Nr. 23 Mitteilungen der Versuchsanstalt für Wasserbau, Hydrologie und Glaziologie

an der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich Herausgegeben von Prof. Dr. D. Vischer

Die rasche Absenkung von Stauseen Optimale Programme für Stauseesysteme

Anton Kühne

11 ~ 111~ ~11

Zürich, 1977 VORWORT

In der Schweiz und in anderen Ländern s ind verschiedene Schutz­ konzepte in Kraft, um a llfälligen Gef'ahren zu begegnen, die zu einem Versagen von Talsperren führen könnten. Eines dieser Konzepte ist die s ogenannte Vorabsenkung. Sie sieht vor, bei drohender Gefahr die betroffenen Speicherseen rechtzeitig so­ weit abzusenken , dass ein Versagen ausgeschlossen oder zumin­ dest hinsichtlich seiner Auswirkungen flussabwärts gemildert wird.

Weil damit zu rechnen ist, dass für eine sol che Vorabsenkung nur eine beschränkte Zeit zur Verfügung steht, muss sie mög• lichst rasch erfolgen können. Nun stellt aber die gleichzeiti­ ge Vorabsenkung mehrerer Speicher im selben Plussystem unter Umständen ein recht kompliziertes Koordinationsproblem dar, g ilt es doch, die beschränkte Kapazität der Abflussgerinne und eventuell Prioritäten bezüglich der Absenkung einzelner Speicher zu berücksichtigen. Wie sind dann d i e einzelnen Speicherabflüsse zu regulieren, damit die Vorabsenkung opti­ mal ablaufen kann?

Die in der vorliegenden Studie entwickelten Lösungsvorschläge beruhen auf der linearen Programmierung . Sie sollen zeigen, wie die zu einer optimalen Vorabsenkung führenden Speich erab­ flüsse grundsätzlich zu berechnen sind. Für Vorabsenkungspro­ bleme der Praxis können diese Verfahren modifiziert werden. Es werden bewusst einfache Methoden präsentiert; sie sollen es ermöglichen, die Berechnung einer optimalen Vorabsenkung auch ohne grössere Rechenanlage, nur mit Hi lfe eines Rechen­ schiebers oder Taschenrechners , durchzuführen . Die gezei gten Beispie l e sind wirklichkeitsnah gewählt, beziehen s i ch aber nicht auf ein konkretes F lussystem.

Um das Problem der optimalen Vorabsenkung rechnerisch lösbar zu machen, sind natürlich gewisse Vereinfachungen notwendig . Eine davon betrifft den funktionellen Zusammenhang zwischen 7.wei für die Absenkung bedeutsamen Grössen, nämlich dem Spei­ cheriohalt und der Stauhöhe . Dieser Zusammenhang kann durch ein einfaches Potenzgesetz ausgedrückt werden, das die Ta l­ form eines Speicherbeckens durch zwei Parameter weitgehend kennzeichnet . Es wird hier näher begründet und an 61 schwei­ zerischen Speicherseen überprüft. Als Unterlage dienen Spei­ cherinhaltslinien, welche durch das Eidg. Amt für Wasserwirt­ schaft aufgezeichnet und in verdankenswerter Weise zur Ver­ fügung gestell t worden sind.

Prof. Dr . D. Vischer - 5 -

INHALTSVERZEICHNIS Seite

Zusammenfassung 8 Resurne 9 Summary 10 Bezeichnungen 12

1. Einleitung 1 5

2 . Speicherinhaltslinien 18

2 . 1 Näherungsformeln für die Stauspiegelfläche und den Speicherinhalt 19 2.2 Charakterisierung von Speicherbecken 20 2.2.1 Bedeutung des Beiwer tes b 20 2.2.2 Bedeutung des Beiwertes a 23 2.3 Approximation von Speicherinhaltslinien 24 2.3 . 1 Graphische Ausgleichung 24 2 . 3.2 Numerisches Ausgleichsverfahren 26 2 . 4 Approximation der Speicherinhaltslinien von Schweizer Stauseen 28 2 . 4 . 1 Ergebnisse 30 2 . 4.1.1 Flussgebiet: Rhein 34 2 . 4.1 . 2 Flussgebiet : Aare 35 2 . 4. 1.3 Flussgebiet: Reuss 37 2.4. 1. 4 F l ussgebiet: Linth/Limmat 38 2 . 4 .1.5 Flussgebiet: Rhone 39 2.4.1.6 Flussgebiet: Ticino 41 2 . 4 .1.7 Diverse Flussgebiete 43 2 . 4 . 2 Beurteil ung und Folgerungen 43

3 . Speicherauslässe 46

3 . 1 Be triebsauslass 47 3.2 Grundablass 48 3 . 3 Hochwasserentlastung 51

4 . Vorabsenkung eines Einzelspeichers 52

4 . 1 Vereinfachte Abflussgleichungen für den Grundablass 53 4 . 1.1 Fall H 0 53 gs 4 .1. 2 Fall Hgs ~ 0 56 - 6 - Seite

4 . 2 Charakterisierung des Absenkprozesses 57 4.3 Kürzeste Absenkzeit 60 4.3.1 Einschränkung durch die Kapazität des Abflussgerinnes 60 4.3.2 Einschränkung durch die Auslass­ kapazität 61 4.3.2.1 Konstante Auslasskapazität 61 4.3.2.2 Variable Au slasskapazität 61 4 . 3.2.3 Zusammenfassung 72

5 . Vorabsenkung eines Speichersystems 74

5.1 Einleitung und Problemstellung 74 5 . 2 Mathematische Problembeschreibung 76 5.2.1 Zwei parallele Speicher 76 5 .2.2 Zwei Speicher in Serie 78 5 . 2 . 3 Speichersysteme in allgemeiner Anord­ nung 80 5 .2.3.1 Zwei Speich er 80 5 .2.3.2 Mehr a l s zwei Speicher 81 5.3 Ab senkprogramme mit kürzester Absenkzeit 86 5.3.1 Zielvorstellung 86 5 . 3 .2 Voraussetzungen 87 5 . 3 . 3 Zwei Kategorien von Absenkprogrammen 88 5 . 3 .3.1 Absenkprogramm vom Typ A 88 5 .3.3.2 Absenkprogramm vom Typ B 89 5.3 . 4 Bestimmung eines optimalen Absenk- programms 91 5 . 3 .4.1 Grundlagen 91 5 . 3 .4.2 Systeme mit zwei Speichern 91 5.3 . 4.3 Beispiele mit zwei Speichern 93 5 . 3 . 4.4 Systeme mit mehr als zwei Speichern 98 5 . 3.4.5 Beispiel mit 9 Speichern 100 5.3 . 4.6 Mögliche Rechenverfahren 103 5 . 3 . 5 Vollständige Ausnützung der Abfluss- kapazitäten 104 5 . 3 . 5.1 Zwei Speicher in Serie 105 5 . 3 . 5 . 2 Kritische Stellen in einem System von n Speichern 107 5 . 3.5.3 Optimale Absenkung der Obe r - lieger von kritischen Stellen 109 5.3.5 . 4 Ermittlung der optimalen Lösung vom Typ B 111 5.3 . 5.5 Beispiel mit 6 Speichern 112 - 7 -

Seite

5.4 Absenkprogramme mit maximalem Gesamtabfluss 118 5.4.1 Absenkung ohne Prioritäten 118 5.4.1.1 Beispiel mit zwei parallelen Speichern 120 5.4.1.2 Nicht- eindeutige Lösungen 121 5 . 4 . 2 Absenkung mit Prioritäten 122 5 . 4 . 2.1 Vorgegebene Absenkzeit 122 5 . 4 .2.2 Beispiel mit 6 Speichern 124 5.4.2.3 Maximaler Abfluss aus Teil- systemen 125

6. "Massive" Vorabsenkungen 126

6.1 Einzelspeicher 126 6.1.1 Konstanter Speicherabfluss 127 6.1.2 Variabler Speich erabfluss 127 6 . 1 . 2 . 1 Beschreibung der einzel nen Schritte 129 6.1.2.2 Bestimmung der kürzesten Absenkzeit 133 6.1.2.3 Beispiel 1 34 6 . 2 Speichersysteme 137 6 . 2 .1 Absenkprogramme mit kürzester Absenl,zei t 137 6.2.1.1 Konstante Speicherabflüsse 138 6.2.1.2 Variable Speicherabflüsse 138 6 . 2.1.3 Beispiel 141 6 . 2 .1.4 Vollständige Ausnützung der Abflusskapazitäten 147 6.2.2 Absenkprogramme mit maximalem Gesamtabfluss 148

7. Schlussfolgerungen 1 51

8. Literatur 154

9. Anhang 155 - 8 -

ZUSAMNENFASSUNG

Gegens tand dieser Studie ist die rasche Vorabsenkung von ein­ zelnen Stauseen (Speichern) und von Stauseesystemen. Unter der Vorabsenkung ist ein Schutzkonzept zu verstehen, nach welch em bei einer drohenden Gefahr, die zum Versagen von Talsperren führen könnte, die gefährd eten Speicher möglichst rasch abgesenkt werden. Es wird gezei gt, wie die Abflüsse a u s den Stauseen zu steuern sind, damit eine optimale Vo rabsen­ kung eines Systems resultiert.

Für das rasche Absenken eines Stau see s dient vor a llem der Grundablass . Seine Abflusskapazität hängt wesentlich von der aktuellen Stauhö he ab . Der funktionelle Zusammenhang zwischen zwei für die Absenkung bedeutsamen Gr össen, nämlich Speicher­ inhalt und Stauh öhe , kann als gute Näherung durch ein Potenz­ gesetz dargestellt werden. Die Talform e ines Speicherbeckens l ässt sich durch zwei Parameter weitgehend c harakterisieren. Dies ist im 2. Kapitel beschrieben und am Beispiel von 61 Schwei zerseen ausführlich dokumentiert . I m J . Kapitel sind die für e ine Absenkung zur Verfügung stehenden Speicherausläs• se kurz beschrieben. Im 4 . Kapitel werden gewi sse Vereinfa­ chungen in den Abflussformeln hergel eitet. Im weitern bef asst sich jenes Kapitel mit der Vorabsenkung eines Einzelspeichers. Die Vorabsenkung eines Speichersystems wird im 5 . und 6 . Kapi­ tel behandelt. Im 5. Kapitel wird bei jedem Spei cher mit ein em Abfluss gerechnet, welcher nicht variiert bei Aenderungen im Speicherinhalt. Diese Annahme ist dann recht gut erfüll t , wenn in den einzeln en Stauseen nicht allzu g rosse Wassermengen - gemessen an den entsprechenden Anfangsvol umina - abgesenkt werden. Im 6 . Kapitel wird gezeigt, wie " massivere" Vorabsen­ kungen optimal gestaltet werden können .

Die Vorabseru(ung eines Speichersystems wird in den Kapiteln 5 und 6 unter zwei verschiedenen Zielvorstellungen betrachtet , die im allgemeinen nicht zu den gl e ichen optimalen Lösungen führen . Untersucht wird, wie ein Syst em abzu senken ist, so dass 9 -

die Absenkzeit des Speichersystems minimal wird (Ab­ schnitte 5 . 3 und 6 . 2 .1), der gesamte Abfluss aus dem Speichersystem maximal wird (Abschnitte 5 . 4 und 6 . 2.2).

Im weiternwerden Prioritäten berücksichtigt, die bezüglich der Vorabsenkung gewisser Speicher im System gesetzt sein kön• nen. Die Lös ungsverfahren werden an Beispielen illustriert.

RESU}1E

L'objet de cette etude est l'analyse et l'optimalisation du processus de vidange d'urgence des lacs de retenue et des sy­ stemes de lacs d e retenue . Dans le concept de vidange d ' ur­ gence il y a une notion de protection contre un danger apparu a la s uite d'un accident du barrage. Pratiquement ce danger determine la necessite d ' un abaissement soudain du niveau de la retenue . Le lecteur trouvera ici une methode de reglage des debits evacues realisant en quelque sorte la vidange opti­ male d'un systeme .

L'organe principal concerne est la vidange de fond du barrage dont la capacit e depend dans une large mesure du niveau in­ stantane de la retenue . Le contenu et le niveau d'un reservoir, qui sont deux grandeurs fondamentales intervenant dans le pro­ cessus de vidange, sont lies par une relation s'apparentant largement a une fonction puissance. A l'aide de 61 lacs suis­ ses , on montre en detail comment deux parametres peuvent ca­ racteriser la forme d'un reservoir (chapitre 2) .

Les differents types de vidange s ont mentionnes et brievement decrits (chapitre 3) . Quelques formules de capacite simpli­ fiees sont alors introduites et appliquees a la vidange d ' un reservoir considere d'abord isolement (chapitre 4) . L'etude de la vidange des systemes de retenue fait l'objet des ch apit­ res 5 et 6. On etudie d'abord le cas Oll le debit evacu e reste faible par rapport au volume initial, ce qui permet d'admettre - 10 -

un debit de vidange constant (chapitrc 5) . On montre ensuite comment optimaliser le processus en cas de vidange "massive" (chapitre 6). Ces deux cas peuvent etre traites d'apres deux criteres d'optimalisation differents ne conduisant pas aux memes solutions. Ces deux criteres sont: - le temps de vidange du systeme (paragraphe 5 . 3 et 6 . 2 . 1) - le debittotal issu du systeme (paragraphe 5 . 4 et 6.2.2). Le processus de vidange doit eventuellement respecter cer­ tains degres de priorite affectant tel ou tel reservoir. Les differentes methodes d'optimalisation sont illustrees pardes exemples.

Sill1MARY

The topic of this study is the rapid lowering of the water in a single reservoir or in systems of reservoirs . By lowering the water we mean a protecting concept, according to which the endangered reservoirs can be emptied as rapidly as possibl e in all those cases in which they may be subjected to an oncoming danger. It is s hown how the discharge of the reservoirs can be controlled in order to achieve an optimal lowering of the sy­ stem involved.

Rapid lowering of the water in a reservoir is achieved mainly by means of the bottom outlet, the discharge Capacity of which largely depends on the actual water level in the lake. The functional relationship of two important variables responsible for the lowering mechanism, namely the actual volume of water in the reservoir a nd the height of the water, can be descri­ bed quite accurately by apower law. The characteristics of the shape of the valley in which a res ervoir is built may be satisfactorily described by two parameters . This will be shown in Chapter 2 using data from 61 Swiss lakes. In Chapter 3 we discuss briefly the reservoir outlets that usually are avai­ lable for the lowering of the water. In Chapter 4 some simpli­ fications are introduced and the rela ted discharge formul as are presented. In addition, lowering of the water in a single - 11 reservoir is discussed. Chapters 5 and 6 deal with the lowe­ ring of water in reservoir systems. In Chaper 5 it is assumed that each reservoir has a discharge which remains constant under changes of water content of the reservoir. Such an as­ sumption is nearly satisfied in all those cases in which the change in the water content for each reservoir is small in comparison with t he corresponding water content of the same reservoirs at the beginning of the lowering process . In Chapter 6 it is shown how reservoirs can be lowered by large amounts (i.e . more then 50 % of there initial volumes) in the most efficient way .

In Chapters 5 a nd 6 the lowering of a reservoir system is looked at from two different view points of optimization, which do not yield the same optimal solutions. We investi­ gate how a reservoir system has to be lowered under the con­ dition that the lowering time of the system is minimized (Sections 5.3 and 6.2 . 3), the total discharge of the reservoir system is maximized (Sections 5.4 and 6.2.2).

Moreover, we include some priorities that could be imposed on certain reservoirs in the system. The optimization procedures are illustrated by means of various examples. - 12 -

BEZEICHNUNGEN

Einige der hier aufgeführten, wichtigsten Bezeichnungen sind in dieser Studie mit den Indices i und k versehen. Mit i werden durchwegs die einzeln en Speich er innerhalb eines Sy­ stems numeriert; k markiert den k-ten Schritt bei einer (in mehrere Sch ritte aufgeteilten) "massiven" Vorabsenkung.

Symbol Einheit Bedeutung J A m /s Abfluss aus einem Speicher J 0( m /s Nettoabfluss aus einem Speicher J-b a m konstanter Beiwert (bei der Approximation von Speicherinhaltslinien) b konstanter Beiwert (Exponent bei der Approximation von Speicherinhalts linien) ß relative Absenkung eines Speichers, ge­ messen am Anfangsvolumen V (0 1) a ~ ß ~ /}"" obere Schranke !ür ß bei vorgegebener Fehlerschranke 6 Grundablasscharakteristik (Q = C' '{H;l c = c 1 -l/2b g g g g g a grösstmöglicher Wert von C g Schranke für den relativen Fehler bei der Bestimmung der Absenkzeit Quotient: Grundablasskapazität durch Nettoabfluss, beim Absenkbegi~n Kapazität der Auslässe ein es Speichers Kapazität des Betriebsauslasses Kapazität des Grundablasses m Stauhöhe = Höhendifferenz zwischen Stau­ seespiegel und tiefstem Seegrund H m Hö hendifferenz zwischen Stauseespiegel g und Grundablassschütze H m Höhendifferenz zwischen tiefstem Seegrund gs und Grundablassschütze H m Höhendifferenz zwischen Absenkgrenze und r tiefstem Seegrund m Höhendifferenz zwischen Grundablassein­ lauf und tiefstem Seegrund Grenzhochwasser im Kontrollpunkt u eines Gerinnes 13 -

i Index zur Numerierung von Speich ern j Index 3 K. m /s Konstante = "rechte Seite" der j - ten J Ungleichung k I ndex zur Marki erung des k-ten Schrittes ein er "massiven" Vorabscnkung e Index n Anzahl Speicher in einem System 2 0 , O(H) m Stauspiegelfläche, auf der Stauhöhe H 3 Qb m /s Abfluss durch den Betriebsau slass 3 Qg m /s Abfluss durch den Grundablass 3 m /s Q beim Absenkbeginn Qga g 3 Q am Absenkende Qge m /s g 3 Qu m/s natürlicher, nicht durch Absenkung be­ einflusster Abfluss im Kontr ollpunkt u ein es Gerinnes q Anzahl Schritte bei einer "massiven" Vorabsenkung mittleres Residu um bei der Ausgleichung von Speicherinhaltslinien r Index s abzusenkender Speicherinhal t T Absenkzeit eines Einzelspeichers oder eines Speichersystems t s Zeit (Variable) u Index V , V(H) Speicherinhalt, bi s zur Stauh öhe H V V beim Absenkbeginn a V V am Absenkende e V maximal er Speicherinhalt, bis zum Stau­ max ziel ( siehe Bil d 3.1 ) V Spei cherrestinhalt : Eiserner Bestand + r Totraum (sieh e Bild 3 . 1) 3 W, W' m Hilfsgrössen (siehe Gleichungen (3 . 6) und ( 3. 8)) X= (x . . ) - Koeffizientenmatrix von linearen Ein­ lJ schränkungen Y, y * Zielfunktion (* es sind versch iedene Masseinheiten möglich, je nach Formu­ lierung der Zielfunktion) z natürlich er Speicherzufluss während eines Absenkvorganges - 15 -

l. EINLEITUNG

Nach einer Statistik des Eidgenössischen Amtes für Wasser­ wirtschaft, Stand l . Januar 1977, besitzt die Schweiz 70 Na­ turseen und 94 Speicherseen mit e iner Seefläche von mehr als 2 0 .1 km (4]. Zu diesen Speicherseen (im folgenden au ch als Stauseen oder kurz als Speicher bezeichnet) sind auch Aus­ gleichsbecken, Stauhaltungen sowie Naturseen mit Absenkung bzw. Stauerhöhung gezähl t . Sie dienen praktisch au sschliess­ lich der Wasserkraftnutzung. Rund 60 Stauseen weisen einen Nutzinhalt von mehr als 5 Mio m3 auf, darunter 13 einen sol­ 3 chen von mehr als 100 Mio m . Der grösste Schweizer Stausee , der Lac des Dix (Kraftwerk Grande Dixence AG), kann ein Nutzvolumen von 400 Mio m3 fassen . Die Grundfläche der Schweiz 2 beträgt 41 ' 293 km ; im Mittel entfallen in diesem Land auf 2 3 1000 km 1 bis 2 Speicherseen von mehr als 5 Mio m Nutzin­ 2 h alt. Pro 1000 km betr ägt der mittlere Nutzinhalt rund 80 Mio m3 . Der überwiegende Teil der gesamten Speicherkapa­ zität ist auf die Gebirgskantone konzentriert. So trifft es 2 z . B. im Kanton Wallis auf 1000 km Grundfläch e mehr a l s zwe i Stauseen bzw. einen mittleren Nutzinhalt von über 220 Mio m3 .

Weg en dieser Häufigkeit von Speicherseen (siehe auch Bild 2.5) und wegen der grossen Speicherkapazitäten muss in der relativ dicht bevölkerten Schweiz der Sicherheit der Talsper­ ren grosse Beachtung geschenkt werden. Es gilt, drei wesent­ liche Gefahren, die zum Versagen einer Sperre führen können, zu berücksichtigen, nämlich:

- Unzul änglichkeiten des Bauwerks und der Betriebsweise - Naturkatastrophen - Sabotage, Krieg.

Durch ein Unglück an e iner Talsperre ist normalerweise nicht nur diese allein betroffen. Bei gan z oder teilweise gefüll­ t e m Stauraum k önn en auch weite Gebiete unterhal b der Sperre in Mitleidenschaft gezogen werden, da in diesem Bereich nach - 16 - einem Damm- oder Mauerbruch mit einer zerstörerischen Flut­ welle zu rechnen ist. Verschiedene Schutzkonzepte sind in Kraft, um den Gefahren zu begegnen, welch einer Sperre dro­ hen können [12) . Eines davon ist das Konzept der Vorabsen­ kung des Stauinhaltes bei drohender Gefahr.

Die Vorabsenkung besteht darin, ein en bestimmten Teil des ge­ stauten Wassers vor dem erwarteten Unglück a uf natürliche Weise abfliessen zu lassen. Im Speicherbecken soll sich nach­ her nur eine minimale Wassermenge befinden, die beim Eintritt des Unglücks keine übermässigen Schäden verursacht. Dieses Konzept setzt voraus , dass sich drohende Gefahren rechtzei­ tig erkennen lassen.

Gewisse Gefahren , wie etwa Unzu länglichkeiten bei der Bemes­ sung, beim Bau und beim Betrieb einer Sperre oder auch lokale Naturkatastrophen bedrohen in der Regel n ur eine einzige Sper­ re . In so l chen Fällen k ann eine Vorabsenkung verhältnismässig einfach real isiert werden. Die Vorabsenkung stellt jedoch ein wesentlich komplizierteres Koordinationsproblem dar, wenn eine bestimmte Gefahr gleichzeitig mehrere Sperren, die im Einzugsgebiet des gleichen Flusses liegen, bedroht. Zu diesen Gefahren s ind extreme Erdbeben sowie Sabotage und kriegerische Einwirkungen zu zählen. Es stellt sich die Frage, wie eine wirkungsvolle Vorabsenkung von Einzelspeichern und von Spei­ chersystemen erreicht werden kann. Unter einem Speichersystem ist hier eine Mehrzahl von Speichern zu verstehen, deren Aus­ flüsse letztlich in den gleichen Fluss münden. Solche Speicher hängen in Bezug auf eine Vorabsenkung zusammen. Beispiel sweise bilden die Stauseen im Einzugsgebiet der Rhone ein Speicher­ system (siehe Bild 2.5).

Die Vorabsenkung ist eine vorsorgliche Massnahme. Sie ist dann wirkungsvoll, wenn in kurzer Zeit ein möglichst grosser Teil der gespeicherten Wassermengen aus den gefährdeten Stau­ seen abfliesst, ohne dass irgendwo unterhalb dieser Seen ein nennenswerter Schaden a ngerichtet wird. Die Speicherabflüsse können nicht beliebig gross gewählt werden; sie werden durch - 17 -

die Abflusskapazitäten der Speicherauslässe und der Gerinne (Flüsse) an bestimmten Kontrollpunkten eingeschränkt . Insbe­ sondere ist zu berücksichtigen, dass sich möglicherweise an gewissen Stellen die Abflüsse aus verschiedenen Speichern überlagern.

Bei der Vorabsenkung eines Einzelspeichers führt ein maxima­ ler Speicherabfluss auf eine minimale Absenkzeit. Bei e inem Speichersystem sind die entsprechenden Zusammenhänge etwas komplizierter. Es sind verschiedene Zielvorstellungen für die Absenkung von Systemen denkbar,welche auf unterschied­ l iche Ergebnisse führen . In gewissen Fällen sind Prioritäten für einzeln e oder mehrere Speicher erwünscht . Erst wenn das Ziel einer Vorabsenkung sowie die zu beachtenden Einschrän­ kungen und eventuellen Prioritäten formuliert sind, kann eine für den konkreten Fall geeignete Lösung gesucht werden .

Diese Studie will zeigen, wie die Abflüsse aus den beteilig­ ten Speichern zu steuern sind, damit e ine optimale Vorabsen­ kung resultiert. Eine Vorabsenkung wird als " optimal" be­ zeichnet, wenn sie im Rahmen der rechn erischen Vereinfachun­ gen und unter Beachtung der Einschränkungen für die Speicher­ abflüsse das beste Ergebnis bezüglich einer vorgegebenen Zielvorstellung liefert . Um die Vorgänge und Zusammenhänge transparent zu machen, sind gewisse vereinfachende Annahmen nicht zu umgehen; s i e werden später im einzelnen erläutert .

Erste Lösungsvorschläge zum Problem der Vorabsenkung von Speichersystemen gehen auf Vischer und Spreafico zurück, 1975 [12] . Im Zusammenhang mit der vorliegenden Publikation sind jene Studi en vertieft und erweitert worden . Gegenstand dieser Arbeit ist die optimale Vorabsenkung von Einzelspei­ chern und Speichersystemen, auch wenn im folgenden oftmals der Kürze halber der Ausdruck "Absenkung" verwendet wird . - 18 -

2 . SPEICHERINHALTSLINIEN

Bei wasserwirtschaftliehen Untersuchungen im Zusammenhang mit Speicherseen stehen oft zwei Kennlinien zur Verfügung, welche die topographischen Gegebenheiten eines Staubeckens wiederge­ ben, nämlich die Linie der Stau s piegelfl äche und die Speicher­ inhal tslinie (Beckeninhaltslinie). Erstere beschreibt den Zu­ sammenhang zwischen der Stauhöhe und der Stauspiegelfläche; letztere gibt die Abhängigkeit des Speich erinhaltes {Becken­ inhaltes) von der Stauhöhe an .

H Stauhöhe = Höhendiff erenz zwischen Stauseespiegel und tiefstem Seegrund O(H) Stauspiegelfläche (Seefläche) auf der Höhe H V{ H) Speicherinhalt, bis zur Höhe H

Die Linie der Stauspiegelfläche zeigt a l so in graphischer Form die Abhängigkeit O{H), die Speicherinhalts l inie die Abhängig­ keit V(H), siehe Bild 2.1 . Gewöhnlich wird die Seefläche für diskrete Werte der Stauhöhe aus topographischen Karten planimetrisch bestimmt. Aus O(H) ergibt sich die Speicher­ inhaltslinie durch Integration: H V{H) Jf O(h) dh ( 2 .1 ) 0

Die Abhängigkeit des Speicherinhaltes von der Stauhöhe gehorcht im allgemeinen nicht einer einfachen, formelmässig auszudrücken• den Beziehung. Dies erklärt sich aus den topographischen Unre­ gelmässigkeiten des eingestauten Talabschnittes. Eine einfach e a nalytische Beziehung V{H), we lche dem wirklichen Sachverhalt genügend nahe kommt, würde gewisse Berechnungen erleichtern. Bei Absenkproblemen liesse sich beis pielsweise der Zus ammen­ hang zwis chen dem Speicherabfluss und dem Speicherinhalt h er­ stellen . Ferner könnten unterschiedliche Becken auf einheit­ liche Weise bezüglich Gestalt und Grös se verglichen werden . - 19 -

H

/ i / I // / / / / / / / / / I // ..,....·"""' V 0 Speicherinhaltslinie ---- Linie der Stau spiegelfläche (b > 2) - ·- ·- Linie der St a u spiege l fläche (b < 2)

Bild 2 .1 Linie der St auspiegel fläche und Speicher­ inhaltslinie

2 .1 Näherungsformeln für die Stauspiegelfläche und den

Speicherinhalt

Suthe rla nd [11 ] und Benk [1] haben nachgewiesen , dass der Beckeninhalt eines Stausees im a llgemeinen recht gut durc h den Ansatz

V{ H) ( 2 . 2) approx imiert werden kann. - 20 -

a, b konstante Beiwerte, welche von der Form des be­ trachteten Speicherbecke n s abhängen; der Exponent b ist dimensionslos

Die für einen Speichersee passenden Beiwerte a und b kön• nen durch ein Ausgleichsverfahren aus der zugehörigen (gemes­ senen bzw. ermittelten) Speicherinhaltslinie bestimmt wer­ den . Dies führt auf ein sogenanntes nichtlineares Ausgleichs­ problem. Im Abschnitt 2 . 3 werden zwei Lösungsverfahren be­ schrieben.

