Contribution to the Study of Conformal Theories and Integrable Models
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UNIVERSITE DE PARIS-SUD CEN?TRE D'ORSAY THESE présentée pour obtenir Le GRADE de DOCTEUR EN SCIENCES DE L'UNIVERSITE PARIS XI ORSAY par NIR SOCHEN sujet: CONTRIBUTION A L'ETUDE DES THEORIES CONFORMES ET DES MODELES INTEGRABLES Soutenue le 19 Mai 1992 devant la Commision d'examen MM. E. BREZIN président P. BINETRUY K. GAWEDZKI C. ITZYKSON V. PASQUIER J.-B. ZUBER UNIVERSITE DE PARIS-SUD CENTRE D'ORSAY THESE présentée pour obtenir Le GRADE de DOCTEUR EN SCIENCES DE L'UNIVERSITE PARIS XI ORSAY par NIR SOCHEN sujet: CONTRIBUTION A L'ETUDE DES THEORIES CONFORMES ET DES MODELES INTEGRABLES Soutenue le 19 Mai 1992 devant la Commision d'examen MM. E. BREZIN président P. BINETRUY K. GAWEDZKI C. ITZYKSON V. PASQUIER J.-B. ZUBER i.r 1 A nies parents et à Lori et Carmel T REMERCIEMENT Deux personnes ont joué un rôle déterminant dans ma formation et m'ont montré la voie de la recherche. Je tiens à remercier Shimon Yankielowicz qui m'a enseigné la théorie des champs et a guidé mes premiers pas dans la physique. J'ai eu la chance de travailler avec Jean-Bernard Zuber, mon directeur de thèse, qui est aussi devenu un ami et m'a enseigné le métier de chercheur avec enthousiasme et bonne humeur. Je le remercie tout particulièrement de l'infinie patience dont il a fait preuve et de la gentillesse qu'il a bien voulu me témoigner. Je voudrais remercier Edouard Brézin qui m'a accueilli en France. Il m'a aidé à trouver le début de la piste qui m'a amené jusqu'ici et il a accepté d'être président du jurj'. Je remercie tout particulièrement Vincent Pasquîer et Krzysztof Gawedzki qui ont accepté dans des conditions difficiles la lourde tâche de rapporteur. Je remercie également Claude Itzykson qui s'est toujours intéressé à mon travail et qui a accepté de faire partie du jury. Je remercie Pierre Binétruy d'avoir eu la gentillesse de faire partie du jury. Je remercie Michel Bauer pour son amitié et sa collaboration, et tous les membres du Service de Physique Théorique qui m'ont offert un accueil chaleureux et un environnement stimulant. Je tiens à remercier André Morel qui m'a permis de finir ma thèse dans de bonnes conditions. Je veux aussi remercier Jean-Yves Ollitrault qui a eu le double courage de partager avec moi son bureau et d'essayer de corriger mon français. J'aimerais remercier mes parents qui m'ont toujours soutenu et encouragé. Ils ont toujours été présents même quand une grande distance nous séparait. Je remercie Lori pour la force qu'elle me donne et pour sa patience. Sans elle cet ouvrage n'aurait pas \'u le jour. Je remercie enfin Carmel qui, malgré son très jeune âge, sait grâce à ses sourires me donner espoir. TABLE DES MATIERES INTRODUCTION 1 1. GENERALITES SUR LES THEORIES COFORMES .... 3 1.1 Le grdbpe conforme 3 1.2 Théorie de champs conforme 4 1.3 Théorie de champs conforme à d=2 5 1.4 L'algèbre de Virasoro 8 1.5 Théorie des représentations de l'algèbre de Virasoro ... 10 1.6 Caractères 13 1.7 Fonctions de corrélation 15 2. MODELES DE WESS-ZUMINO WITTEN, ALGEBRES DE KAC-MOODY ET LEURS VECTEURS SINGULIERS . 19 2.1 Le modèle WZW 19 2.2 La théorie des représentations des algèbres de Kac-Moody 21 2.3 Les vecteurs singuliers et les règles de fusion 29 3. LES ALGEBRES W 40 3.1 Les algèbres W quantiques 40 3.2 Les équations différentielles linéaires covariantes 43 3.3 Le formalisme matriciel 44 3.4 Les différentielles dans les algèbres w 46 4. BOSONISATION 51 4.1 La bosonisation à la Feigin et Fuchs 51 4.2 La cohomologie de Felder et la généralisation à SU(2) . 53 4.3 La bosonisation des fonctions de partition 57 5. MODELES INTEGRABLES SUR RESEAU ET REPRESENTATIONS DE L'ALGEBRE DE HECKE .... 63 5.1 Motivation 63 5.2 Les modèles de face 64 5.3 Les modèles ADE 67 5.4 Entrelaceurs et conditions aux limites 69 5.5 Les modèles quotients 72 REFERENCES 75 PUBLICATIONS 77 - Vale u'il faut INTRODUCTION La dernière décennie a été témoin d'une explosion d'activité dans le domaine de la physique bidimensionnelle. La source de cette activité a été la théorie des cordes qui a ses racines dans les modèles duaux d'il y a plus de vingt ans. La théorie des cordes a reçu une nouvelle impulsion avec la reformulation de Polyakov en 1981. et elle est devenue une sérieuse candidate à être une théorie cohérente de la gravité quantique et à décrire dans une théorie unifiée toutes les forces connues. En tous cas elle est quasiment la seule qui peut prétendre à l'être. L'avenir dira si la théorie des cordes est la bonne manière d'attaquer ces