IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Istoria Matematicii

Cuprins: Introducere Numere și reprezentarea lor Aritmetică Algebră Geometrie Analiză matematică Logică Matematică aplicată Matematică computațională Programarea calculatoarelor Repere istorice

Introducere

Din totdeauna, matematica a făcut apanajul potentaților vremii, a fost un instrument cu ajutorul căruia oamenii și-au măsurat bogăția, strălucirea sau puterea. Acest material nu își propune o înșiruire de date istorice sau nume ale unor matematicieni aranjate cronologic, ci mai degrabă o călătorie în timp prin universul matematicii, pentru a redescoperi ordinea în care s-au formulat principalele probleme și soluțiile lor. Dintre personalitățile matematicii, atenția se va abate mai mult asupra celor care au avut ceva de socotit, decât asupra acelora care au făcut socotelile. Oricare dintre realizările lor poate fi astăzi un bun exercițiu pentru scrie proiectul cu mijloace moderne, sau pentru calculul necesarului. Cel care poate alcătui proiectul și caietul de sarcini pentru Piramida lui Keops, sau pentru Zidul Chinezesc, va putea proiecta mai ușor o locuință modernă sau o anexă. Poate fi un exercițiu bun și calculația pentru un proiect ce utilizează doar tehnologia și resursele existente la vremea respectivă. Fiecare dintre subiectele propuse poate face subiectul unei disertații, al unui eseu sau al unei ore de curs facultativ. Nedorind a amalgama prea mult noțiunile și așa destul de complexe, șirul povestirii este deșirat în mai multe capitole, structurate pentru diferitele ramuri ale matematicii. Textul nu are caracter didactic dar poate inspira viitorii profesori de matematică. Este bun un pretext pentru o călătorie în timp, un fel de temă de casă a unui elev mai întârziat ca vârstă. Acest text nu are pretenția de a epuiza subiectul, ci doar de a deschide apetitul altora. Întreaga piramidă a cunoasterii se ridică asemănător piramidelor mayașe, din bolovani aglomerați unul peste altul. Fiecare nou savant, se cațără pe munca precedenților, rostogolind la vale pietrele mai vechi, pentru a duce în vârf piatra lui filozofală. Și procesul continuă apoi, secole după secole, milenii după milenii.

Numere și reprezentarea lor

1 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Denumirea de matematică provine din limba greacă de la cuvântul mathema (matnoua) cu semnificația de "ceea ce trebuie studiat". Matematica s-a născut din necesitatea de a estima dimensiunile unor entități fizice sau relațiile de ordin calitatativ dintre fenomenele naturale. Primii gânditori ai Antichității au utilizat astfel de estimări pentru a reconstitui evenimente trecute, sau pentru a planifica evenimente prezente și viitoare. În primul rând a fost vorba despre măsurători și relația dintre obiectele măsurate. Pentru a simplifica operațiile cu obiecte a căror natură este diferită, cum sunt de exemplu arborii dintr-o pădure în raport cu animalele ce viețuiesc în ea, matematicienii au inventat niște obiecte abstracte denumite numere. Indiferent de natura unui anumit element, o unitate din acel element poate fi înlocuită printr-un număr. Astfel putem aduna merele cu perele sau arborii cu păsările cântătoare. Cu alte cuvinte, numerele sunt niște convenții, sau niște coduri, ce țin locul unui obiect real sau imaginar. Pentru a fi ușor de recunoscut, numerele sunt reprezentate prin simboluri grafice simple și prin cuvinte intuitive, denumite numerale. În ansamblul lor, toate numeralele utilizate pentru a reprezenta numere sunt denumite sistem de numerație. Termenul de notație matematică include și simbolurile utilizate pentru operații cu numere sau pentru anumite atribute ale numerelor. În cursul istoriei, diferitele popoare au inventat și apoi au abandonat numeroase sisteme numerale. Dintre acestea merită amintite cele inventate de: babilonieni (cuneiforme), egipteni (hieroglife, hieratice), chinezi, japonezi și coreeni (ideograme), fenicieni (ugaritice), romani (latine), evrei (aramaice), indieni (devanagari, bengali, tamil), greci (ionice, milesiene, alexandriene), armeni (erkatagir), khmeri (thai, lao), arabi (abjad, aryabahta, bakhshali), slavi (chirilice), mayași (maiașe), sau azteci (kipu). Sisteme noi de numerație se dezvoltă și în prezent, cel mai bun exemplu fiind cele utilizate pentru tehnica modernă de calcul (Hex, ASCII). Încă din cele mai vechi timpuri, pentru a exprima grupuri și mulțimi de elemente, numerele au fost grupate în clustere (familii de numere). Toate numerele aparținând unui astfel de grup aveau un atribut comun, sau respectau o anumită regulă. În antichitate, calculele matematice depășeau foarte rar numărul miilor. Ca urmare, numeralele aflate în uz erau și ele destul de sumare. Primele numere cu adevărat mari au devenit banale doar începând cu secolul al XIII-lea, o dată cu apariția primelor bănci și a primului sistem rudimetar de contabilitate. Europenii au menținut sistemul decimal roman, dar au adoptat numeralele arabe. Principalul avantaj a constat din ușurimea cu care se puteau reprezenta numerele mari. Adăugând cifra zero la sfârșitul unui număr, valoarea acestuia creștea de zece ori. Acest sistem a permis reprezentarea numerelor mari cu ajutorul unor relații matematice, de exemplu ca puteri ale lui 10.

Primele numerale au fost simple semne scrijelite pe ceva (lemn, os, piatră, lut) pentru a ține o evidență contabilă simplă. Nu întotdeauna contabilitatea s-a ținut prin semne grafice. De exemplu în Babilonia, femeile obișnuiau să planteze lângă casă câte un palmier datier pentru fiecare copil nou născut. Acești palmieri nu numai că produceau mai multe fructe, dar ofereau și o reprezentare naturală a familiei: câți membri, cât de vârstnici și cât de apropiați între ei. La moartea unui membru al familiei, palmierul lui era sacrificat. Deși primitiv, acest sistem natural de codificare s-a păstrat până în zilele noastre. Pentru operații matematice, babilonienii utilizau un sistem numeral denumit sexagesimal, cu numerale cuprinse între 1 și 60.

2 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Orice mulțime mai mare de 60 era divizată în grupuri de până la 60. Necesitățile lor de calcul depășeau doar foarte rar 60 x 60 = 3600 de elemente. Pentru astfel de situații, pur și simplu mai adăugau o coloană formată din alte 60 de elemente. Nu întotdeauna calculele se făceau de la mai mic spre mai mare. S-a născut astfel necesitatea de a diviza valorile mari în valori mai mici. A apărut însă o nouă problemă. Nu toate numerele întregi puteau fi divizate în grupuri mai mici, egale între ele. De exemplu, o turmă de oi nu putea fi împărțită în mod egal între mai mulți frați. După numeroase calcule și frustrări, au fost identificate și izolate acele numere care nu se divid exact decât prin sine. Astfel de numere se numesc numere prime și formează o serie care merge spre infinit. Primele din serie sunt: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (cam un sfert din primele o sută). Cea mai veche reprezentare a unor numere prime apare pe un papirus din Egipt, datat aproximativ în jurul anului 1500 îen, unde se utilizau fracții diferite pentru numerele prime față de numerele compuse. Cea mai veche abordare sistematică a problemei a fost consemnată în lucrarea denumită Elemente, aparținând lui Euclid din Alexandria (Eucleidou), un arhitect din timpul faraonului Ptolomeu Soter (323-283 îen), cunoscut ca "părinte al Geometriei " și expert în măsurarea parcelelor de teren. Teoria sa despre numerele întregi include o demonstrație simplă potrivit căreia trebuie să existe un număr infinit de numere prime. În rezumat, demonstrația lui este următoarea: "Considerând o listă oarecare de numere prime p1, p2 ...pn, indiferent cât de lungă este lista trebuie să existe un alt număr prim mai mare decât ultimul din listă. Acest număr este produsul tuturor numerelor prime din listă plus 1. Numărul rezultat nu poate fi decât un număr prim deoarece restul de 1 nu poate fi divizat prin nici un alt număr întreg" . Numerele prime sunt într-adevăr infinite, însă cu cât devin mai mari, cu atât sunt din ce în ce mai rare, prin creșterea numărului de divizori posibili. Plecând de la problema divizării unor suprafețe de teren, Euclid a izolat și o altă serie de numere, aflată la polul opus față de numerele prime. Aceste numere sunt formate expres din suma divizorilor lor, adică pot fi împărțite în mod egal în mai multe feluri. Din acest considerent au fost denumite numere perfecte, pentru a sublinia cât este de ușor de lucrat cu ele. Primele patru numere perfecte din serie sunt: 6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2+ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 496 = 1 + 2 + 3 + ... + 29 + 30 + 31 8128 = 1 + 2 + 3 + ... + 125 + 126 + 127 În Antichitate, matematicienii nu au avut mijloace pentru a calcula următorul număr perfect (33550336). Au concluzionat că doar aceste patru numere au puteri magice și fac parte din Casa Domnului (Lumea a fost creată în 6 zile, Luna are o orbită de 28 de zile ...). Euclid însă a identificat o relație matematică prin care a legat cele patru numere între ele. Potrivit acestei relații q (q+1)/2 este un număr perfect par de forma 2 la puterea p minus 1, unde p trebuie să fie un număr prim (2, 3, 5 , 7 ...). Două milenii mai târziu, matematicianul elvețian Leonhard Euler a formulat o nouă teoremă (Euclid-Euler) potrivit căreia un număr este perfect doar atunci când suma respectă ecuația: Nr = pow (2, p-1) x (pow (2,p) -1) unde p este un număr prim. La ce foloseau astfel de calcule complicate în Antichitate ? În primul rând la împărțirea bunurilor sau a terenurilor. Înțeleptul gintei era judecătorul suprem, cel care trebuia să împartă drepturile și moștenirile. Cu ajutorul unor numere perfecte, cum sunt 6 și 28 putea diviza terenurile în felurite loturi, egale sau neegale între ele. O parte trebuia să revină stăpânului, așa că feluritele soluții de împărțire aveau rostul lor.

3 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Cel mai vechi sistem de numerație a fost cel decimal, având ca punct de pornire cele zece degete de la ambele mâini. Până la zece elementele se numărau pe degete. Pentru numere mai mari se utilizau niște coliere din mărgele, un fel de abac primitiv. Pentru fiecare grup de zece elemente se deplasa câte o mărgea, apoi numărătoarea continua tot pe degete. Numărul final se exprima prin de câte ori zece, plus restul de degete. Atunci când numerele depășeau cifra de o sută, utilizau un al doilea colier, cu mărgele sau cu scoici mai mari, pentru cifra sutelor. Alternativ, indienii din America de Sud au utilizat un sistem de contabilitate prin noduri de diferite dimensiuni făcute pe un colier din lână, denumit kipu. Fiecare nod avea o semnificație diferită, pentru membrii familiei, numărul de animale din turmă, numărul zilelor fără ploaie, sau numărul de mese și compoziția meselor din fiecare zi a anului, asemăntor cu calendarul creștin. Cel mai vechi sistem decimal a fost utilizat în valea râului Indus, cu circa 3000 de ani înaintea erei noastre. Au fost identificate greutăți din piatră cioplită și șlefuită (travertin), standardizate, cu greutatea egală cu valorile unui sistem decimal (1, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500). Din aceeași perioadă datează și primele hieroglife egiptene ale unor numere zecimale. O soluție mult mai simplă pentru numerele mari a fost inventată în China Antică, unde existau caractere diferite pentru fiecare număr până la zece și pentru fiecare număr zecimal (20, 30, 40...100). Astfel orice număr mic putea fi scris cu doar două caractere. Pentru numerele mai mari de o sută se adăuga caracterul o sută sub numărul respectiv. Pentru numere și mai mari erau necesare uneori până la patru caractere, dar unele dintre ele se puteau scrie tot din două caractere. De exemplu cifra 5080 se putea scrie utilizând caracterele pentru 50 și 80. În plus, caracterele chinezești sunt caractere fonetice, adică desenul sugerează un cuvânt a cărui pronunție seamănă cu cea a numeralului respectiv. De exemplu cifra nouă se pronunța aproximativ la fel cu cuvântul cârlig, iar caracterul respectiv era asemănător cu un cârlig de undiță. Utilizând arii de memorie asociative, numeralele chinezești au fost astfel mai ușor de reținut. Alți cercetători au identificat și o semnificație religioasă pentru fiecare număr. În nesfârșitele lor tantre, credincioșii budiști au dezvoltat în timp un sistem de numerologie tantrică, menit să ilumineze căile, abilitățile și natura sufletului uman. O variantă a acestui sistem este numerologia Yogică în care conștiința umană este formată din 10 corpuri spirituale, denumite chakre (sufletul, mintea negativă, mintea pozitivă, mintea neutră, corpul fizic, proiecția mentală, aura, puritatea, calmul și noblețea). Pornind de la orice număr, numerologii tantrici pot cerceta trecutul, prezentul și viitorul, pot cerceta tainele sufletului omenesc, dar mai ales pot subția punga celor creduli. Indiscutabil însă, cea mai radicală invenție bazată pe sistemul decimal a fost abacul, prima mașină de calcul din istorie. În Europa, cele mai vechi numerale zecimale au fost identificate printre hieroglifele Cretane, din scrierile Linear A și Linear B. Primele numere zecimale cu adevărat mari au fost inventate de matematicianul Arhimedes (287-212 îen), cel care în lucrarea sa intitulată Psammites (Numărătorul de nisip) și-a propus să numere toate firele de nisip din Univers. Utilizând ca bază de calcul cel mai mare număr cunoscut în timpul lui, myriad-ul, cu valoarea de zece mii, Arhimedes și-a imaginat numere exponențiale ce merg până la 10 la puterea 24, exprimate ca myriade, de myriade, de myriade... (etc.). Sistemul modern de cifre arabe zecimale a fost inventat în Persia, în primele secole ale erei noastre și a pătruns în Europa doar după anul 1202, când matematicianul italian Leonardo Fibonacci (1170-1250) a alcătuit lucrarea sa intitulată "Liber Abaci" (Cartea calculelor). Cartea lui Fibonacci a fost bine primită de literații Europei și a stat la baza primelor sisteme de contabilitate bancară.

4 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Pornind de la împărțirea loturilor de teren, matematicienii Antichității s-au confruntat cu o nouă problemă. Unele loturi erau întregi iar altele erau deja divizate între mai mulți moștenitori. Pentru a face dreptate, s-a născut nevoia de a face operații cu părți ale întregului, respectiv utilizând convenția numerică cu fracțiuni ale unui număr întreg. Pentru a exprima un astfel de număr fracționar sunt necesare două numere întregi. Primul dintre ele exprimă numărul care trebuie divizat (deîmpărțitul) iar cel de al doilea exprimă în câte părți trebuie împărțit (împărțitorul). Notația modernă, introdusă în Europa în secolul al XVII-lea, folosește convențional pentru fracție o line orizontală sau oblică. Deîmpărțitul se numește în matematică numărător iar împărțitorul se numește numitor. De exemplu, fracția 3/7 reprezintă trei părți din șapte, unde 3 este numărătorul (deîmpărțitul) iar 7 este numitorul (împărțitorul). În Egiptul Antic, pentru a exprima un număr fracționar se adăuga deasupra numărului Ochiul lui Horus (Unu este Dumnezeu). Toate fracțiile se exprimau prin împărțirea numărului respectiv în tot atâtea părți egale iar Ochiul lui Horus reprezenta cifra unu. Cu alte cuvinte toate fracțiile aveau numărătorul Unu și erau de forma 1/2, 1/3 ...1/12 etc. Pentru a putea exprima un număr fracționar cu împărțitorul mai mare decât 1 era nevoie de o expresie matematică de tip adunare. De exemplu, 5/8 se putea exprima prin 1/2 + 1/8. Citirea și scrierea unor astfel de numere era destul de dificilă, așa că scribii aveau niște tabele pentru numerele fracționare. Babilonienii aveau la rândul lor un sistem de divizare a numerelor întregi în 60 de unități. Orice număr fracționar trebuia să fie o fracție cu numitorul 60 și numărătorul cuprins între 1 și 59 (5/60, 15/60, 30/60). În China Antică, primele formule pentru calculul fracțiilor ordinare au fost formulate în secolul al III-lea îen, în cartea denumită Cele Nouă Capitole ale Artei Matematicii. În primul capitol, împreună cu calculul suprafețelor pentru diferite forme geometrice (dreptunghi, triunghi, trapez, cerc) era consemnat și calculul cu bețișoare pentru fracțiunile zecimale ale unor arii care se suprapuneau parțial. Cartea mai includea intuitiv și regulile pentru adunarea, scăderea sau multiplicarea unor astfel de fracțiuni, doar prin deplasarea bețișoarelor. Romanii nu exprimau părțile unui întreg decât prin cuvinte. Pentru practica de toate zilele utilizau uncia (1/12) ca a douăsprezecea parte a unui întreg, respectiv semis (6/12). Doar în rare situații se utilizau diviziuni mai mari, cum erau semuncia (1/24) sau scriptulum (1/144). În India numerele fracționare se exprimau prin două cifre scrise una sub cealaltă. Liniuța despărțitoare dintre numitor și numărător a fost introdusă pentru prima dată în Arabia, apoi a devenit regulă în Europa. În totalitatea lor, numerele ce pot fi exprimate printr-o fracție se numesc numere raționale. Cam în aceeași perioadă istorică s-a ridicat și problema exprimării numerice a unor mărimi negative. Prima soluție matematică a fost propusă tot în cartea celor Nouă Capitole ale Artei Matematice din China, în cel de al patrulea capitol. Pentru numerele negative, convenția matematică este de a se utiliza un semn distinctiv înaintea numărului, respectiv semnul minus. Primele astfel de numere au apărut în urma unor operații de scădere, atunci când scăzătorul era mai mare decât descăzutul. De exemplu, dacă un țăran a adus în turma satului 4 oi și a plecat acasă cu 7, rezultatul operației este 4 - 7 = -3. Mărimea deficitului sau a datoriei se poate exprima prin numărul negativ minus trei. Matematicienii au creat apoi o axă de simetrie între numerele pozitive și cele negative, cu numărul zero situat în centrul de simetrie. În practică, numerele negative au luat amploare o dată cu dezvoltarea sistemelor de contabilitate, dar mai ales după inventarea tehnicii de calcul.

5 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Numărul zero nu a fost dintotdeauna în atenția matematicienilor. Cea mai veche atestare documentară este din anul 626 en, când matematicianul Brahmagupta și-a imaginat operații aritmetice simple cu numărul zero. În notația Chinezească și Japoneză cifra zero este uneori reprezentată printr-un spațiu gol (prin lipsa unui caracter). Împărăteasa Wu a fost cea care a promulgat primul set de caractere (Zetian) în care cifra zero apare reprezentată grafic sub forma un cerc gol în interior. Cifra zero însă nu era tratată ca fiind un număr ci doar o poziție vacantă, sau o lipsă. În Grecia Antică simbolul pentru cifra zero apare pentru prima dată în textele lui Ptolomeu, dar fără a fi utilizat comprehensibil. Grecii spuneau la rândul lor că nimic nu poate fi ceva, deci zero nu se poate utiliza pentru a reprezenta elemente. Unii dintre greci considerau chiar că nici 1 nu este un număr, ci doar o unitate de măsură pentru primul număr, care este 2. În manuscrisele bizantine, simbolul pentru cifra zero a fost asimilat cu litera omega (o) utilizată însă pentru a reprezenta numărul 70. În tabelele zecimale Romane, cifra zero nu a avut un simbol grafic dar a fost prezentă uneori prin cuvântul nulla, mai apoi doar prin litera N (de la nihil). Călugărul Dionysius Exiguus, din Scythia Minor (Dobrogea), este cel care a rămas în istorie prin inventarea calendarului creștin, respectiv a anului nașterii Domnului (Anno Domini). Printre lucrările sale se află și o tabelă de calcul pentru data Sărbătorii Pascale, începând cu anul 526 en (19 Aprilie). Pentru a exprima prima zi din ciclul lunar, Dionysius a folosit extensiv expresia nulla, sau nihil, atunci când împărțirile se făceau fără rest. Împreună cu tabela lui de calcul, valoarea zero a intrat în uzul primelor calcule aritmetice simple. În Arabia, prima explicație pentru utilizarea unui cerc gol (șifr) apare în tabelele de calcule astronomice ale matematicianului Persan Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, în jurul anului 825 en. Același matematician din Persia a utilizat pentru prima dată și termenul de algorism (algoritm), pentru a desemna tehnica prin care se utilizează numere în locul valorilor și apoi se aplică numerelor seturi fixe de reguli sau legi (operații matematice). Astfel de algoritimi se inventau permanent pentru plata taxelor și impozitelor (de unde și asocierea lor cu durerea). Denumirea actuală a fost introdusă de matematicianul Leonardo Fibonacci, împreună cu notația arabă a ciferlor. El a utilizat denumirea de zephyrum, dată fiind poziția Lunii din ziua respectivă, denumire derivată apoi în zefiro, zevero și zero. În matematica modernă, numărul zero se află în centrul de simetrie al numerelor pare, fiind și primul din serie atât pentru numerele pare pozitive, cât și pentru cele negative. Prin convenție, numărul zero este deci un număr par divizibil prin 2, deoarece: "dacă în ambele talere ale unei balanțe se pun zero greutăți se obțin două grupuri distincte a câte zero greutăți". Numărul zero este și cel mai mic număr întreg non-negativ. Este discutabil dacă este și un număr natural (vidul face parte din Natură), rațional (poate fi exprimat fracțional), real (se poate reprezenta pe o linie sub formă de distanță) sau complex (se poate reorezenta sub forma a + bi).

6 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Nu toate numerele posibile pot fi exprimate cu ajutorul unei fracții dintre două numere întregi. Există numere care nu pot fi împărțite exact. Primii care au descoperit astfel de numere au fost urmașii lui Pitagora în timp ce studiau faimoasa teoremă pentru calculul ipotenuzei dintr-un triunghi dreptunghic unde laturile și ipotenuza sunt numere întregi prime. Exemplu tipic este atunci când se cere împărțirea unui lot de pământ utilizând doar suprafețe pătrate. În cazul particular al unui triunghi dreptunghic isoscel (jumătatea unui pătrat), ecuația se rezumă la: pătratul ipotenuzei este egal cu 2 x pătratul unei laturi. Rezultă că ipotenuza este divizibilă prin doi, deci este un număr par. Ecuația fiind reciprocă, rezultă că și latura este tot un număr par. Dar asta ar însemna că ambele numere sunt divizibile prin doi, adică nu mai pot fi numere prime. În cazul particular al unui pătrat cu latura de o unitate, lungimea diagonalei (ipotenuza triunghiului dreptunghic) este egală cu radical din 2, adică chiar primul număr irațional din istorie. Cel care a formulat această concluzie a fost Hipassus din Metapontum, denumind astfel de mărimi inexprimabile prin termenul de alogos (ilogice, inexprimabile). La scurt timp după aceea, Hipassus s-a înecat în mare iar grecii au concluzionat că a fost pedepsit de zei pentru că a căutat imperfecțiunea. Urmașii lui însă nu au reușit să găsească soluții pentru această problemă. Pur și simplu împărțirea nu se făcea exact. Respectiv, nu au găsit numărul care prin ridicare la pătrat să rezulte valoarea doi. O aproximare grosieră se poate face prin 3/2 = 1,5, mai bine prin 17/12 = 1,1416 sau prin 99/70 = 1,4142857. În anul 2010, un calculator performant a calculat primele un trilion de zecimale exacte, apoi în anul 2016 Ron Watkins a exprimat în digiți primele 10 trilioane de cifre zecimale (și a stabilit actualul record de perseverență). Demonstrația că radical din doi este un număr irațional a fost făcută și prin geometrie simplă. Matematicianul Stanley Tennebaum a formulat problema astfel: considerând două pătrate A și B unde aria lui A este dublă față de aria lui B, dacă se introduc în interiorul pătratului A două pătrate B rezultă o arie de intersecție (D) care ar trebui să fie egală cu suma celor două pătrate rămase în afara intersecției (C). Dar dacă aceste două pătrate din urmă (C) se introduc în pătratul (D) rezultat prin intersecția pătratelor B, va rezulta un nou pătrat de intersecție și alte două pătrate rămase în exterior. Operația se poate apoi repeta la infinit, permanent va rezulta un nou pătrat de intersecție (adică ceva de împărțit). În continuarea ideii, numărul radical din doi fiind irațional, rezultă că și jumătatea lui va fi tot un număr irațional, respectiv 1/radical din doi = 0,707106..., adică exact valoarea pentru Sinus și Cosinus de 45 de grade. Valoarea rezultată are numeroase implicații în trigonometrie, pentru calculul mișcărilor ondulatorii și în fizică pentru calculul lungimii de undă. Tot numere iraționale sunt toate numerele obținute prin extragerea rădăcinii pătrate din toate numerele care nu sunt pătrate perfecte. De exemplu, radical din 3, radical din 5 sau radical din 7. Radical din 9 este însă 3, adică este un număr rațional. Deci nu orice operație de extragere a unui radical are ca rezultat un număr irațional.

7 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Operația inversă funcției exponențiale se exprimă în matematică prin denumirea de logaritm. Prin logaritm se exprimă de câte ori poate fi împărțit un număr la valoarea bazei. De exemplu logaritm în baza 10 din 1000 este trei, adică este un număr rațional. În majoritatea cazurilor însă, logaritmul nu este un număr întreg. Rezultă că majoritatea logaritmilor din numere naturale sunt numere iraționale. Excepție fac doar logaritmii extrași din numere care sunt un multiplu al bazei. Toate numerele care sunt întregi și sunt rădăcini pătrate ale altor numere întregi au primit denumirea de numere algebrice, iar restul numerelor au fost denumite numere transcendente. Un alt număr irațional cunoscut încă din antichitate este numărul Pi, obținut de matematicieni atunci când au încercat să deseneze un pătrat cu aria egală cu cea a unui cerc (cvadratura cecului). Empiric, valoarea lui Pi se poate obține împărțind lungimea cercului la diametru. Ca urmare, babilonienii aproximau valoarea constantei Pi prin cifra 3, după ce măsurători repetate au arătat că lungimea cercului este de circa 6 ori mai mare decât raza cercului. Archimedes a fost primul care a formulat expresia: aria cercului = Pi x raza x raza și a măsurat valoarea lui Pi ca fiind 3 și 1/7 unități (3,1429). Pentru demonstrația sa, Arhimedes a înscris un hexagon în interiorul cercului (6 x raza), apoi a circumscris un alt hexagon, în exteriorul cercului, cu vârfurile situate la jumătatea laturilor hexagonului înscris. A obținut astfel seturi de triunghiuri dreptunghice cu ajutorul cărora a calculat exact lungimea cercului pe care a împărțit-o apoi la diametru. Pentru a crește precizia determinării, Archimedes a dublat numărul laturilor pentru pologonul înscris, și apoi l-a dublat din nou, până la un poligon cu 96 de laturi. A calculat astfel că valoarea lui Pi trebuie să fie cuprinsă între 3,1408 și 3,1429. Circa 600 de ani mai târziu, o soluție asemănătoare a fost imaginată de matematicianul Zu Chongzhi, dar pentru o precizie mult mai mare acesta a înscris un poligon cu 12 288 de laturi. Rezultatul a fost o lungime a cercului de 355 unități pentru un diametru de 113 unități, cu o valoare a lui Pi exactă pentru primele șase zecimale (3,141592). Au mai trecut alți 600 de ani, până când matematicienii moderni au imaginat soluții noi. Soluțiile moderne oferă nu una ci multiple soluții de calcul infinit al zecimalelor, utilizând artificii de calcul cu numere iraționale, sau serii de numere. Dintre acestea seria Gregory - Leibniz obține valoarea lui Pi/4 utilizând o serie infinită de fracții. Cu cât numărul de termeni din ecuație este mai mare, cu atât valoarea se apropie de valoarea corectă. Cu cât numărul de termeni este mai mic, cu atât aproximarea este mai grosieră. Pentru o valoare apropiată de cea reală sunt necesari cel puțin 300 de termeni. O serie similară dar cu conversie mult mai rapidă este seria Nilakantha, la care numitorul crește mult mai rapid, pentru a obține o discriminare din ce în ce mai mică. În anul 1714 guvernul Britanic a oferit un premiu de 20 000 de lire pentru o soluție perfectă în calculul longitudinii terestre. Matematicienii s-au simțit stimulați. În secolul al XIX-lea, matematicianul William Shanks a petrecut 15 ani calculând primele 707 zecimale ale numărului Pi. Ulterior s-a dovedit că doar primele 527 au fost corecte. În epoca modernă, munca o fac calculatoarele iar soluțiile au devenit doar un joc al minții. Oricare dintre serii se poate calcula cu o buclă de repetiție și o funcție simplă (o funcție integrală). De exemplu, în anul 2014 un calculator a stabilit un prim record cu 13 trilioane de zecimale, pentru ca în anul 2019 noul record să fie stabilit la 31,4 trilioane de zecimale (Google Pi Day).

8 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Mulțimea tuturor numerelor iraționale, împreună cu mulțimea numerelor raționale formează mulțimea numerelor reale. În funcție de relația prin care sunt definite, dintre numerele reale cele mai puține sunt numerele Naturale, adică numerele întregi strict pozitive. De două ori mai multe sunt numerele Întregi, pozitive sau negative, cu valori în oglindă. Mult mai multe sunt numerele raționale, adică cele care pot fi exprimate prin raportul dintre două numere întregi. Restul numerelor reale sunt numere iraționale, adică cele cu un număr infinit de zecimale neperiodice. Tot numere reale sunt și cele rezultate în urma unor operații cu numere iraționale. Numerele reale nu oferă însă o soluție pentru toate calculele matematice posibile. De exemplu atunci când se reprezintă grafic soluțiile unei ecuații de tipul a (y x y) + by + c = 0 respectiv soluțiile cazului particular y x y + 1 = 0 rezultă y x y = -1. Utilizând doar numerele reale o astfel de soluție nu este posibilă deoarece y nu poate fi egal cu -y iar prin ridicarea la pătrat a unui număr negativ se obține un număr pozitv. Din dorința de a putea reprezenta toate soluțiile unei ecuații quadratice într-un plan bidimensional, matematicienii au adoptat o nouă convenție denumită unitate imaginară, notată prin litera i. Această unitate imaginară este formată din acel număr care prin ridicare la pătrat are valoarea minus unu. Prin înmulțirea unui număr real cu unitatea imaginară se obține tot un număr imaginar. De exemplu 5 x i este tot nu număr imaginar iar prin ridicarea lui la pătrat se obține valoarea -25. Uneori, această unitate imaginară este exprimată ca fiind radical din minus unu. Această convenție se utilizează în practică pentru a putea desemna rădăcinile pătrate ale unei ecuații cu termeni nedefiniți, despre care nu se știe dacă sunt valori pozitive sau negative. Un caz particular, frecvent întâlnit în practică, este în cazul mișcărilor circulare reprezentate pe un sistem de axe Ox și Oy. Pentru a desemna toate numerele posibile, inclusiv cele imaginare, s-a introdus convențional termenul de număr complex, exprimat sub forma a + b x i, unde a și b sunt numere reale iar i este unitatea imaginară. Cu ajutorul numerelor complexe se pot reprezenta coordonatele Cartesiene ale unor proiecții geometrice și reciproc, soluțiile unor ecuații pot fi reprezentate grafic într-un sistem de axe Cartesiene. Prima referire la extragerea rădăcinii pătrate dintr-un număr negativ a fost identificată într-o lucrare a inginerului Heron din Alexandria (10-70 en) denumită Stereometrica, pe când încerca să calculeze volumul unui trunchi de piramidă. Ca soluție a unor ecuații quadratice polinomiale, numerele imaginare au fost identificate pentru prima dată de matematicienii Niccolo Fontana Tartaglia (1499-1557) și Gerolamo Cardano (1501-1576). Termenul de numere imaginare a fost introdus în anul 1637 de matematicianul Rene Descartes (1596-1650), cel care a introdus în Geometria Analitică sistemul de axe Cartesiene, după ce a "văzut" cu ochiul minții numere care pot exista într-o ecuație, dar nu au un corespondent material. Notația convențională prin litera i a fost introdusă matematicianul Leonhard Euler (1707-1783), împreună cu notația pentru funcțiile trigonometrice și pentru logaritmul natural. Fascinat de calculul exponențial și respectiv logaritmic, Euler a imaginat o celebră ecuație prin care stabilește legătura dintre funcțiile trigonometrice și funcțiile exponențiale cu numere complexe. Această ecuație precizează că valoarea Cosinusului dintr-un număr real adunată cu valoarea Sinusului din același număr și înmulțită cu unitatea imaginară este egală cu baza logaritmulului natural ridicată la putere prin numărul real respectiv înmulțit cu unitatea imaginară (vezi imaginea). Cu ajutorul acestei formule se poate trasa un cerc unitate pe care poziția soluțiilor posibile se poate reprezenta sub forma unor unghiuri măsurate în radiani, adică baza grafică pentru reprezentarea oricărei mișcări rotative sau ondulatorii. Mai apoi, matematicianul Caspar Wessel (1745-1818) a propus reprezentarea numerelor complexe ca puncte a unui plan complex (tridimensional). Ideea a fost apoi preluată și dezvoltată

9 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

extensiv într-un studiu publicat în anul 1831 de matematicianul Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Numerele complexe au fost aplicate de matematicienii Augustin Louis Cauchy (1789-1857) și Bernhard Riemann (1826-1866) pentru studiul funcțiilor cu variabile complexe, pentru a fundamenta ceea ce s-a numit apoi analiză matematică complexă a unor suprafețe curbate, non-Euclidiene.

Aritmetică

Aritmetica este știința numerelor, a proprietăților și a relațiilor dintre numere, parte componentă a unui domeniu mai larg denumit teoria numerelor. A apărut din necestitatea oamenilor de a măsura și număra entități din mediul înconjurător. Denumirea provine din limba greacă de la cuvintele arithmos și tike, cu semnificația de artă a numerelor sau artă a folosirii numerelor. Știința numerelor era rezervată potentaților vremii și oferea cunoscătorului puteri magice, era un fel de punte de legătură cu zeii cei atotputernici. Cea mai importantă componentă a aritmeticii o reprezintă relațiile dintre numere, definite prin operații simple: adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Operațiile aritmetice sunt definite la rândul lor prin axiome (postulate), adică prin niște afirmații logice acceptate univeral ca fiind adevărate. Prin negarea acestor axiome se conturează concepte filozofice care se îndepărtează de studiul științific al numerelor. Cele mai vechi urme arheologice prin care se atestă efectuarea unor calcule aritmetice simple au fost identificate printre hieroglifele săpate în pereții interiori ai piramidelor din Egipt, sau pe tăblițele de lut asociate monumentelor din vechiul Babilon. Primele operații erau în strânsă conexiune cu negoțul și erau exprimate cam așa: "pentru două seturi de obiecte dintr-un anumit fel corespunde un set de obiecte din alt fel". Evident că astfel de axiome se limitau doar la seturi mici de obiecte, negociate frecvent, fără a fi integrate într-un studiu sistematic al numerelor. În China, cele mai vechi inscripții conținând operații aritmetice simple au fost identificate pe oase oracol cu ajutorul cărora șamanii pronosticau războaiele, calamitățile naturale, nașterile și moartea, sau zilele faste pentru sacrificii. Dintre cele peste 50 000 de oase oracol, cele mai vechi au fost scrise în timpul ultimilor nouă regi din Dinastia Shang, aproximativ cu o mie de ani înaintea erei noastre. Primele calcule sistematice s-au făcut însă în timpul Dinastiei Qin (221-206 îen), când a fost introdus primul sistem de greutăți standardizate și primul abac. Unificarea discursului intelectual nu a fost un proces ușor. Împăratul Qin Shi Huang și cancelarul său Li Si (filozof, caligraf și politician) au ars toate tăblițele scrise anterior și au îngropat de vii 460 de călugări, adepți ai lui Confucius, pentru că s-au opus reformelor în filozofie și matematică. Au fost exceptate doar tăblițele utilizate pentru medicină, divinație, agricultură și silvicultură. Qin Shi Huang a fost primul Împărat al Chinei (cel care a și inventat denumirea huangdi). Este celebru în primul rând pentru că a unificat granița mai multor state prin Marele Zid Chinezesc, dar și prin giganticul său Mausoleum, păzit de 8000 de soldați din teracotă, 130 de care și 520 de cai. Rezistența în timp a acestor

10 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

construcții stă mărturie pentru justețea calculelor făcute de învățații lui. Jertfa celor 460 de călugări opozanți, a fost ca o frunză risipită în vânt. Începând cu Împăratul Qin Shi Huang aritmetica a slujit oricăror calcule megalomanice, cu sau fără un corespondent în lumea reală. În Grecia Antică, primul studiu sistematic al operațiilor cu numere i-a aparținut lui Nicomachus din Gerasa (60-120 en) și s-a intitulat Introducere în Aritmetică. Manualul de Armonie al aceluiași autor se axează pe proprietățile mistice ale numerelor și pe rolul lor de suport pentru alte științe, cum erau muzica, geometria sau astrologia. Observând că există o legătură numerică între sunetele cu înălțimi diferite, Nichomacus a concluzionat: "Universul este ordonat de o muzică a sferelor". Deși conține greșeli elementare, manualul său include cele mai vechi tabele pentru tabla înmulțirii și primul algoritm de calcul utilizat în Antichitate.

Cele patru operații aritmetice sunt: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea. Atunci când există mai mult decât o singură operație este esențial ca ordinea operațiilor să fie notată după reguli stricte. Pentru ca valoarea unei expresii formată din mai multe operații să fie întotdeauna aceeași este esențial să se respecte anumite reguli. Exemplu: 2 + 3 x 5. Dacă se face adunarea și apoi se face înmulțirea rezultatul este 25, dar dacă se face prima dată înmulțirea și apoi se face adunarea rezultatul este 30. Pentru a unifica interpretarea unei expresii mai lungi, matematicienii au adoptat următoarele reguli: 1. Operațiile se fac în ordine, de la stânga spre dreapta. 2. Înmulțirile și împărțirile se fac înaintea adunărilor și scăderilor. 3. Ordinea operațiilor se poate organiza prin utilizarea unor paranteze rotunde, pătrate sau acolade. Operațiile incluse în paranteze rotunde se execută înaintea celor incluse între paranteze pătrate, urmate apoi de cele incluse între acolade și de cele din afara acoladelor. Exemplu: a + {[b x c + (a + b) - b x a + (a - b)] + c x [(a x b) + (b x c)]} Orice secvență de operații clar definite este un algoritm. Dacă se respectă precedența operatorilor prin evaluarea unei expresii rezultatul trebuie să fie întotdeauna același. Pentru exemplul de mai sus, ordinea operațiilor este următoarea: 1. (a + b) 2. (a - b) 3. (a x b) 4. (b x c) 5. b x c 6. b x a 7. rezultatul operației 5 plus rezultatul operației 1 8. Rezultatul operației 7 minus rezultatul operației 6 9. rezultatul operației 8 plus rezultatul operației 2 10. rezultatul operației 3 plus rezultatul operației 4 11. c x rezultatul operației 10 12. rezultatul operației 9 plus rezultatul operației 11 13. a + rezultatul operației 12. Orice set de elemente asupra cărora se pot aplica cele patru operații aritmetice poartă denumirea de "mulțime" (field). Cele mai cunoscute sunt mulțimea numerelor reale și mulțimea numerelor complexe. Dat fiind că toate elementele unei mulțimi se supun acelorași reguli, rezultă că se pot efectua operații matematice și cu mulțimile în ansamblul lor. Analizând astfel de operații cu mulțimi de numere, matematicienii au identificat în timp o serie de proprietăți: asociativitate, comutativitate, distributivitate. Prin asociativitate se înțelege faptul că într-un șir de operații de același rang nu contează ordinea în care se execută operațiile: a + (b + c) = (a + b) + c. Exemplu: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 = 9. Prin comutativitate se înțelege faptul că într-un șir de operații de același rang se poate schimba ordinea operanzilor fără ca rezultatul să se modifice: a x b = b x a. Exemplu: 2 x 5 = 5 x 2 = 10. Prin distributivitate se înțelege faptul că o anumită operație se poate aplica global asupra unei mulțimi sau separat asupra fiecărui membru al unei mulțimi, fără ca rezultatul să se modifice: a x (b + c) = (a x b) + (b x c). Exemplu: 2 x (3 + 4 ) = (2 x 3) + (2 x 4) = 14.

11 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Se observă că atunci când operațiile dintr-o expresie matematică se bucură de una sau mai multe dintre proprietățile unei mulțimi de numere, se pot imagina mai mulți algoritmi de calcul fără a altera rezultatul expresiei. În exemplul de mai sus, cele 13 operații din algoritm pot fi executate și în altă ordine, fără a altera rezultatul final. De exemplu, înmulțirile din prima paranteză dreaptă se pot efectua înaintea operațiilor incluse în paranteze, cu condiția ca rezultatul să fie păstrat nealterat până când se evaluează tot conținutul din paranteza dreaptă. Asociativitatea, comutativitatea sau distributivitatea operațiilor se poate aplica cu succes atunci când încearcă o optimizare a calcului, adică o înlocuire a calculelor complicate cu altele mai simple sau cu rezultate preexistente. În exemplul de mai sus, să zicem că avem deja rezultatul pentru secvența de operații: x = c x [(a x b) + (b x c)]. În acest caz cele patru operații din algoritm pot fi înlocuite direct prin valoarea lui x. Utilitatea unor astfel de algoritmi nu este evidentă pentru calculele aritmetice simple, dar este esențială pentru aritmetica computațională (vezi matematica computațională), atunci când calculele nu se fac pe hârtie ci cu ajutorul unui calculator.

Dintre cele patru operații elementare, adunarea și scăderea sunt asociative și comutative iar înmulțirea este asociativă, comutativă și distributivă. Prin aplicarea operațiilor simple asupra unor seturi de numere se pot obține informații extrem de interesante: media aritmetică, media geometrică, progresia aritmetică, progresia geometrică. Atunci când elementele unei mulțimi sunt definite și prin poziția lor în spațiu, respectiv prin niște coordonate geometrice, asupra lor se pot executa și operații de schimbare a poziției în cadrul mulțimii. Pentru problemele și soluțiile de acest fel s-a dezvoltat o ramură diferită a matematicii denumită matematică combinatorie. Cea mai simplă metodă de rearanjare a elementelor dintr-un șir sau dintr-o listă poartă numele de permutare și constă din înlocuirea unui element prin altul. Numărul de permutări posibile între elementele unei mulțimi este dat de produsul numerelor de ordine ale fiecărui element din mulțime. Acest produs al tuturor numerelor naturale se numește produs factorial și se notează cu n!. De exemplu, pentru o mulțime formată din 4 elemente n! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24, adică se pot face 24 de permutări. Atunci când două sau mai multe elemente din mulțime sunt identice, numărul de permutări posibile se împarte la produsul factorial al elementelor identice. De exemplu dacă două elemente sunt identice, formula devine n! / 2!, respectiv în exemplul de mai sus este (4 x 3 x 2 x 1) / 2 = 12. Dacă există două perechi de elemente identice formula devine n!/ (2! x 2 !), respectiv (4 x 3 x 2 x 1) / 4 = 6. Atunci când în cadrul unei mulțimi se schimbă concomitent poziția unor grupuri de elemente, se utilizează denumirea de aranjamente. Pentru calculul numărului posibil de astfel de aranjamente, într-o mulțime formată din n elemente în care se deplasează grupuri de câte k elemente numărul posibil de aranjamente este dat de formula Nr = n! / (n-k)!. De exemplu pentru o mulțime formată din cinci elemente A = {a,b,c,d,e} luate câte două se pot face 5!/3! aranjamente, adică Nr = (5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (3 x 2 x 1) = 120/6 = 20 aranjamente diferite, a câte două elemente. Acestea sunt: (a,b), (a,c), (a,d), (a,e), (b,a), (b,c), (b,d), (b,e), (c,a), (c,b), (c,d), (c,e), (d,a), (d,b), (d,c), (d,e), (e,a), (e,b), (e,c), (e,d). Se observă că cu cât grupurile sunt mai mari cu atât numărul de aranjamemnte este mai mare. De exemplu pentru patru elemente, n-k este 1 adică se pot face 120 de aranjamente. Nu întotdeauna trebuiesc epuizate toate elementele mulțimii atunci când o parte dintre elemente își schimbă poziția. De exemplu, în cadrul unei mulțimi formate din 5 elemente este posibil să fie rearanjate doar grupuri de câte trei elemente. Pentru astfel de situații se utilizează termenul de combinații și se utilizează

12 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

expresia n numere luate câte k. Pentru cele 5 elemente grupate câte 3 se va spune că sunt combinații de 5 luate câte 3. Formula generală de calcul pentru numărul de combinații posibile este: Nr = n! / k! x (n - k)! respectiv pentru cele 5 elemente formula devine: 5! / (3! x 2 !) adică (5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (3 x 2 x 1 x 2) sau 120/12 = 10 combinații unice de câte trei elemente. Elementele de matematică combinatorie sunt esențiale atunci când se lucrează cu matrici. Un exemplu simplu din practică îl reprezintă calculul numărului de combinații de pixeli pentru o anumită suprafață de ecran digital. Cu cât numărul posibil de combinații va fi mai mare, cu atât rezoluția imaginii va fi mai bună. Rezoluția poate crește fie prin creșterea numărului total de pixeli, fie prin creșterea numărului de elemente ce formează un punct, respectiv a nuanțelor de culoare pentru fiecare dintre elementele ce formează un pixel. Astfel, un pixel color poate fi reprezentat prin trei elemente RGB (roșu, galben, blue) dar poate fi reprezentat și prin 5, 7 sau chiar 9 elemente în culori diferite (alb, negru, roșu, galben, albastru, verde, maro). Din punct de vedere istoric, primele elemente de matematică combinatorie s-au identificat în India Antică la șamanul Sushruta, cel care a identificat 63 de combinații posibile pornind de la 6 substanțe cu gust diferit. În secolul al VIII-lea, matematicianul și criptograful Al-Khalil din Arabia a folosit permutări și combinații pentru a face o listă a tuturor cuvintelor din limba arabă, cu sau fără vocale. În secolul următor, matematicianul Mahavira din India a compus o primă formulă pentru numărul posibil de permutări ale unui grup de elemente. Apoi în Epoca Renașterii, matematicieni ca Blaise Pascal, Isaac Newton, Jacob Bernouli sau Leonhard Euler au fundamentat știința combinatorie. Produsul factorial a fost descris pentru prima dată în anul 1677, când Fabian Stedman din Anglia a calculat numărul posibil de sunete emise prin combinarea mai multor clopote. Primele soluții pentru probleme matematice au fost propuse în anul 1770 de matematiocianul Joseph Louis Lagrange. În epoca modernă, algebra combinatorie a fost fundamentată prin lucrările matematicienilor James Joseph Sylvester și Percy MacMahon.

Operațiile aritmetice simple stau și la baza calculului matriceal. Operații cu arii de numere au fost identificate încă din anul 1659 la matematicianul Jan de Witt din Olanda, apoi în anul 1710 la Gottfried Wilhelm Leibniz. Matricele ca obiecte matematice au fost inventate în anul 1850 de matematicienii Arthur Cayley (1821-1895) și James Joseph Sylvester (1814-1897). Apoi în anul 1859 Arthur Cayley a utilizat matrici pentru transformări geometrice. Johann Carl Friedrich Gauss a utilizat apoi matrice tridimensionale pentru coeficienții formelor quadratice. În epoca modernă, Werner Karl Heisenberg a apelat la matrice pentru calculele sale de mecanică cuantică. Apoi în anul 1941 matematicianul Alfred Tarski a utilizat matricele pentru a proiecta tabelele de adevăr necesare pentru a verifica logica binară de tip Boolean (vezi matematica computațională). Atunci când o mulțime de numere este organizată în rețea, sub formă de structură bidimensională, se spune despre acea mulțime de numere că formează o matrice. În nodurile de rețea ale unei matrice pot fi numere reale, sau numere complexe. Într-o matice numerele sunt așezate pe rânduri și pe coloane. Elementele se notează prin arii de numere ce reprezintă coordonatele rândurilor sau coloanelor: r = [ r1, r2 ...] sau c = [c1, c2 ...]. Matricea rezultată se va putea nota ca B = A (r,c) respectiv sub formă desfășurată se vor scrie toate elementele ei: A(r1,c1), A(r1,c2), A(r1,c3) .....

13 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

A(r2,c1), A(r2,c2), A(r2,c3) ..... O matrice cu o singură linie se numește matrice linie. O matrice cu o singură coloană se numește matrice coloană. O matrice în care toate elementele au valoarea zero se numește matrice nulă. O matrice în care majoritatea elementelor au valoarea zero se numește matrice rară. O matrice cu număr egal de rânduri și coloane în care toate elementele sunt egale cu zero cu excepția celor aflate pe diagonala de sus în jos și de la stânga la dreapta, se numește matrice unitate. O matrice la care liniile unei alte matrice sunt transformate în coloane, sau coloanele sunt trasformate în linii se numește traspusa matricei respective. Două matrice sunt egale dacă au același număr de rânduri și coloane și au toate elementele corespondente egale. Dacă toate elementele corespondente sunt egale dar de sens contrar matricea respectivă este opusa matricei sursă. Pentru a aduna două matrice se adună fiecare element din prima matrice cu elementul corespondent din cea de a doua matrice. Pentru a scădea o matrice din alta, valoarea fiecărui element din matricea scăzător se scade din valoarea elementului corespunzător din matricea descăzut (vezi imaginea de mai jos). Pentru a înmulți o matrice cu un scalar (cu o valoare numerică) fiecare element din matrice trebuie înmulțit cu numărul respectiv. Pentru a înmulți două matrice fiecare element din fiecare rând al matricei deînmulțit va fi înmulțit cu fiecare element din fiecare coloană a matricei înmulțitoare. Este obligatoriu ca numărul de coloane din matricea deînmulțit să fie egal cu numărul de linii din matricea înmulțitoare, pentru ca să existe o corespondență a numărului de factori. Matricea produs rezultată va avea numărul de linii egal cu numărul de linii al matricei deînmulțit și numărul de coloane egal cu numărul de coloane al matricei înmulțitoare. Trebuie remarcat faptul că înmulțirea matricelor nu este comutativă. Dacă se inversează ordinea celor două matrici rezultatul va fi complet diferit. Ridicarea la putere a unei matrici se poate face doar dacă matricea este pătratică, adică numărul de linii este egal cu numărul de coloane. Operația constă practic într-o înmulțire repetată, de atâtea ori cât este exponentul. În cazul matricelor pătratice, numărul de linii este egal cu numărul de coloane și se numește determinantul matricei. Scăzând daterminantul cu unu se obține un determinant minor, adică o matrice pătratică din care se elimină ultima coloană și ultimul rând. Deși utilizează doar operații aritmetice simple, calculul matriceal nu este specific aritmeticii ci simple ci este caracteristic operațiilor executate de un calculator. Numeroase limbaje de programare includ funcții predefinite special proiectate pentru calculul matriceal. Matricele programabile pot respecta orice alte reguli sau convenții. De exemplu pentru înmulțiri fiecare element poate fi înmulțit doar cu corespondentul său, sau o matrice mai mică poate să parcurgă o matrice mai mare pentru diverse operații: aducere la zero, încărcare cu valori, calcule aritmetice, ordonare, analiză statistică.

Asemănător cu matricele, numerele unei mulțimi se pot organiza sub formă de tabele. Și în acest caz ordonarea se va face tot sub formă de rânduri și coloane, dar regulile de lucru sunt diferite. În cazul tabelelor convențiile sunt în așa fel concepute încât să se poată lucra simultan cu toate elementele unui rând, sau cu toate elementele unei coloane. De exemplu, pentru ca într-o listă de salariați să se poată poată aplica simultan un procent la venitul realizat de fiecare dintre aceștia. Elementele unui program de calcul tabelar sunt formate din celule ce pot conține cifre sau litere, numere, desene și reprezentări grafice sau chiar formule de calcul. Celulele sunt interconectate între ele programatic, în așa fel încât operația selectată să poată fi repetată serial pentru toate celulele interconectate. De exemplu, dacă se selectează o coloană și operația de înmulțire, toate numerele din coloana respectivă vor fi înmulțite cu valoarea dată. Primul astfel de program a fost dezvoltat în

14 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

anul 1969 sub denumirea de LANPAR (Language for Programming Arrays at Random) pentru a putea lucra cu arii de numere aleatoare. A urmat apoi în anul 1979 programul VisiCalc, dezvoltat pentru calculatoarele Apple cu 32 KB de memorie. Apoi, în anul 1983 a fost dezvoltat programul de calcul tabelar denumit Lotus 1-2-3, sub sistemul de operare DOS, pentru procesoare de tip Z-8088, cu o capacitate de stocare de până la 64 MB. Cel mai cunoscut program de calcul tabelar este Microsoft Office EXCEL, dezvoltat în anul 1982 sub numele de Microsoft Multiplan. A primit numele de Excel în anul 1987 iar în anul 2016 a ajuns deja la versiunea 16.0. Este cel mai răspândit program de calcul tabelar pentru aplicații de tip utilizator. Pentru majoritatea programelor tabelare, coloanele sunt notate cu litere mari (A, B, C ...) iar liniile sunt notate cu cifre (1, 2, 3, ...). Pentru a înmulți toate valorile din coloana A cu 5 se va introduce în caseta de dialog formula = A x 5, iar pentru a înmulți toate valorile din linia a cincea cu 5 se va introduce în caseta de dialog o formul de tipul = 5 x 5. Mai mult decât atât, programele au abilitatea de a selecta și utiliza valorile incluse în oricare dintre celule. De exemplu, pentru a înmulți toate numerele din coloana B cu valoarea stocată în celula A5 se va introduce în caseta de dialog o formulă de genul = B x A5. Spre deosebire de matrici, celulele conțin numere reale și pot executa calcule cu o precizie de patru zecimale. Calculul tabelar este în zilele noastre indispensabil pentru orice activitate de tip economic, sau contabil. Dată fiind sensibilitatea domeniului, mulți dintre agenții economici preferă să lucreze cu programe personalizate pentru un anumit profil de activitate, cu algoritmi customizați. Unele dintre acestea, sunt capabile să facă analize financiare și statistice complexe, sau chiar să intervină asupra factorului decizional prin formularea unor soluții matematice pentru probleme specifice. Calculele aritmetice simple ajung astfel la un nivel de complexitate ce depășește cu mult capacitatea creierului uman. De exemplu, cardurile de credit sunt conectate la programe de calcul tabelar. O listă modernă a aplicațiilor de calcul tabelar include zeci de denumiri, dintre care pot fi exemplificate: Simple Spreadsheet, Gnumeric (pentru Linux), KSpread, NeoOffice (pentru Macintosh), Siag, Sheets (pentru Windows), EditGrid, Google Sheets, AppleWorks, Framework, IBM Lotus Symphony, Microsoft Office Excel, QuattroPro, StarOffice, Quantrix Financial Modeler, Spreadsheet 2000, ExtenXLS (pentru Java).

Cea mai larg utilizată aplicație a aritmeticii superioare este cea în care numerele reprezintă valori bănești. Activitatea prin care se înregistrează, se măsoară și se comunică operațiile făcute asupra unor sume de bani poartă numele de contabilitate și are rădăcini încă din cele mai vechi perioade ale istoriei. Cele mai vechi forme de înregistrare a unei datorii utilizau obiecte sau statuete lăsate în gaj, semne scrijelite în lemn sau în lut, noduri de sfoară sau semne cusute pe țesături și mai apoi monede sau jetoane inscripționate cu valoarea sumei. Forma cea mai simplă de arhivare a operațiunilor în registre poartă numele de contabilitate primară și a putut fi idenitificată pe tăblițe de lut din Babilonia, vechi de peste 4000 de ani. Pe aceste tăblițe sumele erau trecute doar pentru unul dintre cei doi parteneri ai tranzacției, înregistrare denumită și în simplă partidă. Pentru a simplifica verificările periodice, la acest tip de contabilitate trebuiesc ținute registre separate pentru banii intrați în cont, pentru plăți, sau pentru notele de inventar. Persoanele fizice și afacerile de mici proporții, cu un număr mic de operații anual, mențin și în prezent acest sistem de contabilitate, deși este primitiv. Sistemul modern de contabilitate se face la dublă partidă, pentru ambii membri ai tranzacției, asfel încât pentru fiecare sumă primită într-un cont se înregistrează și o sumă extrasă din alt cont. Cele mai vechi urme de contabilitate la dublă partidă au fost identificate în anul 70 en, la Plinius cel Bătrân, în lucrarea sa

15 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

denumită Tabula Rationum. Alte dovezi scrise se regăsesc la negustorii evrei din Cairo, în secolul al XI-lea al erei noastre. În Coreea, primele înregistrări la dublă partidă au fost identificate în timpul dinastiei Goryeo (918-1392 en), iar în secolul al XII-lea a fost introdus Sistemul de Înregistrare cu Patru Elemente. În Italia au fost găsite documente contabile aparținând negustorului Amatino Manuci, din Florența, pentru tranzacțiile cu un negustor din Nimes (Franța). Amatino Manuci era angajatul unei firme denumită Farolfi, al cărei principal client și beneficiar era Arhiepiscopul de Arles, Rostaing de la Capre (1286-1303). Primul care a introdus contabilitatea la dublă partidă în sistemul bancar a fost industriașul Giovanni di Bici de Medici (1360-1429), proprietar a două manufacturi pentru prelucrarea lânii și membru asociat al breslelor Arte della Lana și Arte del Cambio. Printre clienții săi s-a numărat Papa Ioan XXIII, cu suma de 38 000 de ducați, la moartea căruia Giovanni de Medici a plătit costurile impunătorului sarcofag din Baptisier. Cea mai veche carte despre înregistrări contabile a aparținut economistului Benedetto Cotrugli (1416-1469), din Republica Rangusa (Dubrovnik), al cărui text intitulat "Libro de l'Arte de la Mercatura" s-a păstrat în manuscris la Biblioteca Națională din Malta. Fondatorul contabilității ca știință a fost însă călugărul franciscan Luca Bartolomeo Pacioli (1447-1517), educator din Veneția și autor al mai multor manuale de matematică, printre care: "Summa de arithmetica, geometria. Proportioni et proportionalita (1494)". A fost prima carte tipărită în care a fost descris sistemul italian de contabilitate la dublă partidă, balanța de plăți, situația la zi a contului, etica și costurile activității contabile, precum și regula numărului 72. Potrivit acestei reguli, timpul necesar pentru dublarea valorii contului prin dobânzi, se calculează prin raportul 72/r, unde r este procentul reprezentat de fiecare rată. Luca Pacioli a estimat că acesta ar fi raportul decent dintre interesul bancherului și interesul clientului. Începând de la acest calcul simplu, matematicienii Evului Mediu s-au lansat apoi în complicate formule de matematică financiară, finalizate în epoca modernă prin ceea ce este astăzi bursa de valori. În prezent, contabilitatea tuturor tranzacțiilor bănești se face computerizat, sub supravegherea unui for de control, astfel încât operațiile contabile să poată fi făcute doar prin contabili autorizați (Certified Public Accountant). Însăși denumirea actuală provine de la cuvântul latinesc "computare", cu semnificația de calcul. Ca urmare a diversității de operații cu sume bănești, în epoca modernă contabilitatea s-a subdivizat în mai multe subdomenii specializate: contabilitate financiară (pentru investiții), contabilitate pentru managementul afacerilor (pentru gestiune), contabilitatea pentru audit (pentru credite), contabilitatea pentru taxe și plăți (pentru legislație), contabilitatea informației (pentru detectarea fraudelor), contabilitatea probatorie (pentru litigii în justiție). Nu în ultimul rând, contabilitatea include un vast domeniu de cercetare științifică, unde matematicienii pot inventa și testa noi și noi metode de analiză modernă a datelor.

Algebră

Algebra este o extensie și o generalizare a aritmeticii, având ca obiect de studiu regulile și relațiile matematice dintre numerele reale. Denumirea provine din limba arabă, de la cuvintele al-jabr, cu sensul de reunificare a fragmentelor și face referire la metoda clasică de fragmentare a problemei generale în probleme mai mici, mai ușor de rezolvat. Denumirea a fost utilizată pentru prima dată de matematicianul Muhammad al-Khwarazimi (750-850) în cartea sa intitulată "Știința de a Reechilibra Balanța". Algebra elementară se

16 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

suprapune în mare parte cu aritmetica, cu deosebirea că acceptă și entități cu valoare necunoscută, sau variabilă, desemnate prin litere. Algebra abstractă se ocupă cu structuri și mai complexe, cum sunt: modulele, polinoamele, ecuațiile, grupurile, vectorii, listele și mulțimile de numere reale. Un alt arab, matematicianul și poetul Omar Khayyam (1048-1131), a studiat proiecția geometrică a ecuațiilor algebrice. El este considerat a fi inventatorul geometriei algebrice, după ce a desoperit soluția pentru o ecuație de gradul trei intersectând o parabolă cu un cerc. Un moment de cotitură a fost în anul 1637, când Rene Descartes a publicat lucrarea "La Geometrie", în care a utilizat sistemul de coordonate "Carteziene" și notația algebrică modernă. Apoi algebra s-a desprins radical de aritmetica simplă, atunci când matematicianul Gottfried Leibniz a introdus denumirea de "funcție" pentru a descrie numărul punctelor ce formează o linie oarecare într-un sistem de coordonate. Din punct de vedere algebric o funcție este relația dintre seturi de numere, care asociază la fiecare element din primul set un element din cel de al doilea set. Studiul seturilor de numere interconectate între ele printr-o relație matematică a condus apoi spre ceea ce se numește în prezent algebră lineară. Prin extensie, aplicarea soluțiilor algebrice în geometrie a condus la conturarea unui nou domeniu denumit geometrie algebrică. Forma generală a acesteia se ocupă cu studiul soluțiilor unor ecuații de grad ridicat și implică spații tridimensionale sau chiar spații neeuclidiene cu mai multe grade de libertate. De exemplu, o suprafață Togliatti este o suprafață curbată cu cinci grade de libertate (cu cinci curburi diferite). În epoca modernă, relațiile și convențiile algebrice s-au aplicat extensiv și pentru dezvoltarea tehnicii de calcul. Au luat astfel ființă noi domenii de studiu, cum sunt: algebra booleană, algebra comutativă, algebra combinatorie sau algebra computerizată (vezi matematica computațională). Tot un domeniu modern, dezvoltat abea în a doua jumătate a secolului XX, îl reprezintă algebra homologică, cea care se ocupă cu relațiile de corespondență dintre două elemente ale unui set de coordonate. Algebra homologică stă la baza topografiei și a topologiei, pentru enunțarea axiomelor prin care se definesc spațiile topologice. Algebra relațională inventată în anul 1965 de matematicianul Edgar Frank Codd (1923-2003) a fundamentat dezvoltarea bazelor de date relaționale iar algebra non-asociativă permite operații asupra unor structuri vectoriale în interiorul cărora operația de multiplicare nu este asociatrivă. Există și o algebră universală (sau generală) care se ocupă cu studiul structurilor ca atare și nu cu operații asupra numerelor din interiorul lor. La baza tuturor acestor domenii stă însă algebra elementară, cea care se ocupă cu studiul ecuațiilor polinomiale, adică cu studiul unor seturi de operații aritmetice cu mai mult de doi termeni. În plus față de artimetică, calculele algebrice includ operația de ridicare la putere (calculul exponențial) și orice alt fel de operații iterative. Prin convenție, algebra elementară se ocupă însă doar cu ecuațiile de gradul unu sau doi (quadratice), iar studiul ecuațiilor cu variabile de grad superior, este rezervat analizei matematice (vezi analiza matematică).

Spre deosebire de aritmetică, algebra lucrează cu serii mari de numere, diferența dintre numerele artitmetice și cele algebrice fiind cam ca diferența dintre individ și societate. De exemplu, dacă aritmetica rezolvă o ecuație de genul 1 + 1 = 2, algebra va rezolva toate ecuațiile posibile de genul x + x = y unde x poate fi orice număr real. După ce au efectuat un număr extensiv de operații aritmetice asupra numerelor naturale, matematicienii au izolat grupuri de numere care sunt legate între ele printr-o anumită relație. De exemplu numerele cu un divizor comun, cele cu doi divizori comuni, cu trei divizori comuni și așa mai

17 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

departe. Primele numere care au atras atenția au fost cele egale cu suma divizorilor lor. De exemplu 6 este un număr perfect deoarece 6 = 1 + 2 + 3. Următoarele numere perfecte izolate au fost 28, 496 și 8128. Lucrând cu astfel de numere, discipolii lui Pitagoras au descoperit perechea de numere 220 și 284, fiecare dintre ele fiind egal cu suma divizorilor celuilalt număr. Astfel: 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 iar 284 = 1 + 2 + 4 + 5 +10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110. Pentru a distinge aceste numere de restul numerelor naturale, grecii le-au numit numere amicale, arătând astfel că pun ceva în comun. Următoarele perechi de numere amicale sunt: (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), (66928, 66992). Primul care și-a pus problema să găsească o relație matematică cu ajutorul căreia să identifice astfel de perechi de numere a fost matematicianul Thabit ibn Qurra (826-901). Cu ajutorul unui set de trei ecuații el a găsit relația dintre numerele 220 și 284 ca produs dintre 3 și puteri ale lui 2. Formula lui însă nu este aplicabilă decât pentru încă alte două perechi de numere. Problema a fost reluată apoi în secolul al XVII-lea de matematiucieni ca Fermat, Descartes sau Euler, în tentativa de a găsi un algoritm generalizator. Cu ajutorul mașinilor mecanice de calcul, până în anul 1946 metematicienii au completat seria numerelor amicale până la 390 de perechi. O dată cu intrarea în epoca modernă, calculatoarele electronice au făcut din calculele matematice un joc de copil. Până în anul 1970 cercetarea s-a extins până la numerele urmate de 8 zerouri, în anul 1993 s-au adăgat numerele până la 10 E +11 pentru ca în anul 2016 seria să se extindă cu numerele amicale până la 10 E+18. În prezent, seria numerelor amicale este formată din 1225063681 perechi de numere. După un principiu asemănător au fost identificate și numere amicale în tripleți. Pentru un astfel de triplet, suma divizorilor comuni ai unuia dintre numere este egală cu suma celorlalte două numere. Prin extensie, s-a construit apoi conceptul de numere sociale, pentru care fiecare număr din serie este egal cu suma divizorilor numărului precedent. Primele numere sociale identificate au fost: 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460. Ce rost au astfel de serii de numere ? În primul rând sunt un exercițiu excelent pentru programatorii începători. Indiferent de limbajul de programare, un agloritm pentru extragerea divizorilor și compararea sumei lor cu suma divizorilor altui număr este ușor de conceput. Apoi se pot realiza proiecții grafice ale divizorilor comuni, comparativ cu cele ale divizorilor unici. Nu în ultimul rând, din seria numerelor amicale se pot izola cele cu un număr mare de divizori comuni, pentru a forma subgrupuri armonice. Pe scurt, sunt un bun pretext pentru exerciții de analiză matematică.

În matematică, termenul de ecuație se referă la o afirmație potrivit căreia două expresii matematice diferite au valoare egală. Semnul de egalitate (=) a fost introdus în uzul curent în anul 1557, de către matematicianul Robert Recorde, din Țara Galilor, în lucrarea sa despre aritmetică intitulată The Whetstone of Witte (Tocila înțelepciunii). Atunci când o ecuație conține și necunoscute, notate prin literele alfabetului, rezolvarea ecuației constă din găsirea acelor valori pentru care cele două expresii se egalizează. Dintre numeroasele tipuri de ecuații, cele algebrice sunt formate din expresii algebrice, fiecare dintre ele cu unul sau mai mulți termeni. În funcție de numărul de necunoscute, ecuațiile pot fi cu o singură necunoscută, sau cu mai multe necunoscute. În funcție de gradul variabilei necunoscute ecuațiile pot fi: liniare (de gradul unu), quadratice (de gradul doi), cubice (de gradul trei), quartice (de gradul patru), quintice (de gradul cinci), sextice (de gradul șase)...etc. O ecuație de grad superior are un număr de soluții egal cu gradul necunoscutei.

18 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

De exemplu o ecuație cubică are trei soluții alternative. O ecuație cu mai multe necunoscute este nedeterminată și nu poate fi rezolvată decât cu ajutorul unor alte ecuații ce conțin informații suplimentare. Pentru fiecare necunoscută trebuie să existe cel puțin o ecuație prin care să se definească condițiile de egalitate. Se formează astfel sisteme de ecuații în care valoarea uneia dintre necunoscute poate fi înlocuită printr-o expresie ce conține doar restul de necunoscute. În restul ecuațiilor din sistem necunoscuta va fi apoi înlocuită prin expresia obținută. În mod similar, toate necunoscutele din sistemul de ecuații se înlocuiesc progresiv prin expresii, până când se ajunge la o singură expresie cu o singură necunoscută. Se rezolvă ecuația și valoarea respectivă se utilizează în expresia precedentă pentru a afla cea de a doua necunoscută. Se continuă astfel până când se află valoarea fiecărei necunoscute din sistem. Studiul unor ecuații empirice de gradul unu și doi a început încă din antichitate, când matematicienii din Egipt aveau deja o soluție pentru ecuația a x a - a = 1. Cea mai frecventă aplicație o reprezenta în antichitate ecuația Diophantină, utilizată pentru aflarea tuturor triunghiurilor dreptunghice ale căror laturi sunt formate din numere întregi. Numele ecuației provine de la matematicianul Diophantus din Alexandria (215-299 en), cel care a aplicat teorema lui Pitagora pentru diferiți coeficienți ai termenilor. În antichitate astfel de calcule erau esențiale pentru construcția acoperișurilor (dimensiunea căpriorilor) sau pentru calcule balistice elementare (pentru construcția catapultelor). Primul care a descris explicit o ecuație de gradul doi a fost matematicianul Brahmagupta (598-668 en), într-un manuscris din anul 628, prin care explica în cuvinte valorile unei ecuații quadratice. Formula generală pentru rezolvarea unei ecuații de gradul doi a fost propusă pentru prima dată în secolul al IX-lea de matematicianul Muhammad ibn al-Khwarizimi, iar soluția generală pentru o ecuație cubică a fost publicată pentru prima dată în anul 1545 de matematicianul Gerolomo Cardano. Convențional, primele trei necunoscute dintr-o ecuație se notează cu X, Y și Z iar atunci când există un număr variabil de necunoscute acestea se desemnează printr-o serie de numere de la 1 la n. Constantele se notează mai frecvent prin primele litere din alfabet: A, B, C, D, dar regula nu este obligatorie. Esențial este doar ca notațiile să fie cât mai distinctive. Ca o extensie a ecuațiilor liniare, pentru tehnica de calcul se întâlnesc și ecuații liniare cu mulțimi de numere, atunci când coeficienții sau soluțiile unei ecuații fac parte dintr-o mulțime, sau generează o mulțime finită de numere. Cu cât complexitatea calculelor este mai mare, cu atât hărtia și creionul trebuiesc înlocuite prin algoritmi de calcul automat.

Studiul ecuațiilor matematice a condus spre numeroase rezultate spectaculoase și au făcut deliciul matematicienilor din toate timpurile. Adevăratul spectacol al cifrelor a fost însă dezvelit privirii noastre abea după ce calculatoarele au început să realizeze proiecțiile grafice ale unor calcule matematice iterative, imposibil de imaginat doar cu ochii minții. Cel mai elocvent exemplu îl reprezintă fractalii, niște figuri geometrice fragmentate în părți mai mici astfel încât fiecare parte să fie o copie miniaturală a întregului. Invers, se poate spune că un obiect geometric se repetă de atâtea ori până când generează un obiect identic, la o scară mai mare. Un fractal simplu poate fi generat de o ecuație banală, cum este: z(n+1) = z(n) x z(n) + c unde c face parte din mulțimea numerelor complexe iar z=0,1,2,....n este un număr întreg. Primul care a plotat (proiectat grafic) pe un calculator soluțiile acestei ecuații și apoi a publicat observațiile sale a fost matematicianul Benoit Mandelbrot, în anul 1980, pe atunci "visiting professor" la Universitatea Harvard din

19 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Massachusetts. În onoarea lui, totalitatea numerelor complexe care verifică această ecuație poartă în prezent denumirea de mulțime sau set Mandelbrot. Conceptul a fost apoi dezvoltat în anul 1982 în articolul său intitulat Geometria Fractală a Naturii (The Fractal Geometry of Nature). Studiul matematic a continuat prin lucrările matematicienilor Adrien Douardy și John Hubbart, iar partea de imagistică a fost expandată într-o carte album a matematicienilor Heintz Otto Peitgen și Peter Richter. Cazul particular al acestei ecuații este pentru z=1 și c=1, când ecuația devine 1(1+1) = (1x1)x(1x1) +1. Restul soluțiilor sunt numere complexe, aparțin unui plan complex, orbitează în jurul valorii zero și acceptă pentru c doar valori mai mici decât 2. Aspectul grafic al soluțiilor a fost comparat pe rând cu geneza unei galaxii, cu cochilia de melc, apoi a fascinat mintea cercetătorilor prin numeroase alte analogii întâlnite în natură. Cu alte cuvinte, natura are ecuațiile și postulatele ei. Evoluția nu este una dintre întâmplările hazardului ci urmărește un curs precis, identificabil matematic. Dacă este sau nu este așa, rămâne ca matematicienii viitorului să ofere noi și noi argumente, pro sau contra. Dat fiind faptul că toate soluțiile ecuației pot fi incluse într-un cerc cu diametrul de maximum 2 unități (între -1 și +1), se spune despre mulțimea Mandelbrot că este o mulțime compactă. Suprafața totală a setului de soluții a fost estimată la circa 1,50659177 plus/minus 0.000 000 08. Fiind vorba despre numere complexe, numărul de zecimale este practic infinit. Cu cât se augumentează precizia de calcul, cu atât numărul de soluții devine mai mare, respectiv densitatea punctelor de proiecție crește. Cu cât se reduce precizia de calcul, cu atât numărul de soluții se reduce și el, până când se ajunge la un singur punct (z=1, c=1). Acest fenomen de perspectivă este elocvent demonstrat în cazul galaxiilor, pe care ochiul nostru le percepe doar sub forma unui punct luminos. În mod asemănător, pentru ecranul unui monitor, scăzând progresiv rezoluția imaginile complexe, cum sunt cele de mai jos, se rezumă în ultimă instanță la un singur pixel luminos. Dat fiind faptul că primul termen este de forma n+1, există o predominanță a soluțiilor cu valori negative, axa întregului grafic fiind deplasată spre stânga. Ca urmare, punctele în care mulțimea Mandelbrot intersectează axa numerelor reale nu sunt simetrice față de zero ci sunt cuprinse în intervalul -2,1/4, adică sunt deplasate spre stânga. De aici rezultă și evoluția în spirală a următoarelor nivele de dimensiune. Revenind la exemplul galaxiilor, este evident că forma spiralată rezultă prin adăugarea unei unități la termenul din stânga ecuației. Acest unu poate fi un excedent de masă, pe care galaxia îl adsoarbe în permanență, dar poate fi la fel de bine o unitate de timp. Cu alte cuvinte, galaxia nu are o formă spiralată ci una sferică sau lenticulară iar imaginea observată de noi este doar proiecția luminoasă lăsată de o deplasare secvențială în timp (ca dâra de fum a unui avion cu reacție). Practic un infinit întreg poate fi cuprins în banala ecuație 1+1 = 2. Printre programele specializate în generarea de fractali se numără: Apophysis, Bryce, Chaotica, Fractint, Kalles Fraktaler, Milkdrop, openPlaG, Picogen, Sterling, Ultra Fractal sau XaoS.

