Matematica e Scienza del Calcolo: da Turing ai giorni nostri

Dario A. Bini Dipartimento di Matematica, Universit`adi Pisa www.dm.unipi.it/ bini e [email protected]

Massa Scienza, 14 Gennaio 2012 1 La Matematica

2 I sistemi lineari

3 Alan Turing e i sistemi lineari

4 Come si risolvono i sistemi lineari

5 La Scienza del Calcolo

6 La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Matematica: fantasia e libert`adi pensiero

La Matematica `eun bellissimo giocattolo che non stanca mai e non si rompe mai sviluppa il pensiero libero la curiosit`ala creativit`ae la fantasia permette di creare quasi senza limiti strutture eleganti col massimo rigore logico non ha colorazioni politiche n`ereligiose `epropriet`adi tutti `euno strumento indispensabile per risolvere una gran parte di problemi del mondo reale. Matematica: fantasia e libert`adi pensiero

In matematica si generano idee continuamente nuove e il mondo matematico `esotto molti aspetti molto pi`uricco del mondo reale (G.H. Hardy)

Le idee matematiche sono per certi versi dei prodotti artistici: sono creazioni della mente umana dotate di bellezza, raffinatezza ed eleganza. La loro comprensione ed acquisizione genera piacere e soddisfazione in chi le recepisce.

Lo spunto creativo messo nella loro invenzione d`asensazioni esaltanti ed estremamente gratificanti

Il matematico genera nuove idee per il piacere creativo, per il desiderio di conoscenza e per curiosit`a.Anche se talvolta motivate dalle applicazioni molte idee generalmente nascono da una curiosit`aastratta. Matematica: fantasia e libert`adi pensiero

Alcuni esempi: Teorema di Perron-Frobenius e Motori di ricerca (Google)

Numeri primi e codici di crittografia (bancomat, carte di credito, PayPal, home banking, transazioni in internet)

Teorema cinese del resto e aritmetica dei computer

Geometrie non euclidee e modelli relativistici

Geometrie frattali e compressione di immagini, sistemi dinamici Matematica intorno a noi Ogni giorno ciascuno di noi fa uso inconsapevole di matematica tecnologia digitale (fotografia, musica, CD, film, TV, jpeg, mpeg, mp3) telefonia mobile internet (flusso delle informazioni / motori di ricerca – Google) internet (ricerca di sinonimi di contesto; valutazione dell’affidabilit`adi giudici e giudizi) reti wireless (IEEE 802.11) reti complesse gps, navigatori satellitari, cartografia volo automatico (pilota automatico) bancomat, carte di credito, transazioni internet (crittogtafia) sport: vela, costumi per il nuoto previsioni del tempo Matematica intorno a noi

In medicina: analisi cliniche TAC, RNM modelli cardiaci: potenziale elettrico, fibrillazioni modelli della circolazione sanguigna: aneurismi, ostruzioni, accumulo di colesterolo; modelli della coclea In biologia: studio dell’evolversi di popolazioni di batteri modelli di accrescimento cellulare, studio dei tumori modelli epidemiologici Nell’industria: industria aerospaziale ottimizzazione della produzione industriale progettazione di robot industriali Matematica intorno a noi

Nei servizi: orari, traffico, servizi, modelli di code strutture edilizie: progettazione di ponti, modelli antisismici indagini statistiche, exit poll modelli di code: internet analisi di rischio (assicurazioni) modelli finanziari In campo militare: le armi “intelligenti”, sistemi di puntamento, armi chirurgiche sistemi antimissile droni geometria degli esplosivi I sistemi lineari

I sistemi lineari sono un ingrediente comune nella maggior parte di applicazioni della matematica

Molti nostri comportamenti di tutti i giorni vengono resi possibili mediante la risoluzione di sistemi lineari  ax + by = e 2 equazioni con 2 incognite cx + dy = f

  ax + by + cz = p dx + ey + fz = q 3 equazioni con 3 incognite  gx + hy + iz = r

 a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn = b1   a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn = b2 n equazioni con n incognite . . .  . . .   an1x1 + an2x2 + ··· + annxn = bn

I sistemi lineari

ax = b una equazione in una incognita   ax + by + cz = p dx + ey + fz = q 3 equazioni con 3 incognite  gx + hy + iz = r

 a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn = b1   a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn = b2 n equazioni con n incognite . . .  . . .   an1x1 + an2x2 + ··· + annxn = bn

I sistemi lineari

ax = b una equazione in una incognita

 ax + by = e 2 equazioni con 2 incognite cx + dy = f  a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn = b1   a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn = b2 n equazioni con n incognite . . .  . . .   an1x1 + an2x2 + ··· + annxn = bn

I sistemi lineari

ax = b una equazione in una incognita

 ax + by = e 2 equazioni con 2 incognite cx + dy = f

  ax + by + cz = p dx + ey + fz = q 3 equazioni con 3 incognite  gx + hy + iz = r I sistemi lineari

ax = b una equazione in una incognita

 ax + by = e 2 equazioni con 2 incognite cx + dy = f

  ax + by + cz = p dx + ey + fz = q 3 equazioni con 3 incognite  gx + hy + iz = r

 a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn = b1   a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn = b2 n equazioni con n incognite . . .  . . .   an1x1 + an2x2 + ··· + annxn = bn I sistemi lineari

n X aij xj = bi , i = 1, 2,..., n j=1       a11 a12 ... a1n x1 b1  a21 a22 ... a2n   x2   b2      =    . . .   .   .   ......   .   .  an1 an2 ... ann xn bn

Ax = b A: matrice del sistema x: vettore delle incognite, b: vettore dei termini noti Infinit`anon numerabile di equazioni e incognite

Z b k(x, y)f (y)dy = g(x) (equazioni integrali) a

I sistemi lineari

Sistemi infiniti Infinit`anumerabile di equazioni e incognite

+∞ X aij xj = bi , i = 1, 2,..., j=1 I sistemi lineari

Sistemi infiniti Infinit`anumerabile di equazioni e incognite

+∞ X aij xj = bi , i = 1, 2,..., j=1

Infinit`anon numerabile di equazioni e incognite

Z b k(x, y)f (y)dy = g(x) (equazioni integrali) a Jiu Zhang Suanshu 9 capitoli dell’arte matematica. Nell’ottavo capitolo `epresentato il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari con esempi di sistemi da 2 a 5 equazioni. fine 1500: Cardano introduce il concetto di determinante fine 1600: Seki Kowa (1642-1708), matematico giapponese, introduce il concetto di determinante 1670: Isaac Newton introduce il metodo di sostituzione 1700–1780: molti contributi sono dati al concetto di determinante da parte di Leibniz, Cramer, Bezout, Laplace, Lagrange 1809: Gauss usa il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari, chiamato solo recentemente metodo di eliminazione gaussiana

Alan Turing e i sistemi lineari Breve descrizione cronologica Primo secolo a.C.: prende forma definitiva il libro scritto da numerosi studiosi a partire dal terzo secolo a.C. dal titolo 九章算术 9 capitoli dell’arte matematica. Nell’ottavo capitolo `epresentato il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari con esempi di sistemi da 2 a 5 equazioni. fine 1500: Cardano introduce il concetto di determinante fine 1600: Seki Kowa (1642-1708), matematico giapponese, introduce il concetto di determinante 1670: Isaac Newton introduce il metodo di sostituzione 1700–1780: molti contributi sono dati al concetto di determinante da parte di Leibniz, Cramer, Bezout, Laplace, Lagrange 1809: Gauss usa il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari, chiamato solo recentemente metodo di eliminazione gaussiana

Alan Turing e i sistemi lineari Breve descrizione cronologica Primo secolo a.C.: prende forma definitiva il libro scritto da numerosi studiosi a partire dal terzo secolo a.C. dal titolo 九章算术 Jiu Zhang Suanshu Nell’ottavo capitolo `epresentato il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari con esempi di sistemi da 2 a 5 equazioni. fine 1500: Cardano introduce il concetto di determinante fine 1600: Seki Kowa (1642-1708), matematico giapponese, introduce il concetto di determinante 1670: Isaac Newton introduce il metodo di sostituzione 1700–1780: molti contributi sono dati al concetto di determinante da parte di Leibniz, Cramer, Bezout, Laplace, Lagrange 1809: Gauss usa il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari, chiamato solo recentemente metodo di eliminazione gaussiana

