paralelamente al desarrollo de la ciencia y le ha permitido aplicarlos en la práctica y utilizarlos en beneficio de la sociedad.
La dinámica de los procesos económicos, políticos y sociales que caracterizan el mundo de hoy requiere la formación de profesionales capaces de interactuar con su medio, aplicando los avances de la ciencia y la tecnología en una era donde el conocimiento constituye un recurso de poder que distingue a la sociedad actual.
La Revolución Cubana con su obra creó las bases humanas, sociales, educacionales y científico técnicas que sustentan la formación de los profesionales en los centros universitarios. De manera constante se perfecciona esta labor. En el caso específico de la Universidad Central Martha Abreu de las Villas esta constituye una labor que transciende, incluso al trabajo científico estudiantil.
En el caso concreto de la carrera de ingeniería eléctrica se han constatado limitaciones en los resultados de la asignatura Circuitos Eléctricos III en lo referente a la solución de ejercicios de circuitos eléctricos con el uso de la transformada de Fourier, situación problémica que se revela en el intercambio científico con los docentes y el resto del personal con que interactúan los estudiantes, la revisión de tesis de grado, informes de investigación y otras fuentes consultadas.
Se aprecian limitaciones en los planes actuales, por razones de tiempo y contenido, en el tema referente a la solución de circuitos eléctricos con ayuda de la transformada de Fourier y en mayor grado al empleo del Matlab y Simulink como elementos complementarios en el proceso de aprendizaje, lo que motiva al INTRODUCCIÓN 2 autor de este trabajo a la búsqueda de una propuesta más abarcadora para la solución de ejercicios de circuitos eléctricos con la ayuda de la transformada de Fourier y la aplicación adecuada del lenguaje de programación Matlab y su simulador Simulink.
Las reflexiones anteriores permiten declarar el siguiente problema científico: ¿Cómo diseñar una propuesta de soluciones de ejercicios de circuitos eléctricos con ayuda de la transformada de Fourier y el empleo creativo del Matlab y Simulink?
A partir del problema científico se declara como objetivo general de la investigación el siguiente:
Proponer un conjunto de ejercicios resueltos que ilustren de manera coherente la aplicación de la transformada de Fourier en la asignatura circuitos Eléctricos III.
Para el logro del objetivo general se dará cumplimiento durante el proceso investigativo a los siguientes objetivos específicos:
1. Determinar los referentes teóricos básicos, a partir de la visión y estudio bibliográfico, acerca del análisis y solución de ejercicios de circuitos eléctricos con la aplicación de la transformada de Fourier. 2. Actualización y profundización de los contenidos teóricos acerca del tema de investigación con el uso de publicaciones variadas y la consulta de Internet. 3. Profundizar en el estudio de los contenidos fundamentales del lenguaje de programación Matlab y el empleo de su simulador Simulink, que permitan elevar la preparación de los estudiantes en el área de programación y simulación. 4. Resolver de forma analítica ejercicios típicos que ilustren de manera coherente el tratamiento de este tema en la asignatura Circuitos Eléctricos III, solucionando total o parcialmente los mismos, mediante programas elaborados en Matlab y finalmente obtener la solución elaborando modelos con el uso del simulador Simulink. INTRODUCCIÓN 3 Los aportes del trabajo desarrollado se centran en la posibilidad que ofrecen para la consulta de la recopilación de elementos teóricos en su primer capítulo y constituye una vía para contribuir a la formación de los estudiantes del segundo y tercer año de todas carreras de las especialidades de la facultad, al permitirle profundizar en la utilización de Matlab y el Simulink, lo que contribuye al perfeccionamiento de su formación profesional, por constituir una herramienta básica en ingeniería.
El trabajo de diploma quedó estructurado de la siguiente forma:
Capitulo 1: Recoge los fundamentos teóricos que sustentan los aspectos relacionados con la transformada de Fourier y su aplicación en la solución de ejercicios de circuitos eléctricos.
Capitulo 2: Muestra la solución de ejercicios seleccionados adecuadamente, donde se ilustra de manera coherente la aplicación de la transformada de Fourier y se lleva a cabo la solución de los mismos con el uso de programas elaborados en Matlab y la obtención de la solución a partir de modelos con el empleo del simulador Simulink.
Además, en su contenido se incluyen las conclusiones, recomendaciones y referencias bibliográficas. ORGANIZACIÓN DEL INFOME 4
ORGANIZACIÓN DEL INFORME
Este trabajo de diploma consta de las siguientes partes:
Dedicatoria
Tarea técnica
Resumen
Introducción
Capítulo 1 Revisión bibliográfica.
Capítulo 2 Ejemplos resueltos.
Conclusiones
Recomendaciones
Referencias bibliográficas CAPÍTULO 1 5
CAPÍTULO 1. Revisión Bibliográfica
1.1 Definición de la transformada de Fourier
La transformada de Fourier es una transformación integral al igual que la transformada de Laplace. Ella transforma una función del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. La transformada de Fourier es de gran utilidad en sistemas de comunicaciones y procesamiento de señales digitales, en situaciones donde la transformada de Laplace no se aplica. Mientras que la transformada de Laplace solo puede tratar circuitos con entradas para t > 0 con condiciones iniciales, la transformada de Fourier puede tratar circuitos con entradas o estímulos para t p 0 al igual que para t > 0 .
La transformada de Fourier asume en muchos casos un significado físico tan preciso como el de las funciones de las cuales se deriva. Una forma de onda (óptica, eléctrica o acústica) y su espectro son apreciados igualmente como representación matemática o entidades medibles: un osciloscopio nos muestra la forma de onda, y un espectrómetro (un prisma) o un analizador de espectro revela el espectro óptico o eléctrico. La transformada de Fourier puede considerarse también como una relación eminentemente física.
La transformada de Fourier puede ser definida a partir de la serie de Fourier de un tren de pulsos rectangulares (función periódica). El espectro de dicha señal es un espectro de líneas discreto (muestra la amplitud de cada componente de frecuencia), es el tipo que se obtiene siempre para las funciones periódicas del tiempo. El espectro es discreto en el sentido de que no es una función uniforme o continua de la frecuencia; sino que tiene valores distintos de cero solo a frecuencias específicas. CAPÍTULO 1 6 En la ciencia y la ingeniería, existen muchas funciones de estímulo (excitación) importantes, que no son funciones periódicas del tiempo, entre estas podemos señalar: un pulso rectangular individual, la función escalón, la función rampa, y una función llamada función impulso.
Los espectros de frecuencia que se obtienen para estas funciones no periódicas, son espectros continuos, en los cuales, determinada energía, en general, se encontrará en cualquier intervalo de frecuencia distinto de cero, sin importar cuan pequeño sea.
Este concepto puede ser desarrollado, comenzando con una función periódica y aumentando el período, hasta que el mismo tienda al infinito. Al emplear el tren de pulsos rectangulares como función periódica, la experiencia obtenida en el estudio de la serie de Fourier de esta señal, indica que la envolvente del espectro de líneas discreto, disminuirá en amplitud, sin cambiar la forma, y que más y más componentes de frecuencia se encontrarán en un intervalo de frecuencia determinado. En el límite, se debe esperar una envolvente de amplitud despreciablemente pequeña, rellena con un número infinito de componentes de frecuencia, separadas por intervalos de frecuencia cada vez más pequeños.
