Thèse a L'université De Paris Vi Le Grade De Docteur Es
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THÈSE A L'UNIVERSITÉ DE PARIS VI pour obtenir LE GRADE DE DOCTEUR ES-SCIENCES PHYSIQUES François DAVID "PROBLEMES INFRAROUGES EN THEORIE PERTUEBATIVE DES CHAMPS" Soutenue le 9 Décembre 1982 devant la Commisiion d'Examen MM. J.C. Le Guillou Président V. Alessandirini M. Bergère E. Brizin Examinateurs C. de Calan K. Symanzik R. Vinh Mau THESE prêtantes A L'UNIVERSITÉ DE PARIS VI pour obtenir LE GRADE DE DOCTEUR ES-SCIENCES PHYSIQUES François DAVID "PROBLEMES INFRAROUGES EN IHEOSIE PERTUSBATIVE DES CHAMPS" Soutenue le 9 Décembre 1982 devant la Commission d'Examen MM. J.C. Le Guillou Président V. Alessandria! H. Bergère E. Brêzin Examinateurs C. de Calao K. Symanzik R. Vinh Mau r i A Marie-Claude - 1 - REMERCIEMENTS Je tiens à remercier très sincèrement toutes les personnes qui m'ont apporté aide et soutien durant les quatres derniêv&s années. Edouard Brézin a dirige cette thèse en me témoignant une grande con fiance et une grande attention et en étant toujours près a. me prodi guer conseils, critiques, suggestions et encouragements. Je lui ex prime ici toute ma reconnaissance. Michel Bergère est le co-auteur d'une partie de cette thèse. Les travaux qui la composent n'auraient jamais pu être réalisés sans les outils qu'il a développes dans l'étude de la renormalisation et des comportements asymptotiques ee théorie perturbative des champs et dont il m'a fait profiter sans réserve. Je le remercie du fond du coeur pour cette amicale collaboration. J'ai trouvé au Service de Physique Théorique un climat scientifique extrêmement stimulant et je suis très reconnaissant 3 Cyrano de Dominicis et â Roger Baliaa de m'y avoir accueilli. Sans pouvoir citer tous ceux qui m'ont fait part de Leur expérience et de leurs connaissances, je voudrais remercier Claude Bervillier, Jacques des Cloizeaux, Henri Comille, Bernard Derrida, Claude Itzykson, Hannah Kluberg-Stem, Jean-Marc Luck, André Voros, Jean Zinn-Justin et Jean-Bernard Zuber, Que ceux que j'ai oubliés mepardonnent... Je dois également beaucoup aux visiteurs occa sionnels ou attitrés du Service de Physique Théorique, en particulier Daniel Amit, Dan Friedan, Giorgio Parlai, Hike Peskin, Hector de Vega et Paul Hindey. J'ai beaucoup profité de mes relations arec les chercheurs des la boratoires de l'Ecole Polytechnique, en particulier avec Claude de Calan et Vincent Rivasseau. Je suis heureux que le résultat de notre colla boration ait porté ses fruits dans la dernière partie de cette thèse. Les servitudes et les grandeurs militaires m'ont aussi permis de rencon trer les physiciens des plasmas du Centre de Physique Théorique et du Laboratoire de la Matière Ionisée. Cette expérience très agréable m;a beaucoup apporté. Je tiens â exprimer ma reconnaissance â tous ceux avec qui j'ai été et suis toujours en contact à cette occasion, et tout particulièrement â René Pellat, Patrick Mora, Edouard Fabre, François Amiranoff, Christine Garban-Labaune et Michel Weinfeld. Jean Claude le Guillou a patronne cette thèse auprès de 1'Université et a accepté d'en présider le jury malgré sea multiples obligations. Je lui adresse tous mes remerciements, ainsi qu'a Messieurs les professeurs Alessandrini et Vinh Mau, qui ont accepté de foire partie du jury. Monsieur le professeur Symanzilc a bien voulu venir de Hambourg 3 l'occasion de cette these. Je suis extrêmement touché de cette marque d'intérêt et le remercie tout spécialement. Enfin, toute ma reconnaissance va aux membres du secrétariat technique du Service de Physique ThSorique qui out dactylographié les différents articles qui composent cette thèse, ainsi qu'à Eliane Cotteverte, Brigitte Parent et au peraonnel de la société B.E. France, qui se sont chargea avec promptitude et gentillesse de sa mise en forme définitive. TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION GÉNÉRALE 5 I - ETODE DE LA REHORMALISATIOS DIMENSIOlffiELLE H 1.1 - Introduction 13 1.2 - "Integral representation for the dimensionally «normalized 15 Feynman amplitude" M. C. Bergère et F. David, Commin. Hath. Phys. 81, 1-Z6 (1981). II - DIVERGEMCES INFRAROUGES DANS LES MODELES SIGMA NON-LINEAIRES A 41 DEtDC DIMENSIONS II. 1 - Ir.iroduction 43 11.2 - "Cancellations of infrared divergences in the tuo-dimen- 51 sional non-linear 0" models" F. David, Commun. Hath. Phys. 31, 149-170 (1981). 11.3 - "Cancellations of I. R. divergences in two-dimensional 73 chiral models" F. David, Phys. Lett. 96 B, 371-374 (1980). 11.4 - "Quantization with a global constraint and I. R. finiteness 77 of two-dimensional Goldstone Systems" F. David, Nucl. Phys. BI90 (F.S.3) 205-216 (1981). III - DIVERGENCES INFRAROUGES EI PROPRIETES CRITIQUES DES MODELES DE 89 SORFACES 111.1 - Introduction 9] 111.2 - "Infrared divergences of membrane models" 97 F. David, Phys. Lett. I02B, 193-195 (1981). 