University of Groningen

The sample autocorrelation function of non-linear time series Basrak, Bojan

IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please check the document version below. Document Version Publisher's PDF, also known as Version of record

Publication date: 2000

Link to publication in University of Groningen/UMCG research database

Citation for published version (APA): Basrak, B. (2000). The sample autocorrelation function of non-linear time series. s.n.

Copyright Other than for strictly personal use, it is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the author(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license (like Creative Commons).

The publication may also be distributed here under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license. More information can be found on the University of Groningen website: https://www.rug.nl/library/open-access/self-archiving-pure/taverne- amendment.

Take-down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim.

Downloaded from the University of Groningen/UMCG research database (Pure): http://www.rug.nl/research/portal. For technical reasons the number of authors shown on this cover page is limited to 10 maximum.

Download date: 01-10-2021

ChaÔØeÖ ½

ÁÒØÖÓ dÙcØiÓÒ

Ìhi× iÒØÖÓdÙcØiÓÒ eÜÔÐaiÒ× ÛhÝ heaÚݹØaiÐed di×ØÖibÙØiÓÒ× aÒd ÒÓÒ¹ÐiÒeaÖ ÔÖÓce××e× aÖe

Ù×ed fÓÖ ÑÓdeÐ ÐiÒg Óf ÖeaйÐife ØiÑe ×eÖie׸ aÐØhÓÙgh Øhe×e a××ÙÑÔØiÓÒ× Øake ÓÒe ÓÙØ×ide

Øhe faÑiÐiaÖ ØeÖÖiØÓÖÝ Óf ×ØaÒdaÖd ØiÑe ×eÖie× aÒaÐÝ×i׺ ËecØiÓÒ ½º½ ÔÖiÑaÖiÐÝ deaÐ× ÛiØh Øhe

ÑÓØiÚe× aÒd idea× behiÒd Øhe heaÚÝ ØaiÐ׸ ÛhiÐe iÒ ËecØiÓÒ ½º¾¸ Ûe iÒØÖÓdÙce×ÓÑeÓfØhe

cÓÒceÔØ× Ù×ed fÓÖ ÑÓdeÐ ÐiÒg Óf ¬ÒaÒciaÐ ØiÑe ×eÖie׺ Ïe ÔÖe×eÒØ ×ÓÑe Óf Øhe ÑaiÒ Öe×ÙÐØ×

Óf Øhi× Øhe×i׸ a× ÛeÐ Ð a× Öe×ÙÐØ× Óf ÓØheÖ aÙØhÓÖ× Ûhich ×Ùgge×Ø ØhaØ ÓÒ Øhi× ÒeÛ gÖÓÙÒd

×ÓÑe ×ØaÒdaÖdØÓÓÐ× Óf ØiÑe ×eÖie× aÒaÐÝ×i× ´×Ùch a× aÙØÓcÓÖÖeÐaØiÓÒ ÔÐÓØ×µ ×hÓÙÐd beÙ×ed

ÛiØh gÖeaØ caÙØiÓÒº ÌheÓÖeØicaÐ iÑÔÐicaØiÓÒ× Óf ÒÓÒ¹ÐiÒeaÖiØÝ aÒd heaÚݹØaiÐed di×ØÖibÙØiÓÒ×

fÓÖ Øhe aÒaÐÝ×i× Óf ØiÑe ×eÖie× aÖe Øhe ÑaiÒ ØÓÔic Óf ÓÙÖ ×ØÙdݺ Ìhe×e Öe×ÙÐØ× ÔÓiÒØ aØ

×ÓÑe daÒgeÖÓÙ× ÔiØfaÐ Ð× Ûhich ÑighØ ÓccÙÖ iÒ aÔÔÐicaØiÓÒ× aÒd Öai×e ÔÓ××ibÐe ÕÙe×ØiÓÒ× fÓÖ

fÙÖØheÖ Öe×eaÖchº

½º½ ÄaÖge \Ô eak×" iÒ ÖaÒdÓÑ ×eÕÙeÒce×

½º½º½ FÓ cÙ×iÒg ÓÒ Øhe eÜØÖeÑaÐ b ehaÚiÓÙÖ Óf a ×ØaØiÓÒaÖÝ

ØiÑe ×eÖie×

ËØÓ cha×Øic ÑÓ deÐ× fÓÖ eÜØÖeÑaÐ eÚeÒØ× caÒ b e fÓÙÒd iÒ abÙÒdaÒce ÒÓÛadaÝ׺ ÌheÝ

caÑe a× aÒ aÒ×ÛeÖ ØÓ ÔÖÓbÐeÑ× ÑÓ×ØÐÝ Ô Ó×ed bÝ Ô eÓÔÐe ÛÓÖkiÒg iÒ ÔÖacØicaÐ aÖea×

×Ùch a× iÒ×ÙÖaÒce¸ ¬ÒaÒce aÒd ØeÐecÓÑÑÙÒicaØiÓÒ׺ ÅaÒÝ Óf Øhe×e ØheÓÖeØicaÐ

ÑÓ deÐ× aÖe ÓbÚiÓÙ× bݹÔÖÓ dÙcØ× Óf Øhe big deÑaÒd cÓÑiÒg fÖÓÑ Øhe ÖeaÐ ÛÓÖÐd

iÒ Ûhich ÑÓÖe aÒd ÑÓÖe Ô eÓÔÐe aÖe ÙÒdeÖ Øhe Öi×k Óf big ¬ÒaÒciaÐ ´aÒd ÒÓØ ÓÒÐÝ

¬ÒaÒciaе ÐÓ××e׺ ÍÒdÓÙbØedÐݸ hÓÛeÚeÖ¸ ×ÓÑe Óf Øhe×e ÑÓ deÐ× aÒd ÔaÖadigÑ×

aÖe heÖe ØÓ ×ØaÝ fÓÖ ÑÙch ÐÓÒgeÖº Ïe beÐieÚe ØhaØ ØheÝ ÛiÐÐ keeÔ ÔÙÞÞÐiÒg bÓØh

ÑaØheÑaØiciaÒ× aÒd ÔÖacØiØiÓÒeÖ× fÓÖ Øhe ÝeaÖ× ØÓ cÓÑeº

Ïe ×ØaÖØ bÝ giÚiÒg a ÐÓ Ó×e de¬ÒiØiÓÒ Óf aÒ \eÜØÖeÑaÐ eÚeÒØ"º ÏhaØ ÛeÑeaÒbÝ

Øhi× ØeÖÑ ÛÓÙÐd b ecÓÑe ÕÙiØe cÐeaÖ afØeÖ iÒ×Ô ecØiÒg ×ÓÑe Óf Øhe daØa ×eØ× cÓÐÐecØed

ÓÚeÖ a ceÖØaiÒ Ô eÖiÓ d Óf ØiÑeº DaØa ØhaØ de×cÖib e ÐaÖge ×caÐe di×a×ØeÖ× iÒ iÒ×ÙÖaÒce¸ ½

¾ ChaÔØeÖ ½º ÁÒØÖÓ dÙcØiÓÒ

eÜØÖeÑe ÐÓ××e× iÒ deÖiÚaØiÚe ÑaÖkeØ׸ cÖa×he× iÒ ØeÐecÓÑÑÙÒicaØiÓÒ ÒeØÛÓÖk× aÐÐ

ÐÓ Ók ×iÑiÐaÖ ÛheÒ ÖeÔÖe×eÒØed gÖaÔhicaÐÐÝ: ØheÖe aÖe ÓÒe ÓÖ ÑÓÖe ÐaÖge Ô eak× iÒ aÒ

ÓØheÖÛi×e \ÛeÐйb ehaÚed" ØiÑe ×eÖie׺

CÐa××icaÐ ×ØaØi×Øic× i× aØ iØ× b e×Ø ÛheÒ ÒÓÖÑaÐiØÝ a××ÙÑÔØiÓÒ× aÖe aÐÐÓÛedº De¹

ÚiaØiÓÒ× fÖÓÑ ÒÓÖÑaÐiØÝ aÖe ÓfØeÒ dÙe ØÓ Ôeak× ×Ùch a× ØhÓ×e iÒ FigÙÖe ½º½º½º

ËÓÑeØiÑe׸ ÛeÑaÝhaÚe a cÐeaÖ iÒØeÖÔÖeØaØiÓÒ fÓÖ Øhe×e \ÓÙØÐieÖ×" ×Ùch ØhaØ ØheÝ

caÒ b e di×ÖegaÖded iÒ Øhe ×Ùb×eÕÙeÒØ aÒaÐÝ×i× Óf Øhe daØaº Í×ÙaÐÐݸhÓÛeÚeÖ¸ eÚeÒ

if a caÙ×aÐ eÜÔÐaÒaØiÓÒ eÜi×Ø× iØ ÛÓÙÐd b e a big aÒd ÚeÖÝ cÓ×ØÐÝ Ñi×Øake ØÓ igÒÓÖe

Øhe×e Ób×eÖÚaØiÓÒ׺ ÁÒ Øhe ÔÖe×eÒce Óf daØa ×eØ× Óf eÚeÖ gÖÓÛiÒg ÐeÒgØh׸ Ûe aÖe

ÑÓÖe aÛaÖe ØhaØ ×Ùch \Ô eakÝ" b ehaÚiÓÙÖ i× iÒØÖiÒ×ic ØÓ ÚaÖiÓÙ× ÒaØÙÖaÐ aÒd ×Ó ciaÐ

ÔheÒÓÑeÒaº ÀeÒce \Ô eak×" ÑaÝ Ó ccÙÖ agaiÒ¸ ÛÓÖ×e eÚeÒ¸ ØheÝ ÑighØeÚeÒ eÜceed

eÚeÖÝØhiÒg ×eeÒ iÒ Øhe Ôa×غ

ÅaÒageÖ× Óf big iÒÚe×ØÑeÒØ fÙÒd× aÖe fÙÐÐÝ aÛaÖe Óf Øhe facØ ØhaØ iØ i× Óf ÙØÑÓ×Ø

iÒØeÖe×Ø ØÓ kÒÓÛhÓÛÐikeÐÝ aÒd ×eÚeÖe ×ÙcheÚeÒØ× aÖeº ÁØ i× Óf gÖeaØ iÑÔ ÓÖØaÒce

ØÓ Ñea×ÙÖe Øhe Öi×k ØhaØ aÒ iÒÚe×ØÑeÒØ Ô ÓÖØfÓÐiÓ Ô eÖfÓÖÑ× eÜØÖeÑeÐÝ badÐݺ Ìhi×

i× ÒÓÛadaÝ× dÓÒe Úia Øhe ÎaÐÙe aØ Êi×k ÕÙaÒØiØݸÛhichÔÐaÝ×aceÒØÖaÐ ÖÓÐe iÒ Öi×k

ÑaÒageÑeÒغ FÓÖØÙÒaØeÐÝ fÓÖ Øhe iÒÚe×ØÓÖ׸ eÜØÖeÑe ÐÓ××e× haÔÔ eÒ ÖaÖeÐݺ ÇÒ Øhe

ÓØheÖ haÒd¸ Øhi× ×aÑe chaÖacØeÖi×Øic Óf aÒ eÜØÖeÑaÐ eÚeÒØ caÙ×e× ÑÓ×Ø cÓÒceÖÒ× fÓÖ

ØhÓ×e ÛhÓ haÚe ØÓ a××igÒ a ÑeaÒiÒgfÙÐ ÔÖÓbabiÐiØÝØÓ×ÙchaÒeÚeÒØÛhichi×bÙiÐØ

ÓÒ a ÔÖÓbabiÐi×Øic ÑÓ deÐ fÓÖ ×Ùch a ×Ý×ØeѺ ÁÒ Øhe cÓÒØeÜØ Óf Öi×k aÒaÐÝ×i׸ iØ i× ÒÓØ

ÙÒÙ×ÙaÐ ØhaØ ÓÒe ha× ØÓ a××igÒ a ÔÖÓbabiÐiØÝØÓaÒeÚeÒØ ØhaØ ha× ÒeÚeÖ haÔÔ eÒed

b efÓÖe¸ ØhiÒk Óf a hÙge ÒaØÙÖaÐ di×a×ØeÖ¸ Ðike aÒ eaÖØhÕÙake ×ØÖikiÒg Øhe ĺAº ciØÝ

aÖeaº ÆÓ iÒdiÚidÙaÐ iÒ×ÙÖaÒce cÓÑÔaÒÝÛÓÙÐd b e abÐe ØÓ cÓÚeÖ Øhe ÐÓ××e׺

FÓÖ ×ØÙdÝiÒg ×Ùch ÖaÖe eÚeÒØ× daØa aÖe Òeeded¸ ÔÖefeÖabÐÝ iÒ ÐaÖge ÕÙaÒØiØie׺

FigÙÖe ½º½º½ ÔÖÓÚide× aÒ eÜaÑÔÐeº Ìhe ×eÖie× Óf Ób×eÖÚed eÜchaÒge ÖaØe× ´Ê µi×

Ø

ØÖaÒ×fÓÖÑed iÒØÓ ÐÓgßÖeØÙÖÒ× bÝ ØakiÒg ÐÓgßdi«eÖeÒce×:

X =ÐÓgÊ ÐÓg Ê :

Ø Ø Ø ½

Ìhi× ØÖaÒ×fÓÖÑaØiÓÒ i× cÓÑÑÓÒÐÝ Ù×ed iÒ ¬ÒaÒce ´×ee ÌaÝÐÓÖ [65]µº ÌheÖe aÖe

×eÚeÖaÐ Öea×ÓÒ× fÓÖ Øhi× chÓice Óf ØÖaÒ×fÓÖÑaØiÓÒº Ìhe ¬Ö×Ø ÓÒe i× ØhaØ ÓÒe be¹

ÐieÚe× ØhaØ ÐÓgßÖeØÙÖÒ׸ iÒ cÓÒØÖa×Ø ØÓ ÔÖice׸ caÒ b e ÙÒdeÖ×ØÓ Ó d a× ÖeaÐi×aØiÓÒ Óf

a ×ØaØiÓÒaÖÝ ÔÖÓ ce×׺ ËecÓÒdÐݸ Øhe ÐÓgßÖeØÙÖÒ× aÖe \cÐÓ×e" ØÓ Øhe ÖeÐaØiÚe ÖeØÙÖÒ×

´Ê Ê µ=Ê Ûhich facØ caÒ b e ea×iÐÝ ×eeÒ bÝaÌaÝÐÓÖ eÜÔaÒ×iÓÒ aÖgÙÑeÒØ

Ø Ø ½ Ø ½

Ê Ê Ê Ê

Ø Ø ½ Ø Ø ½

X =ÐÓgÊ ÐÓg Ê = ÐÓg ´½ · µ  :

Ø Ø Ø ½

Ê Ê

Ø ½ Ø ½

ÊeÐaØiÚe ÖeØÙÖÒ× aÖe Øhe ÕÙaÒØiØie× Ûhich aÖe Óf cÖÙciaÐ iÒØeÖe×Ø iÒ ÓÖdeÖ ØÓ chaÖ¹

acØeÖiÞe ÔÖice ÑÓÚeÑeÒØ׺ FiÒaÐÐݸ ÐÓgßÖeØÙÖÒ× aÖe ÔÖefeÖÖed ØÓ ÖeÐaØiÚe ÖeØÙÖÒ×

b ecaÙ×e ØheÝ aÐÐÓÛ fÓÖ aggÖegaØiÓÒ ÓÚeÖ di«eÖeÒØ ØiÑe ÔeÖiÓd× ´ÑiÒÙØe׸ hÓÙÖ׸

½º½º ÄaÖge \Ô eak×" iÒ ÖaÒdÓÑ ×eÕÙeÒce× ¿ -0.02 0.0 0.02 0.04 0.06

0 200 400 600 800 1000

FigÙÖe ½º½º½ A ×eÖie× Óf eÜchaÒge ÖaØe ÖeØÙÖÒ× i× ×hÓÛÒ¸ iºeº ÐÒ´Ê =Ê µ¸ÛheÖe

Ø Ø ½

Øhe Ê ³× aÖe daiÐÝ eÜchaÒge ÖaØe× ÍË DÓÐ ÐaÖ » ÆeÛ ZeaÐaÒd DÓÐ ÐaÖ iÒ Øhe ÔeÖiÓd

Ø

ÅaÖch ½986 | ÂÙÒe ½99¼º EÜØÖeÑeÐÝ high»ÐÓÛ ÚaÐÙe× ØeÒd ØÓ aÔÔeaÖ iÒ cÐÙ×ØeÖ׺

daÝ׸ Ûeek׸ eØcºµ¸ iºeº

Ã

X

ÐÓg Ê ÐÓg Ê = ´ÐÓg Ê ÐÓg Ê µ :

Ø Ø Ã Ø i·½ Ø i

i=½

Ìhe cÐa××icaÐ ×ØaØi×ØiciaÒ¸ ÓÒ Øhe ÓØheÖ haÒd¸ ÑighØ ØÖÝ ØÓ ØÖaÒ×fÓÖÑ ×iÑiÐaÖ

daØa ×eØ× iÒ ×ÓÑe ÓØheÖ Ûaݸ ×Ùch ØhaØ Øhe ÒÓÖÑaÐiØÝ a××ÙÑÔØiÓÒ b ecÓÑe× ÑÓÖe

ÖeÐiabÐeº ÀÓÛeÚeÖ¸ Øhi× ÔÖÓ cedÙÖe ÑaÝ b e daÒgeÖÓÙ× if ÓÒe i× iÒØeÖe×Øed iÒ eÜØÖeÑaÐ

eÚeÒØ׸ ×iÒce ØÓ ØÖaÒ×fÓÖÑ daØa accÙÖaØeÐÝ ÓÒe ÛÓÙÐd haÚe ØÓ kÒÓÛ Øhe eÜacØ ×haÔ e