Alan Turing e i sistemi lineari Breve descrizione cronologica Primo secolo a.C.: prende forma definitiva il libro scritto da numerosi studiosi a partire dal terzo secolo a.C. dal titolo 九章算术 Jiu Zhang Suanshu 9 capitoli dell’arte matematica. fine 1500: Cardano introduce il concetto di determinante fine 1600: Seki Kowa (1642-1708), matematico giapponese, introduce il concetto di determinante 1670: Isaac Newton introduce il metodo di sostituzione 1700–1780: molti contributi sono dati al concetto di determinante da parte di Leibniz, Cramer, Bezout, Laplace, Lagrange 1809: Gauss usa il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari, chiamato solo recentemente metodo di eliminazione gaussiana

Alan Turing e i sistemi lineari Breve descrizione cronologica Primo secolo a.C.: prende forma definitiva il libro scritto da numerosi studiosi a partire dal terzo secolo a.C. dal titolo 九章算术 Jiu Zhang Suanshu 9 capitoli dell’arte matematica. Nell’ottavo capitolo `epresentato il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari con esempi di sistemi da 2 a 5 equazioni. fine 1600: Seki Kowa (1642-1708), matematico giapponese, introduce il concetto di determinante 1670: Isaac Newton introduce il metodo di sostituzione 1700–1780: molti contributi sono dati al concetto di determinante da parte di Leibniz, Cramer, Bezout, Laplace, Lagrange 1809: Gauss usa il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari, chiamato solo recentemente metodo di eliminazione gaussiana

Alan Turing e i sistemi lineari Breve descrizione cronologica Primo secolo a.C.: prende forma definitiva il libro scritto da numerosi studiosi a partire dal terzo secolo a.C. dal titolo 九章算术 Jiu Zhang Suanshu 9 capitoli dell’arte matematica. Nell’ottavo capitolo `epresentato il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari con esempi di sistemi da 2 a 5 equazioni. fine 1500: Cardano introduce il concetto di determinante 1670: Isaac Newton introduce il metodo di sostituzione 1700–1780: molti contributi sono dati al concetto di determinante da parte di Leibniz, Cramer, Bezout, Laplace, Lagrange 1809: Gauss usa il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari, chiamato solo recentemente metodo di eliminazione gaussiana

Alan Turing e i sistemi lineari Breve descrizione cronologica Primo secolo a.C.: prende forma definitiva il libro scritto da numerosi studiosi a partire dal terzo secolo a.C. dal titolo 九章算术 Jiu Zhang Suanshu 9 capitoli dell’arte matematica. Nell’ottavo capitolo `epresentato il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari con esempi di sistemi da 2 a 5 equazioni. fine 1500: Cardano introduce il concetto di determinante fine 1600: Seki Kowa (1642-1708), matematico giapponese, introduce il concetto di determinante 1700–1780: molti contributi sono dati al concetto di determinante da parte di Leibniz, Cramer, Bezout, Laplace, Lagrange 1809: Gauss usa il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari, chiamato solo recentemente metodo di eliminazione gaussiana

Alan Turing e i sistemi lineari Breve descrizione cronologica Primo secolo a.C.: prende forma definitiva il libro scritto da numerosi studiosi a partire dal terzo secolo a.C. dal titolo 九章算术 Jiu Zhang Suanshu 9 capitoli dell’arte matematica. Nell’ottavo capitolo `epresentato il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari con esempi di sistemi da 2 a 5 equazioni. fine 1500: Cardano introduce il concetto di determinante fine 1600: Seki Kowa (1642-1708), matematico giapponese, introduce il concetto di determinante 1670: Isaac Newton introduce il metodo di sostituzione 1809: Gauss usa il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari, chiamato solo recentemente metodo di eliminazione gaussiana

Alan Turing e i sistemi lineari Breve descrizione cronologica Primo secolo a.C.: prende forma definitiva il libro scritto da numerosi studiosi a partire dal terzo secolo a.C. dal titolo 九章算术 Jiu Zhang Suanshu 9 capitoli dell’arte matematica. Nell’ottavo capitolo `epresentato il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari con esempi di sistemi da 2 a 5 equazioni. fine 1500: Cardano introduce il concetto di determinante fine 1600: Seki Kowa (1642-1708), matematico giapponese, introduce il concetto di determinante 1670: Isaac Newton introduce il metodo di sostituzione 1700–1780: molti contributi sono dati al concetto di determinante da parte di Leibniz, Cramer, Bezout, Laplace, Lagrange Alan Turing e i sistemi lineari Breve descrizione cronologica Primo secolo a.C.: prende forma definitiva il libro scritto da numerosi studiosi a partire dal terzo secolo a.C. dal titolo 九章算术 Jiu Zhang Suanshu 9 capitoli dell’arte matematica. Nell’ottavo capitolo `epresentato il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari con esempi di sistemi da 2 a 5 equazioni. fine 1500: Cardano introduce il concetto di determinante fine 1600: Seki Kowa (1642-1708), matematico giapponese, introduce il concetto di determinante 1670: Isaac Newton introduce il metodo di sostituzione 1700–1780: molti contributi sono dati al concetto di determinante da parte di Leibniz, Cramer, Bezout, Laplace, Lagrange 1809: Gauss usa il metodo di sostituzione per risolvere sistemi lineari, chiamato solo recentemente metodo di eliminazione gaussiana 1830–1874: Jacobi e Seidel introducono il concetto di metodo iterativo 1839–1900: Sylvester e Cayley formalizzano il concetto di matrice e fondano la moderna teoria delle matrici 1927 Mauro Picone fonda l’Istituto Nazionale per le Applicazioni del Calcolo. L’INAC `erivolto allo studio di metodi di risoluzione di problemi matematici 1930 l’INAC assume 11 “calcolatori” che operavano con strumenti meccanici, elettromeccanici e grafici 1930: Richardson sviluppa metodi iterativi

Alan Turing e i sistemi lineari

1810–1830: Binet e Cauchy danno ulteriori contributi al concetto di determinante 1839–1900: Sylvester e Cayley formalizzano il concetto di matrice e fondano la moderna teoria delle matrici 1927 Mauro Picone fonda l’Istituto Nazionale per le Applicazioni del Calcolo. L’INAC `erivolto allo studio di metodi di risoluzione di problemi matematici 1930 l’INAC assume 11 “calcolatori” che operavano con strumenti meccanici, elettromeccanici e grafici 1930: Richardson sviluppa metodi iterativi

Alan Turing e i sistemi lineari

1810–1830: Binet e Cauchy danno ulteriori contributi al concetto di determinante 1830–1874: Jacobi e Seidel introducono il concetto di metodo iterativo 1927 Mauro Picone fonda l’Istituto Nazionale per le Applicazioni del Calcolo. L’INAC `erivolto allo studio di metodi di risoluzione di problemi matematici 1930 l’INAC assume 11 “calcolatori” che operavano con strumenti meccanici, elettromeccanici e grafici 1930: Richardson sviluppa metodi iterativi

Alan Turing e i sistemi lineari

1810–1830: Binet e Cauchy danno ulteriori contributi al concetto di determinante 1830–1874: Jacobi e Seidel introducono il concetto di metodo iterativo 1839–1900: Sylvester e Cayley formalizzano il concetto di matrice e fondano la moderna teoria delle matrici 1930 l’INAC assume 11 “calcolatori” che operavano con strumenti meccanici, elettromeccanici e grafici 1930: Richardson sviluppa metodi iterativi

Alan Turing e i sistemi lineari

1810–1830: Binet e Cauchy danno ulteriori contributi al concetto di determinante 1830–1874: Jacobi e Seidel introducono il concetto di metodo iterativo 1839–1900: Sylvester e Cayley formalizzano il concetto di matrice e fondano la moderna teoria delle matrici 1927 Mauro Picone fonda l’Istituto Nazionale per le Applicazioni del Calcolo. L’INAC `erivolto allo studio di metodi di risoluzione di problemi matematici 1930: Richardson sviluppa metodi iterativi

