Innite Product Representations for Gamma Func- tion and Binomial Coecient

By Edigles Guedes

November 16, 2016

In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God. - John 1:1.

Abstract. In this paper, I demonstrate one new innite product for binomial coecient and news Euler's and Weierstrass's innite product for Gamma function among other things. 1. Introduction

In 1729, Leonhard Euler (1707-1783) gave the innite product expansion for gamma function [1, p. 33] z 1 1 1 z 1 ¡(z) = 1 + 1 + ¡ ; (1) z j j j=1 Y     which is valid in C, except for z 0; 1; 2; ::: . In 1854, Karl Weierstrass (18215f-18¡97) ¡gave tghe innte product expansion for gamma function [1, p. 34-35] 1 z ¡(z) = ze z 1 + e z/j; (2) j ¡ j=1   which is valid for all C. Y The binomial coecient may be dened by the nite product [2] n ` (`)n ` + r 1 = = ¡ ; (3) n n! r r=1   Y   which is valid for ` C 0; 1; 2; ::: and n N. In [3, p. 3, form2ula (¡1.f1.1¡.2)],¡the Pgochhamm2er's symbol is dened by ¡(` + n) (`) = : (4) n ¡(`)

In [4], I gave the innite product representation for the Pochhammer's symbol n 1 1 n 1 (`) = 1 + 1 + ¡ ; (5) n j j + ` 1 j=1 Y    ¡  which is valid for ` C 0; 1; 2; ::: and n N. 2 ¡ f ¡ ¡ g 2 The beta function may be dened by [5] (a 1)!(b 1)! B(a; b) ¡ ¡ ; (6)  (a + b 1)! when a; b are positive integers. ¡

In this paper, I prove the innite product representation for binomial coecient given by

1 ` (`) 1 n n ¡ = n = 1 + 1 + ; n n! j j + ` 1 j=1   Y   ¡  and the gamma function is given by news innite product representations

1 1 z+n z n 1 z ¡(z + n) = 1 + 1 + 1 + ¡ j j j + z 1 j=1 Y     ¡ 

1 2 Infinite Product Representations for Gamma Function and Binomial Coefficient and 1 1 z n = e (z+n) 1 + 1 + e (z+n)/j; z ¡(z + n) j j + z 1 ¡ j=1 Y   ¡  z 1 1 1 z n n ¡ (z n)¡(z) = 1 + 1 + ¡ 1 + ¡ j j j + z n 1 j=1 and Y     ¡ ¡  1 1 z z n n z/j = e 1 + ¡ 1 + e¡ ; (z n)¡(z) j j + z n 1 j=1 ¡ Y   ¡ ¡  among other things. 2. Preliminary Lemma 1. If a; b R and b =/ 0, then 2 a 1 (a + j 1)(b + j) = ¡ : b (a + j)(b + j 1) j=1 Y ¡ Proof. I well-know the identity a b!(a 1)! a!(b 1)! ¡ = ¡ ; (7) b
[b + (a 1) + 1]! [a + (b 1) + 1]! ¡ ¡ using the denition for beta function (6), I obtain a B(a + 1; b) = : (8) b B(a; b + 1) On the other hand, the beta function have the following innite product representation [6, p. 899] 1 j(a + b + j) (a + b + 1)B(a + 1; b + 1) = ; (9) (a + j)(b + j) j=1 Y valid for a;b =/ 1; 2;::: Setting a a 1 and b b 1, respectively, in both members of (9), I nd ¡ ¡ ! ¡ ! ¡ 1 1 j(a + b + j 1) B(a; b + 1) = ¡ ; (10) a + b (a + j 1)(b + j) j=1 and Y ¡ 1 1 j(a + b + j 1) B(a + 1; b) = ¡ : (11) a + b (a + j)(b + j 1) j=1 Y ¡ Substituting (10) and (11) into the right hand side of (9), I get

a a + b 1 j(a + b + j 1)(a + j 1)(b + j) = ¡ ¡ : b a + b (a + j)(b + j 1)j(a + b + j 1) j=1 Y ¡ ¡ Eliminate the same terms in the numerator and denominator of the above equation, and encounter a 1 (a + j 1)(b + j) = ¡ ; b (a + j)(b + j 1) j=1 Y ¡ which is the desired result. 

3. Binomial Coefficient: the Infinite Product

3.1. Innite Product Representation for Binomial Coecient. Theorem 2. If ` C 1; 2; ::: and n N, then 2 ¡ f¡ ¡ g 2 1 ` (`) 1 n n ¡ = n = 1 + 1 + ; n n! j j + ` 1 j=1   Y   ¡  3

` where denotes the binomial coecient, (`) denotes the Pochhammer's symbol and n! n n   denotes the factorial.

Proof. Setting a = ` + r 1 and b = r in both members of the Lemma 1, I obtain ¡ ` + r 1 1 (` + r + j 2)(r + j) ¡ = ¡ : (12) r (` + r + j 1)(r + j 1) j=1 Y ¡ ¡ Substituting (12) into the right hand side of (3), I nd

n ` (`)n 1 (` + r + j 2)(r + j) = = ¡ n n! (` + r + j 1)(r + j 1)   r=1 j=1 ¡ ¡ n Y Y 1 (` + r + j 2)(r + j) = ¡ (` + r + j 1)(r + j 1) j=1 r=1 ¡ ¡ Y Y 1 1 (j + n)(j + ` 1) 1 n n ¡ = ¡ = 1 + 1 + ; j(j + ` + n 1) j j + ` 1 j=1 j=1 Y ¡ Y   ¡  which is the desired result. 

4. News Euler's and Weierstrass's Infinite Product Representation for Gamma Function

4.1. New Euler's Innite Product Representation for Gamma Function. Theorem 3. If z C 0; 1; 2; ::: and n N, then 2 ¡ f ¡ ¡ g 2 1 1 z+n z n 1 z¡(z + n) = 1 + 1 + 1 + ¡ ; j j j + z 1 j=1 Y     ¡  where ¡(z) denotes the gamma function.

Proof. From denition (4), I give ¡(` + n) (`) = ¡(` + n) = (`) ¡(`): (13) n ¡(`) ) n
Setting the right hand side of (1) and (5) into the right hand side of (13), I get

n 1 1 n 1 1 1 1 ` ` 1 ¡(` + n) = 1 + 1 + ¡ 1 + 1 + ¡ j j + ` 1
` j j j=1    ¡  j=1     Y n Y 1 1 n 1 1 1 ` ` 1 `¡(` + n) = 1 + 1 + ¡ 1 + 1 + ¡ ) j j + ` 1 j j j=1    ¡  j=1     Y n Y 1 1 n 1 1 ` ` 1 = 1 + 1 + ¡ 1 + 1 + ¡ j j + ` 1 j j j=1 Y    ¡      1 1 `+n ` n 1 = 1 + 1 + 1 + ¡ : j j j + ` 1 j=1 Y     ¡  Changing ` by z in previous equation, I obtain the desired result.  4.2. New Weierstrass's Innite Product Representation for Gamma Function. Theorem 4. If z C and n N, then 2 2 1 1 z n = e (z+n) 1 + 1 + e (z+n)/j; z ¡(z + n) j j + z 1 ¡ j=1 Y   ¡  4 Infinite Product Representations for Gamma Function and Binomial Coefficient where ¡(z) denotes the gamma function, ex denotes the exponential function and denotes the Euler-Mascheroni constant. Proof. The inverse of the Theorem 3, give me

1 1 1 (z+n) z n = 1 + ¡ 1 + 1 + z¡(z + n) j j j + z 1 j=1     ¡  Y m 1 z+n 1 (z+n) z n = lim 1 + lim 1 + ¡ 1 + 1 + m m m j j j + z 1 !1 !1j=1   Y     ¡  m 1 z+n 1 (z+n) z n = lim 1 + 1 + ¡ 1 + 1 + m 2 m j j j + z 1 3 !1 j=1   Y     ¡  4 m 1 m 5 ¡ 1 (z+n) z n = lim 1 + ¡ 1 + 1 + m 2 j j j + z 1 3 !1 j=1 j=1 Y   Y   ¡  4 m 5 (z+n) z n = lim m¡ 1 + 1 + m 2 j j + z 1 3 !1 j=1 Y   ¡  4 m 5 1 1 1 1 z n = lim exp 1 1 + + ::: + ln m (z + n) 1 + 1 + m 2 ¡ 2 ¡ 2 m ¡ m ¡ j j + z 1 3 !1 j=1   Y   ¡  4 1 1 (z + n) (z + n) (z + n) 5 = lim exp 1 + + ::: + ln m (z + n) exp ¡ + ¡ + ::: + ¡ m 2 m ¡ 1 2 m !1  m     z n 1 + 1 + j j + z 1 j=1 Y   ¡  m 1 1 z n (z+n)/j = lim exp 1 + + ::: + ln m (z + n) 1 + 1 + e¡ m 2 2 m ¡ j j + z 1 3 !1 j=1   Y   ¡  4 m 5 1 1 z n (z+n)/j = lim exp 1 + + ::: + ln m (z + n) lim 1 + 1 + e¡ m 2 m ¡ m 0 j j + z 1 1 !1 !1 j=1     Y   ¡  1 z @n A =e (z+n) 1 + 1 + e (z+n)/j; j j + z 1 ¡ j=1 Y   ¡  which is the desired result.  Example 5. Set n = 1 in Theorem 3 and Theorem 4, and encounter 1 1 z+1 z 1 1 z2 ¡(z) = 1 + 1 + 1 + ¡ j j j + z 1 j=1 and Y     ¡  1 1 z 1 = e (z+1) 1 + 1 + e (z+1)/j: z2 ¡(z) j j + z 1 ¡ j=1 Y   ¡  4.3. New Euler's Innite Product Representation for Gamma Function. Theorem 6. If z C 0; 1; 2; ::: , n N and Re(z) > n, then 2 ¡ f ¡ ¡ g 2 z 1 1 1 z n n ¡ (z n)¡(z) = 1 + 1 + ¡ 1 + ; ¡ j j j + z n 1 j=1 Y     ¡ ¡  where ¡(z) denotes the gamma function. Proof. In [3, p. 240, I.29], I found the formula ¡(z) ¡(z n) = ¡(z) = ¡(z n) (z n) : (14) ¡ (z n) ) ¡
¡ n ¡ n 5