Efectuando el procedimiento límite que se acaba de sugerir, se comienza con la forma exponencial de la serie de Fourier:(William 2008)
¥ jn w 0t f ()t = å cn e (1.1) n=-¥
Donde:
T 2 1 - jn w 0t c n = f ()t e dt (1.2) T ò-T 2
Y
2p w = (1.3) 0 T
Se deja ahora que: CAPÍTULO 1 7 T ® ¥
Y, por ello de la ecuación (1.3), w0 debe ser cada vez más pequeña. Se representa el límite mediante un diferencial.
w0 ® dw
De tal modo:
1 w dw = 0 ® (1.4) T 2p 2p
La frecuencia de cualquier armónico nw0 , debe corresponder ahora con la variable de frecuencia general que describe el espectro continuo. En otras palabras n debe tender a infinito a medida que w0 tiende a cero, por lo que el producto es finito:
nw®0 w (1.5)
Cuando las cuatro operaciones límite se aplican a la ecuación (1.2), se encuentra que Cn (amplitud de cada armónico) debe tender a cero (envolvente de amplitud despreciablemente pequeña), como se señaló anteriormente. Si se multiplica cada lado de la ecuación (1.2) por el período T y después se lleva a cabo el proceso de límite, se obtiene un resultado no trivial:
¥ - jwt cnT ® f ()t e dt ò-¥
El lado derecho de esta expresión es una función de w (y no de t ), representándose mediante F()jw :
¥ - jwt F()()jw = f t e dt (1.6) ò-¥
Aplicando el proceso límite a la ecuación (1.1), se empieza multiplicando y dividiendo la sumatoria entre T: CAPÍTULO 1 8
¥ jnw0t 1 f ()t = åcnTe -¥ T
Sustituyendo cnT por la nueva cantidad F()jw y utilizando las expresiones (1.4) y (1.5), en el límite la sumatoria se vuelve una integral:
1 ¥ f ()t = F()jw e jwt dw (1.7) 2p ò-¥
Las ecuaciones (1.6) y (1.7) se llaman de manera colectiva par de transformadas de Fourier. La función F ()jw es la transformada de Fourier de f(t), y f(t) es la transformada inversa de Fourier de F ()jw .
Este par de transformadas es muy importante, en diferentes ramas de la ciencia y la técnica. Se subraya la importancia de estas relaciones repitiéndolas y encerrándolas en un cuadro.
¥ F()()jw = e- jwt f t dt ò-¥ (1.8 a)
1 ¥ f ()t = e jwt F()jw dw 2p ò-¥ (1.8 b)
Es posible obtener la transformada de Fourier de cualquier voltaje o corriente que pueda generarse en la práctica. Una condición suficiente para la existencia de F ()jw es que:
¥ f ()t dt < ¥ ò- ¥ CAPÍTULO 1 9 No obstante, esta condición no es necesaria debido a que algunas funciones que no la cumplen poseen una transformada de Fourier; la función escalón es un ejemplo de lo anterior.
Además f ()t , incluso, no necesita ser no periódica para tener transformada de Fourier; la representación en serie de Fourier de una función periódica del tiempo, es solo un caso especial de la representación más general de la transformada de Fourier.
La relación del par de transformadas de Fourier es única. Para una f ()t dada, hay una F()jw específica; y para una F()jw hay una f ()t específica.
1.2 Algunas propiedades de la transformada de Fourier
Si se utiliza la identidad de Euler ( e jq = cosq + jsenq ) para sustituir e - jwt en la ecuación de definición de la transformada de Fourier, se tiene:
¥ ¥ ¥ - jwt F()()jw = f t e dt = f (t)coswtdt - j f (t)senwtdt (1.9) ò-¥ ò-¥ ò-¥
Dado que f ()t , cos wt y senwt son funciones reales del tiempo, ambas integrales en la ecuación (1.9) son funciones reales de w , por tanto:
jf (w) F()jw = A(w) + jB(w) = F( jw)e (1.10)
Donde:
¥ A(w ) = f (t) cos wtdt (1.11) ò-¥
¥ B (w ) = - f (t) sen wtdt (1.12) ò- ¥
2 2 F( jw) = []A (w) + B (w) (1.13) y
-1 B(w) f (w ) = tan (1.14) A(w) CAPÍTULO 1 10 Si se sustituye w por - w se observa que A(w) y F( jw) son funciones pares de w en tanto que B(w) y f(w) son funciones impares de w .
Si f (t) es una función par de t, entonces el integrando de la ecuación (1.12) es una función impar de t, por lo que los límites simétricos obligan a que B(w) sea cero; por tanto, si f (t) es par, su transformada de Fourier F( jw) es una función real y par de w y la función de fase f(w) es cero o p para toda w . Sin embargo, si f (t) es una función impar de t, entonces A(w) = 0 y F( jw) es una función imaginaria pura y par de w y la función de fase f(w) es +p o -p para toda 2 2 w . En general F( jw) es una función compleja de w .
También puede apreciarse, que la sustitución de w por - w en la ecuación (1.9) forma el conjugado de F( jw) .
F(- jw) = A(w) - jB(w) = F *( jw)
Y se observa que:
2 F( jw)F(- jw) = F( jw)F * ( jw) = A2 (w) + B 2 (w) = F( jw) (F. mix)
1.3 Significado físico de la transformada de Fourier
Las propiedades matemáticas básicas de la transformada de Fourier, anteriormente expuestas, posibilitan considerar su significado físico.
Si se supone que f (t) es el voltaje o la corriente en un resistor de 1W , f 2 (t) es la potencia instantánea que entrega f (t) al resistor de 1W . Si se integra esta potencia con respecto al tiempo, se obtiene la energía total que suministra f (t) al resistor de 1W .
¥ 2 W 1 W = f (t ) dt (1.15) ò- ¥
Considerando al integrando en la ecuación (1.15) como f (t) multiplicada por si misma y sustituyendo una de esas funciones mediante la ecuación (1.8 b): CAPÍTULO 1 11
¥ ¥ é 1 jwt ù W1W = f (t) e F( jw)dw dt òò-¥ ëê 2p -¥ ûú
Teniendo en cuenta, que f (t) no es función de la variable de integración w , se puede mover hacia adentro de la integral entre corchetes y luego intercambiar el orden de integración:
¥ ¥ 1 é jwt ù W1W = F( jw)e f (t)dt dw 2p òò-¥ ëê -¥ ûú
Moviendo F( jw) hacia afuera de la integral interna, provoca que la integral interna se convierta en F(- jw) , obteniéndose:
2 1 ¥ 1 ¥ W1W = F ( jw)F (- jw)dw = F( jw) dw 2p ò-¥ 2p ò-¥
Agrupando estos resultados tenemos:
¥ ¥ 2 2 f (t)dt = 1 F ( jw ) dw (1.16) ò-¥ 2p ò-¥
La ecuación (1.16) es una expresión muy útil conocida como teorema de Parseval, este teorema junto con la ecuación (1.15), nos dice que la energía asociada con f (t) se obtiene integrando sobre toda t en el dominio del tiempo, o mediante 1 (2p ) veces una integración sobre toda la frecuencia (en radianes) en el dominio de la frecuencia.
El teorema de Parseval propicia también una mejor comprensión e interpretación del significado de la transformada de Fourier.
