Culegere De Probleme De Astronomie Și Astrofizică Pentru Olimpiadele Naționale Și Internaționale 2

CULEGERE DE PROBLEME DE ASTRONOMIE ȘI ASTROFIZICĂ PENTRU OLIMPIADELE NAȚIONALE ȘI INTERNAȚIONALE 2

Aducem, pe această cale, mulțumiri pentru viitoarele sugestii, observații și completări la îmbunătățirea conținutului științific și practic al acestei lucrări. Pentru achiziționarea acestei cărți și pentru diferite sugestii, observații și completări: Petru Crăciun, email [email protected], Societatea Științifică ,,CYGNUS”–Centru UNESCO, Suceava. Prin popularizarea acestei cărți contribuiți la realizarea unui monument în incinta Școlii Gimnaziale ]Dacia” din Oradea dedicat marelui profesor MARIN DACIAN BICA. Pentru donații privind construirea acestui monument: Societatea Științifică „CYGNUS” – Centru UNESCO, Suceava cont IBAN RO77RNCB0234037011590001 B.C.R. – Suceava

Coperta: Camelia Rusu Sadovei

Tehnoredactare: Constantin Bodnariu

ISBN: 978-973-1768-55-7

IN MEMORIAM MARIN DACIAN BICA

CULEGERE DE PROBLEME DE ASTRONOMIE ȘI ASTROFIZICĂ PENTRU OLIMPIADELE NAŢIONALE ȘI INTERNAŢIONALE

Ediție îngrijită și realizată de: Prof. dr. Petru Crăciun Societatea Științiﬁcă „CYGNUS” – Centru UNESCO, Suceava

Editura CYGNUS 2013 – Suceava 4 5

„În numele a ceea ce-i FRUMOS și SFÂNT! În judecata noastră aicea pe Pământ! Să-i păstrăm în gând pe aceia care, în crezământ! Slujiră Școala, îmbrăcând-o drept veșmânt!

În numele a ceea ce-i FRUMOS și BUN! Făcut de cei plecați! Când numele în gând li-l spun! Aș vrea să știe, ș-apoi, din ceea ce-au lăsat, s-adun! Aș strânge, spre bun folos, pe-al vieții drum!

În numele a ceea ce-i FRUMOS și DRAG! Când viața ne va duce dincolo de prag! Și faptele de bine sluji-ne-vor drept steag, Să le păstrăm în minte, să le purtăm șirag!

Și BUN și DRAG și SFÂNT! El nu-i acolo în mormânt! E printre stele și îngerii îi cânt, Iar noi îl plângem, aicea pe Pământ!

Așa îl am în gând pe MARINICĂ DACIAN BICA! Așa îl port în gând pe profesorul MARIN DACIAN BICA! Așa l-am cunoscut pe MARINICĂ DACIAN BICA la CENTRUL DE PREGĂTIRE PENTRU PERFORMANȚĂ, în Fizică, în Astronomie, în Astroﬁzică, de la CĂLIMĂNEȘTI, județul Vâlcea!

Prof. univ. dr. Mihail Sandu Director al Centrului de Pregătire pentru Performanță Călimănești, județul Vâlcea 6 7

CUPRINS 8 9

PREFAŢĂ

Am realizat această carte ca un omagiu pentru bunul meu prieten Marin Dacian Bica, care a fost un om minunat și un emerit profesor de Fizică la Școala Gimnazială „Dacia” din Oradea, dar și un om pasionat de astronomie, iubit de elevi, părinți, colegi și de membrii Societății Științifice „CYGNUS” – centru UNESCO Suceava din care făcea parte. A fost profesor pregătitor și coordonator al lotului olimpic al României pentru mai multe olimpiade internaționale de astronomie la care a obținut multe medalii de aur, argint și bronz. A compus sute de probleme de astronomie și astrofizică pe care le-a utilizat la pregătirea elevilor, dar și la probele de selecție a loturilor României pentru olimpiadele internaționale de astronomie și astrofizică. Marea majoritate a problemelor compuse de el le-am reunit în această carte pentru a fi de ajutor pregătirii elevilor pentru concursurile și olimpiadele naționale și internaționale de astronomie și astrofizică. Era păcat ca aceste probleme să rămână uitate și să nu cunoască lumina tiparului. Sper să fie cu folos această carte pentru elevii noștri, iar Marin Dacian Bica să rămână viu în amintirea noastră. Această lucrare este structurată pe cinci capitole: Probleme rezolvate pentru proba teoretică; Probleme rezolvate pentru proba practică; Probleme rezolvate pentru proba observațională; Probleme propuse pentru rezolvare; Probleme rezolvate date la selecția loturilor olimpice ale României și un capitol de Studii teoretice. Cartea este străbătută de la un capăt la celălalt de coerență și gândire logică, fiecare capitol se poate studia de sine stătător sau în corelație cu celelalte, temele propuse fiind folositoare chiar și la orele de clasă, fie ele opționale sau activități de pregătire la centrele de excelență sau cercurile școlare extracurriculare. Cartea cuprinde de asemenea o biografie minunată, realizată de iubitul său frate geamăn, Alexandru Bica, profesor de matematică la Universitatea din Oradea. Alături de biografie există o parte numită Laudatio care cuprinde gândurile fru- moase ale prietenilor, profesorilor și elevilor din întreaga țară, precum și mesajele de condoleanțe primite de familia lui de la liderii echipelor din foarte multe țări: China, Rusia, Ungaria, Thailanda, Slovacia, Ucraina, Bolivia, Coreea de Sud, Sri Lanka, Iran, Croația, Canada, Cehia, Bangladesh, Columbia, Grecia, Portugalia, Serbia etc. În această lucrare există un capitol special, numit Calendarul Dacic, deoarece Marin Dacian Bica a realizat studii aprofundate în teren asupra cetăților dacice și a făcut descoperiri uluitoare privind cunoștințele avansate ale dacilor privind astronomia, pe care le-a susținut la diferite conferințe naționale. Calendarul dacic de la 10 Sarmisegetuza este unul din cele mai precise calendare astronomice din lume, iar acest lucru a fost descoperit de profesorul Marin Dacian Bica. Marin Dacian Bica a fost un român adevărat, iubitor al istoriei neamului nostru și, în special, al istoriei dacilor, promovând valorile poporului nostru, atât în țară cât și în străinătate. În perioada 1–10 august 2014 va avea loc în județul Suceava a VIII-a Olimpiadă Internațională de Astronomie și Astrofizică, iar lupul dacic de pe sigla olimpiadei este ideea profesorului Marin Dacian Bica. Dumnezeu să-l odihnească în pace!

Prof. dr. Petru Crăciun 11

BIOGRAFIE

Profesorul BICA MARIN DACIAN (21 iunie 1970 – 20 septembrie 2013)

Profesorul, astronomul și astrofizicianul Bica Marin Dacian s-a născut la data de 21 iunie 1970 în municipiul Oradea din părinții Alexandru, profesor de matematică și Maria, asistentă de farmacie. Încă din copilărie s-a remarcat ca fiind de o cumințenie și seriozitate rar întâl- nite, situație care m-a surprins în calitate de frate, ca unul care eram obișnuit cu propriile-mi năzbâtii copilărești. De asemenea, tot din copilărie s-au făcut observate și alte calități rare precum, generozitatea, onestitatea și curajul propriei răspunderi. Aceste calități s-au confirmat odată cu începerea școlii primare, fiindu-mi evidentă conștiinciozitatea cu care-și pregătea, din proprie inițiativă, temele de fiecare dată. Clasele I-VIII le-a urmat la Școala Generală nr. 17 din Oradea (actualmente Școala Andrei Mureșanu), vacanțele școlare petrecându-le la casa bunicului Bica Teodor dinspre tată, din Vadu Crișului. Aici a primit din partea bunicului primele elemente de educație creștină, învățându-se cu citirea Sfintei Scripturi și cu prezența la Sfânta Liturghie în duminici și sărbători. De altfel, cadoul bunicului la împlinirea vârstei de 11 ani a fost oferirea unei cărți de rugăciuni fiecăruia dintre noi.

Figura 1. Împreună cu fratele Alexandru la grădiniță 12 În perioada claselor de gimnaziu a participat la olimpiadele județene de matematică și a reprezentat în februarie 1983 (în timpul clasei a VI-a) județul Bihor, la un concurs interjudețean de istorie. Încă de atunci, istoria era deja o pasiune. Între 1985 și 1989 a urmat cursurile Liceului de Matematică-Fizică Emanuil Gojdu din Oradea. În această perioada a participat la olimpiadele județene de fizică și de istorie. În timpul clasei a XI.a își descoperă pasiunea pentru electronică, concretizată prin construirea artizanală de antene de recepție TV a posturilor locale din țări vecine precum Serbia, Slovacia și Ucraina. Interesul deosebit pentru fizică s-a conturat în ultimii doi ani de liceu, exprimându- se și prin participări la concursurile interjudețene de fizică ce reuneau județele din nord-vestul Transilvaniei. În iulie 1989 este admis ca student al Facultății de Fizică din cadrul Universității Babeș-Bolyai din Cluj-Napoca, ale cărei cursuri le urmează între 1990 și 1995. În perioada septembrie 1989-martie 1990 satisface stagiul militar la Școala de ofițeri în rezervă Bacău. Obține rezultate deosebite ca student, fiind bursier încă din primul semestru al primului an de studiu. În timpul anului III, specializarea Fizică se ramifică în trei subspecializări, Fizică Atomică, Fizica Corpului Solid și Electronică, iar Marin alege Electronica, subspecializare pe care o absolvă ca șef de promoție în

Student al Facultății de Fizică, 1990, respectiv1992 iunie 1995. Tot în perioada studenției începe să se contureze pasiunea pentru istoria strămoșilor geto-daci, în contextul accesului la colecțiile de istorie ale bibliotecilor universitare clujene. Datorită pasiunii pentru bioﬁzică își alege ca tematică pentru lucrarea de licență, construirea și fundamentarea teoretică a funcționării unui aparat de electropunctură bazat pe punctele de rezistență electrică minimă ale supra- feței cutanate umane. În cadrul pregătirii lucrării de licență realizează cercetări experimentale interdisciplinare de bioﬁzică la Institutul de Tehnologie Izotopică și Moleculară din Cluj-Napoca sub îndrumarea profesorului Vasile Morariu. 13

Masterand al specializării Bioﬁ zică, 1996

Se titularizează prin concurs la Liceul de Transporturi CFR din Oradea în august 1995, ca profesor de fizică, rămânând în acest liceu până în septembrie 2001. Între anii 1996 și 1997 urmează cursurile specializării postuniversitare de masterat în Biofizică la Universitatea Babeș-Bolyai din Cluj-Napoca, fiind preocupat de influența câmpurilor electromagnetice asupra sistemului nervos, continuând astfel cercetările de la Institutul de Tehnologie Izotopică și Moleculară inițiate cu trei ani în urmă. Această tendință de integrare interdisciplinară a cunoștințelor de fizică și biologie se va răsfrânge și asupra activității de predare. Astfel, aborda- rea interdisciplinară pe care o avea asupra fenomenelor din științele naturii conducea la o prezentare complexă a acestor fenomene, îmbinând fizica cu biologia în predarea lecțiilor de fizică, ceea ce i-a asigurat o atenție și apreciere sporită din partea elevilor. În perioada 2002-2004 urmează studiile postuniversitare de informa- tică la Universitatea din Oradea, pe baza cărora va putea susține și ore de informatică. La 1 septembrie 2001 se trans- feră la Școala Gimnazială Dacia din Oradea, unde se va consacra obți- nând rezultate profesionale de excep- ție. Aici va iniția începând din 2003 un centru de pregătire de excelență și performanță în astronomie, care după numai doi ani va da roade prin obți- nerea primelor succese la olimpiadele naționale de astronomie începând În curtea școlii Dacia împreună cu elevii 14

Împreună cu cei doi olimpici Sebastian și Denis cu Olimpiada Națională de Astronomie de la Sibiu, din 2005. Cu elevii pregătiți aici va participa pentru prima dată la Olimpiada Internațională de Astronomie la Trieste în 2008. În 2006 devine fondator al Clubului Astronomic Meridian Zero ce-și avea sediul în Cetatea Oradea, loc unde elevii erau antrenați pentru activitatea observațională asupra bolții cerești. Începând din 2007 participă activ la pregăti- rea loturilor olimpice de astronomie și astrofizică ale României, iar din 2008 devine coordonator (și diriginte) al lotului olimpic național de astronomie al României la pregătirea ce anual s-a desfășurat la Călimanești. Cu acest statut participă în perioada 2008-2012 la Olimpiadele Internaționale de Astronomie, ca lider al echipei României, obținând numeroase medalii, inclusiv cu elevi pregătiți de la Școala Dacia. În 2009 obține cu elevul Denis Derecichei, de la Școala Dacia, medalia de bronz la Olimpiada Internațională de Astronomie din China, iar în 2010 elevul aceleiași școli, Sebastian Trifa, obține medalia de argint la Olimpiada Internațională de Astronomie din Crimeea, Ucraina. Același elev, va aduce în 2013 a doua medalie olimpică, cea de bronz, de la Olimpiada Internațională de Astronomie de la Vilnius, din Lituania. Între 2009 și 2012 este patru ani consecutiv reprezentant al delegației României și membru în juriul olimpic internațional, poziție în care apără cu demni- tate recunoașterea performanțelor elevilor români. În acest context este memorabil evenimentul de la Olimpiada Internațională de Astronomie din 2010, din Crimeea, când obține în mod argumentat restabilirea corectă a punctajului echipei României, viciat de unele erori datorate organizatorilor locali ai probei observaționale, și cla- sarea țării noastre pe un loc fruntaș între națiunile participante. Începând din acest moment, România va fi privită cu mai mult respect la nivelul competițiilor internați- onale de acest gen. 15 La Olimpiada Internațională din 2012, din Coreea de Sud, pregătește și momentul de prezentare al delegației României, atrăgând atenția prin ilustrarea demnă a valorilor tradiționale românești și printr-o prezentare concisă a nivelului atins de civilizația geto-dacă. În acest context, putem aminti preocuparea sa științifică din ultimii doi ani asupra semnificației astronomice a configurației pietrelor din sanctuarul de la Sarmizegetusa, indicând existența unui calendar propriu al acestei civiliza- ții și reușind să stabilească precizia acestui calendar. De-a lungul anilor 2009-2013 participă cu elevi ai Școlii Dacia din Oradea la concursul național de inventică organizat de Societatea Științifică Cygnus-centru UNESCO, la Suceava și Gura Humorului, și la Tabăra Națională Anuală de Astronomie organizată la Mănăstirea Humorului. Ultima sa participare la Olimpiada Națională de Astronomie cu elevi de la Școala Dacia are loc în aprilie 2013. Odată cu preluarea rolului de coordonator al lotului național de astronomie rezultatele obținute de elevii români la olimpiadele internaționale au dobândit un trend ascendent. Astfel, în 2008 au fost patru medalii (una de aur, una de argint și două de bronz), în 2009 cinci medalii (două de argint și trei de bronz), în 2010 patru medalii (două de argint și două de bronz), pentru ca în 2011 lotul României însoțit de Marin Bica și Octavian Georgescu să obțină locul trei pe națiuni cu cinci medalii (una de aur, trei de argint și una de bronz), iar în 2012 venind din Coreea cu două medalii de aur.

Marin Bica, la mijlocul celui de-al doilea rând din față 16

Împreună cu părinții, fratele și cuscra acasă la fratele Alexandru, Timișoara, ianuarie 2012

Fotograﬁ e colectivă a participanților la olimpiada internațională de astronomie din Kazahstan, 22–30 septembrie 2011. Marin Bica în ultimul rând ținând drapelul României

La 20 septembrie 2013 cade victimă unui accident montan pe raza comunei Polovragi din județul Gorj, pierzându-și viața. Datorită profesionalismului, genero- zității, și calităților personale de excepție puse în slujba formării tinerelor generații, rămâne în amintirea colegilor, elevilor și tuturor celor care l-au cunoscut ca un profesor și ca un OM pe care foarte rar ne poate fi dat să-l întâlnim. Pentru dăruirea și principialitatea sa se poate spune că Oradea și România pierd un fiu de excepție, iar Școala Dacia pierde pe cel mai complet dascăl pe care l-a avut până acum. În 20 septembrie 2013, un suflet curat și demn, cu totul devotat Maicii Preacurate a Domnului Iisus Hristos și țării sale, se întoarce în Casa Tatălui Ceresc care l-a chemat prea devreme dintr-o lume în care încă mai avea multe de făcut.

Fericiți cei curați cu inima, căci aceia vor vedea pe Dumnezeu. 17

APRECIERI ASUPRA REALIZĂRILOR ȘI PERSONALITĂȚII PROFESORULUI MARIN DACIAN BICA

În contextul participării la multiplele manifestări de nivel național organizate de către Societatea Științifică CYGNUS și datorită deosebitelor realizări obținute la nivel național și internațional în domeniul Fizicii și Astronomiei, profesorul Marin Dacian Bica a ajuns să fie cunoscut și apreciat de către profesioniști de primă mărime din domeniu și de către oameni de știință și cultură din țară. Astfel, domnul profesor Alexandru Mironov menționa că după părerea domniei sale Marin Dacian Bica era cel mai bun specialist din țară în domeniul Astronomiei și un bun pedagog capabil să stimuleze creativitatea elevilor săi în rezolvarea problemelor de Astronomie și în participarea cu lucrări de succes la concursurile naționale de inven- tică, cum ar fi de exemplu concursul ROSEF. În calitate de lider de echipă a delegației României la Olimpiadele Internaționale de Astronomie a dovedit un mare caracter luptându-se la sesiunile de moderare pentru ca elevii din România să nu fie nedreptățiți, fapt menționat de către profesorii Alexandru Mironov, Petru Crăciun și Dan Milici. Domnul Conf.dr. Dan Milici, prodecan al Facultății de Inginerie Electrică și Știința Calculatoarelor de la Universitatea Ștefan cel Mare din Suceava subli- nia dăruirea și implicarea profesorului Marin Bica în zecile de manifestări dedicate tinerilor, fiind un extraordinar dascăl, prieten și susținător al tinerilor dornici să cunoască mai mult și un specialist de elită. Este amintit renumele său internațional prin problemele de astronomie și astrofizică propuse, care pe lângă înaltul nivel de complexitate prezintă fenomenele fizice într-un mod atractiv și stimulativ. Astfel, menționează că Marin Dacian Bica era propus să coordoneze echipa internațională ce propunea subiectele Olimpiadei Internaționale de Astronomie și Astrofizică ce se va desfășura în 2014 la Suceava. Având o deosebită capacitate de dăruire și modul său dezinteresat de implicare în multiplele proiecte la care a luat parte, a adunat în cei câțiva ani de viață o activitate pe care mulți nu o adună în zeci de ani. Dispariția 18 sa este o reală pierdere pentru educația românească, pentru sute de tineri care au făcut performanță la nivel internațional sub îndrumarea lui în domeniul astronomiei și pentru zeci de profesori care acum predau astronomie și care au avut imens de învățat de la el, așa cum reiese din mărturia profesorilor Petru Crăciun și Lucian Stoian. Domnul profesor dr. Mihail Sandu ce coordonează la Călimănești activitățile de pregătire pentru performanță în Astronomie, sesizându-i deosebitele calități, l-a desemnat în 2008 ca diriginte al lotului lărgit al României, încredințându-i coordo- narea activităților cu elevii. În acest context, relația specială dintre profesorii Marin Dacian Bica și Mihail Sandu l-a determinat pe acesta din urmă să-i evoce în mod poetic personalitatea:

„În numele a ceea ce-i FRUMOS și SFÂNT! În judecata noastră aicea pe Pământ! Să-i păstrăm în gând pe aceea care, în crezământ! Slujiră Școala, îmbrăcând-o drept veșmânt!

