Het Stomachion Raadsel Van De Puzzel

Home , Archimedes Palimpsest, Ostomachion

Het Stomachion Raadsel van de puzzel

What marvel of antiquity be this, This fabled square of 14 parts comprised? The legends credit Archimedes' wit With clever cuts that render every tile An integer. All sum to twelve by twelve. Solve 18 figures lore has handed down, Like unto tangrams of a later time, And many new designs discovered since. Behold the oldest puzzle ever told, Our heritage of mind, millennia old. Now scholars scramble to decode, with zest, Archimedes much-prized Palimpsest, A scroll long lost, inscribed by his own hands, A rarest find from Greek and Latin lands.

Uit catalogus van Kadon Enterprises

Emma Huig V6A Oktober 2012 – Maart 2013 Meneer R. Deinema Meneer P. de Lange

Inhoudsopgave

Voorwoord 3 Inleiding 4 Het Stomachion 10 Griekse tekst en Nederlandse vertaling 11 Discussie over de tekst 17 Combinatoriek 21 Conclusie 28 Bronvermelding 29 Bijlagen 30

Voorwoord

Als leerling in 6 VWO is het een vereiste om een profielwerkstuk te schrijven. Het is dan aan de leerling zelf om een vak, een onderwerp en een onderzoek te kiezen. Dat vond ik nog niet zo makkelijk. Ik ben toen bij mezelf nagegaan: welk vak doe ik puur en alleen omdat ik het leuk vind en waar wil ik tachtig uur mee bezig zijn? Die vraag reduceerde mijn opties tot Grieks en nog enkele vakken. Ik bedacht me dat ik door een profielwerkstuk te maken over een Griekse wetenschapper wellicht een leuke combinatie kon maken van Grieks, een vak dat ik gewoon leuk vind, en een bètavak, een van mijn profielvakken, om er toch een profielwerkstuk van te maken.

Een Griekse wetenschapper dus. Ik had alleen nog geen idee van wat en hoe. Ik ben toen naar meneer Deinema (klassieke talen) gegaan en heb hem mijn probleem voorgelegd. Op het moment zelf had hij ook nog geen idee, maar kort daarop kwam hij naar me toe met een onderwerp waarover hij recent een boek gelezen had: De Archimedes Palimpsest. Na me een beetje verdiept te hebben in dit onderwerp was ik erg enthousiast geworden. Vooral de puzzel het Stomachion sprak me erg aan, omdat het een wiskundige figuur betreft waar ik wellicht iets mee zou kunnen doen. Meneer De Lange (wiskunde) wilde me graag begeleiden bij het wiskundige deel. Op die manier ben ik uiteindelijk bij dit onderwerp gekomen.

In dit profielwerkstuk zal ik de tekst van het Stomachion vertalen, zal ik een beschouwing geven van de al bekende gegevens en literatuur over het Stomachion en zal ik zo veel als mogelijk de wiskunde achter de puzzel behandelen. Dit zal veel te maken hebben met meetkunde en combinatoriek. Mijn belangrijkste vraag die ik mezelf in dit werkstuk stel is: ‘wat zegt Archimedes nou echt?’. Door eerst de vertaling te maken en daarna de wiskunde achter het Stomachion te beschouwen zal ik een conclusie trekken over wat Archimedes bedoelt en wat er misschien geïnterpreteerd is in de al bekende literatuur over het Stomachion.

Tenslotte mijn dank aan meneer Deinema voor zijn adviezen en enthousiaste begeleiding bij dit werkstuk en aan meneer de Lange die bereid was mij te helpen bij het wiskundige deel.

Inleiding

Een unieke puzzel Dit profielwerkstuk behandelt het Stomachion van Archimedes uit de Archimedes Palimpsest. Het Stomachion is de oudst bekende puzzel ter wereld, ruim 2000 jaar oud. In 1906 dook de Archimedes Palimpsest na lang verdwenen te zijn weer op, maar het was pas in het jaar 1998 dat er een uitgebreid onderzoek naar begonnen werd door het Walters Art Museum in Baltimore, Maryland met als belangrijkste doel het achterhalen van de onleesbare Griekse teksten. Doordat bij dit laatste gebruik wordt gemaakt van de modernste stralingstechnieken zijn de volledige Griekse teksten pas sinds kortgeleden zichtbaar gemaakt. Er zijn dan ook nog geen vertalingen van deze gereconstrueerde teksten uitgegeven. Het team van het Walters Art Museum is op dit moment bezig met de eerste Engelse vertaling en ik presenteer in dit werkstuk de eerste Nederlandse vertaling.

Archimedes van Syracuse Archimedes is een van de belangrijkste wetenschappers uit de klassieke oudheid. Over zijn leven is vrij weinig met zekerheid bekend. Hij zou geboren zijn in 287 v. Chr. In Syracuse, Sicilië, maar ook dit is zeer onzeker. Hij studeerde wiskunde in Alexandrië, Egypte waar hij les kreeg van leerlingen van Euclides. Na zijn studie keerde hij terug naar Syracuse, waar hij zijn onderzoeken op het gebied van wiskunde en fysica voortzette. Archimedes is gedood in 212 v. Chr. bij de inname van Syracuse door de Romeinen. Het verhaal gaat dat een soldaat zijn huis binnendrong waar Archimedes bezig was met een wiskundig probleem. Hierbij had hij cirkels getekend in een zandbak. De soldaat rende door deze zandbak heen, waarop Archimedes riep: ‘ Verstoor mijn cirkels niet!’ Hierop doodde de soldaat Archimedes met zijn zwaard. De Romeinse bevelvoerder Marcus Marcellus was een groot bewonderaar van Archimedes en had opdracht gegeven hem levend naar Rome te brengen. In plaats daarvan werden al zijn geschriften en modellen naar Rome gebracht.

Veel van de werken van Archimedes worden tegenwoordig nog steeds gebruikt. Hier volgen enkelen van zijn ontdekkingen.

Natuurkunde De Wet van Archimedes – ‘Een geheel of gedeeltelijk in een vloeistof gedompeld lichaam ondervindt een opwaartse kracht die gelijk is aan het gewicht van de verplaatste vloeistof.’ Volgens de overleveringen had Archimedes de opdracht gekregen te onderzoeken of de gouden kroon van Hiero II wel van puur goud was. Hij zou in bad het theoretisch bewijs bedacht hebben, waarna hij naakt uit bad sprong en riep: ‘Eureka!’ (‘ευρηκα!’ = ‘Ik heb het gevonden!’). De kroon bleek vervalst en gedeeltelijk van zilver te zijn.

Hefboomwet – arm*gewicht = constant. Zijn bekend kreet luidt: ‘Geef mij een steunpunt en ik til de aarde op’ (‘δοσ µοι που στω και κινω την γην’). Deze natuurkundige ontdekking leidde tot vele toepassingen in de techniek zoals de katapult.

Techniek De Schroef van Archimedes – Hiermee kunnen vloeistoffen en poeders getransporteerd worden. Het transport vindt zowel omhoog als horizontaal plaats.

Afbeelding 1: de Schroef van Archimedes

Zonnespiegel – Het verhaal gaat dat Archimedes door middel van zeer grote spiegels en de reflectie van de zon vijandelijke schepen verbrand zou hebben. Dit experiment is in de afgelopen jaren meerdere malen herhaald en de conclusie was dat het theoretisch mogelijk is, maar in de praktijk niet haalbaar.

Wiskunde Goede benadering van π - 223/71 < π < 22/7 à π is ongeveer 3,1415.

Bepaling van oppervlakten en volumes van diverse meetkundige figuren – hiertoe gebruikte hij een voorloper van integraalrekening, die uitgevonden zou zijn door Eudoxus van Cnidus.

Axioma van Archimedes: Als a < b, dan bestaat er een natuurlijk getal n zodat a*n > b.

Het Zandgetal – Toen Archimedes de omvang van het heelal probeerde te beschrijven, stuitte hij op zeer grote getallen. Om het werken met deze getallen makkelijker te maken bedacht hij een systeem om zeer grote getallen korter op te schrijven. Hij gaf verschillende zeer grote getallen namen, bijvoorbeeld 10.000 = myrias (μυριάς). Voor het aantal zandkorrels dat in het heelal zou passen vond hij: 8 vigintillion, ofwel 8*1063.

Net als vrijwel alle wetenschappers bevond Archimedes zich in een wetenschappelijk circuit. Na zijn studie in Alexandrië bleef hij corresponderen met wetenschappers aldaar en rest van de antieke wereld. Het is waarschijnlijk dat veel van zijn ontdekkingen niet enkel en alleen door hem zelf zijn gedaan, maar dat het uitgewerkte versies zijn van ontdekkingen van anderen. Dit is gebruikelijk in de wetenschap en vindt heden ten dage ook plaats.

