Ring- en Moduultheorie Geoffrey Janssens Eric Jespers Vakgroep Wiskunde 2e Bachelor Wiskunde 2019–2020 Voorwoord Naast groepentheorie, vormen (commutatieve) ring- en moduultheorie onmisbare hoofd- stukken in de algebrakennis van een bachelor in de wiskunde. Kennis van deze onderde- len is onontbeerlijk in zowat elke (gevorderde) algebracursus. In het eerste hoofdstuk in deze cursus worden groeprepresentaties bestudeerd. Deze theorie is waardevol voor de studie van eindige groepen. In de cursus groepentheorie hebben we gezien dat (abstracte) algebra ontstaan is uit de studie van concrete objecten. Door groepsrepresentaties te ontwikkelen, beschikken we over nieuw gereedschap om eender welke abstracte eindige groep te bestuderen door middel van een homomorfisme naar de groep van lineaire trans- formaties van een vectorruimte. Daardoor wordt als het ware de abstracte groep opnieuw geconcretiseerd. Wij zullen slechts een initi¨ele studie maken van groeprepresentaties en dit via lineaire algebra (een klassieke manier). In het twee en derde hoofdstuk wordt de basis van de ring- en moduultheorie be- handeld. Het hoofdstuk ringtheorie heeft belangrijke toepassingen zoals bijvoorbeeld de theorie van de velduitbreidingen en Galoistheorie. Modulen over ringen zijn een (verre- gaande) veralgemening van vectorruimten over velden. Naast belangrijke toepassingen die in gevorderde cursussen aan bod komen, worden modulen ook gebruikt om op een abstractere wijze groepsrepresentaties in te voeren (hetgeen de moderne manier is). Al- dus vormen de drie hoofdstukken ´e´en geheel. Tenslotte komen enkele toepassingen in het vierde hoofdstuk aan bod, die in functie van de beschikbare tijd al dan niet behandeld worden. iii Inhoudsopgave Voorwoord iii Inhoudsopgave v 1 Representatietheorie 1 1.1 Inleiding.................................... 1 1.2 Vectorruimten................................. 2 1.3 Representaties................................. 8 1.4 Voorbeeldenvanrepresentaties . 10 1.5 Deelrepresentaties............................... 13 1.6 Irreducibelerepresentaties . 16 1.7 Tensorproductvanrepresentaties . .. 17 1.8 Karaktervaneenrepresentatie. 20 1.9 HetLemmavanSchur ............................ 22 1.10 Orthogonaliteitsrelaties . 25 1.11 Dereguliererepresentatie . 28 1.12Klassefuncties ................................. 30 1.13Voorbeelden.................................. 34 1.13.1 Cyclischegroepen........................... 34 1.13.2 Di¨edergroep D6 vanorde6...................... 34 1.13.3 De quaterniongroep Q8 ........................ 36 v 1.13.4 De alternerende groep A4 ...................... 37 2 Ringen en idealen 39 2.1 Inleiding.................................... 39 2.2 Ringen: Definities en voorbeelden . 40 2.3 Deelringen................................... 47 2.4 Ringhomomorfismen ............................. 49 2.5 Idealen..................................... 52 2.6 Isomorfismestelling voor ringen . 56 2.7 Priemidealen en maximale idealen . 61 2.8 Maximaleidealen ............................... 66 2.9 NoetherseRingen............................... 68 2.10DeChinesereststelling ............................ 73 2.11 Breukenlichamen, breukenringen en lokale ringen . .. 76 2.12 Hoofdideaal- en Euclidische ringen . 80 2.13 Uniekefactorisatiedomeinen . 84 3 Modulen 91 3.1 Inleiding.................................... 91 3.2 Modulenendeelmodulen........................... 91 3.3 Homomorfismen en quoti¨entmodulen .................... 93 3.4 Modulenengroeprepresentaties . 96 3.5 VrijeModulen.................................104 3.6 Eindigvoortgebrachtemodulen . 108 3.7 Modulen over Euclidische domeinen . 110 4 Toepassingen 115 4.1 Velden en velduitbreidingen . 115 vi 4.2 De stelling van Cayley-Hamilton . 131 4.3 Exacterijenenprojectievemodulen. 132 5 Oefeningen 147 5.1 Vectorruimten.................................147 5.2 Herhalingsoefeningen groepentheorie . 147 5.3 Representaties.................................149 5.4 Ringen.....................................153 5.5 Modulen....................................162 Bibliografie 165 Index 167 Some historical data 171 Representatietheorie Hoofdstuk 1 1.1 Inleiding De theorie van groeprepresentaties is die tak van de wiskunde waarin eigenschappen van abstracte groepen worden bestudeerd via hun re- presentaties als lineaire transformaties van vectorruimten. Repre- sentatietheorie is een zeer nuttige manier om groepentheoretische problemen op te lossen omdat zij problemen reduceert naar lineaire algebra, een zeer goed uitgewerkte theorie. Het is ook o.a. van be- lang in fysica. Bijvoorbeeld, representatietheorie wordt gebruikt om een beschrijving te geven van hoe de symmetriegroep van een fy- sisch systeem de oplossingen van de vergelijkingen van dat systeem be¨ınvloedt. Frobenius (1849- Representatietheorie kan ook gedefinieerd worden voor andere 1917) wiskundige structuren, zoals o.a. associatieve algebra’s, Lie en Hopf algebra’s. In meer gevorderde cursussen komt dit aan bod. De term “representatie van een groep” wordt ook in een alge- menere context gebruikt. Het is een “beschrijving” van een groep als een groep van transformaties van een wiskundig object: een re- presentatie is een homomorfisme van de groep naar de groep van automorfismen van een object. Als het object een vectorruimte is dan verkrijgen wij een lineaire representatie. In deze cursus beper- ken wij ons tot deze studie. De algemene eigenschappen van representatietheorie van een ein- dige groep G, over de complexe getallen, werden ontdekt door Fer- Brauer dinand Georg Frobenius rond de jaren 1900. Later is de modu- (1901- 1977) laire (karakteristiek niet nul) representatietheorie ontwikkeld door Richard Brauer. 1 1.2 Vectorruimten In deze paragraaf worden enkele basiseigenschappen van vectorruimten over velden her- haald. Voorts voeren wij het tensorproduct van vectorruimten in. Veronderstel dat V een vectorruimte is over een veld K. We weten uit de cursus lineaire algebra dat (i) Er bestaat steeds een deelverzameling B V die een basis is voor de vectorruimte ⊂ V . (ii) Indien B eindig is, dan is de cardinaliteit van B de dimensie van de vectorruimte, genoteerd als dim K (V ) = n. E´en van de belangrijke stellingen uit de lineaire algebra zegt precies dat indien er een basis bestaat uit een eindig aantal elementen, elke andere basis precies evenveel elementen telt. (iii) Het is mogelijk dat er geen eindige verzameling gevonden kan worden die een basis is voor V . In dat geval kan men aantonen, door het Lemma van Zorn te gebruiken, dat er steeds een basis gevonden kan worden. Merk op dat binnen deze context elke vector nog steeds als een eindige lineaire combinatie van elementen uit de basis geschreven kan worden. (iv) We zullen zo goed als steeds te maken krijgen met eindigdimensionale vectorruim- ten. Voor de invoering van het tensorproduct, hebben we echter zogenaamde vrije vectorruimten nodig die oneindigdimensionaal kunnen zijn. Voor eindigdimensionale K-vectorruimten V herhalen we de volgende begrippen. (i) De verzameling van de K-lineaire automorfismen van de vectorruimte noteren wij GL(V ). Dit is een groep voor de bewerking , de samenstelling van functies. Het ◦ eenheidselement uit de groep GL(V ) is de afbeelding die elke vector v V op ∈ zichzelf afbeeldt. Deze afbeelding noteren we als 1V . (ii) De verzameling GL(V ) is ook een K-vectorruimte is. De optelling van twee lineaire afbeeldingen f,g GL(V ) is de puntsgewijze optelling: ∈ f + g : V V ; v f(v)+ g(v) → 7→ en de scalaire vermenigvuldiging van f GL(V ) met een scalair r K is gedefi- ∈ ∈ nieerd als rf : V V ; v rf(v) → 7→ Als we het in vervolg spreken over de groep GL(V ), dan veronderstellen we impliciet dat de groepsbewerking de samenstelling van afbeeldingen is ( ). Waar nodig ◦ 2 zullen we echter ook lineaire combinaties van afbeeldingen uit GL(V ) beschouwen, daarbij steunen we dan op de vectorruimtestructuur. (iii) De verzameling van alle inverteerbare n n matrices over het veld K noteren we als × GLn(K). Samen met de matrixvermenigvuldiging is dit een groep. We herhalen nu het verband tussen deze groep en GL(V ), V een n-dimensionale K-vectorruimte. Kies een K-basis E = e ,...,e van V . Als f GL(V ) dan noteren wij { 1 n} ∈ f =(f ) M (K) [E,E] ij ∈ n waarbij n f(ej)= fijei . i=1 X Dan is de afbeelding ϕ : GL(V ) GL (K): f f → n 7→ [E,E] een groepsisomorfisme. Er zijn vele voorbeelden van vectorruimten die niet eindigdimensionaal zijn. Vrije vectorruimten over een oneindige verzameling zijn hiervan een voorbeeld, en zullen ge- bruikt worden om het tensorproduct te defini¨eren. Definitie 1.2.1. Zij X een willekeurige niet-ledige verzameling en K een veld. Ver- onderstel dat f : X K een functie is. De support van f is de verzameling S = x X f(x) = 0→. We noemen de support van een functie eindig als S een { ∈ | 6 } eindige deelverzameling is van X. Definitie 1.2.2. Zij X een willekeurige niet-ledige verzameling en K een veld. We defini¨eren F (X) = f : X K f heeft een eindige support . Samen met de punts- { → | } gewijze optelling van functies en de vermenigvuldiging met elementen uit K, is F (X) een vectorruimte, de vrije vectorruimte over K of ook, de vrije K-vectorruimte. Definieer voor de gegeven verzameling X en het veld K de functies δx als volgt: δ : X K, δ (y) = 1 als x = y en δ (y) = 0 als x = y. Het is duidelijk dat de x → x x 6 verzameling δx x X een basis is voor F (X). Als X een eindige verzameling is, dan is X de dimensie{ | ∈ van }F (X). | | De afbeelding ι : X F (X): ι(x) := δ → x 3 is een inbedding van de verzameling X in F (X), deze afbeelding is uiteraard