FISICA MATEMATICA 2 Corso Di 6 Crediti Corso Di Laurea Magistrale
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FISICA MATEMATICA 2 Corso di 6 Crediti Corso di Laurea Magistrale in Matematica A.A. 2014-2015 Cornelis VAN DER MEE Dipartimento di Matematica e Informatica Universit`adi Cagliari Viale Merello 92, 09123 Cagliari 070-6755605 (studio), 070-6755601 (FAX), 328-0089799 (cell.) [email protected] http:nnbugs.unica.itn∼cornelis oppure: http:nnkrein.unica.itn∼cornelis LaTeX compilation date: 9 maggio 2015 Indice I Equazioni di Hamilton 1 1 Equazioni del moto di Hamilton . .1 2 Trasformazioni canoniche . .6 3 Parentesi di Poisson e di Lagrange . 10 4 Lagrangiana per i Sistemi Continui . 13 5 Hamiltoniana per i Sistemi Continui . 17 6 Esempi . 18 II Punti di equilibrio 21 1 Sistema autonomo generalizzato . 21 2 Derivata di Lie e costanti del moto . 22 3 Classificazione dei punti di equilibrio . 23 4 Esempi . 27 III Stabilit`asecondo Liapunov 31 1 Stabilit`asecondo Liapunov . 31 2 Sistemi autonomi sulla retta . 32 3 Sistemi lineari a coefficienti costanti . 33 4 Funzione di Liapunov e linearizzazione . 38 5 Stabilit`ae loro applicazioni . 46 IV Stabilit`adei sistemi dinamici discreti 53 1 Teorema delle contrazioni . 53 2 Alcuni esempi illustrativi . 55 3 L'insieme di Mandelbrot . 62 V Biforcazioni e cicli-limite 67 1 Teorema di Poincar´e-Bendixson . 67 2 Applicazioni ai sistemi non lineari . 76 i VI Frattali 91 1 Insieme di Cantor e le sue varianti . 91 2 Caratteristiche dei frattali . 95 3 Dimensione di Hausdorff . 97 VIIEquazioni Integrabili 103 1 Storia di alcune equazioni integrabili . 103 2 Generazione di equazioni integrabili . 107 3 Inverse scattering transform per la KdV . 110 4 Inverse scattering transform per la NLS . 118 5 Superfici solitoniche . 124 A 3-ciclo implica caos 129 B Gruppi di Lie 135 1 Algebre di Lie . 135 2 Algebra di Lie di un gruppo di matrici . 136 3 Alcuni esempi dettagliati . 140 C Forma Normale di Jordan 145 1 Catene di Jordan . 145 2 Forme normali di Jordan: Matrici complesse . 147 3 Forme normali di Jordan: Matrici reali . 148 4 Decomposizione spettrale . 149 D Esercizi 151 Bibliografia 160 ii Capitolo I Equazioni di Hamilton 1 Equazioni del moto di Hamilton Nella formulazione lagrangiana il moto di un sistema ad n gradi di libert`aviene descritto dalle n equazioni d @L @L − = 0; (I.1) dt @q_i @qi dove L = L(q1; : : : ; qn; q_1;:::; q_n; t) `ela lagrangiana. Lo stato del sistema viene rappresentato da un unico punto nello spazio delle configurazioni n-dimensionale le cui coordinate sono le coordinate generalizzate qi. Descrivere il moto del sistema significa seguire questo punto lungo la sua traiettoria nello spazio delle configurazioni. Tutte le n coordinate devono essere indipendenti e non devono essere presenti equazioni di vincolo. Se le n coordinate non fossero indipendenti si dovrebbe, prima di impostare il problema, ridurre il numero delle incognite ad un opportuno m < n. Nella formulazione hamiltoniana si cercher`adi descrivere