Geschriften Archimedes schreef de resultaten van zijn onderzoeken op in monografieën. Geen enkel overgeleverd geschrift is echter van de hand van Archimedes zelf. Vaak zijn het onvolledige vertalingen of bewerkingen. - Het evenwicht in het platte vlak - Drijvende lichamen - Methode - Spiralen - Bol en cilinder - Cirkelmeting - Stomachion - Over conoïden en spheroïden - Kwadratuur van de parabool - Rundvee-probleem - Zandrekenaar

Waarschijnlijk waren er oorspronkelijk nog veel meer geschriften van Archimedes, maar die zijn verloren gegaan. Dit weten we omdat er in geschriften van andere wetenschappers aan gerefereerd wordt.

De Archimedes Palimpsest Een palimpsest is een hergebruikt stuk perkament (bewerkte dierenhuid) waarvan de oorspronkelijke tekst onleesbaar is gemaakt. Het woord komt van de Griekse woorden παλιν (wederom) en ψηστοσ (vervoeging van ψαω: ik wrijf). In de Archimedes Palimpsest staan enkele ‘verborgen teksten’ van Archimedes. De stukken perkament zijn in de dertiende eeuw hergebruikt om een gebedenboek van te maken. Alleen met de modernste chemische technieken zijn deze teksten nog zichtbaar te maken. Hier volgt een chronologisch overzicht van de Archimedes Palimpsest (bronnen 5 en 17).

Ca. 287 – 212 v. Chr. – Archimedes schrijft zijn monografieën op papyrusrollen. 212 v. Chr. – 1000 n. Chr. – De originele geschriften van Archimedes zijn verloren gegaan, maar onbekende personen hebben ze enkele malen overgeschreven op andere papyrusrollen. Ca. 1000 – Een onbekende schrijver in Constantinopel (het huidige Istanbul) kopieert de geschriften met bijbehorende figuren en berekeningen op perkament, en voegt ze samen tot een boek. Ca. 1200 – Een christelijke monnik schrijft in het Grieks gebeden over de geschriften van Archimedes heen en maakt er een gebedenboek van. Ca. 1200 -1906 – Eeuwenlang wordt het boek gebruikt door de christelijke kerk en uiteindelijk komt het terecht in het Mar Saba klooster in Constantinopel, waar het verscheidene rampen overleeft, waaronder de Vierde Kruistocht in 1204, waarbij Constantinopel is geplunderd. 1906 – De Deense filoloog (tak van taalkunde die zich richt op dode talen) Johan Ludvig Heiberg ontdekt het manuscript in de bibliotheek van de Heilige Grafkerk in Istanbul. Hij herkent de onderliggende laag tekst als geschriften van Archimedes en fotografeert iedere bladzijde. Hiervan vertaalt hij wat hij kan lezen met als enige hulpmiddel een vergrootglas.

1907 – 1930 – De Palimpsest raakt zoek en is waarschijnlijk gestolen. In deze tijd schildert een vervalser met bladgoud kopieën van middeleeuwse portretten van de evangelisten op vier bladzijden van het boek, zich niet realiserend dat er geschriften van Archimedes onder zitten. Ca. 1930 – Een Franse verzamelaar Marie Louis Sirieix reist naar Istanbul waar hij de Palimpsest van een plaatselijke handelaar verkrijgt. Het manuscript blijft vervolgens tientallen jaren verborgen in Paris. Ca. 1970 – Erfgename Anne Guersan onderneemt stappen om de Palimpsest te restaureren. De hiervoor gebruikte poly(vinyl)acetaat-lijm (PVAC) heeft het manuscript echter, in plaats van het te verbeteren, geen goed gedaan en heeft de problemen voor de latere ontcijferaars alleen maar vergroot. 1971 – Nigel Wilson, een professor klassieke talen in Oxford, herkent een stuk perkament als een bladzijde van de vermiste Archimedes Palimpsest, die Heiberg 65 jaar eerder gefotografeerd heeft. 1991 – De Franse eigenaren van de Archimedes Palimpsest vragen een expert bij het kunstveiling huis Christie’s in Parijs om een taxatie van het manuscript. De taxateur ontdekt dat dit het verloren Palimpsest van Archimedes is en schat het op een waarde tussen $ 800.000 en $ 1,2 miljoen. 1998 – Het manuscript wordt geveild bij Christie’s voor $ 2 miljoen aan een onbekende particulier. De andere gegadigde, de Griekse staat, vist achter het net. 1998 – heden – De onbekende eigenaar leent het manuscript aan het Walters Art Museum in Baltimore, Maryland, waar een compleet team werkt aan het achterhalen en vertalen van de teksten.

Het originele document De kopiist uit de tiende eeuw was schrijver van beroep en gewend aan het overschrijven van oude teksten. Bij het overschrijven van de monografieën van Archimedes, die onder andere een brief aan Eratosthenes bevatte, hield hij zich aan een strak schema: elk folio was ongeveer 30 bij 19,5 cm; hij schreef de tekst in twee kolommen, elke kolom 35 regels lang. Ook gebruikte hij ruime marges, dus waren de kolommen in totaal 24 cm hoog en 14,5 cm breed. Mogelijk heeft deze kopiist, waarvan wij nu het werk overgeleverd gekregen hebben, een ander document uit de zesde eeuw overgeschreven, maar dit is zeer onzeker. Wat ook onduidelijk is, is of dit tiende-eeuwse manuscript oorspronkelijk meer teksten van Archimedes bevatte. Het huidige manuscript bevat de volgende teksten van Archimedes. 1. Evenwicht in het platte vlak (alleen het laatste deel) 2. Drijvende lichamen 3. Methode 4. Spiralen 5. Bol en cilinder 6. Cirkelmeting 7. Stomachion (alleen het begin)

Het maken van een palimpsest Bij het ‘hergebruiken’ van Archimedes’ geschriften is de kopiist uit de dertiende eeuw volgens een standaard schema te werk gegaan. Eerst heeft hij de folio’s van elkaar losgemaakt door de stiksels door te snijden. Daarna volgde het onleesbaar maken van de teksten. Dit is waarschijnlijk gebeurd door middel van een zuur mengsel. In de

Archimedes Codex wordt genoemd dat dit zelfs met sinaasappelsap en een spons mogelijk is. De geschriften van Archimedes zijn waarschijnlijk ook nog afgeschuurd met puimsteen. Wat een kopiist daarna deed was een folio langs de vouwlijn in tweeën snijden. Gelukkig heeft hij ze verder niet bijgesneden, zodat er geen inktsporen van de geschriften van Archimedes verdwenen zijn. Vervolgens draaide hij de ‘halve folio’s’, vouwde ze in het midden en maakte er zo een ‘nieuw’ boek van (afbeelding 2). Als gevolg hiervan staan de gebeden onder een hoek van 90˚ met de tekst van Archimedes (zie ook bijlage 1).

Afbeelding 2: hoe een palimpsest gemaakt wordt

Het achterhalen van de verborgen teksten Het manuscript heeft in de loop van de eeuwen veel te lijden gehad. Het is aangetast door schimmel, vuur en vocht. Bovendien hebben allerlei kopiisten, vervalsers en ‘restaurateurs’ hun steentje bijgedragen aan het verknoeien van dit eeuwenoude geschrift. Het mag dus een wonder heten dat we überhaupt nog iets over hebben van de Archimedes Palimpsest!

Abigail Quandt is hoofd van het Walters-laboratorium voor boeken papierconservering en heeft een belangrijke rol gespeeld bij het achterhalen van de teksten van Archimedes. Ze ontdekte dat het document er extreem slecht aan toe was door voornamelijk de inwerking van schimmel op het perkament, maar ook door het gebruik van PVAC omdat dit uitzet als het in contact komt met water en alcohol en als het eenmaal is opgedroogd is het onmogelijk het weer op te lossen. Het grote probleem was dat voornamelijk de rug van het manuscript behandeld was met PVAC, terwijl juist dat de stukken waren die door Heiberg niet gelezen konden worden. Abigail is in staat gebleken de folio’s van elkaar los te halen zonder al te veel beschadigingen aan te richten. Ze bestreek het perkament bij de rug van het boek met een mengsel van isopropanol en water waardoor het soepel werd en de folio’s losgehaald en gladgestreken konden worden.