Wegen (2.1) lautet die dem Ansatz (2.2) entsprechende Nähe• rungsformel für die Stauspiegelfläche :

O(H) (2. 3)

2 . 2 Charakterisierung von Speicherbecken

2.2.1 Bedeutung des Beiwertes b

Mit Hilfe einiger idealisierter Beispiele kann qualitativ ge­ zeigt werden, auf welche Weise s i c h die eingestaute Talform im Exponenten b a u sdrückt. Das Bild 2 . 2 zeigt eine Reihe von idealisierten Talforme n.

Nach Benk (1] setzt sich der Exponent b näherungsweise aus den beiden Exponenten bt und bq' welche die Fläche d es Speicherbeckens im Längs- und im Querschnitt des Tales kenn­ zeichnen, wie folgt zusammen:

b + b - 1 (2.4) q

Diese Beziehung gilt sogar exakt für Talformen mit dem Längs­ schnitt I oder III und einem beliebigen der Querschnitte l bis 4 sowie für Talformen mit dem Querschnitt 1 oder 3 und einem beliebigen der Längsschnitte I bis IV, gernäss Bild 2 .2 . Für die übrigen Talformen - in der Tabelle 2 . 1 - 21 -

Tals erre

· - Symmetrieachse

Symmetrieachse X : L --- i---ft ----lH, !______~·I ,, H . Hq ------· -1---

Längsschnitt Querschnitt Typ Hf= Stauhöhe FfFiäche Typ Hq=Stauhöhe Fq=Fiäche

I 1 H eH LtJ He eHe D i :n 2 [:7 H- cx 2 cH3;2 ~ Hr-cy2 cH;12 I m 3 I 2 2 H- CX cH 7 Hr- CY eHe V I m: 4 H -cx% eH% V Hr-cy% eHr% V i

Bild 2.2 Idealisierung der Ta lform {c = konsta nter Faktor) - 22 -

Längsschnitt I II III IV

+> 1 1 1.5 2 2 . 5 ....+> l'l 2 1.5 2 2.5 3 .<:: rv rv () b ..."' 3 2 2.5 3 3 . 5 (j) ;:1 Cl 4 2.5 3 3.5 4 rv /V

Tabell e 2 .1 Abhängigkeit des Exponenten b von den Talformen aus Bild 2 . 2

mit rv markiert gilt die Formel (2 . 4) nur approximativ. Dieser Sachverhalt kann leich t verifiziert werden , gilt doch für den Stauinhalt der Talformen im Bild 2.2 die Beziehung: t V( H) J Fq(x) dx ( 2 . 5) 0 Darin ist e l (H) die Länge des Stauseespiegel s bei der Stauhöhe H.

Es sei an dieser Stelle bemerkt, dass es nicht überraschen kann, wenn die Annäherung der Speicherinhalte durch Funktio­ nen der Form V(H) = a Hb in der Nähe von H = 0 rel ativ unge­ nau ausfäl lt. Der Ansatz V(H) = a Hb trifft näm lich i n diesem Bereich nur auf Becken zu, welche einen nichthorizontalen Talboden aufweisen, sowie auf die extrem idealisierte Tal- f orm Il In der Nähe von H = 0 - dieser Bereich hat übri- gens für die meisten praktischen Probleme, so auch für die Vorabsenkung, nur eine geringe Bedeutung - wäre ein Po l ynom­ ansatz für V(H) genauer. Ein solcher Ansatz ist jedoch unge­ eignet, wenn - wie in dieser Studie - die Umkehrfunktion H(V) zu berechnen i st. Speicherseen mit b < 1, a l so Becken, die sich nach oben ver­ engen, kommen praktisch nicht vor . Daher kann b = 1 als unte­ rer Extremwert angesehen werden. b = 1 bedeutet, dass der - 23 -

Flächeninhalt des Wasserspiegels für alle Stauhöhen gleich bleibt. b > l ist ein Ma ss für das exponentielle Anwachsen der Seefläche mit zunehmender Wassert~efe. Grosse Werte von b (z.B. b > 3) charakterisieren Becken, die sich - vom tief­ sten Seegrund a u s gesehen - nach oben sehr rasch erweitern. b = 4 ist ein oberer Extremwert, der in der Praxis kaum vor­ kommt, wie sich im Abschnitt 2 .4 zeigen wird.

Aus den Beziehungen (2.2) und ( 2 . 3) folgt

I:::. V b Cl. H (2.6) - -v H und

ll.O 6H - 0- = (b - l) -H- (2.7)

.C:.H , .c:. v , 60 Aenderungen in H, v, 0

Die Beziehungen (2.6) und (2.7) zeigen, dass sowohl die relati­ ven Volumenänderungen a l s auch die relativen Flächenänderungen proportional zu den relativen Stauhöhenänderungen sind. Die zu­ gehörigen Proportionalitätsfaktoren sind b (für die Volumen­ änderungen ) und b- l (für die Flächenänderungen).

2.2 .2 Bedeutung des Beiwertes a

Wird die Stauhöhe H in Metern gemessen, so nimmt a die 3 Einheit [m - b] an. Wegen (2 . 2) und (2 .3) gibt dann der numeri­ sche Wert von a den BecKeninhalt (in m3 ) bei H l m an, während der numerische Wert des Produktes a x b die Spiegel ­ 2 fläche ( in m ) bei H l m ausdrückt . b Die Ueberprüfung des Ansatzes V(H) = ~ H an 61 Schweizer Speicherseen hat ausschliesslich Werte a < 106 ergeben. Der Be iwert a kann von Becken zu Becken stark schwanken. Der Wert von a muss im übrigen immer im Zusammenhang mit jenem von b gesehen werden . Grossen b-Werten entsprechen kleine a-Werte. - 24 -

Bei Speichern mit (ungefähr) gleichem Exponent b, aber unter­ schiedlichem Beiwert a kann auf unterschiedliche Steilheit der einzelnen Staubecken geschlossen werden . Grosse Werte von a kennzeichnen dann relativ flache, kleine Werte von a re­ lativ steile Becken.

Auf die relativen Aenderungen von V(H) und O(H) - als Folge einer Aenderung von H - hat a keinen Einfluss.

2.3 Approximation von Speicherinhaltslinien

Die gesuchten Beiwerte a und b einer Funktion von der Form b V(H) = a H , welche eine gegebene Speicherinhaltslinie mög- lichst gut approximiert, können durch ein graphisches (mit ge­ wissen Einschränkungen bezüglich der Genauigkeit) oder durch ein numerisches Ausgleichsverfahren bestimmt werden.

2 . 3 . 1 Graphische Au sgleichung

Auf doppelt- logarithmischem Papier aufgezeichnet, nimmt die Be­ ziehung V(H) a Hb die Gestalt einer Geraden an :

log(V) log(a) + b log(H) (2.8)

Wenn ein e Speicherinhaltslinie durch die Funktion V(H) = a Hb angenähert werden sol l, kann daher das folgende graphische Verfahren gewählt werden, welches auch von Sutherland [11] und Benk [1] verwendet wurde .

Die .Wertepaare (V, H) aus der gegebenen Spei cherinhaltslinie werden als Punkte auf doppelt- logarithmis chem Papier aufgetra- gen. Durch diese Punktemenge wird graphisch eine Ausgleichs­ gerade gelegt . Die beiden gesuchten Beiwerte a und b erge­ ben s ich dann aus dem Achsenabschnitt bei H = 1 m (log(H) = 0) bzw. aus der Steigung der Ausgleichsgeraden, siehe Bild 2 . 3 . - 25 -

log ( H l

arctan ( b )

( H =1) log ( V ) -log (a )

Bild 2 . 3 Bestimmung der Beiwerte a und b a uf doppelt- logarithmischem Papier

Bei d i eser graphischen Ausgleichung ist allerdings das Folgen­ de zu beachten. Mit der logarithmisch e n Transformation ist eine Massstabverzerrung verbunden . Die Punkte des oberen Teil es der gegebenen Speicherinha ltslinie (H gross ) rücken im l ogarithmi­ schen Bild stark zusammen , im Gegensatz zu den Punkten des un­ teren Teiles (H klein) . Wird nun durch die Punkte auf dem Loga­ rit hmen-Papier eine Ausgl eich sgerade "nach Augenmass " - unge­ fähr im Sinne d er Methode der k l einst en Qua drate - gel egt, führt dies zu e iner Uebergewichtung des unteren Teiles der ge­ geben en Sp eich erinhalts linie . Diese wird dann durch die Funk­ tion V( H) = a Hb i m Ber e ich von k l e i nen H g ut a ngen ä hert; im oberen Teil können jedoch recht grosse Abweichungen auftreten, weil durch d en graphischen Ausgl e i c h die Res iduen in der (log (H), log(V))-Ebene und nic ht in der (H, V)-Ebene klein ge­ mach t werden. Da für H ~ 0 ohnehin keine sehr g ute Appro­ ximation der gegeben e n Speicherinhaltsl i nie d u rch V(H ) = a Hb erwarte t werden kann (siehe Abschnitt 2 .2 . 1), i st vor allem ein e g ute Uebere ins timmung im Be r eich von mittleren und gro s ­ sen H gesucht . Im fo l genden Abschnitt wird ein Verfahren be­ s chrie ben, welches die Speicheri nhaltslinie V(H) selbst, nicht die loga rithmierte Sp e i cherinha lts linie log(V(H)), ausglei cht . - 26 -

2 . 3 . 2 Numerisches Ausgleichsverfahren

Im Rahmen dieser Studie ist ein Compu terprogramm erstell t wor­ den, welches die gesuchten Beiwerte a und b der approxi­ mierenden Funktion V(H) = a Hb für gegebene Speicherinhalts­ linien liefert. Das Programm stützt sich auf das folgende Rechenverfahren:

I. Im ersten Schritt wird das der graphischen Ausgleichung entsprechende lineare Ausgleichsproblem nach der Methode d er klein s t en Quadrate [10] numerisch gelöst, d.h. es werden a - bzw. l og(a) - und b so bestimmt, dass

I= R~ minimal wird, j = 1 mit den Residuen

R. log(a) + b log(H.) log(V(H.)) ( 2 . 9) J J J (j = 1, 2, ... . , m)

(Der Index j numeriert die insgesamt m Stützstellen H., J bei welch en d er Speich erinhalt V(H.) wertmässig vorge­ J geben bzw. a u s der Speicherinhaltslinie abzulesen ist.)

Die !:-2§~~g dieses Ausgleichsproblems sei

a b b 0

Die Lösung a , b wird als erste Näherung für die gesuch­ 0 0 ten Beiwerte a und b betr achtet. Sie legt die approxi­ mierende Speicherinhaltsfunktion

a 0

fest . Dies ist im allgemeinen nicht die nach der Methode der kleinsten Quadrate beste approximierende Funktion, weil im ersten Schritt die logarithmierte Speicherinhalts­ linie ausgeglichen wird, nicht aber die Speicherinhalts­ linie selbst. - 27 -

II. Im zweiten Schritt werden daher Korrekturen Ll. a und Ll.b gesucht , so dass die durch die Beiwerte

b + .6b 0

bestimmte Funktion

V (H) + Ll.V 0

die gegebene Speicherinhaltslinie besser approximiert als V (H). Zu diesem Zwecke wird wie folgt linearisiert : 0

V(H) V (H) + ,t,.V 0

V (H) 0

= V (H) (2 .10) 0

Die gesuchten Korrekturen Ll.a und Ll.b werden durch eine lineare Ausgleichsr echnung bestimmt, nämlich:

Minimum!

mi t den Residue n

b b ~ a (H.) 0 + ~b (H . ) 0 ln( H .) + V (H.) - V(H . ) J ao J J o J J (2.11) (j = 1 , 2 , . .. , m)

Diese erste I teration im zweiten Schritt liefert die Lösu ng

Ll. a , ~b . Dadurch s t ehen die Beiwerte 1 1

und die approximierende Funktion - 28 -

zur Verfügung.

Auf die g l eiche Weise wie vorher a , b we r den durch eine 0 0 weitere (zweite) Iteration auch a , b korrigiert mit dem 1 1 Zwecke, das mittlere Residuum

Rmittl. (2.12)

weiter zu reduzieren (bei der k - ten Iteration sind für a und b die Werte und einzusetzen)

Die Iterationen werden solange fortgesetzt, bis das mitt­ lere Residuum praktisch stabil ist. Es sind in dieser Stu­ die keine theoretischen Konvergenzuntersuchungen zum eben beschriebenen Rechenverfahren gemacht worden . Immerhin hat die praktische Anwendung gezeigt, dass meistens 3 bis 5 Iterationen genügen. Ausnahmefäl le können bis 7 Iteratio­ nen erfordern.

2.4 Approximation der Speicherinhaltslinien von Schweizer

Stauseen

Für diese Studie standen von 61 Schweizer Stauseen die Linie der Stauspiegelfläche sowie die Nutzinhaltslinie, aufgezeich­ net durch das Eidgenössische Amt für Wasserwirtschaft in Bern, zur Verfügung. Bild 2.4 zeigt eine solche Darstellung .

Die Nutzinhaltslinie gibt zu j eder Höheru{ote HK das Volumen im Becken zwischen HK und der Absenkgrenze an. Bei den mei­ sten Speichern weichen die Absenkgrenze und der obere Rand des Betriebsauslasses (siehe Bild 3.1) nur wenig voneinander ab. Wenn die Höhendifferenz Hr zwischen der Absenkgrenze und dem tiefsten Seegrund, sowie das entsprechende Restvolumen Vr' nämlich Eiserner Bestand + Totraum, bekannt sind, kann aus - 29 -

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Bild 2 .4 Beispiel einer Nutzinhaltslinie und einer Linie der Stauspiegelfläche , aufge zeichnet durch da s Eidg . Amt für Wasserwirtschaft - 30 - der Nutzinhaltslinie leicht die Speicherinhaltslinie abgelei­ tet werden. Die im fo l genden wiedergegebenen Ergebnisse basie­ ren auf den genannten Unterlagen sowie auf einer t abellari­ schen Uebersicht, die vom Eidg. Amt für Wasserwirtschaft publiziert worden ist [3].

2 . 4 . 1 Ergebnisse

Um die Speicherinhaltslinie möglichst gut durch eine Funktion der Form V(H) = a Hb annähern zu können, wurde der Nutzbe­ reich des Speichers, d.h. die Höhendifferenz zwischen dem Stauziel und der Absenkgrenze halbiert. Für alle 61 Speicher­ seen wurden je drei Aus gleichsrechnungen durchgeführt, näm• lich:

Al für die untere Hä l fte des Nu tzbereiches,

A2 f ür die obere Hälfte des Nutzbereiches,

A3 für den ganzen Nutzbereich.

Die mit einer Ausgleichsrechnung A3 gefundenen Werte für a und b liegen durchwegs näher bei den entsprechenden Resul­ taten von A2 a l s bei jenen von Al. Grössere gegen sejtige Ab­ weichungen der aus den drei Rechnungen resultierenden Bei­ werte a und b ( für ein und d asselb e Spei cherbecken) sind dort festzustelle n , wo die Talform markante Unregel mässig• keiten aufweist. Solche Speicher sind in den folgenden Ta­ bellen mit *) markiert.

Bei jedem Speicher wurden mindestens 12 Stützstellen (H-Werte) und Stützwerte (V-Werte) für den ganzen Nutzbereich (Aus­ g l eichsrechnung A3) gewählt . Bei Stauseen mit grosser Tiefe wurden bis zu 40 Stützstellen und -wert e in d i e Rechnung einbezogen. - 31 -

Speicherseen der Schweiz D E U T S C H l A N D ' •:. : ;'' - Speicher, 2 mit einer Seefläche je über 0.1 km i N

1I Ausgleichbecken

~ ~ -+ ... __.. .. .,. t 2) Gestaute bzw. abgesenkte Naturseen . .., . 3) Stauhaltungen im Niederdruckbereich oberhalb der Mittellandseen ÖSTERREICH

c:::;. Naturseen, s ..tl4ch• J• JIJ•r 0.2 k,. 2

im Bau ( Teil stau)

... .. H, ~ " : • + '?" + •• '<- X

+ ... )<; .tr

".Silr .,l- - ' ~' ,1:. L{,lmm ,·:·, .' •. \ 111,!.!!..-' • ' ~ ' ' ~ --; Albigna ~ : '4t..L.di Poschiavo 21 ... ~ I ~+ I(" <0 \

··' 0 10 20 30 40 50 km

'( .... ;" \ ' I T A L I A . .. " ...... : '• " " ..- ~ 11' ...... ~ . '

Bild 2.5 Speicherseen der Schweiz (nach [4]), Stand l. Januar 1977 - 33 -

In den nachfolgenden Tabellen sind für 61 Schweizer Speicher­ seen, geordnet nach Flussgebieten, die folgenden Grossen festgehalten :

V Maximaler Speicherinhalt (Fassungsvermö• max gen bis zum Stauziel, siehe Bild 3 .1)

a, b Berechnete Beiwerte der approximierenden Funktion V(H) a Hb

Mittl . Res. Mittleres Residuum, definiert nach (2.12), als Mass für den Unterschied zwischen der wirklichen und der approximierenden Speicherinhal tslinie.

In den Bildern 2 . 6 bis 2 . 14 sind die wirklichen Speicher­ inhaltslinien, soweit sie den genannten Unterlagen entn om­ men werden konnten, in doppelt-logarithmischem Massstab dargestellt. Der hervorgehobene Punkt auf jeder Speicher­ inhaltslinie dient allein ihrer Identifikation; er h at keine auf die Grössen H und V bezogene Bedeutung. - 34 -

V b max a Mittl. Res. Speicher 3 [Mio m ] [m3-b] [ - J [Mio m3] 1 Lago di Lei 200.0 8.97 10 2.99 0 . 75 3 Zervreilasee 100. 5 4.48 10 2.03 0.31 2 Lai da Sta. Maria *) 67 . 3 3.85 1 o 2.69 1.01 5 Lai da Marmo r era 62 . 6 1.96 1 o 1.38 0.54 2 Lai da Nalps 45.1 1.31 10 2 . 66 0.40 2 Lai da Curnera 41.1 2.78 10 2.49 0. 18 3 Sufnersee 21.4 3.34 10 2.23 0.21 4 Davosersee 15 . 2 1. 73 10 1.72 0.08

H [m ) I I I I I I I lervrerlo Mt 200 lo1 do Curntro -

100 Lai da Nolps L~ ~ 1 ~ :.,... rw-' ~I ~ ~ b--f- Lo90 di Lei 1-- t::ll ~-- !__.. 50 f-- J~ c- ~--- ~ ~/ /1 V ~~j...- ~--- ~~ 1 Su ln•<>/ / I v ~~v Lai da S.to Morio 20 vf l7f Oovosersee f ]I v~ 10 Lai da Mormorera

.I 17

V 0~ 10 20 50 100 [Mio m3 )

Bild 2 . 6 Speicherinhaltslinien: Rhein- Gebiet - 35 -

V a b Mittl. Jtes. Speicher max 3 3 [Mi o m ] [m3-b] [ - ] ( Mio m ] 2 Grimselsee 101 . 0 1.71 10 2.89 0.74 2 Oberaarsee 60. 7 7.07 1 o 2.52 0 . 64 3 Räteri chsbodensee 26.3 4.37 1 o 2.02 0.36 2 Gelmersee 14. 0 5 . 20 1 o 2.64 0.17

H lm l I I I I II I I Grl mstlstt' Röte ric hsbod~tnset I 100 l t:: t r-::;,="""T";; .... :.,.... .:,..~;:;...-' ~ ..... 50

Gt lmtrsee e:::' ,.. ~;;.. ,...... ::::::: _, ~ 20 ,..../~

10

V o,s 10 20' 50 100 IMio I

Bi ld 2.7 Speicherinha ltslin ien: Aare- Gebiet, bis Brienzersee - 36 -

b) Saane

V max a b Mittl. Res. Speicher 3 [Mio m ] [m3 - b] [ - J [Mio m3] 1 Lac de la Gruyere 200 .0 4.22 10 3.56 0.83 3 Schiffenensee 66 . 0 5.91 10 2.56 0.18 1 Lac de l'Hongrin 53 . 2 2.44 10 3.13 0.11 2 Lac de Montsalvens 12. 6 5.66 10 2. 55 0.12 4 Arnensee 11.9 1.49 10 1.71 0.06 2 Lac de Sanetsch 2 .8 1.98 1 o 3.02 0.04

H Im I

120 100 I I II 1111 11 Lot dt I'HOftttll'l I-- ~ loc dt lo Gruy..,., 1--" t 1.-- so J __ v __...... - l::;:t;;. I v~--" v t . 1- vvv- Loc dt t-lorttsolvll'ls loc dt SanMw:h / .. 20 vr . 1- [...... -"'/ ~· t Sc h•lllflt nsn ll~ ~ Au wnst t 10 ~ I

V 10 lO !0 100 200 l "'ho ml]

Bild 2.8 Speicherinhaltslinien: Aar e- Gebiet (Saane ) (Der Lac de l'Hongrin weist einen Abfluss in die Saane und einen Abfl uss in den Genfer see (Lac Leman) auf.) - 37 -

V a b Mi ttl. Res. Speicher max 3 [Mio m ] [m3-b] [ - ] [Mio m3 ] 4 Göscheneralpsee 75.0 1. 79 10 1.81 0.43 4 Lungernsee 65.0 1.06 1 o 2.07 0 . 24 3 Lago di Lucendro 25 . 6 2.01 10 2.07 0.08 4 Melchsee *) 4.0 2.01 1 o 1. 79 0.07 4 Tannensee 3 . 8 1.27 1 o 1. 89 0.05 3 Bannalpsee 1.7 2.23 10 2.22 0.01

H Im!

100 I I II / l ogo d1 Luundro / / './ / / ,/' ~0 L::~~ Gou.hentrolp/ V / ~/ / f !-""~ l ungtrnsu ....,: 20 / ~ ~ ~V~ ~ --c '·· ~ I 10

1/ ~L t - , 1/ Mekhsee I V

V 10 20 100 ( Mio"

Bild 2 . 9 Speicher inhaltslinien: Reuss-Gebiet - 38 -

V a b Kittl.Res. Speicher max 3 3 [Mio m ] [m3-b] [ - l [Mio m ] 4 Wägitalersee 153.0 8.43 1 o 1.83 1.88 5 Sihlsee 96.5 I. 76 1 o 2.21 0.39 3 Limmerensee 93.0 9.41 1 o 1.91 0.63 3 Klontalersee 56.4 2.70 1 o 2.59 0.15 Muttsee *) 9.5 7.36 3.37 0.22 4 Garichtisee 3.4 2.68 1 o 1.42 0.01

H l ml j 120 I I I !-"" 100 Muttue limmer~tnse• l // 50 ..... c--L ~öntat"'" 1,...-- - ~ _.....!-"" / f-"' 20 /t V Wäg.loltrsu V V V 10 / r ./' Gar~c hi 1Stt ,.,., - f Sihls.u

