Studies in Plausibility Theory, with Applications to Physics
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Studies in plausibility theory, with applications to physics PIERO G. L. PORTAMANA Doctoral thesis in photonics Stockholm, 2007 Porta Mana, P. G. L., Studies in plausibility theory, with applications to physics. Akademisk avhandling som med tillstånd av Kungliga Tekniska Högskolan framlägges till offentlig granskning för avläggande av teknologie doktorsexamen i fotonik tisdagen den 12 juni 2007 klockan 10:00 i Sal D, Forum, Kungliga Tekniska Högskolan, Isafjordsgatan 39, Kista. TRITA ICT/MAP AVH:Report 2007:6 ISSN 1653-7610 Kungliga Tekniska Högskolan ISRN KTH/ICT-MAP/AVH-2007:6-SE SE-100 44 Stockholm ISBN 978-91-7178-688-3 SWEDEN © 2007 by Piero G. L. Porta Mana. Typeset with LATEX 2" on 9th May 2007 Publisher: Universitetsservice US AB ai miei tre tesori: mia mamma, mia sorella, e il mio amore nonna Matilde Onnis Porta nonno Giovanni Porta morfar Lewis Nyberg farmor Alice Hult in memoriam v Abstract The discipline usually called ‘probability theory’ can be seen as the theory which describes and sets standard norms to the way we reason about plausibility. From this point of view, this ‘plausibility theory’ is a province of logic, and the following infor- mal proportion subsists: plausibility theory deductive logic = : common notion of ‘plausibility’ common notion of ‘truth’ Some studies in plausibility theory are here offered. An alternative view and math- ematical formalism for the problem of induction (the prediction of uncertain events from similar, certain ones) is presented. It is also shown how from plausibility theory one can derive a mathematical framework, based on convex geometry, for the descrip- tion of the predictive properties of physical theories. Within this framework, problems like state assignment — for any physical theory — find simple and clear algorithms, numerical examples of which are given for three-level quantum systems. Plausibility theory also gives insights on various fashionable theorems, like Bell’s theorem, and various fashionable ‘paradoxes’, like Gibbs’ paradox. Ringraziamenti Mia madre Miriam, la mia “sorellina” Marianna, e il mio amore Louise ringrazio per prime, per la loro costante vicinanza, il loro costante amore, supporto, e perché hanno sempre creduto in me. Amore e supporto ho sempre ricevuto anche dal resto della mia famiglia: mio padre Beppe, zio Sergio, zia Pinuccia, Michela, Laura, Grazia, Marco, Agnese; e dalla mia fa- miglia “allargata”: Gisela e Bertil, Zacharias, Ursula e Joakim, Emilie, Nicolina, Lova, e il piccolo Loke, a cui non posso non aggiungere anche mormor Brita e morfar Lewis, che purtroppo non è piú con noi, e farmor Alice, anche lei purtroppo non piú con noi. A tutti voi: grazie! e: vi voglio un mare di bene! (E una carezza a Nerone, Mia, Leon, e Brigitte anche se non c’è piú.) E gli Amici con la A maiuscola, dove li lasciamo? anche loro hanno sempre dato calore e, non appena ce ne fosse bisogno, insostituibile sostegno. Anna, Mario, Filippo, Marcello, Margareta e Bengt, Anders e Aline, Elsa e Eric: grazie! vi voglio bene! Un ringraziamento particolare va a Daniel sensei, Tommy sensei, e Iryo sensei, per il loro costante insegnamento che trascende la sfera puramente fisica. Grazie! E ora passiamo alla fisica. Prima di tutto un cordiale grazie alla segretaria di diparti- mento Eva, che è sempre pronta ad auitare con squisita gentilezza e sempre con un sorriso. Tanti sorrisi ho sempre ricevuto anche dallo staff della biblioteca: Elisabeth Hammam, In- grid Talman, Tommy Westergren, e Elin Ekstedt, Thomas Hedbjörn, Daniel Larsson, Allan Lindqvist, Lina Lindstein, Yvonne Molin, Min Purroy Pei, Anders Robertsson. Loro de- vono essere ringraziati per una gran parte dei riferimenti bibliografici qui inclusi. Grazie a Richard, e grazie anche a Lisbeth, senza cui la caffetteria sarebbe un disastro. Grazie anche a tutte le persone che, senza essere pagate, rendono la pubblicazione elettronica possibile tramite LATEX 2" con i vari packages, Emacs and AUCTEX, MiKTEX, and http:\arxiv.org. Grazie! E grazie anche a tutti i ricercatori che rendono il proprio lavoro gratuitamente disponibile in internet. Cari colleghi! Un ringraziamento particolare va a Anders M. e Åsa, che hanno sempre mostrato attivo interesse per le mie ricerche. Gli altri colleghi sono sempre stati gentili e pronti a dare una mano e ad ascoltare, anche se non c’è stato molto interesse reciproco nelle rispettive ricerche: Phil, Matthew, Maria, Iulia, Hoshang, Björn, Anders K., Rina, Sebastien, Davide, Isabel, Marec. Un ringraziamento particolare a Christian, Jonas, e alla professoressa Jaskorzynska per aver letto e aiutato a correggere la bozza della tesi, a Mauritz per aver fatto resuscitare lo schermo del computer in un momento critico, a Daniel vii