Óf Øhe ÔÖÓbabiÐiØÝ di×ØÖibÙØiÓÒ fÓÖ ÚeÖÝ ÐaÖge ´×ÑaÐе daØa ÚaÐÙe׺ Ìhi× cÓÒdiØiÓÒ i×

ÙÒfÓÖØÙÒaØeÐÝ aÐÑÓ×Ø ÒeÚeÖ ×aØi׬ed iÒ ÔÖacØiceº

Çf cÓÙÖ×e¸ iØ i× ÒÓØ ÓÒÐÝ daØa eÜÔÖe××ibÐe iÒ dÓÐÐaÖ× | gaiÒed ÓÖ ÐÓ×Ø | ØhaØ

×hÓÛ× ×Ùch eÖÖaØic b ehaÚiÓÙÖº ÁÒ Øhe aÖea× Óf iÒ×ÙÖaÒce aÒd ¬ÒaÒce¸ hÓÛeÚeÖ¸

eÚeÖÝØhiÒg i× ÕÙaÒØi¬abÐe iÒ Øhe×e ØeÖÑ׺ ÁØ i× haÖdeÖ ØÓ a××e×× Øhe Öi×k Óf ÒaØÙÖaÐ

caØa×ØÖÓÔhe׺ ÅÓ×Ø Óf Ù× ÛÓÙÐd Ðike ØÓ kÒÓÛ ÛheØheÖ gÐÓbaÐ ÛaÖÑiÒg i× a ÖeaÐ

daÒgeÖ aÒd¸ if ×Ó¸ ÛheØheÖ iØ× Ô Ó××ibÐe cÓÒ×eÕÙeÒce× aÖe a× di×a×ØÖÓÙ× a× iØ i×

fÖeÕÙeÒØÐÝ cÐaiÑedº EÜceÔØ fÓÖ Øhe iÒØeÒ×e eÑÓØiÓÒ× ×ÙÖÖÓÙÒdiÒg Øhe ×Ùb jecظ Øhe

aØØeÑÔØ× ØÓ aÒaÐÝÞe Øhe ÔÖÓbÐeÑ ×Ù«eÖ fÖÓÑ Øhe facØ ØhaØ daØa aÖe ×caÖce aÒd ÒÓØ

cÓÑÔÐeØeÐÝ ÖeÐiabÐeº ÀÓÛeÚeÖ¸ ØheÖe i× ÓÒe ÒaØÙÖaÐ ÔheÒÓÑeÒÓÒ ØhaØ gaÚea big

4 ChaÔØeÖ ½º ÁÒØÖÓ dÙcØiÓÒ

iÑÔÙÐ×e ØÓ Øhe ×ØÙdÝ Óf eÜØÖeÑaÐ eÚeÒØ׺ ÌhaØ i× Øhe ÔÖÓbÐeÑ Óf bÙiÐdiÒg daÑ× ÓÖ

dike× high eÒÓÙgh ØÓ ÔÖÓØecØ Ô eÓÔÐe ÐiÚiÒg iÒ cÓa×ØaÐ aÖea× agaiÒ×Ø ÐaÖge ­ÙcØÙaØiÓÒ×

Óf Øhe ×ea ÐeÚeк Ìhe×e ÕÙe×ØiÓÒ× haÚeÛÓÖÖied Ô eÓÔÐe ÐiÚiÒg iÒ Øhe ÆeØheÖÐaÒd× fÓÖ

hÙÒdÖed×ÓfÝeaÖ׺ BÙØ ÓÒÐÝ iÒ Øhe Ða×Ø 4¼ß5¼ ÝeaÖ× ÑaØheÑaØiciaÒ× ÛeÖe abÐe ØÓ

a××igÒ ÔÖÓbabiÐiØie× ØÓ Øhe Ô Ó××ibÐe faiÐÙÖe Óf a daÑ Óf a giÚeÒ heighغ ÈiÓÒeeÖiÒg

ÛÓÖk iÒ Øhi× cÓÒØeÜØ i× dÙe ØÓ ÚaÒ DaÒØÞig ´½96½µ [67]aÒdhi××chÓ Óи ÔaÖØiciÔaØiÒg

iÒ Øhe deÐØa¹ÔÖÓ jecغ ÇÒÐÝ ÐaØeÖ ÓÒ¸ eÜØÖeÑe ÚaÐÙe ØheÓÖÝ eÒØeÖedº Ìhe Öe×eaÖchÓf

ĺ de ÀaaÒ¸ aÒÓØheÖ DÙØch ÑaØheÑaØiciaÒ¸ Ûa× ceÖØaiÒÐÝ ÓÒe Óf Øhe dÖiÚiÒg fÓÖce׸

×ee fÓÖ iÒ×ØaÒce [¾½¸¾¼]º

ÅaÒÝ ×ØÓ cha×Øic ÑÓ deÐ× aÖe ØÖadiØiÓÒaÐÐÝ bÙiÐØ aÖÓÙÒd Øhe hÝÔ ÓØhe×i× Óf ´aÔ¹

ÔÖÓÜiÑaØeµ ÒÓÖÑaÐiØÝ ´GaÙ××iaÒiØݵ Óf Øhe daØaº Ìhe ×aÑe a××ÙÑÔØiÓÒ Ûa× aÐ×Ó Øhe

cÓÖÒeÖ ×ØÓÒe fÓÖ ÑaÒÝ ÑÓ deÐ× iÒ Øhe ÛÓÖÐd Óf ¬ÒaÒce aÒd iÒ×ÙÖaÒceº ÁÒ hi× ÈhºDº

Øhe×i× fÖÓÑ ½9¼¼¸ ĺ BacheÐieÖ ÔÖÓÔ Ó×ed BÖÓÛÒiaÒ ÑÓØiÓÒ a× a ÑÓ deÐ fÓÖ ×Ô ecÙÐa¹

ØiÚeÔÖice׺ Ìhe facØ ØhaØ ×Ùch ÔÖice× cÓÙÐd b ecÓÑe ÒegaØiÚe deÐaÝed aÔÔÐicaØiÓÒ× Óf

Øhi× ÑÓ deÐ fÓÖ decade׺ ÇÒÐÝ iÒ ½965¸ ËaÑÙeÐ×ÓÒ [6½]ØÓÓkÙÔBacheÐieÖ³× hÝÔ ÓØh¹

e×i× aÒd ÖeÔÐaced Øhe ÑÓ deÐ bÝ geÓÑeØÖic BÖÓÛÒiaÒ ÑÓØiÓÒº Ìhi× ÑÓ deÐ ba×icaÐÐÝ

ÖeÔÐaced Øhe ÒÓÖÑaÐiØÝ a××ÙÑÔØiÓÒ bÝ ÐÓg ¹ÒÓÖÑaÐiØݺ ÁØ ØÓ Ók aÐÑÓ×Ø a decade¸ b e¹

fÓÖe Øhe ceÐebÖaØed ÔaÔ eÖ× bÝ BÐackaÒdËchÓÐe׸ aÒd ÅeÖØÓÒ iÒ ½97¿ b eÒchÑaÖked

Øhe bÖeakØhÖÓÙgh Óf cÓÒØiÒÙÓÙ×¹ØiÑe ÑaÖØiÒgaÐe× aÒd ×ØÓ cha×Øic aÒaÐÝ×i× ba×ed ÓÒ

BÖÓÛÒiaÒ ÑÓØiÓÒ iÒ Øhe ÑÓ deÐÐiÒg Óf ×Ô ecÙÐaØiÚe ÔÖice׺ BÝ ÒÓÛ¸ Øhe geÓÑeØÖic

BÖÓÛÒiaÒ ÑÓ deÐ i× ÛeÐÐ acceÔØed de×ÔiØe Øhe facØ ØhaØ ÖeaйÐife ¬ÒaÒciaÐ ÖeØÙÖÒ×

×hÓÛ ×igÒi¬caÒØ deÚiaØiÓÒ× fÖÓÑ Øhe ÒÓÖÑaÐiØÝhÝÔ ÓØhe×i׺ Ìhe faÚÓÙÖiØe ÖÓÐe ØhaØ

geÓÑeØÖic BÖÓÛÒiaÒ ÑÓØiÓÒ ÔÐaÝ× i× ÒÓØ ×Ó ÑÙch ba×ed ÓÒ ×ØaØi×ØicaÐ eÚideÒce¸

bÙØ ÑÓ×ØÐÝ ÓÒ Øhe eÒÓÖÑÓÙ× ­eÜibiÐiØÝ aÒd ÑaØheÑaØicaÐ ØÖacØabiÐiØÝÓfBÖÓÛÒiaÒ

ÑÓØiÓÒ aÒd iØ× fÙÒcØiÓÒaÐ׺

ÈÖacØiØiÓÒeÖ× aÒd ØheÓÖeØiciaÒ× haÚe fÖeÕÙeÒØÐÝ agÖeed ÓÒ Øhe facØ ØhaØ Øhe

BÖÓÛÒiaÒ hÝÔ ÓØhe×i× i× ÑÓÖe ÓÖ Ðe×× adeÕÙaØe a× ÐÓÒg a× Øhe bÙÐk Óf Øhe daØa i×

\ÛeÐÐ b ehaÚed"º ÀÓÛeÚeÖ¸ ØheÖe ha× aÐÛaÝ× b eeÒ a ×ÑaÐÐ Ô ÓÖØiÓÒ Óf Øhe daØa Ûhich

×hÓÛed ÚeÖÝ eÖÖaØic b ehaÚiÓÙÖ aÒd Ñade Øhe a××ÙÑÔØiÓÒ Óf ÒÓÖÑaÐiØÝÚeÖÝ ÕÙe×¹

ØiÓÒabÐeº BÝ \eÖÖaØic" Ûe ÑeaÒ ØhaØ Øhe daØa ­ÙcØÙaØe ×ØÖÓÒgÐÝ aÒd¸ fÙÖØheÖÑÓÖe¸

ØhaØ Øhe×e ÐaÖge ­ÙcØÙaØiÓÒ× dÓ ÒÓØ Ó ccÙÖ ×eÔaÖaØeÐÝ bÙØ ØeÒd ØÓ fÓÖÑ cÐÙ×ØeÖ׺

Ìhi× ØÝÔ e Óf b ehaÚiÓÙÖ i× ØÝÔicaÐ fÓÖ daØa iÒ ¬ÒaÒce¸ iÒ×ÙÖaÒce aÒd ØeÐecÓÑÑÙÒi¹

caØiÓÒ׺

ÁÒ ÛhaØ fÓÐÐÓÛ׸ ÛeÛaÒØ ØÓ eÜÔÐaiÒ bÖie­Ý hÓÛ Øhe ÔheÒÓÑeÒÓÒ Óf eÜØÖeÑeÐÝ

ÐaÖge ´ÓÖ ×ÑaÐе ÚaÐÙe× iÒ a ØiÑe ×eÖie× aÒd Øhe cÐÙ×ØeÖ e«ecØ ´iºeº deÔ eÒdeÒceµ

caÒ be de×cÖib ed ØÓgeØheÖº Ïe ÛiÐÐ ÔÓiÒØ ÓÙØ ØhaØ Øhe eÜØÖeÑaÐ behaÚiÓÙÖ Óf

a ×ØaØiÓÒaÖÝ ØiÑe ×eÖie× caÒ be caÔØÙÖed bÝ iØ× heaÚݹØaiÐed ¬ÒiØe¹diÑeÒ×iÓÒaÐ

di×ØÖibÙØiÓÒ׺ Ïe aÐ×Ó ØÓÙch ÓÒ Øhe ÕÙe×ØiÓÒ hÓÛ Øhe heaÚiÒe×× Óf Øhe ØaiÐ× caÒ b e

deØecØed bÝ ×ØaØi×ØicaÐ ÑeaÒ׺ ÌheÒ Ûe di×cÙ×× ×ÓÑe Ñea×ÙÖe× Óf deÔ eÒdeÒcÝ iÒ a

heaÚݹØaiÐed ÛÓÖÐdº

½º½º ÄaÖge \Ô eak×" iÒ ÖaÒdÓÑ ×eÕÙeÒce× 5

½º½º¾ ÌÛÓ iÑÔ ÓÖØaÒØ cÐa××e× Óf heaÚݹØaiÐed di×ØÖibÙØiÓÒ×

BÝ Øhe ØaiÐ× Óf a ÔÖÓbabiÐiØÝ di×ØÖibÙØiÓÒ ´Óf a ÖaÒdÓÑ ÚaÖiabÐe X µÛe ÙÒdeÖ¹

×ØaÒd Øhe fÓÐÐÓÛiÒg ØÝÔ e Óf ÔÖÓbabiÐiØie×

È ´X  ܵ aÒd È ´X>ܵ ;

fÓÖ Ô Ó×iØiÚeÚaÐÙe× Óf ܺ ÀeÙÖi×ØicaÐÐݸÛeÑaÝ de×cÖib e a \heaÚݹØaiÐed" di×ØÖibÙ¹

ØiÓÒ a× ÓÒe ÛhÓ×e ØaiÐ× aÖe ÑÙchheaÚieÖ ØhaÒ ØhÓ×e Óf Øhe ÒÓÖÑaÐ ÓÖ eÜÔ ÓÒeÒØiaÐ

di×ØÖibÙØiÓÒ׺ Ài×ØÓÖicaÐÐݸ a ÔÖeci×e de¬ÒiØiÓÒ Óf \heaÚÝ" ÓÖ \ÐighØ" ØaiÐ× ÚeÖÝ ÑÙch

deÔ eÒd× ÓÒ Øhe aÖea Óf aÔÔÐicaØiÓÒ aÒd Øhe ×ØÖÙcØÙÖaÐ ÔÖÓÔ eÖØie× Óf Øhe ØiÑe ×eÖie×

ÓÒe ÛaÒØ× ØÓ ÑÓ deк Ìhe ea×ie×Ø Ô Ó××ibiÐiØÝ ´ÛhichÛe dÓ ÒÓØ fÓÐÐÓÛµ i× ØÓ caÐÐ Øhe

giÚeÒ di×ØÖibÙØiÓÒ Óf a ÖaÒdÓÑ ÚaÖiabÐe X \heaÚݹØaiÐed" if iØ× ÔØh ÑÓÑeÒØi×iÒ¬¹

Ô

ÒiØe¸ iºeº ÛheÒ E jX j = ½¸ fÓÖ ×ÓÑe Ô> ¼º ÀÓÛeÚeÖ¸ fÓÖ Øhi× cÐa×× Óf di×ØÖibÙØiÓÒ×

Øhe de×cÖiÔØiÓÒ Óf Øhe ØaiÐ× i× ØÓ Ó Ûide ØÓ b e Ù×efÙÐ fÓÖ Øhe ×ØaØi×ØicaÐ aÒaÐÝ×i× Óf

ÖeaйÐife daØaº

ÌÛÓ cÐa××e× Óf di×ØÖibÙØiÓÒ× haÚe gaiÒed ÔaÖØicÙÐaÖ Ô ÓÔÙÐaÖiØÝ fÓÖ ÑÓ deÐÐiÒg

eÜØÖeÑaÐ eÚeÒØ×: ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg di×ØÖibÙØiÓÒ× aÒd ×Ùb eÜÔ ÓÒeÒØiaÐ di×ØÖibÙØiÓÒ׺

Ïe×aÝ ØhaØ Øhe ÔÖÓbabiÐiØÝ di×ØÖibÙØiÓÒ Óf a ÖaÒdÓÑ ÚaÖiabÐe X i× ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg

ÛiØh iÒdeÜ «  ¼ if ØheÖe eÜi×Ø cÓÒ×ØaÒØ× Ô; Õ  ¼ ´ÛiØh Õ =½ ÔµÛhich ×aØi×fÝ

Øhe fÓÐÐÓÛiÒg ÖeÐaØiÓÒ:

« «

È ´X>ܵ=´Ô · Ó´½µµ Ü Ä´Üµ aÒd È ´X  ܵ=´Õ · Ó´½µµ Ü Ä´Üµ ; ´½º½µ

fÓÖ eÚeÖÝ Ü > ¼¸ ÛheÖe Ä i× a ×ÐÓÛÐÝ ÚaÖÝiÒg fÙÒcØiÓÒ¸ iºeº Ä´cܵ=Ĵܵ ! ½¸ a×

Ü !½¸fÓÖeÚeÖÝ c>¼º FÓÖ ÑaÒÝ ÖeaйÐife daØa ×eØ× iÒ ØeÐeØÖaÆc¸ iÒ×ÙÖaÒce aÒd

¬ÒaÒce ØheÖe eÜi×Ø× eÑÔiÖicaÐ eÚideÒce iÒ faÚÓÙÖ Óf ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg di×ØÖibÙØiÓÒ׸

×ee fÓÖ iÒ×ØaÒce EÑbÖechØ׸ ÃÐÙÔÔ  eÐb eÖg aÒd ÅikÓ×ch[¾5]º ÁÒ FigÙÖe ½º½º¾ ÓÒe caÒ

cÓÑÔaÖe Øhe ØaiÐ× Óf ØÛÓÛeÐйkÒÓÛÒ ÖeÔÖe×eÒØaØiÚe× Óf Øhe ÐighعØaiÐed¸ Öe×Ô ecØiÚeÐÝ

heaÚݹØaiÐed di×ØÖibÙØiÓÒ×: Øhe ×ØaÒdaÖd ÒÓÖÑaÐ di×ØÖibÙØiÓÒ aÒd Øhe ×ØaÒdaÖd

CaÙchÝ di×ØÖibÙØiÓÒº Ìhe ÐaØØeÖ beÐÓÒg× ØÓ Øhe cÐa×× Óf Øhe ×ØabÐe di×ØÖibÙØiÓÒ׸

aÒdi×kÒÓÛÒ ØÓ haÚe iÒ¬ÒiØe ½×Ø ÑÓÑeÒظ iºeº E jX j = ½¸ aÒd b ÓØh Óf iØ× ØaiÐ× aÖe

ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg ÛiØh iÒdeÜ ½º

ÌheÖe eÜi×ظ Óf cÓÙÖ×e¸ ÓØheÖ ÔÙÖeÐÝ ÑaØheÑaØicaÐ Öea×ÓÒ× fÓÖ ØakiÒg ÖegÙ¹

ÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg di×ØÖibÙØiÓÒ× a× a ba×ic bÙiÐdiÒg bÐÓ ck fÓÖ ÑÓ deÐÐiÒg eÜØÖeÑaÐ eÚeÒØ׺

AÑÓÒg ÑaÒÝ Óf ØhÓ×e¸ Ûe Ób×eÖÚe ØhaØ a ÔÖÓbabiÐiØÝ di×ØÖibÙØiÓÒ i× ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖݹ

iÒg ÛiØh iÒdeÜ « ¾ ´¼; ¾µ if aÒd ÓÒÐÝ if iØ b eÐÓÒg× ØÓ Øhe dÓÑaiÒ Óf aØØÖacØiÓÒ Óf aÒ

iÒ¬ÒiØe ÚaÖiaÒce ×ØabÐe di×ØÖibÙØiÓÒ¸ ×ee [¾¸ 59¸ 4½]º ÅÓÖeÓÚeÖ¸ «>¼ iÑÔÐie× ØhaØ

Øhe di×ØÖibÙØiÓÒ b eÐÓÒg× ØÓ Øhe ÑaÜiÑÙÑ dÓÑaiÒ Óf aØØÖacØiÓÒ Óf ÓÒe ÔaÖØicÙÐaÖ

eÜØÖeÑe ÚaÐÙe di×ØÖibÙØiÓÒ | Øhe FÖecheØ di×ØÖibÙØiÓÒ | ×ee [¾5¸ 54] ÓÖ [¿9]º

AÒÓØheÖ cÐa×× Óf di×ØÖibÙØiÓÒ× ha× b ecÓÑe aÒ iÑÔ ÓÖØaÒØ iÒgÖedieÒØ fÓÖ Øhe ÑÓ d¹

eÐÐiÒg Óf heaÚݹØaiÐed ÔheÒÓÑeÒa: Øhe cÐa×× Óf ×Ùb eÜÔ ÓÒeÒØiaÐ di×ØÖibÙØiÓÒ׸ cfº

[¾5]º ËÙb eÜÔ ÓÒeÒØiaÐiØÝcaÒbe de¬Òed ØhÖÓÙgh Øhe a×ÝÑÔØÓØic b ehaÚiÓÙÖ Óf Øhe

6 ChaÔØeÖ ½º ÁÒØÖÓ dÙcØiÓÒ

Normal density Cauchy density 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

-10 -5 0 5 10

FigÙÖe ½º½º¾ DeÒ×iØie× Óf Øhe ×ØaÒdaÖd ÒÓÖÑaÐ aÒd ×ØaÒdaÖd CaÙchÝ di×ØÖibÙ¹

¾ ½

ØiÓÒ׺ ÊecaÐ Ð ØhaØ Øhe ÐaØØeÖ ÓÒe ha× Øhe deÒ×iØÝ f ´Üµ=´ ´½ · Ü µµ º

ÔaÖØiaÐ ×ÙÑ× aÒd ÑaÜiÑa Óf a giÚeÒ ×eÕÙeÒce Óf iÒdeÔ eÒdeÒØ ideÒØicaÐÐÝ di×ØÖibÙØed

´iºiºdºµ ÖaÒdÓÑ ÚaÖiabÐe׺ Ìhe ÔÖÓbabiÐiØÝ di×ØÖibÙØiÓÒ Óf a Ô Ó×iØiÚe ÖaÒdÓÑ ÚaÖi¹

abÐe X i× caÐÐed ×Ùb eÜÔ ÓÒeÒØiaÐ if fÓÖ aÐÐ Ò ¾ Æ ´acØÙaÐÐÝ aÒÝ Ò  ¾ i× ×ÙÆcieÒظ

×ee [¾5]µ ÛehaÚe

È ´X · ¡¡¡ · X >ܵ

½ Ò

=½; ÐiÑ

Ü!½

ÒÈ´X>ܵ

ÛheÖe Øhe ÖaÒdÓÑ ÚaÖiabÐe× X aÖe iºiºdº ÛiØh Øhe ×aÑe di×ØÖibÙØiÓÒ a× X º ÆÓØice

i

ØhaØ Øhe eÜÔÖe××iÓÒ ab ÓÚe caÒ b e ÖeÛÖiØØeÒ a×

È ´X · ¡¡¡ · X >ܵ

½ Ò

ÐiÑ =½: ´½º¾µ

Ü!½

È ´ÑaÜ fX ;::: ;X g >ܵ

½ Ò

ÌheÖefÓÖe¸ ×Ùb eÜÔ ÓÒeÒØiaÐiØÝ ÑeaÒ× ØhaØ aÒ eÜceedaÒce Óf Øhe high ØhÖe×hÓÐd ÐeÚeÐ

Ü bÝ Øhe ×ÙÑ X · ¡¡¡ · X ¸ i× e××eÒØiaÐÐÝ dÙe ØÓ Øhe eÜceedaÒce Óf Ü bÝ ÓÒe

½ Ò

eÜØÖeÑeÐÝ big ÚaÐÙe aÑÓÒg X ;::: ;X ¸iºeº Øhe ÑaÜiÑÙÑ Óf X ;::: ;X º Ìhi× i×

½ Ò ½ Ò

iÒ cÓÒØÖa×Ø ØÓ ÒÓÖÑaÐÐÝ di×ØÖibÙØed ×eÕÙeÒce× fÓÖ iÒ×ØaÒce¸ ÛheÖe Øhe ÐiÑiØ iÒ ´½º¾µ

ÛÓÙÐd b e iÒ¬ÒiØeº

ËÙb eÜÔ ÓÒeÒØiaÐiØÝ a× a ÔÖÓbabiÐi×Øic cÓÒceÔØ ÓÖigiÒaØe× fÖÓÑ ØheÓÖeØicaÐ cÓÒ¹

×ideÖaØiÓÒ× iÒ Öi×k ØheÓÖÝ cÓÒceÖÒiÒg ÖÙiÒ ÔÖÓbabiÐiØie× aÒd iÒ ÕÙeÙiÒg ØheÓÖÝ cÓÒ¹

ceÖÒiÒg bÙ«eÖ ÓÚeÖ­ÓÛ ÔÖÓbabiÐiØie× iÒ a ×ØabÐe ÕÙeÙeº ÁÒ Øhe cÓÒØeÜØ Óf ØhÓ×e

ØheÓÖie׸ ×Ùb eÜÔ ÓÒeÒØiaÐ di×ØÖibÙØiÓÒ× aÖe ÒaØÙÖaÐ di×ØÖibÙØiÓÒ× fÓÖ heaÚݹØaiÐed

½º½º ÄaÖge \Ô eak×" iÒ ÖaÒdÓÑ ×eÕÙeÒce× 7

ÖaÒdÓÑ ÚaÖiabÐe׺ A× a ÑaØØeÖ Óf facظ Ô Ó×iØiÚe ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg di×ØÖibÙØiÓÒ× aÖe

×Ùb eÜÔ ÓÒeÒØiaÐ a× ÛeÐи iºeº ÛehaÚe Øhe fÓÐÐÓÛiÒg ÖeÐaØiÓÒ:

ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg di×¹ ² ×Ùb eÜÔ ÓÒeÒØiaÐ

ØÖibÙØiÓÒ× di×ØÖibÙØiÓÒ×

½º½º¿ CaÒ Ûe acØÙaÐÐÝ ×ee heaÚÝ ØaiÐ×?

ÁÒdeed¸ ÛecaÒº ÁÒ ÛhaØ fÓÐÐÓÛ׸ Ûe cÓÒ×ideÖ ×ÓÑe eÐeÑeÒØaÖÝ eÜÔÐÓÖaØÓÖÝ ØÓ ÓÐ×

fÓÖ deØecØiÒg Øhe ÔÖe×eÒce Óf heaÚÝ ØaiÐ× iÒ agiÚeÒ daØa ×eÖie׺ Ìhe eÑÔha×i× i×

ÓÒ Øhe ÛÓÖd \eÜÔÐÓÖaØÓÖÝ"¸ ×iÒce Ûe dÓ ÒÓØ iÒØeÒd ØÓ aÒaÐÝÞe hÓÛ ÔÖeci×e Øhe×e

ÑeØhÓ d× aÖeº Ïe ÓÒÐÝ hÓÔ e ØhaØ Ûe caÒ Ñake Øhe heaÚÝ ØaiÐ× Úi×ibÐe eÚeÒ ØÓ aÒ

ÙÒeÜÔ eÖieÒced eÝeº

ÇÒe ÑaÝ ×ØaÖØ fÖÓÑ ÕÕ¹ÔÐÓØ× Ûhich aÖe a ×ØaÒdaÖd iØeÑ iÒ Øhe ×ØaØi×ØicaÐ ØÓ Óй

bÓܺ ÅÓ deÖÒ ×ØaØi×ØicaÐ ×ÓfØÛaÖe aÐÐÓÛ× ÓÒe ØÓ cÓÑÔaÖe Øhe ÕÙaÒØiÐe× Óf Øhe eѹ

ÔiÖicaÐ di×ØÖibÙØiÓÒ ÛiØh aÒÝ ØheÓÖeØicaÐ ÑÓ deк ÈÖacØiØiÓÒeÖ× fÖeÕÙeÒØÐÝ ÑakeØhe

ÕÕ¹ÔÐÓØ agaiÒ×Ø Øhe ÒÓÖÑaÐ ÓÖ eÜÔ ÓÒeÒØiaÐ di×ØÖibÙØiÓÒ¸ aÒd heaÚÝ ØaiÐ× aÖe Ù×ÙaÐÐÝ

ea×iÐÝ deØecØabÐe¸ a× iÒ FigÙÖe ½º½º¿º

A× a ×ecÓÒd Ô Ó××ibiÐiØÝÛeÑaÝ cÓÒ×ideÖ Øhe fÓÐÐÓÛiÒg eÐeÑeÒØaÖÝ ØÓ ÓÐ Ûhich

cÓÑÔaÖe× Øhe ÔaÖØiaÐ ×ÙÑ× aÒd Øhe ÑaÜiÑa Óf a giÚeÒ ×aÑÔÐe X ;::: ;X

½ Ò

Ô Ô

ÑaÜ fjX j ;::: ;jX j g

½ i

^

Ì ´Ôµ= ; i =½;::: ;Ò;

i

Ô Ô

jX j · ¡¡¡ · jX j

½ i

Ô

fÓÖ ×ÓÑe Ô> ¼º FÓÖ aÒÝ ×ØaØiÓÒaÖÝ aÒd eÖgÓ dic ×eÕÙeÒce ´X µ¸ ÛiØh E jX j < ½¸

Ø ½

È

^ ^

ÛehaÚe Ì ´Ôµ ! ¼a×Ò !½º ÌheÖefÓÖe¸ if Øhi× i× Øhe ca×e¸ Øhe ÔÐÓØ Óf Ì ´Ôµ

Ò Ò

agaiÒ×Ø Ò ×hÓÙÐd ×hÓÛ cÐeaÖ decaÝ ØÓ ÞeÖÓº Áf Øhi× dÓ e× ÒÓØ haÔÔ eÒ iØ i× aÒ iÒdicaØiÓÒ

ØhaØ Øhe ÔØh ÑÓÑeÒØÓfX i× iÒ¬ÒiØeº Ìhi× i× iÐÐÙ×ØÖaØed bÝ FigÙÖe ½º½º4º

½

AÒÓØheÖ ×ØaÒdaÖd ØÓ ÓÐ fÓÖ Øhe aÒaÐÝ×i× Óf heaÚݹØaiÐed daØa ×eØ× i× Øhe ÑeaÒ

eÜce×× fÙÒcØiÓÒ¸ iºeº

e´Ùµ=E ´X ÙjX>Ùµ :

FÓÖ ×Ùb eÜÔ ÓÒeÒØiaÐ di×ØÖibÙØiÓÒ× e´ÙµcÓÒÚeÖge× ØÓ iÒ¬ÒiØÝa×Ù !½º ÇÒ Øhe

ÓØheÖ haÒd¸ fÓÖ Øhe eÜÔ ÓÒeÒØiaÐ di×ØÖibÙØiÓÒ ÛiØh ÔaÖaÑeØeÖ ¸ e´Ùµ i× eÕÙaÐ ØÓ Øhe

cÓÒ×ØaÒؽ=¸ ÛhiÐe fÓÖ Øhe ÒÓÖÑaÐ ´aÒd aÒÝ ÓØheÖ ×ÙÔ eÖeÜÔ ÓÒeÒØiaе di×ØÖibÙØiÓÒ

Ûe haÚe e´Ùµ ! ¼¸ a× Ù ! ½; cfº ChaÔØeÖ 6 iÒ [¾5]º A× a cÓÒ×eÕÙeÒce Óf

ÃaÖaÑaØa³× ØheÓÖeѸ fÓÖ Øhe di×ØÖibÙØiÓÒ× ÛiØh ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg ÖighØ ØaiÐ e´Ùµ

i× ÖÓÙghÐÝ ÐiÒeaÖº FÓÖ ×ÓÑe Óf Øhe×e di×ØÖibÙØiÓÒ× Ûe ÔÐÓØ Øhe gÖaÔh Óf e´Ùµ iÒ

FigÙÖe ½º½º5º

ÁÒ ÔÖacØice¸ ÓÒe cÓÒ×ideÖ× Øhe eÑÔiÖicaÐ aÒaÐÓgÙe Óf Øhe ÑeaÒ eÜce×× fÙÒcØiÓÒ

a× aÒÓØheÖ eÜÔÐÓÖaØÓÖÝ ØÓ ÓÐ:

È

Ò

·

´X Ùµ

i

i=½

; Ù> ¼ : e^ ´Ùµ=

Ò

# f½  i  Ò : X >Ùg i

8 ChaÔØeÖ ½º ÁÒØÖÓ dÙcØiÓÒ DAX returns -0.05 0.0 0.05 0.10

-2 0 2 Quantiles of Standard Normal DAX returns -0.05 0.0 0.05 0.10

0 500 1000 1500

FigÙÖe ½º½º¿ Ìhe eÑÔiÖicaÐ ÕÙaÒØiÐe× Óf Øhe GeÖÑaÒ ×ØÓck iÒdeÜ DAX daiÐÝ Öe¹

ØÙÖÒ× aÖe cÓÑÔaÖed ÛiØh Øhe ÕÙaÒØiÐe× Óf Øhe aÔÔÖÓÔÖiaØeÐÝ ×ØaÒdaÖdiÞed ÒÓÖÑaÐ

di×ØÖibÙØiÓÒº DaØa aÖe cÓÐ ÐecØed ÓÚeÖ Øhe ÔeÖiÓd ÂÙÐÝ ½988 | AÙgÙ×Ø ½995º Ìhe

deÚiaØiÓÒ fÖÓÑ Øhe ×ØÖaighØ ÐiÒe¸ iÒ ÔaÖØicÙÐaÖ fÓÖ Øhe ÚeÖÝ ÐÓÛ aÒd ÚeÖÝ high ÚaÐÙe׸

iÒdicaØe× ØhaØ Øhe ØaiÐ× Óf Øhe DAX ÖeØÙÖÒ× ×hÓÙÐd ÒÓØ be ÑÓdeÐ Ðed bÝ ÖefeÖÖiÒg ØÓ

a ÒÓÖÑaÐ di×ØÖibÙØiÓÒº

A× Ù×Ùaи #A deÒÓØe× Øhe caÖdiÒaÐiØÝÓfØhe×eØ A¸ ÛhiÐe fÓÖ aÒÝÖeaÐÒÙÑbeÖ Ü¸

·

Øhe ÚaÐÙe Ü i× de¬Òed a× ÑaÜfÜ; ¼gº Áf Øhe ×eÕÙeÒce ´X µ i× ×ØaØiÓÒaÖÝ eÖgÓ dic¸

i

e^ ´Ùµ ha× aÔÔÖÓÜiÑaØeÐÝ Øhe ×aÑe behaÚiÓÙÖ a× e´Ùµº CaÖe ha× ØÓ be ØakeÒ fÓÖ

Ò

ÚeÖÝ ÐaÖge ÚaÐÙe× Ù¸ b ecaÙ×e Øhe eÑÔiÖicaÐ ÑeaÒ eÜce×× fÙÒcØiÓÒ i× ÒÓØ fÓÖÑaÐÐÝ

de¬Òed if ÑaÜ´X ;::: ;X µ  Ù¸ ×ee FigÙÖe½º½º6º

½ Ò

ÌheÖe aÖe¸ Óf cÓÙÖ×e¸ ÓØheÖ ÑeØhÓ d× fÓÖ di×ØiÒgÙi×hiÒg heaÚݹØaiÐed di×ØÖibÙØiÓÒ×

fÖÓÑ ÐighعØaiÐed ÓÒe׺ AÑÓÒg ØheѸ Øhe e×ØiÑaØiÓÒ Óf Øhe eÜØÖeÑe ÚaÐÙe iÒdeܸ

ÓÖ ÑÓÖe ×Ô eci¬caÐÐݸ Óf Øhe iÒdeÜ « iÒ ´½º½µ ha× b ecÓÑe ÚeÖÝ Ô ÓÔÙÐaÖ¸ Ûe ÖefeÖ ØÓ

[¾5¸ 5¾]º Ìhi× i× Ù×ÙaÐÐÝ dÓÒe bÝ Øhe ÀiÐÐ e×ØiÑaØÓÖ Ûhich Ûe cÓÒ×ideÖ iÒ ÑÓÖe deØaiÐ iÒ ËecØiÓÒ 4º¾¸ ×ee aÐ×Ó FigÙÖe ½º½º7º

½º½º ÄaÖge \Ô eak×" iÒ ÖaÒdÓÑ ×eÕÙeÒce× 9

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 2000 4000 6000 n S&P’s 500 returns -0.20 -0.10 0.0 0.10

0 2000 4000 6000

FigÙÖe ½º½º4 Ìhe ØiÑe ×eÖie× Óf Øhe ËØaÒdaÖd ² ÈÓÓÖ³× 5¼¼ ×ØÓck iÒdeÜ daiÐÝ

^

ÖeØÙÖÒ× aÖe cÓÐ ÐecØed ÓÚeÖ Øhe ÔeÖiÓd ½96¿ß½99½º Ìhe ×ØaØi×Øic× Ì ´Ôµ aÖe ÔÐÓØØed

Ò

^

fÓÖ Ô = ¿:5º CÓÒÚeÖgeÒce Óf Ì ´Ôµ ØÓÛaÖd× ¼ i× ÚeÖÝ ÕÙe×ØiÓÒabÐeº Ìhi× i× aÒ

Ò

iÒdicaØiÓÒ ØhaØ Øhe ÑÓÑeÒØ× Óf ÓÖdeÖ  ¿:5 aÖe iÒ¬ÒiØe fÓÖ Øhi× ×eÖie׺ AÒÓØheÖ

iÒØeÖÔÖeØaØiÓÒ¸ Óf cÓÙÖ×e¸ i× ØhaØ Øhe ×eÖie× i× ÒÓØ ×ØaØiÓÒaÖݺ

½º½º4 ÀÓÛ ØÓ Ñea×ÙÖe deÔ eÒdeÒce iÒ a heaÚݹØaiÐed ÛÓÖÐd?

