UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICAS Y MATEMATICAS´

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA´

Modelo Matem´atico de las Acciones de la Empresa Cementos Pacasmayo S.A.A. y su Variaci´on en el Periodo 2017-2018

TESIS

Para optar el t´ıtulo profesional de Licenciado en Matem´aticas

Presentado por: Bach. Mat. Vargas Vilchez Claudia Vanessa

Asesor: Dr. Quintos Chuquicahua Camilo

LAMBAYEQUE PERU´ − 2019

Dedicatoria

Quiero dedicar este trabajo a Dios quien siempre me protege, ayuda y fortalece para culminar satisfactoriamente mis objetivos trazados.

Agradezco a mi madre Ana por darme su apoyo moral y econ´omico, y a mi padre Juan en mi formaci´on profesional, a mi t´ıa Esperanza y a mi padrino Jorge quienes me brindan su apoyo incondicional. Vanessa Agradecimiento

Agradecer a Dios, porque siempre ha estado ah´ı, d´andome fuerzas y sabidur´ıa. Agradezco a mi mam´aAna y a mis familiares por motivarme y apoyarme. Mi profundo agradecimiento a mi asesor de tesis Dr. Camilo Quintos Chuquicahua, por su ayuda constante para seguir adelante con esta tesis, por incentivarme y por el valioso tiempo brindado que este trabajo se ha concluido satisfactoriamente. As´ımismo agradezco a los jurados por dedicar su tiempo en la revisi´on del borrador de tesis y por las correcciones pertinentes. Agradezco a mis profesores de pregrado por orientarme en mi vida profesional.

¡Muchas Gracias!

Vanessa Presentaci´on

En el presente trabajo de investigaci´on tiene como referencia la utilizaci´on del software scilab para predecir el valor de las acciones de los 30 primeros d´ıas del a˜no que considere el lector predecir. Donde su aplicaci´on que se presenta es utilizar el modelo de Black- Scholes donde el precio del activo es una soluci´on de la siguiente ecuaci´on diferencial estoc´astica.

dSt = µStdt + σStdZ

Z es un movimiento de Wiener, el cual sigue la evoluci´on de un proceso lognormal, en un tiempo t dado por: σ2 (µ )t+σXt St = S0e − 2

Donde su aplicaci´on que presentamos es dar propuestas de mejoras al modelo de Black- Scholes, lo cual se puede describir alternativas al modelo de volatilidad, teniendo como gu´ıael estudio realizado por Herzel que genera un modelo que produce una curva de vo- latilidad impl´ıcita, es de gran ayuda ya que la persona que est´einteresado podr´ainvertir en la bolsa, tomando en consideraci´on el precio de las acciones dadas en un tiempo atr´as determinados en la bolsa de valores de lima pudiendo llegar a predecir el costo de la acci´on. Espero que sea de gran ayuda a futuro, para estudiantes y docentes. Les presento esta tesis titulada “Modelo matem´atico de las acciones de Cementos Pacasmayo S.A.A. y su variaci´on en el periodo 2017-2018” Resumen

En 1973 Fisher Black y Myron Scholes, apoyados en el movimiento Browniano geom´etri- co, crean el modelo de Black-Scholes, el cual era la base de los movimientos de los precios de las acciones, partiendo de una ecuaci´on diferencial estoc´astica. dS = Sµdt + SσdZ. En el presente trabajo de investigaci´on, se mostr´oel desarrollo del modelo de Black- Scholes cuyo objetivo fue construir el modelo matem´atico para analizar y simular los valores nominales de las acciones de la Empresa Cementos Pacasmayo, recopilando la informaci´on requerida desde el a˜no 2015 al 2018. Este modelo se evalu´ocon los datos obtenidos de los precios de las acciones, teniendo expectativas con respecto a lo que sucedi´oen el mercado de valores. Por ello, se ha realizado un estudio de mejora, considerando 4 propuestas en el que modifica la volatilidad, asistidos mediante el software Scilab para simular los valores de las acciones aplicados a la Empresa Cementos Pacasmayo S.A.A., bas´andose en los resultados obtenidos se puede afirmar que la propuesta 3 es la m´as adecuado por ser la que tiene el m´ınimo margen de error y adem´as se ajusta al valor real del precio de la acci´on. Palabras Clave: Modelo matem´atico de Black-Schole, Acciones y Software Scilab.

II Abstract

In 1973 Fisher Black and Myron Scholes, supported by the geometric Brownian move- ment, created the Black-Scholes model, which was the basis of stock price movements, based on a stochastic differential equation. dS = Sµdt + SσdZ. The present research work showed the development of the Black-Scholes model whose objective was to build the mathematical model to analyze and simulate the nominal values of the Cementos Pacasmayo Company shares, gathering the required information from 2015 to 2018. This model was evaluated with the data obtained from share prices, having expectations regarding what happened in the stock market. For this reason, an improvement study has been carried out, considering four propo- sals in which it modifies volatility, assisted by Scilab software to simulate the values of the actions applied to the Cementos Pacasmayo S.A.A. Company, based on the re- sults obtained, it can be affirmed that proposal three is the most appropriate because it has the minimum margin of error and also adjusts to the real value of the share price. Keywords: Mathematical model of Black-Schole, Actions and Software Scilab.

III ´Indice general

Dedicatoria 5

Agradecimiento 6

Resumen II

Abstract III

Introducci´on 3 Cap´ıtulo 1 5 Preliminares

1.1. Historia de Cementos Pacasmayo S.A.A...... 5 1.2. CampoFinanciero ...... 10 1.2.1. Mercado...... 10 1.2.2. MercadoFinanciero...... 10 1.2.3. Valores, Acciones, Bonos y Dividendos ...... 14 1.2.4. BolsadevaloresdeLima...... 20 1.2.5. ´IndicesdeBolsa...... 21 1.3. MedidasdeDispersi´on ...... 24 1.4. SoftwareScilab ...... 27 1.4.1. Descripci´on del algoritmo en el Software scilab ...... 31 Cap´ıtulo 2 33 Movimiento Browniano

2.1. ProcesoEstoc´astico...... 34

1 2

2.2. MovimientoBrowniano...... 39 2.2.1. Aplicaci´on del Lema de Ito al Estudio del M.B. Geom´etrico . . . 45 Cap´ıtulo 3 46 Modelo matem´atico de las acciones de Cementos Pacasmayo S.A.A. y su varia- ci´on en el periodo 2017-2018

3.1. Deducci´on de la Ecuaci´on de Black-Scholes-Merton ...... 46 3.2. Ecuaci´onBlack-Scholes...... 49 3.3. ModeloparaelPreciodeunActivo ...... 50 3.3.1. La volatilidad impl´ıcita y la sonrisa de la volatilidad ...... 54 3.4. PropuestasalModelodeBlack-Scholes ...... 57 3.4.1. Propuesta1 ...... 58 3.4.2. Propuesta2 ...... 59 3.4.3. Propuesta3 ...... 60 3.4.4. Propuesta4 ...... 60 3.5. Aplicaci´on del Modelo Matem´atico ...... 61 3.5.1. Valores Simulados para los 30 primeros d´ıas del a˜no 2018 . . . . . 61 3.5.2. Valores Simulados para los 30 primeros d´ıas del a˜no 2019 . . . . . 67 3.6. DebilidadesdelModelo...... 72

Conclusiones 78

Sugerencias 79

Referencias Bibliogr´aficas 80

Anexos 83 3.7. ALgoritmosenScilabpara2018 ...... 103 3.8. ALgoritmosenScilabpara2019 ...... 109 Introducci´on

En 1973, Robert C. Merton public´o“Theory of Rational Option Princing”, en el hac´ıa referencia a un modelo Matem´atico desarrollado por Fisher Sheffey Black (11 de enero de 1938-30 de agosto de 1995), Economista Estaunidense, y Myron Scholes Samuel, (1 de Julio de 1941, Economista, Matem´atico y Abogado Canadiense). A este modelo lo denomin´oBlack-Scholes y fue empleado para estimar el valor actual de compra y venta de acciones en una fecha futura. El mercado de capitales constituye un mecanismo de ahorro e inversi´on que sirve de res- paldo a las actividades productivas y la Bolsa de Valores es una instituci´on apropiada para lograr este objetivo. En nuestro pa´ısla Bolsa de valores de Lima S.A.A. es una sociedad que tiene como objetivo principal facilitar la negociaci´on de valores inscritos, proveyendo los servicios, sistemas y mecanismos adecuados para la intermediaci´on de manera justa, competitiva, ordenada, continua y transparente de los cambios del valor nominal de las acciones. adem´as la Superintendencia del mercado de valores (S.M.V.) brinda informaci´on de los valores cotizados en la bolsa. La Bolsa de Valores de Lima S.A.A. cuenta con 262 empresas con valores listado, en- tre las m´as conocidas se encuentran Banco de la Naci´on, Los Portales S.A., Cementos Pacasmayo S.A., Electro Per´uS.A., Telef´onica S.A., etc. El estudio realizado permi- tir´apredecir el valor del precio de la acci´on para el a˜no 2020 a m´as, para la Empresa Cementos Pacasmayo S.A. y dem´as empresas que se encuentren listados en la B.V.L. Por esta raz´on, que el desarrollo del presente trabajo de investigaci´on se formula lo si- guiente: ¿Cu´al es el modelo Matem´atico adecuado que permite medir las variaciones de 4 las acciones en el periodo 2017-2018?, lo cual tiene como objetivo construir un modelo matem´atico para analizar y simular los valores nominales de las acciones de la Empresa Cementos Pacasmayo, recopilando informaci´on requerida desde el a˜no 2015 al 2018. La hip´otesis a comprobar fue: Si se logra construir el modelo matem´atico, entonces se puede medir las variaciones de las acciones de la Empresa Cementos Pacasmayo en el periodo 2017-2018. Daniel, C. (2016). En su trabajo de investigaci´on Estudio y Aplicaciones de Black Scho- les, hace un estudio de la F´ormula de Black Scholes, la cual es muy importante en la econom´ıamoderna ya que dicha f´ormula se utiliza, entre otras cosas, para valuar de- terminados bienes o activos financieros (que en el trabajo denominaremos Derivados u Opciones) a trav´es del tiempo, por ejemplo, en el caso de las acciones de una sociedad an´onima. Nu˜nez, S. (2009), En su tesis Adaptaci´on del Modelo Black-Scholes en la Simulaci´on de un Portafolio de Acciones, ha realizado un estudio de mejora del mismo, para lo cual se ha escogido cuatro empresas que son representativas del mercado de valores del pa´ıs. El informe est´aestructurado de la siguiente manera: En el cap´ıtulo 1 se destacan aspectos relacionados directamente a la empresa incluyendo raz´on social, su historia, objetivos, misi´on, visi´on y as´ıcomo tambi´en tomar en cuenta las medidas de dispersi´on, la volatilidad y la descripci´on de algoritmo scilab. En el cap´ıtulo 2 se comienza definiendo lo que es un proceso estoc´astico y dem´as con- ceptos que se usar´an para definir un Movimiento Browniano. En el cap´ıtulo 3 se define de forma te´orica el modelo de Black-Scholes, se usar´alos valores de las acciones de la Empresa Cementos Pacasmayo S.A.A., que se negocia en el a˜no 2017-2018 con alcance al 2019. Se plantear´a4 propuestas de mejora al modelo, as´ıcomo sus alcances y limitaciones. Finalmente se encuentran las conclusiones, recomendaciones, referencias bibliogr´aficas y anexos. Cap´ıtulo 1: Preliminares

Con la finalidad de realizar un estudio detallado del proceso de Black-Scholes, introduci- remos algunas terminolog´ıas y nociones b´asicas para el estudio del mismo. Como punto de partida conoceremos la historia de la Empresa Cementos Pacasmayo S.A.A. desde sus inicios en el a˜no 1911 hasta la actualidad; As´ıcomo los conceptos referentes al mercado financiero, las medidas de dispersi´on, la volatilidad en los mercados, seguidamente se realizara la descripci´on del algoritmo en el software scilab que nos ayudar´apara analizar y simular los valores nominales de las acciones de dicha empresa.

1.1 Historia de Cementos Pacasmayo S.A.A.

En 1911 el ingeniero minero alem´an Mauricio Hochschild llega a Chile y funda un grupo de sociedades comerciales en Sudam´erica, las que llegar´ıan a ser conocidas como el Grupo de Hochschild. Para 1926, el Grupo cuenta con dos operaciones en Per´u, una en Arequipa y otra en Lima. En 1949 Se funda la Compa˜n´ıaNacional de Cementos Portland del Norte S.A(antecesora de Cementos Pacasmayo SAA), a partir de la iniciativa de un grupo de inversionistas privados que cre´ıaen el desarrollo de las regiones del norte del pa´ıs. El impulso decisivo al proyecto llega en 1955 de la mano del Grupo Hochschild, que se convierte en uno de 6 sus accionistas principales. En 1957 el 27 de noviembre comienza la producci´on de la empresa bajo la denominaci´on comercial de Compa˜n´ıade Cementos Pacasmayo. La planta de Pacasmayo (la Libertad), que contaba con un horno de Clinker con una capacidad de 110 000 TM/a˜no, fue la primera cementera en producir fuera de Lima. La propiedad privada de la empresa se vio interrumpida por una ley promulgada por el gobierno militar del Presidente Velasco en 1970, la cual declaraba la producci´on de cemento como industria b´asica, por lo que se exig´ıa a las empresas cementeras que optaran por una de las siguientes alternativas:

i) La expropiaci´on definitiva en una sola etapa, con el pago de una compensaci´on por parte del Gobierno.

ii) Un contrato para vender acciones de la compa˜n´ıaal gobierno en el transcurso de diez a˜nos.

En este contexto, la Compa˜n´ıade Cementos Pacasmayo S.A. eligi´o la segunda opci´on. Siendo as´ıque en 1973 el 4 diciembre se inicia la transferencia gradual y forzosa de accio- nes al Estado como parte de la estatizaci´on de la industria cementera dictaminada por el gobierno militar. Para ello, Cementos Pacasmayo S.A. es reestructurada para crear, el 6 de mayo de 1974, Cementos Norte Pacasmayo S.A., empresa cuya participaci´on mayoritaria (51 %) queda en manos de sus accionistas originales a trav´es de inversiones Pacasmayo S.A (IPSA).

En mayo de 1994, el Gobierno regional de La Libertad autoriza la venta de su partici- paci´on en Cementos Norte Pacasmayo, la misma que representaba el 49 % del capital social . Entre noviembre de 1994 y junio de 1995 vendi´oal sector privado las acciones de su propiedad., siendo un 10 % del capital social de la empresa adquirido por IPSA. Un 18.38 % de la participaci´on estatal se coloca a peque˜nos inversionistas. Invernor S.A.C, una subsidiaria de Cementos Norte Pacasmayo S.A., compra el 4.65 %, mientras que un 14,35 % es colocado en el mercado burs´atil local. El 6 de febrero de 1998 se realiza la subasta p´ublica que permit´ıa a Cementos Nor- 7 te Pacasmayo adquirir del Estado la f´abrica de cemento de Rioja (ubicada en el Valle del Alto Mayo, en la parte norte de la regi´on de San Mart´ın), la que en ese momento contaba con una capacidad instalada de 40 000 TM/a˜no de cl´ınker y 55 000 TM/a˜no de cemento. En octubre de 1998 se acord´ola fusi´on de Cementos Norte Pacasmayo, Cementos Rioja.(propietaria de la planta Rioja) y Cordasa (productora de trefilados de alambre, empresa ubicada en Trujillo). Como consecuencia de esta fusi´on, el 10 de diciembre de 1998 se constituy´ouna nueva sociedad denominada Cementos Pacasmayo S.A.A., denominaci´on que mantiene en la actualidad.

En marzo del 2000, Cementos Pacasmayo comienza el nuevo siglo dando un paso m´as en su estrategia de crecimiento organizo tras la instalaci´on de un nuevo molino en la planta de Pacasmayo, con el que se incrementa la capacidad instalada de producci´on de cemento a 2 200 000 TM/ a˜no. Esta ser´ıala cuarta ampliaci´on ejecutada, ya que previamente en 1967, 1978 y 1995 la Compa˜n´ıaincremento su producci´on de cemento a 303 500 TM/a˜no y 1 200 000 TM/a˜no, respectivamente.

Cementos Pacasmayo cubre la demanda en la zona norte del pa´ıs, teniendo significativa presencia en los departamentos de Tumbes, Piura, Lambayeque, La Libertad, Cajamarca y Ancash. Asimismo, a trav´es de su subsidiaria Cementos Selva S.A., cubre la demanda en la zona nor oriental del pa´ıs. De otro lado, en Junta General de Accionistas celebra- da en abril 2005 se acord´oque la Empresa realice un aumento de capital a trav´es de un aporte en efectivo ascendente a aproximadamente S/. 50.7 millones, en Compa˜n´ıa Minera Corianta S.A.C. Esta empresa inici´osu etapa de explotaci´on en junio 2007 y se dedica principalmente a la extracci´on de zinc.

Cementos Pacasmayo recibi´oun reconocimiento especial de la Bolsa de Valores de Lima (BVL) por obtener el mayor crecimiento sostenido en Gobierno Corporativo en los ´ulti- mos 5 procesos. Adicionalmente, la empresa sigue formando parte del ´Indice de Buen Gobierno Corporativo de la BVL. En setiembre 2015 se dio inici´oa la producci´on comercial de cemento desde la nueva 8 planta de cemento en Piura, agregando 1.6 millones de toneladas m´etricas anuales de capacidad de producci´on de cemento. En octubre 2015 se ejecut´oun exitoso programa de recompra de acciones. M´as de 37 millones de acciones de inversi´on fueron recompradas a un precio de S/. 2.9 por acci´on. En el a˜no 2018 lanza su nueva imagen y actualiza su visi´on y su misi´on

Visi´on: Ser una empresa l´ıder en la provisi´on de soluciones constructivas que se anticipe a las necesidades de nuestros clientes y que contribuya con el progreso de nuestro Pa´ıs.

Misi´on: Es crear valor a nuestros inversionistas, a trav´es de un crecimiento sostenible, para beneficio de nuestros clientes, colaboradores, comunidades y el pa´ıs.

Figura 1.1: F´abrica de Cementos Pacasmayo S.A.A. 9 10

1.2 Campo Financiero

1.2.1 Mercado

Una caracter´ıstica propia de todas las culturas de la vida en comunidad, es la ESPECIA- LIZACION´ natural conformada con base en su sexo, caracter´ısticas f´ısicas, actitudes, etc. Al surgir la especializaci´on se hace imprescindible el INTERCAMBIO dentro de esa comunidad. El mercado es la instancia, sea en lugar f´ısico, un medio de comunicaci´on, se contactan los potenciales compradores y vendedores de un determinado bien o servicio, determi- nando conjuntamente su precio y su cantidad. El mercado tampoco es capaz de atenuar los ciclos econ´omicos, debiendo el Estado fomentar la estabilidad utilizando los poderes monetarios y fiscales. Los poderes Fis- cales se refieren a su capacidad para grabar y gastar, en tanto los poderes monetarios consisten en controlar la oferta monetaria, tipos de inter´es y las condiciones crediticias mediante estas dos herramientas el estado puede influir en la tasa de crecimiento, nivel de producci´on, de empleo y de precios de una econom´ıa. [13]

1.2.2 Mercado Financiero

Realiza el intercambio de activos financieros y se determina sus precios. 11

Figura 1.2: Mercado financiero

1. Mercado de Capitales Mercado de cr´edito o mercado financiero, el cual se habla del mercado de dinero (corto plazo) y de Mercado de capitales (largo plazo). El de capitales est´aformado que los arriendos de dinero com´unmente llamados pr´estamos o cr´editos, y tambi´en por los aportes de fondos mediante la compra de acciones en sociedades an´onimas por la participaci´on en empresas.

Los pr´estamos o cr´editos, los deudores pagan un inter´es peri´odico por el uso de los fondos y deben devolver el dinero despu´es del plazo estipulado en el contrato.

Los aportes de capital, el oferente de recursos compra una parte de la pro- piedad de la sociedad o empresa, mediante la bolsa de valores, etc.

Caracter´ısticas:

El inversionista al comprar los t´ıtulos (acciones) se convierte en socio de la empresa en parte proporcional a lo invertido. 12

Existe mayor riesgo al invertir ya que es un mercado de altos rendimientos variables, en otras palabras, porque hay mucha volatilidad de precios.

No existe garant´ıade beneficios.

No existe un plazo definido, cada quien elige cuando comprar y cuando vender los t´ıtulos.

Existe mucha liquidez, es decir, es relativamente f´acil la compra-venta de los t´ıtulos.

1.1 Mercado de Valores

El mercado de valores es un mecanismo en el que se concurren los ciudadanos y empresas para invertir en valores que lo produzcan eventualmente una ganancia o para captar recursos financieros de aquellos que lo tienen disponible. El mercado valores muestra una gran variedad de alternativas de inversi´on para el mejor provecho de nuestro dinero para oportunidades de avance y desarrollo para las empresas.

El inversionista asume el riesgo crediticio del emisor.

El intermediario no asume riesgo crediticio.

Dentro del mercado de valores existen dos tipos de mercados: primarios y secun- darios.

a) Mercado Primario Se Negocian las primeras emisiones de t´ıtulos representativos de deuda o de capital que son emitidas por las empresas que buscan financiamiento. La emisi´on se realiza a trav´es de la oferta p´ublica primaria.

b) Mercado Secundario Se negocian valores que ya est´an en circulaci´on. Una vez que el valor se encuentra en manos de un inversor, este puede venderlo a otro y obtener dinero cambio, este otro inversor puede vend´erselo a otro, y as´ı sucesivamente. 13

Ambos mercados son importantes. En el primario las empresas consiguen recursos para llevar a cabo sus actividades, pero esto no ser´ıaposible si no existiera un mercado secundario.

En el mercado secundario, los inversionistas liquidan su posici´on y obtienen nuevamente sus recursos.

Figura 1.3: Estructura del mercado de valores

i) Mercado Bursatil: Burs´atil proviene del lat´ınbursa que significa “bolsa”. El mercado burs´atil, por lo tanto, es un tipo particular de mercado, relacionado con las opera- ciones o transacciones que realizan todas aquellas instituciones, empresas e individuos que realizan transacciones de productos financieros en diferentes Bolsas alrededor del mundo. Un Mercado Burs´atil cuenta con todos los ele- mentos que se requiere para que sea llamado mercado, bolsa: mercado en el que se realizan las compras y ventas de los productos.

Emisores: son las personas que ofrecen acciones u obligaciones para que se negocien en el mercado.

Inversores: invierten su dinero en activos para obtener un rentabilidad. 14

Corredores: los corredores de bolsa act´uan como intermediarios entre emisores e inversores.

