Pro Gradu -Tutkielma

PRO GRADU -TUTKIELMA

Taru Karvonen

Täydellisistä luvuista ja niiden muunnelmista

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Marraskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KARVONEN, TARU: Täydellisistä luvuista ja niiden muunnelmista Pro gradu -tutkielma, 28 s. Matematiikka Marraskuu 2011

Tiivistelmä

Tämä tutkielma käsittelee täydellisiä lukuja ja niiden muunnelmia. Tutkiel- man ensimmäisessä luvussa annetaan tarvittavia esitietoja. Toisessa luvussa määritellään täydelliset luvut ja käydään läpi täydellisten lukujen sekä niiden muunnelmien tutkimuksen historiaa. Kolmannessa luvussa käsitellään joitakin täydellisten lukujen muunnelmia. Luvussa määritellään ystävälliset luvut, melkein täydelliset ja kvasitäydelliset luvut, pseudotäydelliset luvut, moninkertaisesti täydelliset luvut, supertäydelliset luvut, hypertäydelliset luvut ja unitaarisesti täydelliset sekä unitaarisesti ystävälliset luvut.

1 Sisältö

Johdanto 3

1 Valmistelevia tarkasteluja 4 1.1 Jaollisuus ja suurin yhteinen tekijä ...... 4 1.2 Alkuluvuista ...... 4 1.3 Aritmetiikan peruslause ...... 5 1.4 Tekijäfunktio ...... 6

2 Täydellisistä luvuista 9 2.1 Täydelliset luvut ...... 9 2.2 Katsaus täydellisten lukujen ja niiden muunnelmien tutkimukseen ...... 11 2.2.1 Historiaa ...... 11 2.2.2 Tietokonelaskenta ja GIMPS -projekti ...... 16

3 Täydellisten lukujen muunnelmat 17 3.1 Ystävälliset luvut ...... 17 3.2 Melkein täydelliset ja kvasitäydelliset luvut ...... 20 3.3 Pseudotäydelliset luvut ...... 21 3.4 Moninkertaisesti täydelliset luvut ...... 22 3.5 Supertäydelliset luvut ...... 25 3.6 Hypertäydelliset luvut ...... 26 3.7 Unitaarisesti täydelliset ja unitaarisesti ystävälliset luvut . . . 26 3.7.1 Unitaarisesti täydelliset luvut ...... 26 3.7.2 Unitaarisesti ystävälliset luvut ...... 27

Viitteet 28

2 Johdanto

Tässä tutkielmassa käsitellään lukuteorian alalta täydellisiä lukuja ja niiden muunnelmia. Positiivista kokonaislukua n sanotaan täydelliseksi luvuksi, jos sen positiivisten tekijöiden summa on kaksi kertaa luku itse. Luvussa 1 ker- rataan lukuteorian käsitteitä ja esitellään myöhemmin tarvittavia lauseita. Luvussa 2 käsitellään täydellisiä lukuja ja niiden muunnelmien historiaa se- kä luodaan katsaus tutkimuksen nykytilaan. Täydellisten lukujen historiasta siirrytään käsittelemään luvussa 3 täydellisten lukujen muunnelmia, joita ovat omissa alaluvuissaan käsiteltävät ystävälliset luvut, melkein täydelliset ja kvasitäydelliset luvut, pseudotäydelliset luvut, moninkertaisesti täydelliset luvut, supertäydelliset luvut, hypertäydelliset luvut ja unitaarisesti täydelli- set sekä unitaarisesti ystävälliset luvut. Lukijan oletetaan hallitsevan lukuteorian alkeet, esimerkiksi lukion pitkän matematiikan oppisisältöjen mukaisesti. Tutkielman pääasiallisena lähteenä on käytetty James J. Tattersallin teosta Elementary Number Theory in Nine Chapters. Täydellisten lukujen historiaa käsittelevän luvun tärkeänä lähteenä on ollut J. Sándor ja B. Crsticin teoksen Handbook of Number Theory II luku 1. Lähteinä on käytetty myös joitakin lehtiartikkeleita. Joillekin täydellisten lukujen muunnelmiin liittyville termeille on suomenkielisen nimityksen ohella mainittu englanninkieliset vastineet, koska nimityksille ei ole vakiintuneita suomenkielisiä muotoja. Tutkielmassa käsiteltävät esimerkit ovat tekijän itse laatimia, jollei toisin mainita. On kuitenkin mainittava, että samantapaisia esimerkkejä on lähes kaikissa aihetta käsittelevissä teksteissä.

3 1 Valmistelevia tarkasteluja

Tässä luvussa käydään läpi aiheen käsittelyn kannalta tarvittavat määritel- mät ja merkinnät sekä esitellään sellaiset lauseet, jotka oletetaan tunnetuiksi myöhemmin esittävissä todistuksissa. Kaikki tutkielmassa käsiteltävät luvut ovat positiivisia kokonaislukuja, jollei toisin mainita.

1.1 Jaollisuus ja suurin yhteinen tekijä Merkintä Merkitään a b,josa jakaa luvun b. | Merkintä Merkitään a - b,josb ei ole jaollinen luvulla a. Merkintä Merkitään lukujen a ja b suurinta yhteistä tekijää syt(a, b).

Määritelmä 1.1. ([12, s.50-51]). Jos a b niin nimitetään lukua a luvun b | tekijäksi. Jos 1

Määritelmä 1.2. ([12, s.60]). Kokonaislukuja a ja b kutsutaan suhteellisiksi alkuluvuiksi,jossyt(a, b)=1.

Lause 1.1. Kokonaisluvut a ja b ovat suhteellisia alkulukuja, jos ja vain jos on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että

ax + by =1.

Todistus. Ks.[12, lause 2.7 s. 60-61].

Esimerkki 1.1. Luvut

12 = 6 2=3 22 ja 25 = 52 · · ovat suhteellisia alkulukuja, koska selvästi syt(12, 25) = 1. Yhtälön 12x + 25y =1ratkaisuksi saadaan x = 2 ja y =1, joten luvut täyttävät lauseen ≠ 1.1 ehdon.

1.2 Alkuluvuista Määritelmä 1.3. ([12, s. 80]). Alkuluku on sellainen positiivinen kokonaisluku, joka on > 1 ja joka on jaollinen vain itsellään ja ykkösellä.

Esimerkki 1.2. Pienimmät alkuluvut ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Määritelmä 1.4. ([12, s. 80]). Jos luku n 2 ei ole alkuluku, niin se on Ø yhdistetty luku.

Lause 1.2. Jokainen kokonaisluku n 2 on joko alkuluku tai alkulukujen Ø tulo.

4 Todistus. (Vrt.[12, s.80, Lause 3.1]). Todistetaan lause induktiolla. Perusaskel: Kun n =2lause pitää paikkansa, koska 2 on alkuluku. Induktioaskel: Oletetaan nyt, että väite pitää paikkansa kaikille kokonaislu- vuille n, kun 2 n k. Tutkitaan lukua k +1. Jos k +1 on alkuluku Æ Æ niin väite pitää paikkansa. Jos k +1ei ole alkuluku, niin sen on oltava kahden kokonaisluvun > 1 tulo. Olkoot nämä luvut r k ja s k ,joten Æ Æ k +1=r s. Induktio-oletuksen mukaan r ja s ovat joko alkulukuja tai al- · kulukujen tuloja, joten k +1 on joko alkuluku tai alkulukujen tulo. Väite seuraa induktiosta. Esimerkki 1.3. Luku 34 (34 = 2 17) on yhdistetty luku. · Lause 1.3. Alkulukuja on ääretön määrä. Todistus. (Vrt. [12, lause 3.17 s. 107]). Tehdään vastaoletus ja oletetaan, et- tä alkulukuja on äärellinen määrä. Olkoon p suurin alkuluku ja N = p!+1. Luku N ei voi olla yhdistetty luku, sillä jaettaessa N millä tahansa alkulu- vulla 2, 3,...,pjää jakojäännökseksi 1, joten luvulla ei ole alkulukutekijöitä. Toisaalta N ei oletuksen mukaan kuitenkaan voi olla alkuluku, koska oletuksen mukaan p on suurin alkuluku ja N>p. Tästä seuraa, että N ei voi olla alkuluku eikä yhdistetty luku, mikä on ristiriita. Vastaoletus on siis väärä ja alkulukujen määrä on ääretön.