Nu volgde het zichtbaar maken van de tekst door middel van lichttechnieken (zie bron 18). Hiervoor werd eerst ultraviolette straling gebruikt, maar later ook röntgenstraling. Hiervoor werd geen gewone röntgenstraling gebruikt, maar synchrotronstraling die wordt geproduceerd door een synchrotron (zie bron 19) en die veel krachtiger straling uitzendt dan gewone röntgenstraling. Een synchrotron is een soort deeltjesversneller. Het probleem met deze straling is dat het perkament mogelijk kan beschadigen. Hiermee zijn door het Canadian Conservation Institute proeven uitgevoerd om te zien hoe het perkament reageert op blootstelling aan deze röntgenstraling. Zoals blijkt uit bron 20 is dit effect te verwaarlozen.

Het Stomachion

Het Stomachion is een geometrische puzzel bestaande uit veertien verschillende puzzelstukjes. Het is met ruim 2000 jaar oud de oudste puzzel die bekend is. Voorheen werd, aldus Netz en Noel, door Heiberg aangenomen dat het doel van de puzzel was om zo veel mogelijk figuren met de verschillende stukjes te vormen. Het Stomachion zou verwant zijn aan de Chinese tangram: een vergelijkbare puzzel waarmee allerlei figuren te vormen zijn, bedoeld als spelletje. Andere wetenschappers zoals James Gow in zijn boek Short History of Greek Mathematics (1884), waren van mening dat het de bedoeling was de puzzelstukjes op zoveel mogelijk manieren terug in het vierkant te krijgen.

Netz en Noel beschrijven in hun boek (bron 5) dat na de reconstructie van de tekst van het Stomachion in de Archimedes Palimpsest is gebleken dat Archimedes doelde op de laatste vorm en dat we dus te maken hebben met serieuze combinatoriek en niet zomaar een spelletje. De inhoud van het Griekse manuscript bevat de wiskundige uitleg rondom de figuur. Na de inleiding waarin Archimedes uitleg geeft over het gebruik van het Stomachion, volgt een uiteenlegging van de verschillende puzzelstukken. De tekst is echter verre van volledig. Het grootste deel van de tekst is verloren gegaan. Dit komt doordat het perkament waar het Stomachion op geschreven was aan de achterkant van het gebedenboek zat. Het tweede deel van het Stomachion is dus het ernstigst aangetast door vocht, schimmel en vuur en voorgoed verloren gegaan. De kans is klein dat we ooit te weten komen wat hierin gestaan heeft.

Behalve de Griekse tekst uit de Archimedes Palimpsest is er ook nog een andere, Arabische tekst over het Stomachion bewaard gebleven die niet oorspronkelijk door Archimedes geschreven is. Dit manuscript geeft een overzicht van hoe de figuur is opgebouwd, maar is helaas evenals het Griekse manuscript fragmentarisch. Zie bijlage 3 voor de Engelse vertaling van deze tekst.

Griekse tekst en Nederlandse vertaling

Werkwijze bij de vertaling In dit hoofdstuk zal ik beschrijven hoe ik te werk ben gegaan en welke moeilijkheden ik ben tegengekomen tijdens het vertalen van het Stomachion.

De eerste stap was het vinden van de Griekse tekst. Dit leverde direct al een probleem op, de tekst bleek op het internet moeilijk vindbaar. Er waren wel meerdere versies van de tekst van Heiberg (bron 1) te vinden . Uiteindelijk vond ik de aangevulde tekst van het Stomachion (bron 2), alleen was de vraag of dit de juiste tekst was. Ondertussen kreeg ik van meneer Deinema de tip over de wetenschappelijke uitgave van The Archimedes Palimpsest (bron 3). Dit boek kon ik vinden in de bibliotheek van de Universiteit van Amsterdam. Ik mocht het helaas niet mee naar huis nemen, maar ik moest de tekst kopiëren. Toch was ik allang blij dat ik nu eindelijk de goede tekst te pakken had.

Zodra ik begon met vertalen merkte ik dat het een lastige klus zou gaan worden en dat het me zonder een andere vertaling niet ging lukken. Ik ging op zoek naar deze vertaling. Ik vond een e-mailadres van William Noel op de site van de Archimedes Palimpsest (bron 4) en ik besloot hem te mailen. Ik kreeg zowaar antwoord! Hij verwees me door naar Reviel Netz. Deze heeft echter geen antwoord gegeven, waarschijnlijk omdat van de gerestaureerde tekst de volledige Engelse vertaling nog niet gepubliceerd was en ze hem niet zo maar wilden afstaan aan een willekeurige Amsterdamse scholiere. Dat werd dus helaas een dood eind. Een deel van de inleiding stond in The Archimedes Codex van William Noel en Reviel Netz (bron 5), maar dat was slechts een alinea. Ik moest het dus doen met de vertalingen van de tekst van Heiberg. Deze bleken ook al niet zo makkelijk te vinden. Uiteindelijk vond ik in de UB van de UvA een Frans boek Archimède van Charles Mugler (bron 6)met daarin de Franse vertaling van de Heibergtekst. Omdat mijn Frans niet goed genoeg is bood mijn moeder aan deze Franse tekst naar het Nederlands te vertalen, wat ik graag aanvaardde. Nu had ik een Griekse tekst en een fragmentarische vertaling.

Met behulp van mijn Grieks-Nederlands woordenboek van Charles Hupperts (bron 7), het Beknopt Grieks-Nederlands woordenboek van Muller en Thiel (bron 8) en De Kleine Griekse grammatica van Nuchelmans (bron 9) ging ik aan de slag met de vertaling. Dit ging niet erg soepel, maar het ging tenminste, totdat ik stuitte op een aantal aan mij vreemde woorden en werkwoordsvormen. Hierbij heb ik hulp gekregen van meneer Deinema en zijn boeken (bronnen 10+11). Een vreemde uitgang op –θω bleek de uitgang voor de 3de persoon enkelvoud imperativus te zijn, een vorm die in de gebruikelijke Griekse literatuur niet voor komt. Ik heb deze vorm vertaald als een stellingvorm, wat in de wiskunde veel gebruikt wordt, zoals ‘gegeven:…’, of ‘er moet zijn:…’. Van enkele tekstelementen is het mij niet gelukt een goede vertaling te maken. Oorzaken hiervan zijn het simpelweg ontbreken van tekstelementen (r. 67 t/m 71) of de complexiteit van een zin. Het is natuurlijk altijd de vraag of alle tekstelementen correct zijn afgelezen van het voorheen onleesbare manuscript. Van de passage van r. 21 t/m 24 ben ik er niet zeker van dat alle woorden kloppen. Een fatsoenlijke vertaling is er van deze zin dan ook niet te formuleren.

Notities bij de Griekse tekst - De blauw gekleurde tekstfragmenten geven de verschillen met de tekst van Heiberg aan. Deze kunnen in zijn tekst ontbreken of anders zijn. - In r. 67 t/m 71 is de tekst fragmentarisch. Hier bevinden zich delen van de tekst die (nog) niet leesbaar gemaakt konden worden. - Ten behoeve van de leesbaarheid van de tekst heb ik alle haakjes die in de originele Griekse tekst stonden (zie bron 3) weggehaald. De originele tekst heb ik bijgevoegd in bijlage 1. - Het rood gekleurde tekstfragment XB in r. 55 is een fragment waar ik aan twijfel of het wel correct is. Hierover meer in het hoofdstuk De tekst in detail.

