UNIVERSIDAD REGIONAL AUTONÓMA DE LOS ANDES
UNIANDES
FACULTAD DE EDUCACIÓN Y COMUNICACIÓN
MAESTRÍA EN DOCENCIA DE LAS CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y ECONÓMICAS
TEMA: GUÍA ESTRUCTURADA PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO VERBAL PARA LA FORMACIÓN Y PREPARACIÓN DE LOS ASPIRANTES A LAS UNIVERSIDADES
AUTORA: ING. FABIOLA MERCEDES CASTRO CORONEL
Ambato – Ecuador
2015
1
AGRADECIMIENTO
Agradezco a Dios que con su infinito amor me concede salud, fortaleza y sabiduría para cumplir mis objetivos en el paso por la vida.
A la Universidad Regional Autónoma de los Andes que nos ha brindado la oportunidad de acceder al programa de maestrías gratuitas para sus egresados, a mis maestros que guiaron el camino hacia la profesionalización.
A mi familia que constituye el cimiento de valores y me permiten alcanzar el éxito deseado.
Fabiola Castro
2
DEDICATORIA
Dedico este trabajo de investigación a la juventud que sueña y quiere saber más para servir mejor, a todas las personas cuyos ideales de superación se basa en el estudio e investigación, que nos permite ser profesionales calificados al servicio de la sociedad.
Fabiola Castro
3
INTRODUCCIÓN La Constitución de la República del Ecuador en el Art. 356, inciso segundo, establece que “El ingreso a las Instituciones Públicas de Educación Superior se regulará a través de un sistema de nivelación académica, definido en la ley.”, la Ley Orgánica de Educación Superior en el artículo, 81 señala que: “El ingreso a las instituciones de educación superior públicas estará regulado a través del Sistema de Nivelación y Admisión, al que se someterán todos los y las estudiantes aspirantes.”.
Para la presente Guía Estructurada se debe considerar que admisión es el proceso de inscripción, documentación y rendición de pruebas de cultura general y razonamiento lógico, comunes para todos los aspirantes y de conocimientos básicos de las asignaturas fijadas por las carreras, cuyos resultados determinan, en base al rendimiento y cupos, la ubicación del bachiller en el primer semestre de la carrera como estudiante universitario, o en el Curso Propedéutico, como aspirante, mientras que Nivelación es el proceso que permite a los bachilleres no ubicados en el primer semestre de carrera, completar los conocimientos básicos, habilidades, destrezas y valores, para alcanzar un nivel compatible con el inicio de la carrera universitaria. Se realiza mediante el Curso Propedéutico, que incluye las materias de lógica, lenguaje y comunicación y las básicas de la carrera que se evalúan en la prueba de ubicación.
Los procesos de admisión se sustentan en valores de justicia, equidad y transparencia que prioricen los méritos de los aspirantes, para evitar toda forma de discriminación. Los aspirantes admitidos pueden matricularse y obtener la condición de estudiantes universitarios, con todos los derechos y deberes que establecen las leyes, estatutos, reglamentos y disposiciones de la Institución.
Para garantizar la calidad, eficacia y eficiencia, las diferentes carreras, establecerán cupos, para ello considerarán; la capacidad instalada, los promocionados del propedéutico, los admitidos de la prueba, los índices de repetición y los reingresos
Los aspirantes que obtengan las mejores calificaciones serán admitidos en el primer semestre de la carrera, según el cupo establecido por cada carrera. Los aspirantes que no ingresen al primer semestre, con base en el cupo y la prueba de ubicación, podrán inscribirse en el Curso Propedéutico, que tiene cupo establecido por la Facultad y publicado en la convocatoria y tiene como propósito su nivelación.
4
La presente Guía Estructurada está compuesta por dos ámbitos la Aptitud verbal y la Aptitud numérica que va a permitir el desarrollo del pensamiento lógico y verbal en los estudiantes de bachillerato y así facilitar el ingreso de los estudiantes del Colegio Jefferson de la ciudad de Riobamba a carreras administrativas.
Los temas que se desarrollan de forma teórica y práctica están divididos en el área de APTITUD VERBAL, RAZONAMIENTO VERBAL, APTITUD NUMÉRICA Y GEOMETRÍA.
5
ÍNDICE GENERAL Páginas
Contenido AGRADECIMIENTO ...... 2
DEDICATORIA ...... 3
INTRODUCCIÓN ...... 4
ÍNDICE GENERAL ...... 6
Aptitud Verbal 1 ...... 8
Relaciones entre palabras ...... 9
Denotación y Connotación ...... 9
Ejercicios de Apoyo ...... 9
Ejercicios Propuestos ...... 10
Sinónimos ...... 12
Ejercicios de Apoyo ...... 12
Ejercicios Propuestos ...... 12
Homónimos ...... 16
Ejercicios de Apoyo ...... 16
Ejercicios Propuestos...... 17
Analogías ...... 19
Ejercicios Resueltos ...... 20
Ejercicios Propuestos...... 21
Sistemas Sémicos y Término Excluido ...... 23
Campo Semántico ...... 23
Semema ...... 23
Término Excluido ...... 23
Criterios de Exclusión ...... 23
Ejercicios Resueltos ...... 24
6
Ejercicios Propuestos...... 25
Antónimos ...... 27
Clases de antónimos...... 27
Ejercicios Resueltos ...... 27
Ejercicios Propuestos...... 28
Oraciones Incompletas ...... 30
Ejercicios Resueltos ...... 31
Ejercicios Propuestos...... 31
El texto y la Referencia ...... 34
Tipos de Referencia ...... 34
Ejercicios de Apoyo ...... 35
Ejercicios Propuestos...... 36
Relaciones entre Palabras ...... 40
Los Conectores ...... 40
Ejercicios de Apoyo ...... 41
Principio de Relación Temática ...... 44
Ejercicios Propuestos ...... 212
7
Aptitud Verbal 1
2014
8
Relaciones entre palabras
Denotación y Connotación
El nivel Connotativo El nivel Denotativo nos permite usar hace referencia al diferentes sentido exacto de la posibilidades del palabra expresada lenguaje
Ejercicios de Apoyo
Marca la expresión connotativa que corresponde a cada uno de los enunciados denotativos.
1. Tienes un mar de problemas
a. Vamos a tener un buen día b. Tienes muchos problemas c. Es un buen día. d. Vamos a navegar el día de hoy.
2. Me muero de pena
a. Estoy feliz b. Estoy cansado c. Estoy muy triste d. Estoy estresado
3. Está loca por Sebastián a. Sebastián es un loco. b. Está enamorada de Sebastián. c. Es una locura de Sebastián. d. Sebastián se va.
4. Perdió la cabeza por ese vestido a. Ese vestido es lindo
b. Ese vestido no me gusta c. Ese vestido es anticuado
d. Le encantó es vestido
5. La trigonometría no me entra en la cabeza a. La trigonometría es muy fácil b. La trigonometría mide la cabeza c. La trigonometría es una locura d. La trigonometría me resulta incomprensible
9
Ejercicios Propuestos
Marca El significado que corresponde a cada una de las siguientes expresiones connotativas.
1. Pedir peras al olmo a. Los olmos producen peras b. Pretender algo imposible c. Pedir que te traigan peras d. Los olmos son altos
2. No aguantar pulgas a. Ser alegre b. Ser optimista c. Ser malhumorado d. Ser paciente
3. Matar el tiempo a. Estar ocupado b. Tener preocupaciones c. No hacer nada d. Matar a la esposa
4. Tener un nudo en la garganta a. Estar conforme b. Estar contento c. Estar angustiado d. Estar molesto
5. Aunque la mona se vista de seda, mona se queda. a. No importa lo que vista una persona, ella siempre será la misma. b. Las monas se visten de seda. c. La seda es apropiada para hacer vestidos d. La mona se queda con el vestido de seda.
6. Dios da pan al que no tiene dientes a. Al pan, pan y al vino, vino. b. Los dientes pueden tener caries c. Existen personas que a pesar de no merecérselo, reciben ayuda. d. El pan duro es peligroso para los dientes
Respuestas: 7. El mero escribano echa un borrón a. Los escribanos deben tener buena caligrafía b. Los borrones no se ven bien en un escrito A B C D c. Es preferible no presentar un escrito con borrones d. Todos cometemos errores. 1. 8. La gran victoria es la que sin sangre se toma. 2. a. Las victorias sin lucha no son relevantes. 3. b. Se deben conseguir las metas sin hacer daño a nadie. 4. c. La sangre es una condición indispensable. d. Se debe tomar las muestras de sangre en la mañana. 5. 6. 9. Poderoso caballero es don dinero. 7. a. Un caballero poderoso tiene dinero 8. b. Se da gran valor a lo que se consigue con dinero 9. c. El dinero permite que los caballeros sean poderosos d. Un caballero sin dinero no es caballero
10
10. A cada cerdo le llega su San Martín a. Los cerdos de la fiesta de San Martín son deliciosos b. A todos les llega la hora de rendir cuentas. c. San Martí n es el patrono de los cerdos. d. San Martín es el santo de criadores de cerdos.
Completa las oraciones denotativas
11. ¿Qué haces saliendo con ese insecto? ¿Acaso te interesa la _____? a. Lingüística b. Física c. Química d. Entomología 12. Mamá dice que no cree en la ______, pero siempre está leyendo el horóscopo. a. Sismología b. Ontología c. Epistemología d. Astrología
Identifica las oraciones connotativas
13. a. Le clavó la mirada b. Clavó un clavo en la pared. c. Tiene una mirada intensa d. Hace falta solo una mirada 14. a. Tenía mucha prisa b. El diablo es un ser maligno c. Se fue como alma que se lleva el diablo. d. El alma es inmaterial 15. a. El sapo es un anfibio b. ¡Qué sapo eres! c. Vamos a ver sapos en el estanque d. Los renacuajos se convierten en sapos 16. a. Ella está en la flor de su vida b. Ella está muy joven c. La flor es muy delicada d. La vida es muy corta
Marca la oración en la que las palabras se usan en sentido connotativo Respuestas: 17. a. Se levantó con el pie izquierdo A B C D b. Tiene un problema en el pie c. El pie izquierdo es más grande que el derecho d. Tuvo que levantarse muy temprano 10. 18. 11. a. El plomo es altamente tóxico 12. b. Hay que andarse con pies de plomo 13. c. Tiene los pies planos. 14. d. Es mejor la gasolina sin plomo 15. 16. 17. 18.
11
Sinónimos
Dos términos son sinónimos si uno puede ser sustituido por el otro en algún enunciado sin cambiar demasiado su sentido. Existen varias clases de sinónimos.
Se utilizan en distintos contextos sin alterar el mensaje. Sinónimos Totales El asno cargaba sacos de sal El burro cargaba sacos de sal
Sólo pueden intercambiarse en algunos contextos.
Anoche ordené mi cuarto Anoche arreglé mi cuarto Sinónimos Parciales Le ordené que viniera Le arreglé que viniera Como se puede notar la segunda pareja de sinónimos no son intercambiables.
Estos se diferencian por la intensidad que expresan. Sinónimos de Grado Ana está triste Ana está desconsolada En el segundo caso la tristeza de Ana es mayor; aunque las dos palabras nos dan la idea de dolor, la intensidad varía.
Ejercicios de Apoyo
Marca el Sinónimo de las palabras destacadas.
1. Elevar a. socorrer c. soterrar b. Levantar d. alcanzar
2. Fortuna a. Presentes c. riqueza b. Pobreza d. regalos
3. Escolar a. Adolescente c. niña b. Niño d. colegial 4. Tranquilo a. Apático c. alborotado
b. Calmado d. descuidado 5. Admitir
a. Prohibir c. negar b. Rechazar d. aceptar
6. Ayudar a. Abandonar c. socorrer b. Facilitar d. guarecer 7. Ayudar Ejerciciosc. PropuestosAbandonar c. socorrer d. Facilitar d. guarecer
12
Marca el sinónimo de las palabras destacadas
1. Progresar a. Empeorar b. Desmejorar c. Mejorar d. Estancar 2. Plegaria a. Oración b. Blasfemia c. Imprecación d. Arenga 3. Contento a. Alegre b. Insatisfecho c. Apenado d. Conforme 4. Firmeza a. Fragilidad b. Volubilidad c. Indecisión d. Solidez 5. Amable a. Grosero b. Rudo c. Antipático d. Atento 6. Fecundo a. Fértil b. Ferroso c. Abundante d. Ligero 7. Mazmorra a. Colada b. Prisión c. Zarzamora d. Batido Respuestas: 8. Tenebroso a. Escabroso A B C D b. Penoso c. Lúgubre 1. d. Atrasado 9. Ileso 2. a. Hilarante 3. b. Hilván 4. c. Incólume 5. d. Acosado 6. 10. Docto 7. a. Pediatra b. Proctólogo 8. c. Octavo 9. d. entendido 10.
13
Marca el sinónimo que tiene mayor intensidad
11. Poner el hombro a. Ayudar b. Interferir c. Solucionar d. Postergar 12. Perder los estribos a. Correr b. Impacientar c. Rescatar d. Colaborar 13. Mover el esqueleto a. Tiritar b. Anonadar c. Bailar d. Estirar
Marca la palabra que no sea sinónima
14. a. Pretérito 17. b. Anterior a. Presagio c. Ayer b. Anuncio d. Nuevo c. Anterior 15. d. Augurio a. Presente 18. b. Vigente a. Absurdo c. Excluyente b. Ilógico d. Contemporáneo c. Problemático 16. d. Irracional a. Futuro 19. b. Mañana a. Pobre c. Despertar b. Indigente d. Porvenir c. Desgraciado d. dichoso Marca el sinónimo que tiene la mayor intensidad
20. Respuestas a. Precioso A B C D b. Bonito c. Agradable 11. d. Atractivo 12. 21. 13. a. Sonido b. Ruido 14. c. Estruendo 15. d. Zumbido 16. 22. 17. a. Carcajada 18. b. Risa 19. c. Sonrisa 20. d. Gesto 21. 22. 14
Marca el sinónimo
23. Letargo a. Problema b. Halago c. Actividad d. Modorra 24. Fortaleza a. Vigor b. Flaqueza c. Viveza d. Durable 25. Desanimar a. Persuadir b. Disuadir c. Desamparar d. Dejar 26. Repulsión a. Expulsión b. Eclosión c. Erosión d. Aversión 27. Aciago a. Nefasto b. Feliz c. Sequedad d. Desgracia 28. Linaje a. Apellido b. Riqueza c. Ropa d. Casta 29. Vetusto a. Viejo b. Reciente Respuestas: c. Moderno d. Flamante A B C D 30. Discernir a. Confundir 23. b. Oscurecer 24. c. Distinguir 25. d. Mezclar 26. 31. Opíparo 27. a. Pobre 28. b. Mínimo 29. c. Frugal 30. d. Abundante 31. 32. Lacónico a. Locuaz 32. b. Facundo c. Conciso d. Abundante
15
Homónimos
Los homónimos son palabras que expresan significados diferentes, pero que suenan igual.
Ejemplos: Hola, me dijo y pasó rápidamente.
Casi me arrastra la ola.
Es evidente que estos vocablos no tienen relación alguna de significado.
Las palabras homónimas se clasifican en: homófonas y homógrafas.
Estas palabras tienen el mismo significado, pero se escriben de distinta forma.
Homófonas Aprobaron la ordenanza en la sesión del concejo. Necesito el consejo de un amigo
Estas palabras tienen el mismo sonido y se escriben de igual forma: Homógrafas La arena me quemó la planta de los pies. He sembrado una planta en mi jardín. Han
construido una nueva planta de gas Ejercicios de Apoyo
Marca la opción correcta para cada pareja de palabras
1. abocar- avocar a. asumir una causa- aproximar b. aproximar – asumir una causa c. asumir una causa – obligar d. obligar – aproximar
2. varón – barón a. individuo – señor b. título nobiliario – individuo masculino c. señor – individuo masculino d. individuo masculino – título nobiliario
3. combino – convino a. acordó – pensó b. acordó – relacionó colores c. pensó – acordó d. relacionó colores – acordó
4. vienes – bienes a. te acercas – propiedades b. te alejas – propiedades c. propiedades – te alejas
d. te alejas – te acercas
16
Ejercicios Propuestos
Marca la opción correcta para cada pareja de palabras
1. bello – vello a. pelo corto en cabeza y barba – pelo largo b. que tiene belleza – que tiene bondad. c. pelo corto – que tiene belleza d. que tiene belleza – pelo corto en cabeza y barba 2. votar – botar a. arrojar- dar su voto b. arrojar-tirar c. dar su voto – arrojar d. arrojar – dar su voto 3. cave – cabe a. que levante y mueva la tierra – que entierre objete b. tener capacidad- que levante y mueva la tierra c. tener capacidad – tener espacio d. que levante y mueva la tierra – tener capacidad. 4. cabo-cavo a. extremo de una cosa- que levanto y muevo la tierra b. extremo de una cosa – que traigo objetos c. que levanto y muevo la tierra- que traigo objetos. d. extremo de una cosa - miembro del ejército. 5. casar- cazar a. buscar animales para matarlos – contraer matrimonio b. contraer matrimonio – buscar animales para matarlos c. pedir en matrimonio – contraer matrimonio d. atrapar animales – contraer matrimonio 6. rebelar – revelar a. sublevar – descubrir b. descubrir- establecer c. descubrir – sublevar d. sublevar –establecer 7. sabia –savia a. que posee sabiduría – líquido que circula por los vasos de las plantas b. que es ignorante – que posee sabiduría c. líquido que circula por los vasos de las plantas – que es ignorante d. que quiere poseer sabiduría – que va a tener sabiduría 8. cause- cauce a. que produzca su efecto – lecho de ríos y arroyos. b. lecho de ríos y arroyos – que produzcan su efecto c. lecho de los mares – que no produzca efecto. d. que produzca efecto – lecho de los mares.
17
9. viga – biga a. madero largo y grueso – carro de cuatro caballos b. carro de dos caballos – madero largo c. carro de dos caballos – madero corto y delgado d. madero largo y grueso – carro de dos caballos. 10. abrace – abrase a. queme- que ciñe con los brazos b. que ciñe con los brazos – queme c. que ciñe con los brazos – abrigue d. abrigue – que aparta con los brazos
Marca la acepción correcta de las palabras destacadas
11. El doctor dijo que Manuel se rompió el radio a. hueso contiguo al cúbito b. Máximo alcance de un agente c. medio de comunicación d. elemento químico. 12. Escucho la radio todas las mañanas a. hueso contiguo al cúbito b. máximo agente c. medio de comunicación d. elemento químico 13. el radio es un elemento radioactivo a. hueso contiguo al cúbito b. máximo agente c. medio de comunicación d. elemento químico 14. ¿Cómo se encuentra el radio de una circunferencia? a. hueso contiguo al cúbito b. Segmento lineal que une el centro del círculo con la circunferencia c. máximo agente d. medio de comunicación Respuestas: A B C D 15. Las acacias tienen una raíz poco profunda 1. a. órgano de las plantas 2. b. bien inmueble 3. c. causa u origen de algo 4. d. parte inferior de una cosa. 5. e. 6. 7. 16. este problema tiene su raíz en el siglo XVII 8. a. órgano de las plantas 9. b. bien inmueble 10. c. causa u origen de algo 11. 12. d. parte inferior de una cosa 13. 14.
15. 16. 18
Analogías
Se llama analogía a la relación similar que existe entre parejas de palabras distintas. Toda analogía exige un ejercicio de razonamiento lógico para identificar el tipo de relación que se establece entre cada par de términos.
Pasos para resolver ejercicios de analogías:
Existen diversos tipos de analogías. Algunas de las más comunes son:
Otros tipos de relaciones son:
Agente es a lugar (maestro escuela)
Agente esa función (médico es a operar)
Agente es a instrumento (mecánico es a desarmador)
Causa es a efecto (golpe es a hematoma)
Parte es a todo (tapa es a botella)
Conjunto es a elemento (bandada es a paloma)
19
Ejercicios Resueltos
Marca el tipo de relación que se establece entre los siguientes términos.
1. mano : dedo a. objeto: cualidad b. agente : función c. antónimos d. todo: parte
2. caserío: casa a. objeto: cualidad b. agente: función c. antónimo d. conjunto : elemento
3. cerebro : cabeza a. agente: función b. sinónimos c. todo: parte d. parte: todo
4. arriba : abajo a. agente : función b. antónimos c. todo : parte
d. parte :todo
20
Ejercicios Propuestos
Marca el tipo de relación que se establece entre los siguientes términos.