În numele a ceea ce-i FRUMOS și BUN! Făcut de cei plecați! Când numele în gând li-l spun! Aș vrea să știe! Ș-apoi, din ceea ce-au lăsat, s-adun! Aș strânge, spre bun folos pe-al vieții drum!

În numele a ceea ce-i FRUMOS și DRAG! Când viața ne va duce dincolo de prag! Și faptele de bine sluji-ne-vor drept steag, Să le păstrăm în minte, să le purtăm șirag!

Și BUN! Și DRAG! Și SFÂNT! El, nu-i acolo în mormânt! E printre stele și îngerii îi cânt, Iar noi îl plângem, aicea pe Pământ!

Așa îl am în gând pe MARINICĂ DACIAN BICA! Așa îl port în gând pe profesorul MARIN DACIAN BICA! Așa l-am cunoscut pe MARINICĂ DACIAN BICA la Centrul de Pregătire pentru Performanță, în Fizică, în Astronomie, în Astroﬁzică, de la Călimănești, județul Vâlcea!

Iubit și respectat, demn și corect, profesionist pasionat, prieten adevărat! Olimpiadele Naționale, Taberele Naționale și Pregătirile Loturilor Reprezentative ale ROMÂNIEI, pentru OLIMPIADELE INTERNAȚIONALE de ASTRONOMIE și ASTROFIZICĂ, poartă, an de an, amprenta de neconfundat a profesorului MARIN DACIAN BICA!” 19 Doamna profesoară Carmen-Gina Ciobâcă, inspector de Chimie al județului Suceava, menționându-i profesionalismul, dăruirea, tenacitatea, modestia și ome- nia, îl apreciază ca deschizător de drumuri pentru mulți elevi și mentor pentru mulți profesori pasionați de Astronomie. Profesorul dr. Petru Crăciun, inspector de Fizică al județului Suceava, menționează impactul pe care l-a avut asupra sa con- statarea pasiunii pentru Astronomie și a nivelului științific ridicat al domnului profesor Marin Dacian Bica. Punând în evidență consecințele pe care le-a avut asupra performanțelor internaționale ale României la olimpiadele de Astronomie, numirea în iunie 2008 a domnului Marin Dacian Bica drept coordonator al pregătirii elevilor din loturile lărgite și restrânse ale României, precizează evoluția ascendentă a rezultatelor României la aceste olimpiade în perioada 2008–2013. Harul pedagogic și spiritualitatea profesorului Marin Dacian Bica, care și-au pus amprenta asupra pregătirii și formării olimpicilor români în Astronomie, este menționat de către profesorii Ilie și Magdalena Coșovanu și de către elevul Daniel Coșovanu. Profesorii Cornel Oargă, Lucian Stoian și Nicolae Dobrescu evidențiază disponibilitatea și bunătatea cu care se punea la dispoziția elevilor pentru ai ajuta să se autodepășească. Astfel, este menționat progresul olimpicilor români la olimpiadele internaționale de Astronomie concretizat prin situarea României între primele cinci națiuni în acest domeniu în ultimii ani. Profesorul Lucian Stoian amintește rolul de fondator al Clubului Astronomic Meridian Zero din Oradea și de responsabil științific în cadrul acestui club a profesorului Marin Dacian Bica. Profesorul Nicolae Dobrescu pune în evidență patriotismul și pasiunea pentru istoria națională, a profesorului Marin Dacian Bica, precum și strădaniile sale de a scoate la lumină valoarea și realizările științifice și spiritualitatea civilizației geto-dace. Punând în evidență profesionalismul și caracterul deosebit al profesorului Marin Dacian Bica, membrii Societății Științifice CYGNUS menționează calitatea de autor de mare originalitate de probleme de Astronomie și rolul pe care l-a avut pentru delegația României la Olimpiadele Internaționale de Astronomie în calitate de lider de echipă și membru în juriul olimpic internațional. Mărturii impresionante asupra impactului pe care profesorul Marin Dacian Bica l-a avut asupra rezultatelor elevilor români laureați ai olimpiadelor internaționale de astronomie și astrofizică vin chiar din partea unora dintre aceștia. Astfel, Victor Cărbune, actualmente masterand al Institutului Federal de Tehnologie din Zurich, Elveția, și menționat ca studentul anului la Gala Laureaților în Educație pe 2011 (cănd era student la Universitatea Politehnica din București), fost olimpic internați- onal în astronomie, menționează contribuția profesorului Marin Dacian Bica la ridi- carea nivelului de pregătire a olimpicilor români prin numeroasele probleme propuse pe care le-a compus și prin deosebitele calități didactice ce au rodit performanțe de nivel internațional. Vlad Mărgărint, în prezent student al Facultății de Matematică din București, fost medaliat cu argint și bronz la olimpiadele internaționale de astronomie și astrofizică (reprezentând pe atunci Colegiul Național Gheorghe Roșca Codreanu din Bârlad), dă mărturie asupra impactului pe care profesorul Marin Dacian Bica, ca diriginte al lotului național de astronomie, l-a avut asupra pregă- tirii sale științifice și asupra formării ca personalitate. Denis Derecichei, în prezent 20 student al Facultății de Matematică și Informatică de la Universitatea Babeș- Bolyai din Cluj-Napoca, fost elev al Școlii Dacia din Oradea și medaliat cu bronz la Olimpiada Internațională de Astronomie din 2009, mărturisește influența pe care profesorul Marin Dacian Bica a avut-o asupra pregătirii sale științifice, asupra găsi- rii vocației și asupra desăvârșirii personalității. Elevul Sebastian Trifa, medaliat cu argint la Olimpiada Internațională de Astronomie din 2010 și cu bronz la Olimpiada Internațională de Astronomie din 2013, fost elev al Școlii Dacia din Oradea, unde s-a pregătit pentru olimpiadele naționale și internaționale de astronomie alături de Denis, menționează rolul pe care profesorul Marin Dacian Bica l-a avut în obținerea acestor performanțe și în alegerea unei traiectorii profesionale bazată pe studii universitare de astrofizică. 21 22 23 24 25 26 27 28

Mesaje de condoleanţe primite de la delegaţiile ţărilor participante la Olimpiada Internaţională de Astronomie din Lituania, septembrie 2013

China, Rusia, Ungaria, Tailanda, Slovacia, Ucraina, Bolivia, Coreea de Sud, Sri Lanka, Iran, Croația, Canada, Cehia, Bangladesh, Columbia, Grecia, Portugalia, Serbia

On Mon, Sep 23, 2013 at 3:49 AM, Sorin Trocaru wrote: Dear friends, Yesterday was a very sad day for Romanian astronomy teachers. Two of our best friends fall into the sky beyond the stars. A lot of their students participated in IOA and IOAA last years. One name some of you know because, Bica Marin was team leader of Romanian team in IOA China and IOA Corea. He dies in a stupid accident. Its a big lose for our students, for us and for Romanian astronomy teaching. He was a very good physics teacher, a passionate astronomer and a very dedicated Teacher. God rest them souls in peace

Sorin Trocaru Inspector General Direcția Generală Educație și Învățare pe Tot Parcursul Vieții Ministerul Educatiei Nationale ------China From: Xin Li To: Sorin Trocaru Sent: Tuesday, September 24, 2013 10:26 AM Subject: Re: Sad news

Dear Sorin and Romanian astronomers, Bica Marin was a friend to many of my Chinese colleagues, We are saddened by his sudden passing. Please pass on our condolences to his Romanian colleagues and friends. We shall miss him dearly.

Xin Li Beijing Planetarium China ------29 Rusia From: Stanislaw Sekerzhitsky Date: 2013/9/24 Subject: RE: Sad news To: Sorin Trocaru

Dear friends. Please accept our deepest sympathy from me, my colleagues and our students. ------From: Ronald Cruz To: Sorin Trocaru ; Loukas Zachilas ; Michael Gavrilov - Chernogolovka ; „[email protected]” Sent: Sunday, September 22, 2013 10:59 PM Subject: Re: Sad news

Dear Sorin The world of astronomy has lost two souls. Our hear felt condolences for these two astronomers and teachers. Ronald ------Ungaria From: „[email protected]” To: Sorin Trocaru Sent: Sunday, September 22, 2013 11:07 PM Subject: Re: Sad news

Dear Sorin!

We, your Hungarian colleagues and friends, feel with you and theirs families! Bica is now with his stars which he was loving in his life...; (Let him (them) rest in peace - forever! Take care always! I had also a death-risky accident in 2007 in Romania... Greetings to you all: Tibor and Imre (Hu) ------Tailanda From: Yenchai Somvichian To: Sorin Trocaru ; Loukas Zachilas ; Michael Gavrilov - Chernogolovka ; „[email protected]” Sent: Monday, September 23, 2013 4:52 AM Subject: : Sad news

Dear Sorin and Romanian Astronomy Olympiad Team, 30 I am writing on behalf of Thai Astronomy Olympiad Team. Our condolences go out to his family and Romanian Astronomy Olympiad Team on the passing of Bica Marin.

Suwan Kusamran POSN Foundation Faculty of Science, Chulalongkorn University Bangkok 10330, Thailand ------Rusia Președintele Forului olimpic internațional de astronomie From: Michael Gavrilov Date: 2013/9/23 Subject: Re: Sad news To: Sorin Trocaru

Dear Sorin!

The new is too shocking for us. Marin was very interesting person, very hardly kept all features of IAO and Romanian team in his heart. Please take my deep condolence, and deliver sympathy and condolence to his family. We lost a good astronomy enthusiast and friend. Let he has a peace in heavens.

Sincerely, Michael. ------Slovacia From: RNDr. Maria Hricova Bartolomejova Date: 2013/9/23 Subject: Re: Sad news To: Sorin Trocaru

Dear Sorin! We, your Slovakian colleagues and friends, grieve with you and theirs families. Let him (them) rest in peace between stars- forever! Greetings to you all Maria and Ladislav from Slovakia ------Ucraina From: Volodymyr Reshetnyk Date: 2013/9/22 Subject: Re: Sad news 31 To: Sorin Trocaru

Dear Sorin,

I’m very shocked. This is big lose for whole astronomy community. Please accept my condolences. RIP ------Bolivia From: „Olimpiadas de Fisica, Astronomía y Astrofísica” To: Sorin Trocaru Sent: Monday, September 23, 2013 6:19 AM Subject: Re: Sad news

We knew him in IAO last year, very nice person. Please extend our deepest sympathy to his family.

Roy and Fabiana Bolivia ------Coreea de Sud From: YooJea Kim To: Sorin Trocaru Sent: Monday, September 23, 2013 6:34 AM Subject: Re: Sad news

Dear Sorin,

I am so surprised and saddended by this tragic news. I’ve known Marin for several years through his participation in IAO. Especially when he came to Korea as a Romanian team leader for IAO 2012 and gave a presentation at the Fall meeting of Korean Astronomical Society as Hakim recalled, he made an indelible impression on many astronomer collegues from Korea and abroad.

May his soul rest in peace and my sincere condolences to your astronomy community for this great loss. Sincerely, Yoojea Kim Korean team leader ------Tailanda From: Orrarujee Muanwong To: Sorin Trocaru 32 Sent: Monday, September 23, 2013 6:38 AM Subject: Re: Sad news

Dear Sorin and friends,

I am sadden by the news. I had the pleasure of meeting Marin at the IAO in China many years back. I share the grief of these great losses. They had lived to give their best to inspire many students and friends. Their legacy will continue to live on in our mem- ories. My condolences go out to their families. Sincerely, Joy Muanwong (Thailand) ------Sri Lanka From: Prof. Chandana Jayaratne To: Sorin Trocaru

Dear Sorin and all Astro friends in Romania, Losing someone special is really painful. I still have a copy of Bica Marin’s power point presentation that he presented on calendars when he was in Korea. Please accept our condolence on this untimely loss!

Prof. K. P. S. Chandana Jayaratne Department of Physics,University of Colombo, Colombo-03, Sri Lanka; National Coordinator - Sri Lankan Olympiads on Astronomy and Astrophysics; & Sri Lankan Team Leader IAO/IOAA ------Iran From: Shahram Abbassi To: Hosein Haghi Sent: Monday, September 23, 2013 12:10 PM Subject: Re: Sad news

Dear Sorin!

On behalf of your Iranian friends, please accept our sincere condolences. Shahram Abbassi ------Croaţia From: damir To: Sorin Trocaru ; Loukas Zachilas ; Michael Gavrilov - Chernogolovka ; [email protected] 33 Sent: Monday, September 23, 2013 4:07 PM Subject: Re: Sad news

Dear Sorin,

We are very sorry for this sad news. We knew Bica Marin from past IAOs. On behalf of Croatian friends, please accept our condolences to you and their families.

Damir Hrzina, Ivan Romstajn and Dragan Rosa. ------Canada From: KONSTANTIN TOUBIS To: Sorin Trocaru ; Loukas Zachilas ; Michael Gavrilov - Chernogolovka ; „[email protected]” Sent: Monday, September 23, 2013 6:05 PM Subject: Re: Sad news

Dear Sorin,

Very sad news. Please accept our sincere condolences.

Konstantin Toubis and Vera Zagainova Canadian IOAA team leaders ------Cehia From: Jan Kožuško To: Sorin Trocaru Sent: Monday, September 23, 2013 8:24 PM Subject: Re: Sad news

Dear Sorin and all astronomy friends in Romania, we are very saddened to hear of your sudden tragic loss. Please accept our most heartfelt condolences. Our thoughts are with you and the families of deceased during this diﬃcult time. Jan Kožuško ------Bangladesh From: Mohakash Milan To: Sorin Trocaru Sent: Monday, September 23, 2013 9:04 PM Subject: Re: Sad news

Dear Sorin, Petru and Romanian Astronomy Olympiad Team, 34 On behalf of Bangladesh Astronomical Association & Bangladesh Astro- Olympiad Team, please accept our sincere condolences.

M Amin General Secretary Bangladesh Astronomical Association Bangladesh Astro-Olympiad National Committee 2013 ------Columbia From: Cristian Goez To: Jan Kožuško Sent: Monday, September 23, 2013 9:06 PM Subject: Re: Sad news

Dear Sorin and Romania friends, we send our most heartfelt condolences. We wish the strength to overcome this situation Cristian Goez Colombia ------Grecia From: Loukas Zachilas To: Sorin Trocaru ; John H Seiradakis Sent: Tuesday, September 24, 2013 12:30 AM Subject: Re: Sad news

Dear Sorin, Petru and Romanian astronomers, On behalf of the Greek team and the Greek astronomical community, accept the sincere and warm sympathy for the sudden loss of this prestigious member of the Romanian astronomy community. Although I have never met him (since Greece does not participate in IOA), Ι still believe that his contribution to the Romanian astronomical community was as great as the pain from his absence. May the Romanian land and sky covers him respectfully.

Loukas Zachilas, Maria Kontaxi-Zachilas ------Iran From: Shahram Abbassi To: Hosein Haghi Sent: Monday, September 23, 2013 12:10 PM Subject: Re: Sad news 35 Dear Sorin!

On behalf of your Iranian friends, please accept our sincere condolences. Shahram Abbassi

On Mon, Sep 23, 2013 at 12:03 PM, Hosein Haghi wrote:

Dear Sorin,

I’m very sorry to hear about the loss of Romanian teachers. Condolences to you and their families, and I wish health for them.

Yours, Hosein Haghi ------Portugalia From: Nelma Alas Silva To: Sorin Trocaru Sent: Monday, September 23, 2013 6:29 PM Subject: Re: Sad news

Dear Sorin,

I am so sorry to hear about your loss. On behalf of the Portuguese Astronomy Society, please accept our sincere condolences. Nelma Alas Silva Sociedade Portuguesa de Astronomia || Portuguese Astronomy Society ------Serbia From: Date: 2013/9/23 Subject: Re: Sad news To: Sorin Trocaru

Dear Sorin,

I’m very sorry to hear such news. I had the honour to know Bica Marin person- ally. It’s very diﬃcult to understand that he is no longer among alive persons. My deep condolence. Thinking of the future as always with very best wishes

Sincerely Slobodan 36 ------Rusia From: Boris B.Eskin To: Sorin Trocaru Sent: Tuesday, September 24, 2013 11:13 PM Subject: Re: Sad news

Dear Sorin and our romanian friends and colleagues,

Team russian leaders oﬀer our condolences to our Romanian friends and colleagues. We knew Marin. He was good teacher and colleague who loved sky and stars. We lost good friend.