Griekse tekst en vertaling

Τοῦ λεγοµένου στοµαχίου ποικίλαν Omdat het genoemde Stomachion een ἔχοντος τα ἐξ ὧν συνέστακε ingewikkelde beschouwing met zich meebrengt van de verplaatsing van de σχηµάτων µεταθέσεως θεωρίαν vormen waaruit deze is samengesteld, ἀναγκαῖον ἡγησάµην πράον πράττον meende ik (het) noodzakelijk om, terwijl 5 του ὅλου σχάµατος µέγεθος θεωρῶν ik de omvang van de beschouwingen van ἐκθέσθαι, εἴς τε ἃ διαιρεῖται, de gehele vorm onderzoek, ook (de ἕκαστόν τε αὐτῶν τίνι ἐστὶ ἴσον καὶ delen) waarin hij verdeeld is uiteen te ὁµοιον, ἔτι δὲ καὶ ποῖαι γωνίαι zetten, en ieder van hen waaraan hij συνοδοιο λαµβανόµεναι καὶ καθ’ ἃς gelijkvormig en identiek is, en bovendien worden de hoeken bekend in 10 εἴρηται πρὸς τὸ τὰς ἐναρµόσεις τῶν welke samenstellingen ze aan elkaar ἐξ αὐτῶν γεννωµένων σχαµάτων vastgemaakt worden om de schikking γιγνώσκεσθαι , εἴτε ἐπ’ εὐθείας εἰσὶν van deze (vormen) te weten, hetzij dat αἱ γεννώµεναι ἐν τοῖς σχάµασι de zijden die zichtbaar worden aan de πλευραί, εἴτε καὶ µικρῶς λιποῦσαι vormen recht (zijn), hetzij dat ze een 15 τᾶι θεωρίαι λανθάνουσιν· τὰ γὰρ beetje afwijken van de beschouwing τοιαῦτα φιλότεχνα· καὶ ἐὰν zonder dat iemand het merkt: want dergelijke dingen zijn kunstig: en als hij ἐλάχιστον µὲν λίπηται, τᾶ δὲ θεωρίαι een klein beetje afwijkt, zonder dat het λανθάνηι, οὐ παρὰ τοῦτ’ ἐστὶν wordt opgemerkt door de ἔκβλητα ἃ συνίσταται. ἔστι µὲν οὖν beschouwingen, kan dat wat gevormd is 20 ἐξ αὐτῶν οὐκ ὀλίγων σχαµάτων niet meer worden afgekeurd. Het is dus πλῆθος διὰ τὸ εισχεν αυτος εἶναι εἰς mogelijk dat daaruit een niet gering ἕτερον τόπου τοῦ ἴσου καὶ aantal vormen wordt gevormd door ἰσογωνίου σχάµατος µετατιθεµένου naar een andere plaats van een gelijke en identieke vorm te verplaatsen en een καὶ ἑτέραν θέσιν λαµβάνοντος. andere rangschikking te nemen. 25

ὅτε δὲ καὶ δύο σχήµατα συνάµφω ἑνὶ En dus wanneer twee vormen samen σχήµατι ἴσων ὄντων καὶ ὁµοίων τῶι gelijkvormig zijn aan één vorm en congruent aan één vorm zijn, of ook ἑνὶ σχήµατι ἢ καὶ δύο σχηµάτων twee vormen samen gelijkvormig en συνάµφω ἴσων τε καὶ ὅµοιον ὄντων congruent zijn aan twee vormen samen, 30 δυσὶ σχήµασι συνάµφω πλείονα wordt een groter aantal vormen σχήµατα συνίσταται ἐκτὸς samengesteld door de verplaatsing. Als µεταθέσεως. προγραφόµενον οὖν τι eerste wordt een of andere stelling θεώρηµα εἰς αὐτὸ συντεῖνον. gericht op dit opgeschreven. ἔστω γὰρ παραλληλόγραµµον Want er moet zijn het rechthoekig 35 ὀρθογώνιον τὸ ΖΓ, καὶ δεδικάσθω ἡ parallellogram ZG, en EZ moet worden gesneden in K en vanaf G en E moeten ΕΖ τῶι Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ GK en BE worden verbonden, nadat ik τῶν ΓΕ αἱ ΓΚ ΒΕ δεικτέον µείζων aantoon, (dat) GB is groter is dan BH, ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ ἐκβεβλήσθωσαν terwijl GK en BZ moeten worden αἱ ΓΚ ΒΖ καὶ συµπιπτέτωσαν κατὰ verlengd en samen moeten vallen in D 40 τὸ Δ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ. ἐπεὶ ἴση en GH moet worden verbonden (met D). ἐστὶν ἡ ΕΚ τῆι ΚΖ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ Omdat EK gelijk is aan KZ, en GE gelijk is ΓΕ, τουτ τουτέστιν ἡ ΒΖ, τῆι ΖΔ· aan ZD, dat is BZ, zo is GZ groter dan ZD: ook is de hoek van ZDG groter dan die ὥστε µείζων ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ· καὶ γωνία van ZGD. De gelijken (hoeken) HBD en ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΖΔΓ τῆς ὑπὸ τῶν BGZ zijn elk (van twee) de helft van een 45 ΖΓΔ µείζων ἐστίν . ἴσαι δέ εἰσιν αἱ rechte (hoek) en die (is) dus groter dan ὑπὸ ΗΒΔ ΒΓΖ· ἡµίσεια γὰρ ὀρθῆς GZB. ἑκατέρα· µείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΖΒ·

ἡ γὰρ γὰρ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση ἐστὶ δυσὶ 50 ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ

ΗΒΔ ΗΔΒ, τῆς ὑπὸ τῶν ΗΓΒ· ὥστε Want de hoek GHB is groter dan de hoek µείζων ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ. ἐὰν ἄρα HGB, omdat de hoek GHB gelijk is aan de δίχα τµηθῆι ἡ ΓΗ κατὰ Χ , ἔσται ἅµα som van de binnenste λεία µὲν ἡ ὑπὸ ΓΧΒ· ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ tegenoverliggende hoeken HBD en HDB, zodat de lijn GB groter is dan BH. 55 ΓΧ τῆι ΧΒ, καὶ κοινὴ ἡ ΧΒ, δύο δυσὶν ἴσαι· καὶ βάσεις ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ Als GH in twee gelijke stukken wordt (af)gesneden door X, zal hoek GXB µείζων· καὶ ἡ γωνία ἄρα τῆς γωνίας stomp zijn. Want omdat GX gelijk is aan µείζω µείζων εἰσὶν ἀµβλεῖα µὲν ἄρα XH, en XB gemeenschappelijk, zijn twee ἡ ὑπὸ ΓΧΒ, ὀξεῖα δὲ ἡ ἐφεξῆς. gelijk aan twee, en is basis GB groter dan 60 ἡµίσεια δὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΓΒΗ· BH, en de ene hoek is dus groter dan de ἰσοπλεύρου ὑποκειµένου τοῦ andere hoek, de hoek GXB is stomp, en παραλληλογράµµου · ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ de aanliggende (hoek) scherp: de hoek GBH is de helft van een rechte (hoek): ΒΧΗ. ἡµίσειαι δέ εἰσιν ἴσαιαἱ λοιπαὶ omdat het gelijkzijdig parallellogram ΓΒΗ. καὶ συνίσταται καὶ διαιρεῖται hieraan ten grondslag ligt: de hoek BXH 65 τὸν τρίποντον τόµον. ἔστω γὰρ ἴδιον is scherp. GBH is gelijk aan de halve διπλασιόπλευρον ὀρθογώνιον ὡς resterende (hoeken). Hij wordt πρα . . ες τὸ ΑΒ διπλασιαν ἔχοντα bijeengelegd en uit elkaar gehaald in een τὴν ΓΑ τῆς ΓΒ διάµετρον ἔχον ἔχον driebenig stuk. Er moet een bijzondere τὸ παχος . η . . . . . αθ . . . . . πο τα rechthoekige dubbele zijde zijn… [fragmentarisch] 70 τ . . . λι . . . µορι . . . . τει δύνασθαι ἁρµόζειν ὡς εὐθείας τῶν τοµῶν ἐχουσῶν τάξιν.

καὶ τετµήσθω ἡ ΓΑ δίχα κατὰ τὸ Ε, Ook moet GA in tweeën gesplitst worden καὶ διὰ τοῦ Ε τῆι ΒΓ παράλληλος door E, en EZ moet geleid worden door E parallel aan BG. Dus GZ en ZA zijn 75 ἤχθω ἡ ΕΖ· ἔστιν οὖν τετράγωνα τὰ vierkant. De diagonalen GD, BE en ED ΓΖ ΖΑ. ἤχθωσαν διάµετροι αἱ ΓΔ moeten worden getrokken, en nadat GH ΒΕ Ε Δ, καὶ τετµήσθωσαν δίχα αἱ en ED moeten in tweeën worden ΓΗ ΕΔ κατὰ τὰ ΘΧ, καὶ gesplitst in T en X, en BT en ZX moeten ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΘ ΧΖ, καὶ διὰ worden getrokken, en de parallellen KL 80 τῶν ΟΚ τῆι ΒΔ παράλληλοι en OX moeten worden getrokken door O ἤχθωσαν αἱ ΚΛ ΟΞ. διὰ τὸ en K naar BD. Door de voorliggende stelling is de hoek T van driehoek BLT προκείµενον ἄρα θεώρηµα τοῦ ΒΓΘ stomp, de overblijvende (hoek) is τριγώνου ἡ πρὸς τῶι Θ γωνία scherp. Het is dus overduidelijk dat deze ἀµβλεῖα, ἡ δὲ λοιπὴ ὀξεῖα. φανερὸν scherp is. 85 φανερὸν δὴ ὅτι ὀξεῖά ἐστιν.

Discussie over de tekst

Archimedes opent met een inleiding waarmee hij het Stomachion introduceert. In de eerste alinea legt hij uit dat het Stomachion een ingewikkelde figuur is, en dat hij daarom de verschillende puzzelstukjes zowel apart als in combinatie zal behandelen. Hij kondigt aan uit te leggen welke hoeken aan elkaar gelijk zijn, om vervolgens de vorm van de puzzelstukken te kunnen verklaren.

