Strövtåg Garnmaskor i matematiken

löjd och matematik var mina favoritämnen i skolan och när det sen blev möjligt att söka tvåämnesutbildning till textil- och matematiklärare var Syrkesvalet givet. Många år senare, närmare bestämt 2006, fick jag möjlig- het att åka på en Bridgeskonferens i London. Jag har många kvarstående min- nen från både föreläsningar och utflykter. Ett minne som dröjt sig kvar är arki- tekternas berättelse om varför det kända landmärket Swiss Re Tower ser ut som det gör. En anledning är helt enkelt att formen gör det möjligt för solstrålarna att nå ner till marken så att även de omkringliggande gatorna och kvarteren nås av direkt solljus. Ett annat Swiss Re Tower är inte det officiella minne gör sig påmint varje gång jag själv ska sätta namnet utan 30 St Mary Axe. rubrik på en föreläsning jag planerar. En av plenar- Förstnämnda beror på att det föreläsningarna hade den fullständigt briljanta men schweiziska försäkringsbolaget Swiss oöversättliga rubriken Why a Not is a Knot. Det Reinsurance Company Ltd har ett av sina handlade om knutteori och jag var någorlunda med i större kontor där. resonemangen i ungefär fem minuter, sen förstod jag bara att detta var något väldigt spännande som borde Skanska var huvudentreprenör och utforskas mer. huset öppnades 28 april 2004. Lorenz attraktor På eftermiddagarnas korta, valbara pass valde jag nästan bara sådana som hade textil anknytning. Ett pass hette Lorenz manifold och det stod något om ’cro- chet’ i beskrivningen. Då hade jag ingen aning om vad Lorenz manifold (på svenska oftast Lorenz attraktor) är, men virkning begriper jag mig på. Föreläsarna var två matematiker, ett äkta par tror jag, från universite- tet i Bristol. Kvinnan, dr , tyckte om att virka och gjorde det ofta framför tv:n. En kväll und- rade mannen, prof Bernd Krauskopf, om hon inte kunde göra något vettigare. Många handarbetande kvinnor hade säkert blivit sura eller arga på en sådan kommentar, men Hinke kom på en alldeles ny idé.

The Bridges Organization: and

The Bridges Organization har årligen återkommande konferenser där kopplingen mellan konst och matematik står i fokus. Den första konferensen hölls i Kansas 1998. Sedan dess har den genomförts i en rad olika städer i Nordamerika och Europa, och har hittills haft medverkande från ett 30-tal länder. Ofta består programmet av större plenarföreläsningar på förmiddagarna och valbara kortare pass på eftermiddagarna. Dessutom arrangeras utställningar, mindre festivaler, utflykter etc. Bland de medverkande syns konstnärer med många skilda inriktningar: arkitekter, skulptörer, keramiker, målare, textilkonstnärer, musiker … Se bridgesmathart.org