Ecuațiile algebrice cu numere din ce în ce mai mari au deschis mințile oamenilor spre calcule din ce în ce mai îndrăznețe. Dintre acestea a făcut epocă teoria relativității, formulată în anul 1915 de fizicianul Albert Einstein (1879-1955). Pornind de la ecuația energiei potențiale, Einstein a formulat celebra ecuație generală pentru E = M x c x c, unde M este masa iar c este viteza luminii. Viteza este însă doar o dimensiune a spațiului (S=v x t) ce măsoară deplasarea dintre două puncte în unitatea de timp. Înlocuind viteza prin spațiu și timp, ecuația devine E = M x (S x S)/(t x t). Cu alte cuvinte, energia potențială pentru unitatea de masă este expresia bidimensională a spațiului raportată la expresia bidimensională a timpului. Considerând că ecuația sa

20 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

este un caz particular al spațiilor plane, Einstein a reformulat apoi teoria sa pentru a lua în considerare spațiile curbate prin gravitație, gradul de curbură fiind determinat de energia și momentul sistemului. Teoria sa are la bază două principii: 1. relativitatea stărilor de referință ale unui sistem fizic 2. invariabilitatea vitezei luminii. Pornind de la principiul indeterminării, discipolii săi au formulat numeroase conscințe, unele mai fanteziste decât celelate. Printre acestea a făcut epocă cea a dilatării timpului la viteze foarte mari. Relativiștii afirmă că un astronaut care se deplasează cu viteză apropiată de viteza luminii găsește la întoarcerea pe Pământ generațiile nepoților săi, deoarece la viteze mici timpul a trecut mai repede. Perfect neadevărat. Un foton emis cu viteza luminii care călătorește în spațiu timp de o oră și apoi este reflectat pentru a reveni pe Pământ nu se întoarce mai tânăr. La sosire are vârsta de două ore și a parcurs 2160 de milioane de kilometri. Și apoi, viteza luminii nu este o constantă ci este doar o viteză ca oricare alta. Pământul călătorește în spațiu cu circa 30 de km pe secundă deci a parcurs și el în două ore 216 000 de kilometri. Pentru un foton emis pe direcția deplasării această distanță se scade, iar pentru un foton emis în direcție opusă această distanță se adaugă la spațiul parcurs. Viteza luminii este o viteză maximă doar pentru capacitatea de percepție a ochiului uman. Astfel, dacă fiecare atom al Pământului parcurge 30 de km pe secundă, însemană că viteza relativă de deplasare a unui electron, față de un punct fix, este de circa 10 E+35 ori mai mare decât diametrul atomului din care face parte. Raportată la dimensiunea Sistemului Solar, viteza luminii este aproximativ egală cu distanța dintre Pământ și Lună, adică circa 1/30 000 din diametrul Sistemului Solar. Însă prin extrapolarea mișcării electronului la dimeniunea Universului, unde Sistemul Solar este doar cât un atom, se poate presupune că în Univers există viteze de 10 E+35 de ori mai mari decât cea a luminii, sau chiar mai mari. Repectiv, că în Univers există radiații a căror lungime de undă este mult mai mare decât diametrul Sistemului Solar. Concluzii interesante se pot extrage și din expresia energiei cinetice ca raport dintre spațiu și timp. Energia crește cu pătratul spațiului și scade cu pătratul timpului. Aplicând ecuația conservării energiei la teoria Universului pulsatil, se deduce că în Univers există în permanență zone de dilatație sau de contracție a masei, adică Universul este un sistem fizic pulsatil. Big Bang-ul nu este decât un fenomen local, doar o secundă din timpul Universului, doar un fragment limitat din imesitatea spațiului. Fenomene similare Big Bang-ului, dar la o scară de 10 E+35 de ori mai mică se petrec permanent în sistemele fizice din în viața de toate zilele. Nu trebuie decât să extrapolăm viața atomilor și cea a moleculeor la viața stelelor și planetelor. Exploziile și imploziile sunt un fenomen banal de trecere a energiei de la o stare a sistemului la alta. Teoria relativității, așa cum a fost ea formulată de Einstein, a deschis în matematică și un alt nou domeniu de cercetare, cel al calculelor relativiste, al ecuațiilor nonliniare, al câmpurilor curbate. Deplasarea spre roșu a spectrului de observație astronomică a condus la teoria Universului în expansiune. Nu este însă sigur că toate stelele se îndepărtează de noi. Poate fi vorba de un fenomen de refracție generat de grosimea atmosferei, de refracție în gazul cosmic sau de interferență cu alte unde din spectrul apropiat. Stelele foarte îndepărtate nu mai pot fi observate deoarece lungimea de undă a radiației emise crește progresiv până când iese din spectrul optic, în schimb, prin interferența undelor radio pot să apare focare luminoase acolo unde nu există nici o stea. Un fenomen asemănător a fost detectat atunci când o stea traversează Soarele și a fost interpretat ca deflexie datorată gravitației, deși poate fi vorba pur și simplu de un fenomen de refracție. Relativiștii spun că gravitația formează lentile gravitaționale în care lumina este refractată. La fel de bine, corpurile cu masă mare pot emite radiații în spectrul invizibil, care apoi interferează pentru a forma unde vizibile. Multiplele interferențe dau naștere fie unor franjuri, fie unor forme geometrice neregulate, plisate sau curbate, imposibil de explicat prin simplă refracție optică. Matematica Universului este doar în epoca de pionierat.

21 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Existența unor grupuri sau seturi de valori relaționate între ele prin anumite reguli fixe denumite axiome, a condus spre formarea unor entități abstracte denumite structuri algebrice. Acea parte a algebrei care studiază și lucrează cu astfel de structuri algebrice a fost denumită convențional algebră abstractă. Exemple de structuri algebrice pot fi: grupuri simple, inele, arii de valori, module, spații vectoriale sau rețele, caracterizate prin una sau mai multe operații ce leagă elementele grupului între ele. De exemplu, combinația dintre spațiu și mișcare l-a condus pe matematicianul Marius Sophus Lie (1842-1899) spre conceptul de simetrie continuă, în care o parte dintre elementele spațiului sunt văzute ca mișcare. Cel mai simplu subgrup, cu un singur parametru, este reprezentat de mișcarea unui element pe axa Ox cu un număr de n unități, subgrup ce poate fi definit cu ajutorul unui vector. Un alt grup simplu îl reprezintă grupurile simetrice, adică acele grupuri formate din elemente bijective. Toate permutările posibile ale elementelor 1, 2, 3 și 4 formează de exemplu un grup simetric, cum este cel reprezentat în imaginea de mai jos printr-o diagramă Cayley. Grupurile de simetrie mai sunt numite și grupuri de transformare sau de automorfism, pentru a desemna astfel transformările liniare pe care le pot suferii elementele în cadrul grupului. Atunci când transformările din cadrul grupului sunt minime se formează un grup de transformări infinitezimale, denumit grup Lie, în onoarea celui care le-a descris. Exemplul tipic este cazul particlar al mișcării de rotație infinitezimală a unui corp în jurul unei axe. Prin extensie, acea parte a algebrei care se ocupă cu grupuri de elemente simetrice a primit numele de algebră Lie și se ocupă în particular cu spațiile vectoriale descrise de un obiect în mișcare. Cel care a descris explicit legătura dintre elementele unui grup simetric și deplasările posibile a fost matematicianul Wilhelm Karl Joseph Killing (1847-1923), folosind matrici pătratice, cu valori pentru direcție și respectiv mișcare, notate pe rânduri și coloane. Ulterior aceste matrici ale cărei elemente sunt produse scalare au primit denumirea de matrici Cartan, în onoarea matematicianului Elie Joseph Cartan (1869-1951), cel care a publicat pentru prima dată grupurile cu simetrie continuă obținute cu ajutorul unui reper mobil, aplicabile pentru studii de geometrie diferențială. Pentru situațiile din viața reală, cu limite finite de desfășurare a mișcării, din algebra Lie s-a desprins un subdomeniu denumit subalgebra Cartan, în care elementele unui grup simetric sunt auto normalizate (sau auto limitate). De exemplu, traiectoria unui proiectil volumic în atmosferă este autolimitată prin intervenția forțelor de frecare, spre deosebire de traiectoria teoretică a unui punct abstract aflat în mișcare similară. Eticheta de algebră Lie a fost pusă de matematicianul Hermann Klaus Hugo Weyl (1885-1955) în cadrul studiilor sale referitoare la ecuația spațiu-timp. Contribuția lui principală constă din legea Weyl, cea prin care a descris comportamentul asimptotic pentru valorilor intrinseci ale operatorului Laplace, aplicabilă pentru divergența gradientului unui câmp vectorial. Un grup distinct desprins din algebra Lie îl formează grupurile Heisenberg formate prin multiplicarea (înmulțirea) unor matrici triunghiulare. Denumirea a fost aleasă în onoarea matematicianului Werner Heisenberg (1901-1976), unul dintre pionierii mecanicii cuantice, cel care s-a folosit de matrici în încercarea de a descrie orbitalele electronice. Algebra Lie cu un număr infinit de dimensiuni se utilizează în topologia diferențială pentru descrierea spațiilor neeuclidiene, cu alte cuvinte pentru caracterizarea unor suprafețe anfractuoase sau ondulate (denivelate). Principala aplicație în viața modernă o reprezintă generarea computerizată a unor suprafețe sau volume cu geometrie complexă, pentru diferite situații din mediul industrial (geometria blocului motor, ajutajul motoarelor cu reacție, caroseria vehicolelor etc.). O altă aplicație curentă o reprezintă calculele pentru obiecte

22 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

aflate în mișcare simetrică, previzibilă (dinamica fluidelor, calcule balistice, vehicule în mișcare).

Geometrie

Denumirea provine de la cuvintele grecești geo (pământ) și metron (a măsura) și atestă prima utilitate a acestei științe, respectiv măsurarea unor suprafețe de teren. Pentru a măsura și calcula cât mai ușor diferitele loturi de teren aflate în litigiu, matematicienii antichității au izolat formule de calcul pentru aria diferitelor forme geometrice, apoi au împărțit terenul de măsurat în astfel de forme. Cu timpul, calculul s-a extins și la corpurile tridimensionale, pentru a calcula volumul și greutatea, în special pentru substanțele lichide sau pentru boabele de cereale. Cele mai vechi texte făcând referire la calcule geometrice au fost identificate în Egipt, pe fragmente de papirus (Rhind, Moscow) și conțin soluții pentru calculul volumului unor depozite de grâne de formă cilindrică sau rectangulară, respectiv calcule pentru înălțimea catargului sau lungimea cârmei la ambarcațiuni. Calcule pentru aria cercului și pentru volumul unui cilindru au fost identificate și pe tăblițele de lut Babiloniene, unde în locul constantei Pi se folosește constant valoarea 3. Teoreme riguros matematice au fost formulate pentru prima dată de matematicianul Thales din Milet. Prima dintre ele spune că pentru orice triunghi dreptunghic ipotenuza este diametrul cercului circumscris. Cea de a doua teoremă spune că într-un triunghi ABC orice linie (DE) paralelă cu baza (BC) împarte cele două laturi (AB și AC) în segmente proporționale (AD/DB = AE/EC). Proporționalitatea segmentelor a condus apoi spre aplicații practice, cum ar fi măsurarea înălțimii unui arbore, a unui promontoriu sau a unui zid, cunoscând distanța până la obiect și înălțimea unui țăruș de referință. Calcule similare se regăsesc în China Antică în cartea matematicianului Liu Hui, intitulată "Hidao Suanjing" (263 îen), cu referire la înălțimea zidurilor sau a turnurilor pagode. Nu mai puțin cunoscută este teorema lui Pitagoras din Samos, potrivit căreia pătratul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratului laturilor. Teorema a rezultat în urma ridicării câte unui pătrat pe fiecare dintre laturile triunghiului, urmată apoi de calculul ariilor. Reciproc, teorema este aplicabilă pentru a afla înălțimea unui triunghi dreptunghic și apoi aria triunghiului. Eudoxus din Cnidus a fost primul care a introdus o metodă riguroasă pentru calculul unei suprafețe prin umplerea acesteia cu figuri geometrice cu arie ușor de calculat (metoda exhaustivă). Părintele geometriei plane este însă considerat a fi Euclid din Alexandria. În lucrarea sa intitulată "Elemente", Euclid a inclus în 13 volume 465 de definiții, postulate, afirmații sau demonstrații cu referire la geometria plană. Printre acestea este și cel de al cincelea postulat, în care spune că două drepte tăiate de o secantă se întâlnesc de acea parte a secantei unde suma unghiurilor interne este mai mică decât 180 de grade. În epoca modernă, teorema a fost re-enunțată și astfel: 1. suma unghiurilor dintr-un triunghi este egală cu 180 de grade 2. orice triunghi poate fi circumscris 3. două drepte paralele cu o a treia sunt paralele între ele. În India, primele elemente de geometrie plană se regăsesc în numerologia Vedică, cu referire la construcția celebrelor altare de sacrificiu prin foc (Shatapatha Brahmana) construite din cinci straturi succesive a câte 200 de cărămizi, pentru a împlini cifra de 1000, cea care

23 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

simbolizează Împăratul, sau "omul cosmic", cel cu o mie de ochi și o mie de picioare. În Arabia, majoritatea matematicienilor reduceau calculul volumic prin aproximare cu containere cubice. Cea mai cunoscută este ecuația matematicianului Al-Mahani prin care încerca să găsească o soluție pentru împărțirea proporțională a volulmului unei sfere. Introducerea sistemului de coordonate Carteziene și a ecuațiilor algebrice au condus apoi spre apariția geometriei analitice. Prin Ivanovich Lobachevschy, Jaons Bolyai și Friedrich Gauss matematicienii secolului al XIX-lea au exins studiile geometrice și la suprafețele curbate sau neregulate, pentru a da naștere geometriei ne-euclidiene. Ultimele progrese s-au făcut în era tehnicii de calcul, prin apariția geometriei computaționale, adică a științei care se ocupă cu studiul algoritmilor utilizați pentru proiecțiile 3D din imagistica modernă. Dezvoltarea structurilor de date stocate cu ajutorul calculatoarelor, a condus spre un alt domeniu al geometriei, denumit geometrie a grupurilor, având ca obiect de studiu geometria arborilor binari sau genealogici utilizați pentru organizarea structurilor de date. Se mai poate vorbi apoi și despre o geometrie de procesor, utilizată pentru organizarea complicatelor conexiuni bi și tridimensionale din structura unui procesor, respectiv geometria virtuală a registrilor de memorie (bi și tridimensionali).

Una dintre cele mai frumoase ecuații algebrice aplicată în geometrie este cea imaginată de Leonhard Euler (1707-1783) pentru vârfurile, laturile și fețele unui poliedru. Cunoscută în prezent sub denumirea de caracteristica lui Euler, această ecuație postulează faptul că orice poliedru verifică ecuația chi = V - L + F, unde chi este o constantă, V este numărul de vârfuri, L este numărul de laturi iar F este numărul de fețe. În cazul poliedrelor regulate, sau convexe, cum sunt piramida triunghiulară, cubul, octahedronul sau dodecahedronul, valoarea acestei constante este 2, adică ecuația devine V- L + F = 2. De exemplu, cubul are 6 fețe, 8 vârfuri și 12 laturi iar ecuația lui Euler este 8 - 12 +6 = 2. În cazul poliedrelor cu suprafețe nonconvexe, cum este de exemplu un dodecahedron în formă de stea, valoarea constantei este diferită de doi și poate lua chiar valori negative (numărul de laturi este mai mare decât suma fețelor și a vârfurilor). Studiul corpurilor solide a preocupat mintea matematicienilor încă din Antichitate, când Platon a asociat pământul cu forma cubică, aerul cu octahedronul, apa cu icosahedronul și focul cu tetrahedronul. În lipsa unei teorii fundamentate despre atomi, Platon credea că toate elementele din Natură pot fi fragmentate în ultimă instanță la una dintre aceste forme. Și nu greșea chiar atât de mult. În epoca modernă, fragmentăm materia până la atomi și molecule ale căror câmpuri energetice formează corpuri geometrice mai mult sau mai puțin regulate. Și mai aproape de ipoteza lui Platon este teoria orbitalilor electronici. Prin extensie, ecuația lui Euler se poate extinde asupra unor studii complexe a corpurilor și a suprafețelor lor plane sau neregulate. Întreaga grafică 3D nu este altceva decât o combinație de corpuri și suprafețe poliedrice. Primul care a descris matematic corpurile solide ale lui Planton a fost Euclid din Alexandria, în lucrarea sa denumită Elemente, în care a descris construcția unor astfel de corpuri și a găsit un raport între lungimea fiecărei laturi și diametrul sferei ce poate circumscrie acel corp. Apoi în secolul al XVI-lea, Johanes Kepler (1571-1630) a încercat să facă o corelație între cele cinci planete vizibile (Mercur, Venus, Marte, Jupiter și Saturn) și corpurile solide ale lui Platon. O dată cu introducerea coordonatelor Carteziene (Rene Descartes) matematicienii au început să identifice diverse relații matematice între punctele de simetrie ale corpurilor geometrice. După introducerea

24 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

tehnicii de calcul, elementele poliedrelor au început să fie reprezentate numeric, sub formă de matrici sau tabele și baze de date. Studiul de detaliu al suprafețelor și modul de fragmentare a acestora în figuri geometrice a condus apoi spre un nou domeniu de activitate denumit topologie. În matematică, topologia este știința care se ocupă cu proprietățile unui corp geometric, conservabile în timpul unor deformări prin întindere sau răsucire, rupere sau îndoire. Topografia este doar una dintre aplicațiile practice ale topologiei și are ca prim obiectiv prognoza posibilelor deformări ale reliefului situat la baza construcțiilor industriale, respectiv întocmirea de hărți și proiecții planimetrice. Ecuația lui Euler este valabilă și în cazul rețelelor plane de tip graf (mulțimi de puncte, ordonate într-un anumit plan, interconectate între ele). Într-un astfel de graf finit, dacă punctele se interconectează în așa fel încât să nu existe intersecții ale laturilor, atunci numărul laturilor va fi egal cu suma dintre vârfuri și fețe plus doi. Adică orice astfel de graf va verifica ecuația pentru o valoare a constantei chi egală cu doi. Ecuația are semnificație și pentru algoritmii utilizați pentru generarea unor corpuri și suprafețe 3D. Printre aplicațiile practice se numără simulatoarele de teren și grafica virtuală pentru proiectarea de imobile, drumuri și poduri sau alte structuri fixe și mobile.

În Antichitate trei dintre problemele geometriei au frământat cel mai mult mintea matematicienilor. Prima se numește cvadratura cercului și cere trasarea cu compasul a unui pătrat cu aria egală cu cea a unui cerc. Problema s-a ridicat în Antichitate atunci când s-a pus problema înlocuirii unui siloz cilindric cu unul paralelipipedic. Arhimedes a demonstrat că aria cercului este egală cu raza la pătrat înmulțită cu constanta Pi. Deci pentru cercul unitate cu raza egală cu 1, aria este egală cu valoarea constantei Pi. Evident, cea mai simplă soluție constă din măsurarea cercului cu o sfoară urmată apoi de extragerea radicalului din valoarea măsurată. Problema a intervenit atunci când s-a constatat că oricât ar fi de mare cercul măsurat, valoarea măsurată nu se împarte exact. Arhimedes a arătat că valoarea lui Pi este cuprinsă între 3 și 1/7 și respectiv 3 și 10/71. Printre primii matematicieni care au încercat să găsească o soluție geometrică a fost Hippocrates din Chios (470-410 îen), autor al unui manual de geometrie intitulat Stoicheia. Metoda sa a avut la bază observațiile asupra ciclului Lunar și metoda propusă de el pentru măsurarea ariei vizibile prin echivalare cu aria unui triunghi dreptunghic. Măsurând diametrul și grosimea vizibilă, Hippocrates calcula aria Lunii folosind ecuația pentru triunghiuri. Apoi considerând că aceasta este aria unui segment de cerc a propus măsurarea întregului cerc utilizând triunghiuri dreptunghice (asemănător cu grafica 3D din prezent). În demonstrația sa a arătat că ipotenuza triunghiului dreptunghic format din două raze perpendiculare are valoarea radical din 2. Construind un cerc din mijlocul acestei ipotenuze noul cerc va avea aria egală cu jumătate din cea a cercului inițial. Ca urmare, aria triunghiului ABC este egală cu aria semicercului ridicat pe ipotenuză. Demonstrația sa mai poartă numele de quadratura Lunii. O demonstrație similară a făcut și matematicianul Hasan Ibn al-Haytham (965 - 1040), dar pentru triunghiuri dreptunghice neisoscele. În demonstrația lui, aria triunghiului este egală cu suma ariilor celor două segmente de cerc ridicate pe catetele triunghiului. O abordare diferită au avut Antiphon și Bryson din Heraclea, înscriind în cerc poligoane cu din ce în ce mai multe laturi, pentru a aproxima cât mai bine aria triunghiului. Apoi problema se rezuma la suma unui număr de arii ale unor triunghiuri. Chiar dacă nu au obținut o soluție definitivă, cei doi au obținut o valoarea a lui Pi foarte apropiată de realitate. O valoare a lui Pi foarte exactă a obținut în secolul V

25 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

matematicianul Zu Chongzhi (429-500 en) folosind raportul 355/113. În anul 1761, matematicianul Johann Heinrich Lambert a fost primul care a demonstrat că numărul Pi este irațional și nu poate avea o valoare exactă. Cu alte cuvinte, o soluție exactă este imposibilă. Spre deosebire de predecesorii săi a inventat funcțiile hiperbolice înlocuind triunghiurile clasice cu niște triunghiuri a căror suprafață este curbată. În acest fel, lungimea cercului se împarte în segmente exacte, dar valoarea acestor segmente include și un număr complex corespunzător curbaturii. Apoi, în anul 1882, matematicianul Carl Ferdinand von Lindenmann a demonstrat că numărul Pi este un număr transcendent, adică este un număr complex, fără însă să fie rezultatul extragerii rădăcinii pătrate dintr-un număr prim. Cea mai simplă soluție geometrică se obține prin aprozimarea constantei Pi cu valoarea 3. Se ridică un pătrat pe raza cercului, apoi un alt pătrat pe diagonala acestuia iar pe latura obținută se ridică un triunghi dreptunghic cu cealaltă catetă egală cu unitatea. Pe ipotenuza triunghiului se va ridica pătratul final cu latura egală cu radical din trei. Numeroși matematicieni au încercat însă să găsească o soluție geometrică mai bună. O soluție geometrică exactă pentru primele 5 zecimale a fost oferită în anul 1685 de matematicianul Adam Kochanski și a fost apoi publicată în Acta Eruditorum. O soluție exactă pentru primele șase zecimale a fost publicată în anul 1849 de matematicianul Jacob Gelder în Grunert's Archiv. O soluție cu șapte zecimale exacte a prezentat în anul 1913 matematicianul Ernest William Hobson, utilizând proporționalitatea unor segmente. Au urmat apoi soluțiile prezentate de Srinivasa Ramannujan (1913), Carl Olds (1963), Mardin Gardner (1966), Benjamin Bold (1982), Robert Dixon (1991) ... și problema încă nu a fost complet epuizată.

Cea de a doua mare problemă a Antichității era cea a cubului dublu și cerea construirea cu compasul a unui cub cu volumul dublu față de un cub dat. Problema a fost generată atunci când oracolul din Delfi a spus că epidemiile din Atena nu vor înceta decât dacă vor construi un altar lui Apollo cu volumul exact dublu față de cel existent. La prima vedere, problema pare foarte simplă și se rezumă la rezolvarea unei ecuații de genul: b x b x b = 2 x a x a x a. Pentru cubul unitate cu a=1 ecuația devine b x b x b = 2, adică b este radical de ordinul trei din 2. Problema este că numerele prime nu sunt pătrate perfecte. Extragerea radicalului din doi conduce la o valoare aproximativă de 1,4142 din care nu se poate extrage un radical perfect. Cu alte cuvinte cuvinte, problema nu este rezolvabilă pentru că un cub cu volumul exact dublu față de cel unitate pur și simplu nu există. Orice segment trasat cu compasul va avea doar o valoare apropiată de cea căutată. Totuși matematicienii s-au încăpățânat să caute o soluție cât mai apropiată spunând că problema este dificilă, dar rezolvabilă. Cea mai simplă soluție aproximativă (2,14) este următoarea: diagonala unui pătrat cu latura de o unitate este egală cu radical din 2. Ridicând un pătrat cu latura egală cu această diagonală, se include în noul pătrat un cerc. Din punctul în care cercul intersectează pătratul se ridică noul pătrat adăugând și latura pătratului unitate. Se obține un pătrat cu latura de aproximativ 1,29 unități, iar cubul va avea volumul de 2,1466 ori mai mare. Epidemiile au trecut, dar problema a continuat să frământe mintea matematicienilor greci. Platon i-a predat problema lui Archytas din Tarentum (428-347 îen), unul dintre discipolii lui Pytagoras. Acesta a rezovat problema în felul următor: într-un cilindru cu diametrul d a plasat un semicerc cu diametrul d perpendicular pe cercul de la baza cilindrului, apoi a rotit semicercul în jurul unuia dintre capete până când a intersectat peretele cilindrului. Dreapta rezultată spre acel punct avea lungimea dorită, iar linia

26 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

curbă rezultată a primit numele de linia Archytas. Discipolul său, Eudoxus din Cnidos a fost cel care a observat că proporționalitatea se păstrează chiar și în cazul numerelor care nu pot fi măsurate exact și a propus o soluție prin segmente proporționale. Ideea a fost apoi dezvoltată de Euclid în cea de a cincea sa carte din Elemente. O altă soluție interesantă a fost propusă de Menaechmus din Chersonese, unul dintre apropiații filozofului Platon. Confruntat cu problema oracolului din Delfi, el a propus o soluție bazată pe o secțiune printr-un con, respectiv prin două curbe parabolice care se intersectează, adică exact proiecția grafică pentru rezolvarea unei ecuații de gradul trei. În scrierile sale, Erastostenes spune că toți trei matematicienii au găsit soluții, dar că erau prea abstracte pentru a putea fi puse în practică. Hipocrates din Chios a propus și el o soluție folosind proporționalitatea dintre două segmente și a demonstrat că soluția se rezumă la găsirea segmentului pentru care se verifică ecuația a/r = r/b. Problema însă nu a fost rezolvată definitiv și a rămas o piatră de încercare pentru toți matematicienii din secolele următoare. În anul 1837, matematicianul Pierre Laurent Wantzel (1814-1848) a publicat un articol prin care a demonstrat că un poligon regulat nu este constructibil decât dacă numărul de laturi este dublu față de numerele prime din seria Fermat (3, 5, 17, 257, 65537). Numeroși alți autori au căutat soluții înlocuind compasul cu rigla de calcul. Alții au identificat soluții tridimensionale utilizând cuburi din hârtie și tehnici de îndoire preluate din origami. Problema nu este epuizată. Amatorii sunt așteptați cu noi și noi soluții, mai precise decât cele amintite.

Cea de a treia problemă clasică a Antichității cere împărțirea unui unghi oarecare în trei părți egale, utilizând doar rigla și compasul. Problema s-a născut din necesitatea de a calcula unghiul unei pante astfel încât un turn ridicat la un nivel oarecare să nu fie înclinat. Construcțiile de acest gen au generat o problemă de geometrie denumită construcție neusiană. O astfel de construcție constă din încercarea de a poziționa un segment cu o lungime oarecare fixă între două linii neregulate, astfel încât prin extinderea liniilor care trec prin acel segment toate dreptele să se întâlnească într-un punct P. Ca aplicație în arhitectură, pentru ca o construcție să stea în picioare, dreapta care trece prin punctul P trebuie să fie paralelă cu firul cu plumb, astfel încât punctul de echilibru instabil să se afle în punctul de simetrie al bazei. Pentru o abordare simplistă a problemei, soluția poate fi căutată megând pe cale inversă. Pornind de la un unghi oarecare OAB, se măsoară cu compasul distanța AB și apoi se trasează din punctele A și B câte un cerc cu raza respectivă. În punctele C și D unde cele două cercuri vor intersecta cercul cel mare se obține unghiul OCD, de trei ori mai mare decât unghiul OAB. Se observă că segmentul AC este egal jumătate din segmentul AD, sau respectiv este egal cu raza unui cerc cu diametrul AD. Revenind la problema inițială, este suficient ca din punctul în care o latură a unghiului intersectează cercul cel mare să se ridice un cerc asfel încât mutând vârful compasului în celălalt capăt al diamterului noul cerc trasat să treacă prin celălat punct de intersecție cu unghiul dat. Cel de al doilea segment va fi egal cu jumătatea diametrului, iar unghiurile rezultate vor fi egale cu 1/3 și respectiv 2/3 din unghiul inițial. O primă abordare științifică a problemei se regăsește în lucrările lui Hippocrates din Chios. Pentru un unghi oarecare BAC el ridică o perpendiculară din punctul C pe latura AB și apoi ridică din punctul A o linie paralelă, pentru a forma patrulaterul ADCF. Din punctul F trasează o dreaptă paralelă cu latura AB. Apoi trasează cu rigla o dreaptă în așa fel încât punctul H situat la intersecția cu latura CD să fie astfel situat astfel încât distanța până la punctul E unde dreapta intersectează linia FC să fie de două ori mai mare decât

27 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

distanța diagonalei AC. Proporționalitatea segmentelor este egală cu cea a unghiurilor astfel că unghiul BAC va fi de trei ori mai mare decât unghiul BAE. Dintre urmașii lui Hippocrates, o problemă demnă de remarcat a fost ridicată de matematicianul Colin Maclaurin (1698-1746) cel care și-a propus să afle arcurile de progresie ale unei elipse pentru calculul atracției gravitaționale dintre două corpuri aflate pe orbite eliptice. A publicat două lucrări de geometrie intitulate "Geometria Organica" și "De Linearum Geometricarum Proprietatibus". Denumită trisecțiunea lui Maclaurin, o generalizare a problemei presupune aflarea punctului de intersecție dintre două drepte care se rotează independent una de alta. Pentru cazul particular al împărțirii unui unghi în trei părți egale problema devine astfel: Diametrul AB al unui cerc este împărțit în două prin punctul de simetrie M. Semicercul MBA se așează astfel încât centrul M să fie situat exact în centrul de simetrie aflat la 2/3 din axa liniei Trisectoare, rezultată prin rotirea celor două drepte la 360 de grade. Se descrie apoi unghiul BMC astfel încât să includă unghiul alfa ce urmează să fie împărțit la trei. Punctul în care latura MC intersectează linia trisectoare se notează cu D. Din punctul A se trasează apoi o linie prin punctul D care se prelungește până când intersectează semicercul în punctul E. Din puncul E rezultat se trasează apoi o linie până în punctul M. Din punctul M se trasează o linie paralelă cu linia AE, până când intersectează semicercul în punctul F. Cele două drepte fiind paralele, rezultă că unghiul BMF este egal cu unghiul BAE și este egal cu beta. Dat fiind că suma unghiurilor dintr-un triunghi este 180 de grade și triunghiul este isoscel, unghiul MEA va fi și el egal cu unghiul MAE, adică egal cu beta. Unghiul EMF este și el egal cu unghiul AEM cele două drepte AE și MF fiind paralele, așa că toate cele trei unghiuri CME, EMF și FMC sunt egale între ele și egale cu o treime din unghiul BMC (alfa). Și pentru această problemă, matematicienii au imaginat numeroase ale soluții utilizând combinații de rigle și compase inteconectate. Încercați și voi. O generalizare a problemei spune că pentru orice număr întreg diferit de zero unghiul de 180 de grade poate fi împărțit în n părți egale doar dacă N este un multiplu de n.

Studiul intensiv al triunghiurilor și al relațiilor dintre laturile și unghiurile unui triunghi a condus în timp spre dezvoltarea unei discipline noi, denumită trigonometrie, de la cuvintele grecești trigonos și metron, cu sensul de măsurare a triunghiurilor. Istoria acestei discipline începe din Antichitate prin lucrările lui Pythagoras, Euclid și Arhimedes, apoi Hipparchus și Ptolomeu. În India primele explicații scrise au aparținut matematicianului Lagadha, apoi astronomului Aryabhata. În China, primele tabele pentru sinusul unor unghiuri au apărut în tratatul de astrologie a lui Kaiyuan Zhanjing (712 en), din timpul dinastiei Tang. Pentru lumea Islamului, primele tabele complete pentru sinusul, cosinusul și tangentele unghiurilor au fost alcătuite în secolul al IX-lea, de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, completate apoi de Abu al-Wafa al-Buzjani. Pentru navigatori, primele tabele au aparținut matematicianului Ramon Llull (1232-1315), copiate în anul 1436 în atlasul navigatorului Andrea Bianco. Primul european care a tratat trigonometria ca pe o disciplină aparte a fost matematicianul și astronomul Johannes Muller von Konigsberg (Regiomontanus) (1436-1476) în lucrarea sa "De Triangulis omnimodis". În secolul al XVII-lea, Isaac Newton și James Stirling au dezvoltat formula generală pentru interpolarea funcțiilor trigonometrice, iar în secolul următor Leonhard Euler a utilizat pentru prima dată funcții trigonometrice în analiza matematică. Este celebră formula sa integratoare pentru exprimarea logaritmilor naturali ca ecuație trigonometrică. Brook Taylor (1685-1731) a inventat seriile ce-i

28 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

poartă numele pentru a reprezenta funcțiile trigonometrice ca sume infinite de valori derivate, iar Colin MacLaurin (1689-1746) a studiat cazurile speciale ale seriilor Taylor, respectiv maxima și minima fiecărei funcții. Funcțiile trigonometrice se referă la relațiile dintre laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic, și sunt cunoscute sub denumirile de: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă, secantă și cosecantă. Fiind expresia unor unghiuri, funcțiile trigonometrice se utilizează în special pentru descrierea sau analiza unor mișcări circulare, în special în cazul motoarelor cu părți componente în mișcare de rotație. Pe lângă mecanică, principalele aplicații sunt în astronomie, navigație, topografie, optică, acustică, imagistică medicală sau grafică computerizată. Din cele mai vechi timpuri, matematicienii au arătat un interes deosebit pentru astronomie și astrologie. Cel mai simplu exemplu îl reprezintă calculul distanței dintre două planete, la un anumit moment dat al revoluției pe orbită. Johannes Kepler (1571-1630) a fost primul care a propus un model de Sistem Solar cu Soarele în centru și planetele în mișcare circulară. Tot el a observat că Marte face o rotație completă în mai puțin de doi ani, în timp ce Saturn face o rotație completă în 29 de ani și a concluzionat că Marte este mai aproape de Soare decât Saturn. Apoi în anul 1672, astronomul Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) a utilizat o tehnică denumită paralaxă pentru a aproxima distanța dintre Marte și Soare. În prezent orbitele tuturor planetelor se cunosc cu precizie, împreună cu unghiul pe orbită la o anumită dată. Să presupunem că dorim să aflăm distanța dintre planetele Saturn (A) și Jupiter (B) la un anumit moment dat (vezi desenul). Unghiul pe orbită al celor două planete se calculează față de Meridianul Solar ce trece prin punctul S. Pentru a putea afla distanța AB se ridică câte o perpendiculară AC și respectiv BD pe Meridianul Solar, apoi se ridică Înălțimea BE, paralelă cu Meridianul Solar astfel încât BE să fie egală cu CD. Dacă notăm cu R raza orbitei lui Saturn și cu r raza orbitei lui Jupiter avem următoarele relații: 1. AC = R x cos (R) (din triunghiul ASC) 2. BD = r x cos (r) (din triunghiul BSD) 3. BD=EC 4. AE= AC-BD = R x cos (r) - r x cos (r) 5. CS = R x sin (R) (din triunghiul ASC) 6. DS = r x sin (r) ( din triunghiul SDB) 7. EB = CD = CS+ DS = R x sin (R) + r x sin (r) 8. AB x AB = (AE x AE) + (EB x EB) sau AB = SQR {[ R x cos (R) - r x Cos (r) ] + [ R x sin (R) + r x sin (r) ]} (din triunghiul dreptunghic AEB). Evident, distanța va fi o sinusoidă între valorile extreme R + r și respectiv R - r. Calculul este făcut pentru o orbită perfect circulară. Planetele se deplasează însă pe o orbită eliptică caracterizată printr-o excentricitate e. Pentru orbitele eliptice, dacă cele două axe sunt a și respectiv b iar excentricitatea se notează cu e, relația dintre axa mare și cea mică este: b = a x SQR [ 1- (e x e)]. Cei cu atracție spre astronomie sunt invitați să facă un calcul exact, utilizând valorile preluate din Enciclopedia Wikipedia. Cunoscând poziția planetelor la o anumită dată de referință (din anuarul astronomic), se poate dezvolta apoi o aplicație pentru a alfa poziția planetelor și distanța dintre ele, în orice zi, la orice oră, din minut în minut. În mod similar se poate calcula distanța dintre doi sateliți artificiali ai Pământului, respectiv înainte de lansare se poate calcula orbita optimă pentru ca să nu intersecteze orbita nici unui un alt satelit. Apoi trebuiesc întroduse în ecuație atracția gravitațională, pierderile de masă, frecările, interacțiunile electro magnetice, etc.

Aparent simplă, mecanica celestă a frământat mințile matematicienilor timp de mai multe secole, fără rezultate perfecte. Eclipsele puteau fi pre-calculate dar numai cu exactitate de câteva ore, sau maxim câteva minute. Pur și simplu, mișcările nu se suprapuneau perfect. Abea în epoca sateliților și a sondelor spațiale,

29 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

măsurătorile sistematice au condus spre concluzia că Soarele nu are o poziție fixă față de restul stelelor ci se deplasează constant, cu o viteză de circa 19,7 Km/secundă (plus-minus 0,5 km), adică 70 920 Km/oră, 1 702 080 Km/zi, respectiv 621 684 720 Km/an. Dat fiind că semiaxa orbitei Pământului este de 149 598 000 Km, rezultă că în timpul unui singur ciclu planetar al Pământului, Soarele s-a deplasat în axul longitudinal pe o distanță dublă decât diametrul orbital. Spre comparație, planeta Mercur efectuează un ciclu planetar complet în 0,241 ani Pământești, timp în care Soarele a parcurs 149 826 017 Km, adică aproape exact cât semiaxa orbitei Terestre. Semiaxa planetei Mercur este însă de 57 909 000 km, deci Soarele a parcurs de 1,25 ori diametrul orbital al planetei. Mergând mai departe, planeta Venus are semiaxa orbitei de 108 204 000 Km și un ciclu planetar de 0,615 ani Tereștri. În timpul unui ciclu complet al planetei Venus, Soarele a parcurs 382 336 102 Km, adică 2,5 ori cât semiaxa Pământului și de 2, 06 ori cât diametrul orbital al planetei Venus. Pentru planeta Marte, semiaxa orbitei este de 227 942 000 km iar ciclul planetar se închide după 1,881 ani tereștri. În timpul unui ciclu complet al planetei Marte, Soarele a parcurs 1 169 388 958 km, adică de 7,8 ori semiaxa Terestră și de 2,56 ori cât diametrul orbitei planetei Marte. Ultima planetă observabilă cu ochiul liber este planeta Jupiter, cu o revoluție completă în jurul Soarelui în 11, 862 ani și o semiaxă a orbitei de 778 299 000 Km. În timpul unui ciclu complet al planetei Jupiter, Soarele a parcurs 7 374 424 148 km, adică de 49,3 ori semiaxa Terestră și de 4,75 ori diametrul orbitei Jupiter. Calculele pot continua și pentru celelate planete: Saturn (29,458 ani cu semiaxa de 1 429 394 000 km), Uranus (84,013 ani cu semiaxa de 2 875 034 000 km), Neptun (164,794 ani cu semiaxa de 4 504 456 000 km) sau Pluto (248,430 ani cu semiaxa de 5 899 951 000 km). Avansul fiecărui ciclu planetar și mișcarea integrală de rotație se pot calcula asemănător cu pasul filetului pentru un șurub. La prima vedere există o relație fixă între diametrul orbital, durata ciclului și masa fiecărei planete, dar nici un savant nu a produs încă o ecuație prin care să integreze un model matematic complet. Prin extrapolare spre mecanica cuantică, un astfel de sistem electromagnetic se suprapune destul de bine peste modelul teoretic al unui foton, cu proprietăți mixte, aplicabile atât pentru conceptul de undă și pentru cel de particulă. Practic, un astfel de sistem este format din particule în mișcare, care descriu o undă. Tot prin extrapolare, dar în sens invers, înseamnă că în Univers majoritatea undelor au lungime de undă mult mai mare decât diametrul Sistemului Solar, așa cum în sistemul nostru de referință majoritatea radiațiilor și undelor au lungimea de undă mai mare decât unda luminoasă. Întrebarea se pune dacă planetele orbitează în axul stelei, fixate gravitațional, sau rămân puțin în urmă, într-un fel de vortex, asemănător cu coama unei comete. Ar mai fi și problema centurilor de asteroizi, a cometelor și a norului Oort, structuri care urmează și ele fidel traseul stelei centrale. Probabil că soluția integrată va fi oferită prin ecuații diferențiale, pentru niște orbitali compuși (electromagnetici, electrochimici și gravitaționali), sau printr-o combinație de interacțiune dintre forțele de atracție și cele de respingere.

Geometria suprafețelor plane nu a dat satisfacție tuturor matematicienilor, în special cu referire la observațiile și calculele astronomice. Unele dintre rezultate păreau pur și simplu imposibil de imaginat. Printre cei care au căutat noi soluții s-au numărat dea lungul timpului matematicieni ca: Hasan Ibn al-Haytham, Omar Khayam, Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri, Levi Ben Gerson, John Wallis, John Lambert, Carl Friedrich Gauss, Ferdinand Karl Schweikart, Frantz Taurinus. Primii care au avut curajul să publice o lucrare în acest sens au fost însă matematicienii Janos Bolyai și Nikolai Lobachevsky. Deși au

30 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

lucrat independent unul de altul, au pornit de la aceeași premiză: dintr-un punct al unui plan situat în afara unei drepte se pot trasa un număr infinit de linii care nu intersectează acea dreaptă (însă fără ca acele linii să fie linii drepte). Nu este o negare absolută a postulatului lui Euclid, ci mai degrabă o extindere a lui spre spațiile curbate sau anfractuoase. Pentru studiul riguros al acestor situații, matematicienii moderni au dezvoltat două modele matematice, unul pentru linii hiperbolice (geometria hiperbolică) și altul pentru linii eliptice (geometria eliptică). Cel mai simplu exemplu pentru geometria eliptică este sfera, iar pentru cea hiperbolică este șaua de călărie. Toate calculele matematice de geodezie trebuie să includă și elemente de geometrie eliptică pentru triunghiurile formate de meridiane cu liniile ecuatoriale sau longitudinale. În mod asemănător, geometria hiperbolică oferă soluții matematice pentru planurile plisate și anfractuoase cum sunt de exemplu denivelările terenului formate de dealuri și dune. În cazul suprefețelor complexe sunt necesare zeci sau chiar sute de funcții integrale, câte una pentru fiecare curbură sau pliere a spațiului, cum este de exemplu calculul pentru suprafața unei colonii de corali. Astfel, geometria plană nu este decât un caz particular, un fel de funcție derivată a geometriei ne-Euclidiene. Dacă în geometria plană suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna egală cu 180 de grade, în cea hiperbolică este întotdeauna mai mică decât 180 de grade, iar în cea eliptică este întotdeauna mai mare decât 180 de grade. Geometria ne-Euclidiană nu a fost primită de contemporanii lui Lobachevsky cu brațele deschise. Matematicianul Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898), autor al romanului Alice în Țara Minunilor sub pseudonimul Carroll Lewis, a scris chiar o carte dedicată acestui subiect, sub titlul Euclid și Rivalii săi Moderni (Euclid and his Modern rivlas). Romanul este o confabulație, un dialog ironic între două personaje imaginare, prin care autorul pledează pentru menținerea Elementelor lui Euclid în educația școlară, în dauna textelor mai noi. În schimb, în zilele noastre, capacitatea de abstractizare crescută și accesibilitatea largă a tehnicii de calcul fac din geometria ne-Euclidiană o disciplină mult mai ușor de digerat. Aplicațiile de grafică 3D pliază și curbează automat orice suprafața, iar unele dintre ele oferă și baza matematică de calcul, sau chiar completează automat o schiță de proiect (de exemplu pentru caroseria pentru mașini, sau pentru cutia obiectelor de uz casnic).

Geometria este doar instrumentul matematic utilizat pentru apariția și dezvoltarea unor noi științe. Proiectarea și arhitectura nu ar fi existat fără geometrie plană. Chiar dacă nu au rămas nici un fel de dovezi scrise, monumentele megalitice din epoca neolitică au necesitat și ele un imens volum de estimări, pregătiri și planificări. A urmat apoi epoca ziggurate-lor și a marilor piramide, unde toate cifrele luate în calcul au depășit cifra milioanelor. Forma lor perfect simetrică atestă faptul cu strămoșii noștri aveau deja elemente de geometrie în spațiu, elemente câștigate în timp, cu mari sacrificii. Multe dintre construcțiilor lor s-au prăbușit înainte de a înțelege triunghiul isoscel sau piramida. Cel mai vechi tratat de arhitectură, intitulat "De arhitectura, libri decem", a fost alcătuit de inginerul militar Marcus Vitruvius Pollio (70 îen - 15 en). Structurat în zece volume, acest tratat prezintă o serie de informații despre diferitele tipuri de construcții utilizate în antichitate de greci și romani: tabere militare, locuințe și orașe, drumuri și poduri, apeducte, băi publice, porturi și schele. Tratatul include și descrierea diverselor mașinării primitive utilizate: pârghii și scripeți, macaraale, dane și mașinării pneumatice, mori de apă. Alt capitol se ocupă de instrumentele de măsură: rigla, compasul, firul cu plumb, hodometrul, bula de aer sau un indicator care plutește pe apă, ceasul

31 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

cu apă, recipiente volumetrice. Urmează apoi o descriere a modului în care se făcea planificarea orașelor, a șabloanelor și tiparelor utilizate pe post de proiect, a materialelor de construcție și a soluțiilor geometrice pentru măsurare, verificare și control. Au supraviețuit timpului numeroase exemplare în manuscris, datând din secolele VIII-XV, semn că tratatul lui Vitruvius a fost o carte de căpătâi în toate bilbiotecile antichității. Prima ediție tipărită a fost produsă în anul 1486, la Veneția, de umanistul Fra Giovanni Sulpitius (1470-1490), împreună cu un text despre apeductele din cetatea Romei. Lucrarea a fost dedicată Cardinalului Raffaele Sansoni Riario (1461-1521), cel care a finanțat întregul proiect. Prima ediție completă, cu ilustrații, a fost produsă în anul 1511, tot la Veneția, prin călugărul Dominican Fra Giovanni Giocondo (1433-1515), al cărui patron a fost Papa Iulius al II-lea (1443-1513). Au urmat apoi edițiile în limbile: italiană (1521), germană (1528), franceză (1547), spaniolă (1582), engleză (1692). Potrivit lui Vitruvius, orice construcție umană trebuie să aibă în vedere trei principii: rezistență (firmitas), utilitate (utilitas) și frumusețe (venustas). În China, cel mai vechi tratat de arhitectură păstrat până în zilele noastre a fost alcătuit de arhitectul Li Jie (1065-1110), comandantul Directoratului pentru Construcții din timpul dinastiei Song. Denumit Yingzao Fashi (Tratat de Arhitectură Metode și Standarde pentru Construcții), acest tratat inventariază documentația preluată din tratatele anterioare sau transmise prin viu grai și mai include și un glosar pentru terminologia și formulele matematice utilizate în text. În tratat sunt incluse și noțiuni de topografie, pentru alegerea amplasamentului unei construcții, dar și calcule referitoare la prețul de cost și plata lucrătorilor cu diferite grade de calificare. Sunt incluse reguli, standarde, unități de măsură, indicatori pentru calitatea materialelor de construcție, ilustrații pentru tehnicile principale, indicații pentru modul de prelucrare a lemnului, bambusului sau pietrei, exemple de decor și pictură, împreună cu formulele de preparare a diferiților pigmenți sau mortaruri. Un alt moment de referință în istoria arhitecturii a fost tratatul în patru volume denumit Cele Patru Cărți pentru Arhitectură, publicat în anul 1580 de arhitectul Andrea Palladio (1508-1580). Primul volum descrie materialele de construcție și stilurile antice: Toscan, Doric, Ionic, Corinthic. Volumul al doilea descrie planificarea urbană a Veneției anului 1500, cu cele 9 palate și 22 vile. Cel de al treilea volum prezintă aspecte de proiectare a străzilor și piețelor, a podurilor și structurilor adiacente. Ultimul volum descrie în 26 de capitole probleleme specifice legate de construirea marilor temple dedicate zeilor (Jupiter, Marte, Fortuna, Vesta, Neptun), cu exemple din Roma, Napoli, Spoleto, Assisi sau Nîmes.

Geometria ne-Euclidiană este și ea instrumentul matematic utilizat pentru dezvoltarea unor noi științe. Prima dintre acestea este topografia ca ramură a cartografiei, adică știința care studiază și reprezintă grafic suprafețe mari de teren. Geneza acestei preocupări este extrem de veche. Cea mai veche hartă a fost identificată pe o tăbliță de lut din Babilonia descoperită în orașul Nippur, pe care se distinge un ziggurat împreună cu zidurile și șanțurile înconjurătoare. Cea mai veche hartă a lumii cunoscute aparține lui Hecatus din Milet (550-475 îen) despre care se spune că ar fi o copie a hărții întocmită de Anaximander, care însă nu s-a păstrat. Mult mai cunoscută este apoi harta lui Herodot (440 îen) însoțită de un text amplu în care sunt precizate distanțele în stânjeni și pași. Harta oferă o aproximare destul de bună a lumii reale, semn că matematicienii Antichității știau deja să împartă spațiul în pătrate și apoi să reducă aceste pătrate la o scară de 1/10 000, sau chiar mai mult. Pentru întocmirea unei hărți, pornind din punctul de referință se împărțea

32 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

spațiul în pătrate cu latura de 10 000 pași, se marcau pe hartă toate distanțele cunoscute, spre cele patru puncte cardinale, apoi harta se desena în jurul acestor puncte de referință. Primul atlas geografic al Imperiului Roman a fost alcătuit în secolul al II-lea, de Ptolomeu. Hărțile antice însă nu țineau cont de formele de relief, erau doar schițe pentru traseele comerciale sau militare, marcate în zile de mers pe jos. Un bun exemplu în acest sens este Tabula Peuteringiană, aclătuită în secolul al V-lea, având incluse toate castrele și toate drumurile Imperiului Roman. În China, cea mai veche hartă excavată de arheologi datează din secolul IV îen. Desenată cu tuș negru pe o tăbliță din lemn, harta reprezintă bazinul râului Jialing din provincia Sichuan, cu toți afluenții tributari, pentru o arie totală de circa 100 x 70 km. În veacurile următoare, dictatorii dinastiilor Han, Jin, Sui, Tang, Song,Yuan, Ming și Quing au ordonat și obținut hărți din ce în ce mai exacte, în special pentru traseul caravanelor de pe Drumul Mătasei. În India, primele picturi ale regiunilor geografice au fost alcătuite în secolul al VIII-lea de înțeleptul sanskrit Bhavabhuti. Cam în aceeași perioadă, Caliphul Abbasid al-Ma'mun a ordonat geografilor să măsoare din nou, cu exactitate, toate distanțele cunoscute, apoi a fixat unitatea de măsură în mile, față de stadiile utilizate de greci. O hartă completă a lumii cunoscute a alcătuit în anul 1154 geograful arab Muhammad al-Idrisi, cunoscută sub numele de Tabula Rogeriană, după ce regele normand al Siciliei Roger al II-lea (1130-1154) a gravat această hartă pe un disc mare din argint cu greutatea de 300 de livre. Harta lui Muhammad al-Idrisi a fost folosită de navigatorul Cristofor Columb atunci când și-a propus să găsească un nou drum spre Indiile de Est. În anul 1492, negustorul german Martin Behaim a alcătuit primul golb pământesc, fără a include însă continentul American nedescoperit încă. În același an, expediția portughezului Cristofor Columb a dublat practic suprafața Terrei. În anul 1513, amiralul și cartograful otoman Piri Reis, a alcătuit una dintre primele hărți maritime pe care este reprezentat și noul continent, America. Alte hărți ale noului continent au fost alcătuite de navigatorul spaniol Juan de la Cosa și de cartograful portughez Pedro Reinel. O hartă inedită este cea a polinezienilor din insulele Pacificului, alcătuită din bețișoare și benzi din bambus cu lungime cunoscută, pentru a reprezenta distanța dintre insulele arhipelagului în zile de tras la rame. Ceva asemănător au alcătuit și Europenii școlii de la Majorca, în secolul al XIII-lea, prin așa numitele hărți Portulane, pe care sunt reprezentate distanțele nautice dintre diferitele porturi, măsurate în linie dreaptă de navigație. Cele mai vechi hărți Portulane păstrate pe pergament datează din secolul al XVI-lea și au aparținut navigatorilor portughezi. Matematicianul Gemma Frisius (1508-1555) a fost cel care a propus utilizarea unui ceas pentru determinarea longitudinii iar geograful Gerardus Mercator a fost cel care a realizat prima proiecție cilindrică a hărții globului Terestru. Primul atlas nautic a fost alcătuit în anul 1584 de cartograful Lucas Janszoon Waghenaer, iar în anul 1660 Andreas Cellarius a alcătuit un atlas ceresc (Harmonia Macrocosmica). Perspectiva verticală a fost utilizată pentru prima dată în anul 1740 de germanul Matthias Seutter (1678-1757), iar în anul 1745 francezul Joseph Nicolas Delisle (1688-1768) a introdus proiecția conică echidistantă. Dezvoltarea topografiei ca știință a permis apoi reprezentarea primelor hărți topografice cu reprezentarea denivelărilor prin linii concentrice de altitudine. Primul atlas topografic al Franței, denumit Carte geometrique de la France a fost realizat în anul 1789. Prin convenție, curbele de relief se notează sin 100 în 100 de metri de altitudine față de nivelul mării. Primele hărți exacte au apărut însă abea în secolul XX, după efectuarea primelor fotografii aeriene și apoi a primelor fotografii din satelit. În prezent, o serie de comapnii cum sunt: Google Maps, Bing Maps, National Geographic Maps, CartoDB sau Mapbox oferă gratuit hărți de mare acuratețe, aflate la dispoziția marelui public. O altă știință derivată din geometria ne-Euclidiană este topologia. Topologia se ocupă cu geometria virtuală a unor obiecte reale supuse unor deformări fizice și cu geometria virtuală a unor obiecte abstracte, definite doar matematic. Fiind rezultatul unor procesări software extrem de complexe, topologia este încă o știință în epoca sa de pionierat.

33 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Analiză matematică

În general, termenul de analiză implică desfacerea unui grup complex de informații în elemente simple, ușor de înțeles și caracterizat. Cel mai intuitiv tip de analiză este analiza chimică, prin care cu ajutorul unor reacții chimice cunoscute se află informații despre o substanță necunoscută. Analiza matematică este un domeniu de studiu dezvoltat începând cu secolul al XVII-lea, pentru o mai bună înțelegere a calculelor în care sunt implicate valori multiple, serii sau arii de numere, calcule complexe sau expresii incomprehensibile la prima vedere. Principalele obiective ale analizei matematice sunt: 1. identificarea valorilor limită pentru un grup de valori (limitele funcției) 2. capacitatea de a discrimina valorile între ele (calculul diferențial), 3. integrarea tuturor valorilor într-un aspect comun (calculul integral) 4. atribuirea unui domeniu de reprezentare în care să fie cuprinse toate valorile posibile (măsura valorilor) 5. secvențializarea valorilor sub forma unor serii infinite, atunci când valorile posibile nu sunt predeterminate (serializare) 6. analiza gradului de complexitate a funcței și a gradului de discriminare dintre valorile posibile (funcțiile analitice). Asemănător cu analiza chimică, analiza matematică descompune grupurile complexe de valori în ecuații simple, sau utilizează expresii matematice simple cu ajutorul cărora desprinde grupuri de valori mai ușor de organizat decât în forma inițială. Divide et impera. În informatică un concept similar este denumit "data mining" și utilizează seturi de comenzi speciale cu ajutorul cărora se extrag informații țintite dintr-o bază de date imposibil de evaluat în întregime. Primele elemente de calcul diferențial au apărut în Antichitate, când matematicienii au introdus într-un cerc poligoane cu din ce în ce mai multe laturi, pentru a putea calcula aria cercului. În secolul al XII-lea, matematicianul Bhaskara a fost primul care într-o ecuație cu două necunoscute și-a pus problema de a exprima variabilitatea uneia dintre necunoscute în funcție de cealaltă (derivarea funcției). Prima abordare științifică i-a aparținut însă lui Rene Descartes (1596-1650). Pentru o reprezentare geometrică a tuturor valorilor posibile, Descartes a împărțit spațiul prin două axe de coordonate, perpendiculare una pe alta, cu extindere de la minus la plus infinit. Cele două axe, denumite apoi Carteziene, au deschis un nou domeniu în matematică denumit analiza geometrică a grupurilor de numere. Un alt corifeu al analizei matematice a fost Pierre de Fermat (1601-1665), cel care a publicat în anul 1636 o primă metodă pentru maxima și minima curbelor tangente. Tot Fermat a fost primul care a evaluat calculul integral al unei funcții exponențiale. Câteva decenii mai târziu, matematicianul Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) a fost primul care și-a propus să reprezinte toate valorile posibile ale unei funcții și a introdus semnul Sigma pentru suma tuturor valorilor unei funcții integrale, respectiv litera delta pentru valorile derivate. Tot Leibnitz a inventat în anul 1684 conceptul de derivată inversă (antiderivată) care prin derivare devine egală cu funcția inițială. Independent de el, matematicianul Isaac Newton (1642-1726) a publicat primele lucrări referitoare la calculul infinitezimal și este creditat cu generalizarea exponențierii unui binom (binomul lui Newton). Un secol mai târziu, Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) a utilizat funcțiile trigonometrice pentru a analiza transferul de căldură prin corpurile metalice și a inventat astfel funcțiile periodice, cunoscute apoi sub denumirea de serii Fourier. Analiza seriilor Fourier are în prezent nenumărate aplicații pentru seriile de valori

34 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

ce oscilează în jurul unei valori de referință (De exemplu, undele de orice fel).

Cel mai simplu exemplu de analiză matematică a unor seturi de numere îl oferă seriile de numere obținute prin exponențierea numerelor naturale. La puterea 1, ecuația a + b = c are un număr infinit de soluții. La puterea 2, ecuația devine egală cu teorema lui Pitagora: a (a) + b (b) = c (c) cu un număr mai restrâns de soluții, dar totuși infinit. Din dorința de a obține mai ușor perechile de numere care rezolvă ecuația se poate utiliza următoarea logică. 1. a este un număr natural diferit de b și de c 2. deci b este mai mare decât a 3. c este mai mare decât a și decât b (altfel nu poate egala ecuația) 4. c este mai mic decât a+b (altfel pătratul lui este mai mare decât suma pătratelor lor) 5. c este egal cu b+x unde x este un număr natural mai mic decât a 6. înlocuind în ecuație obținem a (a) = 2bx - x (x) sau b = [a (a) - x (x)] / 2 x. Pentru x=1 ecuația devine b = [a (a) - 1]/2 cu soluții pentru orice număr natural impar: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41).... Pentru x=2, ecuația devine b = [a (a) - 4]/4 cu soluții pentru orice număr par: (4,3,5), (6,8,10), (8,15,17), (10,24,26) ... Seriile de perechi de numere pot continua la nesfârșit, sau se pot deriva ecuații echivalente pentru x=3, x=4, x=5 ... Chiar dacă nu au rezolvat ecuații, matematicienii antichității cunoșteau numeroase astfel de seturi de numere, obținute empiric, prin tatonare. Pornind de la această observație simplă, matematicianul Pierre de Fermat a dorit să treacă la nivelul următor și a început să caute seturi de numere naturale care să rezolva ecuația: a (a) (a) + b (b) (b) = c (c) (c). După numeroase calcule a constatat că nu găsește nici o combinație posibilă. Apoi a încercat și câteva soluții pentru ecuații de grad superior, tot fără succes. A concluzionat empiric că: "Este imposibil să se împartă cubul unui număr în cubul altor două numere naturale, sau în general, să se împartă un număr ridicat la o putere superioară în două numere care sunt puteri superioare ale unui număr natural". Fermat a afirmat că a găsit și o demonstrație, dar spațiul nu-i permite să o reproducă. Problema a fost publicată și a devenit o piatră de încercare pentru toți învățăceii în matematică. Numeroși matematicieni celebri au oferit soluții, dar nici una nu a fost acceptată. Timp de secole, ipoteza lui Fermat a rămas o piatră de încercare, până în anul 1986 când soluția lui Andrew Wiles a fost acceptată ca riguros matematică. Eu aș propune o soluție mult mai simplă, rezultată prin extinderea rezolvării prezentate pentru ecuația de gradul doi, pornind de la aceleași premize 1-5. Și în acest caz se înlocuiește în ecuație c prin b+x. Rezolvând ecuația se obține o ecuație nouă pentru a în funcție de b și x. Pentru a simplifica lucrurile b poate fi la rândul lui înlocuit prin a+y, unde y este tot un număr natural, mai mic decât b. În continuare se obține o ecuație a lui a în funcție de variabilele x și y. Pentru a obține forma cea mai simplă a ecuației se pot lua în considerare valorile x=1 și y=1. Apoi, întreaga ecuație se poate împărți prin pătratul lui a, pentru a elimina puterea a treia a lui a. Se obține o ecuație de forma a = 3 + 6/a + 3/a(a) ... + alți termeni neimportanți. Se observă cu ușurință că ecuația nu poate fi verificată deoarece în cel de al doilea termen va exista întotdeauna o valoare fracționară, în timp ce a este un număr natural. Indiferent ce valori se iau pentru x și y, valoarea fracționară din cel de al doilea termen nu dispare. Prin generalizarea ecuației pentru orice număr natural se obține tot o ecuație în care c se înlocuiește prin (b=x) la puterea n. După dezvoltarea și rezolvarea ecuației (prin binomul lui Newton) printr-un mecanism similar, se obține în final tot o ecuație în care cel de al doilea termen conține obligatoriu valori fracționare. Și în acest caz, demonstrația se face inițial prin derivarea funcției pentru valorile x=1 și y =1, apoi se pot calcula oricâte derivate pentru valori superioare ale lui x și y. Este cel mai simplu exemplu de analiză matematică a unei funcții integrale prin utilizarea unei funcții

35 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

derivate. Bineînțeles că matematicienii adevărați pot îmbrăca această soluție în haine de sărbătoare, utilizând notațiile matematice moderne. Mai mult decât atât, programatorii pot dezvolta algoritmi elementari pentru a prezenta grafic modul în care se grupează valorile sau subdomeniile. O dată înțeles acest mecanism, analiza matematică este la îndemâna oricui.

Pentru analiza mai ușoară a funcțiilor exponențiale, matematicianul John Napier de Merchiston (1550-1617) a introdus noțiunea de logaritm, prin care exprimă operația excat inversă celei de ridicare la putere. În lucrarea sa intitulată "Mirifici logharitmorum canonis descriptio" a introdus și un tabel cu rezultatul operației de extragere succesivă a rădăcinii pătrate dintr-o serie de numere naturale. Pentru extragerea rădăcinii de gradul zero din valoarea unu a introdus un număr irațional cu valoarea aproximativă egală cu 2,71828, denumit apoi e, constantă utilizată ca bază a logaritmilor naturali. Valoarea e este limita superioară a binomului (1 + 1/n) ridicat la puterea n și prin urmare se poate utiliza pentru a analiza seturi mari de numere cu valori cuprinse între 0 și 2,71828, cum sunt de exemplu funcțiile trigonometrice Sinus și Cosinus. Prima aplicație a tabelelor lui Napier a fost găsită de Johannes Kepler (1571-1630), pentru calculul efemeridelor planetelor vizibile. Dintre logaritmi, cei mai intuitivi sunt cei în baza zece. Astfel dacă pătratul lui zece este o sută, logaritmul în baza zece din o sută este doi. Apoi logaritmul în baza zece din o mie este trei. Prima tabelă pentru logaritmii în baza zece a fost editată în anul 1617 de matematicianul Henry Briggs (1521-1630) și s-a utilizat pentru calculul dobânzilor la împrumuturile bancare. Calculul progresiilor matematice a făcut apoi deliciul cămătarilor din toate timpurile. O aplicație extrem de cunoscută este și formula pentru PH-ul (aciditatea) unei soluții, ca expresie a minus logaritmului din concentrația ionilor de hidrogen. Tot o aplicație din medicină este analiza celulelor din sânge pe baza receptorilor de suprafață, în boli ale sângelui, cum sunt leucemiile și limfoamele. Pentru a simplifica munca cu logaritmi, au fost completate și publicate tabelele uzuale, cu valori precalculate. De exemplu tabelele pentru logaritmii zecimali ai tuturor numerelor naturale de la 100 la 10 000. Cu cât baza logaritmului este mai mare, cu atât discriminarea dintre două valori succesive este mai mică. Cu alte cuvinte, logaritmii cu bază mare se utilizează pentru analiza numerelor foarte mari, iar cei cu bază mică pentru analiza numerelor foarte mici. Pentru a simplifica și mai mult munca cu valorile foarte mari, matematicienii au identificat principalele identități, sau echivalențe în operațiile cu numere exprimate logaritmic. Astfel logaritmul produsului dintre două numere este egal cu suma logarimilor din cele două numere: log(xy) = log(x) + log (y). Apoi logaritmul din câtul unei împărțiri este egal cu diferența celor doi logaritmi: log (x/y) = log(x) - log(y). O altă identitate există între logaritmul unui număr ridicat la putere și produsul dintre putere și logaritmul numărului: log (x la puterea p) = p x log(x). În zilele noastre, tabelele de logaritmi au fost înlocuite de calculele instantanee făcute de calculatorare și minicalculatoare de buzunar sau de aplicațiile pentru telefoanele inteligente. Analiza logaritmică se utilizează frecvent în astronomie. De exemplu pentru a exprima câte stele cu magnitudinea mai mică de doi sunt vizibile într-un anumit sector. În electrochimie, logaritmii exprimă clustere sau grupuri de atomi și electroni participanți la o anumită reacție. Din punct de vedere matematic, marile convulsii ale Universului pot fi extrapolate (asemănate) la o scară mică prin reacții electro-chimice dintre atomi și molecule. Alte aplicații uzuale sunt pentru calculul statistic și probabilistic.

36 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

În secolul al XVIII-lea, Leonhard Euler (1707-1783) profesor de matematică la Universitatea din Saint Petersburg și apoi membru al Academiei din Berlin și al Academiei de Științe din Suedia, a publicat cele două lucrări de referință: "Introductio in analysin infinitorium (1748)" și "Institutiones calculi differentialis". Prima dintre ele este considerată a fi cartea de temelie a analizei matematice. Primul capitol introduce notațiile convenționale pentru variabile și funcții iar cel de al patrulea introduce noțiunea de serii infinite și cea de fracții raționale. Tot el a introdus și denumirea de funcții transcendente pentru acele funcții matematice care prin ridicare la pătrat pot fi definite prin ecuații polinomice. Primele funcții transcendente studiate au fost funcțiile exponențiale, logaritmii și funcțiile trigonometrice. Cea de a doua lucrare conține numeroase exemple de calcul diferențial, respectiv ecuații pentru caracterizarea derivatelor unei funcții. Noțiunea de calcul diferențial se referă la scindarea unui calcul complex în funcții simple, ușor de evaluat. O primă metodă constă din împărțirea grupului complet de valori în seturi mari, selectând acele valori care respectă o anumită regulă. De exemplu, toate valorile cuprinse într-o anumită arie. Această metodă poartă denumirea de calcul integral, deoarece lucrează cu toate valorile posibile dintr-un subset de valori. O a doua metodă, mai discriminativă, poartă numele de derivare și calculează doar valorile din punctele caracteristice: minima, maxima, punctul zero, limitele intervalelor de discontinuitate, punctele de inflexiune față de una dintre axele de coordonate, etc. Funcția care calculează o astfel de valoare discriminativă a funcției poartă denumirea de derivată, adică o funcție obținută prin derivare din funcția de analizat. Cunoscând valorile extreme și punctele limită, restul funcției se poate apoi aprecia prin aproximare, toate celelalte valori fiind cuprinse între cele aflate prin derivare. De exemplu, pentru a determina dacă valorile unei funcții exponențiale se înscriu într-un grafic parabolic sau hiperbolic, nu sunt necesare mai mult de cinci valori obținute prin derivare. Calculul integral și cel diferențial au fost inventate aproape simultan, de matematicienii Isaac Newton și Gottfried Wilhelm Leibniz. Pentru calculul binomului de grad "n", Isaac Newton a descompus ecuația de grad nedefinit într-o sumă de ecuații clar definite. Gottfried Leibniz a procedat în mod asemănător pentru a descompune calculul funcției de gradul unu cu două necunoscute y = f(x) într-o sumă de ecuații de gradul întâi cu o singură necunoscută. Înlocuind valoarea lui x prin numere naturale, de la zero la infinit, fiecare dintre valori va genera o derivată a funcției de analizat. Gottfried Leibnitz a fost primul care a utilizat semnul Sigma pentru suma ecuațiilor derivate și litera Delta pentru a desemna fiecare derivată. Cu alte cuvinte, prin derivată s-a denumit acea expresie matematică prin care se exprimă rata de variație a funcției în funcție de unul dintre parametrii ei. Acest parametru unitate poate fi un număr natural, sau un număr complex. De exemplu, pentru funcțiile trigonometrice unitatea de variație se exprimă în radiani și este o câtime din valoarea numărului Pi (Pi/2, Pi/4, Pi/6, Pi/12 ... Pi/360). Diverse soluții de analiză matematică se regăsesc la matematicieni ca: Perre de Fermat, Isaac Barrow, Rene Descartes, Christian Huygens, Blaise Pascal, John Walls. O contribuție semnificativă a adus apoi matematicianul Augustin Louis Cauchy (1789-1857), cel care a propus o soluție de integrare pentru grupurile de valori descrise prin ecuațiile unor forme discoidale. Cauchy a observat că domeniul de valori poate fi definit mai simplu, caracterizând doar valorile situate pe cercul exterior (restul valorilor fiind încluse în aria discoidală). Un exemplu tipic îl formează calculul integral al mișcării, pentru motoare, sau pentru mașini unelte cu mișcare circulară. Pentru întreaga funcție se poate extrage un argument

37 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

comun 1/(2 x Pi x i) urmat de suma derivatelor f(z)/(z-a). Soluțiile lui Cauchy pentru analiza funcțiilor continue au fost publicate în anul 1821, în cursul său de analiză de la Școala Politehnică din Paris, denumit "Cours d'Analyse de l'Ecole Royale Polytechnique". O altă contribuție semnificativă aparține matematicianului Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), cel care a propus soluții pentru calculul ariilor unor suprafețe complexe împărțind sistemul de coordonate în "n" dimensiuni (câte o dimensiune pentru fiecare direcție semnificativă a spațiului). S-a a inventat astfel geometria analitică, respectiv soluțiile matematice pentru analiza topografică a unui teren cu supafețe neregulate. Părinte al analizei matematice este considerat și matematicianul Karl Theodor Weierstrass (1815-1897), cel care a formalizat definiția funcțiilor continue și a demonstrat teorema valorilor intermediare, revalidând astfel teorema lui Bernard Bolzano (1781-1848) pentru funcțiile continue. Numeroși alți matematicieni au contibuit apoi pentru identificarea unor identități aplicabile pentru operații cu funcții derivate.

Una dintre cele mai spectaculoase aplicații ale calculului diferențial este calculul probabilistic. Matematicienii au lucrat ani în șir la o formulă matematică pentru identificarea asteroizilor a căror orbită viitoare poate să intersecteze orbita planetei noastre. Asteroizii sunt un grup de câteva milioane de obiecte spațiale cu compoziție minerală, aflate în orbită eliptică în jurul Soarelui, la aproximativ jumătate distanța dintre planetele Marte și Jupiter. Aproape două milioane dintre aceștia au diametrul mai mare de un kilometru, circa 200 au diametrul mai mare de 100 kilometri, iar patru dintre ei (Ceres, Vesta, Pallas și Hygeia) însumează mai bine de jumătate din masa totală (de circa 3 x 10 E+21 Kg). În anul 1596, Johannes Kepler a fost primul care a prezis existența unei planete himerice între Marte și Jupiter, iar calculul orbitelor de minimă energie a confirmat apoi ipoteza sa. Unii dintre geologi chiar sunt de părere că centura de asteroizi nu reprezintă altceva decât o planetă în fazele incipiente ale formării, în timp ce alții argumentează dimpotrivă pentru o planetă sfărâmată de un impact. Cert este că aceste blocuri minerale se deplasează pe o orbită eliptică, iar orbita lor se schimbă de fiecare dată când trec prin apropierea planetelor Jupiter sau Marte. Mai există apoi și o minimă deviere atunci când tranzitează celelalte panete sau asteroizii apropiați. Această mișcare, asemănătoare cu valurile oceanului, a primit denumirea de "dans al asteroizilor" și poate fi comparată cu efectul exercitat de atracția gravitațională a Lunii asupra mărilor și oceanelor. La fiecare trecere prin dreptul uneia dintre planete, orbita se modifică puțin, până când unii dintre asteroizi părăsesc complet orbita staționară eliptică și intră pe o orbită gravitațională spre una dintre cele două planete. Alteori, noua orbită este direcționată spre Soare, devenind comete. În acest ultim caz, orbita lor intersectează orbita Pământului și există riscul unei coliziuni. Deplasarea asteroizilor este caracterizată în primul rând prin energia lor cinetică, determinată de masă și pătratul vitezei. Viteza de deplasare pe orbită este de 2 până la 3 ori mai mare decât cea a planetei Jupiter. Ca urmare, grupuri mari de asteroizi intră în rezonanță cu planeta Jupiter în funcție de raportul vitezei orbitale (3/1, 5/3 sau 7/3) pentru a forma în cadrul centurii de asteroizi niște benzi de concentrare, respectiv niște spații libere denumite spații Kirkwood. Cei aranjați în aceste benzi au orbită staționară, în schimb cei situați excentric sunt cei cu o mare probabilitate de a fi deviați pe o orbită arbitrară. Legea atracției gravitaționale spune că energia potențială de atracție este egală cu produsul celor două mase împărțit la distanța dintre cele două corpuri: E = G x M x m / d. Ecuația este însă doar o aproximație. Pentru valori ale lui d mai mici decât unu energia crește exponențial, pentru ca la d = 0 energia să fie infinită, dar energia unui corp de mici dimensiuni nu poate fi infinită. Pentru fiecare corp, energia

38 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

gravitațională trebuie să fie de forma: E = M/(r+d) unde r este raza corpului respectiv. În cazul planetelor, energia gravitațională este maximă pentru r=1, adică la suprafața planetei, iar spre interior devine negativă. Ca o consecință, planetele mari trebuie să fie goale la interior, ca niște mingi. Fiecare dintre planete este în permanentă interacțiune gravitațională cu Soarele, raza fiind determinată de masă. Dacă se acumulează sau se pierde masă, la suprafață apar forțe de forfecare și se produc mișcări tectonice, până când raportul se reechilibrează la minumum de energie (raza crește sau scade puțin). Corespunzător, cele două raze trebuiesc adăugate și în cazul atracției dintre planetă și un asteroid, chiar dacă ecuația se modifică doar foarte puțin. Planetele fiind în mișcare, energia nu este potențială, statică, ci este un vector. Unghiul de incidență format între direcțiile de deplasare este determinant. În desenul de mai jos, interacțiunea corpului de masă m asupra celui de masă M trebuie calculată înmulțind forța de atracție gravitațională cu cosinusul unghiului alfa. Se observă că energia este maximă pentru un unghi de zero grade, caz în care impactul este inevitabil și este egală cu zero pentru un unghi de 90 de grade, în cazul unor direcții de deplasare perfect paralele. Mai mult decât atât, pentru unghiuri mai mari de 90 de grade, forța de atracție devine negativă, adică imediat ce a depășit punctul critic asteroidul este respins în loc să fie atras (de unde și aspectul de dans). Rezultatul este o ușoară creștere a vitezei, cu minimum de impact asupra orbitei staționare. Calculul diferențial trebuie să identifice și să cuantifice tocmai acest minim impact și apoi să aplice această corecție pentru viitoarele o sută sau două sute de revoluții, pentru a identifica eventualele evoluții arbitrare în viitorul apropiat.

