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Uno de los elementos preocupantes dentro del ambiente educativo, es el aparente poco interés de los educadores venezolanos a investigar. ¿Es esto una condición natural en nuestro docente? La respuesta es no y el investigar mucho o poco se sucede según el medio laboral en que se desenvuelve el docente. A nivel de educación universitaria para un docente en condición de ordinario la investigación es casi obligatoria: si quiere ascender de categoría debe realizar investigaciones, las que refleja en trabajos o artículos científicos. Cuando aspira a las últimas categorías ( Asociado y Titular ) necesita obtener títulos de Cuarto y Quinto Nivel ( Magister y Doctor , respectivamente), y esto además de los trabajos finales de investigación involucrados ( Trabajo de Grado y Tesis Doctoral ), lo conduce a que durante estos estudios debe realizar investigaciones adicionales. Además se da que en este nivel educativo la Producción Intelectual expresada mediante la publicación de investigaciones es estimulada con premios al investigador. Probablemente no sea lo altamente profuso que se desea pero se está en presencia de una continua fluidez con respecto a la realización de investigaciones. En cuanto a los niveles de Educación Básica y Educación Media es bastante bajo el número de investigaciones que se realizan. Según la reglamentación correspondiente, el docente asciende de escalafón considerando su tiempo de servicio, su desempeño laboral y la realización de un curso de actualización con evaluación; si este curso no lo exige entonces no es obligatorio investigar. Aunque en las anteriores categorías se exigen Trabajos de Ascensos, solo se le exige obtener título de Cuarto Nivel si aspira llegar a las de Docente V y VI, lo que aseguraría la realización de varias investigaciones. No sabemos si el reglamento se cumple a carta cabal, pero en lo que si estamos al tanto es que en los institutos universitarios, públicos y privados, donde se dictan cursos de Cuarto Nivel ( Especializaciones y Maestrías ) estos son sumamente costosos y la baja remuneración del docente, a menos que cuente con un financiamiento, le dificulta realizar este tipo de estudios. Aun así, ¿podrá el docente venezolano realizar investigaciones por su cuenta? ¿Se podrá auto financiar? ¿Tendrá tiempo para dedicarse a ello? Actualmente, un docente para subsistir en las condiciones en que se vive en nuestro país, necesita trabajar un mayor número de horas, lo que no se consigue en una sola institución, posiblemente se vea obligado a trabajar mañana, tarde y noche. O se trabaja en más de una institución o, como último recurso, se busca un segundo trabajo fuera del ambiente educativo. Así, el docente no tiene oportunidad de diversificar su trabajo educativo fuera del aula y se limita a ser efectivo y eficiente realizando su trabajo, teniendo como su principal objetivo cubrir la totalidad del contenido previsto para el curso en el cual se desempeña porque esto le ayudaría en la calificación positiva de su desempeño. La educación en Venezuela necesita que el docente investigue desde el punto de vista educativo en diversas áreas científicas como matemática, física, química, biología, entre otras. Pero con base en lo que hemos aseverado en los párrafos anteriores, ¿cómo incentivar la investigación educativa?, ¿cómo evitar el desestimular al docente a seguir transitando el camino de las investigaciones? Uno de los aspectos que deben tratarse es fortalecer durante su formación el dominio y manejo de los fundamentos filosóficos y epistemológicos de la disciplina en la que se ha de desempeñar. El docente después de graduado debe integrarse a la Familia Profesional de su disciplina, que no es una organización sino el logro del Principio de Identidad Humano : se identifica con todos los docentes de su área de desempeño, por ejemplo con los de matemática o los de física o los de química o los de biología, así cuando realicen un encuentro se sientan motivados a discutir y reflexionar sobre temáticas pertinentes a su respectiva área; esto es sumamente necesario para motivar a investigar aun las dificultades presentes.

Reflexiones "Los que saben mucho se admiran de pocas cosas, y los que no saben nada se admiran de todo". LUCIO ANNEO SÉNECA

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GOTTHOLD EISENSTEIN (1823 - 1852)

Nació el 16 de Abril de 1823 y murió el 11 de Octubre de 1852; ambos momentos en Berlín,Alemania. Trabajó en una variedad de temas incluyendo formas cuadráticas y cúbicas, el teorema de la reciprocidad para los residuos cúbicos, la partición cuadrática de los números primos y las leyes de la reciprocidad.

Ferdinand Gotthold Max Eisenstein. El padre de Gotthold Eisenstein fue Johan Konstantin Eisenstein y su madre fue Helene Pollack. La familia era judía, pero antes del nacimiento de Gotthold, que fue su primer hijo, se habían convertido de judíos a protestantes. Su familia no estaba en buenas condiciones económicas; Johan Eisenstein, después de servir en el ejército prusiano durante ocho años, encontró difícil adaptarse a un trabajo permanente en la vida civil. A pesar de intentar una variedad de puestos de trabajo, no encontró una ocupación exitosa durante la mayor parte de su vida, aunque hacia el final de la misma las cosas se le enderezaron. Eisenstein sufrió toda su vida de mala salud pero por lo menos sobrevivió a la niñez, cosa que ninguno de sus cinco hermanos y hermanas tuvieron éxito en hacerlo. Todos ellos murieron de meningitis y Gotthold también contrajo la enfermedad pero la sobrevivió. Esta enfermedad y otras muchas que él sufrió cuando niño sin duda tuvieron un efecto tanto psicológico como físico en él y fue hipocondriaco toda su vida. Su madre, Helene Eisenstein, tuvo un papel importante en la educación inicial de su hijo. Él escribió una autobiografía y en ella describe la manera en que su madre le enseñó el alfabeto cuando tenía unos dos años, asociar objetos con cada letra que sugiere su forma, como una puerta O y una clave para K. Él también describe su talento precoz en matemáticas en estos escritos autobiográficos (léase referencia [1]): Cuando era un niño de seis podía entender la prueba de un teorema matemático más fácilmente que entender debía cortar la carne con el cuchillo y no con el tenedor. También mostró un considerable talento para la música desde muy joven y tocó el piano y compuso música durante toda su vida. Mientras estaba en la escuela primaria tenía problemas de salud pero éstos podían haber tenido mucho que ver con las escuelas a las que asistió. Cuando tenía unos diez años de edad sus padres intentaron encontrar una solución a sus continuos problemas de salud enviándole a la Academia Cauer en Charlottenburg, un barrio de Berlín el cual no fue incorporado a la ciudad sino hasta 1920. Esta escuela adoptó un estilo casi de disciplina militar y un estricto enfoque formal de la educación que no ayudó en nada a la naturaleza creativa de Eisenstein. En lugar de mejorar su problema de salud, tuvo efecto contrario y además de continuar con sus enfermedades físicas comenzó a padecer de depresión. En 1837, cuando tenía catorce años, Eisenstein entró al Gymnasium Friedrich Wilhelm, luego se trasladó al Gymnasium Friedrich Werder en Berlín para completar sus estudios. Sus talentos matemáticos fueron reconocidos por sus profesores tan pronto como entró al Gymnasium Friedrich Wilhelm y sus maestros le dieron todo el ánimo posible. Sin embargo, pronto fue mucho más allá del programa escolar en matemáticas y a la edad de quince él estaba comprando libros de matemáticas para estudiar por su cuenta. Empezó por aprender cálculo diferencial e integral de las obras de Euler y Lagrange. Cuando ya tenía diecisiete, aunque estaba todavía en la escuela, comenzó a asistir a conferencias de Dirichlet y otros matemáticos de la Universidad de Berlín. Fue alrededor de este tiempo que su padre, al no haber logrado encontrar un empleo satisfactorio en Alemania, se fue a Inglaterra para tratar de encontrar una vida mejor. Eisenstein se mantuvo en la escuela de Berlín, cada vez más dedicado a las matemáticas. Él escribió en su autobiografía sobre las razones que le atrajeron hacia las matemáticas: ¿Qué me atraía tan fuertemente y exclusivamente hacia las matemáticas?, aparte del contenido real, fue particularmente la naturaleza específica de los procesos mentales mediante los cuales se manejan conceptos matemáticos. Esta manera de deducir y descubrir nuevas verdades de las viejas y la extraordinaria claridad y autoevidencia de los teoremas, la ingeniosidad de las ideas... tenía una fascinación irresistible para mí. A partir de los teoremas individuales, crecí acostumbrado a adentrarme más profundamente en sus relaciones y comprender todas las teorías como una sola entidad. Es cómo concebí la idea de belleza matemática... En 1842 él compró una traducción francesa de Disquisitiones arithmeticae de Gauss y, como Dirichlet, quedó fascinado por la Teoría de Números que podía leerse en esta obra. En el verano de 1842, antes de tomar sus exámenes finales, viajó con su madre a Inglaterra donde se unió a su padre que estaba buscando una vida mejor. En [referencia 12], Warnecke sostiene que durante su visita a Inglaterra Eisenstein llegó a familiarizarse con la tecnología aplicada y la ciencia, lo que despertó más su interés general en las matemáticas y contribuyó particularmente a su deseo por ser un matemático.

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La familia trató de permanecer en el país de Gales y en Irlanda pero el padre de Eisenstein no pudo encontrar el trabajo adecuado para darle satisfacción y seguridad financiera. Como se movían de un lugar a otro, Eisenstein aprovechó para leer Disquisitiones arithmeticae y tocar el piano cuando le era posible. Mientras estaba en Irlanda en 1843 Eisenstein se reunió con Hamilton en Dublín, una ciudad en la que placenteramente le hubiera gustado haberse establecido, y Hamilton le dio una copia de un libro que había escrito sobre el trabajo de Abel sobre la imposibilidad de resolver ecuaciones quínticas. Esto estimuló más Eisenstein para iniciar investigaciones en matemáticas. En junio de 1843 Eisenstein regresó a Alemania con su madre que se separó de su padre en este momento. Eisenstein aplicó para tomar sus exámenes finales y se le permitió hacerlo en agosto y en septiembre. Se graduó con un brillante informe de su profesor de matemáticas [1]: Su conocimiento de las matemáticas va mucho más allá del alcance del plan de estudios de educación secundaria. Su talento y celo llevan a esperar algún día que hará una importante contribución al desarrollo y expansión de la ciencia. Su maestro, Schellbach, tenía razón y no pasaría mucho tiempo antes de que sus expectativas fueran satisfechas. Eisenstein se matriculó en la Universidad de Berlín en el otoño de 1843 y en enero de 1844 entregó el trabajo de Hamilton a la Academia de Berlín. Al mismo tiempo presentó a la Academia de Berlín su propio trabajo sobre formas cúbicas con dos variables. Estaba trabajando en una variedad de temas en este momento incluyendo las formas cuadráticas y las formas cúbicas, el teorema de la reciprocidad para los residuos cúbicos, partición cuadrática de los números primos y las leyes de reciprocidad. Crelle fue designado como árbitro para el trabajo de Eisenstein y, con su habitual intuición para detectar jóvenes talentos matemáticos, Crelle inmediatamente se dio cuenta que aquí había un genio potencial. Crelle se comunicó con Alexander von Humboldt que también tomó nota inmediata del extraordinario talento del joven. Eisenstein se reunió con von Humboldt en marzo de 1844. La posición financiera de Eisenstein era pobre y von Humboldt usó sus influencias para obtener concesiones de la Academia de Berlín, del rey y del gobierno prusiano. Éstos fueron dados un poco a regañadientes, siempre por un corto período, llegando con retardo y pocos generosos. Si no hubiera sido por la generosidad personal de von Humboldt, Eisenstein hubiera tenido más dificultades de las que en realidad tenía. Pero Eisenstein era una persona sensible y no estaba feliz de recibir las subvenciones, especialmente cuando sentía que los oficiales lo recibían de mala gana. Las autoridades debieron ciertamente haberse sentido complacidas con la devolución del dinero por Eisenstein después de haber publicado 23 artículos y dos problemas en el Journal de Crelle en 1844. En junio de 1844 Eisenstein fue a Göttingen por dos semanas para visitar a Gauss. Gauss tenía una reputación de ser extremadamente difícil de impresionar, pero Eisenstein había enviado algunos de sus trabajos a Gauss antes de la visita y Gauss lo llenó de alabanzas. En este momento Eisenstein trabajaba sobre formas cuadráticas y cúbicas y el teorema de la reciprocidad para los residuos cúbicos, entre otros temas. Fue una visita exitosa y Eisenstein hizo un amigo en Göttingen, Moritz Stern. A pesar de la fama internacional que en aquel instante logró tener en Göttingen aún estando en su primer año en la Universidad, estaba deprimido y esta depresión empeoraría más a través de su corta vida. Kummer arregló que la Universidad de Breslau otorgara a Eisenstein un doctorado honorario en febrero de 1845. Jacobi también había participado en la organización de este honor, pero Eisenstein y Jacobi no estaban siempre en el mejor de los términos llevando entre ellos dos una relación de altos y bajos. De 1846 a 1847 Eisenstein trabajó sobre funciones elípticas y en el primero de estos años estuvo involucrado en una disputa de prioridad con Jacobi. Él escribió a Stern explicando la situación (léase referencia [1]): ... todo el problema es que, cuando supe de la obra de Jacobi en ciclotomía, no lo reconocí ni inmediata ni públicamente como el creador, mientras que frecuentemente he hecho esto cuando se ha tratado de Gauss. Omitir hacerlo en este caso fue simplemente culpa de mi ingenua inocencia. En 1847, Eisenstein recibió su habilitación de la Universidad de Berlín y empezó a dar conferencias. Riemann asistió a las conferencias que él dio sobre funciones elípticas en ese año, siendo posible que se generara una interacción entre Riemann y Eisenstein en ese entonces. Para 1848 las condiciones eran malas en la Confederación Alemana. El desempleo para unos y la quiebra para otros, llevó al descontento y a que se sucedieran disturbios. La noticia de que Louis-Philippe había sido derrocado por un levantamiento en París en febrero de 1848 condujo a revoluciones en muchos Estados y comenzó la lucha en Berlín. Los sentimientos republicanos y socialistas representaban problemas para la monarquía. Eisenstein asistió a algunas reuniones en pro de la democracia pero no desempeñó ningún papel político activo. Sin embargo, el 19 de marzo de 1848, durante peleas callejeras, en Berlín hubo disparos sobre las tropas del rey desde una casa en la que Eisenstein se encontraba (aunque no era su casa) y fue arrestado. Fue liberado el día siguiente pero el tratamiento severo que recibió causó un fuerte deterioro en su ya delicada salud. La detención tuvo otro mal efecto secundario. Por sus simpatías hacia las ideas republicanas se le hizo más difícil obtener dinero de subvenciones oficiales, aunque von Humboldt continuó dándole fuerte apoyo económico. Escribiendo sobre su obra matemática realizada durante este período, Weil comenta en la referencia [3]: Como cualquier lector de Eisenstein puede darse cuenta, todo el tiempo se sentía duramente presionado durante toda su corta carrera matemática. ... Sus trabajos, aunque brillantemente concebido, deben haber sido escritos entre ataques y salidas, con los detalles realizados según la ocasión que se presentara; a veces un desarrollo era corto, sólo para ser retomado en un momento posterior. De vez en cuando Crelle le dejaba enviar parte de un trabajo a la prensa antes de terminarlo completamente. Uno recuerda con frecuencia la trágica observación de Galois: “Je n'ai pas le temps” (Yo no tengo tiempo). A pesar de sus problemas de salud, Eisenstein publicó un tratado tras otro sobre partición cuadrática de números primos y leyes de reciprocidad. Él recibió muchos honores, por ejemplo Gauss lo propuso para ser electo a la Academia de Göttingen y en 1851 fue elegido. A principios de 1852, a petición de Dirichlet, Eisenstein fue elegido a la Academia de Berlín.