Considerando un voltaje u(t) , con transformada de Fourier Fu ( jw) y energía W1W suministrada a un resistor de 1W :
2 2 1 ¥ 1 ¥ W1W = Fu ( jw) dw = Fu ( jw) dw 2p ò-¥ p ò0
Donde la igualdad que está más a la derecha se deduce del hecho de que
2 Fu ( jw) es una función de par dew . CAPÍTULO 1 12
Puesto que w = 2pf , la energía W1W suministrada a un resistor de 1W , también puede expresarse como:
¥ 2 ¥ 2 W = F ( jw) df = 2 F ( jw) df (1.17) 1W ò-¥ u ò0 u
2 La figura 1.1 ilustra una gráfica típica de Fu ( jw) como una función tanto de w como de f . Si dividimos la escala de frecuencia en incrementos df cada vez más pequeños, la ecuación (1.17) nos muestra, que el área de un segmento diferencial
2 2 bajo la curva Fu ( jw) , con un ancho df , es Fu ( jw) df ; dicha área se muestra rayada.
2 El área de la franja Fu ( jw) df , es la energía que u(t) suministra a un resistor de 1W , dentro de una banda de frecuencias de ancho df .
La suma de todas estas áreas, cuando f varía desde menos hasta más infinito, es la energía total contenida en u(t) y suministrada a un resistor de 1W (W1W ).
2 Por tanto, Fu ( jw) es la densidad de energía suministrada a un resistor de 1W , o energía por unidad de ancho de banda (J / H Z ) , de u(t). Tal densidad de energía siempre es una función real, par y no negativa de w .
2 Integrando Fu ( jw) sobre un intervalo de frecuencia apropiado, se puede calcular la porción de la energía total que se encuentra dentro del intervalo elegido. La densidad de energía no es una función de la fase de Fu ( jw) , por ello existe un número infinito de funciones del tiempo y de transformadas de Fourier, que poseen funciones densidad de energía idénticas. (Parker) CAPÍTULO 1 13
2 Figura 1: Gráfica típica de Fu ( jw) como una función tanto de w como de f .
1.4 Pares de transformadas de Fourier para algunas funciones del tiempo simples
· Función impulso unitario
Si se utiliza la notación F{} para simbolizar la transformada de Fourier de {}, entonces:
¥ - jwt F {}d (t - t0 ) = e d (t - t0 )dt ò-¥
Como la integral de - ¥ a + ¥ del producto de una función f (t) por la función impulso unidad (d (t) ), es igual a la función evaluada para el valor de la variable que hace cero el argumento de la función impulso, se tiene:
- jwt0 F {}d (t - t0 ) = e = cos wt0 - j sen wt0
La función densidad de energía suministrada a un resistor de 1W , para la función impulso unidad es:
2 2 2 F {}d (t - t0 ) = cos wt0 + sen wt0 = 1
Este importante resultado indica que la densidad de energía suministrada a un resistor de 1W , por la función d (t - t0 ) es la unidad en todas las frecuencias y que la energía total contenida en el impulso unitario es infinitamente grande. Lo anterior permite concluir que un impulso unitario no puede ser generado en un laboratorio, incluso si un impulso unitario estuviera a nuestra disposición, CAPÍTULO 1 14 aparecería distorsionado después de ser sometido al ancho de banda finito de cualquier instrumento de laboratorio práctico. (BROTA)
Dado que existe una correspondencia biunívoca entre una función de tiempo y su transformada de Fourier, puede afirmarse que la transformada inversa de Fourier
- jwt0 de e es d (t - t0 ) .
Si se utiliza la notación F -1 {} para simbolizar la transformada inversa de Fourier de {}, entonces:
-1 - jwt0 F {}e = d (t - t0 )
Lo que también puede ser expresado como:
¥ 1 - jwt0 jwt e e dw = d (t - t0 ) 2p ò-¥
Aun cuando se fracasaría en el intento de evaluar en forma directa esta integral impropia.
De manera simbólica, se escribe:
- jwt0 d (t -t0 ) Û e (1.18)
Donde Û indica que las dos funciones constituyen un par de transformadas de Fourier.
Continuando con el análisis de la función impulso unitario, se considera la transformada de Fourier en esta forma:
F( jw) d (w -= w0 )
La cual es un impulso unitario en el dominio de la frecuencia, localizado en w=w0 . Entonces f (t) debe ser:
¥ f (t) = F -1 {}F ( jw) = 1 e jwtd (w - w )dw = 1 e jw0t 2p ò-¥ 0 2p CAPÍTULO 1 15 Donde se utiliza la propiedad de filtrado del impulso unitario. De esta manera, se escribiría ahora:
1 e jw0t Û d (w -w ) 2p 0 o
jw0t e Û 2pd (w -w0 ) (1.19)
Mediante un simple cambio de signo se obtiene:
- jw0t e Û 2pd (w +w0 ) (1.20)
La función del tiempo (un voltaje o una corriente), es una función compleja en las dos expresiones, (1.19) y (1.20), y no existe en el mundo real. Las funciones del tiempo, como cosw0t , por ejemplo, pueden ser generadas con equipos de
jw t laboratorio; pero no se puede obtener una función como e 0 .
· Función cosinusoidal
Se conoce que:
1 1 cos w t = e jw 0 t + e - jw 0t 0 2 2
Teniendo en cuenta la propiedad de la transformada de Fourier que:
F {}{}{f1 (t) + F f2 (t) = F f1(t) + f2 (t) } (1.21)
Se obtiene:
ì1 jw0t ü ì1 - jw0t ü F {}cosw0t = F í e ý + F í e ý = pd (w -w ) +pd (w +w ) î2 þ î2 þ 0 0
Lo cual indica que la descripción en el dominio de la frecuencia de cosw0t , muestra un par de impulsos ubicados en w ±= w0 .
Por tanto: CAPÍTULO 1 16 cos w0t Û p [d (w + w0 ) + d (w -w0 )] (1.22)
· Función constante
Para determinar la transformada de Fourier de una función constante del tiempo (un voltaje o una corriente de CD), f (t) = K , pudiera pensarse en sustituir esta constante en la ecuación de definición de la transformada de Fourier y evaluar la integral resultante. Si se hiciera, se encontraría una expresión indeterminada.
Teniendo en cuenta los resultados del análisis de la transformada de Fourier de la función impulso unidad en el dominio de la frecuencia (1.20):
- jw0t e Û 2pd (w +w0 )
Si se hace w0 = 0 , entonces el par de transformadas resultante es:
1 Û 2pd (w ) (1.23)
De lo cual se concluye que:
K Û 2pK d (w ) (1.24)
El espectro de frecuencia de una función constante del tiempo consiste sólo de una componente correspondiente a w = 0 .
· Función signo
La función signo (sgn(t)), se define como:
ì-1 t < 0ü sgn(t) = í ý î 1 t > 0þ o sgn(t) = u(t) - u(-t)
Si nuevamente se intentara sustituir esta función del tiempo en la ecuación de definición de la transformada de Fourier, surgiría una expresión indeterminada, luego de la sustitución de los límites de integración. El mismo problema surgirá CAPÍTULO 1 17 cada vez que se intente obtener la transformada de Fourier de una función de tiempo, que no tiende a cero cuando t tiende al infinito.
Esta situación se evita utilizando la transformada de Laplace, pues contiene un factor de convergencia que alivia en gran medida muchos de los inconvenientes asociados con la evaluación de ciertas transformadas de Fourier.
La función signo puede ser escrita como: sgn( t) = lim [e - at u(t) - e - at u(-t)] a®0
Se observa que la expresión dentro de los corchetes tiende a cero cuando t se vuelve muy grande. (DE LA TORRE)
Mediante la definición de la transformada de Fourier, se obtiene:
¥ 0 - j2w 2 é - jwt -at - jwt at ù F {}sgn( t) = lim e e dt - e e dt = lim 2 2 = a®0 ëêòò0 -¥ ûú a ® 0 w + a jw
La componente real de su transformada es cero, dado que sgn(t) es una función impar de t.
