Kva handlar matematikkundervising om? matematikkspråklege i samisk og norsk. Mike Viss ein må trekkja fram berre éin ting som Naylor legg òg vekt på utforsking av mønster matematikkundervising handlar om, kva seier i si faste spalte om matematikk og kreativitet. ein då? Spørsmålet er høgaktuelt når det no Tangenten har dei siste fire åra hatt ein sta- nærmar seg slutten av prosessen der det skal fett der lærarutdannarar har intervjua lærarar avgjerast kva som vert lagt vekt på i dei nye om matematikkundervising. I dette nummeret læreplanane. Nokon vil seia at det handlar om kjem siste intervjuet, med Line Søfteland som algebra og evna til å generalisera, andre seier at er lærar på 3. trinn og Jannecke Lampe på 8. alt handlar om å sjå mønster. Nokon hevdar det trinn. No sender me pinnen vidare til elevar sentrale er å utvikla djup innsikt i ulike repre- og born i barnehagen for å få innsikt i kva dei sentasjonar og overgangar mellom desse, medan tenkjer om matematikk og læring. Me har òg andre legg vekt på det å utvikla rikt matematisk intervjua vinnaren av Holmboeprisen 2018, språk og fleksible strategiar. Andre meiner det Skage Hansen. Inger-Lise Risøy, som fekk hei- er målet som tel, ikkje middelet. Å skapa enga- derleg omtale, har skrive om undervisinga si. sjement, motivasjon og positive haldningar til Desse dyktige lærarane legg vekt på å gje elevar faget, eller at elevar skal få grunnlag til å verta rike, samansette og utforskande oppgåver der aktive deltakarar i samfunnet. Svara er og skal dei får brynt seg i lag med andre og der dei må væra mange og ulike, og artiklane i dette bladet argumentera. Dei syner korleis slike oppgå- viser det. ver kan skapa engasjement og entusiasme der Det er på sin plass å starta bladet med ein elevar utviklar ei djupare forståing i matema- artikkel om tverrfagleg arbeid med kroppsø- tikk. Gaute Hovtun er òg oppteken av korleis ving, matematikk og samisk når det nyleg har ein bruker oppgåver. I sin artikkel (nivå 1) har vore samisk folkedag den 6. februar. Skal eg han fokus på oppstarten av undervisningsøk- trekka ut berre ein ting frå Lisbeth Hansen og ter og korleis oppvarmingsoppgåver kan styrka Anne Fyhn sin artikkel, må det vera korleis ein elevar sin motivasjon for matematikk. kan læra matematikk gjennom å utforska møn- ster. Elevane arbeidde med forståing av geome- tri ved å utforska matematikken i mønster dei hadde laga sjølve på ski. Dei kopla uteaktivitet med refleksjon innandørs, og dei kopla det tangenten 1/2019 1 Hansen, Fyhn Tverrfaglighet i flere kontekster
Unjárgga oahppogáldu/Nesseby oppvekstsenter Ifølge læreplanen (Kunnskapsdepartementet har uteskole på årsplanen. Skolen er fådelt, og [KD], 2013) skal elevene etter andre årstrinn elevene på 1.–2. trinn gjennomførte et tverrfag- kunne lage og utforske geometriske mønster og lig arbeid med ski-matematikk-samisk i januar beskrive dem muntlig. Dette var mål for under- 2018. Som ledd i forskningsprosjektet Sam- visningen. På forhånd måtte læreren få oversikt menheng gjennom utforskende matematikkun- over elevenes forkunnskaper om mønster. Hun dervisning (SUM1) blir det utviklet utforskende ønsket å styrke denne kunnskapen ved å gi elev- undervisningsopplegg i matematikk ved opp- ene noen felles referanserammer. Opplegget vekstsenteret. Lærer Lisbet (artikkelens før- gikk over fem steg: Steg 1 og 2 var forberedende steforfatter) underviser begynneropplæring i skoletimer i klasserommet, mens Steg 3 og 4 matematikk og samisk på 1.–2. trinn, og hun foregikk i snø. Steg 5 var innendørs refleksjon velger derfor ofte å arbeide tverrfaglig med disse og oppsummering. Utgangspunktet for artik- to fagene. Forståelse på tvers av fagområder eller kelen er et lydopptak av en samtale læreren kontekster inngår i dybdelæring (NOU 2015: 8). hadde med artikkelens andre forfatter (Anne) I teksten beskriver vi et utforskende undervis- etter at opplegget var gjennomført. Artikkelen ningsopplegg der flere fagområder inngår. Vi viser hvordan lærerens roller skiftet mellom å viser hvordan læreren skifter rolle når det tverr- styre undervisningen og å la elevene ha styring faglige fokuset skifter til et nytt fag. Elevene er på eget arbeid. ikke uten videre i stand til å overføre kunnskap Elevenes dagligspråk, eller uformelle språk fra et område til et annet. som læreplanen kaller det, ble vektlagt i flere Opplegget gikk ut på at elevene skulle utfor- situasjoner. Elevene snakket sitt daglige samiske ske mønster de selv lagde med ski i snøen. språk, og fordi de er tospråklige, bruker de også enkelte norske ord og begreper. Elevene utfor- sket mønster og kommuniserte sine egne mate- Lisbet Hansen matiske ideer både til læreren og til medelever. Nesseby oppvekstsenter Et mål med undervisningen var at alle elevene [email protected] fikk erfaring med utforskende eller undersø- kende matematikk. Anne Birgitte Fyhn UiT – Norges arktiske universitet Undersøkelseslandskap og dybdelæring [email protected] Skovsmoses (2003) begrep «undersøkelsesland-
2 1/2019 tangenten skap» er et alternativ til den tradisjonelle opp- å introdusere kategoriene (7) og (8). Venstre gavetradisjonen. Innenfor oppgavetradisjonen kolonne representerer tradisjonelle oppgaver. bidrar ofte matematikkundervisning til å bygge Kolonnen til høyre representerer utforskende opp om troen på autoriteter som har utformet tilnærminger til matematikk. Oppgaver av oppgaver og bestemt hvordan oppgavene skal typen «Utforsk hvilke tall som forekommer løses. I et undersøkelseslandskap vil lærerens hyppig i multiplikasjonstabellen», tilhører spørsmål «hva nå, hvis …?» og «hvorfor det?» kategori (2). Oppgaven «Fire rein har blå, gul, bli avløst av at elevene spør «hva nå, hvis …?» rød og grønn sele. De fire reinene deltar i kapp- og «hvorfor det?». Et undersøkelseslandskap er kjøring. Hvor mange ulike rekkefølger kan de en invitasjon til elevene om å utforske noe og til ha i mål?» er en oppgave som hører hjemme i å ta kontroll over egen læring. Undersøkelses- oppgavetradisjonen, altså kolonnen til venstre, landskap inviterer elevene til dybdelæring, slik i kategori (7). Oppgaven «Undersøk hva det overordnet del av læreplanen vektlegger: Evnen koster å pusse opp rommet ditt» hører hjemme til å stille spørsmål og utforske er viktig for i kategori (6) fordi konteksten ikke er spesifikk dybdelæring (KD, 2018a). I NOU (2015) påpe- for samisk kultur. Oppgaver innenfor kategori- kes det at dybdelæring blant annet dreier seg ene (6) og (8) vil ofte være i tråd med det Balto om elevenes gradvise utvikling av forståelse av (2005) beskriver som prøving og feiling i en vir- begreper og begrepssystemer. Elevens forståelse kelighetskontekst. er både en forutsetning for og en konsekvens av Undersøk- dybdelæring. Undersøkelseslandskap samsvarer Oppgave- elses- med flere kjerneelementer i den nye læreplanen tradisjonen i matematikk (KD, 2018b, s. 15): «Utforsking landskap handler om at elevene leter etter mønstre og Referanser til ren (1) (2) finner sammenhenger …», og «Representasjon matematikk og kommunikasjon … innebærer også å kunne oversette mellom det matematiske symbolsprå- Referanser til ket og dagligspråket og veksle mellom ulike en «delvis» (3) (4) representasjonsformer.» virkelighet Når læreren beveger seg fra oppgavetradisjo- Referanser til den (5) (6) nen til et undersøkelseslandskap, vil det med- virkelige verden føre uforutsigbarhet. Elevene står for utforsking og problemformulering, mens lærerens rolle Referanser til en er tilrettelegging og veiledning underveis. En kulturspesifikk (7) (8) slik arbeidsform har mye til felles med Baltos kontekst (2005) beskrivelse av tradisjonell samisk bar- Figur 1: Læringsmiljøer. Skovsmoses (2003) seks neoppdragelse, der den som skal lære noe, har forskjellige kategorier, pluss kategoriene 7 og 8, der en selvstendig og aktiv rolle. Et mål med tra- oppgavene har referanse til en kulturspesifikk kontekst. disjonell samisk barneoppdragelse er å utvikle selvstendige individer som kan overleve under Den videre teksten presenterer undervis- utfordrende forhold. Det å lære noe grundig og ningsopplegget og analyserer det med hensyn på ikke overfladisk krever en aktiv involvering fra høyre og venstre kolonne i tabell 1. Skovsmose barnets side. påpeker at utfordringene ligger i å bevege seg fra Skovsmose klassifiserer læringsmiljøer i seks venstre mot høyre, for eksempel fra kategori (1) kategorier, de seks første kategoriene i figur 1. til kategori (2). Teksten viser hvordan læreren Fyhn et al. (2016) har videreutviklet dette ved bevisst beveger seg fram og tilbake mellom de tangenten 1/2019 3 to kolonnene, fordi noen ganger valgte hun å ha kontroll, mens andre ganger valgte hun å over- late kontrollen til elevene. Teksten viser også hvordan opplegget kan knyttes til noen kjerne- elementer i matematikk (KD, 2018b).