HOMOTECIA Nº 11 – AÑO 16 Jueves, 1º de Noviembre de 2018 4 Eisenstein murió de tuberculosis pulmonar a la edad de 29 años. Su gran defensor Alexander von Humboldt, por aquel entonces de 83 años de edad, siguió el ataúd de Eisenstein hasta el cementerio. Él había obtenido con éxito fondos que le permitiera a Eisenstein pasar tiempo en Sicilia con el fin de que recuperara su salud, pero ya era demasiado tarde. Hay tres grandes áreas de las matemáticas en las que Eisenstein contribuyó y ya se han mencionado anteriormente. Trabajó en la teoría de las formas con el objetivo de generalizar los resultados obtenidos por Gauss en Disquisitiones arithmeticae para la teoría de formas cuadráticas. Él examinó las leyes de reciprocidad superiores, con el objetivo de generalizar resultados de Gauss en la reciprocidad cuadrática, también contenida en Disquisitiones arithmeticae . En su trabajo sobre este tema, Eisenstein utiliza la teoría de Kummer de ideales. El trabajo de Kummer y Eisenstein y la rivalidad que existió entre los dos en su trabajo publicado en 1850 sobre las leyes de reciprocidad superiores, se discute en la referencia [7]. Estos dos temas en los que Eisenstein trabajó fueron fuertemente motivados por Disquisitiones arithmeticae de Gauss y en la referencia [13] se analiza la copia de este trabajo que Eisenstein poseyó desde sus días en la escuela y que se encuentra en la biblioteca de matemática en Giessen. En este documento [13], Weil examina las anotaciones hechas en el libro por Eisenstein y conjetura que Riemann se informó de estas ideas en conversaciones con Eisenstein, las cuales condujeron a la elaboración de su famoso libro sobre la función zeta de Riemann. El tercer tema sobre el que Eisenstein hizo una importante contribución fue la teoría de funciones elípticas. Weil escribe en la referencia [3]: Eisenstein, después de haber sentado las bases para una teoría de funciones elípticas, fue capaz de llevar a cabo gran parte de su diseño construido por sí mismo, y para indicar cómo él deseaba que quedara terminado. Aunque el tema fue más trabajado por Abel y Jacobi, el papel de Eisenstein sobre el tema en 1847 [10]: ... desarrolló su propia teoría analítica independiente de funciones elípticas, basado en la técnica de la suma de algunas series condicionalmente convergentes. Kronecker escribió (leer referencia [3]): Fundamentalmente nuevos puntos de vista... sobre todo en cuanto a la teoría de la transformación de funciones theta... fueron introducidas por Eisenstein en lo fundamental pero raramente citada en "Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen" publicado en el Journal de Crelle en 1847, las cuales se basan en ideas totalmente originales... De hecho el libro referencia [3], la primera edición aparecida en 1976 y que fue el resultado de un curso impartido en el Instituto para Estudios Avanzado en Princeton en 1974, está dedicado a este enfoque. Kronecker tomó estos temas [3]: Los temas más importantes de Eisenstein, bien modulados, se prestan a un gran número de interesantes variaciones; ... mucho del mejor trabajo de Kronecker consiste en tales variaciones... Este libro de Weil demuestra que el enfoque de Eisenstein es de gran importancia para las matemáticas que se desarrolla en la actualidad, un gran homenaje a un genio que murió hace 150 años. A menudo el poder de un enfoque se ilustra por la penetración que se añade a los más simples casos bien entendidos y de hecho esto está bien ilustrado por Weil: Como Eisenstein lo demuestra, su método para la construcción de funciones elípticas se aplica perfectamente al caso más simple de funciones trigonométricas. Por otra parte, este caso ofrece no sólo una iluminación introductoria a su teoría, sino también las más simples pruebas para una serie de resultados, originalmente discutidos por Euler... Finalmente se cita de la referencia [10] sobre el mismo tema de la relevancia actual de la obra de Eisenstein: Mirando hacia atrás desde nuestro presente, las matemáticas de Eisenstein nos parecen más actualizadas que nunca. No es tanto la cosecha de teoremas, ni la creación de teorías completas, sino la manera de ver las cosas lo que nos asombra...

Referencias.- 1. K R Biermann, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990). http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830901299.html 2. Biography in Encyclopaedia Britannica. http://www.britannica.com/eb/article-9032165/Ferdinand-Gotthold-Max-Eisenstein Libros: 3. A Weil, Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker (Berlin, 1999). Artículos: 4. W Ahrens, Gotthold Eisenstein, Deutsche allgemeine Zeitung 177 (1923). 5. K-R Biermann, Die Briefe A v Humbolds an F G M Eisenstein, Alexander von Humboldt Gedenkschrift (Berlin, 1959), 117-159. 6. K-R Biermann, Gotthold Eisenstein : Die wichtigsten Daten seines Lebens und Wirkens, J. Reine Angew. Math. 214 (1964), 19-30. 7. H M Edwards, Kummer, Eisenstein, and higher reciprocity laws, in Number theory related to Fermat's last theorem (Boston, Mass., 1982), 31-43. 8. R C Laubenbacher, Gauss, Eisenstein, and the 'third' proof of the quadratic reciprocity theorem, The Mathematical intelligencer 16 (1994), 67-72. 9. S J Patterson, Eisenstein and the quintic equation, Historia Mathematica 17 (1990), 132-140. 10. N Schappacher, Gotthold Eisenstein, in Mathematics in Berlin (Berlin, 1998), 55-60. 11. J Stillwell, Eisenstein's footnote, The Mathematical intelligencer 17 (2) (1995), 58-62. 12. H Warnecke, Gotthold Eisenstein (1823-1852) - ein mathematisches und hochschulpädagogisches Talent aus Berlin, Wiss. Z. Humboldt-Univ. Berlin Math.-Natur. Reihe 37 (2) (1988), 187-193. 13. A Weil, On Eisenstein's copy of the 'Disquisitiones', in Algebraic number theory (Boston, MA, 1989), 463-469.

Versión en español por R. Ascanio H. del artículo en inglés de J. J. O'C onnor y E. F. Robertson sobre “ Gotthold Eisenstein ” (Mayo 2000). FUENTE: MacTutor History of Mathematics. [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Eisenstein.html].

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Aportes al conocimiento Elementos Básicos del Cálculo Integral (5)

ÍNDICE

Integral Indefinida. Las Técnicas de Integración. Resolución de integrales por Racionalización o por Sustituciones Algebraicas. Condiciones necesarias para la aplicación de la técnica. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos

INTEGRAL INDEFINIDA. LAS TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.

RESOLUCIÓN DE INTEGRALES POR RACIONALIZACIÓN O POR SUSTITUCIONES ALGEBRAICAS Este procedimiento de integración consiste en convertir una integral dada en otra de resolución inmediata, transformando funciones irracionales en otras racionales. Condiciones necesarias para la aplicación de la técnica.- Hay dos posibilidades: ∗ El integrando está conformado por una función racional, caracterizada por ser una fracción a la cual se le puede racionalizar por el denominador utilizando el llamado “método de la conjugada”. ∗ El integrando está conformado por uno o más términos irracionales, los cuales pueden ser transformados en términos racionales utilizando sustituciones algebraicas, según el procedimiento que se explica a continuación. Se basa en la realización de los siguientes cambios:

a) n xf )( = u. b) n xf )( = n u m , siendo m ⋅= nk ∧ k ∈ Z + .

Los pasos a seguir al utilizar esta estrategia son los siguientes:

Se plantea el cambio n f() x= u ó n xf )( = n um .


Se expresa dx en función de u"" y del "du " .


Se construye el integrando en función de la nueva variable u .


Después de integrar, se devuelve el cambio.

A continuación se presenta la resolución de ejercicios aplicando esta técnica de integración.

Ejercicios resueltos.- dx 1.- Determinar ∫ . x+2 − x Solución : Resolviendo la integral: Se racionaliza la fracción por el denominador. dx ()x + 2 + dxx ()x + 2 + dxx ()x + 2 + dxx I = ∫ = ∫= ∫ = ∫ = x + 2 − x ()x + 2 − x ()x + 2 + x x + 2 − x 2 1 1 1 = ()x + 2 + dxx = x + 2dx + dxx = (*) 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫

I1)(

Sustitución para I1: u = x + 2 ⇒ du = dx Volviendo a la integral: 3 3 1 1 1 1 1 1 1 u 2 1 x 2 1 2 3 1 2 3 (*) = ⋅ duu + ⋅ dvv = u 2 ⋅ du + x 2 ⋅ dx = ⋅ + + C = ⋅ u 2 ⋅+ x 2 + C = ∫ ∫ ∫ ∫ 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 = u3 + x3 + C = (x + )2 3 + x3 + C = (x + )2 x + 2 + xx + C 3 3 3 3 3 3

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a + x 2.- Obtenga: ∫ dx . a − x Solución : Resolviendo la integral: Al presentar el integrando un cociente de raíces de índice igual dos pero cuyos radicandos son conjugados entre sí, se inicia la resolución de la integral multiplicando numerador y denominador por la conjugada del denominador.

2 a + x ( a + x )⋅ ( a + x ) ( a + x ) a + x dxa dxx I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ + ∫ = (*) a − x ()a − x ⋅ ()a + x a2 − x2 a2 − x2 a2 − x2 a2 − x2

I1)( I2 )(

Resolviendo a I1: dxa dx = = = ⋅ ()x + . I1 ∫ a∫ a ArcSen a C1 a 2 − x 2 a 2 − x 2

Resolviendo a I2. du Cambio de variable en I2: u = a2 − x2 ⇒ du −= 2xdx ⇒ xdx −= 2 Aplicando el cambio: 1 du dxx − 1 − 1 1 u 2 I = = 2 −= u 2 du ⋅−= + C −= u + C −= a2 − x2 + C . 2 ∫ 2 2 ∫ ∫ 1 2 2 2 a − x u 2 2 2

Volviendo a (*): = = + ⋅= ( x )+ − 2 − 2 + ⋅= ( x )− 2 − 2 + (*) I I 1 I 2 a ArcSen a C1 a x C 2 a ArcSen a a x C

x 6 + 2x 4 − x 6 − 2x 4 1 3.- Compruebe si: ∫ dx = x 2 ⋅ (x 2 − x 4 − 4)+ Ln x 2 + x 4 − 4 + C, con x > 2 . x 4 + 2x 2 + x 4 − 2x 2 8 Comprobando :

Resolviendo la integral: Los cuatro radicales del integrando presentan factores comunes en sus radicandos. Se procede a extraerlos y a realizar las simplificaciones correspondientes.

x6 + 2x4 − x6 − 2x4 x4 ⋅ (x2 + 2) − x ⋅(x24 − 2) x2 ⋅ x2 + 2 x2⋅− x2 − 2 I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = x4 + 2x2 + x4 − 2x2 x2 ⋅ ()x2 + 2 + x2 ⋅ ()x2 − 2 x ⋅ x2 + 2 + xx 2 − 2

x2 ⋅ ( x2 + 2 − x2 − 2) x2 + 2 − x2 − 2 = ∫ dx = ∫ xdx = (*) x ⋅ ( x2 + 2 + x2 − 2) x2 + 2 + x2 − 2 Ahora se procede a racionalizar por el denominador. Volviendo a (*):

x2 + 2 − x2 − 2 ( x2 + 2 − x2 − 2)⋅ ( x2 + 2 − x2 − 2) (*) = I = ∫ xdx = ∫ xdx = x2 + 2 + x2 − 2 ()x2 + 2 + x2 − 2 ⋅()x2 + 2 − x2 − 2 2 ( 2 + − 2 − ) 2 + ⋅− 2 ⋅+ 2 − + 2 − = x 2 x 2 = x 2 2 x 2 x 2 x 2 ⋅ = 1 ()2 ⋅− 4 − ⋅ = ∫ xdx ∫ 2 2 xdx ∫ 2x 2 x 4 xdx ( x2 + 2 + x2 − 2)⋅ ( x2 + 2 − x2 − 2) x + 2 − x + 2 4 4 1 1 1 x 1 2 = (x3 x ⋅− x4 − 4)dx = 3 dxx − x4 4 ⋅− xdx = − ()x2 − 22 ⋅ xdx + C = (**) 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 8 2 ∫

I1)(

Para resolver a I1, se propone el siguiente cambio de variable: du u = x 2 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = 2 Volviendo a (**):

4 4 4   = = x − 1 2 − 2 ⋅ du + = x − 1 2 − 2 + == x 1 ⋅− 1 2 − 2 1 2 ⋅⋅+ ( + 2 − 2 ) + = (**) I ∫ u 2 C ∫ u 2 du C  uu 2 2 uLn u 2  C 8 2 2 8 4 8 4 2 2  x4 1 1 x4 1 1 = − uu 2 − 4 ⋅+ ()uLn + u2 − 4 + C = − x x42 − 4 + Ln x2 + x4 − 4 + C = x ⋅ ()x22 − x4 − 4 + Ln x2 + x4 − 4 + C 8 8 2 8 8 8 L. Q. Q. C. HOMOTECIA Nº 11 – AÑO 16 Jueves, 1º de Noviembre de 2018 7

1− t 4.- Resuelva: ∫ dt . 1+ t Solución : Resolviendo la integral: Se racionaliza la fracción en el integrando por el denominador.

2 1− t (1− t )⋅ (1− t ) (1− t ) I = ∫ dt = ∫ dt = ∫ dt = (*) 1+ t ()1+ t ⋅ ()1− t 1− t Sustitución en I: t = u ⇒ t = u 2 ⇒ dt = 2udu Volviendo a (*):

2 (1− t ) ()1− u 2 (1− 2u + u 2 )⋅u u − 2u 2 + u 3 u 3 − 2u 2 + u (*) = I = dt = ⋅ 2udu = 2 du = 2 du = 2 du = ∫ ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 1− t 1− u 1− u 1− u − u +1  2u − 2  u −1 1− u = 2 − u + 2 +  du −= 2 udu + 4 du + 4 du −= u 2 + 4u − 4 du + C = ∫ 2 ∫ ∫ ∫ 2 ∫  − u +1 1− u ()()1+ u 1− u Se realizó división de polinomios

du 4 −= u 2 + 4u − 4 + C −= u 2 + 4u − 4 ⋅ Ln 1+ u + C −= t + 4 t − Ln (1+ t ) + C ∫ 1+ u

dx 5.- Calcular ∫ . x + 1 Solución : Resolviendo la integral. Sustitución para I: u = x ⇒ u2 = x ⇒ 2udu = dx dx 2udu udu u −+ 11  u +1 1   1  du I = ∫ = ∫ = 2∫ = 2∫du = 2 ∫ − du = ∫12 − du = 2∫ du − 2 ∫ = (*) x +1 u +1 u +1 u +1  u +1 u +1  u +1 u +1

I1)( + = = Cambio de Variable en I1: u 1 v ⇒ du dv Volviendo a la integral para aplicar el cambio:

dv 2 (*) = 2 du − 2 = 2u − 2 vLn + C = 2 x − 2 uLn 1 ++ C = 2 x − 2Ln x 1 ++ C = 2 x − Ln ( x +1) + C ∫ ∫ v

x2 dx 6. - Hallar ∫ ⋅ x3 − 8 Solución : Resolviendo la integral. 2 Cambio de Variable para I: x3 = u ⇒ x3 = u 2 ⇒ 3 2dxx = 2udu ⇒ 2dxx = udu 3 Aplicando el cambio: 2 dxx 2 udu udu u − 8 + 8  u − 8 8   8  = = 3 = 2 = 2 = 2  +  == 2  +  = I ∫ ∫ 3 ∫ 3 ∫ du 3 ∫ du 3 ∫ 1 du x 3 − 8 u − 8 u − 8 u − 8  u − 8 u − 8   u − 8  8du 2 du = 2 du + 2 = u + 16 + C = 2 u + 16 uLn − 8 + C = 2 x 3 + 16 Ln x 3 − 8 + C 3 ∫ 3 ∫ u − 8 3 3 ∫ u − 8 3 3 3 3

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x + 4 7. - Evaluar dx . ∫ x Solución : Resolviendo la integral: Sustitución en I: u= x + 4 u2= x + 4⇒ x= u 2 − 4 ⇓ 2udu = dx Luego: + 2 2 − +  2 −  = x 4 = u ⋅ = duu = u 4 4 =  u 4 + 4  = I ∫ dx ∫ 2 2( udu ) 2∫ 2 2∫2 du 2 ∫ 2 2 du x u − 4 u − 4 u − 4  u − 4 u − 4 

 4   4  4du du =  +  =  +  = + = + + = 2∫1 2 du 2 ∫ du ∫ 2 du 2∫ du 2∫2 2u 8 ∫ 2 C  u − 4   u − 4  u − 4 u − 4 − − + − = + du = ⋅+ 1 u 2 + = + 8 u 2 + = + + x 4 2 + 2u 8∫ 2 2 2u 8 Ln C 2u Ln C 2 x 4 2Ln C u − 2 ⋅ 22 u + 2 4 u + 2 x + 4 + 2

2 8. - Comprobar si x x−3 dx =()(). x −33 ⋅ x + 2 + C . ∫ 5 Comprobando : Resolviendo la integral. Sustitución en I: u= x − 3

u2= x − 3⇒ x= u 2 + 3 ⇓ 2udu = dx Luego: u5 u3 I = xx −3dx = (u2 )3 u ⋅⋅+ 2( udu = (2) u2 )3 ⋅+ 2duu = (2 u4 + 2)3 duu =2 4duu + 32 2duu = 2 4duu + 6 2duu 2⋅= 6⋅+ +C = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 5 3 2 2u5 +10 u3 (2 uu 23 + )5 2 2 2 = u5 + 2u3 + C = + C = +C = (x − )3 3 ⋅[](x − )3 2 + 5 + C = (x − 3 ()3 x +−⋅ )53 + C = (x − 3 ()3 x +⋅ )2 +C 5 5 5 5 5 5 L. Q. Q. C.

x− x2 9. – Halle: ∫ dx ⋅ 23 x Solución : Resolviendo la integral. Sustitución en I: 3 x = u ⇒ x = u 3 ⇒ dx = 3 2 duu Entonces: − xx 2 1 u3 − u 6 3 3 3 3 3 3 I = ∫dx = ∫ ⋅3 2duu = ∫ ()u3 − u 6 ⋅udu = ∫ ()u 4 − 7 duu = ∫ 4duu − ∫ 7duu = u5− u8 + C = 23 x 2 u 2 2 2 2 10 16 3 3 3 3 3  1 1  = 3 x5 − 3 x8 + C = x ⋅ 3 x2 − x2 ⋅ 3 x2 + C = x ⋅ 3 x2 ⋅ − x + C 10 16 10 16 2  5 8 

HOMOTECIA Nº 11 – AÑO 16 Jueves, 1º de Noviembre de 2018 9

3 10. - Calcular ∫ dx ⋅ x− x Solución : Resolviendo la integral. Sustitución en I: x = u ⇒ x = u 2 ⇒ dx = 2udu + 2 + 2 + = 3 = x x = u u = u u = udu = udu = I ∫ dx 3∫ 2 dx 3∫ 4 2 2udu 6∫ 2 2 udu 6∫ 2 6∫ x − x x − x u − u ()()u + u ⋅ u − u u − u ()uu −1 du = 6 = 6 uLn −1 + C = 6Ln x −1 + C ∫ u −1

xdx 11.- Hallar ∫ . 3 ax+ b Solución : Resolviendo la integral. u3 − b 3 Sustitución en I: u3 = ax + b ⇒ u = 3 ax + b ⇒ x = ⇒ 3 2duu = adx ⇒ 2duu = dx a a Luego: u 3 − b xdx 3 1 3 (u 3 − )ub 2 3 3 3 3 I = = a ⋅ 2 duu = ⋅ du = (u 3 − b)udu = (u 4 − bu )du = 4 duu − budu = ∫ ∫ ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 3 ax + b 3u 3 a a a u a a a a 3 3b 3u 5 3bu 2 3 3b 3u 5 3bu 2 3 3b = 4 duu − udu = − + C = ⋅ u 5 − ⋅ u 2 + C = − + C = ⋅ u 5 − ⋅ u 2 + C = 2 ∫ 2 ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 a a 5a 2a 5a 2a 5a 2a 5a 2a 3 3b = ⋅ 3 (ax + b)5 − ⋅ 3 (ax + b) 2 + C 3a 2 2a 2

12.- Verifique si dx x − 2 . ∫ = Ln ()x − x − 2 ⋅ 3 + C x − 2 − x x − 2 Verificando : Resolviendo la integral. Sustitución: u = x ⇒ u 2 = x ⇒ 2udu = dx

Aplicando la sustitución: ( − + ) ( − ) = dx = 2udu = 2udu = 2u 11 du = 2u 1 du + du = I ∫ ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 (*) x − 2 − x u − 2 − u u − u − 2 u − u − 2 u − u − 2 u − u − 2

I1)( I2 )(

Resolviendo a I1:

2 Cambio de variable en I1: a = u − u − 2 ⇒ da = (2u − 1)du

Aplicando el cambio: (2u−1)du da I = = = aLn +C = Ln u2 −u−2 +C = Ln x− x −2 +C 1 ∫ 2 ∫ 1 1 1 u −u−2 a

Resolviendo a I2: Se completa cuadrados en el denominador. du du du I = = = = (**) 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 2 u − u − 2 ()− 1 − 9 ()− 1 − ()3 u 2 4 u 2 2

Cambio de variable en I : = − 1 ⇒ = 2 b u 2 db du

HOMOTECIA Nº 11 – AÑO 16 Jueves, 1º de Noviembre de 2018 10

Volviendo a (**) para aplicar el cambio: du db 1 2 b − 3 1 u − 1 − 3 1 u − 2 I = = = ⋅ Ln 2 + C = Ln 2 2 + C = Ln + C = 2 ∫ 2 2 ∫ 2 2 2 2 ()− 1 − ()3 2 − ()3 2 3 b + 3 3 u − 1 + 3 3 u +1 u 2 2 b 2 2 2 2 u − 2 x − 2 = 3 + = 3 + Ln C 2 Ln C 2 u +1 x +1

Volviendo a (*):

x − 2 x − 2 x − 2 I = I + I = Ln x − x − 2 + C + Ln 3 + C = Ln x − x − 2 + Ln 3 + C = Ln ()x − x − 2 ⋅ 3 + C 1 2 1 x +1 2 x +1 x +1

L. Q. Q. V. 4 13.- Comprobar si: ∫ 1+ dxx = (1+⋅ x )⋅ 1+ x ⋅ (3 x − 2)+ C . 15 Comprobando : Resolviendo la integral: Se debe hacer una primera sustitución relacionada con el radical interior al radical que conforma el integrando. Sustitución 1: x = u 2 ⇒ dx = 2udu Aplicando la sustitución: I = ∫ 1+ dxx = ∫ 1+ u 2 ⋅ 2udu = 2∫ 1 u ⋅+ udu = (*) Ahora se procede a realizar una segunda sustitución para transformar el factor irracional en el integrando en uno racional.

2 Sustitución 2: v = 1+ u ⇒ v2 = 1+ u ⇒ 2vdv = du . Además: u = v −1 Aplicando la sustitución en (*): 4 4 4 4 (*) = I = 2 1 u ⋅+ udu = 2 ⋅ ()()vv 2 ⋅− 21 vdv = 4 v4 − 2 dvv = 4 4dvv − 4 2dvv = v5 − v3 + C ⋅= ()1+ u 5 ⋅− ()1+ u 3 + C = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 5 3 5 3

+ − 4 ()2 4 () () 1 () 1 ()  33 u 5 1+⋅= u ⋅ 1+ u 1+⋅− u ⋅ 1+ u + C = 14 + u 1 u ⋅+  1+ u −  + C = 14 + u 1 u ⋅+   + C = 5 3 5 3  15  −  −  = ()+ ⋅+  3u 2 + ()+⋅= ⋅ + ⋅ 3 x 2 + = 4 ()+⋅ ⋅ + ⋅ ()− + 14 u 1 u   C 14 x 1 x   C 1 x 1 x 3 x 2 C  15   15  15 L. Q. Q. C.

x 14.- Compruebe si dx = 2 x − 2 ArcTg x + C. ∫ 1+ x Comprobando : Resolviendo la integral.

Cambio en I: u = x ⇒ u2 = x ⇒ dx = 2udu

2 2 −+  + 2  = x = u 2. udu = duu = (u )11 = 1 u − 1  = I ∫dx ∫ 2 2∫ 2 2∫ 2 du 2∫  2 2  du 1+ x 1+ u 1 + u 1+ u 1+ u 1+ u   1  du = 2 1−  du = 2 du − 2 = 2u − 2ArcTgu + C = 2 x − 2ArcTg x + C ∫  1+ u 2  ∫ ∫ 1+ u 2 L. Q. Q. C

1+ x 2 15.- Verifique si ∫ dx = x ⋅ 3( + x) + C x 3 Verificando : Resolviendo a I. Cambio: u = x ⇒ u 2 = x ⇒ 2udu = dx 1+ x 1+ u2 2 2 I = ∫ dx = ∫ ⋅ 2udu = ∫ 1(2 + 2 )duu = 2∫ du + 2∫ 2duu = 2u + u3 + C = 2 x + x3 + C = x u 3 3 2  1  2 = 2 x + xx + C = 2 x 1+⋅ x + C = x 3( +⋅ x) + C 3  3  3 L. Q. Q. V. HOMOTECIA Nº 11 – AÑO 16 Jueves, 1º de Noviembre de 2018 11

2 16.- Compruebe: x 2 1− dxx −= 1( − x 3 ⋅ 15() x 2 +12 x + )8 + C. ∫ 105 Comprobando : Resolviendo la integral. 1 Cambio: u = 1− x = 1( − x) 2 ⇒ u2 = 1− x ⇒ x =1−u2 ⇒ 2udu −= dx ⇒ −2udu = dx

I = ∫ x2 1− dxx = ∫ 1( − u )22 u −⋅⋅ 2( udu ) −= ∫ − 21(2 u2 + u4 ) ⋅ 2duu −= ∫(2 u2 − 2u4 + 6 )duu −= 2∫ 2duu + 4∫ 4duu − 2∫ 6duu =

3 5 7 2 4 2 − 70 u3 + 84 u5 − 30 u7 − 1(70 − x) 2 + 1(84 − x) 2 − 1(30 − x) 2 −= u3 + u5 − u7 + C = + C = + C = []dcm )7,5,3.(.. = 105 3 5 7 105 105 3 − 1(2 − x) 2 ⋅ []35 − 1(42 − x + 1(15) − x)2 2 = + C −= 1( − x)3 ⋅ []35 − 42 + 42 x + − 21(15 x + x2 ) + C = 105 105 2 2 −= 1( − x 3 ⋅ 35() − 42 + 42 x +15 − 30 x +15 x2 ) + C −= 1( − x 3 ⋅ 15() x2 +12 x + )8 + C 105 105 L. Q. Q. C.

2 − − 17.- Verifique si x 1 2x 1 2 ∫ dx = ⋅ 3( x + 2x − )13 + C. 2x −1 15 Verificando : Resolviendo la integral.

2 1 u +1 Sustitución: u = 2x − = 2(1 x − )1 2 ⇒ u 2 = 2x −1 ⇒ 2x = u2 +1 ⇒ x = ⇒ 2udu = 2dx ⇒ udu = dx 2 Luego:

2 2 x2 −1 (u +1 ) −1 (u2 + )1 2   u4 + 2u2 +1  u4 + 2u2 +1 = = 2 ⋅ = − = − = − = I ∫ dx ∫ udu ∫  1 du ∫ 1du ∫ du ∫ du 2x −1 u  4   4  4  u4 2u2 1  u4 1 1 1 =  + +  − + = + 1 2 + 1 − + == 4 + 2 + + = ∫  du u C ∫ du ∫ 2 duu ∫ 4 du u C ∫ duu ∫ duu ∫ du C  4 4 4  4 4 2 4 1 u5 1 u3 1 u5 u3 3 3u5 +10 u3 − 45 u u ⋅ 3( u 4 +10 u2 − )45 ⋅= ⋅+ + u − u + C = + − u + C = + C = + C = []mcm )20,6,4.(.. = 60 4 5 2 3 4 20 6 4 60 60 1 2( x − )1 2 ⋅[]2(3 x − )1 2 + 2(10 x − − 45)1 2x ⋅− 12(1 x2 −12 x + 3 + 20 x −10 − )45 2x ⋅− 12(1 x2 + 8x − )52 = + C = + C = + C = 60 60 60 2x ⋅⋅− 3(41 x2 + 2x − )13 2x ⋅− 3(1 x2 + 2x − )13 2x −1 = + C = + C = ⋅ 3( x2 + 2x − )13 + C 60 15 15 L. Q. Q. V.

1 18.- Determine si x2 − 4 4 dxx −= (1− 4x2 )⋅ 1− 4x 2 + C . ∫ 12 Determinando : Resolviendo la integral: Factorizando y simplificando el radicando. I = ∫ x 2 − 4 4 dxx = ∫ x 2 ⋅(1− 4x 2 )dx = ∫ x 1− 4x 2 dx = (*) udu Sustitución: u = 1− 4x2 ⇒ u 2 = 1− 4x2 ⇒ 2udu −= 8xdx ⇒ xdx −= 4 Volviendo a la integral:

 udu  1 1 1 3 1 (*) = I = 1− 4x 2 ⋅ xdx = u −⋅  −= 2 duu −= u 3 + C −= ()1− 4x 2 + C −= ()1− 4x 2 ⋅ 1− 4x 2 + C ∫ ∫  4  4 ∫ 12 12 12 L. Q. Q. D.

4 3 19.- Compruebe si 3 (x 2 − 4x + 4) dx = ()()x − 2 3 ⋅ 3 x − 2 2 + C . ∫ 11 Comprobando : Se resuelve la integral. Se puede detallar que el trinomio en el radicando es trinomio cuadrado perfecto. Se factoriza.

4 4 I = ∫ 3 (x 2 − 4x + 4) dx = ∫ 3 [()x − 2 2 ] dx = ∫ 3 ()x − 2 8 dx = ∫ ()()x − 2 2 ⋅ 3 x − 2 2 dx = (*)

HOMOTECIA Nº 11 – AÑO 16 Jueves, 1º de Noviembre de 2018 12

Sustitución:

u = 3 ()x − 2 2 u 3 = ()x − 2 2 ⇒ x − 2 = u 3

⇓ 3 2 duu = 2()x − 2 dx 2 2 3 duu 3 duu 3 1 dx = ⇒ dx = ⇒ dx = u 2 du 2()x − 2 2 u 3 2 Volviendo a la integral:

11 2 5 3 3 1 3 9 3 u 3 11 3 5 3 3 2  3 2 (*) = u u ⋅⋅ 2 duu = 2 duu ⋅= + C = u + C = u u + C = ()x − 2 ⋅ ()x − 2 + C = ∫ ∫ 11   2 2 2 2 11 11 11 3 3 3 = 3 ()x − 2 10 ⋅ 6 ()x − 2 2 + C = ()x − 2 3 ⋅ 3 x 2 ⋅− 3 x − 2 + C = ()()x − 2 3 ⋅ 3 x − 2 2 + C 11 11 11 L. Q. Q. C.