1.3 Aritmetiikan peruslause Tässä alaluvussa osoitetaan, että jokainen ykköstä suurempi kokonaisluku voidaan esittää alkulukujen tulona. Lauseen todistamiseksi tarvitaan seuraavaa lemmaa. Lemma 2.1. (Eukleideen lemma) Jos p on alkuluku ja p ab, niin joko | p a tai p b. | | Todistus. (Vrt. [12, lause 3.2 s. 81]). Oletetaan, että p on alkuluku ja p ab | mutta p - a.Koskap ab, niin on olemassa sellainen luku c,ettäpc = ab. | Koska p - a ovat p ja a suhteellisia alkulukuja, niin lauseen 1.1 perusteella on olemassa x ja y siten, että px + ay =1. Tästä seuraa, että b = b(px)+b(ay)=p(bx)+p(cy)=p(bx + cy), joten p b. | Lause 1.4. (Aritmetiikan peruslause) Jokainen kokonaisluku, joka > 1, voidaan ilmaista lukujen järjestystä huomioon ottamatta yksikäsitteisesti alkulukujen tulona. Todistus. (Vrt. [12, lause 3.4 s. 82]). Tehdään vastaoletus, jonka mukaan n on pienin sellainen luku, jolle lause ei päde. Olkoon

n = p1p2 ...pr ja n = q1q2 ...qs

5 luvun n alkutuloesitykset, missä r ja s ovat suurempia kuin 1. Jos olisi pi = qj, joillekin 1 i r ja 1 j s niin molemmat alkutuloesitykset voitaisiin Æ Æ Æ Æ n jakaa luvulla pi ja saada kaksi erilaista esitystä luvulle p , mikä on ristirii- n i dassa oletuksen kanssa, koska

1.4 Tekijäfunktio Määritelmä 1.5. ([12, s. 86]). Tekijäfunktio ‡(n) on sellainen funktio, että d = ‡(n). d n ÿ| Määritelmä 1.6. ([12, s. 95]). Funktio f on multiplikatiivinen jos f(mn)=f(m)f(n), missä syt(m, n)=1. Lause 1.5. Funktio ‡ on multiplikatiivinen. Todistus. (Vrt. [8, s.88]). Olkoon N = mn ja syt(m, n)=1. Tällöin jokainen luvun N tekijä d on muotoa d = m n (i 0), missä m on luvun m tekijä i i Ø i ja ni on luvun n tekijä. Luvun m tekijät ovat siis 1,m1,m2,...,m ja luvun n vastaavasti 1,n1,n2,...,n.Täten ‡(a)=1+m + m + + m ja ‡(n)=1+n + n + + n. 1 2 ··· 1 2 ··· Kertomalla luvun n tekijöiden summa luvun m tekijällä mi saadaan yhtälö m (1 + n + n + + n)=m ‡(n). i 1 2 ··· i Ja edelleen kertomalla luvun n tekijöiden summa luvun m jokaisella tekijällä mi saadaan yhtälö 1‡(n)+m ‡(n)+m ‡(n) + m‡(n)=‡(m)‡(n). 1 2 ··· Joten ‡(N)=‡(mn)=‡(m)‡(n).

6 Esimerkki 1.4. Lasketaan luvun 70 tekijäfunktion arvo seuraavasti

‡(70) = d =70+35+14+10+7+5+2+1=144. d 70 ÿ| Määritelmä 1.7. ([12, s. 82]). Lauseen 1.4 perusteella määritellään luvun n kanoninen esitys seuraavasti:

r –i –1 –2 –r n =i=1pi = p1 p2 ...pr , missä p

0, kun i =1,...,r. 1 2 ··· r i Seuraavaa lausetta tarvitaan tekijäfunktion määrittämiseen.

r –i Lause 1.6. Positiivisen kokonaisluvun n =i=1pi tekijöiden summan esitys on –i+1 r pi 1 ‡(n)=i=1 ≠ . A p 1 B i ≠ –1 –2 –r Todistus. (Vrt.[12, s.90] ja [8, s.89]). Positiivisen kokonaisluvun n = p1 p2 ...pr tekijöiden summa voidaan lauseen 1.5 perusteella kirjoittaa tulona

(1 + p + p2 + + p–1 )(1 + p + p2 + + p–2 ) (1 + p + p2 + + p–r ), 1 1 ··· 1 2 2 ··· 2 ··· r r ··· r koska p– : n tekijät ovat 1,p,p2,...,p– ja

‡(p–)=(1+p + p2 + + p–). ··· Kerrotaan yhtälö puolittain luvulla p, jolloin saadaan

p ‡(p–)=(p + p2 + + p– + p–+1). · ··· Sijoitetaan alkuperäinen luvun ‡(p–) lauseke yhtälöön, jolloin saadaan yhtälö

p ‡(p–) ‡(p–)=p–+1 1, · ≠ ≠ josta saadaan jakamalla puolittain luvulla (p 1) ≠ p–+1 1 ‡(p–)= ≠ . p 1 ≠ Nyt voidaan kirjoittaa tulon kaikki r tekijää sievennettyinä seuraavasti

–1+1 –2+1 –r+1 –i+1 p1 1 p2 1 pr 1 r pi 1 ‡(n)= ≠ ≠ ... ≠ =i=1 ≠ . A p 1 BA p 1 B A p 1 B A p 1 B 1 ≠ 2 ≠ r ≠ i ≠

7 Esimerkki 1.5. (Vrt.[8, s.89]). Selvästi

p2 1 ‡(p)= ≠ = p +1, A p 1 B ≠ kun p on alkuluku ja, kun n =2–,

2–+1 1 ‡(n)= ≠ =2–+1 1. A 2 1 B ≠ ≠ Esimerkki 1.6. Luvun 1584 kanoninen esitys on 1584 = 243211. Nyt 24+1 1 32+1 1 111+1 1 ‡(1584) = ‡(243211) = ( ≠ )( ≠ )( ≠ )=3113 12 = 4836. 2 1 3 1 11 1 · · ≠ ≠ ≠ Määritelmä 1.8. ([12, s.128]). Jos ‡(n) < 2n niin sanotaan, että n on vajaa luku. Määritelmä 1.9. ([12, s.128]). Jos ‡(n) > 2n niin sanotaan, että n on runsas luku. Esimerkki 1.7. Tutkitaan lukua 1584. Koska

‡(1584) = 4836 > 2 1584 = 3168, · on luku 1584 runsas. Määritelmä 1.10. ([12, s. 147]). Olkoon d n ja syt(d, n )=1. Tällöin luku | d d on luvun n unitaaritekijä. Merkitään luvun n unitaaritekijöiden summaa notaatiolla ‡ú(n).

Lause 1.7. Funktio ‡ú(n) on multiplikatiivinen. Todistus. Ks. [1, s.78, lemma 6.1.]. Esimerkki 1.8. Jos n = p–, missä p on alkuluku niin 1 n ja p, p2 ...p– n. n – – | – | Tällöin syt(d, d )=1, kun d = p tai d =1,joten‡ú(p )=p +1. Esimerkki 1.9. Luvun 126 kaikki tekijät ovat 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126. Koska 126 126 126 126 126 syt(1, )=1, syt(2, )=1, syt(3, )=3, syt(6, )=3, syt(7, )=1, 1 2 3 6 7 126 126 126 126 syt(9, )=1, syt(14, )=1, syt(18, )=1, syt(21, )=3, 9 14 18 21 126 126 126 syt(42, )=3, syt(63, )=1ja syt(126, )=1 42 63 126 ovat luvun 126 unitaaritekijät 1, 2, 7, 9, 14, 18, 63, 126.

8 2 Täydellisistä luvuista

Tässä luvussa käsitellään täydellisiä lukuja ja tutustutaan täydellisten lukujen sekä myöhemmin luvussa 3 tarkemmin käsiteltävien muunnelmien historiaan. Ensin käydään läpi täydellisiin lukuihin liittyvää teoriaa.

2.1 Täydelliset luvut Tämän alaluvun lähteenä on käytetty teoksen Elementary Number Theory in Nine Chapters ([12]) lukua 4.1.

Määritelmä 2.1. Positiivinen kokonaisluku n on täydellinen,jos

‡(n)=2n.

Esimerkki 2.1. Luku 28 on täydellinen luku, sillä

‡(28) = 28 + 14 + 7 + 4 + 2 + 1 = 56.

Eukleides esitti seuraavan täydellisiä lukuja koskevan lauseen teoksessaan Alkeet jo 300 vuotta ennen ajan laskun alkua.

n n 1 n Lause 2.1. Jos 2 1 on alkuluku, kun n>1, niin luku 2 ≠ (2 1) on ≠ ≠ täydellinen.

n 1 2 n 1 n Todistus. Luvun 2 ≠ ainoat tekijät ovat 1, 2, 2 ,...,2 ≠ . Jos 2 1 on al- n n 1≠ n kuluku, niin sen ainoat tekijät ovat 1 ja 2 1. Koska luvuilla 2 ≠ ja 2 1 ≠ ≠ ei ole muita yhteisiä tekijöitä kuin 1 ovat ne suhteellisia alkulukuja. Täten n 1 n luvun 2 ≠ (2 1) tekijöiden summa voidaan lauseen 1.5 perusteella esittää n 1 ≠ n lukujen 2 ≠ ja 2 1 tekijöiden summien tulona. Tällöin ≠

n 2 n 1 n 2 1 n (1 + 2 + 2 + +2 ≠ )[(2 1) + 1)] = ( ≠ ) 2 ··· ≠ 2 1 · n ≠ n n 1 n =(2 1)(2 )=2(2 ≠ )(2 1), ≠ ≠ n 1 n joten 2 ≠ (2 1) on täydellinen luku. ≠

n 1 n Täydellisiä lukuja, jotka ovat muotoa 2 ≠ (2 1) kutsutaan euklidisesti ≠ täydellisiksi luvuiksi. Eukleideen lause ei kuitenkaan tarkoittanut, että kaikki n 1 n täydelliset luvut olisivat muotoa 2 ≠ (2 1). ≠ Lause 2.2. Jos an 1 on alkuluku, kun n>1 ja a>1, niin a =2ja n on ≠ alkuluku.

