U Iversidad Del Valle De Guatemala

UIVERSIDAD DEL VALLE DE GUATEMALA Facultad de Ciencias y Humanidades

Análisis de Cantor-Bendixson: La Hipótesis del Continuo para espacios polacos

Gabriel Enrique Girón Garnica

Guatemala 2008

Análisis de Cantor-Bendixson: La Hipótesis del Continuo para espacios polacos

UIVERSIDAD DEL VALLE DE GUATEMALA Facultad de Ciencias y Humanidades

Análisis de Cantor-Bendixson: La Hipótesis del Continuo para espacios polacos

Trabajo de graduación presentado por Gabriel Enrique Girón Garnica para optar al grado académico de Licenciado en Matemática

Guatemala 2008 Vo. Bo.:

(f)______PhD. L. Pedro Poitevin Asesor

Tribunal:

(f)______Lic. Dorval Carías

(f)______PhD. L. Pedro Poitevin

(f)______Licda. María Eugenia de Nieves

Fecha de aprobación: 19 de diciembre de 2008.

«Creo que la verdad está bien en la matemática…. o en la vida. En la vida es más importante la ilusión, la imaginación, el deseo, la esperanza. Además, ¿sabemos acaso lo que es la verdad? Si yo le digo que aquel trozo de ventana es azul, digo una verdad. Pero es una verdad parcial, y por lo tanto una especie de mentira. Porque ese trozo de ventana no está solo, está en una casa, en una ciudad, en un paisaje. Está rodeado del gris de ese muro de cemento, del azul claro de este cielo, de aquellas nubes alargadas, de infinitas cosas más. Y si no digo todo, absolutamente todo, estoy mintiendo. Pero decir todo es imposible, aun en este caso de la ventana, de un simple trozo de la realidad física, de la simple realidad física. La realidad es infinita y además infinitamente matizada, y si me olvido de un solo matiz ya estoy mintiendo. Ahora, imagínese lo que es la realidad de los seres humanos, con sus complicaciones y recovecos, contradicciones y además cambiantes. Porque cambia a cada instante que pasa, y lo que éramos hace un momento no lo somos más. ¿Somos, acaso, siempre la misma per- sona? ¿Tenemos, acaso, siempre los mismos sentimientos?»

Ernesto Sabato (Sobre héroes y tumbas, 1961 )

Prefacio

Esta tesis es el producto de una serie de discusiones y sugerencias que el maestro Dorval Carías tuvo la gentileza, y yo el honor, de compartir a inicios del año en curso. Él sugirió que escribiera una tesis cuyo tema central fuese un resultado de mucha importancia en la matemática moderna. De tal razón me propuso, aquel grandioso día, que probara la Hipótesis del Continuo para espacios polacos mediante la teoría descriptiva de conjuntos . Dicho y hecho. En lógica matemática, la teoría descriptiva de conjuntos es una de las principales áreas de investi- gación en teoría de conjuntos, tiene aplicaciones en otras áreas de la lógica matemática así como en el análisis funcional. Formalmente, la teoría descriptiva de conjuntos es el estudio de “conjuntos defini- bles” en espacios polacos. En esta teoría, los conjuntos son clasificados en jerarquías, de acuerdo a la complejidad de sus definiciones, y la estructura de los conjuntos en cada nivel de dicha jerarquía es sistemáticamente analizada. Además de sugerir el tema de tesis, el maestro Dorval Carías me brindó la grandísima oportuni- dad de que esta tesis fuese asesorada por un doctor en matemática con especial interés en lógica mate- mática. Este doctor es Luis Pedro Poitevin, graduado de Licenciado en Matemática en esta Universi- dad en 1996 y ahora catedrático del Departamento de Matemática del Salem State College en Massa- chusetts, USA. Cortésmente Luis Pedro aceptó asesorar este trabajo. Durante todo este año Luis Pedro y yo trabajamos en el desarrollo de la prueba de la Hipótesis del Continuo para espacios polacos así como en la escritura de unos ejemplos originales de la derivada de Cantor-Bendixson. Está de más decir lo invaluable que fue la visión, experiencia y guía que Luis Pedro ha brindado al trabajo de investigación matemática que sigue en las siguientes páginas. Esta tesis se limita a la exposición de los fundamentos de los espacios polacos, un breve estudio del análisis de Cantor-Bendixson y, por último, se presentan algunos ejemplos de la derivada de Cantor-Bendixson y la prueba de la Hipótesis del Continuo para espacios polacos. Quiero expresar mi infinito agradecimiento, respeto y admiración al maestro Dorval Carías. Es él el culpable casi total del gusto y pasión que hoy en día profeso por y para la matemática, además de ser también el responsable de la mayor parte de mi formación matemática. Muchísimas gracias maestro por la brillantez de sus exposiciones y su absoluta disposición para hacer matemática. Alef-uno gracias por su amistad, sobre todo. Expreso también mis agradecimientos hacia Luis Pedro Poitevin. Sin sus comentarios y asesoría este trabajo jamás hubiese sido posible. Gracias por el tiempo invertido en este proyecto y por la amistad que hemos construido a lo largo de este año.

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Agradezco muchísimo a la Lda. María Eugenia de Nieves, Directora del Departamento de Mate- mática, por su apoyo incondicional durante estos cinco años de pertenencia compartida a tan especial departamento. Sin su apoyo y consejos no hubiera podido realizar mis estudios en ciencia de la compu- tación y matemática simultáneamente. Gracias por todo. Finalmente, gracias al Dr. Raúl González y al MSc. Paulo Mejía por haber contribuido, también, en mi formación matemática.

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Contenido

Página Prefacio ……………………………………………………………………... vii Resumen …………………………………………………………………….. x

Capítulos 1. Introducción ……………………………………………………. 1 2. Preliminares …………………………………………………….. 3 3. Espacios polacos ……………………………………………….. 18 4. Análisis de Cantor-Bendixson ………………………………….. 34 5. Bibliografía ……………………………………………………... 41

Resumen

Se presenta en esta tesis una prueba de la Hipótesis del Continuo para espacios polacos y algunos ejemplos originales de la derivada de Cantor-Bendixson. La Hipótesis del Continuo, postulada por el matemático alemán Georg Cantor a finales del siglo XIX, enuncia una relación entre la cardinalidad de conjuntos infinitos. Por otro lado, la derivada de Cantor-Bendixson de un subconjunto cerrado F de un espacio polaco es el conjunto que contiene todos los puntos límite de F. Un espacio polaco es un espacio topológico separable que es metrizable por una métrica completa. Asociado a la derivada de Cantor-Bendixson se encuentra el rango de Cantor-Bendixson, un rango ordinal. Además, la Hipótesis del Continuo es una proposición sobre números cardinales. Por lo anterior se presentan algunos preliminares sobre ordinales, cardinales y espacios topológicos y métricos.

Capítulo 1 Introducción

En la placa conmemorativa colocada en 1970 en la casa de Halle donde Georg Cantor (1845 - 1918) vivió desde 1886 hasta su muerte, se llama a Cantor «fundador de la teoría de conjuntos» (Begründer der Mengenlehre). En 1914, Felix Hausdorff dedicó su influyente monografía Grundzüge der Mengeleh- re a Georg Cantor, «creador de la teoría de conjuntos» (Schöpfer der Mengelehre). Con esta misma de- nominación, la Sociedad Matemática Alemana se dirigió a Cantor en 1915, en ocasión de su septua- gésimo aniversario. En 1932, Ernst Zermelo escribió en el prefacio de su edición de la obra matemática y filosófica de Cantor: «Es raro en la historia de las ciencias que toda una disciplina científica de importancia fundamental se deba al acto creador de un solo individuo. Este es el caso de la creación de Georg Cantor, la teoría de conjuntos, una nueva disciplina matemática cuyos rasgos esenciales se desarrollaron durante un período de unos 25 años en una serie de artículos de un único investigador». En noviembre de 1873, Cantor escribió a Dedekind preguntándole si sabía si los números reales eran biyectables con los enteros positivos (biyectable, en este contexto, significa que existe una función biyectiva entre los números reales y los enteros positivos). Dedekind respondió que no lo sabía, y que, en su opinión, la pregunta no merecía demasiada atención, por ser meramente especulativa. Sin embargo, añadió que el conjunto de los números algebraicos sí es contable y acompañó una demostración de tal hecho. Pocos días después, Cantor logró demostrar que el conjunto de números reales es no contable, demostración que Dedekind le ayudó a simplificar. Cantor publicó ambos resultados (el de Dedekind sobre los números algebraicos y el suyo), observando que de ellos se sigue la existencia de números tras- cendentes. En 1877, Cantor mostró que los distintos espacios euclidianos n , con n > 1, son biyectables con . En la publicación de estos resultados, Cantor introdujo por primera vez el concepto comparativo de potencia de un conjunto (o cardinalidad de un conjunto): dos conjuntos tienen la misma potencia si son biyectables; si no lo son, pero uno es biyectable con un subconjunto del otro, la potencia del primero es menor que la del segundo. Cantor conoce sólo dos potencias infinitas: la del conjunto de números naturales y la del conjunto de números reales . Además, Cantor conjetura que todo conjunto infinito de números reales tiene una de las dos potencias anteriores. En ese momento, estamos en presencia de la primera formulación de la conocida, interesante e importante Hipótesis del Continuo. Cantor realizó muchos intentos por probar la Hipótesis del Continuo. Estos intentos de Cantor parten del análisis de conjuntos cerrados y perfectos. Cantor mostró que todo conjunto perfecto tiene igual cardinalidad que los números reales, lo que sugiere un camino para demostrar la Hipótesis del Continuo: mostrar que todo conjunto no contable posee un subconjunto perfecto. Cantor solamente logró mostrar que esto es cierto para todo conjunto cerrado, pero no logró ir más allá. Como hoy en día sabemos, la estrategia que escogió estaba, por decirlo de alguna forma, condena- da al fracaso, ya que es posible demostrar la existencia de conjuntos no contables sin subconjuntos per- 2

fectos. Es importante recordar que la Hipótesis del Continuo, como mostró Paul Cohen en 1963, no es demostrable a partir de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, incluso si se acepta el axioma de elección; tampoco es refutable a partir de ellos, según mostró Kurt Gödel en 1939... por lo tanto podemos concluir que Cantor no imaginaba la grandeza matemática que había construido. Cabe mencionar que en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París en 1900, el ge- nio matemático David Hilbert propuso la Hipótesis del Continuo como el primer problema de su famosa lista de 23 problemas abiertos de la matemática, conocida usualmente como los problemas de Hilbert. Esta tesis tiene por objetivo principal mostrar la Hipótesis del Continuo para espacios polacos, de hecho la prueba que se presenta sigue la idea de Cantor de mostrar que todo conjunto no contable posee un subconjunto perfecto. Para ello se realizan algunos preliminares sobre ordinales, cardinales y espacios topológicos y métricos. Tales preliminares son después utilizados para desarrollar algunos de los resultados fundamentales para espacios polacos y el análisis de Cantor-Bendixson. Adicionalmente se exponen ejemplos originales sobre conjuntos con diversos rangos de Cantor-Bendixson. El contenido arriba descrito está basado en las siguientes dos referencias fundamentales de la teoría descriptiva de conjuntos: 1. Marker, David. 2002. Descripitve Set Theory. 2. Kechris, Alexander. 1995. Classical Descripitve Set Theory. Puede decirse que la influencia de las notas de David Marker en el presente trabajo es mayor que la del clásico libro de Alexander Kechris.

ӱ읆ꃋ Capítulo 2 Preliminares

Se presentan en esta sección los conceptos matemáticos fundamentales necesarios para el resto del contenido. Principalmente se desarrollarán resultados referentes a cardinales, ordinales y espacios topo- lógicos.

2.1 Conjuntos y funciones

El concepto de conjunto es el fundamento, el pilar, sobre el cual está costruida toda la matemática moderna. Sin embargo, siendo dicho concepto tan importante, carece de una definición matemática rigu- rosa. Es un ente indefinido de la matemática. Intuitivamente pensamos en un conjunto como una colección de objetos matemáticos, llamados sus elementos o miembros. Para indicar que un objeto x es elemento de un conjunto A escribimos x œ A; para indicar que un objeto x no es un elemento del conjunto A escribimos x – A. Consideramos dos conjuntos A y B como el mismo conjunto, denotado A B, si, y sólo, si ambos conjuntos tienen los mismos elementos. Usualmente introducimos un conjunto mediante la notación de llaves, listando o in- dicando dentro de las llaves sus elementos. Por ejemplo, 2, 4 es el conjunto con 2 y 4 como sus úni- 8 < cos elementos. Nótese que 2, 4 4, 2, 4 . Los siguientes son algunos importantes conjuntos: 8 < 8 < - El conjunto vacío «. - El conjunto de números naturales 0, 1, 2, … . 8 < - El conjunto de números enteros …, -2, -1, 0, 1, 2, … . 8 < - El conjunto de números racionales m n : m œ , n œ tal que n ∫ 0 . 8 ê < - El conjunto de números reales .