1 1+ 3x  1  1 20.- Determine si dx −= 12 +  ⋅ 1+ + C . ∫ x 2  3x  3x Determinando : Resolviendo la integral. 1 1 3dx dx Sustitución: u = 1+ ⇒ u 2 = 1+ ⇒ 2udu −= ⇒ −= 6udu 3x 3x 9x 2 x 2 Luego: 1 1+ 3 1 dx  1   1  1 I = 3x dx = 1+ ⋅ = u ()−⋅ 6udu −= 6 2duu −= 2u3 + C 2⋅−= 1+  + C 2⋅−= 1+ ⋅ 1+ + C ∫ x2 ∫ 3x x2 ∫ ∫  3x   3x  3x L. Q. Q. D.

Sen 2 x  Cos 4 x  21.- Comprobar si dx = ArcSen  1 −  + C ⋅ ∫ 4   3 − Cos x  3  Comprobando : Resolviendo la integral. Cambio de variable:

4 4 2 3 − Cos x = u ⇒ 3 − Cos x = u (*) 4Cos 3x ⋅ Senxdx = 2udu ⇒ 2Cos 3 ⋅ Senxdx = udu ⇒ Cos 2 x ⋅ ()2Cosx ⋅ Senx dx = udu ⇒ Cos 2 x ⋅ Sen )2( dxx = udu ()** De (*) también se tiene que:

2 − Cos 4 x = u2 − 3 ⇒ Cos 4 x = 3 − u2 ⇒ (Cos 2 x) = 3 − u2 ⇒ Cos 2 x = 3 − u2 . Luego en (**):

2 udu 3 − u ⋅ Sen )2( dxx = udu ⇒ Sen )2( dxx = 3 − u2 Volviendo a la integral para aplicar el cambio:

udu  4  2 udu du du  u  3 − Cos x = 3−u = = = = ArcSen   + C = ArcSen   + C = ∫ ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2   u u ⋅ 3 − u 3 − u () − 2  3   3  3 u  − 4   4  =  3 Cos x  + =  − Cos x  + ArcSen   C ArcSen  1  C  3   3  L. Q. Q. C.

HOMOTECIA Nº 11 – AÑO 16 Jueves, 1º de Noviembre de 2018 13

3 22.- Compruebe si 2 Senx ⋅ 3 1+ Cos dxx −= ()1 + Cosx ⋅ 3 1 + Cos x + C . ∫ 2 Comprobando : Resolviendo la integral. Sustitución: u = 3 1+ Cos x ⇒ u 3 = 1+ Cos x ⇒ 3 2 duu −= Sen dxx ⇒ Sen dxx −= 3 2 duu Luego: I = ∫ 2 Sen x⋅ 3 1+ Cos dxx = 2∫ 3 1+ Cos x ⋅Sen dxx = 2∫ u (−⋅ 3 2 duu ) −= 6∫ 3duu =

3 3 3 −= u 4 + C −= 3 ()1+ Cos x 4 + C −= ()1+ Cosx ⋅ 3 1+ Cos x + C 2 2 2 L. Q. Q. C.

e 2x dx 2 23.- Compruebe: ∫ = e x 1 ⋅+ ()e x − 2 + C . e x +1 3 Comprobando : Resolviendo la integral. Sustitución: u = e x +1 2 x x 2 u = e +1 ⇒ e = u −1 ⇓ 2udu = e x dx Luego:

x x 2 e ⋅ dxe (u )⋅− 21 udu 2 2 3 I = ∫ = ∫ = 2∫ ()u 2 −1 du = 2∫ 2 duu − 2∫ du = u 3 − 2u + C = ()e x +1 − 2 e x +1 + C = e x +1 u 3 3 x + 2 x x x x  e 1  2 x x = ()e +1 e +1 − 2 e +1 + C = 2 e 1⋅+  −1 + C = e 1⋅+ ()e − 2 + C 3  3  3 L. Q. Q. C.

dx 24.- Calcular ∫ ⋅ ex − 1 Solución : Resolviendo la integral. 2udu 2udu Cambio de variable en I: u = ex −1 ⇒ u2 = ex −1 ⇒ u2 +1 = ex ⇒ 2udu = xdxe ⇒ = dx ⇒ = dx ex u2 +1 Luego: 2udu dx 2 + 2udu du I = = u 1 = =2 =2ArcTgu + C = 2ArcTg e x − 1 + C ∫∫ ∫ 2 ∫ 2 e x − 1 u ()u + 1 u u + 1

4 1 + x 4 2 25.- Compruebe si ∫ dx = 4x 3 + 2 x − 44 x + 4ArcTg ()4 x − Ln ()1 + x + C . 1 + x 3 Comprobando : Resolviendo la integral: La fracción que conforma al integrando, presenta dos raíces de diferentes índice. Se determina el mínimo común índice: icm ( 4,2... ) = 4 Luego, se propone la siguiente sustitución:

4 4 x = u ⇒ u = x  dx = 4 3duu HOMOTECIA Nº 11 – AÑO 16 Jueves, 1º de Noviembre de 2018 14

Aplicando la sustitución en I: 1+ 4 x 1+ 4u 4 1+ u u 3 + u 4  1− u  I = dx = ⋅4 3 duu = 4 ⋅ 3 duu = 4 du = 4 u 2 + u −1+  du = ∫ ∫ ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 1+ x 1+ u 4 1+ u 1+ u  1+ u 

(División de polinomios) du udu = 4 2 duu − 4 udu − 4 du + 4 − 4 = (*) ∫ ∫ ∫ ∫ 2 ∫ 2 1+ u 1+ u

I1 )( dv Cambio de variable en I1: v 1+= u 2 ⇒ dv = 2udu ⇒ udu = 2 Volviendo a (*) para aplicar el cambio: 4 dv 4 (*) = I = u 3 + 2u 2 − 4u + 4ArcTg u − 2 + C = u 3 + 2u 2 − 4u + 4ArcTg u − vLn 2 + C = 3 ∫ v 3 2 4 2 4 2 = u 3 + 2u 2 − 4u + 4ArcTg u − Ln ()1+ u 2 + C = 4x 3 + 24x 2 − 44 x + 4ArcTg ()4 x − Ln 1+ 4 x  + C = 3 3   4 2 = 4x 3 + 2 x − 44 x + 4ArcTg ()4 x − Ln ()1+ x + C 3

26.- Resuelva: ∫ dx . x + 3 x Solución : Resolviendo la integral: Al presentar el denominador del integrando dos raíces de diferentes índice, se determina el mínimo común índice:

icm ( 3,2... ) = 6 Luego, se propone la siguiente sustitución:

6 6 x = u ⇒ u = x  dx = 6 5duu Aplicando la sustitución en I: dx 6 5duu 5duu 5duu 3duu  1  ====== 2 − + −  = I ∫ ∫ 6∫ 3 2 6∫ 2 6∫ 4∫ u u 1 du x + 3 x u6 + 3 u6 u + u u ⋅()u +1 u +1  u +1 (División de polinomios )

du = 6 2duu − 6 udu + 6 du − 6 = 2u3 − 3u 2 + 6u − 6Ln u +1 + C = ∫ ∫ ∫ ∫ u +1

6 6 2 ⋅= 6 x3 3⋅− 6 x2 + 66 x − Ln ()6 x +1 + C = 2 x − 33 x + 66 x − Ln ()6 x +1 + C

27.- Calcule a ∫ dx . x +1 + 4 x +1 Solución : Resolviendo la integral: Al presentar el denominador del integrando dos raíces de diferentes índice, se determina el mínimo común índice: icm ( 4,2... ) = 4 Luego, se propone la siguiente sustitución: x 1 =+ u4 ⇒ u = 4 x +1 ⇒ dx = 4 3duu Aplicando la sustitución en I: dx 4 3duu 3duu 3duu 2duu  1  ====== − +  = (División de polinomios ) I ∫ ∫ 4∫ 2 4∫ 4∫ 4∫ u 1 du x +1 + 4 x +1 u 4 + 4 u4 u + u u ⋅()u +1 u +1  u +1 du 4 = 4 udu − 4 du + 4 = 2u2 − 4u + 4Ln u +1 + C 2 ⋅= 4 ()x +1 2 4 ⋅− 4 x +1 + Ln ()4 x +1 +1 + C = ∫ ∫ ∫ u +1 4 = 2 x +1 − 44 x +1 + Ln ()4 x +1 +1 + C

HOMOTECIA Nº 11 – AÑO 16 Jueves, 1º de Noviembre de 2018 15

x 28.- Obtener ∫ dx . 3 x + 1 Solución : Resolviendo la integral. Hay dos raíces de diferentes índices, de las cuales obtenemos su mínimo común índice: m. c. i. (2,3)=6 Luego, sustitución a realizar en I: u 6 = x ⇒ 6 5 duu = dx

⇓

1 u = 6 x ⇒ u = x 6 Entonces:

6 6 2 ⋅ 5 3 ⋅ 5 8 = x = u ⋅ 5 = u u = u u = u = 6 − 4 + 2 − + 1 = I ∫ dx ∫ 6( duu ) 6∫ 6 du 6∫ 2 du 6∫ 2 du ∫ (6 u u u 1 2 )du 3 x + 1 3 u 6 + 1 u + 1 u + 1 u + 1 u 3 + 1 Se realizó la divisi &no entre polinomios = 6 − 4 + 2 − + du = 6 7 − 6 5 + 6 3 − + + = 6∫ duu 6∫ duu 6∫ duu 6∫ du 6∫ 2 u u u 6u 6ArcTgu C u + 1 7 5 3 6 1 6 1 1 1 1 6 7 6 5 3 = (x 6 ) 7 − (x 6 ) 5 + (2 x 6 ) 3 − 6x 6 + 6ArcTgx 6 + C = x 6 − x 6 + 2x 6 − 66 x + 6ArcTg 6 x + C = 7 5 7 5 6 6 1 6 6 = 6 x 7 − 6 x 5 + 2x 2 − 66 x + 6ArcTg 6 x + C = 6 x 7 − 6 x 5 + 2 x − 66 x + 6ArcTg 6 x + C 7 5 7 5

dx 29. - Evaluar ∫ . 2x− 1 −4 2 x − 1 Solución : Resolviendo la integral: Hay dos raíces de diferentes índices, de donde: m. c. i. (2,4)=4 Luego, la sustitución en I:es: 1 u4 = 2x −1 ⇒ u = 2( x − )1 4 ⇓ 4 3duu = 2dx ⇒ 2 3duu = dx Entonces: dx 2 3duu 3duu 3duu 2duu  1  du ====== ++  = + + = I ∫ ∫ 2∫ 2 2∫ 2∫ 2∫ u 1 du 2∫ udu 2∫ du 2∫ 2x −1 − 4 2x −1 u4 − 4u 4 u − u (uu − )1 u −1  u −1 u −1 2 u2  1  1  1  2 ⋅= + 2u + 2Ln (u − )1 + C = u2 + 2u + 2Ln (u − )1 + C =  2( x − )1 4  + 2(2 x − )1 4 + 2Ln  2( x − )1 4 −1 + C = 2     1 = 2( x − )1 2 + 4 22 x −1 + 2Ln 4 2( x − − )11 + C = 2x −1 + 4 22 x −1 + 2Ln 4 2( x − − )11 + C

x +1 + 3 x +1 30.- Calcule ∫ dx . x +1 − 3 x +1 Solución :

Resolviendo la integral. Como hay dos índices diferentes, entonces se obtiene el mínimo común índice: i.c.m. )3,2( = 6

Se hace la siguiente sustitución en I:

1 x +1 = t 6 ⇒ t = 6 x +1 ⇒ t = (x + )1 6 ⇓ dx = 6 5 dtt

HOMOTECIA Nº 11 – AÑO 16 Jueves, 1º de Noviembre de 2018 16

Calculando I, resulta: x +1 + 3 x +1 t 6 + 3 t 6 t 3 +t 2 t 8 +t 7 (tt 62 +t 5 ) t 6 +t 5 I = dx = ⋅6 5 dtt = 6 ⋅ 5 dtt = 6 dt = 6 dt = 6 dt = ∫ ∫ ∫ 3 2 ∫ 3 2 ∫ 2 ∫ x +1 − 3 x +1 t 6 − 3 t 6 t −t t −t (tt − )1 t −1  2  dt = 6 t 5 + 2t 4 + 2t 3 + 2t 2 + 2t + 2 +  dt = 6 5 dtt +12 4 dtt +12 3 dtt +12 2 dtt +12 dtt +12 dt +12 = ∫  t −1 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ t −1 = 6 + 12 5 + 4 + 3 + 2 + + − + = t 5 t 3t 4t 6t 12 t 12 Ln (t )1 C

5 2 1 1 1 1 12 6 3 3 6  6  = x +1+ (x + )1 + (3 x + )1 + (4 x + )1 2 + (6 x + )1 + (12 x + )1 +12 Ln (x + )1 −1 + C 5  

dx 31. - Determinar ∫ . x+1 +() x + 1 3 Solución : 2 = + = = + Resolviendo la integral. Sustitución en I: u x 1 ⇒ 2udu dx . Además: u x 1 Luego:

= dx = 2udu = udu = udu = udu = du = + = ++ I ∫ ∫ 2∫ 2∫ 3 2∫ 2 2∫ 2 2ArcTgu C 2ArcTg x 1 C x 1 ++ (x + )1 3 u2 + u )( 32 u + u6 u + u u 1( + u ) 1+ u

1 x 4 −1 32.- Encuentre una solución para dx . ∫ 1 1 x 2 + x 3 Solución : Resolviendo la integral. Se transforman las potencias de exponentes fraccionarios en raíces.

1 x 4 −1 4 x −1 I = dx = dx = (*) ∫ 1 1 ∫ 3 x 2 + x 3 x + x Pero como las raíces resultantes son de diferentes índices, se determina el mínimo común índice: ( ) = icm 4,3,2... 12 Ahora se propone la siguiente sustitución: x = u12 ⇒ u = 12 x ⇒ dx = 12 11 duu Volviendo a (*) para aplicar la sustitución:

4 x −1 4u 12 −1 u 3 −1 u 3 −1 I = dx = ⋅12 11 duu = 12 11 duu = 12 11 duu = ∫ ∫ ∫ 6 4 ∫ 4 2 x + 3 x u 12 + 3 u 12 u + u u ⋅ ()u +1 u 3 −1 u 10 − u 7  u −1  = 12 7 duu = 12 du = 12 u 8 − u 6 − u 5 + u 4 + u 3 − u 2 − u 1++  du = ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 u +1 u +1  u +1 (División de polinomios ) udu du = 12 8 duu −12 6 duu −12 5 duu +12 4 duu +12 3 duu −12 2 duu −12 udu +12 du +12 −12 = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 ∫ 2 u +1 u +1 udu = 4 u 9 − 12 u 7 − 2u 6 + 12 u 5 + 3u 4 − 4u 3 − 6u 2 +12 u +12 −12 ArcTg u + C = (**) 3 7 5 ∫ 2 u +1

I 1 )( dv Cambio de variable en I1: v = u2 +1 ⇒ dv = 2udu ⇒ udu = 2 Volviendo a (**) para aplicar el cambio: dv (**) = I = 4 u9 − 12 u7 − 2u6 + 12 u5 + 3u4 − 4u3 − 6u2 +12 u + 6 −12 ArcTg u + C = 3 7 5 ∫ v = 4 9 − 12 7 − 6 + 12 5 + 4 − 3 − 2 + + − + = 3 u 7 u 2u 5 u 3u 4u 6u 12 u 6 vLn 12 ArcTg u C

= 4 9 − 12 7 − 6 + 12 5 + 4 − 3 − 2 + + ()+ 2 6 − + = 3 u 7 u 2u 5 u 3u 4u 6u 12 u Ln 1 u 12 ArcTg u C 6 4 ⋅= 12 9 − 12 ⋅ 12 7 ⋅− 12 6 + 12 ⋅ 12 5 ⋅+ 12 4 ⋅− 12 3 ⋅− 12 2 + ⋅ 12 + ()+ 12 2 − ()12 + = 3 x 7 x 2 x 5 x 3 x 4 x 6 x 12 x Ln 1 x 12 ArcTg x C 6 = 4 4 3 − 12 12 7 − + 12 12 5 + 3 − 4 − 6 + 12 + ()+ 6 − ()12 + 3 x 7 x 2 x 5 x 3 x 4 x 6 x 12 x Ln 1 x 12 ArcTg x C

