PRO GRADU -TUTKIELMA Taru Karvonen Täydellisistä luvuista ja niiden muunnelmista TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Marraskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KARVONEN, TARU: Täydellisistä luvuista ja niiden muunnelmista Pro gradu -tutkielma, 28 s. Matematiikka Marraskuu 2011 Tiivistelmä Tämä tutkielma käsittelee täydellisiä lukuja ja niiden muunnelmia. Tutkiel- man ensimmäisessä luvussa annetaan tarvittavia esitietoja. Toisessa luvussa määritellään täydelliset luvut ja käydään läpi täydellisten lukujen sekä nii- den muunnelmien tutkimuksen historiaa. Kolmannessa luvussa käsitellään joitakin täydellisten lukujen muunnelmia. Luvussa määritellään ystävälliset luvut, melkein täydelliset ja kvasitäydelliset luvut, pseudotäydelliset luvut, moninkertaisesti täydelliset luvut, supertäydelliset luvut, hypertäydelliset lu- vut ja unitaarisesti täydelliset sekä unitaarisesti ystävälliset luvut. 1 Sisältö Johdanto 3 1 Valmistelevia tarkasteluja 4 1.1 Jaollisuus ja suurin yhteinen tekijä . 4 1.2 Alkuluvuista . 4 1.3 Aritmetiikan peruslause . 5 1.4 Tekijäfunktio . 6 2 Täydellisistä luvuista 9 2.1 Täydelliset luvut . 9 2.2 Katsaus täydellisten lukujen ja niiden muunnelmien tutkimuk- seen . 11 2.2.1 Historiaa . 11 2.2.2 Tietokonelaskenta ja GIMPS -projekti . 16 3 Täydellisten lukujen muunnelmat 17 3.1 Ystävälliset luvut . 17 3.2 Melkein täydelliset ja kvasitäydelliset luvut . 20 3.3 Pseudotäydelliset luvut . 21 3.4 Moninkertaisesti täydelliset luvut . 22 3.5 Supertäydelliset luvut . 25 3.6 Hypertäydelliset luvut . 26 3.7 Unitaarisesti täydelliset ja unitaarisesti ystävälliset luvut . 26 3.7.1 Unitaarisesti täydelliset luvut . 26 3.7.2 Unitaarisesti ystävälliset luvut . 27 Viitteet 28 2 Johdanto Tässä tutkielmassa käsitellään lukuteorian alalta täydellisiä lukuja ja niiden muunnelmia. Positiivista kokonaislukua n sanotaan täydelliseksi luvuksi, jos sen positiivisten tekijöiden summa on kaksi kertaa luku itse. Luvussa 1 ker- rataan lukuteorian käsitteitä ja esitellään myöhemmin tarvittavia lauseita. Luvussa 2 käsitellään täydellisiä lukuja ja niiden muunnelmien historiaa se- kä luodaan katsaus tutkimuksen nykytilaan. Täydellisten lukujen historiasta siirrytään käsittelemään luvussa 3 täydellisten lukujen muunnelmia, joita ovat omissa alaluvuissaan käsiteltävät ystävälliset luvut, melkein täydelliset ja kvasitäydelliset luvut, pseudotäydelliset luvut, moninkertaisesti täydelliset luvut, supertäydelliset luvut, hypertäydelliset luvut ja unitaarisesti täydelli- set sekä unitaarisesti ystävälliset luvut. Lukijan oletetaan hallitsevan lukuteorian alkeet, esimerkiksi lukion pitkän matematiikan oppisisältöjen mukaisesti. Tutkielman pääasiallisena lähteenä on käytetty James J. Tattersallin teosta Elementary Number Theory in Nine Chapters. Täydellisten lukujen historiaa käsittelevän luvun tärkeänä lähteenä on ollut J. Sándor ja B. Crsticin teoksen Handbook of Number Theory II luku 1. Lähteinä on käytetty myös joitakin lehtiartikkeleita. Joillekin täydellisten lukujen muunnelmiin liittyville termeille on suomenkielisen nimityksen ohella mainittu englanninkieliset vastineet, koska nimityksille ei ole vakiintuneita suomenkielisiä muotoja. Tutkielmassa käsiteltävät esimerkit ovat tekijän itse laatimia, jollei toisin mainita. On kuitenkin mainittava, että samantapaisia esimerkkejä on lähes kaikissa aihetta käsittelevissä teksteissä. 