TAMIRES DOS SANTOS DE MOURA

ESTUDO PRELIMINAR DO POTENCIAL DE ALGUNS ASTEROIDES

Guaratinguetá 2014

TAMIRES DOS SANTOS DE MOURA

Estudo Preliminar do Potencial de Alguns Asteroides

Trabalho de Graduação apresentado ao Conselho de Curso de Graduação em Licenciatura em Matemática da Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, como parte dos requisitos para obtenção do diploma de Graduação em Licenciatura em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Othon Cabo Winter

Guaratinguetá 2014

Moura, Tamires dos Santos de M929e Estudo Preliminar do Potencial de Alguns Asteroides / Tamires dos Santos de Moura. - Guaratinguetá : [s.n.], 2014 113 f .: il. Bibliografia: f. 100-104

Trabalho de Graduação em Licenciatura em Matemática – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2014. Orientador: Prof. Dr. Othon Cabo Winter

1. Asteroides 2. Potencial gravitacional 3. Curvas em superfícies I. Título

CDU 523.03

AGRADECIMENTOS

A minha querida mãe, Celina e minha irmã Aline, que me deram muito apoio para que eu chegasse até essa etapa da minha vida. Obrigada por eu poder sempre contar com a ajuda de vocês e por estarem tão presentes na minha vida.

Ao meu marido, Marcelo, que tem sido companheiro, amigo e confidente, me proporcionando apoio, calma, conselhos e incentivo nas horas que foram necessárias.

As minhas amigas Vanessa e Michele, que sempre me apoiaram para que eu seguisse em frente e realizasse os meus sonhos.

Ao meu orientador Professor Dr. Othon Cabo Winter que acreditou em mim, ouvindo pacientemente as minhas considerações e partilhando comigo as suas ideias e conhecimentos. Quero expressar o meu reconhecimento e gratidão.

Aos meus antigos professores da Escola Estadual Paulo Virgínio, Cunha - SP, que sempre me incentivaram a nunca parar e sempre ir em busca de novos conhecimentos.

Ao Professor André Amarante Luiz que pacientemente ouviu as minhas dúvidas e auxiliou-me.

Hoje realizo um sonho e todos vocês de algum modo foram essenciais para que ele se tornasse realidade.

EPÍGRAFE

“O sucesso nasce do querer, da determinação e persistência em se chegar a um objetivo. Mesmo não atingindo o alvo, quem busca e vence obstáculos, no mínimo fará coisas admiráveis.”

José de Alencar

MOURA, T.S. Estudo preliminar do potencial de alguns asteroides. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2014.

RESUMO

A pesquisa que realizamos, e trazemos expressa neste texto, é um estudo preliminar sobre o formato de asteroides e nos permitiu compreender um pouco mais a dinâmica ao redor desses corpos, tendo em vista que as imagens que temos de asteroides são as mais irregulares possíveis. Neste trabalho, o asteroide é modelado por meio do método dos poliedros, que fornece uma precisão muito boa da forma irregular do corpo. Por meio de estudo dos modelos de potenciais gravitacionais para corpos não esféricos, implementação de rotinas computacionais e simulações numéricas foi realizada uma análise preliminar em relação ao formato dos asteroides 4179 Toutatis, 6489 Golevka, 2063 Bacchus, 1620 Geographos e 1998 ML14, como também regiões de estabilidade/instabilidade, computamos os coeficientes do potencial gravitacional. O trabalho possibilita ampliação não somente para o caso de asteroides, mas também para outros corpos não esféricos, contribuindo para o desenvolvimento de estudos direcionados a origem e evolução do sistema solar, e quem sabe da origem da Terra, e de novas tecnologias para modelagem e mapeamento de corpos não esféricos. Os principais resultados foram obtidos através da análise dos gráficos do formato e da planificação dos asteroides, que confirmou quão irregulares são esses corpos e como apresentam distribuição de massa não homogênea. Observamos o comportamento das curvas de velocidade zero e curvas de equipotencial, bem como suas respectivas superfícies. Também computamos alguns valores do potencial gravitacional e dos coeficientes harmônicos esféricos de cada objeto. Além disso, encontramos possíveis pontos de equilíbrio dos asteroides, exceto 4179 Toutatis, e analisamos sua estabilidade.

PALAVRAS-CHAVE: Sistema Solar. Corpos irregulares. Asteroides. Superfície de um asteroide. Potencial gravitacional.

MOURA, T.S. Preliminary study of the potential of some asteroids. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2014.

ABSTRACT

A survey we conducted, and bring expressed in this text is a preliminary study on the shape of asteroids and allowed us to understand a little more the dynamics around these bodies, in order that the images we have of asteroids are the most irregular possible. In this work, the asteroid is modeled by the method of the polyhedron, which provides a very good accuracy of the irregular shape of the body. Through study of models for non-spherical gravitational potential bodies, implementation of computational algorithms and numerical simulations a preliminary analysis was performed in relation to the shape of asteroids 4179 Toutatis, 6489 Golevka, 2063 Bacchus, 1620 Geographos and 1998 ML14, as well as regions of stability instability, we compute the coefficients of the gravitational potential. The work not only enables expansion for the case of asteroids, but also for other non-spherical bodies, contributing to the development of targeted studies the origin and evolution of the solar system, and perhaps the origin of the earth, and new technologies for modeling and mapping of non-spherical bodies. The main results were obtained by analyzing the graphics format and planning of asteroids, which confirmed how these bodies are irregular and show how distribution of non- homogeneous mass. Observe the behavior of the curves of zero velocity and equipotential curves as well as their respective surfaces. Also, compute some values of the gravitational potential and the spherical harmonic coefficients of each object. Furthermore, we find possible equilibrium points of asteroids except 4179 Toutatis, and analyze its stability.

KEYWORDS: Solar system. Irregular bodies. Asteroids. Surface of an asteroid. Gravitational potential.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 - Imagem do asteroide 216 kleopatra...... 16 Figura 1.2 - Imagem do asteroide Ceres tirada pelo telescópio espacial Hubble ...... 17 Figura 1.3 - Cinturão Principal ...... 18 Figura 1.4 - Imagem do asteroide 433 Eros pela sonda NEAR – Shoemaker ...... 21 Figura 1.5 - Imagem do asteroide Itokawa tirada pela sonda Hayabusa...... 22 Figura 2.1 - Modelo de poliedros para o asteroide Castalia...... 25 Figura 2.2 - Ilustração do formato do asteroide 4179 Toutatis ...... 27 Figura 2.3 - Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 4179 Toutatis ...... 28 Figura 2.4 - Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 4179 Toutatis com faces pintadas ...... 28 Figura 2.5 - Gráfico representando o formato do asteroide 4179 Toutatis com projeção nos planos xy, yz e xz ...... 29 Figura 2.6 - Ilustração do formato do asteroide 1620 Geographos ...... 30 Figura 2.7 - Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1620 Geographos...... 30 Figura 2.8 - Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1620 Geographos com faces pintadas...... 31 Figura 2.9 - Gráfico representando o formato do asteroide 1620 Geographos com projeção nos planos xy, yz e xz ...... 31 Figura 2.10 - Ilustração do formato do asteroide 6489 Golevka ...... 32 Figura 2.11 - Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 6489 Golevka ...... 33 Figura 2.12 - Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 6489 Golevka com faces pintadas ...... 33 Figura 2.13 - Gráfico representando o formato do asteroide 6489 Golevka com projeção nos planos xy, yz e xz ...... 34 Figura 2.14 - Ilustração do formato do asteroide 2063 Bacchus ...... 35 Figura 2.15 - Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 2063 Bacchus ...... 35 Figura 2.16 - Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 2063 Bacchus com faces pintadas ...... 36 Figura 2.17 - : Gráfico representando o formato do asteroide 2063 Bacchus com projeção nos planos xy, yz e xz ...... 36 Figura 2.18 - Ilustração do formato do asteroide 1998 ML14 ...... 37 Figura 2.19 - Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1998 ML14 ...... 38 Figura 2.20 - : Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1998 ML14 com faces pintadas ...... 38

Figura 2.21 - Gráfico representando o formato do asteroide 1998 ML14 com projeção nos planos xy, yz e xz ...... 39 Figura 3.1 - Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 4179 Toutatis com faces pintadas ...... 40 Figura 3.2 - Mapa topográfico do asteroide 4179 Toutatis ...... 41 Figura 3.3 - Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1620 Geographos com faces pintadas ...... 42 Figura 3.4 - Mapa topográfico do asteroide 1620 Geographos ...... 42 Figura 3.5 - Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 6489 Golevka com faces pintadas ...... 43 Figura 3.6 - Mapa topográfico do asteroide 6489 Golevka ...... 44 Figura 3.7 - Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 2063 Bacchus com faces pintadas ...... 45 Figura 3.8 - Mapa topográfico do asteroide 2063 Bacchus ...... 45 Figura 3.9 - Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1998 ML14 com faces pintadas ...... 46 Figura 3.10 - Mapa topográfico do asteroide 1998 ML14 ...... 47 Figura 5.1 - Representação de harmônicos zonais ...... 56 Figura 5.2 - Representação de harmônicos setoriais ...... 56 Figura 5.3 - Representação de harmônicos tesserais ...... 56 Figura 6.1 - Curvas de equipotencial do asteroide 4179 Toutatis nos plano ...... 61 Figura 6.2 - Curvas de equipotencial do asteroide 1620 Geographos no plano ...... 62 Figura 6.3 - Curvas de equipotencial do asteroide 6489 Golevka no plano ...... 62 Figura 6.4 - Curvas de equipotencial do asteroide 2063 Bacchus no plano ...... 63 Figura 6.5 - Curvas de equipotencial do asteroide 1998 ML14 no plano ...... 63 Figura 7.1 - Superfícies de equipotencial do asteroide 4179 Toutatis juntamente com as curvas nos planos , e ...... 64 Figura 7.2 - Superfícies de equipotencial do asteroide 1620 Geographos juntamente com as curvas nos planos , e ...... 65 Figura 7.3 - Superfícies de equipotencial do asteroide 6489 Golevka juntamente com as curvas nos planos , e ...... 65 Figura 7.4 - Superfícies de equipotencial do asteroide 2063 Bacchus juntamente com as curvas nos planos , e ...... 66 Figura 7.5 - Superfícies de equipotencial do asteroide 1998 ML14 juntamente com as curvas nos planos , e ...... 66 Figura 8.1 - Sistema de referencia (, ,) projetado no plano (, ) ...... 67

Figura 8.2 - Curvas de velocidade zero do asteroide 4179 Toutatis nos planos , e , respectivamente ...... 71 Figura 8.3 - Curvas de velocidade zero do asteroide 1620 Geographos nos planos , e , respectivamente ...... 72 Figura 8.4 - Curvas de velocidade zero do asteroide 6489 Golevka nos planos , e , respectivamente ...... 74 Figura 8.5 - Curvas de velocidade zero do asteroide 2063 Bacchus nos planos , e , respectivamente ...... 75 Figura 8.6 - Curvas de velocidade zero do asteroide 1998 ML14 nos planos , e , respectivamente ...... 77 Figura 9.1 - Superfícies de velocidade zero do asteroide 4179 Toutatis ...... 79 Figura 9.2 - Superfícies de velocidade zero do asteroide 4179 Toutatis nos planos , e ...... 80 Figura 9.3 - Superfícies de velocidade zero do asteroide 4179 Toutatis juntamente com as curvas nos planos , e ...... 81 Figura 9.4 - Superfícies de velocidade zero do asteroide 1620 Geographos ...... 81 Figura 9.5 - Superfícies de velocidade zero do asteroide 1620 Geographos nos planos , e ...... 82 Figura 9.6 - Superfícies de velocidade zero do asteroide 1620 Geographos juntamente com as curvas nos planos , e ...... 83 Figura 9.7 - Superfícies de velocidade zero do asteroide 6489 Golevka ...... 83 Figura 9.8 - Superfícies de velocidade zero do asteroide 6489 Golevka nos planos , e ...... 84 Figura 9.9 - Superfícies de velocidade zero do asteroide 6489 Golevka juntamente com as curvas nos planos , e ...... 85 Figura 9.10- Superfícies de velocidade zero do asteroide 2063 Bacchus ...... 85 Figura 9.11 - Superfícies de velocidade zero do asteroide 2063 Bacchus nos planos , e ...... 86 Figura 9.12 - Superfícies de velocidade zero do asteroide 2063 Bacchus juntamente com as curvas nos planos , e ...... 87 Figura 9.13 - Superfícies de velocidade zero do asteroide 1998 ML14 ...... 87 Figura 9.14 - Superfícies de velocidade zero do asteroide 1998 ML14 nos planos , e ...... 88 Figura 9.15 - Superfícies de velocidade zero do asteroide 1998 ML14 juntamente com as curvas nos planos , e ...... 89 Figura 10.1 - Localização dos pontos de equilíbrio do asteroide 1620 Geographos ...... 91 Figura 10.2 - Localização dos pontos de equilíbrio do asteroide 6489 Golevka ...... 92

Figura 10.3 - Localização dos pontos de equilíbrio do asteroide 2063 Bacchus...... 92 Figura 10.4 - Localização dos pontos de equilíbrio do asteroide 1998 ML14 ...... 93 Figura 10.5 - Localização dos pontos de equilíbrio do asteroide 2063 Bacchus observando as curvas de velocidade zero ...... 94

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 - Potencial Gravitacional do asteroide 4179 Toutatis em alguns pontos ...... 50 Tabela 4.2 - Potencial Gravitacional do asteroide 1620 Geographos em alguns pontos ...... 50 Tabela 4.3 - Potencial Gravitacional do asteroide 6489 Golevka em alguns pontos ...... 51 Tabela 4.4 - Potencial Gravitacional do asteroide 2063 Bacchus em alguns pontos ...... 51 Tabela 4.5 - Potencial Gravitacional do asteroide 1998 ML14 em alguns pontos ...... 52 Tabela 4.6 - Potencial Gravitacional dos asteroides ...... 53

Tabela 5.1 - Coeficientes gravitacionais e do asteroide 4179 Toutatis ...... 57

Tabela 5.2 - Coeficientes gravitacionais e do asteroide 1620 Geographos ...... 57

Tabela 5.3 - Coeficientes gravitacionais e do asteroide 6489 Golevka ...... 58

Tabela 5.4 - Coeficientes gravitacionais e do asteroide 2063 Bacchus ...... 59

Tabela 5.5 - Coeficientes gravitacionais e do asteroide 1998 ML14 ...... 59

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

AU - Astronomical Unit IAU - International Astronomical Union LINEAR - Asteroid Research Lincoln Near-Earth NEA - Near-Earth Asteroid NEAR - Near Earth Asteroid Rendezvous PHA - Potentially Hazardous Asteroid SMASS - Small Main-Belt Asteroid Spectroscopic Survey UAI - União Astronômica Internacional ou distância Sol-Terra