- -

0,2 10 20 50 100 160 IM

Bild 2 . 10 Speicheri nhaltslinien: Linth/Limrnat-Gebiet - 39 -

~~~~!~2 __ ~!~~~~~~~~~~-~~~~~ a) ~~~~~~-~is_E~~E

Vmax a b Mittl. Res . Speicher 3 3 [Mio m ] [m3 - b] [ - J [Mio m ] 3 Lac des Dix 401.0 2 .40 10 2 . 24 2 . 14 4 Mattmarksee 101.0 8 . 45 10 1.56 0.23 4 Lac de Moiry 78.0 1.46 10 1.83 0.33 3 Lac de Zeuzier 51.0 2.46 1 o 2 . 07 0.32 2 Griessee 18.6 6.13 10 2 . 42 0.11 2 Gebidemsee 9.2 2.34 10 2 . 27 0.06 3 Illsee 6.6 2.07 10 1.94 0.02

Himl I I ,.. I I Lac:d.s Dit Loc: d• Zt'uZ rt' r V Gtob.d•rnnt / I ~ 100 l / L ~"? ~ - / Ibn / / / iooo'~ -f- - / -""...,. """. ~ V f- r ?.'l ,.... ~("' ,. f- t l oc:.d•lotorf / 1~ Grit'SSH ,...... v- / ~.--' ...... V /v ~oltmollr s u 10 /

/ -f-

V O,J 10 .. 100 ,. . WO ( M!O m

Bild 2 .11 Speicherinhaltslinien: Rhone- Gebiet, bis S ion - 40 -

V a b Mittl. Res. Speicher max 3 3 (Mio m ] [m3- b] [ - ] [Mio m ] 2 Lac d'Emosson *) 227.0 9 . 66 1 o 2.44 2 . 78 3 Lac de Mauvoisin 181.5 5.30 10 2.01 0.43 3 Lac de Sa1anfe 40.1 3.42 10 2.47 0.74 2 Lac des Tou1es 20.15 7.21 10 2.38 0.11 3 Lac de C1eu son 20.0 7.23 10 1.82 0.12 3 Lac du vieux 13.8 5.21 10 2 . 07 0.08 Emosson 3 La.c de Fully 5 .2 3.05 1 o 1.89 0.03 3 Lac de Tanay 2 . 6 2 . 74 10 1.94 0.01

H f m ) I III r I I I I La' de MouY~Sir'i 200 ·-I-- 1- - - (- -- - ~ - ~ loc dt I' Ho t~qron 100 =l - ·- - -- .:,:· r~ ~? ~~ loc dt fuUy . . P" ...... : ~-lac d' fEmouon "' I I .....;>' ..... ~t::H: ~ ./ / I - - ~/k:: t:::~l/ .--_/ ~ :-- ,., ..,... , p ' ~ v- 20 I I f t J.. ~ ~r-t lac dt Salonit 10 ,...,. '-"" I I t - ~' ... '~'" loc d~ Vitu_. EmOUOft I I I

V 0.1 0.5 10 20 100 200 lOO ( Mio ml I

Bild 2.12 Speicherinha1ts1inien : Rhone- Gebiet, Sion bis Lac Leman - 41 -

V a b Mi ttl. Res. Speicher max 3 3 [Mio m ] [m3- b] ( - ] [Mio m ] 1 Lago di Luzzone 88 . 0 2.94 10 2 . 86 0.28 4 Lago Ritom 53.9 1.54 1 o 1.93 0.19 4 Lago di Tremorgio 13.0 1. 75 10 1.61 0 . 06 4 Lago della Sella 9 . 2 1.41 10 1.83 0.16 3 Lago d'Isol a 6.3 2 . 13 10 2.19 0 .02

H lml I I I logo dl lu:uon• I

~ V · 100 ~L

I !.---' _..... logo d1 lt•mot"IJIIO ~ ,. I ' t - / I - V logo d'lsolo ~ ~ r-- I v~--" / l I l.---/v V 10 logo Rllom V / ,....f-" 1--' 10 ...... v

logol dello Selto

V 0,2 "·' 10 20 100 I Mio rr

Bild 2.13 Speicherinhaltslinien: Ticino, bis Lago Maggiore - 42 -

V max a b Mittl. Re s. Speicher 3 3 [Nio m ] [m3- b] [ - ] [Mio m ] Lago di Vogorno 106 .0 2 .00 3 . 36 0.19 3 Lago di Sambuco 62.9 7.80 10 1.94 0.26 2 Lago di Naret 31.6 2 . 67 1 o 2 . 52 0 .18 4 Lago di Cavagnoli 28 . 9 2.38 1 o 1.54 0.06 3 Lago di Robiei 6.7 4.33 10 1.88 0.04 4 Lago di Zöt 1.3 1.17 10 1.63 0 .02

H lml

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Bild 2 .14 Speicherinhaltsl inien: Naggia, Ve rzasca - 43 -

V a b Mi ttl. Res. max Speicher 3 3 [Mio m ] [m3-b] [ - ] [Mio m ] 4 Lac de Joux 148.7 7.66 10 2.15 0.26 5 Lago di Poschiavo 111.1 l. 72 1 o 1.46 0.09 4 Lago da l'Albigna 70.0 5.62 10 1.51 0 . 60 1 Lago Bianco *) 21.0 2.68 10 3 . 40 0 . 52 3 Lac de Moron 20.6 4.47 10 2.07 0.04

2.4 . 2 Beurteilung und Fol gerungen

Bei der Interpretation der Ergebnisse für die Beiwerte a und b, welche mit Hilfe des erwähnten Computerprogrammes berechnet wurden, ist das Fo l gende zu beachten:

- Die Eingabedaten waren mit gewissen Ungenauigkeiten behaf­ tet. Diese steckten zum Teil schon in den zur Verfügung s te­ henden Nu tzinhaltslinien. Zu einem andern Teil entstanden sie beim Herauslesen von Werten (Stützwerten) aus diesen Li­ nien.

- Ueber die Beckenform und d en Beckeninhal t unterhalb der Absenkgr enze lagen für einzelne Speicher in den Unterla- gen nur ungenaue Angaben vor . Auf die "Anfangs werte" Hr' Vr -insbes ondere auf Hr - reagiert aber die Ausgleichs­ rechnung relativ empfindlich. Bei fast allen Speichern führt eine 10 %ige Veränderung des den Unterlagen entnommenen H - r Vertes auf einen um höchstens 7 %veränderten Beiwert b . Lediglich bei drei Seen (Lac de Joux, Muttsee, Lago Bianco) ergibt sich e ine entsprechende Veränderung des Beiwertes b bis zu 10 %. - 44 -

- Es ist zu beachten, dass sich Hr und Vr im Laufe der Zeit verändern können, als Folge von Verlandungen.

Die Rechenergebnisse zeigen, dass Speicherinhaltslinien im b allgemeinen gut durch ein Potenzgesetz der Form V(H) = a H , mit konstanten Beiwerten a und b , angenähert werden kön• nen. Die wirklichen Speicherinhaltslinien der untersuchten Seen, in doppelt-logarithmischem Massstab aufgezeichnet, habe n annähernd die Gestalt von Geraden. Die berechneten Beiwerte a und b können anhand dieser Darstellungen für jeden Speicher­ see leicht überprüft werden. Dabei ist allerdings die Verzer­ rung infolge der logarithmischen Tra nsformation zu berücksich­ tigen (siehe Abschnitt 2 . 3 . 1) .

Nur in wenigen Ausnahmefällen - der Lac d'Emosson gehört bei­ spielsweise dazu - sind die topographischen Gegebenheite n derart, dass sich eine verbesserte Approximation mit zwei verschie%enen Wertepaaren ( a, b) emtfiehlt, nämlich V a H 1 im unteren und V a H 2 im oberen Teil des = 1 2 Speicherbeckens.

Bezüglich des Beiwertes (Exponenten) b ist f estzuhalten: grösster Wert b 3 .56 (Lac de la Gruyere) kleinster Wert b 1 . 38 (Lai da Marmorera) arithmetisches Mittel}­ über 61 Schweizer b 2.22 Speicherseen :

Beiläufig sei erwähnt, dass diese Werte sich nahezu mit den Ergebnissen decken, welche Benk [1} bei der Auswertung von insgesamt 24 Hochwasserrückhaltebecken im Schwarzwald, im Schwäbischen Wald und im Jagstgebiet erhalten hatte . Dort schwankt b zwischen 1.45 und 3.50 , bei einem Mittelwert von 2.33. - 45 -

Verschiedene wasserwirtschaftliche Problemstellungen lassen sich merklich vereinfachen, wenn für den Zusammenhang zwi­ schen dem Stauvolumen V und der Stauhöhe H ein Potenzge­ setz der Form V(H) = a Hb benutzt werden kann. Dies zeigt sich etwa bei Berechnungen aus dem Bereich der Spei cherbewirt­ schaftung oder - wie in dieser Studie - bei Absenkproblemen. Für solche Fragen genügt in der Regel die hier erarbeitete Ge­ nauigkeit der Beiwerte a und b . Vielfach ist ohnehin nur der Exponent b von Bedeutung, und ausserdem sind oft nur Grössenordnungen von b und nicht exakte Werte gefragt. - 46 -

3 . SPEICHERAUSLAESSE

Die Schweizer Stauseen dienen in erster Linie der Wasserkraft­ nutzung. An diesen Speichern sind im wesentlichen die folgen­ den drei Auslässe zu unterscheiden ( siehe Bild 3.1) : a) Betriebsauslass (= Nutz- oder Triebwasserfassung) b) Grundablass c) Hochwasserentlastung

Durch die drei Auslässe wird der Stauraum in vier Teilräume (Schichten} unterteilt, nämlich den Totraum, den Eisernen Be­ stand, den Nu tzraum und den Hochwasserschutzraum . (Die Be­ zeichnungen sind nicht einheitlich; einzelne Autoren rechnen den Eisernen Bestand ebenfalls zum Totraum . )

Bild 3.1 Speicherauslässe und Untertei l ung des Stauraumes - 47 -

Für diese Studie ist es bedeutungslos, auf welche Art die ge­ nannten Speicheraus lässe im Einze lfall technisch realisiert s ind. Abgesehe n von der Höhenkote ist es hier auch unwesent­ lich, wo die e ntsprechenden Anlagen a m Sp eich er a ngeb rach t s ind (ob in der Sperre oder in der natürlich en Berandung d es Speicherbecken s ).

3 . 1 Betriebsau s l ass

Bei den Speichern, die der Wasserkraftnutzung die n e n, t reibt der Abfluss durch den Be trie b sau slass die Turbin e n an . Je nach örtlich er Gegebenheit befindet sich die Zentrale mit den Tur­ binen in unmittelba rer Nähe der Sperre oder - unter Ausnüt­ zung e ines Gefälles - mehr ode r weniger weit vom Speicher entfernt. Die Zentralenstandorte brauchen in d en v orliegenden Ab s enkproblemen nicht besonders berücksichtigt zu werden.

Für den Abfluss durch d en Betriebsauslass - im folgenden mit Qb bezeic hnet - gilt die bekannte Formel [5)

Qb cb -JH:: Cb -v Hsb + Hbt (3.1)

Darin bezeichnen Hst' Hs b und Hbt Höhendifferenzen, nämlich:

Hst jene zwisch en Stauseespiegel und Turbinen,

II II St auseespiegel und Betriebsau s lass,

II II Betriebsauslass und Turbinen .

Cb ist e ine Konstante , welche die Erdbeschl eunig ung, den Lei­ t ungs querschni tt b eim Au s tri tt in die Tur bine und die Verluste (durch Reibung, Umlenkung, Veränderung des Leitungsquerschnit­ tes u sw. ) enthält. Der Leitungsquerschnitt b e i m Au stritt wird durch die Stellung der Regulierorgane bestimmt.

Aufgrund der Formel (3 .1 ) r esultiert a u s ein er Veränderung um ± AHsb im Wasserstand d es Speich ers e ine relative Ae nderung - 48 -

des Abflusses durch den Betriebsausl ass von

- 1

Dies zeigt, dass sich der Abfluss durch den Betrie bsauslass relativ nur sehr wenig ä ndert, wenn der Wasserstand im Spei­ cher im Verhältnis zur Fallh öhe Hst n icht allzu stark ansteigt bzw. absinkt .

In d i eser Studie wird davon ausgegangen , dass bei de r Vorab­ senkung weiterhin ein Abfluss durch den Betriebsauslass e r­ folgt und dass d i eser Abf luss d urch die Stellung der Regulier­ organe der Turbinen beeinflussbar bleibt. Im folgen den wi rd generell (nicht nur bei grossen Fallhöhe n ) angenommen, dass Qb bei Wasserstandsänderungen im Stausee - hervorgerufen durch eine Vorabsenkung - k on stant bleibt.

Weist ein Speicher me hr als einen Betriebsauslass a u f, so gel­ ten die Ausführungen dieses Abschnittes für jeden Betriebsaus­ lass einzeln .

3 . 2 Grundablass

Der Grundabl ass dient der (teilweisen) Entleerung des Stausees, sei es für e ine Kont r olle der Sperre oder zu i h rer Entlastung bei drohender Gefahr, sowie zur Spülung des Stauraumes im Fall einer übermässigen Ve rlandung. Der Einlauf d es Grundabl asses liegt kotenmässig zwisch en dem Be triebsaus lass und dem tiefsten Seegrund. Die Grundabl assschütze kann höher, g l eich hoch oder tiefer als der tiefste Seegrund angeordnet sein.

Der Abfluss durch den Grundabl ass - im fo l genden mit Qg be­ zeichnet - berechnet s i c h gernäss [5] zu

c• ~fil g V " g (3.2) - 49 -

H Höhendifferenz zwischen Stauseespiegel und g Grundablassaustritt (Schütze)

H Stauhöhe (s . Kapitel 2)

H Höhendifferenz zwischen Grundablassaustritt gs u nd tiefstem Seegrund

Die Konstante C' wird als Grundablasscharakteristik bezeich- g net [5]. Si e enthält die Erdbeschleunigung, den Leitungsquer- schnitt beim Austritt sowie die Verlustbeiwerte des gesamten Grundablasses.

Die Höhendifferenz H ist konstant . Drei Fälle sind zu unter­ gs scheiden, nämlich H ~ 0, Hgs > 0 und H < 0 (siehe Bild ~gs gs 3 . 2) . Der Fall H 0 trifft bei vielen Speichern zu und gs kann deshalb als Normalfall bezeichnet werden. Der Fall H 0 (H 0) liegt dort vor, wo die Grundablassschütze gs > gs < eindeutig höher (tiefer) liegt als der tiefste Seegrund. Im Fall H > 0 kann angenommen werden, dass H klein ist im gs gs Vergleich zu H, also H /H ~ 1. gs

a)H9,:0 b) H0,>0 c) H9 , < 0

Bild 3 . 2 Höhendifferenz (H ) zwischen dem Grundablassaus­ gs tritt und dem tiefsten Seegrund, 3 mögliche Fä lle - 50 -

Die Stauhöhe H steht in direktem Zusammenh ang mit dem ak­ tuellen Wasservolumen V des Speichersees. Im vorangehenden Kapitel ist ausführlich gezeigt worden , dass die Abhängigkeit V(H) mit guter Näherung durch die folgende Beziehung beschrie­ ben werden kann :

V ( 3 . 3)

Das Volumen des Totraumes be trägt demnach angenähert b Vt = a Ht , wobei Ht ~ 0 di e Höhendifferenz zwischen dem Einlauf des Grundabl asses und dem tiefsten Seegrund bezeich­ net . Da der Einlauf des Gr undablasses nie tiefer als die Grund- abl assschütze liegt, ist H ;::;" H • Im allgemeinen Fall ist t Hgs

Auf Grund des Ansatzes (3 . 3) kann H durch V ausgedrückt werden, nämlich H = (V/a)l/b. Für den Abfluss Q durch den g Grundabl ass gelten daher näherungsweise die folgenden Bezie- hungen : a) Fall H ~ 0 ------gs------

v l /2b Q (V) c ·~( ...:!.._ ) l/ b ' c (3 . 4) g g a g

wobei

c C' a-l/2b g g (3 . 5)

b) Fall H 0 ------gs-->- - - Es sei die Hilfsgrösse

W a Hb (3 . 6) gs

eingeführt . Der Dimension nach ist W ein Volumen , jedoch eine rein rechnerische , konstan te Hilfsgrösse , welche sich nicht auf einen wirkl ich vorkommenden Speicherraum - 51 -

bezieht. Es gilt Vt ~ W •

Mit Hilfe von (3.3) und (3 . 6) ergibt s i ch :

V w Q (V) C' g g ~ ( a a

bzw.

Q (V) cg wl/b vl/2b (..JL)l/b g ~yl /b c g -v l V (3.7) c) Fall H < 0 ------gs-----

In diesem Fall berechnet sich Qg ZU

( .J.!..:_) 1 /b I Q (V) - C' ~ ( : )1/ b y!/2b g g + IHgsl c g -vl + V (3.8) wob e i W' a I Hgslb

Ein Abfluss durch den Grundablass ist natürlic h nur möglich, solange H > Ht ; daher gelten die Formeln (3 . 4), (3 .7) und (3 . 8) nur für V :> Vt = a H~. Weist ein Speicher mehr als einen Grundablass auf, so gelten die Abflussformeln in diesem Ab schnitt für jeden Grundablass einzeln.

3 . 3 Ho chwasserentlastung

Die Ho chwasserentlastung dient dazu, ein Ue berlaufen des Stau­ sees über die Talsperre zu verhindern und tritt somit nur bei Hochwasserereignissen i n Funktion. Auf das i n dieser Studie betrachtete Problem der Vorabsenkung hat die Ho chwasserent­ l astung keinen Einfluss . Daher muss hier nicht näher auf den e ntsprechende n Abfluss eingegangen werden. - 52 -

4 . VORABSENKUNG EINES EINZELSPEICHERS

In diesem Kapitel soll untersucht werden, innerhalb welcher Zeitspanne T der Inhalt eines e inze lnen Speichers bei maxi­ maler Ausnützung der Abflusskapazitäten um ein bestimmtes (gewünschtes) Volumen S abgesenkt werden kann. Wie schon im Kapitel 3 dargelegt, wird angenommen, dass der Abfluss durch den Betriebsauslass konstant sei und dass ein Abfluss über die Hochwasserentlastung nicht auftritt. Die folgenden Be­ trachtungen konzentrieren s ich deshalb auf den Abfluss durch den Grundablass .

Wichtige Grössen sind:

V Speich erinhal t zu Beginn des Absenkvorganges a (Va ~ Vmax' wobei Vmax einem bis zum Stau­ ziel gefüllt en Spe i cher entspricht)

V Speicherinhalt am Ende des Absenkvorganges e abzusenkender Speicherinhalt S = Va - V e s (3 = -v relative Abseru{ung, gemessen am Speicherin­ a halt beim Absenkbeginn

und V gilt s omit der folgende Zusammen- Zwischen Va' S e hang:

} (0 ~ (3 ~ 1) ( 4.1) - 53 -

4 . 1 Vereinfachte Abflussgleichungen für den Grundabl ass

4 . 1 . 1 Fall Hgs --- - 0

Es soll nun festgestellt werden, inwiefern der Abfluss durch den Grundablass von Volumenänderungen im Speicher beeinflusst wird .

Es seien

Qga Abfluss durch den Grundabl ass zu Beginn des Ab­ senkvorganges

Abfluss durch den Grundablass am Ende des Absenk- vorganges

~Ii ttels des Ansatzes (3 . 4) u nd (4 . 1) ergibt sich für Qge : Q = c vl/2b c ( l - j3 ) l /2b vl/2b ge g e g a

Es wird angenommen, dass der Grundablass maximal geöffnet ist; insbesondere ist also C konstant. g

Bei einer Absenkung um S ßVa reduziert sich somit der Abflu ss durch den Grundablass auf

(4. 2)

Der Verlauf der Funktion

f((3, b) ( l - (3 )l/2b (4. 2a) ist für verschiedene Werte von b im Bil d 4.la dargestellt.

An Speichern mit grossem Exponent b weicht Qge weniger von Q ab als - bei gleicher relativer Absenkung - an Speichern ga mit kleinem b . Bei einer Absenkung um 50 %des Anfangsvolu- mens also ß 0 . 5 - ergibt sich z . B. für b 1.5 Qge 0.794 Qga' für b 2 Qge 0.841 Qga' für b 3 Qge 0 . 891 Qga· - 54 -

Wenn ß << 1 ist, unterscheidet sich Q nur wenig von Qga· Für kleine (3 kann die Gleichung (4.2~ewie folgt linea­ risiert werden :

(1 - (4 . 3)

Wenn anstelle des korrekten Wertes Q gernäss der Beziehung ge konst. bzw. Q ~ -Q (4 . 2) die Näherung Qge N Qga ge gc nach (4 . 3) verwendet wird, ergeben sich zu grosse Beträge für Qge· Im Fall der Schweizer Speicherseen liegen die Exponenten b im Intervall 1.38 ~ b ~ 3 . 56, mit einem Mittelwert b = 2 . 22 (siehe Abschnitt 2 .4. 2) . In diesem Bereich gelten für die erwähnten Approximationen die folgenden Abschätzungen be­ züglich der relativen Fehler (Verifikation aufgrund der For­ meln (4.2) und (4.3) bzw. am Bild 4 . la):

Qga - Qge < 5% ( 10 %) , falls ß ~ 0.12 (0.22) Qge

Qge - Qge < 5 % ( 10 %) , falls ß < 0.48 (0.61) Qge

Im Abschnitt 4.3 wird noch n ä her untersucht, welche Approxima­ tionen für die Berechnung der Absenkzeit zulässig sind.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Beziehung (4 . 2) und die daraus gezogenen Folgerungen für beliebige Anfangsvolumina Va gelten, nicht nur für Va = Vmax Allerdings stellt sich das Problem einer Vorabsenkung vor allem für ziemlich volle Spei­ cher . - 55 -

1.0 ~ ~ ~ :::::,..... r" [":: ~ 0.8 r-.... ~ ~ ~ ~ ~ [//, RO ~ ~ ,.....t ~ 0.6 b= ~.o V;j ~ ~ ~ <...... 0 b=1.~0 H = 0 b= 2.0 I V" 1'\. 1\"\1 gs b• 2~~~ " Qge = Qga f "' '\. - 0.1. b• 3.0 ' 1\~ b = 3.5/ \ \1

0.2 1\ \

0 Bild 4 . la 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ß [-]-

1.0 ~ 111.... -...... ; ~ -.... lw/Va = 0.01j f-- !"~:-..... ~ t 0.8 ...... ~ z ~ rS ~ ~ ::J' b:1.0:2 [)) b= 1.5 /) ~ 0.6 ~ ~ .0 b·2.0' ~ ?< H > 0 b· 2.5 % ~ ~ ~ C!l. gs * V "" b·3·~ :2 '\ \ Qge = Qga f * b:3.5 .~ - 0.1. \ \ 1\ 0.2 \

0 Bild 4 .lb 0 0.2 0.1. 0.6 0.8 1.0 ß [-)-

Bilder 4 . la und 4 .lb Die Funktione nfund f * - gernäss Glei- chung ( 4 . 2a) bzw. (4 . 5) - geben den Grundablassabfluss am Absenkende an, im Vergleich zu jenem beim Absenkbeginn - 56 -

4.1.2 Fall H __i__Q gs

Zunächst sei der Fall H 0 betrachtet, wo also der Aus - gs > tritt des Grundablasses kotenmässig höher liegt als der tief- ste Seegrund. Wegen (3 . 7) und (4. 1) gilt für den Abfluss durch den Grundablass am Ende eines Absenkvorgan ges :

cg [ (1 - R) Va] 1/2b .., / 1 [ ,~ V - (1

Wenn die rechte Seite dieser Gleichung mi t ~ erwe i tert wird, -I 1/b ' X wobei x ~ 1 - (W/ Va) ist, ergibt sich

(4 . 4) Qga f* ( f3 , b , W/ V a )

mit

1 - [ \oJ ]1/b (1- ß ) Va (1- ,ß)1/2b (4. 5) 1 - (l)l/b V a

Q ist dabei d er Abfluss durch den Grundablass am Anfang des ga Absenkvorganges ; er berechnet sich gernäss (3 . 7) mi t V V • a

Es kann a ngenommen werde n, dass das Verhältnis W/ Va <:<: 1 ist. Da im Fall H 0 (also W 0) in der Formel (4.5) der gs > > Radikand stet s <: 1 ist , weicht hier für jedes Wertepaar ~, b)der Abfluss Q etwas mehr von Q ab als im Fall ge ga H 0 (W 0) . Diese Abweichungen sind im übrigen umso gs = stärker , je grösser das Verhältnis W/ Va ist . Anhand der Bil- der 4 .la und 4.lb k ann der l eicht unterschiedliche Verlauf d er Funktionen f( j3, b) und f*((3, b, W/ Va) - in Abhän- gigkeit von f3 - verfolgt werden.

Für kleine f3 kann f*((3, b, W/Va) linearisiert werden; - 57 - für den Abfluss durch den Grundabl ass gilt dann:

1 = [ 1 - ~ (4.6) 2b (~)1/b 1 - V a

Wie schon im Abschnitt 3.2 festgehalten, ist W = a H:s nicht grösser als das Volumen des Totraumes . Dem Bild 4 .lb ist ein Verhäl tnis W/ V 0.01 zugrunde gelegt. Dieser Wert wird a meistens deutlich unterschritte n, vor allem dann, wenn von einem wenigsten s zur Hälfte gefüllt en Speich er (Va ~ ~ Vmax) ausgegangen wird.

Bei Speichern mit Hgs < 0, bei denen also die Grundablass­ schütze kotenmässig tiefer als der tiefste Seegrund liegt, wird der Abfluss Q durch den Grundabl ass weniger s tark von g Volumenänderungen beeinflusst als bei Speichern mit H 0. gs = Dies kann anhand der Beziehungen (3.4) und (3.8) überprüft werden . Daher ist die im Ab schnitt 4.1.1 für den Fall H 0 gs angegebene Approximation von Qge durch den konstanten Wert Qge N Qga bzw. durch eine in ß linear abnehmende Funk- tion Qge ~- Qga (1 - ß / 2b) auch für den Fall Hgs < 0 ge- rechtfertigt, und zwar für die im Abschnitt 4 .1. 1 festgeleg- ten Bereiche von j3 . (Qga berechnet s ich in diesem Fall nach der Formel (3.8) mit V Va . )

4.2 Charakterisierung des Absenkprozesses

Bei der Vorabsenkung eines einze lnen Speichers handelt es sich um eine einfache, überblickbare Operation. Die Betriebs- und Grundablässe müssen soweit wie mögl ich geöffnet we rden, damit sich der Speicherinhalt in kürzester Zeit um das vor gesehene Volumen verringert. Dabei wird der Entleerungsvorgang einer­ seits durch die Kapazität der Auslässe und andererseits durch das Fassungsvermögen der Abflussgerinne talabwärts von der Sperr e eingeschränkt.

Für die Beschreibung der hydraulischen Zusammenhänge und der - 58 - massgebenden Einschränkungen (Restriktionen) s pielen die fol ­ genden Grössen eine Rolle (siehe Bild 4.2) :

Sppichpr AbflussgPrinnP

z H0 1 A a,

Bild 4.2 Massgebende Grössen bei der Vorabsenkung eines Einzelspeichers

t Zeit t 0 Beginn des Vorabsenkprozesses t T Ende } T Absenkzeit V(t) Speicherinhalt zur Zeit t V Speicherinhalt bei t 0 a V Speicherinhalt bei t T e s abzusenkendes Volumen z Zufluss in den Speicher A Ausfluss aus dem Speicher (durch die Auslässe) G Kapazität der Aus lässe Qu natUrlicher, nicht durch die Vo r absenkung beein­ flusster Abfluss in einem Kontrollpunkt u des Abflussgerinnes HQU Grenzhochwasser im Kontrollpunkt u

Z wird im folgenden k urz als Zufluss bezeichnet. Darunter ist der Gesamtzufluss, also die Summe aller natUrliehen Zu­ flUsse in den Speichersee zu verstehen. Entsprecnendes gilt fUr die Grossen A und G .

A setzt sich aus dem Abfl uss durch den Betriebsau slass und jenem durch den Grundablass zusammen: A = Qb + Qg . - 59 -

G ergibt sich aus der Betriebsauslasskapazität Gb und der Grundablasskapazität Gg zu G = Gb + Gg. Entsprech end den Ausführungen im Abschni tt 3.1 wird angenommen, dass die Be­ triebsauslasskapazität Gb während eines Absenkvorganges kon­ stant bleibt, und dass sie durch die Stellung der Turbinenre­ gulierorgan e bestimmt wird. Im folgenden wird für alle Absenk- vorgänge mit Qb Gb gerechnet. Gg hängt grundsätzlich vom Speicherinhalt ab (siebe Abschnitt 3.2):

G (V) vl/2b falls H 0 g cg,m gs

I G (V) c vl/2b ( ..Jf._) 1/b falls H >O (4.7) g g,m ~1 V gs

G (V) c vl/2b (~)1/b ' falls H 0 g g,m ~1 + V ' gs <

bezeichnet den grösstmöglichen Wert von Cg (entspricht Cg,m der maximalen Oeffnung der Grundablassschütze). Anstelle von C ist oft die Kapazität G (V ) bei maximalem Speicher- g,m g max inhal t V bekannt. Im Fall H = 0 ist da.nn max gs

c (4.8) g,m (V )l/2b max

Bezüglich Volumenänderungen gilt die Kontinuitätsgl eichung

~~ = Z - A (4.9)

Der möglichst gross zu wählende Abfluss A muss folgenden E inschränkungen genügen:

A ~ G

A ~ HQU - Qu (u 1' 2, ... ) d.h. A ,;;; min (G, HQl - Ql' HQ2 - Q2' . .. ) (4 .10)

Der Speicherinhalt kann wegen (4.9) nur dann reduziert werden, - 60 - wenn der Zufluss Z den grösst-möglich cn Abfluss nach (4.10) nicht erreicht oder gar überschreitet. Daher ist

(4 . 11) ein e Grundvoraussetzung für jede Vorabsenkung eines Einzel­ s peichers .

4.3 Kürzeste Absenkzeit

Für das Folgende wird vorausgesetzt, dass der Zufluss Z und die natürlichen Abflüsse Qu während des ganzen Absenkvorgan­ ges konstant seien. Bei der Berechnung der kürzesten Absenk­ zeit sind verschiedene Fälle zu unterscheiden. Diese werden nachfolgend einzeln behandelt.

4.3.1 Einschränkung durch d ie Kapazität des Abflussgerinnes

Es sei ' jener Kontrollpunkt, bei welchem das Abflussgerinne die geringste freie Kapazität aufweist:

min (HQ (u 1, 2 , . .. ) = u u

Wenn G ;?; HQe Qe ist, wird der wählbare Abfluss A durch die Kapazität HQe - Qe begrenzt: A = HQ e Qt = konst. Daraus ergibt sich die kürzeste Absenkzeit T für das abzusenkende Volumen s aus (4 . 9) wie folgt : T Va- S Jd t = J-z-....,. (-HQ ....::;~v~_-Q-t....,.)- o va Also s T = (4.12)

Diese Formel gilt unter der Voraussetzung, dass während der ganzen Dauer des Absenkvorganges G ~ HQt Qe ist. - 61 -

Der konstante Abfluss A ist durch einen ge- eigneten Oeffnungsgrad des Grundablasses sicherzustellen. Da der Speich erinhalt während der Absenkung abnimmt, muss der Grundablass laufend entsprechend weiter geöffnet werden .

Jene Fälle , wo zwar am Absenkbeginn G(Va) ~ HQe Qe ist, jedoch während des Absenkvorganges G(V) < HQ e Qe wird, werden im 6. Kapitel im Zusammenhang mit "massiven" Vorabsen- kungen näher betrachtet.

4.3.2 Einschränkung durch die Auslasskapazität

Es sei im folgenden vorausgesetzt, dass der Abfluss während des ganzen Absenkprozesses durch die Kapazität der Auslässe begrenzt ist. D~mit gilt insbesondere beim Absenkbeg i nn G(V ) < HQ - Q (u = 1, 2, ... ). Die beiden Möglichkeiten a u u G = konst . und G = G(V) lassen sich unterscheiden.

In gewissen Fällen kann die Kapazität G näherungsweise als kon­ stant angenommen werden . Dies t r ifft beispi elsweise für relativ geringe Vorabsenkungen, etwa für f3 S/Va < 0.25 zu . Unter dieser Voraussetzung wi rd A = G ~ konst., und die kür• zeste Absenkzei t T berechn et sich analog zur Gleichung(4 . 12) ZU = s (4 . 13) T G - Z

Falls G mit V variiert, ist auch A von V abhängig: A(V) = G(V) = Gb + Gg(V) . A(V) nimmt in diesem Fail" im Laufe des Absenkvor ganges ab.

Zunächst wird ein Speicher mi t Hgs 0 betrachtet. In die- sem Fall fo l gt aus der Kontinuitätsgleichung (4 . 9) und aus (4 .7) - 62 -

T (4.14)

Wenn der Zufluss und der Abfluss durch den Betriebsauslass un­ gefähr gleich gross oder beide vernachlässigbar klein sind, ergibt sich nach Integration von (4.14) die folgende kürzeste Absenkzeit T :

b T 1 (4 .15) cg ,m (b - -2 )

Für die vollständige Entleerung eines anfänglich vollen Speichers (S = Va = Vmax) ergibt sich aus (4. 1 5) und (4 . 8) die kürzeste Absenkzeit

V b max T

Knapp [6] gibt das gleiche Ergebnis an.

Nit und G (V ) kann (4. 15) s g a = cg, m um- geformt werden in

V a T G (V ) (4 . 16) g a wobei

b u (b,(3) (4.17) 1 1 b - 2

Anstelle der korrekten Beziehungen (4.16), (4.17) kann n ä h e­ rungsweise für die Bestimmung der kürzesten Absenkzeit mit einem konstanten Abfluss gerechnet werden . Wenn aufgrund der - 63 -

G (V) der (konstante) Linearisierung (4 . 3) und mit Qga g a Mittelwert

(l - _LI_) G (V ) (4 . 18) 4b g a verwendet wird, ist

V T "' _s_ a (b ,(J ) (4.19) = G (V ) u2 Qg g a mit ß U2(b,ß) - _g_ (4.20) l 4b

kann angenähert werden durch u2 ß (l + :b ) .

Eine etwas weniger genaue Approximation e r gibt sich dann, wenn Qg durch den konstanten Anfangswert Q G (V ) an­ ga = g a genähert wird . In diesem Fall gilt:

V a T s (4 . 21) G (v ) G (v ) g a g a mit

ß (4.22) u entspricht dem ersten Glied, Ü den ersten beiden Glie­ 3 2 dern der Taylor-Reihenentwicklung von u (b , ß) nach (3. 1

In den Bildern 4.3a bis 4 . 3c ist dargestellt, mit welchen Genauigkeitsverlusten bei der Bestimmung von T zu rechnen ist , wenn anstelle von u (b , ß ) mit den Näherungen u (b , ß ) 1 2 bzw. u ( ß) gerechnet wird. (D em Spezialfall Z - Gb = 0 3 entsprechen in den genann ten Bildern die Kurven mit F = 1.0 .) 21 - 64 -

Da das Integral (4.14) für Z - Gb # 0 nicht auf elementare Weise analytisch zu berechnen ist, werden einfache Näherungs­ lösungen gesucht . Im Hinblick darauf ist zunächst abzuschät- zen, wie gross der naturgegebene Zufluss in den Speicher (Z) im Verhältnis zur Kapazität der Speicherauslässe (G Gb + G ) = g höchstens ist. Aus der Voraussetzung (4 . 11) folgt, dass wäh- rend des ganzen Absenkprozesses

G vl/2b z < Gb + Gg Gb + cg,m

Mit V nimmt auch G vl/2b ab . Insbe- sein muss. g cg,m sondere muss

vl/2b (1 - j3)1/2b (4 . 23) z < Gb + cg,m a gelten, weil sonst der Speicherinhalt gar nicht um das ge­ wünschte Volumen S ßVa reduziert werden könnte. Eine vollständige Entleerung (dh. (3 -+ 1, also V - 0) ist nur möglich, wenn Z < Gb ist. Unter einer Vorabsenkung ist je­ doch nicht notwendigerweise eine vollständige Entleerung des oder der Speicher zu verstehen. Daher werden im folgenden auch Zuflüsse Z ~ Gb zugelassen.

Im Einzugsgebiet der Schweizer Stauseen belaufen sich die Mo­ natsmittel des Zuflusses während der zufluss- stärksten Monate (im Sommer) durchwegs auf höchstens einen Viertel von 1 2 G (V ) = Cg m {V ) / b, meistens jedoch auf wesentlich g max , max kleinere Werte. Unter zusätzlicher Berücksichtigung der Be- triebsauslasskapazität Gb' welche im allgemeinen mehr als 10 % von G (V ) ausmachen dürfte, ist daher für den kon- g max stant angenommenen Zufluss (Mittelwert) die Abschätzung

(4 . 24) gerechtfertigt. - 65 -

zu Beginn des Absenkvorganges kleiner Wenn das Volumen Va als Vmax ist, so gilt für die entsprechende Kapazität des Grundablasses G (V ) < G (V ) . Wenn V = ( l - x )V g a g max a max ist (0 ~ x ~ l), dann folgt wegen (4.7) und (4 . 8)

G (V ) (l - x) 1/ 2b G (V ) g a g max (4.25)

Der Verlauf der Kurve f(x) = (l - x)1/ 2b ist im Bild 4 . la wiedergegeben (der Variablen x entspricht in jenem Bild die Variable (J ) • Im folgenden wird

v > l v (4.26) a 5 max

(also x < 0.8) vorausgesetzt. Aus dem Bild 4 . la geht auf­ grundvon (4. 26) und (4 . 25) hervor, dass bei den Schweizer Speicherseen (alle mit Beiwerten b > 1.35) für die Kapazi­ tät des Grundablasses zu Beginn e ines Absenkvor ganges gilt:

1 G (V ) ;;;., - G (V ) (4.27) g a 2 g max

Nach (4 . 24) lässt sich somit der Betrag des naturgegebenen Zu­ flusses im Verhältnis zur Kapazität der Speicherauslässe wie folgt abschätzen:

(4.28) Z ~ Gb + 0.30 Gg (V a )

Zur Bestimmung der kürzesten Absenkzeit T muss das Integral (4 . 14) ausgewertet werden. Dies kann durch numerische Integra­ tion gesch ehen . Nachfolgend wird ein Näherungswert für das In­ tegral berechnet, indem der Integrand linearisiert wird .

V ( 1 - x) V dV = - V dx Substitution: = a a vl/2b vl/2b Linearisierung: (l - 2xb ) a

~li t G (V ) yl/2b (4.29) g a cg , m a - 66 - ergibt sich für die Absenkzeit somit aus (4 . 14) näherungsweise ß dx "'T V (4.30) a J (1 - ~b ) G (V ) + z 0 g a Gb

Abkürzungen: G (V ) Fl g a + Gb z

G (V ) (4 . 31) F2 g a F2 F21 F;:-

F bezeichnet den Abfluss durch den Grundablass (d . h . dessen 2 Kapazität) und F den " Nettoabfluss" aus dem Speicher, bei­ 1 des zu Beginn des Absenkvorganges . Im folgenden werden Nähe• r ungsformein für die Bestimmung der Absenkzeit angegeben. Die bei Anwendung dieser Formeln a uftretenden relativen Fehler hän• gen vom Speicherbeiwert b und vom Verhältnis F /F F ab. 2 1 = 21 Der Wertebereich, innerhalb welchem F schwanken kann, lässt 21 sich abschätzen. Wegen (4. 28) ist F 1 F . Somit gilt e i ­ 2 ~ ~ 1 nerseits

(4.32)

Andererseits kann angenommen werden, dass die Grundablässe so dimensioniert sind, dass Gg(Va) ~ Gb - Z ist. Dies ist gleichbedeutend mit

Aus (4.30) ergibt sich :

T V 2 b 1 [ --F--'1=------:~ (4 . 33) ap--2 n L Fl - F2 2b

1 2 Wird anstelle von G C / b mit einem konsta nten mitt- g g,mv lern Abfluss durch den Grundablass gerechnet - also entspre- - 67 - chend (4.18) mit Qg (l - ~) Gg(Va) - , so ergibt sich für die kürzeste Absenkzeit die folgende Näherungsformel : s T' (1 - ..&) G (V ) 4b g a

(4 . 34)

1 2 w·1r d a n st a tt Gg Cg,m v / b der konstante Wert Gg (V a ) verwendet, so führt dies natürlich auf eine wesentlich gröbere Approximation, nämlich auf

Va s T" = (4. 35) G (V ) + Gb - Z r;:- g a

Der korrekte Wert T für die kürzest e Absenkzeit wird durch numerische Integration von (4 . 14) erhalten. Ein Vergleich der bei gleichem Absenkvolumen S = ßVa einander entsprechenden Werte T, ~' T' sowie T" ist recht aufschlussreich . Gene-

~ rell gilt, dass alle drei Approximationen T , T' und T" zu kleine Werte für die Absenkzeit liefern. Die Näherung T i st nur geringfügig genauer als T', beide sind aber deutlich besser als T". In den Bildern 4 . 3a bis 4 . 3c sind die relati­ ven Abweichungen E. = (T- T' )/T bzw . E = (T - T")/T in Funktion von für gewisse Werte von F aufgezeichnet . ß 21 - 68 -

Bilder 4 . 3a, 4 . 3b , 4 . 3c Relative Fehler e bei der näh erungs weisen Bestim­ mung der Sp eicherabsen kzeit, gegenüber dem korrekten Wert T (nach(4.14) )

für die Nä herung T' ( nach (4 . 34)

--- für die Näh erung T" (nach (4 . 35)

Parameter b Exponent in der Approximation von Speicherinhaltslinien Parameter F defin iert nach (4 . 3 1 ) 21

10

8 t 6 w

2

0 Bild 4 . 3a 0 0.2 0.1. 0.6 0.8 1.0 ß [-)- - 69 -

10 7 I I V I r----- 1 b = 2.01 I 8 I / I /.I ~ I / I 1//J I 1/ I/ 7 ll/l I I t"'/ / . 4."' .._9/ I 2: ,, - 1--- /)V-.0,_Y~ o· - w I " ~/ / Ii...,·-:--; 4."' " / 4.!/ I I/ ·~"-'~ I I I ./ ~ 1/ / ~/ « 2 ~~ V I( //' V--V / / ./' ~ ~j/ -- ~ p I,J;V/ - f~ ~ ~ ~ 0 Bild 4 .3b 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ßH~

Bil d 4 . 3c 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ß [-)~ - 70 -

Aus diesen Darstellungen geht hervor : -Die relativen Fehler nehmen mit wachsendem ß zu. - Beide Approximationen - T' und T" sind bei Speichern mit grossem Beiwert b genauer als bei Speichern mit kl ei­ nem b . Beide Approximationen s ind umso genauer, je kleiner das Ver- hältnis F F /F ist. Bei gegebenem Anfangsvolumen 21 2 1 V - und damit gege ben em Wert F G (V ) - wird dieses a 2 g a Verhältni s um so kleiner , je grösser die Differenz Gb - Z ist . -Die Approximation T ' (nach (4 . 34)), basier end auf dem kon­ stanten Abfluss A = (1 - g ) Gg(Va) + Gb ' e i g net s i ch gut für Ab senkungen bis zum halbe n Anfangsvolumen . Unter Beachtung von (4 . 32) gilt nä mlic h für alle Speicher mit

b ~ 1.35:

~T < 4% (10 %), f a lls (3 < 0.5 (0. 7)

Es sei c" eine gegebene obere Grenze für den rel ativen Fehler, welcher bei der Bestimmung der Absenkzeit mittels der Näherungen T' oder T" entsteht. Damit können obere Grenzen für die relative Absenkung ß S/V angegeben werden, nämlich = a (3" ' d e rar t, dass } (4. 36) T - T ' "' - T-- ~ E für ß ~ ß'"

und

P"" derart, dass

A } (4. 37) ~ für ~ " T ~ t (3 fl'' - 71 -

