Partielle Differenzialgleichungen
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Partielle Differenzialgleichungen Eine Einführung in analytische und numerische Methoden Bearbeitet von Wolfgang Arendt, Karsten Urban 1. Auflage 2010. Taschenbuch. xii, 353 S. Paperback ISBN 978 3 8274 1942 2 Format (B x L): 16,8 x 24 cm Gewicht: 616 g Weitere Fachgebiete > Mathematik > Mathematische Analysis > Differentialrechnungen und -gleichungen Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, eBooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte. 1 Modellierung oder wie man auf eine Differenzial- gleichung kommt Partielle Differenzialgleichungen beschreiben zahlreiche Vorgänge in der Natur, der Technik, der Medizin oder der Wirtschaft. In diesem ersten Kapitel wollen wir für einige prominente Beispiele die Herleitung von partiellen Differenzialglei- chungen mit Hilfe von Naturgesetzen und mathematischen Tatsachen beschrei- ben. Eine solche Herleitung nennt man (mathematische) Modellierung. Die Bei- spiele sollen auch die Vielfältigkeit der partiellen Differenzialgleichungen illus- trieren, die in diversen Anwendungen auftreten. Eine erste grobe Klassifizierung wird am Ende des Kapitels vorgenommen. Übersicht 1.1 Mathematische Modellierung ........................ 2 1.2 Transportprozesse.............................. 4 1.3 Diffusion................................... 8 1.4 Die Wellengleichung ............................. 9 1.5 Die Black-Scholes-Gleichung ........................ 11 1.6 Jetzt wird es mehrdimensional ....................... 17 1.7∗ Esgibtnochmehr.............................. 22 1.8 Klassifikation partieller Differenzialgleichungen . ............ 28 1.9∗ KommentarezuKapitel1.......................... 29 1.10 Aufgaben ................................... 30 2 Kapitel 1: Modellierung oder wie man auf eine Differenzialgleichung kommt 1.1 Mathematische Modellierung Wir beginnen mit einigen grundsätzlichen Bemerkungen zur Modellierung mit partiellen Differenzialgleichungen. Mit dem Begriff Modellierung ist aber Vor- sicht geboten, denn in vielen Wissenschaftsdisziplinen wird „Modellierung“ be- trieben, teilweise mit unterschiedlichen Bedeutungen. Auch innerhalb der Ma- thematik wird der Begriff Modellierung manchmal anders benutzt, so z.B. in der Stochastik oder der Finanzmathematik. 1.1.1 Modellierung mit partiellen Differenzialgleichungen Modellierung mit partiellen Differenzialgleichungen geschieht typischerweise in drei Schritten: 1. Spezifikation des zu modellierenden Vorganges 2. Anwendung von (Natur-)Gesetzen 3. Formulierung des mathematischen Problems Im ersten Schritt, der Spezifikation des zu modellierenden Vorganges, muss zunächst geklärt werden, welcher reale Vorgang modelliert werden soll. Beispielhaft wol- len wir in diesem Abschnitt die Abgasströmung in einer Kfz-Auspuffanlage be- trachten. Nehmen wir an, dass man an der Menge und der räumlichen Vertei- lung von CO2 bei einer vorgegebenen Motorleistung interessiert ist. Offensicht- lich spielt hier eine ganze Reihe von Prozessen eine Rolle, etwa • chemische Reaktionen zwischen diversen Stoffen in Luft und Abgas, • Verbrennungsprozesse im Motor, • Strömung des Abgases durch das Auspuffrohr. Es wird schnell klar, dass die Modellierung des gesamten Prozesses sehr komplex ist. Daher nimmt man oft Vereinfachungen vor. In dem Beispiel könnte man etwa reaktive Prozesse und die Verbrennung zunächst außer Betracht lassen und sich auf das reine Strömungsproblem beschränken. Der zweite Schritt ist die Anwendung von (Natur-)Gesetzen: Die (z.B. physikali- schen) Größen, die für die Beschreibung des realen Vorganges notwendig sind, müssen zueinander in Beziehung gesetzt werden. Das geschieht in der Regel durch die Gesetzmäßigkeiten, die aus der jeweiligen Disziplin bekannt sind, zum Beispiel Naturgesetzen (etwa Kraft ist Masse mal Beschleunigung, das zweite New- ton’sche Gesetz). Oftmals ergibt sich durch die Anwendung von (Natur-)Gesetzen alleine jedoch noch keine partielle Differenzialgleichung, dazu bedarf es in der Regel noch ma- thematischer Theorie. Diese könnte z.B. in Integraltransformationen, Grenzüber- gängen oder grundlegenden Sätzen der Analysis bestehen. So gelangt man dann schließlich (oft mit reichlich Kreativität) zur Formulierung des mathematischen Pro- blems, dessen Lösungen den modellierten Vorgang beschreiben. Hier trifft man wiederum häufig vereinfachende Annahmen, etwa indem man voraussetzt, dass Funktionen genügend oft differenzierbar sind. 1.1 Mathematische Modellierung 3 Im oben erwähnten Beispiel der Abgasströmung erhält man aus dem Prinzip der Masse- und Impulserhaltung sowie dem dritten Newton’schen Gesetz (Wechsel- wirkungsprinzip) die Navier-Stokes-Gleichungen, die Grundgleichungen der Strö- mungs- und Gas-Dynamik, vgl. Abschnitt 1.7.4∗. Unsere Herleitungen dienen aber nicht nur dazu, den Nutzen der Theorie der partiellen Differenzialgleichungen zum Verständnis von Naturvorgängen zu er- läutern. Es geht uns auch um die umgekehrte Richtung. Das Verständnis der phy- sikalischen Situation, die durch eine Gleichung beschrieben wird, hilft vielfach, die mathematischen Eigenschaften zu verstehen und eine mathematische Intuiti- on zu entwickeln. Eine der Gleichungen, die wir näher betrachten, beschreibt keinen Naturvorgang, sondern ein wirtschaftliches Problem. Die Lösungen der Black-Scholes-Gleichung geben an, welchen Preis vernünftigerweise die Option wert ist, eine bestimm- te Aktie an einem zukünftigen Zeitpunkt zu einem festgelegten Preis kaufen zu dürfen, vgl. Kapitel 1.5. Unsere Herleitung benutzt den auch von Black, Scholes und Merton gewählten Zugang über stochastische Differenzialgleichungen. In diesem Zusammenhang können wir die notwendige Mathematik nicht vollstän- dig herleiten. Wir denken aber, dass die beschriebenen Argumente das finanz- wirtschaftliche Modell transparenter machen. 1.1.2 Modellierung ist nur der erste Schritt Mit der Herleitung einer partiellen Differenzialgleichung zur Beschreibung eines realen Vorganges ist man natürlich nicht fertig. Vielleicht hat die Gleichung keine Lösung oder unendlich viele. Um diese und andere naheliegende Fragestellun- gen zu klären, führt man eine mathematische Analyse der Gleichungen durch. Neben der Frage der Korrektgestelltheit (im Sinne von Hadamard) versucht man, das Lösungsverhalten qualitativ zu beschreiben, das Problem zu reduzieren oder auf bereits bekannte Gleichungen zurückzuführen. Diese mathematische Analy- se partieller Differenzialgleichungen ist ein zentrales Thema dieses Buches. Will man den realen Vorgang veranschaulichen oder aber bestimmte Parameter optimieren, dann braucht man neben der mathematischen Analyse des Problems auch die Lösung der Gleichung. Diese kann man manchmal explizit durch eine Formel bestimmen (man sagt, es liegt eine analytische Lösung vor), manchmal kann man eine Gleichung aber auch nicht explizit lösen. Dann verwendet man Näherungsverfahren auf dem Computer, also numerische Lösungsverfahren.Auch auf diesen Aspekt partieller Differenzialgleichungen gehen wir in diesem Buch ein. Kommen wir ein letztes Mal auf das Beispiel der Abgasströmung zurück. Die Navier-Stokes-Gleichungen kann man nicht analytisch lösen. Es stellt sich her- aus, dass man bei geeigneten numerischen Iterationsverfahren sehr häufig linea- re partielle Differenzialgleichungen zweiter Ordnung, insbesondere die Poisson- Gleichung, zu lösen hat. Lineare partielle Differenzialgleichungen zweiter Ord- nung untersuchen wir intensiv in diesem Buch. Sie bilden – wie beschrieben – 4 Kapitel 1: Modellierung oder wie man auf eine Differenzialgleichung kommt auch einen Kern für komplexere Gleichungen, die wir in Kapitel 1.7∗ zumindest kurz vorstellen wollen. 1.2 Transportprozesse Wir betrachten ein dünnes Rohr R mit konstantem Querschnitt A ∈ R+ (in m2), das entlang der x-Achse orientiert ist. Weiterhin betrachten wir im Folgenden einen Rohrabschnitt [a, b] mit a, b ∈ R, a<b, vgl. Abbildung 1.1. R A x a b + Abbildung 1.1. Horizontales Rohr mit konstantem Querschnitt A ∈ R . Das Rohr R werde z.B. von Wasser durchströmt. Wir nehmen an, dass das Rohr dünn ist, d.h., der Querschnitt A sei als „klein“ vorausgesetzt. Hierbei soll „klein“ bedeuten, dass wir nur die Strömung in horizontaler Richtung zu berücksichti- gen brauchen, andere Richtungen können vernachlässigt werden. 1.2.1 Bilanzgleichungen Wir wollen die Wasserströmung durch R mathematisch beschreiben. Dazu be- zeichnen wir mit u = u(t, x) die Dichte (gemessen in kg/m3) des Wassers am Ort x ∈ (a, b) zur Zeit t. Damit ist also die Wassermenge im Intervall [x, x+Δx] ⊂ [a, b] (mit Δx hinreichend klein) zum Zeitpunkt t gegeben durch x+Δx u(t, y) Ady. (1.1) x Wir wollen nun den Wasserfluss in einer Zeitspanne von t bis t +Δt, Δt>0, t ∈ R, beschreiben. Die Differenz der Wassermenge im Rohrabschnitt [x, x +Δx] zu beiden Zeiten lautet offenbar x+Δx (u(t +Δt, y) − u(t, y)) Ady. (1.2) x WodurchkannsichdieMengezwischendenZeitpunktent und t +Δt ändern? Hierzu gibt es zwei mögliche Ursachen, nämlich • den Wasserfluss, • eine mögliche Quelle oder Senke. 1.2 Transportprozesse 5 In der Physik bezeichnet ein Fluss die Anzahl von Teilchen, Masse, Energie etc., die sich pro Zeiteinheit durch eine Fläche bewegt. Der Wasserfluss ψ(t, x) gibt also an, wie viel Wasser zum Zeitpunkt t pro Sekunde und pro Quadratmeter durch