Pentru a simplifica munca de analiză a unor seturi de date, matematicienii au inventat și patentat numeroase instrumente matematice de lucru (tools) cu ajutorul cărora operațiile se pot planifica și standardiza după algoritmi prestabiliți. Exemplul următor este preluat din cartea "Math tool - grades 3-12" publicată de profesorii Harvey Silver, John Brunstig și Terry Walsh (Corwin Press 2008). De cele mai multe ori, valorile numerice de analizat nu sunt valori arbitrare ci sunt organizate în secvențe predictibile. Analiza matematică are rost atunci când nu se cunoaște exact formula de organizare a valorilor și se caută o tendință, un șablon, un pattern, cu ajutorul căruia să se poată emite apoi formula generalizatoare. Exemplele de acest gen sunt nenumărate și se referă la analiza oricărui tip de date înregistrate în timp: fenomene meteorologice, natalitate sau mortalitate, recensământul populației, antrenament și rezultate sportive, recolta agricolă, creșterea și dezvoltarea plantelor ...etc. Exemplul din imagine este conceput pentru valori numerice abstracte, organizate sub forma unor matrici, cu două variabile X și Y. Analiza matematică implică trei etape distincte: 1. identificarea unui pattern de evoluție pe baza valorilor existente 2. utilizarea acestui pattern pentru a anticipa valorile lipsă din tabel (notate cu p și q) 3. analiza pattern-ului și formularea unor ecuații generalizatoare pentru întregul proces, împreună cu corelații între cele cinci matrici diferite. Un alt exemplu sugestiv provine din programare și constă din formularea unor algoritmi pentru identificarea datelor selective din interiorul unor baze de date cu volum imens, acolo unde interogările simple de tip SQL returnează zecii de mii de rezultate. Activitatea de acest tip este denumită și "data mining" (excavarea datelor), cu aluzie la minerit și la săpături adânci. În epoca modernă programatorii nu mai trebuie să lucreze cu creionul pe hârtie pentru a identifica identități logice. Ca parte componentă a unor programe de calcul complexe, instrumentele matematice (tools) sunt organizate sub forma obiecte informatice predefinite, cu acțiune selectivă asupra unui

39 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

anumit tip de date (numerice, text, date calendaristice, fișiere audio, imagini). Algoritmul de calcul va consta doar din identificarea automată a tipului de date cercetat, urmată apoi de testarea automată a tuturor instrumentelor matematice adecvate existente în arhivă. Calculatorul face singur întreaga muncă, la un simplu click de mouse. După identificare instrumentelor care produc date interpretabile, un alt algoritm automat poate iniția alte seturi de instrumente matematice cu ajutorul cărora identifică unul sau mai multe pattern-uri. Operatorul de calcul nu trebuie decât să aleagă acele instrumente care izolează cel mai discriminativ informația dorită. Mai există apoi și algoritmi automați pentru optimizarea soluțiilor, sau pentru clasificarea instrumentelor matematice în funcție de performață (volumul de date pozitive identificate, volumul de date pozitive neidentificate, validarea sau invalidarea formulelor de corelație, asocierea sau disocierea datelor extrase cu datele obținute la o analiză anterioară, raportul dintre eficiență și costuri). Un exemplu practic îl reprezintă identificarea unei persoane în baza unor imagini preluate de camerele de supraveghere doar prin prelucrarea automată a unor indicatori antropometrici. Mai mult decât atât, sistemele de supravehgere moderne pot să identifice cu ajutorul camerelor de supraveghere diferite stări psihologice, tulburări de ordin afectiv sau chiar unele dintre problemele de sănătate.

De ce este atât de importantă analiza matematică ? Pentru că ne poate arăta ceea ce nu putem vedea cu ochiul liber. Uneori, ne poate chiar demonstra că ochiul ne înșală și ceea ce vedem noi nu corespunde realității. Cel mai bun exemplu îl reprezintă stelele de pe cer. Timp de mii de ani, oamenii au observat cu ochiul liber cele circa 3000-5000 de stele vizibile fără ajutorul unor aparate optice. Utilizând luneta, apoi telescopul, astronomii au putut observa un număr din ce în ce mai mare de stele, iar prin introducerea tehnicii computerizate au putut să numere și să organizeze sute de milioane de puncte luminoase. Pentru împărțirea lor în grupuri semnificative s-a introdus o scară logaritmică a stălucirii cu fiecare treaptă egală cu radical de ordinul cinci din 100, adică 2,512. Astfel o stea cu magnitudinea 1 este de 2,5 ori mai mare decât o stea cu magnitudinea 2, de 2,5 x 2,5 ori mai mare decât o stea cu magnitudinea 3 și așa mai departe. Scara de magnitudine începe de la -27 și merge până la +32. Problema a apărut atunci când observațiile automatizate au numărat și inventariat stelele după magnitudine. Una dintre statistici a oferit următoarele cifre pentru Număr stele (magnitudine): 2 (-1), 8 (-0,5), 22 (1), 93 (2), 283 (3), 893 (4), 2822 (5), 8768 (6), 26 533 (7), 77 627 (8), 217 689 (9), 626 883 (10), 1 823 573 (11), 5 304 685 (12), 15 431 676 (13), 44 828 260 (14), 130 577 797 (15), 379 844 556 (16). După cum este ușor de observat, de la un grad de magnitudine la altul numărul stelelor crește de circa 3,14 ori. Este absurd de presupus că stele din Univers s-au format ca multiplu de 3,14. Este destul de evident că este vorba de un factor de lentilă optică. La fel ca pentru microscopie, cu cât crește puterea de mărire cu atât se observă mai multe detalii. Dar dacă nu sunt stele, ce anume se observă acolo. Sunt franjuri de interferență, formate prin interacțiunea nenumăratelor radiații cosmice, cu lungimi de undă diferite. Stelele există, probabil la fel de multe, sau chiar mai multe decât au fost estimate, dar nu pot fi văzute de pe Pământ în spectrul optic, cu excepția planetelor și a altor corpuri reflectogene apropiate. Pentru comparație, în imaginea de mai jos se poate observa interferența unor unde luminoase printr-un film de săpun și prin baloane de săpun. Planetele și sistemele solare sunt înconjurate și ele de gaze și praf cosmic, pentru a forma niște imense lentile optice, asemănătoare cu baloanele de săpun. Dar nu este obligatoriu ca toate sistemele solare să fie globulare. În lumea atomică și moleculară, conformația este sferoidală doar în starea

40 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

gazoasă, atunci când atomii nu interacționează, dar prin creșterea presiunii sau prin formarea unor legături electro-chimice atomii și molecuele se organizează în structuri fixe, rigide, sau în rețețe multimoleculare în care electronii pot circula liber. Același lucru ar trebui să se întâmple și la nivel de Macrocosmos. În zonele cu aglomerări importante ale materiei ar trebui ca stelele să formeze structuri fixe asemănătoare, sau chiar rețele, în care planete întregi să poată trece dintr-un sistem solar în altul cu un minimum de energie disipată. Asemănător curentului electric, planetele ar putea circula cu viteze amețitoare, de la un capăt la altul al unei astfel de zone de concentrare din Univers. Este posibil ca steaua cea mai apropiată să fie mult mai apropiată decât au estimat astronomii. Norul Oort, ar putea fi deja un orbital comun pus în comun cu steaua ce mai apropiată. În cazul acesta, ar putea exista planete la distanțe accesibile nouă. Prima sondă spațială care a depășit limitele Sistemului Solar nu ne poate ajuta prea mult. În schimb, se poate concepe o misiune special destinată obeservațiilor din afara Sistemului Solar. Mai multe sonde spațiale expediate pe direcția planetei Pluto ar putea menține o comunicație permanentă cu o stație orbitală din jurul planetei Pluto, sau de pe satelitul ei, pentru a simplifica astfel comunicarea cu Pământul. Ce alte surprize ne rezervă matematica ? Fiecare va afla doar în funcție de efortul depus pentru a vedea acolo unde ochiul nostru nu vede.

Logică

Logica este studiul sistematic al formelor de raționament în urma cărora se face legătura dintre premizele și consecințele logice ale unui eveniment. În matematică, logica este o extensie a gândirii abstracte, cu aplicativitate pentru domeniile matematicii în care se utilizează notații simbolice, cum sunt: modelele teoretice, demonstrațiile teoretice, teoria mulțimilor sau teoria computațională. Denumirea provine de la cuvântul grecesc logos, cu semnificația de discurs și subliniază faptul că este o argumentație, o pledoarie. Pentru a valida sau invalida o afirmație, logicianul face apel la logica inductivă, adică se bazează pe niște premize clare, predemonstrate, sau face apel la logica deductivă, adică urmărește o serie de prezumții pentru a formula premizele pe care se bazează o anumită concluzie. Primele astfel de raționamente au apărut în Antichitate, la Aristoteles (384-322 îen), sub denumirea de analitică. Tot el a introdus și noțiunea de silogism, adică un argument logic demonstat prin analogie cu un alt adevăr deja demonstrat. Exemplu: 1. Toți oamenii sunt muritori 2. Socrates este om 3. Deci, Socrates este muritor. Generația următoare lui Aristotel, în frunte cu Chrysippus din Soli (279-206 îen), a dezvoltat metoda lui Aristotel formulând ceea ce s-a numit logica stoică. Spre deosebire de logica inductivă, logica stoică este analitică, adică face uz de mai multe tipuri de interelație posibilă, cum sunt: dacă, și, sau, deoarece, mai mult decât, mai puțin decât. De exemplu, între zi și lumină se pot forma mai multe conexiuni logice: 1 dacă este zi este lumină 2. este zi și este lumină 3. dacă este zi este lumină sau dacă nu, nu este lumină 4. din cauză că este zi este lumină 5. este zi și mai mult decât atât, este și lumină. Din aceste silogisme simple s-a format în timp logica formală, cu aplicații în matematică: 1. Dacă A atunci B 2. Dacă A și B atunci nu este A și nici B 3. Dacă A sau B, atunci nu este A și nu este B.

41 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

În China Antică, filozoful Mo Tzu (470-391 îen) a format o școală de logicieni care își propuneau rezolvarea problemelor prin descompunerea lor în părți componente și prin identificarea condițiilor pentru interacțiune. Ca rezultat, folosind logica, elevii lui au dezvoltat arme incendiare de asalt, prin legarea unor artificii pe sulițe și săgeți. Unul dintre membrii Școlii de logicieni, pe nume Gongsun Long (325-250 îen) a fost unul dintre precursorii logicii formale. A rămas celebru prin seria de paradoxuri cu ajutorul cărora atrăgea atenția asupra capcanelor logicii inductive. Exemplu: 1. Caii pot fi negri, maro, cafenii, bălțați, albi 2. Majoritatea cailor nu sunt albi 3. Deci, caii albi nu sunt cai Sau: 1. Unu nu poate fi doi 2. Doi nu poate fi unu 3. Deci unu și cu unu nu poate fi doi. Pentru comparașie, în India, gânditorul Medhatithi Gautama (circa 550 îen) a fost fondatorul unei Școli de logică bazată pe știința interogatoriului. Logica indiană (interogatoriul) avea la bază două principii: atma (sufletul) și hetu (rațiunea). Cu timpul, școlile de filozofie Samkhya, Yoga și Lokayata au insistat mai mult asupra raționamentului, mergând până acolo încât au negat existența sufletului. Problema s-a trașat apoi lăsând analiza sufletului în exclusivitate pentru filozofi (Darsanas), în timp ce logica s-a dezvoltat ca o disciplină aparte (Nyaya). Spre exemplificare, unul dintre maeștii în filozofia Yoga, pe nume Dattatreya (circa 650 îen), a emis următoarea parabolă: "Arborele egoismului trebuie tăiat cu toporul cunoașterii, ascuțit prin asocierea cu binele general.". Apariția și răspândirea noilor culte religioase a condus apoi toate raționamentele spre concluzii de ordin teologic, divinitatea fiind la originea tuturor lucrurilor. Denumită scholasticism, școala medievală a condus întreaga argumentație utilizând pasaje din Evanghelie. Un important exponent al acestei școli a fost călugărul franciscan William Occam (1287-1347), cel care a contribuit la sistematizarea discursului logic prin introducerea celor trei variante posibile de adevăr: adevărat, fals, intermediar. În lucrarea sa intitulată "Summa Logicae", călugărul îi instruiește viitorii pastori cum să utilizeze în discursul retoric silogismele, demonstrațiile și afirmațiile adevărate sau false, pentru a conduce mintea ascultătorului spre consecințele logice dorite.

Logica a devenit o disciplină a matematicii începând cu secolul al XIX-lea, prin combinarea logicii filozofice cu gândirea matematică. În timp s-au vehiculat diverse denumiri, cum ar fi: logică simbolică, logică aritmetică, logistică, logică formală sau pur și simplu logică. Noua disciplină include un set de teorii, elaborate în cursul secolului al XIX-lea, cu scopul de a structura o metodă deductivă standardizată. Primul studiu sistematic a aparținut matematicianului George Boole (1815-1864), autor al unui tratat despre legile gândirii (The Laws of Thought - 1854). În anul 1847 el a publicat lucrarea The Mathematical Analysis of Logic, primul tratat despre logica simbolică, în care a prezentat ceea ce noi numim în prezent logica Booleană. Algebra Booleană recunoaște doar valorile adevărat și fals și a fundamentat ceea ce în epoca tehnicii de calcul s-a numit apoi logică binară. Operațiile posibile cu cele două identități sunt: IS, AND, NOT, OR, XOR, XNOR. Pentru a simplifica operațiile logice și a exclude orice fel de eroare, în microprocesoare aceste operații sunt implementate prin circuite electrice distincte (vezi matematica computațională). În același an, matematicianul Augustus de Morgan (1806-1871), de la Universitatea Cambridge, a publicat un studiu denumit Formal Logic, în care a dezvoltat mai multe silogisme numerice. Tot Augustus de Morgan a publicat și lucrarea Trigonometry and Double Algebra, prin care a fundamentat un set de operații cu mulțimi, cunoscute în prezent sub denumirea de legile lui Morgan. Un continuator al muncii lor a fost apoi

42 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

matematicianul Charles Sanders Peirce (1839-1914) cunoscut ca părinte al pragmatismului. Într-o primă lucrare, intitulată Logic of Relatives, publicată în anul 1870, Charles Peirce a extins teoria relațiilor finite dintre mulțimi de numere și a fost unul dintre pionierii algebrei relaționale. Au urmat apoi o serie de lucrări care au perfecționat algebra Booleană și au introdus o serie de notații pentru logica relațională. Dintre acestea merită menționate: On the Algebra of Logic (1880) și On the Logic of Number (1881). Noțiunile de logică relațională stau în prezent la baza unor aplicații în economie dezvoltate de matematicieni ca: Frank Ramsey (1903-1930), John von Neumann (1903-1957), Paul Samuelson (1915-2009) sau Kenneth Joseph Arrow (1921-2017). Probabil cea mai semnificativă aplicație modernă este modelul relațional de baze de date dezvoltat de matematicianul Edgar Codd (1923-2003). Modelul său de operații automate asupra unor date arhivate tabelar a condus spre sistemele actuale de baze de date interconectate relațional. Un alt corifeu al logicii matematice a fost matematicianul Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925), de la Universitatea Jena, cel care prin lucrarea sa de concept intitulată Begriffsschrift (1879) a introdus primele noțiuni pentru logica de ordinul doi. Dacă logica de ordinul întâi cuantifică într-o mulțime doar variabile la nivel individual (elemente ale unui domeniu de valori), logica de ordinul doi cuantifică și relațiile existente între valorile individuale (cuantifică ecuații). Tot ca o inovație, Friedrich Frege utilizează o notație bidimensională, cu ajutorul căreia conectează valorile cu formulele sau relațiile în care sunt implicate. La începutul secolului XX, matematicienii Bertrand Rusell (1872-1970) și Alfred North Witerhead (1861-1947) au publicat un tratat în trei volume denumit Principia Mathematica, prin care au încercat să creeze o bază logică pentru matematică. Tratatul introduce în primul rând un set de notații simbolice prin care permite formalizarea relațiilor matematice. Astfel, axiomele și teoremele din matematică pot fi definite prin simboluri, fără a mai utiliza cuvinte auxiliare. Formalizarea expresiilor s-a exploatat apoi intensiv în epoca modernă pentru formularea algoritmilor de calcul automat. Un tratat de sinteză al progreselor secolului al XIX-lea a fost publicat de matematicianul Karl Ernst Schroder (1841-1902) sub titlul Vorlesungen uber die Algebra der Logic (Lecturi despre algebra logicii). Cel de al treilea volum, intitulat Algebra und Logic der Relative (1895), a devenit în scurt timp cel mai cunoscut text de referință pentru logica matematică.

Dintre aplicațiile moderne ale logicii, probabil cele mai iubite sunt jocurile logice pentru calculator. Inițial rezervate savanților în matematică, jocurile pentru calculator sunt în zilele noastre primul contact al copilului cu tehnica de calcul. Cu mult înainte să învețe cifrele și tabla înmulțirii, copii de astăzi știu să rezolve probleme de logică plimbându-l pe Dr. Mario prin labirint. Pentru un copil problema se rezumă la repetate încercări și erori, până când găsește calea corectă. Cu cât rezolvă mai multe labirinturi, cu atât începe să dezvolte o strategie și soluțiile sunt găsite din ce în ce mai rapid. Programatorii însă nu s-au mulțumit cu atât și au dezvoltat algoritmi automați pentru proiectarea și desenarea unui labirint, respectiv pentru rezolvarea unui labirint. Când nu are altceva de lucru, calculatorul se poate relaxa desenând și apoi rezolvând labirinturi, pentru a-și îmbunătăți performanțele. În majoritatea cazurilor, algoritmul pentru rezolvarea labirintului este de tip arbore binar. Un prim algoritm, denumit Random Mouse alege calea de parcurs la întâmplare. La fiecare ramificație, se salvează în memorie o valoare binară de tip Da sa Nu, pentru fiecare dintre cele două variante de continuare. Prin epuizarea variantelor, se alege calea cea mai scurtă formată exclusiv din valori pozitive (Da). Viteza de rezolvare a labirintului depinde de hazard, după cum varianta aleasă a fost corectă sau nu. Un alt algoritm, denumit Wall follower (urmărește zidul) este aplicabil doar

43 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

atunci când calea spre ieșire este continuă, fără zone în care se formează bucle infinite. Într-un astfel de labirint soluția se găsește alegând întotdeauna o anumită direcție. De exemplu, la orice bifurcație se alege cea de la mâna dreaptă. Dacă soluția este greșită, labirintul se reia de la intrare megând pe mâna stângă. Eventual, eliminând toate căile greșite se găsește soluția cea bună. O altă variantă de algoritm este prin marcarea căii parcurse. La fiecare trecere printr-un anumit pasaj al labirintului în memorie se stochează o valoare binară Stânga sau Dreapta în funcție de direcția din care s-a intrat. La fiecare bifurcație, se verifică memoria iar căile notate cu ambele valori vor fi excluse. La bifurcațiile fără nici un semn de marcaj alegerea se va face aleator. Prin excluderea căilor greșite, variantele acceptabile devin din ce în ce mai puține, până când se găsește soluția corectă. Acest tip de algoritm este asemănător cu cel din mintea copilului care învață prin încercare/ratare. Un algoritm ceva mai perfecționat marchează și apoi exclude întreaga cale terminată printr-un zid, până la proxima bifurcație rămasă neexplorată sau explorată incomplet. Astfel, dintr-o singură operație pot fi excluse mai multe segemente din labirint și viteza de soluționare crește. Un alt algoritm, denumit recursiv, încearcă rezolvarea labirintului cu ajutorul buclelor de repetiție. Spre deosebire de celelalte variante, nu pleacă de fiecare dată de la punctul de start ci utilizează bucle de repetiție care epuizează pentru fiecare bifurcație toate variantele ei de continuare. Excluzând variantele greșite, progresiv se apropie de ieșire până când găsește varianta corectă. Avantajul acestei metode este că nu mai repetă pasaje întregi verificate deja a fi corecte. Asemănător este și algoritmul prin care se caută varianta cu cele mai multe soluții de continuare. Practic, la o intersecție în cruce există patru variante de continuare. Pentru fiecare bifurcație sau intersecție, valoarea unei variabile din memorie se incrementează cu 1. Căile inchise vor conduce spre valori mici sau foarte mici și vor fi excluse. Varianta corectă va fi aleasă dintre căile cu valoare din ce în ce mai mare a variabilei, până când se găsește soluția corectă. Atunci când labirintul are mai multe soluții, trebuie găsită și calea cea mai scurtă. Pentru ultimul tip de algoritm, rezolvarea este simplă. Dintre variantele corecte se alege cea cu valoarea variabilei cea mai mică, adică cu cel mai mic număr de soluții de continuare. În cazul celorlalți algoritmi rezolvarea este mai complexă și implică de cele mai multe ori utilizarea unui algoritm secundar prin care contabilizează numărul de operații pentru fiecare variantă. Rezolvarea labirinturilor este unul dintre execițiile tipice de programare. Periodic se organizează concursuri între algoritmii de rezolvare, asemănătoare cu olimpiadele de matematică ale pionierilor. Rezultatul practic al acestor studii de logică îl formează aplicațiile de tip utilizator, cum este de exemplu aplicația Siri (pilot automat) pentru ghidarea conducătorilor auto în trafic.

Analiza logică este un puternic instrument de lucru pentru rezolvarea oricărui tip de situație sau problemă. Unul dintre principalele obstacole îl reprezintă formularea comprehensibilă a problemei de rezolvat și respectiv a etapelor de parcus în timpul soluționării. Prea puține explicații conduc la confuzii, prea multe explicații îngreunează urmărirea firului logic. O soluție excepțională o reprezintă întotdeauna înlocuirea informației prin diagrame vizuale. O imagine bună ține locul la o mie de cuvinte. Diagramele utilizează o serie întreagă de simboluri cu ajutorul cărora se construiesc apoi grafice, histograme, plotări, hărți, progresii geometrice sau ecuații relaționale. Cele mai numeroase diagrame sunt cele care prezintă datele din tabele sub forma unor proiecții bidimensionale sau tridimensionale: linii, bare, sectoare de cerc. Un alt grup de diagrame

44 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

prezintă informația sub formă de arbore genealogic sau casete interconectate prin legături monovalente și bivalente. Un tip special de diagrame sunt digramele Venn, inventate în anul 1880 de matematicianul John Venn (1834-1923), în care sunt reprezentate elementele comune ale unor mulțimi împreună cu posibilele lor relații logice. Alt tip de diagrame sunt diagramele de tip rețea, în care elemente sau grupuri de elemente sunt simbolizate grafic și apoi sunt trasate toate interconexiunile posibile. Acest tip de diagrame pune accent în special pe conexiuni, și mai puțin pe valoarea datelor. Un tip modern de diagramă îl reprezintă și diagramele de flux, cu ajutorul cărora se prezintă dinamica unui proces sau etapele succesive ale unui algoritm. Într-o diagramă de flux, fiecare etapă succesivă este reprezentată printr-o casetă, în interiorul căreia se simbolizează informațiile esențiale, iar prin săgeți se indică ordinea operațiilor și sensul de evoluție a procesului. De la procese tehnologice și până la dinamica proceselor dintr-un program sau dintr-o aplicație software, diagramele de flux și-au găsit nenumărate aplicații în viața modernă. Inventatorii diagramelor de flux au fost, în anul 1921, inginerii Frank Gilberth (1868-1924) împreună cu soția Lillian Gilberth (1878-1972), membri ai American Society of Mechanical Engineers. Cel care a aplicat apoi diagramele de flux pentru organizarea programelor de calcul a fost matematicianul Janos Lajos von Neumann (1903-1957), în anul 1928, când a dezvoltat primele modele matematice pentru interacțiuni strategice. Teorema sa denumită minimax, a stat la baza industriei de jocuri logice, ca fundament pentru factorul decizional din scenariul fiecărui joc. Pe scurt, regula minimax se referă la maximizarea câștigului minim ce poate fi obținut prin acțiunile jucătorului, până când acesta reușește să depășească un anumit barem. Cu timpul, diagramele de flux s-au diversificat pentru a putea organiza documente (Foldere și file), date (baze de date și tabele), fluxul de execuție din sistemul de operare (controale fizice) sau execuția unei aplicații (operații simple). Pentru unificarea notației, în anul 1970 Organizația Internațională pentru Standardizare (ISO) a adoptat standardul curent, ISO 5807. Exemple: linie cu săgeată pentru operații, dreptunghi cu colțuri rotunjite pentru un terminal, dreptunghi simplu pentru un proces de execuție, romb pentru decizie, paralelogram pentru intrări sau ieșiri de date, cerc mic pentru conectoare, cilindru pentru baze de date, dreptunghiuri multiple pentru file ...etc. Pe măsură ce industria software s-a dezvoltat, diagramele de flux simple au devenit insuficiente. Pentru standardizarea mijloacelor vizuale de dezvoltare a modelelor teoretice, în anul 1997, consorțiul internațional Object Management Group (OMG) a adoptat un nou standard, denumit Limbaj Unic pentru Modele (Unified Modeling Language). Destinat programării orientate pe obiect, acest standard nou permite dezvoltarea a numeroase tipuri de diagame specifice pentru: clase, obiecte, secvențe, acțiuni, interacțiuni, cronometrarea evoluției, stări ale unui obiect, bifurcații sau ramificații, grupuri sau componente ale unui program. În general, diagramele de flux în limbaj UML pot fi împărțite în două categorii: structurale (obiecte și componente) sau comportamentale (activități, interacțiuni, cronometrare). Deprinderea acestui limbaj simbolic este o componentă esențială de studiu pentru inginerii viitorului, asemănătoare cu învățarea alfabetului.

Un alt limbaj esențial pentru comunicarea dintre matematicieni este cel utilizat pentru definirea colecțiilor de valori numerice, cunoscut sub denumirea de teorie a seturilor sau teoria mulțimilor. Primul care a observat existența unor paradoxuri între valorile unei serii infinite a fost matematicianul Galileo Galilei (1564-1642), profesor la Universitatea din Pisa și apoi Padova. În lucrasea sa intitulată "Mecanica &

45 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Movimenti Locali" el a observat că o linie este mai lungă decât alta, deși fiecare linie este descrisă printr-un număr infinit de puncte. Rezultă că un infinit este mai mare decât altul. Tot el a remarcat că fiecare număr poate fi ridicat la pătrat, deci numărul pătratelor numerelor trebuie să fie egal cu cel al numerelor. Totuși dintre primele 100 de numere doar 10 sunt pătratul altor numere, din primele 10 000 doar 100 sunt pătratul altor numere iar din primul milion doar 1000 de numere sunt pătrate ale unor alte numere. Paradoxurile lui Galileo Galilei au fost apoi extinse în tratatul matematicianului Bernard Bolzano (1781-1948), intitulat Paradoxurile Infinitului (Paradoxien des Unendlichen). În acest tratat s-a utilizat pentru prima dată denumirea de set, pentru grupuri de valori definite ca subseturi ale seriei infinite. Teoria seturilor, ca obiect de studiu, a fost denumită ca atare de matematicianul Georg Lodwig Philipp Cantor (1845-1918), în lucrarea sa intitulată Fundații pentru Teoria Generală a Agregărilor (Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre), publicată în anul 1883. Tot el a utilizat și denumirea de numere transfinite, pentru acele numere destul de mari pentru a fi considerate în mod normal ca infinite, fără să fie însă neapărat infinite, ci doar foarte mari. În tratatul său a formulat primele legi sau reguli de echivalență dintre valorile unor seturi (mulțimi) diferite de numere. Prima dintre teoremele lui spune că mulțimea numerelor reale este mai degrabă imposibil de cuantificat decât cuantificată ca infinită. O altă teoremă a descris corespondența biunivocă dintre numerele a două mulțimi de mărime egală. Tot un articol despre teoria seturilor a fost apoi publicat în anul 1898 de matematicianul Arthur Moritz Schoenflies (1853-1928) sub titlul "Mengenlehre" (Teoria mulțimilor). Principala contribuție pentru dezvoltarea topografiei a consta din introducerea teoremei potrivit căreia pe o hartă topografică orice linie închisă împarte planul în două regiuni separate, una situată în interiorul curbei de nivel, cealaltă situată în exterior, punctele dintre cele două planuri fiind legate între ele printr-o funcție inversă (homeomorphism). Un prim tratat de peste 300 de pagini despre mulțimi a fost apoi publicat în anul 1908, având ca autori soții William Henry Young (1863-1942) și Grace Christholm Young (1868-1944), profesori la Universitatea Calcutta, apoi la Universitatea Liverpool. Un corifeu al teoriei mulțimilor a fost și matematicianul Henri Leon Lebesgue (1875-1941), cu contribuții semnificative în dezvoltarea calculului integral. Pentru definierea unor funcții derivate mai ușor de caracterizat, Henri Lebesgue a inventat noțiunea de codomeniu, ca subset de valori al domeniului funcției integrale. Aplicând funcția pentru seturi de codomenii, funcția integrală devenea apoi o sumă a acestor funcții derivate pentru fiecare dintre subseturile de valori. Contribuții pentru organizarea subseturilor de valori în clase ierarhice a adus apoi matematicianul Janos Lajos von Neumann (1903-1957) prin lucrarea sa "On the introduction of transfinite numbers". Logica matematică intervine și în ecuațiile prin care se definesc interrelațiile posibile dintre două sau mai multe mulțimi. Astfel două mulțimi pot avea o parte dintre elemente comune, niciunul, sau toate elementele fot fi comune. În alte situații, mulțimile nu au nici un element comun, dar există o relație fixă între elementele lor. De exemplu, valorile uneia dintre ele sunt egale cu pătratul valorilor din cealaltă mulțime. Un exemplu tipic este cel al curbelor de nivel de pe o hartă topografică, unde elementele uneia dintre mulțimi sunt cu un anumit quantum mai mari sau respectiv mai mici decât cele din mulțimea adiacentă. Principalele operații cu mulțimi sunt: uniunea, intersecția, complementaritatea și produsul cartezian. Teoria mulțimilor a luat avânt o dată cu dezvoltarea tehnicii de calcul când valorile binare au început să fie exprimate mai întâi ca regiștri, apoi ca arii bidimensinale de biți, pentru ca să se ajungă apoi la mulțimi bidimensionale (tabele) și tridimensionale (baze de date), sau chiar la structuri de un ordin superior (structuri de baze de date).

46 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Matematică aplicată

Termenul de matematică aplicată se referă în primul rând la formulele și metodele din demonstrația matematică utilizate în diverse alte domenii ale științei, în special în astronomie, inginerie, comerț și industrie. Tot aplicații practice ale matematicii sunt și unele discipline complet noi, cum sunt de exemplu statistica și calculul probabilistic. Încă din cele mai vechi timpuri, matematica a apărut din necesitatea de a imagina soluții abstracte pentru diferite probleme din lumea reală și a fost în permanentă conexiune cu activitățile umane. Termenul a început însă să fie utilizat ca atare abea după ce analiza matematică a oferit modele teoretice pentru evenimentele repetitive din viața noastră. Matematicianul Henri Poincare (1854-1912) s-a numărat printre cei care au afirmat că nu există o matematică aplicată ci există doar aplicații ale matematicii. Una dintre contribuțiile sale din matematică se referă la caracterizarea unei hipersfere, respectiv la spațiul prin care se mărginește limita exterioară a unei sfere pentru a forma o altă sferă, în patru dimensiuni. Teorema sa, denumită și paradoxul Poincare, spune că toate plierile tridimensionale care înconjoară suprafața delimitatoare a unei sfere formează prin sumație o hipersferă homeomorfă. Teorema lui Poincare se poate aplica pentru a explica orbitalele electronice ale unui atom, ca fiind suma tuturor pozițiilor posibile ale unui electron în jurul atomului, ca și când ar fi o imagine de sumație a unui număr infinit de fotografii. Este discutabil dacă teoria matematică a condus spre formularea acestui model teoretic (atomii nu sunt vizibili), adică matematica a generat apariția unei structuri noi, sau este doar o aplicație a matematicii pentru a explica un fenomen măsurabil. În timpurile moderne, matematicianul Vladimir Igorevich Arnold (1937-2010) a extrapolat paradoxul lui Pointcare la Sistemul Solar, pentru a preconiza dacă este un sistem stabil sau nu. Ca urmare a atracției gravitaționale, fiecare planetă controlează întreaga masă din vecinătatea orbitei pe care se deplasează, formând astfel un fel de orbital lipsit de masă. Văzut însă în dinamică, ca o imagine de sumație a unui număr infinit de rotații, orbitalul fiecărei planete se vede ca și când masa planetei ar fi distribuită în mod egal în întreg acest spațiu. Ca urmare, din punct de vedere matematic, energia acestui orbital este egală cu cea a vectorului format din masa planetei înmulțita cu viteza. În ecuația spațiu timp, volumul de distribuție al acestei energii conduce însă spre un complet alt model de exprimare. Văzut de la o distanță apreciabilă și respectând proporțiile, într-un timp infinit, orbitalul planetei este asemănător cu ceea ce noi denumim un foton, adică un cuantum de energie în mișcare fără masă proprie. Fotonii nu sunt egali între ei, decât teoretic. Nici planetele nu sunt egale, așa cum nici energia de orbital din Sistemul Solar nu este constantă. Planetele acumulează masă permanent, în timp ce Soarele emite energie permanent. Excepție fac exploziile, când masa se disipează. Și în acest caz se poate spune că matematica este cea care a determinat apariția unui sistem numeric, care altfel ar fi rămas în spațiul incognitiv. În general, pentru a restrânge puțin ceea ce se denumește ca matematică aplicată, teoreticienii au limitat utilizarea termenului doar pentru acele situații în care este nevoie de un nivel de abstractizare matematică pentru a caracteriza elementele unui sistem

47 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

dinamic. Un exemplu mult mai simplu îl reprezintă calculul uzurii pentru piesele din construcția unui autovehicol aflate în mișcare. Cunoscând gradul de uzură după un număr predeterminat de rotații, analiza matematică poate produce un model de predicție a gradului de uzură pentru orice moment din viața autovehicului, și mai mult decât atât, poate produce în orice moment un grafic de eficiență/preț. Frecările mecanice și rotațiile sunt mărimi din viața reală, dar prognoza gradului de uzură aparține exclusiv matematicii aplicate. De exemplu, pentru pistoanele motorului, gradul de uzură se poate exprima comparativ între pistoanele cu și fără straturi de protecție PDV (physical vapor deposition). Evident, cele protejate față de depunerile de vapori au o viață mai îndelungată și asigură o bună funcționare până la un milion de kilometri parcurși. Tot în cazul motoarelor, un alt model teoretic poate aproxima dinamica gazelor din interiorul unui cilindru, pentru fiecare ciclu sau pentru imaginea de ansamblu a unui număr foarte mare de cicli. Temperaturile gazelor nefiind egal distribuite pe întreaga suprafață a cilindrilor, în timp rezultă momente de forfecare determinate de coeficienții de dilatație diferiți. Pentru a reduce uzura și riscul unor fisuri, trebuiesc proiectate modificări ale aliajului din componența carcasei, sau structuri de ranforsare a segmentelor cu maximum de dilatație.

Una dintre cele mai frumoase probleme de matematică aplicată o reprezintă problema atracției gravitaționale dintre trei corpuri, cu masă și viteză de deplasare diferită. Clasic, această problemă de mecanică celestă a pornit de la primele observații astronomice făcute asupra Soarelui și Lunii, apoi problema s-a extins asupra oricăror trei corpuri inerțiale, pentru ca în epoca modernă să-și găsească aplicativitate în mecanica cuantică. Primul care a ridicat problema interacțiunii dintre corpurile celeste a fost navigatorul și cartograful Americo Vespucci (1454-1512), cel care s-a folosit de poziția Lunii la orizont pentru a înconjura pentru prima dată America. Astronomul Galileo Galilei (1564-1642) a reluat problema în anul 1599 când a propus modelul său heliocentric, iar apoi a descoperit patru dintre sateliții planetei Jupiter (Io, Europa, Ganymede și Callisto). Problema atracției gravitaționale dintre trei corpuri a fost publicată pentru prima dată în anul 1687, în lucrarea Philosophiae Naturalis Principia Mathematica a matematicianului Isaac Newton (1642-1726), la Universitatea Cambridge. Cele trei legi formulate de savantul englez sunt: 1. Într-un spațiu inerțial de referință, dacă nici o forță nu acționează asupra lui, un corp oarecare îți menține poziția staționară sau mișcarea cu viteză constantă 2. Într-un spațiu inerțial de referință suma vectorială a forțelor care acționează asupra unui obiect este egală (proporțională) cu masa obiectului înmulțită cu accelerația (F=ma) 3. Într-un spațiu inerțial de referință, atunci când un corp exercită o forță asupra unui alt corp, asupra lui se va exercita din partea celuilalt corp o forță egală, dar de sens contrar. Cele trei legi au stimulat imaginația matematicienilor și au condus apoi spre numeroase modele matematice de interacțiune posibilă, în timp ce alții au formulat ecuații generalizatoare pentru un număr infinit de corpuri. Dintre aceștia, matematicianul Jean le Rond d'Alembert (1717-1783), în tratatul său intitulat Traite de dynamique (1743), a formulat un principiu nou pentru legile dinamicii, potrivit căruia suma tuturor forțelor care acționează asupra unui obiect, împreună cu forțele de reacție generate, este întotdeauna egală cu zero. Pentru un obiect aflat în mișcare, se observă doar forța de inerție. Forța de reacție devine observabilă doar atunci când obiectul interacționează cu un alt obiect vizibil. Forța de reacție este însă prezentă și atunci când obiectul se deplasează în vid. O

48 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

contribuție semnificativă a adus matematicianul Alexis Claude Clairaut (1713-1765), cel care a calculat pentru prima dată cu o aproximație satsifăcătoare percesia apsidală a orbitei Lunare (înclinația la extremele orbitei). A publicat calculele sale în lucrarea intitulată Theorie de la Lune. Tot el a publicat în anul 1743 lucrarea denumită Theorie de la figure de la Terre, în care a emis o teoremă potrivit căreia forța de gravitație la suprafața unui corp vâscos, aflat în rotație, este în echilibru cu forța centrifugă. Consecința acestei teoreme a fost că planeta noastră nu poate fi sferică, ci trebuie să fie un elipsoid, turtit la poli. Matematicianul Leonhard Euler (1707-1783) a dezvoltat o teoremă simplificată pentru teoria liniară a elasticității, cu ajutorul căreia a calculat paralaxa Soarelui, respectiv diferența dintre pozițiile aparente ale soarelui ca urmare a diferenței de refracție rezultată din compresia elastică a atomsferei. Calculele lui au stat apoi la baza publicării tabelelor corecte de longitudine aparentă a Soarelui. Apoi în anul 1772, matematicianul Joseph Louis Lagrange (1736-1813) a publicat tratatul intitulat Mecanique analytique, în care a calculat printre altele punctele în care în apropierea a două corpuri aflate în mișcare orbitală forța gravitațională este egalată de forța centripetă. Aceste puncte de interacțiune zero sunt denumite în prezent punctele Lagrange și formează un un obiect de interes deosebit pentru orbita unor observatoare astronomice (pentru un telescop aflat permanent în umbra Pământului). Matematicianul Henri Poincare (1854-1912) a fost primul care a propus în anul 1905 teoria undelor gravitaționale, emise în valuri, cu viteza luminii, asemănător cu cele electromagnetice. Aplicând teoria sa și considerând cuplul Pământ Lună ca fiind un corp unic, forța gravitațională emisă are o periodicitate mult mai mică, cu o frecvență de 1/28 de zile. În mod similar se pot forma sinusoide de sumație a forțelor pentru oricare alte trei obiecte inerțiale. În secolul XX, contribuții semnificative la problema interacțiunii libere dintre trei corpuri inerțiale au mai adus matematicienii: Ernst Meissel, Victor Szebehely, Frederick Peters, Michel Henon, Roger Brouche, Cris Moore, Alain Chenciner, Milovan Suvakov, Veloko Dmitrasinovic, Ana Hudomal, Xiaoming Li, Shijun Liao.

Matematica este principalul instrument cu ajutorul căruia mintea umană poate face ordine în haos. Dar pe de altă parte, aplicată greșit, poate să "transforme neînțelesuri în neînțelesuri și mai mari". Pentru a putea studia sistematic procesele și variabilele aleatorii, matematicienii fac adese ori uz de funcții aleatorii, prin care mimează cât mai fidel procesul studiat. O dată abstractizată matematic, problema poate fi apoi defalcată în părți componente și analizată sistematic. Cea mai veche problemă de evoluție a unor evenimente întâmplătoare a apărut în legătură cu jocurile de noroc și a fost consemnată pentru prima dată în corespondența dintre matematicienii Blaise Pascal (1623-1662) și Pierre de Fermat (1607-1665). Primul calcul probabilistic îi este atribuit celui din urmă, după ce a demonstrat matematic de ce la aruncarea zarurilor cel care pariază constant că va arunca un șase, din 4 încercări, va câștiga, iar cel care pariază constant că va arunca o pereche de șase, din 24 de încercări, va pierde. Soluția este simplă: pentru un singur zar probabilitatea unei fețe este de 1/6, iar pentru două zaruri este de 1/3, în timp ce pentru două zaruri probabilitatea unei anumite duble este de 1/(6x6) adică 1/36. Blaise Pascal a preluat apoi și a dezvoltat problema în lucrarea sa intitulată "Traite du triangle arithmetique", în care a propus o metodă de evaluare probabilistică, prin calcularea mediei dintre valorile minime și cele maxime. Pornind de la un singur număr, apoi de la o pereche, a construit un triunghi de valori, pentru fiecare dintre ele numărul subjacent fiind suma

49 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

celor două valori. O soluție asemănătoare se cunoștea în China încă din secolul al XIII-lea, când matematicianul Yang Hui (1238-1298) a propus un triunghi asemănător pentru calculul cu bețișoare. Cu ajutorul acestei soluții, calculul probabilistic pentru un grup oarecare de valori se rezuma la rezolvarea unei serii de binoame, grupate apoi în alte serii de binoame, până când se ajunge la o valoare medie cu probabilitate maximă (cea care apare cel mai des prin rezolvarea binoamelor). Cu alte cuvinte, valorile posibile se grupează două câte două și apoi se exclud progresiv valorile extreme, până se ajunge la valoarea cea mai frecventă. Preocupări similare a avut și matematicianul Gerolamo Cardano (1501-1576), cu un secol înaintea lui Pascal, dar lucrarea lui intitulată Cartea Jocurilor de Noroc (Liber de ludo aleae) nu a fost publicată decât în anul 1663. Prima abordare științifică i-a aparținut matematicianului Jacob Bernouli (1655-1705) în lucrarea sa intitulată Arta combinațiilor (Ars Conjectandi). În lucrare, Bernouli a emis legea numerelor mari, potrivit căreia dacă același experiment este repetat de un număr foarte mare de ori, rezultatul mediu va fi cel mai aproape de valoarea cu maximum de probabilitate. Tot el a definit probabilitatea ca fiind gradul măsurabil al certitudinii, necesității și șansei. Matematicianul Abraham de Moivre (1667-1754) a scris la rândul său o carte despre teoria probabilității, intitulată Doctrina Șanselor (The Doctrine of Chances - 1718). În lucrarea lui, Moivre a introdus conceptul de distribuție normală a binoamelor utilizate pentru aproximarea valorii probabile și a insistat asupra teoremei unei limite centrale, adică tot asupra unei agregări a valorilor spre valarea medie. Cel care a fundamentat însă matematic formula de distribuție normală a valorillor unei mulțimi a fost matematicianul Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), atunci când a imaginat celebra curbă în formă de clopot care îi poartă numele. Lucrarea sa de referință este intitulată "Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae - 1821". O altă lucrare de referință este "Theorie analytique des probabilites" publicată în anul 1812 de matematicianul Pierre Simon de Laplace (1749-1827). Spre deosebire de contemporanii săi, Laplace s-a axat mai puțin pe chestiunile de ordin practic și s-a concentrat spre găsirea unor formule de aproximare a funcțiilor care operează cu numere mari, un fel de analiză matematică a calculului probabilistic. Apoi, în anul 1814 a revenit cu lucrarea "Essai philosophique sur les probabilites" în care propune un model de logică inductivă pentru identificarea "evenimentelor favorizate" dintre cele posibile. De exemplu, pentru ca soarele să răsară a doua zi dimineața, a propus formula R= (d+1)/(d+2), unde d este numărul de observații anterioare. Pentru o singură zi de observație, probabilitatea este de 50 %, apoi crește aritmetic o dată cu numărul de observații.

Studiul evenimentelor repetitive, combinat cu teoria probabilității, au condus spre unul dintre cele mai îndrăgite domenii ale matematicii aplicate: animația și jocurile pentru calculator. Frescele și benzile desenate au bucrat imaginația oamenilor încă din antichitate, din epoca faraonilor, apoi a grecilor și a romanilor sau a chinezilor din dinastia Han. Au urmat apoi jocurile de umbre, aduse în Europa din Asia, prin Imperiul Otoman. Primele imagini în mișcare au fost realizate în anul 1832 cu ajutorul unui kinetoscop, pe care matematicianul Simon Ritter von Stampfer (1792-1790) la denumit disc stroboscopic, iar matematicianul Joseph Antoine Ferdinand Plateau (1801-1883) l-a denumit "phenakistiscop" (aparat pentru păcălit ochiul) sau fantascop. În anul 1877 inventatorul Charles Emile Reynaud (1844-1918) a patentat un aparat denumit praxinoscop cu ajutorul căruia putea proiecta timp de 15 minute un număr de circa 500 de imagini, pentru a

50 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

realiza ceea ce el numea Pantomime Luminoase. Zece ani mai târziu a inventat primul aparat pentru imagini animate pe care l-a denumit Theatre Optique. Cu acest aparat a susținut la Musee Gevin din Paris un număr de 12 800 reprezentații, pentru peste 500 000 de spectatori. În America, primul kinetoscop a fost patentat în anul 1889, de inventatorul Thoma Alva Edison (1847-1931) și a fost apoi realizat practic în anul 1891. Simultan, la Paris, frații Auguste Nicolas Lumiere (1862-1954) și Louis Jean Lumiere (1864-1948) au patentat și produs primul aparat pe care l-au denumit cinematograf. Primul salon cinematografic s-a deschis la Paris în anul 1895, la Salon Indien du Grand Cafe, unde se prezentau filme cu durata de aproximativ un minut, pentru fiecare rolă de film lungă de 17 metri. Doi ani mai târziu, frații Ignaz Bing (1840-1918) și Adolf Bing (1840-1933) au produs un prototip pe care l-au denumit kinematograf. Au urmat apoi numeroase alte replici simple și ieftine, care spre deosebire de filmele cinematografice utilizau imagini litografiate, ușor de multiplicat și modificat. Aceste praxinoscoape, cu imagini litografiate, au fost strămoșul filmului de desene animate. Primul studio de filmare, denumit Black Maria, a fost organizat în anul 1893 la West Orange, în New Jersey, prin truda lui Thomas Alva Edison și a costat 637 dolari (circa 15 000 de dolari moderni). La studiourile Black Maria s-au turnat 7 filme, începând cu Blacksmith Scene (1893) și terminând cu Cripple Creek Bar-Room Scene (1901). În Japonia, cel mai vechi fragment al unui astfel de film animat a fost produs în anul 1907 sub numele Katsudo Shashin și este un film din celuloid cu desene ștampilate, proiectate la o rată de 16 imagini pe secundă. Primele imagini ale unui desen animat au apărut în anul 1900, ca parte componentă a unui film mut denumit "The Enchanted Drawing". Filmul a fost regizat de James Stuart Blackton (1875-1941), unul dintre reporterii magazinului ilustrat New York Evening World. Până în anul 1938, James Blackton a mai regizat alte 49 de filme, printre care și Humorous Phases of Funny Faces (1906), considerat a fi cel mai vechi film de desene animate. Un alt pionier al animației a fost Edwin Staton Porter (1870-1941), autor a peste 250 de filme și cel care a introdus literele animate pentru a afișa subtitluri în filmele mute. În Spania, un pionier al cinematografiei a fost scenaristul Segundo de Chomon (1871-1929), cu peste 20 de filme produse între anii 1901-1927. Pentru Marea Britanie, pionierul cinematografiei a fost Arthur Moelbourne Cooper (1874-1961), autor a peste 300 de filme și 36 de animații, printre care un meci de cricket cu jucători realizați din bețe de chibrit. Corifei ai filmului animat au fost apoi producători ca: Emile Cohl, Winsor McCay, Raoul Bare, John Bray, Max Fleischer, Otto Messmer, Quirino Cristiani, Paul Terry, Walt Disney, Walter Lantz, Bill Nolan, Frank Capra, Wan Guchan, Paul Grimault, Hayao Miyazaki, Isao Takahata, Wan Laiming, Lev Atamanov, Zdenek Miler, Ion Popescu Gopo. Matematica și animația s-au întâlnit pentru prima dată în anul 1940, o dată cu primele imagini produse de un calculator electronic. Prima animație realizată pe computer a fost produsă în anul 1968 de cercetătorii sovietici, pentru un model matematic al mișcărilor unei pisici. A urmat apoi epoca jocurilor video, începând cu primul joc comercial denumit Pong, produs în anul 1971 de Compania Atari.

Jocurile pentru calculatoare electronice au apărut și s-au dezvoltat practic în paralel cu tehnica de calcul. Primul joc pentru două persoane, recunoscut ca atare, a fost Tennis for Two, scris în limbaj BASIC, în anul 1958, de fizicianul William Higinbotham de la Brookhaven National Laboratory. A urmat în anul 1962 jocul denumit Spacewar, dezvoltat de matematicianul Stephen Rusell (n -1937), în limbaj mașină (assembley

51 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

macros). În anul 1960 a luat ființă compania Japoneză SEGA, având ca obiect mașinile electronice pentru joc operate cu monede. Primul automat pentru jocuri a fost lansat în anul 1965 cu un joc denumit Periscope, în care jucătorul se afla la comanda unui submarin și scufunda nave inamice contra unei monede de 25 de cenți. A urmat apoi compania Americană Chicago Coin, cu jocurile Speedway (1969) și Pong (1972). Apariția primelor microchip-uri a eliminat din circuit lămpile diode, pentru a reduce de sute de ori volumul și prețul de cost al echipamentelor. Prima consolă de joc adaptabilă pentru ecranul unui televizor alb negru obișnuit a fost produsă în anul 1972, de compania Magnavox și a fost comercializată sub numele Magnavox Odyssey. S-au vândut circa 350 000 de unități, pentru care au fost apoi dezvoltate 28 de jocuri diferite, toate constând din deplasarea unui pătrat pe ecran. În același an, Compania Atari a dezvoltat primul joc de tenis pentru arcadă, denumit Pong, destinat automatelor de joc cu monedă. Apoi industria jocurilor de arcadă a explodat și doar în anul 1973 s-au vândut peste 70 000 de kituri pentru consolele de joc. Printre marile succese ale Companiei Atari s-au numărat apoi jocurile Grand Trak 10 (1974), Tank (1974), respectiv jocurile Wheels (1975), Gun Fight (1975) sau Sea Wolf (1976), produse de Compania Midway în colaborare cu Compania Taito din Japonia. După anul 1975, miniaturizarea circuitelor electronice a permis comercializarea primelor console de joc cu volum mic, pentru utilizare la domiciliu. Primul mare succes a fost înregistrat de consola Telestar, cu aproximativ un milion de unități vândute în perioada 1976-1978, pentru jocuri de hockey, handball, tenis și tenis de masă. Primele jocuri pentru calculatorul de birou s-au dezvoltat începând cu anul 1960, în limbajele BASIC, C și UNIX, având ca scop dezvoltarea imaginației și atragerea tinerilor spre munca de programare. În anul 1973 a apărut o primă carte intitulată 101 Jocuri în BASIC (101 BASIC Computer Games), urmată în anul 1974 de Computația Creativă (Creative Computing). Primele jocuri notabile de strategie au fost: Star Trek (1971), Hunt the Wumpus (1972), sau Empire (1977), scris de Walter Bright în limbaj FORTRAN. Au urmat apoi jocurile de aventură de tip Dungeons and Dragons, cum a fost Colossal Cave Adventure (1976), creat de Will Crowther, din 70 de hărți și 700 de linii de cod scrise în FORTRAN. A urmat deceniul de aur pentru jocurile de arcadă ('80-'90) dominat de jocuri ca: Asteroids (1979), Galaxian (1979), Pac Man (1980), Galaga (1981), Donkey Kong (1981). Unul dintre cei mai cunoscuți dezvoltatori ai deceniului a fost inginerul Tomohiro Nisikado de la Compania Taito Trading, producătorul jocului Space Invaders, vândut pe 360 000 de console cu monedă, pentru un volum de afaceri ce a depășit în anul 1981 suma de un miliard de dolari. Cam în acceași perioadă, aceleași jocuri au fost dezvoltate și pentru computerele personale de birou. Companii specializate precum Apple, Commodore sau Tandy au intrat în competiție pentru a vinde cât mai multe copii arhivate pe floppy discks, casete magnetice sau cartușe de memorie read only memory (ROM). A urmat apoi un al doilea val de console de joc, dezvoltate de Apple II, Commodore PET, VIC-20, Sinclair ZX80, NEC PC-8000, SharpX1, Atari 8-bit family, Amstrad CPC. După anul 1982 au început să fie implementate soluții tot mai complexe pentru sunet și grafică, asociate cu comercializarea unei largi diversități de plăci de sunet și emulatoare grafice. Primele jocuri pentru mai mulți utilizatori au fost proiectate inițial pentru rețele locale, interconectate prin cabluri, apoi pentru jucători din rețeaua Internet. Au urmat consolele din generația a treia și a patra, în timp ce jocurile de strategie au fost dominate de cele din seria Heroes of Might and Magic. Deceniul 1990 a marcat trecerea spre grafica 3D și jocurile de strategie în timp real: Mortal Kombat, Night Trap, Doom, Virtua Fighter, Sim City, Resident Evil, Warcraft. Noul mileniu a adus consolele de joc de generația a cincea de tip Artari Jaguar, Sega Saturn, Sony PlayStation sau PC-FX, iar mijloacele de arhivare au evoluat de la CD-uri la DVD-uri. Primele jocuri pentru telefoane Smart au fost produse în anul 1997 pentru telefoanele Nokia 6110. Zece ani mai târziu, jocul Angry Birds a fost descărcat pe două milioane de telefoane într-un singur an. Au apărut apoi consolele de joc din generația a șasea și a șaptea, cu un spațiu de memorie practic nelimitat, apoi jocurile PC pentru realitate virtuală.

52 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Tehnologia jocurilor electronice a condus și spre aplicații grafice cu rol utilitar. Dintre acestea, în primul rând sunt simulatoarele de realitate virtuală utilizate pentru antrenamentul șoferilor și al piloților de avion. Din punct de vedere istoric, cele mai vechi simulatoare au fost cele de zbor, inventate pentru antrenamentul piloților. Primul astfel de simulator a fost construit în anul 1909 de firma Antoinette, la Champ Chalons, pentru antrenamentul piloților francezi. Simulatorul consta dintr-o jumătate de butoi instalată pe un sistem articulat, cu toate manetele și controalele de la bordul aeroplanului și avea doar scopul de a obișnui pilotul să mențină echilibrul aparatului sub acțiunea unor forțe externe aplicate lateral. Printre primii cursanți s-a aflat pionierul zborului Arthur Charles Hubert Latham (1883-1912), cel care a stabilit în anul 1909 un prim record de altitudine (155 metri) și un prim record de viteză (77,54 Km/oră). Cel mai cunoscut simulator de zbor, denumit Link Trainer, a fost produs în anul 1927 de pionierul aeronauticii Edwin Link, proprietarul unei companii producătoare de piane și orgi. După ce 12 piloți și-au pierdut viața în mai puțin de trei luni, peste 50 000 de piloți din 9 țări s-au antrenat pe simulatorul său, dezvoltat pentru Army Air Corps. În timpul celui de al doilea război mondial, s-au produs peste 10 000 de exemplare ale simulatorului Link, pe care s-au antrenat peste 500 000 de piloți americani și canadieni. În anul 1954, Corporația aerospațială Curtiss Wright a produs la un cost de trei milioane de dolari primul simulator de zbor la care au fost adăugate și efecte vizuale, sunete și mișcări complexe. În epoca modernă, circa 250 000 de piloți se pregătesc pe simulatoare moderne, iar alți 180 000 de ofițeri de zbor susțin examenele și testele de control, la un cost global de circa trei miliarde de dolari. În ce privește conducerea autoturismelor, un simulator auto modern se poate adapta de la nivelul de începător până la cel de șofer profesionist, sau chiar pilot de curse de formula I, cu module diferite pentru autoturisme, camionete, camioane sau autobuze și mijloace de transport în comun. Înainte de a urca la volan, cursanții pot exersa pe un astfel de simulator principalele mișcări, până la formarea unor stereotipuri dinamice. Mai mult decât atât, simulatorul este dotat cu numeroși senzori și cu funcții specializate, pentru a analiza comportamentul conducătorului la volan, viteza de reacție la stimuli, performanța în condiții diferite de drum, finețea mișcărilor, eventualele stereotipuri preexistente. Simulatoarele nu sunt doar pentru învățarea mișcărilor și antrenament. Cu ajutorul acestei tehnologii, se poate cuantifica exact efectul unei substanțe psihotrope asupra reacției conducătorului auto, modul în care alcoolul, tabacul, cafeaua sau alte substanțe comercializate pe scară largă influențează siguranța în trafic a celorlați conducători auto. Alte studii evaluează în ce măsură aparatura de bord și stimulii obișnuiți influențează comportamentul la volan. Se evaluează separat, sau simultan stimuli ca: sistemele de navigație prin satelit, radio-ul și dvd-playerul, telefonul mobil sau fix, funcțiile de comunicație de tip e-mail sau mesajele de tip teletext, aerul condiționat și sistemele de încălzire, temperatura din interiorul cabinei sau conversația cu un pasager. Se pare că un bord prea complex este mai degrabă confuziv, decât eficient. Tehnologia modernă a mers chiar mai departe și a dezvoltat simulatoare pentru realitate augumentată, adică niște sisteme complexe în care cursantul primește informații complexe vizuale, auditive, tactile, olfactive și somatosenzoriale, generate de un computer prin augumentarea unor informații preluate de senzori reali. Cu ajutorul acestor simulatoare se pot testa reacțiile la situații care nu există în lumea reală, situații neprevăzute, pentru care cursantul nu are stereotipuri dinamice deja dezvoltate. Pentru implementarea soluțiilor matematice a fost dezvoltat un limbaj standardizat de programare denumit Augumented Reality Markup Language (ARML), o extensie a limbajului Extensible Markup

53 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Language (XML). Dat fiind că au intrat deja în producție autoturismele și aeronavele cu pilot exclusiv automat, este de așteptat ca în viitorul nu prea îndepărtat, simulatoarele de realitate virtuală să lase locul sistemelor de comandă complet robotizate.

Un alt domeniu de activitate în care matematica devansează cu mult soluțiile teoretice este robotica, sau știința mașinilor automate. Conceptul a existat încă din antichitate, când zeul Hefaistos a făurit din aur păpuși vorbitoare, iar zeii Nordului au făurit giganți din noroi. În Egiptul antic, la ceremoniile religioase se prezentau statui ale divinităților care mișcau din cap sau din brațe, animate de un suflet primit de la zei. Unul dintre discipolii zeului Buddha, pe nume Daoxuan (667-596 îen), a descris un humanoid din metal capabil să recite textele sacre, iar filozoful Mozi a descris imitații mecanice ale animalelor și demonilor. În India, o colecție de povestiri intitulată Lokaoannatti a descris o armată de soldați automați care păzesc osemintele zeului Buddha într-un templu secret. Prima mașinărie automată cu manechine în mișcare, acționate hidromecanic, a fost un turn cu ceas, înalt de 10 metri, construit în anul 1088 de savantul Su Song (1020-1101). Ceasul avea 133 de axuri rotative, cu ajutorul cărora producea sunete diferite la fiecare oră. Primele ceasuri hidraulice au fost construite în Bizanț în secolul al VI-lea, în Arabia începând cu epoca lui Harun al Rashid (786-809), iar la curtea lui Charlemagne primul ceas mecanic a fost adus în anul 807. Printre schițele lui Leonardo da Vinci (1452-1519) se află și un cavaler mecanic, îmbrăcat în armură, capabil să ridice brațul și să încline capul. În secolul al XVIII-lea, păpușarul Jaques de Vaucanson a construit pentru Regele Ludovic al XV-lea o rățușcă automată formată din 200 de piese în mișcare, capabilă să mănânce și să bea apă. În anul 1770, meșterul de ceasuri Pierre Jaquet Droz a creat niște păpuși automate care au inspirat-o pe romanciera Mary Shelly să scrie celebra nuvelă Frankenstein. În Japonia, inginerul Hisashige Tanaka a inventat niște păpuși complet automate, capabile să servească ceaiul sau să picteze câteva litere. În anul 1898, inginerul Nikola Tesla a fost cel are a avansat ideea unui om mecanic, capabil să preia toate muncile rasei umane. Termenul de robot (rabota = muncă) a fost utilizat pentru prima dată în anul 1921, în nuvela R.U.R. (Rossum's Universal Robots) a scriitorului Karel Capek (1890-1938). În anul 1927, un prim robot denumit Maschinenmensch a apărut în filmul științifico-fantastic al lui Fritz Lang, intitulat Metropolis. Primul robot prezentat publicului, denumit Gakutensoku, a fost realizat în Japonia de biologul Makoto Nishimura, capabil să scrie câteva litere. Primul robot acționat electric, cu un motor de 12 volți și 12 electromagneți, a fost creat în anul 1928 de Căpitanul William Richards, împreună cu inginerul de aviație Alan Reffell. Denumit Eric, acest prim robot se ridica în picioare, făcea o plecăciune și apoi susținea cu o voce metalică un discurs lung de patru minute, transmis prin radio. Primii roboți industriali au apărut în Statele Unite ale Americii, după ce în anul 1938 inventatorul William Pollard a patentat primul braț automat pentru pulverizat vopsea pe caroseria mașinilor, pe o bandă rulantă. În anul 1939, un prim robot umanoid, botezat Elektro, înalt de 2 metri și cântărind 120 de kilograme, se putea deplasa la comandă, rostea circa 700 de cuvinte și putea mișca mâinile și capul. Apoi în anul 1942, scriitorul Isaac Asimov a formulat în nuvela sa fantastică Eu Robotul, primele trei legi ale roboților, iar matematicianul Norbert Wiener a formulat principiile ciberneticii. Neurofiziologul William Grey Walter a creat în anul 1948 primii roboți autonomi, pe nume Elmer și Elsie, capabili să urmărească un spot luminos. Același autor, a publicat în anul 1951 lucrarea "A machine that learns" (Mașina care învață) în

54 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

care a avansat ideea unui robot cu reflexe condiționate. Cel care a creat primul robot programabil a fost inventatorul George Charles Devol (1912-2011). Botezat Unimate, robotul său a fost primul robot industrial capabil să execute operații diverse pe o bandă rulantă. Primul robot industrial din Japonia a intrat în producție în anul 1967. Primul braț automat controlat de un computer a fost creat în anul 1969 de inventatorul Victor David Scheinman, din care a derivat apoi în anul 1977 primul robot complet pentru asamblări mecanice, denumit Programmable Universal Machine for Assembly. Tehnicienii japonezi de la Universitatea Waseda au dezvoltat începând cu anul 1970 primii roboți umanoizi, primul din serie fiind celebrul WABOT-1. În Germania, cel mai mare producător de roboți indistriali este Keller und Knappich Augsburg, fondată în anul 1898. Primii roboți pentru sudură au fost creați în anul 1967, iar cei cu laser au fost produși începând cu anul 1993. Începând cu anul 1994 au fost dezvoltați primii roboți asistenți pentru chirurgie. Primul robot biomimetic a fost RoboTuna, un robot în formă de pește, capabil să reproducă toate mișcările unui ton. Apoi în anul 1997, robotul Deep Blue, produs de firma IBM, a obținut o victorie la șah în fața campionului mondial Garry Kasparov. Dintre cei moderni, cel denumit Canadarm2 a fost montat în anul 2001 pe Stația Spațială Internațională, iar cele două rovere Spirit și Opportunity au explorat și cartat suprafața planetei Marte, începând cu anul 2003.

Analiza matematică a undelor reflectate, în combinație cu progresele realizate în geometria analitică și în topologie au condus spre o serie de aplicații tehnice cunoscute în prezent sub denumirea generică de imagistică medicală. Parte componentă a metodelor de laborator neinvazive, imagistica medicală are ca scop reprezentarea unor proiecții reale, sau virtuale, ale interiorului corpului uman, în primul rând pentru identificarea unor modificări anatomo-patologice și în mod secundar pentru studii de fiziologie sau faramcodinamie. Cele mai simple tehnologii produc doar niște reprezentări grafice liniare: electrocardiografie, electroencefalografie, spirografie, miografie, elastogramă. Tehnologii ceva mai complexe se utilizează pentru reprezentări bidimensionale sau pentru secțiuni bidimensionale: radiografie, tomografie, ecografie, scintigrafie. Pentru toate acestea, matematica intervine destul de puțin, reprezentările grafice fiind făcute de cele mai multe ori punct cu punct, sau prin sumație. Dezvoltarea tehnicii de calcul și a soluțiilor matematice pentru descrierea unor suprafețe, sau a unor corpuri complexe, ne-Euclidiene, au condus însă spre combinarea aparatelor de explorare cu diferite soluții de procesare a informației. Au apărut astfel tehnologii complet noi, în care proiecțiile virtuale sunt exclusiv rezultatul unor procese matematice: tomografia computerizată, ecografia computerizată, termografia computerizată, scintigrafia computerizată, rezonanța magnetică nucleară. Cu ajutorul acestor noi discipline medicale se pot realiza nu doar imagini tridimensionale ci și clipu-uri animate cu evoluția trecută sau viitoare a unei anumite formațiuni, fie ea parenchimatoasă sau cavitară din: tractul digestiv, tractul urinar, tractul respirator, organele endocrine, sistemul nervos central, sistemul vascular. Analiza matematică a informației nu se rezumă doar la măsurători precise și la reprezentări tridimensionale ci poate oferi informații noi, inaccesibile ochiului uman. Fiecare organ al corpului omenesc are o amprentă specifică, o structură unică, irepetabilă. Unele structuri se modifică în permanență, de la minut la minut (tractul digestiv), altele însă sunt constante și păstrează permanent această amprentă biologică. Exemplu cel mai cunoscut îl reprezintă analiza computerizată a irisului, cu un desen și o cromatică unică

55 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

pentru fiecare individ. Asemănător, se pot identifica în diferitele organe modificări minime din cadrul unor îmbolnăviri, cu valoare de diagnostic sau de prognostic precoce, cu mult înainte ca îmbolnăvirea respectivă să poată fi detectată prin alte mijloace de investigație. Un alt domeniu de cercetare este cel al sintezei de organe. Există deja țesuturi produse în laborator și modele geometrice pentru structura internă și distribuția țesuturilor în cadrul fiecărui organ. Nu suntem prea departe de ziua când organele vor putea fi produse de o imprimantă 3D, asemănător cu obiectele din plastic realizate în prezent. Progresele realizate în topologie permit o analiză matematică a modificărilor suferite de diferitele organe în timpul unor deformări continuue, prin întindere, comprimare sau răsucire. Astfel de studii pot conduce la o mai bună înțelegere a leziunilor suferite în timpul accidentelor de muncă sau de circulație și permit perfecționarea mijloacelor de prevenire și protecție împotriva unor astfel de accidente. În toate aceste studii, biologia lasă locul unor analize numerice. Întregul organism este înlocuit prin seturi de numere și funcții pentru prelucrarea lor. Cu alte cuvinte, filozofii Antichității au avut perfectă dreptate atunci când au spus că Dumnezeu a creat lumea din numere, într-un laborator de matematică.

Matematică computațională

Termenul de matematică computațională se referă la acele aplicații ale matematicii în care se utilizează un calculator pentru efectuarea calculelor, sau pentru organizarea și prelucrarea informațiilor. Este o știință complexă în care se îmbină numeroase noțiuni de matematică elementară, cu funcții și algoritmi specifici matematicilor superioare. Principalele arii de dezvoltare sunt: calculul științific, analiza numerică, analiza statistică, calculul probabilistic, controlul proceselor automate, calculul economic, jocurile logice sau strategice, optimizarea de soluții matematice, simularea proceselor complexe, criptografia, informatica, educația științifică. Prima și cea mai simplă etapă începe de la proiectarea arhitecturii de procesor. Primele sisteme automate de calcul au fost proiectate pentru a prelucra informația utilizând un sistem de operare binar, cu două tipuri de semnal: DA și NU, respectiv 1 și 0. La început au fost simple circuite electrice cu comutatoare automate. Prin închiderea și deschiderea comutatoarelor se putea genera un semnal liniar format din grupuri de informație DA și NU, respectiv cu ajutorul unui astfel de semnal binar se putea controla închiderea și deschiderea comutatoarelor automate. Primele calculatoare numerice erau niște circuite cu beculețe, care se aprindeau sau se stingeau, după o anumită logică. Curentul electric utilizat era un curent rectangular, cu o frecvență foarte mică. Un astfel de curent rectangular era generat de un motoraș mic, care prin rotirea unui disc închidea și deschidea automat comutatoarele electrice ale unui circuit. Practic, la început, efectuarea unui calcul automat era mai dificlă decât utilizând abacul. Ulterior, curentul rectangular a fost generat în trepte de frecvență, combinând motorul electric cu discuri în rotație de dimensiuni diferite, pentru a genera mai multe frecvențe diferite la o singură rotație. Circuitele simple au devenit apoi din ce în ce mai complexe, din ce în ce mai miniaturizate, până când au

56 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

fost standardizate sub forma unor circuite integrate. În interiorul acestor circuite, anumite funcții logice au fost implementate combinând comutatoarele automate cu diode și semiconductori. Intrarea și ieșirea dintr-un astfel de circuit poartă numele de poartă logică și are o funcționalitate constantă, pentru milioane de operații. Inițial, numărul de operații a fost limitat la 50 de operații/secundă, atât cât era frecvența curentului alternativ de la sursă. Apoi au fost dezvoltate circuite speciale pentru generarea unor curenți cu frecvență din ce în ce mai mare: 1 KHz, 10 KHz, 100 KHz, 1 MHz ....până la procesoarele moderne care lucrează la frecvențe de GHz sau chiar TeraHz. Însă, această frecvență nu reflectă numărul de operații efectuate de o singură poartă logică, ci reflectă numărul total de operații efectuate de procesor pe secundă. Un procesor modern are însă mii sau chiar milioane de porți logice și un număr infinit de combinații posibile. Așadar termenul de frecvență de procesor este mai degrabă un termen imaginativ decât unul fizic. Principalele tipuri de poartă logică sunt: ȘI (AND), SAU (OR), ȘI-NU (NAND), SAU-NU (NOR), SAU EXCLUSIV (XOR) și NU (NOT). Pentru funcționalități complexe porțile logice au între două și zece intrări, pentru o singură ieșire. Cu alte cuvinte, semnalul de activare trebuie să combine mai multe circuite logice pentru un anumit tip de semnal de ieșire. În funcție de tipul de curent utilizat, porțile logice și respectiv circuitele integrate pot fi analogice (pentru curenți de 5 sau 12 volți) sau digitale (pentru milicurenți). Deși arată asemănător, sau chiar identic, circuitele integrate analogice nu sunt compatibile cu cele digitale, decât atunci când există circuite traductoare intermediare. Mai mult decât atât, nici cele digitale nu sunt compatibile între ele, fiind construite după principii de funcționare diferite. Principalele tipuri constructive pot fi identificate cu ajutorul denumirilor lor prescurtate: DL(diode logic), TDL (tunel diode logic), NL (neon logic), CDL (core diode logic), 4LDL (4 layer device logic), DCTL (direct coupled tranzistor logic), MOS (metal-oxide semiconductor logic), CML (current mode logic), QCA (quantum dot cellular automata). Următoarea etapă elementară o reprezintă utilizarea unor funcții logice, pentru producerea sau prelucrarea unui semnal electric. Pentru informațiile de tip binar, codificate prin ADEVĂRAT sau FALS, respectiv 1 și 0, matematicienii au dezvoltat o disciplină specială denumită Algebră Booleană, după numele inventatorului ei, matematicianul George Boole. Boole a expus pe larg acest subiect în cartea sa intitulată "The Mathematical Analysis of Logic (1847)". Utilizând algebra booleană, matematicianul Augustus De Morgan a inventat un set de reguli (legi) care-i poartă numele, cu ajutorul cărora expresiile logice pot fi simplificate. Legile lui De Morgan se aplică în prezent atât pentru proiectarea circuitelor integrate, cât și pentru dezvoltarea algoritmilor de calcul.