Alan Turing e i sistemi lineari

1810–1830: Binet e Cauchy danno ulteriori contributi al concetto di determinante 1830–1874: Jacobi e Seidel introducono il concetto di metodo iterativo 1839–1900: Sylvester e Cayley formalizzano il concetto di matrice e fondano la moderna teoria delle matrici 1927 Mauro Picone fonda l’Istituto Nazionale per le Applicazioni del Calcolo. L’INAC `erivolto allo studio di metodi di risoluzione di problemi matematici 1930 l’INAC assume 11 “calcolatori” che operavano con strumenti meccanici, elettromeccanici e grafici Alan Turing e i sistemi lineari

1810–1830: Binet e Cauchy danno ulteriori contributi al concetto di determinante 1830–1874: Jacobi e Seidel introducono il concetto di metodo iterativo 1839–1900: Sylvester e Cayley formalizzano il concetto di matrice e fondano la moderna teoria delle matrici 1927 Mauro Picone fonda l’Istituto Nazionale per le Applicazioni del Calcolo. L’INAC `erivolto allo studio di metodi di risoluzione di problemi matematici 1930 l’INAC assume 11 “calcolatori” che operavano con strumenti meccanici, elettromeccanici e grafici 1930: Richardson sviluppa metodi iterativi 1941–1949: Nascono le prime macchine calcolatrici: Z3 (Germania), ABC (USA) solo per sistemi lineari fino a 29 incognite, Colossus (UK), Harvard Mark–I (USA), Z4 (Germania), ENIAC (USA), Baby (UK), EDSAC (UK), Manchester Mark–1 (UK), CSIRAC (Australia) 1957 Nasce la CEP Calcolatrice Elettronica Pisana grazie a finanziamenti delle province di Pisa, Lucca e Livorno e all’opera di Alessandro Faedo e Marcello Conversi 1935: Lamberto Cesari e Gianfranco Cimmino danno contributi importanti alla risoluzione iterativa di sistemi lineari.

Alan Turing e i sistemi lineari

1932 Picone crea il corso di Calcoli Numerici e Grafici: sistemi lineari, non lineari, integrazione, analisi di Fourier. A proposito dei sistemi scrive: “il problema pu`oessere considerato come la divisione tra numeri in pi`u dimensioni... Mentre per la divisione esistono macchine automatiche, per i sistemi lineari non `ecos`ı... Recentemente il prof. Malloc dell’Universit`adi Cambridge ha costruito una macchina elettrica molto originale che pu`o risolvere sistemi fino a 10 equazioni e incognite.” 1957 Nasce la CEP Calcolatrice Elettronica Pisana grazie a finanziamenti delle province di Pisa, Lucca e Livorno e all’opera di Alessandro Faedo e Marcello Conversi 1935: Lamberto Cesari e Gianfranco Cimmino danno contributi importanti alla risoluzione iterativa di sistemi lineari.

Alan Turing e i sistemi lineari

1932 Picone crea il corso di Calcoli Numerici e Grafici: sistemi lineari, non lineari, integrazione, analisi di Fourier. A proposito dei sistemi scrive: “il problema pu`oessere considerato come la divisione tra numeri in pi`u dimensioni... Mentre per la divisione esistono macchine automatiche, per i sistemi lineari non `ecos`ı... Recentemente il prof. Malloc dell’Universit`adi Cambridge ha costruito una macchina elettrica molto originale che pu`o risolvere sistemi fino a 10 equazioni e incognite.” 1941–1949: Nascono le prime macchine calcolatrici: Z3 (Germania), ABC (USA) solo per sistemi lineari fino a 29 incognite, Colossus (UK), Harvard Mark–I (USA), Z4 (Germania), ENIAC (USA), Baby (UK), EDSAC (UK), Manchester Mark–1 (UK), CSIRAC (Australia) 1935: Lamberto Cesari e Gianfranco Cimmino danno contributi importanti alla risoluzione iterativa di sistemi lineari.

Alan Turing e i sistemi lineari

1932 Picone crea il corso di Calcoli Numerici e Grafici: sistemi lineari, non lineari, integrazione, analisi di Fourier. A proposito dei sistemi scrive: “il problema pu`oessere considerato come la divisione tra numeri in pi`u dimensioni... Mentre per la divisione esistono macchine automatiche, per i sistemi lineari non `ecos`ı... Recentemente il prof. Malloc dell’Universit`adi Cambridge ha costruito una macchina elettrica molto originale che pu`o risolvere sistemi fino a 10 equazioni e incognite.” 1941–1949: Nascono le prime macchine calcolatrici: Z3 (Germania), ABC (USA) solo per sistemi lineari fino a 29 incognite, Colossus (UK), Harvard Mark–I (USA), Z4 (Germania), ENIAC (USA), Baby (UK), EDSAC (UK), Manchester Mark–1 (UK), CSIRAC (Australia) 1957 Nasce la CEP Calcolatrice Elettronica Pisana grazie a finanziamenti delle province di Pisa, Lucca e Livorno e all’opera di Alessandro Faedo e Marcello Conversi Alan Turing e i sistemi lineari

1932 Picone crea il corso di Calcoli Numerici e Grafici: sistemi lineari, non lineari, integrazione, analisi di Fourier. A proposito dei sistemi scrive: “il problema pu`oessere considerato come la divisione tra numeri in pi`u dimensioni... Mentre per la divisione esistono macchine automatiche, per i sistemi lineari non `ecos`ı... Recentemente il prof. Malloc dell’Universit`adi Cambridge ha costruito una macchina elettrica molto originale che pu`o risolvere sistemi fino a 10 equazioni e incognite.” 1941–1949: Nascono le prime macchine calcolatrici: Z3 (Germania), ABC (USA) solo per sistemi lineari fino a 29 incognite, Colossus (UK), Harvard Mark–I (USA), Z4 (Germania), ENIAC (USA), Baby (UK), EDSAC (UK), Manchester Mark–1 (UK), CSIRAC (Australia) 1957 Nasce la CEP Calcolatrice Elettronica Pisana grazie a finanziamenti delle province di Pisa, Lucca e Livorno e all’opera di Alessandro Faedo e Marcello Conversi 1935: Lamberto Cesari e Gianfranco Cimmino danno contributi importanti alla risoluzione iterativa di sistemi lineari. 1946: Fox, Goodwin, Turing, Wilkinson, risolvono un sistema 18x18 con una calcolatrice da tavolo in 2 settimane. 1947: von Neumann e Goldstein trovano classi di sistemi per cui il metodo di Gauss `eaffidabile 1948: Turing scrive un articolo moderno intitolato: Rounding-Off Errors in Matrix Processes, dove introduce concetti fondamentali alla base dei moderni metodi di calcolo. Tra questi, le strategie di pivoting sviluppate successivamente da Wilkinson che permettono di rendere il metodo di Gauss affidabile per qualsiasi sistema lineare. Introduce concetti fondamentali quali il numero di condizionamento e la stabilit`anumerica di un metodo di risoluzione, che sono tuttora insegnati dei moderni corsi di Analisi Numerica.

Grazie a Turing il metodo di Gauss, affiancato dalle strategie di pivoting, diventa il metodo di risoluzione affidabile dei sistemi lineari

Alan Turing e i sistemi lineari

1943: Hotelling dimostra che il metodo di Gauss `einaffidabile con aritmetica approssimata (floating point). Introduce l’analisi degli errori. 1947: von Neumann e Goldstein trovano classi di sistemi per cui il metodo di Gauss `eaffidabile 1948: Turing scrive un articolo moderno intitolato: Rounding-Off Errors in Matrix Processes, dove introduce concetti fondamentali alla base dei moderni metodi di calcolo. Tra questi, le strategie di pivoting sviluppate successivamente da Wilkinson che permettono di rendere il metodo di Gauss affidabile per qualsiasi sistema lineare. Introduce concetti fondamentali quali il numero di condizionamento e la stabilit`anumerica di un metodo di risoluzione, che sono tuttora insegnati dei moderni corsi di Analisi Numerica.