~~~~E~~! :

Für alle b ~ 1.35 u nd F/F ~ 1 i st A F21 1 bei E 5 %: A ß'" = 0. 71 und f:l" = 0.25 und bei g = 10 % A A ,ß' = 0.87 und f.J" = 0.46

Bisher ist im Abschnitt 4.3.2 . 2 ein Speicher mit H 0 be­ gs = trachtet worden. Bei einem Speicher mit H ~ 0 ergibt sich gs die kürzeste Absenkzeit aufgrund der Kontinuitätsgleichung (4.9) generell wie folgt: V - S = (4 . 38) T ja______d~V--~~-- Z - Gb - Gg(V) va

Für G (V) gilt die zweite oder die dritte Beziehung von g nachdem ob H 0 oder H 0 i st . Durch (4.7), je gs > gs < numerisch e Integration l ässt s i ch T wertmässig bestimmen.

Als Näherungswert für T kann die folgende, der Formel (4.34) entsprech ende Approximation verwendet werden: s T "' T * (4.39) = ( 1 - 1!2...... lL) E l E 4b 1 wobei im Fall H 0 gs >

I vl/2b 1 - (....L)l/b El c a V + Gb - Z g ,m -v a (4.40a) 1 vl/2b <+)l/b E2 c a 1 - g,m ~ a l - 72 -

und im Fall H gs < 0 :

W' 1/b I yl/2b 1 El c a + <- v- l + Gb - z glm -v a I } (4 . 40b) yl/2b ( __y_:_ ) 1/ b E2 cg,m a 1 + V ~ a

Wenn der Nenner. von (4.38) k orrekt nach der Variablen V li­ nearisiert und h ierauf d i e Integration durchgeführt wird, er­ gibt sich ein etwas kompl iziert erer Au sdru ck für T. Dieser braucht hier n icht hergel e ite t zu werden. Numerisch e Ve r glei­ che zeigen n äm l ich, dass i m Fall H ~ 0 die Approximation gs T* nach (4 . 39) ungefähr d i e g l e i che relative Genauigkeit auf- weist wie im Fall = 0 die Approximation nach (4. 34) . Hgs T'

Entsprechend T" nach (4 . 35) kann i m Fall Hgs ~ 0 aller- dings auch hier nur für recht kleine ß die Näherung

T ~ T** s (4 .41) ~ I verwendet werden ( E gern äss (4. 40a) 1 oder (4 .40b)) .

Für den Fall, dass der Abfluss allein durch die Kapazität der Au s l ässe begrenzt ist, kann zusammenfassend das Folgende fest­ gehalten werden:

a) We nn die Kapazität G der Speicherauslässe nicht mit V variiert, so ist der Abfluss A = G = konst . und die kür­ zeste Absenkzeit ein es Ein zelspeichers berechnet sich nach ( 4 . 13) zu

T s s G - Z A - Z - 73 - b) Falls G mit V ändert, bieten s ich zur Bestimmung der kürzesten Absenkzeit die Näherungsformeln (4.33), (4 .34)

und (4.35) im Fall Hgs = 0 bzw. (4 . 39) und ( 4.41) im Fall H ~ 0 an. Die l etzten vier Formeln lassen sich gs auf die g l eiche Gestalt zurückführen, nämlich s T ~ p z (4.42)

Sie unterscheiden sich nur in der Konstanten P, die den Abfluss aus dem Speicher symbolisiert. Bei der Approxima­ tion nach (4.34) bzw. (4 . 39) ist

H 0 F2 ( l -

Eine weniger gute Näherung liefern die Formeln (4.35) bzw. (4 . 41). Dort wird mit

falls H 0 F2 + Gb' gs p ~ (4 . 44) {E2 + Gb, falls H ~ 0 } gs

gerechnet. Die Ausdrücke F2 und E2 sind in (4.31) bzw. (4 . 40a) und (4 . 40b) definiert.

Die Bestimmung von T nach (4.42) ist mit ein em relati­ ven F ehl er c behaftet. Bei vorgeschriebener Fehler- ~ ft ~ grenze c kann ß j3(€.) , d . h. die zugehörige obere

Gren ze für die relative Absenlmng ß 1 den Bildern 4.3a bis 4.3c entnommen werden. c) Wenn e ine grosse r elative Absenkung j3 > ß" = ß(f.)" verlangt wird, kann der Abserutvorgang in einzelne Schritte aufgete ilt und innerhalb dieser Schritte mit einem kon­ stanten Spe i cherabfluss gerechnet werden . (Näheres hiezu folgt im Abschnitt 6 .1 . ) - 74 -

5 . VORABSENKUNG EINES SPEICHERSYSTEMS

5 . 1 Einleitung und Problemstellung

Wesentlich komplexer als die Vorabsenkung eines Einzel spei­ chers gestaltet sich die Vorabsenkung eines Systems von meh­ reren Speicherseen in einem Einzugsgebiet, das vielfältig verzweigt sein kann . So ist an gewissen Kontrollpunkten nicht mehr nur ein Abfluss, sondern die Ueberlagerung der Abflüsse aus mehreren Seen zu betrachten. Die Abflüsse aus den oberlie­ genden Stauseen in einem Tal verstärken gewissermassen die na­ türlichen Zuflüsse zu den unterliegenden Stauseen . Im weitern ist jetzt zu präzisieren, in welchem Sinne die Vorabsenkung des Speichersystems optimal sein soll. Bei der Vorabsenkung e ines Einzelspeichers führt ein maximaler Speicherabfluss (unter Beachtung der Einschränkungen) zur kürzesten Absenk­ zeit. In einem Speichersystem hingegen können die einzelnen Speicher verschieden lange Absenkzeiten und verschieden gros­ se Abflüsse aufweisen. Die Formulierung des Ziels der Vorab­ senkung eines Systems muss daher klar zum Ausdruck bringen, welche Absenkzeit minimal oder welcher Abfluss maximal ge­ macht werden soll. Einige der mö glichen Zielvorstellungen werden in den Abschnitten 5 . 3 und 5.4 näher behandelt.

Im folgenden werden sogenannte opLimale Absenkprogramme be­ stimmt . Unter einem Absenkprogramm ist eine Vorschrift zu verstehen, welche den Abfluss aus jedem Speicher des Systems für jeden Zeitpunkt festlegt . Ein Absenkprogramm wird dann a l s optimal bezeichnet, wenn es die Forderungen, die dem ge­ wählten Ziel entsprechen, bestmöglich erfüllt (im Rahmen der systembedingten, natürlichen Einschränkungen einerseits und der methodisch-rechnerischen ~1ögli chkei ten andererseits) . Zur Lö sung der Optimierungsprobleme, welche sich in diesem Zusammenhang stellen, werden in dieser St udie gewisse Metho­ den des Operations-Research verwendet. - 75 -

Die folgenden Grössen - die sogenannten Systempara meter sind als gegeben zu betrachten:

V . Inhalt des Speichers i zu Beginn des Absenkvor­ a,~ ganges Si abzusenkender Inhalt des Speichers i

Zi natürlicher Zufluss zum Speicher i

Gi Kapazität der Au slässe des Speichers i

Qu natürlicher Abfluss im Kontrollpunkt u eines Ab­ flussgerinnes im Speichersystem

HQu Grenzhochwasser im Kontrollpunkt u

S./V . : relative Ab senkung des Speichers i ~ a,~ Indices : i 1, 2, 3, . . . , n total n Speicher

u l, 2, 3 1 ••• 1 V total v Kontrollpunkte

Unter d en natürlichen Zuflüssen bzw. Abflüssen werden jene verstanden, welche an bestimmten Stellen im System vorhanden sind, unabhängig von einer Vorabsenkung der Speicherseen .

Im Rahmen der gegebenen Einschränkungen sind die sogenannten Entscheidungsvariablen A. frei wählbar. ~

Ai Abfluss durch die Auslässe des Speichers i

A. setzt sich aus den Abflüssen durch den Grundablass ~ und den Betriebsauslass des Speichers i zusammen: A. Q . + Qb . ~ g , ~ , ~

Jeder Kombination (A , A , ..• , An) entspricht ein bestimmtes 1 2 Absenkprogramm . Seine Güte kann anhand einer geeigneten Ziel­ funktion Y(A , A , ... ,An) quantitativ beurteilt werden. 1 2 Die Optimierung eines Absenkprogramms besteht nun darin, die Entscheidungsvariabl en A , A , . . . ,An so zu wählen, dass 1 2 der Wert der Zielfunktion, je nach ihrer Formulierung, maxi­ mal ( = Max!) oder minimal ( = Min!) wird. Diese Forderung wird im folgenden Optimalitätskriterium genannt. - 76 -

Grundsätzlich können sich sowohl die Systemparameter als auch die Entscheidungsvariablen im Lauf e der Zeit v erändern . Bezüg• l i ch de r zeitlichen Variabilität dieser Grössen , wie auch be ­ züglich der Abhängigkeit G(V), werden in dieser Studie a n gegebener Stelle noch besondere Annahmen getroffen .

5 . 2 Mathematische Problembeschre ibung

5.2.1 Zwei p arallel e Speicher

Im Bild 5 . 1 ist das System von zwei parallel angeordneten Speichern schematisch dargestellt . Ein s olches System ist da­ durch charakt eri s iert, dass sich die Abflüsse aus d en beiden Stauseen erst unterhalb der Speicher vereinen (in Flussrich­ tung geseh e n) .

Bild 5.1 Schematische Darstellung von zwei parall e len Speichern - 77 -

Für jeden Zeitpunkt des Absenkvorganges müssen die folgenden Einschränkungen erfüllt sein:

A. ~ z. 0 (i 1, 2) l. l. ~ =

Al ~ min (Gl' HQl-Ql' HQ3- Q3) ( 5 . 1) A2 ~ min (G2 ' HQ2- Q2)

Al + A2 ~ HQ4 - Q4

Transformation (Einführung von neuen EntsGheidungsvariablen):

0(1 } (5.2) 0(2

Anstelle der "Bruttoabflüsse" A und A werden hier die 1 2 " Nettoabflüsse" cx und 0( , nämlich die Differenzen aus Ab­ 1 2 und Zufluss von jedem Speicher, als Entscheidun gsvariablen eingeführt.

Werden A und A in (5.1) aufgrund von (5.2) ersetzt, so 1 2 ergeben sich die folgenden Einschränkungen für cx und 0( : 1 2 O(i ~ 0 (i = 1 , 2)

0( 1 ~ Kl ( 5 . 3) 0(2 ~ K2

0(1 + 0(2 ~ K3

Dabei ist

Kl min (Gl' HQl- Ql ' HQ3- Q3) zl K2 min (G2, HQ2-Q2) z2 } ( 5 . 4) K) HQ4 - Q4 - zl - z2

Die Konstanten Kl' K2 und K3 hängen nur von den Systempa- - 78 -

rametern ab . Damit eine Vorabsenkung beider Speicherseen über­ haupt möglich ist, muss die Grundvorau ssetzun g

K. > 0 (j 1' 2 ' 3) ( 5 . 5) J

gelten.

Würden im vorliegenden System von zwei parallelen Speichern mehr als nur vier Kontrollpunkte aufgeführt , so hätte dies keinen Einfluss auf die Struktur der Ung l eichungen (5.3). Lediglich die Festlegung der Grossen K , K und K in (5 . 4) 1 2 3 würde sich teilweise ändern .

In der Zielfunktion Y(A , A ) s ind A und A mittels 1 2 1 2 (5 . 2) durch o< und o< zu ersetzen: Y(A ,A ) = y(

ein Optimierungs problem mit den Entsch eidungsvariablen ~l und ~2 zurückgeführt.

5 . 2.2 Zwei Speicher i n Serie

I m Bild 5.2 sind zwei in Ser ie angeordnete Speicher darge­ stellt . Charakteristisch an diesem System ist, dass der Ab­ fluss aus dem einen Speicher den Zufluss zum andern verstärkt .

Bild 5 . 2 Schematische Darstellung von zwei Speichern in Serie - 79 -

Für die ganze Dauer des Absenkvorganges gelten hier die fol­ genden Einschr~nkungen :

Al ~ zl ~ 0

A2 ~ Al + Ql ~ 0 (5 . 6)

Al ~ min (Gl' HQl-Ql)

A2 ~ min (G2' HQ2-Q2 ' HQ3-Q3)

Transformation (Einführung von neuen Entscheidungsvariablen):

} ( 5 . 7)

Wie im vorhergehenden Abschnitt werden anstelle der totalen Speicherabflüsse A und A die Nettoabflüsse 0( und 1 2 1 c< , n ä mlich die Differenzen zwischen Ab- und Zufluss , als 2 Entscheidungsvariablen eingeführt . Aus (5.7) folgt :

Al 0(1 + z l ( 5 . 8) A2 0(1 + 0(2 + Ql + z l }

Dadurch können die Einschränkungen ( 5 . 6) für A und A durch 1 2 s olche für 0(1 und 0(2 ersetzt werden:

O(i ~ 0 (i = l, 2)

0(~ ~ Kl ( 5 . 9) 0(1 + 0(2 ~ K3 l Dabei ist

Kl min (Gl' HQl-Ql) zl (5. 10) K3 min (G2 ' HQ2-Q2' HQ3-Q3) - Ql - zl } - 80 -

Die Ko n stanten K und K s i nd nur von den Systemparame­ 1 3 tern abhängig . Eine Vorabsenkung beider Speich e r ist nu r mög• lich , wenn die Grundvoraussetzung

K. > 0 (j 1, 3) (5 . 11) J gilt .

Wird die Zahl der Kontrollpunkte unterhal b des ersten oder zwe i ten Speichers veränder t , so h at dies kein en Ein f luss a uf die Struktur der Ungleichungen (5 . 9), sondern höchstens auf die Grössen K und K . (Würde z . B. der Kont rollpunkt 3 weg­ 1 3 gelassen, so würde in (5 . 10) im Ausdruck für K die Diffe­ 3 renz HQ - Q wegfallen. ) 3 3

Bezüglich der Anpassung der Zielfunktion ge l ten d i e Au sführun­ gen am Sch l u ss des Abschnittes 5 . 2 . 1 .

5.2 . 3 Speichersysteme in allg emein er Anordnung

Anlehnend an die Abschnitte 5 . 2 .1 und 5 . 2 . 2 soll h ier eine ver­ allgemeinerte, einheitli c h e Beschreibung von Speichersystemen entwickelt werden. Diese soll für a l le rel evanten Systeme von Speichern gültig sein, un a bhängi g davo n, ob d iese i n Serie , parallel oder gemischt (in Seri e/paralle l ) a ngeordnet sind.

Entsch eidungsvariablen:

0( 1 und 0( 2

Dabei sind 0(1 und 0(2 definiert nach ( 5. 2) im Fall von zwei parallelen Speichern, (5 . 7) im Fall von zwei Speichern in Serie. - 81 -

Einschränkungen:

0(1 ~ 0

~ 0 (5. 12)

Im Fall von zwei Spei chern in Serie fehlt die 4 . Ungleichung . K , K und K sind nur von den Systemparametern abhängige 1 2 3 Grössen . Sie berechnen sich en tspr echend den Gleichungen (5.4) bzw. (5 . 10 ) .

Optimalitätskriterium:

bzw. Min!

Im Bild 5 . 3 ist ein Beispie l eines mehrere Speicher umfassen­ den Syste ms schematisch dargestellt. Es können Teil systeme , deren Speicher all e in Serie oder alle parallel angeordnet sind , unterschieden werden.

(Anme rkung: In der Schweiz sind mehrheitlich p arallele Spei­ c heranordnungen a nzutreffen. Es gibt nur in einem einzigen Flu ssgebiet (Aare) Teilsysteme von mehr a ls zwei grösseren Speichern in Serie.) - 82 -

A, Ha , a, 010

HO 10 HQ 13 HQ 14

Ha 11 On

HQ2 Q2 A2

Zg

Bild 5.3 System von 9 Speichern

(Die Bedeutung der einzelnen Grössen, welch e im Bild 5 . 3 auftreten, ist auf Seite 75 an­ gegeben . ) - 83 -

Für die Speicherabflüsse A. im Bild 5 .3 gelten die folgen- l. den Einschränkungen :

A. z. 0 (i l. ~ l. ~ 1,2,3,4,6,7,9)

Ai ~ Ai-1 + Qi- 1 (i 5 ,8)

Ai ~ min (Gi' HQi-Q) (i = 2,3, . .. ,9)

Al ~ min (Gl ' HQl-Ql' HQlO-QlO)

A2 + A3 ~ HQll - Qll

( 5 . 13) A6 + A8 ~ HQ12 - Ql2

3 5 A. ~ HQlJ - Ql3 A. ~ L l. 2: l. HQ14 - Ql4 i=l i=l (i~4)

8 A. ~ ~ L l. HQ1 5 - Ql5 ~Ai HQ16 - Ql6 i =l i=l (i~ 4,7 ) (i~4 , 7)

Wie in den vorangehenden Abschnitten werden nun anstelle der Speicherabflüsse Ai die Differenzen zwisch en Ab- und Zufluss

von jedem Speicher - kurz Nettoabflüsse ~i genannt - als Entscheidungsvariablen eingeführt . Die nachfolgenden Ausfüh• rungen gelten allgemein für ein System von n Speichern.

Definition der Entscheidungsvariablen

i = 1, 2, ... , n (5 . 14)

Dabei ist wenn flussaufwärts kein weiterer Jz. Speicher in Serie dem i-ten Speicher vorgeschaltet ist L:_, wenn flussaufwärts dem i-ten Speich er ein (i-1)-ter in Serie vorgeschaltet ist - 84 -

Gelangen die Abflüsse aus mehreren , unter sich parallelen Speichern - z.B. aus jenen mit den Nummern r, s, t - in den Speicher i, dann ist

In den Einschränkungen, welche für A , A , ••• ,An formu­ 1 2 liert s ind, kann sukzessive jedes Ai aufgrund von (5.14) durch die zugehörige Entscheidungsvariable ~i oder durch e ine Summe von solch en Variablen erset zt werden.

Die Einschränkungen für die ~i nehmen dann die folgende allgemeine Gestalt an :

0(. ~ 0 i l, 2, ' n ~ ' ... (5 .15) n ~ j l , 2, m } .L: xji CX i Kj ' ... ' i=l

X (x .. ) ist einem x n- Matrix, deren Elemente die J~ Werte 0 oder 1 haben.