Por tanto:
2 sgn( t) Û (1.26) jw
· Función escalón unitario
La función escalón unidad u(t) , se define como:
ì0 t < 0ü u(t) = í ý î1 t > 0þ
La función escalón unidad puede ser escrita con ayuda de la función signo, como:
1 1 u (t ) = + sgn( t ) 2 2
Obteniéndose el par de transformadas de Fourier: CAPÍTULO 1 18 é 1 ù u(t) Û êpd (w ) + ú (1.27) ë jw û
· Función del tiempo periódica general
Anteriormente se señaló que las funciones de tiempo periódicas, al igual que las no periódicas poseen transformada de Fourier.
Considérese una función de tiempo periódica f (t) , con período T y su desarrollo en serie de Fourier en forma exponencial, tal y como se describe mediante las ecuaciones (1.1), (1.2) y (1.3):
¥ jn w 0t f ()t = å cn e (1.28) n=-¥
T 2 1 - jn w 0t c n = f ()t e dt (1.29) T ò-T 2
2p w = (1.30) 0 T
Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier de una suma es justo la suma de las transformadas de los términos contenidos en la suma, y que cn no es una función del tiempo, se tiene:
¥ ¥ ì jnw0t ü jnw 0t F {}f ()t = F í å cn e ý = å cn F {}e î n=-¥ þ n=-¥
jnw t Luego de obtener la transformada de e 0 de la expresión (1.19), se tiene:
¥ f (t) Û 2p å cnd (w - nw0 ) (1.31) n=-¥
Lo anterior muestra que la función periódica f (t) tiene un espectro discreto con impulsos ubicados en puntos sobre el eje w , dados por w = nw0 , n = ...,-2,-1,0,1,2,....La intensidad de cada impulso es 2p veces el valor del CAPÍTULO 1 19 coeficiente de Fourier correspondiente, que aparece en la forma compleja del desarrollo en serie de Fourier para f (t).
La expresión (1.28) permite obtener de manera directa, la transformada de Fourier de una función del tiempo periódica general.
Puede verificarse el resultado anterior, observando si la transformada inversa de Fourier del lado derecho de la expresión (1.28) es f (t) (el desarrollo en serie de Fourier en forma compleja de la función del tiempo periódica general).
¥ ¥ -1 1 jwt é ù F {}F ( jw ) = e 2p cnd (w - nw 0 ) dw 2p ò-¥ ê å ú ë n=-¥ û
Dado que el término exponencial no contiene al índice n de la sumatoria, se intercambia el orden de integración y las operaciones de la sumatoria:
¥ ¥ -1 jwt F {}F ( jw) = cne d (w - nw0 )dw å ò-¥ n=-¥
Debido a que cn no es una función de la variable de integración, se considera como una constante. Utilizando la propiedad de filtrado del impulso, se obtiene:
¥ -1 jn w 0t F {}F ( jw ) = å c n e = f (t) n= -¥
Que es exactamente igual a la ecuación (1.1), el desarrollo en serie de Fourier en forma compleja de f (t) (una función del tiempo periódica general). (JUAN)
1.5 Función del sistema y respuesta en el dominio de la frecuencia
La entrada, la salida y la respuesta al impulso son funciones de tiempo. En muchas ocasiones resulta más conveniente llevar a cabo estas operaciones en el dominio de la frecuencia, pues la transformada de Fourier es simplemente el producto de cada función en el dominio de la frecuencia.
Suponiendo de manera arbitraria que la entrada y la salida son voltajes, se aplica la definición básica de la transformada de Fourier y se expresa la salida mediante la integral de convolución: CAPÍTULO 1 20
¥ ¥ - jwt é ù F{}u0 (t) = F0 ( jw) = e ui (t - z)h(z)dz dt òò-¥ ëê -¥ ûú
Se puede mover el término exponencial hacia adentro de la integral interna, pues no contiene la variable integración z , se invierte el orden de integración y se obtiene:
¥ ¥ é - jwt ù F0 ( jw) = e ui (t - z)h(z)dt dz òò-¥ ëê -¥ ûú
Puesto que no es una función de t, se extrae h(z) de la integral interior y se simplifica la integración con respecto a t mediante un cambio de variable, t - z = x :
¥ ¥ é - jw(x+z) ù F0 ( jw) = h(z) e ui (x)dx dz òò-¥ ëê -¥ ûú
¥ ¥ - jwz é - jwx ù = e h(z) e ui (x)dx dz òò-¥ ëê -¥ ûú
La integral interna es la transformada de Fourier de ui (t) , no contiene términos z y se considera como una constante en cualquier integración que implique a z , pudiéndose mover esta transformada, Fi ( jw) , por completo fuera de los signos de integración:
¥ - jwz F0 ( jw) = Fi ( jw) e h(z)dz ò-¥
La última integral, es la transformada de Fourier de la respuesta al impulso, que se designa mediante la notación H( jw):
F0 ( jw) = Fi ( jw)H( jw) = Fi ( jw)F {}h(t)
Este resultado importante, define la función sistema H( jw) como el cociente entre la transformada de Fourier de la función de respuesta y la transformada de Fourier de la función de excitación.
La función del sistema y la respuesta al impulso constituyen un par de transformada de Fourier: CAPÍTULO 1 21 h(t) Û H ( jw) (1.32)
La relación salida - entrada en el dominio de la frecuencia muestra que si se conoce la función sistema H ( jw) y la entrada Fi ( jw) , la salida puede ser obtenida fácilmente:
F0 ( jw) = Fi ( jw)H ( jw)
H( jw) es idéntico a H(s) con s = jw . Además, si la entrada es una función impulso ( f (t) = d (t) ), entonces F( jw) =1, por tanto la respuesta es:
F0 ( jw) = H ( jw) = F {}h(t)
El desarrollo hecho en los párrafos anteriores, sirve también para confirmar el enunciado general, de que la transformada de Fourier de la convolución de dos funciones de tiempo es igual al producto de sus transformadas de Fourier.
F {}f(t)* g(t) = Ff ( jw)Fg ( jw) (1.33)
1.6 Significado físico de la función del sistema
Considérese una red lineal general de dos puertos N, sin energía inicial almacenada, y supóngase funciones de estímulo y respuesta sinusoidales, las cuales arbitrariamente representen voltajes, según se muestra en la figura. (KRESS)
Sea el voltaje de entrada vi (t) = Acos(w+xt q ), la salida puede describirse en términos generales como u0 (t) = Bcos(wxt +f) , donde la amplitud B y el ángulo de fase f son funciones de wx . En forma fasorial, el estímulo y la respuesta pueden
jq jf expresarse como: V i = Ae y V0 = Be . La función transferencial G(wx ) (la razón entre la respuesta fasorial y el estímulo fasorial) es un número complejo que está en función de wx :
V0 B j (f -q ) = G(w x ) = e Vi A CAPÍTULO 1 22
La amplitud de G(wx ) es B / A y su ángulo de fase es f-q . La función de transferencia G(wx ) podría obtenerse en el laboratorio variando wx sobre un gran intervalo de valores y midiendo la amplitud B / A y la fase f-q para cada valor de wx . Si se grafica la amplitud y la fase como una función de la frecuencia, el par de curvas resultante describiría por completo a la función de transferencia.