Boris Eskin and Valery Nagnibeda. ------Iran From: Mehdi Khakian To: Sorin Trocaru ; Loukas Zachilas ; Michael Gavrilov - Chernogolovka ; „[email protected]” Sent: Wednesday, September 25, 2013 10:05 AM Subject: Re: Sad news

Dear Sorin Trocaru

Unfortunately it was a very bad and sad news. I hope this year the host in Romania and IOAA committee, present a memorial section or ceremony for the acknowledgement of his activities in the ﬁeld. Of course if he was in our group, his experiences could be very useful for the IOAA and especially this year for the host. Hope to have a warm and friendly group under the ﬂag of IOAA

Mehdi Khakian Ghomi Iran 37

INTERACŢIUNI ÎN SISTEMUL SOARE-LUNĂ-PĂMÂNT ȘI EFECTUL LOR ASUPRA CALENDARULUI

Prof. Marin Dacian Bica Școala Gimnazială „Dacia” Oradea, Bd. Dacia Nr.25, [email protected] Sebastian Vlad Trifa Astroclub „Meridian 0”, Oradea, membru olimpic, Liceul Internațional de Informatică, București

Rezumat: Fenomenele care influențează durata zilei, a anului si a anotimpurilor sunt: scăderea masei Soarelui prin reacții termonucleare și radiație ce determină creșterea orbitei planetelor și a perioadei siderale de revoluție, frânarea mareică a rotației Pământului care duce la creșterea duratei zilei, precesia axei terestre combi- nată cu avansul relativist al periheliului și modificarea înclinării axei și a excentrici- tății orbitei terestre care determină variabilități în durata anotimpurilor. Keywords: frânare mareică, an sideral, an tropic, avansul periheliului, precesia, zi siderală, calendar dacic, șir Fibonacci. 38 1. Introducere De mai multă vreme studiez probleme de arheoastronomie atât cele din situ- rile arheologice de la noi din țară cât și din străinătate și din câte știu până acum nu s-a analizat din punct de vedere astronomic ținând seama și de fenomenele de finețe considerând neglijabilă influența lor. În vara trecută am decis să întreprind un studiu care să ia în considerare și aceste efecte care pentru perioade mari de timp nu mai pot fi considerate neglijabile. Cum era și normal primele implicații le-am studiat pentru calendarul dacic și surprizele au fost pe măsură la nivelul preciziei constatate.

2. Studiu pe fenomenele implicate Primul fenomen ca importanță este creșterea perioadei siderale de rotație a Pământului din cauza frânării mareice. În momentul de față Luna se îndepărtează de Pământ cu o viteză de 38mm/an ceea ce determină creșterea duratei zilei cu 2,45 ms/secol, dar din studiile asupra eclipselor din trecut s-a ajuns la concluzia ca o medie mai aproape de realitate pentru ultimii 10.000 ani ar fi 1,75 ms/secol dată de o viteză de îndepărtare de 27 mm/an. Sunt implicate aici atât fenomene con- servative legate de transfer de moment cinetic și energie cinetică de rotație de la Pământ la Lună, cât și fenomene neconservative provenite de la frecări cauzate de accelerația mareică. Transferul de moment și energie spre Lună are loc datorită ten- dinței de a se ajunge la rezonanță completă între mișcarea de rotație a Pământului și mișcările Lunii. La formarea ei Luna era mai aproape (160.000 km) și Pământul se rotea mai repede (ziua dura atunci 6 ore). De aici se deduce că pe termen lung fenomenul nu poate fi deloc neglijat. Al doilea fenomen afectează perioada mișcării de revoluție a Pământului. După cum bine se știe sursa energiei pe care o produce Soarele se afla în nucleul acestuia prin reacțiile termonucleare de fuziune la care pierderea de masă prin trans- formarea acesteia în energie este 0,7%. Dar doar 10% din masa Soarelui intră în aceste reacții în toată viața lui. Cel mai simplu se poate calcula aceasta din luminozitatea integrală pe tot spectrul: 3,846×1026W adică o scădere de masă de 4,27(3)×1011kg/s. Chiar dacă la prima vedere pare mult, dacă comparăm cu masa Soarelui de 2×1030kg reprezintă 2,13(6)×10-19 din aceasta. Din studii referitoare la fluxul de particule emise de Soare, așa-numitul vânt solar rezultă că la aceasta se adaugă încă aproximativ atât, ceea ce duce la 9×1011kg/s, ceea ce ne duce la 5×10- 19. Pentru a vedea cum afectează aceasta orbitele planetelor aplicăm legea a 3-a a lui Kepler și ținem seama de conservarea momentului cinetic datorită caracterului 2 2 MT MT00 central al forței gravitaționale. Din prima obținem 33 =constant, iar aa0 a2 a 2 .din a doua obținem ω۰a2=constant sau  0 =constant TT0 Combinând cele doua relații vom obține M۰a = constant din care vom obține MMaa 00 , adică și orbita crește tot cu 5×10–19. Cum a=15×1010m rezultă Ma00 39 o creștere a orbitei cu 75×10–9m într-o secundă ceea ce dă o creștere a dimensiunii orbitei de 15m pe secol. Cum pe noi ne interesează cum crește perioada orbitală a2 a 2 combinând  0 =constant și M۰a=constant vom obține M2⋅T= constant și de TT0 TT M M aici 002 , adică 10–18/s. Cum T=365,25636 zile vom obține o creștere TM00 a anului sideral de 4,87778 ms pe secol. În concluzie, deoarece durata zilei crește va rezulta că numărul de zile dintr-un an scade în timp cu 365,25⋅1,75ms/secol=639ms/secol. Dar cum și durata anului crește rezultatul va fi puțin micșorat, dar nu cu atât de mult ceea ce înseamnă că pe ansamblu numărul de zile ale anului tropic scade cu 0,6343s pe secol. Să analizăm și celelalte fenomene implicate: precesia axei cu perioada de 25.765 ani și avansul periheliului cu perioada de 111.700 ani. Cum cele 2 fenomene sunt în sensuri contrare, momentul de afeliu apropiindu-se de cel al echinocțiului de primă- vară, efectele lor se adună obținând o perioadă combinată de 21.240 ani după care pot să se suprapună momentele de periheliu și afeliu peste cele de echinocții și sol- stiții. Aceasta va determina împreună cu modificarea excentricității orbitei terestre pe termen lung o variabilitate a duratei anotimpurilor astronomice. Mai jos atașez graficul (figura 1) ce ne arată aceste variabilități și când se suprapuneau afeliile și periheliile peste solstiții. Atunci anotimpurile adiacente toamna și iarna sau primă- vara și vara erau egale ca durată. Astfel când periheliul s-a suprapus peste solstițiul de iarnă în 1258 AD toamna și iarna erau egale si mai scurte decât vara și primăvara care iar erau egale. Iar în

Figura 1. Durata anotimpurilor pe parcursul miilor de ani [1] 40 9362 BC când afeliul s-a suprapus peste solstițiul de iarnă, toamna și iarna egale între ele erau mai lungi decât primăvara și vara care erau mai scurte decât acestea  e iarna toamna  dar tot egale între ele raportul duratelor fiind 2 prim vara vara  ã  e 2 De asemenea când un afeliul cade în mijlocul unui anotimp acesta va fi cel mai lung, iar cel opus unde periheliul cade la mijloc va fi cel mai scurt, iar cele dintre acestea vor fi egale. Datorită scăderii excentricității orbitei în câțiva zeci de ani duratele anotimpurilor vor tinde spre aceeași valoare medie. La modul general apli- când legea a II-a a lui Kepler vom obține rapoartele duratelor anotimpurilor depin- zând de excentricitate.

3. Aplicație pe teren: Calendarul dacic În vara anului trecut am efectuat studii și măsurători la complexul de sanctuare de pe terasa a IX-a de la cetatea Sarmigetuzo (denumirea antică corectă așa cum apare pe tăblițe), cunoscută azi ca Sarmizegetusa Regia. Am înțeles atunci că toate aceste construcții funcționau împreună pentru a realiza codificarea arhitectonică a calendarului cu toate corecțiile care se aduceau la intervale regulate de timp. M-am gândit așa: dacă în limba noastră cuvântul primăvară conține înăuntrul său cuvân- tul vară înseamnă că atunci cele 2 anotimpuri erau unul singur. Adică anul dacic avea 3 anotimpuri: iarna, vara și toamna. Dacă așa stau lucrurile cei 34 de stâlpi ai absidei ar codifica numărul de săptămâni ale anului care vom vedea mai încolo că erau 47, adică cei 13 se numărau de 2 ori. Deci iarna și toamna aveau câte 13 săptămâni iar vara 21. Acesta ar putea fi un indiciu de datare pentru că dacă cele 2 anotimpuri erau egale atunci înseamnă că solstițiul de iarnă care le desparte se suprapunea atunci cu momentul când Pământul era la afeliu (cazul când ar fi la periheliu este exclus fiind prea târziu plasat în perioada medievală). Dar să analizăm acest complex: pornim de la sanctuarul mic circular cu 101 stâlpi și 13 lespezi de piatră care separă cele 11 grupări de 8 stâlpi și cea de 6, respectiv 7 stâlpi. Fiecare grupare de stâlpi reprezintă o săptămână, iar cele 47 săptămâni apar prin parcurgerea cercului de 3 ori plus 8 grupuri. Astfel la înche- ierea ciclului de 13 ani sfârșitul și începutul anilor era realizat câte o dată pe fiecare dintre cele 13 lespezi. Dar anii astfel calculați nu aveau același număr de zile, dar aveau număr întreg de zile fiecare. Erau astfel câte 4 ani cu 364, 365 și 366 de zile și 1 an cu 367 de zile. De menționat că anul cu 364 de zile a fost larg răspândit în Europa neolitică. La sfârșitul fiecărui ciclu se realiza o corecție prin adăugarea -unei zile. Prima corecție se efectua după 13 ani, a doua după 13۰8=104 ani, și ast fel înțelegem acum de ce cercul exterior al sanctuarului mare avea 104 pietre late. Pentru următoarele corecții trebuie să ne deplasăm la sanctuarul dreptunghiular cu ,3x5 stâlpi de lângă cel circular mic: după 5۰104=520 ani se mai aplica o corecție iar după 3۰520=1560 ani se aplica ultima corecție, altele nefiind necesare deoarece numărul de zile ale anului tropic scădea mai repede decât eroarea dintre anul mediu tropic calculat și cel real de atunci corectată după 1560 ani. 41

Acum vom ține seama și de orientarea axei mici a absidei care desparte anotimpurile. Dacă ținem seama că la fel ca în alte culturi europene, aceste alinieri serveau la urmărirea răsăritului și apusului Soarelui în zilele importante din anul agricol : începutul vegetației și respectiv începutul sezonului de recoltat. Astfel linia marchează apusul Soarelui la 13 zile după echinocțiul de primăvară, momentul înce- putului vegetației în acea zonă muntoasă și de asemenea 21 zile după echinocțiul de toamnă când începea recoltarea. Am ținut seama în aceste calcule și de orizontul local pe acea direcție datorat reliefului. Înțelegem astfel încă odată rostul nume- relor 13 și 21 din absidă. Dar asta înseamnă totodată că trebuie să introducem media celor 2 ca interval de 18 zile între solstițiul de iarnă și afeliu, adică afeliul era la 18 zile după solstițiul de iarnă și demarca cele 2 anotimpuri de 13 săptămâni. Asta se întâmpla în 8318 BC. Să vedem acum câte zile avea anul tropic atunci: dacă acum are 365,242189669781 zile, iar durata lui a scăzut cu 0,6343s pe secol înseamnă că atunci avea 365,2429471 zile. După aplicarea tuturor corecțiilor anul tropic mediu ajungea la 365,2429487 zile. Diferența între cele 2 valori e de 0,13 secunde pe an sau o zi în 625.465 ani și trecuse deja prin 0 cu 22 ani înainte. De aceea corecții ulterioare nu-și mai au rostul. O asemenea precizie a putut ﬁ atinsă folosind linia meridiană care pleacă de la discul de andezit spre nord, procedeu „descoperit” de Europa medievală abia în secolul XIV. Ca o curiozitate matematică, din studiul acestui calendar observăm o predilec- ție pentru numerele șirului Fibonacci 3, 5, 8, 13, 21, 34 prezente în acest complex arhitectonic. 42 Concluzii Lucrarea aduce ca noutate calcularea preciziei calendarului ținând seama de toate fenomenele implicate pentru a ﬁ cât mai aproape de ceea ce observau pe teren înaintașii cu durata de atunci a zilei siderale și a anului tropic. De asemenea data- rea siturilor arheologice pe baza potrivirilor între diferite poziții ale Pământului pe orbită și cercetarea pluridisciplinară (arheologică, genetică, lingvistică, climatică, …) sunt o contribuție proprie. Integrarea tuturor construcțiilor de pe acea terasă pentru a conlucra ca un ansamblu la stabilirea unui calendar așa precis este tot o contribu- ție personală.

Bibliograﬁe: [1] www1 : http://www.sym454.org/seasons/ accesat la 14 februarie 2013 43

Probleme pentru Proba Teoretica

Problema 1. (Seniori și Juniori) Marțienii vor să studieze planeta Mercur pentru a plasa în jurul ei câțiva sate- liți care să capteze energia solară și să o retransmită sub forma unor microunde pe planeta lor cu resurse energetice mai sărace și cum planeta lor e săracă în hidrocar- buri trebuie să găsească o soluție de economisire a combustibilului. Vor folosi pentru aceasta o orbită pe care nava lor să se deplaseze sub acțiunea gravitației Soarelui. Determinați elementele acestei orbite pentru ca să economisească la maxim energia. Care sunt vitezele la plecarea de pe Mercur și la sosirea pe Pământ? Cât durează o astfel de călătorie? În plus pentru seniori: Cât e indicat să dureze staționarea pe Mercur din aceleași considerente energetice? Se dau: a Mercur = 0,387 UA, e Mercur = 0,2, 23 26 M Mercur = 3,3·10 kg, R Mercur = 2440 km, a Marte = 1,52 UA, e Marte = 0,09, L ☼ = 3,8·10 W .

Rezolvare: Într-o primă aproximație considerăm estimativ o orbită de transfer care leagă 2 orbite circulare care au razele egale cu semiaxele mari ale planetelor aa a Mercur Marte 143 mil.km 2 de unde obținem e = 0,6 și T = 341 zile cu care vitezele la periheliul și afeliul orbitei vor fi aproximativ 60 km/s și 15 km/s. Calculăm vitezele la periheliu și afeliu ale celor 2 planete: 26,4km/s și 21,9km/s pentru Marte respectiv 59 km/s și 39 km/s pentru Mercur. Astfel că marțienii vor planifica startul călătoriei când planeta lor este la afeliu și sosirea pe Mercur când aceasta este la Periheliu. Refacem calculele cu aceste noi date aeae(1 ) (1  ) a Marte Marte Mercur Mercur 0,9868 UA 2 de unde aplicând legea a 3-a a lui Kepler T = E aFF3 perioada va fi T = 0,98 ani și călă- toria va dura atunci jumătate de perioadă adică 179 zile. Excentricitatea o calcu- lăm scăzând din semiaxă distanța la care se află Mercur la periheliu și împărțind la aa(1 e ) semiaxa: e Mercur Mercur 0,6884. a Cu aceste date vitezele la periheliul și afeliul orbitei de transfer devin 21ae 21ae v 14,7UA/y 69,8km/s și v 30km/s . P Te1 A Te1 De aceea planul inițial este schimbat și se va încerca când Marte este și el la peri- aeae(1 ) (1  ) heliu și astfel calculele se reiau cu: a Marte Marte Mercur Mercur 0,84UA 2 și atunci T = 0,776 ani, călătoria durând 142 zile iar excentricitatea devine 0,636 și 44 vitezele vor fi v P = 68,7 km/s și v A = 32,26 km/s (aici se încheie cerințele juniorilor) ceea ce ne dă o creștere necesară de viteză la plecare de 5,86 km/s adică cu 22,2% iar la sosirea pe Mercur va fi necesară o frânare cu 9,8 km/s pentru a produce o scădere a vitezei cu 14%. Pe Mercur marțienii trebuie să stea T Marte - T = 403 zile ca să ajungă pe Marte când aceasta este iar la periheliu dar asta ar însemna să plece de pe Mercur când acesta este in apropierea afeliului. De aceea ei decid să stea doar 352 zile și apoi să orbiteze planeta pentru 51 zile, timp în care să facă o revoluție completă în jurul ei.

Problema 2. (Seniori și Juniori) În data de 16 aprilie 2011 (η = -14s) ne aﬂam în zona cu anomalii gravitațio- nale dintre Ocna Șugatag și Cavnic și priveam un superb apus de Soare de pe un deal cu înălțimea de 250 m față de zona înconjurătoare. Calculați cât indica ceasul în momentul trecerii discului solar sub orizont și precizați cât a durat această trecere. Coordonatele locului sunt: φ = 47°45’, L = 23°54’. Care este azimutul locației apusului? Rezolvare: Calculăm coborârea orizontului pentru ca suntem la înălțime

R 6370 coshh11 30'27",4 Ralt  6370,25 la care adăugăm refracția 35’ și obținem înălțimea mijlocului discului solar când îl vedem la orizont h 15’27",4  . Calculăm declinația Soarelui în data de 16 aprilie 2011 folosind relația sin sin  sin 23 26'  10 0'41,6" 26,7d unde  360  26 20'3" (varianta acceptată doar la juniori) sau mai exact 365d

26,7d   90  25 55'20" (variantă obligatorie pentru seniori) dacă lucrăm pe ano- 92,7d timpuri întrucât de la echinocțiul de primăvara au trecut 26,7 zile până în momentul estimat al apusului. Calculăm din triunghiul sferic unghiul orar și azimutul apusului și unghiul paralactic folosind teorema cosinusului și cea a sinusului în triunghiul sferic de poziție sinHA sin sin sinhH sin sin cos cos cos și  și obținem cosh cosq cos sinh sin sin cosHH 102 53'29" 6h51m34s cos cos  pentru că ținem seama că suntem primăvara și unghiul orar al apusului trebuie să sinH  cos fie mai mare de 6h și sinAA 106 14'4" pentru ca ținem seama că cosh suntem primăvara și azimutul apusului trebuie să fie mai mare de 90°. cosh  sin Pentru unghiul paralactic: cosqq 40,6 . sin H 45 Se putea rezolva și mai simplu dar mai puțin exact folosind (unde utilizăm pentru δ = 10°9’39,4", valoare ce rezultă din varianta simplă de calculare a longitudinii ecliptice a Soarelui) cosHH tg  tg   101 22'47"  6h45m31s și apoi sin unghiul paralactic este la apus și răsărit cosqq 41,235 varianta accep- cos tată doar la juniori, la seniori urmând a fi depunctați cu până la o treime din puncta- jul pe problema daca nu o analizează mai profund ținând seama că h = -1°5’27",4 în loc de h = 0° implică o ușoara modificare a azimutului, a unghiului orar și a unghiului paralactic. Transformăm longitudinea în ore L = 1h35m36s și aplicăm relația timpului legal având grijă că suntem la ora de vară și în fusul 2:

tHl  12 h Lhh 2 1 20h15m44s Cu varianta simpliﬁcată de la juniori obținem

tHl  12 h Lhh 2 1 20h9m41s Ținem seama de refracție și de coborârea orizontului pentru a corecta ora apusului sin h sin '    '  1 39'18,76" sinq ' și de aici corecția de timp th'246m37s   360 Astfel că momentul apusului devine 20h16m18s. Calculăm deplasarea discului solar pe paralelul sau cât timp durează apusul sin D  sin u    48'59,6" sinq  și apoi obținem durata apusului th 24  3m16s 360 sin D  Cu varianta simpliﬁcată de la juniori obținem sin u    48'22,28" sinq  și th 24  3m13,5s 360

Problema 3. (Juniori) În roiul M3 sunt 500.000 stele presupuse toate identice și de clasă A0 (T = 7200 K) cu M = -1. La ce distanță se aﬂă? Magnitudinea roiului este 6,2 iar diametrul său unghiular este de 18’. Ce distanța medie este între stele? Estimați masa unei astfel de stea. Se dă magnitudinea Soarelui 4,76.