1. motivar: alentar a. agente : función b. elemento: conjunto c. sinónimos d. efecto: causa 2. pintor : pintar a. agente : función b. elemento: conjunto c. sinónimos d. efecto: causa 3. llanto: tristeza a. elemento: conjunto b. sinónimos c. efecto :causa d. parte: todo 4. oveja: rebaño a. agente : función b. elemento: conjunto c. sinónimos d. efecto: causa 5. profesor : enseñar
a. agente : función b. elemento: conjunto c. sinónimos Respuestas: d. efecto: causa A B C D 6. azúcar : dulce a. objeto: cualidad 1. b. elemento: conjunto 2. c. sinónimos 3. d. efecto: causa 4. 7. profesor: colegio 5. a. agente: lugar 6. b. elemento: conjunto 7. c. sinónimo 8. d. efecto: causa 8. escultor: cincel a. elemento: conjunto b. sinónimos c. agente: instrumento d. parte: todo
21
Marca la analogía que sigue el mismo patrón
9. casa: dormitorio 16. oración : rezar a. miope: anteojos a. Dios: Cristo b. planta: raíz b. gramática : vocabulario c. casa : dueño c. discurso: declamar d. persona : trabajo d. sermón: domingo 10. huracán : viento 17. gallina : vaca a. tempestad : lluvia a. huevos : cuero b. sol : verano b. gato : perro c. cubierto : mesa c. tierra : agua d. silla : mueble d. músculo : estómago 11. actor : elenco 18. escritura : pronunciación a. drama : elenco a. ortografía : ortofonía b. astro : galaxia b. médico : hospital c. años : mes c. policía : revolver d. ríos : mares d. médico :curar 12. pulpo : tentáculos 19. caballo : pulpo a. mono: cola a. cuadrúpedo : octópodo b. elefante : trompa b. huevos : leche c. araña : patas c. calambre: cólico d. calamar : tinta d. preso : celda 13. Célula : tejido 20. nicotina : cafeína a. suegra : madre a. pez: cardumen b. dermis : piel b. pez : corvina c. árbol : bosque c. pez : mar d. guitarra es a cuerdas d. tabaco : café 14. llanto : pena 21. fuselaje: carrocería a. miseria : pobreza a. avión : automóvil b. continente: contenido b. ratón : ratonera c. desastre : explosión c. modestia : humildad d. risa: alegría d. policía : proteger 15. pasado: futuro 22. población : mercadería a. hoy: mañana a. censo : inventario b. después : antes b. pez : corvina c. antes : después c. ramillete : flor d. hueso : esqueleto d. modestia :cualidad
Respuestas: A B C D 9. 14. 18.
10. 15. 19. 11. 16. 20. 12. 17. 21. 13. 22.
14. 22 15. 16.
Sistemas Sémicos y Término Excluido
Un sistema sémico es una agrupación de palabras que se relacionan entre sí por rasgos de significado.
Los semas son unidades mínimas de significado, es decir, rasgos de significado que posee toda palabra con los cuales podemos establecer semejanzas y diferencias al relacionarlas con otras.
Ejemplo:
cortar
hierro
dentada
Con hoja Con hoja
Usada en Usada en
Sirve para para Sirve
Con Mango Con
herramienta Con cabeza de Con cabeza oficios algunos
Martillo x x x x x
Serrucho x x x x x Los semas son de dos clases:
Comunes: Son rasgos compartidos por todos los elementos del conjunto. según el ejemplo: herramienta, usada en algunos oficios, con mango.
Diferenciales: Los rasgos que distinguen a unos elementos de otros. Según el ejemplo: con cabeza de hierro, con hoja dentada, sirve para golpear, sirve para cortar
Campo Semántico
Es el grupo de palabras que posee uno o más semas comunes y semas diferenciales. Ejemplo: martillo, serrucho, alicate, desarmador.
Semema
Es el conjunto de semas que define el significado completo de una palabra. Ejemplo: el semema que define el significado de martillo es: herramienta usada para algunos oficios, con mango y cabeza de hierro, que sirve para golpear.
Término Excluido
El término excluido es aquel que al interior de un grupo no guarda la misma relación que existe entre los demás elementos de este.
Criterios de Exclusión
Los siguientes son algunos criterios de exclusión.
23
Por no pertenecer al mismo campo semántico Violín - piano - coro - trompeta coro no pertenece al campo semántico de los instrumentos musicales Por tratarse de una clase y no de un tipo dentro de una clase. adjetivo - verbo - artículo – palabra palabra es el término excluido ya que indica la clase a la que pertenecen los otros vocablos Por no pertenecer a la misma categoría gramatical amable - feliz - suavidad - verde suavidad se excluye ya que es un sustantivo y los demás son adjetivos. Por ser una palabra antónima dentro de un grupo de sinónimas famoso - anónimo - conocido – popular anónimo es el término excluido ya que es un antónimo de las demás palabras.
Ejercicios Resueltos
Marca el término excluido. mano: dedo
1. a. exacto b. puntual c. concreto
d. evidente 2. a. piara b. recua c. enjambre
d. manada 3. a. Perú b. Chile c. Brasil d. Argentina
4.
a. sofá b. sillón c. mesa d. diván
24
Ejercicios Propuestos
Marca el término excluido en cada grupo de palabras
1. a. uno b. estrepitoso b. tres c. bullanguero c. dos d. grotesco d. cinco 9. 2. a. descuido a. pistacho b. dejadez b. nuez c. indisciplina c. haba d. negligencia d. almendra 10. 3. a. dilapidar a. langosta b. desperdiciar b. camarón c. malversar c. cangrejo d. botar d. crustáceo 4. 11. a. verde a. indigente b. rosado b. barato c. morado c. módico d. rojo d. ahorrativo 5. 12. a. piquero a. lo b. lobo marino b. el c. pelícano c. son d. gaviota d. las 6. 13. a. Manta a. tibia b. Esmeraldas b. cálida c. Atacames c. húmero d. Portoviejo d. peroné 7. 14. a. omóplato a. morir b. cúbito b. fallecer c. radio c. desfallecer d. muslo d. fenecer 8. a. escandaloso Respuestas A B C D 1. 5. 9. 2. 6. 10. 3. 7. 11. 4. 8. 12.
25
Marca la opción que no tenga relación con las palabras resaltadas.
15. noche c. biólogo a. oscuridad d. cardiólogo b. estrella 22. Lisboa c. sueño a. Londres d. pensamiento b. París 16. lectura c. Viena a. libros d. Quito b. información 23. figuras geométricas c. movimiento a. hexágono d. cultura b. flor 17. amistad c. octógono a. competencia d. cuadrado b. solidaridad 24. figuras míticas c. apoyo a. centauro d. amigo b. unicornio 18. mano c. sirena a. coger d. Popeye b. recoger 25. culturas prehispánicas c. asir a. inca d. reír b. azteca 19. menestra c. Valdivia a. fréjol d. sumeria b. arveja 26. gastar c. tomate a. malgastar d. garbanzo b. despilfarrar 20. cuerdas c. ahorrar a. guitarra d. dilapidar b. violín 27. verbos en infinitivo c. batería a. pensar d. violonchelo b. tratar 21. médico c. iremos a. pediatría d. imaginar b. oncólogo
Respuestas A B C D
15. 20. 25. 16. 21. 26.
17. 22. 27. 18. 23. 19. 24.
26
Antónimos
Los Antónimos son palabras que tienen un significado opuesto; por ejemplo:
Ascender Descender
Clases de antónimos
Antónimos extremos: Son aquellos que se ubican al inicio y al final de una gradación. Ejemplo: frío – tibio- caliente
Antónimos excluyentes: en este caso, la afirmación de un término implica la negación del otro. Ejemplo: bueno – malo
Antónimos inversos: son los que establecen una relación de contraposición entre sí. Ejemplos: maestro- alumno aprender – enseñar
También se puede establecer una relación de antonimia a través de prefijos.
Ejemplos: humano – inhumano tejer – destejer
Ejercicios Resueltos
Marca el antónimo en cada caso.
1. osado 4. público a. animoso a. manifiesto b. audaz b. privado c. prudente c. oculto d. fanfarrón d. principal
2. ostentación 5. exaltación a. fama a. regeneración b. modestia b. difamación c. riqueza c. celebridad d. lozano d. público
3. liar a. sujetar b. atar c. encarar d. desatar
27
Ejercicios Propuestos
Marca la palabra que no es un antónimo
1. frivolidad b. severidad a. mesura c. compasión b. seriedad d. suavidad c. sensatez d. banalidad 10. genérico 2. escéptico a. individual a. confiado b. específico b. suspicaz c. raro c. creyente d. común d. claro Marca los antónimos inversos 3. glacial a. gélido 11. b. ardiente a) maestro – administrador c. abrasador b) administrador –alumno d. caliente c) maestro-alumno 4. fuerza d) director-alumno a. debilidad 12. b. blandura a) suegro-yerno c. pasividad b) suegro-esposo d. vigor c) pariente-hija 5. desafiar d) yerno-hija a. eludir 13. b. provocar a) patrón-hacienda c. evitar b) patrón –sirviente d. esquivar c) agricultor-ganadero 6. venia d) conserje-agricultor a. condena 14. b. castigo a) acreedor-deudor c. consentimiento b) acreedor-vendedor d. prohibición c) deudor-prestamista 7. brotar d) tienda –deudor a. ocultarse b. morir c. desaparecer Respuestas d. salir A B C D 8. incentivar
a. estimular 1. 7. 13. 2. 8. 14. b. desmoralizar 3. 9. c. frenar 4. 10. d. desanimar 5. 11. 9. inclemencia 6. 12. a. piedad
28
Marca los antónimos de las palabras resaltadas
15. semejante 24. superávit a) afín a) exceso b) similar b) déficit c) relacionado c) ganancia d) disímil d) excedente 16. mermar 25. preferencia a) aumentar a) privilegio b) menguar b) prioridad c) perder c) predilección d) disminuir d) antipatía 17. orate 26. aspereza a) cuerdo a) rudeza b) demente b) suavidad c) loco c) hosquedad d) perturbado d) tosquedad 18. incuria 27. frecuente a) abandono a) usual b) cuidado b) habitual c) descuido c) inusual d) apatía d) corriente 19. planificar 28. rebelión a) planear a) sumisión b) programar b) levantamiento c) improvisar c) revuelta d) preparar d) alzamiento 20. luctuoso 29. asentir a) alegre a) aprobar b) deplorable b) consentir c) lamentable c) afirmar d) funesto d) negar 21. condenado 30. corrosivo a) reo a) cáustico b) procesado b) constructivo c) absuelto c) mordiente d) convicto d) picante 22. rebelde a) sublevado b) dócil
c) amotinado Respuestas: A B C D
d) insurrecto 15. 23. 28. 23. confluyente 16. 24. 29. a) concurrente 17. 25. 30. b) convergente 18. 26.
c) divergente 19. 27. d) concentrado 20. 21. 22.
29
Oraciones Incompletas
Las oraciones incompletas son un tipo de ejercicio que consiste en contemplar una oración en la que se han omitido una o más palabras. La actividad consiste en elegir, dentro de las posibilidades propuestas, la mejor opción. Para cumplir con este último requisito debemos tomar en cuenta tres criterios importantes.
Este criterio exige fijarnos en aspectos como género, número, persona, tiempo, o modo. Ejemplo: “Quien no aprovecha la Gramaticalidad sabiduría de los ______es un necio” Sabes que la palabra faltante es un sustantivo masculino en plural: amigos, ancianos, filósofos, etc.
Las palabras tienen muchos sinónimos y algunos son más
Precisión precisos que otros. Si te proponen una oración como esta: El Léxica soldado ______la orden sin hacer preguntas, la palabra más apropiada para completarla es hizo o ejecutó sino acató u obedeció.
El término elegido debe encajar armoniosamente con los demás
Precisión elementos de la oración. Si tu oración incompleta es: El contextual ______invitó a salir a la dama, la respuesta no va a ser fulano o tipo sino caballero o señor.
Leer completamente el enunciado
Elegir la Tratar de PASOS PARA RESOLVER LAS ORACIONES opción mas completarlo acertada mentalmente
30
Ejercicios Resueltos
Marca la opción correcta para completar las oraciones.
1. Hay que ______para poder valorar lo que es ______. a) ganar-triunfar b) perder-ganar c) perder-derrotar
d) nacer-morir 2. El concierto Provocó ______entre los asistentes. a) miedos b) entusiasmo
c) risas d) alaridos
Ejercicios Propuestos
Marca las palabras que no puedan sustituir aquellas destacadas en las siguientes oraciones.
1. La pluralidad cultural del país se manifiesta en la coexistencia de diversas tradiciones en el territorio a) variedad-distintas b) heterogeneidad-distintas c) heterogeneidad-variadas d) extensión-pocas 2. Nunca aprendí - ni quiero aprender- a aguantar la estolidez humana a) cargar-firmeza b) soportar-estupidez c) tolerar-torpeza d) resistir-insensatez
Marca la opción que complete las oraciones de la manera más adecuada.
3. una pizca de práctica vale más que un kilogramo de ______. a) cultura b) teoría c) reflexión d) diálogos
31
4. Una tienda siempre tiene ______. a) materiales b) mercadería c) juegos d) dinero 5. Cada persona es el ______de su destino. a) maestro b) arquitecto c) alumno d) proyectista 6. La ____de que se produzca un desastre es un_____ permanente. a) necesidad-deber b) posibilidad-peligro c) imposibilidad-error d) seguridad-ajuste 7. A buen ______pocas ______. a) hablador-ideas b) recepcionista-mentiras c) entendedor-peleas d) entendedor –palabras 8. La mejor almohada es______tranquila. a) amiga b) muerte c) conciencia d) madre 9. No firmes carta que no ______ni bebas agua que no _____. a) hagas-tomes b) notes-veas c) leas-pruebes d) leas-veas 10. Su abuelo no puede ser maratonista porque es un ______. a) anciano b) anticuado c) ancestral d) rancio 11. Víctor debe renovar su vestuario; se le ve _____. a) anciano b) anticuado c) ancestral Respuestas d) rancio A B C D 1. 5. 9. 2. 6. 10. 3. 7. 11. 4. 8.
32
12. Mis padres me educaron para ser una persona de______. a) rendimiento b) logro c) beneficio d) provecho 13. El juez lo ____ _culpable del delito. a) confirmó b) declaró c) dijo d) refirió 14. Ayer el congresista _____ ante la prensa las declaraciones que se habían hecho en su contra. a) confirmó b) declaró c) dijo d) refirió 15. Ella me ______claramente que no quería que fueras a la fiesta. a) confirmó b) declaró c) dijo d) refirió 16. En su Exposición se ______al rol de la mujer en la sociedad ecuatoriana. a) confirmó b) declaró c) dijo d) refirió 17. Ella_____ que no iba a irse del país para visitar a su prima. a) declaró b) dijo c) refirió d) afirmó 18. La reforma universitaria tuvo como objetivo inmediato remover algunos ______verdaderamente incapacitados para la ______. a) catedráticos-administración b) escritorios-escrituras c) centros-enseñanzas d) equipos- educación física
Respuestas A B C D 12. 15. 18. 13. 16. 14. 17.
33
Relaciones al interior del Texto
El texto y la Referencia
Un texto es cualquier manifestación verbal completa que se produce en una comunicación. A partir de eso, los diálogos, las lecturas, los afiches, una exposición, un poema o una canción.
Observa los ejemplos:
Te voy a escribir la canción más bonita del mundo/Voy a capturar nuestra historia en tan solo un segundo… La oreja
de Van Gogh
Todo texto está conformado por ideas u oraciones que se relacionan y complementan; en otras palabras, unas ideas
Tipos de Referencia
Anáfora: Se produce cuando las palabras del texto se refieren a otras que ya han sido mencionadas. Son palabras anafóricas los pronombres y los adverbios. Ejemplo: Ernesto toca la guitarra desde pequeño. Él se ha presentado en varios recitales. Sus amigos lo Admiran por ello. Su último recital lo realizó en la Cada de la Cultura. Allí fue aclamado por el público.
Catáfora: Se produce cuando unas palabras hacen referencia a otras que serán mencionadas posteriormente. Ejemplo: Se llevó absolutamente todo: sus libros de historia, los prototipos de aviones de colección, sus máscaras decorativas, sus fotografías. etc. Elipsis: Se producen cuando se eliminan palabras porque se sobreentienden. Ejemplo: Emilio quería ser arquitecto. (Él) Siempre había soñado con diseñar casas y edificios.
34
Ejercicios de Apoyo
Marca las anáforas o catáforas que completan cada texto
1. Los hermanos Altamirano, nacidos en Cuenca y educados en Argentina, retornaron al
Ecuador el fin de semana pasado. ______llegaron a la capital el sábado.
a. Ellas
b. Ellos
c. Nosotros
d. El
2. Las exalumnas se reunieron en el patio central del colegio después de quince años. ____
revivieron con alegría cada uno de los lindos momentos que experimentaron en su etapa
escolar.
a. Ellos
b. Ellas
c. Ella
d. El
3. El equipo clasificó y los muchachos se sintieron campeones.______celebraron el triunfo
por todo lo alto.
a. Ellos
b. Ellas
c. El
d. Las
4. Alejandro logró llegar _____, al pico del nevado, y se sintió emocionado frente al
grandioso paisaje, quedó en su memoria para siempre.
a. al sitio
b. al lugar
c. allí
d. entonces
5. Es _____, mi novio; déjalo pasar.
a. la
b. él
c. los
d. las
6. El paseo resultó un éxito porque las chicas del grupo _____ planifican con tiempo.
a. le
b. lo
c. la
d. los
35
Ejercicios Propuestos
Analice el referente de cada una de las anáforas escritas en negritas.
Las mariposas perciben el sabor de las plantas de una manera muy peculiar. Ellas tienen
el sentido del gusto en las patas. Cuando las apoyan sobre flores, hojas u otras superficies, perciben el sabor, la textura y la temperatura de las mismas.
Las hormigas pueden levantar 50 veces su peso y halar 30 veces el mismo. Durante la época de verano, estas invaden los jardines y hasta las casas. Por esta razón, las personas suelen tomar precauciones para evitarlas o finalmente liquidarlas. Si embargo ellas son ejemplo de tesón y resistencia.
Un grupo de artistas entre ellos Monet, dio inicio entre los años 1860 y 1870 al movimiento artístico del impresionismo. Este se caracterizó por romper con el tipo de arte anterior : un arte académico y sofisticado, que los impresionistas transformaron completamente
36
Marca las catáforas que contemplan las palabras en negritas en las oraciones.
10. Tenemos que estudiar para el examen los diferentes tipos de gobierno que han existido:
a. monarquía, democracia y dictadura b. física, química y biología c. artes, filosofía y pensamiento d. ciudades, pueblos y países.
11. Presta atención a lo siguiente a. la noche está estrellada b. no debes salir de casa después de las once de la noche c. el río corre cerca de casa d. las abejas son insectos
12. Las características típicas de los adolescentes son diversas en cuanto a: a. altura, equilibrio y trabajo b. rebeldía, irresponsabilidad y depresión c. compromiso, altivez y democracia d. útiles, costo y escuela
Marca a qué se refieren los pronombres destacados
13. en Navidad suelen entregarlos a. facturas b. regalos c. bendiciones d. pedidos 14. Los malos choferes suelen causarlos a. felicidades b. accidentes Respuestas: c. penales A B C D d. marcadores 1. 15. Las reinas suelen llevarla 2. 3. a. carpeta 4. b. celular 5. c. corona 6. d. alfombra 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
37
Marca el tipo de referencia que se utiliza en los siguientes textos.
16. Actualmente, los ferrocarriles utilizan energía eléctrica y necesitan sistemas de control sofisticados. Estos alcanzan velocidades superiores a los 300 kilómetros por hora. a. Catáfora b. elipsis c. anáfora d. anáfora –elipsis 17. En 1967 se ensambló el tren de carga más largo del mundo. Este se caracterizó por lo siguiente: medía 6.4 Km de longitud, tenía varias locomotoras y arrastraba 500 vagones de carbón. a. anáfora-elipsis b. elipsis-anáfora c. anáfora-Catáfora d. Catáfora-elipsis 18. Francisco es un buen alumno. Por su buen rendimiento académico, él recibió el primer premio otorgado a la promoción. a. anáfora b. Catáfora c. elipsis d. referencia 19. La langosta es un insecto saltador que se multiplica rápidamente. Esta puede ser peligrosa para la agricultura. a. anáfora b. Catáfora c. elipsis d. relación 20. Podemos preparar dos tipos de ensaladas: de verduras y de pollo. a. anáfora b. Catáfora c. elipsis d. relación 21. Ten cuidado con las tijeras. Pueden ser peligrosas. a. anáfora Respuestas: b. Catáfora c. elipsis A B C D d. relación
15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 38
Aptitud Verbal 2
2014 39
RAZONAMIENTO VERBAL
Relaciones entre Palabras
Los Conectores
Redactar es un ejercicio que exige relacionar las ideas que se refiere a un mismo tema. Cuando redactamos, estamos produciendo un texto. Todo texto es una unidad de coherencia y uniformidad, por tanto, todas sus oraciones tienen que estar relacionadas. Para cumplir con este principio utilizamos los conectores. Los Conectores nos permiten establecer relaciones entre ideas y sonde varios tipos.