Grazie a Turing il metodo di Gauss, affiancato dalle strategie di pivoting, diventa il metodo di risoluzione affidabile dei sistemi lineari

Alan Turing e i sistemi lineari

1943: Hotelling dimostra che il metodo di Gauss `einaffidabile con aritmetica approssimata (floating point). Introduce l’analisi degli errori. 1946: Fox, Goodwin, Turing, Wilkinson, risolvono un sistema 18x18 con una calcolatrice da tavolo in 2 settimane. 1948: Turing scrive un articolo moderno intitolato: Rounding-Off Errors in Matrix Processes, dove introduce concetti fondamentali alla base dei moderni metodi di calcolo. Tra questi, le strategie di pivoting sviluppate successivamente da Wilkinson che permettono di rendere il metodo di Gauss affidabile per qualsiasi sistema lineare. Introduce concetti fondamentali quali il numero di condizionamento e la stabilit`anumerica di un metodo di risoluzione, che sono tuttora insegnati dei moderni corsi di Analisi Numerica.

Grazie a Turing il metodo di Gauss, affiancato dalle strategie di pivoting, diventa il metodo di risoluzione affidabile dei sistemi lineari

Alan Turing e i sistemi lineari

1943: Hotelling dimostra che il metodo di Gauss `einaffidabile con aritmetica approssimata (floating point). Introduce l’analisi degli errori. 1946: Fox, Goodwin, Turing, Wilkinson, risolvono un sistema 18x18 con una calcolatrice da tavolo in 2 settimane. 1947: von Neumann e Goldstein trovano classi di sistemi per cui il metodo di Gauss `eaffidabile Grazie a Turing il metodo di Gauss, affiancato dalle strategie di pivoting, diventa il metodo di risoluzione affidabile dei sistemi lineari

Alan Turing e i sistemi lineari

1943: Hotelling dimostra che il metodo di Gauss `einaffidabile con aritmetica approssimata (floating point). Introduce l’analisi degli errori. 1946: Fox, Goodwin, Turing, Wilkinson, risolvono un sistema 18x18 con una calcolatrice da tavolo in 2 settimane. 1947: von Neumann e Goldstein trovano classi di sistemi per cui il metodo di Gauss `eaffidabile 1948: Turing scrive un articolo moderno intitolato: Rounding-Off Errors in Matrix Processes, dove introduce concetti fondamentali alla base dei moderni metodi di calcolo. Tra questi, le strategie di pivoting sviluppate successivamente da Wilkinson che permettono di rendere il metodo di Gauss affidabile per qualsiasi sistema lineare. Introduce concetti fondamentali quali il numero di condizionamento e la stabilit`anumerica di un metodo di risoluzione, che sono tuttora insegnati dei moderni corsi di Analisi Numerica. Alan Turing e i sistemi lineari

1943: Hotelling dimostra che il metodo di Gauss `einaffidabile con aritmetica approssimata (floating point). Introduce l’analisi degli errori. 1946: Fox, Goodwin, Turing, Wilkinson, risolvono un sistema 18x18 con una calcolatrice da tavolo in 2 settimane. 1947: von Neumann e Goldstein trovano classi di sistemi per cui il metodo di Gauss `eaffidabile 1948: Turing scrive un articolo moderno intitolato: Rounding-Off Errors in Matrix Processes, dove introduce concetti fondamentali alla base dei moderni metodi di calcolo. Tra questi, le strategie di pivoting sviluppate successivamente da Wilkinson che permettono di rendere il metodo di Gauss affidabile per qualsiasi sistema lineare. Introduce concetti fondamentali quali il numero di condizionamento e la stabilit`anumerica di un metodo di risoluzione, che sono tuttora insegnati dei moderni corsi di Analisi Numerica.

Grazie a Turing il metodo di Gauss, affiancato dalle strategie di pivoting, diventa il metodo di risoluzione affidabile dei sistemi lineari Come si risolvono i sistemi lineari e quanto costa? Nelle scuole si insegnano vari metodi per risolvere un sistema di due equazioni in due incognite. Due di essi sono: Il metodo di Cramer Il metodo di sostituzione (eliminazione Gaussiana) Essi sono generalizzabili al caso di sistemi di n equazioni e n incognite.

Cramer contro Gauss Il metodo di Cramer richiede pi`udi (n + 1)! = 1 × 2 × 3 × 4 × · · · × (n + 1) operazioni aritmetiche 2 3 Il metodo di Gauss richiede 3 n + spiccioli, operazioni aritmetiche

perch´esiamo interessati alle operazioni aritmetiche? quale metodo `epi`uveloce? 2 3 3 n operazioni sono tante? Come si risolvono i sistemi lineari e quanto costa? Supponiamo di risolvere un sistema lineare con un PC di quelli che si usano per giocare. Con queste macchine in un secondo si fanno circa un miliardo di operazioni aritmetiche. Tempi richiesti con un PC dai metodi di Gauss e di Cramer

n Gauss Cramer 5 0.8 milionesimi di secondo 7.2 milionesimi di secondo 10 6.7 milionesimi di secondo 0.4 secondi 20 53 milionesimi di secondo 16 migliaia di anni 50 0.83 millesimi di secondo 5 × 1041 miliardi di anni 1000 6.6 secondi ∗ 106 212anni ∗ 109 212miliardi di anni ∗

La vita stimata dell’universo non sarebbe sufficiente per aspettare la risposta gi`acon un sistema 50 × 50 se si usa il metodo di Cramer. 2 3 La funzione (n + 1)! ha una crescita pi`uche esponenziale, la funzione 3 n ha una crescita polinomiale. La Scienza del Calcolo

Un po’ di filosofia:

Nello studio dei modelli matematici `eimportante avere strumenti per l’analisi di propriet`aqualitative del modello (esistenza, unicit`aregolarit`a della soluzione)

Ma questo non basta. Nella risoluzione dei problemi occorre poter calcolare la soluzione

E` certamente utile sapere che il sistema di equazioni differenziali che regola lo spostamento di masse d’aria nell’atmosfera terrestre ha una soluzione con particolari caratteristiche qualitative. Ma se voglio fare le previsioni del tempo devo poter calcolare la soluzione per sapere dove piover`a La Scienza del Calcolo

...non solo: se devo fare le previsioni del tempo di domani, o fare una TAC ad un paziente grave, o devo fare atterrare un aereo sulla pista dell’aeroporto

devo essere in grado di calcolare la soluzione in tempi utili, altrimenti la soluzione tardiva, anche se corretta diventa inutile

Assume allora un ruolo fondamentale lo studio del costo dei metodi di risoluzione e della complessit`adi calcolo dei problemi da risolvere La Scienza del Calcolo

Ai metodi astratti della matematica si affiancano gli strumenti della matematica computazionale sviluppati per la costruzione e l’analisi di metodi di risoluzione di problemi complessi L’introduzione e la crescita di potenti sistemi di calcolo ha influenzato lo sviluppo della componente matematica e allo stesso tempo ha aumentato l’interesse verso i problemi specifici del calcolo.

La necessit`adelle scienze applicate di ricorrere sempre pi`uspesso a modelli matematici ha sviluppato maggiormente lo studio dei problemi del calcolo

La maggior disponibilit`adi strumenti matematici ha viceversa portato allo sviluppo di modelli sempre pi`ucomplessi La Scienza del Calcolo

Una caratteristica che segna le problematiche che si incontrano nella matematica computazionale `ela finitezza delle risorse.

Il tempo e lo spazio a disposizione sono in quantit`afinita ed `erichiesta una loro gestione attenta.