Rezolvare: 5 EEroi510  stea

550,4(MMstea roi ) de unde 5 10 10 MMroi  stea  2,5lg(5  10 )  1 14,25 15,25 și aplicând legea Pogson Mm55lg d obținem d = 195 kpc de unde aplicând

Ddtg( Dunghiular ) obținem dimensiunea roiului 1020 pc și raza lui 510 pc ceea ce va da un volum de 1110,43 p c3 pentru zona ce revine ﬁecărei stele și de aici distanța 46

L 0,4MM  dintre stele ne da 12,85 pc. Pentru masa aplicăm 10 201,37 și folo- L sind relația LM 4 obținem pentru masa stelelor 3,767 mase solare.

Problema 4. (Juniori) Linia Hα care în laborator are 0 = 656,281 nm a fost observată de la steaua Groombridge 1830 (= + 3743'07.239", mișcări proprii: RA: 4.003,69 mas/yr, Dec.: -5,813 mas/yr, d = 29,9 ly, m = 6,62) având = 656,066 nm. Să se calculeze când se va aﬂa cel mai aproape de noi și ce magnitudine va avea atunci.

Rezolvare:  v Calculăm     0  0,215nm și aplicând  obținem pentru viteza radială 0 c vr 98,28km/s Transformăm distanța în pc și apoi calculăm paralaxa 29,9ly 1 dpc9,17 0,1090301" 3,26 d 2 2 Calculăm acum mișcarea proprie     cos   6,62"/y  de unde v 4,74 287,788km/s și de aici vvv22304km/s  64UA/y t  rt vt și tg  2,93  71  și atunci distanța minimă fața de noi va fi vr dd' sin  8,68pc , iar distanța parcursă de stea până ajunge la distanța minimă de noi va fi lvydcos  2,964pc pe care o parcurge în timpul Δt = 9532 ani. L 2 2 Ed' 4'd  0,4m Ținând seama de variația strălucirii cu distanța  10 EdL ' 4d2 2 8,68pc 0,4m obținem 10mm 0,12 ' 6,5 pentru magnitudinea stelei 9,17 pc când va fi la distanța minimă.

Problema 5. (Seniori) Să se calculeze cât durează o eclipsă care are loc la zenit la amiază în momentul în care Pământul este la afeliu iar Luna la perigeu. Se dau semiaxele mari (149,6 mil. km și respectiv 384.400 km) și excentricitățile celor 2 orbite (0,0167 și respectiv 0,055), perioadele lor siderale (365,256363 zile și respectiv 27,32 zile) precum și razele corpurilor implicate (6378 km și respectiv 1737 km).

Rezolvare:

Calculăm distanța dintre Pământ și Lună la perigeu daLL1 e L 363.104 km 47

și cea dintre Pământ și Soare la afeliu da 1 e  152.097.701 km de unde

R vom determina diametrele unghiulare ale Soarelui tgDDuu tg  31'27" d LLRL și Lunii tgDDuu 32'54" . dL Calculăm apoi viteza unghiulară momentană a Lunii pe orbita sa la perigeu și a v Pământului pe orbita sa la afeliu din relația  unde r

P 21aeLL A 21ae v L 1,082 km/s , v  29,291 km/s TeLL1 Te1

și obținem L = 14,7514°/zi pentru Lună și ω = 0,95334°/zi astfel viteza unghiulară relativă a discului lunar fața de cel solar va ﬁ 13,8°/zi dinspre vest spre est întrucât mișcarea de rotație a Pământului afectează la fel mersul aparent al ambelor discuri. Mutând acum sistemul de referință de pe Pământ pe Lună vom putea calcula viteza cu care conul de umbra matură Pământul de la vest spre est vdL 1082m/s și vom ține seama și de rotația Pământului cu o viteză de 465,11 m/s tot de la vest la est, de unde vom obține o viteză relativă de 616,89 m/s de deplasare spre est a conului de umbră al Lunii pe suprafața Pământului. Durata fazei de totalitate se va putea calcula atunci simplu daca determinăm mai întâi diametrul conului de umbra al Lunii la nivelul suprafeței Pământului. Lungimea conului de umbră al Lunii se

RL determina astfel ld 380.812,6km . Apoi raza umbrei la nivelul supra- RR  L ld R feței Pământului va ﬁ 2RR 2 L  219,7km de unde durata fazei L l 2R de totalitate a eclipsei este tss 355  5min55 , iar toata eclipsa va dura v  L DDuu tt' L  15754,655s  4h22min34,655s DDuu

Problema 6. (Seniori) Calculați presiunea din centrul Soarelui știind că densitatea medie a materiei este 1410 kg/m3 în Soare, iar masa de 2 ◊ 1030 kg și raza de 695.000 km.

Rezolvare: Din echilibrul între gravitație și presiune se obține: dP GMRR GM  dr GM  PdrGM        2,7  1014 Pa 22 2 dr r00 r r R

Problema 7. (Seniori)

În Horsehead Nebula se afla gaz extrem de dens: masa estimată M = 250 M☼ și dimensiunea de 4 pc. Din acest gaz se formează o stea cu masa de 80 M☼, două stele cu masa de 35 M☼, 3 stele cu masa de 20 M☼ și 4 cu masa de 10 M☼. Calculați 48 concentrația atomilor de H din nor și temperatura maximă a fiecărei regiuni în care se formează cele 10 stele. Ce dimensiuni au norii rezultați din fragmentarea nebuloasei pentru fiecare stea în parte și ce dimensiuni au stelele rezultate? Cât trăiește fiecare stea în secvența principală? Calculați timpul necesar formării fiecărei stele. Ce temperatură va avea fiecare stea și la ce clasă spectrala va aparține?

Rezolvare: Mai întâi calculăm densitatea și apoi concentrația hidrogenului 31 MM 50 10 kg 20 3   51 3 6,348  10 kg/m V 4 3 7,8766 10 m R  3 Între densitate și concentrație este relația 20 3 6,348 10 kg/m 73 nm H  n  27 3,8  10 particule/m mH 1,67 10 kg Iar acum putem aplica relația masei Jeans din care să calculăm temperatura T 3 maximă MM3104 sau putem să deducem condiția de începere a contracției J n  gravitaționale din condiția ca energia totală să ﬁe negativă și astfel încât să se for- mv 2 GMm 2GM meze un sistem legat HT H v 2 pentru o particulă de pe 2 RRT marginea norului. 3kT Cum viteza termică pentru atomul de H se exprimă astfel v  B vom T m 32kT2GM  G Mm  H putea scrie BHT 195,7K. mRHB3 kR 49

Considerăm că în toate regiunile norului este inițial aceeași concentrație. Astfel putem calcula volumul inițial și de aici dimensiunile inițiale ale regiunilor rezultate din fragmentarea norului 30 MM113 240 2 10 kg 16 VR3 3 1,81 10 m  0.59pc 114 4 6,348 1018 kg/m 3 pentru steaua cu 80 mase solare; 30 MM223 115 2 10 kg 3 3 VR22  0,46pc 4 4 6,348 1018 kg/m 3 pentru stelele cu 35 mase solare; 30 MM333 60 2 10 kg VR3 3 0,37pc 334 4 6,348 1018 kg/m 3 pentru stelele cu 20 mase solare; 30 MM443 30 2 10 kg 3 3 VR44  0,29pc 4 4 6,348 1018 kg/m 3 pentru stelele cu 10 mase solare. 3,5 Aplicând relația masă–luminozitate L ~ M obținem L 1 = 4.579.467 L☼, L 2 = 253.652 L☼, L 3 = 35.777 L☼, L 4 = 3.163 L☼ și uitându-ne pe diagrama H-R putem deduce clasele spectrale și temperaturile: prima cea de 80 M☼ are 50.000K și e albastră (clasa O0), a doua cu 35 M☼ e tot albastră (clasa O5) și are 40.000K, a treia cu 20 M☼ e tot albastră (clasa B0) și are 35.000K, iar a patra cu 10 M☼ e albastră spre albă (clasa B4) și are 25.000K și de aici aplicând LRT4 24  putem calcula razele stelelor: vom obține 3R☼ pentru cea de 10 M☼, 5,2R☼ la cea de 20 M☼, 10,5R☼ la cea de 35 M☼ și 28,6 R☼ la cea cu 80 M☼. Pentru timpul de formare aplicăm legea a 3-a a lui Kepler la ﬁecare nor în parte considerând că semiaxa mare este egală cu jumătate din raza norului și atunci tim- 3 R  2 T M pul de formare va ﬁ jumătate din perioadă t  și vom obține: 22 Δt 1 = 839.066,43 ani, Δt 2 = 873.305,2 ani, Δt 3 = 833.395 ani, Δt 4 = 817.825 ani. Pentru toate aceste stele predomină producția de energie conform ciclului C-N-O. Pentru durata de viață în secvența principală energia obținută din reacția nucle- 0,07%Mc2 ară a fracțiunii din stea care produce energia la luminozitate: t și L observând că acesta depinde de raportul dintre masă și luminozitate putem compara cu Soarele despre care știm că are timpul de viață de 10 miliarde ani M M 10 L M ty10   ML

L L 50 și vom obține: Δt 1=1.746.928 ani, Δt 2 = 13.798.433 ani, Δt 3 = 55.901.836 ani, Δt 4 = 316.155.549 ani pentru fuziunea hidrogenului.

Problema 8. (Juniori) Fiind date: anul tropic 365,242189 zile solare medii, anul sideral 365,256363 zile solare medii și anul anomalistic 365,259636 zile solare medii și că în acest an echinocțiul de primăvară are loc la 23:21 UT în 21 martie, iar momentul trecerii Pământului la periheliu este în 3 ianuarie ora 19 UT, să se determine data, ora și anul când cele 2 momente vor coincide.

Rezolvare: Facem diferența dintre anul tropic și cel sideral: 0,014174 zile solare medii/an și dintre anul anomalistic și cel sideral: 0,003237 zile solare medii/an. Considerăm aceste diferențe ca niște viteze și observând că periheliul și echinocțiul de primă- vară se deplasează în sensuri opuse le adunăm obținând o viteză relativă de apropiere a celor 2 date: 0,017411 zile solare medii/an. Între cele 2 momente sunt în acest an 76 zile 4 ore 21 minute și ca să determinăm după câți ani se vor suprapune 76,18125d împărțim acest interval la acea „viteză relativă”: ty 4375,4(6) 0,017411dy / adică în anul 6386. Ca să determinăm și data vom face raportul celor 2 viteze obți- nând 4,3787 și de aici deducem ca periheliul se deplasează 14 zile 3 ore 55 minute 16,5 secunde adică în 17 ianuarie ora 22:55:16 anul 6386 periheliul și echinocțiul de primăvara se vor suprapune.

Problema 9. (Seniori și Juniori) Calculați ziua elongației maxime estice a lui Venus dacă longitudinea ecliptică heliocentrică a planetei era 260°40’ în 1 ianuarie, iar a Pământului era 99°55’. Se cunoaște că Venus are a = 0,72UA, iar Pământul are e = 0,0167 și a = 149,6 mil. km. La ce distanță este atunci Venus de Pământ, ce fază ne arată și cât este diametrul său aparent știind că raza planetei este 6000 km?

Rezolvare: Facem diferența între cele 2 longitudini și obținem Δλ 1 = 160°45’. Calculăm apoi diferența de longitudine ecliptică în momentul elongației maxime estice cos22  0,72    43  56'. De aici deducem că datorită mișcării mai rapide a lui Venus diferența de longitudine ecliptică scade. Pentru a determina în cât timp scade cu Δλ 1 - Δλ 2 = 116°49’ 3 vom calcula mai întâi perioada siderală a lui Venus: TaVV0,61y  223d 360 și apoi vitezele unghiulare ale celor 2 planete: V 1,613266  /d și 360 223d  0,9856  /d și facem diferența celor viteze unghiulare.  365,256363d 51 Pentru a obține după cât timp se reduce diferența de longitudine ecliptică la cea corespunzătoare elongației maxime vom calcula astfel:    116 49' t 12  186d , V  0,6276  /d adică 6 iulie ceea ce e aproape de poziția de afeliu a Pământului și astfel distanța de la Pământ la Soare va fi 1,0167 UA de unde distanța de la Pământ la Venus va fi 0,71783 UA = 107.387.262 km. DV R 6.000km Diametrul aparent al planetei va fi: tgu  DV  23" 2d 107.387.262km u Fiind la elongație maximă faza planetei va fi similară cu cea a primului pătrar la Lună.

Problema 10. (Juniori și seniori) În noaptea echinocțiului de primăvară (= 8 min) am făcut maratonul Messier la Vadu Crișului (φ = 46°59’20", L = 22°31’38"), astfel că m-am culcat când începea crepusculul astronomic de dimineață și m-am trezit când înălțimea Soarelui era 20°. Când m-am culcat, când m-am trezit și cât timp am dormit?

Rezolvare: Calculăm unghiul paralactic la echinocțiu și arcul parcurs de Soare în mișcarea diurnă aparentă de la începutul crepusculului astronomic când are h = -18° până în momentul răsăritului și de la răsărit până când ajunge la h = 20°. sin h q 90 43 2'22" sinee1 26 56'13,3" și analog e 30 05'31" 11sinq 2 Apoi calculăm timpul necesar celor 2 situații, dar mai întâi avem nevoie de momentul răsăritului în locul observației, care pe meridianul central al fusului este la ora 6 plus corecția de ecuație a timpului.

LL30  7 28'22"  ttLll 0  6h29m24s e t 1 *24h  1h47m44,89s 1 360 e t 2 *24h  2h0m22s 2 360

tt12 t3h48m7,12s În sfârșit se calculează momentul începutului crepusculului de dimineață și cel când Soarele are înălțimea de 20° și intervalul de timp dintre cele 2 momente.

ttll11 t4h42m8,58s

ttll22 t8h30m15,47s

Problema 11. (Juniori și Seniori) Un pinguin urmărește răsăritul Soarelui la echinocțiu (când are diametrul aparent de 32’40") de pe un bloc de gheața cu panta de 5% din Antarctica (φ=78°19’). Cât timp durează răsăritul? Cum poate mări pinguinul durata răsăritului și cu cât știind că el se poate deplasa cu viteza de 0,5 m/s ? 52 Rezolvare: Calculăm arcul parcurs de Soare pe paralelul său diurn atunci folosind unghiul paralactic care la echinocțiu este complementul latitudinii. sinq sin( 90 ) sinqq cos (90 ) 11 41' cos sinq 1 sin32'40" sin 2 ,68 sin32'40" sin sinq Apoi calculăm în cât timp este parcurs acest arc și viteza cu care se ridică Soarele deasupra orizontului. 24h ...... 360 t...... 2 ,68 2*R Vs  3,047'/min 24*2 ,68 t t 0,17h  10m43,2s 360 Apoi folosind viteza pinguinului calculăm viteza cu care urcă orizontul lui când el coboară panta estică a blocului de gheață. tg 0,05  2  51'44",66 Vy V *sin 0,02m/s htVy*  12,86m R cos     16'54",92 Rh  Vu0,01'/ s  0,6453'/min t Diferența celor 2 viteze ne va da timpul cu care prelungește pinguinul răsăritul

VVsVu  2,4'/ min 2R 32'40"   13m36s V 2,4'/ min     t  2m53s

Problema 12. (Juniori și Seniori) Calculați magnitudinea sistemului multiplu Castor aﬂat la 51,6 ly cunoscând luminozitățile subsistemelor A ( L A = 34 L☼) și B (L B = 14 L☼) și ca cea a subsistemu- lui C este 5% din cea a Soarelui care are magnitudinea absolută 4,78.