viii RINGRAZIAMENTI per informazioni post-dottorali. Un grazie particolare a coloro che, attivamente o passivamente, mi hanno fatto da hand- ledare (il termine svedese è il piú adatto): i professori Bengtsson, Cadoni — che a grandi intervalli spazio-temporali mi ha sempre dato consiglio e appoggio —, Langmann, e Lind- blad. Dulcis in fundo, il mio handledare Gunnar voglio ringraziare, tante altre cose a parte (i consigli, le critiche, gli insegnamenti) soprattutto per il dono piú importante: libertà. Libertà di fare ricerca sugli argomenti che piú mi hanno interessato, libertà di proporre e sviluppare progetti di ricerca, che ha sempre accettato; libertà anche come segno di fiducia nel mio lavoro. Handledare cosí se ne trovano pochi oggi! Grazie anche ai professori Owen, Linusson, Björner, Murdoch, Fuchs, Hardy, Gaifman, Noll, e Netocný per la loro disponibilità epistolare, per discussioni, e per referenze. Un ringraziamento cordiale a Peter Morgan e a Rob Spekkens per l’interesse mostrato nel mio lavoro e a Rob anche per i suoi amichevoli consigli riguardo alla situazione post-dottorato. Infine, sono sicuro che se nonna Tilde fosse ancora qui avrei da ringraziarla per una montagna di cose, oltre a quelle per cui la devo ancora ringraziare. Grazie nonna! Anti-thank There is one that I have to anti-thank and for whom I must express my innermost despise (and that of the rest of the world, I suppose). He has continuously caused problems, and he is the responsible for all the errors and the lacks of quality of this work (besides, of course, for the problems of world hunger and war). Who am I speaking about, if not PIPPO!!!! Contents Ringraziamenti vii Contents ix List of public-made papers and other contributions xiii Papers included in this work . xiii Other contributions ................................ xiv I Prologue 1 Truesdell, Jaynes, and Hardy ........................... 1 Purpose and contents of these notes ........................ 3 Other remarks ................................... 4 II Plausibility logic and induction 7 A Bayesian statistical test ............................. 7 § 1 ................................... 7 Deductive logic .................................. 8 § 2 ................................... 8 § 3 ................................... 8 § 4 ................................... 9 § 5 ................................... 10 § 6 ................................... 10 Plausibility logic ................................. 11 § 7 ................................... 11 § 8 ................................... 12 § 9 ................................... 13 ‘Plausibilities of plausibilities’, induction, and circumstances: a generalisation . 14 § 10 ................................... 14 § 11 ................................... 14 § 12 ................................... 15 § 13 ................................... 16 Miscellaneous remarks .............................. 16 § 14 ................................... 16 ix x CONTENTS § 15 ................................... 18 § 16 ................................... 18 § 17 ................................... 21 III A mathematical framework for the plausibilistic properties of physical the- ories 25 What is a physical theory? ............................ 25 § 18 ................................... 25 Exemplifying interlude (which also introduces some notation) . 26 § 19 ................................... 26 § 20 ................................... 27 § 21 ................................... 30 Three special kinds of propositions. Definition of ‘system’. Insights . 31 § 22 ................................... 31 § 23 ................................... 33 Introducing the vectors .............................. 35 § 24 ................................... 35 Structures of the vector sets and connexion with plausibilistic reasoning in physics 36 § 25 ................................... 36 § 26 ................................... 40 The vector framework in classical point mechanics . 41 § 27 ................................... 41 § 28 ................................... 43 § 29 ................................... 43 § 30 ................................... 44 The vector framework in quantum mechanics . 44 § 31 ................................... 44 Miscellaneous remarks .............................. 46 § 32 ................................... 46 § 33 ................................... 46 § 34 ................................... 49 § 35 ................................... 50 § 36 ................................... 51 Historical notes and additional remarks ...................... 52 § 37 ................................... 52 IV A synthesis: induction and state assignment 55 Putting together the Laplace-Jaynes approach and the vector framework . 55 § 38 ................................... 55 § 39 ..................................