problèmes difficiles. Nous ne pouvons qu'affirmer à présent qu'en poursuiv- ant le chemin de recherche indiqué par la théorie des cordes nous en avons tiré profit dans de nombreux domaines qui a priori n'ont rien à voir avec cette théorie. Notamment les théories conformes qui sont les "vides classiques" du point de vue de la théorie des cordes sont les clefs pour comprendre le comportement à grande échelle des modèles de mécanique statistique bidimensionnels ayant les symétries de translation, rotation et dilatation à leur point critique. Les théories»conformes sont liées naturellement aux modèles intégrables de la mécanique statistique. D'autres domaines qui sont inspirés par la théorie des cordes sont la gravité quantique bidimensionnelle, les théories topologiques, les équations différentielles intégrables et les algèbres w classique et quantique. Les idées et méthodes de la théorie conforme jouent un rôle important dans tous les domaines mentionnés. Nous présentons une revue de la théorie conforme au chapitre 1. Nous poursuivons au chapitre 2 (et dans les articles 3 et 4) l'étude de la théorie des représentations des algèbres de Kac-Moody. On se sert de ces algèbres pour construire des exemples de théories conformes, et en effet toutes les théories conformes rationnelles connues peuvent être obtenues de cette manière. Les vecteurs singuliers sont des objets importants du point de vue de la théorie des représentations et ils sont très importants aussi du point de vue de la physique puisqu'ils engendrent des équations différentielles pour les fonctions de corrélation. Leur forme qui n'était connue qu'implicitement est donnée explicitement au chapitre 2 pour le cas de l'algèbre A\^. La limite classique d'une classe de vecteurs singuliers est liée au formalisme de Drinfeld-Sokolov et aux algèbres w classiques. Nous présentons brièvement ces formalismes au chapitre 3 et nous calculons les nombres de différentielles d'un degré donné dans une algèbre w classique. La méthode de bosonisation est présentée au chapitre 4 et utilisée dans l'article 5 pour identifier le spectre de la théorie topologique sl(2)/sl(2). La forme des vecteurs singuliers présentée au chapitre 2 est utilisée 1 aussi dans l'article 5 pour construire les états physiques de la théorie topologique. La bosonisation des fonctions de partition de différents modèles avec diverses conditions aux limites est présentée au chapitre 4 (et dans l'article 1) également. Cette méthode fait partie d'un vaste programme de classification des théories conformes rationnelles en faisant un lien entre elles et des modèles de spin intégrables. Nous décrivons ce programme au chapitre 5 et dans l'article 2 où nous avons montré l'existence de relations intéressantes entre les poids de Boltzmann de différents modèles. Ces relations nous permettent de prouver l'intégrabilité de certains modèles par un calcul direct de leurs poids de Boltzmann. D'abord nous démontrons qu'une fonction de corrélation des descendants est uniquement 1. GENERALITES SUR LES THEORIES CONFORMES 1.1. Le groupe conforme Le groupe conforme dans Rd est défini par l'ensemble des changements de coordonnées pour lesquels la métrique se transforme de la manière suivante [1] (1-1) C'est une transformation qui conserve localement des angles. Sous une transformation infinitésimale X14 —> a-,, + e/( l'équation (1.1) s'écrit Up/5 cfP /V(LV)f> \C\ *••*•) 1} où on a développé autour de <!>,,„ et O11 = ^f- . Quand la dimension est plus grande que 2 il s'ensuit que 2 fii = an + Xx11 + u>nvxv + 2(e • X)X11 — C11X (1.3) est la solution générale de (1.2) où U11^ est antisymétrique et U1111, a,,, C11, A 6 R. On reconnaît en (1.3) les quatre types de transformations conformes: a) Translation : aM d paramètres b) Dilatation : AxM 1 paramètre c) Rotation : u^x,, ^d(d — 1) paramètres 2 d) Transformation conforme spéciale : 2(c • X)XP — cMx d paramètres soit au total ^(d + 1 )(d -f- 2) paramètres , c'est-à-dire autant de paramètres que dans le groupe SO(l,d+l) et en effet les deux groupes sont isomorphes. Nous remarquons aussi que (1.3) est défini également globalement, c'est-à-dire que les transformations a)-d) sont des applications bijectives. En d=2 par contre on tire de l'éq.(1.2) (1-4) \ et celle de 3 champs primaires à Nous définissons S = Xj + ZX2 C = X1 - ZX2 " 9d i (L5) d = d; = -%: = -(di + iÔ2 ) dz 2 e = C] 4- z«2 ê = ei — ze2 On traite X] et .T2 comme des nombres complexes et par conséquent z et 5 sont indépen- dants. Nous rétablirons la condition de réalité de x, plus tard en imposant z = r* ( z" est le conjugué complexe de z).