Undervisningsopplegget Steg 1 og steg 2 var forberedelser til arbeid med mønster ute i snøen. Samisk har tre forskjellige ord for det som på norsk kalles mønster, det fins ikke et tilsvarende overordnet ord. Læreplanen Figur 3 a) og b): Stoffbiter som læreren hadde med på har valgt å bruke ordet minsttar, som ifølge ord- skolen. boka betyr mønster eller formel (Kåven, Jern- sletten, Nordal, Eira & Solbakk, 1995). Fyhn og Hansen (under arbeid) problematiserer lære- planens valg av oversettelse. Læreren valgte å bruke ordet hearva, som ifølge ordboka betyr dekorasjon, pynt, broderi. Den tradisjonelle nes- sebyvotten i figur 2 er en hearvafáhcca, den har mønster rundt håndleddet. En vott med møn- ster over det hele kalles girjefáhcca.
Figur 3 c): Holbi fra nessebykofte, hentet fra Utse, Nilsen, Mathisen & Juuso (2006).
at noe ikke er mønster. Noen elever uttrykte at noe ikke var mønster, ved å gi moteksempler uttrykt ved sitt daglige språk, ii leat hearva (det er ikke mønster), eller ii leat sárgát (det er ikke striper). Figur 2: Hearvafáhcca: Nessebyvott (foto: Lisbet Elevene kom etter hvert fram til at et mønster Hansen) består av forskjellige farger som er satt i system. Etter guidede spørsmål fra læreren kom elev- Steg 1 og steg 2 – i klasserommet ene fram til at når der var mønster, så var der Læreren viste fram forskjellige mønster: stoffbi- gjentakelser. Elevene fikk videre spørsmål om ter med forskjellige mønster, et forkle, hjemme- det var møster på holbien. Elevene svarte at det strikkete sokker, nessebyvotter og holbi (neder- er mange trekanter, blå streker og gule prikker ste koftekant) fra ei nessebykofte. Noen av disse der. Deretter fikk de direkte spørsmål om hva er presentert i figur 3. Elevene fikk spørsmål man kaller mange trekanter etter hverandre, om hva som var på de ulike stoffbitene og plag- slik som i holbien. Det visste de ikke. Læreren gene. De første figurene elevene klarte å se, var fortalte dem at det kalles njunnesuorránat, så stjerner og talglys i figur 3b. Men så kom det: holbien har njunnesuorránat. Steg 1 foregikk «Det her e jo og et mønster, mens dette e ikke uten lærebok, men fordi læreren hadde kon- et mønster» (transkript fra samtale 18.06.2018). troll på hva som foregikk, plasserer vi dette i Her skiller eleven mellom at noe er mønster, og oppgavetradisjonen (venstre kolonne i figur 1).
4 1/2019 tangenten Læreren guidet elevene fram til å gjenkjenne og kom med kommentarer som fulgte opp dette. lete etter sentrale kjennetegn på mønster, slik Læreren spurte: «Hva med skiene, om de lagde som eksempelvis gjentakelser. Stoffene i figur mønster?» Jo, kom det, først nølende. Det var 3a og 3b tilhører den virkelige verden (kategori jo striper i snøen, slik som på stoffet i figur 3a. 5), mens votten i figur 2 og holbien i figur 3c Elevene syntes det var artig å holde på med tilhører en kulturspesifikk kontekst (kategori 7). ski, og ville gjerne gjøre det mer, og læreren Lærerens rolle i steg 2 var annerledes. Her avgjorde at de skulle ha en dag til med ski og fikk elevene i oppgave å lage mønster, og de mønster. Den neste dagen var styrt av elevenes bestemte selv hvordan mønstrene skulle se ønsker, og slik ble elevene oppmuntret til å ta ut. De satt rundt et langbord og malte alt fra kontroll over egen læring. blomster og geometriske figurer til rekker med I steg 4 skulle elevene lage mønster med ski prikker. Elevene arbeidet fritt. Selv om elev- i snøen, og de bestemte selv hvordan de ville ene kunne se på hverandres arbeid, så obser- løse denne oppgaven. Fotballbanen var dekket verte læreren at ingen lagde mønster som av nysnø og lå som et stort, hvitt og urørt ark lignet andres. Noen elever snakket sammen, der elevene kunne utfolde seg. Elevene styrte mens andre var stille. En elev fortalte lære- aktiviteten selv, mens læreren inntok rollen ren at «her maler æ prikk, strek, grønn-brun- som tilbaketrukket veileder (høyre kolonne i grønn». Læreren hadde her overlatt kontroll og figur 1). Noen valgte å samarbeide, mens andre styring til elevene, og det var heller ingen bruk jobbet alene. Alle jobbet og lagde mønster, det av lærebok (venstre kolonne i figur 1). Etter at var tydelig at dette var en aktivitet elevene likte malingen var ferdig, overtok læreren styrin- godt. Eksempler på mønstre som elevene lagde, gen. Alle gikk rundt og så på de andres arbeid. var «fisk» og «blomst», i tillegg til ulike skispor Kunstneren fortalte om bildet sitt, og de andre som for eksempel fiskebein (figur 4b). Elevarbei- ga tilbakemelding. Læreren passet på at mate- det i figur 4a viser en spiral. matiske begreper som form og gjentakelse kom Opplegget er svært likt maleoppgaven i steg med hvis de ikke ble nevnt. Elevene var stolte 2 ved at elevene arbeidet selvstendig med å lage over arbeidene sine, og alle malte flere bilder. egne mønster. Elevene overførte kunnskap fra De presenterte mønstrene sine som malerier på fagområdet maling til fagområdet ski. Dette er papir. Mønstrene var uttrykt som repetisjoner utvikling av forståelse på tvers av fagområder, av strukturer. Dette inngår i kjerneelementet slik det vektlegges i NOU (2015). Lærerens rolle representasjon og kommunikasjon (KD, 2018b). i steg 3 var å styre det som foregikk, mens i steg 4 overlot hun styringen til elevene. Flere elever Steg 3 og steg 4 – i snøen som ikke var glade i å gå på ski til vanlig, syntes Steg 3 foregikk utendørs. På spørsmål om man denne aktiviteten var gøy. Læreren gikk rundt kunne lage mønster med ski og staver i snøen, og spurte hva de lagde, og supplerte elevenes svarte elevene et tydelig nei. Derfor tok lære- beskrivelser med matematiske faguttrykk der ren styring og kontroll over opplegget: Hun tok elevene selv ikke gjorde det. Hensikten var å elevene med en runde på ski rundt skoleplas- bygge bro mellom ord fra samisk daglig språk sen. Deretter samlet hun elevene, og sammen og matematikkord. Elevene fortalte hva de så de tilbake på løypa de hadde gått. Ingen så hadde gjort når de lagde mønster i snøen. Slik noe mønster. Ifølge elevenes regler var møn- tok samtalene utgangspunkt i noe elevene hadde ster knyttet til farger. Læreren utfordret denne god kjennskap til. De brukte både daglig samisk regelen og ga elevene tid til refleksjon og til å språk og matematikkord for å fortelle hva de tenke. Etter hvert kom det fra en elev at kan- hadde gjort. Til slutt gikk alle rundt og så på alle skje stavene lagde mønster i snøen. Flere elever arbeidene, og læreren fotograferte mønstrene. tangenten 1/2019 5 Steg 5 – i klasserommet ene viser sammenheng mellom det de gjorde og Siste fase foregikk i klasserommet. Da elevene sluttresultatet. kom inn til timen, lå fotografier av mønstrene i Fordi bildene ble hengende i klasserommet i snø utover golvet. Elevene fikk i oppgave å tegne tiden etterpå, kunne elevene studere de andres og beskrive mønstrene sine. Læreren hadde representasjoner av mønster. Dette er 6–7-årin- ingen kontroll på elevenes faglige fokus, dette ger, og elevene på 1. trinn hadde nettopp lært var undersøkelseslandskap (høyre kolonne i siste bokstav i alfabetet. Læreren opplevde sin figur 1). De satte seg rundt bildene, og på eget rolle i steg 5 som å støtte elevene i skrivepro- initiativ begynte de å snakke om mønstrene. sessen der det trengtes. Læreren observerte at Elevene snakket om hvordan bildene ble lagd, elevenes ordforråd utviklet seg. For eksempel og de brukte både dagligspråket og matematiske ble de fortrolige med spiehččut; her kjente de ord og uttrykk fra steg 4. Læreren deltok som kun til det norske ordet fiskebein fra før. Et veileder og undret seg over mønstrene sammen annet begrep de lærte, er njunnesuorrán, borden med elevene. på holbien i den lokale gákti. Elevene har gjort seg erfaringer som læreren tror de vil huske og bruke ved senere anledninger.