Figura 2: Red lineal general de dos puertos N, sin energía inicial almacenada, con funciones de estímulo y respuesta sinusoidales.
La función del sistema H ( jw) , para el cuadripolo lineal pasivo sin energía inicial almacenada, es la relación por cociente entre la transformada de Fourier de la señal de salida y la transformada de Fourier de la señal de entrada, las cuales poseen la forma funcional cos(w+x t b).
La transformada de Fourier de cos(w+x t b), se obtiene a continuación:
¥ - jwt F {}cos(wxt + b ) = e cos(wxt + b )dt ò-¥
Si se realiza la sustitución wxt + b = wxt entonces:
¥ - jwt + jwb /wx F {}cos(wxt + b ) = e coswxtdt ò-¥
jwb /wx = e F{}cos(wxt)
jwb /wx = pe [d (w -wx ) +d (w +wx )]
Lo cual es un nuevo par de transformada de Fourier:
jwb /wx cos(wxt + b) Û pe [d (w -wx ) +d (w +wx )] (1.34) CAPÍTULO 1 23 Evaluando la función del sistema:
F {}B cos(w t + f) H ( jw) = x F {}Acos(w xt + q )
pBe jwf /wx [d (w - w ) + d (w + w )] = x x jwq /wx pAe [d (w - wx ) + d (w + wx )]
B = e jw(f-q )/wx A
Evaluando H ( jw) en w=wx :
B H (w ) = e j(f-q ) = G(w ) x A x
Puesto que no hay nada especial acerca del subíndice x, se concluye que la función del sistema y la función de transferencia son idénticas.
H( jw) = G(w) (1.35)
El hecho de que un argumento sea w mientras que el otro se indica mediante jw no tiene importancia y es arbitrario; la j solo posibilita una comparación más directa entre la transformada de Fourier y la de Laplace.
La ecuación (1.32) representa una conexión directa entre las técnicas de la transformada de Fourier y el análisis de estado estable sinusoidal utilizando fasores, un caso especial de las técnicas más generales del análisis de la transformada de Fourier. En el análisis de estado estable sinusoidal utilizando fasores, las entradas y las salidas son sinusoidales, mientras que el uso de las transformadas de Fourier y las funciones del sistema permiten manejar funciones de excitación y respuestas de estado estable no necesariamente sinusoidales.(Siebert)
Por lo tanto, para determinar la función del sistema H( jw) , de una red lineal general de dos puertos N, sin energía inicial almacenada y con un solo estímulo CAPÍTULO 1 24 aplicado, solo se requiere determinar la función de transferencia sinusoidal correspondiente como una función de w o ( jw ).
La respuesta de un sistema a una función de entrada general, puede ser obtenida trabajando en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. Al trabajar en el dominio del tiempo se convoluciona la señal de excitación con la respuesta del sistema al impulso, para obtener la función de respuesta. En el dominio de la frecuencia, se determina la respuesta, multiplicando la transformada de Fourier de la función de excitación por la función del sistema.
En el dominio del tiempo, al utilizar la convolución, la integral misma muchas veces puede ser difícil de evaluar cuando se presentan funciones de excitación o funciones de respuesta al impulso complicadas. Además desde el punto de vista experimental, no se puede medir en realidad la respuesta al impulso de un sistema, debido a que no se puede generar realmente un impulso. Incluso si se aproxima el impulso mediante un impulso estrecho de elevada amplitud, se llevaría el sistema a la saturación y fuera de su intervalo de operación lineal.
Al trabajar en el dominio de la frecuencia se encuentra una limitante absoluta en el sentido de que quizás se desee aplicar funciones de estímulo de manera teórica, pero que no poseen transformadas de Fourier. Además si interesa encontrar la descripción en el dominio del tiempo de la función de respuesta, se debe evaluar una transformada inversa de Fourier; pero algunas de tales inversiones pueden resultar demasiado complicadas.
No hay una ventaja clara entre trabajar en el dominio del tiempo o hacerlo en el dominio de la frecuencia. La decisión ante cada nuevo problema, debe basarse en la información disponible y en las facilidades de cómputo de que se disponga. CAPÍTULO 1 25
Tabla 1: Propiedades de la transformada de Fourier.(William 2002)
No f (t) F( jw) Descripción
( jw) ± F ( jw) 1 f1(t) ± f2 (t) 2 Superposición.
2 Kf (t) KF( jw) Homogeneidad.
3 d n f ( jw) n F ( jw) Diferenciación. dt n
4 t 1 Integración. f (t )dt F ( jw) ò-¥ jw
- jwt0 5 f (t -t0 ) F( jw)e Corrimiento en el dominio del tiempo.
jwt0 6 f (t)e F[]j(w-w0 ) Corrimiento en el dominio de la frecuencia.
7 f (at) 1 w Escalamiento en el tiempo. F( j ) a a
8 f1(t)* f2 (t) F1 ( jw) * F2 ( jw) Convolución en el dominio del tiempo. CAPÍTULO 1 26 Tabla 2: Resumen de los pares de transformadas de Fourier.(William 2008) CAPÍTULO 1 27 1.7 Aplicación de la transformada de Fourier en la solución de circuitos eléctricos.
La transformada de Fourier generaliza la técnica fasorial a las funciones no periódicas. Por eso las transformadas de Fourier pueden aplicarse a circuitos con excitaciones no sinusoidales, exactamente en la misma forma en que se aplican las técnicas fasoriales en circuitos con excitaciones sinusoidales. Por tanto, sigue siendo válida la ley de Ohm:
V ( jw) = Z( jw)I( jw)
Donde V ( jw) e I( jw) son las transformadas de Fourier del voltaje y la corriente, Z( jw) es la impedancia. Se utilizan las mismas expresiones para las impedancias de los resistores, inductores y capacitores que se utilizan en el análisis fasorial.
R Þ R
L Þ jwL
1 C Þ jwC
Una vez transformadas las funciones de los elementos del circuito al dominio de la frecuencia y determinadas las transformadas de Fourier de los estímulos, pueden ser empleadas las técnicas de análisis de circuitos eléctricos: divisores de voltaje y corriente, transformaciones de fuentes, métodos de solución (nodos o mallas) o aplicación de teoremas como el de Thevenin y Norton, para hallar la corriente o el voltaje desconocido. Finalmente se utiliza la transformada inversa de Fourier para obtener la respuesta en el dominio del tiempo.
Aunque la transformada de Fourier produce una respuesta que existe para - ¥ < t < ¥ , el análisis de Fourier no puede manejar circuitos con condiciones iniciales.(Charles K. Alexander) CAPÍTULO 2 28
CAPÍTULO 2. Ejemplos Resueltos
MATLAB es el nombre abreviado de “MATrix LABoratory”. MATLAB es un programa para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. Como caso particular puede también trabajar con números escalares tanto reales como complejos, con cadenas de caracteres y con otras estructuras de información más complejas. Una de las capacidades más atractivas es la de realizar una amplia variedad de gráficos en dos y tres dimensiones.
MATLAB tiene también un lenguaje de programación propio. MATLAB es un gran programa de cálculo técnico y científico. Para ciertas operaciones es muy rápido, cuando puede ejecutar sus funciones en código nativo con los tamaños más adecuados para aprovechar sus capacidades de vectorización. En otras aplicaciones resulta bastante más lento que el código equivalente desarrollado en C/C++ o Fortran. En cualquier caso, el lenguaje de programación de MATLAB siempre es una magnífica herramienta de alto nivel para desarrollar aplicaciones técnicas, fácil de utilizar y que aumenta significativamente la productividad de los programadores respecto a otros entornos de desarrollo. MATLAB dispone de un código básico y de varias librerías especializadas (toolboxes).
