DOCSLIB.ORG

Het Stomachion Raadsel Van De Puzzel

Total Page：16

File Type：pdf, Size：1020Kb

Download full-text PDF Read full-text
Het Stomachion Raadsel Van De Puzzel Het Stomachion Raadsel van de puzzel What marvel of antiquity be this, This fabled square of 14 parts comprised? The legends credit Archimedes' wit With clever cuts that render every tile An integer. All sum to twelve by twelve. Solve 18 figures lore has handed down, Like unto tangrams of a later time, And many new designs discovered since. Behold the oldest puzzle ever told, Our heritage of mind, millennia old. Now scholars scramble to decode, with zest, Archimedes much-prized Palimpsest, A scroll long lost, inscribed by his own hands, A rarest find from Greek and Latin lands. Uit catalogus van Kadon Enterprises Emma Huig V6A Oktober 2012 – Maart 2013 Meneer R. Deinema Meneer P. de Lange Inhoudsopgave Voorwoord 3 Inleiding 4 Het Stomachion 10 Griekse tekst en Nederlandse vertaling 11 Discussie over de tekst 17 Combinatoriek 21 Conclusie 28 Bronvermelding 29 Bijlagen 30 2 Voorwoord Als leerling in 6 VWO is het een vereiste om een profielwerkstuk te schrijven. Het is dan aan de leerling zelf om een vak, een onderwerp en een onderzoek te kiezen. Dat vond ik nog niet zo makkelijk. Ik ben toen bij mezelf nagegaan: welk vak doe ik puur en alleen omdat ik het leuk vind en waar wil ik tachtig uur mee bezig zijn? Die vraag reduceerde mijn opties tot Grieks en nog enkele vakken. Ik bedacht me dat ik door een profielwerkstuk te maken over een Griekse wetenschapper wellicht een leuke combinatie kon maken van Grieks, een vak dat ik gewoon leuk vind, en een bètavak, een van mijn profielvakken, om er toch een profielwerkstuk van te maken. Een Griekse wetenschapper dus. Ik had alleen nog geen idee van wat en hoe. Ik ben toen naar meneer Deinema (klassieke talen) gegaan en heb hem mijn probleem voorgelegd. Op het moment zelf had hij ook nog geen idee, maar kort daarop kwam hij naar me toe met een onderwerp waarover hij recent een boek gelezen had: De Archimedes Palimpsest. Na me een beetje verdiept te hebben in dit onderwerp was ik erg enthousiast geworden. Vooral de puzzel het Stomachion sprak me erg aan, omdat het een wiskundige figuur betreft waar ik wellicht iets mee zou kunnen doen. Meneer De Lange (wiskunde) wilde me graag begeleiden bij het wiskundige deel. Op die manier ben ik uiteindelijk bij dit onderwerp gekomen. In dit profielwerkstuk zal ik de tekst van het Stomachion vertalen, zal ik een beschouwing geven van de al bekende gegevens en literatuur over het Stomachion en zal ik zo veel als mogelijk de wiskunde achter de puzzel behandelen. Dit zal veel te maken hebben met meetkunde en combinatoriek. Mijn belangrijkste vraag die ik mezelf in dit werkstuk stel is: ‘wat zegt Archimedes nou echt?’. Door eerst de vertaling te maken en daarna de wiskunde achter het Stomachion te beschouwen zal ik een conclusie trekken over wat Archimedes bedoelt en wat er misschien geïnterpreteerd is in de al bekende literatuur over het Stomachion. Tenslotte mijn dank aan meneer Deinema voor zijn adviezen en enthousiaste begeleiding bij dit werkstuk en aan meneer de Lange die bereid was mij te helpen bij het wiskundige deel. 3 Inleiding Een unieke puzzel Dit profielwerkstuk behandelt het Stomachion van Archimedes uit de Archimedes Palimpsest. Het Stomachion is de oudst bekende puzzel ter wereld, ruim 2000 jaar oud. In 1906 dook de Archimedes Palimpsest na lang verdwenen te zijn weer op, maar het was pas in het jaar 1998 dat er een uitgebreid onderzoek naar begonnen werd door het Walters Art Museum in Baltimore, Maryland met als belangrijkste doel het achterhalen van de onleesbare Griekse teksten. Doordat bij dit laatste gebruik wordt gemaakt van de modernste stralingstechnieken zijn de volledige Griekse teksten pas sinds kortgeleden