Oppsummering I dette opplegget utforsket elevene mønster på stoff og papir før de utforsket mønster i snø ved å bruke hele kroppen. Elevenes utforsking av mønster startet med gjenkjenning av mønster på klær og stoff. Elevene kom fram til regler for hva som er et mønster. Deretter fant de på møn- ster selv og representere mønstrene som malte Figur 4a): Birra birra – rundt og rundt. bilder. Innendørs hadde elevene lagd regler som Figur 4b): Spiehččut – fiskebein ikke omfattet at et mønster kunne represente- res som skispor eller som andre avtrykk i snø. Elevene valgte hvert sitt bilde der de skulle Når undervisningen ble flyttet utendørs i steg 3, beskrive mønsteret. Fokuset var på ulike repre- utfordret læreren elevenes regler for hva som er sentasjonsformer og på kommunikasjon. Ved et mønster. På slutten av opplegget var alle enige overgangen fra muntlig til skriftlig represen- om at man kan lage mønster i snø med ski og tasjon fokuserte læreren på lydering. Noen staver, og alle lagde slike mønster. Slik utvidet elever klappet stavelser, andre trengte hjelp til elevene reglene for hva som er et mønster. Dette skriving, mens andre igjen skrev med største er et eksempel på tverrfaglig arbeid der elevene selvfølgelighet. Teksten i figur 4a kan over- utvidet sin forståelse for hva som er et mønster settes til norsk slik: «Jeg gikk på ski rundt og ved å presentere mønster først som malerier rundt. Det ble en rund form.» Teksten i figur og deretter som skispor. Elevenes forståelse 4b betyr: «Slik går jeg fiskebein.» Begge figu- av det de lærte om mønster i steg 1 og steg 2, rene beskriver hvordan eleven beveget seg, og var en forutsetning for det de lærte ute på ski. hva som ble resultat av bevegelsene. I figur 4a I tradisjonell skolesammenheng hører maling har eleven brukt tekst for å beskrive bevegelsene inn under formgivingsfagene, mens bruk av og resultatet: rund form. I figur 4b har eleven ski hører inn under kroppsøving. Tverrfaglig beskrevet resultatet ved tegning. Elevene har arbeid der elevene får tid til å utforske møn- valgt ulike representasjonsformer. Begge elev- ster i flere kontekster, kan på dette viset bidra
6 1/2019 tangenten til en forståelse på tvers av kunnskapsområ- Referanser dene formgiving, kroppsøving og matematikk. Balto, A. (2005). Traditional Sámi child-rearing in Ifølge NOU (2015) fører slikt tverrfaglig arbeid transition: Shaping a new pedagogical platform. til dybdelæring. Det er fordi elevene a) tilegner Alter Native – An International Journal of Indigenous seg kunnskaper og ferdigheter innenfor en kon- People, 1, 90–113. tekst, b) reflekterer over det de lærer, og c) tar Fyhn, A. B., Eira, E. J. S., Hætta, O. E., Juuso, I. A. M., kunnskapen om det de kan fra før, med seg til Skum, E. M., Hætta, S. I., Sabbasen, B. K. S., Eira, en ny kontekst (NOU, 2015). E. H. & Siri, M. T. (2016). Fra kultur til matematikk – Skovsmose (2003) påpeker at det er avgjø- eksempelet lávvu. Tangenten – tidsskrift for matema- rende å utfordre oppgaveparadigmet, venstre tikkundervisning, 27(3), 2–7. kolonne i figur 1. Slik utfordring kan finne sted Fyhn, A. B. & Hansen, L. (under arbeid). Exploration of ved å bevege seg fra venstre til høyre kolonne patterns in different contexts. Paper som skal pre- i figur 1. Undervisningsopplegget vi beskriver, senteres på CERME11 – The Eleventh Congress of er et godt eksempel på at aktivitetene beve- the European Society for Research in Mathematics get seg fra venstre mot høyre. Læreren brukte Education. styrte aktiviteter der hun hadde full kontroll for Kunnskapsdepartementet (2013). Læreplan i matematikk å samle elevene og gi dem et felles erfarings- fellesfag. Lastet ned fra http://data.udir.no/kl06/ grunnlag, som innledning til utforskende akti- MAT1-04.pdf?lang=http://data.udir.no/kl06/nob viteter der elevene tok kontroll over egen læring. Kunnskapsdepartementet (2018a). Overordnet del – verdier og prinsipper for grunnopplæringen. Hentet Takk til fra https://www.regjeringen.no/contentassets/37f Dette arbeidet inngår i SUM-prosjektet og støt- 2f7e1850046a0a3f676fd45851384/overordnet-del- tes av Forskningsrådets program FINNUT og --verdier-og-prinsipper-for-grunnopplaringen.pdf av Unjárgga gielda/Nesseby kommune. Kunnskapsdepartementet (2018b). Kjerneelementer i fag. Hentet fra https://www.regjeringen.no/cont Noter entassets/3d659278ae55449f9d8373fff5de4f65/ 1 Prosjektet fokuserer på hvordan utforskende mate- kjerneelementer-i-fag-for-utforming-av-lareplaner- matikkundervisning kan innvirke på overgangene fra for-fag-i-lk20-og-lk20s-fastsatt-av-kd.pdf barnehage til småskole, barnetrinn til ungdomstrinn, Kåven, B., Jernsletten, J. Nordal, I., Eira, J. H. & Solbakk, ungdomstrinn til videregående skole og videregå- Aa. (1995). Sámi – dáru sátnegirji. Samisk – norsk ende skole til universitet. En gruppe ser spesielt på ordbok. Kárášjoga: Davvi girji o.s. overganger i samisk skole. NOU 2015: 8. (2015). Fremtidens skole. Fornyelse av fag og kompetanser. Oslo: Kunnskapsdepartementet. Skovsmose, O. (2003). Undersøgelseslandskaber. I O. Skovsmose & M. Blomhøj (Red.), Kan det virkelig passe? – om matematiklæring (s. 143–157). Køben- havn: L&R Uddannelse: Tjørneserien.
tangenten 1/2019 7 Tangen, Fosse Intervju med lærere
Line Søfteland arbeider på 3. trinn ved Tert- nes skole og Jannecke Lampe på 8. trinn ved Ytrebygda skole. Begge lærerne deltar i Bergen kommunes fagfornyelsesarbeid i matematikk. Lærerne bidrar i å sammenfatte høringsinnspil- lene fra skolene i Bergen til Fagfornyelsen.
Hva tenker dere om hovedretningen matematikk- faget tar i fagfornyelsen? Hele fokuset i faget er endret, synes vi. Bort Jannecke Lampe (til venstre) og Line Søfteland (til høyre). fra pugg og faste algoritmer til fokus på forstå- else og bruk av faget med åpne og rike oppgaver. Kjerneelementene blir veldig godt mottatt og Mogens Niss og Thomas Høigard Jensens fors- gir tydelig retning for hvordan faget fremover kning om helhetlig matematisk kompetanse. skal være. Det er positivt at matematiske kunn- En annen hovedendring er at det skal arbei- skapsområder kan arbeides med gjennom alle des grundigere med hvert tema. Før man går de andre kjerneelementene. videre, skal elevene ha nådd en dypere forstå- Vi ser at planen dreier mot nyere forskning, else. Dybdelæring i matematikk handler jo for eksempel arbeidet til Carol Dweck og Jo blant annet om å ta i bruk kompetanse på nye Boaler om «growth mindset», som tilbyr læring områder og temaer og å se sammenhenger i og i matematikk på en ny måte, sier Line og Jan- mellom fag. Elevene skal bruke faget mer på necke. Samtidig ser vi at den også bygger på praktiske og varierte måter. Denne helhetlige tenkningen ser vi tydelig i de tverrfaglige tema- ene. For å klare dette er det sterk vektlegging Janneke Tangen av å bygge den solide matematiske grunnmu- Bergen kommune, fagavd. barnehage og skole ren med tallforståelse, tallregning og prealgebra, [email protected] sier Line.
Trude Fosse Høgskulen på Vestlandet [email protected]
8 1/2019 tangenten Hvilke konkrete endringer liker dere spesielt Jeg opplever at undersøkende matematikk- godt? undervisning i mye større grad enn tradisjonell Programmering blir kjempegøy, er det første undervisning gir elevene mulighet til å jobbe Jannecke sier. Det er så mye innenfor dette med og utvikle et bredere spekter av kompe- temaet som lett kan tas inn i matematikken. tanser, sier Line. Mens tradisjonell undervis- Matematikk og algoritmisk tankegang henger ning begrenser elevene til å tenke rett og galt, sammen, og koding er en del av det. Jeg har hatt lar undersøkende undervisning elevene forstå, programmering som valgfag i noen år, sier Jan- reflektere og resonnere. Vi må alle arbeide mer necke. Kompetansemålene, slik de fremstår nå med hvordan elevene skal lære å lære matema- i førsteutkastet, kan gjøres relativt enkelt i for tikk. eksempel Scratch, eller de kan tolkes inn som et Det var et mål at planen skulle gi oss mindre større prosjekt. Målene gir kanskje litt for stort stofftrengsel og mer dybdelæring. Vi to mener rom for tolkning, slik de nå foreligger. at denne planen, til tross for innføringen av pro- Jeg vet egentlig ikke helt hva dette går ut på, grammering som nytt fagområde, gir oss denne sier Line. Det er litt skummelt, og mange lærere muligheten. vil trenge økt kompetanse i temaet program- mering. Jeg ser jo at programmering kan styrke Hvilke utfordringer ser dere for matematikkfaget elevenes forståelse for variabler, funksjoner og i fremtiden? algebra, og synes at det var på tide med koding Vi lærere må tørre å tenke nytt og utfordre og programmering på timeplanen. Det er viktig oss selv til å prøve ut teknologi og program- at skolen forbereder elevene til det som møter mering. Samfunnet endrer seg raskt, og det er dem i dagens samfunn. en stor utfordring å henge med, spesielt når det Like spennende er det jo at vi lærere må lære gjelder den teknologiske utviklingen. Det er noe nytt. Lærerne i hele Norge må få mulighe- likevel et dilemma at programmering kommer ten til faglig oppdatering her, selv om vi ikke inn som et nytt område, samtidig som timean- skal gi disse kompetansemålene for stor opp- tallet er det samme. merksomhet heller. Vi lærere må våge å hive oss Når det gjelder læreplanutkastet, mener ut i det ukjente og kanskje bruke elevene som vi noen kompetansemål er for vide. Vi lærere ressurser i koding og programmering? ønsker et lite tolkningsrom i læreplanmålene, Jeg liker veldig godt at leken er så tydelig på samtidig som vi vil at handlingsrommet vårt de første årstrinnene, sier Line. Barna motiveres skal være stort. Det er nok vanskelig å finne og lærer mye av matematisk lek og av lekpregede denne perfekte balansen i alle kompetansemål. metoder. Utforsking og samarbeid er også svært Læremidlene må jo også endre seg. Lærebø- tydelig i læreplanutkastet. Den muntlige mate- ker kan bli utfordrende, for i fremtiden trengs matikken, det å samarbeide og snakke sammen, det mer dynamiske digitale læremidler som kan diskutere strategier og løsninger, gjør matema- oppdateres når det er nødvendig, mener Line. tikken lettere tilgjengelig og veldig motiverende Eksamen må også endres, sier Jannecke. Vi for en større andel elever. Vi er altså begge glade kan ikke si at vi skal jobbe helhetlig og i dybden for at man går bort fra den tradisjonelle stille, og så likevel prøve elevene i så mange enkelt- individuelle matematikklæringen. Læringsfel- oppgaver som vi gjør i dagens eksamen. lesskapet er viktig. Så håper vi at skoleeiere og En ting vi er uenige med læreplanutkastet i, skoleledere følger opp og legger til rette for at vi er at det skal være kompetansemål per trinn, lærere får utvikle og endre praksisen vår i tråd sier Line og Jannecke. Vi mener det er et til- med intensjonen i læreplanene. bakeskritt å ha årlige kompetansemål i faget.
tangenten 1/2019 9 Dette oppleves som en innskrenking av faget rette for dette. Andre sier likevel at de synes det og handlingsrommet til lærerne. For eksempel er tydelig hvilke emner det skal undervises i på vil de tverrfaglige temaene da legges til de trin- hvert trinn. nene der disse er tydelige i matematikk. En av grunnpilarene i læreplanen er tilpasset opplæ- Kan dere gi eksempel på områder der det var ring, men det kan bli vanskeligere å tilpasse til det stor enighet i høringsinnspillene fra lærerne alle elevgrupper hvis det ligger spesifikke kom- i Bergen? petansemål for hvert eneste år. Begrunnelsen for Spørsmålene om læreplanutkastet viser kompetansemål per trinn er dybdelæring. Dette tydelig retning for det elevene skal lære, og om vil kanskje hindre forståelse for temaer som går læreplanskissen er fornyet og tilstrekkelig frem- på tvers av fagområder som er en del av defini- tidsrettet, var det stor enighet om blant lærerne sjonen på dybdelæring. i Bergen. Lærerne så en tydelig sammenheng mellom verdigrunnlag, kjerneelementer, tverr- Kan dere gi eksempler på hvilke områder det faglige temaer, grunnleggende ferdigheter og var store sprik i høringsinnspillene fra lærerne kompetansemål. i Bergen? Det var stort sprik i tilbakemeldingene om Dette er det siste lærerintervjuet i Tangenten i læreplanskissen viser et realistisk omfang i denne rekken, for nå sendes stafettpinnen over forhold til timetallet i faget, og om læreplanen til barna. Hva synes dere vi skal spørre barneha- legger til rette for dybdelæring. Med utgangs- gebarn og elever om hvis vi skal få frem tankene punkt i dagens timetall er det mange skoler deres om matematikklæring? som påpeker at det blir lite rom for dybdelæ- Dere kan kanskje spørre: «Hva er matema- ring. Til det er det for mange kompetansemål. tikk for deg?», «Hva motiverer deg for å løse et Skal ønsket om mer dybdelæring innfris, må matematisk problem?», «Hva er det viktigste i timetallet i matematikk økes. matematikken du ville lært bort til en som er Det var også stort sprik i opplevelsen av om yngre enn deg?», «Hvilke råd har du til hva bar- språket i læreplanskissen er klart og forståelig. nehagelærere/lærere bør gjøre mer eller mindre Mange kommenterte at språket er diffust og kan av?» og «Hvordan liker du best å arbeide med gi stort rom for tolkning. matematikk?» Til slutt var det sprik i spørsmålet om utkas- Vår opplevelse er at elevene spiller på lag. Så tet med kompetansemål per trinn legger til rette kanskje vi lærere generelt skal bli flinkere til å for dybdelæring. Mange lærere synes det blir lytte til hvilken matematikkopplæring elever for styrende, og at det heller er begrensende for som følger både nåværende og fremtidige dybdelæring og tverrfaglig arbeid enn legger til læreplaner, egentlig ønsker seg?
10 1/2019 tangenten Munthe-Kaas, Owren Holmboeprisen 2018
Vinneren av den fjortende Holmboeprisen er Skage Hansen, lærer ved Engebråten skole. Prisen ble overrakt av kunnskaps- og inte- greringsminister Jan Tore Sanner i Oslo kate- dralskole den 23. mai 2018. Det var flere gode kandidater til å vinne prisen, og Norsk mate- matikkråd valgte å gi hedersomtale til følgende personer: Inger-Lise Risøy, Krokstad skole og Laila Rosmo Staven, Åfjord videregående skole. Skage Hansen har gjort seg bemerket ved at han underviser på en motiverende og engasjer- ende måte. Slik er han i stand til å favne alle elever, uavhengig av hva slags matematikkbakg- runn de har. Han er også svært resultatorientert på vegne av sine studenter. Det kan være på sin plass å sitere Dagsavisen 24. april, 2018: «Har du Skage som mattelærer, kan du fort få gode resultater.» Engebråten skole er kjent for sitt gode real- fagsmiljø, og Skage Hansen har med sine krea- tive og faglig funderte ideer løftet matematikk- undervisningen til et høyere nivå. Sammen med Bernt Michael Holmboe (1795–1850), kollegaer har han vært og er en viktig bidrags- J.A. Aubert © Matematisk institutt, UiO Antonella Zanna Munthe-Kaas Universitetet i Bergen yter i utviklingen av Engebråten skoles modell [email protected] for matematikkundervisning, med fokus på dybdelæring og anvendelser av matematikk. Et Brynjulf Owren av hans varemerker er undervisningsaktiviteter NTNU som er lystbetonte og spennende for elevene. Et [email protected] annet er fantastiske resultater når det gjelder tangenten 1/2019 11 elever med høy måloppnåelse i matematikk. Holmboeprisen Mange av Skage Hansens elever tar matema- Dette er en utmerkelse som gis til en lærer tikk på et høyere nivå enn på trinnet de hører eller en gruppe lærere i grunnskole eller til, og de får toppresultater også her. Disse opp- videregående skole som har utmerket seg i siktsvekkende resultatene har gjort at han ved sitt arbeid med matematikkfaget. Prisen på flere anledninger har vært omtalt i media, både 100 000 kr er finansiert av Abelstyret ved det i avisartikler og i fjernsynsinnslag. Han utmer- Norske Videnskaps-Akademi, og skal deles likt ker seg ved å engasjere, utfordre og ta vare på mellom prisvinneren og skolen som han eller hun elevene som har lyst til å bli gode i matematikk. kommer fra. Skage Hansen er også en ressurs for de av Alle kan nominere kandidater til Holmboeprisen. elevene som har lav måloppnåelse i matematikk Det er mulig å nominere en enkelt lærer eller en fra barneskolen. Han er god til å kartlegge hva gruppe lærere som sammen har gjort en innsats elevenes matematikkutfordringer bunner i, og for matematikkfaget. Holmboeprisen deles ut legger opp undervisningen for den enkelte elev hvert år, neste gang 20. mai 2019. slik at de kommer videre i sin læring. Skage Hansen viser på denne måten sin rike matema- For mer informasjon: www.holmboeprisen.no tiske innsikt og oversikt over matematikkfaget i skolen og den matematikken som vil møte elev- ene videre i skoleløpet. lettet hjemme. Undervisningsfilmene er samlet Skage Hansens undervisningsfilosofi er at i en stor ressursbank og er flittig brukt av andre alle må lære den grunnleggende matematik- matematikklærere og elever ved Engebråten ken så tidlig som mulig, for deretter å anvende skole. Filmene ligger også tilgjengelig på inter- denne kunnskapen gjennom problemløsning nett. over tid. I sin egen praksis benytter han mye Skage Hansen er dessuten en ettertraktet omvendt undervisning. Det vil si at elevene stu- foredrags- og kursholder i matematikk og mate- derer undervisningsfilmer hjemme som lekse, matikkundervisning. Han liker også å utfordre for så å arbeide med problemløsningsoppga- kolleger med egenproduserte oppgaver som ver i klasserommet. Tid som ellers brukes til blant annet spres via sosiale medier. Dette har faglig gjennomgang av nytt lærestoff, frigjøres skapt glede og engasjement, samt mye hodebry til faglig fordypning og individuell oppfølging og til tider frustrasjon da disse nøttene slett ikke i klasserommet. Han har laget undervisnings- er enkle å løse, selv for garvede matematikklæ- filmer og kortstokker med faglige spill som rere. Rektor ved Engebråten skole fortalte om supplerer lærebøker og tradisjonelle oppgaver i skolestart etter sommerferien et år: Mens elever matematikk. Disse produktene er viktige moti- og øvrige lærere kom tilbake fra ferie brune og vasjonsfaktorer for elever, men har vist seg å uthvilte, kom Skage Hansen blek, men desto fange interessen også til de foresatte. Faren til mer opprømt på jobb første skoledag. Han en Engebråten-elev fortalte oss at han alltid hadde brukt hele sommeren på å lage et nytt hadde noen slike kortstokker liggende på toa- undervisningsopplegg for elevene.