3 1 Valmistelevia tarkasteluja Tässä luvussa käydään läpi aiheen käsittelyn kannalta tarvittavat määritel- mät ja merkinnät sekä esitellään sellaiset lauseet, jotka oletetaan tunnetuiksi myöhemmin esittävissä todistuksissa. Kaikki tutkielmassa käsiteltävät luvut ovat positiivisia kokonaislukuja, jollei toisin mainita. 1.1 Jaollisuus ja suurin yhteinen tekijä Merkintä Merkitään a b,josa jakaa luvun b. | Merkintä Merkitään a - b,josb ei ole jaollinen luvulla a. Merkintä Merkitään lukujen a ja b suurinta yhteistä tekijää syt(a, b). Määritelmä 1.1. ([12, s.50-51]). Jos a b niin nimitetään lukua a luvun b | tekijäksi. Jos 1 <a<bniin sanotaan, että a on luvun b aito tekijä. Määritelmä 1.2. ([12, s.60]). Kokonaislukuja a ja b kutsutaan suhteellisiksi alkuluvuiksi,jossyt(a, b)=1. Lause 1.1. Kokonaisluvut a ja b ovat suhteellisia alkulukuja, jos ja vain jos on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että ax + by =1. Todistus. Ks.[12, lause 2.7 s. 60-61]. Esimerkki 1.1. Luvut 12 = 6 2=3 22 ja 25 = 52 · · ovat suhteellisia alkulukuja, koska selvästi syt(12, 25) = 1. Yhtälön 12x + 25y =1ratkaisuksi saadaan x = 2 ja y =1, joten luvut täyttävät lauseen ≠ 1.1 ehdon. 1.2 Alkuluvuista Määritelmä 1.3. ([12, s. 80]). Alkuluku on sellainen positiivinen kokonais- luku, joka on > 1 ja joka on jaollinen vain itsellään ja ykkösellä. Esimerkki 1.2. Pienimmät alkuluvut ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13. Määritelmä 1.4. ([12, s. 80]). Jos luku n 2 ei ole alkuluku, niin se on Ø yhdistetty luku. Lause 1.2. Jokainen kokonaisluku n 2 on joko alkuluku tai alkulukujen Ø tulo. 4 Todistus. (Vrt.[12, s.80, Lause 3.1]). Todistetaan lause induktiolla. Perusaskel: Kun n =2lause pitää paikkansa, koska 2 on alkuluku. Induktioaskel: Oletetaan nyt, että väite pitää paikkansa kaikille kokonaislu- vuille n, kun 2 n k. Tutkitaan lukua k +1. Jos k +1 on alkuluku Æ Æ niin väite pitää paikkansa. Jos k +1ei ole alkuluku, niin sen on oltava kah- den kokonaisluvun > 1 tulo. Olkoot nämä luvut r k ja s k ,joten Æ Æ k +1=r s. Induktio-oletuksen mukaan r ja s ovat joko alkulukuja tai al- · kulukujen tuloja, joten k +1 on joko alkuluku tai alkulukujen tulo. Väite seuraa induktiosta. Esimerkki 1.3. Luku 34 (34 = 2 17) on yhdistetty luku. · Lause 1.3. Alkulukuja on ääretön määrä. Todistus. (Vrt. [12, lause 3.17 s. 107]). Tehdään vastaoletus ja oletetaan, et- tä alkulukuja on äärellinen määrä. Olkoon p suurin alkuluku ja N = p!+1. Luku N ei voi olla yhdistetty luku, sillä jaettaessa N millä tahansa alkulu- vulla 2, 3,...,pjää jakojäännökseksi 1, joten luvulla ei ole alkulukutekijöitä. Toisaalta N ei oletuksen mukaan kuitenkaan voi olla alkuluku, koska oletuk- sen mukaan p on suurin alkuluku ja N>p. Tästä seuraa, että N ei voi olla alkuluku eikä yhdistetty luku, mikä on ristiriita. Vastaoletus on siis väärä ja alkulukujen määrä on ääretön. 1.3 Aritmetiikan peruslause Tässä alaluvussa osoitetaan, että jokainen ykköstä suurempi kokonaisluku voidaan esittää alkulukujen tulona. Lauseen todistamiseksi tarvitaan seu- raavaa lemmaa. Lemma 2.1. (Eukleideen lemma) Jos p on alkuluku ja p ab, niin joko | p a tai p b. | | Todistus. (Vrt. [12, lause 3.2 s. 81]). Oletetaan, että p on alkuluku ja p ab | mutta p - a.Koskap ab, niin on olemassa sellainen luku c,ettäpc = ab. | Koska p - a ovat p ja a suhteellisia alkulukuja, niin lauseen 1.1 perusteella on olemassa