Die CXi müssen also i n sgesa mt n + m Ungleichungen genügen. (Es sei vermerkt, dass die sogenannten redundanten Unglei­ chungen - d .h. j e n e Ung l e i chungen , welche b ereits in andern e nthalten sind - weggelassen werden k önnen ; b ezüglich der optimalen Lö sung ändert sich dadurc h nic h ts . Hier wird ange­ nomm en , dass das System ( 5 .15) keine redundanten Ungleichungen mehr enthalte.) Durch die Ungleichungen (5 .15 ) wird eine kon­ vexe Punktmenge im n-dimensionalen linearen Vektorraum Rn, nämlich das Polyeder der zu lässigen Lösungen definiert. Be­ züglich der Terminologie sei z . B. auf [2] verwiesen.

Optimalitätskriterium

Bei gegebener Zielfunktion y( o<1 , .•• , o

Am Beispiel des Speichersystems von Bild 5.3 sei illustriert, wie die Entscheidungsvariablen definiert werden und welche Gestalt die Einschränkungen (5 .13) damit annehmen.

Entscheidungsvariablen cx . 1

- z. (i 1 , 2, 3, 4, 6 , 7, 9) O(i Ai 1 0(5 A5 A4 Q4

0( 8 As - A7 - Q7

Einschränkungen:

()(i ~ 0 (i= 1, 2 , ... , 9) ,.;; K. (i = 1 , 2 , 3 , 4 , 6, 7 , 9) D(i 1

cx4 + cx5 ~ K5

0(7 + 0(8 ~ K8

0(2 + 0(3 ,.;; KlO

0<6 + 0(7 + 0(8 ~ Kll 3 5 Lex . ~ Kl2 Lcx. ,.;; Kl3 i=l 1 i=l 1

8

~ ~ Lex. Kl4 fcx.1 Kl5 i=l l. i=l wobei

min ( G , Kl 1 HQl- Ql' HQlO- QlO) - zl K. min ( Gj , HQj -Qj) z. (j 2 ,3, 4 , 6 , 7,9) J J min ( Gj , ( j = 5 , 8) Kj HQj-Qj) Q.J- l z.J - l KlO HQll Qll z2 z3

Kll HQl2 Ql2 z6 z7 - Q7 - 86 -

4 z. K13 HQ14 - Ql4 - .L 1 - Q4 i=l 7 Kl4 HQ15 - Ql5 - Z. - Q4 - Q7 L:i=l 1 (i;t5)

Kl5 HQ16 - Ql6 ~ z. - Q4 - Q7 i=l 1 (i;t5, 8)

5.3 Absenkprogramme mit kürzester Absenkzeit

5 . 3 . 1 Zielvorstellung

In dies em Abschnitt werden Absenkprogramme mit kürzester Abse nkzeit T des Speichersystems, definiert als Zeitspanne zwischen Ab s enkbeginn und - ende, gesucht. Der Absenkbeginn des Systems (auf der Zeitachse : t 0) wird durch die erste Ab­ flussveränderung markiert, die an irgend einem Speicher im Sy­ stem zum Zweck der Vorabsenkung vorgenommen wird . Das Absenk­ ende ist dann erreicht, we n n jeder Speicher im System um das vorgeschriebene Volumen abgesenkt ist.

Ti bezeichne die Absenkzeit des i-ten Speichers. Darunter wird hier die Zeitspanne zwischen dem Absenkbeginn des Sy­ stems ( t = 0) und dem Zeitpunkt, zu dem die Ab.senkung des Speicherinhaltes Si endet, verstanden. Es wird also festge­ legt, dass bei allen Speichern im System die Absenkzeit ab t = 0 gezählt wird, auch wenn allenfalls bei einzelnen Spei­ chern die erste Abflussveränderung zum Zweck der Vorabsenkung erst später (t > 0) vorgenommen wird (siehe z.B. Bild 5.5a, Abfluss A ) . Das Zeitintervall 0 ~ t ~Ti sei als Absenk­ 3 intervall des i - ten Speichers bezeichnet. Aufgrund dieser Definition fällt der Anfang aller Absenkintervalle mit dem Absenkbeginn des Speichersystems zu sammen (t = 0); hingegen - 87 - können die Absenkintervalle der einzelnen Speicher zu unter­ schiedlichen Zeitpunkten (t = Ti) enden.

Die Bestimmung der kürzesten Absenkzeit T des Speichersy­ stems führt also auf das folgende Optimierungsproblem:

Gesucht ist jenes Abseru

T Min! (5 .16)

Dieser Ausdruck stellt das Optimalitätskriterium dar . Die Ti hängen von den Entscheidungsvariablen Ai bzw. o

5 . 3 . 2 Voraussetzungen

Die Ermittlung von Absenkprogrammen mit kürzester Absenkzeit stützt sich auf die folgenden vereinfachenden Annahmen und Voraussetzungen: a) Die Systemparameter Zi' Qu' HQu werden für die ganze Dauer T des Absenkvorganges als konstant angenommen (kon­ stanter Mittelwert). b) Es soll ~·a = S./V . ~ ~:ß" und V . > l_ V . ~ ~ a , 1 ~ a,~ 5 max,~ sein für alle Speicher (i = 1, 2, 3, .• . , n) . Aufgrund dieser Voraussetzung kann für die ganze Dauer des Absenkvorganges mit Auslasskapazitäten gerechnet wer­ den, welche nur wenig mit dem Speicherinhalt variieren (siehe Abschnitt 4 . 3 . 2) . Demnach können im Sinn e einer Näherung - konstante Speicherabflüsse Ai (bzw. Netto­ abflüsse ~i) als En tscheidungsvariablen angesetzt wer­ den und zwar entsprechend der Beziehung (4 . 44). Da die wirklichen Speicherabflüsse gewisse gegebene Werte (Kapa­ zitäten) nicht überschreiten können, eignen sich Abfluss­ mittelwerte gernäss (4 . 43) nicht als Entscheidungsvariab­ len für die Optimierung . - 88 - c) Es wird vorausgesetzt, dass jeder Speicherabfluss Ai kei­ ne stetige Funktion der Zeit t ist, sondern nur endlich viele, sprungförmige Veränderungen erfährt und dadurch nur endlich viele diskrete Werte annimmt. Ai(t) ist also ent­ weder e i ne konstante oder eine (ungleichmässig) treppen­ förmige Funktion von t. Abflussveränderungen beim Absenk­ beginn und - ende sollen ebenfalls sprungförmig vor sich gehen. Da die Systemparameter Zi und Qi als konstant in­ nerhalb des zugehörigen Absenkintervalles vorausgesetzt sind, ist in diesem Intervall auch ~i(t) entweder eine konstante oder eine (ungleichmässig) treppenförmige Funk­ tion von t . d) Laufzeiten des fliessenden Wassers zwischen Speichern und Kontrollpunkten im System werden vernachlässigt .

5 . 3 . 3 Zwei Kategorien von Absenkprogrammen

In dieser Studie wird von einem Absenkprogramm mit konstantem Abfluss - kurz Absenkprogramm vom Typ A - gesprochen, wenn alle Absenkintervalle gleich lang sind, d . h .

T (5.17) = Tn und gleichzeitig die Abflüsse Ai (bzw. die Nettoabflüsse ~i) innerhalb dieses gemeinsamen Absenkintervalles konstant blei­ ben, siehe Bild 5 . 4 . - 89 -

A j loj)

AJ I o 3 l ~------, I -·-·-·-·-·-Az ·- I· -• 2· l- ·- ·- ·- ·-,I AI I 0 1 l j

ABSENK­ :Tl :Tz.TJ BEGINN ABSENKENDE

Bild 5.4 Absenkprogramm vom Typ A (3 Speicherseen)

Jedes Absenkprogramm, das die Voraussetzungen des Abschnittes 5 . 3 . 2 . erfüllt, aber nicht dem oben beschriebenen Typ A ent­ spricht, wird in dieser Studie als Absenkprogramm vom Typ B bezeichnet, siehe Bild 5 . 5a. Insbesondere fallen unter den Typ B solche Absenkprogramme, bei denen zwar die Abflüsse Ai (bzw. ~i) innerhalb der zugehörigen Absenkintervallle kon­ stant bleiben, aber nicht alle Absenkzeiten Ti gleich lang sind, siehe Bild 5 . 5b . :- 90 -

A; !a;l r·-·-AJ ·-( «J· -·-I ·! r------A~~~~a~l~l ------T·--, I ! l i rt-t---, i I·1 I I . L---1---, 1----~~~--~ 1 I l I r, ABSENK­ . r BEGINN AB SENKENDE

Bild 5. 5a

A; (a;l

,__ ------1Az !azl I l I I I T T1 ABSE NK ­ • T BEGINN ABSENKENDE

Bild 5.5b

Bilder 5.5a und 5 . 5b Zwei Beispiele für Absenkprogramme vom Typ B - 91 -

5 . 3.4 Bestimmung eines optimalen Absenkprogramms

Es sei TA (TB) die kürzeste Absenkzeit des Speichersystems, die mit einem Absenkprogramm vom Typ A (Typ B) erreicht wer­ den kann. Unter den Voraussetzungen nach Abschnitt 5.3 . 2 gilt der folgende Hilfssatz :

Für jedes Speichersystem kann die zugehörige kürzeste Absenkzeit T mit einem Absenkprogramm vom Typ A realisiert werden; es gilt

Aufgrund dieses Hilfssatzes kann in gewissen Fällen ein Ab­ senkprogramm vom Typ B durchaus auf die gleiche Absenkzeit T eines Speichersystems führen wie das beste Absenkprogramm vom Typ A, nicht aber auf eine kürzere. Wenn nur die kürzeste Ab­ senkzeit T des Speichersystem gefragt ist, kann man sich daher beim Ermitteln von möglichen Lösungen auf Absenkpro­ g r amme vom Typ A beschränken. Die Bestimmung einer optimalen Lösung vereinfacht sich dadurch merklich.

Ein einfacher Beweis des Hilfssatzes findet sich im Anhang (Kapitel 9) . Der Hilfssatz könnte im übrigen auch mit dem sogenannten Minimaxkriterium der dynamischen Programmierung [9 ] bewiesen werden .

Die Absenkung soll nach einem Programm vom Typ A durchgeführt werden. Nach (5 . 17) gilt

T

Der Beziehung (4. 42) entsprechend ist - 92 -

__s.1_ (i 1,2) A- O(i z.1

Dies gilt unabhängig davon, ob die beiden Speicher parallel oder in Serie angeordnet sind. Daher

Die Ein schrä nkungen (5. 12) sind also durch die Gleichung

0(2 (5 . 18)

zu ergänzen. Damit kann i n (5 . 12) die Variable C( elimi­ 2 niert werden . Es bleiben d a nn die fo l gende n Einschränkungen für : cx1 0(1 ~ 0

cxl ~ Kl

s l D( l ~ --s;- K2 (5.19) 1 cxl KJ ~ s2 1 + -- sl

Die für beide Sp eicher gleich grosse Absenkzeit ist T T wird minima l, wenn 0< maximal i st unter Beachtung 1 von (5. 19) . Dies f ührt zur o ptimalen Lösung

A ()(1 (5 .20 )

A Aus (5 .18 ) ergibt sich bei gefundenem 0(1 der zugehörige Wert von Die kürzeste Absenkzeit des Systems von zwei - 93 -

Speichern ist

T

/'o ,/\ Aus den Nettoabflüssen o< und 0(2 können die entspre- 1 A ehenden optimalen Speicherabf l üsse 1 und A aufgrund von 1 2 (5 . 14) berechnet werden.

Beispiel 1: Zwei parallele Speicher

Es sei ein dem Bild 5 . 1 entsprech endes Sp e i chersystem so abzu­ senken, dass die Absenkzeit des Systems, nämlich T = max (T , T ) , möglichst kurz wird . Die Voraussetzungen 1 2 des Abschnittes 5 . 3 .2 seien erfüllt. Die Systemparameter seien wie folgt quantitativ gegeben:

Speich er Absenkvolumen Zufluss Auslasskapazi- tät 3 3 i s. [Hio m3] zi [m /s] G. [m /s] ~ ~

1 50 5 50 2 40 3 40

Kontrollpunkt u 1 2 3 4

Grenzhochwasser - natürlich er Abfluss 3 HQu - Qu [m /s] 70 60 60 80 - 94 -

~::~~~~~~~~~~!I

Entscheidungsvariabl en:

5 ()(1 Al - zl Al 3 [m /s] 0(2 A2 - z2 Al - 3

Ermittlung der Kj-Werte, gernäss ( 5 . 4) :

Gl 50 HQl - Ql 70 }Kl 50 - 5 45 60 HQ3 Q3 3 [m / s]

G2 40 K2 40 - 3 37 HQ2 - Q2 60 }

HQ4 Q4 - zl - z2 K3 72

Einschränkungen :

0(1 ~ 0 0(1 ~ 45 3 0(2 ~ 0 0< 2 ~ 37 [m /s]

0(1 + 0( 2 ~ 72

Die Absenkung wird nach einem Programm vom Typ A durchgeführt. Demnach gilt

4 bzw. 0(2 5 0<1

Bestimmung der optima l en Lösung nach ( 5 . 20) : 1\ 5 X 37 72 40 3 0(1 min (45, 4 4 m /s 1 + - 5 /' 4 /1 3 0(2 5 0(1 32 m /s - 95 -

Kürzeste Absenk zeit:

T 1. 25 Mi o s 14. 4 7 Tage

Speicherabflüsse :

12

Im Bild 5 . 6 ist gezeigt, wie die optimale Lösung, nämlich A A . der Punkt P cx , cx ), auf graph 1schem Weg gefunden werden = ( 1 2 kann.

1.0

D

t 30 RAUt.iÖER ZULÄSSI GEN ,...... , . LÖSUNGEN ...... "' ~ 20 N ö

10

0 10 1.0 50

Bild 5 . 6 Zwei paralle l e Speicher : graphisch e Besti mmung des Absenkprogramms vom Typ A mi t der k ürzesten Absenkzeit des Spei cher systems - 96 -

Beispiel 2 : Zwei Speicher i n Serie

Es sei die dem vorangehenden Beispiel entsprech ende Aufgabe für ein System von zwei Speichern in Serie - gernäss Bild 5.2 - mit folgenden Systemparametern zu lösen:

Speicher Absenkvolumen Zufluss Au slasskapazi- tät 3 3 i S. [Mio m3] z. [m /s] G. [ m /s] l l l

1 60 5 50 2 40 (Al + Ql) 65

Kontrollpunkt u 1 2 3

natürlicher Abfl uss 3 10 1 5 20 Qu [m /s] Grenzhochwasser 3 55 90 120 HQu [m /s]

~!:~~ .! ~~ .! ~~~~g

Entscheidungsvariabl en :

()( 5 1 Al - zl Al - 3 [ m /s] o(2 A2 - (Al +Q1) A2 - Al - 10

Bestimmung der Kj- Werte , gernäss (5 . 10) :

G1 50 J K1 45 - 5 = 40 [m /s] 45 } HQ1 - Q1 - 97 -

G2 65

3 HQ2 - Q2 75 } <, 65 - 10 - 5 50 [m /sJ HQ3 Q3 100

Einschränkungen:

()(1 ~ 0 40 0(1 ~ 3 [m /sJ ()(2 ~ 0 0(1 + 0(2 ~ 50

Absenkprogramm vom Typ A:

T , also 2

Optimale Lö sung, gernäss (5 . 20):

".. min (40, 50 0(1 2 1 + 3 /\ 2 /\ 3 0(2 3 0(1 20 m /s

Kürzeste Ab senkzeit:

T 23 . 15 Tage

Speicherabflüsse , nach ( 5 . 8) :

35 m3 /s , 1 1 - 98 -

50

40

,--.,t ~ 30 ...... E N RAUM ÖER '< d 20 ZULÄSSIGEN , LÖSUNßE _t.j / ' ./·· 10 ./ ./ ,/ 0 0 10 50

Bild 5 . 7 Zwei Speicher in Serie: graphische Bestimmung des Absenkprogra mm s vom Typ A mit der kürzesten Absenkzeit des Speichersystems

Nun soll für ein Syst em von n > 2 Speichern ein Absenkpro­ gramm bestimmt werden, welches die Absenkzeit T max (T ,T , = 1 2 T 3, . .. , Tn) minimiert. Die Voraussetzungen, welche in Ab­ schnitt 5 . 3 . 2 formuliert sind, sollen gelten . Die kürzeste Absenkzeit T kann mit einem Absenkprogramm vom Typ A reali­ siert werden . Daher we r den a lle Speicherabflüsse als konstant und von g l eicher zeitlicher Dauer angesetzt:

T (i 1, 2 , . .. , n) O(i T } - 99 -

Daraus folgt die Beziehung

s n T (5 . 21) O(n

Dies ist gleichbedeutend mit den n-1 Gleichungen : s s2 S3 n (5 . 22) C\'2 - s- exl , ()(3 = -s- exl' ... ' cx n = -S- cxl l l l

(Durch die Gleichungen (5 . 22) soll der Variablen cx1 keine spezielle Bedeutung zugewiesen werden . Völlig gleichwertig hätten die Entscheidungsvariablen auch durch oder durch cx 2 cx 3 u . s . w. ausgedrückt werden können . ) Diese n - l Gleichungen definieren eine Gerade durch den Nul1- punkt im R n (Parameterdarstellung). Der Schnittpunkt (~Null­ punkt) dieser Geraden mit dem durch die Ungleichungen (5.15) defin ierten Pol yeder ergibt den optimalen Lösungspunkt A A ) p = ( cxl, . .. , o( n .

Di e optimale Lösung unter den Absenkprogrammen vom Typ A kann auf die folgende Weise ermittelt werden .

Mit Hilfe von (5 . 22) l assen sich in den Ungleichungen (5.15) die Entscheidungsvariablen cx , 0( , .. .• , O(n durch O(l er- 2 3 setzen: n S. ~ 0(1 X . . ~ K. (j l,2 , . • . , m) L J~ s;:- J i =l Somit gi l t :

(j l , 2 , . . . , m)

(5 . 23)

O(l ~ 0 )

Nach (5 . 21) wird T minimal , wenn cx maximal gewä hlt wird, 1 u nter Berücksichtigung von (5.23) . Daher erg ibt sich bezüg• lich des Kriteriums (5.16) unter den Absenkprogrammen vom - 100 -

A Typ A die folgende optimale Lösung für die Entscheidungs- cx1 variable cx : 1

A K. min ( (j 1 ,2, .. . ,m) (5.24) cxl s l n ) J s. LXji ~ i=l

A Aus cx ergibt sich die kürzeste Absenkzeit T unter den 1 Absenkprogrammen vom Typ A:

T = (5 . 25)

Die optimalen Werte der übrigen Entscheidungsvariablen sind dann s. /\ _ _l. _ = 2, 3, . .. , n) (5 . 26) cxi T (i

1\ Aus den Nettoabflüssen O(i lassen sich die entsprech enden 1\ optimalen Speicherabflüsse Ai berechnen, aufgrund von ( 5 . 14).

Ein dem Bild 5 . 3 entsprechendes Speichersystem sei so abzu­ senken, dass die Absenkzeit des Systems möglichst kurz wird. Es sollen die in Abschnitt 5 . 3 . 2 formul ierten Voraussetzungen gelten. - 101 -

Die Systemparameter seien wie folgt gegeben:

Speicher .Absenkvolumen Zufluss Auslasskapazität 3 3 i s. [Mio m3] z. [m /s] G. [m /s] l. l. l.

l 9 3 35 2 24 6 55 3 20 4 50 4 22 2 38 5 8 (A4 + Q4) 25 6 100 5 120 7 10 3 40 8 22 (A7 + Q7) 50 9 70 6 170

3 3 Natürliche Abflüsse : Q = 6 m /s Q4 = 7 m /s 7

Differenz von Grenzhochwasser u nd natürlich em Abfluss in den Kontrollpunkten u :

3 3 u HQu - Qu [m /s] u HQU - Qu [m /s]

l 20 10 52 2 40 11 60 3 18 12 95 4 15 13 70 5 30 14 105 6 60 15 190 7 30 16 280 8 45 9 70

Am Schluss des Abschnittes 5 . 2 . 3 ,2 ist für dieses System von

9 Speichern gezei gt, wie die Entsch eidungsvariable n ~i zu definieren und die K.-We rte zu b er echn e n s ind. J - 102 -

Die Matrix X und der Kolonnenvektor .JS;, welcher die K.- J Werte enthält, nehmen in diesem Beispiel die folgende Gestalt an:

I 0 0 0 0 0 0 0 0 17 0 I 0 0 0 0 0 0 0 34 0 0 I 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 I 0 0 0 0 0 13 0 0 0 I I 0 0 0 0 16 0 0 0 0 0 I 0 0 0 55 0 0 0 0 0 0 I 0 0 27 X (xji) 0 0 0 0 0 0 I I 0 K (Kj) 36 0 0 0 0 0 0 0 0 I 64 0 l l 0 0 0 0 0 0 50 l l l 0 0 0 0 0 0 57 0 0 0 0 0 l l l 0 81 I l l I I 0 0 0 0 83 l l l l l l l I 0 154 l l l l l l l l 1 238

Da d i e kürzeste Absenkzeit T durch e~n Absen kpr ogramm vom Typ A real isiert werden kann, gelten die Beziehungen (5 . 21) A bis (5.23). Die optimale Lösung 0(1 wird gernäss (5 . 24) be- rechnet ; i n d i esem Beispi el e r gibt s i ch :

A 3 o< 4 . 8 m /s 1 und daraus als kür zeste Absenk zeit des Speich ersystems, ent­ sprechend (5.25):

T 21.70 Tage

Aus dem für T berechneten Wert k önnen die optimalen Werte der übrigen Entsch eidungsvar iablen gernäss (5.26) bestimmt wer­ den und aus diesen schli esslich die Speicherabflüsse . Die Re­ s ultate sind in der folgenden Tabelle zu sammen gestellt: - 103 -

Speicher Nettoabflu ss Speicherabfluss A 3 A 3 i [m /s] A. [m /s] ~ 1

1 4.8 7.8 2 12.8 18.8 3 10 . 7 14.7 4 11.7 1 3 . 7 5 4.3 25.0 6 53 . 3 58 . 3 7 5 . 3 8 . 3 8 11.7 26 . 0 9 37 . 3 43 . 3

Die kürzeste Absenkzeit für ein Speichersystem kann anh and eines Absenkprogramms vom Typ A bestimmt werden. Die dabei massgebenden Beziehungen sind im Abschnitt 5 . 3 . 4 . 4 hergel ei­ tet. Für die rechnerische Ermittlung jener Abflussgrössen, welche zum Optimum führen , bieten sich die folgenden drei Ver­ fahren an :

~ Die optima le Lö s ung wird nach dem im Ab schnitt 5.3.4.4 gezeigten Vorgehen für n Speicher gefunden. Dieses Ver­ fahre n lässt sich ohne besondere Schwierigkeiten und ohne a llzugrossen Zeitaufwand mit einfache n Hilfsmitteln (Re­ chenschieber, Taschenrechner) anwenden.

~ Wenn e ine g rössere Anzahl von Vorab senkproblemen zu l ösen ist (me hrere Spe i c he r systeme, verschieden e Kombination en der Systemparameter ), lohnt es sich, die optimalen Absenk­ programme vom Typ A mit Hilfe eines Computer-Programms zu b estimmen. Dieses kann a u f dem im Abschnitt 5 .3.4. 4 gezeigten Vorgehen beruh en . - 104 -

~ Das Suchen der kürzesten Absenkzeit aufgrund eines Absenk­ programms vom Typ A stellt eine lineare Optimierungsauf­ gabe dar . Diese kann mit Hilfe von bekannten (Computer-) Verfahren der linearen Programmierung gelöst werden (sie­ he z . B. [7], [8) ). Für alle Speicher im System wird die gleiche Absenkzeit vorau sgesetzt:

s n Tn , bzw. ~n

Dies füh rt z u n - 1 unabhäng igen Gl e i chungen, welche als zusätzliche Einschränkungen zu berücksichtigen sind.

5 . 3 . 5 Vollständige Ausnützung der Abflusskap azität e n

Unter der optimalen Lösung von Typ A ist jenes Absenkprogramm vom Typ A zu verstehen, welches - im Rahmen der durch die Ab­

flusskapa~itäten auferlegten Einschrä nkungen - zur kürzesten Absenkzeit T eines vorgegebenen Speichersystems führt. Durch die optimale Lösung von Typ A wird mindestens an einer St e lle i m System die Abflusskapazität ( sei es die Kapazität eines Speicherausl asses oder jene eines Gerinnes) vollständig a u sge­ nützt; mindestens bei einem der Speicher im System l iefert die optimale Lös ung vom Typ A den grösstmöglichen We r t des Spei­ cherabflu sses. Wegen des ''Engpasses" in Form der zugehörigen, ausgeschöpften Abflusskapazität kann die Absenkzeit des Sy­ stems nicht weiter verkürzt werden. Es ist jedoch möglich , ge­ wisse andere Speich erabflüsse grösser als jene Werte anzuset­ zen, welche aus der optimalen Lösung vom Typ A hervorgehen, ohne dass dadurch e ine Einschränkung verl etzt oder die Ab­ senkzeit des Systems verändert würde. Die z u diesen Abflüssen gehörenden Speicher sind dann - e i nzeln betrachtet ent- sprechend rascher abgesenkt .

Ausgehend von der optimalen Lösung vom Typ A - Speicherab-

~ A ~ flüsse A , A , ..• ,An - wird im folgenden ein Absenkpro- 1 2 gramm gesucht, das konstante Speicherabflüsse aufweist, die kürzeste Absenkzeit T des Speichersystems unverändert l ässt - 105 - und an allen massgebenden Stellen im System d i e Abflusskapazi­ tät so weit als möglich ausschöpft. Das Er gebnis ist ein Ab­ senkprogramm vom Typ B , mit unterschiedlichen Absenkzeiten der einzeln en Speicher. Der Abfluss aus jedem Speicher bleibt wäh­ rend dessen Abseru,ung jedoch kon stant. Dieses Absenkprogramm wird im folgenden optimale Lösung vom Typ B - Speicherabflüs­ se Ä , Ä , ... , Än - genannt . 1 2

Die Speicher werden hier so numeriert, dass bei zwei Speichern in Serie die Numme r des Unterliegers stets um eine Einheit grösser ist als jene des zugehörigen Oberliegers.

Im Bild 5 .8 ist die graphische Bestimmung der optimalen Lösung vom Typ A für ein allgemeines System von zwei Speichern in Se­ rie dargestellt. Aufgrund der Ungleichungen (5.9) ergibt sich das Vieleck A B C D als Bereich der zulässigen Lösung en . Die optimale Lösung vom Typ A liegt auf der Geraden s2 cx ~ , möglichst weit vom Nullpunkt en tfernt. 2 = cx 1

A a,_. 8

Bild 5 .8 Optimale Lösung vom Typ A für ein System von zwe i Spe ichern in Se rie ; zwei mö gliche Fälle '- 106 - s Die Steigung der Geraden 0(2 = ~ c< 1 wird durch das Verhältnis zwischen den Absenkvolumi~a der beiden Speicher bestimmt . Es sind 3 Fälle zu unterscheiden : a) Es sei = 5 ; die optimale Lösung vom Typ A - als s2/s1 P = ( , ) bezeichnet - liege auf der Strecke B C &1 & 2 der Geraden ~l K . VonPausgehend kann ~ entlang = 1 2 der Strecke P C vergrössert werden, ohne dass sich ~l verändert. Dem Punkt C entspricht eine Lösung, bei wel­ cher die Wassermenge rascher aus dem Speichersystem s 2 abfliesst als bei der Lösung gernäss Punkt P. Jedoch gilt für beide Lösungen T = T = s , weil die Absenkung 1 1;0<1 des Systems erst dann beendet ist, wenn auch der obere Speicher abgesenkt ist. Bei der Lösung gernäss Punkt C gilt T < T ; ferner ist hier nicht nur die "Kapazität" 2 1 K , sondern auch K vollständig ausgeschöpft . 1 3

In diesem Fall kann also neben der optimalen Lösung vom Typ A (Punkt P) auch eine optimale Lösung vom Typ B ge­ funden werden (durch vergrössern des Abflusses aus dem unteren Speicher; Punkt C) b) Es sei S/S = die optimale Lösung vom Typ A - als 1 o' ; P ' = ( &~, cx;) bezeichnet - liege a u f der Strecke C D der Geraden ()(l + 0( = K • Von P ' aus kann O(l ent­ 2 3 lang der Strecke P'C bis zum Punkt C (mit 0< = K ) ver­ 1 1 grössert werden. Das ist gleichbedeutend mit einer Ver­ kürzung der Absenkzeit des oberen Speichers (T T ). 1 < 2 Auf der Strecke P ' C gilt ~l + 0( = K = A - - Q 2 3 2 z1 1 konst . , gernäss (5.8) und (5 . 9) . Zum Zeitpunkt t = T ist 1 der obere Speicher um das vorgeschrieben e Volumen ab­ s1 gesenkt . Nachher (t > T ) ist o< = 0; dann vergrössert 1 1 sich der Nettoabfluss ~ entsprechend auf o< = K , 2 2 3 während der Speicherabfluss A unverändert bleibt: 2 A2 = KJ + zl + Ql. - 107 -

Es lässt sich leicht nachrechnen, dass - bei vorgegebe- n em Verhältnis S /S 5' für alle Lösungen (vom 2 1 Typ B) a uf der Strecke P ' C die gleiche Abserutzeit des Speichersystems resul tiert wie für die optimale Lösung vom Typ A (Punkt P ' ), nämlich

T

Dem Punkt C entspricht a l so in diesem Fall eine optimale Lösun g vom Typ B, welche die g l eiche Absenkzeit T des Speichersystems wie d i e optimale Lösung vom Typ A (Punkt P') aufweist, jedoch a u f eine kürzere Einzelabsenkzeit T 1 des oberen Speichers führt. Im Punkt C ist nicht nur die "Kapazität" K , sondern auch K vollständig ausgenützt. 3 1 c) Als Spezialfall ist jene Situation zu betrachten, wo s /s einen sol chen Wert aufweist, dass die Gerade 2 1 s2 = ~~l genau dur ch den Eckpunkt C führt . Dem o< 2 Punkt C entspricht dann eine optimale Lösung vom Typ A, durch die sowohl die "Kapazität" K als auch K vollstän• 1 3 dig ausgeschöpft wird. In diesem Fall sind die optimale Lösung vom Typ A und jene vom Typ B identisch.