Nämnaren nr 3 • 2013 43 Till vardags arbetade de båda med Lorenz attraktor. De hade den illustrerad på datorn och Hinke kom på att formeln borde gå att omvandla till en virkbeskrivning. Sagt och gjort, varje punkt blev en virkad stolpe. Hela beskrivningen finns att hämta på webben, www.enm.bris.ac.uk/anm/preprints/2004r03.pdf och omfattar utskri- ven totalt ett trettiotal A4-sidor. Kanske ångrade maken sig. I vanliga fall kan stora delar av de flesta dukar, överkast och tröjor virkas på rutin; den som virkar kan prata med familjen eller titta på film samtidigt, men här var det nödvändigt att koncentrerat följa beskrivningen stolpe för stolpe. Det tog Hinke 85 timmar att virka klart och sedan monterades alstret med hjälp av ståltråd. På omslaget ovan finns Resultatet såg ut så här: en illustration av Lorenz Man kan naturligtvis fråga attraktor. Ett av de mer sig vad det finns för anled- populära sätten att förklara ning att virka en sådan här innebörden i modellen sak. Även om den kunde är uttryck som: En fjärils ses tredimensionellt med vingslag i Japan kan ge storm hjälp av ett datorprogram i Sverige. De geografiska är en datorskärm de facto platserna kan variera men tvådimensionell. Nu hade vad som avses är att en de tillverkat en verklig tre- mycket liten variation i ett dimensionell modell och kaotiskt system kan senare den har visat sig komma ge stora förändringar. till stor nytta. Det är t ex Meteorologen E. N. Lorenz möjligt att spänna trådar visade genom modellen mellan olika punkter och 1963 att vi aldrig kommer på så sätt se vad som fak- att kunna förutse vädret tiskt händer. mer än ca 10 dygn eftersom även ytterst små variationer i mätvärden snabbt Euklidisk, sfärisk och hyperbolisk geometri ger stora utslag, dvs en I NCM:s matematikverkstad finns en hylla där vi samlar littera- osäkerhet. tur som kopplar samman slöjd och matematik. En intressant bok är Daina Taminas Crocheting adventures with hyperbolic planes. För den intresserande Men innan vi kommer in på den, lite bakgrund. När vi i grund- kan tv-programmet skolan arbetar med geometri är det underförstått att vi rör oss i Kaos i kosmos (jan-13) den euklidiska geometrin. Där vet vi att parallella linjer kan kon- rekommenderas. kretiseras med ett järnvägsspår där rälsens båda skenor alltid är på samma avstånd till varandra – hur långt tåget än kör möts ald- Se även om Invisible in the rig skenorna (får vi hoppas). Vi vet också att vinkelsumman i en storm under Vi har läst i triangel alltid är 180°. detta nummer. När vi tittar på en världskarta kan vi fundera på varför flyg- rutterna mellan Sverige och USA går via Island eller Grönland, men tittar vi istället på en jordglob blir det uppenbart varför flygbolagen väljer sådana rutter. Vi kommer då över till den sfäriska geometrin. Ett tydligt exempel på skillnad mellan den euklidiska geometrin och den sfäriska är att titta på vinkelsumman i en tri- angel. Om vi börjar rita en triangel på sfären genom att dra första linjen längs ”ekvatorn” kan vi sedan göra en rät vinkel i varje ände, fortsätta och dra räta linjer ”norrut” och upptäcka att de möts uppe i ”nordpolen”. Hur liten eller stor vinkeln x än är, blir vinkelsumman alltid över 180° (90° + 90° + x°).

44 Nämnaren nr 3 • 2013 Om vi tänker på ett pappersark där den euklidiska geometrin råder finns det ingen krökning. Arket är platt, har krökning noll. På en sfär, boll, klot, är det alltid krökning. Vi kan kalla den positiv eller negativ, beroende på om vi ser krökningen från ut- eller insidan av sfären, men den är alltid lika i varje punkt. I naturen finns många punkter där det både är positiv och negativ krökning. Ett exempel är där dalar och åsar möts, som på Besseggen i Norge. Besseggen

Besseggen är en bergskam i östra delen av Jotunheimen mellan sjöarna Gjende och Bessvatnet. Vandringen över Besseggen är en av de mest populära fjällvandringarna i Norge och lockar ca 40 000 människor varje år.

Utsikten är fantastisk. Den grönfärgade sjön Gjende ligger 400 meter lägre än den blå sjön Bessvatnet. Gjendes markant gröna färg kommer av att glaciärvatten sköljer ner lera i den. Färgen gör att det ser mycket inbjudande ut med ett dopp – men temperaturen avskräcker de flesta.

Men hur ser en hel yta ut om det är både positiv och negativ krökning sam- tidigt i varje punkt? Är det över huvud taget möjligt att framställa en sådan? I mitten på 1800-talet försökte matematiker göra modeller. 1868 tillverkade den italienske matematikern Eugenio Beltrami den första pappersmodellen av det som heter hyperbolisk geometri. Det lyckades inte så bra – fel material- val. I mitten 1960-talet gjorde en collegestudent (senare professor i mate- matik) försök med att limma samman en särskild sorts papper kallat ’paper annuli’. Det gick lite bättre, men fungerade inte optimalt … Sommaren 1997 såg matematikern Daina Tamina dessa försök och tänkte att detta borde gå att virka istället. Eller rättare sagt, först försökte hon sticka, men det blev en del praktiska problem eftersom maskantalet ökar snabbt. Grundidén för virkningen är enkel. Man lägger upp önskad längd (gör den kort!) med van- liga luftmaskor, sedan virkas fasta maskor varv efter varv men de ökas efter ett förutbestämt förhållande. Om man väljer förhål- landet 12:13 innebär det att i var 12:e maska virkas två fasta maskor. När varvet är slut är det bara att vända och börja räkna från ett igen. Man behöver alltså inte ta hänsyn till hur de dubbla maskorna är placerade på varvet innan. Nu har vi en virkad modell av hyperbolisk geome- tri. Precis som tidigare kan vi ställa oss frågan: till vil- ken nytta? Också som tidigare har dessa modeller visat sig mycket användbara för att konkret kunna under- söka vad som händer i den hyperboliska geometrin genom att rent praktiskt sy parallella linjer, trianglar etc på modellerna. Allt detta beskrivs mycket åskådligt i boken Crocheting adventures with hyperbolic planes. Vill du läsa mer om krökning? Se t ex Jag kan redan här avslöja att i den hyperboliska geome- Ola Helenius artikel Virka stora i trin kan triangelsumman bli allt mindre, den kan till och Nämnaren 2008:2. med gå mot noll grader!