Reguladores: las instituciones reguladoras se encargan de velar por los diferentes agentes que intervienen en el mercado y que todo funcione correctamente.

La raz´on de ser de un mercado burs´atil es permitir a los inversores comprar y vender las acciones existentes y captar fondos mediante la emisi´on de otras nuevas a las empresas.

ii) Mercado Extraburs´atil: Mercado over-the-counter (OTC), mercado paralelo no organizado o mercado de contratos a medida es uno donde se negocian instrumentos financieros (acciones, bonos, materias primas, swaps o derivados de cr´edito) directamente entre dos partes. Este tipo de negociaci´on se realiza fuera del ´ambito de los mercados establecidos. En general, las ´ordenes de compra y venta son colocadas en el mercado OTC mediante conversaciones telef´onicas que son grabadas. En los casos que surge alg´un conflicto sobre una transacci´on, se escucha la grabaci´on para resolver la discrepancia. Sin embargo, la tendencia del mercado OTC es negociar un mayor n´umero de operaciones en sistemas electr´onicos, quedando la negociaci´on telef´onica para contratos m´as complejos y con menor grado de estandarizaci´on.

1.2.3 Valores, Acciones, Bonos y Dividendos

Se conoce como Valores a los T´ıtulos, certificados o documentos emitidos por una em- presa que otorgan derechos a sus poseedores, y que son libremente transferibles. Pueden ser acciones, bonos, letras hipotecarias, instrumentos de corto plazo, etc. Las Acciones comunes son valores emitidos por empresas constituidas como sociedades an´onimas que otorgan algunos derechos a sus propietarios, como participar en el capi- 15 tal y utilidades de la empresa, votar en las juntas generales de accionistas, fiscalizar la gesti´on de los negocios de la empresa, entre otros. Los Bonos son valores que representan una deuda contra´ıda por una empresa o depen- dencia gubernamental y que pagan una renta fija, es decir, redit´uan intereses a una tasa definida que puede ser fija, variable o reajustable, lo importante es que dicha tasa ha sido establecida desde el momento en que se produce la emisi´on de estos valores. La diferencia entre una acci´on y un bono u obligaci´on radica en que con la acci´on se es due˜no de los activos de la empresa, mientras que en el caso de poseer un bono u obligaci´on solamente se adquiere o compra parte de la deuda de la empresa o entidad emisora. Los Dividendos son parte de las utilidades, que se destina para distribuir entre los ac- cionistas despu´es de atender las reservas legales estatutarias y voluntarias. Puede ser en acciones o en efectivo. [9]

Se definir´an algunos t´erminos financieros:

1. Activo: Es cualquier posesi´on que pueda producir beneficios econ´omicos, que pueden ser acciones, derivados, bonos, etc. Otros ejemplos de activos son los´ındices de los mercados, por ejemplo el ´ındice Merval, o el Nasdaq 100. Otros tipos de activo son las monedas extranjeras.

2. Derivado: Es un instrumento financiero, cuyo precio depende, o se deriva, del precio de otro activo.

3. Mercados: Son los lugares donde se realizan las transacciones financieras.

4. Subyacente: En un determinado mercado, as´ıse denomina a los activos que en ´el pueden comercializarse.

5. Activo subyacente: Es un activo real o financiero que cotiza el mercado burs´atil.

6. Portafolio: es un conjunto de activos. Los grandes inversores poseen portafolios con varios activos tanto para especular con m´as ganancias, corno para respaldarse ante la eventual baja de alguno de ellos. 16

7. Costos de Transacci´on: Es el costo de realizar una operac1on. Adem´as, depende si es una transacci´on de un activo subyacente o un derivado, si se trata de una compra o una venta, de la cantidad del inversor, etc. En general trabajaremos sin estos costos para facilitar c´alculos.

8. Posici´on de la Inversi´on: Se dice que en una inversi´on se toma una posici´on long cuando se compra y se dice que se toma una posici´on short cuando se vende, a´un cuando no se tenga posesi´on del activo, lo cual no es intuitivo, pero totalmente v´alido en el mercado.

9. Tasa de Inter´es Libre de Riesgo: A nivel internacional la tasa libre de riesgo son los bonos del tesoro del gobierno de Estados Unidos (Treasury Bond). A nivel del Per´u, la tasa libre de riesgo, es el precio de los bonos soberanos emitidos por la Rep´ublica del Per´u.

10. Rentabilidad: Es la ganancia relativa de una inversi´on, es decir, si llamamos lo a la inversi´on inicial, y h a lo que se obtiene a un tiempo T, la rentabilidad R es:

I I R = T − 0 I0

mientras que en tiempo continuo:

I R = ln T I0

11. Opci´on: Es un contrato que le da a su poseedor el derecho, pero no la obligaci´on, de negociar un activo subyacente a un precio de mercado S, por un precio de ejercicio K en una fecha de expiraci´on t.

Las opciones financieras pueden ser de dos tipos:

1. La opci´on de compra (Call Option): Da a su poseedor el derecho, m´as no la obligaci´on a comprar un activo en una fecha determinada a un precio determinado.

2. La opci´on de venta (Put Option): Da a su poseedor el derecho, m´as no la obligaci´on a vender un activo en una fecha determinada a un precio determinado. 17

La fecha especificada en el contrato se conoce como Fecha del Vencimiento (ex- piration date, exercise date, strike date, o maturity). El precio especificado en el contrato se conoce como Precio de Ejercicio (exercise price o strike price).

Adem´as las opciones se clasifican de acuerdo al tiempo en que pueden ser ejercidas, indistintamente con la ubicaci´on geogr´afica, en:

1. Opciones Europeas: Son opciones que s´olo pueden ser ejercidas en la fecha de vencimiento.

2. Opciones Americanas: Son opciones que pueden ser ejercidas en cualquier momento hasta su fecha de vencimiento. La mayor´ıade las opciones negociadas en los mercados de opciones son las Opciones Americanas. Sin embargo, las Opciones Europeas son generalmente m´as f´aciles de analizar que las Opciones Americanas, y algunas propiedades de ´estas ´ultimas son frecuentemente deducidas de sus an´alogas las Europeas.

Los Sucesos: Es cada uno de los posibles resultados que se pueden producir en una experiencia aleatoria. Veamos algunos ejemplos de sucesos:

Al lanzar un dado que salga 6.

Al lanzar un dado que salga 2.

Al lanzar una moneda que salga cara.

Al elegir un n´umero entre 1 y 10 al azar salir el 7.

Cada uno de los resultados anteriores se˜nalados en negrita se considera un suceso.

Ejemplos y Tipos de Sucesos: Veamos a continuaci´on los diferentes tipos de sucesos con ejemplos:

Suceso Determinista o Seguro: es aquel suceso cierto o seguro. Al tirar un dado de 6 caras obtener un resultado menor que 7 18

Suceso Imposible: es aquel suceso que es imposible que ocurra. Al tirar un dado de 6 caras obtener un resultado mayor que 7

Sucesos Dependientes: sucesos cuya probabilidad se ve condicionada por otros. La probabilidad de sufrir una enfermedad pulmonar est´acondicionada por ser fumador. La probabilidad de tener un buen trabajo est´acondicionada por haber sido buen estudiante. Al tirar un dado, la probabilidad de obtener 6 est´acondicionada si sabemos que ha sido par.

Sucesos Independientes: sucesos cuya probabilidad no es afectada por otros. Al tirar un dado por segunda vez, su resultado es independiente del resultado del primer tiro.

Suceso Elemental: cada uno de los sucesos que forman un espacio muestral. El espacio muestral de tirar una moneda es cara, cruz ya que est´a formado por los sucesos elementales cara y cruz

Suceso Compuesto: grupo de sucesos elementales pertenecientes al espacio mues- tral. Ejemplos: El espacio muestral de tirar un dado es 1, 2, 3, 4, 5, 6 . { } El suceso “salir un n´umero par” es un suceso compuesto formado por el grupo de sucesos elementales 2, 4, 6 { } Sucesos Compatibles: tienen alg´un suceso elemental en com´un. Al tirar un dado, el suceso “obtener un n´umero par” 2, 4, 6 es compatible con el { } suceso “obtener un n´umero mayor de 3” 4, 5, 6 ya que ambos tienen en com´un { } dos sucesos elementales 4, 6 { } Sucesos Incompatibles: no tienen ning´un suceso elemental en com´un. Al tirar un dado, el suceso “obtener un n´umero impar” 1, 3, 5 es incompatible { } 19

con el suceso “obtener un n´umero mayor de 5” 6 ya que no tienen en com´un { } ning´un suceso elemental.

Suceso Contrario: suceso que contiene el resto de sucesos elementales. Al tirar una moneda, el suceso contrario de salir cara es salir cruz. Al tirar un dado, el suceso contrario de obtener 1, 2 es el suceso 3, 4, 5, 6 { } { } Definici´on 1.1. (Variable Aleatoria). El n´umero X(w) brinda informaci´on acerca del experimento en el espacio de probabilidad (Ω,A,P ), ello corresponde a los valores que toma una funci´on X : Ω R, la que se denomina variable aleatoria. −→ Definici´on 1.2. (El espacio muestral). El espacio muestral es una parte del espacio probabil´ıstico. Como su propio nombre indica, est´aformado por los elementos de la muestra. Al contrario, el espacio probabil´ıstico engloba todos los elementos. Incluso aunque no salgan recogidos en la muestra.

Definici´on 1.3. (S´ımbolo del espacio muestral). Se denota con la letra griega Ω (Omega). Est´acompuesto por todos los sucesos elementales y/o compuestos de la muestra y, por tanto, coincide con el suceso seguro. Es decir, aquel suceso que siempre va a ocurrir.

Un ejemplo de espacio muestral en el lanzamiento de una moneda ser´ıa:

Ω= C,X { }

D´onde C es cara y X es cruz. Esto es, los posibles resultados son cara o cruz.

Definici´on 1.4. (Espacio de probabilidad). Un espacio de probabilidad es una terna (Ω,A,P ), donde Ω es un espacio muestral y A una familia de eventos de Ω, es decir, una σ-´algebra de conjuntos de Ω. Estamos interesados en asignar a cada evento A Ω un ∈ n´umero real P (A), que llamaremos la probabilidad de A, de modo tal que se cumplan las siguientes condiciones:

1. P (A) 0 para todo A Ω. ≥ ∈ La probabilidad de un evento cualquiera es un n´umero real no negativo. 20

2. P (Ω) = 1 El evento tiene probabilidad igual a 1.

3. Si A A para n = 1, 2,... son eventos disjuntos dos a dos, es decir, tales que n ∈ A A = 0 si i = j. i ∩ j ∞ ∞ 4. P ( An)= P (An). n=1 n=1 Una terna (Ω,A,P ), formadas por un espacio muestral Ω, una familia A de eventos y una probabilidad ? se llama un espacio de probabilidad.

1.2.4 Bolsa de valores de Lima

La Bolsa de Valores de Lima (BVL) es una empresa privada que facilita la negociaci´on de valores inscritos en Bolsa, ofreciendo a los participantes (emisores e inversionistas) los servicios, sistemas y mecanismos adecuados para la inversi´on de manera justa, com- petitiva, ordenada, continua y transparente. La Bolsa de Valores de Lima es d´onde cotizan las diferentes empresas a partir de sus acciones dentro del mercado financiero peruano. La BVL participa en empresas estrat´egi- cas como DATATEC (datos t´ecnicos S.A.), se trata de una empresa que brinda servicios de informaci´on y mercados financieros electr´onicos mediante el Sistema de Mercados Fi- nancieros BVL, SMF DATATEC, se utiliza en la Tesorer´ıade los Bancos, AFPs, Fondos Mutuos y compa˜n´ıas de seguros. A˜nadidamente, la Bolsa de Valores de Lima posee el 93.83 % de acciones de CAVALI (Caja de Valores de Lima), encargada de administrar eficientemente el registro, com- pensaci´on, liquidaci´on y custodia de los valores que se negocian en el mercado peruano de capitales. La misi´on de la bolsa de valores de Lima es contribuir al desarrollo del Per´u, liderando el crecimiento del mercado de capitales, promoviendo e incentivando el financiamiento y la inversi´on a trav´es de instrumentos del mercado de valores. La visi´on de la Bolsa de Valores de Lima es ser la puerta de acceso al Mercado de Ca- 21 pitales del Per´uy de la Regi´on. Se tomar´aen cuenta datos actuales de la Bolsa de Valores, contaba con 262 empresas de las cuales 6 est´an en liquidaci´on como se muestra en la tabla (3.5)

1.2.5 ´Indices de Bolsa

El ´Indice General de la Bolsa de Valores de Lima (IGBVL) es un indicador que mide el comportamiento del mercado burs´atil y sirve para establecer comparaciones respecto de los rendimientos alcanzados por los diversos sectores (industrial, bancario, agrario, minero, de servicios p´ublicos, etc.) participantes en la Bolsa de Lima, en un determina- do per´ıodo de tiempo. Se determina a partir de una cartera formada por las acciones m´as significativas de la negociaci´on burs´atil, seleccionadas con base en su frecuencia de negociaci´on, monto de negociaci´on y n´umero de operaciones.

IGBVL Refleja la tendencia promedio de las cotizaciones de las principales acciones ins- critas en Bolsa, en funci´on de una cartera seleccionada, que actualmente representa a las 36 acciones m´as negociadas del mercado. Su c´alculo considera las variaciones de precios y los dividendos o acciones liberadas repartidas, as´ıcomo la suscripci´on de acciones. Tiene como base 100 y fecha 30 de diciembre de 1991.

Con la finalidad de mantener constantemente actualizada la cartera del IGBVL, se ha estimado conveniente la realizaci´on de una revisi´on semestral, habi´endose definido el

02 de enero y el 1◦ de julio como las fechas para la entrada en vigencia de la cartera actualizada. Sin embargo, si las circunstancias del mercado as´ılo determinan, las carteras pueden permanecer invariables, lo que ser´acomunicado oportunamente al mercado. En la actualidad la composici´on del ´ındice es como se muestra en la siguiente Tabla (1.1) 22

Tabla 1.1: Empresas que conforman el IGBVL

Composici´on del ´Indice

Alicorp Gold Fields - La Cima Alturas Minerals Gra˜na y Montero Agroindustrial Pomalca Intergroup Financial Services Atacocha Luz del Sur Austral Group Maple Energy Banco Continental Milpo Candente Minera IRL Agroindustrial Casa Grande Minsur Cementos Lima Relapasa Cementos Pacasmayo Rio Alto Mining Cerro Verde Scotiabank Per´u Corporaci´on Aceros Arequipa SiderPer´u Corporaci´on Lindley Simsa Credicorp Southern Copper Corporation Edegel Telef´onica El Brocal Volc´an. Ferreyros 23

Tabla 1.2: Comportamiento de la acci´on evaluado en 30 d´ıas de Cementos Pacasmayo S.A.A. en el a˜no 2016

FECHA COMPORTAMIENTO DE LA ACCION´

04/01/2016 S/ 5.00 05/01/2016 S/ 4.99 06/01/2016 S/ 4.80 07/01/2016 S/ 4.55 08/01/2016 S/ 4.50 11/01/2016 S/ 4.55 12/01/2016 S/ 4.57 13/01/2016 S/ 4.60 14/01/2016 S/ 4.50 15/01/2016 S/ 4.40 18/01/2016 S/ 4.40 19/01/2016 S/ 4.40 20/01/2016 S/ 4.33 21/01/2016 S/ 4.35 22/01/2016 S/ 4.35 25/01/2016 S/ 4.35 26/01/2016 S/ 4.35 27/01/2016 S/ 4.35 28/01/2016 S/ 4.35 29/01/2016 S/ 4.50

Fuente: Bolsa de Valores de Lima 24

Figura 1.4: Comportamiento de la acci´on evaluado en 30 dias de Cementos Pacasmayo S.A.A. del a˜no 2016

1.3 Medidas de Dispersi´on

Las medidas de dispersi´on tambi´en llamadas medidas de variabilidad, muestran la va- riabilidad de una distribuci´on, indic´andolo por medio de un n´umero, cuanto mayor sea ese valor, mayor ser´ala variabilidad; cuanto menor sea, m´as homog´eneo ser´ala media. As´ıse sabe si todo los casos son parecidos o var´ıan mucho entre ellos. Las medidas de dispersi´on m´as utilizadas son: La varianza, la desviaci´on est´andar y la media aritm´etica.

Definici´on 1.5. (Varianza) La varianza es una medida de dispersi´on que representa la variabilidad de una serie de datos respecto a su media. Formalmente se calcula como la suma de los residuos al cuadrado divididos entre el total de observaciones. 25

La varianza siempre es mayor o igual que cero. Al elevarse los residuos al cuadrado es matem´aticamente imposible que la varianza salga negativa. Y de esa forma no puede ser menor que cero.

n (x X)2 i − 2 = V ar(x)= i=1 (1.1) S n Definici´on 1.6. (Desviaci´on Est´andar) La desviaci´on est´andar de una poblaci´on es normalmente representada por la letra griega (sigma) o la letra latina (S) se utiliza frecuentemente para representar la desviaci´on est´andar de una poblaci´on, mientras que s se utiliza para representar la desviaci´on est´andar de una muestra.

La f´ormula de la desviaci´on est´andar es:

X2 S = (1.2) N donde X2 representa la suma de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media (x X) y N representa el n´umero total de los valores. − Definici´on 1.7. (Media Aritm´etica Simple) Media Aritm´etica simple o promedio de un conjunto de datos, es la suma de todos ellos dividido por el n´umero de dichos datos.

As´ıen un conjunto de n elementos cuyos datos son x , x , x , , x la media aritm´etica 1 2 3 n simple representada por X, viene dado por la expresi´on.

x + x + x + + x X = 1 2 3 n (1.3) n

Volatilidad Tradicionalmente, la volatilidad involucra alguna medida de la dispersi´on en una serie, entendiendo por “dispersi´on”la variabilidad o la amplitud en los datos de la serie. La desviaci´on est´andar es la medida de dispersi´on (absoluta) m´as utilizada. La volatilidad cambia el precio de un activo durante un per´ıodo de tiempo determinado. 26

Se ha convertido en una forma popular de evaluar el grado de riesgo de un activo: cuanto mayor sea el nivel de volatilidad, mayor ser´ael riesgo asociado con el activo. Los mercados vol´atiles se caracterizan por cambios de precios extremadamente r´apidos y un alto volumen de operaciones, lo que se considera que aumenta la probabilidad de que el mercado realice movimientos de precios considerables e imprevistos. Por otro lado, los mercados con menor volatilidad tienden a permanecer estables y presentan fluctuaciones de precios menos radicales. En este estudio la volatilidad se define como la velocidad a la cual se mueve un mercado. Si en un mercado se dan grandes saltos de precio y cambios continuos en la direcci´on de estos, se dice que es un mercado Vol´atil. Aunque existen varios criterios y definiciones para medir la volatilidad, una medida tradicional es la desviaci´on est´andar de los cambios en los precios (o la desviaci´on est´andar de la variable transformada); la variable de cambios en el precio (dpt) se obtiene como el logaritmo de la primera diferencia dado por:

pt dpt = ln 100 (1.4) pt 1 ∗ − Donde pt es el precio de un producto. As´ı,la varianza de los cambios en los precios est´adada por:

T 1 σ2 = (dp µ) (1.5) T 1 t − − t=1 Donde T es el n´umero de observaciones usadas y ues el promedio estimado de los cambios en precios (dpt). Un estimado de la volatilidad de una serie es la ra´ızcuadrada de la varianza. Las ecuaciones (1.4) y (1.5) se usan para obtener la volatilidad hist´orica de cualquier variable utilizada en el sistema.

Definici´on 1.8. (La Volatilidad en los Mercados) La volatilidad se expresa en porcentaje y se calcula como la desviaci´on que registra un activo (acciones, fondos, etc.) con respecto a la media (X) de su cotizaci´on hist´orica en un periodo determinado. 27

Por lo tanto, la votalidad (σ) es representada: s σ = (1.6) X

(x X)2 − σ = N (1.7) X La volatilidad es un indicador que permite al inversor saber si se encuentra ante una acci´on que registra movimientos bruscos en su cotizaci´on.

1.4 Software Scilab

Scilab es un software matem´atico, que fue desarrollado por INRIA (Institut National de Recherche en Informatique et Automatique) y la ENPC (Ecole´ Nationale des Ponts et Chauss´ees) desde 1990. Scilab es ahora desarrollado por Scilab Consortium dentro de la fundaci´on Digiteo.

Figura 1.5: Scilab

Este software posee una extraordinaria versatilidad y capacidad para resolver problemas de matem´atica aplicada, f´ısica, ingenier´ıa, procesamiento de se˜nales y otras muchas apli- caciones. Su base la constituye un sofisticado int´erprete formado por cientos de rutinas 28 de c´alculo matricial, an´alisis num´erico y visualizaci´on gr´afica. El programa est´aconce- bido como un software abierto, es decir, que el usuario puede ampliarlo a˜nadiendo sus propias primitivas o modificando las existentes. Scilab viene con numerosas herramientas:

Gr´aficos 2-D y 3-D

Animaci´on

Algebra´ lineal

Matrices dispersas

Polinomios

Funciones racionales

Simulaci´on:

Programas de resoluci´on de sistemas de ecuaciones diferenciales (expl´ıcitas e • impl´ıcitas),

Xcos:

Simulador por diagramas en bloque de sistemas din´amicos h´ıbridos • Control cl´asico • Robusto • Optimizaci´on LMI • Optimizaci´on diferenciable y no diferenciable. • Adem´as se pueden agregar numerosas herramientas o toolboxes, los cuales definiremos m´as adelante; hechas por los usuarios como Grocer una herramienta para Econometr´ıa.

1. Los toolboxes: Scilab dispone en la actualidad de un amplio abanico de librer´ıas adicionales que 29

ampl´ıan el software, estos programas denominados “toolboxes¸cubren ´areas espec´ıfi- cas en los campos de la matem´atica, la ingenier´ıa, simulaci´on, etc. En la tabla (1.3) se describe algunos de ellos:

Tabla 1.3: Algunos Toolbox

Toolbox Descripci´on

ANN An´alisis de Redes Neuronales EVOL Algoritmos Evolutivos FABBRI Manipulaci´on de Im´agenes

FEM−Post Detecci´on de Fallos FISLAB Inferencia en L´ogica Borrosa. FREEFEM Elementos Finitos 2D FSQP Procesos de Optimizaci´on. HMM Modelos de Markov. LIPSOL Programaci´on Lineal. Plotting library Gr´aficos al estilo Matlab

2. Funciones Elementales: Hay numerosas funciones de Scilab para el manejo de matrices. Algunas de las m´as usadas son:

rank(a) calcula el rango de a.

det(c) determinante de una matriz cuadrada c.

inv(c) inversa de una matriz cuadrada e invertible c.

rref(a) matriz escalonada reducida por filas equivalente a a.

diag(c) produce un vector columna con los elementos diagonales de la matriz cuadrada c.

diag(x) produce una matriz diagonal con los elementos del vector (fila o co- lumna) x.

y = sort(x) ordena el vector x de manera decreciente.