Die weiteren Ausführungen des Abschnittes 5.3.5. beschränken sich - der einfacheren Darstellung wegen auf Systeme, in denen zu jedem Speicher h öchstens ein weiterer in Serie vor­ geschal tet ist. Die grundsätzlichen Ueberl egungen lassen sich sinngernäss a u ch auf allgemeinere Systeme übertragen. Im Bild 5 . 9 ist ein System von 6 Sp eichern dargestel lt. Das nachfol­ gend beschriebene Vorgehen wird an diesem Bei spiel erläutert. - 108 -

Bild 5.9 Beispiel eines Systems von 6 Speichern

Für ein Speichersystem sei die optimale Lösung vom Typ A be­ kannt. Diese wird mindestens eine der einschränkenden Unglei­ chungen (5 . 15) als Gleichung erfüllen; z . B. sei :

Dem Wert Ke entspricht eine bestimmte Stelle im Speichersy­ stem (Kontrollpunkt oder Speicherau slass) ; dort wird die - 109 -

Abflusskapazität durch die Lösung ( ~l' ~2 , .•• , ~n) voll­ ständig ausgeschöpft. Die genannte Stelle sol l hier als kri­ tische Stelle bezeichnet werden . Nur in Ausnahmefällen wird es zu einer optimalen Lösung vom Typ A mehr als eine kriti­ sche Stelle geben.

Als Oberlieger bezüglich einer kritischen Stelle werden hier jene Speicher bezeichnet, deren Abfluss irgendwann die kriti­ sche Stelle passieren muss. (Im Bild 5.9 sind beispielsweise die Speicher 1, 2 und 3 Oberlieger, wenn die kritische Stelle im Kontrollpunkt 8 liegt; ist der Auslass des Speichers 5 die kritische Stelle, so sind die Speicher 4 und 5 die zugehörigen Oberlieger.)

2~~~2~~--~E~~~~!~-~~~~~~~~- ~~~-~~~~!~~~~~-!~~- ~~~~~~~~~~ Stellen------

Ist die kritische Stelle aufgrund der optimalen Lösung vom Typ A bekannt, so gelten für die Absenkung der Oberlieger die folgenden Regeln:

R 1 : Gehört zur kritischen Stelle nur ein einziger Oberlie­ ger, so kann der Abfluss aus diesem Speicher nicht weiter vergrössert und seine Absenkzeit nicht verkürzt werden. (Ist im Bild 5.9 beispielsweise der Kontroll­ punkt 3 die kritische Stelle, so kann ~ 3 nicht ver­ grössert und daher T nicht verkürzt werden . ) 3

R 2 Gibt es zur kritischen Stelle mehrere Oberlieger, wel­ che zusammen ein Teilsystem von parallel angeordneten Speichern bilden, so bedeutet die optimale Lösung vom Typ A (des Gesamtsystems) die bestmögliche Beanspru­ chung der Kapazitäten des Teilsystems . In einem sol­ chen Fall könnte nämlich der konstante Abfluss eines Oberliegers nur dann vergrössert werden, wenn gleich­ zeitig mindestens einer der andern Oberliegerabflüsse reduziert würde. Dies würde in gewissen Fällen eine l ä ngere, nie aber eine kürzere Absenkzei t für das - 110 -

Speichersystem nach s i ch ziehen. (Fällt im Bild 5.9 die kritische Stelle z . B. auf den Kontrollpunkt 8 , so bean­ sprucht die optimale Lösung vom Typ A des gesamten Sy­ stems im Teilsystem der Speicher 1, 2 und 3 die Kapazi­ täten auf optimale Weise.)

R 3 Bilden die Oberlieger der kritischen Stelle ein Teilsy­ stem von zwei Speich ern in Serie, so kann der Abfluss aus dem oberen Speicher vergrössert und die Absenkzeit dieses Speichers entsprechend verkürzt werden, gernäss Fall b) im Abschnitt 5.3.5.1. (Liegt in Bild 5.9 die kritische Stelle beispielsweise im Kontrollpunkt 5, so kann der Abfluss aus dem Sp eicher 4 verstärkt werden, nämlich bis zu ~ K min (G , HQ -Q )- .) 4 = 4 = 4 4 4 z4 Der Abfluss aus dem unteren der beiden Spe i cher sowie dessen Absenkzeit erfahren keine Aenderung gegenüber der optimalen Lösung vom Typ A.

R 4 Gibt es zu einer kritischen Stelle mehr als zwei Ober­ lieger, so können d iese als ein Teilsystem von parallel angeordneten Elementen betrachtet werden, sofern zwei Speiche r in Serie als ein einziges Element angesehen werden. (Im Bild 5.9 bilden beispielsweise bezüglich des Kontrollpunktes 9 die Speicher 1, 2, 3 und d i e a l s ein einziges Element zu betrachtenden Spe icher 4 und 5 ein Teilsystem von 4 parallelen Elemente n.) Für d i eses Teilsystem von parallelen Elementen findet zunächst die Regel R 2 Anwendung. Bei jenen E l ementen, welche a u s zwei Speichern in Serie bes tehen, kann - in Anlehnung an die Regel R 3 - der Abfluss aus dem oberen Speicher erhöht werden (gegenüber der optimalen Lösung vom Typ A), und zwar soweit, a l s dies die zugehörigen Kapazitäten zulassen.

Gibt es aufgrund der optimalen Lös ung vom Typ A zwei und mehr kritische Stell en und liegen diese in Serie, so sind die Re­ gel n R 1 bis R 4 sinngernäss für die (in Fliessrichtung ) unter­ ste krit i sche Stelle anzuwenden. Liegen die kritischen Stellen - 111 - zueinander par allel, s o sind für jede von i hnen die genannten Regeln anwendbar.

Die optimale Lösung vom Typ B, welche die gleiche Absenkzeit T des Gesamtsystems wie die optimale Lösung vom Typ A aufweist, wird iterativ ermittelt. Eine Iteration umfas s t die folgenden Schritte: a) Zunächst wird die optimale Lösung vom Typ A bestimmt. b) Bezüg lich der kritischen Stelle im Speichersystem, die s ich aus dem Schritt a) e r gibt, werden die Oberlieger f e stgestellt. Das Absenkprogramm des Teilsystems der Ober­ lieger wird n ach den Regel n R l bis R 4 (Abschnitt 5.3 . 5.3) ermittelt. c) Als Folge d e r Absenkung der Oberlieger fliesst durch die kritische Stelle e in Abfluss, welcher deren Kapazität wä hrend der ganze n Absenkzeit T völlig ausschöpft . Für die Absenkung aller übrigen Speicher (Nicht-Oberlieger) ist mit diesem Abfluss als einer gegebenen Grösse zu rech­ nen. Unterhalb d er kritischen Stelle sind daher in den be­ troffen en Gerinnen die Kapazitäten um den entsprechen den Wert zu vermindern . Sodann wird nur noch das " System der restlichen Speicher" betrachtet (ohne Oberlieger der kri­ tisch e n Stell e) . Für dieses reduzierte System mit zum Teil v e r ä nderten Kapazitäten ist das optimale Absenkpro­ gramm zu ermitte ln, indem wieder beim Schritt a) begonnen wird.

Die Schritte a ), b) und c ) werden sol ange wiederholt, bis k ein " System der restlichen Speicher" me hr existier t , d .h. bis jeder Speich er als Oberlieger einer kritischen Stelle betrach­ tet worden und d as zugehörige Absenkprogramm ermittelt ist (nach den Regeln R 1 bis R 4). Dann ist die optimale Lösung vom Typ B für das Gesamtsyste m gefunden. - 112 -

Ein Speichersystem gernäss Bild 5 . 9 sei so abzusenken, dass die Absenkzeit des Systems mögl ichst kurz wird. Dabei sollen alle Abflusskapazitäten so weit wie möglich ausgenützt werden . Die in Abschnitt 5 . 3 . 2 formulierten Voraussetzungen sollen gelten. Die Systemparameter seien wie folgt gegeben:

Speicher Absenlwolumen Zufluss Auslasskapazität 3 3 i s. [Hio m3] [m /s] G. [m /s] 1. zi 1.

l 10 3 30 2 25 6 55 3 25 5 50 4 20 4 40 5 10 (A4+Q4) 30 6 70 7 170

Natürlicher Abfluss

Differenz von Grenzhochwasser und natürlichem Abfluss in den einzelnen Kontrollpunkte n u:

3 3 u HQU- Qu [m /s] u HQu - Qu [m /s]

l 20 7 60 2 40 8 70 3 22 9 105 4 18 10 280 5 40 6 70 - 113 -

! ~-! ~~!~~~~~ : Gesamtsystem von 6 Speichern

Optimal e Lösung v om Typ A:

Speicher Nettoabfluss Speicherabfluss /\ 3 3 i 0( [m /s] "A. [m /s] l. l.

l 6.3 9 . 3 2 15 . 8 21.8 3 15 . 8 20 . 8 4 12.7 16.7 5 6 . 3 30.0 6 44.3 51.3

Absenkze it: T = T1 = T2 = ... = T6 = 18.27 Tage Kritische Stelle : Au slass des Speichers 5

~1assgebende Ungleichung:

Oberlieger : Speicher 5 und Speicher 4 (zwei Speicher in Serie) Optimales Absenkprogramm der Oberlieger (gemäss Regel R 3 des Abschnittes 5. 3 .5.3), zu Beginn d er Absenkung:

Ci-4 14 Ä4 18 3 [m /s] ö( 5 5 Ä5 30 Speicher-Absenkzeiten: 18 .27 [Tage] T4 = 16. 53 T5 Im Zeitintervall 16 . 53 < t ~ 18 . 27 ist IX4 = 0, Ä4 = 3 und daher Ö( 5 = 19 , Ä5 30 . Die Abflusskapazitäten i n den Kontrollpunkten 9 und 10 sind für die 2 . I teration um den Betrag von A , also 3 5 um 30 m /s , zu vermindern. - 114 -

2 . Iteration : Reduziertes System, bestehend aus den Speichern 1, 2, 3 und 6

Optimale Lösung vom Typ A:

Speicher Nettoabfluss Speicherabfluss 3 3 i [m /s] A. [m /s] O(i 1

1 6 .8 9 . 8 2 17 . 0 23 .0 3 17.0 22.0 6 47 . 6 54. 6

Absenkzeit: 17.02 Tage

Kritische Stelle : Kontrollpunkt 3

Massgebende Ungleichung :

Oberlieger : Speicher 3

Optimales Absenkprogramm für den Oberlieger (Regel R 1): 3 3 17 m /s, 22 m /s 17.02 Tage a 3 = A3 = r3 =

Für die 3 . Iteration sin d die Abflusskapazitäten in den Kontrollpunkten 7, 8, 9 und 10 um den Betrag von A , also 3 3 um 22 m /s, zu vermindern.

~~-!~~!~~~~~ ~ Reduziertes System, bestehend aus den Speichern 1 , 2 und 6

Optimale Lösung vom Typ A :

Speicher Nettoabflu ss Speicherabfluss 3 3 i 0(. [m /s] A. [m /s] 1 1

1 9 . 0 12 . 0 2 22.5 28 . 5 6 63 . 0 70 . 0 - 115 -

Absenkzeit : 12. 86 Tage

Kritische Stelle: Kontrollpunkt 6

Massgebende Ungleichung: 0(6 Oberlieger : Speicher 6

Optimales Absenkprogramm für den Oberlieger (Regel R 1):

12 . 86 Tage

Für die 4. Iteration i st die Abflusskapazität im Kontroll ­ p unkt 10 um 70 m3/s zu vermindern .

4 . Iteration: Reduziertes System , bestehend au s den Speicher n 1 und 2

Optimale Lösung vom Typ A :

Speicher Nettoabfluss Speicherabfluss 3 3 i O(i [m /s] A. [m /s] ~

1 11.1 14.1 2 27 . 9 33.9

Absenkzeit : 10 . 39 Tage

Kritische stelle : Kontrollpunkt 8 (mit reduzierter Kapazität nach der 2. Iteration) 3 Massgebende Ungleichung : 0( 39 m /s cx1 + 2 ~ Oberlieger : Speicher 1 und 2

Optimales Absenkprogramm für die Ob erlieger optimale Lösung vom Typ A (Regel R 2) . - 116 -

Optimale Lösung vom Typ B für das Gesamtsystem von 6 Speichern :

Speicher Speicherabfluss Absenkzcit 3 i Ä. [m /s] T. [Tage] 1 1

1 14 . 1 10.39 2 33 . 9 10 . 39 3 22 . 0 17.02 4 18.0 16. 53 5 30.0 18. 27 6 70.0 12.86

Kürzeste Absenkzeit des Speichersystems :

T 18 . 27 Tage

Gegenüber der optimalen Lösung vom Typ A bringt die optimale Lösung vom Typ B eine Verbesserung; die Abflusskapazitäten lassen zu, dass einzelne Speicher i n wesentlich kürzerer Zeit um d en vorgesehenen Inhalt abgesenkt werden ltönnen als der "kritische" Speicher 5 .

Im Bild 5.10 ist - anhandder Nettoabflüsse ( a 1 , ... , a 6 ) ­ graphisch dargestellt, wie die optimale Lösung vom Typ A und jene vom Typ B voneinander abweichen . - 117 -

5 0 A as 4 0

3 0

2 0 A A a2=a3 a4 0 A A a1=a5 t [Tooe] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

äi [m 3/s]

60.tL-·--·--·-- · --·-~. 50! I l I 40! I I 30 lr··-··-·· -··-··-··, : iI 20 t ! . l ... • • ·· · · · .. · · · · · · • ·····I···· ··I········ 10 r·-·-~------~--~---n·-·-·-·-·-.. · _I -~+·- +-1----il--+1 -+-1 _jL..--+1 __..l-+-1 -~,...;..:LI --+~----· t [Tooe] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Bild 5.10 Absenkprogramme für ein System von 6 Speicher­ seen (Nettoabflüsse q i, nach ( 5 . 14)) oben optimale Lösung vom Typ A unten optimale Lösung vom Typ B - 118 -

5.4 Absenkprogramme mit maximalem Gesamtabfluss

Im Abschnitt 5.3 sind Absenkprogramme gesucht, welche -bei vorgegebenen Absenkvolumina- die Absenkzeit eines Speicher­ systems minimieren. Dabei ist festzustellen , dass jenes Ab­ senkprogramm, welches auf die kürzeste Absenkzeit führt, nicht notwendigerweise den grösstmöglichen Gesamtabfluss aus dem System liefert. In diesem Abschnitt werden nun Absenkprogramme gesucht, durch welche pro Zeiteinheit möglichst grosse Wasser­ mengen aus dem Speichersystem abfliessen. Im weiteren werden Prioritäten für besonders gefährdete Speicher berücksichtigt. Die Absenkvolumina werden nur in Sonderfällen angegeben.Die Voraussetzungen nach Abschnitt 5.3 . 2 gelten auch hier. Insbe­ sondere wird die Vorabsenkung nur während einer beschränkten 1\ Dauer 0 ~ t ~ t betrachtet, innerhalb derer bei jedem Speicher näherungsweise mit ein em konstanten, von der Volumen­ abnahme nicht wesentlich betroffenen Abfluss gerechnet werden kann. Ausserdem wird davon ausgegangen, dass die Absenkung an allen Speichern des Systems gleichzeitig bei t 0 be- ginnt.

5 . 4 .1 Absenkung ohne Prioritäten

~ bezeichne irgend einen Zeitpunkt aus dem Intervall 0 ~ t ~ "t . Si ( 'r) sei jene Volumendifferenz, um die der Inhalt des Speichers i (i = 1, 2, .•• , n) zwischen den Zeitpunkten t = 0 und t = 1: abnimmt:

V (5.27) Si ( ~) a -V(~)

Dann ist n S( T) s. ( ~) (5.28) L l. i=l jene Teilmenge, um die die Gesamtwassermenge im Speichersy­ stem in der Zeitspanne 0 ::s; t ~ Y reduziert wird. - 119 -

Gesuch1 wird ein Absenkpr ogramm, so dass zu jedem Zeitpunkt 1: ~ t gilt: n S( Y) s . ( Y) ?-lax! (5 . 29) L ]. i = l

Weil die Speicherabflüsse als konstant vorausgesetzt sind, folgt aus (5.27) :

Si((:' ) O(i r und daher aus (5.29): n S( 't) 0(. ~l ax ! (für alle r ~ t) TL ]. i=l

Dia~~ !ührt zum folgenden Optimalitätskriterium: n Hax! (5 . 30) L.

Die Nettoabflüsse ~ i sind nach (5.14) definiert. Bei Spei- chersystemen, welche keine serinllen Teilsysteme enthalten, ist (5 . 30) gleichwertig mit ~ A. = Max! Treten auch seri­ i = l ]. elle Teilsysteme a~ so entspricht das Optima- l ität skriterium ~ ~ = Max! jedoch nicht der Zie l set- zung (5.29). Dies ~;nn z .B. an einem Syst em von zwei Speichern l eicht nachgeprüft werden.

Ein Absenkprogramm mit maximalem Gesamtabfluss ist in dieser Studie durch das Optimalitätskriterium (5 . 30) charakteris iert. Die Zielfunktion y( 0(1 , ... , O(n) in (5.30) ist linear; die ~i unterliegen den linearen Eins chränkungen (5.15). Die Opti- mierungsaufgabe ist somit linear . S i e kann ohne Schwierigkei­ ten mit dem b ekannten Simpl ex-Verfahren der linearen Program­ mierung gelöst werden [7]. - 120 -

Es sei ein System von zwei parallelen Speichern (gemäss Bild 5 .l)mit den g leichen Systemparametern wie im Beispiel 1, Ab­ schnitt 5 . 3 . 4.3, gegeben. Dieses System soll so abgesenkt werden, dass der gesamte Nettoabfluss 0< + cx maximal 1 2 ist . Bezüglich der abzusenkenden Volumina sei nichts vorge­ schrieben.

Die Lösung dieses Optimierungsproblems ist im Bild 5 . 6 veran­ schauli cht. Sie ist nicht eindeutig , denn alle Punkte zwischen 3 C und D auf d er Geraden 0( 0( K 72 m / s maxi­ 1 + 2 3 = mieren d i e Zielfunktion y ( 0( , 0( ) = 0( + 0( und erfül­ 1 2 1 2 len die Einschränkungen.

3 3 Punkt C : 0<1 45 m /s , Al 50 m /s 3 3 0(2 27 m /s, A2 30 m /s

3 3 Punkt P 0(1 40 m /s , Al 45 m /s 3 3 0< 2 32 m /s , A2 35 m /s

3 3 Punkt D 0(1 35 m /s, Al 40 m /s 3 3 0< 2 37 m /s A2 40 m / s

Dass ein Absenkprogramm mit maximalem Gesamtabfluss nur in Ausnahmefällen zugleich die kürzeste Absenkze it eines Spei­ chersystems bei vorgeschriebenen Absenkvolumina Si liefert, kann an diesem Beispiel gezeigt werden . Wenn der erste Spei­ cher um 50 Mio m3 und der zweite um 40 Mio m3 abge­ s1 = s2 = senkt werden soll (wie im Beispiel l , Abschnitt 5 . 3 . 4 . 3) , so liegt im Punkt P die optimale Lös ung vom Typ A mit der kürze- - 121 -

sten Absenkzeit des Systems, nämlich T T T 14.47 Ta­ = 1 = 2 = ge . Den Punkten C und D entsprechen Absenkprogramme, bei wel­ chen zwar mit maximaler Nettoabfluss-Summe 0< + 0( begon­ 1 2 nen wird . Bei vorgeschriebenen Absenkvolumina führen jedoch beide Lösungen auf T ~ T , nämlich 1 2

Punkt C : Tl 12.86 Tage T 17.15 Tage T2 17. 15 Tage }

Punkt D Tl 16 . 53 Tage T 16. 53 Tage T2 1 2.51 Tage }

Die den Punkten C und D entsprechenden Absenltprogramme weisen also eine grössere Absenkzeit des Speichersystems auf als die optimale Lösung vom Typ A (Punkt P) .

Das l ineare Optimierungsproblem, basierend auf dem Optimali­ tätskriterium (5.30) und den Einschränkungen (5 . 15), hat im allgemeine n keine eindeutige Lösung. Dieser Befund kann fol­ gendermassen begründet we rden.

Der Rand des zulässigen Lösungsbereiches ergibt sich aus den Einschränkungen (5 . 15). Einzelne Teilstücke vom Rand des Lö• sungsbereiches werden durch Gleichungen der Form

K. ( j 1, 2, ... , m) (5.31) J i =l beschrieben . Haben alle diese Gleichungen nur je ein x .. = 1 J1 (all e übrigen x .. = 0), so ist der Lösungsbereich ein "ach- J1 senparalleles Prisma" im lRn. Die Ziel funktion y = cx + ... + o<;n 1 wirddannirr der vom Nullpunkt am weitesten entfernten Prisma­ ecke angenommen; die Lösung ist eindeutig. (Im vorangehenden 3 Beispiel würde dies zutreffen, wenn K > 82 m /s wäre, statt 3 3 K 72 m /s wie im Bild 5.6. Dann ergäbe sich eine eindeutige 3 = - ·122 -

3 optimale Lösung, nämlich in der Ecke mit o< 45 m /s , 1 = 3 C( 3 7 m /s). Wenn mindestens eine der Gleichungen (5.31) 2 = zwei oder mehr x .. = 1 aufweist , hat das zugehörige Polyeder Jl. des zulässigen Lösungsbereiches im Rn mindestens eine "Kan- te", welche parallel ist zur Hyperebene y = cx1 + o< 2 + ··· + O(n der Zielfunktion . In diesem Fall hat das entsprechende line­ are Optimierungsproblem keine eindeutige Lösung . (Die Verhält• nisse sind dann analog zu denen im Bild 5. 6, wo die Zielfunk­ tion y = or + o< beim Naximieren mit der Einschränkung 1 2 3 o<1 + cx 2 K3 72 m /s zusammenfällt.)

Wenn die optimale Lösung nicht eindeutig ist, so ist unter den möglichen Lö s ungen eine solche anzustreben, welche sich durch grosse Abflüsse aus den b esonders gefährdeten Stauseen auszeichnet, damit die Lage bei den kritischen Speichern mög• lichst rasch entschärft wird.

5.4.2 Absenkung mit Prioritäten

In diesem Abschnitt wird jener Fall betrachtet, wo ein bestimm­ ter Zeitabschnitt - ein Absenkintervall von der Länge T zur Verfügung steht, innerhalb dessen ein Speichersystem abge­ senkt werden kann. Bis zum gegebenen Zeitpunkt t = T soll dabei die Gesamtwassermenge im Speichersystem möglichst stark reduziert werden, also

S(T) Max! ( 5 .32)

Die Speicherabflüsse werden im Intervall 0 ~ t ~ T als kon­ stant vorausgesetzt. Daher ist Si (T) = O(i T.

Bei gewissen1 besonders gefährdeten Speichern j soll ausser­ dem garantiert sein, dass sich der Stauinhalt im Zeitintervall 0 ~ t ~ T um e ine bestimmte ~lindestmenge Sj vermindert. An­ dererseits sollen d i e Abflüsse aus weniger gefährdeten (evtl. - 123 - nur teilgefüllten) Stauseen die Gerinnekapazitäten nicht über• mässig beanspruchen, insbesondere nicht zum Nachteil der stär­ ker gefährdeten Anlagen. Daher wird für die weniger bedrohten Speicher k eine obere Grenze Sk für das abzusenkende Volu­ men vorgeschrieben. Dadurch soll ausgedrückt werden, dass es genügt, wenn bis zum Zeitpunkt t = T die Stauinhalte der letztgenannten Seen um Sk reduziert werden.

Zusammenfassend stellt s ich für die eben beschriebene Ziel­ setzung die folgende l ineare Optimierungsaufgabe: n y(olax! i=l mit den Einschränkungen (5.15) und zusätzlich, für gewisse , besonders gefährdete Speicher,

(5.33) sowie, für gewisse, weniger gefährdete Speicher, sk cxk ~ - T- (5.34)

Die Absenkzeit T ist gegeben. Die Ungleichungen (5.33) und (5 . 34) drücken die Prioritäten der einzelnen Speicher in b ezug auf die Absenkung aus . Sie schräru{en den Bereich der zulässigen Lösungen gegenüber (5 .15) zusätzlich ein.

Die Mindestmengen Sj ' um welche die besonders gefährdeten Speicher bis zum Zeitpunkt t = T abzusenken sind, sollen aufgrund von Ueberschlagsrechnungen festgelegt werden. Wenn einzelne Sj zu gross angesetzt werden, hat das lineare Op­ timierungsproblem keine Lösung. Wenn eine Lösung existiert, ist sie möglicherweise nicht eindeutig. Für die Mehrdeutigkeit der Lösungen gelten a u ch hier die Gründe , welche in Abschnitt 5. 4. 1 . 2 angeführt sind. Als Lösungsmethode für das lineare Op­ timierungsproblem bietet sich wiederum das Simplex-Verfahren an. - 124 -

Das im Abschnitt 5.3.5.5 beschriebene Speichersystem sei so abzusenken , dass innert T = 10 Tagen s ich die Gesamtwasser­ menge im Speichersystem um den grösstmöglichen Betrag redu­ ziert. Ausser den Si soll e n sämtlich e Systemparameter die gleichen Werte haben wie im Abschnitt 5 . 3 . 5 . 5 . Bezüglich der abzu senkenden Speichervolumina Si bis zum Zeitpunkt t = T = 10 Tage werden die Prioritäten fo l gendermassen gesetzt:

m3 d.h. 3 sl ~ 5 Mio ' 0(1 t:; 5. 79 m /s 3 3 ;

Mit Hilfe des Simpl ex-Verfahrens l ässt sich die folgende opti­ male, nicht eindeutige Lösung berechnen :

Speicher Nettoabflu ss Speicherabfluss 3 3 i o(. [m /s] A. [m /s] l. l.

1 5.79 8 .79 2 34.0 40.0 3 15.0 20.0 4 14.0 18.0 5 5 . 0 30 .0 6 63 . 0 70 . 0

Eine Kontrol le der Einschränkungen bei bekannter Lösung zeigt, dass die Bedingung s 1 ~ 5 I>1io m3 nachträglich etwas ge­ lockert werden kann. Statt 0(1 5 .79 m3(s kann 0( 7 m3/s = 1 = - 125 -

3 bzw. A1 = 10 m /s zugelassen werden, ohne dass deswegen eine Abflusskapazität überschritten würde oder der Abfluss aus ei­ nem stärker bedrohten Speicher reduziert werden müsste . Die so gefundene Lösung unterscheidet sich von der optimalen Lö­ sung vom Typ B (kürzeste Absenkzeit des Speichersystems unter vollständiger Ausnützung der Kapazit äten) nur in den Abflüs­ sen aus den ersten drei Speichern.

