Experimentalphysik I: Mechanik

Prof. Dr. Thomas Muller¨ , Dr. Frank Hartmann

Vorlesung Wintersemester 2001/2002

Letzte Aktualisierung und Verbesserung: 5. M¨arz 2004

Skript der Vorlesung Experimentalphysik I von Herrn Prof. Dr. Thomas Muller¨ im Wintersemester 2001/2002 von Marco Schreck.

Dieses Skript erhebt keinen Anspruch auf Vollst¨andigkeit und Korrektheit. Kommentare, Fehler, Vorschl¨age und konstruktive Kritik bitte an [email protected].

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 5 1.1 Grundbegriffe der Physik ...... 5 1.1.1 Dimensionsbetrachtungen ...... 7 1.2 Messungen und Datenauswertung ...... 9 1.2.1 Zentraler Grenzwertsatz ...... 10 1.2.2 Fehlerfortpflanzung ...... 10 1.3 Physikalische Größen/Einfuhrung¨ in die Vektorrechnung ...... 11

2 Klassische Mechanik 17 2.1 Mechanik von Massenpunkten ...... 17 2.1.1 Bewegung in einer Dimension ...... 17 2.1.2 2-dimensionale Bewegung ...... 20 2.1.3 Dreidimensionale Bewegung ...... 20 2.1.4 Sonderfall Kreisbewegung ...... 22 2.1.5 Sonderfall: Konstante Kreisbewegung ...... 23 2.2 Die Newtonschen Gesetze ...... 25 2.2.1 Anwendungen von Newtons Gesetzen ...... 26 2.2.2 Das Federpendel ...... 33 2.2.3 Reibung ...... 36 2.2.4 Rotationsdynamik ...... 37 2.2.5 Arbeit und Energie ...... 41 2.3 Systeme von Massenpunkten ...... 55 2.3.1 Schwerpunkt und Impuls (CM=center of mass) ...... 55 2.3.2 Elastische und unelastische St¨oße ...... 61 2.4 Rotationen ...... 66 2.4.1 Rotationskinematik ...... 66 2.4.2 Rotationsdynamik ...... 68 2.4.3 Rotierende Bezugssysteme ...... 76 2.4.4 Rollen ...... 77 2.4.5 Mechanische Stabilit¨at ...... 81

3 Gravitation 85 3.1 Das Gravitationsgesetz ...... 85 3.1.1 Der historische Weg zum Gravitationsgesetz ...... 85 3.1.2 Das Newtonsche Gravitationsgesetz ...... 88 3.2 Das Gravitationspotential ...... 90 3.3 Planetenbahnen, Keplersche Gesetze ...... 92 3.4 Gravitation in Massenverteilungen ...... 93

4 Relativistische Mechanik 103 4.1 Bewegte Bezugssysteme, Transformationen ...... 103 4.2 Relativistische Kinematik ...... 105 4.2.1 Spezielles Relativit¨atsprinzip ...... 105 4.2.2 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit ...... 105 4.2.3 Wiederholung: Galileitransformationen ...... 107 4.2.4 Lorentztransformation ...... 108 4.2.5 Relativistische Eﬀekte ...... 108 4.3 Relativistische Dynamik ...... 112

3 5 Physikalische Eigenschaften fester Körper und Flussigk¨ eiten 115 5.1 Physik fester Körper ...... 115 5.1.1 Elastische Verformung ...... 115 5.1.2 Härte eines Festkörpers ...... 123 5.1.3 Thermische Eigenschaften von Festkörpern ...... 124 5.2 Mechanik von Flussigk¨ eiten ...... 128 5.2.1 Hydrostatik ...... 128 5.2.2 Hydrostatischer Druck durch Gravitation ...... 129 5.2.3 Hydrodynamik ...... 133 5.3 Wellenausbreitung in der Mechanik ...... 136 5.3.1 Schwingungen (Wiederholung) ...... 136 5.3.2 Vergleich zwischen Pendel- und Federschwingung ...... 143 5.3.3 Wellen ...... 148 5.3.4 Anwendung: Akustik, Schallwellen ...... 155 5.3.5 Wellen von bewegten Quellen/Empfängern (Doppler-Effekt) ...... 162 5.3.6 Ub¨ erlagerung von Wellen ...... 164 5.4 Licht und Materie - Korpuskel und Welle ...... 176 5.4.1 Licht als elektromagnetische Welle ...... 176 5.4.2 Licht als Korpuskel ...... 176 5.4.3 Materie als Welle ...... 178 5.4.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum im Dreidimensionalen ...... 180 5.4.5 Materiewellen ...... 180

4 Kapitel 1

Einleitung

Was ist Physik?

Die Physik ist die mathematischste aller Naturwissenschaften. Durch sie wird die Natur in quantitativer, univer- seller Weise beobachtet und beschrieben. Die Beobachtungen werden auf fundamentale Gesetze zuruc¨ kgefuhrt.¨

Nur reproduzierbare Ph¨anomene werden erfaßt! • 1.1 Grundbegriﬀe der Physik

a.) Internationale Konvention (SI (Syst`eme International))

✵ Länge: Meter (m) Basisgröße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit 14 Länge Meter m 10− 1 1 Meter ist die Länge der Strecke, die Licht in Vakuum während der Dauer von 299 792 458 Sekunden durchläuft. ✵ Zeit: Sekunde (s) Basisgröße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit 14 Zeit Sekunde s 10− 1 Sekunde ist das 9192631770-fache der Periodendauer, der dem Ub¨ ergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des Nuklides Cs133 entsprechenden Strah- lung. ✵ Masse: Kilo (kg) Basisgröße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit 9 Masse Kilogramm kg 10− 1 Kilogramm ist die Masse des Internationalen Kilogrammprototyps. ✵ Temperatur: Kelvin (K) Basisgröße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit 6 Temperatur Kelvin K 10− 1 Kelvin ist der 273,16-te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers. ✵ elektrischer Strom: Ampère (A) Basisgröße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit 6 Stromstärke Ampère A 10− 1 Ampère ist die Stärke eines zeitlich unveränderlichen elektrischen Stroms, der, durch zwei im Va- kuum parallel im Abstand von 1 Meter voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je 1 Meter 1 Leiterlänge elektrodynamisch die Kraft 5 000 000 Kilogrammeter durch Sekundequadrat hervorrufen wurde.¨

5 KAPITEL 1. EINLEITUNG

✵ Lichtstärke: Candela (Cd) Basisgröße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit 3 Lichtstärke Candela cd 5 10− · 1 1 Candela ist die Lichtstärke, mit der 600 000 Quadratmeter der Oberfläche eines schwarzen Strahlers bei der Temperatur des beim Druck 101 325 Kilogramm durch Meter und durch Sekundequadrat erstarrenden Platins senkrecht zu seiner Oberfläche leuchtet. ✵ Substanzmenge: Mol (mol) Basisgröße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit 6 Stoffmenge mol mol 10− 1 Mol ist die Stoffmenge eines Systems bestimmter Zusammensetzung, das aus ebenso vielen Teilchen 12 12 besteht, wie 1000 Kilogramm des Nuklides C . b.) Abgeleitete Größen Größe Name der SI-Einheit Symbol, Zusammenhang (Basiseinheit bzw. mit Basiseinheiten abgeleitete Einheit Länge Meter m

Zeit Sekunde s

Masse Kilogramm kg

Fl¨ache Quadratmeter m2

Volumen Kubikmeter m3

1 Frequenz Hertz Hz= s

m Geschwindigkeit Meter/Sekunde s

m Beschleunigung Meter/Quadratsekunde s2

kg m Kraft Newton N= s2·

N kg Druck Pascal Pa= m2 = m s2 · kg m2 Arbeit, Energie, W¨armemenge Joule J=Nm= s·2

J kg m2 Leistung Watt W= s = s·3

kg Dichte Kilogramm/Kubikmeter m3

Temperatur Kelvin K

Stromst¨arke Amp`ere A

Ladung Coulomb C=As

A Stromdichte Amp`ere/Quadratmeter m2

J kg m2 Spannung Volt V= C = s3· A ·

V kg m2 Widerstand Ohm Ω = A = s3 ·A2 Fortsetzung· . . .

6 1.1. GRUNDBEGRIFFE DER PHYSIK

. . . Fortsetzung Gr¨oße Name der SI-Einheit Symbol, Zusammenhang (Basiseinheit bzw. mit Basiseinheiten abgeleitete Einheit

C s4 A2 Farad F= V = kg·m2 · V kg m elektrische Feldstärke Volt/Meter m = s3 ·A · A magnetische Feldstärke Ampère/Meter m

V s kg magnetische Induktion Tesla T= m·2 = s2 A ·

V s kg m2 Induktivit¨at Henry H= A· = s2 ·A2 · Lichtst¨arke Candela cd

J m2 Energiedosis Gray Gy= kg = s2

1 Aktivit¨at Becquerel Bq= s

Stoﬀmenge Mol mol

1.1.1 Dimensionsbetrachtungen Beispiel: Formel fur¨ Schwingungsdauer eines Pendels

Wir verwenden folgenden Ansatz: t ma lb gc ∝ · · a, b, c sind zu bestimmen.

Dimensionen :

c 1 a b L a b+c 2c T M L = M L T − ∝ · · T 2 · · Durch Vergleich der Exponenten ergibt sich:

1 = 2c − 0 = a 0 = b + c

7 KAPITEL 1. EINLEITUNG

Aus diesen Gleichungen ergibt sich c = 1 und b = + 1 . Damit erhalten wir weiter: − 2 2

1 1 l t l 2 g− 2 = ∝ · · !g

Wir werden im Thema Schwingungen und Wellen“ feststellen, daß die Formel fur¨ die Schwingungsdauer t = ” l 2π g lautet. " c.) Pr¨aﬁxe Zehnerpotenz Name Abkurzung¨ Beispiel

1015 Peta P PByte 1012 Tera T TeV 109 Giga G GW 106 Mega M MW 103 Kilo k kg 102 Hekto h hl 101 Deka da Dekade 1 10− Dezi d dm 2 10− Zenti c cm 3 10− Milli m mm 6 10− Mikro µ µm 9 10− Nano n nV 12 10− Piko p pF, pV 15 10− Femto f fs

d.) Deﬁnitionen

1 Meter <1799: 107 Umfang Erdquadrant <1960: Platin-Iridium-Stab: 1 m 1 heute: Laufstrecke des Lichtes im Vakuum in 299792458 s δl 14 10− l ≈

Sekunde 1964: 1s = 9192651770 Schwingungen des Cs-Atoms δt 13 10− t ≈

Kilogramm Masse des Urkilogramms in S`evres Kopie z.B. in Physikalisch-Technischer Bundesanstalt in Braunschweig δm 9 10− m ≈

e.) Beispiele

1 Länge 1 cm = 100 m Käfer 1µm Bakterie 1 nm Wellenlänge Licht 10 1 A˚ = 10− m Atom 15 1 fm = 10− m Proton 1 AE = 150 106 km (Abstand Erde-Sonne) 1 Ly = 9, 5 ·1012 km 1 Ps (Parsec)· = 3, 1 Ly

Fortsetzung . . .

8 1.2. MESSUNGEN UND DATENAUSWERTUNG

. . . Fortsetzung Zeit 1 Jahr=3, 16 107 s π 107 s“ · 15≈ ” · TUniversum = 10 Jahre 25 TTopquark = 6 10− s 32· TProton > 10 Jahre

Masse 2 1042 kg (!) Galaxie 2· 1030 kg Sonne 6 · 1024 kg Erde 8· 101 kg Professor Muller¨ · 27 1, 7 10− kg Proton · 31 9, 1 10− kg Elektron (e−) · 63 < 5 10− kg 0 kg Photon(γ) · ≈ < 3eV Elektronneutrino (νe)

Achtung: Masse = Gewicht ̸ f.) Winkeleinheiten

1 1 Grad 1◦ des Umfangwinkels des Kreises ≡ 360 L Kreissegment Radian αRad = R , αRad (360◦) = 2π Radius

¨ S Kugelflächensegment Steradian (Offnungswinkel) Ω = R2 Radius2

1.2 Messungen und Datenauswertung

Messung einer physikalischen Gr¨oße durch Instrumente, die Messwerte in Basiseinheiten wiedergeben. Die Ge- nauigkeit ist begrenzt. Man unterscheidet zwischen 2 Fehlertypen (Unsicherheiten):

Systematischer Fehler • Statistischer Fehler • a.) Systematischer Fehler: Verf¨alschung der Messung durch unbekannte apparative Eﬀekte (z.B. falsche Kalibration)

b.) Zuf¨allige Fehler: Wahrscheinlichkeit und Statistik

9 KAPITEL 1. EINLEITUNG

Der Mittelwert einer gemessenen Gr¨oße x berechnet sich nach:

1 N 1 x = x = x = (x + x + . . . + x ) ⟨ ⟩ N · i N 1 2 N i=1 # 1 N xw = lim xi N N #→∞ i=1 # σx ist dabei ein Maß fur¨ die Breite:

1 N σ = (x x )2 x $N 1 · i − ⟨ ⟩ % i=1 % − # & σ Vertauschbarkeit: δ ( x ) = x ⟨ ⟩ √N

1.2.1 Zentraler Grenzwertsatz Vertrauen von großer Anzahl von Zufallszahlen (Messungen):

(x µ)2 1 − P (x; µ; σ) = e− 2σ2 √2πσ

Im Intervall: µ 1σ 68% µ ± 2σ 95% µ ± 3σ 99, 7% ± Mathematischer Einschub:

f = f(x1, x2, . . . , xN ) ∂f f(x , x , . . . , x + ∆x, . . . , x ) f(x , x , . . . , x ) Die Ableitung = lim 1 2 i N − 1 2 N heißt partielle Ableitung ∂x ∆x 0 ∆x i #→ ' ( nach xi (analog xN ).

Beispiel:

x v(x, t) = t ∂v 1 ∂v x = ; = ∂x t ∂t −t2 1.2.2 Fehlerfortpﬂanzung Beispiel:

x ∂v 2 ∂v 2 v = ; σ = σ2 + σ2 t v ∂x x ∂t t !' ( ' (

10 1.3. PHYSIKALISCHE GROSSEN/EINF¨ UHR¨ UNG IN DIE VEKTORRECHNUNG

Es sei t = 15 s, σt = 0, 5 s, x = 100 m und σx = 10 cm. Damit ergibt sich: m m v = 6, 6 0, 2 s ± s Allgemein gilt:

∂G 2 σ = σ2 G $ ∂x xi % i ' i ( %# & Statistischer und systematischer Fehler werden getrennt behandelt. Die Alternative ist folgende einfachere Rechnung (Gr¨oßtfehler-Addition). f(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z)

Das 1.Glied der mehrdimensionalen Taylor-Entwicklung lautet:

∂f ∂f ∂f ∆f = ∆x + ∆y + ∆z ∂x ∂y ∂z ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Beispiel:) ) ) ) ) )

R = xaybzc

∂R a 1 b c ∂R b b 1 c = ax − y z ; = x y − z ∂x ∂y Damit folgt:

R R R ∆R = a ∆x + b ∆y + c ∆z x y z ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Fur¨ den) relativ) en )Fehler) ergibt) sic)h: ∆R ∆x ∆y ∆z = a + b + c R | | x | | y | | z

Darstellung:

Wert=(Bestwert Unsicherheit) Maßeinheit ± · Signiﬁkante Stelle: m g = (9, 82 0, 02) ± s2 m g = (9, 8 0, 2) ± s2 1.3 Physikalische Gr¨oßen/Einfuhrung¨ in die Vektorrechnung

Skalare: ✵ Wie schwer ist etwas? Angabe der Masse m

✵ Wie lang ist etwas? Angabe der L¨ange l

✵ Wie komme ich nach Munc¨ hen? Die Angabe der Entfernung ( 200 km) reicht NICHT! Man muß auch noch die Richtung wissen! Infolge- ≈ dessen ben¨otigt man Vektoren.

11 KAPITEL 1. EINLEITUNG

Vektoren: Unter anderem k¨onnen Verschiebungen durch Vektoren dargestellt werden. Außerdem werden beispielsweise folgende Gr¨oßen durch Vektoren angegeben:

⃗r

⃗v ⃗a F⃗ p⃗ ⃗e

Addition: ✵ Kommutativgesetz: ⃗a +⃗b = ⃗b + ⃗a ✵ Assoziativgesetz: ⃗a + (⃗b + ⃗c) = (⃗a +⃗b) + ⃗c

✵ Neutrales Element (⃗o =∧ Nullvektor): ⃗a + ⃗o = ⃗o + ⃗a = ⃗a ✵ Inverses Element: ⃗a + ( ⃗a) = ⃗a ⃗a = ⃗o − − Unter der Identit¨at versteht man einen Vektor mit gleicher L¨ange (BETRAG) und gleicher Richtung.

Zusammenfassung: a.) Vektoren im 2d:

ax ⃗a ax⃗c + ayd⃗ ax⃗ex + ay⃗ey [ax, ay] ≡ ≡ ≡ ≡ ay ' (

Fur¨ den Betrag (L¨ange) eines Vektors im Zweidimensionalen ergibt sich:

a = ⃗a = a2 + a2 | | x y " Die Betr¨age der normierten Basisvektoren der Ebene ist gleich 1:

⃗e = ⃗e = 1 | x| | y| Fur¨ die Normierung eines allgemeinen Vektors ⃗a ergibt sich: ⃗a ⃗a0 = = 1 ⃗a | | ⃗a ⃗a0 = | | = 1 | | ⃗a | | In Polarkoordinaten kann man die x- und y-Komponente eines Vektors folgendermaßen formulieren:

ax = a cos θ

ay = a sin θ

12 1.3. PHYSIKALISCHE GROSSEN/EINF¨ UHR¨ UNG IN DIE VEKTORRECHNUNG

cos θ ⃗a = ⃗a | | sin θ ' ( Damit l¨aßt sich der Vektor ⃗a schreiben als:

⃗a = a cos θ ⃗e + a sin θ ⃗e · x · y Bei Addition zweier Vektoren ⃗a und ⃗b addieren sich deren Komponenten einzeln:

⃗a +⃗b = ax⃗ex + ay⃗ey + bx⃗ex + by⃗ey = (ax + by)⃗ex + (ay + by)⃗ey

2 2 ⃗a +⃗b = (ax + bx) + (ay + by) ) ) " ) ) a + b ⃗a) +⃗b =) x x a + b ' y y ( Bei Multiplikation eines Vektors ⃗a mit einer Konstante n werden die einzelnen Komponenten von ⃗a mit n multipliziert.

na n ⃗a = x · nay ' (

⃗a +⃗b + ⃗c + d⃗ = (ax + bx + cx + dx)⃗ex + (ay + by + cy + dy)⃗ey b.) Vektoren im 3d: Analog gilt dies fur¨ Vektoren im R3:

a = ⃗a = a2 + a2 + a2 | | x y z " ⃗a = axex + ayey + azez

⃗a = [ax, ay, az]

ax a1 a oder a ⎛ y⎞ ⎛ 2⎞ az a3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ax bx ax + bx ⃗a +⃗b = a + b = a + b ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ ⎛ y y ⎞ az bz az + bz Fur¨ die ⎝S-Multiplik⎠ ⎝ ation⎠ (Sk⎝alar V⎠ektor) ergibt sich: ·

sax s ⃗a = sa · ⎛ y⎞ saz ⎝ ⎠ ax bx ⃗a ⃗b = a b ⃗a ⃗b cos θ = a b + a b + a b ◦ ⎛ y⎞ ◦ ⎛ y⎞ ≡ | | · | | · x x y y z z az bz a ⃗e b⎝⃗e +⎠a ⃗e⎝ b⎠⃗e + a ⃗e b ⃗e + . . . + a ⃗e b ⃗e = a b ⃗e ⃗e +a b ⃗e ⃗e +a b ⃗e ⃗e x x · x x x x · y y x x · z z z z · z z x x · x · x y y · y · y z z · z · z 1 1 1 c.) Produkte von Vektoren: . /0 1 . /0 1 . /0 1

✵ Inneres Produkt “ (Skalarprodukt) ”◦ ⃗a ⃗b = a b + a b + a b = ⃗a ⃗b cos ϕ ◦ x x y y z z | | ) ) ) ) Hieraus ergibt sich also ein Skalar.) )

Kommutativgesetz:

⃗a ⃗b = ⃗b ⃗a ◦ ◦ 13 KAPITEL 1. EINLEITUNG

Distributivgesetz:

⃗a (⃗b + ⃗c) = ⃗a ⃗b + ⃗a ⃗c ◦ ◦ ◦

Orthogonalit¨at:

Wenn a b ist, gilt ⃗a ⃗b = 0. Bei Gleichheit der Vektoren (⃗a = ⃗b) erhalten wir: ⊥ ◦ ⃗a 2 = ⃗a ⃗a cos 0 = ⃗a 2 = a2 | | | | · | | · | | ✵ Außeres¨ Produkt “ (Vektorprodukt) ”×

⃗ ⃗a b a b sin θ ⃗e⃗a ⃗b × ≡ · · · × Es ergibt sich also ein Vektor, der senkrecht sowohl auf ⃗a als auch auf ⃗b steht. ⃗ ⃗e⃗a ⃗b ⃗a, b × ⊥

Beispiel fur¨ Skalarprodukt:

Arbeit=Kraft Weg ◦ W = F⃗ L⃗ = F⃗ L⃗ cos ϕ ◦ | | · | | ·

14 1.3. PHYSIKALISCHE GROSSEN/EINF¨ UHR¨ UNG IN DIE VEKTORRECHNUNG

Beispiel fur¨ Vektorprodukt:

Drehmoment=Radius Kraft × M⃗ = ⃗r F⃗ × M⃗ = ⃗r F⃗ = ⃗r F⃗ sin ϕ | | | × | | | · | |

15 KAPITEL 1. EINLEITUNG

16 Kapitel 2

Klassische Mechanik

2.1 Mechanik von Massenpunkten 2.1.1 Bewegung in einer Dimension a.) Generell:

m ✵ Geschwindigkeit : s 2 3 x(t + ∆t) x(t) v = − ⟨ ⟩ ∆t x(t + ∆t) x(t) dx v(t) = lim − = ∆t 0 ∆t dt #→ Umgekehrt folgt:

x2 = x1 + v(t) dt

t41 m ✵ Beschleunigung : s2 2 3 v(t + ∆t) v(t) a = − ⟨ ⟩ ∆t dv d2x a(t) = = dt dt2 b.) Spezialfall 1 Unbeschleunigte Bewegung: a(t) = 0

17 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

v(t) = v const. 0 ≡ x(t) = x + v t 0 0 · v(t) = v0 a(t) = 0

c.) Spezialfall 2: Konstante Beschleunigung

a(t) = a0 = const.

v(t) = a t + v 0 · 0 1 x(t) = a t2 + v t + x 2 0 0 · 0

Beispiel: Fallender Stein:

a(t) = g − v(t) = g t (v = 0) − · 0 1 x(t) = gt2 + h −2

✵ Fallzeit :

g x(t) = t2 + h 2h −2 t1 = x(t1) = 0 5 ⇒ ! g

✵ Bestimmung von g: 2h Man messe t1, h. Daraus folgt nun g = 2 . t1

18 2.1. MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

✵ Zahlenbeispiel: Unfall in der Stadt km Jemand fahre mit 50 h gegen die Wand!

m v = 13, 9 s Vergleiche mit Fall aus H¨ohe h = 9, 9 m.

v g v2 Aus t = folgt h = t2 = g 2 2g 6 7

Beispiel: Kind spielt Ball:

19 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

2.1.2 2-dimensionale Bewegung

x(t) ⃗r(t) = x(t)⃗e + y(t)⃗e y(t) { x y} ' ( dx d2x 2 vx(t) dt d⃗r ax(t) dt2 d⃗v d ⃗r ⃗v(t) = = dy = ⃗a(t) = = d2y = = vy(t) dt ay(t) dt dt2 ' ( ' dt ( ' ( 8 dt2 9

Beispiel: Fall vertikal/mit horizontaler Bewegung

0 2h 1.) ⃗r(t) = t t(y = 0) = g t2 + h ⇒ 1 ≡ g '− 2 ( !

v0 t 2h 2.) ⃗r(t) = g · t1 t(y = 0) = t2 + h ⇒ ≡ g '− 2 ( !

