Strövtåg Garnmaskor i matematiken löjd och matematik var mina favoritämnen i skolan och när det sen blev möjligt att söka tvåämnesutbildning till textil- och matematiklärare var Syrkesvalet givet. Många år senare, närmare bestämt 2006, fick jag möjlig- het att åka på en Bridgeskonferens i London. Jag har många kvarstående min- nen från både föreläsningar och utflykter. Ett minne som dröjt sig kvar är arki- tekternas berättelse om varför det kända landmärket Swiss Re Tower ser ut som det gör. En anledning är helt enkelt att formen gör det möjligt för solstrålarna att nå ner till marken så att även de omkringliggande gatorna och kvarteren nås av direkt solljus. Ett annat Swiss Re Tower är inte det officiella minne gör sig påmint varje gång jag själv ska sätta namnet utan 30 St Mary Axe. rubrik på en föreläsning jag planerar. En av plenar- Förstnämnda beror på att det föreläsningarna hade den fullständigt briljanta men schweiziska försäkringsbolaget Swiss oöversättliga rubriken Why a Knot Not is a Knot. Det Reinsurance Company Ltd har ett av sina handlade om knutteori och jag var någorlunda med i större kontor där. resonemangen i ungefär fem minuter, sen förstod jag bara att detta var något väldigt spännande som borde Skanska var huvudentreprenör och utforskas mer. huset öppnades 28 april 2004. Lorenz attraktor På eftermiddagarnas korta, valbara pass valde jag nästan bara sådana som hade textil anknytning. Ett pass hette Lorenz manifold och det stod något om ’cro- chet’ i beskrivningen. Då hade jag ingen aning om vad Lorenz manifold (på svenska oftast Lorenz attraktor) är, men virkning begriper jag mig på. Föreläsarna var två matematiker, ett äkta par tror jag, från universite- tet i Bristol. Kvinnan, dr Hinke Osinga, tyckte om att virka och gjorde det ofta framför tv:n. En kväll und- rade mannen, prof Bernd Krauskopf, om hon inte kunde göra något vettigare. Många handarbetande kvinnor hade säkert blivit sura eller arga på en sådan kommentar, men Hinke kom på en alldeles ny idé. The Bridges Organization: art and mathematics The Bridges Organization har årligen återkommande konferenser där kopplingen mellan konst och matematik står i fokus. Den första konferensen hölls i Kansas 1998. Sedan dess har den genomförts i en rad olika städer i Nordamerika och Europa, och har hittills haft medverkande från ett 30-tal länder. Ofta består programmet av större plenarföreläsningar på förmiddagarna och valbara kortare pass på eftermiddagarna. Dessutom arrangeras utställningar, mindre festivaler, utflykter etc. Bland de medverkande syns konstnärer med många skilda inriktningar: arkitekter, skulptörer, keramiker, målare, textilkonstnärer, musiker … Se bridgesmathart.org NämNareN Nr 3 • 2013 43 Till vardags arbetade de båda med Lorenz attraktor. De hade den illustrerad på datorn och Hinke kom på att formeln borde gå att omvandla till en virkbeskrivning. Sagt och gjort, varje punkt blev en virkad stolpe. Hela beskrivningen finns att hämta på webben, www.enm.bris.ac.uk/anm/preprints/2004r03.pdf och omfattar utskri- ven totalt ett trettiotal A4-sidor. Kanske ångrade maken sig. I vanliga fall kan stora delar av de flesta dukar, överkast och tröjor virkas på rutin; den som virkar kan prata med familjen eller titta på film samtidigt, men här var det nödvändigt att koncentrerat följa beskrivningen stolpe för stolpe. Det tog Hinke 85 timmar att virka klart och sedan monterades alstret med hjälp av ståltråd. På omslaget ovan finns Resultatet såg ut så här: en illustration av Lorenz Man kan naturligtvis fråga attraktor. Ett av de mer sig vad det finns för anled- populära sätten att förklara ning att virka en sådan här innebörden i modellen sak. Även om den kunde är uttryck som: En fjärils ses tredimensionellt med vingslag i Japan kan ge storm hjälp av ett datorprogram i Sverige. De geografiska är en datorskärm de facto platserna kan variera men tvådimensionell. Nu hade vad som avses är att en de tillverkat en verklig tre- mycket liten variation i ett dimensionell modell och kaotiskt system kan senare den har visat sig komma ge stora förändringar. till stor nytta. Det är t ex Meteorologen E. N. Lorenz möjligt att spänna trådar visade genom modellen mellan olika punkter och 1963 att vi aldrig kommer på så sätt se vad som fak- att kunna förutse vädret tiskt händer. mer än ca 10 dygn eftersom även ytterst små variationer i mätvärden snabbt Euklidisk, sfärisk och hyperbolisk geometri ger stora utslag, dvs en I NCM:s matematikverkstad finns en hylla där vi samlar littera- osäkerhet. tur som kopplar samman slöjd och matematik. En intressant bok är Daina Taminas Crocheting adventures with hyperbolic planes. För den intresserande Men innan vi kommer in på den, lite bakgrund. När vi i grund- kan tv-programmet skolan arbetar med geometri är det underförstått att vi rör oss i Kaos