zichtbaar gemaakt. Er zijn dan ook nog geen vertalingen van deze gereconstrueerde teksten uitgegeven. Het team van het Walters Art Museum is op dit moment bezig met de eerste Engelse vertaling en ik presenteer in dit werkstuk de eerste Nederlandse vertaling. Archimedes van Syracuse Archimedes is een van de belangrijkste wetenschappers uit de klassieke oudheid. Over zijn leven is vrij weinig met zekerheid bekend. Hij zou geboren zijn in 287 v. Chr. In Syracuse, Sicilië, maar ook dit is zeer onzeker. Hij studeerde wiskunde in Alexandrië, Egypte waar hij les kreeg van leerlingen van Euclides. Na zijn studie keerde hij terug naar Syracuse, waar hij zijn onderzoeken op het gebied van wiskunde en fysica voortzette. Archimedes is gedood in 212 v. Chr. bij de inname van Syracuse door de Romeinen. Het verhaal gaat dat een soldaat zijn huis binnendrong waar Archimedes bezig was met een wiskundig probleem. Hierbij had hij cirkels getekend in een zandbak. De soldaat rende door deze zandbak heen, waarop Archimedes riep: ‘ Verstoor mijn cirkels niet!’ Hierop doodde de soldaat Archimedes met zijn zwaard. De Romeinse bevelvoerder Marcus Marcellus was een groot bewonderaar van Archimedes en had opdracht gegeven hem levend naar Rome te brengen. In plaats daarvan werden al zijn geschriften en modellen naar Rome gebracht. Veel van de werken van Archimedes worden tegenwoordig nog steeds gebruikt. Hier volgen enkelen van zijn ontdekkingen. Natuurkunde De Wet van Archimedes – ‘Een geheel of gedeeltelijk in een vloeistof gedompeld lichaam ondervindt een opwaartse kracht die gelijk is aan het gewicht van de verplaatste vloeistof.’ Volgens de overleveringen had Archimedes de opdracht gekregen te onderzoeken of de gouden kroon van Hiero II wel van puur goud was. Hij zou in bad het theoretisch bewijs bedacht hebben, waarna hij naakt uit bad sprong en riep: ‘Eureka!’ (‘ευρηκα!’ = ‘Ik heb het gevonden!’). De kroon bleek vervalst en gedeeltelijk van zilver te zijn. Hefboomwet – arm*gewicht = constant. Zijn bekend kreet luidt: ‘Geef mij een steunpunt en ik til de aarde op’ (‘δοσ µοι που στω και κινω την γην’). Deze natuurkundige ontdekking leidde tot vele toepassingen in de techniek zoals de katapult. 4 Techniek De Schroef van Archimedes – Hiermee kunnen vloeistoffen en poeders getransporteerd worden. Het transport vindt zowel omhoog als horizontaal plaats. Afbeelding 1: de Schroef van Archimedes Zonnespiegel – Het verhaal gaat dat Archimedes door middel van zeer grote spiegels en de reflectie van de zon vijandelijke schepen verbrand zou hebben. Dit experiment is in de afgelopen jaren meerdere malen herhaald en de conclusie was dat het theoretisch mogelijk is, maar in de praktijk niet haalbaar. Wiskunde Goede benadering van π - 223/71 < π < 22/7 à π is ongeveer 3,1415. Bepaling van oppervlakten en volumes van diverse meetkundige figuren – hiertoe gebruikte hij een voorloper van integraalrekening, die uitgevonden zou zijn door Eudoxus van Cnidus. Axioma van Archimedes: Als a < b, dan bestaat er een natuurlijk getal n zodat a*n > b. Het Zandgetal – Toen Archimedes de omvang van het heelal probeerde te beschrijven, stuitte hij op zeer grote getallen. Om het werken met deze getallen makkelijker te maken bedacht hij een systeem om zeer grote getallen korter op te schrijven. Hij gaf verschillende zeer grote getallen namen, bijvoorbeeld 10.000 = myrias (μυριάς). Voor het aantal zandkorrels dat in het heelal zou passen vond hij: 8 vigintillion, ofwel 8*1063. Net als vrijwel alle wetenschappers bevond Archimedes zich in een wetenschappelijk circuit. Na zijn studie in Alexandrië bleef hij corresponderen met wetenschappers aldaar en rest van de antieke wereld. Het is waarschijnlijk dat veel van zijn ontdekkingen niet enkel en alleen door hem zelf zijn gedaan, maar dat het uitgewerkte versies zijn van ontdekkingen van anderen. Dit is gebruikelijk in de wetenschap en vindt heden ten dage ook plaats. 