Si todos los elementos de un conjunto A están en otro conjunto B, entonces decimos que A es un subconjunto de B. Denotamos esto escribiendo A Œ B. Si existe b œ B tal que b – A escribimos A Õ B y decimos que A es un subconjunto propio de B. Así, el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto, y cada conjunto es subconjunto de sí mismo. Si A y B son conjuntos, entonces podemos construir los siguientes conjuntos a partir de ellos:

- Unión de A y B: A B x : x œ A x œ B . ‹ 8 Ó < - Intersección de A y B: A B x : x œ A x œ B . › 8 Ô < - Complemento de B respecto a A: A B x : x œ A x – B . î 8 Ô < - Producto cartesiano de A y B: A µ B a, b : a œ A b œ B . 8H L Ô < 4

2.1.1 Definición. Sean A y B conjuntos. Una función de A a B es un subconjunto L Œ A µ B tal que para cada a œ A existe un b œ B con a, b œ L. Escribimos f a para éste único b, y lo llamamos el H L H L valor de f en a o la imagen de a bajo f . Denominados a A el dominio de f , B el contradominio de f , y L la gráfica de f . Escribiremos f : A Ø B para indicar que f es una función de A hacia B. Es también usual escribir x # f x para indicar la regla por la cual asociamos a cada x en el dominio, H L su valor f x en el contradominio. H L 04

2.1.2 Definición. Dada f : A Ø B y g : B Ø C tenemos una función gë f : A Ø C definida por gë f a g f a para todo a œ A. Esta función es llamada la composición de g con f . H L H L @ H LD 04

2.1.3 Definición. Sea f : A Ø B una función y a1, a2 œ A tales que a1 ∫ a2 . Decimos que f es inyectiva si se cumple que f a ∫ f a . Decimos que f es sobreyectiva si para cada b œ B existe a œ A H 1L H 2L tal que f a b. Además, f es biyectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva. H L 04

2.2 Cardinalidad

2.2.1 Definición. Dos conjuntos A y B se dice tienen igual cardinalidad si existe una biyección f : A Ø B. Escribimos A c B para indicar que A y B tienen la misma cardinalidad. 04

2.2.2 Ejemplo. Conjuntos con igual cardinalidad. ӱ챆ꃋ (a) 0 mediante la biyección x # x + 1. c î 8 < (b) Los intervalos abiertos 0, 1 y 0, 2 de son de igual cardinalidad bajo la biyección x # 2 x. H L H L õ

2.2.3 Definición. Un conjunto A se dice tiene cardinalidad menor o igual que un conjunto B si tiene igual cardinalidad que algún subconjunto de B. Indicamos que A tiene menor o igual cardinalidad que B escribiendo A §c B. 04

Partiendo de las definiciones 2.2.1 y 2.2.3 es claro que si A, B y C son conjuntos, entonces

A c A y A §c A

A c B ﬂ B c A

A c B y B c C ﬂ A c C

A §c B y B §c C ﬂ A §c C

2.2.4 Definición. Sea A un conjunto. Decimos que A es finito si existe algún n œ tal que

A i œ : i § n ; c 8 < en cualquier otro caso decimos que A es infinito. Por vacuidad el conjunto vacío « es finito. 04 5

2.2.5 Definición. Un conjunto infinito A es contable si existe una biyección entre A y . Además, decimos que A es no contable si no es finito ni contable. Por último, A es enumerable si es finito o contable. 04

2.2.6 Teorema. Si A es un conjunto enumerable y existe una inyección f : B Ø A, entonces B es tam- bién un conjunto enumerable; en particular, todo subconjunto de un conjunto enumerable es enumerable.

Demostración: Claramente A §c . Además f B a œ A : a f b , b œ B Õ A H L 8 H L < entonces B §c A. Por lo tanto B §c , i.e. B es enumerable. Por otro lado, si B Õ A, entonces f : B Ø A tal que f x x es una inyección, de donde concluimos que B es enumerable. H L ð

Adviértase que el teorema anterior también implica que si B Œ A y B es no contable, entonces A es no contable.

2.2.7 Teorema. Si A es un conjunto enumerable y existe una función sobreyectiva f : A Ø B, entonces B es también un conjunto enumerable.

Demostración: Si A es vacío, entonces B f A «. Si A es no vacío, entonces existe una función so- H L breyectiva

p : Ø A ӫ㹆 y la composición h : Ø B tal que h n f p n es una función sobreyectiva entre y B, entonces B H L H H LL es enumerable. ð

El siguiente teorema es uno de los más básicos de la teoría de conjuntos. Su prueba la debemos a Georg Cantor.

2.2.8 Teorema. Para cada sucesión A0, A1, … de conjuntos enumerables, la unión

A An A0 A1 ∫ Ênœ ‹ ‹ es también un conjunto enumerable. En particular, la unión A B de dos conjuntos enumerables es ‹ enumerable.

Demostración: Es suficiente considerar el caso especial donde ninguno de los An es vacío. Para cada A existe una biyección pn : Ø A . Tomando an pn i , para simplificar la notación, entonces para n n i H L cada n œ ,

A an, an, an … n 8 0 1 2 < y podemos construir a partir de estas enumeraciones (biyecciones) una tabla de elementos que liste todos los miembros de A, digamos 6

0 0 0 ∫ A0 : a0 a1 a2 1 1 1 ∫ A1 : a0 a1 a2 2 2 2 ∫ A2 : a0 a1 a2 ª ª ª ª ∏

Por lo anterior tenemos que podemos enumerar la unión de la forma siguiente

A a0, a1, a0, a2, a1, a0 … 9 0 0 1 0 1 2 = 0 recorriendo la tabla en forma diagonal ascendente, de izquierda a derecha, iniciando en a0 . Por lo tanto A es enumerable. Si A y B son conjuntos enumerables, entonces A B es la unión de la sucesión de conjuntos A, B, ‹ B, B, …. Por lo tanto A B es enumerable. ‹ ð

2.2.9 Corolario. El conjunto de números enteros es contable.

Demostración: Defínase + 1, 2, 3, … - -1, -2, -3, … 8 < 8 < Claramente - 0 + . Por el ejemplo 2.2.2(a) + es contable y, además, ‹ 8 < ‹ - -1, -2, … 8 < es contable vía la biyección f : Ø - tal que x # - x + 1 . Así, gracias al teorema 2.2.8, es conta- H L ble. ð א藐

2.2.10 Corolario. El conjunto de números racionales es contable.

Demostración: Defínase m m + ÅÅÅÅÅÅÅ : m œ + - ÅÅÅÅÅÅÅ : m œ - Ênœ+ : n > Ênœ+ : n > Claramente - 0 + . Para cada n œ los conjuntos ‹ 8 < ‹ m m + ÅÅÅÅÅÅÅ : m œ + - ÅÅÅÅÅÅÅ : m œ - n : n > n : n > son contables gracias a las biyecciones f : Ø + tal que m # m + 1 n y f : Ø - tal que m # 1 n H L ê 2 n - m + 1 n, respectivamente. Entonces + y - son contables, y en consecuencia también lo es. H L ê ð

El corolario anterior fue uno de los primeros resultados significativos en el trabajo de clasificación de conjuntos infinitos por su “tamaño” que realizó Cantor. Tal resultado fue considerado, digamos, “pa- radójico” debido a que parece tener más elementos que . Seguido del resultado anterior Cantor mostró la existencia de conjuntos no contables:

2.2.11 Teorema. El conjunto de sucesiones binarias infinitas

D a , a , a ,… : " i a 0 a 1 8H 0 1 2 L @ i Ó i D< es no contable.

Demostración: Supóngase, por el absurdo, que D es enumerable. Entonces existe una enumeración 7

D a , a ,… 8 0 1 < donde para cada n

a an, an,… n H 0 1 L es una sucesión de ceros y unos. Construimos la siguiente tabla con estas sucesiones como filas: 0 0 0 ∫ a0 : a0 a1 a2 ä 1 1 1 ∫ a1 : a0 a1 a2 ä 2 2 2 ∫ a2 : a0 a1 a2 ª ª ª ª ä

0 1 2 Definimos ahora b intercambiando cero y uno en la “sucesión diagonal” a0, a1, a2, …, i.e. b 1 - a0, 1 - a1, 1 - a2,… I 0 1 2 M

Es obvio que cada an es diferente que b. Por lo tanto la sucesión a0, a1, … no enumera todo D, una contradicción. ð

2.2.12 Corolario. El conjunto de números reales es no contable.

Demostración: Definimos una sucesión de conjuntos 0, 1, … de números reales que satisfacen las siguientes condiciones: ד䯠 1. 0, 1 . 0 @ D n 2. Cada n es una unión de 2 intervalos cerrados y

0 û 1 û ∫ û n û n+1 û ∫

3. n+1 es construido removiendo el tercio medio abierto de cada intervalo cerrado de n , es decir, reemplazando a, b en por los dos intervalos cerrados @ D n 1 2 L a, b a, a + ÅÅÅÅÅ b - a R a, b a + ÅÅÅÅÅ b - a , b @ D C 3 H LG @ D C 3 H L G

Con cada sucesión binaria d œ D asociamos un sucesión de intervalos cerrados

d d F0, F1, …, determinada por la siguiente recursión:

Fd 0, 1 0 0 @ D LFd d n 0 d l n H L Fn+1 o om RFd d n 1 n n H L Por inducción Fd es uno de los intervalos cerrados de de longitud 1 3n y obviamente n n ê d d ∫ d d ∫ F0 û F1 û û Fn û Fn+1 û El axioma de completud de nos asegura que la intersección de esta sucesión es no vacía; de hecho, tal intersección contiene exactamente un número real, digamos 8

f d Fd H L Ënœ n La función f mapea el conjunto no contable D en el conjunto

F n Õ Ënœ conocido como el conjunto de Cantor, de tal razón para completar la prueba es suficiente verificar que f es inyectiva. Sean d, ¶ œ D. Si n es el menor número para el cual d n ∫ ¶ n y (por ejemplo) d n d ¶ H L H L H L 0, tendríamos que Fn Fn para ésta elección de n. Además f d œ Fd LFd f ¶ œ F¶ RFd, H L n+1 n H L n+1 n pero LFd RFd «, por lo que f es inyectiva. n › n ð

Adviértase que el ingrediente matemático básico de la prueba de no contabilidad de está basada en el axioma de completud de , i.e. el uso de una propiedad particular de los números reales es necesaria: el resto de la construcción de Cantor se basa únicamente en propiedades aritméticas de los números reales. Hasta el momento hemos mostrado la existencia de solo dos “órdenes del infinito”, el de los números naturales (los conjuntos infinitos contables) y el de . Existen muchos otros, como lo mostró Cantor.

2.2.13 Definición. El conjunto potencia A de un conjunto A es el conjunto de todos sus subconjun- H L tos, A X : X es un conjunto y X Œ A H L 8 < 04

א藐 2.2.14 Teorema. Si A y B son conjuntos tales que A c B, entonces A B H L c H L Demostración: Supóngase que f : A Ø B es una biyección, y sea p : A Ø B un mapeo definido H L H L por

p X f X f x : x œ X H L H L 8 H L < Para probar que p es una inyección nótese que si X, Y œ A y x œ X Y , entonces f x œ f X pe- H L î H L H L ro no es posible que f x œ f Y . Así, H L H L x œ X Y ﬂ f x œ f X f Y î H L H L î H L y por argumento simétrico,

y œ Y X ﬂ f y œ f Y f X î H L H L î H L por lo que concluimos

X ∫ Y ﬂ f X ∫ f Y H L H L i.e. p es inyectiva. p es también sobreyectiva. En efecto, dado Y Œ B y y œ Y es claro que existe x œ A tal que f x y, por ser f sobreyectiva. Entonces si X x œ A : f x y, y œ Y , se tiene que p X Y . H L 8 H L < H L ð 9

2.2.15 Teorema. Para todo conjunto A,

A < A c H L i.e. A § A pero A ∫ A ; de hecho no existe función sobreyectiva p : A Ø A . c H L c H L H L Demostración: Que A § A se sigue del hecho que la función c H L x # x 8 < que asocia con cada x œ A su conjunto unitario x es una inyección. 8 < Asúmase, por el absurdo, que existe una función sobreyectiva

p : A Ø A H L y defínase el conjunto

B x œ A : x – p x 8 H L< tal que para todo x œ A,

x œ B ñ x – p x H L Claramente B es un subconjunto de A. Como p es sobreyectiva, B p b para algún b œ A. Lo H L anterior implica que

b œ B ñ b – B lo cual es una contradicción. ð ד䯠 Gracias al teorema anterior, que también debemos a Cantor, podemos concluir que existen muchos órdenes del infinito, y específicamente (al menos) aquellos de los conjuntos

< < < < ∫ c H L c H H LL c H H H LLL c Si nombramos a estos conjuntos por la recursión

T0 , T T n+1 H nL entonces su unión T ¶ T tiene mayor cardinalidad que cualquier T , n œ . La clasificación y ¶ ‹n0 n n estudio de estos órdenes del infinito es uno de los problemas centrales de la teoría de conjuntos. El siguiente problema, en cierta medida obvio, es comparar el “tamaño”, formalmente la cardinalidad, de conjuntos no contables, iniciando con los dos más simples, y . H L 2.2.16 Lema. § . H L c Demostración: Es suficiente probar que § D, ya que en 2.2.12 mostramos que D § . El mapeo H L c c c : Ø D definido por c A c i , donde H L H L H AH LLiœ 1 i œ A c i l AH L m 0 i – A n es claramente una inyección, ya que si i œ A e i – B, entonces c i ∫ c i . AH L BH L ð 10

2.2.17 Lema. § . c H L Demostración: Es suficiente probar que § , ya que y por lo tanto . c H L c H L c H L Nótese que la función de a definida por H L x # p x q œ : q < x Œ H L 8 < es inyectiva, ya que si x < y son dos números reales distintos, entonces existe algún racional q tal que x < q < y, y por lo tanto q œ p y p x . H L î H L ð

Se presenta ahora el básico e importante teorema de Schröder-Bernstein. Los dos lemas anteriores y dicho teorema nos permitirán concluir que . c H L

2.2.18 Teorema de Schröder-Bernstein. Sean A y B conjuntos. Si A §c B y B §c A, entonces A c B.

Demostración: Notemos primero que si A c C Œ B, entonces existe una biyección h : A Ø C. Clara- mente h es una inyección entre A y B. Por lo anterior, asúmase que

f : A Ø B g : B Ø A son inyecciones y defínase recursivamente los conjuntos An y Bn :

A0 AB0 B A g f A B f g B n+1 @ H nLD n+1 @ H nLD Por inducción sobre n tenemos que

A û g B û A H nL n+1אn 藐 B û f A û B n H nL n+1 de tal forma que tenemos la cadena de inclusiones

A û g B û A û g B û A û ∫ 0 H 0L 1 H 1L 2 B û f A û B û f A û B û ∫ 0 H 0L 1 H 1L 2 Definimos también las intersecciones

* * A An B Bn Ënœ Ënœ Nótese entonces que

* * B Bn û f An û Bn+1 B Ënœ Ënœ H L Ënœ y dado que f es un inyección,

* * f A f An f An B H L JËnœ N Ënœ H L Así f es una biyección entre A* y B* . Por otro lado,

A A* A g B g B A A g B g B A ∫ ‹ H 0 î H 0LL ‹ H H 0L î 1L ‹ H 1 î H 1LL ‹ H H 1L î 2L ‹ B B* B f A f A B B f A f A B ∫ ‹ H 0 î H 0LL ‹ H H 0L î 1L ‹ H 1 î H 1LL ‹ H H 1L î 2L ‹ donde cada uno de los conjuntos involucrados en estas uniones es disjunto del resto. Como f y g son inyecciones, 11

f A g B f A f g B f A B H n î H nLL H nL î @ H nLD H nL î n+1 g B f A g B g f A g B A H n î H nLL H nL î @ H nLD H nL î n+1 Finalmente tenemos la biyección p : A Ø B, * f x x œ A $ n x œ An g Bn ol H L Ó H L@ î H LD p x -1 * H L om g x x – A $ n x œ g Bn An+1 n H L Ô H L@ H L î D ð

2.2.19 Corolario. . c H L ð

2.2.20 Ejemplo. Sean a, b œ . Entonces a, b . H L c Nótese que f : a, b Ø tal que H L x - a + b 2 3 f x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ@ H L ê D H L x - a x - b H L H L es una biyección. Por lo tanto a, b . H L c õ

2.3 Buenos órdenes

2.3.1 Definición. Sean A y B conjuntos. Una relación R de A a B es un subconjunto de A µ B. Si דA B decimos que R es un relación binaria. 䯠 04

2.3.2 Definición. Supóngase que A es conjunto y que R es una relación binaria sobre A. Decimos que R es una relación de orden o un ordenamiento sobre A (o que A está ordenado por R) si

(a) R es reflexiva: x, x œ R, " x œ A. H L (b) R es antisimétrica: si x, y œ R y y, x œ R, entonces x y. H L H L (c) R es transitiva: si x, y œ R y y, z œ R, entonces x, z œ R. H L H L H L Decimos que R es una relación de orden total o un ordenamiento total sobre A (o que A está totalmente ordenado por R) si, además,

(d) Para todo x, y œ A, si x ∫ y, entonces x, y œ R ó y, x œ R. H L H L Un conjunto (totalmente) ordenado es un par A, R donde R es una relación de orden (total) sobre H L A. 04

2.3.3 Definición. Si A, R y B, S son conjuntos ordenados, un isomorfismo de A, R sobre B, S es H L H L H L H L una biyección f : A Ø B tal que para todo x, y œ A, x, y œ R si, y sólo si, f x , f y œ S . Usual- H L H H L H LL mente escribimos x < y para indicar que x, y œ R. R H L 04

2.3.4 Definición. Si R es una relación de orden sobre A y si B es un subconjunto de A, entonces b œ B se dice es el menor elemento o elemento mínimo de B respecto a R si satisface b

2.3.5 Definición. Sea A un conjunto y R una relación binaria sobre A. Decimos que R es una relación de buen orden, o que R es un buen ordenamiento de A, o que A está bien ordenado por R si las siguientes condiciones se verifican:

(a) R es un orden total de A. (b) Todo subconjunto no vacío de A tiene menor elemento. Un conjunto bien ordenado es un par A, R donde R es una relación de buen orden sobre A. H L 04

Sea A, R un conjunto bien ordenado. Adviértase que si B Œ A, entonces B, R es, también, un con- H L H L junto bien ordenado. Además, si A ∫ «, entonces tiene menor elemento x0 , al cual denominaremos su “primer elemento”. Si A no es igual a x , entonces el conjunto A x tiene menor elemento x , al 8 0< î 8 0< 1 cual denominaremos como “segundo elemento” de A; este proceso puede ser continuado.

2.3.6 Teorema. Si A, R es un conjunto bien ordenado, entonces no existe sucesión infinita decrecien- H L te con valores sobre A.

Demostración: Sea f : Ø A una sucesión y f k el menor elemento en f n : n œ Œ A. Entonces H L 8 H L < f k < f k + 1 . En consecuencia, f no puede ser decreciente. H L R H L ð

2.3.7 Definición. Si A, R es conjunto totalmente ordenado, entonces un segmento inicial de A es un H L subconjunto B de A con la siguiente propiedad: si y œ B y x

Por definición A es un segmento inicial de A. Si x œ A y x no es el menor elemento de A, entonces el conjunto

A y œ A : y < x x 8 R < es un segmento inicial propio de A.

2.3.8 Lema. Si A, R y B, S son conjuntos bien ordenados, y f y g dos isomorfismos de A hacia seg- H L H L mentos iniciales de B, entonces f g.

Demostración: Supóngase que f ∫ g. Sea a el menor elemento de A tal que f a ∫ g a . Sin pérdida H L H L de generalidad supóngase que f a < g a . En este caso f a no puede pertenecer a la imagen de g, la H L S H L H L cual por lo tanto no es un segmento inicial de B. ð

2.3.9 Teorema. Si A, R y B, S son conjuntos bien ordenados, entonces existe un isomorfismo de H L H L uno de dichos conjuntos hacia un segmento inicial del otro.

Demostración: Primero, supóngase que para todo x œ A, Ax es isomorfo a un segmento inicial propio de B. Por el lema 2.3.8 este segmento inicial es único. Denótese dicho segmento inicial propio por

B f x . Trivialmente la función f es un isomorfismo de A hacia un segmento inicial de B. H L Por otro lado, sea a el menor elemento de A tal que Aa no es isomorfo a un segmento inicial propio de B. Para todo b

isomorfismo de Aa sobre un segmento inicial de B, el cual, por definición de a no puede ser propio. Por lo tanto, f es un isomorfismo entre Aa y B. ð

2.4 Ordinales

2.4.1 Definición. Sean A, R y B, S conjuntos bien ordenados. Decimos que el ordinal de A es me- H L H L nor o igual que el ordinal de B, simbólicamente ord A § ord B , si A es isomorfo a un segmento ini- H L H L cial de B. 04

Por ahora no debe tratarse de dar un significado preciso a la palabra “ordinal”; estamos considerando ord A § ord B como una expresión unificada. H L H L Dicha relación o expresión es reflexiva, transitiva y antisimétrica en el siguiente sentido: si ord A § H L ord B y ord B § ord A (en tal caso decimos que A y B tienen el mismo ordinal), entonces A y B son H L H L H L isomorfos; de hecho, si f es un isomorfismo de A sobre un segmento inicial de B, y g es un isomorfismo de B sobre un segmento inicial de A, entonces f ëg y gë f son funciones identidad, y por el teorema 2.3.9, dos conjuntos bien ordenados son siempre comparables. Por lo tanto podemos definir un “ordenamiento total sobre los ordinales”. Dado un conjunto bien ordenado A, los ordinales estrictamente menores que el ordinal de A son los ordinales de segmentos iniciales propios de A, que corresponden a puntos de A. Vemos así que un ordinal puede ser identifi- cado con el conjunto de ordinales estrictamente menores que él, equipado con su relación de orden natural.

.uno de sus elementos es uno de sus subconjuntos דDefinición. Un conjunto es transitivo si cada䯠 2.4.2 Equivalentemente, a es un conjunto transitivo si siempre que x œ a y y œ x, entonces y œ a. 04

Si a es un conjunto transitivo, también lo es a a . Denominamos a este conjunto un ordinal de ‹ 8 < von 6eumann si es transitivo y la relación de pertenencia x œ y es el ordenamiento estricto asociado con un buen orden sobre a: x § y significa x œ y x y; x œ y significa x § y x ∫ y, o, equivalente- ‹ › mente, x < y. Por ejemplo, « es un ordinal de von Neumann, el cual, en este contexto, usualmente es denominado 0; también es un ordinal de von Neumann « , usualmente denominado 1, lo mismo para 8 < «, « , denominado 2. Más generalmente, si a es un ordinal de von Neumann, también lo es a a . 8 8 << ‹ 8 < Dado un ordinal a, el ordinal a a es denotado a+ y es llamado el sucesor de a. Un ordinal es ‹ 8 < llamado un ordinal límite si no es igual al vacío y no es el sucesor de algún otro ordinal, i.e. a ∫ « y a sup b : b < a . 8 < Nótese que un elemento b de un ordinal de von Neumann a es en sí mismo un ordinal de von Neu- mann: b es transitivo, dado que la relación de pertenencia es transitiva sobre elementos de a, y b, ¶ es H L un buen orden, ya que es la restricción de a, ¶ . Los segmentos iniciales de un ordinal de von Neu- H L mann son ellos mismos y sus segmentos iniciales propios, que son también sus elementos.

2.4.3 Lema. Cualquier isomorfismo entre dos ordinales de von 6eumann es el isomorfismo identidad.

Demostración: Sean a y b ordinales de von Neumann, y sea f un isomorfismo entre a y b. Supóngase, por el absurdo, que f no es el isomorfismo identidad, y sea c el menor elemento de a tal que f c ∫ c. H L Entonces f mapea el segmento inicial ac al segmento inicial b f c . En consecuencia, c y f c son dos H L H L conjuntos con los mismos elementos, por lo tanto son iguales, una contradicción. 14

2.4.4 Lema. Todo conjunto bien ordenado es isomorfo a un ordinal de von 6eumann.

Demostración: Sea A, R un conjunto bien ordenado. Supóngase, por el absurdo, que existe x œ A tal H L que Ax no es isomorfo a un ordinal de von Neumann, y sea a el menor de tales elementos. Entonces pa- £ ra todo x < a existe un isomorfismo único entre Ax y un ordinal de von Neumann x . Si x < y < a, entonces x£ debe ser el segmento inicial de y£ que es la imagen de x bajo el isomorfismo entre y y y£ . En otras palabras, x£ œ y£ . Podemos notar entonces que el conjunto de todos los ordinales de von Neumann £ x es isomorfo a Aa , una contradicción. Por lo anterior todo segmento inicial propio de un conjunto ordenado es isomorfo a un ordinal de von Neumann. Para terminar la prueba, es suficiente notar que A es un segmento inicial propio de A + 1, el conjunto ordenado obtenido mediante la adición de otro punto a A por la derecha. ð

En vista de los dos lemas anteriores podemos llamar al único ordinal de von Neumann isomorfo a cualquier conjunto ordenado A, R el ordinal de A. El ordinal asociado con el conjunto ordenado es H L denotado por w, i.e. por definición

w 0, 1, 2, … 8 < es el conjunto de todos los ordinales finitos. El conjunto de todos los ordinales contables es denotado por w1 .