111.3 - Discussion et problèmes ouverts 101 4 - IV - DIVERGENCES INFRAROUGES DES THEORIES SUPERRENORMALISAB1ES i|3 IV.1 - Introduction 115 IV.2 - "Non analyticity of the perturbât!ve expansion for super- 119 renorsalizable massless field theories" H. C. Bergère et F. David, Ann. of Phys. 142, 416-447 (1982). V - EFFETS MON PERIDRBATIFS EI RENORMALONS INFRAROUGES 151 V.l - Introduction 153 V.2 - "Non percurbative effects acd infrared renormalons within 167 the 1/N expansion of the 0(N) non-linear sigma model" F. David, & paraître dans Nuclear Physics B. REFERENCES 213 INTRODUCTION GENERALE La dernière décennie a été incontestablement marquée par le rôle très important qu'ont joué les idées et les techniques de la théo rie quantique des champs dans de nombreux domaines de la physique. Deux grandes percées sont à l'origine d'un tel essort : D'une part les théo ries de Jauge non abéliennes [1] se sont avérées être des théories quantiques sans doute cohérentes et elles ont simultanément permis de proposer des modelés séduisants et raisonnables des interactions fonda mentales entre les particules élémentaires (que sont pour le moment les leptons et les quarks) [2] . Dans le même temps les idées "d'invariance d'échelle" et de "grouse de Renormalisation" [3] ont fourni une com préhension qualitative et quantitative des phénomènes critiques. De tels progrès ont été possibles en grande partie grâce â des outils dé veloppés initialement dans le cadre de la théorie perturbative des champs : Théorie de la Renormalisation, équations de Callan-Symanzik, développement de Wilson. Far ailleurs des efforts et des progrès consi dérables ont été faits pour développer d'autres méthodes d'étude en théorie quantique des champs et en mécanique statistique, en particulier à l'aide des méthodes semi-classiques et de l'étude des théories sur réseaux. Ces progrès ont porté à la fois sur l'obtention de résultats rigoureux et sur le développement de nouvelles méthodes d'approxima tions et d'études numériques. Ils ont également permis de préciser la nature des développements perturbatifs eux-mêmes. Les calculs perturba- tifs sont néanmoins le seul moyen direct d'atteindre la "limite conti nue" encore à notre disposition et de nombreuses questions se posent encore concernant le statut de ces développements. Les travaux réunis dans cette thèse traitent principalement de questions liées à la présence de divergences "infrarouges" dans les développements perturbatifs des fonctions de Green de certaines théo ries des champs de masse nulle. Il est bien connu que les développe ments perturbatifs se font en terme d'intégrales de Feynman associées aux graphes du même nom ; ces intégrales peuvent présenter des diver gences lorsque certaines des impulsions internes sont nulles. On s'at tend malgré tout à rencontrer beaucoup moins de problèmes infrarouges dans les calculs de fonctions de Green (c'est-à-dire d'intégrales de Feycraan "hors de la couche de masse") que dans les calculs d'amplitudes de diffusion (qui correspondent à des amplitudes "sur la couche de nasse"). En particulier les théories renormalisables â quatre dimen sions ($ , électrodynamique quantique, théories de jauge) ne présentent pas de telles divergences (pourvu que l'on ait renormalisé correctement les théories) [4]. Far contre l'étude des théories scalaires (comme $*) à 2 ou 3 dimensions, des modèles bidimensionnels ou des théories de Jauge à température finie conduit à des situations où de telles diver gences empêchent de définir perturbativement les fonctions de Green. Bans certains cas on peut contourner le problème en introduisant un régulateur infrarouge et en extrapolant les propriétés de la théorie lorsque ce régulateur tend vers zéro, par exemple à l'aide des équations et du Groupe de Renormalisation (c'est le cas pour la théorie $A_f cette idée est è la base du célèbre développement en 4 - e). Néanmoins, l'étude directe de la structure de ces divergences est importante pour plusieurs raisons qui nous l'espérons apparaîtront clairement dans ce travail. Il est tout d'abord important de déterminer le statut mathé matique des développements perturbatifs en théorie des champs, ne se rait-ce que pour préciser leur domaine de validité. Ensuite, de même que les problèmes infrarouges "sur la couche de masse" de l'Electrodynamique Quantique sont liés à la nature des états asymptotiques de cette théorie [5], les problèmes infrarouges "hors de la couche de masse" sont souvent liés aux propriétés dynami ques du "vide" d'une théorie. Enfin, comme dans les problêmes de renormalisabilitë, les symétries d'une théorie jouent souvent un rôle crucial dans ces problè mes infrarouges. Après ces considérations générales, précisons donc le contenu de ce travail. L'unité de cette thèse est plutôt â chercher dans les techniques mathématiques utilisées (représentations intégrales des am plitudes de Feynman, méthodes de désingularisation, régularisation et renormalisation dimensionnelle) que dans les modèles et les problèmes considérés, qui correspondent à des motivations physiques variées. Nous reviendrons sur ces techniques à la fin de cette introduction. La première partie est d'ailleurs consacrée à l'application de ces techniques de désingularisation à un problème de divergences "ultraviolettes" (à courte distance).