SUMÁRIO

CAPÍTULO I: APRESENTANDO A PESQUISA ...... 15 1.1 O que é um asteroide? ...... 15 1.2 Classificação dos asteroides ...... 18 1.3 NEAs ...... 20 1.4 Missão ÁSTER ...... 22 CAPÍTULO II: FORMATO DOS ASTEROIDES ...... 25 2.1 Asteroide 4179 Toutatis ...... 26 2.2 Asteroide 1620 Geographos ...... 29 2.3 Asteroide 6489 Golevka ...... 32 2.4 Asteroide 2063 Bacchus ...... 34 2.5 Asteroide 1998 ML14 ...... 37 2.6 Conclusões ...... 39 CAPÍTULO III – SUPERFÍCIE DOS ASTEROIDES EM LATITUDE E LONGITUDE ...... 40 3.1 Asteroide 4179 Toutatis ...... 40 3.2 Asteroide 1620 Geographos ...... 41 3.3 Asteroide 6489 Golevka ...... 43 3.4 Asteroide 2063 Bacchus ...... 44 3.5 Asteroide 1998 ML14 ...... 46 3.6 Conclusões ...... 47 CAPÍTULO IV – POTENCIAL GRAVITACIONAL ...... 48 CAPÍTULO V: COEFICIENTES GRAVITACIONAIS ...... 55 CAPÍTULO VI: CURVAS DE EQUIPOTENCIAL ...... 61 CAPÍTULO VII: SUPERFÍCIES DE EQUIPOTENCIAL ...... 64 CAPÍTULO VIII: CURVAS DE VELOCIDADE ZERO ...... 67 8.1 Asteroide 4179 Toutatis ...... 71 8.2 Asteroide 1620 Geographos ...... 72 8.3 Asteroide 6489 Golevka ...... 74 8.4 Asteroide 2063 Bacchus ...... 75 8.5 Asteroide 1998 ML14 ...... 77 CAPÍTULO IX: SUPERFÍCIES DE VELOCIDADE ZERO ...... 79 9.1 Asteroide 4179 Toutatis ...... 79

9.2 Asteroide 1620 Geographos ...... 81 9.3 Asteroide 6489 Golevka ...... 83 9.4 Asteroide 2063 Bacchus ...... 85 9.5 Asteroide 1998 ML14 ...... 87 CAPÍTULO X: PONTOS DE EQUILÍBRIO ...... 90 10.1 Regiões de estabilidade/instabilidade ...... 93 10.2 Resultados ...... 94 CAPÍTULO XI: CONSIDERAÇÕES FINAIS ...... 98 REFERÊNCIAS ...... 100 BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ...... 103 APÊNDICE A – Manual dos programas ...... 105 APÊNDICE B – CD com animações dos asteroides ...... 113 15

CAPÍTULO I: APRESENTANDO A PESQUISA

Tendo em vista que os asteroides são materiais dos primórdios do Sistema Solar, os cientistas estão interessados na composição deles. Existem missões que estão sendo analisadas com a finalidade de enviar sondas em direção a asteroides do grupo Near Earth Asteroids (NEA), que representa uma das mais peculiares classes de objetos no Sistema Solar e suas órbitas podem se aproximar ou até mesmo cruzar a terrestre. Esse grupo é considerado representativo da população de asteroides, visto que podem fornecer informações sobre a mistura química a partir da qual os planetas teriam se formado a bilhões de anos atrás, possibilitando a compreensão da origem e evolução do sistema solar e quem sabe até a origem da vida na Terra. Dessa forma, um estudo detalhado a fim de compreender a superfície, a composição e a estrutura interna de um NEA será um grande passo para a Ciência. Neste trabalho um dos principais objetivos foi estudar e compreender os modelos de potenciais para corpos irregulares, implementar rotinas computacionais que levam em conta esses potenciais gravitacionais e explorar regiões de estabilidade/instabilidade para órbitas espaciais ao redor de um asteroide. A metodologia adotada foi com base em métodos numéricos, visto que foi necessário fazer a leitura de tabelas de dados obtidos por meio de sondas espaciais, como também computar a forma e os coeficientes do potencial gravitacional. No entanto, se trata de um estudo preliminar, sendo que particularidades serão vistas mais a fundo na pós-graduação. A seguir apresentaremos algumas informações importantes no que diz respeito a um asteroide.

1.1 O que é um asteroide?

Sabe-se que diversas imagens que temos de asteroides foram enviadas por sondas espaciais que tiveram como objetivo observar outros objetos, ao invés de asteroides. Por exemplo, a sonda Galileo, no decorrer de seu caminho em direção ao planeta Júpiter, foi a primeira a observar asteroides. Durante estes encontros, foram obtidas imagens de alta resolução do asteroide 951 Gaspra em outubro de 1991, e Ida em agosto de 1993. Apenas três sondas tiveram como objetivo estudar um asteroide: a sonda americana Near-Shoemaker (1996) enviou imagens do asteroide 253 Mathilde e no ano de 2000 se aproximou e pousou no asteroide 4Eros 33; a sonda japonesa Hayabusa (2005) enviou imagens do asteroide 25143 Itokawa; e a 16

sonda Dawn, lançada pela NASA em 2007 com a finalidade de coletar imagens dos asteroides 4 Vesta e 1 Ceres. O termo "asteroide" deriva do grego "astér", estrela, e "oide", sufixo que denota semelhança. São objetos essencialmente rochosos e/ou metálicos, ou formados por aglomeração gravitacional de partículas rochosas, e como todos os demais corpos do Sistema Solar, possuem rotação própria. Sua forma é irregular e seu diâmetro pode variar de alguns metros a centenas de quilômetros, como por exemplo o asteroide 216 Kleopatra (Fig. 1.1) que possui um formato incomum, como se fosse um osso de cão, e mede por volta de 217 de comprimento e 94 de largura. São desconhecidos quase todos os asteroides de menor tamanho cuja estimativa é de cerca de 1 milhão. Já que a grande maioria é representada por corpos muito pequenos que não podem ser considerados planetas, e também não possuem atmosfera. São semelhantes aos meteoroides, porém em dimensões bem maiores, possuindo formas e tamanhos indefinidos. A grande maioria possui a compreensão dos asteroides como pequenos “pedaços” de detritos espaciais que caem na superfície terrestre. Meteoroides são aqueles asteroides que se encontram em colisão com o nosso planeta, e ao se chocarem com a nossa atmosfera em alta velocidade produz um risco de luz conhecido como meteoro. Caso não haja queima total desses meteoroides, o que sobra da matéria espacial atinge a Terra e é chamado de meteorito. A grande maioria dos meteoritos são compostos de silicato (pedra), o restante de ferro e níquel e uma terceira parte da mistura dos três materiais. Meteoritos pedregosos são os mais difíceis de identificar, uma vez que eles aparentam-se como as pedras terrestres.

Figura 1.1: Imagem do asteroide 216 kleopatra.

Fonte: NASA, 2000. 17

Ceres (Fig. 1.2) foi o primeiro asteroide a ser descoberto em 1801 pelo astrônomo italiano Giuseppe Piazzi, e é também o maior asteroide, com aproximadamente 980 de diâmetro e massa de 9,5x10 . A forma praticamente esférica de Ceres é uma exceção entre os asteroides. Por outro lado, um dos menores, descoberto em 1991 é chamado 1991 BA, tem apenas cerca de 6 de diâmetro.

Figura 1.2: Imagem do asteroide Ceres obtida pelo telescópio espacial Hubble.

Fonte: NASA, 2006.

Tradicionalmente quando um asteroide é descoberto recebe um nome de uma figura mitológica, mas há vários asteroides nomeados em honra de astrônomos ou outras figuras importantes. Atualmente, os asteroides são descobertos em massa pelo projeto LINEAR de pesquisas de asteroides próximos à Terra, por isso muitos não chegam a receber um nome próprio. A fórmula atual envolve o ano da descoberta, duas letras e, se necessário, alguns algarismos. Mais de meio milhão de asteroides estão contidos dentro de um cinturão principal (Fig. 1.3), entre as órbitas de Marte e Júpiter e estão separados por distâncias muito grandes, distribuídos não uniformemente na região do cinturão. No entanto, no interior deste cinturão, existem áreas que estão praticamente vazias, as chamadas Lacunas de Kirkwood, que correspondem a zonas de ressonância onde a atração gravitacional do planeta Júpiter impede a permanência de qualquer corpo celeste.

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Figura 1.3: Cinturão Principal – a cintura principal (vista em branco) está localizada entre as órbitas de Marte e Júpiter.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Cintura_de_asteroides.

1.2 Classificação dos asteroides

Os asteroides, assim como os planetas, apenas refletem a luz visível emitida pelo Sol, sendo que seu albedo, capacidade de refletir esta luz, varia enormemente. A estimativa de sua forma física pode ser feita através do seu albedo, que depende da composição química na superfície do asteroide e com o brilho. A taxonomia mais comumente usada por mais de uma década fora aquela de David J. Tholen, proposta pela primeira vez em 1984, que diferencia os asteroides em 14 tipos. Outra mais recentemente introduzida em 2002 foi baseada no Small Main-Belt Asteroid Spectroscopic Survey (SMASS), que classifica os asteroides em 24 categorias. Como são classificados de várias maneiras, vamos destacar as três principais, já que a grande maioria dos corpos recaem nelas: Tipo C ou Carbonáceos: esse grupo representa cerca de 75% do número de asteroides conhecidos. As principais características são a cor escura, a baixa refletividade (albedo entre 0,03 e 0,09) e costumam apresentar um tom ligeiramente azulado. Devido à presença de água na sua estrutura eles absorvem bastante radiação infravermelha. De um modo geral esses 19

objetos encontram-se nas regiões exteriores do cinturão. São compostos por material rochoso, à base de compostos de carbono e silício. Tipo S ou Silicatos: esse grupo representa cerca de 15% do número de asteroides conhecidos, as principais características é que são mais claros, exibindo uma cor ligeiramente avermelhada e, por esse motivo, refletem mais a luz solar (albedo entre 0,10 e 0,22) que os do tipo C. São encontrados na parte do cinturão mais próxima ao Sol. São compostos de níquel e ferro metálico misturado a ferro e silicatos de magnésio. Tipo M ou Metálicos: representa a maior parte dos asteroides restantes (cerca de 10%), são brilhantes e refletem muito a luz solar (albedo entre 0,10 e 0,18). São compostos de puro níquel e ferro. Há também uma minoria de outros tipos raros. Pelo fato dos asteroides do Tipo C serem escuros, dificulta a visibilidade, e dessa forma as observações tendem a ser tendenciosas e o percentual acima pode não representar a verdadeira distribuição dos asteroides. Visto que hoje em dia a descoberta de uma imensidade de asteroides, e consequentemente variedade, faz com que existam asteroides do tipo A, B, D, E, F, G, P, Q, R, T e V. Essas formas de classificação serão convenientemente substituídas devido a pesquisas futuras. Quando o número de asteroides descobertos começou a ser elevado, os astrônomos observaram que alguns deles partilhavam certas características, como a excentricidade, o semieixo maior ou a inclinação orbital. Assim as regiões com um maior número de asteroides são chamadas famílias, aproximadamente um terço dos asteroides do cinturão faz parte de uma família. As famílias possuem elementos orbitais similares, o qual indica que têm a sua origem na fragmentação de um objeto maior. Reconhecemos, atualmente, dois tipos de formação de famílias. Uma, quando o objeto progenitor é totalmente quebrado. Outro, quando ele é apenas ‘craterizado’ (isto é, quando crateras são formadas em sua superfície). A família de Eufrosina faria parte desse segundo grupo. É muito provável que todos os objetos pequenos que a compõem tenham se originado do material arrancado de uma cratera existente na superfície do asteroide principal, essa é uma das pesquisas lideradas por Valério Carruba, professor da Universidade Estadual Paulista (Unesp), campus de Guaratinguetá, apoiada pela FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo). Algumas das famílias mais importantes são Flora, Eunoma, Koronis, Eos e Themis. A família Flora, uma das mais numerosas, poderia ter a sua origem numa colisão ocorrida há milhões de anos.

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1.3 NEAs

Como sabemos a maior parte dos asteroides conhecidos estão localizados no cinturão principal, entre as órbitas dos planetas Marte e Júpiter. No entanto, muitos desses corpos estão cada vez mais perto do Sol e consequentemente passam a cruzar as órbitas de Marte, Terra, Vênus e Mercúrio, esse fato acontece por causa das perturbações no sistema solar. Asteroides com periélio1 inferior a 1,3 AU2, possuem órbitas passando próximas da órbita terrestre, e são chamados de Near Earth Asteroids (NEAs). Dentro do grupo dos NEAs existem os asteroides considerados potencialmente perigosos, ou PHAs, sigla em inglês para Potentially Hazardous Asteroids. Estes possuem distância mínima de interseção da órbita com a Terra de 0,05 AU. Pesquisas recentes estimam que existam 4.700 asteroides considerados PHAs para o nosso planeta, de acordo com a NASA, agência espacial americana, visto que podem, no futuro, entrar em rota de colisão com a Terra. Esses asteroides possuem a órbita mais próxima do nosso planeta e têm tamanho suficiente para passar pela atmosfera terrestre e causar danos em grande escala. No entanto, não é uma notícia que deva deixar todos sem dormir, uma vez que esse tipo de evento só acontece uma vez a cada 10 mil anos, e também não quer dizer que vá necessariamente colidir com o nosso planeta. Caso ocorra um impacto de um asteroide com a Terra os prejuízos dependerão do tamanho do corpo, dos materiais que o compõem e da sua velocidade na colisão. A partir do tamanho de 40 de diâmetro até cerca de 1 de diâmetro, a colisão de um NEA pode gerar um enorme estrago em uma escala local. Impactos bem maiores podem até causar extinções em massa, como a que possivelmente eliminou a era dos dinossauros a milhões de anos atrás (15 de diâmetro). Isso os torna um alvo atraente para a exploração. De acordo com a International Astronomical Union (IAU), o maior asteroide potencialmente perigoso é o 4179 Toutatis, um dos objetos deste trabalho. Dos 4.700 asteroides considerados PHAs, pelo menos 1.500 tem mais de 100 de diâmetro. Os NEAs são classificados em quatro grupos (Fonte: JPL/NASA):  Amor – Seu nome é em homenagem ao asteroide 1221 Amor e estão localizados entre as órbitas de Marte e Júpiter. Órbita completamente externa à órbita terrestre. Representam 32% dos NEAs;

1Em astronomia o periélio é o ponto da órbita de um corpo, seja ele planeta, planeta anão, asteroide ou cometa, que está mais próximo do Sol.

21 Astronomical Unit (AU) é igual a 1,495979x10 , e é definida como sendo a distância média entre a Terra e o Sol.

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 Apolo – Cruzam a órbita da Terra. O semieixo maior é maior que o terrestre. Representam 62% dos NEAs;  Atenas - Cruzam a órbita da Terra. O semieixo maior é menor que o terrestre. Representam 6% dos NEAs;  Atira – Objetos com órbita completamente dentro da órbita da Terra. Existem 6 objetos conhecidos. A NASA com o intuito de proteger a Terra monitora e controla esses asteroides, e consequentemente os pesquisadores conseguem prever com maior grau de exatidão as suas órbitas como também analisam futuras aproximações, e por ventura um provável impacto. Indo além de mero interesse científico, o estudo dos NEAs é uma questão de segurança planetária, fato que leva esses objetos a serem permanentemente catalogados, seguidos e estudados por telescópios. Em 1996 a NASA lançou a missão NEAR (Near Earth Asteroid Rendezvous) Shoemaker, com o intuito de estudar de perto estes corpos, em particular o asteroide 433 Eros (Fig. 1.4). A sonda Japonesa Hayabusa, que fotografou de perto o asteroide Itokawa mostrado na Figura 1.5, pela primeira vez coletou material de um asteroide retornando à Terra para ser analisado. Diferente da maioria dos asteroides, Itokawa não possui grandes marcas de crateras.

Figura 1.4: Imagem do asteroide 433 Eros pela sonda NEAR – Shoemaker.

