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La Geometria Proiettiva Complessa Origini E Sviluppi Da Von Staudt a Segre E Cartan

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La Geometria Proiettiva Complessa Origini E Sviluppi Da Von Staudt a Segre E Cartan DOTTORATO DI RICERCA in Storia e Didattica delle Matematiche, Storia e Didattica della Fisica, Storia e Didattica della Chimica Ciclo XX - 2005/2006 Consorzio tra Università Bologna, Università Catania, Università di Bratislava (Slovacchia), Università Nitra (Slovacchia), Università di Napoli “Federico II, Università di Alicante (Spagna), Università di Pavia, Università di Palermo, CIRE (Centro Interdipartimentale Ricerche Educative, Università di Palermo) SEDE AMMINISTRATIVA: UNIVERSITÀ DI PALERMO CARMELA ZAPPULLA La Geometria Proiettiva Complessa Origini e sviluppi da von Staudt a Segre e Cartan Tutor Prof. Aldo Brigaglia TESI DI DOTTORATO DI RICERCA Palermo 2009 0 A mio figlio Pietro 1 Indice INDICE Pag. 2 INTRODUZIONE Pag. 5 CAP. 1. I NUMERI COMPLESSI E LA LORO ORIGINE Pag. 9 CAP. 2. LE ORIGINI DELLA RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI COMPLESSI Pag. 19 2.1 Wessell Pag. 21 2.2 Gauss Pag. 23 2.3 Argand Pag. 27 2.4 Buée Pag. 32 2.5 Cauchy Pag. 35 2.6 Carnot Pag. 39 2.7 Bellavitis Pag. 43 CAP. 3. VERSO LA DEFINIZIONE DELLA GEOMETRIA PROIETTIVA COMPLESSA Pag. 49 3.1 La teoria delle inversioni (Dandelin, Quetelet, Steiner, Pag. 51 Pluecker) 3.2 Bellavitis Pag. 58 3.3 Möbius Pag. 61 3.4 von Staudt Pag. 72 CAP. 4. LA GEOMETRIA PROIETTIVA COMPLESSA IN ITALIA Pag. 79 4.1 Introduzione Pag. 81 4.2 Segre 1888 Pag. 83 4.2.1 Contenuto della memoria (Segre 1888) Pag. 86 4.3 Segre 1889-91 Pag. 96 4.3.1 Contenuto della memoria (Segre 1889-91) Pag. 97 4.4 Segre 1892 Pag. 114 4.4.1 Contenuto della memoria (Segre 1892) Pag. 117 4.5 Conclusioni sulle memorie di Segre qui trattate Pag. 129 4.6 Pieri 1904-05 Pag. 137 4.6.1 Contenuto della memoria (Pieri 1904-05) Pag. 139 2 4.6 Pieri 1911-12 Pag. 149 CAP. 5. LA GEOMETRIA PROIETTIVA COMPLESSA IN EUROPA DA LIE A STUDY Pag. 151 5.1 Introduzione Pag. 153 5.2 Lie Pag. 154 5.3 Laguerre Pag. 156 5.4 Stolz Pag. 160 5.5 Klein Pag. 163 5.6 Lüroth Pag. 165 5.7 Altri Matematici Pag. 168 5.8 Wiener Pag. 170 5.9 Juel Pag. 174 5.10 Study Pag. 180 5.11 Conclusioni Pag. 185 CAP. 6. I SISTEMI IPERCOMPLESSI Pag. 187 6.1. Introduzione Pag. 189 6.2 La teoria delle quantità complesse a n unità Pag. 191 6.3 Quaternioni Pag. 197 6.4 Bicomplessi Pag. 201 6.5. Numeri duali: le memorie (Grünwald 1906) e (Segre 1911-12) Pag. 203 6.5.1 Corrado Segre e i numeri duali Pag. 207 6.5.1.1 Contenuto della memoria (Segre 1911-12) Pag. 208 6.6 Conclusioni Pag. 228 CAP. 7. LA GEOMETRIA COMPLESSA NEL PRIMO NOVECENTO Pag. 229 7.1. I primi trattati: (Coolidge 1924) e (Cartan 1931) Pag. 231 7.1.1 J. L. Coolidge Pag. 233 7.1.2 E. Cartan Pag. 239 CAP. 8 CONCLUSIONI Pag. 243 BIBLIOGRAFIA Pag. 249 Bibliografia primaria/Bibliografia secondaria Pag. 251/261 3 4 Introduzione L’uso dei numeri complessi in matematica risale a molti secoli fa: se si considera che già nella soluzione di equazioni di secondo grado si può presentare il caso di soluzioni non reali si capisce che, storicamente, il problema affonda le sue radici in un tempo molto lontano. In questo lavoro di tesi, comunque, l’attenzione verrà focalizzata sulla seconda metà del secolo XIX e le prime decadi del secolo XX. Infatti, come vedremo, lo sviluppo della geometria