9 Todistus. Koska

n n 1 n 2 a 1=(a 1)(a ≠ + a ≠ + + a +1) ≠ ≠ ··· on alkuluku niin a 1=1eli a =2. Oletetaan seuraavaksi, että n on ≠ yhdistetty luku. Olkoon n = rs, missä r>1 ja s>1. Nyt saadaan luvulle 2n 1 yhtälö ≠ n rs r r(s 1) r(s 2) 2 1=2 1=(2 1)(2 ≠ +2 ≠ + +1). ≠ ≠ ≠ ··· Koska r>1 ja s>1 niin molemmat viimeisen lausekkeen tulon tekijät ovat suurempia kuin 1. Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että 2n 1 on alkuluku, ≠ jonka ainoat tekijät ovat 1 ja 2n 1.Tätenn on alkuluku. ≠ Huomautus Fermat osoitti myöhemmin, että mikäli an 1 on alkuluku, ≠ kun a>1 ja n>0 niin n =2r, missä r on positiivinen kokonaisluku. Luku- n ja, jotka ovat muotoa 22 +1kutsutaan Fermat’n luvuiksi. [12, s.136]

Seuraavassa lauseessa todetaan, että kaikki parilliset täydelliset luvut ovat euklidisia.

n 1 n Lause 2.3. Kaikki parilliset täydelliset luvut ovat muotoa 2 ≠ (2 1), missä ≠ 2n 1 on alkuluku. ≠ n 1 Todistus. Oletetaan, että r on parillinen täydellinen luku. Olkoon r =2 ≠ s, missä n 2 ja s on pariton. Koska r on täydellinen niin ‡(r)=2r. Nyt siis Ø n 1 n 1 n ‡(r)=‡(2 ≠ s)=2(2 ≠ s)=2 s.

n n 1 Koska 2 ja s ovat suhteellisia alkulukuja, voidaan luvun 2 ≠ s tekijöiden summa laskea lauseen 1.6 ja tekijäfunktion multiplikatiivisuuden perusteella kertomalla (2n 1)/(2 1) ja luvun s tekijöiden summa keskenään. Täten ≠ ≠ ‡(r)=(2n 1)‡(s). ≠ Sijoittamalla ‡(r)=2ns saadaan

2ns =(2n 1)‡(s). ≠ Olkoon nyt ‡(s)=s + t, missä t on luvun s niiden tekijöiden summa, jotka ovat pienempiä kuin s. Siis

2ns =(2n 1)(s + t)=2ns +2nt s t, ≠ ≠ ≠ josta vähentämällä puolittain 2ns saadaan

0=2nt s t. ≠ ≠

10 Nyt saadaan luvulle s yhtälö

s =(2n 1)t. ≠ Luku t on siis luvun s tekijä. Toisaalta t on luvun s kaikkien niiden tekijöiden summa, jotka ovat pienempiä kuin s. On siis oltava t =1. Nyt s =2n 1 on ≠ alkuluku, koska sen ainoat tekijät ovat 1 ja 2n 1. ≠

Määritelmä 2.2. Alkulukuja, jotka ovat muotoa 2p 1, missä p on alkuluku, ≠ kutsutaan Mersennen alkuluvuiksi ja merkitään Mp.

Lauseen 2.3 mukaan kaikki parilliset täydelliset luvut voidaan löytää et- simällä kaikki Mersennen alkuluvut.

Esimerkki 2.2. Luku 2n 1 on Mersennen alkuluku M , kun n =5. Tällöin ≠ 5 5 1 5 2 ≠ (2 1) = 16 31 = 496 ≠ · on myös täydellinen luku.

2.2 Katsaus täydellisten lukujen ja niiden muunnelmien tutkimukseen 2.2.1 Historiaa Tämä alaluku perustuu pääosin Jozsef Sándorin ja Borislav Crsticin teoksen Handbook of Number Theory II lukuun 1.2 ([9, s. 16-20]). Ensimmäiset täydelliset luvut 6, 28, 496 ja 8128 ovat olleet tunnettuja jo muinaisista ajoista alkaen eikä niiden löytymisestä ole kirjallista materiaa- lia. Pidetään todennäköisenä, että muinaiset egyptiläiset olisivat tunteneet täydelliset luvut, koska egyptiläisten käyttämä laskutapa perustui niin sanot- tuihin yksikkömurtolukuihin. Pythagoras (n.572-497 eKr.) ja hänen koulu- kuntansa tutkivat täydellisiä lukuja. Pythagoraan koulukunta piti täydellisiä lukuja mystisinä ja jumalaisina. Täydellisiin lukuihin on kautta aikain liitet- ty paljon mystisiä ja maagisia ominaisuuksia. Luvun kuusi täydellisyydellä on nähty olevan yhteys Raamattuun, jonka mukaan Jumala loi maailman kuudessa päivässä ja esimerkiksi taivaankappaleista kuu kiertää maapallon 28 päivässä. Ensimmäiset täydellisiä lukuja koskevat kirjalliset merkinnät ovat noin vuodelta 300 eKr. kreikkalaisen ﬁlosoﬁ Eukleideen teoksesta Alkeet (Ele- menta). Alkeet on 13 kirjan kokoelma, joka käsittelee matematiikkaa laaja- alaisesti. Kirjoista kolme keskittyy lukuteoriaan ja niistä viimeisen, kirjan IX, viimeinen, 36. lause käsittelee täydellisiä lukuja ja on vapaasti suomen- nettuna:

11 ”Jos valitsemme ykkösestä alkaen niin monta lukua kuin haluamme siten, että jokainen valittu luku on sitä edeltävä luku kaksinkertaisena ja näin muodostetusta summasta muodostuu alkuluku, niin tämä summa kerrottuna sen viimeisellä termillä muodostaa tulon, joka on täydellinen.” Tämän lauseen täsmällinen muotoilu ja todistus esitetään alaluvun 2.1 lauseessa 2.1. Eukleideen aikalaisista useat filosofit ja matemaatikot mainitsevat täydel- liset luvut. Filosofi Platon (429-347 eKr.) käsittelee teoksessaan Valtio täy- dellisiä lukuja. Hän esittelee myös niin kutsutut jaksollisesti täydelliset luvut (engl. periodic perfect numbers). On epäilty, että juuri Platonin kirjoitukset olisivat olleet inspiraationa noin 2000 vuotta myöhemmin, kun Leonhard Eu- ler (1707-1783) todisti Eukleideen lauseen ([12, s. 128]). Eukleideen lauseen kanssa yhtä pitävän lauseen esitti myös Platonin kollega Arkhytas (428-347 eKr.) ( [12, s. 127]). Runoilija Euphorionin tuotannossa on viittauksia täy- dellisiin lukuihin. Myös matemaatikko ja filosofi Theon Smyrnalainen (n. 70-135) mainitsee töissään ensimmäiset neljä täydellistä lukua ([12, s.128]). Seuraavat merkittävät tutkimukset koskien täydellisiä lukuja tehtiin noin 100 jKr. Nikomakhos Gerasalaisen (n. 60 - n. 120) teos Johdatus aritme- tiikkaan sisältää lukujen luokittelun kolmeen luokkaan: vajaisiin, runsaisiin ja täydellisiin lukuihin. Vajaat luvut hän määritteli luvuiksi, joiden itseään pienempien tekijöiden summa on pienempi kuin luku itse, ja runsaat luvut luvuiksi, joiden itseään pienempien tekijöiden summa on suurempi kuin luku itse. Nikomakhos väitti, että runsaita ja vajaita lukuja on olemassa paljon, mutta hän ei osannut tuottaa niitä. ([12, s. 128]) Nikomakhos näki lukujen luokittelua vastaavan luokittelun luonnossa ja sovelsi ajatuksiaan myös eettisiin kysymyksiin. Nikomakhos esitti seuraavat viisi lausetta liittyen täy- dellisiin lukuihin.

1. Järjestyksessä n. täydellinen luku on n-numeroinen. 2. Kaikki täydelliset luvut ovat parillisia. 3. Kaikki täydelliset luvut päättyvät vuorotellen numeroon 6 tai 8.

k 1 k k 4. Kaikki täydelliset luvut ovat muotoa 2 ≠ (2 1) , missä k>1 ja 2 1 ≠ ≠ on alkuluku. 5. On olemassa äärettömän monta täydellistä lukua.

Tuloksia pidettiin pitkään tosina, vaikka Nikomakhos ei todistanut tai perustellut väitteitään millään tavalla. Lauseet 1 ja 3 osoittautuivat vääriksi uusien täydellisten lukujen löytymisen myötä. Loput väitteet ovat käytän- nössä yhä todistamatta. Kreikkalainen ﬁlosoﬁ Iamblikhos (n. 245-325) toisti Nikomakhoksen en- simmäisen väitteen toteamalla, että välillä 10k n 10k+1 on olemas- Æ Æ sa tasan yksi täydellinen luku mille tahansa positiiviselle kokonaisluvulle k.