O dată implementate primele circuite automate, a apărut necesitatea comunicării dintre om și mașină. La tipurile constructive cele mai vechi, s-au utilizat la început codurile binare (0 și 1) apoi acestea au fost înlocuite prin cifre și litere. O mașină de scris special concepută, introducea pentru fiecare literă un semnal electric special și o altă mașină de scris electrică tipărea semnalele de ieșire sub forma unor cifre și litere. Seturile de instrucțiuni cu ajutorul cărora s-au format primii algoritmi elementari de calcul au primit denumirea de limbaj mașină, sau cod mașină, deoarece intermediau comunicarea dintre om și mașina de calcul. Seturile de instrucțiuni nu erau însă universale. Fiecare procesor are un anumit set de instrucțiuni cu care lucrează, așa că limbajul mașină trebuia adaptat pentru fiecare tip de procesor. Acest sistem de

57 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

comunicare a devenit în scurt timp insuficient și s-au imaginat numeroase alte variante de introducere și respectiv interpretare a seturilor de instrucțiuni primare. Dispozitivele prin care se pot edita sau exploata aceste seturi de instrucțiuni poartă în general denumirea de dispozitive periferice. Primul astfel de dispozitiv a fost tastatura, urmat apoi de: monitor, mouse, microfon, căști sau difuzor, cititor de coduri liniare, scaner, joystick, creion digital, cameră digitală, cameră web, memorie externă, proiector, imprimantă, network. Cel mai simplu dispozitiv periferic pentru afișarea datelor a fost și este monitorul, inițial alb negru cu o rezoluție minimală, apoi color, cu rezoluție din ce în ce mai bună. Fiecare punct luminos de pe ecranul unui monitor poartă denumirea de pixel, iar rezoluția unui dispozitiv se măsoară prin numărul de pixeli per centimetru pătrat (sau per inch). Doar pentru afișarea unui semnal electric sub formă de cifre și litere este necesară o codificare și un microprocesor dedicat. Fiecare bit poate corespunde unui singur pixel, iar în cazul imaginilor color pentru fiecare pixel este necesar un cod mult mai complex. Pentru a simplifica această problemă, în timpurile moderne s-au introdus microcipuri luminiscente (LED-uri), care transformă direct semnalul electric în combinații de semnal luminos. Întregul ecran a unui dispozitiv modern este practic un procesor. Se face astfel o imensă economie de spațiu, conexiuni și comutatoare, circuite logice și circuite interpretoare. Nici un calculator nu este însă alcătuit dintr-un singur circuit integrat. În fiecare calculator există numeroase procesoare, cu seturi diferite de instrucțiuni, pentru funcții din ce în ce mai complexe. Legătura dintre numeroasele seturi de instrucțiuni se face cu ajutorul unor limbaje speciale, denumite limbaje de asamblare (asm, assembly). Aceste limbaje utilizează coduri mnemonice, asemănătoare cu arhitectura internă a procesoarelor, motiv pentru care mai sunt denumite și coduri mașină simbolice (symbolic machine code). Fiecare instrucțiune este înlocuită printr-un cod simbolic și viceversa. Fiecare limbaj de asamblare este specific pentru o anumită arhitectură de procesor și nu poate fi portat de pe o mașină pe alta, în schimb permite înlănțuirea unor șiruri mai lungi sau mai scurte de coduri pentru a forma programe. Un astfel de program de asamblare face legătura dintre procesorul central și unul dintre periferice. Procesorul central lucrează simultan cu mai multe coduri de asamblare: unul pentru tastatură, altul pentru mouse și altul pentru monitor sau pentru difuzoare. Într-o etapă ulterioară, codurile mașină și limbajele de asamblare au fost combinate pentru a forma sisteme de operare și limbaje de programare complexe (vezi capitolul următor). Unde intervine matematica ? În primul rând în operațiunile de logică booleană. Fiecare instrucțiune este practic un număr reprezentat binar, pe 8, 16, 32 sau 64 de biți. Pentru a prelucra informația, procesoarele conțin niște structuri interne de memorie, denumite regiștri. Fiecare registru poate stoca și prelucra o instrucțiune. Procesoarele mici au 8-16 regiștri, în timp ce unitățile centrale au de la 256 în sus. Cu alte cuvinte un procesor matematic poate lucra simultan cu 8-16 instrucțiuni, în timp ce o unitate centrală lucrează simultan cu sute sau cu mii de instrucțiuni. Pentru fiecare operație executată asupra unui registru este necesar un cod unic. De exemplu: MOV AL, 61h este codul prin care numărul hexazecimal 61 este încărcat în registrul AL. Pentru a executa o operație matematică, registrul AL va fi comparat cu un alt registru în care este încărcat alt număr zecimal și se va executa operația aritmetică binară iar codul rezultat se va încărca într-un al treilea registru, cel de ieșire.

În electronica digitală, pentru stocarea temporară a datelor binare se utilizează niște circuite electrice de

58 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

tip închidere deschidere (flip-flop), denumite bistabili. Aceste circuite alternează între două stări stabile pentru a codifica infomația de un bit (1 sau 0). De exemplu, un registru de procesor pe 8 biți este compus din 8 astfel de bistabili, fiecare dintre ei fiind capabil să stocheze un singur bit, unu sau zero. Operațiile asupra valorilor din regiștri se fac utilizând aritmetica binară. Operațiile sunt simple, dar diferite de cele din aritmetică. De exemplu, după cum se observă și în ilustrația de mai jos, pentru adunare, 1 + 1 = 0 și un bit se transferă în bitul cel mai semnificativ alăturat. Deasemenea, pentru scădere, 0 - 1 = 1 și un bit se transferă în bitul cel mai semnificativ alăturat. Pentru înmulțire se procedează la fel ca pentru înmulțirea numerelor zecimale făcând adunări succesive, aplicând însă regulile din aritmetica binară. Se înmulțește pe rând fiecare cifră a înmulțitorului cu cifrele deînmulțitului, se scriu rezultatele unul sub altul, decalate cu o unitate spre stânga și apoi se adună pe verticală cifrele rezultatelor fiecărei înmulțiri. Pentru împărțire se utilizează același algoritm ca pentru împărțirea a două numere întregi. Practic se efectuează o serie de scăderi ale împărțitorului din restul parțial, până când restul devine mai mic decât împărțitorul. Și în acest caz, pentru scădere se aplică regulile aritmeticii binare. Atunci când împărțirea nu este exactă, rămâne un rest ce trebuie transferat într-un alt registru. Se observă că pentru adunări este esențial ca registrul cifrei rezultate să fie mai mare cu cel puțin un bit, pentru a putea face transferul bitului cel mai semnificativ. Dacă nu există un astfel de bit suplimentar, este nevoie de încă un registru suplimentar, doar pentru stocarea bitului cel mai semnificativ. Nici pentru înmulțire și împărțire nu ajung doi regiștri ci este necesar cel puțin încă un registru suplimenntar, pentru a stoca rezultatele parțiale. Deasemenea, atunci când se lucrează cu valori negative, mai este necesar încă un bit suplimentar, pentru semn. Pentru operații cu numere mari nu sunt suficienți regiștrii de 8-16 biți ci sunt necesari regiștri cât mai mari, de 32 sau 64 de biți. Calculatoarele de mare performanță utilizează procesoare numerice, special proiectate pentru calcule numerice (cu regiștri de dimensiunea unei file, cuprinzând mii de bistabili). Operațiile propriu zise se execută trecând semnalul electric prin porțile logice descrise mai sus. De exemplu pentru o poartă logică de tip XOR, dacă la intrare sunt doi biți p și q cu valoarea 1, valoarea de ieșire este 0, iar pentru o poartă logică antagonistă de tip XNOR dacă la intrare se prezintă aceiași doi biți p și q cu valoarea 1, valoarea de ieșire va fi 1. Cu alte cuvinte, poarta logică inversoare de tip XNOR execută exact invers operația binară de adunare a celor doi biți. Arhitectura internă a procesoarelor este extrem de variată, ca rezultat al numeroaselor combinații dintre tipurile de porți logice. Pentru a înțelege logica de procesor este necesar să se cunoască diagrama tehnică și tabela logică de adevăr pentru fiecare intrare sau ieșire. Prin combinarea diferitelor tipuri de poartă logică, se pot formula 16 funcții logice diferite. Indiferent de tipul constructiv, teoretic rezultatul operațiilor ar trebui să fie același, dar în practică apar întotdeauna diferențe, în special atunci când se lucrează cu numere în virgulă mobilă. Diferențele rezultă din algoritmii de procesare a ultimelor valori după virgulă sau din gradul de aproximare. Precizia de calcul a unui procesor se evaluează doar începând cu cea de a opta cifră după virgulă și merge uneori până la câteva zeci de cifre după virgulă. Astfel de diferențe nu au semnificație pentru viața reală, dar fac obiectul muncii unor matematicieni.

În evoluția sistemelor de calcul pentru operații cu numere s-au utilizat diferite sisteme de numerație, adică niște convenții de notare a numerelor folosind diferite seturi de simboluri grafice. Un astfel de sistem de numerație trebuie să poată reprezenta numerele întregi și cele fracționare, să utilizeze un cod unic pentru

59 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

fiecare număr posibil, să reflecte structura artitmetică și algebrică a numerelor. În sistem binar se utilizează ca simboluri doar cifrele 0 și 1. Cu cât numărul este mai mare, cu atât sunt necesare mai multe simboluri. De exemplu, cifrele până la zece se reprezintă binar astfel: 0 (0), 1 (1), 2 (10), 3 (11), 4(100), 5 (101), 6 (110), 7 (111), 8 (1000), 9 (1001), 10 (1010). În binar 10 se citește unu zero (și are valoarea 2), iar 111 se citește unu unu unu (și are valoarea 7). Imediat ce se epuizează variantele de permutări se mai adaugă un bit, denumit bitul cel mai semnificativ. Pentru a reprezenta cu același număr de biți toate numerele, pentru primele valori se adaugă zerouri în fața expresiei. Alte sisteme de numerație sunt: ternar (0,1 sau 2), cuaternar (0, 1, 2, 3), octal (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), zecimal (0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) sau hexazecimal (0,...9, A, B, C, D, E, F). Mai rar utilizate sunt: duodecimal (12 simboluri), vigesimal (20 simboluri), sexazecimal (60 simboluri), iar cel mai modern este ASCII (128 simboluri). Din considerente de ordin practic, pentru efectuarea calculelor numerice primele calculatoare au utilizat sistemul hexazecimal. După cum este ușor de observat, sistemul binar pe patru biți permite identificarea unică a numerelor de la 0 la 15, adică exact 16 simboluri câte sunt necesare pentru sistemul hexazecimal. Utilizând un circuit integrat cu patru intrări logice și opt ieșiri, se pot codifica opt coduri logice de ieșire, suficiente pentru a reprezenta numerele în format hexazecimal. Cuplând două astfel de circuite, un semnal de intrare format din opt biți poate fi transformat într-un semnal de ieșire format din 32 de biți (Hex Double Word), suficient de mare pentru a putea executa calcule cu valori numerice rezonabile. Cel mai mare număr prim calculat în HEX este numărul 2 147 483 647 (7FFFFFFF) iar valoarea maximă reprezentabilă este 4 294 967 295 (FFFF FFFF). Standardul pentru exprimarea numerelor în virgulă mobilă, în format hexazecimal, este actual reglementat prin IEEE 754-2008. În România, sistemul hexazecimal a fost utilizat pentru unitatea de calcul în virgulă mobilă a calculatoarelor de tip Felix C, iar în Franța un sistem similar s-a utilizat pentru echiparea calculatoarelor de tip IRIS (Informatique et Reseaux pour l'Industrie et les Services). Sistemul hexazecimal este prezent și în nucleul sistemului de operare Unix, în numeroase limbaje de asamblare dar și pentru calculul unor operații cu ajutorul unor limbaje evoluate de programare, cum sunt Limbajul C și C++, Java, JavaScript, Python sau Windows PowerShell. Primele calculatoare echipate cu procesoare pentru formatul hexazecimal au apărut în jurul anului 1950 (SWAC, ILLIAC, LGP-30, HONEYWELL, Monrobot XI, NEC). Americanii au fost printre primii nemulțumiți de limitele sistemului Hexazecimal și începând cu anul 1960 au dezvoltat sistemul ASCII (American Standard Code for Information Exchange), utilizat nu doar pentru numere dar și pentru text sau grafică. Inițial a fost un simplu cod telegrafic, revizuit apoi în anul 1968 și apoi transformat în standard, începând cu anul 1986. Bazat pe alfabetul Englezesc, sistemul ASCII include 128 de caractere, dintre care 95 sunt imprimabile iar 33 sunt coduri de control. Numerele reprezentabile prin acest sistem de numerație sunt practic infinite, așa că până în prezent a satisfăcut necesitățile matematicienilor. Evident, reprezentarea cifrelor și literelor este mult mai scurtă. De exemplu, litera i ASCII este echivalentă cu numărul decimal 105, cu numărul hexazecimal 69 sau cu numărul binar 1101001. În ilustrația de mai jos se observă cum o valoare binară pe patru biți se poate utiliza pentru a reprezenta cifre și litere în sistem hexazecimal. Pentru minimalizarea costurilor, majoritatea echipamentelor pentru comunicații utilizează sistemul ASCII și un format de 8 biți (octeți), dintre care 7 sunt pentru coduri și unul este bitul de semn și sau error check.

Sistemele de numerație nu au rezolvat integral problema operațiilor cu numere. Există calcule

60 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

matematice în care se utilizează doar numere întregi cu valoare mai mică decât 100 (de exemplu operațiile cu date calendaristice sau cele cu numere de telefon). Există însă calcule cu numere zecimale unde se impune o precizie extrem de mare. Având în vedere că un calculator lucrează uneori cu milioane de date, este nepractic ca toate numerele să fie reprezentate la fel. Atunci când reprezentarea numerelor se va face întotdeauna cu un număr fix de zecimale, se utilizează tipuri de dată în virgulă fixă. Există însă și situații în care precizia de reprezentare se adaptează în funcție de mărimea numărului. Astfel de tipuri de dată se numesc în virgulă mobilă, deoarece pentru numerele mari virgula se deplasează spre dreapta reducând numărul de zecimale, iar pentru valorile mici virgula se deplasează spre stânga, crescând precizia. Sistemele de operare au fost astfel concepute încât să poată lucra simultan cu diferite tipuri de date, reprezentate în regiștrii de procesor pe un număr diferit de biți sau de octeți (în grupuri de câte 8 biți). În consecință, limbajele de programare au evoluat și ele spre a exploata cât mai eficient procesoarele construite cu astfel de facilități. De exemplu, Limbajul C utilizează 16 tipuri de dată pentru formatul numeric. Dintre acestea, tipul _int8, utilizează un singur octet, lucrează cu valori de tip caracter și poate stoca doar numere cuprinse între -128 și 127. Tipul _int16 utilizează doi octeți și poate stoca valori cuprinse între -32768 și 32757, iar tipul _int32 utilizează patru octeți și poate lucra cu valori numerice întregi cuprinse între -2147483648 și 2147483647. Cel mai performant tip de dată pentru valori de tip integer este tipul _int64, care utilizează opt octeți și este destinat pentru numere întregi cuprinse între -9223372036854775808 și 9223372036854775807. Pentru valorile numerice neîntregi, cel mai economic este tipul de dată float, reprezentat pe patru octeți în virgulă mobilă, cu un domeniu de valori cuprins între -3,4 E-38 și 3,4 E-38 (adică numere cu 36 de zerouri sau cu 36 de zecimale). Pentru situațiile în care necesitățile de calcul nu pot fi satisfăcute de tipul float, Limbajul C include tipul double, cu valori reprezentate pe opt octeți (64 biți) în virgulă mobilă, cu un domeniu de reprezentare cuprins între -1,7 E-308 și 1,7 E-308 (adică numere cu până la 306 zerouri sau cu până la 306 zecimale). Cel mai generos tip de dată din limbajul C este tipul long double, stocat pe 10 octeți (80 de biți) în virgulă mobilă, cu un domeniu de reprezentare cuprins între -1,2 E-4932 și 1,2 E-4932 (adică numere urmate de 4930 de zerouri sau de 4930 de zecimale). Dezvoltarea capacității de calcul însă nu s-a oprit aici. Pentru exhibiții de calcul, au fost proiectate și exploatate sisteme de calcul în care numerele se pot stoca și reprezenta utilizând file întregi de tip text (uneori de dimensiunea unei cărți). De exemplu, pentru unele numere iraționale sau pentru valoarea lui Pi s-au făcut calcule cu o precizie de câteva trilioane de zecimale, doar pentru a demonstra că secvența numerică merge până la infinit fără nici o secvență repetitivă. O dată cu dezvoltarea limbajelor de programare orientate spre obiect, fiecare număr a devenit un obiect programabil (visual sau nu), cu funcții și proceduri, cu constante și variabile, cu expresie grafică sau cu soluții personalizate de comunicare și interacțiune cu celelalte obiecte numerice sau vizuale. Practic, un obiect care este un număr poate să includă și diferite operații automate, analize statistice sau reprezentări grafice, coduri de securitate sau coduri de verificare și control. De exemplu, numărul respectiv poate să verifice singur dacă valoarea introdusă este reprezentabilă sau nu, poate să execute anumite ajustări automate, poate să verifice dacă operația cerută este autorizată sau nu. Tipurile numerice moderne nu se rezumă la cele enumerate pentru Limbajul C. De exemplu, pentru operațiuni bancare există un tip numeric denumit MONEY, special proiectat pentru astfel de operații. Alte tipuri de date sunt proiectate pentru a opera cu valori logice, cu valori exprimate matricial, cu valori grupate în clustere, cu numere cumplexe sau cu numere imaginare, imposibil de reprezentat altfel. Diferitele tipuri de dată pot fi convertite de la unul la altul. Unele dintre ele pot fi convertite automat, altele necesită implementarea unor funcții speciale. Un exemplu de astfel de conversie fizică, în interiorul unui procesor, este ilustrat în diagrama de mai jos. Cu ajutorul microprocesoarelor numerice luminiscente, toată calculația este automată, împreună cu operațiile de verificare și control (auto-check). La dispozitivele moderne cu touch-screen întregul ecran este un procesor, cu regiștri dublați de senzori.

61 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Pe măsură ce volumul de date procesate a devenit din ce în ce mai mare, a devenit nepractic ca datele să fie procesate serial, bit cu bit. S-au dezvoltat procesoare și porturi de comunicație cu ajutorul cărora datele pot fi procesate în paralel, sub formă de șiruri (threads) paralele, câte 8, câte 16, 32 sau 64 simultan, sau chiar sub formă de matrice. Pentru a crește eficiența, datele au fost subîmpărțite în unități de volum mai mici: tabele și liste, file și foldere, pachete și unități de memorie. Apoi au fost introduse coduri simbolice ce înlocuiesc volume considerabile de date binare prin coduri numerice. De exemplu, sunetele sunt niște oscilații cu frecvență între 16 și 16 000 de Hz, majoritatea fiind în registrul de 4 KHz - 8 KHz. Pentru reprezenta un sunet în format binar ar fi nevoie în medie de cel puțin 5 000 de biți. În procesoarele de sunet moderne însă, orice notă muzicală este reprezentată numeric prin trei cifre: una pentru înălțimea sunetului (în Hz), alta pentru lungimea sunetului (în ms) și ultima pentru tonalitate (pian, trompetă, vioară, voce). Pentru a reda sunetele, procesorul de ieșire utilizează cele trei cifre pentru a produce un semnal binar, tradus în vibrații ale membranei difuzorului prin comparare cu un șablon. Cei 5 000 de biți se procesează astfel doar la efector, în timp ce pentru comunicații se pot utiliza doar trei cifre. Pentru a simplifica lucrurile, unitatea cea mai mică de informație cu care lucrează un anumit procesor a primit numele de token. Indiferent că este vorba despre imagine, sunet sau coduri de securitate, procesorul lucrează cu un anumit număr de tokeni per unitatea de timp. De exemplu, pentru comunicațiile din rețeaua Internet se utilizează un token de acces. Un astfel de token conține identitatea utilizatorului, grupul de utilizatori din care face parte, privilegiile sau restricțiile asociate terminalului respectiv, preferințele și istoricul său ca utilizator, parola de acces, coduri de verificare și control. Din punct de vedere al sistemului de operare, un astfel de token este un obiect informatic compus din identificatori, etichete, constante numerice, link-uri și adrese, diverse alte atribuite și proprietăți. Pentru rețelele locale de comunicație acest token este redus la un simplu cod numeric de trei bytes, cu ajutorul căruia calculatoarele din același nod de rețea se recunosc reciproc pentru a permite comunicarea în cadrul unui inel local (token ring). Cu ajutorul unui astfel de sistem local, accesul de la un calculator la altul se face direct, la nivelul serverului, fără a mai trece prin filtrele de securitate de rețea. Astfel de tehnologii au intrat în uz începând cu anul 1974, când Computer Laboratory de la Universitatea Cambridge a dezvoltat arhitectura primei rețele experimentale de comunicare pentru calculatoare conectate direct. Câțiva ani mai târziu, Laboratorul de Cercetare IBM din Zurich a dezvoltat primul token ring de tip Proteon cu o viteză de transfer de 10 Mbit/s. Apoi conceptul de tokenizare a datelor a luat o amploare din ce în ce mai mare. Cu ajutorul tokenilor, datele sensitive (coruptibile) se înlocuiesc printr-un echivalent nonsenzitiv, imposibil de utilizat direct. De exemplu, dacă un sunet ar fi transmis în rețea în format binar, un singur bit rătăcit la nivelul unui tampon de memorie ar altera logica întregului fond sonor, în schimb dacă se pierde un cod numeric, se alterează doar valoarea unei singure note muzicale. Același mecanism se utilizează și pentru codificarea sau securizarea datelor, pentru operațiuni fiscale sau bancare, pentru fișiere cu informații senzitive. În prezent, lista tokenilor este atât de extinsă încât este necesară o tokenizare a tokenilor pentru a simplifica operațiile din sistem. Noțiunea de token are extindere și în economie unde este prezentă prin conceptul de monedă digitală (bit coin). Spre deosebire de moneda obișnuită, în funcție de valoarea informației deținute, tokenii pot avea valoare foarte înaltă sau valoare și importanță redusă. Valoarea tokenilor este evaluată de sisteul de operare atunci când trebuie să priorizeze operațiile, cei cu valoare redusă fiind trecuți pe linie de așteptare. Cu ajutorul

62 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

codurilor simbolice viteza de operare din sistem poate crește enorm, dar numai atunci când volumul de informație este foarte mare.

Procesoarele unui calculator lucrează cu impulsuri electrice. Chiar dacă se utilizează simultan mai multe tipuri de semnal electric, operațiile posibile la nivel de procesor sunt limitate, ele fiind doar rezultatul trecerii semnalului prin diferitele porți logice. Toate operațiile din interiorul unui procesor se rezumă la operații aritmetice simple: comparare (logic DA, logic NU, logic ȘI, Logic SAU, logic ȘI/SAU), adunare, scădere, înmulțire, împărțire. Calculele matematice necesită însă ecuații complexe, imposibil de realizat prin coduri simbolice. Pentru rezolvarea unor astfel de calcule, ecuațiile trebuie să fie descompuse în secvențe de operații matematice simple ce pot fi implementate la nivel de procesor. O astfel de secvență de instrucțiuni și operații clar definite se numește algoritm și se implementează cu ajutorul unui limbaj de programare. Noțiunea de algoritm se utilizează în matematică încă din Antichitate, când a fost dezvoltată prima secvență de operații pentru împărțirea a două numere întregi. Un algoritm celebru a fost dezvoltat de matematicianul Euclid pentru calcularea celui mai mare divizor comun. Acest algoritm pleacă de la observația că divizorul cel mai mare dintre cele două numere trebuie să fie divizor și pentru numărul rezultat din diferența celor două numere. De exemplu, 21 este divizor pentru numerele 252 și 105, dar și pentru numărul 147 rezultat din diferența lor. Repetând această operație se ajunge la numerele 147 - 105 = 42, apoi 105 - 42 = 63, apoi 63 - 42 = 21. Numărul cel mai mic se scade din cel mai mare până când restul devine mai mic decât scăzătorul. Apoi restul obținut se scade din numărul cel mai mic, până când se ajunge la cel mai mare divizor. Întreaga secvență de operații este formată doar din operații de scădere. Necesitatea de a dezvolta algoritmi formați doar din operații executabile a condus în timp la o adevărată știință, denumită teoria computabilității. Problema inițială trebuie împărțită în probleme mai mici și mai simple, apoi fiecare problemă secundară se împarte în operații simple, până când întregul calcul se rezumă la operații computabile. Rezultatele parțiale se stochează în tampoane de memorie și bucle de repetiție, până când se ajunge la rezultatul dorit. Pentru a reprezenta grafic un calcul integral, o buclă de repetiție poate calcula rapid toate valorile din domeniul de reprezentare. Fără calculator, un astfel de calcul ar necesita ani de muncă. Ordinea în care se execută operațiile este esențială. Orice inversare în ordinea de execuție poate conduce la rezultate complet eronate. Funcția executabilă alocată pentru a organiza secvența de operații, se numește funcție pentru controlul fluxului de execuție. Funcțiile și buclele de execuție trebuiesc ierarhizate. Astfel, funcțiile de nivel superior pot să primească drept argument rezultatul unor alte funcții, iar funcțiile de nivel interior pot conține în interiorul lor alte funcții, denumite primitive. Primele se execută funcțiile denumite pure, adică cele care nu lasă nici un fel de urme în memorie și nu modifică fluxul de execuție. Ultima se execută funcția principală (Main), cea care include toate funcțiile de nivel inferior. Procesul prin care rezolvarea unei probleme se reduce la executarea unor operații logice simple poartă și denumirea de formalizare a algoritmului de calcul. Procesul prin care termenii unei ecuații se înlocuiesc prin operații logice până când devin echivalenți, poartă și denumirea de unificare a unui algoritm. După ce un algoritm este finalizat și executabil, începe procesul de optimizare. Un astfel de proces înlocuiește soluțiile laborioase cu altele mai simple, cu consum mai mic de memorie. De exemplu, atunci când se calculează valoarea maximă a unei funcții, un întreg algoritm de calcul

63 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

poate fi înlocuit prin o funcție predeterminată, cum este funcția max (x,y). Pentru a simplifica munca programatorilor, există o listă cu zeci de algoritmi de optimizare executabili direct: alpha-beta pruning, branch and bound, odds algorithm, chain matrix multiplication, differential evolution, gradient descendent, line search, minimax, nonlinear optimization, subset sum. Atunci când nu se poate garanta că un anumit algoritm va identifica o soluție computabilă se spune despre acel algoritm că este heuristic. Un astfel de algoritm nu poate oferi o soluție exactă, dar în schimb produce o soluție aproximativă, bazată pe calcule similare. Prin combinarea unor seturi de algoritmi, calculatoarele moderne sunt capabile să ofere soluții decizionale în acele situații în care numărul de variabile este prea mare pentru mintea omenească.

Programarea calculatoarelor

Era calculatoarelor electronice a debutat în anul 1940, cu un aparat pentru calcule balistice denumit Electronic Numeric Integrator and Computer (ENIAC). Primele persoane angajate ca operatori pentru calcule automate au fost șase femei: Jean Bartik, Betty Holbertson, Marlyn Westcoff, Kathleen McNulty, Ruth Teitelbaum and Frances Spence. Asemănător cu o centrală telefonică, primul calculator avea circa 3000 de comutatoare, montate pe 40 de panouri, înalte de aproape doi metri, iar cele șase femei trebuiau să reconfigureze aparatul pentru fiecare calcul. Licențiate în matematică, cele șase programatoare au structurat primii algoritmi pentru resetarea aparatului, care accepta doar instrucțiuni simple directe, pentru borne de tip centrală telefonică. Primul limbaj de programare oarecum structurat, denumit Plankalcul, a fost imaginat de inginerul Konrad Zeuse (1910-1995), inventatorul unui aparat de calcul automat pe care l-a denumit Z1. Ulterior aparatul a fost îmbunătățit iar cel din a patra generație, denumit Z4, a fost primul calculator electronic comercializat în Europa. Z4 era operat de un curent cu frecvența de 40 de Hertzi, cu o viteză de calcul de circa 400 ms per operație. Algoritmii de calcul se stocau pe o rolă de film perforat cu lățimea de 35 mm. Practic, aparatul era o versiune îmbunătățită a unui război de țesut automatizat. Primii algoritmi erau scriși în limbaj mașină, adică fiecare perforație corespundea unui contact electric iar comutația se făcea cu ajutorul unor lămpi vidate, preluate din radiotehnică. Teza de doctorat a lui Zeuse a constat din elaborarea unui program complex, capabil să calculeze mutările de pe tabla de șah. Programul lui a constat din dezvoltarea unui sistem de notație cu ajutorul căruia algoritmii de calcul puteau fi organizați în: instrucțiuni, funcții (subrutine), declarații condiționale (constante), bucle de repetiție, arii de date pentru numere în virgulă mobilă și structuri ierarhice. Programul se introducea în limbaj mașină, tot pe un film perforat, dar programatorul dispunea acum de un limbaj formal pentru organizarea operațiilor pe hârtie. Începând cu anul 1952, inginerul Alick Glennie a dezvoltat un prim program denumit compilator, capabil să transcrie direct limbajul formal în limbaj mașină. Cu ajutorul acestui program, o mașină special concepută transcria orice algoritm pe benzi perforate, pentru calculatorul său denumit Mark1. Fără nici un limbaj intermediar de

64 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

asamblare, codurile formale erau transcrise direct în numere și coduri binare, executate apoi direct, la fel ca apelurile telefonice. Doar că în locul unui apel telefonic, aparatul producea un număr, adică rezultatul calculului efectuat. Programul său a evoluat apoi progresiv, întreaga serie de programe fiind cunoscută în prezent sub denumirea de Autocode, termen prin care se desemnează existența unui compilator automat. Primul limbaj de programare comercializat și utilizat pe scară largă de matematicienii din întreaga lume a fost dezvoltat de firma IBM, pentru calculatorul denumit IBM 704 și a apărut pe piață în anul 1957. Operat cu tuburi catodice, calculatorul IBM 704 avea o memorie de RAM de 4096 cuvinte, scrise pe 36 biți (circa 18 Kbytes). Denumit ForTran, limbajul este o prescurtare de la Formula Translation și era alcătuit inițial doar din 32 de instrucțiuni simple. Fiecare instrucțiune denumea un tip de operație: DO, GO TO, FORMAT, READ, READ INPUT TAPE, WRITE, PRINT, PUNCH, REWIND, PAUSE, STOP, CONTINUE, END FILE. Alte instrucțiuni se utilizau pentru calibrarea aparatului și depanare: DIMENSION, FREQUENCY, OVERFLOW, DIVIDE CHECH. Unele dintre instrucțiuni permiteau și argumente condiționale. La elaborarea acestui program au colaborat programatorii: John Warner Backus, Richard Goldberg, Sheldon Best, Harlan Herrick, Peter Sheridan, Roy Nutt, Robert Nelson, Irving Ziller, Harold Stern, Lois Haib și David Sayre. Primul compilator optimizat a apărut în anul 1957, apoi până în anul 1960 s-au mai scris alte 40 de compilatoare. Nu exista un format fix al datelor binare, fiecare utilizator trebuind să specifice formatul de arhivare și redare. FORTRAN a fost cel mai frumos și versatil limabj de programare din anii de pionierat. Au apărut apoi primele aplicații scrise în FORTRAN, pentru calcule matematice sau pentru plotarea unor soluții grafice. Primele seturi de instrucțiuni se introduceau tot pe cartele sau benzi perforate, apoi au fost introduse benzile magnetice și ulterior discurile magnetice (disckette de 360 Kb). Limbajul a evoluat apoi progresiv. FORTRAN IV a apărut în anul 1968, pentru calculatoare cu o memorie de RAM de 256 Kb. Prin volumul mic de memorie și viteza mare de execuție, limbajul FORTRAN a supravițuit concurenței și a continuat să existe până în zilele noastre, cea mai nouă versiune fiind cea din anul 2018 (ISO/IEC TS 18508: 2015) cu capabilități moderne, cum ar fi: execuție concurențială, suport pentru programarea orientată spre obiect, pointeri pentru proceduri, componente alocate recursiv.

Aproape în paralel cu FORTRAN s-a dezvoltat un al doilea limbaj de programare de nivel înalt, denumit LISP. Inventatorul acestui limbaj a fost profesorul John McCarthy (1927-2011) de la Universitatea Cambridge Massachusetts, ca o extensie a sistemului de notație utilizat pentru calculul lambda și a celui utilizat pentru Information Processing Language (IPL). Elementul de noutate adus de IPL consta din alocarea dinamică a memoriei prin adăugarea permanentă a unor noi unități de memorie, denumite celule, respectiv organizarea acestora sub forma unei liste (în stivă). Ca rezultat, programele pentru calculatoare dezvoltate ulterior erau organizate sub formă de liste de instrucțiuni și comenzi, procesate și executate secvențial. Ca inovație, pe lângă expresiile simbolice simple, John McCarthy a propus utilizarea unor meta-expresii (M-expressions), pentru ca operațiile complexe să poată fi implementate prin funcții parametrizate de tip f [x,y]. Cel care a transpus aceste idei în limbaj mașină a fost inginerul Stephen Russel (n-1937) de la Dartmouth College, pentru un calculator de tip IBM 704. Primul compilator complet pentru limbajul LISP a fost scris în anul 1962, de inginerii Tim Hart și Mike Levin, de la Massachusetts Institute of Technology. Prin

65 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

simplitate și eficiență, limbajul LISP a supraviețuit timpurilor cunoscând mai multe dezvoltări moderne, printre care: MacLisp (1965), Common Lisp (1980), OpenLisp (1985), VisualLisp (1995), Hy (2010). Un principal avantaj îl reprezintă portabilitatea fragmentelor de cod. Orice funcționalitate implementată într-o versiune anterioară se poate copia și insera în lista versiunilor moderne, munca anterioară fiind mai ușor de valorificat. În Germania, un colectiv de matematicieni format din Friedrich Bauer, Hermann Bottenbruch, Heinz Rutishauser și Klaus Samuelson, a dezvoltat un limbaj algoritmic denumit ALGOL. Următorul limbaj de programare cu un impact major asupra activității de programare a calculatoarelor a fost COBOL (Common Business Oriented Language) destinat pentru a forma o interfață între oamenii de afaceri și calculatoare. Limbajul matematic fiind prea greoi pentru afaceriști, s-a organizat o conferință la care au participat matematicieni, industriași și executivi guvernamentali, deciși să facă programarea mai comprehensibilă. Printre experți s-a numărat Grace Brewster Murray Hopper (1906-1992), o femeie doctor în matematică, autoare a unui limbaj denumit FLOW-MATIC, în care instrucțiunile erau introduse asemănător cu propozițiile simple din limba engleză. Alături de ea au mai fost Jean Sammet (1928-2017), dezvoltatoarea limbajului FORMAC, Robert William Bemer (1920-2004) autorul limbajului COMTRAN și Saul Gorn (1912-1992) creatorul unui sistem de adresare a structurilor de date organizate ca arbore binar. Principalul obiectiv era utilizarea de comenzi intuitive, în limba engleză și portabilitatea acestora pe orice sistem de computer. Primul program scris în limbaj COBOL a rulat în anul 1960, pe un calculator de tip RCA 501, un prim calculator electronic realizat în întregime cu tranzistoare, achiziționat de Air Force în anul 1959 cu suma de 121 698 dolari. RCA 501 cântărea 2,5 tone, avea o memorie de execuție electromagnetică de 16 kb, expandabilă cu module auxiliare până la 260 kb, capabilă să stocheze până la 1,5 milioane de caractere (cifre sau litere) și avea o memorie inscriptibilă stocată pe benzi magnetice (până la 63 de benzi). Limbajul a cunoscut numeroase dezvoltări ulterioare, printre care: COBOL-68, COBOL-74, COBOL-85, COBOL 2002 (orientat spre obiect), COBOL 2014 (pentru sisteme de operare diverse ca z/OS, z/VSE, VME, Unix sau Windows). Un alt limbaj de programare extrem de popular a fost dezvoltat în anul 1959 de firma IBM sub numele de RPG (Report Program Generator) pentru calculatoare din seria IBM 1401, cu memorie stocată pe cartele perforate. Produs în anul 1959 (12 000 de unități), acest tip de calculator avea un sistem modular de unități de memorie, denumite SMS cards (Standard Modular System), fiecare card fiind echivalentul unui microchip din zilele noastre. Noul limbaj de programare permitea formularea de rapoarte după citirea și analiza unui mare număr de file sau rapoarte anterioare, adică executa operații de analiză și sinteză a datelor din memoria înscrisă. Programul începea prin specificarea tipului de file sau a tipului de date utilizate pentru arhivare, urmate de instrucțiunile executabile, pentru ca datele de ieșire să fie formulate sub formă de file de raport, sau ca date structurate. În cursul timpului, limbajul RPG a fost dezvoltat și expandat pentru diverse medii de operare, ultima implementare fiind în anul 2013, pentru sistemul Windows.

În România, istoria programării calculatoarelor a început în anul 1957, când s-a construit la București calculatorul cu tuburi electronice CIFA-1. A urmat în anul 1959 cel de la Cluj, denumit MARICA, cu relee electromagnetice, apoi cel de la Timișoara, denumit MECIPT-1 cu tuburi electronice. Primul calculator cu tranzistori a fost DACICC-1 (1963), urmat de DACICC-200 (1968). România a fost a unsprezecea țară din lume care a construit un calculator electronic complet tranzistorizat. Începând cu anul 1968, prin colaborare

66 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

cu firma CII din Franța (Compagnie Internationale pour l'Informatique) la Întreprinderea de calculatoare electronice din București a fost produs calculatorul Felix C-256, cu o memorie RAM între 32 și 1024 Kb, având ca perifierice: monitor, cititor de cartele, imprimantă, discuri magnetice, benzi magnetice, modem, terminale video. Calculatorul avea la bază un microprocesor Intel 8080, cu un repertoriu format din 78 de instrucțiuni și o viteză de execuție de 250 000 de instrucțiuni pe secundă. Pentru programare se utilizau rutine scrise în limbaj mașină, cu execuție directă la nivel de procesor. Aplicațiile nu necesitau compilator sau interpretor de limbaj. Memoria de lucru era organizată sub formă de stive și principalele operații erau cele de introducere, respectiv de extragere a datelor din stive. Programul trebuia să lipească aceste stive cap la cap, pentru a forma o memorie aparent continuă, motiv pentru care a fost denumit program de asamblare, sau de macro asamblare, la fel ca restul programelor din acest tip (Assembler, ASM. Assembley). Procesorul 8080 avea un set de 16 regiștri (AX, BX, CX, DX, IP, SP, BP, CS, DS, SS, ES, SI, DI, FLAG), în interiorul cărora se efectuau toate operațiile. Principalele instrucțiuni ale procesorului 8080 erau: ADD, AND, CALL, DIV, ESC, INT, LOCK, LOOP, MOV, MUL, NEG, NOT, OR, OUT, POP, PUSH, STD, SUB, TEST, WAIT, XOR. Generația a treia de calculatoare a fost reprezentată prin calculatoarele Felix-PC, de tip microcalculator personal, similare cu cele din seria HC (HC-85, HC-88, HC-90, HC-91, HC-2000). Principalele modele au fost: M18, M118, M216, CUB, CUB-Z și Junior-XT. La aceste tipuri de calculatoare se adăuga opțional co-porcesorul matematic 8087, cu un set suplimentar format din 83 de instrucțiuni, dintre care mai importante erau: FLD, FST, FTSP, FXCH, FADD, FTST, FXAM, FCOM, FCOMP, FFREE, FMUL, FINIT, FPTAN, FNSAVE, FSCALE, SFQRT, FSUB, FWAIT. După anul 1993, calculatoarele din seria TIM-S au fost o clonă a celor din seria Sinclair. Ultimul tip de calculatoare a fost produs în anul 1994, sub denumirea HC-2000. Avea incorporată o unitate de disk internă, cu dublă densitate, pentru o capacitate de stocare de 720 Kb. Noul microcalculator avea încorporat un limbaj de programare Sincalir Spectrum Basic, pentru o memorie de RAM de 64 Kb și un procesor de 3,5 MHz. Modulul grafic era de 256 x 192 pixeli, în 16 culori. Alte tipuri de microcalculatoare produse în serie în România au fost: aMIC, realizat la Institutul Politehnic Timișoara și CoBra produs la Institutul de Tehnică de Calcul Brașov. Calculatorul produs la Brașov utiliza tot un procesor Z80, cu un sistem de operare CP/M 2.2 sau CP/M 3.0, o memorie de RAM între 128 și 512 Kb, afișare video 256 x 256 în 16-256 culori și avea ca periferice 2 unități de dischetă, un terminal DAF 2020, cameră TV, televizor sau monitor alb negru/color, imprimantă. În epoca modernă, activitatea de producție s-a rezumat la asamblarea și comercializarea de produse pentru tehnica de calcul, una dintre principalele firme fiind Altex, cu o rețea de peste 120 de magazine și vânzări de circa 720 milioane de euro, pentru un profit net de circa 10 milioane de euro.

Evoluția limbajelor de programare a continuat prin inventarea conceptului de obiect software. Obiectele au apărut din necesitatea de a delimita un număr de funcții și instrucțiuni de restul programului. Primele clase și subclase de obiecte au fost definite în limbajul denumit Simula, dezvoltat în anul 1962 de programatorii Kristen Nygaard și Ole-Johan Dahl, de la compania Norwegian Computing Center. În interiorul obiectelor, calculele seriale puteau fi efectuate utilizând segmente modulare din memoria de operare, eliminând riscul de a supraîncărca memoria (overfow). În anul următor, programatorii Christopher Strachey și David Barron, de

67 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

la Universitatea Cambridge din Londra, au dezvoltat un limbaj complex denumit CPL (Combined Programming Language), în care au combinat soluții software preluate din mai multe limbaje de programare, în primul rând din limbajul ALGOL. Ca urmare a complexității, primul compilator pentru limbajul CPL a fost scris abea după anul 1970. Primul limbaj de programare didactic, destinat studenților de la Universitatea Dartmouth College din New Hampshire, a fost imaginat de profesorii de matematică John Kemeny și Thomas Kurtz sub denumirea BASIC (Beginner's All-purpose Symbolic Instruction Code). O mare parte dintre concepte au fost preluate din FORTRAN, dar noul limbaj a introdus o serie de elemente noi, simplificate, pentru a permite studenților să scrie coduri executabile de mici dimensiuni și să vadă rezultatul instantaneu. Astfel, limbajul BASIC include un număr de peste 80 de operații și funcții predefinite executabile direct. De exemplu, comanda PRINT 2+2 afișează direct rezultatul (4). Limbajul direct este extins apoi printr-un set de comenzi și instrucțiuni ce pot fi apelate doar în modul program, adică sub forma unui listing. Compilatorul limbajului a fost integrat în sistemul de operare. Astfel orice cod sau listing să poate fi executat sau depanat direct. Compilatorul pentru BASIC include și o listă completă de mesaje de eroare, pentru depanarea rapidă. O dată scris, programul poate fi listat sau executat fragmentar, pentru a depista și remedia mai ușor erorile de concepție. Limbajul BASIC nu numai că a deschis studenților un Univers complet nou al matematicii, dar ca urmare a dimensiunii reduse a fost ușor de implementat pe echipamente cu structură hardware minimă. Ca urmare, începând cu anul 1965 a fost rulat pe minicalculatoare, cum erau: GE-200, DATANET-30, PDP-8, PDP-10, cu un preț de cost sub 25 000 de dolari. Prima versiune complet portabilă a limbajului a fost GW-BASIC, dezvoltată de inginerul Greg Whitten, de la firma Microsoft înființată de avocatul William Henry Gates. Noua versiune nu numai că era portabilă pe disckette, dar permitea arhivarea unor seturi de până la 9 aplicații. După ce o versiune de BASIC a fost adaptată pentru mediul Windows, limbajul a fost implementat pentru console moderne dotate cu chipuri și microprocesoare, cum erau: TRS-80, Commodore PET, Apple II, Atari, Amstrad, Sinclair ZX, Altair 8080, Schneider. În mediul Windows, fiecare aplicație putea rula într-o fereastră diferită, pentru a procesa în paralel seturi diferite de date. Nici până astăzi nu s-a scris pentru elevi și studenți un program modular mai mic, mai intuitiv, mai ușor de învățat. Începând cu anul 1981, limbajul BASIC a fost implementat și pe calculatoarele personale IBM PC din seria 5150, vândute în număr de peste 150 de milioane de unități. Noul calculator era dotat cu o unitate floppy disk de 5.25 inchi, cu o capacitate de stocare de 160 Kb și o unitate fixă de disc cu o capacitate de 10 Mb. Următorul salt spre înainte a fost făcut prin dezvoltarea limbajului Quick Basic, urmat apoi de Visual Basic, orientat spre obiecte vizuale. Prin colaborare cu firma Microsoft, paltforma Visual Basic a inclus apoi un macro de limbaj pentru calcul tabelar, denumit Microsoft Excel. După mai bine de 50 de ani de la lansare, limbajul BASIC continuă să suscite interes, ca piatră de temelie în educația fiecărui programator. Numeroase alte clone și dialecte au fost dezvoltate și utilizate pentru diverse medii de operare, inclusiv unele pentru telefoane mobile: Tiny BASIC, Touch BASIC, Small BASIC, GW-BASIC portable, BASIC Android. Specific pentru medii de operare cu memorie limitată, limbajul BASIC poate fi utilizat și în medii industriale, pentru automatizări și sisteme de comandă sau control. Prin consumul mic de memorie și viteza mare de execuție a fost utilizat și pentru contabililtate primară, sau pentru screeningul rapid al unităților de memorie extinsă.

68 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

În anul 1967, inginerul Martin Richards, de la Universitatea Cambridge, a scris un limbaj denumit BCPL (Basic Combined Programming Language) menit să simplifice dificultățile de implementare ale limbajului CPL. Codurile scrise în limbaj BCPL erau mai scurte, pentru a fi ușor de executat într-o memorie de RAM de 16 Kb. Fără un compliator unic, codurile și structurile de date trebuiau apoi translatate în cod mașină pentru fiecare tip de calculator. Pentru a simplifica lucrurile, BCPL utiliza un singur tip de dată, atât pentru cifre cât și pentru text, cu lungimea de 16 biți. A fost primul limbaj care a utilizat acolade pentru organizarea funcțiilor și primul program care a rulat celebrul "Hello World". Limbajul BCPL a stat apoi la baza nucleului de funcții executabile (kernel) din sistemul de operare UNIX, dezvoltat de inginerii Dennis Ritchie și Ken Thompson, de la Laboratoarele Bell AT&T, pentru primele centrale telefonice automate. Începând cu anul 1972, Dennis Richie a inventat un limbaj simplificat, pentru a utiliza pachetele de funcții scrise în UNIX pe minicalculatoare, cum era de exemplu PDP-11. Limbajul a fost denumit simplu C, de la core (nucleu) și a constat dintr-un număr restrâns de cuvinte cheie și instrucțiuni, necesare pentru apelul funcțiilor și controlul fluxului de execuție. Funcțiile predefinite erau arhivate în directoare care nu se încarcă în memorie decât dacă urmează să fie apelate. Pentru operațiile alfanumerice și pentru evaluarea expresiilor limbajul utilizează un număr record de 36 operatori, reprezentați simbolic prin unul sau două caractere, asfel încât expresiile complexe să poate fi condensate cât mai mult. În versiunea compilată nu se utilizează însă decât operatorii necesari în aplicație. Tot pentru flexibilitate, limbajul C poate utiliza 17 tipuri de date, dintre care 15 sunt tipuri pentru date numerice, începând cu void (null) și __int8 (cu valori de la -128 la 127) și terminând cu long double (cu valori între 1.2 E-4932 și 1.2 E+4932. Toate tipurile de dată, constante sau variabile, trebuiesc declarate înainte de a fi utilizate. Comenzile, instrucțiunile și funcțiile apleate sunt grupate spre a fi executate într-o singură funcție unică, denumită Main (), nucleul de execuție pentru întregul program. Conceput modular, cu un consum minim de memorie și cu un grad foarte mare de flexibilitate pentru situații extrem de diferite, limbajul C a fost imediat asimilat de majoritatea inginerilor din telecomunicații. Ca rezultat au apărut un număr foarte mare de compilatoare pentru limbajul C, implementate pentru aproape toate tipurile de echipamente existente. Pentru standardizarea limbajului, Institutul American Național Pentru Standarde (ANSI) și Organizația Internațională Pentru Standardizare (ISO) au elaborat în anul 1989 primul standard unic, denumit ANSI C. Apoi au încurajat toți dezvoltatorii să utilizeze acest standard, pentru a asigura portabilitatea programelor pe platforme software diferite. Standardul a fost apoi actualizat în repetate rânduri, ultima actualizare fiind cea din anul 2015. Una dintre cele mai populare implementări ale limbajului C a fost Turbo C, produsă în anul 1987 de compania Borland Software Corporation, din Scotts Valley California, condusă de matematicianul Philippe Kahn. Trei ani mai târziu, aceeași firmă a extins nucleul de funcții și a scris compilatorul pentru limbajul Turbo C++. Numeroase alte limbaje de programare scrise ulterior au împrumutat concepte și structuri din limbajul C. Dintre acestea, cele mai cunoscute sunt: C#, UNIX C shell, Java, Objective C, Perl, PHP, Python, Rust. Una dintre cele mai cunoscute dintre implementările moderne este cea denumită Microsoft Visual C++, inclusă în Microsoft Visual Studio, cu numeroase versiuni și actualizări. De la un nucleu de funcții proiectate pentru o memorie de 16 kb, limbajul C a evoluat spre structuri gigantești. S-au format astfel funcțiile predefinite incluse în containerul .Net Framework, extins pe mai mulți Gigabiți. Pentru dezvoltarea de aplicații moderne, chiar dacă aplicația nu utilizează decât câțiva kilobiți din memoria de operare, întregul container trebuie arhivat în memoria de stocare. În schimb, o dată compilate, aplicațiile pot fi executate în medii cu memorie redusă, inclusiv pe telefoane mobile sau în dispozitivele de control pentru automatizare (telecomandă).

69 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Un program educațional denumit Logo a fost dezvoltat în anul 1967 de cercetătorii Wally Feurzeig, Cynthia Solomon și Seymour Papert, având ca obiectiv formarea unei platforme pe care copiii să se poată juca cu cuvintele și propozițiile unui limbaj. Cea mai cunoscută facilitate a acestui limbaj a fost însă capacitatea de a produce grafice vectoriale, cu ajutorul unui cursor care avansază progresiv într-un sistem Cartezian. Se pot realiza astfel desene cu aspect de "plăcintă" sau carapace. Limbajul Logo a acționat apoi un prim minirobot grafic, denumit turtle robot, capabil să deseneze singur astfel de grafice. Limbajul de referință pentru deceniul 70-80 a fost însă limbajul Pascal, dezvoltat de inginerul Niklaus Emil Wirth, profesor de informatică la Universitatea din Zurich. Destinat pentru educația studenților, limbajul Pascal era mai puțin eficient decât limbajul C, dar avea o sintaxă mai elegantă și mai simplă, mai didactică. O primă versiune pentru Windows a fost achiziționată și comercializată începând cu anul 1980 sub denumirea Microsoft Pascal. O altă versiune de mare succes a fost achiziționată de firma Borland, comercializată apoi sub numele de Turbo Pascal. Alte varsiuni de implementare ale limbajului au purtat denumirile: Free Pascal, Modern Pascal, Oxygene, Lylix, GNU Pascal, Virtual Pascal, IP Pascal, Pocket Studio, MIDlet Pascal, Amiga Pascal, VSI Pascal. Din necesitatea de a creea un standard unic pentru acest limbaj, în anul 1983 Organizația Internațională pentru Standarde a adoptat standardul ISO 7185, acutalizat apoi în repetate rânduri. Pentru economie de spațiu, funcțiile predefinite erau distribuite tot în pachete, apelate opțional. Pentru DOS Pascal aceste pachete erau: Crt, Dos, Graph, Graph3, Overlay, Printer și System. Pentru Windows Pascal pachetele de funcții se numeau: Strings, WinCrt, Win Prn, Win Procs, Win Types. După cum se observă cu ușurință din denumiri, funcțiile erau grupate în așa fel încât să poată codifica funcționalități: calcul, scriere de text și operații asupra textelor, grafică sau procesare de date. Începând cu anul 1986, versiunea Microsoft a inclus și pachete de funcții destinate pentru formarea de obiecte software: Objects, ODialogs, OMemory, OPrinter, OStdWns, Owindows, Validate. Ca urmare, funcțiile și procedurile puteau fi grupate în niște module mai mici de program, fiecare dintre ele cu execuție independentă. O dată programate, obiectele puteau fi copiate, sau chiar puteau fi apelate dintr-un program în altul. Tot pentru eficientizarea consumului de memorie, fiecare obiect avea o funcție constructor și o funcție destructor pentru eliberarea memoriei. Structurile de date nu erau stocate în memoria de execuție decât pe perioada în care erau utilizate efectiv. O altă extensie a limbajului inițial a fost oferită în mediul Windows de bibliotecile alocate dinamic (DLL), pe care fiecare programator le putea creea singur, sau le putea partaja cu alți dezvoltatori. Astfel mediul de operare nu mai depindea doar de pachetele implicite, programatorii putând exploata munca anterioară cu un simplu apel. O versiune didactică foarte iubită de studenți, a fost dezvoltată începând cu anul 1995, prin inginerul Andreas Hejlsberg de la firma Borland, sub denumirea Delphi. Platforma de dezvoltare Delphi avea la bază tot limbajul Pascal cu biblioteci pentru obiecte, doar că aceste obiecte aveau deja un corespondent vizual pe ecran. Pentru construcția obiectelor vizuale platforma includea o planșetă de proiectare și execuție pe care programatorul vedea în timp real cum va arăta obiectul în timpul execuției. Se evitau astfel nenumăratele compilări și recompilări necesare doar pentru design-ul obiectelor. Extrem de intuitivă, platforma Delphi a permis studenților să programeze și să execute primele butoane și ferestre funcționale. Ușor și repede. Mai mult decât atât, platforma Delphi putea fi interconectată cu o bază de dată, pentru a corela intefața vizuală cu funcționalitatea datelor arhivate tabelar. Tot la avantaje se încadrează și interoperabilitatea

70 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

cu aplicații dezvoltate în alte limbaje și în alte medii de operare, prin intermediul bibliotecilor DLL. Singurul inconvenient a constat din consumul din ce în ce mai mare de memorie. Dacă nu erau eliberate dinamic, obiectele vizuale epuizau rapid memoria de execuție și programul stagna, sau chiar se bloca. Platforma Delphi a evoluat apoi permanent, ultima versiune denumită Embarcadero 10.3 Rio a fost eliberată în anul 2018. Este probabil că limbajul Pascal nu și-a spus încă ultimul cuvânt.

Tot un limbaj de programare destinat studenților a fost MATLAB, dezvoltat de profesorul de matematică Cleve Barry Moler, de la Universitatea New Mexico, pentru a permite accesul studenților la bibliotecile de funcții LINPACK și EISPACK, scrise în FORTRAN. Începând cu anul 1983, inginerii John Little și Steve Brangert de la Universitatea Stanford au rescris limbajul în C și au fondat compania MathWorks. Utilizat mai ales în scop didactic și în proiectare, limbajul MATHLAB poate apela direct și bibliotecile de funcții scrise în limbaj C, inclusiv containerul .NET. Limbajul a fost upgradat anual, ultima versiune fiind eliberată în anul 2019. Un alt program care a schimbat fața lumii a fost dBase, dezvoltat de inginerul Wayne Ratliff de la NASA, autorul softului pentru sonda spațială Viking. Inițial programul său pentru managementul unor baze de date a fost denumit Vulcan, apoi licența a fost cumpărată de compania Aston Tate, iar programul a fost redenumit dBase II. De dimensiuni mici, comercializat pe disckete, dBase a stat la baza dezvoltării unui program mai funcțional, produs în anul 1984 de firma Fox Software sub denumirea de FoxBASE. Produsul a fost apoi upgradat și redenumit FoxPro, pentru a fi preluat și comercializat începând cu anul 1989 pe diferite platforme, sub diverse medii de operare: MS-DOS, Windows, MacIntosh sau UNIX. Destinat în primul rând pentru gestiunea firmelor, noul limbaj permitea operații cu date de tip caracter, formate din 1-254 de litere, alături de operații cu date de tip numeric, logic sau dată calendaristică. Mai mult decât atât, în tabele puteau fi arhivate și date de tip memo, în care puteau fi incluse desene, imagini, benzi sonore sau obiecte software. Practic orice tip de act sau document putea fi arhivat în întregime în bazele de date de tip Fox. La fel ca limbajul BASIC, platforma include și un set extins de funcții matematice apelabile direct, ca pentru un calculator de buzunar. Înainte de a fi arhivate în tabele, datele pot fi prelucrate matematic. Un alt set de funcții speciale, codificate cu prefixul SYS (), de la 0 la 2023, permit interogări referitoare la integritatea sistemului și la starea dispozitivelor hardware instalate, pentru a evita incompatibilitățile de tip soft/hard. Întregul program poate fi comprimat în pachete distribuite pe un set de șase disckete, iar după dezarhivare ocupă în memorie un volum de 12 Mb. FoxPro reprezintă opțiunea ideală pentru gestionarea unei mici afaceri. Extrem de flexibil și funcțional, FoxPro este însoțit de un utilitar HELP, cu explicații clare pentru fiecare tip de comandă sau instrucțiune. Pentru depanarea programului se pot utiliza ferestrele Trace și Debug din mediul Windows. Printre elementele inovatoare, limbajul FoxPro a introdus sub numele de Tehnologie Rushmore o primă soluție pentru optimizarea proceselor de căutare a unei anumite înregistrări. Pentru a scurta la maximum durata de execuție, se pot utiliza pointeri, salvați la căutările anterioare, țintiți spre adresele de arhivare, direct spre înregistrările pozitive, eliminând astfel mii sau zeci de mii de operații inutile, cu rezultat negativ. Ca orice program pentru baze de date, FoxPro nu este un program didactic și nu este recomandat studenților. Aplicațiile în FoxPro sunt destinate doar pentru operații asupra unor grupuri mari de date, cu conținut economic. Începând cu anul 1995, limbajul a fost upgradat spre versiunea sa Visual FoxPro inclusă de compania Microsoft în pachetul Microsoft Visual Studio, ultima

71 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

versiune fiind Visual FoxPro 9.0 emisă în anul 2004. Noua platformă oferă cam aceleași funcționalități, prezentate însă cu ajutorul unor obiecte vizuale și cu spațiu de memorie mult extins. Fiecare tabel poate arhiva până la un miliard de înregistrări, pentru o dimensiune maximă de doi gigabiți. Fiecare căsuță din tabele poate conține până la 65500 de caractere alfanumerice. Fiecare rând poate conține până la 255 de coloane. Numărul maxim de tabele este de 2550. Pentru fiecare aplicație care exploatează sau filtrează datele, Visual FoxPro acceptă până la 1024 de variabile implicite, 65000 de variabile declarabile și 65000 de arii de date, formate la rândul lor din câte 65000 de elemente diferite. Numărul de linii din program și numărul de proceduri sunt nelimitate. Practic, funcționalitatea acestui program acoperă toate necesitățile din mediul economic. Spre deosebire de strămoșul său, Visual FoxPro include un instrument de proiectare, denumit Program Manager, în care obiectele vizuale sunt concepute sub control vizual. Pentru exploatarea rațională a datelor dintr-o bază de date relaționale, cercetătorii Donald Chambrlin și Raymond Boyce, de la IBM San Jose Research Laboratory, au dezvoltat un limbaj adițional pe care l-au denumit SQL (Structured English Query Language). Limbajul SQL a devenit standard ANSI în anul 1986, apoi a fost actualizat în permanență ultima versiune fiind cea emisă în anul 2016. Începând cu FoxPro, biroul secretarelor și arhivele din întreaga lume au primit o nouă față.

Deceniul 80-90 a fost marcat prin formarea primelor rețele de calculatoare locale, apoi din ce în ce mai extinse. Patronate de National Science Foundation, universitățile din Statele Unite ale Americii au format o primă rețea comună și au organizat arhitectura pentru Domain Name System, respectiv au format un sistem de notație pentru adrese abstracte, prin intermediul cărora calculatoarele se identifică în rețea. Primele protocoale de comunicare între două calculatoare (TCP) au apărut în jurul anului 1973, iar denumirea de Internet a fost utilizată pentru prima dată în anul 1974 (RFC 675). În anul 1982, rețeaua americană s-a interconectat prin intermediul Londrei cu cea europeană, a urmat apoi Australia în anul 1989, iar Japonia a adoptat protocolul de comunicare în anul 1991. În anul 1989, inginerul Timothy John Berners-Lee, de la Universitatea Oxford, a propus primul protocol de comunicare pentru file scrise în limbaj de editare în hipertext, denumit Hypertext Markup Language și a propus formarea unei rețele pentru astfel de file, denumită World Wide Web. Apoi a publicat un prim site în anul 1990. Noul limbaj permitea tehnoredactarea textului cu majuscule și caractere speciale, după modelul utilizat pentru tipărirea ziarelor și revistelor. A fost primul pas făcut de presa scrisă în lumea matematicienilor. Ideea a fost adoptată cu entuziasm și prima versiune a limbajului a fost utilizată extensiv, începând cu anul 1991. Limbajul a fost apoi upgradat permanent, ultima versiune fiind cea din anul 2017 (HTML 5.2). Partajarea datelor și informațiilor în rețea a condus la apariția unei avalanșe de noi limbaje, dezvoltate special pentru exploatarea noilor capabilități. Dintre acestea, un prim limbaj care a întrunit sufragiile tuturor a fost limbajul Perl (Practical Extraction and Reporting Language) dezvoltat de inginerul Larry Arnold Wall, de la NASA Jet Propulsion Laboratory. Perl avea ca principal obiectiv extragerea de informații din fișiere tip text și formularea de rapoarte, prin rezumarea și sinteza datelor din același tip. Practic, în limbaj Perl se pot executa în file text cam aceleași operații pe care limbajul SQL le efectuează în tabele și baze de date. Avantajul principal constă din faptul că poate exploata resurse din medii extrem de diferite și nu necesită un administrator pentru baza de date, nici

72 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

operații de service și mentenanță în baza de date. Perl lucrează cu materialul clientului. Fiind administrator de sistem, Larry Wall a urmărit în primul rând să-și simplifice munca. Un al doilea obiectiv a constat din editarea de comenzi pentru serverele de rețea, prin intermediul unor file simple denumite script-uri. În aceste script-uri, limbajul Perl utilizează comenzi executabile direct, apelând comenzile sistemului de operare. Ca urmare, limbajul este extrem de versatil. Se pot utiliza comenzi simple unice, sub formă de listing, sau datele pot fi grupate în proceduri, obiecte și structuri, după cum necesită complexitatea funcționalităților implementate. Interpretorul pentru Perl nu impune nici o regulă fixă. Pur și simplu retranscrie comenzile și instrucțiunile în limbaj mașină. Nici variablele nu sunt tipuri de dată fixă, ci se adaptează automat în funcție de tipul de dată identificat. În acest fel, programatorul nu mai trebuie să scrie coduri alternative pentru fiecare tip de dată și nici nu există erori de execuție generate de formatul datelor. Deși nu este obligatoriu, majoritatea programatorilor utilizează totuși sintaxa preluată din limbajul C, pentru ca datele să fie organizate comprehensiv. Pentru maximum de flexibilitate, limbajul Perl utilizează și niște operatori speciali în evaluarea expresiilor. De exemplu, operatorul denumit "smart match (~~) poate evalua o expresie și atunci când cei doi operanzi nu sunt compatibili, fără să returneze un mesaj de eroare. De exemplu poate compara cifre cu litere. Există și operatori pentru divizarea textului în tokeni și operații ulterioare asupra tokenilor rezultați. Pentru operații de tip SQL se utilizează seturi de câte două condiții, cu operatori diferiți. După repetate upgrade-uri, limbajul Perl a ajuns în anul 1994 la versiunea a cincea, cu alte zeci de actualizări, ultima fiind Perl 5.30 emisă în anul 2019. Dacă nu pentru altceva, limbajul Perl este de neînlocuit pentru formularea de rapoarte din presa scrisă. Este utilizat extensiv și de administratorii de sistem, pentru operații de mentenanță.

Din marele grup de limbaje dezvoltate pentru valorificarea resurselor partajate în rețea, fac parte limbaje ca: Haskell (1990), Python (1991), Visual Basic (1991), Lua (1993), R (1993), CLOS (1994), Ruby (1995), Ada 95 (1995), Delphi (1995), PHP (1995), Java (1995), JavaScript (1995). Dintre acestea, singurul limbaj care s-a impus pe toate platformele și în toate mediile de operare a fost limbajul Java, dezvoltat de cercetătorul James Arthur Gosling, de la firma Sun Microsystems. Din start, limbajul a fost conceput pentru a putea fi executat pe orice sistem de calcul. În loc să fie conceput pentru o anumită arhitectură de procesor, limbajul Java a fost conceput pentru un procesor abstract, denumit de creatorul ei mașină virtuală. Toate codurile din limbaj erau transpuse într-un cod intermediar, format exclusiv din bytes. Apoi acest cod intermediar era apoi compilat diferit pentru fiecare tip de hardware unde urma să fie rulat. Prima versiune a limbajului a fost emisă în anul 1996, inițial cu licență, apoi din anul 2006 ca open source. Unul dintre avantajele majore îl reprezintă siguranța în exploatare. Aplicațiile transcrise în limbaj intermediar nu pot fi executate de nici un procesor și ca atare pot circula în rețea fără nici un risc de securitate. Fiecare producător de hardware poate apoi implementa dacă dorește compilatorul necesar pentru mediul său de operare. Mai mult, fiecare producător poate proiecta arhitectura viitoare astfel încât să exploateze cât mai eficient mașina virtuală Java. Principalele puncte forte ale limbajului Java sunt: simplu, robust, securizat, portabil, rapid, performant, interpretabil, dinamic. Un alt avantaj îl reprezintă funcțiile destinate pentru managementul automat al memoriei. Inspirat puternic după limbajul C, limbajul Java utilizează grupuri de obiecte, arhivate

73 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

în file denumite header. Filele sunt la rândul lor grupate în pachete (bin, db, demo, include, jre, lib, sample și src). Interpretorul pentru Java din pachetul bin, este inclus în fila java și are 132 Kb, astfel că aplicațiile simple scrise în Java pot rula în orice procesor de 1MB, adică pot fi executate complet în memoria de RAM a sistemului. Compilatorul pentru java este inclus în fila javac și are 25 Kb. Pachetul inițial mai conține un set întreg de mici programe utilitare: javadoc (pentru documentație), apt (pentru adnotări), jar (pentru arhivare/dezarhivare), jdb (pentru depanare), javah (pentru file header), javap (pentru dezasamblare), keytool (pentru certificate), jarsigner (pentru semnături), jinfo (pentru informații), jhat (pentru stiva serverului), jmap (pentru harta memoriei), jsadebugd (pentru depanarea serverului), jstack (pentru firele de execuție). Dintre acestea, sunt esențiale doar interpretorul, compilatorul și bibliotecile de obiecte. Gradul mare de siguranță este dat de faptul că Java este un limbaj strict obiectual. Nu există fire de execuție în afara obiectelor. Toate datele sunt incluse în obiecte predefinite, sau sunt derivate din obiecte predefinite, iar execuția se face secvențial, în module de memorie. Firele de execuție pot fi și ele organizate, prin funcții și instrucțiuni, astfel încât întregul mediu de execuție să fie strict controlat iar execuția să fie concurențială. Toate filele fiind open source, nu există riscul unor erori neidentificabile. După prima versiune au urmat alte 12, ultima versiune fiind Java SE 13 emisă în anul 2019. Dintre acestea, platforma Standard Edition a adăugat un număr semnificativ de pachete, grupate în pachete de interes general (lang, io, nio, math, net, text, util) și pachete pentru scopuri speciale (applet, beans, awt, rmi, security, sql, swing, xml). Platforma Java Enterprise Edition mai include și specificații pentru serviciile de networking (date distribuite și servicii de web browsing). Una dintre cele mai cunoscute platforme pentru dezvoltarea de aplicații în Java a fost dezvoltată de corporația Eclipse Foundation în anul 2001 și a cunoscut numeroase modernizări, ultima ediție fiind Eclipse 4.14 emisă în anul 2019. Cu o arhitectură complexă și un mediu de dezvoltare vizual, platforma modernă include munca a numeroși dezvoltatori și s-a îndepărtat de conceptul inițial. Platforma Eclipse exploatează resurse arhivate pe mai mulți Gb de memorie, pentru o funcționalitate complexă. Limbajul Java este implementat și pe platforme pentru dezvoltarea aplicațiilor de telefonie mobilă (de exmplu pentru Sistemul Android). Ca urmare, este limbajul preferat de majoritatea operatorilor de telefonie și se învață în toate instituțiile de învățământ superior. Într-un mediu extrem de concurențial, limbajul Java este în prezent cel mai utilizat limbaj de programare, urmat îndeaproape de limbajul C cu clonele sale C++ și C#.

După anul 2000 cele mai semnificative dintre noile limbaje propuse de autori au fost: ActionScript, C#, D, Scratch, Groovy, Scala, F#, Power Shell, Clojure, Go, Rust, Dart, Kotlin, TypeScript sau Swift. Dintre acestea limbajul C# a fost dezvoltat de inginerul Anders Hejlsberg de la Firma Microsoft, ca parte integrantă a platformei .NET. Denumirea sa de C diez, atrage de la început atenția asupra faptului că este vorba despre o reactualizare a limbajului C, la un nivel ceva mai înalt. Pentru a simplifica munca programatorilor, firma Microsoft a grupat toate bibliotecile de funcții într-o singură platformă (.NET) iar limbajul C# a fost proiectat special pentru a exploata aceste resurse. Pentru o funcționalitate cât mai bună, limbajul a preluat și principalele soluții din limbajul Java, inclusiv mașina virtuală și limbajul intermediar de precompilare. Spre deosebire de vechile biblioteci de funcții, noua platformă include și componente executabile (cu extensia .exe) ce pot fi apelate și executate direct din interiorul aplicațiilor. Astfel, se spune despre C# că este un

74 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

limbaj orientat spre component, mai degrabă decât orientat spre obiect. Printre inovațiile limbajului C# pot fi amintite următoarele: toate variabilele sunt locale cu vizibilitate doar în interiorul obiectelor, pointerii spre adrese de memorie sunt înlocuiți prin referințe spre obiecte reale, conține funcții speciale pentru tratarea excepțiilor, toate tipurile de dată sunt subclase ale unei clase de bază System.object având astfel un set de proprietăți comune. Printre principalele facilități oferite se numără: independența față de platforma software, interoperabilitatea cu alte limbaje, execuția concurențială multi-threading, compatibilitatea cu serverul SQL 2005 și suportul pentru formatul pe 64 de biți. La fel ca în Java, aplicațiile simple C# pot fi editate cu un editor de text banal pentru a fi apoi compilate cu utilitarul csc.exe pentru a produce executabile de dimensiune foarte mică, destinate unor funcționalități de sistem. În cazul aplicațiilor de tip utilizator, limbajul utilizează întreaga paletă de obiecte vizuale necesare pentru interfața grafică cu utilizatorul. Pentru securizarea aplicațiilor, platforma .NET oferă o serie de clase specializate, cum sunt: Security, AccessControl, Cryptography, Certificates, Permissions sau Policy, cu măsuri de restricție ce vizează de la un singur utilizator, până la o întreagă rețea. Pentru a favoriza dezvoltarea de aplicații complexe, compania Microsoft a oferit programatorilor o platformă de dezvoltare vizuală denumită Visual C# Express Edition, cu un compilator incorporat și seturi de interfețe predefinite, la standard profesional. Platforma oferă o planșetă vizuală pentru design și suport logistic pentru bibliotecile Windows Presentation Foundation. Tipic, toate aplicațiile vor rula în interiorul unei ferestre de tip Windows, cu excepția claselor destinate bibliotecilor DLL. Dintre instrumentele de lucru ale platformei se remarcă un editor de coduri (Code Editor), o fereastră pentru vizualizarea datelor din tabele (Data Explorer), o fereastră pentru depanare (Debugger), o fereastră pentru ierarhia resurselor (Project Node), o fereastră pentru organizarea resurselor (Class View), o fereastră pentru informații (Output View), o fereastră pentru design (Toolbox) și o fereastră pentru execuție (Task List). Prin combinarea lor, programatorul are o viziune de ansamblu a programului, atât în etapa de design cât și în tipul execuției. După prima ediție eliberată în anul 2002 au urmat alte șapte ediții, ultima fiind C#8, eliberată în anul 2019. Toate aplicațiile generate cu extensia .exe sunt direct executabile în mediul Windows. Pentru celelalte sisteme de operare, este necesar compilatorul oferit de fiecare platformă. Prin flexibilitate și funcționalitate limbajul C# a cucerit lumea programatorilor profesioniști și este în prezent al treilea cel mai utilizat limbaj, după Java și C++. Ce ne rezervă viitorul ? Nu știm încă.

Repere istorice

Mezhyrich (13 000 îen) - În această localitate de pe malul Nistrului a fost identificată o așezare preistorică, formată din patru locuințe, construite în întregime din oase de mamut a căror vârstă a fost datată cu radiocarbon la aproximativ 15 000 de ani. O parte dintre fragmentele de fildeș sunt zgâriate cu diverse semne și simboluri. Unul dintre aceste desene a fost interpretat ca fiind cea mai veche hartă din lume, cu cele patru locuințe în centru și zona imediat înconjurătoare, inclusiv râul. Alte desene au fost interpretate de istorici ca fiind în legătură cu ciclul Lunar, un fel de calendar astronomic paleolitic. Așezări paleolitice

75 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

similare au fost identificate în vecinătate la: Molodova, Ioudinova, Timonovka, Mezin, Dobranichivka, Gontsky.

Gobekli Tepe (9000 îen) - Este un tell neolitic din Anatolia, din regiunea superioară a Eufratului, despre care se crede că ar fi miticul Turn al Babilonului, cel în care vechii satrapi au vrut să atingă cerul. Structura este formată din circa 20 de cercuri concentrice formate din peste 200 de blocuri de rocă, fiecare dintre acestea cu înălțimea de peste 6 metri și greutatea de peste 10 tone. Multe dintre blocuri sunt ornate cu animale cioplite primitv, semn că în templu aveau loc ceremonii de divinație și cult primitiv. Pe această fundație din piatră se ridica probabil o structură din lemn. Luând în considerare trunchiuri de pin, cu lungimea de maximum 40 de metri și un fel de con format din maximum trei nivele de trunchiuri, rezultă o înălțime de până la 120 de metri, suficientă pentru a atinge norii în zilele cu ceață joasă.

Templul lui Solomon (secolul X îen) - Potrivit Bibliei evreiești (Talmudul), templul a fost ridicat la Jerusalem în timpul Regelui Solomon. Distrus de Babilonieni în anul 586 îen, templul a fost refăcut în anul 516 îen. În anul 19 îen, Regele Herod cel Mare a ridicat și el un templu, distrus apoi de Romani în anul 70 en. Fragmente din aceste construcții au fost incluse în Zidul de Vest, cunoscut și sub numele de Buraq, zid ce înconjura orașul vechi. Printre bocurile de calcar, în zid este inclus un monolit fasonat (ashlar) lung de 13,6 metri, lat de 3,3 metri și înalt de 3 metri cu o greutate totală estimată la circa 570 de tone. A făcut oare acest bloc parte din templul lui Solomon ? Locația și poziția la baza zidului par să confirme această supoziție.

Catalhoyuk (6700 îen) - Localitate neolitică din Anatolia, la poalele unui munte vulcanic, este sediul celor mai vechi urme ale unor locuințe cu plan rectangular, ordonat. În apropiere a fost identificată cea mai veche mină de plumb. Protectoarea localității era faimoasa zeiță Mamă, zeița fertilității.

Mormintele megalitice (7000-3000 îen) - Cunoscute sub denumirea de dolmen, aceste construcții megalitice sunt prezente în întreaga Europa, Asia și America, uneori cu o densitate foarte mare. Majoritatea sunt formate dintr-un bloc imens de piatră susținut de două sau mai multe blocuri laterale, astfel încât să formeze un portal, o imensă intrare spre o altă lume. Un exemplu caracteristic este în Munții Caucaz, lângă râul Zhane, unde astfel de monumente împânzesc ambii versanți ai muntelui pe o suprafață de circa 12 000 de kilometri pătrați.

Goseck (5000 îen) - Acest monument megalitic din Germania, așezat cam la aceeași longitudine cu celebrul Stonehenge, este cel mai vechi observator solar din Europa. De formă circulară, templul are trei intrări, dintre care cele două amplasate spre sud sunt astfel așezate încât în ziua solstițiului de iarnă centrul altarului să fie iluminat, atât la răsăritul cât și la apusul soarelui. Toate celelalte date intermediare puteau fi estimate după poziția umbrei soarelui la răsărit, ca într-un ceas solar.

Knap of Howar (3000 îen) - Sit megalitic din Nordul Scoției, pe insulele Orkney, găzduiește locuințe îngropate cu plan rectangular și ziduri din blocuri de piatră fasonată primitiv. Este cea mai veche stațiune de arhitectură neolitică, cel mai vechi sat pescăresc din Europa.

Stonehenge (3000-2000 îen) - Cel mai cunoscut monument megalitic este un cerc format din blocuri de piatră înalte de 4 metri, cântărind fiecare în jur de 4 tone. Deasupra acestora erau așezate imense blocuri transversale, pentru a forma un inel. Întreaga structură este probabil doar fundația unei imense structuri din lemn, probabil un turn foarte înalt. Este imposibil ca blocurile transversale să fi fost ridicate cu tehnologia epocii, semn că la vremea respectivă întreaga structură era îngropată în pământ sau în nisip, dar în urma eroziunii a rămas în forma actuală. Numeroase teorii speculează asupra rostului acestui altar al druizilor, majoritatea convergând spre spiritualitate și ritualism.