Ook zegt hij dat het belangrijk is nauwkeurig te werken. Het maakt een groot verschil of de zijden precies goed zijn, of dat ze een beetje afwijken. Als er namelijk sprake is van een fout in de figuur, kan ‘dat wat gevormd is niet meer worden teruggelegd’. Uit deze uitspraak maak ik op dat Archimedes doelt op het terugleggen van de puzzelstukken in het vierkant. Dit is ook de conclusie die Netz en Noel trekken uit de tekst van Archimedes en op dit punt ben ik het dus met ze eens.

De rest van de inleiding brengt echter wat discussie met zich mee. In de vertaling van Netz en Noel uit hun boek (bron 5) wordt het woord μετατιθεμένου vertaald met ‘roteren’. Hier zet ik mijn vraagtekens bij. Ik heb namelijk voor dit woord alleen de vertaling ‘verplaatsen’ kunnen vinden. Het maakt voor de combinatoriek veel uit welke van de twee interpretaties je gebruikt: ‘roteren’ brengt namelijk veel meer oplossingen met zich mee dan alleen ‘verplaatsen’. Ik heb de Nederlandse vertaling van het boek De Archimedes Codex gebruikt, dus deze ietwat te vrije vertaling zou ook gevolg kunnen zijn van de vertaling van het Engels naar het Nederlands. Dit betwijfel ik echter, omdat de betekenis significant verschilt en het van de vertaler Boukje Verheij (niet de minste) wel erg slordig zou zijn. Bovendien wordt na de vertaling nog een aantal keer ‘roteren’ genoemd. Ik vermoed dat het een vrije vertaling is van Netz en Noel zelf. Ik vraag me af waarom ze het zo vrij vertaald hebben zonder enige discussie of dit wel de juiste vertaling is. Het zou kunnen dat ze een bepaald idee in hun hoofd hadden over de regels rondom de puzzel en dat ze vervolgens als het ware naar dat idee toe vertaald hebben.

Afbeelding 3: eerste illustratie volgens Heiberg op basis van de vertaling

Na de inleiding begint Archimedes met de uiteenzetting over de puzzelstukken. Hij begint met een fragment van het Stomachion, namelijk het vierkant BZEG (afbeelding 3) en breidt dit later uit met een ander vierkant ADZE (afbeelding 4). Archimedes zegt in zijn tekst letterlijk ‘rechthoekig parallellogram’ en hij zegt dat de hoek die de diagonaal maakt de helft is van een rechte hoek, en dat het gelijkzijdig parallellogram hieraan ten grondslag ligt. Hieruit concludeer ik dat Archimedes zeker een vierkant bedoelt. Wat ik daardoor niet snap is waarom er een figuur in The Archimedes Palimpsest (bron 3) staat waarbij het geometrische figuur BZEG weliswaar een rechthoek is, maar geen vierkant (afbeelding 5).

Wat nog meer onduidelijk is, en waar ik zelf eerst ook niet uit kwam, is dat Archimedes soms over punten en bijbehorende letters begint te spreken, zonder uitleg hoe die tot stand zijn gekomen. Het grootste gedeelte van de tekst gaat dat nog goed ik kan ik, de lezer, het nog volgen. Tegen het eind van deze tekst echter, duiken er een aantal letters op die ik niet meteen kon plaatsen. Dit betreft de letters: Α, Θ, Χ, Ο, Λ en Ξ. Α, Θ, Ο, Λ en Ξ duiken zomaar op zonder uitleg en de beschrijving van Χ klopt niet meer met de omschrijving die ervoor werd gegeven. Blijkbaar snapten Netz en Noel het ook niet helemaal, te zien aan hun figuur (bron 3 en afbeelding 5). Voor de letters Α, Θ en Χ heeft Heiberg hier wel iets op bedacht (bron 6): Archimedes gebruikt twee verschillende figuren (afbeeldingen 3 en 4). Hierbij verandert Χ van plaats en worden Α en Θ verklaard door een uitbreiding van de eerste figuur.

Er zijn nog een aantal dingen die niet kloppen aan de figuur van Netz en Noel. Archimedes zegt duidelijk: ‘EK gelijk aan KZ’. Oftewel, GD snijdt EZ precies in het midden in het punt K. In afbeelding 5 is dit niet het geval. Ten tweede staat er ook in de tekst:’(…)GH in twee gelijke stukken wordt afgesneden door X (…)’. X ligt dus precies op het midden van lijnstuk GH en ook dit is niet het geval in afbeelding 5. Vervolgens heb ik nog een discussiepunt over iets dat in de Griekse tekst mogelijk niet klopt. In regel 53 staat: (…) ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ ΓΧ τῆι ΧΒ, καὶ κοινὴ ἡ ΧΒ (...). Dit betekent: (…) want omdat GX gelijk is aan XB, en XB gemeenschappelijk (…). GX is echter niet gelijk aan XB, maar aan XH. Daarom denk ik dat er ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ ΓΧ τῆι ΧH, καὶ κοινὴ ἡ XB, moet staan. Afbeelding 4: tweede illustratie volgens Heiberg op basis van de vertaling

Afbeelding 5: illustratie van Netz en Noel

Tenslotte is mij nog het volgende opgevallen. Afbeelding 4 komt overeen met de beschrijving die Archimedes in de tekst geeft. Draai je deze figuur een kwart slag naar rechts, dan wordt het Stomachion zichtbaar, althans iets wat er op lijkt (afbeelding 7). Alleen zijn dit twee vierkanten naast elkaar, terwijl het Stomachion naar we veronderstellen uit twee rechthoeken naast elkaar bestaat die samen een vierkant vormen. In afbeeldingen 6 en 7 is te zien dat de verhoudingen in deze twee figuren niet overeenkomen.

Afbeelding 6: het vierkante Stomachion Afbeelding 7: afbeelding 4 een kwart slag gedraaid

Voor deze discrepantie is een aantal mogelijkheden te bedenken. Of afbeelding moet een rechthoek zijn, of afbeelding moet in vierkant zijn. De vraag is alleen, wat is correct? Stel afbeelding moet een rechthoek zijn. In dat geval kan de fout zitten in (de interpretatie van) de eerder genoemde Arabische tekst. In het geval dat afbeelding een vierkant moet zijn kan de fout zitten in (de interpretatie van) de tekst van Archimedes.

Een derde mogelijkheid is dat geen van beide teksten fout (geïnterpreteerd) is, maar dat er gewoon twee versies van het Stomachion bestaan: een vierkante en een rechthoekige. We zullen het waarschijnlijk nooit te weten komen.

Het manuscript van het Stomachion is onvolledig: naar het einde toe is het fragmentarisch en het laatste deel ontbreekt helemaal. Wat het tweede deel van de tekst aan informatie bevat zullen we dus waarschijnlijk nooit te weten kunnen komen. Aan bijlagen 1 en 2 is goed te zien hoe bijzonder het is dat we überhaupt iets overgeleverd gekregen hebben van het Stomachion: de tekst van het gebedenboek is al nauwelijks leesbaar door schimmel en andere afbraak, laat staan het manuscript van Archimedes! Het is daarom niet ondenkbaar dat er hier en daar fouten kunnen zitten in de gereconstrueerde tekst. Ik vind dat we daarom ook voorzichtig moeten zijn met interpretaties en conclusies die we uit de tekst trekken. Er zijn nog zo veel onzekerheden! De laatste ontdekkingen en beschouwingen suggereren echter wel dat de puzzel het Stomachion niet bedoeld is als tangram, maar voor combinatoriek en het terugleggen van de puzzelstukken in het vierkant. Dit is ook waarvan ik denk dat de meest waarschijnlijke mogelijkheid is.

Combinatoriek

Combinatoriek is een tak van wiskunde waarbij het gaat om het combineren van bepaalde objecten die aan bepaalde voorwaarden voldoen en vervolgens het tellen van het aantal verschillende mogelijkheden voor die combinaties. Er wordt onderscheidt gemaakt tussen combinaties en permutaties.

Naam Volgorde van objecten Voorbeeld Combinaties Niet van belang ABC = CAB Permutaties Wel van belang ABC <> CAB

Verder is met of zonder terugleggen van belang. Het gaat er hierbij om of de verschillende objecten meerdere malen gebruikt mogen worden. Vaak wordt als voorbeeld het vaasmodel gebruikt. Hierbij zitten een aantal knikkers in verschillende kleuren in een vaas. Uit deze vaas wordt een of meerdere keren een knikker getrokken. Je kunt dan de kans berekenen dat de persoon een bepaalde kleur trekt (bron 22).