[y,k]= sort(x): y es el vector ordenado de manera decreciente, k es un vector que contiene los ´ındices del ordenamiento, o sea, y = x(k). 30 b = sort(a) ordena la matriz a de manera decreciente, considerando cada matriz como un vector formado por la primera columna, la segunda columna, ..., la ´ultima columna. b = sort(a, ‘r’) ordena la matriz a de manera decreciente por columnas. Aunque ‘r’ tiene un significado interno de filas, el resultado externo es un ordenamiento de las columnas. b = sort(a, ‘c’) ordena la matriz a de manera decreciente por filas. Aun- que ‘c’ tiene un significado interno de columnas, el resultado externo es un ordenamiento de las filas. m = max(x) calcula el m´aximo del vector (fila o columna) x.

[m, k] = max(x): m es el m´aximo del vector x, k indica la posici´on donde est´ael m´aximo. m = max(a) calcula el m´aximo de la matriz a.

[m, k] = max(a): m es el m´aximo de la matriz a, k es un vector 1x2 e indica la posici´on donde est´ael m´aximo. m = max(a, ‘r’) : m es un vector fila (row) que contiene los m´aximos de las columnas de a.

[m, k] = max(a, ‘r’) : m es un vector fila que contiene los m´aximos de las columnas de a, k es un vector fila que contiene las posiciones de los m´aximos. min: semejante a max pero para el m´ınimo. m = mean(x): calcula el promedio del vector (fila o columna) x. m = mean(a): calcula el promedio de la matriz a. m = mean(a, ‘r’) : m es un vector fila (row) que contiene los promedios las columnas de a. m = mean(a, ‘c’) : m es un vector columna que contiene los promedios las filas de a. median: semejante a mean pero para la mediana. 31

st-deviation: semejante a mean pero para la desviaci´on est´andar.

sum: semejante a mean pero para la suma.

prod: semejante a mean pero para el producto.

norm(x): calcula la norma euclidiana del vector x (fila o columna).

norm(x, p): calcula la norma lp del vector x.

norm(a) = norm(a, 2) calcula, para la matriz a, la norma matricial generada por la norma euclidiana, o sea, el mayor valor singular de a.

norm(a, l): calcula, para la matriz a, la norma matricial generada por la

norma l1 .

1.4.1 Descripci´on del algoritmo en el Software scilab

Para describir el uso del Software scilab se tomar´acomo ejemplo el desarrollo para la empresa Cementos Pacasmayo S.A.A, Se tendr´aen cuenta los datos de las acciones diarias en el transcurso de un a˜no. El c´odigo de scilab comenzaremos definiendo los par´ametros en este caso T (per´ıodo de tiempo) =0.11541, PIP(1) precio inicial de la acci´on de la empresa Cementos Pacasmayo el cual ser´ael ´ultimo valor de a˜no 2017, sigP es la volatilidad µ, muP es el promedio de variaci´on diaria, WP(1) representa al browniano en este caso cuando t=1 ser´acero y cuando t(1) est´adado en d´ıas este ser´acero. Se considera los siguientes par´ametros:

T = 0.1154, PIP (1) = 8.15, SigP = 0.0939, muP =0..0071, WP (1) = 0, t(1) = 0

Para calcular SigP se tendr´aque calcular la variaci´on est´andar del valor de las acciones sobre su promedio. Si faltara un d´ıaque no se cotiz´oen la bolsa de valores se le asignar´a a este el d´ıaanterior, por decir si no hubiera el dato del d´ıalunes se le asignar´ael d´ıaviernes anterior.

1T=30/260, 30 d´ıas a evaluar y 260 son los d´ıas transcurridos en el a˜no 2017 32

Luego de haber definido los par´ametros introdujimos la noci´on de ciclo o “loop”para intervalos de tiempo T, for contador=vector con los valores que puede tomar el contador. Se realizar´an 1000 repeticiones para 30 d´ıas lo cual se escribir´ade la siguiente manera:

for m=1:1000 for i=1:30

La ecuaci´on WP(i+1) y la ecuaci´on del precio de las acciones, SP(i+1) que es la soluci´on de la ecuaci´on estoc´astica que representa el movimiento Browniano Geom´etrico, luego se escribir´ados veces end. Luego se obtendr´ala media de las 1000 repeticiones:

M(1)=0 medP(1)=PIP(1) for x=1:30 M(x+1)=x medP(x+1)=mean(PIP(x+1,: ) ) end

Se obtendr´alas aproximaciones de los primeros treinta d´ıas del a˜no 2018 y la gr´afica correspondiente mostrada por el software scilab. Cap´ıtulo 2: Movimiento Browniano

El modelo matem´atico de Black-Scholes es una adaptaci´on del Movimiento Browniano Geom´etrico sobre las acciones de una empresa para predecir el precio siguiente de dichas acciones, a trav´es de un proceso estoc´astico.

Teorema 2.1. (Regla de la Cadena). Sean f : X R, g : Y R, a X X′, −→ −→ ∈ ∩ b Y Y ′, f(X) Y y f(a) = b. Si f es derivable en el punto a y g derivable en el ∈ ∩ ⊂ punto b entonces g f es derivable en el punto a, con (g f)′(a)= g′(f(a)) f ′(a). ◦ ◦ Demostraci´on. Consideremos una sucesi´on de puntos x X a tal que l´ım x = a y escribamos n ∈ −{ } n yn = f(xn), de modo que l´ım yn = b. Sean N = n N : f(x ) = f(a) y N = n N : f(x ) = f(a) . Si n N , entonces 1 { ∈ n } 2 { ∈ n } ∈ 1 y Y b y n ∈ −{ } g(f(x ) g(f(a)) g(y ) g(b) f(x ) f(a) n − = n − n − x a y b x a n − n − n − g(f(xn) g(f(a)) Por lo tanto, si N1 es infinito, se tiene l´ım − = g′(f(a)) f ′(a). n N1 ∈ xn a f(xn) f(a) − Si N2 es infinito se tiene l´ım − = 0, luego f ′(a) = 0. As´ı,inclusive en este n N2 ∈ xn a g(f(an) g(f(a)) − caso se tiene l´ım − =0= g′(f(a)) f ′(a). De N = N1 N2, resulta que, n N2 ∈ xn a ∪ en cualquier caso, − g(f(an) g(f(a)) l´ım − = g′(f(a)) f ′(a), n N x a ∈ n − lo que prueba el teorema. 34

Definici´on 2.1. Si f C2(D) se define el polinomio de Taylor de grado 2 en el punto ∈ p como 1 P (x) = f(p)+ f(p) (x p)+ (x p)Hf(p)(x p) 2 ∇ − 2 − − 1 = P + (x p)Hf(p)(x p) 1 2 − − Observaci´on 2.1.

Si f(x, y) es una funci´on de dos variables y p =(a, b) el polinomio de Taylor de grado 2 para la funci´on f alredeor del punto p =(a, b) es, en forma extendida, ∂f ∂f P (x) = f(a, b)+ (a, b)(x a)+ (a, b)(y b)+ 2 ∂x − ∂y − 2 2 2 1 ∂ f 2 ∂ f ∂ f 2 + 2 (x a) +2 (x a)(y b)+ 2 (y b) 2 ∂x − ∂x∂y − − ∂y −

2.1 Proceso Estoc´astico

Definici´on 2.2. (PROCESO ESTOCASTICO).´ Sea (Xt)t T es una familia de variables ∈ aleatorias Xt sobre un espacio de probabilidad com´un (Ω, F,P ), done dichas variables toman valores en un espacio medible (S, Θ) llamado ESPACIO DE ESTADOS.

1. Los elementos de S se llaman estados.

2. El conjunto T / φ se llama ESPACIO DE PARAMETROS´ del PROCESO. ∈ 3. En la mayor´ıade las veces T R o T N 0 y cada t T representa el tiem- ⊆ ⊆ ∪{ } ∈ po. Sin embargo, tambi´en hay otras interpretaciones. Usualmente observaremos proceso en S N o S R. ⊆ ⊆

Definici´on 2.3. Sea X := (Xt)t T un proceso estoc´astico definido sobre (Ω,ξ,P ), ∈ a) Si T N , entonces X se llama PROCESO CON TIEMPO DISCRETO. Como se ⊂ 0 muestra en la figura (2.1) 35

Figura 2.1: Esta funci´on es una de las posibles trayectorias del proceso estoc´astico. b) Si T es un intervalo de la recta real, entonces el proceso X se llama PROCESO CON TIEMPO CONTINUO. Como se muestra en la figura (2.2)

Figura 2.2: Cuando el tiempo se mide de manera continua con una trayectoria tambi´en continua. 36

Cada elemento w del espacio muestral tiene asociada una trayectoria del proceso estoc´astico.

En todo proceso estoc´astico a la colecci´on de valores que pueden tomar las variables aleatorias llamaremos trayectoria.

Definici´on 2.4. Sea (Xt)t T un proceso estoc´astico definido sobre (Ω,ξ,P ). Para cada ∈ w Ω fijo, la funci´on X : T S definido por X (t) = X (w), para cada t T se ∈ w −→ w t ∈ llama una TRAYECTORIA de (Xt)t T (o de w). ∈

En la figura (2.3) muestra dos trayectorias de un proceso estoc´astica para dos puntos, w y w′, de Ω.

Figura 2.3: Trayectora de un proceso estoc´astico.

Existen distintos tipos de procesos estoc´asticos. Estos se obtienen al considerar: a) Distintos espacios parametrales. b) Distintos espacios de estado. 37 c) Distintas caracter´ısticas de las trayectorias d) Distintas relaciones de dependencia estoc´astica entre las variables aleatorias que con- forman el proceso.

Algunos tipos de procesos estoc´asticos:

1. El proceso de tiempo discreto X : t =0, 1,... es una martingala si { t } E(X X = X ,...,X = X )= X . n+1| 0 0 n n n En promedio el proceso permanece constante.

2. El proceso X : t 0 es un proceso gaussiano si para cualquier tiempo t , t ,...,t , { t ≥ } 1 2 n

el vector (Xt1 Xt2 ,...,Xtn ) tiene distribuci´on gausiana o normal multivariada.

(X X ...,X n ) normal multivariada. t1 t2 t ∼ 3. El proceso X : t =0, 1,... en donde X S es discreto es un proceso Markov si t t ∈ para X0,X1,...,Xn+1) en S. P (X = X X = X ,...,X = X )= P (X = X X = X ) n+1 n+1| 0 0 n n n+1 n+1| n n 4. El proceso de Wiener o Browniano es un proceso estoc´astico en tiempo continuo que cumple con tres propiedades importantes. Primero es un proceso de Markov, esto quiere decir que la distribuci´on de probabilidad de los futuros valores del proceso depende solamente de sus valores presentes, segundo sus incrementos son independientes y tercero los cambios en el proceso en un intervalo de tiempo dado est´an normalmente distribuidos con una varianza que se incrementa linealmente con el intervalo considerado.

Definici´on 2.5. (Proceso de Markov)

Los Procesos de Markov o cadena de M´arkov es una secuencia X1,X2,X3,... de variables aleatorias. El dominio de estas variables es llamado espacio estado; el valor de Xn es el estado del proceso en el tiempo n. Si la distribuci´on de probabilidad condicional de

Xn+1 en estados pasados es una funci´on de Xn por s´ısola, entonces:

P (Xn+1 = xn+1 Xn = xn, Xn 1 = xn 1,...,X1 = x1)= P (Xn+1 = xn+1 Xn = xn). | − − | 38

Donde Xi es el estado del proceso en el instante i. La identidad mostrada es la propiedad de Markov. Un proceso de Markov tiene la propiedad de que la probabilidad de comportamiento futuro est´atotalmente definida si se conoce el estado actual. El conocimiento de estados previos al actual no altera la probabilidad de comportamiento futuro.

Definici´on 2.6. (Proceso Wiener) El proceso de Wiener, es un tipo de proceso Estocastico de Markov, el cual se ha usado en f´ısica para describir el movimiento Browniano de una part´ıcula que esta sujeta a un gran numero de peque˜nos “shoks”moleculares. El comportamiento de una variable z, que sigue el proceso de Wiener puede ser entendida al considerar los cambios en su valor en peque˜nos intervalos de tiempo. Existen dos propiedades b´asicas que debe cumplir la variable z para seguir un proceso de Wiener.

Propiedad 1: El cambio en Z estar´aasociado con el cambio en t mediante la siguiente ecuaci´on: Z = ε t (2.1) △ △ Donde:

t = Intervalo de tiempo △ Z = Cambio en la variable z durante t. △ △ ε = Coeficiente aleatorio que tiende a una distribuci´on normal N(0, 1)

Propiedad 2: Los valores de Z para dos intervalos diferentes del tiempo t △ △ son independientes. As´ıde (2.1): Z = ε√ t Se tiene que Z sigue una distribuci´on normal con: △ △ △

E( Z) =0 △ σ( Z) = √ t △ △ σ2( Z) = t △ △ Si se considera el incremento en el valor de z durante un periodo relativamente largo de tiempo, T , esto se puede denotar como z(T ) z(0). − 39

Es importante destacar que los procesos de Wiener no son diferenciables pero s´ıconti- nuos. En el l´ımite, cuando δt 0, se puede representar el incremento infinitesimal del pro- −→ ceso de Wiener en tiempo continuo como dz = εt√dt

Definici´on 2.7. (Proceso de difusi´on) Un proceso de difusi´on es un proceso de Wiener generalizado en el que los par´ametros µ y σ, son funciones continuas de la propia variable aleatoria x y tambi´en del tiempo t. Es decir, en la f´ormula:

xt = xt 1 + µ∆t + σ∆Z (2.2) −

xt xt 1 = µ∆t + σ∆Z (2.3) − − Si en la ecuaci´on anterior ∆t 0, entonces en tiempo continuo con µ = f(x, t), −→ σ = g(x, t) y adem´as dicha ecuaci´on se puede expresar en forma diferencial.

dxt = f(xt, t)dt + g(xt, t)dZ (2.4)

2.2 Movimiento Browniano

En el presente trabajo, utilizaremos un importante proceso estoc´astico denominado Mo- vimiento Browniano o proceso de Wiener. Este proceso toma valores continuos y es dependiente de la variable tiempo, la cual es considerada tambi´en continua. El Mo- vimiento Browniano es muy apropiado para describir el comportamiento de variables econ´omico-financieras, como es el caso de los activos financieros. El descubrimiento de este movimiento aleatorio se llev´oa cabo de forma intuitiva en 1827 por el bi´ologo y bot´anico escoc´es Robert Brown quien lo utiliz´opara describir el movimiento aleatorio de las part´ıculas de polen en el agua debido a la interactuaci´on de dichas part´ıculas con las mol´eculas del fluido. A este fen´omeno se le denomin´oMo- vimiento Browniano. Al principio Brown, no lograba dar con la respuesta acerca de la causa que generaba 40 el movimiento de las part´ıculas. Primero pens´oque era probable que el polen tuviera vida. Para comprobarlo, coloc´oen un envase lleno de agua un poco de polen de plantas que ten´ıan mucho tiempo muertas y pudo observar que el polen presentaba los mismos movimientos. Albert Einstein p´ublico un art´ıculo en 1905,donde explic´oc´omo el movimiento que Brown hab´ıaobservado era el resultado del polen siendo movido por mol´eculas de agua individuales. Einstein relacion´oconceptos ya existentes y con su genialidad pudo encontrar una forma de demostrar la existencia de los ´atomos, resulta un tanto complicado detallar todas las caracter´ısticas de su razonamiento, pero podemos resumir las conclusiones de la siguiente manera:

El calor o el aumento de la temperatura no es m´as que la vibraci´on de los ´atomos. A mayor temperatura, mayor movimiento at´omico.

Los ´atomos golpean a las part´ıculas por todos lados, y la suma de todas estas fuerzas mueven a las part´ıculas en una direcci´on o en otra.

Su teor´ıano solo logr´oexplicar el Movimiento Browniano sino que sus observaciones han sido utilizadas para diferentes ramas de la ciencia, basados en procesos estad´ısticos. M´as tarde esta teor´ıafue verificada por El f´ısico franc´es Jean Perrin (1870-1942) en el a˜no de 1908 y que lo hizo merecedor de un premio nobel de f´ısica, dio una bella des- cripci´on de este fen´omeno: “En un fluido en equilibrio, como el agua dentro de un vaso, todas sus partes aparecen completamente sin movimiento. Si ponemos en el agua un objeto de mayor densidad, cae. La ca´ıda, es cierto, ser´am´as lenta si el objeto es menor; pero un objeto visible siempre termina en el fondo del vaso y no tiende a subir. Sin em- bargo, ser´ıadif´ıcil examinar durante mucho tiempo una preparaci´on de part´ıculas muy finas en un l´ıquido sin observar un movimiento perfectamente irregular. Se mueven, se detienen, empiezan de nuevo, suben, bajan, suben otra vez, sin que se vea que tiendan a la inmovilidad.” Fue en 1920 aproximadamente que Norbert Wiener consigui´oformalizar matem´atica- 41 mente el concepto de Movimiento Browniano y es por ello que, a menudo, se le denomine tambi´en proceso de Wiener.

Figura 2.4: Simulaci´on del Movimiento Browniano.

En la figura (2.4) muestra la simulaci´on del movimiento Browniano que realiza una part´ıcula de polvo que colisiona con un gran conjunto de part´ıculas de menor tama˜no (mol´eculas de gas) las cuales se mueven en diferentes velocidades en direcciones aleato- rias. Un proceso aleatorio que describe el comportamiento de ciertas variables aleatorias a medida que se desplazan en el tiempo. Este proceso se utiliza frecuentemente en los mo- delos financieros para describir la evoluci´on de los precios a lo largo del tiempo. Cuando se aplica a los precios, el movimiento browniano da por supuesto que el cambio de un per´ıodo de tiempo al siguiente no est´arelacionado ni con el nivel de precios ni con las series pasadas de cambios de precio. Es decir, cada cambio de precio es independiente de los cambios de precio anteriores y la volatilidad de los cambios de precio es constante.

Definici´on 2.8. (Movimiento Browniano Aritm´etico) El Movimiento Browniano Aritm´etico se expresa mediante la ecuaci´on:

St = St 1 + µ∆t + σ∆Z (2.5) − 42

St St 1 = µ∆t + σ∆Z − −

dZ = ξt√∆t, ε : N(0, 1)

dS = µdt + σdZ dS : N(µdt, σ√dt)

Donde S representa el valor de un activo, µ es el rendimiento esperado del activo dt es el intervalo temporal, σ es la volatilidad esperada del proceso y dZ es un incremento del proceso de Wiener de distribuci´on normal con media 0 y varianza T .

Movimiento Browniano Geom´etrico Este modelo creado por Samuelson (1965) y usado para el proceso de difusi´on de valor subyacente en la formula de Black-Scholes, se adapta mucho mejor a la simulaci´on de evoluci´on de los precios de los activos financieros. En un movimiento geom´etrico browniano se modeliza el precio del activo a trav´es de una distribuci´on lognormal y dadas las propiedades de esta distribuci´on el precio del activo no puede tomar valores negativos y en cambio su rendimiento si lo puede hacer correspondiendo a una distribuci´on normal. Este modelo es el m´as com´unmente utilizado en la simulaci´on del comportamiento de los activos financieros.

Definici´on 2.9. (Movimiento Browniano Geom´etrico)

Un proceso estoc´astico unidimensional St t 0 es un Movimiento Browniano Geom´etrico { } ≥ se expresa como:

St = St 1 + µSt 1dt + σSt 1dZ (2.6) − − −

St St 1 = µSt 1dt + σSt 1dZ − − − −

dS = µSdt + σSdZ (2.7)

σ2 (µ )dt+σdZ St = St 1e − 2 − Siendo dZ = ε√dt, ε : (0, 1) dS = N(µdt, σ√dt) s 43

Este hecho ser´autilizado para estudiar la rentabilidad de una acci´on cuando S representa el valor del activo, µ es la derivada o rendimiento esperado del activo dt es el intervalo temporal sigma es la volatilidad esperada y dZ es un incremento de un proceso de Wiener de distribuci´on normal con media 0 y varianza T .

Uno de los resultados m´as importantes del c´alculo estoc´astico es el denominado Lema Ito que permite determinar el comportamiento de una variable que sea, asu vez, funci´on de otra variable que siga un proceso de difusi´on.