La finitezza del tempo mette in evidenza il problema della complessit`adi calcolo

La finitezza dello spazio mette in evidenza il problema degli errori

In un computer le operazioni aritmetiche sono affette da errore poich´ele rappresentazioni dei numeri vengono fatte con un numero finito di cifre I piccoli errori generati nelle singole operazioni aritmetiche possono amplificarsi e invalidare il risultato calcolato con un computer (A. Turing) La Scienza del Calcolo

Occorrono strumenti matematici per controllare la propagazione degli errori studiare il costo computazionale dei metodi di risoluzione progettare metodi di risoluzione efficienti sia in termini di costo computazionale sia in termini di errore studiare la complessit`a dei problemi studiare modelli di calcolo e di complessit`ain sintonia con lo sviluppo della tecnologia. Esempio facile: x2 − y 2 si calcola con 2 moltiplicazioni x2 − y 2 = (x − y)(x + y) si calcola con una sola moltiplicazione

La Scienza del Calcolo

Costo e complessit`a

Per un dato problema (ad esempio risoluzione di un sistema lineare) esistono metodi diversi dotati di costo diverso (ad esempio Cramer, Gauss)

Trovare il metodo di risoluzione di costo “minimo” `eun problema di difficile risoluzione.

Il costo del metodo di costo minimo `edetto complessit`adel problema. x2 − y 2 = (x − y)(x + y) si calcola con una sola moltiplicazione

La Scienza del Calcolo

Costo e complessit`a

Per un dato problema (ad esempio risoluzione di un sistema lineare) esistono metodi diversi dotati di costo diverso (ad esempio Cramer, Gauss)

Trovare il metodo di risoluzione di costo “minimo” `eun problema di difficile risoluzione.

Il costo del metodo di costo minimo `edetto complessit`adel problema.

Esempio facile: x2 − y 2 si calcola con 2 moltiplicazioni La Scienza del Calcolo

Costo e complessit`a

Per un dato problema (ad esempio risoluzione di un sistema lineare) esistono metodi diversi dotati di costo diverso (ad esempio Cramer, Gauss)

Trovare il metodo di risoluzione di costo “minimo” `eun problema di difficile risoluzione.

Il costo del metodo di costo minimo `edetto complessit`adel problema.

Esempio facile: x2 − y 2 si calcola con 2 moltiplicazioni x2 − y 2 = (x − y)(x + y) si calcola con una sola moltiplicazione Nel 1969 Volker Strassen ha dimostrato che il metodo di Gauss non `e ottimo. Si pu`orisolvere un sistema n × n con al pi`u 7n2.81 operazioni Nel 1979 a Pisa il gruppo di Milvio Capovani dimostra che un sistema si pu`orisolvere con c n2.779 operazioni, c `euna costante. Nel 1982 Shmuel Winograd e Don Coppersmith, con le idee di molti altri matematici tra cui Victor Pan, Arnold Schoenhage, Volker Strassen, e il gruppo di Milvio Capovani, arrivano al valore c n2.376. Nel 2011 una dottoranda statunitense Virginia Vassilevska Williams di origine ukraina arriva al valore c n2.3727. Il problema rimane aperto: Si sa che la complessit`adella risoluzione di un sistema lineare `edata da c nω dove 2 ≤ ω < 2.3727. Le metodologie matematiche usate hanno raggiunto un livello di “complessit`a”estremamente elevato.

La Scienza del Calcolo Esempio difficile (problema aperto)

Problema: risoluzione di un sistema lineare di n equazioni e n incognite: 2 3 il metodo di Cramer costa (n + 1)!, il metodo di Gauss costa 3 n Nel 1979 a Pisa il gruppo di Milvio Capovani dimostra che un sistema si pu`orisolvere con c n2.779 operazioni, c `euna costante. Nel 1982 Shmuel Winograd e Don Coppersmith, con le idee di molti altri matematici tra cui Victor Pan, Arnold Schoenhage, Volker Strassen, e il gruppo di Milvio Capovani, arrivano al valore c n2.376. Nel 2011 una dottoranda statunitense Virginia Vassilevska Williams di origine ukraina arriva al valore c n2.3727. Il problema rimane aperto: Si sa che la complessit`adella risoluzione di un sistema lineare `edata da c nω dove 2 ≤ ω < 2.3727. Le metodologie matematiche usate hanno raggiunto un livello di “complessit`a”estremamente elevato.

La Scienza del Calcolo Esempio difficile (problema aperto)

Problema: risoluzione di un sistema lineare di n equazioni e n incognite: 2 3 il metodo di Cramer costa (n + 1)!, il metodo di Gauss costa 3 n Nel 1969 Volker Strassen ha dimostrato che il metodo di Gauss non `e ottimo. Si pu`orisolvere un sistema n × n con al pi`u 7n2.81 operazioni Nel 1982 Shmuel Winograd e Don Coppersmith, con le idee di molti altri matematici tra cui Victor Pan, Arnold Schoenhage, Volker Strassen, e il gruppo di Milvio Capovani, arrivano al valore c n2.376. Nel 2011 una dottoranda statunitense Virginia Vassilevska Williams di origine ukraina arriva al valore c n2.3727. Il problema rimane aperto: Si sa che la complessit`adella risoluzione di un sistema lineare `edata da c nω dove 2 ≤ ω < 2.3727. Le metodologie matematiche usate hanno raggiunto un livello di “complessit`a”estremamente elevato.

La Scienza del Calcolo Esempio difficile (problema aperto)

Problema: risoluzione di un sistema lineare di n equazioni e n incognite: 2 3 il metodo di Cramer costa (n + 1)!, il metodo di Gauss costa 3 n Nel 1969 Volker Strassen ha dimostrato che il metodo di Gauss non `e ottimo. Si pu`orisolvere un sistema n × n con al pi`u 7n2.81 operazioni Nel 1979 a Pisa il gruppo di Milvio Capovani dimostra che un sistema si pu`orisolvere con c n2.779 operazioni, c `euna costante. Nel 2011 una dottoranda statunitense Virginia Vassilevska Williams di origine ukraina arriva al valore c n2.3727. Il problema rimane aperto: Si sa che la complessit`adella risoluzione di un sistema lineare `edata da c nω dove 2 ≤ ω < 2.3727. Le metodologie matematiche usate hanno raggiunto un livello di “complessit`a”estremamente elevato.

La Scienza del Calcolo Esempio difficile (problema aperto)

Problema: risoluzione di un sistema lineare di n equazioni e n incognite: 2 3 il metodo di Cramer costa (n + 1)!, il metodo di Gauss costa 3 n Nel 1969 Volker Strassen ha dimostrato che il metodo di Gauss non `e ottimo. Si pu`orisolvere un sistema n × n con al pi`u 7n2.81 operazioni Nel 1979 a Pisa il gruppo di Milvio Capovani dimostra che un sistema si pu`orisolvere con c n2.779 operazioni, c `euna costante. Nel 1982 Shmuel Winograd e Don Coppersmith, con le idee di molti altri matematici tra cui Victor Pan, Arnold Schoenhage, Volker Strassen, e il gruppo di Milvio Capovani, arrivano al valore c n2.376. Il problema rimane aperto: Si sa che la complessit`adella risoluzione di un sistema lineare `edata da c nω dove 2 ≤ ω < 2.3727. Le metodologie matematiche usate hanno raggiunto un livello di “complessit`a”estremamente elevato.

La Scienza del Calcolo Esempio difficile (problema aperto)

Problema: risoluzione di un sistema lineare di n equazioni e n incognite: 2 3 il metodo di Cramer costa (n + 1)!, il metodo di Gauss costa 3 n Nel 1969 Volker Strassen ha dimostrato che il metodo di Gauss non `e ottimo. Si pu`orisolvere un sistema n × n con al pi`u 7n2.81 operazioni Nel 1979 a Pisa il gruppo di Milvio Capovani dimostra che un sistema si pu`orisolvere con c n2.779 operazioni, c `euna costante. Nel 1982 Shmuel Winograd e Don Coppersmith, con le idee di molti altri matematici tra cui Victor Pan, Arnold Schoenhage, Volker Strassen, e il gruppo di Milvio Capovani, arrivano al valore c n2.376. Nel 2011 una dottoranda statunitense Virginia Vassilevska Williams di origine ukraina arriva al valore c n2.3727. Le metodologie matematiche usate hanno raggiunto un livello di “complessit`a”estremamente elevato.