ËÓ faÖ Ûe haÚe eÜÔÐaiÒed ÛhaØ Ûe ÑeaÒ bÝ heaÚÝ ØaiÐ× aÒd hÓÛ ØheÝ caÒ

be deØecØed bÝ ×ØaØi×ØicaÐ ÑeaÒ׺ BÙØ Ûe haÚe aÐ×Ó ÑeÒØiÓÒed aÒÓØheÖ ØÝÔicaÐ

eÑÔiÖicaÐ facØ Óf ÑaÒÝ ÖeaйÐife daØa ×eØ×: deÔ eÒdeÒceº ÁØ i× Óf cÖÙciaÐ iÑÔ ÓÖØaÒce

fÓÖ aÒÝ ÔÖacØicaÐ aÔÔÐicaØiÓÒ ØÓ aÒ×ÛeÖ Øhe ÕÙe×ØiÓÒ a× ØÓ ÛheØheÖ Øhe ×eÕÙeÒce

´X µ i× iºiºdº ÓÖ ÒÓغ ËeÕÙeÒce× Óf iºiºdº ÖaÒdÓÑ ÚaÖiabÐe× aÖe ÒÓØ ÚeÖÝ ÓfØeÒ ÑeØ

i

iÒ ØiÑe ×eÖie× ÔÖacØice¸ hÓÛeÚeÖ ØheiÖ aÒaÐÝ×i× i× di«eÖeÒØ aÒd ÑÙch ×iÑÔÐeÖ ØhaÒ

Øhe aÒaÐÝ×i× Óf deÔ eÒdeÒØ daØaº

ËÓÑeØiÑe× iØ i× Ô Ó××ibÐe ØÓ deØecØ deÔ eÒdeÒcie× jÙ×Ø bÝ Úi×ÙaÐ iÒ×Ô ecØiÓÒ Óf a

ØiÑe ×eÖie× ÔÐÓغ Ìhi× hÓÐd× iÒ ÔaÖØicÙÐaÖ if Øhe ÚeÖÝ ÐaÖge aÒd ÚeÖÝ ×ÑaÐÐ ÚaÐÙe×

ØÝÔicaÐÐÝ Ó ccÙÖ iÒ cÐÙ×ØeÖ׺ Ìhi× i× ÒiceÐÝ iÐÐÙ×ØÖaØed bÝ FigÙÖe ½º½º½º ÌheÖe aÖe Óf

cÓÙÖ×e di«eÖeÒØ \degÖee× Óf deÔ eÒdeÒce" aÒd ×Ó iØ i× de×iÖabÐe ØÓ kÒÓÛhÓÛÑÙch

½¼ ChaÔØeÖ ½º ÁÒØÖÓ dÙcØiÓÒ

Exponential distribution Normal distribution Pareto distribution

Lognormal distribution

´¼; ¼µ

FigÙÖe ½º½º5 ÅeaÒ eÜce×× fÙÒcØiÓÒ× fÓÖ ×ÓÑe di×ØÖibÙØiÓÒ׺ AÒ iÑÔÓÖØaÒØ Ób×eÖ¹

ÚaØiÓÒ i× ØhaØ fÓÖ aÒ eÜÔÓÒeÒØiaÐ di×ØÖibÙØiÓÒ e´Ùµ i× eÕÙaÐ ØÓ a cÓÒ×ØaÒظ ÛhiÐe

fÓÖ ÐighعØaiÐed di×ØÖibÙØiÓÒ× iØ cÓÒÚeÖge× ØÓ ¼ a× Ù !½º ÇÒ Øhe ÓØheÖ haÒd¸ fÓÖ

ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg di×ØÖibÙØiÓÒ× ×Ùch a× ÈaÖeØÓ¸ e´Ùµ iÒcÖea×e× ØÓ ½ a× Ù !½º

Øhe ÔÖe×eÒØ ´eºgº X µ aÒd fÙØÙÖe ´eºgº X µÚaÐÙe× acØÙaÐÐÝ deÔ eÒd ÓÒ each ÓØheÖº

Ø Ø·h

Ìhe cÓÖÖeÐaØiÓÒ b eØÛeeÒ X aÒd X ha× ØÖadiØiÓÒaÐÐÝ b eeÒ Øhe ÑÓ×Ø cÓÑÑÓÒ

Ø Ø·h

Ñea×ÙÖe Óf deÔ eÒdeÒce iÒ ×ØaØi×ØicaÐ aÔÔÐicaØiÓÒ׺ ÀÓÛeÚeÖ¸ Øhe×e cÓÖÖeÐaØiÓÒ×

de×cÖib e Øhe deÔ eÒdeÒce Ô eÖfecØÐÝ ÓÒÐÝ if Øhe cÐa×× Óf di×ØÖibÙØiÓÒ× cÓÒ×ideÖed i×

×ÙÆcieÒØÐÝ ÒaÖÖÓÛ¸ eºgº Öe×ØÖicØed ØÓ ÒÓÖÑaÐ ÓÖ ÐÓg ßÒÓÖÑaÐ di×ØÖibÙØiÓÒ׺ ÌheÖe¹

fÓÖe ØheÝ ÑighØbe Ðe×× aÔÔÖÓÔÖiaØe chÓice iÒ Øhe ÔÖe×eÒce Óf heaÚÝ ØaiÐ׺ ÁÒ Øhe

cÓÒØeÜØ Óf Øhi× Øhe×i× Ûe aÖe ÑÓ×ØÐÝ iÒØeÖe×Øed iÒ Øhe eÚeÒØ× Ûhich haÔÔ eÒ iÒ Øhe faÖ

ÖighØ ÓÖ ÐefØ ØaiÐ× Óf Øhe ÔÖÓbabiÐiØÝ di×ØÖibÙØiÓÒ¸ heÒce ÛeÛaÒØ ØÓ ÐiÒk Øhe ÒÓØiÓÒ

Óf \deÔ eÒdeÒce" ØÓ Øhe ØaiÐ× a× ÛeÐк Ïe ÛiÐÐ ×ÓÑeØiÑe× ØaÐk ab ÓÙØ \deÔ eÒdeÒce

iÒ Øhe ØaiÐ×"º

AÑÓÒg Øhe Ñea×ÙÖe× Óf ØaiÐ deÔ eÒdeÒce¸ Øhe eÜØÖeÑaÐ iÒdeÜ Óf a ×ØaØiÓÒaÖÝ

×eÕÙeÒce ´X µ ´ÒÓØ ØÓ be Ñi×ØakeÒ ÛiØh Øhe eÜØÖeÑe ÚaÐÙe iÒdeܵ ha× aØØÖacØed

Ø

×ÓÑe aØØeÒØiÓÒ iÒ Øhe eÜØÖeÑe ÚaÐÙe ÐiØeÖaØÙÖeº FÓÖ a giÚeÒ ×ØaØiÓÒaÖÝ ×eÕÙeÒce

^

´X µ¸ Ûe cÓÒ×ideÖ aÒ iºiºdº ×eÕÙeÒce ´X µ ÛiØh cÓÑÑÓÒ di×ØÖibÙØiÓÒ eÕÙaÐ ØÓ ØhaØ

Ø Ø

^ ^ ^ ^

Óf X aÒd iØ× ÔaÖØiaÐ ÑaÜiÑa Å = ÑaÜ fX ;::: ;X gº ÊecaÐÐ ØhaØ Å ×aØi׬e×

½ Ò ½ Ò Ò

Øhe ÖeÐaØiÓÒ

Ò

^

È ´Å  ܵ=[È ´X  ܵ] :

Ò ½

½º½º ÄaÖge \Ô eak×" iÒ ÖaÒdÓÑ ×eÕÙeÒce× ½½ 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010 0.011

0.005 0.010 0.015 0.020 0.025

n

FigÙÖe ½º½º6 Ìhe eÑÔiÖicaÐ ÑeaÒ eÜce×× fÙÒcØiÓÒ e^ ´Ùµ i× ÔÐÓØØed fÓÖ Øhe ab×ÓÐÙØe

Ò

ÚaÐÙe× Óf Øhe eÜchaÒge ÖaØe daØa iÒ FigÙÖe ½º½º½º AcÓÑÔaÖi×ÓÒ ÛiØh Øhe ØheÓÖeØicaÐ

ÑeaÒ eÜce×× fÙÒcØiÓÒ× Óf FigÙÖe ½º½º5 Ðead× Ù× ØÓ Øhe cÓÒcÐÙ×iÓÒ ØhaØ Øhe daØa caÒ be

ÑÓdeÐ ÐedbÝaheaÚݹØaiÐed¸ ÔÓ××ibÐÝ eÚeÒ a ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg di×ØÖibÙØiÓÒ fÙÒcØiÓÒº

Ìhe eÜØÖeÑaÐ iÒdeÜ Óf Øhe ×ØaØiÓÒaÖÝ ×eÕÙeÒce ´X µ i× de¬Òed a× Øhe ÚaÐÙe  iÒ Øhe

Ø

iÒØeÖÚaÐ [¼; ½] Ûhich ×aØi׬e×

Ò

^

È ´Å  ܵ=[È ´X  ܵ] · Ó´½µ = È ´Å  ܵ·Ó´½µ

Ò ½

bÒ c

ÛheÖe Å = ÑaÜ fX ;::: ;X g aÒd Ü = Ü cÓÒÚeÖge× ØÓ Øhe ÖighØ eÒdÔ ÓiÒØ Óf

Ò ½ Ò Ò

Øhe di×ØÖibÙØiÓÒ Óf X a× Ò !½º ÌhÙ׸ ÛeÑaÝiÒØÙiØiÚeÐÝ ×aÝ ØhaØ Øhe a×ÝÑÔ¹

½

ØÓØic behaÚiÓÙÖ Óf Øhe ÔaÖØiaÐ ÑaÜiÑa Å Óf Øhe ×eÕÙeÒce ´X µ i× Øhe ×aÑe a×

Ò Ø

^

ØhaØ Óf Å º ÁÒ Øhe ca×e Óf iºiºdº ÖaÒdÓÑ ÚaÖiabÐe× X ¸  i× cÐeaÖÐÝ eÕÙaÐ ØÓ

i

bÒc

½º ÌhÙ× ×ÑaÐÐeÖ ÚaÐÙe× Óf  iÒdicaØe biggeÖ cÐÙ×ØeÖiÒg Óf ÐaÖge ­ÙcØÙaØiÓÒ׸ Ûhich

×Ùb×eÕÙeÒØÐÝ ÑeaÒ× ÑÓÖe deÔ eÒdeÒce iÒ Øhe ØaiÐ׺ Ïe ÖefeÖ ØÓ [¾5¸ ¿9] fÓÖ Øhe

ÔÖeci×e de¬ÒiØiÓÒ Óf  aÒd ×ÓÑe ×iØÙaØiÓÒ× ÛheÖe iØ caÒ be caÐcÙÐaØed eÜÔÐiciØÐݺ

ÁØ× e×ØiÑaØiÓÒ¸ hÓÛeÚeÖ¸ i× ÕÙiØe diÆcÙÐغ

ÁÒ ÔÖacØice ÓÒe e×ØiÑaØe× aÙØÓ cÓÚaÖiaÒce× aÒd aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ× Óf a ×ØaØiÓÒaÖÝ

×eÕÙeÒce fÖÓÑ a ×aÑÔÐeº ÁØ i× ÓÒe Óf Øhe ÑaiÒ aiÑ× Óf Øhi× Øhe×i× ØÓ ×hÓÛ Øhaظ iÒ Øhe

heaÚݹØaiÐe ca×e¸ Øhe eÜØÖeÑe× iÒ a ×ØaØiÓÒaÖÝ ×eÕÙeÒce deØeÖÑiÒe Øhe a×ÝÑÔØÓØic

behaÚiÓÙÖ Óf iØ× ×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÚaÖiaÒce× aÒd ×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ׺ ÁÒ ÔaÖØic¹

ÙÐaÖ¸ Ûe ÛiÐÐ iÐÐÙ×ØÖaØe hÓÛ ×ÓÑe fÖeÕÙeÒØÐÝ Ù×ed ÒÓÒ¹ÐiÒeaÖ ØiÑe ×eÖie× ÑÓ deÐ׸

×Ùch a× biÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce××e× aÒd Øhe ceÐebÖaØed AÊCÀ faÑiÐÝ ´cfº ËecØiÓÒ ¿º¾µ aÖe

½¾ ChaÔØeÖ ½º ÁÒØÖÓ dÙcØiÓÒ 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 1000 2000 3000 4000 File sizes (in Mb) 012345

0 5000 10000 15000

FigÙÖe ½º½º7 Ìhe ÖegÙÐaÖ ÚaÖiaØiÓÒ iÒdeÜ i× e×ØiÑaØed Ù×iÒg Øhe ÀiÐ Ð e×ØiÑaØÓÖ

fÓÖ ØeÐeØÖaÆc daØaº Ìhe ×eÖie× ÖeÔÖe×eÒØ× ¬Ðe ×iÞe× ÖeÕÙe×Øed bÝ ÏÏÏ ×e××iÓÒ×

aØ a cÓÑÔÙØeÖ Ðab Óf BÓ×ØÓÒ ÍÒiÚeÖ×iØÝ dÙÖiÒg ÂaÒÙaÖÝ ½995º Ïe ÑaÝ Ób×eÖÚe

ØhaØ Øhe e×ØiÑaØÓÖ ×Ùgge×Ø× ØhaØ Øhe ØaiÐ iÒdeÜ « Ðie× iÒ Øhe iÒØeÖÚaÐ ´½; ½:¾µº Ìhi×

cÓÒ×eÕÙeÒØÐÝ ÑeaÒ× ØhaØ Øhe ØiÑe ×eÖie× ×hÓÙÐd beÑÓdeÐ Ðed bÝ aÒ iÒ¬ÒiØe ÚaÖiaÒce

ÑÓdeк

×Ùb jecØ ØÓ ÔiØfaÐÐ× iÒ Øhe aÝÑÔØÓØic b ehaÚiÓÙÖ Óf Øhe ×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÚaÖiaÒce× aÒd

aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ׺ ÁÒ ÛhaØ fÓÐÐÓÛ× ÛeÛaÒØ ØÓ cÓÒ×ideÖ ×ÓÑe Óf Øhe cÐa××icaÐ ÑÓ deÐ×

iÒ ØiÑe ×eÖie× aÒaÐÝ×i× aÒd cÓÑÔaÖe ØheÑ ØÓ ×ÓÑe ÑÓÖe ÖeceÒØ ÓÒe׺ AÐÐ Øhe ÑÓ deÐ×

ÛiÐÐ b e b ÓÖÖÓÛed fÖÓÑ Øhe ÐiØeÖaØÙÖe¸ ØhaØ Óf ecÓÒÓÑeØÖic× iÒ ÔaÖØicÙÐaÖº

½º¾ ÅÓ deÐÐiÒg heaÚݹØaiÐed ØiÑe ×eÖie×

½º¾º½ ËØaÒdaÖd ØiÑe ×eÖie× ÑÓ deÐ×

CÐa××icaÐ ØiÑe ×eÖie× aÒaÐÝ×i× ha× b eeÒ cÓÒceÖÒed ÑÓ×ØÐÝ ÛiØh ÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce××e×:

½

X

X = Z ; Ø ¾ Z ; ´½º¿µ

Ø j Ø j

j = ½

½º¾º ÅÓ deÐÐiÒg heaÚݹØaiÐed ØiÑe ×eÖie× ½¿

ÛheÖe ´ µ i× aÒ aÔÔÖÓÔÖiaØe ×eÕÙeÒce Óf ÖeaÐ cÓ eÆcieÒØ× aÒd ´Z µi×aiÒÒÓÚaØiÓÒ×

j Ø

×eÕÙeÒceº Ìhe ×eÕÙeÒce ´Z µ i× cÐa××icaÐÐÝ a××ÙÑed ØÓ be ÛhiØe ÒÓi×e ´iºeº ×Øa¹

Ø

ØiÓÒaÖݸ ÙÒcÓÖÖeÐaØed aÒd ÑeaÒ¹ÞeÖÓµ; iÒ ÑÓ×Ø aÔÔÐicaØiÓÒ× ´Z µi×eÚeÒ ×ÙÔÔ Ó×ed

Ø

ØÓ be iºiºdº Ìhe ÑÓ deÐ ´½º¿µ iÒcÐÙde× ×ØaØiÓÒaÖÝ AÊÅA aÒd FAÊÁÅA ÔÖÓ ce××e×

Ûhich aÖe Øhe ØiÑe ×eÖie× ÑÓ deÐ× Ù×ed ÑÓ×Ø fÖeÕÙeÒØÐÝ iÒ aÔÔÐicaØiÓÒ× iÒ eÒgiÒeeÖ¹

iÒg¸ ÔhÝ×ic׸ cheÑi×ØÖݸ ÑeØeÓÖÓÐÓgݸhÝdÖÓÐÓgݸ eØcº AÊÅA ÔÖÓ ce××e× aÒd¸ ÑÓÖe

geÒeÖaÐÐݸ ÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce××e× ÛiØh ¬ÒiØe ÚaÖiaÒce aÖe ­eÜibÐe ØÓ ÑÓ deÐ aÒÝ kiÒd Óf

aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ ×ØÖÙcØÙÖe Óf a ×ØaØiÓÒaÖÝ ×eÕÙeÒceº ÅÓÖeÓÚeÖ¸ Øhe ×ØaØi×ØicaÐ e×Øi¹

ÑaØiÓÒ Óf AÊÅA ÔÖÓ ce××e× ha× b eeÒ ×ØÙdied eÜØeÒ×iÚeÐÝ fÓÖ ÑaÒÝ decade× aÒd i×

bÝÒÓÛ ÔaÖØ Óf aÐÐ Ña jÓÖ ×ØaØi×ØicaÐ ×ÓfØÛaÖe Ôackage׺ Ìhe×e aÖe ×ÓÑe Öea×ÓÒ× fÓÖ

Øhe ×Ùcce×× ×ØÓÖÝ Óf ÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce××e× ÛhÓ×e ØheÓÖÝ aÒd aÔÔÐicaØiÓÒ× aÖe de×cÖib ed

iÒ BÖÓ ckÛeÐÐ aÒd DaÚi× [½¾¸½¿]º

A× a ÑaØØeÖ Óf facظ Øhe e×ØiÑaØiÓÒ Óf Øhe ÔaÖaÑeØeÖ× Óf aÒ AÊÅA ÓÖ FAÊÁÅA

ÔÖÓ ce×× i× cÐÓ×eÐÝ ÖeÐaØed ØÓ Øhe e×ØiÑaØiÓÒ Óf ØheiÖ cÓÚaÖiaÒce× aÒd cÓÖÖeÐaØiÓÒ׸

aÒd ×Ó i× Øhe ÔÖedicØiÓÒ Óf fÙØÙÖe ÚaÐÙe× iÒ a ØiÑe ×eÖie× ba×ed ÓÒ iØ× Ôa×Ø aÒd

ÔÖe×eÒØÚaÐÙe׺ FÓÖ eÜaÑÔÐe¸ cÓÒ×ideÖ a ×ØaØiÓÒaÖÝ caÙ×aÐ aÙØÓÖegÖe××iÚe ÔÖÓ ce×× Óf

ÓÖdeÖ ½ ´Ù×ÙaÐÐÝ deÒÓØed a× AÊ´½µµº ÁØ i× giÚeÒ bÝ Øhe fÓÐÐÓÛiÒg di«eÖeÒce eÕÙaØiÓÒ:

X = « X · Z ; Ø ¾ Z ; ´½º4µ

Ø ½ Ø ½ Ø

ÛheÖe « i× a cÓÒ×ØaÒØ iÒ Øhe iÒØeÖÚaÐ ´ ½; ½µ¸ aÒd ´Z µ i× aÒ iºiºdº ÛhiØe ÒÓi×e

½ Ø

×eÕÙeÒceº Ìhe aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ Óf ´X µ aØ Ðag ½ caÒ b e caÐcÙÐaØed a×

Ø

CÓÚ´X ;X µ

Ø Ø·½

= « : ±´½µ = CÓÖÖ´X ;X µ=

½ Ø Ø·½

ÎaÖ´X µ

Ø

A ÒaØÙÖaÐ e×ØiÑaØÓÖ Óf Øhe ÔaÖaÑeØeÖ « i× ØheÒ ÓbØaiÒed if Ûe ÖeÔÐace ÎaÖ´X µ

½ Ø

aÒd CÓÚ´X ;X µ ÛiØh ØheiÖ eÑÔiÖicaÐ cÓÙÒØeÖÔaÖØ×

Ø Ø·½

Ò Ò ½

X X

½ ½

¾

­^ ´¼µ = aÒd ­^ ´½µ = X X X :

Ø Ø·½

Ø

Ò Ò

Ø=½ Ø=½

ÀeÒce¸ Øhe Öe×ÙÐØiÒg e×ØiÑaØÓÖ Óf « i×

½

Ò ½ Ò

X X

¾

«^ =^±´½µ = X X = X ;

½ Ø Ø·½

Ø

Ø=½ Ø=½

iºeº Øhe ×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ aØ Ðag ½º

ÁÒ Øhe ÑÓÖe geÒeÖaÐ ×iØÙaØiÓÒ Óf aÒ AÊ´Ôµ ÔÖÓ ce××

X = « X · ¡¡¡ · « X · Z ; Ø ¾ Z ;

Ø ½ Ø ½ Ô Ø Ô Ø

iØ ×eeÑ× ÔÐaÙ×ibÐe ØhaØ Øhe e×ØiÑaØiÓÒ Óf Øhe ÔaÖaÑeØeÖ× « ;::: ;« ×hÓÙÐd iÒÚÓÐÚe

½ Ô

e×ØiÑaØÓÖ× Óf Øhe aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ× ±´hµ = CÓÖÖ´X ;X µ¸ aØ Ðag× h = ½;::: ;Ôº

Ø Ø·h

½4 ChaÔØeÖ ½º ÁÒØÖÓ dÙcØiÓÒ

Ïe caÐÐ Øhe×e e×ØiÑaØÓÖ× ×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ× aÒd de¬Òe ØheÑ a×

Ò h Ò

X X

¾

±^´hµ=­ ^´hµ=­^ ´¼µ = X X = X :

Ø Ø·h

Ø

Ø=½ Ø=½

Ìhi× idea caÒ iÒdeed b e Ñade ØÓ ÛÓÖk aÒd ÖÙÒ× ÙÒdeÖ Øhe ÒaÑe Óf YÙÐe¹ÏaÐkeÖ

e×ØiÑaØiÓÒ Óf Øhe ÔaÖaÑeØeÖ× Óf aÒ AÊ´Ôµ ÔÖÓ ce×׺ Ìhe ca×e Óf a geÒeÖaÐ AÊÅA

ÔÖÓ ce×× i× ÑÓÖe iÒÚÓÐÚed¸ bÙØ aÐ×Ó iÒ Øhi× ca×e Øhe ÐiÑiØ ØheÓÖÝ fÓÖ Øhe cÐa××icaÐ

GaÙ××iaÒ ÑaÜiÑÙÑ ÐikeÐihÓ Ó d¸ Ðea×Ø ×ÕÙaÖe× aÒd ÏhiØØÐe ÔaÖaÑeØeÖ e×ØiÑaØiÓÒ

ÔÖÓ cedÙÖe× deÔ eÒd× ÓÒ ×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ׺

ÁÒ Øhe b egiÒÒiÒg Óf Øhe eighØie׸ ÔÖacØice ha× ×hÓÛÒ ØhaØ ØheÖe Ûa× a Òeed

ØÓ iÑÔÖÓÚe Øhe ÑÓ deÐÐiÒg Óf deÔ eÒdeÒce ØÓgeØheÖ ÛiØh heaÚÝ ØaiÐ× iÒ ØiÑe ×eÖie×

aÒaÐÝ×i׺ ÆÓØ ×ÙÖÔÖi×iÒgÐݸ ÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce××e× ÛeÖe Øhe ¬Ö×Ø caÒdidaØe× ØÓ ×eÖÚe Øhe×e

dÙaÐ ÔÙÖÔ Ó×e׺ AØ a ¬Ö×Ø gÐaÒce¸ ØheÝ ÛeÖe Øhe ÓbÚiÓÙ× aÒd Ô eÖfecØ ×ÓÐÙØiÓÒº

Ìhe ÑaiÒ idea Ûa× ØÓ Øake iºiºdº ÒÓi×e ÖaÒdÓÑ ÚaÖiabÐe× Z fÖÓÑ a ÖegÙÐaÖÐÝ

Ø

ÚaÖÝiÒg di×ØÖibÙØiÓÒ ÛiØh iÒdeÜ «¸ ×ee ´½º½µ aÒd ØheÒ ØÓ bÙiÐd a ×ØaØiÓÒaÖÝ ×eÕÙeÒce

×aØi×fÝiÒg a ÐiÒeaÖ ÑÓ deÐ Óf Øhe fÓÖÑ ´½º¿µº Ìhe ×eÕÙeÒce Óf ÔaÖaÑeØeÖ× ´ µha×

j

ØÓ ×aØi×fÝ ceÖØaiÒ ×ÙÑÑabiÐiØÝ cÓÒdiØiÓÒ׸ Ûe ÖefeÖ ØÓ [½4¸ ½5]º Ìhe ×Ó de¬Òed

×ØaØiÓÒaÖÝ ×eÕÙeÒce ´X µ iÒheÖiØ× Øhe ÔÖÓÔ eÖØÝ Óf ÖegÙÐaÖ ÚaÖiaØiÓÒº ÌÓ b e ÔÖeci×e

Ø

È ´X >ܵ  C È ´jZ j >ܵ aÒd È ´X  ܵ  C È ´jZ j >ܵ ;

½ · ½ ½ ½

a× Ü !½; ÛheÖe C aÒd C aÖe ÒÓÒ¹ÒegaØiÚe cÓÒ×ØaÒØ× deÔ eÒdiÒg ÓÒ Øhe iÒdeÜ

·

« aÒd Øhe cÓ eÆcieÒØ× º

j

A ×ÙÖÔÖi×iÒg Ób×eÖÚaØiÓÒ cÓÒceÖÒiÒg a ×ØaØiÓÒaÖÝ ÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce×× ÛiØh heaÚݹ

ØaiÐed ÒÓi×e Ûa× Ñade bÝ ÀaÒÒaÒ aÒd ÃaÒØeÖ [¿¿] iÒ Øhe AÊ´Ôµ ca×e aÒd bÝDaÚi×

aÒd Êe×Òick [½4] iÒ Øhe geÒeÖaÐ ÐiÒeaÖ ca×eº ÌheÝ iÒÚe×ØigaØed ÔÖÓ ce××e× ÛiØh

iÒ¬ÒiØe ÚaÖiaÒce¸ ØhÙ× gÓiÒg beÝÓÒd Øhe ØÖadiØiÓÒaÐ fÖaÑeÛÓÖk Óf cÐa××icaÐ ØiÑe

×eÖie× aÒaÐÝ×i׺ Ìhe ÐaØØeÖ igÒÓÖe× Øhe Öich deÔ eÒdeÒce ×ØÖÙcØÙÖe ØhaØ i× hiddeÒ iÒ

Øhe ¬ÒiØe¹diÑeÒ×iÓÒaÐ di×ØÖibÙØiÓÒ׺

ÁÒ Øhe ca×e Óf iÒ¬ÒiØe ÚaÖiaÒce X ³×¸ Øhe aÙØÓ cÓÚaÖiaÒce× aÒd aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ×

Ø

aÖe ÒÓØ de¬Òed iÒ a ÑeaÒiÒgfÙÐ Ûaݸ aÒd aÔÔaÖeÒØÐÝ iØ dÓ e× ÒÓØ Ñake ×eÒ×e ØÓ

e×ØiÑaØe ØheѺ ÆeÚeÖØheÐe×׸ Øhe ×aÑÔÐe cÓÙÒØeÖÔaÖØ× Óf ­ ´hµ aÒd ±´hµ aÖe ×ØiÐÐ

ÛeÐÐ de¬Òedº ÅÓÖeÓÚeÖ¸ iØ Ûa× ×hÓÛÒ iÒ [½4¸½5]ØhaØ

È

j j ·h

È

j

È

±^´hµ ! a× Ò !½ ´½º5µ

¾

j

j

Ô

aÒd ØhaØ Øhe cÓÒÚeÖgeÒce ÖaØe× iÒ Øhe×e Öe×ÙÐØ× cÓÑÔaÖe faÚÓÙÖabÐÝ ØÓ Øhe Ò ÖaØe×

Ûhich caÒ b e ÓbØaiÒed iÒ Øhe ¬ÒiØe ÚaÖiaÒce ca×eº ÀÓÛeÚeÖ¸ iÒ Øhe iÒ¬ÒiØe ÚaÖiaÒce

ca×e Øhe a×ÝÑÔØÓØic di×ØÖibÙØiÓÒ Óf Øhe eÖÖÓÖ iÒ Øhi× aÔÔÖÓÜiÑaØiÓÒ i× ÕÙiØe cÓѹ

ÔÐicaØed¸ ÛhiÐe ÙÒdeÖ Øhe ¬ÒiØe ÚaÖiaÒce cÓÒdiØiÓÒ¸ iØ i× ÒÓÖÑaÐÐÝ di×ØÖibÙØed ÛiØh

a×ÝÑÔØÓØic ÚaÖiaÒce Ûhich caÒ b e caÐcÙÐaØed accÓÖdiÒg ØÓ Øhe ÛeÐйkÒÓÛÒ BaÖØÐeØØ

½º¾º ÅÓ deÐÐiÒg heaÚݹØaiÐed ØiÑe ×eÖie× ½5

fÓÖÑÙÐa ´fÓÖ a ÔÖeci×e ×ØaØeÑeÒØ Óf Øhe×e Öe×ÙÐØ× ×ee ChaÔØeÖ 7 iÒ [½¾]µº FÙÖØheÖ¹

ÑÓÖe¸ Ûe Ób×eÖÚeØhaØ Øhe ÖighعhaÒd ×ide Óf ´½º5µ ÛÓÙÐd be Øhe aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ

aØ Ðag h Óf a ÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce×× ´½º¿µ ÛiØh ¬ÒiØe ×ecÓÒd ÑÓÑeÒØ iÒÒÓÚaØiÓÒ× Z º ÁÒ

Ø

Øhe ×eÒ×e Óf ´½º5µ¸ Ûe ÛiÐÐ deÒÓØe Øhi× ÚaÐÙe bÝ ±´hµ aÒd ÖefeÖ ØÓ iØ a× \Ô ÓÔÙÐaØiÓÒ

aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ" eÚeÒ if Øhe aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ× aÖe ÒÓØ de¬Òed aÒÝ ÑÓÖeº

Ìhe Öe×ÙÐØ× Óf DaÚi× aÒd Êe×Òick[½4¸ ½5] ÛeÖe ÐaØeÖ ÓÒ aÔÔÐied ØÓ ×hÓÛØhaØ

ba×icaÐÐÝ aÐÐ ×ØaØi×ØicaÐ e×ØiÑaØiÓÒ ÔÖÓ cedÙÖe× fÓÖ ÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce××e× caÖÖÝ ÓÚeÖ fÖÓÑ

Øhe ¬ÒiØe ØÓ Øhe iÒ¬ÒiØe ÚaÖiaÒce ca×e¸ b ÓØh iÒ Øhe ØiÑe aÒd fÖeÕÙeÒcÝ dÓÑaiÒ׸

×ee [¿7]º Ìhe×e Öe×ÙÐØ× iÒdicaØe ØhaØ Øhe ×ØaØi×ØicaÐ ÔÖÓ cedÙÖe× fÓÖ ÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce××e×

aÖe \ÚeÖÝ ÖÓbÙ×Ø" ÙÒdeÖ eÜØÖeÑeÐÝ ÐaÖge ÓÖ ×ÑaÐÐ ÚaÐÙe× iÒ Øhe ÒÓi×e ×eÕÙeÒce ´Z µº

Ø

Ìhe×e Ô Ó×iØiÚe Öe×ÙÐØ× fÓÖ iÒ¬ÒiØe ÚaÖiaÒce ÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce××e× Ñade ÑÓ×Ø ÔaÖØ× Óf

Øhe ØiÑe ×eÖie× cÓÑÑÙÒiØÝ b eÐieÚe ØhaØ ØheÖe i× ÒÓØ ÖeaÐÐÝ a ÔÖÓbÐeÑ iÒ deaÐiÒg

ÛiØh heaÚݹØaiÐed ×ØaØiÓÒaÖÝ ÔÖÓ ce××e׺ ÁØ Ûa× ×ÐighØÐÝ di×aÔÔ ÓiÒØiÒg ÛheÒ DaÚi×

aÒd Êe×Òick[½9] ´×ee aÐ×Ó Êe×Òick[49]µ ÔÖe×eÒØed a ÒegaØiÚe Öe×ÙÐØ fÓÖ Øhe ×iÑÔÐe

biÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce××

X = bX Z · Z ;

Ø Ø ½ Ø ½ Ø

ÛheÖe Øhe Z ³× aÖe iºiºdº ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg ÛiØh iÒdeÜ «º Ìhi× iÒ ØÙÖÒ iÑÔÐie×

