Dissertation ⋆ ⋆ ⋆ Die Zyklografie Wilhelm Fiedlers Inauguraldissertation zur Erlangung des akademischen Grades Doktor der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) der Bergischen Universität Wuppertal ⋆ ⋆ ⋆ vorgelegt von : Robert Wengel Gutachter : Prof. Dr. Klaus Volkert (Wuppertal) Prof. Dr. Norbert Hungerbühler (Zürich) Prof. Dr. Andreas Filler (Berlin) Datum : 20.01.2020 Die Dissertation kann wie folgt zitiert werden: urn:nbn:de:hbz:468-20200513-100658-4 [http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn=urn%3Anbn%3Ade%3Ahbz%3A468-20200513-100658-4] DOI: 10.25926/ap24-xa94 [https://doi.org/10.25926/ap24-xa94] Danksagung Mein herzlichster Dank gilt Herrn Prof. Dr. Klaus Volkert, der mich zur Auseinan- dersetzung mit dem Thema der vorliegenden Arbeit angeregt hat. Ich danke ihm insbesondere für die sehr gute Unterstützung bei der Abfassung der Dissertation, die intensive Betreuung sowie für viele zahlreiche Hinweise und Ratschläge. Außer- dem danke ich Herrn Prof. Dr. Norbert Hungerbühler und Herrn Prof. Dr. Andreas Filler für die Erstellung eines Zweit- und Drittgutachtens. Darüber hinaus danke ich meiner Familie, die mir unterstützend zur Seite gestan- den und mir mein Studium ermöglicht hat. Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 9 1.1. Einführung ................................ 9 1.2. Bemerkungen zu mathematischen Zeichen, Konstruktionen und Sät- zen .................................... 13 2. Die Zyklografie Wilhelm Fiedlers 15 2.1. Fiedlers Leben und Einfluss auf die Geometrie . ... 15 2.2. Die Bedeutung der Kreisgeometrie . 18 2.3. ZurEntstehungderZyklografie . 23 2.4. RezeptionderZyklografie . 29 2.4.1. Besprechungen . .. .. 29 2.4.2. LehrwerkeundAufsätze . 32 2.4.3. Die Verbreitung der zyklografischen Idee . .. 35 2.5. Aufbau und Inhalt Fiedlers Cyklographie ................ 40 3.ElementederDarstellendenGeometrie 47 3.1. GeometrischeGrößen . 47 3.1.1. Verhältnisse von Punkten auf Geraden . 47 3.1.2. Die harmonische Teilung . 52 3.2. DieZentralperspektive . 58 3.2.1. Die grundlegenden Begriffe der Zentralprojektion . ..... 60 3.2.2. Die Invarianz des Doppelverhältnisses der zentralperspektivi- schenAbbildung ......................... 68 3.2.3. Die Konstruktion einer harmonischen Gruppe . .. 70 4.DiezyklografischeAbbildungsmethode 73 4.1. Das zyklografische Abbildungsverfahren . .... 73 4.2. Die zyklografische Abbildung in Verbindung mit Kreiskegeln ..... 76 4.3. DerSatzvonMonge ........................... 81 4.3.1. Anmerkungen .......................... 81 4.3.2. Der Satz von Monge und sein Beweis mithilfe der Zyklografie 81 4.4. DerSatzvonPoncelet-Steiner . 84 4.4.1. Hintergrund ........................... 84 4.4.2. DieAussagedesSatzes . 86 4.5. Die zyklografischen Bilder von Raumgeraden und Ebenen . ..... 90 4.5.1. DielinearenKreisreihen . 90 4.5.2. DieplanarenKreissysteme . 96 4.5.3. Sätze über lineare Kreisreihen und planare Kreissysteme . .103 4.5.4. Konstruktionsaufgaben und deren Lösungen . 110 4.6. Die Transversalen zu drei gegebenen Geraden . .149 4.7. DieHarmonikalen . .. .. .. .152 5. Die Grundlagen der Kreisgeometrie 157 5.1. DieKreisinversion . .. .. .. .157 5.1.1. Die Definition der Inversion an einem Kreis und die Konstruk- tioninverserPunkte . .157 5.1.2. Zusammenhang der Inversion zu harmonischen Gruppen . .165 5.2. Die Begriffe Pol und Polare eines Kreises . .167 5.2.1. DieDefinitionvonPolundPolare . 