Rezolvare: L = L A = + L B + L C = 5% L solare = 48,05 L solare L/L solare = 48,05 = 10-0,4(M - Msolare) M - Msolare = -lg 48,05/0,4 rezultă că M = 0,75 ; M = m + 5 - 5 lgd ; M = 1,24

Problema 13. (Juniori și Seniori) Odată ca niciodată, Marte a fost la mare opoziție în timp ce se aﬂa în constelația Racului care este străbătută de ecliptică pe o distanță unghiulară de 19 grade. S-a 53 măsurat atunci diametrul său unghiular (25") și paralaxa (40"). Magnitudinea apa- rentă a planetei ﬁind -2,9. Calculați albedoul planetei știind că cel al Lunii pline, care are magnitudinea de -12,7, este 0,12. Câte zile a fost Marte în Rac? Știind că opo- zițiile se repetă după 2 ani și 50 de zile, calculați elementele orbitei planetei Marte cunoscând excentricitatea orbitei Pământului (0,02). Se cunosc raza Pământului = 6370 km, raza Lunii = 1737 km și distanța Pământ-Lună = 1/400 UA. Calculați raza planetei Marte și distanța până la ea în acel moment. (1 UA = 15*1010 m)

Rezolvare:

RR tg  dM  dM tg 

RM tgDu RMM d tg Du dM 111 111 TT M T  T  S TTTM M TTTMMM TT SM MS S 2 TM 323 2 3 1 aTMM   a M  T M aM d Mare opoziție dae(1  ) e 1 M unde ded1UA 1 MM M M a MM rezultă e M = 0,2. M

    M este viteza unghiulară relativă care determină mișcarea lui Marte printre constelații. Aici cele două viteze unghiulare sunt momentane, pen- A v  tru Pământ la afeliu, iar pentru Marte la periheliu și vor ﬁ:  și P ae1 v M M , iar vitezele se calculează din legea a 2-a a lui Kepler: aeMM1

22 22  21ae M 21aeM va12v e  ar  și vaMM12v e ar  T TM 360 ...... 2 19 ...... x L 219  E M   x   4d2 360 M M 2 x rMMERk   xtt    reprezentând strălucirea Soarelui văzut de pe Marte și respectiv fluxul luminos reflectat de Marte unde s-a ținut seama și de direcțiile diferite ale razelor de lumină reflectate făcând o mediere pentru aceste direcții și de aceea nu este jumătate din aria sferei 22M MM2 LRkSMM refl LRk SMM ci cea a discului reflERk S  M M 2222  E M   4444ddddSM M SM M 54 strălucirea lui Marte văzut de pe Pământ. 2  LRkSLL Analog pentru: EL  22pentru Lună și le raportăm 44ddSL L E  ER 2 dd22 k L  100,4(mmML ) LLSM M  L100,4( 2,9 ( 12,7)) k E  ERddk 22 2 M M MMSLLM

Problema 14. (Juniori și Seniori) Echipa României ia avionul de la Amsterdam (φ = 52°21’15" N, L = 4°52’59" E) în data de 7 noiembrie 2009 la ora 14:40 pentru a ajunge la Shanghai (φ = 31°08’20" N, L = 121°47’14" E) în 8 noiembrie 2009 (η = -16min18sec) la ora 8:05 (ore legale locale). De cât timp răsărise Soarele și unde se aﬂă pe bolta cerească în momentul aterizării? Cât timp a durat călătoria? Calculați viteza medie a avionului dacă presupunem că acesta zboară pe cel mai scurt drum posibil la înălțimea de 10 km. Raza ecuato- rială este Re = 6.378,16 km, Rp = 6356,78km, iar raza geocentrică pentru latitudinea 12ee22 sin 42 sin φ se calculează cu formula Rg  Re , unde e este excentrici- 1sine22 tatea elipsei meridiane. Ce unghi face planul ce conține traiectoria avionului cu planul ecuatorului terestru? (Olanda se aﬂa în fusul 1, iar estul Chinei în fusul 8).

Rezolvare: (A = Amsterdam, S = Shanghai): 12e22 sin e 42 sin Re22 Rp cu RRe unde e 0,081810094 calculăm 1 e2 Re razele geocentrice ale celor 2 aeroporturi și apoi vom face media lor geometrică 1 2*0,0067*0,62 0,0000448*0,62 Ra Re 10 1 0,0067*0,62 6378,16*0,999 10 6374,93km  1 2*0,0067*0,267 0,000048*0,267 Rs Re 10 1 0,0067*0,267 = 6378,16 · 0,9991 + 10 = 6382,48 km Calculăm acum lungimea arcului de cerc mare al traiectoriei avionului cosAS sin A *sin  S cos A *cos  S *cos Ls  La AS82 21'28"  AS 1,437 rad. Drumul: AS R* AS 6378,7km*1,4373  9168,07km , R este raza medie a 916807km 880,13km arcului care reprezintă traiectoria avionului V  10,41 h 55 Pentru a determina momentul de răsărit la aterizare avem nevoie de coordonatele Soarelui în acea zi iar pentru unghiul pe care-l face planul traiectoriei cu ecuatorul avem nevoie de unghiul paralactic 46 sin sin  *sin  16 39'46",9  *90  180  46  ,1  180  226  ,1  89,08

cos cos  43  ,77  180  223  ,67  14h54m31,5s cos

cosHS tg  *tg   H  79  ,58  5h18m19,62s Momentul în care răsare Soarele la Shanghai atunci este:

tHl  12 hh 8 L 5h18m19,62s  20h  16m18s  8h6m36s  6h18m43,38s Astfel că de la răsărit până la aterizare a trecut: t 1h46m13,62s sinAHA cos *sin  70 ,42 360 289 ,57 sinqL sin  q 74 28'58",8 cosAAS sin tgqe tgsqE   9 10'52",46 cosq q este unghiul paralactic, A este azimutul răsăritului, iar qE este unghiul pe care-l face planul avionului cu ecuatorul.

Problema 15. (Juniori și Seniori) Ești căpitan de vas și faci o expediție la 1880 în Paciﬁc. Vezi o insulă și captivat de frumusețea ei, uiți să-ți iei măsuri de precauție și astfel corabia ta rămâne blo- cată în reciful de corali. Ca să poți transmite SOS trebuie să cunoști coordonatele locului (soluție φ = 29°7’20" S, L = 167°57’2" E). Ai la tine un ceas care arată exact timpul universal, un catalog stelar, o lunetă și un anuar astronomic. De asemenea dispui la bord de instrumente de măsură a lungimilor și a unghiurilor. Ziua în care ai eșuat este 20 octombrie (η = -15min6sec). Descrie modul de lucru pentru determinarea coordonatelor și efectuează calculele pentru Formalhaut (α = 22h51m4s, δ = -30°15’7"). Ai observat că umbra catargului de 8 m are lungimea minimă de 6,6 m. La culminația superioară a lui Formalhaut ceasul arată 9h43m41,37s UT.

Rezolvare: Cunoaștem că Soarele se aﬂă la culminație superioară când trece la meridian.

Aplicăm formula: hcs 90 90  hcs În formula de mai sus nu ne este cunoscută declinația Soarelui, precum și înăl- țimea maximă a Soarelui. Aceasta din urmă o putem aﬂa prin faptul că cunoaștem valorile înălțimii catargului și a umbrei sale, în momentul de culminație superioară al astrului diurn. Aplicând funcția tangentă, aﬂăm înălțimea la culminație superi- oară a Soarelui. 56

8m tghh 50,477 90  50,477 cs6,6 m cs Acum aflăm declinația Soarelui pentru ziua respectivă. Pentru că nu o putem afla treptat, aflăm mai întâi longitudinea ecliptică a Soarelui. 27zile  90 180 27,06  180 89,8zile După ce am aflat această longitudine, din teorema sinusurilor în triunghiul sferic aflăm declinația Soarelui. sin sin sin sin sin 10 24'30",6 sin sin90 Pentru orice eventualitate și pentru calcule viitoare, referitoare la timpul sideral, aflăm ascensia dreaptă a Soarelui, din teorema lui Pitagora pentru triunghiul sferic. cos cos  13h40m28,5s cos Fiind cunoscute aceste valori, înlocuim în formula de mai sus pentru a afla latitudinea locului în care am naufragiat: 90  10  24'30",6  50,477  29  7'20'' Dintr-o formulă de definiție a timpului sideral, egalăm datele de la Soare cu cele de la steaua Formalhaut, pentru a afla unghiul orar al Soarelui. tsFormalhaut  H H9h10m35,5s ts  H Cunoscând TU de la Greenwich, indicat pe ceas, putem calcula timpul local mediu pentru a determina longitudinea și deci aflăm toate coordonatele atolului tm TU L LH 12 h  TU tm H 12 h LL9h10m35,5s 12h 15m6s 9h43m41,37s 11h11m48,1s =167,95°E

Problema 16. (Juniori și Seniori)

O stea are la un moment dat viteza radială vr , viteza transversală vt , paralaxa anuală π, mișcarea proprie anuală μ și magnitudinea aparentă m.  a) Ce valori au avut (vr > 0) sau vor avea ( vr  0 ) aceste mărimi vr , vt, ,  , în momentul când steaua a trecut (sau va trece) la distanța minimă față de Soare? b) Să se determine timpul t (în ani) ce s-a scurs de la acest moment (sau se va scurge până la acest moment); c) Ce magnitudine aparentă vizuală ar avea Soarele dacă ar ﬁ observat din steaua Vega, a cărei paralaxă este de 0",12? Se va lua magnitudinea aparentă a Soarelui, văzută de pe Pământ, egală cu +26,7.

Rezolvare: 221/2 a) În prezent viteza relativă a stelei față de Soare este vvvrt

Fie θ unghiul dintre viteză și raza vizuală: tgvvtr / , iar 0,  . La momentul t distanța la stea este rr sin iar r = 1/π (pc) și r’ = 1/π’ (pc). 57

221/2 221/2 Deci  /sin  sinvvvttrt /  / v  v  vvrt  / v t

221/2 La momentul considerat, putem scrie: vr  0, vvvtt  /sin  vv rt.

Din relațiile: vt 4,74 / , vt  4,74,  vvv22  2 vvt t   sau rt t Considerând luminozitatea stelei constantă în intervalul de timp corespunzător (steaua neﬁind variabilă),se poate scrie: Mm55lg , Mm55lg , 221/2 mm5lg  m 5lg sin  m 5lg vtrt / vv  b) Pentru momentul în care steaua trece la distanța minimă de Soare, se poate scrie: rvtcos  , unde r 206265 (UA) și v(km/s) = v(UA/an)/4,74 , Deci tv206265 4,74cos

Dar vvt sin 4,74 sin , deci rezultă t 206265sin cos / . 221/2 221/2 Deoarece: sinvvvtrt /  iar cosvvvrrt /  obținem 22 tvvvv206265 tr/  r t (ani).

Din această formulă, se observă că dacă vr  0, atunci t > 0, deci steaua a trecut la distanța minimă de Soare. Dacă vr  0 , atunci t < 0, așadar steaua va trece la distanța minimă de Soare. Dacă vr  0 atunci t = 0 și reprezintă momentul ac. c) Fie m și m’ magnitudinile aparente văzute respectiv de pe Pământ și din Vega și ∆, ∆’ distanțele corespunzătoare ale Soarelui Pentru Pământ M = m + 5 - 5 lg∆ Pentru Vega M = m + 5 - 5 lg ∆’ Deci m - m’ = 5 lg∆’/∆ Soluția numerică ∆ = 1 UA = 1/206265 parsec. ∆’ = 1/0,12 parsec m’ = -26,7 + 5 lg 206265/0,12 = -26,5 + 5·6,23525 = 4,5

Problema 17. (Juniori și Seniori) Într-un an cu activitate solară maximă s-au defectat toți sateliții de comuni- cații inclusiv cei GPS. Un căpitan de vas determină coordonatele geograﬁce ale navei observând trecerea la meridian a stelei Sirius în data de 20 februarie la ora 23h:15m:34s TU. A măsurat astfel înălțimea acestei stele: 50 grade. Explicați metoda folosită și determinați latitudinea și longitudinea locului cunoscând declinația și ascensia dreaptă a stelei Sirius.

Rezolvare: Timpul sideral = ascensia dreaptă a stelei Sirius . TU = 366,25/365,25* (timpul sideral la Greenwich-timpul sideral la miezul nop- ții la Greenwich) Determinarea ascensiei drepte a Soarelui: 24/360*(360-29/89*90) = 22h2min42sec Timpul sideral la miezul nopții la Greenwich = ascensia dreaptă a Soarelui + 12 ore = 10h2min42sec 58 determinarea timpului sideral la Greenwich (2puncte) Longitudinea = timpul sideral - timpul sideral la Greenwich h = 90 grade - latitudine + declinație => latitudinea

Problema 18. (Juniori și Seniori) Un urs panda se urcă într-o bambus de 30 m pentru a prelungi răsăritul Soarelui în câmpia Chinei de sud-est (j = 30°) în ziua de 10 noiembrie. Tot din acel loc pleacă cu același scop un călugăr budist care se deplasează cu viteza de 6 km/h. În ce direcție trebuie să se deplaseze călugărul pentru a prelungi la maxim răsăritul? Cu ce viteza trebuie să urce ursul pentru ca viteza de răsărit a Soarelui să ﬁe ace- eași pentru amândoi? Cât a durat călătoria călugărului și ce distanță a parcurs? Un maestru kung-fu urmărește tot atunci răsăritul în același loc făcând exerciții de qi- gong. Cât a durat răsăritul pentru maestru și cât pentru călugăr? Determinați azimutul punctului de răsărit pentru maestru. Diametrul discului solar observat atunci este 32’32". Toamna durează 89 zile și 19 ore.

Rezolvare:

R 6370000 Prin urcare cu 30 m orizontul coboară cu arccos  arccos 10'33" Rh  6370030

și în același timp orizontul se extinde cu R 0,03 radiani = 19,65 km distanța pe care călugărul o parcurge în 3 ore 16 minute și 30,8 secunde. De aici rezultă că viteza ursului panda este 9,16 m/h. Calculăm declinația Soarelui în 10 noiembrie cu celebrul triunghi sferic drept- 48zile unghic sin sin  sin  cu 90   48  ,11 și găsim δ = -16°58’. 89zile19ore Apoi cunoscând și latitudinea determinăm unghiul orar al răsăritului cosH  tg  tg  de unde H = -5h19min25sec = 18h40min35sec = 280°,1458. Cunoscând acum toate cele 3 laturi ale triunghiului sferic de poziție (înălțimea este -35’) și unghiul orar determinăm azimutul și unghiul paralactic cu teorema sinusului sinHAq sin(180  ) sin  de unde rezultă q = 58°,4876 și A = 289°41’. sin(90 35') sin(90 ) sin(90   ) Dintr-un alt triunghi sferic dreptunghic la orizont determinăm cât se deplasează 59

Soarele pe paralelul său (0,°636 pentru ca sin(0,°636)*sinq = sin32’32") pentru a se ridica peste orizont în întregime și apoi de aici timpul corespunzător pentru maestru (2 min 32,64 sec). Pentru călugăr și urs răsăritul va dura mai mult pentru că în 6370000 timpul respectiv orizontul coboară în plus cu arccos 1'12" pentru 6370000,38882 ca în timpul de 2 min 32,64 sec ursul urcă 388 mm și aplicând încă o data triunghiul sferic la orizont găsim analog durata răsăritului pentru ei (2 min 38,2755 sec).

Problema 19. (Juniori și Seniori) Un observator determină coordonatele geografice ale locului folosind trecerea la meridian a stelei Alrescha (α = 02h02m02,8s, δ = +02°45’49") în 11 noiembrie 2009 (η = -16 min) și găsește înălțimea de 62°35’ la ora legală 22:38:30 a locului respectiv aflat în fusul orar 8. Care sunt coordonatele geografice ale acestui loc? După aceea observatorul măsoară magnitudinile celor 2 componente ale acestui sistem binar aflat la 139 ani lumină separate printr-o distanță unghiulară de 1,8" și găsește 4,33 și 5,23. Calculați magnitudinile absolute și magnitudinea aparentă a sistemului. Aplicând relația masă-luminozitate (exponent 3,3 pentru aceste stele) găsește că cele 2 stele de clasa A au masele de 2,3 și 1,8 mase solare. Cât este constanta din această relație? Care este perioada sistemului? La ce distanțe se află cele 2 stele de centrul de masă și care sunt vitezele lor orbitale? Steaua mai mare are raza egală cu 3,2 raze solare. Care este temperatura acesteia?

Rezolvare: Aplicând formula h = 90° - φ + δ se deduce latitudinea φ = 30°10’49" N. Pentru calculul longitudinii se ține seama că e trecere la meridian, deci timpul sideral este egal cu ascensia dreaptă a stelei adică 2h2m2,8s. Pentru a determina timpul mediu avem nevoie de unghiul orar al Soarelui, iar pentru acesta de ascensia lui dreaptă, care se determină din celebrul triunghi sferic dreptunghic: cum de la echinocțiul de toamnă au trecut 50 zile, iar toamna are 89 zile și 19 ore vom obține deplasarea Soarelui pe ecliptică în acest timp λ = 50°,116. Calculăm mai întâi declinația lui sinδ = sinλ * sinε unde ε = 23°26’ este înclina- rea axei terestre. Obținem δ = -17°,4 iar de aici α = 227°,78=15,1853h = 15h11m 7s. Atunci unghiul orar al Soarelui este H = ts - α = 10h50m55,8s. Timpul solar mediu va fi tm = H + 12h + η = 22h34m55,8s. Diferența de longitudine față de meridianul central al fusului este egală cu diferența dintre timpul legal și cel mediu: ΔL = tl - tm = 3m34,2s = 53’33" de unde longitudinea va fi L = 119°6’27" E pentru că timpul legal fiind mai mare decât cel mediu înseamnă că este spre vest față de meridianul central al fusului 8 care este 120°E. Distanța dintre componente este a = π*1,8" = 76,75 UA unde π = 139al/3,26pc/al este paralaxa sistemului. Aplicând legea a 3-a a lui Kepler rezulta T = 317 ani. Magnitudinile absolute se obțin cu relația M = m - 5 lg d și vor fi -3,82 și -2,92.

M2 Distanțele la care se aﬂă față de centrul de masă sunt ra1  30,7UA MM12 60

2r1 și r 2 = 46 UA iar vitezele lor sunt v 0,6UA/an  2,88km/s și respectiv 1 T v 2 = 4,32 km/s. Atât pentru temperatură cât și pentru constanta cerută trebuie să determinăm luminozitatea stelei mai mari comparând-o cu a Soarelui

L 0,4 MM  10 și vom obține 2754 luminozități solare adică 1030W. Atunci con- L L 1 stanta din relația masă-luminozitate va ﬁ C 1070 W kg -3,3 . M 3,3 15 Aplicând legea Stefan-Boltzmann L = 4πR2T4 vom obține pentru temperatură valoarea T = 23.366,4 K.

