Lecturas Matem´aticas Volumen 31 (2010), p´aginas 55–75 ISSN 0120–1980

Un paseo fotogr´aficoporlavidadeSophusLie

Juan Nu´nez,˜ Alicia Prieto & Vanesa Sanchez–Canales´ Universidad de Sevilla, Sevilla, Espa˜na

Abstract. It is quite a lot scarce the literature on the Norwegian mathematician Sophus Lie, in spite of being him, as the great vol- ume of his works demonstrates, one of the most important mathemati- cians throughout the history. In this paper, some of the non well-known photographs related with his life are shown. A particular review of the people and circumstances appearing in each of them is described. Key words and phrases. Sophus Lie; biography, fotography. 2000 AMS Mathematics Subject Classification. 01A55, 01A70 Resumen. No es muy numerosa la documentaci´on escrita existente sobre el matem´atico noruego Sophus Lie,apesardeser´este, por el volumen de sus obras, uno de los m´as importantes matem´aticos de todos los tiempos. En este art´ıculo se muestran algunas de las escasa- mente conocidas fotograf´ıas relacionadas con la vida de Sophus Lie, realiz´andose un detallado estudio de cada una de ellas, con especial menci´on de los personajes que aparecen y de las circunstancias que cada una de ellas refleja.

Introducci´on

En honor a la verdad, no puede decirse que Sophus Lie sea un matem´atico muy conocido, no ya por la sociedad en general, sino ni siquiera por la comu- nidad cient´ıfica en particular. Lejos este conocimiento del que se tiene de otros matem´aticos, como Euler o Gauss, por ejemplo. Y esto, a pesar de que la obra cient´ıfica de Lie es particularmente extensa y de que tanto sus descubri- mientos como fundamentalmente las aplicaciones de los mismos han marcado un hito en el campo de otras disciplinas, como la f´ısica y las ingenier´ıas, por ejemplo. No en vano fue el propio Albert Einstein el que afirmase que: “sin 56 J. Nu´nez,˜ A. Prieto & V. Sanchez-Canales´ sus descubrimientos (los de Lie), no habr´ıa sido posible el nacimiento de la Teor´ıa de la Relatividad” (v´ease [4]). Varias pueden ser las razones de este desconocimiento. Por un lado, no exis- ten en la literatura muchas biograf´ıas sobre este personaje, a pesar de que las escasas existentes sean especialmente muy buenas y completas (v´eanse por ejemplo desde las m´as antiguas [2], [5], [6] y [13], escritas en los primeros a˜nos del siglo XX, a las m´as modernas, [8], [12], [14], [15] y [18], ya en el actual siglo XXI, pasando por las delultimo ´ cuarto del siglo pasado, [1], [3], [7], [9], [16], [17] y [19], de todas las cuales se ha extra´ıdo la mayor parte de las referencias biogr´aficas de este art´ıculo). Porotraparte,laobracient´ıfica de Sophus Lie (Lie,enadelante),apesar de ser muy valorada por muchos cient´ıficos, no deja de ser muy especializada ydif´ıcil de entender a primera vista. Algunos autores han intentado explicar esta circunstancia bas´andose en el hecho de que los art´ıculos originales de Lie estaban escritos en noruego, lo que dificult´o mucho su difusi´on e incluso su co- rrecta traducci´on, o tambi´en en que Lie no usaba el lenguaje anal´ıtico habitual e incluso, ciertamente, porque sus art´ıculos originales no resultaron f´acilmente comprensibles al exceder mucho la intuici´on geom´etrica de Lie aladeotros matem´aticos. De hecho, sus art´ıculos conten´ıan ideas revolucionarias para la ´epoca, desde el punto de vista matem´atico, que no fueron aceptadas por algunos matem´aticos de su tiempo, lo que dificultaba a´un m´as el que ya empezara en aquella ´epoca a ten´ersele en cuenta. El caso es que, como resulta f´acilmente constatable, Lie no est´a suficientemente reconocido en la actualidad como el gran matem´atico que fue (v´ease [20]). Nuestra intenci´on entonces, al escribir este art´ıculo, es la de contribuir, siquiera modestamente, a realzar esta figura. Para ello, y al objeto de que esta pretensi´on llegue al mayor n´umero de personas interesadas, tanto a pro- fesores como a alumnos de cualquier disciplina cient´ıfica, independientemente de su nivel de formaci´on, hemos considerado oportuno dar a conocer la vida yobradeLie vali´endonos de las escasas fotos que se disponen de ´el en la ac- tualidad. Nuestra idea es la de realizar un viaje fotogr´aficoporsuvidaenel que por medio de las fotograf´ıas que se muestran vayamos comentando con un cierto detalle los episodios de la vida de Lie que en ellas se reflejan. Cierta- mente entendemos que este prop´osito puede resultar harto dif´ıcil y que van a ser bastantes los hechos importantes acaecidos en la vida de este matem´atico que no van a verse aqu´ı contemplados, si bien pensamos que al menos esta contribuci´on puede ser un peque˜no paso adelante en el intento de que la figura de Lie llegue a ser m´as reconocida de lo que lo es en la actualidad, y para que este autor vaya alcanzando el reconocimiento que sin duda merece. Comentar finalmente, para terminar esta primera parte de esta Introducci´on que la raz´on principal que nos ha movido a dedicarle este art´ıculo a este matem´atico es la misma que la que ya movi´o a uno de los autores del mis- mo a escribir previamente otros tres art´ıculos publicados por ´el [12, 14, 15]: su Un paseo fotografico´ por la vida de Sophus Lie 57 devoci´on particular por este matem´atico, tras la realizaci´on de su tesis doctoral sobre ´algebras de Lie, que le llev´o primero a bucear en su vida y en su obra, como paso previo al estudio de su teor´ıa. Y esto, junto con la admiraci´on que la figura de Lie tambi´en ha despertado en las otras dos autoras de este trabajo, tras la lectura de una de sus biograf´ıas y el inicio de una primera investigaci´on sobre su obra cient´ıfica. Al objeto de que la lectura de este art´ıculo resulte sencilla y amena para el lector, los autores hemos considerado oportuno estructurarlo en unaunica ´ secci´on, en la que se muestran en orden cronol´ogico las fotograf´ıas que hemos podido conseguir relacionadas con la vida de Lie, que entendemos m´as signi- ficativas, acompa˜nadas de un, en algunos casos breve y en otros m´as extenso, comentario sobre el episodio que reflejan y los personajes que en ellas aparecen. Estas fotograf´ıas se refieren no s´olo al propio Lie,sinotambi´en a todas aquellas personas, familiares o conocidos, objetos y lugares que guardan una estrecha relaci´on con su figura. De todas ellas, las que muestran a los matem´aticos rela- cionados con Lie, han sido tomadas de la excelente p´agina web de biograf´ıas de matem´aticos de la Universidad de Saint Andrews, en Escocia [20].

1. La vida y obra de Sophus Lie a trav´es de sus fotos

Como ya se ha indicado en la Introducci´on, es muy poca la documentaci´on gr´afica de la que se dispone sobre la vida de Sophus Lie, motivada funda- mentalmente por el escaso desarrollo del arte de la fotograf´ıa en los a˜nos en los que esta vida transcurri´o. Pi´ensese que los or´ıgenes de la fotograf´ıa proce- den de la c´amara oscura (del lat´ın camera: habitaci´on o c´amara), que era una habitaci´on cuyaunica ´ fuente de luz era un min´usculo orificio proyectado en una de sus paredes, ya utilizada por Aristoteles´ (384–322 a.C.) para estudiar los eclipses de sol. Posteriormente evolucion´o con el transcurso de los siglos, hasta llegar al siglo XIX, exactamente al a˜no 1816, que es la fecha que para algunos autores constituye el nacimiento de la fotograf´ıa. En ese a˜no, el f´ısico franc´es Joseph Nic´ephore Niepce consigui´o una imagen mediante la utilizaci´on de la c´amara oscura y un procedimiento fotoqu´ımico. M´as tarde, en 1831, el pintor franc´es Louis Jacques Mande´ Daguerre realiz´o fotograf´ıas en planchas re- cubiertas por una capa sensible a la luz de yoduro de plata, y algunos a˜nos m´as tarde, en 1839, el propio Daguerre y el inventor brit´anico William Henry Fox Talbot hicieron p´ublicos sus m´etodos para conseguir fotograf´ıas, sien- do este a˜no de 1839 la fecha que otros autores dan para el nacimiento de la fotograf´ıa. De ah´ı que durante toda la vida de Lie, 1842-1899, este arte de la fotograf´ıa estuviese todav´ıa muy limitado y poco perfeccionado, lo que explica la escasa cantidad de fotos que le hubieran podido tomar y el que, por unas u otras razones,unicamente ´ haya quedado para la posteridad un n´umero m´ınimo de ellas. 58 J. Nu´nez,˜ A. Prieto & V. Sanchez-Canales´

Fotos 1, 2 y 3. La infancia de Lie. En las fotos que mostramos puede verse en una de ellas la situaci´on geogr´afica de Nordfjordeid, y en otra, la aldea en la que naci´o Lie, Eid, en Nordfjordeid, Noruega, el 17 de diciembre de 1842, tomada desde la propia vicar´ıa en la que trabajaba su padre. En la tercera puede verse a Johann Herman Lie,padredeSophus Lie. Johann era un pastor protestante, que estuvo a cargo de la vicar´ıa de la peque˜na aldea de Eid, desde 1836 hasta 1851, en donde la madre de Sophus, Mette Maren (nacida Stabell) era altamente considerada por todos gracias a su trabajo en la granja de la vicar´ıa.

Foto 1. Situaci´on geogr´afica de Nordfjordeid

Foto 2. La aldea de Eid Foto 3. Johann Lie, padre de Sophus

Sophus pas´o su infancia en esa aldea en compa˜n´ıa de sus tres hermanos y tres hermanas (Fredik Gill, Mathilde, Laura, Dorothea, John Her- man y Ludvig Adler) hasta que su familia se mud´o a la cercana localidad de Un paseo fotografico´ por la vida de Sophus Lie 59

Moss, donde su madre y su hermano peque˜no Ludvig (Sophus fue el pen´ulti- mo de los hijos) murieron no mucho despu´es y su padre permaneci´ohastasu fallecimiento, 22 a˜nos m´as tarde.

Foto 4. La Escuela Nissen. Lie realiz´o sus primeros estudios en la escuela comunal de la cercana ciudad de Moss (Realskole) hasta los 15 a˜nos, cuando ingres´o en la Escuela Privada Latina Nissen de Cristian´ıa.

Foto 4. Escuela Nissen en Cristian´ıa

En esa escuela, Lie conoci´o al que despu´es ser´ıa su gran amigo durante toda su vida, Ernst Motzfeldt, quien tuvo un papel muy importante en varios episodios de la vida de Lie, incluido un intento de suicidio de esteultimo, ´ debido el car´acter depresivo que mantuvo durante toda su vida.

Fotos 5 y 6. Cristian´ıa, la antigua Oslo. Oslo, la actual capital de Noruega, fue conocida en tiempos con el nombre de Cristian´ıa. Oslo fue fundada alrededor del a˜no 1048 d.C. por el rey Harald Hardrade, y convertida en capital en 1314 por el rey Haakon V, que fue el primer rey en residir permanentemente en la ciudad y tambi´en en iniciar la construcci´on del castillo de Akershus. Varios incendios asolaron la ciudad en la Edad Media, destruy´endola casi totalmente, pero en todas las ocasiones fue reconstruida. Tras un incendio de tres d´ıas en 1624, el rey Cristi´an IV decidi´o trasladar la ciudad a las cercan´ıas de la fortaleza de Akershus y renombrarla como Cris- tian´ıa. Los inicios del siglo XVIII fueron una ´epoca de prosperidad en la ciudad, que recuper´o su categor´ıa de capital en 1814, cuando fue disuelta la uni´on entre Noruega y Dinamarca. El siglo XIX fue un per´ıodo de gran expansi´on para la ciudad. Finalmente, en 1924, la ciudad recuper´o su nombre inicial de Oslo. M´as detalles sobre esta historia pueden verse en la p´agina web [21]. 60 J. Nu´nez,˜ A. Prieto & V. Sanchez-Canales´

Foto 5. Cristian´ıa en julio de 1814 Foto 6. Vista panor´amica de Cristian´ıa. Pintura de Margrethe Kristine desde el parque de St. Hanshaugen Tholstrup

Fotos 7 y 8. En la universidad. Por aquel tiempo, Lie estaba interesado en ejercer la carrera militar, como su hermano John Herman, pero problemas de visi´on le hicieron abandonar esa idea. Tambi´en dud´o durante un tiempo entre estudiar Ciencias o Letras, hasta que se decidi´o a entrar, en 1859, en la Real Universidad de Fredrik de Cristian´ıa para estudiar Matem´aticas y Ciencias (en la foto de la izquierda el logotipo identificativo de la Universidad. En la de la derecha, la Universidad actual de Oslo, bastante remodelada con respecto a la que se encontraba en los a˜nos en los que Lie estudi´o en ella). En esa Universidad, Lie permaneci´o hasta 1865.

Foto 7. Logotipo de la Universidad Foto 8. Universidad de Oslo En aquella universidad, muchos estudiantes eranavidos ´ gimnastas y de- portistas. Lie y sus amigos sol´ıan dar largas caminatas por las colinas Nord- marka detr´as de Cristian´ıa. Lie era especialmente conocido por su fuerza y resistencia, que hac´ıan que fuese a pie hasta Moss (a unos 58 Km) para visitar a su familia. Una historia en particular cuenta que en una ocasi´on fue hasta Moss a recoger un libro y, sin ni siquiera saludar a su padre, que hab´ıa salido, volvi´oaCristian´ıa en el mismo d´ıa. Suultimo ´ a˜no como estudiante en la Universidad, 1865, fue especialmente dif´ıcil para ´el, aunque en oto˜no de ese a˜no obtuvo su diploma de licenciado en Ciencias, todav´ıa sin haber mostrado especial habilidad o inclinaci´on por las Matem´aticas.

Fotos 9 y 10. Grandes ge´ometras de la ´epoca. Tres a˜nos m´as tarde, en 1868, Lie trabaj´o muy duro leyendo los vol´umenes de revistas matem´aticas que ven´ıan de Par´ıs y Berl´ın. En particular, Lie ley´o las obras de los ge´ometras Poncelet y Plucker¨ (los fundadores, con Mobius¨ ,delageometr´ıa proyec- tiva). Los trabajos de Jean Victor Poncelet (Metz, 1788–Par´ıs, 1867), Un paseo fotografico´ por la vida de Sophus Lie 61 sobre el polo y las l´ıneas polares asociadas a las c´onicas hab´ıan llevado al des- cubrimiento del Principio de la dualidad, mientras que las contribuciones del matem´atico alem´an Julius Plucker¨ supusieron importantes avances tanto en la geometr´ıa anal´ıtica como en la f´ısica. Las ideas de ambos fueron las que inspiraron a Lie para dedicarse a la investigaci´on en geometr´ıa.

Foto 9. Jean Victor Poncelet Foto 10. Julius Pl¨ucker

Fotos 11 y 12. Rechazo a la primera publicaci´on de Lie. Lie public´osu primer trabajo en el Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik (cono- cido tambi´en en ingl´es como el Crelle’s Journal)deBerl´ın en 1869, que tuvo que pagar de su propio bolsillo, siendo su amigo Ernst Motzfeldt el que tuviera que prestarle a Lie el dinero necesario para la publicaci´on [10]. Poste- riormente, una versi´on ampliada de este trabajo fue publicada en las Actas de la Academia de Ciencias de Cristian´ıa, lo que le vali´o una beca del Estado para salir del pa´ıs y viajar al extranjero. Es conveniente indicar que esta versi´on ampliada conten´ıa ideas revolucionarias para la ´epoca, desde el punto de vista matem´atico, que no fueron aceptadas por algunos matem´aticos de su tiempo. Para intentar arreglar esta situaci´on, Lie lleg´o a escribirles cartas a dos matem´aticos prusianos, Carl Theodor Reye y Alfred Clebsch,pidi´en- doles que se le reconocieran sus ideas, lo que ´estos no hicieron al principio, si bien alg´un tiempo despu´es, Reye reconoci´o que el tratamiento que Lie le daba alosn´umeros imaginarios era extremadamente interesante y se sorprendi´ode que Lie hubiese producido con un nuevo y simple principio lo que ´el mismo hab´ıa tratado en el segundo volumen de su renombrada obra Geometrie der Lage.(Reye public´o su primer volumen en 1866 y este segundo en 1868). De hecho, Reye le facilit´oaLie una copia de esta obra con la siguiente dedicatoria elogiosa: “T´u, con tu teor´ıa de imaginarios, has hecho un feliz descubrimiento”.

Foto 13. Felix Klein. Lie pas´o el invierno de 1869 en Berl´ın, donde conoci´oa un alumno de Plucker¨ , llamado Felix Klein (Dusseldorf, 1849 – Gotinga, 1925), con el que desde aquel momento compartir´ıa muchas horas de trabajo, llegando a existir entre ellos una gran amistad. 62 J. Nu´nez,˜ A. Prieto & V. Sanchez-Canales´

Foto 11. Carl Theodor Reye Foto 12. Alfred Clebsch

Foto 13. Felix Klein

Fotos 14 y 15. Lie conoce a Jordan y a Darboux. En el verano de 1870, Lie y Klein viajaron juntos a Par´ıs, donde conocieron a Camille Jordan yaGaston Darboux,este´ultimo de la misma edad que Lie y el primero cuatro a˜nos mayor. Fue all´ıenPar´ıs donde Lie hizo uno de sus m´as hermosos descubrimientos: la transformaci´on que lleva su nombre.

Foto 14. Camille Jordan Foto 15. Gaston Darboux

En la foto de la izquierda aparece el gran matem´atico franc´es Camille Jordan. Jordan naci´o en Lyon en 1838 y muri´oenPar´ıs en 1922. Es conocido fundamentalmente por su trabajo sobre la teor´ıa de grupos y por el famoso teorema de la curva de Jordan. A la derecha se sit´ua el no menos c´elebre Jean Un paseo fotografico´ por la vida de Sophus Lie 63

Gaston Darboux (1842-1917), matem´atico tambi´en franc´es, contempor´aneo de Lie, ya que ambos nacieron en el mismo a˜no 1842. Darboux naci´oenNˆımes y falleci´oenPar´ıs.

Foto 16. El Bosque de Fontainebleau. Mientras Lie y Klein se encontra- ban en Par´ıs, se declar´o la guerra franco-alemana, por lo que Klein tuvo que volver r´apidamente a Berl´ın y Lie pens´o llegar a pie hasta Italia atravesando Francia. Sin embargo, tras haber caminado poco m´as de 50 Km desde Par´ıs, Lie fue detenido por los franceses en el bosque de Fontainebleau como sospe- choso de ser esp´ıa alem´an, a consecuencia de lo cual tuvo que pasar cuatro semanas en la prisi´on de aquella ciudad.

Foto 16. Fotograf´ıa del bosque de Fontainebleau, en el que tuvo lugar uno de los acontecimientos m´as tr´agicos y a la vez anecd´oticos de la vida de Sophus Lie

Una informaci´on m´as detallada de este hecho puede verse en [12, 18], si bien no nos resistimos aqu´ı a comentar una an´ecdota al respecto de esta situaci´on: cuando Lie le pregunt´o a uno de los guardias qu´ehac´ıan con los prisioneros, ´este le contest´o[p´ag. 146 de 18]: lesdisparamosalasseisdelama˜nana. Lie fue liberado de la prisi´on gracias a la intervenci´on de Darboux, que se present´o en la misma con una carta del Ministro del Interior franc´es, el todopoderoso Gambetta, autorizando su liberaci´on.

Fotos 17, 18 y 19. Directores de la tesis de Lie. En 1871, ya Lie de vuelta en su pa´ıs, la Universidad de Cristian´ıa le otorg´o una beca de investigaci´on para la obtenci´on del doctorado en ciencias, lo que consigui´o en Julio de 1872 con una Tesis Doctoral cuyo t´ıtulo traducido al castellano del original en noruego fue el de Sobre una clase de transformaciones geom´etricas. Los directores de la tesis de Lie fueron los matem´aticos Cato Guldberg y Carl Bjerknes. En las dos primeras fotograf´ıas aparece Guldberg,enlade la izquierda junto con su hermanastro Meter Waage. Guldberg naci´oen Cristian´ıa en 1836 y falleci´o en la misma ciudad en 1902, a la edad de 66 a˜nos, curiosamente, 3 a˜nos despu´es de la muerte de Lie. Tras haber realizado estudios en Matem´aticas y Qu´ımica, Guldberg trabaj´o en la Universidad de Oslo, y 64 J. Nu´nez,˜ A. Prieto & V. Sanchez-Canales´ junto con su hermanastro, enunciaron la ley de acci´on de masas. Aunque en un principio ´esta atrajo poca atenci´on, en 1877, Jacobus Herius van’t Hoff (premio Nobel de Qu´ımica en 1901) demostr´o su validez.