12 Iamblikhosta pidetään luvussa 3.1 käsiteltävien ystävällisten lukujen keksijä- nä. Iamblikhos antoi kiitoksen ensimmäisen ystävällisen lukuparin löytämi- sestä Pythagoraalle, joka kysyttäessä ystävän määritelmää vastasi ystävän olevan ”toinen minä”. ([12, s. 137]) Noin 500 jKr. roomalainen ﬁlosoﬁ Boethius (n. 481 - 524) totesi, että täydellisiä lukuja on vähän. Hän oli sitä mieltä, että ne voitaisiin tuottaa säännönmukaisesti. 700-luvulla Kaarle Suuren neuvonantaja, munkki Alcuin (n.735 - 804, korjattu lähteen [12] ”late seventh century”) selitti luvun kuusi esiintymisen maailmankaikkeuden luomisen yhteydessä sillä, että se on täy- dellinen luku. Hän totesi myös, että ihmiskunta oli saanut alkunsa vajaasta luvusta kahdeksan, sillä koko ihmiskunta polveutui Nooan arkissa olleista kahdeksasta sielusta. Näiden argumenttien perusteella Alcuin päätteli, et- tä maailmankaikkeuden alkuperä oli täydellisempi kuin ihmiskunnan. ([12, s. 128]) Arabialaisista matemaatikoista Thabit ibn Quarra (836 - 901) tutki teoksessaan Treatise on Amicable Numbers milloin luvut, jotka ovat muotoa 2np, missä p on alkuluku, voivat olla täydellisiä. Hän kehitti myös ensimmäise- nä keinon laskea ystävällisiä lukuja luvussa 3.1 esiteltävän Thabit’n säännön avulla. Ystävälliset luvut mainitaan useissa muissakin islamilaisissa teksteissä ja niitä on käytetty taikuudessa, astrologiassa ja monissa muissa maagisissa yhteyksissä. ([12, s. 138]) Ibn al-Haytham (965 - n. 1040) todisti Eukleideen esittämän lauseen 2.1 osittain toiseen suuntaan julkaisemattomassa työssään Treatise on Analysis and Synthesis. Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus (1194-1239) kirjoitti tutkielman, joka perustui Nikomakhoksen teokseen Johdatus aritme- tiikkaan. Hän myös julkaisi kymmenen täydellistä lukua sisältävän taulukon. Luvuista seitsemän oli oikein ja ne ovat itse asiassa ensimmäiset seitsemän täydellistä lukua. Vuonna 950 saksilainen benediktiininunna Hrotsvita mainitsi ensimmäi- set neljä täydellistä lukua aritmetiikan tutkielmassaan. Fibonacci (n. 1170- 1250) luetteli vuonna 1202 ensimmäiset kolme täydellistä lukua teoksessaan Liber abaci. Jordanus de Nemore kirjoitti 1200-luvulla teoksessaan Elements of Aritmetic, että jokainen täydellisen tai runsaan luvun monikerta on runsas luku ja jokainen täydellisen luvun jakaja on vajaa luku. ([12, s. 129]) Saksalainen matemaatikko Regiomontanus (1436-1476) luetteli 1400-luvun lopussa seuraavat kuusi lukua täydellisinä lukuina: 6, 26, 496, 8128, 33550336 ja 8589869056 ([12, s. 129]). Hän löysi viidennen täydellisen luvun oleskelles- saan Wienin yliopistossa 1400-luvun puolivälissä. Viides ja kuudes täydelli- nen luku mainitaan myös muissa tuolta ajalta säilyneissä, tuntemattomien kirjoittajien teksteissä. Viides, 33550336, ja kuudes, 8589869056, täydellinen luku osoittivat aiemmin esitellyt Nikomakhoksen väitteet 1 ja 3 vääriksi, koska viidennessä täydellisessä luvussa on 8 numeroa ja sekä viides että kuudes luku päättyvät numeroon 6. Vuonna 1510 Charles de Bouvelles (1470-1553) julkaisi teoksen On Per- fect Numbers. Teoksessa hän esitteli ensimmäisen parittoman runsaan luvun,

13 45045. Hän myös osoitti, että jokainen täydellinen luku on kolmioluku eli luku, jonka osoittamasta määrästä pisteitä voidaan muodostaa kolmio (ks. [12, s.2]). Bouvelles arveli, että jokaisen lukua 6 suuremman täydellisen luvun nu- meroiden yhteenlaskettu summa jaettuna yhdeksällä jättää jakojäännöksen 1. Tämän oletuksen todisti matematiikan professori Pietro Antonio Cataldi (1548-1626) vuonna 1588 ja itsenäisesti ranskalainen matemaatikko Pierre Laurent Wantzel (1818-1848). Cataldi todisti julkaisussaan Treatise on Per- fect Numbers (1588), että euklidisesti täydelliset luvut päättyvät aina numeroon 6 tai 8, mutta eivät vuorotellen, kuten Nikomakhos oli väittänyt. ([12, s. 130]) Vuonna 1603 Cataldi selvitti kaikkien lukua 800 pienempien lukujen tekijät ja taulukoi kaikki lukua 750 pienemmät alkuluvut. Alkulukulistansa perusteella hän tarkisti, että 219 1=524287on alkuluku. Täten hän löysi ≠ seitsemännen täydellisen luvun 137438691328. Vuonna 1536 julkaistussa teoksessa Utriusque Arithmetices Hudalrichus p 1 p Regius löysi ensimmäisen sellaisen alkuluvun p, (p =11),että2 ≠ (2 1) ≠ ei ole täydellinen luku. Luvun 211 1=2047tekijät ovat 23 ja 89,joten ≠ se ei ole alkuluku. (Korjattu lähteen [9] painovirhe ”. . . p (p=11) such that p 1 p 2 ≠ (2 1) = 2047 = 23 89. . . ”.) ≠ · Ranskassa käytiin 1600-luvulla vilkasta keskustelua matemaattisista ky- symyksistä. Ranskan matemaatikkojen johtohahmot olivat Rene Descartes (1596-1650) ja Pierre de Fermat (1601-1665). Heidän lisäkseen täydellisten lukujen tutkimuksen kannalta kiinnostavaan keskusteluun osallistui ja tietoa käsitellyistä kysymyksistä levitti minimiittimunkki Marin Mersenne (1588- 1648). ([12, p. 130]) Ranskalaiset matemaatikot tutkivat kappaleessa 3.4 käsiteltäviä moninkertaisesti täydellisiä lukuja. 1631 Mersenne haastoi Fermat’n etsimään jonkin muun kolminkertaisesti täydellisen luvun kuin Robert Recorden (1510- 1558) vuonna 1557 löytämän ensimmäisen kolminkertaisesti täydellisen luvun 120. Kuusi vuotta haasteen antamisen jälkeen Fermat osoitti, että 672 on tällainen luku. Myös Descartes osallistui moninkertaisesti täydellisten lukujen etsintään Andre Jumeaun haastamana ja löysikin useita moninkertaisesti täydellisiä lukuja. ([12, p. 150]) Fermat käsitteli kirjeenvaihdossaan täydellisiä lukuja useiden aikalaisten- sa kanssa. Hän kertoi vuonna 1636 kollegalleen Gilles de Robervalille työs- kentelevänsä täydellisten lukujen parissa. Fermat aikoi julkaista tutkielman aiheesta, vaikka siihen liittyvät kysymykset olivat hänen mielestään vaikeita. Tutkielmaa ei koskaan julkaistu. Tutkimuksissaan Fermat käytti seuraavia kolmea lausetta:

1. Jos n on yhdistetty luku niin 2n 1 on yhdistetty luku. ≠ 2. Jos n on alkuluku niin an a on n:n kerrannainen. ≠ 3. Jos n on alkuluku ja p jakaa 2n 1:n niin p 1 on n:n kerrannainen. ≠ ≠

14 Kesäkuussa 1640 Fermat kirjoitti Marin Mersennelle kirjeen, jossa hän kertoi tutkimustensa tuloksista. Pian tämän jälkeen hän kirjoitti Frénicle de Bessylle kirjeen, jossa hän esitti yleistetyssä muodossa Mersennelle esittä- mänsä tulokset. Fermat osoitti pientä lausettaan (ks. [12, s. 165]) käyttä- mällä, että 223 1 on yhdistetty luku ja että myös 237 1 yhdistetty luku. ≠ ≠ Mersenne oli hyvin kiinnostunut Fermat’n tuloksista. Vuonna 1644 Mersen- ne julkaisi teoksen Cogitata physica mathematica, jossa hän väittää, että p 1 p kun p 257 niin luku 2 ≠ (2 1), on täydellinen vain silloin, kun p = Æ ≠ 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 tai 257. Niistä 47 alkuluvusta p, 19 p 258, Æ Æ joille 2p 1 on alkuluku, Mersenne oli oikeassa 42 tapauksessa. ≠ Vuonna 1732 Euler todisti, että kahdeksas täydellinen luku on 230(231 1). ≠ Se oli ensimmäinen täydellinen luku 125 vuoteen. Euler kehitti 1742 menetel- män, jolla hän löysi tunnettujen kolmen lukuparin lisäksi 30 uutta ystävällisiä lukuparia, jotka hän luetteli teoksessaan On Amicable Numbers. Kahdeksan vuotta myöhemmin Euler löysi vielä 59 uutta lukuparia ([12, s. 139]). Eu- lerin suurimmat saavutukset koskien täydellisiä lukuja sisältyivät kuitenkin kahteen vasta hänen kuolemansa jälkeen julkaistuun käsikirjoitukseen. Toi- sessa Euler todisti Eukleideen lauseen 2.1 toiseen suuntaan osoittamalla, että kaikki parilliset täydelliset luvut ovat euklidisia. Eulerin todettua, että 231 1 on alkuluku muuttui täydellisten lukujen et- ≠ sintä yritykseksi todistaa, olivatko Mersennen väitteet tosia. Euler teki myös havaintoja koskien parittomia täydellisiä lukuja. Toisessa vasta kuolemansa jälkeen julkaistussa työssä, Tractatus de numerorum ductrina, Euler käsit- teli parittomia täydellisiä lukuja ja ystävällisiä lukuja. Euler todisti, että ei ole olemassa paritonta täydellistä lukua, joka on muotoa 4k +3. Ja edelleen, jos on olemassa pariton täydellinen luku niin sen on oltava muotoa p4a+1N 2, missä p on alkuluku ja muotoa 4k +1,a 0 ja N on pariton luku, jonka Ø tekijä p ei ole ([12, s. 133]). Vuonna 1869 Fortuné Landry (1799-?) osoitti, että 2n 1 on yhdistetty ≠ luku, kun n =53tai 59 ([12, s. 131]). Ranskalainen Édourd Lucas (1842- 1891) löysi 1876 ensimmäisen virheen Mersennen listasta, hän osoitti, et- tä 267 1 on yhdistetty luku. Luvun tekijät löysi kuitenkin Frank Nelson ≠ Cole (1861 - 1926) vasta vuonna 1903. Hän julkaisi pitkän työnsä tulokset American Mathematical Societyn tapaamisessa. Colen esitys on jäänyt historiaan, sillä hän käytti oman puheenvuoronsa vain kirjoittamalla lii- tutaululle lukujen 761838257287 ja 193707721 kertolaskun, jonka tulos on 267 1=147573952589676412927([12, s. 132]). Lucas osoitti, että 2127 1 ≠ ≠ on Mersennen alkuluku, joten hän löysi uuden täydellisen luvun. Myöhem- min osoittautui, että tämä luku on järjestyksessä 12. täydellinen luku. Lucas kehitti myös tekniikan, jolla voidaan päätellä, onko annettu Mersennen luku alkuluku. Derrick H. Lehmer muokkasi Lucas’n tekniikkaa 1930-luvulla. ([12, s. 131]) Tästä Lucas’n ja Lehmerin alkulukutestistä tuli myöhemmin perusta Mersennen alkulukujen ja samalla myös täydellisten lukujen etsintään tietokoneella. Yhdeksäs täydellinen luku löytyi 1883, kun Ivan Pervushin (1827-

15 1900) osoitti, että 261 1 on alkuluku. ≠ Vuonna 1888 Sylvester teki merkittäviä havaintoja koskien parittomia täydellisiä lukuja. Hän todisti, että mikäli pariton täydellinen luku n on olemassa sillä on oltava ainakin neljä toisistaan eroavaa alkulukutekijää. Myö- hemmin samana vuonna hän paransi väitettä viiteen ja edelleen kuuteen alkulukutekijään ([12, s. 133]). R. E. Powers todisti vuonna 1911, että 289 1 ja vuonna 1914, että ≠ 2101 1 ovat alkulukuja. Viimeinen ilman tietokonetta löydetty täydellinen ≠ luku olikin 288(289 1). ≠ 2.2.2 Tietokonelaskenta ja GIMPS -projekti Ensimmäisen maailmansodan alkaessa tunnettiin siis 12 täydellistä lukua ja seuraavat täydelliset luvut löydettiin vasta 1950-luvulla soveltamalla uutta teknologiaa. Yhdysvalloissa Raphael M. Robinson käytti silloisen Na- tional Bureau of Standards -viraston tietokonetta ja löysi alkulukuja p = 521, 607, 1279, 2203 ja 2281 vastaavat Mersennen alkuluvut. Tietokoneelta kesti 66 minuuttia varmistaa, että luku M =22281 1 on alkuluku. Seu- 2281 ≠ raava täydellinen luku löytyi vuonna 1957, kun Hans Riesel löysi tietokoneen avulla Mersennen alkuluvun M3217. Kaksi seuraavaa täydellistä lukua löy- si Kalifornian yliopistossa Alexander Hurwitz vuonna 1961 todettuaan, että luvut 24253 1 ja 24423 1 ovat Mersennen alkulukuja. Vuonna 1963 Don ≠ ≠ Gillies täydensi listaa lukuja p =9689, 9941 ja 11213 vastaavilla täydelli- sillä luvuilla. Vuonna 1971 Bryant Tuckermanin käyttämältä IBM 360/91 -tietokoneelta kesti 39 minuuttia 44 sekuntia etsiä 24. Mersennen alkuluku 19937 1 19937 ja samalla siis 24. täydellinen luku, joka on 2 ≠ (2 1).([12, s. 132]) ≠ Vuonna 1978, työskenneltyään kolme vuotta Control Data CYBER 174 tietokoneella, 18-vuotiaat opiskelijat Laura Nickel ja Curt Noll osoittivat, että M21701 on alkuluku. Seuraavana vuonna Noll osoitti, että M23209 on alkuluku. Samana vuonna Cray Researchin Harry Nelson ja David Slowinski löysivät 27. Mersennen alkuluvun 244497 1. Slowinski osoitti 1980-luvun ≠ alussa, että myös M86243 ja M132049 ovat Mersennen alkulukuja. Jälkimmäi- sen luvun osoittaminen alkuluvuksi vei tietokoneelta kolme tuntia. Vuonna 1986 Slowinski löysi lukua 216091 vastaavan Mersennen alkuvun. Walter N. Colquitt ja Luther Welsh Jr. löysivät NEC SX 2 supertietokoneen avulla suuruus järjestyksessä 29. Mersennen alkuluvun. Slowinski ja Paul Cage löy- sivät vuonna 1992 lukua 756839 vastaavan Mersennen alkuluvun. Vuonna 1994 he osoittivat Lucasin ja Lehmerin alkulukutestin ja Cray Y-MP M90- sarjan tietokoneen avulla, että luvut 2859433 1 ja 21257787 1 ovat Mersennen ≠ ≠ alkulukuja. Tämä kesti tietokoneelta yli seitsemän tuntia.([12, s. 132-133]) Vuoteen 1996 mennessä oli tietokonetta apuna käyttäen, Mersennen alkulukujen etsinnän ohessa, löydetty 34. täydellinen luku. Samana vuonna George Woltman perusti GIMPS -projektin (Great Internet Mersenne Pri- me Search), jonka tarkoituksena on etsiä uusia Mersennen alkulukuja. Pro-

16 jektissa hyödynnetään projektissa mukana olevien vapaaehtoisten käyttäjien kotitietokoneiden laskentatehoa. Woltman kirjoitti Lucasin ja Lehmerin al- kulukutestiin perustuvan ohjelman, joka etsii alkulukuja. Tämän ohjelman ja 750 tietokoneen käyttäjän avulla 29-vuotias ranskalainen Joel Armengaud osoitti heti vuoden 1996 marraskuussa, että lukua 1398269 vastaava Mer- sennen luku on alkuluku. ([12, s. 132-133]) Projektin myötä on löytynyt 13 uutta Mersennen alkulukua eli vuoteen 2011 mennessä täydellisiä lukuja tunnetaan 47 kappaletta. Viimeisin, vuonna 2009, löydetty Mersennen alkuluku on 242643801 1. Se on suuruusjärjestyksessä 46. Mersennen alkuluku. Tunne- ≠ tuista Mersennen alkuluvuista suurin on kuitenkin elokuussa 2008 löydetty 243112609 1. ([3]) Yhtään paritonta täydellistä lukua ei ole löydetty eikä ole ≠ pystytty osoittamaan, onko sellaista olemassa.

3 Täydellisten lukujen muunnelmat

Richard K. Guy toteaa kirjassaan Unsolved Problems in Number Theory, että luultavasti parittomien täydellisten lukujen olemassaolon todistamisen mahdottomuus on ajanut tutkijat nimeämään lukuisia täydellisiin lukuihin läheisesti liittyviä käsitteitä ja samalla he ovat luoneet uusia kysymyksiä, joista moni on yhtä mahdoton ratkaista kuin alkuperäinenkin ongelma ([4, s.45]). Tässä luvussa esitellään joitakin täydellisten lukujen muunnelmia. Jol- lei muuta lähdettä ole mainittu, on lähteenä käytetty teoksen Elementary Number Theory ([12]) lukuja 4.3 ja 4.4.

3.1 Ystävälliset luvut Lukuparia, jonka tekijäfunktioiden arvo on sama kuin lukujen yhteen lasket- tu summa, kutsutaan ystävällisiksi luvuiksi (engl. amicable numbers). Täy- delliset luvut ovat ystävällisiä lukuja itsensä kanssa. Kuten jo aiemmin luvussa 2.2 mainittiin, ystävällisten lukujen keksijänä pidetään ﬁlosoﬁ Iamblik- hosta. Määritelmä 3.1. Luvut n ja m ovat keskenään ystävällisiä lukuja,jos ‡(n)=n + m = ‡(m). Esimerkki 3.1. Osoitetaan, että luvut 1184 ja 1210 ovat ystävällisiä lukuja. Lasketaan ensin lukujen tekijäfunktioiden arvot

25+1 1 371+1 1 ‡(1184) = ‡(25 37) = ≠ ≠ =2394 · A 2 1 BA 37 1 B ≠ ≠ ja 21+1 1 51+1 1 112+1 1 ‡(1210) = ‡(2 5 112)= ≠ ≠ ≠ =2394. · · A 2 1 BA 5 1 BA 11 1 B ≠ ≠ ≠ 17 Luvut 1184 ja 1210 ovat ystävällisiä lukuja, koska ‡(1184) = 1184 + 1210 = 2394 = ‡(1210). Thabit johti ystävällisille luvuille seuraavan säännön. Olkoon lukujono a0 =2,a1 =5,a2 =11,a3 =23,..., jossa jokainen jonon termi saadaan edellisestä kertomalla se kahdella ja lisäämällä siihen yksi eli ai =2ai 1 +1. ≠ Nyt jos mitkä tahansa jonon kaksi peräkkäistä paritonta termiä p ja q ovat alkulukuja (korjattu lähteen painovirhe a = p [12, s.138]) ja r = pq + p + q on myös alkuluku niin M =2npq ja N =2nr ovat ystävällisiä lukuja. Seuraavassa lauseessa esitetään Thabit’n sääntö ja todistetaan se. Lause 3.1. (Thabit’n sääntö) Jos

p =3 2n 1, · n ≠1 (3.1) q =3 2 ≠ 1, · 2n 1≠ r =9 2 ≠ 1, · ≠ ovat alkulukuja, niin (M,N)=(2npq, 2nr) ovat ystävällisiä lukuja. Todistus. (Vrt.[8, s. 98-99]). Yhtälön (3.1) ja tekijäfunktion multiplikatiivisuuden perusteella saadaan

‡(M)=‡(2npq)=‡(2n)‡(p)‡(q)=(2n+1 1)(p +1)(q +1) ≠ n+1 n n 1 =(2 1) ((3 2 1) + 1) (3 2 ≠ 1) + 1 ≠ · ≠ · ≠ 2n 1 n+1 1 2 =9 2 ≠ (2 1), · ≠ ‡(N)=‡(2nr)=‡(2n)‡(r) n+1 n+1 2n 1 =(2 1)(r +1)=(2 1) (9 2 ≠ 1) + 1 ≠ ≠ · ≠ 2n 1 n+1 1 2 =9 2 ≠ (2 1), · ≠ M + N =2npq +2nr =2n(pq + r) n n n 1 2n 1 =2 (3 2 1)(3 2 ≠ 1) + (9 2 ≠ 1) · ≠ · ≠ · ≠ 12n 1 n+1 2 =9 2 ≠ (2 1), · ≠ joten luvut (M,N) ovat ystävällisiä. Säännön avulla on kuitenkin löydetty vain kolme lukua 2 1010 pienempää · ystävällistä lukuparia: (220, 284), (17 296, 18 416) sekä (9 363 584, 9 437 056). Thabit’n sääntö on keksitty uudelleen useasti. Vuonna 1646 Fermat muodosti oheisen taulukon (3.1.1.), jonka toinen rivi muodostui kahden potens- seista. Kolmannella rivillä on toisen rivin vastaava luku kerrottuna kolmella ja ensimmäisellä rivillä kolmannen rivin luku, josta on vähennetty yksi. Nel- jännen rivin luvut Fermat muodosti kertomalla kaksi kolmannen rivin perät- täistä lukua ja vähentämällä tästä tulosta luvun yksi. Fermat väitti, että jos

18 neljännen rivin luku d on alkuluku niin sen yläpuolella oleva ensimmäisen rivin luku b ja b:tä edeltävä ensimmäisen rivin luku a ovat alkulukuja. Tällöin jos c on toisen rivin luku d:n yläpuolella niin c d ja a b c ovat ystävällisiä · · · lukuja. Taulukko 3.1.1. Fermat’n taulukko 5 11 23 47 95 191 ... 3 2n 1 · ≠ 2 4 8 16 32 64 ... 2n 6 12 24 48 96 192 ... 3 2n · 71 287 1151 4607 18431

Esimerkki 3.2. Taulukon luku 1151 on alkuluku. Vastaava ensimmäisen rivin luku 47 ja sitä edeltävä luku 23 ovat alkulukuja. Luku 16 on luvun 1151 yläpuolella rivillä kaksi. Saadaan

a =23,b=47,c=16, ja d =1151.

Nyt 16 1151 = 18416 ja 23 47 16 = 17296 · · · ovat ystävällisiä lukuja, sillä

24+1 1 231+1 1 471+1 1 ‡(17296) = ‡(24 23 47) = ≠ ≠ ≠ · · A 2 1 BA 23 1 BA 47 1 B ≠ ≠ ≠ =35712, 24+1 1 11511+1 1 ‡(18416) = ‡(24 1151) = ≠ ≠ =35712 · A 2 1 BA 1151 1 B ≠ ≠ ja ‡(17296) = 35712 = 17296 + 18416 = ‡(18416).

Euler esitti vuonna 1742 seuraavan tavan generoida ystävällisiä lukuja.

Lause 3.2. (Eulerin sääntö) (Vrt. [9, s. 61]). Jos luvut

p =2—g 1, ≠ q =2ng 1, ≠ r =(p +1)(q +1) 1=2n+—g2 1 ≠ ≠ n — ovat alkulukuja, kun g =2≠ +1, jollakin 0 <—

Todistus. Sivuutetaan.

19 Esimerkki 3.3. Kun — = n 1 niin saadaan luvuille p, q, r seuraavat lausek- ≠ keet ja täten huomataan, että Eulerin sääntö on yleistys Thabit’n säännöstä 3.1:

n 1 n 1 n (n 1) n 1 p =2 ≠ g 1=2 ≠ 2 ≠ ≠ +1 1=3 2 ≠ 1 ≠ ≠ · ≠ n n n (n 1) n q =2 g 1=2 2 ≠ ≠ +1 1=3 2 1 ≠ ≠n 1 · n ≠ 2n 1 r =(p +1)(q +1) 1=(3 2 ≠ )(3 2 ) 1=9 2 ≠ 1. ≠ · · ≠ · ≠ Ystävällisiin lukuihin liittyy myös monia avoimia kysymyksiä. Ei ole esimerkiksi pystytty osoittamaan, onko ystävällisiä lukuja olemassa äärettömän monta ja onko olemassa sellaista ystävällistä lukuparia, joka muodostuu pa- rillisesta ja parittomasta luvusta.

3.2 Melkein täydelliset ja kvasitäydelliset luvut Tekijäfunktion määrittelyn yhteydessä määriteltiin runsaat ja vajaat luvut. Tässä alaluvussa käsitellään sellaisia runsaita ja vajaita lukuja, jotka ovat lähimpänä täydellisiä lukuja. Luvun lähteenä on käytetty teoksen Unsolved Problems in Number Theory ([4]) alalukua B2.

Määritelmä 3.2. Luvun n sanotaan olevan melkein täydellinen luku (engl. almost perfect number),jos

‡(n)=2n 1. ≠ Esimerkki 3.4. Olkoon n =32.Lasketaan

‡(32) = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 2 32 1=63, · ≠ joten 32 on melkein täydellinen luku.

Kaikki luvun 2 potenssit ovat melkein täydellisiä lukuja ja muita ei tiedetä olevan. Näin ollen ainoa tunnettu pariton melkein täydellinen luku on 20 =1.

Määritelmä 3.3. Luvun n sanotaan olevan kvasitäydellinen luku (engl. quasi-perfect number),jos ‡(n)=2n +1.

Ei ole varmaa onko olemassa yhtään kvasitäydellistä lukua. Mikäli sellainen joskus löytyisi, on osoitettu, että se olisi jonkin parittoman luvun neliö, suurempi kuin 1035 ja sen alkutekijöiden määrä on suurempi kuin seitsemän (ks. [6, s. 275-286]).

20 3.3 Pseudotäydelliset luvut Määritelmä 3.4. Luvun n sanotaan olevan pseudotäydellinen luku, jos joi- denkin luvun itseään pienempien tekijöiden summa on luku itse.

Esimerkki 3.5. Olkoon n =88. Luvun 88 itseään pienemmät tekijät ovat ovat 1, 2, 4, 8, 11, 22 ja 44. Todetaan, että

88 = 44 + 22 + 11 + 8 + 2 + 1 eli 88 on pseudotäydellinen luku.