Problema 20. (Seniori) Ca să se răzbune pe diriginte pentru stresul pe care l-a produs lor în timpul acestui lot, Andrei și Denis au construit un virus informatic pe care l-au plasat pe laptopul acestuia. Peste ani, diru’ proiectează un program de control al orbitei sate- liților. Ajuns pe computerul de bord ce comandă motoarele modulului de corecție a traiectoriei, virusul se comportă astfel: după 100 orbite în jurul Lunii trecând foarte aproape de punctele Lagrange L 1 și L 2 ale sistemului Pământ-Lună, adaugă 10% la distanța la apolună (când satelitul este aici) lăsând constantă cea de la perilună. Ce excentricitate și semiaxă mare are orbita inițială și care sunt distanțele la perilună și la apolună ale satelitului? Care este perioada inițială și finală a satelitului? Ce se va întâmpla cu satelitul? Calculați elementele noii orbite a satelitului. Considerând că satelitul are masa de 1 tonă, calculați cu cât se modifică momentul cinetic orbital și energia totală a satelitului imediat după acțiunea motorului virusat. Se dau: masa Pământului 5,9736 × 1024 kg și masa Lunii 7,347673 × 10 22 kg. Explicații necesare: Pentru un sistem de două corpuri cu masele M 1 și M 2 aflate la distanța r între rM ele centrul de masă se află la distanța x  2 de corpul mai masiv și atunci MM12 ținând seama că punctele Lagrange se definesc ca acele puncte unde plasat un corp se va mișca sincron cu corpul mai puțin masiv în jurul corpului masiv se determina pozițiile punctelor L 1 (r 1 ) și L 2 (r 2 ) cu relațiile: 2 GM12 GM 2 4 MMGr12 1 rr pentru L 1 2211Tr23 rx1  rrx1 2 GM12 GM 2 4 MMGr12 2 rr pentru L 2 2222Tr23 rx22 rxr Aplicând aceasta pentru sistemul Pământ-Lună găsim x = 3.797,287 km, r 1 = 53.199 km și r 2 = 63.641 km (față de Lună și nu față de centrul de masă așa cum rezulta inițial din relațiile de mai sus).

Rezolvare: Vom alege să le scădem cu un km aceste distanțe pentru a ﬁ încă pe orbită.

Așa vom avea r P = 53.198 km și r A = 63.640 km de unde prin calcul vom avea 61 a = 58.420 km și e = 0,09 pentru orbita satelitului în jurul Lunii. Aplicând legea a 3-a a lui Kepler obținem perioada T = 14,67 zile. După acțiunea virusului vom avea r’A = 70.005 km de unde a’ = 61.602 km și e’ = 0,12 și T’ = 15,89 zile pentru o orbita în jurul Lunii. Dar acum satelitul trece dincolo de punctul L 2 și nu va mai orbita în jurul Lunii ci în jurul Pământului. Pentru simplitate presupunem orbita circu- lară în jurul centrului de masă al sistemului Pământ-Lună care apare ca orbită eliptică în jurul Pământului cu r A = 384.400 km + 70.005 km = 454.405 km = a(1 + e) și a’*e = 3.797 km de unde semiaxa mare a orbitei adevărate este a’ = 454.405 km - -3.797 km = 450.608 km și excentricitatea acesteia este e = 0,0084. Apoi calculăm perioada cu legea a 3-a a lui Kepler și obținem T’ = 35,3 zile.

Momentul cinetic este L = m * 2 v ar unde v ar este viteza areolară pe orbită în jurul ab a221 e Lunii, iar viteza areolară se calculează cu relația v  de unde ar TT aeae'12222 ' 1 vom avea modiﬁcarea de moment cinetic va ﬁ Lm 2   =  TT' GmM = 4 * 1014 Js, iar energia totală pe orbită se calculează cu E  L și atunci 2a

Gm() ML  M 11 10 modiﬁcarea energiei totale va ﬁ E   = 0,3 * 10 J 2'aa

Problema 21. (Juniori ) Calculați și comparați magnitudinile lui Jupiter (albedo 0,343 a = 778.547.200 km

= 5,204267 AU și R = 69.134,11725 km) la opoziție și Venus (albedo 0,75 a =108.208.930 km = 0,723332 AU și R = 6.051,8 km) la elongație maximă cunoscând albedourile celor două planete, razele lor și semiaxele mari ale orbitelor. Pentru raportare se vor folosi datele Lunii pline: m = -12,74, albedo 0,12, raza 1.737,10 km și semiaxa mare 384,399 km = 0,00257 AU.

Rezolvare: Pentru a calcula magnitudinile acestor planete vom scrie strălucirile lor văzute de pe Pământ în acele situații și pentru raportare pe cea a Lunii a cărei magnitudine o cunoaștem: 2 L  albedoJ RJ EJ  4(5,2UA) 2 44,2UA 2  ,

1 2 RV L  albedoV 2 EV 22 4 (0,7UA) 4 0,51UA , 2 L  albedoL RL EL  4 (1,00257UA)2 4 0,00257UA 2 . Prin raportare vom avea: 62

2 2 EalbedoRJJJ0,00257UA 1,00257UA    EalbedoRLLL4,2UA 5,2UA 2 22 0,349 69134 1,00257 0,00257 5    6,3 10 0,12 1737 5,2 4,2

2 2 EalbedoRVVV0,00257UA 1,00257UA   EalbedoRLLL2  0,7UA 0,714UA 2 22 0,75 6051 1,00257 0,00257 4    3,5 10 0,24 1737 0,7 0,714 1 EJ 0,4mmJL Dar  10 de unde mmJL2,5 lg5  2,74 EL 6,3 10 1 EV 0,4mmVL și analog  10 de unde mmVL2,5 lg4  4,1 EL 3,5 10 Se observă astfel că Venus la elongație maximă este mai strălucitor decât Jupiter la opoziție cu 1,36 magnitudini adică este de 3,5 ori mai strălucitor. 63

Probleme pentru Proba Practică

Problema 1. (Seniori și Juniori) Telescopul Kepler a fost direcționat spre o binară spectroscopică de la care se cunoștea următoarea curbă a vitezelor radiale. Telescopul a înregistrat următoarea curbă incompletă de lumină și din spectru ei a determinat temperatura celor 2 stele: 3500K și 7000K. Completați curba de lumină știind că situația prezentă pe graﬁc e la apoastru când cea roșie e în spatele celei albastre. Determinați masele, razele și densitățile medii ale stelelor formate simultan din același nor de gaz și perioadă și elementele orbitei relative și cele ale orbitelor stelelor în jurul centrului de masă. Desenați aceste orbite.

Rezolvare: Măsurând pe primul grafic rezultă: km 50km 30 100 6,32UA 10,54UA Ty0,27 V s V s 365,25 1 4,74 y 2 4,74 y Din curba de viteză se observă ca maximele și minimele au aceeași valoare ceea ce înseamnă atunci stelele se afla pe axa mică ceea ce înseamnă că raza vizuală este paralelă cu axa mare. Excentricitățile celor două orbite sunt identice și rezultă din legea a II-a lui Kepler aplicată prin raportarea ariilor parcurse și a timpilor: 20 zile/30 zile   e 20  3   2 ee*30  *20  3 eee 2 0,31416  30 2  2 2 10  e   2 Întrucât în momentul când stelele se află pe axa mică viteza lor este egală cu viteza de pe orbita circulară de rază a putem calcula : VT* 6,32*0,27 VT* 10,54*0,27 a 1 0,27UA , a 2 0,45UA 1 26,28 2 26,28

aa12 a 0,27 0,45 0,72UA 64

TM22 M0,27  M M 0,373 12MMMMMM 12  5,18 a330,7212 0,072

Ma210,27  0,6 MM21  0,6 Ma120,45

1,6MMMMMM11 5,18 3,23 2 1,94 Analizând curba de lumină obținem razele stelelor 2ad  100

21Rd2  2a R 0,022UA*149600000  3,3*1069 km  3,3*10 m 2 200 2ad  ..100

23Rd1  69 RR123  3*0,02UA  0,06*149600000  9*10 km  9*10 m Apoi calculăm volumele și cunoscând masele determinăm densitățile stelelor. 4R3 V 1 3,052*1021 km 3  3,052*10 30 m 3 1 3 21 3 30 3 V2 1,50*10 km 1,50*10 m 30 30 M1 3,23*2*10 6,46*10 kg 30 M2  3,88*10 kg

M1 3 1 2,11kg / m V1

M2 3 2 2,58kg /m V2 Știind că raza vizual ă este paralelă cu axa mare deducem că intervalul dintre eclipsări trebuie să fie același , egal cu jumătate de perioadă. Pentru a completa graficul al doilea calculăm luminozitățile celor două stele, precum și luminozitatea L* corespunzătoare eclipsei în care steaua mai mică și mai fierbinte trece prin fața celeia mai mari și mai reci, celălalt minim fiind corespunzător lui L 2. *224 LL21214( RR )*  T 1,86*1028 W LRT448,524    L 2223,84*1026 W solare 8,663*1027 W LRT422,524    L 1113,84*1026 W solare 22 * RR12 8 LLL21*2  48,5  22,5*  68,5 L solare R2 9 După ce se efectuează calculele se completează curba de lumină evidențiind și momentele eclipsei de unde s-au dedus razele. 65

Problema 2. (Juniori) Fiind dat graﬁcul vitezelor radiale calculați perioada, semiaxa mare și masele sistemului binar Capella. Acest sistem se apropie sau se îndepărtează de noi? Cu ce viteză?

Rezolvare: Sistemul se îndepărtează cu viteza de 30 km/s. De pe grafic se observă că viteza unei componente este v 1 = 63 km/s - 30 km/s = = 33 km/s, iar a celeilalte componente este v 2 = 30 km/s - 3 km/s = 27 km/s. Tot din grafic rezultă perioada de 102 zile. Atunci distanțele la care se află componentele de centrul de masă sunt: r 1 = v 1 * T/2π = 46285822,5 km = 0,3094 UA r 2 = v 2 * T/2π = 37870218,427 km = 0,253 UA Atunci semiaxa mare a sistemului este a = r 1 + r 2 = 0,5624 UA 2 2 ()MMT12 1an  M Aplicând legea a treia a lui Kepler:  se obține M 1 + a331UA M 2 = 2,276 mase solare. Centrul de masa fiind situate mai aproape de steaua cu masa mai mare are Mrv27 12 2 poziția data de de unde se obține M 2 = 1,(2) * M1 și înlocuind Mrv21 133 66

în suma maselor obținem 2,(2) * M1 = 2,276 mase solare de unde M1 = 1,0242 mase solare și apoi M2 = 1,2518 mase solare.

Problema 3.(Seniori și Juniori) Roiul M13 are 400.000 stele răspândite pe o întindere de 36’ și se află la 25.000 ani lumină de noi. Să se calculeze magnitudinea absolută medie a unei stele din roi, știind că magnitudinea aparentă a roiului este 7. Care este distanța medie dintre stele? Coordonatele lui sunt α = 16h42m și δ = 36°26’. Cunoscând că centrul galactic are coordonatele α = 17h45m40s, δ = - 29°0’28" și că se află la r = 26.000 ani lumină, să se calculeze la ce distanță se află roiul de centrul galaxiei. În unele galaxii ale roiului s-au descoperit niște cefeide și astfel s-a putut determina distanța până la ele. De asemenea analizând spectroscopic liniile HII s-a putut calcula viteza lor de recesiune. Determinați constanta Hubble completați tabelul. Calculați eroarea medie în determinarea distanței și a vitezei de recesiune.

Members of the M96 Group Hubble Absolute Distance Redshift Apparent Name constant magnitude (Mly)[6] ( km/s)[6] Magnitude[6] M95 32.6 ± 1.4 778 ± 4 11.4 M96 31 ± 3 897 ± 4 10.1 M105 32.0 ± 1.6 911 ± 2 10.2 NGC 3299 641 ± 6 13.3 NGC 3377 665 ± 2 11.2 NGC 3384 35.1 ± 2.3 704 ± 2 10.9 NGC 3412 841 ± 2 11.5 NGC 3489 677 ± 2 11.1 M65 807 ± 3 10.3 M66 36 ± 5.0 727 ± 3 9.7 NGC 3628 843 ± 1 9.4

Rezolvare: Calculăm constanta Hubble pentru cele 5 situații unde cunoaștem atât vitezele cât și distanțele și apoi facem media lor. Apoi cu aceasta calculăm distanțele în celelalte situații și apoi magnitudinile absolute. În tabel se trece și eroarea relativă atât la distanțe cât și la viteze și se face media acestora. Obținem astfel H = 79,27 km/s/ Mpc, iar media erorilor este 0,37% pentru viteze și 3,82% pentru distanțe.

Members of the M96 Group Hubble constant Absolute Distance Redshift Apparent Name eroarea eroarea km/s/ magnitude (Mly)[6] ( km/s)[6] Magnitude[6] MPC M95 77,8 - 18,5 32.6 ± 1.4 4,2% 778 ± 4 0,51% 11.4 M96 94,42 - 19,75 31 ± 3 9,67% 897 ± 4 0,44% 10.1 67

M105 92,86 - 19,75 32.0 ± 1.6 5% 911 ± 2 0,21% 10.2 NGC 79,27 - 16 8,08MPC - 641 ± 6 0,93% 13.3 3299 NGC 79,27 - 18,4 8,38MPC - 665 ± 2 0,3% 11.2 3377 NGC 65,42 - 19,25 35.1 ± 2.3 6% 704 ± 2 0,28% 10.9 3384 NGC 79,27 - 18,6 10,6MPC - 841 ± 2 0,23% 11.5 3412 NGC 79,27 - 18,55 8,54MPC - 677 ± 2 0,29% 11.1 3489 M65 79,27 - 19,5 10,18MPC - 807 ± 3 0,37% 10.3 M66 65,85 - 20,5 36 ± 5.0 13,88% 727 ± 3 0,41% 9.7 NGC 79,27 - 20,7 10,18MPC - 843 ± 1 0,11% 9.4 3628

Problema 4. (Seniori și Juniori) Eclipsa de Lună din 16 iulie 2000: măsurați diametrul aparent al Lunii și cel al conului de umbră al Pământului. Determinați viteza unghiulară momentană de deplasare relativă a Lunii. Calculați diametrul conului de penumbră al Pământului.

Rezolvare:

Se măsoară de pe foaie Dlună = 30’ și Dumbră = 1°16’. Avem perioada în care Luna se aﬂă în conul de umbră al Pământului, de unde scoatem viteza v = 42,86’/h. Diametrul unghiular al conului de penumbră D = v·T, de unde iese D = 4°27’25,72". D Calculăm diametrul real al conului de umbră d  2tg r , r ﬁind semiaxa mare a Lunii, iar d  30.000 km. 2 68 Problema 5.(Seniori și Juniori) Eclipsa de Soare din 11 august 1999: determinați lățimea benzii de totalitate și viteza de deplasare a umbrei Lunii pe suprafața Pământului (linia galbenă a devenit neagră).

Determinați distanța pe suprafața Pământului (R = 6370 km) dintre poziția maximului și cea a punctului subsolar aﬂat pe meridianul 15°E. Ce unghi orar are Soarele în locul de maxim la momentul de maxim? În ce raport se aﬂă diametrele unghiulare ale Lunii și Soarelui? Care a fost valoarea ecuației timpului în acea zi? Determinați momentul de timp sideral al maximului.

Rezolvare: Lățimea benzii se măsoară de pe foaie, iar viteza se obține împărțind distanța dintre cele 2 linii îngroșate la perioada de 10 minute. Distanța dintre punctul maximului și punctul subsolar se măsoară pe foaie, d  3330km. Diferența de longitudine dintre punctul subsolar și punctul maxim al eclipsei este chiar unghiul orar al Soarelui, adică H = 9°17’18", iar ascensia acestuia se calcu- lează din triunghiul sferic de poziție al Soarelui,  = 136,64°. Timpul sideral se cal- culează din formula H 9h43min43.85s. 69 Intervalul de timp corespunzător fazei de totalitate reprezintă diferența diametrelor Soarelui și a Lunii, iar perioada totală a eclipsei este suma diametrelor. Ne 2 folosim de asta de viteza unghiulară a Lunii,  0,5’’/s , cea a Soarelui este foarte mică. T Faza de totalitate este de 71,3", deci d  3330km D 1, 2 ' , iar DL + DS = 60,25', DS = 29,6’, iar DL = 30,6’. În momentul maxim al eclipsei unghiul orar al Soarelui la Greenwich era HG  L 0  L  <- longitudinea punctului subsolar, de unde H = -1 h. TU H G12 h , unde TU - timpul universal al maximului + durata fazei de totalitate; - ecuația timpului. Din calcule rezulta  = 5min30s. 70 Problema 6.(Seniori și Juniori) Tranzitul lui Venus: determinați diametrele unghiulare ale Soarelui și planetei Venus. Calculați viteza cu care se deplasează umbra lui Venus peste discul solar și găsiți de aici durata anului venusian cunoscând anul sideral pământesc.

Rezolvare: Folosindu-ne de scara data pe desen, determinăm diametrele unghiulare ale celor 2 corpuri: DV = 53" și DS = 31,76’. Calculând duratele celor 2 tranzite și dis- tanța unghiulară parcursă pe suprafața Soarelui, putem calcula vitezele unghiulare ale lui Venus în cele 2 momente; V2012 = 3,89’/h ; V2004 = 3,83’/h. Știind că el are de 2 parcurs 360°, calculăm perioada din  , T = 224,3 zile. Aceasta este perioada Tv 111 siderală a lui Venus. O introducem în formula perioadei sinodice,  , TsV Tv T  de unde iese perioada sinodică a lui Venus TsV = 587,4 zile.