Tipos de Conectores Ayuda a … Ejemplos
Incrementar la información Nicol practica vóley y fútbol. (también, y, más, aún, Asimismo, practica en el taller Conexión por adición igualmente, además, incluso, de danza etc.)
Conexión por contraste Oponer conceptos o ideas (sin Viajó a Santiago, pero no pudo embargo, más bien, no conocer Valparaíso. obstante, aunque, etc.)
Conexión por Secuencia Señalar una sucesión de ideas Primero, le avisó a Marco; (luego, después, más adelante, luego, buscó a Eliza y, etc.) finalmente, llamó a Gabriel.
Conexión por Situación Indicar ubicación espacial Afuera estaba lloviendo. (afuera, adentro, en medio, Adentro se sentía un delante de, ante, debajo de, agradable calorcito. junto a, etc.) Conexión por equivalencia Explica algo con otras palabras Se mordió la lengua; en otras (es decir, vale, decir, esto es, palabras, no dijo nada. en otros términos, en otras palabras) Conexión por consecuencia Manifiesta un efecto (así que, Hoy es su cumpleaños, por así pues, entonces, por ello, esta razón dará una fiesta. por esta razón) Conexión por causa Indica el motivo por el que Me voy porque estoy cansada. algo ocurre (porque, ya que, debido a, etc.) Conexión por evidencia Señalar algo que es obvio (por Viajé a mi tierra. supuesto, naturalmente, Naturalmente, visité a, mis obviamente, etc. abuelos.
40
Ejercicios de Apoyo
Marca la clase de conector de que se trata en cada oración.
1. Tenemos una tarea de Historia. Además, debemos entregar el trabajo de Química. a. adición b. contraste c. ejemplificación d. equivalencia 2. Yo me levanté temprano y llegué a tiempo, en cambio tú te quedaste dormido y llegaste tarde. a. adición b. contraste c. ejemplificación d. equivalencia 3. Hay deportes que requieren enviar la pelota al campo contrario. Por ejemplo, en el tenis cada golpe debe enviar la pelota, sin rebotar, al terreno del oponente. a. adición b. contraste c. ejemplificación d. equivalencia
41
Ejercicios Propuestos
Marca la clase de conectar de que se trata en cada oración
1. Los insectos son animales invertebrados. Es decir, no tienen esqueleto. a. adición b. contraste c. ejemplificación d. equivalencia 2. En algunas regiones llueve mucho. Por tal motivo, se construye varios tejados superpuestos para que no penetre el agua. a. contraste b. ejemplificación c. equivalencia d. consecuencia 3. El hombre prehistórico primero representó figuras estáticas; después, figuras en movimiento. a. adición b. secuencia c. ejemplificación d. equivalencia 4. El vidrio es un material muy duro. Sin embargo, se quiebra fácilmente a. adición b. contraste c. ejemplificación d. equivalencia 5. Algunas piedras preciosas se usan en la industria. Por ejemplo, el diamante sirve para realizar perforaciones. a. adición b. contraste c. ejemplificación d. equivalencia 6. En los desiertos, las tierras fértiles son escasas. Por eso, el desarrollo de la agricultura requiere grandes esfuerzos e inversiones. a. contraste b. ejemplificación c. equivalencia d. consecuencia 7. Generalmente estos pueblos se dedican a la caza y a la pesca. También practican el pastoreo nómada. a. causa Respuestas: b. contraste A B C D A B C D A B C D c. ejemplificación 1. 4. 7. d. equivalencia 2. 5. 3. 6.
42
8. Las personas que tienen esta costumbre son conscientes de ella. Sin embargo, quienes la escuchan se dan cuenta enseguida. a. adición b. contraste c. ejemplificación d. equivalencia 9. No ha perdido lo que invirtió; por el contrario, ha obtenido muy buenas ganancias. a. adición b. contraste c. ejemplificación d. situación 10. Todos queremos vivir en paz; por lo tanto, evitemos hacerle daño al prójimo. a. modo b. evidencia c. consecuencia d. causa 11. Me olvidé de avisarle a Daniel. Por eso no ha venido. a. adición b. consecuencia c. modo d. evidencia
Marca el conector correcto
12. ______la gran belleza del topacio, no tiene tan alto precio como el diamante. a. A pesar de b. de esta manera c. Naturalmente d. Es decir 13. Colocó los zapatos debajo del armario. ______colgó su ropa. a. Adicionalmente b. Debido a Respuestas:
c. A B C D Por eso d. Vale decir 8. 14. 9. No te quejes, ______debes estarle agradecido. 10. a. 11. No obstante 12. b. entonces 13. c. 14. pues d. luego
43
PRINCIPIOS DE LA COHERENCIA
Decimos que las ideas de un texto son coherentes cuando tiene que ver unas con otras de manera lógica. Para ello, deben cumplir con los tres principios siguientes: relación temática, precisión y no contradicción.
Principio de Relación Temática
Este principio se cumple cuando las ideas comparten información: se relacionan entre sí y con el tema central que desarrollan. Observemos:
Mi papá tiene desde hace muchos años un semanario hípico. En estas ediciones semanales se presentan comentarios de cada caballo participante por carrera. Estos orientan a los lectores para que puedan elegir y estudiar mejor sus combinaciones antes de jugar.
Texto coherente
Todas las ideas se relacionan entre sí.
Mi papá tiene desde hace muchos años un semanario hípico. En estas ediciones semanales se presentan comentarios de cada caballo. Estos orientan a los lectores para que puedan jugar y combinar sus movimientos. Los casinos son también juegos de azar han disminuido.
Texto incoherente
Las últimas oraciones no guardan relación con las anteriores
44
Principio de Precisión Este principio se cumple cuando las ideas son claras: tienen una sola interpretación, no se prestan a confusiones ni ambigüedades.
Ejemplo:
David le regaló un libro de cachorro a Gabriela. Ambos rebosaban de alegría.
¿A quiénes se refiere la palabra ambos? ¿A David y Graciela? ¿Al cachorro y David? ¿A Graciela y el cachorro?
Principio de No Contradicción Este principio se cumple cuando las ideas no se contradicen: no firman algo que sea contradictorio. En el siguiente texto podrás encontrar una contradicción:
Sin ninguna razón, Lizet habló mal de su amiga Miriam. Va a tener que pasar mucho tiempo para que Lizet perdone a Miriam.
Para entender el principio de contradicción, debes tener en cuenta que un texto puede tener dos tipos de contenidos: Lo dicho, es decir, el contenido explícito de la oración que forma el enunciado. En el ejemplo anterior, ¿por qué Lizet debe perdonar a Miriam, si esta no fue quien le hizo daño? Lo comunicado, es decir, los contenidos implícitos que el receptor infiere de lo dicho. Una idea no solo no debe contradecir lo dicho por otra idea anterior sino que tampoco debe contradecir lo implicado por ella.
Para redactar con coherencia se aplican cuatro recursos importantes.
Definición
Consiste en expresar el significado. La definición suele especificar qué es y cómo es el ser o el objeto.
La mariposa pertenece al orden de los lepidópteros. Tienen cuatro alas cubiertas de escamas macroscópicas, cuya disposición le dan vistosidad y luminosidad.
Clasificación
Consiste en agrupar los elementos según sus características, atribuciones, finalidades, etc.
Por su proceso de desarrollo, las mariposas pueden clasificarse en orugas, ninfas e insectos adultos.
45
Comparación
Consiste en contrastar dos elementos o ideas, estableciendo semejanzas o diferencias:
Es usual comparar a las mariposas con frágiles jovencitas en edad de enamorarse, debido a su vuelo revoltoso y a la sencillez de su belleza.
Ejemplificación
Consiste en la presentación de casos relacionados con lo expuesto.
En algunos países latinoamericanos se encuentran especímenes realmente hermosos, por ejemplo la Heliconius sara, la Colabura dirce, la Caligo eurilochus y la Parides neophilus, entre otras.
Los enunciados nos permiten tener una idea aproximada del tema y del tratamiento que se le dará en el texto desde el comienzo de la lectura.
Ejercicios Resueltos
Después de leer cada texto, marca la oración final que te parezca más coherente.
1. El misterio todavía no estaba resuelto. La angustia y el deseo se acrecentaban con el pasar de los días. María, Griselda y Ada investigaron cada pista, cada indicio, cada señal que les permitiera encontrar una respuesta. a. Poco a poco se sintieron seguras de lo que conocían. b. Estas querían apoderarse de ellas c. Las pistas no eran de mucha ayuda d. Poco a poco empezaron a atar cabos que no parecían tener relación entre sí. 2. Ya salió al mercado el último modelo de radio que ha causado furor en Estados Unidos. Se trata del Model one, un aparato doméstico que, además de su original diseño, ofrece la novedad de utilizar tecnología GaAs hasta ahora solo empleada para la telefonía móvil. a. Además se ha utilizado materiales de probada calidad para la transmisión del sonido en óptimas condiciones. b. De esta manera los usuarios no necesitarán más de un chip.
c. Eso le permite sintonizar un número de estaciones más elevado que el resto de los receptores convencionales. d. El aparato es de madera y el parlante está montado en configuración Bass-reflex.
46
Ejercicios Propuestos
Después de leer cada texto, marca la oración final que te parezca más coherente como final propuesto.
1. El método empírico racional tiene su origen en Aristóteles y ha perdurado a lo largo de la historia y nuestros días. En él se parte de la convicción de que contamos con dos fuentes de conocimiento: los sentidos y el entendimiento. a. A través de ellas accedemos a dos niveles de la realidad: el sensible y el inteligible. b. Además, las emociones deben ser consideradas poco confiables. c. Los sentidos nos proporcionan los primeros datos de los objetos, datos que son cambiantes. d. Hay que considerar las ilusiones ópticas como una limitación de los sentidos.
2. La lechuza era en Atenas el símbolo de la sabiduría porque esta ave puede ver de noche. a. Y como ella, el sabio se retrae a lugares solitarios. b. Y como ella, el sabio busca un lugar quieto, apartado de la conversación, puesto que entre la gente no hay reposo para filosofar. c. Y como ella, los sabios tienen una visión más precisa de las cosas. d. Y, como ella, el sabio gusta del reposo en la oscuridad y en la soledad.
3. Todo volvió a la normalidad. Los muebles y objetos de la casa recobraron su identidad de cosas inanimadas; la casa recuperó su aspecto de hogar acogedor. a. Solo el pequeño auto rojo de mi abuelo quedó algo magullado por los choques contra el árbol del jardín b. Y la familia pudo retornar mucho tiempo después a vivir el viejo altillo que nunca pudo ser poseído. c. Los vecinos recobraron la tranquilidad que pos largas semanas habían perdido. d. Y el espíritu maligno que se había apoderado de la comarca huyó a un país lejano.
Lee los siguientes enunciados y marca aquellos que pueden ser eliminadas sin afectar el sentido general del texto.
4. I. La Segunda Revolución Industrial, iniciada en el siglo XIX, al mismo tiempo que significó la industrialización masiva de casi toda Europa, trajo consigo también el inicio del proceso de depredación de los recursos naturales de dicho continente. II. Con el paso de los años, y hasta el siglo XX, los recursos naturales de Europa fueron afectados seriamente, en muchos casos, de manera irreversible. III. La extracción de carbón en Inglaterra y Escocia durante la segunda mitad del siglo XIX, fundamental para sus industrias, destruyó casi completamente la vida silvestre en las cercanías de los centros mineros.
47
IV. Solo durante la segunda mitad del siglo XX los europeos, tomaron masivamente conciencia de la seriedad del problema e impulsaron entonces movimientos para la protección del medio ambiente.
a. I b. II c. III d. IV 5. I. Las luchas o guerras son enfrentamientos armados II. Normalmente, las guerras son luchas violentas que se dan entre dos o más naciones. III. Sin embargo, también pueden existir luchas o guerras al interior de una nación. IV. En las guerras, siempre mueren muchas personas inocentes. a. I b. II c. III d. IV 6. I. Las ciencias formales son aquellas que no se refieren a hechos de la experiencia. II. Las ciencias formales se refieren a los razonamientos y las argumentaciones III. Los axiomas son principios fundamentales indemostrables. Son elementos de las ciencias formales. IV. Estas ciencias se rigen por su propia coherencia interna. a. I b. II c. III d. IV
Marca el tipo de recurso que corresponde al texto destacado en cada caso
7. Las amígdalas son órganos linfoides ubicados en la garganta. Tienen como función la defensa del organismo, salvaguardándolo de aquellas bacterias que pueden ingresar por la boca o las vías respiratorias. Las amígdalas se clasifican en faríngea, lingual y palatina. Un adecuado aseo bucal favorece el buen estado de estos órganos. a. ejemplificación b. definición c. clasificación d. comparación
8. Las carabelas son embarcaciones de vela, rápidas y amplias. pero de poco tonelaje. Colón descubrió el Nuevo Mundo con tres carabelas. Este fue el transporte marítimo más usado durante los siglos XV y XVI. Actualmente, con algunas variaciones, se usan con fines deportivos. a. Ejemplificación b. definición c. clasificación d. comparación
48
Marca la alternativa que describa la estructura de los siguientes textos para lograr coherencia.
9. La colonización es entendida como la acción de ocupación de un pueblo por otro, quien lo administra y gobierna. Los españoles ejercieron en América una labor colonizadora con los nativos indígenas. Esta colonización se realizó en los planos económico, político y cultural. a. ejemplificación, definición, comparación b. definición, ejemplificación, clasificación c. clasificación, definición, ejemplificación d. clasificación, reflexión, ejemplificación
10. Los artrópodos forman el grupo más numeroso de seres vivos que tienen las patas y el cuerpo articulado. Los artrópodos se clasifican en cuatro grupos: crustáceos, miriópodos, arácnidos e insectos. a. definición, generalización b. clasificación, identificación c. generalización, clasificación d. ejemplificación, definición
11. La literatura es el arte que utiliza la palabra como principal medio de expresión. De acuerdo con el canal de comunicación, existen dos tipos de literatura: la oral y la escrita. a. definición, generalización b. clasificación, identificación c. ejemplificación, definición d. definición , clasificación
12. Las palabras graves son las que abundan en el idioma castellano. Por ejemplo: mesa, silla, césped, terma, cambio. a. Generalización, ejemplificación b. clasificación, identificación Respuestas: c. ejemplificación, definición A B C D d. definición, clasificación 1.
2.
3.
4.
5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
49
Palabras Monosémicas y Polisémicas
Relaciones entre palabras
Los Conectores
Las palabras pueden tener una o varias acepciones.
Las palabras son monosémicas si tienen una sola acepción. Las palabras son polisémicas si tienen más de una acepción.
No siempre es fácil diferenciar a las palabras polisémicas de las palabras homónimas, pero quizá te ayude a recordar que, mientras los homónimos no tienen distintos y se han desarrollado de distinta forma, las palabras polisémicas sí tienen coincidencias.
Por ejemplo, la palabra pico puede referirse al pico de un ave o al pico de una montaña, según el contexto:
El pobre gallo Dani llegó al pico
enterró pico. de la montaña
Para comprender la diferencia entre palabras homónimas y palabras polisémicas, veamos lo que ocurre con estas dos parejas de homónimos:
Pásame la lima Tengo ganas de de uñas, por comer una lima favor. jugosa
Por más que trates, no encontrarás una relación entre la fruta y la lima con la que arreglas tus uñas.
Emilia El boxeador logró compró encender la llama cintas para olímpica su llama
50
En este caso también es difícil hallar vínculos de significado entre la palabra que se refiere al animal y la que alude al fuego.
No vayas a Mi mamá es cabeza golpearte la cabeza. de familia
El clavo se Vendió trescientas quedó sin cabeza cabezas de ganado
Ejercicios de Apoyo
Marca la acepción correcta de la palabra destacada para cada una de las siguientes oraciones.
1. Ernesto depositó su dinero en el banco a. Madero grueso que sirve de mesa para las labores de los carpinteros. b. Bajo que se prolonga en una gran extensión en mares, ríos y lagos. c. Conjunto de peces que van juntos en gran número
d. Establecimiento público de crédito 2. Luis Compró un banco de carpintero a. Asiento en el que pueden sentarse varias personas b. Madero grueso que sirve de mesa para las labores de los carpinteros. c. Bajo que se prolonga en una gran extensión en mares, ríos y lagos
d. Conjunto de peces que van juntos en gran número 3. Siéntate en ese banco para ver el paisaje a. Asiento en el que pueden sentarse varias personas b. Bajo que se prolonga en una gran extensión en mares, ríos y lagos
c. Conjunto de peces que van juntos en gran número d. Madero grueso que sirve de mesa para las labores de los carpinteros.
51
Ejercicios Propuestos
Marca la acepción correcta de la palabra destacada para cada una de las siguientes oraciones.
1. Debemos leer el artículo sobre las enmiendas a la Constitución publicado ayer. a. Una de las partes en que suelen dividirse los escritos. b. Escritos de mayor extensión en los periódicos c. Mercancía d. Disposiciones numeradas en una ley, tratado o reglamento. 2. Esta tiendo tiene muchos artículos con descuento a. Una de las partes en que suelen dividirse los escritos. b. Escritos de mayor extensión en los periódicos c. Mercancía d. Disposiciones numeradas en una ley, tratado o reglamento. 3. El artículo primero de la Constitución establece que el Ecuador es un estado independiente, soberano, democrático, plurinacional y multicultural. a. Una de las partes en que suelen dividirse los escritos b. Escritos de mayor extensión en los periódicos c. Mercancía d. Disposiciones numeradas en una ley, tratado o reglamento 4. El artículo el nunca lleva tilde. a. Escritos de mayor extensión en los periódicos b. Mercancía c. Disposiciones numeradas en una ley, tratado o reglamento d. Clase de palabras que antecede al sustantivo 5. El asunto sobre el que vamos a hablar es muy complejo a. Que se compone de elementos diversos b. Complicado c. Conjunto de instalaciones agrupadas para una actividad común d. Conjunto o unión de dos o más cosas 6. Es muy difícil de superar el complejo de inferioridad que tienen algunas personas. a. Complicado b. Conjunto de instalaciones agrupadas para una actividad común c. Conjunto o unión de dos o más cosas d. Conjunto de emociones reprimidas que perturban el comportamiento del individuo.
Respuestas: A B C D
1. 2.
3. 4.
5. 6.
52
7. Añade a la mezcla un hilo de aceite de oliva a. Ropa de lino o cáñamo b. hebra larga y delgada de una materia textil. c. Alambre muy delgado que se saca de los metales d. Chorro muy delgado y sutil de un líquido 8. Lució un traje de hilo muy elegante. a. Ropa de lino o cáñamo b. hebra larga y delgada de una materia textil c. Alambre muy delgado que se saca de los metales. d. Chorro muy delgado y sutil de un líquido 9. Sólo bastó un tirón para que se descosiera debido al hilo de mala calidad que se usó. a. Ropa de lino o cáñamo b. hebra larga y delgada de una materia textil c. alambre muy delgado que se saca de los metales d. chorro muy delgado y sutil de un líquido 10. Vamos a aprovechar el puente de esta semana para ir a la playa a. Construcción de piedra, ladrillo, hormigón, etc. que se construye sobre los ríos o fosos para poder pasarlos. b. Tablilla colocada perpendicularmente en la tapa de los instrumentos de arco, para mantener levantadas las cuerdas. c. Pieza metálica que usan los dentistas para sujetar en los dientes naturales los artificiales d. Serie de días entre dos festivos que se aprovechan para vacación. 11. Debo mandar a cambiar el puente de mi violín a. Construcción de piedra, ladrillo, hormigón, etc. que se construye sobre los ríos o fosos para poder pasarlos. b. Tablilla colocada perpendicularmente en la tapa de los instrumentos de arco, para mantener levantadas las cuerdas c. Pieza metálica que usan los dentistas para sujetar en los dientes naturales los artificiales d. Serie de días entre dos festivos que se aprovechan para vacación 12. Francisco es la mejor pluma del colegio a. Pluma de ave que, cortada en la extremidad, servía para escribir b. Escritor, autor de libros y otros escritos c. Estilo o manera de escribir d. Cada una de las piezas de que está cubierto el cuerpo de las aves. 13. Me imagino que Cervantes utilizaría una pluma para escribir. a. Pluma de ave que, cortada en la extremidad servía para escribir b. Escritor c. Estilo o manera de escribir Respuestas: d. Cada una de las piezas de que está cubierto el A B C D cuerpo de las aves 7. 8. 9. 10. 11. 12. 53 13.