il moto con un sistema di 2n equazioni differenziali del primo ordine. Le 2n equazioni del moto descriveranno l'evoluzione del punto rappresentativo del sistema in uno spazio di dimensione 2n, detto spazio delle fasi, le cui coordinate saranno le 2n variabili indipendenti associate al sistema. La scelta naturale, ma non l'unica possibile, per raddoppiare le coordinate indipendenti del problema, `equella di scegliere met`adi esse come le n coordinate generalizzate qi. Come rimanenti coordinate scegliamo i momenti coniugati o generalizzati pi definite da: @L pi = (q1; : : : ; qn; q_1;:::; q_n; t): (I.2) @q_i Le variabili (q; p) = (q1; : : : ; qn; p1; : : : ; pn) sono generalmente note come variabili canoniche. 1 La cosiddetta trasformazione di Legendre da (q; q;_ t) a (q; p; t) agisce come segue. Il differenziale della lagrangiana L(q; q;_ t) `e n X @L @L @L dL = dq + dq_ + dt @q i @q_ i @t i=1 i i n X @L @L = dq + p dq_ + dt: @q i i i @t i=1 i Definendo l'hamiltoniana come n X H(q; p; t) = q_ipi − L(q; q;_ t); (I.3) i=1 e differenziando il secondo membro della (I.3), si ottiene n X dH = (_qidpi + pidq_i) − dL i=1 n n X X @L @L = (_q dp + p dq_ ) − dq + p dq_ − dt i i i i @q i i i @t i=1 i=1 i n X @L @L = q_ dp − dq − dt i i @q i @t i=1 i n X @L = (_q dp − p_ dq ) − dt: i i i i @t i=1 D'altra parte, il differenziale dell'hamiltoniana `edato da: n X @H @H @H dH = dq + dp + dt: @q i @p i @t i=1 i i Di conseguenza, otteniamo le 2n + 1 equazioni @H q_i = ; i = 1; : : : ; n; (I.4a) @pi @H −p_i = ; i = 1; : : : ; n; (I.4b) @qi @L @H − = : (I.4c) @t @t Le equazioni (I.4a) e (I.4b) sono note come le equazioni di Hamilton. Esse co- stituiscono un sistema di 2n equazioni del moto del primo ordine e sostituiscono le n equazioni del secondo ordine di Lagrange. 2 Nello studio di un problema concreto la costruzione dell'hamiltoniana de- ve comunque passare attraverso la formulazione lagrangiana. Il procedimento formale richiede una sequenza piuttosto impegnativa di passaggi: a. Dopo aver scelto le coordinate generalizzate qi, si costruisca la lagrangiana L(q; q;_ t) = T − V . b. Attraverso le definizioni (I.2) si ricavano i momenti generalizzati in fun- zione di q,_q e t. c. Utilizzando la (I.3) si costruisce l'hamiltoniana, che risulta (in questo stadio) essere una funzione di q,_q, p e t. d. Invertendo le (I.2) si ricavano leq _i in funzione di (q; p; t). e. Eliminandoq _ dall'espressione per l'hamiltoniana, si arriva ad un'hamil- toniana H = H(q; p; t). Soltanto da questo punto si possono derivare le equazioni di Hamilton. Esempio I.1 (campo elettromagnetico) Sia 1 L = 1 mj~r_j2 − q V (~r) − ~r_ · A~ ; 2 c dove m e q sono la massa e la carica della particella, c `ela velocit`adella luce e V = V (~r) e A~ = A~(~r) sono i potenziali elettrici e magnetici. Le tre equazioni di Eulero-Lagrange assumono la seguente forma ! 