167 5.2.2. Der Schnitt zweier Kreise . 168 5.2.3. Die Polarebene eines Pols in Bezug auf einen geraden Kreis- kegel ...............................173 5.3. Die Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises . .. .175 5.3.1. Die Definition des geometrischen Potenzbegriffs . .175 5.3.2. Die Potenzgerade in Bezug auf zwei Kreise . 177 5.3.3. Die Konstruktion der Potenzgeraden zu zwei Kreisen . .181 5.3.4. Die gemeinschaftliche Potenz eines Ähnlichkeitspunktes zu zwei Kreisen ..............................186 5.4. Der Potenzkreis und das Potenzzentrum zu drei Kreisen und ihre Eigenschaften ...............................189 5.5. Die Potenzkreise zu zwei Kreisen . 194 5.6. Der Ähnlichkeitskreis zu zwei Kreisen . .195 6. Die Hyperbel und Kreisbüschel 197 6.1. DieHyperbel ...............................197 6.1.1. DieHyperbelalsOrtskurve . .198 6.1.2. Die Hyperbel als Schnitt einer Ebene mit einem Kreiskegel . 200 6.2. DieRegelflächen .............................204 6.2.1. DerKreiskegel . .. .. .. .205 6.2.2. Das einschalige Rotationshyperboloid . 205 6.3. Das Kreisbüschelkonzept . 209 6.3.1. Das elliptische Kreisbüschel . 210 6.3.2. Involutionen . .. .. .. .215 6.3.3. Die algebraische Beschreibung einer Hyperbel . .220 6.3.4. Die Hyperbel und ihre Asymptoten . 227 6.4. Sätze über Potenz- und Ähnlichkeitskreise . .232 6.5. Erweiterung des Begriffes des Potenzkreises und die Behandlung der Kreisinversion ..............................244 6.6. KonjugierteKreisbüschel . 251 6.7. Die Hyperbel in Verbindung mit der Kreisinversion . .. .262 6.8. Die Ähnlichkeitskreise im Zusammenhang mit dem Kreisbüschelkon- zept ....................................263 7. Das Apollonische Berührproblem 271 7.1. Biografisches und Historisches . 271 7.1.1. ApolloniusvonPerge . .271 7.1.2. Historische Anmerkungen und Lösungsmethoden . 272 7.2. Die zyklografische Methode der Lösung des Apollonischen Berührpro- blems ...................................277 7.3. Die analytische Lösung des Apollonischen Berührproblems . .279 7.3.1. Eine Strategie zur Lösung des Apollonischen Berührproblems 279 7.3.2. Beispiel ..............................282 7.4. Die elementargeometrische Lösung des Apollonischen Berührproblems mithilfederZyklografie . .286 7.4.1. Hilfskontruktionen zu gemeinsamen Kegelpunkten . .286 7.4.2. Die Lösung des Apollonischen Problems . 302 7.4.3. Beispiel ..............................303 8. Die Kreisschnittprobleme 309 8.1. Die Schnittwinkel von Kreisen . 309 8.2. Kreisschnitte unter bestimmten Winkeln in der Zyklografie . .311 8.3. Abschlussbemerkungen/Ausblick: Weitere Untersuchungen in Fied- lers Cyklographie .............................319 9. DidaktischeAnmerkungenzurZyklografie 323 9.1. Fiedlers didaktische Vorstellungen von der Lehre der Geometrie . 323 9.2. DieZyklografieimUnterricht . 328 9.2.1. Vorbemerkungen . .328 9.2.2. Vorschlag für eine unterrichtliche Diskussion: Einführung der Zyklografie ............................330 9.2.3. Anmerkungen ..........................331 9.3. Didaktische Stellungnahme . 