UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICAS Y MATEMATICAS´ ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA´ Modelo Matem´atico de las Acciones de la Empresa Cementos Pacasmayo S.A.A. y su Variaci´on en el Periodo 2017-2018 TESIS Para optar el t´ıtulo profesional de Licenciado en Matem´aticas Presentado por: Bach. Mat. Vargas Vilchez Claudia Vanessa Asesor: Dr. Quintos Chuquicahua Camilo LAMBAYEQUE PERU´ − 2019 Dedicatoria Quiero dedicar este trabajo a Dios quien siempre me protege, ayuda y fortalece para culminar satisfactoriamente mis objetivos trazados. Agradezco a mi madre Ana por darme su apoyo moral y econ´omico, y a mi padre Juan en mi formaci´on profesional, a mi t´ıa Esperanza y a mi padrino Jorge quienes me brindan su apoyo incondicional. Vanessa Agradecimiento Agradecer a Dios, porque siempre ha estado ah´ı, d´andome fuerzas y sabidur´ıa. Agradezco a mi mam´aAna y a mis familiares por motivarme y apoyarme. Mi profundo agradecimiento a mi asesor de tesis Dr. Camilo Quintos Chuquicahua, por su ayuda constante para seguir adelante con esta tesis, por incentivarme y por el valioso tiempo brindado que este trabajo se ha concluido satisfactoriamente. As´ımismo agradezco a los jurados por dedicar su tiempo en la revisi´on del borrador de tesis y por las correcciones pertinentes. Agradezco a mis profesores de pregrado por orientarme en mi vida profesional. ¡Muchas Gracias! Vanessa Presentaci´on En el presente trabajo de investigaci´on tiene como referencia la utilizaci´on del software scilab para predecir el valor de las acciones de los 30 primeros d´ıas del a˜no que considere el lector predecir. Donde su aplicaci´on que se presenta es utilizar el modelo de Black- Scholes donde el precio del activo es una soluci´on de la siguiente ecuaci´on diferencial estoc´astica. dSt = µStdt + σStdZ Z es un movimiento de Wiener, el cual sigue la evoluci´on de un proceso lognormal, en un tiempo t dado por: σ2 (µ )t+σXt St = S0e − 2 Donde su aplicaci´on que presentamos es dar propuestas de mejoras al modelo de Black- Scholes, lo cual se puede describir alternativas al modelo de volatilidad, teniendo como gu´ıael estudio realizado por Herzel que genera un modelo que produce una curva de vo- latilidad impl´ıcita, es de gran ayuda ya que la persona que est´einteresado podr´ainvertir en la bolsa, tomando en consideraci´on el precio de las acciones dadas en un tiempo atr´as determinados en la bolsa de valores de lima pudiendo llegar a predecir el costo de la acci´on. Espero que sea de gran ayuda a futuro, para estudiantes y docentes. Les presento esta tesis titulada “Modelo matem´atico de las acciones de Cementos Pacasmayo S.A.A. y su variaci´on en el periodo 2017-2018” Resumen En 1973 Fisher Black y Myron Scholes, apoyados en el movimiento Browniano geom´etri- co, crean el modelo de Black-Scholes, el cual era la base de los movimientos de los precios de las acciones, partiendo de una ecuaci´on diferencial estoc´astica. dS = Sµdt + SσdZ. En el presente trabajo de investigaci´on, se mostr´oel desarrollo del modelo de Black- Scholes cuyo objetivo fue construir el modelo matem´atico para analizar y simular los valores nominales de las acciones de la Empresa Cementos Pacasmayo, recopilando la informaci´on requerida desde el a˜no 2015 al 2018. Este modelo se evalu´ocon los datos obtenidos de los precios de las acciones, teniendo expectativas con respecto a lo que sucedi´oen el mercado de valores. Por ello, se ha realizado un estudio de mejora, considerando 4 propuestas en el que modifica la volatilidad, asistidos mediante el software Scilab para simular los valores de las acciones aplicados a la Empresa Cementos Pacasmayo S.A.A., bas´andose en los resultados obtenidos se puede afirmar que la propuesta 3 es la m´as adecuado por ser la que tiene el m´ınimo margen de error y adem´as se ajusta al valor real del precio de la acci´on. Palabras Clave: Modelo matem´atico de Black-Schole, Acciones y Software Scilab. II Abstract In 1973 Fisher Black and Myron Scholes, supported by the geometric Brownian move- ment, created the Black-Scholes model, which was the basis of stock price movements, based on a stochastic differential equation. dS = Sµdt + SσdZ. The present research work showed the development of the Black-Scholes model whose objective was to build the mathematical model to analyze and simulate the nominal values of the Cementos Pacasmayo Company shares, gathering the required information from 2015 to 2018. This model was evaluated with the data obtained from share prices, having expectations regarding what happened in the stock market. For this reason, an improvement study has been carried out, considering four propo- sals in which it modifies volatility, assisted by Scilab software to simulate the values of the actions applied to the Cementos Pacasmayo S.A.A. Company, based on the re- sults obtained, it can be affirmed that proposal three is the most appropriate because it has the minimum margin of error and also adjusts to the real value of the share price. Keywords: Mathematical model of Black-Schole, Actions and Software Scilab. III ´Indice general Dedicatoria 5 Agradecimiento 6 Resumen II Abstract III Introducci´on 3 Cap´ıtulo 1 5 Preliminares 1.1. Historia de Cementos Pacasmayo S.A.A. 5 1.2. CampoFinanciero .............................. 