5 Geschriften Archimedes schreef de resultaten van zijn onderzoeken op in monografieën. Geen enkel overgeleverd geschrift is echter van de hand van Archimedes zelf. Vaak zijn het onvolledige vertalingen of bewerkingen. - Het evenwicht in het platte vlak - Drijvende lichamen - Methode - Spiralen - Bol en cilinder - Cirkelmeting - Stomachion - Over conoïden en spheroïden - Kwadratuur van de parabool - Rundvee-probleem - Zandrekenaar Waarschijnlijk waren er oorspronkelijk nog veel meer geschriften van Archimedes, maar die zijn verloren gegaan. Dit weten we omdat er in geschriften van andere wetenschappers aan gerefereerd wordt. De Archimedes Palimpsest Een palimpsest is een hergebruikt stuk perkament (bewerkte dierenhuid) waarvan de oorspronkelijke tekst onleesbaar is gemaakt. Het woord komt van de Griekse woorden παλιν (wederom) en ψηστοσ (vervoeging van ψαω: ik wrijf). In de Archimedes Palimpsest staan enkele ‘verborgen teksten’ van Archimedes. De stukken perkament zijn in de dertiende eeuw hergebruikt om een gebedenboek van te maken. Alleen met de modernste chemische technieken zijn deze teksten nog zichtbaar te maken. Hier volgt een chronologisch overzicht van de Archimedes Palimpsest (bronnen 5 en 17). Ca. 287 – 212 v. Chr. – Archimedes schrijft zijn monografieën op papyrusrollen. 212 v. Chr. – 1000 n. Chr. – De originele geschriften van Archimedes zijn verloren gegaan, maar onbekende personen hebben ze enkele malen overgeschreven op andere papyrusrollen. Ca. 1000 – Een onbekende schrijver in Constantinopel (het huidige Istanbul) kopieert de geschriften met bijbehorende figuren en berekeningen op perkament, en voegt ze samen tot een boek. Ca. 1200 – Een christelijke monnik schrijft in het Grieks gebeden over de geschriften van Archimedes heen en maakt er een gebedenboek van. Ca. 1200 -1906 – Eeuwenlang wordt het boek gebruikt door de christelijke kerk en uiteindelijk komt het terecht in het Mar Saba klooster in Constantinopel, waar het verscheidene rampen overleeft,
Load more

Recommended publications
  • Archimedes of Syracuse
    5 MARCH 2020 Engineering: Archimedes of Syracuse Professor Edith Hall Archimedes and Hiero II’s Syracuse Archimedes was and remains the most famous person from Syracuse, Sicily, in history. He belonged to the prosperous and sophisticated culture which the dominantly Greek population had built in the east of the island. The civilisation of the whole of ancient Sicily and South Italy was called by the Romans ‘Magna Graecia’ or ‘Great Greece’. The citis of Magna Graecia began to be annexed by the Roman Republic from 327 BCE, and most of Sicily was conquered by 272. But Syracuse, a large and magnificent kingdom, the size of Athens and a major player in the politics of the Mediterranean world throughout antiquity, succeeded in staying independent until 212. This was because its kings were allies of Rome in the face of the constant threat from Carthage. Archimedes was born into this free and vibrant port city in about 287 BCE, and as far as we know lived there all his life. When he was about twelve, the formidable Hiero II came to the throne, and there followed more than half a century of peace in the city, despite momentous power struggles going on as the Romans clashed with the Carthaginians and Greeks beyond Syracuse’s borders. Hiero encouraged arts and sciences, massively expanding the famous theatre. Archimedes’ background enabled him to fulfil his huge inborn intellectual talents to the full. His father was an astronomer named Pheidias. He was probably sent to study as a young man to Alexandria, home of the famous library, where he seems to have became close friend and correspondent of the great geographer and astonomer Eratosthenes, later to become Chief Librarian.