Lause 3.3. Pseudotäydellisiä lukuja on olemassa äärettömän monta.

Todistus. Sivuutetaan. Perustuu siihen, että jokaisen pseudotäydellisen luvun n monikerta kn on pseudotäydellinen luku, kun k on positiivinen kokonaisluku. ([9, s. 43])

Määritelmä 3.5. Vajaata lukua, joka ei ole pseudotäydellinen luku, kutsutaan oudoksi luvuksi (engl. weird number).

Outoja lukuja tunnetaan 24 kappaletta. Ne ovat kaikki parillisia ja pie- nempiä kuin 106. Määritellään sellaiset pseudotäydelliset luvut, jotka eivät ole jaollisia muil- la pseudotäydellisillä luvuilla.

Määritelmä 3.6. Pseudotäydellisen luvun n sanotaan olevan primitiivinen pseudotäydellinen luku (engl. primitive semiperfect number), jos se ei ole jaollinen millään muulla pseudotäydellisellä luvulla.

Esimerkki 3.6. Näytetään, että n =20on primitiivinen pseudotäydellinen luku. Todetaan ensin, että 20 on pseudotäydellinen luku ja sen jälkeen tutkitaan, ettei mikään sen jakajista ole pseudotäydellinen luku. Luvun 20 itseään pienemmät tekijät ovat 1, 2, 4, 5 ja 10. Koska

20 = 10 + 5 + 4 + 1 on 20 selvästi pseudotäydellinen luku. Luvuista 1, 2, 4, 5 ja 10 luvut 2 ja 5 ovat alkulukuja. Luvun 4 itseään pienemmät tekijät ovat 2 ja 1 ja luvun 10 vastaavasti 5, 2 ja 1, joten ne eivät ole pseudotäydellisiä lukuja. Siis 20 on primitiivinen pseudotäydellinen luku.

Pienin pariton primitiivinen pseudotäydellinen luku on 945.

21 3.4 Moninkertaisesti täydelliset luvut Määritellään moninkertaisesti, tarkemmin k-kertaisesti, täydelliset luvut seuraavasti.

Määritelmä 3.7. Luvun n sanotaan olevan k-kertaisesti täydellinen luku (engl. multiperfect number, k-perfect number),jos

‡(n)=kn, kun k 2. Ø Esimerkki 3.7. Koska ‡(n)=2n, ovat kaikki täydelliset luvut kaksinker- taisesti täydellisiä lukuja.

Huomautus Moninkertaisesti täydelliset luvut jaetaan joissakin yhteyk- sissä luokkiin luvun k perusteella. Lukua k kutsutaan myös moninkertaisesti täydellisen luvun indeksiksi. (Ks. esim. [8, s.95]).

Esimerkki 3.8. Olkoon n =672. Tekijäfunktion arvoksi saadaan

25+1 1 31+1 1 71+1 1 ‡(672) = ‡(25 3 7) = ≠ ≠ ≠ =2016=3 672. · · A 2 1 BA 3 1 BA 7 1 B · ≠ ≠ ≠ Luku 672 on siis kolminkertaisesti täydellinen luku.

Esimerkki 3.9. Olkoon n =23569920. Tekijäfunktion arvoksi saadaan

‡(23569920) = ‡(29 33 5 11 31) · · · · 29+1 1 33+1 1 51+1 1 111+1 1 311+1 1 = ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ A 2 1 BA 3 1 BA 5 1 BA 11 1 BA 31 1 B ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ =94279680=4 23569920. · Luku 23569920 on siis nelinkertaisesti täydellinen luku.

Lukuun ottamatta täydellisiä lukuja (k=2) moninkertaisesti täydellisille luvuille ei ole löydetty kaavaa, jolla niitä voitaisiin generoida. Moninkertai- sesti täydellisille luvuille esitettiin 1600-luvulla seuraavat säännöt (Vrt. [2, s.35-36] ja [12, s.141-142]):

1. Jos n on kolminkertaisesti täydellinen luku ja 3 - n niin 3n on nelinkertaisesti täydellinen luku. (Descartes)

2. Jos 3 n, mutta 5 - n ja 9 - n, niin 5 9n =45n on nelinkertaisesti | · täydellinen luku. (Descartes)

3. Jos 3 n, mutta 7 - n (korjattu lähteen [12] painovirhe luku 57 luvuksi | 7), 9 - n ja 13 - n, niin 3 7 13n on nelinkertaisesti täydellinen luku. · · (Descartes)

22 4. Jos 29 n, mutta 210, 31, 43, 127 - n niin 31n ja 16 43 127n ovat verran- | · · nollisia itseään pienempien tekijöidensä summien kanssa. (Descartes)

5. Jos 3 - n ja jos 3n on 4k-kertaisesti täydellinen luku niin n on 3k- kertaisesti täydellinen luku. (Descartes)

6. Jos n on viisinkertaisesti täydellinen luku ja 5 - n niin 5n on kuusinkertaisesti täydellinen luku. (Mersenne) Descartes käytti sääntöjään (1-5) ja muodosti jo tunnetuista moninkertaisesti täydellisistä luvuista uusia moninkertaisesti täydellisiä lukuja. Esimerkki 3.10. Sovelletaan sääntöä 2 kolminkertaisesti täydelliseen lukuun n =523776=29 3 11 31. · · · Selvästi 3 29 3 11 31 , 5 - 29 3 11 31 | · · · · · · ja 9 - 29 3 11 31. · · · Täten saadaan nelinkertaisesti täydellinen luku 23569920 = 45 523776. · Lause 3.4. ([7, s.104]). Ei ole olemassa sellaista kolminkertaisesti täydel- listä lukua, jonka erisuurten alkutekijöiden pi lukumäärä olisi < 3.

–1 –2 –r Todistus. ([7, s.104]). Jos n = p1 p2 ...pr on k-kertaisesti täydellinen luku niin ‡(n)=kn ja lauseen 1.6 mukaan

p–i+1 1 ‡(n)=kn =r i ≠ . i=1 p 1 i ≠ – +1 p i 1 r i ≠ Jakamalla kn =i=1 p 1 puolittain luvulla n saadaan luvulle k yhtälö i≠ 1 pi – +1 p i k =r ≠ i . i=1 p 1 i ≠ Nyt voidaan päätellä, että p k<r i . i=1 p 1 i ≠ Tästä seuraa, että kun k =3on p 3 < r i . i=1 p 1 i ≠ Jos alkutekijöitä on kaksi, niin tulon suurin arvo on 2 3 =3, mikä ei ole 1 · 2 > 3.

23 Vastaavasti voidaan johtaa seuraavat tulokset: Nelinkertaisesti täydelli- sillä luvuilla on vähintään neljä alkutekijää, viisinkertaisesti täydellisillä luvuilla on vähintään kuusi alkutekijää, kuusinkertaisesti täydellisillä luvuilla on vähintään yhdeksän alkutekijää, seitsemänkertaisesti täydellisillä luvuilla on vähintään 14 alkutekijää jne. ([7, s.104]). Oheisessa taulukossa 3.4.1. on lueteltu joitakin moninkertaisesti täydel- lisiä lukuja. Taulukossa on lueteltu kaikki kuusi tunnettua kolminkertaisesti täydellistä lukua. Taulukko 3.4.1. k-kertaisesti täydellisten lukujen taulukko

k 2 6, 28, 496, 8128, . . . 3 120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160 4 30240, 32760, 2178540, 23569920, . . . 5 14182439040, 31998395520, 518666803200, . . . 6 154345556085770649600, 9186050031556349952000, . . . 7 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000, . . .

Moninkertaisesti täydellisiin lukuihin liittyy myös kysymyksiä, joihin ei ole vielä löydetty vastauksia. Kaikki tunnetut kuusi kolminkertaisesti täy- dellistä lukua voidaan esittää tulona, jonka yksi tekijä on muotoa 2h 1, ≠ missä h =4, 6, 9, 10, 14, 15. On epäilty, että nelinkertaisesti täydellisille luvuille löytyisi samankaltainen selitys, koska niitä ei ole löydetty lisää vuoden 1929 jälkeen. ([4, s.48]) Ei ole myöskään pystytty osoittamaan, onko olemassa paritonta moninkertaisesti täydellistä lukua tai onko moninkertaisesti täydellisiä lukuja olemassa äärettömän monta. Suurin tunnettu moninkertaisesti täydellinen luku on vuonna 2001 löydetty 11-kertaisesti täydellinen luku ([5, s.78]). Oheisessa taulukossa on lueteltu vuonna 2011 tunnettujen moninkertaisesti täydellisten lukujen lukumäärät.

Taulukko 3.4.2. Tunnettujen k-kertaisesti täydellisten lukujen määrät.

k tunnettujen lukujen määrä 2 37 3 6 4 36 5 65 6 245 7 516 8 1097 9 1086 10 25 11 1

24 3.5 Supertäydelliset luvut Määritelmä 3.8. Lukua kutsutaan supertäydelliseksi,jos

‡2(n)=‡(‡(n)) = 2n.