Ø

ØhaØ Øhe X ³× aÖe ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg ÛiØh iÒdeÜ «=¾º ÁØ Ûa× ×hÓÛÒ iÒ [½9] ØhaØ Øhe

Ø

×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ× Óf ´X µhaÚe ÒÓÒ¹degeÒeÖaØe di×ØÖibÙØiÓÒaÐ ÐiÑiØ׸ ÔÖÓÚided

Ø

« ¾ ´¼; 4µº FÙÖØheÖ ÛÓÖk ´Êe×ÒickeØaк [5¼]¸ Êe×Òick aÒd ÚaÒ deÒ BeÖg [5¿] fÓÖ

×ÓÑe ×Ô eci¬c ÒÓÒ¹ÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce××e× ÛiØh iÒ¬ÒiØe ÚaÖiaÒce aÒd Øhe ÔaÔ eÖ bÝ DaÚi×

aÒd ÅikÓ×ch [½7] fÓÖ geÒeÖaÐ ÒÓÒ¹ÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce××e×µ ×hÓÛ× ØhaØ iØ i× ÑÓÖe Øhe ÖÙÐe

ØhaÒ aÒ eÜceÔØiÓÒ ØhaØ Øhe ×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ× cÓÒÚeÖge iÒ di×ØÖibÙØiÓÒ ØÓ ÒÓÒ¹

degeÒeÖaØe ÐiÑiØ ÐaÛ׺ ÌhÙ× Øhe \Òice" ØheÓÖÝ fÓÖ iÒ¬ÒiØe ÚaÖiaÒce ÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce××e׸

Ûhich ÑÓÖe ÓÖ Ðe×× ÔaÖaÐÐeÐ× Øhe ØheÓÖÝ fÓÖ ¬ÒiØe ÚaÖiaÒce ÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce××e׸ i× ÕÙiØe

a ×iÒgÙÐaÖ ÓÒeº

ÏeÑaÝ cÓÒcÐÙde ØhaØ iØ caÒ b e ÕÙiØe daÒgeÖÓÙ× ØÓ Ù×e aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ× iÒ a

heaÚݹØaiÐed ÛÓÖÐd aØ aÐк ÁÒdeed¸ if iÒ ÔÖacØice Øhe ×ØaØi×ØicaÐ aÒaÐÝ×i× Ù×e× Øhe

×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ× a× a ØÓ Óи Øhi× i× dÓÒe ÓÒ Øhe ÔÖeÑi×e ØhaØ ØheÝ aÖe cÐÓ×e

ØÓ ØheiÖ deØeÖÑiÒi×Øic cÓÙÒØeÖÔaÖØ׺ Áf Øhi× caÒÒÓØ b e gÙaÖaÒØeed¸ ØheÝ ×hÓÙÐd ÒÓØ

b e Ù×ed aÒÝ ÑÓÖeº

ÁÒ Øhe ×eÕÙeи Ûe cÓÒ×ideÖ aÒÓØheÖ big cÐa×× Óf ÒÓÒ¹ÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce××e× ÛhichaÖe

×ÓÐÙØiÓÒ× ØÓ ×ØÓ cha×Øic ÖecÙÖÖeÒce eÕÙaØiÓÒ׺ Ìhe ÑaiÒ Öe×ÙÐØ× Óf Øhi× Øhe×i× cÓÒceÖÒ

Øhe a×ÝÑÔØÓØic b ehaÚiÓÙÖ Óf Øhe ×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÚaÖiaÒce aÒd aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ× Óf

×Ùch ÔÖÓ ce××e׺

½º¾º¾ ËØÓ cha×Øic ÖecÙÖÖeÒce eÕÙaØiÓÒ× aÒd ÖeÐaØed ÑÓ deÐ×

Ïe ×ØaÖØ ÛiØh a ÑÓØiÚaØiÒg eÜaÑÔÐe fÖÓÑ Øhe ecÓÒÓÑeØÖic× ÐiØeÖaØÙÖe: Øhe

AÊCÀ ´aÙØÓÖegÖe××iÚe cÓÒdiØiÓÒaÐÐÝ heØeÖÓ×cada×Øicµ ÔÖÓ ce×׺ ÁØ Ûa× iÒØÖÓ dÙced

bÝ EÒgÐe [¾6] iÒ ½98¾ iÒ ÓÖdeÖ ØÓ ÑÓ deÐ \Ô eÖ×i×ØeÒce Óf ÚaÖiaÒce" Óf ¬ÒaÒciaÐ

½6 ChaÔØeÖ ½º ÁÒØÖÓ dÙcØiÓÒ

ÖeØÙÖÒ ×eÖie׺ Ài× ÑaiÒ idea¸ ÛhichÛa× ÐaØeÖ eÜØeÒded aÒd geÒeÖaÐiÞed bÝÑaÒÝ

ecÓÒÓÑeØÖiciaÒ׸ Ûa× ØÓ ÑÓ deÐ Øhe ×ØaÒdaÖd deÚiaØiÓÒ ´iÒ Øhe ¬ÒaÒciaÐ cÓÒØeÜØ iØ

i× caÐÐed | ÚÓÐaØiÐiØݵ bÝ a ×ØaØiÓÒaÖÝ ÔÖÓ ce×׺ ÌÓ b e ÔÖeci×e he a××ÙÑed:

X =  Z ; Ø ¾ Z ; ´½º6µ

Ø Ø Ø

ÛheÖe ´Z µ i× aÒ iºiºdº ÛhiØe ÒÓi×e ×eÕÙeÒce aÒd Øhe  ³× ×aØi×fÝ Øhe fÓÐÐÓÛiÒg

Ø Ø

ÖecÙÖ×iÚe eÕÙaØiÓÒ

¾ ¾

 = « · « X ; Ø ¾ Z ; ´½º7µ

¼ ½

Ø Ø ½

fÓÖ Ô Ó×iØiÚe cÓÒ×ØaÒØ× « aÒd « º Ìhe eÕÙaØiÓÒ× ´½º6µ aÒd ´½º7µ de¬Òe aÒ AÊCÀ´½µ

¼ ½

ÔÖÓ ce×× ´X µº FÓÖ eÜaÑÔÐe¸ if ´Z µi×aÒiºiºdº GaÙ××iaÒ ÛhiØe ÒÓi×e ×eÕÙeÒce¸ Øhe

Ø Ø

di×ØÖibÙØiÓÒ Óf X ´ØÓÑÓÖÖÓÛ³× ¬ÒaÒciaÐ ÖeØÙÖÒ¸ ×aݵ ha× ÒÓÖÑaÐ di×ØÖibÙØiÓÒ

Ø·½

¾

ÛiØh ÑeaÒ ¼ aÒd ÚaÖiaÒce « · « X ¸ cÓÒdiØiÓÒaÐÐÝ ÓÒ X ´ØÓ daÝ³× ÖeØÙÖÒµº Ìhi×

¼ ½ Ø

Ø

×iÑÔÐe ÑÓ deÐ aÐÐÓÛ× ÓÒe ØÓ giÚe a di×ØÖibÙØiÓÒaÐ \fÓÖeca×Ø" Óf X giÚeÒ X º Ìhe

Ø·½ Ø

AÊCÀ´½µ ¬Ø ØÓ ÖeaйÐife daØa caÒ b e iÑÔÖÓÚed bÝiÒØÖÓ dÙciÒg aÒ AÊCÀ´Ôµ ÔÖÓ ce×׸

iºeº ÑÓ deÐ ´½º6µ ÛiØh

¾ ¾ ¾

; Ø ¾ Z : ´½º8µ · ¡¡¡ · « X = « · « X 

Ô ¼ ½

Ø Ô Ø ½ Ø

ÀÓÛeÚeÖ¸ ¬ÒaÒciaÐ ÔÖacØice ×hÓÛed ØhaØ Øhe ÑÓ deÐ ´½º8µ giÚe× a gÓ Ó d ¬Ø ØÓ Öeaй

Ðife daØa ÓÒÐÝ if Øhe ÒÙÑbeÖ Óf ÔaÖaÑeØeÖ× « > ¼ i× ÖeÐaØiÚeÐÝ ÐaÖgeº A Ña jÓÖ

i

iÑÔÖÓÚeÑeÒØÙÔÓÒ´½º8µÛa× achieÚed bÝ BÓÐÐeÖ×ÐeÚ [8] iÒ ½986 ÛhÓ iÒØÖÓ dÙced Øhe

¾

geÒeÖaÐiÞed AÊCÀ ´GAÊCÀµ ÑÓ deÐ׺ ÌÓgeØheÖ ÛiØh Øhe Ôa×Ø ÚaÐÙe× X he aÐ×Ó

Ø j

¾

iÒØÓ ´½º8µº FÓÖ eÜaÑÔÐe¸ Øhe GAÊCÀ´½¸½µ i× ØheÒ Óf iÒcÓÖÔ ÓÖaØed Øhe ÚaÐÙe× 

Ø j

Øhe fÓÖÑ

¾ ¾ ¾

 = « · « X · ¬  ; Ø ¾ Z : ´½º9µ

¼ ½ ½

Ø Ø ½ Ø ½

Ïe ÖefeÖ ØÓ ÌaÝÐÓÖ [65]¸ ×ee aÐ×Ó ËheÔhaÖd [6¾]¸ GÓÙÖieÖÓÙÜ [¿½] fÓÖ ÑÓÖe deØaiÐ×

ÓÒ Øhe ØheÓÖÝ Óf AÊCÀ aÒd GAÊCÀ ÑÓ deÐ× aÒd ØheiÖ aÔÔÐicaØiÓÒ׺

AØ a ¬Ö×Ø gÐaÒce ÓÒe ÑighØ b e ØeÑÔØed ØÓ a××ÙÑe ØhaØ Øhe ØheÓÖÝ Óf Øhe AÊCÀ

faÑiÐÝ i× ÚeÖÝ ÑÙch Øhe ×aÑe a× fÓÖ AÊÅA ÔÖÓ ce××e׺ ÁÒdeed¸ Øhe ×ØÖÙcØÙÖe Óf

¾

Øhe  ³× giÚeÒ ab ÓÚe ÖeÑiÒd× ÓÒe Óf Øhe AÊÅA di«eÖeÒce eÕÙaØiÓÒ׸ aÒd Øhi×

Ø

Ûa× ceÖØaiÒÐÝ ÓÒe Óf Øhe ba×ic idea× Óf Øhe iÒÚeÒØÓÖ× Óf ØhÓ×e ÑÓ deÐ׺ ÀÓÛeÚeÖ¸

eÕÙaØiÓÒ ´½º6µ Ñake× ´X µ a highÐÝ ÒÓÒ¹ÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce×× aÒd Øhi× facØ ØÙÖÒ× Øhe ØheÓÖÝ

Ø

Óf GAÊCÀ ÔÖÓ ce××e× iÒØÓaÚeÖÝ cÓÑÔÐicaØed ÓÒeº

Ìhe ØheÓÖÝ fÓÖ Øhe ´×ÕÙaÖedµ AÊCÀ aÒd GAÊCÀ ÔÖÓ ce××e× caÒ b e eÑb edded

iÒ Øhe geÒeÖaÐ ØheÓÖÝ Óf ×ØÓ cha×Øic ÖecÙÖÖeÒce eÕÙaØiÓÒ× ´ËÊEµ Óf ØÝÔ e

Y = A Y · B ; Ø ¾ Z ; ´½º½¼µ

Ø Ø Ø ½ Ø

ÛheÖe Øhe ×eÕÙeÒce ´´A ; B µµ i× iºiºdº¸ A i× a ÖaÒdÓÑ d ¢ d ÑaØÖiÜ aÒd B i× a

Ø Ø Ø Ø

d¹diÑeÒ×iÓÒaÐ ÖaÒdÓÑ ÚecØÓÖº FÓÖ iÒ×ØaÒce¸ Øhe AÊCÀ´½µ eÕÙaØiÓÒ iÑÔÐie×

¾ ¾ ¾ ¾

X = « Z X · « Z ;

½ ¼

Ø Ø Ø ½ Ø

½º¾º ÅÓ deÐÐiÒg heaÚݹØaiÐed ØiÑe ×eÖie× ½7

¾ ¾

Ûhich i× Óf Øhe fÓÖÑ ´½º½¼µ ÛiØ A = « Z aÒd B = « Z º AÒaÐÓgÓÙ×Ðݸ Øhe

Ø ½ Ø ¼

Ø Ø

GAÊCÀ´½¸½µ eÕÙaØiÓÒ ´½º9µ giÚe× Ù× Øhe eÕÙaØiÓÒ

      

¾ ¾ ¾ ¾ ¾

X « Z ¬ Z X « Z

½ ½ ¼

Ø Ø Ø Ø ½ Ø

= · ;

¾ ¾

 « ¬  «

½ ½ ¼

Ø Ø ½

Ûhich i× agaiÒ a ×Ô eciaÐ fÓÖÑ Óf ´½º½¼µº

A Ña jÓÖ ÕÙe×ØiÓÒ fÓÖ Øhe ØiÑe ×eÖie× aÒaÐÝ×Ø i× ØÓ ¬Òd a××ÙÑÔØiÓÒ× ÓÒ Øhe

A ³× aÒd B ³× ØÓ eÒ×ÙÖe Øhe eÜi×ØeÒce Óf a ×ÓÐÙØiÓÒ ØÓ ´½º½¼µº Ìhi× ÕÙe×ØiÓÒ ha×

Ø Ø

b eeÒ addÖe××ed bÝ Ãe×ØeÒ [¿5]¸ ÎeÖÚaaØ [68] ¸ BÖaÒdØ [½¼]¸ BÓÙgeÖÓÐ aÒd ÈicaÖd

[9]¸ aÑÓÒg ÓØheÖ׺ ÁÒ Øhe geÒeÖaÐ ca×e Óf ÚecØÓÖ¹ÚaÐÙed Y ³×¸ Øhe ÑÓ×Ø geÒeÖaÐ

Ø

cÓÒdiØiÓÒ fÓÖ ×ØÖicØ ×ØaØiÓÒaÖiØÝ Óf a ×ÓÐÙØiÓÒ ØÓ ´½º½¼µ ØÙÖÒ× ÓÙØ ØÓ be cÐÓ×eÐÝ

ÖeÐaØed ØÓ Øhe eigeÒÚaÐÙe× Óf Øhe ÔÖÓ dÙcØ× A ¡¡¡A Óf ÖaÒdÓÑ ÑaØÖice×; ×ee Ôº 76

Ø ½

fÓÖ ÑÓÖe deØaiÐ׺ Ìhe idea Óf ¬ÒdiÒg a ×ØaØiÓÒaÖÝ ×ÓÐÙØiÓÒ ØÓ ´½º½¼µ i× acØÙaÐÐÝ

ÕÙiØe ×iÑÔÐe: iØeÖaØe Øhe de¬ÒiÒg eÕÙaØiÓÒ ´½º½¼µ Ø ØiÑe× ØÓ ÓbØaiÒ

Ø ½

X

Y = A ¡¡¡A Y · B · A ¡¡¡A B :

Ø Ø ½ ¼ Ø Ø Ø Ñ·½ Ø Ñ

Ñ=½

Áf Ûe caÒ eÒ×ÙÖe ØhaØ Øhe ¬Ö×Ø ØeÖÑ iÒ Øhi× eÜÔaÒ×iÓÒ i× ÒegÐigibÐe a× Ø ! ½

aÒd ØhaØ Øhe ×ÙÑ Óf Øhe ÔÖÓ dÙcØ× A ¡¡¡A B cÓÒÚeÖge× aº×º¸ ØheÒ Øhe

Ø Ø Ñ·½ Ø Ñ

Öe×ÙÐØiÒg iÒ¬ÒiØe ×eÖie×

½

X

Y = B · A ¡¡¡A B ´½º½½µ

Ø Ø Ø Ø Ñ·½ Ø Ñ

Ñ=½

caÒ b e ØakeÒ a× Øhe caÙ×aÐ ×ÓÐÙØiÓÒ ØÓ ´½º½¼µº

FÖÓÑ Øhe eÜÔÖe××iÓÒ ´½º½½µ ÓÒe caÒÒÓØ ×aÝÑÙch ab ÓÙØ Øhe ¬ÒiØe¹diÑeÒ×iÓÒaÐ

di×ØÖibÙØiÓÒ× Óf Øhe ×eÕÙeÒce ´Y µº ÀÓÛeÚeÖ¸ ÓÒe caÒ ÛÓÖk ÓÙØ Øhe a×ÝÑÔØÓØic

Ø

behaÚiÓÙÖ Óf Øhe ØaiÐ Óf Y ¸bÝÛhichÛe ÑeaÒ Øhe cÓÐÐecØiÓÒ Óf ÔÖÓbabiÐiØie×

Ø

È ´Y ¾ C µ ;

Ø

fÓÖ aÒÝÙÒb ÓÙÒded BÓÖeÐ ×eØ C º ÁÒ ÔaÖØicÙÐaÖ¸ iØ Ûa× ×hÓÛÒ bÝ Ãe×ØeÒ [¿5] aÒd Äe

Èage [¿8] ØhaØ Øhe ×ÓÐÙØiÓÒ ØÓ Øhe ËÊE ´½º½¼µ ha× a ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg Øaiи ÙÒdeÖ

ÚeÖÝ geÒeÖaÐ cÓÒdiØiÓÒ× ÓÒ Øhe ×eÕÙeÒce ´´A ; B µµ¸ ×ee ËecØiÓÒ ¿º¾ fÓÖ ÑÓÖe deØaiÐ׺