Problema 7.(Seniori ) O rachetă balistică intercontinentală este lansată din Coreea de Nord spre S UA

GM  cu viteza v0  sub unghiul de 60°. Demonstrați că traiectoria ei este o R elipsă și determinați elementele acesteia (a, e, b). Ce înălțime maximă (față de nivelul solului) atinge proiectilul? După cât timp cade proiectilul? Unde este focarul elipsei? 71 Rezolvare: Energetic deducem că semiaxa mare a elipsei este egală cu raza Pământului și totodată rezultă că viteza de lansare este exact cea pe care o are corpul când este în cele două poziții de pe axa mică, ceea ce înseamnă că poziția de lansare este pe axa mică. Astfel, din unghiul de lansare putem determina semiaxa mică și apoi excentricitatea. Tot geometric determinăm și înălțimea, iar distanța dintre locul de lansare și cel de aterizare l - am notat cu arcul KS. Focarul este chiar centrul Pământului

GM v0  R 60 

R  6370km 4222aGM a vv2 Ta2 0 T()b

2 1 22 R 1 Rab 4 33 bRcos e  0,866 242aR  KS  R 6667,26km  3 R hR RR sin60  R sin60  3185km 2 Proiectilul cade după jumătate de perioadă de mișcare pe elipsa pe care o aﬂăm RR33 din Kepler: Tt2   396,45secunde MG MG

Problema 8. (Seniori și Juniori) Estimați densitatea materiei din interiorul unui quasar cu masa de 25 milioane mase solare în limitele razei sale Schwarzschild. Rezolvare: 22GM GM 1 cRs7,4 1010 m UA Rs c2 2 4 VR333 1,67  10 m 3 M kg  29.940 3 V m Problema 9. (Seniori și Juniori) Un fragment de cometa se îndreaptă către zona troienilor. Sa se calculeze sur- plusul minim de viteza pe care trebuie sa o imprime unui asteroid aﬂat in marginea acestei aglomerări cu masa M și raza R pentru ca acesta să poată ieși din L4 al sistemului Soare-Jupiter. Ce traiectorie va avea apoi asteroidul? (calcul algebric) 72 Rezolvare: P J 2 2 vvvv222 v1  T Tajj GM vvv vv 2 v  012 22 2 R GM v 21   R vv  v vv2 de ev.1 v circ 2 de ev.2 parabolica

vvparabolica circulara *2 2 E  0 mv GMm t Et  L 5 2 R GmM mv22 mv GmM FF  m2 RF  mv2  GmMR gcf R2 cf RRR2 GmM GmM GmM E - -> orbita circulară t 22RR R GmM E  -> orbita eliptică t 2a 22GM GM GM   1 Viteza periastru: ae11 a a e GM 2 1 Viteza apoastru: ae1 .

Problema 10. (Seniori și Juniori) Mai jos se dă curba de lumină a unei stele variabile și cea a relației perioadă- luminozitate unde triunghiurile negre corespund tipului de stea. Determinați la ce distanța se află aceasta stea. 73 Rezolvare: Din măsurători pe grafic obținem perioada: 2,1……….0,5 day 2,4……….T T = 0,55 day Folosind graficul care ne dă rela- ția dintre perioadă și magnitudinea absolută obținem M = 1,58 observând că triunghiul de sus izolat corespunde acestei stele. Prin măsurători pe curba de lumină determinăm magnitudinea aparentă medie: 1 cm…….0,2 0,3 cm…..a a = 0,06 m = 7,6 + 0,06 = 7,66 M = m + 5 - 5lgd lgd = 2,2052 d = 160,39 pc(parsec)

Problema 11. (Seniori ) Mai jos este imaginea lui Venus care după cum știți are faze. Determinați poziția planetei pe orbita cunoscând că semiaxa mare a planetei este 0,7 UA. Se consideră că orbita lui Venus și cea a Pământului sunt circulare.

Rezolvare: Notăm cu O centrul lui Venus, cu B marginea dreaptă a lui și cu E limita părții iluminate, și din măsu- rarea pe desen obținem unghiul dintre raza incidentă și cea reﬂectată spre Pământ. Apoi calculăm faza, iar din ea obținem acest unghi. Folosind teorema sinusului obținem elongația planetei și apoi diferența longitudini- lor geocentrice ale celor două planete. Aplicând încă o dată teorema sinusului determinăm distanța la care se aﬂă Venus de noi în acel moment. OEB 90 rOE' OEBcos OE OB *cos  rOB CO OE M M cos 1 cos    AO OB22 M 74

CE 1cos 10,51cos   AB 213,82 13,8 13,8cos  20 cos 0,52 58 33'3",67 sine sin sinee 0,7*0,85  0,595  36 ,51 0,7 1 unghiulVST  84 43'44",3 sin(VST ) sin( VST ) sinVT  1,16UA VT sin

Problema 12. (Seniori) Să se determine diametrul planetei Jupiter folosind foto- graﬁa unei ocultații a acestuia într-o noapte cu Lună plină și cunoscând diametrul unghiular al Lunii de 30’ și semiaxa planetei de 5,2 UA (1 UA = 149,6 mil. km). În imagine se dau poziți- ile primilor 3 sateliți. Consi- derând că se aﬂă la distanțele lor maxime față de planetă calculați înclinările orbitelor acestora față de ecuatorul planetei?

Problema 13. (Seniori) Determinați elementele orbitelor sistemelor care au curbele de viteză în următoa- rele imagini cunoscând că perioada primeia este de 100 zile iar a celeilalte este 125 zile.

75 Rezolvare: Se măsoară pe grafic vitezele la afeliu și la periheliu și se constată că la periheliu, viteza e de 23 km/s în timp ce la afeliu e de 7 km/s. Se folosește după aceea Legea a doua a lui Kepler, pentru a stabili un raport între viteze, pe baza excentricității. Aceasta se află din raport. Cunoscând viteza la afeliu sau periheliu, se înlocuiește în formula vitezei are- olare (în cazul expus aici, viteza la periheliu) pentru a determina semiaxa mare, cunoscând celelalte elemente. Odată aflată semiaxa mare și cunoscând excentricitatea, determinăm semiaxa mică Pentru a afla masa totală a sistemului, aplicăm Legea a treia a lui Kepler în comparație cu sistemul Pământ-Soare.

vaph aph ae(1 ) vaaph aph va ph aph   vaaeaph ph (1 ) 23 1 e 16  23  23ee  7  7  16  30 eee     0,5(3) 71 e 30 22121ab a22 e a e v   ph Ta(1 e ) Ta  (1 e ) T 1  e Tv Tv aaph ph 2,61UA 1 e 2 1,8126 2 1 e ba12,2 e2 b UA 2223 TTTa 3332()MM12  M  M MM 12 aaaT

MM127,15 M Asemănător la cel de-al doilea graﬁc. Aici, viteza la periheliu este 47,5 km/s în timp ce la afeliu este 37,5 km/s. Atenție! În calcule, perioada este diferită de cea de la primul graﬁc.

vaph aph ae(1 ) vaaph aph va ph aph   vaaeaph ph (1 ) 47,5 1 e 10  47,5  47,5eeeee  37,5  37,5  10  85     0,117 37,5 1 e 85 22121ab a22 e a e v   ph Ta(1 e ) Ta  (1 e ) T 1  e Tv Tv aaph ph 10,9UA 1 e 2 1,124 2 1 e b aeb110,82UA2 76 Problema 14. (Seniori) Folosind graﬁcul de mai jos determinați distanța până la următoarele cefeide Nr. Max. Min. Epoch Period Remarks 1 13.2 14.8 26607.8 15.568 Cep, Sp F - G 5 13.2 14.9 26628.644 17.555 Cep, Sp F - G 6 13.2 14.9 22162.928 19.30 Cep, Sp F - G

Rezolvare: Prima cefeidă: log15,568 = 1,19 M = - 5 m = (13,2 + 14,8)/2 = 14 - M = m + 5 - 5lgd lgd = (14 + 5 + 5)/5 = 4,8 d = 63095,73 pc A doua cefeidă: log17,555 = 1,24 M = - 5,2 m = (13,2 + 14,9)/2 = 14,05 lgd = (14,05 + 5 + 5,2)/5 = 4,85 d = 70794,57 pc A treia cefeidă: log19,30 = 1,28 M = - 5,4 m = (13,2 + 14,9)/2 = 14,05 lgd = (14,05 + 5 + 5,4)/5 = 4,89 d = 77624,71 pc d = (63095,73 + 70794,57 + 77624,71)/3 = 70505,0033 pc pentru distanța la care se aﬂa roiul

Problema 15. (Seniori) Se dă următorul spectru al liniei Hα emise de componentele unui sistem binar pentru 3 poziții relative ale componentelor și curba de lumină corespunzătoare. Determinați perioada sistemului, semiaxa mare și distanța până la acesta, masele, vitezele orbitale ale componentelor, precum și razele acestora, luminozitățile și 77 magnitudinile lor absolute considerând temperaturile efective egale cu cele de culoare obținute din legea lui Wien și folosind magnitudinea bolometrică (+ 4,83) și luminozitatea (3,846·1026 W) Soarelui. Se dau: σ = 5,6697·10- 8 W/m2·K4, b = 0,02898 m·K, · 8 5 30 c = 3 10 m/s, R☼ = 6,96·10 km, M☼ = 1,989·10 kg (doar S).

Rezolvare: Din spectru rezultă Δλ = 0,1 nm pentru ﬁecare stea și deci V1 = 0,1nm·300.000 km/s/400 nm = 75 km/s; V2 = 0,1nm·300.000 km/s/600 nm = 50 km/s. De aici T1 = b/λ10 = 6996K = 1,2125·T☼ și T2 = b/λ20 = 4664 K = 0,8·T☼ pe care le vom considera și temperaturi efective. Cum perioada este de T = 200 zile, scriind V1 = (2π/T)·r1 și V2 = (2π/T)·r2 putem calcula: r1 = 206.264.806,247 km = 1,38 UA și r2 = 137.509.870,83 km = 0,92 UA r1 + r2 = a = > a = 2,3 UA și r1/r2 = v1/v2 = M1/M2 = 1,5 2 3 2 Acum aplicăm legea a treia a lui Kepler: T (M1 + M2)/a = 4π /G și vom obține M1 + M2 = 3,65M☼ Această relație împreună cu M1/M2 = 1,5 formează un sistem din care obținem M1 = 2,19M☼ este masa stelei albastre și M2 = 1,46M☼ este masa stelei roșii. 78 Analizând curba de lumina se observă că primul maxim corespunde situației când steaua mai mică, cea albastră și caldă trece prin spatele stelei mari roșii și „reci”, iar al doilea maxim corespunde situației când steaua albastră trece prin fața stelei roșii. De aici deducem că 8 este magnitudinea vizuală aparentă a sistemului iar 9 este magnitudinea vizuală aparentă a stelei mari. Studiind pe axa timpului observăm ca 2 zile înseamnă timpul cât diametrul stelei mici traversează marginea stelei mari pe distanța 2 · R1, iar 5 zile înseamnă timpul cât steaua mică trece prin fața/spatele stelei mari de la o tangentă interioară pe distanța 2 · R2 - 2 · R1 la alta și perioada de 200 zile corespunde la deplasarea relativă a unei stele față de cea- laltă pe o distanță 2 · π · a. De unde o zi corespunde la R1 și 3 zile corespund la 2 · R2 deci 1,5 zile corespund la R2. Adică R1 = π · a/100 = 10,8 milioane km = 15,53 · R☼ și R2 = 1,5 · π · a/100 = 16,2 milioane km = 23,3 · R☼. 2 4 Atunci folosind legea Stefan-Boltzmann obținem L1 = 4 · π · R1 · σ · T1 și 2 4 2 4 2 4 - 0,4(M - L2 = 4 · π · R2 · σ · T2 . Acum scriem L1/L☼ = (R1 · T1 )/(R☼ · T☼ ) = 521,3 = 10 1 - M ) 2 4 2 ☼ deci M1 = M☼ - 2,5 * lg(521,3) = 4,83 - 6,79 = - 1,96 și L2/L☼ = (R2 * T2 )/(R☼ · 4 - 0,4(M - M ) · T☼ ) = 222,37 = 10 2 ☼ deci M2 = M☼ - 2,5 * lg(222,37) = 4,83 - 5,87 = - 1,04. Cunoscând acum magnitudinea stelei roșii m2 = 9 putem calcula modulul de distanță din relația M = m + 5 - 5lg(d) de unde lg(d) = 0,2 · (m2 + 5 - M2) = 3,0075 și de aici obținem d = 1017,5 pc și atunci π = 1/d = 0,000983".

Problema 16. (Seniori) O maimuță din Gibraltar (φ = 36°8’ N, L = 5°21’ W) se culcă când răsare Betelgeuse din spatele coastei marocane (α = 5h55,67m, δ = 7°24,58’) și se trezește când aceasta apune. Cât timp doarme maimuța, când se culcă și când se trezește (în TU)? Dacă Betelgeuse trece la meridian la miezul nopții adevărate în ce zi a anului ne aﬂăm? Ce unghi face planul în care se aﬂă traiectoria diurnă aparentă a stelei cu orizontul? Să se calculeze azimutul acelei porțiuni a coastei marocane unde răsare Betelgeuse. Ce distanță unghiulară este între Soare și Betelgeuse în această zi? Rezolvare: cosH = - tgφ * tgδ = - 0,73 * 0,13 = - 0,0949 = >H = 95°,45 = 6h21m47s = > maimuța doarme 12h43m34s (2 puncte). Întrucât steaua trece la meridian la miezul nopții adevărate = > suntem în ziua în care ascensia dreaptă a Soarelui este 12 + α = 17h55,67m, adică cu o zi înaintea sol- stițiului de iarnă (21 dec.) când ecuația timpului are valoarea η = - 2,2m = - 2m12s h Astfel că timpul mediu al răsăritului (culcarea maimuței) este tm = Hrăsărit + η = 24 - - 6h21m47s - 2m12s = 18h23m59s ceea ce înseamnă în TU 18h45m23s. Cum maimuța doarme 12h43m34s înseamnă că se va trezi la ora 7h28m57s TU. Cum planul traiectoriei aparente a unei stele este paralel cu ecuatorul = > va face cu orizontul unghiul 90° - φ = 53°52’. sinHA sin(180 ) În triunghiul de poziție se aplică teorema sinusului:  . sin(90h ) sin(90  ) Ținând seama ca la răsărit h = 0 se obține sinAH sin cos de unde A = 360° - 99°11’20,8" = 260,81° = 260°48’39,2" 79 ( + ); subtract Sun when “fast,” i.e., sign ( - ). is negative 123 + 3.44 + 13.65 3.9 + 12.56 4.3 5.714.111.52.63.41.54.65.91.511.716.39.2 7 + 4.1 4.8 13.78 5.29 13.8 - 2.8 + 6.1 13.9 12.3 + 14.2 14.0 6.5 - 2.3 12.1 + 11.2 11.9 6.9 3.8 + 3.6 + 2.3 11.7 14.2 3.5 + 6.3 3.2 14.3 - 3.4 3.0 2.9 11.0 + 0.2 3.1 - 1.3 10.7 3.2 - 10.1 2.2 2.1 3.3 + 4.7 - 16.3 2.0 1.8 1.9 + 5.8 - 11.2 3.8 3.5 1.7 - 1.8 4.0 3.6 4.2 6.2 1.2 - 12.0 4.4 6.2 1.0 - 16.3 6.1 0.1 4.9 6.0 - 8.8 0.5 5.0 0.7 10.4 5.7 1.1 10.8 11.1 5.5 16.4 2.1 11.4 16.4 16.4 10.8 2.5 12.3 16.4 10.0 10.4 12.6 16.3 9.6 16.2 8.3 7.9 Table of Mean Value of the Equation of Time, of to in Mean correct Minutes of Value true SolarTable Noon) Time Standard (at for Time: 17 9.9 14.1 8.6 0.2 3.7 0.7 6.0 4.1 5.3 14.5 15.1 4.1 14 8.9 14.3 9.4 0.4 3.7 0.0 5.7 4.7 4.2 13.8 15.6 5.6 16 9.6 14.2 8.9 - 0.1 3.7 0.4 5.9 4.3 5.0 14.3 15.3 4.6 10 7.3 14.3 10.5 1.5 3.6 0.8 5.2 5.4 2.8 12.8 16.1 7.5 19 + 10.6 + 13.9 + 8.0 - 0.7 - 3.6 + 1.1 + 6.2 + 3.7 - 6.0 - 14.9 - 14.7 - 3.2 11 7.8 14.3 10.2 1.2 3.7 0.6 5.3 5.2 3.2 13.1 16.0 7.0 15 9.3 14.2 9.1 + 0.2 3.7 + 0.2 5.8 4.5 4.6 14.1 15.5 5.1 18 10.3 14.0 8.3 0.5 3.7 0.9 6.1 3.9 5.5 14.7 14.9 3.6 31 + 13.4 + 4.4 - 2.5 + 6.3 + 0.5 - 16.3 + 2.8 13 + 8.5 + 14.3 + 9.7 + 0.7 - 3.7 - 0.2 + 5.6 + 4.9 - 3.9 - 13.6 - 15.8 - 6.1 21 11.2 13.7 7.4 1.2 3.5 1.5 6.3 3.2 6.7 15.2 14.3 2.2 12 8.2 14.3 10.0 0.9 3.7 0.4 5.4 5.1 3.5 13.4 15.9 6.5 27 12.7 12.9 5.6 2.3 3.0 2.8 6.4 1.7 8.8 16.0 12.5 0.8 26 12.5 13.1 5.9 2.1 3.1 2.6 6.4 1.9 8.4 15.9 12.9 0.3 25 + 12.3 + 13.2 + 6.2 - 1.9 - 3.2 + 2.4 + 6.4 + 2.2 - 8.1 - 15.8 - 13.1 - 0.2 22 11.5 13.6 7.1 1.4 3.5 1.7 6.3 3.0 7.1 15.4 14.0 1.7 29 13.1 5.0 2.6 2.8 3.2 6.4 1.1 9.5 16.2 11.9 1.8 23 11.8 13.5 6.8 1.6 3.4 2.0 6.4 2.8 7.4 15.6 13.7 1.2 24 12.0 13.4 6.5 1.8 3.3 2.2 6.4 2.5 7.8 15.7 13.4 0.7 30 13.3 4.7 2.7 2.6 3.4 6.4 0.8 9.8 16.3 11.5 2.3 28 12.9 12.7 5.3 2.4 2.9 3.0 6.4 1.4 9.1 16.1 12.2 1.3 20 10.9 13.8 7.7 0.9 3.6 1.3 6.2 3.5 6.4 15.1 14.5 2.7 Day JAN FEB MAR APR MAY JUN JUL AUG SEP OCT NOV DEC Day JAN FEB MAR APR MAY JUN JUL AUG SEP OCT NOV DEC Day JAN FEB MAR APR MAY JUN JUL AUG SEP OCT NOV DEC Add Equation of Time when Sun “slow,” i.e., sign is positive Time Equation of Add Sun when “slow,” 80

Soarele are în această zi coordonatele ecuatoriale a = 17h56m d = - 23°26’ astfel că distanța unghiulară dintre Soare și Betelgeuse este

cos(B ) sin sinBBB cos cos cos(  ) 0,4 0,13 0,9165  0,99 1 0,96 => distanța unghiulară dintre Soare și Betelgeuse este 163°,6

Problema 17. (Seniori și Juniori) A) Subsistemul Epsilon Lyrae 1 (care face parte din sistemul εLyr), situat la 162 ani lumina de noi, este prezentat in ﬁgura de mai jos. Calculați semiaxa mare, semiaxa mică și excentricitatea orbitei, și apoi perioada și masa sistemului.