2.4.5 Teorema. Para cualquier propiedad P, si existe un ordinal que satisface dicha propiedad, entonces existe un ordinal menor que también la satisface. ד䯠 Demostración: Sea a un ordinal que satisface la propiedad P. Si a es el menor ordinal satisfaciendo P hemos concluido. En otro caso, el conjunto de elementos de a que satisface P es no vacío, y tiene me- nor elemento, digamos, b. Este b es el ordinal menor que también satisface P. ð

2.4.6 Corolario - Inducción transfinita. Si para cada ordinal x el hecho que todo y < x satisface una propiedad P implica que x también satisface P, entonces todo ordinal satisface P. ð

2.5 La Hipótesis del Continuo

En las secciones precedentes se realizó una breve exposición de los primeros resultados básicos de la teoría de conjuntos, como fue creada por Cantor y los pioneros que lo siguieron en los últimos vein- ticinco años del siglo XIX. Al inicio del siglo XX, la teoría de conjuntos había madurado y justificado por sí misma con diversas y significativas aplicaciones, especial y particularmente en el análisis matemá- tico. Talvez su más grande éxito fue la creación de la aritmética transfinita, la cual introduce y estudia las operaciones de adición, multiplicación y exponenciación de números infinitos. Por 1900, permane- cían sin solución dos problemas fundamentales sobre cardinalidad. Estos problemas han jugado un importante rol en los desarrollos subsecuentes de la teoría de conjuntos. A continuación simplemente enunciamos dichos problemas en forma de hipótesis:

2.5.1 Hipótesis de Comparabilidad Cardinal. Para cualesquiera dos conjuntos A y B, o A §c B o B §c A. 15

2.5.2 Hipótesis del Continuo. 6o existe conjunto de números reales X con cardinalidad entre la cardinalidad de y , i.e.

" X Œ X § X H L@ c Ó c D Si ambas hipótesis son verdaderas, entonces los números naturales y los números reales represen- tan los dos menores “órdenes del infinito”: todo conjunto es contable, o de igual cardinalidad que , o estrictamente de mayor cardinalidad que . Cabe mencionar que la Hipótesis de Comparabilidad Cardinal es equivalente al Axioma de Elección. En el resto de este trabajo asumimos verdadera tal hipótesis. Al final del capítulo 4 se muestra que la Hipótesis del Continuo es verdadera para subconjuntos cerrados y Fs -conjuntos de espacios polacos.

2.6 Espacios topológicos

Un espacio topológico es un par X, t , donde X es un conjunto y t es una colección de subconjun- H L tos de X tal que «, X œ t y t es cerrado bajo uniones arbitrarias e intersecciones finitas. Tal colección es denominada una topología sobre X y sus miembros conjuntos abiertos o abiertos. Los complemen- tos de conjuntos abiertos son llamados conjuntos cerrados o simplemente cerrados. Por definición « y X son cerrados e intersecciones arbitrarias y uniones finitas de conjuntos cerrados son cerrados. Cuan- do t X la llamamos topología discreta; cuando t «, X la llamamos topología trivial. H L 8 < Un subespacio del espacio topológico X, t consiste de un subconjunto Y Œ X con la topología rela- H L tiva t U Y : U œ t . Una base para una topología t es una colección Œ t con la propiedad Y 8 › < de . Para que una colección de subconjuntos de דque todo conjunto abierto es la unión de elementos䯠 X sea una base para la topología, es necesario y suficiente que la intersección de cualesquiera dos miembros de puede ser escrita como la unión de miembros de y B : B œ X . Una subbase ‹ 8 < para una topología t es una colección Õ t tal que el conjunto de intersecciones finitas de conjuntos en es una base para t. Para cualquier familia de subconjuntos de un conjunto X , existe una menor topología t conteniendo , denominada la topología generada por . Dicha topología consiste de todas las uniones de intersecciones finitas de miembros de . Claramente, es una subbase para t. Un espacio topológico es segundo contable si tiene una base contable. Si X es un espacio topológico y x œ X , una vecindad abierta de x es un conjunto abierto que contiene a x. Una vecindad base para x es una colección de vecindades abiertas de x tales que para toda vecindad abierta V de x existe U œ con U Œ V . Si E Œ X , la cerradura de E en X es el conjunto êê êê E K Õ X : K cerrado y E Õ K . Si E X decimos que E es denso en X . › 8 < Dados dos espacios topológicos X y Y , un mapeo o función f : X Ø Y es continua si la preimagen de cada conjunto abierto es abierto. Es abierta (resp. cerrada) si la imagen de cada conjunto abierto (resp. cerrado) es abierto (resp. cerrado). Es un homeomorfismo si es biyectiva, continua y abierta. Una función f : X Ø Y es continua en x œ X si la preimagen de una vecindad abierta de f x contiene una H L vecindad abierta de x. Así f es continua si, y sólo si, f es continua en todo punto. El producto X de una familia de espacios topológicos X es el espacio topológico consis- ¤iœI i H iLiœI tente del producto cartesiano de los conjuntos Xi con la topología generada por las funciones proyec- ción x # x , j œ I . Tiene como base a los conjuntos P U , donde U es abierto en X para todo H iLiœI j i i i i i œ I , y U X para un número finito de i œ I . Usualmente nos referimos a la topología de X i i ¤iœI i como la topología de Tychonoff o la topología producto. 16

Una cubierta de un espacio topológico X es una colección de subconjuntos de X cuya unión es X . Una subcubierta de una cubierta es una subcolección £ de que es una cubierta. Una cubierta abierta de X es una cubierta que consiste de conjuntos abiertos. Decimos que X es compacto si, y sólo si, cada cubierta abierta de X tiene una subcubierta finita. Terminamos esta sección con el siguiente importante teorema topológico que utilizaremos en el siguiente capítulo.

2.6.1 Teorema de Tychonoff. Sea X una familia de espacios topológicos no vacíos. Cada X es H iLiœI i compacto si, y sólo si, X es compacto. ¤iœI i ð

2.7 Espacios métricos

Un espacio métrico es un par X, d , donde X es un conjunto y d : X µ X Ø 0, ¶ una función que H L @ L satisface:

(a) d x, y 0 ñ x y. H L (b) d x, y d y, x . H L H L (c) d x, y § d x, z + d z, y . (desigualdad triangular) H L H L H L Tal función es llamada una métrica sobre X . La bola abierta con centro en x y radio r es definida por

B x y œ X : d x, y < r rH L 8 H L < Estas bolas abiertas inducen una base para una topología, llamada la topología del espacio métrico. de elementos de X tal que para todo ¶ > 0 existeד Una sucesión de Cauchy es una sucesión x 䯠 H nL 6 ¶ œ tal que d x , x < ¶ para todo n, m ¥ 6 ¶ . Decimos que X, d es completo si toda suce- H L H n mL H L H L sión de Cauchy tiene un límite en X . En tal caso es usual decir que d es una métrica completa. Dos métricas d y r inducen la misma topología sobre X si, y sólo si, para toda sucesión x en X y H nL todo x œ X ,

d x , x Ø 0 ñ r x , x Ø 0 H n L H n L Si d es una métrica completa e induce la misma topología que otra métrica r, entonces r es completa. El siguiente teorema nos será, también, de utilidad en el siguiente capítulo.

2.7.1 Teorema. Si X, d es un espacio métrico, entonces H L d x, y d£ x, y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L H L 1 + d x, y H L es también una métrica sobre X . Además d y d£ inducen la misma topología sobre X y d£ x, y < 1, H L " x, y œ X .

Demostración: Como d es una métrica, entonces trivialmente d£ x, y 0 ñ x y y d£ x, y H L H L d£ y, x . Igual de claro es que la positividad de d implica que d£ x, y < 1, " x, y œ X . Por lo tanto, H L H L para establecer que d£ es una métrica, resta probar que cumple con la desigualdad triangular. Adviér- tase que si x, y, z œ X , entonces d x, y d x, y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L § ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L d£ x, y 1 + d x, y + d y, z 1 + d x, y H L H L H L H L 17

y d y, z d y, z ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L § ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L d£ y, z 1 + d x, y + d y, z 1 + d y, z H L H L H L H L Dado que d es una métrica, d x, z § d x, y + d y, z , y en consecuencia H L H L H L d x, y d x, y + d y, z d x, y d y, z d£ x, y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L § ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L H L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L H L 1 + d x, y 1 + d x, y + d y, z 1 + d x, y + d y, z 1 + d x, y + d y, z H L H L H L H L H L H L H L § d£ x, y + d£ y, z H L H L Por lo tanto d£ es una métrica. Sea x una sucesión sobre X, d tal que x Ø x, es decir d x , x Ø 0. Lo anterior implica que H nL H L n H n L dado ¶ > 0 existe 6 ¶ œ tal que d x , x < ¶ para todo n, m ¥ 6 ¶ . Por lo tanto H L † H n L§ H L ¶ d£ x , x < ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ † H n L§ 1 + ¶ i.e. d£ x , x Ø 0. Similarmente si d£ x , x Ø 0, entonces d x , x Ø 0. Por lo tanto d y d£ inducen la H n L H n L H n L misma topología sobre X . ð

ד䯠 Capítulo 3 Espacios polacos

Sea un conjunto no vacío y œ . Denotaremos por al conjunto de sucesiones finitas 0 0 , ..., - 1 0, …, -1 de longitud sobre . Permitiremos el caso 0, en tal caso H«H ,L dondeH « denotaLL H la L . La o de una sucesión finita es denotada por . Así 8 < † § « 0. Si œ y § , entonces 0, …, -1 (adviértase que 0 «). Si y son sucesiones† § finitas en , decimos que es »un oH L de y es una » de si , para algún § . Cuando , escribimos Œ ; si < , escribimos Õ . Claramente « Œ» , " œ . Definimos† § † § † §

< Êœ como el conjunto de todas las sucesiones finitas sobre . La o de < y H L H L < es la sucesión ^ 0, …, -1, 0, …, -1 . Escribiremos ^ por ^ , si œ . H L H L Denotaremos mediante al conjunto de sucesiones infinitas sobre . Si œ y H H LL H L œ , entonces 0, …, -1 œ . Decimos que œ es un o de œ si , y escribimos» HŒ . L »

3.1 Fundamentos

Proporcionamos en esta sección algunas de las definiciones más importantes para el resto del contenido. Asimismo desarrollaremos las propiedades fundamentales de los espacios polacos.

3.1.1 Definición. oooo , t o t ooooo , H ooL oo t o ooo t oH L oo oooo 04

3.1.2 Definición. oooooooo o 04

3.1.3 Ejemplo. ooooooooo

Sea un conjunto contable con la topología discreta, i.e. un conjunto discreto contable. La métrica discreta 19

0 si , l H L m 1 si ∫ n induce la topología de . En efecto, nótese que 1 , entonces todo singleton es un abierto. Da- do que cualquier conjunto es la unión de sus puntos,H todoL 8subconjunto< de es abierto.

Sea ahora una sucesión de Cauchy sobre . Entonces para ¶ 1 2 existe œ tal que , H L ê > , implica , < 1 2. Pero, bajo la métrica discreta, , < 1 2 si, y sólo si, . Por lo tanto sobre H todaL sucesiónê de Cauchy es eventualmente unaH sucesiónL constante,ê y en consecuencia la métrica discreta es completa. êêê Por último adviértase que , i.e. es separable. Concluimos entonces que todo conjunto discreto contable es un espacio polaco. õ

3.1.4 Teorema. ooo Õ oo, o ooo

oProbaremos únicamente la separabilidad y completud de , ya que claramente es un espacio topológico metrizable. Sea una sucesión de Cauchy sobre . Dado que es cerrado, H L lim œ . Entonces es completo.