Ø Ø

d

Ïe×aÝ ØhaØ Øhe ÚecØÓÖ Y ÛiØh ÚaÐÙe× iÒ Ê i× ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg if ØheÖe eÜi×Ø

d ½ d

aÒ «  ¼ aÒd a ÔÖÓbabiÐiØÝ Ñea×ÙÖe È ÓÒ Øhe ÙÒiØ ×ÔheÖe iÒ Ë  Ê ×ÙchØhaØ



fÓÖ eÚeÖÝ Ü>¼

È ´jY j >ØÜ aÒd Y =jY j¾ ¡ µ

Ú

«

! Ü È ´ ¡ µ ; a× Ø !½; ´½º½¾µ



È ´jY j >ص

Ú

d ½

ÛheÖe ! deÒÓØe× ÚagÙe cÓÒÚeÖgeÒce iÒ Ë ´fÓÖ Øhe de¬ÒiØiÓÒ Óf ÚagÙe cÓÒÚeÖ¹

geÒce Óf Ñea×ÙÖe× ×ee Ôº ¾5 ÓÖ ÃaÐÐeÒb eÖg [¿4]µº Ìhe ÔÖÓbabiÐiØÝ Ñea×ÙÖe È i× 

½8 ChaÔØeÖ ½º ÁÒØÖÓ dÙcØiÓÒ

caÐÐed Øhe ×Ô ecØÖaÐ Ñea×ÙÖe Óf Øhe ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg ÖaÒdÓÑ ÚecØÓÖ Y ¸ aÒd « i×

Øhe iÒdeÜ Óf ÖegÙÐaÖ ÚaÖiaØiÓÒº

ÊegÙÐaÖ ÚaÖiaØiÓÒ i× ÕÙiØe a ×ÙÖÔÖi×iÒg ÔÖÓÔ eÖØÝ fÓÖ Øhe ×ÓÐÙØiÓÒ ØÓ aÒ ËÊEº

A× a ÔaÖØicÙÐaÖ cÓÒ×eÕÙeÒce Ûe ÑeÒØiÓÒ ØhaØ Øhe ¬ÒiØe¹diÑeÒ×iÓÒaÐ di×ØÖibÙØiÓÒ×

Óf AÊCÀ aÒd GAÊCÀ ÔÖÓ ce××e× aÖe ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒgº Ìhi× facØ i× eÚeÒ ÑÓÖe

×ØÙÒÒiÒg if ÓÒe ÖeaÐi×e× ØhaØ Øhi× ×ØaØeÑeÒØ i× cÓÖÖecØ fÓÖ a ÒÓi×e ×eÕÙeÒce ´Z µiÒ

Ø

´½º6µ ÛiØh ÐighØ ØaiÐ׸ ×Ùch a× Øhe ÒÓÖÑaÐ di×ØÖibÙØiÓÒº

Ìhe cÓÒ×ØÖÙcØiÓÒ ´½º½½µ Óf Øhe ×ÓÐÙØiÓÒ ´Y µ ØÓ a ËÊE ÝieÐd× aÒÓØheÖ de×iÖabÐe

Ø

ÔÖÓÔ eÖØÝ: Øhe ×ØÖÓÒg ÑiÜiÒg ÔÖÓÔ eÖØݺ ÊecaÐÐ ØhaØ a ×ØaØiÓÒaÖÝ ÔÖÓ ce×× ´Y µ i×

Ø

×ØÖÓÒgÐÝ ÑiÜiÒg if

¼ ½

×ÙÔfjÈ ´A \ B µ È ´AµÈ ´B µj : A ¾ F ;B ¾ F g = « ! ¼ ; ´½º½¿µ

Ð

½ Ð

a× Ð !½; ÛheÖe

¼ ½

F =  f::: ;Y ; Y g aÒd F =  fY ; Y ;:::g :

½ ¼ Рз½

½ Ð

Ìhe ÔÖÓ ce×× ´Y µ fÖÓÑ ´½º½½µ eÒjÓÝ× Øhe ×ØÖÓÒg ÑiÜiÒg ÔÖÓÔ eÖØÝ ÛiØh geÓÑeØÖic

Ø

decaÝ Óf Øhe « ³× ØÓ ÞeÖÓº ÍÒdeÖ Øhe a××ÙÑÔØiÓÒ Óf a ¬ÒiØe ×ecÓÒd ÑÓÑeÒظ Øhe

Ð

geÓÑeØÖic ÖaØe Óf decaÝ aÐÐÓÛ× ÓÒe ØÓ aÔÔÐÝ ×ØaÒdaÖd ceÒØÖaÐ ÐiÑiØ ØheÓÖeÑ× fÓÖ

×ØÖÓÒgÐÝ ÑiÜiÒg ×eÕÙeÒce׺ ÁÒ Øhe cÓÒØeÜØ Óf heaÚݹØaiÐed Y ³× Øhi× ÑiÜiÒg ÔÖÓÔ eÖØÝ

Ø

ØÙÖÒ× ÓÙØ ØÓ be a ÚeÖÝ Ù×efÙÐ ÓÒe fÓÖ deÖiÚiÒg Øhe a×ÝÑÔØÓØic b ehaÚiÓÙÖ Óf Øhe

×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÚaÖiaÒce× aÒd aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ× a× ÛeÐк

ËÓ faÖ ÛehaÚegiÚeÒ a ×hÓÖØ hi×ØÓÖicaÐ accÓÙÒØ Óf Øhe aÒaÐÝ×i× Óf heaÚݹØaiÐed

ØiÑe ×eÖie× aÒd Ûe haÚe iÒØÖÓ dÙced Øhe ba×ic ÒÓØiÓÒ Óf ×ÓÐÙØiÓÒ ØÓ a ËÊEº Ìhe

ÐaØØeÖ Ób jecØ i× Óf Ña jÓÖ iÒØeÖe×Ø fÓÖ ÓÙÖ ØheÓÖeØicaÐ iÒÚe×ØigaØiÓÒ׺

½º¾º¿ ÈÓiÒØ ÔÖÓ ce××e× aÒd heaÚÝ ØaiÐ×

ÁØ ha× b eeÒ ÖeaÐiÞed fÓÖ ÑÓÖe ØhaÒ ¾5 ÝeaÖ× ØhaØ ØheÖe eÜi×Ø× a ÚeÖÝ cÐÓ×e ÖeÐa¹

ØiÓÒ×hiÔ b eØÛeeÒ ÖegÙÐaÖ ÚaÖiaØiÓÒ¸ Ô ÓiÒØ ÔÖÓ ce×× ØheÓÖÝ aÒd eÜØÖeÑe ÚaÐÙe ØheÓÖݸ

×ee Êe×Òick[54] fÓÖ aÒ accÓÙÒØ Óf Øhe ØheÓÖݺ Ìhe Ô ÓiÒØ ÔÖÓ ce×× aÔÔÖÓach i× aÐ×Ó

adÚÓ caØed iÒ Øhi× Øhe×i׺

d

A Ô ÓiÒØ ÔÖÓ ce×× Æ ÛiØh ×ØaØe ×Ôace E  Ê i× a ÖaÒdÓÑ cÓÙÒØiÒg Ñea×ÙÖeº Ïe

ÛiÐÐ fÖeÕÙeÒØÐÝ ÖeÔÖe×eÒØ Øhe Ô ÓiÒØ ÔÖÓ ce××e× iÒ Øhe fÓÐÐÓÛiÒg fÓÖÑ

Ò

X

Æ ´ ¡ µ ; Æ ´ ¡ µ=

Y

i

i=½

ÛheÖe Æ i× DiÖac Ñea×ÙÖe ÓÒ E cÓÒceÒØÖaØed iÒ Øhe Ô ÓiÒØ Ü aÒd Y ;::: ;Y i× a

Ü ½ Ò

×aÑÔÐe Óf ÖaÒdÓÑ ÚecØÓÖ× ÛiØh ÚaÐÙe× iÒ E º

FÓÖ a ×eÕÙeÒce Óf ÖaÒdÓÑ ÚaÖiabÐe× Y Øhe ÖeÐaØiÓÒ Óf Æ ÛiØh Øhe eÜØÖeÑe× iÒ

i

Øhe ×aÑÔÐe i× ÓbÚiÓÙ×: deÒÓØe Øhe ÓÖdeÖ ×ØaØi×Øic× Óf Øhe ×aÑÔÐe bÝ

Y  ¡¡¡  Y :

´½µ ´Òµ

½º¾º ÅÓ deÐÐiÒg heaÚݹØaiÐed ØiÑe ×eÖie× ½9

ÌheÒ ÛehaÚe

fÆ ´´Ü; ½µµ = ¼g = fY  Üg ; fÆ ´´Ü; ½µ  ½g = fY  Üg ; eØcº

´Òµ ´Ò ½µ

ÌhÖÓÙghÓÙØ Øhi× Øhe×i× Ûe Ù×e Øhe Ûeak cÓÒÚeÖgeÒce Óf a ×eÕÙeÒce Óf ÔÓiÒØ

ÔÖÓ ce××e× ØÓ a cÓÑÔ ÓÙÒd ÈÓi××ÓÒ ÔÖÓ ce×׺ Ìhi× i× a ÚeÖÝ Ô ÓÛeÖfÙÐ ØÓ ÓÐ iÒ ÔaÖØicÙÐaÖ

ÛheÒ ÓÒe deaÐ× ÛiØh ×eÕÙeÒce× Óf deÔ eÒdeÒØ ÖaÒdÓÑ ÚaÖiabÐe׺ ÌÓ eÜÔÐaiÒ Øhi×

cÓÒceÔØ cÓÒ×ideÖ a ×ØaØiÓÒaÖÝ ×eÕÙeÒce ´Y µ Óf ÖaÒdÓÑ ÚecØÓÖ× aÒd ×ÙÔÔ Ó×e ØheÖe

Ø

i× aÒ aÔÔÖÓÔÖiaØe ×eÕÙeÒce Óf ÒÓÖÑiÒg cÓÒ×ØaÒØ× a > ¼º De¬Òe Øhe ×eÕÙeÒce Óf

Ò

Ô ÓiÒØ ÔÖÓ ce××e× a× fÓÐÐÓÛ×:

Ò

X

Æ ´ ¡ µ= Æ ´ ¡ µ ; Ò =½; ¾;:::

Ò

Y =a

i Ò

i=½

Ìhe Ûeak cÓÒÚeÖgeÒce Óf ´Æ µØÓaÔÓiÒØ ÔÖÓ ce×× Æ i× eÕÙiÚaÐeÒØ ØÓ Øhe cÓÒÚeÖgeÒce

Ò

Óf Øhe ¬ÒiØe¹diÑeÒ×iÓÒaÐ di×ØibÙØiÓÒ׸ iºeº

È ´Æ ´A µ=k ;::: ;Æ ´A µ=k µ ! È ´Æ ´A µ=k ;::: ;Æ´A µ=k µ ;

Ò ½ ½ Ò Ñ Ñ ½ ½ Ñ Ñ

ÛheÖe k ¸ i =½; ¾;::: ;Ѹ aÖe ÒÓÒÒegaØiÚeiÒØegeÖ× aÒd Øhe A ³× aÖe aÖbiØÖaÖÝ BÓÖeÐ

i i

×Ùb×eØ× Óf Øhe ×ØaØe ×Ôace E ÛiØh È ´Æ ´@A µ > ¼;::: ;Æ´@A µ > ¼µ=¼º

½ Ñ

ËiÒce Ûe aÖe ÑÓ×ØÐÝ iÒØeÖe×Øed iÒ Øhe ×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÚaÖiaÒce× aÒd aÙØÓ cÓÖÖeÐa¹

ØiÓÒ× Óf a ×ØaØiÓÒaÖÝ ×eÕÙeÒce ´X µ¸ Ûe ÛiÐÐ ÓfØeÒ cÓÑÔ Ó×e Øhe ÚecØÓÖ× Y a× Øhe

Ø Ø

¼

Ðagged ÚecØÓÖ× Y =´X ;::: ;X µ º ÁØ fÓÐÐÓÛ× fÖÓÑ Øhe ÛÓÖk Óf DaÚi× aÒd À×iÒg

Ø Ø Ø·h

[½6] aÒd DaÚi× aÒd ÅikÓ×ch[½7] ØhaØ Øhe Ô ÓiÒØ ÔÖÓ ce××e×

Ò

X

Æ Æ ´ ¡ µ= ´ ¡ µ ; Ò =½; ¾;:::

Ò

Y =a

i Ò

i=½

d

Ê Òf¼g cÓÒÚeÖge ÛeakÐÝ ØÓ Øhe cÓÑÔ ÓÙÒd ÈÓi××ÓÒ ÔÖÓ ce×× ÓÒ Øhe ×ØaØe ×Ôace E =

½ ½

X X

Æ ´ ¡ µ= Æ ´ ¡ µ ;

È É

i

ij

i=½ j =½

ÔÖÓÚided Y i× ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg ÛiØh iÒdeÜ «>¼ aÒd ´Y µ ×aØi׬e× a ÑiÐd ÑiÜiÒg

½ Ø

cÓÒdiØiÓÒ¸ Ûhich i× iÑÔÐied bÝ ×ØÖÓÒg ÑiÜiÒgº Ìhe ÒÓÖÑiÒg ×eÕÙeÒce ´a µi×chÓ×eÒ

Ò

×ÙchØhaØ

ÒÈ´jY j >a µ ! ½; a× Ò !½:

½ Ò

Ìhe ×ØÖÙcØÙÖe Óf Øhe ÐiÑiØiÒg Ô ÓiÒØ ÔÖÓ ce×× Æ Öe­ecØ× Øhe ÑÙÐØiÚaÖiaØe ÖegÙÐaÖ

ÚaÖiaØiÓÒ cÓÒdiØiÓÒ ´½º½¾µ Ûhich ba×icaÐÐÝ ×aÝ× Øhaظ iÒ aÒ a×ÝÑÔØÓØic ×eÒ×e¸ Øhe

ÖadiaÐ aÒd ×ÔheÖicaÐ ÔaÖØ× Óf Øhe ÚecØÓÖ Y b ecÓÑe iÒdeÔ eÒdeÒغ ÁÒ Øhe ÐiÑiØ Æ ¸

½

Øhe ÖadiaÐ ÔaÖØ i× ÖeÔÖe×eÒØed bÝÔÓiÒØ× È Ûhich cÓÒ×ØiØÙØe a ÈÓi××ÓÒ ÔÖÓ ce×× ÓÒ

i

« ½

´¼; ½µÛiØhiÒØeÒ×iØÝ ÔÖÓÔ ÓÖØiÓÒaÐ ØÓ «Ý dÝ º Ìhe ÔÖÓ ce×× ´È µ i× iÒdeÔ eÒdeÒØ i

¾¼ ChaÔØeÖ ½º ÁÒØÖÓ dÙcØiÓÒ

h h·½

Óf Øhe Ô ÓiÒØ× É ¸ i; j ¾ Æ ¸ Ûhich ØakeÚaÐÙe× ÓÒ Øhe ÙÒiØ ×ÔheÖe Ë Óf Ê º ÌheiÖ

ij

di×ØÖibÙØiÓÒ i× ÔaÖØiaÐÐÝ gÓÚeÖÒed bÝ Øhe ×Ô ecØÖaÐ Ñea×ÙÖe Óf ÖegÙÐaÖ ÚaÖiaØiÓÒº Ìhi×

Ñea×ÙÖe e××eÒØiaÐÐÝ de×cÖib e× Øhe deÔ eÒdeÒce Óf Øhe Ô ÓiÒØ× iÒ ×Ôaceº

Ïe haÚe ÔÓiÒØed ÓÙØ eaÖÐieÖ ØhaØ Øhe ab ÓÚe a××ÙÑÔØiÓÒ× ÓÒ Øhe ×ØaØiÓÒaÖÝ

×eÕÙeÒce ´X µ aÖe ×aØi׬ed fÓÖ X ³× aÖi×iÒg fÖÓÑ ×ÓÐÙØiÓÒ× Óf ×ØÓ cha×Øic ÖecÙÖÖeÒce

Ø Ø

¼

eÕÙaØiÓÒ׺ ÌhÙ׸ Øhe Ðagged ÖaÒdÓÑ ÚecØÓÖ× Y =´X ;::: ;X µ Ób eÝ Øhe Ûeak

Ø Ø Ø·h

cÓÒÚeÖgeÒce Öe×ÙÐØ× Óf Øhe Ô ÓiÒØ ÔÖÓ ce××e× ´Æ µ cÓÒ×ØÖÙcØed fÖÓÑ Øhe Y ³×º

Ò Ø

Ìhe Ô ÓÛeÖ Óf Ûeak cÓÒÚeÖgeÒce Öe×ÙÐØ× i× eÚeÒ iÒcÖea×ed ØhÖÓÙgh Øhe cÓÒØiÒÙÓÙ×

ÑaÔÔiÒg ØheÓÖeѺ ËiÒce ÛeaÖeiÒØeÖe×Øed iÒ ×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÚaÖiaÒce× Óf Øhe fÓÖÑ

Ò h

X

½

X X ; ­^ ´hµ=

Ø Ø·h

Ò

i=½

iØ i× ÒaØÙÖaÐ ØÓ cÓÒ×ideÖ a ÑaÔÔiÒg acØiÒg ÓÒ Øhe Ô ÓiÒØ ÔÖÓ ce××e× Æ aÒd Æ : ¬Ö×Ø

