Innite Product Representations for Gamma Func- tion and Binomial Coecient By Edigles Guedes November 16, 2016 In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God. - John 1:1. Abstract. In this paper, I demonstrate one new innite product for binomial coecient and news Euler's and Weierstrass's innite product for Gamma function among other things. 1. Introduction In 1729, Leonhard Euler (1707-1783) gave the innite product expansion for gamma function [1, p. 33] z 1 1 1 z 1 ¡(z) = 1 + 1 + ¡ ; (1) z j j j=1 Y which is valid in C, except for z 0; 1; 2; ::: . In 1854, Karl Weierstrass (18215f-18¡97) ¡gave tghe innte product expansion for gamma function [1, p. 34-35] 1 z ¡(z) = ze z 1 + e z/j; (2) j ¡ j=1 which is valid for all C. Y The binomial coecient may be dened by the nite product [2] n ` (`)n ` + r 1 = = ¡ ; (3) n n! r r=1 Y which is valid for ` C 0; 1; 2; ::: and n N. In [3, p. 3, form2ula (¡1.f1.1¡.2)],¡the Pgochhamm2er's symbol is dened by ¡(` + n) (`) = : (4) n ¡(`) In [4], I gave the innite product representation for the Pochhammer's symbol n 1 1 n 1 (`) = 1 + 1 + ¡ ; (5) n j j + ` 1 j=1 Y ¡ which is valid for ` C 0; 1; 2; ::: and n N. 2 ¡ f ¡ ¡ g 2 The beta function may be dened by [5] (a 1)!(b 1)! B(a; b) ¡ ¡ ; (6) (a + b 1)! when a; b are positive integers. ¡ In this paper, I prove the innite product representation for binomial coecient given by 1 ` (`) 1 n n ¡ = n = 1 + 1 + ; n n! j j + ` 1 j=1 Y ¡ and the gamma function is given by news innite product representations 1 1 z+n z n 1 z ¡(z + n) = 1 + 1 + 1 + ¡ j j j + z 1 j=1 Y ¡ 1 2 Infinite Product Representations for Gamma Function and Binomial Coefficient and 1 1 z n = e (z+n) 1 + 1 + e (z+n)/j; z ¡(z + n) j j + z 1 ¡ j=1 Y ¡ z 1 1 1 z n n ¡ (z n)¡(z) = 1 + 1 + ¡ 1 + ¡ j j j + z n 1 j=1 and Y ¡ ¡ 1 1 z z n n z/j = e 1 + ¡ 1 + e¡ ; (z n)¡(z) j j + z n 1 j=1 ¡ Y ¡ ¡ among other things. 2. Preliminary Lemma 1. If a; b R and b =/ 0, then 2 a 1 (a + j 1)(b + j) = ¡ : b (a + j)(b + j 1) j=1 Y ¡ Proof. I well-know the identity a b!(a 1)! a!(b 1)! ¡ = ¡ ; (7) b [b + (a 1) + 1]! [a + (b 1) + 1]! ¡ ¡ using the denition for beta function (6), I obtain a B(a + 1; b) = : (8) b B(a; b + 1) On the other hand, the beta function have the following innite product representation [6, p. 899] 1 j(a + b + j) (a + b + 1)B(a + 1; b + 1) = ; (9) (a + j)(b + j) j=1 Y valid for a;b =/ 1; 2;::: Setting a a 1 and b b 1, respectively, in both members of (9), I nd ¡ ¡ ! ¡ ! ¡ 1 1 j(a + b + j 1) B(a; b + 1) = ¡ ; (10) a + b (a + j 1)(b + j) j=1 and Y ¡ 1 1 j(a + b + j 1) B(a + 1; b) = ¡ : (11) a + b (a + j)(b + j 1) j=1 Y ¡ Substituting (10) and (11) into the right hand side of (9), I get a a + b 1 j(a + b + j 1)(a + j 1)(b + j) = ¡ ¡ : b a + b (a + j)(b + j 1)j(a + b + j 1) j=1 Y ¡ ¡ Eliminate the same terms in the numerator and denominator of the above equation, and encounter a 1 (a + j 1)(b + j) = ¡ ; b (a + j)(b + j 1) j=1 Y ¡ which is the desired result. 3. Binomial Coefficient: the Infinite Product 3.1. Innite Product Representation for Binomial Coecient. Theorem 2. If ` C 1; 2; ::: and n N, then 2 ¡ f¡ ¡ g 2 1 ` (`) 1 n n ¡ = n = 1 + 1 + ; n n! j j + ` 1 j=1 Y ¡ 3 ` where denotes the binomial coecient, (`) denotes the Pochhammer's symbol and n! n n denotes the factorial. Proof. Setting a = ` + r 1 and b = r in both members of the Lemma 1, I obtain ¡ ` + r 1 1 (` + r + j 2)(r + j) ¡ = ¡ : (12) r (` + r + j 1)(r + j 1) j=1 Y ¡ ¡ Substituting (12) into the right hand side of (3), I nd n ` (`)n 1 (` + r + j 2)(r + j) = = ¡ n n! (` + r + j 1)(r + j 1) r=1 j=1 ¡ ¡ n Y Y 1 (` + r + j 2)(r + j) = ¡ (` + r + j 1)(r + j 1) j=1 r=1 ¡ ¡ Y Y 1 1 (j + n)(j + ` 1) 1 n n ¡ = ¡ = 1 + 1 + ; j(j + ` + n 1) j j + ` 1 j=1 j=1 Y ¡ Y ¡ which is the desired result. 