Imhotep (circa 2700 îen) - Mare preot al zeului Ra, medic și cancelar al Faraonului Djoser, a fost cel care

76 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

aducea libații pentru fertilitatea solului și era totodată arhitectul piramidei Djoser, locul de veci al faraonului. Cu baza de 121 x 109 metri, piramida îmbrăcată în plăci calcaroase atingea în acele timpuri înălțimea de 62 metri și a necesitat 330 000 metri cubi de piatră. În jurul piramidei este un șanț lung de 750 metri și lat de 40 metri, iar sub piramidă există un labirint de galerii și camere subterane cu o lungime totală de circa 6 kilometri. În centrul acestora, la o adâncime de 28 metri se află o cameră centrală de 7 metri pătrați, cu pereți din granit, construită ca un seif. Intrarea se face printr-un portal monumental, succedat de un hol cu coloane din calcar înalte de 6,6 metri. Construită în trepte succesive, ocupând în total o suprafață de 15 hectare, această construcție gigantescă era în același timp palat, loc de veci, templu de ceremonii și fortăreață inexpugnabilă în fața oricărui atacator.

Caral (circa 2600 îen) - Ridicată de triburile pre-columbiene din Peru, piramida Caral era un templu în vecinătatea căruia locuiau circa 3000 de oameni. Cu baza de 150 x 110 metri și înălțimea de 28 metri, piramida este doar una dintre cele 19 construcții similare, răspândite pe o suprafață de 90 kilometri pătrați. Cercetările arheologice au identificat circa 70 de instrumente muzicale din corn sau os, semn că acest templu era destinat unor fastuoase sărbători tradiționale.

Khufu sau Kheops (2580-2560 îen) - Membru al celei de a patra dinastii, este cel care a ridicat ștacheta pentru măsura orgoliului masculin. Piramida lui Kheops de la Giesa, are o bază rectangulară de 230 x 230 metri și se înalță până la 139 de metri. Pentru ridicarea ei au fost necesari 2 583 283 metri cubi de rocă tăiată în blocuri cu greutatea medie de o tonă. Cele mai mari blocuri de granit, utilizate pentru camera mortuară, ating însă între 25 și 80 de tone. Pentru solidarizarea lor au mai fost necesare alte 500 000 de tone de mortar. Timp de 3800 de ani, piramida Faraonului Kheops a fost cea mai înaltă construcție ridicată de om. Istoricii au estimat că pentru ridicarea ei au fost necesari în jur de 100 000 de lucrători.

Khafra (circa 2550 îen) - Membru al celei de a patra dinastii din Vechiul Regat al Egiptului, a fost fiul Faraonului Khufu și al Reginei Mertitytes. În timpul domniei sale s-au ridicat, piramida Khafre de la Giza și Sfinxul din Valea Regilor. Piramida are o bază rectangulară de 215 x 215 metri și se înalță până la 136 metri. Este construită din blocuri de calcar, cu greutatea de peste două tone fiecare. Statuia Marelui Sfinx a fost sculptată direct dintr-un singur bloc de piatră și măsoară 73 x 20 metri, cu înălțimea de 19 metri, fiind cea mai veche sculptură monumentală din lume. La baza ei a fost descoperită o statuie din diorit a faraonului Kahfre și o inscripție potrivit căreia statuia a fost dedicată zeului Soare (Atum-Hor-em-Akhet).

Ziggurat-ul din Uhr (2050 îen) - Caracteristice epocii bronzului, ziggurat-ele erau niște construcții masive, terasate cu rol defensiv și ceremonial. Dintre cele construite de Sumerieni și Babilonieni, cele mai cunoscute sunt cel din Uhr, Aqar Quf lângă Bagdad, Etemenanki la Babilon și Chonga Zanbil la Kashan. Cel din Ur, construit de Regele Ur-Nammu, avea o bază rectangulară de 64 x 45 metri și înălțimea de 30 metri. Imensa structură era ridicată din cărămizi de lut, uscate la soare, din milioane de astfel de cărămizi.

Karnak (2000-1100 îen) - Templul Karnak din Theba, ridicat în vecinătatea celui de la Luxor, a marcat din cele mai vechi timpuri capitala de Nord a Vechiului Regat al Egiptului. Construcția lui a început în timpul Faraonului Senusret, din cea de a douăsprezecea dinastie și s-a extins apoi timp de aproape două milenii. Cele mai multe lucrări s-au făcut însă în perioada Noului Regat (1600-1100 îen). Dedicat zeului Ra, templul include un hol central cu o suprafață de 5000 metri pătrați, străjuit de 134 coloane cu diametrul de trei metri, aranjate pe 16 rânduri. Dintre acestea, 12 au înălțimea de 21 metri iar restul de 122 au doar 10 metri înălțime. Deasupra acestor coloane, blocurile transversale au greutatea de circa 70 de tone fiecare. Este greu de crezut că au fost ridicate cu pârghii. Este mult mai probabil că templul a fost săpat în stâncă, de sus în jos, sau cel puțin a fost complet îngropat în nisip pentru montarea acoperișului.

Războiul Troian (circa 1800 îen) - Rivalitățile comerciale din Marea Egee dintre negustorii troieni și greci au condus la o conflagrație de amploare între Regele Agamemnos la grecilor și Regele Priam al

77 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

troienilor. Pretextul a fost răpirea frumoasei Elena, de către fiul Regelui Priam, pe nume Paris. Vrăjită de țesăturile troienilor, Elena a fost atrasă pe corabia lui Paris și nu a mai coborât. Pentru eliberarea ei, deși prințesa nu dorea să fie eliberată, grecii au mobilizat o flotă formată din 1000 de ambarcațiuni, și toate regatele prietene, ridicând o armată de circa 10 000 la 30 000 de oameni. Războiul a durat zece ani și a implicat toate țările aliate, devenind astfel prima conflagrație de talie mondială.

Complexul de la Poverty Point (1700-1100 îen) - Așezare preistorică din cursul inferior al Râului Mississippi, conține o combinație de tumului și valuri de pământ cu extindere pe o suprafață de 163 hectare. Partea cea mai semnificativă a acestui complex o formează un set de 6 rânduri concentrice de valuri de pământ (loess), în forma literei C, ce închid o ansă a râului principal, pentru a forma ceea ce era probabil cea mai veche stațiune piscicolă din istoria omenirii. Arheologii au sugerat un complex religios, dar este mai probabil că șanțurile dintre aceste valuri erau pline de pește. Cu o lățime de 15-25 metri, valurile de pământ (din argilă fină) mai au în prezent o înălțime cuprinsă între 10 și 185 de cm, dar în trecut trebuie să fi fost mult mai înalte. Diametrul mediu al fiecărui semicerc este de circa un kilometru, deci bazinele aveau o lungime totală de circa 6 kilometri.

Kaminaljuyu (1500-1200 îen) - Situat în centrul unei civilizații neolitice, acest complex arhitectonic situat în apropierea orașului Guatemala City este format din circa 200 de structuri piramidale, construite din lut și cenușă vulcanică. Este probabil că fiecare astfel de structură reprezenta matca satului, un fel de centru civic unde se desfășurau toate activițățile publice (ceremonii, înmormântări, negoț, sacrificii, apărare în caz de război). Situat în vecinătatea unor vulcani, centrul aceste civilizații a exploatat nu numai feritilitatea solului, dar și imensele rezerve de cenușă vulcanică din care produceau un fel de ciment, dar și bulgării de obsidian și sticlă vulcanică din care produceau unelte sau obiecte de artizanat.

Amenhotep (1391-1351 îen) - Membru al celei de a optsprăzecea dinastii, a fost fiul Faraonului Thutmose. A adus Egiptului splendoare și prosperitate, fiind onorat de contemporani cu peste 250 de statui și mai bine de 200 de scarabei comemorativi. Se spune că fiecare dintre acești scarabei a fost sculptat după ce faraonul a ucis cu mâna lui un leu fioros. Dintre lucrările lui, cea mai impresionantă este Templul Luxor, ridicat la cataractele Nilului pentru a marca granița de Nord a regatului. Văzând măreția acestui templu, Nubienii întorceau pirogile lor și nu mai îndrăzneau să coboare mai jos de Cataracte.

Xeochitecatl (1000-400 îen) - Situat în vârful unui dom de origine vulcanică, acest complex arhitectonic pre-Columbian a fost zidit din roca poroasă formată în urma unei erupții vulcanice, denumită local tapetata. Ruinele acoperă o suprafață de 12 hectare și includ mai multe structuri monumentale, printre care Piramida Florilor cu baza de 140 x 100 metri, clădirea Șarpelui cu o bază de 80 x 50 metri, Platforma Vulcanilor cu baza de 50 x 35 metri și Clădirea Spirală construită aproape exclusiv din cenușă vulcanică. În complex au fost descoperite câteva sute de figurine ceramice încărcate de obiecte de podoabă și împodobite cu coifuri de două ori mai mari decât capul.

Pazyryk (circa 1000 îen) - În valea râului Bolshoy Ulagan din Kazakhstan a fost centrul unei civilizații neolitice marcată prin mai mult de 600 de tumuli, în care sunt îngropați vechii regi ai sciților. Fiecare tumul marca pășunea și varta stămoșească a unui trib de nomazi. Transhumanți, sciții reveneau periodic la veche matcă unde țineau sfat și sărbători rituale. Cu o structură din piatră și un diametru de 25-50 metri, tumulii se ridicau la câțiva metri deasupra solului și aveau săpate structuri până la 7 metri în adâncime, consolidate cu bușteni (foste locuințe de iarnă). În aceste morminte princiare s-au descoperit: schelete ale regilor împreună cu cele ale cailor, piese de harnașament, obiecte de îmbrăcăminte, covoare, obiecte din lemn sau metal, podoabe. Mumiile descoperite intacte aveau pielea tatuată din cap până în picioare, cu desene zoomorfe.

Ashurnasirpal (883-859 îen) - Rege al Assiriei, a zidit o nouă capitală a Mesopotamiei la Kalhu, unde a

78 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

ridicat monumente impresionante. Zidurile palatului regal, cu o lungime de 8 kilometri, erau tapetate cu blocuri din alabastru, ornate cu monumentale sculpturi în relief. Inscripția de pe o stelă funerară spune că orașul avea 75 000 de locuitori, fiind astfel cel mai mare oraș din lumea cunoscută. Palatul propriu zis acoperea circa 5 hectare și avea mai mult de 200 de încăperi.

Liga Etruscă (sec VIII îen) - Cele 12 localități care și-au unit micile armate pentru a forma Liga Etruscă au fost: Arretium, Caere Vetus, Clusium, Curtun, Perugia, Fufluna, Veii, Tarquinii, Vetluna, Volaterrae, Volsinii și Volcii. Cea mai mare colecție de obiecte etrusce se află la Museo Nazionale di Villa Giulia din Roma, înființată de Papa Iulius al III-lea. Printre acestea sunt tăblițe (tabula) cu inscripții în alfabetul etrusc. În fruntea etruscilor s-au aflat vechii regi: Romulus, Numa Pompilius, Tullus Hostilius, Ancus Marcius, Tarquinus Priscus, Servius Tullius, Tarquinus Superbus. Numeralele etrusce se scriau exclusiv sub formă de bețișoare, asemănătoare cu cele latine (I, IV,X), dar fără litere.

Athena (800 îen) - Educația băieților, mai ales fizică, se făcea în niște spații denumite Gymnasia. Palatul central denumit megaron era reședința conducătorului cetății, denumit arhonte. După anul 800 îen în fruntea cetății se numeau câte trei arhonți, apoi două secole mai târziu au fost înlocuiți prin zece generali (strategoi). Termenul de democrație a fost introdus de arhontele Solon, cel care a divizat sfatul popular în patru stări, alcătuite după avere. În frunte erau nouă arhonți și trezorieri, urma un sfat al bătrânilor (Aeropagus), un Consiliu format din 400 de cetățeni cu origine nobilă și ultima era adunarea populară (agora). Prima unitate a fost talantul, egal cu o amforă plină de apă, urma mina (434 grame) și drahma (1/100 mină sau 4,34 grame). Cetățile grecești băteau pe monedă simbolul cetății: leu (Milet), sfinx (Chios), Palas Athena (Athena), bufnița (Athena), Pegassus (Corint), scut (Theba), șoim (Abydos), Gorgona (Lesbos), taur (Creta), roza (Rhodos), crab (Kos).

Piramidele Meroe (800 îen - 350 en) - Sunt un complex de monumente funerare, în formă de piramidă, ridicate în orașul Meroe, capitala Regatului Meroitic, din perioada Napatan a Sudanului Antic. Napata era un oraș nubian de pe malul Nilului de Vest, unde se celebra cultul zeului Soare (Amun Ra). Situl arheologic este format din circa 40 de pramide din piatră, de mici dimensiuni, asemănătoare sau chiar identice ca formă și simbolistică cu cele din Egipt. Oare sclavii nubieni au fost cei care au exportat această tradiție în Egipt, sau poate egiptenii au fost cei care adus cultura lor în ținuturile Sudanului ?

Marele Zid Chinezesc (sec VII îen - 1644 en) - Cele mai vechi segmente ale Marelui Zid Chinezesc datează cu aproximație din secolul al VII-lea îen. Primul care a unit diferitele segmente pentru a forma o structură de apărare a fost primul Împărat al Chinei, Qin Shi Huang (220-206 îen). Construcția a continuat apoi timp de 2000 de ani, ultimele segmente fiind finalizate în timpul dinastiei Ming. Imensa structură, împreună cu ramificațiile și șanțurile de apărare, însumează circa 22 000 de kilometri, cam de trei ori distanța de la Paris la Moscova. Cu o lățime medie de 6 metri, zidul se înalță între 5 și 8 metri, în funcție de particularitățile terenului. În majoritate a fost ridicat din cărămizi din lut, bine tasate, cu bastioane și structuri de apărare zidite din blocuri de piatră fasonată.

Thales din Milet (624-548 îen) - A fost fondatorul primei școli de filozofie din Grecia Antică, afirmând că apa este singura entitate eternă și Pământul plutește pe apă. Și-a dovedit supremația logică după ce a cumpărat toate presele de ulei de pe insulă, câștigând astfel monopulul comerțului cu ulei. După o observație atentă a ciclului lunar a fost capabil să prezică eclipsa de Soare din ziua de 28 Mai a anului 585 îen, uimindu-i pe contemporanii săi. Preocupat de trigonometrie a emis două teoreme celebre. Prima teoremă spune că atunci când o dreaptă AC este diametrul unui cerc, orice punct B situat pe circumferința cercului va forma cu punctele A și C un triunghi dreptunghic. Cea de a doua teoremă spune că toate dreptele trasate dintr-un punct sursă S vor forma segmente proporționale atunci când intersectează două drepte paralele. Thales și-a uimit contemporanii calculând înălțimea piramidelor, sau distanța unei corăbii față de țărm. Se spune că a călătorit și în Egipt, unde a purtat îndelungate discuții cu un mare preot. A câștigat de două ori trofeul oferit celui mai

79 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

înțelept om din lumea cunoscută.

Grădinile suspendate ale Babilonului (605-562 îen) - Au fost construite de Regele Nebuchadnezzar pentru soția sa, Regina Amytis. Sunt cunoscute în literatură ca una dintre cele șapte minuni ale lumii antice. Palatul construit din cărămizi uscate la soare avea formă pătrată, cu latura de circa 120 metri și înălțimea totală de circa 25 metri. Zidurile erau groase de 7 metri și erau acoperite de arbori imenși. Terasele pentru plante erau irigate cu apă din Eufrat, prin niște canale alimentate permanent prin munca sclavilor. Printre scriitorii care au descris această minune se numără: Diodorus Siculus, Quintus Curtius Rufus sau Strabon.

Heuneburg (580 îen) - A fost sediul unei civilizații înfloritoare la începutul epocii fierului, în așa numita perioadă Halstatiană C și D. Pe o colină aflată la 40 de metri deasupra Dunării, locuitorii au înconjurat așezarea cu un val de pământ înalt de șase metri, pentru un perimetru de 300 x 150 metri. S-au identificat 14 construcții primitive ridicate în 10 etape constructive. În lucrarea sa intitulată De Bello Galico, Împăratul Iulius Caesar a descris astfel de localități sub denumirea de oppidum. Cea mai mare așezare din acest tip, Heidetrank Oppidum, se întindea pe 10 kilometri în lungime, iar Manching Oppidum se întindea pe 380 hectare și era înconjurată de 7 kilometri de ziduri.

Castrexa (sec VI-II îen) - A fost o civilizație înfloritoare din Nordul Spaniei, de la începutul epocii fierului și până la instalarea civilizației Romane. Cele mai impunătoare așezări fortificate au fost cele de la Bagunte, Terroso, Briterios și Citania Sanfis. Cea din urmă se întindea pe 15 hectare și era formată din 300 de locuințe cu fundația din piatră, capabilă să adăpostească până la 3000 de locuitori. Pe lângă locuințe au fost identificate: bucătării, spălătorii și băi publice, ateliere de olărie, cuptoare de pâine, rezervoare și cisterne pentru apă, depozite și silozuri.

Pitagoras din Samos (570-495 îen) - Fiu al unui negustor bogat, a fost fondatorul unei școli de filozofie centrată pe metempsihoză, adică pe credința că sufletele sunt nemuritoare și transmigrează dintr-un corp în altul, de la o specie la alta. Înrudit cu celebra Phytia de la Oracolul din Delphi, Pitagoras afirma că are amintiri din timpul încarnărilor anterioare. Adepții săi urmau percepte ascetice și un regim alimentar purificator. În primii patru ani de ucenicie discipolii nu aveau dreptul să deschidă gura sau să pună întrebări, ci se rezumau la observație silențioasă. Învățăturile primite erau denumite simboluri iar secretul lor era garantat prin jurământ solemn. Se pecetluia astfel dreptul sacrosant al celor înțelepți în fața profanilor. Printre altele, adepții erau sfătuiți să nu pășească pe drumul pe care merge mulțimea și să nu utilizeze imagini sau simboluri ale zeilor. Legenda spune că preotul zeului Apollo i-a dat o săgeată cu care putea călătorii la distanțe foarte mari. Altfel spus, Pitagoras se folosea de razele Soarelui pentru a măsura distanțele foarte mari. Cea mai cunoscută contribuție a sa în matematică o reprezintă celebra teoremă potrivit căreia pentru un triunghi dreptunghic suma ariilor pătratelor ridicate pe catete este egală cu aria pătratului ridicat pe ipotenuză. În timpurile acelea, o astfel de învățătură o dețineau doar arhonții, pentru împărțirea pământurilor între moștenitori.

Confucius (551-479 îen) - Născut la Zou (Shandong), a fost fiul unui comandant militar de la curtea Ducelui Lu, descendent al Ducilor de Song din dinastia Shang. Membru al aristocrației de rang inferior, a urmat o școală normală unde a muncit ca bibliotecar și rândaș. Reputat pentru învățăturile sale, a dobândit un post guvernamental în Ministerul Justiției. În scrierile lui a sintetizat cele mai valoroase cunoștiințe ale epocii, referitor la filozofie, etică sau politică. A fost educator încă de la vârsta de 30 ani și în următorii 40 de ani a pregătit peste 3000 de studenți.

Sun Tzu (544-496 îen) - Autocrat, general și strateg, a devenit celebru după ce a antrenat cele 360 concubine din haremul Regelui Helu din Wu pentru a forma două companii de luptătoare, capabile să se apere de orice atac. A fost autorul unui tratat de strategie militară intitulat Arta Războiului, o adevărată capodoperă, copiată apoi și distribuită în întreaga lume. În cartea sa amintește calculele cu bețigașe pe care le

80 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

efectua înaintea fiecărei bătălii. Cu lungimea de 3-14 cm, bețișoarele chinezești se așezau orizontal pentru a reprezenta numerele întregi, sau vertical pentru a reprezenta numerele fracționare. Cifrele erau digiți, de la 1 la 9, iar numărarea se făcea la fel ca pe degete.

El Mirador (sec VI- sec I îen) - Piramida de la El Peten (Guatemala), este una dintre cele mai mari structuri pre-Columbiene, situată în centrul unui compex arhitectonic. Câteva mii de construcții megalitice sunt distribuite pe o suprafață de circa 26 kilometri părtați. Dintre acestea 35 sunt mai reprezentative, cea mai mare fiind La Danta, cu o înălțime de circa 72 metri și un volum de 2, 8 milioane de metri cubi. Toate aceste structuri erau legate între ele prin drumuri pietruite. Fiecare comunitate ridica în permanență un astfel de monument ceremonial, pentru a-și marca teritoriul și cimitirul strămoșilor. Dimensiunea fiecărui monument este proporțională cu numărul de locuitori și perioada de timp în care au avut vatra strămoșească în jurul acelui monument. După sosirea Europenilor, triburile au fost decimate și nici unul dintre monumente nu a mai crescut.

Senatul Romei (510 îen) - După moartea ultimului rege, dezonorat pentru abuzuri, cetățenii Romei au pus în fruntea cetății un Senat format din patricieni. În fruntea Senatului, în fiecare an erau aleși doi Pretorieni, denumiți mai apoi consuli. În secolele următoare, pentru fiecare 1000 de locuitori ai cetății a fost desemnat câte un reprezentant în Senat, denumit tribun. Legea Romanilor era înscrisă pe 12 tăblițe. Pentru cinci dintre aceste legi, calculele matematice erau indispensabile: 3. datorii, 4. drept patrimonial 5. drept tutorial și de moștenire 6. achiziție și posesie de bunuri și 7. legea pământului. Instituirea legii se făcea de către militari. Legiunea romană era formată din 3000 infanteriști și 300 călăreți. Două secole mai târziu, legiunea romană a crescut la 6000 de militari, împărțiți în 60 de centurii.

Regatul Odyrsian (470 îen) - Regele Teres a format o alianță a triburilor din Tracia. Fiul său Sitacles a participat la Războiul din Peloponez în fruntea unei armate formate din 150 000 de oameni. Din această epoca, în Bulgaria s-au descoperit mai mult de 80 de tezaure din aur, cele mai importante fiind: Panagyurishte (6 kilograme aur), Rogozen (165 vase din argint), Vazovo (un Pagasus din aur), Letnitsa (aplici din argint), Borovo (rythoni din argint), Yakimovo (cupe și podoabe din argint), Lukovit (vase și phiale din argint), Moghilanska (vase și podoabe din aur și argint).

Hippocrates din Chios (470-410 îen) - Negustor din Chios, când a ajuns la Atena s-a transformat în matematician (arhonte). A scris primul tratat sistematic de Geometrie, intitulat "Elemente", în care a consemnat toate teoriile cunoscute în epocă. Din tratatul său s-a păstrat doar un fragment referitor la calculul ariilor în care autorul utilizează triunghiuri dreptunghice pentru a calcula aria unor segmente de cerc. Și-a perfecționat metoda în timp ce încerca să rezolve cvadratura cercului. Metoda lui a fost apoi utilizată pentru calculul volumelor din coca unei ambarcațiuni, respectiv pentru a calcula câtă marfă încape pe o corabie sau într-o barcă.

Theodorus din Cyrene (sec V îen) - Arhonte în colonia Cyrene, pe coasta Libiană a Africii de Nord, se pare că se ocupa cu împărțirea terenurilor. Singura lui contribuție la matematică a constat din observația că numerele 4, 9 și 16 sunt pătrate perfecte. Deoarece toate măsurătorile se făceau cu piciorul, a constatat că pentru toate celelalte numere mai mici decât 17, pătratele cu latura respectivă nu puteau fi împărțite în loturi egale. Pornind de la un triunghi dreptunghic isoscel cu cele două catele egale cu lungimea de un picior, Theodorus a ridicat triunghiuri dreptunghice succesive, fiecare ipotenuză devenind cateta triunghiului anterior, iar cea de a doua catetă fiind tot cu lungimea de un picior. A obținut astfel o spirală, ca o cochilie de melc, formată exclusiv din triunghiuri dreptunghice. A descris astfel o primă progresie geometrică a unor valori precalculabile, sau cu alte cuvinte a făcut un prim calcul diferențial. Dacă se continuă seria pentru numere mai mari decât 17, cercul inițial se închide și ariile încep să se suprapună parțial. Spirala a fost denumită Spirala lui Theodorus și a inspirat în cursul veacurilor mintea multor matematicieni, prin analogie cu numeroase feneomene observate în natură, cum ar fi de exemplu urma lăsată de o galaxie care se

81 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

îndepărtează de noi. Observația lui a stat la baza introducerii numerelor iraționale.

Histria (sec V îen) - Regele Ariapeithes a luat în căsătorie o grecoaică din Histria, iar fiul lor, Sycles, devenit rege a încercat să le impună localnicilor limba greacă. A fost însă ucis lângă râul Istros de fratele său vitreg. Baza economică a coloniei o reprezenta comerțul cu pește. În loc de monede utilizau lingouri din argint, în formă de pește.

Oppidum Vix (sec VI-V îen) - A fost o așezare celtică fortificată, situată la circa 100 metri deasupra Senei, pe un promontoriu. În interiorul așezării a fost dezvelit un mormânt princiar acoperit de un tumul înalt de un metru, cu diametrul de 17 metri. Printre obiectele din interior se afla un crater din bronz cu capacitatea de 1100 litri, decorat cu luptători în care de luptă. Scheletul era împodobit de un colan din aur cu o greutate de 480 grame, având la ambele capete câte un cal înaripat.

Buddha (sec V-IV îen) - Cu numele său original Siddhartha Gautama, s-a născut în Lumbini (Nepal) ca fiu de brahman, șef al clanului Shakya. La tinerețe, dezamăgit de viața sa sedentară, a pornit să cunoască lumea alegând să trăiască o viață ascetică. Literalmente s-a dezbrăcat de toate apanajele civilizației, pentru a se putea unifica cu Natura folosind meditația ascetică. Prin post prelungit, a căutat desprinderea sufletului nemuritor de trupul muritor, încă din timpul vieții, pentru a putea călătorii liber în trupul tuturor viețuitoarelor. Rezultatul a fost că a obținut o inegalabilă putere de inducție telepatică prin care electriza auditorii. Învățăturile lui formează și în prezent baza educației pentru majoritatea indienilor, iar cultul său depășește cultul oricărei alte personalități din istoria omenirii.

Mozi sau Mo Tzu (470-391 îen) - Tâmplar de meserie, era expert în construirea palatelor și a structurilor de fortificații. După ce a ajuns ministru în statul Song, a înființat o școală unde discipolii săi au învățat secretele construcțiilor din lemn. Învățăturile lui s-au păstrat în cele 71 de capitole ale unui tratat scris pe papirus. Nouă dintre acestea, sub titlul de Arta Matematicii, se referă la geometrie și calcule matematice, inclusiv progresii geometrice sau proporționalitatea triunghiurilor.

Democrit (460-370 îen) - Membru al unei familii nobile, a cheltuit averea moștenită pentru a călători în țări străine, pentru a-și satisface dorința de cunoaștere. Obișnuia să spună că adevărul este ca o fântână, cu cât extragi mai mult, cu atât se umple la loc. Este cunoscut în special pentru teoria atomismului, conform căreia lumea este alcătuită din mici elemente invizibile, denumite atomi, elemente aflate în permanentă mișcare și separate între ele prin spații goale. Preocupat de Geometrie, a calculat volumul conului și al piramidei ca fiind o treime din cel la cilindrului sau al prismei cu aceeași înălțime. Una dintre lucrările sale de matematică se referă la competiția dintre mai multe ceasuri de apă pentru măsurarea timpului.

La Tene (450-100 îen) - A fost sediul unei localități de la apogeul epocii fierului, situată pe platoul alpin dominat de triburile Helveților și Vindelicilor. Pe malul lacului Neuchatel s-au descoperit resturi din metal din arsenalul unei întregi armate: peste 2500 de obiecte, dintre care 166 săbii neuzate, 270 vârfuri de lance, 22 bose de scut, 385 de fibule și fragmente de căruțe, toate datând din epoca când armatele lui Hanibal au trecut Alpii și au invadat Italia. Caracteristica aceste localități este dată de casele din lemn ridicate pe pilaști, pentru a fi la adăpost de inundații primăvara, atunci când se topeau zăpezile.

Platon (428- 348 îen) - Descendent din regii Athenei, a primit cea mai aleasă educație și în tinerețe s-a numărat printe luptătorii de la Jocurile Olimpice. Devenit la rândul său profesor, s-a ocupat aproape exclusiv de filozofie. În unul dintre monologurile sale, intitult Timaeus, Platon a asociat cele patru elemente cu figuri geometrice: pământ-cub, aer-octahedron, apă-icosahedron și foc-tetrahedron, la care a adăugat și o a cincea particulă elementară, dodecahedronul, cea din care este alcătuit Raiul Ceresc. Potrivit lui Platon, formele geometrice amintite sunt cele percepute de simțurile noastre în contact cu obiectele concrete. Formele însă ascund proprietăți inaccesibile simțurilor noastre, proprietăți pe care le poate distinge doar rațiunea, sau

82 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

gândirea abstractă. De exemplu, umbra nu este o proprietate a corpurilor, nu este palpabilă dar poate fi adusă în planul cunoașterii cu ajutorul unei raze de lumină. Platon a concluzionat că tot ceea ce noi numim cunoaștere este o convenție, un limbaj învățat. Cuburile și sferele sau culorile nu pot exista decât dacă în mintea noastră există un termen de referință. Știința modernă pare să-i dea dreptate. Atomii nu sunt formați din mici fragmente sferice aflate în mișcare, ci sunt niște cuante de energie în permanentă metamorfoză. Obiectele alcătuite din atomi sunt manifestări sumative, de moment, ale acestor metamorfoze.

Cotisos (sec IV îen) - Rege al dacilor din epoca fierului, a fost îngropat într-un tumul lângă Agighiol (Tulcea) împreună cu un bogat tezaur din aur și argint format din: un coif, două cnemide, două pahare de tip rython, cinci fiale, piese de harnașament, podoabe vestimentare. Pe una dintre cupe este o inscripție cu caractere grecești: KOTISOS EGBEO. Mormântul este foarte asemănător cu mormântul lui Achiles, descris în versurile lui Homer.

Aristotel (384-322 îen) - A ajuns membru al Academiei lui Platon încă de la vârsta de 17 ani, unde a rămas alți 17 ani. După moartea maestrului Platon, a ajuns în Macedonia, unde a fost tutorele Regelui Alexandru Macedon. Axat pe filozofie și psihologie, nu a avut contribuții majore în matematică, în schimb dialogurile sale referitoare la plusvaloare și dobândă au avut o influență majoră asupra economiștilor din epoca medievală. El a demonstrat că profitul obținut doar din manipularea banilor este nenatural deoarece banii au rostul de a măsura valoarea lucrurilor. Crescând sau scăzând prețurile, obiectele nu devin mai mari sau mai mici. Ca urmare, bancherii medievali nu efectuau tranzacții decât cu oamenii politici. Pentru oamenii simpli, economia de schimb se făcea exclusiv în natură.

Eudemus din Rhodos (370-300 îen) - La rugămintea lui Aristotel a scris mai multe cărți, printre care: "Istoria aritmeticii", "Istoria geometriei", "Istoria astronomiei", "Istoria Teologiei", "Istoria orașului Lindos". Mai este cunoscut și ca editor al textelor lui Aristotel, în primul rând al celui despre etică.

Alexandru Macedon (356-323 îen) - Fiu al Regelui Filip al II-lea și al Reginei Olimpia, a primit o educație aleasă având ca profesori academicieni aduși de la Atena, printre care: matematicianul Aristotel, filozoful Speusippus, oratorul Isocrates. Ajuns pe tronul Macedoniei la o vârstă foarte tânără, a început o campanie militară care nu s-a mai sfârșit. În următorii 12 ani a trecut prin sabie întreaga Asie, din Macedonia în Egipt, din Egipt în Persia, din Persia în India și înapoi. Prin repetate alianțe, armata lui de 10 000 de lăncieri a crescut la 50 000, cu care a mărșăluit apoi prin tot Imperiul Persan, acoperind un teritoriu de circa 5 milioane de kilometri pătrați. Printre templele ridicate de el se numără Templul Athenei din Priene (Ionia).

Mausoleul din Halicarnassus (353-350 îen) - Satrapul Achmenid Mausolus, împreună cu soția lui Artemisia, au ordonat arhitecților greci Satyros și Pythius să ridice un monument funerar cum nu s-a mai văzut în lume. Zidit din blocuri de piatră fasonată, monumentul avea o bază de 44 x 19 metri și o înălțime de 46 metri, era înconjurat de 36 de coloane și numeroase statui sculptate de meșteri celebri ca: Scopas, Bryaxis sau Timotheus. În vârful mausoleului torna statuia lui Mausolus, alături de Artemisia, într-un car tras de patru cai.

Euclid (350-270 îen) - Născut în Grecia, și-a petrecut aproape toată viața în Egipt, la Alexandria, unde se pare că a ajuns însoțindu-l pe Alexandru Macedon. Deci, a fost un discipol al filozofului Aristotel. A scris un tratat de geometrie intitulat Elemente, compus din 13 volume de definiții, postulate și demonstrații. S-a spus despre cartea lui că a fost cartea de temelie a matematicii din toate timpurile. Întrebat de faraonul Ptolomeu Soter (367-282 îen) dacă există o cale mai scurtă pentru cunoașterea geometriei, Euclid ar fi răspuns: "Majestate, nu există nici o cale regală spre Geometrie".

Acharya Pingala (sec III/sec II îen) - A fost un brahman din India Antică, autor al unui tratat cu privire la piciorul metric și prosodia versurilor din limba sanscrită veche, utilizate pentru rugăciune sau

83 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

incantație. Pentru descrierea silabelor accentuate, sau neaccentuate, autorul a utilizat o notație matematică folosind cifrele 0 și 1. Astfel iambii și troheii săi par a fi niște coduri binare ancestrale. Cu ajutorul acestei notații a organizat 7 ritmuri de bază ale poeziei indiene, formate din câte 24 până la 40 de silabe (3-5 versuri), perfect compatibile cu codurile binare moderne. Pentru a organiza sunetele cele mai frumoase a utilizat un arbore binar și o structură piramidală, asemănătoare cu triunghiul lui Pascal.

Conon din Samos (280-220 îen) - Născut la Samos, a ajuns astronom la curtea Faraonului Ptolomeu al III-lea. A scris un tratat de astrologie în șapte volume intitulat "De astrologia", în care a notat diverse observații referitoare la eclipsele de Soare. Este cunoscut mai ales pentru că a botezat constelația Coama Berenicei, după numele fiicei faraonului. În timpul celui de la treilea război din Siria, Berenice și-a tuns tot părul pe altarul zeului Ra, pentru ca soțul ei să se întoarcă teafăr. Părul a dispărut, iar Canon a explicat că ofranda a fost primită de zei, apoi le-a arătat egiptenilor ofranda, pe cerul nopții.

Megaliții Senegalezi (sec III îen-sec XVI en) - Într-o regiune cu suprafața de circa 350 x 100 km, împărțită între Senegal și Gambia, se află o mare concentrație de roci megalitice neolitice ce formează mai mult 17 000 de monumente, dintre care mai mult de 1000 sunt cercuri simetrice. În total sunt circa 29 000 de roci lateririce, cu înălțimea de până la 2,5 metri și alți 1-1,6 metri îngropați în sol. Aflate în centru unor foste așezări omenești, aceste altare primitive aveau o semnificație aparte pentru triburile primitive, străjuind probabil necropole ale strămoșilor lor.

Chrysippus din Soli (279-206 îen) - Erudit și perseverent a scris zilnic câteva rânduri. Probabil că a condus un întreg atelier de caligrafie, din moment ce i-au fost atribuite 750 de texte, în diverse domenii. Printre altele s-a ocupat de logica propozițiilor utilizate în argumentație de filozofii stoici. A desprins mai multe tipuri de definiții condiționale de tipul: dacă, și, sau, deoarece, mai mult sau mai puțin, utilizate și în prezent în demonstrațiile logice. A organizat un sistem de silogisme logice de tipul: dacă A atunci B deci B, dacă nici A nici B atunci nu este B. Un număr de 23 dintre textele sale au fost dedicate paradoxurilor și excrocheriilor folosite de mincinoși. De exemplu: "X este un risipitor. X este un criminal cu sânge rece. Deci, tot ceea ce spune X despre mine este adevărat.". Alte 28 de texte au fost despre afirmațiile ambigue, iar 26 de texte s-au ocupat de problemele greu de rezolvat.

Arhimedes din Siracuza (287-212 îen) - Urmaș al Regelui Hiero și fiu al unui astronom, a fost un aristocrat preocupat de toate domeniile științei. Referitor la matematică, obișnuia să împartă orice problemă în nenumărate fragmente mici, pentru a rezolva apoi ceva asemănător unui calcul integral. De exemplu, pentru aria cercului a utilizat metoda epuizării, folosind din ce în ce mai multe triunghiuri dreptunghice, pentru o aproximare cât mai bună. Pentru rădăcina pătrată din 3 a utilizat raportul 1351/780 obținând cinci zecimale corecte. Este celebru pentru că și-a propus să numere toate firele de nisip din Univers, schițând astfel o primă reprezentare a noțiunii de număr infinit (miriade de miriade de miriade...de miriade). Multe dintre demonstrațiile lui se făceau prin reducere la absurd.

Katyayana (sec II îen) - Preot Vedic pe altarul Zeiței Mamă, a scris și a răspândit texte religioase. Textele lui au fost utilizate de studenți timp de mai bine de o mie de ani. În nouă dintre texte, denumite Shulba Sutras, descrie modul de construcție pentru altarele de incinerare. Sunt incluse numeroase transformări ale unor figuri geometrice, din unele în altele, împreună cu calcule pentru ariile obținute. Geometria altarelor nu era deloc întâmplătoare. Cine era ars pe un altar în formă de aripi de vultur ajungea în Ceruri, iar cel ars pe un altar în formă de vârf de vârf de lance își distrugea toți dușmanii din lumea de dincolo. Nemaivorbind despre altarele în formă de carapace de broască țestoasă, de unde sufletul se reîncarna într-un brahman nou născut.

Eratosthenes din Cyrene (276-195 îen) - Aristocrat și erudit, a studiat la Academia din Athena, pentru a deveni unul dintre înțelepții vremii. A scris versuri în hexameri și un text de istorie intitulat Chronografia,

84 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

în care a consemnat principalele evenimente al istoriei, începând cu Războiul Troian. Impresionat de erudiția lui, Faraonul Ptolomeu al III-lea Euergetes l-a numit în fruntea Bibliotecii din Alexandria, stăpân peste cea mai bogată colecție de manuscrise din Antichitate. După ce a observat că umbra Soarelui este mai lungă la Alexandria decât în Sudul Egiptului la Cataracte (la prânz, în ziua solstițiului), a reușit să calculeze destul de exact circumferința Pământului și axa de înclinare a planetei. Apoi a alcătuit o primă proiecție a planetei împărțind o sferă în meridiane și cercuri longitudinale. Este cunoscut în matematică pentru metoda sa de identificare a numerelor prime cu ajutorul unui algoritm denumit sita sau ciurul lui Eratosthenes. Metoda constă din înmulțirea tuturor numerelor prime și excluderea lor din listă. Toate numerele care rămân sunt numere prime. De exemplu, pentru numerele prime până la 120 este suficient să se excludă multiplii numerelor 2, 3 ,5 și 7.

Apollonius din Perga (246 - 180 îen) - A fost un aristocrat pasionat de geometrie și astronomie. Este cunoscut pentru studiile sale de geometrie analitică în care a definit elipsa, parabola și hiperbola, ca fiind secțiuni la unghiuri diferite ale unor suprafețe conice. Printre clienții săi s-a numărat Regele Attalus II Soter (241-197 îen) al Pergamonului, mare colecționar de cărți de știință. Cărțile erau la acea vreme bunul cel mai de preț și se spune că regii cumpărau, împrumutau, implorau, furau sau jefuiau orice carte, ori de câte ori aveau ocazia. O carte bună era și cel mai frumos cadou diplomatic.

Suan shu shu (202-186 îen) - Cartea numerelor și calculelor a fost scrisă în timpul Dinastiei Han de un necunoscut. Pictate cu tuș pe 200 plăcuțe din bambus, caracterele amintesc despre un oarecare domn Wang și un alt domn pe nume Yang, în dialog pentru rezolvarea a 69 de probleme de matematică. Lucrarea acoperă mai multe domenii ale matematicii: aritmetică simplă, fracții, proporții inverse, progresii geometrice, identificarea erorilor de calcul pentru dobânzi.

Stananga Sutra (sec II îen) - Este una dintre cărțile de cult ale indienilor, transcrisă după vechi concepte filozofice perpetuate din limba sanscrită. Printre altele, textul include cele mai vechi referiri la concepte din aria matematicii: cele patru operații, geometrie, măsurarea solidelor, fracții, ecuații cubice, permutări și combinații.

Jiuzhang Suanshu (179 îen) - Cele Nouă Capitole ale Artei Matematicii este numele primului tratat de matematică din China Antică, identificat pentru prima dată pe două greutăți din bronz standardizate. Scrisă de mai mulți autori necunoscuți, cartea include descrierea principalelor figuri geometrice, fracții simple, proporții, calcule volumice, calculul distanțelor, balanța comercială, ecuații liniare pentru estimarea recoltei viitoare și noțiuni despre calculul altitudinii unui munte.

Hipparchus din Nicaea (190-120 îen) - A fost membru al familiei regale din Bithynia și s-a ocupat cu observații astronomice. În onoarea lui s-au bătut monede în secolele II și III en. A fost primul care a calculat înclinarea pământului (percesia) între cele două Echinoxuri și a alcătuit primul catalog al stelelor fixe observabile cu ochiul liber (cu magnitudinea între 1 și 6). Pasionat de geometrie, a alcătuit primele tabele de trigonometrie pentru coardele unui cerc cu circumferința de 21 600 unități și raza de 3438 unități. Probabil că a utilizat un astfel de cerc pentru observațiile lui astronomice. Este creditat cu inventarea mai multor aparate pentru observație astronomică, dar se cunosc prea puține detalii referitoare la acestea (ceas solar, astrolab, inel ecuatorial, dioptra).

Templul lui Hercules Victor (143-132 îen) - Ridicat de senatorul și generalul Mummius Achaicus, templul comemorează victoria Romanilor în fața Aheenilor și invazia Corinthului. Cu diametrul de 15 metri, templul este înconjurat de coloane Corinthice din marmură, înalte de 10,66 metri, ridicate pe un piedestal din tuff vulcanic. Este cel mai vechi din marmură ridicat în cetatea Romei.

Templul Fortunei (120-80 îen) - Este cel mai vechi templu din Forum Boarium, format dintr-un portic

85 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

ridicat pe coloane monumentale. Pe altarul acestui templu aduceau jertfe negustorii de vite din Roma Antică. Abator pentru vite, sediu pentru lupte între gladiatori și necropolă pentru patricieni, Forum Boarium a fost inima Romei, locul unde clocotea sângele înfierbântat.

Horrea Galbae (sec I îen) - Pentru hrana poporului Romei, în Forum Urbis a fost zidit un imens depozit de cereale format din 140 de încăperi, cu o suprafață însumată de 21 000 metri pătrați. În vecinătatea lui a fost identificat un munte de cioburi, format din cele peste 53 de milioane de amfore sparte, a căror capacitate totală era de circa 6 miliarde de litri. Când un sclav al Romei își pierdea creditul sau muncea prea puțin, vasul lui era spart în loc să fie umplut cu cereale. Arhitectul acestui complex a fost patricianul Servius Sulpicius Galba, al cărui sarcofag a fost descoperit lângă întrarea în depozit.

Geminus din Rhodos (sec I îen) - Patrician din Rhodos, a scris o carte de astronomie intitulată Introducere în Fenomene, în care sunt descrise cele doisprezece constelații zodiacale cu perioada apariției și dispariției lor, sfera celestă, fazele Lunii, dar și nebunia de a face preziceri citind în stele. A mai scris și un tratat intitulat Doctrina Matematicii, din care nu au supraviețuit decât fragmente preluate de alți autori. A împărțit matematica în două părți: Mentală (geometria, aritmetica) și Observabilă (mecanica, optica, astronomia, armonia sunetelor, balistica).

Sarmisegetusa (sec I îen) - Capitală comercială și loc de pelerinaj religios, la Sarmisegetusa s-a ridicat un celebru sanctuar unde se desfășurau întâlniri ale căpeteniilor dacice, asemănătoare cu cele ale druizilor. La Sarmisegetusa s-au descoperit: un tezaur format din 3 600 de monede din aur de tip Lisimach, Pharnakes și Alexander cu o greutate totală de 30 kilograme, un alt tezaur format din 1038 monede dacice din aur de tip koson, cu o greutate totală de 25 kilograme și un atelier de metalurgie în care s-au descoperit unelte și turte din fier în greutate de circa 1000 kilograme. În total, în Munții Orăștiei s-au descoperit obiecte din aur cu greutate totală de peste 700 kilograme. Dio Casius a consemnat însă existența unui tezaur de 150 000 kilograme de aur și 330 000 kilograme de argint, îngropat în albia râului Sargeția (nedescoperit încă).

Marcus Vitruvius Pollio (80-15 îen) - Arhitect și inginer civil, este cunoscut pentru lucrarea lui intitulată De Arhitectura, în care afirmă că orice clădire trebuie să aibă trei calități: rezistență, utilitate și frumusețe. Printre altele, cartea lui include o listă destul de completă a oamenilor de seamă din secolele precedente. Principala sa lucrare a fost templul zeiței Fortuna din Fano (Basilica di Fano), terminată în anul 19 îen.

Liu Hsin (50 îen - 23 en) - Membru al dinastiei Han și predicator al învățăturilor lui Confucius, a fost numit curator al Bibliotecii Imperiale, unde a introdus primul sistem de notație și ordonare a cărților sub forma unui fișier. Catalogul de titluri era scris pe suluri din mătase subțire, păstrate în huse tot din mătase. A editat numeroase texte antice și a organizat dinastiile imperiale ca fiind o succesiune a celor cinci elemente: shui (apa), tu (pământ), jin (metal), mu (lemn) și huo (foc). În matematică a precizat valoarea lui Pi la 3,14159, după ce timp de secole s-a utilizat valoarea 3. Pentru schimburi comerciale a introdus o unitate de măsură standardizată, denumită Chia Liang, egală cu aproximativ 200 ml, sau 226 grame, utilizată până în zilele noastre.

Parcul San Agustin (5-400 en) - Acest complex arheologic din apropierea orașului Columbian San Augustin include un număr de circa 500 de monumente megalitice, asemănătoare cu cele din Insula Paștelui. Răspândite pe o arie de circa 50 de kilometri pătrați, statuile cu reprezentări antropomorfe sau zoomorfe au în jur de 7 metri înălțime și au fost la vremea lor pictate în culori vii (galben strălucitor, roșu, negru sau alb). La fel ca tumulii sciților, se pare că aceste statui stăjuiau necropolele antice, pentru a marca teritoriul unei așezări primitive.

Emerita Augusta (25 en) - În anul 25 en, Împăratul Augustus a fondat la Merida (Spania) un oraș denumit Colonia Emerida Augusta. Printre edificiile ridicate în oraș se numără: teatrul cu un diametru de 86

86 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

metri și o capacitate de 6 000 de locuri, amfiteatrul cu dimensiuni de 126 x 102 metri și o capacitate de 15 000 de locuri, stadionul (circus) cu o capacitate de 30 000 locuri, arena centrală fiind lungă de 400 metri, podul peste râul Guardiana lung de 755 metri, format din 65 de arcuri din blocuri de piatră.

Ephes (27-275 en) - Întins pe o suprafață de circa 350-400 de hectare, orașul grecesc Ephes a fost capitala provinciei romane din Anatolia. Anual erau pompați în provincie între 2 milioane și 20 milioane de dinari. Cel mai mare templu era cel al zeiței Diana, despre care se credea că s-a născut la Ephes. Un alt templu important era cel al Împăratului Publius Hadrianus, ridicat în anul 128 en. Dintre clădirile publice, cea mai importantă era Biblioteca Celsus ridicată de senatorul Tiberius Iulius Celsus, guvernator al provinciei între anii 105-106 en. Biblioteca deținea 12 000 de documente și era a treia ca mărime după Alexandria și Pergamum. La doar 25 de kilometri distanță, se afla orașul Pergamum, unde funcționa o bibliotecă cu 20 000 de documente, scrise pe pergament (piele de oaie).

Lugdunum (50-100 en) - Castrul militar de la Lugdunum (Lyon) s-a transformat în oraș roman, cu o populație de circa 50 000 de oameni. Amfiteatrul orașului, cu un diametru de 108 metri, avea o capacitate de circa 10 000 de locuri, pentru a putea acomoda toți bărbații orașului.

Londinium (60-260 en) - Orașul roman Londinium (Londra) avea circa 60 000 de locuitori și deținea cel mai mare Forum, cu cea mai mare basilică din Insulele Britanice. Orașul a fost înconjurat de un zid lung de 3,2 kilometri, înalt de 6 metri, lat de 5 metri. Portul orașului era format din patru secțiuni și era situat în amonte de actualul London Bridge. Amfiteatrul orașului, ridicat în anul 70 en, era sediul unei școli de gladiatori.

Apolodor din Damasc (50-130 en) - Născut în Siria, a fost arhitectul preferat al Împăratului Traian. Între anii 103-105 en, a construit celebrul pod peste Dunăre de la Turnu Severin, lung de 1135 metri, lat de 15 metri și înalt de 19 metri. Pilonii podului au fost zidiți din piatră, cărămidă, mortar și cenușă vulcanică (pozzalano) iar tronsoanele erau formate din grinzi de lemn. Celebrul pod a avut un rol decisiv în victoria asupra Dacilor, celebrată apoi prin Forumul lui Traian și Columna lui Traian. Terminată în anul 113, columna are 40 metri înălțime și este compusă din blocuri de marmură de Carrara, fiecare dintre ele cântărind 40 de tone.

Heron din Alexandria (10-70 en) - A fost profesor la Academia din Alexandria, denumită Musaeum, fondată de Ptolomeu Soter în secolul al III-lea îen. Funcționând pe lângă Biblioteca din Alexandria, instituția avea simultan până la 1000 de studenți în arta poeziei și filozofiei, specialiști în observații anatomice sau astrologice. Profesorii aveau cazare și masă gratuită, erau deserviți de sclavi gratuiți și nu plăteau taxe. Printre invențiile lui s-au numărat: o orgă cu aer suflat de o pompă acționată eolian, o fântână arteziană acționată cu energie hidrostatică. În matematică este celebru pentru formula de calcul a ariei unui triunghi, atunci când se cunosc laturile: A = SQRT [s(s-a)(s-b)(s-c)] unde s este semiperimetrul triunghiului s=(a+b+c)/2. Tot Heron a inventat și o medie ponderată între media aritmetică și cea geometrică, cunoscută ca media Heron, cu formula H = 1/3 (A + SQRT(AB) + B). Media lui Heron se utilizează în practică pentru a aproxima volumul unui segment de piramidă sau a unui segment de con.

Traian (98-117 en) - Născut în Spania, fiu al senatorului Marcus Ulpius Traianus și al nobilei Marcia din ginta Ulpia, a strălucit ca general în Syria, pentru a deveni consul în anul 91. Ajuns Imperator a montat o imensă campanie miliară împortiva Daciei. Victoria din Dacia s-a sărbătorit la Roma timp de 123 de zile, până când s-au sacrificat zecile de mii de vite aduse ca pradă. În arene s-au luptat peste 10 000 de gladiatori, în marea lor majoritate fiind prizonieri de război. În amintirea legiunii decimate în anul 102, a ridicat la Adamclisi un monument triumfal înalt de 40 metri, decorat cu 54 de metope ale principalelor scene de război.

Nicomachus din Gerasa (60-120 en) - Cu intense preocupări pentru matematică a scris un text despre

87 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Arta Aritmeticii și o Introducere în Geometrie. Este cunoscut însă pentru lucrarea intitulată Teologia Aritmeticii în care prezintă proprietățile mistice ale numerelor. Astfel, numerele care măsoară entități materiale sunt denumite numere științifice, în timp ce numerele fără corespondent material sunt numere divine. Numerele prime sunt numere perfecte. A mai scris și un tratat de teorie muzicală intitulat Manual de Armonie, în care a observat că notele muzicale sunt legate între ele prin raporturi matematice fixe. Nicomachus a mers chiar mai departe și a afirmat că întregul Univers este construit armonic, că există o muzică a sferelor, generată de raporturi matematice precise.

Coliseum (70-80 en) - Cunoscut și sub numele de Amfiteatrul Flavian, este o imensă structură de tip amfiteatru construită din blocuri de travertin, calcar și tuff vulcanic. Cu o capacitate între 50 000 și 80 000 de locuri, a fost cea mai mare clădire publică din întreaga Antichitate. Construcția a început în anul 72, în timpul Împăratului Vespasian și a fost terminată de Împăratul Titus, opt ani mai târziu. Baza eliptică, cu diametrele de 189 și 156 metri, acoperă o suprafață de 24 000 metri pătrați, iar înălțimea maximă este de 48 metri. Arena centrală, ovală, lungă de 87 metri, era înconjurată de un zid înalt de 5 metri. În ansamblu, construcția a necesitat peste 100 000 metri cubi de travertin.

Menelaus din Alexandria (70-140 en) - A trăit la Roma, unde numele său a fost consemnat de Plutarch. Dintre lucrările sale s-a păstrat un singur text intitulat Sphaerica, în care descrie amănunțit geometria sferei împreună cu aplicațiile în astronomie. Dintr-un text al lui Claudius Ptolomeu se știe că Menelaus urmărea ocultațiile stelelor date de discul lunar pentru a observa percesia echinoxurilor (înclinația orbitei). În cartea sa introduce și noțiunea de triunghi sferic, adică un triunghi cu suprafața bombată, obținut prin secționarea unei sfere. Astfel de triunghiuri au stat la baza geometriei neeuclidiene și a calculelor de geometrie difențială din geodezie (știința măsurării Pământului). În trigonometrie s-a păstrat o teoremă care-i poartă numele, potrivit căreia o dreaptă secantă împarte un triunghi în segmente pentru care produsul rapoartelor lor este egal cu 1. Demonstrația se face anulând reciproc din numitorul și respectiv numărătorul fracțiilor segmentele egale între ele.

Chang Heng (78-139 en) - Nepot al unui guvernator de provincie, și-a început cariera ca inginer civil. A ajuns apoi notar al Guvernatorului Bao De și Secretar Imperial la curtea Împăratului An. Ulterior a fost promovat Astronom Șef la Ministerul Ceremoniilor, pentru a prepara calendarul ceremoniilor religioase. A proiectat și construit un seismoscop cu care putea detecta direcția undelor seismice. Apoi interpreta motivul nemulțumirii zeilor prin faptele supușilor din acea direcție. Salariul său a crescut de la 600 la 2000 de busheli de cereale (1 bushel = 21,7 kg). În cartea lui intitulată Constituția Spirituală a Universului, a afirmat că Universul este ca un ou, cu stelele din jurul Soarelui aglomerate în centru, ca un gălbenuș. Catalogul lui celest includea 2500 de stele observabile și 124 de constelații. În anul 116 en a realizat o primă hartă fizică, denumită Ti Hsing Thu.

Mausoleul lui Hadrian (123-139 en) - Cunoscut sub numele de Castelul Sant'Angelo este cel mai impresionant monument funerar din Roma Antică. Ridicat pentru Împăratul Publius Aelius Hadrianus Augustus (76-138 en), de formă circulară, mausoleul are diametrul de 60 metri, înălțimea de 20 metri și este ridicat pe un soclu din travertin cu baza de 89 x 84 metri și înălțimea de 15 metri, tapetat cu marmură. În vârful mausoleului trona un monument al Împăratului Hadrian, conducând o qvadrigă. Printre construcțiile monumentale ale împăratului se mai numără: Panthenul din Roma, Templul lui Zeus și Arcul lui Hadrian din Athena, Zidul lui Hadrian din Insulele Britanice.

Claudius Ptolomeu (100-170 en) - Membru al Casei Regale din Egipt, descendent al lui Ptolomeu Soter, a scris în limba greacă folosind onservațiile astronomice făcute de babilonieni. Cea mai importantă lucrare a lui, denumită Almagest a fost un tratat de astronomie ce conține catalogul pentru 1022 de stele, ciclul Lunar, eclipsele, tabele cu poziția planetelor Mercur, Venus, Marte, Jupiter și Saturn, împreună cu o proiecție a Universului descris ca un năvod în care sunt prinse stelele. A mai scris un celebru tratat de

88 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Geografie, cu harta continentelor cunoscute și un tratat de Astrologie, în care afirmă că rangul social, rasa și țara de origine afectează personalitatea unui om mult mai mult decât poziția planetelor în momentul nașterii.

Dacia Romană (106-275 en) - Din perioada stăpânirii romane datează circa 100 de tezaure monetare din aur, argint și bronz, formate din: aurei, dinari, quinari, ași, duponzi sau sestreți. Cea mai mare sumă aminitită pe o inscripție de la Sarmisegetusa se referă la 80 000 sestreți donați de Quintus Aurelius Terius pentru aprovizionarea cu cereale a orașului Roma și alți 50 000 sestreți pentru pavarea cu piatră a pieții centrale. Monedele erau verificate și numărate de un libertus nummularis, la o casă bancară denumită argentarium. Tranzacțiile referitoare la vânzarea sau cumpărarea de sclavi se înregistrau pe tăblițe din lemn, acoperite cu ceară de albine. Administrația financiară o făcea un procurator provincial, ajutat de registratori (tabularii), casieri (arcarii) și socotitori (dispensatores).

Templul lui Zeus din Athena (132 en) - Proiectat și început de arhontele Peisistratos încă din anul 550 îen, templul a fost construit 650 de ani mai târziu din ordinul Împăratului Publius Hadrianus. Pe un perimetru de 108 x 41 de metri au fost ridicate 104 coloane din piatră, înalte de 20 metri, sprijinite pe un masiv piedestal din calcar. În interior conținea o imensă statuie a lui Zeus Olimpianul (Jupiter), din fildeș ornat cu aur.

Cay Yong (132-192 en)- Născut într-o familie bogată, a ajuns la Curtea Imperială în urma talentului său muzical. A fost judecător și consilier, responsabil cu elogiile, inscripțiile și textele comemorative. Membru al Academiei din Luoyang, împreună cu alți șase savanți a săpat în piatră cele șapte cărți ale învățăturilor lui Confucius. Între anii 175-183, cele peste 200 000 de caractere au fost cioplite în 46 de stele funerare (lespezi), cu înălțimea de 2,5 metri și lățimea de un metru. Cunoștiințele lui de matematică și astronomie sunt incluse în tratatul de ceremonii ale Curții Imperiale, denumit Duduan.

Băile lui Caracalla (211-217 en) - Împăratul Marcus Aurelius Severus Antonius a fost poreclit Caracalla, după tunica cu glugă purtată în campaniile militare. Soldații îl cunoșteau însă după opincuțele purtate în copilărie, când îl însoțea în campanii pe tatăl lui, Marcus Antoniu. Ajuns Caezar, primul lui proiect a fost un complex de băi publice în care încăpeau simultan până la 1600 de persoane. Complexul includea bazine, stadioane, biblioteci, camere pentru ospețe și fântâni arteziene. Iubitor al zeiței Serapis, i-a ridicat un templu pe Colina Quirinală. A acordat prin decret cetățenie romană tuturor oamenilor liberi de pe teritoriul Imperiului.

Cetatea Romei (270-275 en) - Împăratul Lucius Domitius Aurelianus a dorit să facă cetatea Romei inexpugnabilă. Prin efortul conjugat al celor circa 25 000 de pretorieni a ridicat în cinci ani un zid în jurul Romei, lung de 19 kilometri, înalt de 8 metri și lat de 3,5 metri. Egal cu zeii, împăratul s-a autointitulat Dominus et Deus, purta vestminte bogate din purpură și o diademă solară. Cultul zeului Soare (Solo Invictus) a fost ridicat la rang de religie. A guvernat fără Senat, ajutat doar de funcționari aleși dintre cavaleri.

Teotihuacan (200- 800 en) - Piramida Soarelui a fost ridicată ca un fel de lojă imperială pentru paradă militară și ceremonii religioase. Cu baza de 230 x 220 metri și înălțimea de 65,5 metri, piramida în trepte înglobează un volum de aproape două milioane de metri cubi de piatră, consolidată cu mortar. Piramida face parte dintr-un complex arhitectonic. Se leagă printr-o arteră lungă de 4 kilometri de o a doua piramidă, ceva mai mică, denumită Piramida Lunii. Piramida Lunii, construită între anii 100- 450 en, are baza de 147 x 130 metri și înălțimea de 43 metri. Cinci din cele șapte nivele ale Piramidei Lunii formează mormintele unei necropole regale. De o parte și de alta a arterei centrale sunt structuri mai mici, desinate conducătorilor de provincii. Înaintea marilor bătălii, întreaga armată se asambla în acest complex, fiecare ținut având locul său rezervat.

Diophantus din Alexandria (215-299 en) - Profesor de matematică la Alexandria, în epoca Romană,

89 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

a scris un manual de matematică intitulat Arithmetica în care sunt incluse probleme și soluții, alături de o serie de ecuații nerezolvate. Este renumit pentru ecuațiile Diophantine, compuse din ecuații polinomice cu două sau mai multe necunoscute, la care nu se acceptă decât acele soluții în care valorile sunt numere întregi. Un exemplu clasic de ecuație Diophantină este ecuația pentru triunghiuri dreptunghice: a x a + b x b = c x c (Exemplu: 3, 4 și 5). O altă ecuație Diophantină simplă este ax + by = c, une c este un număr întreg doar atunci când este multiplu al divizorului comun dintre a și b.

Liu Hui (225-295 en) - Una dintre lucrările lui de matematică, intitulată Haidao Suanjing, a fost scrisă în anul 263 și a fost inclusă în celebrul tratat "Cele Nouă Capitole despre Arta Matematicii". Descendent al marchizului din districtul Zi, a alcătuit hărți și schițe de proiect pentru diverse construcții. În manualul lui sunt incluse numeroase soluții pentru probleme de topometrie: înălțimea unei insule față de nivelul mării, înălțimea unui arbore sau a unui deal, adâncimea unui canion, lățimea unui râu, dimensiunea unui oraș văzut din vârful unui munte. Cartograful Pei Xiu a preluat pentru alcătuirea hărților imperiale metoda lui Hui de măsurare, utilizând doar o scară gradată și o rețea rectangulară.

Pappus din Alexandria (290-350 en) - A fost profesor de matematică și a scris un tratat în opt volume intitulat Colecții (Synagogue), în care a grupat probleme de aritmetică, geometrie și astronomie. Dintre acestea, celebră este teorema hexagonului, potrivit căreia dacă trei puncte coliniare A, B și C se unesc prin drepte cu alte trei puncte coliniare a, b și c situate pe o dreaptă neparalelă, punctele X, Y și Z rezultate la intersecția liniilor de unire vor fi și ele tot coliniare. Teorema are aplicații în optică și în fizica undelor, unde explică formarea franjurilor de interferență.

Tlachihualtepetl (300-900 en) - Piramida de la Cholula este cea mai mare piramidă de piatră din lume, cu baza de 450 x 450 metri și înălțimea de 55 metri, pentru un volum total de circa 4,5 milioane de metri cubi. Urmele ceramice sunt asemănătoare cu cele de la Teotihuacan. Cercetătorii au estimat că la marile festivități, pe cele șase trepte ale acestei piramide încăpeau până la 100 000 de oameni. Lângă piramidă au fost identificate patru altare de sacrificiu unde erau sacrificați boii pentru hrana unei astfel de mulțimi. Cel puțin 200 de vite erau sacrificate la o astfel de ceremonie.

Constantin cel Mare (272-337 en) - Născut la Naissus, în Dacia Ripensis, Împăratul Flavius Valerius Aurelius Constantinus Augustus a fost primul împărat care a îmbrățișat religia creștină, pe patul de moarte. După ce și-a înlăturat toți adversarii, în anul 324 en, a fondat Noua Romă. Orașul a fost zidit în șase ani, iar începând cu anul 330 s-a numit Constantinopolis, în onoarea fondatorlui. Pentru a câștiga dragostea eternă a supușilor, Împăratul Constantin distribuia zilnic 80 000 de rații de alimente, în 117 puncte de distribuție. Un întreg popor de sclavi depindea de bunăvoința lui. În fața clădirii Senatului era Forumul lui Constantin, unde trona statuia Împăratului reprezentat ca Zeul Helios, încoronat cu o diademă de raze solare.

Basilica Sfântului Petru (300 en) - Din ordinul Împăratului Constantin, pe locul mormântului Sfântului Petru, s-a ridicat Basilica Sfântului Petru din Roma, a cărei construcție a fost finalizată în 40 de ani. Timp de secole basilica a găzduit necropola Înalților Pontifi, așezați spre somnul veșnic alături de apostol.

Brazda lui Novac (300-350 en) - În timpul Împăratului Constantin cel Mare, pentru a stopa migrația popoarelor estului, s-a ridicat la poalele Carpaților un val de pământ lung de 700 kilometri, cu înălțimea de 3 metri și lățimea de 10-30 metri. Există și supoziția că acest val era de fapt un drum militar, supraînălțat pentru a fi ferit de inundații. Valul pornea de la castrul Romula (Olt) și se întindea până la Pietroasele (Buzău). Ca o curiozitate, la celălat capăt al valului, în castrul de la Hinova, de pe malul Dunării, a fost descoperit un alt tezaur de aur, format din 9639 de piese, cu o greutate totală de 5 kilograme. Valul de pământ a jucat un rol important în reglementarea schimburilor comerciale și a regimului de taxe vamale.

Theon din Alexandria (335-405 en) - A fost profesor de matematică la Alexandria, în timpul Împăratului

90 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Theodosius. Fiica lui Hypathia a impresionat societatea Egiptului prin cunoștiințele ei de filozofie și astronomie și prin preocupările ei pentru inginerie. Alături de tatăl ei, a construit un laborator astronomic cu aparate pentru calculul declinației (astrolab) Pământului și a scris comentarii la Arithmetica lui Diophantus. Tatăl ei a copiat și comentat lucrările lui Euclid și cele ale lui Ptolomeu. A scris și un tratat despre cum se construiesc aparatele utilizate în astronomie.

Tezaurul de la Sânnicolau Mare (sec IV-V en) - Acest tezaur format din 23 de vase din aur (8 cupe, o fructieră, 4 bazine, trei cești, două patere și un corn de suflat) are o greutate totală de peste 10 kg și se crede că a făcut parte din tributul plătit Regelui Attila, sau Khaganului avar Bayan. O parte dintre vase sunt ornate cu simboluri sarmate, altele sunt decorate cu simboluri creștine. Două dintre vase sunt inscripționate cu litere grecești. Atrag atenția cuvintele BOYHLA și ZOAPAN. Majoritatea opiniilor converg spre asocierea acestor vase cu un altar mithraic, sau în general cu taurinele, tauromahia, comețul cu taurine și bovine.

Tezaurul de la Pietroasele (sec IV en) - Descoperit în apropiere de Întorsura Buzăului, acest tezaur cu o greutate totală de circa 19 kilograme aur este cunoscut și sub denumirea de Cloșca cu puii de aur. A fost la origine compus din 22 de piese, dintre care s-au păstrat doar 12. În componență intră un platou din aur cu greutatea de 7,6 kilograme, o cană înaltă de 37 cm, o pateră cu diametrul de 26 cm, un colan gravat cu caractere runice, alte două colane și două vase poligonale tip fructieră. Toate sunt, sau au fost decorate cu pietre prețioase, în special cu rubine. Format în exclusivitate din obiecte de lux, acest tezaur denotă dragoste pentru frumos și opulență, în mijlocul unei epoci dominate de triburi barbare.

Mormântul Împăratului Nintoku (399 en) - Împăratul Nintoku a fost cel de la XVI-lea împărat al Japoniei, cel care a construit un dig de mari proporții, pentru a stăvili inundațiile produse de râul Kawachi. Mormântul său, denumit Daisenryo Kofun, este un tumul lung de 486 metri, lat de 300 metri și înalt de 35 metri, la care se estimează că au lucrat 2 000 de oameni, timp de 16 ani. În vecinătate mai există circa 50 de tumuli asemănători. În total, se estimează că în Japonia s-au ridicat circa 20 000 de tumului, doar în epoca denumită Kofun, cuprinsă între secolul al III-lea și secolul al VI-lea.

Zidul Împăratului Theodosius (408-450 en) - Pe o lungime de 5,7 kilometri, împăratul a ridicat ziduri duble, late de 4,5-6 metri și înalte de 12 metri, întărite de 96 de turnuri pătratice, cu latura de 10-12 metri și înălțimea de 20 metri. Pornind de la Turnul de Marmură, zidul se întinde până la Palatul Porfirogeneților din Cartierul Blachernae, pentru a închide complet istmul cetății Constantinopolului. În anul 425 a fondat Universitatea din Constantinopol, cu 31 de catedre, dintre care 16 în limba greacă și 15 în limba latină.

Dominus din Larissa (420-480 en) - Aristocrat din Syria, discipol al filozofului Syrianus, a studiat la Academia din Athena. A fost autorul unui Manual de Introducere în Aritmetică în care a prezentat numerele, proporțiile, mediile și operațiile cu fracții elementare.

Zu Chongzhi (429-500 en) - Provenea dintr-o familie nobilă, cu vechi preocupări pentru matematică și astronomie. A studiat la Universitatea Imperială din Nanjing, apoi a fost angajat la cancelaria guvernatorului local. A scris un tratat intitulat Metode de Interpolare (Zhui Shu), în care a prezentat formulele pentru volume cubice sau sferice și calculul constantei Pi, cu 16 zecimale. A calculat lungimea anului Solar, durata exactă a ciclului lunar, ciclul planetei Jupiter și volumul exact al unei sfere. Tot el a inventat moara cu ciocane acționate hidraulic.

Attila Regele Hunilor (434-453 en) - Conducător al sciților, stăpân peste mii de cai, Regele Attila a fost primul conducător barbar care le-a impus romanilor un tribut anual de 700 livre aur și o taxă de răscumpărare de 8 solidus din aur pentru fiecare roman capturat. Palatul lui regal era din bârne de lemn jiluite și a fost descris de ambasadorul Priscus, trimis de bizantini. Acest rege cu purtare simplă și straie țărănești a ridicat la luptă o armată formată din peste 500 000 de luptători cu care a îngrozit toate națiunile Europei. La moartea

91 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

lui, 500 dintre soldații cei mai apropiați și-au luat viața pe mormântul lui, iar căpitanii lui și-au tăiat obrazul, ca să-l plângă cu lacrimi de sânge.

Anthemius din Tralles (474-538 en) - Fiu al unui medic bogat, a ajuns arhitect principal la Constantinopol. A fost numit de Împăratul Justinian pentru ridicarea catedralei Hagi Sofia. Matematician iscusit, a fost pasionat de optică și a scris un tratat intitulat "Despre sticlele arzătoare" în care descrie modul de construcție pentru lentile de formă elipsoidală cu care se pot concentra razele solare într-un singur punct. Lentilele arzătoare erau un fel de telescop inversat, cu care se putea aprinde focul. Folosind suprafețe conice, Anthemius a reușit să focalizeze razele în puncte diferite ale unei curbe parabolice.

Theodoric cel Mare (475-526 en) - Rege la Ostrogoților, născut în Pannonia și educat la Constantinopol la curtea Împăratului Leon I (454-474 en), a fost succesiv: Patrician, Vir gloriosus, Magister militum, Consul, apoi Rege al Italiei, după ce l-a ucis cu mâna lui pe Regele Odoacru. La Ravenna, a construit un Palat Regal, Basilica Saint Apollinare, a reparat apeductul lui Traian, a ridicat alte patru basilici și în final a construit un mousoleu cu diametrul de 10 metri, în care a fost înmormântat într-un sarcofag din porfir.

Aryabhata (476-550 en) - Brahman din India, a fost învățător la templul budist Mahavihara din Nalanga, în valea fluviului Gange. A scris mai multe tratate de matematică și astronomie, fiind astfel primul matematician de marcă al Indiei. Lucrările lui includ probleme de aritmetică, algebră, trigonometrie, geometria sferei, funcții continue și o tabelă pentru sinusul unghiurilor. Observațiile astronomice se referă la eclipsele de Lună și de Soare, sau la lungimea anului sideral. A calculat și o valoare aproximativă pentru diametrul Pământului, văzut ca o sferă care se rotește în jurul axei. Primul satelit artificial al Indiei a fost denumit în cinstea lui.

Împăratul Justinian (482-565 en) - Cunoscut ca Justinian cel Mare sau Justinian cel Sfânt, ajutat de generalul Belisarius, a recucerit teritoriile Imperiului Roman pentru a readuce Bizanțul la vechea glorie. Venitul imperial anual depășea cifra de un milion de solidus. A reformat baza de justiție emițând un nou cod de legi, denumit Corpus Juris Civilis. Nu întâmplător numele lui se confundă cu cel al Justiției. Cel mai cunoscut dintre edificiile ctitorite de Împăratul Justinian este Catedrala Hagia Sofia, cu o bază de 82 x 73 metri, înaltă de 55 metri, cel mai impozant edificiu al primului Mileniu.

Lex Sialica (500 en) - Pe țărmul Francez al Mării Mediterane era constituit Regatul Francilor, condus de dinasita Merovingiană (învingătorii mărilor). Regele era cel care hotăra cum se împart bunurile, el numea potentați denumiți comes (conți) și tot el conducea adunarea nobililor, cu rol de Consiliu de Război. Primul cod civil, denumit Lex Sialica, a fost scris în limba latină și legifera ca întreaga proprietate materială să fie transmisă ereditar, exclusiv pe linie bărbătească, în special cu referire la succesiunea la tron (succesiunea agnatică).

Monte Casino (529 en) - Călugărul Benedict din Nursia (Sfântul Benedict) a fondat în anul 529 mănăstirea Monte Casino. Regulamentul intern alcătuit de el, cunoscut în prezent sub numele de Regula Benedictină, era alcătuit din 73 de capitole și a devenit apoi cartea de temelie pentru întregul Ordin al Călugărilor Benedictini.

Isidor din Milet (sec V-VI en) - Arhitect, matematician și constructor din epoca Împăratului Justinian, a fost la început profesor de stereometrie și fizică la Școala din Alexandria, apoi la cea din Constantinopol. Între anii 532-537 a condus lucrările la Caterdala Hagi Sofia. Dintre textele lui au rămas niște compilații după Archimedes și o copie după Cartea a XV-a din Elementele lui Euclid.

Zidul lui Athanasius (VI en) - Împăratul Flavius Athanasius a închis întregul istm dintre Marea Neagră și Marea Marmara cu un zid lung de 56 kilometri, înalt de 5 metri și lat de 3 metri, întărit cu mai multe castre

92 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

pentru unitățile militare de pază.

Marele Zid Gorgan (sec V-VI en) - Cu o lungime de 195 kilometri, acest zid construit în regiunea Golestan din Nordul Iranului făcea legătura dintre Marea Caspică și Munții din Nordul Iranului. Zidul bloca trecerea nomazilor spre inima Imperiului Sassanid, avea 6-10 metri lățime și era străjuit de 30 de fortărețe, unde erau cantonate unitățile de pază. Este cel mai lung zid din lume, după Zidul Chinezesc. A fost construit din cărămizi arse, lut, gips și mortar.

Varahamihira (sec VI en) - A fost un brahman din ținutul Malwa, din Vestul Indiei, educat la curtea maharjahului Yashodharman, denumit Regele Regilor. Cea mai importantă lucrare a lui a fost o enciclopedie de divinație, intitulată Brihat Samhita, în care sunt incluse explicații referitoare la: arhitectura templelor, măsurarea timpului, astrologie, eclipse, matematică, evaluarea pietrelor prețioase. Fiul lui, pe nume Prithuyasas, a scris un tratat de astrologie, intitulat Hora Sara, în care explică puterea planetelor și valoarea horoscopului pentru prezicerea vieții sau a morții.