x ja y siten, että px + ay =1. Tästä seuraa, että b = b(px)+b(ay)=p(bx)+p(cy)=p(bx + cy), joten p b. | Lause 1.4. (Aritmetiikan peruslause) Jokainen kokonaisluku, joka > 1, voi- daan ilmaista lukujen järjestystä huomioon ottamatta yksikäsitteisesti alku- lukujen tulona. Todistus. (Vrt. [12, lause 3.4 s. 82]). Tehdään vastaoletus, jonka mukaan n on pienin sellainen luku, jolle lause ei päde. Olkoon n = p1p2 ...pr ja n = q1q2 ...qs 5 luvun n alkutuloesitykset, missä r ja s ovat suurempia kuin 1. Jos olisi pi = qj, joillekin 1 i r ja 1 j s niin molemmat alkutuloesitykset voitaisiin Æ Æ Æ Æ n jakaa luvulla pi ja saada kaksi erilaista esitystä luvulle p , mikä on ristirii- n i dassa oletuksen kanssa, koska <n. Täytyy siis olla pi = qj. Yleisyyttä pi ” menettämättä voidaan olettaa, että p1 <q1. Nyt voidaan määritellä luku m seuraavasti m =(q p )q ...q =(q q ...q ) (p q ...q ) 1 ≠ 1 2 s 1 2 s ≠ 1 2 s =(p p ...p ) (p q q ...q )=p [(p ...p ) (q q ...q )]. 1 2 r ≠ 1 1 2 s 1 2 r ≠ 1 2 s Koska p1 - (q1 p1) niin saadaan luvulle m<nkaksi erilaista alkutuloe- ≠ sitystä. Tämä on ristiriidassa tehdyn oletuksen kanssa, että n olisi pienin luku, jolla on kaksi alkutuloesitystä. Todetaan, ettei ole olemassa pienintä kokonaislukua, joka voitaisiin esittää kahdella eri tavalla alkulukujen tulona. 1.4 Tekijäfunktio Määritelmä 1.5. ([12, s. 86]). Tekijäfunktio ‡(n) on sellainen funktio, että d = ‡(n). d n ÿ| Määritelmä 1.6. ([12, s. 95]). Funktio f on multiplikatiivinen jos f(mn)=f(m)f(n), missä syt(m, n)=1. Lause 1.5. Funktio ‡ on multiplikatiivinen. Todistus. (Vrt. [8, s.88]). Olkoon N = mn ja syt(m, n)=1. Tällöin jokainen luvun N tekijä d on muotoa d = m n (i 0), missä m on luvun m tekijä i i Ø i ja ni on luvun n tekijä. Luvun m tekijät ovat siis 1,m1,m2,...,m ja luvun n vastaavasti 1,n1,n2,...,n.Täten ‡(a)=1+m + m + + m ja ‡(n)=1+n + n + + n. 1 2 ··· 1 2 ··· Kertomalla luvun n tekijöiden summa luvun m tekijällä mi saadaan yhtälö m (1 + n + n + + n)=m ‡(n). i 1 2 ··· i Ja edelleen kertomalla luvun n tekijöiden summa luvun m jokaisella tekijällä mi saadaan yhtälö 1‡(n)+m ‡(n)+m ‡(n) + m‡(n)=‡(m)‡(n). 1 2 ··· Joten ‡(N)=‡(mn)=‡(m)‡(n). 6 Esimerkki 1.4. Lasketaan luvun 70 tekijäfunktion arvo seuraavasti ‡(70) = d =70+35+14+10+7+5+2+1=144. d 70 ÿ| Määritelmä 1.7. ([12, s. 82]). Lauseen 1.4 perusteella määritellään luvun n kanoninen esitys seuraavasti: r –i –1 –2 –r n =Πi=1pi = p1 p2 ...pr , missä p <p <p ovat alkulukuja ja – > 0, kun i =1,...,r. 1 2 ··· r i Seuraavaa lausetta tarvitaan tekijäfunktion määrittämiseen. r –i Lause 1.6. Positiivisen kokonaisluvun n =Πi=1pi tekijöiden summan esitys on –i+1 r pi 1 ‡(n)=Πi=1 ≠ . A p 1 B i ≠ –1 –2 –r Todistus. (Vrt.[12, s.90] ja [8, s.89]). Positiivisen kokonaisluvun n = p1 p2 ...pr tekijöiden summa voidaan lauseen 1.5 perusteella kirjoittaa tulona (1 + p + p2 + + p–1 )(1 + p + p2 + + p–2 ) (1 + p + p2 + + p–r ), 1 1 ··· 1 2 2 ··· 2 ··· r r ··· r koska p– : n tekijät ovat 1,p,p2,...,p– ja ‡(p–)=(1+p + p2 + + p–). ··· Kerrotaan yhtälö puolittain luvulla p, jolloin saadaan p ‡(p–)=(p + p2 + + p– + p–+1). · ··· Sijoitetaan alkuperäinen luvun ‡(p–) lauseke yhtälöön, jolloin saadaan yhtälö p ‡(p–) ‡(p–)=p–+1 1, · ≠ ≠ josta saadaan jakamalla puolittain luvulla (p 1) ≠ p–+1 1 ‡(p–)= ≠ . p 1 ≠ Nyt voidaan kirjoittaa tulon kaikki r tekijää sievennettyinä seuraavasti –1+1 –2+1 –r+1 –i+1 p1 1 p2 1 pr 1 r pi 1 ‡(n)= ≠ ≠ ..