Definici´on 2.10. (Lema de Ito) Sea S una variable que sigue un proceso de difusi´on de la forma:

dS = f(S, t)dt + g(S, t)dZ (2.8) donde dZ es un proceso de Wiener, f(S, t) y g(S, t) son funciones de S y t. Sea V : R2 R, una funci´on de dos variables que toma valores reales de clase C2 en su −→ ∂F ∂F ∂2F dominio, dado por V = F (S, t), (S, t), (S, t) y (S, t) existan y sean continuas. ∂t ∂S ∂S2 Entonces, la din´amica de V estar´adada por una ecuaci´on diferencial estoc´astica de la forma ∂F ∂F ∂F 1 ∂2F dV = g(S, t) dZ + + f(S, t) + g(S, t) 2 dt (2.9) ∂S ∂t ∂S 2 ∂S El primer t´ermino es estoc´astico y el segundo es determin´ıstico

Demostraci´on. De la ecuaci´on (2.6) del movimiento browniano se puede expresar como un proceso de difusi´on de la ecuaci´on (2.7) donde:

f(S, t)= µS y g(S, t)= σS

Si V = F (S, t) por Taylor se tiene:

∂F ∂F F (S + dS,t + dt) F (S, t)= (S, t)dS + (S, t)dt+ − ∂S ∂t

2 2 2 1 ∂ F 2 ∂ F ∂ F 2 + 2 (S, t)dS +2 (S, t)dSdt + 2 (S, t)dt + R2 (2.10) 2 ∂S ∂t∂S ∂t 44

Pasando al l´ımite el resto tiende a cero y algunos t´erminos de mayor orden tambi´en. Para tener idea del porque tengamos presente que

dZ2 dt ≈

Por (2.7) dS2 = µ2S2dt2 +2µσS2dtdZ + σ2S2dZ2

El ´ultimo de los t´erminos es el ´unico que sobrevive es decir dS2 = σ2S2dZ2 y como dZ2 dt entonces dS2 = σ2S2dZ2 Luego reemplazamos dS2 como corresponde en ∼ (2.10) ∂F ∂F F (S + dS,t + dt) F (S, t)= (S, t)dS + (S, t)dt+ − ∂S ∂t 2 1 ∂ F 2 2 + 2 (S, t)σ S dt + R2 (2.11) 2 ∂S y tambi´en reemplazamos dS

∂F ∂F F (S + dS,t + dt) F (S, t)= (S, t)(µSdt + σSdZ)+ (S, t)dt+ − ∂S ∂t 2 1 ∂ F 2 2 + 2 (S, t)dσ S dt + R2 2 ∂S

∂F ∂F ∂F = σS (S, t)dZ + (S, t)+ µS (S, t)+ ∂S ∂S ∂S 2 1 ∂ F 2 2 + 2 (S, t)dσ S dt + R2 2 ∂S luego el l´ım F (S + dS,t + dt) F (S, t)= t 0 −→ − 2 ∂F ∂F ∂F 1 ∂ F 2 2 l´ım σS (S, t)dZ + (S, t)+ µS (S, t)+ (S, t)dσ S dt + R2 t 0 2 −→ ∂S ∂S ∂S 2 ∂S Se tiene que V = F (S, t) es un proceso de difusi´on cuya diferencial estoc´astica viene determinado por:

2 ∂F ∂F ∂F 1 2 2 ∂ F dV = σS (S, t)dZ + (S, t)+ µS (S, t)+ σ S 2 (S, t) dt (2.12) ∂S ∂t ∂S 2 ∂S 45

2.2.1 Aplicaci´on del Lema de Ito al Estudio del M.B. Geom´etrico

Usaremos el lema de Ito para deducir el proceso seguido por ln(S) cuando satisface la ecuaci´on (2.8). Definamos: V (S, t)= ln(S) con lo que se obtiene las derivadas:

∂V 1 ∂V 1 ∂V = ; = 2 ; =0 ∂S S ∂S − S ∂t como suponemos que V satisface el lema de Ito, entonces de la ecuaci´on (2.12) se tiene: 1 1 2 2 1 1 dV = µS( S )+ 2 σ S ( S2 ) dt + σS( S ) dZ −

1 2 dV = µ 2 σ dt + σdZ (2.13) − con µ y σ constantes, por lo que esta ecuaci´on indica que V = ln(S) sigue un proceso de Wiener generalizado con tasa de deriva µ 1 σ2 y varianza σ2, ambas constantes. − 2 El cambio en ln(S) entre el tiempo cero y el tiempo T es, por lo tanto, una distribuci´on normal con media (µ 1 σ2)T y varianza σ2T . − 2 Esto significa que: ln(S ) N(ln(S )+(µ 1 σ2)T, σ2T ) T ∼ 0 − 2 donde ST es el precio del activo en un tiempo futuro T y S0 es el precio inicial del activo. Esta ecuaci´on nos muestra que ln(ST ) tiene distribuci´on normal. Una variable tiene distribuci´on lognormal si el logaritmo natural de esta variable est´anormalmente distribuido. Cap´ıtulo 3: Modelo matem´atico de las acciones de Cementos Pacasmayo S.A.A. y su variaci´on en el periodo 2017-2018

A pesar que el modelo de Black-Scholes refleja el precio de las acciones y se utiliza a menudo en la pr´actica tambi´en tiene sus defectos, lo que conlleva a la b´usqueda de nuevos modelos m´as realistas y complejos. Estos modelos no lo vamos a estudiar pero vamos a comentar algunos motivos de esta necesidad de mejorar el modelo de Black-Scholes tomando en cuenta el σ (volatilidad).

3.1 Deducci´on de la Ecuaci´on de Black-Scholes-Merton

Supuestos del Modelo de Black-Scholes

Ahora veremos la ecuaci´on que modela cualquier derivado financiero en la forma conti- nua. Enunciaremos las hip´otesis sobre las que se sustenta el modelo de Black-Scholes: 47

El precio de un activo subyacente sigue un movimiento browniano geom´etrico.

dS = Sµdt + SσdZ

Es decir, el precio del activo es lognormal.

La tasa de inter´es libre de riesgo µ y la volatilidad σ del activo se suponen cons- tantes durante el tiempo que dura la opci´on.

No hay costos de transacci´on asociados a la cobertura del portafolio. Es decir, no existen comisiones e impuestos.

El activo subyacente no paga dividendos durante la vida del contrato de la opci´on.

No hay posibilidad de arbitraje. La ausencia de arbitraje significa que todos los portafolios libres de riesgo deben tener el mismo retorno, es decir los mercados est´an en equilibrio.

La compra y venta del activo toma lugar continuamente. Es decir, no hay s´abados, domingos y feriados.

La venta y los activos son divisibles. Asumimos que podemos comprar y vender cualquier numero (no necesariamente entero) del activo subyacente y que esta permitido vender aunque no tengamos posesi´on; es decir, se trata de un mercado completo.

Sea V (S, t) el valor de un derivado estilo europeo, en el instante t cuando el precio del activo subyacente es S > 0. Construiremos un portafolio P libre de riesgo de la siguiente manera ∆ Unidades del activo (Compra) P =   1 Derivado (V enta) cuyo valor es = ∆S V cuando el valor del activo sube, y = ∆S V cuando u u − u d d − d el valor del activo baja. La estrategia es igualar u a d; es decir, encontraremos un ∆ tal que el portafolio tenga riesgo 0. Entonces, al igualar nos queda 48

∆S V =∆S V u − u d − d ∆S ∆S =V V u − d u − d ∆(S S ) =V V u − d u − d V V δV ∆ = u − d = S S δS u − d lo que tomando el l´ımite cuando δS tiende a 0 resulta

∂V ∆= (3.1) ∂S que es la variaci´on del valor del derivado con respecto a S y es una medida de correlaci´on entre los movimientos del derivado y los del activo subyacente.

En general, el valor del portafolio es = ∆S V , con lo cual − d = ∆dS dV −

d = ∆(Sµdt + SσdZ) dV (3.2) − Suponemos que V tambi´en cumple los supuestos enunciados anteriormente, por lo que satisface las hip´otesis del Lema de Ito, as´ıque tenemos una expresi´on para dV de (2.12). Obtenemos de (3.1)

∂V ∂V 1 2 2 ∂2V ∂V dV = ∂t + µS ∂S + 2 σ S ∂S2 dt + σS ∂S dZ Separando la parte determin´ıstica de la estoc´astica resulta

∂V ∂V ∂V ∂V 1 2 2 ∂2V d = ∆σS σS ∂S dZ + ∆µS ∂t µS ∂S µ ∂S 2 σ S ∂S2 dt − − − − − ∂V y sustituyendo ∆ = ∂S obtenido anteriormente, la ecuaci´on queda ´unicamente deter- min´ıstica. ∂V 1 2 2 ∂2V d = ∂t + 2 σ S ∂S2 dt (3.3) − Adem´as la ganancia de invertir π a una tasa sin riesgo r, durante un intervalo de tiempo dt, ser´ıa rπdt. Entonces asumiendo que no existe oportunidad de arbitraje y que no hay costos de transacci´on, se tendr´ıaque

d = rdt (3.4) 49 igualando (3.3) y (3.4) se llega a

∂V 1 2 2 ∂2V r dt = ∂t + 2 σ S ∂S2 dt − ∂V Simplificando dt y sustituyendo = ∆S V , = S V , nos queda − ∂S − ∂V ∂V 1 2 2 ∂2V r ∂S S V = ∂t + 2 σ S ∂S2 − −

∂V ∂V 1 2 2 ∂2V Sr Vr = σ S 2 ∂S − − ∂t − 2 ∂S Finalmente, despejando rV , llegamos a la ecuaci´on de Black-Scholes:

∂V 1 2 2 ∂2V ∂V ∂t + 2 σ S ∂S2 + rS ∂S = rV (3.5)

Con S = St es el precio del activo µ el rendimiento esperado, σ es la volatilidad y r la tasa de inter´es. Esta es la ecuaci´on de Blach-Scholes la cual ha sido ampliamente usada para la valori- zaci´on de opciones de compra y venta.

3.2 Ecuaci´on Black-Scholes

Obtendremos la soluci´on de la ecuaci´on de Black-Scholes para el caso de una opci´on call europea sobre un activo de precio S con precio de ejercicio K y tiempo de expiraci´on T . En este caso llamaremos V = C, la ecuaci´on (3.5) resulta

∂C 1 2 2 ∂2C ∂C + σ S 2 + rS rC =0 ∂t 2 ∂S ∂S − con las condiciones de frontera

C(0, t)=0 C(S, t) ∼ S si S −→ ∞ ya que cuando el precio del activo es nulo, tambi´en debe serlo el de la opci´on (es claro que no se va a ejercer). Y cuando el precio tiende a infinito S K se va a aproximar a S. − 50

Tambi´en recordemos la condici´on final, es decir, el PAY-OFF (Periodo de amortizaci´on de una deuda o periodo de recuperaci´on de una deuda o de una inversi´on) de la opci´on.

C(S, T ) = m´ax S K, 0 { − }

Con todo lo anterior, podemos describir el modelo de la siguiente manera:

2 ∂C 1 2 2 ∂ C ∂C + σ S 2 + rS rC =0 S (0, ), t [0, T )  ∂t 2 ∂S ∂S − ∈ ∞ ∈  C(S, T ) = m´ax S K, 0 S (0, )   { − } ∈ ∞ (3.6)  C(0, t) =0 t [0, T ) ∈  C(S, t) S t [0, T ), S   ≈ ∈ −→ ∞  Nos concentraremos en las dos primeras ecuaciones de (3.6), pues posteriormente vere- mos que las ´ultimas dos, que describen el comportamiento de C en los bordes, tambi´en se van a satisfacer. Entonces nuestro modelo queda como sigue:

2 ∂C 1 2 2 ∂ C ∂C + σ S 2 + rS rC =0 S (0, ), t [0, T )  ∂t 2 ∂S ∂S − ∈ ∞ ∈ (3.7)  C(S, T ) = m´ax S K, 0 S (0, ) { − } ∈ ∞ 

3.3 Modelo para el Precio de un Activo

Bajo ciertas hip´otesis sobre el mercado, el modelo sugerido por Black y Scholes describe el comportamiento del precio del activo subyacente. Estas hip´otesis son:

Las transacciones no tienen costo y son instant´aneas.

Se supone que no existe arbitraje, es decir, en ning´un momento es posible obtener un beneficio sin asumir riesgo alguno.

Observaci´on 3.1. El modelo de Black-Scholes tiene un continuo de periodos t [0, T ] ∈ y consta de dos activos: 51

S =(St)t [0,T ] que evoluciona en forma determin´ıstica seg´un la ley: ∈

dSt = rdt S0 =1 St donde r es la tasa de inter´es por la unidad de tiempo. S representa un bono.

rt La soluci´on es St = S0e , donde S0 es condici´on inicial, es un monto inicial deposi- tado o pedido prestado. Algunos autores lo llaman cuenta monetaria de mercado, reservando el t´ermino bono, m´as bien, para un tipo de contrato financiero que pro- mete un pago seguro en una fecha futura, como los bonos que emiten los estados por ejemplo.

El precio de la acci´on S =(St)t [0,T ] es la evoluci´on aleatoria, ∈ dS t = µdt + σdZ St donde µ es la rentabilidad del activo, σ la volatilidad y Z es un proceso de Wiener. La soluci´on de la ecuaci´on fue introducida por primera vez por el economista Samuelson en (1965) y es incorporada luego por Black-Scholes en su art´ıculo en (1973), donde publican su famosa f´ormula que establece el precio de una opci´on Europea.

El modelo de Black-Scholes considera un activo con riesgo (el activo subyacente) con

0 precio St al tiempo t, y un activo sin riesgo con precio St al tiempo t.

Adem´as, para describir el comportamiento de St , supone que este satisface una Ecuaci´on Diferencial Estoc´astica de tiempo continuo. Tambi´en se supone que el precio del activo sin riesgo satisface la siguiente ecuaci´on diferencial ordinaria.

0 0 dSt = r(t)St dt, (3.8)

0 Donde r(t) es una tasa de inter´es libre de riesgo. Si se pone S0 = 1 en la ecuaci´on (3.8), se obtiene que:

t 0 0 St = exp r(t)dt ,St = exp(rt) si r es constante. 0 52

Para describir el precio del activo, en el modelo de Black-Scholes se descompone el

dSt rendimiento St como la suma de un t´ermino determinista µdt, y un t´ermino aleatorio

σttdWt, en el cual se modelan las variaciones del precio debido a causas externas. De manera m´as precisa, en el modelo de Black-Scholes se supone que el precio del activo con riesgo es una soluci´on de la siguiente Ecuaci´on Diferencial Estoc´astica.

dS = µS d + σS dZ , t [0, T ] (3.9) t t t t t ∈ donde Zt es un movimiento de Wiener est´andar en un espacio de probabilidad , A, P , σ es la volatilidad (una medida de la incertidumbre en el precio) y µ el drift (una tasa de crecimiento promedio del precio).

F (t, y)= yt = ln(St)

Hallamos las derivadas: ∂y = 0 ∂t ∂y 1 = ∂xt St ∂2y 1 2 = - 2 ∂xt St

Donde dXt es un proceso de Wiener. Si f(t, x) es una funci´on escalar doblemente dife- renciable, su expansi´on en serie de Taylor es:

∂f ∂f ∂2f df = dt + dx + dx2 + ... ∂t ∂x ∂x2 sustituyendo dx por µStdt+σStdZ tenemos:

∂f ∂f 1 ∂2f 2 df = dt + µStdt + σStdZ + 2 µStdt + σStdZ + ... ∂t ∂x 2 ∂x

2 ∂f ∂f 1 ∂ f 2 2 2 2 2 2 df = dt + µStdt + σStdZ + 2 µ St dt +2µσStdtdZ + σ St dZ + ... ∂t ∂x 2 ∂x 53

En el Limite t 0, los t´erminos t y tdZ tienden a cero m´as r´apido que dX2, que es la −→ t (dt). Configuraci´on de los t´erminos t2 y tdZ a cero, reemplazando t por dZ2 y recogiendo t´erminos de dt y dZ por dX, obtenemos

2 2 ∂f ∂f σ 2 ∂ f ∂f df = + µSt + St 2 dt + σSt dXt ∂t ∂x 2 ∂x ∂x como se requiere:

2 1 σ 2 1 1 d(ln(St)) = 0+ µSt( )+ St ( 2 ) dt + σSt dXt St 2 −St St

σ2 d(ln(S ))=(µ )dt + σdX (3.10) t − 2 t La interpretaci´on de la diferencial estoc´astica es:

t σ2 t ln(St) ln(S0)= (µ )dt + σdXt (3.11) − 0 − 2 0

2 ln(S )= ln(S )+(µ σ )t + σX (3.12) t 0 − 2 t El precio del activo sigue la evoluci´on de un proceso lognormal, en un tiempo t dado por: σ2 ln(S0)+(µ )t+σXt St = e − 2

σ2 (µ )t+σXt St = S0e − 2 (3.13)

Permitiendo esta expresi´on simular evoluciones de precios para S0, µ y σ conocidos. Podemos observar que, en ausencia de riesgo (σ = 0), el crecimiento es exponencial. Hasta este punto se cuenta con una Ecuaci´on Diferencial Estoc´astica que describe el comportamiento del precio de un activo. 54

3.3.1 La volatilidad impl´ıcita y la sonrisa de la volatilidad

La volatilidad impl´ıcita de una opci´on es el valor de la volatilidad que, introducido en la f´ormula de Black-Scholes, proporciona un precio te´orico igual al precio de mercado de la misma. La volatilidad impl´ıcita es un reflejo de las expectativas del mercado sobre la volatilidad del subyacente, por lo que com´unmente se le toma como la “volatilidad real de mercado”. Su valor est´asujeto a los cambios en los precios del subyacente y delas primas para cada nivel de precios de ejercicio, lo que significa que el cambio de valor de la volatilidad impl´ıcita refleja los efectos de oferta y demanda de las opciones (opciones con mayor demanda conducir´an a un mayor valor de sus primas). Esto quiere decir que para un conjunto de precios de ejercicio contaremos con un conjunto de volatilidades impl´ıcitas que nos permite visualizar la estructura de comportamiento del activo subyacente en relaci´on a su precio de ejercicio, y que com´unmente se le conoce como “sonrisa” o “mueca”de volatilidad. Esta relaci´on adopta usualmente dos tipos de patrones, ya sea una funci´on cuadr´atica o bien una funci´on decreciente.

Sonrisa De Volatilidad De Patr´on Cuadr´atico

Consideremos en el primer lugar el caso de que la verdadera distribuci´on del precio del subyacente tiene colas m´as “pesadas”que la distribuci´on de Black-Scholes (ver figura (3.1)). En este caso la sonrisa de volatilidad adoptar´ıaun patr´on de tipo cuadr´atico. Para comprobarlo consid´erese una opci´on de compra considerablemen- te fuera de dinero, es decir con un precio de ejercicio considerablemente mayor que el precio actual del subyacente. Esta opci´on se situar´ıaen la parte derecha del pri- mer gr´afico de la figura (3.1). Esta opci´on s´olo tendr´avalor si se produce un gran aumento en el precio del subyacente. Por tanto, su valor s´olo depender´ade la cola derecha de la distribuci´on. An´alogamente, una opci´on de venta considerablemente fuera de dinero, con precio de ejercicio considerablemente menor que el precio actual del subyacente, que se 55 Densidad Volatilidad Implícita

Precio de Ejercicio Precio de Subyacente

Figura 3.1: El gr´afico de la izquierda muestra una sonrisa de tipo cuadr´atico. El gr´afico de la derecha el histograma indica la forma que tendr´ıa en este caso la verdadera distribuci´on del precio del subyacente.

situar´ıaen la parte izquierda del primer gr´afico de la figura (3.1), s´olo tendr´avalor si se produce un gran descenso en el precio del subyacente. Por tanto, su valor s´olo depender´ade la cola izquierda de la distribuci´on. En el segundo gr´afico de la figura (3.1) el histograma muestra la forma de la ver- dadera distribuci´on de probabilidad del subyacente mientras que la l´ınea continua muestra la distribuci´on asumida por la f´ormula de Black-Scholes. Entonces, si la verdadera distribuci´on tiene colas m´as “pesadas”que la de Black-Scholes, los pre- cios de mercado de opciones fuera de dinero tender´an a ser mayores que los que se obtendr´ıan mediante la f´ormula de Black-Scholes. Equivalentemente, la f´ormula de Black-Scholes tender´aa infravalorar las opciones de compra y de venta fuera de dinero (as´ıcomo las opciones en dinero tanto de compra como de venta, por la paridad put-call), tal como se aprecia en la figura (3.1), provocando una sonrisa de volatilidad de tipo cuadr´atico. Sonrisas de volatilidad de tipo cuadr´atico tienden a observarse en los mercados de opciones sobre divisas. Seg´un Hull (2002) una posible explicaci´on estar´ıaaso- ciada con los saltos que se observan en los tipos de cambio como consecuencia de las decisiones de los bancos centrales, que tienden a aumentar la volatilidad de los tipos de cambio, aumentando tanto la probabilidad de grandes ca´ıdas como la 56

probabilidad de grandes subidas, generando distribuciones con las colas “pesadas”.

Sonrisa De Volatilidad de Patr´on Decreciente Densidad Volatilidad Implícita

Precio de Ejercicio Precio del Subyacente

Figura 3.2: El gr´afico de la izquierda muestra una sonrisa de volatilidad decreciente. En el gr´afico de la derecha el histograma muestra la forma que tendr´aen este caso la

verdadera distribuci´on del precio del subyacente, con la cola izquierda m´as “pesada 2 la cola derecha m´as “ligera”que la distribuci´on asumida por Black-scholes representada por medio de la l´ınea continua.

Consideremos ahora el caso de que la verdadera distribuci´on de probabilidad del

precio del subyacente tenga la cola izquierda m´as “pesada 2 la cola derecha m´as “ligera”que la de Black-Scholes, como se aprecia en la figura (3.2). Esta situa- ci´on se corresponder´ıacon una sonrisa de volatilidad decreciente. En este caso la verdadera probabilidad de grandes ca´ıdas en el precio del subyacente es mayor que la probabilidad que se derivar´ıade la distribuci´on asumida por Black-Scholes. Por tanto, los precios de mercado de las opciones de venta fuera de dinero (y de compra en dinero por la paridad put-call) tender´ıan a ser mayores que los precios derivados de la f´ormula de Black-Scholes. Por otra parte, dado que la verdadera probabilidad de grandes subidas en el precio del subyacente es menor que la derivada de la distribuci´on asumida por Black- Scholes, los precios de mercado de las opciones de venta en dinero (y de compra fuera de dinero) tender´an a ser menores que los te´oricos. Equivalentemente, la 57

f´ormula de Black-Scholes tender´ıaa sobrevalorar las opciones de venta en dinero (y las opciones de compra fuera de dinero) y a infravalorar las opciones de compra en dinero (as´ıcomo las opciones de venta fuera de dinero). Sonrisas de volatili- dad como la representada en la figura (3.2) tienden a observarse en los mercados de opciones sobre acciones y sobre ´ındices burs´atiles. La explicaci´on podr´ıaes- tar relacionada con la conocida relaci´on negativa observada entre el precio de las acciones y la volatilidad. As´ı,es frecuente observar que la volatilidad del precio de las acciones tiende a aumentar cuando los precios disminuyen, “engrosando” la cola izquierda de la distribuci´on, posiblemente como consecuencia del mayor riesgo percibido por los inversores para las acciones de la empresa en cuesti´on. An´alo- gamente, la volatilidad del precio de las acciones tiende a disminuir cuando los precios suben, “aligerando”la cola derecha de la distribuci´on, como consecuencia del menor riesgo percibido.

3.4 Propuestas al Modelo de Black-Scholes

Bas´andose en la ecuaci´on (3.10) y (3.11), se procede a integrar las ecuaciones. σ2 d(ln(S )) =(µ )dt + σdX t − 2 t t σ2 t ln(St) ln(S0) = (µ )dt + σdXt − 0 − 2 0 t σ2 t ln(St) = ln(S0)+ (µ )dt + σdXt 0 − 2 0 t σ2 t ln(S0)+ (µ )dt + σdXt eln(St) = e 0 − 2 0

t σ2 t (µ )dt + σdXt eln(St) = eln(S0) e0 − 2 0 t σ2 t (µ )dt + σdXt  t  eln(S ) = eln(S0) e0 − 2 0 58

El an´alisis se lleva a cabo en la mejora de la estimaci´on, modificando σ (Volatilidad) al cual ya no ser´aconstante si no que depender´ade t.

t σ2 t (µ )dt + σdXt S = S e0 − 2 0 (3.14) t 0 Las propuestas de mejora es un modelo basado en Black-Scholes partiendo de la ecuaci´on (3.14). La volatilidad en el caso de mercado de valores, no puede ser constante ya que el pre- cio est´asujeto al tiempo, por ejemplo una acci´on puede valer S/25.00 el d´ıade hoy y ma˜nana s/12.00 ya que puede ser por caso externo (crisis pol´ıticas, cambio de moneda, entre otras) encontrados en el numeral 3.6-2. Se define la volatilidad que depender´ade t (tiempo), σ = σf(t), donde: σ es constante y f(t) funci´on que depende de t. La cual por el estudio de la sonrisa de volatilidad dada por Herzel, la sonrisa de volati- lidad pod´ıaser de patr´on cuadr´atico o de patr´on decreciente. En este trabajo planteamos cuatro propuestas, como por ejemplo f(t)= √t. Nos basaremos en dar cuatro propuestas y mediante el software scilab, haremos una comparaci´on, evaluando cu´al de las propuestas se asemeja a valor real estimado. La propuesta de mejora es un modelo basado en Black-Scholes partiendo de la ecuaci´on (3.18).