2h l = v0 t = v0 · · ! g

2.1.3 Dreidimensionale Bewegung

dvx ax(t) dt 2 2 dx df dvy d⃗v d ⃗r(t) d ⃗r x˙, f ′ ⃗a(t) = a (t) = = = dt ≡ dx ≡ ⎛ y ⎞ ⎛ dt ⎞ dt dt2 ≡ dt2 a (t) dvz 6 7 z dt ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ vx(t) x(t) ⃗v(t) = v (t) , ⃗r(t) = y(t) ⎛ y ⎞ ⎛ ⎞ vz(t) z(t) Auch hier⎝ ist ⎠die Bewegung⎝ in⎠x, y, z-Richtung unabh¨angig!

Beispiel:

x(t) x0 + vxt y(t) = y0 + vyt ⎛z(t)⎞ ⎛z + v t g t2⎞ 0 z − 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

20 2.1. MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

Beispiel: Aﬀe im Baum

}

✵ Bahn des Aﬀen :

g 2 xA ⃗rA(t) = ⃗rA t ⃗ey = g 2 − 2 · yA t ' − 2 ( ✵ Bahn der Kugel:

g 2 v0x t ⃗rK (t) = ⃗v0(t) t ⃗ey = · g 2 − 2 v0yt t ' − 2 (

Fur¨ t = tA triﬀt die Kugel den Aﬀen:

⃗rA(tA) = ⃗rK (tA)

Es gilt somit:

x = v t A 0x · A g g y t2 = v t t2 A − 2 A 0y A − 2 A

21 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

Damit folgt: y v A = 0y = tan α xA v0x Dies ist eine wahre Aussage. Der Aﬀe ist wohl kein guter Physiker, da er von der Kugel getroﬀen wird.

2.1.4 Sonderfall Kreisbewegung

⃗r(t), ⃗v(t), ⃗a(t) ¨andern sich laufend!

Einfuhrung¨ von Polarkoordinaten:

x(t) cos θ(t) ⃗r(t) = = r r = ⃗r(t) = const. (> 0) y(t) · sin θ(t) | | ' ( ' ( ⃗r(t) = r ⃗e (t) · r d(cos θ(t)) d⃗r dt dθ(t) sin θ(t) dθ ⃗v(t) = = r = r − = r ⃗eθ(t) dt d(sin θ(t)) dt cos θ(t) dt 8 dt 9 ' (

Kettenregel: df(g(x)) dg(t) df = dt dt · dg dθ cos(θ(t) + π ) ⃗v(t) = r 2 dt sin(θ(t) + π ) ' 2 ( ⃗v ⃗r ⇒ ⊥ 2 d2θ sin θ(t) dθ cos θ(t) ⃗a(t) = r − + r − dt2 cos θ(t) dt · sin θ(t) ' ( ' ( '− ( Produktregel: d(f g) dg df · = f + g dt · dt · dt d2θ dθ 2 ⃗a(t) = r ⃗e (t) r ⃗e (t) = ⃗a (t) + ⃗a (t) dt2 · θ − dt r θ r ' ( ⃗aθ(t) =∧ Tangentialbeschleunigung

⃗ar(t) =∧ Zentripetalbeschleunigung

22 2.1. MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

2.1.5 Sonderfall: Konstante Kreisbewegung

⃗r(t) = r const. | | ≡ ⃗v(t) = v const. | | ≡ dθ dθ v = r ⃗e = r · dt · θ dt ) ) ) ) d)θ v ) ) = (Wink) elgeschwindigkeit) ⇒ dt r v θ(t) = t + θ ⇒ r · 0 Mit der Umlaufzeit T folgt: 2πr v = ω r; ω Winkelgeschwindigkeit/Kreisfrequenz (ω = 2π ν) T ≡ · ≡ · Damit ergibt sich:

θ(t) = ω t + θ · 0 cos(ωt + θ ) ⃗r(t) = r 0 · sin(ωt + θ0) ' ( sin(ωt + θ ) ⃗v(t) = r ω − 0 · · cos(ωt + θ0) ' ( cos(ωt + θ ) ⃗a(t) = r ω2 − 0 · · sin(ωt + θ0) '− ( Zentripetalbeschleunigung (Tangentialbeschleunigung=0)

In Skalaren:

⃗r(t) = r | | ⃗v(t) = v = r ω | | · v2 v ⃗a(t) = a = rω2 = mit ω = | | r r r

23 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

Illustration:

Beispiele:

a.) Unsere Geschwindigkeit am Aquator¨

r = 6380 km, T = 24 h 2π 6380 km 2π km m v = r ω = r = · = 1670 = 464 · · T 24 h h s v2 m a = = 0, 034 0, 0034g r s2 ≈ Sie wiegen am Aquator¨ 200 g weniger als am Nordpol! ⇒ b.) Wie kurz w¨are der kurzeste¨ Tag, bei dem Sie noch nicht abheben?

4π2 a = g = rω2 = r r T 2 r T = 2π = 1, 4 h ⇒ g : Dies entspricht der Umlaufzeit eines Satelliten im erdnahen Orbit.

24 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

2.2 Die Newtonschen Gesetze

dp⃗ dp N1: F⃗ = ⃗o ⃗a = 0 = ⃗o mit F = i ⇒ dt dt i # ' ( Solange keine resultierende Kraft auf einen K¨orper wirkt, verbleibt er in seinem Bewegungszustand.

F⃗ N2: ⃗a = (F⃗ = m ⃗a) m ·

Eine Kraft, die auf einen K¨orper mit Masse m einwirkt, fuhrt¨ zu einer Beschleunigung des K¨orpers, die proportional zur Kraft ist.

N3: F⃗ = F⃗ 12 − 21 Zu jeder einwirkenden Kraft gibt es immer eine Gegenkraft.

m [F ] = 1 kg 1 N s2 ≡ Auch: 1 kp = 9, 81 N ( Kilo“) ” Einheiten:

kg m g cm 1 N = 1 · 1 dyn = 1 · s2 s2 m 1 kp = 1 kg 9, 8 = 9, 8 N (Gewicht von 1 kg auf der Erde) · s2 ft 1 lb = 1 slug 1 = 4, 45 N · s2 1 slug = 14, 5 kg ⇒ Beispiel:

Kraft zwischen Sonne und Erde (m = 6 1024 kg): E · 2 2 4π 11 3 m 4 az = ω R = 1, 5 10 m = 6 10− , ( 6 10− g) (1 Jahr)2 · · · s2 ≈ · F = m a = 3, 6 1022 N z E · z · 25 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

2.2.1 Anwendungen von Newtons Gesetzen a.) Kraft am Faden

✵ Seil h¨alt:

F⃗ = m ⃗g mG G · Da sich der Körper im Kräftegleichgewicht befindet, ist die Vektorsumme aller Kräfte gleich 0:

F⃗i = ⃗o i # Die einzigen Kräfte, die auftreten, sind die Gewichtskraft und die Seilkraft. Die Summe aller Kräfte am ruhenden Körper ist gleich Null: ⃗ ⃗ FS + FmG = ⃗o

Damit folgt:

F⃗ = m ⃗g S − G · ✵ Seil reißt:

F⃗ = m ⃗g = m ⃗a i G · T · i # m ⃗a = G ⃗g = ⃗g mT · Tr¨age und schwere Masse sind identisch! ⇒ Aquiv¨ alenzprinzip! ⇒ m = m m G T ≡

26 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE b.) Beschleunigung im elektrostatischen Feld:

✵ Elektrostatische Kraft:

F⃗ = q E⃗ q ·

✵ Kraft auf Elektron:

F = e E = m a e · e− · e− ✵ Kraft auf Antiproton:

F = e E = m a e · p · p

a m e− = p 2000 ⇒ ap me− ≈ c.) Aufh¨angung an schr¨ager Rampe

Die allgemeine Betrachtung liefert:

F⃗i = F⃗N + F⃗S + m⃗g = ⃗o i # 27 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

✵ Körper ist punktförmig. ✵ Alle Kräfte, die auf Körper wirken, einzeichnen! ✵ Definiere optimales Koordinatensystem! ✵ Wenn nicht spezifiziert, wird Reibung vernachlässigt.

Die Kr¨afte werden komponentenweise betrachtet: ✵ x-Richtung:

F mg sin α = 0 S − ✵ y-Richtung:

F mg cos α = 0 N − Dann ergibt sich folgende L¨osung:

FS = mg sin α; FN = mg cos α

d.) Bewegung eines reibungsfreien Klotzes

28 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

⃗ ⃗ FN + FS1 + m1⃗g = m1a⃗1 ⃗ FS2 + m2⃗g = m2a⃗2 Vektoriell geschrieben lautet die Kräftebilanz: F m a 0 0 0 S1 = 1 1 und + = F m g 0 F m g m a ' N − 1 ( ' ( ' S2 ( '− 2 ( '− 2 2( Wir betrachten nun die Kräfte komponentenweise und erhalten somit: ① 1.Körper: y-Richtung: F m g = 0 N − 1 x-Richtung: FS1 = m1a1 ② 2.Körper: y-Richtung: F m g = m a S2 − 2 − 2 2 Die beiden Körper erfahren die gleiche Beschleunigung, außerdem sind die beiden Seilkräfte gleich groß. ⃗a = ⃗a = a | 1| | 2| F⃗ = F⃗ | S1 | | S2 | m1a m2g = m2a ⇒ − m − a = 2 g ⇒ m1 + m2 0 ⃗a = ⇒ m2 g '− m1+m2 (

Diskussion:

m1 = 0 : a = g m : a g 2 ,→ ∞ ,→ m : a 0 1 ,→ ∞ ,→ m 2m : a 2a 2 ,→ 2 ,→ e.) Eisenbahn

29 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

✵ 3.Waggon: ⃗ ⃗ FN3 + m3⃗g + FS3 = m3⃗a ✵ 2.Waggon:

F⃗ + m ⃗g F⃗ + F⃗ = m ⃗a N2 2 − S3 S2 2 ✵ 1.Waggon:

F⃗ + m ⃗g F⃗ + F⃗ = m ⃗a N1 1 − S2 S1 1 Die Kr¨afte in vertikaler Richtung, also die und die gleichen sich aus. Infolgedessen sind nur noch die waagerechten Kr¨afte von Bedeutung. Wir addieren die drei Gleichungen und erhalten so

⃗ FZ FS1 = (m1 + m2 + m3) a mit a = · m1 + m2 + m3

Fur¨ die anderen Seilkr¨afte folgt:

a.) FS3 = m3a

b.) FS2 = m3a + m2a

30 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

F⃗ F⃗ + m ⃗g + F⃗ = m ⃗a Z − S1 Z NZ Z f.) Die Geschichte vom faulen Pferd

Fur¨ das Pferd gilt folgendes:

F⃗ = ⃗o ⃗a = ⃗o i ⇒ i # F⃗ = F⃗ + F⃗ + F⃗ + m⃗g = ⃗o = m⃗a i − S P N i # h.) Schubkräfte Welche Kräfte wirken auf die Klötze? ✵ Klotz ①: ⃗ ✴ Normalkraft FN1 ✴ Gewichtskraft F⃗ = m ⃗g m1 1 · ✴ Druckkraft F⃗ − D ✵ Klotz ②: ⃗ ✴ Normalkraft FN2 ✴ Gewichtskraft F⃗ = m ⃗g m2 2 · ✴ Druckkraft F⃗D Die Schubkraft F⃗ wirkt auf das ganze System bestehend aus den beiden Klötzen.

1.) Beschleunigende Kraft F⃗ wirkt direkt auf Klotz ①

Die Kr¨aftebilanz fur¨ das gesamte System lautet:

F⃗ + m ⃗g F⃗ + F⃗ + m ⃗g + F⃗ + F⃗ = ⃗a(m + m ) 1 − D N1 2 D N2 1 2 Speziell fur¨ den Klotz ② erhalten wir:

F⃗ + m ⃗g + F⃗ = ⃗a m N2 2 D · 2 Die relevanten Komponenten sind diejenigen in x-Richtung:

Fx FDx = axm2 mit ax = m1 + m2 31 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

Damit ergibt sich also:

m2 FDx = Fx · m1 + m2

Diese Kraft ist gleich der Kraft F⃗2x, mit welcher der zweite Klotz beschleunigt wird. 2.) Beschleunigende Kraft F⃗ wirkt direkt auf Klotz ②

F = F⃗ ⃗e x −| | · x a = ⃗a ⃗e x −| | · x Damit ergibt sich fur¨ die Kraft F⃗Dx auf den ersten Klotz:

Fx FDx = m1ax mit ax = m1 + m2 Damit gilt also:

m1 FDx = Fx · m1 + m2

h.) Kr¨afte im Aufzug

1. Aufzug steht:

F⃗N + m⃗g = ⃗o F = m g N · 2. Aufzug beschleunigt:

F⃗N + m⃗g = m⃗a y-Richtung: F mg = ma N − ✵ Beschleunigung nach oben: a > 0 F⃗ = m (g + a) N · ✵ Beschleunigung nach unten: a = ⃗a −| | F⃗ = m (g ⃗a ) N · − | | Spezialfall: a = g : FN = 0

32 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

2.2.2 Das Federpendel Bis jetzt kennen wir:

F = m g Gravitationskraft ·

F = FN Normalkraft

F = FZ Zugkraft

F = FD Schubkraft

Bis jetzt waren Kr¨afte konstant. Damit galt die Bewegungsgleichung: ⃗a ⃗r(t) = t2 + v⃗ t + r⃗ 2 0 0 Als Beispiel fur¨ eine Kraft, die nicht konstant ist, wollen wir die Federkraft n¨aher betrachten:

33 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

Das sogenannte Hookesche Gesetz lautet:

F⃗ = k⃗x mit k =∧ Federkonstante F −

Es ergibt sich folgende Beschleunigung:

F kx a = F = F m − m

a.) Bewegungsgleichung:

d2x(t) k a(t) = = x(t) dt2 −m · Diﬀerentialgleichung 2.Ordnung

Wir verw. enden /0zur L¨osung1 folgenden Ansatz:

x(t) = x0 cos(ωt + θ0)

Wir setzen dies in die Gleichung ein: k x¨(t) = ω2x cos(ωt + θ ) = x cos(ωt + θ ) − 0 0 −m 0 0

k ω = ⇒ :m Wir haben folgende Randbedingungen:

x(t = 0) = x0

= x0 cos(θ0)

θ = 0 ⇒ 0 Die L¨osung lautet dann:

k x(t) = x0 cos t 8:m 9

34 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

2π Aus ω = 2πν = T folgt:

2π m T = = 2π ω k : b.) Anwendung: Gewichtsmessung

F⃗F + m⃗g = ⃗o

Betrachten wir die y-Komponente:

ky = mg − Damit ergibt sich: mg y = − k Damit folgt das Gewicht des Massestuc¨ ks:

mg = ky

35 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

2.2.3 Reibung

① Haftreibung f⃗H (vrel = 0) Verklebung“ zweier K¨orper durch Rauhigkeit oder elektrostatische Kr¨afte ”

② Gleitreibung f⃗G (vrel > 0) ③ (Reibung durch Viskosit¨at)

a.) Illustration :

f = µ F H H · N µ =∧ Reibungskoeﬃzient ⎫ f = µ F G G · N ⎬

Allgemein gilt µH⎭> µG.

F⃗ + f⃗ + F⃗ + m⃗g = m⃗a F⃗ > f⃗ G N | | | G| 2 3 F⃗ + f⃗ + F⃗ + m⃗g = ⃗o F⃗ f⃗ H N | | ≤ | H | Betrachten wir außerdem folgenden2 Sonderfall3 :

F⃗ + f⃗G + F⃗N + m⃗g = ⃗o

Fur¨ F⃗ = f⃗ gleitet der K¨orper mit konstanter Geschwindigkeit. − G b.) Beispiel:

36 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

x-Richtung: mg sin α + f = 0 − H y-Richtung: F mg cos α = 0 N − f = mg sin α ⇒ H F = mg cos α ⇒ N Mit f = F µH und µH = tan α, wobei α der maximal m¨ogliche Wert ist (bevor m gleitet). H N ·

Holz auf Holz : µH = tan 26◦ = 0, 49 µG = tan 10◦ = 0, 18

Sandpapier auf Holz: µH = tan 33◦ = 0, 65 µG = tan 28◦ = 0, 53

2.2.4 Rotationsdynamik Ehedem: Kinematik der Drehbewegung

Es wirkt die Zentripetalkraft:

F⃗ = m ⃗a z · z Es gilt fur¨ die Beschleunigung:

F⃗ ⃗a = z z m Damit folgt dann fur¨ die Bewegungsgleichung:

2 cos(ωt + φ0) ⃗az(t) = ω R mit ω =∧ Kreisfrequenz − sin(ωt + φ0) ' ( Durch zweimalige Integration nach t erhalten wir ⃗r(t):

cos(ωt + φ ) ⃗r(t) = R 0 · sin(ωt + φ0) ' ( 37 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

F Mit ⃗a = ω2R = z resultiert: | z| m

F ω = z m R : · Damit folgt also schließlich:

Fz Fz cos t + φ0 sin t + φ0 mR Fz − mR ⃗r(t) = R ⎛ ' (⎞ und ⃗v(t) = R ⎛ ' (⎞ · " · mR · " sin Fz t + φ : cos Fz t + φ ⎜ mR 0 ⎟ ⎜ mR 0 ⎟ ⎜ ' (⎟ ⎜ ' ( ⎟ ⎝ " ⎠ ⎝ " ⎠ Beispiele: a.) Drehpendel

m⃗g + F⃗Zug = m⃗az

x-Richtung: FZug sin α = maz a = g tan α = ω2R = ω2l sin α ⎫ z · y-Richtung: FZug cos α = mg ⎬ Hiermit folgt fur¨ die Kreisfrequenz⎭ ω und der Periodendauer T :

g ω = l cos α :

l cos α T = 2π ! g

Diskussion:

l Fur¨ α 0◦ resultiert T 2π . Es handelt sich also um die Periodendauer eines Pendels. ,→ ,→ !g

38 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

Projektion:

α 90◦ ,→ T 0 ,→

b.) Auto im Winter

m⃗g + F⃗N = m⃗az

Betrachten wir folgendes Zahlenbeispiel: km v = 200 , R = 1 km, α = ? h

39 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

x-Richtung: ma = F sin α z − N = mg tan α − Hiermit haben wir folgende Beschleunigung:

v2 a = g tan α = z − − R

2 103 m2 v2 200 3600 s2 tan α = = · = 0, 315 R g 21000 m 9,381 m · · s2 Damit ergibt sich folgender Winkel:

α = 17, 5◦

c.) Straße mit Reibung

f⃗H + F⃗N + m⃗g = m⃗az

f v2 x-Richtung: a = H = µ g = z m H · R Damit folgt fur¨ die Geschwindigkeit:

v = R µ g · H · @ Solange v √R µ g rutscht das Auto nicht! Wenn v > √R µ g beginnt es zu rutschen! ≤ · H · · H ·

40 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

2.2.5 Arbeit und Energie (Oder seit Adam und Eva das Paradies verlassen mußten) Arbeit Kraft Weg ≡ × Einfachster Fall:

A = F d ·

A = F d S · Genereller:

A = F⃗ d⃗ ·

A = F d = F⃗ d cos α Zugx · Zug · · ) ) Allgemein: ) )

A = ∆A = F⃗ ∆r⃗ ⃗a ⃗b i i · i #→ i i # # ⃗b F⃗ (⃗r) d⃗r ⇒ 4⃗a

⃗b

A = (Fx dx + Fy dy + Fz dz) 4⃗a 41 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

m2 [A] = 1 kg 1 Nm s2 ≡ 1 Joule ≡ 1 Ws ≡ Illustration: a.) Klettern auf Stufe (v=const.) F⃗ + m⃗g = ⃗o F = mg

0 0 A = F⃗ ⃗h = = m g h · mg · h · · ' ( ' ( Professor Muller¨ steigt die Stufe hinauf: m A = 0, 5 m 9, 81 80 kg = 392 Nm = 392 Ws · s2 · Mit dieser Arbeit kann man eine 40 W-Gluh¨ birne 10 s leuchten lassen! b.) Schiebe Kiste (v =const.)