i kosmos (jan-13) den euklidiska geometrin. Där vet vi att parallella linjer kan kon- rekommenderas. kretiseras med ett järnvägsspår där rälsens båda skenor alltid är på samma avstånd till varandra – hur långt tåget än kör möts ald- Se även om Invisible in the rig skenorna (får vi hoppas). Vi vet också att vinkelsumman i en storm under Vi har läst i triangel alltid är 180°. detta nummer. När vi tittar på en världskarta kan vi fundera på varför flyg- rutterna mellan Sverige och USA går via Island eller Grönland, men tittar vi istället på en jordglob blir det uppenbart varför flygbolagen väljer sådana rutter. Vi kommer då över till den sfäriska geometrin. Ett tydligt exempel på skillnad mellan den euklidiska geometrin och den sfäriska är att titta på vinkelsumman i en tri- angel. Om vi börjar rita en triangel på sfären genom att dra första linjen längs ”ekvatorn” kan vi sedan göra en rät vinkel i varje ände, fortsätta och dra räta linjer ”norrut” och upptäcka att de möts uppe i ”nordpolen”. Hur liten eller stor vinkeln x än är, blir vinkelsumman alltid över 180° (90° + 90° + x°). 44 NämNareN Nr 3 • 2013 Om vi tänker på ett pappersark där den euklidiska geometrin råder finns det ingen krökning. Arket är platt, har krökning noll. På en sfär, boll, klot, är det alltid krökning. Vi kan kalla den positiv eller negativ, beroende på om vi ser krökningen från ut- eller insidan av sfären, men den är alltid lika i varje punkt. I naturen finns många punkter där det både är positiv och negativ krökning. Ett exempel är där dalar och åsar möts, som på Besseggen i Norge. Besseggen Besseggen är en bergskam i östra delen av Jotunheimen mellan sjöarna Gjende och Bessvatnet. Vandringen över Besseggen är en av de mest populära fjällvandringarna i Norge och lockar ca 40 000 människor varje år. Utsikten är fantastisk. Den grönfärgade sjön Gjende ligger 400 meter lägre än den blå sjön Bessvatnet. Gjendes markant gröna färg kommer av att glaciärvatten sköljer ner lera i den. Färgen gör att det ser mycket inbjudande ut med ett dopp – men temperaturen avskräcker de flesta. Men hur ser en hel yta ut om det är både positiv och negativ krökning sam- tidigt i varje punkt? Är det över huvud taget möjligt att framställa en sådan? I mitten på 1800-talet försökte matematiker göra modeller. 1868 tillverkade den italienske matematikern Eugenio Beltrami den första pappersmodellen av det som heter hyperbolisk geometri. Det lyckades inte så bra – fel material- val. I mitten 1960-talet gjorde en collegestudent (senare professor i mate- matik) försök med att limma samman en särskild sorts papper kallat ’paper annuli’. Det gick lite bättre, men fungerade inte optimalt … Sommaren 1997 såg matematikern Daina Tamina dessa försök och tänkte att detta borde gå att virka istället. Eller rättare sagt, först försökte hon sticka, men det blev en del praktiska problem eftersom maskantalet ökar snabbt. Grundidén för virkningen är enkel. Man lägger upp önskad längd (gör den kort!) med van- liga luftmaskor, sedan virkas fasta maskor varv efter varv men de ökas efter ett förutbestämt förhållande. Om man väljer förhål- landet 12:13 innebär det att i var 12:e maska virkas två fasta maskor. När varvet är slut är det bara att vända och börja räkna från ett igen. Man behöver alltså inte ta hänsyn till hur de dubbla maskorna är placerade på varvet innan. Nu har vi en virkad modell av hyperbolisk geome- tri. Precis som tidigare kan vi ställa oss frågan: till vil- ken nytta? Också som tidigare har dessa modeller visat sig mycket användbara för att konkret kunna under- söka vad som händer i den hyperboliska geometrin genom att rent praktiskt sy parallella linjer, trianglar etc på modellerna. Allt detta beskrivs mycket åskådligt i boken Crocheting adventures with hyperbolic planes. Vill du läsa mer om krökning? Se t ex Jag kan redan här avslöja att i den hyperboliska geome- Ola Helenius artikel Virka stora pi i trin kan triangelsumman bli allt mindre, den kan till och Nämnaren 2008:2. med gå mot noll grader! NämNareN Nr 3 • 2013 45 Virka en hyperbol Virka med exempelvis förhållandet 3:4 Varv 1: Lägg upp ca 20 luftmaskor (lm). Varv 2: Stick ner i andra maskan och *virka 3 fasta maskor (fm), i den fjärde maskan virkas 2 fm*, upprepa varvet ut. Det behöver inte gå jämnt ut. Varv 3: Börja med en lm, stick ner i första fm och fortsätt sedan *–* som i föregående varv. Upprepa varv 3 så långt som önskas. Det är inte bara matematiker som har nytta av de virkade modellerna. Ett exempel är Crochet Coral Reef, ett världsomspännande projekt där männis- kor möts och genom handling gemensamt kan engagera sig mot den globala uppvärmningen. Bakom projektet finns två systrar, Margaret och Christine Wertheim, och organisationen Institute For Figuring som de startade år 2003. I praktiken virkar de avbildningar av korallrev.