3.4.1 Propuesta 1

De la ecuaci´on (3.14) se tiene

t t 2 (µ σ )dt + σdX − 2 t St = S e0 0 0

Para σ1 = σ√t 59

t t (σ√t)2 µ dt + σ√tdXt − 2 S(t) = S0 e 0 0 t t σ2t µ dt + σ√tdXt − 2 S(t) = S0 e 0 0 σ2t t t µ t +σ√tdXt S(t) = S0 e − 2 0 0 σ2t µ t+σ√tdXt S(t) =S0 e − 2 σ2t µ t+σ√tdXt = S(t)= S0 e − 2 (3.15) ⇒

3.4.2 Propuesta 2

De la ecuaci´on (3.14) se tiene

t t σ2 (µ 2 )dt + σdXt S(t)= S e0 − 0 0 1 Para σ2 = σ(1 + t2 )

t 1 t σ 2 ( (1+ t2 )) 1 µ dt + σ(1 + 2 )dXt − 2 t S(t) = S0 e 0 0 t 2 1 t σ2 (1+ t2 + t4 ) 1 µ dt + σ(1 + 2 )dXt − 2 t S(t) = S0 e 0 0 2 1 σ2 t t (1+ t2 + t4 ) 1 µ t σ dXt 0+ (1+ 2 ) 0 S(t) = S0 e − 2 t σ2 2 1 1 µ 1+ 2 + 4 t+σ 1+ 2 dXt S(t) = S0 e − 2 t t t

σ2 2 1 1 µ 1+ 2 + 4 t+σ 1+ 2 dXt = S(t)= S0 e − 2 t t t (3.16) ⇒ 60

3.4.3 Propuesta 3

De la ecuaci´on (3.14) se tiene

t t σ2 (µ 2 )dt + σdXt S(t)= S e0 − 0 0 2 Para σ3 = σ t

2 2 t σ t r t 2 µ dt + σ dXt − 2 t S(t) = S0 e 0 0 t 2 t σ2 t 2 µ dt + σ dXt − 2 t S(t) = S0 e 0 0 t t σ2 2 µ t dt + σ t dXt S(t) = S e0 − 0 0 σ2 t 2 t µ t +σ dXt S(t) = S e − t 0 r t 0 0 σ2t 2 µ t+σ dXt S(t) = S e − 2 r t 0

σ2t 2 µ t+σ dXt = S(t)= S e − 2 r t (3.17) ⇒ 0

3.4.4 Propuesta 4

De la ecuaci´on (3.14) se tiene

t t σ2 (µ 2 )dt + σdXt S(t)= S e0 − 0 0 α Para σ = σt 2 , α [0, 2]. 4 ∈ En este caso se escogieron los valores α=(0.4; 0.8; 1.2; 1.6; 1.99) 61

α t t α (σt 2 )2 2 µ 2 dt + σt dXt S(t) = S e0 − 0 0 t t α σ2tα µ dt + σt 2 dXt − 2 S(t) = S0 e 0 0 2 t α t σ α µ t t +σt 2 dXt S(t) = S0 e − 2 0 0 2 α σ α µ t t+ σt 2 dXt S(t) = S0 e − 2 2 α σ α µ t t+σt 2 dXt = S(t)= S0e − 2 (3.18) ⇒

3.5 Aplicaci´on del Modelo Matem´atico

Tomaremos los valores reales del a˜no 2017 que se encuentran en el anexo 3 de la tabla (3.7), utilizando el software scilab dados en el anexo 3.7 algoritmos en scilab para los 30 primeros d´ıas del a˜no 2018. Dise˜nados para el modelo de Black-Scholes en el precio de las acciones, as´ıcomo en cada una de las propuestas, tom´andose el menor margen de error obtenido.

3.5.1 Valores Simulados para los 30 primeros d´ıas del a˜no 2018

Los resultados obtenidos de la volatilidad fueron considerados de los datos de la tabla (3.6 ) anexo 2: valores de acciones de enero a diciembre 2015-2018 para encontrar en cada a˜no la volatilidad. 62

Tabla 3.1: Variaci´on de la volatilidad 2015-2018

Volatilidad de los a˜nos 2015-2018

ANO˜ VALOR 2015 0.0946 2016 0.1209 2017 0.0939 2018 0.0813

Figura 3.3: Variaci´on de la volatilidad 2015-2018 63 031 .1183 1.4272 0.0827 45 22.8932 27.1284 332470 61.0235 64.9366 .6752 144.7644 2 122.2509 735.7363 10 1.9783 233.6873 892 48.5657 891.8692 .4248 8.1172 957.2371 error5 5.9341 104.3071 1350.6574 001.2007699.8830 930.0906542.4432 28.6534 2.6978 8.8238 32.3854 21.8160 921.6794 212.1676 58359.6547 3248.4333 719.2207 361.6968 8444.9619 48.8379 3.3388 99 770.4795 123.4229 28126.1577 739 2826.0411 8213.2580 66050.6242 .0890 3678.1683 4957.5436 2832.9477 .8115 1152.3333 157.6549 53162.3358 2.62978.8848 2060.28968.3169 1455.0801 223.6220 1446.1243 264.3631 158667.6652 3.7604 1829.5921 36841.8964 4.1968 3335.7041 19281.3636 3300.3935 7160.6920 5261.0304 50230.3347 19503.5023 54.4512 6856.9610 11564.9656 76027.5788 ERROR error4 22.9996 1077.1201 6039.3411 47256.1346 41995.2294 574005.1609 error3 error2 error1 247.9823 4354.0364 250.0343 a=1.99 026 10.7680 0.5136 17.0301 0.5789 0.2786 0.8533 1.4365 2.4439 1.9527 7 965 8.8766 0.1784 37.4283 0.2701 0.1784 0.2262 0.2880 0.3681 0.3642 0.6 7.0029 9.2447 0.2414 25.9264 0.2883 0.1797 0.3377 0.4789 0.6865 1.0965 7.9617 8.3376 0.0827 49.8583 0.2351 0.1305 0.0827 0.0827 0.0827 0.0078 a=1.6 9 7.2423 12.8347 1.0029 9.3848 1.0818 0.4588 1.8012 3.3175 6.2445 0.652 0 8.6025 13.3185 0.7553 1.3265 0.7873 0.2538 1.5466 3.2251 6.7705 0.242 50 34.8183 27.0183 16.5404 368.4259 16.5986 1.5692 73.5935 426.3012 48 38.497496 6.3575 13.352984 2.3092 10.9705 13.815865 3.3292 14.9884 13.0732 410.3050 6.1728 17.0401 455.7707 13.8603 22.7698 507.0342 13.1121 1.3626 561.7444 17.0885 1.2925 59.4634 22.8320 1.5203 56.0571 319.8384 1.8171 79.0774 295.7927 2 115.7363 479.2071 1 829.3389 3 58 19.4567 35.5245 2.5038 22.6059 2.5426 0.2461 8.2409 27.2719 92.463 53 8.6873 15.921862 9.0143 1.4119 16.2083 4.4289 1.0935 1.4953 0.0269 0.5030 1.1308 2.8641 0.2963 5.9580 2.4723 12.7111 5.6889 0.3 13.2219 0.7 107 9.0717 20.2818 1.3761 0.5913 1.4169 0.2717 3.5256 9.0867 23.6268 0 .8968 15.3689 38.2642 2.5977 13.9404 2.6449 0.2798 8.3192 26.9033 90.1 .3605 98.8270 265.2032 15.1958 184.2652 15.2819 1.2953 66.1933 364.1 .4803 18.6131.7592 45.1513 22.9660 249.9774 3.2941 9.8807 33.7833 48.7811 3.3378 9.9949 0.3078 0.8904 11.2728 37.9045 39.5651 166.1720 14 Valores Simulados del Modelo 4.1484 9.6565 23.5368 1.7232 3.2231 1.7644 0.3078 4.6249 12.5809 34.79 a=1.2 17.6465 11.1991 39.2892 2.8416 7.6525 2.9011 0.3780 8.5909 26.5832 86 68.8979 78.6598 61.4754 15.4626 319.0227 15.5255 1.0824 73.5190 446 42.3060 20.916153.6704 238.9296 23.234046.3955 10.3459 406.6111 24.509246.2779 13.9025 200.1924 83.1752 51.0237 11.5397 105.9469 147.1074 10.438066.1056 11.1999 128.7939 14.0114 92.9709 0.874665.7791 153.9366 232.4713 11.6194 1.2205 80.863091.1368 41.4096 14.7964 147.9849 11.2697 115.8705 1.0349 57.6603 284.0610 14.5908 210.4871 192 0.9694 46.9709 19.2968 29 243.4655 14.8760 46.2603 280.2883 22 14.6623 0.9840 22 19.3849 0.9676 69.0233 1.1932 68.5633 40 97.2762 40 6 36.0775 19.4296 176.0286 8.9156 65.3870 9.0035 0.8555 33.6532 144.90 Propuesta 4 a=0.8 a=0.4 Propuesta 3 Propuesta 2 Tabla 3.2: Valores Simulados para los 30 primeros del d´ıas 2018 a˜no Propuesta 1 8.15 8.15 8.15 8.15 8.15 8.15 8.15 8.15 8.15 Black Schole Real Real A˜no-2018 06/02/2018 8 8 12.0670 27.1944 12.0741 9.2527 16.5787 28.6471 64.99 05/01/2018 8.108/01/2018 8.05 8.1 8.05 8.8167 9.051415/01/2018 3.9732 8.25* 4.986516/01/2018 8.25 8.3517/01/2018 8.8608 8.35 8.4 9.5627 9.0901 8.4 10.0357 8.6279 10.0453 8.7274 10.0117 11.1163 9.0238 9.3921 9.2986 9.5783 9.8714 12.1337 9.6633 10.0533 10.548 6.7 8.8048 10.0263 8.9648 10.4006 11.7970 11.2810 8.9290 1 13.5059 11.2843 13.5868 17 05/02/2018 8.25 8.2507/02/201808/02/2018 8 12.182309/02/2018 8 812/02/2018 8 26.1112 8 8 11.7170 8 12.1902 11.6157 8 12.1280 28.2560 12.7718 9.2904 29.3488 30.5174 11.7229 16.8243 29.3708 31.7011 11.6211 12.1338 9.1673 12.7783 9.1369 15.7113 9.2330 25.8840 15.4871 52.73 9.3480 25.1986 16.8925 49.22 29.8908 18.7581 67.51 36.7982 99.89 24/01/2018 8.3625/01/2018 8.36 8.2826/01/2018 8.28 8.2529/01/2018 11.5765 8.25 8.2530/01/2018 12.0086 8.25 8.231/01/2018 11.6470 17.4800 8.35 8.201/02/2018 11.5966 18.5731 8.35 8.3302/02/2018 19.5987 11.5908 8.33 12.0982 8.33 12.1966 20.6571 12.0232 8.33 12.1498 11.6587 9.2952 21.7744 12.7228 22.8582 11.6070 9.3848 14.7950 23.9334 22.2457 9.2673 12.1092 15.8734 25.0718 12.2069 9.2346 25.3864 15.1035 12.1591 23.3789 15.0515 9.3381 12.7328 9.3420 23.3602 16.3359 9.3137 16.6580 27.2833 9.4223 28.4438 61 16.6103 28.4346 18.1929 33.9122 09/01/2018 8.1110/01/2018 8.11 8.1111/01/2018 8.11 8.1512/01/2018 9.2982 8.15 8.25 8.9791 8.25 9.1957 6.0055 9.4231 6.958318/01/2018 7.9859 8.4 9.332819/01/2018 9.0190 8.4 8.4 8.997322/01/2018 8.4 8.4 9.213423/01/2018 8.8193 8.32 9.9823 8.4 9.4403 8.6137 8.32 10.2150 9.8024 8.6943 10.5509 11.5434 9.3536 13.1546 11.3059 11.67 8.7712 9.9059 14.2123 9.7224 10.712 10.5351 10.1277 15.3843 11.78 16.4062 9.9946 11.2644 10.2270 13.1 11.5615 11.3206 8.8961 8.9548 11.2707 9.3436 11.7575 9.2449 13.6223 14.6901 18.01 14.5567 20 14.1211 21.2908 20.3579 38 04/01/2018 8.05 8.05 8.5414 2.9582 8.5870 8.4739 8.6311 8.7420 8.8786 03/01/2018 8.1 8.1 8.5224 1.9821 8.6198 8.5224 8.5756 8.6367 8.7067 7.4 02/01/2018 8.05 8.05 8.3376 0.9890 8.5348 8.4112 8.3376 8.3376 8.3376 Fuente: Propia Elaboraci´on 64

BLACK SCHOLES 8.4 13

12.5 8.35

12 8.3 11.5

8.25 11

8.2 10.5

10 8.15

9.5 8.1 9

8.05 8.5

8 8 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 t

a) Valor Real a˜no 2018 b) Black-Scholes a˜no 2018

PROPUESTA 1 PROPUESTA 2 35 13

12.5 30 12

25 11.5

11 20

10.5

15 10

10 9.5

9 5 8.5

0 8 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 t t

c) Propuesta 1 a˜no 2018 d) Propuesta 2 a˜no 2018

POPUESTA 3 9.6

9.4

9.2

9

8.8

8.6

8.4

8.2

8 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 t

e) Propuesta 3 a˜no 2018

Figura 3.4: Valores Simulados para los 30 primeros d´ıas del a˜no 2018 65

PROPUESTA 4 ALFA 0.4 PROPUESTA 4 ALFA 0.8 20 40

19

35 18

17 30 16

15 25

14

13 20

12 15 11

10 10

9

8 5 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 t t

a) Propuesta 4 para α =0.4 a˜no 2018 b) Propuesta 4 para α =0.8 a˜no 2018

PROPUESTA 4 ALFA 1.2 PROPUESTA 4 ALFA 1.6 100 350

90 300 80

70 250

60 200

50

150 40

30 100

20 50 10

0 0 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 t t

c) Propuesta 4 para α =1.2 a˜no 2018 d) Propuesta 4 para α =1.6 a˜no 2018

PROPUESTA 4 ALFA 1.99 450

400

350

300

250

200

150

100

50

0 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 t

e) Propuesta 4 para α =1.99 a˜no 2018

Figura 3.5: Valores Simulados para los 30 primeros d´ıas del a˜no 2018 en la propuesta 4. 66

Figura 3.6: Valores Simulados para los 30 primeros d´ıas del a˜no 2018

Figura 3.7: Comparaci´on de las propuestas Black-Scholes, Propuesta 3 y Valores reales a˜no 2018 67

3.5.2 Valores Simulados para los 30 primeros d´ıas del a˜no 2019

Los resultados obtenidos de la volatilidad fueron considerados de los datos de la tabla (3.6 ) anexo 2: valores de acciones de enero a diciembre datos del a˜no 2018.

Tabla 3.3: Datos obtenidos para la simulaci´on del a˜no 2019

Total de dias 260 Promedio 7.5147 Varianza 0.6107 Volatilidad 0.0813 Promedio muP -0.0062 T(30/260) 0.1154 Precio Inicial PIP 6.4500 68 0.0388 5.6421 1.6719 3.2513 0.5689 0.2485 0.0143 2 20224.6170 9452 28.1148 63.4517 .6124 104.3455 21.063828.2686 406.2099 30.0214 403.3976 362.8058 225.0038 675.0616 .2982.9292 2380.8613 20175.2480 .2997 1849.0718 11578.1151 3139.7972 22216.9310 error5 23.7988 3820.8530 13199.3743 73.9116 10302.9768 6536.9883 36.815747.0517 3025.9653 1991.9350 73.9390 0.2977 713.6735 6833.8889 63952.4114 214.7004 29696.0573 84678.3985 144.6824 7482.6015 1704.4719 1289.4875 5580.1182 23.4212 6 2865.5750 19630.4478 260.5121 01 968.4896 1130.53195 9531.0409 11524.2243 1131.8488 44310.2247 41052.2506 10541.5026 21754.3030 ERROR 3.3910 376.8569 2156.8376 16418.8397 132080.2587 353836.3264 error4 error3 error2 error1 76.5561 1108.5050 77.1739 .7633 4.0454 35.2944 4.0705 0.2182 17.6291 85.9284 522.4913 4042.829 a=1.99 876 11.5638 0.4498 4.1915 0.4768 0.1212 1.0179 2.2771 5.0918 11.4761 2 8.6689 9.5584 0.39098.9170 9.9664 7.0244 0.1581 0.4189 0.1648 2.1288 0.7313 0.1657 0.0226 1.3878 0.4243 2.6684 1.0529 5.1932 2.4833 1 5.6026 1 7.7703 8.1931 0.2273 11.3983 0.2517 0.1214 0.3812 0.6464 1.1060 1.9052 7.0368 7.1743 0.0728 17.2329 0.0866 0.0500 0.1098 0.1660 0.2513 0.3804 6.8671 6.9285 0.0656 23.9182 0.0972 0.0656 0.0855 0.1117 0.1461 0.1911 6.5694 6.5694 0.0143 32.1825 0.0512 0.0289 0.0143 0.0143 0.0143 0.0143 10.1113 11.912311.6695 0.2236 14.6257 0.3185 0.6944 0.2325 0.0441 0.0182 0.3290 0.0161 0.6844 1.0723 1.8877 3.2156 4.9154 9.1347 12.25 25.09 a=1.6 7 12.95387 16.8750 17.61294 0.4185 26.7647 17.96567 0.9969 26.7248 18.0627 0.1941 0.8880 25.7075 0.4294 1.3525 0.0195 0.7970 1.0162 3.0354 0.0821 1.4523 0.9028 5.3734 0.0497 3.3059 0.8085 4.5423 0.0293 3.1690 10.6704 13.5994 3.0321 10.7656 35.1492 10.7407 39 36.7888 1 37.6346 1 1 88 21.620101 32.6019 55.294185 148.5396 1.1543 49.500812 4.1692 114.1017 62.5339 8.8177 3.5270 14.3155 155.5535 1.1679 4.2103 4.1605 18.7633 0.0578 0.3692 3.5571 24.0964 4.3440 15.6789 0.2835 4.1921 15.8581 13.5142 65.8057 0.3086 16.6701 56.9939 339 59.2714 75.0689 287 420 06 179.025419 297.6955 108.2036 6.1454 87.5516 70.2307 4.5296 6.1712 77.5371 0.1355 4.5468 34.2929 0.0742 228.3041 25.2081 2 157.6539 12 .2647 89.2173 259.4381 5.0759 29.5589 5.1117 0.3072 21.9446 109.0952 .4367 68.3630.7106 121.4385 104.2171.3734 217.0899 3.8714 114.1009 4.9889.3630 209.3636 41.7036 109.3918 4.5096 48.5872 154.2134 3.8929 5.0149 0.1899 4.4606 53.5647 0.2056 17.2579 4.5326.5032 61.3822 23.8885 0.0818 85.6427 93.1720 4.4810.9743 131.878 24.1075 0.0827 47.9553 61.8388 5 .1872 143.617 23.9883 4.3013 15.4288 51.3811.5594 144.148 2.8301 86.1912 81.3502 7.2956 4.3161 90.9930 11.4895 2.8461 0.0718 2.8399 4.3945 100.9371 23.9068 0.0018 112.9081 2.8547 148.2162 17.5696 4.4064 0.0087 1 108.8023 0.0604 17.0011 25.5989 102.3293 7 166.5546 6 .1111 146.6887 22.7204 6.5250 124.8534 6.5413 0.1445 38.7760 283.462 a=1.2 Propuesta 4 Valores Simulados del Modelo a=0.8 a=0.4 Propuesta 2 Propuesta 3 Tabla 3.4: Valores Simulados para los 30 primeros del d´ıas 2019 a˜no Propuesta 1 6.45 6.45 6.45 6.45 6.45 6.45 6.45 6.45 6.45 Black Schole 6.55 8.5613 12.4909 8.5675 7.0172 10.7487 15.8198 29.4081 70.1332 148 Real 6.55* Real A˜no-2019 08/01/2019 6.3909/01/2019 6.3910/01/2019 6.5 6.5511/01/2019 6.5 6.55 6.6114/01/2019 7.0152 6.61 6.6615/01/2019 6.66 7.1707 6.6616/01/2019 6.9476 3.7396 6.66 6.6117/01/2019 7.0828 6.61 6.6418/01/2019 4.4527 7.2243 5.0910 6.64 7.0372 6.6621/01/2019 7.3069 5.7767 6.66 6.6222/01/2019 7.6085 7.1905 6.4500 6.62 6.957123/01/2019 6.5 6.7960 7.5823 7.1006 7.0922 7.245224/01/2019 6.5 7.5528 6.5 7.7730 6.8482 7.5681 7.233625/01/2019 6.5 6.7002 7.6944 6.5 8.3822 7.5089 8.0235 7.3153 6.55 7.201428/01/2019 6.7448 6.5 8.0090 8.9781 6.55 8.5418 7.5761 7.6181 7.4373 6.7868 8.7565 9.5895 8.1258 8.3780 7.9839 7.5902 7.6955 6.7995 9.8 8.8271 8.5397 10.2836 8.4532 7.5592 7.8651 6.8966 8.8030 9.6824 10.8317 8.7913 7.7007 8.4282 6.8629 10.347 11.4088 9.8766 8.4202 8.5519 6.8313 11.9868 12.538 9.9211 8.4013 8.3860 6.8605 12.705 9.9373 8.7042 8.5475 12.794 7.1076 10.6022 8.8109 10.4597 14.31 7.0325 14.6121 10.1762 24.92 7.0555 14.0494 7.1042 10.5829 23.46 11.2345 15.1642 16.9949 27.00 33 07/01/2019 6.39 6.39 6.8668 3.0139 6.8917 6.7385 7.0074 7.1940 7.4416 04/01/2019 6.42 6.42 6.6899 2.2687 6.7143 6.6437 6.7513 6.8274 6.9213 03/01/2019 6.43 6.43 6.6861 1.5394 6.7418 6.6861 6.7225 6.7642 6.8122 29/01/2019 6.5530/01/2019 6.55 6.5931/01/2019 6.59 6.7501/02/2019 6.75 6.7204/02/2019 8.5176 6.7205/02/2019 6.7 8.823606/02/2019 6.7 8.8736 6.7 13.0078 6.6707/02/2019 8.8320 6.7 13.5605 6.67 6.8308/02/2019 14.0688 8.5231 6.83 9.1790 6.7511/02/2019 14.5547 8.8294 6.75 8.8283 6.65 8.7440 8.8790 6.65 15.0804 6.9858 8.5123 10.7043 8.8368 15.5055 7.0435 15.8043 8.4370 15.9539 11.4776 29 7.0360 18.0738 9.1842 8.7463 16.3690 11.6599 37 7.0075 18.7340 8.8323 16.7967 11.6178 40 8.7475 18.7262 17.2758 7.0682 40 8.5152 12.5560 6.9724 21.8097 8.4396 6.9380 11.7208 53.76 11.5595 19.2560 8.7491 6.8728 18.8444 42.39 11.0216 40 6.8433 17.2608 10.8732 33 6.8957 16.8658 11.7095 32 19.5556 42 12/02/2019 6.58 6.58 9.1344 17.7538 9.1376 6.9601 12.8070 23.4163 60 02/01/2019 6.45 6.45 6.5694 0.7770 6.6763 6.6199 6.5694 6.5694 6.5694 Fuente: Propia Elaboraci´on 69