    [Show full text]
  • A Centennial Celebration of Two Great Scholars: Heiberg's
    A Centennial Celebration of Two Great Scholars: Heiberg’s Translation of the Lost Palimpsest of Archimedes—1907 Heath’s Publication on Euclid’s Elements—1908 Shirley B. Gray he 1998 auction of the “lost” palimp- tains four illuminated sest of Archimedes, followed by col- plates, presumably of laborative work centered at the Walters Matthew, Mark, Luke, Art Museum, the palimpsest’s newest and John. caretaker, remind Notices readers of Heiberg was emi- Tthe herculean contributions of two great classical nently qualified for scholars. Working one century ago, Johan Ludvig support from a foun- Heiberg and Sir Thomas Little Heath were busily dation. His stature as a engaged in virtually “running the table” of great scholar in the interna- mathematics bequeathed from antiquity. Only tional community was World War I and a depleted supply of manuscripts such that the University forced them to take a break. In 2008 we as math- of Oxford had awarded ematicians should honor their watershed efforts to him an honorary doc- make the cornerstones of our discipline available Johan Ludvig Heiberg. torate of literature in Photo courtesy of to even mathematically challenged readers. The Danish Royal Society. 1904. His background in languages and his pub- Heiberg lications were impressive. His first language was In 1906 the Carlsberg Foundation awarded 300 Danish but he frequently published in German. kroner to Johan Ludvig Heiberg (1854–1928), a He had publications in Latin as well as Arabic. But classical philologist at the University of Copenha- his true passion was classical Greek. In his first gen, to journey to Constantinople (present day Is- position as a schoolmaster and principal, Heiberg tanbul) to investigate a palimpsest that previously insisted that his students learn Greek and Greek had been in the library of the Metochion, i.e., the mathematics—in Greek.
    [Show full text]
  • Archimedes Palimpsest a Brief History of the Palimpsest Tracing the Manuscript from Its Creation Until Its Reappearance Foundations...The Life of Archimedes
    Archimedes Palimpsest A Brief History of the Palimpsest Tracing the manuscript from its creation until its reappearance Foundations...The Life of Archimedes Birth: About 287 BC in Syracuse, Sicily (At the time it was still an Independent Greek city-state) Death: 212 or 211 BC in Syracuse. His age is estimated to be between 75-76 at the time of death. Cause: Archimedes may have been killed by a Roman soldier who was unaware of who Archimedes was. This theory however, has no proof. However, the dates coincide with the time Syracuse was sacked by the Roman army. The Works of Archimedes Archimedes' Writings: • Balancing Planes • Quadrature of the Parabola • Sphere and Cylinder • Spiral Lines • Conoids and Spheroids • On Floating Bodies • Measurement of a Circle • The Sandreckoner • The Method of Mechanical Problems • The Stomachion The ABCs of Archimedes' work Archimedes' work is separated into three Codeces: Codex A: Codex B: • Balancing Planes • Balancing Planes • Quadrature of the Parabola • Quadrature of the Parabola • Sphere and Cylinder • On Floating Bodies • Spiral Lines Codex C: • Conoids and Spheroids • The Method of Mechanical • Measurement of a Circle Problems • The Sand-reckoner • Spiral Lines • The Stomachion • On Floating Bodies • Measurement of a Circle • Balancing Planes • Sphere and Cylinder The Reappearance of the Palimpsest Date: On Thursday, October 29, 1998 Location: Christie's Acution House, NY Selling price: $2.2 Million Research on Palimpsest was done by Walter's Art Museum in Baltimore, MD The Main Researchers Include: William Noel Mike Toth Reviel Netz Keith Knox Uwe Bergmann Codex A, B no more Codex A and B no longer exist.