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x +1 + 2 ( x +1 − )1 2 32  2 x +1 +1 32.-Compruebe: dx = Ln − ArcTg   + C. ∫ 2   (x + )1 − x +1 x + 2 + x +1 3  3  Comprobando : Resolviendo la integral. Cambio de variable en I: x +1 = u 2 ⇒ dx = 2udu Aplicando el cambio:

x 1 ++ 2 u 2 + 2 u + 2 u + 2 u + 2 u + 2 I = dx = ⋅ 2udu = 2 ⋅udu = 2 ⋅udu = 2 du = 2 du = ∫ ∫ ∫ 4 ∫ 3 ∫ 3 ∫ 2 (x + )1 2 − x +1 u )( 22 − u 2 u − u (uu − )1 u −1 (u ⋅− ()1 u + u + )1 u 11 +++ u 2 − u 2 (u 2 + u + + 1()1 − u 2 ) u 2 + u +1 1− u 2 = 2 du = 2 du = 2 du + 2 du = ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 (u ⋅− ()1 u + u + )1 (u ⋅− ()1 u + u + )1 (u ⋅− ()1 u + u + )1 (u ⋅− ()1 u + u + )1 du u 2 −1 (u ⋅+ ()1 u − )1 u +1 = 2 − 2 du = 2 uLn −1 − 2 du + C = 2Ln x −+ 11 − 2 du + C = ∫ ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 u −1 (u ⋅− ()1 u + u + )1 (u ⋅− ()1 u + u + )1 u + u +1 2u + 2 2u ++ 11 2( u + )1 du du = Ln ( x −+ )11 2 − du + C = Ln ( x −+ )11 2 − du + C = Ln ( x −+ )11 2 − − + C = ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 u + u +1 u + u +1 u + u +1 u + u +1 (ud 2 + u + )1 du = Ln ( x −+ )11 2 − du − + C = ∫ 2 ∫ 2 u + u +1 ()+ 1 2 + ()3 u 2 2 Completand o cuadrados  u + 1   2u +1 = Ln ( x −+ )11 2 − []()uLnd 2 + u +1 − 2 ArcTg  2  + C = Ln ( x −+ )11 2 − ()uLn 2 + u +1 − 32 ArcTg   + C = ∫ 3  3  3  2   3 

2 2  2 x ++ 11  ( x −+ )11  2 x ++ 11  = Ln ( x −+ )11 2 − Ln ()x +1 + x ++ 11  − 32 ArcTg   + C = Ln − 32 ArcTg   + C   3   3      3  x + 2 + x +1  3  L. Q. Q. C.

− −  − +  33.- Verifique si: x 2 x 5 = − − − + ()+ − 8 + ⋅  x 5 1 + ∫ dx x 5 8 x 5 Ln x 2 x 5 12 ArcTg   C x + 2 x − 5  2  Verificando :

Resolviendo la integral. Se aplica el siguiente cambio: u2 = x − 5 ⇒ x = u2 + 5 ⇒ 2udu = dx ⇓ u = x − 5

Aplicando el cambio:

u 2 + 5 − 2 u 2 u 2 + 5 − 2u u 3 − 2u 2 + 5u  8u + 20  I = ⋅ 2udu = 2 ⋅udu = 2 du = 2 u − 4 +  du = ∫ ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 u 2 + 5 + 2 u 2 u + 5 + 2u u + 2u + 5  u + 2u + 5  ()2u + 5 du 2u + 2 + 3 ()2u + 2 du du = 2 duu − 8 du + 8 = u 2 − 8u + 8 du + C = u 2 − 8u + 8 + 24 + C = ∫ ∫ ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 u + 2u + 5 u + 2u + 5 u + 2u + 5 u + 2u + 5 du 8 du = u 2 − 8u 8⋅+ Ln ()u 2 + 2u + 5 + 24 + C = u 2 − 8u + Ln ()u 2 + 2u + 5 + 24 + C = ∫ 2 ∫ 2 ()u +1 + 4 ()u +1 + 2 2

8 1  u +1 = u 2 − 8u + Ln ()u 2 + 2u + 5 + 24 ⋅ ArcTg   + C = 2  2  8  − +  = ()− 2 ⋅− − +  ()− 2 ⋅+ − +  + ⋅  x 5 1 + = x 5 8 x 5 Ln  x 5 2 x 5 5 12 ArcTg   C    2  8  − +  = − ⋅− − +  ()− 2 ⋅+ − +  + ⋅  x 5 1 + = x 85 x 5 Ln  x 5 2 x 5 5 12 ArcTg   C    2 

8  x − 5 +1 = x − − 85 x − 5 + Ln ()x + 2 x − 5 +12 ⋅ ArcTg   + C    2  L. Q. Q. V.

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3 4 1 + x 3 4 34.- Verifique si: ∫ dx = 3 ()1 + 4 x ⋅ []9 − 12 4 x + 14 x + C . 4 x 35 Verificando : Resolviendo la integral. Realicemos el siguiente cambio:

3 = + 4 ⇒ = 3 + 4 u 1 x u 1 x 4 3 u 3 − 1 = 4 x ⇒ x = ()()u 3 − 1 ⇒ dx = 12 u 2 ⋅ u 3 − 1 du Sustituyendo en la integral:

3 + 4 3 3 ⋅ 2 ⋅ ( 3 − )3 = 1 x = u 12 u u 1 du = 3 ()()3 − 2 = 3 6 − 3 + = I ∫ dx ∫ 3 12 ∫ u u 1 du 12 ∫ u u 2u 1 du 4 x u − 1 6 24  2 8  = 12 ()u 9 − 2u 6 + u 3 du = u 10 − u 7 + 3u 4 + C = 3u 4 ⋅  u 6 − u 3 + 1 + C = ∫ 5 7  5 7   6 − 3 +  4 14 u 40 u 35 3 4 ()6 3 = 3u ⋅   + C = u ⋅ 14 u − 40 u + 35 + C =  35  35 3 4  6 3  = 3 ()1 + 4 x ⋅ 14 ⋅ 3 ()1 + 4 x − 40 ⋅ 3 ()1 + 4 x + 35 + C = 35   3 4 2 = 3 ()1 + 4 x ⋅  14 ⋅ ()1 + 4 x − 40 ⋅ ()1 + 4 x + 35  + C = 35   3 4 = 3 ()1 + 4 x ⋅ []14 ⋅ ()1 + 2 4 x + x − 40 − 40 ⋅ 4 x + 35 + C = 35 3 4 = 3 ()1 + 4 x ⋅ []14 + 28 4 x + 14 x − 40 − 40 ⋅ 4 x + 35 + C = 35 3 4 = 3 ()1 + 4 x ⋅ []9 − 12 4 x + 14 x + C 35 L. Q. Q. V.

dpp 35.- Compruebe: ∫ = 12 + 1+ p 2 + C. 3 1+ p 2 + ()1+ p 2 Comprobando : Resolviendo la integral. Se propone el siguiente cambio: u = 1 + p 2 ⇒ du = 2 pdp Se arregla el integrando para aplicar el cambio en la integral:

1 2 dpp 1 du 1 du 1 du 1 du I ======∫ ∫ ∫ 3 ∫ 1 ∫ 2 3 2 3 2 2 2 2 2 + 1+ p 2 + ()1+ p 2 u + u u + u u (1+ u ) u 1 u

Se propone un nuevo cambio: du t = 1 + u ⇒ dt = 2 u Se arregla el integrando para aplicar el nuevo cambio en la integral:

1 1 du 1 1 2du 1 du 1 1 − 1 t 2 = ∫ = ∫ ⋅ = ∫ ⋅ = ∫ ⋅dt = ∫ t 2 ⋅dt = + C = 2 t + C = 2 + 2 + 2 u + 2 u 2 t 1 u 1 u 1 u 1 u 2

Se devuelven los cambios:

= 12 + u + C = 12 + 1+ p 2 + C L. Q. Q. V.

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Ejercicios propuestos.-

Comprobar si:

x 1 1 )1 ∫ dx = ()2x −1 3 + 2x −1 + C. 2x −1 6 2 2 )2 xx 3 ⋅− dx = ()x − 3 3 ⋅ ()x + 2 + C. ∫ 5 x 2 )3 ∫ dx = x 3 ⋅− ()x + 6 + C. x − 3 3 x3 (x − )1 3 (3 x − )1 2  4) ∫ dx =2 x 1 ⋅−  + + x + C x −1  7 5  dx 5) ∫ = 66 x − 33 x + 2 x − 6Ln 1( + 6 x) + C. x + 3 x x −1 ) = 6 6 − 6 6 5 − 3 3 2 + − 3 − 6 − + 3 + 6 + 6 ∫ dx 7 x x 5 x 2 x 2 x 3 x 6 x 3Ln 1 x 6ArcTg x C. 3 x +1 3x + 1 = 3 2 ++ 5 + 2 + + )7 ∫ dx 5 5x 1 5 Ln 5x 5x 1 C 5x2 + 1

x + 3 2 2 )8 ∫ dx = x − 4 + 3 xLn + x − 4 + C x2 − 4

x x  x  e e − 1 x  e − 1  )9 ∫ dx = 2 e − 1 − 4ArcTg   + C ex + 3  2 

1 + w 2 )10 ∫ dw = w w − w + 4 w − 4 Ln w + 1 + C w + 1 3 3n + 1 = 3 + 2 + 5 + 2 + + )11 ∫ dn 5 1 5n 5 Ln 5 n 5n 1 C 5n2 + 1

x + 3 2 2 )12 ∫ dx = x − 4 + 3 xLn + x − 4 + C x2 − 4

dmm 4 4 4 4 3 4 4 )13 ∫ = m m − m + m − 2 m + 4 m + 4 Ln m + 1 + C 4 5 3 m + 1 dx )14 ∫ = 6 6 x − 3 3 x + 2 x − 6 Ln 1 + 6 x + C x + 3 x x 2 = 1 3 + 6 − + )15 ∫ dx 3 Ln x x 1 C x 6 − 1 x −1 6 x7 6 x5 3 x2 x 3 x )16 ∫ dx = − − + + − 6 x + ArcTg ()6 x − Ln 1+ 3 x + C 6[]3 x +1 7 5 4 3 2

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CONTEXTO ACADÉMICO: ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA “Una visión holística desde el paradigma de la complejidad ”. ENSAYO “EDUCACIÓN PARA Y POR LA VIDA”

Por: JOEL TABARE – C. I. Nº: 18.858.451 > Abril 2016 Cel.: 0412-1974359 E-mail: [email protected] MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA – FACE - UC

Basado en la ponencia: “Didáctica Diferenciada y Evaluación Diferenciada: Educar por y para la vida” . (FACE-UC, 13-02-2016). PONENTE: Magister María Laura Ascanio Rojas.

Para poder convertirse en un profesor del siglo XXI deben ocurrir una serie de elementos y factores, de los cuales tenemos como ejemplo la transcendencia, significando que el docente tiene que impactar, debe ser alguien que entienda a las demás personas, debe ser capaz de ayudarlos y corregirlos, saber en qué momento debe intervenir, como ganarse la confianza del estudiante y ser un guía, no solo en el salón de clase, sino afuera también; otras de las características es que él debe adaptarse al mundo, es por ellos que es necesario que el docente se innove a esta época tecnológica, es necesario que se manejen los medios tecnológicos, es por ello que deben tener buena actitud con respectos a estos, ya que los estudiantes nos llevan mucha ventaja con ellas, si bien se sabe que el uso de estas por los estudiantes no siempre es bueno, es ahí donde el docente debe mostrarles el buen uso de estas. Para ser un docente del siglo XXI se observó que se tiene que ser transcendente y adaptarse, aparte de estos dos existe un tercero el cual es la inclusión; para ello se debe hacer énfasis en que es muy distinto a integración, es por ello que para la inclusión con respecto a los estudiantes en el salón de clase se debe tener una serie de factores, como lo son la hora de evaluar, la didáctica, los logros académicos entre otros, ya que la mayoría de los estudiantes que se deben incluir son aquellos que tienen problemas físicos, psicosociales y psicológicos. Es aquí donde nace la necesidad de realizar didáctica diferenciada, la cual se puede presentar constando de un inicio, un desarrollo y un cierre, donde el inicio debe ser una actividad que capte la atención de todos los estudiantes por igual, el cual no siempre debe estar ligada estrictamente con el tema, para ellos se pueden usar actividades que desarrollen el pensamiento abstracto; para el desarrollo se debe dar el contenido el cual se debe enseñar pero la gran pregunta aquí es sabes qué tipo de estrategia se debe utilizar para lograr un proceso de enseñanza y aprendizaje óptimo, y por último se debe realizar el cierre, que debe ser una reflexión el cual el estudiante lleve en su vida, y se debe preguntar qué es lo que el estudiante debe aprender realmente, es por ello que se considera que esta es de suma importancia a la hora de dar las clases. Después de realizar una didáctica diferenciada se debe pasar a realizar evaluaciones diferenciadas, donde se debe exigir a los estudiantes que realmente pueden dar más, y realizar evaluaciones a aquellos estudiantes que posean dificultades de aprendizaje, recordando que una prueba no mide los conocimientos de los estudiantes ya que todos aprenden de distintas maneras. Para finalizar se deben tener en cuenta no se debe caer en la cotidianidad de tratar a todos los estudiantes por igual, ya que cada uno posee una capacidad de aprendizaje distinta, es por ello que se deben tener en cuenta que tipo de didáctica y evaluación se deben realizar para lograr un aprendizaje en los estudiantes.

DATOS DEL AUTOR: Licenciado en Educación Mención Matemática, de la Universidad de Carabobo. Actualmente cursando la Maestría en Educación Matemática Cursos Realizados: Perspectiva de Investigación Componente y Afectivo en la Educación Matemática, La Grafología Como Técnica de la Expresión del Alma Humana, Enlace Conceptual entre la Geometría Hiperbólica y la Geometría Fractal (Universidad de Carabobo Facultad de Educación Departamento de Matemática y Física). Participación en actividades científicas: III Congreso Binacional en Educación Pedagogía y Aprendizaje, Asociación Nacional de Centros de Enseñanza e Innovación en Venezuela (ANCEIV) (ciudad de Mérida, Venezuela), Novena Expedición de EDUWEB 2013 TIC, Educación y Formación, Congreso Internacional de EDUWEB (FACE-UC), Educando Congreso de Educación Básica Integral (Gerenblog Centro Académico Empresarial), Inventar o Descubrir Constructo Epistemológico en Educación Matemática (FACE-UC), II Jornadas TIC Orientadas a la Educación (FACE-UC), Ponencia Realizada: Competencias Básicas de los docentes en el uso de las TIC, en el II encuentro de investigadores. Por una investigación transformadora. Una mirada desde el contexto universitario. Experiencia Laboral: Profesor del C.I.N.U. (UNEFA Núcleo Guacara). Profesor UJAP. Profesor U.E. “El Santuario”.

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IIssiiddoorr IIssaaaacc RRaabbii Nació el 29 de julio de 1898 en Rymanów, Polonia; y murió el 11 de enero de 1988 en Nueva York, EE. UU.

Ganador en 1944 del Premio Nobel en Física Por el descubrimiento del método de resonancia gracias al que es posible verificar el registro de las propiedades magnéticas de los átomos.

ISIDOR ISAAC RABI Fuente: Biografiasyvidas - Wikipedia. (1898-1988)

Físico norteamericano de origen polaco. Cursó estudios en las universidades de Columbia, Múnich, Copenhague, Hamburgo, Leipzig y Zúrich. En 1929 fue nombrado ayudante de cátedra y, más tarde, profesor de la universidad de Columbia, director del departamento de física y director adjunto del Laboratorio de Radiaciones del Instituto de Tecnología de Massachusetts.

En 1927, junto a Stern, introdujo nuevos métodos de observación de los espectros basados en la resonancia magnética atómica y de haces moleculares. A partir de este momento se abrió el camino para determinar con exactitud las propiedades magnéticas de las moléculas o núcleos atómicos; se calculó el momento magnético del electrón y se pudo probar la potencia de la teoría de la electrodinámica cuántica. Por estos trabajos se le otorgó el Premio Nobel de Física en 1944.

Mejoró el método de Otto Stern aumentando la exactitud de las mediciones en un factor 100, y descubrió que los momentos magnéticos de los átomos se deben a los giros en las órbitas y/o rotaciones propias (espín) de los electrones que rodean a los núcleos atómicos. Posteriormente investigó en el terreno del radar, aunque cada vez se vio más introducido en tareas administrativas y políticas. Fue presidente del Comité Consultivo General adscrito a la delegación de la UNESCO que fundó el CERN, laboratorio de Ginebra dedicado al estudio de la física de altas energías.

ISIDOR ISAAC RABI

Imágenes obtenidas de:

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JJoohhnn HHoowwaarrdd NNoorrtthhrroopp Nació el 5 de julio de 1891 en Yonkers y murió el 27 de mayo de 1987 a los 95 años en Wickenberg; ambos momentos en EE. UU.

Ganador del Premio Nobel en Química en 1946. Por sus aportaciones a "la representación fiel de las enzimas y las viru-proteínas"

Compartió el premio con James Batcheller Summer y Wendell Meredith Stanley.

FUENTE: Biografiasyvidas - Wikipedia JOHN HOWARD NORTHROP (1891-1987)

Biografía Hijo de Alice Belle Rich y John Isiah Northrop, nació el 5 de julio de 1891 en la ciudad de Yonkers, en el estado de Nueva York. Estudió química en la Universidad de Columbia, por la que se doctoró en 1915. En 1916 se incorporó al Instituto Rockefeller de Investigaciones Médicas y en 1949 fue nombrado profesor de la Universidad de California, cargo del que fue titular hasta 1961. Falleció el 27 de mayo de 1987 en la ciudad de Wickenburg (Arizona). Investigaciones científicas Durante la Primera Guerra Mundial fue el encargado de conducir una investigación al servicio de la guerra química del ejército norteamericano acerca de la producción de acetona y etanol mediante la fermentación. Posteriormente emprendió investigaciones sobre las propiedades químicas y actividades de las enzimas y en 1929 consiguió obtener pepsina en forma pura y cristalizada, determinando así mismo sus propiedades protéicas. Consiguió cristalizar la tripsina y la quimotripsina en colaboración con Moses Kunitz, y, en el transcurso de sus investigaciones sobre substancias generadoras (es decir, sobre los precursores inactivos de las enzimas), aisló el pepsinógeno y el tripsinógeno. En el año 1938 aisló y cristalizó el primer bacteriófago, un pequeño virus parásito que ataca bacterias, determinando que se trataba de una nucleoproteína. En 1946 señaló el proteinógeno como la sustancia madre de todas las proteínas presentes en las carnes, enzimas, virus y anticuerpos. Obtuvo en 1946 el Premio Nobel de Química (la mitad del cual compartió con Wendell Meredith Stanley por sus aportaciones a " la representación fiel de las enzimas y las viru-proteínas"), recayendo la mitad restante del Premio de dicho año en el químico James Batcheller Sumner.

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JJaammeess BBaattcchheelllleerr SSuummnneerr Nació el 19 de noviembre de 1887 en Canton, Massachusetts y murió el 12 de agosto de 1955 en Bufalo, Nueva York; ambas localidades en EE. UU.

Ganador del Premio Nobel en Química en 1946. Por el descubrimiento de la cristalización de enzimas.

Compartió el premio con John Howard Northrop y Wendell Meredith Stanley.

FUENTE: Ecured - Wikipedia JAMES BATCHELLER SUMMER (1887-1955)

SÍNTESIS BIOGRÁFICA Nació el 19 de noviembre de 1887 en Canton, Estados Unidos. Sus padres fueron Charles Sumner (fabricante de algodón) y activista antiesclavista, y Elizabeth Kelly Sumner Rand. Cuando era adolescente, Sumner recibió un disparo en el brazo izquierdo en un accidente de caza, lo que exigió la amputación de su brazo por debajo del codo. Al ser zurdo por necesidad, esta condición presentó los obstáculos añadidos de re-aprender a escribir, vestirse, y operar los equipos de pomos de las puertas a tubos de ensayo. Además de sus logros con una sola mano en la química, continuó en la caza y se convirtió en un jugador competitivo en tenis amateur. Tuvo 3 esposas: Bertha Luisa Ricketts, Inés Paulina Lundkvist y Mary Morrison Beber. ESTUDIOS Realizó sus estudios secundarios en la Escuela Secundaria Roxbury Latin School, de West Roxbury, MA. Se matriculó en la Universidad de Harvard donde se graduó de Licenciado en Ciencias Químicas en 1910. Luego realizó estudios académicos en el Instituto Politécnico de Worcester entre 1911 y 1912 y en 1914 obtiene el Doctorado de Química en la Universidad de Harvard. DOCENCIA • Profesor de Química y Fisiología, Universidad de Mount Allison (1910-1911) • Profesor de Bioquímica, Universidad de Cornell (1914-1929) • Profesor de Bioquímica, Universidad de Cornell (1929-1947) • Administrador del Laboratorio Enzima de Química, Universidad de Cornell,(1947-1955) INVESTIGACIONES Llevó a cabo investigaciones en Bruselas entre los años 1921 y 1922, en Estocolmo en el año 1929 y en Uppsala desde 1937 hasta 1938. En 1926 se convirtió en el primer científico en aislar y cristalizar una enzima, la ureasa, que se encuentra en los granos de Canavalia ensiformis jack aunque su hallazgo fue ridiculizado e ignorado por varios años. En 1937 Sumner aisló y cristalizó una segunda enzima, la catalasa, que se encuentra en la sangre. Compartió el Premio Nobel de Química en 1946 con John Howard Northrop y Wendell Meredith Stanley por el descubrimiento de la cristalización de enzimas

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PREMIOS • Medalla Scheele 1937 • Guggenheim Fellowship 1937 • Premio Nobel de Química 1946 compartido con John Howard Northrop y Wendell Meredith Stanley • Miembro de la Academia Americana de las Artes y las Ciencias • Miembro de la Asociación Americana para el Avance de la Ciencia • Miembro de la Sociedad Americana de Bioquímica y Biología Molecular • Miembro de la Academia Nacional de Ciencias 1948 • Phi Kappa Phi Honor Society • Relaciones Exteriores del Instituto Polaco de las Artes y las Ciencias • Sigma XI Scientific Research Society • Miembro de la Sociedad para la Biología y Medicina Experimental OBRAS Comenzó a escribir después del divorcio de su primera esposa, y se convirtió en autor de varias novelas best- sellers, una de ella sobre el estudio delicado de la calidad del racismo y otra algo más ligera, Tammy Fuera del Tiempo , que fue filmado como Tammy and the Bachelor . Realizó además otras publicaciones como el Libro de texto de Química Biológica en 1927, La química y métodos de enzimas en 1943, con G. Fred Somers, Los experimentos de laboratorio en Química Biológica en el año 1944 y Las enzimas: Química y Mecanismo de Acción entre 1951 y 1952, cuatro volúmenes, con Karl Myrbäck Muerte Murió el 12 de agosto de 1955, en Búfalo, New York, Estados Unidos de cáncer. Sus restos están enterrados en el cementerio de Rincón de Canton, su ciudad natal.

JAMES BATCHELLER SUMMER

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WWeennddeellll MMeerreeddiitthh SSttaannlleeyy Nació el 16 de agosto de 1904 en Ridgeville, Indiana, EE. UU.; y murió el 15 de junio de 1971 en Salamanca, España. Ganador del Premio Nobel en Química en 1946. Por la obtención de enzimas y proteínas víricas en forma pura

Compartió el premio con John Howard Northrop y James Batcheller Summer.

FUENTE: Escualapedia – Biografiasyvidas - Wikipedia

WENDELL MEREDITH STANLEY (1904-1971)

Wendell Meredith Stanley, bioquímico y virologista estadounidense nacido en 1904, en Indianápolis, Indiana y fallecido en 1971, en Salamanca, España. Demostró que muchas de las enzimas conocidas son cristalizables y de naturaleza proteínica e intentó descubrir si los virus también se podían purificar utilizando métodos parecidos. Stanley estudió el virus causante de la enfermedad del mosaico, característica de la plantas del tabaco, y en 1935 logró aislarlo en delgados cristales con forma de aguja, sin disminuir su virulencia. Sus investigaciones ofrecieron una buena evidencia de que los virus poseían vida y que la región infecciosa de tales virus es la porción de ácido nucleico de la molécula. Stanley sugirió que la reproducción, en los sistemas vivos, podía ser interpretada en términos químicos que implicaban la consideración del ácido nucleico, hecho confirmado a través de experimentos por otros científicos. Posteriormente purificó el virus de la gripe y preparó una vacuna contra la misma. Por la obtención de enzimas y proteínas víricas en forma pura, compartió el Premio Nobel de Química, en 1946, con James Summer y John Howard Northrop. El trabajo de los tres, purificando y cristalizando el virus, demostró así su estructura molecular. Se casó el 15 de junio de 1929 con su colaboradora Marian Staples. Wendel Stanley se unió al Earlham College en Richmond, Indiana, a la edad de 16 años y se graduó de la Universidad de Illinois en Urbana (1926-1929). Se tituló en Ciencia en 1927 y lograría un doctorado en Química en 1929. Permaneció en Illinois como investigador asociado y más tarde como instructor hasta que deja el cargo a finales de 1930, para dedicarse a la investigación en Múnich, colaborando con el Consejo Nacional de investigación. Allí trabajó con Heinrich Wieland hasta finales de 1931, cuando regresó a Estados Unidos para asumir el cargo de asistente del Instituto Rockefeller en Nueva York. Ahí permaneció hasta 1948, convirtiéndose en un miembro asociado en 1937 y en 1940. En 1948 fue nombrado como profesor de Bioquímica y director del virus del Laboratorio de Virología de la Universidad de California. Entre 1948 y 1953 fue presidente del Departamento de Bioquímica, y en 1958 se convirtió en profesor de Virología y presidente del departamento. Autor del libro Viruses and the Nature of Life .

WENDELL MEREDITH STANLEY

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HOMOTECIA Nº 11 – AÑO 16 Jueves, 1º de Noviembre de 2018 26 El largo y tortuoso camino a Plutón Una historia de desmentidos astronómicos

Los astrónomos buscaban el gran Planeta X... y en su lugar apareció Plutón; que primero no era grande, luego resultó ser diminuto y, al final, ni siquiera es planeta. Recordamos esta historia pasada más de una década después de que fuera degradado a la categoría de "planeta enano".

Materia - Ventana al Conocimiento - 20 enero 2016

Hace diez años que la sonda New Horizons despegó hacia los confines del sistema solar, el 19 de enero de 2006. Su principal misión sería estudiar Plutón, que entonces aún era un planeta y que ese mismo año fue degradado a la categoría de planeta enano , en el último giro de una historia que comenzó con la obsesión de un empresario aficionado a la astronomía.

PUESTA DE SOL EN PLUTÓN, TOMADA POR LA SONDA NEW HORIZONS. CRÉDITO IMAGEN: NASA/JOHNS HOPKINS En 1906 el estadounidense Percival Lowell puso en marcha un ambicioso proyecto para descubrir un posible noveno planeta, al que llamó provisionalmente “Planeta X” , que según algunos astrónomos tendría que existir para poder explicar unas perturbaciones en la órbita de Urano. Una especulación similar había llevado a descubrir Neptuno , el octavo planeta más lejano, así que Lowell quiso repetir la fórmula y puso todo el empeño y todos los medios de su propio observatorio astronómico para cazar al “Planeta X”, que según él, debía ser un gran planeta (tanto como unas siete Tierras). Aunque murió en 1916 sin ver cumplido su sueño, en su Observatorio Lowell (en Arizona, EEUU) se descubrió por fin el noveno planeta del Sistema Solar , el 18 de febrero de 1930. Lo logró Clyde Tombaugh , un aprendiz de astrónomo de 24 años al que, recién llegado al observatorio, le habían encargado la tarea de buscar “una aguja en un pajar astronómico”. Tenía que comparar pares de fotografías del cielo nocturno tomadas en días diferentes y así podía detectar si algún punto luminoso cambiaba de posición, que es lo que hacen los planetas. Tras casi un año comparando fotografías con un microscopio de parpadeo, Tombaugh por fin encontró un candidato a planeta.

LAS FLECHAS MARCAN LA DISTINTA POSICIÓN DE PLUTÓN EN AMBAS IMÁGENES. CRÉDITO IMAGEN: LOWELL OBSERVATORY ARCHIVES. Tras Lowell y Tombaugh, la tercera protagonista de esta historia fue una niña de 11 años, Venetia Burney . La noticia del nuevo planeta había dado la vuelta al mundo; y a Venetia, apasionada de las historias de la mitología clásica, se le ocurrió llamarle como al dios romano del inframundo: Plutón. El abuelo de Venetia, ex-bibliotecario en la Universidad de Oxford, se lo contó a un profesor de astronomía, quien mandó la sugerencia a sus colegas estadounidenses, y así llegó hasta el Observatorio Lowell, al que correspondía el honor de escoger el nombre del nuevo planeta y que recibió más de 1.000 propuestas desde multitud de países. En la votación final, Plutón se impuso por unanimidad a otros dos dioses (Minerva y Cronos).

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El nombre caló muy pronto en la cultura popular. Ese mismo año, Walt Disney creó un nuevo personaje para acompañar a Mickey Mouse: el perro Pluto (Plutón en inglés), aunque nunca confirmó que era un homenaje al nuevo planeta. Sí que lo fue el nombre de un nuevo elemento radiactivo descubierto en 1941: el plutonio (que seguía la tradición del uranio y el neptunio).

UNA HISTORIA DE DESMENTIDOS ASTRONÓMICOS.

COMPARACIÓN DE TAMAÑOS DE LA TIERRA, LA LUNA Y PLUTÓN. CRÉDITO IMAGEN: NASA

Con semejante popularidad, para el gran público pasó desapercibido que Plutón fue un poco decepcionante desde el punto de vista astronómico, teniendo en cuenta las predicciones de Lowell sobre el supuesto gran “Planeta X” que alteraba la órbita de Urano. En 1931, los primeros cálculos reales estimaron que tenía un tamaño como el de la Tierra . Y cada nuevo cálculo fue empequeñeciendo a Plutón hasta que en 1978 se supo que la Tierra pesaba 650 veces más. Plutón era demasiado pequeño para perturbar a Urano: si existía aquel “Planeta X” de Lowell, desde luego que no era Plutón.

En 1979 Plutón dejó de ser el noveno planeta. Se convirtió en el octavo, pues su órbita se cruza con la de Neptuno, y durante 20 años (hasta 1999) estuvo más cerca del Sol. Fue en esa época cuando empezó a cuestionarse el estatus de planeta de Plutón, desde que en 1992 se descubrieron objetos similares en el cinturón de Kuiper .

LA SUPERFICIE DE PLUTÓN TIENE UNA EXTRAORDINARIA VARIEDAD DE COLORES. CRÉDITO IMAGEN: NASA

Para zanjar las discusiones, la Unión Astronómica Internacional decidió establecer por fin una definición formal de planeta, que hasta entonces no existía. El acuerdo llegó el 24 de agosto de 2006, y la definición dejaba fuera a Plutón , que pasó a ser un “planeta enano” seis meses después de que la sonda New Horizons partiera hacia ese extraño mundo de hielo y roca. Seis veces más pequeño que nuestra Luna, el diminuto Plutón tiene a su vez cinco lunas y no deja de sorprendernos. Cuando el 14 de julio de 2015 la sonda de la NASA llegó por fin a Plutón nos mostró unas desconcertantes manchas rojas y lo que parecen ser grandes volcanes de hielo, aún activos.

HOMOTECIA Nº 11 – AÑO 16 Jueves, 1º de Noviembre de 2018 28 Cada vez más evidencia sugiere que existe el Planeta Nueve

© PROPORCIONADO POR EDITORIAL TELEVISA S.A. DE C.V.

El Sistema Solar no ha sido el mismo desde que Plutón fue degradado de un planeta a un planeta enano, y todas las apuestas han estado fuera desde esta decisión monumental. Por ejemplo, el año pasado, científicos del Instituto de Tecnología de California propusieron que podría haber un verdadero Planeta Nueve en nuestro sistema solar. El equipo afirmó que parece ser 10 veces de la masa de la Tierra y que se esconde en los recovecos remotos de nuestro sistema solar, mucho más allá de la órbita de Plutón.

En el momento del descubrimiento, Mike Brown, autor del trabajo, señaló que la existencia de un noveno planeta es muy probable.

Se han realizado descubrimientos similares en relación con nuevos planetas enanos. Situado a unos 13.700 millones de kilómetros del Sol, 2014 UZ224 mide aproximadamente 530 km de diámetro y tarda alrededor de 1.100 años terrestres en completar su órbita. Y así, nuestro rincón más pequeño del cosmos ha estado en un estado de flujo.

Pero parece que puede haber más sorpresas acechando en el borde de nuestro Sistema Solar.

Kathryn Volk y Renu Malhotra de la Universidad de Arizona han notado un extraño movimiento en el cinturón de Kuiper, movimiento que creen podría sugerir la existencia de un décimo planeta. Para explicarlo mejor: Los objetos en el cinturón de Kuiper están lo suficientemente lejos de los otros cuerpos principales en nuestro sistema solar que la influencia gravitacional de los grandes planetas no los impacta (al menos, no en un grado medible); sin embargo, sus movimientos todavía se pueden predecir, gracias a las encuestas de cielo y una serie de tecnologías avanzadas.

En particular, si estas predicciones no coinciden, puede significar que hay otro objeto, otro cuerpo grande, más allá de nuestra visión cuya gravedad está afectando los movimientos de los objetos del Cinturón de Kuiper.

La investigación en el Planeta Nueve ha hecho que los principales investigadores piensen que está orbitando a unas 700 unidades astronómicas del Sol. Sin embargo, Volk y Malhotra sospechan que éste décimo planeta podría estar mucho más cerca, ya que los cuerpos de Kupier giraron poco más de 50 unidades astronómicas.

Los resultados, publicados en el diario The Astronomical Journal, serán confirmados o negados con el descubrimiento de más cuerpos en el cinturón de Kuiper.

HOMOTECIA Nº 11 – AÑO 16 Jueves, 1º de Noviembre de 2018 29 Lass lleeyess dee lla robbótticcaa ¿Cumplirán los robots reales, que ya están entre nosotros, las tres leyes de la robótica de Asimov? Por: Carlo Frabetti

CARLO FRABETTI es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física , Malditas matemáticas o El gran juego . Fue guionista de La bola de cristal.

FUENTE: El País 25 AGOSTO 2017

EL ROBOT ASIMO (ADVANCED STEP IN INNOVATIVE MOBILITY). CRÉDITO IMAGEN: HONDA

Tiempo atrás, mi admirado colega Javier Sampedro se sumó a nuestro pequeño homenaje a Isaac Asimov con su artículo Un creador de mundos , y entre ambos textos llevan cosechados más de seiscientos comentarios (algunos de ellos muy interesantes y polémicos), lo que me anima a dedicarle una nueva entrega de El juego de la ciencia al gran maestro de la ciencia ficción y la divulgación científica. MÁS INFORMACIÓN. El imperio galáctico de Asimov: Tres reglas. Y si no se puede hablar de Asimov sin mencionar la saga de las Fundaciones, tampoco es posible hacerlo sin recordar sus pioneros relatos sobre robots, que acabaron configurando un género propio (o una nueva especie, para seguir con la terminología taxonómica) dentro de la narrativa de ciencia ficción.

Los robots positrónicos de Asimov están programados para cumplir las Tres Leyes de la Robótica, enunciadas por primera vez en Círculo vicioso , un relato publicado en 1942: • Un robot no puede dañar a un ser humano ni, por inacción, permitir que un ser humano sufra daño. • Un robot debe cumplir las órdenes de los seres humanos, excepto si dichas órdenes entran en conflicto con la Primera Ley. • Un robot debe proteger su propia existencia en la medida en que ello no entre en conflicto con la Primera o la Segunda Ley. En 1950, Asimov publicó una primera recopilación de relatos sobre este tema con el título Yo, robot ; en ellos, se plantean una serie de paradojas, dilemas y conflictos relacionados con la interpretación de las leyes de la robótica en situaciones complejas o dudosas, y, en esa línea, invito a mis sagaces lectoras/es a imaginar situaciones en las que un robot regido por las Tres Leyes no sabría qué hacer. Los robots de Asimov y sus leyes han tenido una gran influencia, y no solo en la ciencia ficción, y el desarrollo de la robótica real ha revalorizado —y utilizado— algunas de sus reflexiones. Aunque el nombre de Asimo, el entrañable robot de Honda, es un acrónimo ( Advanced Step in Innovating MObility ), también es un homenaje al creador de las Tres Leyes de la Robótica. LA LEY CERO Con el tiempo, y al introducir en sus relatos robots cada vez más evolucionados, Asimov completó sus tres leyes con una “Ley Cero”, que viene a ser una generalización -o más bien un salto cualitativo- de la Primera Ley, puesto que dice que un robot no puede dañar a la humanidad ni, por inacción, permitir que la humanidad sufra daño. Especial atención merece, en este sentido, el relato de robots positrónicos que el propio Asimov calificó de “definitivo” (aunque luego escribió El hombre bicentenario ); me refiero a That Thou Art Mindful of Him (1974), que publiqué en castellano con el título ¿Qué es el hombre? (en aquella época yo era el editor de Asimov en España), título que, cuarenta años después, no sé si fue el más acertado. Os invito a leer el polémico relato (es fácil encontrarlo en la red, tanto en inglés como en castellano) y a compartir vuestras opiniones al respecto. HOMOTECIA Nº 11 – AÑO 16 Jueves, 1º de Noviembre de 2018 30 Electricidad submarina podría ser origen de vida en la Tierra. LA TEORÍA QUE AFIRMA QUE LA VIDA EN LA TIERRA TIENE SU ORIGEN EN EL MAR PROFUNDO, CERCA DE FUENTES HIDROTERMALES. FUENTE: EFE - 21 de Junio de 2017

El origen de la vida en la Tierra podría encontrarse en “centrales eléctricas naturales” situadas a 1.000 metros de profundidad en el lecho marino, según el hallazgo de un grupo de científicos japoneses confirmado hoy a Efe.

Un equipo de la Agencia Japonesa de Ciencia y Tecnología Marina y Terrestre (JAMSTEC por sus siglas en inglés) y el instituto japonés de investigación Riken descubrieron corrientes eléctricas de varios cientos de minivoltios generadas de forma natural cerca de fuentes hidrotermales, a 150 kilómetros de la isla de Okinawa, al sur del archipiélago nipón.

“Cerca de las fuentes hidrotermales submarinas es el lugar donde es más plausible que surgiera la vida (…). Esta electricidad (descubierta) es el origen de varias reacciones orgánicas de sintetización de moléculas biológicas, como aminoácidos, azúcares y lípidos”, explicó hoy a Efe Masahiro Yamamoto, investigador de la JAMSTEC.

El estudio demostró que, cuando el agua caliente procedente de las fuentes hidrotermales submarinas -grietas o fumarolas en el fondo marino- se enfría, se produce un movimiento de electrones, lo que se traduce en la formación de electricidad.

La teoría que afirma que la vida en la Tierra tiene su origen en el mar profundo, cerca de fuentes hidrotermales, ya existía, pero esta investigación afirma que la electricidad generada en torno a ellas jugó un papel fundamental.

El fluido hidrotermal (agua caliente) procedente de estas fuentes submarinas contiene numerosos gases, como el ácido sulfhídrico, e iones metálicos, como el hierro y el cobre.

Siguiendo el mismo mecanismo que utilizan las pilas de combustible -empleadas por ejemplo en coches eléctricos-, el agua caliente, rica en hidrógeno, puede transferir electrones fácilmente, y el agua marina, rica en oxígeno, puede recibirlos, con lo que se genera una corriente eléctrica.

Este descubrimiento, que “aporta una nueva perspectiva al proceso de formación de depósitos minerales y ecosistemas”, abriría nuevas puertas en otros ámbitos.

Por ejemplo, explica Yamamoto, teniendo en cuenta la posibilidad de que la vida en la Tierra se generara gracias a las corrientes eléctricas del fondo marino, “se podrían cambiar dramáticamente los métodos de exploración de vida extraterrestre”.

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Faraday El aprendiz que popularizó la electricidad. Por: Francisco Doménech - @fucolin Para Ventana al Conocimiento 22 septiembre 2016

EL FÍSICO Y QUÍMICO INGLÉS, MICHAEL FARADAY. CRÉDITO IMAGEN: MAULL & POLYBLANK/WIKIMEDIA COMMONS.

Sus descubrimientos acercaron la electricidad a los hogares, pero él siguió enseñando la ciencia a la luz de una vela. Michael Faraday (1791–1867) era capaz de explicar la respiración, la combustión o la composición del aire, el agua y los gases, y conseguir que lo entendiera cualquier asistente a sus conferencias, usando como ejemplo algo tan corriente como una vela. «Encenderla es poner en juego las leyes que gobiernan el universo, es la mejor puerta de entrada a la Física y la Química», decía este autodidacta que nunca pasó por la universidad. Fue un científico hecho a sí mismo y acabó inspirando a los más grandes científicos de las siguientes generaciones, como Maxwell y Einstein. De familia muy pobre, pronto tuvo que ponerse a trabajar. Empezó como aprendiz de encuadernador en un taller de Londres y allí descubrió la ciencia, entre los tomos de la Enciclopedia Británica de principios del siglo XIX. Dedicaba los ratos libres a leer textos de química, a tomar notas, a ir a conferencias. Impresionado por un ciclo de charlas de Humphrey Davy, le enseñó sus apuntes bien encuadernados, consiguió que lo contratara y volvió a ser aprendiz, esta vez de químico. Pronto superó a su maestro, que sintió celos y frenó su carrera. Cuando Davy murió, Faraday ocupó su puesto en la Royal Institution y, con 40 años, pudo dedicarse por fin a la investigación con la que hizo historia. Le encantaba experimentar con imanes, pensaba en esa misteriosa fuerza invisible que los atraía y empujaba a distancia y se le ocurrió un truco para poder verla. Colocó un papel sobre un imán y encima esparció unas limaduras de hierro, que se ordenaron formando unos dibujos, unas curvas, y vio que donde el imán tenía realmente fuerza era en esas líneas del campo magnético. Le faltaba dominar las matemáticas para poder poner todo eso en fórmulas, así que siguió experimentando. CÓMO TRANSFORMAR EL MOVIMIENTO EN ELECTRICIDAD. El danés Oersted se había fijado en que la aguja de una brújula se desvía al acercarla a un cable por el que pasa corriente, igual que al acercarla a un imán, o sea que la electricidad y el magnetismo tenían algo que ver. ¡Pues claro!, pensó Faraday, si una corriente eléctrica creaba un imán, más fuerte cuanto más enrollado estuviera el cable, entonces un imán podía generar electricidad: colocó un imán cerca de una bobina de cable. Nada. Metió el imán dentro de la bobina. Tampoco. Pero se fijó en que al mover el imán sí se detectaba corriente en el cable: sólo cuando los cables de la bobina cortaban las invisibles líneas de fuerza magnéticas . « ¿Para qué sirve eso?», se preguntaba el público de la charla en la que Faraday demostró su descubrimiento en 1831. « ¿Para qué sirve un recién nacido?», contestó según una leyenda urbana que también se cuenta de otros científicos de la época. Lo que sí hizo él fue conseguir que ese bebé, la inducción de electricidad, sirviera para algo. La usó en un aparato que generaba una corriente continua al ponerlo en movimiento: logró transformar el movimiento en electricidad, como hace la dinamo de una bicicleta. Pero gracias a la Revolución Industrial ya no hacía falta tracción animal. Acoplando una máquina de vapor al generador eléctrico de Faraday se podía conseguir mucha más electricidad —y más barata— que con una pila. Con eso y con el transformador , también basad o en sus trabajos, la electricidad se convirtió en una energía útil y Faraday en toda una celebridad, pero rechazó los honores. Él siguió trabajando y dando sus populares conferencias de Navidad para jóvenes, en las que se colaban desde el marido de la reina Victoria hasta el escritor Charles Dickens, quien le animó a recopilar las charlas en el libro La historia química de una vela . Aún hoy en día la Royal Institution mantiene esas tradicionales conferencias y en los billetes de 20 libras que en 1991 sustituyeron a los de Shakespeare, Faraday aparece mostrando al público una vela, en lugar de encerrado en su laboratorio. BILLETE DE 20 LIBRAS DONDE APARECE LA IMAGEN DE FARADAY Y LA VELA. CRÉDITO IMAGEN: BANCO DE INGLATERRA.

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Venezuela, personajes, anécdotas e historia. Vicente Lecuna Salboch, historiador

Nació el 14 de septiembre de 1870 y murió el 20 de febrero de 1954, ambos momentos en Caracas, Venezuela. Fue hijo de Ramón Lecuna Sucre y de Carmen Salboch Escobar. Por la rama paterna descendía de Vicente Lecuna Párraga, Comisario del Ejército Libertador (Tesorero de la Nación), y de Josefa Margarita Sucre y Marquéz, quien era media hermana de Antonio José de Sucre y Alcalá, Gran Mariscal de Ayacucho. Pasó su primera infancia en Cuba, adonde se trasladaron sus padres por motivos políticos y regresó a Venezuela con ellos en 1877. Se casó con Elena Escobar Llamozas, teniendo cuatro hijos: Valentina Lecuna Escobar, Vicente Lecuna Escobar, Elena Lecuna Escobar y Bolivia Lecuna Escobar. Se graduó como ingeniero civil en 1889 en la Universidad Central de Venezuela y se desempeñó en la construcción del Ferrocarril Central entre Caracas y los Valles del Tuy y en el Gran Ferrocarril Alemán, de Caracas a Puerto Cabello. Fue muy estudioso de la vida y obra de los emancipadores de Venezuela. Copiló “Los papeles de Bolívar” y preparó un Atlas para Venezuela. En 1915 es designado para organizar el Archivo del Libertador Simón Bolívar, logrando su restauración, organización y conservación. En 1930 presentó una recopilación de diez volúmenes. El 17 de junio de 1918 se incorporó como Individuo de Número de la Academia la Historia y presentó una tesis sobre acciones emancipadoras del Libertador durante 1817. Varios de sus libros fueron publicados por la Fundación que lleva su nombre, entre ellos: “La revolución de Queipa”, “Bolívar”, “Arte Militar” y “Catálogo de Errores y Calumnias en la Historia de Bolívar”.

VICENTE LECUNA SALBOCH HOMOTECIA Nº 11 – AÑO 16 Jueves, 1º de Noviembre de 2018 33 SSaann JJuuaann BBoossccoo

Sacerdote, educador y escritor italiano del siglo XIX. Es el santo de la juventud, de los obreros, de la alegría, de María Auxiliadora y el santo de muchas cosas más.

Nacido con el nombre de Giovanni Melchiorre Bosco el 16 de agosto de 1815 en Castelnuovo Don Bosco, Becchi- Piamonte, y falleció el 31 de enero de 1888 en Turín; ambas localidades en la hoy Italia. Es más conocido como Don Bosco y luego de ser canonizado por el Papa Pío XI el 1º de abril de 1934, se le conoce como Juan Bosco, S.D.B., San Juan Bosco. Su cuerpo permanece incorrupto en la Basílica de María Auxiliadora en Turín.

A la edad de dos años murió su padre y su mamá, la “Sierva de Dios” Margarita Occhiena, siendo analfabeta y pobre, se encargó de sacar adelante a sus hijos.

“Uno solo es mi deseo: que sean felices en el tiempo y en la eternidad”, dejó escrito a sus jóvenes el gran San Juan Bosco, fundador de la Familia Salesiana y declarado “padre y maestro de la juventud” por San Juan Pablo II.

A los nueve años tuvo un sueño profético en el que vio una multitud de niños que se peleaban y blasfemaban. Él trató de hacerlos callar con los puños, pero se apareció Jesús y le dijo que debía ganarse a los muchachos con la mansedumbre y la caridad. Asimismo, Cristo le mostró a la que sería su maestra: la Virgen María.

Luego, la Madre de Dios le indicó que mirara donde estaban los muchachos y Juan vio a muchos animales que después se transformaron en mansos corderos. Al final, la Virgen le dijo estas memorables palabras: “A su tiempo lo comprenderás todo”.

Poco a poco fue creciendo en Juan un gran interés por los estudios, así como su deseo de ser sacerdote para aconsejar a los pequeños. No obstante, para lograrlo, muchas veces tuvo que abandonar su casa y trabajar en diferentes oficios que, en el futuro, él enseñaría a sus muchachos para que se ganaran el sustento.

San Juan Bosco se entregó de lleno a consolidar y extender su obra. Brindó alojamiento a muchachos abandonados, ofreció talleres de aprendizaje y, aunque era un sacerdote pobre, construyó una iglesia en honor a San Francisco de Sales, el santo de la amabilidad.

En 1859 fundó a los Salesianos con un grupo de jóvenes y más adelante co-funda las Hijas de María Auxiliadora con Santa María Mazzarello. Luego también dio inicio a los Salesianos Cooperadores. Además, sólo con donaciones, construyó la Basílica de María Auxiliadora de Turín y la Basílica del Sagrado Corazón en Roma.

La fecha de fallecimiento de San Juan Bosco, 31 de enero, fue escogida por la Iglesia Católica para celebrar su día ( La Fiesta de San Juan Bosco ), habiendo hecho vida aquella frase que un día le dijo a su alumno, hoy en día Santo Domingo Savio, “Aquí hacemos consistir la santidad en estar siempre alegres” .

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Paul Charles William Davies

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Nació el 22 de Abril de 1946 en Londres, Inglaterra.

Los padres de Paul Davies fueron Hugh Augusto Robert Davies y Perla Vera Davies. Fue educado en la escuela de gramática de Woodhouse (ahora Universidad de Woodhouse) en North Finchley, un distrito hacia el lado norte de Londres. Margaret Thatcher se convirtió en miembro del Parlamento por Finchley en 1959 (luego sería primer ministro de Gran Bretaña veinte años más tarde), y ella obsequió a Paul una copia del Norton's Star Atlas (Atlas de Estrellas Norton) por desempeño sobresaliente en sus exámenes de nivel O en el Speech Day (Día del Discurso) de 1962 en la escuela. De esto, escribe Davies, que fue altamente significativo desde el (leer referencias [5] o [6]): ... Pude rastrear mi propia decisión de ser un científico más o menos desde esa ocasión. De la escuela primaria de Woodhouse, Paul fue al University College de Londres, donde obtuvo una licenciatura con Honores de 1a Clase en 1967. Continuó estudiando en la Universidad realizando una investigación supervisada por Michael Seaton y Sigurd Zienau. Obtuvo un doctorado por su tesis Contributions to Theoretical Physics: (i) Radiation Damping in the Optical Continuum (ii) A Quantum Theory of Wheeler-Feynman Electrodynamics (Contribuciones a la física teórica: (i) radiación de amortiguación en el continuo óptico (ii) una teoría cuántica de la electrodinámica de Wheeler-Feynman) en 1970. Tras la obtención del doctorado, permaneció dos años, 1970 a 1972, como Becario de Investigación en el Instituto de Astronomía Teórica en la Universidad de Cambridge trabajando con Fred Hoyle. Describiendo su investigación inicial, Davies escribe en la referencia [3]: Comencé a trabajar en el campo de la astrofísica atómica y trabajé sobre el problema de la recombinación di-electrónica en la corona solar. Luego me trasladé a la cosmología y a la teoría de los agujeros negros, especialmente su quantum y propiedades termodinámicas. El 28 de julio de 1972, Davies se casó con Susan Vivien Corti Woodcock; tuvieron tres hijas y un hijo. Posteriormente en 1972 se tomó un cargo como profesor de Matemáticas Aplicadas en el King College de Londres. Ocupó esta cátedra durante ocho años. Durante estos años él publicó muchos trabajos importantes como: Radiation from a moving mirror in two dimensional space-time: conformal anomaly (La radiación de un espejo móvil en las dos dimensiones espacio-tiempo: anomalía conformal) en conjunto con Stephen A Fulling (1976) en el que da un modelo bidimensional de la producción de partículas por campos gravitatorios; Quantum vacuum stress without regularization in two-dimensional space-time (Tensión en el vacío cuántico sin regularización en las dos dimensiones espacio-tiempo) (1977) el cual Davies resume como sigue: Se demuestra que existe un único tensor de tensión conservada que posee un rastro local, en la teoría cuántica bidimensional de escalares sin masa y campos giratorios propagándose en un espacio-tiempo curvado; Covariant point-splitting regularization for a scalar quantum field in a Robertson-Walker universe with spatial curvature (Regularización a partir de un punto covariante de un campo cuántico escalar en un universo de Robertson-Walker con curvatura espacial) en conjunto con T. S. Bunch (1977) en el que que investiga el tensor de la tensión de vacío para un campo cuántico escalar sin masa en el fondo del espacio- tiempo de un universo Robertson-Walker espacialmente plano, y en el caso especial para un campo enorme del universo de Einstein; Quantum vacuum energy in two dimensional space-times (Energía del vacío cuántico en las dos dimensiones espacio-tiempo) con Stephen A. Fulling (1977), sobre el cual los autores escriben: ... presenta en detalle la teoría de la renormalización del tensor momento de energía de un campo bidimensional de escalar sin masa que ha sido utilizado en otros lugares para estudiar la física local en un modelo de la evaporación del agujero negro. En 1974, Davies publicó una monografía importante, The physics of time asymmetry (La física de la asimetría del tiempo). Escribe Richard Sigal en un informe sobre la reimpresión de 1977, que esto es:

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... una introducción clara y bien referenciada a las asimetrías de tiempo encontradas en procesos físicos. Aunque probablemente dirigido al físico profesional, este libro es autocontenido, concisamente repasa todos los conceptos necesarios para los argumentos y como tal debe ser accesible a los demás interesados en la cuestión fundamental de la "flecha del tiempo". El autor analiza a su vez las asimetrías encontradas en termodinámica, cosmología, teoría electromagnética y mecánica cuántica.

Mucho del trabajo de Davies durante su tiempo en el King's College aparece en su monografía de 1982 Quantum fields in curved space (Campos cuánticos en espacio curvado) escrito en conjunto con Nicholas D. Birrell quien escribió su tesis The Application of Quantum Field Theory to Cosmology and Astrophysics (Aplicación de la teoría del campo cuántico a la Cosmología y la Astrofísica) (1979) asesorado por el mismo Davies. En 1980, Davies fue nombrado Profesor de Física Teórica en la Universidad de Newcastle en Tyne. Ocupó este cargo durante diez años, tiempo durante el cual, además de artículos de investigación importantes, publicó numerosos libros de ciencia popular excelentes mostrando sus excepcionales habilidades como comunicador. Antes de pasar a Newcastle, ya había publicado libros como The Runaway Universe (El universo clandestino) (1977), The Forces of Nature (Las fuerzas de la naturaleza) (1979) y Other Worlds (Otros mundos) (1980). Ejemplos de los libros publicados mientras permaneció en la Cátedra de Newcastle son: The Edge of Infinity (El borde del infinito) (1981); The Accidental Universe (El universo accidental) (1982); God and the New Physics (Dios y la nueva física) (1983); Superforce (Superfuerza) (1984); Quantum Mechanics (Mecánica cuántica) (1984), en conjunto con Julian R. Brown The Ghost in the Atom (El espíritu en el átomo) (1986); Fireball (Bola de fuego) (1987); The Cosmic Blueprint (El plan cósmico) (1987); y nuevamente en conjunto con Julian R. Brown Superstrings: A Theory of Everything? (Supercuerdas: ¿teoría del todo?) (1988).

En 1990, Davies fue a Australia cuando designado como Profesor de Física Matemática en la Universidad de Adelaida. Ocupó este puesto hasta 1993 cuando se convirtió en Profesor de Filosofía Natural en la Universidad de Adelaida. En 1998 se convierte en Profesor Visitante en el Imperial College de Londres y Profesor Adjunto en la Universidad de Queensland. En 2001 se convierte en Profesor Adjunto de Filosofía Natural en el Centro Australiano de Astrobiología de la Macquarie University, New South Wales, centro que ayudó a fundar. En 2003 se casó con Pauline, una difusora de ciencia. Llegó a ser Profesor Universitario y Director de Beyond: Centro de Conceptos Fundamentales en Ciencias, en la Universidad del Estado de Arizona, en 2006. Sus esfuerzos por comunicar las ideas más recientes en ciencia a un público general, particularmente en los últimos diez años, lo han convertido en un nombre familiar [1]:

Da numerosas conferencias cada año en todo el mundo y ha escrito 27 libros, tanto populares como especializados, que han sido traducidos a muchos idiomas. Escribe regularmente en periódicos, diarios y revistas en varios países. Entre las producciones para los medios más conocidas de Davies están una serie de documentales científicos de 45 minutos para la BBC Radio 3. Dos de estos se convirtieron en libros de éxito y una, Desperately Seeking Superstrings (Desesperadamente buscando las supercuerdas), ganó la Beca Glaxo para Escritores de Ciencia de. A principios de 2000 ideó y presentó una serie de tres partes para BBC Radio 4 sobre el origen de la vida, titulado 'The Genesis Factor' (El Factor de la Génesis). Sus proyectos de televisión incluyen dos series australianas de seis partes, The Big Questions (El grande) y More Big Questions (Las más grandes preguntas ) y un documental de la BBC en 2003 sobre su trabajo en Astrobiología titulado 'The Cradle of Life (La cuna de la vida).

Davies ha recibido muchos honores además de los mencionados anteriormente. Por ejemplo, ha sido elegido: Miembro en el Instituto de Física del Reino Unido, Miembro del Instituto Australiano de Física, Miembro del Foro Económico Mundial, Miembro de la Real Sociedad Literaria, Miembro Honorario de la Sociedad Astronómica de la India y Miembro Honorario del Instituto de Física de Singapur. Su biografía en el Foro Económico Mundial afirma que él cree que:

... la ciencia es una actividad tanto cultural como económica, y que el abismo entre las ciencias y las artes es perjudicial, y debe ser superado por ambos lados; se enfoca en preguntas profundas de la existencia y con frecuencia debate sobre ciencia y religión con altos miembros del clero .

Otros honores recibidos por Davies incluyen: el Premio Eureka de la ABC (1991); el Premio Eureka de la Prensa de la Universidad de New South Wales por el libro “La mente de Dios” (1992); el Premio de Avance de Australia por contribuciones excepcionales a la ciencia (1993); y recibió el Premio Templeton de la Fundación John Templeton (1995). Este fue un premio muy prestigioso. Davies escribe en la referencia [4]:

Me fue otorgado el Premio Templeton en 1995 por mi trabajo sobre el significado más profundo de la ciencia. El premio fue anunciado en una conferencia de prensa en las Naciones Unidas en Nueva York. La ceremonia tuvo lugar en la Abadía de Westminster en mayo de 1995 frente a una audiencia de 700 personas, donde yo diserté durante 30 minutos describiendo mi visión personal de la ciencia y la teología. Fue seguida por una reunión privada en el Palacio de Buckingham, donde el Príncipe Felipe (Philip) me entregó un cheque, una medalla y un certificado. Entre los jueces del Premio de 1995 se encontraban el Presidente George Bush padre y la Baronesa Margaret Thatcher.

Su discurso del Premio Templeton, publicado en las referencias [5] y [6], es fascinante de leer. Aquí está un breve extracto que da pistas sobre las creencias de Davies:

Algunos científicos han tratado de argumentar que si solamente sabíamos lo suficiente acerca de las leyes de la física, si fuésemos a descubrir una teoría final que unió todas las fuerzas fundamentales y partículas de la naturaleza en un solo esquema matemático, entonces nos encontraríamos con que esta súper lay, o teoría del todo, describiría sólo el mundo lógicamente consistente. En otras palabras, la naturaleza del mundo físico sería enteramente una consecuencia de una necesidad lógica y matemática. No habría ninguna opción sobre esto. Creo que esto es una demostración incorrecta. No hay una pizca de evidencia de que el universo es lógicamente necesario. De hecho, como físico teórico me parece bastante fácil imaginar universos alternativos que son lógicamente consistentes, por lo tanto contienen iguales realidades.

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Sin duda el Premio Templeton fue un premio muy importante, pero Davies continuó recibiendo otros incluyendo: el OG Asteroide 1992 fue renombrado Paul Davies (6870) en 1999; recibió la Medalla Kelvin del Instituto Británico de Física en 2001; recibió el Premio Michael Faraday de la Real Sociedad en 2002, recibió el Premio de Escritura Científica del Instituto Americano de Física en 2003; recibió el Premio Trotter de la Universidad Texas A&M, EE. UU. en 2004; y recibió un doctorado honorario de la Universidad de Macquarie en2006. El 11 de junio de 2007, Davies fue hecho Miembro de la Orden de Australia: Por servicios a la ciencia, particularmente a las disciplinas de física, cosmología y astrobiología, como educador, autor y comentarista público. El mismo Davies señala que sus hobbies son cuidar su salud y hablar de curiosidades geográficas.

Referencia.- Artículos:

1. P Davies, Biography . http://cosmos.asu.edu/about/bio.htm 2. P Davies, Books . http://cosmos.asu.edu/publications/books.htm 3. P Davies, Brief History . http://cosmos.asu.edu/research/brief_history.htm 4. P Davies, Templeton Prize . http://cosmos.asu.edu/prize.htm 5. P Davies, Templeton Prize Address . http://cosmos.asu.edu/prize_address.htm 6. P Davies, Physics and the Mind of God, in A Driessen and A Suarez (eds.), Mathematical Undecidability, Quantum Nonlocality and the Question of the Existence of God (Springer, 1997). 7. Davies, Paul Charles William (1946 - ), Bright Sparcs (University of Melbourne, 2007). http://www.asap.unimelb.edu.au/bsparcs/biogs/P004694b.htm

Versión en español por R. Ascanio H. del artículo en inglés de J. J. O’Connor y E. F. Robertson sobre “Paul Davies” (Julio 2009). Fuente: MacTutor History of Mathematics [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Davies_Paul.html].