El Orden de las Palabras
Cuando hablamos o escribimos debemos tener mucho cuidado con la forma en que organizamos las palabras y las ideas. Estas últimas deben seguir un orden lógico y establecer relaciones crecientes (de lo particular a lo general) o decrecientes (de lo general a lo particular). Para organizar las ideas, primero se debe decidir qué modelo ordenador se va a seguir.
Secuencia Temporal
Llegó a su destino, partió el barco y navegó muchos mares.
Partió el barco, navegó muchos mares y llegó a su destino.
La segunda oración demuestra una mejor secuencia temporal.
Relación Causa -Efecto
Un buen masaje relajará mi stress
Tenía stress y un buen masaje me relajó
La segunda oración señala una relación causa-efecto.
Para ordenar adecuadamente nuestras ideas debemos:
Diferenciar las ideas principalmente de las ideas secundarias Diferenciar lo general de lo particular Establecer relaciones coherentes entre las ideas
54
Ejercicios de Apoyo
Marca la secuencia correcta de ideas en los siguientes ejercicios
1. I. Sus labios gruesos dejaban ver apenas una dentadura que el tiempo no logró deteriorar. II. Era de porte alto y fuerte, casi atlético III. Juan era buen pescador, vivía y permitía que otros viviesen gracias a él.
IV. Su tez oscura y arrugada expresaba toda una vida de trabajo bajo el sol. a. III, II, IV, I b. I,II,III, IV c. IV, I, II, III d. II,I,III, IV
2. I. La casa era pequeña, pero albergaba a todos con comodidad. II. La llanura era extensa y solo a lo lejos se podían contemplar algunos arbustos III. Su techo a dos aguas y sus paredes color terracota le daban un aire pintoresco. IV. El suelo era fértil, por ello cosechábamos hasta dos veces al año.
Ejercicios de Apoyo
Marca la secuencia correcta de ideas en los siguientes ejercicios.
1. I. Se echó a dormir
II. Había estudiado toda la noche
III. Dio un buen examen
IV. Al llegar del colegio se sintió muy cansado
a. I, II, III, IV
b. II, III, IV, I c. III, IV, II, I d. I, IV, III, II
2. I. El oro era transparentado en grandes barcos que cruzaban el océano hasta llegar a España II. De ellas se extrajo la mayor cantidad de oro para el viejo continente. III. Potosí fue considerado el centro minero más importante durante la colonia. IV. Quienes eran llevados a trabajar en esas minas sabían que tenían muy pocas probabilidades de retornar con vida a. III, IV, II, I b. I, II, III, IV c. II, III, I, IV d. IV, I, III, II
55
3. I. Los comuneros sostienen que les es imposible impedir la caza furtiva en las condiciones en las que se encuentran: sin vehículos, sin armas, etc. II. Las pieles son vendidas en el mercado negro a 600 dólares el kilo III. Mas de cinco mil especímenes han sido exterminados por cazadores inescrupulosos IV. Generalmente estos disparan a las crías, porque saben que sus madres no las abandonarían. Así aseguran su éxito V. La caza de camélidos en la sierra sigue siendo un problema sin solución. a. V, IV, II, III, I b. V,III, IV, II, I c. I, II, III, V, IV d. II, III , I , V, IV 4. I. Redactar el texto II. Definir el tema III. Investigar y consultar bibliografía IV. Esquematizar las ideas V. Determinar los objetivos VI. Revisar la redacción y ortografía a. VI, I ,III, IV, V, II b. II, V, III, IV, I, VI c. I, II, V,V I, IV, III d. III, II, II, IV, V,V I 5. I. Desinfectar la herida II. Preparar los materiales a utilizar. III. Poner gasa, si fuera necesario IV. Lavar la herida V. Darle seguridad a. I; II ; III; V;VI; IV b. II; I ; VI; V; IV; III c. VI; V; II; IV;I ; III d. III; VI; V; IV; II; I 6. I. El plazo de la presentación será hasta el lunes 7 de Julio II. Las becas serán otorgadas a los mejores estudiantes III. Ofrecen doscientas becas de intercambio estudiantil para jóvenes ecuatorianos IV. Este ofrecimiento fue difundido por el Ministerio V. El tiempo de duración del intercambio estudiantil será de tres meses.
Respuestas: A B C D 1.
2. 3. 4. 5. 6.
56
Marca la conclusión correcta de los siguientes refranes
1. Camarón que se duerme … a. el que no trabaja, no manduca b. se lo lleva la corriente c. solo es cuestión de empezar d. y te diré quién eres 2. Cría cuervos … a. El que no trabaja, no manduca b. se lo lleva la corriente c. y te sacarán los ojos d. y te diré quién eres 3. Dime con quién andas … a. El que no trabaja no manduca b. se lo lleva la corriente c. solo es cuestión de empezar d. y te diré quién eres. 4. En esta vida canduca … a. El que no trabaja, no manduca b. se lo lleva la corriente c. todo esta frío d. vamos que si se puede. 5. Aún no ensillamos… a. se lo lleva la corriente b. arriba caballito c. Dios no lo ayuda d. y ya cabalgamos 6. Comer, besar, y rascar a. al que le llueve dos veces b. se lo lleva la corriente c. solo es cuestión de empezar d. con sal, pimienta y revienta
Marca la alternativa que complete el texto con las opciones más adecuadas.
7. Los ______de televisión generalmente presentan una _____ Respuestas: muy parcial que poco tiene que ver con la ______del joven ecuatoriano actual. A B C D a. anuncios, imagen del joven, realidad, problemática b. asuntos, situación, alimentación, filosofía 1. c. Problemas, realidad, salud, inquietud 2. d. noche, rápida, conciencia 3. 4. 5. 6. 7.
57
Series
Las series verbales están definidas como un conjunto de palabras o frases que mantienen un vínculo semántico, es decir que guardan una relación a través de un criterio que las une.
Este criterio bien puede referirse a una relación de graduación entre ellas, o a su significado, origen etc.
Ejemplos:
Raíz tallo, hojas, flores, frutos
La relación establecida es partes pertenecientes a un todo, en este caso a una planta
Subteniente, capitán, mayor, comandante, general.
Se establece una relación de graduación en este caso en el ámbito de las Fuerzas Armadas.
+Las series verbales también pueden establecerse a partir de la relación entre parejas de palabras. En estos casos, se debe primero identificar la relación existente entre las dos primeras palabras y luego encontrar el tipo de relación que existe entre los pares de la serie+
Por ejemplo:
hermano – hermana ; padre- madre; abuelo- abuela
En este caso se establece una relación parentesco- género
Ejercicios de Apoyo
Marca las palabras que no pertenecen a la serie
1. a. ciclismo b. natación c. tenis d. ajedrez
2. a. hobby b. mouse c. stand d. relevo
58
Ejercicios Propuestos
Marca las palabras que no pertenecen a la serie
1. a. lepra b. sarna c. pulmonía d. soriasis 2. a. piscis b. Saturno c. géminis d. cáncer 3. a. peso b. libra c. euro d. bicicleta 4. a. salmón b. bacalao c. corvina d. raya 5. a. autocracia b. absolutismo c. referéndum d. tiranía 6. a. rostro b. semblante Respuestas: c. cara d. cuerpo A B C D 7. a. The Beatles 1. b. Queen 2. c. The Rolling Stones 3. d. Los Chapulines 4.
8. 5. 6. a. tacto 7. b. gusto 8. c. estómago d. oído
59
Marca las parejas de palabras que compartan la misma relación con las parejas en negrita
9. soldado- ejército a. taza- plato b. hueso- osamenta c. polilla- madera d. cara- tez
10. café- estimulante a. tilo- tranquilizante b. agua- beber c. té- limón d. cuchillo- hoja
11. agua- bebida a. huevo- gallina b. pan- comida c. arroz- cereal d. fideo- sopa 12. abnegación-sacrificio a. heroísmo- riesgo b. tedio- pereza c. locura- hospital d. pena- tristeza 13. música- escuchar a. poesía- pensar b. literatura- leer c. pensamiento- sueño d. palabra- necia 14. tímpano- oído a. retina- ojo b. lengua- diente c. paladar- muela Respuestas: d. uña- pintura A B C D 15. Bicicleta- pedal a. auto- acelerador 9. b. bote- océano 10. c. tren- riel 11. d. avión- alerón 12. 13. 14. 15.
60
Aptitud Numérica 1
2014
61
NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS
Sistemas de Numeración
Todo sistema de numeración, para formar los números, emplea la cantidad de cifras que indica la base incluyendo el cero
Ejemplo:
*El sistema decimal (Base 10) utiliza las cifras del 0 al 9
*El sistema binario (Base 2) utiliza las cifras 0 y 1
Descomposición polinómica de un número Base 10: 2685 = 5 + 8 ∙ 101 +6 ∙ 102 +2 ∙ 103
Base 2: 1 2 3 4 11011(2) = 1 + 1 ∙ 2 + 0 ∙ 2 + 1 ∙ 2 +1 ∙ 2
Criptoaritmético
Es una operación aritmética cuyas cifras representan valores escondidos en letras, casilleros o figuras.
Ejemplo:
3 4 5 Debemos encontrar el valor de a + 2 a 6 6 0 1 En este ejemplo, el valor de a es 5
Sucesión
Es un conjunto de números que guardan entre sí una relación llamada ley de formación.
Ejemplo:
4 ; 8; 12 ; 16 ; 20 … (son los múltiplos de 4)
Analogía
Es una relación de semejanza entre dos pares de elementos distintos.
Ejemplo: 3 es a 6 como 7 es a 14.
La relación de semejanza entre los números es
62
Propiedades de los Números
Por sus divisores los números pueden ser primos o compuestos.
Número primo es el que tiene solo dos divisores: el uno y el mismo. Son números primos: 2; 3 ; 5; 7… Número compuesto es el que tiene más de dos divisores. Son números compuestos: 4; 6; 8; 10; 25, … Máximo Común divisor (m.c.d) es el menor de los múltiplos comunes de dos o más números. Mínimo común múltiplo (m.c.m)es el menor de los múltiplos comunes de dos o más números. Número capicúa el que se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha.
Sistemas de Numeración
Ejercicios Resueltos
1. Una empresa exporta cada mes 1250 Kg de quinua a la empresa OAV en Asia. El segundo mes la empresa OAV hizo un pedido adicional de 2306 (7) de quinua. ¿Cuántos Kilogramos adicionales
han pedido? ¿Cómo se escribirá en el empaque el pedido total de este mes si la empresa asiática utiliza el sistema de numeración de base 7? Solución: *Calculamos los kilogramos del pedido adicional. Convertimos a base decimal descomponiendo el número de acuerdo con su valor posicional: 1 2 3 2306(7) = 6+ 0 ∙ 7 + 3 ∙7 + 2 ∙ 7 = 839 *Calculamos el total de los kilogramos y los convertimos al sistema de base 7 mediante divisiones sucesivas: 1250 Kg + 839 Kg = 2089 Kg 2089 7 68 298 7
59 18 42 7
3 4 0 6 6043 (7) *La empresa OAV hizo un pedido adicional de 839 Kg de quinua.
*En el empaque se escribirá 6043 (7) 2. En base 4 un número se representa por 3210. ¿Cómo se representa en base 5? Solución
*Para convertir 3210(4) a base 5, primero lo convertimos a base 10, descomponiéndolo: 2 3 3 210(4) = 0 + 1 ∙ 4 + 2 ∙ 4 + 3 ∙ 4 = 228
*Luego convertimos 228 a base 5 mediante divisiones sucesivas: 228 5 28 45 5 3 0 9 5
4 1 1 403(5)
63
3. ¿Cuál de los números es el menor? a. 342(5) b. 10 112(3) c. 140(8) d. 118(9) Solución:
*Para determinar cuál de ellos es el menor, los convertimos a base decimal: 2 342 (5) = 2 + 4 ∙ 5 + 3 ∙ 5 = 97 2 3 4 10 112(3) = 2 + 1 ∙ 3 +1 ∙ 3 + 0 ∙ 3 + 1 ∙ 3 = 95 2 140(8) = 0 + 4 ∙ 8 + 1 ∙ 8 = 96 2 118 (9) = 8 + 1 ∙ 9 + 1 ∙ 9 =98 *El menor de los números es 95, es decir, 10 112(3)
4. Si 2ab (3) = 10 101(2) ¿cuál es el valor de 2 a – b?
a. 2 b. 1 c.3 d. 0 Solución *Convertimos 10 101(2) a base 3: 2 3 4 10 101(2) = 1 + 0 ∙ 2 + 1 ∙ 2 + 0 ∙ 2 + 1 ∙ 2 = 21 21 3
0 7 3 1 2 210(3)
*Luego, 2ab (3) = 210(3) a = 1 y b=0.
*Hallamos el valor de 2 a – b, reemplazando los valores encontrados:
2 a – b = 2 (1) – 0 = 2
3 5. Si aaaa (4) = 143 (7) ¿Cuál es el valor de a - 1? a. 5 b. 0 c. 7 d.8 Solución:
*Primero convertimos 143 (7) a base 10: 2 143 (7) = 3 + 4 ∙ 7 + 1 ∙ 7 = 80 *Luego, convertimos 80 a base 3 80 3 20 26 3 2 2 8 3
2 2
*Como aaaa (4) = 2222(3) a =2
*calculamos a3 – 1, reemplazando a por su valor:
23 – 1= 7
6. ¿En qué base está escrita la siguiente adición si se sabe que: 114(n) +254(n) + 331(n) = 1 143? a. 7 b.5 c. 8 d. 6 Solución: *Descartamos hasta 5 ya que la base siempre es mayor que cualquiera de sus cifras. *Ordenamos los sumandos:
64
114(n) * En la primera columna tenemos que 4+4+1 es 9 pero está 3. +254(n) * Si restamos 9 – 3, obtenemos 6 que es la base del sistema ya que 9 =13(6)
331(n) por ello tenemos 3 y llevamos 1.
1 143(n)
*Comprobamos que 6 es el valor de la base:
*En la segunda columna 1 + 5 + 3 + 1 es 10 = 14(6) confirmamos 4 y llevamos 1.
*En la tercera columna 1 + 2 + 3 + 1 es 7 = 11(6) confirmamos 11.
La adición está escrita en base 6
7. Si a + b + c = 16, halla ab + bc + ca
Solución:
*Ordenamos los sumandos y observamos:
ab *En la primera columna tenemos: b + c +a =16
+ bc * Escribimos 6 y llevamos 1 ca * En la segunda columna tenemos: a + b + c+ 1 = 17 176
Luego, ab + bc + ca = 176
8. ¿Cuál es el resultado de TU x CASA, si CASA X T = 6 453 y CASA X U = 8 604? Solución: *Observamos que se trata de una multiplicación. Por tanto, ordenamos los factores y sus productos parciales.
CASA X TU CASA X U 8 6 0 4 CASA X T +6 4 5 3 Sumamos 7 3 1 3 4
*Hemos obtenido el producto sin necesidad de conocer los valores de CASA o de TU Respuesta : 73 134
65
Ejercicios Propuestos
1. ¿Cuál de los siguientes números es un número capicúa?
a. 222(3)
b. 333(4)
c. 552(7)
d. 322(6) 2. Calcula el valor de abc + bc = bac a. 980 b. 780 c. 970 d. 890 3. ¿Cuál de estos números es múltiplo de 5?
a. 1002(3)
b. 433(6)
c. 120(4)
d. 342(5) 4. ¿Cuál de los siguientes números es compuesto?
a. 1021(4)
b. 342(5)
c. 215(6)
d. 301(7) 5. ¿Cuál es el resultado de AMOR X MI, si AMOR X M = 10 496 y AMOR X I = 47 232? a. 142 680 b. 482816 c. 162620 d. 152192 6. Un comerciante envía 144 cajas de zapatos a una distribuidora que emplea el sistema base 8. ¿Cómo representa la distribuidora el número de cajas que envía el comerciante?
a. 200(8)
b. 230(8)
c. 220(8)
d. 120(8) 7. ¿Cuál es el resultado de abc + bca + cab si a + b +c es 24? a. 2664 b. 2444 c. 2644 d. 2464 8. Si aabb + ab = aa76, halla a + b a. 5 b. 6 c. 8 d. 7 e.
66
9. Halla a ∙ b, si a2a + a4a + a6a + a8a = 30b8 a. 18 b. 12 c. 14 d. 16
10. Si 2 ∙ ab = 72, entonces 3 a + b es: a. 13 b. 14 c. 15 d. 16 11. Halla el menor valor que puede tomar a, si 28< 3 a a. 9 b. 10 c. 11 d. 0
12. Halla a + b +c, si a36 + 6b5 +537 = 211c a. 20 b. 19 c. 18 d. 21
13. Halla abcd + bcda +cdab + dabc, si a + b + c +d = 33 a. 33 333 b. 36 663 c. 36 363 d. 33 663 Respuesta: 14. ¿Cuál de los números es múltiplo de 7? A B C D a. 204(7)
b. 502(6) 1.
c. 1 301(4) 2.
d. 740(8) 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
67
Sucesiones, Analogías y Distribuciones
1. Paco y Delia asistieron al teatro, y encontraron que en sus butacas la numeración se había borrado. Ayúdalos a encontrar sus asientos. ¿Quién se sentará más cerca de la salida?
*Observamos las letras de las butacas centrales y notamos que entre cada dos falta una letra; además que van en orden decreciente: M …… I G E ….. A
H F
*Completamos la sucesión literal: M K I G E C A
L J H F D B *Observamos ahora los números, y buscamos alguna característica común o relación entre ellos: 1……..9 16 25 ……..49 Se trata de una sucesión numérica de los cuadrados de los números naturales. 4 9 16 25 36 49 Se sentará más cerca de la salida Delia. 2. ¿Qué número falta en la sucesión 4; 7; 11; 16 … 29?
a. 19 b. 22 c. 23 d. 21 Solución: *Buscamos la ley de formación restando el segundo término menos el primero, el tercero menos el segundo, el cuarto menos el tercero y así sucesivamente. *La ley de formación nos muestra que es una sucesión creciente que va de 1 en
1. *Aplicamos la ley de formación y obtenemos los valores de y y z: y= 5 + 1 = 6 y z= 6 +1 = 7 Calculamos: x= 16 + 6 = 22 3. Hallar el valor de x + y:
65 a. 65 b.12 c. 45 d. 70 y 75 x 11 13 Solución:
*En esta analogía, buscamos una relación entre los números que están colocados uno frente al otro como 65 y 13: 65: 13 = 5 o 65: 5 = 13 *Aplicamos la misma relación entre y y 11 y: 11 = 5 y: 5 = 11 y=55 *El valor de x + y = 5 y : 5 = 11 y = 55
68
4. Halla el valor de - en la sucesión:
9 25 81
3 5 7
Solución: *Observamos que los números en los cuadrados forman una sucesión de números impares a partir del 3. Luego, en el casillero falta el número 9. *Observamos que los números de los cuadrados verdes: 9; 25 … y 81 son los cuadrados de los números 3; 5 … y 9, respectivamente. Entonces, el cuadrado verde irá el 49. *El valor de - = 49 – 9 = 40
5. Halla el valor de x en:
28 70 5
40 x 8 a. 80 b. 160 c. 40 d. 320
Solución: *Buscamos las posibles relaciones entre los números de las columnas o de las filas. *En la primera fila, el número central es la mitad del producto de los números de los extremos: 28 ∙ 5 : 2 = 70 *Llevamos esta relación a la segunda fila, en la que x debe er la mitad del producto de los números de los extremos: x = 40 ∙ 8 : 2 ∙ x = 160
69
Ejercicios Propuestos
1. En la siguiente distribución, ¿Cuál es el valor de x?
3 4 5 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 21 22 x a. 28 b. 29 c. 30 d. 26 2. Continúa la sucesión bFc, cGe, dHg, eIi… a. flk b. IMn c. iFd d. fJk 3. ¿Cuál es el número que falta? 17 19 15 21 ? 11 a. 15 b. 23 c. 25 d. 24 4. Completa el número y la letra que faltan. B 12 H 108 N ? 4 E 36 K 324 ?
a. 972,P b. 648,Q c. 962, P d. 872, O 5. hallar el valor de x 14 20 46 12 10 18 42 x 108
a. 45 b. 30 c. 50 d. 60
70
6. Completa la letra y el número que faltan. 12 D 17 H ?
B 13 ? 26 J a. k,51 b. F, 38 c. F,42 d. L, 52 7. ¿Qué número y letra faltan? 1 C 5
A 3 E
a. F,7 b. H,7 c. G,8 d. G,7 8. Continúa la serie A, B, D, G… a. L b. K c. H d. I 9. Averigua qué número y qué letra le faltan en:
E 16 J 32
8 G x x
a. 24, N b. 24, M c. 26, N Respuestas: d. 28, Ñ A B C D
1. 2.
3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
71
Propiedades de los Números
1. Daniel, Manuel y Alfonso practican ciclismo. Daniel recorre una vuelta en 80 segundos, Manuel lo hace en 60 segundos y Alfonso lo hace en 100 segundos. Si los tres salen juntos, ¿dentro de cuánto tiempo se volverán a encontrar en el punto de partida? ¿Quién dará el menor número de vueltas? Solución: *Descomponemos los números 80, 60, 100 en sus factores primos: 80 2 60 2 100 2 40 2 30 2 50 2 20 2 15 3 25 5 10 2 5 5 5 5 5 5 1 1 1 80 = 24∙ 5 60= 22 ∙ 3 ∙ 5 100 = 22 ∙ 52 *Hallamos el mínimo común múltiplo. Para ello, escogemos los divisores comunes y los no comunes con el mayor exponte: m.c.m.= 24 ∙ 3 ∙ 52 = 1200 *Convertimos 1200 segundos en minutos: 1200 : 60 = 20 *Los tres se volverán a encontrar en 20 minutos. *Calculamos el número de vueltas que dará cada uno: Daniel 1200 : 80 = 15 vueltas Manuel 1200 : 60 = 20 vueltas Alfonso 1000 : 100 = 12 vueltas El que dará menos vueltas será Alfonso. 2. Una asociación tiene tres terrenos uno de 2 040m2, otro de 2 400m2 y el tercero de 1080m2. Si se desea dividirlos en lotes de la mayor área posible, de modo que todos los lotes tengan igual área, ¿Cuál es la mayor área posible de cada lote? Solución: Descomponemos los números 2040, 2400 y 1080 en sus factores primos. 2040 = 23 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 17 2400 =25 ∙ 3 ∙ 52 1080 =23 ∙ 33 ∙ 5 *Hallamos el máximo común divisor. Para ello, escogemos los divisores comunes con el menor exponente: m.c.d = 23 ∙ 3 ∙ 5 = 120 Los lotes deben medir 120m2 3. Rosario tiene una bolsa de caramelos y le dice a su amiga Raquel que se la regala si acierta cuántos tiene. Le da estas pistas: La bolsa tiene menos de 60 caramelos. si los repartos entre 9 amigos, no sobra ninguno; pero si los reparto entre 11 sobra 1 caramelo. ¿Cuántos caramelos tiene la bolsa?
72
Soluciones: *Con el número de caramelos que contiene la bolsa debe ser menor que 60 y múltiplo de 9, escribimos los múltiplos de 9 menores que 60:
M9 = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54} *Además, dicho número al restarle 1 (el caramelo que sobra si reparto entre 11 amigos) debe ser múltiplo de 11. Escribimos los múltiplos de 11 menores que 60, luego les agregamos 1:
M11 = {0; 11; 22; 33; 44; 55}
M11+1 = {1; 12; 23; 34; 45; 56} *El único número que cumple con las tres condiciones es 45: 45: 9 = 5 y (45 -1): 11 =4 Por lo tanto la bolsa tiene 45 caramelos
Ejercicios Propuestos
1. Flor tiene una colección de estampillas que puede agruparlas de 5 en 5, de 7 en 7 y de 8 en 8 y en ningún caso le sobra alguna. ¿Cuántas estampillas tiene, si se sabe que no tiene más de 300 y menos de 600?
a. 540 b. 560 c. 360 d. 350
2. Los espectadores que asisten a una obra de teatro son más de 100 y menos de 120. Si se agrupan de 5 en 5 sobran 2, si se agrupan de 8 en 8 no sobra ninguno y si se agrupan de 3 en 3 sobra uno. ¿Cuántos espectadores hay en la sala? a. 112 b. 107 c. 117 d. 113
3. Ricardo necesita construir una caja para embalar libros cuyas medidas son 24cm de largo por 18cm de ancho y 4cm de grosor, de modo que no se desperdicie espacio. ¿Cuál debe ser la longitud mínima de las aristas de la caja? a. 80cm b. 72cm c. 64cm d. 56cm
73
4. ¿Qué valor no puede tomar x de modo que el mínimo común múltiplo de x y 30 sea 30? a. 3 b. 5 c. 15 d. 12
5. Si el m.c.m. de 5 y x es 10, entonces el m.c.m. de 10 y 2x es: a. 10 b. 20 c. 5 d. 2 6. ¿Cuál es la menor cantidad de tornillos que necesitaré para envasar en un número exacto de bolsas que contengan 24; 32; 48 o 30 tornillos? a. 480 b. 360 c. 720 d. 960
7. El m.c.m de 36; 48 y A es 144. ¿Cuál de los siguientes números no podrá ser A? a. 18 b. 24 c. 15 d. 12
8. Si la suma de dos números es 10 y su m.c.m. es 12, ¿Cuál es el mayor? a. 8 b. 4 c. 2 d. 6 9. La suma de dos números enteros impares consecutivos es 20. Calcula el m.c.m. de dichos números. a. 100 Respuestas: b. 110 c. 99 A B C D d. 91 1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8. 9.
74
NÚMEROS RACIONALES
Analogías:
Con fracciones, se resuelven igual que con los números naturales o enteros.
Distribuciones:
Corresponden a una sucesión o una analogía, donde los números están distribuidos en figuras.
Problemas con fracciones:
En la resolución de problemas no olvides seguir los siguientes pasos:
1. Comprender el enunciado del problema: lee con mucha antelación 2. Plantear la solución: Escoge las operaciones y el orden en que las debes realizar. 3. Resolver las operaciones: hazlo en el orden planteado. 4. Comprobar si la solución es válida.
Operaciones Combinadas:
Es importante el orden de prioridad al resolver las operaciones.
Sin signos de Colección:
1. Potencias y raíces 2. Multiplicaciones y divisiones en el orden que se presentan 3. Adiciones y sustracciones en el orden que están
Con signos de colección:
1. Operaciones dentro de los signos de colección, más Internos, hasta suprimir todos. 2. Al operar debes guardar el orden de prioridad.
Operadores:
Son símbolos que representan operaciones matemáticas. Para cada uno de ellos, se establecen condiciones previas que llamamos “reglas de definición” o “leyes de formación”
Ejemplo:
a ∆ b = a2 - b2
Operador Regla de definición
75
Sucesiones, Analogías y Distribuciones
Ejercicios Resueltos
1. ¿Qué valor tiene a? ( )
a
Solución: *Para obtener el término del medio buscamos la relación entre los términos extremos. Observamos, en la 1ª y 2ª fila, que se trata de una sustracción:
2/3 -1/2 = 4-3/6 = 1/6 y 5/3 -3/4 = 20-9/12 = 11/2 *Aplicamos la ley de formación en la 3ª fila para hallar a:
a= 3/2 -1/6 = 9-1/6 = 8/6= 4/3 a= 4/3 a=
2. ¿Cuál es el valor de x?
( )
x
76
Solución: * Buscamos la relación y encontramos en la 1ª que:
1/8 * ½ = 1/16 y √1/16 = 1/4
*En la segunda fila se dan las mismas relaciones: 2/5 * 1/10 = 2/50= 1/25 y √1/25 = 1/5 *Aplicamos las relaciones en la tercera fila: x=1/2*8/9 = 4/9 y √4/9 = 2/3 x= 2/3
x=
3. Calcula el valor de a en:
1,5 3 (0.5) 5 4 (a) 3,6 8 (0.45)
Solución: *La relación que se cumple en la 1ª y en la 3ª fila es: 1,5 : 3 = 0,5 y 3,6 : 8 = 0,45 *Hallamos a aplicando la relación en la fila 2ª: a= 5 : 4 a= 1,25 4. Distribuye en un cuadrado mágico los números: 0.10; 0.11; 0.12; 0.13; 0.14; 0.15; 0.16; 0.17; 0.18. ¿Cuánto suma una fila? Solución: *Observamos que son 9 números que forman una sucesión creciente que al distribuirlos en un cuadrado mágico, la suma de filas, columnas y diagonales deben ser iguales. *Para ello dibujamos un cuadrado de 3*3=9 *Como el lado del cuadrado tiene número impar de casilleros (3), distribuimos los números, en orden creciente, como se indica en el primer cuadrado: *El número que queda en cada casillero auxiliar se introduce en el casillero vacío del lado opuesto. 0.13 0.18 0.11 0.13 0.13 0.16 0.17 0.10 0.15
Comprobamos que la suma de cualquier columna, diagonal o fila siempre0.42 es igual a 0.42
0.42
77
Ejercicios Propuestos
1. Hallar x en: 2.5 (2) 1,5 3,8 (4) 4,2 (x) 1,75 a. 0 b. 1 c. 2 d. 3
2. Hallar b en: 3,5 7 0,5 7,2 8 0,9 7,5 5 b a.
b.
c.
d.
3. ¿Qué número falta?
a. 3/8 b. 9/64 c. 6/16 d. 9/6
4. Distribuye en un cuadrado mágico los números 0,2; 0,6; 0,4; 1,8; 1,4; 1,6; 1,2; 0,8 ¿Cuál es la suma de la diagonal? a. 2.4 Respuestas: b. 3 A B C D c. 4.2 1. d. 3.4 2.
3.
4.
5.
78
5. ¿Qué número sigue en 2/3, 2/9; 2/27; 2/81; …? a. 2/162 b. 2/729 c. 2/108 d. 2/243
Problemas con Fracciones y Decimales
Ejercicios Resueltos
1. Una cabra consume durante una semana 30 kg de alimento, ¿Cuánto consume en dos días? Solución: *Calculamos el consumo de uno y dos días: 30 : 7 = x = = 4,5 ; 2x 4,5 = 9 Kg
*En dos días consume 9 kg de alimento. 2. Cuatro amigos comen una pizza. Si José come ; Lucía y Mónica ¿Cuánto come Luis? Solución: Calculamos lo que han comido José, Lucía y Mónica:
+ + =
Entonces, Luis come: - = de pizza
3. Dos ciudades se encuentran separadas por 240km. Un caminante recorre un día 1/6 de esa distancia, otro día ¼ y un tercer día, 1/8 de la misma distancia, ¿A qué distancia se encuentra del punto de llegada después del tercer día? Solución: *Calculamos la distancia que recorre: 1 día 2 día 3 día 1/6 * 240 = 40Km ¼ * 240 = 60km 1/8 *240 =30km La suma de los tres recorridos es: 130 km Le falta recorrer: 240 km – 130km = 110km
4. Una tubería vierte cada minuto 5/12 litros de agua. ¿Cuánto verterá en 1 hora? Solución: *Si en 1 min vierte 5/12litros en 60 min verterá: 5/12 * 60 = 5x 5 = 25 Verterá 25 litros
79
Ejercicios Propuestos
1. Una empresa ha comprado 150 útiles de oficina entre carpetas, cuadernos, lápices y lapiceros. Las carpetas son 2/5 del total, los lápices son 1/6 del resto y los lapiceros son 1/3 del nuevo resto. ¿Cuántos cuadernos se han comprado? a. 15 b. 50 c. 25 d. 60
2. En una tienda de regalos compraron 40 peluches por un total de $150. Vendieron la cuarta parte a $5.50 cada peluche; la mitad a $7.50 cada y el resto a $ 1. ¿Cuál fue la ganancia? a. $ 65 b. $55 c. $10 d. $150
3. ¿Cuántos metros cuadrados son los 2/3 de los 5/7 de un terreno que mide 37 800m2? a. 12 000 m2 b. 12 600 m2 c. 15 000 m2 d. 18 000 m2 4. Si gasto 4/9 de mi sueldo en alquiles y 1/3 en comida, ¿qué fracción me queda para otros gastos? a. 5/9 b. 5/3 c. 2/9 d. 7/9 5. En un examen, ¾ de los estudiantes aprobaron y el resto reprobó. Si los aprobados son 30, ¿Cuántos alumnos dieron el examen? a. 40 b. 50 c. 60 d. 70 6. Carlos ha comprado una camisa en $45.80; un pantalón que le ha costado el doble que la camisa; y una chompa por la que ha pagado $13.20 más de lo que ha pagado por la camisa ¿Cuánto dinero ha pagado en total? a. 196.40 Respuestas: b. 195.20 A B C D c. 200.80 1. d. 169.40 2. 3.
4. 5. 6. 80
Operaciones Combinadas. Operadores
Ejercicios Resueltos
1. En un concurso de la escuela, en el que participó Fabiola, debían encontrar la llave que abría un baúl y llevarse el premio. Había 40 llaves enumeradas del 1 al 40 y sólo tenían 2 minutos para encontrar la indicada. A Fabiola le pareció muy difícil, pero al ver el baúl encontró unas pistas que le permitieron llevarse el premio. ¿Con qué llave abrió Fabiola el baúl?
Solución: *Por la condición del problema, observamos que a= 5 y b= 4 *Reemplazamos las letras por su valor numérico y resolvemos las operaciones: a ♣ b = a2 + b + 3 5 ♣ 4 = 52 + 4 + 3 5 ♣ 4 = 25 + 4 + 3 = 32
2. Si, L= +[ x ( - ) : ] entonces L es …
Solución: *Es una operación combinada con signos de colección. Resolvemos primero paréntesis y luego corchetes: L = +[ x ( - ) : ]
= +[ x x ) ]
= +1 =
3. Si, F = x 3 : (1/2), el valor de F es …
Solución: *Resolvemos por orden de prioridad, primero las raíces: F = x 3 : (1/2) F= ⅔ x ¼ : ½ *Luego, La multiplicación y la división:
F= ⅔ x ¼ x 2 = 1/3
4. Si a ♠ b = 2 a – b, calcula 7 ♠ 8 Solución: Por el enunciado, vemos que: a = 7 y b = 8 Reemplazamos las letras por su valor numérico y resolvemos: a ♠ b = 2 a – b 7 ♠ 8 = 2(7) – 8 = 14 – 8 = 6
81
Ejercicios Propuestos
1. Halla B-1 , si B = 1 +
a. 8/11 b. 8/11 c. 11/8 d. 56/11
2. Si M ; halle el triple de M. a. 4 b. 3 c. 2 d. 1 3. Efectúa y encuentra el valor de C C= [ ( 1♥ 3) ♥ 4] ♥ [2♥(4♥4)] ♥ 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 3 4 1 3 3 4 1 2 4 4 1 2 3 a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
4. Si ♣ 2 4 6 2 2 6 4 4 4 6 6 6 2 4
P= Respuestas: ¿Cuál es el valor de P? a. 2 A B C D b. 6 c. ½ 1. d. ¼ 2. 3.
4.
82
Problemas Aritméticos
1. Cómo calcular dos números (mayor y menor ) de los que se conoce: Su suma y su diferencia: M + m =S m= , M=
M – m = D Su suma y su cociente: M + m = S m= , M= S-m
M : m = c Su diferencia y su cociente: M – m = D m= , M= m +D
M : m =c
2. Métodos de Solución de problemas
Falsa suposición (del rombo): Entre dos alternativas, suponemos una. Empezando por el final: Con el último dato realizamos las operaciones inversas en forma ordenada hasta llegar al comienzo. Del rectángulo: Reducimos a la unidad y luego calculamos lo que pide el problema.
3. Problemas diversos Grifos tuberías. Reduciendo a la misma unidad (Ejemplo: 1/min o 1/h) Móviles. Aplicando las fórmulas físicas de movimiento. e = v ∙ t v= e/t t=e/v Números. . Reconociendo que una relación fraccionaria es una relación de proporcionalidad. . Relacionando los múltiplos y los divisores. . Reconociendo y utilizando las fracciones equivalentes.
83
Cuatro Operaciones
Ejercicios Resueltos:
Conociendo la Suma y la Diferencia.
1. Andrea es la hermana mayor de José y sus edades suman 33 años. Si José nació cuando Andrea tenía 5 años. ¿Cuántos años tiene José y cuántos, Andrea? Solución:
* Si la suma de las edades le restamos los 5 años de diferencia, nos queda dos veces la
edad del menor. Entonces la edad de José es:
33 – 5= 28 ► 28 : 2 = 14 años
*Como Andrea tiene 5 años más que José, Entonces la edad de Andrea es: 14 + 5 = 19 años José tiene 14 años y Andrea 19 años.
Conociendo la suma y el cociente 2. Un saco y un pantalón cuestan $216. Si el saco cuesta el triple de lo que cuesta el pantalón, ¿Cuánto cuestan un saco y dos pantalones? Solución: *Las dos prendas cuestan $216. Entonces: P+S=216 *El saco cuesta el triple del pantalón. Entonces: S : P =3 *Que el saco cueste tres veces el precio del pantalón, quiere decir que en la suma de los dos precios (216) está cuatro veces (3+1) el precio del pantalón (P). Es decir, un pantalón cuesta: P= = 54 dólares
*El precio del saco es 216 – 54 = 162 dólares.
*Un saco y dos pantalones cuestan:
162 + 54 x 2 = 270 dólares
Conociendo la diferencia
3. Pedro tiene 45 años más que su hijo y el cociente de ambas edades es 4. ¿Cuántos años tiene el hijo y cuántos, el padre? Solución. Identificamos los datos: edad del padre: P(mayor valor) edad del hijo: h(menor valor) Además: P – h = 45 y P: h = 4
84
Que el cociente entre ambas edades sea 4, quiere decir que la edad del padre es 4 veces
la edad del hijo. Si la edad del padre le quitamos la edad del hijo (P – h = 45), quedará
tres veces la edad del hijo (4 -1). Es decir:
Edad del hijo = = = 15 años
Edad del padre = 45 + 15 = 60 años
Conociendo la suma (S) y el cociente © de dos números, estos se calculan así:
m= , M= S-m
Conociendo la diferencia (D) y el cociente (c) de dos números, estos se calculan así:
m= , M= m +D
En general, conociendo la suma y la diferencia de dos números, estos se calculan así:
Nº mayor ► M=
Nº menor ► m=
85
Ejercicios Propuestos
1. A una función de cine asistieron 540 personas. Si el número de niños fue el doble que el de adultos y las entradas costaron $9 la de adultos y $5 la de niños. ¿Cuál fue la recaudación total? a. $ 3 500 b. $ 3 420 c. $ 3 450 d. $ 3 400 2. Hace 7 años, Pablo y Juan tenían juntos 28 años. Dentro de 5 años, Pablo tendrá 10 más que Juan. ¿Cuántos años tendrá Juan dentro de 8 años? a. 24 años b. 20 años c. 19 años d. 16 años 3. Un cuaderno, un CD y un libro me han costado $115. Si el precio del libro es el cuádruple del precio del cuaderno y del CD juntos y el Cd costó $7 más que el cuaderno. ¿Cuánto necesito para comprar 2 cuadernos y un CD? a. 38 b. 36 c. 31 d. 30 4. Carlos viajará a su pueblo natal para la fiesta patronal. Si conduce a una velocidad promedio de 100 km/h, calcula que llegaría a las 2 de la tarde, y si fuera a 150 km /h llegaría a medio día. Si quiere llegar a la una de la tarde, ¿a qué velocidad debe ir? a. 110 km/h b. 115 km/h c. 120 km/h d. 125 km/h 5. Por una docena de lápices y 1 cuaderno pagué $ 34. Si el cuaderno me costó $14 menos que los lápices, ¿Cuántos dólares más le corresponde al mayor? a. 24 b. 36 c. 33 d. 30 6. Dos hermanos han ahorrado $ 180. Si lo que corresponde Respuestas: al mayor es el cuádruple de lo que le corresponde al menor, ¿Cuántos dólares más le corresponde al mayor? A B C D a. 136 1. b. 144 2. c. 108 3. d. 100 4.
5. 6.
86
Métodos de Resolución de Problemas
Ejercicios Resueltos
Métodos de Solución de problemas.
1. Alfonso recibió para su librería un lote de libros. La primera semana vendió la cuarta parte el total: la segunda semana. 24 libros y la tercera, la mitad de lo que le quedaba. Si le quedaron 18 libros, ¿Cuántos contenía el lote que recibió? Solución: Ordenamos los datos en el siguiente esquema: : 4 -24 : 2
¿Lote Saldo inicial? 1ªsem 2ªsem 3ªsem final:18
x 4 + 24 x 2
Como el último dato es el único que conocemos, resolveremos el problema del final hacia adelante, realizando las operaciones inversas como indican las flechas. [(18 * 2 + 24)]* 4 = [36 + 24] * 4 = 4 = 60 * 4 = 240
El lote contenía 240 libros.
Generalmente cuando resolvemos un problema vamos utilizando los datos en el orden en que aparecen. Pero hay otros tipo de problemas que se resuelven mas fácilmente si empezamos por el dato final y vamos aplicando a este dato las operaciones correspondientes hasta llegar a utilizar los datos del principio.
Falsa Suposición y método del rombo
2. José ha ahorrado $ 127 en monedas de $5 y de $2. Si tiene 41 monedas en total, ¿Cuántas de cada tipo tiene?
Solución: Resolvemos el problema usando dos métodos. *Haciendo una falsa suposición: **Calculamos cuánto dinero tendría ahorrado si todas las monedas fueran de $5: 41 x 5= 205 dólares
*Sabemos que hemos cometido error al calcular ya que José solo tiene ahorrado $ 127. Calculamos el error: 205 – 127 = 78 dólares. *Este error se debe a que no todas las monedas son de $5 ya que algunas son de $ 2. En este caso, el error cometido en cada moneda es de:
5 – 2 = 3
87
*Para calcular el número de monedas de $2, basta con hallar el siguiente cociente:
= = 26
* Luego las monedas de $5 son: 41 – 26 = 15 *Comprobamos los resultados: 15 (5) + 26 (2) = 75 + 52 = 127 Dólares
Ahora resolveremos por el método del rombo: Graficamos un rombo y colocamos en los vértices los datos del enunciado como se indica en el esquema Moneda mayor ($5) $5 x - x -
Total Monedas Total dinero 41 $127
Diferencia entre monedas (5 -2) $3
*Observa que en los vértices opuestos se colocan cantidades que responden a un mismo concepto, en este caso monedas.
*Partimos siempre de un mismo punto (41) y operamos siguiendo el sentido de las flechas:
M. de $ 2 =
M= de $2 = = = = 26
Hay 26 monedas de $ 2 y (41 – 26)
88
Problemas Sobre Tuberías y Móviles
Ejercicios Resueltos
1. El tanque de una casa tiene 3900 litros de capacidad. Lo surten dos tuberías que vierten uno 100 litros en 4 minutos y el otro 120 litros en 5 minutos. Si el consumo promedio es de 45 litros en 4.5 minutos. ¿En cuántas horas se llena el tanque? Solución:
En 1 minuto: *Las tuberías vierten: 100: 4 = 25 lt. y 120 : 5 = 24l/min *Se consume: 45 : 4,5 = 10 lt/min quedan: 25 lt + 24 lt -10lt = 39 lt/min
El tanque se llena en:
* 3900 lt : 39 lt/min = 100 min
Lo que, en horas, equivale a:
100 : 60 = 1 h 40 min
El tanque se llena en 1 hora 40 minutos.
2. Entre las ciudades A y B hay una distancia de 840 km. Desde A sale un ómnibus a las 6 am a 60km/h con destino a B. Desde B y destino a A sale un automóvil a las 10 a.m. a una velocidad de 90 km/h. ¿A qué hora se encuentran y a qué distancia de A y de B?
840 Km
A B 6 am 60km/h 10 am 90 km/h Solución:
*De 6 a 10am el ómnibus recorre 60 x 4 = 240 Km *Le falta recorrer 840 – 240 = 600 Km *Desde las 10 am viajan los dos uno al encuentro del otro, por lo tanto sumamos las velocidades: 60 +90 = 150Km/h
*Se encuentran: 600 : 150 = 4 h pasadas las 10 am *Es decir, a las 10+ 4= 14 horas o 2 pm *En 4h, el automóvil recorre:
90 x 4 = 360 Km desde B *El ómnibus recorre: 840 – 360= 480 km desde A Se encuentran a las 2pm a 480Km de A y a 360 Km de B
89
3. Un tanque tiene una capacidad de 10 000litros. Dos tuberías lo llenan, uno en 8h y otro en 6h y un desagüe lo vacía en 4horas. Estando abiertos los 3 y el tanque vacío ¿En cuánto tiempo se llena?
Solución: *En 1 hora las tuberías llenan 1/8 y 1/6 del tanque y el desagüe lo vacía ¼ de su capacidad. *Los tres juntos en 1 hora llenan:
=
Como en 1 hora el tanque se llena de su capacidad, entonces se llena
completamente en 24 h.
4. Entre las ciudades A y B hay una distancia de 980 km. Si a las 6 am sale de A un
camión a 50km/h y de B un automóvil a 90km/h, ¿A qué hora se encuentran si ambos van de una ciudad a la otra?
Solución:
*Los dos en 1h avanzan 50 + 90 = 140Km
*Se encuentran en 980 : 140 = 7 horas
Luego, se encuentran a las 6 + 7 = 13 horas = 1 pm
90
Ejercicios Propuestos
1. Hace 7 años, Pablo y Juan tenían juntos 28 años. Dentro de 5 años, Pablo tendrá 10 más que Juan. ¿Cuántos años tendrá Juan dentro de 8 años? a. 24 años b. 20 años c. 19 años d. 16 años
2. Dos amigos llevaron a cabo un negocio y ganaron 6 300 dólares. A Juan le corresponde 3/7 de la ganancia y el resto a Luis. ¿Cuántos dólares son los 3/5 de lo que le corresponde a Luis?
a. 1 800 b. 2 700 c. 2 160 d. 3 600
3. Se tienen 400 botellas de ¾ de litro y 500 botellas de ½ litro. Si todas contienen aceite, ¿Cuántos litros de aceite hay en total? a. 300 b. 250 c. 450 d. 550 4. La longitud de la pista atlética de un estadio mide 400m. Un velocista que desarrolla 8m/s le da una vuelta de ventaja a un aficionado que desarrolla 4m/s. ¿En cuánto tiempo lo alcanza? a. 2min b. 1min 40 s c. 1min 20 s d. 1min 5. Tres números suman 85. Si el segundo equivale al doble del primero y el tercero es 11 unidades menor que la suma de los dos primeros; ¿Cuánto suman el primero más el tercero? a. 50 b. 51 c. 52 Respuestas: d. 53 A B C D 1. 2. 3. 4. 5.
91
PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA
Razón
Es el cociente entre dos números, digamos a y b, que se escribe {ab} y se lee “a es a b”.
Los términos de una razón son el antecedente (a) y el consecuente (b).
Serie de razones iguales
Es la igualdad de dos o más razones. La propiedad fundamental es:
Proporción
Dos razones iguales forman una proporción. La proporción {ab} = {dc}.
De tal manera que se lee <>
Los términos de una proporción se llaman:
Extremo Medio
Medio Extremo
*Cuando las proporciones tienen sus medios iguales se llaman proporciones continuas.
*Cuando sus cuatro términos son diferentes, se llaman proporciones discretas.
Propiedad fundamental de las proporciones
92
Aplicaciones de la Proporcionalidad
Razón y Proporción
Ejercicios Resueltos
1. Isabel tiene 16 años y su padre 48 ¿Cuál es la razón entre la edad de Isabel y la de su padre? Solución: *Relacionamos las edades y hallamos la razón a través de su cociente simplificado:
edad de Isabel 16
edad se su padre 48 2. La razón entre lo que tiene Nora y lo que tiene Tania es como 5 es a 2. Si Nora tiene 605
dólares, ¿Cuánto tiene Tania? Solución: *Llamamos x al dinero que tiene Tania y formamos la proporción:
*Hallamos x aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: 605 ∙ 2 = x ∙ 5 x=
Tania tiene 242 dólares.
93
3. ¿Cuál es la razón diferente ?
Solución:
* Hallamos fracciones equivalentes a cada razón. Multiplicamos por 10 cada uno de sus términos y luego, simplificamos:
*Observamos que es diferente a las demás.
4. El mayor de dos números es 144. Calcula el menor, si los dos números están en relación de 24 es a 3. Solución: *Formamos la proporción:
*Aplicando la propiedad fundamental, hallamos x:
24 . x = 144 . 3 x= x = 18
5. En el colegio A hay 65 alumnas y 750 alumnos; en el colegio B hay 700 alumnas y
560 alumnos y en el colegio C hay 350 alumnas y 420 alumnos. ¿Cuál es la razón entre el número de alumnas y de alumnos de cada colegio? ¿Hay proporción?
Solución: *La razón entre el número de alumnas y el número de alumnos de cada colegio, es el cociente entre dichos números: A= B = C=
*El significado de estas razones es:
En el colegio A, por cada 5 mujeres hay 6 varones, En el colegio B, por cada 5 mujeres hay 4 varones,
En el colegio C, por cada 5 mujeres hay 6 varones. *Observamos que el número de alumnas y alumnos de los colegios A y C tienen razones iguales; por lo tanto, forman una proporción:
*Comprobamos aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: < producto de los extremos es igual al producto de los medios>> (625) (420) = (750) (350) 262 500 = 262 500 94 Ejercicios Propuestos 1. Halla la relación entre 18 : 30 y entre 2 : 0.5 a. 2/3 y 2 b. 3/5 y 4 c. 9/14 y 1 d. 4/5 y 3/2 2. El menor de dos hermanos tiene 12 años. Calcula la edad del mayor si sus edades están en relación de 4 es a 7? a. 22 b. 20 c. 24 d. 21 3. Halla la media proporcionalidad entre 81 y 121 a. 99 b. 90 c. 95 d. 101 4. Encuentra la cuarta proporcionalidad de 6; 9 y 10 a. 14 b. 16 c. 12 d. 15 5. La relación entre 70 y 28 es: a. 6 a 2 b. 7 a 3 c. 5 a 2 d. 5 a 3 6. Halla la cuarta proporcional entre 4, 5 y 10 a. 12.5 b. 10 c. 15 d. 14 Respuestas: 7. Halla el valor de x en 88/66 = 24/x A B C D a. 20 b. 18 1. c. 16 2. d. 15 3. 8. Si y a+ b +c = 85, halla b. 4. 5. 6. 7. 8. 95 Regla de Tres Simple Ejercicios Resueltos Regla de tres Simple Directa 2 1. Una constructora con tres máquinas puede construir 110m de carretera al día. Si desea aumentar 440m2 a la cantidad diaria de construcción, ¿Cuántas máquinas necesitará? Solución: *Colocamos los datos en una tabla: m2 por máquina Nº de máquina 110 3 440 X 2 *A más m de construcción se necesitan más máquinas, por lo tanto: las magnitudes son directamente proporcionales. * Escribimos la proporción igualando las razones: 2 Se necesitarán 12 máquinas para construir 440 m de carretera al día. Si las magnitudes son directamente proporcionales, el problema se resuelve con la regla de tres simple directa. 2. Cuatro docenas de chocolates cuestan $ 72. ¿Cuánto cuestan 25 chocolates? Solución: *Cuatro docenas son: 4*12=48 chocolates. *Las magnitudes son directamente proporcionales: a más chocolates, mayor costo. *Formamos la proporción y resolvemos: 48 chocolates $72 25chocolates x 48x = 25 ∙ 72 x= x= 37.50 96 Regla de tres Simple Inversa 1. 100 trabajadores ejecutan una obra en 16 meses. ¿En cuántos meses la realizarán 80 trabajadores? Solución: *Colocamos los datos en una tabla y analizamos: Nº de trabajadores Nº de mese 100 16 80 X *Menos trabajadores demorarán más tiempo en ejecutar la obra: las magnitudes son inversamente proporcionales. * Escribimos la proporción invirtiendo una las razones: ( *80 trabajadores realizarán la obra en 20 meses. Si las magnitudes son inversamente proporcionales, el problema se resuelve con la regla de tres simple inversa. 2. Una pizarra tiene 9m de largo y 1.20m de ancho. ¿Cuánto se debe disminuir el largo para que, sin variar la superficie, el ancho aumente a 1,50m? Solución: *Las magnitudes son inversamente proporcionales, porque sin alterar la superficie, a mayor ancho, menor largo. *Formamos la proporción y resolvemos: 1,20m de ancho 9m largo 1,50m de ancho x *Formamos la proporción invirtiendo una de las razones y resolvemos: = x= x= 7,20 97 Ejercicios Propuestos 1. Para pintar una pared de 85m2 se han usado 17 litros de pintura. Con 6 litros, ¿qué área de la pared se podrá pintar? a. 20 m2 b. 35m2 c. 25m2 d. 30m2 2. Cuatro hombres siembran un terreno de 1 400m2 ¿cuántos hombres más se necesitarán para sembrar otro terreno de 4 200m2? a. 8 b. 12 c. 6 d. 10 3. Si por un lote de 35 cuadernos se paga $140, ¿Cuánto se paga por un lote de 15 cuadernos más? a. $60 b. $100 c. $250 d. $200 4. Un edificio de 48 m proyecta una sombra de 20m ¿Qué altura tiene un árbol que, en el mismo instante, proyecta una sombra de 15m? a. 40m b. 45m c. 36m d. 30m 5. Una máquina imprime 60 tarjetas en 2 minutos. ¿Cuántas tarjetas imprimirá en 44 segundos? a. 28 b. 22 c. 24 d. 20 6. Si se ganan $15,50 en cada metro de tela, ¿Cuántos metros se han vendido si la ganancia ha sido $ 496? a. 30 b. 32 Respuestas: c. 36 A B C D d. 40 1. 2. 3. 4. 5. 6. 98 Porcentaje Ejercicios Resueltos 1. Teresa tiene una cadena que pesa 68kg. El 75% de la cadena es oro puro. ¿Cuántos gramos de oro tiene la cadena? Solución: *Por los datos del enunciado, 68g representan ell 100% *Escribimos: 100% 68g 75% x *Expresamos la proporción y resolvemos: La cadena tiene 51g de oro puro. 2. Si una tienda en realización ofrece sus artículos con una rebaja del 22%, ¿Cuánto se pagará por un artículo cuya etiqueta de precio marca 150 dólares? Solución: *Si descuentan el 22% significa que se paga: 100% - 22% = 78% del precio del artículo *Escribimos: 150dólares 68g x 78% *Expresamos la proporción y hallamos x: 3. Un padre propone 20 problemas de Matemática a su hijo de Primero de Secundaria y este resuelve 15. ¿Qué porcentaje de problemas le falta resolver? Solución: *Le faltan resolver 20-15 = 5 Problemas. *Expresamos y Resolvemos: 20 problemas 100% 5 problemas x 99 Le falta resolver 25% de los problemas. 4. ¿Qué fracciones representan el 85% y el 75%? Solución: Representamos los porcentajes como fracciones decimales, simplificamos y obtenemos: y = 5. ¿Qué porcentaje representa la fracción ? La unidad representa el 100% Expresamos y resolvemos: 1 100% = 60% x La fracción representa el 60% 100 Ejercicios Propuestos 1. Una rueda da 5 400 vueltas en 90 minutos. ¿Cuántas vueltas dará en 2 horas 45 minutos? a. 8 820 b. 9 900 c. 9000 d. 10 000 2. Un hombre compra 1 104 televisores con la condición de recibir 13 unidades por cada docena que compre. ¿Cuántos televisores debe recibir? a. 1 196 b. 1 100 c. 1 136 d. 1 090 3. ¿De qué cantidad es 120 el 5 ? a. 700 b. 750 c. 720 d. 710 4. ¿Qué porcentaje de 60 es 27? a. 45 % b. 40% c. 25% d. 18% 5. Calcula el porcentaje que representa 36 de 40 a. 80% b. 75% c. 95% d. 90% 6. El 45% representa la fracción: a. 7/20 b. 9/20 c. 2/5 Respuestas: d. 3/10 7. ¿Qué porcentaje representa la fracción 1/4? A B C D a. 30% b. 20% 1. 2. c. 25% 3. d. 35% 4. 5. 6. 7. 101 Ecuaciones Igualdad Observa las siguientes frases y sus representaciones mediante símbolos: Frases Expresión Simbólica Cinco es igual a siete menos dos 5 = 7 - 2 La suma de un número con su doble es igual X + 2 * x = 3 * x a su triple Un número aumentado en dos es igual a 9 X + 2 = 9 En estas expresiones aparee el signo igual y se llaman igualdades. 1 5 = 7 – 2 2 X + 2 ∙ x = 3 ∙ x 3 X + 2 = 9 En toda igualdad hay que distinguir el primer miembro (lo escrito antes de signo igual) y el segundo miembro (lo escrito después del signo igual). La igualdad 1 es numérica, y las igualdades 2 y 3 son igualdades entre expresiones algebraicas y se llaman igualdades literales. Identidad Son igualdades que como X + 2 ∙ x = 3 ∙ x son ciertas para cualquier valor que se de a la letra x. Ecuación Son igualdades que como x + 2 = 9 son ciertas solo para algunos valores de las letras. La letra o letras desconocidas de una ecuación, en este caso x, se llaman incógnitas o variables. Solución de una ecuación Hablar de ecuaciones es hablar de varias posibilidades y diferentes métodos para resolverlas sin embargo debemos tomar en cuenta las siguientes pautas: 102 Las ecuaciones que tienen las mismas soluciones se llaman equivalentes. Si a los dos miembros de una ecuación de les suma o resta un mismo número o se les multiplica o divide por un mismo número distinto de cero, resulta otra ecuación equivalente. Por esta propiedad simplificamos así: Un término que está sumando en un miembro, pasa restando al otro miembro. Un factor que multiplica a todo un miembro, pasa dividiendo a todo el otro miembro. Solo se pueden sumar o restar los términos que son semejantes. Resolución de Problemas con Ecuaciones (Primera parte) Ejercicios Resueltos Problemas de edades 1. La edad de un padre dentro de 7 años será el triple de la de su hijo. Si actualmente es el cuádruplo, halla las edades actuales. Solución: Sea x la edad actual del hijo, expresamos Actual Dentro de 7 años Padre 4x 4x + 7 Hijo x X + 7 Según el enunciado, planteamos la ecuación y hallamos la edad actual del hijo (x): 4x + 7 = 3 (x+7) 4x +7 = 3x + 21 x= 14 años Luego la edad del padre: 4x = 4 (14) =56 Las edades actuales son 56 y 14 años. 103 Problemas de números: 1. Sabiendo que la suma de dos números enteros pares consecutivos es 222, ¿Cuáles son estos números? Solución: Expresamos los números pares y consecutivos: x Número par menor x + 2 Número par mayor Como la suma de los números es igual a 222, planteamos y resolvemos la ecuación: x + x + 2 = 222 2x = 220 x = x= 110 Los números pares consecutivos son 110 y 112 2. Si la suma de 2 números enteros consecutivos es 537, ¿Cuál es el número mayor? Solución: Si los números son consecutivos, se diferencian en 1: x número menor y x +1 número mayor Como nos dicen que la suma de los números es 537, planteamos la ecuación, la resolvemos y hallamos los números: x + x + 1 = 537 2x = 536 x= = 268 El número mayor es 269. 3. Tres hermanos se reparten $ 339. Si lo que le toca a cada uno es como tres números enteros impares consecutivos, ¿Cuánto le toca al hermano intermedio? Solución: Como los números enteros impares consecutivos se diferencian en 2 unidades. Representamos: x número menor x + 2 número intermedio x + 4 número mayor Planteamos la ecuación y resolvemos: x +2 + x +4 = 339 3x + 6 = 339 3x = 333 x= x = 111 Al hermano intermedio le toca: x+ 2 = 111 + 2 = 113 Al hermano intermedio le toca $ 113 104 Ejercicios Propuestos 1. La suma de dos números enteros pares consecutivos es 270. Hallar el menor. a. 132 b. 130 c. 136 d. 134 2. El doble de la suma de dos números es 148 y la quinta parte de su diferencia 4. Encuentra el número mayor. a. 40 b. 45 c. 47 d. 50 3. Si repartes 95 dólares en dos partes de modo que el triple de la parte menor exceda en 49 a la parte mayor, ¿cuál es la diferencia entre ellas? a. 23 b. 25 c. 20 d. 24 4. La diferencia de las edades de Ricardo y Manuel es 11 años. Si ambas edades suman 25 años, ¿Cuántos tenía Ricardo hace 5 años sabiendo que es menor que Manuel? a. 3 b. 2 c. 4 d. 1 5. Una madre de 35 años de edad tiene dos hijos cuyas edades son 6 y 10 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será la suma de las edades de sus hijos? a. 15 b. 17 c. 19 d. 20 6. La suma de las edades de Eduardo y Jorge es 23 años y el producto es 120. ¿Cuántos años tiene cada uno? a. 13 y 10 b. 15 y 8 c. 14 y 9 Respuestas: d. 12 y 11 A B C D 1. 2. 3. 4. 5. 6. 105 Resolución de Problemas con Ecuaciones (Segunda parte) Ejercicios Resueltos Problemas de geometría: 1. Para construir una figura en origami, necesitaos un rectángulo cuyo largo exceda al 2 ancho en 6cm. Si cada medida se aumenta en 56cm , ¿Cuáles son las medidas rectangulares? Solución: Expresamos las medidas del rectángulo: ancho x ; largo x+6 ; área x (x+6) Expresamos cada medida aumentada en 2cm: ancho x+2 ; largo x+8 ; área (x+2) (x+8) Con estas medidas, el área aumentada 56 cm2 (x+2) (x+8) = x (x+6) + 56 (propiedad distributiva) X2 + 8x + 2x +16 = X2 + 6x +56 4x = 40 x = x= 10 Las medidas del rectángulo son 10 y 16 cm Problemas de Fracciones 2. El numerador de una fracción excede al denominador en 2. Si el denominador se aumenta en 7, el valor de la fracción es 1/2 . Encuentra la fracción. Solución: Expresamos: Numerador x + 2; fracción Denominador x Interpretando el enunciado del problema, planteamos la ecuación, resolvemos y hallamos el denominador: = 2 (x+2) = x + 7 2x + 4 = x+7 2x – x= 7-4 x = 3 Hallamos el numerador: x+ 2 = 3 +2 = 5 = 106 3. El denominador de una fracción excede al numerador en 2. Si ambos términos de la fracción se aumentan en 1, el valor de la fracción es de 2/3. Halla la fracción. Solución: Expresamos: Numerador x ; fracción Denominador x + 2 Planteamos la ecuación y hallamos el numerador: = 3 (x+1) = 2(x + 3) 3x + 3 = 2x +6 x= 3 Ahora hallamos el denominador es x+ 2 = 3 + 2 = 5 La fracción es 4. ¿Cuál es el número que al restarle sus ¾ y sumarle 10 a la diferencia se obtiene 15?. Solución: Representamos el número x y los ¾ del número Planteamos la ecuación y resolvemos: x - + 10= 15 4x – 3x +40 = 60 4x – 3x = 60 -40 x= 20 5. Pedro tiene los 2/3 de lo que tiene Juan. Si este recibe 20 dólares, entonces tendrá el doble de lo que tiene Pedro. ¿Cuánto tiene Pedro? Solución: Juan tiene x y Pedro tiene Planteamos la ecuación y hallamos que tiene Juan: x+ 20 = 2 ( ) x+20 = 3x + 60 = 4x x = 60 107 Ejercicios Propuestos 1. De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido, después la tercera parte del resto y quedan aún 1 600 litros. ¿Cuántos litros tenía el depósito cuando estaba lleno? a. 3 600 b. 4 000 c. 4 800 d. 3 500 2. Hace 8 años la edad de Sonia fue el cuádruple de la edad de Elena y dentro de 12 años será el doble. La edad actual de Elena es: a. 18 años b. 20 años c. 16 años d. 21 años 3. Cuando transcurran 10 años, tendré el triple de la edad que tenía hace 6 años. ¿Cuántos años tengo? a. 10 b. 14 c. 12 d. 16 4. Un padre reparte entre sus dos hijos 48 dólares y al mayor le da 12 dólares más que al menor. ¿Cuánto recibe el mayor? a. $28 b. $32 c. $30 d. $18 5. Se ha comprado papa a razón de 1.75 dólares el kilogramo. Los 2/3 de los ¾ de la cantidad que se ha pagado multiplicada por los 9/4 de los 2/5 de la misma cantidad dan 2 205. ¿Cuántos kilogramos de papa se compraron? a. 30 b. 40 c. 50 d. 60 Respuestas: A B C D 1. 2. 3. 4. 5. 108 Geometría Figuras de un solo trazo. Figuras eulerianas Para reconocer figuras que se pueden realizar con un solo trazo, hay que contar los puntos de intersección de rectas pares e impares. Solo se podrán dibujar de un solo trazo las que tengan puntos pares o dos puntos impares. Puntos pares Puntos impares Ángulos y triángulos Los ángulos pueden se agudos (<90⁰), obtusos (>90⁰) o rectos (90⁰). Dos ángulos pueden ser complementarios (suman 90⁰), suplementarios (suman 180⁰), consecutivos, adyacentes y opuestos por el vértice. Los pares de ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante pueden ser: Congruentes: Alternos internos, alternos externos, correspondientes. Suplementarios: Conjugados internos y conjugados externos. Los triángulos pueden ser: Según sus ángulos: acutángulos, rectángulos, u obtusángulos. Según sus lados: equiláteros, isósceles o escalenos En todo triángulo se cumple que: La suma de sus tres ángulos internos suman 180⁰ La suma de sus tres ángulos externos suman 360⁰ Figuras y cuerpos geométricos Perímetros y áreas de figuras planas: cuadrado, rectángulo, triángulo, romboide, rombo y trapecio. Áreas y Volúmenes de poliedros: prismas y pirámides. Y de cuerpos redondos: cilindro, cono y esfera. 109 Trazos, Cortes y Conteo de Figuras Ejercicios Resueltos Figuras de un solo trazo: 1. ¿Cuáles de las figuras se pueden dibujar de un solo trazo? Solución: 110 Cortes y Conteo de Figuras 2. Un pescador tiene una soga de 24 metros y la quiere dividir en 4 pedazos iguales. ¿Cuántos cortes tiene que hacer? ¿Cuánto mide cada pedazo? Solución: Hacemos cortes hasta obtener los 4 pedazos: Nº de cortes Nº de piezas Cada Pieza mide: 1 2 12m 2 3 8m 3 4 6m Debemos hacer 3 cortes y cada pedazo mide 6m. 3. ¿Cuántos segmentos hay? a b c d /…………………./………………../………………/………………../ Solución: Existen 4 segmentos a simple vista a, b, c, d, Pero también el segmento ab, bc, cd, ac, abc, bcd, abcd En total 10 segmentos 4. En la figura, ¿Cuántos triángulos hay? Solución: Realizamos un conteo visual y hay 4 triángulos pequeños y uno grande que hacen un total de 5 triángulos. 111 Ejercicios Resueltos: 1. Un tronco de árbol es seccionado en pedazos de 13cm de largo cada uno. si se efectúan 22 cortes. ¿Cuál era la longitud inicial del tronco? a. 299cm b. 286cm c. 273cm d. 312cm 2. Se tiene un terreno de forma cuadrada de 77 m de lado. Si deseamos cercarlo con estacas colocadas a 7m. ¿Cuántas estacas necesitamos? a. 48 b. 46 c. 42 d. 44 3. En la portería de un colegio se estacionan en paralelo cierto número de bicicletas separadas 40cm una de otra. Si la distancia de la primera a la última es 9,60m, calcula el número de bicicletas. a. 26 b. 25 c. 24 d. 23 4. ¿Cuántos triángulos hay en la figura? a. 27 b. 29 c. 31 d. 33 112 5. ¿Cuántos hexágonos hay en la figura? a. 12 b. 10 c. 8 d. 9 6. Halle el total de cuadriláteros en: a. 32 b. 31 c. 30 d. 28 113 7. ¿De cuántas maneras diferentes se puede recorrer la figura sin repetir el mismo trazo partiendo de M en la dirección que indica la flecha? M a. 7 b. 6 c. 5 d. 4 8. ¿Cuántos segmentos hay en total? ₀ ₀ ₀ ₀ ₀ ₀ ₀ 1 2 3 ...……………………………… 9 10 a. 110 b. 100 c. 55 d. 60 Respuestas: A B C D 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 114 Conjuntos y Situaciones Lógicas Conjunto Grupo de elementos que tienen por lo menos una característica común. Determinar un Conjunto: Por comprensión: A= {x/x N, x 4} Por extensión: A = {0; 1; 2; 3; 4} Cardinal De un conjunto es el número de elementos. Ejemplo: n(A) = 5. En un conjunto unitario su cardinal es 1 y en un conjunto vacío su cardinal es 0. Conjunto Potencia Son todos sus subconjuntos posibles. Ejemplo: n[P(A)]= 25 = 32 Operaciones con Conjuntos Nombre Simbología Unión A U B = {x/x A o x B} Intersección A ∩ B= {x/x ∈ A y x ∈ B} Diferencia A – B={x/x ∈ A y x ∄ B} Diferencia Simétrica A∆B = {x/x ∈(A U B) y x ∄( A ∩ B) } Complemento CA o A´ = {x/x ∈ U y x ∄ A} Para resolver los problemas 115 Utilizamos las operaciones con conjuntos, las que mencionamos a continuación. Unión A B A U B A U B = {x/x A o x B} Intersección: ∩ A ∩ B A ∩ B = Ǿ A ∩ B= {x/x ∈ A y x ∈ B} Diferencia: A – B A – B A – B= {x/x ∈ A y x ∄ B} Diferencia Simétrica: Complemento de un Conjunto 116 A∆B = {x/x ∈(A U B) y x ∄( A ∩ B) } CA o A´ = {x/x ∈ U y x ∄ A} Operaciones con conjuntos y Situaciones Lógicas 1. ¿Qué operaciones representa la parte sombreada? I.(A-B) U (B-A) II.A’ U B’ III.(A U B) – (A ∩ B) Solución: En I, la parte sombreada de la izquierda es (A-B), la parte sombreada de la derecha es (B- A), luego su unión es (A-B) U (A-B). Sí representa. *En II, A’ – B’ = (A-B)’ el complemento de la intersección no es la sección sombreada. No representa. *En III, si a la unión de Ay B le quitamos su intersección nos queda la región sombreada. Sí representa. 2. En un congreso sobre educación participaron 90 personas entre escolares, universitarios y profesionales: 8 varones son escolares, 23 varones no son universitarios, 27 varones no son escolares y 10 damas son profesionales. ¿Cuántas damas son escolares o universitarias? Solución: *Elaboramos un cuadro y completamos datos: Participantes Damas Varones Escolares 8 x Universitarios A profesionales 10 b 23= 8+b 27= a+b b= 15 y a= 12 *Luego, 90= 8 +27 +10 + x 90-45 = x x= 45 117 Ejercicios Resueltos 1. Una muestra de 98 adolescentes indica que el número de varones que usa lentes es al número de mujeres que no usa lentes como 2 es a 5 y el número de varones que no usa lentes es al número de mujeres que usa lentes como 7 es a 3. ¿Cuántos adolescentes usan lentes? a. 30 b. 29 c. 28 d. 32 2. A un espectáculo asisten 820 personas, 546 personas son mayores de edad, 435 son varones, 176 varones son mayores de edad. ¿Cuántas damas menores de edad asistieron al espectáculo? a. 15 b. 17 c. 20 d. 23 3. En el reciente proceso de admisión a una universidad han participado 9 846 postulantes, de los cuales 8 616 no participaron del sistema de ingreso primera opción. Si habían 4 783 varones y el número de mujeres que se presentaron a primera opción es el doble del número de varones que se presentaron a primera opción. ¿cuántas mujeres no postularon a primera opción? a. 3 243 b. 100 c. 44 d. 36 4. Una agencia de viajes registró la siguiente información en la temporada de fiestas patrias: 80 varones viajan al extranjero, 74 mujeres viajan al interior del país, 56 casados viajan al extranjero, 90 solteros viajan al interior del país, 84 mujeres son casadas. ¿Cuántos varones solteros viajan al extranjero? a. 88 b. 100 c. 44 d. 36 5. Andrea, Fiorella y Ximena radican en tres países distintos: Ecuador, Costa Rica y España. Ellas estudian: medicina, administración y arte. Si se sabe que: Andrea no radica en Costa Rica Fiorella no radica en España La que radica en Costa Rica no estudia administración. Fiorella no estudia medicina La estudiante de arte radica en España 118 ¿Dónde radica Ximena y qué estudia? a. Ecuador-Medicina b. ºEspaña-Administración c. Costa Rica-Administración d. Costa Rica-Medicina 6. Se matriculan 180 personas en un curso de postgrado. El 45% de las personas son damas, 40 son damas solteras y representan el 40% de todas las personas solteras. El 40% de las personas no solteras son casadas, de las cuales la cuarta parte son varones. ¿Cuántas damas no son solteras ni casadas? a. 21 b. 19 c. 17 d. 15 7. Una empresa solicita ingenieros y se presentan 92 postulantes de los cuales: 30 son ingenieros de la USFQ y tienen más de 5 años de experiencia laboral. 9son ingenieros USFQ, no son colegiados y tienen menos de 6 años de experiencia laboral. 26 son colegiados pero no son ingenieros USFQ 16 no son ingenieros USFQ, no son colegiados y tienen menos de 6 años de experiencia laboral. 4 son ingenieros USFQ, son colegiados y tienen menos de 6 años de experiencia laboral. ¿Cuántos ingenieros tienen experiencia laboral mayor a 5 años, no son colegiados, ni han estudiado en la USFQ? a. 16 b. 7 c. 13 d. 5 8. En un ejercicio de Combate participaron 192 efectivos de las fuerzas combinadas de la aviación y la marina entre personal de tropa, personal técnico y oficiales. Además se informó que: El personal de aviación constituye los 3/13 del personal de la marina. 40 efectivos son personal técnico En la aviación, el número de oficiales es al número del personal de tropa como 1 es a 2 y el número de no técnicos es 24. Respuestas: ¿Cuántos marinos no eran técnicos? A B C D 1. a. 40 2. b. 128 3. c. 116 4. d. 156 5. 6. 7. 119 8. NÚMEROS REALES Números Racionales (Q) Son los que poseen un desarrollo decimal definido. Ejemplos: Decimal Exacto = 1.5 Decimal periódico puro = 0.4545… Decimal periódico mixto = 2.166666… Números Irracionales (I) Son los que no se pueden expresar como cociente o razón de dos números enteros. Poseen infinitas cifras decimales no periódicas. Ejemplos: El número pi: π= 3.141592654 Las raíces de algunos números √2; 3√4; ∜6… Números Reales (R) La unión del conjunto Q y el conjunto I es el conjunto R de los números reales. El conjunto R puede representarse por una recta real, donde a cada punto de esa recta le corresponde un número real y a cada número real le corresponde un único punto sobre la recta real. Q I Z N R= Q U I 120 Sucesiones Numéricas y Alfanuméricas Ejercicios Resueltos 1. María y Óscar están formando un cuadrado mágico de 3 * 3 casilleros con los números: 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45. ¿Cuánto le sale a María la suma horizontal y cuánto a Óscar la suma diagonal? Solución: Los nueve números los distribuimos así: 20 45 10 15 25 35 40 5 30 Los números 5 y 45 los introducimos en los casilleros opuestos; lo mismo hacemos con 35 y 15. La suma horizontal es: 20+45+10=75; 15+25+35 = 75 40+5+30 = 77 La suma diagonal es: 20+25+30 = 75; 40+25+10 = 75 A María y a Óscar les sale 75 la suma horizontal y diagonal. Las distribuciones son ordenamientos numéricos dispuestos, generalmente en filas y columnas. Las filas, columnas o diagonales en una distribución se encuentran relacionadas mediante alguna operación. Los cuadrados mágicos son ordenamientos de números donde la horizontal, vertical y diagonal tienen la misma suma. 2. Calcula el valor de (b – 2a), sabiendo que a y b son elementos de la sucesión -16; -13; -8; -1; a; b. Solución: Analizamos y observamos que la ley de formación está dada por otra sucesión que debemos completar: -16 -13 -8 -1 a b +3 +5 +7 +x +y +2 +2 +2 +2 Aplicamos la ley de formación y hallamos los valores desconocidos: x=7 + 2 = 9 y= 9 + 2 = 11 Ahora hallamos a y b: a= -1 + 9 = 8 b= 8+ 11 = 19 Calculamos b- 2a = 19 – 2(8) = 3 121 3. ¿Qué número continua en 0.03, 0.04; 0.06; 0.12; 0.19; 0.3; 0.42; 0.58; …? Solución: Buscamos la ley de formación comparando los términos, restantes el 2º menos el 1º. el 3º menos el 2º … So la regla de formación no está clara, volvemos a comparar la nueva sucesión que se ha formado: 0.03 0.004 0.06 0.12 0.19 0.3 0.42 0.58 x +0.001 +0.002 +0.06 +0.07 +0.11 +0.12 +0.16 +y +0.01 +0.04 +0.01 +0.04 +0.01 +0.04 0.01 Hallamos los valores de x e y: y= 0.16 + 0.01 = 0.17 x= 0.58 + 0.17 = 0.75 4. ¿Qué números continúan en 3; 2 ; 4; 9; 4 ; 9 ; 8;…;...?. Solución: Buscamos la ley de formación y observamos que hay dos sucesiones alternadas: 3 2 4 9 4 9 8 x y x x x x Luego el valor de x es: x= 9 x = 27 El valor de y es: y = 8 Los números que continúan son 27 y 8 122 Ejercicios Resueltos 1. Encuentra los números que faltan 2 9 ? 27 50 3 10 9 50 ? a. 50 ; 81 b. 10 ; 81 c. 10 ; 27 d. 50; 27 2. Calcula A = en -10; -12; -16; -22; b. a. 6 b. 36 c. -36 d. -6 1. ¿Cuál es el valor de m en la siguiente sucesión? 1; 3; -4; 15; 16; 75; -64; 375; m. a. 300 b. 439 c. 256 d. 320 2. ¿Qué letra continúa en C; D; F; I; M…? a. Ñ b. O c. P d. Q 3. Si x4y3; x3y; x2y-1; xy-3; xa yb Calcula a+b a. -4 b. -5 c. -9 d. 9 4. Completa con la letra y el número que faltan. 11 E 3 ? -5 A 7 i ? P a. N; -1 b. M; -1 Respuestas: c. M; 1 d. L; 1 A B C D 1. 2. 3. 4. 5. 6. 123 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA Razón Es el resultado de comparar dos magnitudes cualesquiera mediante el cociente. Si a y b son magnitudes, la razón entre ellas se escribe a : b o y se lee “a es a b” = k,k ∈ Q, k es el valor de la razón. Proporción En una proporción = ; o bien a : b = c : d. Los términos extremos son a y d y los términos medios son b y c. Propiedad fundamental de las proporciones: = ↔ a· d = b · c Serie de razones Es la igualdad de 3 o más razones Propiedad: = = = Repartos Proporcionales Podemos repartir una cantidad en ciertas partes proporcionales a números dados ( x, y , z…) llamados factores de proporcionalidad. Un reparto puede ser directamente proporcional cuando las partes son directamente proporcional cuando las partes son directamente proporcionales a los números dados (a mayor número proporcional, mayor parte y a menor número proporcional, menor parte). O inversamente proporcional cuando las partes son inversamente proporcionales a los números dados (el que tiene el menor número proporcional recibe la mayor parte y viceversa). Interés Es la ganancia que se obtiene al depositar o prestar una cantidad llamada capital, por un tiempo determinado, a una tasa o porcentaje fijado. Para su cálculo se utiliza el año comercial de 360 días y el mes comercial de 30 días. 124 Repartos Proporcionales Ejercicios Resueltos 1. Luisa, Rita, María organizan un paseo al campo. Deciden compartir los gastos según el número de miembros de cada familia. En la familia de Rita hay un miembro menos que en la de Luisa, pero su número es igual a la mitad del de la familia de María. ¿Cuánto debe pagar cada familia si gastaron $416.50 en total y la familia de Luisa tiene 5 miembros? Debemos repartir $416.50 en tres partes (a,b y c) directamente proporcionales al número de miembros que integra cada familia. Hallamos el número de miembros de cada familia: La de Luisa (a) tiene 5 integrantes. La de Rita (b), uno menos que la de Luisa tiene 4. La María (c), el doble que la de Rita, tiene 8. Formamos la proporción y hallamos el valor de la razón. = = = = = 24.50 Halla los valores de a, b y c: = 24.50 a= 24.50 · 5 = 122.5 = 24.50 b=24.50 · 4 = 98 = 24.50 c=24.50 · 8 = 196 Las familias de Luisa, Rita y María pagarán 122.5; 98; 196 dólares respectivamente. Un reparto es directamente proporcional cuando a mayor número, mayor parte y a menor número, menor parte. Y, un reparto es inversamente proporcional, cuando el que tiene el menor número proporcional recibe la mayor parte y viceversa. 