Nämnaren nr 3 • 2013 45 Virka en hyperbol

Virka med exempelvis förhållandet 3:4 Varv 1: Lägg upp ca 20 luftmaskor (lm). Varv 2: Stick ner i andra maskan och *virka 3 fasta maskor (fm), i den fjärde maskan virkas 2 fm*, upprepa varvet ut. Det behöver inte gå jämnt ut. Varv 3: Börja med en lm, stick ner i första fm och fortsätt sedan *–* som i föregående varv. Upprepa varv 3 så långt som önskas.

Det är inte bara matematiker som har nytta av de virkade modellerna. Ett exempel är Crochet Coral Reef, ett världsomspännande projekt där männis- kor möts och genom handling gemensamt kan engagera sig mot den globala uppvärmningen. Bakom projektet finns två systrar, Margaret och Christine Wertheim, och organisationen som de startade år 2003. I praktiken virkar de avbildningar av korallrev. På frågan om varför de gör det, förklarar Margaret att de kombinerar matematik, marinbiologi, kvinnligt hantverkskunnande och miljöaktivism. Titta gärna på alla fantastiska bilder som finns på webben, t ex crochetcoralreef.org och ägna en kvart åt en film där Margaret berättar och förklarar: www.ted.com/talks/margaret_wertheim_crochets_ the_coral_reef.html Som textillärare tycker jag dessa virkade matematiska modeller är ett utmärkt exempel på att textila tekniker inte är ”bortkastad kvinnokraft”. Jag tror inte att en matematiker som inte kan virka skulle ha tänkt: detta går nog att virka – jag lär mig att virka. Utan att ha frågat så törs jag ändå gissa att både Hinke och Daina behärskar såväl virkning som den aktuella matematiken och är dessutom så begåvade att de såg att det går att koppla samman de båda områ- dena. Hade jag själv fortfarande arbetat som textillärare hade virkade koraller utan tvekan blivit ett temaarbete, helst i samverkan med flera andra ämnen. Som matematiklärare känns det fantastiskt att kunna ge begripliga exem- pel på avancerad matematik som håller på att utvecklas just nu. Båda exemplen ovan är precis från senaste milleniumskiftet! Undrar hur kursplanen i geometri ser ut om säg 50 år?

Hyperbolisk geometri i keramik Jag skrev i början att jag nästan bara valde pass på Bridgeskonferensen med textil anknytning. Undantaget var ett pass där en svensk keramikers skulp- turer skulle presenteras. Att hon var svenska var inte det som avgjorde mitt intresse utan hennes namn, Eva Hild. Mitt flicknamn var Hild och eftersom just denna Eva inte hör till vår ytterst begränsade släkt med det efternamnet blev jag nyfiken. På konferensen var det en engelsman som visade foton av en del av Evas alster, men tyvärr gick han ganska snabbt över till att prata om sina egna skulpturer. För min del ledde det ändå till att jag hållit ögonen öppna och senare sett en del av Evas skulpturer både i verkligheten, som på torget i Borås, och i heminredningsmagasin.