Lause 3.5. Kaikki parilliset supertäydelliset luvut voidaan esittää muodossa p 1 p n =2≠ , kun 2 1 on Mersennen alkuluku. ≠ Todistus. (Vrt. [11, s.16-17]). Olkoon ensin n =2r siten, että 2r+1 1 alku- ≠ luku. Tällöin ‡(n)=2r+1 1. Koska oletuksen mukaan 2r+1 1 on alkuluku ≠ ≠ niin ‡(‡(n)) = ‡(2r+1 1) = 2r+1 =2 2r =2n, ≠ · joten n on supertäydellinen luku. Olkoon sitten n mielivaltainen parillinen supertäydellinen luku. Nyt kir- joitetaan n muodossa n =2r q, missä q on pariton luku. Koska n on supertäy- · dellinen luku pätee määritelmän 3.8 ja tekijäfunktion multiplikatiivisuuden nojalla

(3.2) 2n =2 2rq =2r+1q = ‡(‡(n)) = ‡(‡(2r)‡(q)) = ‡((2r+1 1)‡(q)). · ≠ Jos q>1 niin (2r+1 1)‡(q), (2r+1 1), ‡(q) ja 1 ovat keskenään erisuuria ≠ ≠ luvun (2r+1 1)‡(q) tekijöitä. Nyt voidaan yhtälön (3.2) perusteella kirjoittaa ≠ 2r+1q (2r+1 1)‡(q)+(2r+1 1) + ‡(q)+1=2r+1(‡(q)+1)> 2r+1q, Ø ≠ ≠ joka on ristiriita. On siis oltava q =1, jolloin yhtälöstä 3.2 saadaan 2r+1 = ‡(2r+1 1), mistä seuraa että 2r+1 1 on alkuluku. Täten n =2r ja 2r+1 1 ≠ ≠ ≠ on alkuluku.

Esimerkki 3.11. Luku 213 1 on Mersennen alkuluku. Todetaan laskemalla, 13 1 ≠ että n =2 ≠ =4096supertäydellinen. Luvussa 1.4 esitetyn esimerkin 1.5 perusteella

‡(‡(212)) = ‡(212+1 1) = ‡(8191) = 8191 + 1 = 8192 = 2 4096 = 2 212. ≠ · · Ei tiedetä, onko olemassa parittomia supertäydellisiä lukuja.

Määritelmä 3.9. Lukua n kutsutaan k-supertäydelliseksi,jos

‡k(n)=2n.

Ei ole olemassa parillista k-supertäydellistä lukua, kun k 3. Ø

25 3.6 Hypertäydelliset luvut Määritelmä 3.10. Positiivista kokonaislukua n kutsutaan k-hypertäydelliseksi luvuksi,jos k‡(n)=(k +1)n + k 1. ≠ Esimerkki 3.12. Sijoittamalla yhtälöön k‡(n)=(k +1)n + k 1 arvon ≠ k =1voidaan todeta, että täydelliset luvut ovat 1-hypertäydellisiä lukuja. Siis 1 ‡(n)=(1+1)n +1 1=2n. · ≠ Esimerkki 3.13. Osoitetaan, että luku n =19521on hypertäydellinen luku. Lasketaan ensin tekijäfunktion arvo

34+1 1 2411+1 1 ‡(19521) = ‡(34 241) = ≠ ≠ =121 242 = 29282. · A 3 1 BA 241 1 B · ≠ ≠ Nyt voidaan ratkaista yhtälö k‡(n)=(k +1)n + k 1 sijoittamalla arvot ≠ n =19521ja ‡(19521) = 29282. Yhtälöstä

k 29282 = (k +1) 19521 + k 1 · · ≠ saadaan vastaukseksi k =2. Siis 19521 on 2-hypertäydellinen luku.

3.7 Unitaarisesti täydelliset ja unitaarisesti ystävälli- set luvut 3.7.1 Unitaarisesti täydelliset luvut Määritelmä 3.11. Luvun n sanotaan olevan unitaarisesti täydellinen luku (engl. unitary perfect number),jos

‡ú(n)=2n.

Esimerkki 3.14. Olkoon n =90. Osoitetaan, että luku n on unitaarisesti täydellinen luku. Luvun 90 tekijät ovat 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. Unitaaritekijät ovat 2, 6, 9, 10, 18, 45, 90 ja voidaan todeta, että

‡ú(90) = 2 + 6 + 9 + 10 + 18 + 45 + 90 = 2 90. · Unitaarisesti täydellisiä lukuja tunnetaan vain viisi kappaletta. Nämä luvut ovat 6, 60, 90, 87360 ja 146 361 946 186 458 562 560 000.

Lause 3.6. Ei ole olemassa parittomia unitaarisesti täydellisiä lukuja.

26 Todistus. (Vrt. [10, s.148-149]). Olkoon n pariton unitaarisesti täydellinen –1 –2 –r luku. Nyt luvun n kanoninen esitys on n = p1 p2 ...pr , missä jokainen pi on pariton alkuluku. Tällöin

–1 –2 –r ‡ú(n)=(1+p1 )(1 + p2 ) ...(1 + pr ), koska lauseen 1.7) mukaan ‡ú(n) on multiplikatiivinen ja alkuluvuille pi pätee –i –i –i ‡ú(pi )=(1+pi ). Luku (1 + pi ) on parillinen aina kun pi on pariton. Nyt 2 (1 + p–1 ) ...(1 + p–r ), joten on oltava r =1ja (1 + p–1 )=2(1+p–1 ), mikä | 1 r 1 1 on ristiriita.

3.7.2 Unitaarisesti ystävälliset luvut Määritelmä 3.12. Luvut m ja n ovat unitaarisesti ystävällisiä lukuja (engl. unitary amicable number),jos

‡ú(m)=‡ú(n)=m + n.

Unitaarisesti ystävällisiä lukuja tunnetaan 19 lukuparia, joista pienin on (114, 126). Yhtään keskenään jaotonta unitaarisesti ystävällistä lukuparia ei ole löydetty.

Esimerkki 3.15. Osoitetaan, että luvut 114 ja 126 ovat unitaarisesti ys- tävällisiä. Luvun 126 unitaaritekijät 1, 2, 7, 9, 14, 18, 63 ja 126 määritimme esimerkissä 1.9. Luvun 114 tekijät ovat 1, 2, 3, 6, 19, 38, 57, 114.Koska 114 114 114 syt(1, )=1, syt(2, )=1, syt(3, )=1, 1 2 3 114 114 114 syt(6, )=1, syt(19, )=1, syt(38, )=1, 6 19 38 114 114 syt(57, )=1, syt(114, )=1, 57 114 ovat sen kaikki tekijät unitaaritekijöitä. Nyt voidaan laskea

114 + 126 = 240,

‡ú(114) = 1 + 2 + 3 + 6 + 19 + 38 + 57 + 114 = 240 ja

‡ú(126) = 1 + 2 + 7 + 9 + 14 + 18 + 63 + 126 = 240.

27 Viitteet

[1] Cohen, Eckford, Arithmetical functions associated with the unitary divi- sors of an integer. Math. Z., 74 (1960), s. 66-80. Viitattu 18.10.2011. Saa- tavana verkossa: http://www.digizeitschriften.de/dms/toc/?PPN= PPN266833020.

[2] Dickson, Leonard Eugene, History of the Theory of Numbers, Volume I, Divisibility and Primality. Dover Publications, Inc. Mineola, New York 2005.

[3] The Great Internet Mersenne Prime Search -sivusto. Viitattu 15.9.2011. http://www.mersenne.org/

[4] Guy, Richard K., Unsolved Problems in Number Theory, Second edition. American Mathematical Society 1994.

[5] Guy, Richard K., Unsolved Problems in Number Theory, Third edition. American Mathematical Society 2004.

[6] Hagis, Peter and Cohen, Graeme L., Some results concerning quasiperfect numbers J. Aust. Math. Soc. Ser. A, 33, s. 275-286. Viitattu 30.8.2011. Julkaistu verkossa 9.5.2009 osoitteessa: http://journals.cambridge. org/abstract_S1446788700018401.

[7] Lehmer, Derrick N., Multiply Perfect Numbers. Ann. Math., Second Se- ries, Vol. 2, No. 1/4 (1900 - 1901), s. 103-104. Viitattu 30.8.2011. Saata- vana verkossa: http://www.jstor.org/stable/2007188.

[8] Ore, Oystein, Number Theory and Its History. McGraw-Hill Company, Inc. 1948.

[9] Sándor, J. Crstici, B., Handbook of Number Theory II. Kluwer Academic Publishers 2004.

[10] Subbarao, M. V., Warren, L. J., Unitary perfect numbers. Canad. Math. Bull., Volume 9 (1966), s. 147-153. Viitattu 21.10.2011. Saatavana verkossa: http://dx.doi.org/10.4153/CMB-1966-018-4

[11] Suryanarayana, D., Super perfect numbers. Elem. Math., Volume 24 (1969), s. 16-17. Viitattu 21.10.2011. Saatavana verkossa: http://dx.doi.org/10.5169/seals-26641. DOI:10.5169/seals-26641

[12] Tattersall, James J., Elementary Number Theory in Nine Chapters. Cambridge University Press 1999.