Sabemos que todo espacio métrico separable tiene una base contable para sus abiertos. Sea tal H L base para los abiertos de . Entonces los conjuntos constituyen una base contable para › los abiertos de . Definamos œ : œ . Trivialmente Õ es contable. Adviértase que 8 < cada abierto no vacío de es la unión de algunos , por lo que es no vacío, y en consecuencia es denso. Por lo tanto es separable. › Ӥ ð

3.1.5 Teorema. o oo Õ o o, o ooo

oBajo el mismo argumento que en el teorema anterior podemos concluir que es un espacio topológico separable. Resta probar que es metrizable completo. Sea una métrica completa sobre compatible con su topología. Por el teorema 2.7.1 podemos asumir, sin pérdida de generalidad, que < 1. Para , œ defínase

£ 1 1 , , + ƒ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ƒ H L H L † , \ , \ § ƒ H L H L ƒ Claramente £ , 0 ñ . Además £ , £ , . Nótese que para , , œ se tiene H L H L H L £ 1 1 , , + ƒ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ƒ H L H L † , \ , \ § ƒ H L H L ƒ ƒ 1 1 ƒ 1 1 , + ƒ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ƒ H L † , \ , \ , \ , \ § ƒ H L H L H L H L ƒ ƒ 1 1 1 1 ƒ § , + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ƒ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ƒ H L £ , \ , \ ß † , \ , \ § H L H L ƒ H L H L ƒ 1 1 1 1 § , + , + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ƒ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ƒ H L H L £ , \ , \ ß † , \ , \ § H L H L ƒ H L H L ƒ £ , + £ , ƒ ƒ H L H L 20

Por lo tanto £ es una métrica. Dado que £ , ¥ , , entonces todo conjunto -abierto es £ -abierto. Probaremos ahora que todo conjuntoH £ -abiertoL H esL -abierto. Sean œ , , \ > 0 y ¶ > 0. Seleccionemos d > 0 tal que si 0 < h § d, entonces h + ÅÅÅÅÅÅÅÅhÅÅÅÅÅÅÅ < ¶. Si , H< d, enton-L -h H L ces H L

, \ § , + , \ < d + , \ H L H L H L H L de donde tendríamos que , \ > , \ - d - d. Por lo tanto H L H L 1 1 -d £ , § d + ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ d + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ < ¶ H L £ - d ß £ - d ß H L Entonces la £ -bola de radio ¶ centrada en contiene una -bola de radio d, por lo que todo conjunto £ -abierto es -abierto. Por lo tanto £ es una métrica compatible con la topología relativa de . £ Por otro lado, supóngase que es una sucesión de -Cauchy. Entonces es, también, una H L H L sucesión de -Cauchy, por lo que existe œ tal que Ø (respecto a ). En consecuencia 1 1 lim ƒ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ƒ 0 , Ø ¶ † , \ , \ § ƒ H L H L ƒ Como < 1, podemos concluir que existe l œ tal que l > 0 y 1 l lim ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Ø ¶ , \ H L Por lo anterior concluimos que , > 0, i.e. œ . Por lo tanto £ es una métrica completa sobre . H î L ð Ԁ筆

3.1.6 Teorema. 0, 1, … ooooo ooo ¤ oSupóngase que es una métrica completa sobre , con < 1, para 0, 1, …. De- £ fínase sobre por ¤ ¶ 1 £ , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 2+1 H L ‚=0 H H L H LL La no negatividad y simetría de £ es clara. Además nótese que

¶ 1 ¶ 1 £ , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , § ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , + , 2+1 2+1 H L ‚=0 H H L H LL ‚=0 @ H H L H LL H H L H LLD ¶ 1 ¶ 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 2+1 2+1 ‚=0 H H L H LL ‚=0 H H L H LL £ , + £ , H L H L £ Entonces es una métrica sobre . Si 1, 2, … es una sucesión de Cauchy sobre ﬂ 1 , ¤ ¤ H L 2 , … es una sucesión de Cauchy en para cada . Sea lim . Claramente es el límite H L H L Ø ¶ H L £ de 1, 2, …. Por lo tanto es completa. Resta probar que es separable. Suponga que 0, 1, … es un subconjunto denso contable de ¤ < . Para cualquier s œ sea 21

s si < s s l H L † § o en otro caso H L om 0 n < Entonces la separabilidad de los espacios factores implica que s : s œ es un conjunto denso 9 = contable en . ¤ ð

3.1.7 Ejemplo. oooo

Con la topología inducida por la métrica completa usual , - tenemos que es un espacio topológico metrizable. Queda por probar que es separable.H SabemosL † §que es un conjunto contable, entonces probaremos que es denso en . Sean , Õ y - > 0; por la propiedad Ar- quimediana de existe un entero > 1 fl 1 < H. Supóngase,L sin pérdida de generalidad, que > 0. Una vez más por la propiedad Arquimedianaê ê existe un entero > 0 tal que § . Sea el me- nor entero tal que § fl - 1 < . Supóngase, por el absurdo, que - 1 §ê, entonces ê H L ê H L ê - 1 - 1 1 - § - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ § ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ § ÅÅÅÅÅ lo cual contradice la definición de fl - 1 > fl - 1 œ , . Por lo tanto el intervalo , contiene un número racional H- 1 Lê, entoncesH , L ê contiene,H L también, un número racio- Hnal, yL por inducción concluimos que todoH intervaloL ê abierto deH Lcontiene un conjunto infinito contable de números racionales. Por lo anterior es obvio que es denso en . Por lo tanto es un espacio polaco. De igual forma es un espacio topológico metrizable bajo la métrica completa usual. Considérese ahora el conjunto ◌㖀ׇ + œ : , œ , è!-!!!1!!! 9 = es un conjunto contable, ya que existe una biyección entre y el conjunto contable µ . Sea + œ y ¶ > 0. Dado que , œ y lo racionales son densos en , existen racionales 1 y 2 £ tales que - 1 < ¶ è!2!!! y - 2 < ¶ è!2!!! . El número 1 + 2 œ es tal que † § ë † § ë

2 2 £ £ 2 2 , - "######-######1#######+#########-#######2###### < ¶ è!2!!! + ¶ è!2!!! ¶ H L † § H L H L $%I%%%%%ë%%%%%%%%%%%M%%%%%%%%%I%%%%%ë%%%%%%%%%%%M%%%% Entonces es denso en . Por lo tanto es un espacio polaco. õ

3.1.8 Ejemplo. , , oooo

Por el teorema 3.1.6 y el ejemplo anterior la proposición es trivial. õ

3.1.9 Ejemplo. oo 0, 1 oo œ : 1 oo oo @ D 8 † § <

El ejemplo 3.1.7 y el teorema 3.1.4 nos aseguran que la proposición es verdadera. õ

3.1.10 Ejemplo. o-o o ,oo o oooo oooo 22

Por el ejemplo anterior y el teorema 3.1.6 la proposición es trivial. õ

3.1.11 Ejemplo. ooooo ooo

El ejemplo 3.1.3 y el teorema 3.1.6 nos aseguran que la proposición es verdadera. En este momento cabe hacer notar que de particular importancia serán los casos 2 0, 1 y . El espacio 2 recibe el nombre de espacio de Cantor y el espacio recibe8 el< nombre de espacio de Baire. Estos importantes espacios serán nuestro objeto de estudio en la siguiente sección. õ

3.1.12 Definición. ooooooooooooo oooo

3.1.13 Teorema. ooooooooooo.o oooo

o Sea un espacio polaco. Sean además una métrica compatible sobre , con < 1, y un conjunto denso en . Defínase : Ø por , 0 , , 1 , … . Si , 8œ < , entonces H L H H L H L L H L H L ¶ 1 , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , - , 2+1 H H L H LL ‚=0 † H L H L§

Si , < ¶ 2 ﬂ , § , + , ﬂ , - , § , < ¶ 2. Por lo H L ê H L H L H L H L H L H L ê anterior podemos concluir que , - , < ¶, entonces † H L H L§ א鷐 ¶ 1 ¶ ¶ , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , - , < ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ e 2+1 2+1 H H L H LL ‚=0 † H L H L§ ‚=0

Por lo tanto es continua. Por otro lado, si , ¶ seleccionemos tal que , < ¶ 2. H L H L ê Sabemos que , § , + , < ¶ 2 + , , entonces H L H L H L ê H L , , > , - ¶ 2 ¶ 2 H L H L H L ê ê por lo que podemos asegurar que y difieren en al menos una componente, i.e. ∫ . Entonces es inyectiva. Por lo tantoH L es biyectivaH L sobre Õ . H L H L H L Nos resta probar que es abierta. Probaremos esto mostrando que -1 es continua secuencialmente.

Sea una sucesión sobre que converge a . Entonces , Ø , . Fijemos H L H L H L H L H L ¶ > 0 y sea tal que , < ¶ 2 (por densidad de los ). Dado que , Ø , , existe H L ê H L H L œ tal que si ¥ ﬂ , < ¶ 2, por lo que H L ê , § , + , < e 2 + e 2 e ﬂ Ø H L H L H L ê ê ð

A continuación probamos dos lemas que serán de mucha utilidad más adelante. Antes de proceder con dichos lemas enunciamos la siguiente definición:

3.1.14 Definición. , oo Œ , o H L diam sup , : , œ H L 8 H L < 04 23

3.1.15 Lema. ooo 0 û 1 û 2 û ∫ oooo lim Ø ¶ diam 0. o œ . H L › 8 < oPara cada œ sea un punto arbitrario en . Si , œ son tales que , ¥ , entonces , œ , así, por definición, , § diam . Por hipótesis podemos seleccionar H L H L lo suficientemente grande, de tal forma que diam < ¶. Entonces la sucesión es una sucesión de H L H L Cauchy. Como es completo, existe lim . Para cualquier ¥ sabemos que œ fl ¶ œ , " fl œ =1 . Entonces contiene al menos un punto. Supóngase, por el absurdo, › que œ con ∫ fl , œ , " fl , § diam Ø 0, " fl , 0 fl , una con- tradicción. H L H L H L ð

3.1.16 Lema. o oo Œ o ¶ > 0, o oo êêê o 0, 1, 2, … diam < ¶, " . ‹ ‹ H L oSea Œ un conjunto denso contable y la métrica completa de . Además sea , êêêêêêêêêê 0 1, … una lista de todos los conjuntos 1 tales que œ , 1 < ¶ 2 y 1 Õ . Claramente ê H L êêê ê ê ê H L si pertenece a , entonces œ . De igual forma si œ fl œ . ‹ ‹ Sea œ . Sabemos que existe œ tal que 1 < ¶ y 1 Õ . Por la densidad de existe ê ê H L elemento de 1 3 . Adviértase que 1 3 Õ 1 y › ê H L ê H L ê H L 1 3 œ : , < 1 3 Õ 1 Õ › ê H L 8 › H L ê < ê H L por lo que œ y , < 1 3 fl œ 1 3 œ : , < 1 3 . Sea elemen- › H L ê ê H L 8 H L ê < to 1 3 , entonces ê H L fl 1 3 Õ 1 Õ 1 > 3 2 3א1鷐 + 3 1 > , + , § , H L H L êêêêêêêêH êêêLê ê ê ê ê êêêêêêêêêêêê ê H L ê H L y bajo el mismo argumento 1 3 Õ 1 Õ fl œ 1 3 Õ 1 3 Õ 1 Õ . Por último ê H L ê H L ê H L ê H L ê H L êêê adviértase que 1 3 < ¶ 3 < ¶ 2. Por lo tanto 1 3 es uno de los fl œ , œ y ê ê ê ê H L ‹ ‹ diam < ¶, " . H L ð

3.2 Espacios de Baire y Cantor

En el ejemplo 3.1.11 de la sección anterior se mencionaron los espacios de Baire y Cantor. Presenta- mos a continuación una definición formal de dichos espacios:

3.2.1 Definición. oooo oo ooo 2 . 04

1 Si , œ , entonces una métrica completa sobre es , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ+1 , donde es el menor H L 2 entero no negativo para el cual ∫ . La no negatividad y simetría de es clara. Probaremos H L H L que cumple con la desigualdad triangular. 1 1 1 Sean , , œ tales que , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ+1 , , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +1 y , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +1 . Nótese que si pro- H L 2 H L 2 1 H L 2 2 bamos la imposibilidad de que < 1 y < 2 , entonces, trivialmente, , § , + , . H L H L H L Supóngase, por el absurdo, que < 1 y < 2 ﬂ y ﬂ ∫ y ∫ , lo cual es una contradicción. H L H L H L H L H L H L H L H L 24

Resta probar que es completa. Sea una sucesión de Cauchy sobre , ﬂ es una H L H L H H LL sucesión de Cauchy en (bajo la métrica discreta) para cada . Sea lim Ø ¶ , entonces H L H L lim Ø ¶ œ . Por lo tanto es completa. Por otro lado, trivialmente observamos que el conjunto 0, 1 junto con la topología discreta constituyen un espacio topológico compacto. Entonces, por el teorema8 < de Tychonoff, concluimos que el espacio de Cantor es compacto. Además, si , œ , de la misma forma en que lo hicimos en lo tres pá- 1 rrafos anteriores, , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ+1 , siendo el menor entero no negativo para el cual ∫ , es una métrica completaH sobreL . H L H L

3.2.2 Ejemplo. ooooooooo

Denótese por el conjunto de “tercios medios” de Cantor. Sabemos que es, con su topología relativa, un espacio de Hausdorff. Además es el conjunto de todos los puntos del intervalo 0, 1 que admiten una expresión en base 3 (expansión ternaria) sin utilizar el dígito 1. Defínase ahora @g : DØ tal que g g 0 , 1 , … 0 , 1 , … con 0 ñ 0 y 2 ñ 1. Clara- mente g esH Lbiyectiva.H H L H L L H H L H L L H L H L H L H L

Sean g 1 0 , 1 ,… y g 2 0 , 1 ,… . Supóngase que g 1 g 2 fl , H L H H L H L L H L H H L H L L H L H L H L H L para todo œ . Por la definición de g lo anterior únicamente es posible cuando 1 2 , H L H L " œ fl 1 2 fl g es inyectiva. Por otro lado, consideremos a los elementos de en base 3. Si œ y œ es tal que 0 0 l H L H L m 1 2 n H L -g fl g es sobreyectiva. Por lo tanto g es bi אpara œ , entonces por definición de g es claro鷐 que yectiva. H L