F⃗N + m⃗g + F⃗S + f⃗G = ⃗o Kraft, die Arbeit leistet: F⃗ = f⃗ S − G A = F⃗ d⃗ = f (b a) S · G · − c.) Dehnung einer Feder

x-Richtung: F = k x Zug · 42 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

F = k x Zug ·

b k A = kx dx = b2 2 40 d.) Schiebe Schaukel an:

Keine Beschleunigung:

F⃗Zug + F⃗ + m⃗g = ⃗o ✵ x-Richtung:

F F sin α = 0 − Zug ✵ y-Richtung:

F cos α mg = 0 Zug −

43 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

F = F sin α = m g tan α ⇒ Zug · · ⃗b ⃗b ⃗b A = F⃗ (⃗r) d⃗r = (F dx + F dy + F dz) = m g tan α dx x y z · · · 4⃗a 4⃗a 4⃗a dy Mit tan α = dx folgt:

⃗b by dy A = mg dx = mg dy = mg (b a ) = m g h dx · y − y · · 4⃗a a4y

⃗b ① Arbeit A = F⃗ d⃗r P 4⃗a Die Arbeit in konservativen Kraftfeldern ist unabh¨angig vom Weg:

⃗b ⃗b ⃗a A = F⃗ d⃗r = F⃗ d⃗r = F⃗ d⃗r P1 P2 − 4⃗a 4⃗a 4⃗b

A⃗a ⃗a = F⃗ d⃗r = 0 #→ A

Beispiele:

✵ (Homogenes) Gravitationsfeld

b A = mg dy = mg(b a) − 4a

44 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

A⃗b ⃗a = + mg dy = mg(b a) #→ − − 4b

A⃗a ⃗a = 0 #→ ✵ Federkraft F = kx (Hookesches Gesetz) −

Fur¨ die Zugkraft ergibt sich:

FZug = +kx

b a 1 2 2 Aa b = kx dx = k(b a ) = kx dx = Ab a #→ 2 − − − #→ 4a 4b ✵ Nicht konservative Kraft: Reibung

Aa b = fG dx = fG(b a) #→ − 4a

Ab a = fG dx = fG(b a) = Aa b #→ − − #→ 4b Das heißt:

Aa a = f⃗G d⃗r = 0 #→ ̸ A 45 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

Deﬁnition von konservativen Kr¨aften:

Die Kraft ist konservativ, wenn es eine skalare Funktion gibt, fur¨ die gilt:

F⃗ (⃗r)= ⃗ V (⃗r) −∇ Nabla (arab.Pfeil) ./01 ∂ ∂x ∂ ⃗ ∧ ∂y (∂ = partielle Ableitung ) ∇ ≡ ⎛ ∂ ⎞ ∂z ⎝ ⎠ ∂ ∂x dx ⃗ ∂ A⃗a ⃗a = F d⃗r = ∂y V (⃗r) dy = #→ − ⎛ ∂ ⎞ ⎛dz⎞ A A ∂z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ d⃗r

ax ay az ∂ ∂ . /0 1 ∂ = V (⃗r) dx V (⃗r) dy V (⃗r) dz = − ∂x − ∂y − ∂z a4x a4y a4z = V (a ) V (a ) + V (a ) V (a ) + V (a ) V (a ) = 0 − x − x y − y z − z ② Kinetische BEnergie: C Wenn resultierende Kraft Arbeit leistet (F⃗ = m⃗a), bekommt das Objekt kinetische Energie:

⃗b ⃗b ⃗b v⃗b d⃗v(t) 1 A = F⃗ d⃗r = m ⃗a(⃗r, t) d⃗r = m d⃗r = m⃗v d⃗v = m(v2 v2) = E (⃗b) E (⃗a) · dt 2 b − a k − k 4⃗a 4⃗a 4⃗a v4⃗a

③ Potentielle Energie: Potentielle Energie ist gespeicherte Energie, die vollst¨andig umgewandelt werden kann in kinetische Ener- gie.

⃗b A = F⃗ d⃗r = E (⃗b) E (⃗a) p − p 4⃗a

Energieerhaltungssatz: Die Summe aller Energien in einem abgeschlossenen System ist konstant. (Spezialfall: reibungslose mechanische Energie)

E = Ek(⃗a) + Ep(⃗a) = Ek(⃗b) + Ep(⃗b) = const.

∆E = ∆E + ∆E = 0 ⇒ k p Illustrationen und Beispiele: a.) Fallender Gegenstand

1 E = E (a) + E (a) = m g h + 0 = E (b) + E (b) = 0 + mv2 p k · · p k 2 46 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

Damit ergibt sich folgende Geschwindigkeit:

v = 2gh @ b.) Beschleunigung eines Gleiters

1 1 E = m gh + 0 = m gh + m v2 + m v2 2 a 2 b 2 2 2 1 Hiermit folgt:

2m g (h h ) v = 2 a − b ! m2 + m1

Betrachten wir wiederum folgendes Zahlenbeispiel:

h = h h = 1, 47 m a − b 3 m = 6 10− kg 2 · m1 = 0, 255 kg m v = 0, 81 ⇒ theoretisch s m v = 0, 77 ⇒ experimentell s c.) Kanonenschuß

47 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

Energien:

1 1 E = E (a) + E (a) = mgh + mv2 = E (b) + E (b) = 0 + mv2 p k 2 a p k 2 b v = 2gh + v2 ⇒ b a d.) Illustration:@ Schwingendes Pendel

Ea = mgha 1 E = mv2 + mgh b 2 b b

Ec = mgha

e.) Federkraft

E = E = m g h a · · a 1 E = m g h + mv2 b · · b 2 b

1 E = mgh + kx2 c 2 0 1 m g h = m g h + kx2 ⇒ · · a · · c 2 0

2mg(ha hc) x0 = − ⇒ : k 48 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

Energiediagramme: 1.) Federpotential:

E = Ek + Ep = const.

2.) Gravitationspotential:

Gm m E (r) = 1 2 p − r

3.) Elektrostatisches Potential:

49 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

q1q2 Ep(r) = −4πϵ0r

✵ Bisher: Es galten die Gesetze der Erhaltung mechanischer Energie, d.h. wir verzichteten auf dissipative Kr¨afte. ⃗ ⃗ E = Ep(⃗a) + Ek(⃗a) = E(b) + Ek(b) = const.

∆E = ∆Ep + ∆Ek = 0

✵ Jetzt: Die innere“ Energie ist eine Art Arbeit, welche nicht vollst¨andig in kinetische Energie (im allgemeinen ” mechanische Arbeit) zuruc¨ kgewandelt werden kann.

Beispiel: Fur¨ Reibung, W¨armeenergie, Verformungsenergie, innere“Energie gilt: ”

Etot = Ep(⃗a) + Ek(⃗a) = Ep(⃗b) + Ek(⃗b) + EIN

⃗ F2 F⃗IN d⃗r − ⃗ F.1 /01 !

50 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

Rechenbeispiel: Achterbahn mit Looping }

a.) Ohne innere Energie“ ” A.) E = m g h + 0E A · · 1 B.) E = 0 + mv2 B 2 0 1 C.) E = m g (2R) + mv2 C · · 2 1 Hiermit folgt:

v0 = 2gh

v = @2gh 4gR 1 − @ Zahlenbeispiel:

Es sei h = 60 m, R = 20 m und m = 600 kg. Damit ergeben sich folgende Geschwindigkeiten: m v 34, 29 0 ≈ s m v 19, 8 1 ≈ s b.) Jetzt wollen wir auf der Strecke d bremsen. (REIBUNG AN!) A.) E = m g h + 0 + 0 A · · 1 B.) E = 0 + mv2 + 0 B 2 0

x0+d 1 D.) E = 0 + mv2 + f dx D 2 2 G x40

⃗r2 x0+d E = f⃗ d⃗r = f dx IN − g − − G ⃗r41 x40

Zahlenbeispiel:

Mit d = 40 m und µ = 0.5 erhalten wir:

2fGd m v2 = 2gh = 2gh 2µgd 28 (mit fG = m g µ) : − m − ≈ s · · @ 51 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

Zentral: Energieerhaltung Die Energie E ist eine mengenartige Gr¨oße. Energietransformationen in einem geschlossenen System:

Etot = Ep + Ek + EIN = const.

∆E = ∆Ep + ∆Ek + ∆EIN = 0

Beispiel:

1 1.) E = m g y + kd2; E = 0; E = 0, E = 0 tot · · 1 2 k IN1 IN2 1 2.) E = m g y + mv2; E = 0, E = 0 tot · · 1 2 0 IN1 IN2 1 3.) m g y + mv2 + E · · 1 2 1 IN1 1 4.) m g y + mv2 + E + E · · 1 2 2 IN1 IN2 5.) m g (y + h) + E + E · · 1 IN1 IN2 Energietransformationen: 1 1 2.) mv2 = kd2 2 0 2 1 1 1 3.) E = mv2 mv2 = m v2 v2 IN1 2 1 − 2 0 2 1 − 0 1 B C 4.) E = m(v2 v2) IN2 2 2 − 1 1 5.) mgh = mv2 2 2 Zu jedem Zeitpunkt (Ort) kann man somit die Bewegung beschreiben.

RECHNEN MIT ENERGIEN IST HAUFIG¨ EINFACHER ALS MIT BEWEGUNGSGLEICHUNGEN ODER KRAFTEN!¨

52 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

Leistung (engl. power):

A P = (Arbeit im Zeitintervall) ⟨ ⟩ t dA kg m2 P = , [P ] = 1 · = 1W dt s3 Nach James Watt (*1736): Entwickler der modernen Dampfmaschine (Auch 1 PS = 735, 4988 W)

Versuch: Wir bestimmen die Leistung des Ubungsgrupp¨ enleiters, H¨ohe: 3m m m g h 80 kg 9, 81 2 3 m 3 PS 3 P = · · = · s · = PS ⟨ ⟩ t t ≈ 5 s 5

Zusammenhang zwischen mechanischer und elektrischer Leistung:

m 1 W = 1 N = 1 VA s Eine Lampe besitzt beispielsweise eine Leistung von 50 100 W. Fur¨ einen Porsche gilt: − 1200 kg, t = 5 s km m v = 0 v = 100 28 ⇒ h s 2 3 2 1 mv2 1 1200 kg 28 m P = 2 = 2 · · s 94 kW = 126 PS ⟨ ⟩ t t B C ≈ Schwerpunkt und Impuls: Bis jetzt haben wir K¨orper nur im geschlossenen System betrachtet. Jetzt wollen wir makroskopische Systeme, in denen N Teilchen miteinander wechselwirken, untersuchen. Unser Interesse gilt der Gesamtbewegung des Systems.

Beispiel:

Unsere Milchstraße besteht aus ungef¨ahr 1010 Sonnen. Jeder Stern hat Eigenbewegung und außerdem bewegt sich das ganze. Also deﬁnieren wir:

✵ Massenmittelpunkt

✵ Schwerpunkt

✵ center of mass (CM)

1 ⃗rCM = ⃗r(m) dm, m = dm fur¨ unendlich viele Teilchen (Sonnen) m 4 4 N mi⃗ri i ⃗rCM = fur¨ N Teilchen DN mi i D ⃗rCM ist der massegewichtete Mittelwert der Ortsvektoren.

53 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

Beispiel 1:

0 2 2 0 m + 2m + 3m + 4m 0 0 1, 5 1, 5 1 ⃗r = ' ( ' ( ' ( ' ( = CM m + 2m + 3m + 4m 1, 05 ' ( Beispiel 2: Erde-Mond

mE⃗rE + mM ⃗rM mE rE + mM rM ⃗rCM = = − = 0, d = rE + rM mE + mM mE + mM Betrachten wir folgendes Zahlenbeispiel:

24 22 mM d mE = 6 10 kg; mM = 7 10 kg rE = · · ⇒ mE + mM

Der Impuls: Geschwindigkeit Masse × kg m [p] = · s p⃗ = ⃗v m gilt sowohl fur¨ Vielteilchensysteme als auch fur¨ massive Körper. · mi⃗ri ⃗r = i m = m CM D m i i i i # D m ⃗r d i i 1 ⃗v = i = p⃗ CM dtDm m · i i # Analog gilt dies fur¨ die Beschleunigung. m ⃗a d 1 i i 1 ⃗a = m ⃗v = i = F⃗ CM dt m i i D m m i i i # # Ohne äußeren Kräfte gilt: Ziehen wir das 1.Newtonsche Gesetz zu Rate:

F⃗ = 0 m ⃗a = ⃗o i ⇒ · CM i # d⃗v dp⃗ m⃗a = m CM = CM CM dt dt 54 2.3. SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

dp⃗ dp⃗ CM = i = 0 oder p⃗ = const. dt dt CM i # Das Gesetz der Impulserhaltung folgt direkt aus Newton.

Wenn keine externen Kr¨afte vorhanden sind, ist die Summe aller Momente im geschlossenen System konstant

Ballistisches Pendel:

m1v1 = (m1 + m2)v2 1 (m + m )v2 = (m + m )g h 2 1 2 2 1 2 ·

v2 = 2gh @m1 + m2 v1 = 2gh m1 @ Da es keine ¨außeren Kr¨afte gibt, ist ⃗rCM erhalten.

2.3 Systeme von Massenpunkten 2.3.1 Schwerpunkt und Impuls (CM=center of mass)

mi⃗ri i ⃗rCM ≡ D mi i D

Fur¨ unendlich viele Teilchen kann man dies verallgemeinern: 1 1 ⃗r = ⃗r dm = ⃗r ρ(⃗r) dV CM M · M · · 4 4

mi⃗vi ⃗v = i ; M ⃗v p⃗ = p⃗ CM DM · CM ≡ CM i i # 55 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

mi⃗ai ⃗a = i ; M ⃗a = F⃗ = F⃗ CM DM · CM CM i i # Der Impulserhaltungssatz:

In einem geschlossenen System ohne resultierende (externe) Kraft ist der Gesamtimpuls erhalten:

dp⃗i F⃗ = ⃗o =∧ = ⃗o i dt i i # #

1. Beispiele, Demonstrationen:

Wenn keine ¨außeren Kr¨afte wirken, ist ⃗rCM erhalten. ODER: WIE ERFAHRE ICH DAS GEWICHT MEINES UBUNGSGR¨ UPPENLEITERS? (funktioniert auch bei Frauen!)

Ricardo, Carmelita in einem Boot:

mR = 80 kg, mC = ?

mB = 30 kg l = 3 m Die beiden tauschen die Pl¨atze. Dabei bewegt sich das Boot um 40 cm.

MxCM = mRxR + mB xB + mC xC

56 2.3. SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

Auch gilt xC = xR + l und mit d = 0, 40 m folgt:

Mx′ = m x′ + m x′ + m x′ = m (x d) + m (x d) + m (x d) = Mx CM R R B B C C R C − B B − C R − CM

mR(l d) mB d mC = − − 57, 6 kg l + d ≈

Beispiel:

Sie stehen auf dem Eis, werfen Schuh von sich:

mSt = 73 kg vCM = 0 m m = 2 kg v = 10 Sch Sch s Keine resultierenden ¨außeren Kr¨afte: p⃗CM = const. = p⃗1 + p⃗2

Hier gilt p⃗CM = ⃗o = mSt⃗vSt + mSch⃗vSch . Wir betrachten die Bewegung in x-Richtung: m v m v = 0 Sch Sch − St St

mSch 2 kg m m vSt = vSch = 10 0, 26 ⇒ mSt 23 kg · s ≈ s

Beispiele:

CM-Bewegung mit externer Kraft:

Betrachte Fall der Kugeln:

57 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

a.) Kugeln kleben zusammen

M = m1 + m2

F⃗ = m ⃗g + m ⃗g = M⃗g = 0 CM 1 2 ̸ d p⃗ = M⃗g ⇒ dt CM 0 0 p⃗ = ;⃗v = CM Mgt CM gt '− ( '− ( 0 ⃗r = CM g t2 + h '− 2 ( b.) Kugeln bewegen sich auseinander:

v t v t ⃗r (t) = 1 ; ⃗r (t) = 2 1 h− g t2 2 h g t2 ' − 2 ( ' − 2 (

m1⃗r1(t) + m2⃗r2(t) 1 m1v1t + m2v2t 0 ⃗rCM (t) = = − g = g M M M h t2 h t2 ' − 2 ( ' − 2 ( (m1v1 m2v2 = 0) B C − 0 ⃗v (t) = CM gt '− ( p⃗ (t) = M ⃗v (t) = M ⃗g t CM · CM · · dp⃗ (t) CM = M ⃗g dt · 2. Systeme mit variierender Masse: Raketen

p⃗ = (m + m ) ⃗v = M v CM R B · 0 · 0

t = t0 + ∆t

58 2.3. SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

p⃗′ = (m ∆M)(⃗v + ∆⃗v) + ∆M ⃗u = CM − 0 · = (M ∆M) (⃗v + ∆⃗v) + ∆M(⃗v + ⃗v ) = − · 0 rel 0 = M⃗v + M∆⃗v ∆M⃗v ∆M∆⃗v +∆M⃗v + ∆M⃗v = p⃗ = M⃗v 0 − 0 − rel 0 CM 0 klein Damit resultiert: . /0 1

M∆⃗v + ∆M⃗vrel = 0 dM d⃗v Fur¨ ∆t 0 : ⃗v +M = 0 ,→ dt rel dt Schubkraft Wir zerlegen dies. /0in Komp1 onenten: dM dv − ⃗v = M dt rel dt

vend dM 1 = dv − M vrel 4 v40

M = mR + mB Damit ergibt sich dann fur¨ die Endgeschwindigkeit:

m + m v = v ln R B + v end rel · m 0 ' R (

Beispiele:

a.) Saturn V (Apollo):

Der Brennstoff dieser Rakete besteht aus Kerosin und flussigem¨ Sauerstoff (O2(l)). m v = 3, 1 107 rel · s

mR + mB = 2450 t (!)

mB = 1700 t Die Brenndauer des Treibstoﬀs betr¨agt 100 s.

Unter Vernachl¨assigung der Gravitation ergibt sich eine Endgeschwindigkeit von: m v = 3700 end s Korrekt ist jedoch: m m m v = 3700 g 100 s = 2700 < 10700 (Fluchtgeschwindigkeit)! end s − · s s Dies ist viel zu wenig! Die L¨osung dieses Dilemmas ist nun die Mehrstufenrakete, bei welcher im

Laufe des Flugs mR reduziert wird!

59 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

b.) Reise zum n¨achsten Stern (α-Centauri): m v =! c = 3 108 end · s ✵ Konventioneller Treibstoﬀ:

m H (l) + O (l) v = 5 103 2 2 → rel · s

5 mR = 10 kg m + m v = v ln R B end rel · m ' R ( Damit gilt:

v m = m exp end 1 B R · v − ' E rel F (

4912 Fur¨ vend = c ergibt sich eine Masse des Brennstoﬀs von 10 kg! Dies geht nicht! ✵ Kernfusion von D + T : m v = 3 107 rel · s m = 2, 2 106 t B · Geht auch nicht! ✵ Antimaterie: a.) Erzeugung:

b.) Vernichtung von Materie und Antimaterie im Raumschiﬀ: Ruc¨ kstoß

+ 0 p + p π π−π (typisch) →

c mB = 100 t exp 1 450 t · c 2 − ≈ ' E · 3 F ( Muß mitgenommen werden zum Bremsen:

c mB = 550 t exp = 2465 t ⇒ · c 2 ' · 3 ( Allerdings wurde bislang nur ca. 0,1 mg an p hergestellt!

60 2.3. SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

2.3.2 Elastische und unelastische St¨oße 1.) Elastische St¨oße: Kinetische Energie vor und nach dem Stoß sind gleich:

Etot = Eki + Epi = Ekf + Epf (i=initial, f=ﬁnal)

Eki = Ekf

2.) Inelastische St¨oße:

E = E Q (Q=innere Energie) kf ki − Beispiele von St¨oßen: 1.) Beim Billard:

2.) Gravitation:

Kraftub¨ ertragung durch Kraftstoß:

∆p⃗1 = p⃗1f p⃗1i = F⃗2 1 dt − #→ t4i

∆p⃗2 = p⃗2f p⃗2i = F⃗1 2 dt − #→ t4i Aus dem 3.Newtonschen Gesetz F⃗ = F⃗ ergibt sich ∆p⃗ + ∆p⃗ = ⃗o und damit: 21 − 12 1 2 p⃗CM = p⃗1i + p⃗2i = p⃗1f + p⃗2f = const.

Dies ist nichts anderes als der Impulserhaltungssatz.

61 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

Spezialfall: Elastischer Stoß

p⃗CM = const. = m1⃗v1i + m2⃗v2i = m1⃗v1f + m2⃗v2f 1 1 1 1 E = const. = m v2 + m v2 = m v2 + m v2 k 2 1 1i 2 2 2i 2 1 1f 2 2 2f

Illustration: Im eindimensionalen Fall gilt:

m (v v ) = m (v v ) 1 1i − 1f 2 2f − 2i 1 1 m v2 v2 = m v2 v2 2 1 1i − 1f 2 2 2f − 2i v1iB+ v1f = vC2i + v2f B C ⇒ v v = v v ⇒ 1i − 2i 2f − 1f Einsetzen ergibt:

m m 2m 2m m m v = v 1 − 2 + v 2 , v = v 1 + v 2 − 1 1f 1i m + m 2i m + m 2f 1i m + m 2i m + m ' 1 2 ( ' 1 2 ( ' 1 2 ( ' 1 2 (

Beispiele:

✵ m1 = m2 (Billard)

v1f = v2i v2f = v1i

✵ m1 = m2 und v2i = 0

v1f = 0 v2f = v1i

✵ m = und v = 0 2 ∞ 2i v = v + v 2 1f − 1i 2i · =0 v2f = 0 . /0 1

✵ m = und v = 0 1 ∞ 2i

v1f = v1i v2f = 2v1i

Inelastischer Stoß: p⃗ = const., E = const.! CM CM ̸ 1 1 E = E + E = m v2 + m v2 = E + E + Q (Q U “) tot k1i k2i 2 1 1i 2 2 2i k1f k2f ≡ ” int 1 1 = m v2 + m v2 + Q 2 1 1f 2 2 2f

62 2.3. SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

Illustration: Eindimensional, total inelastisch:

Der Impuls ist erhalten:

m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf = pCM (= const.)

m1v1i + m2v2i vf = ⇒ m1 + +m2

Beispiel fur¨ Energie/Impulserhaltung: Man hat β-Zerf¨alle untersucht:

Hierbei wurde festgestellt, daß p⃗Ki > p⃗Kf + p⃗e− . Die L¨osung des Problems ist nun folgende:

Postulat von Pauli (1933): Neutrino

Fur¨ die Energie bei einem total inelastischen Zusammenstoß gilt jedoch: 1 1 1 E = m v2 + m v2 = (m + m )v2 + Q tot 2 1 1i 2 2 2i 2 1 2 f

1 m1m2 2 Q = (v1i v2i) ⇒ 2 m1 + m2 −

Allgemeine Anwendung von St¨oßen:

Aus der Bewegung am Anfang und am Ende kann man Ruc¨ kschlusse¨ ub¨ er den Stoßprozess ziehen.

63 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

Beispiele: ✵ m = m , v = v 1 2 2i − 1i

1 v = 0; E = 2 m v2 = Q ⇒ f tot · 2 1 1i

✵ m1 = m2, v2i = 0

1 v = v ⇒ f 2 1i 1 1 1 1 E = m v2 = (m + m )v2 + Q = m v2 + m v2 tot 2 1 1i 2 1 2 if 4 1 1i 4 1 1i ✵ m = , v = 0 2 ∞ 2i

1 v = v = 0, E = Q = mv2 ⇒ f 2i tot 2 1i

✵ m = , v = 0 1 ∞ 2i

1 v = v , E = , Q = m v2 ⇒ f 1i tot ∞ 2 2 1i

Stöße in 2 bzw. 3 Dimensionen: Es gibt 2 gebräuchliche Systeme, um Stöße zu beschreiben:

① Schwerpunktsystem (CM-System, center of mass) Beobachter ruht im Massenschwerpunkt.

64 2.3. SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

p⃗CM = m1⃗v1i + m2⃗v2i = m1⃗v1f + m2⃗v2f = ⃗o

② Laborsystem

Der Beobachter ruht im m2

b“ ist der sogenannte Impaktparameter. ”

p⃗CM = m1⃗v1i = m1⃗v1f + m2⃗v2f

In Komponenten l¨aßt sich dies schreiben als:

a.) x-Richtung: m1v1i = m1v1f cos θ1 + m2v2f cos θ2 b.) y-Richtung: 0 = m v sin θ + m v sin θ − 2 2f 2 1 1f 1

m 1 1 E = 1 v2 = m v2 + m v2 + Q tot 2 1i 2 2 2f 2 1 1f Es ergeben sich 3 Gleichungen. Wenn die Anfangsbedingungen bekannt sind, bleiben 2 Unbekannte.