Foto 17. Cato Guldberg & Meter Waage Foto 18. Cato Guldberg En la siguiente fotograf´ıa aparece el otro Director de la Tesis de Lie,tambi´en nacido y fallecido en Cristian´ıa (1825 - 1903), el matem´atico y f´ısico Carl Anton Bjerknes. Bjerknes trabaj´o en la Universidad de Oslo y dedic´ogran parte de su carrera al campo de la hidrodin´amica, continuando despu´es su propio hijo Wilhelm sus investigaciones.

Foto 19. Carl Anton Bjerknes

Foto20.Abel,elprimergranmatem´atico noruego. Tras defender su tesis, Lie ense˜n´o durante un a˜no en la Universidad de Lund, en Suecia. Luego, el Parlamento noruego, 1872, cre´oexpresamenteparaLie una c´atedra en la Universidad de Cristian´ıa. Lie pudo entonces entregarse de lleno al desarrollo de sus ideas, siendo constante su producci´on de memorias en este tiempo. Otros hechos que sucedieron durante los dos siguientes a˜nos fueron la muerte de su padre, en 1873, en Moss, y su boda, en agosto de 1874, con Anna So- phie Birch, cuya madre era prima hermana de su c´elebre compatriota Niels Henrik Abel.EnestafotopodemosveraNiels Henrik Abel,matem´atico noruego (1802-1829). Su prematura muerte a los 27 a˜nos (13 a˜nos antes del nacimiento de Lie), a causa de una pulmon´ıa, acab´o con la brillante carrera de este genio de las matem´aticas. Un paseo fotografico´ por la vida de Sophus Lie 65

Foto 20. Niels Henrik Abel

Fotos 21 y 22. La familia. Como ya se ha comentado, Lie contrajo matri- monio en agosto del a˜no 1874 con Anna Sophie Birch, sobrina segunda del gran matem´atico Abel. Lie y su esposa tuvieron dos hijas, Marie (1877) y Dagny (1880), y un hijo, Herman (1884). Podemos observar una foto familiar del periodo de Leipzig (1886-1898), durante el cual, Lie estuvo trabajando en la universidad de esta ciudad.

Foto 21. Su esposa, Foto 22. La familia en Leipzig Anna Sophie Birch

Foto 23. Su amigo Engel. Lie deseaba reunir en una gran obra los resultados de sus investigaciones, especialmente las referidas a la teor´ıa de grupos. Sin embargo, ´el era consciente de no ser del todo reconocido por sus trabajos por parte del mundo matem´atico, lo que hac´ıa que se sintiese a veces decepcionado por esta falta de reconocimiento. Para ayudarle en la redacci´on de sus trabajos, Klein tuvo la feliz idea de enviar a Cristian´ıa en 1884 a uno de los disc´ıpulos de A. Mayer ysuyo propio, Friedrich Engel, que se hab´ıa doctorado en Leipzig un a˜no antes. Esta primera colaboraci´on entre Lie y Engel (despu´es se producir´ıa otra en 66 J. Nu´nez,˜ A. Prieto & V. Sanchez-Canales´

Leipzig, much´ısimo m´as larga) dur´o nueve meses y fue especialmente fruct´ıfera para ambos.

Foto 23. Friedrich Engel

Fotos 24 y 25. En la universidad de Leipzig. Lie y Engel volver´ıan a encontrarse en 1886, cuando Lie fue llamado por la Universidad de Leipzig para suceder a Klein, que hab´ıa sido nombrado profesor de la Universidad de Gotinga (G¨ottingen).

Foto 24. Universidad de Leipzig Foto 25. Universidad de Leipzig

En Leipzig, Lie empez´o a reunir alumnos brillantes a su alrededor, con lo que consigui´odarledifusi´on a sus ideas, a´un poco conocidas ya que sus primeras memorias estaban escritas en noruego yunicamente ´ publicadas por la Academia de Cristian´ıa.

Fotos 26, 27, 28, 29 y 30. Su principal obra. De esta forma, Lie volvi´oa trabajar con Engel, ahora de forma continuada, durante nueve a˜nos, culmi- nando esta colaboraci´on en una obra que result´o ser la principal publicaci´on de Lie: Theorie der Transformationsgruppen,entresvol´umenes (con unas 2000 Un paseo fotografico´ por la vida de Sophus Lie 67 p´aginas en total) entre 1888 y 1893. De ellos, el primer volumen (publicado en 1888) y los 5ultimos ´ cap´ıtulos del tercero (publicado por Teubner Verlag en Leipzig, en 1893) se ocupan de la teor´ıa de los grupos finitos y continuos, mien- tras que el segundo (publicado en 1890) est´a dedicado a las transformaciones de contacto (v´ease [11]). En las im´agenes de las fotos 26 y 27 podemos contemplar la encuadernaci´on de los dos primeros vol´umenes de la Theorie der Transformationsgruppe,de Lie,escritosenalem´an y editados por Friedrich Engel, y publicados por la Editorial Teubner, Leipzig, en 1888 y 1890 [11], y en la foto 28 la primera p´agina del tercer volumen, publicado en 1893. Puede apreciarse perfectamente la antig¨uedad de los libros, de los queunicamente ´ existen ejemplares en tres librer´ıas del mundo (seg´un el World Cat [www.worldcat.org]).

Foto 26 & 27. Encuadernaci´on de Theorie der Transformationsgruppen

Foto 28. P´agina titular del tercer volumen de Theorie der Transformationsgruppen 68 J. Nu´nez,˜ A. Prieto & V. Sanchez-Canales´

En las im´agenes siguientes (Fotos 29 y 30) podemos ver el texto del con- trato entre Lie y la casa publicitaria B. G. Teubner. En ´este, se acordaba la publicaci´on de su Theorie der Tranformationsgruppen, con fecha 14 de julio de 1887.

Fotos 29 y 30. Contrato entre Lie y la casa publicitaria B. G. Teubner

Foto 31. Otros trabajos de Lie. Tambi´en durante este periodo, en concreto en 1891, Lie escribe su Vorlesungenuber ¨ Differentialgleichungen,enelque trata sobre ecuaciones diferenciales y transformaciones infinitesimales. Estas ultimas´ transformaciones fueron introducidas por Lie como herramientas a la hora de estudiar los grupos de transformaciones, como se puede ver en Archiv for Mathematik Naturvidenskab, en 1876 o en Gesammelte Abhandlungen.

Foto 31. Archiv for Mathematik Naturvidenskab Un paseo fotografico´ por la vida de Sophus Lie 69

Foto 32. Primeros s´ıntomas de depresi´on. Los doce a˜nos que Lie pas´oen Leipzig como profesor de la Universidad fueron de los m´as prol´ıficos de su carrera, si bien hay que indicar que durante esa etapa, Lie no fue del todo feliz. Algunos problemas con sus compa˜neros, que no llegaron a resolverse, hicieron quesevolviesetaciturno,ap´atico y profundamente deprimido. El hecho de enterarse tambi´en de la enfermedad que padec´ıa su esposa Anna le produjo una grave crisis nerviosa que le oblig´o a ser ingresado en una cl´ınica psiqui´atrica cerca de Hannover en 1889, donde permaneci´o siete meses.

Foto 32. En esta foto, tomada en torno al a˜no 1939, puede verse el interior de una habitaci´on de la Cl´ınica Ilten, situada en los alrededores de Hannover, en la que Lie estuvo internado. En ella, se trataba a personas con trastornos psicol´ogicos y enfermedades mentales

Fotos 33 y 34. Nueva estancia en Par´ıs. Asusalidadelacl´ınica, Lie volvi´o poco a poco a su trabajo, aunque tanto sus amigos como sus colegas creyeron ver grandes cambios en su actitud y temperamento. De hecho, Lie empez´o a acusar a otros de usar y robar sus ideas. En 1892, Lie fue a pasar seis meses en Par´ıs, donde se interes´oporlas investigaciones que los j´ovenes matem´aticos franceses dedicaban a la teor´ıa de grupos. Lie se reun´ıa a menudo con ellos alrededor de una mesa del Caf´edela Source, en el boulevard Saint Michel y no era raro que el m´armol blanco de la mesa apareciera lleno de f´ormulas a l´apiz que ´el escrib´ıa para ilustrar sus ideas. A partir de entonces, la indiferencia con que sus primeros trabajos hab´ıan sido recibidos por los matem´aticos, se torn´o en admiraci´on, siendo ´esta la ´epoca en la que Lie vio reconocido todo su trabajo en forma de honores. As´ı, el 7 de junio de 1892, la Academia de Ciencias de Par´ıs lo nombr´o miembro de la secci´on de Geometr´ıa, y en 1897, a instancias de Klein,laSociedadF´ısico– Matem´atica de Kazan le otorg´oelPremio Lobatchevski. 70 J. Nu´nez,˜ A. Prieto & V. Sanchez-Canales´

Foto 33 Foto 34 Aqu´ı pueden apreciarse dos im´agenes (la de la derecha un afiche) relacionadas con el Caf´edondeLiesereun´ıa con los j´ovenes matem´aticos franceses

Fotos 35 y 36. Su fallecimiento. En septiembre de 1898, Lie volvi´o final- menteaNoruegaparaocuparenCristian´ıa la c´atedra de teor´ıa de grupos que su patria hab´ıa fundado para ´el. Sin embargo, ya estaba muy enfermo. Sufr´ıa de anemia perniciosa, una enfermedad incurable de la sangre. Su salud fue em- peorando r´apidamente a lo largo de ese oto˜no, durante el que consigui´odarsus clases gracias a un gran esfuerzo. Finalmente, muri´o el 18 de febrero de 1899 mientras dorm´ıa. Fue enterrado seis d´ıas despu´es en el cementerio de Nuestro Salvador de Cristian´ıa, tras un concurrido y solemne funeral en la Iglesia de la Sagrada Trinidad.

Foto 35. Tumba familiar de los Lie Foto 36. Retrato al Oleo´ por E. T. Werenskiold

La foto 35 muestra la tumba familiar de Sophus Lie. En ella est´an enterrados el propio Sophus,suesposaAnna Birch y de uno de sus hijos, Herman Lie. Esta tumba se encuentra en el cementerio Var Flerses Gravelund, situado en la ciudad de Oslo. En la foto 36 podemos ver a Sophus Lie, en un lienzo pintado aloleo ´ por Erik Theodor Werenskiold, pintor y dibujante noruego (1855–1938). La pintura data del a˜no 1902 (fue por tanto realizada despu´es de la muerte de Lie) y actualmente es propiedad de la Universidad de Oslo. Un paseo fotografico´ por la vida de Sophus Lie 71

Fotos 37, 38 y 39. Un busto en su honor. En 1921, Heegaard,profesor de la Universidad de Cristian´ıa, y el propio Engel comenzaron la publicaci´on de las Obras Completas de Lie, en seis grandes vol´umenes, con abundantes notas y varios extractos muy interesantes de la correspondencia de Lie con diferentes matem´aticos extranjeros. Posteriormente, en 1936, se celebr´oenOslo un Congreso Internacional de Matem´aticas dedicado a la memoria de Lie,al que asisti´oungrann´umero de matem´aticos de todo el mundo. En una de las sesiones de este congreso, en presencia de las autoridades noruegas y en la gran sala de la Universidad, se inaugur´o un busto de Sophus Lie y uno de los delegados franceses present´o el homenaje de la Escuela Normal Superior. Desde 1939, una r´eplica de este busto, donado por su hijo Herman, adorna la biblioteca cient´ıfica de esta Escuela.

Foto 37

Foto 38. Foto 39.

En laultima ´ de las fotos anteriores puede observarse que ni siquiera una eminencia como Lie,selibradelataquedelosv´andalos.

Fotos 40 y 41. Elie´ Cartan y Jean–Pierre Serre: herederos de Lie. En la foto 40 vemos a Elie´ Cartan, uno de los 7 hijos acad´emicos directos de Lie. Cartan naci´o en Saboya en 1869 y falleci´oenPar´ıs en 1951.

Poco antes de morir, Lie ten´ıa como proyecto la creaci´on de la Fundaci´on Internacional Abel, para que entre otras cosas, ´esta otorgase cada 5 a˜nos un premio al mejor trabajo de matem´aticas puras (y que de este modo se cubriera el hueco en esta disciplina dejado por el premio Nobel, que no otorga ning´un galard´on a los matem´aticos). Finalmente, en el a˜no 2002, el gobierno noruego 72 J. Nu´nez,˜ A. Prieto & V. Sanchez-Canales´

Foto 40. Elie´ Cartan cre´o este Premio, en el bicentenario del nacimiento del matem´atico noruego Niels Henrik Abel. En abril de 2003 se anunci´oqueJean–Pierre Serre era el primer can- didato a ganar el Premio Abel, si´endole finalmente otorgado en junio de ese a˜no.1

Foto 41. Jean-Pierre Serre

1 Serre, nacido en Bages (Francia) en 1926, fue desde muy joven una figura destacada de la escuela de Henri Cartan. Serre, que aparte del premio que hemos mencionado fue tambi´en galardonado con la Medalla Fields en 1954, ha trabajado en topolog´ıa algebraica, variable compleja y, m´as tarde, en ´algebra conmutativa y geometr´ıa algebraica. Un paseo fotografico´ por la vida de Sophus Lie 73

Fotos 42 y 43. Sophus Lie Conference Center. En honor de Lie se inau- gur´o en 1933 el Sophus Lie Conference Center, situado en Fjordane Folke- hgskule, a las afueras de Nordfjordeid. Este centro sirve como sede de nu- merosos Congresos de Matem´aticas y Escuelas de Verano, con aulas para unas 30–40 personas perfectamente equipadas y habitaciones para los participantes, aparte de albergar tambi´en oficinas de informaci´on tur´ıstica, agencias de viajes, almacenes de alimentaci´on, servicio de correos y bancos.

Fotos 42 y 43.

FOTOS 44 y 45. EL GRUPO E8. Como ya se ha dicho, la herramienta principal de Lie y uno de sus logros m´as importantes fue el descubrimien- to de los grupos continuos de transformaciones (continuierliche Gruppen,hoy llamados grupos de Lie. Los grupos infinitesimales de transformaciones (in- finitesimalen Gruppen) hoy son llamados ´algebras de Lie). El grupo de Lie m´as complicado es el denominado E8.