2. La cuenta de tres carpinteros, por hacer reparaciones en el mobiliario de un salón, asciende a 4 180 dólares. Sí un carpintero trabajó 18 días, otro 15 días y el tercero 11 días, ¿Cuánto le corresponde al que trabajó 15 días? Solución: *debemos repartir $ 4 180 en tres partes (a,b,c) directamente proporcionales a 18; 15 y 11. *Formamos la proporción: = = = = = 95 Hallamos la cantidad proporcional a 15 días: = 95 b= 1 425 125 Ejercicios Resueltos 1. Manuel y Paula ganaron en un negocio $5 200, pero como ambos no trabajaron lo mismo, se lo reparten en razón de 2 es a 3. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a Manuel? a. $ 1200 b. $1500 c. $1000 d. $2080 2. Se reparten 4 200 dólares entre 3 niños en partes inversamente proporcionales a sus edades. Si éstas son 3; 5 y 6 años, ¿Cuánto le corresponde al menor? a. $1 200 b. $ 1500 c. $ 1 000 d. $ 2 000 3. tres amigos se van a repartir un premio de 378 000 dólares que ganaron en una lotería. Uno de ellos aportó $ 3.50 para la compra del boleto, el segundo $2.50 y el tercero $ 4.50 ¿Cuánto recibe el que aportó 3.5 dólares? a. $ 126 000 b. $ 36 000 c. $ 162 000 d. $ 90 000 4. Tres programadores han cobrado por hacer un programa $ 2 040. Uno de ellos trabajó 15 días, el otro 12 y el tercero 7 días. ¿Qué cantidad le corresponde al que trabajó 12 días? a. $ 720 b. $900 c. $780 d. $960 5. Una empresa entregó 1 200; 800 y 300 dólares a tres madres trabajadoras con hijos únicos. Se les indicó que el reparto fue en forma inversamente proporcional a las edades de sus hijos. Si el hijo de la que recibió más tiene 2 años y el de la que recibió menos tiene 8 años, ¿Cuántos años tiene el hijo de la que recibió 800 dólares? a. 1 b. 3 c. 4 Respuestas: d. 5 A B C D 1. 2. 3. 4. 5. 126 Reglas de tres Simple y Compuesta Ejercicios Resueltos 1. Regla de tres simple directa Un ómnibus recorre 84km en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas si mantiene su velocidad constante? Solución: *Analizamos y observamos que se trata de dos magnitudes directamente proporcionales: “en más tiempo recorrerá más kilómetros”. *Ordenamos los datos del problema, planteamos y resolvemos como una proporción directa: 84Km 1hora x km 3 = 84· = x · 1 x = 273 El ómnibus recorrerá 273Km en 3 ¼ horas. La regla de tres simple directa permite resolver problemas en los que intervienen dos magnitudes directamente proporcionales. 2. Regla de tres simple inversa Un auto de carrera recorre un tramo del circuito a una velocidad constante de 135 Km/h en 42 minutos. Si disminuye su velocidad a 105 km/h, ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo tramo? Solución: *Observamos que se trata de dos magnitudes inversamente proporcionales; “a menor velocidad tardará más”. *Ordenamos los datos del problema, formamos la proporción invirtiendo una de las razones y resolvemos: 135km 42min 105Km/h x minutos = x= = 54 El auto tardará 54 minutos. La regla de tres simple inversa permite resolver problemas en los que intervienen dos magnitudes inversamente proporcionales. 127 3. Regla de tres compuesta Por transportar 240 bolsas de cemento una distancia de 100km se paga $ 680. ¿Cuánto costará transportar 180 bolsas de cemento una distancia de 345? Solución: *Observamos que intervienen tres magnitudes, por lo tanto, se trata de una regla de tres compuesta. *Analizamos qué tipo de magnitudes son entre sí y elegimos como referencia la de mayor influencia en las demás, es decir, aquella que si aumenta o disminuye causa efecto en las otras. En este problema es el precio: *A más bolsas que transportar, se pagará más: Magnitudes directamente proporcionales (DP). *A mayor distancia el precio también será mayor: magnitudes directamente proporcionales (DP) Precio Nº de bolsas Distancia $680 240 100km x 180 345km *Resolvemos 680 · 180 · 345 = x · 240 · 100 x= Costará $ 1 759.59 La regla simple de tres es una aplicación de la proporcionalidad. La regla de tres compuesta permite resolver problemas en los que intervienen tres o más magnitudes directa o inversamente proporcionales. 128 Ejercicios Resueltos 1. Cinco técnicos ensamblan en 8 días 145 computadoras. ¿Cuántas computadoras pueden ensamblar 16 técnicos en 15 días? a. 770 b. 810 c. 870 d. 290 2. En 18 días, 20 trabajadores aran un terreno de 60 hectáreas ¿Cuántos tractores iguales aran un terreno de 36 hectáreas en 12 días? a. 18 b. 20 c. 15 d. 21 3. diez focos originan un gasto de $60 al mes si se encienden 6 horas diarias. ¿Cuántos focos se deben apagar para que el gasto sea de $40 si deben estar encendidos 5 horas diarias? a. 1 b. 3 c. 2 d. 5 4. Tres alumnos resuelven 300 problemas de dificultad media en cuatro días trabajando cinco horas diarias. ¿Cuántos días tardarán en resolver los tres alumnos 90 problemas similares trabajando 3 horas diarias? a. 2 b. 4 c. 3 d. 1 5. Una empresa ensambla 10 500 autos en 7 meses trabajando dos turnos de 8 horas. ¿cuántos autos ensamblaran en 2 meses trabajando tres turnos de horas cada uno? a. 4 500 b. 4 200 c. 4 600 Respuestas: d. 3 500 A B C D 1. 6. Si 25 obreros construyen una carretera en cuatro meses y medio 2. trabajando 8 horas diarias ¿Cuántos meses se hubieran 3. demorado 18 obreros en construir la misma carretera 4. 5. trabajando 10 horas diarias? 6. 129 Porcentaje e Interés Simple Ejercicios Resueltos 1. Porcentaje El costo de fabricación de un artículo es de $ 400. El fabricante lo vende al Comerciante ganando un 15% y éste al consumidor con una ganancia del 24% sobre su precio de compra. ¿Cuánto paga el consumidor por el artículo? Solución: *El precio de costo (Pc) del artículo ($400) representa el cien por ciento (100%). *El fabricante lo vende ganando el 15%, es decir, lo vende a 100% + 15% = 115% *El comerciante lo vende al consumidor ganando el 24% esto es a 124% de 115% *Calculamos el 24% de 115% de $ 400: · · 400 = 570.40 El consumidor paga $ 570.40 por dicho artículo. Porcentaje es una aplicación de la proporcionalidad. Recuerda que para hallar los porcentajes puedes utilizar su expresión en forma decimal o en forma fraccionaria según te convenga y así realizar los cálculos más rápidos. Porcentaje 100% 50% 25% Forma = = Fraccionaria Forma decimal 1 0.5 0.25 2. Interés Simple Alberto depositó en un banco $ 2 700 con una tasa de interés del 3.6% anual. ¿Cuál es el interés generado durante 3 años y cuatro meses? Solución: *Observamos que podemos resolver el problema aplicando una regla de tres simple: a mayor tiempo depositado el capital, éste generará mayor interés. Planteamos: TIEMPO INTERÉS (I) 1año = 12meses 3.6% de $ 2 700 3años y 4 meses = 40meses x 12 · x = · 2 700 x= x= 324 130 El interés generado es 324 dólares. *Si en la ecuación anterior reemplazamos x por I (interés), 40 por t (tiempo) 3.6 por % (porcentaje anual), $ 2 700 por C (capital); obtenemos la fórmula de Interés Simple: x= I= (tiempo en meses) Interés es la ganancia que se obtiene al depositar o prestar una cantidad llamada capital, por un tiempo determinado, a una tasa o porcentaje fijado. En el interés simple el capital permanece constante. Años Meses Días I= I= I= 3. Se realizan dos descuentos sucesivos de 10 y 50%. Si los consideramos en un solo descuento, ¿a qué porcentaje equivalen? Solución: *Como el primer descuento es del 10%, queda el 90% *El segundo descuento se aplica al primer resto, es decir a 90%. El segundo descuento es 50% (mitad) de 90%. * 90 = 45% *Los dos descuentos equivalen a: 10% +45% = 55% 131 Ejercicios Propuestos 1. A Rocío le prestan $ 32 400 al 20% anual. Si al final paga el interés a la mitad de lo que se prestó, ¿En cuántos años devolvió el dinero? a. 2.5 b. 4 c. 3 d. 5 2. ¿Qué monto recibe una persona al cabo de un año tres meses y 12 días de haber depositado $850 al 4.8% semestral? a. $850.9 b. $954.72 c. $104.72 d. $745.28 3. ¿Cuál es mi capital si los 2/7 de éste puesto al 4% producen un interés anual de $64? a. 5 400 b. 4 800 c. 6 000 d. 5 600 4. ¿Qué porcentaje se gana por la venta de un artefacto que costó las 3/5 partes del precio al que se vendió? a. 66.67% b. 60% c. 33.3% d. 40% 5. ¿Cuál es el capital que colocado al 21% anual produce un interés de $5 481 en 3 años? a. $9 700 b. $8 700 c. $8 600 d. $9 200 6. ¿Cuál es el capital que colocando al 19% anual produce un interés de $475 en 2.5 años? a. $720 b. $860 Respuestas: c. $960 d. $1000 A B C D 1. 2. 3. 4. 5. 6. 132 ALGEBRA Teoría de exponentes Conjunto de propiedades que nos permiten realizar, en forma abreviada, cálculos con potencias y raíces. Observa algunas propiedades básicas: m n m+n m/n a · a =a m = a = = as m n m - n n p r a : a = a a = r= n y s = m m n m · n -m m (a ) = a = a = 1/a Expresiones Algebraicas Polinomios P(x). Son un conjunto de números y letras, ligados por los signos de las operaciones aritméticas. Grado de un polinomio. Es el grado del término del polinomio que posea mayor grado. Grado de un monomio. Se obtiene sumando los exponentes de la parte literal. Polinomio homogéneo. Se llama así al que tiene todos sus términos con igual grado. Polinomio opuesto. [-P(x)]. Es el polinomio que resulta de cambiar todos los signos a un polinomio. Productos notables. Resultan de generalizar ciertos casos de multiplicaciones entre polinomios. Cuadrado de la suma o diferencia de un binomio: (a ± b)2 = a2 ± 2ab +b2 133 Suma por diferencia: (a ± b)3 = a3 ± 3 a2 b + 3ab2 ± b3 Producto de dos binomios con un término común. (a + b) (a + c) = a2 + (b + c ) a+ bc Cocientes notables. Son divisiones de uso frecuente que al igual que los productos notables simplifican el trabajo operativo. Algunos de ellos son: = a b = ab + Factorizar. Es descomponer un producto en sus factores primos. Para factorizar una expresión algebraica es necesario dominar productos y cocientes notables. 134 Expresiones Algebraicas Ejercicios resueltos 1. Don José quiere cercar su terreno que tiene la forma de un heptágono: Si tiene (12x + 28y) metros en listones de madera, ¿Con cuántas vueltas podrá cercar su terreno? Solución: *Necesitamos conocer el perímetro (P) del terreno y para ello sumamos las longitudes de sus lados: P = (2x) + (3y –x) + (x) +(y) +(2y) + (y) *Reducimos términos semejantes P= 3x + 7y *El perímetro del terreno es de (3x + 7y) metros. *Para calcular para cuántas vueltas alcanza la madera dividimos los (12x + 28y) metros entre el perímetro: Nº de vueltas = 12x + 28y 3x + 7y -12x - 28y 4 _ _ Podrá hacer un cerco de 4 vueltas. 2. Si P(x)= - 3 xp + 2 + 7xq – 2 – 8xr – 1 + x s + 2 es un polinomio completo y ordenado en forma decreciente, halla el valor de Solución: *P(x) es un polinomio de cuatro términos: P(x) = - 3 xp + 2 + 7xq – 2 – 8xr – 1 + x s + 2 *Como se trata de un polinomio completo y ordenado en forma decreciente, los exponentes de la variable x deben ir de mayor a menor hasta cero. Por tener cuatro términos los exponentes son 3; 2; 1 y 0. T1 : p + 2 = 3 p= 1 T2: q – 2 = 2 q=4 T3: r – 1 = 1 r= 2 T4: s + 2 = 0 s=-2 *Calculamos reemplazando los valores obtenidos: = = - 135 Ejercicios Propuestos 1. Sabiendo que el grado relativo respecto a x es 7, halla el valor de 3n – 5, si P(x) = 7xn + 8x2n + 1 – 4xn+2 + 4xn -1 a. 3 b. 2 c. 5 d. 4 2. Reduce la expresión algebraica: 2ab + a2b – ab + ab – 3 a2b – ( )2 a. - a2b b. a2b c. - a2b d. ab 3. Calcula el valor de M si: M (4a – b) = 12 a2 +5ab -4a + b – 2b2 a. 3a +2b b. 3a – 3 b+1 c. 2a – 3b +1 d. 2a – 2b – 1 4. Reduce la expresión y señala la respuesta correcta. ( + x) ( – 2x) + - ( - + x2 ) a. -2 – x2 b. + x2 Respuestas: c. -2 2 d. x A B C D 1. 2. 3. 4. 136 Productos y Cocientes Notables. Factorización Ejercicios Resueltos 1. Gustavo le dice a su hermana que en su clase nadie le gana en matemática. Ella le responde: “Si eres tan bueno dime, ¿Cuál es el resultado de elevar al cuadrado la edad de papá y restar le el cuadrado de la edad de mamá? Además recuerda que él tiene 52 años y ella 48” ¿Cuál es la respuesta que debe dar Gustavo? Solución: *Haciendo uso de una calculadora el problema se ve muy fácil y sin ésta se ve muy tedioso pues tendríamos que multiplicar y luego restar. Pero si observamos con más atención lo que Gustavo tiene que calcular es una diferencia de cuadrados: 522 - 482 *Recordamos que una diferencia de cuadrados es igual a: 2 2 a – b = ( a+ b) (a- b) *Reemplazamos a y b por las edades del papá y la mamá, respectivamente, y resolvemos: 522 – 482 = (52 +48) (52 – 48) = 100 x 4 = 400 La respuesta que debe dar Gustavo es 400. Los productos notables son productos que resultan de generalizar ciertos casos de multiplicaciones entre polinomios. La aplicación de estos productos simplifica el desarrollo de las operaciones. Lo mismo ocurre con los cocientes notables. Factorización 2. ¿Cuántas bolsas de cemento utilizará una compañía constructora para llenar las seis columnas de un puente que está construyendo? Además de los datos que están en el plano se debe considerar que por cada metro cúbico de concreto se necesitan tres bolsas de cemento. Solución: *Calculamos el volumen de las columnas: *Las tres primeras que son iguales: 2 2 1º V= (a)(a)(x+x+x) = a (3x) = a (a – b ) *La 4ª y 5ª columnas que son iguales: 2ºV= 2(a)(a - b)(b) = 2ab (a – b) *La 6ª columna: 3ºV= (a - b)(b)(b) = b2 (a – b ) 137 *Sumamos el volumen 1º, 2º y 3º y factorizamos: a2 (a – b) +2ab (a –b) + b2 (a – b) =(a2 + 2ab + b2 ) (a – b) =(a + b) (a + b) (a – b) *Calculamos el volumen total de concreto que será necesario, reemplazando los datos de la leyenda: (a + b) (a + b) (a – b)= (5)(5)(3.4) = 85 m3 Se necesitará 85 x 3 = 255 bolsas de cemento. Factorizar un polinomio es expresarlo en forma de producto de dos o más factores primos. Esta descomposición es necesaria para la simplificación de fracciones, para el cálculo del m.c.m y m.c.d de polinomios para la reducción de fracciones a común denominador, etc. 3. Simplifica [(a – 5)(a + 7 )+ (a – 5)(a- 7)(a + 5)] Solución: *Sacamos factor común (a – 5) y reducimos términos: [(a – 5)(a + 7 )+ (a – 5)(a- 7)(a + 5)] [(a – 5)(a + 7 + a- 7)(a + 5)] =(a -5 )(2a)(a +5) *Aplicamos suma por diferencia: 2 5 2 (a – b ) (2a) = (a - 25)2a 2a (a2 – 25) 138 Ejercicios Resueltos 1. Reduce (x - 1)2 + (x + 1)2 a. 2x + 2 b. 2x2 + 2 c. 2x2 d. 4x2 – 2 2. Calcula el cociente (x2 + 4x + 3) : (x + 3) a. x + 1 b. x c. x – 1 d. x + 4 3. Calcula el residuo de (a2 -2 a-8) : (a – 4) a. a b. 1 c. 2 d. 0 4. Calcula el cociente de (6m2 + 13m + 6) : (2m + 3) a. 3m b. 2m+3 c. 3m+2 d. 3m+4 5. Si se suman dos números, se obtiene 164, y si se restan, se obtiene 36. Calcula la diferencia entre la raíz cuadrada del número mayor y la del menor. a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 6. Simplifica Respuestas: A B C D 1. 2. a. 3. 4. b. x – 2 5. c. x – 3 6. d. 139 Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones con una variable Ejercicios Resueltos Ecuaciones 1. Antonio, Juan y Carmen son buzos. A Juan le faltaron 6 minutos para permanecer sumergido el doble del tiempo que permaneció Carmen y Antonio permaneció 12 minutos más que las dos terceras partes del tiempo que permaneció Carmen. Si la suma de los tiempos que permanecieron bajo el agua es de 1 hora y 45 minutos, ¿Cuánto tiempo buceó cada uno? Solución: *Identificamos el tiempo que permaneció sumergido cada uno: Carmen x; Juan 2x-6; Antonio +12 *Planteamos la ecuación, sabiendo que el tiempo total que estuvieron sumergidos es 1h 45 minutos = 105 min. x + 2x – 6 + +12 = 105 *Resolvemos. Eliminamos el denominador multiplicando ambos miembros de la ecuación por 3 y reducimos términos semejantes: 3 · (x +2x -6 + +12) = 105 3x +6x – 18+2x+36=315 11x + 18 = 315 *Eliminamos 18 restando 18 a ambos miembros: 11x+18 – 18 =315 – 18 11x=297 11x: 11 = 297: 11 x= 27 *cada uno buceó: Carmen 27min Juan 2x Antonio + 12 (27) + 12 = 30 min Comprobamos: 27 + 48 + 30 =105 min = 1h 45min Ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para algunos valores de la incógnita. Pasos para resolver una ecuación: reducir los signos de agrupación, eliminar denominadores, reducir términos semejantes, despejar la incógnita y verificar si los resultados satisfacen la igualdad. 140 Ejercicios Resueltos 1. El largo de una sala excede a su ancho en 9m. Si el largo aumenta en 5m y el ancho disminuye en 3m, el área no varía. Calcula su perímetro. a. 102m b. 106m c. 51m d. 104m 2. Divide 260 en dos partes de modo que el doble de la mayor parte dividido entre el triple de la menor, de 2 como cociente y 40 de residuo. ¿cuál es la mitad de la parte menor? a. 50 b. 30 c. 35 d. 42 3. Divide el número 1 050 en dos partes tales que el triple de la parte mayor disminuido en el doble de la parte menor sea 1 825. ¿cuál es la parte mayor? a. 875 b. 665 c. 725 d. 785 4. Un alpinista sube una montaña y regresa al punto de partida en cuatro horas. Su velocidad al subir fue de 400metros por hora y la de bajada, cuatro veces mayor. ¿A qué altura subió? (d= vxt) a. 1 080m b. 1000m c. 1 280m d. 2 000m 5. La suma de las edades de un padre y de su hijo es 35 años. Dentro de 20 años la edad del padre será dos veces la del hijo. ¿Qué edad tiene ahora el hijo? a. 4 años b. 10 años c. 6años d. 5 años 6. En una reunión hay el doble de mujeres que de hombres, y el triple de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántas mujeres hay si en total son 156 personas? a. 24 b. 26 Respuestas: c. 36 d. 25 A B C D 1. 2. 3. 4. 5. 6. 141 Inecuaciones Ejercicios Resueltos Notación de las desigualdades: a b, se lee a mayor que b