Fonte: NASA, 2001

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Figura 1.5: Imagem do asteroide Itokawa obtida pela sonda Hayabusa.

Fonte: Tese de Doutorado “Manobras Orbitais ao Redor de Corpos Irregulares”, de Flaviane Cristine Faria Venditti.

1.4 Missão ÁSTER

Asteroides binários ou duplos também existem, situação em que dois asteroides de tamanho aproximadamente igual orbitam um ao outro. E sistemas de asteroides triplos são conhecidos também, e será estudo da missão Áster. O Brasil está prestes a dar um importante salto tecnológico e realizar o que poucos países já fizeram em termos de tecnologia espacial. Se tudo sair conforme previsto, o país pousará uma pequena sonda em um raro mundo distante, e dará início à primeira exploração espacial brasileira. O alvo da missão é orbitar um asteroide triplo e pousar na superfície do maior deles, como também colher dados sobre a sua formação. Esse sistema foi batizado de 2001-SN263, descoberto pelo projeto LINEAR em 2001, e é formado por um objeto central (2,8 de diâmetro) e outros dois menores (1,1 e 0,4 de diâmetro), sendo que os dois últimos descrevem órbitas em volta do corpo central. Na ocasião da descoberta, pesquisadores estadunidenses acreditavam se tratar de um objeto único, mas através de imagens de radar feitas em 2008 através do radiotelescópio de Arecibo, em Porto Rico, constatou-se que era um sistema triplo, com duas rochas orbitando o asteroide principal. A missão está programa para lançar a sonda em 2017, com previsão de chegada ao asteroide em 2019, quando o objeto estiver a 150 milhões de quilômetros da Terra. A missão está sendo coordenada pelos pesquisadores Elbert Macau e Haroldo de Campos Velho, do 23

Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE), Othon Winter, ligado à Universidade Estadual Paulista e Alexander Sukhanov, cientista ligado ao INPE e Instituto de Pesquisas Espaciais da Rússia.

Diante de tudo o que foi exposto escolhemos cinco asteroides, sendo eles 4179 Toutatis, 6489 Golevka, 2063 Bacchus, 1620 Geographos e 1998 ML14, pelo motivo da NASA disponibilizar arquivos, que serão arquivos de entrada para as simulações numéricas, contendo o número de vértices e faces desses corpos. Em seguida foi necessário reconstruir a forma desses corpos e conhecer suas características físicas. Modelar corpos irregulares não é uma tarefa simples devido à complexidade da distribuição de massa destes corpos. Para se aproximar de modo mais preciso do formato desses corpos tendo em vista os formatos observados nos artigos consultados, foram desenvolvidos trabalhos que tratam do potencial de corpos tridimensionais por meio do método de poliedros (Hudson e Ostro, 1994). Logo, foram realizadas várias simulações numéricas para de se obter o modelo de poliedros com faces triangulares de cada asteroide para serem modeladas no software Gnuplot, e assim gerar os gráficos do formato de cada objeto. O foco principal foi aprender a utilizar todos os programas, em linguagem de programação C e Fortran (vide Apêndice A), a fim de aplicá-los para os objetos escolhidos. Esses programas foram criados pela Equipe do Curso de Pós - Graduação em Dinâmica de Asteroides3. Também foram realizadas simulações para obter e analisar os pontos de equilíbrio, o potencial gravitacional, os coeficientes gravitacionais, para gerar os gráficos das curvas e superfícies de velocidade zero, gráficos das curvas e superfícies de equipotencial e gráficos da superfície do asteroide em latitude e longitude e com profundidade. Com isso, no presente capítulo apresentamos a pesquisa e uma introdução ao trabalho desenvolvido bem como um contexto a respeito dos asteroides. No capítulo a seguir iremos apresentar os 5 asteroides dessa pesquisa e também os gráficos representando o formato desses objetos. Já o capítulo III traz os gráficos das superfícies dos asteroides em latitude e longitude e com profundidade. O capítulo IV e V é destinado a análise do potencial e dos coeficientes gravitacionais, respectivamente. O sexto, sétimo, oitavo e o nono capítulos são compostos pelos gráficos das curvas de equipotencial, superfícies de equipotencial, curvas de velocidade zero e superfícies de velocidade zero, respectivamente, dos asteroides escolhidos. E o capítulo X traz

3A Equipe do Curso de Pós Graduação em Dinâmica de Asteroides é composta pelos seguintes membros: Othon Cabo Winter; Thierry Gregory Gil Chanut; André Amarante Luiz; Nilton Carlos Santos Araújo; Alexandre Pinho dos Santos Souza; Luiz Augusto Guimarães Boldrin; Helton da Silva Gaspar; Ernesto Vieira Neto; Rafael Sfair de Oliveira; Rosana Aparecida Nogueira de Araújo. 24

a região de estabilidade/instabilidade levando em consideração as simulações que geraram os pontos de equilíbrios dos asteroides, exceto 4179 Toutatis. Construímos, no último capítulo, as considerações finais, procuramos trazer o que foi compreendido acerca da pesquisa e aos dados coletados e aos autores lidos.

25

CAPÍTULO II – FORMATO DOS ASTEROIDES

Neste capítulo apresentamos um breve contexto a respeito dos objetos escolhidos e os gráficos da construção da forma dos asteroides baseado no método dos poliedros, com faces triangulares. É como se a superfície do asteroide fosse revestida por uma capa cheia de figuras de triângulos, com os vértices ligados uns aos outros, conforme figura 2.1. Para tanto a NASA disponibiliza uma tabela de vértices com as coordenadas x, y e z de cada vértice, e logo abaixo é fornecida uma tabela de faces triangulares com o número dos três vértices que formam cada uma das faces. Estes dados do modelo de poliedros disponibilizados pelo JPL/NASA têm sido referência para várias pesquisas relacionadas a asteroides, como por exemplo para estudos de estabilidade e estudo do campo gravitacional do asteroide 433 Eros (Chanut et al. 2014), entre outros. Os dados relativos as faces e vértices dos asteroides estão em relação a origem de um sistema inercial e para essa pesquisa transferimos para o centro de massa de cada objeto, através de simulação numérica.

Figura 2.1: Modelo de poliedros para o asteroide Castalia.

Fonte: Tese de Doutorado “Manobras Orbitais ao Redor de Corpos Irregulares”, de Flaviane Cristine Faria Venditti.

Foi utilizada implementação de alguns programas em linguagem de programação C, para reorganizar os dados dos asteroides, e visualizar sua forma poliédrica com profundidade, isto é, o programa calcula a distância do centro de massa do asteroide ao baricentro de cada face do asteroide. Lembrando que a rotina implementada para cálculo do baricentro é com base 26

em faces triangulares. Também foi encontrado o centro de massa de casa objeto. Para todos os corpos foi considerado densidade constante. Para plotar as figuras foi utilizado o software Gnuplot, que é uma ferramenta gráfica e pode ser executado no sistema operacional Linux. Também foi necessário o programa FFmpeg, para converter as figuras de cada asteroide em pequenos vídeos, que são as animações que estão gravadas em um CD (vide Apêndice B). Nessas animações é possível notar que o asteroide está rotacionando nos eixos e , obtendo dessa forma uma boa visão do formato de cada corpo sob diversos ângulos. O eixo representa o maior momento de inércia, enquanto que o eixo representa o menor momento de inércia. Em cada gráfico representando o formato dos objetos em 3D existe uma escala de cores que representa a distância da superfície do asteroide em relação ao centro de massa do corpo. Já as cores das projeções de cada objeto nos planos xy, yz e xz foram escolhidas apenas para ilustrar.

2.1 Asteroide 4179 Toutatis

Em 04 de janeiro de 1989, o asteroide Toutatis (Fig. 2.2), anteriormente 1989 AC, oficialmente numerado 4179, foi descoberto pelo astrônomo francês Christian Pollas. Seu nome é em homenagem a Teutates, um deus na mitologia céltica protetor da tribo na antiga Gália. Pertence ao grupo Apollo, seu período orbital4 é de 1.473,27 dias e seu diâmetro é cerca de 5,4 . Suas dimensões são de 1,70x2,03x4,26 (Hudson et al. 2003). Ele frequentemente se aproxima muito perto da terra. Em setembro de 2004 o asteroide fez sua trajetória mais próxima à Terra, a uma distância de 1.549.719 (quatro vezes a distância entre a Terra e a Lua), considerada extremamente próxima para um objeto que pode causar devastação. É um dos mais estranhos objetos do nosso sistema solar. O modelo de poliedros utilizado para Toutatis possui 6.400 vértices e 12.796 faces de acordo com os dados obtidos da NASA. Consideramos densidade de 2,5 /³ e um período de rotação 5 de 176,4 horas (Scheeres et al. 1998). Sua massa é de aproximadamente 2,27x10 e seu albedo geométrico é de 0,13.

4O período orbital é o tempo que leva um planeta (ou outro astro) para fazer uma órbita completa.

5O movimento de rotação é a revolução de um corpo celeste sobre seu próprio eixo (imaginário). O tempo gasto para realizar esse percurso é chamado de período. 27

As figuras 2.3, 2.4 e 2.5 representam o formato desse asteroide, onde se observa a presença de possíveis crateras, conforme as projeções nos planos xy, yz e xz. Também podemos observar que Toutatis possui uma forma convexa dominada por dois componentes em contato, um de aproximadamente duas vezes maior do que o outro. Um dos formatos com tendência mais arredondada, enquanto que o outro mais alongado. Na parte mais arredondada podemos considerar que existam menos crateras, pois de acordo com os gráficos a cor dominante é o azul, representando a profundidade em relação ao centro de massa quase que uniforme. Já a parte do asteroide mais alongada é a mais distante em profundidade em relação ao seu centro de massa. Nessa parte há forte evidência da presença de crateras, uma vez que ocorrem mudanças significativas de cores, conforme gráficos, saindo da cor azul claro para o vermelho. As projeções nos planos somente evidenciam quão irregular é o formato de Toutatis.

Figura 2.2: Ilustração do formato do asteroide 4179 Toutatis.

Fonte: wikipedia.

28

Figura 2.3: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 4179 Toutatis.

Fonte: Autora.

Figura 2.4: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 4179 Toutatis com faces pintadas.

Fonte: Autora. 29

Figura 2.5: Gráfico representando o formato do asteroide 4179 Toutatis com projeção nos planos xy, yz e xz.

Fonte: Autora.

2.2 Asteroide 1620 Geographos

Foi descoberto em 14 de setembro de 1951 no Observatório de Palomar, Califórnia, por Albert George Wilson e Rudolph Minkowski, e foi originalmente designado 1951 RA. Seu nome significa geógrafo e é em homenagem a National Geographic Society pelo suporte no Palomar Mountain Sky Survey, um projeto de fotografia do céu noturno no observatório de Palomar, finalizado em 1958. É um asteroide do tipo S, ou seja, é reflexivo e composto de níquel e ferro misturado com silicatos de ferro e magnésio. Geographos (Fig. 2.6) faz parte dos NEAs e também é considerado um asteroide potencialmente perigoso. Faz parte do grupo Apollo, possui um período orbital de 507,75 dias, diâmetro de aproximadamente 2,7 e período de rotação de 5,223 horas e densidade de 2,5 /³ (Ostro et al. 1996). Sua massa é de 2,6x10 , dimensões de 5,0x2,0x2,1 e albedo geométrico de 0,3258. O modelo de poliedros utilizado para o asteroide possui 8.192 vértices e 16.380 faces de acordo com os dados obtidos da NASA. As figuras 2.7, 2.8 e 2.9 representam o formato desse asteroide, e podemos concluir que esse objeto é presumivelmente produto cumulativo de uma sequência de colisões (Ostro et al. 30

1996). Podemos observar que as extremidades são afiladas e são praticamente simétricas, ambas com cerca de 2,5 de distância em relação ao centro de massa. A parte central possui uma deformidade, representada por um possível buraco/cratera com cerca de 500 de profundidade, conforme análise da figura 2.7.

Figura 2.6: Ilustração do formato do asteroide 1620 Geographos.

Fonte: wikipedia.

Figura 2.7: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1620 Geographos.

Fonte: Autora.

31

Figura 2.8: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1620 Geographos com faces pintadas.

Fonte: Autora.

Figura 2.9: Gráfico representando o formato do asteroide 1620 Geographos com projeção nos planos xy, yz e xz.

Fonte: Autora. 32

2.3 Asteroide 6489 Golevka

Golevka (Fig. 2.10), também denominado 1991 JX, foi descoberto em maio de 1991 em Palomar por Eleanor F. Helin, três semanas antes de passar 0,036 AU da Terra. Faz parte do grupo Apollo, possui um período orbital de 1.454,49 dias e diâmetro de aproximadamente 0,53 . Seu período de rotação de 6,0264 horas e suas dimensões são 0,35x0,25x0,25 (Hudson et al. 2000). Possui massa de 2,10x10, densidade de 2,7/³, albedo geométrico de 0,151. O modelo de poliedros utilizado para o asteroide possui 2.048 vértices e 4.092 faces de acordo com os dados obtidos da NASA. De acordo com as observações de radar e o modelo físico do asteroide 6489 Golevka realizado por Hudson et al (2000), revela as propriedades das superfícies bastante típicas de um asteroide do tipo S e uma forma que é altamente angular e com muitas facetas. As observações de radar revelam que ele tem uma forma muito estranha, que parece diferente dependendo da direção, o que notamos na animação do apêndice A. Ao se observar as figuras 2.11, 2.12 e 2.13, fica evidente que Golevka é um objeto com uma forma dominada por grandes facetas unidas nas bordas relativamente afiadas. Em alguns pontos de vista tem um contorno geral quase triangular. Observamos na figura 2.11 que a superfície desse asteroide é constituída de diversas elevações, o que pode ser observado pela cor azul-verde na parte central indo até a coloração amarelo-vermelha nas bordas, considerando a profundidade em relação ao centro de massa.

Figura 2.10: Ilustração do formato do asteroide 6489 Golevka.

Fonte: wikipedia. 33

Figura 2.11: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 6489 Golevka.

Fonte: Autora.

Figura 2.12: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 6489 Golevka com faces pintadas.

Fonte: Autora. 34

Figura 2.13: Gráfico representando o formato do asteroide 6489 Golevka com projeção nos planos xy, yz e xz.

Fonte: Autora.

2.4 Asteroide 2063 Bacchus

Bacchus (com designação provisória 1977 HB) foi descoberto no dia 24 de abril de 1977 por Charles T. Kowal, em Palomar. Seu nome deriva do deus romano Baco. De acordo com as observações de radar sob direção do cientista Benner et al. (1999) o asteroide 2063 Bacchus aproximou-se dentro de 0,0678 AU da Terra em 31 de março 1996, o seu encontro terrestre mais próximo até 2271, permitindo assim a construção de um modelo para esse objeto. Também foi observado que o albedo geométrico óptico de Bacchus está entre os maiores estimados para qualquer asteroide e que Bacchus é um objeto brilhante em comprimentos de onda ópticos. Bacchus (Fig. 2.14) faz parte do grupo Apollo, possui um período de rotação de 14,904 horas e densidade de 3,3 /³ (Benner et al. 1999). Possui massa de 1,64x10 , período orbital de 408,70 dias, um diâmetro aproximado de 0,96 , e suas dimensões são de 1,1x1,1x2,6 . O modelo de poliedros utilizado para o asteroide possui 2.048 vértices e 4.092 faces de acordo com os dados obtidos da NASA. Das figuras 2.15, 2.16 e 2.17 observamos que Bacchus tem um centro concavidade ou “cintura”, que delimita duas partes assimétricas. E essa divisão é a mais próxima em 35

profundidade em relação ao centro de massa, o que pode representar uma grande cratera com cerca de 100 de profundidade.

Figura 2.14: Ilustração do formato do asteroide 2063 Bacchus.

Fonte: wikipedia.

Figura 2.15: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 2063 Bacchus.

Fonte: Autora.

36

Figura 2.16: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 2063 Bacchus com faces pintadas.

Fonte: Autora.

Figura 2.17: Gráfico representando o formato do asteroide 2063 Bacchus com projeção nos planos xy, yz e xz.

Fonte: Autora. 37

2.5 Asteroide 1998 ML14

Este asteroide foi descoberto no final de junho de 1998 pelo projeto LINEAR, em White Sands, no Novo México. Em 18 de agosto do mesmo ano sua trajetória foi a 0,018 AU da Terra (Ostro et. al. 2001). Também é conhecido como 52760. ML14 (Fig. 2.18) faz parte do grupo Apollo, seu período orbital é de 1.369,31 dias e sua massa é de 1,09x10. Possui um período de rotação de 14,98 horas, densidade de 2,5 /³ e um diâmetro de aproximadamente de 1 (Ostro et. al. 2001). O modelo de poliedros utilizado para o asteroide possui 8.162 vértices e 16.320 faces de acordo com os dados obtidos da NASA. Das figuras 2.19, 2.20 e 2.21 observamos que seu formato é aproximadamente de uma esfera, com algumas saliências íngremes e várias crateras, o que podemos notar pela predominância da cor amarela. Essas crateras devem ter por volta de 12 a 15 de profundidade.

Figura 2.18: Ilustração do formato do asteroide 1998 ML14.

Fonte: wikipedia.

38

Figura 2.19: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1998 ML14.

Fonte: Autora.

Figura 2.20: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1998 ML14 com faces pintadas.

Fonte: Autora.

39

Figura 2.21: Gráfico representando o formato do asteroide 1998 ML14 com projeção nos planos xy, yz e xz.

Fonte: Autora.

2.6 Conclusões

Tendo em vista as ilustrações de cada asteroide extraídas da internet, e também as que alguns autores conseguiram, como por exemplo para 4179 Toutatis (Scheeres et al. 1998), 1620 Geographos (Ostro et al. 1996), 6489 Golevka (Hudson et al. 2000), 2063 Bacchus (Benner et al. 1999) e 1998 ML14 (Ostro et al. 2001), e se comparamos com os gráficos produzidos no Gnuplot através das informações concedidas por simulações numéricas, podemos concluir que os formatos dos corpos ficaram satisfatórios com os modelos que temos atualmente. Em relação a todas as imagens observadas podemos concluir que os asteroides possuem os mais distintos formatos, e constituem objetos de estudo desde muitos anos. Dessa forma se torna importantíssimo que se invista financeiramente em pesquisas que possam auxiliar no estudo do surgimento desses corpos, com o propósito de descobrir sua composição, sua superfície, e se realmente podem contribuir para o entendimento de como surgiu o sistema solar. Foi feita uma animação com o formato dos asteroides que se encontra em um CD - Apêndice B. 40

CAPÍTULO III: SUPERFÍCIES DOS ASTEROIDES EM LATITUDE E LONGITUDE

Neste capítulo será apresentada a planificação de cada asteroide em latitude por longitude, em graus, assim como fez Yu e Baoyin (2012) com o asteroide Kleopatra, e uma breve analise do mapa de cada objeto. A escala de cor é em relação a profundidade do centro de massa, medida em quilômetros.

3.1 Asteroide 4179 Toutatis

Ao compararmos as figuras 3.1 e 3.2 vamos observar que a “frente” do asteroide vai de 0 a 180º em longitude, onde podemos identificar que o formato mais alongado do objeto, onde provavelmente existam mais crateras pela predominância da cor vermelha, conforme figura 3.1, se encontra entre 150º a 180º. Já a parte mais arredondada do asteroide que tem no seu extremo uma espécie de “bico”, predominantemente da cor amarelada, se encontra entre -30º e 30º. A parte posterior, que seria as “costas”, vai de 0º a -180º, tendo visto que de -150º a -180º é o extremo da parte mais alongada de Toutatis, e obviamente tem que completar com a parte do gráfico da figura 3.2 que vai de 150º a 180º. Podemos notar também que a cor verde se faz presente ao redor dos dois extremos desse corpo, o que claramente é visto no mapa da figura 3.2. Já o restante desse asteroide, que seria a sua parte central, no tom de azul vai de 60º a 150º e -30º a -150º.

Figura 3.1: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 4179 Toutatis com faces pintadas.

Fonte: Autora. 41

Figura 3.2: Mapa topográfico do asteroide 4179 Toutatis.

Fonte: Autora.

Ao analisarmos a figura 3.2 em latitude, notamos que o marco de 0º seria uma linha imaginária que passa praticamente no centro dos dois extremos do asteroide. E que de 0º a 90º seria a parte norte, enquanto que de 0º a -90º seria a parte sul de Toutatis. Os extremos estariam compreendidos entre -30º e 30º, enquanto que todo o restante do objeto seria a cor azul.

3.2 Asteroide 1620 Geographos

Ao observamos as figuras 3.3 e 3.4 vamos observar que a “frente” do asteroide vai de 0 a 180º em longitude. Podemos notar que as extremidades são praticamente simétricas, tendo a sua parte central composta pela cor vermelha, rodeadas pelas cores amarelo e verde, respectivamente. As extremidades estão compreendidas aproximadamente de -30º a 30º e 130º a 180º, respectivamente. A parte central que possui uma deformidade, representada por um possível buraco/cratera com cerca de 500 de profundidade, conforme análise da figura 3.3, onde a cor predominante é a azul, está entre 50º a 130º. A parte posterior, que seria as “costas”, vai de 0º a -180º, tendo visto que de -150º a -180º é o extremo do “bico” mais avermelhado de 42

Geographos, e obviamente tem que completar com a parte do gráfico da figura 3.4 que vai de 130º a 180º.

Figura 3.3: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1620 Geographos com faces pintadas.

Fonte: Autora.

Figura 3.4: Mapa topográfico do asteroide 1620 Geographos.

Fonte: Autora. 43

Ao analisarmos a figura 3.4 em latitude, notamos que o marco de 0º seria uma linha imaginária que passa praticamente no centro dos dois extremos do asteroide. E que de 0º a 90º seria a parte norte, enquanto que de 0º a -90º seria a parte sul de Geographos. Os extremos estariam compreendidos entre -30º e 30º, enquanto que todo o restante do objeto seria a cor azul.

3.3 Asteroide 6489 Golevka

Ao analisarmos as figuras 3.5 e 3.6 vamos observar um formato bem estranho desse asteroide. É evidente que esse objeto possui uma forma dominada por grandes facetas unidas nas bordas relativamente afiadas. A face que vemos na figura 3.5 está representada no mapa da figura 3.6 no intervalo de que vai de 0 a -180º em longitude. As bordas, que notamos nessa face, são da cor vermelha, rodeadas pela cor amarela, com um destaque para o centro azulado. Podemos observar também que a cor verde se faz presente ao redor das faces desse corpo, o que claramente é visto no mapa da figura 3.6. Já o restante desse asteroide no tom de azul. Identifica-se também uma face cuja borda está compreendida entre 150º e 180º, que obviamente tem que completar com a borda da parte do gráfico da figura 3.6 que vai de -150º a -180º.

Figura 3.5: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 6489 Golevka com faces pintadas.

Fonte: Autora. 44

Figura 3.6: Mapa topográfico do asteroide 6489 Golevka.

Fonte: Autora.

Ao analisarmos a figura 3.6 em latitude, considerando que de 0º a 90º seria a parte norte, notamos que as bordas mais acentuadas se encontram na parte sul de Golevka.

3.4 Asteroide 2063 Bacchus

A análise das figuras 3.7 e 3.8 permite concluir que Bacchus tem um centro concavidade ou “cintura”, que delimita duas partes assimétricas. E essa divisão predominantemente da cor azul, está compreendida entre 50º a 140º em longitude. A sua “frente” vai de 0 a 180º, enquanto que a parte posterior (“costas”) está entre 0º e -180º, em longitude. Os extremos que se afinam como se fossem “bicos” têm o seu centro avermelhado, e são rodeados pela cor amarela seguida da verde, o que é visto claramente na imagem das duas figuras. Um dos extremos esta compreendido entre -30º e 30º, visto que de -150º a -180º é o outro extremo e obviamente tem que completar com a parte do gráfico da figura 3.8 que vai de 140º a 180º. 45

Figura 3.7: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 2063 Bacchus com faces pintadas.

Fonte: Autora.

Figura 3.8: Mapa topográfico do asteroide 2063 Bacchus.

Fonte: Autora.

Ao analisarmos a figura 3.8 em latitude, notamos que o marco de 0º seria uma linha imaginária que passa praticamente no centro dos dois extremos do asteroide. E que de 0º a 90º 46

seria a parte norte, enquanto que de 0º a -90º seria a parte sul de Bacchus. Um dos extremos está compreendido entre -30º e 30º, enquanto que o outro, que está representado no centro da figura 3.8, está entre -50º e 60º.

3.5 Asteroide 1998 ML14

A análise das figuras 3.9 e 3.10 nos permite chegar à conclusão de que o formato de ML14 é aproximadamente de uma esfera, com algumas saliências íngremes representadas pela cor vermelha. Da figura 3.9 notamos uma saliência que mais se destaca, e esta está planificada na figura 3.10 entre -150º e -120º, em longitude. Há outras menores, como por exemplo de -50º a -30º e de 90º a 110º. Há várias crateras, o que podemos notar pela predominância da cor amarela. Essas crateras devem ter por volta de 12 a 15 de profundidade.

Figura 3.9: Gráfico em 3D representando o formato do asteroide 1998 ML14 com faces pintadas.

Fonte: Autora.

47

Figura 3.10: Mapa topográfico do asteroide 1998 ML14.

Fonte: Autora.

Ao analisarmos a figura 3.10 em latitude, de 0º a 90º seria a parte norte, enquanto que de 0º a -90º seria a parte sul de ML14. A saliência que mais se destaca nesse objeto está compreendida entre -30º e 30º.

3.6 Conclusões

Tendo em vista as planificações de todos os asteroides podemos notar que ficaram condizentes com os formatos dos corpos. Saber interpretar esses mapas se torna importante para se poder analisar a sua superfície, o seu formato.

48

CAPÍTULO IV: POTENCIAL GRAVITACIONAL

Uma força é dita conservativa quando o seu trabalho é independente da trajetória. Em sentido mais geral, uma força é conservativa se, e somente se, pode ser expressa como o gradiente de uma função escalar, chamada de energia potencial. As forças conservativas mais familiares são a gravitacional, a elétrica e a elástica. Considerando ⃗ =−uv ͦ⃗ -v (4.1) onde  F = força gravitacional entre dois objetos;

 = massa do primeiro objeto;

 = massa do segundo objeto;  r = distância entre os centros de massa dos objetos;  G = constante universal da gravitação.

Ao invés de calcularmos a força gravitacional, que é uma função vetorial, em infinitos pontos do asteroide, vamos calcular o potencial, que é uma função escalar. Logo se fizermos o gradiente dessa função escalar acharemos a função vetorial, no caso, a força. Uma das maneiras de se modelar o campo gravitacional de um asteroide é a expansão em harmônicos esféricos. Deste modo, o potencial de um corpo é calculado de uma forma genérica (Scheeres et al. 2000):

͏  ∑∑Ϧ ʠĘʡ [ cos  + sin ]͊ (sin ), = - Ͱ Ͱ - (4.2) onde: ͏ – é o potencial do centro de massa; ́− é a constante gravitacional universal; ͇− é a massa do asteroide; ͦ – é a distância do centro de massa a um sistema de coordenadas;

͕ – é o raio normalizado, geralmente tomado como sendo o raio da esfera que envolve o asteroide;  – é a longitude; – é a latitude;

͊– são os polinômios associados de Legendre; 49

e – são os coeficientes dos harmônicos esféricos.

Quando =0 resulta nos polinômios de Legendre, dados pela formula de Rodrigues (Kuga, Rao e Carrara, 2000):

ġ ͊ () = ( −1) ġ! 3ġ (4.3)

Quando ≠0 resulta nas funções associadas de Legendre, de ordem ͢ e grau , dados por (Kuga, Rao e Carrara, 2000): ġ~Ġ ͊ () = (1− )/ ( −1) ġ! 3ġ~Ġ (4.4)

A seguir temos as expressões dos primeiros polinômios e funções associadas de Legendre:

͊() = 1

͊() = ͊ () = − ͊ () = ͩ −

͊() =− ǭ1−

͊() =− 3ǭ1− 3 ͊ () =− ǭ1− (5 −1) 2 ͊() =3(1− ) ͊() = 15(1− ) / ͊() =−15(1− )

Com o auxílio de algoritmos em linguagem de programação C e Fortran foram realizadas simulações numéricas para computar o potencial gravitacional dos cinco asteroides escolhidos. Inicialmente definimos valores para o extremo inicial e final de cada coordenada , e , gerando assim uma grade 3D ao redor do asteroide, ou seja, é como se imaginássemos cada objeto dentro de uma caixa cúbica, e dessa forma calcularíamos todos os potenciais dentro dessa caixa. Como seria um cálculo demorado, subdividimos esse cubo em cubos bem menores, e tivemos assim uma grade de dados, que todas juntas dariam o potencial em milhões de pontos 50

dentro e ao redor de cada asteroide. As tabelas 4.1 a 4.5 expressam os resultados encontrados somente em alguns pontos, as distâncias ͒, ͓ e ͔ são dadas em e o potencial ͐ é dado em ͧͯ.

Tabela 4.1 – Potencial Gravitacional do asteroide 4179 Toutatis em alguns pontos. ASTEROIDE 4179 TOUTATIS X Y Z V -8,0000 -8,0000 -8,0000 -9,271E-08 -8,0000 -8,0000 -7,9600 -9,286E-08 -8,0000 -8,0000 -7,9200 -9,302E-08 ...... -8,0000 -8,0000 -7,6400 -9,410E-08 -8,0000 -8,0000 -7,6000 -9,426E-08 -8,0000 -8,0000 -7,5600 -9,441E-08 -8,0000 -8,0000 -7,5200 -9,457E-08 ...... -7,8000 6,6400 1,8800 -1,237E-07 -7,8000 6,6400 1,9200 -1,236E-07 -7,8000 6,6400 1,9600 -1,235E-07 -7,8000 6,6400 2,0000 -1,234E-07 ...... -6,6800 -0,9200 -4,8000 -1,560E-07 -6,6800 -0,9200 -4,7600 -1,565E-07 -6,6800 -0,9200 -4,7200 -1,569E-07 ......

Para Toutatis escolhemos a seguinte grade: de −8 a 8 tanto para as coordenadas , e , e o potencial foi calculado de 40 em 40 .

Tabela 4.2 – Potencial Gravitacional do asteroide 1620 Geographos em alguns pontos. ASTEROIDE 1620 GEOGRAPHOS X Y Z V -5,0000 -5,0000 -5,0000 1,768E-07 -5,0000 -5,0000 -4,9750 1,771E-07 -5,0000 -5,0000 -4,9500 1,774E-07 -5,0000 -5,0000 -4,9250 1,777E-07 -5,0000 -5,0000 -4,9000 1,780E-07 -5,0000 -5,0000 -4,8750 1,783E-07 -5,0000 -5,0000 -4,8500 1,786E-07 -5,0000 -5,0000 -4,8250 1,789E-07 ...... -4,7500 -2,2750 -4,9000 2,133E-07 -4,7500 -2,2750 -4,8750 2,138E-07 -4,7500 -2,2750 -4,8500 2,144E-07 51

...... -4,4750 -2,9250 3,9000 2,323E-07 -4,4750 -2,9250 3,9250 2,318E-07 -4,4750 -2,9250 3,9500 2,313E-07 ......

Para Geographos escolhemos a seguinte grade: de −5 a 5 tanto para as coordenadas , e , e o potencial foi calculado de 25 em 25 .

Tabela 4.3 – Potencial Gravitacional do asteroide 6489 Golevka em alguns pontos. ASTEROIDE 6489 GOLEVKA X Y Z V -2,0000 -2,0000 -2,0000 4,055E-09 -2,0000 -2,0000 -1,9900 4,061E-09 -2,0000 -2,0000 -1,9800 4,068E-09 -2,0000 -2,0000 -1,9700 4,075E-09 -2,0000 -2,0000 -1,9600 4,082E-09 -2,0000 -2,0000 -1,9500 4,088E-09 -2,0000 -2,0000 -1,9400 4,095E-09 -2,0000 -2,0000 -1,9300 4,102E-09 -2,0000 -2,0000 -1,9200 4,109E-09 ...... -1,9500 -0,5100 0,0600 6,980E-09 -1,9500 -0,5100 0,0700 6,978E-09 -1,9500 -0,5100 0,0800 6,977E-09 ...... -1,8700 -1,0300 0,0700 6,584E-09 -1,8700 -1,0300 0,0800 6,583E-09 ......

Para Golevka escolhemos a seguinte grade: de −2 a 2 tanto para as coordenadas , e , e o potencial foi calculado de 10 em 10 .

Tabela 4.4 – Potencial Gravitacional do asteroide 2063 Bacchus em alguns pontos. ASTEROIDE 2063 BACCHUS X Y Z V -2,0000 -2,0000 -2,0000 -8,613E-09 -2,0000 -2,0000 -1,9900 -8,627E-09 -2,0000 -2,0000 -1,9800 -8,642E-09 ...... -2,0000 -2,0000 -1,8900 -8,771E-09 -2,0000 -2,0000 -1,8800 -8,786E-09 52

...... -1,9300 -0,9300 -0,8100 -1,310E-08 -1,9300 -0,9300 -0,8000 -1,312E-08 -1,9300 -0,9300 -0,7900 -1,314E-08 ...... -1,8400 -0,3300 -1,1600 -1,364E-08 -1,8400 -0,3300 -1,1500 -1,368E-08 -1,8400 -0,3300 -1,1400 -1,371E-08 ...... -1,6600 -0,2700 -1,3000 -1,410E-08 -1,6600 -0,2700 -1,2900 -1,414E-08 -1,6600 -0,2700 -1,2800 -1,419E-08 ......

Para Bacchus escolhemos a seguinte grade: de −2 a 2 tanto para as coordenadas , e , e o potencial foi calculado de 10 em 10 .

Tabela 4.5 – Potencial Gravitacional do asteroide 1998 ML14 em alguns pontos. ASTEROIDE 1998 ML14 X Y Z V -2,0000 -2,0000 -2,0000 2,463E-08 -2,0000 -2,0000 -1,9900 2,467E-08 -2,0000 -2,0000 -1,9800 2,471E-08 -2,0000 -2,0000 -1,9700 2,475E-08 -2,0000 -2,0000 -1,9600 2,479E-08 -2,0000 -2,0000 -1,9500 2,483E-08 -2,0000 -2,0000 -1,9400 2,487E-08 -2,0000 -2,0000 -1,9300 2,491E-08 ...... -1,9500 0,7900 1,3500 3,414E-08 -1,9500 0,7900 1,3600 3,407E-08 -1,9500 0,7900 1,3700 3,399E-08 ...... -1,8700 0,1400 1,3000 3,741E-08 -1,8700 0,1400 1,3100 3,731E-08 -1,8700 0,1400 1,3200 3,722E-08 ......

Para ML14 escolhemos a seguinte grade: de −2 a 2 tanto para as coordenadas , e , e o potencial foi calculado de 10 em 10 .

53

Para analisarmos se os resultados encontrados nas tabelas estão condizentes com a realidade, sendo o campo gravitacional um campo conservativo, é possível definir o seu potencial, através de uma expressão simples, como sendo: ͏ = −  - (4.5) onde: ͏ – é o potencial, considerando um corpo pontual de massa; ́− é a constante gravitacional universal; ͇− é a massa do asteroide; ͦ – é a distância entre dois pontos com coordenadas (, , ) próximos ao corpo. Os resultados apresentados na tabela 4.6 foram calculados manualmente utilizando a equação 4.5. O potencial, em módulo, é dado em ͧͯ e o valor da constante gravitacional universal é ́ = 6,67384 x 10ͯ / ͧ.

Tabela 4.6 – Potencial Gravitacional dos asteroides.

Objeto Massa (kg) Diâmetro (km) r (km) Potencial 4179 Toutatis 2,27E+13 5,4 7,8 1,942E-07 1620 Geographos 2,6E+13 2,7 5 3,470E-07 6489 Golevka 2,10E+11 0,53 2 7,007E-09 2063 Bacchus 1,64E+12 0,96 1,93 5,671E-08 1998 ML14 1,09E+12 1 2 3,637E-08

Observando os resultados da tabela 4.6 e comparando com os resultados das tabelas 4.1 a 4.5, onde o potencial foi computado através de simulação numérica, podemos observar que os valores encontrados nas simulações estão adequados. Chanut et al. (2014) realizou um estudo do potencial gravitacional do asteroide 433 Eros, cuja massa é por volta de 6,69x10ͩ e se trata de um corpo bem grande, e encontrou resultados na casa de 10ͯͩ. Analisando as tabelas, podemos observar que dos objetos que esse trabalho aborda, Toutatis e Geographos seriam os maiores, mas não tão grandes como Eros, e foi computado um potencial na casa de 10ͯͫ. Enquanto que Golevka, um corpo cuja massa é de 2,10x10 e diâmetro de cerca de 530 , muitíssimo menor que Eros, encontramos um potencial na casa de 10ͯͭ . Portanto, quanto maior o objeto maior o seu potencial, e os 54

resultados que expressamos nas tabelas estão condizentes, se confrontarmos com os resultados da pesquisa de Chanut et al. (2014).

55

CAPÍTULO V: COEFICIENTES GRAVITACIONAIS

De acordo com a equação (4.2) do capítulo anterior, os coeficientes e devem expressar o mais fielmente possível a forma irregular da distribuição de massa de um corpo, para que o modelo do potencial seja representado adequadamente (Werner, 1997).

O potencial gravitacional apresenta uma redução nos valores do coeficientes e à medida que a ordem e o grau dos polinômios e funções associadas de Legendre aumenta. Isso provoca erro de arredondamento quando calculados no computador, devido ao número de dígitos significativos ser limitado. Para minimizar esses efeitos, costuma-se utilizar os coeficientes na forma completamente normalizada. A relação de normalização é a seguinte (Kuga, Rao e Carrara, 2000):

/ ŬŬŬŬŬ (ͮ)! = ʢ + ʣ (5.1) (ͮ)ɛĠ (ͯ)!

/ ŬŬŬŬŬ (ͮ)! = ʢ + ʣ (5.2) (ͮ)ɛĠ (ͯ)! sendo:

ɛ = 1 se = 0, ou ɛ = 2 se ≥ 1.

É comum separar os coeficientes com índice igual a zero e definir:

̈́ = − (5.3) que são chamados coeficientes zonais. Esses harmônicos dividem a esfera em zonas (fig. 5.1).

Os coeficientes com índice igual a zero são nulos.

= 0 (5.4)

Aos coeficientes e restantes ( ≥ 1) dá-se o nome de coeficientes setoriais quando =͢ e coeficientes tesserais quando ≠͢. Os harmônicos setoriais dividem a esfera em setores positivos e negativos (fig. 5.2), e os harmônicos tesserais (fig. 5.3) dividem a esfera em compartimentos, alternadamente positivo e negativo, parecido com um tabuleiro de xadrez. Se fixarmos a expansão do campo gravitacional em torno do centro de massa, teremos

= =0 e se os eixos estão exatamente orientados ao longo dos eixos principais de inércia, teremos = = =0 (Scheeres et al., 2000). Pode-se dizer que os coeficientes 56

( ̈́) e são os mais importantes e representam o achatamento e a elipsidade do corpo, respectivamente.

Figura 5.1: Representação de harmônicos zonais.

Fonte: Kuga, Rao e Carrara, 2000.

Figura 5.2: Representação de harmônicos setoriais.

Fonte: Kuga, Rao e Carrara, 2000.

Figura 5.3: Representação de harmônicos tesserais.

Fonte: Kuga, Rao e Carrara, 2000. 57

Existem alguns problemas na utilização dos harmônicos esféricos para o campo gravitacional de um asteroide, como por exemplo, que a expansão em harmônicos é sempre uma aproximação do gravitacional devido ao truncamento finito da expansão em séries As tabelas 5.1 a 5.5 expressam os resultados encontrados dos coeficientes gravitacionais harmônicos normalizados, calculados até a 5ª ordem, com a origem no centro de massa e os eixos ao longo dos eixos de inércia.

Tabela 5.1 – Coeficientes gravitacionais e do asteroide 4179 Toutatis. ASTEROIDE 4179 TOUTATIS n,m Cn,m Sn,m 0,0 1,0000000000E+00 1,0 2,1468659742E-13 1,1 -6,8700861650E-13 -4,9181697956E-14 2,0 -2,9318429721E-01 2,1 -1,3527507327E-13 -2,4966687767E-14 2,2 1,2468539873E-01 4,6198340131E-14 3,0 2,1040724251E-02 3,1 -7,1280808900E-02 6,6421798580E-03 3,2 -4,5269286799E-03 2,6525491283E-04 3,3 1,0621649906E-02 -2,3988578438E-03 4,0 2,9842822571E-01 4,1 -3,2723175964E-04 -2,1335698939E-03 4,2 -3,2432675079E-02 1,7335662828E-03 4,3 2,9608109483E-04 4,1529085462E-04 4,4 3,8703393515E-03 -5,8819602568E-04 5,0 -6,1382601107E-02 5,1 9,5979956187E-02 -6,3895807036E-03 5,2 3,9904128704E-03 -6,8753150584E-04 5,3 -3,7632216110E-03 7,6316695848E-04 5,4 -1,4430657770E-04 5,3951228192E-05 5,5 3,4849600568E-04 -1,1383766732E-04

Tabela 5.2 – Coeficientes gravitacionais e do asteroide 1620 Geographos. ASTEROIDE 1620 GEOGRAPHOS n,m Cn,m Sn,m 0,0 -1,0000000000E+00 1,0 -1,1287633561E-13 1,1 -1,5020347416E-12 -3,3187352606E-13 2,0 3,1119107729E-01 58

2,1 -1,9142777065E-13 1,7731162608E-14 2,2 -1,3867687056E-01 5,6488582783E-14 3,0 5,9258388007E-02 3,1 2,6118728703E-02 -6,5003658944E-03 3,2 -1,0411477320E-02 3,8171902204E-04 3,3 -4,5620603079E-03 2,6415344828E-03 4,0 -2,8643534113E-01 4,1 1,9838979295E-02 -1,0334438212E-04 4,2 3,1366239407E-02 4,2866923533E-06 4,3 -9,8186008472E-04 1,0194874779E-04 4,4 -3,8902853118E-03 9,0208373124E-05 5,0 -1,6341434716E-01 5,1 -3,3316327021E-02 4,2461723269E-03 5,2 1,0871020489E-02 -3,9764954800E-04 5,3 1,3914549332E-03 -4,3435720557E-04 5,4 -4,4172635892E-04 4,2344111460E-06 5,5 -1,4985498104E-04 5,9307067860E-05

Tabela 5.3 – Coeficientes gravitacionais e do asteroide 6489 Golevka. ASTEROIDE 6489 GOLEVKA n,m Cn,m Sn,m 0,0 -1,0000000000E+00 1,0 -7,3032603728E-14 1,1 -2,1044399913E-13 -4,1944530802E-13 2,0 7,1196325232E-02 2,1 1,5738614584E-13 -4,5615912442E-13 2,2 -3,3155612993E-02 2,1156813086E-13 3,0 -2,0852254086E-02 3,1 1,3054825981E-02 -2,9436744352E-02 3,2 1,4755381315E-03 1,0013041040E-03 3,3 -1,4720019629E-03 -1,2623644677E-03 4,0 1,6370597129E-02 4,1 -1,7838901224E-03 -1,1678306695E-02 4,2 2,4718047096E-03 2,7180758746E-03 4,3 1,0014726886E-04 8,2815225854E-04 4,4 -2,1759126490E-04 -1,2745282046E-04 5,0 1,1862004658E-02 5,1 -6,3443091043E-03 5,6542144428E-03 5,2 -9,0663409643E-04 -8,3125327101E-04 5,3 2,3341671956E-04 -3,9798901190E-04 5,4 2,8445615229E-05 5,7412876318E-05 5,5 -2,2318428472E-05 -2,9879146062E-05

59

Tabela 5.4 – Coeficientes gravitacionais e do asteroide 2063 Bacchus. ASTEROIDE 2063 BACCHUS n,m Cn,m Sn,m 0,0 1,0000000000E+00 1,0 7,0525387051E-13 1,1 2,4361353321E-13 1,9144114191E-13 2,0 -2,6537144845E-01 2,1 5,3725265864E-13 4,3978031937E-14 2,2 1,2908768031E-01 -1,8176758520E-13 3,0 7,0077648315E-03 3,1 -2,6785074176E-02 -3,6996546368E-03 3,2 -2,6902537523E-03 1,8761391580E-03 3,3 3,5902900757E-03 1,6698825354E-03 4,0 1,8046319215E-01 4,1 -3,4809694644E-03 -1,5214197308E-04 4,2 -1,9720948602E-02 -1,2968869631E-03 4,3 1,6356296138E-04 1,4628609224E-04 4,4 2,5000633356E-03 3,1817447268E-04 5,0 -6,0727750880E-04 5,1 2,5564199852E-02 2,6103352118E-03 5,2 6,6168127084E-04 -6,6138140837E-04 5,3 -1,0140076450E-03 -2,8915010384E-04 5,4 -8,8409363374E-05 3,0906232322E-05 5,5 6,9215407133E-05 3,9648567274E-05

Tabela 5.5 – Coeficientes gravitacionais e do asteroide 1998 ML14. ASTEROIDE 1998 ML14 n,m Cn,m Sn,m 0,0 -1,0000000000E+00 1,0 9,3254397260E-14 1,1 -1,3212517755E-14 1,1631991757E-13 2,0 1,5420927475E-02 2,1 3,3476491199E-15 5,9294932915E-13 2,2 -6,0332440943E-03 1,6140479083E-14 3,0 -1,2755762066E-02 3,1 5,8043670978E-04 3,1402620872E-03 3,2 1,0602926150E-03 -1,2648693763E-04 3,3 1,3096748567E-04 -9,4805210800E-04 4,0 2,3751615226E-03 4,1 -8,5061733634E-04 -1,6424107799E-03 4,2 7,1228219176E-04 3,4025197311E-04 4,3 2,0502836095E-05 -4,4731160047E-05 60

4,4 1,2445132343E-04 -4,0791277251E-05 5,0 6,4387110202E-03 5,1 -5,7264686536E-04 -2,5243338766E-03 5,2 2,2414299259E-04 1,3983830293E-04 5,3 1,7642812596E-05 3,0888356897E-05 5,4 -1,4961687357E-05 1,8228603829E-05 5,5 5,8883134534E-06 3,1858688483E-06

Se analisarmos os resultados encontrados nas tabelas 5.1 a 5.5 podemos notar que fixamos a expansão do campo gravitacional em torno do centro de massa e obtivemos os valores de e bem pequenos, próximos a zero. E também os eixos estão exatamente orientados ao longo dos eixos principais de inércia, conforme consta nos valores dos coeficientes , e

bem próximos de zero.

