Tangenten 1/2019 1 Kva Handlar Matematikkundervising Om? Viss

Kva handlar matematikkundervising om? matematikkspråklege i samisk og norsk. Mike Viss ein må trekkja fram berre éin ting som Naylor legg òg vekt på utforsking av mønster matematikkundervising handlar om, kva seier i si faste spalte om matematikk og kreativitet. ein då? Spørsmålet er høgaktuelt når det no Tangenten har dei siste fire åra hatt ein sta- nærmar seg slutten av prosessen der det skal fett der lærarutdannarar har intervjua lærarar avgjerast kva som vert lagt vekt på i dei nye om matematikkundervising. I dette nummeret læreplanane. Nokon vil seia at det handlar om kjem siste intervjuet, med Line Søfteland som algebra og evna til å generalisera, andre seier at er lærar på 3. trinn og Jannecke Lampe på 8. alt handlar om å sjå mønster. Nokon hevdar det trinn. No sender me pinnen vidare til elevar sentrale er å utvikla djup innsikt i ulike repre- og born i barnehagen for å få innsikt i kva dei sentasjonar og overgangar mellom desse, medan tenkjer om matematikk og læring. Me har òg andre legg vekt på det å utvikla rikt matematisk intervjua vinnaren av Holmboeprisen 2018, språk og fleksible strategiar. Andre meiner det Skage Hansen. Inger-Lise Risøy, som fekk hei- er målet som tel, ikkje middelet. Å skapa enga- derleg omtale, har skrive om undervisinga si. sjement, motivasjon og positive haldningar til Desse dyktige lærarane legg vekt på å gje elevar faget, eller at elevar skal få grunnlag til å verta rike, samansette og utforskande oppgåver der aktive deltakarar i samfunnet. Svara er og skal dei får brynt seg i lag med andre og der dei må væra mange og ulike, og artiklane i dette bladet argumentera. Dei syner korleis slike oppgå- viser det. ver kan skapa engasjement og entusiasme der Det er på sin plass å starta bladet med ein elevar utviklar ei djupare forståing i matema- artikkel om tverrfagleg arbeid med kroppsø- tikk. Gaute Hovtun er òg oppteken av korleis ving, matematikk og samisk når det nyleg har ein bruker oppgåver. I sin artikkel (nivå 1) har vore samisk folkedag den 6. februar. Skal eg han fokus på oppstarten av undervisningsøk- trekka ut berre ein ting frå Lisbeth Hansen og ter og korleis oppvarmingsoppgåver kan styrka Anne Fyhn sin artikkel, må det vera korleis ein elevar sin motivasjon for matematikk. kan læra matematikk gjennom å utforska møn- ster. Elevane arbeidde med forståing av geometri ved å utforska matematikken i mønster dei hadde laga sjølve på ski. Dei kopla uteaktivitet med refleksjon innandørs, og dei kopla det tangenten 1/2019 1 Hansen, Fyhn Tverrfaglighet i flere kontekster

Unjárgga oahppogáldu/Nesseby oppvekstsenter Ifølge læreplanen (Kunnskapsdepartementet har uteskole på årsplanen. Skolen er fådelt, og [KD], 2013) skal elevene etter andre årstrinn elevene på 1.–2. trinn gjennomførte et tverrfag- kunne lage og utforske geometriske mønster og lig arbeid med ski-matematikk-samisk i januar beskrive dem muntlig. Dette var mål for under- 2018. Som ledd i forskningsprosjektet Sam- visningen. På forhånd måtte læreren få oversikt menheng gjennom utforskende matematikkun- over elevenes forkunnskaper om mønster. Hun dervisning (SUM1) blir det utviklet utforskende ønsket å styrke denne kunnskapen ved å gi elev- undervisningsopplegg i matematikk ved opp- ene noen felles referanserammer. Opplegget vekstsenteret. Lærer Lisbet (artikkelens før- gikk over fem steg: Steg 1 og 2 var forberedende steforfatter) underviser begynneropplæring i skoletimer i klasserommet, mens Steg 3 og 4 matematikk og samisk på 1.–2. trinn, og hun foregikk i snø. Steg 5 var innendørs refleksjon velger derfor ofte å arbeide tverrfaglig med disse og oppsummering. Utgangspunktet for artik- to fagene. Forståelse på tvers av fagområder eller kelen er et lydopptak av en samtale læreren kontekster inngår i dybdelæring (NOU 2015: 8). hadde med artikkelens andre forfatter (Anne) I teksten beskriver vi et utforskende undervis- etter at opplegget var gjennomført. Artikkelen ningsopplegg der flere fagområder inngår. Vi viser hvordan lærerens roller skiftet mellom å viser hvordan læreren skifter rolle når det tverr- styre undervisningen og å la elevene ha styring faglige fokuset skifter til et nytt fag. Elevene er på eget arbeid. ikke uten videre i stand til å overføre kunnskap Elevenes dagligspråk, eller uformelle språk fra et område til et annet. som læreplanen kaller det, ble vektlagt i flere Opplegget gikk ut på at elevene skulle utfor- situasjoner. Elevene snakket sitt daglige samiske ske mønster de selv lagde med ski i snøen. språk, og fordi de er tospråklige, bruker de også enkelte norske ord og begreper. Elevene utforsket mønster og kommuniserte sine egne mate- Lisbet Hansen matiske ideer både til læreren og til medelever. Nesseby oppvekstsenter Et mål med undervisningen var at alle elevene [email protected] fikk erfaring med utforskende eller undersø- kende matematikk. Anne Birgitte Fyhn UiT – Norges arktiske universitet Undersøkelseslandskap og dybdelæring [email protected] Skovsmoses (2003) begrep «undersøkelsesland-

2 1/2019 tangenten skap» er et alternativ til den tradisjonelle opp- å introdusere kategoriene (7) og (8). Venstre gavetradisjonen. Innenfor oppgavetradisjonen kolonne representerer tradisjonelle oppgaver. bidrar ofte matematikkundervisning til å bygge Kolonnen til høyre representerer utforskende opp om troen på autoriteter som har utformet tilnærminger til matematikk. Oppgaver av oppgaver og bestemt hvordan oppgavene skal typen «Utforsk hvilke tall som forekommer løses. I et undersøkelseslandskap vil lærerens hyppig i multiplikasjonstabellen», tilhører spørsmål «hva nå, hvis …?» og «hvorfor det?» kategori (2). Oppgaven «Fire rein har blå, gul, bli avløst av at elevene spør «hva nå, hvis …?» rød og grønn sele. De fire reinene deltar i kapp- og «hvorfor det?». Et undersøkelseslandskap er kjøring. Hvor mange ulike rekkefølger kan de en invitasjon til elevene om å utforske noe og til ha i mål?» er en oppgave som hører hjemme i å ta kontroll over egen læring. Undersøkelses- oppgavetradisjonen, altså kolonnen til venstre, landskap inviterer elevene til dybdelæring, slik i kategori (7). Oppgaven «Undersøk hva det overordnet del av læreplanen vektlegger: Evnen koster å pusse opp rommet ditt» hører hjemme til å stille spørsmål og utforske er viktig for i kategori (6) fordi konteksten ikke er spesifikk dybdelæring (KD, 2018a). I NOU (2015) påpe- for samisk kultur. Oppgaver innenfor kategori- kes det at dybdelæring blant annet dreier seg ene (6) og (8) vil ofte være i tråd med det Balto om elevenes gradvise utvikling av forståelse av (2005) beskriver som prøving og feiling i en vir- begreper og begrepssystemer. Elevens forståelse kelighetskontekst. er både en forutsetning for og en konsekvens av Undersøk- dybdelæring. Undersøkelseslandskap samsvarer Oppgave- elses- med flere kjerneelementer i den nye læreplanen tradisjonen i matematikk (KD, 2018b, s. 15): «Utforsking landskap handler om at elevene leter etter mønstre og Referanser til ren (1) (2) finner sammenhenger …», og «Representasjon matematikk og kommunikasjon … innebærer også å kunne oversette mellom det matematiske symbolsprå- Referanser til ket og dagligspråket og veksle mellom ulike en «delvis» (3) (4) representasjonsformer.» virkelighet Når læreren beveger seg fra oppgavetradisjo- Referanser til den (5) (6) nen til et undersøkelseslandskap, vil det med- virkelige verden føre uforutsigbarhet. Elevene står for utforsking og problemformulering, mens lærerens rolle Referanser til en er tilrettelegging og veiledning underveis. En kulturspesifikk (7) (8) slik arbeidsform har mye til felles med Baltos kontekst (2005) beskrivelse av tradisjonell samisk bar- Figur 1: Læringsmiljøer. Skovsmoses (2003) seks neoppdragelse, der den som skal lære noe, har forskjellige kategorier, pluss kategoriene 7 og 8, der en selvstendig og aktiv rolle. Et mål med tra- oppgavene har referanse til en kulturspesifikk kontekst. disjonell samisk barneoppdragelse er å utvikle selvstendige individer som kan overleve under Den videre teksten presenterer undervis- utfordrende forhold. Det å lære noe grundig og ningsopplegget og analyserer det med hensyn på ikke overfladisk krever en aktiv involvering fra høyre og venstre kolonne i tabell 1. Skovsmose barnets side. påpeker at utfordringene ligger i å bevege seg fra Skovsmose klassifiserer læringsmiljøer i seks venstre mot høyre, for eksempel fra kategori (1) kategorier, de seks første kategoriene i figur 1. til kategori (2). Teksten viser hvordan læreren Fyhn et al. (2016) har videreutviklet dette ved bevisst beveger seg fram og tilbake mellom de tangenten 1/2019 3 to kolonnene, fordi noen ganger valgte hun å ha kontroll, mens andre ganger valgte hun å over- late kontrollen til elevene. Teksten viser også hvordan opplegget kan knyttes til noen kjerneelementer i matematikk (KD, 2018b).

Undervisningsopplegget Steg 1 og steg 2 var forberedelser til arbeid med mønster ute i snøen. Samisk har tre forskjellige ord for det som på norsk kalles mønster, det fins ikke et tilsvarende overordnet ord. Læreplanen Figur 3 a) og b): Stoffbiter som læreren hadde med på har valgt å bruke ordet minsttar, som ifølge ord- skolen. boka betyr mønster eller formel (Kåven, Jern- sletten, Nordal, Eira & Solbakk, 1995). Fyhn og Hansen (under arbeid) problematiserer lære- planens valg av oversettelse. Læreren valgte å bruke ordet hearva, som ifølge ordboka betyr dekorasjon, pynt, broderi. Den tradisjonelle nes- sebyvotten i figur 2 er en hearvafáhcca, den har mønster rundt håndleddet. En vott med møn- ster over det hele kalles girjefáhcca.

Figur 3 c): Holbi fra nessebykofte, hentet fra Utse, Nilsen, Mathisen & Juuso (2006).

at noe ikke er mønster. Noen elever uttrykte at noe ikke var mønster, ved å gi moteksempler uttrykt ved sitt daglige språk, ii leat hearva (det er ikke mønster), eller ii leat sárgát (det er ikke striper). Figur 2: Hearvafáhcca: Nessebyvott (foto: Lisbet Elevene kom etter hvert fram til at et mønster Hansen) består av forskjellige farger som er satt i system. Etter guidede spørsmål fra læreren kom elev- Steg 1 og steg 2 – i klasserommet ene fram til at når der var mønster, så var der Læreren viste fram forskjellige mønster: stoffbi- gjentakelser. Elevene fikk videre spørsmål om ter med forskjellige mønster, et forkle, hjemme- det var møster på holbien. Elevene svarte at det strikkete sokker, nessebyvotter og holbi (neder- er mange trekanter, blå streker og gule prikker ste koftekant) fra ei nessebykofte. Noen av disse der. Deretter fikk de direkte spørsmål om hva er presentert i figur 3. Elevene fikk spørsmål man kaller mange trekanter etter hverandre, om hva som var på de ulike stoffbitene og plag- slik som i holbien. Det visste de ikke. Læreren gene. De første figurene elevene klarte å se, var fortalte dem at det kalles njunnesuorránat, så stjerner og talglys i figur 3b. Men så kom det: holbien har njunnesuorránat. Steg 1 foregikk «Det her e jo og et mønster, mens dette e ikke uten lærebok, men fordi læreren hadde kon- et mønster» (transkript fra samtale 18.06.2018). troll på hva som foregikk, plasserer vi dette i Her skiller eleven mellom at noe er mønster, og oppgavetradisjonen (venstre kolonne i figur 1).

4 1/2019 tangenten Læreren guidet elevene fram til å gjenkjenne og kom med kommentarer som fulgte opp dette. lete etter sentrale kjennetegn på mønster, slik Læreren spurte: «Hva med skiene, om de lagde som eksempelvis gjentakelser. Stoffene i figur mønster?» Jo, kom det, først nølende. Det var 3a og 3b tilhører den virkelige verden (kategori jo striper i snøen, slik som på stoffet i figur 3a. 5), mens votten i figur 2 og holbien i figur 3c Elevene syntes det var artig å holde på med tilhører en kulturspesifikk kontekst (kategori 7). ski, og ville gjerne gjøre det mer, og læreren Lærerens rolle i steg 2 var annerledes. Her avgjorde at de skulle ha en dag til med ski og fikk elevene i oppgave å lage mønster, og de mønster. Den neste dagen var styrt av elevenes bestemte selv hvordan mønstrene skulle se ønsker, og slik ble elevene oppmuntret til å ta ut. De satt rundt et langbord og malte alt fra kontroll over egen læring. blomster og geometriske figurer til rekker med I steg 4 skulle elevene lage mønster med ski prikker. Elevene arbeidet fritt. Selv om elev- i snøen, og de bestemte selv hvordan de ville ene kunne se på hverandres arbeid, så obser- løse denne oppgaven. Fotballbanen var dekket verte læreren at ingen lagde mønster som av nysnø og lå som et stort, hvitt og urørt ark lignet andres. Noen elever snakket sammen, der elevene kunne utfolde seg. Elevene styrte mens andre var stille. En elev fortalte lære- aktiviteten selv, mens læreren inntok rollen ren at «her maler æ prikk, strek, grønn-brun- som tilbaketrukket veileder (høyre kolonne i grønn». Læreren hadde her overlatt kontroll og figur 1). Noen valgte å samarbeide, mens andre styring til elevene, og det var heller ingen bruk jobbet alene. Alle jobbet og lagde mønster, det av lærebok (venstre kolonne i figur 1). Etter at var tydelig at dette var en aktivitet elevene likte malingen var ferdig, overtok læreren styrin- godt. Eksempler på mønstre som elevene lagde, gen. Alle gikk rundt og så på de andres arbeid. var «fisk» og «blomst», i tillegg til ulike skispor Kunstneren fortalte om bildet sitt, og de andre som for eksempel fiskebein (figur 4b). Elevarbei- ga tilbakemelding. Læreren passet på at mate- det i figur 4a viser en spiral. matiske begreper som form og gjentakelse kom Opplegget er svært likt maleoppgaven i steg med hvis de ikke ble nevnt. Elevene var stolte 2 ved at elevene arbeidet selvstendig med å lage over arbeidene sine, og alle malte flere bilder. egne mønster. Elevene overførte kunnskap fra De presenterte mønstrene sine som malerier på fagområdet maling til fagområdet ski. Dette er papir. Mønstrene var uttrykt som repetisjoner utvikling av forståelse på tvers av fagområder, av strukturer. Dette inngår i kjerneelementet slik det vektlegges i NOU (2015). Lærerens rolle representasjon og kommunikasjon (KD, 2018b). i steg 3 var å styre det som foregikk, mens i steg 4 overlot hun styringen til elevene. Flere elever Steg 3 og steg 4 – i snøen som ikke var glade i å gå på ski til vanlig, syntes Steg 3 foregikk utendørs. På spørsmål om man denne aktiviteten var gøy. Læreren gikk rundt kunne lage mønster med ski og staver i snøen, og spurte hva de lagde, og supplerte elevenes svarte elevene et tydelig nei. Derfor tok lære- beskrivelser med matematiske faguttrykk der ren styring og kontroll over opplegget: Hun tok elevene selv ikke gjorde det. Hensikten var å elevene med en runde på ski rundt skoleplas- bygge bro mellom ord fra samisk daglig språk sen. Deretter samlet hun elevene, og sammen og matematikkord. Elevene fortalte hva de så de tilbake på løypa de hadde gått. Ingen så hadde gjort når de lagde mønster i snøen. Slik noe mønster. Ifølge elevenes regler var møn- tok samtalene utgangspunkt i noe elevene hadde ster knyttet til farger. Læreren utfordret denne god kjennskap til. De brukte både daglig samisk regelen og ga elevene tid til refleksjon og til å språk og matematikkord for å fortelle hva de tenke. Etter hvert kom det fra en elev at kan- hadde gjort. Til slutt gikk alle rundt og så på alle skje stavene lagde mønster i snøen. Flere elever arbeidene, og læreren fotograferte mønstrene. tangenten 1/2019 5 Steg 5 – i klasserommet ene viser sammenheng mellom det de gjorde og Siste fase foregikk i klasserommet. Da elevene sluttresultatet. kom inn til timen, lå fotografier av mønstrene i Fordi bildene ble hengende i klasserommet i snø utover golvet. Elevene fikk i oppgave å tegne tiden etterpå, kunne elevene studere de andres og beskrive mønstrene sine. Læreren hadde representasjoner av mønster. Dette er 6–7-årin- ingen kontroll på elevenes faglige fokus, dette ger, og elevene på 1. trinn hadde nettopp lært var undersøkelseslandskap (høyre kolonne i siste bokstav i alfabetet. Læreren opplevde sin figur 1). De satte seg rundt bildene, og på eget rolle i steg 5 som å støtte elevene i skrivepro- initiativ begynte de å snakke om mønstrene. sessen der det trengtes. Læreren observerte at Elevene snakket om hvordan bildene ble lagd, elevenes ordforråd utviklet seg. For eksempel og de brukte både dagligspråket og matematiske ble de fortrolige med spiehččut; her kjente de ord og uttrykk fra steg 4. Læreren deltok som kun til det norske ordet fiskebein fra før. Et veileder og undret seg over mønstrene sammen annet begrep de lærte, er njunnesuorrán, borden med elevene. på holbien i den lokale gákti. Elevene har gjort seg erfaringer som læreren tror de vil huske og bruke ved senere anledninger.

Oppsummering I dette opplegget utforsket elevene mønster på stoff og papir før de utforsket mønster i snø ved å bruke hele kroppen. Elevenes utforsking av mønster startet med gjenkjenning av mønster på klær og stoff. Elevene kom fram til regler for hva som er et mønster. Deretter fant de på møn- ster selv og representere mønstrene som malte Figur 4a): Birra birra – rundt og rundt. bilder. Innendørs hadde elevene lagd regler som Figur 4b): Spiehččut – fiskebein ikke omfattet at et mønster kunne represente- res som skispor eller som andre avtrykk i snø. Elevene valgte hvert sitt bilde der de skulle Når undervisningen ble flyttet utendørs i steg 3, beskrive mønsteret. Fokuset var på ulike repre- utfordret læreren elevenes regler for hva som er sentasjonsformer og på kommunikasjon. Ved et mønster. På slutten av opplegget var alle enige overgangen fra muntlig til skriftlig represen- om at man kan lage mønster i snø med ski og tasjon fokuserte læreren på lydering. Noen staver, og alle lagde slike mønster. Slik utvidet elever klappet stavelser, andre trengte hjelp til elevene reglene for hva som er et mønster. Dette skriving, mens andre igjen skrev med største er et eksempel på tverrfaglig arbeid der elevene selvfølgelighet. Teksten i figur 4a kan over- utvidet sin forståelse for hva som er et mønster settes til norsk slik: «Jeg gikk på ski rundt og ved å presentere mønster først som malerier rundt. Det ble en rund form.» Teksten i figur og deretter som skispor. Elevenes forståelse 4b betyr: «Slik går jeg fiskebein.» Begge figu- av det de lærte om mønster i steg 1 og steg 2, rene beskriver hvordan eleven beveget seg, og var en forutsetning for det de lærte ute på ski. hva som ble resultat av bevegelsene. I figur 4a I tradisjonell skolesammenheng hører maling har eleven brukt tekst for å beskrive bevegelsene inn under formgivingsfagene, mens bruk av og resultatet: rund form. I figur 4b har eleven ski hører inn under kroppsøving. Tverrfaglig beskrevet resultatet ved tegning. Elevene har arbeid der elevene får tid til å utforske møn- valgt ulike representasjonsformer. Begge elev- ster i flere kontekster, kan på dette viset bidra

6 1/2019 tangenten til en forståelse på tvers av kunnskapsområ- Referanser dene formgiving, kroppsøving og matematikk. Balto, A. (2005). Traditional Sámi child-rearing in Ifølge NOU (2015) fører slikt tverrfaglig arbeid transition: Shaping a new pedagogical platform. til dybdelæring. Det er fordi elevene a) tilegner Alter Native – An International Journal of Indigenous seg kunnskaper og ferdigheter innenfor en kon- People, 1, 90–113. tekst, b) reflekterer over det de lærer, og c) tar Fyhn, A. B., Eira, E. J. S., Hætta, O. E., Juuso, I. A. M., kunnskapen om det de kan fra før, med seg til Skum, E. M., Hætta, S. I., Sabbasen, B. K. S., Eira, en ny kontekst (NOU, 2015). E. H. & Siri, M. T. (2016). Fra kultur til matematikk – Skovsmose (2003) påpeker at det er avgjø- eksempelet lávvu. Tangenten – tidsskrift for matema- rende å utfordre oppgaveparadigmet, venstre tikkundervisning, 27(3), 2–7. kolonne i figur 1. Slik utfordring kan finne sted Fyhn, A. B. & Hansen, L. (under arbeid). Exploration of ved å bevege seg fra venstre til høyre kolonne patterns in different contexts. Paper som skal pre- i figur 1. Undervisningsopplegget vi beskriver, senteres på CERME11 – The Eleventh Congress of er et godt eksempel på at aktivitetene beve- the European Society for Research in Mathematics get seg fra venstre mot høyre. Læreren brukte Education. styrte aktiviteter der hun hadde full kontroll for Kunnskapsdepartementet (2013). Læreplan i matematikk å samle elevene og gi dem et felles erfarings- fellesfag. Lastet ned fra http://data.udir.no/kl06/ grunnlag, som innledning til utforskende akti- MAT1-04.pdf?lang=http://data.udir.no/kl06/nob viteter der elevene tok kontroll over egen læring. Kunnskapsdepartementet (2018a). Overordnet del – verdier og prinsipper for grunnopplæringen. Hentet Takk til fra https://www.regjeringen.no/contentassets/37f Dette arbeidet inngår i SUM-prosjektet og støt- 2f7e1850046a0a3f676fd45851384/overordnet-del- tes av Forskningsrådets program FINNUT og --verdier-og-prinsipper-for-grunnopplaringen.pdf av Unjárgga gielda/Nesseby kommune. Kunnskapsdepartementet (2018b). Kjerneelementer i fag. Hentet fra https://www.regjeringen.no/cont Noter entassets/3d659278ae55449f9d8373fff5de4f65/ 1 Prosjektet fokuserer på hvordan utforskende mate- kjerneelementer-i-fag-for-utforming-av-lareplaner- matikkundervisning kan innvirke på overgangene fra for-fag-i-lk20-og-lk20s-fastsatt-av-kd.pdf barnehage til småskole, barnetrinn til ungdomstrinn, Kåven, B., Jernsletten, J. Nordal, I., Eira, J. H. & Solbakk, ungdomstrinn til videregående skole og videregå- Aa. (1995). Sámi – dáru sátnegirji. Samisk – norsk ende skole til universitet. En gruppe ser spesielt på ordbok. Kárášjoga: Davvi girji o.s. overganger i samisk skole. NOU 2015: 8. (2015). Fremtidens skole. Fornyelse av fag og kompetanser. Oslo: Kunnskapsdepartementet. Skovsmose, O. (2003). Undersøgelseslandskaber. I O. Skovsmose & M. Blomhøj (Red.), Kan det virkelig passe? – om matematiklæring (s. 143–157). Køben- havn: L&R Uddannelse: Tjørneserien.

tangenten 1/2019 7 Tangen, Fosse Intervju med lærere

Line Søfteland arbeider på 3. trinn ved Tert- nes skole og Jannecke Lampe på 8. trinn ved Ytrebygda skole. Begge lærerne deltar i Bergen kommunes fagfornyelsesarbeid i matematikk. Lærerne bidrar i å sammenfatte høringsinnspil- lene fra skolene i Bergen til Fagfornyelsen.

Hva tenker dere om hovedretningen matematikkfaget tar i fagfornyelsen? Hele fokuset i faget er endret, synes vi. Bort Jannecke Lampe (til venstre) og Line Søfteland (til høyre). fra pugg og faste algoritmer til fokus på forstå- else og bruk av faget med åpne og rike oppgaver. Kjerneelementene blir veldig godt mottatt og Mogens Niss og Thomas Høigard Jensens fors- gir tydelig retning for hvordan faget fremover kning om helhetlig matematisk kompetanse. skal være. Det er positivt at matematiske kunn- En annen hovedendring er at det skal arbei- skapsområder kan arbeides med gjennom alle des grundigere med hvert tema. Før man går de andre kjerneelementene. videre, skal elevene ha nådd en dypere forstå- Vi ser at planen dreier mot nyere forskning, else. Dybdelæring i matematikk handler jo for eksempel arbeidet til Carol Dweck og Jo blant annet om å ta i bruk kompetanse på nye Boaler om «growth mindset», som tilbyr læring områder og temaer og å se sammenhenger i og i matematikk på en ny måte, sier Line og Jan- mellom fag. Elevene skal bruke faget mer på necke. Samtidig ser vi at den også bygger på praktiske og varierte måter. Denne helhetlige tenkningen ser vi tydelig i de tverrfaglige temaene. For å klare dette er det sterk vektlegging Janneke Tangen av å bygge den solide matematiske grunnmu- Bergen kommune, fagavd. barnehage og skole ren med tallforståelse, tallregning og prealgebra, [email protected] sier Line.

Trude Fosse Høgskulen på Vestlandet [email protected]

8 1/2019 tangenten Hvilke konkrete endringer liker dere spesielt Jeg opplever at undersøkende matematikk- godt? undervisning i mye større grad enn tradisjonell Programmering blir kjempegøy, er det første undervisning gir elevene mulighet til å jobbe Jannecke sier. Det er så mye innenfor dette med og utvikle et bredere spekter av kompe- temaet som lett kan tas inn i matematikken. tanser, sier Line. Mens tradisjonell undervis- Matematikk og algoritmisk tankegang henger ning begrenser elevene til å tenke rett og galt, sammen, og koding er en del av det. Jeg har hatt lar undersøkende undervisning elevene forstå, programmering som valgfag i noen år, sier Jan- reflektere og resonnere. Vi må alle arbeide mer necke. Kompetansemålene, slik de fremstår nå med hvordan elevene skal lære å lære matema- i førsteutkastet, kan gjøres relativt enkelt i for tikk. eksempel Scratch, eller de kan tolkes inn som et Det var et mål at planen skulle gi oss mindre større prosjekt. Målene gir kanskje litt for stort stofftrengsel og mer dybdelæring. Vi to mener rom for tolkning, slik de nå foreligger. at denne planen, til tross for innføringen av pro- Jeg vet egentlig ikke helt hva dette går ut på, grammering som nytt fagområde, gir oss denne sier Line. Det er litt skummelt, og mange lærere muligheten. vil trenge økt kompetanse i temaet programmering. Jeg ser jo at programmering kan styrke Hvilke utfordringer ser dere for matematikkfaget elevenes forståelse for variabler, funksjoner og i fremtiden? algebra, og synes at det var på tide med koding Vi lærere må tørre å tenke nytt og utfordre og programmering på timeplanen. Det er viktig oss selv til å prøve ut teknologi og program- at skolen forbereder elevene til det som møter mering. Samfunnet endrer seg raskt, og det er dem i dagens samfunn. en stor utfordring å henge med, spesielt når det Like spennende er det jo at vi lærere må lære gjelder den teknologiske utviklingen. Det er noe nytt. Lærerne i hele Norge må få mulighe- likevel et dilemma at programmering kommer ten til faglig oppdatering her, selv om vi ikke inn som et nytt område, samtidig som timean- skal gi disse kompetansemålene for stor opp- tallet er det samme. merksomhet heller. Vi lærere må våge å hive oss Når det gjelder læreplanutkastet, mener ut i det ukjente og kanskje bruke elevene som vi noen kompetansemål er for vide. Vi lærere ressurser i koding og programmering? ønsker et lite tolkningsrom i læreplanmålene, Jeg liker veldig godt at leken er så tydelig på samtidig som vi vil at handlingsrommet vårt de første årstrinnene, sier Line. Barna motiveres skal være stort. Det er nok vanskelig å finne og lærer mye av matematisk lek og av lekpregede denne perfekte balansen i alle kompetansemål. metoder. Utforsking og samarbeid er også svært Læremidlene må jo også endre seg. Lærebø- tydelig i læreplanutkastet. Den muntlige mate- ker kan bli utfordrende, for i fremtiden trengs matikken, det å samarbeide og snakke sammen, det mer dynamiske digitale læremidler som kan diskutere strategier og løsninger, gjør matema- oppdateres når det er nødvendig, mener Line. tikken lettere tilgjengelig og veldig motiverende Eksamen må også endres, sier Jannecke. Vi for en større andel elever. Vi er altså begge glade kan ikke si at vi skal jobbe helhetlig og i dybden for at man går bort fra den tradisjonelle stille, og så likevel prøve elevene i så mange enkelt- individuelle matematikklæringen. Læringsfel- oppgaver som vi gjør i dagens eksamen. lesskapet er viktig. Så håper vi at skoleeiere og En ting vi er uenige med læreplanutkastet i, skoleledere følger opp og legger til rette for at vi er at det skal være kompetansemål per trinn, lærere får utvikle og endre praksisen vår i tråd sier Line og Jannecke. Vi mener det er et til- med intensjonen i læreplanene. bakeskritt å ha årlige kompetansemål i faget.

tangenten 1/2019 9 Dette oppleves som en innskrenking av faget rette for dette. Andre sier likevel at de synes det og handlingsrommet til lærerne. For eksempel er tydelig hvilke emner det skal undervises i på vil de tverrfaglige temaene da legges til de trin- hvert trinn. nene der disse er tydelige i matematikk. En av grunnpilarene i læreplanen er tilpasset opplæ- Kan dere gi eksempel på områder der det var ring, men det kan bli vanskeligere å tilpasse til det stor enighet i høringsinnspillene fra lærerne alle elevgrupper hvis det ligger spesifikke kom- i Bergen? petansemål for hvert eneste år. Begrunnelsen for Spørsmålene om læreplanutkastet viser kompetansemål per trinn er dybdelæring. Dette tydelig retning for det elevene skal lære, og om vil kanskje hindre forståelse for temaer som går læreplanskissen er fornyet og tilstrekkelig frem- på tvers av fagområder som er en del av defini- tidsrettet, var det stor enighet om blant lærerne sjonen på dybdelæring. i Bergen. Lærerne så en tydelig sammenheng mellom verdigrunnlag, kjerneelementer, tverr- Kan dere gi eksempler på hvilke områder det faglige temaer, grunnleggende ferdigheter og var store sprik i høringsinnspillene fra lærerne kompetansemål. i Bergen? Det var stort sprik i tilbakemeldingene om Dette er det siste lærerintervjuet i Tangenten i læreplanskissen viser et realistisk omfang i denne rekken, for nå sendes stafettpinnen over forhold til timetallet i faget, og om læreplanen til barna. Hva synes dere vi skal spørre barneha- legger til rette for dybdelæring. Med utgangs- gebarn og elever om hvis vi skal få frem tankene punkt i dagens timetall er det mange skoler deres om matematikklæring? som påpeker at det blir lite rom for dybdelæ- Dere kan kanskje spørre: «Hva er matema- ring. Til det er det for mange kompetansemål. tikk for deg?», «Hva motiverer deg for å løse et Skal ønsket om mer dybdelæring innfris, må matematisk problem?», «Hva er det viktigste i timetallet i matematikk økes. matematikken du ville lært bort til en som er Det var også stort sprik i opplevelsen av om yngre enn deg?», «Hvilke råd har du til hva bar- språket i læreplanskissen er klart og forståelig. nehagelærere/lærere bør gjøre mer eller mindre Mange kommenterte at språket er diffust og kan av?» og «Hvordan liker du best å arbeide med gi stort rom for tolkning. matematikk?» Til slutt var det sprik i spørsmålet om utkas- Vår opplevelse er at elevene spiller på lag. Så tet med kompetansemål per trinn legger til rette kanskje vi lærere generelt skal bli flinkere til å for dybdelæring. Mange lærere synes det blir lytte til hvilken matematikkopplæring elever for styrende, og at det heller er begrensende for som følger både nåværende og fremtidige dybdelæring og tverrfaglig arbeid enn legger til læreplaner, egentlig ønsker seg?

10 1/2019 tangenten Munthe-Kaas, Owren Holmboeprisen 2018

Vinneren av den fjortende Holmboeprisen er Skage Hansen, lærer ved Engebråten skole. Prisen ble overrakt av kunnskaps- og inte- greringsminister Jan Tore Sanner i Oslo kate- dralskole den 23. mai 2018. Det var flere gode kandidater til å vinne prisen, og Norsk mate- matikkråd valgte å gi hedersomtale til følgende personer: Inger-Lise Risøy, Krokstad skole og Laila Rosmo Staven, Åfjord videregående skole. Skage Hansen har gjort seg bemerket ved at han underviser på en motiverende og engasjerende måte. Slik er han i stand til å favne alle elever, uavhengig av hva slags matematikkbakg- runn de har. Han er også svært resultatorientert på vegne av sine studenter. Det kan være på sin plass å sitere Dagsavisen 24. april, 2018: «Har du Skage som mattelærer, kan du fort få gode resultater.» Engebråten skole er kjent for sitt gode real- fagsmiljø, og Skage Hansen har med sine kreative og faglig funderte ideer løftet matematikkundervisningen til et høyere nivå. Sammen med Bernt Michael Holmboe (1795–1850), kollegaer har han vært og er en viktig bidrags- J.A. Aubert © Matematisk institutt, UiO Antonella Zanna Munthe-Kaas Universitetet i Bergen yter i utviklingen av Engebråten skoles modell [email protected] for matematikkundervisning, med fokus på dybdelæring og anvendelser av matematikk. Et Brynjulf Owren av hans varemerker er undervisningsaktiviteter NTNU som er lystbetonte og spennende for elevene. Et [email protected] annet er fantastiske resultater når det gjelder tangenten 1/2019 11 elever med høy måloppnåelse i matematikk. Holmboeprisen Mange av Skage Hansens elever tar matema- Dette er en utmerkelse som gis til en lærer tikk på et høyere nivå enn på trinnet de hører eller en gruppe lærere i grunnskole eller til, og de får toppresultater også her. Disse opp- videregående skole som har utmerket seg i siktsvekkende resultatene har gjort at han ved sitt arbeid med matematikkfaget. Prisen på flere anledninger har vært omtalt i media, både 100 000 kr er finansiert av Abelstyret ved det i avisartikler og i fjernsynsinnslag. Han utmer- Norske Videnskaps-Akademi, og skal deles likt ker seg ved å engasjere, utfordre og ta vare på mellom prisvinneren og skolen som han eller hun elevene som har lyst til å bli gode i matematikk. kommer fra. Skage Hansen er også en ressurs for de av Alle kan nominere kandidater til Holmboeprisen. elevene som har lav måloppnåelse i matematikk Det er mulig å nominere en enkelt lærer eller en fra barneskolen. Han er god til å kartlegge hva gruppe lærere som sammen har gjort en innsats elevenes matematikkutfordringer bunner i, og for matematikkfaget. Holmboeprisen deles ut legger opp undervisningen for den enkelte elev hvert år, neste gang 20. mai 2019. slik at de kommer videre i sin læring. Skage Hansen viser på denne måten sin rike matema- For mer informasjon: www.holmboeprisen.no tiske innsikt og oversikt over matematikkfaget i skolen og den matematikken som vil møte elevene videre i skoleløpet. lettet hjemme. Undervisningsfilmene er samlet Skage Hansens undervisningsfilosofi er at i en stor ressursbank og er flittig brukt av andre alle må lære den grunnleggende matematik- matematikklærere og elever ved Engebråten ken så tidlig som mulig, for deretter å anvende skole. Filmene ligger også tilgjengelig på inter- denne kunnskapen gjennom problemløsning nett. over tid. I sin egen praksis benytter han mye Skage Hansen er dessuten en ettertraktet omvendt undervisning. Det vil si at elevene stu- foredrags- og kursholder i matematikk og mate- derer undervisningsfilmer hjemme som lekse, matikkundervisning. Han liker også å utfordre for så å arbeide med problemløsningsoppga- kolleger med egenproduserte oppgaver som ver i klasserommet. Tid som ellers brukes til blant annet spres via sosiale medier. Dette har faglig gjennomgang av nytt lærestoff, frigjøres skapt glede og engasjement, samt mye hodebry til faglig fordypning og individuell oppfølging og til tider frustrasjon da disse nøttene slett ikke i klasserommet. Han har laget undervisnings- er enkle å løse, selv for garvede matematikklæ- filmer og kortstokker med faglige spill som rere. Rektor ved Engebråten skole fortalte om supplerer lærebøker og tradisjonelle oppgaver i skolestart etter sommerferien et år: Mens elever matematikk. Disse produktene er viktige moti- og øvrige lærere kom tilbake fra ferie brune og vasjonsfaktorer for elever, men har vist seg å uthvilte, kom Skage Hansen blek, men desto fange interessen også til de foresatte. Faren til mer opprømt på jobb første skoledag. Han en Engebråten-elev fortalte oss at han alltid hadde brukt hele sommeren på å lage et nytt hadde noen slike kortstokker liggende på toa- undervisningsopplegg for elevene.

12 1/2019 tangenten Jensen, Tangen Skage Hansen, vinner av Holmboeprisen 2018

Holmboeprisen ble opprettet som en minnepris etter matematikeren Bernt Michael Holmboe av Det Norske Videnskaps-Akademi til fremme for god undervisning innen matematikk. Holmboe- prisen deles ut til en eller flere matematikklærere eller et matematikkmiljø i den norske grunnsko- len eller den videregående skolen. Skage Hansen vant prisen i 2018, og han arbeider som lærer på Engebråten skole på Grefsen i Oslo. Vi er glade for å kunne presentere et intervju med Skage Hansen i dette nummeret av Tangen- ten, hvor han forteller om sin spennende mate- matikklæring og arbeidet på Engebråten skole.

Skage Hansen, kan du fortelle hva som kjenneteg- ner matematikklæring i dine grupper? Jeg gir elevene utfordringer og har fokus på problemløsning. Ved å benytte blant annet Skage hansen under prisutdelingen. omvendt undervisning klarer jeg å få mange Foto: Thomas Brun / NTB Scanpix elever opp på et høyt nivå i matematikk, og flere elever arbeider med oppgaver og temaer fra ung- Mange av elevene jeg har på ungdomstrinnet, domstrinnet allerede når de går på barnetrinnet. arbeider med oppgaver som er mye vanskeligere enn det som til slutt gis til eksamen på 10. trinn. Renate Jensen Jeg viser at jeg har tro på elevene og gir dem Bergen kommune, fagavd. barnehage og skole tidlig redskaper som er viktige for å løse åpne [email protected] oppgaver der det ikke er en gitt fremgangsmåte. Oppgavene har gjerne flere løsninger, og jeg Janneke Tangen bruker ofte komplekse geometrioppgaver. Elev- Bergen kommune, fagavd. barnehage og skole ene blir introdusert for ligninger med både en og [email protected] to ukjente, kvadratrøtter, potenser og funksjoner tidligere enn det som er vanlig, og så benytter de tangenten 1/2019 13 dette etter hvert som de er klare for det og ser Jeg kunne kanskje vært flinkere med dem nytten av det i sin oppgaveløsning. På 8. trinn som strever mest, men også for disse elevene arbeider elevene første halvår med tallregning har jeg alternativer oppgaver og fremgangsmåter. og regnerekkefølge, og mange kommer så langt Men jeg mestrer ikke alltid å få engasjementet at de regner med kvadratrøtter. Andre halvår for matematikk blant disse elevene slik jeg gjør arbeider elevene mye med figurtall, likninger, med de som har større interesse og motivasjon formler og mønster. Da har vi alt grunnlaget for matematikk. Her har jeg heldigvis hjelp av vi trenger for 9. trinns arbeid med geometri. et godt spesialpedagogisk team på skolen som Elevene tar med seg problemoppgaver hjem og hjelper med å tilrettelegge for dem som strever sender meg gjerne svar om kvelden. Vi arbei- aller mest. der med så komplekse oppgaver at mange elever opplever at det blir kjedelig når de begynner Hva fokuserer du på i matematikklæringen? med 1T og bare får arbeide med ett og ett tema Da vil jeg trekke frem tre viktige ting. Det om gangen. De savner oppgaver som går utover første er å velge gode problemløsningsoppgaver emnet de arbeider med, og entusiasmen ved å der elevene sitter i grupper og må finne frem- klare vanskelige, spennende problemer. gangsmåter og verktøy, og hvor de argumente- rer for sine løsninger. I dette arbeidet er mate- Hvordan klarer du å motivere alle elever til å lære matiske begreper viktige fordi disse gir elevene matematikk? mulighet til å lese, skrive og være muntlige i Min styrke er nok at jeg har en stor bank med faget. oppgaver å velge mellom, samtidig som entusias- Jeg bruker som nevnt omvendt undervisning, men min smitter veldig over på elevene når jeg der elevene ser undervisningsfilmer og svarer engasjerer meg i oppgavene. Ved å ha progresjo- på spørsmål knyttet til filmen som forberedelse nen klart for meg skreddersyr jeg passe utfor- til det som skal skje i neste time. Spørsmålene drende oppgaver til hver elev. Jeg har det meste elevene svarer på viser om de har forstått emnet i hodet, noe som gir meg mulighet for å være filmen fokuserer på. Disse filmene er tilgjengelig spontan og finne oppgaver som utfordrer elev- for elevene når de trenger å repetere eller ønsker ene og tilbyr progresjon. På den måten mestrer å jobbe med stoff som ikke er tema i perioden. jeg å tilpasse undervisningen til mange elever. Dette gjør dem i stand til å ta ansvar for egen Spesielt kan jeg differensiere mye fra middels til læring. Ved å jobbe mye med videoundervisning høyt nivå. Det er et godt elevgrunnlag i skole- blir det mindre tid på tavlen og mer tid til indi- området vårt, og med humor og variasjon får viduell oppfølging. jeg motivasjon for faget og elever som har tro på Vurdering er også viktig. Jeg ønsker at elev- at de mestrer. ene skal lære noe av prøver i faget. Det å ha fokus Stikkord for å skape motivasjon er at jeg på hva de mestrer nå, er viktigere enn det de arbeider utradisjonelt, tar utgangspunkt i det mestret på prøven. Det er viktig å hjelpe elevene som engasjerer elevene, som for eksempel spill, til å se fremgang og dermed få tro på at de lærer og legger til rette for kommunikasjon, samarbeid når de står i utfordringer over tid. og problemløsing. Mange elever arbeider videre med oppgavene hjemme og er synlig stolte og Hvordan beskriver elevene sin egen matematikk- glade når de finner løsninger som jeg gjerne ikke læring? har tenkt på. Jeg opplever ofte at elevene sender Jeg håper de vil trekke frem at alle elever føler meg meldinger hvor de forteller om arbeid de de bidrar, gjennom å få vise sine løsningsmeto- har gjort utover det som er forventet. der og være med på å både medvirke og påvirke

14 1/2019 tangenten sin egen læring gjennom samarbeid og dialog. Elevene må forstå på sitt nivå før læreren Fagdager tror jeg også mange elever setter haster videre. Lærerne hjelper elevene der de er. stor pris på, og de er med på å gi mestring og Dette krever at lærere på samme trinn samar- læring i faget. Elevene våre på 8. trinn får bruke beider og legger gode og helhetlige planer i faget. første time på å forberede seg i fellesskap og kan- Det er viktig å legge stor vekt på problemløs- skje også lunsjpausen underveis til å utveksle ning, kreativitet og matematisk kommunika- erfaringer. sjon. Disse ferdighetene er definert som nøkkel- Jeg tror også de liker å lære matematikk med kunnskap for at elevene skal mestre i fremtiden. humor og mye latter. Jeg er ikke redd for å vise at jeg ikke alltid har svar på oppgaver. Hvordan legger du til rette for dybdelæring i matematikkfaget? Hvilke råd vil du gi til lærere som ønsker å vide- Da vil jeg trekke frem Engebråtenmodellen reutvikle matematikklæring for fremtiden? som vi har utviklet på skolen der jeg arbeider. Sammenflettingsprinsippet er et nøkkelord. Det er en modell for organisering av matema- Med det mener jeg at elevene ikke møter repe- tikkundervisningen ved skolen, og som bygger tisjon i tradisjonell betydning, men at de får på det jeg har fortalt om min undervisning. oppgaver og utfordringer der det er naturlig å Den beskriver et treårig løp med en struktur få bedre forståelse av det de allerede har lært. som vektlegger tilpasset opplæring og dybdelæ- Arbeider elevene med en utforskende oppgave ring. Andre skoler og Utdanningsetaten i Oslo i geometri, vil det naturlig bli en repetisjon av har vist interesse for modellen. Den bygger på begreper og verktøy knyttet til for eksempel nyere forskning, som igjen ligger i kjerneele- areal. De møter behovet for å forstå, og det gir mentene i ny læreplan. Lærere og skoleledere fra et ønske om å mestre når målet er å finne en løs- hele landet kan komme på besøk på Engebråten ning – ikke bare å løse oppgaver hvor svaret ikke skole. Vi åpner våre klasserom for dem som er viktig for dem, men at det skal brukes videre ønsker å oppleve modellen i praksis og møte for å nå et mål. Likninger, algebra, figurtall og engasjerte elever og lærere. tallforståelse knyttes til andre temaer. Dette er Så med det som avslutning takker vi Skage dybdelæring i praksis. Elevene bruker hele veien Hansen for en inspirerende og hyggelig prat om det de kan, både i kjente og ukjente sammenhen- viktige temaer. ger – men uten at de tenker repetisjon.