12 1/2019 tangenten Jensen, Tangen Skage Hansen, vinner av Holmboeprisen 2018
Holmboeprisen ble opprettet som en minnepris etter matematikeren Bernt Michael Holmboe av Det Norske Videnskaps-Akademi til fremme for god undervisning innen matematikk. Holmboe- prisen deles ut til en eller flere matematikklærere eller et matematikkmiljø i den norske grunnsko- len eller den videregående skolen. Skage Hansen vant prisen i 2018, og han arbeider som lærer på Engebråten skole på Grefsen i Oslo. Vi er glade for å kunne presentere et intervju med Skage Hansen i dette nummeret av Tangen- ten, hvor han forteller om sin spennende mate- matikklæring og arbeidet på Engebråten skole.
Skage Hansen, kan du fortelle hva som kjenneteg- ner matematikklæring i dine grupper? Jeg gir elevene utfordringer og har fokus på problemløsning. Ved å benytte blant annet Skage hansen under prisutdelingen. omvendt undervisning klarer jeg å få mange Foto: Thomas Brun / NTB Scanpix elever opp på et høyt nivå i matematikk, og flere elever arbeider med oppgaver og temaer fra ung- Mange av elevene jeg har på ungdomstrinnet, domstrinnet allerede når de går på barnetrinnet. arbeider med oppgaver som er mye vanskeligere enn det som til slutt gis til eksamen på 10. trinn. Renate Jensen Jeg viser at jeg har tro på elevene og gir dem Bergen kommune, fagavd. barnehage og skole tidlig redskaper som er viktige for å løse åpne [email protected] oppgaver der det ikke er en gitt fremgangsmåte. Oppgavene har gjerne flere løsninger, og jeg Janneke Tangen bruker ofte komplekse geometrioppgaver. Elev- Bergen kommune, fagavd. barnehage og skole ene blir introdusert for ligninger med både en og [email protected] to ukjente, kvadratrøtter, potenser og funksjoner tidligere enn det som er vanlig, og så benytter de tangenten 1/2019 13 dette etter hvert som de er klare for det og ser Jeg kunne kanskje vært flinkere med dem nytten av det i sin oppgaveløsning. På 8. trinn som strever mest, men også for disse elevene arbeider elevene første halvår med tallregning har jeg alternativer oppgaver og fremgangsmåter. og regnerekkefølge, og mange kommer så langt Men jeg mestrer ikke alltid å få engasjementet at de regner med kvadratrøtter. Andre halvår for matematikk blant disse elevene slik jeg gjør arbeider elevene mye med figurtall, likninger, med de som har større interesse og motivasjon formler og mønster. Da har vi alt grunnlaget for matematikk. Her har jeg heldigvis hjelp av vi trenger for 9. trinns arbeid med geometri. et godt spesialpedagogisk team på skolen som Elevene tar med seg problemoppgaver hjem og hjelper med å tilrettelegge for dem som strever sender meg gjerne svar om kvelden. Vi arbei- aller mest. der med så komplekse oppgaver at mange elever opplever at det blir kjedelig når de begynner Hva fokuserer du på i matematikklæringen? med 1T og bare får arbeide med ett og ett tema Da vil jeg trekke frem tre viktige ting. Det om gangen. De savner oppgaver som går utover første er å velge gode problemløsningsoppgaver emnet de arbeider med, og entusiasmen ved å der elevene sitter i grupper og må finne frem- klare vanskelige, spennende problemer. gangsmåter og verktøy, og hvor de argumente- rer for sine løsninger. I dette arbeidet er mate- Hvordan klarer du å motivere alle elever til å lære matiske begreper viktige fordi disse gir elevene matematikk? mulighet til å lese, skrive og være muntlige i Min styrke er nok at jeg har en stor bank med faget. oppgaver å velge mellom, samtidig som entusias- Jeg bruker som nevnt omvendt undervisning, men min smitter veldig over på elevene når jeg der elevene ser undervisningsfilmer og svarer engasjerer meg i oppgavene. Ved å ha progresjo- på spørsmål knyttet til filmen som forberedelse nen klart for meg skreddersyr jeg passe utfor- til det som skal skje i neste time. Spørsmålene drende oppgaver til hver elev. Jeg har det meste elevene svarer på viser om de har forstått emnet i hodet, noe som gir meg mulighet for å være filmen fokuserer på. Disse filmene er tilgjengelig spontan og finne oppgaver som utfordrer elev- for elevene når de trenger å repetere eller ønsker ene og tilbyr progresjon. På den måten mestrer å jobbe med stoff som ikke er tema i perioden. jeg å tilpasse undervisningen til mange elever. Dette gjør dem i stand til å ta ansvar for egen Spesielt kan jeg differensiere mye fra middels til læring. Ved å jobbe mye med videoundervisning høyt nivå. Det er et godt elevgrunnlag i skole- blir det mindre tid på tavlen og mer tid til indi- området vårt, og med humor og variasjon får viduell oppfølging. jeg motivasjon for faget og elever som har tro på Vurdering er også viktig. Jeg ønsker at elev- at de mestrer. ene skal lære noe av prøver i faget. Det å ha fokus Stikkord for å skape motivasjon er at jeg på hva de mestrer nå, er viktigere enn det de arbeider utradisjonelt, tar utgangspunkt i det mestret på prøven. Det er viktig å hjelpe elevene som engasjerer elevene, som for eksempel spill, til å se fremgang og dermed få tro på at de lærer og legger til rette for kommunikasjon, samarbeid når de står i utfordringer over tid. og problemløsing. Mange elever arbeider videre med oppgavene hjemme og er synlig stolte og Hvordan beskriver elevene sin egen matematikk- glade når de finner løsninger som jeg gjerne ikke læring? har tenkt på. Jeg opplever ofte at elevene sender Jeg håper de vil trekke frem at alle elever føler meg meldinger hvor de forteller om arbeid de de bidrar, gjennom å få vise sine løsningsmeto- har gjort utover det som er forventet. der og være med på å både medvirke og påvirke
14 1/2019 tangenten sin egen læring gjennom samarbeid og dialog. Elevene må forstå på sitt nivå før læreren Fagdager tror jeg også mange elever setter haster videre. Lærerne hjelper elevene der de er. stor pris på, og de er med på å gi mestring og Dette krever at lærere på samme trinn samar- læring i faget. Elevene våre på 8. trinn får bruke beider og legger gode og helhetlige planer i faget. første time på å forberede seg i fellesskap og kan- Det er viktig å legge stor vekt på problemløs- skje også lunsjpausen underveis til å utveksle ning, kreativitet og matematisk kommunika- erfaringer. sjon. Disse ferdighetene er definert som nøkkel- Jeg tror også de liker å lære matematikk med kunnskap for at elevene skal mestre i fremtiden. humor og mye latter. Jeg er ikke redd for å vise at jeg ikke alltid har svar på oppgaver. Hvordan legger du til rette for dybdelæring i matematikkfaget? Hvilke råd vil du gi til lærere som ønsker å vide- Da vil jeg trekke frem Engebråtenmodellen reutvikle matematikklæring for fremtiden? som vi har utviklet på skolen der jeg arbeider. Sammenflettingsprinsippet er et nøkkelord. Det er en modell for organisering av matema- Med det mener jeg at elevene ikke møter repe- tikkundervisningen ved skolen, og som bygger tisjon i tradisjonell betydning, men at de får på det jeg har fortalt om min undervisning. oppgaver og utfordringer der det er naturlig å Den beskriver et treårig løp med en struktur få bedre forståelse av det de allerede har lært. som vektlegger tilpasset opplæring og dybdelæ- Arbeider elevene med en utforskende oppgave ring. Andre skoler og Utdanningsetaten i Oslo i geometri, vil det naturlig bli en repetisjon av har vist interesse for modellen. Den bygger på begreper og verktøy knyttet til for eksempel nyere forskning, som igjen ligger i kjerneele- areal. De møter behovet for å forstå, og det gir mentene i ny læreplan. Lærere og skoleledere fra et ønske om å mestre når målet er å finne en løs- hele landet kan komme på besøk på Engebråten ning – ikke bare å løse oppgaver hvor svaret ikke skole. Vi åpner våre klasserom for dem som er viktig for dem, men at det skal brukes videre ønsker å oppleve modellen i praksis og møte for å nå et mål. Likninger, algebra, figurtall og engasjerte elever og lærere. tallforståelse knyttes til andre temaer. Dette er Så med det som avslutning takker vi Skage dybdelæring i praksis. Elevene bruker hele veien Hansen for en inspirerende og hyggelig prat om det de kan, både i kjente og ukjente sammenhen- viktige temaer. ger – men uten at de tenker repetisjon.