proiettiva complessa prende le mosse all’inizio della seconda metà dell’Ottocento con le opere di Möbius e Von Staudt1, mentre il dibattito sulla rappresentazione geometrica delle quantità immaginarie si era già sviluppato a inizio secolo (con qualche accenno a fine Settecento). Il voler dare un significato geometrico a questi “nuovi” numeri trovava una giustificazione nella convinzione (risalente a Euclide) che per legittimare l’esistenza di un ente se ne doveva fornire la rappresentazione geometrica. Ma bisogna sottolineare che ancora tra la fine del Settecento e i primissimi anni dell’Ottocento le geometrie non euclidee non avevano assunto un ruolo fondamentale nella costruzione delle teorie non solo geometriche ma di tutta la matematica, e quindi, in mancanza di una concezione moderna dell’idea di campo numerico, si cercava ancora una giustificazione geometrica per le soluzioni (reali o complesse) di una qualsiasi equazione, concezione, come abbiamo detto, tipicamente classica. Ma la spinta allo studio del campo complesso e alla rappresentazione reale dei suoi elementi si deve, oltre che alla teoria delle equazioni che affonda le sue radici nel Rinascimento Italiano, soprattutto al ruolo primario assunto della teoria delle funzioni a variabile complessa nel panorama degli sviluppi dell’analisi, soprattutto sulla spinta della sistemazione datale da Cauchy. 1 (von Staudt 1856-57-60). 5 Qui non si vuole percorrere la storia dell’introduzione dei numeri complessi, tra l’altro ben nota, bensì presentare la storia dell’evoluzione della Geometria Proiettiva Complessa partendo della rappresentazione geometrica degli elementi immaginari. Quindi, si arriverà all’utilizzazione della geometria complessa nel XX secolo in campi apparentemente lontani da quello prettamente geometrico. E vedremo in primo piano la scuola italiana di geometria della seconda metà del XIX secolo: essa, si sa, raggiunge in quegli ultimi decenni del secolo suddetto l’apice storico del suo successo per quanto concerne ricerche, produzioni, pubblicazioni, persone e studiosi che si dedicarono costantemente e in più direzioni allo sviluppo della geometria. In questo scenario si inseriscono le opere di cui tratteremo, uniche nel loro genere e degne di attenzione: tali sono alcune pubblicazioni di Corrado Segre (1863- 1924) (pubblicazioni che a nostro parere sono state generalmente sottovalutate dai suoi stessi biografi) che vanno dal 1888 ai primi anni del XX secolo. L’argomento sviluppato da Segre risulta essere interessante soprattutto per i suoi molteplici risvolti scientifici: i suoi studi sono entrati in tempi successivi nello sviluppo della Geometria differenziale, della Geometria algebrica e dell’Analisi e, in particolare: 1) delle funzioni automorfe, i cui trattati pongono a loro base lo studio delle trasformazioni lineari sul campo complesso e il cui studio entra in molti punti della teoria delle equazioni differenziali, 2) dei sistemi numerici ipercomplessi come gli ottonioni e in generale gli 2n-nioni, 3) della grafica 3D dei frattali2. Inoltre, le ricerche di Segre costituiscono una delle prime trattazioni della geometria su un campo diverso da quello reale (ciò se si escludono certi lavori di alcuni matematici tedeschi): infatti Segre, dopo aver dato inizio alle ricerche in geometria complessa, orienterà i suoi sforzi in direzione dello studio di geometrie su algebre con divisori dello zero (p. e. sui bicomplessi o sui duali), studi che assieme ai lavori di Weierstrass e quelli di Hamilton sui quaternioni ne costituiscono una pietra miliare. L’ultimo capitolo sarà dedicato all’analisi dei primi due testi universitari di Geometria Complessa (quelli di Coolidge e di Cartan), che prendono entrambi le mosse dall’opera di Segre. 