tangenten 1/2019 15 Risøy Elevaktivitet for å motivere og engasjere

«Det har vært vanskelig fordi jeg har fått het til å oppmuntre sine barn til å jobbe godt ansvar selv for oppgaven, men det er nok det i faget slik at de utvikler utholdenhet. Læring som har gjort den morsom og interessant» skjer når elevene kjenner at hjernen «koker «Jeg har fått lov til å undersøke noe som litt» når de skal forske på tall eller får en jeg lurer på, det har vært fint» problemløsningsoppgave. Med foreldrene på lag (Elever på 7. trinn) kommer man langt i arbeidet med å få fram en indre motivasjon hos elevene, samtidig som vi Det var utrolig flott både og bli nominert til som lærere må sørge for at de får oppgaver som Holmboeprisen og så få hederlig omtale fra oppleves som meningsfylte og gir engasjement. Holmboekomiteen. Det setter jeg stor pris på, I min undervisning jobber elevene jevn- og da jeg ble spurt om jeg kunne skrive en artik- lig med utforskningsoppgaver og problemløs- kel til Tangenten, tenkte jeg med en gang at det ningsoppgaver. De er engasjerte og syns det er må bli noe om erfaringer fra praksis. Selv om spennende oppgaver å jobbe med. Vi løser jule- jeg holder kurs for lærere og foreldre, gir tips kalenderen på matematikk.org, er med på Ken- og deler erfaringer med kollegaene mine, er det gurukonkurransen og deltar på Mattemaraton med elevene jeg virkelig får prøvd ut hva som i regi av Kikora. Det er viktig med variasjon engasjerer. Jeg har erfart at mitt engasjement både i organisering og aktiviteter for å få enga- kan smitte over på elevene hvis de får oppgaver sjerte elever. Jeg bruker aktivt samtaletrekk og som interesserer dem. prøver å få matematisk produktive samtaler I tillegg har foresattes holdninger veldig mye for å fremme både læring, tenkning, refleksjon å si for barna deres. Jeg er til stede på mange og motivasjon hos elevene (Wæge og Nosrati, foreldremøter for å motivere og engasjere for- 2018). eldrene til å bidra med positive holdninger til Blant annet er det mange år siden jeg sluttet faget. Det er viktig å samarbeide med forel- å ta med bunken hjem for å rette matematikk- drene når det gjelder matematikkfaget. Ved å bøker. Jeg erfarte at de som hadde mange feil, ha en positiv holdning har de en unik mulig- aldri klarte å rette det opp til neste lekse. Og det var ikke rart, de skjønte det jo ikke, det var Inger-Lise Risøy jo derfor de hadde feil. Jeg bestemte meg for at Krokstad skole heretter når jeg gir lekser eller egentrening, så [email protected] skal jeg sette av tid på skolen slik at elevene får mulighet til å snakke sammen og diskutere det

16 1/2019 tangenten de har gjort hjemme. Det valget har jeg aldri 7. trinn og med et blikk på kompetansemålene angret på! Når jeg går rundt og hører på de for 10. trinn laget jeg en relativ åpen oppgave flotte matematiske samtalene og refleksjonene som dekket alle mål innenfor statistikk for ved denne måten å jobbe på, ja, da varmer det 7. trinn. Alle elevene på trinnet kunne gjennom- en lærers matematikkhjerte. føre den ut fra sitt ståsted og kunne oppfylle Som lærer er det viktig å skape engasjement kompetansemålene, om enn i ulik grad. På for- og glød og stille seg undrende til mange opp- hånd hadde de jobbet med sentralmålene, slik gaver. Vi lærere trenger ikke å ha svar på alt, at de var kjent med typetall, median og gjen- men kan være gode veiledere og være nysgjerrig nomsnitt. Oppgaven gikk ut på følgende: sammen med elevene. Utfordringen er å få alle elever engasjert og klare å tilpasse oppgavene 1. Tenk nøye igjennom hva du vil undersøke, til alle nivåer. og hvem du ønsker å spørre. Her vil jeg komme med et eksempel. Når jeg 2. Lag en hypotese – det vil si at du skriver som lærer føler at oppgavene vi jobber med, er noen setninger om hva du tror resultatet kjedelige, da er det på tide å ta grep. I høst skulle blir. vi på 7. trinn jobbe med følgende kompetanse- 3. Lag spørsmål til undersøkelsen din. mål for statistikk: Maks fire spørsmål. Tenk igjennom om spørsmålene gir deg svar på det du lurer på – planleggje og samle inn data i samband eller ønsker å undersøke. med observasjonar, spørjeundersøkingar 4. Finn ut hvilket utvalg du vil ha (antall, og eksperiment alder, kjønn.) Du kan forandre utvalg i – representere data i tabellar og diagram som løpet av undersøkelsen din, men begrunn er framstilte med og utan digitale verktøy, hvorfor du endret på det. lese og tolke framstillingane og vurdere kor 5. Gjennomfør undersøkelsen. Pass på å nyttige dei er notere underveis – det kan være lurt å ha – finne median, typetal og gjennomsnitt i laget ferdig en tabell på forhånd som du enkle datasett og vurdere dei ulike sentral- kladder inn i. måla i forhold til kvarandre (www.udir.no) 6. Etter undersøkelsen rydder du i notatene dine og får oversikt over resultatet. Læreboka og nettoppgavene gikk ut på å lese a) Har du spurt mange nok? av ulike diagrammer og løse oppgaver. Jeg som b) Fikk du svar på det du lurte på? lærer syntes at dette var lite utfordrende både for c) Må du stille tilleggsspørsmål? elevene og meg. Kjerneelementene var omtrent 7. Før tabellen med resultatene inn i Excel. på plass, og jeg tok utgangspunkt i dem og end- 8. Lag diagram i Excel – begrunn hvorfor du ringene i faget ut fra hva som sto på sidene til velger akkurat det diagrammet. Utdanningsdirektoratet: «statistikk er viktige 9. Vurder om undersøkelsen gikk slik du områder der tall benyttes i realistiske sammen- hadde tenkt. henger» (www.regjeringen.no). Ved å lage en 10. Forbered en presentasjon på maks tre oppgave som både krevde utforskning, model- minutter hvor du forteller om undersøkel- lering, anvendelse, resonnering, argumentasjon sen og resultatet. Her blir det viktig å få og representasjon, ønsket jeg å utfordre elevene med om det var noe du ville endret på hvis og legge til rette for aktivitet og kreativitet. du skulle ta den en gang til – eventuelle Statistikk er et område hvor man har mulig- sterke og svake punkt. het til at elevene opplever relevans i matematikkfaget. Ut fra kompetansemålene innenfor Vi hadde målsettinger i arbeidsprosessen hver tangenten 1/2019 17 sto omtrent og dirret foran utgangsdøra før det fri- minuttet da jeg godkjente at nå kunne de starte. Nå var det om å gjøre å samle informasjonen de fikk inn etter hvert, slik at de kunne finne tilbake til notatene sine. En av guttene erfarte at det ikke var lurt å legge notatene i lomma når buksa hadde endt i vaske- maskinen. Dataene ble lagt Figur 1: Mobiltelefon inn i en tabell i Excel, og de prøvde ut ulike diagram- uke, slik at ingen skulle bli hengende etter eller mer for å se hvilket som best viste resultatet. jobbe for fort. Den første uka jobbet vi med et Det ble gode diskusjoner om sentralmål som felles tankekart for å gi hverandre ideer til hva typetall, median og gjennomsnitt. Når er det de ønsket å undersøke, og ikke minst hvorfor lurt å bruke hvilke sentralmål, og er et typetall de ønsket å finne ut av noe. Mange valgte ulike bestandig et tall? Tiden var inne til å sammen- oppgaver som handlet om fag, mat, frukt, kjæle- fatte resultatet skriftlig, gi en begrunnelse på dyr, fritidsaktivitet, boksjanger, musikksjanger, hvorfor det ble slik, og vurdere om hypotesen spill, mobiltelefoner og fargevalg (se figur 1). Det stemte. Klarte de å sikre kvaliteten på undersø- var ikke mange som valgte å undersøke samme kelsen, og gjorde de endringer underveis? ting. Samme uke diskuterte vi spørsmålsstil- En relativt åpen oppgave med egne valg linger og forskjellige typer spørsmål, hvilket underveis virker ofte motiverende for elevene utvalg trenger du for å få svar på akkurat det fordi de har erfaring fra hverdagen utenfor du lurer på (antall, kjønn, alder), og hva en kva- skolen og bruker den erfaringen for å velge sin litetsmessig god undersøkelse er. Vi hadde gode undersøkelse. For eksempel engasjerte oppga- felles refleksjonssamtaler og diskusjoner. De ven flere av de guttene som er opptatt av spill, aller fleste ville ut og undersøke med en gang, og noen ville undersøke hvilke spill elever på men en viktig del av målsettingen var å være 7. trinn var opptatt av (se figur 2). De var reflek- «virkelige» forskere, og de forbereder seg godt. terte og valgte utvalg ut fra hva de trodde ga Hvordan henvender man seg til noen man skal et mest realistisk bilde av virkeligheten blant spørre om noe? elever på 7. trinn. Andre ville undersøke hvor Elevene konstruerer sin egen forståelse, og ofte elevene spilte, og valgte både hverdager og det ble viktig å lage hypoteser på forhånd. Hva helger for at det skulle bli så reelt som mulig (se trodde de svaret ble på det de spurte om? Og figur 3). Interessen gjorde at de fikk et eierfor- hvorfor trodde de at det ble slik? Hypotesen ble hold til oppgaven og fikk en indre motivasjon. godkjent av meg før de kunne begynne å spørre. Når elevene blir aktivt engasjert, kan det igjen De fleste laget et spørreskjema, og mange fant ut føre til læring og utvikling faglig. Det Wæge og at det var lurt med en tabell for å holde orden på Nosrati (2018, s. 20–21) skriver om at indre mot- svarene. Som en av elevene sa ved evalueringen: ivasjon ofte gir resultater i form av utholden- «Det ble viktig å holde orden og ta ansvar slik at het, glede, selvtillit, kreativitet, engasjement og man vet hvor man har all informasjonen.» De et utvidet spekter av problemløsningsstrategier,

18 1/2019 tangenten lig i hele prosessen fram til evalueringen i etterkant av framføringen at det var viktig for elevene å jobbe med en oppgave som de selv hadde ansvar for. Det var flott som lærer å observere underveis hvordan de engasjerte seg for å få en så sikker under- søkelse som mulig. De var opptatt av å drøfte med klassen underveis om de hadde intervjuet mange Figur 2: Spillvalg nok for å få et bra utvalg, så jeg i praksis, og det ga meg en bekreftelse på og diskuterte med læringspartneren om spørs- at det er viktig som lærer å fremme indre moti- målene var presise nok. Alle hadde tanker om vasjon hos elevene. I tillegg vil motiverte elever hvordan undersøkelsen kom til å gå. De ga ofte gjøre mer enn det som kreves, noe jeg så uttrykk for at de følte at de var «ekte forskere». veldig tydelig i arbeidet med undersøkelsen. De Karlsen skriver om hvor viktig det er å legge skulle presentere undersøkelsen, og jeg oppfor- til rette for et klassemiljø slik at elevene får lov dret dem til å være kreative og kanskje bruke til å «tenke sjæl» i et læringsmiljø som åpner andre virkemidler enn Excel. Noen begynte å for elevaktivitet, refleksjoner, spørsmål og lage en presentasjon i PowerPoint, og dermed ble flere motivert til å prøve det. De hjalp hver- (fortsettes side 48) andre, og til slutt var det bare noen få elever som ikke hadde valgt det som et hjelpemiddel til presentasjon. Det å snakke sammen gir rom for økt læring, og læringsmiljøet som læreren fremmer, vil åpne for at elevene søker svar, bruker utforskning og undring som teknikker, prøver ut antagelser og underveis forandrer strategier for å nå et svar på for eksempel undersøkelsen. Et trygt læringsmiljø og en utforskende lærer legger til rette for at det skal foregå dybdelæring både individuelt og i samspill med for eksempel en læringspartner. Flere elever uttalte at det var spennende og interessant å høre på hva de andre hadde undersøkt. Innenfor matematikken anbefales det at lærere bruker elevenes interes- sefelt og kompetanseområde, og når det gjelder emnet statistikk, har lærere en unik mulighet til å gripe tak i det elevene er interessert i (Herheim & Johnsen-Høines, 2016, s. 10–15). Det var tyde- Figur 3: Spillvaner tangenten 1/2019 19 Kjebekk, Dean Studenters forskning i DIM-prosjektet

Ve skole, Samfundets skole og UiA har hatt fra én av masteravhandlingene var en medvir- et nært samarbeid fra 2015 til 2018. Tre klas- kende årsak til at også Chromebook tatt i bruk. ser, sju lærere og flere matematikkdidaktikere For oss har prosjektet vært svært lærerikt, men og studenter fra UiA har vært deltakere i dette ikke minst har studentenes forskning vært digitale, interaktive forskningsprosjektet. Målet interessant og gitt nyttige korrigeringer i pro- med prosjektet var å skape innovativ undervis- sjektperioden. Denne artikkelen vil presentere ning i matematikk ved å kombinere interaktive funn og konklusjoner fra studentenes forskning. digitale enheter og utnytte simuleringer, film og digitale kommunikasjonsformer. Læringsutbytte med digitale hjelpemidler I denne artikkelen vil vi trekke fram noen Fojcik (2018) fant ut at digitale verktøy i matema- av funnene som to bachelor- og fem masterstu- tikk har et stort potensial når det gjelder a hjelpe denter fra UiA kom fram til. Disse ble veiledet elevene med a utvikle matematisk kompetanse, av forskerne i matematikkdidaktikk ved UiA men det er avhengig av den digitale ferdigheten (Fuglestad, Erfjord og Hundeland), og disse til både lærerne og elevene. Flaten (2016) analy- studentene samt PhD-student Fidje har gjen- serte ei elevgruppes bruk av GeoGebra til visua- nom sine bidrag vært viktige i DIM1-prosjektet lisering og utforsking av matematiske begreper. (Digital interaktiv matematikkundervisning). Hun slår fast at det er verktøyet som er avgjø- Flere av studentene valgte emnet geometri og rende, da de samme aktivitetene ikke ville være bruk av GeoGebra. mulig uten et dynamisk visualiseringsverktøy. Ved oppstarten i 2015 fikk omtrent 60 elever Hennes funn viste hvordan dra-funksjonen i på 8. trinn hver sin iPad. Funn og konklusjon GeoGebra spilte en sentral rolle i det hun defi- nerte som meningsfylte læringssituasjoner i Inga Kjebekk arbeid med geometriske problemer. Lærerens Ve skole design av oppgave, rettledning underveis i timen [email protected] og medelevene i gruppa var viktige elementer i læringsprosessen. Ved å strukturere elevenes Evert Dean aktivitet fikk elevene mer begrensede valgmu- Samfundets skole ligheter. Oppmerksomheten deres ble da rettet [email protected] mot det de skulle erfare og øve på, og slik kunne elevene lære geometri i arbeid med GeoGebra.

20 1/2019 tangenten Bruk av iPad som digitalt hjelpemiddel bilde av objektene forsvinner de dynamiske Flaten (2016) oppdaget at sensitiviteten i iPa- mulighetene. Seinere i DIM-prosjektet tok vi dens berøringsskjerm ikke var optimal når elev- hensyn til disse funnene fra Flaten, og elevene ene skulle dra i et punkt på figuren. Det kunne måtte vise figurenes dynamiske egenskaper ved ende opp med at elevene i stedet flyttet figuren. filming av skjermen mens figuren ble dratt. Elevene fikk da vanskeligheter med dra-testen. Bruk av digitale verktøy kan også virke nega- GeoGebra på iPad fungerte heller ikke optimalt tivt inn på elevenes motivasjon, og det kan for fordi programmet til tider hang seg opp. Flaten eksempel skje hvis elevene ikke har fått nok (2016) beskriver i sin masteroppgave fordeler opplæring i digitale verktøy. Dette ble belyst i ved bruk av bærbar, håndholdt enhet som elev- masterprosjektet til Markseth (2017). ene lett kan ta med seg, men konkluderer likevel Elevene syntes at det noen ganger er proble- med at det er en del ulemper ved bruk av Geo- matisk å skrive matematiske utregninger ved Gebra på iPad. hjelp av digitale verktøy. Under et intervju med noen elever i masterprosjektet til Fojcik (2018) Andre utfordringer med digitale hjelpemidler fant hun indikasjoner på dette. Elevene ønsket Flaten (2016) konkluderte også med at måten at bruk av digitale verktøy skulle være valgfritt, elevene brukte GeoGebra på, hadde betydning fordi det tok så lang tid og var så vanskelig å for læringsutbyttet deres. Elever som fikk lite regne og skrive matematiske formler. teknisk veiledning, hadde større tendens til å lage tegninger i stedet for figurer som hang Inquiry i DIM-prosjektet sammen, og som kunne dras slik de ønsket Jaworski (2009) beskriver inquiry med ord som det. Hun avdekket imidlertid også eksempler spørre, undersøke, skape, diskutere, reflektere og på meningsfulle situasjoner der elevene fikk undre. I et lærerintervju utført av Bjørkmann og godt læringsutbytte i arbeid med det digitale Vabo (2018) kom det fram at inquiry ble lagt inn verktøyet, selv om det ble gitt lite veiledning av som et element i DIM-prosjektet, for det skulle læreren og elevene brukte det mer som et tegne- være læring og ikke det tekniske som skulle program. Når en skal designe oppgaver der en være det sentrale. En har prøvd å ha fokus på å ønsker å fremme kreativitet og problemløsing, designe oppgaver med lav inngangsterskel, men blir de gjerne uten entydige, klare instruksjoner med dybde slik at det er rom for å undersøke og for hva elevene skal gjøre, og hvordan de skal undre, altså åpne oppgaver med flere løsninger. konstruere de geometriske figurene. Ved hjelp av IKT-verktøyene kan en påvirke Flatens (2016) råd til lærere er at elevenes utforskningsmulighetene. oppmerksomhet bør rettes mot relevante aspek- Studier i DIM-prosjektet har vist at elevene ter og mot at de lager figurer, ikke tegninger, slik gir uttrykk for at de liker å jobbe på en under- at de kan få en større forståelse av matematiske søkende måte ved hjelp av digitale verktøy både begreper. Elevene laget tegninger av objekter på egen hånd og gjennom diskusjoner og sam- som tilsynelatende så ut til å ha bestemte geo- arbeid (Fojcik, 2018). De er motiverte og enga- metriske egenskaper, men de geometriske egen- sjerte og har en positiv holdning til matematikk. skapene var ikke bevart ved en dra-test. Når Stålesen (2016) nevner at det kan virke som elevene ble bedt om å lagre løsningen på geo- at en inquiry-tilnærming til undervisningen metriske problemer, ble det oftere gjort ved at de kombinert med et oppgavesett på et høyt kog- tok skjermbilder av objektene, enn at de lagret nitivt nivå gir det største læringspotensialet. selve GeoGebra-filen. GeoGebra hjelper elever Basert pa analysene av oppgavene og intervju- med visualisering og utforsking av matematiske ene fant hun at dette er tilfellet i en stor andel begreper på en ny måte, men ved å ta skjerm- av oppgavene som er utviklet i tilknytning til tangenten 1/2019 21 DIM-prosjektet. Oppgavesettet har dermed et oppgavene ble både lettere og gøyere. Markseth stort potensial for læring hvor anvendelsen av (2017) konkluderte med at digitale verktøy er en digital kontekst ikke bare fører til at elevene med på at elevene føler mestring og motivasjon sitter igjen med spesifikk digital verktøykunn- i faget. skap, men ogsa en større forståelse for matema- I DIM-prosjektet har en også hatt fokus på tiske relasjoner og begreper. Oppgaver utviklet elevproduserte filmer. Elevene skulle levere inn i DIM-prosjektet er spesielt blitt studert i mas- en besvarelse på en matematikkutfordring som terprosjektet til Stålesen (2016). Hennes studie film der de forklarte hvordan de tenkte. Fojcik viste også at oppgavesettene legger til rette for (2018) fant at elevene opplevde film som en at bade faglig sterke elever og de som strever, får motiverende metode for å sjekke faglig kunn- utfordringer hvor de kan utvikle seg i takt med skap og få tilbakemelding. Markseth (2017) sine evner og forutsetninger. I oppgavesettet nevner at resultatene fra studien viser at bruk av som Stålesen analyserte i sin masterstudie, digitale verktøy fører til høyere forventning om ble 75 % av oppgavene kategorisert som mestring. En stor andel av elevene mener de får utforskningsoppgaver, hvor 58 % av disse lå til flere oppgaver når de bruker digitale verktøy. innenfor kategorien guidet utforskning. Det betyr igjen høyere selvtillit, og elever med høy selvtillit har også høy motivasjon. Elev- Digitale enheter gir større motivasjon og ene er ikke redde for å spørre om hjelp om de inspirasjon ikke får til oppgaven. Dette indikerer også en Bjørkmann og Vabo (2018) spurte elevene om høy selvtillit, da elever med en forventning om deres syn på digitale hjelpemidler, og svarene mestring ikke ser på det å få feil svar og spørre tydet på at elevene selv mente at de lærte mer og om hjelp som et nederlag, men heller som en bedre med disse hjelpemidlene. Elevene fortalte mulighet for læring. at de var «veldig fornøyd» med undervisningen og syntes at digital matematikkundervisning Digitale enheter gir større effektivitet i timene var «veldig bra», «gøy», «en gøy mate a lære pa» Under et intervju ble elevene spurt: «Hvordan og «du lærer ganske mye ut av det». Slike posi- blir GeoGebra brukt som læringsredskap i tive ord skildrer en positiv holdning, konstaterte geometri?» Til dette responderte elevene med Fojcik (2018). å si at GeoGebra ble brukt som et mer effek- tivt læringsverktøy i geometri. En kommer for- tere fram til en løsning enn med penn og papir (Bjørkmann & Vabo, 2018).

Digital enheter gir mulighet for større dybdeforståelse i matematiske begreper Bjørkmann og Vabo (2018) observerte at det kom fram flere hypoteser når digitale verktøy ble brukt, sammenlignet med tradisjonelle verktøy, og at slike hjelpemidler bidro til større dybde i diskusjonene. Bruk av elevproduserte filmer gir muligheter til større forståelse. Fojcik I en spørreundersøkelse svarte 66 % av elev- (2018) fant at elevene uttrykte at filmer eller ene at de får til flere oppgaver når de bruker skjermopptak kan forklare og hjelpe dem til a digitale verktøy. Begrunnelsen for dette var at forsta matematikken.

22 1/2019 tangenten SAMR-modellen i DIM-prosjektet menhenger og finne ut hvordan objektet er I samarbeidet mellom skolene og universitetet konstruert. har vi brukt SAMR-modellen (Puentedura, – Oppgaver som utfordrer elevene til å for- 2006) til didaktisk analyse av oppgavene og utsi hva som kommer til å skje når de drar i undervisningen. SAMR er en forkortelse for et punkt på figuren. Substitution, Augmentation, Modification og – Oppgaver på et høyere kognitivt nivå, der Redefinition. Dette uttrykker fire nivåer, der det det kreves kompleks og ikke-algoritmisk laveste (S) beskriver innføring av digitale enhe- tenking for å løse dem. ter uten å gjøre noen endringer, og det høyeste (R) der en skaper nye didaktiske muligheter i opplæringen som var utenkelig uten teknologi. Bjørkmann og Vabo (2018) fant at det digitale kan være et supplement for det tradisjonelle, og da kan det skape en endring eller redefine- ring av undervisningsmiljøet. Kommunikasjo- nen mellom elever og mellom elev og lærer var delvis digitalisert. Den digitaliserte dialogen var ikke en erstatning for muntlig dialog, men et supplement med merverdi.

Dynamiske muligheter i GeoGebra Stålesen (2016) fant at oppgaver som var laget for bruk av GeoGebra, la til rette for at elevene kunne undersøke figurene ved a benytte dra- Kognitive krav er en viktig forutsetning for verktøy. Dette kan synliggjøre de underliggende a skape stort potensial for læring (Stålesen, matematiske sammenhengene. Totalt sett peker 2016). Analyse av DIM-oppgavene avdekket at disse funnene mot en vellykket integrering av 65 % av oppgavene defineres somoppgaver med dynamiske geometriprogrammer hvor teknolo- høyere niva av kognitive krav. Oppgavesettet har gien gir mening til matematikken, samtidig som dermed stort potensial for læring hvor anven- matematikken rettferdiggjør bruken av tekno- delsen av en digital kontekst ikke bare fører til logien i undervisningen. at elevene sitter igjen med spesifikk digital verk- tøykunnskap, men ogsa en større forstaelse for Analyse av DIM-oppgavene matematiske relasjoner og begreper. Stålesen (2016) analyserte mange av oppgavene i DIM-prosjektet. Hun peker spesielt på noen Orkestrering av undervisningen kjennetegn ved oppgaver som gir størst poten- Øystese (2016) beskriver ulike måter å sial for læring: orkestrere eller organisere undervisning på: – Guidet utforskning der eleven får litt start- technical-demo, link-screen-board, discuss the hjelp i utforskningen. screen, explain the screen, spot-and-show og – Åpen utforskning med oppgaver uten noen sherpa-at-work (Drijvers, Doorman, Boon, form for presisering. Reed & Gravemeijer, 2010). Øysteses funn – Muligheter for å bruke nye og effektive viser at lærere i DIM-prosjektet utnyttet løsningsstrategier. forskjellige orkestreringstyper for å skape flyt – Oppgaver som presenterer elevene for en i undervisningen, og den digitale tavlen gir figur, hvor elevene skal undersøke sam- dynamiske muligheter framfor den tradisjo- tangenten 1/2019 23 nelle tavlen med kritt. Hans funn har også vist Drijvers, P., Doorman, M., Boon, P., Reed, H. & Gravemei- at lærerens erfaringer i det digitale klassemil- jer, K. (2010). The teacher and the tool: instrumental jøet vil avgjøre hvordan de digitale verktøyene orchestrations in the technology-rich mathematics utnyttes for et større læringspotensial. classroom. Educational Studies in Mathematics, 75(2), 213–234. Avslutning Flaten, L. (2016). Læring av geometri ved bruk av digitale Det har vært noen spennende og lærerike år for verktøy. En studie av elevers bruk av GeoGebra i oss matematikklærere som deltakere i dette pro- arbeid med geometriske problemer på 8. trinn (Mas- sjektet, ikke minst gjennom vårt samarbeid med teroppgave). Universitetet i Agder, Kristiansand studenter og forskere ved UiA. Vi har i denne Fojcik, M. K. (2018). Elevanes oppleving av inquiry-basert treårsperioden også formidlet våre erfaringer digital matematikkundervisning (Masteroppgave). både på konferanser og gjennom flere artikler Universitetet i Agder, Kristiansand. i Tangenten. Prosjektet ble avsluttet i juni 2018, Jaworski, B. (2009). Avslutningsforedrag: Becoming og med dette sammendraget av lærerstudente- inquirers in learning and teaching mathematics. nes funn og konklusjoner fra DIM-prosjektet Lær bedre matematikk – undring og utforsking. håper vi at vår formidling kan bli til nytte for Konferanse 23.–24. september 2009. Kristiansand: andre. For dem som ønsker å vite noe mer, vil Universitetet i Agder. vi henvise til www.dim2015-18.no. Markseth, M. F. (2017). Motivasjon ved bruk av digitale verktøy. Hvordan kan bruk av digitale verktøy påvirke Noter motivasjonen til elevene i matematikk? (Masteropp- 1 1 DIM: Digital Interaktiv Matematikkundervisning gave). Universitetet i Agder, Kristiansand. 2 GGB: GeoGebra Puentedura, R. (2006). Transformation, technology, and 3 SAMR-modellen, se for eksempel http://digitaldi- education (Blog post). Hentet fra http://hippasus. daktikk.no/refleksjon/detalj/samr-modellen eller com/resources/tte/. https://link.springer.com/article/10.1007/s11528- Stålesen, I. J. (2016). Læringspotensial i en digital interak- 016-0091-y tiv matematikkundervisning. En analyse av lærings- potensialet i geometriundervisningen på 8. trinn med Referanser utstrakt bruk av digitale verktøy (Masteroppgave). Bjørkmann, V. & Vabo, S. (2018). Digital interaktiv Universitetet i Agder, Kristiansand. geometriundervisning. En studie av hvordan digitale Øystese, Å. (2016). En lærers undervisningsmetoder i hjelpemidler bidrar til inquirybasert geometriunder- geometri på 8. trinn når GeoGebra brukes. Studie av visning i 10. klasse ved Samfundets skole (Bachelor- ulike orkestreringstyper og deres betydning i under- oppgave). Universitetet i Agder, Kristiansand. visningen (Masteroppgave). Universitetet i Agder, Kristiansand.

24 1/2019 tangenten Torkildsen Overvåkningskamera En butikkeier ønsker å hindre nasking fra butikken, og han bestemmer seg for å få satt opp et overvåkningskamera. Eieren plasserer kameraet i punkt P, i det ene hjørnet av butikken. Kameraet kan dreie rundt 360 grader.

1. På tegningen er det plassert ti personer: A, B, C, D, E, F, G, H, J og K. Hvilke av disse personene kan ikke bli sett av kameraet? 2. Butikkeieren sier at «15 % av butikken kan ikke sees av kameraet». Er dette rett? 3. Undersøk: Hvor vil du/dere plassere kameraet slik at det kan se så mye som mulig av butikken? 4. Forklar hvorfor du/dere mener at dette er den beste plasseringen. 5. Butikkeieren vil sette opp ett eller flere speil slik at han kan se hele butikken. Hvor må disse stå, og hvor mange trenger han?

nngang

Ole Einar Torkildsen Høgskulen i Volda [email protected] tangenten 1/2019 25 Naylor Forestill deg at verden er todimensjonal (2D), som et papirark, og vi opplever bare 2D-former. Utforske mønster i Du kan lett tegne to linjer som krysser hverandre i en vinkel på 90°. Hvis noen derimot for- hyperkuber talte deg at du kunne tegne en tredje linje som krysser i samme krysspunktet og treffer begge linjer 90°, ville du tenke at det er umulig (og i 2D er det umulig). Du må forlate papiret og tegne en linje som går rett opp fra papiret i en annen dimensjon. Da først kan alle de tre linjene treffe hverandre 90°. Dette hadde vært vanskelig å forstå hvis du aldri hadde opplevd en tredje dimensjon!

Vi opplever verden i tre dimensjoner (3D). Ved bruk av tre forskjellige retninger – kanskje vi kan kalle dem høyre-venstre, frem-tilbake og opp-ned – kan vi flytte til alle punktene i 3D-verdensrommet. Men vi kan legge til flere Figur 1 To linjer på et ark som treffer hverandre 90°. En retninger og utvikle geometri i flere enn tre tredje linje som treffer begge linjer 90°. dimensjoner uten problemer med logikk eller geometriske lover. Det åpner en helt ny verden Slik er det når vi prøver å tenke en fjerde med spennende former og opplevelser. dimensjon (4d). Vi må forestille oss at det fins retninger som ikke ligger i våre dimensjoner, Mike Naylor og at våre tre dimensjoner bare er et veldig tynt Matematikkbølgen snitt av en verden med flere dimensjoner. [email protected]

26 1/2019 tangenten En måte å begynne med den fjerde dimensjo- nen på er å lage et av de enkleste 4d-objektene: en hyperkube. En hyperkube er en geometrisk form i fire eller flere dimensjoner som er ana- Figur 3: Strekk punktet for å få et 1d-linjestykke. P = 2, L = 1. loge med en kube i tre dimensjoner. Som en 1 1 3D-kube har en hyperkube hjørner, kanter som treffer hverandre 90°, og kvadratiske flater. I til- To dimensjoner (2D) legg har hyperkuber mange kuber som er sam- Strekk linjestykket i en annen retning (opp eller mensatt, og som til sammen blir et perfekt og ned). Nå har det blitt et 2D-kvadrat. Antall symmetrisk objekt i fire dimensjoner. endepunkter har doblet seg: P2 = 2P1 = 4 (og nå Hyperkuber er morsomme og gir mange kaller vi dem hjørner). Linjestykket vi begynte muligheter til å utforske matematiske ideer og med, har doblet seg (start-strekk og ende- mønstre. En god måte å bygge en hyperkube på strekk), og i tillegg har endepunktene strukket og forstå dens egenskaper på er å gjennomføre seg til et linjestykke: L2 = 2L1 + P1 = 4. Linjestyk- en prosess hvor vi bygger fra et punkt med null ket fra tidligere steg er blitt til en flate (F2 = L1 dimensjon punkt til en kube med tre dimen- = 1) (figur 4). sjoner. Deretter fortsetter prosessen til flere og flere dimensjoner. For å hjelpe med analyse skal vi telle endepunkter (hjørner) E, linjestykker L, flater F, kuber K osv. for hver dimensjon og beskrive verdier med bokstaver med senket skrift, slik at L2 er antall linjestykker i vår 2D-figur, osv. Bli med … Figur 4: Linjestykket blir til et kvadrat.

Null dimensjoner (0d) P2 = 4, L2 = 4, F2 = 1. Et punkt eksisterer i null dimensjoner. Det har ingen bredde, lengde eller høyde. Hvis verden din var et punkt, kunne du ikke bevege deg Tre dimensjoner (3D) i noen retning. Vi har bare et punkt. P0 = 1 Strekk kvadratet i en annen retning (frem eller (figur 2). tilbake). Nå har vi en 3D-kube. Hvor mange endepunkter, linjestreker og flater har vi? Antall

hjørner er doblet: P3 = 2P2 = 8. Antall linjestyk-

Figur 2: I null dimensjoner har vi bare et punkt. P0 = 1. ker er doblet (4 i start-kvadratet og 4 i ende-kvadratet), pluss at alle hjørnene er strukket til lin-

jestykker (4 linjestykker til): L3 = 2L2 + P2 = 12. Én dimensjon (1d) Antall flater er doblet, pluss at alle linjestykker

Strekk 0d-punktet i en retning (høyre eller ven- er blitt til flater: 3F = 2F2 + L2 = 6. Og nå vi har stre) for å få et linjestykke. Vi hadde ett punkt, en kube: K3 = 1 (figur 5). nå har vi to endepunkter: P 1 = 2P0 = 2. Siden NB: Alle vinkler i figur 5 er 90°, selv om punktet i forrige steg ble strukket til et linje- det ser ut som noen av vinklene ikke er 90° på stykke, kan vi skrive: L1 = P0 = 1 (figur 3). 2D-tegningen av kuben. Vi forstår at 2D-tegningen er en representasjon av en 3D-kube.

tangenten 1/2019 27 Figur 5: Kvadrat blir til en kube. Figur 6: Kuben blir til en hyperkube.

P3 = 8, L3 = 12, F3 =6, K3 = 1. P4 = 16, L4 = 32, F4 =24, K4 = 8, H4 = 1.

Dette er viktig å huske i det neste steget. Pustepause Studer tegningen av hyperkuben. Fire dimensjoner (4d) – Kan du telle alle hjørnene? Strekk kuben i en fjerde dimensjon hit-dit( - – Hver gang to linjestykker treffer i et retningen kanskje?) for å få en hyperkube! Hva hjørne, lager de en 90°-vinkel. Hvor mange slags deler har den, og hvor mange av hver? 90°-vinkler er det i hvert av hjørnene? Hjørnene blir dobbelt så mange som i en kube: – Kan du finne de fire forskjellige retningene

P4 = 2P3 = 16. Linjestykkene blir doblet, pluss som linjestykkene er i? at alle hjørnene blir strukket til nye linjestyk- – Er alle retninger brukt på hvert hjørne? ker. Da blir det L4 = 2L3 + P3 = 2 · 12 + 8 = 32. – Hvor mange linjestykker er det i hver ret- Antall flater er doblet (start-kube og ende- ning? kube), pluss at hvert linjestykke blir til en flate: – Hyperkuben består av 8 kuber. Kan du

F4 = 2F3 + L3 = 2×6 + 12 = 24. Kuben blir doblet, finne alle 8? pluss at hver flate blir strukket til en kube. Da – Det er morsomt å tegne et bilde av hyper- har hyperkuben 8 kuber: K4 = 2K3 + F3 = 8 (se kuben med papir og blyant. Kan du klare figur 6). det?

0D: 1D: 2D: 3D: 4D: 5D: dimensjoner punkter linjestykker kvadrater kuber hyperkuber hyperkuber 0 1 1 2 1 2 4 4 1 3 8 12 6 1 4 16 32 24 8 1 5 32 80 80 40 10 1 6 ? ? ? ? ? ?

Tabell 1: Egenskaper til ulike former.

28 1/2019 tangenten Fem dimensjoner osv, – Hvilken form er den første som har flere Prosessen kan utvikles til å tegne hyperkuber flater enn linjestreker? Flere kuber enn med så mange dimensjoner som du vil, men det flater? blir selvfølgelig mer og mer vanskelig å holde orden på tegningene. Vi kan lage en tabell for Mer å se på egenskaper til de forskjellige formene Nå har vi tatt et bitte lite blikk inn i 4d-verde- (tabell 1). nen. For å lære mer: The Fourth Dimension (1984) av Ruder Spørsmål og ideer: Rucker er ei kjempegod bok om den fjerde – Hvordan utvikles radene/kolonnene i dimensjon som er veldig godt skrevet og lett å tabellen? (Tips: Les teksten for prosessen.) forstå. Skriv de neste radene i tabellen. Flatland er en historie om et kvadrat som ble – Hva slags mønstre fins i tabellen? besøkt av en 3D-sfære, og om hvor annerledes – Hvordan er tabellen lik og ulik Pascals verden ser ut i flere dimensjoner! Boka ble skre- trekant? vet i 1884, men det ble lagd en film av boka i 2007.

Geir Botten Matematikk med mening – mening for alle

Matematikk med mening – mening for alle – er ei bevisstgjøringsbok der forfatteren drøfter matematikkfagets rolle i skole og samfunn. Gjennom eksempler illustrerer han betydningen faget har og har hatt - på godt og på vondt. Forfatteren tydeliggjør hvordan arbeidsformer reflekterer fagsyn og læringssyn og hvordan språk, kommunikasjon og samarbeid har en sentral rolle i all læring. Han gir mange ideer til hvordan en kan gjøre faget engasjerende og meningsfylt, for lærere og for alle elever, uansett bakgrunn og forutsetninger for å lære matematikk. Boka henvender seg til alle som er opptatt av matematikk og læring (lærere, lærerstudenter, foreldre …).

262 sider · 510,– · ISBN 978-8290898-71-2 Bestill på [email protected]

tangenten 1/2019 29 Videreutdanning for matematikklærere

Universitetet i Bergen har flere gode tilbud til deg som er matematikklærer og ønsker å videreutdanne deg.

1.) Matematikk for lærere nivå 1 (8. – 13. trinn) Mangler du studiepoeng for å fylle de nye kompetansekravene i faget er dette et passende tilbud for deg. 2.) Matematikk for lærere nivå 2 (8. – 13. trinn) Underviser du på VGS og vil du fordype deg i matematikkfaget eller mangler du studiepoeng er dette et passende tilbud for deg. 3.) GeoGebra for lærere (ungdomsskolen og VGS) Er du interessert i GeoGebra og ønsker å bli flinkere til å bruke programmet i undervisningen er dette det rette kurset for deg. 4.) Algoritmisk tenkning og programmering i matematikkfaget (VGS) Algoritmisk tenkning og programmering vil være en del av de nye læreplanene i matematikk som kommer i 2020. Vi har skreddersydd et kurs for deg som trenger en grundig innføring i nettopp dette. Kurset starter for første gang høsten 2019. 5.) Erfaringsbasert master i undervisning med fordypning i matematikk Ønsker du å fordype deg i matematikkfaget og elevenes læring og vil du gjerne videreutvikle deg som matematikklærer er dette det rette tilbudet til deg.

Alle tilbudene er samlingsbasert med god og tett oppfølging mellom samlingene og kan lett kombineres med jobb i skolen. Tilbud 1 og 2 er del av den nasjonale videreutdanningsordningen Kompetanse for kvalitet som innebærer at man får frikjøp fra jobb eller stipend for å videreutdanne seg. Du kan søke om støtte for tilbud 3 og 4. Alle som har tatt tilbud 3 har fått støtte. http://www.uib.no/math Klikk på «Videreutdanning for lærere»

30 1/2019 tangenten Fjæra Den norske matematikaren Peter Ludvig Mejdell Sylow

«Om hundre år er allting glemt», heiter det i eit kjent sitat. Bjørnstjerne Bjørnson vert ofte referert som opphavsmann. Han nytta truleg dette uttrykket ved ulike høve, men det er lett å prove at han ikkje har opphavsretten. Formule- ringa var med i ei vise publisert i 1809, altså før Bjørnson var fødd. Kven som skal ha æra her, er ikkje lett å avgjere. I ei gamal bok er det notert at dette truleg er ein eldre talemåte og rett opp- havsperson er truleg gløymd. I 2018 var det 100 år sidan Peter Ludvig Mej- dell Sylow døydde. Er allting gløymt? Spør du ein nordmann om han kjenner til Sylow, vil svaret truleg bli nei. Det er meir sannsynleg at vedkommande kjenner til matematikarane Nils Henrik Abel (1802–1829) og Sophus Lie (1842– Peter Ludvig Mejdell Sylow (1832–1918) 1899). Men Sylow høyrer til matematikkverda. I eit oppslagsverk som er prenta i Cambridge innført eit matematikkstudium her i landet. i 1972, finn me både Sylows undergruppe og Det er arbeidet ved dette studiet som har æra Sylows teorem (Howson, 1972). Sylow er ikkje for dei mange dyktige matematikarane som gløymd. vart utdanna i Noreg. I det første tiåret vart til Då universitetet i Kristiania vart oppretta i dømes Sylow, Lie og Cato Maximilian Guldberg 1811, hadde matematikk liten plass. I 1821 vart (1836–1902) uteksaminerte. Dei hadde ein flink bergeksamen (eksamen som gav førerett til stil- professor: Ole Jacob Broch (1818–1889). Han lingar i statens bergvesen) innført, og faget fekk hadde gode arbeidstilhøve og fekk stipend til å større plass. Men det var først ved opprettinga reisa til utlandet på studieferd. av den nye realeksamen i 1850-åra at det vart Ved årsskiftet 1855/56 fullførte Sylow det nyoppretta studiet. Han var først lærar ved Olav Fjæra Nissen skole i Kristiania og frå 1858 ved Fred- Pensjonert lærerutdanner i matematikk rikshalds skole i Halden, ein jobb han hadde i 40 år, med unnatak for ein del permisjonar. tangenten 1/2019 31 Sylow skreiv seinare om ein av elevane sine i trinn i systemet. Carl Anton Bjerknes, professor Kristiania: «Det var klart for meg at han i Mat- i anvendt matematikk, fekk Brochs stilling i rein hematikk var Klassens dyktigste elev, men jeg matematikk, og så vart professoratet i anvendt kan ikke rose meg af at jeg alt dengang i ham matematikk lyst ut. Sylow hadde ikkje arbeidd kunde kjende en Fremtidens Mathematiker.» med desse emna og søkte ikkje. Stillinga gjekk Denne eleven var Sophus Lie. I 1860 fekk Sylow til Guldberg som var godt skulert i anvendt eit utanlandsstipend. Han reiste til Berlin, Leip- matematikk. Også han vart verdskjend. Alle zig og Paris for å bli kjend med matematikarar som har studert kjemi, veit at den såkalla mas- og studere likningar og gruppeteori. severknadslova er ei av dei mest grunnleggjande I vårsemesteret 1863 blei Lie student, og lovene i dette faget. Det er Guldberg og Petter då møtte han Sylow igjen. Sylow blei vikar for Waage (1833–1900) som har æra for denne lova. Broch då Broch blei stortingsmann. Broch opp- Det gjekk fem år før Sylow såg sin gamle elev moda vikaren om å gje førelesingar i eit emne og student igjen. Om dette skriv han: «Først i i tillegg til pensum, og det gjorde Sylow. Han 1868 saa jeg Lie igjen. Vi hadde en kort Samtale, fortel sjølv: «Jeg valgte dertil algebraiske Lig- hvorom jeg vil berette, fordi det kaster Lys over ningers Theori, grundet på Galois’ Gruppeteori, hans Stræben paa dette Tidspunkt. Jeg kunde hvilket i de mellomliggende Aar havde været bemærke at han havde erhvervet sig dyp Indsigt Gjenstanden for mitt ivrige Studium. Dette i den moderne Geo metri, et Fag som tidligere Kursum blev med Interesse fulgt av Sophus Lie, nesten hadde ligget udyrket ved vort Universi- og han har siden udtalt, at det har øvet Indfly- tet. Men han førte også samtalen hen paa Galois’ delse paa hands Udvikling.» Det vart sagt at Gruppetheorie, beklagede sig over at han havde Kristiania var den einaste staden i verda der det mistet sit Forelæsningshefte, og ønskede at laane vart førelese i gruppeteori på det tidspunktet. mit Manuskript. Og det fikk han.» Me kan kon- Men Sylow var ikkje den første som førelas om statere at Sophus Lie hadde gode kjelder då han teoriane til Galois ved eit universitet. Då Carl seinare arbeidde med gruppeteorien. Sylows Bjerknes (1825–1903) var i Göttingen i 1857/58, manuskript var nok gull verdt. førelas Dedekind om gruppeteori. Han hadde I 1872 vart Lie utnemnd til eit ekstraordinært berre to studentar, ingen av dei var norske. professorat, og Sylow vart verande i Halden som Bjerknes høyrde nok om Dedekind og under- lektor ved gymnaset. Først då han var 66 år, blei visinga hans, og det kan truleg vere Bjerknes han utnemnd til professor, men med halv løn. som har sett Sylow på teoriane til Galois. Først siste året han levde, vart løna auka til 75 Sylow gjorde ein god innsats som vikar. prosent. Men trass i dette: Sylow vert hugsa – Broch prøvde ved fleire høve å få han til å ta 100 år etter sin død. jobben på ny, men leiinga ved universitetet endra dei planane. Då Broch vart utnemnd til Anbefalt litteratur marineminister i 1869, sa han opp professorstil- Aftenposten, onsdag 25.11.1896. linga. Alle rekna med at Sylow ville få jobben, Howson, A. G. (1972). A handbook of terms used in alge- men det skjedde eit sjakktrekk på eit eller anna bra and analysis. Cambrigde: Cambridge University Press.

32 1/2019 tangenten Kirfel Indiske røtter – algoritmisk tenkning

Algoritmisk tenkning heter det nye elementet bondemultiplikasjon (Harvey, 2002) og egyptisk i læreplanen som snart skal bli gjeldende. Pro- multiplikasjon (Eves, 1982) er alternative måter å grammering skal trolig inn på alle trinn i skolen. stille opp og utføre et gangestykke. En vil kunne Det har vært mange skeptiske røster da disse nye holde opp disse forskjellige algoritmer mot hver- elementene i matematikkfaget ble kjent. Her andre og undersøke deres effektivitet, det vil si følger Norge en internasjonal trend som også antall regneoperasjoner som trengs. Samtidig våre naboland har slått inn på. frykter jeg at arbeid med algoritmene til regne- Fokuset i denne artikkelen er å finne frem artene vil kunne oppleves lite motiverende for til noen ideer der programmering kan være et elever siden de kan være godt kjent med disse fra verdifullt tilskudd til matematikkfaget og ikke barneskolen og minner om pugging av den store en selvstendig, uavhengig aktivitet som stjeler og den lille multiplikasjonstabellen. tid og som lærerne må sendes til videreutdan- I denne artikkelen vil jeg derfor argumen- ningskurs for. Artikkelen henvender seg særlig tere for at det kan være en god ide å studere til lærere på videregående trinn. rotutdragningsalgoritmer for å inkludere pro- Elevene møter algoritmer i forbindelse med grammering i matematikkundervisningen, for regneartene og har opparbeidet en viss grunn- eksempel i 1T siden elevene her vil kunne møte forestilling om hva det vil si å angripe matema- en matematisk problemstilling der det ikke tiske problemer algoritmisk: å dele dem opp i finnes en eksakt løsning. Man kan bare finne til- mindre biter og løse enkle oppgaver steg for steg nærminger med en viss nøyaktighet (antall kor- som til slutt kan settes sammen til løsningen av rekte siffer) og en algoritme er helt nødvendig. utgangsproblemet. Multiplikasjonsalgoritmen Dette åpner også for nye interessante spørsmål er et godt eksempel på dette. Algoritmene som om algoritmenes kvalitet: hvor mange regneope- forbindes med regneartene kan være et godt rasjoner er nødvendig for å oppnå en gitt nøy- utgangspunkt for en matematisk innføring i aktighet, for eksempel fem korrekte siffer bak programmering siden de ligger på et relativt lavt kommaet? Jeg har valgt en historisk, geometrisk nivå, og virker kjente og overkommelige. Russisk tilgang til problemstillingen. Underveis blir det naturlig å inkludere noen programmeringsopp- gaver som oppmuntrer til å eksperimentere med Christoph Kirfel regneark eller programmeringsspråket Python Universitetet i Bergen for å realisere ideene og tenke gjennom imple- [email protected] menteringen. tangenten 1/2019 33 Historisk utgangspunkt Det blir en L-formet figur. Fremstillingen her er Vedaene er gamle indiske sanskrittekster som noe forenklet i forhold til originalen for å få frem inneholder religiøse ritualer, bønner og sanger det algoritmiske aspektet noe raskere. som ble brukt i den vediske religionen. Sulbasu- tra er en del av vedaene der konstruksjonen av religiøse altere er beskrevet. Disse skulle bygges etter matematiske oppskrifter, og Sulbasutra inneholder derfor en del matematikk. Disse tek- stene går tilbake til før 600 f.Kr. og inneholder kunnskaper som gjerne er mye eldre (2000 f. Kr.). I Sulbasutra finner man f.eks. følgende setning (Sutra 52 av Baudhayanas Sulbasutra): Figur 1 «Kvadratet over diagonalen i et kvadrat er dob- Den L-formete figuren har et areal på to area- belt så stort som selve kvadratet.» Sulbasutra lenheter og likner nesten på et kvadrat. Hadde inneholder også en oppsiktsvekkende formel for det vært et perfekt kvadrat hadde sidelengden å finne en tilnærmet numerisk verdi for roten vært 2 . Dermed er sidelengden, 3/2, til den av to: L-formete figuren en rimelig god tilnærming av 2 . Ideen bak oppskriften er å fylle det lille 3 1 1 2 «manglende» kvadratet med areal fra figurens 2 434 344443 rand og komme frem til en ny L-formet figur som likner enda bedre på et kvadrat. Dermed Dette er en imponerende presis verdi med vil siden i den nye figuren gi oss en bedre tilnær- fem korrekte siffer bak kommaet. Teknikken ming av 2 enn de 3/2 en startet med. som ligger bak dette resultatet og som Datta En starter altså med det lille hvite kvadratet (1932) og senere Henderson (2000) presenterer i der sidekanten har lengde 1/2 og arealet er 1/4. sine artikler er enkel og kan lett videreutvikles. En stripe skjæres fra L-figurens nedre og ven- Også i Joseph sin bok The Crest of the Peacock 3 stre rand (lengde 243 ). Hvis den skal ha (1990), finner man en god fremstilling av tek- 2 nikken. Et nytt steg i algoritmen ville ført til like stort areal som det lille kvadratet må stripen 14 1 1 formelen: få en bredde på . Denne stripen 3 344 12 3 1 1 1 2 brukes nå til å fylle det åpne hvite kvadratet, 2 434 344443 11544434 434 men på grunn av overlapp av den horisontale og den vertikale delen av stripen mangler det et Skriver man dette som desimaltall gir det lite kvadrat (sidekant 1/12). Når en fyller ut blir allerede elleve korrekte siffer bak kommaet. det igjen en L-formet figur, men denne gangen Hva er nå forklaringen bak denne gamle likner figuren mye mer på et kvadrat. vediske algoritmen? Kan den generaliseres til Den nye sidekanten på den store L-formete 3 1 andre tall enn 2 ? Og hvorfor konvergerer figuren, − , vil derfor gi en atskillig bedre den så fort? 2 12 Datta (1932) og Henderson (2000) mener at tilnærming til 2 enn den forrige. Planen er oppskriften kan ha sett omtrent slik ut: En star- nå å gjenta prosessen og produsere stadig nye ter med et rektangel som består av to kvadrater L-formete figurer som likner mer og mer på med areal 1. Det ene kvadratet deles i to deler og kvadrater, slik at sidekantene deres er bedre og legges på siden av det første kvadratet, se figur 1. bedre tilnærminger av 2 .

34 1/2019 tangenten Figur 2 Utregningen for tilnærmingen av 2 blir Å generalisere algoritmen her: Vi forlater nå det spesielle eksempelet med 2 og prøver å utvikle en prosedyre som fungerer 3 1 3 1 17 for å beregne en vilkårlig rot, altså N . I denne 2 C 3 S 2 12 12 4244D T artikkelen er N et heltall. Tilsvarende algoritme E 2 U kan utvikles for brøker. 2 I neste steg må det fjernes en stripe som Vi velger et kvadrattall n under N, slik at 2 2 C 1 S N = n + R med positiv rest R. (Dette kan gjøres D T på mange måter.) Nå starter vi på samme måte E12 U 1 har bredde og fordele som ovenfor i figur 1 med et rektangel som C 17 S 2344414 7 D24 T består av kvadratet n 2 og restarealet R. Rest E 12 U arealet deler vi i to rektangler og legger dem på den utover det lille kvadratet. Da vil den udek- to av sidene av det første kvadratet. Rektanglene kete delen av figuren være et kvadrat med areal 2 R C 1 S får da dimensjonene n og . Dette gir oss en D T , som er under en hundretusende- 2n E 2344414 7 U L-formet figur (se figur 3) som i utgangspunk- del. Ved å gjenta prosessen i flere trinn harvi 2 klart å forbedre våre approksimasjoner bety- 2 C R S tet består av et stort kvadrat an D T delig, noe som er et hovedpoeng i algoritmisk E 2n U tenkning. 2 2 C R S som «mangler» et hjørnekvadrat b D T . En rekke spørsmål dukker opp. E 2n U 1) Å beregne 2 er et nokså begrenset matematisk oppgave. Kanskje algoritmen Utgangstallet N er nå arealet av differanseom- kan generaliseres til røtter av vilkårlige tall rådet av disse to kvadratene slik at N = a 2 – b 2 og hvordan kan vi beskrive den algebraisk hvor størrelsene a og b ikke nødvendigvis tren- (med formler)? ger å være heltall. 2) Hvor fort konvergerer prosessen, altså hvor Arealet i det lille kvadratet b 2 skal nå fylles mange regneoperasjoner trengs for å oppnå med «material» som vi finner langs figurens en ønsket nøyaktighet? Kan algoritmen nedre og venstre rand. Denne randen har lengde sammenliknes med andre algoritmer? 2 · a. En stripe av denne lengden må derfor ha tangenten 1/2019 35 Figur 3

2 b Vi setter N = a + b og 1 = a – b, altså bredde b hvis stripen skal matche area- 24a N 1 N 1 2 a og b og vi har funnet dimen- let i det lille kvadratet b . Siden stripen har en 2 2 knekk vil noe av arealet fra den horisontale sjonene a og b for startkvadratene. Husk a og b delen og den vertikale delen av stripen overlappe trenger ikke å være heltall. og vi klarer ikke å fylle hele «tomrommet» i øvre Programmeringsspørsmål: Sammenlikn de høyre hjørnet. Men vi klarer å fylle en god del av to måtene å lage en startfigur på. Undersøk hvor det manglende arealet. Det som vi ikke klarte å mange regneomganger (iterasjoner) som skal til fylle vil være et nytt «minikvadrat» der lengden for å oppnå en ønsket nøyaktighet (antall kor- b2 og bredden er lik stripebredden b . rekte siffer bak kommaet)! 24a Den nye figuren har altså igjen L-form og Hvor fort konvergerer prosessen? dimensjonene på de nye kvadratene er Her skal vi undersøke kvaliteten til algoritmen. Det betyr at vi må finne en sammenheng mellom b2 b2 aa’’ ba , b aN− og aN’− . Denne sammenhengen vil 4 4 2 a 2 a fortelle oss hvor mye bedre den nye approksi- Programmeringsspørsmål: Hvordan ser en masjonen er i forhold til den gamle. Vi har N iterasjonsløkke ut som representerer den nevnte = a 2 – b 2 men også N = a’2 – b’2 siden begge de algoritmen? Hvor mange iterasjoner må til før L-formete figurene i figur 3 har samme areal. du ikke ser noen endringer i resultatet lenger? Dermed har vi Skriv et lite program i Python som beregner a’ 2 – N = b’2 2 når N = a 2 – b 2 og a og b er gitt. 22 b’2 ((ba2 )) Alternativ for å finne startverdiene a og b aN’ aN’ aN’ Når N er gitt trenger vi å finne tall a og b med 2 2 2 b4 ()aN 2 C aN S N = a – b for å komme i gang med prosessen. 4D T 2 D T Oppe har vi beskrevet hvordan dette kan gjøres. ()2aa(’ N ) aN’ E 2a U Her er en annen oppskrift. 22 ()aN ()aN N = a 2 – b 2 = (a + b)(a – b). 2 N 2 36 1/2019 tangenten Den siste brøken før det første ulikhetstegnet Avslutning er nemlig < 1 siden Na< . I denne artikkelen har vi sett at Dattas og Hen- Hovedresultatet er dermed dersons tolkning av den gamle indiske rotut-

2 dragningalgoritmen kan generaliseres til vil- aN kårlige tall. Konvergenshastigheten er kvadra- aN . 2 tisk som er en imponerende hastighet for en så gammel metode. Det viser seg også at metoden Dette kalles for kvadratisk konvergens og er ekvivalent med Heron-metoden som har vært er et meget bra resultat. Er den opprinnelige en klassiker blant rotalgoritmene. Den indiske approksimasjonsfeilen under 1/1000 så vil den metoden gir oss dermed en geometrisk tolk- påfølgende approksimasjonsfeilen være under ning av Herons metode som i utgangspunktet 1/2 000 000. For hvert steg vil antall korrekte er en aritmetisk metode med en konkret regne- siffer minst fordobles. Starter man med 1,5 som forskrift. Dermed klarer vi å knytte geometrisk approksimasjon for 2 , så trenger man bare intuisjon til metoden og får en ny tilgang og en 3 iterasjoner for at approksimasjonen er høyst ny tolkning av «divide and average»-metoden. 7,8 · 10–11 fra det korrekte svaret, noe som betyr Metoden gir mange ideer til algoritmisk tenk- minst 10 korrekte siffer. ning og programmering i det fornyete faget Programmeringsspørsmål: Hvor mange ite- matematikk. rasjoner må til for å få minst 5 korrekte siffer når Flere ideer til programmeringsaktivite- N er gitt? Lag et program i Python for å beregne ter med kvadratrøtter med tydelige innslag av 2 der N og det ønskete antall korrekte siffer eksperimentering finnes i artikkelen «Røtter» er gitt. (Kirfel, 2015).

Sammenlikning med Herons metode Referanser Herons metode (divide and average) for å Datte, B. (1932). The science of the Sulbas: A study in beregne kvadratroten av N går ut på å starte early Hindu geometry. Calcutta: Calcutta University ()Ns s Press. med s = 1 og så beregne s . Verdien 2 Eves, H. W. (1982). An introduction to the history of s’ brukes som utgangspunkt i samme formel en mathematics (5. utg.). New York: Sauders College gang til. Slik produserer man bedre og bedre Publishing. approksimasjoner til 2 . Hos oss betyr det Harvey R. (2002). Klar, ferdig, gå! Tretten måter å gange på. Tangenten – tidsskrift for matematikkundervisning, 22 2 N ab b 13(1), 14–17. a aaa 2 b a a a a a Henderson, D. W. (2000). Square roots in the Sulba 22 22a Sutra. I C. A. Gorini (Red.), Geometry at Work: Papers in Applied Geometry, MAA Notes Number 53 (s. og vi kjenner igjen formelen fra den indiske 39–45). The Mathematical Association of America. metoden. Det betyr at Herons metode og den Joseph, G. G. (1991). The crest of the Peacock. London: indiske algoritmen produserer de samme tall- Princeton University Press. følgene og at de dermed er likeverdige. Kirfel, C. (2015). Røtter. Tangenten – tidsskrift for matematikkundervisning, 26(1), 36–39.

tangenten 1/2019 37 Hovtun Oppvarmingsoppgaver

Innledning et virkemiddel for å øke elevenes motivasjon for Da jeg jobbet som matematikklærer i ungdoms- matematikk. skolen, opplevde jeg at det var utfordrende å Oppstarten på undervisningen kan ha stor skape motivasjon for matematikkfaget hos elev- betydning for elevers læringsutbytte. Den kan ene. Dette gjaldt elever som jeg mente hadde i hovedsak føre til to ting: Den kan fange elev- gode forutsetninger for å lykkes med faget, og enes interesse, eller den kan skape likegyldig- elever som opplevde nederlagsfølelse. Ifølge het (Helle, 2013). I den matematikkdidaktiske Kunnskapsdepartementets (2015) strategi Tett litteraturen finnes det flere eksempler på hvor- på realfag kan det se ut til å være en utfordring dan interesse kan fanges ved å bruke oppvar- som gjelder for flere lærere. Det kommer frem at mingsoppgaver1. Lampert, Beasley, Ghousseini, mange elever har lav indre motivasjon og uthol- Kazemi og Franke (2010) skriver for eksempel denhet i matematikk, og at dette er en tendens om hvordan bruk av warm-up activities2 kan som ser ut til å forsterke seg med alderen. Jeg innarbeides som rutine hos lærere. Dette er nøye spurte meg selv om hvordan jeg kunne klare å uttenkte og planlagte oppgaver som skal kunne motivere disse elevene til å jobbe med matema- hjelpe læreren til å skape engasjement og dialog tikk. Hvordan skulle jeg få dem til å bli interes- blant elevene. sert i faget, og hvordan skulle jeg få dem til å Også i Norge blir det brukt oppvarmings- oppleve mestring? I denne artikkelen ser jeg på oppgaver. Holmboeprisvinneren i 2017, Hanan hvordan oppvarmingsoppgaver kan brukes som Mohamed Abdelrahman (2018), skriver om hvordan hun aktivt bruker oppvarmingsopp- Gaute Hovtun gaver som et virkemiddel for å skape motiva- Universitetet i Stavanger sjon hos elevene og for å sette et matematisk [email protected] fokus i starten av timen. Også Rennemo, Søvik og Meberg (2018) beskriver hvordan de starter Dette er en fagfellevurdert artikkel på nivå 1. undervisningen med en «motiverende oppstarts- Tangenten er et sted der læreres og forskeres oppgave» for å pirre elevenes nysgjerrighet og perspektiv på matematikkundervisning interesse. møtes og derfor har vi med praksisrelaterte Det foreligger altså en del forskning og lit- forskningsartikler. Les mer i retningslinjene: teratur om oppstart og oppvarmingsoppga- www.caspar.no/nivaa1 ver. Men ingen av dem jeg har nevnt her, har forsket på om og hvordan systematisk bruk av

38 1/2019 tangenten oppvarmingsoppgaver kan være med på å skape 1. Har en lav inngangsterskel, samtidig som motivasjon hos elevene. Denne artikkelen vil ta de er utfordrende: En oppvarmingsoppgave opp nettopp dette med forskningsspørsmålet: skal vekke interesse hos alle elevene, ikke På hvilke måter kan matematiske oppvarmings- bare de høytpresterende. Det er derfor oppgaver fungere som motivasjonsfaktor for en viktig at oppgaven er konstruert på en slik gruppe niendeklasseelever? måte at alle elevene har mulighet til å engasjere seg i den (Bobis et al., 2011). Oppvarmingsoppgaver 2. Har et klart matematisk fokus: Oppgavene Som nevnt ovenfor finnes det flere som presen- bør ikke reduseres til en kjekk og morsom terer forskjellige oppvarmingsoppgaver, men aktivitet som bare har en matematisk ingen av dem skriver eksplisitt hva de legger i kamuflasje. Slike oppgaver vil ikke nød- begrepet oppvarmingsoppgave. Det foreligger vendigvis skape mer motiverte elever som følgelig et behov for å definere hva en oppvar- lærer mer (Botten, 2005). mingsoppgave er, men først en kort beskrivelse 3. Har som mål å fange elevenes interesse: av hvilke oppgavetyper som allerede er innar- Målet er at elevene skal lære matematikk, beidet i norsk skole. og for å nå dette målet er det viktig å fange Ifølge Olafsen og Maugesten (2015) kan de elevenes interesse. Som både Abdelrahman forskjellige oppgavetypene deles inn i fire kate- (2018) og Rennemo et al. (2018) antyder, gorier: kan gode og velvalgte oppgaver i starten av timen være med på å skape interesse hos – Lukkede oppgaver: Oppgaver med ett riktig elevene. Hvor vellykket denne oppstarten svar og få godkjente løsningsmetoder. er, kan avgjøre timens kvalitet i sin helhet – Problemløsningsoppgaver: Oppgaver der (Helle, 2013). Det er særlig to elementer ved personen som skal løse dem, ikke har noen oppvarmingsoppgaver som kan være med algoritme som gir løsningen. på å skape denne interessen. For det første – Rike oppgaver: Oppgaver det er lett å starte skal de være designet på en slik måte at opp arbeidet med, som blir mer utfor- elevene får lyst til å finne ut av matematik- drende etter hvert, som kan løses på flere ken bak oppgaven. For det andre kan de forskjellige måter, og som bør være med på inneholde et konkurranseaspekt, noe som å introdusere sentrale matematiske ideer og kan være med på å skape interesse. begreper. 4. Varer 5–10 minutter: Selve oppvarmings- – Åpne oppgaver: Oppgaver med vide pro- oppgaven bør ikke ta for lang tid. Når blemstillinger der elevene selv kan være læreren har klart å fange elevenes interesse, med på å formulere spørsmål og bestemme kan han eller hun kanalisere interessen mot løsningsmetode. Ifølge Bobis, Anderson, læringsmålet for timen. Martin og Way (2011) kan åpne oppgaver i seg selv fungere som en motivasjonsfaktor At en lav inngangsterskel er viktig, kjenner vi til for elevene. Oppgavene er mer tilgjengelig fra både rike og åpne oppgaver. At et matematisk for elevene siden de kan starte fra det kunn- fokus er viktig, kjenner vi fra lukkede, rike, åpne skapsnivået de er på, og med den forståel- og problemløsningsoppgaver. Det som skiller sen de selv har. oppvarmingsoppgaver fra andre oppgavetyper, er særlig punkt 3 og punkt 4. Oppvarmingsopp- I denne artikkelen velger jeg følgende kriterier gaven skal fange elevenes interesse og gi dem lyst for oppvarmingsoppgaver i matematikk: til å jobbe videre med den. Samtidig skal den

tangenten 1/2019 39 ikke ta for lang tid, noe som skiller den fra både c) Elevene bør bli utfordret til å jobbe med rike, åpne og problemløsningsoppgaver. oppgaver som ligger utenfor deres egen komfortsone i vanskelighetsgrad. Dette Motivasjon kan være krevende for elevene, fordi de Det sentrale i denne artikkelen er å se på hvor- kan være redde for å fremstå som dumme dan oppvarmingsoppgaver kan fungere som dersom de ikke får til en oppgave med en en motivasjonsfaktor for elevene. Ifølge Bomia gang. I slike tilfeller vil de ofte velge å gi et al. (1997, s. 3) kan motivasjon defineres som opp fremfor å spørre læreren om hjelp. elevens vilje, behov, ønske og trang til å delta d) Elevene bør få muligheter til å glede seg i og mestre læringssituasjoner. Gagné og Deci over matematikken. Glede er en av de (2005) beskriver hvordan motivasjon kan deles viktigste komponentene i indre motiva- inn i indre og ytre motivasjon. Indre motivasjon sjon, og indre motiverte elever vil være mer innebærer at motivasjonen blir opprettholdt på utholdende i oppgaveløsning. De kan lettere grunn av at aktiviteten i seg selv er interessant, benytte seg av problemløsningsstrategier, og fordi elevene synes det er tilfredsstillende å og de vil være mer kreative og fleksible. jobbe med den. Ytre motivasjon innebærer at e) Elevene bør få mulighet til å relatere motivasjonen blir opprettholdt på grunn av ytre matematikk til positive følelser. De bør få faktorer, som for eksempel verbal belønning. I mulighet til å oppleve at matematikkunder- denne artikkelen har jeg tatt utgangspunkt i to visningen ikke bare er et nødvendig onde. modeller som kan brukes som hjelpemiddel til Det kan faktisk være et kjekt fag. å si noe om elevenes motivasjon. Stipek, Salmon, Givvin og Kazemi (1998) har Kan oppvarmingsoppgaver være med på å bygge kommet frem til fem faktorer, heretter omtalt opp disse faktorene? Dersom vi tar utgangs- som Stipeks fem faktorer, som de mener må være punkt i kriteriene for oppvarmingsoppgaver, ser til stede for at elevene skal bli indre motivert til å det ut til at de kan støtte opp om særlig tre av jobbe med matematikk. Læreren kan jobbe med faktorene. De skal ha en lav inngangsterskel, som å bygge opp disse fem faktorene hos elevene. kan være med på å bygge opp faktor b). Dersom timen starter med en oppgave alle elevene på et a) Elevene bør få mulighet til å fokusere på eller annet nivå vil mestre, kan det hjelpe til med læring og forståelse, ikke bare på algo- på å øke elevenes mestringstro. Oppgavene skal ritmer og det å få rett svar på oppgavene. også klare å fange elevenes interesse. Dersom Forskning viser at elever som fokuserer på oppgaven faktisk klarer det, vil det være gode læring og forståelse, ofte vil velge mer utfor- muligheter til å bygge opp både faktor d) og e). drende oppgaver, og de vil gjerne ha bedre Elever som jobber med en oppgave de opplever utholdenhet i oppgaveløsningen enn elever som interessant, vil få muligheter til både å glede som bare konsentrerer seg om algoritmer seg over matematikken og å knytte positive følel- og rette svar (Stipek et al., 1998). ser til faget. Når det gjelder faktorene a) og c), b) Elevene bør få utvikle sin selvtillit i mate- er det vanskelig å si om oppvarmingsoppgavene matikk. Bandura (1994) omtaler dette kan bidra til å øke disse. som mestringstro (self efficacy). Elevenes Martin (2005, 2007) har utviklet en modell forventninger om hvorvidt de vil mestre som kan være et redskap for å kartlegge elev- eller mislykkes med en oppgave, vil ha mye enes motivasjon. Denne modellen har han valgt å si for om de i det hele tatt er villige til å å kalle «Motivation and engagement wheel», se begynne å arbeide med oppgaven. figur 1, heretter kalt motivasjonshjulet. Motiva-

40 1/2019 tangenten Figur 1: (Martin, 2005, 2007). Min oversettelse. sjonshjulet er delt inn i fire dimensjoner. De to for hvordan de skal løse den (planlegging), de dimensjonene over den horisontale linja er ele- må lære å avgjøre hvor, når og med hvem det er menter som kan forsterke motivasjonen. De to hensiktsmessig å jobbe med oppgaven (organi- dimensjonene under linja er elementer som kan sering av studeringen). svekke motivasjonen. Elementene som står igjen, er elementer som To av elementene i motivasjonshjulet har er med på å hemme elevenes motivasjon i mate- paralleller til Stipeks faktorer, nemlig mestrings- matikk. Disse kan fungere som en utfylling til tro og mestringsorientering. Disse elementene Stipeks faktor e), å relatere matematikk til posi- samsvarer bra med faktorene b), elevene må få tive følelser. For å få til dette må blant annet utvikle sin selvtillit i matematikk, og a), elev- elevenes angst for matematikk reduseres. Det må ene må fokusere på læring og forståelse. Videre være et fokus på å lykkes, ikke på ikke å mislyk- kan verdsetting av skole knyttes til det å kunne kes. Elevene må også få hjelp til å oppleve at de relatere matematikk til positive følelser. Dersom har kontroll over sin egen læringsprosess, og de elevene oppfatter det de lærer i matematikkun- må lære hva som skal til for å mestre faget bedre. dervisningen, som meningsfullt, vil det være let- For å klare å redusere disse hemmende elemen- tere å relatere positive følelser til faget. Når det tene peker Bobis et al. (2011) på variasjon som gjelder elementene i fleksibel atferdsdimensjon, et viktig hjelpemiddel. Lærere må variere både kan også utholdenhet knyttestil Stipeks faktor undervisningsformen, hvilke ressurser elevene a), fokus på læring og forståelse. De to siste ele- skal benytte seg av i undervisningen, og hvordan mentene i fleksibel atferdsdimensjon handler om elevene skal bli vurdert. at elevene må få mulighet til å lære hvordan de Flere oppvarmingsoppgaver har et konkur- kan jobbe med matematikk. Disse kan knyttes ransepreg. Det er derfor aktuelt å se på hva til Stipeks faktor c). Dersom elevene skal løse en forskning sier om konkurranser og motivasjon utfordrende oppgave, må de lære å legge en plan i matematikkundervisningen. Flere forskere tangenten 1/2019 41 konkluderer med at konkurranser kan være Etter at den første intervjurunden var gjen- med på å motivere elevene til å jobbe med mate- nomført, ledet jeg hele klassen i arbeidet med matikk (Bicknell, 2008; Applebaum, 2017). Men fire oppvarmingsoppgaver. Disse oppgavene ble her er det interessant å stille spørsmål om hva gjennomført de ti første minuttene i fire mate- slags type motivasjon som oppstår. Deci, Betley, matikktimer. Etter oppvarmingen tok mate- Kahle, Abrams og Porac (1981) utførte et forsøk matikklæreren til klassen over. Til slutt ble det der de fant ut at konkurransepreg på oppgaver gjennomført nye individuelle intervjuer med de kan være med på å skape motivasjon, men at samme ti elevene, samt et intervju med læreren. dette sannsynligvis vil være en form for ytre Målet med studien er å finne ut hvordan motivasjon. De poengterer også at slike oppga- oppvarmingsoppgaver kan fungere som en ver kan være med på å hemme den indre moti- motivasjonsfaktor for elevene. Det er da viktig vasjonen. Bicknell (2008) påpeker det samme: at elevenes egne erfaringer og oppfatninger om Konkurranser kan fort føre til at det er en ytre hva som faktisk motiverer dem, kommer tydelig motivasjon som driver elevene. Det vil derfor frem. Ifølge Johannessen, Tufte og Christoffersen være viktig å bruke oppvarmingsoppgaver med (2010) egner et kvalitativt intervju seg best til et konkurransepreg på en slik måte at elevene dette formålet. Med utgangspunkt i problem- ser at «matematikk kan være interessant, nyttig stillingen ble det utviklet tre intervjuguider og til og med moro» (Applebaum, 2017, s. 155). som hadde form som semistrukturerte intervjuer. Under slike intervjuer er det mulig å stille Metode oppfølgende spørsmål til elevene, noe som ble For å få svar på forskningsspørsmålet mitt tok vurdert som viktig når datainnsamlingsmetode jeg kontakt med en ungdomsskole i en by på ble valgt. Under den første intervjurunden ble Vestlandet. Jeg fikk anledning til å samle data det tatt feltnotater. Den andre intervjurunden, fra en klasse som gikk på 9. trinn. Det var 29 samt lærerintervjuet, ble det tatt lydopptak av. elever i denne klassen. Tolv av dem fikk karak- Alle intervjuene ble transkribert. Det er i hoved- teren 2 i første halvdel av 9. klasse. Tre av elevene sak den andre intervjurunden som danner data- fikk karakterene 5 eller 6. Av de 29 elevene var grunnlaget for analysen. det bare 10 som leverte tilbake samtykkeskjema Oppvarmingsoppgavene som ble brukt, var om å delta. Alle disse fikk tillatelse av foreldrene Førstemann til 20, Summen av fem firesifra tall, til å delta i studien. De 10 elevene utgjør utval- Hvem skal ut? og Diamantgruven. Førstemann get for studien. Av disse elevene hadde to av til 20 er en aktivitet der to elever bytter på å dem karakteren 2, fire hadde 3, to hadde 4, én telle.3 Den ene eleven begynner og kan velge hadde 5 og én hadde 6. Ifølge læreren var dette om han vil telle ett eller to tall videre (altså «1» en utfordrende klasse. I matematikktimene var eller «1, 2»). Slik bytter elevene på å telle til en det mye bråk, og han syntes det var vanskelig av dem har kommet til 20. Denne eleven har å motivere elevene. Han sa at det til tider var vunnet. Målet med oppgaven vil være å finne tungt å være matematikklærer for klassen, og den optimale strategien for å vinne. Summen av han visste ikke hvordan han skulle snu trenden. fem firesifra tall går i korte trekk på at læreren Jeg fulgte klassen én matematikktime i uken skriver et hemmelig tall på en lapp og legger det et helt vårsemester. De første ukene hadde jeg i en konvolutt. Deretter bytter læreren og elev- fokus på å bli kjent med elevene. Etter noen ene på å skrive opp et firesifra tall på tavlen. Slik uker ble de 10 elevene intervjuet. Under disse fortsetter det til en har fem firesifra tall. Elevene intervjuene skulle de prøve å sette ord på om finner summen av disse. Verdien av summen de var motivert for å jobbe med matematikk, og viser seg da å være samme tall som det i kon- hva som gjorde dem mer eller mindre motivert. volutten. Den matematiske utfordringen blir da

42 1/2019 tangenten å finne ut hvorfor en får samme tall. Hvem skal Antall Motivasjonsfaktor ut? går ut på at elevene får se et lysbilde med elever tre forskjellige matematiske objekter. De skal 1) Mestringsfølelse 10 argumentere for at to av objektene har en matematisk sammenheng som det siste ikke har. De 2) Positiv avveksling 8 får poeng for hver riktig sammenheng. I denne 3) Konkurranseaspektet 7 oppgaven vil det matematiske fokuset være å se 4) Lav inngangsterskel 7 etter sammenhenger innenfor et matematisk tema, samtidig som elevene får øvd på å bruke 5) Oppgavene skapte undring 5 et presist matematisk språk. Diamantgruven er Tabell 1 et kortspill læreren leder. Læreren trekker ett og ett kort som enten inneholder et antall diamanter eller en katastrofe. Her er poenget å samle faktor ved oppvarmingsoppgavene. Elevene kom flest mulig diamanter før katastrofen inntreffer. blant annet med disse utsagnene: Det matematiske fokuset i denne oppgaven vil være addisjonsstrategier på de laveste trinnene Jonas4 Jeg likte «Hvem skal ut?» fordi det og sannsynlighetsregning på ungdomstrinnet. var noe nytt som jeg aldri hadde sett Etter at intervjuene var transkribert, ble før, og det var noe som jeg faktisk det foretatt en konvensjonell innholdsanalyse. fikk ganske bra til. Dette er en analyseform der målet er å beskrive Maren Jeg synes oppvarmingsoppgaver er et fenomen, og metoden blir brukt når det fore- en ganske god ide, fordi det gjør at ligger begrenset litteratur om fenomenet (Hsieh du føler du får til ting. […] Det kan og Shannon, 2005). Det blir ikke brukt noen for- være flere oppgaver også, fordi når håndsdefinerte kategorier. Kategoriene kommer elevene får til ting i begynnelsen av ut fra datamaterialet. Analysen går altså ut på å timen, i stedet for å hoppe på noe kode elevenes utsagn om hva som motiverer dem veldig vanskelig med en gang, som under forskjellige kategorier. Da blir det lettere du ikke får til, så blir du kanskje mer å finne ut om det er noen felles motivasjonsfak- motivert? torer som går igjen hos elevene. Både Jonas og Maren sier at det er viktig for Analyse og drøfting dem å oppleve mestring. Som både Stipek et al. Tidlige analyser av datamaterialet viser at det er (1998), Martin (2005, 2007) og Bandura (1994) en klar tendens i svarene til elevene. Samtlige påpeker, er det viktig at elevene får mulighet til elever sier at oppvarmingsoppgavene fungerte å oppleve denne mestringen i matematikkunder- som en motivasjonsfaktor. Men på hvilke måter visningen. Det er også verdt å merke seg at Jonas fungerte de som det? Etter gjentatte analyser av benytter seg av ordet faktisk. Oppvarmingsopp- datamaterialet kan det se ut som elevsvarene kan gavene var faktisk noe han fikk til. Sammen med plasseres i fem kategorier (se tabell 1). det faktumet at han stort sett bare fikk karakte- I det følgende ser jeg nærmere på disse moti- ren 2 i matematikk, kan dette indikere at opp- vasjonsfaktorene. varmingsoppgavene også var med på å redusere følelsen av resignasjon (Martin, 2007), som igjen Mestringsfølelsen kan føre til at flere positive følelser blir knyttet Samtlige elever pekte på mestring og det å forstå til faget (Stipek et al., 1998). løsningsprosessen som en viktig motivasjons- Johanne har også flere tanker om motivasjon og oppvarmingsoppgaver. Under det første tangenten 1/2019 43 intervjuet fortalte hun at hun stort sett fikk tenker «okay, nå skal jeg bare klare karakteren 3 i matematikk. Hun likte ikke mate- denne oppgaven her for å få kjenne matikk, syntes bare det var noe tull som hun på den mestringsfølelsen». Det er aldri ville få bruk for. Den eneste grunnen til at sikkert veldig mange som ikke har hun jobbet med matematikk, var at foreldrene fått den mestringsfølelsen i matte. I presset henne til å gjøre det. Johannes utsagn hvert fall ikke jeg. Men da jeg forsto kan knyttes til flere av elementene fra motiva- disse her, så kjente jeg virkelig på sjonshjulet til Martin (2007). Det kan se ut som det at «wow, jeg mestret faktisk om hun ikke verdsetter det hun lærer i mate- noe». matikkundervisningen, hun ser ikke relevansen. Det kan også se ut som hun er opptatt av ikke å Her sier Johanne at hun har gått gjennom flere mislykkes, det er foreldrenes forventninger som matematikktimer uten å oppleve mestring. Ifølge driver henne. Etter at jeg hadde gjennomført Bandura (1994) vil elever som gang på gang fire oppvarmingsoppgaver med klassen, kom opplever nederlag, utvikle strategier for å unngå Johanne med følgende refleksjoner: oppgaver de anser som utfordrende. Johanne sier at hun har utviklet en strategi der hun «ligger og Intervjuer Dersom du fikk velge, synes du at halvsover i starten av matematikktimen». Dette lærere burde brukt oppvarmings- kan også knyttes til elementet selvhemming i oppgaver i matematikkundervis- Martins (2007) motivasjonshjul. Det er lettere å ningen sin, eller synes du det er takle dårlige resultater dersom du kan skylde på bortkastet tid, og du har heller lyst at du halvsov da læreren hadde gjennomgang. til å bruke tiden på for eksempel å Johanne peker også på at det å forstå er viktig øve til tentamen. for henne. Når hun har opplever at hun forstår, Johanne Jeg synes ikke det er bortkastet sier hun at «nå vil jeg også være med», og «nå vil tid. Fordi vanligvis ligger jeg og jeg også bevise at dette forstår jeg». Dette kan halvsover i starten av timene og knyttes til mestringsorientering, det å forstå er bare synes at dette er noe dritt. en viktig motivasjonsfaktor (Martin, 2007). Til «Jeg hater matte» liksom, og jeg slutt sier hun at på grunn av at hun forsto, så forstår ikke at jeg kommer til å få fikk hun en følelse av at «wow, jeg mestret fak- bruk for dette her. Jeg bare sitter tisk noe». Det ser ut til at Johannes opplevelse der og rett og slett synes det er og tilnærming til oppstarten av matematikkun- dritt. Men når du begynner med dervisningen har endret seg fra å halvsove seg slike oppvarmingsoppgaver, så gjennom den til å ha et ønske om å bevise at hun begynner tankene dine å surre litt, har forstått det de arbeider med. Hun sier også at og du begynner å kjenne på at «å oppvarmingsoppgavene har spilt en rolle i denne ja, nå forstår jeg», «å ja, nå vil jeg endringen, og at lærere bør starte undervisnin- også være med», og nå vil jeg også gen med slike oppgaver. bevise at dette forstår jeg, endelig Johannes utsagn kan også knyttes til flere av noe i matematikk jeg forstår. Så jeg Stipeks faktorer for motivasjon. For det første synes at lærerne burde tatt med en opplevde hun å mestre oppgavene, noe som igjen slik oppvarmingsoppgave i timen kan bidra til å øke mestringstroen hennes. For og bare få oss i gang, og så kan vi det andre kan utsagnene «å ja, nå forstår jeg» og begynne på det andre. For det å «å ja, nå vil jeg også være med» være en indika- bare forstå litt gir kanskje litt mer sjon på at hun har opplevd en eller annen form motivasjon til neste oppgave. Så du for glede ved matematikkundervisningen. For

44 1/2019 tangenten det tredje kan det se ut som hun har flere posi- dem. Det betyr at det ikke nødvendigvis er opp- tive følelser relatert til matematikk enn det hun varmingsoppgaven i seg selv de opplevde som hadde tidligere. Hun sier at hun syntes matema- motiverende, det kan like gjerne være gleden tikk var noe dritt, og at hun hatet det, men at over å vinne konkurransen, altså en ytre moti- oppvarmingsoppgaver er noe hun vil være med vasjonsfaktor. På den andre siden sier Ola at «for på. min del så blir undervisningen mye kjekkere». Olas opplevelse av matematikkundervisningen Konkurranseaspektet har blitt bedre etter at de jobbet med oppvar- Både Førstemann til 20, Hvem skal ut? og Dia- mingsoppgaver, han synes det er kjekkere. Han mantgruven er konkurransepreget. Syv av ti har fått et mer positivt inntrykk av matematikk- pekte på konkurranseaspektet som en viktig undervisningen ved hjelp av oppgavene, noe som motivasjonsfaktor. To av elevene forklarer hvor- kan tyde på at han relaterer flere positive følel- for de ble motivert av disse oppgavene med føl- ser til matematikk. Som både Stipek et al. (1998) gende utsagn: og Applebaum (2017) påpeker, er det viktig at læreren bidrar til å utvikle disse positive følel- Ola Når det er konkurranse mot de sene hos elevene, fordi det i neste omgang kan andre elevene, så blir du mye mer føre til at de blir indre motivert for å jobbe med motivert. For du vil jo prøve å slå matematikk. den andre, du vil være bedre enn den andre, og da får du mye mer motiva- Oppgaven skapte undring sjon til å prøve å gjøre det beste du Fem av elevene svarte at de ble motivert fordi kan. […] For min del så blir under- oppgavene fikk dem til å tenke og undre seg visningen mye kjekkere fordi det er over et matematisk problem. Blant de oppvar- litt annerledes enn en vanlig matte- mingsoppgavene elevene hadde, var det særlig time Summen av fem firesifra tall som ble trukket Bjørn Mange av oppvarmingsoppgavene frem: inneholder en konkurranse der jeg har lyst til å vinne. Så jeg har vært Maren Jeg forstod ikke helt hvordan du mye mer motivert når vi har dem. klarte å vite alle de tallene vi skulle velge. For de var jo helt tilfeldige. Ola sier at konkurranse mot de andre elevene […] Jeg ble mer motivert. Jeg ville gjør han mer motivert, og både Ola og Bjørn finne ut hvordan i alle dager du peker på at ønsket om å vinne over medelevene hadde klart det. For det var jo en er en motivasjonsfaktor. Tidligere forskning måte du gjorde det på. Den ville jeg antyder også at konkurranser kan føre til mer finne ut av. motiverte elever (Bicknell, 2008; Applebaum, Ola Jeg ble motivert av «summen av fem 2017; Deci et al., 1981). Men som Deci et al. firesifra tall» fordi der var det slik (1981) og Bicknell (2008) påpeker, er det ikke at du lurte på hvordan … Vi lurte sikkert at elevene blir indre motivert. Det kan veldig på hvordan du gjorde det. Og like gjerne være ytre faktorer som motiverer da ble jeg på en måte motivert til å dem. Det er vanskelig å slå fast om elevene i finne ut hvordan du fikk det til. denne studien ble ytre eller indre motivert av oppgavene med et konkurranseaspekt. På den Disse elevutsagnene kan knyttes til flere av Sti- ene siden sier både Ola og Bjørn at det er ønsket peks faktorer. Maren fikk gjennom Summen av om å vinne over medelevene som motiverer fem firesifra tall en matematisk utfordring, som tangenten 1/2019 45 hun ikke hadde noen algoritme for å løse. Da ikke matematikk så godt», og Johanne sier hun kunne hun reagert med bare å gi opp, men hun hater matematikk. Sofie har også klare forme- uttrykte ønske om heller å finne ut hvordan hun ninger om oppvarmingsoppgaver sammenliknet kunne løse den. Maren viste vilje til å forstå hva med vanlig undervisning: som lå bak oppgaven (faktor a), og hun viste en vilje til å jobbe med en oppgave som er ulik Sofie Det er ikke så gøy når lærerne går andre oppgaver hun har jobbet med (faktor c). gjennom veldig vanskelige ting. Og Når Ola snakker om oppvarmingsoppgavene da sitter du kanskje og føler deg med et konkurranseaspekt, kan det virke som veldig dum. Men her (når de jobber han ble ytre motivert. Men utsagnet ovenfor kan med oppvarmingsoppgaver) trenger tyde på at Summen av fem firesifra tall var med du ikke å føle deg dum hele veien. på å skape en indre motivasjon hos han. Han lurte på hvordan jeg klarte å mestre aktiviteten, Det virker som både læreren og elevene er enige og det var hans ønske om å mestre aktiviteten, i det ekspertgruppen i Tett på realfag peker på: altså aktiviteten i seg selv, som var motivasjons- Det er for lite variasjon i læringsaktivitetene i faktoren. matematikkundervisningen (Kunnskapsdepar- tementet, 2015, s. 17). Det kan også virke som Oppgavene ble opplevd som en positiv om elevene satte pris på den variasjonen de fikk avveksling gjennom oppvarmingsoppgavene. At varia- Åtte av elevene sa at de ble motivert av oppvar- sjon kan føre til mer motiverte elever, er også mingsoppgavene fordi de opplevde dem som noe Bobis et al. (2011) stiller seg bak. For disse en positiv avveksling fra det de oppfattet som åtte elevene fungerte oppvarmingsoppgavene vanlig undervisning. Flere elever beskriver som variasjon i form av en avveksling til vanlig vanlig undervisning som å jobbe individuelt undervisning. Dette opplevde de altså som en med oppgaver, jobbe teoretisk med matematikk motivasjonsfaktor. Sofies utsagn om at hun ikke de opplever som vanskelig, og lite variasjon. følte seg dum da hun jobbet med oppvarmings- Læreren hjelper også med å tegne et bilde av hva oppgaver, kan også tyde på at hun økte faktoren elevene kan oppfatte som vanlig undervisning: som går på å tørre å jobbe med vanskelige oppgaver (Stipek et al., 1998), og det kan tyde på at Læreren Det kommer jo press ovenfra, at vi oppgavene var med på å redusere matematikk- skal gjennom sånn og sånn. Men det angsten hennes (Martin, 2007). er jo ikke egentlig hva denne gruppen trenger, for å si det sånn. De Lav inngangsterskel til oppgavene trenger en annen type tilnærming til Til slutt vil jeg kort se på hva elevene sa om inn- fagstoffet. gangsterskelen til oppgavene. Syv av dem syntes det var kjekt at oppvarmingsoppgavene var sam- Læreren er klar på at det er et press om å komme lende for klassen. gjennom pensum, og han ser behovet for en form for variasjon. Det kan også virke som om Johanne Jeg får jo selvfølgelig litt energi, for dette presset virker negativt inn på den siste fak- jeg føler at hele klassen deltar, og da toren hos Stipek et al. (1998), nemlig at elevene blir det bare så mye kjekkere. At alle utvikler negative følelser for matematikkfaget. er motiverte og vil holde på å jobbe Seks av de ti elevene sier direkte at de er negative med matte. til vanlig undervisning. Av dem sier Karoline «jeg synes matte er kjedelig», Bjørn sier «jeg liker Siden det er en lav inngangsterskel, vil veien til

46 1/2019 tangenten mestring være kortere for alle elevene, som igjen spørsmål om oppvarmingsoppgaver vil fungere kan være med på å øke elevenes mestringstro som en motivasjonsfaktor for elevgrupper som (Stipek et al., 1998; Martin, 2007). Johanne sier har flere positive følelser relatert til matematikk, også at hun får energi, ikke bare av oppgavene sammenliknet med den elevgruppen denne stu- i seg selv, men av at hele klassen deltar. Dette dien omfatter? Det hadde også vært interessant å tyder på at oppgaven kan bidra til å skape en se om resultatet hadde vært det samme dersom positiv atmosfære i matematikklasserommet, klassens lærer hadde gjennomført oppvarmin- som igjen kan være med på å øke Stipeks faktor gen selv? Disse spørsmålene kan være interes- om å relatere matematikk til positive følelser. sante utgangspunkt for nye studier.

Avslutning Noter I denne studien ønsket jeg å finne ut på hvilke 1 I denne artikkelen betraktes begrepene oppvar- måter matematiske oppvarmingsoppgaver kan mingsoppgave, oppstartsoppgave og warm-up fungere som en motivasjonsfaktor for en gruppe activities som synonymer. niendeklasseelever. Samtlige av elevene uttryk- 2 Lampert et al. (2010) bruker begrepet instructional ker at de ble motivert av å jobbe med oppgavene. activities, men de peker på hvordan noen av disse Analysen av datamaterialet antyder at viktige oppgavene kan brukes som warm-up activities. motivasjonsfaktorer ved oppgavene var: 1) elev- 3 Se http://www.caspar.no/tangenten/2001/t2001-2. ene ble motivert fordi de opplevde mestring, pdf for flere varianter av denne aktiviteten. 2) elevene opplevde oppgavene som en positiv 4 Alle navn er pseudonymer. avveksling, 3) elevene ble motivert av konkurranseaspektet ved flere av oppgavene, 4) det er Referanser lav inngangsterskel til oppgavene, og 5) elevene Abdelrahman, H. M. (2018). Undervisningens fokus. begynte å undre seg over hvilken matematikk Tangenten – tidsskrift for matematikkundervisning, som lå bak oppgavene. Det kan også se ut som 29(1), 3–7. om oppgavene var med på å bygge opp særlig Applebaum, M. (2017). Spatial abilities as a predictor to tre av Stipeks faktorer. Elevenes mestringstro success in the Kangaroo contest. Journal of Math- økte, elevene klarte i større grad å relatere mate- ematics and System Science, 7, 154–163. matikk til positive følelser, og flere elever viste Bandura, A. (1994). Self-Efficacy. I V. S. Ramachaudran tegn til å jobbe med oppgaver de opplevde som (red.), Encyclopedia of human behavior (Vol. 4, s. utfordrende. I tillegg til dette ser det ut som om 71–81). New York, NY: Academic Press. oppgavene kan være med på øke motivasjons- Bicknell, B. (2008). Gifted students and the role of math- fremmende faktorer i Martins (2007) motiva- ematics competitions. Australian Primary Mathemat- sjonshjul, samtidig som de kan redusere motiva- ics Classroom, 13(4), 16–20. sjonshemmende faktorer. Analysen av datama- Bobis, J., Anderson, J., Martin, A. J. & Way, J. (2011). A terialet tyder altså på at oppvarmingsoppgavene model for mathematics instruction to enhance stu- fungerte som en motivasjonsfaktor for elevene dent motivation and engagement. I D. J. Brahier & W. som var med i studien. R. Speer (red.), Motivation and disposition: Pathways Det melder seg også nye spørsmål: Vil opp- to learning mathematics, 73. Yearbook (s. 31–42). varmingsoppgaver gi elevene muligheter til å Reston, VA: National council of teachers of math- glede seg over matematikken? Analysen av data- ematics (NCTM). materialet kan tyde på det. Men glede er noe som Bomia, L., Beluzo, L., Demeester, D., Elander, K., Johnson, opptrer spontant og vil lettere kunne identifise- M. & Sheldon, B. (1997). The impact of teaching strat- res om det blir tatt videoopptak av arbeidet med egies on intrinsic motivation. Champaign, IL: ERIC oppvarmingsoppgavene. Videre kan det stilles Clearinghouse on Elementary and Early Childhood tangenten 1/2019 47 Education. (ERIC Document Reproduction Service Stipek, D., Salmon, J. M., Givvin, K. B. & Kazemi, E. No. ED 418925) (1998). The value (and convergence) of practices Botten, G. (2005). Om reflektert og ureflektert moro- suggested by motivation research and promoted matematikk. Tangenten – tidsskrift for matematik- by mathematics education reformers. Journal for kundervisning, 16(2), 2–4. Research in Mathematics Education, 29(4), 465–488. Deci, E. L., Betley, G., Kahle, J., Abrams, L. & Porac, J. (1981). When trying to win: Competition and intrinsic motivation. Personality and Social Psychology Bul- letin, 7(1), 79–83. Gagné, M. & Deci, E. L. (2005). Self-determination theory and work motivation. Journal of Organizational (fortsatt fra side 19) Behavior, 26(4), 331–362. veiledning underveis (Karlsen 2014, s. 18–22). Helle, L. (2013). 1.–7. trinn: pedagogikk og elevkunnskap. Både elevene og jeg så effekten av elevaktiv Oslo: Universitetsforlaget. undervisning som endte opp med en muntlig Hsieh, H.-F. & Shannon, S. E. (2005). Three approaches framføring med åpning for spørsmål fra med- to qualitative content analysis. Qualitative health elever og meg. Jeg velger å avslutte med elevut- research, 15(9), 1277–1288. talelser som er et sammendrag av noen flotte Johannessen, A., Tufte, P. A. & Christoffersen, L. (2010). uker med engasjerte elever: «Jeg lærte enda Introduksjon til samfunnsvitenskapelig metode. Oslo: mer å jobbe med Excel og hvordan jeg satte Abstrakt forlag. inn diagrammer og lagde tabeller», «Jeg lærte Kunnskapsdepartementet. (2015). Tett på realfag – mer om typetall, median og gjennomsnitt», Nasjonalstrategi for realfag i barnehagen og grun- «Det var gøy å jobbe med en oppgave som man nopplæringen (2015–2019). Hentet fra https://www. bestemmer mye selv, men det var også vanske- regjeringen.no/contentassets/869faa81d1d740d297 lig for man kan bli usikker på hva man skal 776740e67e3e65/kd_realfagsstrategi.pdf gjøre – men det var en ny måte å lære statis- Lampert, M., Beasley, H., Ghousseini, H., Kazemi, E. & tikk på», «Jeg ble stolt da jeg var ferdig med Franke, M. (2010). Using designed instructional hele oppgaven, og kunne presentere den for de activities to enable novices to manage ambitious andre», «Det har vært utfordrende å jobbe med mathematics teaching. I M. K. Stein & L. Kucan en oppgave i 2–3 uker, men jeg har lært veldig (red.), Instructional explanations in the disciplines (s. mye». 129–141). New York, NY: Springer. Martin, A. J. (2005). Exploring the effects of a youth Referanser enrichment program on academic motivation and https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetanse- engagement. Social psychology of education, 8, maal/kompetansemal-etter-7.-arssteget 179–206. https://www.regjeringen.no/no/aktuelt/fornyer-innhol- Martin, A. J. (2007). Examining a multidimensional model det-i-skolen/id2606028/?expand=factbox2606064 of student motivation and engagement using a con- Herheim, R. & Johnsen-Høines, M. (2016). Matema- struct validation approach. British journal of educa- tikksamtaler. Undervisning og læring – analytiske tional psychology, 77, 413–440. perspektiv. Bergen: Caspar forlag. Olafsen, A. R. & Maugesten, M. (2015). Matematikkdidak- Karlsen, L. (2014). Tenk det! Utforsking, forståelse og tikk i klasserommet. Oslo: Universitetsforlaget. samarbeid – elever som tenker sjæl i matematikk. Rennemo, M. G., Søvik, W. L. & Meberg, L. K. O. (2018). Oslo: Cappelen Damm. Utviklende matematikklæring. Tangenten – tidsskrift Wæge, K. & Nosrati, M. (2018). Motivasjon i matematikk. for matematikkundervisning, 29(1), 15–20. Oslo: Universitetsforlaget.

48 1/2019 tangenten Matematikksenteret Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

Realfagsløyper Et av målene i den nasjonale realfagsstrate- gien Tett på realfag er å forbedre kompetansen til – didaktisk barnehagelærere og lærere i realfag, og et av til- takene knyttet til dette målet er Realfagsløyper. kompetanseutvikling i Realfagsløyper er et verktøy for kompetanseutvikling i matematikk- og naturfagdidaktikk realfagene for ansatte i barnehager og skoler. Verktøyet er utviklet av Matematikksenteret og Naturfagsen- Nettsiden realfagsloyper.no ble lansert våren teret på oppdrag fra Utdanningsdirektoratet. 2018. Her finner du kompetanseutviklings- Gjennomføringen av Realfagsløyper kan organi- pakker som skal støtte barnehage- og skoleledere seres internt på den enkelte barnehage/skole eller i å drive lokalt utviklingsarbeid og bidra til å i nettverk med andre barnehager/skoler. Dette er i styrke den kollektive kompetansen til ansatte i tråd med den desentraliserte ordningen for kom- barnehage og lærere. petanseutvikling som trådte i kraft 1. januar 2018.

Figur 1: Skjermbilde fra realfagsloyper.no

Matematikksenteret 49 Figur 2: Innholdet i Realfagsløyper.

Utviklet i tett dialog med praksisfeltet Mange barnehager og skoler har positive erfaringer med utviklingsarbeid basert på Språkløy- per, og en føring fra Utdanningsdirektoratet var at kompetanseutviklingspakkene i Realfagsløy- per skulle ha en liknende oppbygning og struktur. Matematikksenteret og Naturfagsenteret har derfor utviklet en nettside som skal ivareta de gode prinsippene fra Språkløyper. I gjen- nomføringen av Realfagsløyper får de ansatte Figur 3: Moduler faglig påfyll og konkrete didaktiske verktøy som seutviklingspakker. Alle pakkene består av to de selv skal prøve ut i samarbeid med kolleger i eller flere moduler, og alle modulene har en fast barnehage og skole. Alt innhold i Realfagsløyper struktur med A – Forarbeid, B – Samarbeid, C – er utviklet i tett samarbeid mellom fagdidakti- Utprøving og D – Etterarbeid (se figur 3). Denne kere og praksisfeltet. strukturen skal være lett gjenkjennbar på nettsiden. A – Forarbeid skal gjøres individuelt, og Tema, pakker og moduler her kan for eksempel deltakerne lese en artikkel, Innholdet i Realfagsløyper (se figur 2) er fordelt se en video eller svare på refleksjonsspørsmål. på ulike tema, og vi anbefaler både barnehager Arbeidet med B – Samarbeid skjer i grupper og og skoler å starte med temaet Kom godt i gang. plenum, og sentrale innholdselementer her er Innholdet i dette temaet gir deltakerne en intro- felles arbeid med utgangspunkt i forarbeidet, duksjon til realfagene, råd til en god gjennom- faglig påfyll og felles planlegging. Under C – føring og hjelp til å lage en felles utviklingsplan. Utprøving skal aktiviteten som ble planlagt i Videre i Realfagsløyper vil de ansatte i fellesskap fellesskap, prøves ut av den enkelte med barn/ velge didaktiske temaer de ønsker å utvikle seg elever eller egne kolleger. Denne utprøvingen innenfor. danner et erfaringsgrunnlag som deltakerne Innenfor temaene ligger det ulike kompetan- sammen reflekterer rundt i D – Etterarbeid.

1/2019 50 Matematikksenterettangenten Det er refleksjonen over egen praksis, sett i lys Ledelsen er viktig for å lykkes av teori, og drøfting med kolleger som ligger til Sentrene håper at Realfagsløyper skal bli et grunn for kompetanseutviklingen. Det er lagt nyttig verktøy for alle landets barnehager og opp til at arbeidet med modulene skal ledes av skoler, og håper derfor at de fagdidaktiske kom- én valgt person, og for alle moduler på skole er petanseutviklingspakkene blir godt mottatt det produsert en PowerPoint-presentasjon som ute i felten. For å lykkes med utviklingsarbeid vi anbefaler at denne personen bruker som hjelp basert på de fagdidaktiske modulene kreves det til gjennomføringen. imidlertid mer enn et godt innhold på nettsiden. Arbeidet med Realfagsløyper må være godt Et tilbud for alle – uavhengig av forankret på den enkelte enhet, og dette er en forkunnskaper lederoppgave. Nedenfor finner du noen av våre Realfagsløyper skal være et lavterskeltilbud, og tips for å lykkes med utviklingsarbeidet. Det er dette innebærer at alle barnehager og skoler skal viktig at lederen setter av minimum 2 × 2 timer kunne ta i bruk verktøyet. Dette legger førin- per måned ger for blant annet arbeidsmengde innenfor en – forankrer arbeidet i årsplanen modul. Utprøving av modulene i barnehager og – inkluderer og motiverer de ansatte til å skoler er en naturlig del av kvalitetssikringen delta i utviklingsarbeidet ved produksjon av innhold, og så langt er de – støtter og veileder slik at de ansatte kan aller fleste modulene som ligger på realfagsloy- reflektere over og utvikle egen praksis per.no, utprøvd med en eller flere lærergrupper. – velger én eller flere som leder arbeidet med Alt faglig innhold blir i tillegg revidert på bak- modulene grunn av erfaringer gjort ved bruk av kompetanseutviklingspakkene i den desentraliserte Matematikksenteret ønsker alle lykke til med ordningen. Per januar 2019 har det vært to lokalt utviklingsarbeid! runder med publisering av innhold på nettsiden, og Realfagsløyper inneholder nå 9 pakker på barnehage og 19 pakker på skole fordelt på de ulike temaene.

Dekker sentrale fokusområder Sentrene har som mål å utvikle pakker som skal dekke de mest aktuelle områdene innenfor matematikk- og naturfagdidaktikk, og i tillegg kommer Utdanningsdirektoratet med ønskede faglige fokusområder gjennom årlige oppdragsbrev. Fokusområder i siste oppdragsbrev var overganger, elever med stort læringspotensial, bruk av rike oppgaver og tilpasset opplæring, vurdering i realfagene og didaktisk bruk av teknologi og programmering. Flere av pakkene som ble publisert i desember 2018, var rettet mot disse fokusområdene, og de vil også være med i videre produksjonsrunder.

Matematikksenteret 51 Bakgrunn Påmelding til Arbeidet med MatteLIST startet med at Mate- matikksenteret fikk et oppdrag av Utdannings- Kengurukonkurransen direktoratet i 2017. De ønsket nettressurser for elever med stort læringspotensial og ekstra 2019 er nå åpnet nysgjerrighet i matematikk. Matematikksenteret innledet dermed et samarbeid med NRICH ved University of Cambridge i England, som har utviklet flere tusen forskjellige nettbaserte oppgaver i matematikk. NRICH er en del av The Millennium Mathematics Project, som gjennom Frist for påmelding til Kengurukonkurransen er kreative og fantasifulle tilnærminger fokuserer 19. mars. Konkurransen starter i år 21. mars og på problemløsning og forståelse i matematikk. kan gjennomføres fram til 12. april. For å delta i Så langt er et hundretalls oppgaver oversatt og konkurransen må elevenes resultater registreres tilpasset til norsk, og mer kommer etter hvert. på nett seinest 17. april. For mer informasjon, gå MatteLIST passer for lærere som vil bruke inn på www.matematikksenteret.no/kenguru. ressursene i klasserommet, og for elever som Oppgavesettene er tilgjengelige både på vil utforske matematikk på egen hånd. Navnet bokmål, nynorsk og engelsk. MatteLIST er ikke tilfeldig. LIST er en forkortelse for «Lav Inngangsterskel og Stor Tak- høyde»: Det skal være lett å komme i gang, samtidig som det er mulig å arbeide på et høyt MatteLIST – ny nettside matematisk nivå. Veldig mange av ressursene på siden har nettopp denne egenskapen, noe med aktiviteter som som gjør at de egner seg svært godt til bruk i heterogene klasserom og med elever på mange passer alle forskjellige nivåer i matematikk. Mattelist.no er en nettside med matematiske oppgaver og artikler som kan brukes av elever Dette finner du på mattelist.no og lærere på barnetrinn og ungdomstrinn og i Oppgavene på mattelist.no er inndelt etter tema, videregående skole. Nettsiden ble lansert gjen- trinn og vanskelighetsgrad. Vanskelighetsgra- nom Matematikksenteret i slutten av novem- den gir en indikasjon på nivået til inngangster- ber 2018, samtidig som senterets leder, Kjersti skelen. Noen oppgaver er derfor kategorisert Wæge, lanserte den for deltakerne på Novem- under flere trinn, med ulik vanskelighetsgrad. berkonferansen. Det skilles også mellom aktiviteter, problemer og artikler. Aktiviteter er større oppgaver som passer fint for arbeid i en hel klasse. I tillegg til selve oppgaven finnes det starthjelp, løsning og lærerveiledning. Starthjelp er som regel korte spørsmål som kan få elevene til å reflektere rundt problemet og komme i gang med løsningen. De kan velge om de vil bruke denne hjelpen. Løsningen er ikke bare en fasit, men ofte også en forklaring på hvordan man Foto: Glen Musk, Matematikksenteret/skjermbilde, mattelist.no kan komme fram til løsningen. Elevene kan

1/2019 52 Matematikksenterettangenten gjerne oppmuntres til å studere løsningsforslagene nøye – det kan være mye å lære av å lese slike matematiske tekster. Lærerveiledningen forklarer kort hva som er hensikten med den aktuelle oppgaven, og hvordan man kan arbeide med oppgaven i klasserommet. Den inneholder også forslag til gode veiledningsspørsmål som lære- ren kan stille elevene underveis i arbeidet for å få dem i gang og kanskje se nye muligheter, uten at læreren tar over løsningspro- sessen. Noen ganger gis det også forslag til hvordan en oppgave kan utvides. Problemer er kortere oppgaver som kan passe godt til enkeltele- Foto: skjermbilde, mattelist.no ver, par eller små grupper. Også her følger det med starthjelp og løsning. En del av disse oppgavene kan ha en noe høyere inngangsterskel og krever en viss forkunnskap. Læreren må derfor vurdere hvordan det passer å bruke disse oppgavene med sine elever. -Det fnnes også faglige artikler om forskjel lige matematiske temaer på sidene. Disse er ikke oversatt, men interesserte elever på ungdomstrinn og videregående nivå kan ha glede og nytte av å lese artikler på engelsk. Foto: klipp fra instruksjonsfilm, Mattelist.no Oppgavene på mattelist.no er i stor grad utformet for å legge til rette for samarbeid og utvikling av problemløsningsstrategier. Det er derfor en viktig forutsetning at det settes av nok tid til arbeid med oppgavene. Det anbefales å lese artikkelen «Hvordan ta i bruk ressursene: Lærer» for å bli bedre kjent med innholdet og hvordan ressursene best kan brukes. Mattelist.no er under kontinuerlig utvikling, og det vil i løpet av 2019 komme flere ressurser til alle trinn, også til barnehage!

Matematikksenteret 53 LAMIS

Landslaget for matematikk i skolen Matematisk institutt UiO Postboks 1053 Blindern 0316 OSLO

[email protected] · www.lamis.no Bankgiro: 7878 0500882 Organisasjonsnr: 980 401 103

Fra formålsparagrafen Medlemskontingent 2018 Det er en demokratisk rett å få Mellomtrinnet 450 kr for enkeltmedlem en matematikkundervisning som Inger-Lise Risøy, Buskerud med Tangenten setter en i stand til å delta aktivt Ungdomstrinnet 200 kr for husstandsmedlemmer som borger i et demokrati. Derfor Gerd Nilsen, Hedmark 300 kr for studenter/pensjonis- vil Landslaget for matematikk i Videregående skole ter med Tangenten skolen (LAMIS) sette fokus på Odd-Bjørn Lunde, Rogaland 975 kr for skoler/institusjoner matematikk for alle. Høgskole/universitet med Tangenten Marianne Maugesten, Østfold Nytt: pensjonistmedlemskap Styret for LAMIS Varamedlem med samme pris som heltids- Leder 1 Kari-Anne Bjørnø Karlsen, studenter. Send oss en epost Renate Jensen, Hordaland Østfold om du ønker å endre medlems- Barnetrinnet 2 Geir Kristoffersen, Fnnmark type. Henrik Kirkegaard, Møre og Romsdal Organisasjonssekretær Elin Unstad, [email protected]

Velkommen til LAMIS' sommerkonferanse 9.–11. august 2019 i Drammen med temaet: Matematikk for fremtiden

Følg med på www.lamis.no for program og påmelding!

54 Landslaget for matematikk i skolen Lederen har ordet Renate Jensen

Kjære LAMIS-kollega! hvilke kunnskaper og ferdigheter august. Tittelen for konferansen Sentralstyret i LAMIS ønsker elevene skal lære seg, og påpe- er «Matematikk for fremtiden». alle et riktig godt nytt og spen- ker at større, åpne kompetanse- En tittel som gir mulighet for nende matematikkår. Fagforny- mål stiller store krav til lærernes mye spennende fag og didaktikk. elsen gjør dette til et viktig år for kompetanse. Det er også flere Hold av datoene, og les mer på de alle som arbeider med undervis- som synes at språket kan bli mer neste sidene om hva lokallaget i ning. Før jul ble innspillsrunden konkret og at det brukes for mye Nedre Buskerud har fått på plass på de første utkastene til nye fagterminologi. Flere av innspil- av spennende faglig og sosialt læreplaner oppsummert. Det ble lene nevner også at det virker som innhold. Viktige nøkkelord er at gitt mer enn 7000 innspill totalt, at fagtrengselen fremdeles er til Drammen er tett på industri som og 1200 av disse handlet om stede og etterlyser en kraftigere opplever rask teknologisk utvik- matematikkfaget. Innspillene kom slanking. På den andre siden er ling og hvor det er viktig med fra fylker, kommuner, UH-sektor, det gitt få innspill på hva som skal innovativ tenkning. Hvilke mate- skoler, enkeltlærere og organisa- ut. Læreplangruppene bruker nå matiske kunnskaper som kreves sjoner. Udir oppsummerer inn- innspillene i det videre arbeidet i fremtiden og dybdelæring vil spillene gitt i matematikkfaget sitt. I løpet av mars 2019 kommer få stort fokus. Følg med på vår med at svært mange er positive til en offisiell høring på læreplanut- hjemmeside, der vil påmelding, arbeidet så langt. De fleste mener kastene. program og praktisk informasjon det er blitt en tydeligere retning LAMIS ønsker en tydelig være på plass i løpet av kort tid. i faget og at det er blitt en bedre stemme i slike prosesser, og vi Vi vil også presentere plenums- progresjon enn i dagens lære- arrangerte derfor en lokallags- forelesere og verkstedsholdere i plan. Et flertall mener også at det samling i november der ti av våre vår facebook-gruppe etter hvert er bra at det er utviklet kompetan- lokallag var med på å gi innspill som disse er klare. semål på hvert trinn. Innspillene basert på forberedelse gjort på Før vi kommer til sommeren er delt i om læreplanen er tydelig medlemskvelder og styremø- skjer det mye spennende i LAMIS nok i å beskrive hvilken kompe- ter. LAMIS vil følge arbeidet tett sitt årshjul. Først ut er semifinale tanse elevene skal tilegne seg i videre, både i lokallagene og på og finale i UngeAbel. Denne går matematikk. Flere etterlyser kom- LAMIS sommerkonferanse som av stabelen 9.–11. april på Gar- petansemål som er tydeligere på finner sted i Drammen fra 9. til 11. dermoen. Takk til de 212 klas-

Landslaget for matematikk i skolen 55 sene som gjennomførte runde 1, fagdager i 2017, og har siden har det siste året gjort en kjem- og som nå er i ferd med å fullføre det gitt barnehagelærere, lærere pejobb for å ta vare på de flotte runde 2. Når begge de innle- og studenter i Oslo, Bergen og oppgavene som tåler å bli brukt dende rundene er ferdige, star- Tromsø muligheten til å delta mange ganger. I arkivet vil man ter fylkesvinnerne sitt arbeid med på en gratis fagdag der Bjørnar kunne søke opp enkeltoppgaver fordypningsoppgaven. Denne er Alseth og Else Devold har lagt ut fra årstall, skoleslag og tema. tilgjengelig for alle, og anbefales å opp til økter med praksisnære Det vil bli lagt til nye oppgaver brukes for å gi elevene muligheten aktiviteter med gode spørsmål på sikt. Det digitale arkivet vil bli til å gå i dybden og arbeide utfor- og refleksjoner. Denne gangen lagt ut i løpet av januar/februar. skende. Oppgaven finner dere på har vi valgt å legge fagdagen til Vi vil komme mer informasjon vår hjemmeside. Årets oppgave Sola Strand Hotell. Velkommen til om hvordan bruke arkivet på vår har fått tittelen Voksende stjerner, en dag med gode fagdiskusjoner hjemmeside. Styret håper og tror og tar utgangspunkt i en følge av om et veldig viktig tema. Vi har at dette vil bli besøkt ofte og at stjernefigurer som vi tenker oss plass til 100 deltagere. oppgavene kommer til nytte, ikke kan vokse og vokse uten grenser. Til slutt ønsker jeg å oppfor- bare på matematikkens dag, men Elevene får arbeide med mønster, dre alle barnehager og skoler til gjennom hele året for å gi varia- begreper og generalisering. De å arrangere en matematikkdag sjon og aktive elever som samar- må undersøke og løse dette på eller kanskje til og med en mate- beider i faget – både ute og inne. så mange måter som dere kan, se matikkuke i løpet av våren. LAMIS Jeg oppfordrer dere til å dele på likheter og forskjeller og sam- har et mål om at matematikk skal erfaringer og god undervisning menligne og kommenter de ulike være et fag som alle opplever er ved å skrive i Tangenten. Redak- løsningene. Her er det mulighet viktig, nyttig og motiverende. sjonen ønsker flere bidrag fra for mange spennende matema- Styret i LAMIS er derfor glade det daglige arbeidet. Og tilslutt tikksamtaler! for å kunne informere om at vi er – husk å melde deg på sommer- Den 26. april inviterer LAMIS godt i gang med å digitalisere alle konferansen – vi skal sørge for til den fjerde fagdagen med utgitte matematikkdagshefter, og flotte dager i Drammen. temaet Forebygging av mate- at vi oppretter et søkbart arkiv for matikkvansker. Vi startet med disse. Lokallaget på Sunnmøre

56 Landslaget for matematikk i skolen Matematikkdagsheftene blir digitalt arkiv Henrik Kirkegaard

LAMIS – Landslaget for matematikk i skolen LAMIS – Landslaget for matematikk i skolen

Skolenes matematikkdag Ingvill M. Holden, NTNU

SKOLENES MATEMATIKKDAGEN MATEMATIKKDAG 2008 Idéhefte Idéhefte - 2007

uke 6, Februar 2002

200 år etter Niels Henrik Abels fødsel

Utarbeidet av LAMIS Nedre Buskerud Hanne Kristiansen, Turid Lund, Randi Nysæther, Inger-Lise Risøy, Åge Ryghseter, Ellen Stehl, Tine Foss Pedersen Utarbeidet av LAMIS Oslo/Akershus Niels Henrik Abel, 1802 – 1829 Bjørnar Alseth, Gro Fjermedal, Eva Jæger,Tone Skori, Bjørn Smestad og Svein H. Torkildsen, organisasjonssekretær LAMIS

Matematikkdagheftet 2002 Matematikkdagheftet 2007 Matematikkdagheftet 2008

Det har blitt en flott tradisjon at kveldene som en planleggingsøkt man kunne søke opp enkeltopp- mange skoler og barnehager med kollegaer. gaver ut fra årstall, skoleslag og arrangerer Matematikkens dag. Heftene er gull verd og stapp- tema(er). Nye oppgaver vil bli lagt Dagen har i mange år vært lagt fulle med gode oppgaver til bruk til på sikt. til uke 11. Et resultat av denne fra barnehager og opp til høgsko- Det har vært utgitt ganske samlede tradisjonen har vært ler. Dessverre er det ofte slik at mange matematikkdagshefter, at mediene har vist interesse for disse heftene forsvinner med tid og det er et stort arbeid å digi- arrangementet. Det er flott for og stunder i en hektisk hverdag talisere disse. En del av heftene matematikkfaget med økt fokus. rundt om på skolene. Et grep vi ligger allerede digitalt; men opp- LAMIS har i mange år gitt ut har gjort, er at vi de siste årene gavene «plukkes ut» av heftet og et hefte til bruk for skoler og bar- har gitt heftene ut digitalt. Nå vil gjøres om til egne oppgaver. De nehager når de skulle planlegge vi ta et skritt videre, og styret i første heftene har vi bare i papir- Matematikkens dag. De ulike LAMIS har besluttet å digitalisere utgave, og disse må skannes inn. lokallagene i LAMIS har etter tur alle utgitte hefter i Matematikk- Deretter må hver enkelt oppgave utarbeidet dette idéheftet. Mange dag-serien. Det er for å ta vare på lagres med søkeord. Oppgavene lokallag arrangerer også en lokal- alle de flotte oppgavene som tåler blir ikke endret fra sin opprinne- lagskveld der lærere blir presen- å bli brukt flere ganger. lige form, da vi er bundet av ret- tert for heftet og får teste ut noen Digitaliseringen vil resultere i tighetene til forfatterne. av aktivitetene. Mange skoler har et søkbart arkiv av alle oppga- Det er en arbeidsgruppe fra fått tradisjon for å bruke disse vene fra alle heftene. I arkivet vil lokallaget på Sunnmøre som gjør

Landslaget for matematikk i skolen 57 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 4 6368 75025 121393 196418 317811 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 57 02887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155 165580141 1 1 2 3 5 8 13 21 3 4 55 89 144 233 377 610 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 1213 93 196418 317811 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 1 4930352 24157817 39088169 63245986 102334155 165580141 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 31781 1 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 2415781 79088169 63245986 102334155 165580141 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 377 610 98 7 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 196418 317811 5 LAMIS 14229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245 Landslaget for matematikk i skolen 986 102334155 165580141 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 196418 317811 514229 832040 134 6269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155 16 L 5580141 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 1771 1 28657 46368 75025 121393 196418 317811 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 35 24578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155 165580141 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75 025 121393 196418 317811 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9 227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155 165580141 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 1964 18 317811 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155 165580141 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 3 A 77 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 390881 69 63245986 102334155 165580141 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 377 610 987 1597 2 584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 196418 317811 514229 83 2040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 1023 34155 165580141 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10 946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 196418 317811 514229 832040 1346269 21 78309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155 165580141 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 4 M 6368 75025 121393 196418 317811 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 57 02887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155 165580141 1 1 2 3 5 8 13 21 3 4 55 89 144 233 377 610 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 1213 93 196418 317811 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 1 4930352 24157817 39088169 63245986 102334155 165580141 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 31781 1 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 2415781 7 39088169 63245986 102334155 165580141 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 377 610 9 87 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 196418 317811 I 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 6324 5986 102334155 165580141 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 377 610 987 1597 2584 418 1 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 196418 317811 514229 832040 13 46269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155 1 65580141 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 177 11 28657 46368 75025 121393 196418 317811 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3 524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155 165580141 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 7 5025 121393 196418 317811 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 S 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155 165580141 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 8 2014 Idéhefte Matematikkdagen 2017 9144 233 377 610 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196 MateMatikkdagen

Utarbeida av LAMIS Bergen og omegn Idéhefte Gjert-Anders Askevold, Gert Monstad Hana, Renate Jensen, Utarbeidet av Stella Munch, Knut Stølås, Gunnar Tveiten Utarbeidet av LAMIS Tromsø Ellen Engeland, Elin Gjennestad, Maria Johansen, Turid Lund, Randi Nysæther, Gunnar Lødding, Monica Volden, Inger-Lise Risøy, Åge Ryghseter og Marianne Gjessing Skogly Mette Kristin Alstad Østvik, Anne Bruvold

Matematikkdagheftet 2010 Matematikkdagheftet 2014 Matematikkdagheftet 2017

dette digitaliseringsarbeidet. Vi er Når du er inne på nettstedet, mangler, kan du sende en e-post godt i gang; men vi rekker ikke finner du lenken med matema- til meg: henrik.kirkegaard@lamis. å bli ferdige med alle heftene før tikkdaghefter, klikker og kommer no. uke 11. Frem til begynnelsen av til en ny side, hvor du klikker på Vi håper og tror at dette digi- mars vil det bli lagt ut oppgaver det heftet du ønsker. Da er det tale arkivet vil bli besøkt ofte, og etter hvert som de er ferdige. bare å søke som i en vanlig data- at oppgavene kommer til gavn Dette tenker vi gir skoler og bar- base. og nytte. Ikke bare på Matema- nehager mulighet og tid til å finne Det vil komme endringer inne tikkens dag, men også i den dag- et godt faglig opplegg til Matema- på nettstedet. Følg med på hjem- lige undervisningen. tikkens dag. mesiden vår for mer informasjon PS: Det blir altså ikke noe For å søke og få ut oppgavene (www.lamis.no). 2019-hefte da vi bruker ressur- må du gå inn på ungeabel.lamis. Trærne vokser sjelden inn i sene på digitaliseringsarbeidet. no. Du må logge inn. Er du ikke himmelen, og at dette skal gå Søk i vei! registrert, må du gjøre dette. Du helt knirkefritt, blir vel i overkant trenger altså et brukernavn og et av hva man kan forvente. Vi skal passord som du velger selv, men gjøre så godt vi kan, samtidig som ingen annen kode, lisensnummer vi skal passe den daglige lærer- eller medlemsnummer. jobben. Opplever du feil eller

58 Landslaget for matematikk i skolen Velkommen til LAMIS sommerkonferanse i Drammen 2019 Matematikk for fremtiden LAMIS Nedre Buskerud

Tiden tikker mot årets sommerkonferanse, og lokallaget Nedre Buskerud har en travel tid foran seg. Det faglige skal være klart til påmeldingen åpner – forhåpent- ligvis i løpet av mars. Vi jobber med å få tak i spon- sorer, og foreløpig har NITO (Norges Ingeniør- og Teknologi- organisasjon) Buskerud gitt oss et bidrag til sommerkonferansen. Vi presenterte LAMIS og sommerkonferansen for styret i NITO Buskerud rett før de skulle ha møte rett før jul. I utgangspunktet var de ukjent med LAMIS som organisasjon. Men etter presentasjonen var de imponert over at det finnes en organisasjon som på landsbasis jobber for at vi skal ha gode matematikklærere i lærerutdanningen, skoler og barnehager som fremmer matema- tikkglede og faglig kvalitet, noe som igjen bidrar til at flere elever og studenter blir glad i faget og velger det videre. NITO Buskerud for denne støtten, og gleder oss ser fram til å samarbeide med oss til å samarbeide frem mot kon- fram til konferansen og bidra på feransen med Sparebanken Øst. stand. Like før artikkelen gikk i Vi har per dags dato flere avta- trykken fikk vi beskjed fra Spa- ler med firmaer i nærmiljøet for å rebanken Øst at de har bevilget presentere LAMIS. Vi er stolte av kroner 100 000 til LAMIS som- å kunne presentere en organisa- arbeid med de andre nordiske merkonferanse. Midlene kommer sjon som fremmer matematikk- landene. Vi håper å få med verk- fra bankens samfunnsutbytte glede, og som bidrar til at elever stedsholdere fra blant annet Sve- Spire. I tillegg vil de bidra med blir nysgjerrige på faget. rige og Danmark for å dra nytte faglig kompetanse når det gjelder Vi ser også fram til å få være av deres erfaringer med teknologi verksteder. Vi er utrolig fornøyd med på oppstart av nytt sam- og programmering. Vi går spen-

Landslaget for matematikk i skolen 59 nende faglige fornyelser i møte og vil trekke inn både kjerne- LAMIS på November- elementene og fagfornyelsen i programmet vårt. Vi har fått tak i verkstedholdere blant annet fra konferansen Teknisk museum i Oslo, som vil snakke om både programme- Renate Jensen ring og koding og hvordan vi kan bruke dette i matematikkfaget. Vi avventer svar fra flere verkstedsholdere og lover et faglig Novemberkonferansen gir hvert sjon. Gjennom samtale skal de godt program. Vi er veldig glad år barnehagelærere, lærere og finne matematikk i situasjoner for at leder ved NSMO (Nasjonalt lærerutdannere muligheten for de får presentert, for eksempel en senter for matematikk i opplærin- verdifullt faglig påfyll og mulighe- praktisk situasjon, bilder eller film. gen), Kjersti Wæge, har sagt ja ten til spennende samtaler med I den første akten presenteres til å bidra med plenumsforedrag andre som deler interessen for elevene for situasjonen. Hva kan søndag. matematikkfaget. vi, ved hjelp av matematikkunn- LAMIS’ sentralstyre ved leder Det er en tradisjon at LAMIS skapene vi har, finne ut av i Renate vil bidra på konferansen deltar og bidrar på konferansen, denne situasjonen? Etter at alle slik at vi får med oss det nyeste og vi venter alltid spent på hva problemstillingene er presentert, arbeidet innen fagfornyelsen, og som blir tema på kommende kon- kan læreren velge hva det skal vi gleder oss til at vi kan ha felles feranse. Vi ble glade da vi så at arbeides videre med. Gruppene refleksjoner og erfaringsdelinger fokuset i 2018 skulle være på hva kan gå videre med samme eller om endringene som kommer, som utgjør et godt læringsmiljø ha ulike problemstillinger. Elev- med fokus på progresjon, utfor- i matematikkfaget. Vi ønsket å ene blir bedt om å si hva de tror sking, vurdering og kjerneele- bruke muligheten til å la delta- er et for lite svar, og hva de tror må mentene. gere bli kjent med våre matema- være et for stort svar (se figur 1). Når Tangenten kommer til deg, tikkdagshefter, og valgte derfor I andre akt skal elevene hente vil programmet forhåpentligvis å sende inn vårt forslag til verk- inn data som gir dem mulighet være helt klart, og vi i LAMIS sted på punktet; Hvordan skape til å finne en løsning på spørs- Nedre Buskerud gleder oss til å et godt læringsmiljø med fokus på målet/problemstillingen som være vertskap for sommerkon- motivasjon og aktive elever som de valgte å gå videre med. Hva feransen i august i Drammen på samarbeider og reflekterer om trenger vi å vite for å kunne løse Scandic Ambassadeur. matematikken. spørsmålet/problemstillingen Følg med på www.lamis.no Vi valgte aktiviteten Matema- ble valgt? Gruppene diskuterer for å finne ut når åpningen for tikk i tre akter som utgangspunkt forslag som kommer opp. Dette påmeldingen er klar våren 2019. for våre to verksteder Vi brukte gir gode muligheter for å bruke Velkommen til Drammen! opplegg fra heftet og lot delta- matematikkbegrep. gerne være aktive på stasjoner I tredje akt er det mulig å der de fikk stille spørsmål, finne stille oppfølgingsspørsmål, eller matematikken, utforske, samar- å se på flere av spørsmålene beide og reflektere om løsninger. som dukket opp i første akt. Her Matematikk i tre akter er ligger det mulighet for å tilpasse en arbeidsmåte der elever tar til den enkelte, og mulighet til å utgangspunkt i en konkret situa- gå i dybden.

60 Landslaget for matematikk i skolen formulere matematiske problemstillinger, identifisere problemer og det å utvikle og velge effektive problemløsningsstrategier. Elev- Figur 1: Deltagerne på verkstedet skiftet mellom å være i elevrollen og i ene må få anledning til å være lærerrollen. nysgjerrige, også på fagstoff de ikke ellers møter av matematikk I denne arbeidsmetoden kan blir viktig for faget og for mulig- på sitt trinn. spørsmålene, arbeidsgangen heten til dybdelæring. Utforsking Vi avsluttet verkstedet for små- og vurderingsformen gjøres på handler om at elevene leter etter trinnet/mellomtrinnet med en mange ulike måter. Dette ble mønstre og finner sammenhen- praksisfortelling fra en 1. klasse. utgangspunkt for gode disku- ger. Det må legges mer vekt på Her ble det vist bilder der vi så sjoner på verkstedene, og delta- ulike strategier og framgangsmå- aktive elever som diskuterte og gerne hadde mange gode innspill ter enn på selve løsningene. Pro- reflekterte sammen. Vi takker og tips som de delte i diskusjoner blemløsing handler om at elevene deltagerne for engasjement og etter hver av aktene. Vi hadde utvikler løsningsmetoder på et erfaringsdeling. Vi takker også laget et forberedelsesark som problem de ikke kjenner fra før. Matematikksenteret for en flott vi delte ut, og som vi håper blir Viktig innhold vil være å kunne konferanse og for muligheter til nyttig både før og underveis i stille matematiske spørsmål og å bidra med LAMIS sitt arbeid. arbeidet videre på egne skoler. Det å arbeide med Matema- tikk i tre akter gir muligheter i forhold til kjerneelementene i fagfornyelsen. I tillegg til kunn- skapsområdene er Utforsking og problemløsing, Modellering og anvendelser, Resonnering og argumentasjon, Representasjon og kommunikasjon, Abstraksjon og generalisering kjerneelementer som er vedtatt i ny læreplan i matematikk. På verkstedene diskuterte vi spesielt kjerneelementet Utforsking og problemløsing i forhold til det å bruke Matematikk Figur 2: Elever på 1. trinn presenterer sine løsninger i arbeid med Matematikk i tre akter. Dette kjerneelementet i tre akter.

Landslaget for matematikk i skolen 61 UngeAbel-konkurransen del 2 Marianne Maugesten, jury leder i UngeAbel

I forrige nummer av Tangenten som ikke har blitt fylkesvinnere figurer med konkreter, tabeller, presenterte jeg noen oppga- eller ikke har deltatt i runde 1 og bruk av GeoGebra eller regneark ver fra de innledende rundene 2, kan arbeide med denne utfor- gir rapporten et løft. Elevene skal i UngeAbel-konkurransen for skende oppgaven. Oppgaven har også beskrive arbeidsprosessen, elever på 9. trinn. I dette num- i seg elementer fra åpne, rike, hva de har lært, og hva de synes meret vil jeg se på neste del av problemløsende og utforskende har vært utfordringer underveis. konkurransen. oppgaver. Oppgavene i runde 1 og 2 Etter å ha deltatt i runde 1 og arbeidet elevene med i 90 minut- runde 2 inviteres klassen/grup- Hvordan arbeide med den utfor- ter. Fordypningsoppgaven skal pen med høyst poengsum (mak- skende oppgaven? elevene arbeide med over tid; det simum 80 poeng) i hvert fylke til å Hele klassen/gruppen skal er rundt to måneder fra runde 2 levere inn fordypningsoppgaven, arbeide med den utforskende er avsluttet og til rapporten med og de får tilbud om å delta i en oppgaven, og det passer bra å den utforskende oppgaven skal nasjonal semifinale og finale på bruke matematikktimene i en leveres inn. Elevene får god tre- Gardermoen. periode til dette. Noen klasser har ning i å bruke tid på en oppgave, Fordypningsoppgaven består også brukt andre timer og fritid til å legge den bort og ta den av en rapport fra arbeid med en til arbeidet. Det anbefales å dele fram igjen. Oppgaven er kogni- utforskende oppgave, utforming klassen i grupper som arbeider tivt krevende der elevene «må av en utstilling med et gitt tema med samme del av oppgaven. stå i det». Utholdenhet blir også og en muntlig framføring. Den Etter en stund presenterer framhevet i det første utkastet utforskende oppgaven og plan- gruppene sine løsninger for til ny læreplan og i forskningen legging av utstilling og muntlig hverandre. Etter presentasjonen (Ball & Bass, 2015). Arbeid med framføring gjøres på hver enkelt er det viktig med en diskusjon den utforskende oppgaven kan skole før oppholdet på Garder- og sammenlikning av gruppenes være med på å endre elevenes moen, der utstilling, muntlig ulike løsninger. Er noen av løsnin- syn på matematikkfaget fra et framføring og arbeid med semi- gene enkle, tungvinte, elegante, fag der dyktighet måles i å regne finale- og eventuelle finaleopp- eller kan de generaliseres? De mange oppgaver med rett svar, til gaver foregår. Alt er beskrevet på ulike løsningene presenteres i at matematikk er et nyttig fag der nettsiden til LAMIS om UngeAbel. den endelige rapporten. feil kan føre til læring. I denne artikkelen skal jeg Elevene bør diskutere likheter Elevene skal i rapporten beskrive og argumentere for den og forskjeller på de ulike løsnin- beskrive hvordan de har arbeidet utforskende oppgaven elevene gene og om mulig komme med en med den utforskende oppgaven. skal skrive rapport om. Det er konklusjon. Ulike representasjo- De fleste klassene liker å være ingenting i veien for at klasser ner av løsningene som tegninger, organisert i grupper og diskutere

62 Landslaget for matematikk i skolen løsninger. De lærer seg å forklare alt med kjerneelementene som er ser for å løse, forstå og vurdere for andre. Mange sier at de ikke grunnlaget for den nye lærepla- den matematiske oppgaven. Slik trodde de skulle få til så mye nen. De seks kjerneelementene er brukes de grunnleggende fer- som de gjorde. I Sawyers (2006) utarbeidet og vedtatt som det vik- dighetene: muntlige ferdigheter, beskrivelse av dybdelæring er tigste i framtidens matematikk- å lese, å kunne skrive og digitale en av komponentene «Eleven fag (Kunnskapsdepartementet, ferdigheter. reflekterer over egen forståelse 2018). De skal legge til rette for og sin egen læringsprosess». dybdelæring og bidra til at faget Eksempler på to Dette kommer tydelig fram i rap- blir mer relevant. utforskende oppgaver portene. Det første kjerneelementet er Summer av påfølgende heltall Ny, overordnet del av lære- nettopp Utforsking og problem- I denne oppgaven får elevene planen har under prinsipper for løsing. Det betyr at ved å arbeide noen spørsmål (se figur 1), og de læring med Å lære å lære (Kunn- med fordypningsoppgaven vil skal selv stille spørsmål. Begre- skapsdepartementet, 2017), og elevene få erfaring med oppga- per som ble forklart og brukt i dette prinsippet behandles av ver de ikke har en bestemt løs- elevenes rapporter, var heltall, elevene når de beskriver lærings- ningsmetode for. I arbeidet med toerpotenser/binære tall, prim- prosessen i rapporten. Lærerens rapporten som skal leveres inn, tall, oddetall, partall, delelighet, rolle under arbeidet er blant annet må elevene resonnere og argu- faktorer, trekanttall, tallrekke, å organisere elevene, oppmuntre mentere for løsningene sine, de uendelighet, faktorisering, dele- dem, stille spørsmål som fører må prøve å forklare det de har lighetsregler, Gauss’ sum, figur- elevene videre i problemløsings- kommet fram til, ved å bruke ulike tall, absolutt tallverdi, naturlige prosessen, og motivere elevene representasjoner som tegninger, tall, Pascals talltrekant, tverrsum, til å «holde ut» figurer, formler, tabeller eller differenser, kvadrattall, addisjon, skriftlige forklaringer. Flere av ledd og median. Hvorfor arbeide med den utfor- klassene har greid å generalisere Vi så at elevene hadde arbei- skende oppgaven? løsningene og finne generelle det systematisk ved å sette opp Jeg har hørt lærere si at de ikke formler. Gjennom arbeidet med summer av to/flere etterfølgende kan arbeide med slike oppgaver den rapporten må elevene kom- heltall i tabeller eller regneark. i tillegg til oppgavene og kapit- munisere, formulere seg skriftlig Det ble brukt tegninger og kon- lene i læreboka fordi det er for og forklare med ord hvordan de kreter for å forklare og argumen- tidkrevende. Til dem vil jeg si at har tenkt. I diskusjonene i klas- tere. Noen klasser greide også å deltakelse for klasser i UngeAbel- sen av ulike løsninger må elevene generalisere ved å lage algebra- konkurransen gir muligheter til å uttrykke seg muntlig. Elevene må iske uttrykk slik figur 2 viser. arbeide med mange av kompe- innhente relevant informasjon fra tansemålene i LK06 – og framfor nettet og benytte digitale ressur-

Figur 1: Summer av påfølgende heltall

Landslaget for matematikk i skolen 63 dybdelæring. Høsten 2018 deltok 212 klasser i første runde av konkurransen. Vi håper på enda flere deltakere i konkurransen neste år. Kanskje blir det klassen din? Bruk oppgavene! Se på hjemmesiden til LAMIS, www.lamis.no, trykk på UngeAbel og velg deretter Tidli- gere oppgaver.

Referanser Ball, D. L. & Bass, H. (2015). Helping students learn to persevere with challenging mathematics. I X. Sun, B. Kaur & J. Novotná (Red.), Conference procee- dings of ICMI study 23: Primary mathematics study on whole numbers (s. 290–297). Macau, Kina: ICMI. Kunnskapsdepartementet (2017). Figur 2: Algebraiske uttrykk Overordnet del av læreplanen – fleste prøvde seg på en generell verdier og prinsipper for grunn- Figurtall formel for figur nummer n selv opplæringen. Oslo: Kunnskaps- Elevene skulle undersøke om ikke alle klassene hadde rett departementet. sammenhengen mellom figur- løsning. Kunnskapsdepartementet (2018). nummeret og antall kuber som Kjerneelementer i fag. Oslo: trengs til hver av figurene (se Avslutning Kunnskapsdepartementet. figur 3), og forsøke å løse opp- Oppsummert kan vi si at arbeid Sawyer, R. K. (2006). Introduction: gaven på så mange måter som med oppgavene i UngeAbel- The new science of learning. I R. mulig. De skulle også finne en konkurransen, enten det er inn- K. Sawyer (Red.), The Cam- sammenheng mellom figurnum- ledende runder eller fordypnings- bridge handbook of the learning meret og antall kuber som har oppgaven, er bidrag til elevenes sciences (s. 1–18). New York: ingen synlige sideflater, en synlig Cambridge University Press. sideflate, to synlige sideflater, tre synlige sideflater og fire synlige sideflater. Elevene arbeidet med å se etter mønster, og de beskrev hvordan figurene vokste fra ett nummer til neste. Å se etter mønster er en av komponentene i Sawyers (2006) beskrivelse av dybdelæ- ring. Mange klasser bygde figurene, tegnet dem og tok bilder. De Figur 3: Figurtall

64 Landslaget for matematikk i skolen