Rezolvare: Se măsoară lungimea maximă a ovalului și se împarte la 2 = > semiaxa mare = 141,5 UA. Se trasează și pe la mijlocul ei perpendicular se duce axa mică care se măsoară și se împarte la 2 = > semiaxa mică = 102,6 UA. ab22 Se calculează excentricitatea cu formula e 0,68875. a Perioada se poate determina aproximativ graﬁc măsurând secantele dintre 2000 și 3100 și apoi dintre 2800 și 2900. Raportul lor înmulțit cu 100 este numărul de ani care trebuie adunat la 1100 pentru a obține perioada T = 1178 ani. Având perioada și semiaxa mare se calculează masa sistemului cu legea a treia a TM2() M 1an2 lui Kepler 12 M rezultând masa în mase solare. a331UA  M = 2 mase solare.

Problema 18. (Seniori și Juniori) În câmpul vizual al ocularului unui telescop cu fob = 1230 mm și foc = 7.5 mm se observă imaginea din ﬁgura 2. Determinați distanța unghiulară dintre componentele sistemului Albireo.

Rezolvare: Se calculează grosismentul telescopului cu acel ocular: G = Fob/Foc = 1230/7.5 = 164. Se măsoară distanța dintre stele în câmpul ocularului: d = 6,8 mm. Distanța la care e imaginea de ochi este: Δ = 25 cm. 81 Se calculează unghiul cu vârful în centrul pupilei dintre cele 2 imagini ale stelelor: tg(u/2) = (d/2)/Δ = 0,0136 = >u = 1,56° Unghiul real dintre stele este u0 = u/G = 0,0095° = 34",2.

Problema 19. (Seniori) Steaua χCygnus are curba de variație a magnitudinii în ﬁgură. Determinați perioada, amplitudinea de variație a magnitudinii și distanța la care se aﬂă știind că relația magnitudine perioadă este în imaginea de mai jos.

Rezolvare: Se determină perioada cu ajutorul primului grafic: T = 400 zile Din al doilea grafic se obține magnitudinea absolută M = - 5,25. Tot din primul grafic se determină amplitudinea variației: 13 - 5 = 8 și magnitudinea medie 9. Cu aceste date se poate determina dis- tanța folosind formula Pogson: M = m + 5 - - 5lgd => 5lgd = m + 5 - M = 19,25 => lgd = 3,85 => d = 103,85 = 7080 pc.

Problema 20. (Seniori) Din observații asupra sateliților lui Jupiter s-a construit graﬁcul următor. Calculați masa planetei Jupiter știind că raza sa este de 71.370 km, iar pe imaginea de pe pagina următoare 1 pătrățel are dimensiunea de 5 raze jupiteriene. Se dă: G = 20/3 * 10 - 11 N * m2/kg2.

Rezolvare: Măsurarea distanțelor de la Jupiter la sateliți și calcularea semiaxelor mari ale acestora, de exemplu pentru Ganimede a = 15 * RJ = 1070550 km. Determinarea perioadelor sateliților. Tot pentru Ganimede T = 7 zile 2 3 2 Aplicarea legii a treia generalizată: T · MJ/a = 4π /G. Calcularea masei: 15 - 6 21 MJ = 49.077.322.247.655 · 10 /24385536 * 10 = 2012558,6843 · 10 kg 82 Problema 21. (Seniori) Să se deseneze și calculeze orbita sistemului Achernar (α Eridani) după ﬁgura de mai jos situat la 144 ani lumină de noi. Steaua principală este de clasă B3 cu masa de 6,7 mase solare, luminozitatea de 2900 ori mai mare ca a Soarelui și temperatura de 14.510 K.

Rezolvare: Când companionul se apropie la periastru cei 2 lobi Roche vor intra în contact și în planul ecuatorial al stelei albastre se formează un disc de acreție spre cealaltă stea care va emite un puternic vânt de particule detectat pe direcția axei de rota- ție a stelei doar când companionul e în apropierea periastrului. În decembrie 2007 a început această fază pentru actuala perioadă a sistemului când distanța dintre cele 2 stele era de 6,7 U.A. Măsurând pe imaginea cu pozițiile stelei mai mici în diferite momente de timp se pot calcula vitezele acesteia pe fiecare interval de timp și de aici viteza areolară: 26,5 UA2/an. Apoi raportând distanțele la viteze si făcând o medie se obține perioada sistemului: T = 2 * π * r/v = 9,2856 ani și de aici se calcu- lează semiaxa mare a sistemului: a = 9,086 UA și axa mică b = 4,3156 UA și aplicând 221ab a22 e relația care ne dă viteza areolară v  se obține excentricitatea ar TT orbitei companionului e = 0,88 ceea ce înseamnă că la periastru se va apropia la 1,087 UA de steaua principală cu 230 km/s, pe când la apoastru se va îndepărta la 17,08 UA cu 14,7 km/s. Cunoscând excentricitatea si semiaxa mare se pot determina unghiurile față de direcția în care se află companionul la periastru folosind ae1 2 formula r  pentru fiecare poziție din imagine. Se obține astfel direcția 1cose  83 semiaxei mari și se poate desena toată orbita cu pozițiile la periastru și apoastru și eventual când va fi/a fost steaua mică în aceste poziții.

Problema 22. (Seniori) Misiunea Kepler a NASA este de a descoperi noi sisteme planetare, care găz- duiesc planete conﬁrmate. Această misiune a făcut ca numărul exoplanetelor (planete din afara sistemului nostru solar) descoperite de oamenii de știință să crească. Planetele descoperite gravitează în apropierea stelelor lor. Mărimile lor variază, cele mai mici având 0,165 ori masa Pământului, iar cele mai mari ajungând la mase mai mari decât ale gigantului Jupiter, însă este nevoie de observări aprofundate pentru a determina dacă au și o compoziție asemănătoare planetei noastre. Un exemplu îl reprezintă și sistemul planetar YKS, iar următorul tabel oferă informații cu privire acest sistem planetar.

Semiaxa Perioada de No Planeta Excentricitatea Masa(M ) mare (UA) revoluție (ani)  1. A 1.10 1.63 0.215 0.165 2. B 1.90 3.70 0.027 0.815 3. C 3.50 9.26 0.017 1.500 4. D 6.70 24.53 0.095 0.207 5. E 25.80 185.33 0.050 419.00 6. F 51.50 522.67 0.077 95.20 7. G 102.7 1471.87 0.065 14.50 unde UA este unitatea astronomică și M este masa Pământului.

a) Găsiți o formulă empirică, (semiaxele mari sunt cuantiﬁcate), prin care să exprimați semiaxa mare a orbitelor planetelor prezentate în tabel. b) Din datele de mai sus arătați că energia mecanică și momentul cinetic în func- ție de semiaxa mare sunt mărimi cuantiﬁcate (adică aceste mărimi pot avea anumite valori discrete). c) Exprimați semiaxa mare și perioada de revoluție a unei planete dispărute. d) Estimați masa stelei centrale în sistemul planetar YKS.

Barem de corectare Subiectul Parțial Detaliere Punctaj Problema punctaj a. La început calculăm diferențele: B - A = 0.8 0,5p C - B = 1.6 2,5 D - C = 3.2 puncte C - B D - C Apoi fracția  2, astfel că putem conclu- 0,5p ziona că: B - A C - B 84

Subiectul Parțial Detaliere Punctaj Problema punctaj abc2n AU n 0,5p Unde b și c sunt constante. Apoi exprimăm A: n  1 B: n  2 C: n  3 0,5p D: n  4 Din diferențele B - A obținem c  0.4 . Introducem pentru n  1 (A) vom obține în ﬁnal b  0.3 . n Deci, an 0.3 0.4 2 AU unde n  1,2,...,8 . 0,5p

b) Fie r și r razele la afeliu și periheliu. Semiaxa mare 1 este dată de formula: arr. 0,5p 2 

Atunci la r și r energia mecanică devine: Mm L2 0,5p EVr G rmr2 2 A cărei soluții sunt: 2 1/2 12mK mK mE    și 22 2 rL  L L  0,5p 3 2 1/2 12mK mK mE puncte    rL22 L L 2   unde M și m sunt masele stelei centrale și a planetei. Mm Astfel energia mecanică este dată de: EGn  . 0,5p 2an Apoi, rezultă momentul cinetic din punctul de pornire iar 2EL2 0,5p excentricitatea se exprimă astfel: e 1 . mK 2

22 De unde rezultă: LGMmeann1 . 0,5p

c. Apoi exprimați semiaxa mare și perioada de revoluție a unei planete dispărute. Trebuie să calculăm: 85

Subiectul Parțial Detaliere Punctaj Problema punctaj Semiaxa Perioada No Planetă mare orbitală Ta23/ (1034 y 2 /m 3 ) (UA) (ani) 1. A 1.10 1.63 2.00 2. B 1.90 3.70 2.00 1p 3. C 3.50 9.26 2.00 4. D 6.70 24.53 2.00 5. E 25.80 185.33 2.00 2,5 6. F 51.50 522.67 2.00 puncte 7. G 102.7 1471.87 2.00 Astfel avem: T 224 2 din Mm . 0,5p aGM3  Planeta dispărută se aﬂă între D și E pentru n  5 . 1p Astfel avem a5  13.1 AU . De asemenea T5  67.05 ani. d. Estimați masa stelei centrale în acest sistem planetar. T 224 1p Avem 2 , apoi MM 1.5  2 puncte aGM3 1p Unde M este masa Soarelui.

Problema 25 (seniori) Sistemul nostru solar are mici corpuri cerești. Pot ﬁ grupate după distanța până la Soare și după proprietățile lor ﬁzice. Există două familii distincte: asteroizii și cometele. În tabel sunt date o serie de informații la un moment oarecare t0 ale orbitelor asteroizilor (NEA) care se deplasează în apropierea Pământului.

t 0 a e i   M Obiect JD (UA) (grade) (grade) (grade) (grade) 245625.5 NEA A 0.74598 0.40569 9.32372 159.52833 14.63234 37.43041 (5 B 0.93812 0.42464 0.16470 204.82667 178.50755 281.97198 asteroizi) C 0.99242 0.13119 0.62570 305.42004 57.36543 269.10566 D 1.26090 0.44590 8.40200 307.27780 33.99440 235.60147 E 1.92350 0.36230 0.90690 46.56240 43.32610 179.78573 Pământ 0.99906 0.01638 0.00183 279.40019 186.45171 150.77943 Pentru a obține evoluția pe orbită mai convenabil este să exprimăm coordonatele în sistemul cartezian așa cum este reprezentat în ﬁgură: Pentru a face aceasta putem folosi următoarele ecuații:

xl12 l ym12 m zn12 n și coeﬁcienții corespunzători ln12,, : 86

li1 cos cos sin sin cos li2 cos  sin  sin  cos  cos

mi1 sin cos cos sin cos mi2 sin  sin  sin  cos  cos

ni1 sin sin ni2 cos sin

Analizați aceste date și aﬂați următoarele caracteristici . a) Considerați informațiile referitoare la asteroizii (NEA) din apropierea

Pământului la momentul t0, și presupuneți că toți parametrii, exceptând M, nu se schimbă în timp. Determinați perioada T (în zile) și momentul τ de trecere la periheliu a ﬁecărui asteroid;

b) Determinați distanța r (în UA) la t0 și valoarea anomaliei excentrice E pentru fiecare asteroid în parte; c) Determinați poziția fiecărui asteroid în coordonate carteziene (x,y,z), (UA), pentru t = t0; d) Determinați din informațiile avute care asteroizi sunt în sfera de influență a Pământului la momentul t0.

Barem de corectare: Subiectul Parțial Detaliere Punctaj Problema (Asteroizi în vecinătatea Pământului) punctaj a3 a) Din legea a III a lui Kepler rezultă constant k 0,25p T 2 și luând valorile corespunzătoare ale Pământului vom obține: 0.999063 k 7.47477 106 0,25p 365.252 Putem să folosim valoarea k pentru a determina perioada a3 0,25p de revoluție a ﬁecărui asteroid T  7.47477 106 87

Subiectul Parțial Detaliere Punctaj Problema (Asteroizi în vecinătatea Pământului) punctaj Fiind cunoscut M (anomalia medie) din table pentru momentul t0  JD 2454625.5 , momentul de timp de trecere prin periheliu τ, poate fi cunoscut pentru fiecare asteroid în 0,25p MT MT parte utilizând formula: t  2454625.5  22 Rezultatele sunt date în tabelul următor: 2,0 t a M T  puncte 0 (JD) Asteroid 2454625.5 (AU) (degree) (day) (JD) (NEA) A 0.74598 37.43041 235.66094 2440769.7 1p B 0.93812 281.97198 332.34480 2307423.2 C 0.99242 269.10566 361.61185 2301768.5 D 1.26090 235.60147 517.87144 2262970.6 E 1.92350 179.78573 975.75162 2179066.6 b) Atunci când e, τ, și T sunt cunoscute, E poate fi aflat pentru orice t. Metoda I: Utilizând interația: 0,5p Eesin E m E Me sin E

Dacă EM0  , vom obține: EMeEsin 10 0,5p EMeE21sin  În general converg la E după câteva interații cu o precizie mai mare decât 10 + 5. Metoda II: 3,0 Utilizând o mică aproximație unghiulară: EE E 00 0,5p puncte unde: sin EE00 și cosE0 1 . Dacă EM0  , și de exemplu EM0 0.01 , vom obține:

()sin()EEeEEM00  00  

EEeE00 (sin 0 cos(  E 0 )  cos E 0 sin(  E 0 ))  M 0,25p

Ee0000sin E E (1 e cos E ) M Astfel aﬂăm:

MEe(sin)00 E MM  0M 0,25p E0   1coseE000 1cos1cos eE eE unde pentru prima interație luăm EMeMsin 0 0,25p și apoi substituim MEeE00sin 0, și MMM 0 . 88

Subiectul Parțial Detaliere Punctaj Problema (Asteroizi în vecinătatea Pământului) punctaj

După care, EE10 E 0 și MEeE11sin 1, și așa mai departe până ajungem la valoarea lui E. Prima interație:

Asteroid E0 (deg) M (deg) E0(deg) E1(deg) A 51.55840 4.07814 5.45372 57.01212 B 258.17135 - 0.01255 - 0.01155 258.15980 0,25p C 261.59001 0.07991 0.07841 261.66842 D 214.52095 6.60218 4.82832 219.34927 E 179.86336 - 0.02813 - 0.02065 179.84271 a doua interație:

Asteroid M (deg) E1(deg) E2(deg) A - 0.08449 - 0.10844 56.90368 B 4.83475 ◊ 10-7 4.44727 ◊ 10-7 258.15981 0,25p C 6.96280 ◊ 10-6 6.83291 ◊ 10-6 261.66842 D 0.05348 0.03977 219.38903 E - 3.37566 ◊ 10-6 - 2.47792 ◊ 10-6 279.84271 a treia interație:

Asteroid M (deg) E1(deg) E2(deg) A - 3.49082 ◊ 10-5 - 4.48420 ◊ 10-5 56.90363 B 0 0 258.15981 0,25p C 0 0 261.66842 D 3.90246 ◊ 10-6 2.90228 ◊ 10-6 219.38904 E 0 0 179.84271

După cea de-a treia interație vedem că EE32 ceea ce înseamnă că calculul a ajuns la valoarea lui E. Din ecuația: ra(1 e cos E ) Astfel, distanța ﬁecărui asteroid până la Soare este: Asteroid E(deg) R(AU) 1p A 56.90363 0.58072 B 258.15981 1.01986 C 261.66842 1.01128 D 219.38904 1.69543 E 179.84271 2.62038

c) Calculăm coeﬁcienții: l1 , m1 , n1 , l2 , m2 , n2 Rezultatele sunt în tabelul următor: 89

Subiectul Parțial Detaliere Punctaj Problema (Asteroizi în vecinătatea Pământului) punctaj Aste- l1 m1 n1 l2 m2 n2 roid A - 0.99364 0.09727 0.05666 - 0.10487 - 0.98284 - 0.15178 B 0.91821 0.39609 - 0.00121 - 0.39609 0.91821 - 0.00261 1p C 0.99878 0.04862 - 0.00890 - 0.04857 0.99880 0.00633 D 0.94228 - 0.31399 - 0.11627 0.32471 0.94166 0.08850 E 0.00201 0.99993 0.01149 - 0.99994 0.00188 0.01088 Introducem aceste rezultate în expresiile coordonatelor 2,0 carteziene obținem următorul tabel: puncte Asteroid x (AU) y (AU) z (AU) A - 0.16394 - 0.55122 - 0.08076 0,25p B - 0.21326 - 0.99731 0.00288 C - 0.22638 - 0.98561 - 0.00372 D - 1.68058 - 0.19190 0.11529 E - 0,01018 - 2.62019 - 0.03006

d) Calculăm poziția asteroizilor față de Pământ. Folosim aceeași procedură anterioară: prima interație

Asteroid E0 (deg) M (deg) E0 (deg) E1 (deg) 0,25p Pământ -2.87822 ◊ 10-9 -0.00656 -0.00647 151.23104 a doua interație

Object M (deg) E0 (deg) E2 (deg) 0,25p Earth -2.87822 ◊ 10-9 -2.83749 ◊ 10-9 151.23104 După cea de-a doua interație, E converge la valoarea E = 151.23104 degree. Astfel distanța până la Pământ este: ra(1 e cos E )  1.01341 AU 3,0 puncte și coeﬁcienții:

Asteroid l1 m1 n1 l2 m2 n2 0,25p Pământ -0.27315 0.96197 -0.00003 -0.96197 -0.27315 0.00001 și poziția Obiect x (UA) y (UA) z (UA) 0,5p Pământ -0.21880 -0.98950 3.05641◊10-5 Raza Hill’s a Pământului este: 13 13 m 5.97360 1024 Ra 0.99906  H   30 0,5p M 1.98910 10 1.44140 102 AU 90

Subiectul Parțial Detaliere Punctaj Problema (Asteroizi în vecinătatea Pământului) punctaj Distanța asteroidului față de Pământ este: 222 0,5p dxxyyzz()()()aaa

Astfel, dacă dRH 0 , obiectul se aