Logic's Lost Genius

HISTORY OF MATHEMATICS • VOLUME 33

Logic’s Lost Genius The Life of Gerhard Gentzen

Eckart Menzler-Trott

American Mathematical Society • London Mathematical Society Logic’s Lost Genius The Life of Gerhard Gentzen

https://doi.org/10.1090/hmath/033

HISTORY OF MATHEMATICS  VOLUME 33

Logic’s Lost Genius The Life of Gerhard Gentzen

Eckart Menzler-Trott

Translated by Craig Smorynski ´ and Edward Griffor Editorial Board American Mathematical Society London Mathematical Society Joseph W. Dauben Alex D. D. Craik Peter Duren Jeremy J. Gray Karen Parshall, Chair Robin Wilson, Chair MichaelI.Rosen This work was originally published in German by Birkh¨auser Verlag under the title Gentzens Problem c 2001. The present translation was created under license for the American Mathematical Society and is published by permission. Photo of Gentzen in hat courtesy of the Archives of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach. Reprinted with permission.

2010 Mathematics Subject Classification. Primary 01A60.

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Library of Congress Cataloging-in-Publication Data Menzler-Trott, Eckart. [Gentzens Problem. English] Logic’s lost genius : the life of Gerhard Gentzen / Eckart Menzler-Trott ; translated by Craig Smory´nski and Edward Griffor. p. cm. (History of mathematics ; v. 33) ISBN 978-0-8218-3550-0 (alk. paper) 1. Gentzen, Gerhard. 2. Mathematicians—Germany—Biography. 3. Logic, Symbolic and mathematical. I. Title. QA29 .G467M46 2007 510.92—dc22 2007060550

AMS softcover ISBN: 978-1-4704-2812-9

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—DavidHilbert (Hilbert’s notebook, Cod. Ms. D.Hil=600.3)

Itis reallyastonishing howmanyhighly gifted logicians diedyoung(Nicod, Herbrand, Gentzen, Spector, Ramsey,etc.).

—Kurt G¨odel to Paul Bernays

Next I would like tocall your attentionto afrequentlyneglectedpoint, namelythe factthatHilbert’s scheme forthe foundationsofmathematics remains highlyinteresting and important in spiteofmynegative results. What has beenprovedisonlythe specific epistemological objective which Hilbert had in mind cannotbeobtained. Thisobjective was to prove theconsistency ofthe axiomsof classical mathematics onthe basisof ev- idence justasconcrete and immediately convincing aselementary arith- metic. However, viewing thesituationfrom a purely mathematical point ofview,consistencyproofsonthe basisof suitably chosen strongermeta- mathematical presuppositions(as have been givenbyGentzenandothers) arejustas interesting, and they lead to highly important insights into the prooftheoreticstructureofmathematics.

—Kurt G¨odel to Constance Reid

Contents

Preface to the English Edition xiii

Introduction xvii 1. Gentzen’s Accomplishments xvii 2.Aimsof My Life Storyof GerhardGentzen xviii 3. Mathematical Logic and National Socialism: The Political Field xix

Chapter 1. Early Youth and Abitur 1 1. GerhardGentzen’s Birth 1 2.Gentzen’s Mother:Melanie Gentzen(1873-1968)1 3. Gentzen’s Paternal Grandparents and His Father:The Attorneyand CourtOfficial Dr.jur. Hans Gentzen(1870-1919) 2 4. Youth and Student Days of Hans Gentzen3 5. Gentzen’s Maternal Grandparents: The Physician Alfons Bilharzand Adele Bilharz 4 6. The Shining Example in Gentzen’s Family Tree:The Great, Successful Physician and Natural Scientist Maximilian Theodor Bilharz (1823-1862)9 7.Gentzen’s Sister: Waltraut Sophie MargaretGentzen (*1911) 10 8.The Schoolchild GerhardGentzen11 9. The Death of the Father Means a Move and a NewSchool 12 10. The Beginning of Gentzen’s Intellectual Activity 12 11. Gentzen’s Success at School 15 12.The Abitur on 29February1928 16

Chapter 2.1928-1938—Weimar Republic and National Socialism in Peace. From the Beginning of Studiestothe Extension of the Unscheduled Assistantship for Another Year in Effect from 1October 193821 1. Beginning of StudiesinGreifswald 21 2. Continuation of Study in G¨ottingen 22 3. Is G¨ottingenthe Centre of Mathematics for Gentzen? 23 4. Continuing Studies in Munich 23 5. A Semester in Berlin: Winter Semester 1930/31 26 6. BackinG¨ottingen: SaundersMac Lane and Gentzenasthe “Type of aScientifically OrientedMan”(RichardCourant) 27 7.The Decision: Gentzen’s First Publication, “Ub¨ er die Existenz unabh¨angiger Axiomensysteme zu unendlichenSatzsystemen” and His Programmefor 1932 30

vii viii CONTENTS

8.WhatDoGentzen’s Intellectual Interests and Attitude in 1931 and 1932 Appear to Be?33 9. Political Language in Mathematics in 1918 34 10. Political Language by Hermann Weyl and David Hilbert34 11. Whom Did GentzenKnowinG¨ottingenandWhatDidHe Read? 37 12.Gentzen’s Life in the Early Nazi Period. The Withdrawn Manuscript “Ub¨ er das Verh¨altnis zwischen intuitionistischer und klassischer Arithmetik” of 15 March 1933 38 13. GerhardGentzen’s Dissertation “Untersuchungen¨uber das logische Schließen” of 12 July 1933 41 14.The Penetration of the Nazis into Mathematical Researchatthe University in G¨ottingen 1933 and 1934—Or, VahlenandBieberbach vs. Weber and Wegner 46 15. The State Examination with “Elektronenbahnen in axialsymmetrischen Feldernunter Anwendung auf kosmische Probleme”on16November 1933 51 16. Why Did GentzenJointhe SA? 52 17.Gentzen’s Political Position: A Conjecture 53 18.Gentzen in Financial Difficulties54 19. Financial Straits and Job Hunting 55 20. ConsistencyProoffor Number TheoryinDiscussion with Paul Bernays 57 21. “Widerspruchsfreiheit der reinenZahlentheorie”Mirroredinthe Correspondence of Bernays and Weyl 58 22.Difficultieswiththe “Widerspruchsfreiheit der reinenZahlentheorie” of 11 August 1935 59 23. The Unscheduled Assistantship under Hilbert from 1 November 1935: AProductive Period for Foundational ResearchBegins 62 24. Consistencyof Type Theory63 25. Revising the Proof of the “Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie”64 26. “Die Widerspruchsfreiheit der reinenZahlentheorie”65 27.Gentzen Was an Intellectual Independent 69 28.GentzenExpresses His Thanks to Turing 71 29. Correspondence betweenBernays and Ackermann 1936 to 1940 72 30. The Correspondence betweenBernays and GentzenMerrily Continues 75 31. Invitation to the Parisian DescartesCongress in August 1937.The Invitation to Lecture to the DMV Conference in Bad Kreuznachon 21September 1937:“Die gegenw¨artige Lage in der mathematischen Grundlagenforschung”. The Extension of the Tenure of the Unscheduled Assistantship on 1 October 1937for aYear77 32.Jean Cavaill`esandGerhardGentzen 82 33. GentzenBecomes an “Associate”of the Publication of Scholz’s Forschungen zur Logik und zur Grundlegung der exakten Wissenschaften 84 34.“Die gegenw¨artige Lage in der mathematischenGrundlagenforschung” 86 35. “Neue Fassung desWiderspruchsfreiheitsbeweisesder reinen Zahlentheorie” 193888 CONTENTS ix

36. Bernays’ Viewof Gentzen’s Programme (Second ConsistencyProof) 89 37.Correspondence with Paul Bernays 93 38.Extension of the Unscheduled Position for Another Year Taking Effect1October 1938 97 39. Bernays’ Views of Hilbert’s Programme and Gentzen’s Place in It 100 40. Closing Thoughts on Paul Bernays 101 41. Longer Notes102

Chapter 3. 1939-1942—From the Beginning of the War to Dismissal from the Wehrmacht and the Wartime Habilitation under Helmut Hasse 117 1. 1939: At the Highpoint of Reputation 117 2.The Second Volume of Grundlagen der Mathematik of Hilbertand Bernays Appears 119 3. Active MilitaryService at the Homefront as Radio Operator by the Flugwachkommando 125 4. 1939/40: Preparation for Habilitation. “Beweisbarkeit und Unbeweisbarkeit von Anfangsfall¨ ender transfiniten Induktion in der reinenZahlentheorie”128 5. 1941: Encouragement from Hellmuth Kneser 135 6. 1942:Dischargefrom MilitaryService 139

Chapter 4.The Fight over “German Logic” from 1940to1945: A Battle betweenAmateurs141 AShortPreface 141 1. Ludwig Bieberbach as Supporter of the IdeaThatthe Validity of MathematicsBe Decidedthrough World Views 142 2.AnAdvocate of Racial Purity Sets the Standards in German Mathematical Logic,Where Attempts Are Made to Confuse Scientific Results with Mattersof Race 143 3. Gentzen as a “Witness” for a National-Racial Interpretation of the Mathematical Foundational Researchthrough SteckandRequard144 4.The Somewhat Sharper Point of Viewof FriedrichRequard147 5. Ludwig BieberbachandhisDeutsche Mathematik 150 6. NS Ideology in Mathematicsthrough BieberbachReceivesNegative Resonance Even within His Own Camp 152 7. Ludwig Bieberbach: Representative of “German Mathematics” 153 8.AContemporaryof Bieberbach’s in Exile: Johann L. Schmidt 159 9. Bieberbach and Intuitionism 160 10. Formalism and Proof Theory 160 11. AppliedMathematics as Folkish Mathematics162 12. Nazis Criticisedthe Lackof Support from Mathematics 163 13. Mathematical Foundational ResearchRemains Unmolestedby the Nazis 167 14. Attacks on Mathematical Logicfrom Without: Dingler,Steck, and May 169 15. The Attacked: HeinrichScholz (1884-1956) 176 16. Bieberbach, Max Steck and Jænsch186 17.BieberbachandErichJænsch188 xCONTENTS