Observa-se também que os coeficientes com índice igual a zero são nulos.

61

CAPÍTULO VI: CURVAS DE EQUIPOTENCIAL

Para os asteroides escolhidos foram feitas simulações numéricas primeiramente para procurar pelos pontos (, ) para projeção das curvas no plano , (, ) para projeção das curvas no plano e (, ) para projeção das curvas no plano , que tivessem o mesmo valor do potencial. A seguir utilizou-se algoritmos em linguagem de programação C e o software Gnuplot para gerar os gráficos das projeções da forma poliédrica de cada asteroide junto com suas curvas de equipotencial, que estão expressas nas figuras 6.1 a 6.5. Na animação com essas figuras (Apêndice B) consta todas as projeções e também é possível observar que conforme muda a escala de cores nas curvas ocorre a mudança no valor do potencial, representado nas figuras pela letra P, dado em ͧͯ.

Figura 6.1: Curvas de equipotencial do asteroide 4179 Toutatis no plano .

͊ = −2,497 10ͯͫ

Fonte: Autora.

62

Figura 6.2: Curvas de equipotencial do asteroide 1620 Geographos no plano .

͊ = −2,882 10ͯͫ

Fonte: Autora.

Figura 6.3: Curvas de equipotencial do asteroide 6489 Golevka no plano .

ͯͭ ͊ = −8,598 10 Fonte: Autora.

63

Figura 6.4: Curvas de equipotencial do asteroide 2063 Bacchus no plano .

͊ = −1,656 10ͯ

Fonte: Autora.

Figura 6.5: Curvas de equipotencial do asteroide 1998 ML14 no plano .

͊ = −4,153 10ͯ

Fonte: Autora. 64

CAPÍTULO VII: SUPERFÍCIES DE EQUIPOTENCIAL

Para os asteroides escolhidos foram feitas simulações numéricas primeiramente para procurar pelos pontos (, , ) que tivessem o mesmo valor do potencial. A seguir utilizou-se algoritmos em linguagem de programação C e o software Gnuplot para gerar os gráficos da forma poliédrica de cada asteroide junto com as superfícies de equipotencial, que estão expressas nas figuras 7.1 a 7.5. Na animação feita com essas figuras (Apêndice B), é possível observar que conforme muda a escala de cores ocorre a mudança no valor do potencial nas superfícies, representado na figura pela letra P.

Figura 7.1: Superfícies de equipotencial do asteroide 4179 Toutatis juntamente com as curvas nos planos , e .

͊ = −2,998 10ͯͫ

Fonte: Autora.

65

Figura 7.2: Superfícies de equipotencial do asteroide 1620 Geographos juntamente com as curvas nos planos , e .

͊ = −4,679 10ͯͫ

Fonte: Autora.

Figura 7.3: Superfícies de equipotencial do asteroide 6489 Golevka juntamente com as curvas nos planos , e .

͊ = −1,876 10ͯ

Fonte: Autora. 66

Figura 7.4: Superfícies de equipotencial do asteroide 2063 Bacchus juntamente com as curvas nos planos , e .

͊ = −3,903 10ͯ Fonte: Autora.

Figura 7.5: Superfícies de equipotencial do asteroide 1998 ML14 juntamente com as curvas nos planos , e .

͊ = −9,446 10ͯ Fonte: Autora. 67

CAPÍTULO VIII: CURVAS DE VELOCIDADE ZERO

Considere o movimento de uma partícula m, de massa desprezível, orbitando ao redor de um corpo principal e perturbado por um corpo de massa . O corpo de massa está em órbita circular ao redor do corpo principal e a partícula não perturba o movimento dos dois corpos primários. Vamos considerar um sistema de referência inercial de coordenadas , e , conforme figura 8.1, centrado no centro de massa do sistema. O eixo está ao longo da linha que une as massas e em t = 0 com o eixo perpendicular a , e o eixo está perpendicular ao plano -. Como está em orbita circular ao redor de será assumido que a distância de separação entre eles (que é constante) é a = 1 e que a unidade de massa é μ = G ( + ) =

1. Da terceira Lei de Kepler temos que n = 1. Sendo > , será definido

̅ = v (8.1) uͮ v

Logo no sistema de coordenadas adotado as unidades de massa são  = G =1−

ŭ e  = G =ŭ e consequentemente  +  = 1.

Figura 8.1: Sistema de referencia (, ,) projetado no plano (, ).

Fonte: Murray and Dermott, 1999. 68

Aplicando a segunda Lei de Newton e a Lei da Gravitação Universal podemos escrever as equações do movimento:

̈ ώuͯ ώ ώv ͯ ώ ξ =  w + w (8.2) -u -v

Vuͯ V Vvͯ V η̈ =  w + w (8.3) -u -v ̈ Uuͯ U Uvͯ U =  w + w (8.4) -u -v onde ͦ = (ξ − ξ) + (η − ) + (ζ − ζ) (8.5)

ͦ = (ξ − ξ) + (η − ) + (ζ − ζ) , (8.6) sendo (ξ,η,ζ) e (ξ,η,ζ) as coordenadas de ͙ , respectivamente. Como os dois corpos massivos estão se movendo em órbitas circulares ao redor do centro de massa, a distância entre elas é constante e essas massas movem com velocidade angular também constante. Logo vamos considerar o movimento da partícula em um sistema de referência girante, onde as massas principais estão fixas. Considere um sistema de coordenadas girantes (x, y, z) com origem no centro de massa.

No novo sistema as coordenadas de e são ( ,,) = (− ,0,0) e ( ,,) =

(,0,0), respectivamente, então ͦ = (+μ) + () + () (8.7)

ͦ = (−μ) + () + () (8.8)

Através do uso da matriz de rotação podemos relacionar as coordenadas (x, y, z) com as coordenadas (, , ), como segue

ξ cos(ͨ͢) −sin(ͨ͢) 0 ʬ ʭ = Ƶsin(ͨ͢) cos(ͨ͢) 0ƹ ʦ ʧ (8.9) 001

Derivando duas vezes a equação 8.9 temos

69

ξ̇ cos(ͨ͢) −sin(ͨ͢) 0 ̇ −͢ ʬ ̇ ʭ = Ƶsin(ͨ͢) cos(ͨ͢) 0ƹ Ƶ ̇ +͢ ƹ (8.10) ̇ 001̇ e

ξ̈ cos(ͨ͢) −sin(ͨ͢) 0 ̈ −2̇͢ − ͢ ʬ ̈ ʭ = Ƶsin(ͨ͢) cos(ͨ͢) 0ƹ ʬ ̈ +2̇͢ − ͢ ʭ (8.11) ̈ 001 ̈

Comparando esta última com as equações do movimento iniciais (8.2 a 8.4), não se esquecendo que = −  , =  e = = = = 0, e realizando algumas manipulações algébricas nessas equações obtém-se

+  −  2 1 ̈ −2̇͢ − ͢ = −Ƭ1 3 +2 3 ư (8.12) ͦ1 ͦ2   1 2 ̈ +2̇͢ − ͢ = −Ƭ 3 + 3 ư y (8.13) ͦ1 ͦ2 1 2 ̈ = −Ƭ 3 + 3 ư z (8.14) ͦ1 ͦ2

Definindo U = U (, , ) por

v [ [ U = ( + ) + u + v , (8.15) -u -v

Podemos escrever as equações 8.12, 8.13 e 8.14 como sendo o gradiente de uma função escalar ̈ −2̇͢ = i i3 (8.16) ̈ +2̇͢ = i i4 (8.17) ̈ = i i5 (8.18)

Multiplicando as equações 8.16, 8.17 e 8.18 por ̇, ̇ e ̇, respectivamente, e somando os resultados obtemos ̇ ̈ ̇ ̈ ̇ ̈ i ̇ i ̇ i ̇  + + = i3 + i4 + i5 = / (8.19)

Integrando 8.19 temos

̇ + ̇ + ̇ = 2U − % (8.20)

Desde que ̇ + ̇ + ̇ = ͪ então, 70

ͪ = 2U − % (8.21) e substituindo 8.15 em 8.21 ainda temos

[u [v % = ͢ ( + ) + 2 ʠ + ʡ − ̇ − ̇ − ̇ (8.22) -u -v onde % é uma constante de integração, conhecida como Integral de Jacobi. Embora o problema restrito de três corpos não possa ser resolvido analiticamente, através da Integral de Jacobi pode-se determinar regiões onde o movimento da partícula é proibido considerando o caso onde ͪ = 0 na equação 8.21. Assim definimos um conjunto de curvas para um dado valor de %. Essas curvas são denominadas curvas de velocidade zero e delimitam regiões onde a partícula não poderá ir. As curvas de velocidade zero apresentadas neste trabalho podem ser interpretadas quase que do mesmo modo como se interpreta para o problema restrito de três corpos, e são definidas usando a Integral de Jacobi e separa as regiões proibidas das regiões admissíveis para a partícula

(Scheeres et al. 1996). Assim, se %< 2͏, não há nenhum impedimento a priori onde a partícula pode encontrar-se, e se % > 2͏, haverá regiões do espaço onde nenhuma partícula poderá ir. Quando estas regiões proibidas separam o espaço em regiões diferentes uma partícula nunca poderá movimentar-se entre elas. Para os asteroides escolhidos foram feitas simulações numéricas primeiramente para procurar pelos pontos (, ) para projeção das curvas no plano , (, ) para projeção das curvas no plano e (, ) para projeção das curvas no plano , que tivessem o mesmo valor da constante de Jacobi (% ). Posteriormente foram utilizados algoritmos em linguagem de programação C e o software Gnuplot para gerar os gráficos das projeções da forma poliédrica de cada asteroide junto com suas curvas de velocidade zero, que estão expressas nas figuras 8.2 a 8.6. Na animação feita com essas figuras (Apêndice B), é possível observar que conforme muda a escala de cores nas curvas ocorre a mudança no valor da constante de Jacobi, representada nas figuras pela letra J, dada em ͧͯ.

71

8.1 Asteroide 4179 Toutatis

Figura 8.2: Curvas de velocidade zero do asteroide 4179 Toutatis nos planos , e , respectivamente.

̈́ = −1,877 10ͯͫ

̈́ = −1,847 10ͯͫ 72

̈́ = −1,838 10ͯͫ Fonte: Autora.

8.2 Asteroide 1620 Geographos

Figura 8.3: Curvas de velocidade zero do asteroide 1620 Geographos nos planos , e , respectivamente.

73

̈́ = 1,421 10ͯͪ

̈́ = 1,491 10ͯͪ

̈́ = 1,489 10ͯͪ Fonte: Autora. 74

8.3 Asteroide 6489 Golevka

Figura 8.4: Curvas de velocidade zero do asteroide 6489 Golevka nos planos , e , respectivamente.

̈́ = 5,718 10ͯ

̈́ = 6,557 10ͯ 75

̈́ = 6,557 10ͯ Fonte: Autora.

8.4 Asteroide 2063 Bacchus

Figura 8.5: Curvas de velocidade zero do asteroide 2063 Bacchus nos planos , e , respectivamente.

̈́ = −3,899 10ͯ 76

̈́ = −2,059 10ͯ

̈́ = −2,058 10ͯ

Fonte: Autora. 77

8.5 Asteroide 1998 ML14

Figura 8.6: Curvas de velocidade zero do asteroide 1998 ML14 nos planos , e , respectivamente.

̈́ = 2,433 10ͯͫ

̈́ = 2,447 10ͯͫ 78

̈́ = 2,447 10ͯͫ

Fonte: Autora.

79

CAPÍTULO IX: SUPERFÍCIE DE VELOCIDADE ZERO

Definimos superfícies de velocidade zero como sendo a união de todas as curvas de velocidade zero. Para os asteroides escolhidos foram feitas simulações numéricas primeiramente para procurar pelos pontos (, , ) que tivessem o mesmo valor da constante de Jacobi (%). A seguir utilizou-se algoritmos em linguagem de programação C e o software Gnuplot para gerar os gráficos da forma poliédrica de cada asteroide junto com as superfícies de velocidade zero, que estão expressas nas figuras 9.1 a 9.15. Na animação feita com essas figuras (Apêndice B), é possível observar que conforme muda a escala de cores ocorre a mudança no valor da constante de Jacobi nas superfícies, representado na figura pela letra J, dada em ͧͯ.

9.1 Asteroide 4179 Toutatis

Figura 9.1: Superfícies de velocidade zero do asteroide 4179 Toutatis.

(a) ̈́ = −5,114 10ͯͫ

80

(b) ̈́ = −1,677 10ͯͫ Fonte: Autora.

Figura 9.2: Superfícies de velocidade zero do asteroide 4179 Toutatis nos planos , e .

(c) ̈́ = −2,364 10ͯͫ

Fonte: Autora. 81

Figura 9.3: Superfícies de velocidade zero do asteroide 4179 Toutatis juntamente com as curvas nos planos , e .

(d) ̈́ = −3,739 10ͯͫ

Fonte: Autora.

9.2 Asteroide 1620 Geographos

Figura 9.4: Superfícies de velocidade zero do asteroide 1620 Geographos.

(e) ̈́ = −9,161 10ͯͫ 82

(f) ̈́ = 7,827 10ͯͫ Fonte: Autora.

Figura 9.5: Superfícies de velocidade zero do asteroide 1620 Geographos nos planos , e .

(g) ̈́ = 1,456 10ͯͫ Fonte: Autora. 83

Figura 9.6: Superfícies de velocidade zero do asteroide 1620 Geographos juntamente com as curvas nos planos , e .

(h) ̈́ = 1,208 10ͯͪ

Fonte: Autora.

9.3 Asteroide 6489 Golevka

Figura 9.7: Superfícies de velocidade zero do asteroide 6489 Golevka.

(i) ̈́ = −1,474 10ͯͫ

84

(j) ̈́ = 1,623 10ͯ

Fonte: Autora.

Figura 9.8: Superfícies de velocidade zero do asteroide 6489 Golevka nos planos , e .

(k) ̈́ = −4,513 10ͯ Fonte: Autora.

85

Figura 9.9: Superfícies de velocidade zero do asteroide 6489 Golevka juntamente com as curvas nos planos , e .

(l) ̈́ = 3,669 10ͯ

Fonte: Autora.

9.4 Asteroide 2063 Bacchus

Figura 9.10: Superfícies de velocidade zero do asteroide 2063 Bacchus.

(m) ̈́ = −4,946 10ͯ 86

(n) ̈́ = −2,636 10ͯ Fonte: Autora.

Figura 9.11: Superfícies de velocidade zero do asteroide 2063 Bacchus nos planos , e .

(o) ̈́ = −3,214 10ͯ Fonte: Autora.

87

Figura 9.12: Superfícies de velocidade zero do asteroide 2063 Bacchus juntamente com as curvas nos planos , e .

(p) ̈́ = −2,636 10ͯ

Fonte: Autora.

9.5 Asteroide 1998 ML14

Figura 9.13: Superfícies de velocidade zero do asteroide 1998 ML14.

(q) ̈́ = 2,775 10ͯ 88

(r) ̈́ = 1,283 10ͯͫ

Fonte: Autora.

Figura 9.14: Superfícies de velocidade zero do asteroide 1998 ML14 nos planos , e .

(s) ̈́ = 2,775 10ͯ

Fonte: Autora. 89

Figura 9.15: Superfícies de velocidade zero do asteroide 1998 ML14 juntamente com as curvas nos planos , e .

(t) ̈́ = 1,570 10ͯͫ

Fonte: Autora.

90

CAPÍTULO X: PONTOS DE EQUILÍBRIO

Embora o problema circular restrito de três corpos não seja integrável, nós podemos determinar soluções especiais, tais como encontrar pontos onde a partícula tem velocidade e aceleração iguais a zero. Esses pontos são os pontos de equilíbrio do sistema, que se denotam como ̿, ̿, ̿ e ̿ͨ.

Wang e Jiang (2014) fizeram uma análise dos pontos de equilíbrio ao redor do campo gravitacional de alguns corpos com forma irregular, como por exemplo asteroides, cometas, e satélites irregulares de planetas. O resultado obtido foi a demonstração de que há pelo menos um ponto de equilíbrio no campo potencial de um corpo celestial pequeno e o número de pontos de equilíbrio pode variar, podendo ser somente um, como nove. E também para alguns corpos de forma irregular, há mais de quatro pontos de equilíbrio do lado de fora deles, enquanto para outros não há pontos de equilíbrio externos. Por exemplo, há sete pontos de equilíbrio no campo potencial do asteroide 216 Kleopatra, quatro deles são do lado de fora do corpo, enquanto os outros três estão no interior dele; há só um ponto de equilíbrio no campo potencial do asteroide 1998 KY26, que é dentro do corpo; há nove pontos de equilíbrio no campo potencial do asteroide 101955 Bennu, oito deles são do lado de fora do corpo enquanto só um é dentro dele. Ressaltaram que o asteroide 1998 KY26 tem somente um ponto de equilíbrio que se localiza no centro do corpo, como consequência do seu período de rotação ser muitíssimo curto, cerca de 10. 7015 minutos (Ostro et al. 1999). Contudo, no caso de corpos menores com forma irregular, como asteroides ou cometas, os pontos de equilíbrio interiores podem ser realmente significativos, já que a maioria destes corpos menores ainda não foram explorados e as suas propriedades, como composição e densidade, são baseadas em medições. Os pontos de equilíbrio dentro do corpo podem ajudar muitos pesquisadores a estudar a forma e a evolução destes objetos. E a sua estabilidade pode fornecer informação sobre a sua estrutura interna. Vamos considerar o movimento de uma partícula sem massa em volta de um corpo menor. O potencial da partícula pode exprimir-se como (Scheeres et al. 1996):

͐ ͦ⃗ = − (ͫʌʌ⃗ x ͦ⃗)(ͫʌʌ⃗ x ͦ⃗) +͏(ͦ⃗) ( ) , (10.1) onde ͦ⃗ é o vetor fixado do centro da massa do corpo à partícula, ͫʌʌ⃗ é o vetor velocidade angular do corpo e ͏(ͦ) é o potencial gravitacional. A origem está no baricentro do corpo menor. 91

Os pontos de equilíbrio satisfazem a seguinte condição (Jiang et al. 2014):

Ϛ(3,4,5) = Ϛ(3,4,5) = Ϛ(3,4,5) i3 i4 i5 = 0 (10.2) onde (, , ) são as componentes de ͦ no sistema coordenado fixado no corpo. A localização dos pontos de equilíbrio é obtida resolvendo a equação acima. Dos cinco asteroides desse trabalho, quatro deles constam na pesquisa de Wang e Jiang (2014) sobre analise de pontos de equilíbrio, onde foi constatado que:  1620 Geographos: 5 pontos de equilíbrio, sendo 4 exteriores e 1 interior, conforme pontos em vermelho na figura 10.1;  6489 Golevka: 5 pontos de equilíbrio, sendo 4 exteriores e 1 interior, conforme pontos em vermelho na figura 10.2;  2063 Bacchus: 5 pontos de equilíbrio, sendo 4 exteriores e 1 interior, conforme pontos em vermelho na figura 10.3;  1998 ML14: 5 pontos de equilíbrio, sendo 4 exteriores e 1 interior, conforme pontos em vermelho na figura 10.4.

Figura 10.1: Localização dos pontos de equilíbrio do asteroide 1620 Geographos.

Fonte: Analysis of the Potential Field and Equilibrium Points of Irregular-shaped Minor Celestial Bodies – Xianyu Wang, Yu Jiang (2014). 92

Figura 10.2: Localização dos pontos de equilíbrio do asteroide 6489 Golevka.

Fonte: Analysis of the Potential Field and Equilibrium Points of Irregular-shaped Minor Celestial Bodies – Xianyu Wang, Yu Jiang (2014).

Figura 10.3: Localização dos pontos de equilíbrio do asteroide 2063 Bacchus.

Fonte: Analysis of the Potential Field and Equilibrium Points of Irregular-shaped Minor Celestial Bodies – Xianyu Wang, Yu Jiang (2014).

93

Figura 10.4: Localização dos pontos de equilíbrio do asteroide 1998 ML14.

Fonte: Analysis of the Potential Field and Equilibrium Points of Irregular-shaped Minor Celestial Bodies – Xianyu Wang, Yu Jiang (2014).

10.1 Regiões de estabilidade/instabilidade

Wang e Jiang (2014) concentraram-se em caracterizar o ambiente dinâmico de corpos menores que possuem forma irregular por meio do estudo da existência, número e estabilidade de pontos de equilíbrio no campo potencial gravitacional de asteroides, cometas e satélites de planetas. A estabilidade e as classificações topológicas de pontos de equilíbrio são discutidas, considera-se que se o corpo pequeno tiver só um ponto de equilíbrio interior, tal ponto deve ser provavelmente linearmente estável. Para asteroide 6489 Golevka, dois dos pontos de equilíbrio, que se denotam como ̿e ̿, são instáveis enquanto os outros dois, denominados como ̿ e

̿ͨ, são linearmente estáveis (Jiang et al. 2014). Uma melhor compreensão da estabilidade dos pontos de equilíbrio pode auxiliar na construção de uma base de dados que selecionaria a melhor órbita de reconhecimento em volta de esteroides e cometas, o que se torna essencial para o êxito de sondas espaciais enviadas para estudar esses pequenos corpos celestiais. Definimos como equilíbrio estável quando um objeto, apoiado bem próximo ao seu centro de gravidade, sempre retorna à sua posição inicial, constatada após o término do movimento; e equilíbrio instável quando o objeto, apoiado numa posição bem afastada do seu centro de gravidade, não retorna à sua posição inicial, após iniciado o movimento, caracterizando uma instabilidade naquela posição.

94

10.2 Resultados

Para o cálculo dos pontos de equilíbrio delimitamos uma caixa ao redor de uma pequena área onde provavelmente o ponto deve estar. Para isso analisamos os gráficos das curvas de velocidade zero, conforme exemplo para o asteroide 2063 Bacchus (Fig. 10.5):

Figura 10.5: Localização dos pontos de equilíbrio do asteroide 2063 Bacchus observando as curvas de velocidade zero.

Fonte: Autora.

Ao observamos o gráfico das curvas de velocidade zero no plano da figura acima podemos notar que um dos pontos deve estar entre 1 e 2 no eixo , e entre – 0,5 e 0,5 no eixo . Enquanto que um outro ponto deve estar entre − 2 e −1 no eixo , e entre – 0,5 e 0,5 no eixo . E assim sucessivamente observamos as demais curvas nos planos e . De acordo com os resultados encontrados através de simulações numéricas, se comparados com os resultados da pesquisa de Wang e Jiang (2014), somente para o asteroide 2063 Bacchus é que encontramos os cincos pontos de equilíbrio, e todos os valores computados deram aproximados com os dos autores. No entanto para 1620 Geographos, 6489 Golevka e 1998 ML14 encontramos somente um ponto de equilíbrio. Já para 4179 Toutatis não conseguimos computar nenhum ponto. Talvez a análise das curvas de velocidade zero para 95

esses asteroides não foi adequada e por isso não conseguimos delimitar uma região onde estaria os pontos de equilíbrio. Essa é uma questão que será analisada mais cuidadosamente na pós- graduação. A seguir os pontos de equilíbrio encontrados nas simulações numéricas:

1620 Geographos: Foi computado um ponto de equilíbrio com as seguintes coordenadas em :

̿ (͒) = −9,05982596 10ͯ (͓) = 2,96003827 10ͯ (͔) = −3,92720736 10ͯ A constante de Jacobi (̈́) nesse ponto é 1,632169 10ͯͪ ͧͯ . A análise da estabilidade constatou que é um ponto instável. Provavelmente seria o ponto de equilíbrio interno de acordo com Wang e Jiang (2014).

6489 Golevka: Foi computado um ponto de equilíbrio com as seguintes coordenadas em :

̿ (͒) = −1,73779778 10ͯ (͓) = −2,70092249 10ͯ (͔) = 2,21953720 10ͯ A constante de Jacobi (̈́) nesse ponto é 7,759735 10ͯ ͧͯ . A análise da estabilidade constatou que é um ponto instável.

2063 Bacchus: Foi computado quatro pontos de equilíbrio com as seguintes coordenadas em :

̿ (͒) = 1,33857155 (͓) = 2,20987882 10ͯ (͔) = −6,82155014 10ͯͨ A constante de Jacobi (̈́) nesse ponto é −3,529966 10ͯ ͧͯ . A análise da estabilidade constatou que é um ponto instável. 96

̿ (͒) = −1,33412841 (͓) = 9,51680390 10ͯ (͔) = −1,04242477 10ͯ A constante de Jacobi (̈́) nesse ponto é −3,523614 10ͯ ͧͯ . A análise da estabilidade constatou que é um ponto instável.

̿ (͒) = 2,08369403 10ͯ (͓) = −1,27662407 (͔) = 6,05995327 10ͯͨ A constante de Jacobi (̈́) nesse ponto é −3,419661 10ͯ ͧͯ . A análise da estabilidade constatou que é um ponto instável.

̿ͨ (͒) = 3,03749708 10ͯ (͓) = 1,27541401 (͔) = 5,19665927 10ͯͨ A constante de Jacobi (̈́) nesse ponto é −3,418324 10ͯ ͧͯ . A análise da estabilidade constatou que é um ponto instável.

̿ͩ (͒) = −3,53323506 10ͯ (͓) = −3,93710532 10ͯ (͔) = 2,20318155 10ͯ A constante de Jacobi (̈́) nesse ponto é −1,302813 10ͯͫ ͧͯ . A análise da estabilidade constatou que é um ponto estável.

1998 ML14: Foi computado um ponto de equilíbrio com as seguintes coordenadas em :

̿ (͒) = −4,65944140 10ͯͨ 97

(͓) = −1,92697577 10ͯ (͔) = −1,36995838 10ͯͨ A constante de Jacobi (̈́) nesse ponto é 2,573518 10ͯͫ ͧͯ . A análise da estabilidade constatou que é um ponto instável. Provavelmente seria o ponto de equilíbrio interno de acordo com Wang e Jiang (2014).

98

CAPÍTULO XI: CONSIDERAÇÕES FINAIS

Por muito tempo, como consequência da falta de recursos para fazer análise, não foi dada a devida atenção aos asteroides no que se refere às propriedades físicas e constituição. Visto que permanecem praticamente inalterados há bilhões de anos e, sendo assim, estudos em asteroides poderiam revelar muito sobre o sistema solar na sua juventude. Levando-se em consideração que os asteroides têm os formatos mais irregulares possíveis, destacando superfícies com possíveis crateras, e muitos são compostos de material raro, saber a sua composição será um grande avanço para a área cientifica. Não muito tempo atrás é que se descobriu sua importância para a obtenção de informações que levam a saber sobre a origem e evolução do Sistema Solar. No entanto, para esse estudo foi necessário ter em mãos as dimensões desses corpos. Como são objetos pequenos desenvolveu-se técnicas baseadas na incidência e reflexão da luz sobre o objeto observado, e melhorou-se as análises. Assim como a missão Áster almeja, é importante obtermos informações sobre a composição, superfície, estrutura, formação e o campo gravitacional de asteroides. Essas informações possibilitaram entender a origem e evolução do sistema solar e, possivelmente, até a origem de vida na Terra, desenvolver estratégias que visem diminuir os riscos para proteger nosso planeta de possíveis impactos de asteroides, bem como levar ciência as escolas e desenvolvimento cientifico e tecnológico para o país. Sendo assim, os resultados obtidos são importantes para se aplicar no estudo de controle de órbitas ao redor de corpos irregulares. Quando se deseja manobrar um veículo ao redor de um corpo com forma não esférica é fundamental levar em consideração os efeitos da gravidade e rotação do objeto, pois eles perturbam uma orbita ao seu redor mais intensamente quando próximo a ele. De acordo com as condições iniciais, essas perturbações podem gerar trajetórias que escapam, colidem, ou que aos poucos tem a orbita alterada até o impacto no corpo. Faz-se necessário também estudar a dinâmica perto dos pontos de equilíbrio desses objetos, com a finalidade de permitir o controle do movimento de uma nave espacial perto desse corpo. Em relação a essa pesquisa podemos concluir que o objetivo principal, que foi o de estudar e compreender todos os programas em linguagem de programação C e Fortran, foi conquistado, tendo em vista que conseguimos recriar o formato dos cinco asteroides, computar o potencial e seus coeficientes harmônicos, as curvas e superfícies de equipotencial, as curvas e superfícies de velocidade zero, e alguns pontos de equilíbrio. Através da análise de cada objeto podemos entender um pouquinho mais sobre eles. É claro que houve imperfeições, que procuraremos corrigir na pós-graduação, dando continuidade ao trabalho até aqui desenvolvido. 99

Tendo em vista que haverá amadurecimento de conhecimento a fim de se analisar cada objeto com mais rigor e compreender a teoria por trás de cada programa em linguagem C e Fortran.

100

REFERÊNCIAS

BENNER, L. A. M. et al. Radar Observations of Asteroid 2063 Bacchus. Icarus, v. 139, p. 309-327, junho/1999.

CARRY, B. Density of asteroids. Planetary and Space Science, v. 73, p. 98-118, 2012.

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APÊNDICE

APÊNDICE A: Contém um manual de todos os programas, em linguagem de programação C e Fortran, utilizados nas simulações numéricas no decorrer dessa pesquisa.