We n n es dar um geht, aus einem Teilsystem, bestehend aus be­ stimmten, besonders bedrohten Speichern, pro Zeiteinheit mög­ lichst grosse Wassermengen wegzuführen , so kann den betreffen­ den Speichern auf die nachfolgend beschriebene Art Priorität eingeräumt werden .

Es wird zunächst nur das ausgezeichnete Teilsystem betrachtet und die folgende Optimierungsaufgabe gelöst :

Max ! (5 . 35)

mit den Einschränkungen (5 . 15) und evtl . solchen der Form (5 . 33) und (5.34) . Sowohl in (5.35) als auch in den Einschrän• kungen durchläuft i nur jene Indexwerte, welche den Speichern des Teilsystems entsprechen. Die resultierenden Speicherabflüs­ se des Teilsystems werden zu den natürlichen Abflüssen in den davon betroffenen Gerinnen addiert . Entsprechend vermindern sich die noch fre i en Abflusskapazitäten in den Kontrollpunk­ ten dieser Gerinne . Beim weit eren Vorgehen braucht dann nur noch jenes Restsystem betrachtet zu werden, welches sich aus dem gesamten Speichersystem nach Ausschluss des zu Beginn aus­ gezeichneten Teilsystems ergi bt . Für dieses Restsystem ist - im Rahmen der noch freien Abflusskapazitäten - ein optima­ les Absenkprogramm zu bestimmen. Dieses kann, je nach Bedarf, auf die kürzeste Absenkzeit oder a uf den maximalen Gesamt­ abfluss ausgerichtet sein. - 126 -

6. "MASSIVE" VORABSENKUNGEN

Im 5 . Kapitel ist eine Reihe von optimalen Absenkprogrammen beschrieben worden unter der Annahme, dass während des ganzen Absenkprozesses für jeden Speicher im System mit einem kon­ stanten Abfluss gernäss (4.44) gerechnet werden kann. Diese Voraussetzung ist dann gerechtfertigt, wenn die relativen Ab­ senkungen ß. = S./V . (i = 1 , 2, .• • , n) einen von der to- 1 1 a,1 A A lerierbaren Fehlergrenze c abhängigen Betrag f3·" nicht A 1 überschreiten . Bei gegebenem c können für alle Speicher im System die (fi.... " anhand der Bilder 4.3a, 4.3b und 4.3c wert- mässig festgelegt werden.

In diesem Kapitel werden nun "massive" Vorabsenkungen betrach- tet, d.h. solche, wo bei mindestens einem Speicher j3i > j3~"' ist . Die übrigen Voraussetzungen aus dem Abschnitt 5.3 . 2 sol­ l en weiterhin gelten . Um die Ausführungen einfach zu halten, wird zudem für alle Speicher H 0 vorausgesetzt (siehe Ab- gs = schnitt 3.2). Es stellt sich nun die Frage, wie gross die Ab- flüsse aus den einzelnen Anlagen sein sollen, damit relativ grosse Speicherinhalte -- gemessen a n den betreffenden Anfangs­ volumina - auf optimale Art abgesenkt werden können.

6 .1 Einzelspeicher

Beim Einzelspeicher sind die Auslässe soweit zu öffnen, als dies die massgebenden Abflusskapazitäten (Auslasskapazität, Gerinnekapazität in Kontroll punkten) zulassen (siehe Abschnitt 4 . 2). Dann wird die Spei cherabsenkzeit T minimal.Die Auslass­ kapazität G = Gb + Gg variiert mit dem Speicherinhalt {siehe Abschnitt 4.3.2). Bei Absenkungen im Bereich 0 ~ ß ~ ß" ändert sie sich nur wenig; in solchen Fällen kann daher nähe• rungsweise mit einem konstanten Speicherabfluss gerechnet werden. - 127 -

Wenn ein abzusenkendes Vo lumen S so gegeben ist, dass s A ß - v­ > ß" (6 .1 ) a ist, muss unterschieden werden, ob der Speicherabfluss durch die Kapazität der Speicherauslässe oder durch eine Gerinne­ kapazität massgebend eingeschränkt wird.

6 .1.1 Konstante r Speicherabfluss

Wie stark sich die Kapazität G der Speicherauslässe im Laufe des Absenkprozesses mit dem abnehmenden Speicherinhalt V verringert, kann aufgrund der Formeln (4.2 ) und (4.4) bzw. der Bilder 4 .la und 4.lb abgeschätzt werden. Wenn vorauszuse­ h en ist, dass G(V) wäh rend des ganzen Vorganges nicht klei­ ner wird als HQe - Qe , die geringste der fre i en Gerinneka­ pazitäten, so ist diese Gerinnekapazität massgebend und es kann mit konstantem Speicherabfluss gerechnet werden. Es gel­ ten dann die Ausführungen im Abschnitt 4 . 3 . 1 . Der maximal mög­ liche, konstante Speicherabfluss A = H~ - Qe wird durch eine geeignete Regulierung des Grundablasses aufrechterhalten. Während des Absenkprozesses nimmt das Speichervolumen monoton ab ; entsprechend muss der Grundablass s ukzessive stärker ge­ öffnet werden, so dass A konstant bleibt :

A vl/2b cg

Im g l eichen Masse, wie V abnimmt, muss Cg zunehmen.Die g r össt­ mögliche Grundablassöffnung legt eine obere Schranke für C g fest : cg ~ c g,m

6 .1. 2 Variabl er Sp eicherabfluss

Es soll wieder HQt - Qe die kleinste der freien Gerinneka­ pazitäten und G(V) die dem Speicherinhalt V entsprechende Auslasskapazität bezeichnen. - 128 -

We nn G(Va) < HQe - Qe ist, wird der Speicherabf luss A während des ganzen Absenkvorganges durch G(V) beschränkt . Es ist denkbar, dass G(Va) ~ HQe - Qe ist, jedoch G(Ve) < HQ e - Qe vorausgesehen werden kann (siehe Bild 6 . 1) . In beiden Fällen ist der grösstmögliche Speicherabfluss am Ab­ senl~ende kleiner als beim Absenkbeginn, entsprechend der Ab­ nahme der Auslasskapazität G(V) im Laufe der Absenkung. In solchen Situationen kann die Berechnung des Absenkvorganges in mehrere Schr itte aufgeteilt werden , wobei der Speicherab­ fluss innerhalb jedes einzelnen Schrittes als konstant ange­ nommen wird . Die Zahl der Schritte sei i m folgenden mit q be­ zeichnet.

A = Sp•ich•r - a bfluss

--- HOp = Op

ß=re lative 0 0.2 0. 4 0,6 0.8 1.0 Absonkung

Bild 6 . 1 Gr össtmöglicher Speicherabfluss A in jenem Fall , wo G(Va) > HQt - Qe und G(V)e < HQt - Qt

Das Aufteilen eines Absenkvorganges in q Schritte wird vor al­ lem im Hinblick auf "massive" Vorabsenkungen von Speichersy­ stemen (folgt im Abschnitt 6 . 2) behandelt. Für die Vorabsen­ kung eines Einzelspeichers bedeu tet die schrittweise Berech­ nung eines Absenkvorganges l ediglich ein Näherungsverfahren, um die kürzeste Absenkzeit ohne numerische Integration der Kontinuitätsgleichung zu bestimmen. Die optimale Steuerung des Speicherabflusses wird davon nicht betroffen. Unabhängig - 129 - von der Zahl und der Grösse der Schritte muss für die rasche­ ste Vorabsenkung ein es Einzelspeichers während des ganzen Ab­ senkvorganges der maximal mögliche Speicherabfluss eingestellt werden . Dieser ist entweder konstant = HQe - Qe oder nimmt mit G(V) stetig ab .

Es sei q s = ~ s(k) (6.2) k= l

S(k) bezeichnet dabei jene Wassermenge, um die der Speicher­ inhalt im k- ten Schritt reduziert wird.

Die Beziehung (6.2) kann geschrieben werden als q s L,dklv~k) ( 6 . 3) k=l

Da be·1 1"st V(k)a das Volumen im Speicher zu Beginn des k-ten Schrittes, nämlich:

v< l) V a a (6 .4 ) k-1 v(k) s(j) V (k 2, 3' ... ' q) } a a -L j=l

Für die einzelnen Schritte betragen die relativen Absenkungen s(k) (k = l, 2, . •. , q) (6 . 5)

Die rechnerische Aufteilung des Absenkvorganges ist so vorzu­ nehmen, dass ..... /1 ~ (3 (k l, 2, ... ' q) (6 . 6) - .130 -

Die relativen Absenkungen ß(k) ko··nnen - zuml.·ndest fu··r d1."e ersten q - l Schritte g leich gross gewähl t werden:

ß* (k = l, 2, . . . , q- l) (6. 7)

Beim Festlegen d es Werts von (3* ist die Bedingung (6 . 6) zu beachten; es muss also j3* !S; (3" " sein . - Die Verwendung eines konstanten We r ts ß * i n me hre r en aufeinanderfolgenden Berechnungsschritten bedeutet, dass die zugehörigen Absenkvo­ lumina immer k l einer werden, aufgrundder Definition (6.5).-

Für die einzelnen Schritte erhält man - bei Verwendung der relativen Absenkung ß * die folgenden Absenkvol umina:

s(l) (3* V~ l) p*va

s(2) ß* v(2) V ( l a a - (:1*) ß*

s(3) V ß*) (3* ] p* ß * v~3) a [l - (l -

Es sei k s(k) s(j) (6.8) tot L j = l das Total des in den ersten k Schritten abgesenkten Volumens . Dieses beträgt nach dem l. Schritt : s(l) s(l) tot = Vafl* nach dem 2. Schritt: s(2) s(l) + s(2) va[ß*+(l-p*)p*J tot = nach dem 3 . Schri tt: s(3) s( l ) + s( 2 ) + s(3) tot Va[ß*+(l-p*)ß*+(l-(1-ß*)ß * )~*]

Es sei (k) -v-­Stot (6.9) a - 131 - die relative Absenkung n ach k Schritten, also das Verhältnis zwischen dem in den ersten k Schritten abgesenkten Volumen und dem Speicherinhalt zu Beginn des ganzen Absenkprozesses . Bei einem festgewählten (3* sind soviele Schritte durchzu­ führen, dass

1-<(q) s fwtot ;;::: ß - v­ (6 . 10) a

ß(k) nach dem k-te n Schritt tot ß* = k = l k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6

0.1 0 .1 0 . 190 0 . 271 0 . 344 0.410 0 . 469 0.15 0.15 0.278 0.386 0.478 0. 556 0.623 0 . 2 0.2 0.360 0.488 0.590 0; 672 0.738 0.25 0 . 25 0.438 0.578 0 . 684 0.763 0.822 0.3 0.3 0. 510 0 . 657 0 . 760 0.832 0.882 0.35 0.35 0 . 578 0.725 0.822 0.884 0.925 0.4 0.4 0 . 640 0.784 0 . 870 0 . 922 0.953 0.45 0.45 0.698 0.834 0.909 0.950 0.972 0.5 0.5 0.750 0.875 0.938 0 . 969 0.984

Tabelle 6 . 1

In der Tabelle 6 .1 sind für verschiedene Werte von ß* die r esultierenden I""~( totk) n ach k Schritten a ngegeben. Anband die- ser Tabelle kann bei bekanntem {?* die minimale Anzahl q d er Schritte, we lche zur Erfüllung d er Bedingung (6 . 10) not­ wendig i s t, bestimmt werden. Nach 4 Schritten mit je einer re­ lativen Absenkung von ß* = 0.35 beträgt z.B. die totale re­ lative Absenkung ß~~~ = 0 . 822 (siehe Tabelle 6.1 : 6 . Zeile, 5. Kolonne (k = 4) ) .

Ein zweites Beispiel: Es sei eine relative Absenkung eines Speichers um mindestens 75 % des Anfangsvolumens verl a ngt, d . h. ßÜ~ ;;::: 0 . 75 . Die gewünschte Genauigkeit in der Be ­ stimmung der Ab senkzeit e rmögliche eine r e l ative Absenkung - 132 -

von höchstens ft" 0 . 25 pro Schritt. Die Minimalzahl q d er Schritte , i n die der Absenkvorgang aufgeteilt werden mu ss, kann wie folgt bestimmt werden. Damit möglichst wenig Schritte notwendig sind, wird ß* ma­ ximal gewählt , nämlich (3 * = pn = 0.25 . Diesem Wert ent­ spricht in der Tabelle 6 . 1 die 4. Zeile . In dieser Ze ile zeigt sich , dass es mindestens 5 Schritte mit e iner r elativen Absenkung von je ß "' brau cht, bis ,ß~~l > 0.75 ist ( (1~~~ = 0 . 763). Die Minimalzahl der benötigten Schritte be­ trägt also q = 5 (bei (3 "' = 0 . 25).

Wenn in q Schritten der Spei cherinhalt genau um die Wassermon­ ge S (und nicht u m eine grössere Menge) abgesenkt werden soll, muss die Bedingung (6 .10) als Gleichung erfüllt sein. Demzufolge wird bei f est gewähltem j3 * normalerwei se im l etz­ ten , d . h. im q-ten Schritt

sein, weil ß(q) bestimmt ist durch das nach q - 1 Schritten verbleibende Absenkvolumen q- 1 va - L s(k) k=l und das Anfangsvolumen V(q) a s(q)

~a

Es ist mö gl ich, (3 * gerade s o festzulegen, dass auch (J(q) = (3 * ist. Wenn q gegebe n ist, führt dies auf eine Gleichung q - ten Grades in j3 * , z . B. für q = 2 a uf

(2) s = stot ' d.h .

De n Gleichungen im Anschluss an (6 . 8) kann entnommen werden, wie die entsprechende Bestimmungsgleichung f ür (3 * bei ge­ gebenem q > 2 he rzuleiten ist. Für q ~ 6 l ässt sich der h ier gesuchte Wert von p* numerisch auch mit Hilfe von Tabelle 6 .1 - 133 -

ermitteln (nötige nfalls mit Interpolation).

Die Kapazität der Speicherauslässe beträg t G = Gb + Gg. Die Kapazität Gb des Betriebsauslasses wird als konstant angenom­ men (während der gesamten Absenkung, siehe Abschnitt 4.2). Die Kapazität G des Grundablasses verringert sich mit abneh­ mendem SpeicherYnhalt V gernäss (4 .7). Es bezeichne G(k) die Kapazität der Speicherauslässe zu Beginn des k-ten Schrittes des Absenkvorganges. Für Speicher mit H 0 beträgt diese gs = Kapazität

( 6 . 11)

Die Gerinnekapazitäten und die natürlichen Abflüsse in den Kontrollpunkten bleiben nach Voraussetzung während der gesam­ ten Absenkung konstant (siehe Abschnitt 5 . 3 . 2).

Wenn beim Absenkbeginn die Kapazität der Speicherauslässe be­ reits geringer ist als die freie Gerinnekapazität in jedem Kontrollpunkt, so wird bei jedem Schritt der Speicherabfluss durch die (abnehmende) Auslasskapazität beschränkt. Liegt hin­ gegen zu Beginn des ersten Schrittes der "Engpass" für den Ab­ fluss in einem Kontrollpunkt , so ist es durchaus möglich, dass in ein em späteren Schritt d i e Kapazi tä.t der Auslässe kleiner wird als jene im erwähnten Kontrollpunkt. Daher muss zu Be­ ginn von jedem Schritt überprüft werden, wo die massgebende Einschränkung für den Speicherabfluss liegt.

Die kürzeste Absenkzeit T ergibt sich dann, we nn j ederzeit der grösstmögliche (zulässige) Speicherabfluss eingestellt wird. Zur Ermittlung von T kann während des k- ten Schrittes (k = l, 2, ••• , q) näherungs weise mit einem konstanten Spei­ cherabfluss A(k) gerechnet werden. Dabei wird A(k) dem grösstmöglichen Spe iche rabfluss zu Beginn des k-te n Schrittes gleichgesetzt. - 134 -

Die kürzeste Absenkzeit T für die gesamte Absenkung kann demnach vie folgt bestimmt verden: q (6.12) T L T{k) k=l Darin bedeutet T(k) die Absenkzeit im k-ten Schritt; diese berechnet sich vie folgt:

( 6 . 13)

vobei

falls

falls

(HQt - Qe kleinste der freien Gerinnekapazitäten in einem Kontrollpunkt ; G(k) Kapazität der Speicherauslässe zu Be- ginn des k-ten Schrittes , gernäss Beziehung (6 . 11) ) .

Für einen Einzelspeicher soll die kürzeste Absenkzeit bestimmt verden.

Die verschiedenen Systemparameter seien vie folgt gegeben:

Vo l umen beim Absenkbeginn : 60 Mio m3 abzusenkendes Vo lumen : 43 ~lio m3 Beckenform, charakt . Beivert : 1.8 grösster Stauinhalt : V 90 ~lio m3 max 3 Grundablasskapazität bei Vmax Gg{Vmax> 95 m /s 3 Kapazität des Betriebsau slasses : Gb 21 m /s 3 mittlerer Zufluss : z 10 m /s 3 Knappste Gerinnekapazität: HQe - Qe 105 m /s - 135 -

Der Grundablassaustritt und der tiefste Seegrund sollen sich auf gleicher Höhe befinden, H 0. Für die Approximation gs = der genauen Absenkzeit d urch die Näherung (4. 35) werde ein ". relativer Fehler von höchstens E. = 5 % toleriert.

s Relative Ab senkung : y- 0 . 72 a Bestimmung der Kapazit ä t der Auslässe beim Absenkbeginn:

3 C = 0 . 586 s -l m - ilf2 b (Formel(4.8)) g ,m 3 G (V ) = 84.82 m /s (Formel (4 . 7),Hgs 0) g a 3 G(V ) = G (V ) + Gb 105.82 m /s a g a 3 Es ist G(Va) > HQe - Qe = 105 m /s . Die Grundablasskapazi­ tät wird jedoch im Laufe des Absenkprozesses abnehmen : G (V) ~ 0 . 7 G (V) (sieh e Bild 4. l a, mit = 0. 7 2, g e g a ß b = 1. 8) ; daher wird G (Ve) < HQe - Qt • Beim Absenkbeginn ist F = 0 . 9 (Formel (4.31)) ; bei ein er Fehlertol eranz von 21 E = 5 % ist

= 0 . 4 ( f ür b 1.8, Bild 4 . 3b )

A Wegen G(V e) < HQe - Qe und (3 > f3" wird die Absenkung i n mehreren Schritten ber echnet. Ge rn äss Tabelle 6 . 1 kann mit

ß* 0. 35 die Berechnung in 3 Schritten durchgeführt werden.

----l. Schritt------60 Mio m3 Anfangsvolumen : Va 3 Absenkvolumen : s(l)= p* va 21 Mio m 3 massgebende Einschränkung: A(l)~ HQ t - Qe 105 m /s 3 Speicher abfluss: A( l ) 105 m /s - 136 -

Absenkzeit: 2.559 Tage

3 Der Speicherabfluss A(l) 105 m /s setzt sich additiv zu- 3 3 sammen aus Qg 84 m /s und Qb 21 m /s . 3 Bei einem Anfangsvolumen Va = 60 Mio m muss der Grundablass soweit geöffnet werden, dass c Q ;vl/2b 0 . 580 s - l wird (C < C ) • g g a g g,m

Der Speicherinhalt nimmt im Laufe des Schrittes ständig ab. Damit Qg konstant bleibt, ist deshalb Cg entsprechend monoton zu vergrössern (solange dies möglich ist) .

-----2 . Schritt----- v(2) 3 Anfangsvolumen: =V - s(l) ~1io m a a 39 Absenkvolumen: s(2) = ß* v~2) 13 . 65 Mio m3 2 Kapazität des Grundablasses G (v( )) 7 5 . 25 m3/s g a 2 Kapazität der Auslässe G(V( )) a 96. 25 m3/s

2 Es ist G(V( )) < HQ - Q, • Im zweiten Schritt wird deshalb a t o näherungs weise mit dem konstanten Speicherabfluss

3 96 . 25 m /s gerechnet ( Grundablassöffnung c ) . g , m

Absenkzeit: 1 . 832 Tage

v(2) - s(2) 3 Anfangsvolumen: a 25 . 35 Mio m 2 3 Absenkvolumen(Rest) : s - s(l) - s( ) 8 . 35 ~1io m s(3) relative Absenkung : -;m- 0 . 329 a (< ß *) - 137 -

3 3 Kapazi t ä t des Grundablasses : G (V ( )) 66.73 g a m /s 3 3 Kapazität der Au slässe : G(V( )) 87 . 73 a m /s 3 Speicherabfluss : A (3) 8 7 . 73 m /s

Absenkzeit: 1 . 243 Tage

Dauer des gesamten Ab senkvorganges :

T 5 .63 Tage

Da der Speicherabfluss im 2 . und 3. Schritt nicht konstant gehalten werden kann (V nimmt ab; C C ) , wird die wirk- g = g ,m l iehe Gesamt-Absenkzeit etwas l ä nger sein als der eben b e - rechnete Wert von T, jedoch h öch sten s um 5 %.

Würde für den ganzen Absenkprozess mit einem einzigen, als 3 konstant a ngenommen e n We rt A = 105 m /s (Anfangsabfluss) ge­ rechnet, so ergäbe sich e ine merkl ich zu kurze Absenkzeit von 5 . 24 Tagen.

6 . 2 Speichersysteme

6 .2.1 Absenkprogramme mit kürzester Absenkzeit

Es wird vorausgesetzt, dass für jeden Speicher im System das Anfangsvolumen V . und das abzusenkende VolumenS. ( i = 1, a ,1 1 2 , .. • , n ) bekannt s ind. Daraus lassen sich die rel ativen Ab- seru{ungen ß· = S./V . berechnen, die natürlich unterschied- l. 1 a, 1. ;t lieh gross sein können . Während im 5 . Kapitel ßi ~ ßi' (i = 1, 2 , . . . , n) vorausgesetzt ist, werden nun auch stärker e Absenkungen zu gelassen, n äm lich sol che, die bei mindestens .... e inem Speicher fli > ß'i. vorsehen . Im folgenden wird be- schrieben, wie das mit der Bestimmung der kürzesten Absenk­ zeit des Speichersystems verbundene Optimi e rungspr oblem unter diesen veränderten Vorau ssetzungen zu lösen i st . 138-

Bei j e ne~ Speichern, die nur relativ wenig abgesenkt werden ( ß . ~ ß 1!), ä ndern s ich die Abflüsse - gleichbleibende 11 1 1 Offnung d er Aus l ässe vorausgesetzt - praktisch nicht. Diese Speicher werden deshalb a uch hier mit kon stante n Abf lüssen beim Bestimmen der kürzesten Absenkzeit berücksichtigt .

~uch für ,.. die übrigen , stärker abzusenkenden Speicher ( ßi > ß'i. ) kann der Fall gegeben sein, dass konstante Ab- f lüsse zur kürzesten Absenkzeit des Systems führen.Für diese Speiche r s ind zunächst d ie Auslasskapazitäten am Absenkende zu bestimmen (G(Ve) Gb + G (V) ; Berechnung von G (V ) g e g e mit Formel (4.7) ). Wenn die Auslasskapazitäten nicht kleiner sind als die entsprechende n knappsten Gerinnekapazi tä'tcn un­ terhalb der Speich er , dann s i nd diese Gerinnekapazitäten mass­ gebend. Das Absenkprogramm mit der kürzesten Ab senkzeit kann somit aufgrund von konstanten Speicherabflüssen bestimmt wer­ den , wie dies im Abschnitt 5.3 beschrieben ist.

Bei v i e l e n Speichern i st tatsächlich der Grundablass so gro ss dimensioniert, dass der Speiche rabflu ss au ch b e i " massiven" Abserutungen nicht durch die Kapazität d er Auslässe , sondern durch das Fassungsvermögen der Flussgerinn e massge bend einge­ schränkt wird . In einem solchen Fall mu ss der Abfluss dadurch konstant gehalten werden, dass bei a bnehme ndem Speicheri nha lt der Grundabl ass e ntsprechend stärker geöffnet wird,

,.. Wenn bei ein em Speich er mit ßi > (3'1. die Auslass kapazitä t am Absenkende kleiner ist als die knappste Gerinnekapazität unterhalb des Speichers , a lso G(Ve) < HQe - Qe , dann wird er im folgenden als "Speich er mit variablem Abfluss" b ezeich­ net. We nn im Speich e r syst e m e in oder mehrere"Speicher mit variablem Abfluss" vorkommen, wird die Berec hnung i n me hrere , aufeinanderfolgende Schritte unterteilt. Jeder Schritt umfasst - 139 - ein Absenkproblem, wie es im Abschnitt 5 . 3 beschrieben ist. Die Zahl der Schritte sei wieder mit q bezeichn et.

Verfahren A a) Flir jeden "Speicher mit variablem Abfluss'' ist anhand der Tabelle 6.1 jene relative Absenkung (?f zu ermitteln, welche dazu fUhrt, dass in möglichst wenig Schritten f.? (k) >-: l-?. · t (F" · d · · d Rt und / ~to t, i ,__ r:1 ~s . ur Je es ~ Sln I k ~(k) gernäss (6 . 7) und (6.9) definiert. ) Nun wird /~tot,i jener Speicher herausgesucht, für dessen Vorabsenkung am meisten, nämlich q Schritte notwendig sind. Er trage die Nummer r. (Wenn mehrere Speicher mit der g l eichen Schritt­ zahl q vorkommen, wird unter diesen jener mit dem gröss• ten Wert von ß1 gewählt. ) b) Das Absenkvolumen Sr des Speichers r wird anband des Wertes p; in q Summanden aufgeteilt (wie beim Einzelspei­ cher im Abschnitt 6 . 1 . 2 . 1) : q s (6.15) r =~ k= l c) Verhä l tni szahlen: s(k) x(k) = _r_ (k = 1, 2 , ... , q) (6.16) Sr d) Die abzusenkenden Volumina aller übrigen Stauseen des Sy­ stems werden im gleichen Verhältnis wie Sr in q Summanden aufgeie i l t : q s. s(k) (6 . 17) ~ L ~ k= l mit

s~k) x(k) (k 2, . ... , q) (6 . 18) ~ Si 1' (i 1' 2, . . .. ' n) - 140 - e) Für k = 1 , 2 , . . . , q ist je ein Absenkprobl em für das Sy­ stem von n Speichern zu l ösen. Im k- ten Schritt sind die Speicher um s!k) (i = 1, n) a bzusenken, und zwar ]. 2j ... , so, dass die Absenkzeit T(k des Systems minimal wird . Dabei ist von den folgenden Anfangsvolumina auszugehen : k-1 v(k) V . (6.19) a,J. a , J. L "= l J (i = 1, 2, ... , n)

Die kürzeste Absenkzeit T(k) im k-te n Schritt wird durch die optimale Lös ung vom Typ A bestimmt. Diese liefert die Speicher a bflüsse A!k) (i = 1 , 2 , .•. , n). ]. f) Die Absenkzei t des Speichersystems f ür die gesamte Absen­ kung ergibt sich zu

T (6.20)

Das Verfahren A besteht - kurz gesagt - darin, die Optimie­ rung des gesamten Absenkprozesses i n die Berechnung von q auf­ e inanderfolgenden, optimalen Absenkprogrammen vom Typ A zu zer­ legen. Dabei stellt s ich für jeden Sp eicher die Frage, welche Vo lumenantei l e während der einzelnen Sch ritte abgesenkt werden sollen . Es lässt sich nachweise n - sowohl auf the oretisc hem Weg als auch durch numerische Experimente - dass die aufgrund von q aufeinanderfolgenden, optimalen Absenkprogrammen vom Typ A ermittelte Absenkzeit dann am kleinsten wird wenn die ab­ zusenkend en Vo lumina bei allen Speich e rn im gleichen Verhä lt­ ni s unterteil t"wer den . Diese Bedingung ist daher im Verfahren A unter d) eingeschlossen .

Welche Konsequ e n zen a u s dem besch riebenen Rechenverfahren er­ geben sich für die praktische Vorabsenkung von Speichersyste­ men ? Damit die nach dem Verfahren A be rechne te kürzeste Absenk­ zeit eines Speichersystems auch wirklich erreicht wird, ist die praktische Vorabsenkung entsprechend dem auf rechnerischem - 141 -

Weg e r mittelten optimalen Absenkprogramm durchzuführen. Die Absenkung ist also in q aufeinanderfolgenden Schritten vorzu­ nehmen . Zu Beginn von jedem Schritt s ind an den Speichern im System jene Abflüsse einzustell en , welche aufgrund der Opti­ mierungsrechnung vorausbestimmt worden sind. Diese Abflüsse sind jeweils - soweit dies möglich ist - für d i e Dauer eines Schrittes konstant zu halten.