tangenten 1/2019 15 Risøy Elevaktivitet for å motivere og engasjere
«Det har vært vanskelig fordi jeg har fått het til å oppmuntre sine barn til å jobbe godt ansvar selv for oppgaven, men det er nok det i faget slik at de utvikler utholdenhet. Læring som har gjort den morsom og interessant» skjer når elevene kjenner at hjernen «koker «Jeg har fått lov til å undersøke noe som litt» når de skal forske på tall eller får en jeg lurer på, det har vært fint» problemløsningsoppgave. Med foreldrene på lag (Elever på 7. trinn) kommer man langt i arbeidet med å få fram en indre motivasjon hos elevene, samtidig som vi Det var utrolig flott både og bli nominert til som lærere må sørge for at de får oppgaver som Holmboeprisen og så få hederlig omtale fra oppleves som meningsfylte og gir engasjement. Holmboekomiteen. Det setter jeg stor pris på, I min undervisning jobber elevene jevn- og da jeg ble spurt om jeg kunne skrive en artik- lig med utforskningsoppgaver og problemløs- kel til Tangenten, tenkte jeg med en gang at det ningsoppgaver. De er engasjerte og syns det er må bli noe om erfaringer fra praksis. Selv om spennende oppgaver å jobbe med. Vi løser jule- jeg holder kurs for lærere og foreldre, gir tips kalenderen på matematikk.org, er med på Ken- og deler erfaringer med kollegaene mine, er det gurukonkurransen og deltar på Mattemaraton med elevene jeg virkelig får prøvd ut hva som i regi av Kikora. Det er viktig med variasjon engasjerer. Jeg har erfart at mitt engasjement både i organisering og aktiviteter for å få enga- kan smitte over på elevene hvis de får oppgaver sjerte elever. Jeg bruker aktivt samtaletrekk og som interesserer dem. prøver å få matematisk produktive samtaler I tillegg har foresattes holdninger veldig mye for å fremme både læring, tenkning, refleksjon å si for barna deres. Jeg er til stede på mange og motivasjon hos elevene (Wæge og Nosrati, foreldremøter for å motivere og engasjere for- 2018). eldrene til å bidra med positive holdninger til Blant annet er det mange år siden jeg sluttet faget. Det er viktig å samarbeide med forel- å ta med bunken hjem for å rette matematikk- drene når det gjelder matematikkfaget. Ved å bøker. Jeg erfarte at de som hadde mange feil, ha en positiv holdning har de en unik mulig- aldri klarte å rette det opp til neste lekse. Og det var ikke rart, de skjønte det jo ikke, det var Inger-Lise Risøy jo derfor de hadde feil. Jeg bestemte meg for at Krokstad skole heretter når jeg gir lekser eller egentrening, så [email protected] skal jeg sette av tid på skolen slik at elevene får mulighet til å snakke sammen og diskutere det
16 1/2019 tangenten de har gjort hjemme. Det valget har jeg aldri 7. trinn og med et blikk på kompetansemålene angret på! Når jeg går rundt og hører på de for 10. trinn laget jeg en relativ åpen oppgave flotte matematiske samtalene og refleksjonene som dekket alle mål innenfor statistikk for ved denne måten å jobbe på, ja, da varmer det 7. trinn. Alle elevene på trinnet kunne gjennom- en lærers matematikkhjerte. føre den ut fra sitt ståsted og kunne oppfylle Som lærer er det viktig å skape engasjement kompetansemålene, om enn i ulik grad. På for- og glød og stille seg undrende til mange opp- hånd hadde de jobbet med sentralmålene, slik gaver. Vi lærere trenger ikke å ha svar på alt, at de var kjent med typetall, median og gjen- men kan være gode veiledere og være nysgjerrig nomsnitt. Oppgaven gikk ut på følgende: sammen med elevene. Utfordringen er å få alle elever engasjert og klare å tilpasse oppgavene 1. Tenk nøye igjennom hva du vil undersøke, til alle nivåer. og hvem du ønsker å spørre. Her vil jeg komme med et eksempel. Når jeg 2. Lag en hypotese – det vil si at du skriver som lærer føler at oppgavene vi jobber med, er noen setninger om hva du tror resultatet kjedelige, da er det på tide å ta grep. I høst skulle blir. vi på 7. trinn jobbe med følgende kompetanse- 3. Lag spørsmål til undersøkelsen din. mål for statistikk: Maks fire spørsmål. Tenk igjennom om spørsmålene gir deg svar på det du lurer på – planleggje og samle inn data i samband eller ønsker å undersøke. med observasjonar, spørjeundersøkingar 4. Finn ut hvilket utvalg du vil ha (antall, og eksperiment alder, kjønn.) Du kan forandre utvalg i – representere data i tabellar og diagram som løpet av undersøkelsen din, men begrunn er framstilte med og utan digitale verktøy, hvorfor du endret på det. lese og tolke framstillingane og vurdere kor 5. Gjennomfør undersøkelsen. Pass på å nyttige dei er notere underveis – det kan være lurt å ha – finne median, typetal og gjennomsnitt i laget ferdig en tabell på forhånd som du enkle datasett og vurdere dei ulike sentral- kladder inn i. måla i forhold til kvarandre (www.udir.no) 6. Etter undersøkelsen rydder du i notatene dine og får oversikt over resultatet. Læreboka og nettoppgavene gikk ut på å lese a) Har du spurt mange nok? av ulike diagrammer og løse oppgaver. Jeg som b) Fikk du svar på det du lurte på? lærer syntes at dette var lite utfordrende både for c) Må du stille tilleggsspørsmål? elevene og meg. Kjerneelementene var omtrent 7. Før tabellen med resultatene inn i Excel. på plass, og jeg tok utgangspunkt i dem og end- 8. Lag diagram i Excel – begrunn hvorfor du ringene i faget ut fra hva som sto på sidene til velger akkurat det diagrammet. Utdanningsdirektoratet: «statistikk er viktige 9. Vurder om undersøkelsen gikk slik du områder der tall benyttes i realistiske sammen- hadde tenkt. henger» (www.regjeringen.no). Ved å lage en 10. Forbered en presentasjon på maks tre oppgave som både krevde utforskning, model- minutter hvor du forteller om undersøkel- lering, anvendelse, resonnering, argumentasjon sen og resultatet. Her blir det viktig å få og representasjon, ønsket jeg å utfordre elevene med om det var noe du ville endret på hvis og legge til rette for aktivitet og kreativitet. du skulle ta den en gang til – eventuelle Statistikk er et område hvor man har mulig- sterke og svake punkt. het til at elevene opplever relevans i matema- tikkfaget. Ut fra kompetansemålene innenfor Vi hadde målsettinger i arbeidsprosessen hver tangenten 1/2019 17 sto omtrent og dirret foran utgangsdøra før det fri- minuttet da jeg godkjente at nå kunne de starte. Nå var det om å gjøre å samle informasjonen de fikk inn etter hvert, slik at de kunne finne tilbake til notatene sine. En av guttene erfarte at det ikke var lurt å legge notatene i lomma når buksa hadde endt i vaske- maskinen. Dataene ble lagt Figur 1: Mobiltelefon inn i en tabell i Excel, og de prøvde ut ulike diagram- uke, slik at ingen skulle bli hengende etter eller mer for å se hvilket som best viste resultatet. jobbe for fort. Den første uka jobbet vi med et Det ble gode diskusjoner om sentralmål som felles tankekart for å gi hverandre ideer til hva typetall, median og gjennomsnitt. Når er det de ønsket å undersøke, og ikke minst hvorfor lurt å bruke hvilke sentralmål, og er et typetall de ønsket å finne ut av noe. Mange valgte ulike bestandig et tall? Tiden var inne til å sammen- oppgaver som handlet om fag, mat, frukt, kjæle- fatte resultatet skriftlig, gi en begrunnelse på dyr, fritidsaktivitet, boksjanger, musikksjanger, hvorfor det ble slik, og vurdere om hypotesen spill, mobiltelefoner og fargevalg (se figur 1). Det stemte. Klarte de å sikre kvaliteten på undersø- var ikke mange som valgte å undersøke samme kelsen, og gjorde de endringer underveis? ting. Samme uke diskuterte vi spørsmålsstil- En relativt åpen oppgave med egne valg linger og forskjellige typer spørsmål, hvilket underveis virker ofte motiverende for elevene utvalg trenger du for å få svar på akkurat det fordi de har erfaring fra hverdagen utenfor du lurer på (antall, kjønn, alder), og hva en kva- skolen og bruker den erfaringen for å velge sin litetsmessig god undersøkelse er. Vi hadde gode undersøkelse. For eksempel engasjerte oppga- felles refleksjonssamtaler og diskusjoner. De ven flere av de guttene som er opptatt av spill, aller fleste ville ut og undersøke med en gang, og noen ville undersøke hvilke spill elever på men en viktig del av målsettingen var å være 7. trinn var opptatt av (se figur 2). De var reflek- «virkelige» forskere, og de forbereder seg godt. terte og valgte utvalg ut fra hva de trodde ga Hvordan henvender man seg til noen man skal et mest realistisk bilde av virkeligheten blant spørre om noe? elever på 7. trinn. Andre ville undersøke hvor Elevene konstruerer sin egen forståelse, og ofte elevene spilte, og valgte både hverdager og det ble viktig å lage hypoteser på forhånd. Hva helger for at det skulle bli så reelt som mulig (se trodde de svaret ble på det de spurte om? Og figur 3). Interessen gjorde at de fikk et eierfor- hvorfor trodde de at det ble slik? Hypotesen ble hold til oppgaven og fikk en indre motivasjon. godkjent av meg før de kunne begynne å spørre. Når elevene blir aktivt engasjert, kan det igjen De fleste laget et spørreskjema, og mange fant ut føre til læring og utvikling faglig. Det Wæge og at det var lurt med en tabell for å holde orden på Nosrati (2018, s. 20–21) skriver om at indre mot- svarene. Som en av elevene sa ved evalueringen: ivasjon ofte gir resultater i form av utholden- «Det ble viktig å holde orden og ta ansvar slik at het, glede, selvtillit, kreativitet, engasjement og man vet hvor man har all informasjonen.» De et utvidet spekter av problemløsningsstrategier,
18 1/2019 tangenten lig i hele prosessen fram til evalueringen i etterkant av framføringen at det var viktig for elevene å jobbe med en oppgave som de selv hadde ansvar for. Det var flott som lærer å observere underveis hvordan de engasjerte seg for å få en så sikker under- søkelse som mulig. De var opptatt av å drøfte med klassen underveis om de hadde intervjuet mange Figur 2: Spillvalg nok for å få et bra utvalg, så jeg i praksis, og det ga meg en bekreftelse på og diskuterte med læringspartneren om spørs- at det er viktig som lærer å fremme indre moti- målene var presise nok. Alle hadde tanker om vasjon hos elevene. I tillegg vil motiverte elever hvordan undersøkelsen kom til å gå. De ga ofte gjøre mer enn det som kreves, noe jeg så uttrykk for at de følte at de var «ekte forskere». veldig tydelig i arbeidet med undersøkelsen. De Karlsen skriver om hvor viktig det er å legge skulle presentere undersøkelsen, og jeg oppfor- til rette for et klassemiljø slik at elevene får lov dret dem til å være kreative og kanskje bruke til å «tenke sjæl» i et læringsmiljø som åpner andre virkemidler enn Excel. Noen begynte å for elevaktivitet, refleksjoner, spørsmål og lage en presentasjon i PowerPoint, og dermed ble flere motivert til å prøve det. De hjalp hver- (fortsettes side 48) andre, og til slutt var det bare noen få elever som ikke hadde valgt det som et hjelpemiddel til presentasjon. Det å snakke sammen gir rom for økt læring, og læringsmiljøet som læreren frem- mer, vil åpne for at elevene søker svar, bruker utforskning og undring som teknikker, prøver ut antagelser og underveis forandrer strategier for å nå et svar på for eksempel undersøkelsen. Et trygt læringsmiljø og en utforskende lærer legger til rette for at det skal foregå dybdelæring både individuelt og i samspill med for eksem- pel en læringspartner. Flere elever uttalte at det var spennende og interessant å høre på hva de andre hadde undersøkt. Innenfor matematikken anbefales det at lærere bruker elevenes interes- sefelt og kompetanseområde, og når det gjelder emnet statistikk, har lærere en unik mulighet til å gripe tak i det elevene er interessert i (Herheim & Johnsen-Høines, 2016, s. 10–15). Det var tyde- Figur 3: Spillvaner tangenten 1/2019 19 Kjebekk, Dean Studenters forskning i DIM-prosjektet
Ve skole, Samfundets skole og UiA har hatt fra én av masteravhandlingene var en medvir- et nært samarbeid fra 2015 til 2018. Tre klas- kende årsak til at også Chromebook tatt i bruk. ser, sju lærere og flere matematikkdidaktikere For oss har prosjektet vært svært lærerikt, men og studenter fra UiA har vært deltakere i dette ikke minst har studentenes forskning vært digitale, interaktive forskningsprosjektet. Målet interessant og gitt nyttige korrigeringer i pro- med prosjektet var å skape innovativ undervis- sjektperioden. Denne artikkelen vil presentere ning i matematikk ved å kombinere interaktive funn og konklusjoner fra studentenes forskning. digitale enheter og utnytte simuleringer, film og digitale kommunikasjonsformer. Læringsutbytte med digitale hjelpemidler I denne artikkelen vil vi trekke fram noen Fojcik (2018) fant ut at digitale verktøy i matema- av funnene som to bachelor- og fem masterstu- tikk har et stort potensial når det gjelder a hjelpe denter fra UiA kom fram til. Disse ble veiledet elevene med a utvikle matematisk kompetanse, av forskerne i matematikkdidaktikk ved UiA men det er avhengig av den digitale ferdigheten (Fuglestad, Erfjord og Hundeland), og disse til både lærerne og elevene. Flaten (2016) analy- studentene samt PhD-student Fidje har gjen- serte ei elevgruppes bruk av GeoGebra til visua- nom sine bidrag vært viktige i DIM1-prosjektet lisering og utforsking av matematiske begreper. (Digital interaktiv matematikkundervisning). Hun slår fast at det er verktøyet som er avgjø- Flere av studentene valgte emnet geometri og rende, da de samme aktivitetene ikke ville være bruk av GeoGebra. mulig uten et dynamisk visualiseringsverktøy. Ved oppstarten i 2015 fikk omtrent 60 elever Hennes funn viste hvordan dra-funksjonen i på 8. trinn hver sin iPad. Funn og konklusjon GeoGebra spilte en sentral rolle i det hun defi- nerte som meningsfylte læringssituasjoner i Inga Kjebekk arbeid med geometriske problemer. Lærerens Ve skole design av oppgave, rettledning underveis i timen [email protected] og medelevene i gruppa var viktige elementer i læringsprosessen. Ved å strukturere elevenes Evert Dean aktivitet fikk elevene mer begrensede valgmu- Samfundets skole ligheter. Oppmerksomheten deres ble da rettet [email protected] mot det de skulle erfare og øve på, og slik kunne elevene lære geometri i arbeid med GeoGebra.
20 1/2019 tangenten Bruk av iPad som digitalt hjelpemiddel bilde av objektene forsvinner de dynamiske Flaten (2016) oppdaget at sensitiviteten i iPa- mulighetene. Seinere i DIM-prosjektet tok vi dens berøringsskjerm ikke var optimal når elev- hensyn til disse funnene fra Flaten, og elevene ene skulle dra i et punkt på figuren. Det kunne måtte vise figurenes dynamiske egenskaper ved ende opp med at elevene i stedet flyttet figuren. filming av skjermen mens figuren ble dratt. Elevene fikk da vanskeligheter med dra-testen. Bruk av digitale verktøy kan også virke nega- GeoGebra på iPad fungerte heller ikke optimalt tivt inn på elevenes motivasjon, og det kan for fordi programmet til tider hang seg opp. Flaten eksempel skje hvis elevene ikke har fått nok (2016) beskriver i sin masteroppgave fordeler opplæring i digitale verktøy. Dette ble belyst i ved bruk av bærbar, håndholdt enhet som elev- masterprosjektet til Markseth (2017). ene lett kan ta med seg, men konkluderer likevel Elevene syntes at det noen ganger er proble- med at det er en del ulemper ved bruk av Geo- matisk å skrive matematiske utregninger ved Gebra på iPad. hjelp av digitale verktøy. Under et intervju med noen elever i masterprosjektet til Fojcik (2018) Andre utfordringer med digitale hjelpemidler fant hun indikasjoner på dette. Elevene ønsket Flaten (2016) konkluderte også med at måten at bruk av digitale verktøy skulle være valgfritt, elevene brukte GeoGebra på, hadde betydning fordi det tok så lang tid og var så vanskelig å for læringsutbyttet deres. Elever som fikk lite regne og skrive matematiske formler. teknisk veiledning, hadde større tendens til å lage tegninger i stedet for figurer som hang Inquiry i DIM-prosjektet sammen, og som kunne dras slik de ønsket Jaworski (2009) beskriver inquiry med ord som det. Hun avdekket imidlertid også eksempler spørre, undersøke, skape, diskutere, reflektere og på meningsfulle situasjoner der elevene fikk undre. I et lærerintervju utført av Bjørkmann og godt læringsutbytte i arbeid med det digitale Vabo (2018) kom det fram at inquiry ble lagt inn verktøyet, selv om det ble gitt lite veiledning av som et element i DIM-prosjektet, for det skulle læreren og elevene brukte det mer som et tegne- være læring og ikke det tekniske som skulle program. Når en skal designe oppgaver der en være det sentrale. En har prøvd å ha fokus på å ønsker å fremme kreativitet og problemløsing, designe oppgaver med lav inngangsterskel, men blir de gjerne uten entydige, klare instruksjoner med dybde slik at det er rom for å undersøke og for hva elevene skal gjøre, og hvordan de skal undre, altså åpne oppgaver med flere løsninger. konstruere de geometriske figurene. Ved hjelp av IKT-verktøyene kan en påvirke Flatens (2016) råd til lærere er at elevenes utforskningsmulighetene. oppmerksomhet bør rettes mot relevante aspek- Studier i DIM-prosjektet har vist at elevene ter og mot at de lager figurer, ikke tegninger, slik gir uttrykk for at de liker å jobbe på en under- at de kan få en større forståelse av matematiske søkende måte ved hjelp av digitale verktøy både begreper. Elevene laget tegninger av objekter på egen hånd og gjennom diskusjoner og sam- som tilsynelatende så ut til å ha bestemte geo- arbeid (Fojcik, 2018). De er motiverte og enga- metriske egenskaper, men de geometriske egen- sjerte og har en positiv holdning til matematikk. skapene var ikke bevart ved en dra-test. Når Stålesen (2016) nevner at det kan virke som elevene ble bedt om å lagre løsningen på geo- at en inquiry-tilnærming til undervisningen metriske problemer, ble det oftere gjort ved at de kombinert med et oppgavesett på et høyt kog- tok skjermbilder av objektene, enn at de lagret nitivt nivå gir det største læringspotensialet. selve GeoGebra-filen. GeoGebra hjelper elever Basert pa analysene av oppgavene og intervju- med visualisering og utforsking av matematiske ene fant hun at dette er tilfellet i en stor andel begreper på en ny måte, men ved å ta skjerm- av oppgavene som er utviklet i tilknytning til tangenten 1/2019 21 DIM-prosjektet. Oppgavesettet har dermed et oppgavene ble både lettere og gøyere. Markseth stort potensial for læring hvor anvendelsen av (2017) konkluderte med at digitale verktøy er en digital kontekst ikke bare fører til at elevene med på at elevene føler mestring og motivasjon sitter igjen med spesifikk digital verktøykunn- i faget. skap, men ogsa en større forståelse for matema- I DIM-prosjektet har en også hatt fokus på tiske relasjoner og begreper. Oppgaver utviklet elevproduserte filmer. Elevene skulle levere inn i DIM-prosjektet er spesielt blitt studert i mas- en besvarelse på en matematikkutfordring som terprosjektet til Stålesen (2016). Hennes studie film der de forklarte hvordan de tenkte. Fojcik viste også at oppgavesettene legger til rette for (2018) fant at elevene opplevde film som en at bade faglig sterke elever og de som strever, får motiverende metode for å sjekke faglig kunn- utfordringer hvor de kan utvikle seg i takt med skap og få tilbakemelding. Markseth (2017) sine evner og forutsetninger. I oppgavesettet nevner at resultatene fra studien viser at bruk av som Stålesen analyserte i sin masterstudie, digitale verktøy fører til høyere forventning om ble 75 % av oppgavene kategorisert som mestring. En stor andel av elevene mener de får utforskningsoppgaver, hvor 58 % av disse lå til flere oppgaver når de bruker digitale verktøy. innenfor kategorien guidet utforskning. Det betyr igjen høyere selvtillit, og elever med høy selvtillit har også høy motivasjon. Elev- Digitale enheter gir større motivasjon og ene er ikke redde for å spørre om hjelp om de inspirasjon ikke får til oppgaven. Dette indikerer også en Bjørkmann og Vabo (2018) spurte elevene om høy selvtillit, da elever med en forventning om deres syn på digitale hjelpemidler, og svarene mestring ikke ser på det å få feil svar og spørre tydet på at elevene selv mente at de lærte mer og om hjelp som et nederlag, men heller som en bedre med disse hjelpemidlene. Elevene fortalte mulighet for læring. at de var «veldig fornøyd» med undervisningen og syntes at digital matematikkundervisning Digitale enheter gir større effektivitet i timene var «veldig bra», «gøy», «en gøy mate a lære pa» Under et intervju ble elevene spurt: «Hvordan og «du lærer ganske mye ut av det». Slike posi- blir GeoGebra brukt som læringsredskap i tive ord skildrer en positiv holdning, konstaterte geometri?» Til dette responderte elevene med Fojcik (2018). å si at GeoGebra ble brukt som et mer effek- tivt læringsverktøy i geometri. En kommer for- tere fram til en løsning enn med penn og papir (Bjørkmann & Vabo, 2018).