Aunque el origen de MATLAB estuvo íntimamente ligado a la manipulación y computación de y con matrices, durante los últimos años ha evolucionado de forma que hoy se puede considerar como un software de propósito general para todas las ramas de la matemática y la ingeniería desde el punto de vista numérico y computacional. También es posible el cálculo simbólico con MATLAB siempre que se disponga del toolbox apropiado; en este caso el Symbolic toolbox. Existen muchos otros toolboxes que, sobre la base del núcleo de MATLAB, proporcionan CAPÍTULO 2 29 funciones específicas para el cálculo numérico de ciertas partes concretas de la matemática, la ingeniería y otras ciencias.(García de Jalón 2004)
MATLAB posee un simulador propio, el Simulink, el cual es una extensión gráfica de MATLAB, destinado a la modelación y simulación de sistemas lineales y no lineales. En el Simulink los sistemas se dibujan en la pantalla como diagramas de bloque.
La construcción de un modelo, se simplifica, empleando los numerosos bloques pertenecientes a diferentes librerías. El Simulink está integrado con MATLAB y los datos pueden ser transferidos fácilmente entre los programas.
En los medios universitarios MATLAB se ha convertido en una herramienta básica, tanto para los profesionales e investigadores de centros docentes, como una importante herramienta para el dictado de cursos universitarios, tales como sistemas e ingeniería de control, álgebra lineal, procesamiento digital de imágenes, etc. En el mundo industrial MATLAB está siendo utilizado como herramienta de investigación para la solución de complejos problemas planteados en la realización y aplicación de modelos matemáticos en ingeniería. (LOVE 2006)
Ejemplo 2.1
Determinar la transformada de Fourier de la señal de voltaje (pulso exponencialmente decreciente) dada por v(t) = 5e-tu(t) V .
R :
¥ ¥ ¥ - 5 5 V ( jw) = v(t)e- jwt dt = 5e-t e- jwt dt = 5 e-(1+ jw)t dt = e-(1+ jw )t ¥ = òò ò 0 -¥ 0 0 1+ jw 1+ jw
R. MATLAB:
Empleando el toolbox de matemática simbolica :
>> syms t w
>> Fjw=fourier(5*exp(-t)*sym('Heaviside(t)'))
Fjw = CAPÍTULO 2 30 5/(1+i*w)
R. SIMULINK:
Figura 3: Archivo .mdl para la determinación de los espectros de amplitud y fase.
Figura 4: Parámetros del bloque producto. CAPÍTULO 2 31
Figura 5: Parámetros del bloque que permite obtener la magnitud y el ángulo de una cantidad compleja.
Figura 6: Espectro de magnitud F( jw) contra w (rad s) . CAPÍTULO 2 32
Figura 7: Espectro de fase F( jw) contra t (s).
Ejemplo 2.2
La transformada de Fourier de una señal de voltaje viene dada por:
10 jw + 4 V = . ( jw) ( jw)2 + 6 jw + 8
Obtener la expresión en el dominio del tiempo v(t).
R:
Se requiere obtener la transformada inversa de Fourier de V( jw) .
Reemplazando momentáneamente jw por s , para evitar algebra compleja y utilizando expansión en fracciones parciales:
10s + 4 10s + 4 A B V = = = + (s) s2 + 6s + 8 (s + 4)(s + 2) s + 4 s + 2 CAPÍTULO 2 33 10s + 4 - 36 A = (s + 4)F = = =18 (s) s=-4 (s + 2) s=-4 - 2
10s + 4 -16 B = (s + 2)F = = = -8 (s) s=-2 (s + 4) s=-2 2
Reemplazando en V(s) , s por jw y haciendo A =18 y B = -8, se obtiene:
18 -8 V = + ( jw) jw + 4 jw + 2
1 Teniendo en cuenta que la transformada inversa de Fourier de es igual a a + jw e-atu(t) : v(t) =18e-4tu(t) -8e-2tu(t) = (18e-4t -8e-2t )u(t)V
R. MATLAB:
>> syms w t
>> vt=ifourier((10*j*w+4)/((j*w)^2+6*j*w+8),t) vt =
-2*Heaviside(t)*(-9*exp(-4*t)+4*exp(-2*t))
>> pretty(vt)
-2 Heaviside(t) (-9 exp(-4 t) + 4 exp(-2 t))
R. SIMULINK: CAPÍTULO 2 34
Figura 8: Archivo .mdl para la obtención del voltaje v(t).
Figura 9: Parámetros generales para ejecutar la simulación y obtener v(t) . CAPÍTULO 2 35
Figura 10: Parámetros del bloque que genera la función escalón unidad u(t) .
Figura 11: Parámetros del bloque que genera la función exponencial. CAPÍTULO 2 36
Figura 12: Señal de voltaje v (V ) contra t (s).
Ejemplo 2.3
Un pulso exponencial unilateral (es decir u(t) = 0 para t p 0 ) u(t) = 4e-3tu(t)V , se aplica a la entrada de un filtro pasabanda ideal. Si el filtro pasabanda se define mediante: 1 p f p 2 Hz . Calcular la energía de salida total. R :
Determinando la transformada de Fourier de u(t):
¥ ¥ - jwt -3t -(3+ jw)t 4 Fu ( jw) = 4 e e u(t)dt = 4 e dt = ò-¥ ò0 3 + jw La energía total que la señal de entrada v(t), puede entregar a un resistor de 1W , puede ser determinada, trabajando en el dominio de la frecuencia o trabajando en el dominio del tiempo: Trabajando en el dominio de la frecuencia:
1 ¥ 2 8 ¥ dw 16 ¥ dw 8 W1W = Fv ( jw) dw = = = J 2p ò-¥ p ò-¥ 9 +w 2 p ò0 9 +w 2 3 Trabajando en el dominio del tiempo:
¥ ¥ 8 W = v2 (t)dt = 16 e-6t dt = J 1W ò0 ò0 3 CAPÍTULO 2 37
Si se denomina u0 (t) al voltaje de salida del filtro, la energía total que u0 (t) puede entregar a un resistor de 1W , será igual a la energía de la parte de u(t), que tenga componentes de frecuencia en el intervalo 1 p f p 2 Hz y - 2 p f p -1 Hz .
-2p 4p 4p 1 16dw 1 16dw 16 dw 16 æ -1 4p -1 2p ö W01W = + = = çtan - tan ÷ = 0,358 J 2p ò-4p 9 +w 2 2p ò2p 9 +w 2 p ò2p 9 +w 2 3p è 3 3 ø
El resultado muestra, que la energía total que la señal de salida v0 (t) puede entregar a un resistor de 1W , es más pequeña, que la que puede entregar la señal de entrada al filtro. Se observa, que un filtro pasabanda ideal permite eliminar la energía contenida en intervalos de frecuencia preestablecidos, permitiendo el paso de la energía contenida en otros intervalos de frecuencia. La transformada de Fourier ayuda a describir en forma cuantitativa la acción de filtrado, sin necesidad de determinar en realidad u0 (t) . No obstante, la transformada de Fourier también puede ser utilizada para obtener la expresión relativa a u0 (t) , si se requiere. R. MATLAB: >> syms t w >> Fjw=fourier(4*exp(-3*t)*sym('Heaviside(t)')) Fjw = 4/(3+i*w) >> Wfrec=16/pi*int(1/(9+w^2),0,inf) Wfrec = 1911387046407553/2251799813685248*pi >> Wfrec=1911387046407553/2251799813685248*pi Wfrec = 2.6667 >> format rat >> Wfrec Wfrec = 8/3 >> Wtiempo=16*int(exp(-6*t),0,inf) Wtiempo = 8/3 R. SIMULINK: CAPÍTULO 2 38
Figura 13: Archivo .mdl para la obtención de la energía contenida en v(t) .