Setting the right hand side of (1) and (5) into the right hand side of (14), I get

z n 1 n 1 1 1 1 ¡ z n ¡ 1 1 n ¡ ¡(z) = 1 + 1 + ¡ 1 + 1 + z n j j
j j + z n 1 ¡ j=1     j=1    ¡ ¡  Y z n 1 Y n 1 1 1 1 ¡ z n ¡ 1 n ¡ = 1 + 1 + ¡ 1 + 1 + z n j j j j + z n 1 ¡ j=1        ¡ ¡  Y z 1 1 1 1 z n n ¡ = 1 + 1 + ¡ 1 + z n j j j + z n 1 ¡ j=1     ¡ ¡  Y z 1 1 1 z n n ¡ (z n)¡(z) = 1 + 1 + ¡ 1 + ; ) ¡ j j j + z n 1 j=1 Y     ¡ ¡  which is the desired result.  4.4. New Weierstrass's Innite Product Representation for Gamma Function. Theorem 7. If z C, n Nand Re(z) > n, then 2 2 1 1 z z n n z/j = e 1 + ¡ 1 + e¡ ; (z n)¡(z) j j + z n 1 j=1 ¡ Y   ¡ ¡  where ¡(z) denotes the gamma function, ex denotes the exponential function and denotes the Euler-Mascheroni constant. Proof. The inverse of the Theorem 3, give me

z 1 1 1 ¡ z n n = 1 + 1 + ¡ 1 + (z n)¡(z) j j j + z n 1 ¡ j=1     ¡ ¡  z Y m z 1 1 ¡ z n n = lim 1 + lim 1 + 1 + ¡ 1 + m m m j j j + z n 1 !1 !1j=1   Y     ¡ ¡  z m z 1 1 ¡ z n n = lim 1 + 1 + 1 + ¡ 1 + m 2 m j j j + z n 1 3 !1 j=1   Y     ¡ ¡  4 m 1 z m 5 ¡ 1 ¡ z n n = lim 1 + 1 + ¡ 1 + m 2 j j j + z n 1 3 !1 j=1 j=1 Y   Y   ¡ ¡  4 m 5 z z n n = lim m¡ 1 + ¡ 1 + m 2 j j + z n 1 3 !1 j=1 Y   ¡ ¡  4 m 5 1 1 1 1 z n n = lim exp 1 1 + + ::: + ln m z 1 + ¡ 1 + m 2 ¡ 2 ¡ 2 m ¡ m ¡ j j + z n 1 3 !1 j=1   Y   ¡ ¡  4 1 1 z z z 5 = lim exp 1 + + ::: + ln m exp ¡ + ¡ + ::: + ¡ m 2 m ¡ 1 2 m !1 m  z n n  1 + ¡ 1 + j j + z n 1 j=1 Y   ¡ ¡  m 1 1 z n n z/j = lim exp 1 + + ::: + ln m z 1 + ¡ 1 + e¡ m 2 2 m ¡ j j + z n 1 3 !1 j=1   Y   ¡ ¡  4 m 5 1 1 z n n z/j = lim exp 1 + + ::: + ln m z lim 1 + ¡ 1 + e¡ m 2 m ¡ m 0 j j + z n 1 1 !1 !1 j=1     Y   ¡ ¡  1 @ A z z n n z/j =e 1 + ¡ 1 + e¡ ; j j + z n 1 j=1 Y   ¡ ¡  6 Infinite Product Representations for Gamma Function and Binomial Coefficient which is the desired result. 