Spezialfall:

m1 = m2 = m, Q = 0

65 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

m⃗v1i = m⃗v1f + m⃗v2f

2 2 2 2 2 a.) v1i = v1f + v2f + 2⃗v1f⃗v2f = v1f + v2f + 2v1f v2f cos(θ1 + θ2) 1 1 b.) mv2 = m v2 + v2 2 1i 2 1f 2f Wenn man diese beidenB BedingungenC gleichsetzt, folgt:

2v1f v2f cos(θ1 + θ2) = 0

θ1 + θ2 = 90◦

2.4 Rotationen

Kinematik Rotationskinematik ⇔ Bewegungen in 3 Dimensionen (Translationen) Drehbewegungen Dynamik Rotationsdynamik ⇔ Bewegung unter Einﬂuß von Kr¨aften Drehungen

von Massenpunkten, Systemen von Massenpunkten, festen K¨orpern

Masse Tr¨agheitsmoment Kraft Drehmoment Energie/Arbeit Rotationsenergie/Rotationsarbeit Impuls Drehimpuls

kombinierte Dreh- und Translationsbewegung . /0 1 2.4.1 Rotationskinematik

Jeder Punkt P dreht sich im Kreis mit gleichem Zentrum und gleicher Winkelgeschwindigkeit ω. Von oben betrachtet:

66 2.4. ROTATIONEN

s s θ = 360◦ = in Radian 1 rad =∧ 57, 3◦ · 2πr r 2 G H3 dθ 1 ds v ω = = = (Kreisfrequenz) dt r · dt r ✵ Konstante Drehbewegung:

θ(t) = ω0t + θ0

✵ Beschleunigte Bewegung:

α 2 θ(t) = 2 t + ω0t + θ0

Richtung der Drehachse:

dθ⃗ ω⃗ = ⃗v, ⃗r dt ⊥ Fur¨ die Bewegungsgleichungen folgt:

cos θ ⃗r(t) = r = r⃗u (t) ⃗r = r = const. · sin θ r | | ' ( ⃗v(t) = r ω(t) ⃗u (t) · · θ ⃗a(t) = r α ⃗u (t) rω2(t)⃗u (t) · · θ − r aT (Tangential- az (Zentripetal- beschleunigung) beschleunigung) . /0 1 . /0 1 ⃗v = ω⃗ ⃗r × 67 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

d⃗r d cos θ(t) dθ sin θ(t) ⃗v(t) = = r dt = r − dt · d sin θ(t) · dt · cos θ(t) 8 dt 9 ' ( ω(t)

d⃗v d2θ sin θ(t) ./01 dθ d sin θ(t) ⃗a(t) = = r − + r − dt dt · dt2 · cos θ(t) · dt · d cos θ(t) ' ( 8 dt 9 α ω

Einschub: Vektorpro./01 dukt ./01 Das Vektorprodukt ist folgendermaßen deﬁniert: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗a b = ⃗a b sin(⃗a, b) ⃗u⃗a ⃗b × | | · | | · · × Insbesondere gilt:

⃗e ⃗e = 0 x × x ⃗e ⃗e = ⃗e x × y z ⃗e ⃗e = ⃗e y × x − z a b a b a b x x y z − z y ⃗a ⃗b = ay by = azbx axbz × ⎛a ⎞ × ⎛b ⎞ ⎛a b − a b ⎞ z z x y − y x Ein Beispiel⎝ ⎠aus der⎝ Kinematik⎠ ⎝ ist ⃗v =⎠ω⃗ ⃗r. ×

⃗a = α⃗ ⃗r + ω⃗ ⃗v = α⃗ ⃗r + ω⃗ (ω⃗ ⃗r) = α⃗ ⃗r ω2⃗r × × × × × × − 2.4.2 Rotationsdynamik ① Tr¨agheitsmoment

M = mi i # M = dm 4

68 2.4. ROTATIONEN

Zu jedem Zeitpunkt gilt: 1 1 1 1 E = m v2 + m v2 + . . . + m v2 + . . . = m r2ω2 + m r2ω2 + . . . + m r ω2 + . . . = k 2 1 1 2 2 2 2 i i 2 1 1 2 2 i i 1 N 1 B C = m r2 ω2 = Jω2 2 i i 2 i # J N . /0 1 2 2 J = miri ; J = r dm i # 4

Beispiele:

a.) Tr¨agheitsmoment eines kreisenden Massenpunktes

J = mr2

b.) Tr¨agheitsmoment einer Hantel

J = 2mr2

69 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

c.) Tr¨agheitsmoment einer Hantel (2)

J = 4mr2 d.) Zylinder

R R R2 R2 J = r2 dm = r2 ρ 2πr h dr = ρ h π 2r3 dr = π h ρ R2 = M · · · · · · · · · · 2 · 2 4 40 40 M e.) Hohlzylinder . /0 1

R2 πρh J = 2πρhr3 dr = R4 R4 2 2 − 1 4 R1 B C

R2 M = ρ dV = 2πρhr dr = πgh R2 R2 2 − 1 4 4 R1 B C 70 2.4. ROTATIONEN

1 J = M R2 + R2 ⇒ 2 1 2 B C Extremfall:

R R = R 2 ≈ 1 J = MR2

Generell gilt J = κ M R2. · · ② Drehimpuls Der Impuls berechnet sich nach p⃗ = m⃗v und fur¨ den Drehimpuls gilt L⃗ = J ω⃗ . Fur¨ ein Vielteilchensystem folgt außerdem: ·

p⃗ = mi⃗vi i # Impuls und Drehimpuls sind erhalten ohne Einwirkung ¨außerer Kr¨afte, denn es gilt:

a.) Person

Eine Person halte zwei Kugeln mit jeweils m = 2 kg im Abstand ra = 0, 8 m vom Körper weg und 1 drehe sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 3 s um ihre eigene Achse. Wir betrachten die Person näherungsweise als Zylinder der Masse M = 50 kg und Radius R = 0, 14 m. Die Kugeln werden aufgrund ihrer verhältnismäßig geringen Größe als Massepunkte behandelt. Damit ergibt sich fur¨ das Trägheitsmoment des Systems bestehend aus Kugeln und Person: 1 1 J = MR2 + 2 mr2 = 50 kg (0, 14 m)2 + 2 2 kg (0, 8 m)2 = 0, 5 kgm2 + 2, 56 kgm2 = 3, 06 kgm2 a 2 · a 2 · · · · Fur¨ den Drehimpuls folgt: 1 kg m2 L = J ω = 3, 05 kgm2 3 9, 15 · a a · a · s ≈ s 2π ω = a T 71 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

Wir erhalten daraus die Periodendauer T : 2π 2π T = = 1 2, 10 s ωa 3 s ≈

Nun werde der Abstand der Kugeln auf rb = 0, 2 m verkleinert, indem die Person die Arme an den K¨orper heranzieht. Damit ergibt sich: 1 J = MR2 + 2mr2 = 0, 5 kgm2 + 2 2 kg (0, 2 m)2 = 0, 66 kgm2 b 2 b · · L = J ω = 0, 66 kgm2 ω b b · b · b Aufgrund der Erhaltung des Drehimpulses L gilt:

Ja 3, 06 s ωb = ωa = ωa = 4, 64 ωa · Jb 0, 66 s · · 2, 10 T s = 0, 45 s ≈ 4, 64 Die Person dreht sich also schneller als vorher. b.) Das Foucault-Pendel

ω = ω sin θ s · In Karlsruhe gilt ω 28 h. s ≈

Zu Rotationskinematik:

dθ⃗ ω⃗ = ist Vektor. dt

θ⃗ nicht, da nicht immer θ⃗1 + θ⃗2 = θ⃗2 + θ⃗1

72 2.4. ROTATIONEN

③ Drehmoment

Kraft: F⃗ = m ⃗a Drehmoment: M⃗ ⃗r F⃗ = Jα⃗ · ⇔ ≡ ×

F = F⃗ sin φ T · ) ) M⃗ =) ⃗r) F⃗ = r F sin φ = r F × · · T Es) ist) M) = 0,)wenn φ = 0 gilt. ) ) ) )

73 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

F⃗ = m ⃗a Ti i · Ti F = m α r Ti i · · i d2θ(t) α = dt2 ist die Winkelbeschleunigung.

M = r F = m r2α i i · Ti i i M⃗ = m r2α⃗ = J α i i · i #

Demonstration:

a.) Beschleunigung der Drehung eines Rades

M⃗ = ⃗r F⃗ = J α⃗ × · m⃗g F⃗ = m ⃗a − · Daraus folgt durch die Zerlegung in Komponenten:

M = r F = J α · · mg F = m a − · a Auch gilt α = und somit haben wir: r J mg a = m a − r2 · g (i) a = J 1 + mr2

74 2.4. ROTATIONEN

Wir fuhren¨ einen Check mit Extremf¨allen durch:

m : a = g ,→ ∞ m 0 : a = 0 ,→ J : a = 0 ,→ ∞ J 0 : a = g ,→ g r (ii) α = J 1 + mr2 mgr Fur¨ J mr2 : α ≫ ≈ J d2θ Mit α = dt2 α mgr θ(t) = t2 t2 2 ≈ 2J

Demonstration: ✵ 4 Umdrehungen:

t4 = 11, 5 s fur¨ Masse m

✵ 8 Umdrehungen:

t8 = 11, 0 s fur¨ Masse 2m

gr 4 2π = m t2 · · 2J 4 ⎫ t4 = t8 gr ⎪ ⇒ 8 2π = 2m t2 ⎬⎪ · · 2J 8 ⎪ b.) Drehschwingungen ⎭⎪

Es gilt das Hookesche Gesetz:

d2θ M = D θ = J α = J − · · · dt2 d2θ J = D θ ⇒ · dt2 − · Wir verwenden folgenden Ansatz

θ(t) = θ cos(ωt + φ) 0 · Durch Einsetzen folgt:

J θ ω2 cos(ωt + φ) = D θ cos(ωt + φ) − · 0 · − · 0 · D ω = ⇒ : J 2π J T = = 2π mit J 2mr2 ⇒ ω :D ≈ T1 r1 ⇒ T2 ≈ r2

75 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

④ Arbeit, Energie

Lineare Rotationsarbeit: Arbeit: ⇔

⃗r2 A = F⃗ d⃗r

⃗r41 Ep, Ek

dA = F⃗ d⃗s = F r dθ · · ·

A = F r dθ = M⃗ dθ⃗ · · 4 4 Fur¨ resultierende Drehmomente:

M⃗ = J α⃗ = 0 · ̸ dω⃗ M⃗ dθ⃗ = J α dθ⃗ = J dθ⃗ = J ω⃗ dω⃗ · · · dt · · · 4 4 4 4 1 1 A = J ω⃗ dω⃗ = Jω2 Jω2 = ∆E · 2 2 − 2 1 rot 4 Allgemein gilt:

Etot = Ep + Ek + Er + Eint = const.

2.4.3 Rotierende Bezugssysteme ① Zentripetalkraft

F⃗ = F⃗ + m⃗g = m ⃗a (F⃗ =∧ Zentripetalkraft) ZP Zug · ZP ZP

② Zentrifugalkraft

F⃗ZF + F⃗Zug + m⃗g = ⃗o

F⃗ = m ω⃗ (⃗r ω⃗ ) ZF · × ×

76 2.4. ROTATIONEN

③ Corioliskraft

i.) Außen:

F⃗i = ⃗o i # ii.) Innen:

F⃗ = 2m (⃗v′ ω⃗ ) C × Gegenub¨ erstellung: Lineare Bewegung – Rotationsbewegung

Translationen Drehbewegungen s ϕ ⃗v ω⃗ ⃗a α⃗ F⃗ M⃗ = ⃗r F⃗ × p⃗ L⃗ = ⃗r p⃗ × F⃗ = m ⃗a M⃗ = J α⃗ ·1 2 ·1 2 Ekin = 2 mv Erot = 2 Jω

2.4.4 Rollen ① Rollen: Kombination aus Translation und Drehung

77 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

a.) Ub¨ er Energieerhaltung 1 1 E = m g h = mv2 + m g y + Jω2 tot · · 2 · · 2 v Wie h¨angen v und ω zusammen? Mit ω = R erh¨alt man die Geschwindigkeit am niedrigsten Punkt: 1 1 1 J E = mv2 + Jω2 = m + v2 tot 2 f 2 f 2 R2 f ' ( 2gh vf = $ J %1 + % mR2 % % κ % & Fur¨ runde Ob. /0jekte1 gilt J = κ mR2. κ lautet fur¨ folgende spezielle geometrische Objekte: · Objekt κ 2 Kugel 5

1 massiver Zylinder 2

Ring 1

Massenpunkt 0

b.) Auf andere Weise

✵ f⃗H : Haftreibung greift an Peripherie an. ✵ F⃗N : Normalkraft ✵ m ⃗g: Gewichtskraft ·

F⃗ = F⃗ + f⃗ + m ⃗g = m ⃗a i N H · · i # 78 2.4. ROTATIONEN

M⃗ = ⃗r f⃗ = J α⃗ i × H · i # Betrachten wir das ganzen in Komponenten: ✵ x-Richtung: f + mg sin θ = m a − H · ✵ y-Richtung: F mg cos θ = 0 N − ✵ z-Richtung: ( f ) ( R) = J α − H · − · a Es liegt eine kombinierte Bewegung vor: α = R . f = mg sin θ ma H − J g sin θ = a 1 + 2 J α J a ⎫ · mR fH = R· = R·2 ⎬ ' ( g sin θ ⎭ a = · ⇒ 1 + κ a x = t2 + v t + x 2 0 0 ② Jojo ( Maxwellsches Rad“) ”

✵ Energieerhaltung beim Jojo 1 1 E = m g h = mv2 + Jω2 tot · · 2 f 2 f v Mit ω = erh¨alt man: R 2gh vf = :1 + κ ✵ Drehmomente beim Jojo M⃗ = ⃗r F⃗ = J α⃗ i × Zug · i # m⃗g + F⃗Zug = m⃗a In Komponenten zerlegen: g a = (r =∧ ¨außerer Radius, R =∧ innerer Radius) ⇒ 1 + κ r2 · R2 79 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

③ Bowling

a.) Etot ist nicht erhalten wegen Reibung. v v b.) f⃗ = m ⃗a; m 1 − 0 = ma g · · ∆t

M⃗ = ⃗r f⃗ × g ω ω v r f = J α = J 1 − 0 = J 1 ⇒ · G · · ∆t · r ∆t · v v v M = m 1 − 0 r = J 1 ⇒ · ∆t · · r ∆t · v 2 v = 0 ; Kugel: κ = ⇒ 1 J 5 1 + mr2 κ 5 v = v ./01 ⇒ 1 0 · 7 Unabh¨angigkeit von Reibungskraft!

Erhaltung des Drehimpulses:

L⃗ = ⃗r p⃗ × dL⃗ d d d = (⃗r p⃗) = ⃗r p⃗ + ⃗r p⃗ = ⃗v m ⃗v + ⃗r F⃗ dt dt × dt × × dt × · × 0 M⃗ dL⃗ . /0 1 . /0 1 = M⃗ fur¨ M⃗ = ⃗o : L⃗ erhalten! dt

Kreisel mit Drehmoment:

dL⃗ M⃗ = R⃗ F⃗ = J α⃗ = × g · dt

L⃗ = Jω⃗ Was ist J? ω⃗ ist nicht notwendig parallel zu L⃗ !

Beispiel: Nutation eines kr¨aftefreien Kreisels J ist eine Matrix (3 3). × J ⇒ J

80 2.4. ROTATIONEN

Zusammenfassung: ✵ Keine ¨außeren Drehmomente

L⃗ = J ω⃗ = const. · dL⃗ = ⃗o dt

✵ Mit ¨außerem Drehmoment

a.) Fall 1:

dL⃗ M⃗ = ⃗r F⃗ = J α⃗ = × · dt Es gilt:

dL⃗ L⃗ dt ∥

b.) Fall 2:

dL⃗ M⃗ = R⃗ F⃗ = J α⃗ = × · dt

dL⃗ L⃗ dt ⊥ Die sogenannte Pr¨azessionsfrequenz errechnet sich nach:

dL⃗ dt M F l ωP = = = · ) ⃗ ) ) L ) L J ω )| |) ·

2.4.5 Mechanische Stabilit¨at

Ein starrer K¨orper ist im Gleichgewicht, wenn ⃗aCM und α⃗ = ⃗o. Dies gilt bezuglic¨ h jeder denkbaren Achse.

81 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

Beispiel: Leiter

Bis zu welchem Winkel θmin ist die Leiter stabil? Wir betrachten hierzu die Kr¨afte: m⃗g + F⃗N1 + F⃗N2 + f⃗H1 + f⃗H2 = 0

Betrachte Drehmomente (um Fußpunkt der Leiter):

⃗l ⃗l f⃗ + l F⃗ + m⃗g = 0 × H1 × N1 2 × Wir zerlegen in Komponenten: ✵ y-Richtung:

f + F = 0 − H2 N1 ✵ z-Richtung:

F mg + F = 0 N2 − H1 ✵ Drehmoment: l l cos θ f l sin θ F + cos θmg = 0 − · H1 − · N1 2 ·

Die Leiter steht stabil bis zum Winkel θmin : f = F µ H1 N1 · H f = F µ H2 N2 · H 2 1 µH tan θmin = − ⇒ 2µH

Beispiel: Holz auf Holz

µ = 0, 24 : θ = 64◦ H ⇒ min 82 2.4. ROTATIONEN

Deﬁnition: Das Gleichgewicht ist stabil, wenn bei inﬁnitesimal kleiner Drehung der Schwerpunkt angehoben wird.

Das Gleichgewicht ist neutral, wenn bei kleiner Drehung des Objektes der Schwerpunkt auf gleicher H¨ohe bleibt.

Das Gleichgewicht ist labil, wenn der Schwerpunkt bei kleiner Drehung absinkt (metastabil).

83 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK

84 Kapitel 3

Gravitation

3.1 Das Gravitationsgesetz 3.1.1 Der historische Weg zum Gravitationsgesetz 0 A.D.: Ptolem¨aus ≈ Der erste Versuch, die Planetenbewegung zu verstehen, war die Idee eines geozentrischen Systems.

1473-1543: Copernikus Copernikus war fur¨ die Entwicklung der Theorie des heliozentrischen Systems verantwortlich.

85 KAPITEL 3. GRAVITATION

1571-1630: Kepler (Assistent von Brahe, mit Teleskop) Kepler stellte empirische Gesetze zur Planetenbewegung auf.

① Gesetz der Laufbahn (Orbit): Planetenbahnen sind Ellipsen mit der Sonne in einem der beiden Brennpunkte (Focusse).

② Fl¨achengesetz: Linie zwischen Sonne und Planet ub¨ erstreicht in gleicher Zeit gleiche Fl¨ache.

A ∆t 1 = 1 A2 ∆t2

③ Periodengesetz:

T 2 R 3 ∼ ⟨ ⟩ T =∧ Umlaufperiode, R =∧ mittlerer Radius ⟨ ⟩

86 3.1. DAS GRAVITATIONSGESETZ

1642-1727: Newton Benutzte Keplers Gesetze und formulierte das Gravitationsgesetz: m m F⃗ = G 1 2 ⃗e 21 − r2 · 12

11 Nm G = 6, 67 10− (Gravitationskonstante) · kg2

Diskussion: m m m2m3 Warum taucht in der Formel der Ausdruck 1 2 auf und nicht beispielsweise 1 2 ? r2 r3

a.) F∆m,∆m sei Kraft zwischen Massenelement ∆m und ∆m

Dann gilt: FN ∆m,∆m = N F∆m,∆m und FN ∆m,M ∆m = N M F∆m,∆m =∧ Fm ,m m1 m2 · · · · · · 1 2 ∝ · Superpositionsprinzip ⇒

1 b.) F ∝ r2 Angenommen, die Kraft entsteht durch Austausch von Kraftteilchen (Bosonen):

Ng =∧ Zahl aller Bosonen s Somit entsteht der folgende Fluß durch 1 m2 Fl¨ache: N Ng 1 g = s Kraft s m2 4πr2 ∝ ∝ r2 · Gravitation, elektromagnetische Wechselwirkung sind Kr¨afte mit unendlicher Reichweite ohne Erzeugung oder Verlust. c.) Gravitation ist konstant. dG G = const. = 0 dt ' ( 87 KAPITEL 3. GRAVITATION

3.1.2 Das Newtonsche Gravitationsgesetz Demonstration: Experimentelle Bestimmung von G

Nach Cavendish (1788):

a.) Gleichgewicht

2 R F D θ = 0 · · m1m2 − ·

b.) Nach Umlagern von m2

88 3.1. DAS GRAVITATIONSGESETZ

d2θ d2θ 2 R F + Dθ = J = 2R2m · · m1m2 dt2 1 dt2 m m d2θ 2 R 1 2 G 2 = 2m R2 · · r2 · · 1 dt2 Damit ergibt sich die Gravitationskonstante: 1 r2 R d2θ G = · 2 2 m2 · dt

2 x(t) d θ θ(t) = = dt2 t2 2L 2 d2θ x(100 s) = dt2 L (100 s)2 · Mit x(100 s) = 0, 3 m, r = 4 cm, R = 5 cm, L = 14 m, m1 = 0, 015 kg und m2 = 1, 5 kg erhalten wir:

2 10 2 2 1 (0, 04 m) 0, 05 m 0, 3 m 2 10− m 0, 3 m 11 N m G = · = · · = 6 10− · 2 1, 5 kg · 14 m 104 s2 kgs2 · kg2 ·

89 KAPITEL 3. GRAVITATION

3.2 Das Gravitationspotential

RE +h RE +h ⃗ GmE m 1 1 GmE m h GmE A = ∆Ep = F d⃗r = 2 dr = GmE m = 2 h (h RE) r RE − RE + h RE · RE + h ≈ RE ≪ R4E R4E ' ( g

∞ GmE m . /0 1 A = F⃗ d⃗r = = Ep( ) Ep(RE) ∞ R ∞ − 4RE E Es ist Konvention, das Nullniveau ins Unendliche zu legen:

E ( ) = 0 p ∞ Damit gilt fur¨ das Gravitationspotential fur¨ r R : ≥ E Gm m E (r) = E p − r

Anwendung: a.) Fluchtgeschwindigkeit von Erde

1 2 GmE m Etot = Ek + Ep = 0 = Ep (r = ) = mvesc = 0 ∞ 2 − RE Damit folgt fur¨ die Fluchtgeschwindigkeit: Gm km v = 2 E = 11, 2 esc R s : E

b.) Gibt es Objekte, wo v c? esc ≥ 2GM Ja, man nennt diese Schwarze Löcher“. Mit v = = c erhält man den Schwarzschild-Radius: ” esc R : S 2GM R = S c2 Der Schwarzschild-Radius ist der Grenzradius, den ein Objekt erreichen muss, damit an seiner Oberfläche die Fluchtgeschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit ist. Er stellt somit die Grenze zum Schwarzen Loch dar.