BLACK SCHOLES 6.85 9.5

6.8 9 6.75

6.7 8.5

6.65 8

6.6

7.5 6.55

6.5 7

6.45 6.5 6.4

6.35 6 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 t

a) Valor Real a˜no 2019 b) Black-Scholes a˜no 2019

PROPUESTA 1 PROPUESTA 2 18 9.5

16 9

14

8.5 12

8 10

8 7.5

6 7

4

6.5 2

0 6 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 t t

c) Propuesta 1 a˜no 2019 d) Propuesta 2 a˜no 2019

POPUESTA 3 7.2

7.1

7

6.9

6.8

6.7

6.6

6.5

6.4 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 t

e) Propuesta 3 a˜no 2019

Figura 3.8: Valores Simulados para los 30 primeros d´ıas del a˜no 2019 70

PROPUESTA 4 ALFA 0.4 PROPUESTA 4 ALFA 0.8 13 24

22 12

20

11 18

10 16

14 9

12 8

10

7 8

6 6 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 t t

a) Propuesta 4 para α =0.4 a˜no 2019 b) Propuesta 4 para α =0.8 a˜no 2019

PROPUESTA 4 ALFA 1.2 PROPUESTA 4 ALFA 1.6 70 180

160 60

140

50 120

40 100

80 30

60 20

40

10 20

0 0 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 t t

c) Propuesta 4 para α =1.2 a˜no 2019 d) Propuesta 4 para α =1.6 a˜no 2019

PROPUESTA 4 ALFA 1.99 300

250

200

150

100

50

0 0 2 4 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 t

e) Propuesta 4 para α =1.99 a˜no 2019

Figura 3.9: Valores Simulados para los 30 primeros d´ıas del a˜no 2019 en la propuesta 4. 71

Figura 3.10: Valores Simulados para los 30 primeros d´ıas del a˜no 2019

Figura 3.11: Comparaci´on de las propuestas Black-Scholes, Propuesta 3 y Valores reales a˜no 2019 72

3.6 Debilidades del Modelo

1. Ajustar el valor de la acci´on no existente BVL facilita la negociaci´on de valores inscritos en sus registros (acciones, bonos, papeles comerciales, etc.), se tomar´aen cuenta para este modelo el valor de la acci´on del d´ıaanterior cuando no hubiese esa informaci´on. El mercado de valores no cuenta con informaci´on suficiente para poder precisar cuan riesgoso es un agente, es por ello que tendr´an que proporcionar esa informa- ci´on, muchos no consideran el costo de transacci´on que existen para podre invertir en la Bolsa de Valores de Lima. Las tarifas se encuentran en www.bvl.com.pe, secci´on “Negociaci´on”, opci´on “Cuotas y Tarifas.o en el Bolet´ın Diario. El in- versionista debe pagar una comisi´on de intermediaci´on, lo que puede generar un impacto en la rentabilidad que se desea alcanzar, por cada transacci´on que se realiza compra-venta estos son:

Retribuci´on BVL(Bolsa de Valores de Lima)

Fondo De Garant´ıa

Fondo De Liquidaci´on

Retribuciones Cavali S.A (Compensaci´on y liquidaciones de Valores)

Contribuci´on SMV (Superintendencia de Mercado de Valores)

Comisi´on Neta SAB (Sociedad Agente de Bolsa)

I.G.V. (18 %)

Se asume que la distribuci´on del precio de la acci´on es lognormal y que la volatili- dad es constante, se explic´oanteriormente las propuestas evaluadas de los estudios realizados para mejorar el modelo ya que no se ajusta a los valores reales. 73

2. Factores externos Se podr´aobservar la evoluci´on del IGBVL de los a˜nos 2015 al 2018, las fechas donde se experimento ca´ıdas en la bolsa.

Figura 3.12: Datos hist´oricos -IGBVL 2015

Durante el primer trimestre del a˜no 2015, los principales ´ındices de cotizaciones registraron retrocesos significativos, ocasionando que nuestro mercado figure entre las tres bolsas menos rentables del mundo en t´erminos de d´olares. Por otro lado, en lo referido a las cifras de negociaci´on, estas reflejaron que se mantiene el retrai- miento de la demanda de parte de los inversionistas individuales e institucionales, a pesar que el entorno local e internacional exhibieron una relativa estabilidad. Al 14 de enero, el precio del petr´oleo hab´ıabajado 9 % y el del cobre m´as de 10 % mientras que, por el contrario, los precios de los metales preciosos mostraron una recuperaci´on. Asimismo, desde mediados de enero y hasta fines de febrero, nues- tros principales ´ındices de cotizaciones trazaron una tendencia lateral. En el caso del ´Indice General BVL este calcul´oentre los 13,500 y 14,000 puntos, mientras que el Per´uSelect oscil´oentre los 320 y 340 puntos. A partir del 25 de febrero, nuestra Bolsa retom´ola tendencia bajista, siendo la fase m´as extrema la observada entre el 3 y el 16 de marzo, cuando el IGBVL cay´o7 % en tan solo diez d´ıas. 74

Figura 3.13: Datos hist´oricos -IGBVL 2016

A partir del d´ıa10 junio 2016, los agentes comenzaron a mirar con preocupaci´on la evoluci´on de las encuestas relacionadas con el referendo en Reino Unido. La Bolsa de Lima estuvo muy influenciada por este contexto internacional, este clima de incertidumbre afect´osignificativamente la evoluci´on de los mercados, a˜nadiendo mucha volatilidad en los siguientes d´ıas. La BVL evolucion´ode forma lateral hasta el 24 de junio, fecha en la que se co- noci´oel resultado del referendo: la decisi´on del Reino Unido de dejar la Uni´on Europea (Brexit). Esta situaci´on tom´oa muchos inversionistas desprevenidos, pro- vocando un desplome generalizado en todas las bolsas del mundo. En los ´ultimos d´ıas del mes los mercados experimentaron un rebote, no obstante, lo cual la mayor´ıade bolsas europeas cerraron el mes en negativo, encabezadas por Madrid (Ibex 35: -9.6%), Par´ıs(CAC-40: -6.0%) y Frankfurt (DAX: -5.7 %), siendo la excepci´on Londres, cuyo ´ındice FTSE-100 subi´o4.4 %. En Asia, la Bolsa de Tokio fue la m´as afectada. 75

Figura 3.14: Datos hist´oricos -IGBVL 2017

El 14 marzo 2017 el mercado de renta variable de la BVL tuvo un comportamiento negativo durante la primera quincena del mes, en l´ınea con la ca´ıda generalizada de los precios internacionales de los metales. Posteriormente, en la segunda quin- cena, esta trayectoria se reverti´oante un panorama optimista en torno a la pol´ıtica monetaria estadounidense y el impulso que dieron las acciones industriales locales por las expectativas de un elevado gasto p´ublico que beneficiar´ıaal sector. En la primera parte del mes, los inversionistas globales fueron internalizando gra- dualmente la inminente alza de las tasas de inter´es en EE.UU. de manera que el d´olar se fue fortaleciendo. Como consecuencia de ello, el oro y la plata llegaron a acumular p´erdidas de 4.1 % y 8.3 %, respectivamente; mientras que el cobre y el zinc retrocedieron 5.0 % y 5.2 %, respectivamente. En este escenario al d´ıa14, los t´ıtulos mineros arrastraron al S&P/BVL Per´uSelect (-5.5 %) a niveles m´ınimos de julio del a˜no pasado. A partir del d´ıa15, el mercado local revirti´ola tenden- cia, pues si bien la Reserva Federal confirm´ola nueva alza de las tasas de inter´es (0.75 % - 1.00 %), tambi´en dio se˜nales de que las pr´oximas subidas ser´ıan a un me- nor ritmo respecto a lo esperado por los analistas. Tras el anuncio, los mercados se tranquilizaron, permitiendo el avance de los metales ante la debilidad global del 76 d´olar. la recuperaci´on tambi´en fue respaldada por la fuerte alza del sector industrial, atri- buido a las expectativas positivas ante los altos gastos que realizar´a el gobierno peruano para la reconstrucci´on de las zonas afectadas por el Fen´omeno del Ni˜no, lo cual beneficiar´ıaa las empresas ligadas a la infraestructura.

El INEI inform´oque la inflaci´on en Lima Metropolitana en marzo fue de 1.30 %, la variaci´on m´as alta de los ´ultimos 19 a˜nos y muy cercana a similar mes de 1998 (+1.32 %), asociado al Fen´omeno de El Ni˜no de ese a˜no. Los dos grupos de mayor incidencia fueron: Esparcimiento, servicios culturales y de ense˜nanza (+2.72 %), ante el inicio de la temporada escolar; y Alimentos y bebidas (+2.12 %) a causa del Fen´omeno de El Ni˜no Costero, el cual trajo consigo lluvias, huaicos y desbordes que bloquearon las carreteras, perjudicando el normal abastecimiento de los pro- ductos. Por su parte, el BCRP decidi´omantener su tasa de inter´es de referencia en 4.25 %. Entre sus principales argumentos para dicha decisi´on se encuentran: las expectativas de inflaci´on a doce meses, las cuales se ubican en el rango meta; los efectos de las alteraciones clim´aticas sobre los precios -que se esperan sean temporales-, as´ıcomo la expectativa de crecimiento de la actividad econ´omica de los pr´oximos trimestres. Finalmente, respecto al tipo de cambio, la moneda nacio- nal mostr´otres momentos bien diferenciados frente al d´olar. Durante la primera semana evidenci´ouna debilidad, para luego mostrar una recuperaci´on sostenida y terminar estable en los ´ultimos d´ıas. De esta manera, el sol se apreci´o0.43 % cerrando la cotizaci´on del d´olar en marzo en S/ 3.249. En la ´ultima quincena de marzo, las expectativas de un mayor gasto p´ublico para la reconstrucci´on de las zonas afectadas por el Fen´omeno del Ni˜no, motivaron el avance de los valores relacionados a la infraestructura y con ello la recuperaci´on de la bolsa local. El ´ındice S&P/BVL Per´uGeneral cerr´oel lunes 04.12.2017 a m´ınimos desde el 18 de diciembre de 2017, en 19.657,48 puntos, tras registrar una baja del 0,55 %, en una sesi´on en la que se negociaron S/18.840.559 (equivalentes a US$5.827.578 o 77

4.916.639 euros) en 629 operaciones. Cotizaron acciones de 53 empresas de las que 13 subieron, 27 bajaron y 13 se mantuvieron estables. La Bolsa de Lima finaliz´ola sesi´on con leves descensos, afectada por las p´erdidas de acciones de los sectores construcci´on, financiero y miner´ıa.

Figura 3.15: Datos hist´oricos -IGBVL 2018 Conclusiones

1. El modelo de Black-Scholes, eval´ua el movimiento de los precios de las acciones, que parte de la ecuaci´on diferencial estoc´astica:

dS(t)= µS(t)dt + σS(t)dw(t)

1 2 σwt+(µ σ )t cuya soluci´on es S(t)= S0e − 2

2. Se realizan las propuestas para tomar una volatilidad menor, esto significar´ıaque el valor de la acci´on no fluct´ua dr´asticamente y tiende a ser m´as estable. Del estudio realizado por Herzel se llev´oa evaluar la volatilidad dando 4 propuestas para una mejor aproximaci´on, para ello esta volatilidad no ser´aconstante sino que depender´ade t. De las 4 propuestas evaluadas en las que se modificar´ala volatilidad σ:

Primera propuesta σ1 = σ√t

1 Segunda propuesta σ2 = σ(1 + t2 )

2 Tercera Propuesta σ3 = σ t α Cuarta Propuesta σ4 = σt 2 para α =0.4, 0.8, 1.2, 1.6, 1.99

La tercera propuesta es la m´as adecuada ya que se aproxima al valor real.

3. En el a˜no 2018 en la Empresa Cementos Pacasmayo la propuesta 3, tiene el m´ınimo margen de error=22.996 evaluados para los primeros 30 d´ıas del a˜no.

4. Se proyect´olos valores del precio de las acciones de la Empresa Cementos Pacas- mayo para los 30 primeros d´ıas del 2019, teniendo como resultado aproximado al valor real evaluado en la propuesta 3. Sugerencias

1. Se sugiere a los estudiantes de Matem´aticas de pregrado profundizar la investiga- ci´on de proceso estoc´astico para aplicar su conocimiento en ecuaciones diferenciales ordinarias.

2. Ampliar los conocimientos sobre los temas de investigaci´on tratados en el presente trabajo y que sirvan de base para un estudio m´as complejo.

3. Se debe tener en cuenta que para evaluar cada propuesta se ejecutar´ados veces el algoritmo.

4. Se debe considerar que al ejecutar dos veces el algoritmo en cada propuesta el sofware scilab debe cerrarse y volverse abrir para que este no perjudique en los datos obtenidos. Referencias Bibliogr´aficas

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3.6 Anexo 1: Listado de Empresas Registradas en BVL.

Tabla 3.5: 256 EMPRESAS CON VALORES LISTADO-BVL por sector/industrial

ADMINISTRADORAS DE FONDOS DE PENSIONES(4)

A.F.P. INTEGRA S.A.

AFP HABITAT S.A.

PRIMA AFP S.A.

PROFUTURO A.F.P.

AGRARIO(19)

AGRO INDUSTRIAL PARAMONGA S.A.A.

AGRO PUCALA S.A.A.

AGROINDUSTRIAL LAREDO S.A.A.

AGROINDUSTRIAS SAN JACINTO SOCIEDAD ANONIMA ABIERTA (AGROINDUSTRIAS SAN JACINTO S.A.A.)

CARTAVIO SOCIEDAD ANONIMA ABIERTA (CARTAVIO S.A.A.)

CASA GRANDE SOCIEDAD ANONIMA ABIERTA (CASA GRANDE S.A.A.)

CENTRAL AZUCARERA CHUCARAPI PAMPA BLANCA S.A.

EMPRESA AGRARIA AZUCARERA ANDAHUASI S.A.A.

EMPRESA AGRARIA CHIQUITOY S.A. - EN REESTRUCTURACION

EMPRESA AGRICOLA GANADERA SALAMANCA S.A.

EMPRESA AGRICOLA LA UNION S.A.

EMPRESA AGRICOLA SAN JUAN S.A.

EMPRESA AGRICOLA SINTUCO S.A.

EMPRESA AGROINDUSTRIAL CAYALTI S.A.A.

EMPRESA AGROINDUSTRIAL POMALCA S.A.A.

EMPRESA AGROINDUSTRIAL TUMAN S.A.A. 84

EMPRESA AZUCARERA “EL INGENIO”S.A.

PALMAS DEL ESPINO S.A.

SOCIEDAD AGRICOLA FANUPE VICHAYAL S.A.

BANCOS Y FINANCIERAS(33)

AMERIKA´ FINANCIERA S.A.

BANCO AZTECA DEL PERU S.A.

BANCO CENCOSUD S.A.

BANCO DE COMERCIO

BANCO DE CREDITO DEL PERU

BANCO DE LA NACION´

BANCO FALABELLA PERU S.A.

BANCO GNB PERU´ S.A.

BANCO INTERAMERICANO DE FINANZAS S.A. - BANBIF

BANCO INTERNACIONAL DEL PERU S.A.A. - INTERBANK

BANCO PICHINCHA

BANCO RIPLEY PERU´ S.A.

BANCO SANTANDER PERU´ S.A.

BBVA BANCO CONTINENTAL

CAJA MUNICIPAL DE AHORRO Y CREDITO DE AREQUIPA S.A.

CAJA RURAL DE AHORRO Y CREDITO LOS ANDES S.A.

CITIBANK DEL PERU S.A. - CITIBANK PERU

COMPARTAMOS FINANCIERA S.A.

CORPORACION FINANCIERA DE DESARROLLO S.A. - COFIDE

CREDISCOTIA FINANCIERA S.A.

EDPYME SANTANDER CONSUMO PERU S.A.

FINANCIERA CONFIANZA S.A.A.

FINANCIERA CREDINKA S.A.

FINANCIERA EFECTIVA S.A.

FINANCIERA OH! S.A.

FINANCIERA PROEMPRESA S.A.

FINANCIERA QAPAQ S.A.

FINANCIERA TFC S.A.

FONDO MIVIVIENDA S.A.

ICBC PERU´ BANK S.A.

MIBANCO BANCO DE LA MICRO EMPRESA S.A.

MITSUI AUTO FINANCE PERU´ S.A.

SCOTIABANK PERU S.A.A.

DIVERSAS(72)

A. JAIME ROJAS REPRESENTACIONES GENERALES S.A.

ADMINISTRADORA DEL COMERCIO S.A.

ADMINISTRADORA JOCKEY PLAZA SHOPPING CENTER S.A. 85

AGROKASA HOLDINGS S.A.

AI INVERSIONES PALO ALTO S.A.

ANDINO INVESTMENT HOLDING S.A.A.

AZZARO TRADING S.A.

BAYER S.A.

BNB VALORES PERU S.A. SOCIEDAD AGENTE DE BOLSA

BOLSA DE VALORES DE LIMA S.A.A.

BPO CONSULTING S.A.C.

CAVALI S.A. I.C.L.V.

CINEPLEX S.A.

COLEGIOS PERUANOS S.A.

CONCESIONARIA TRASVASE OLMOS S.A.

CONSORCIO CEMENTERO DEL SUR S.A. - CONCESUR S.A.

CONTINENTAL SOCIEDAD TITULIZADORA S.A.

CORPORACION AZUCARERA DEL PERU S.A.

CORPORACION CERVESUR S.A.A.

CORPORACION´ FINANCIERA DE INVERSIONES S.A.

CORPORACION´ PRIMAX S.A.

COSAPI S.A.

CREDICORP CAPITAL PERU´ S.A.A.

CREDICORP CAPITAL SOCIEDAD TITULIZADORA S.A.

CREDICORP LTD.

DESARROLLOS SIGLO XXI S.A.A.

DIVISO GRUPO FINANCIERO S.A.

DUNAS ENERG´IA S.A.A.

ENERG´IA DEL PAC´IFICO S.A.

ENFOCA SERVICIOS LOGISTICOS S.A.

EXPERTIA TRAVEL S.A.

FACTORING TOTAL S.A.

FALABELLA PERU´ S.A.A.

FERREYCORP S.A.A.

FILAMENTOS INDUSTRIALES S.A.

FOSSAL S.A.A.

FUTURA CONSORCIO INMOBILIARIO S.A.

GLOBOKAS PERU S.A.

GR HOLDING S.A.

GRANA˜ Y MONTERO S.A.A.

H2OLMOS S.A.

HERMES TRANSPORTES BLINDADOS S.A.

ICCGSA INVERSIONES S.A.

INCA RAIL S.A.

INMOBILIARIA IDE S.A. 86

INMOBILIARIA MILENIA S.A.

INRETAIL PERU´ CORP.

INTERCORP FINANCIAL SERVICES INC.

INTERCORP PERU LTD.

INTRALOT DE PERU S.A.

INVERSIONES CENTENARIO S.A.A.

INVERSIONES EDUCA S.A.

INVERSIONES EN TURISMO S.A. - INVERTUR

INVERSIONES NACIONALES DE TURISMO S.A. - INTURSA

J.P. MORGAN BANCO DE INVERSION´

LEASING TOTAL S.A.

LOS PORTALES S.A.

NESSUS HOTELES PERU´ S.A.

NORVIAL S.A.

OBRAS DE INGENIERIA SOCIEDAD ANONIMA CERRADA

PACIFICO S.A. ENTIDAD PRESTADORA DE SALUD

PERU HOLDING DE TURISMO S.A.A.

PVT PORTAFOLIO DE VALORES S.A.

RED BICOLOR DE COMUNICACIONES S.A.A.

REPRESENTACIONES QUIMICA EUROPEA S.A.C.

SAGA FALABELLA S.A.

SAN MART´IN CONTRATISTAS GENERALES S.A.

SCOTIA SOCIEDAD TITULIZADORA S.A.

SOLUCION EMPRESA ADMINISTRADORA HIPOTECARIA S.A.

SUPERMERCADOS PERUANOS S.A. - SP S.A.

TRADI S.A.

TRANSACCIONES FINANCIERAS S.A.

FONDOS DE INVERSION(8)

CORIL INSTRUMENTOS DE CORTO Y MEDIANO PLAZO 1 - FONDO DE INVERSION

CORIL INSTRUMENTOS DE CORTO Y MEDIANO PLAZO 2 - FONDO DE INVERSION

CORIL INSTRUMENTOS DE CORTO Y MEDIANO PLAZO 4 - FONDO DE INVERSION´

CORIL INSTRUMENTOS FINANCIEROS 5 - FONDO DE INVERSION´

CORIL INSTRUMENTOS FINANCIEROS 7 - FONDO DE INVERSION´

FONDO DE INVERSION MULTIRENTA INMOBILIARIA

LXG AMAZON REFORESTRY FUND FI

LXG LATIN AMERICAN HIGH YIELD BOND FUND, FI

INDUSTRIALES(43)

AGROINDUSTRIAS AIB S.A.

AGR´ICOLA Y GANADERA CHAV´IN DE HUANTAR S.A.

ALICORP S.A.A.

AUSTRAL GROUP S.A.A.

CAMPOSUR INC S.A.C. 87

CEMENTOS PACASMAYO S.A.A.

CERVECERIA SAN JUAN S.A.

COMPAN˜´IA GOODYEAR DEL PERU S.A.