    [Show full text]
  • Archimedes and Liu Hui on Circles and Spheres Joseph W
    www.ontologia.net/studies Ontology Studies 10, 2010 21-38 Archimedes and Liu Hui on Circles and Spheres Joseph W. Dauben Department of History Herbert H. Lehman College and Ph.D. Program in History The Graduate Center The City University of New York Reception date / Fecha de recepción: 27-05-2009 Acceptation date / Fecha de aceptación: 22-06-2009 Abstract This article describes the mystery of a long lost codex of Archimedes that resurfaced briefly at the turn of the last century by Johan Ludwig Heiberg. Long enough for the Danish historian of mathematics Heiberg to identify, photograph and eventually transcribe “The Method” and several other works by Archimedes of considerable mathematical interest. In 1879 Heiberg completed his dissertation, Quaestiones Archimedeae, devoted to Archimedes’ life, works, and transmission of his texts. Keywords: Archimedes, Ephodos, Method, Johan Ludwig Heiberg. Resumen. Arquímedes y Hui Liu en torno a círculos y esferas. Este artículo describe el misterio de un códice de Arquímedes perdido hace mucho tiempo que reapareció brevemente a principios del siglo pasado de la mano de Johan Ludwig Heiberg. Tiempo suficiente para que el historiador danés de las matemáticas Heiberg pudiese identificar, fotografiar y, finalmente, transcribir “El Método” y varias otras obras de Arquímedes de interés matemático considerable. En 1879 Heiberg completó su tesis doctoral, Quaestiones Archimedeae, dedicado a la vida de Arquímedes, las obras, y la transmisión de sus textos. Palabras clave: Arquímedes, ephodos, método, Johan Ludwig Heiberg. This story begins with a mystery—the mystery of a long lost codex of Archimedes that resurfaced briefly at the turn of the last century, long enough for the Danish historian of mathematics Johan Ludwig Heiberg to identify, photograph and eventually transcribe “The Method” and several other works by Archimedes of considerable mathematical 22 Ontology Studies 10, 2010 Joseph W.
    [Show full text]
  • Order in the Cosmos
    11/12/2015 Order in the Cosmos: how Babylonians and Greeks Shaped our World 1 11/12/2015 2 11/12/2015 Two distinct periods of flowering: • Old Babylonian astronomy: during and after First Babylonian dynasty (Hammurabi) 1830‐1531 BCE • New Babylonian/Chaldean astronomy: Neo‐Babylonian (Nebuchadnezzar) 626‐539 BCE Medo‐Persian 539‐331 BCE Seleucid 335‐141 BCE Parthian 129 BCE‐224 AD timeline Babylonian astronomy Evans 1998 3 11/12/2015 Babylonian Astronomers: ∏ most consistent, systematic and thorough astronomical observers of antiquity ∑ First to recognize periodicity astronomical phenomena (e.g. eclipses !), and apply mathematical techniques for predictions ∑ Systematically observed and recorded the heavens: ‐ Records spanning many centuries (> millennium) ‐ Archives of cuneiform tablets ‐ Famous Examples: Enuma Anu Enlil 68‐70 tablets Kassite period (1650‐1150) tablet 63: Venus tablet of Ammisaduga MUL.APIN 700 BCE oldest copy: 686 BCE • Several types of astronomical texts in Babylonian astronomy. • Four principal types: 1) astronomical diaries 2) goal year texts 3) ephemerides 4) procedure texts • Ephemerides: ‐ listing of positions of planets and their meaning (eg. extreme points retrograde path) ‐ predictive: positions based on calculations (based on scheme) ‐ ephemerides for Moon ‐ ephemerides for planets • Procedure texts: description of procedure(s) to calculate ephemerides 4 11/12/2015 Old text, probably Kassite period (1595‐1157 BCE) • Amajor series of 68 or 70 tablets • dealing with Babylonian astrology. • bulk is a substantial collection of omens, estimated to number between 6500 and 7000, • interpreting a wide variety of celestial and atmospheric phenomena in terms relevant to the king and state 2. If with it a cloudbank lies on the right of the sun: the trade in barley and straw will expand.
    [Show full text]
  • The Reader and the Poet
    THE READER AND THE POET THE TRANSFORMATION OF LATIN POETRY IN THE FOURTH CENTURY A Dissertation Presented to the Faculty of the Graduate School of Cornell University in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Doctor of Philosophy by Aaron David Pelttari August 2012 i © 2012 Aaron David Pelttari ii The Reader and the Poet: The Transformation of Latin Poetry in the Fourth Century Aaron Pelttari, Ph.D. Cornell University 2012 In Late Antiquity, the figure of the reader came to play a central role in mediating the presence of the text. And, within the tradition of Latin poetry, the fourth century marks a turn towards writing that privileges the reader’s involvement in shaping the meaning of the text. Therefore, this dissertation addresses a set of problems related to the aesthetics of Late Antiquity, the reception of Classical Roman poetry, and the relation between author and reader. I begin with a chapter on contemporary methods of reading, in order to show the ways in which Late Antique authors draw attention to their own interpretations of authoritative texts and to their own creation of supplemental meaning. I show how such disparate authors as Jerome, Augustine, Servius, and Macrobius each privileges the work of secondary authorship. The second chapter considers the use of prefaces in Late Antique poetry. The imposition of paratextual borders dramatized the reader’s involvement in the text. In the third chapter, I apply Umberto Eco’s idea of the open text to the figural poetry of Optatianus Porphyrius, to the Psychomachia of Prudentius, and to the centos from Late Antiquity.
    [Show full text]
  • Archimedes and the Palimpsest
    http://www.mlahanas.de/Greeks/ArchimedesPal.htm Archimedes and the Palimpsest Michael Lahanas “The Method” was a work of Archimedes unknown in the Middle Ages, but the importance of which was realized after its discovery. Archimedes pioneered the use of infinitesimals, showing how by dividing a figure in an infinite number of infinitely small parts could be used to determine its area or volume. It was found in the so-called Archimedes Palimpsest. The ancient text was found in a rare 10th- century Byzantine Greek manuscript which is probably the oldest and most authentic copy of Archimedes’ major works to survive, and contains transcriptions of his writing on geometry and physics. The 174 pages of text was according to the Greek orthodox church stolen but the owners were descendants of a Frenchman who legally bought the volume in the 1920s. It was sold for $2 million at Christie’s. The manuscript was the only source for his treatise “On The Method of Mathematical Theorems” and the only known copy of the original Greek text of his work, “On Floating Bodies”. The manuscript also contains the text of his works “On The Measurement of the Circle”, “On the Sphere and the Cylinder”, “On Spiral Lines” and “On the Equilibrium of Planes”. The volume is a palimpsest, a manuscript in which pages have been written on twice. As writing material was expensive an original text could be washed off so the parchment could be reused. The upper layer of writing on the document to be auctioned contains instructions for religious rites but underneath it contains versions of Archimedes’ most celebrated Greek texts.
    [Show full text]
  • The Origins of Mathematical Physics: New Light on an Old Question
    PMI Ciência: Mitos, Histórias e Factos Arquímedes Referência: http://www.aip.org/pt/june00/origins.htm The Origins of Mathematical Physics: New Light on an Old Question A recently resurfaced tenth century manuscript, the Archimedes Palimpsest, includes the sole extant copy of Archimedes’s treatise, the Method. As scholars begin study, new insights into Archimedes are emerging. -- Reviel Netz Imagine that you have to start science from scratch. … the Archimedes manuscript has been overwritten Upon what disciplines should you draw? Philosophy, by a twelfth century prayer book. (Palimpsestos is the for instance, discusses the nature of time, space, and Greek word for rescraped, or overwritten, parchment.) reality. Religion, too, tries to make sense of the world Work is only just beginning on uncovering and as a whole; and so, sometimes, does literature. Several studying the original text. Many scholars in the field disciplines—for example, biology and medicine—deal hope we are near a much better understanding of with special and highly significant features of the Archimedes. I have looked at the palimpsest, and I world. Such are the most natural ways to begin believe this hope is well founded. In this article, I thinking about the world, and, in fact, most cultures delineate some of Archimedes’s originality, give an make sense of their world through a combination of example of the new information the Archimedes such intellectual resources. Mathematics, in Palimpsest may provide us, and I suggest, tentatively, comparison, appears like a non-starter. Here is a theory what Archimedes’s mathematical physics may have dealing with abstract objects, aiming at internal meant.