2 Si veda alla fine del §6.4. 6 Vogliamo concludere questa introduzione con una citazione di Corrado Segre del 1905, dalla quale si intuisce bene l’alta considerazione del matematico torinese per tali ricerche: Le varietà di enti che si considerano ordinariamente in Geometria sono analitiche, od in particolare algebriche: definibili cioè con legami analitici od algebrici fra le coordinate complesse dei loro elementi. Ma, seguendo la tendenza ad ampliare il campo geometrico, si possono anche studiare delle varietà più generali: ottenute cioè considerando staccatamente, come variabili indipendenti, le due componenti reali di ogni coordinata complessa; e ponendo dei legami fra le varie coppie di componenti reali. Se questi legami sono algebrici, si hanno le così dette varietà iperalgebriche, intorno a cui io ho pubblicato verso il 1890 alcune ricerche. Fra esse vi sono le imagini geometriche di quelle forme quadratiche di HERMITE a variabili complesse coniugate, che si son presentate tanto spesso in questi anni, collegandosi ai gruppi di sostituzioni lineari ed alle funzioni automorfe. Così le forme di HERMITE nel campo quaternario rappresentano delle corrispondenze fra punti e piani molto analoghe alla polarità rispetto ad una quadrica. Considerandole sotto questo aspetto geometrico, varie questioni su quelle forme, per esempio sulle loro espressioni canoniche, sulle loro trasformazioni lineari in se stesse, ecc…, riescono notevolmente semplificate. Fra le varietà iperalgebriche si trovan pure quelle composte dei punti reali di una varietà algebrica. Così dalla geometria degli enti complessi passiamo a quella degli enti reali! Le funzioni di variabili complesse han fatto trascurare per qualche tempo le funzioni di variabili reali, sebbene queste sian più importanti di quelle! Ora, o Signori, lo stesso fatto è accaduto in Geometria! Sono pochi gli scienziati che si occupano delle questioni di realità, o forma, o topologia; quantunque esse costituiscano un campo così degno di essere coltivato! …. Ma debbo pure avvertire che l’astrazione, che ripetutamente ho messo in evidenza come un carattere della Geometria moderna, ha avuto anche l’effetto di moltiplicare, per così dire, le geometrie complesse. 7 Da un lato si può avere l’opportunità di considerare certi enti geometrici come punti di nuova natura, aventi per coordinate numeri complessi di specie superiore. Così nello studio delle varietà iperalgebriche, fin nei problemi più semplici che nascono dalla considerazione dei rami reali di una curva algebrica, si son presentati spontaneamente dei punti bicomplessi.3 3 Da (Segre 1905). 8 CAPITOLO 1 I numeri complessi e la loro origine 9 10 Possiamo far risalire la prima idea che porta verso la conoscenza delle quantità immaginarie al XVI secolo. Dalla risoluzione delle equazioni di terzo grado di Scipione Del Ferro (1465-1526) e Girolamo Cardano (1501-1576)4 alle cruciali regole per il calcolo operazionale dell’Algebra (1572) di Rafael Bombelli (1530-1590), gli autori di tale secolo diedero impulso alla definizione di una teoria algebrica dei numeri immaginari.
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