Imperiul Inca (sec VI-XII en) - Civilizația indienilor din America de Sud a atins apogeul în secolul al VI-lea. Unul dintre cele mai vechi centre a fost în Peru, în jurul lacului Titicaca. Urmele civilizației lor sunt prezente în întregul lanț al Munților Anzi. Cea mai impresionantă structură este rețeaua de drunuri pietruite cu începere din Ecuador, continuare în Peru și Bolivia, pentru a se termina în Chile, cu o lungime totală de 40 000 kilometri. În funcție de teren, drumurile aveau între 1 metru și 4 metri lățime, pentru a ca în zonele intens populate să atingă până la 25 de metri lățime. Mare parte a lor erau flancate de ziduri din piatră, sau din cărămizi de chirpici. Pentru drenarea apei drumurile erau flancate de șanțuri laterale, dublate de canale transversale în zonele de munte. Distanțele erau marcate prin mici piramide din bolovani, denumite apachetas. Justiniana Prima (565 en) - A fost prima Arhiepiscopie din Dioceza Daciei, independentă de cea din Salonic, fondată în orașul Justiniana Prima. Orașul era denumit astfel în cinstea Împăratului Justinian, născut în vecinătate, la Tauriscium. După anul 581, circa 100 000 de sclaveni de la Nord de Dunăre s-au refugiat aici din calea avarilor și au format Sclavenia Macedonica. Cnezatele lor, denumite zupe, erau conduse de un zupan (jupân) dar erau sub suveranitate bizantină.

Bayan Khagan (567 en) - Acest conducător de oaste a sosit la Dunăre în fruntea unui întreg popor de avari. În alianță cu Longobarzii din Nordul Italiei, avarii au năvălit în Panonia și i-au învins pe gepizii Regelui Cunimund pentru a forma un Khaganat. Bizantinii au răscumpărat cetatea Sirmium plătind subsidii anuale în valoare totală de 80 000 de solidus (364 kilograme de aur). Baza economică a noului regat o forma creșterea bovinelor și cabalinelor. Bărbații avari se îngropau împreună cu calul și armele, pentru ca în viața eternă să trăiască la fel ca pe Pământ.

Marele Canal Hang (581-618 en) - Acest canal navigabil cu lungimea de 1 776 kilometri a fost finalizat în timpul dinastiei Sui, pentru a face joncțiunea dintre râurile Yangtze și Râul Galben. Secțiuni ale canalului au fost construite încă din secolul al V-lea îen, dar porțiunile înalte nu au putut fi conectate decât în timpul dinastiei Song (960-1279 en), după inventarea unui sistem de ecluze. Segmentele cele mai înalte ale canalului sunt în munții Shandong, la 42 de metri deasupra nivelului de bază.

Brahmagupta (598-668 en) - A fost învățător la templul lui Brahma din ținutul Rajasthan, în Nord Vestul Indiei. A scris în versuri un tratat despre zeul Brahma. În cele 24 de capitole și 1008 versuri sunt incluse numeroase referiri la astronomie și matematică. În lucrarea lui, cifra zero este tratată pentru prima dată ca fiind un număr egal cu numerele întregi. Tratatul include primele referiri la numere negative, prin comparare cu balanța de plăți. Tot el a imaginat formula pentru aria unui patrulater înscris într-un cerc, ca fiind rădăcina pătrată din produsul valorilor obținute prin scăderea fiecărei laturi din semiperimetrul patrulaterului (similară cu formula lui Heron pentru triunghi). Printre observațiile lui astronomice se numără calculul poziției astrelor

93 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

cerești și calculul eclipselor de Soare și de Lună.

Bhaskara (600-680 en) - Membru al unei familii importante din India, cu tradiție pentru observații astronomice, a fost primul care a utilizat pentru scrierea numerelor sistemul zecimal și a reprezentat cifra zero printr-un cerc. A scris o lucrare despre matematica astronomică, compusă din șapte capitole, în care include o funcție acceptabilă pentru calcularea valorii funcției Sinus(). Formula era atribuită lui Aryabhata și se calcula prin: Sin(x) = {(16x (Pi-x) / [5Pi(Pi) - 4x(Pi-x)]}.

Li Chunfeng (602-670 en) - Membru al unei familii de vază, a fost educat la Academia Imperială, în timpul dinastiei Sui. În timpul dinastiei Tang a fost angajat la Biroul Astronomic al Academei. A modificat calendarul chinezesc astfel încât anul Solar să fie împărțit în 13 cicluri lunare și o zi. La fiecare trei ani, mai trebuia adăugată o zi suplimentară pentru ca poziția astrelor observabile să se suprapună perfect. Pentru aproximarea calculelor a utilizat pentru constanta Pi fracția 22/7 (adică 3,142857) cu valori absolut acceptabile pentru acele timpuri. A scris și literatură, în două tratate despre dinastiile Sui și Jin, făcând numeroase referiri la noile descoperiri din astrologie, metrologie și muzică. Mulți l-au considerat profet, după ce a compus un tratat de numerologie pentru predicția viitorului (Tui bei tu).

Khanul Kubrat (606-665 en) - Aflat în fruntea alianței dintre Bulgari și Hunii Onogunduri, a condus migrația unui întreg popor în Tracia, unde cu acordul Împăratului Heraclius a format Marea Bulgarie. Numele lui este inscripționat pe unul dintre vasele din aur din tezaurul de la Mala Pereshchepina, descoperit în anul 1912 în Ukraina, la 20 de kilometri de Poltava. Format din 800 de piese, dintre care 19 vase mari, tezaurul are o greutate totală de peste 20 kilograme aur și 50 kilograme argint.

Episcopul Rupert de Worms (660-710) - Descendent la dinastiei Merovingiene, a ajuns Episcop de Worms, a fondat Catedrala din Salzburg și mănăstirea benedictină de la Nonnburg. Munca lui de misionar s-a concretizat în Alpii Austrieci prin apariția primelor așezăminte monastice, printre care Cella Maximiliana de la Bischofshofen, ridicată de un călugăr sihastru în anul 711 en.

Mănăstirea Monkwearmouth (675 en) - A fost o mănăstire Benedictină fondată de călugărul Bende în Nordul Angliei, pe un teren donat de Regele Ecgrifith împreună cu o turmă de 2000 de vite. Ctitor a fost Episcopul Benedict (Baducing), construcția a fost condusă de doi meșteri aduși din Franța, iar biblioteca a fost alcătuită din cărți aduse de la Roma. Corul era condus de un diacon venit de la Basilica Sfântului Petru din Roma.

Impăratul Leo Isaurianul (675-741 en) - Sub presiunea crescândă a revoluției islamice, Împăratul Leon a reformat întregul sistem de taxe și a înlocuit denumirea de sclav prin cea de servitor. Liberi în fața legii, acești servitori erau plătitori de taxe, dependenți de stăpânul lor feudal. O erupție vulcanică din anul 726 en a fost interpretată ca pedeapsă de la Dumnezeu pentru că oamenii s-au semețit prea tare. Ca urmare Împăratul Leon a interzis idolatria. Chipul lui Isus a fost înlăturat din toate altarele, pentru a fi înlocuit cu o simplă cruce. Numeroase icoane și odoare din toate mănăstirile și bisericile au fost distruse.

Acharya Virasena (792-853 en) - Călugăr Jainist, autor al unui tratat de divinație intitulat Dharvala, și-a consacrat o bună parte din timp calculelor necesare pentru ridicarea unui templu. Dat fiind că stupele indiene au o bază circulară, pentru a obține o structură cu maximum de rezistență și minimum de material, călugărul Virasena s-a concentrat mai ales asupra geometriei cercului. A obținut astfel pentru lungimea cercului formula: L=3d + (16d+16)/113, adică o aproximare pentru Pi=3,14159292, extrem de apropiată de valoarea actuală.

Sridharacharya (870-930 en) - Judecător și filozof indian, a fost preocupat de matematică, ca parte componentă a judecăților pentru împărțirea averilor. În textele lui apar pentru prima dată operații cu cifra

94 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

zero, cu specificația că adunând sau scăzând zero valoarea rămâne nemodificată. A făcut distincție între aritmetică și algebră. A fost primul matematician care a rezolvat o ecuație de gradul doi transformând primul termen într-un binom pătratic.

Muhamad al Fazari (773 en) - Din ordinul Califului Al-Masur, împreună cu tatăl lui Ibrahim, au tradus în limba arabă numeroase cărți de știință, inclusiv textul matematicianului Brahmagupta despre astronomie. Istoricii susțin că acest text a fost vectorul transferului din India spre Arabia al principalelor simboluri pentru numere, devenite apoi cifrele arabe. Împreună cu tatăl lui a fost preocupat de matematică, astronomie și filozofie. Au compus un tratat despre astrolab, sfere intricate și calendarul ceresc.

Emirul Abd al Raham (784 en) - Capitala Califatului musulman din Sudul Spaniei era la Cordoba, unde Emirul Abd al Raham a început construcția celebrei moschei, denumită inițial Aljama, apoi Mezquita, în prezent cunoscută sub denumirea de Alhambra. Cu o suprafață de 140 x 85 metri, moscheea include un hol central susținut de 856 coloane din marmură, onix, granit și porfir. Pentru decorații s-au utilizat volume impresionante de aur, argint, cupru, alamă, jad, porfir, fildeș, mozaicuri și sculpturi.

Împăratul Charlemagne (800-813 en) - După ce a supus toate popoarele Europei, din Munții Pirinei până la Munții Carpați, în anul 800 Regele Francilor Charlemagne a fost înălțat de Papa Leon al III-lea la rangul de Împărat al Romanilor. Capitala imperiului a fost la Aachen, unde a zidit Palatul Regal începând cu anul 790. După 47 de ani de domnie, împăratul a fost înmormântat stând pe tron, cu coroana pe cap, cu sceptrul în mână.

La Grassa și La Capilla (sec VIII) - Sunt cele două localități unde au fost descoperite cele mai importante tezaure monetare din Spania aparținând regilor Vizigoți. Dintre cele circa 800 de monetării care au funcționat între secolele V-VIII, cele mai importante au fost la: Toledo, Merida, Sevilia, Cordoba, Zaragosa, Taragona și Narbonne.

Casa Înțelepciunii (813 en) - Califul Abdulah Harun al Rashid (813-833 en), a oferit suportul economic pentru formarea la Bagdad a unei biblioteci, denumită Casa Întelepciunii, unde au fost apoi acumulate toate cunoștiințele vremii despre matematică și arta militară. Efortul de a traduce în limba arabă toate cărțile de știință din lume a început încă din secolul al IV-lea și a inclus texte preluate de la Biblioteca din Alexandria, Școala de la Edessa, sau Academia de la Jundishapur. Pasionat de știință, Califul al Rashid a comandat o hartă a lumii, a participat personal la șantierul arheologic de la piramida Giza și a construit primul observator astronomic din Bagdad.

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780-850 en) - Născut într-o familie de viticultori, a fost numit în anul 820 în fruntea Bibliotecii de la Casa Înțelepciunii, unde a prezentat studenților tratatul său despre algebră: "Cartea Compediu despre Calcule și Echilibrarea Balanței". În lucrarea lui apar pentru prima dată soluții pentru ecuații de gradul doi. Însăși denumirea de Algebră este derivată din titlul acestei lucrări, de la cuvintele al-Jabr, cu sensul de echilibrare. Așadar, la origine, algebra a fost știința echilibrării balanței, inventată de negustori. Pentru studii astrologice a completat 37 de calendare și 116 tabele cu date astronomice și astrologice, bazate pe studiile astrologilor din India. În lucrarea sa despre Geografie, a consemnat longitudinea și latitudinea pentru 2402 localități din întreaga lume cunoscută.

Regele Offa (780 en) - Regele Offa, din regatul Mercia, a bătut primele monede britanice denumite penny. Până atunci erau în circulație doar monedele Imperiului Roman. La scurt timp însă, au intrat în circulație circulat monedele daneze, constituind plata tribului către vikingi (Danegeld).

Vikingii (790-800 en) - Popoarele Scandinaviei, cunoscute sub numele de vikingi, au ajuns cu corăbiile lor în Anglia. În anul 793 au ars până la temelie Mănăstirea Lindisfarne, după ce călugării au încercat să

95 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

renegocieze prețul pentru blănurile aduse de ei. În jurul anului 800 au debarcat în Irlanda, unde printre primele așezări, au fondat orașul Dublin. Când plecau pe mare, vikingii purtau amulete în formă de femeie, denumite valkirii, menite să le deschidă în caz de deces calea spre Valhala (ospățul zeilor). Amuletele celor căzuți în luptă erau aduse acasă, spre jalea nevestelor și familiilor lor.

Abu Yusuf al-Kindi (801-873 en) - Fiu al guvernatorului provinciei Kufa, a primit cea mai aleasă educație la Casa Înțelepciunii din Bagdad. În cursul vieții a caligrafiat circa 260 de texte din diferite domenii: geometrie (32 cărți), astronomie (9 cărți), medicină și filozofie (22 cărți), logică (9 cărți) și fizică (12 cărți). Cea mai interesantă dintre lucrările lui este un tratat de criptografie. Printre metodele descrise de el se numără diverse permutări și combinări ale grupurilor de litere. În lucrarea sa, apare pentru prima dată analiza frecvenței cu care apar literele în text, pentru a identifica vocalele și consoanele prin comparare cu frecvența lor în textele normale. Lucrarea a fost ispirată de cartea cu același subiect, scrisă în secolul precedent de linguistul Al-Khalil (718-786 en).

Papa Eugen al II-lea (824 en) - Susținut de regele Italiei Lothar I, a elaborat primul act legislativ al Statului Papal, denumit "Constitutio Romana". Noua Constituție a inclus jurământul depus de Înaltul Pontif la consacrare și a reglementat mecanismul electoral.

Thabit ibn Qurra (826-901 en) - Membru al unei familii de aristocrați din Mesopotamia Superioară, a fost educat la Bagdad în limbile greacă și arabă. Printre altele a tradus în limba arabă lucrări ale matematicienilor: Arhimedes, Apollonius din Perga, Euclid, Ptolomeu. Principala lui contribuție constă din formularea unui set de trei ecuații pentru identificarea unor perechi de numere amicale. Tot el utilizat progresiile geometrice pentru a formula soluția unei probleme de șah (mersul calului) și a calculat volumul unui paraboloid.

Academia Lushan (831 en) - Cunoscută sub denumirea de Academia de la Peștera Căprioarei Albe, a fost una dintre cele patru academii din China Antică. A luat ființă prin truda poetului Li Bo, membru al dinastiei Tang, cel care a domesticit o căprioară albă, simbol al inocenței și gingășiei. Școala lui a fost ridicată la rang de academie după anul 960, în timpul dinastiei Song, prin bunăvoința Impăratului Taizong (976-997).

Papa Leon al IV-lea (847-855 en) - În timpul pontificatului Papei Leon IV a fost ridicat zidul cu lungimea de trei kilometri care înconjoară și în prezent dealul și cetateaVaticanului.

Abu Abdulah ibn isa Mahani (? - 880 en) - Membru al unei familii de negustori de vază, a fost preocupat de matematică și astronomie. A studiat și comentat manualele lui Euclid și cele ale lui Archimedes. Principala lui lucrare se referă la calculul azimutului. Cunoscând ciclurile Solar și Lunar, a observat conjuncțiile celor două astre și a reușit să calculeze următoarele trei eclipse de Soare, cu o precizie de circa o jumătate de oră, folosind doar măsurătorile azimutului Lunar. A scris și un tratat intitulat "Despre Latitudinea Stelelor", dar textul s-a pierdut.

Mahavira (secolul IX en) - În jurul anului 850, a scris o lucrare despre matematică. Tot el a dezvoltat o metodă prin care o fracție poate fi reprezentată ca sumă de fracții mai simple. Metoda lui era folosită pentru împărțirea averilor între moștenitorii din două sau mai multe generații. Este foarte respectat de matematicienii din India și pentru terminologia pentru simetria figurilor geometrice: triunghiuri isoscele și echilaterale, romburi, cercuri și semicercuri.

Chiril și Metodiu (863 en) - Prințul Rastislav, aflat în fruntea unui Ducat denumit Moravia Mare (Velka Morava), a cerut sprijinul Împăratului Michael al Bizanțului, pentru creștinarea poporului său. Patriarhul Photius a desemnat doi călugări greci, pe nume Chiril și Methodiu, să le cehilor aducă taina literelor. Începând cu anul 863, cei doi călugări au alcătuit un alfabet special, denumit alfabetul glagolitic, cu caractere

96 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

special concepute pentru fonetica slavă. Ulterior, alfabetul glagolitic a fost modernizat și simplificat pentru a fi rednumit "Alfabet Chirilic", fundamentul slovelor rusești.

Abu Muhammad al-Battani (858-929 en) - Prinț din Mesopotamia Superioară, născut în provincia Urfa, este cel mai cunoscut astronom arab din epoca medievală. Tatăl lui era producător de instrumente și unități de măsură, așa că a primit educație în acest sens încă din copilărie. El este cel care a determinat lungimea anului solar la 365 zile, 5 ore, 46 minute și 24 de secunde (la 2 minute de valoarea actuală). Printre contribuțiile lui se numără calculul percesiei echinoxurilor și utilizarea tabelelor de sinus și cosinus pentru calculul tangentelor după formula: tan(a) = sin(a)/cos(a).

Abu Kamil ibn Shuja (850-930 en) - Discipol al lui Al-Khwarizmi, a scris un tratat de matematică intitulat "Cartea Algebrei" în care a dezvoltat manualul predecesorului său. În lucrare acceptă că unele ecuații pot avea ca soluții numere iraționale. Referirea se face însă mai mult retoric. Interesat de progresiile geometrice a studiat ecuațiile cu grad mai mare decât doi, până la ecuații de gradul opt (2 la puterea 8 este 256). A rezolvat și ecuații nonliniare cu până la trei necunoscute.

Împăratul Constantin Porfirogenetul (905-959 en) - Ajuns pe tronul imperial la vârsta de doi ani, a fost împărat în tot cursul vieții sale. Ca urmare, a fost implicat în activități administrative de la o vârstă foarte fragedă. Între anii 948-952 a scris celebra lucrare "De Administrando Imperio", un manual de politică internă și externă a Imperiului Bizantin, destinat fiului său Împăratul Romanos II. În timpul lui flota militară imperială era formată din 100 de vase: 20 dromon, 64 chelandria și 10 galere, la care se adăugau vasele comerciale de transport.

Regele Mieszko I (930-992 en) - Membru al dinastiei Piastilor, fiu al Ducelui Siemomysl, s-a căsătorit cu Prințesa Doubrovka Premyslid de Bohemia. A fost astfel primul nobil din Polonia care a primit botezul romano catolic, la Gniezno, la 16 Aprilie 966, în ziua Sfintei Duminici a Paștelui. Spre sfârșitul vieții a emis un document intitulat "Dagome iudex", prin care a pus întregul teritoriu al Poloniei sub patronajul Înaltului Scaun de la Roma.

Împăratul Otto I (912-973) - Rege al Germaniei și Italiei, în anul 955 a fost proclamat salvator al creștinătății după ce a învins hoardele maghiarilor în bătălia de la Lechfeld. În anul 973 a fost proclamat Împărat al Sfântului Imperiu al Romanilor și Germanilor. Prin căsătoria fiului său Otto II cu Prințesa Teofana, nepoata Împăratului Tzimiskes, a perfectat pacea și prietenia dintre cele două imperii. După doar zece ani însă, Otto II a fost învins de musulmani în Sicilia și a murit de malarie la Roma, la vârsta de 28 ani.

Abu Hasan al Uqlidisi (secolul X en) - Negustor din Damasc, cu interese de afaceri la Bagdad, a scris cea mai veche lucrare în care sunt explicate cifrele arabe și sistemul zecimal de poziționare a lor. Cartea lui este cunoscută ca "Aritmetica lui Al-Uqlidisi". În lucrarea lui se referă în special la fracțiile zecimale utilizate în negustorie și la împărțirile fără rest.

Comitate și valahii (secolul X en) - Din necesități de ordin militar, administrativ și juridic, așezările omenești s-au structurat într-un sistem piramidal, condus de o autocrație militară. Fiecare obște era compusă din 12-30 de clanuri familiale, adică din 100-300 locuitori. Mai multe obști formau o uniune obștească compusă din 500 până la 6000 de locuitori. O valahie sau un comitat se organiza din mai multe uniuni obșteși și reunea în jur de 150 000 de locuitori. Slavii utilizau pentru conducătorul acestor formațiuni denumirea de cneaz sau voievod, în timp ce bizantinii utilizau denumirea de comite sau duce (dux bellis). Pe teritoriul României au fost organizate 33 de astfel de formațiuni, pentru o populație totală de 3-5 milioane de locuitori.

Abu al-Wafa Buzjani (940-998 en) - Născut în provincia Khorasan, la vârsta de 19 ani s-a stabilit la Bagdad. În documentele lui negustorești apar pentru prima dată în lume numerele negative, ca expresie a unor

97 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

datorii. Cu ajutorul lor se putea echilibra balanța comercială. Pasionat de astrologie și astronomie, a scris un tratat de astronomie "Almagest" în care a prezentat noțiuni de trigonometrie sferică. A fost primul care a formulat identitatea sin(a) cos (b) + sin (b) cos (a) = sin (a+b).

Papa Silvester II (946-1003 en) - Născut în Franța cu numele Gerbert de Aurillac, s-a călugărit la vârsta de 17 ani. Trei ani mai târziu a ajuns la curtea Contelui Borell din Catalonia unde a învățat limba arabă. După alți doi ani, a făcut un plerinaj la Roma, unde Papa Joan al XIII-lea l-a desemnat ca tutore pentru Otto II, fiul Împăratului Otto I. Ajuns împărat, Otto II l-a numit abate la mănăstirea Bobbio din Piacenza. A fost apoi tutorele lui Otto III, fiul împăratului, pentru a fi numit Arhiepiscop de Ravenna. A fost unul dintre cei mai distinși savanți ai timpului său, cu preocupări pentru artimetică, geometrie, astronomie și muzică. Ajuns Papă a introdus în uz folosirea abacului, cu 9 coloane și 27 de bile. Elevii lui afirmă că putea face calcule extrem de dificile cu o viteză uluitoare.

Abu Hasan al Karaji (953-1029 en) - Aristocrat din Bagdad, a fost inginer și judecător local. Trei dintre cărțile lui despre matematică au fost utilizate de discipoli timp de mai multe secole: "Minunatele Calcule", "Glorioasa Algebră" și "Suficient despre Calcule". A organizat regulile de separare a polinoamelor în monoame. Chiar dacă nu are multe contribuții originale, a fondat învățământul primar pentru algebră și geometrie. În cartea lui denumită "Extragerea apelor ascunse" explică principiile elementare de hidrologie, necesare pentru săparea de puțuri și fântâni.

Ibn al-Haytham (965-1040 en) - Membru al unei familii nobile, a fost mult timp Vizir al orașului Basra, fiind renumit pentru cunoștințele lui de matematică. A fost invitat de Califul Egiptului pentru a concepe un proiect de regularizare a cursului Nilului. Depășit de situație, a fost arestat la domiciliu și obligat să se ocupe doar de optică și matematică. Lucrarea lui despre Optică a fost tradusă în latină, apoi a fost tipărită în mod repetat în epoca medievală. A făcut studii balistice și a notat faptul că doar proiectilele cu impact perpendicular au forță de penetrare maximă. În matematică a făcut studii extensive de algebră și geometrie.

Ștefan cel Sfânt (1000-1038) - Urmaș al principalelor ginte din Transilvania și Ungaria, căsătorit cu Prințesa Gisela de Bavaria, vasal al Împăratului Otto I și uns rege cu o coroană trimisă de Papa Silvester al II-lea, Regele Ștefan I al Ungariei a întrunit sufragiile tuturor minților luminate. A împărțit regatul în 10 episcopii și 72 de comitate, a ridicat biserici și mănăstiri. Nobilii au primit drept ereditar asupra proprietăților lor. A eliberat toți sclavii creștinați și i-a transformat în țărani condiționari, a întemeiat primul sistem etatizat de contabilitate a drepturilor și obligațiilor.

Goryeo Tripitaka (1011) - Cea mai veche ediție a scripturii Buddhiste a fost încrustată începând cu anul 1011, pe 81 258 tăblițe din lemn, conținând 52 330 152 caractere, organizate în 1496 titluri și 6568 volume. Fiecare plăcuță din lemn are 70 x 24 de centimetri, grosimea de 4 cm și cântărește între 3 și 4 kilograme. În total, cântăresc 280 tone și dacă ar fi aliniate ar acoperi o distanță de 60 kilometri. Setul original a fost distrus de un incendiu în anul 1232, dar a fost refăcut integral începând cu anul 1237. Deși au o vechime de peste 750 de ani, plăcuțele sunt într-o stare de conservare excepțională. Colecția actuală include cărți scrise între anii 1064 și 1514.

Cetatea Kievului (1017-1024) - Zidurile de piatră ale cetății se întindeau pe o lungime de 3,5 kilometri, cu turnuri de apărare din 50 în 50 de metri. Principalele fortificații erau însă din bârne de stejar. Intrarea principală se făcea prin Poarta de Aur a Kievului, unde intrarea era străjuită de Biserica Turnului, inclusă în fortificație pentru a asigura protecția orașului și prin intervenție divină.

Shen Kuo (1031-1095) - Fiu al unui funcționar guvernamental de rang mic, a avansat destul de greu în carieră, doar prin merite personale. A ajuns comandant militar, director al lucrărilor hidraulice și șef al Biroului de Astronomie. Este primul inginer din istoria Chinei, care a descris proiectul unui doc uscat pentru

98 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

construcția de nave gabaritice. A făcut experimente optice cu lentile și o cameră obscură primitivă pentru a observa punctul focal al lentilelor concave. Este primul care a descris busola magnetică, utilizând un ac din fier magnetizat prin frecare.

Marea Schismă (1054) - În anul 1053 bisericile bizantine din Sudul Italiei au fost închise sau obligate să citească Liturghia în limba latină. Ca răspuns, Patriarhul Ecumenic al Constantinopolului, Michael Cerularius, a închis toate bisericile latine din Constantinopol. Legatul Papal și Patriarhul s-au excomunicat reciproc în cursul întâlnirii de reconciliere. Începând cu anul 1054, cultele ortodox și catolic s-au scindat pentru totdeauna, în ciuda unor repetate tentative de reconciliere.

Omar Khayyam (1048-1131) - S-a născut la Nishapur, în provincia Khorasan, un centru important al religiei Zoroastriene, fiu al unei familii nobiliare. A scris în anul 1070 un tratat de algebră, sub patronajul guvernatorului din Samarkand. În anul 1074, Sultanul Malik Shah l-a invitat să înființeze un observator astronomic la Isfahan. Împreună cu alți șapte astronomi a colaborat la alcătuirea calendarului Jalali, aflat în uz în Iran până în prezent. Apoi a fost astrologul Sultanului Ahmad Sangar din Marv. A scris trei lucrări de matematică: comentarii la postularele lui Euclid, soluții pentru calculul ariei unui sector de cerc și probleme de algebră. Contribuția sa originală se referă la o soluție a ecuațiilor cubice, folosind secțiuni conice. Este însă celebru doar pentru catrenele sale, publicate în peste 300 de ediții.

Rani ki vav (1063) - Este o imensă fântână în trepte săpată în malul râului Saraswati (India) începând cu anul 1063, în amintirea Regelui Bhima (1022-1064). Lucrările au durat 20 de ani și au fost comandate de soția lui, Udayamati și de fiul lui, Regele Karna (1064-1092). Fântâna are 65 metri lungime, 20 metri lățime și 28 metri adâncime, iar bazinul de acumulare a apei are suprafața de 9,5 x 9,4 metri și adâncimea de 5 metri, pentru un volum total de circa 500 metri cubi. Pereții laterali sunt tapetați cu blocuri de piatră, împodobite cu arabescuri și circa 500 de statui în baseorelief ale zeilor: Varaha, Vaman, Rama, Kalki, Ganesha sau Mahsish.

Universitatea din Bologna (1088-1158) - Fondată de o breaslă a studenților, cea mai veche universitate din lume are pe balzon motto-ul "Alma Mater Studiorum". Actul de fondare (Authentica habita) a fost eliberat de Împăratul Frederick I Barbarossa în anul 1158, dar instituția era deja în funcție cu titlul de societăți pentru ajutor mutual între studenții străini ai diferitelor națiuni. Primele secții au fost pentru facultățile de: drept canonic, drept civil, notariat și arte liberale.

Universitatea Oxford (1096-1167) - Nu se cunoaște cu exactitate data fondării dar prima atestare documentară este din anul 1096. Studenții s-au asociat în două Colegii, organizate după orginea lor. Cele două colegii se numeau: Boreales (Anglia de Nord și Scoția) și Australes (Anglia de Sud și Țara Galilor). Importanța acestui centru de educație a crescut după anul 1167, când Regele Henric Plantagenet II a interzis studenților să mai studieze la Universitatea din Paris.

Palatul Symbaoe (sec XI-XIV) - Palatul Zimbabwe este o structură încercuită cu zid de piatră, cu suprafața totală de circa 730 de hectare, construită pentru a delimita teritoriul unui rege local. Construcția a durat mai bine de 300 de ani, iar în unele porțiuni zidurile ating înălțimea de 11 metri. În interior s-au descoperit resturi de ceramică chinezească și monede din Arabia, semn că orașul era un important centru comercial, conectat la traseul caravanelor. Cert este că era un important centru minier, din care se estimează că s-au extras în cursul veacurilor mai bine de 20 milioane de uncii de aur.

Controversa Investiturii (sec XI-XIII) - La sfârșitul secolului al XI-lea, Papa Grigore al VII-lea (1073-1085) a contestat dreptul regilor și al împăraților de a numi reprezentanți ai clerului pentru funcțiile de episcop. Acest conflict de la cel mai înalt nivel al societății aristocratice a continuat apoi mai bine de două secole și a implicat numeroși regi, împărați sau Înalți Pontifi. Conflictul s-a finalizat prin separarea puterii

99 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

celeziastice de cea seculară. Înaltul Pontif a obținut dreptul de a numi reprezentanții clerului, împăratul și-a menținut dreptul de a decide asupra proprietăților funciare ale fiecărei episcopii. Contabilitatea tuturor proprietăților se ținea astfel "la partidă dublă", cu aproape trei sute de ani înainte de inventarea sistemului.

Academia Donglin (1111 en) - Cunoscută și sub numele de Academia Guishan, a luat ființă în timpul dinastiei Song, prin strădania educatorului neo-Confucianist Yang Shi. Numele provine de la Templul Donglin, situat la baza Muntelui Lu din Juangxi, unde Yang Shi a primit învățăturile lui Confucius, transmise apoi discipolilor lui, din generație în generație.

Puțurile Quanat (sec XII) - Sunt o serie de puțuri și galerii săpate în pământ pentru extragerea și transportul apei, din pânzele freatice la câmpurile de bumbac. Acest sistem primitiv de irigație a fost descoperit în primul mileniu înaintea erei noastre, dar a atins maximum de dezvoltare în secolul al XII-lea, când doar în Iran s-au săpat circa 50 000 de astfel de amenajări hidrodinamice. Cel mai vechi și cel mai mare este cel din orașul Gonabad, cu o vechime de circa 2700 ani, săpat până la o adâncime maximă de 360 metri, cu o lungime totală a galeriilor de circa 45 km.

Angkor (1115-1142 en) - Capitala Imperiului Khmer include un templu Budist din piatră, întins pe o suprafață de 162,6 hectare, cel mai mare templu din lume. Dedicat inițial Zeului Vishnu, treptat a devenit templu Budist. Construcția a început în anul 1223, în timpul domniei Regelui Suryavarman (1113-1150) și s-a sfârșit 27 de ani mai târziu, imediat după moartea regelui. Zidul exterior are 1024 x 802 metri și înălțimea de 4,5 metri iar construcția centrală are 187 x 215 metri, cu un turn central înalt de 65 metri.

Bhaskara (1114-1185) - S-a născut în familia brahmanului Deshastha Rigvedi, aflată timp de mai multe generații în fruntea observatorului astronomic din Ujjain. A scris patru lucrări de matematică. Prima se referă la calcule și progresii, măsurători și permutări circulare. A doua discută ecuațiile cu soluții nedeterminate și soluțiile prin numere negative. Cea de a treia lucrare se referă la mișcarea planetelor, iar cea de a patra la geometria sferelor și sinusul unghiurilor. Printre contribuțiile originale este o soluție pentru ecuațiile de gradul doi cu două necunoscute, de tip axx + bx + c = y. A scris și un tratat complet de astronomie, o sinteză a datelor cunoscute în epoca sa.

Împăratul Manuel Komnenos (1118-1180) - În timpul acestui împărat al Bizanțului, orașul Constantinopol a devenit cel mai important centru comercial al lumii cunoscute. Doar din taxele vamale percepute în porturile orașului se percepeau 20 000 de hyperperi pe zi, adică 3,6 milioane de hyperperi anual. Printre aliații din Est ai Împăratului Manuel Komnenos s-au numărat Prințul Yuri Dolgoruki de Suzdal și Prințul Vladimirko al Galiciei.

Universitatea din Salamanca (1134-1218) - Universitatea s-a format pe lângă Catedrala Vieja de Santa Maria, fondată în secolul al XII-lea de Episcopul Jerome de Perigord. Episcopul a fost unul dintre companionii lui Rodrigo Diaz de Vivar (El Cid), autor al volumului "Historia Roderici" și al poemului "Cantar de mio Cid". Documentul fondator a fost semnat de Regele Alfonso IX, în anul 1218. Titlul de universitate a fost emis de Papa Alexandru IV, în anul 1255.

Universitatea din Paris (1150-1793) - În anul 1150, pe lângă Catedrala Notre Dame funcționa o înaltă școală și o corporație a studenților și profesorilor. Titlul de universitate a fost legiferat în anul 1200, printr-un document semnat de Regele Philippe Auguste, pentru dreptul de a elibera diplome de absolvire. Universitatea avea patru facultăți: Teologie, Drept, Medicină și Arte. Legiferarea a venit apoi în anul 1215, printr-o bulă papală semnată de Papa Innocent al III-lea. Apoi, legatul papal Robert Courcon a stabilit noul regulament pentru corpul profesoral. Facultatea de teologie este mai cunoscută sub numele de Colegiul Sorbona, după numele colegiului fondat de preotul Robert de Sorbon, capelanul Regelui Ludovic al IX-lea.

100 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Sultanul Kilij Arslan II (1156-1192) - Aflat în fruntea Sultanatului Seljukid, la 17 Septembrie 1176 a reușit să învingă o armată bizantină formată din 40 000 de luptători, 3000 de care și sute de mașini de luptă. Chiar dacă în fruntea armatei bizantine se aflau Împăratul Manuel Komnenons și toată floarea cavalerilor cruciați, victoria din trecătoarea de la Myriokephalon a aparținut turcilor, cei care au valorificat avantajul terenului. A fost prima mare victorie a unui Sultan în fața unui Împărat Bizantin.

Leonardo Fibonacci (1170-1250) - Fiu al unui negustor din Pisa, a copilărit în Algeria, la Bugia, unde familia lui deținea un post comercial iar arabii îl amețeau cu calculele lor complicate. A învățat numerele arabe și în anul 1202 a scris un tratat intitulat Cartea Abacului ("Liber Abaci"). A descris sistemul arab de numerație și metodele de conversie între cifrele latine și cele arabe. Folosind exemple din activitatea comercială, a exemplificat apoi diferite calcule și soluții pentru problemele uzuale. De exemplu, celebra serie de numere, în care fiecare număr este suma celor două numere precedente, reprezenta doar creșterea în progresie a unei populații de iepuri. În anul 1240, a fost primit și sărbătorit la Pisa de însuși Împăratul Frederick al II-lea.

Templu Nataraja (sec XII) - Primele centre de educație susținute de regii Indiei au fost organizate încă din secolul al X-lea, din timpul dinastiei Rastrakuta, apoi de membrii dinastiei Chola. Templul de la Nataraja este un exemplu reprezentativ al unei astfel de școli, cu 20 de bibliotecari, dintre care 8 se ocupau exclusiv cu copierea manuscriselor iar alți 2 erau responsabili pentru verificarea lor. Restul se ocupau de administrație, cult religios și de alte obligații ale templului.

Qin Jiushao (1202-1261) - Membru al unei familii nobile, a deținut diferite poziții în aparatul administrativ al mai multor provincii din China. În anul 1247 a scris un "Tratat Matematic în Nouă Secțiuni" cu următoatele capitole: 1.Ecuații nedeterminate 2.Fenomene Cerești 3.Suprafețe de teren 4.Prospecțiune 5.Impozitare 6.Depozitarea cerealelor 7.Construcții utilitare 8.Chestiuni miliare 9 .Preț și profit. Fiecare capitol, conține la rândul lui câte nouă probleme și soluționarea lor. Printre altele, a inventat primele pluviometre din bambus, pentru măsurarea volumului de precipitații.

Li Jingzhai (1192-1279) - S-a născut în provincia Daxing (Beijing), ca fiu al unui funcționar militar din armata Jurchen. La vârsta de 38 ani a devenit prefect în provincia Henan. Apoi în anul 1248 a scris lucrarea sa cea mai cunoscută, intitulată "Marea Oglindă pentru Măsurători Circulare", o colecție de 170 de probleme de algebră și geometrie. În anul 1257 a fost chemat la curtea lui Kublai Khan, unde a scris un nou tratat denumit "Noi Pași în Calculație". Din anul 1264 a fost profesor la Academia Hanlin. Într-o lucrare despre astronomie a propus pentru Pământ o formă sferică, în locul celei plane, argumentând că: "dacă Pământul ar fi plat, astrele nu ar apune la orizont niciodată".

Fujian Tulou (sec XII-XX) - Sunt niște fortificații din argilă, de formă circulară sau rectangulară, ridicate de poporul Han din China Medievală, folosind doar o tehnologie moștenită din epoca neolitică. Pereții cu grosimea de circa 1,8 metri sunt zidiți din pământ tasat, cu o armătură formată din piatră, bambus și lemn. Cu înălțimea de 10-12 metri (3-4 etaje), aceste fortificații adăposteau comunități de circa 800 persoane (un sat întreg). În regiunea Fujian au rămas în picioare 46 de astfel de fortificații, denumite tulou. În total, ansamblul monumentului istoric acoperă o suprafață de circa 152 hectare.

Muhammad Hasan al-Tusi (1201-1274) - Fiu al unui lider religios din provincia Khorasan, a primit cea mai aleasă educație a timpurilor sale. A scris peste 150 de lucrări, dintre care 25 în limba persană și restul în limba arabă. Dintre acestea: un tratat de trigonometrie în cinci volume, un tratat de astronomie și un manual despre astrolab. În anul 1259, a condus șantierul pentru construcția observatorului astronomic din Marageh, finanțat de hanul mongol Hulagu Khan. Întins pe o arie de 350 x 150 metri, pe lângă un imens ceas solar, observatorul avea inclusă o bibliotecă de 330 metri pătrați, formată din peste 400 000 texte despre astronomie și astrologie. Pentru calculul poziției planetelor inferioare, astronomul persan a inventat un aparat (astrolab) format din

101 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

două cercuri, denumit și cuplul Tusi, în care cercul cel mic se rotește pe circumferința cercului mare pentru a descrie prin razele sale niște orbite eliptice.

Universitatea Palencia (1208-1212) - A fost fondată de Regele Castiliei Alfonso VIII de Ivrea, la cererea Episcopului Tello Tellez de Meneses, cu profesori aduși din Franța și Italia. Printre studenți s-au numărat personaje ilustre ca: Sfântul Dominic, Sfântul Julian de Cuenca și Sfântul Peter Gonzalez Telmo. La 14 Mai 1263 Papa Urban IV a eliberat o bulă prin care oferea universității privilegii egale cu cele ale universității din Paris.

Universitatea Cambridge (1209-1231) - Universitatea a luat ființă ca asociație studențească, după ce un număr de studenți s-au refugiat aici de la Oxford, ca urmare a unor tulburări politice locale. Actul fondator a fost eliberat în anul 1231, de Regele Henric al III-lea de Winchester, simultan cu o scutire de taxe. În anul 1233, Papa Grigore al IX-lea a eliberat o bulă prin care garanta absolvenților de la Cambridge dreptul de a preda oriunde în lumea creștină. Într-o scrisoare din anul 1290, Papa Nicolae al IV-lea amintește școala de la Cambridge cu titlul de "studium generale".

Timbuktu (1213) - Regatul Timbuktu a fost denumit după orașul cu același nume din Mali, fondat de Împăratul Mansa Suleyman, într-o depresiune dintre dunele de nisip. La 9 kilometri distanță a fost excavat un tell neolitic, locuit încă din secolul al V-lea îen. În secolul al XII-lea, Timbuktu era un important centru comercial cu circa 10 000 de locuitori. Inedite sunt numeroasele construcții tradiționale din lut și chirpici, susținute de o armătură din bușteni și bârne. Dintre acestea, 3 moschei și 16 mausoleum-uri au fost declarate monument istoric al patrimoniului universal.

Universitatea Padua (1222) - A luat ființă după ce un grup de studenți, împreună cu profesorii lor, au părăsit Univesitatea din Bolonia pentru a avea mai multă libertate de gândire (Libertas scholastica). Prima atestare documentară este din anul 1222. Primele studii au fost în drept canonic și drept civil. Secția de astronomie a luat ființă în anul 1399, când la Universitatea Aristarum s-au format și secțiile de filozofie, dialectică, gramatică, medicină și retorică.

Universitatea din Napoli (1224-1258) - A fost fondată de Împăratul Romanilor Frederick al II-lea, la data de 5 Iunie 1224, cu scopul de a instrui personalul birocratic pentru Curia Regis. Este prima universitate ctitorită din prima zi de un înalt funcționar al statului. Printre primii profesori s-a numărat pastorul Dominican Ioan, de la Biserica Sfântul Julian, iar printre primii studenți s-a numărat doctorul în teologie Tommaso d'Aquino (1225-1274), devenit apoi la sfârșitul vieții "Regent Master" al universității mamă.

Universitatea Siena (1240) - A fost amintită documentar pentru prima dată în anul 1240, când magistratul orașului, Ildebrandino Cacciaconti, a semnat un document pentru impunerea de taxe celor care ofereau găzduire studenților de la "Studium Senese". Din banii colectați, se plăteau salariile profesorilor de la instituția de învățământ. În anul 1252, Papa Innocent IV a eliberat o bulă prin care a scutit studenții și profesorii de la plata oricăror taxe. Studenții erau scutiți de muncă fizică, de serviciul militar obligatoriu și de serviciul de patrulare nocturnă. Printre primii profesori s-a numărat logicianul Pietro Ispano, devenit apoi Papa Ioan XXI.

Zhu Shijie (1249-1314) - Matematician din timpul dinastiei Yuan, s-a născut la Beijing. Dintre lucrările lui despre matematică au supraviețuit două: Introducere la Studiul Computațional și Oglinda de Jad a celor Patru Necunoscute. Primul este un tratat elementar de matematică în trei volume, cu 20 de capitole și 259 de probleme, tradus și utilizat apoi în Japonia și Koreea. Cel de al doilea, scris în anul 1303, tratează 288 de probleme de algebră superioară. Printre altele, tratatul oferă soluții pentru progresii geometrice, extragerea rădăcinii pătrate sau cubice, ecuații liniare, ecuații polinomiale. A călătorit prin China timp de 20 de ani, ca profesor de matematică.

102 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Megaliții din Insula Paștelui (1250-1500 en) - Sunt un grup de 700 statui megalitice, cu înălțimea de maxim 10 metri și greutatea de până la 86 tone. Majoritatea au însă o înălțime medie de 4 metri și cântăresc în jur de 12 tone. Cioplite primitiv, din roci vulcanice (tuff, bazalt, trahit, ponce), aceste statui străjuiesc cu privirea spre ocean insula polineziană Rapa Nui, parcă în așteptarea unor vizitatori supranaturali. Mai probabil însă, au fost ridicate pentru a alunga vizitatorii nepoftiți, pentru a semnala eventualilor navigatori că insula este locuită de oameni puternici. Uluitor este faptul că întreaga comunitate de pe insulă a trebuit să contribuie prin muncă fizică la cioplirea, transportul și apoi înălțarea acestor monumente stranii.

Universitatea Murcia (1272) - Cea mai veche universitate din Spania, a luat ființă sub denumirea Universitats Studiorum Murciana, prin bunăvoința Regelui Alfonso X al Castiliei (1221-1284). Înălțat pe tron în anul 1252, Regele Alfonso a fost iubitor de literatură, drept, istorie, muzică și astrologie fiind autorul unor poeme cantate, precum "Cantigas de Santa Maria".

Universitatea Montpellier (1289) - A luat ființă în anul 1289 în urma unui act emis de Papa Nicolae al IV-lea (1288-1292), membru al Ordinului Franciscan. Prin bulla denumită Quia Sapientia, noua universitatea s-a format pe lângă mănăstirea Benedictină prin unificarea vechilor școli deja existente în oraș: Școala Gallo Romană de retorică, Școala de Drept fondată de Placentius (1160) și Școala de Medicină fondată în jurul anului 1234. Printre studenții Universității Montpellier s-a numărat și astrologul Michel de Nostradame, doctorand în medicină.

Universitatea Coimbra (1290) - Universitatea a luat ființă la 1 Martie 1290 la Lisabona, sub patronajul Regelui Denis I, cu titlul de "Studium Generale". Primul colegiu a fost denumit "Scientiae thesaurus mirabilis". La 9 August 1290, Papa Nicolae IV a eliberat o bulă prin care a confirmat noua instituție. Două decenii mai târziu, în anul 1308, sediul universității s-a mutat la Coimbra, pe lângă Mănăstirea Santa Cruz unde funcționa o celebră școală pentru "Estudos Velhos".

Universitatea Alcala Madrid (1293) - A luat ființă la 20 Mai 1293, când Regele Sancho IV al Castiliei a semnat un document prin care i-a permis Arhiepiscopului Gonzalo Perez Gudiel de Toledo să înființeze un "Studium Generale" la Alacala de Henares (la 35 kilometri de Madrid). Începând cu anul 1500, Cardinalul Francisco Jimenez de Cisneros a construit un grup de clădiri pentru campusul universitar, cunoscut sub numele de Civitas Dei (Orașul Domnului). Universitatea s-a mutat la Madrid la 29 Octombrie 1836 prin ordinul Regentei Maria Christiana.

Universitatea Sapienza din Roma (1303) - A luat ființă printr-o bulă papală emisă la 20 Aprilie 1303 de Papa Bonifaciu al VIII-lea, cel care a supravegheat apoi personal studiile ecleziale. A fost prima universitate înfiinață sub patronajul Înaltului Scaun. În anul 1431, universitatea a fost reformată de Papa Eugen al IV-lea pentru a include patru facultăți: Teologie, Drept, Medicină și Filozofie. Pentru finanțarea studiilor, Papa Eugen a introdus o taxă specială asupra comerțului cu vin.

Universitatea Dublin (1320) - Universitatea s-a format prin strădania Arhiepiscopului Alexander de Bricknor, în urma unei notițe emise în anul 1311 de Papa Clement al V-lea (1305-1314) pentru Arhiepiscopul John de Leche. Destinatarul ordinului a murit în anul 1313, dar succesorul lui a numit procuratori și un cancelar, aflați sub jurisdicția sa personală, apoi a alcătuit statutul colegiului. Noua instituțe avea dreptul să elibereze diplome de doctor în teologie. Universitatea s-a format pe lângă Catedrala Sf. Patrick din Dublin, toți membrii universității fiind automat și canonici ai Sfintei Catedrale.

Universitatea Praga (1348) - Cea mai veche universitate din Europa Centrală a fost opera Împăratului Carol al IV-lea de Luxemburg (1347-1378), pentru noua sa capitală din Regatul Bohemiei. Documentul fondator a fost emis de Papa Clement al VI-lea iar modelul organizatoric a fost copiat după Universitatea din

103 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Paris, cu patru facultăți: Teologie, Drept, Medicină și Arte. Privilegiile și imunitățile noii instituții au fost legiferate apoi printr-o Bulă de Aur, emisă de împărat la data de 7 Aprilie 1348, în calitatea sa de Rege al Bohemiei. Primul cancelar a fost Arhiepiscopul Arnost de Pardubice, cel care a obligat întregul cler să contribuie la strângerea fondurilor necesare.

Madhava (1340-1425) - Aristocrat și negustor din orașul Kerala, situat pe coasta Indiei, a fost fondatorul unei Școli de Matematică și Astronomie, cunoscută și în Europa prin intermediul primilor misionari Jesuiți ajunși acolo de la Universitatea Manchester. Printre contribuțiile lui se numără: studiul funcțiilor infinite (sin, cos, tg, arctg), soluții pentru probleme de trigonometrie, algebră și geometrie.

Universitatea Cracovia (1364) - Universitatea Jagellonică din Cracovia a fost fondată de Regele Casimir cel Mare (1333-1370). Simultan la Congresul de la Cracovia au participat alături de Împăratul Sfântului Imperiu regii: Ungariei, Austriei, Danemarcei, Ciprului, Masoviei, Pomeraniei și Bavariei. Actul fondator a fost emis de Papa Urban al V-lea iar decretul regal a fost emis la 12 Mai 1264, pentru a garanta privilegiile noului "Studium Generale".

Universitatea Vienna (1365) - A fost ctitorită de Ducele Rudolf IV de Austria, împreună cu frații săi Ducele Albert și Ducele Leopold. Construcția a durat două decenii, iar bula papală pentru consacrarea noii facultăți de teologie a sosit abea în anul 1384, prima școală fiind deschisă în anul următor. În scurt timp a devenit cea mai mare universitate din Europa. La jumătatea secolului al XV-lea avea deja peste 6000 de studenți

Universitatea Pecs (1367) - Prima universitate din Ungaria a luat ființă prin truda Regelui Ludovic cel Mare de Anjou (1342-1382) în urma unui document emis de Papa Urban al V-lea. După câteva decenii, școala s-a divizat pentru a forma o facultate de jurisprudență și una de teologie.

Universitatea Heidelberg (1386) - A luat ființă la inițiativa Contelui Palatin de Rhin, Rupert de Wittelsbach (1356-1390), ca urmare a Schismei Papale din anul 1378. Actul fondator a fost emis de Papa Urban al VI-lea la data de 23 Octombrie 1385. Sub numele de "Studium Generale", noua școală s-a format după modelul celei din Paris, cu patru facultăți: Teologie, Drept, Filozofie și Medicină. Inaugurarea a fost marcată de o Slujbă Ponitificală, în Catedrala Sfântului Duh (Heiliggeistkirche).

Universitatea Sung Kyun Kwan (1398) - Cea mai veche instituție de învățământ superior din Coreea de Sud a fost fondată de Regele Yi Seong-gye, pentru urmașii săi, prinții Dinastiei Joseon. Sub denumirea de Institut pentru o Societate Armonioasă, mănăstirea era o scoală de literatură și învățături clasice ale lui Confucius, dar și o școală pentru știința guvernării, cu sediul în capitala țării, Hanseong (Seoul).

Castelul Tay Giai (1400-1407) - Este o fortăreață din piatră zidită de Dinastia Ho, din Vietnam. Cetatea are formă rectangulară, cu laturile de 870 metri și respectiv 883 metri, pentru o suprafață totală de 155,5 hectare. Cetatea are patru porți, dintre care cea mai mare este cea Sudică, înaltă de 9,5 metri și lată de 15,17 metri. Întregul castel a fost construit din blocuri de piatră fasonată cu dimensiunea medie de 2 x 1 x 0,7 metri.

Sultanul Fatih Mehmed II (1432-1481) - Fiu al Sultanului Murad al III-lea, cunoscut ca Mehmed Cuceritorul, la vârsta de 21 ani a Cucerit Constantinopolul cu o armată formată din 80 000 militari, 70 de tunuri mari și 320 de corăbii. A ridicat două moschei, 8 medrese, a fondat Universitatea de la Topkapi, cu o bibliotecă formată din peste 8000 de manuscrise. A adunat savanți și astronomi din toată lumea, astfel că la curtea lui matematica și astronomia au atins cel mai înalt nivel din întreaga lume otomană. Recensământul făcut la sfârșitul vieții lui a înregistrat la Constantinopol 16 324 de case, 3927 de magazine și 80 000 de locuitori.

104 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Regiomontanus (1436-1476) - Este porecla matematicianului Johannes Muller, născut la Konigsberg, student la Universitatea din Leipzig și apoi la cea din Viena, dobândită pentru că semna documentele cu numele său latinizat Ioannes de Monteregio. A ajuns și în Ungaria, unde a calculat tabele astrologice (Tabulae directionum) pentru Arhiepiscopul Janos Vitez, apoi pentru Regele Matei Corvin. În anul 1471 a observat o cometă care a apărut pe cer în prima zi de Crăciun și a fost vizibilă până în luna Martie a anului următor. Observând orbita, a calculat distanța până la cometă de circa 8200 mile, pentru un nucleu al cometei de 81 mile, dar probabil că a greșit calculul cu câteva zerouri. În anul următor, a publicat tratatul de astronomie intitulat Theoricae novae Planetarum. A scris un tratat de aritmetică și algebră intitulat "Algorithmus Demonstratus".

Luca Pacioli (1447-1517) - Călugăr Franciscan și colaborator al celebrului Leonardo da Vinci, a fost desemnat "Părinte al Contabilității" după ce a publicat o lucrare despre înregistrări contabile în dublă partidă. Prima lui carte publicată în anul 1494 la Veneția a fost "Summa de arithmetica, geometria, Proportioni et proportionalita". În anul 1509 a publicat la Veneția un tratat de geometrie intitulat Divina proportione. A mai scris și un tratat de matematică și magie intitulat "De viribus quantitatis" cu probleme și scamatorii matematice împreună cu alte numere de magie și circ (rămas nepublicat).

Universitatea Constantinopol (1453) - A fost fondată de Sultanul Mehmed Cuceritorul (1444-1481) sub denumirea de "Darulfunun" (Casa Științelor), prin transformarea unei medrese. Domeniile de studiu erau: medicina, matematica, astronomia, cartografia, geografia, istoria, filozofia, religia, literatura și dreptul.

Scipione del Ferro (1465-1526) - Fiu al unui producător și comerciant de hârtie din Bolonia, a studiat la Universitatea din Bolonia unde ]ncep\nd cu anul 1496 a fost lector în Aritmetică și Geometrie. A fost primul matematician care a oferit o soluție pentru o ecuație de gradul trei, nepublicată însă. Studiile lui au fost cunoscute doar datorită ginerelui lui, Annibale della Nave, matematician și succesor la catedra universitară.

Adam Reis (1492-1559) - Născut la Staffelsen, a studiat la Zwickau și Ertfurt, pentru a fi apoi angajat ca registrator la minele din localitatea Annaberg. A avansat apoi contabil și în final administrator financiar regional. A scris și publicat mai multe cărți cu referire la calcule aritmetice cu cifre arabe, un tratat de Algebră denumit "Coss" și o carte cu tabele pentru calculul prețurilor.

Nicolo Fontana Tartaglia (1499-1557) - A fost fiul unui factor poștal din Brescia. A studiat la Verona, apoi la Veneția și a devenit profesor de matematică la o școală elementară. În anul 1537 a publicat lucrarea "Nova Scientia", un text fundamental despre mecanică și balistică. Printre altele, a calculat traiectoria maximă a unui proiectil de tun, pentru un unghi de 45 de grade. Capodopera sa este un tratat despre numere și unități de măsură intitulat "General Trattato di Numeri et Misure" publicat în anul 1556. A mai fost: inginer constructor responsabil cu fortificațiile împotriva artileriei, prospector topograf, contabil la o bancă din Veneția.

Michael Stiefel (1487-1567) - Călugăr Augustan, apoi pastor începând cu anul 1511, s-a numărat printre susținătorii pastorului Martin Luther prin medierea căruia a fost numit pastor la Lochau (Annaburg). Pasionat de matematică, în anul 1541 s-a înscris la Universitatea din Wittenberg iar în anul 1558 a fost numit profesor de matematică la Universitatea din Jena. Dintre lucrările lui, cea mai importantă este "Aritmetica integra" (1544) în care a introdus câteva inovații privind notația matematică și o metodă standardizată pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul doi.

Mimar Sinan (1488-1588) - Fiu al unui pietrar, a îmbrățișat cariera militară și a devenit ofițer de ieniceri, apoi agă, specializat în inginerie și arhitectură. Comparat cu Michelangelo, a ridicat numeroase capodopere ale artei otomane. În cei 100 de ai de viață, ca arhitect șef al Sultanului Suleyman Magnificul a

105 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

condus lucrările la 476 de clădiri semnificative, printre care: 94 de mari moschei, 57 colegii, 52 de moschei mici, 48 de băi publice, 35 de palate, 22 de mausoleumuri, 20 de hanuri, 17 piețe comerciale, 8 poduri, 8 grânare, 7 medrese, 6 apeducte și 3 spitale.

Descoperirea Americii (1492) - La sfârșitul lunii August a anului 1492, după o scurtă escală în Insulele Canare, navigatorul portughez Christopher Columbus (1451-1506) a pornit cu trei nave spre Vest, în căutarea unui drum mai scurt spre Indiile de Est. La data de 12 Octombrie 1492, după mai bine de șase săptămâni, a acostat pe o insulă din arhipelagul Bahamas, apoi în Insula Cuba și în Insula Haiti, unde a fondat o colonie denumită Hispaniola. În următorii cinci ani a mai făcut alte trei expediții în care a explorat coasta noului continent. Pornind de la premiza că globul Terstru este sferic, navigatorul portughez a dublat astfel suprafața cunoscută a planetei.

Sultanul Suleyman Magnificul (1494-1566) - Sultan al Imperiului Otoman între anii 1520-1566, a adus sub o singură lege un popor de peste 25 milioane de suflete. După ce a cumulat toate legile și judecățile emise de sultanii precedenți a emis noul cod de legi pentru următorii 300 de ani. Protejați la curtea lui, cei peste 600 de artiști grupați în 40 de societăți au colaborat cu lucrări la numeroasele edificii fondate de sultan, dintre care de disting Suleymanye Mosque și Selimiye Mosque.

Rafael Bombelli (1526-1572) - Fiu al unui negustor de lână și al unei croitorese din Bolonia, a studiat matematica cu Pier Francesco Clementi, un inginer arhitect. Fără studii universitare, în anul 1572 a publicat un manual de Algebră pe înțelesul tuturor, scris pentru autodidacți. A fost primul matematician care a explicat comprehensibil, în propoziții simple, operațiile cu numere negative. În manual sunt incluse și operații simple cu numere complexe, prezentate ca soluții ale unor ecuații de gradul trei (restul nedefinit al unor numere care nu se împart exact).

Zhu Zaiyu (1536-1611) - Prinț al dinastiei Ming, a fost născut în orașul Quinyang din provincia Henan, ca descendent al Împăratului Hongxi. A scris zece tratate de teorie muzicală, o istorie a muzicii și dansului, o lucrare despre matematică, trei tratate de astronomie, fizică și calendare. Tot el a calculat cu exactitate durata anului solar pentru calendarul zilelor de sărbătoare utilizat în timpul dinastiei Ming.

Ludolph van Ceulen (1540-1610) - Născut în Germania, a ajuns în anul 1576 în Țările de Jos, la Delft, unde era profesor de scrimă și matematică. În anul 1600, când Prințul Mauricius de Orange a fondat Universitatea din Leiden, a fost numit profesor de matematică la Facultatea de Inginerie și Matematică, alături de cartograful Simon Fransz van Merwen. Constanta Pi a fost denumită de unii "numărul Ludolphin", după ce profesorul Ludolph van Ceulen a calculat primele 35 de zecimale corecte, înscrise pe piatra sa de mormânt.

Colegiul Sf. Paul din Goa (1542) - A luat ființă din inițiativa misionarului iezuit Francisc Xavier (1506-1552) din Navarra, trimis al Regelui Portugaliei, Ioan al III-lea de Aragon (1521-1557), în fruntea credincioșilor din colonii. În capitala Goa, Francisc Xavier a fondat Societatea lui Isus și un Seminar teologic aflat sub patronajul guvernatorului Estevao da Gama (1540-1542). Redenumit "Colegiul Sf. Paul", seminarul pregătea 450 de studenți, în clase speciale de gramatică și retorică, având o tiparniță proprie pentru materialele didactice. Câteva decenii mai târziu, în anul 1608, colegiul avea deja în pregătire peste 3000 de studenți.

Tycho Brahe (1546-1601) - A fost descendent al familiilor nobiliare: Brahe, Bille, Rud, Trolle, Ulstand și Rosenkrantz. Bunicii lui făceau parte din Consiliul Regal de la Stockolm, pe lângă Regele Gustav Vasa. A crescut în castelele Knutstrop, Naesbyhoved și Nykobing, apoi a finalizat studiile la Universitățile din Copenhaga, Leipzig și Rostock. În anul 1572, a construit un prim observator astronomic la Mănăstirea Harrevad, apoi în anul 1575, susținut de rege, a construit observatorul de pe insula Hven, denumit Uraniborg, după Urania muza astronomiei. Dintre lucrările lui mai importante sunt: "Astronomiae Instauratae

106 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Progymnasmata" și "De Mundi Aetherei Recentioribus Phaenomenis Liber Secundus". Împreună cu Johanes Kepler a publicat Tabelele Rudolphine.

John Napier (1550-1617) - Baron de Merchiston, latifundiar, și-a completat studiile universitare în Franța, apoi s-a retras la castelul familiei din Edinburgh. Cea mai importantă lucrare, intitulată "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio" (1614) include 90 de pagini de tabele logaritmice și explicații referitoare la natura logaritmilor naturali, împreună cu teoreme din trigonometria sferică. Calculul logaritmic era indispensabil pentru calculul traiectoriilor balistice. Pentru calcule rapide, Lord Napier a inventat o mașină de calcul compusă din tabele și din niște cilindri din os inscripționați cu numere, un fel de abac specializat pentru operații de înmulțire și extragerea rădăcinii pătrate. A scris un tratat de Aritmetică și Algebră intitulat "De Arte Logistica", publicat postum de un urmaș în anul 1839.

Universitatea Lima (1551) - Cea mai veche universitate de pe continentul American, a luat ființă în Peru, la San Marcos, la data de 12 Mai 1551, printr-un decret semnat de Împăratul Carol Quintul de Habsburg (1519-1556), Rege la Germaniei, Italiei și Spaniei, Arhiduce de Austria. Primele facultăți au fost cele de Teologie, Filozofie, Drept și Jurisprudență, la care s-a adăugat apoi cea de Medicină.

Universitatea Santo Domingo (1558) - Seminarul Dominican din Santo Domingo a fost ridicat la rang de universitate în urma bulei "Apostolatus Culmine" emisă de papa Paul al III-lea la data de 28 Octombrie 1538. Ca urmare, instituția a fost împuternicită cu aceleași drepturi ca Universitatea Alcala din Madrid. Sub numele de Universitatea Sfântul Tomas de Aquino, instituția nu a intrat efectiv în drepturi decât în anul 1558, în urma decretului semnat de Împăratul Carol Quintul de Habsburg (1519-1556).

Henry Briggs (1561-1630) - Născut lângă Halifax, în Yorkshire, a absolvit Colegiul Cambridge în anul 1581. În anul 1596 a fost numit profesor de geometrie la Gresham College din Londra. Fascinat de cartea despre logaritmi a lui John Napier, a publicat cu acordul autorului o completare a tabelelor logaritmice. În anul 1619 a fost numit profesor de geometrie la Universitatea Oxford, unde în anul 1624 a publicat lucrarea" Arithmetica Logarithmica", cu tabele logaritmice pentru 30 000 de numere naturale.

Johanes Kepler (1571-1630) - Născut în orașul Weil der Stadt în apropiere de Stuttgart, a fost fiul unui militar de carieră și nepotul primarului din localitate. A crescut la hanul bunicilor dinspre mamă. După educația elementară a studiat la Seminarul din Maulbronn, apoi la Universitatea din Tubingen. În anul 1596 a publicat lucrarea "Mysterium Cosmographicum" în care a corelat orbitele planetelor Sistemului Solar cu poliedre regulate înscrise în sfere. A concluzionat că există o relație matematică între dimensiunea și orbita fiecărei planete, semn că Dumnezeu a croit Universul după un plan geometric. Dintre cele 18 lucrări de astronomie publicate în următoarele trei decenii mai importante au fost: "Astronomiae Pars Optica", "Astronomia Nova", "Ephemerides nouae motuum coelestium", "Epitome astronomiae Copernicanae", "Harmonices Mundi" și "Tabulae Rudolphinae" (un catalog cu tabele pentru poziția planetelor și stelelor).

Universitatea Olomuc (1575) - Cea mai veche universitate din Moravia a luat ființă prin truda Ordinului Iezuit, cu patru facultăți: Teologie, Filozofie, Drept și Medicină. Episcopul Vilem Prusinovsky a invitat călugării iezuiți la Olomuc, după ce Universitatea din Praga și majoritatea școlilor din Cehia au adoptat credința protestantă a Hussiților. Inițial a fost un Colegiu Iezuit, apoi un Seminar Teologic, o Academie a Nobilimii, pentru ca în final să primească statutul de Universitate.

Universitatea Bogota (1580) - Cea mai veche universitate din Columbia a luat ființă ca instituție de învățământ superior a Ordinului Dominican, la data de 13 Iunie 1580, sub denumirea de Universitatea Sfântul Tomas de Aquinas.

Universitatea Cluj (1585) - A luat ființă sub numele de Collegium Academicum Claudiopolitanum, din

107 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

inițiativa Principelui Ștefan Bathory de Transilvania, Rege al Poloniei și Mare Duce al Lituaniei (1571-1586). Sub conducerea preotului iezuit Jakub Wujek, universitatea a debutat cu 230 de studenți împărțiți în șase clase. Educația exclusiv teologică se făcea în limba latină.

Rene Descartes (1596-1650) - Născut în Franța la La Haye, fiu al unui parlamentar din Rennes, a studiat la un colegiu Jesuit, apoi la Universitatea din Poitiers, pentru a obține o diplomă în drept canonic și drept civil. Apoi s-a înrolat în armată și a studiat ingineria militară la Universitatea Leiden. De numele lui se leagă sistemul de axe de coordonate geometrice, denumite axe "Carteziene". În anul 1637 a publicat lucrarea "La Geometrie", ca appendix la tratatul "Discours de la methode". Lucrarea este inedită pentru că și-a propus să îmbine algebra cu geometria, pentru a obține ceea ce în prezent numim geometrie analitică. Lucrarea include probleme rezolvabile doar cu ajutorul liniilor și al cercurilor. A mai publicat alte 12 cărți cu subiecte variate.

Universitatea Graz (1585) - Fondatorul acestei instituții a fost Arhiducele Karl Franz Habsburg de Austria (1564-1590). A fost consființită la 15 Aprilie 1586, printr-un document emis de Papa Sixtus al V-lea. Până în anul 1827 universitatea a aparținut de Biserica Romano-Catolică

Yoshida Mitsuyoshi (1598-1672) - Nobil din perioada marilor shoguni din Edo, este autorul celui mai vechi text de matematică din Japonia. Lucrarea lui intitulată Jinkoki, a fost scrisă în anul 1627 și se referă la operații efectuate cu abacul, inclusiv extragerea rădăcinii pătrate sau cubice.

Gilles Personne de Roberval (1602-1675) - Născut la Roberval, lângă Beauvais, la vârsta de 29 ani a fost numit profesor de filozofie la Colegiul Gervais din Paris, apoi în anul 1633 a fost numit profesor de matematică la Colegiul Regal al Franței. Condiția era să propună probleme de matematică și să demisioneze atunci când cineva va oferi o soluție mai bună decât a lui. Și-a păstrat postul timp de 42 de ani. Printre preocupările lui au fost: calculul infinitezimal, cuadratura suprafețelor sferice, derivarea unor linii curbe din alte linii curbe dar și o încercare de sistematizare a Universului.

Pierre de Fermat (1607-1665) - Fiu al unui negustor bogat, consilier al localității Beaumont de Lomagne din Sudul Franței, a studiat la Colegiul din Navarra, apoi la Universitatea din Orleans și la cea din Bordeaux, pentru a ajunge consilier în Parlamentul de la Toulouse. Pionier al geometriei analitice, a imaginat primele soluții pentru calculul derivatei funcției în punctele de maxim și minim, fiind astfel unul dintre inventatorii calculului diferențial. A avut numeroase contribuții și în teoria numerelor unde a emis principii și teoreme. Problemele dezbătute de el în corespondența cu Blaise Pascal au condus la fundamentarea teoriei probabilităților.

Universitatea Pontificală Santo Tomas din Philippine (1611) - Cea mai veche universitate din Asia a fost fondată de Arhiepiscopul de Manila, Miguel de Benavides, un misionar Dominican sosit în insule în anul 1587. La moartea sa din anul 1605, Arhiepiscopul a lăsat biblioteca și întreaga sa avere (1500 pesos) pentru ridicarea unei școli. Documentul fondator a fost emis în anul 1609 de Regele Philip al III-lea (1598-1621), iar actul notarial a fost emis la 28 Aprilie 1611 de notarul Juan Illian. Noua școală se numea Colegio de Nuestra Senora del Santisimo Rosario. A fost apoi ridicată la rang de universitate în anul 1645, printr-un act emis de Papa Innocent al X-lea.

Universitatea Cordoba (1613) - Cea mai veche universitate din Argentina a luat ființă sub numele de "Collegium Maximum" prin strădania călugărilor iezuiți din Societatea lui Isus. Actul fondator a fost emis de Papa Grigorie al XV-lea, la data de 8 August 1621. Părintele Pedro de Onate, aflat în fruntea iezuiților, a fost numit în fruntea noii instituții. În primii 150 de ani de existență, studiile s-au axat exclusiv asupra problemelor de teologie și filozofie (în filozofie era inclusă și matematica). Prima școală secundară din Cordoba a luat ființă în anul 1687, sub numele de Nosta Dona de Montserrat, transformată apoi în Colegiul

108 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Montserrat.

John Wallis (1616-1703) - Născut în familia reverendului John Wallis, a studiat la școlile din Ashford, Tenterden, Felsted, apoi la Colegiul Cambridge. A obținut un post de scrib la Catedrala Westminster, apoi a fost capelan la St Gabriel Fenchurch din Londra. În anul 1649 a fost numit profesor de Geometrie la colegiul Oxford, iar în anul 1660 s-a numărat printre membrii fondatori ai Royal Society (Academia de Științe a Angliei). Dintre lucrările publicate semnificative sunt: "Treatise on the Conic Sections" (1655), "Arithmetica Infinitorum" (1656), "Algebra" (1685), "Opera Mathematica" (1695).

Nicholas Mercator (1620-1687) - Născut în Germania în regiunea Schleswig Holstein, a studiat la Universitățile din Rostok și Leyden, apoi a fost lector la Universitatea din Copenhaga. În anul 1666 a fost ales membru la Royal Society unde a prezentat principala sa lucrare despre logaritmi, denumită "Logarithmo-tehnia". Alte lucrări interesante au fost: "Institutionum astronomicarum", "Hypothesis astronomica nova", "Philosophical Transactions of the Royal Society".

Blaise Pascal (1623-1662) - A început studiile cu tatăl său, Etienne Pascal, judecător local și colector de taxe în localitatea Clermont Ferrand. La vârsta de 19 ani a inventat și construit un calculator mecanic, capabil să execute operațiile de adunare și scădere. Opt astfel de calculatoare s-au păstrat până în zilele noastre, patru dintre ele la Muzeul de Arte și Meserii din Paris. Prima lucrare publicată a fost "Traite du triangle arithmetique" (1654) urmat de lucrarea "De l'Espirit geometrique" (1657), apoi "De l'Art de persuader" (1658). Pasionat de hidrodinamică și mecanica fluidelor, a inventat o presă hidraulică și o seringă. Dintre științele sociale a demonstrat preocupare pentru religie, filozofie și literatură.

Universitatea Sucre (1625) - Prima universitate din Bolivia a fost fondată de Regele Spaniei, Felipe Domingo de Habsburg (1621-1665), cu acordul Papei Innocent al XII-lea. A fost denumită inițial Universitatea Regală și Pontificală din Chuquisaca. În unele documente este însă amintită ca "Universidad de Charcas". Destinată familiilor bogate, instituția oferea pregătire în drept și teologie.

Colegiul Movilă (1631) - În toamna anului 1631, arhimandritul Mănăstirii Kievo Pecerska, Petru Movilă, a format o școală teologică, apoi un Colegiu Teologic prin fuzionarea cu Școala Frăției din Kiev. Din anul 1701, Colegiul Movilă a primit numele de Academia Kievo Movileană, cu clase de studiu pentru: gramatică, poetică, retorică, filozofie și teologie. Studiile durau 12 ani și erau deschise tuturor păturilor sociale, cei săraci fiind susținuți prin burse comunitare. Studiile se făceau în limbile: slavonă, greacă, ukraineană veche, poloneză, germană, rusă, franceză și latină. Școala avea în fiecare an circa 2000 de studenți, veniți din țară și de peste hotare.

Taj Mahal (1632) - Împăratul Mughal Shah Jahan (1628-1658) a construit acest mausoleum din marmură albă pentru soția lui, Mumtaz Mahal, stinsă din viață în timp ce dădea naștere celui de al paisprezecelea copil al lor, o fată pe nume Gauhar Ara Begum. Monumentul este mărturia dragostei nepieritoare a lui Shah Jahan pentru mama copiilor lui. Complexul desfășurat pe 17 hectare include o moschee înaltă de 73 metri și a cumulat munca unei echipe formate din 22 000 lucrători și 1000 de elefanți. În prezent este loc de pelerinaj pentru circa 7 milioane de vizitatori, anual.

Cristopher Wren (1632-1723) - Tatăl lui a fost preot la Capela St George de la castelul Windsor. A studiat la Școala Westmninster, apoi a Colegiul Oxford. În anul 1657 a fost numit profesor de astronomie la Colegiul Gresham, trei ani mai târziu a fost membru fondator al Royal Society, iar în anul 1661 a fost numit profesor de astronomie la Colegiul Oxford. Mason și Mare Maestru al lojei de la Catedrala St Paul, după incendiul din anul 1666 s-a implicat profund în procesul de reconstrucție. A mai participat la refacerea a peste 52 de clădiri importante din Londra, printre care: Catedrala St Paul, Colegiul Regal Naval din Greenwich, Observatorul Regal din Greenwich, Palatul Hampton, Biblioteca Colegiului Trinity, Spitalul Chelsea, Palatul

109 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Kensington.

Universitatea Cambridge Massachusetts (1636) - Cea mai veche universitate din SUA a luat ființă sub numele de "Newe College" la inițiativa coloniștilor din Massachusetts Bay Colony, ca urmare a unei decizii luate de "Great and General Court". Noua școală s-a format pe lângă Biserica Puritană a Angliei, al cărei pastor local era Thomas Shephard (1605-1649). După doi ani, numele noii instituții a fost schimbat în Universitatea Cambridge, în onoarea Universității Cambridge din Anglia, a cărei filiație sufragană era.

Regele Ludovic al XIV-lea de Bourbon (1638-1715) - Cel mai semnificativ exponent al dinastiei de Bourbon, a urcat pe tron la vârsta de 5 ani, pentru o domnie de aproape 72 de ani. Printre primii săi educatori au fost mama sa Regina Anna de Austria, Cardinalul Jules Mazarin și Marchizul Nicholas Fouquet. Veniturile coroanei regale însumau peste 20 de milioane de livre. Patron al artelor, a fondat "Academie d'Opera", "Academie Royale de Danse" și celebrul "Palace Versailles". În anturajul lui au prosperat arhitecți ca: Louis Le Vau, Jules Hardouin Mansart, Andre Le Notre. Printre edificiile ridicate de aceștia se numără: Chateau Vincennes, Tuileries Palace, Palais du Louvre (fațada Estică), Palace des Victories, Place Vendome, Hotel des Invalides, Palace Grand Trianon împreună cu grădinile parc de la: Versailles, Chantilly, Fontainebleau, Saint Cloud, Saint Germain, Champs Elysees.