Combinatoriek bij het Stomachion Het Stomachion is uiteraard moeilijk te vergelijken met een vaas met knikkers. Achter het aantal mogelijkheden om de puzzel weer terug in het vierkant te krijgen zit een lastige wiskundige berekening. De Amerikaanse wiskundige en systeemanalist Bill Cutler heeft zich over dit probleem gebogen (bronnen 23, 24 en 25). Hij gebruikte een computer om het aantal oplossingen te berekenen. Hierbij sloot hij rotaties en spiegelingen van de puzzelstukken uit. Van belang is te weten dat de stukken 1&2, 9&10 en 11&12 bij elke oplossing naast elkaar liggen (zie afbeelding 8). Bovendien komen de stukken 6 en 7 in deze figuur allebei twee maal voor, waarmee het aantal oplossingen gereduceerd wordt.

Afbeelding 8: de stukken genummerd

Hoekensommen Bernd Karl Rennhak (bron 27) heeft van alle puzzelstukken van een vereenvoudigde versie van het Stomachion (afbeelding 9) de hoeken beschreven. Bij deze vereenvoudigde weergave heeft hij de hierboven genoemde stukken 1&2, 9&10 en 11&12 samengenomen. Hierdoor en doordat er enkele stukken dubbel voorkomen blijven er acht verschillende puzzelstukken over. Bij zijn berekeningen heeft hij gebruik gemaakt van een vaste hoek λ. Deze hoek is als volgt gedefinieerd. Het is de kleinste hoek die vormt gemaakt als de diagonaal van twee identieke vierkanten getrokken wordt (afbeelding 10).

Afbeelding 9: vereenvoudigde versie van het Stomachion

Er blijkt: de verhouding van de zijdes van de driehoek GHL (afbeelding 11) is: GH:HL = 1:2 tan(λ) = GH/HL = ½ dus λ = arctan(1/2) = 26, 57°.

Afbeelding 11: eerste illustratie bij de hoek labda Afbeelding 10: tweede illustratie bij de hoek labda

De hoekensommen van alle acht verschillende puzzelstukken zijn uit te drukken in deze hoek λ, 90°, 45°, 180° en combinaties hiervan. Zou je de puzzelstukken 1&2, 9&10 en 11&12 niet samennemen, dan zouden niet alle hoekensommen uit te drukken zijn in deze getallen. Door dit wel te doen wordt de berekening en redenering iets eenvoudiger.

Puzzelstuk Oppervlakte Hoekensom Opmerkingen (afbeelding 9) A 24 + 3 90° + 90° + (90° + λ) + (90° – λ) -Twee samengevoegde puzzelstukken B 12 + 12 45° + λ + (135° - λ) -Twee samengevoegde puzzelstukken C 3 + 6 90° + λ + (90° - λ) -Twee samengevoegde puzzelstukken -Komt twee keer voor D 6 (135° - λ) + 2λ + (45° - λ) E 12 λ + 135° + (45° + λ) + (180° – 2λ) F 6 λ + 45° + (135° - λ) -Komt twee keer voor G 12 45° + (90° - λ) + (45° - λ) -Komt twee keer voor H 21 90° + 90° + 135° + (180° - λ) + (45° + λ) -Pentagon

Uitleg bij de hoeksommen A (afbeelding 12): - De hoeken ABC en CBA zijn rechte hoeken, dat is gegeven. - Verleng je zijden AB en CD en verbind je H en G zodat de vierkanten AHGI en DFIG ontstaan, wordt zichtbaar dat er twee hoeken λ voorkomen in de figuur. Hieruit volgt dat hoek BAD = 90° - λ, en hoek CDA = 90° + λ.

Afbeelding 12: puzzelstuk A

Afbeelding 13: puzzelstuk B B (afbeelding 13): - Hoek ABH = CAB = 45°, omdat AD de diagonaal is van het roostervierkant. - Teken je de vierkanten BEGH en CFEG met BC als diagonaal van deze twee vierkanten, dan blijkt dat hoek BCA = λ en dat hoek ABC = 135° – λ.

C (afbeelding 14): - Hoek BAC = 90°, dat is gegeven. - Teken je de vierkanten ABEG en GEFC, dan blijkt dat hoek ACB = λ, en dat hoek CBE = λ, waaruit volgt dat hoek ABC = 90° – λ.

Afbeelding 14: puzzelstuk C

D (afbeelding 15): teken je de acht kleinere vierkanten, dan blijken de volgende hoeken. - Hoek KCA = hoek ACH = 45°, hoek BCA = λ, dus hoek ACB = 45° – λ. - Hoek DAB = λ, waaruit volgt dat CAB = 135° – λ. - Hoek GBA = GBC = λ, dus hoek ABC = 2λ.

Afbeelding 15: puzzelstuk D

E (afbeelding 16): teken je de zes kleinere vierkant en het grote vierkant, te zien in de figuur, dan blijken de volgende hoeken. - Hoek DAB = λ. - Hoek ABC = 135°. - Omdat hoek KDA = JDC = λ, is hoek ADC = 180° – 2λ. - Uit het feit dat hoek DCL = λ volgt dat hoek DCB = 45° + λ.

Afbeelding 16: puzzelstuk E

F (afbeelding 17): teken je de vijf kleine vierkanten te zien in de figuur blijkt het volgende. - Hoek BAC = 45°. - Hoek ABC = λ. - Omdat hoek DCB = λ, is hoek ACB = 135° - λ.

Afbeelding 17: puzzelstuk F

G (afbeelding 18): teken de vijf kleinere vierkanten in de figuur en er blijkt het volgende. - Hoek ABC = 45°. - Omdat hoek DAC = λ, is hoek BAC = 90° – λ. - Hoek ACL = λ, dus hoek ACB = 45° + λ.

Afbeelding 18: puzzelstuk G 25

H (afbeelding 19): - Hoek DEA = hoek BAE = 90°, dat is gegeven. - Hoek HBJ = 45°, dus Hoek ABC = 135°. - Omdat hoek CDF = λ, is hoek CDE = 180° – λ - Hoek DCG = λ, dus hoek BCE = 45° + λ.

Afbeelding 19: puzzelstuk H

Oppervlakten De oppervlakte van ieder puzzelstuk in een 12x12 vierkant is gegeven door de formule (bron 29 en afbeelding 20): A = I + (B/2) -1 Hierin is: A: het aantal roostervierkantjes I: het aantal binnenliggende roosterpunten ( o ) B: het aantal grensroosterpunten ( o )

Uit bron 28 blijkt dat wanneer je meerdere veelhoeken in een vierkant rooster, in dit geval 12x12, wil passen, de verhouding tussen de oppervlakten van de puzzelstukken altijd een geheel getal moet zijn, in dit geval is dat 3.

Uit deze gegevens blijkt het volgende voor de verschillende puzzelstukken.

Puzzelstuk Berekening oppervlakte Uitkomst = I + (B/2) -1 Uitkomst/3 afbeelding 20 A 5 + (16/2) -1 12 4 B 7 + (12/2) -1 12 4 C 9 + (8/2) -1 12 4 D 4 + (6/2) -1 6 2 E 0 + (8/2) -1 3 1 F 13 + (18/2) -1 21 7 G 2 + (10/2) -1 6 2 H 7 + (12/2) -1 12 4 I 2 + (10/2) -1 6 2 J 7 + (12/2) -1 12 4 K 3 + (18/2) -1 6 2 L 4 + (12/2) -1 9 3 M 1 + (6/2) -1 6 2 N 18 + (14/2) -1 24 8

Afbeelding 20: oppervlaktepuntjes in het Stomachion

Conclusie

Archimedes en combinatoriek Omdat alle hoekensommen van de puzzelstukken uit te drukken zijn in λ valt na te gaan welke stukken complementair zijn en welke niet. Dit gegeven gecombineerd met de formules voor de oppervlakten heeft Cutler waarschijnlijk gebruikt om het aantal mogelijkheden te berekenen. Door een algoritme in een computer in te voeren is hij uitgekomen op 536 oplossingen. Sluit je rotaties en spiegelingen niet uit bij de berekening, dan blijken er 17.152 combinaties mogelijk te zijn (bron 24). Hieruit blijkt dat het zeer veel uit maakt welke beperkingen je stelt aan de verplaatsingen van de puzzelstukken.