Fotos 44 y 45. El grupo E8

Esta estructura de 248 dimensiones fue conceptualizada y dise˜nada por un equipo de 18 matem´aticos en cuatro a˜nos de trabajo, culmin´andose a principios de 2007. Para ello utilizaron una Super Computadora de la Universidad de 74 J. Nu´nez,˜ A. Prieto & V. Sanchez-Canales´

Washington, denominada Sage, de 64 Gigabytes de memoria RAM, para poder alojar en memoria la matriz de resoluci´on. Seg´un uno de los integrantes del grupo: “despu´es de comprender las matem´aticas subyacentes tardamos unos 2a˜nos en implementarlo en un ordenador”. B´asicamente puede afirmarse que ellos han resuelto un problema que permanec´ıa sin soluci´on desde hace m´as de 100 a˜nos. Para finalizar este trabajo, perm´ıtasenos manifestar que, en nuestra opini´on, el m´erito m´as importante de Lie ha sido el de contribuir en gran medida al de- sarrollo de las matem´aticas modernas y a la construcci´on de recient´ısimos mod- elos, tanto matem´aticos (resoluci´on de ecuaciones diferenciales parciales), como f´ısicos (en mec´anica cu´anticaoenlateor´ıa de las supercuerdas), o qu´ımicos (entendimiento de las estructuras internas delatomo), ´ de especial importancia en nuestros d´ıas. El´ mismo ya hab´ıa previsto este hecho en vida, al afirmar que “Estoy seguro, absolutamente seguro de que estas teor´ıas ser´an reconocidas como fundamentales en alg´un momento del futuro”.

Referencias [1] N. A. Baas, Sophus Lie. The Mathematical Intelligencer 16 :1 (1994), 16–19. [2] M. Cantor, Marius Sophus Lie. Contenido en Allgemeine Deutsche Biographie 51 (1906), 695–698. [3] E. Cartan, Un Centenario: Sophus Lie. Contenido en Franc¸ois Le Lionnais, Las grandes corrientes del pensamiento matem´atico. Editorial EUDEBA: Buenos Aires, 1976, 270. ◦ Traducido de Les grands courants de la pens´ee math´ematique, Cahiers du Sud: Paris, 1948. [4] A. Einstein, Geometrie und Erfahrung (Geometry and Experience). Discurso en la Academia Prusiana de Ciencias, Enero de 1921. ◦ Versi´on inglesa contenida en A. Einstein, Sidelights on Relativity.Dover:NuevaYork, 1983. [5] F. Engel, Sophus Lie. Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 8 (1900), 30–46. [6] F. Engel, Sophus Lie. Norsk Matematisk Tidsskrift 4 (1922), 97–114. [7] B. Fritzsche, Sophus Lie: A Sketch of his Life and Work. Journal of Lie Theory 9 (1999), 1–38. [8] J. L. Guijarro, Lie, m´as all´adelaGeometr´ıa. Colecci´on “Las Matem´aticas en sus personajes”, n´umero 29. Editorial Nivola, 2007. [9] S. Helgason, Sophus Lie, the Mathematician. Contenido en Proceedings of The Sophus Lie Memorial Conference, Oslo, August, 1992. (1994), 3–21. [10] S. Lie, Ueber eine Darstellung des Imaginaren in der Geometrie. Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik (Crelle’s Journal) 70 (1869), 346–353. [11] S. Lie & F. Engel, Theorie der Transformationsgruppen, Vol. 3. Teubner: Leipzig, 1893. [12] V. Mart´ın,J.Nu´nez˜ & A. F. Tenorio, Sophus Lie: un matem´atico visionario.Bolet´ın de la Asociaci´on Matem´atica Venezolana, 14: 1 y 2 (2007), 41–54. [13] M. Nother, Sophus Lie. Math. Annalen 53 (1900), 1–4l. [14] Nu´nez,˜ J. & Tenorio, A. F.. Sophus Lie, una biograf´ıa.Consultaren http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/MateOspetsuak/SophusLief1.asp [15] Nu´nez˜ J. & Tenorio A. F. Sophus Lie. Gaceta de la Real Sociedad Matem´atica Es- pa˜nola 5 no 1 (2002), 121–130. Un paseo fotografico´ por la vida de Sophus Lie 75

[16] E. M. Polishchuk, Sophus Lie (1842 - 1899) (En ruso), Scientific-Biographic Literature, ’Nauka’ 1983, Leningrad. Otdel. [17] E. Stroem, Marius Sophus Lie. Contenido en The Sophus Lie Memorial Conference Proceedings. Ed. O. A. Laudal & B. Jahren. XI-XXVIII. Scandinavian University Press: Oslo, 1994. [18] Stubhaug, A. & R. Daly, The Mathematician Sophus Lie: It was the audacity of my thinking. Springer–Verlag: Berl´ın, 2002. ◦ Edici´on original en noruego publicada por Aschehoug: Oslo, 2000. ◦ Traducido al franc´es por Marie–Jos´e Beaud et Patricia Chwat: Sophus Lie: une pens´ee audacieuse. Springer–Verlag France: Par´ıs, 2006). [19] L. Young, Mathematicians and Their Times: History of Mathematics and Mathemati- cians of History. North-Holland Publishing Company: Amsterdam, 1981. [20] http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/BiogIndex.html (p´agina web de la Universidad de Saint Andrews sobre biograf´ıas de matem´aticos). [21] http://es.wikipedia.org/wiki/Oslo#Historia (p´agina web sobre la historia de la ciu- dad de Oslo). (Recibido en octubre de 2009. Aceptado para publicaci´on en febrero de 20) Juan Nu´nez˜ Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa Facultad de Matematicas.´ Universidad de Sevilla, Espana˜ e-mail: [email protected] Alicia Prieto Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa Facultad de Matematicas.´ Universidad de Sevilla, Espana˜ e-mail: [email protected] Vanesa Sanchez-Canales´ Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa Facultad de Matematicas.´ Universidad de Sevilla, Espana˜ e-mail: [email protected]