Example 8. Set n = 1 in Theorem 6 and Theorem 7, and encounter

z 1 1 1 z 1 1 ¡ (z 1)¡(z) = 1 + 1 + ¡ 1 + ¡ j j j + z 2 j=1     ¡  and Y 1 1 z z 1 1 z/j = e 1 + ¡ 1 + e¡ : (z 1)¡(z) j j + z 2 j=1 ¡ Y   ¡ 

5. The Gamma Function at Rational Argument as Finite Product of Gamma Func- tions

5.1. Gamma Function at Rational Argument.

Theorem 9. If p and q are positive integers and p q, n N; and p/ q < n; then 6 2 p +n s q p n + s 1 p s q ¡ ¡ + ¡ ¡ + p p q q2 q q2 q ¡ + n = ; 0 s + 1 1 0  p s 1   s 1 q q ¡ ¡ + ¡
¡   s=1 q q2 q q Y B C B C @  A @     A where ¡(z) denotes the gamma function.

Proof. Consider the innite product representation for gamma function in Theorem 3, let z = p/ q, with p Z and q N, and encounter 2 2 p +n 1 p p 1 1 q p nq ¡ + n = 1 + 1 + 1 + ¡ q q j jq jq + p q   j=1     ¡  Yp +n 1 1 1 q p nq = 1 + 1 + 1 + ¡ k + 1 (k + 1) q (k + 1) q + p q k=0     ¡  Y p +n 1 1 1 q p nq = 1 + 1 + 1 + ¡ k + 1 (k + 1) q k q + p k=0 Y      Now, notice that for any a Z and b N; there exists unique c; d Z; such that a = bc + d and 2 2 2 0 d < b (division law in Z, see [7, Lemma 7, p. 4]). Hither, this means that any (k N ; q N) 6 2 0 2 uniquely determine the integer r and s, such that k = qr + s, where r = 0; 1; 2; ::: and s = 1; 2; :::; q 1. Thereupon, it follows (by uniform convergence) that ¡

q 1 p +n 1 p p 1 ¡ 1 q p nq ¡ + n = 1 + 1 + 1 + ¡ q q qr + s + 1 (qr + s + 1) q (qr + s) q + p   r=0 s=0      q 1 p Y Y +n 1 ¡ 1 1 q p nq = 1 + 1 + 1 + ¡ qr + s + 1 (qr + s + 1) q (qr + s) q + p s=0 r=0    p   Y Y s + 1 +n p + q(n + s) p + q(s + 1) q 1 p q +n ¡ 1 + ¡ ¡ ¡ 1 q q q2 q2 = 1 + s + 1 0  s + 2 1 0  p + qs 
 s + 1 1 s=0 ¡ 1 + ¡ ¡ Y   q q2 q B Cp B C @  s A+n @ p +q(n + s 1) p + qs  A q p q +n ¡ 1 + ¡ ¡ ¡ 1 q q q2 q2 = 1 + ; 0 s + 1 1 0 p + q (s 1) s 1 s    ¡ 
  s=1   ¡ 1 + q ¡ q2 ¡ q Y B C B C @  A @     A 7 using the identity ¡(1 + z) = z¡(z) in previous equation, I have

p s s +n p + q(n + s 1) p + qs q p q +n ¡ ¡ ¡ ¡ p p s + 1 q q q q2 q2 ¡ + n = q q s 0 s + 1  s +1 1 0  p + q (s 1) 
 s 1 s=1 ¡ ¡ ¡ ¡   Y   q q q2 q Bp C B C +n s @ q  p  nA+ s @1  p s    A q ¡ ¡ + ¡ ¡ + q q2 q q2 q = ; 0 s + 1 1 0  p s 1   s 1 ¡ ¡ + ¡
¡ s=1 q q2 q q Y B C B C @  A @     A which is the desired result. 

Example 10. Put p = 1, q = 2 in previous Theorem, and let n to be a non-negative integer, thus

2 s 1 +n 1 n + s 1 1 s 1 1 ¡ 2 ¡ + ¡ ¡ + ¡ + n = 2 4 2 4 2 2 2 s + 1 1 s 1
¡ s s=1 ¡ ¡
! ¡ + ¡
¡ 2
! or   Y 2 4 2 1 2 1 ¡ n
3 n ¡ 2n
1 n ¡
3 n ¡ + n = 2n 1 ¡ + ¡ + = ¡ + ¡ + : 2 ¡  4 2 4 2 p 4 2 4 2   r     2    

References

[1] Remmert, Reinhold, Classical Topics in Complex Function, Graduate Texts in Mathematics, 172, Springer-Verlag, New York, 1998. [2] en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coecient, available in November 16, 2016. [3] Slater, Lucy Joan, Generalized Hypergeometric Functions, Cambridge University Press, 1966. [4] Guedes, Edigles, Infinite Product Representations for Binomial Coefficient, Pochhammer's Symbol, Newton's Binomial and Exponential Function, viXra.org/pdf/1611.0049v1.pdf. [5] en.wikipedia.org/wiki/Beta_function, available in November 16, 2016. [6] Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M., Table of Integrals, Series and Products, Academic Press, San Diego, 2000. [7] Remmert, Reinhold, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Grad- uate Texts in Mathematics, 84, Second Edition, Springer-Verlag, New York, 1990.