De vraag is natuurlijk of Archimedes destijds op de hoogte was van combinatoriek. Hij kan namelijk ook zonder de wiskunde op 536 (of 17.152) mogelijkheden zijn uitgekomen, door gewoonweg te puzzelen. Zoals Netz en Noel in hun boek (bron 5) beschrijven werd algemeen aangenomen dat rekenkundige problemen met betrekking tot combinatiemogelijkheden tot aan de zeventiende eeuw geen belangrijk deel uitmaakten van de wiskunde. Volgens overleveringen hield alleen de Griekse astronoom Hipparchus (ca. 190 v. Chr – 120 v. Chr.) zich voor die tijd bezig met combinatoriek. Dit blijkt uit een vermelding van de Griekse schrijver Plutarchus waarin Hipparchus een discussie aangaat met de Griekse filosoof Chrysippus over het aantal combinaties die te vormen zijn met tien beweringen. Chrysippus dacht dat het antwoord 1 miljoen was, maar Hipparchus bleek het bij het rechte eind te hebben, wat bleek toen er in de periode 1994-2002 onderzoek naar werd gedaan. Wiskundigen kwamen er, net als Hipparchus op uit dat er of 103.049 of 310.954 mogelijkheden waren, afhankelijk van de condities. Hipparchus was jonger dan Archimedes dus het is goed mogelijk dat Archimedes de basis van de combinatoriek legde waar Hipparchus vervolgens op voortgebouwd heeft. Dit zou een belangrijke ontdekking zijn en ons beeld van de Oudgriekse wiskunde positief veranderen.

De tekst en de wiskunde Omdat de tekst van het Stomachion onvolledig is, is het lastig te zeggen waar Archimedes met zijn wiskundige beschrijving heen wil. Het belangrijkste probleem is dat de figuur die Archimedes beschrijft niet overeenkomt met de figuur waaruit door meerdere auteurs conclusies getrokken zijn. De stelligheid waarmee Netz en Noel het Stomachion interpreteren als een vierkante puzzel waarvan het de bedoeling is dat er verschillende mogelijkheden worden bedacht om de puzzelstukken weer in dat vierkant te krijgen, kan ik niet onderschrijven. Naar mijn mening toont onderzoek naar de teksten en de figuren aan dat lang nog niet alles is ontdekt en opgehelderd. Bovendien is het nog helemaal niet zeker dat het Stomachion dat Archimedes beschrijft een vierkant is. Zoals al eerder genoemd heeft Archimedes het in zijn tekst over twee vierkanten, die samen een rechthoek vormen. Echter voorheen is men altijd uitgegaan van de vierkante versie van het Stomachion, maar daar heeft Archimedes het helemaal niet over. De vierkante versie van het Stomachion is niet per se fout, maar we moeten er rekening mee houden dat een Stomachion elke vorm van een rechthoek kan zijn. Met enige zekerheid kunnen we er van uit gaan dat Archimedes zich bezighield met combinatoriek, want dat blijkt uit zijn tekst.

Bronvermelding

1. Tekst Heiberg December 2012 http://www.hsaugsburg.de/~harsch/graeca/Chronologia/S_ante03/Archimedes/arc_ost3.html 2. Gerestaureerde tekst, December 2012 http://4umi.com/play/Stomachion/text.php 3. Reviel Netz, William Noel, Nigel Wilson & Natalie Tchernetska, The Archimedes Palimpsest Deel II, Cambridge University Press 2011 4. http://www.archimedespalimpsest.org/ December 2012 5. Reviel Netz & William Noel, De Archimedes Codex, Athenaeum-Polak & Van Gennep, Amsterdam 2007 6. Charles Mugler, Archimède, Société d’édition < Les Belles Lettres >, Parijs 1971 7. Charles Hupperts, Grieks-Nederlands woordenboek, Eisma Edumedia BV, Leeuwarden 2008 8. Dr. Fred. Muller & Dr. J.H. Thiel, Beknopt Grieks-Nederlands Woordenboek, Wolters-Noordhoff NV, Groningen 1969 9. Dr. J. Nuchelmans, De Kleine Griekse grammatica, Paul Brand, Nijmegen 1999 10. Henry George Liddell, Robert Scott, Henry Stuart Jones, Greek-English Lexicon, Oxford University Press, Oxford, reprint 1953 11. Raphael Kühner, Ausführliche Grammatik der griechischen Sprache, Verlag Hannover Buchhandlung, Hannover 1966 12. M. Huig & D.F. Lunsingh Scheurleer jr., De klassieke oudheid, Aula-eeuwboeken I, Het Spectrum, Utrecht 1994 13. http://nl.wikipedia.org/wiki/Archimedes Januari 2013 14. http://en.wikipedia.org/wiki/Names_of_large_numbers Januari 2013 15. http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes Januari 2013 16. http://www.wiskundeweb.nl/Wiskundegeschiedenis/Wiskundigen/Archimedes.html Januari 2013 17. http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/inside-archimedes-palimpsest.html Januari 2013 18. http://www.archimedespalimpsest.org/imaging_experimental4.html Januari 2013 19. http://nl.wikipedia.org/wiki/Synchrotronstraling Januari 2013 20. Canadian Conservation Institute, Gregory Young, Effect of high flux x-radiation on parchment, report no. Proteus 92195, 27 augustus 2005, in opdracht van Abigail Quandt, Walters Art Museum Baltimore, Maryland 21. http://nl.wikipedia.org/wiki/Combinatoriek Januari 2013 22. 5VWO-wiskunde B 2011-2012, Keuzeonderwerp Kansrekening 23. http://www.barbecuejoe.com/Stomachion.htm Januari 2013 24. http://www.math.cornell.edu/~mec/GeometricDissections/1.2%20Archimedes%20Stomachio n.html Januari 2013 25. http://en.wikipedia.org/wiki/Bill_Cutler Februari 2013 26. http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_17_03.html Februari 2013 27. http://www.logelium.de/Stomachion/StomachionHaupt_EN.htm Februari 2013 28. http://mathworld.wolfram.com/Stomachion.html Februari 2013 29. http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Stomachion/Pick.html Februari 2013

Bijlage 1: De Griekse tekst zichtbaar gemaakt http://4umi.com/play/Stomachion/text.php

ἈΡΧ ΙΜΉΔΟ Υ Σ ΣΤΟΜΆ ΧI ΟΝ Τοῦ λεγοµένου στοµαχίου ποικί λαν ἔχοντος τα ἐξ ὧν συνέστακε σχηµάτων µεταθέσεως θεωρία θεωρ ί αν ἀναγκαῖον ἡγησάµην πράον πράττον του ὅλο υ σ χάµ ατ ος µέγε θ ος θεω ρῶν ἐκθέσθαι, ε ἴς τ ε ἃ διαιρεῖται, ἕκαστόν τε α ὐτ ῶν τίνι ἐστὶ ἴσον καὶ ὁ µ οι ον , ἔτι δὲ καὶ πο ῖ αι γ ωνίαι συ νοδοιο λαµβανόµ εναι καὶ κ α θ’ ἃς εἴρηται πρὸς τὸ τ ὰ ς ἐνα ρ µόσεις τῶν ἐξ αὐτῶν γεννωµένων σχα µ άτων γ ιγνώσκεσθαι , ε ἴ τε ἐπ’ εὐ θείας εἰσὶν αἱ γεννώµεναι ἐν τ οῖ ς σχάµασι πλευραί, εἴτε καὶ µικρῶς λιποῦσαι τᾶι θεωρίαι λανθά νουσιν· τὰ γὰρ τοιαῦτα φιλότεχνα· καὶ ἐὰν ἐλάχιστον µὲν λίπηται, τᾶ δ ὲ θεωρίαι λανθάνηι, οὐ παρὰ τοῦ τ’ ἐστὶν ἔκβλητα ἃ συνίσταται. ἔστι µὲν οὖν ἐξ αὐτῶν οὐκ ὀλίγων σχαµάτ σχ α µάτων