La Scienza del Calcolo Esempio difficile (problema aperto)

Problema: risoluzione di un sistema lineare di n equazioni e n incognite: 2 3 il metodo di Cramer costa (n + 1)!, il metodo di Gauss costa 3 n Nel 1969 Volker Strassen ha dimostrato che il metodo di Gauss non `e ottimo. Si pu`orisolvere un sistema n × n con al pi`u 7n2.81 operazioni Nel 1979 a Pisa il gruppo di Milvio Capovani dimostra che un sistema si pu`orisolvere con c n2.779 operazioni, c `euna costante. Nel 1982 Shmuel Winograd e Don Coppersmith, con le idee di molti altri matematici tra cui Victor Pan, Arnold Schoenhage, Volker Strassen, e il gruppo di Milvio Capovani, arrivano al valore c n2.376. Nel 2011 una dottoranda statunitense Virginia Vassilevska Williams di origine ukraina arriva al valore c n2.3727. Il problema rimane aperto: Si sa che la complessit`adella risoluzione di un sistema lineare `edata da c nω dove 2 ≤ ω < 2.3727. La Scienza del Calcolo Esempio difficile (problema aperto)

Problema: risoluzione di un sistema lineare di n equazioni e n incognite: 2 3 il metodo di Cramer costa (n + 1)!, il metodo di Gauss costa 3 n Nel 1969 Volker Strassen ha dimostrato che il metodo di Gauss non `e ottimo. Si pu`orisolvere un sistema n × n con al pi`u 7n2.81 operazioni Nel 1979 a Pisa il gruppo di Milvio Capovani dimostra che un sistema si pu`orisolvere con c n2.779 operazioni, c `euna costante. Nel 1982 Shmuel Winograd e Don Coppersmith, con le idee di molti altri matematici tra cui Victor Pan, Arnold Schoenhage, Volker Strassen, e il gruppo di Milvio Capovani, arrivano al valore c n2.376. Nel 2011 una dottoranda statunitense Virginia Vassilevska Williams di origine ukraina arriva al valore c n2.3727. Il problema rimane aperto: Si sa che la complessit`adella risoluzione di un sistema lineare `edata da c nω dove 2 ≤ ω < 2.3727. Le metodologie matematiche usate hanno raggiunto un livello di “complessit`a”estremamente elevato. Questi problemi sono praticamente irrisolubili

Non `echiaro se in un prossimo futuro diventeranno risolubili. Questo dipende dall’intelligenza umana e dalla possibilit`adi costruire metodi di risoluzione dotati di un costo polinomiale.

La Scienza del Calcolo

Ci sono problemi intrinsecamente difficili per i quali non si conoscono metodi di risoluzione che hanno un costo polinomiale. Gli unici metodi che si conoscono hanno un costo esponenziale (come il metodo di Cramer) La Scienza del Calcolo

Ci sono problemi intrinsecamente difficili per i quali non si conoscono metodi di risoluzione che hanno un costo polinomiale. Gli unici metodi che si conoscono hanno un costo esponenziale (come il metodo di Cramer)

Questi problemi sono praticamente irrisolubili

Non `echiaro se in un prossimo futuro diventeranno risolubili. Questo dipende dall’intelligenza umana e dalla possibilit`adi costruire metodi di risoluzione dotati di un costo polinomiale. La Scienza del Calcolo

Un semplice esempio: Dati due interi di n cifre, il loro prodotto si riesce a calcolare con n2 moltiplicazioni tra singole cifre

1 2 3 x 2 3 2 = 2 4 6 3 6 9 2 4 6 2 8 5 3 6

Dato un intero che `eil prodotto di due interi di n cifre non si conoscono metodi per calcolare i due fattori con un numero polinomiale di operazioni tra cifre. Questo `eun problema aperto. L’esistenza di operazioni che in un senso sono facili (prodotto di interi) e nel senso opposto sono difficili (fattorizzazione di un intero) viene sfruttata per costruire codici crittografici molto pi`uaffidabili di quelli usati dai tedeschi nell’ultima guerra e decrittati da Alan Turing... Criptare `efacile (come la moltiplicazione di interi) Decrittare senza conoscere la chiave `epraticamente impossibile (come la fattorizzazione di un intero) ... si ottengono codici molto pi`uaffidabili finch´equalcuno non inventer`a un metodo per fattorizzare interi in modo veloce...... se cos`ıdovesse accadere, il geniale inventore verrebbe sequestrato da qualche servizio di intelligence e fatto sparire da questo mondo per proteggere la sicurezza delle banche, delle transazioni economiche, degli stati, e degli stessi servizi di intelligence ...

La Scienza del Calcolo Non tutto il male viene per nuocere ..... Criptare `efacile (come la moltiplicazione di interi) Decrittare senza conoscere la chiave `epraticamente impossibile (come la fattorizzazione di un intero) ... si ottengono codici molto pi`uaffidabili finch´equalcuno non inventer`a un metodo per fattorizzare interi in modo veloce...... se cos`ıdovesse accadere, il geniale inventore verrebbe sequestrato da qualche servizio di intelligence e fatto sparire da questo mondo per proteggere la sicurezza delle banche, delle transazioni economiche, degli stati, e degli stessi servizi di intelligence ...

La Scienza del Calcolo Non tutto il male viene per nuocere .....

L’esistenza di operazioni che in un senso sono facili (prodotto di interi) e nel senso opposto sono difficili (fattorizzazione di un intero) viene sfruttata per costruire codici crittografici molto pi`uaffidabili di quelli usati dai tedeschi nell’ultima guerra e decrittati da Alan Turing...... si ottengono codici molto pi`uaffidabili finch´equalcuno non inventer`a un metodo per fattorizzare interi in modo veloce...... se cos`ıdovesse accadere, il geniale inventore verrebbe sequestrato da qualche servizio di intelligence e fatto sparire da questo mondo per proteggere la sicurezza delle banche, delle transazioni economiche, degli stati, e degli stessi servizi di intelligence ...

La Scienza del Calcolo Non tutto il male viene per nuocere .....

L’esistenza di operazioni che in un senso sono facili (prodotto di interi) e nel senso opposto sono difficili (fattorizzazione di un intero) viene sfruttata per costruire codici crittografici molto pi`uaffidabili di quelli usati dai tedeschi nell’ultima guerra e decrittati da Alan Turing... Criptare `efacile (come la moltiplicazione di interi) Decrittare senza conoscere la chiave `epraticamente impossibile (come la fattorizzazione di un intero) La Scienza del Calcolo Non tutto il male viene per nuocere .....

L’esistenza di operazioni che in un senso sono facili (prodotto di interi) e nel senso opposto sono difficili (fattorizzazione di un intero) viene sfruttata per costruire codici crittografici molto pi`uaffidabili di quelli usati dai tedeschi nell’ultima guerra e decrittati da Alan Turing... Criptare `efacile (come la moltiplicazione di interi) Decrittare senza conoscere la chiave `epraticamente impossibile (come la fattorizzazione di un intero) ... si ottengono codici molto pi`uaffidabili finch´equalcuno non inventer`a un metodo per fattorizzare interi in modo veloce...... se cos`ıdovesse accadere, il geniale inventore verrebbe sequestrato da qualche servizio di intelligence e fatto sparire da questo mondo per proteggere la sicurezza delle banche, delle transazioni economiche, degli stati, e degli stessi servizi di intelligence ... Problema: Ordinare le pagine presenti sul web in base alla loro importanza

Come si pu`odefinire l’importanza (page rank) di una pagina indipendentemente dai suoi contenuti?

La risoluzione di un problema apparentemente impossibile

Il problema di Google Due studenti dell’universit`adi Stanford, Sergey Brin e Larry Page hanno fatto la loro fortuna inventando “Google” Come si pu`odefinire l’importanza (page rank) di una pagina indipendentemente dai suoi contenuti?