    [Show full text]
  • The Universe Mechanized
    08/12/2016 1 08/12/2016 Pergamum Syracuse Rhodos Alexandria 2 08/12/2016 3 08/12/2016 Hipparchus Euclides Heron Apollonius of Perga Aristarchus Ptolemaeus Eratosthenes Archimedes 4 08/12/2016 Various astronomers made significant, even amazing, contributions. Noteworthy examples: ∑ Aristarchus of Samos ‐ Heliocentric Universe ‐ distance Moon & Sun ‐ size Sun ∑ Archimedes ‐ Planisphere/Planetarium ? ∑ Eratosthenes ‐ Diameter Earth ∑ Hipparchus ‐ multitude essential contributions Problematic is the loss of nearly all, except for a few, of the books and works they have written … 5 08/12/2016 “On the Sizes & Distances of the Sun and Moon ”: Only one work of Aristarchus survives: On the Sizes and the Distances of the Sun and Moon First mathematically based attempt to measure distance Earth‐Sun, thus First attempt to measure scale Universe Based upon geocentric view of Universe On the Sizes and the Distances Greek copy 10th century 6 08/12/2016 Aristarchus' geometric construction used to estimate the distance to the Sun. Earth (E) –Sun (S)‐Moon (M) triangle and sizes are not drawn to scale. Measure angle b: c = 90±‐b EM/ES = sin(c) Aristarchus: b = 87± real value: b = 89±50 ES = 19 EM real value: ES = 397 EM Numerically, very unstable procedure, reason for huge error. Nonetheless, On the Sizes and the Distances Greek copy 10th century Aristarchus' estimate of size Sun: angular diameter Sun ~ angular diameter Moon Dist. Earth‐Sun = 19 Dist. Earth‐Moon size Sun = 19 x size Moon size Sun > size Earth On the Sizes and the Distances Greek copy 10th century 7 08/12/2016 Archimedes, “the Sand Reckoner” (~200 BCE): You King Gelon are aware the ‘universe' is the name given by most astronomers to the sphere the center of which is the center of the Earth, while its radius is equal to the straight line between the center of the Sun and the center of the Earth.
    [Show full text]
  • The Antikythera Mechanism
    Material The Antikythera Mechanism Copyrighted Universal-Publishers Material Copyrighted Universal-Publishers The Antikythera Mechanism The Story Behind the Genius of the Greek Computer and its Demise Material Evaggelos G. Vallianatos, PhD Copyrighted Universal-Publishers Universal-Publishers Irvine • Boca Raton The Antikythera Mechanism: The Story Behind the Genius of the Greek Computer and its Demise Copyright © 2021 Evaggelos G. Vallianatos. All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, distributed, or transmitted in any form or by any means, including photocopying, recording, or other electronic or mechanical methods, without the prior written permission of the publisher, except in the case of brief quotations embodied in critical reviews and certain other noncommercial uses permitted by copyright law. Universal Publishers, Inc. Irvine • Boca Raton USA • 2021 www.Universal-Publishers.com ISBN: 978-1-62734-358-9 (pbk.) ISBN: 978-1-62734-359-6 (ebk.) For permission to photocopy or use material electronically from this work, please access www. copyright.com or contact the Copyright Clearance Center, Inc. (CCC) at 978-750-8400. CCC is a not-for-profit organization that provides licenses and registration for a variety of users. For organizations that have been granted a photocopy licenseMaterial by the CCC, a separate system of payments has been arranged. Front cover painting of the Antikythera Mechanism by Evi Sarantea Painting of the Antikythera Mechanism by the Greek artist Evi Sarantea. The painting is a panorama of the artist’s vision of what the Antikythera Mechanism was at the time of its creation in the second century BCE and what it became in the twenty-first century: an emblem in a galactic temple decorated by a Renaissance clock and, on the left side, surrounded by the Wheel of the Sun god Helios depicting the Cosmos of the Sun, the Moon, and the planets, all bathed in stars and constellations, including the interlocking gears below the Cosmos.