18.Steck’s Attack on HilbertLeads to Bieberbach’s Commissioning a Defence of Mathematical Logic by H. Scholz and Publishing It in Deutsche Mathematik 190 19. Interlude: May and Dingler Provide Arguments for Steck197 20. Steck and Scholz in Dispute202 21. Max SteckasDenouncing “Expert Witness” and Publicist 208 22.The Exception: The DedicatedNationalSocialist, Logician and Historian of Mathematics, Oskar Becker,Remains Neutral 216 23. Resistance as a Mathematician Was Possible under National Social- ism 218 24.KurtReidemeister’s Additional Contemplations on Politico-Scientific Power Play in “German Mathematics” 219 25. Longer Notes 221

Chapter 5. RecoveryandDocent Position 1942 to 1944 233 1. Final Dischargefrom the German Army 233 2. Hans Rohrbach CommandeersGerhardGentzentoPrague through the OsenbergInitiative234 3. Gentzen’s Teaching Position in Prague:“Kepler’s Laws of Planetary Motion” 236 4.The First CoursesinNovember 1943 238 5. The Last Known Scientific Letter of GerhardGentzen 243 6. GerhardGentzenin1944:Teaching Functions, Computing Office, and War 244 7. Hans Rohrbach’s Reportonthe Conditions in the Mathematical Institute in Prague246 8.WhyDidGentzen Banish Any Thought of Flight? 247

Chapter 6. Arrest, Imprisonment, Death and Nachlass 253 1. The Last Days of Freedom in the Private Sector253 2.The Arrest of GerhardGentzenandthe Awful Imprisonment 255 3. Gentzen’s Physical Death 257 4.IsGentzen’s Death Understandable? 260 5. Rumours 261 6. Attempts to Rescue the Nachlass 263 7.The Deciphering of the Stenographic Notes 266

Conclusion 267 1. Misapprehensions about the Life of GerhardGentzen 267 2. Logic and Politics 267 3. Upshot 269

Tablesof the Life of GerhardGentzen 273 Chronology 273 Contemporary Assessments of Gentzen 278 Publications of Gentzen 281

Appendix A. GentzenandGeometry C. Smorynski´ 283 CONTENTS xi

Appendix B. Hilbert’s Programme C. Smorynski´ 291 1. Constructive Prologue291 2.Problems in Paris 293 3. HilbertandGeometry 296 4.First Steps 300 5. Enter Brouwer 301 6. Back to Hilbert308 7.Weyl Stirs Things Up 310 8. HilbertResponds 312 9. More on Brouwer 322 10. Outbreak of Hostilities323 11. The Formula Game 324 12. On the Infinite 325 13. A Fragile Truce 327 14. “Hilbert’s Programme”IsBorn329 15. Brouwer TakesUpArms 331 16. Hilbert FinishesOffBrouwer 332 17.The Programme Expands 334 18.G¨odel’s Theorem 335 19. Concluding Remarks 339 Appendix C. Three Lectures Gerhard Gentzen 343 1. The Concept of Infinity in Mathematics343 2.The Concept of Infinity and the Consistencyof Mathematics 350 3. The Current Situation in Researchinthe Foundations of Mathematics 353 Appendix D. From Hilbert’s Programme to Gentzen’s Programme Jan von Plato 367 1. Mathematical Proof 367 2. Hilbert’s Programme 373 3. Gentzen’s Programme 383 4. Later Developments in Structural Proof Theory 396 5. References 401 Bibliography 405 Index 433

Preface to the English Edition

In revising this book for translation I havecut down on the polemics, and I have incorporatednew facts and material and what I have learnedinthese years, notably from somereviews of the German edition—especially the one of DirkvanDalen— as well as from continual discussion with Jan von Plato and Craig Smory´nski. I have taken a stand whichisless critical of tradition, but more thorough acquain- tance with what Gentzenandproof theoryhave done has pushedtheconcept of Gentzenasa“follower of the HilbertProgramme” further into the background. A clearexposition, description and interpretation of Hilbert’s Programme by Craig Smory´nski in appropriate style, language and richness of ideas can befound in this book. Gentzen’s work should decisively not just be seenascontributing only to the post-G¨odelian development of Hilbert’s Programme.Itthiswere true,Gentzen would be of almost no interest at all today to creative working mathematicians, but only a concern for antiquarians. GerhardGentzen (1909-1945) is thefounder of modernstructural proof theory. His permanent and sustainedmethods, rulesandstructureshaveresulted not only in a technical mathematical disciplinecalled“proof theory” but also in applications in computer science (e.g. program verification) and all kinds ofeffective mathemat- ics. Someday the performance of the pioneer GerhardGentzen will be seen like the creations of Heisenberg, Schr¨odinger or Dirac.Gentzen’s natural deduction, se- quent calculi and ordinal proof theory certainly impress with their appearance, clarity and elegance. And, the techniqueshe developedinthe years from 1931 to 1939 are now the minimum standardinproof theory. Gentzenwrote Bernays in a letter dated3March 1936:

I also don’tknowifIcan claim any “priority” in all particulars; I wish onlythis once tosurvey furtherwork onthe programme fromthe now establishedpoints, thecarryingout ofwhich admittedly can requiresome yearsordecades.

And this programme was decisivefor the post-G¨odelian period of logic. Following Jan von Plato, werecognise three stagesinGentzen’s ideas: theconvic- tion that theconsistencyof arithmeticcan be proven constructively arosefrom his manuscript “Ub¨ er das Verh¨altnis zwischen intuitionistischer und klassischer Arith- metik” [On therelation between intuitionistic and classical arithmetic]withdrawn in March 1933. He provedthisconsistency in 1935 in his “Die Widerspruchsfrei- heit der reinenZahlentheorie”[Theconsistencyof pure number theory]. And in his habilitation thesis submitted in 1939, “Beweisbarkeit und Unbeweisbarkeit von Anfangsfall¨ ender transfiniten Induktion in der reinenZahlentheorie”[Provability and unprovability of initial casesof transfinite induction in pure number theory] he proveddirectly the unprovability of ε0-induction in Peano Arithmetic.And he achieved all this on the basis of a calculus heconstructed for such tasks in

xiii xiv PREFACE TO THE ENGLISH EDITION

1932/1933. EvenPaulBernays agreed in 1938 that Gentzenhadaplace in founda- tional research in his own right, one that did not fall under the banner of “Hilbert’s Programme”. Jan von Plato describesthe actual development of Gentzenandproof theoryindetail in this book. But though a good number of passageshave been revised, and though there are some small rearrangements in the order of treatment, the book has substantially remainedthe same.Sothose “innocent” of logic or proof theory should find it understandable. I cannot claim to have providedadefinitive historyof proof theoryinthe thirties and fortiesof the last century in Nazi Germany or a complete account of Gentzen, the man and the genius. Still I trust that this book givesafull and perspicuous presentation of theevidence and thus will be useful eventothose who are not inclinedtodraw the sameconclusions from it. My special thanks are to Craig Smory´nski, who not only completedthe laborious task of translation in a spirit of most pleasant and full collaboration in Westmont and different placesinthe world, but to whom is due the initiative and diligent working out of an improvement of ideas, content and stylefor the English edition. Everybody who knows his ideas will agree that theyshed light on my darkthoughts. Theresponsibility for thecontent and for all that may be wrong with it, however, remains mine. The Department of Philosophy of the University of Helsinki has aidedCraig and me with a visit where Craig, SaraNegri, Jan von Plato and I again could meet and discuss various aspects of Gentzenandhiswork. Some parts of this book were writteninthe beautiful atmosphere of the MathematischesForschungsinstitut of Oberwolfach. I acknowledge all this favour as a factor in theexcellence of this book. The preparation of this edition was done under ideal working conditions. Ihope that this book will be judgedasacontribution to the philosophy and the historyof logic and proof theory and not merely to the artof biography of mathematicians. This book is dedicatedtoHeidrun Trott and my children, Jacob Menzler,Laura Trott and Gwendolyn Trott. EckartMenzler-Trott Munich, 1 June2006

Acknowledgements. Iwishfirst to express my thanks to Frau Waltraut Stu- dent, the sister of GerhardGentzen, who gave me access to the Bilharz family chronicles and during a visit lasting several days relatedmuchtome about her brother and the Bilharz family. Dipl.-Ing. G. Gentzenpermittedme an insight into the life of Hans Gentzenthrough neatly marked extracts and turnedover to mecopiesof letters concerning the death of GerhardGentzen. The late Saunders Mac Lane of Chicago told me of his study time in G¨ottingenandhisfellow stu- dent Gentzen. Dr.Franz Krammer,inwhose arms Gentzendied, instructedme on thecircumstancesof Gentzen’s death. Frau Erna Scholz sent me a photo of her husband, HeinrichScholz, with Gentzen and willingly answered all questions. Martin Kneser placed at my disposal copiesof thecorrespondence of his father, Hellmuth Kneser,withGerhardGentzen. Dr. Lothar Collatz (†), Dr.Ernst Mohr (†), Dr.KurtSch¨utte (†), and Dr.PaulLorenzen(†)have spokenascompletely about theirfriend, colleague,andcontemporary as was possiblefor them. PREFACE TO THE ENGLISH EDITION xv

Dr.Christian Thielhasletmeexamine the material of Gentzen’s Nachlass, so far as it has beendeciphered, and constructedapainful list of my literal and typographical errors from the German and the present edition of the book. Con- tentual and formal criticism amounting to several pageswere sent by Dr.Reinhard Siegmund-Schultze, and almost all of his suggestions have beentakenintoaccount in this edition. Thereviews of the German edition by Dirk van Dalen, Petr H´ajek, Ivor Grattan-Guinness, AlbertC.Lewis, Rudolf Taschner,Volker Peckhaus, Peter Schreiber,andmanyotherswere veryhelpful, and I have beenable to put some of their stimulation to good use here. Some material—items of information or suggestions—whichIacknowledge at the appropriate placesinthe book, have beenprovidedby:Dr.NorbertSchap- pacher,Dr. Justus Diller,Dr.HerbertMehrtens, Jens Erik Fenstad, Dr.Volker R. Remmert, Dr.Harold Schellinx, Dr. Milan Vlach, GeorgKreisel, GerdRobbel, Dr.HansHermes, Jan von Plato, DirkvanDalen, Dr. Enno Folkerts, Dr.Gis- bert Hasenjaeger,Dr. habil. Renate Tobies, Dr.F.L.Bauer,UlrichBieberbach, Dr.G¨unther Engler,Dr.GerhardH.R.Reisig, Dr.Moritz Epple,Dr. Hans Rohr- bach, Dr.Premysl Vihan, Dr. Olga Kraus, Dr. Ina Kersten, J¨urgenKas¨uske,and some others. IlearnedalotaboutGentzen’s logicfrom the writings of Wolfram Pohlers, WilfriedBuchholz, Helmut Schwichtenberg, Grisha Mints, MichaelRathjen, Sol Feferman, WilfriedSiegandmanyothersandthankthem for their personal com- munications. My thanks go to the librariesandarchives: PetraBl¨odorn-Meyer (Handschrift- enabteilung der Staats- und Universit¨atsbibliothekCarl v. Ossietzky Hamburg); Dr.Laetitia Boehm (Archiv der Ludwig-Maximilian-Universit¨at M¨unchen); W. Schultze (Archiv der Humboldt Universit¨at Berlin); Dr.Beat Glaus and Ms. Flavia Lanini (Archiv der ETH Z¨urich); Dr.Ulrich Hunger (Universit¨atsarchiv G¨ottingen); Dieter Speck(Universit¨atsarchiv Freiburg); Miroslav Kunstat (Archiv Univerzity Karlovy Prag); Frau H. Bertram (Mathematisches Institut Giessen); Berlin Document Center, Bundesarchiv Koblenz; Institut fu¨r Zeitgeschichte; Mathe- matisches Institut G¨ottingen; Deutsche Dienststelle; Milit¨ararchiv Freiburg; Insti- tut fu¨r mathematische Logik und Grundlagenforschung M¨unster;Bayerische Staats- bibliothek; DombibliothekFreising; Hessische StaatsbibliothekWiesbaden. For theirconstant support for decadesIparticularly and verywarmly thank Antiquariat Kitzinger in Munich’s Schellingstraße and Antiquariat Renner,who have always gone out of their way to procure all books whichonaccount of the consequencesof war orchronic underfunding are not available in German libraries.

Quick Notefrom the Main Translator. An old setof guidelines from the American Mathematical Society declaredthattherequirements for translating mathematics into English were,inorder,aknowledge of the mathematicsinques- tion, a knowledge of English, and a knowledge of the language of the original. I haveread mathematics and biography in German without any major difficultiesin the past, but the present book has incredible breadth. The philosophical quotations of the National Socialists in Chapter 4,inparticular,provedtoomuch for me and I enlistedthe aid of my friend Ed Griffor,whose knowledge of philosophy and the German languagefarexceeded my own. I owe him a debt of gratitude. As I was learning LATEX simultaneously with translating this book, the typography may not be up to par.For this I apologise to Eckartandthereader. xvi PREFACE TO THE ENGLISH EDITION

With respecttomyappendix on Hilbert’s Programme, I should like to take the opportunity here to express my indebtedness to Dirk van Dalen, both for general stimulation and particular information on Brouwer and Hilbert. Craig Smory´nski Westmont, 17 April 2007 Introduction

1. Gentzen’s Accomplishments

Structural prooftheory studies thegeneralstructure and properties ofmathe- matical proofs. Itwas discoveredbyGerhard Gentzen (1909-1945) in thefirst yearsofthe 1930s and presentedinhis doctoral thesis“Untersuchungen ub¨ erdas 1 logische Schließen”[Investigationson logical inference] in 1933. Thesettingofthis taskis neutral; it does not commit Gentzento any specific view onthe foundationsofmathematics, be it formalism, intuitionism,orCan- torism. Gentzenpresented firstageneral theory ofthestructureof mathematical 2 proofs. Theobject of logic, in Gentzen’s view, is tostudy thegeneralstructureofproofs. Itis a complete break with thelogicist tradition of Frege, Peano, and Russell that Hilbert and hisschool had been pursuing and in whichthe notion of logical truth is basic. Proofs that followaprecise set ofrules arecalledderivations, to 3 distinguishthemfrommost ofthe informal proofs found in mathematics. Amore traditional view: Gerhard Gentzen’s work in the 1930s (see Gentzen1969) has beenthe most influential forthe development ofmodern reductive prooftheory in practice. . . The aim ofthe Gentzen-Schutt¨ e-Takeuti lineofdevelopment is what Icall the 4 constructiveconsistencyproofrationale forreductive prooftheory...” But Gentzenwent further than this, leaving behind theconstraints of the Hilbert programme.The “true beginnings” of structural proof theory 5 may be datedfromthe publication ofthelandmark paperGentzen (1935). Interestinproofs ascombinatorialstructures in their own right was awakened... Nowadays there are more reasons... for studyingstructural prooftheory.For ex- ample, automatedtheoremproving implies an interestinproofs ascombinatorial 6 structures; and in logic programming, formal deductions are usedincomputing. IndeedGentzen-style systems and his ideas of natural deduction and sequent calculi dominate proof theoryandverystrongly influence computer science today. As DirkvanDalen puts it, “Before Gentzen, proof theorywas‘hacker’s paradise’”;

1Sara Negri and Jan von Plato, Structural Proof Theory, Cambridge University Press, 2001, p. xi. 2Sara Negri and Jan von Plato, “Hilbert’s last problem”, Arkhimedes 2002, no. 5, p. 4. 3Jan von Plato, “Proof theory of classical and intuitionistic logic”, L. Haaparanta, ed., His- tory of Modern Logic,Oxford University Press, Oxford, in press, pp. 2ff. 4Solomon Feferman, “Does reductive proof theory have a viable rationale?”, p. 4 of the Internet version. Erkenntnis 53 (2000), 317–332. 5A.S. Troelstra and H. Schwichtenberg, Basic Proof Theory, Second Edition, Cambridge University Press, Cambridge, 2000, p. ix. 6Ibid.

xvii xviii INTRODUCTION after Gentzen, who was stimulatedbyG¨odel’s work, there was “a method full of beauty and elegance.”7 In Germany especially it was difficult for logicians to appreciate Gentzen’s origi- nality because the reception of his workwastoooften influencedbyignorance and thefamiliar perspective of Hilbert’s programme and Paul Bernays’ convenient as- sessments. In §2.2.1 of Gentzen (1936), Gentzenwrites, “The theoryof arbitrary mathematical proofsasobjects is called‘proof theory’ or ‘metamathematics’ ”, and he shows what is actually provable after G¨odel’s results. DirkvanDalendescribesitwiththefollowing words: Gentzenwas an exponent ofthe new generationinevery regard. A generation whichhadbegun to understand that Go¨del wasn’ttheend of logic but meant the beginningofanew and rich lifeofthesubject. Gentzenfound himselfatthe summit ofthe discipline as he brilliantly createdmethods to put into practice in logic, namelythose of natural deductionandsequent calculi. With the help ofthese methods hesaw chances to do what wasstill to be done afterG¨odel. He thoroughlyinvestigatedthe problem of excludingcontradictions fromarith- metic. The adjective“brilliant” iscorrecthere. . . Gentzen, who without fuss had relegated Hilbert’s age to the museum, was immature in hissocio-political 8 development.

2. Aims of My Life StoryofGerhard Gentzen This is the storyof the outer life of the mathematician and logician Dr.habil. GerhardGentzen; it is not a book about proof theoryor its development.9 Gentzen belongs to the pioneersandfoundersof proof theoryandisone of the “classics”10 of the field. Although this biography is a contribution to the historyof mathematical logic under National Socialism, it is only partly a historyof mathematicsduring these times.11 This book does two things: My biography explains Gentzen’s ideas and theorems to the layman and givesafull account of the life and tragic death of Gerhard Gentzen. The biography also clarifiesGentzen’s position as a mathematician under National Socialism. However, even for those selectively interestedinthe history

7Dirk van Dalen, “Ein Logiker unter den Nazis”, pp. 30ff., in Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1/2003. 8Ibid. 9My work concentrates on the life of Gerhard Gentzen and is not a concise analysis of his work, although it does give indications. A first approach to Gentzen’s mathematical theory can be found in Jan von Plato’s contribution to this volume or in Gentzen’s works themselves. Whoever wants to incorporate the technical work into his reading of this volume is referred to Gentzen’s “Untersuchungenuber ¨ das logische Schließen” (1935) and “Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie” (1936). A very good introduction to structural proof theory with all necessary methods and results is given by Sara Negri and Jan von Plato, Structural Proof Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 2001. 10“Classics” are authors about whom, according to Robert Darnton, at least two biographies must be written: a glorification and an unmasking, for a true classic must first be someone who has something to hide. In diametric opposition to readings on the life and work of Gottlob Frege, I could have completely entered without a philology of suspicion, because Gentzen’s life, so far as it is known to us, lies open, straight and coherent before us. Who wants to see something else must squint, restrict himself methodically, write from emotion, resentment or rancour—or simply be prepared to be evil. 11For a history of mathematics and mathematical logic in this period, see Sanford L. Segal, Mathematicians under the Nazis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 2003. For German language literature on the period, cf. Chapter 4 of the present book. 3. MATHEMATICAL LOGIC AND NATIONAL SOCIALISM xix of mathematical logic under the Nazis, the mathematical and logical position of GerhardGentzen within a totalitarian systemisalsoworth reading.12 Mathematical logic had political implications under National Socialism, whether it was deemedtooformal and lacking of substance by some orrecognisedasaserious contribution to mathematicsbyothers. The Nazis, in theformof certain functionar- iesandorganisations, had individual representatives who supported, toleratedand promoted mathematical logic and its representatives in individual cases. Gentzen was one of these latter.Heenjoyedthe protection of Ludwig Bieberbachand the “Deutsche Forschungs-Gemeinschaft” (DFG) [German ResearchCouncil], as did the M¨unster school surrounding HeinrichScholz (Hermes, Schr¨oter,Behmann, Bachmann, Schweitzer,Ackermann, Kratzer). Hilbert’s programme was the unifying theme among German mathematicians despite the destruction of the G¨ottingenschool by the Nazis. Almost all mathe- maticians shared Hilbert’s vision of a unified mathematics, whether theywere Nazi supportersor opponents of Nazism. I don’t know any single mathematician who wantedtointroduce, forexample, intuitionism as an official fundamental philos- ophy of mathematicsof the Nazis, as Weyl, Blumenthal or Menger had in the Weimar Republic.Furthermore the motivation of the Nazis for the protection of mathematical logic by Ludwig Bieberbachandothersisstillunexplained. Per- haps it was the desire of the Nazis for international recognition and because this field was one with international participation. ModernGerman mathematicsstems from Klein, Hilbert and many other mathematicians of the 19th century, many of whom had in the meantime beendrivenawaytoexile orevenbeen killed. The iron resolve of the Nazis to present the highest mathematical rationality as “German mathematics” to therest of the world failedprimarily because of the indignation of the mathematicians who survived exile and execution. There was no room for unwantedacademic disputes that would disturbtheefficiencyof war-relatedwork likecryptography, whichwasperformedbymathematicians as politically diverse as Teichm¨uller, Witt, and Hasenjæger.13

3. Mathematical Logic and National Socialism: The Political Field Thefounder of the journal Deutsche Mathematik, Ludwig Bieberbach, supported mathematical logic and evenusedhisownfunding by the DFG to promote thecor- responding logical plans of HeinrichScholz. Why? Ludwig Bieberbach, the author of the notorious essays “Pers¨onlichkeit und mathematischesSchaffen” [Personal- ity and mathematical creation] and “StilartenmathematischenSchaffens” [Styles of mathematical creation] defendedthe academicresearchinmathematical logic against attacks in the name of “Volk” and race.Thisrequires clarification.

12On the history of mathematical logic under National Socialism (and the period preceding) there has till now been only the concise observations of Christian Thiel, “Folgen der Emigration deutscher und ¨osterreichischer Wissenschaftstheoretiker und Logiker zwischen 1933 und 1945”, Berichte zur Wissenschaftsgeschichte 7 (1984), pp. 227-256 (here: pp. 248-252). My book only goes as deep technically as is still possible for a mathematically interested layman to follow. The specialists are possibly familiar with the deeper underlying ideas; these are expanded upon here in reviews and contemporary reports of discussions, so that one can form a more solid picture. 13Cf. F.L. Bauer, Entzifferte Geheimnisse. Methoden und Maximen der Kryptologie,2nd expanded edition, Springer Verlag, 1997. xx INTRODUCTION

Naturalscientistslike tolive with the illusionthattheir enterprises couldreally prosper onlyinfree and democraticsocieties. The history of science in totali- tarian societies shouldbe merelyastory oftheoppression of “good”science or of one barely surviving in more-or-less unmolestedniches. This idealisedand ahistorical pictureof science falls apart if oneconsiders thecrimes, transgressions and “achievements” that came about in the nameofnationalsocialist science. (Thomas Weber) In mathematics it is not absolutely so. Also in the name of mobilisation or self-mobilisation for a political ideology, technically newmathematics is possible. Mathematical logic was promotedasapartof university mathematics to someex- tent, and internationally recognised mathematicians researchedinthe area, though with disgusting interference by the Nazis Dingler,Steck, Th¨uring and M¨uller.The mathematical logicians delivered results despite the personnel, financial and organ- isational “thinning out” of science by the Nazi Party. A serious science was also possible under National Socialism. However, this only succeededwithakindof job sharing. Somerepresentatives(H.Scholz, H. Hasse,W.S¨uss and others) pro- fessionalisedthemselvesasscience organisers and undertook to negotiate with the Nazi Party and its ministersabouttheconditions for this science.Somerepre- sentatives(Bieberbach, Vahlen, and others) identifiedthemselvesdirectly with the party, while some overshot the aim entirely (W. S¨uss) or triedtokeepthemselvesin akindof balance (H. Hasse). It isn’t always and only a fault of the individuals and their individual choices; it might be a fault of the discipline and its organisation as well. Ishowthe life of the mathematician Gentzeninimportant details. To be able to judge the mathematicsof this time still requiresmanydetailed studies. I have shown a life from the “files” and some testimonies. By thechoice of the topics, the fortuity of the documents which came into my hands, I have describedthe outer life as reliably as I could. Gentzen’s life has, I am certain, nonetheless been lived quite differently. WhenIcitefrom Gentzen’s works and thereviews of his time,I try to show the field of arguments whichwere around this time to get to know the arguments for and against certain topics. The historyof mathematicsisn’teven recognisedasadisciplinary task, letalone tackledasaninterdisciplinary researchproject. Theexamination of the mathemat- ics using means and methods of other sciencesor humanities is still disgusting for many. The historyof mathematics—as the late Nikolai Stuloff put it—statesproposi- tions whichoccasionally generate different opinions. It is possible that statements are made which cannot becategorisedintoright or wrong as in mathematicsitself. An essential component of the historical workinthe historyof mathematicsisthe interpretation and explanation of texts, namely sourcesandsecondary literature. Amathematical statement, once proved, seems timeless. The knowledge of a“his- torical prelude” whichhasledtothissentence must not necessarily be known for the understanding of the sentence.Inthe historyof mathematics you will not find atheory, once formulated coherently and provedwell, which ever had to be seenas wrong afterwards. But in physicsone who treats the laws offalling bodies formu- lated by Galileodoesnotneedtoknowatallthe laws offalling bodieswrittendown by Aristotle.One who teachestheconception of the heavens of Copernicus and Kepler doesn’t have to know the wrong conception of Claudius Ptolemy. However, in mathematicsthere are no suchwrong theories. Takeforexample the theoriesof 3. MATHEMATICAL LOGIC AND NATIONAL SOCIALISM xxi

Archimedes and Apollonius. If the books are no longer learned, it is not because theyare wrong but because their methods are simplifiedtoday.Their teachings are still valid today. Onecould still learnmathematics today in substance in the writ- ings of Euclid, or Pappus or Diophantus. This is why one procedure in the historyof mathematics is to put the value on the abstract, universal and history-independent validity of mathematics and to the inner development of theconcepts and the dis- cipline as a whole.Biographiesinthisconcept of the historyof mathematicsare still like the hagiographiesofelder churchmenorclassical artists. The other group of historians emphasisesthatmathematical production oreffectiveconstruction takesplace within thecultural context, society and thecommunication codesof the mathematical community and therefore is determinedbycomplexstructures, conditional access and certain transmissions. It should beclear that there isn’t any conflictbetweenthe two groups. “Conceptual Historiography” is expandedby “Contextual Historiography” and their mutual interaction. One who investigates the development of mathematical concepts will have to make himselffamiliar with theresults and methods of disciplines like anthropology, ethnology, philosophy, his- tory, religion or psychology. Is there an interaction betweenmathematicsandthe historyof ideas? Mathematical sentencesare “timeless”, but theconcepts, even some of their words, in whichthe theoryisformulatedare “childrenof their time”. Mathematicsisarealm of liberty. So simplifications can be made many yearsafter the justification of alemma, and still undreamt coherences might be seenthen, be formulatedandtakenmore abstractly than the inventor might haveever imagined. Although theeternal truth of provedsentencesisvalid,some theories could oftenbe formulatedafterwards in a better,more elegant way and within appliedsciences. I do hope I am making a small and faircontribution to the historiography of modern logic through the biography of GerhardGentzen. A bright and conceivable history of modern logic isn’t understandable without one’s biography using conceptual and contextual ideas. Moritz Epple (1999) writes: “It is only neither all about a story of mathematical concepts and ideas nor all about a collection of socio-biographical footnotes. . . for therow of the mathematical results. Rather it should be madeclear at least at some important episodes, how mathematical knowledge producesand was usedinconcrete historical coursesof action.” (p viii.) Moritz Epple doesn’t always succeediniteither,whichiswhyhe also includessocio-biographical inserts in his texts and theses. My biography shall nevertheless supportthe aim envisioned by Epple in the field of proof theorybecause, without clarification of historical facts, the different forms ofevolving mathematical treatments, methodical and resulting knowledge,andepistemicconfigurations or its reflection are not once meaningfully describable. xxii INTRODUCTION

Therefore there is—standing completely unconnectedbesideeachother—next to the problemof historyof mathematics14 now a “contextual historyof mathe- matics”.15 Imyselffeel somewhat obligatedtothe German tradition,16 whichis embeddedinthe world historyof mathematics.17

14Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times,Oxford University Press, New York, 1972. 15Ronald Calinger, A Contextual History of Mathematics to Euler, Prentice-Hall, Upper Saddel River, 1999. 16New exemplary literature in the German language: Herbert Mehrtens, Moderne. Sprache. Mathematik, Suhrkamp, Frankfurt am Main, 1990; Moritz Epple, Die Entstehung der Knoten- theorie. Kontexte und Konstruktionen einer modernen mathematischen Theorie,Vieweg,Wies- baden, 1999.— Craig Smory´nski (1988, p. 16) once wrote: “Philosophy of mathematics was briefly concerned with foundations. Nowadays, philosophers are mostly interested in the philosophy of mathematics as a testing ground for their epistemological theories, and most mathematicians would find it pretty boring stuff.” In the meantime the history of mathematics has also become a sort of testing ground. Perhaps this has an end if the “descriptive phase” (C. Smory´nski) is completed at least in the field of the newer mathematical logic of the 20th century. As long as this isn’t the case, my ideal lies between Jan of Plato, Creating Modern Probability. Its Mathematics, Physics and Philosophy in Historical Perspective, Cambridge University Press, Cambridge, 1994; and Dirk Van Dalen, Mystic, Surveyor, and Intuitionist. The Life of L. J. Brouwer. Vol 1: The Dawning Revolution and Vol. 2: Hope and Disillusion, Clarendon Press, Oxford, 1999 and 2005. Here it shows how splendid it is when two trained scientists write professional science history. The excellent use of the history of mathematics in a textbook for working mathematicians is shown in exemplary fashion by Smory´nski in Logical Number Theory, vol. 1 (Springer, New York, 1991) and Vol. 2 (to appear). For all three a dictum of Hermann Weyl holds: “A scientist who writes on philosophy faces conflicts of conscience from which he will seldom extricate himself whole and unscathed; the open horizon and depth of philosophical thoughts are not easily reconciled with that objective clarity and determinacy for which he has been trained in the school of science” (p. v, Philosophy of Mathematics and Natural Science, Princeton University Press, Princeton, 1949). 17Joseph W. Dauben and Christoph J. Scriba (eds.), Writing the History of Mathematics: Its Historical Development,Birkh¨auser, Basel, 2002.

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Abderhalden, Emil, 210 Bense, Max, 125, 192 Abraham, Max, 107 Bernays, Ludwig, 89 Ackermann, Wilhelm, 24, 28, 29, 31, 33, 41, Bernays, Paul, 23, 26–34, 38–42, 47, 52–55, 43, 58, 63, 64, 67, 69, 72–75, 78, 84–86, 57–60, 62, 64–76, 78, 80–82, 84, 89–91, 89, 91, 92, 95–97, 99, 100, 102, 120, 93–97, 99–102, 108, 110, 111, 115, 122, 124, 128–131, 135, 137, 138, 170, 119–121, 128–131, 134, 135, 137, 138, 173, 180, 181, 194, 203, 226, 228, 229, 161, 178, 192, 214, 227, 230, 255, 266–268, 307, 315, 318, 323, 331, 334, 258–264, 266, 269, 270, 308, 309, 312, 335, 338, 355, 358, 376, 377 313, 322, 323, 331, 334, 338, 339, 377, Ahrends, E., 174, 175 387, 392, 395, 397, 400 Ajdukiewicz, Kazimierz, 182 Bernays-Brecher, Sara, 89 Alexander the Great, 334 Bernstein, Felix, 23, 38, 108 Alexandrov, P.S., 30, 328 Bertram, H., 248 Althoff, Fritz, 189 Beth, Evert Willem, 81, 84, 85, 182, 184, Am´ery, Jean, 83 215 Aquinas, St. Thomas, 161 Beyerchen, Alan, 234 Arai, Toshiyasu, 396 Bieberbach, Ludwig, 24, 46, 48, 56, 57, 86, Aristotle, 368, 384 114, 134, 141, 142, 147, 150–162, 167, Armsen, Hella, 253 168, 174, 180–184, 186–190, 192, Armsen, Paul, 246–248, 253–255 194–196, 199, 206, 208, 213–215, 220, Arrhenius, Svante, 15 221, 223–226, 230, 231, 241, 242, 324, Artin, Emil, 41, 50 331–334 Aumann, 124 Bieberbach, Ulrich, 225, 230, 231 Azevedo do Amaral, Ignacio M., 121 Bilharz, Adele, 4, 6, 7 Bilharz, Alfons, 4–10, 13, 283 Bachelard, Gaston, 82, 83 Bilharz, Bertha, 7, 13, 14 Bachmann, Friedrich, 63, 66, 78, 79, 84, 86, Bilharz, Elisa, 4 113, 137, 180, 182, 213, 214, 228 Bilharz, Joseph Anton, 4 Bæumler, Alfred, 77, 174 Bilharz, Sophie, 1 Baldus, Richard, 35 Bilharz, Theodor, 4, 5, 7–10 Bandelier, Emil, 6 Birkhoff, George D., 121 Barrau, J., 35 Blaschke, Wilhelm, 48, 50, 196 Bartels, Traugott, 18 Bloch, Ernst, 173 Barth, Karl, 176, 177, 185 Blome, Kurt, 200 Bauer, F.L., 235, 239, 249 Blume, W., 62 Bavink, Bernhard, 157, 158, 190 Blumenthal, Otto, 59, 65, 100, 305, 307, Becker, Albrecht, 182, 201 324, 333 Becker, Oskar, 29, 105, 125, 141, 154, 198, Bochenski, Joseph Maria, 229 216–218, 265 Bochner, Salomon, 24, 205 Becker, R., 131 B¨odewadt, Uwe Timm, 117 Behmann, Heinrich, 37, 38, 80, 113, 124, Bohr, Harald, 50, 155 137 Bohr, Niels, 125, 170 Behnke, Heinrich, 83, 89, 98, 177–179, 214 Bollnow, Otto Friedrich, 83, 170 Benes, Edvard, 256, 260, 261 Bolyai, Janos, 297

433 434 INDEX

Bolzano, Bernard, 177, 186, 229, 328 Couturat, Louis, 137, 147, 175, 204, 229 Bonaparte, Napoleon, 283, 288 Curry, Haskell, 23, 86, 87, 97, 118, 128, Boole, George, 204, 229 161, 397–399 Borel, Armand, 78 Borel, Emile, 302, 379 Dannegger, Portus, 7, 8 Born, Max,225 Darboux, Gaston, 25 Boseck, Karl-Heinz, 153, 154 Dedekind, Richard, 23–25, 27, 34, 40, 64, Bowditch, Henry Pickering, 6 82, 113, 114, 121, 179, 184, 193, 228, Brahe, Tycho de, 237 242, 299, 301, 311, 313, 317, 335 Braun, H., 117 Dehn, Max, 205, 214 Brecher, Gustav, 89 Denk, Viktor, 255–257, 259, 262 Brouwer, L.E.J., 25, 26, 34–38, 40, 45, 72, Descartes, Rene, 213, 229 75, 78, 79, 87, 92, 95, 115, 141, 147, Deussen, Paul, 177 160, 167, 169, 186, 203, 213, 218, 225, Diefenbach, Karl Wilhelm, 3, 4 226, 295–297, 301–314, 320, 322–325, Diller, Justus, 251 327–334, 336, 337, 341, 344, 346, Dilthey, Wilhelm, 200 351–354, 361–364, 379–381 Dinghas, Alexander, 153, 154 Brugsch, Theodor, 10 Dingler, Hugo, 38, 56, 62, 86, 103, 105, 119, Bruno, Baron von, 7, 8 124, 134, 141, 142, 144, 145, 147–150, Bruno, Giordano, 270 152–154, 156, 167, 169–175, 186, 190, Brunschvicq, L., 83 191, 196–206, 208, 209, 211–215, 224, Burian, Maria, 246 227, 230–232, 267 Dirichlet, P.G.L., 134 Cantor, Georg, 24, 27, 28, 34, 37, 64, 65, Dirlmeier, Johann Peter Gustav, 200 67, 69–72, 82, 93, 99, 115, 127, 136, D¨orrie, Heinrich, 162, 167, 187 157, 198, 242, 291, 292, 295, 299, 304, Dræger, Max, 206 308, 313, 326, 327, 348, 351, 359, 372, Dragalin, Albert, 398 373, 399 Driesch, Hans, 200 Carath´eodory, Constantin, 21, 23, 24, 83, Dubislav, Walter, 155, 174, 185 95, 196, 210, 248, 324, 333 DuBois-Reymond, Emil, 5, 6, 10, 295 Carlyle, Thomas, 307 DuBois-Reymond, Paul, 295 Carnap, Rudolf, 37, 77, 79, 80, 94, 131, D¨uhring, Eugen, 6, 7 137, 147, 174, 175, 182, 185, 190, 191, D¨urer, Albrecht, 191, 208, 214 208, 212, 229, 335 Dyckhoff, Roy, 397 Carroll, Lewis, 158 Ebert, Hans, 241 Cartan, Henri, 83 Eddington, Arthur Stanley, 198 Cassirer, Ernst, 83, 147 Eichler, Martin, 117 Castelhun, C.F., 6 Einstein, Albert, 143, 144, 171, 191, Cauchy, Augustin Louis, 34, 104, 157, 158 197–199, 225 Cavaill`es, Jean, 27, 38, 52, 64, 74, 81–84, Engler, Gunther, 239 111, 112, 270 Enriques, Federigo, 80 Cavalieri, Bonaventura, 283, 284, 287 Epple, Moritz, 114, 115 Cayley, Arthur, 297 Erxleben, W., 215 Chevalley, Claude, 111 Essler, Wilhelm, 267 Christian, Dean, 171 Euclid, 134, 205, 207, 210, 212, 268, 296, Church, Alonzo, 37, 64, 66, 72, 76, 87, 91, 297, 367 92, 121, 124, 128, 356, 357, 361, 377, Eudoxus, 193 378, 399 Euler, Leonhard, 144, 176 Chwistek, Leon, 91, 230 Ewald, Dr., 245 Clauß, Ludwig Ferdinand, 216, 217 Ewald, P.P., 169 Cohen, Jonas, 205 Collatz, Lothar, 21, 22, 24, 26, 31 Faber, Gustav, 164 Comte, Auguste, 338 Fasnacht, Jakob, 6 Copernicus, 208, 224 Fasnacht, Rosalie, 6 Courant, Richard, 21–23, 28–30, 42, 43, Feferman, Solomon, 395 46–48, 50, 52, 83, 108, 109, 111, 138, Fehr, Salomon, 4 168, 178, 217, 219, 283, 290, 312, 328, Feickert, Andreas, 164 333, 338 Fenstad, Jens Erik, 31 INDEX 435

Fermat, Pierre de, 283, 288, 295, 296, 329, Geppert, Harald, 223, 225 337, 357, 370 Gissel, Dr., 171 Feyerabend, Paul, 173 Gistl, Dean, 211 Feynman, Richard, 237 Glaser, Walter, 237 Fichte, Johann Gottlieb, 176, 208 Glaus, Beat, 54 Finsler, Paul, 37, 95 Glivenko, Valery, 37, 92, 95, 381, 382 Fleischmann, Wolfgang, 246 G¨odel, Kurt, 27–29, 37–41, 45, 58, 60, 64, Folkerts, Menso, 230 66–71, 73–76, 78, 81, 82, 87, 88, 90–95, Frænkel, Adolf Abraham, 37, 62, 66, 82, 85 99–101, 110, 114–116, 119–122, 126, Frank, Hans, 214 127, 129–131, 133, 135–139, 146, 161, Frank, Orrin, Jr., 96 169, 176, 184, 215, 227, 228, 265, 294, Frank, Philipp, 80, 191, 212 298, 335–341, 348, 350, 352, 353, Frege, Alfred, 194, 241 355–359, 377, 378, 381–383, 390–393, Frege, Gottlob, 24, 34, 43–45, 63, 77, 113, 395, 400 114, 150, 158, 162, 177, 181–183, 186, Goebbels, Joseph, 106, 168, 217, 238 192–195, 203, 204, 214, 215, 228–230, Goeppert, Marie, 111 241, 271, 297–301, 308, 313, 368, 369, Goethe, Johann Wolfgang von, 158, 178, 371, 376, 383, 384 222, 307 Freisler, Roland, 62, 226 Gonseth, F., 89, 91, 97 Frend, William, 297 Gordan, Paul, 292, 293, 309, 310, 316 Frese, Harald, 18 G¨oring, Hermann, 234 Freud, Sigmund, 271 G¨ortler, Helmut, 110, 132 Freudenthal, Hans, 373 Goudsmit, Samuel, 234 Freyer, Hans, 217 Graf, Ulrich, 162 Freytag L¨oringhoff, 7, 8 Grattan-Guinness, Ivor, 198 Friedrichs, Kurt, 23, 101 Greenwood, Thomas, 121 Friedrichs, Otto, 83 Grell, H., 248 Fueter, R., 210 Grelling, Kurt, 38, 169, 170, 177, 267 F¨uhrer,Dr.,171 Grimm, Friedrich, 132 F¨uhrer, Wilhelm, 214 Groos, Helmut, 183 Grossinger, Wilhelm, 9 Gadamer, Hans-Georg, 170, 216, 217 Grunsky, Helmut, 153, 249 Galileo, 283 Gudden, 247, 254, 255 Gandy,Robin,71 Gumbel, E.J., 160, 224 Garibaldi, Giuseppe, 6 G¨unther, Karl Friedrich, 158, 188 Garkisch, Edith, 246, 254 Gauss, Carl Friedrich, 34, 106, 134, 144, Hæring, Theodor, 183, 191 157, 297, 328 Hahn, Hans, 191, 212 Gehlen, Arnold, 170 Hamel, Georg, 154, 155, 161, 162, 220, 227, Gehrcke, Ernst, 171 249 Gentzen, Agnes Alexandrine Alwine, 2, 12 Hamilton, William Rowan, 297 Gentzen, Carl Friedrich Wilhelm, 3 H¨ansel, Justizrat, 12 Gentzen, Erich Karl Hermann, 2 Hardy, Godfrey Harold, 156, 242, 325 Gentzen, Gerhard, Dipl.-Ing., 2, 16, 234, Harms, J¨org, 250 240, 241, 243, 244, 247, 249, 250, 253, Harrop, Ron, 397 254, 260, 262 Hartmann, Hans, 220 Gentzen, Hans, 1–4, 11, 12, 236 Hartmann, Nicolai, 185, 190, 197, 200 Gentzen, Hans August Karl, 3 Hartner, Willy, 182 Gentzen, Hans Karl, 2 Hartogs, Friedrich, 24 Gentzen, Iga, Aunt, 22, 242, 243 Hasenjæger, Gisbert, 125, 182, 184, 249 Gentzen, Max Wilhelm Julius, 2 Hasenjæger, Lord Mayor, 184 Gentzen, Melanie, 1, 8, 12, 18, 117, 236, Hasse, Helmut, 28, 46–50, 53, 60–62, 83, 260, 261, 263–265 97, 98, 117, 127, 128, 131–134, 159, Gentzen, Waltraut, see Student, Waltraut 162, 168, 174, 176, 177, 226, 249 Gentzen, Wilhelm, 3 Heckmann, Otto, 41 Gentzen, Wilhelm Johann Carl, 2, 12 Heiber, Hans, 217 Gentzen, Willi, Uncle, 21, 22, 242, 243 Heidegger, Martin, 83, 170, 177, 188, 216, Georgiadou, Maria, 248 224 436 INDEX

Heine, Eduard, 291, 292 Hurwitz, Adolf, 293 Heisenberg, Werner, 125, 159, 171 Husserl, Edmond, 77, 149, 216, 217 Hellinger, E., 312 Hyrtl, Josef, 5 Herbrand, Jacques, 27, 28, 33, 37, 38, 41, 66, 67, 73, 76, 81–83, 97, 111, 112, 355, Itelson, 175 390 Jacobi, Carl Gustav Jacob, 157 Herbst, Dr., 15, 18, 242 Jacobi, Karl, 79 Herglotz, Gustav, 23, 41, 109 Jæger, Werner, 177, 178 Hermann, Grete, 50, 80 Jænsch, Erich Rudolf, 152, 156–158, 170, Hermes, Hans, 30, 38, 78, 79, 84, 86, 118, 186–191, 221 124, 137, 179, 181, 186, 204, 213, 228, Ja´skowski, Stanislaw, 38, 80, 109, 179, 386 263, 265 Jaspers, Karl, 175, 176 Herrigel, Eugen, 183 Jervell, Herman, 52 Hertz, Elizabeth, 107 Johnson, Samuel, 309 Hertz, Hans, 107 Jordan, Pascual, 170–172 Hertz, Helene, 107 Jorgensen, J., 192, 206 Hertz, Paul, 23, 28, 31–34, 38, 41, 44, 53, 107–109, 387 K´alm´ar, L´aszlo, 73, 76, 89, 121, 124, 138 Hertz, Rudolf, 107 Kaluza, Theodor, 131, 132, 233, 235 Herzog, Roman, 231 Kant,Immanuel,7,176,182,188,208,380 Hesse, Hermann, 228 Kapp, Wolfgang, 217 Hessenberg, Gerhard, 37 Kas¨uske, J¨urgen, 2 Hetpur, Wladyslaw, 184 Kayser, Heinrich, 166 Heydrich, Reinhard, 248, 258, 260 Kepler, Johannes, 15, 187, 191, 208, 236, Heyse, Hans, 177 237 Heyting, Arend, 37–40, 43–45, 128, 137, Kerr, Alfred, 228 334–336, 354, 364 Kersten, Ina, 263 Hilbert, David, 21–34, 37–44, 47, 50, 53, Ketonen, Oiva, 52, 97, 396–398 55–58, 60–67, 69–80, 83, 84, 86–90, Khintchine, Alexander, 380 92–94, 96, 98–102, 108, 111, 112, 114, Kirchhoff, Gustav Robert, 5 115, 119, 120, 122, 125, 127, 129–131, Kleene, Stephen Cole, 76, 91, 97, 119, 121, 133, 134, 137–139, 141, 144–147, 149, 128, 397 150, 158, 160–162, 167, 169, 172–174, Klein, Felix, 28, 37, 46, 48, 50, 103–107, 176–180, 182, 183, 186, 187, 190–196, 109, 132, 134, 160, 163, 189, 190, 206, 198, 202–205, 207, 211, 213–215, 219, 221, 226, 292, 293, 302, 328 224–226, 228, 229, 266–269, 291–341, Kluge, Alexander, 217 346, 351–353, 355, 356, 363–365, Kneser, Hellmuth, 21, 24, 30, 31, 33, 55–57, 373–378, 380, 381, 383, 384, 399, 400 61, 70, 79, 85, 86, 137–139, 156, 157, Hillers, W., 201 196, 210, 221, 225, 230, 233, 265 Himmler, Heinrich, 174, 184, 188, 197, 224 Kneser, Martin, 24, 55–57, 79, 85, 138, 140 Hitler, Adolf, 26, 62, 119, 133, 152, 165, Koch, Peter, 200 167, 168, 170, 179, 197, 213, 216, 218, Kochend¨orffer, R., 117 220, 221, 226, 230, 234 Koebe, P., 328 Hjelmslev, Johannes, 363 K¨ohler, Otto, 162, 228 Hlavaty, Vaclav, 264, 265 Kolmogoroff, A.N., see Kolmogorov, A.N. Hlawka, Edmund, 192 Kolmogorov, A.N., 30, 70, 76, 78, 95, 169, Hofer, Hans Karl, 172, 192, 230 262, 380, 398 Hofmann, J.E., 153, 154, 284, 289 Kommerell, Max, 213 Hohenemser, Paul, 41, 101 K¨onig, Julius, 138 Holzkamp, Klaus, 212 Korteweg, D.J., 303, 305, 306 H¨onigswald, Richard, 177 Koschmieder, L., 312 Hopf, Heinz, 328 Kovalevskaya, Sonya, 291, 292 H¨oppener, Hugo, 4 Kowalewski, Gerhard, 248, 258, 261 Horner, 255, 256, 260 Krahelska, Hanna, 230 Howard, William, 398, 399 Krammer, Franz, 240, 241, 244–247, 249, Hudelmaier, J¨org, 397 250, 254–256 Hunger, Ulrich, 235 Kratzer, Adolf, 78, 80, 84, 86, 114, Huntington, E.V., 121 178–180, 199, 200, 213 INDEX 437

Kraus, Fritz, 255, 256, 258–261, 263 Magnus, Heinrich Gustav, 10 Kraus, Olga, 256 Mahnke, Dietrich, 170, 204 Kreisel, Georg, 39, 60, 81, 88, 111, 262, Malcev, A., 60 263, 392 Manger,Eva,156,230 Krieck, Ernst, 174, 191, 201, 202, 205, 206 Mann, Thomas, 24 Kronecker, Leopold, 291–293, 299, 302, 307, Mannoury, Gerrit, 334, 381 308, 313, 323, 328, 329, 334, 344, 360 Marcuse, Herbert, 83 Kr¨uger, Dr., 18 Markov, A.A., 76, 169, 262 Kubach, Fritz, 145, 171, 199, 215, 224 Marquard, Odo, 186 Kummer, E.E., 126 Maruhn, Karl, 248, 250, 251, 254, 255 Kunstat, Miroslav, 235 Maunz, Theodor, 231 May, Dr., 15 Lagrange, Joseph Louis, 157 May, Eduard, 141, 145, 147, 150, 152, 154, Lalande, 175 167, 169, 172–175, 190, 191, 197, Lambert, Johann Heinrich, 191, 208, 210, 199–202, 207, 209–213, 215, 267 212 May, Karl, 15 Lammel, Ernst, 239, 247, 254, 255 Meckel von Hemsbach, Johann Heinrich, 10 Landau, Edmund, 23, 41, 46, 108, 153, 155, Meggers, William, 166 167, 168, 188, 205, 224, 225, 328 Mehrtens, Herbert, 154, 221, 222, 224, 239 Lange, Heinze, 49 Mengele, Josef, 210 Lautman, Albert, 52, 81–84, 111, 112 Menger, Karl, 37, 39, 128 Lebesgue, Henri, 305, 324 Mentzel, Rudolf, 48, 80, 151, 181, 210 Legris, Javier, 32 M´eray, Hugues Charles Robert, 242 Lehmann, Gerhard, 77 Mesmer, G., 110 Leibniz, Gottfried Wilhelm von, 134, 137, Meyer, Konrad, 184, 217 147, 182, 186, 191, 194, 204, 208, 213, Meyerhof, Otto, 80 219, 220, 224, 229, 333 Michælis, Helmut, 21 Leisegang, Hans, 201, 202 Michælis, Hertha, 13, 14, 16, 18, 21, 30, 52, LeLionais, F., 111 126, 242, 269 Lenard, Philipp, 105, 143, 144, 156, 159, Michælis, Otto, 13 166, 171, 178, 191, 201, 203, 222 Minkowski, Hermann, 125, 196, 205 Lensch, Paul, 224 Mittag-Leffler, Charlotte, 292 Leonardo da Vinci, 204 Mittag-Leffler, G¨osta, 292 Le´sniewski, Stanislaw, 170, 179, 180, 182, Mittelstraß, J¨urgen, 231 184 Mohr, Ernst, 53, 217, 239, 241, 248–250 Levinas, Emmanuel, 83 Liebmann, Heinrich, 145, 211 Moisil, Gr. C., 128 Linke, Paul A., 183 Moltke, Helmuth, 176 Litten, Freddy, 219 Morris, Charles W., 77 Lobachevskii, Nicolai, 297 Mostowski, Andrzej, 80, 82, 264 Loebell, Frank Richard, 208, 211 Moufang, Ruth, 214 L¨offler, Eugen, 139, 206 M¨uller, Gerhard, 118 Lorbeer, Gerhard, 255–257, 259 M¨uller, Johann, 10 Lorenzen, Paul, 141, 216, 231, 243, 244, M¨uller, Wilhelm, 147, 156, 172–174, 265, 266 196–199, 203, 210, 211, 214, 219, 224 Lothing, Dr., 255, 256 Lowell, Percival, 15 Nahin, Paul J., 284 L¨owenheim, Leopold, 177, 267 Nasse, O., 5 L¨owith, Karl, 216 Negri, Sara, 378, 389, 390 L¨owner, Karl, 168 Nelson, Leonard, 29, 30 L¨ubbe, Hermann, 186 Neugebauer, Otto, 22, 41, 50, 101, 216, 218 Lukasiewicz, Jan, 80, 96, 109, 128, 180, Neumann, Friedrich, 51 181, 183–185, 263 Neurath, Otto, 191, 212 Lullus, Raymundus, 229 Newton, Isaac, 236, 237, 306, 333 Lutman-Kokoszynska, 182 Nietzsche, Friedrich, 6 Nikuradse, Johann, 217 Mach, Ernst, 171 Noether, Emmy, 23, 27, 47, 49, 108, 126, Mach, Ludwig, 171 138, 328 Mac Lane, Saunders, 23, 27, 52, 118, 222 Nohl, Hermann, 29 438 INDEX

Novikoff, P.S., see Novikov, P.S. Riehl, Aloys, 176 Novikov, P.S., 128 Riemann, Bernhard, 34, 134, 213, 295–297, 324, 332 Oberh¨auser, Georg, 9 Riezler, Kurt, 83 Ono, Hiroakira, 118 Rinow, W., 248 Ono, Katzui, 118, 119, 124 Ritter, Joachim, 83, 170, 186 Orozco, Teresa, 217 Robbel, Gerd, 8 Osenberg, Werner, 234, 235, 239–241, 249 Robbins, Herbert, 283, 290 Ostwald, Wilhelm, 171 Robespierre, Maximilien, 153 Robinson, J.A., 81 Padoa, Alessandro, 122 Rohrbach, Hans, 53, 70, 98, 234, 235, Painlev´e, Paul, 324 237–251, 253, 254, 259, 261, 263, 265, Parsons, Charles, 110 266 Pasch, Moritz, 373 Rosenberg, Alfred, 97, 152, 159, 174, 215, Pascha, Abba, 9 224 Paulsen, Friedrich, 176 Rosenthal, A., 205, 211 Peacock, George, 297 Rosser, J. Barkley, 78, 91, 94, 109, 121, 128 Peano, Giuseppe, 368, 371, 373, 384 Runge, Carl, 109 Peckhaus, Volker, 29, 108 Russell, Bertrand, 23, 25, 37, 38, 42, 43, 63, Pepis, J´ozef, 96, 97 64, 75, 80, 87, 113, 144, 182, 185, 186, Perron, Oskar, 21, 23, 24, 154, 156, 203, 228–230, 299–301, 304, 308, 310, 196–199, 202, 211, 219, 225, 230, 328, 336, 368, 369, 371, 376, 383, 384 334 Rust,Bernhard,133,159,180,182,206, Physiologus, 340 224 Pieri, Mario, 371 Pinder, Wilhelm, 83 Saint Just, Louis Antone de., 153 Pinl, Max, 247, 254, 255, 257, 258, 261, Salamucha, Jan, 185, 229 264, 267 Sauerbruch, 83 Planck, Max, 149, 183, 190, 199, 204, 210 Schellinx, Harold, 52 Poincar´e, Henri, 24, 25, 37, 75, 103, 158, Schemm, Hans, 105 218, 301–303, 308, 310, 314, 315, 332, Schiaparelli, Giovanni, 15 344, 360, 379 Schiller, Friedrich, 62, 111 Popper, Karl, 174, 191, 197, 212, 213, 231, Schilling, Claus, 210 232 Schilling, Kurt, 66, 173, 174 Post, Emil, 76, 128 Schirn, Matthais, 28 Prandtl, Ludwig, 109, 110, 132 Schischkoff, Georgi, 199, 200 Prawitz, Dag, 386, 389 Schlick, Moritz, 107, 144, 177, 182, 191, Pringsheim, Alfred, 24 205, 208, 212 Proclus, 207, 210, 212 Schmidt, Arnold, 31, 44, 47, 60–64, 67, 68, Pythagoras, 367 84, 85, 87, 88, 96, 102, 124, 137, 227, Quine, Willard Van Orman, 109, 121, 193 262, 265, 388 Schmidt, Erhard, 26 Ramsey, Frank Plumpton, 35 Schmidt, F.K., 50 Rasiowa, Helena, 81 Schmidt, Helmut, 231 Rathjen, Michæl, 396 Schmidt, Johann L., 159 Reich, Max,51 Schmitt, Carl, 267 Reichenbach, Hans, 8, 80, 128, 141, 142, Schneider, Theodor, 117 144, 177, 182, 208, 212 Schoch, D., 153 Reid, Constance, 219, 307, 322, 323, 325 Scholz, Erna, 78 Reidemeister, Elisabeth, 219 Scholz, Heinrich, 38, 45, 55–57, 66, 72, Reidemeister, Kurt, 219, 220, 312, 337 76–80, 83, 84, 86, 96, 102, 113, 114, Reinhardt, Benno, 10 119, 124, 125, 129–131, 137, 138, 141, Reisig, Gerhard H.R., 240 144–146, 162, 167, 169, 170, 173–187, Rellich, Franz, 47, 52 190–196, 202–204, 208, 210, 213–215, Rembs, Eduard, 167 218, 224–226, 228–231, 247, 249, 251, Requard, Friedrich, 141, 144, 147–149, 172, 259, 263–265 206, 227 Schopenhauer, Arthur, 7 Rieger, Ladislav Svante, 264 Sch¨orner, Ferdinand, 247, 250 INDEX 439