Sea una sucesión convergente sobre , digamos lim Ø ¶ ﬂ es una sucesión de Cau- H L H L chy. Lo anterior implica que , para cada œ , es, también, una sucesión de Cauchy en 0, 1 bajo H H LL 8 < la métrica discreta ﬂ es eventualmente constante sobre 0, 1 , i.e. existe œ tal que H H LL 8 < H L , " , > . H L H L Ahora sea g una sucesión sobre , entonces H H LL lim g lim g 0 , 1 , ... g 0 , 1 , ... g Ø ¶ H L Ø ¶ H H L H L L H H L H L L H L i.e. g es continua. Hemos probado hasta el momento que g es una función biyectiva y continua cuyo dominio es un espacio compacto y con un espacio de Hausdorff como imagen. Pero, bajo estás hipótesis, g es un homeomorfismo entre y . Por lo tanto dichos espacios son topológicamente equivalentes u homeomorfos. õ

3.2.3 Ejemplo. f : Ø o

f 00´¨¨¨¨¨¨¨≠ …0¨¨¨¨¨ Æ 11´¨¨¨¨¨¨¨≠ …1¨¨¨¨¨ Æ 00´¨¨¨¨¨¨¨≠ …0¨¨¨¨¨ Æ 1 … H L 0 1 +1 2 +1 H L H L H L of of

Si f f ﬂ 0 0 , 1 + 1 1 + 1, 2 + 1 2 + 1 ﬂ , " œ . En- H L H L H L H L H L H L H L H L H L H L tonces f es inyectiva. Por otro lado, si una sucesión convergente sobre , entonces bajo el mismo argumento que en el ejemplo anterior, H L 25

lim f f Ø ¶ H L H L i.e. f es continua. Recuérdese que œ es un oo si 2 para , œ . En otro caso, decimos que es oo. Sabemos que todo racional diádicoê tiene expansión binaria finita. Adviértase entonces que la imagen de f es el conjunto de todos los irracionales diádicos, ya que f es una expan- sión binaria infinita. H L õ

3.2.4 Teorema. o ooooo ooo oooooo

oSea el subespacio de que consiste de todas aquellas sucesiones tales que es diferente de 0 para toda œ . es homeomorfo a bajo el mapeo f : Ø definido por H L

f 0 + 1, 1 + 1, 2 + 1, … H L H H L H L H L L En efecto, si f 1 f 2 fl 1 0 + 1 2 0 + 1, 1 1 + 1 2 1 + 1, … fl 1 2 , " œ , H L H L H L H L H L H L H L £H L entonces 1 2 fl f es inyectiva. Por otro lado, es claro que si œ , entonces 0 - 1, 1 - 1, 2 - 1, … œ es tal que f £ , i.e. f es sobreyectiva. Por lo tanto f es biyectiva.H H L H L H L L H L +1 Sea ¶ > 0. Sabemos que siempre es posible encontrar un œ ' 1 2 < ¶. Sean ahora 1, 2 œ tales que ë

1 2 » » +1 +1 y 1 ∫ 2 ﬂ 1, 2 1 2 . Adviértase entonces que f 1 , f 2 1 2 < ¶, por de- argumento análogoH tenemosH L H queLL f-ë1 es continua. Porא finiciónH L de Hf.L Por loH tantoL f es ëcontinua. Por un鷐 lo anterior queda demostrado que f es un homeomorfismo entre y . Sea ahora q : Ø 1, ¶ definido por H L 1 q 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 H L H L 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 +∫ H L H L H L 1 1 1 ∫ que, por propósitos de abreviación, escribiremos 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 + . Demostraremos que q es H L H L H L H L un homeomorfismo de a 1, ¶ . Dado que 1, ¶ es homeomorfo a vía un mapeo que lleva irracionales a irracionales, como› porH ejemploL H L - 1 > 2 l o 2 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 1 < < 2 H L om -1 n se sigue que es homeomorfo a . De modo que debemos verificar los siguientes puntos: 1) El mapeo q está bien definido para cada œ ; i.e. la sucesión 1 1 0 , 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ,… 1 1 H L H L H L 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 H L H L H L converge. 2) q es inyectivo. 3) q es irraccional para toda œ . H L 4) Todo número irracional mayor que 1 está en la imagen de q. 26

5) Tanto q como q-1 son continuos.

Para derivar estos puntos precisaremos de algunos cálculos auxiliares. Para œ escribiremos 1 1 1 1 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H L 1 + 2 + 3 + H L H L H L H L (un número racional positivo) en términos reducidos , donde y son números enteros positi- ê vos determinados de manera única. Por añadidura, convendremos en que -1 1, -1 0, -2 0, y -2 1.

3.2.4.1 Lema. ¥ 0,

-1 + -2 -1 + -2 H L H L o Por inducción sobre . Demostraremos que el lema se satisface para toda sucesión de enteros positivos, y no únicamente para la sucesión con la que partimos. El punto de hacer esto es que queremos poder aplicar la hipótesis de inducción a la “sucesión derivada” £ 1 , 2 , 3 , … cuya -ésima entrada es £ + 1 . H H L H L H L L H L H L 1 0 1 +1 Observemos que como 0 es un entero, 0 0 , 0 1, y como 1 1 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L H1 L H L H L ê H L H L H L y además 0 1 + 1 y 1 son primos relativos, 1 0 1 + 1 y 1 1 . Así, podemos verificar fácilmenteH L losH L casos básicosH L de la inducción ( 0, 1),H paraL H L toda sucesiónH deL enteros positivos al escribir

0 0 -1 0 + -2 0 1 -1 0 + -2 H L H L H L 1 0 1 + 1 0 1 + -1 1 1 0 1 + -1 H L H L אH L H L H L 鷐 Ahora asumamos que todas las sucesiones satisfacen las relaciones apropiadas para todo < , donde ¥ 2, y sea una sucesión de enteros positivos. Sea £ 1 , 2 , 3 ,… la sucesión derivada de . Entonces para cada , H H L H L H L L 1 1 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H L 1 + 2 + H L H L H L y £ 1 1 1 ∫ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ£ 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H L 2 + 3 + + 1 H L £ H£ L H L £ £ 0 -1+-1 £ £ De forma que 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L £ . Como y son primos relativos, los -1 -1 -1 -1 -1 £ ê £ H£ L ê números 0 -1 + -1 y -1 también lo son, de forma que H L £ £ £ 0 -1 + -1 -1 (1) H L Aplicando la hipótesis de inducción a la sucesión £ obtenemos que

£ £ £ £ £ £ £ £ 0 -1 + -1 0 -2 - 1 + -3 + -2 - 1 + -3 H L H L@ £ H £ L £ D H £H L£ L 0 -2 + -2 - 1 + 0 -3 + -3 @ H L D H L @ H L D -1 + -2 H L y que

£ £ £ £ -1 -2 - 1 + -3 -1 + -2 H L H L ð 27

3.2.4.2 Lema. œ oooooo +1 -1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L +1 +1 oUtilizaremos un estilo de inducción similar al utilizado en el lema anterior. Para 0 1 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 0 1 0 1 H L y el resultado es inmediato. Si > 0, entonces, utilizando (1), obtenemos que 0 £ + £ 0 £ + £ £ £ £ £ £ £ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ+1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ-1 -1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ-1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ-1 H L £ H L £ £ £ £ £ i £ £ y +1 -1 -1 -1 j -1 z k { Aplicando la hipótesis de inducción para £ tenemos que esto es igual a £ £ 1 -1 -1 -1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ £ £ i £ £ y H£ £L H L H L -1 j -1 z -1 +1 k { ð

3.2.4.3 Lema. ÅÅÅÅÅÅ0Å < ÅÅÅÅÅÅ2Å < ÅÅÅÅÅÅ4Å < ∫ < ÅÅÅÅÅÅ5Å < ÅÅÅÅÅÅ3Å < ÅÅÅÅÅÅ1Å . 0 2 4 5 3 1

oPor el lema anterior, si es par, claramente < +1 +1 . Además ê ê -1 +1 -1 -1 +2 +2 +1 +1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ i ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y - i ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L +2 - +2 j +2 +1 z j +1 z +1 +2 +1 +1 +2 H L k { k { El lema 3.2.4.1 nos garantiza que +2 - > 0, " ﬂ +2 +2 - es positivo o negativo de .anterior estableceê lo queê queríamos probar אacuerdo a si es par o impar, respectivamente. Lo鷐 ð

3.2.4.4 Lema. lim ÅÅÅÅÅÅÅÅ+ÅÅ1Å - ÅÅÅÅÅÅÅ 0. Ø ¶ I +1 M

o Por el lema 3.2.4.2, es suficiente demostrar que Ø ¶ cuando Ø ¶. De hecho, ¥ para cada ¥ 0, como puede ser verficado por inducción utilizando el lema 3.2.4.1. ð

Podemos aquí deducir el primer punto de los cinco que debemos verificar para establecer el teorema

3.2.4. El lema 3.2.4.3 garantiza que cada una de las sucesiones 2 2 y 2 +1 2 +1 son monóto- H ê L H ê L nas acotadas. En consecuencia, dichas sucesiones convergen. Por el lema 3.2.4.4, la sucesión converge. De manera que q está definido para cada œ y podemos escribir H ê L H L 1 1 q 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ H L H L 1 + 2 + H L H L sin ningún temor.

3.2.4.5 Lema. œ 1 1 q , + 1 , + 2 ,… + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ H H L H L H L L H L + 1 + + 2 + H L H L 0 , ooooo 28

1 1. +1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ; - H L 2. ; H L d t + 3. ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +1 -1 ¥ 0. +1 + -1 o1. La ecuación se sigue de la siguiente cadena de igualdades: 1 1 1 +1 lim + 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Ø ¶ C H L + 2 + + 3 + + G 1 H L 1 H L 1 H L 1 lim ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ì Ø ¶ C + 1 + + 2 + + G H L 1H L 1 H L 1 1 1 lim + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ì Ø ¶ CK H L + 1 + + 2 + + O H LG - H L H L H L H L 2. Claramente > , " . En particular > 1. De modo que 1 +1 < 1, entonces H L ê < + 1 +1 < + 1 ê 3. Utilizamos inducción. Para 0,

0 1 + -1 0 1 + 1 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅ 0 0 1 + -1 1 H L 1 Asumiendo el resultado para y utilizando (1), tenemos que + 0 £ + £ £ + 0 £ + £ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ+1 +2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +1 -1 -1 @ H L D£ £ @ H£ L D א-1鷐 + +1 + +2 +1 0 £ £ + £ + £ £ + £ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +1 -1 +1 -1 H L@ £ £ D H£ L +1 + -1 £ £ + £ 0 + 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +1 -1 i £ £ £ y H L ì j +1 + -1 z k { 0 + 1 £ por hipótesis de inducción H L ê H L 0 + 1 1 H L ê ð

Estamos ahora en condiciones de verificar los puntos 2) - 5) que nos restan para establecer el teorema 3.2.4. 2) q es inyectivo. Esto se sigue de la segunda propiedad establecida por el lema 3.2.4.5. Puesto que si

q , entonces unívocamente tenemos que 0 0 , 1 1 , y así sucesivamente. En H L H L d t d t H L d t general, conociendo los valores de 0 , 1 , …, - 1 , conocemos también el valor de , y por en- H L H L H L de el valor de .q es irraccional para toda œ . d t H L 3) q es irraccional para toda œ . Demostraremos que cualquier número racional ¥ 1 tiene una expansiónH L finita en fracciones continuas de la forma 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 ∫ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 . Esto puedeê ser demos- H L 1 + trado por inducción sobre , asumiendo que está escrito en términosH L irreducibles.H L Si 1, entonces 0 y 0. En otro caso, escribimosê 0 + con 0 < < . Inductivamente, H L 1 ∫ 1 H L ê 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , de manera que H L H L H L 1 1 1 ÅÅÅÅÅÅ 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H L 1 + 2 + H L H L H L 29

Ahora supóngase que q es racional para algún œ , digamos H L 1 1 1 1 1 q 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ £ 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ œ H L H L 1 + 2 + H L £ 1 + £ 2 + £ H L H L H L H L H L con ¥ 1. Un argumento similar al empleado en la demostración de que q es inyectiva muestra que 1 1 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ £ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ 0 H L + 1 + H L + 1 + + 2 + H L H L H L lo cual es imposible.

4) q es sobreyectiva sobre 1, ¶ . Sea œ ' > 1. Defínase y inductivamente por › H L H L 0 , y +1 1 - . Claramente es irracional, de manera que 1 - H L d t ê @ H LD ê @ H LD existe (no hay forma de que ) y , están definidos para todo . Más aún, ¥ 1, " . H L H L H L En efecto, para 0 el resultado se tiene por definición. Si > 0, entonces - < 1 y +1 > 1 H L ﬂ +1 ¥ 1. Nos queda mostrar que d t q q 0 , 1 , 2 ,… H L H H L H L H L L donde, claramente, œ . Por los lemas 3.2.4.3 y 3.2.4.4, 2 2 < 2 +1 2 +1 para cada y ê ê Ø q cuando Ø ¶, de manera que es suficiente mostrar que 2 2 § § 2 +1 2 +1 para êcada .H ParaL 0 la desigualdad que deseamos probar solamente implicaê que 0 §ê § 0 + H L H L 1 1 . Pero - 0 0 - 0 1 1 § 1 1 , así que la desigualdad se tiene para 0. Asumi- ê H L H L H L ê ê H L mos luego que 2 2 § § 2 +1 2 +1 para cada número irracional > 1 y para las sucesiones ê ê y correspondientemente defnidas. Las sucesiones definidas a partir de 1, 2 son claramente la primeraH L H y Lsegunda sucesiones derivadas de las sucesiones definidas a partir de . Aplicando la hipótesis de inducción, א鷐 ££ ££ ££ ££ ££ ££ ££ ££ 2 2 § 2 § 2 +1 2 +1 ﬂ 2 2 § 1 1 - 1 § 2 +1 2 +1 ê ê ê ê @ H LD ê Luego ££ ££ ££ ££ 1 2 +1 + 2 +1 1 2 + 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L ££ § 1 § ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH L ££ 2 +1 2

£ £ £ £ y por (1), 2 +2 2 +2 § 1 § 2 +1 2 +1 . ê ê Repitiendo este argumento encontramos que ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 +2 § § ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 +3 2 +2 2 +3 5) q y q-1 son continuos. Es suficiente demostrar que q mapea una base para la topología de sobre una base para la topología de 1, ¶ . La base que utilizaremos para es la familia de conjuntos ›

1 1 1 1 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ > 1 ﬂ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ < ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H L 2 + H L 1 + 2 + 1 H L H L H L H L y en consecuencia 1 1 1 q 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ œ 0 , 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1, 2 H L H L 1 + 2 + K H L H L 1 O H L H L H L H L Por lo tanto q s Õ 1, 2 . Opuestamente, la demostración de sobreyectividad de q mostró H L › H L + que si œ , + 1 , con , œ , entonces q para algún œ con 0 , es decir -1 › H ê L H L H L q 1, 2 Õ s , con s 0 . De manera que q mapea s sobre 1, 2 cuando s 1. H › H LL H L › H L † § £ £ £ £ Sea ahora s 1 , 2 , …, , > 0, asúmase inductivamente que q s 1, 2 , £ £ H H L H L H LL H L › H L donde 1 y 2 son el mínimo y máximo, respectivamente, entre los números 1 1 1 1 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H L 2 + H L 2 + + 1 H L H L H L H L 1 ∫ 1 1 ∫ 1 Entonces el mínimo y el máximo entre 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +1 están dado por H L H L H L H L H L H L 1 1 1 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅ£ 2 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅ£ H L 2 H L 1 £ respectivamente. Así, si s 0 ^s , entonces q mapea s sobre el conjunto de números de la forma £ £ H L £ £ 0 + 1 con œ 1, 2 . Pero 1, 2 1, 2 , ya que H L ê › H L › H L › H L £ £ £ £ œ 1, 2 ñ 1 œ 1 1, 1 2 ñ 0 + 1 œ 1, 2 › H L ê › H ê ê L H L ê › H L Por otro lado, para verificar que la familia de todos estos conjuntos forma una base para la topología

Entonces la sucesión , definida a partir . 2 >אen 1, ¶ , sea œ 1, 2 , donde 1 <鷐1 de como› H enL la demostración› H de laL sobreyectividad de q, converge a . De formaH queê Lpara algún ,

2 2 +1 2 -1 1 < ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ < < ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ < ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ < 2 2 2 +1 2 -1 1 ∫ 1 1 ∫ 1 Pero 2 2 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 y 2 +1 2 +1 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 +1 . Sean ê H L H L H L ê H L H L H L £ £ 1 1 1 1 2 2 2 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ê H L 1 + 2 + 2 + 1 H L H L H L £ £ Entonces 1, 2 es un conjunto de la forma requerida. Además tenemos que › H L 1 1 2 - 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ > 2 - 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ > 2 - 1 1 2 + 1 H L 2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 +1 H L H L H L H L H L de donde se sigue que 1 1 1 1 1 1 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ < 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ < 0 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∫ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H L 1 + 2 + 1 H L 1 + 2 + 1 H L 1 + 2 - 1 H L H L H L H L H L H L En síntesis, hemos demostrado que

£ 2 +1 £ 2 -1 1 < 1 < < ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ < 2 < ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ < 2 2 +1 2 -1

£ £ de manera que œ 1, 2 Õ 1, 2 y los conjuntos de la forma q s forman una base para › H L › H L H L la topología de 1, ¶ tal y como queríamos demostrar. › H L ð 31

Dado que es un importante espacio en el estudio de los espacios polacos, estudiaremos más a < detalle su topología. Si s œ , sea s œ : s Õ . Claramente s es una vecindad de 8 < < (bajo la métrica ). Nótese que s : s œ es una base para la topología de , ya que para 9 = cualquier abierto de y œ , existe algún s œ ' œ s Õ . Por otro lado, adviértase que

\ s t : t ∫ s , 0 § § s Ê 8 H L H L † §< es un abierto. Así s es abierto y cerrado. Sabemos que todo producto cartesiano de espacios totalmente disconexos es un espacio totalmente disconexo. Entonces el espacio de Baire es totalmente disconexo, ya que es un espacio discreto, y en consecuencia, totalmente disconexo. < Si Œ es abierto, entonces existe Œ tal que sœ s . Sea ‹ s œ < : " t Œ s, t – 9 = Nótese que si s œ y t Œ s ﬂ t œ . Todo conjunto de sucesiones con esta propiedad recibe el nombre de o, i.e. un árbol es un conjunto de sucesiones cerrado bajo segmentos iniciales. Decimos que œ es una o a través de si 0 , …, œ , " œ . Sea H H L H LL œ : es una trayectoria a través de @ D 8 < el o . Nótese ahora que œ ñ s Ã , " s œ ñ – . A partir de lo discutido en los párrafos anteriores hemos probado la siguiente@ D caracterización de los subconjuntos cerrados y abiertos de .

3.2.5 Lema. א>鷐 Œ oo Œ sœ s . ‹ Œ ooo Œ < . @ D ð

Podemos mejorar un poco la caracterización anterior. Para ello necesitamos la siguiente definición:

3.2.6 Definición. oo Œ < ooo s œ , œ s^ œ . 04

Equivalentemente, es un árbol podado si para toda s œ , existe œ con s Õ . Si es un árbol, entonces @ D

£ s œ : $ œ con s Õ 8 @ D < es un árbol podado tal que Œ £ . Así, todo conjunto cerrado de es el conjunto de todas las trayectorias a través de un árbol podado. Gracias a lo discutido hasta el momento podemos caracterizar las funciones continuas de en : Si : Ø , entonces es continua si, y sólo si, para todo tal que s Õ , existe t Õ tal que si t Õ , entonces s Õ . En palabras más simples, para toda natural existeH unL natural tal que los primeros valores de H L son determinados por los primeros valores de . H L Probaremos ahora que todo subconjunto cerrado de es la imagen continua de :

3.2.7 Teorema. oooooof o oo ooo . 32

< oUtilizando el lema 3.1.16 construimos un árbol de conjuntos s : s œ tal que: I M i) « ;

ii) s es un subconjunto abierto de ;

iii) diam s < 1 s ; êêêê H L ê † § iv) t Õ s para s Õ t;

v) s œ s^ . ‹ êêêê êêêêê Por iv) es claro que t Õ t Õ s Õ s ñ s Õ t. Si œ , entonces por el lema 3.1.15 existe f tal que H L êêêêêê f f H L Ëœ » 8 H L< ∫ Supóngase que œ y constrúyase s0 Õ s1 Õ con œ s . Sea s0 «. Supóngase ahora que s es tal que œ s . Por v) existe œ tal que œ s^ . Sea s+1 s ^ . Entonces, si s , claramente f . Por lo tanto f es sobreyectiva. ‹ H L +1 Sean , œ y f . Si ﬂ , 1 2 ﬂ f œ y, por iii), H L … … H L ë H L » f , f < 1 H H L H LL ê Entonces f es continua. ð

Adviértase que, en realidad, hemos probado que siempre existe una función continua, biyectiva y abierta del espacio de Baire hacia cualquier otro espacio polaco. Gracias al teorema 3.1.4 debe ser claro que todo subconjunto cerrado de es la imagen continua de . -dos lemas, pero antes haremos un breve recor אMejoraremos el teorema 3.2.7. Para ello necesitamos鷐 datorio. Un conjunto es un s -conjunto si es la unión contable de conjuntos cerrados. Si es un espacio polaco y Õ es abierto, entonces, por el lema 3.1.16 existen conjuntos abiertos , ,… êêêê 0 1 tales que . Así, todo conjunto abierto en un espacio polaco es un s -conjunto. La unión ‹ contable de s -conjuntos es, claramente, un s -conjunto. Si y son s -conjuntos, ‹ ‹ entonces es también un s -conjunto. › ‹ H › L 3.2.8 Lema. ooo, Œ , o o oo êêêê s oo 0, 1, … o diam < ¶, Œ . H L › ‹ oPor el lema 3.1.16, existen conjuntos abiertos 0, 1, … con diam < ¶ y tales que êêêê H L . Sean 0 ∫ -1 . Entonces los son disjuntos a pares, ‹êêêê êêêê ‹ › @ î H ›êêêê › LD Œ Œ , de manera que Œ y . › ‹ › ð

3.2.9 Lema. ooo Œ oo ¶ > 0. o oo êêê êêê s s o 0, 1, … o diam < ¶, Œ . H L ‹ £ o Sea donde cada es cerrado. Defínase 0 ∫ para cada . Nótese que ‹ ‹ ‹

£ £ £ 0 Œ 1 Œ 2 Œ ∫

£ £ £ êêêê Defínase, ahora, de forma recursiva 0 0 y -1, " ¥ 1. Luego . Por ende, î ‹ es suficiente demostrar que cada uno de los es una unión de una colección de s -conjuntos disjuntos a pares con diámetro menor que ¶, ya que si cada satisface tal condición, entonces satisface la condición también, dado que es una unión disjunta de un número contable de . Cada uno de los 33

£ £ es la intersección de un conjunto cerrado y un conjunto abierto -1 . El resultado se sigue del lema 3.2.8. î ð

3.2.10 Teorema. o oo o o f : Ø , o Œ ooo

< o Utilizando el lema anterior constrúyase el árbol s : s œ de s -conjuntos tales que I M

i) « ;

ii) s œ s^ ; ‹ iii) diam s < 1 s ; êêêê H L ê † § iv) t Õ s para s Õ t;

v) Si ∫ , entonces s^ s^ «. êêêê› êêêê Por iv) es claro que t Õ t Õ s Õ s ñ s Õ t. Si œ , entonces por el lema 3.1.15 êêêêêê › » contiene a lo más un punto. Sea › » œ : $ œ ' œ : Ëœ » >

Sea f : Ø tal que f . Bajo un argumento similar al de la prueba del teorema 3.2.7, f es continua y sobreyectiva.H SeanL › , »œ tales que ∫ y es el menor natural para el cual ∫ . Por v) tenemos que H L H L +1 +1 « »H L › »H L אNótese que 鷐

¶ ji zy +1 ji zy œ » j » z › »H L › j » z Ë jË=0 z j =Ë+2 z k { k { ¶ ji zy +1 ji zy œ » j » z › »H L › j » z Ë jË=0 z j =Ë+2 z k { k { Por lo que

« ﬂ f ∫ f JËœ » N › JËœ » N H L H L i.e. f es inyectiva. Entonces resta probar que es cerrado.

Supóngase que es una sucesión de Cauchy sobre , digamos Ø œ . Debemos probar que H L œ . Para cualquier existe un tal que para > . Lo anterior implica, por iii), que » » f , f < 1 . Por lo tanto f es una sucesión de Cauchy. Supóngase que f Ø . Enton- cesH H L H LL ê H L H L êêêêêê œ Ë » Ë » lo cual implica que f y, en consecuencia, œ . H L ð Capítulo 4 Análisis de Cantor-Bendixson

A continuación se mostrará que la Hipótesis del Continuo es verdadera para espacios polacos y subconjuntos cerrados de espacios polacos. Adicionalmente se presentarán algunos ejemplos originales de la derivada y rango de Cantor-Bendixson sobre . Como una breve reseña histórica hacemos notar que el nombre «Análisis de Cantor-Bendixson» es en honor a los grandes matemáticos Georg Cantor (1845 - 1918) e Ivar Otto Bendixson (1861 - 1935), cuyas ideas y resultados en la teoría de conjuntos y en los fundamentos de la matemática se convirtieron en el punto de partida de muchas investigaciones en la matemática moderna.

4.1 Espacios perfectos

4.1.1 Definición. Sea X un espacio polaco. Decimos que X es perfecto si todos sus puntos son puntos límites. Si P X , denominamos a P perfecto en X si P es cerrado y perfecto en su topología relativa. 04

Por vacuidad es claro que el conjunto vacío es perfecto. El siguiente lema nos asegura que todo subconjunto perfecto no vacío de un espacio polaco tiene igual cardinalidad que .

4.1.2 Lema. Si X es un espacio polaco y P X es un conjunto perfecto no vacío, entonces existe una función continua e inyectiva f : P. De hecho, existe un conjunto perfecto F P homeomorfo a . En particular P c . Demostración: Sea U X abierto no vacío tal que U P . Entonces podemos encontrar x y x › 0 1 elementos de U P tales que x x , ya que cualquier vecindad de un punto límite contiene infinitos › 0 1 puntos. Además, dado que X es un espacio métrico, y en consecuencia un espacio de Hausdorff, podemos elegir U y U vecindades disjuntas de x y x , respectivamente, tales que U U y diam U ¶ 0 1 0 1 i H iL para algún ¶ 0 e i 0, 1 . 8 < Por lo anterior, es posible construir un árbol U : 0, 1 de subconjuntos abiertos no vacíos I 8 < M de X tales que: i) U P ; › ii) U X ; iii) U U para ; iv) U U . ^0 › ^1 v) diam U 1 ; H L ê † § Por i) y iii) es claro que U P U y U U U U . Entonces, gracias al lema › 3.1.15, podemos definir f : P tal que 35

f x Ux n Ux n Ux n P 8 H L< Ën » Ën » Ën » ›

Sean 1, 2 y f 1 x. Si 2 n 1 n d 2, 1 1 n 1 f 2 U n y, por H L » » H L ê H L H L 1» v), 1 d f , f X H H 1L H 2LL n i.e. f es continua. Adviértase ahora que iv) y el argumento utilizado para probar la inyectividad de la función del teorema 3.2.10 implican que f es inyectiva. Defínase F f P X . La continuidad de f y el hecho de que su dominio es compacto implica H L que F es compacto F es, también, cerrado, ya que todo conjunto compacto en un espacio métrico es cerrado. Claramente F es un conjunto perfecto. Por lo probado hasta el momento f : F es una función con dominio compacto que es continua y biyectiva. Pero F es un subespacio métrico, por lo que es también un espacio de Hausdorff. Lo anterior implica que f es un homeomorfismo.

Por lo tanto F c y en particular P c . ð

El teorema anterior implica, claramente, que todo espacio polaco perfecto tiene igual cardinalidad que .

4.1.3 Ejemplo. Sea X un espacio polaco. Si f : X es una función continua e inyectiva, entonces f es perfecto. H L Sea G f y F el conjunto de “tercios medios”Ӥ湆 de Cantor. Por el lema anterior sabemos que y H L G son homeomorfos. Además, gracias al ejemplo 3.2.2, es, también, homeomorfo a F . Lo anterior implica, claramente, que G y F son homeomorfos. Recuérdese que F es perfecto, ya que es denso en sí mismo. Esta propiedad junto con el homeomorfismo entre G y F nos garantizan que f es perfecto (invariante topológico). H L õ

4.2 La derivada de Cantor-Bendixson

Considérese como un subespacio topológico de . Entonces es cerrado y no tiene puntos aislados. Sin embargo sabemos que es contable, i.e. c . Por lo tanto no puede ser un espacio polaco. Analizaremos ahora subconjuntos cerrados arbitrarios de espacios polacos.

4.2.1 Lema. Sean X un espacio polaco y F X un conjunto cerrado. Si F0 denota el conjunto de puntos aislados de F , entonces F y F F es cerrado. 0 c î 0 Demostración: Por definición X es un espacio métrico (completo) separable, entonces X es segundo contable, ya que las vecindades de radio racional centradas en cada punto del subconjunto denso contable de X constituyen una base contable. Por lo anterior existe U0, U1, … base contable para la topología de X . Para cada x F es posible encontrar i tal que U F x . En consecuencia 0 x ix › 8 < F0 es contable, i.e. F0 c , y 36

F F F U î 0 ó Ê ix xF0 es cerrado, ya que, por definición de base, U es abierto. ‹xF0 ix ð

4.2.2 Definición. Sea X un espacio polaco. Si F X es cerrado, la derivada de Cantor-Bendixson de F es

F x F : x es punto límite de F H L 8 < Para cada ordinal contable , definimos F de la siguiente forma: 1 H L i) 0 F F ; H L ii) 1 F F ; H L H H LL iii) Si es un ordinal límite, entonces F F . H L › H L 04

A partir de la definición anterior adviértase que si X es un espacio polaco, F X es cerrado, y F0 es el conjunto de todos los puntos aislados de F , entonces

F F F H L î 0 gracias al lema 4.2.1.

4.2.3 Lema. Sean X un espacio polaco y F X un conjunto cerrado. Entonces: i) F es cerrado para todo ; Ԁ홆 ꃋ H L 1 ii) F 1 F ; H L ï H L c iii) Si F F , entonces F es perfecto y F F, ; H L H L 1 iv) Existe un ordinal tal que F 1 F . 1 H L H L Demostración: i) Por definición 0 F F , entonces 0 F es cerrado. Supóngase que F es cerra- H L H L H L do para algún ordinal . Por definición 1 F F . Por hipótesis F es cerrado, en- 1 H L H H LL H L tonces por el lema 4.2.1 concluimos que F es cerrado. H H LL ii) Sean G F y G 1 F . Denótese por G el conjunto de todos los puntos límites de H L 1 H L G y por G el conjunto de todos los puntos aislados de G . Claramente G G G , con ‹ G G , y 1 F G G . Nótese entonces que › H L î F 1 F G G G G G G H L ï H L î 1 î H î L Por el lema 4.2.1 sabemos que G . Por lo tanto F 1 F . c H L ï H L c iii) Si F F , entonces F no tiene puntos aislados o, lo que es equivalente, todos sus puntos son H L puntos límites. Como F es cerrado, entonces, por definición, F es perfecto. Por lo anterior es obvio que F F, . H L 1 iv) Sea U , U , … una base contable para la topología de X . Si 1 F F , podemos en- 0 1 H L ï H L contrar n tal que U F x , para algún x F . Por definición de la derivada de Can- n › H L 8 < H L tor-Bendixson debe cumplirse que U F consta de más de un punto para cualquier . Por lo n › H L tanto n n para cualquier . 37

Si no existe ningún ordinal con F 1 F , entonces el mapeo # n es, por lo anterior, in- H L H L yectivo. Sin embargo dicho mapeo tendría como dominio a 1 y como contradominio . La existencia de tal mapeo es imposible. ð

4.2.4 Definición. Sean X un espacio polaco y F X un conjunto cerrado. El rango de Cantor-Bendix- son de F se define como el menor ordinal tal que F 1 F . H L H L 04

Adviértase que para cualquier subconjunto cerrado F de un espacio polaco tenemos que F 0 F F 2 F ∫ F ∫ H L H L H L H L i.e. que la derivada de Cantor-Bendixson de F nos proporciona una cadena decreciente de conjuntos cerrados contenidos en F . ¿Será posible que dicha cadena sea estrictamente decreciente? Nótese que sí, ya que por 4.2.3iv) el rango de Cantor-Bendixson de F siempre existe y, en consecuencia, si dicho rango es , entonces 0 F  F  2 F  ∫  F H L H L H L H L

4.3 Ejemplos de la derivada y rango de Cantor-Bendixson sobre

4.3.1 Definición. Decimos que un subconjunto cerrado X de es disperso si X para algún H L ordinal contable . 04 ב뛀 Presentamos a continuación algunos ejemplos de la derivada y rango de Cantor-Bendixson de conjuntos cerrados dispersos y bien ordenados en . Seguido a estos ejemplos se presenta un teorema que nos asegura que para cualquier ordinal contable existe un subconjunto cerrado disperso y bien ordenado en con rango de Cantor-Bendixson .

4.3.2 Ejemplo. Conjunto con rango de Cantor-Bendixson cero.

Sea X0 . Claramente X0 es un conjunto con rango de Cantor-Bendixson cero. õ

4.3.3 Ejemplo. Conjunto con rango de Cantor-Bendixson uno.

Sea X 1 . Claramente X es un conjunto con rango de Cantor-Bendixson uno. 1 8 < 1 õ

4.3.4 Ejemplo. Conjunto con rango de Cantor-Bendixson dos.

Sea n X : n X 2 : n 1 > ‹ 1 Nótese entonces que X X y 2 X X X . Por lo que X es un conjunto H 2L 1 H 2L H H 2LL H 1L 2 con rango de Cantor-Bendixson dos. õ 38

4.3.5 Ejemplo. Conjunto con rango de Cantor-Bendixson tres.

Sean n 1 k a bn a a n n 1 k k 1 n k 1 n1 n n para n, k , donde n es fijo en cada uno de los elementos de la sucesión bk . Claramente bk an1 cuando k . Para cada n el conjunto

Y bn : k a n 8 k < ‹ 8 n1< es tal que Y a . Entonces si H nL 8 n1<

X3 Yn X2 Ên ‹ tenemos que X X , 2 X X y 3 X X . Por lo que X es un conjunto con rango de Can- H 3L 2 H 3L 1 H 3L 0 2 tor-Bendixson tres. õ

El siguiente teorema generaliza, mediante inducción transfinita, la construcción seguida en los ejemplos anteriores. Este teorema nos indica cómo generar conjuntos cerrados dispersos y bien ordenados en con rango de Cantor-Bendixson previamente especificado.

4.3.6 Teorema. Para cada número ordinal contable , existe un conjunto cerrado disperso y bien ordenado de números reales X con rango de Cantor-Bendixson .

Demostración: Utilizaremos inducción transfinita. Sea X0 y X1 0 . Supóngase que X es un > 8 ב뛀 conjunto cerrado disperso y bien ordenado de números reales para algún ordinal contable . Procedere- mos por casos. Caso 1. Supóngase que X es no acotado para todo . Sea un isomorfismo, que preserva H L el orden, definido de sobre 0, 1 (por ejemplo x 1 2 1 arctan x) y sea H L H L ê H ê L X X 1 1 H L ‹ 8 <

Entonces X1 es cerrado, disperso y bien ordenado y, para , X X 1 H 1L I H LM ‹ 8 < dado que preserva el orden. De manera que X 1 , y luego 1 X . H 1L 8 < H 1L Caso 2. Supóngase que X es acotado para algún . Entonces X 1 0, 1 y tiene H L H L ‹ 8 < H D rango de Cantor-Bendixson , puesto que ahora 1 es un punto aislado en X 1 para algún H H L ‹ 8 C 2n 4 2n G y sea

X1 X 0 Ên n ‹ 8 <

Entonces, como en el caso 1, X1 es cerrado, bien ordenado, con rango de Cantor-Bendixson 1 y 1 X . Damos por concluido el caso 2. H 1L 39

Finalmente, supóngase que X ha sido definido para todo , donde 1 es un ordinal límite. Como es contable, podemos escribir sup : n , donde ∫. Sin pérdida de gene- 8 n < 0 1 ralidad, podemos asumir que cada Xn está contenido en 0, 1 . Sea X x 2n : x Xn , n . Si @ D 8 < escribimos X x 2n : x X , entonces n 8 n < X X Ên n y, para cada ,

X X H L Ên I n M

De manera que X tiene rango de Cantor-Bendixson . ð

4.4 Aplicación: La Hipótesis del Continuo para espacios polacos

Utilizando los resultados desarrollados en las secciones anteriores mostramos a continuación que la Hipótesis del Continuo es verdadera para espacios polacos y subconjuntos cerrados de espacios polacos. Antes probamos un importante teorema.

4.4.1 Teorema. Si X es un espacio polaco y F X es un conjunto cerrado, entonces F P C, don- ‹ de P es un conjunto perfecto (posiblemente vacío), C es un conjunto contable y P C . › Demostración: Si F X es cerrado, entonces por 4.2.3iv) podemos asegurar que F tiene rango de Can- tor-Bendixson 1 . Nótese que si P F , entonces por 4.2.3iii) concluimos que P es perfecto. בH L뛀 De igual forma, si C F 1 F , entonces C es contable, ya que 4.2.3ii) nos asegura ‹ H L ï H L que F 1 F para , i.e. C es la unión contable de conjuntos contables. H L ï H L c Claramente P C F . Sea x F . Si x es punto límite de F , entonces x F x P C; si x ‹ H L ‹ es punto aislado de F , entonces x F 1 F para algún x P C. Concluimos enton- H L ï H L ‹ ces que F P C. ‹ Resta probar que P C . Supóngase, por el absurdo, que x P C, entonces › › x F y x F 1 F H L H L ï H L para algún . Sin embargo sabemos que F  1 F  F , por lo tanto tal x no existe. H L H L H L ð

4.4.2 Hipótesis del Continuo. Sea X un espacio polaco. Si F X es un conjunto cerrado o un F - conjunto, entonces F c o F c .

Demostración: Sea F X un conjunto cerrado o un F -conjunto. Si F es contable, entonces trivialmente F c . Supóngase que F es no contable. Consideremos, primero, el caso en que F es cerrado. Por el teorema 4.4.1 sabemos que F P C con P C , P perfecto (en su topología relativa) y C contable. ‹ › Además, por el lema 4.1.2, P c . Concluimos entonces que F c . Considérese ahora el caso en que F es un F -conjunto. Por definición F F , con cada F ce- ‹i i i rrado en X . Como Fi c o Fi c , concluimos que F c . ð 40

4.4.3 Corolario. Todo espacio polaco X no contable es tal que X c . ð

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