Dieses Beispiel illustriert, wie im einzelne n vorzugehen ist, um die kürzeste Abscnkzeit zu b estimmen , welche durch ein e dem Verfahren A entsprechende Absenkung erreicht werden kann .

Es sei e in System von 4 Speichern gegeben, welches der schema ­ tischen Darstellung im Bild 6 . 2 entspricht . Das Problem sei durch die folgenden Systemparameter definiert .

Speicher i 1 2 J 4 b . [-J 2 . 5 2 . 2 2.0 1.7 ~ V mJ] 50 70 130 max, i [Hio 85 V 3 80 68 120 a , i [Mio m ] 43 3 Gg(Vmax,i) [m /s] 70 90 85 160 3 Gb,i [m /s] 15 20 20 40 3 z i [m /s] 6 (Al+Ql ) 8 12 3 Si [Hio m ] 25 6 0 4 5 90

Tabelle 6 . 2

J Natürlicher Abfluss : Q1 = 10 m /s - 142 -

Freie Abflusskapazität HQu - Qu in den Kont rollpunkten u der Gerinne :

u 1 2 3 4 5 6 3 HQU - Qu [m/s] 65 108 100 180 200 370

Tabelle 6 . 3

Bei allen 4 Speichern s oll d ie Grun dablassschütze kotenmässig etwa auf der Höh e d es tief s t en Seegrundes liegen, H 0. gs = Im Resultat für die kü r zeste Absenkze it wird e in rel ativer II Fehler bis zu [ = 6 % toleri ert.

z,

Bil d 6 . 2 System von 4 Spei c hern - 143 -

Für jeden der 4 Speicher (i = 1, 2, 3, 4) werden die relative Absenkung - = S./V . , die Grundablasskapazität und die ß1 1 a,1 Auslasskapazität beim Absenkbeginn, also

l/_2b Gg(Vmax,i) G(V .)=(C ). V ,mit(C ).= l/ b g a , 1 g,m 1 a , 1 g,m 1 (V .) 2 max,1

und

G(V . ) G (V . ) + Gb . a,1 g a, 1 , 1

sowie die Auslasskapazität am Absenkende, also

G(V . ) G (V . ) + G . e , 1 g e,1 g,1

berechnet, fe r ner die Grösse F 21 ,i entsprechend der Formel (4 . 31) . Anhand der Bilder 4 . 3a, 4 . 3b und 4 . 3c können dann Grenzwerte fti für die relativen Absenkungen ßik) = s!kl;v(k~ während der einzelnen Schritte ermittelt wer- 1 a, 1 "" den, unter Verwendung des angegebenen Wertes E = 6 %. Für geringere d . h . für solche mit ß \k) < Absenkungen~ 1 ß/1 ' (i = 1, 2, 3 , 4), beträgt der relative Fehler i n der Bestim- mung der Absenkzeit we n iger a l s 6 %. Resul tate :

Speicher 1 2 3 4

ß i [ - ] 0 . 58 0 . 75 0.66 0 . 75 [s- 1 m3 -~2 b (cf, m)i ] 2 . 020 1.419 0 . 929 0 . 657 3 G V .) 67. 93 88 . 74 84 . 36 156 . 24 g a,1 [m /s] 3 G(V . ) 82 . 93 108. 74 10 4 . 36 196 . 24 a , 1 [m /s] G(V . ) 3 e,1 [m /s] 72.07 84. 76 84. 34 143 . 92 F2l , i [ - ] 0 . 88 0 . 90 0 . 88 0 . 85 ß; [-] > 0 . 5 > 0 . 5 ~0.44 ~0 . 4

Tabelle 6 . 4 - 144 -

Beim Sp e icher 1 könnte für die gesamte relative Absenkung 0 . 58 mit einem konstanten Speicherabfluss gerechn et ß1 = werden, weil G(Ve,l) HQ - Q . :> 1 1

Bei den übrigen Speichern ist am Absenkende die Aus lasskapa­ zität kleiner als die massgebende knappste Gerinnekpazität:

G(V .) ~ HQ . - Q . (i = 2, 3, 4) e,1 1 1

Anhand der Tabel l e 6. 1 wird für jeden Speicher die Anzahl q der notwendigen Schri tte bestimmt, der art dass ß t(qt) . ~ ß.. 0 ' 1 1 ist (siehe zweites Beispiel zu Tabelle 6.l,im Abschnitt 6.1.2.1) :

Speicher 1' (konst. Abfluss): q 1 Speicher 2, ft; = 0.5 q 2 Speich er 3, ß* 0.44 q 2 Speicher 4, ß: 0.4 q 3 Am meisten Schritte sind für die Absenkung von Speicher 4 er­ forderlich, nämlich deren 3. Der Absenkprozess für das Spei­ chersystemwird daher in 3 Schritte aufgeteilt .

Aufteilung des Absenkvo lumens S 3 4 [Mio m ] v(l) V 120 a,4 a,4 = s(l) = ß* v ( l) 48 v(2) v(l) s(l) 72 4 4 a,4 a,4 a,4 4 s(2) = ß* y(2) 28.8 y(3) y(2) s(2) 43.2 4 4 a,4 a , 4 a,4 4 s(3) - s - s(l) s(2) 13 . 2 V v(3) s(3) 30 4 - 4 4 4 e ,4 a,4 4

s4 90.0 Verhältniszahlen:

) 1) s(l) 0.533 4 I s4 x(2) s(2) 4 I s4 0. 320 X( 3) s(3) 4 I s4 0 . 147 1 .000 - 145 -

Diesen Verhältniszahlen entsprechend ist in j edem Sp eicher das Absenkvolumen aufzuteilen:

Speich e r i l 2 3 4

s~l) (Mio m3] 13 . 3 32 . 0 24.0 48 . 0 ~

s~2) [~lio m3] 8 . 0 1 9.2 14 .4 28 .8 ~

sO> [Mio m3] 3.7 8 . 8 6 . 6 13 . 2 ~ 3 Si = L s ik) (Mio m3] 25 .0 60.0 45 .0 90.0 k= l

Tabelle 6 . 5

Die kürzeste Absenkzeit des Speichersystems wird in 3 Schrit­ ten e r mittelt. Jeder Schritt umfasst die Bestimmung der opti­ mal en Lösung von Typ A eines Systems von 4 Speichern , gernäss Abschnitt 5 . 3. Von den Systemparametern b l eiben die Zufluss­ werte Z., die Kapazitäten Gb . der Betriebsausl ässe sowie die ~ .~ Gerinnekapazitäten HQu - Qu ftir alle 3 Schritte unveränder t . Die entsprechenden Werte sind i n den Tabellen 6 . 2 und 6 .3 f est­ gehalt en. Nur die a bzusenkende n Vo lumina S~k), die Kapazitäten Gg(V~k~) der Grundablässe und mit diesen d~e Auslasskapazitäten G(V( k~ ) variieren von Schritt zu Schritt . a,~ l. Schritt

s(l)~ , gernäss Tabelle 6 . 5 } (i l' 2' 3 ' 4) G(V(l~) gernäss Tabe lle 6.4 a,~ Resultierende SpeicherabflUsse

Spe i cher i l 2 3 4

3 A ~ l) (m /s] 33 . 0 108 .0 56 . 7 109. 5 ~

Absenkzeit 5 . 699 Tage - 146 -

2 . Schritt

Ver änder te Anfangs- bzw . Eingabedaten und resultierende 2 Speicherabflüsse A\ ): ]_

Speicher i 1 2 3 4

s\2) [ Mio m3] 8 .0 1 9.2 14.4 28 . 8 ]_ 3 V( 2 ~ 29 .7 48.0 44.0 72 . 0 a , J. (~lio m J 2 3 G(V( 78.1 0 174 . 4 a ,J.h (m /s] 99 .0 95 7

3 A( 2) (m /s] 30.4 99 .0 51.9 99. 9 l

Absenkzeit 3 .792 Tage

Veränderte Anfangs- bzw. Eingabedaten und resultierende Speich erabflüsse A\ 3 ) ]_

Speicher i 1 2 3 4

s(3) ( Mio m3] 3 . 7 8 . 8 6 . 6 13 . 2 l 3 v(3~ 21.7 28 .8 29.6 43 . 2 a,J. [Mio m ] 3 G(V( 3 ) ) 74.2 90 . 4 88. 5 155.7 a , 1 [ m /sJ

3 A\J) [ m / s J 28 . 0 90. 4 47. 3 90 . 6 l

Absenkzeit : 1.945 Tage

Gesamte Absenkzeit T 11.44 Tage

Würde die gesa mte Abscnkung n äher ungsweise ohne Unte r teilung, d.h. in einem ein zi gen Sch ritt berechnet, ergäbe sich e i ne zu kurze Absenkzeit von 10 . 69 Tagen. - 147

In diesem Beispiel bilden das freie Fassungsvermögen des Ge ­ rinnes im Kontrollpunkt 2 (im ersten Schritt) und die Auslass­ kapazität des Speichers 2 (in den letzten beiden Schritten) die massgebenden Engpässe , welche nie Absenkzeit des Systems bestimmen.

In den Abschnitten 6 . 2.1 . 2 und 6 . 2 . 1 . 3 wird die Absenkzeit bei "massiver" Vorabsenkung eines Speichersystems durch q auf­ einanderfolgende Teilabsenkprogramme vom Typ A minimiert (Ver­ fahren A). In gewissen Fällen kann sich für einzelne Speicher - möglicherweise auch für das Speichersystem - eine kürzere Absenkzeit ergeben, wenn in jedem der q Schritte nicht die op­ timale Lösung vom Typ A, sondern die optimale Lösung vom Typ B bestimmt wird. Lösungen der letztgenannten Art zeichnen sich dadurch aus, dass die Abflusskapazitäten im ganzen System in jedem Schritt vollständig ausgenützt werden. Diese Lö sungen können durch das im folgenden beschriebene Verfahren ermittelt werden.

Verfahren B

Im k-ten Schritt (k = l , 2, ... , q) wird zunächst die opti­ male Lösung vom Typ A für das k-te Teilproblem mit den im vor- (k) ( . ) aus ermittelten Absenkvolumina S. ~ = l, 2, . .. , n be- stimmt ; dies führt auf ein e Abs en~zeit T(k) . Die entsprechen­ de optimale Lösung vom Typ B wird auf die gleiche Absenkzeit T(k) im k- ten Schritt führen, aber möglicherweise aus einzel­ nen Speichern grössere Abflüsse liefern a l s die optimale Lö• sung vom Typ A. Wenn diese grösseren Speicherabflüsse wäh­ rend des ganzen Absenkintervalls von der Länge T(k) beibehal­ ten werden, reduzieren sich die Stauinha lte der betreffenden Speicher um mehr als die vorausbestimmten Beträge sikl . Durch dieses Verfahren wird daher bei einzelnen Stauseen die ver- - 148 - langte (Gesamt- )Wassermenge Si vor Ablauf der Absenkzeit q

T L T(k) k=l abgesenkt sein . Dies bedeutet, dass bei diesen Speich ern (oder bei zusammenhängenden Teilsystemen) eine gefahrvolle Situation früher abgebaut werden kann, ohne dass sich die Absenkzeit des Gesamtsystems verlängert. Bei welchen Stau­ seen eine raschere Absenkung möglich wird, ergibt sich aus den Systemparametern des be treffenden Problems .

Wenn bezüglich der Absenkzeit und des Absenkvolumens für be­ stimmte Speicher Prioritäte n vorgesehen sind, muss dies durch geeignete zusätzliche Bedingun gen (Einschränkungen) in der Problemformulierung berücksichtigt werden .

6 . 2 . 2 Absenkprogramme mit maximalem Gesamtabfluss

Gegenstand dieses Abschnittes sind Absenkprobleme mit Ziel­ setzungen, wie sie unter 5 . 4 beschrieben sind. Anders als im Abschnitt 5 . 4 werden hier Ab senkprozesse betrachtet, welche sich über relativ lange Zeitspannen erstrecke n können. In diesen Fällen ist zu berücks ichtigen, dass möglicherweise einzelne Speicherauslasskapazitäten im Laufe der Absenkung merklich kleiner werden, aufgrund der abnehmenden Speicher­ inhalte .

Es wird davon ausgegangen, dass keine (oder zumindest n i cht alle) abzusenkenden Spei cherinhalte Si vorgeschrieben sind. Die Speichervolumina am Absenkende sind somit nicht b ekannt . Daher kann n i cht zum vorneherein festgestellt werden, wie stark sich die Aus lass kapazität bei jedem Speicher wä hrend des Absenkvorganges verändern wird . Es stellt s i ch die Frage, wie in sol chen Fällen der Absenkvorgang zu unterteilen ist, damit - im Rahmen der verlangten Rechengenauigkeit - für die einzelnen Schritte konstante Speicherabflüsse angenommen werden können. - 149 -

Im Abschnitt 6.2.1 ist gezeigt worden, wie die Absenkzeit des Speichersystems bei " massiver" Vorabsenkung minimiert werden kann. Jenes Vorgehen kann vereinfacht als ein Unter­ teilen in "Volumenschritte" charakterisiert werden. In jedem Schritt wird dabei bei bekannten Teilabsenkvolumina der Spei­ cher die kürzeste Teilabsenkzeit des Systems bestimmt.

Wenn wie in diesem Abschnitt - der maximale Gesamtabfluss aus dem System bei unbekannten Absenkvolumina gesu cht ist, führt ein Unterteilen in "Zeitschritte" zum Ziel. Darunter ist ein Aneinanderreihen von mehreren, z.B . q Absenkinterval­ len von der Länge jr(k) (für alle Speicher gleich; k = 1, 2, .•• , q) zu verstehen. Für jedes Absenkintervall ist eine Opti­ mierungsaufgabe zu lösen; es muss nämlich der maximale Gesamt­ abfluss gernäss (5.30) unter Beachtung der Einschränkungen (5 .15) (und je nach Problemstellung auch (5.33) und (5 . 34)) ermittelt werden . In (5.15) ist zu beachten, dass sich die Ka­ pazitäten der Speicherauslässe mit abnehmenden Speicherinhalten ändern. Diese Kapazitäten sind daher zu Beginn eines jeden Schrittes (Absenkintervalles) k neu zu ber echnen, aufgrund der Anfangsvolumina , welche nach Ablauf der ersten V(k~a ,J. (k - 1) Absenkintervalle vorli egen. -y(k) Der Wert ~ kann anfänglich für alle Absenkintervalle gleich gross gewählt werden : y(k) = r (k = 1, 2, ... ). Es könnte z . B. y* = 1 Tag sein; di es würde bedeuten, dass für jeden Tag die optimalen Speicherabflüsse zu berechnen wä• ren . Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Absenkintervallen wer­ den sich die optimalen Speicherabflüsse solange nicht ändern, als diese Abflüsse durch Gerinnekapazitäten und nicht durch Auslasskapazitäten massgebend eingeschränkt werden. Wenn letz­ tere sich eins chränkend bemerkbar machen, soll die Länge r(k) des Absenkintervalls k höchstens so gross gewählt werden, dass für jeden Speicher i die aus der optimalen Lösung (k) (k)) . ( O(l , ..• , O(n resul t1erende relative Absenkung

~k) = s (k) I v(k) (3 l. J. a, J. nicht grösser als ist. Wird anfangs von eine r festen, - 150 - relativ grosscn Intervall-Länge t* ausgegangen, muss diese allenfalls mit der Zeit reduziert werden .

Durch dieses Unterteilen in Zeitschritte kHnnen theoretisch die Anfangsvolumina V(k) und damit die optimalen Speicher­ abflüsse A(k) mehrer: ' ~chritte zum voraus berechnet werden . 1 Wegen diverser Vereinfachungen sind jedoch Unterschiede zwi- schen den vorausberechneten und den in der Praxis vorkommen­ den Speichervolumina zu erwarten. Für jeden Schritt so l lte sich daher die Optimierungsrechnung auf gemessene und nicht auf die vorausberechneten Vo lumen- bzw. Kapazitätswerte stüt- zen. - 151 -

7. SCHLUSSFOLGERUNGEN

Gilt es , einen einzelnen Stau see mö glichst rasch abzusenken, so kann d er zul ässige optimale Speich erabfluss ohne b esondere Schwierigkeiten ermittel t werden. In einem solch en Fall lässt sich l e i cht überblicken, welche der verschiedenen Nebenbedin­ gungen den Abfluss au s dem Speicher am s t ärkst en e inschränkt .

Wenn g leichze itig mehrere Stauseen i m Einzugsgebiet e ines grösseren Flusses vorsorglicherweise a bzusenken s ind, werden sich in gewissen Bereichen e ines derartigen Systems (Gerinne­ s trecken) die Abflüsse a u s verschiedenen Speichern überlagern. Vo n gewissen Einsc hrä nkungen sind nicht nur e inzelne, sondern Kombinationen von Speicherabflüssen betroffen. In solchen Fäl• len führt die r echnerisch e Ermittl ung der Speicherabflüsse auf ein Optimie rungsprobl em in mehreren Variablen . Zwe i verschie­ dene Zielvorstellungen stehen i m Vo rderg rund. Es kann b ei­ spielswei se die minima l e Absenkzeit eines Speichersystems ge­ fragt sein, a l so jene Mindestzeit, die es braucht, bis sämt­ liche Spei c h erinhal te im System um vorgegeben e Beträge redu­ ziert sind. Die Lösung dieses Problems gibt ein e Auskunft dar­ über, wie lange e in bestimmtes Plussystem - bei vorgegebenen Absenkmengen und b ekannten natürliche n Zuflüssen zu den Stau­ seen und natür lichen Abf l üssen in den Gerinnen - durch eine Vorabsenkung im besten Fall belastet wird. Eine andere Ziel­ setzung ergibt sich, we nn ein e b egrenzte, vorgegeb en e Zeit­ spanne für die Vorabsenkung e ines Speichersystem s reserviert ist. Dann geht es darum, pro Zeiteinheit möglich st gro sse Was­ sermengen aus dem System der b etroffenen Stau seen abfliessen zu lassen . Nötigenfa lls i st du r ch geeign e t e Ne b enbedingungen sicherzustellen, dass a u s besonders gef ä hrde t en Sp eichern be­ s timmte Mindestme ngen wegfl iessen.

Unter gewissen vereinfach enden Annahmen führt die Vorabsenkung von Sp eichersystemen bei beiden Zielvors t ell ungen auf lineare Optimierungsprobleme . Das Absenkproblem ist mathematisch so zu formulieren und allenfalls in meh rere Schrit t e (aufe inander- - 152 - folgende Optimierungsaufgaben) aufzuteilen, dass jeweils mit konstanten Speicherabflüssen (Entscheidungsvariablen) gerech­ net werden kann. Solange bei jedem Speicher eines Systems die Kapazität der Auslässe grösser ist a l s die geringste freie Gerinnekapazität in den flussabwärts liegenden Kontrollpunk­ ten , lassen sich konstante Speicherabflüsse aufrechterhalten. Die Beträge der optimalen Abflüsse werden dann durch diese Gerinnekapazitäten bestimmt. Der Einfluss der abnehmenden Stauhöhen lässt sich durch ein entsprechendes Öffnen der Grundablässe kompensieren. Bei den meisten Schweizer Stau seen ist der Grundablass so dimensioniert, dass der grösstmögliche Speicherabfluss (durch Grundablass und Betriebsauslass) - zu­ mindest bei ganz oder fast gefüllten Speichern - grösser ist als das Fassungsvermögen des Gerinnes unterhalb der betreffen­ den Sperre . Eine Vorabsenkung bei drohenden Gefahren ist na­ türlich vor allem für stark gefüllte Speicher aktuell, weni­ ger für halbleere.

Wenn, gemessen an den Anfangsvolumina, relativ grosse Wasser­ mengen aus den Stauseen abzusenken sind, ist zu prüfen, inwie­ fern sich die massgebenden Einschränkungen infolge der abneh­ menden Speicherinhalte verändern. Falls bei einzelnen Spei­ chern die Kapazität der Auslässe (und nicht die Gerinnekapa­ zität) den Abfluss massgebend einschränkt, ist der Absenkpro­ zess n ötigenfalls in mehrere aufeinander folgende Schritte (Teilprozesse) aufzuteil en, innerhalb derer näherungsweise mit konstanten Auslasskapazitäten (und daher mit konstanten Abflüssen) gerechnet werden kann. Wieviele Schritte benötigt werden , hängt von Fall zu Fall von der verlangten Genauigkeit der Rechenergebnisse, sowie von den Parametern ßi und bi ab . Diese charakteri sieren die relative Absenkung des Spei­ chers i bzw. dessen Beckenform. Die Rech energebn isse werden umso genauer, je mehr Teilschritte gewählt werden. Allerdings steigt damit auch der Rechenaufwand.

~1i t dem Aufteilen eines Absenkprozesses in mehrere Schritte -und damit a l so in mehrere lineare Optimierungsprobleme - ergibt sich eine zusätzlich e Möglichkeit, die Rechenergebnisse - 15J - zu verbessern. Zu Beginn von jedem neuen Schritt können die als konstant angenommenen Werte für die natürlichen Zuflüsse zu den Stauseen, für die natürlichen Abflüsse in den Gerinnen und für die Abfl üsse durch die Betr iebsau slässe überprüft und nötigenfalls angepasst werden.

Die im Zusammenhang mit der Vorabsenkung von Speichersystemen auftretenden linearen Optimierungsprobleme lassen s ich mit bekannten (Computer- ) Verfahren der linearen Programmierung - z . B. mit der Simpl ex-Methode - l eicht l ösen. Die Ermitt­ lung der kürzesten Absenkzeit ein es Speichersystems bei vor­ gegebenen Absenkvolumina kann sogar auf ein besonders einfa­ ches Verfahren zurückge führt werden . Es ermögl i cht, die opti­ male Lösung ohne übermässigen Aufwand mit Rechenschieber oder Taschenrechner zu bestimmen.

Die h ier aufgeführten Verfahren und Beispiele zeigen, wie op­ timal e Vorabsenkungen von Einzelspeichern und Speicher systemen grundsätzlich berechnet werden können. I n k o nkreten Fällen der Praxis sind durchaus auch andere Zielsetzungen und Priori­ täten als jene, die in dieser Studie vorkommen, denkbar . Immerhin dürften die hier dargestellten Methoden die notwen­ digen Grundlagen l iefern, um auch bei modifizierten Problem­ stellungen optimale Lösungen zu finden . - 154 -

8 . LITERATUR

[ 1] Bank, D.: Ein Beitrag zum Betrieb und zur Bemessung von Hochwasserrückhaltebecken. Mitteilungen , Heft 17, Institut für Wa sserwirtschaft, Grundbau und Wasserbau, Universität Stuttgart, 1971

[2] Collatz , L., Wetterling, W.: Optimierungsaufgaben. Springer- Verlag , Berlin, Heidelberg, New York, l971 (2 . Aufl . )

[3] Eidgenössisches Amt für Wasserwirtschaft : Stati stik der Wasserkraftanlagen der Schweiz, auf 1 . Januar 1973

[4] Eidgenössi sches Amt für Wasserwirtschaft : Die Seen der Schweiz. "Wasser, Energie, Luft" , Heft 11/12, 1976

[5] HUETTE, Taschenbuch der Bautechnik , Band II. Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn, Berlin , ~1ünchen, DUsseldorf, 1970 (29 . Aufl.)

[6] Knapp, F . H.: Ausfluss, Ueberfall und Durchfluss im Wasserbau . Verlag G. Braun, Karl sruh e, 1960

[7] Künzi, H. P., Tzschach,H . G., Zehnder,C . A. : Numerische Methoden der mathematischen Optimierung. B. G. Teubner, Stuttgart, 1967

[8] Neumann , K.: Operations Research Verfahren, Band I . Carl Hanser Verlag , Münch e n, Wien, 1975

[9] Schneeweiss , Ch .: Dynamisches Programmieren. Physica- Verlag, Würzburg- Wien, 1974

[10] Stiefel , E . Einführung in die numerische Mathematik. B . G. Teubner , Stuttgart, 1976 (5 ., erw. Auflage)

[11 ] Sutherland, R . A.: Some Aspects of Water Conservation. Proceedings ASCE, Part I, Sept . 1930

[12] Vischer , D. L ., Spreafico M.: The Rapid Emptying of Water Reservoir Systems . Proceedings Second World Co ngress IWRA, Vol. V, New Delhi, Dec. 1975 - 155 -

9. ANHANG

Beweis des Hilfssatzes aus Abschnitt 5.3 . 4.1

Bei einem Absenkprogramm vom Typ B können die Absenkzeiten der einzelnen Speicher unterschiedlich lang sein. Die Spei­ cherabflüsse Ai bzw. die Nettoabflüsse ~i sind (ungleich­ mässig) treppenförmige Funktionen der Zeit, siehe Bilder 9 . la und 9.lb .

Das Intervall zwischen Absenkbeginn und -ende des Speichersy­ stems (Länge: T max (T , . . . , Tn))wird nun unterteilt : = 1 Jede Veränderung in einem der Abflüsse Ai (i = 1, 2, ... , n) gibt Anlass zu einer Unterteilung von T.

Es sei r Anzahl der Teilintervalle te Länge des t-ten Teilintervalles

Dann ist

Wenn O(i,e der Wert von o(i im e-ten Teilintervall ist, so gilt für die Absenkung des Speicherinhaltes Si durch ein Absenkprogramm vom Typ B die Beziehung

~

Es sei TA (TB) die kürzeste Zeitspanne r zwischen Absenk­ beginn und -ende des Systems von n Speichern, welche mit einem Absenkprogramm vom Typ A (B) erreicht werden kann. Die Behaup­ tung des Hilfssatzes im Abschnitt 5 . 3 . 4 . 1 lautet: - 156 -

A; lu;l

Al (u \)

r--~ ---,A2 lu21 I I I L __ ~------.....J --, I I t

11 t 2 t 3 t 4 t 5

T Bild 9.la

A; l

A 2 I u 21 ~------, i--·-· - . - . - · - . ~ . i.!...4 I A1 Iu 1 l I I i I I i I i I t

11 t 2 t 3

T Bild 9 . lb

Bilder 9.la und 9.lb Unterteilung von T in zeitliche Teil ­ intervalle bei einem Abse nkprogramm vom Typ B, zwei Beispiel e - 157 -

Beweis:

Für die optimale Lösung ( b<- , . •. , cXn) unter den Ab­ 1 "~2 , senkprogrammen vom Typ A wird ~l gernäss (5.24) bestimmt. Das Minimum in jener Beziehung werde beim Index j = p ange­ nommen. (Möglicherweise ist das Minimum in (5.24) n icht ein­ deutig. Dann wird irgendeiner der Indices j , für welche das Minimum angenomme n wird, mit j = p festgehalten.)

Nun gilt das Interesse d er (n+p)-ten Ungleichung in der Liste (5 . 15) der Einschränkungen für die Entscheidungsgrössen O

(9.2) x . nimmt die Werte 0 oder 1 an. Ohne Einschränkung der All­ pl gemeinheit darf angenommen werden, dass für x . (i = 1, 2, pl ... , n) gilt :

1, für i u, v, w

0, son st

Auf diese Weise reduziert sich die ob ige Ungleichung zu

(9. 3) ~ K p

Für die optimale Lö s ung gilt wegen (5 . 24) die Gl e i chung

Wegen ( 5 . 25) und (5.26) folgt :

/\ K = (S + S + S ) ~ (9 .4) p u v w s1

Für die Vorabsenkung d er an dieser Gleichung b e t e iligten Spei­ cher - es sind die Speicher mit den Nummern u, v und w - - 158 - ergibt sich folgende Bilanz:

+ + s U s V s W

nach dem optimalen Ab senkpro­ gramm vom Typ A bzw. (9 . 5)

t ( O(u , e + 0( v , e + rx." , e ) te e=l nach einem Absenkprogramm vom Typ B

Die optimale Lösung unter den Absenkprogrammen vom Typ A er­ füllt die Gleichung (9 .4). Bei einem Absenkprogramm vom Typ B muss in j edem zeitlichen Teilintervall die Ungleichung (9.J) erfüllt scin.Also muss gelten:

o

Aus (9.5) folgt wegen (9.4) und (9.6): r L (O

Für jedes Absenkprogramm vom Typ B ist daher r TA ~ L te t =l also insbesonde r e für dasjenige mit der kürzesten Absenkzeit des Speichersystems, womit die Behauptung

bewiesen ist.