La risoluzione di un problema apparentemente impossibile

Il problema di Google Due studenti dell’universit`adi Stanford, Sergey Brin e Larry Page hanno fatto la loro fortuna inventando “Google”

Problema: Ordinare le pagine presenti sul web in base alla loro importanza La risoluzione di un problema apparentemente impossibile

Il problema di Google Due studenti dell’universit`adi Stanford, Sergey Brin e Larry Page hanno fatto la loro fortuna inventando “Google”

Problema: Ordinare le pagine presenti sul web in base alla loro importanza

Come si pu`odefinire l’importanza (page rank) di una pagina indipendentemente dai suoi contenuti? in base al numero dei link che da essa partono in base al numero dei link che ad essa arrivano in base al numero delle pagine importanti che puntano alla pagina (definizione implicita)

La risoluzione di un problema apparentemente impossibile

Importanza di una pagina: Varie proposte

in base al numero di volte che la parola cercata compare in base al numero dei link che ad essa arrivano in base al numero delle pagine importanti che puntano alla pagina (definizione implicita)

La risoluzione di un problema apparentemente impossibile

Importanza di una pagina: Varie proposte

in base al numero di volte che la parola cercata compare in base al numero dei link che da essa partono in base al numero delle pagine importanti che puntano alla pagina (definizione implicita)

La risoluzione di un problema apparentemente impossibile

Importanza di una pagina: Varie proposte

in base al numero di volte che la parola cercata compare in base al numero dei link che da essa partono in base al numero dei link che ad essa arrivano La risoluzione di un problema apparentemente impossibile

Importanza di una pagina: Varie proposte

in base al numero di volte che la parola cercata compare in base al numero dei link che da essa partono in base al numero dei link che ad essa arrivano in base al numero delle pagine importanti che puntano alla pagina (definizione implicita) La risoluzione di un problema apparentemente impossibile L’idea di Page e Brin

Ogni pagina ha una sua propria importanza che deriva dalle connessioni (non direttamente dai contenuti)

L’importanza di una pagina viene trasferita in parti uguali alle pagine che essa punta

L’importanza di una pagina `edata dalla somma delle frazioni di importanza che gli derivano dalle pagine che ad essa puntano

Principio generale: (discutibile nei rapporti umani) Una persona `e importante se frequenta persone importanti; una persona d`aparte della sua importanza alle persone che frequenta; La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Il modello matematico

Numeriamo le pagine del web da 1 a n Definiamo la matrice di connettivit`anel seguente modo:   h1,1 h1,2 ... h1,n  h2,1 h2,2 ... h2,n  H =    . . .   . . .  hn,1 hn,2 ... hn,n

hi,j = 1 se c’`eun link dalla pagina i alla pagina j hi,j = 0 altrimenti. La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Il modello matematico

Esempio con n = 4  0 1 1 1   1 0 0 1  H =    0 0 0 1  0 1 1 0

1 2

?>=<89:; ?>=<89:; 3 4

?>=<89:; ?>=<89:; La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Il modello matematico

Esempio con n = 4  0111   1 0 0 1  H =    0 0 0 1  0 1 1 0

1 * 2 >> >> >> ?>=<89:; >>?>=<89:;  > 3 4

?>=<89:; ?>=<89:; La pagina 1 d`a1/3 della sua importanza alle pagine 2, 3 e 4 La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Il modello matematico

Esempio con n = 4  0 1 1 1   1001  H =    0 0 0 1  0 1 1 0

* 1 j 2

?>=<89:; ?>=<89:;   3 4

?>=<89:; ?>=<89:; La pagina 2 d`a1/2 della sua importanza alle pagine 1 e 4 La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Il modello matematico

Esempio con n = 4  0 1 1 1   1 0 0 1  H =    0001  0 1 1 0

* 1 j 2

?>=<89:; ?>=<89:;   3 * 4

?>=<89:; ?>=<89:; La pagina 3 d`atutta la sua importanza alla pagina 4 La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Il modello matematico

Esempio con n = 4  0 1 1 1   1 0 0 1  H =    0 0 0 1  0110

* 1 j 2 J ?>=<89:; ?>=<89:;  *  3 j 4

?>=<89:; ?>=<89:; La pagina 4 d`amet`adella sua importanza alle pagine 2 e 3 Denotiamo con x1, x2, x3, x4 le importanze delle pagine 1,2,3,4. Vale allora  1 x1 = x2  2  1 1  x2 = 3 x1 + 2 x4 1 1  x3 = x1 + x4  2 2  1 1 x4 = 3 x1 + 2 x2 + x3

Sistema lineare di 3 equazioni e 3 incognite

La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Il modello matematico Esempio con n = 4

 0 1 1 1  1 * 2 >j 1 0 0 1 >> J H =   >>  0 0 0 1  ?>=<89:; >> ?>=<89:;    >> 0 1 1 0 *  3 j 4

?>=<89:; ?>=<89:; La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Il modello matematico Esempio con n = 4

 0 1 1 1  1 * 2 >j 1 0 0 1 >> J H =   >>  0 0 0 1  ?>=<89:; >> ?>=<89:;    >> 0 1 1 0 *  3 j 4

Denotiamo con x1, x2, x3, x4 le importanze delle?>=<89:; pagine 1,2,3,4.?>=<89:; Vale allora  1 x1 = x2  2  1 1  x2 = 3 x1 + 2 x4 1 1  x3 = x1 + x4  2 2  1 1 x4 = 3 x1 + 2 x2 + x3

Sistema lineare di 3 equazioni e 3 incognite Allora risulta x1 x2 xn xj = h1,j + h2,j + ··· + hn,j r1 r2 rn per j = 1, 2,..., n.

Questo `eun sistema lineare di n equazioni in n incognite.

Le soluzioni x1, x2,..., xn danno il livello di importanza delle singole pagine cio`eil page rank

L’equazione usata da Google `eleggermente diversa:

x1 x2 xn 1 xj = d(h1,j + h2,j + ··· + hn,j ) + (1 − d), r1 r2 rn n dove d `eun parametro fra 0 e 1, di solito viene posto d = 0.85

La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Il modello matematico

In generale, indicando con xj l’importanza della pagina j Questo `eun sistema lineare di n equazioni in n incognite.

Le soluzioni x1, x2,..., xn danno il livello di importanza delle singole pagine cio`eil page rank

L’equazione usata da Google `eleggermente diversa:

x1 x2 xn 1 xj = d(h1,j + h2,j + ··· + hn,j ) + (1 − d), r1 r2 rn n dove d `eun parametro fra 0 e 1, di solito viene posto d = 0.85

La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Il modello matematico

In generale, indicando con xj l’importanza della pagina j Allora risulta x1 x2 xn xj = h1,j + h2,j + ··· + hn,j r1 r2 rn per j = 1, 2,..., n. L’equazione usata da Google `eleggermente diversa:

x1 x2 xn 1 xj = d(h1,j + h2,j + ··· + hn,j ) + (1 − d), r1 r2 rn n dove d `eun parametro fra 0 e 1, di solito viene posto d = 0.85

La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Il modello matematico

In generale, indicando con xj l’importanza della pagina j Allora risulta x1 x2 xn xj = h1,j + h2,j + ··· + hn,j r1 r2 rn per j = 1, 2,..., n.

Questo `eun sistema lineare di n equazioni in n incognite.

Le soluzioni x1, x2,..., xn danno il livello di importanza delle singole pagine cio`eil page rank La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Il modello matematico

In generale, indicando con xj l’importanza della pagina j Allora risulta x1 x2 xn xj = h1,j + h2,j + ··· + hn,j r1 r2 rn per j = 1, 2,..., n.

Questo `eun sistema lineare di n equazioni in n incognite.