Figura 14: Parámetros generales para ejecutar la simulación y obtener la
energía W1W . CAPÍTULO 2 39
Figura 15: Parámetros del bloque producto.
Figura 16: Parámetros del bloque que genera el cuadrado de la función v(t). CAPÍTULO 2 40
Figura 17: Parámetros del bloque integrador.
Ejemplo 2.4
Aplique las técnicas de la transformada de Fourier al circuito de la figura para encontrar i1 (t) en t =1,5 ms , siendo is (t) = d (t) A.
Figura 18: Circuito estimulado por una fuente de corriente is (t) = d (t) A. R : CAPÍTULO 2 41
Transformada de Fourier del estímulo is (t) = d (t) :
I s ( jw) =1 Impedancia del inductor:
-3 Z L ( jw) =j L = j ww (20)(10 )
Figura 19: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia. æ 4 + jw(20)(10-3 ) ö I ( jw) = I ( jw)ç ÷ 1 s ç -3 ÷ è10 + jw(20)(10 ) ø æ 4 + jw(20)(10-3 ) ö 200 + jw 300 I ( jw) =1ç ÷ = =1- 1 ç -3 ÷ è10 + jw(20)(10 ) ø 500+ jw 500+ jw
-1 -1 ì 300 ü i1(t) = F {}I1( jw) = F í1- ý î 500+ jw þ
-500t i1 (t) =d(t) - 300e u(t) A Evaluando para t =1,5 ms :
-500(1,5*10-3 ) -0.75 i1(1,5 ms) = -300e u(t) = -300e = -141,7 A R. MATLAB: >> syms w t >> it=ifourier((4+j*w*20*10^-3)/(10+j*w*20*10^-3),t) it = Dirac(t)-300*exp(-500*t)*Heaviside(t) >> t=1.5*10^-3; >> itunoymedioms=subs(it) itunoymedioms = -300*exp(-3/4) >> itunoymedioms=-300*exp(-3/4) CAPÍTULO 2 42 itunoymedioms = -141.7100 R. SIMULINK:
Figura 20: Archivo .mdl para determinar i1 (t) en t =1,5 ms .
Figura 21: Parámetros generales para ejecutar la simulación y obtener i1(0,15ms) . CAPÍTULO 2 43
Figura 22: Parámetros del generador de pulsos para simular de manera aproximada la función d (t) .
Ejemplo 2.5
Aplique las técnicas de la transformada de Fourier para encontrar la corriente en el resistor. El voltaje de la entrada v(t) es:
Figura 23: Señal de voltaje v(t) = 10e -0.5t . CAPÍTULO 2 44
Figura 24: Circuito estimulado por una fuente de voltaje v(t) = 10e -0.5t . R :
Transformada de Fourier del estímulo v(t) = 10e -0.5t ¥ 10 V ( jw) = F {}10e-0.5tu(t) = ò10e-0.5t e- jwt = 0 0.5 + jw Impedancia del inductor:
Z L ( jw) = jwL = 0.5 jw
Figura 25: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia.
Se realiza una LKV y se obtiene:
V ( jw) = I( jw) * (1+ 0.5 jw)
10 = I( jw) *(1+ 0.5 jw) 0.5 + jw CAPÍTULO 2 45 V ( jw) I ( jw) = (1 + 0.5 jw)
10 1 I( jw) = * 0.5+ jw 1+ 0.5 jw
10 I( jw) = (0.5+ jw)(1+0.5 jw)
ì 10 ü i(t) = F -1 {}I( jw) = F -1 í ý î(0.5 + jw)(1+ 0.5 jw)þ
Se aplica fracciones parciales y se obtiene:
40 20 10 3 3 = - (0.5 + jw)(1+ 0.5 jw) (0.5+ jw) (1+0.5jw)
ì 40 20 ü -1 -1 ï 3 3 ï i(t) = F {}I( jw) = F í - ý (0.5 + jw) (1+ 0.5 jw) îï þï i(t) = 40 e-0.5tu(t) - 40 e-2t u(t) 3 3 i(t) = 40 e-0.5t - 40 e-2t u(t) {}3 3 i(t) = 40 e -0.5t - e -2t u(t) 3 {}
R. MATLAB:
Empleando el toolbox de matemática simbólica:
>> syms w t
>> It=ifourier((10)/((0.5+j*w)*(1+0.5*j*w)),t) CAPÍTULO 2 46 It =
-40/3*Heaviside(t)*(exp(-2*t)-exp(-1/2*t))
R. SIMULINK:
Figura 26: Archivo .mdl para la obtención de la corriente i(t) .
Figura 27: Parámetros generales para ejecutar la simulación y obtener la corriente i(t) . CAPÍTULO 2 47
Figura 28: Parámetros de una fuente controlada de voltaje.
Figura 29: Forma de onda de la corriente i(t) contra t (s). CAPÍTULO 2 48 Ejemplo 2.6
Aplique la transformada de Fourier para encontrar la corriente i(t) en el circuito mostrado siendo t = 1 s . El voltaje de la entrada es v(t) = 2e-t u(t):
Figura 30: Circuito estimulado por una fuente de voltaje v(t) = 2e-t u(t).
R :
Transformada de Fourier del estímulo: v(t) = 2e-t u(t)
¥ 2 V ( jw) = F {2e-t u(t)}= ò 2e-t e- jwt = 0 1+ jw Impedancia del inductor:
Z L ( jw) = jwL = 1 jw
Figura 31: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia.
Se realiza un divisor de voltaje y se obtiene: CAPÍTULO 2 49 jw jw jw + 1 jw + 1 2 jw jw + 1 V ( jw) = V ( jw) * = = * * ab jw 2 jw + 1 (1 + ) 1+ jw jw +1 2 jw + 1 jw + 1 jw + 1
2 jw V ( jw) = ab (1+ jw)(2 + jw)
V ( jw) 2 jw I( jw) = ab = 1 (1+ jw)(2 + jw)
ì 2 jw ü i(t) = F -1 {}I( jw) = F -1 í ý î(1+ jw)(2 + jw)þ
Se aplica fracciones parciales y se obtiene:
2 jw jw A B = = + (1+ jw)(1+ 2 jw) (1+ jw)(1 2 + jw) (1+ jw) (1 2 + jw)
jw A = = 2 (1 2 + jw) jw=-1
jw B = = -1 1 (1+ jw) jw=- 2
jw 2 1 = - (1+ jw)(1 2 + jw) (1+ jw) (1 2 + jw)
ì 2 1 ü i(t) = F -1 {}I( jw) = F -1 í - ý î(1+ jw) (1 2 + jw)þ
1 1 i(t) = 2e-tu(t) - e- 2tu(t) = u(t)é2e-t - e- 2t ùA ëê ûú CAPÍTULO 2 50 Evaluando para t = 1 s :
- 1 -1 2 i(1s) = 2e - e = 0.1292A
R. MATLAB:
Empleando el toolbox de matemática simbólica:
>> syms w t
>> It=ifourier((2*j*w)/((1+j*w)*(1+2*j*w)),t)
It =
-Heaviside(t)*(-2*exp(-t)+exp(-1/2*t))
>> t=1;
>> itunoymedioms=subs(It) itunoymedioms =
2*exp(-1)-exp(-1/2)
>> itunoymedioms=2*exp(-1)-exp(-1/2) itunoymedioms =
0.1292
R. SIMULINK:
Figura 32: Archivo .mdl para la obtención de la corriente para t = 1 s . CAPÍTULO 2 51
Figura 33: Parámetros generales para ejecutar la simulación y obtener la corriente i(t) en 1 segundo.