Ò

ÑÙÐØiÔÐÝ Øhe ¼Øh aÒd hØh cÓÑÔ ÓÒeÒØÓfØheÔÓiÒØ ÔÖÓ ce×× aÒd ØheÒ ×ÙÑ ØheÑ ÙÔº

È È

´¼µ ´hµ

½ ½

¾ ¾

ÇÒ Øhe Æ ¹ÐeÚeÐ ÛeÛÓÙÐd geØ Ò­^ ´hµ=a aÒd ÓÒ Øhe Æ ¹ÐeÚeÐ È É É º

Ò

Ò

i

ij ij

i=½ j =½

AÐØhÓÙgh Øhi× aÔÔÖÓach ÑighØÐÓÓkabiØÐike Ûi×hfÙÐ ØhiÒkiÒg¸ iØ caÒ b e Ñade ØÓ

d

ÛÓÖk aÒd iØ caÒ b e ×hÓÛÒ ØhaØ Øhe cÓÒÚeÖgeÒce Æ ! Æ iÑÔÐie× ØhaØ

Ò

½ ½

X X

d

´¼µ ´hµ

¾ ¾

È É ! Ò­^ ´hµ=a É ;

i Ò

ij ij

i=½ j =½

ÔÖÓÚided « < ¾º FÓÖ « ¾ [¾; 4µ a ×iÑiÐaÖ Öe×ÙÐØ caÒ be ÓbØaiÒed bÙØ ÓÒe ha× ØÓ

iÒØÖÓ dÙce ceÒØeÖiÒg cÓÒ×ØaÒØ× iÒ Øhi× ca×eº ÁÒ b ÓØh ca×e׸ Øhe ÐiÑiØ× aÖe «=¾¹×ØabÐe

ÖaÒdÓÑ ÚaÖiabÐe׺ ÁÒ ÔaÖØicÙÐaÖ¸ ØheÝ haÚe iÒ¬ÒiØe ÚaÖiaÒceº AÒÓØheÖ aÔÔÐicaØiÓÒ

Óf Øhe cÓÒØiÒÙÓÙ× ÑaÔÔiÒg ØheÓÖeÑ aÐ×Ó eÒ×ÙÖe× ØhaØ Øhe ´×ÙiØabÐÝ ×ØaÒdaÖdiÞedµ

×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ× cÓÒÚeÖge iÒ di×ØÖibÙØiÓÒº Ìhe ab ÓÚe aÔÔÖÓach faiÐ× fÓÖ

«>4 ×iÒce iÒ Øhi× ca×e Øhe ceÒØÖaÐ ÐiÑiØ ØheÓÖeÑ fÓÖ­ ^ ´hµ ×ØaÖØ× ÛÓÖkiÒgº

Ìhe ab ÓÚe ØheÓÖÝ iÑÑediaØeÐÝ aÔÔÐie× ØÓ Øhe ×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÚaÖiaÒce×­ ^ ´hµ aÒd

aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ× ±^´hµ Óf Øhe cÓÑÔ ÓÒeÒØ ÔÖÓ ce××e× Óf a ×ÓÐÙØiÓÒ ØÓ a ×ØÓ cha×Øic

ÖecÙÖÖeÒce eÕÙaØiÓÒº Ìhe×e Öe×ÙÐØ× caÒ b e ×ÙÑÑaÖiÞed a× fÓÐÐÓÛ×:

´aµ Áf « ¾ ´¼; ¾µ¸ iºeº ÛheÒ ±´hµ i× ÒÓØ de¬Òed¸ Øhe ×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ ±^´hµ

ha× a ÒÓÒdegeÒeÖaØe ÐiÑiØ Ûhich ÑaÝ be ÖeÔÖe×eÒØed a× a ÕÙÓØieÒØ Óf ØÛÓ

deÔ eÒdeÒØ «=¾ ×ØabÐe ÖaÒdÓÑ ÚaÖiabÐe׺

´bµ Áf « ¾ ´¾; 4µ¸ ±´hµi×ÛeÐÐ de¬Òed aÒd ØheÒ

½ ¾=«

Ò ´^±´hµ ±´hµµ

ha× a ÐiÑiØ ×iÑiÐaÖ ØÓ Øhe ÓÒe de×cÖib ed ÙÒdeÖ ´aµº

´cµ Áf « ¾ ´4; ½µ¸ Øhe ceÒØÖaÐ ÐiÑiØ ØheÓÖeÑ fÓÖ ×ØÓÒgÐÝ ÑiÜiÒg ×eÕÙeÒce× ÑaÝbe

aÔÔÐied¸ ×Ó ØhaØ

Ô

Ò ´^±´hµ ±´hµµ i× a×ÝÑÔØÓØicaÐÐÝ ÒÓÖÑaÐ :

½º¾º ÅÓ deÐÐiÒg heaÚݹØaiÐed ØiÑe ×eÖie× ¾½

FÓÖ aÔÔÐicaØiÓÒ× iÒ ¬ÒaÒce¸ iÒ×ÙÖaÒce aÒd ØeÐecÓÑÑÙÒicaØiÓÒ× ÛheÖe Ûe aÖe fÖe¹

ÕÙeÒØÐÝ faced ÛiØh ØiÑe ×eÖie× ÛhÓ×e 4Øh¸ ¿Öd¸ ¾Òd¸::: ÑÓÑeÒØ Òeed ÒÓØ eÜi×ظ Øhe

ab ÓÚe Öe×ÙÐØ× ×hÓÙÐd b e a ÛaÖÒiÒg ØÓ eÚeÖÝb Ó dÝ ÛhÓ Ù×e× ×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ×

ØÓ Ñake ×ØaØeÑeÒØ× ab ÓÙØ Øhe deÔ eÒdeÒce iÒ ×Ùch a ×eÕÙeÒceº

ÁÒ ÔaÖØicÙÐaÖ¸ ÔaÖØ ´aµ iÐÐÙ×ØÖaØe× ØhaØ Øhe ±^´hµ³× aÖe ×ÓÑeØiÑe× ØÓØaÐÐÝ ÑeaÒ¹

iÒgÐe×׸ ÛheÖea× ´bµ ØeÐÐ× Ù× ØhaØ Øhe ÖaØe Óf cÓÒÚeÖgeÒce Óf ±^´hµØÓÛaÖd× ±´hµcaÒ

b e eÜØÖeÑeÐÝ ×ÐÓÛ¸ Øhe ×ÐÓÛeÖ Øhe cÐÓ×eÖ « i× ØÓ ¾º

ÁÒ ÓÖdeÖ ØÓ deØecØ ÒÓÒ¹ÐiÒeaÖiØie× iÒ a ØiÑe ×eÖie× ´X µ¸ iØ ha× b ecÓÑe cÓÑÑÓÒ

Ø

ÔÖacØice iÒ Øhe ecÓÒÓÑeØÖic× ÐiØeÖaØÙÖe¸ ×ee ÌaÝÐÓÖ [65]ÓÖÅÙÐÐeÖ¸ DacÓÖÓgÒa aÒd

ÈicØeØ [45]¸ ØÓ cÓÒ×ideÖ ÒÓØ ÓÒÐÝ Øhe ×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ× Óf Øhe X ³×¸ bÙØ aÐ×Ó

Ø

Óf ØheiÖ ab×ÓÐÙØe ÚaÐÙe× aÒd ×ÕÙaÖe× ÓÖ aÒÝ ÓØheÖ Ô ÓÛeÖ Óf Øhe jX j³×º FÓÖ Øhe×e

Ø

ØÖaÒ×fÓÖÑed ØiÑe ×eÖie× Øhe ab ÓÚe ×ØaØeÑeÒØ× ´aµß´cµ ÖeÑaiÒ ÚaÐid¸ ÛiØh Øhe cÓÖ¹

¾

Öe×Ô ÓÒdiÒg chaÒge Óf Øhe ÖaÒge Óf Øhe «³×º FÓÖ iÒ×ØaÒce¸ fÓÖ Øhe ×ÕÙaÖe× X ¸Øhe

Ø

iÒØeÖÚaÐ ´¼; ¾µ ha× ØÓ b e ÖeÔÐaced bÝ´¼; 4µ; eØcº

½º¾º4 ÇÙØÐiÒe Óf Øhe Øhe×i×

¯ ChaÔØeÖ ¾ iÒØÖÓ dÙce× Øhe ba×ic ØheÓÖeØicaÐ cÓÒceÔØ×: ÑÙÐØiÚaÖiaØe ÖegÙÐaÖ

ÚaÖiaØiÓÒ¸ ÑiÜiÒg ÔÖÓÔ eÖØie׸ ÔÓiÒØ ÔÖÓ ce××e× aÒd ØheiÖ Ûeak cÓÒÚeÖgeÒceº

ÅÙÐØiÚaÖiaØe ÖegÙÐaÖ ÚaÖiaØiÓÒ i× ceÒØÖaÐ ØÓ Øhe aÔÔÖÓachØÓheaÚÝ ØaiÐ× Ûhich

i× adÚÓ caØed iÒ Øhi× Øhe×i׺

ÁÒ ËecØiÓÒ ¾º½ Ûe ÖeÚieÛ ×eÚeÖaÐ eÜØeÒ×iÓÒ× Óf ÖegÙÐaÖ ÚaÖiaØiÓÒ aÒd ÔÖÓÚe

ØhaØ ØheÝ aÖe eÕÙiÚaÐeÒØ ÒÓØiÓÒ׺ Ìhe×e eÕÙiÚaÐeÒce× aÖe ÔaÖØÐÝ kÒÓÛÒ¸ ×ee

Êe×Òick [54]º Ìhe Öe×ÙÐØ ØhaØ a ÚecØÓÖ ÛiØh Ô Ó×iØiÚe cÓÑÔ ÓÒeÒØ× i× ÖegÙÐaÖÐÝ

ÚaÖÝiÒg iÒ Øhe ×eÒ×e Óf ´½º½¾µ if aÒd ÓÒÐÝ if aÐÐ iØ× ÐiÒeaÖ cÓÑbiÒaØiÓÒ× aÖe

ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg ×eeÑ× ØÓ be ÒeÛº Ìhe ÔÖÓ Óf i× aÒaÐÝØicaÐ aÒd ba×ed ÓÒ

ÄaÔÐace aÒd FÓÙÖieÖ ØÖaÒ×fÓÖÑ× Óf Øhe ÙÒdeÖÐÝiÒg Ñea×ÙÖe׺ ÁÒ Øhe ca×e

« ¾ ´¼; ¾µ¸ iØ Ûa× ÔÖÓÚed bÝ Ãe×ØeÒ [¿5] Úia Øhe ceÒØÖaÐ ÐiÑiØ ØheÓÖeÑ ÛiØh

«¹×ØabÐe ÐiÑiØ׺

ÁÒ ËecØiÓÒ ¾º¾ ÛeiÒØÖÓ dÙce ×eÚeÖaÐ cÓÒceÔØ× Óf deÔ eÒdeÒce¸ iÒcÐÙdiÒg ×ØÖÓÒg

ÑiÜiÒg aÒd geÓÑeØÖic eÖgÓ diciØݺ Ìhe×e aÖe aÙÜiÐiaÖÝ ØÓ ÓÐ× Ûhich ÛiÐÐ be

Òeeded ØÓ ÚeÖifÝ ØhaØ ×ÓÐÙØiÓÒ× ØÓ ËÊE aÖe ×ØÖÓÒgÐÝ ÑiÜiÒg ÛiØh geÓÑeØÖic

ÖaØeº

ÁÒ ËecØiÓÒ ¾º¿ a bÖief iÒØÖÓ dÙcØiÓÒ ØÓ ÔÓiÒØ ÔÖÓ ce××e× i× giÚeÒº Ìhe eѹ

Ôha×i× i× ÓÒ Ûeak cÓÒÚeÖgeÒce Óf Ô ÓiÒØ ÔÖÓ ce××e׺ ÁÒ ÔaÖØicÙÐaÖ¸ Ûe ÔÖe×eÒØ

Øhe Öe×ÙÐØ× bÝDaÚi× aÒd À×iÒg [½6]aÒdDaÚi× aÒd ÅikÓ×ch[½7] cÓÒceÖÒiÒg

Øhe Ûeak cÓÒÚeÖgeÒce Óf Ô ÓiÒØ ÔÖÓ ce××e׸ ÛhÓ×e Ô ÓiÒØ× ×aØi×fÝ a ÑÙÐØiÚaÖiaØe

ÖegÙÐaÖ ÚaÖiaØiÓÒ cÓÒdiØiÓÒº Ìhi× Öe×ÙÐØ i× ba×ic fÓÖ Øhe cÓÖÖe×Ô ÓÒdiÒg ×ØaØe¹

ÑeÒØ× ab ÓÙØ Øhe cÓÒÚeÖgeÒce Óf Ô ÓiÒØ ÔÖÓ ce××e× deÖiÚed fÖÓÑ Øhe ×ÓÐÙØiÓÒ×

ØÓ ×ØÓ cha×Øic ÖecÙÖÖeÒce eÕÙaØiÓÒ׺

¾¾ ChaÔØeÖ ½º ÁÒØÖÓ dÙcØiÓÒ

¯ ChaÔØeÖ ¿ i× deÚÓØed ØÓ ×ÓÑe ÔaÖØicÙÐaÖ ÑÓ deÐ× Óf ×ØÓ cha×Øic ÔÖÓ ce××e׺ ÁÒ

ËecØiÓÒ ¿º½ Ûe bÖie­Ý ×keØch Øhe cÐa××icaÐ ØheÓÖÝ Óf ÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce××e× ÛiØh

ÛhiØe ÒÓi×e iÒÒÓÚaØiÓÒ× aiÑiÒg aØ a cÓÑÔaÖi×ÓÒ ÛiØh Øhe cÓÖÖe×Ô ÓÒdiÒg Öe¹

×ÙÐØ× fÓÖ ÒÓÒ¹ÐiÒeaÖ¸ iÒ ÔaÖØicÙÐaÖ heaÚݹØaiÐed ÔÖÓ ce××e׺ ÏegiÚe Øhe ÔÖeci×e

de¬ÒiØiÓÒ× Óf AÊCÀ¸ GAÊCÀ aÒd biÐiÒeaÖ ÔÖÓ ce××e× aÒd ×hÓÛ ØhaØ ØheÝ caÒ

b e ÙÒdeÖ×ØÓ Ó d a× fÙÒcØiÓÒ× Óf ×ÓÐÙØiÓÒ× ØÓ ËÊEº

ËÓÐÙØiÓÒ× ØÓ ËÊE aÖe Øhe ba×ic ×ØÓ cha×Øic ÔÖÓ ce××e× iÒ Øhe fÓ cÙ× Óf iÒØeÖe×Ø Óf

Øhi× Øhe×i׺ ËecØiÓÒ ¿º¾ i× deÚÓØed ØÓ ØheiÖ de¬ÒiØiÓÒ aÒd ÔÖÓÔ eÖØie׺ Ïe giÚe

cÓÒdiØiÓÒ× fÓÖ Øhe ×ØaØiÓÒaÖiØÝ Óf Øhe×e ÔÖÓ ce××e× aÒd ÔÖÓÚe Øhe ×ØÖÓÒg ÑiÜiÒg

ÔÖÓÔ eÖØÝÛiØh geÓÑeØÖic ÖaØeº ÏefÓÖÑÙÐaØe Ãe×ØeÒ³× Öe×ÙÐØ [¿5] ab ÓÙØ Øhe

ÖegÙÐaÖ ÚaÖiaØiÓÒ ÔÖÓÔ eÖØÝ Óf ×ÓÐÙØiÓÒ× ØÓ ËÊEº Ïe cÓÒcÐÙde Øhe ×ecØiÓÒ bÝ

×hÓÛiÒg ØhaØ Øhe iÑÔ ÓÖØaÒØ cÐa×× Óf ×ØaØiÓÒaÖÝ GAÊCÀ ÔÖÓ ce××e× ×aØi׬e×

aÐÐ cÓÒdiØiÓÒ× Óf Ãe×ØeÒ³× ØheÓÖeѸ ØhÙ× ÔÖÓÚiÒg ØhaØ Øhe×e ÔÖÓ ce××e× haÚe

ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg ¬ÒiØe¹diÑeÒ×iÓÒaÐ di×ØÖibÙØiÓÒ׺

¯ ÁÒ ChaÔØeÖ 4 Ûe aÔÔÐÝ Øhe Öe×ÙÐØ× ab ÓÙØ Øhe Ûeak cÓÒÚeÖgeÒce Óf Ô ÓiÒØÔÖÓ¹

ce××e× ÛiØh ÖegÙÐaÖÐÝ ÚaÖÝiÒg Ô ÓiÒØ׺ ÁÒ ÔaÖØicÙÐaÖ Ûe cÓÒ×ideÖ fÙÒcØiÓÒaÐ× Óf

×ÙѹØÝÔ e Óf Øhe Ô ÓiÒØ× Óf Øhe Ô ÓiÒØ ÔÖÓ ce××e× aÒd ×hÓÛ ØhaØ ØheÝ cÓÒÚeÖge ØÓ

ÒÓÒ¹degeÒeÖaØe di×ØÖibÙØiÓÒaÐ ÐiÑiØ׺ Ìhe×e iÒcÐÙde ×aÑÔÐe aÙØÓ cÓÚaÖiaÒce×

aÒd aÙØÓ cÓÖÖeÐaØiÓÒ׺ Ïe aÐ×Ó giÚe aÒ aÐØeÖÒaØiÚe ÔÖÓ Óf Óf Øhe cÓÒ×i×ØeÒcÝ Óf

ÀiÐÐ³× e×ØiÑaØÓÖ fÓÖ ÑiÜiÒg ×eÕÙeÒce׸ Ûhich iÒcÐÙde× Øhe GAÊCÀ ÔÖÓ ce××e׺

FiÒaÐÐݸÛe Ô ÓiÒØ ÓÙØ ØhaØ Øhe ÑaiÒ Öe×ÙÐØ× Óf Øhi× Øhe×i× aÖe ÔÙbÐi×hed iÒ ØÛÓ

×eÔaÖaØe ÔaÔ eÖ׸ cÓaÙØhÓÖed ÛiØh ʺAº DaÚi× aÒd ̺ ÅikÓ×ch[4¸½8]º