COMPAN˜´IA UNIVERSAL TEXTIL S.A.

CONSORCIO INDUSTRIAL DE AREQUIPA S.A.

CORPORACION ACEROS AREQUIPA S.A.

CORPORACION CERAMICA S.A.

CORPORACION LINDLEY S.A.

CREDITEX S.A.A.

ECO-ACUICOLA S.A.C.

EMPRESA EDITORA EL COMERCIO S.A.

EMPRESA SIDERURGICA DEL PERU S.A.A.

EXSA S.A.

FABRICA DE HILADOS Y TEJIDOS SAN MIGUEL S.A. - EN LIQUIDACION´

FABRICA NACIONAL DE ACUMULADORES ETNA S.A.

FABRICA PERUANA ETERNIT S.A.

HIDROSTAL S.A.

INDECO S.A.

INDUSTRIA TEXTIL PIURA S.A.

INDUSTRIAS DEL ENVASE S.A.

INDUSTRIAS ELECTRO QUIMICAS S.A. - IEQSA

INTRADEVCO INDUSTRIAL S.A.

LAIVE S.A.

LECHE GLORIA S.A.

LIMA CAUCHO S.A.

MANUFACTURA DE METALES Y ALUMINIO RECORD”S.A.

METALURGICA PERUANA S.A. - MEPSA

MICHELL Y CIA. S.A.

MOTORES DIESEL ANDINOS S.A.

PESQUERA EXALMAR S.A.A.

PETROLEOS DEL PERU´ - PETROPERU S.A.

PRODUCTOS TISSUE DEL PERU´ S.A.C.

QUIMPAC S.A.

REFINERIA LA PAMPILLA S.A.A. - RELAPA S.A.A.

TEXTIL SAN CRISTOBAL S.A. - EN LIQUIDACION´

UNION DE CERVECERIAS PERUANAS BACKUS Y JOHNSTON S.A.A.

UNION´ ANDINA DE CEMENTOS S.A.A. -UNACEM S.A.A.

YURA S.A.

MINERAS(30)

ALTURAS MINERALS CORP.

BEAR CREEK MINING CORPORATION

CANDENTE COPPER CORP. 88

CASTROVIRREYNA COMPANIA˜ MINERA S.A. - EN LIQUIDACION

COMPAN˜´IA DE MINAS BUENAVENTURA S.A.A.

COMPAN˜´IA MINERA PODEROSA S.A.

COMPAN˜´IA MINERA SAN IGNACIO DE MOROCOCHA S.A.A.

COMPAN˜´IA MINERA SANTA LUISA S.A.

FOSFATOS DEL PAC´IFICO S.A. - FOSPAC S.A.

KARMIN EXPLORATION INC.

MINERA ANDINA DE EXPLORACIONES S.A.A.

MINERA IRL LIMITED

MINSUR S.A.

NEXA RESOURCES ATACOCHA S.A.A.

NEXA RESOURCES PERU S.A.A.

PANORO MINERALS LTD.

PERUBAR S.A.

PPX MINING CORP.

REGULUS RESOURCES INC.

RIO2 LIMITED

SHOUGANG HIERRO PERU S.A.A.

SIERRA METALS INC.

SOCIEDAD MINERA CERRO VERDE S.A.A.

SOCIEDAD MINERA CORONA S.A.

SOCIEDAD MINERA EL BROCAL S.A.A.

SOUTHERN COPPER CORPORATION

SOUTHERN PERU COPPER CORPORATION - SUCURSAL DEL PERU

TINKA RESOURCES LIMITED

TREVALI MINING CORPORATION

VOLCAN COMPANIA˜ MINERA S.A.A.

SEGUROS(21)

AVLA PERU´ COMPAN˜´IA DE SEGUROS S.A.

BNP PARIBAS CARDIF S.A. COMPANIA˜ DE SEGUROS Y REASEGUROS

CHUBB PERU S.A. COMPANIA˜ DE SEGUROS Y REASEGUROS

COFACE SEGURO DE CREDITO PERU´ S.A. - EN LIQUIDACION´

COMPAN˜´IA DE SEGUROS DE VIDA CAMARA S.A.

CRECER SEGUROS S.A. COMPANIA˜ DE SEGUROS

EL PACIFICO - PERUANO SUIZA CIA. DE SEGUROS Y REASEGUROS

HDI SEGUROS S.A.

INSUR S.A. COMPAN˜´IA DE SEGUROS

INTERSEGURO COMPAN˜´IA DE SEGUROS S.A.

LA POSITIVA SEGUROS Y REASEGUROS S.A.A.

LA POSITIVA VIDA SEGUROS Y REASEGUROS S.A.

LIBERTY SEGUROS S.A. 89

MAPFRE PERU COMPANIA˜ DE SEGUROS Y REASEGUROS

MAPFRE PERU´ VIDA COMPAN˜´IA DE SEGUROS Y REASEGUROS

OHIO NATIONAL SEGUROS DE VIDA S.A.

PAC´IFICO COMPAN˜´IA DE SEGUROS Y REASEGUROS

PROTECTA S.A. COMPAN˜´IA DE SEGUROS

RIGEL PERU´ S.A. COMPAN˜´IA DE SEGUROS DE VIDA

RIMAC SEGUROS Y REASEGUROS

SECREX COMPANIA˜ DE SEGUROS DE CREDITO Y GARANTIAS S.A.

SERVICIOS PUBLICOS(26)

CONELSUR LT S.A.C.

ELECTRO DUNAS S.A.A.

ELECTRO PUNO S.A.A.

ELECTRO SUR ESTE S.A.A.

ELECTRICA´ SANTA ROSA S.A.C.

EMP. REG. DE SERVICIO PUBLICO DE ELECTRICIDAD ELECTRONORTE MEDIO S.A.- HIDRANDINA

EMPRESA DE GENERACION ELECTRICA SAN GABAN S.A.

EMPRESA DE GENERACION´ ELECTRICA´ DEL SUR S.A. - EGESUR

EMPRESA ELECTRICIDAD DEL PERU - ELECTROPERU S.A.

EMPRESA REGIONAL DE SERVICIO PUBLICO DE ELECTRICIDAD - ELECTROSUR S.A.

ENEL DISTRIBUCION´ PERU´ S.A.A.

ENEL GENERACION´ PERU´ S.A.A.

ENEL GENERACION´ PIURA S.A.

ENGIE ENERGIA PERU S.A

GAS NATURAL DE LIMA Y CALLAO S.A.

LUZ DEL SUR S.A.A.

PERUANA DE ENERGIA S.A.A.

RED DE ENERGIA DEL PERU S.A.

SERVICIO DE AGUA POTABLE Y ALCANTARILLADO DE LIMA - SEDAPAL

SHOUGANG GENERACION ELECTRICA S.A.A.

SOCIEDAD ELECTRICA DEL SUR OESTE S.A. - SEAL

TC SIGLO 21 S.A.A.

TELEFONICA DEL PERU S.A.A.

TELEFONICA, S.A.

TERMOCHILCA S.A.

TRANSPORTADORA DE GAS DEL PERU S.A. - TGP 90

3.6 Anexo 2: Valores de acciones de enero a diciembre 2015-2018

Tabla 3.6: Add caption

Cementos Pacasmayo -2015 Cementos Pacasmayo -2016 Cementos Pacasmayo -2017 Cementos Pacasmayo -2017

FECHA Valor Real FECHA Valor Real FECHA Valor Real FECHA Valor Real

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01/09/2015 3.85 3.85 31/08/2016 6.63 6.63 30/08/2017 7.77* 7.77 30/08/2018 7.25* 7.25 02/09/2015 3.85 3.85 01/09/2016 6.4 6.4 31/08/2017 8 8 31/08/2018 7.00 7.00 03/09/2015 3.85 3.85 02/09/2016 6.5 6.5 01/09/2017 8.05 8.05 03/09/2018 6.96 6.96 04/09/2015 3.85 3.85 05/09/2016 6.6 6.6 04/09/2017 8 8 04/09/2018 6.82 6.82 07/09/2015 3.85* 3.85 06/09/2016 6.7 6.7 05/09/2017 8.1 8.1 05/09/2018 6.62 6.62 08/09/2015 3.93 3.93 07/09/2016 6.42 6.42 06/09/2017 8.16 8.16 06/09/2018 6.62 6.62 09/09/2015 3.93 3.93 08/09/2016 6.47 6.47 07/09/2017 8.2 8.2 07/09/2018 6.65 6.65 10/09/2015 3.93* 3.93 09/09/2016 6.47 6.47 08/09/2017 8.16 8.16 10/09/2018 6.65 6.65 11/09/2015 3.93 3.93 12/09/2016 6.46 6.46 11/09/2017 8.2 8.2 11/09/2018 6.62 6.62 14/09/2015 3.9 3.9 13/09/2016 6.4 6.4 12/09/2017 8.35 8.35 12/09/2018 6.60 6.60 15/09/2015 3.9 3.9 14/09/2016 6.5 6.5 13/09/2017 8.41 8.41 13/09/2018 6.55 6.55 16/09/2015 3.95 3.95 15/09/2016 6.5 6.5 14/09/2017 8.37 8.37 14/09/2018 6.53 6.53 17/09/2015 3.89 3.89 16/09/2016 6.45 6.45 15/09/2017 8.29 8.29 17/09/2018 6.46 6.46 18/09/2015 3.89 3.89 19/09/2016 6.48 6.48 18/09/2017 8.3 8.3 18/09/2018 6.60 6.60 21/09/2015 4 4 20/09/2016 6.48 6.48 19/09/2017 8.28 8.28 19/09/2018 6.6* 6.60 22/09/2015 4.06 4.06 21/09/2016 6.48 6.48 20/09/2017 8.28 8.28 20/09/2018 6.78 6.78 23/09/2015 3.95 3.95 22/09/2016 6.49 6.49 21/09/2017 8.3 8.3 21/09/2018 6.83 6.83 24/09/2015 3.93 3.93 23/09/2016 6.49 6.49 22/09/2017 8.27 8.27 24/09/2018 6.91 6.91 25/09/2015 3.93 3.93 26/09/2016 6.38 6.38 25/09/2017 8.3 8.3 25/09/2018 7.12 7.12 28/09/2015 3.95 3.95 27/09/2016 6.38 6.38 26/09/2017 8.3 8.3 26/09/2018 7.17 7.17 29/09/2015 3.91 3.91 28/09/2016 6.48 6.48 27/09/2017 8.3 8.3 27/09/2018 7.15 7.15 30/09/2015 3.85 3.85 29/09/2016 6.43 6.43 28/09/2017 8.37 8.37 28/09/2018 7.25 7.25 01/10/2015 3.66 3.66 30/09/2016 6.43 6.43 29/09/2017 8.4 8.4 01/10/2018 7.25 7.25 02/10/2015 3.65 3.65 03/10/2016 6.43 6.43 02/10/2017 8.35 8.35 02/10/2018 7.32 7.32 05/10/2015 3.65 3.65 04/10/2016 6.4 6.4 03/10/2017 8.4 8.4 03/10/2018 7.42 7.42 06/10/2015 3.65 3.65 05/10/2016 6.43 6.43 04/10/2017 8.4 8.4 04/10/2018 7.40 7.40 07/10/2015 3.72 3.72 06/10/2016 6.39 6.39 05/10/2017 8.49 8.49 05/10/2018 7.38 7.38 08/10/2015 3.72* 3.72 07/10/2016 6.4 6.4 06/10/2017 8.5 8.5 08/10/2018 7.38* 7.38 09/10/2015 3.72* 3.72 10/10/2016 6.45 6.45 09/10/2017 8.5 8.5 09/10/2018 7.37 7.37 12/10/2015 3.75 3.75 11/10/2016 6.45 6.45 10/10/2017 8.4 8.4 10/10/2018 7.36 7.36 13/10/2015 3.76 3.76 12/10/2016 6.5 6.5 11/10/2017 8.4 8.4 11/10/2018 7.37 7.37 14/10/2015 3.78 3.78 13/10/2016 6.5 6.5 12/10/2017 8.4 8.4 12/10/2018 7.33 7.33 15/10/2015 4.05 4.05 14/10/2016 6.5* 6.5 13/10/2017 8.35 8.35 15/10/2018 7.33 7.33 16/10/2015 4.02 4.02 17/10/2016 6.55 6.55 16/10/2017 8.35 8.35 16/10/2018 7.27 7.27 19/10/2015 4.05 4.05 18/10/2016 6.54 6.54 17/10/2017 8.4 8.4 17/10/2018 7.27 7.27 20/10/2015 4.27 4.27 19/10/2016 6.55 6.55 18/10/2017 8.39 8.39 18/10/2018 7.08 7.08 21/10/2015 4.25 4.25 20/10/2016 6.5 6.5 19/10/2017 8.35 8.35 19/10/2018 6.90 6.90 22/10/2015 4.15 4.15 21/10/2016 6.5 6.5 20/10/2017 8.37 8.37 22/10/2018 6.85 6.85 23/10/2015 4.15 4.15 24/10/2016 6.48 6.48 23/10/2017 8.4 8.4 23/10/2018 6.75 6.75 26/10/2015 4.15 4.15 25/10/2016 6.5 6.5 24/10/2017 8.37 8.37 24/10/2018 6.70 6.70 27/10/2015 4.05 4.05 26/10/2016 6.44 6.44 25/10/2017 8.4 8.4 25/10/2018 6.75 6.75 28/10/2015 4.2 4.2 27/10/2016 6.4 6.4 26/10/2017 8.41 8.41 26/10/2018 6.70 6.70 29/10/2015 4.3 4.3 28/10/2016 6.41 6.41 27/10/2017 8.4 8.4 29/10/2018 6.70 6.70 30/10/2015 4.3 4.3 31/10/2016 6.5 6.5 30/10/2017 8.45 8.45 30/10/2018 6.80 6.80 02/11/2015 4.35 4.35 01/11/2016 6.5* 6.5 31/10/2017 8.5 8.5 31/10/2018 6.85 6.85 03/11/2015 4.4 4.4 02/11/2016 6.45 6.45 01/11/2017 8.5* 8.5 01/11/2018 6.85* 6.85 04/11/2015 4.4 4.4 03/11/2016 6.44 6.44 02/11/2017 8.59 8.59 02/11/2018 6.80 6.80 05/11/2015 4.45 4.45 04/11/2016 6.4 6.4 03/11/2017 8.5 8.5 05/11/2018 7.15 7.15 06/11/2015 4.45* 4.45 07/11/2016 6.39 6.39 06/11/2017 8.47 8.47 06/11/2018 7.20 7.20 09/11/2015 4.6 4.6 08/11/2016 6.35 6.35 07/11/2017 8.45 8.45 07/11/2018 7.15 7.15 95

10/11/2015 4.4 4.4 09/11/2016 6.35 6.35 08/11/2017 8.4 8.4 08/11/2018 6.76 6.76 11/11/2015 4.4 4.4 10/11/2016 6.41 6.41 09/11/2017 8.42 8.42 09/11/2018 6.65 6.65 12/11/2015 4.4 4.4 11/11/2016 6.4 6.4 10/11/2017 8.3 8.3 12/11/2018 6.55 6.55 13/11/2015 4.4 4.4 14/11/2016 6.4 6.4 13/11/2017 8.25 8.25 13/11/2018 6.55 6.55 16/11/2015 4.4 4.4 15/11/2016 6.39 6.39 14/11/2017 7.95 7.95 14/11/2018 6.50 6.50 17/11/2015 4.42 4.42 16/11/2016 6.32 6.32 15/11/2017 7.9 7.9 15/11/2018 6.50 6.50 18/11/2015 4.42* 4.42 17/11/2016 6.32* 6.32 16/11/2017 7.9 7.9 16/11/2018 6.52 6.52 19/11/2015 4.42 4.42 18/11/2016 6.32* 6.32 17/11/2017 7.9 7.9 19/11/2018 6.52 6.52 20/11/2015 4.42* 4.42 21/11/2016 6.27 6.27 20/11/2017 8 8 20/11/2018 6.50 6.50 23/11/2015 4.42* 4.42 22/11/2016 6.25 6.25 21/11/2017 8.05 8.05 21/11/2018 6.50 6.50 24/11/2015 4.42 4.42 23/11/2016 6.3 6.3 22/11/2017 8.15 8.15 22/11/2018 6.55 6.55 25/11/2015 4.42 4.42 24/11/2016 6.3 6.3 23/11/2017 8.22 8.22 23/11/2018 6.55 6.55 26/11/2015 4.42 4.42 25/11/2016 6.2 6.2 24/11/2017 8.3 8.3 26/11/2018 6.52 6.52 27/11/2015 4.4 4.4 28/11/2016 6.25 6.25 27/11/2017 8.36 8.36 27/11/2018 6.50 6.50 30/11/2015 4.38 4.38 29/11/2016 6.25 6.25 28/11/2017 8.3 8.3 28/11/2018 6.48 6.48 01/12/2015 4.38 4.38 30/11/2016 6.3 6.3 29/11/2017 8.35 8.35 29/11/2018 6.48 6.48 02/12/2015 4.35 4.35 01/12/2016 6.29 6.29 30/11/2017 8.34 8.34 30/11/2018 6.50 6.50 03/12/2015 4.23 4.23 02/12/2016 6.25 6.25 01/12/2017 8.2 8.2 03/12/2018 6.55 6.55 04/12/2015 4.2 4.2 05/12/2016 6.25 6.25 04/12/2017 8.17 8.17 04/12/2018 6.60 6.60 07/12/2015 4.2 4.2 06/12/2016 6.2 6.2 05/12/2017 8.19 8.19 05/12/2018 6.59 6.59 08/12/2015 4.2* 4.2 07/12/2016 6.18 6.18 06/12/2017 8.1 8.1 06/12/2018 6.50 6.50 09/12/2015 4.31 4.31 08/12/2016 6.18* 6.18 07/12/2017 8.05 8.05 07/12/2018 6.50 6.50 10/12/2015 4.4 4.4 09/12/2016 6.18 6.18 08/12/2017 8.05* 8.05 10/12/2018 6.45 6.45 11/12/2015 4.5 4.5 12/12/2016 6.2 6.2 11/12/2017 7.97 7.97 11/12/2018 6.35 6.35 14/12/2015 4.5 4.5 13/12/2016 6.2 6.2 12/12/2017 8.19 8.19 12/12/2018 6.40 6.40 15/12/2015 4.41 4.41 14/12/2016 6.15 6.15 13/12/2017 7.98 7.98 13/12/2018 6.40 6.40 16/12/2015 4.4 4.4 15/12/2016 6.14 6.14 14/12/2017 7.82 7.82 14/12/2018 6.45 6.45 17/12/2015 4.47 4.47 16/12/2016 6.15 6.15 15/12/2017 7.75 7.75 17/12/2018 6.45 6.45 18/12/2015 4.47* 4.47 19/12/2016 6.14 6.14 18/12/2017 7.75 7.75 18/12/2018 6.45 6.45 21/12/2015 4.85 4.85 20/12/2016 6.19 6.19 19/12/2017 7.8 7.8 19/12/2018 6.44 6.44 22/12/2015 4.84 4.84 21/12/2016 6.25 6.25 20/12/2017 7.84 7.84 20/12/2018 6.44 6.44 23/12/2015 4.84 4.84 22/12/2016 6.2 6.2 21/12/2017 7.78 7.78 21/12/2018 6.48 6.48 24/12/2015 4.8 4.8 23/12/2016 6.2 6.2 22/12/2017 8.09 8.09 24/12/2018 6.50 6.50 25/12/2015 4.8* 4.8 26/12/2016 6.15 6.15 25/12/2017 8.09* 8.09 25/12/2018 6.5* 6.50 28/12/2015 4.75 4.75 27/12/2016 6.15 6.15 26/12/2017 7.91 7.91 26/12/2018 6.50 6.50 29/12/2015 4.75 4.75 28/12/2016 6.14 6.14 27/12/2017 7.91 7.91 27/12/2018 6.51 6.51 30/12/2015 4.85 4.85 29/12/2016 6.15 6.15 28/12/2017 8.05 8.05 28/12/2018 6.50 6.50 31/12/2015 5 5 30/12/2016 6.3 6.3 29/12/2017 8.15 8.15 31/12/2018 6.45 6.45 96

3.6 Anexo 3: Valores de acciones de enero a diciembre 2017

Tabla 3.7: Valores de Acciones de Cementos Pacasmayo-2017

CEMENTOS PACASMAYO

A˜no-2017 Real Real x-x muaA

02/01/2017 6.31 6.31 1.34 03/01/2017 6.3 6.3 1.37 -0.01 04/01/2017 6.34 6.34 1.28 0.04 05/01/2017 6.4 6.4 1.14 0.06 06/01/2017 6.45 6.45 1.04 0.05 09/01/2017 6.44 6.44 1.06 -0.01 10/01/2017 6.5 6.5 0.94 0.06 11/01/2017 6.5 6.5 0.94 0 12/01/2017 6.4 6.4 1.14 -0.1 13/01/2017 6.4 6.4 1.14 0 16/01/2017 6.37 6.37 1.21 -0.03 17/01/2017 6.34 6.34 1.28 -0.03 18/01/2017 6.37 6.37 1.21 0.03 19/01/2017 6.3 6.3 1.37 -0.07 20/01/2017 6.25 6.25 1.49 -0.05 23/01/2017 6.23 6.23 1.54 -0.02 24/01/2017 6.26 6.26 1.46 0.03 25/01/2017 6.38 6.38 1.19 0.12 26/01/2017 6.35 6.35 1.25 -0.03 27/01/2017 6.27 6.27 1.44 -0.08 97

30/01/2017 6.22 6.22 1.56 -0.05 31/01/2017 6.3 6.3 1.37 0.08 01/02/2017 6.5 6.5 0.94 0.2 02/02/2017 6.5 6.5 0.94 0 03/02/2017 6.5 6.5 0.94 0 06/02/2017 6.46 6.46 1.02 -0.04 07/02/2017 6.47 6.47 1.00 0.01 08/02/2017 6.45 6.45 1.04 -0.02 09/02/2017 6.45 6.45 1.04 0 10/02/2017 6.35 6.35 1.25 -0.1 13/02/2017 6.25 6.25 1.49 -0.1 14/02/2017 6.2 6.2 1.61 -0.05 15/02/2017 6.1 6.1 1.88 -0.1 16/02/2017 6.08 6.08 1.93 -0.02 17/02/2017 6.05 6.05 2.02 -0.03 20/02/2017 6.01 6.01 2.13 -0.04 21/02/2017 6.04 6.04 2.04 0.03 22/02/2017 5.96 5.96 2.28 -0.08 23/02/2017 6 6 2.16 0.04 24/02/2017 6 6 2.16 0 27/02/2017 6 6 2.16 0 28/02/2017 6 6 2.16 0 01/03/2017 6.6 6.6 0.76 0.6 02/03/2017 6.75 6.75 0.52 0.15 03/03/2017 6.75 6.75 0.52 0 06/03/2017 6.65 6.65 0.67 -0.1 07/03/2017 6.55 6.55 0.85 -0.1 08/03/2017 6.55 6.55 0.85 0 09/03/2017 6.5 6.5 0.94 -0.05 10/03/2017 6.63 6.63 0.70 0.13 13/03/2017 6.4 6.4 1.14 -0.23 14/03/2017 6.4 6.4 1.14 0 15/03/2017 6.7 6.7 0.59 0.3 16/03/2017 7 7 0.22 0.3 17/03/2017 7 7 0.22 0 20/03/2017 7.06 7.06 0.17 0.06 21/03/2017 7.32 7.32 0.02 0.26 22/03/2017 7.27 7.27 0.04 -0.05 23/03/2017 7.27 7.27 0.04 0 24/03/2017 7.4 7.4 0.00 0.13 27/03/2017 7.5 7.5 0.00 0.1 28/03/2017 7.34 7.34 0.02 -0.16 29/03/2017 7.35 7.35 0.01 0.01 30/03/2017 7.4 7.4 0.00 0.05 98