Digital enheter gir mulighet for større dybdeforståelse i matematiske begreper Bjørkmann og Vabo (2018) observerte at det kom fram flere hypoteser når digitale verktøy ble brukt, sammenlignet med tradisjonelle verktøy, og at slike hjelpemidler bidro til større dybde i diskusjonene. Bruk av elevproduserte filmer gir muligheter til større forståelse. Fojcik I en spørreundersøkelse svarte 66 % av elev- (2018) fant at elevene uttrykte at filmer eller ene at de får til flere oppgaver når de bruker skjermopptak kan forklare og hjelpe dem til a digitale verktøy. Begrunnelsen for dette var at forsta matematikken.
22 1/2019 tangenten SAMR-modellen i DIM-prosjektet menhenger og finne ut hvordan objektet er I samarbeidet mellom skolene og universitetet konstruert. har vi brukt SAMR-modellen (Puentedura, – Oppgaver som utfordrer elevene til å for- 2006) til didaktisk analyse av oppgavene og utsi hva som kommer til å skje når de drar i undervisningen. SAMR er en forkortelse for et punkt på figuren. Substitution, Augmentation, Modification og – Oppgaver på et høyere kognitivt nivå, der Redefinition. Dette uttrykker fire nivåer, der det det kreves kompleks og ikke-algoritmisk laveste (S) beskriver innføring av digitale enhe- tenking for å løse dem. ter uten å gjøre noen endringer, og det høyeste (R) der en skaper nye didaktiske muligheter i opplæringen som var utenkelig uten teknologi. Bjørkmann og Vabo (2018) fant at det digi- tale kan være et supplement for det tradisjonelle, og da kan det skape en endring eller redefine- ring av undervisningsmiljøet. Kommunikasjo- nen mellom elever og mellom elev og lærer var delvis digitalisert. Den digitaliserte dialogen var ikke en erstatning for muntlig dialog, men et supplement med merverdi.
Dynamiske muligheter i GeoGebra Stålesen (2016) fant at oppgaver som var laget for bruk av GeoGebra, la til rette for at elevene kunne undersøke figurene ved a benytte dra- Kognitive krav er en viktig forutsetning for verktøy. Dette kan synliggjøre de underliggende a skape stort potensial for læring (Stålesen, matematiske sammenhengene. Totalt sett peker 2016). Analyse av DIM-oppgavene avdekket at disse funnene mot en vellykket integrering av 65 % av oppgavene defineres somoppgaver med dynamiske geometriprogrammer hvor teknolo- høyere niva av kognitive krav. Oppgavesettet har gien gir mening til matematikken, samtidig som dermed stort potensial for læring hvor anven- matematikken rettferdiggjør bruken av tekno- delsen av en digital kontekst ikke bare fører til logien i undervisningen. at elevene sitter igjen med spesifikk digital verk- tøykunnskap, men ogsa en større forstaelse for Analyse av DIM-oppgavene matematiske relasjoner og begreper. Stålesen (2016) analyserte mange av oppgavene i DIM-prosjektet. Hun peker spesielt på noen Orkestrering av undervisningen kjennetegn ved oppgaver som gir størst poten- Øystese (2016) beskriver ulike måter å sial for læring: orkestrere eller organisere undervisning på: – Guidet utforskning der eleven får litt start- technical-demo, link-screen-board, discuss the hjelp i utforskningen. screen, explain the screen, spot-and-show og – Åpen utforskning med oppgaver uten noen sherpa-at-work (Drijvers, Doorman, Boon, form for presisering. Reed & Gravemeijer, 2010). Øysteses funn – Muligheter for å bruke nye og effektive viser at lærere i DIM-prosjektet utnyttet løsningsstrategier. forskjellige orkestreringstyper for å skape flyt – Oppgaver som presenterer elevene for en i undervisningen, og den digitale tavlen gir figur, hvor elevene skal undersøke sam- dynamiske muligheter framfor den tradisjo- tangenten 1/2019 23 nelle tavlen med kritt. Hans funn har også vist Drijvers, P., Doorman, M., Boon, P., Reed, H. & Gravemei- at lærerens erfaringer i det digitale klassemil- jer, K. (2010). The teacher and the tool: instrumental jøet vil avgjøre hvordan de digitale verktøyene orchestrations in the technology-rich mathematics utnyttes for et større læringspotensial. classroom. Educational Studies in Mathematics, 75(2), 213–234. Avslutning Flaten, L. (2016). Læring av geometri ved bruk av digitale Det har vært noen spennende og lærerike år for verktøy. En studie av elevers bruk av GeoGebra i oss matematikklærere som deltakere i dette pro- arbeid med geometriske problemer på 8. trinn (Mas- sjektet, ikke minst gjennom vårt samarbeid med teroppgave). Universitetet i Agder, Kristiansand studenter og forskere ved UiA. Vi har i denne Fojcik, M. K. (2018). Elevanes oppleving av inquiry-basert treårsperioden også formidlet våre erfaringer digital matematikkundervisning (Masteroppgave). både på konferanser og gjennom flere artikler Universitetet i Agder, Kristiansand. i Tangenten. Prosjektet ble avsluttet i juni 2018, Jaworski, B. (2009). Avslutningsforedrag: Becoming og med dette sammendraget av lærerstudente- inquirers in learning and teaching mathematics. nes funn og konklusjoner fra DIM-prosjektet Lær bedre matematikk – undring og utforsking. håper vi at vår formidling kan bli til nytte for Konferanse 23.–24. september 2009. Kristiansand: andre. For dem som ønsker å vite noe mer, vil Universitetet i Agder. vi henvise til www.dim2015-18.no. Markseth, M. F. (2017). Motivasjon ved bruk av digitale verktøy. Hvordan kan bruk av digitale verktøy påvirke Noter motivasjonen til elevene i matematikk? (Masteropp- 1 1 DIM: Digital Interaktiv Matematikkundervisning gave). Universitetet i Agder, Kristiansand. 2 GGB: GeoGebra Puentedura, R. (2006). Transformation, technology, and 3 SAMR-modellen, se for eksempel http://digitaldi- education (Blog post). Hentet fra http://hippasus. daktikk.no/refleksjon/detalj/samr-modellen eller com/resources/tte/. https://link.springer.com/article/10.1007/s11528- Stålesen, I. J. (2016). Læringspotensial i en digital interak- 016-0091-y tiv matematikkundervisning. En analyse av lærings- potensialet i geometriundervisningen på 8. trinn med Referanser utstrakt bruk av digitale verktøy (Masteroppgave). Bjørkmann, V. & Vabo, S. (2018). Digital interaktiv Universitetet i Agder, Kristiansand. geometriundervisning. En studie av hvordan digitale Øystese, Å. (2016). En lærers undervisningsmetoder i hjelpemidler bidrar til inquirybasert geometriunder- geometri på 8. trinn når GeoGebra brukes. Studie av visning i 10. klasse ved Samfundets skole (Bachelor- ulike orkestreringstyper og deres betydning i under- oppgave). Universitetet i Agder, Kristiansand. visningen (Masteroppgave). Universitetet i Agder, Kristiansand.
24 1/2019 tangenten Torkildsen Overvåkningskamera En butikkeier ønsker å hindre nasking fra butikken, og han bestemmer seg for å få satt opp et overvåkningskamera. Eieren plasserer kameraet i punkt P, i det ene hjørnet av butik- ken. Kameraet kan dreie rundt 360 grader.
1. På tegningen er det plassert ti personer: A, B, C, D, E, F, G, H, J og K. Hvilke av disse personene kan ikke bli sett av kame- raet? 2. Butikkeieren sier at «15 % av butikken kan ikke sees av kameraet». Er dette rett? 3. Undersøk: Hvor vil du/dere plassere kame- raet slik at det kan se så mye som mulig av butikken? 4. Forklar hvorfor du/dere mener at dette er den beste plasseringen. 5. Butikkeieren vil sette opp ett eller flere speil slik at han kan se hele butikken. Hvor må disse stå, og hvor mange trenger han?