πλῆθος διὰ τὸ ει σ χεν α υ το ς εἶν αι εἰς ἕτερον τόπου τ οῦ ἴσου καὶ ἰσο γωνίου σχάµατος µετατιθεµέν µετατιθεµένου καὶ ἑ τ έραν θέσιν λαµβ ά νοντος . ὅ τε δὲ καὶ δύο σχήµατα συνάµφω ἑνὶ σχήµατι ἴσων ὄντων καὶ ὁµοί ων τῶ ι ἑνὶ σχήµατι ἢ καὶ δύο σχη µάτων συνάµφω ἴσων τε καὶ ὅµοι ον ὄντων δυσὶ σχήµασι συνάµφω πλείονα σχήµα τ α συνίσταται ἐ κτὸς µ ετ αθέσεως . προγραφόµε νον οὖν τι θεώρηµα εἰς αὐτὸ συ ν τεῖ νον. ἔστω γὰρ παραλληλ ό γρα µ µον ὀρθογώνιον τὸ Ζ Γ, καὶ δεδι κ ά σ θω ἡ ΕΖ τῶ ι Κ, καὶ ἐ π ε ζεύχθω σ α ν ἀπὸ τῶν ΓΕ αἱ ΓΚ ΒΕ δεικτέον µ εί ζων ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ ἐκβεβλήσ θ ω σαν αἱ ΓΚ ΒΖ καὶ συµπιπτέ τωσαν κατ ὰ τὸ Δ καὶ ἐ π εζεύχθω ἡ ΓΗ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΚ τῆι ΚΖ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΓΕ, τουτ τουτέστιν ἡ ΒΖ, τῆι ΖΔ· ὥ στ ε µείζω ν ἡ Γ Ζ τ ῆς Ζ Δ· καὶ γωνί α ἄρα ἡ ὑπὸ τ ῶν ΖΔΓ τῆς ὑπὸ τῶν ΖΓΔ µ εί ζων ἐστίν . ἴσα ι δέ εἰσιν αἱ ὑπὸ ΗΒΔ ΒΓΖ· ἡ µ ί σει α γ ὰρ ὀ ρ θῆς ἑκατέρα· µεί ζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τ ῶν Γ Ζ Β· ἡ γὰρ γὰρ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐν τ ὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑ πὸ ΗΒΔ ΗΔΒ, τῆς ὑπὸ τῶν ΗΓΒ· ὥστε µείζων ἐστὶν ἡ Γ Β τῆς ΒΗ. ἐὰν ἄρα δίχα τµη θῆι ἡ ΓΗ κατὰ Χ , ἔσται ἅµ α λεία µ µὲν ἡ ὑπὸ ΓΧΒ· ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ ΓΧ τῆι ΧΒ, καὶ κοινὴ ἡ ΧΒ, δύο δ υσὶν ἴσαι· καὶ βά σ ε ι ς ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ µείζων· καὶ ἡ γωνία ἄρα τῆς γωνίας µείζω µείζων εἰσὶν ἀµβλεῖα µὲν ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΧΒ, ὀξεῖ α δὲ ἡ ἐφεξῆς. ἡµίσεια δ ὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΓΒΗ· ἰσ ο πλε ύρο υ ὑποκειµέ νο υ τοῦ παραλλη λ ογράµµου · ὀξεῖ α δὲ ἡ ὑπὸ ΒΧΗ. ἡµ ί σειαι δ έ εἰσιν ἴσ αι αἱ λοιπαὶ ΓΒΗ. καὶ συνίστ α τ α ι καὶ διαιρεῖται τὸ ν τρ ί ποντο ν τόµ. τ ό µ ον. ἔστω γ ὰ ρ ἴδιον διπλασιόπ λευ ρ ο ν ὀρ θογώνιον ὡ ς πρα ες τὸ Α Β δ ιπλα σιαν ἔχοντα τὴν ΓΑ τῆς ΓΒ διά µετρον ἔχον ἔχον τὸ παχοσ η αθ πο τα τ λι µορι τει δύνασθαι ἁρµόζειν ὡς εὐθεί εὐθεί ας τῶ ν τοµῶν ἐχουσῶν τάξιν. καὶ τ ε τµ ή σθω ἡ ΓΑ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ δι ὰ τοῦ Ε τῆι ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ· ἔστιν οὖν τετράγωνα τὰ ΓΖ ΖΑ. ἤχθωσαν διάµετροι αἱ ΓΔ ΒΕ Ε Δ, καὶ τετ µ ήσθωσαν δίχα αἱ ΓΗ Ε Δ κατὰ τὰ ΘΧ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΘ ΧΖ, καὶ διὰ τῶν Ο Κ τῆι ΒΔ πα ράλληλοι ἤχθωσαν αἱ Κ Λ Ο Ξ. δι ὰ τὸ προκείµενον ἄρα θεώρηµα το ῦ ΒΓΘ τριγώνου ἡ πρὸς τ ῶι Θ γ ωνία ἀµβλεῖα, ἡ δὲ λοιπὴ ὀξεῖ α . φα νερὸν φανερὸν δὴ ὅτι ὀ ξ εῖ ά ἐσ τι ν .

Bijlage 2: Het onleesbare manuscript http://4umi.com/play/Stomachion/text.php

Bijlage 3: Engelse vertaling van de Arabische tekst http://www.hsaugsburg.de/~harsch/graeca/Chronologia/S_ante03/Archimedes/arc_ost2.html http://en.wikipedia.org/wiki/Ostomachion

We draw a [rectangular] parallelogram ABGD, we bisect BG in E and draw EZ perpendicular to BG [to intersect AD], we draw the diagonals AG, BZ [intersecting AG at L], and ZG, we also bisect BE in H, and draw HT perpendicular to BE [to intersect BZ], then we put the ruler at point H and - looking to point A - we draw HK [to intersect BZ], then bisect AL in M, and draw BM. So the A-E rectangle is divided into seven parts. Now we bisect DG in N, ZG in C, we draw EC and attaching the ruler to the points B and C we draw CO [to intersect DG], furthermore CN. Thus the rectangle ZG is also divided in seven parts, but in another way than the first one. Therefore, the whole square has fourteen parts.

We now demonstrate that each of the fourteen parts is in rational relationship to the whole square. Because ZG is the diagonal of the rectangle Z-G, the triangle DZG is half of this rectangle, that means 1/4 of the square. But the triangle GNC is 1/4 of triangle DZG, because, if we extend the line EC, it comes to point D, and that means triangle GDC has half area of the triangle DZG and is equal to the two triangles GNC and DNC taken together; that means triangle GNC is 1/16 of the square. If we presume that line OC is orientated to point B, as we have drawn it before, so the line NC is parallel to BG, which is the side of the square and of the triangle OBG, so we get the proportion BG : NC = GO : NO. But BG is four times NC, and in the same way GO four times NO; therefore is GN three times NO, and triangle GNC = 3 ONC. However, as we have shown, triangle GNC is 1/16 of the square, that means triangle ONC = 1/48 of the square. Furthermore, as triangle GDZ = 1/4 of the square, and therefore GNC = 1/16 of that triangle and NCO = 1/48 of that, it remains for the quadrilateral DOCZ = 1/6 of the square’s area. According to the proposition that line NC [extended] intersects [ZE at] point F, and GE is parallel to CF, [and labelling the intersection of AG and CE as Q,] we get the proportion EC : CF = EQ : CQ = GQ : FQ. Because EQ = 2 CQ and GQ = 2 FQ, triangle EQG is double to the two triangles GCQ and EFQ. It is clear, that triangle EGZ = 2 times triangle EFG, because ZE = 2 FE. As the triangle EGZ = 1/4 of the square, that means triangle EFG = 1/8 of the square. This triangle is three times as big as each of the two triangles EFQ and GCQ, so each of these

two triangles = 1/24 of the square A-G. And the triangle EGQ is double to each of the two triangles EFQ and GCQ, so it is = 1/12 of the square. Furthermore because ZF = EF, triangle ZFG = triangle EFG. If we now take away triangle GCQ (= triangle EFQ), it leaves quadrilateral FQCZ (= triangle EGQ), therefore quadrilateral FQCZ = 1/12 of the square A-G. If an Ostomachion were to be imposed onto a 12-unit square, this diagram shows the area of each piece. We have now divided the rectangle Z-G in 7 parts, and go on to divide the other rectangle. Because BZ and EC are two parallel diagonals, and ZF = EF, therefore triangle ZLF = EFQ, and also triangle ZLF = 1/24 of the square A-G. Because BH = HE, triangle BEZ is four times the triangle BHT, because each of them is rectangular. As triangle BEZ = 1/4 of the square ABGD, triangle BHT = 1/16 of that. According to our proposition the line HK [extended] intersects point A, so we get the proportion AB : HT = BK : KT. Because AB = 2 HT, and BK = 2 KT and BT = 3 KT, triangle BHT is three times the triangle KHT. However, because triangle BHT = 1/16 of the whole square, triangle KHT = 1/48 of that. Triangle BKH is double the triangle KHT, so = 1/24 of the square. Further, as BL = 2 ZL, and AL = 2 LF, triangle ABL is twice the triangle ALZ, and ALZ double the triangle ZLF. However, because triangle ZLF = 1/24 of the whole square, triangle ALZ = 1/12 of that, so triangle ABL = 1/6. But triangle ABM = triangle BML, so each of these two triangles = 1/12 of the square. It leaves the pentagon LFEHT = 7/48 of the entire square. We have now also divided the square AE into 7 sections, therefore, the whole figure ABGD in 14 parts. Each of these fourteen parts is in rational relationship to the whole, and that is what we wanted."