Ejemplo 2.7
Aplicando las técnicas de la transformada de Fourier encuentre v(t) en el circuito
-3t mostrado, vi (t) = 2e u(t) .
Figura 34: Circuito estimulado por una fuente de voltaje. R :
-3t Transformada de Fourier del estímulo: vi (t) = 2e u(t) CAPÍTULO 2 52 ¥ 2 V ( jw) = 2e-3tu(t) = 2e-3t e- jwt = i F {}ò 0 3 + jw Impedancia del capacitor:
Z ( jw) = 1 = 1 C jwC 1jw
Figura 35: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia.
Se realiza un divisor de voltaje y se obtiene:
1 jw V ( jw) = Vi ( jw)* 2 + 1 jw
1 2 1 = V ( jw) * = * i 2 jw +1 3 + jw 1+ 2 jw
2 1 = = (3 + jw)(1+ 2 jw) (3 + jw)(0.5 + jw)
ì 1 ü v(t) = F -1 {}V ( jw) = F -1 í ý î(3+ jw)(0.5 + jw)þ
Se aplica fracciones parciales y se obtiene:
1 0.4 0.4 = - + (3 + jw)(0.5 + jw) (3+ jw) (0.5+ jw) CAPÍTULO 2 53 ì 0.4 0.4 ü v(t) = F -1 {}V ( jw) = F -1 í- + ý î (3 + jw) (0.5 + jw)þ v(t) = 0.4e-0.5tu(t) - 0.4e-3tu(t) v(t) = {}0.4e-0.5t - 0.4e -3t u(t) v(t) = 0.4{}e -0.5t - e -3t u(t)
R. MATLAB:
Empleando el toolbox de matemática simbólica:
>> syms w t
>> vt=ifourier((1)/((3+j*w)*(0.5+j*w)),t)
vt =
-2/5*Heaviside(t)*(exp(-3*t)-exp(-1/2*t))
R. SIMULINK:
Figura 36: Archivo .mdl para la obtención del voltaje en el capacitor. CAPÍTULO 2 54
Figura 37: Parámetros del capacitor de 1 F.
Figura 38: Forma de onda del voltaje de entrada vi(t) V contra t (s). CAPÍTULO 2 55
Figura 39: Forma de onda del voltaje de salida v(t) V contra t (s).
Ejemplo 2.8
Use el método de la transformada de Fourier para calcular i(7 s) en la figura mostrada, siendo is (t) = 10sen2t A.
Figura 40: Circuito estimulado por una fuente de corriente.
R :
Transformada de Fourier del estímulo is (t) = 10sen2t :
I s ( jw) =10{jp[]d (w + 2) -d (w - 2) } CAPÍTULO 2 56 Impedancia del capacitor:
Z ( jw) = 1 = 1 C jwC 0.5 jw
Figura 41: Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia. 2 2 I ( jw) = I s ( jw) = Is ( jw) 2 + 4 + 1 6 + 2 1 2 jw jw 2 jw jw = I ( jw) = I ( jw) s 6 jw + 2 s 1+ 3 jw jw I( jw) =10{jp[]d (w + 2) -d (w - 2) }* 1+ 3 jw 10wp[]d (w - 2) -d (w + 2) I( jw) = 1+ 3 jw
¥ 1 10wp[]d (w - 2) -d (w + 2) j t i (t) = F -1 {}I ( jw) = e w dw 2p ò-¥ 1+3 jw Aplicando la propiedad de la función impulso:
¥ d (w -w0 ) - f (w) = f (w0 ) ò-¥ Se obtiene:
10 é 2 2 jt - 2 -2 jt ù i (t) = ê e - e ú 2p ë1+ 6 j 1- 6 j û é e2 jt e-2 jt ù =10ê 0 + 0 ú ë6.082e j80.54 6.082e- j80.54 û CAPÍTULO 2 57
0 0 =1.644[]e j(2t-80.54 ) + e- j(2t-80.54 ) = 3.288cos(2t - 80.540 )A Evaluando para t = 7 s:
o o i(7s) = 3.288cos(2(7)(180 / pi)) - 80.54 ) = 3.2867 A
R. MATLAB: >> syms w t >> ifourier(10*w*pi/(1+3*i*w)*sym('Dirac(w-2)')- 10*w*pi/(1+3*i*w)*sym('Dirac(w+2)'),t) ans = 10/37*exp(2*i*t)-60/37*i*exp(2*i*t)+10/37*exp(-2*i*t)+60/37*i*exp(-2*i*t) >> abs(10/37-60/37*i) ans = 1.6440 >> angle(10/37-60/37*i)*180/pi ans = -80.5377 >> abs(10/37+60/37*i) ans = 1.6440 >> angle(10/37+60/37*i)*180/pi ans = 80.5377 >> % 1.6440*exp(i*(2*t-80.5377))+1.6440*exp(-i*(2*t-80.5377)) >> % 1.6440*(exp(i*(2*t-80.5377))+exp(-i*(2*t-80.5377))) >> simplify(1.6440*(exp(i*(2*t-80.5377))+exp(-i*(2*t-80.5377)))) ans = 411/125*cos(2*t-2833668403978725/35184372088832) >> 411/125 ans = 3.2880 >> 2833668403978725/35184372088832 CAPÍTULO 2 58 ans = 80.5377 >> % 3.2880cos(2*t-80.5377) >> t=7; >> it= 3.2880*cos(2*t-80.5377*pi/180) it = 3.2867
R. SIMULINK:
Figura 42: Archivo .mdl para la obtención de la corriente i(t) .
Figura 43: Parámetros de la fuente de corriente alterna is(t) = 10sen2t A . CAPÍTULO 2 59
Figura 44: Forma de onda de la corriente i(t) A para t = 7s .
Figura 45: Parámetros para la simulación en t = 7s . CAPÍTULO 2 60
Figura 46: Parámetros del capacitor de 0.5 F. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 61
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Conclusiones La transformada de Fourier permite su aplicación en la solución de ejercicios de circuitos eléctricos lo que alcanza mayor efectividad con el uso de otros lenguajes de progamación como Matlab y su simulador Simulink.
Con la aplicación del Matlab y el Simulink se ilustra de manera coherente e integral, la solución de ejercicios de circuitos eléctricos, por lo que el trabajo servirá como base material de estudio para los estudiantes y profesores de la asignatura Circuitos Eléctricos III.
Recomendaciones § Divulgar los resultados alcanzados en el proceso de investigación en eventos científicos y a través de publicaciones electrónicas en las redes informáticas, para que sean utilizados por parte de estudiantes y profesores.
§ Resolver, en futuros trabajos, ejercicios más complejos y más estrechamente vinculados con la práctica profesional.
§ Realizar en posteriores estudios comparaciones entre la aplicación de la transformada de Fourier en la solución de ejercicios de circuitos eléctricos y la aplicación de la transformada de Laplace. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 62
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
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