355 10.Schlusswort 359 A. Anhang 367 A.1. Die Gleichung der Geraden l –Fall1 ..................367 A.2. Die Gleichung der Geraden l –Fall2 ..................369 Literaturverzeichnis 371 Abbildungsverzeichnis 379 Glossar 385 1. Einleitung 1.1. Einführung Wilhelm Fiedler, ein Mathematiker, der in der damaligen Industriestadt Chemnitz im Jahre 1832 geboren wurde und in Zürich am Polytechnikum Darstellende Geo- metrie und Geometrie der Lage lehrte, veröffentlichte nach langem Zögern im Jahre 1882 das Lehrwerk Cyklographie oder Construction der Aufgaben über Kreise und Kugeln und die Geometrie der Kreis- und Kugelsysteme.1 Die darin dargestellte Theorie ist der Hauptgegenstand der vorliegenden Arbeit. Es werden in dieser Dissertation mehrere Ziele verfolgt und Schwerpunkte gesetzt. Dies wird nachfolgend genauer beschrieben. Das Kapitel 2 widmet sich einem historischen Diskurs. Hierzu werden zunächst Fiedlers Biografie dargestellt und sein Wirken in der Mathematik aufgezeigt. Wie bereits der Titel seines oben erwähnten Lehrwerkes offenbart, sind zentralen Themen der dort beschriebenen Theorie – die sogenannte Zyklografie – Kreise und Kugeln, wobei sich in der hier vorliegenden Arbeit auf erstere fokussiert wird. Aus diesem Grund wird zu Anfang eine kurze historische Übersicht über die Kreisgeometrie gege- ben. Der nächste Abschnitt widmet sich der Entstehung der Cyklographie. Hier wird insbesondere ein Konflikt dargestellt, den Fiedler mit der Veröffentlichung seines Lehrbuchs hatte. Er vermutete, dass Jakob Steiner bereits an der gleichen oder an einer ähnlichen Idee gearbeitet hätte, sodass sich Fiedler dazu entschied, sein Werk vorerst nicht zu veröffentlichen. Im zweiten Kapitel wird zudem herausgearbeitet, in welchen Publikationen die Cyklographie Erwähnung fand, wie sie rezipiert und weiterentwickelt wurde und wie Fiedler versuchte, sie populär zu machen. Als Nach- weis dafür werden einige Briefe Fiedlers und seiner Korrespondenten aus dem Archiv der ETH Zürich herangezogen. Das Kapitel endet mit einer Darstellung der Inhalte, die in Fiedlers Cyklographie behandelt werden, wobei auch hier der Schwerpunkt, 1Das Lehrwerk wird nachfolgend verkürzend Cyklographie genannt. Die Zyklografie Wilhelm Fiedlers 9 Die Zyklografie Wilhelm Fiedlers wie bereits erwähnt, auf der Kreisgeometrie liegt. Die ersten Kapitel des Lehrwerks werden aufgrund ihrer fundamentalen Bedeutsamkeit detaillierter beschrieben. Fiedlers Theorie der zyklografischen Abbildung geht einher mit darstellend-geome- trischen Methoden. Damit verbundene Konzepte, wie die Zentral- und Parallelpro- jektion, werden im Kapitel 3 eingeführt. Hier werden elementare Sätze und Begriffe besprochen, wie beispielsweise das Doppelverhältnis, welches für die Darstellende Geometrie von Bedeutung ist, mitsamt seiner Eigenschaften. Das anschließende Kapitel führt die zyklografische Abbildung ein. Die ihr zu- grundeliegende Idee sowie ihr Potential für die Geometrie ist heute weitestgehend unbekannt. Aus diesem Grund wird die zyklografische Methode mit ihrer Anschau- ung von Beginn an eingeführt und es werden unterstützend Abbildungen gezeigt, die es ermöglichen sollen, die fundamentalen Ideen dieser Theorie zu verstehen.