→ Para gerar os gráficos da forma do asteroide: reorganizador_volInt2.c → volInt2.c → reorganizador_plot_shape3.c → baricentro.c → plot_shape.c - plot_shape2.c

1) reorganizador_volInt2.c: Utiliza um arquivo de entrada (.tab) disponibilizado pela NASA contendo uma tabela de vértices com as coordenadas (x,y,z) de cada vértice, e logo em seguida é fornecida uma tabela de faces triangulares com o número dos três vértices que formam cada uma das faces, conforme exemplo abaixo: v 0.000000e+00 0.000000e+00 1.119516e+00 v 3.125070e-01 0.000000e+00 1.051697e+00 v 1.499870e-01 2.737170e-01 9.713170e-01 v -1.519550e-01 2.923050e-01 1.040906e+00 v -3.213750e-01 0.000000e+00 1.207780e+00 v -1.531080e-01 -3.039400e-01 1.081313e+00 ... f 1055 4232 2929 f 1030 830 3364 f 2694 676 992 f 3762 2843 2285 f 4090 2684 1019 f 688 3216 4143 f 6348 2458 9 ... Esse programa vai reorganizar os dados do asteroide, pois o próximo programa (volInt2.c) considera o primeiro vértice como sendo o de nº 0, ou seja, começa a contar os vértices a partir de 0 e não de 1, logo devemos subtrair 1 da posição de todos os vértices: antes: f 1055 4232 2929 depois: f 1054 4231 2928 E vai ser gerado um arquivo de saída (.dat). 2) volInt2.c: Utiliza como arquivo de entrada o arquivo de saída do programa anterior, e vai 106

encontrar os autovalores e autovetores do tensor de inércia, volume do asteroide, as coordenadas x, y e z do centro de massa do asteroide, a massa do asteroide, elementos da matriz tensor de inércia com origem no centro de massa. 3) reorganizador_plot_shape3.c: Utiliza o arquivo de entrada (.tab) disponibilizado pela NASA, é necessário inserir o número de vértices do asteroide, as coordenadas x, y e z do centro de massa e os elementos do autovetor normalizado do tensor de inércia. Esse programa vai rotacionar os vértices, reorganizar e agrupar os vértices que compõem cada uma das faces, pulando uma linha para separá-los, gerando assim um arquivo de saída (.dat), conforme exemplo abaixo: 1.870747e-01 -1.046549e+00 1.900944e-01 1.519175e-01 -1.046893e+00 2.487568e-01 1.865129e-01 -1.028482e+00 2.674600e-01 1.870747e-01 -1.046549e+00 1.900944e-01 ... 3.293537e-01 -1.027550e+00 -4.433221e-02 3.887524e-01 -9.730234e-01 -1.097908e-02 3.937840e-01 -9.897724e-01 -8.660766e-02 3.293537e-01 -1.027550e+00 -4.433221e-02 ... Obs.: Visto que se trata de uma face triangular o terceiro vértice tem que ser ligado ao 1º vértice para fechar o triângulo, dessa forma a 4ª linha é idêntica a 1ª linha de cada bloco de faces. 4) baricentro.c: Utiliza como arquivo de entrada o arquivo de saída do programa anterior e é necessário inserir as coordenadas x, y e z do centro de massa do objeto. Esse programa vai reorganizar os dados do asteroide para visualizar sua forma poliédrica com profundidade, isto é, calcula a distância do centro de massa do asteroide ao baricentro de cada face do asteroide. Lembrando que só funciona se todas as faces forem triangulares, pois no programa está implementado o cálculo do baricentro de um triângulo. E vai ser gerado um arquivo de saída (.dat). 5) plot_shape.c: Utiliza como arquivo de entrada os arquivos de saída dos programas reorganizador_plot_shape3.c e baricentro.c, é necessário inserir o número de vértices e faces do objeto. Plota o asteroide rotacionando os vértices em torno do eixo x e do eixo z, para tanto é necessário inserir a velocidade de rotação em torno do eixo x (graus/figura) e a velocidade de rotação em torno do eixo z (graus/figura), e também a quantidade de figuras e os subintervalos de cada eixo. Dentro do programa existe um comando que gera um arquivo de saída para o 107

software Gnuplot plotar a forma poliédrica do asteroide com profundidade em 3D. 6) plot_shape2.c: Idêntico ao programa anterior com o acréscimo de que, além de plotar a forma poliédrica do asteroide com profundidade em 3D, também plota suas projeções nos planos xy, yz e xz.

→ Para gerar o gráfico da superfície do asteroide com latitude e longitude e com profundidade: reorganizador_volInt2.c → volInt2.c → vertice.c → depth.c → plot_depth.c

1) reorganizador_volInt2.c 2) volInt2.c 3) vertice.c: Utiliza o arquivo de entrada (.tab) disponibilizado pela NASA, é necessário inserir o número de vértices do asteroide, as coordenadas x, y e z do centro de massa e os elementos do autovetor normalizado do tensor de inércia. Esse programa reorganiza os vértices já transladando para o centro de massa e rotacionando para o sistema de eixos principais de inércia. Gera um arquivo de saída (.in). 4) depth.c: Utiliza como arquivo de entrada o arquivo de saída do programa anterior e o arquivo (.tab) disponibilizado pela NASA, é necessário inserir o número de vértices do objeto. Esse programa converte as coordenadas retangulares dos vértices do asteroide em latitude e longitude com profundidade, e dentro do programa já existe uma variável que armazena a distância dos vértices ao centro de massa do asteroide, para que a planificação saia com uma escala de cores representando essa distância. Gera um arquivo de saída (.dat). 5) plot_depth.c: Utiliza como arquivo de entrada o arquivo de saída do programa depth.c. Existe um comando que gera um arquivo de saída para o software Gnuplot plotar o gráfico da superfície do asteroide em latitude e longitude e com profundidade.

→ Para gerar o potencial gravitacional: vertice.c → face.c → grade.c → polyhedron3.for → element3.for

1) vertice.c 2) face.c: Utiliza o arquivo de entrada (.tab) disponibilizado pela NASA, é necessário inserir o número de vértices do asteroide. Esse programa reorganiza as faces do asteroide e gera dois arquivos de saída (.in), um para ser utilizado como dado de entrada no programa 108

PolyhedronHarmonics2.c, e o outro como dado de entrada para os programas polyhedron3.for e equilibrium.for. O programa polyhedron2.for já considera o primeiro vértice como sendo o de nº 1, ou seja, começa a contar os vértices a partir de 1 e não de 0, e dessa forma não de é necessário subtrair 1 da posição de todos os vértices, devendo-se manter a posição atual. 1055 4232 2929 1030 830 3364 2694 676 992 3762 2843 2285 ... 3) grade.c: Esse programa gera uma grade 3D ao redor do asteroide nos diedros do espaço tridimensional, ou seja, é como se colocássemos o asteroide no interior de uma caixa cúbica com a finalidade de calcular o potencial em milhões de pontos delimitados por essa caixa. Para tanto é necessário inserir extremo inicial e final para cada coordenada x, y, e z, e o número de subdivisões da grade para cada intervalo x, y, e z. Como por exemplo, se delimitarmos uma caixa cúbica com os extremos de -2 km a 2 km para cada uma das coordenadas x, y, e z e 400 subdivisões da grade para cada intervalo x, y, e z, o potencial será calculado de 10 m em 10 m, o que é adequado se o corpo for grande, mas para um objeto pequeno, com algumas dezenas de metros, é inútil pois perde-se muita informação do potencial gravitacional desse objeto. Gera um arquivo de saída (.in) contendo as coordenadas x, y, e z de todos os pontos delimitados pela caixa cúbica. 4) polyhedron3.for: Esse programa computa o potencial gravitacional em todos os pontos delimitados pela caixa cúbica. Utiliza como arquivo de entrada os arquivos de saída dos programas vertice.c, face.c e grade.c. Para essa pesquisa o potencial foi calculado em mais de 3 milhões de pontos e tornou-se necessário dividir a caixa cúbica em 20 cubos menores com o intuito de minimizar o tempo gasto para executar o programa, calculando assim o potencial separadamente, originando 20 arquivos de saída (.out). Também é calculada a constante de Jacobi para as curvas de velocidade zero. 5) element3.for: Esse programa utiliza um arquivo de entrada (element.in) que lista todos os 20 arquivos de saída do programa anterior e os transforma em um único arquivo de saída (.dat) contendo o potencial gravitacional em todos os pontos delimitados pela caixa cúbica.

→ Para gerar os coeficientes gravitacionais ŸÄà e ¯ÄÃ: vertice.c → face.c → PolyhedronHarmonics2.c 109

1) vertice.c 2) face.c 3) PolyhedronHarmonics2.c: Esse programa utiliza como arquivos de entrada os arquivos de saída dos programas vertice.c e face.c, é necessário inserir a massa total do objeto computada no programa volInt2.c e também o número de coeficientes gravitacionais. A seguir será computado os coeficientes gravitacionais e do potencial gravitacional.

→ Para gerar os gráficos das curvas de equipotencial: element3.for → equipotential3D.c → reorganizador_volInt2.c → volInt2.c → reorganizador_plot_shape3.c → plot_equipotential3D.c

1) element3.for 2) equipotential3D.c: Esse programa utiliza como arquivo de entrada o arquivo de saída do programa anterior, e procura pelos pontos (x,y) que tenham o mesmo valor do potencial, para em seguida gerar um arquivo de saída (.dat) conforme uma tabela contendo esses pontos. O mesmo será feito para as outras projeções nos planos xz e yz. 3) reorganizador_volInt2.c 4) volInt2.c 5) reorganizador_plot_shape3.c 6) plot_equipotential3D.c: Esse programa utiliza o arquivo de entrada (.tab) disponibilizado pela NASA, e também os arquivos de saída (.dat) dos programas reorganizador_plot_shape3.c e equipotential3D.c. É necessário inserir o número de vértices e faces do objeto, a quantidade de figuras e os subintervalos de cada eixo. Dentro do programa existe um comando que gera um arquivo de saída para o software Gnuplot plotar as projeções da forma poliédrica do asteroide junto com suas curvas de equipotencial.

→ Para gerar os gráficos das superfícies de equipotencial: element3.for → equipotential4D.c → reorganizador_volInt2.c → volInt2.c → reorganizador_plot_shape3.c → plot_equipotential4D.c ou plot_equipotential4D2.c

1) element3.for 2) equipotential4D.c: Esse programa utiliza como arquivo de entrada o arquivo de saída do 110

programa anterior, e procura pelos pontos (x, y, z) que tenham o mesmo valor do potencial, para em seguida gerar um arquivo de saída (.dat) conforme uma tabela contendo esses pontos. 3) reorganizador_volInt2.c 4) volInt2.c 5) reorganizador_plot_shape3.c 6) plot_equipotential4D.c: Esse programa utiliza o arquivo de entrada (.tab) disponibilizado pela NASA, e também os arquivos de saída (.dat) dos programas reorganizador_plot_shape3.c e equipotential4D.c. É necessário inserir o número de vértices e faces do objeto, a quantidade de figuras e os subintervalos de cada eixo. Dentro do programa existe um comando que gera um arquivo de saída para o software Gnuplot plotar a forma poliédrica do asteroide junto com as superfícies de equipotencial. 7) plot_equipotential4D2.c: Idêntico ao programa anterior com o acréscimo de que, além de plotar a forma poliédrica do asteroide junto com as superfícies de equipotencial, também plota suas projeções nos planos xy, yz e xz.

→ Para gerar os gráficos das curvas de velocidade zero: element3.for → jacobi3D.c → reorganizador_volInt2.c → volInt2.c → reorganizador_plot_shape3.c → plot_jacobi3D.c

1) element3.for 2) jacobi3D.c: Esse programa utiliza como arquivo de entrada o arquivo de saída do programa anterior, e procura pelos pontos (x,y) que tenham o mesmo valor da constante de Jacobi, para em seguida gerar um arquivo de saída (.dat) conforme uma tabela contendo esses pontos. O mesmo será feito para as outras projeções nos planos xz e yz. 3) reorganizador_volInt2.c 4) volInt2.c 5) reorganizador_plot_shape3.c 6) plot_jacobi3D.c: Esse programa utiliza o arquivo de entrada (.tab) disponibilizado pela NASA, e também os arquivos de saída (.dat) dos programas reorganizador_plot_shape3.c e jacobi3D.c. É necessário inserir o número de vértices e faces do objeto, a quantidade de figuras e os subintervalos de cada eixo. Dentro do programa existe um comando que gera um arquivo de saída para o software Gnuplot plotar as projeções da forma poliédrica do asteroide junto com suas curvas de velocidade zero. 111

→ Para gerar os gráficos das superfícies de velocidade zero: element3.for → jacobi4D.c → reorganizador_volInt2.c → volInt2.c → reorganizador_plot_shape3.c → plot_jacobi4D.c ou plot_jacobi4D2.c

1) element3.for 2) jacobi4D.c: Esse programa utiliza como arquivo de entrada o arquivo de saída do programa anterior, e procura pelos pontos (x, y, z) que tenham o mesmo valor da constante de Jacobi, para em seguida gerar um arquivo de saída (.dat) conforme uma tabela contendo esses pontos. 3) reorganizador_volInt2.c 4) volInt2.c 5) reorganizador_plot_shape3.c 6) plot_jacobi4D.c: Esse programa utiliza o arquivo de entrada (.tab) disponibilizado pela NASA, e também os arquivos de saída (.dat) dos programas reorganizador_plot_shape3.c e jacobi4D.c. É necessário inserir o número de vértices e faces do objeto, a quantidade de figuras e os subintervalos de cada eixo. Dentro do programa existe um comando que gera um arquivo de saída para o software Gnuplot plotar a forma poliédrica do asteroide junto com as superfícies de velocidade zero. 7) plot_jacobi4D2.c: Idêntico ao programa anterior com o acréscimo de que, além de plotar a forma poliédrica do asteroide junto com as superfícies de velocidade zero, também plota suas projeções nos planos xy, yz e xz.

→ Para encontrar os pontos de equilíbrio dos asteroides: reorganizador_volInt2.c → volInt2.c → vertice.c → face.c → equilibrium.for

1) reorganizador_volInt2.c 2) volInt2.c 3) vertice.c 4) face.c 5) equilibrium.for: Esse programa utiliza os arquivos de saída dos programas vertice.c e face.c e também um arquivo de entrada (.in) contendo o número de vértices e faces do objeto, a sua densidade e o período de rotação, e também os valores inicial e final de cada coordenada x, y e z, que possa delimitar o local onde se encontra o ponto de equilíbrio. O programa realizará no 112

máximo 100 interações, sendo que no final deverá convergir para um possível ponto de equilíbrio. Gera dois arquivos de saída (.out), um deles contendo as coordenadas do ponto de equilíbrio juntamente com valor do potencial gravitacional e a constante de Jacobi no ponto, e o outro será arquivo de entrada do programa eigen_stm.c.

→ Para analisar a estabilidade dos pontos de equilíbrio: reorganizador_volInt2.c → volInt2.c → vertice.c → face.c → equilibrium.for → eigen_stm.c

Após ter realizado todos os passos para encontrar os pontos de equilíbrio e utilizando o arquivo de saída do programa equilibrium.for: eigen_stm.c: Esse programa analisa a estabilidade dos pontos de equilíbrio, gerando um arquivo (.dat) que informa se o ponto é estável ou instável.

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APÊNDICE B: Contém animações com os resultados obtidos das simulações numéricas referente ao formato dos asteroides, as curvas e superfícies de velocidade zero, e as curvas e superfícies de equipotencial, e se encontra no CD abaixo.

OBSERVAÇÃO: Os interessados em visualizar o presente apêndice por favor entrar em contado através do seguinte e-mail: [email protected] ou [email protected].