James Gregory (1638-1675) - Născut în casa unui preot al Bisericii Episcopale din Scoția, a studiat la Școala din Aberdeen și la Colegiul Marischal, apoi la Universitatea din Padua. Din anul 1668 a fost membru al Royal Society și profesor de matematică la Universitatea St Andrews, apoi profesor la Univesitatea din Edinburgh. În lucrarea "Optica Promota" a descris telescopul cu lumină reflectată, apoi a publicat două lucrări despre geometrie: "Exercitationes geometricae" (1668) și "Geometriae pars universalis" (1668).

Academia Vasiliană (1640) - Prima școală de învățământ superior din Moldova s-a format la Mănăstirea Trei Ierarhi, sub protecția și din inițiativa domnitorului Vasile Lupu (1634-1653). Alcătuită după modelul Academiei Movilă de la Kiev, de unde au venit și primii profesori, Școala Mare Domnească era cu predare în limbile slavonă și latină. După anul 1707 a fost înlocuită prin Academia Domnească din Iași, apoi din anul 1835 prin Academia Mihăileană, organizată în timpul domniei lui Mihail Sturza (1834-1849) de poetul Gheorghe Asachi.

Isaac Newton (1642-1726) - Orfan de la naștere, a fost crescut de tatăl său vitreg, reverendul Barnabas Smith. A studiat la Școala Regală Grantham din Lincolnshire, apoi la Colegiul Trinity din Cambridge, iar din anul 1672 a fost membru al Royal Society. Prima lucrare, publicată în anul 1669, a fost o analiză a ecuațiilor cu soluții infinite, în urma căreia a fost numit profesor de matematică la Cambridge. Principala lucrare, intitulată "Phiolosophiae Naturalis Principia Matematics", publicată în anul 1687, conține cele trei legi universale ale mișcării și principiile fundamentale ale mecanicii. A descris și clasificat 72 de planuri curbate rezultate din soluționarea ecuațiilor de gradul trei. Cursul său universitar, denumit "Arithmetica Universalis" a fost publicat în anul 1707. A mai publicat ale 11 lucrări științifice, în diferite domenii.

Seki Takakazu (1642-1708) - Născut la Edo (Tokyo) în Prefectura Gunma, a fost membru al clanului Uchiyama, pe lângă curtea shogunului local. În anul 1671, matematicianul Sawaguchi Kazuyuki a publicat o lucrare despre Matematica Antică și Modernă, în care a propus spre rezolvare 15 probleme de algebră. Seki Takakazu a rezolvat cele 15 probleme utilizând caracterele Kanji pentru variabile și metoda eliminării. Metoda lui de calcul și sistemul de notație au primit numele "wasan", de la cuvintele wa (japonez) și san (calcul).

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) - Tatăl lui a fost notar și profesor de filozofie morală la Universitatea din Leipzig. A absolvit Universitatea din Leipzig în anul 1664 și doi ani mai târziu a prezentat teza sa de doctorat "De Arte Combinatoria". A obținut licența de avocat la Universitatea Altdorf și a fost

110 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

numit asesor al Curții de Apel. În anul 1671 a inventat o mașină de calcul pentru cele patru operații aritmetice. Ca urmare a fost ales membru al Royal Society din Londra. Dintre numeroasele lui lucrări, cea mai interesantă este "Explication de l'Arithmeticue Binaire" (1703), în care dezvoltă sistemul de numerație binar și logaritmii în baza doi. Pionier al calcului diferențial, a introdus notația pentru integrala unei funcții și a explicat diferite concepte referitoare la reprezentări grafice: abcisa, ordonata, tangenta, coarda și perpendiculara.

John Flamsteed (1646-1719) - Fiu al unui magnat al cerealelor, a studiat la Școala locală Derby din Derbyshire, apoi la Colegiul Cambridge. În anul 1675 a fost desemnat ca astronom la Observatorul Regal, apoi a fost primit ca membru al Royal Society. A fost fondatorul Observatorului Greenwich, unde a calculat eclipsele de Soare pentru anii 1666 și 1668. A pregătit un catalog pentru 3000 de stele, denumit "Catalogus Britannicus" și un atlas al stelelor denumit "Atlas Coelestis".

Abraham Sharp (1653-1742) - Fiu de negustor, a studiat la Școala Bradford din Yorkshire și a fost pe rând negustor, director de școală la Liverpool, apoi librar la Londra. Din anul 1688 a fost acceptat la Observatorul Greenwich, unde a publicat lucrarea "Geometry Improved" și tabele de logaritmi. A contribuit și la "Atlas Coelestis", publicat în anul 1694.

Jacob Bernoulli (1655-1705) - Născut într-o familie de negustori bogați din Basel, a studiat teologia dar și matematica sau astronomia. După mai mulți ani de călătorii prin Europa, a fost numit profesor de mecanică la Universitatea din Basel. A obținut teza de doctorat cu lucrarea "Soluții pentru probleme triple de aritmetică, geometrie și astronomie", unde a abordat probleme de mecanică celestă. Din anul 1687 a ocupat catedra de matematică de la Universitatea Basel. A mai publicat lucrările: "Coronamen novi systematis cometarum" și "De gravitate aeteris". Opt dintre urmașii lui au fost distinși matematicieni și academicieni, cu numeroase contribuții la dezvoltarea științei.

Edmond Halley (1656-1742) - Fiu al unui fabricant de săpun din Haggerston, a studiat la Școala St Paul din Londra, apoi la Colegiul Oxford, unde fost studentul Astronomului Regal John Flamsteed. În anul 1703 a fost numit profesor de geometrie la Colegiul Oxford, iar în anul 1720 a fost numit Astronom Regal. În anul 1705 a publicat lucrarea "Synopsis of the Astronomy Comets" în care a calculat periodicitatea cometei ce-i poartă numele.

Guillaume de l'Hospital (1661-1704) - Tatăl lui a fost Conte de Saint-Mesme și Locotenent General în Armata Regală. Guillaume însă a abandonat cariera militară pentru cea științifică. În anul 1693 a fost primit în Academia Franceză de Științe. A fost preocupat de geometria liniilor curbe. Studiile lui s-au concretizat în volumul "Analyse des Infiniment Petits pour l'Inteligence des Lignes Courbes", publicat în anul 1696. A rămas celebru în analiza matematică pentru regula de derivare a unei funcții în punctele limită de nedeterminare (zero sau infinit).

Takebe Kenko (1664-1739) - Matematician și cartograf din timpul shogunatului Tokugawa, a întocmit în anul 1719 o hartă a Japoniei, extrem de prețuită până în zilele noastre pentru calitatea detaliilor. Printre contribuțiile lui se numără reprezentări grafice ale funcțiilor trigonometrice, prin expandarea funcției arcsin(x). A calculat și 41 de zecimale corecte pentru constanta Pi.

Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733) - Născut la Sanremo, în anul 1685 a fost acceptat în ordinul Iezuit, iar în anul 1694 a fost hirotonisit preot. A studiat la Universitatea din Torino, apoi la Universitatea Pavia. A publicat mai multe lucrări de matematică, printre care: "Quaesita geometrica" (1693), "Logica demonstrativa" (1697) , "Neo-statica" (1708).

Țarul Petru Alekseyevich Romanov (1682-1725) - Cel mai semnificativ exponent al dinastiei

111 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Romanovilor "arul Petru I a fost fondatorul Rusiei moderne. Printre educatorii săi particulari au fost: Contele Nikita Zotov, Generalul Patrick Gordon, diplomatul Paul Menesius, diplomatul Aratmon Matveev. Principala lui ctitorie este întregul oraș Saint Petersburg, perla Mării Baltice, noua capitală a imperiului, frecvent asemuită cu Noua Romă. Printre artizanii proiectului s-au numărat arhitecții: Domenico Trezzini, Jean Baptiste Alexandre Le Blond, Yuri Felten, Andreyan Zacharov, Vasily Stasov, Antonio Rinaldi, Francesco Bartolomeo Rastelii. Principalele edificii ridicate în primii ani au fost: Palatul Menshikov, Palatul Hermitage, Catedrala Petru și Paul, Colegiul Saint Petersburg (cele XII colegii), Academia de Științe.

Brook Taylor (1685-1731) - Descendent al unei familii de preoți din Cambridge, a obținut titlul de doctor în drept la colegiul din localitate, după ce a publicat lucrarea "Methodus Incrementorum Directa et Inversa". Prin teza lui a fundamentat un nou domeniu de cercetare în matematică, cel al calculului diferențelor finite. În lucrare a exprimat o funcție derivabilă ca fiind o sumă infinită de termeni, calculați din valorile derivatelor acelei funcții. Denumite serii Taylor, aceste sume exprimă esența calcului integral. Din anul 1712 a fost membru al Royal Society, iar în anul 1719 a publicat lucrarea "New Principles of Linear Perspective".

Christian Goldbach (1690-1764) - S-a născut la Konigsberg (Kaliningrad) ca fiu al unui pastor și a studiat la Universitatea Regală Albertus, din capitala Prusiei Orientale. Începând cu anul 1725 a fost profesor de matematică și istorie la Academia de Științe din Saint Petersburg. După anul 1728 a fost tutorele Țarului Petru II Alexeyevich (1715-1730). A emis celebra ipoteză: "orice număr par mai mare decât 2 poate fi exprimat ca sumă a două numere prime" (Ipoteza Goldbach). A publicat două lucrări: "De transformatione serierum" (1729) și "De terminis generalibus serierum" (1732).

James Stirling (1692-1770) - Cel de al treilea fiu al Lordului Archibald Stirling, a studiat la Colegiul Oxford, apoi a fost profesor de matematică la Veneția. A revenit la Londra în anul 1725, apoi a fost numit manager la o companie minieră unde a inventat un compresor hidraulic utilizat în minele de plumb. Principala lui contribuție a constat din cartografierea râului Clyde, în cadrul unui proiect de 10 milioane de lire sterline, pentru construcția docurilor din Glasgow.

Universitatea Virginia (1693) - Cea mai veche instituție de învățământ superior din Williamsburg (Virginia) a fost o fundație regală datorată Regelui Angliei, William Henry de Orange-Nassau Stuart (1689-1702) și soției sale Regina Mary Stuart (1689-1694) a Scoției. Clădirea colegiului a fost ridicată începând cu anul 1695, din cărămidă roșie, fiind compusă din mai multe săli de curs, birouri, un hol central, bucătărie și o capelă. Primul președinte al colegiului a fost pastorul Anglican James Blair. Colegiul a primit din primii ani un fotoliu în camera reprezentanților din Parlamentul Statului Virginia. Până în anul 1780, clădirea a fost utilizată de Camera Legislativă pentru promulgarea principalelor legi. Printre elevii colegiului s-au numărat viitorii președinți: Thomas Jefferson, James Monroe și John Tyler.

Academia Domnească București (1694) - A luat ființă sub patronajul domnitorului Constantin Brâncoveanu (1688-1714), în incinta Mănăstirii Sfântul Sava. Primele studii se făceau în limba greacă iar învățământul filozofic se făcea după cursurile lui Theophilos Korydalleus. Academia a fost apoi reorganizată în timpul domniei lui Alexandru Ipsilanti (1792-1828), pentru a deveni un centru de cultură grecească.

Universitatea Yale (1701) - La data de 9 Octombrie 1701, Curtea Supremă a Coloniei Connecticut din New Haven a eliberat "An Act for Liberty to Erect a Collegiate School", pentru educarea viitorilor pastori. Un grup de zece pastori ai Congregației Protestante, foști studenți ai Universității Cambridge Massachusetts, au donat cărțile lor pentru alcătuirea bibliotecii noului colegiu. În fruntea instituției s-a aflat pastorul puritan Abraham Pierson (1646-1707), iar numele instituției amintește de negustorul Elihu Yale, președintele Companiei West India, autor al unei donații de 560 lire sterline pentru construcția clădirii. O altă donație consistentă a sosit din Anglia, în anul 1714, constând din peste 500 de cărți de știință, literatură, filozofie și teologie.

112 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Thomas Bayes (1701-1761) - Fiu de preot presbiterian, a studiat teologia și logica la Universitatea Edinburgh. Este celebru pentru modul în care a combinat matematica cu teologia pentru a calcula probabilitatea unui eveniment, ca fiind determinată de tăria credinței în combinație cu frecvența acelui eveniment. Teoria lui a fost apoi dezvoltată de filozoful Arthur Schopenhauer (1788-1860) în celebra lucrare "Lumea ca voință și reprezentare".

Seminarul Islamic Delhi (sec XVIII) - A fost fondat de Șahul Abdur Rahim (1644-1719), un învățat islamic Sufist, autor al unei copii a Legii Islamice, tatăl filozofului Shah Waliullah Dehlawi. Patronul instituției, denumită Madrasah-i Rahimiyah, a fost Împăratul Mughal Muhi-ud-Din Muhammad (1618-1707), cel care a introdus legea islamică pe subcontinentul Indian. Ulterior, conducerea școlii a fost preluată de fiul său, apoi de urmașii acestuia, pentru a forma o adevărată dinastie de educatori.

Leonhard Euler (1707-1783) - Născut la Basel în familia unui preot reformat, a studiat la Universitatea Basel. Din anul 1727 a fost profesor de matematică la Academia de Științe din Saint Petersburg, iar din anul 1741 a fost profesor la Academia din Berlin unde a publicat lucrările: "Introductio in analysin infinitorum" și "Institutiones calculi diferentialis". Din anul 1755 a fost membru al Academiei Regale de Științe din Suedia. După anul 1766 a revenit pe post de profesor la Academia de Științe din Saint Petersburg. Multiplele lui contribuții în diverse domenii ale științei au fost colectate în 92 de volume omagiale.

Regele Ludovic al XV-lea de Bourbon (1710-1774) - Strănepot al Regelui Ludovic al XIV-lea, a urcat pe tron tot la vârsta de 5 ani, pentru o domnie de 59 ani. Educația lui a fost condusă de Ducele Francois de Villeroy și de Arhiepiscopul Andre Hercule de Fleury. Pasionat de științe, a înființat catedrele de fizică (1769) și mecanică (1773) de la College de France. În anul 1764 a suprimat Ordinul Iezuiților format din 150 de mănăstiri și 85 de colegii. Călugării izgoniți au fost însă bine primiți în Prusia și Rusia unde au format noi școli. Pasionat de astronomie, a observat trecerea cometei Halley din anul 1759, când a emis celebrul aforism: "După noi, potopul". Principalele edificii ridicate de arhitectul curții Ange Jaques Gabriel au fost: Ecole Militaire, Place de la Concorde, Place Petit Trianon, Place du Panthenon.

Mikhail Vasilyevich Lomonosov (1711-1765) - S-a născut la Mishaninskaya, în apropiere de Kholmogory (Arhanghelsk Oblast), fiu al unui comandant și proprietar de navă de pescuit. A terminat liceul la Kholmogory, apoi s-a înscris la Academia Slavă, Greacă și Latină din Moscova și la Academia Mohyla din Kiev. A continuat studiile la Academia din Saint Petersburg, unde a câștigat o bursă de patru ani la Universitatea Marburg, apoi la cea din Freiberg (Kreisstadt). În anul 1742 a devenit membru al Academiei de Științe, iar din anul 1745 a fost profesor de chimie. A mai fost membru al Academiilor de Știință din Suedia și Bolonia, apoi din anul 1764 a fost Consilier de Stat. Dintre lucrările publicate: Aspectul lui Venus tranzitând Soarele (1761), Despre Teoria Corpusculară (1770), Despre Straturile Pământului (1763), Discurs despre Meteoriți și Forțele Electrice (1753), Meditații despre Soliditatea și Fluiditatea Corpurilor (1760).

Regele Frederick II Hohenzollern (1712-1786) - Membru al unei mari familii dinastice a primit educație privată, biblioteca familiei conținând peste 3000 de volume de poezie greacă și romană, alături de filozofie franceză sau germană. Și-a completat instrucția militară având ca instructor pe Prințul Eugen de Savoia, pentru a obține gradul de Colonel al Regimentului von der Goltz. Ajuns rege a reorganizat Academia de Științe a Prusiei împreună cu întregul sistem birocratic, a fondat Societatea Regală Germană (1741), a construit Biblioteca și Opera din Berlin, a zidit palatul Sanssouci de la Potsdam, a desecat 60 000 de hectare de teren agricol.

Jean Baptiste le Rond d'Alembert (1717-1783) - Tatăl lui a fost ofițer de artilerie, iar mama a fost scriitoarea Claudine Guerin de Trencin, gazda unui celebru salon Parizian de literatură. A absolvit Colegiul Mazarin, apoi a studiat Dreptul și a devenit avocat. Pasionat de matematică, a publicat mai multe lucrări și a

113 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

fost coeditor al Enciclopediei Franceze, alături de scriitorul Denis Diderot. A fost membru al Academiei Franceze, al Academiei din Berlin și al Royal Society. Este celebru pentru formula prin care a descris unda sonoră emisă de o coardă care vibrează. Printre lucrările sale se numără: "Traite de dynamique" (1743), "Traite de l'equilibre et du mouvement des fluides" (1744), "Opuscules matematiques" (1761).

Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) - Fiica unui bogat negustor de mătase din Milano, a studiat la Universitatea din Bolonia pentru a fi prima femeie din lume care a publicat lucrări de matematică. În anul 1750, Papa Benedict al XIV-lea a numit-o pentru postul de profesor de matematică la Universitatea din Bolonia, dar numirea a rămas pur onorifică. Principala sa lucrare de matematică a fost "Institutioni Analitiche" urmată de un comentariu la "Traite analytique des sections coniques du marquis de l'Hospital".

Universitatea Saint Petersburg (1724) - A fost fondată la data de 24 Ianuarie 1724, printr-un decret semnat de Țarul Petru Romanov (1682-1725), sub denumirea de Academie de Științe. Sediul central a fost în imensa clădire a celor Douăsprezece Colegii, lungă de 440 metri. În anul 1804 a fost restructurată ca Institut Pedagogic iar după anul 1819, din ordinul Țarului Alexandru Romanov, a luat ființă Universitatea Saint Petersburg cu trei facultăți: Filozofie și Drept, Istorie și Filologie, Matematică și Fizică.

Johann Heinrich Lambert (1728-1777) - Născut într-o familie de nobili protestanți francezi, exilați în Elveția, a fost inițial funcționar la o turnătorie, editor al ziarului Basler Zeitung, apoi tutore al Conților de Salis, pentru ca în anul 1763 să fie invitat ca profesor la Academia de Științe din Berlin. A fost primul matematician care utilizat în trigonometrie funcții parabolice și a realizat proiecții plane ale segmentelor de sferă, pentru hărți ale globului pământesc la o scară foarte mare. În astronomie a publicat o teorie despre formarea Sistemului Solar ca parte a unei nebuloase în migrație.

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) - Născut într-o familie cu o lungă tradiție militară, tatăl lui a fost Trezorier la Oficiul Lucrărilor Publice din Torino. A studiat la Universitatea din Torino, apoi a fost numit de Ducele de Savoya, Charles Emmanuel, pentru postul de asistent profesor de matematică la Academia Militară din Torino. În anul 1766 a publicat "Mecanique analytique" și a devenit profesor de matematică la Academia din Berlin, unde a fost audiat frecvent de Regele Ferederick. În anul 1786 a devenit membru al Academiei Franceze de Științe, iar din anul 1799 a devenit Senator. A fost profesor de matematică la Ecole Normale, apoi la Ecole Polytechnique din Paris. A publicat 124 de lucrări științifice prezentând numeroase contribuții în matematică și astronomie.

Universitatea Pennsylvania (1740) - Universitatea statului Pennsylvania a luat ființă din inițiativa savantului și inventatorului Benjamin Franklin (1706-1790), devenit apoi președinte al statului Pennsylvania (1785-1788). Clădirea a fost ridicată în anul 1740 de arhitectul Edmund Wooley (1695-1771) iar conducerea a fost încredințată unui birou format din 24 de împuterniciți. A fost denumită succesiv Academia Philahelphia, Colegiul Philadelphia apoi Universitatea Pennsylvania.

Universitatea Princeton (1746) - Congregația protestanților presbiterieni din orașul Elisabeth (New Jersey) a fondat un colegiu privat pentru educarea viitorilor pastori în urma unui decret eliberat de Statul New Jersey, pentru ca "tinerii să studieze limbile învățaților, științele și artele liberale". Actul constituant este unic în coloniile americane prin faptul că specifică expres dreptul oricărei persoane, indiferent de religie, de a participa la pregătire. Colegiul a debutat cu 10 tineri pregătiți inițial de reverendul presbiterian Jonathan Dickinson, apoi de pastorul Aaron Burr.

Pierre Simon de Laplace (1749-1827) - S-a născut în Normandia în familia fermierului Pierre de Laplace. A studiat la Universitatea din Caen și la Școala Ducelui de Orleans din Paris, pentru a fi apoi numit profesor la Ecole Militaire. Din anul 1771 a fost membru al Academiei Franceze de Științe. Principalele lucrări publicate sunt: "Celestial Mechanics", "Exposition du systeme du monde", "A Philosophical Essay on

114 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Probabilities", "Theorie Alalytique Des Probabilities", "Breve Historia da Astronomia", "Seances des Ecoles Normales". În anul 1806 a fost ridicat la rang de Conte, iar în anul 1817 a primit titlul de Marchiz.

Caspar Wessel (1745-1818) - Născut la Jonsrud (Norvegia), fără titlu nobiliar, a studiat la Școala de pe lângă Catedrala din Oslo, apoi la Universitatea din Copenhaga. A lucrat toată viața ca topograf și cartograf. După ce a absolvit Dreptul, a fost numit Inspector Regal. Lucrarea lui principală intitulată "Reprezentarea Analitică a Direcțiilor" a fost publicată în anul 1797 la Academia Daneză de Stiințe și Litere. În lucrare a fundamentat noțiunea de vector (mărime și direcție a forței) și cea de sumare vectorială. A fost primul care a reprezentat numerele complexe sub forma unor puncte aparținătoare unui plan complex. Din anul 1815 a fost cavaler al Ordinului de Danneborg.

Adrien Marie Legendre (1752-1833) - Născut la Paris într-o familie bogată, a studiat la Colegiul Mazarin. Din anul 1770 a fost profesor de artilerie la Ecole Militaire, iar din 1795 la Ecole Polytechnique. A fost membru asociat al Bureau des Longitudes și membru al Academiei de Științe. În anul 1831 a devenit ofițer al Legiunii de Onoare. Academia din Berlin l-a premiat în anul 1782 pentru un tratat despre proiectile în medii rezistente. Principalele tratate publicate au fost: "Elements de geometrie" (1794), "Essai sur la Theorie des Nombers" (1797), "Nouvelles Methodes pour la Determination des Orbites de Cometes" (1805), "Exercises de Calcul Integral" (1811) și "Traite des Functiones Elliptiques" (1825). Alte 13 lucrări se păstrează în arhivele Academiei Regale de Științe.

Jurij Bartolomej Vega (1754-1802) - Născut într-o familie de fermieri din Zagorica, lângă Ljubljana, a studiat la Colegiul Iezuit și a devenit ofițer de navigație. Cinci ani mai târziu a fost numit profesor de matematică la Școala de Artlerie din Vienna. A participat la mai multe războaie la comanda unor baterii de mortiere. Pentru calculul tirului a publicat tabele de logaritmi complete denumite "Thesaurus Logarithmorum Completus". A mai publicat și patru volume de Lecții de Matematică. A fost membru al Academiei de Științe Practice din Mainz și al Academiei de Științe Prusace din Berlin.

Universitatea Moscova (1755) - Universitatea Imperială din Moscova a luat ființă în urma unui decret semnat de Țarina Elisabeta Petrovna Romanov (1741-1762). Decretul s-a semnat în urma unui apel făcut de Ministrul Educației Ivan Shuvalov, împreună cu savantul Mihail Lomonosov. Ceremonia festivă de deschidere a avut loc în ziua de 12 Ianuarie (25 Ianuarie pe stil nou), de ziua Sfintei Tatiana, zi sărbătorită și în prezent ca Ziua Studenților.

Paolo Ruffini (1765-1822) - S-a născut la Valentano, fiu al doctorului Basilio Ruffini din Modena și al doamnei Maria Ippoliti di Poggio Mirteto. A fost profesor de matematică la Universitatea din Modena. A publicat următoarele lucrări: "Teoria Generală a Ecuațiilor" (1799), "Soluții pentru anumite ecuații cu grad mai mare decât patru" (1802), "Algebra elementară" (1807). A demonstrat printre altele că ecuațiile cu gradul mai mare de cinci nu pot fi rezolvate prin extragere repetată de radicali.

Napoleon Bonaparte (1769-1821) - S-a născut pe insula Corsica, tatăl lui, Carlo Buonaparte, fiind reprezentatul insulei la curtea Regelui Ludovic al XVI-lea. La vârsta de 9 ani a fost înscris la școala din Autun, iar în anul următor a fost transferat la Academia Militară din Brienne le Chateau, unde s-a distins prin rezultatele la matematică. Din anul 1784 a urmat Ecole Militaire din Paris pentru a deveni ofițer de artilerie. A fost elevul lui Piere Simon Laplace. În urma Revoluției Franceze, în fruntea unei armate de 350 000 militari, a ajuns Consul, apoi Împărat al Franței. Apogeul carierei a fost în anul 1812 când a ocupat Moscova în fruntea unei armate de 450 000 de oameni. Dintre aceștia s-au mai întors însă doar 40 000. Printre reformele introduse de el se numără: Noul Cod Civil, Sistemul Unităților de Măsură, introducerea Învățământului Primar și Secundar de Stat. Ecole Polytechnique s-a bucurat de o atenție deosebită și de suportul instituțiilor militare.

115 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Farkas Bolyai (1775-1856) - S-a născut lângă Sibiu, în localitatea Buia, fiul lui Gaspar Bolyai și al Cristinei Vajna. A studiat la Colegiul Calvin din Sibiu, apoi la Colegiul Calvin din Cluj Napoca. Împreună cu Contele Simon Kemeny s-a înscris în anul 1796 la Universitatea din Jena, apoi la cea din Gottingen, unde a fost apropiatul lui Carl Friedrich Gauss. Din anul 1802 a fost profesor de matematică la Colegiul Calvinist din Târgu Mureș. Manualul lui de matematică s-a intitulat "Tentamen iuventutem studiosam in elementa matheosos".

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) - S-a născut la Auxere, fiu al unui croitor. A fost educat la o mănăstire a Ordinului Benedictin. Din anul 1795 a fost profesor la Ecole Polytechnique, iar din anul 1798 a fost secretar la Institut d'Egypte. În anul 1822 a fost numit secretar al Academie des Sciences iar din anul 1830 a fost membru al Academiei de Științe din Suedia. A dezvoltat o metodă de studiu a funcțiilor generale ca sumă a unor funcții trigonometrice, cunoscută în matematică sub numele de analiză Fourier. Printre lucrările publicate se numără: "Theorie analytique de la chaleur" (1822), "Analyse des equations determinees" (1827), "Remarques generales sur l'application du principe de l'analyse algebrique aux ecuations transcedantes" (1827).

Alexander von Humbold (1769-1859) - Membru al unei familii proeminente din Pomerania, tatăl lui a fost înalt ofițer în serviciul Ducelui de Brunswick (nașul său de botez). A studiat finanțele la Universitatea Frankfurt pe Oder, apoi biologia la Universitatea Gottingen și geologia la Școala de Mine din Freiburg. Dintre numeroasele lui lucrări publicate, cea mai amplă este un tratat în trei volume despre istoria științei intitulat: "Cosmos, o schiță pentru descrierea fizică a universului". Participant la numeroase expediții științifice, a fundamentat noi domenii ale științei cum sunt: geografia botanică, geomagnetismul, meteorologia și modificările climatice induse de activitatea umană.

Universitatea Tehnică Istambul (1773) - A luat ființă din ordinul Sultanului Mustafa bin Ahmed (1757-1774) sub numele de Școala Imperială pentru Inginerie Navală. Inițial instituția pregătea doar constructori de nave și cartografi. În anul 1795 spectrul pregătirii s-a lărgit și a cuprins toți tehnicienii militari, având ca scop primordial modernizarea armatei.

Andre Marie Ampere (1775-1836) - S-a născut lângă Lyon în familia unui negustor bogat. Din anul 1799 a fost profesor de matematică, iar după anul 1802 a fost profesor de fizică și chimie la Ecole Centrale din Bourg en Bresse. În anul 1809 a fost numit profesor de matematică la Ecole Polytechnique din Paris, iar după 1814 a fost asociat la Academie de Sciences și membru al Societății Regale de Științe din Belgia. Este cunoscut mai ales ca fizician, pentru cercetările lui privitoare la electromagnetism și ca inventator al telegrafului. Dintre lucrările publicate: "Considerations sur la theorie mathematique du jeu" (1802), "Expose des nouvelles decouvertes sur l'electricite et le magnetisme" (1822), "Theorie mathematique des phenomenes electro dynamiques, uniquement deduite de l'experience" (1826), "Essai sur la philosphie des sciences" (1834).

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) - S-a născut la Brunswick, fără titlu nobiliar. A urmat Colegiul Carolinum de la Universitatea Braunschweig, apoi cursurile de la Universitatea Gottingen, unde a primit diploma de doctor în matematică. În anul 1801 a publicat lucrarea "Disquisitiones Arithmeticae" urmată de "Theorematis arithmetici demonstratio nova" (1808). Din anul 1807 a fost numit profesor de astronomie și director al Observatorului Astronomic din Gottingen, unde a publicat lucrarea "Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum" (1809). În lucrare a introdus noțiunea de constantă gravitațională și a calculat valoarea acesteia ca fiind k = 0,017202 rad/zi, pentru cazul particular al sistemului format de Soare și Pământ. Este celebru și pentru curba probabilistică descrisă în lucrarea "Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae" (1827). A mai publicat alte 12 lucrări de matematică.

116 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Louis Poinsot (1777-1859) - Născut la Paris, a studiat la Liceul Louis le Grand, apoi la Ecole Polytechnique și la Ecole des Ponts et Chausses. A fost profesor de matematică la Lycee Bonaparte și apoi inspector general la Universite de France, membru al Bureau des Longitudes, apoi al Academie des Sciences. În anul 1846 a fost decorat cu Legiunea de Onoare, iar din anul 1852 a fost membru al Royal Society. A fost inventatorul geometriei mecanice, ca instrument pentru studiul forțelor care acționează asupra unui corp rigid. A publicat lucrări referitoare la: "Elemente de Statică" (1803), "Momentul forțelor" (1806), "Teoria echilibrului și a mișcărilor în sisteme" (1806), "Poligoane și poliedre" (1809), "Rotația Corpurilor" (1834).

Simeon Denis Poisson (1781-1840) - Fiu de ofițer, a făcut parte din prima promoție de absolvenți de la Ecole Polytechnique. A fost pe rând profesor suplinitor, profesor plin, astronom la Bureau des Longitudes, apoi profesor de mecanică rațională la Facultatea de Științe din Paris. În paralel a fost profesor și la Ecole Militaire din Saint Cyr. Din anul 1821 a primit rang de baron și a fost membru al Royal Society, apoi membru al Academiei de Științe din Suedia. Este cunoscut pentru ecuația sa referitor la presiune. Printre lucrările publicate se numără: "Traite de mecanique" (1833), "Theorie matematique de la chaleur" (1835), "Recherches sur la probabilite des jugements en matieres criminelles et matiere civile" (1837).

Bernard Bolzano (1781-1848) - Născut la Praga din părinți imigranți, a studiat matematica, fizica și filozofia la Universitatea din Praga, apoi a studiat teologia și a devenit preot catolic. Între anii 1805-1819 a fost profesor de filozofie și religie la Universitatea din Praga. A publicat mai multe lucrări de analiză matematică prin care a introdus o formalizare a noținii de limită matematică. Este cunoscut pentru celebra teoremă conform căreia între două soluții de semn contrar trebuie să se găsească o rădăcină funcției (o valoare extremă). Teorema lui are aplicabilitate practică pentru calculul orbitelor eliptice. A publicat șase lucrări printre care "Contribuții la o mai bună prezentare a matematicii" (1810).

Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - Tatăl lui, Louis Francois Cauchy, a fost un înalt funcționar guvernamental în Poliția Pariziană, apoi Secretar General al Senatului. A studiat la Ecole Centrale du Pantheon, apoi la Ecole Polytechnique și la Ecole des Ponts et Chaussees. A fost inginer de poduri, apoi funcționar în Ministerul de Interne. Din anul 1816 a fost acceptat în Academie des Sciences și a fost numit profesor la Ecole Polytechnique. A publicat 5 tratate și peste 800 de articole de știință, printre care: "Cours D'Analyse" (1821), "Le Calcul infinitesimal" (1823), "Exercices mathematiques" (1826), "Lessons sur le calcul differentiel" (1829).

August Ferdinand Mobius (1790-1868) - S-a născut la Schulpforta (Saxonia), descendent după mamă al pastorului Martin Luther. A studiat la colegiul din localitate, apoi la Universitatea Leipzig, la Universitatea Gottingen și la Universitatea Halle. Teza lui de doctorat în astronomie s-a intitulat "Ocultația stelelor fixe" (1815). Din anul 1816 a fost numit profesor de astronomie și mecanică superioară la Universitatea din Leipzig. Este cunoscut mai ales pentru exemplul său de curbare a spațiului denumit "banda Mobius" și pentru inventarea sistemului Barycentric de coordonate (față de centrul de masă al unui corp). Lucrările lui complete au fost publicate în patru volume.

Nikolai Ivanovich Lobacevsky (1792-1856) - Născut la Nizhny Novgorod, tatăl lui a fost prospector de terenuri. A studiat la Gimnaziul și apoi la Universitatea din Kazan pentru un masterat în fizică și matematică. În anul 1814 a fost atașat la Universitate ca lector, apoi ca profesor asociat de fizică, matematică și astronomie. A fost fondatorul geometriei ne-Euclidiene, denumită și geometrie hiperbolică. În esență, a transformat geometria plană în geometrie volumică, elastică, adaptabilă suprefețelor anfractuoase. Lucrarea lui de referință s-a intitulat "O prezentare concisă a fundamentelor geometrie".

Mikhail Ostrogradsky (1801-1862) - Născut la Poltava, a urmat la Universitatea Kharkov cursul de matematică susținut de matematicianul Timofei Osipovsky (1766-1832). Între anii 1822-1826 a studiat la Paris, la Universitatea Sorbonne și la College de France. La întoarcerea în Rusia a fost profesor de

117 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

matematică la Școala de Inginerie Militară și a fost membru al Academiei de Științe. A publicat două articole cu privire la integrarea fracțiilor raționale prin care a propus separarea și integrarea separată a părții raționale față de restul fracției (partea transcendentă).

Janos Bolyai (1802-1860) - S-a născut la Cluj, fiul matematicianului Farkas Bolyai și al Suzanei Benko. De la vârsta de 16 ani a fost înscris la Academia Militară Theresiană din Vienna. Singura lucrare publicată a fost o anexă la manualul tatălui său, un eseu despre geometria ne-Euclidiană intitulat sugestiv: "Știința spațiului absolut, independent de adevărul sau falsitatea postulatului lui Euclid" (1823). În urma lui au rămas însă mai mult de 20 000 de pagini în manuscris, păstrate la Biblioteca Teleky Bolyai din Târgu Mureș.

Universitatea Kharkov (1805) - Prima universitate din Ukraina a luat ființă la inițiativa lui Vasyl Karazyn (1773-1842) fost student al facultății de mine din Saint Patersburg, fost Ministru al Educației între anii 1801-1804. Discursul lui a convins nobilimea din Ukraina să fondeze o universitate cu fonduri private cu predare în limbile: rusă, latină, franceză și germană, pentru formarea viitorului aparat birocratic. Kharkov-ul a devenit astfel un centru cultural unde au activat scriitorii: Izmail Sreznevskii, Petro Hulak Artemovski, Hryorii Kvitka Osnovianenko, Amvrosii Metlynskyi, Mykola Kostomarov.

Lejeune Dirichtelet (1805-1859) - S-a născut la Duren, fiu al unui factor poștal. A studiat la Gimnaziul din Bonn, Gimnaziul Iezuit din Cologne, College de France și Faculte de Sciences. După susținerea tezei de doctorat a fost profesor la Universitatea din Breslau, apoi la Academia Militară a Prusiei. Din anul 1831 a fost transferat la Universitatea din Berlin iar din anul 1855 la cea din Gottingen. Extrem de sociabil, a fost prieten cu numeroși matematicieni, membru al Academiilor din Prusia, Rusia, Franța, Suedia, Belgia și Anglia. A publicat lucrări cu referire la seriile Fourier, numere prime ("Vorlesungen uber die Zahlentheorie"), numere complexe ("Zur Theorie der complexen Eunheiten"), teoria numerelor, analiză matematică.

William Rowan Hamilton (1805-1865) - Fiu al unui procuror din Dublin, și-a început educația la școala condusă de unchiul său în Castelul Talbot din Trim. La vârsta de 18 ani a fost acceptat la Trinity College din Dublin unde a fost adoptat ca profesor de astronomie încă din timpul studiilor. Și-a stabilit reședința în Observatorul Dunsink unde a rămas până la sfârșitul vieții, primind funcția de Astronom Regal al Irlandei. În anul 1832 a publicat lucrarea "Theory of the Systems of Rays" prin care a fundamentat caracterul de undă al radiației luminoase. Pentru o analiză mai minuțioasă a numerelor complexe, în anul 1843 a inventat noțiunea de quaternion, ca ecuație polinomică pentru definirea unui număr complex ("Lectures on Quaternions"). Din anul 1837 a fost președintele Academiei Regale a Irlandei și membru corespondent al Academiei de Științe din SaintPetersburg.

George Boole (1815-1864) - S-a născut în orașul Lincoln, fiu al unui producător de pantofi. Fără studii superioare a studiat în particular cu Thomas Bainbridge. La vârsta de 19 ani a deschis o școală proprie elementară unde a funcționat ca profesor. Din anul 1840 s-a implicat în Lincoln Topographical Society, iar în anul 1849 a fost numit profesor de matematică la Queen's College în Cork. După ce în anul 1844 a publicat lucrarea "On a General Method for Analysis" a fost premiat de Royal Society din Edinburgh și acceptat ca fellow. O lucrare de temelie a fost "The Mathematical Analysis of Logic" (1847), prin care a fundamentat ceea ce astăzi numim "Algebra Booleană". A publicat lucrări de analiză matematică: "The Treatise on Differential Equations", "Treatise on the Calculus of Finite Defferences" și "On the Comparison of Transcendent, with Certain Applications to the Theory of Definite Integrals".

George Gabriel Stokes (1819-1903) - Fiu al preotului paroh din Skreen (Irlanda), a studiat la Dublin și Bristol, iar din anul 1837 a fost înscris la Colegiul Pembroke din Cambridge. După absolvire a fost reținut ca membru al colegiului. Din anul 1849 a funcționat până la sfârșitul vieții ca profesor Lucasian la catedra de matematică. Din anul 1889 a fost numit baronet, deputat în Parlament și președinte al Royal Society. Principalele lui contribuții se referă la dinamica fluidelor, difracția și polarizarea luminii, fluorescența

118 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

naturală și spectroscopie, publicate în anul 1907 în patru volume comemorative.

Arthur Cayley (1821- 1895) - Descendent al unei familii străvechi din Yorkshire, s-a născut la Richmond dar a petrecut primii opt ani de viață la Saint Petersburg, unde tatăl lui era negustor. A urmat o școală privată, apoi Colegiul Regal din Wimbledon și Universitatea Cambridge. Timp de zece ani a fost avocat, apoi din anul 1860 a fost numit profesor Sadleirian de matematică la Universitatea Cambridge. În anul 1876 a publicat "Treatise on Elliptic Functions", iar în anul 1889 lucrările lui complete au fost publicate în patru volume. Numerose contribuții la dezvoltarea matematicii îi poartă numele.

Charles Hemite (1822-1901) - Născut la Dieuze (Moselle), fiu al unui negustor de țesături, a studiat la Nancy și Paris. Din anul 1848 a fost membru al Academiei Franceze de Științe, iar din anul 1869 a fost profesor de matematică la Universitatea din Paris. Principala lui lucrare este "Cursul de Analiză pentru Școala Politehnică" și o lucrare despre aplicațiile funcțiilor eliptice.

Colegiul Sanskrit Calcutta (1825) - A luat ființă din inițiativa Rajahului Ram Mohan Roy (1772-1833), sub patronajul Împăratului Mughal Abkar II (1806-1837), denumit inițial Hindu Vendata Sanskrit College. Sub conducerea unor instructori francezi din Clubul Iezuit, un grup de 70 de brahmani atent selecționați au fost instruiți în matematică, fizică și chimie, în special cu privire la explozivi și știința artileriei. Toate noțiunile erau traduse și consemnate într-un dialect secret al limbii sanskrite, cunoscut doar de cei inițiați. Doi ani mai târziu a luat ființă o universitate a brahmanilor pentru artele marțiale.

Bernhard Riemann (1826-1866) - A fost fiul preotului Lutheran din Breslenez (Regatul Hanovrei). A studiat la liceul din Hanovra, apoi la gimnaziul din Hansestad Luneburg și la Universitatea Gottingen, unde a fost elevul lui Friedrich Gauss. În anul 1847 a fost transferat la Universitatea din Berlin, iar în anul 1857 a fost numit profesor la Universitatea Gottingen. A publicat un articol intitulat "Despre ipotezele care stau la baza geometriei" (1854) prin care a fundamentat ipoteza geometriei ne-Euclidiene, respectiv a lansat teoria spațiilor plissate sau anfractuoase și analiza matematică a acestor spații.

Emanoil Bacaloglu (1830-1891) - S-a născut la București, fiu de preot. A absolvit liceul la Paris în anul 1857, apoi a frecventat cursuri de filozofie, geometrie analitică și analiză la Leipzig. Din anul 1859 a fost profesor de algebră și trigonometrie la Colegiul Sfântul Sava. În paralel a fost profesor de fizică la Școala Superioară de Științe și profesor de chimie la Școala Națională de Medicină din București. Din anul 1879 a fost membru al Academiei Române. Dintre lucrările publicate: "Curbura suprafețelor" (1859), "Linii și suprafețe reciproce" (1861), "Elemente de algebră" (1866), "Trisecțiunea unghiului" (1868).

Richard Dedekind (1831-1916) - Tatăl lui a fost adminstratorul Colegiului Carolingian din Braunschweig. A studiat la colegiul din localitate, apoi la Universitatea Gottingen și la Universitatea din Berlin. Lucrarea sa de doctorat s-a intitulat "Uber die Theorie der Eulerschen Integrale" (1852). Din anul 1858 a fost profesor la Școala Politehnică din Zurich, apoi din anul 1862 la Technische Hochschule din Braunschwieg. A fost membru al Academiilor de Științe din Berlin, Roma și Paris. Printre lucrările publicate se numără un eseu despre teoria numerelor, teoria integrilor algebrici, și două tratate complete cuprinzând noțiuni fundamentale de matematică.

Canalul Rideau (1832) - Acest canal cu o lungime de 202 kilometri face legătura pe apă dintre capitala Canadei, Ottawa, și lacul Ontario cu râul Saint Lawrence. Denumirea de Rideau (cortină) provine de la cele două cascade cu aspect de cortină de pe râul Rideau, ale cărui ape alimentează canalul. Pentru operarea ecluzelor, canalul utilizează anual 1,3 milioane de litri de apă. Pe apele lui pot naviga vase cu mazimum 27 m lungime, 7,9 m lățime și 6,7 m înălțime, cu o adâncime a calei de maxim 1,2 metri. Este cel mai vechi canal navigabil din America de Nord.

119 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Neculai Culianu (1832-1915) - S-a născut la Iași, fiu de preot. A început studiile la Iași, la Trei Ierarhi, apoi a frecventat cursurile de la Academia Mihăileană. Din anul 1855 a fost bursier la Paris, inițial la Liceul Saint Louis, apoi la Facultatea de Matematică de la Sorbona. Între anii 1860-1863 a lucrat la Observatorul Astronomic Paris. Din anul 1864 a fost profesor de matematică la Universitatea Iași și profesor de astronomie și geodezie al aceleiași universități. Din anul 1889 a fost membru corespondent al Academiei Române. Dintre lucrările publicate: "Aplicațiuni geometrice" (1870), "Curs elementar de algebră" (1872), "Lecțiuni de calcul diferențial și integral" (1874), "Curs de trigonometrie plană" (1894), "Curs de cosmografie" (1902).

Universitatea Kiev (1834) - A luat ființă la inițiativa Ministrului Educației Serghei Uvarov, totodată șef al Academiei Imperiale din Rusia, în cadrul unui proiect guvernamental inițiat de Țarul Nicolae Romanov (1825-1855). Primul grup de profesori a fost adus de la Universitatea Vilnius din Polonia, aflată în acel timp sub sceptrul imperial. La aceștia s-au adăugat profesorii Osyp Bodianskyi de la Universitatea din Moscova și Izmail Sreznevskii de la Universitatea Kharkov. Osyp Bodianskyi a publicat apoi, sub titlul Chteniia, 33 de volume cuprinzând material din istoria Ukrainei.

Dmitri Ivanovich Mendeleev (1834-1907) - S-a născut în Siberia, lângă Tobolsk, fiu al unui director de școală și nepot de preot. A studiat la Institutul Pedagogic din Saint Petersburg și la la Gimnaziul din Simferopol. În anul 1964 a fost numit profesor de chimie la Institutul pentru Tehnologie de la Universitatea Saint Petersburg, iar în anul următor a susținut teza de doctorat. Din anul 1892 a fost membru al Royal Society și în anul următor a fost numit director la Biroul pentru Unități de Măsură. În anul 1905 a fost ales membru al Academiei de Științe din Suedia și membru al Comitetului Nobel. Lucrări publicate: "Despre Relația dintre Proprietățile Elementelor și Masa lor Atomică" (1869), "Legea Periodică a Elementelor Chimice" (1889).

Eugenio Beltrami (1835-1900) - Fiu al unui pictor miniaturist, a studiat la Universitatea Pavia, apoi a fost secretar al unui inginer de căi ferate la Verona și Milano. În anul 1862 a fost numit profesor de matematică la Universitatea din Bolonia, apoi profesor de geodezie la Universitatea Pisa și din nou profesor de mecanică la Bolonia. Lucrarea lui "Discurs despre interpretarea geometriei ne-Euclidiene" (1868) a adus contribuții pentru dezvoltarea geometriei diferențiale. Din anul 1898 a fost senator și președinte al "Academia dei Lincei" din Roma.

Paul Tanco (1843-1916) - S-a născut la Monor (Bistrița), fiu de grănicer. A urmat studiile elementare și medii la Năsăud și Bistrița, apoi la Gimnaziul greco-catolic din Blaj. După anul 1866 a fost trimis cu bursă la Facultatea de Științe din Viena. În anul 1872 a susținut teza de doctorat în matematică și filozofie la Gratz. A fost profesor de matematică și director al Gimnaziului Năsăud. Dintre lucrările publicate: "Unitatea sistemei solare" (1875), "Poziția cosmică a cometelor" (1876), "Considerațiuni pedagogice asupra disciplinelor matematice în gimnazii" (1876), "Probleme algebrice" (1892).

Georg Philipp Cantor (1845-1918) - S-a născut la Saint Petersburg într-o familie de negustori, nepot al violonistului ungur Joseph Bohm (directorul Conservatorului din Vienna). Din anul 1856 familia lui s-a mutat în Germania unde Georg a absolvit Liceul Real din Darmstadt, apoi Universitatea Tehnică din Darmstadt. A continuat studiile la Politehnica din Zurich și la Universitatea Berlin, apoi la Universitatea Gottingen. A ocupat tot restul vieții un post de profesor la Univesitatea din Halle. Între anii 1874-1884 a fundamentat teoria seturilor de numere (domeniile de reprezentare a numerelor) printr-o serie de șase lucrări publicate în revista "Matematische Annalen". Teoria lui includea și concepte teologice, filozofice sau literare, pentru a demonstra că Dumnezeu a creat lumea după un plan ordonat matematic.

Diederik Johannes Korteweg (1848-1941) - Fiu al judecătorului din Hertogenbosch (Olanda), a sudiat la o școală militară, apoi la Politehnica din Delft. În anul 1878 a devenit doctor în matematică la Universitatea din Amsterdam cu o teză intitulată "Despre Propagarea Undelor în Tuburi Elastice". După anul 1881 a fost numit

120 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

profesor de matematică, mecanică și astronomie la Universitatea din Amsterdam. Cea mai importantă dintre lucrările sale s-a numit "Despre Schimbarea Formei Undelor Lungi". Împreună cu elevul său Gustav de Vries (1866-1934), a elaborat ecuația Korteweg - de Vries despre forma undelor lungi. Timp de 60 de ani a fost membru al Academiei Regale de Științe din Olanda.

Felix Klein (1849-1925) - Fiu al unui înalt funcționar guvernamental, s-a născut la Dusseldorf și a studiat la gimnaziul din localitate, apoi la Universitatea Bonn. Din anul 1872 a fost profesor de matematică la Universitatea Erlangen Nurnberg, apoi la Technische Hochschule din Munich (1875), la Universitatea Leipzig (1880) și la Universitatea Gottingen (1886). A fost editor la jurnalul "Matematische Annalen", una dintre cele mai prestigioase reviste din lume. Cele peste 20 de lucrări publicate și numeroasele lui contribuții au făcut obiectul unui tratat de matematică în patru volume.

Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) - Fiu al preotului paroh din Charlottenburg (Berlin), a studiat la Joachimsthal Gymnasium, apoi la Universitatea Gottingen. Din anul 1874 a fost nominalizat profesor de matematică la Universitatea din Belin iar din anul următor a fost solicitat la Institulul Politehnic din Zurich, unde a funcționat în următorii 17 ani. Din anul 1893 a fost rechemat la catedra de la Universitatea Berlin unde a fost membru al Academiei Prusace de Științe. Principalele lui contribuții se referă la teoria grupurilor (seturi de numere cu proprietăți comune). A publicat mai mult de 18 lucrări referitoare la algebră și geometrie.

Universitatea Sidney (1850) - Consiliul Legislativ al New South Wales a eliberat la data de 24 Septembrie 1850 un act de extindere a Colegiului Sidney pentru a forma Universitatea Sidney. În anul 1858 universitatea a primit permisiunea Reginei Victoria (1837-1901) împreună cu actul fondator. Instituția a fost astfel împuternicită cu drepturi egale cu cele ale universităților din Marea Britanie.

Spiru Haret (1851-1912) - S-a născut la Iași, fiu al unui executor judecătoresc. A început studiile în familie, apoi la Dorohoi, Iași și București, unde a fost intern la Liceul Sf. Sava. Din anul 1869 a fost înscris la Facultatea de Științe și în paralel a fost angajat ca profesor de matematică la Seminarul Central București. A obținut licența în anul 1974 și o bursă de trei ani la Paris, unde în anul 1877 a susținut teza de doctorat cu titlul "Despre invariabilitatea axelor mari ale orbitelor planetare". Din anul 1878 a fost profesor la Colegiul Mihai Viteazul, apoi profesor la Universitatea București, la Școala de Poduri și Șosele. Din anul 1886 a fost membru al Academiei Române. A deținut trei mandate de Ministru al Instrucției și Cultelor fiind renumit pentru reorganizarea învățământului pe baze moderne. În anul 1910 a publicat la Paris "Mecanica socială", utilizând matematica pentru a explica fenomene sociale.

Carl Lindemann (1852-1939) - S-a născut la Hanovra, tatăl lui fiind profesor de limbi străine la colegiul din localitate. După colegiu a studiat la Universitățile din Gottingen, Erlangen și Munchen. A susținut teza de doctorat la catedra lui Felix Klein cu o lucrare despre geometria ne-Euclidiană. A fost profesor de matematică la Wurtzburg, Freiburg și apoi la Universitatea din Konigsberg. În anul 1882 a publicat o binecunoscută lucrare despre transcendența numărului Pi.

Universitatea Melborne (1853) - A luat ființă în urma unui act eliberat la data de 22 Ianuarie 1853, în urma căruia instituția a primit dreptul să elibereze diplome de studiu în drept, medicină, arte și muzică. Propunerea a fost înaintată de Ministrul Finanțelor, Hugh Childers (1827-1896), cel care a alocat de la buget suma de 10 000 lire sterline și a devenit primul vice-cancelar al universității. Sediul instituției a fost inaugurat la 3 Octombrie 1855 de Sir Charles Hotham, Guvernatorul Coloniei Victoria. În primul an au fost pregătiți 16 studenți în clădirea Guvernatorului coloniei Victoria. În anul 1857 a luat ființă facultatea de Drept, urmată de Facultatea de Inginerie (1861) și de Școala de Medicină (1862).

Jules Henri Poincare (1854-1912) - S-a născut la Cite Ducale, lângă Nancy, fiu al unui profesor de medicină de la Universitatea Nancy. A studiat la Liceul și Universitatea Nancy, apoi la Ecole Polytechnique și

121 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

la Ecole des Mines. A obținut titlul de doctor cu o teză despre ecuațiile diferențiale în legătură cu mișcarea planetelor. Începând cu anul 1881 a ocupat un post de profesor de analiză matematică la Ecole Polytechnique, pe lângă postul său de inginer de mine și inspector general. Din anul 1887 a fost membru al Academiei de Științe. Printre numeroasele lui lucrări publicate se numără: "Noi Metode în Mecanica Celestă" (1892), "Intuiția și Logica în Matematică" (1900), "Fundamentele Științei" (1902), "Știință și Ipoteze" (1904), "Lecții de Mecanică Celestă" (1905), "Viitorul Matematicii" (1910), "Noua Mecanică" (1913), "Relativitatea Spațiului" (1913).

David Emmanuel (1854-1941) - S-a născut la București, într-o familie numeroasă. A început studiile la Ploiești și la liceele Gh. Lazăr și Gh. Șincai din București. Între anii 1873-1879 a studiat la Paris, la "Ecole Practique des Hautes Etudes", unde în anul 1929 a susținut teza de doctorat, cu titlul "Etude des integrales abeliennes de troisieme espece". Din anul 1881 a fost profesor de algebră și geometrie analitică la Facultatea de Științe București, apoi la Școala Specială de Artilerie și Geniu. A fost președintele primului Congres de Matematică desfășurat la Cluj la data de 9 Mai 1929. Dintre lucrările publicate: "Sur les integrales pseudoelliptiques" (1904), "Funcțiuni eliptice" (1913), "Lecțiuni de teoria funcțiilor" (1927).

Universitatea Catolică din Seul (1855) - A luat ființă prin extinderea Seminarului Sf Iosif din Baeron. În anul 1887 noul sediu a fost la Seul, instituția fiind redenumită Seminarul Sfânta Inimă a lui Isus. Începând cu anul 1936 pe lângă seminar a luat ființă un spital. Din anul 1947 a purtat denumirea de Colegiul Songsin apoi cea de Colegiu Catolic. Începând cu anul 1964 s-a asociat Colegiul Songsim pentru fete și s-a format actuala universitate.

Carl David Tolme Runge (1856-1927) - A fost fiul Consulului Danez la Havana (Cuba), născut în Cuba. După câțiva ani, familia s-a mutat la Bremen unde a urmat școala elementară. A absolvit Universitatea din Berlin unde a susținut teza de doctorat, în anul 1880, cu o lucrare de geometrie analitică. Din anul 1886 a fost profesor la "Technische Hochschule Hannover", iar din anul 1904 a fost invitat la Universitatea Gottingen. Lucrări publicate: "Analytische Geometrie der Ebene" (1908), "Vector Analysis" (1919), "Vorlesungen uber numerisches Rechnen" (1924), "Graphische Metoden" (1928).

Universitatea Lahore (1856) - A luat ființă sub denumirea de Colegiul Central Lahore primul director fiind linguistul Gottlieb Wilhelm Leitner (1840-1899), profesor de Limba Arabă și de Lege Islamică. Primul sediu a fost în palatul Raja Dhyan Singh Haveli, apoi din anul 1876 sediul a fost relocat in clădirea actuală special construită. Din inițiativa aceluiași Wilhelm Leitner în anul 1882 a luat ființă Universitatea Punjab, cea mai veche universitate din Pakistan.

Universitatea Madras (1857) - Prima instituție pentru învățământ superior a luat ființă în urma unui document semnat de guvernatorul provinciei Madras, Lordul John Elphinstone (1807-1860), în timpul Războiului de Independență din India. Primul cancelar al universității a fost Sir Christopher Rawlinson (1806-1888), judecătorul colonial aflat în fruntea Curții de Justiție. La universitate s-a afiliat și Colegiul Medical din Madras de pe lângă Spitalul Guvernamental, înființat în anul 1664. În colonie existau la acea dată 11 758 de școli și 740 de colegii, pentru cei 161 667 de elevi, dintre care 4023 erau fete.

Universitatea Keio (1858) - Localizată în cartierul Minato din Tokyo, cea mai veche universitate din Japonia a fost fondată de juristul și linguistul Fukuzawa Yukichi (1835-1901), inițial ca Școală pentru Studii Occidentale. Nucleul central al universității era format din Școala Hanilor, denumită Shinshu Kan, fondată în anul 1796. Facultatea de medicină a fost adăugată în anul 1873, iar în anul 1890 s-au adăugat facultățile de Drept, Litere și Economie. În prezent universitatea este compusă din zece facultăți: Litere, Știință și Tehnologie, Drept, Afaceri și Comerț, Medicină, Economie, Administrația Polițelor, Mediu și Studiul Informației, Îngrijiri Medicale și Farmacie.

122 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Max Plank (1858-1947) - S-a născut la Kiel, fiu al unui profesor de Drept, nepot și strănepot al unor profesori de teologie de la Universitatea Gottingen. A studiat la Gimnaziul și Universitatea Munich, apoi la Universitatea din Berlin. A obținut titlul de doctor în fizică în anul 1880, cu o teză în termodinamică. Din anul 1885 a fost numit profesor la Universitatea Kiel, iar din 1889 la Universitatea Berlin. A fost membru al Academiilor de Științe din Prusia și Olanda. Dintre lucrările publicate: "Tratat de Termodinamică" (1897), "Teoria despre Legea Distribuției Energiei în Spectrul Normal" (1900), "Entropia și Temperatura Căldurii Radiante" (1900), "Opt Lecții de Fizică Teoretică" (1915).

Canalul Suez (1859) - Canalul de navigație pentru nave maritime gabaritice, dintre Marea Roșie și Marea Mediterană, a fost construit de Compania Suez, între 25 Septembrie 1859 și 17 Noiembrie 1869, la un cost total de 8,4 miliarde de dolari. Cu o lungime totală de 193 km, canalul are lățimea de 205 metri și 24 metri adâncime. Prin acest canal traseul navelor maritime se scurtează cu circa 9000 de km. Canalul permite trecerea navelor cu lățimea de până la 77,5 metri și 240 000 tone dw, cu înălțimea de maximum 68 metri deasupra nivelului de plutire și maxim 20 m sub nivelul de plutire. Artizanul proiectului a fost diplomatul francez Ferdinand de Lesseps (1805-1894), sub patronajul Sultanului Otoman Abdulmejid I (1839-1861), al Guvernatorului Egiptului Mohamed Said Pasha (1854-1863), apoi al Khedivului Egiptului, Ismail Pasha (1863-1895).

Universitatea Iași (1860) - A luat ființă la 26 Octombrie 1860 din ordinul domnitorului Alexandru Ioan Cuza (1859-1866). Universitatea s-a format în locul Academiei Mihăilene cu trei facultăți: Drept, Filozofie și Teologie. În anul 1864 s-a asociat Facultatea de Științe Fizice, Matematice și Naturale, iar din anul 1879 s-a format și Facultatea de Medicină. Printre primii profesori au fost ardelenii Simion Bărnuțiu, Petre Suciu și Ștefan Micle. Primul corp de clădiri, Palatul Univerității, s-a construit începând cu anul 1893 după planurile arhitectului Louis Blanc.

Rikitaro Fujisawa (1861-1933) - S-a născut pe insula Sado (Japonia), fiu al unui nobil, vasal al Marelui Shogun. A studiat la Universitatea din Tokyo până în anul 1882, apoi între anii 1882-1887 a continuat studiile în Europa, la Universitățile din Londra, Berlin și Strasbourg. În anul 1886 a susținut teza de doctorat la Berlin sub îndrumarea profesorului Elwin Christoffel (1829-1900). Din anul 1887 a fost profesor de matematică la Universitatea din Tokyo. Dintre lucrările publicate: "Note on a new formula in spherical harmonics" (1888), "Researches on the multiplication of elliptic functions" (1893), "Summary report on the teaching of mathematics in Japan" (1912).

Universitatea Beijing (1862) - A luat ființă sub numele de Tongwen Guan (Școala Combinată pentru Educație), ca instituție de învățământ pentru studiul limbilor străine occidentale. Școli guvernamentale au existat în China încă din timpul dinastiei Ming (sec XV), iar primul colegiu pentru limba rusă (Eluosi Wenguan) a fost format în anul 1708. Școala a fost fondată de Dinastia Qing, după intervenția militară a Angliei și Franței din anul 1860, când occidentalii au câștigat Războiul Opiumului. Școala a debutat cu zece studenți, pregătiți de preotul misionar John Burdon. Începând cu anul 1866 pregătirea a inclus matematica și astronomia, apoi numărul studenților a crescut la câteva zeci.

David Hilbert (1862-1943) - S-a născut la Konigsberg, fiu al unui judecător și al unei fete de negustor. După Friedrichskollegium și Universitatea din Konigsberg a studiat la Universitățile din Berlin și Paris. În anul 1886 a fost numit lector la Universitatea Konigsberg, apoi profesor, iar din anul 1895 a fost profesor de matematică la Universitatea Gottingen. În anul 1899 a publicat "Fundamentele Geometriei", iar în anul 1900 a întocmit o listă a celor mai faimoase probleme de matematică. Lucrările lui cumulate au fost publicate postum în mai multe ediții.

Eliakim Hastings Moore (1862-1932) - S-a născut la Marietta (Ohio), fiu al unui preot metodist și nepot al unui Congressman. A studiat la Univesitatea Yale (Connecticut), apoi la Universitățile din Berlin și

123 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Gottingen. A susținut teza de doctorat în anul 1885. A fost profesor de matematică la Universitățile Yale și Chicago, a fost președintele American Mathematical Society, membru al Academiei Naționale de Științe. Dintre lucrările publicate: "Extensions of Certain Theorems of Clifford and Clayley in the Geometry of n Dimensions" (1885), "Note on space divisions" (1886), "Concerning triple systems" (1893), "On the interesting system of quadratic equations" (1896), "On the theory of improper definite integrals" (1901), "Introduction to a form of general analysis" (1910), "A general theory of limits" (1922).

Universitatea București (1864) - A luat ființă din ordinul domnitorului Alexandru Ioan Cuza (1859-1866) în locul fostei Academii Domnești de la Mănăstirea Sfântul Sava, transformată în Colegiul Național Sfântul Sava. Una dintre cele trei facultăți componente a fost Facultatea de Științe Fizice, Matematice și Naturale. Primul profesor de matematici a fost Alexandru Orăscu, apoi au venit de la Paris primii profesori doctori în matematică: Spiru Haret, David Emanuel, Constantin Gogu și Nicolae Coculescu.

Hermann Minkowski (1864-1909) - S-a născut lângă Kaunas (Lituania), pe atunci parte a Imperiului Rusesc, fiu al unui negustor. A studiat la Konigsberg, Zurich și apoi la Universitatea Gottingen. A fost profesor la Universitățile din Bonn, Konigsberg, Zurich și Gottingen. Printre studenții lui de la Zurich s-a numărat savantul Albert Einstein. Lucrările lui științifice se referă la relativitatea spațiului: "Principiul Relativității" (1907), "Ecuații Fundamentale pentru Procese Electromagnetice în Corpuri Mobile" (1908), "Spațiu și Timp" (1909), "Geometria Numerelor" (1910).

Vladimir Andreevich Steklov (1864-1926) - S-a născut la Nizhny Novgorod (Rusia), fiu al unui cleric de la seminarul din localitate. A studiat la Institutul Alexander din Novgorod și la Universitatea Moscova, apoi la Universitatea din Kharkov, unde a fost apoi angajat începând cu anul 1889 la Departamentul de Mecanică. A susținut teza de doctorat cu un subiect despre teoria potențialului electrostatic și hidrodinamic. După anul 1906 a fost profesor la Universitatea din Saint Petersburg. Din anul 1910 a fost membru al Academiei de Științe. A fost inițiatorul și membru fondator al Institutului de Fizică și Matematică. Lucrări publicate: "Teoria Generală a Funcțiilor Fundamentale" (1904), "Sur la theorie de fermeture des systems de fonctions orthogonales dependant d'un nombre quelconque des variables" (1911).

Jaques Salomon Hadamard (1865-1963) - S-a născut la Versailles, fiu al unui profesor de la Liceul Louis le Grand. După Ecole Normale Superieure a studiat la Ecole Polytechnique. După anul 1882 a fost lector și apoi profesor de astronomie și mecanică rațională la Universitatea din Bordeaux. În anul 1909 a fost numit profesor la College de France Sorbonne, apoi la Ecole Polytechnique. Din anul 1916 a fost membru al Academiei de Științe din Franța, iar din anul 1929 a fost membru al Academiei de Științe din Uniunea Sovietică. Printre lucrările sale sunt: "Lecții de geometrie elementară" (1898), "Curs de analiză matematică" (1925), "Seria Taylor și prelungirea ei analitică" (1926), "Geometria Non-Euclidiană și teoria funcțiilor automorfe" (1951).

Elie Joseph Cartan (1869-1951) - S-a născut la Dolomieu Isere, fiu al unui fierar. A studiat la Liceul Janson de Sailly și la Școala Normală Superioară. Din anul 1894 a fost lector la Universitatea din Montpellier, apoi la Universitatea Lyon. În anul 1903 a fost numit profesor plin la Universitatea Nancy. Din anul 1938 a fost membru al Academiei Regale de Științe din Olanda. Lucrări publicate: "Sur la structure des groupes de transformations finis et continus" (1894), "Lessons sur les invariants integraux" (1922), "La Geometrie des espaces Riemann" (1928), "Lessons sur la theorie des espaces a connexion projective" (1937).

Ernst Ferdinand Zermelo (1871-1953) - S-a născut și a studiat la Berlin. După Luisenstadisches Gymnasium a studiat la Universitățile din Berlin, Halle și Freiburg. A obținut titlul de doctor în matematică în anul 1894, la Berlin, cu o teză despre ordonarea variabilelor. A fost profesor de matematică la Universitatea Gottingen, apoi la Universitatea Zurich și la Universitatea Freiburg. A publicat mai multe lucrări referitor la sortarea și ordonarea numerelor dintr-un set de valori arbitrare.

124 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Ernest Rutherford (1871-1937) - S-a născut la Brightwater (Noua Zeelandă) fiu al unui crescător de oi și al unei profesoare. A studiat la Colegiul Nelson, apoi la Universitatea Canterbury, unde a câștigat o bursă pentru Universitatea Cambridge. În anul 1898 a fost numit profesor la Universitatea Montreal (Canada) iar din anul 1907 a primit catedra de fizică a Universității Manchester. Între anii 1925-1930 a fost președinte al Royal Society. Dintre lucrările publicate: "Radio-Activitate" (1904), "Transformări Radioactive" (1906), "Substanțe Radioactive și Radiațiile lor" (1913), "Structura Electrică a Materiei" (1926), "Transmutația Artificială a Elementelor" (1933), "Noua Alchimie" (1937).

Josip Plemelj (1873-1967) - S-a născut la Bled (Slovenia), fiu al unui fermier. A studiat la Ljubljana, apoi la Universitatea din Vienna, unde a obținut titlul de doctor în anul 1898, cu o teză despre ecuații difeențiale omogene cu coeficienți periodici. A continuat studiile la Berlin și Gottingen, iar din anul 1902 a fost lector la Universitatea Vienna, apoi asistent la Universitaea Tehnică din Vienna. În anul 1908 a fost numit profesor de matematică la Universitatea Chernivtsi (Ukraina). După anul 1918 a fost membru fondator și prim cancelar al Universității din Ljubljana iar din anul 1945 a fost profesor la Facultatea de Științe Naturale și Tehnologie. În anul 1911 a publicat "Sudii despre Teoria Potențialului" iar în anul 1962 a publicat "Algebra și Teoria Numerelor". Cursul său academic s-a intitulat "Teoria Analizei Funcțiilor".

Gheorghe Țițeica (1873-1939) - S-a născut la Turnu Severin, fiu al unui mecanic de pe un vapor cu aburi. A urmat școala primară la Turnu Severin și liceul la Craiova, apoi Școala Normală Superioară și Facultatea de Matematică de la Universitatea București. Din anul 1985 a fost profesor la Seminarul Teologic din București iar din anul 1897 la Școala Normală Superioară din Paris. Revenit în țară, a fost profesor la Universitatea București și membru fondator al Gazetei de Matematică. Din anul 1913 a fost membru al Academiei Române iar din anul 1930 membru al Academiei Maryland (SUA). Dintre lucrările publicate: "Geometria diferențială proiectivă a rețelelor" (1924), "Introducere în geometria diferențială proiectivă a curbelor" (1931).

Dimitrie Pompeiu (1873-1954) - S-a născut la Broscăuți, lângă Dorohoi, fiu al unui învățător. A urmat școala primară și gimnaziul la Dorohoi și a funcționat ca institutor la Galați și Ploiești. În anul 1898 a plecat la Paris unde a fost licențiat în matematică și a susținut teza de doctorat, în anul 1905, sub conducerea lui Henri Poincare. Întors în țară a fost numit conferențiar de Analiză Matematică, apoi profesor de Mecanică la Universitatea Iași. După anul 1912 a fost transferat la Universitatea București ca profesor de teoria funcțiilor. Din anul 1934 a fost membru al Academiei Române. A organizat Seminarul Matematic din Cluj și a fondat revista "Mathematica".

Universitatea Adelaide (1874) - A luat ființă la 6 Noiembrie 1874, ca urmare a unei donații de 20 000 lire sterline făcute de Sir Walter Watson Hughes (1803-1887). Primul cancelar a fost Sir Richard Davies Hanson (1805-1876), judecător la Curtea Supremă de Justiție și cel de al patrulea președinte al Australiei de Sud. Primele diplome au fost eliberate pentru studii de literatură, filozofie și arte. Începând cu anul 1881, universitatea a acceptat și pregătit fete, cu drepturi egale cu cele ale băieților. Prima femeie din Australia cu o diplomă în științe a fost Edith Emily Dornwell (1865-1945), apoi profesoară de matematică, fizică și fiziologie.

Henri Leon Lebesgue (1875-1941) - S-a născut la Beauvais (Oise), fiu al unui tipograf și al unei învățătoare. A studiat în biblioteca familiei, apoi la Colegiul Beauvais, la Liceele Saint Louis și Louis le Grand și la Școala Normală Superioară din Paris. În anul 1899 a fost numit profesor la Liceul Central din Lyon. A obținut titlul de doctor în anul 1902, la Sorbonna, cu o teză despre integrale, lungimi și arii. A fost lector și apoi profesor la Universitățile din Rennes, Poitiers, Sorbonna și în final la College de France din Paris. Principala sa lucrare publicată a fost "Lessons sur l'intergation et la recherche des functions primitives" (1904).

125 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Teiji Takagi (1875-1960) - S-a născut în localitatea Kazuya (Japonia), unde a făcut și studiile elementare. A studiat la Universitatea Imperială dinTokyo, apoi la Universitatea Gottingen. A susținut teza de doctorat în teoria numerelor având ca îndrumător pe profesorul David Hilbert. Din anul 1932 a fost vicepreședinte al Congresului Internațional al Matematicienilor. Lucrare publicată: "Sur quelques theoremes generaux de la theorie des nombres algebriques" (1921).

Anton Davidoglu (1876-1958) - S-a născut la Bârlad, fiu al unui medic, șeful Spitalului Bârlad. A urmat studiile primare și secundare la Bârlad, apoi din anul 1895 a plecat la Paris unde a fost licențiat al Școlii Normale Superioare. În anul 1900 a susținut teza de doctorat la Sorbona, cu un subiect din fizica vibrațiilor. Începând cu anul 1902 a fost profesor la Facultatea de Științe de la Univeresitatea București. Din anul 1913 a fost și rector al Academiei de Înalte Studii Comerciale și Industrie din București. A fost membru fondator al Academiei de Științe din România. A susținut cursurile de Analiză Infinitezimală (1931) și de Teoria Asigurărilor (1935).

Universitatea Tokyo (1877) - Universitatea s-a format la inițiativa guvernului Meiji, prin amalgamarea unui grup de școli guvernamentale tradiționale, sub denumirea de Universitatea Imperială Tokyo. Unul dintre fondatorii instituției a fost istoricul Hoshino Hisashi (1839-1917), cel care a donat universității biblioteca sa compusă din 10 000 de cărți. Din nefericire, în anul 1923 cărțile lui au ars împreună cu alte 700 000 de volume, în timpul unui incendiu devastator. Printre primii președinți ai universității s-a numărat Ministrul Educației, matematicianul Kikuchi Dairoku (1855-1917).

Edmund Hermann Landau (1877-1938) - S-a născut la Berlin, fiu al unui medic evreu. După liceu a studiat matematica și a susținut teza de doctorat, la Universitatea din Berlin. A fost căsătorit cu Marianne Ehrlich, fiica savantului Paul Ehrlich. Între anii 1899-1909 fost lector la Universitatea din Berlin, apoi a fost șef de catedă la Universitatea Gottingen. Începând cu anul 1920 s-a implicat în fondarea Universității din Jerusalem, unde a funcționat și ca profesor între anii 1927-1933. A publicat lucrări referitor la fundamentele analizei matematice și teoria numerelor.

Albert Einstein (1879-1955) - S-a născut la Ulm (Wurttemberg), fiu al unui inginer industriaș, fondatorul Companiei Elektrotechnische Fabrik producătoare de echipament electric. A urmat Școala Catolică din Munchen, Luitpold Gymnasium și apoi Școala Politehnică din Zurich. În anul 1908 a fost numit lector la Universitatea din Berna iar din anul 1911 a fost profesor la Universitatea Carol Ferdinand din Praga. După anul 1912 a revenit la Zurich, iar din anul 1913 a devenit membru al Academiei Prusace de Științe. După anul 1914 a fost directorul Institutului pentru Fizică iar în anul 1922 a primit Premiul Nobel pentru Fizică (pentru legea efectului fotoelectric). Între anii 1922-1932 a fost delegat la Liga Națiunilor iar din anul 1933 a primit un post pe lângă Institute for Advanced Study, la Universitatea Princeton (New Jersey). Dintre lucrările publicate: "On the Electrodynamics of Moving Bodies" (1905), "A new determination of molecular dimensions" (1905), "Does the Inertia of a Body Depend Upon its Energy Content ?" (1905), "On the Relativity Principle and the Conclusions Drawn from it" (1907), "The Development of our Views on the Composition and Essence of Radiation" (1909), "On the Generalized Theory of Gravitation" (1950).