31/03/2017 7.3 7.3 0.03 -0.1 03/04/2017 7.3 7.3 0.03 0 04/04/2017 7.4 7.4 0.00 0.1 05/04/2017 7.4 7.4 0.00 0 06/04/2017 7.35 7.35 0.01 -0.05 07/04/2017 7.3 7.3 0.03 -0.05 10/04/2017 7.3 7.3 0.03 0 11/04/2017 7.3 7.3 0.03 0 12/04/2017 7.25 7.25 0.05 -0.05 13/04/2017 7.25* 7.25 0.05 0 14/04/2017 7.25* 7.25 0.05 0 17/04/2017 7.32 7.32 0.02 0.07 18/04/2017 7.38 7.38 0.01 0.06 19/04/2017 7.32 7.32 0.02 -0.06 20/04/2017 7.3 7.3 0.03 -0.02 21/04/2017 7.3 7.3 0.03 0 24/04/2017 7.2 7.2 0.07 -0.1 25/04/2017 7 7 0.22 -0.2 26/04/2017 6.98 6.98 0.24 -0.02 27/04/2017 7 7 0.22 0.02 28/04/2017 7 7 0.22 0 01/05/2017 7* 7 0.22 0 02/05/2017 6.9 6.9 0.32 -0.1 03/05/2017 6.9 6.9 0.32 0 04/05/2017 7.05 7.05 0.18 0.15 05/05/2017 70.5* 7.05 0.18 0 08/05/2017 7 7 0.22 -0.05 09/05/2017 7.08 7.08 0.15 0.08 10/05/2017 7.15 7.15 0.10 0.07 11/05/2017 7.35 7.35 0.01 0.2 12/05/2017 7.25 7.25 0.05 -0.1 15/05/2017 7.2 7.2 0.07 -0.05 16/05/2017 7.24 7.24 0.05 0.04 17/05/2017 7.24 7.24 0.05 0 18/05/2017 7.2 7.2 0.07 -0.04 19/05/2017 7.35 7.35 0.01 0.15 22/05/2017 7.4 7.4 0.00 0.05 23/05/2017 7.5 7.5 0.00 0.1 24/05/2017 7.5 7.5 0.00 0 25/05/2017 7.5 7.5 0.00 0 26/05/2017 7.62 7.62 0.02 0.12 29/05/2017 7.5 7.5 0.00 -0.12 30/05/2017 7.45 7.45 0.00 -0.05 31/05/2017 7.4 7.4 0.00 -0.05 99

01/06/2017 7.33 7.33 0.02 -0.07 02/06/2017 7.52 7.52 0.00 0.19 05/06/2017 7.52 7.52 0.00 0 06/06/2017 7.52 7.52 0.00 0 07/06/2017 7.5 7.5 0.00 -0.02 08/06/2017 7.55 7.55 0.01 0.05 09/06/2017 7.5 7.5 0.00 -0.05 12/06/2017 7.53 7.53 0.00 0.03 13/06/2017 7.52 7.52 0.00 -0.01 14/06/2017 7.5 7.5 0.00 -0.02 15/06/2017 7.47 7.47 0.00 -0.03 16/06/2017 7.45 7.45 0.00 -0.02 19/06/2017 7.45 7.45 0.00 0 20/06/2017 7.48 7.48 0.00 0.03 21/06/2017 7.5 7.5 0.00 0.02 22/06/2017 7.45 7.45 0.00 -0.05 23/06/2017 7.42 7.42 0.00 -0.03 26/06/2017 7.45 7.45 0.00 0.03 27/06/2017 7.5 7.5 0.00 0.05 28/06/2017 7.45 7.45 0.00 -0.05 29/06/2017 7.45* 7.45 0.00 0 30/06/2017 7.5 7.5 0.00 0.05 03/07/2017 7.45 7.45 0.00 -0.05 04/07/2017 7.51 7.51 0.00 0.06 05/07/2017 7.45 7.45 0.00 -0.06 06/07/2017 7.51 7.51 0.00 0.06 07/07/2017 7.48 7.48 0.00 -0.03 10/07/2017 7.35 7.35 0.01 -0.13 11/07/2017 7.37 7.37 0.01 0.02 12/07/2017 7.5 7.5 0.00 0.13 13/07/2017 7.5 7.5 0.00 0 14/07/2017 7.55 7.55 0.01 0.05 17/07/2017 7.55 7.55 0.01 0 18/07/2017 7.62 7.62 0.02 0.07 19/07/2017 7.62 7.62 0.02 0 20/07/2017 7.62 7.62 0.02 0 21/07/2017 7.65 7.65 0.03 0.03 24/07/2017 7.6 7.6 0.02 -0.05 25/07/2017 7.66 7.66 0.04 0.06 26/07/2017 7.6 7.6 0.02 -0.06 27/07/2017 7.62 7.62 0.02 0.02 28/07/2017 7.62* 7.62 0.02 0 31/07/2017 7.65 7.65 0.03 0.03 01/08/2017 7.6 7.6 0.02 -0.05 100

02/08/2017 7.76 7.76 0.08 0.16 03/08/2017 7.61 7.61 0.02 -0.15 04/08/2017 7.61 7.61 0.02 0 07/08/2017 7.61 7.61 0.02 0 08/08/2017 7.49 7.49 0.00 -0.12 09/08/2017 7.5 7.5 0.00 0.01 10/08/2017 7.5 7.5 0.00 0 11/08/2017 7.5 7.5 0.00 0 14/08/2017 7.45 7.45 0.00 -0.05 15/08/2017 7.4 7.4 0.00 -0.05 16/08/2017 7.45 7.45 0.00 0.05 17/08/2017 7.6 7.6 0.02 0.15 18/08/2017 7.65 7.65 0.03 0.05 21/08/2017 7.6 7.6 0.02 -0.05 22/08/2017 7.75 7.75 0.08 0.15 23/08/2017 7.85 7.85 0.14 0.1 24/08/2017 7.84 7.84 0.14 -0.01 25/08/2017 7.73 7.73 0.07 -0.11 28/08/2017 7.74 7.74 0.07 0.01 29/08/2017 7.77 7.77 0.09 0.03 30/08/2017 7.77* 7.77 0.09 0 31/08/2017 8 8 0.28 0.23 01/09/2017 8.05 8.05 0.34 0.05 04/09/2017 8 8 0.28 -0.05 05/09/2017 8.1 8.1 0.40 0.1 06/09/2017 8.16 8.16 0.48 0.06 07/09/2017 8.2 8.2 0.53 0.04 08/09/2017 8.16 8.16 0.48 -0.04 11/09/2017 8.2 8.2 0.53 0.04 12/09/2017 8.35 8.35 0.78 0.15 13/09/2017 8.41 8.41 0.88 0.06 14/09/2017 8.37 8.37 0.81 -0.04 15/09/2017 8.29 8.29 0.67 -0.08 18/09/2017 8.3 8.3 0.69 0.01 19/09/2017 8.28 8.28 0.66 -0.02 20/09/2017 8.28 8.28 0.66 0 21/09/2017 8.3 8.3 0.69 0.02 22/09/2017 8.27 8.27 0.64 -0.03 25/09/2017 8.3 8.3 0.69 0.03 26/09/2017 8.3 8.3 0.69 0 27/09/2017 8.3 8.3 0.69 0 28/09/2017 8.37 8.37 0.81 0.07 29/09/2017 8.4 8.4 0.87 0.03 02/10/2017 8.35 8.35 0.78 -0.05 101

03/10/2017 8.4 8.4 0.87 0.05 04/10/2017 8.4 8.4 0.87 0 05/10/2017 8.49 8.49 1.04 0.09 06/10/2017 8.5 8.5 1.06 0.01 09/10/2017 8.5 8.5 1.06 0 10/10/2017 8.4 8.4 0.87 -0.1 11/10/2017 8.4 8.4 0.87 0 12/10/2017 8.4 8.4 0.87 0 13/10/2017 8.35 8.35 0.78 -0.05 16/10/2017 8.35 8.35 0.78 0 17/10/2017 8.4 8.4 0.87 0.05 18/10/2017 8.39 8.39 0.85 -0.01 19/10/2017 8.35 8.35 0.78 -0.04 20/10/2017 8.37 8.37 0.81 0.02 23/10/2017 8.4 8.4 0.87 0.03 24/10/2017 8.37 8.37 0.81 -0.03 25/10/2017 8.4 8.4 0.87 0.03 26/10/2017 8.41 8.41 0.88 0.01 27/10/2017 8.4 8.4 0.87 -0.01 30/10/2017 8.45 8.45 0.96 0.05 31/10/2017 8.5 8.5 1.06 0.05 01/11/2017 8.5* 8.5 1.06 0 02/11/2017 8.59 8.59 1.26 0.09 03/11/2017 8.5 8.5 1.06 -0.09 06/11/2017 8.47 8.47 1.00 -0.03 07/11/2017 8.45 8.45 0.96 -0.02 08/11/2017 8.4 8.4 0.87 -0.05 09/11/2017 8.42 8.42 0.90 0.02 10/11/2017 8.3 8.3 0.69 -0.12 13/11/2017 8.25 8.25 0.61 -0.05 14/11/2017 7.95 7.95 0.23 -0.3 15/11/2017 7.9 7.9 0.19 -0.05 16/11/2017 7.9 7.9 0.19 0 17/11/2017 7.9 7.9 0.19 0 20/11/2017 8 8 0.28 0.1 21/11/2017 8.05 8.05 0.34 0.05 22/11/2017 8.15 8.15 0.46 0.1 23/11/2017 8.22 8.22 0.56 0.07 24/11/2017 8.3 8.3 0.69 0.08 27/11/2017 8.36 8.36 0.79 0.06 28/11/2017 8.3 8.3 0.69 -0.06 29/11/2017 8.35 8.35 0.78 0.05 30/11/2017 8.34 8.34 0.76 -0.01 01/12/2017 8.2 8.2 0.53 -0.14 102

04/12/2017 8.17 8.17 0.49 -0.03 05/12/2017 8.19 8.19 0.52 0.02 06/12/2017 8.1 8.1 0.40 -0.09 07/12/2017 8.05 8.05 0.34 -0.05 08/12/2017 8.05* 8.05 0.34 0 11/12/2017 7.97 7.97 0.25 -0.08 12/12/2017 8.19 8.19 0.52 0.22 13/12/2017 7.98 7.98 0.26 -0.21 14/12/2017 7.82 7.82 0.12 -0.16 15/12/2017 7.75 7.75 0.08 -0.07 18/12/2017 7.75 7.75 0.08 0 19/12/2017 7.8 7.8 0.11 0.05 20/12/2017 7.84 7.84 0.14 0.04 21/12/2017 7.78 7.78 0.10 -0.06 22/12/2017 8.09 8.09 0.38 0.31 25/12/2017 8.09* 8.09 0.38 0 26/12/2017 7.91 7.91 0.19 -0.18 27/12/2017 7.91 7.91 0.19 0 28/12/2017 8.05 8.05 0.34 0.14 29/12/2017 8.15 8.15 0.46 0.1

Total de dias 260 Promedio 7.469615385 Varianza 0.70 Volatilidad 0.09387165 Promedio de mu 0.00710425 T(30/260) 0.1154 PrecioInicial(P(0)) 8.15

Fuente: Bolsa de valores de Lima 103

3.7 ALgoritmos en Scilab para 2018

3.7.0 Algoritmo de Black Schole para la proyecci´on de los valores de las acciones de los primeros 30 d´ıas del a˜no 2018 para la Empresa de Cementos Pacasmayo S.A.A.

//Se especifican los datos de las acciones en t´erminos //anuales clear; clf; T=0.1154; //Precio inicial de las acciones PIP(1)=8.15; //promedio de la variaci´on diaria muP=0.0071; //Volatilidad sigP=0.0939; WP(1)=0; t(1)=0; //Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo //de T a~nos for m=1:1000 for i=1:30 t(i+1)=i; WP(i+1)=WP(i)+sqrt(T)*grand(1,1,‘nor’,0,1); 104

PIP(i+1)=PIP(1)*exp((muP-(sigP^2)/2)*(t(i+1)*T)+sigP*WP(i+1)); end end M(1)=0; medP(1)=PIP(1); for x=1:30 M(x+1)=x; medP(x+1)=mean(PIP(x+1,:)); end plot2d(M,medP,style=3) title(‘Modelacion de Precios’) xlabel(‘t’)

3.7.0 Algoritmo de la propuesta 1 cuando σ1 = σ√t

//Se especifican los datos de las acciones en t´erminos // anuales clear; clf; T=0.1154; //Precio inicial de las acciones PIP(1)=8.15; //promedio de la variaci´on diaria muP=0.0071; //Volatilidad sigP=0.0939; WP(1)=0; t(1)=0; //Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo de 105

//T a~nos for m=1:1000 for i=1:30 t(i+1)=i; WP(i+1)=WP(i)+sqrt(T)*grand(1,1,‘nor’,0,1); PIP(i+1)=PIP(1)*exp((muP-(sigP^2)/2)*t(i+1))*t(i+1)* T+ sigP*sqrt(t(i+1)*WP(i+1)); end end M(1)=0; MedP(1)=PIP(1); for x=1:30 M(x+1)=x; MedP(x+1)=mean(PIP(x+1,:)); end plot2d(M,medP,style=3) title(‘Modelacion de Precios’) xlabel(‘t’)

1 3.7.0 Algoritmo de la propuesta 2 cuando σ2 = σ(1+ t2 )

//Se especifican los datos de las acciones en t´erminos //anuales clear; clf; T=0.1154; //Precio inicial de las acciones PIP(1)=8.15; //promedio de la variaci´on diaria muP=0.0071; 106

//Volatilidad sigP=0.0939; WP(1)=0; t(1)=0; //Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo de //T a~nos for m=1:1000 for i=1:30 t(i+1)=i; WP(i+1)=WP(i)+sqrt(T)*grand(1,1,‘nor’,0,1); PIP(i+1)=PIP(1)*exp((muP-(sigP^2)/2)*(1+2/(t(i+1))^2+1/ (t(i+1))^4)*t(i+1)*T+sigP*(1+1/(t(i+1))^2)*WP(i+1)) end end M(1)=0; medP(1)=PIP(1); for x=1:30 M(x+1)=x; medP(x+1)=mean(PIP(x+1,:)); end plot2d(M,medP,style=3) title(‘Modelacion de Precios’) xlabel(‘t’)

2 3.7.0 Algoritmo de la propuesta 3 cuando σ3 = σ t

//Se especifican los datos de las acciones en t´erminos //anuales clear; clf; 107

T=0.1154; //Precio inicial de las acciones PIP(1)=8.15; //promedio de la variaci´on diaria muP=0.0071; //Volatilidad sigP=0.0939; WP(1)=0; t(1)=0; //Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo de //T a~nos for m=1:1000 for i=1:30 t(i+1)=i; WP(i+1)=WP(i)+sqrt(T)*grand(1,1,‘nor’,0,1); PIP(i+1)=PIP(1)*exp((muP-(sigP^2)/t(i+1))*(t(i+1)*T)+ sigP*sqrt(2/t(i+1))*WP(i+1)); end end M(1)=0; medP(1)=PIP(1); for x=1:30 M(x+1)=x; medP(x+1)=mean(PIP(x+1,:)); end plot2d(M,medP,style=3) title(‘Modelacion de Precios’) xlabel(‘t’) 108

3.7.0 Algoritmo de la Propuesta 4

//Se especifican los datos de las acciones en t´erminos //anuales clear; clf; //Se correr´a el modelo con alfa =0.4; 0.8; 1.2; 1.6; 1.99 alfa =input(‘ingrese valor de alfa entre 0 y 2:’) T=0.1154; //Precio inicial de las acciones PIP(1)=8.15; //promedio de la variaci´on diaria muP=0.0071; //Volatilidad sigP=0.0939; WP(1)=0; t(1)=0; //Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo de //T a~nos for m=1:1000 for i=1:30 t(i+1)=i; WP(i+1)=WP(i)+sqrt(T)*grand(1,1,‘nor’,0,1); PIP(i+1)=PIP(1)*exp((muP-((sigP^2)/2)*(t(i+1))^ alfa )* (t(i+1)*T)+(sigP*(t(i+1))^( alfa /2))*WP(i+1)); end end M(1)=0; medP(1)=PIP(1); 109 for x=1:30 M(x+1)=x; MedP(x+1)=mean(PIP(x+1,:)); end plot2d(M,medP,style=3) title(‘Modelacion de Precios’) xlabel(‘t’)

3.8 ALgoritmos en Scilab para 2019

3.8.0 Algoritmo de Black Schole para la proyecci´on de los valores de las acciones de los primeros 30 d´ıas del a˜no 2019 para la Empresa de Cementos Pacasmayo S.A.A.

//Se especifican los datos de las acciones en t´erminos //anuales clear; clf; T=0.1154; //Precio inicial de las acciones PIP(1)=6.45; //promedio de la variaci´on diaria muP=-0.0062; //Volatilidad sigP=0.0813; WP(1)=0; 110 t(1)=0; //Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo //de T a~nos for m=1:1000 for i=1:30 t(i+1)=i; WP(i+1)=WP(i)+sqrt(T)*grand(1,1,‘nor’,0,1); PIP(i+1)=PIP(1)*exp((muP-(sigP^2)/2)*(t(i+1)*T)+sigP*WP(i+1)); end end M(1)=0; medP(1)=PIP(1); for x=1:30 M(x+1)=x; medP(x+1)=mean(PIP(x+1,:)); end plot2d(M,medP,style=3) title(‘Modelacion de Precios’) xlabel(‘t’)

3.8.0 Algoritmo de la propuesta 1 cuando σ1 = σ√t

//Se especifican los datos de las acciones en t´erminos // anuales clear; clf; T=0.1154; //Precio inicial de las acciones PIP(1)=6.45; 111

//promedio de la variaci´on diaria muP=-0.0062; //Volatilidad sigP=0.0813; WP(1)=0; t(1)=0; //Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo de //T a~nos for m=1:1000 for i=1:30 t(i+1)=i; WP(i+1)=WP(i)+sqrt(T)*grand(1,1,‘nor’,0,1); PIP(i+1)=PIP(1)*exp((muP-(sigP^2)/2)*t(i+1))*t(i+1)* T+ sigP*sqrt(t(i+1)*WP(i+1)); end end M(1)=0; MedP(1)=PIP(1); for x=1:30 M(x+1)=x; MedP(x+1)=mean(PIP(x+1,:)); end plot2d(M,medP,style=3) title(‘Modelacion de Precios’) xlabel(‘t’)

1 3.8.0 Algoritmo de la propuesta 2 cuando σ2 = σ(1+ t2 )

//Se especifican los datos de las acciones en t´erminos //anuales 112 clear; clf; T=0.1154; //Precio inicial de las acciones PIP(1)=6.45; //promedio de la variaci´on diaria muP=-0.0062; //Volatilidad sigP=0.0813; WP(1)=0; t(1)=0; //Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo de //T a~nos for m=1:1000 for i=1:30 t(i+1)=i; WP(i+1)=WP(i)+sqrt(T)*grand(1,1,‘nor’,0,1); PIP(i+1)=PIP(1)*exp((muP-(sigP^2)/2)*(1+2/(t(i+1))^2+1/ (t(i+1))^4)*t(i+1)*T+sigP*(1+1/(t(i+1))^2)*WP(i+1)) end end M(1)=0; medP(1)=PIP(1); for x=1:30 M(x+1)=x; medP(x+1)=mean(PIP(x+1,:)); end plot2d(M,medP,style=3) title(‘Modelacion de Precios’) xlabel(‘t’) 113

2 3.8.0 Algoritmo de la propuesta 3 cuando σ3 = σ t

//Se especifican los datos de las acciones en t´erminos //anuales clear; clf; T=0.1154; //Precio inicial de las acciones PIP(1)=6.45; //promedio de la variaci´on diaria muP=-0.0062; //Volatilidad sigP=0.0813; WP(1)=0; t(1)=0; //Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo de //T a~nos for m=1:1000 for i=1:30 t(i+1)=i; WP(i+1)=WP(i)+sqrt(T)*grand(1,1,‘nor’,0,1); PIP(i+1)=PIP(1)*exp((muP-(sigP^2)/t(i+1))*(t(i+1)*T)+ sigP*sqrt(2/t(i+1))*WP(i+1)); end end M(1)=0; medP(1)=PIP(1); for x=1:30 M(x+1)=x; 114 medP(x+1)=mean(PIP(x+1,:)); end plot2d(M,medP,style=3) title(‘Modelacion de Precios’) xlabel(‘t’)

3.8.0 Algoritmo de la Propuesta 4

//Se especifican los datos de las acciones en t´erminos //anuales clear; clf; //Se correr´a el modelo con alfa =0.4; 0.8; 1.2; 1.6; 1.99 alfa =input(‘ingrese valor de alfa entre 0 y 2:’) T=0.1154; //Precio inicial de las acciones PIP(1)=6.45; //promedio de la variaci´on diaria muP=-0.0062; //Volatilidad sigP=0.0813; WP(1)=0; t(1)=0; //Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo de //T a~nos for m=1:1000 for i=1:30 t(i+1)=i; WP(i+1)=WP(i)+sqrt(T)*grand(1,1,‘nor’,0,1); PIP(i+1)=PIP(1)*exp((muP-((sigP^2)/2)*(t(i+1))^ alfa )* 115

(t(i+1)*T)+(sigP*(t(i+1))^( alfa /2))*WP(i+1)); end end M(1)=0; medP(1)=PIP(1); for x=1:30 M(x+1)=x; MedP(x+1)=mean(PIP(x+1,:)); end plot2d(M,medP,style=3) title(‘Modelacion de Precios’) xlabel(‘t’)