4. News Euler's and Weierstrass's Infinite Product Representation for Gamma Function 4.1. New Euler's Innite Product Representation for Gamma Function. Theorem 3. If z C 0; 1; 2; ::: and n N, then 2 ¡ f ¡ ¡ g 2 1 1 z+n z n 1 z¡(z + n) = 1 + 1 + 1 + ¡ ; j j j + z 1 j=1 Y ¡ where ¡(z) denotes the gamma function. Proof. From denition (4), I give ¡(` + n) (`) = ¡(` + n) = (`) ¡(`): (13) n ¡(`) ) n Setting the right hand side of (1) and (5) into the right hand side of (13), I get n 1 1 n 1 1 1 1 ` ` 1 ¡(` + n) = 1 + 1 + ¡ 1 + 1 + ¡ j j + ` 1 ` j j j=1 ¡ j=1 Y n Y 1 1 n 1 1 1 ` ` 1 `¡(` + n) = 1 + 1 + ¡ 1 + 1 + ¡ ) j j + ` 1 j j j=1 ¡ j=1 Y n Y 1 1 n 1 1 ` ` 1 = 1 + 1 + ¡ 1 + 1 + ¡ j j + ` 1 j j j=1 Y ¡ 1 1 `+n ` n 1 = 1 + 1 + 1 + ¡ : j j j + ` 1 j=1 Y ¡ Changing ` by z in previous equation, I obtain the desired result. 4.2. New Weierstrass's Innite Product Representation for Gamma Function. Theorem 4. If z C and n N, then 2 2 1 1 z n = e (z+n) 1 + 1 + e (z+n)/j; z ¡(z + n) j j + z 1 ¡ j=1 Y ¡ 4 Infinite Product Representations for Gamma Function and Binomial Coefficient where ¡(z) denotes the gamma function, ex denotes the exponential function and denotes the Euler-Mascheroni constant. Proof. The inverse of the Theorem 3, give me 1 1 1 (z+n) z n = 1 + ¡ 1 + 1 + z¡(z + n) j j j + z 1 j=1 ¡ Y m 1 z+n 1 (z+n) z n = lim 1 + lim 1 + ¡ 1 + 1 + m m m j j j + z 1 !1 !1j=1 Y ¡ m 1 z+n 1 (z+n) z n = lim 1 + 1 + ¡ 1 + 1 + m 2 m j j j + z 1 3 !1 j=1 Y ¡ 4 m 1 m 5 ¡ 1 (z+n) z n = lim 1 + ¡ 1 + 1 + m 2 j j j + z 1 3 !1 j=1 j=1 Y Y ¡ 4 m 5 (z+n) z n = lim m¡ 1 + 1 + m 2 j j + z 1 3 !1 j=1 Y ¡ 4 m 5 1 1 1 1 z n = lim exp 1 1 + + ::: + ln m (z + n) 1 + 1 + m 2 ¡ 2 ¡ 2 m ¡ m ¡ j j + z 1 3 !1 j=1 Y ¡ 4 1 1 (z + n) (z + n) (z + n) 5 = lim exp 1 + + ::: + ln m (z + n) exp ¡ + ¡ + ::: + ¡ m 2 m ¡ 1 2 m !1 m z n 1 + 1 + j j + z 1 j=1 Y ¡ m 1 1 z n (z+n)/j = lim exp 1 + + ::: + ln m (z + n) 1 + 1 + e¡ m 2 2 m ¡ j j + z 1 3 !1 j=1 Y ¡ 4 m 5 1 1 z n (z+n)/j = lim exp 1 + + ::: + ln m (z + n) lim 1 + 1 + e¡ m 2 m ¡ m 0 j j + z 1 1 !1 !1 j=1 Y ¡ 1 z @n A =e (z+n) 1 + 1 + e (z+n)/j; j j + z 1 ¡ j=1 Y ¡ which is the desired result. Example 5. Set n = 1 in Theorem 3 and Theorem 4, and encounter 1 1 z+1 z 1 1 z2 ¡(z) = 1 + 1 + 1 + ¡ j j j + z 1 j=1 and Y ¡ 1 1 z 1 = e (z+1) 1 + 1 + e (z+1)/j: z2 ¡(z) j j + z 1 ¡ j=1 Y ¡ 4.3. New Euler's Innite Product Representation for Gamma Function. Theorem 6. If z C 0; 1; 2; ::: , n N and Re(z) > n, then 2 ¡ f ¡ ¡ g 2 z 1 1 1 z n n ¡ (z n)¡(z) = 1 + 1 + ¡ 1 + ; ¡ j j j + z n 1 j=1 Y ¡ ¡ where ¡(z) denotes the gamma function. Proof. In [3, p. 240, I.29], I found the formula ¡(z) ¡(z n) = ¡(z) = ¡(z n) (z n) : (14) ¡ (z n) ) ¡ ¡ n ¡ n 5 Setting the right hand side of (1) and (5) into the right hand side of (14), I get z n 1 n 1 1 1 1 ¡ z n ¡ 1 1 n ¡ ¡(z) = 1 + 1 + ¡ 1 + 1 + z n j j j j + z n 1 ¡ j=1 j=1 ¡ ¡ Y z n 1 Y n 1 1 1 1 ¡ z n ¡ 1 n ¡ = 1 + 1 + ¡ 1 + 1 + z n j j j j + z n 1 ¡ j=1 ¡ ¡ Y z 1 1 1 1 z n n ¡ = 1 + 1 + ¡ 1 + z n j j j + z n 1 ¡ j=1 ¡ ¡ Y z 1 1 1 z n n ¡ (z n)¡(z) = 1 + 1 + ¡ 1 + ; ) ¡ j j j + z n 1 j=1 Y ¡ ¡ which is the desired result.