Vera Myller Lebedev (1880-1970) - S-a născut la Saint Petersburg, într-o famile de medici (Olga și Evghenii Lebedev). A urmat cursurile liceale la Novgorod, apoi Școala Superioară pentru femei "Bestujev", din Saint Petersburg. A continuat studiile la Universitatea Gottingen unde a susținut teza de doctorat în anul 1906. După căsătoria cu matematicianul Alexandru Myller s-a stabilit la Iași, unde în anul 1910 a susținut teza de docent și a fost angajată conferențiar la Facultatea de Științe. Din anul 1918 a deținut titlul de profesor la catedra de Algebră Superioară, fiind astfel prima femeie profesor universitar din România. Dintre lucrările publicate: "Teoria ecuațiilor integrale folosită la câteva dezvoltări în serie" (1906), "Lecții de algebră" (1953)

126 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Gheorghe Bratu (1881-1941) - S-a născut la București, fiind orfan a crescut în familia unui profesor de liceu. A studiat la Facultatea de Științe Iași și a fost profesor la Școala Comercială Iași, apoi la un liceu din Botoșani. După anul 1908 a continuat studiile la Paris și a susținut teza de doctorat în matematică, la Sorbona. După anul 1914 a fost angajat la Observatorul Astronomic din Iași și docent al Universității din Iași. Din anul 1919 a fost directorul Observatorului Astronomic Cluj și profesor de algebră financiară la Academia Comericală din Cluj, iar din anul 1932 a fost membru al Academiei de Științe. A întocmit o hartă fotografică a cerului, pentru secolul XX, cu coordonatele ecuatoriale pentru 1687 de stele.

Tadeus Banachiewicz (1882-1954) - S-a născut și a studiat la Varșovia, fiu al unui proprietar de terenuri. A continuat studiile la Universitatea Gottingen și a fost angajat la Observatorul Pulkovo (Saint Petersburg) apoi la Observatorul Engelhardt (Kazan). Din anul 1919 a fost profesor la Universitatea din Cracovia, iar din anul 1922 a fost membru al Academiei de Științe din Polonia. A fost membru fondator al jurnalului "Acta Astronomica". A inventat un sistem de calcul algoritmic pentru orbita planetelor denumit Calculul Cracovian. Dintre cele peste 500 de lucrări publicate: "Astronomische Nachtrichen" (1903), "Observatorium Krakowskie w latach 1919-1927" (1928), "Calculul Cracovian și Aplicațiile lui" (1959).

Traian Lalescu (1882-1929) - S-a născut la București, fiu al unui funcționar bancar. A studiat la București, Craiova, Roman și Iași. Din anul 1900 a studiat matematica la Universitatea București. În anul 1905 a plecat la Paris unde a susținut teza de doctorat, la Sorbona și a obținut diploma de inginer. Din anul 1920 a fost primul rector la Școlii Politehnice din Timișoara. Dintre lucrările publicate: "Introducere în teoria ecuațiilor integrale" (1911), "Calcul algebric" (1924), "Tratat de geometrie analitică" (1925).

Theodor Angheluță (1882-1964) - S-a născut în satul Adam (Galați), fiu de țăran. A absolvit liceul la Bârlad, apoi Facultatea de Științe de la Universitatea București. A continuat studiile la Sorbona (1909-1914) apoi în anul 1923 a susținut teza de doctorat la București. A fost profesor de algebră superioară la Universitatea din Cluj și membru al Academiei de Științe. Dintre lucrările publicate: "Curs de algebră superioară" (1940), "Curs de mecanică rațională" (1926), "Aplicații de mecanică" (1827), "Curs de teoria funcțiilor de o variabilă complexă" (1940), "Funcții analitice" (1945).

Gheorghe Buicliu (1883-1966) - S-a născut la Oancea (Galați). A studiat la Murgeni și Iași, apoi a urmat Școala de Artilerie, Geniu și Marină din București. Între anii 1925-1932 a fost comandantul Școlii Speciale de Artilerie Timișoara. Din anul 1938 a fost membru al Academiei de Științe și profesor la Școala Politehnică din București. Dintre lucrările publicate: "Curs de algebră superioară", "Curs de geometrie analitică", "Curs de analiză și calcul integral, curs de mecanică aplicată", "Probleme de construcții geometrice".

Niels David Bohr (1885-1962) - S-a născut la Copenhaga, fiu al unui profesor de fiziologie de la Universitatea Copenhaga. A sudiat la Colegiul și Universitatea Copenhaga și a fost licențiat în matematică în anul 1909. A susținut teza de doctorat în anul 1911 și a primit o invitație post-doctorală la Universitatea Victoria din Manchester. Din anul 1912 a fost privat-docent iar din anul 1916 profesor la Universitatea Copenhaga. Din anul 1921 a fost directorul Institutului Niles Bohr iar în anul următor a fost recompensat cu Premiul Nobel (pentru modelul atomic). A fost membru al Academiei de Științe din Olanda și al Royal Society. Dintre lucrările publicate: "Despre Structura Atomilor și Moleculelor" (1913), "Teoria Cuantică a Radiației" (1924), "Transmutația Nucleior Atomici" (1937), "Mecanismul Fisiunii Nucleare" (1939).

Victor Vâlcovici (1885-1970) - S-a născut și a urmat cursurile elementare la Brăila. A absolvit Liceul Nicolae Bălcescu, apoi Facultatea de Științe din București. A continuat studiile ca bursier la Universitatea Gottingen și a susținut teza de doctorat cu un subiect din mecanica fluidelor. A fost profesor de matematică la Universitatea Iași, Școala Politehnică Timișoara și la Universitatea din București. Din anul 1965 a fost membru al Academiei Române. Dintre lucrările publicate: "Mișcarea fluidă discontinuă cu două linii libere"

127 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

(1913), "Mecanică teoretică" (1959), "Principiile variaționale ale mecanicii" (1963).

Statuia Libertății (1886) - Proiectată de sculptorul Frederic Auguste Bartholdi, pe un schelet metalic construit de inginerul Gustave Eiffel, statuia este o personificare a zeiței Libertas, simbol al Libertății. A fost inaugurată la data de 28 Octombrie 1886, pentru a comemora Centenarul de la Proclamația de Independență a Statelor Unite ale Americii (4 Iulie 1776). Statuia propriu zisă măsoară 46 metri (15 etaje) și împreună cu soclul atinge înălțimea de 93 metri. În total, statuia cântărește 204 tone, dintre care 113 tone de oțel și 27 tone de cupru. Reprezintă un loc de atracție pentru circa 3 milioane de vizitatori, anual.

Turnul Eiffel (1887-1889) - Binecunoscutul turn al inginerului Gustave Eiffel a fost construit pentru Expoziția Internațională de la Paris din anul 1889, pentru a celebra progresul civilizației umane. Înalt de 324 metri (81 etaje), a fost cea mai înaltă construcție din lume până în anul 1930, când a fost egalat la New York de zgârie-norul Chrysler Building. Turnul are o greutate totală de 10 100 tone și a fost vizitat până în prezent de peste 250 milioane de turiști (circa 25 000 pe zi). Anual circa 7 milioane de turiști vizitează acest monument inedit.

Erwin Schrodinger (1887-1961) - S-a născut la Erdberg (Vienna), fiu al unui mic industriaș. A studiat la Vienna iar din anul 1920 a fost numit profesor la Universitatea Stuttgart, apoi la Universitatea Zurich. Din anul 1927 a luat locul lui Max Plank la Universitatea din Berlin. În anul 1933 a fost invitat ca membru asociat al Universității Oxford iar în anul următor a fost recompensat cu Premiul Nobel (pentru ecuația Schrodinger). După anul 1936 a fost profesor la Universitatea Graz (Austria) iar în anul 1940 a devenit directorul Institutului de Studii Avansate din Dublin. Dintre lucrările publicate: "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules" (1926), "Știința și temperamentul uman" (1935), "Interpretarea Mecanicii Cuantice" (1995), "Universuri în Expansiune" (1956), "Structura Spațiu-Timp" (1950).

Simion Stoilov (1887-1961) - S-a născut la București, fiu de ofițer. A început studiile la Liceul Carol I din Craiova. Din anul 1907 a urmat cursurile Facultății de Științe de la Sorbona (Paris), unde a susținut teza de doctorat în anul 1916. În anul 1919 a susținut la Iași teza de docentură, unde a fost apoi numit profesor la Facultatea de Matematică și membru al Academiei Române. După anul 1925 a fost profesor la Universitatea din Cernăuți, iar după 1944 a fost profesor la Facultatea de Matematică și Fizică din București. Începând cu anul 1954 a fost directorul Institutului de Matematică. Dintre lucrările publicate: "Sur une classe de fonctions de deux variables definies par les equations linerares aux derivees partielles" (1916)," Lecons sur les principes topologiques de la Theorie des functions analytiques" (1956), "Oeuvre mathematique" (1964).

Octav Onicescu (1892-1983) - S-a născut la Botoșani, fiu de gospodar. A absolvit Liceul August Treboniu Laurian din Botoșani, apoi Facultatea de Științe și simultan Facultatea de Filozofie din București. A obținut ambele licențe în anul 1913 și a fost numit profesor la Liceul Militar de lângă Târgoviște. După anul 1918 a continuat studiile de Roma, unde a susținut teza de doctorat, apoi cea de docent la București. Din anul 1922 a fost conferențiar, apoi pofesor, la Facultatea de Științe București. În anul 1930 a înființat și condus Școala de Statistică, actuariat și calcul din București. A fost membru al Academiei Române începând cu anul 1965. Dintre lucrările publicate: "Calculul probabilităților" (1939), "Procese aleatoare în lanț continuu cu legături complexe" (1954), "Numere și sisteme aleatoare" (1962), "Energia informațională" (1966), "Elemente de statistică informațională cu aplicații" (1979)

Cornel Lowy (1893-1974) - S-a născut la Fehervar, fiu al doctorului Karoly Lowy. A studiat la Universitățile din Szeged și Budapesta și a obținut titlul de doctor în anul 1922, cu o teză despre teoria relativității. În anul 1927 a fost invitat ca visiting professor la Universitatea Purdue (Indiana). Din anul 1955 a fost profesor la Institutul de Studii Avansate din Dublin. Dintre lucrările publicate: "Ce este viața" (1944), "The Variational Principles of Mechanics" (1949), "Applied Analysis" (1956), "Discourse on Fourier Series" (1966), "Numbers without End" (1968).

128 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Silvia Creangă (1894-1952) - S-a născut la Adâncata (Dorohoi), în familia unui gospodar de seamă cu șapte copii, soră mai mare a viitorului profesor de matematică Ion Creangă (1911-1987) de la Institutul Politehnic Iași. A studiat la Piatra Neamț, apoi la Școala Centrală de Fete din București și la Liceul Național Iași. În anul 1917 a absolvit Facultatea de Științe Iași, iar în anul 1925 a susținut teza de doctorat. A fost profesoară la Liceul de fete din Bacău, apoi la Liceul Oltea Doamna din Iași și asistent la Facultatea de Științe din Iași. După 1944 a fost profesoară la un liceu din București. A fost prima femeie din România doctor în matematică.

Dan Barbilian (1895-1961) - S-a născut la Câmpulung Muscel, fiu al judecătorului Constantin Barbilian. A studiat în orașul natal, apoi la Facultatea de Științe București. După anul 1921 a continuat studiile la Gottingen, Tubingen și Berlin. A susținut teza de doctorat în matematică în anul 1929. Din anul 1942 a fost profesor de algebră la Facultatea de Științe București. Începând cu anul 1936 a fost membru al Academiei de Științe din România. Este cunoscut mai ales ca poet modernist, sub pseudonimul Ion Barbu. Dintre lucrările publicate: "Curs de matematici generale" (1940), "Axiomatizarea mecanicii clasice" (1943), "Curs de algebră axiomatică" (1950), "Asupra unui principiu de metrizare" (1959), "Fundamentele metricilor abstracte" (1959), "Grupuri cu operatori" (1960).

Kazimierz Kuratowski (1896-1980) - S-a născut la Varșovia, fiu al unui jurist. A urmat studiile medii la Varșovia iar din anul 1913 a fost înscris la Universitatea Glasgow, apoi la Universitatea din Varșovia. A obținut titul de doctor în matematică în anul 1921. A fost profesor de matematică la Universitatea Varșovia și la Politehnica din Lvov. Între anii 1948-1967 a fost directorul Institutului de Matematică de la Academia de Științe a Poloniei. A publicat 170 de lucrări și cărți, printre care un "Tratat de Topologie", o "Introducere în Teoria Seturilor" și o "Antologie a Matematicii din Polonia 1920-1970".

Pavel Sergeyevich Alexandrov (1896-1982) - S-a născut la Bogorodsk, lângă Moscova. A studiat la Universitatea din Moscova, apoi la Universitatea Gottingen (1923). A fost profesor la Universitatea din Moscova și cercetător la Institutul de Matematică Steklov, iar din anul 1953 a fost membru al Academiei de Științe din Rusia. Cărți publicate: "Topologie" (1935), "Elementary concepts of topology" (1961), "Combinatorial topology" (1998), "An introduction to the theory of the groups" (2012).

Gheorghe Vrânceanu (1900-1979) - S-a născut la Valea Hogii (Vaslui), fiu de gospodar. A absolvit liceul la Vaslui, apoi a fost înscris cu bursă la Facultatea de Științe din Iași. A continuat sudiile la Universitatea Gottingen, apoi la Roma, unde a susținut teza de dotorat în anul 1924. A mai studiat la Paris și la Universitatea Princeton (New Jersey). Din anul 1929 a fost profesor de geometrie analitică la Universitatea Cernăuți, apoi la Universitatea București, unde a fost șeful catedrei de Geometrie și Topologie. A fost membru al Academiei Române începând cu anul 1955. A publicat peste 300 de memorii, lucrări și articole, cu subiecte din toate ramurile geometriei.

Werner Karl Heisenberg (1901-1976) - S-a născut la Wurzburg, fiu al unui profesor de medievalistică și studii clasice. A sudiat la Universitățile din Munich, Gottingen și Copenhaga și a susținut teza de doctorat în anul 1923 cu un subiect din dinamica fluidelor. Din anul 1926 a fost lector la Universitatea Copenhaga, apoi profesor la Universitatea Leipzig. În anul 1933 a fost recompensat cu Premiul Nobel (pentru cercetări în mecanica cuantică). Din anul 1943 a ocupat catedra de fizică de la Universitatea Berlin, iar din anul 1946 a fost numit director al Institului Max Plank. A fost membru al Academiilor de Știință din Prusia, Suedia, România, Norvegia, Spania și Olanda. A publicat numeroase cărți și lucrări, printre care: "Despre Teoria Cuantică a Moleculelor" (1924), "Despre Teoria Feromagnetismului" (1928), "Teoria Cuantică pentru Reinterpretarea Cinematicii și a Relațiilor Mecanice" (1925), "Teoria Statistică a Turbulenței Isotropice" (1948), "Principiile Fizice ale Teoriei Cuantice" (1949), "Producerea Mesonilor prin Coliziuni de Energie Înaltă" (1955).

129 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Dumitru Ionescu (1901-1985) - S-a născut la București, fiu de negustor. A studiat la Liceul Sfântul Sava, apoi la Facultatea de Matematică. A continuat studiile la Paris, unde în anul 1927 a susținut teza de doctorat la Sorbona. Din anul 1928 a fost conferențiar la Catedra de Mecanică, apoi profesor de analiză matematică la Universitatea din Cluj. A fost și șef de secție la Institutul de Calcul Numeric. Începând cu anul 1935 a fost membru al Academiei de Științe. Dintre lucrările publicate: "Cuadraturi numerice" (1957), "Ecuații diferențiale și integrate" (1964), "Diferențe divizate" (1878).

Alexandru Ghika (1902-1964) - S-a născut la București, într-o famile de mari boieri ai României, părinții lui fiind Ioan Ghika (1873-1949) și Elena Metaxa (1870-1951). A studiat la București, apoi la Paris, pentru a obține licența în matematică la Sorbona, în anul 1922 și apoi doctoratul în anul 1929. Din anul 1932 a activat la Facultatea de Științe din București, devenind profesor în anul 1945 și șef de catderă la Teoria Funcțiilor în anul 1961. A fost membru al Academiei Române din anul 1963. Dintre lucrările publicate: "Introducere în teoria funcțiilor armonice" (1934), "Curs de teoria funcțiilor reale" (1949), "Curs de calcul funcțional și variațional" (1950), "Teoria funcțiilor generalizate" (1959), "Analiză funcțională" (1967).

Mihail Ștefan Botez (1902 - ) - S-a născut la Târgu Ocna și a studiat la Bârlad și București, pentru a obține licența în matematică în anul 1925. A susținut teza de doctorat în anul 1934 la Geneva. Începând cu anul 1942 a fost profesor de geometrie descriptivă și matematici generale la Politehnica din Iași. După anul 1947 a fost profesor de analiză matematică la Institutul Agronomic iar din anul 1953 la Institutul de Construcții București. Dintre lucrările publicate: "Geometria descriptivă" (1963), "Probleme de geometrie" (1976).

Gheorghe Călugăreanu (1902-1976) - S-a născut la Iași, fiu al unui profesor universitar. A urmat școala primară la București, apoi cele liceale la Liceul Gheorghe Lazăr. Din anul 1921 a studiat matematica la Universitatea din Cluj, unde tatăl lui era profesor de fiziologie. După anul 1926 a continuat studiile la Sorbona, unde a susținut teza de doctorat în anul 1928. După anul 1930 a fost conferențiat și apoi profesor de matematică la Universitatea din Cluj. Din anul 1955 a fost membru al Academiei Române. Absolvent și de Conservator (pian) a fost un mare consumator de cultură. Dintre lucrările publicate: "Curs de Analiză Matematică" (1963), "On univalent transformations between Euclidian spaces" (1965), "Relations differentielles multi-locales qui caracterisent les courbes algebriques" (1964), "Sur les fonctions univalents" (1954).

Miron Nicolescu (1903-1975) - S-a născut la Giurgiu, fiu de învățător. A urmat cursurile Liceului Matei Basarab din București, apoi cele ale Facultății de Matematică. Din anul 1924 a continuat studiile la Paris, unde a susținut teza de doctorat în anul 1928, la Sorbona. A fost angajat la Universitatea din Cernăuți, până în anul 1940, când a fost numit profesor la Universitatea din București. A fost secretar general și subsecretar de stat în Ministerul Învățământului. Din anul 1938 a fost membru al Academiei de Științe, iar din anul 1963 membru al Academiei Române, apoi președinte al Academiei (1966-1975). Dintre lucrările publicate: "Funcții complexe în plan și spațiu" (1928), "Curs elementar de geometrie analitică" (1935), "Curs de Analiză Matematică" (1947), "Calcul diferențial și integral" (1953), "Analiză Matematică" (1960).

Alonzo Church (1903-1995) - S-a născut în orașul Washington D.C. (SUA), fiu al unui judecător de la Curtea Municipală. A studiat la Școala de Băieți Ridgefield (Conneticut), apoi la Universitatea Priceton (New Jersey) unde a susținut teza de doctorat în anul 1924. A continuat studiile la Universitățile din Chicago, Gottingen și Amsterdam. A fost profesor de matematică și filozofie la Universitatea Princeton (1929-1967) și la Universitatea California din Los Angeles (1967-1990). A fost editor și fondator al revistei "Journal of Symbolic Logic". Este inventatorul calculației de tip "lambda", potrivit căreia orice variabilă trebuie exprimată sub forma unei funcții computabile. Cărți publicate: "Introduction to Mathematical Logic", "The Calculi of Lambda Conversion", "A Bibliography of Symbolic Logic".

130 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Georges de Rham (1903-1990) - S-a născut la Roche (Elveția), fiu al unui inginer constructor. A studiat la Școala din Aigle, la Gimnaziul și apoi la Universitatea din Lausanne. În anul 1931 a susținut teza de doctorat la Universitatea din Paris, cu o teză intitulată "Sur l'Analysis Situs des Varietes a n dimensions". Apoi a fost numit profesor la Universitatea Lausanne (1932) și la Universitatea Geneva (1936). Între anii 1950-1966 a fost editor la jurnalul "Comentarii Mathematici Helvetici". Cărți publicate: "Harmonic Integrals" (1950), "Varietes differentiables" (1955), "Torsion at type simple d'homotopie" (1967), "Lectures on introduction to algebraic topology" (1969).

Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) - S-a născut la Tambov (Oblast), la circa 500 de kilometri de Moscova, fiu al unui agronom cu titlu nobiliar. A studiat la Universitatea din Moscova și la Institutul Mendeleev pentru Chimie și Tehnologie. În anul 1929 a obținut titlul de doctor în filozofie iar în anul 1931 a fost numit profesor la Univesitatea din Moscova. Din anul 1939 a fost membru la Academiei de Științe. Dintre lucrările publicate: "Despre principiul mijlociului exclus" (1925), "Fundamentele Teoriei Probabilităților" (1933), "Despre Tabele de Numere Aleatoare" (1963), "Elemente ale Teoriei Funcțiilor și ale Analizei Funcționale" (1999).

Canalul Panama (1904-1914) - Canalul Panama, cu o lungime de 82 Km, traversează istmul Americii Centrale pentru a face legătura dintre Oceanul Atlantic și Oceanul Pacific. Lucrările au început în anul 1881 prin Compania Universală a Canalului Interoceanic Panama, condusă de diplomatul francez Ferdinand de Lesseps, artizanul Canalului Suez. Compania a dat însă faliment și lucrările au fost preluate în anul 1904 de guvernul SUA, reprezentat prin Președintele Theodore Roosevelt (1901-1909). Lucrările au mai durat încă 10 ani, sub conducerea inginerilor John Findlay Wallace, John Frank Stevens și George Washington Goethals. Prin ecluzele canalului pot trece nave cu gabarit de maximum 52 500 tone dw și adâncimea de maximum 12,6 metri sub nivelul de plutire. Canalul scurtează ruta maritimă cu circa 8000 de km și este tranzitat anual de circa 15 000 de vase. De la inaugurare până în prezent a fost traversat de peste 815 000 de nave, cu un gabarit total de peste 333 milioane de tone.

Karol Borsuk (1905-1982) - S-a născut la Varșovia, fiu al unui medic chirurg. A studiat la Varșovia unde a obținut titlul de doctor în matematică, în anul 1930, cu o teză intitulată "Sur la retractes". Începând cu anul 1946 a fost profesor la Universitatea din Varșovia. A fost visiting professor în SUA, la universitățile: Princeton (New Yersey 1946), Berkeley (California 1959) și Madison (Wisconsin 1963). Din anul 1952 a fost membru al Academiei de Științe din Polonia și director al Institutului de Matematică. Lucrări publicate: "Geometrie Analitică Multidimensională" (1950), "Fundamentele Geometriei" (1955), "Teoria Retracției în topologie" (1967), "Teoria Formei" (1975).

Kurt Godel (1906-1978) - S-a născut la Brno (Cehia), fiu al unui director din industria textilă. A studiat la Școala Lutherană din Brno, apoi la Deutsches Staats Realgymnasium și la Universitatea Vienna. Până în anul 1938 a fost Privatdozent al Universității Vienna, iar din anul 1940 a fost numit profesor la Universitatea Princeton (New Jersey), alături de Albert Einstein. Din anul 1968 a fost membru al Royal Society. Dintre lucrările publicate: "On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica" (1931), "Rotating Universes in General Relativity Theory" (1950).

Grigore Constantin Moisil (1906-1973) - S-a născut la Tulcea, fiu al unui profesor de matematică și nepot de preot. A studiat la București și Vaslui, iar din anul 1924 s-a înscris simultan la Politehnica și la Universitatea București, unde a susținut teza de doctorat în anul 1929. În anul 1930 a plecat la Sorbona, unde a susținut teza de docență. Din anul 1931 a fost numit conferențiar la Facultatea de Matematică din Iași, unde a ținut cursul Logica și Teoria Demonstrației. A fost membru al Academiei Române și al Academiei din Bolonia. Dintre lucrările publicate: "L'algebre de la logique" (1935), "Logique modale" (1942), "Theorie structuralle des automates finis" (1967), "Essais sur les logiques non-chrysipiennes" (1972).

131 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Tiberiu Popoviciu (1906-1975) - S-a născut la Arad, unde a absolvit cursurile Liceului Moise Nicoară. A studiat în continuare la Facultatea de Științe din București, apoi în anul 1933 a susținut teza de doctorat la Paris, sub îndrumarea profesorului Paul Montel. A fost cadru didactic la Universitățile din Cernăuți, București și Iași. Din anul 1946 a fost numit profesor la catedra de analiză a Universității din Cluj, unde a înființat Institutul de Calcul al Academiei Române. Dintre lucrările publicate: "Curs de matematici generale" (1938), "Les fonctions convexes" (1944), "Elemente de analiză matematică" (1947), "Curs de Algebră Superioară" (1948), "Analiza numerică" (1975).

Gheorghe Mihoc (1906-1981) - S-a născut la Brăila, dar a crescut la București unde a absolvit Liceul Gheorghe Șincai. A fost licențiat în matematică în anul 1928, apoi a plecat la Roma unde a susținut teza de doctorat în statistică, în anul 1930, sub îndrumarea profesorului Corrado Gini. Din același an a fost asistent la Școala de Statistică din București. În anul 1934 a susținut doctoratul în matematică. În anul 1946 a fost numit profesor de matematică financiară la Academia Comericală din București, iar din anul 1948 a fost directorul Institutului Central de Statistică. Din anul 1963 a fost membru al Academiei Române. Dintre lucrările publicate: "Tratat de matematici actuariale" (1943), "Elemente de calculul probabilităților" (1954), "Teoria matematică în operațiile financiare" (1960), "Statistică matematică" (1966), "Tratat de statistică matematică" (1979).

Florica Câmpan (1906-1993) - S-a născut la Iași și a studiat la Liceul Oltea Doamna, apoi la Facultatea de Matematică, pentru a obține licența în anul 1929. Între anii 1929-1940 a fost profesor de liceu la Cernăuți. Din anul 1940 a fost numită asistent la Universitatea Iași, iar în anul 1942 a susținut teza de doctorat. Din anul 1951 a fost conferențiar la Facultatea de Matematică Iași. Dintre lucrările publicate: "Culegere de probleme de trigonometrie" (1952), "Curs de matematici generale" (1960), "Probleme celebre din istoria matematicii" (1972-1976), "Vechi și nou în matematică" (1978).

Ion Th. Grigore (1907-1990) - S-a născut în Dâmbovița, la Tătărani, fiu de gospodar. A studiat la Târgoviște, apoi la Liceul Brătianu din Pitești. A obținut licența pentru matematică și fizică la Facultatea de Științe București, în anul 1930. A fost profesor la Școala Comercială Superioară din Târgoviște, apoi la Școala Comericală din Ploiești. După anul 1948 a fost profesor la Liceul nr 1 din Ploiești, iar din anul 1953 la Școala Medie Ion Luca Caragiale. Dintre manualele publicate: "Aritmetica rațională", "Algebra financiară", "Calculul probabilităților", "Teoria asigurărilor", "Geometria", "Geometria în spațiu".

Harold Scott Donald Coexter (1907-2003) - S-a născut la Londra, fiu al unui distribuitor de gaze naturale. A studiat la Universitatea Cambridge, unde a susținut teza de doctorat în anul 1931. Din anul 1936 a fost numit profesor la Universitatea Toronto (Canada). Din anul 1950 a fost membru al Royal Society iar din anul 1990 a fost membru al "American Academy of Arts and Sciences". Dintre cele 12 cărți și 167 articole publicate: "The real projective plane" (1955), "Introduction to geometry" (1961), "Regular polytopes" (1963), "Non-euclidian geometry" (1965), "Mathematics and Music" (1962), "Twisted honeycombs" (1970), "Projective Geometry" (1987), "The Beauty of Geometry" (1999).

Constantin Drâmbă (1907-1997) - S-a născut la Bacău, fiu de învățător. A studiat clasele primare la Galați iar pe cele superioare la București. A absolvit Facultatea de Matematică în anul 1929, apoi a lucrat ca astronom la Observatorul Academiei Române. În anul 1934, după doi ani de studii la Sorbona, a fost numit conferențiar la Catedra de Geofizică și Astronomie de la Facultatea de Construcții București. Din anul 1963 a fost profesor de astronomie la Facultatea de Matematică - Mecanică și director al Observatorului Astronomic București. A fost membru al Academiei Române începând cu anul 1990. Dintre lucrările publicate: "Elemente de mecanică cerească" (1958), "Ecuații diferențiale" (1958).

Gheorghe Gheorghiev (1907-1999) - S-a născut lângă Odesa, la Bolgrad (Ukraina). A studiat la Ismail și Bolgrad, apoi la Facultatea de Științe din Iași, secția de matematică. A fost profesor de liceu la Aiud, Ismail,

132 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Chilia, Cetatea Albă și Iași. În anul 1946 a susținut teza de doctorat la Iași, apoi a fost angajat la Universitatea Iași, inițial lector, apoi profesor, începând cu anul 1955. Dintre cele peste 150 de lucrări publicate: "Curs de geometrie analitică" (1951), "Culegere de probleme de trigonometrie" (1952), "Studiul istoriei matematicii în URSS" (1959), "Asupra geometriilor neeuclidiene și evoluția ideii de spațiu" (1963), "Geometrie diferențială" (1972).

Gheorghe Gheorghiu (1908-1979) - S-a născut la Tulcea, fiu de marinar. A studiat la Tulcea și Galați și a obținut licența în matematică în anul 1931, la București, apoi a fost angajat ca profesor de matematică la Colegiul Mihai Viteazul și asistent la Politehnică. În anul 1935 a susținut teza de doctorat, din anul 1941 a fost conferențiar, iar din anul 1945 profesor la Catedra de Analiză Matematică. După anul 1957 a fost profesor la Institutul Pedagogic, apoi la Universitatea din Timișoara. Dintre lucrările publicate: "Culegere de probleme de trigonometrie" (1936), "Probleme de analiză matematică" (1940), "Curs de matematici superioare" (1955), "Geometrie diferențială" (1964), "Mic memorator de matematică" (1972).

Stanislaw Marcin Ulam (1909-1984) - S-a născut la Lvov, fiu al unui avocat. A studiat la Gimnaziul și apoi la Institutul Politehnic din Lvov, unde a susținut teza de doctorat în anul 1933. Din anul 1935 a fost invitat la Universitatea Princeton, iar în anul 1940 a fost numit profesor asociat la Universitatea Madison din Wisconsin. După anul 1945 a fost profesor asociat la University of Southern California din Los Angeles. A fost visiting professor al Universitățile Harvard și Colorado iar din anul 1968 a fost profesor de biomatematică la Universitatea din Colorado. Lucrări publicate: "Mathematics and Logic" (1968), "Sets, Numbers and Universes" (1974), "A Collection of Mathematical Problems" (1960), "Adventures of a Mathematician" (1983), "Science, Computers and People" (1968).

Stephen Cole Kleene (1909-1994) - S-a născut la Hartford (Connecticut), fiu al unui profesor de economie la Colegiul Trinity din localitate. A studiat la Colegiul Amherst din Massachusetts, apoi la Universitatea Princeton (New Jersey). A obținut titlul de doctor în anul 1934, cu o teză despre logica formală. Din anul 1935 a fost profesor la Universitatea Madison (Wisconsin). A fost și editor la "Journal of Symbolic Logic". Din anul 1969 a fost membru al Academiei Naționale de Științe. Dintre lucrările publicate:" Funcții Generale Recursive pentru Numere Naturale" (1936), "Introducere în Matematică" (1952), "Reprezentări de Evenimente", "Rețele Neuronale și Automatisme Finite" (1951), "Logică Matematică" (1967).

Saunders Mac Lane (1909-2005) - S-a născut la Taftville (Connecticut), fiu al unui pastor și al unei profesoare de matematică. A studiat la Utica (New York), Leominster (Massachusetts), apoi la Universitatea Yale și la Universitatea din Chicago. După alți doi ani de studiu la Univesitatea Gottingen a susținut teza de doctorat, în anul 1933, cu un subiect despre adevăruri abreviate în calculele logice. Din anul 1938 a fost numit profesor asistent la Universitatea Harvard, iar din anul 1947 a fost numit profesor la Universitatea Chicago. Din anul 1952 a fost vicepreședinte al Academiei Naționale de Științe. Dintre cărțile publicate: "A Survey of Modern Algebra" (1941), "Homology" (1963), "Algebra" (1967), "Mathematics", "Form and Function" (1985), "Introduction to Topos Theory" (1992).

John Wrench (1911-2009) - S-a născut și a copilărit în Westfield, New York, apoi în suburbia Hamburg, New York. A studiat matematica la Universitatea Buffalo și a susținut teza de doctorat la Universitatea Yale, cu o temă de analiză diferențială a arctangentelor. A fost profesor de matematică la Universitatea George Washington, apoi a fost cercetător in Marina Militară. Din anul 1953 a fost directorul Laboratorului de Matematică Aplicată și a colaborat cu numeroase Universități. A fost unui dintre pionierii tehnicii de calcul și editor al "Journal of Mathematics of Computation". Primele calculatoare erau testate prin raportare la viteza și precizia cu care calculau zecimalele constantei Pi. John Wrench a calculat primele 100 000 de zecimale.

Ion Creangă (1911-1987) - S-a născut la Adâncata (Dorohoi) fiu al unui gospodar, fratele Silviei Creangă. A absolvit Liceul Național din Iași, apoi Facultatea de Științe din Iași, secția de matematică. Din

133 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

anul 1931 a fost angajat asistent la Seminarul Matematic, apoi a fost profesor la Liceul Național din Iași. În perioada 1938-39 a studiat la Roma, unde a susținut teza de doctorat în geometrie diferențială. După anul 1940 a fost conferențiar, profesor și decan la Institutul Politehnic Iași, apoi rector al Universității Al. I. Cuza.

Gordon Danielson (1912-1983) - S-a născut la Dover (Idaho), fiu al unui superintendent la o fabrică de cherestea. A absolvit liceul la Ladner (British Columbia), apoi a studiat fizica la Universitatea British Columbia. A susținut teza de doctorat în anul 1940 la Universitatea Purdue (Indiana). A fost numit profesor la Universitatea Iowa în anul 1948, iar din anul 1964 a fost Profesor Emerit. Lucrări publicate: "Some Improvements in Practical Fourier Analysis and their Application to X-ray Scattering from Liquids" (1942), "Effects of Ordering on the Transport Properties of Sodium Tungsten Bronze" (1967).

Caius Iacob (1912-1992) - S-a născut la Arad, fiu al profesorului universitar Lazăr Iacob (1884-1951). A studiat la Liceul Moise Nicoară din Arad și la Liceul Emanuil Gojdu din Oradea, apoi a obținut licența în matematică la Universitatea București. A continuat studiile la Paris, unde în anul 1935 a susținut teza de doctorat la Facultatea de Științe. Începând cu anul 1938 a fost angajat al Universității din Cluj, unde în anul 1943 a fost numit profesor la catedra de mecanică. După anul 1950 a fost profesor de mecanică la Facultatea de Matematică și Fizică a Universității București. Din anul 1941 a fost membru al Academiei de Științe iar din anul 1963 membru al Academiei Române. Dintre lucrările publicate: "Introducere în mecanica fluidelor" (1952), "Mecanica teoretică" (1980), "Dicționar de matematici generale" (1974).

Nicolae Mihăileanu (1912-1998) - S-a născut la Constanța, fiu de marinar. A absolvit cursurile Liceului Mircea cel Bătrân în anul 1931, apoi cele ale Facultății de Științe din București, în anul 1935, secția matematică. A fost profesor de liceu la Arad, apoi asistent universitar la Timișoara, unde în anul 1949 a susținut teza de doctorat cu titlul "Obiecte geometrice în geometria diferențială". După anul 1953 a fost profesor la Facultatea de Matematică din București. Dintre lucrările publicate: "Complemente de geometrie sintetică" (1965), "Geometrie analitică, proiectivă și diferențială" (1972), "Istoria Matematicii" (1981).

Grigore Gheba (1912-2004) - S-a născut în Vrancea la Poienița, fiu de gospodar. A urmat liceul la Râmnicu Sărat apoi Școala de Ofițeri din Bacău. În anul 1947 a fost prefect al Județului Râmnicu Sărat, apoi a urmat Facultatea de Matematică din București, pentru a deveni cel mai prolific autor de culegeri de probleme de matematică (peste 30 de cărți). Dintre cărțile publicate: "Exerciții și probleme de matematică" (1979), "Culegere de probleme de matematică" (1992), "Teme Fundamentale în Studiul Matematicii" (2003).

Samuel Eilenberg (1913-1998) - S-a născut la Varșovia, fiu al unui productor de bere. A studiat și apoi a susținut teza de doctorat la Universitatea din Varșovia, în anul 1936, cu un subiect din topologie. În anul 1937 a obținut un post la Universitatea Princeton, apoi la Universitatea Michigan. După anul 1946 a fost profesor la Universitatea Indiana și la Universitatea Columbia din New York. Din anul 1986 a fost membru al Academiei Nașionale de Științe. Dintre lucrările publicate: "Automata, Languages and Machines" (1974), "Relations between homology and homotropy groups of spaces" (1945), "Axiomatic approach to homology theory" (1945), "Foundations of algebraic topology" (1952).

Paul Erdos (1913-1996) - S-a născut la Budapesta într-o familie de profesori de matematică. A studiat la Universitatea Budapesta iar din anul 1938 a fost acceptat la Universitatea Princeton, apoi din anul 1955 s-a stabilit în Ungaria. După anul 1973 a călătorit prin lume. A fost un colaborator exhaustiv al principalelor publicații în matematică. Dintre lucrările publicate: "On the density of the abundant numbers" (1934), "Additive arithmetical functions and statistical independence" (1939), "Approximation by polynomials" (1943), "Monotonicity of partition functions" (1956), "Graph theory and probability" (1961), "A theorem on uniform distribution" (1963), "On a new law of large numbers" (1970).

Nicholas Constantine Metropolis (1915-1999) - S-a născut și a studiat la Chicago, unde a absolvit

134 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Universitatea în anul 1936 și a susținut teza de doctorat în anul 1940. Din anul 1948 a fost profesor la Universitatea Chicago, unde a condus un grup de cercetători pentru proiectarea calculatorului MANIAC, pus în funcție în anul 1952. Din anul 1957 a fost director al Institute for Computer Research. A fost membru al American Mathematical Society și al American Academy of Arts and Sciences. Lucrare de referință: "Equation of State Calculations by Fast Computing Machines" (1953).

Kiyosi Ito (1915-2008) - S-a născut la Hokusei (Japonia). A studiat la Universitatea Imperială din Tokyo pentru a fi apoi angajat la Cabinetul Biroului de Statistică. Din anul 1952 a fost profesor la Universitatea Kyoto. A petrecut lungi perioade de timp și la Universitățile Cornell, Stanford, Princeton și Aarhus. A fost membru al Academiilor de Știință din Japonia, Franța și SUA. Dintre lucrările publicate: "On the Probability Distribution on a Compact Group" (1940), "Stochastic integral" (1944), "Stochastic differential equations in a differentiable manifold" (1950), "Foundations of Stochastic Differential Equations in Infinite Dimensional Spaces" (1984).

Kunihiko Kodaira (1915-1997) - S-a născut la Tokyo, unde a absolvit Facultatea de Fizică în anul 1938 și a susținut teza de doctorat în anul 1949, cu o teză intitulată "Harmonic fields in Riemannian manifolds". A fost angajat la Universitatea din Tokyo, apoi la Universitatea Princeton (New Jersey). După anul 1961 a funcționat ca profesor la John Hopkins University, apoi la Stanford University. După anul 1967 s-a întors la Univesitatea din Tokyo. A fost membru al Academilor de Știință din Japonia, Gottingen și SUA. Dintre lucrările publicate: "Complex manifolds" (1971), "Complex manifolds and deformation of complex structures" (1981), "Complex Analysis" (2007).

John Tukey (1915-2000) - S-a născut la New Bedford (Massachusetts), fiu al unui profesor de limba Latină. A studiat la Universitatea Brown (Rhode Island), apoi la Universitatea Princeton, unde a susținut teza de doctorat în matematică. Începând cu anul 1965 a fost profesor la departamentul de statistică al Universității Princeton. Dintre lucrările publicate: "Exploratory Data Analysis" (1977), "Understanding Robust and Exploratory Data Analysis" (1983), "Exploring Data Tables", "Trends and Shapes" (1985), "Graphical Analysis of Multiresponse Data" (1998).

Claude Elwood Shanon (1916-2001) - S-a născut la Gaylord (Michigan), fiu al unui judecător și al unei profesoare. A studiat la Colegiul și la Universitatea Michigan și a susținut teza de doctorat în anul 1940 cu un studiu teoretic despre algebra combinațiilor genetice. În același an a fost acceptat la Institute for Advanced Studies de la Universitatea Princeton. După cercetări în criptografie s-a specializat în teoria informației și a comunicației, pentru laboratoarele Bell. A inventat și proiectat microcalculatoare portabile și mici automate electromecanice. Dintre lucrările publicate: "An Algebra for Theoretical Genetics" (1940), "A Matemathical Theory of Cryptography" (1945), "Programming a Computer for playing Chess" (1949), "A Mathematical Theory of Communication" (1949).

Gheorghe Galbură (1916 - ) - S-a născut la Orhei (Moldova), fiu de gospodar. A studiat la Bacău, apoi la Facultatea de Matematică a Universității București. După anul 1939 a continuat studiile la Roma unde a susținut teza de doctorat în anul 1942. Din anul 1950 a fost conferențiat la Universitatea București, apoi șef de sector la Institutul de Matematică al Academiei. Dintre lucrările publicate: "Algebra modernă" (1948), "Algebră" (1972), "Geometrie" (1979).

Atle Selberg (1917-2007) - S-a născut la Langesund (Norvegia), fiu al unui matematician și al unei profesoare. A studiat la universitatea din Oslo, unde a susținut teza de doctorat în anul 1943. Din anul 1950 a fost cercetător la Institutul de Studii Avansate de la Universitatea Princeton (New Jersey). A fost membru al Acedemiilor de Științe din Norvegia, Danemarca și SUA. Dintre lucrările publicate: ȚRemarks on a multiple integral" (1944), "On an elementary method in the theory of primes" (1947), "An Elementary Proof of the Prime Number Theorem" (1949).

135 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Daniel Shanks (1917-1996) - S-a născut la Chicago, unde în anul 1937 a obținut licența în fizică la Universitatea Chicago. În anul 1954 a susținut teza de doctorat în matematică la Universitatea Maryland. A lucrat ca fizician la Naval Ordonance Laboratory, apoi la National Bureau of Standards. Din anul 1976 a fost profesor la Universitatea Maryland. Începând cu anul 1959 a fost editor la Mathematics Computation. Lucrări publicate: "Non linear transformations of divergent and slowly convergent sequences" (1955), "The simplest cubic fields" (1974), "Dihedral quartic approximations and series for Pi" (1982), "Solved and unsolved problems in number theory" (1962).

Kenkichi Iwasawa (1917-1998) - S-a născut în orașul Shinshuku (Japonia) unde a făcut și studiile elementare. Apoi a studiat la Colegiul Musashi și la Universitatea Imperială din Tokyo unde a rămas ca asistent universitar la Departamentul de Matematică. A susținut teza de doctorat în anul 1945. În anul 1950 a fost invitat la Universitatea Cambridge Massachusets iar din anul 1952 a fost angajat la Massachusetts Institute of Thechnology. După anul 1967 a fost profesor de matematică la Universitatea Princeton (New Jersey). Cărți publicate: "On Gama extensions of algebraic number fields" (1959), "Lectures on p-adic L-functions" (1972), "Local class field theory" (1986), "Algebraic functions" (1993).

Edward Norton Lorenz (1917-2008) - S-a născut la West Hartford (Connecticut), fiu al unui inginer mecanic. A studiat la Darmouth College (New Hampshire) și a obținut licența în matematică în anul 1940, la Universitatea Harvard. În anul 1943 a fost licențiat ca meteorolog la Massachusetts Institute of Technology, unde a susținut teza de doctorat cu un subiect din meteorologie și a fost angajat în cercetare. A fost membru al Academiilor de Științe din SUA, Norvegia și Suedia. Dintre lucrările publicate: "Deterministic nonperiodic flow" (1963), "The nature and theory of the general circulation of atmosphere" (1967), "Three approaches to atmospheric predictability" (1969), "Nondeterministic theories of climate change" (1976), "Designing Chaotic Models" (2005).

Educația gratuită (1918) - Primul stat din lume care a organizat învățământ superior gratuit a fost Rusia, în urma unui decret potrivit căruia tinerii muncitori se puteau înscrie gratuit la facultăți, începând cu vârsta de 16 ani, indiferent de sex, indiferent dacă aveau sau nu acte de absolvire a unei instituții de învățământ mediu. În anul 1917 în Rusia erau în funcție ceva mai mult de 150 de universități.

Vera Kublanovsakya (1920-2012) - S-a născut la Krokhona (Oblast - Rusia) într-o familie de fermieri și pescari. A absolvit studiile superioare în anul 1939 la Institutul Pedagogic din Leningrad, apoi a studiat matematica la Universitatea Leningrad. Din anul 1948 a fost angajată la Institutul de Matematică Steklov de pe lângă Academia de Științe a URSS. În anul 1955 a susținut prima teză de doctorat în analiză numerică, urmată de o a doua teză, în anul 1972, cu un subiect despre transformările ortogonale în algebră. Dintre lucrările publicate: "Solution of linear algebraic systems with rectangular matrices" (1968), "Rank division algorithms and their applications" (1992), "An approach to solving nonliniar algebric systems" (1992), "To solving problems of algebra for two parameter matrices" (2012).

Lofti Aliasker Zadeh (1921-2017) - S-a născut la Baku (Azerbaijan), fiu al unui jurnalist și al unei pediatre din Iran. A studiat la Baku, apoi la Universitatea Teheran pentru a deveni inginer electric. În anul 1944 s-a înscris la Massachussetts Institute of Technology, apoi din anul 1946 la Columbia University, unde trei ani mai târziu a susținut teza de doctorat și a devenit profesor asociat. Din anul 1957 a fost profesor la Universitatea Berkley (California). A fost membru al Academiilor de Știință din SUA, Azerbaijan, Bulgaria, Finlanda, Korea și Polonia. Dintre lucrările publicate: "Fuzzy sets" (1965), "Fuzzy logic and its application to approximate reasoning" (1974), "From computing with numbers to computing with words" (2002).

Isadore Manuel Singer (1924) - S-a născut la Detroit, într-o familie de emigranți din Polonia. A studiat la Universitatea Michigan, apoi la Universitatea Chicago, unde a susținut teza de doctorat în anul 1950. A fost

136 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

angajat ca instructor la Massachusetts Institute of Technology, apoi ca profesor la Universitatea Berkley din Los Angeles. A fost membru al Academiilor de Știință din SUA și Norvegia. Dintre lucrările publicate: "A theorem on holonomy" (1953), "Some remarks on representations of connected groups" (1954), "Function values as boundary integrals" (1954), "Quantum field theory, supersymmetry and enumerative geometry" (2006).

Benoit Mandelbrot (1924-2010) - S-a născut la Varșovia, nepot al matematicianului Szolem Mandelbrojt. De la vâsta de 12 ani a studiat la Paris și Lyon, apoi la Ecole Polytechnique. Între anii 1947-49 a studiat la California Institute of Technology unde a obținut licența în aeronautică. A susținut teza de doctorat în matematică la Paris, în anul 1952. Timp de 35 ani a fost angajat la IBM (International Business Machine Corporation) din New York. Dintre lucrările publicate: "The Fractal Geometry of Nature" (1982), "Fractales, hasard et finance" (1998), "Fractals and Chaos" (2004).

Martin David Kruskal (1925-2006) - S-a născut la New York, fiu al unui comerciant de succes. A studiat la Universitatea Chicago și la Universitatea New York, unde a susținut teza de doctorat în anul 1952. A fost cercetător la Plasma Physics Laboratory, profesor de astronomie și apoi profesor de matematică la Universitatea Princeton. După anul 1989 a fost profesor la Universitatea Rutgers (New Jersey). Din anul 1997 a fost membru al Royal Society iar din anul 2000 a fost membru al Academiei de Arte și Științe din Rusia. Dintre lucrările publicate: "Exact nonlinear plasma oscillations" (1957), "Theory of turbulence" (1966), "Solitary Wave Collisions" (1979), "Borel summation of adiabatic invariants" (2004).

Solomon Marcus (1925-2016) - S-a născut la Bacău, fiu de croitor. A absolvit liceul la Bacău, apoi în anul 1950 a obținut licența în matematică la Universitatea din București. A fost reținut ca asistent la Facultatea de Matematică, unde a fost numit profesor în anul 1966. A susținut teza de doctorat în anul 1956 și cea de docent în anul 1968. Din anul 2001 a fost membru al Academiei Române. Dintre lucrările publicate: "Lingvistica matematică" (1963), "Gramatici și automate finite" (1964), "Analiză matematică" (1980), "Poetica matematică" (1970), "Metode matematice în problematica dezvoltării" (1982), "Gândirea algoritmică" (1982), "Dicționar de Analiză Matematică" (1989), "Paradigme universale" (2016).

Dimitrie Stancu (1927-2014) - S-a născut în Timiș, la Călacea, fiu de muncitor. A urmat cursurile primare la Sânicolau Mic, apoi cele gimnaziale la Arad, unde a absolvit apoi cursurile Liceului Moise Nicoară. După anul 1948 a continuat studiile la Facultatea de Matematică de la Universitatea din Cluj și a susținut teza de doctorat în anul 1956. Începând cu anul 1968 a fost profesor, apoi prodecan al Facultății de Matematică și sef al Catedrei de calcul numeric și statistic. Dintre lucrările publicate: "A general interpolation formula" (1965), "Folosirea interpolării liniare pentru construirea unei clase de polinoame Bernstein" (1976), "Methods for construction of linear positive operators for approximation" (2002)

Michael Francis Atiyah (1929-2019) - S-a născut la Hampstead (London), fiu al unui inginer de comunicații din Liban. A început studiile primare la Khartoum (Sudan), Cairo și Alexandria (Egipt), apoi a continuat studiile în Anglia la Manchester și Cambridge. A susținut teza de doctorat în anul 1955 la Universitatea Cambridge, unde lucra în cercetare. Din anul 1963 a fost profesor de geometrie la Universitatea Oxford. A fost președintele Societății de Matematică din Londra între anii 1974-76 și al Royal Society între anii 1990-1995. Dintre lucrările publicate: "Introduction to commutative algebra" (1969), "Vector fields on manifolds" (1970), "Elliptic operators and compact groups" (1974), "The geometry and dynamics of magnetic monopoles" (1988).

Lazăr Dragoș (1930-2009) - S-a născut în satul Ursad (Bihor), fiu al unui gospodar. A urmat studiile liceale la Liceul Samuil Vulcan din Beiuș, apoi cursurile Facultății de Matematică de la Universitatea București. Din anul 1955 a fost asistent, apoi lector la Facultatea de Matematică. În anul 1964 a susținut teza de doctorat și a devenit conferențiar, apoi profesor la catedra de Mecanică Teoretică. Din anul 1991 a fost

137 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

membru plin al Academiei Române. Dintre lucrările publicate: "Metode matematice în aerodinamică" (2000), "Mecanica fluidelor" (1999), "Principiile mecanicii analitice" (1976), "Magnetodinamica fluidelor" (1969).

Stephen Smale (1930 - ) - S-a născut la Flint (Michigan), fiu al unui tehnician de la Uzinele General Motors. A studiat la Universitatea Michigan unde a susținut teza de doctorat în anul 1957. Din anul 1958 a fost instructor la Universitatea Chicago, iar din anul 1960 a fost profesor de matematică la Universitatea Berkley din California. A primit numeroase distincții de la universități din lumea întreagă și este membru al Societăților de Matematică din Londra și Moscova. Dintre lucrările publicate: "A survey of some recent developments in differential topology" (1963), "Differentiable dynamical systems" (1967), "On the Efficiency of Algorithms in Analysis" (1985), "Complexity and Real Computation" (1998).

Charles Antony Hoare (1930 - ) - S-a născut la Colombo (Sri Lanka), fiu al unui funcționar civil britanic. A studiat la Colegiile Oxford și Cantebury, apoi a fost licențiat în filozofie la Oxford. În anul 1960 a făcut un schimb de experiență la Universitatea de Stat din Moscova, unde a fost studentul lui Andrey Kolmogorov. Din anul 1968 a fost profesor la Universitatea din Belfast, apoi la Universitatea Oxford. Cărți publicate: "Structured Programming" (1972), "Communicating Sequential Processes" (1985), "Mechanised Reasoning and Hardware Design" (1992), "Unifying Theories of Programming" (1998).

Barajul Hoover Dam (1931) - Construit în Statele Unite ale Americii pe râul Colorado, barajul are înălțimea de 221 metri și lungimea de 1244 metri. Lacul de acumulare format are un volum de 35 kilometri cubi și o suprafață de 640 kilometri pătrați. Hidrocentrala are instalate 13 turbine de 139 MW și 2 turbine de 127 MW pentru o capacitate totală instalată de 2 GW. Centrala produce anual circa 4,2 TWoră. Este cel mai vechi baraj de mari dimensiuni din ]ntreaga lume aflat încă în exploatare. Pentru ridicarea lui s-au utilizat peste 3 milioane de metri cubi de beton armat și circa 937 kilometri de țevi de răcire.

Petru Mocanu (1931-2016) - S-a născut la Brăila, unde a urmat studiile elementare și cele liceale. Din anul 1950 a fost studentul Facultății de Matematică din Cluj, unde a susținut teza de doctorat și a fost apoi reținut ca asistent universitar. Începând cu anul 1970 a fost profesor la catedra de Analiză Complexă. A fost redactor șef al revistei Mathematica, decan al Facultății de Matematică, prorector al Universității Babeș Bolyai, membru al Academiei Române din anul 2009. Dintre cele peste 180 de lucrări publicate: "Analiză matematică" (1982), "Teoria geometrică a funcțiilor univalente" (1999), "Funcții complexe" (2001), "Capitole speciale de analiză complexă" (2005).

John Milnor (1931- ) - S-a născut la Orange (New Jersey), fiu al unui inginer electric de la Western Union Telegraph Company. A studiat la Universitatea Princeton, unde a susținut teza de doctorat în anul 1954. Începând cu anul 1970 a fost profesor la "Institute for Advanced Study". A studiat geometria diferențială a structurilor sferoidale complexe cu geometrie ne-Euclidiană pentru care a propus un model matematic cu șapte dimensiuni de analiză. A fost editor la revista "Annals of Mathematics" și președinte al American Mathematical Society. Dintre lucrările publicate: "Morse Theory" (1963), "Introduction to algebraic K-theory" (1971), "Symmetric bilinear forms" (1973), "Topology from the differentiable viewpoint" (1965), "Lectures on Differential Topology" (2007).

Gloria Conyers Hewitt (1935- ) - S-a născut la Sumter (South Carolina). A studiat la Univesitatea Nashville (Tennessee). În anul 1962 a susținut teza de doctorat în matematică la Universitatea Washington. Începând cu anul 1961 a ocupat un post la Universitatea Montana iar din anul 1972 a fost profesor plin. Dintre lucrările publicate: "A one model approach to group theory" (1978), "Limits in certain classes of abstract algebras" (1967), "The existence of free unions in classes of abstract algebras" (1963).

Ion Văduva (1936 - ) - S-a născut în Vâlcea, la Cârstănești, fiu de gospodar. A urmat studiile elementare în satul natal, apoi la Râmnicu Vâlcea. În anul 1960 a absolvit Facultatea de Matematică și Informatică

138 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

București, unde în anul 1968 a susținut teza de doctorat. A fost cercetător la Institutul de Matematică și la Centrul de Statistică Matematică. Din anul 1970 a fost profesor la Facultatea de Matematică și Informatică din București. Dintre lucrările publicate: "Dicționar statistic economic" (1969), "Metodele de simulare cu calculatorul" (1977), "Sisteme informatice" (1981), "Pascal și turbo Pascal" (1992), "Bazele informaticii" (1997), "Modele de simulare" (2004).

Dan Brânzei (1942 - 2012) - S-a născut la Iași, fiu al profesorului de psihiatrie Petre Brânzei. A studiat la Liceul C. Negruzzi din localitate, apoi la Facultatea de Matematică de la Universitatea Iași. A susținut teza de doctorat în anul 1976, iar din anul 1980 a fost conferențiar în cadrul aceleiași universități. Dintre lucrările publicate: "Introducere în geometrie" (1977), "Bazele raționamentului geometric" (1983), "Metodica predării matematicii" (1995), "Probleme de pivotare" (2012), "Geopovești viitoare. Geometrie transdisciplinară" (2012).

Andrew John Wiles (1953 - ) - S-a născut la Cambridge, fiu al profesorului de teologie Maurice Frank Wiles de la Universitatea Cambridge. A studiat la Colegiul și Universitatea din localitate, dar și la Merton College Oxford. În anul 1981 a fost numit profesor de matematică la Universitatea Princeton (New Jersey). Din anul 1990 este membru al Royal Society și profesor la Universitatea Oxford. Dintre lucrările publicate: "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (1995), "Ordinary representations and modular forms" (1997), "On class groups of imaginary quadratic fields" (2014).

Gerd Faltings (1954 -) - S-a născut la Geselnkirchen (Westphallia), fiu al unor savanți, doctori în fizică și chimie. A studiat la Liceul Max Plank din localitate, apoi la Universitatea Munster, unde a susținut teza de doctorat în anul 1978. Din anul 1982 a fost profesor la Universitatea Wuppertal, iar între anii 1985-1994 a fost profesor la Universitatea Princeton (New Jersey). Din anul 1994 este director al Institutului Max Plank din Bonn. Dintre lucrările publicate: "A Contribution to the Theory of Formal Meromorphic Functions" (1980), "Semi-stable vector bundles on Mumford curves" (1983), "A proof of the Verlinde formula" (1994)

Sputnik 1 (1957) - Primul satelit artificial al Pământului a fost lansat pe orbită de Uniunea Sovietică la data de 4 Octombrie 1957. Satelitul a transmis continuu timp de trei săptămâni, până când și-a epuizat bateriile. A rămas pe orbită încă două luni, după care s-a dezintegrat în atmosferă. Semnalul lui radio a putut fi detectat de toți radioamatorii de pe glob. A fost lansat din Republica Kazacă, de pe Cosmodromul Baikonur, intrat în activitate la data de 2 Iunie 1955 pentru teste cu rachete balistice. Sputnik 1 a călătorit prin spațiul cosmic cu o viteză de 29 000 de kilometri pe oră, pentru a face ocolul Pământului în 96 de minute. Călătoria totală a acoperit circa 70 de milioane de kilometri în cele 1440 de rotații în jurul Pământului.

Explorarea planetei Venus (1961) - Prima sondă spațială spre planeta Venus, denumită Venera 1, a fost lansată de pe cosmodromul Baikonur în cadrul misiunii Sputnik 8, la data de 19 Februarie 1961. Cu o greutate utilă de 643,5 kg, sonda a trecut la o distanță de aproximativ 100 000 de km de planeta Venus. A fost prima misiune spațială care a identificat și a colectat date despre vântul solar

Yuri Alekseyevich Gagarin (1961) - La data de 12 Aprilie 1961, cosmonautul sovietic Yuri Gagarin (1934-1968) a fost primul om care a călătorit în spațiul cosmic, la bordul capsulei Vostok 1, lansată cu ajutorul unei rachete balistice de pe cosmodromul Baikonur. După un zbor de 108 minute, capsula a completat un ocol complet al Pământului, apoi a reintrat în atmosferă și a căzut în Kazakhstan. Pilotul, Yuri Gagarin a fost ejectat la altitudinea de 7000 metri și a ajuns la sol cu ajutorul unei parașute. Yuri Gagarin a murit în anul 1968, în timpul unui zbor de încercare la bordul unui avion de tip MIG-15UTI.

Misiunea Mariner 2 (1962) - Prima misiune americană spre planeta Venus a fost lansată la data de 27 August 1962, de pe cosmodromul Cape Canaveral, în cadrul unei misiuni conduse de Jet Propulsion Laboratory. Cu o greutate utilă de 202,8 kg, sonda spațială a trecut la o distanță de 34 773 km de planeta

139 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

Venus și a făcut măsurători radiometrice de temperatură. A identificat temperaturi foarte ridicate la suprafața planetei.

Misiunea Mariner 4 (1964) - Lansată la data de 28 Noiembrie 1964 de la Cape Canaveral, sonda Mariner 4 cu o greutate de 260 kg a efectuat primul zbor de recunoaștere în apropierea planetei Marte și a realizat primele fotografii ale unei alte planete, așa cum este văzută din spațiul cosmic. Zborul a durat 7 luni și jumătate pentru ca sonda să treacă la 9 846 km de planeta Marte, la data de 14 Iulie 1965, distanța dintre cele două planete fiind în acel moment de 216 milioane de kilometri. Sonda a efectuat și transmis 22 de fotografii alb negru, apoi și-a încheiat transmisiunile la 21 Decembrie 1967, după ce o ploaie de micrometeoriți a deteriorat sistemul de comunicații.

Misiunea Apollo 11 (1969) - La data de 20 Iulie 1969, ora 20 și 17 minute, cosmonautul american Neil Armstrong a fost primul om care a pășit pe Lună. După 17 minute a fost urmat de colegul său Buzz Aldrin. Împreună au colectat de pe suprafața Lunii 21,5 kilograme de roci și material lunar. Misiunea Apollo 11 a fost lansată la data de 16 Iulie, de pe cosmodromul Kenedy Space Center, la bordul unei rachete de tip Saturn V, cu o greutate totală de 45 702 kg. După 21 ore și 36 de minute petrecute pe suprafața Lunară, modulul Lunar cu greutatea de 15 200 kg, dintre care 4 280 kg masă utilă și 11 000 kg combustibil, a decolat și apoi s-a reunit cu modulul Columbia, aflat pe orbita lunară. După alte trei zile, la data de 24 Iulie, ora 16 și 50 minute, astronauții americani au reintrat în atmosferă și au aterizat în siguranță în Oceanul Pacific.

Barajul Guri (1969) - Construit în Venezuela, barajul de pe râul Caroni are înălțimea de 162 metri și lungimea de 7426 metri. Lacul de acumulare format are o capacitate totală de 135 kilometri cubi și o suprafață de 4250 kilometri pătrați. Hidrocentrala are instalate zece turbine a câte 725 MW, pentru o capacitate totală de 10 GW. Producția anuală este de circa 47 TWhoră.

Misiunea Venera-7 (1970) - La data de 17 August 1970 a fost lansată de pe cosmodromul Baikonur sonda Venera-7, cu o greutate totală de 1180 kg, dintre care un modul de 500 kg a fost parașutat la suprafața planetei, unde a supraviețuit și a transmis date timp de 20 de minute. Modulul a fost supus la presiuni de 180 bari (18 000 kPa) și la temperaturi de 580 grade Clesius. La suprafața planetei a identificat o atmosferă formată din bioxid de carbon, în proporție de 97 % și o temperatură de 475 grade Celsius.

Barajul Aswan (1970) - Construit în Egipt pe fluviul Nil, barajul are înălțimea de 111 metri, lungimea de 3830 metri, cu o lățime la bază de 980 metri. Lacul de acumulare format are un volum de 132 kilometri cubi și o suprafață de 5250 kilometri pătrați. Este cel mai mare lac de acumulare creat prin munca omului. Hidrocentrala are instalate 12 turbine de 175 MW, pentru o capacitate totală instalată de 2,1 GW și o producție anuală medie de 10,2 TWoră. Pentru irigații se utilizează anual aproape jumătate din volumul de apă, adică circa 55 kilometri cubi, pentru o suprafață totală irigată de 336 000 kilometri pătrați, stabilind astfel recordul și pentru cel mai amplu sistem de irigații.

Misiunea Mariner 9 (1971) - Sonda spațială Mariner 9 cu o greutate totală de 998 kg a fost lansată la data de 30 Mai 1971, de la Cape Canaveral, pentru a explora suprafața planetei Marte. La data de 14 Noiembrie 1971, sonda s-a plasat pe orbită în jurul planetei Marte, unde a rezistat timp de 349 de zile și a expediat 7 329 imagini, ce acoperă circa 80 % din suprafața planetei. În acest interval, o furtună de nisip a cuprins întreaga planetă și a durat câteva luni. Au fost fotografiați și cei doi sateliți naturali ai planetei, Phobos și Demos. Sonda a fost dezafectată la data de 27 Octombrie 1972, dar a rămas pe o orbită necontrolată. Va cădea în atmosfera marțiană după anul 2022.

Misiunea Mars 2 (1971) - A fost lansată de pe cosmodromul Baikonur la data de 19 Mai 1971 pentru a explora planeta Marte. Cu o greutate totală de 4650, dintre care un modul orbital de 3440 kg și un modul planetar de 1210 kg, sonda a ajuns la destinație cu două săptămâni în urma misiunii americane. Ca urmare a

140 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

unei furtuni de nisip, datele transmise au fost în mare parte compromise iar modulul planetar s-a prăbușit liber, fără a putea încheia misiunea. Modulul orbital a efectuat însă 362 de orbite complete și a transmis un set de 60 fotografii, până la data de 22 August 1972. Au fost identificate temperaturi la suprafața planetei între -110 și +13 grade Celsius și o presiune de 5-6 mbari (0,55 KPa) cu o concentrație de vapori de 5000 de ori mai mică decât pe Pământ. Misiunea Mars 3, lansată zece zile mai târziu a avut un parcurs identic, cu deosebirea că modulul planetar a fost depus în condiții optime la suprafața planetei. După 20 de secunde de transmisie a fost însă avariat de furtuna de nisip.

Barajul Porțile de Fier I (1972) - Construit de România în Parteneriat cu Yugoslavia, barajul de pe fluviul Dunărea are înălțimea de 60 metri și lungimea de 1278 metri, cu o înălțime a celor două ecluze de 53 metri. Lacul de acumulare format are un volum de 2400 milioane metri cubi și o suprafață de 101 kilometri pătrați, cu un debit de deversare de 15 400 metri cubi pe secundă. Barajul Porțile de Fier I are instalate 12 turbine de 175 MW, pentru o putere totală instalată de 2,16 GW și o producție medie anuală de 5 TWoră. La 15 kilometri în aval se află barajul Porțile de Fier II, finalizat în anul 1986. Hidrocentrala de la Porțile de fier II are 20 de turbine de 27 MW, cu o putere totală instalată de 540 MW.

Misiunea Venera-9 (1975) - Misiunea Venera-9 a fost lansată de pe cosmodromul Baikonur la data de 8 Iunie 1975, cu o greutate totală de 4936 kg, dintre care un modul de 1560 kg a fost parașutat cu succes la suprafața planetei Venus. A fost prima misiune care a expediat o fotografie în timp real de la suprafața planetei. Luminozitatea a fost măsurată la o intensitate de 14 000 lux, similară cu cea de pe Pământ, dar fără expunere directă la razele solare. Sonda a măsurat nori cu grosimea de 30-40 km și a identificat în atmosferă acid clorhidric, acid fluorhidric, bromuri și iod. Presiunea atmosferică a fost de 9100 kilopascali (90 de atmosfere) iar temperatura a fost de 485 grade Celsius.

Misiunea Viking 1 (1975) - Sonda spațială Viking 1, cu o greutate totală de 883 kg, dintre care un modul planetar de 572 kg, a fost lansată de la Cape Canaveral la data de 20 August 1975 și a intrat pe orbita planetei Marte la 19 Iunie 1976. La 20 Iulie 1976 modulul planetar a fost depus cu succes pe suprafața planetei, a început să transmită imagini după 25 de secunde și a continuat să transmită timp de 2306 zile, până la 11 Noiembrie 1982. În acest timp, modulul orbital a parcurs 1485 de revoluții în jurul planetei. În total au fost expediate spre Pământ mai mult de 57 000 imagini orbitale sau de la sol. Analizele de sol nu au identificat compuși organici. Misiunea Viking 2 lansată la 9 Septembrie 1975, a avut un parcurs identic, dar modulul planetar a vizat un crater situat la antipod. În total a expediat 16 000 de imagini și analize mineralogice de sol în care au predominat siliciul și fierul, cu importante proporții de magneziu, aluminiu, sulf, calciu și titan (comparabile cu cele ale rocilor terestre).

Barajul Tarbela (1976) - Construit în Pakistan, barajul de pe râul Indus are înălțimea de 143 metri și lungimea de 2743 metri. Lacul de acumulare format are un volum de 13 kilometri cubi și o suprafață de 250 kilometri pătrați. Hidrocentrala are instalate 10 turbine de 175 MW, 4 turbine de 430 MW și 3 turbine de 470 MW, pentru o putere totală instalată de 4,88 GW. Centrala generează anual circa 15 TWoră. Circa 70 % din apa acumulată nu este însă utilizată pentru producerea de energie electrică, ci pentru irigații.

Barajul Nurek (1980) - Construit de Uniunea Sovietică în Tajikistan, barajul de pe râul Vakhsh are înălțimea de 300 metri și lungimea de 700 metri. Lacul de acumulare format are un volum de 10 kilometri cubi și o suprafață de 98 kilometri pătrați. Hidrocentrala are instalate 9 turbine a câte 335 MW pentru o capacitate totală instalată de 3 GW. O mare parte din apă este utilizată pentru a iriga circa 700 kilometri pătrați de terenuri agricole. Pentru canalul de irigație a fost săpat un tunel, lung de 14 kilometri.

Misiunea Venera-13 (1981) - A fost lansată de pe cosmodromul Baikonur la data de 30 Octombrie 1981, cu o greutate totală de 4 397 kg, dintre care modulul coborât la suprafața planetei avea 760 kg. A fost prima misiune care a transmis imagini panoramice color și a prelevat mostre de la suprafața planetei Venus. Analiza

141 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

sumară a probelor, prin spectrofotometrie cu raxe X, a identificat roci gabroice alcaline, melanocratice (predominent de culoare închisă). Un microfon instalat la bord a înregistrat sunete produse de vânt, primele sunete înregistrate pe o altă planetă.

Barajul Itaipu (1984) - Construit de Brazilia în cooperare cu Paraguay, acest baraj de pe râul Parana are înălțimea de 196 metri și lungimea de 7919 metri. Lacul format are un volum total de 29 kilometri cubi și o suprafață de 1350 kilometri pătrați. Hidrocentrala are instalate 20 de turbine, înalte de 118 metri, cu o putere instalată de 700 MW fiecare, pentru o capacitate totală de 14 GW. Anual, hidrocentrala generează circa 96 TWoră deși funcționează doar la 73 % din capacitate.

Barajul Sayano Shushenskaya (1985) - Construit de Uniunea Sovietică în Republica Khakassia, barajul de pe râul Yenisei are înălțimea de 242 metri și lungimea de 1066 metri. Lacul de acumulare format are un volum de 31 kilometri cubi și suprafața de 621 kilometri pătrați. Hidrocentrala are instalate 10 turbine de 640 MW, pentru o capacitate totală instalată de 6,4 GW și o producție anuală de 23,5 TWoră.

Stația Spațială Mir (1986) - Începând cu data de 20 Februarie 1986, cosmonauții sovietici au asamblat în spațiul cosmic Stația Spațială MIR, un laborator cosmic de microgravitate pentru studii de biologie, fizică, astronomie și meteorologie. Stația a fost locuită de echipaj uman timp de 3644 zile, fără întrerupere, până la data de 23 Aprilie 1996. La bordul ei, cosmonautul Valeri Polyakov a stabilit un record de 437 zile petrecute în spațiul cosmic, fără întrerupere. Formată din 7 module, transportate de programul Salyut, stația a orbitat în jurul Pământului la o altitudine de 296-421 km, cu o viteză de 27 700 km pe oră, efectuând o revoluție completă în 91,9 minute (15,5 orbite complete pe zi). Ca urmare a unor accidente, stația a fost dezafectată și a reintrat în atmosferă la data de 23 martie 2001.

Stația Spațială Internațională (1988) - Este un proiect comun lansat la data de 20 Noiembrie 1988, la care au participat până acum cinci agenții spațiale: NASA (SUA), Roscosmos (Rusia), JAXA (Japonia), ESA (Europa) și CSA (Canada). Stația are în prezent o masă de 420 tone și orbitează în jurul Pământului la altitudinea de 400 km, cu o viteză de 27 600 km/oră pentru a efectua o revoluție completă în 93 de minute (15,5 orbite complete pe zi). Până în prezent stația este compusă din 15 module, dar alte 5 module sunt în pregătire. Este cel mai mare obiect artificial din spațiul cosmic și este vizibilă cu ochiul liber ca urmare a luminii reflectate de panourile foto-voltaice.

Barajul Ataturk (1992) - Construit de Turcia pe râul Eufrat, barajul are înălțimea de 169 metri și lungimea de 1819 metri. Lacul de acumulare format are un volum de 48 kilometri cubi și o suprafață de 817 kilometri pătrați. Hidrocentrala are instalate 8 turbine de 300 MW, pentru o capacitate totală instalată de 2,4 GW și o producție anuală de circa 8,9 TWoră. O parte din apa acumulată se utilizează pentru a iriga 4760 kilometri pătrați de terenuri agricole, apa fiind transportată prin două tuneluri paralele, lungi de 26 kilometri fiecare, cu diametrul de 7,6 metri.

Misiunea Mars Exploration Rover (2003) - Prima misiune complexă pentru explorarea planetei Marte cu ajutorul unor vehicule robotizate a debutat la 10 Iunie 2003 și la 7 Iulie 2003 prin lansarea rachetelor MER-A și MER-B, purtătoare a vehiculelor de explorare Opportunity și Spirit. Ambele module au fost depuse cu succes la suprafața planetei în Ianuarie 2004, la locații diferite. În următorii 5 ani, cele două vehicule au parcurs mai mult de 21 km și au expediat peste 250 000 imagini. În următorii 5 ani, modulul Opportunity a parcurs alți 21 km și deține recordul absolut de deplasare la suprafața unei alte planete. A completat distanța pentru proba de Marathon în 11 ani și 2 luni.

Barajul Three Gorges (2008) - Ridicat în China pe râul Yangtze, barajul realizat din blocuri de beton armat are înălțimea de 181 metri, lungimea de 2335 metri și lățimea de 115 metri la bază, respectiv 40 metri la vârf. Capacitatea totală a lacului de acumulare format este de 39,3 kilometri cubi iar suprafața lacului

142 of 143 6/3/2020 6:24 PM IstoriaMatematicii file:///C:/Programele%20Mele/IstoriaMatematicii/IstoriaMatematicii.html

însumează circa 1045 kilometri pătrați. Hidrocentrala instalată conține 32 de turbine, înalte de 80 metri, cu o putere instalată de câte 700 MW, pentru o capacitate totală de 22,5 GW. În anul 2018, centrala a generat 104 TWoră. Doar pentru baraj s-au utilizat 27 milioane metri cubi de beton, 463 000 tone de oțel și s-au excavat 102 milioane metri cubi de pământ. Costul proiectului a fost estimat la 150 miliarde yuani. A fost amortizat după primii cinci ani de exploatare.

Burj Khalifa (2004-2010) - Cea mai înaltă construcție din toate timpurile, turnul Burj Khalifa are 163 de etaje locuite și înălțimea de 584,5 metri, iar împreună cu antena atinge înălțimea de 829,5 metri. Format din 19 turnuri de tip "zgârie nori" alipite, turnul Burj Khalifa include 900 locuințe, 9 hoteluri, birouri, Dubai Mall cu o suprafață de 12 hectare și un lac artificial. Proiectul a fost patronat și finanțat de Sultanul Khalifa bin Zayed (1948 - ), Președinte al Emiratelor Arabe Unite, împreună cu Sheik-ul Mahomed bin Rashid al Maktoum (1949 - ), conducătorul Emiratului Dubai. În vârful turnului Soarele apune cu trei minute mai târziu decât la bază. Pentru construcție s-au utilizat: 330 000 m3 de beton, 55 000 tone de armături metalice, 24 348 ferestre, cu o suprafață totală de 120 000 m2 sticlă și 22 milioane de ore de muncă. Proiectul a aparținut arhitectului american Adrian Smith (1944 -) iar șeful de șantier a fost inginerul constructor american William Frazier Baker (1953 - ).

143 of 143 6/3/2020 6:24 PM