90 3.2. DAS GRAVITATIONSPOTENTIAL

✵ Beispiel: Sonne

Fur¨ die Sonne gilt R = 7 105 km und M = 2 1030 kg. · · Damit folgt fur¨ den Schwarzschild-Radius:

11 N m2 30 2GM 2 6, 673 10− · 2 2 10 kg · · kg · · RS = = 2 3 km c2 3 108 m ≈ · s B C

✵ Neutronensterne

Der Radius eines Neutronensterns betr¨agt 10 bis 16 km. Mit M =∧ M folgt ein Schwarzschild-Radius von 3 km. ⊙

✵ Schwarzes Loch

R = RS 10 km, M 2M ≈ ≥ ⊙

Beispiel fur¨ Nachweis von Schwarzen L¨ochern:

91 KAPITEL 3. GRAVITATION

Gase werden ionisiert, beschleunigt durch die Gravitation. Somit entsteht γ-Strahlung. Auch schwarze L¨ocher sind oft Ub¨ erbleibsel von Supernova-Explosionen.

3.3 Planetenbahnen, Keplersche Gesetze

Kreisbahn:

m1m2 2 Fm1m2 = G 2 = m1az1 = m1ω r1(= m2az2) (r1 + r2)

Fur¨ m m , r r 2 ≫ 1 2 ≪ 1 2 m2 2 4π Es folgt: Fm1m2 G 2 m1 = ω r1m1 = 2 r1m1 ≈ r1 · T 2 2 4π 3 T = r1 ⇒ Gm2 3.Keplersches Gesetz ⇒ Fur¨ Ellipse: r r 1 ,→ ⟨ 1⟩ Beispiele, Anwendungen: a.) Geostation¨arer Orbit von Satelliten

T = 1 Tag

92 3.4. GRAVITATION IN MASSENVERTEILUNGEN

3 GmE 2 r(= r1) = 2 (1 Tag) = 42200 km ⇒ : 4π d(Satellit-Erdoberﬂ¨ache) = 35900 km

b.) Masse der Erde

4π2 m = r3 = 6 1024 kg E GT 2 ·

c.) Masse des Mondes

m = ρ V Mond ⟨ ⟩ · d.) Masse der Sonne

4π2 3 30 mSonne = (1 AE) = 2 10 kg G (1 Jahr)2 · · 3.4 Gravitation in Massenverteilungen

Bis jetzt: Annahme, daß Massen punktf¨ormig sind

a.) m außerhalb Massenverteilung einer Kugelschale M

dV = 2πR sin θ d R dθ · · dM = ρ dV · Gm dM Gm cos φ dF = cos φ = ρ 2π R sin θ R dθ d x2 · x2 · · · · · · r R cos θ Mit x2 = R2 + r2 2Rr cos θ (Kosinussatz), 2x dx = 2R r sin θ dθ und cos φ = − − · · r π G d ρ R m r2 R2 dF = · · · · · − + 1 dx r2 x2 ' ( r+R Mm F = dF = G r2 r 4R −

a.) Ruhemasse außerhalb einer Kugelschale M

dV = 2πR sin θ d R dθ · · dM = dV ρ · Die horizontale Komponente von dF⃗ lautet: Gm dM Gm cos φ dF = · cos φ = · ρ 2πR sin θ d R dθ x x2 · x2 · · · ·

93 KAPITEL 3. GRAVITATION

r R cos θ i.) cos φ = − · x ii.) x2 = (R sin θ)2 + (r cos θ R)2 = R2 + r2 2rR cos θ − · − R2 + r2 x2 R cos θ = − ⇒ · 2r Und weiterhin gilt:

d(x2) dx = 2x = 2rR sin θ dθ dθ x dx sin θdθ = · ⇒ r R · R2+r2 x2 2 2 2 r − r R + x cos φ = − 2r = − x 2rx Gm r2 R2 + x2 xdx dF = − ρ 2πR2 d x2 · 2rx · · · · r R · π G d ρ m R r2 R2 + x2 π G d ρ m R r2 R2 dF = · · · · · − dx = · · · · · − + 1 dx r2 · x2 r2 x2 ' ( f

F (r+R) r+R . /0 1 r2 R2 r2 R2 r+R F = dF = dx f −2 + 1 = f − + x = f 4R = · x · − x r R · F (r4 R) r 4R ' ( E F − − − 4 π G d ρ m R2 mM = · · · · · · = G r2 r2 mM F = G r2

Da V = 4πR2 d Kugelschale · M = 4πR2 d ρ Kugelschale · · b.) Masse m innerhalb Kugelschale

R+r R+r r2 R2 F = dF = 0, da − + 1 dx = 0 x2 R4 r R4 r ' ( − −

c.) Masse innerhalb Vollkugel

94 3.4. GRAVITATION IN MASSENVERTEILUNGEN

G m m G m 4 πr3 ρ 4 F = · · r = · · 3 · = G m π ρ r r2 r2 · · 3 · ·

∞ Potential: Mit E (r) = F (r′) dr′ p − 4r

d.) Bewegung innerhalb Kugel

✵ Außen:

GMm v2 = m (F = m a) r2 r · Damit gilt:

GM 1 v = : r ∼ √r ✵ Innen:

Gm G 4 πr3 ρ v = r = · 3 · r : r ! r ∼

95 KAPITEL 3. GRAVITATION

Das beobachten wir im Sonnensystem, nicht aber in Galaxien oder Galaxienhaufen.

Die nicht sichtbare Masse ist 10 bis 100 Mal gr¨oßer als die Masse aller Sterne innerhalb der Galaxie.

96 3.4. GRAVITATION IN MASSENVERTEILUNGEN

Unser heutiges Wissen: Das Universum ist vor 12 bis 15 Milliarden Jahren in einem Urknall entstanden ( Big Bang“). ”

Beobachtungen: ✵ Die Galaxien entfernen sich voneinander (Hubble 1930). Je größer ihre Entfernung ist, desto größer ist ihre Fluchtgeschwindigkeit 50 100 km pro Mpc . − s ✵ Kosmische HintergrundstrahlungB (Penzias, WilsonC 1956) 2,7 K Temperaturstrahlung Lichtblitz des Urknalls ⇒ ✵ Primordiale Häufigkeit der Elemente 75% H, 24% He, <1% Li, . . . Elementsynthese in den ersten drei Minuten ⇒ Wir leben in einem expandierenden Universum.

97 KAPITEL 3. GRAVITATION

Wir sehen hier das Hubble-Diagramm. Die korrigierte scheinbare Helligkeit ist proportional zum Logarithmus des Strahlungsstroms. Die gerade Linie zeigt die theoretische Beziehung fur¨ q0 = 1. Im folgenden sehen wir einige Nebelhaufen mit ihrem Spektrum, aus dessen Rotverschiebung man die Flucht- geschwindigkeit bestimmen kann:

Photo Spektrum Entfernung Fluchtgeschwindigkeit

km [Lichtjahr] s E F

43 Mill. 1200

Virgo

560 Mill. 14800

Fortsetzung . . .

98 3.4. GRAVITATION IN MASSENVERTEILUNGEN

. . . Fortsetzung

Photo Spektrum Entfernung Fluchtgeschwindigkeit

km [Lichtjahr] s E F

Ursa Major

728 Mill. 21500

Corona Borealis

1,29 Mrd. 40000

Bootes

1,96 Mrd. 60000

Hydra Im folgenden sehen wir sechs verschiedene Spiralsysteme. Beim Typ S0 ist die Spiralstruktur kaum noch ausgepr¨agt. Typ Sa zeigt sie deutlicher. Beim Ub¨ ergangstyp Sab wie bei Sb sind die Spiralen gut sichtbar. Beim Typ Sc tritt der Kern deutlich gegenub¨ er den Spiralarmen zuruc¨ k. (Hale Observatories)

99 KAPITEL 3. GRAVITATION

NGC 1201 Typ: S0 NGC 2841 Typ: Sb

NGC 2811 Typ: Sa NGC 3031 M81 Typ: Sb

NGC 488 Typ: Sab NGC 628 M74 Typ: Sc Im folgenden sind es sechs Sternensysteme, die alle dem Typus der Balkenspirale zugerechnet werden. Beim Typ SB0 sind die beiden Balkenarme nur angedeutet. Die weitere Bildfolge ist so geordnet, daß der Balken immer deutlicher ausgepr¨agt, der Kern dagegen immer schw¨acher wird. (Hale Observatories)

100 3.4. GRAVITATION IN MASSENVERTEILUNGEN

NGC 2859 Typ: SB0 NGC 2523 Typ: SBb(r)

NGC 175 Typ: SBab(s) NGC 1073 Typ: SBc(sr)

NGC 1300 Typ: SBb(s) NGC 2525 Typ: SBc(s)

101 KAPITEL 3. GRAVITATION

102 Kapitel 4

Relativistische Mechanik

4.1 Bewegte Bezugssysteme, Transformationen

In einem Inertialsystem ruht der Beobachter oder bewegt sich gleichf¨ormig.

⃗s(t) = ⃗s + ⃗v t 0 S ·

⃗r′(t) = ⃗r(t) ⃗s(t) = ⃗r(t) ⃗s ⃗v t − − 0 − S Galilei-Transformation ⇒ a.) Beispiel:

103 KAPITEL 4. RELATIVISTISCHE MECHANIK

x ⃗r(t) = 0 h g t2 ' − 2 ( x v t ⃗r (t) = 0 S ′ h −g t2 ' − 2 ( b.) Demo: Studentin mit Federpendel

x ⃗r(t) = 0 y cos ωt ' 0 ( x vt ⃗r (t) = 0 ′ y cos− ωt ' 0 ( c.) Beispiel: Addition von Geschwindigkeiten

104 4.2. RELATIVISTISCHE KINEMATIK

x + v t ⃗r (t) = 0 r r′ y ' 0 ( x + v t + v t + s ⃗r (t) = ⃗r (t) + ⃗s(t) = 0 r S x0 r r′ y + s ' 0 y0 ( Von S′ aus betrachtet besitzt die Rakete die Geschwindigkeit vr = vr′ + vS . Es stellt sich nun die Frage,

welche Geschwindigkeit Laserlicht von Flugzeug aus geschossen hat. Wir erwarten vc = vS + c > c. Dies steht jedoch im Widerspruch zu den Beobachtungen.

4.2 Relativistische Kinematik 4.2.1 Spezielles Relativit¨atsprinzip ① Alle Inertialsysteme gleichwertig, Naturgesetze haben gleiche Gultigk¨ eit ② In jedem Inertialsystem hat die Vakuumlichtgeschwindigkeit den gleichen Wert c.

4.2.2 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit a.) Olaf Romer¨ 1675: Messung des Zeitpunktes der Verdeckung des Mondes Jupiters:

105 KAPITEL 4. RELATIVISTISCHE MECHANIK

Ein halbes Jahr sp¨ater:

t2 = t1 + 15 min

Damit folgt fur¨ die Lichtgeschwindigkeit:

D + l D L 3 108 km km c = 1 − 1 = · = 300 000 t t ∆t ≈ 103 s s 2 − 1 km R¨omer hatte c = 200 000 s berechnet! b.) Fizeau (1849):

2L Licht wird vom Zahnrad absorbiert, wenn ∆t = c . Damit errechnet sich c folgendermaßen:

2L c = ∆t

Heute kann man c sehr genau bestimmen: m c = 299 792 458 < ! s ∞

c.) Beweis, daß Lichtgeschwindigkeit c unabh¨angig vom Bezugssystem: Betrachten wir hierzu das Experiment von Michelson, Morley (1887) (Idee von Maxwell):

106 4.2. RELATIVISTISCHE KINEMATIK

km Das System befindet sich auf der Erde, d.h. v = 30 s . Die Laufzeit zwischen Spiegel und Halbspiegel beträgt: L L 2 L c 2L 1 ta = + = · · = c v c + v c2 v2 c · 1 v2 − − − c2 Die Laufzeit von b.) beträgt: v cos φ = c Wir erhalten außerdem fur¨ die Laufstrecke s: 2L s = sin φ 2L 2L 2L tb = = = 2 2 c sin φ c 1 cos φ c 1 v · − − c2 @ " 2L 1 1 ∆t = ta tb = 2 = 0 − c ⎛ v − v 2 ⎞ ̸ 1 c 1 − − c ⎝ ⎠ Dabei wird folgende BeobacB Chtung"gemacBht:C ∆t = 0 4.2.3 Wiederholung: Galileitransformationen

x′(t) = x(t) v t − · ⎫ y′(t) = y(t) ⎪ Fur¨ Bewegung von S′ mit Geschwindigkeit v in x-Richtung ⎪ ⎬⎪ z′(t) = z(t) ⎪ dx′(t) dx(t) ⎪ = v ⎭= v′(t) v dt dt − − ✵ Maxwell (1864): Er beschreibt eine elektromagnetische Welle, die sich mit v = c ausbreitet, unabh¨angig vom Bezugssystem! ✵ Einstein (1905): Einstein geht von der Notwendigkeit aus, Metrik von Raum und Zeit zu ver¨andern.

107 KAPITEL 4. RELATIVISTISCHE MECHANIK

4.2.4 Lorentztransformation x′ = (x vt) γ − · ⎫ y = y ′ ⎪ ⎪ ⎪ Fur¨ Bewegung in x-Richtung z′ = z ⎪ ⎬⎪ vx t = t γ ⎪ ′ 2 ⎪ − c · ⎪ 2 3 ⎪ 1 ⎪ v γ = ; auc⎭h β 1 v2 ≡ c − c2 Allgemein" gilt:

⃗v⃗r ⃗r′ = ⃗r + ⃗v (γ 1) γ t v2 − − · ' ( 1 t′ = t ⃗v ⃗r γ − c2 · ' ( Ist die Lichtgeschwindigkeit invariant?

⃗r(t)2 = x2(t) + y2(t) + z2(t) = c2 t2 · Im System S’ haben wir:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⃗r′(t) = x′ (t) + y′ (t) + z′ (t) = γ x γ 2xvt + γ v t + y + z + x x = − · − c2t2 1. /0 1 v2 = γ2 1 x2 γ2 2x v t + γ2 v2 + c2 t2 = 1 x2 γ2 2xtv + + c2 t2 = − − · · · · v2 − − · v2 81 c2 9 81 c2 9 B C B C − − v2 vx v2x2 = γ2x2 γ2 2vxt + γ2 c2 t2 = c2 γ2t2 γ2 2t + γ2 = c2 − · · · − · c2 c4 ' ( 2 2 vx 2 2 = c γ t = c t′ · − c2 2 2 33 Es handelt sich also ebenfalls um eine Kugelwelle mit Lichtgeschwindigkeit c.

4.2.5 Relativistische Eﬀekte 1. Die Zeitdilatation Wir betrachten folgende Uhr“: ” 108 4.2. RELATIVISTISCHE KINEMATIK

Wenn der Lichtpuls auf die Photozelle auftriﬀt, wird ein neuer Puls ausgesendet: Die Periodendauer“ ist 2L′ ” T ′ = . Fur¨ den Beobachter ergibt sich T = t t . c 3 − 1

v T 2 T c L = L 2 + · = · ′ 2 2 ! ' ( Hieraus ergibt sich:

2 2 2 2 c 2 v T 2L′ γ T = L′ + T = = 2L′ 4 4 ⇒ √c2 v2 c −

T ′c Mit L′ = folgt T = γ T ′; man spricht von der Zeitdilatation. 2 ·

109 KAPITEL 4. RELATIVISTISCHE MECHANIK

Anwendung: Kosmische H¨ohenstrahlung

6 Wir betrachten den Zerfall von Myonen (µ). Die Lebensdauer eines Myons betr¨agt τ ′ = 2, 2 10− s. Fur¨ µ · die zuruc¨ kgelegte Lichtstrecke ergibt sich L′ = τ c 660 m. Im System S (Ruhesystem der Erde) gilt µ · ≈ jedoch aufgrund der Zeitdilatation τµ = γ τµ′ . In unserem Falle gilt γ = 50 (v 0, 9998 c) und damit im System S: · · ·

6 6 τ = 50 2, 2 10− s = 110 10− s µ · · · Myonen legen im System S also folgende Wegstrecke zuruc¨ k:

6 8 m L = γ τ ′ v = 110 10− s 3 10 33 km · µ · · · · s ≈

Einschub: Bestimmung von τµ

110 4.2. RELATIVISTISCHE KINEMATIK

2. L¨angenkontraktion

Betrachten wir als Beispiel einen Stab der L¨ange LS.

Im System S′ gilt:

x′ = γ (x vt ) Ende vom Stab 2 2 − 2 ⇒ x′ = γ (x vt ) Anfang vom Stab 1 1 − 1 ⇒ Die L¨angenmessung wird durchgefuhrt,¨ indem man beide Enden zur gleichen Zeit t2 = t1 mißt. Hieraus ergibt sich:

x′ x′ = γ (x x ) 2 − 1 · 2 − 1 1 L′ = γ L bzw. L = L′ · γ Man spricht von der L¨angenkontraktion.

Beispiel:

Geschwindigkeit eines Raumschiﬀes, das Galaxis innerhalb von 30 Jahren durchlaufen soll.

✵ Rakete: Ruhesystem S ✵ Galaxis: Bewegtes“ System S ” ′ 20 7 9 Damit erhalten wir L′ = 6 10 m und TR = 30 3, 16 10 s 10 s. Fur¨ die Wegstrecke L im System des L′ · · · ≈ Raumschiﬀs gilt L = γ . Mit

2 L′ 1 v γ c2 v′ = = L′ − TR · " TR erhalten wir dann:

L′ c 7 v′ = · = 0, 9999999c c 1 10− 2 2 2 L′ + c TR ≈ · − B C Auf der@ Erde gesehen ergibt sich eine Zeit von:

L′ TE = 64000 Jahre v′ ≈ 3. Addition von Geschwindigkeiten

111 KAPITEL 4. RELATIVISTISCHE MECHANIK

x(t) = u t − · x′(t) = γ (x(t) v t) = γ ( u t vt) = γ (u + v) t − · − · − − v x(t) u v t′ = γ t · = γ t 1 + · − c2 · c2 ' ( 2 3 x′ u + v u′ = = u v ; u′ c t′ −1 + c·2 | | ≤

Beispiel:

Es sei u = 0, 8c und v = 0, 8c. Damit folgt: 1, 6c u′ = = 0, 98c | | 1, 64

Es gibt somit keine Ub¨ erlichtgeschwindigkeiten!

4.3 Relativistische Dynamik

1. Masse

Wir betrachten die beiden Massen mA = mB, die auseinander ﬂiegen:

Von A aus betrachtet gilt: a.) S bewegt sich in x-Richtung mit v v + v 2v b.) B bewegt sich in x-Richtung mit w = v v = v2 1 + ·2 c 1 + c2

m(B) = mB′ Zur Zeit t = T gilt folgendes: ✵ A beﬁndet sich bei x = vT A − ✵ B beﬁndet sich bei x = +(w v)T B − Der Schwerpunkt ruht in Bezug auf das x-y-Koordinatensystem:

m v T + m (w v) T = 0 ⇒ − A · · B′ · − · v v c2 + v2 mB′ = mA = mA 2v = mA 2 2 = ⇒ · w v · 2 v · c v 1+ v − c2 − − c4 + 2c2v2 + v4 1 = mA = mA = γ mA · c4 + 2c2v2 + v4 4c2v2 · 1 w2 · : − ! − c2 112 4.3. RELATIVISTISCHE DYNAMIK

m = γ m B′ · B

2. Impuls

p⃗ = m⃗v = γm0⃗v

3. Kraft

2 ⃗ dp⃗ d(γm0⃗v) d m0⃗v d m0 1 3 v 1 F = = = = ⃗v + m0⃗a = γ m0a 2 ⃗ev + 2 ⃗ea dt dt dt ⎛ v2 ⎞ dt v2 · v2 c γ 1 2 1 2 1 2 ' ( − c − c − c ⎝" ⎠ " " 4. Energie

⃗b ⃗b v0 v0 d E = F⃗ d⃗l = (m ⃗v) d⃗l = (m dv + v dm )v = (mv dv + v2 dm) k dt · 4⃗a 4⃗a 40 0 im 40 klassischen Fall . /0 1 m Mit m = 0 erh¨alt man: 1 v2 − c2 " m2c2 m2v2 = m2c2 − 0 2mc2 dm m22v dv v22m dm = 0 ⇒ − − mv dv + v2 dm = c2 dm ⇒ Nun erh¨alt man:

m(v0) EGesamt E = c2 dm = mc2 m c2 = m c2(γ 1) k − 0 0 − m(v4=0) 01./

Fur¨ die Gesamtenergie eines K¨orpers ergibt sich:

2 E = Ek + m0c Massenergie

. /0 1 1 1 v2 Fur¨ v c : γ = 1 + 2 ≪ 1 v2 ≈ 2 c − c2 " 1 v2 m E = m c2 = 0 v2 ⇒ k 0 · 2 c2 2 Die klassischen Gesetze gelten somit! Die Anwendung besteht in der Umwandlung von kinetischer Energie in Materie (Beispiel Urknall ).

113 KAPITEL 4. RELATIVISTISCHE MECHANIK

114 Kapitel 5

Physikalische Eigenschaften fester K¨orper und Flussigk¨ eiten

5.1 Physik fester K¨orper

Form von Materie, in der interatomare Kr¨afte zur dreidimensionalen stabilen Anordnung von Atomen fuhren.¨

Kristalle Regelmäßige Anordnung Amorphe Festkörper unregelmäßige Anordnung

✵ Kr¨afte fuhren¨ zu elastischer Deformation (bei großen Kr¨aften irrelevant)

✵ Wärme manifestiert sich in Atomschwingungen: Je wärmer, desto größer sind die Amplituden.

5.1.1 Elastische Verformung a.) Hookesches Gesetz

115 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

∆L F 1 = L A · E E bezeichnet man als Elastizit¨atsmodul (englisch: Young’s-Modulus).

N kN [E] = oder m2 mm2

Beispiel: Stahlzylinder

11 N Mit L = 2 m, ∅ = 2 cm, E = 2, 5 10 2 und M = 9, 5 t berechnen wir: · m m F ∆L L F 2 m 9500 kg 9, 81 2 = E ∆L = · = · · s 2, 8 mm A · L ⇒ E A 2, 5 1011 N π 10 4 m2 ≈ · · m2 · · − Speziell fur¨ Gummi gilt: N E = 7 106 · m2 ∆L = 101 m ! Gummi zerreißt allerdings vorher.

116 5.1. PHYSIK FESTER KORPER¨

Demonstration: Bestimmung von E fur¨ Cu:

L = 45 cm

M = 100 g, 200 g, etc. ∆L F E = · L A L F 45 cm 10 N 22, 5 10 108 N N E = = = · · 3 109 ⇒ ∆L · A 2 cm · π (1, 5 10 4 m)2 π 2, 25 m2 ≈ · m2 · · − ·

Reißfestigkeit:

F ∆L := E A · L ' (c

Er ∆L ist. die /0Verl¨angerung1 vor dem Zerreißen.

N N E m2 Er m2 11 8 Stahl 2, 5J 10K 4 J30 K10 Glas 7 10· 10 3 − 20 · 107 Spinnenseide · 2,−4 10·8 Sehne 108 · Gummi 107

Beispiel: Unser Stahlbolzen:

9 N 4 2 Er A 3 10 m2 π 10− m Mmax = · = · · m· 95000 kg g 9, 81 s2 ≈

Fur¨ Gummi gilt Mmax = 320 kg. b.) Volumen¨anderung bei Zug

117 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

w′ = w ∆w −

h′ = h ∆h − L′ = L + ∆L Es gilt mit der sogenannten Poissonzahl µ 0, 3: ≈ ∆h ∆w ∆L = = µ h w − L

V ′ = V + ∆V ∆V (w + ∆w) (h + ∆h) (L + ∆L) ∆w ∆h ∆L = · · 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = V w h L − w h L − · · ' ( ' ( ' ( ∆L 2 ∆L ∆L = 1 µ 1 + 1 (1 2µ) − L L − ≈ − · L ' ( ' (

Beispiel: Eisenbolzen:

∆V ∆L 2, 8 mm = (1 0, 6) = 0, 4 0, 6 V − · L · 2 m ≈ c.) Kompression im Dreidimensionalen

∆V p E = 3 (1 2µ) mit k = (Kompressionsmodul) V − · − E 3 (1 2µ) −

d.) Scherung

118 5.1. PHYSIK FESTER KORPER¨ }

F ∆L = G = G tan α G α (Schermodul oder Schubmodul) A · L · ≈ · Es gibt dabei folgende Zusammenh¨ange: E E G = , K = 2(1 + µ) 3(1 2µ) −

Anwendung: Biegung

Wir errechnen das Drehmoment um P : ∆M = ∆F x · ∆F ∆L ∆L x Mit = E und = , wobei R der Krumm¨ ungsradius ist, erhalten wir: ∆A · L L R x x2 ∆M = E ∆A x = E ∆A · · R · · · R Durch Integration folgt dann schließlich:

h 2 E M = dM = x2 dA R · 4 4h − 2 Fl¨achentr¨agheits- .momen/0 tB1 119 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Die allgemeine Formel zur Berechnung des Fl¨achentr¨agheitsmomentes lautet:

B = x2 dy dx 44 Als Beispiel betrachten wir uns:

i.) Fall 1:

Allgemein gilt:

L3 s = F 3E B · · Damit erhalten wir fur¨ diesen Fall: L3 s = 4 F Eh3 b · · ii.) Fall 2:

Hier gilt:

L3 s = F 48 E B · · · e.) Scherung Wir besch¨aftigen uns mit folgenden Beispielen:

120 5.1. PHYSIK FESTER KORPER¨

Rechteckiger Stab:

h h 2 2 h 1 2 h3 b I = x2 dA = x2 b dx = bx3 = · · 3 h 12 4h 4h )− 2 2 2 ) − − ) ) Zylinder und Rohr:

✵ Zylinder:

π I = R4 Zylinder 4

✵ Rohr:

π I = R4 r4 Rohr 4 − B C

121 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Doppel-T-Tr¨ager:

1 I = BH3 bh3 12 − B C Vergleichen wir die Biegung eines Zylinders bzw. Rohres gleicher Fl¨ache mit R r = 0, 2R, welche an einer Seite eingespannt sind: −

I = 4, 6 I Rohr · Zylinder f.) Torsion Eine Verdrehung entspricht einer Scherung der einzelnen Elemente.

∆F r = G α = G θ ∆A · · L · Des weiteren gilt: R θ · = tan α α L ≈ Fur¨ die Zylinderhulse¨ erhalten wir nun: r dF = G θ 2πr dr · l · · dA r . /0 1 dM = G θ 2πr dr r · l · · ·

122 5.1. PHYSIK FESTER KORPER¨

Fur¨ das Drehmoment des gesamten Zylinders gilt:

R 2π G θ π G θ R4 π M = dM = · · r3 dr = · R4 = G θ L 2 · L · L · 2 · · 4 40 Dr

Allgemein gilt: . /0 1

M = D θ r ·

Dr nennt man entweder Richtmoment oder auch Torsionsmodul.

F¨alle: ✵ M = 16 M , wenn R = 2 R 2 · 1 2 · 1 ✵ M = 1 M , wenn L = 2 L 2 2 1 2 · 1 Um bestimmten Winkel θ zu erhalten!

Bestimmung des Richtmomentes (Torsionsmoduls):

Auch hier berechnen wir das Drehmoment:

M = D θ = J θ¨ · · 2 J ist das Massenträgheitsmoment, welches wir schon kennen. Es gilt beispielsweise JHantel = 2mR . Die Lösung der obigen Differentialgleichung finden wir mit dem Ansatz:

θ(t) = θ cos(ωt + φ) 0 · D ω = ⇒ : J 4π2 D = J ⇒ T 2

5.1.2 Härte eines Festkörpers Man beschreibt die Härte eines Feststoffes durch die Härteskala nach Moks:

123 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Eichsubstanz Moksh¨arte Talk 1 Gips 2 Kalkspat 3 Flußspalt 4 Apatit 5 Feldspat 6 Quarz 7 Topas 8 Korund 9 Diamant 10 Weitere Beispiele sind: Eichsubstanz Moksh¨arte Aluminium 2,3 - 2,9 Eisen 3,5 - 4,5 Stahl 7 Graphit 1 - 2 Glas 6 - 6,5 Rubin, Smaragd, Saphir 9

5.1.3 Thermische Eigenschaften von Festk¨orpern a.) Thermische Expansion

Es ergibt sich folgende L¨angen¨anderung: ∆L = α ∆T L ·

α =∧ linearer Ausdehnungskoeﬃzient

124 5.1. PHYSIK FESTER KORPER¨

Beispiele:

1 Material Ausdehnungskoeﬃzient α K 6 Aluminium 24 10− · 6 J K Stahl 10 10− · 6 Quarz 0, 4 10− · 6 Glas 9 10− ·

Beispiel: W¨armeausdehnung einer 600 m langen Stahlbruc¨ ke Winter/Sommer

T = 40◦C, T = +40◦C 1 − 2 ∆T = T T = 80 K 2 − 1 5 1 α = 10− Stahl K

5 1 ∆L = L α ∆T = 600 m 10− 80 K = 48 cm (!) · · · K · Die Bruc¨ ke wird auf beiden Seiten um 24 cm l¨anger.

Technische L¨osung: Schwelle:

Anwendung: Bimetallstreifen

Der Bimetallstreifen wird unter anderem verwendet fur:¨

✵ Temperaturmessung ✵ Thermostaten

125 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Volumen¨anderung:

∆V ∆ L3 3L2∆L ∆L = 3 = 3 = 3 = 3 α ∆T V LB C L L · · b.) W¨armeleitung

Material homogen, keine seitlichen W¨armeverluste

126 5.1. PHYSIK FESTER KORPER¨

dQ dT = λ A dt − · · dx dQ =∧ transportierte W¨armemenge dt

λ =∧ thermische Leitf¨ahigkeit

dT =∧ Temperaturgef¨alle dx

Beispiele:

W Material Thermische Leitf¨ahigkeit λ mK Silber 420 J K Aluminium 220

Gestein 2, 5

Wasser 0, 6

Luft 0, 026

Beispiel: W¨armeﬂuß durch Erdkruste

dQ = 0, 054 W dt

Fur¨ T1 = 10◦C wollen wir T2 berechnen: dQ ∆T = λ A dt − · · ∆x

dQ ∆x dt ∆T = · = 713◦C ⇒ λ A · T = 723◦C ⇒ 2

127 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

5.2 Mechanik von Flussigk¨ eiten

5.2.1 Hydrostatik

Dichtgepackte Systeme ohne starre Anordnung der Atome. N¨aherung: inkompressibel, kein Widerstand gegen Scherkr¨afte

Charakteristische Gr¨oßen: a.) Dichte

M ρ = V

g Symbol Element/Stoﬀ/Umgebung Dichte cm3 Os Osmium 23 = 23 103 kg J· K m3 Pt Platin 21

Au Gold 19

Hg Quecksilber 13,6

Pb Blei 11

Oliven¨ol 0,9

Wasser 1,0

Quarz 2,5

Neutronenstern, Kernmaterie 1017 ∼ 3 Luft 1, 3 10− · 17 kg Bestes Vakuum 10− m3 g Die Erde hat im Mittel eine Dichte von 5, 5 . cm3 b.) Druck

F P = , wobei F A A ⊥ N [P ] = 1 Pa = 1 Pascal 1 ≡ m2

Auch 1 atm = 1, 01 105 Pa =∧ 760 Torr (760 mm Hg) ·

128 5.2. MECHANIK VON FLUSSIGKEITEN¨

5.2.2 Hydrostatischer Druck durch Gravitation

F (y) = P (y) A · F (y + ∆y) = P (y + ∆y) A · ∆V wird nicht beschleunigt, daher ist die Summe aller Kr¨afte gleich Null:

F⃗i = 0 : i # P (y) A + M g P (y + ∆y) A = 0 · · − · Somit gilt:

A P (y + ∆y) A P (y) = A ∆P = ρ g A ∆y · − · · · · · ∆y 0, ∆P 0 : ,→ ,→ dP = ρ g dy · Wenn man dies integriert, folgt:

P (y) = P + ρ g y (Pascals Gesetz) 0 · ·

Beispiel: Wasserdruck in 60 m Tiefe

N kg m P (y ) = P + ρ g y = 1, 01 105 + 103 9, 81 60 m 6, 9 bar 0 0 H2O · · 0 · m2 m3 · s2 · ≈ 129 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Anwendungen: a.) Barometer

y = h : P (h) = P = ρ g h 0 Hg · · Damit gilt fur¨ die H¨ohe:

5 N P 1, 01 10 2 h = 0 = · m = 760 mm (0, 76 m) 3 kg m ρHg g 13, 6 10 9, 81 · · m3 · s2 b.) Auftrieb Schwimmende oder getauchte Objekte verdr¨angen Flussigk¨ eitsvolumen mit ihrem eigenen Volumen. Wenn V ρ < V ρ , dann schwimmt der K¨orper. Andernfalls sinkt er. Objekt · Objekt Flu¨ssigkeit · Flu¨ssigkeit

F = P A + ρ g A y auf 0 · Fl · · · F = P A + M g = P A + ρ g h A ab 0 · · 0 · · · · F F = ∆F = A g (ρ y ρ h) auf − ab · · Fl − Fl ·

✵ Falls ρFl VFl = ρ V ist, gilt ∆F = 0 und damit schwimmt der K¨orper. · · ✵ Falls ρ V > ρ V treibt er auf. Fl Fl · ✵ Falls ρ V < ρ V sinkt er. Fl Fl · c.) Hydrostatischer K¨orper/Hydraulische Presse

130 5.2. MECHANIK VON FLUSSIGKEITEN¨

F1 F2 P1 = = = P2 (P1 = P2) A1 A2 Wir vernachl¨assigen den Gravitationsdruck:

A2 F2 = F1 · A1

Vorschobenes Volumen ist gleich:

V = h A = h A = V 1 1 · 1 2 · 2 2

A1 h2 = h1 · A2

Beispiel:

a.) Welche Masse M kann mit der Kraft F1 angehoben werden?

2 2 A1 = 1 cm , A2 = 100 cm , F1 = 100 N

F2 P2 A2 P1 A2 F1 A2 100 N M = = · = · = = m 100 = 1020 kg ⇒ g g g g · A1 9, 81 s2 · b.) Wie hoch wird M gehoben?

h1 = 30 cm

A1 h2 = h1 = 0, 3 cm · A2 Will man h¨oher heben, muß man pumpen. d.) Bestimmung der Dichte von Objekten (Archimedes, Goldkrone)

131 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

F = M g F = 50 N 2 · − auf

F = M g = 45 N 1 · Daraus ergibt sich dann nach weiterer Rechnung:

F = M g F =! ϱ g V auf · − 2 Fl · · M g F V = · − 2 = 510 cm3 ϱ g Fl · Damit ergibt sich dann die Dichte der Krone: M ϱ g kg ϱ = = M Fl = 10 ϱ = 104 Krone V · Mg F · Fl m3 − 2 Es handelt sich also nur“ um golden angemaltes Blei! ”

Experiment: Dichte eines Steins

F = M g = 1, 04 N 1 · 132 5.2. MECHANIK VON FLUSSIGKEITEN¨

F = M g F = M g ϱ g V = 0, 64 N 2 · − auf · − Fl · · Damit ergibt sich dann das Volumen des Steins:

kgm M g F2 0, 4 s2 4 3 3 V = · − = = 0, 4 10− m = 40 cm 3 kg m ϱFl g 10 10 · · m3 · s2 Damit folgt fur¨ die Dichte:

kgm M 1, 04 s2 3 kg ϱ = = m 5 3 = 2, 5 10− 3 V 10 2 4 10 m · m s · · − 5.2.3 Hydrodynamik Jede organisierte Bewegung von nicht-festen Multiteilchensystemen wird Fließen genannt und durch die Hydro- dynamik beschrieben.

Ideale Strömungen: Flussigk¨ eit inkompressibel • keine Viskosität • Keine Turbulenz (d.h. nur laminare Strömungen) • ρ=const. •

d = v ∆t, d = v ∆t 1 1 · 2 2 · Das Volumen in ∆t ist konstant. Das heißt:

V1 = A1d1 = A1v1∆t = A2d2 = A2v2∆t = V2 = const.

Fluß:

φ = A1v1 = A2v2 = const. φ = A v = const. (Kontinuit¨atsgleichung) ⇒ ·

Die Bernoulli-Gleichung: Bewegte Flussigk¨ eit ist Ansammlung von sich bewegenden Massenpunkten. Damit gelten Newtons Gesetze.

133 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Der Druck leistet Arbeit:

W Arbeit Kraft Weg ≡ ≡ × W = P A v dt 1 1 · 1 · 1 · W = P A v dt 2 − 2 · 2 · 2 · W = W + W = (P P ) v A dt 1 2 1 − 2 · · φ=const. ∆E = m g ∆h = ρ v A d.t/0g1 (h h ) p · · · · · · · 2 − 1 m 1 1 ∆E = m v2 v2 . = /0ρ v 1A dt v2 v2 k 2 2 − 1 2 · · · 2 − 1

W = ∆Ep +B∆Ek C B C 1 (P P ) v A dt = ρ v A dt g (h h ) + ρ v A dt v2 v2 ⇒ 1 − 2 · · · · · · · · 2 − 1 2 · · · · · 2 − 1 1 1 B C P + ρv2 + ρgh = P + ρv2 + ρgh = const. ⇒ 1 2 1 1 2 2 2 2 1 P + ρv2 + ρgh = const. (Bernoullis Gleichung, 1783) ⇒ 2

Spezialf¨alle: a.) Flussigk¨ eit in Ruhe: v = 0

P + ρ g h = const. (Pascals Gesetz) · ·

134 5.2. MECHANIK VON FLUSSIGKEITEN¨ b.) Flussigk¨ eit ﬂießt horizontal (g=0)

1 1 A2 P = P + ρ v2 v2 = P + ρ v2 1 1 2 1 2 · · 1 − 2 1 2 · · 1 − A2 ' 2 ( B C Fur¨ A1 > A2 folgt P2 < P1.

Beispiel:

2 m 2 Es sei P1 = 2 bar, A1 = 1 m , v1 = 1 s und A2 = 0, 1 m . Damit folgt:

A1 m v2 = v1 = 10 A2 s

P2 = 1, 5 bar

Anwendung: Str¨omungsmeßinstrument

Messung von ∆p, A1, A2 :

2∆P φ = A v = A 1 · 1 1 · 2 $ A1 %ρ 1 % A2 − % ' ( & 2 3 Beispiel:

Wir betrachten ein zylindrisches Faß mit Loch im Boden (Durchmesser=1 cm).

135 Hierbei gilt, wenn wir v 0 setzen: 1 ≈ 1 P = P + ρv2 (h = 0) gϱh 1 2 2 2 − 5.3 Wellenausbreitung in der Mechanik 5.3.1 Schwingungen (Wiederholung) 1. Federschwingungen

a.) Unged¨ampft

d2x F = k x = m − · dt2 Diﬀerentialgleichungen

Wir verw. enden/0 folgenden1 Ansatz:

x(t) = A cos(ωt + φ) · Durch Einsetzen folgt:

k A cos(ωt + φ) = m Aω2 cos(ωt + φ) − · − · · Dies gilt zu allen Zeiten t.

mω2 = k − − k w = ⇒ :m 136 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

k x(t) = A cos t + φ ⇒ · 8 :m 9 Aus der Randbedingung x(t = 0) = A folgt φ = 0.

Schauen wir uns die Energiebilanz an: 1 1 dx 2 1 k k E = mv2 = m = m A2 sin2 t k 2 2 dt 2 m m ' ( : x 1 2 1 2 2 k E = kx′ dx′ = kx = kA cos t p 2 2 m 40 : 1 E = E + E = kA2 tot k p 2

b.) Ged¨ampfte Schwingung

dx d2x kx b = m − − · dt dt2 137 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Wir haben folgenden Ansatz:

λt x(t) = x e− cos ωt 0 · Die Phase φ wird weggelassen. Eingesetzt in Diﬀerentialgleichung ergibt:

λt λt λt kx e− cos ωt + bλ x e− cos ωt + bωx e− sin ωt = − 0 · 0 0 2 λt λt λt 2 λt = m λ x e− cos ωt + λ ω m x e− sin ωt + λ ω m x e− sin ωt ω m x e− cos ωt · 0 · · · 0 · · · 0 − · · 0 · Somit folgt:

λt λt 2 2 x e− sin ωt (bω 2λωm) = x e− cos ωt mλ mω + k bλ 0 − 0 − − Dies gilt fur¨ alle t! Damit haben wir: B C

b b ω = 2λ ω m λ = · · · ⇒ 2m

2 2 2 k b mλ mω + k bλ = 0 ω = 2 − − ⇒ :m − 4m Die L¨osung lautet:

2 b k b 2m t x(t) = x0e− cos 2 t 8:m − 4m 9

x(t) h¨angt stark ab von:

kx Mittlere Ruc¨ kstellkraft ⟨| |⟩ = bx˙ Mittlere Reibungskraft ⟨| |⟩ Diskussion: ✵ Keine D¨ampfung: b = 0 Hierbei erhalten wir eine einfache Kosinusfunktion:

k x(t) = x0 cos t :m

✵ D¨ampfung schwach“: b < √4mk ” Die Schwingung wird durch eine exponentiell ged¨ampfte Kosinusfunktion beschrieben:

138 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

✵ Grenzfall: b = √4mk Mit ω = 0 und cos ωt = 1 ergibt sich eine Exponentialfunktion:

b x(t) = x0e− 2mt

✵ Ub¨ erdämpfung: b > √4mk Die Kreisfrequenz ω ist imaginär! Der Kosinusansatz zur Lösung der Differentialgleichung ist ungultig!¨

m Lebensdauer“: τ = ” b

139 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Gedämpfte Federschwingung: Die Physik steckt in der Kraftgleichung: dx d2x kx b = m − − dt dt2 Die Lösung dieser Differentialgleichung gibt die Bewegungsgleichung: ⇒

b k b2 x(t) = x exp t cos t 0 −2m · m −4m2 ' ( $ % 2 % ω0 % &./01 Physikalische Größen: ✵ Lebensdauer: 2m τ = b 1 Dies entspricht der Abklingzeit, bei der die Amplitude auf e x0 abgefallen ist. ✵ Qualitätsfaktor: Q = ω τ · Es handelt sich um die Anzahl der Oszillationen (in rad) während der Abklingzeit.

Beispiele: ✵ Stimmgabel: Q 104 ≈ ✵ Federpendel: Q 10 20 ≈ − Fur¨ die gesamte Energie gilt: 1 1 t m E = mv2 + kx2 = E exp mit τ = tot 2 2 0 · −τ E b ' E ( Die Energie ist somit keine Erhaltungsgr¨oße! Sie wird umgewandelt durch Reibung in W¨arme, Wirbel.

Beispiel:

Es sei τ = 5 s und T = 5 ms. Damit folgt: 2π 2π Q = τ = 5 s = 6280 T · 5 10 3 s · · − 140 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK c.) Erzwungene Schwingungen:

Wir betrachten ein periodisch angeregtes oszillierendes System mit D¨ampfung. Die zugeh¨orige Kraft- gleichung lautet:

dx d2x kx b + F cos ωt = m − − dt 0 dt Umgeformt ergibt sich:

2 F0 b 1 k x¨ + 2γx˙ + ω0x = cos ωt mit γ = = und ω0 = m 2m τ :m Homogene ' ( Diﬀerentialgleichung . /0 1 Wir verwenden folgenden L¨osungsansatz:

γt x(t) = x e− cos (ω t + φ ) + x cos(ωt + φ ) 1 · 1 1 2 2 Lösung der homogenen spezielle Lösung Differentialgleichung nach t τ . /0 1 . /0≫ 1 Wir beschränken uns auf eine spezielle Lösung nach t τ. Der Ansatz lautet: ≫ x(t) = x cos(ωt + φ ) 2 · 2 Damit folgt das Ergebnis:

F0 m ✵ x2 = (ω2 ω2)2 + (2γω)2 0 − Die Amplitude" ist somit frequenzabhängig! Die Herleitung findet man beispielsweise im Dem- tröder 11.5 2γω ✵ tan φ2 = 2 2 −ω0 ω Phasenverschiebung− : Schwingung der Masse hinkt der Erregerschwingung hinterher.

141 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Diskussion: Amplitude

Der Wert der Amplitude wird theoretisch nur fur¨ γ = 0 erreicht. ∞ 1.) Fur¨ γ = 0 haben wir keine Dämpfung. ω0 2.) Resonanzkurve γ = 0, 1 (schwache Dämpfung) ω0 3.) γ = 1 (starke Dämpfung) ω0 Die Halbwertsbreite beträgt ∆ω 2γ √3 und das Full Width Half Maximum (FWHM) ≈ · beträgt b √3. Fur¨ γ 0 (d.h. b 0) gilt x , ∆ω 0. m ,→ ,→ 2 ,→ ∞ ,→ 2. Pendelschwingungen

a.) Mathematisches Pendel

d2θ mg sin θ = m a = m l − · · dt Diese Differentialgleichung ist nicht algebraisch lösbar! Wir verwenden deshalb folgende Näherung: θ3 θ5 π sin θ = θ + . . . θ fur¨ θ − 3! 5! − ≈ ≪ 2 Damit erhalten wir folgende Differentialgleichung:

d2θ g + θ = 0 dt2 l 142 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Folgender Ansatz ist sinnvoll:

θ(t) = θ0 cos ωt Damit erhalten wir: g l ω = =∧ T = 2π F⃗ l !g ⊥ : 2 3 T Betrachten wir außerdem folgenden Spezialfall. Fur¨ 2 = 1 s gilt: 4 s2 m l = 9, 81 1 m 4π2 · s2 ≈ Dies ist das sogenannte Sekundenpendel“. ” 5.3.2 Vergleich zwischen Pendel- und Federschwingung Behauptung: Pendel, dessen L¨ange gleich Ausdehnung einer Feder durch ein Gewicht ist, hat die gleiche Frequenz wie die Feder.

Beweis: Die Federdehnung ist gegeben durch: l m m g = k l = · · ⇒ g k k g ω = = = ω ⇒ F m l P : : b.) Physikalisches Pendel

143 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Es ergibt sich folgendes Drehmoment:

M⃗ = ⃗r m ⃗g = J α⃗ × · · d2θ d2θ m g r r m g sin θ = J = · · θ = 0 − · · · · dt2 ⇔ dt2 J Auch hier benutzen wir die N¨aherung sin θ θ. Somit gilt fur¨ die L¨osung: ≈ m g r θ(t) = θ cos · · t 0 J :

Beispiele: ✵ Masse konzentriert im Massenmittelpunkt:

J = mr2 ⇒ m g r g ω = · · = (=∧ mathematisches Pendel) J r : : ✵ Pendel ist dunner¨ Stab

l r = 2 1 4 J = ml2 = mr2 3 3 m g r 3 g 3 g ω = · · = = J 4 · r 2 · l : : : 3. Gekoppelte Schwingungen

a.) Einfachster Fall: Gekoppeltes Federpendel

144 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

m x¨ = k x k (x x ) 1 1 − 1 1 − 12 1 − 2 m x¨ = k x k (x x ) 2 2 − 2 2 − 12 2 − 1 Es handelt sich um ein System aus gekoppelten Diﬀerentialgleichungen. Wir betrachten hierzu folgenden Spezialfall: m = m m 1 2 ≡ k = k k 1 2 ≡ Damit folgt: mx¨ = kx k (x x ) 1 − 1 − 12 1 − 2 mx¨ = kx k (x x ) 2 − 2 − 12 2 − 1 Durch Addition bzw. Subtraktion dieser beiden Diﬀerentialgleichungen ergibt sich nun folgendes System: m (x¨ + x¨ ) = k (x + x ) 1 2 − 1 2

2X¨M m .(x¨ /0 x¨ 1) = k (x x ) 2k (x x ) 1 − 2 − 1 − 2 − 12 1 − 2

2X¨D ✵. Mittlere/0 1 Auslenkung:

1 X = (x + x ) M 2 1 2 ✵ Diﬀerenz: 1 X = (x x ) D 2 1 − 2

145 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Damit erhalten wir also zwei Diﬀerentialgleichungen, die voneinander unabh¨angig sind:

mX¨ = kX M − M mX¨ = kX 2k X D − D − 12 D Hierbei folgt nun die L¨osung:

k XM = A1 cos (ω1t + φ1) mit ω1 = :m

k + 2k12 XD = A2 cos (ω2t + φ2) mit ω2 = : m

Beispiele:

a.) Massen schwingen in Phase:

k XM = x1(t) = x2(t) = A1 cos (ω1t + φ1) (= A2 cos (ω1t + φ2)) mit ω1 = :m

b.) Massen schwingen gegenl¨auﬁg:

XM = 0

Damit haben wir:

k + k12 x1(t) = x2(t) = XD(t) = A1 cos (ω2t + φ1) = A2 cos (ω2t + φ2) mit ω2 = − − : m

146 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Demonstration:

g ω = 1 l :

g 2k12 ω2 = + : l m c.) Massen sind außer Phase (A = A A) 1 2 ≡

x1(t) = XM + XD = A [cos (ω1t + φ1) + cos (ω2t + φ2)] = ω ω φ φ ω + ω φ + φ = 2A cos 1 − 2 t + 1 − 2 cos 1 2 t + 1 2 2 2 · 2 2 ' ( ' ( x (t) = X X = A [cos (ω t + φ ) cos (ω t + φ )] = 2 M − D 1 1 − 2 2 ω ω φ φ ω + ω φ + φ = 2A sin 1 − 2 t + 1 − 2 sin 1 2 t + 1 2 − 2 2 · 2 2 ' ( ' ( Wir erhalten fur¨ die Periode einer Schwebung:

2π T = ω ω 2 − 1

147 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Lissajous-Figuren:

Diese entstehen bei Ub¨ erlagerung harmonischer Schwingungen mit ganzzahligem Frequenzverh¨altnis, die senkrecht zueinander stehen. x = x0 sin(ωt) y = y0 sin(ωt + ϕ) = y0 sin(ωt) cos ϕ + y0 cos(ωt) sin ϕ

x x 2 sin(ωt) = und cos(ωt) = 1 x − x 0 ! ' 0 ( Durch Einsetzen in obige Gleichung folgt:

x x 2 y = y cos ϕ + y 1 sin ϕ 0 · x · 0 · − x · 0 ! ' 0 ( Durch Umformen ergibt sich:

y x x 2 cos ϕ = 1 sin ϕ y − x − x 0 0 ! ' 0 ( Quadriert man diese Gleichung, so erh¨alt man die allgemeine Ellipsengleichung:

y 2 x 2 2xy + cos ϕ = sin2 ϕ y x − x y ' 0 ( ' 0 ( 0 0 Fur¨ ϕ = 0 erh¨alt man eine Gerade: y y = 0 x x0 π Fur¨ ϕ = resultiert eine Ellipse: 2

y 2 x 2 + = 1 y x ' 0 ( ' 0 ( Allgemein ergeben sich fur¨ ganzzahlige Frequenzverh¨altnisse geschlossene Raumkurven, die von der Phasenlage unabh¨angig sind.

5.3.3 Wellen Allgemeines: Wellen sind Erscheinungen der Natur, welche gekoppelte oszillierende Systeme darstellen.

148 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

✵ Transversale Wellen Vertikalschwingungen aller Punkte l¨angs der Welle, Beispiel: Wasserwellen

✵ Longitudinale Wellen Horizontalschwingungen aller Punkte, Beispiel: Schallwellen

✵ Eindimensionale Wellen (Feder, Saite, . . . )

✵ Zweidimensionale Wellen (Wasserwellen, vibrierende Platte, . . . )

✵ Dreidimensionale Wellen (elektromagnetische Wellen, Schall, . . . )

✵ Stehende Wellen

Beispiel: Saite Alle Punkte bewegen sich in Phase.

✵ Laufende Welle

Die Auslenkung verschiebt sich.

1.) Die Wellengleichung: Wir wollen die Wellengleichung mit Hilfe der Saitenschwingung herleiten:

149 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

dz F (x) = F sin θ F tan θ = F z · ≈ · · dx dz dz F (x + ∆x) = F sin(θ + ∆θ) F + ∆ z · ≈ · dx dx ' ( dz d2z f (x + ∆x) F (x) = F ∆ = ∆m z − z · dx dt2 ∂2z dm ∂2z ∆x 0 : F = ∂ =∧ partielle Ableitung ,→ · ∂x2 dx ∂t2 dm kg Mit der linearen Massendiche dx = µ m ergibt sich die Wellengleichung: L M ∂2z µ ∂2z = ∂x2 F · ∂t2

Dies ist eine partielle Diﬀerentialgleichung.

L¨osung:

Es wird folgender Ansatz verwendet:

z(x, t) = z0 sin(kx + δ) cos(ωt + φ)

Damit ist: ∂z = k z cos(kx + δ) cos(ωt + φ) ∂x · 0 · ∂2z = k2 z sin(kx + δ) cos(ωt + φ) = k2z(x, t) ∂x2 − · 0 · − 150 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

∂z = ωz sin(kx + δ) sin(ωt + φ) ∂t − 0 ∂2z = ω2z sin(kx + δ) cos(ωt + φ) = ω2z(x, t) ∂t2 − 0 − Durch Einsetzen in die Diﬀerentialgleichung erh¨alt man: µ k2z(x, t) = ω2z(x, t) − −F Somit folgt:

F 2π F ω = k = · ! µ λ ! µ ✵ Hier bekommen wir einen Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge. ✵ Je größer die Saitenspannung ist, desto größer ist ω. ✵ Je größer die Saitenmasse (Massendichte) , desto kleiner ist ω.

Die allgemeine Wellengleichung lautet:

∂2z 1 ∂2z = ∂x2 v2 ∂t2

2.) Stehende Wellen: Jeder Punkt oszilliert um die x-Achse mit gleicher Frequenz.

z(x, t) = f(x) g(t) · Amplitude Zeitab- h¨angigkeit ./01 ./01 a.) Sonderfall: Harmonischer Oszillator

f(x) = z sin(k x + δ) 0 · f(t) = cos(ωt + φ) 2π ω =∧ Frequenz der Oszillation: ω = T 2π k =∧ Wellenzahl: k = λ

λ =∧ Wellenl¨ange.

b.) Schwingungsmoden: ✵ n = 1 : λ = 2 L ·

151 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

✵ n = 2 : λ = L

✵ 2 n = 3 : λ = 3 L

2 λ = L n n · c.) H¨ohere Moden:

2 n π F λn = L, daher: ωn = · n L :m 3.) Laufende Wellen: Wellenform bewegt sich mit Geschwindigkeit v und transportiert Energie, auch wenn die oszillierenden K¨orper am selben Ort bleiben.

z(x, t) = f(x v t) − · Jede laufende Welle wird durch f(x vt) beschrieben, f genugt¨ der Wellengleichung. −

z(x, t) = z(x , 0) = z = f(x ) = f(x vt) 0 0 0 −

152 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Spezieller Fall: Harmonische laufende Welle

Wir verwenden folgenden Ansatz: 2π 2π z(x, t) = z sin k(x vt) = z sin(kx k vt) = z sin(kx ωt), da ω = = v = k v 0 − 0 − · 0 − T λ · ·

P oszilliert mit der Frequenz ω. Damit ist folgender Ansatz sinnvoll: z(x, t) = z sin(kx ωt) 0 − Durch Einsetzen in die Wellengleichung kann man den Ansatz veriﬁzieren.

Behauptung:

u Jede Funktion f(k(x vt)) genugt¨ der Wellengleichung. − 0 1. /

Beweis:

∂2z d2f = +k2 ∂x2 du2 ∂2z d2f ∂2z = k2v2 = u2 ∂t2 du2 ∂x2 Mit u = kx kvt und der Kettenregel resultiert: − ∂f(u(x)) df du = ∂x du · dx

Zusammenfassung zu Wellen:

Laufende Wellen: Form, die sich mit Geschwindigkeit v fortbewegt 1.) Eindimensional: A(x, t) = A f(kx ωt) = A f (k (x v t)) 0 − 0 − · v ist die Phasengeschwindigkeit. 2.) Zweidimensional, Dreidimensional: A⃗(⃗r, t) = A⃗ f(⃗k⃗r ωt) 0 · −

Stehende Wellen: Form, bei der Knoten und B¨auche an gleicher Stelle bleiben

1.) Eindimensional: A(x, t) = A0f(x)g(t)

2.) Zweidimensional, Dreidimensional: A⃗(⃗r, t) = A⃗0f(⃗r)g(t)

A⃗(⃗r, t) genugt¨ der Wellengleichung: 153 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

✵ Eindimensional:

∂2A 1 ∂2A = ∂x2 v2 ∂t2 ✵ Zweidimensional, Dreidimensional:

1 ∂2A⃗ ∂2 ∂2 ∂2 A⃗ = mit + + △ v2 ∂t2 △ ≡ ∂x2 ∂y2 ∂z2 ' ( bezeichnet man als Laplace-Operator. △ 4.) Energie und Intensit¨at von Wellen: Betrachten wir zur Herleitung wieder die Saite:

Fur¨ die kinetische Energie erh¨alt man mit der Linienmassendichte µ:

1 1 ∂z 2 ∆E = ∆mv2 = µ ∆x k 2 z 2 · · ∂t ' ( dE 1 ∂z 2 k = µ dx 2 ∂t ' ( Fur¨ die potentielle Energie folgt:

Mit (1 + α)n 1 + n α fur¨ α 1 resultiert: ≈ · ≪ 2 2 2 2 ∂z 1 ∂z dEp = F⃗ d⃗s F dx + dz dx = F dx 1 + 1 F dx · ≈ − · · ⎛! ∂x − ⎞ ≈ · · 2 ∂x 2 3 ' ( ' ( @ d⃗s | | ⎝ ⎠ Damit folgt: . /0 1

dE 1 ∂z 2 p = F dx 2 ∂x ' ( 154 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Gesamtenergie des Massenelementes am Ort x:

dE 1 ∂z 2 1 ∂z 2 = µ + F dx 2 ∂t 2 ∂x ' ( ' (

Beispiel: Laufende harmonische Welle:

z(x, t) = z sin(kx ωt) 0 − ∂E 1 1 = µω2z2 cos2(kx ωt) + F k2 z2 cos2(kx ωt) ∂x 2 0 − 2 · · 0 · − Da µω2 = F k2, gilt: · dE = µ ω2 z2 cos2(kx ωt) dx · · 0 · −

Energie wird transportiert! ⇒ E (Amplitude)2 ∝ E ω2 ∝

Leistung, Intensit¨at:

mittlere Energiedichte L¨ange des Wellenzuges P = · ⟨ ⟩ Zeiteinheit dE dx P = ⟨ ⟩ dx · dt N O Fur¨ die Saite haben wir: 1 P = µω2 z2 v ⟨ ⟩ 2 · 0 · P I = ⟨ ⟩ Fl¨ache 5.3.4 Anwendung: Akustik, Schallwellen Schall ist eine longitudinale Druckwelle in einem Medium:

✵ Gas

✵ Flussigk¨ eit

✵ Festk¨orper

Ausbreitungsgeschwindigkeit:

Ruc¨ kstellkraft (Kraftfaktor) v ( c) = ≡ ! Tr¨agheitsfaktor Bei einer Saite gilt:

F v = ! µ

In verschiedenen Medien berechnet sich die Schallgeschwindigkeit jeweils anders:

155 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

✵ Metallstab:

E v = ! ϱ

E ist das Elastizit¨atsmodul.

✵ Flussigk¨ eit:

K v = ! ϱ

Bei K handelt es sich um das Kompressionsmodul.

✵ Gas:

p v = 0 κ ρ · : 0

p0 =∧ mittlerer Druck

ρ0 =∧ mittlere Dichte κ 1, 4 fur¨ reelle Gase, κ = 1 fur¨ ideale Gase ≈ Betrachten wir folgende Beispiele: km v = 6 Fe s m v = 1485 H2O s m v = 1260 H2 s p 105 N 0 ≈ m2 m m v v = 330 bei 0◦C, v = 344 bei 20◦C Luft ⎧ ⎫ s s ρ 1, 3 kg ⎨ 0 ≈ m3 ⎬ Erl¨auterung:⎩ ⎭

✵ Je höher der Druck p0, desto höher ist die Stoßrate der Luftmolekule¨ und desto größer v.

✵ Je größer die Dichte ρ0 ist, desto größer ist die Trägheit des Mediums und desto kleiner v.

1.) Stehende Schallwellen:

a.) Pfeife, an beiden Enden oﬀen:

156 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

✵ Fur¨ Grundwelle:

λ1 = 2L

✵ Erste Oberwelle:

λ2 = L

. . ✵ (n 1)-te Oberwelle: − 2L λ = n n

ω n ν = n = v n 2π 2L ·

157 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

b.) Pfeife, an beiden Enden geschlossen

λ1 = 2L . . 2L n λ = , ν = v n n n 2L c.) Ein Ende oﬀen, eins geschlossen

158 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

λ1 = 4L 4 λ = L 2 3 4L λ = n 2n 1 − 2n 1 ν = − v n 4L

Beispiel:

Betrachten wir eine Orgelpfeife der L¨ange 4,4 m: 344 m ν = s 19, 5 Hz 1 4 4, 4 m ≈ · Demonstrationen:

a.) Vergleiche Flöte Ende offen/geschlossen (ein Ende offen und eins geschlossen): v v 1 ν = ; ν = = ν o 2L g 4L 2 o 1 Oktave ⇒ b.) Experiment 1: Stehende Wellen/Schallgeschwindigkeit

159 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

✵ Frequenz: 1 ν = = 1, 8 kHz 0, 6 ms ✵ Wellenl¨ange: Es existieren 2 Lautst¨arkemaxima zwischen ∆x = 9 10 cm. −

Damit gilt: λ = 2∆x = 18 cm Wir erhalten schließlich: m v = λ ν = 0, 18 m 1800 Hz = 324 · · s ∆λ ∆v Mit 10% und 10% folgt: λ ≈ v ≈ m v = 324 32 ± s c.) Experiment 2:

L 9, 9 m m v = = = 341 t t 0, 029 s s 1 − 0 d.) Schallfrequenz in unterschiedlichen Medien: In einem Gas gilt: p v = 0 κ ρ · : 0 v Mit ν = , kleinerem ρ und konstantem λ folgt, daß ν größer wird. λ 0 2.) Hören: Das Ohr ist ein empfindliches Schallorgan mit logarithmischem Ansprechverhalten. 160 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Deﬁnitionen:

✵ Ton: Rein harmonische Schwingung; Tonhöhe durch ν und Tonstärke durch P 2 bestimmt ✵ Klang: Ub¨ erlagerung von harmonischen Schwingungen ✵ Geräusch: Unperiodischer Schallimpuls ✵ Knall: Kurzer Schallimpuls

Außerdem sind folgende Begriffe fur¨ das Hörverhalten wichtig: ✵ Hörschwelle: Dabei handelt es sich um die minimal hörbare Schallintensität:

12 W I (ν = 1 kHz) = 10− min m2

15 Im Ohr: ! 10− W ✵ Lautst¨arke:

I(ν) 1 dB 10 log10 [Phon] ≡ · Imin Dezibel ./01 Beispiele:

Geräusch Intensität leises Flustern¨ 10 Phon lautes Reden 50 Phon Preßlufthammer 100-130 Phon Diskothek 100-130 Phon startendes Dusenflugzeug¨ 120-160 Phon

161 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

5.3.5 Wellen von bewegten Quellen/Empfängern (Doppler-Effekt) Experiment: Dopplereffekt registrierte Frequenz f = emittierte Frequenz f E ̸ Q a.) Die Quelle ruht und der Empfänger bewegt sich.

λQ TE = c + vE

1 c + vE fE = = wird gr¨oßer TE λQ

vE c 1 + c fE = · B λQ C 162 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

v f = f 1 + E E Q c 2 3

v f = f 1 E E Q − c 2 3 b.) Quelle bewegt sich und Empf¨anger ruht.

c = λ f Q · Q λ T = Q Q c λ = λ v T E Q − Q Q c c λQ fQ fE = = = · λQ λE λQ vQTQ λ v − Q − Q c 1 f = f E Q · 1 vQ − c

1 fE = fQ vQ · 1 + c

163 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

c.) Quelle und Empf¨anger bewegen sich.

1. Quelle und Empf¨anger bewegen sich aufeinander zu.

c + v f = f E E Q · c v − Q 2. Quelle und Empf¨anger bewegen sich voneinander weg.

c vE fE = fQ − · c + vQ

3. Quelle und Empf¨anger bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in die gleiche Richtung.

c + vE fE = fQ · c + vQ

Nebenbemerkung:

vQ > c

c t c · = = sin α = [Ma] [Mach] v t v Q · Q

Fur¨ elektromagnetische Wellen:

c v f = f − E Q · c + v : v =∧ relative Geschwindigkeit

5.3.6 Ub¨ erlagerung von Wellen 1.) Ub¨ erlagerung von Wellen gleicher Frequenz: Ungest¨orte Superposition additive Ub¨ erlagerung/Interferenz ⇒

Beispiel: 2 eindimensionale Wellen

z (x, t) = z cos(ωt kx) 1 0 − z (x, t) = z cos(ωt kx + ϕ) 2 0 − z(x, t) = z (x, t) + z (x, t) = z (cos(ωt kx) + z cos(ωt kx + ϕ)) ⇒ 1 2 0 − 0 −

164 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Es gilt das Additionstheorem: α + β α β cos α + cos β = 2 cos cos − 2 2 ωt kx + ωt kx + ϕ ωt kx ωt + kx ϕ z(x, t) = 2z cos − − cos − − − = 0 · 2 · 2 ' ( ' ( ϕ ϕ = 2z cos cos ωt kx + 0 − 2 · − 2 2 3 2 3 Amplitude laufende Welle . /0 1 . /0 1 2 Spezialf¨alle:

ϕ = 0, Amplitude = 2z0 ϕ = π, Amplitude = 0

Konstruktive Interferenz Destruktive Interferenz

ϕ = k 2π k Z ϕ = (2k + 1) π k Z · ∈ · ∈ ∆ = m λ m Z ∆ = (2m + 1) λ m Z · ∈ · ∈

Beispiel: stehende Wellen

z (x, t) = z cos(ωt kx) 1 0 − z2(x, t) = z0 cos(ωt + kx)

165 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

z(x, t) = 2z cos(ωt) cos( kx) 0 − Hierbei handelt es sich also um eine stehende Welle.

2.) Ub¨ erlagerung von Wellen unterschiedlicher Frequenz: Reale physikalische Welt kennt Wellenzuge.¨

Simulieren wir durch den Schwebezustand von zwei eindimensionalen Wellen:

z (x, t) = z cos(ω t k x) 1 0 1 − 1 z (x, t) = z cos(ω t k x) 2 0 2 − 2 (ω t k x) + (ω t k x) (ω t k x) (ω t k x) z(x, t) = z (x, t) + z (x, t) = 2z cos 1 − 1 2 − 2 cos 1 − 1 − 2 − 2 = 1 2 0 2 2 ω + ω k + k ω ω k k = 2z cos 1 2 t 1 2 x cos 1 − 2 t 1 − 2 x o 2 − 2 · 2 − 2 ' ( ' ( z(x, t) = 2z cos(ωt kx) cos(∆ωt ∆kx) 0 − · − laufende Welle Modulation (hohe Frequenz) (niedrige Frequenz) . /0 1 . /0 1

Experiment: Stimmgabel

166 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Fortpﬂanzungsgeschwindigkeit fur¨ z(x, t):

ωt kx = const. − dx ω = = v dt k Ph vPh ist die sogenannte Phasengeschwindigkeit.

∆ωt ∆k x = const. − · const. ∆ωt x = − ∆k dx ∆ω dω v = = = = v dt ∆k dk Gr vGr heißt Gruppengeschwindigkeit.

Superpositionsprinzip:

Wenn z1(x, t) und z2(x, t) Wellenfunktionen sind, dann auch die Summe bzw. die Diﬀerenz z1(x, t) z (x, t), oder das Produkt mit einem konstanten Koeﬃzienten a z (x, t). ± 2 · 1

Grund:

Wie Wellengleichung ist linear in z(x, t).