Schr¨oder, Ernst, 138, 204, 213 S¨uss, Wilhelm, 83, 98, 178, 196, 210, 238, Schr¨odinger, Erwin, 26 240, 248, 265 Schroeder-Heister, Peter, 32, 44 Sylvester, J.J., 158 Schr¨oter, Karl, 124, 181, 182, 186, 195, 204, Szabo, Manfred, 39, 259, 261, 265, 266 226, 230, 265 Schultze, Walther, 163 Takeuti, Gaisi, 395 Schulze-S¨olde, Walter, 159 Tarski, Alfred, 44, 64, 70, 79–82, 96, 117, Schur, Issai, 26, 29, 46, 152, 153, 167, 205, 118, 120, 182, 184, 185, 193, 195, 204, 225 213, 227, 229, 265, 268 Sch¨utte, Kurt, 38, 42, 44, 62, 65, 66, 75, Taussky-Todd, Olga, 339 262, 397 Teichm¨uller, Oswald, 49, 53, 162, 167, 217, Schwarz, Laurent, 25 225 Schweikert, Ferdinand Karl, 297 Thiel, Christian, 33, 70, 87, 107, 114, 117, Schweitzer, Hermann, 181 125, 138, 144, 222, 235, 259, 266 Schwerin, Burckhardt, 15 Thiele, R¨udiger, 400 Schwichtenberg, Helmut, 398 Thomæ, J., 169 Sheriff, R.C., 22 Thullen, Peter, 178 Shiryaev, Albert Nikolaevich, 262 Th¨uring, Bruno, 141, 156, 167, 171–174, Shoenfield, Joseph, 119 191, 196, 199, 203, 208, 211, 214, 215 Sieg, Wilfried, 111 Tietze, Heinrich, 23, 24, 50, 196, 210 Siegel, Carl Ludwig, 126, 131, 295 Tietze, Walter, 245–247 Siegmund-Schultze, Reinhard, 167 Tirala, Lothar Gottlieb, 141–144, 222, 223 Simpson, Thomas, 283 Toeplitz, Otto, 177, 216 Skolem, Thoralf, 31, 32, 37, 41, 60, 87, 124, Tomascheck, Rudolf, 172, 199, 214 317, 376–378, 397 Tornier, Erhard, 49, 53, 151, 156, 162, 167, Skvorecky, Josef, 261 205, 217, 225 Smory´nski, Craig, 29, 56, 115, 283, 291 Torricelli, Evangelista, 283 Soboci´nski, Boleslaw, 184, 230 Troelstra, Anne, 398 Sohn-Rethel, Alfred, 83 Troll, Wilhelm, 197, 208, 210 Solovay, Robert M., 127 Tugendhat, Ernst, 186 Turing, Alan, 71, 72, 87, 91, 249, 356, 357, Specht, Minna, 80 361 Speer, Albert, 234 Speiser, Andreas, 187, 195, 196, 208, 210, Uhland, Ludwig, 9 215 Ulm, Helmut, 47, 52 Spengler, Oswald, 34, 53 Urban, Hans, see Rohrbach, Hans Spinoza, Baruch, 229 Spranger, Eduard, 178, 183, 190, 197 Vahlen, Theodor, 47, 86, 134, 152, 154, Stachowiak, Herbert, 201, 202 156, 162, 167, 172, 174, 181, 190, 198, Stark, Johannes, 159, 166, 172, 201, 203, 206, 208, 213, 219, 220, 223, 224, 231 224 Vaihinger, Hans, 205 Steck, Max, 56, 86, 124, 134, 141, 143–145, Valier, Max, 15, 236 147, 149, 150, 152, 154, 160, 161, 169, van Benthem, Johan, 383 172–175, 181, 182, 185–187, 190–192, van Dalen, Dirk, 225, 333 194–199, 202–215, 218, 221, 225, 230, van Heijenoort, Jean, 326 267 Vasari, Giorgio, 271 Stegm¨uller, Wolfgang, 227, 231 Veblen, Oswald, 39 Steiner, Jacob, 283 Vihan, Premysl, 247 Steinitz, 177 Vlach, Milan, 235 Stengel, Dr., 16 von Amiens, Nikolaus, 229 Stinnes, Hugo, 224 von Braun, Wernher, 240, 270 Strauss, Leo, 83 von B¨ulow, Bernhard, 195 Streicher, Julius, 222 von Clausewitz, Karl, 176 Strobel, R., 240 von Coburg-Gotha, Ernst, 10 Student, Barbara, 18, 126 von Cues, Nikolaus, 191, 208 Student, Hans, 126 von Greiff, Bodo, 173 Student, Hans Lothar, 18, 126 von Harnack, Adolf, 176 Student, Waltraut, 8, 10, 12, 15, 18, 26, 94, von Helmholtz, Hermann, 107 126, 235, 238, 242, 262, 265, 266 von Humboldt, Alexander, 10 440 INDEX von K´arm´an, Theodor, 22, 109 von Kempski, J¨urgen, 125, 177, 213 von Lindemann, Ferdinand, 198, 291, 292 von Mises, Richard, 26 von Mohl, Hugo, 9 von Neumann, Johann, 28, 37, 41, 58, 60, 66, 72, 96, 100, 249, 331, 334–338, 355, 377, 381, 390, 392, 400 von Plato, Jan, 40, 52, 59, 97, 109, 110, 291, 367, 375, 378, 379, 389, 390, 393 von Virchow, Rudolf, 5, 6, 10 von Weizs¨acker, C.F., 171, 172 Vonderau, Markus, 197, 201, 202, 222, 223 Voss, Aurel, 24, 198, 268

Wærden, B.L. van der, 25, 37, 61, 187, 195 Waismann, Friedrich, 76 Walther, Alwin, 168 Wang, Hao, 40, 126, 127 Weber, Max, 22, 33, 102, 271 Weber, Werner, 46–49, 53, 107, 151, 153, 217, 223, 225 Wegner,Udo,46–48 Weierstrass,Karl,134,152,157,158,292 Weigel, Erhard, 229 Weitzenb¨ock, Richard, 50 Weizs¨acker, Ernst Freiherr von, 83 Weyl, Hermann, 22, 23, 25, 26, 28, 34–38, 41, 42, 46, 47, 49, 50, 53–55, 57–60, 66, 72, 74, 75, 81, 82, 87, 89, 91–93, 101, 103, 106, 110, 115, 125, 141, 149, 160, 186, 213–215, 225, 241, 259, 296, 310–314, 320–330, 334, 340, 344, 351, 353, 354, 361, 364, 374, 380 Whitehead, Alfred North, 203, 229, 301, 304, 308 Witt, Ernst, 38, 50, 53, 262, 263 Wolf, Helmut, 246 Wolf, Karl Lothar, 197, 210 Wundt, Max, 183, 192

Zermelo, Ernst, 23–25, 85, 126, 299, 303, 308, 309 Zilsel, Edgar, 94, 110, 111 Zollikofer, Kaspar Tobias von, 9 Zollikofer, Sabine von, 4, 9 Zweig, Arnold, 271 Titles in This Series

33 Eckart Menzler-Trott, Logic’s lost genius: The life of Gerhard Gentzen, 2007 32 Karen Hunger Parshall and Jeremy J. Gray, Editors, Episodes in the history of modern algebra (1800–1950), 2007 31 Judith R. Goodstein, Editor, The Volterra chronicles: The life and times of an extraordinary mathematician 1860–1940, 2007 30 Michael Rosen, Editor, Exposition by Emil Artin: A selection, 2006 29 J. L. Berggren and R. S. D. Thomas, Editors, Euclid’s Phaenomena: A translation and study of a Hellenistic treatise in spherical astronomy, 2006 28 Simon Altmann and Eduardo L. Ortiz, Editors, Mathematics and social utopias in France: Olinde Rodrigues and his times, 2005 27 Mikl´os R´edei, Editor, John von Neumann: Selected letters, 2005 26 B. N. Delone, The St. Petersburg school of number theory, 2005 25 J. M. Plotkin, Editor, Hausdorff on ordered sets, 2005 24 Hans Niels Jahnke, Editor, A history of analysis, 2003 23 Karen Hunger Parshall and Adrain C. Rice, Editors, Mathematics unbound: The evolution of an international mathematical research community, 1800–1945, 2002 22 Bruce C. Berndt and Robert A. Rankin, Editors, Ramanujan: Essays and surveys, 2001 21 Armand Borel, Essays in the history of Lie groups and algebraic groups, 2001 20 Kolmogorov in perspective, 2000 19 Hermann Grassmann, Extension theory, 2000 18 Joe Albree, David C. Arney, and V. Frederick Rickey, A station favorable to the pursuits of science: Primary materials in the history of mathematics at the United States Military Academy, 2000 17 Jacques Hadamard (Jeremy J. Gray and Abe Shenitzer, Editors), Non-Euclidean geometry in the theory of automorphic functions, 1999 16 P. G. L. Dirichlet (with Supplements by R. Dedekind), Lectures on number theory, 1999 15 Charles W. Curtis, Pioneers of representation theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer, 1999 14 Vladimir Mazya and Tatyana Shaposhnikova, Jacques Hadamard, a universal mathematician, 1998 13 Lars G˚arding, Mathematics and mathematicians: Mathematics in Sweden before 1950, 1998 12 Walter Rudin, The way I remember it, 1997 11 June Barrow-Green, Poincar´e and the three body problem, 1997 10 John Stillwell, Sources of hyperbolic geometry, 1996 9 Bruce C. Berndt and Robert A. Rankin, Ramanujan: Letters and commentary, 1995 8 Karen Hunger Parshall and David E. Rowe, The emergence of the American mathematical research community, 1876–1900: J. J. Sylvester, Felix Klein, and E. H. Moore, 1994 7 Henk J. M. Bos, Lectures in the history of mathematics, 1993 6 Smilka Zdravkovska and Peter L. Duren, Editors, Golden years of Moscow mathematics, 1993 5 George W. Mackey, The scope and history of commutative and noncommutative harmonic analysis, 1992 4 Charles W. McArthur, Operations analysis in the U.S. Army Eighth Air Force in World War II, 1990 TITLES IN THIS SERIES

3 Peter L. Duren et al., Editors, A century of mathematics in America, part III, 1989 2 Peter L. Duren et al., Editors, A century of mathematics in America, part II, 1989 1 Peter L. Duren et al., Editors, A century of mathematics in America, part I, 1988 Gerhard Gentzen (1909–1945) is the founder of modern structural proof theory. His lasting methods, rules, and structures resulted not only in the technical mathematical discipline called “proof theory” but also in verification programs that are essential in computer science. The appearance, clarity, and elegance of Gentzen’s work on natural deduction, the sequent calculus, and ordinal proof theory continue to be impressive even today. The present book gives the first comprehensive, detailed, accu- rate scientific biography expounding the life and work of Gerhard Gentzen, one of our greatest logicians, until his arrest and death in Prague in 1945. Particular emphasis in the book is put on the conditions of scien- tific research, in this case mathematical logic, in National Socialist Germany, the ideological fight for “German logic”, and their mutual protagonists. Numerous hitherto unpublished sources, family docu- ments, archival material, interviews, and letters, as well as Gentzen’s lectures for the mathematical public, make this book an indispensable source of information on this important mathematician, his work, and his time. The volume is completed by two deep substantial essays by Jan von Plato and Craig Smoryn´ ski on Gentzen’s proof theory; its relation to the ideas of Hilbert, Brouwer, Weyl, and Gödel; and its development up to the present day. Smoryn´ ski explains the Hilbert program in more than the usual slogan form and shows why consis- tency is important. Von Plato shows in detail the benefits of Gentzen’s program. This important book is a self-contained starting point for any work on Gentzen and his logic. The book is accessible to a wide audience with different backgrounds and is suitable for general readers, researchers, students, and teachers. Eckart Menzler-Trott

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