1 @A~ q q m~r¨ = −q rV + + ~r_ ^ (r ^ A~) = qE~ + (~r_ ^ B~ ); c @t c c dove E~ e B~ sono i campi elettrici e magnetici. Le coordinate generalizzate sono ~r = (x; y; z), mentre i momenti generalizzati sono: @L q @L q @L q p = = mx_ + A ; p = = my_ + A ; p = = mz_ + A : 1 @x_ c 1 2 @y_ c 2 3 @z_ c 3 _ q ~ In altre parole, ~p = m~r + c A. Quindi l'hamiltoniana `edata da: 1 q 2 H = ~r_ · ~p − L = 1 mj~r_j2 + qV (~r) = ~p − A~ + qV (~r): 2 2m c Le sei equazioni di Hamilton si riducono a: q q q ~p − A~ = m~r;_ ~p_ = −qrV + (~p − A~) · rA: c mc c 2 3 Esempio I.2 (Toda lattice periodico) Consideriamo la hamiltoniana n 1 X 2 H = 2 pj + V (q2 − q1) + V (q3 − q2) + ::: + V (qn − qn−1) + V (q1 − qn); j=1 dove 1 V (r) = e−r + r − 1 = r2 + O(r3);V 0(r) = 1 − e−r = r + O(r2); r ! 0: 2 Allora le equazioni di Hamilton sono le seguenti: @H q_j = = pj; @pj @H 0 0 p_j = − = V (qj+1 − qj) − V (qj − qj−1) @qj = e−(qj −qj−1) − e−(qj+1−qj ); essendo q0 = qn e qn+1 = q1. Di conseguenza, otteniamo la cosiddetta equazione non lineare della Toda lattice 8 e−(q1−qn) − e−(q2−q1); j = 1; <> −(q −q ) −(q −q ) q¨j = e j j−1 − e j+1 j ; j = 2; : : : ; n − 1; > :e−(qn−qn−1) − e−(q1−qn); j = n: Quest'equazione coincide con l'equazione di Eulero-Lagrange. Si vede subito che H e p1 + ::: + pn sono costanti del moto. 2 Una coordinata si dice ciclica se non compare esplicitamente nella lagrangia- na. In virt`udelle equazioni di Eulero-Lagrange, se qj `euna coordinata ciclica, allora il momento generalizzato pj `euna costante del moto, poich`e @L @H p_j = = − = 0: @qj @qj Inoltre, se qj `eciclica, allora non compare esplicitamente nemmeno nell'hamil- toniana, infatti, sfruttando le equazioni di Eulero-Lagrange, si ha @L @H 0 = = − : @qj @qj 4 Un'altra legge di conservazione segue dalla (I.4c) nel caso in cui H (o L) non dipende esplicitamente dal tempo. Infatti, in tal caso, si ha n dH X @H @H @H = q_ + p_ + dt @q i @p i @t i=1 i i n X @H = (−p_ q_ +_q p_ ) + i i i i @t i=1 @H @L = = − : @t @t Infine supponiamo che le coordinate generalizzate q1; : : : ; qn e i momenti ge- neralizzati p1; : : : ; pn non siano indipendenti ma invece siano sottoposti ad m (con m < n) vincoli k(q1; : : : ; qn; p1; : : : ; pn; t) = 0; k = 1; : : : ; m: Introducendo i moltiplicatori di Lagrange λ1; : : : ; λm e l'hamiltoniana estesa He(q1; : : : ; qn; p1; : : : ; pn; λ1; : : : ; λm; t) = H(q1; : : : ; qn; p1; : : : ; pn; t) m X + λk k(q1; : : : ; qn; p1; : : : ; pn; t); k=1 otteniamo le seguenti equazioni di Hamilton: m @He @H X @ k q_i = = + λk ; i = 1; : : : ; n; (I.5a) @pi @pi @pi k=1 m @He @H X @ k −p_i = = + λk ; i = 1; : : : ; n; (I.5b) @qi @qi @qi k=1 @He 0 = = j; j = 1; : : : ; m: (I.5c) @λj Introduciamo ora la formulazione simplettica delle equazioni di Hamilton. Consideriamo le nuove variabili η = (η1; : : : ; η2n) nel seguente modo: ( qi; i = 1; : : : ; n; ηi = pi−n; i = n + 1;:::; 2n: Allora 8@H @H <> = −p_i; i = 1; : : : ; n; = @qi @η @H i :> =q _i−n; i = n + 1;:::; 2n: @pi−n 5 Di conseguenza, le equazioni di Hamilton si possono scrivere nel seguente modo: @H η_ = J ; (I.6) @η dove 0 I J = n×n n : −In 0n×n La matrice J si dice simplettica nel senso che T 2 J = −J; J = −I2n: Inoltre, det J = 1.