Le soluzioni x1, x2,..., xn danno il livello di importanza delle singole pagine cio`eil page rank

L’equazione usata da Google `eleggermente diversa:

x1 x2 xn 1 xj = d(h1,j + h2,j + ··· + hn,j ) + (1 − d), r1 r2 rn n dove d `eun parametro fra 0 e 1, di solito viene posto d = 0.85 La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Il modello matematico

Per calcolare il page rank occorre risolvere un sistema di n equazioni ed n incognite

Alla data di oggi ci sono circa n = 40 × 109 pagine attive Il metodo di Gauss impiegherebbe circa 2 2 n3 = (40 × 109)3 ≈ 4.2 × 1031 3 3 (42000 miliardi di miliardi di miliardi) operazioni aritmetiche

Sono tante? La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Complessit`adel Page Rank

Il calcolatore pi`uveloce esistente al mondo `eattualmente il K-computer della Fujitsu

Ha una velocit`amassima di 8.16 petaFLOPS cio`e8.16 × 1015 operazioni al secondo (1 peta = 1015)

Per eseguire 4.2 × 1031 operazioni richiederebbe pi`udi 163 milioni di anni

Un tempo “geologico” .... eppure Larry Page e Sergey Brin calcolano il page rank ogni mese

come fanno? La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Tecnologia hardware vs tecnologia matematica

Anche se la tecnologia fosse in grado di costruire un computer 1000 volte o un milione di volte pi`uveloce non sarebbe possibile risolvere il problema di Google in tempo reale

Solo sviluppando nuovi metodi matematici `epossibile risolvere il sistema con tempi di calcolo brevi

La matematica e la scienza del calcolo assumono un’importanza maggiore della tecnologia hardware La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Metodi iterativi

I metodi iterativi generano una successione di approssimazioni che convergono alla soluzione del sistema Il calcolo di ogni approssimazione costa “poco”: tanto quanto costa moltiplicare la matrice del sistema per un vettore Nel caso di Google il costo `eproporzionale al numero di uni presenti nella matrice delle connessioni Mediamente ci sono meno di 10 link per pagina, e quindi meno di 10 uni su ogni riga 2 sostituiscili nella parte destra della formula

x1 x2 xn 1 yj = d(h1,j + h2,j + ··· + hn,j ) + (1 − d), r1 r2 rn n

3 e ricava i valori di yj , per j = 1, 2,..., n

4 poni xj = yj per j = 1, 2,..., n e prosegui dal punto 2

Algoritmo

1 Assegna agli xi dei valori qualsiasi

La risoluzione di un problema apparentemente impossibile L’algoritmo Page Rank Equazione

x1 x2 xn 1 xj = d(h1,j + h2,j + ··· + hn,j ) + (1 − d), r1 r2 rn n 3 e ricava i valori di yj , per j = 1, 2,..., n

4 poni xj = yj per j = 1, 2,..., n e prosegui dal punto 2

La risoluzione di un problema apparentemente impossibile L’algoritmo Page Rank Equazione

x1 x2 xn 1 xj = d(h1,j + h2,j + ··· + hn,j ) + (1 − d), r1 r2 rn n

Algoritmo

1 Assegna agli xi dei valori qualsiasi 2 sostituiscili nella parte destra della formula

x1 x2 xn 1 yj = d(h1,j + h2,j + ··· + hn,j ) + (1 − d), r1 r2 rn n 4 poni xj = yj per j = 1, 2,..., n e prosegui dal punto 2

La risoluzione di un problema apparentemente impossibile L’algoritmo Page Rank Equazione

x1 x2 xn 1 xj = d(h1,j + h2,j + ··· + hn,j ) + (1 − d), r1 r2 rn n

Algoritmo

1 Assegna agli xi dei valori qualsiasi 2 sostituiscili nella parte destra della formula

x1 x2 xn 1 yj = d(h1,j + h2,j + ··· + hn,j ) + (1 − d), r1 r2 rn n

3 e ricava i valori di yj , per j = 1, 2,..., n La risoluzione di un problema apparentemente impossibile L’algoritmo Page Rank Equazione

x1 x2 xn 1 xj = d(h1,j + h2,j + ··· + hn,j ) + (1 − d), r1 r2 rn n

Algoritmo

1 Assegna agli xi dei valori qualsiasi 2 sostituiscili nella parte destra della formula

x1 x2 xn 1 yj = d(h1,j + h2,j + ··· + hn,j ) + (1 − d), r1 r2 rn n

3 e ricava i valori di yj , per j = 1, 2,..., n

4 poni xj = yj per j = 1, 2,..., n e prosegui dal punto 2 La risoluzione di un problema apparentemente impossibile L’algoritmo Page Rank

Viene generata una successione di approssimazioni che converge alla soluzione del sistema qualunque siano le approssimazioni iniziali.

La consistenza del modello si basa sulla teoria di Perron-Frobenius delle matrici non negative La convergenza della successione di approssimazioni si basa sul metodo delle potenze L’efficienza computazionale si basa su metodologie di estrapolazione e su metodologie di gestione di matrici sparse La risoluzione di un problema apparentemente impossibile Complessit`a Per fare un passo dell’algoritmo del Page Rank bisogna eseguire tante moltiplicazioni quanti sono gli elementi non nulli di H e all’incirca altrettante addizioni Su ogni riga della matrice H ci sono “pochi” elementi diversi da zero.

Se mediamente ci fossero 50 elementi non nulli su ogni riga, un passo del me- todo iterativo eseguito col K-computer impiegherebbe 2 millesimi di secondo.

Se anche fossero necessari 1000 passi iterativi basterebbero 2 secondi per approssimare la soluzione di Google. La risoluzione di un problema apparentemente impossibile

Le stesse metodologie vengono esportate ad altri campi: Il restauro di immagini degradate

La foto che segue, di 4 megapixel, `esfocata. Per rimetterla a fuoco basta risolvere un sistema di 4 milioni di equazioni e di incognite

usiamo un metodo iterativo tipo Google...

I problemi del mondo reale sono ben descritti dai modelli matematici che intervengono in campi tra i pi`udisparati. La matematica `eentrata a nostra insaputa nella vita di ogni giorno.

Lo studio dei problemi del mondo reale richiede il continuo sviluppo di modelli matematici sempre pi`uprecisi e complessi con metodi di risoluzione sempre pi`u efficienti e strumenti di analisi sempre pi`uraffinati

La Scienza del Calcolo sviluppa e analizza gli strumenti matematici e informatici per progettare e analizzare metodi di risoluzione sempre pi`uefficienti.

Quelli che sono i limiti della Scienza del Calcolo vengono utilizzati a vantaggio della societ`a.

L’attivit`asinergica tra lo studio astratto e le applicazioni alimenta il lavoro dei matematici e produce avanzamenti importanti nella societ`atecnologica e industriale con conseguenze sociali di grossa rilevanza.

Conclusioni La matematica `euna disciplina libera, creativa e fantasiosa; tra i suoi prodotti si trovano molti strumenti per studiare i problemi del mondo reale Lo studio dei problemi del mondo reale richiede il continuo sviluppo di modelli matematici sempre pi`uprecisi e complessi con metodi di risoluzione sempre pi`u efficienti e strumenti di analisi sempre pi`uraffinati

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L’attivit`asinergica tra lo studio astratto e le applicazioni alimenta il lavoro dei matematici e produce avanzamenti importanti nella societ`atecnologica e industriale con conseguenze sociali di grossa rilevanza. Alcuni link

it.mathacademy.ws www.turing.org.uk www.museoaica.it en.wikipedia.org/wiki/PageRank en.wikipedia.org/wiki/Gaussian elimination en.wikipedia.org/wiki/Determinant http://en.wikipedia.org/wiki/ The Nine Chapters on the Mathematical Art www.dm.unipi.it/ bini/Varie/ms.pdf e Un po’ di bilbiografia

Y. Saad and H. A. van der Vorst, Iterative solution of linear systems in the 20th Century, J. Comput. Applied. Math., 123 (2000). M. Capovani, La Matematica e il Calcolatore: L’avventura pisana. Edizioni Plus, Pisa University Press 2004. A. Guerraggio, P. Nastasi, L’italia degli scienziati: 150 anni di storia nazionale. Bruno Mondadori 2010. C.B. Boyer, Storia del calcolo e il suo sviluppo concettuale. Bruno Mondadori 2007. Titolo originale The History of the Calculus and Its Conceptual Development 1949. M. Benzi, The Early History of Matrix Iterations: With a Focus on the Italian Contribution. Scientific Computing 2011. Santa Margherita di Pula, Italy October 2011. N. Higham, S. Hammarling, Early Numerical Linear Algebra in the UK http://www.maths.manchester.ac.uk/ higham/talks/ talk05 early-hist.pdf