46 Nämnaren nr 3 • 2013 När jag ser keramikskulpturerna kan jag inte att låta bli att tänka på hyperbolisk geometri. Enligt Eva själv, i en kort mailkontakt vi har haft, gör hon ingen koppling till mate- matik utan skulpturerna är ett sätt för henne att gestalta sitt känsloliv. Under årens lopp har hon ändå blivit väl medveten om kopplingen eftersom hon får många mail från matematiker och fysiker runt om i världen som ser sina formler realiserade. Så när Margaret Wertheim i fil- men som nämns ovan säger att den hyperboliska geome- trin bara kan konstrueras med hjälp av virkning, är Evas arbete alltså ett undantag. Missa inte hennes webbplats: evahild.com

Mer om textil och matematik – nu stickning När jag i början av 80-talet inledde min utbildning till textil- och matematik- lärare möttes jag ofta av kommentaren: ett praktiskt och ett teoretiskt ämne – det går väl inte? Jodå, det går alldeles utmärkt, till och med fantastiskt bra. Jag vill påstå att det inte går att göra något i slöjden som inte innehåller matema- tik också – åtminstone mer eller mindre, och lite beroende på vad vi lägger in i begreppet matematik. Ett exempel är stickning. Visst är det enkelt att se matematikkopplingen till att beräkna maskantal, mäta hur långt man ska sticka, se olika geometriska figurer i konstruktioner, upprepande mönster etc. Men det går att göra mer än så. Jag fick boken A treasury of magical knitting i min hand. I den beskrivs på ett lättbegripligt sätt hur man kan sticka mycket vackra Möbiusband. Jag kände sedan tidigare till dessa band och hade både använt dem i pappersform och uppsydda med delbara blixtlås, för att påvisa matematiken i dem. Att sticka dem blev ytterligare en variant. Vän av ordning kan tycka att det inte ska behövas en hel bok för att sticka Möbiusband. Hur svårt kan det vara att sticka en halsduk, vrida den ett halvt varv och sy ihop? Så kan man göra, men det är fusk, bandet ska stickas utan någon söm. Det svåraste är egentligen att hitta tillräckligt långa rundstickor, men tack vare internet går det i regel enkelt. Anledningen till att det går åt en lång rund- sticka är att man så att säga stickar ”två varv på ett varv”. Uppläggningsvarvet hamnar i mitten av bandet och sen är det bara att sticka på, varv efter varv, tills man tycker att bandet är lagom brett eller garnet tar slut. Uppläggningen skil- jer sig från den vanliga, men är mycket enkel när man kommit in i rörelsen.

Nämnaren nr 3 • 2013 47 Möbiusband och Kleinflaskor

Läs mer om Möbiusband exempelvis i NämnarenTEMA Familjematemtik och på NCM:s webbplats under Matematikverkstad, Matematik och slöjd.

Kleinflaskor är en tredimensionell variant av Möbiusband. De finns tillverkade i glas men kan också stickas.

Sticka två sockor samtidigt Det ena ger ofta det andra. Sommaren efter att jag hade stickat mina första Möbiusband åkte jag på solsemester. Köpte med mig en riktigt lättläst roman från min närmaste livsmedelaffär. Här skulle kopplas av. Boken handlade om en kvinna som efter diverse olyckliga omständigheter öppnar en garnaffär. Hon startar även stickkurser och man får följa ett antal personers livsöden. Ganska förutsägbart, men som sagt totalt avkopplande läsning. Det som ändå gav boken en knorr var att varje kapitel inleddes med ett citat från någon stick- bok. Rätt som det var kom ett citat från just A treasury of magical knitting. Plötsligt fick romanen en helt annan tyngd för mig, den kändes på något sätt mer verklig. Jag läste ut boken på flygplatsen och den slutade med att affärs- innehavaren skulle starta en ny kurs där deltagarna skulle få lära sig att sticka sockor på rundsticka. Det hade jag inte ens tänkt på skulle kunna vara möj- ligt, så på planet hem satt jag och funderade på hur det egentligen gick till. Väl hemma började jag leta på nätet och snabbt hittade jag en lovande boktitel, 2-at-a-time socks. Boken var tyvärr slutsåld och innan jag hann beställa den igen bröt jag armen – men det är en helt annan historia. Kan bara nämna att det så små- ningom blev många sockor stickade på rundsticka, som ren rehabilitering. Hela mitt omfattande lager med växtfärgat ull- garn tog slut. Sen finns det mer att berätta om kopp- lingen mellan matematik och andra tex- tila tekniker som vävning och lappteknik, men där har jag inga liknande historier att hänga upp det på. Skulle möjligtvis vara historien om mitt vådliga äventyr för att se den diodlysande knypplingen vid Kronhusbodarna i Göteborg. Men det sparar jag till en annan gång.

Lena Trygg

48 Nämnaren nr 3 • 2013