Beispiel: 2 laufende eindimensionale harmonische Wellen: z (x, t) = z cos(k x ω t) 1 0 1 − 1 z (x, t) = z cos(k x ω t) 2 0 2 − 2 Wir addieren die beiden Wellen: z + z z(x, t) = 2z cos(kx ωt) cos(∆kx ∆ωt), wobei gilt: 1 2 ≡ 0 − · − ω + ω k + k ω ω k k ω = 1 2 , k = 1 2 , ∆ω = 1 − 2 , ∆k = 1 − 2 2 2 2 2

167 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

✵ Im Punkt P1:

kx ωt = const. − dx ω ω + ω = = 1 2 v (Phasengeschwindigkeit) dt k k + k ≡ Ph 6 1 2 7

✵ Im Punkt P2:

∆kx ∆ωt = const. − dx ∆ω ω ω = = 1 − 2 v (Gruppengeschwindigkeit) dt ∆k k k ≡ Gr 6 1 − 2 7

Falls sich die Welle in einem Medium ausbreitet, kann die Frequenz abh¨angig von der Wellenzahl (d.h. Wellenl¨ange) sein.

ω = ω(k) = ω(λ) { } Dies ist die sogenannte Dispersionsrelation. Mit ω = v k folgt: Ph · dω d dv v = = (v k) = v + k Ph Gr dk dk Ph · Ph · dk 2π dk 2π Mit k = ergibt sich = und daraus folgt wiederum: λ dλ − λ2 2π dv λ2 dv v = v + Ph = v λ Ph v Gr Ph λ · dλ −2π Ph − dλ ≤ Ph ' (

168 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Beispiel:

3.) Pulsformen: Jede periodisch wiederkehrende Funktion kann durch Superposition von harmonischen Wellen beschrieben werden:

Durch Entwicklung in eine Fourierreihe folgt:

∞ ∞ f(t) = a0 + an cos nωt + bn sin nωt n=1 n=1 # # Die Komponenten der Fourierreihe berechnen sich folgendermaßen:

T 2 a = f(t) cos(nωt) dt n T 40

T 2 b = f(t) sin(nωt) dt n T 40 (Fouriertransformation)

169 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Beispiel: Rechteckfunktion

T +1 fur¨ t = 0 . . . 2 f(t) = ⎧ T ⎪ 1 fur¨ t = . . . T ⎨− 2 i.) 1.F⎩⎪ourierkoeﬃzient 2π Mit ω = folgt: T

T 2 T T 2 2 1 2 T an = cos(nωt) dt cos(nωt) dt = [sin nωt]0 [sin nωt] T = T ⎛ − ⎞ T nω − 2 40 4T 2 3 ⎜ 2 ⎟ 1 ⎝ ⎠ = (sin nπ sin 0 sin n 2π + sin nπ) = 0 fur¨ alle n nπ − − ·

ii.) 2.Fourierkoeﬃzient

T 2 T 2 1 b = sin(nωt) dt sin(nωt) dt = ( cos nπ + cos 0 + cos n 2π cos nπ) = n T ⎛ − ⎞ nπ − · − 40 4T ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ = (1 cos nπ) nπ − +1 fur¨ n gerade cos nπ = 1 fur¨ n ungerade 6 − Damit folgt:

0 fur¨ n gerade b = n ⎧ 4 ⎪ fur¨ n ungerade ⎨ n π · ⎩⎪ 4 1 1 f(t) = sin ωt + sin 3ωt + sin 5ωt + . . . (= Rechtecksfunktion) π 3 5 ' (

170 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Die Funktion lautet also:

4 ∞ 1 f(t) = sin ((2k + 1)t) π 2k + 1 k#=0

k = 0 k = 1

k = 2 k = 3

k = 4 k = 5

171 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

k = 6 k = 10

k = 48

Beispiel:

Betrachten wir die Funktion f(t) = sin(ωt). Damit erhalten wir folgendes Spektrum:

4.) Interferenz von Wellen in 2 und 3 Dimensionen:

a.) Illustration

✵ L1 = L2 beziehungsweise L2 = L1 + nλ: Amplituden der Teilwellen addieren sich am Ende =∧ konstruktive Interferenz ✵ L = L + n 1 λ: Amplituden der Teilwellen l¨oschen sich aus =∧ destruktive Interferenz 2 1 − 2 B C

172 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

b.) Ub¨ erlagerung zweier radialer Wellen

Am Punkt P gilt:

L1 = 6λ

L2 = 4λ Konstruktive Interferenz ⇒ Generell: An jedem Ort, wo ∆L = L L = n λ, ﬁndet konstruktive Interferenz statt. | 1 − 2| ·

173 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Es ﬁndet eine konstruktive Interferenz statt, wenn L L = n λ = d sin θ . | 1 − 2| · · n nλ sin θ = Maxima n d ⇒ (2n 1) λ sin θ = − 2 Minima n d ⇒ Im Zweidimensionalen (Wasserwellen) sieht ein Interferenzmuster folgendermaßen aus:

✵ Konstruktive Interferenz: Sie tritt bei folgenden Winkeln auf: n λ sin θ = · = L L n d | 2 − 1| nλ Maxima beﬁnden sich auf einem Schirm bei x = R sin θ = R fur¨ n = 0, 1, . . . n ± · n ± · d ✵ Destruktive Interferenz: 1 n 2 λ Minima treten auf dem Schirm bei xn = R − auf. ± B d C

174 5.3. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Beispiel (Rock-Konzert):

Sie h¨oren ein Maximum bei: n 30 m c x = · · m ± 3 m ν · Betrachten wir folgendes Zahlenbeispiel:

ν = 2 kHz : x = 0 m, 1, 72 m, . . . m ±

175 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

5.4 Licht und Materie - Korpuskel und Welle 5.4.1 Licht als elektromagnetische Welle

∆L = L L = n λ | 1 − 2| · ✵ Maxima: n λ sin θ = · n d

✵ Minima:

1 n + 2 λ sin θn = · B d C 5.4.2 Licht als Korpuskel Erste Beobachtung durch Photoeﬀekt (Heute 1887, sp¨ater Hallwacks, Lenard)

176 5.4. LICHT UND MATERIE - KORPUSKEL UND WELLE

Interpretation: Das Licht gibt dem Elektron einen Schubs“, der umso st¨arker ist, je gr¨oßer die Frequenz ν des verwendeten ” Lichtes ist. Planck stellte diese Theorie um 1900 auf; Einstein erhielt 1905 dafur¨ den Nobelpreis.

E ν γ ∝ Licht E = h ν γ · Licht besteht aus einzelnen Korpuskeln ( Photonen“). ” ω Eγ = h ν = h " ω · · 2π ≡ ·

34 h nennt man das Plancksche Wirkungsquantum. Dessen Wert betr¨agt 6, 626 10− Js. Eine interessante Konsequenz hieraus ist: ·

E = h ν = mc2 · Damit erh¨alt man die kinetische Masse eines Photons:

h ν m = · γ c2

Exkurs: Komplexe Zahlen

Eulersche Darstellung und Polarkoordinaten-Darstellung einer komplexen Zahl z = x + iy sind ¨aquivalent: eiϕ = cos(ϕ) + i sin ϕ

iϕ e− = cos( ϕ) + i sin( ϕ) = cos(ϕ) i sin(ϕ) − − − Der Beweis erfolgt mit den Taylorentwicklungen der Funktionen ex, sin(x) und cos(x).

i2 = 1 − 177 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨ z = x + iy z = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z = reiϕ Der Betrag folgt anschaulich mittels des Satzes von Pythagoras anwendbar auf die Darstellung in der komplexen Zahlenebene:

z = r = x2 + y2 | | Die Projektionen@ auf die jeweiligen Achsen ergeben sich durch:

Re(z) = x = r cos(ϕ)

Im(z) = y = r sin(ϕ) Die konjugiert komplexe Zahl folgt durch Spiegelung an der reellen Achse:

z = x + iy z⋆ = x iy −

iϕ ⋆ iϕ z = re z = re− Des weiteren lassen sich damit Sinus und Kosinus mit komplexen Exponentialfunktionen darstellen:

iϕ iϕ iϕ iϕ e + e− e e− cos(ϕ) = , sin(ϕ) = − 2 2i 5.4.3 Materie als Welle Bei Licht besteht ein sogenannter Dualismus Welle - Korpuskel. Fur¨ den Impuls einer elektromagnetischen Welle ergibt sich: h ν h m c = · = · c λ Im Jahre 1923 stellte De Broglie die Theorie auf, daß Materie analog zu Licht eine Wellennatur besitzt: h m v = · λ Hieraus ergeben sich folgende Konsequenzen:

✵ Beugung und Interferenzeﬀekte von Teilchen (beispielsweise e−, n, . . .) ✵ Diskrete Energiezust¨ande im Atom

Das Elektron formt eine stehende Welle.

✵ Heisenbergsche Unsch¨arferelation

∆p ∆x h x · " Materieteilchen treten als Wellenpakete auf.

178 5.4. LICHT UND MATERIE - KORPUSKEL UND WELLE

Nachweis zur Energiequantelung: Franck-Hertz-Versuch (1914):

179 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

5.4.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum im Dreidimensionalen

∂2 Ψ(⃗r, t) = c2 Ψ(⃗r, t) ∂t2 △ · Wir machen folgenden Ansatz:

3 i ⃗k⃗r ωt Ψ(⃗r, t) = d k a(⃗k)e ( − )

4 Harmonische Welle Eingesetzt in die Di. ﬀeren/0tialgleic1 hung ergibt sich:

( iω)2 Ψ(⃗r, t) = (ik)2 Ψ(⃗r, t) − · · Hieraus folgt dann:

ω2 = c2⃗k2

Hieraus folgt nun die Dispersionsrelation fur¨ freie Lichtwellen im Vakuum:

ω = c k ·

Auch gilt: 2π ω = c · λ λ ω = ν λ = c · 2π · 5.4.5 Materiewellen Wir benutzen die Formel fur¨ die de Broglie-Wellenl¨ange: h λ = m v · Damit gilt:

h " v = = k m λ m · · 180 5.4. LICHT UND MATERIE - KORPUSKEL UND WELLE

∂ω Dies entspricht der Gruppengeschwindigkeit . Somit gilt durch Integration: ∂k

" ω(k) = ω + k2 0 2m

Relativistisch korrekt ist folgendes:

2 2 2 m0c 2 ω(k) = c k0 + k = c + k · · " " :2 3 ✵ 1.Fall: k k ≪ 0 c 2 ω(k) c k0 + k ≈ · 2k0

✵ 2.Fall: k k ≫ 0 ω(k) c k ≈ · Damit gilt durch partielles Ableiten nach k: ∂ k v(k) = ω = c ∂k · 2 m0c + k2 ! "B C Wellengleichung fur¨ Materiewellen: Die nichtrelativistische Schrodinger¨ gleichung lautet:

∂ "2 i" Ψ(⃗r, t) = Ψ(⃗r, t) ∂t −2m△ Da es sich um eine partielle Diﬀerentialgleichung handelt, machen wir wieder einen Ansatz als Fouriertransformierte:

1 3 ⃗ i(⃗k⃗r ωt) Ψ(⃗r, t) = 3 d k a(k)e − (2π) 2 4 Durch Einsetzen von Ψ(⃗r, t) in die Schrodinger¨ gleichung, erh¨alt man:

" ω(k) = k2 fur¨ k k 2m ≪ 0 181 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Wellengleichung fur¨ relativistische Materiewellen:

1 ∂ m c 2 + 0 Ψ(⃗r, t) = 0 c2 ∂t2 − △ " E 2 3 F Man nennt diese auch Klein-Gordan-Gleichung. Es wird wieder der Ansatz als Fouriertransformierte verwendet:

1 3 ⃗ i(⃗k⃗r ωt) Ψ(⃗r, t) = 3 d k a(k)e − (2π) 2 4 Durch Einsetzen resultiert: ω 2 m c 2 + 0 + k2 = 0 − c " 2 3 2 3 Fur¨ m0 0 (Photonen) folgt aus der Klein-Gordon-Gleichung die Wellengleichung fur¨ elektromagnetische Wellen. ,→

Interpretation von Ψ: ✵ Saite: Ψ ist die Auslenkung (= z).

✵ Elektromagnetische Wellen: Ψ ist die Feldst¨arke. ✵ Materie: Ψ ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude.

ϱ(⃗r, t) = Ψ 2 = Ψ⋆Ψ wird als Aufenthaltswahrscheinlichkeit interpretiert. Es gilt folgende sehr wichtige Nor- mierungsrelation:| |

ϱ d3r = 1

V 4 #→∞

182 5.4. LICHT UND MATERIE - KORPUSKEL UND WELLE

Illustration von Feder-Pendel (harmonischer Oszillator):

Da sich nur stehende Materiewellen im Potential beﬁnden, sind nur diskrete Energieniveaus m¨oglich. Dies fuhrt¨ also zu einer Quantelung der Energie.

183 KAPITEL 5. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

184 Anmerkungen:

Sprechstunde: Di 11:30 Uhr - 12:30 Uhr oder Frau Weißmann unter (3521) • E-Mail-Adresse: [email protected] • Internetadressen: • – Professor: www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/ mullerth ∼ – Ubungsleiter:¨ www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/ hartmann ∼ Literatur: • – Holliday/Resnik Physik 1 (de Gruyter) – Demtroder¨ Experimentalphysik (Springer)

185 Index

Aquiv¨ alenzprinzip, 26 Wasserdruck, 129 O¨ ffnungswinkel, 9 Dualismus, 178 Ub¨ erlagerung, 164, 166 Einstein, 177 Antimaterie, 60 Elastizitätsmodul, 116 Arbeit, 6, 14 Energie, 6 allgemein, 41 kinetische, 46, 61 bei Dehnung einer Feder, 42 potentielle, 46 gegen die Reibungskraft, 42 relatvistische Gesamtenergie, 113 gegen die Schwerkraft, 43 relatvitische, 113 in konservativen Kraftfeldern, 44 Energieerhaltungssatz, 46 lineare, 76 Expansion Rotationsarbeit, 76 thermische Aufenthaltswahrscheinlichkeit, 182 Ausdehnungskoeffizient, 124 Bimetall, 125 Basiseinheit, 5 Längenänderung, 124 Basisgröße, 5 Bernoullische Gleichung, 133 Fallgesetz, 17 Beschleunigung, 6, 17, 25, 54 Federkonstante, 34 Bewegung, 17 Federkraft, 45, 48 dreidimensionale, 20 Federpendel, 33 eindimensionale, 17 Federschwingung, 136, 143 zweidimensionale, 20 Fehler, 9 Bewegungsgleichung, 33 -fortpflanzung, 10 Bezugssystem, 76 statistischer, 9 rotierendes, 76 systematischer, 9 Fehlertypen, 9 Corioliskraft, 77 Festkörper amorphe, 115 de Broglie, 178 Kristalle, 115 Wellenlänge, 180 Fläche, 6 Dichte, 6 Flächengesetz, 86 Dimension, 7 Flächenträgheitsmoment, 120 Dispersionsrelation, 168 Fluchtgeschwindigkeit, 90 im Vakuum, 180 Foucault-Pendel, 72 Dopplereffekt, 162 Fourierreihen, 169 Quelle und Empfänger in Bewegung, 164 Fouriertransformation, 169 ruhende Quelle, 162 Frequenz, 6, 151 ruhender Empfänger, 163 Drehachse, 67 Galileitransformation, 103, 107 Drehbewegung, 37, 67, 77 Addition von Geschwindigkeiten, 111 beschleunigte, 67 Gegenkraft, 25 konstante, 67 Gegenwirkungsprinzip, 25 Tangentialbeschleunigung, 67 Geschwindigkeit, 6, 17 Zentripetalbeschleunigung, 67 Gesetze Drehimpuls, 71 Newtonsche, 25 Erhaltung, 80 Gewichtskraft, 26, 30 Drehmoment, 15, 73 Gleitreibung, 36 beim Kreisel, 80 Größtfehler, 11 Drehschwingung, 75 Gradient, 46 Druck, 6, 129 Gravitation, 44, 85, 87 hydrostatischer, 129 ausgedehnter Massen, 93

186 INDEX

Gravitationsfeld, 44 Laborsystem, 65 Kugelschale, 93 Ladung, 6 Vollkugel, 94 Leistung, 6, 53, 155 Gravitationsgesetz, 85, 88 Lichtgeschwindigkeit Gravitationskonstante, 87 Konstanz, 106 Gravitationskraft, 33 Michelson-Morley, 106 Gravitationspotential, 90 Messung Grenzwertsatz, 10 Fizeau, 106 Grundwelle, 157 Römer, 105 Gruppengeschwindigkeit, 167, 168, 181 Lichtstärke, 6 Lissajous-Figuren, 148 Härteskala nach Moks, 123 Ellipsengleichung, 148 Hören, 160 ganzzahlige Frequenzverhältnisse, 148 Haftreibung, 36, 78 Lorentztransformation, 105, 108 Harmonischer Oszillator, 151 Hookesches Gesetz, 34, 115 Maßeinheiten, 5 hydraulische Presse, 130 abgeleitete Einheit, 6 hydrostatischer Druck, 129 Basiseinheit, 6 hydrostatischer Körper, 130 Mach, 164 Masse, 5, 6, 9 Impuls, 53–55 relativistische, 112 einer elektromagnetischen Welle, 178 schwere, 26 relativistischer, 113 träge, 26 Impulserhaltung, 55 Massenmittelpunkt, 53 Impulserhaltungssatz, 56, 61 Massenpunkt, 25, 55 Interferenz, 164 Massenpunkten, 17 destruktive, 165 Massenträgheitsmoment, 123 konstruktive, 165, 173 Maxwellsches Rad, 79 Drehmomente, 79 Kapazität, 7 Energieerhaltung, 79 Keplerellipse, 86 Mehrstufenprinzip, 59 Brennpunkt, 86 Mehrstufenrakete, 59 Keplergesetze, 86 Moks Kernfusion, 60 Härteskala, 123 kinetische Energie, 61 Klim-Gordan-Gleichung, 182 Neutronensterne, 91 Kompression, 118 Normalkraft, 30, 33, 78 Kompressionsmodul, 118 Kontinuitätsgleichung, 133 Oberwelle, 157 Korpuskel, 176, 177 Kräftegleichgewicht, 26 Pendel, 7, 48, 142 Krumm¨ ungsradius, 119 ballistisches, 55 Kraft, 6, 14, 25 Drehpendel, 38 elektrostatische, 27 mathematisches, 142 relatvitische, 113 physikalisches, 143 Kraftfeld, 44 Sekundenpendel, 143 Gravitationsfeld, 44 Pendelschwingung, 143 konservatives, 44 Periodendauer, 38 Kreisbewegung, 22 Periodengesetz, 86 konstante, 23 Pfeife Kreisfrequenz, 23 ein geschlossenes Ende, 158 Tangentialbeschleunigung, 22 zwei geschlossene Enden, 158 Umlaufzeit, 23 zwei offene Enden, 156 Winkelgeschwindigkeit, 23 Phase, 138 Zentripetalbeschleunigung, 22 Phasengeschwindigkeit, 167, 168 Kreisel, 80 Photoeffekt, 176 Präzessionsfrequenz, 81 Photon Kugelwelle, 108 kinetische Masse, 177 Photonen, 177 Länge, 5, 6, 8 Planck, 177 Längenkontraktion, 111 Plancksches Wirkungsquantum, 177

187 INDEX

Planetenbahnen, 92 Schwingungsdauer, 7 Planetenbewegung, 86 Schwingungsmoden, 151 Poissonzahl, 118 höhere, 152 Potential, 49, 95 Seilkraft, 26 der Gravitation, 90 Sekundenpendel, 143 elektrostatisches Potential, 49 Skalar, 11 Federpotential, 49 Skalarprodukt, 13 Gravitationspotential, 49 Spannung, 6 Steradian, 9 Ruc¨ kstoß, 60 Stoß, 61 Radian, 9 elastischer, 61 Rakete, 58 inelastischer, 61 Rechteckfunktion, 170 Kraftstoß, 61 Reißfestigkeit, 117 Stoffmenge, 6 Reibung, 36, 50 Strömungen, 133 Relativitätsprinzip, 105 ideale, 133 Richtmoment, 123 laminare, 133 Rollen, 77 Strömungsmeßinstrument, 135 Rotation, 66 Stromdichte, 6 Stromstärke, 5, 6 Saitenschwingung, 149 Superpositionsprinzip, 87, 167 Satellit geostationärer, 92 Tägheitsmoment Schallgeschwindigkeit, 159 Hantel, 69 Schallwelle Temperatur, 5, 6 Ausbreitungsgeschwindigkeit, 155 Thermische Expansion, 124 Schallwellen, 149, 155 Torsionsmodul, 123 stehende, 156 Trägheitsmoment, 68 Scherung, 118 Hantel, 70 Schermodul, 119 Hohlzylinder, 70 Schubmodul, 119 kreisender Massenpunkt, 69 schiefe Ebene, 27 Zylinder, 70 Schrödingergleichung, 181 Translation, 77 Schubkräfte, 31 Schubkraft, 33 Umlaufperiode, 86 Schwarzes Loch, 90, 91 Urknall, 113 Schwarzschild-Radius, 90 Schwebezustand, 166 Vektor, 12 Schwebung, 147 Addition, 12 Periodendauer, 147 Assoziativgesetz, 12 Schwerpunkt, 53, 55 inverses Element, 12 Schwerpunktsystem, 64 Kommutativgesetz, 12 Schwingung neutrales Element, 12 Ub¨ erdämpfung, 139 Multiplikation erzwungene, 141 Distributivgesetz, 14 Amplitude, 141 Kommutativgesetz, 13 Halbwertsbreite, 142 Skalarprodukt, 13 Phasenverschiebung, 141 Vektorprodukt, 14, 68 gedämpft, 137 Vektorprodukt, 14 Bewegungsgleichung, 140 Verformungsenergie, 50 Lebensdauer, 140 Volumen, 6 Qualitätsfaktor, 140 Volumenänderung bei Zug, 117 Lebensdauer, 139 schwache Dämpfung, 138 Wärmeausdehnung, 125 ungedämpft, 136, 138 Wärmeenergie, 50 Schwingungen Wärmeleitung, 126 gekoppelte, 144 Leitfähigkeit, 127 gegenphasige Schwingung, 146 Temperaturgefälle, 127 gekoppeltes Federpendel, 144 Wärmemenge, 6 Schwingung außer Phase, 147 Wahrscheinlichkeitsamplitude, 182 Schwingung in Phase, 146 Wasserwellen, 149 188 INDEX

Welle laufende, 149 laufende harmonische, 153 Leistung, 155 longitudinale, 155 Phasengeschwindigkeit, 153 Wellen, 148 dreidimensionale, 149 eindimensionale, 149 laufende, 152 longitudinale, 149 radiale, 173 stehende, 149 transversale, 149 zweidimensionale, 149 Wellengleichung, 149, 151 Wellenl¨ange, 151 Wellennatur der Materie, 178 Wellenpaket, 178 Wellenzahl, 151 Weltbild, 85 Geozentrisches, 85 Heliozentrisches, 85 Widerstand, 6 Winkelbeschleunigung, 74 Winkelgeschwindigkeit, 66

Zehnerpotenzen, 8 Zeit, 5, 6, 9 Zeitdilatation, 108 Lebensdauer von Myonen, 110 Zentrifugalkraft, 76 Zentripetalkraft, 76 Zugkraft, 33, 45

189