    [Show full text]
  • MATH 100 Additional Topics
    Varied Topics for MATH 100 Dr. Ram\'onM. Figueroa-Centeno, Ph.D. June 17, 2009 1 How to Study Mathematics 1.1 The Work of Uri Treisman Here we will discuss how key is to foster class discussion and group work to succeed in Mathematics. Assign Uri Treisman's Dolciani Lecture: http://tinyurl.com/c8rgvf 2 Pattern Blocks http://math.rice.edu/~lanius/Patterns/ http://tinyurl.com/d2uqlh (Virtual Pattern Blocks) 3 Cuisenaire Rods (Integer Rods or Integer Bars) http://www.etacuisenaire.com/cuisenairerods/cuisenairerods.jsp http://en.wikipedia.org/wiki/Cuisenaire_rods http://arcytech.org/java/integers/index.html (Lesson Plans) http://tinyurl.com/238zsg (Virtual Rods) http://www.elasticmind.com/labadabado/rods.html (Virtual Rods) http://tinyurl.com/ddrku6 (Virtual Rod Trains) http://tinyurl.com/c8m47o (Fractions) 1 4 Ethnomathematics 4.1 Native Hawaiian Mathematics Among the topics to be covered are: \bullet Konane. http://www.k12.hi.us/~gkaapuni/how_to_play_konane.htm http://tinyurl.com/c6gxay \bullet Nets and Netting http://www.ethnomath.org/resources/stokes1906.pdf \bullet Astronomy http://www.ethnomath.org/resources/makemson1938.pdf 4.2 The Mayas. http://tinyurl.com/dx6te8 \bullet Zero. http://mathforum.org/k12/mayan.math/ \bullet How to count in Maya (using Cuisenaire Rods). \bullet The Maya Calendar. The Long Count. 4.3 Africa http://www.amazon.com/gp/product/0883857154 http://tinyurl.com/dbo88d Among the topics to be covered are: \bullet Sand Drawings http://tinyurl.com/cvk4gq \bullet The Ishango Bone. http://en.wikipedia.org/wiki/Ishango_bone http://www.simonsingh.net/The_Ishango_Bone.html 2 4.4 The Story of 1 We will watch the film: The Story of 1 (60 Minutes).
    [Show full text]
  • The Method of Archimedes: Propositions 13 and 14
    The Method of Archimedes: Propositions 13 and 14 Shirley B. Gray, Daniel Ye Ding, Gustavo Gordillo, Samuel Landsberger, and Cye Waldman o area of mathematics has attracted more international attention in the past decade than the Palimpsest of Archimedes. The 1998 auction at Christie’s, followed by collaborative workN centered at the Walters Art Museum led to traveling museum exhibits, newspaper articles, television specials, and dozens of presentations. Mathematicians and other scholars attracted a new and significant audience. The singed, battered, faded, mildewed, damaged 10th century manuscript—the world’s oldest copy of The Method of Archimedes—sold for $2 million “under the hammer.” Mathematicians and classical Figure 1. Development of the hoof. scholars have long wondered just how close Archimedes (287–212 BC), a mechanical genius, had come to formulating modern calculus. The clues would surely lie in Propositions 13 and 14, if true Archimedean experimental tradition, we only they could be read. Though now transcribed, decided to avail ourselves of the opportunity the content may contain copyists’ errors. In the to look not retrospectively at the content of propositions in The Method but rather in terms Shirley B. Gray is professor of mathematics at Califor- of 21st century mathematics and technology. nia State University, Los Angeles. Her email address is [email protected]. Moreover, we believe we participated in every scholar’s quest to have a Eureka moment—we Daniel Ye Ding is an undergraduate student at Califor- found the Golden Ratio in our attempts to image nia State University, Los Angeles. His email address is [email protected].
    [Show full text]