10 1.2.1. Mercado................................ 10 1.2.2. MercadoFinanciero. .. .. 10 1.2.3. Valores, Acciones, Bonos y Dividendos . 14 1.2.4. BolsadevaloresdeLima. .. .. 20 1.2.5. ´IndicesdeBolsa............................ 21 1.3. MedidasdeDispersi´on ............................ 24 1.4. SoftwareScilab ................................ 27 1.4.1. Descripci´on del algoritmo en el Software scilab . 31 Cap´ıtulo 2 33 Movimiento Browniano 2.1. ProcesoEstoc´astico. 34 1 2 2.2. MovimientoBrowniano............................ 39 2.2.1. Aplicaci´on del Lema de Ito al Estudio del M.B. Geom´etrico . 45 Cap´ıtulo 3 46 Modelo matem´atico de las acciones de Cementos Pacasmayo S.A.A. y su varia- ci´on en el periodo 2017-2018 3.1. Deducci´on de la Ecuaci´on de Black-Scholes-Merton . .... 46 3.2. Ecuaci´onBlack-Scholes. 49 3.3. ModeloparaelPreciodeunActivo . 50 3.3.1. La volatilidad impl´ıcita y la sonrisa de la volatilidad . 54 3.4. PropuestasalModelodeBlack-Scholes . 57 3.4.1. Propuesta1 .............................. 58 3.4.2. Propuesta2 .............................. 59 3.4.3. Propuesta3 .............................. 60 3.4.4. Propuesta4 .............................. 60 3.5. Aplicaci´on del Modelo Matem´atico . 61 3.5.1. Valores Simulados para los 30 primeros d´ıas del a˜no 2018 . 61 3.5.2. Valores Simulados para los 30 primeros d´ıas del a˜no 2019 . 67 3.6. DebilidadesdelModelo............................ 72 Conclusiones 78 Sugerencias 79 Referencias Bibliogr´aficas 80 Anexos 83 3.7. ALgoritmosenScilabpara2018 . 103 3.8. ALgoritmosenScilabpara2019 . 109 Introducci´on En 1973, Robert C. Merton public´o“Theory of Rational Option Princing”, en el hac´ıa referencia a un modelo Matem´atico desarrollado por Fisher Sheffey Black (11 de enero de 1938-30 de agosto de 1995), Economista Estaunidense, y Myron Scholes Samuel, (1 de Julio de 1941, Economista, Matem´atico y Abogado Canadiense). A este modelo lo denomin´oBlack-Scholes y fue empleado para estimar el valor actual de compra y venta de acciones en una fecha futura. El mercado de capitales constituye un mecanismo de ahorro e inversi´on que sirve de res- paldo a las actividades productivas y la Bolsa de Valores es una instituci´on apropiada para lograr este objetivo. En nuestro pa´ısla Bolsa de valores de Lima S.A.A. es una sociedad que tiene como objetivo principal facilitar la negociaci´on de valores inscritos, proveyendo los servicios, sistemas y mecanismos adecuados para la intermediaci´on de manera justa, competitiva, ordenada, continua y transparente de los cambios del valor nominal de las acciones. adem´as la Superintendencia del mercado de valores (S.M.V.) brinda informaci´on de los valores cotizados en la bolsa. La Bolsa de Valores de Lima S.A.A. cuenta con 262 empresas con valores listado, en- tre las m´as conocidas se encuentran Banco de la Naci´on, Los Portales S.A., Cementos Pacasmayo S.A., Electro Per´uS.A., Telef´onica S.A., etc. El estudio realizado permi- tir´apredecir el valor del precio de la acci´on para el a˜no 2020 a m´as, para la Empresa Cementos Pacasmayo S.A. y dem´as empresas que se encuentren listados en la B.V.L. Por esta raz´on, que el desarrollo del presente trabajo de investigaci´on se formula lo si- guiente: ¿Cu´al es el modelo Matem´atico adecuado que permite medir las variaciones de 4 las acciones en el periodo 2017-2018?, lo cual tiene como objetivo construir un modelo matem´atico para analizar y simular los valores nominales de las acciones de la Empresa Cementos Pacasmayo, recopilando informaci´on requerida desde el a˜no 2015 al 2018. La hip´otesis a comprobar fue: Si se logra construir el modelo matem´atico, entonces se puede medir las variaciones de las acciones de la Empresa Cementos Pacasmayo en el periodo 2017-2018. Daniel, C. (2016). En su trabajo de investigaci´on Estudio y Aplicaciones de Black Scho- les, hace un estudio de la F´ormula de Black Scholes, la cual es muy importante en la econom´ıamoderna ya que dicha f´ormula se utiliza, entre otras cosas, para valuar de- terminados bienes o activos financieros (que en el trabajo denominaremos Derivados u Opciones) a trav´es del tiempo, por ejemplo, en el caso de las acciones de una sociedad an´onima.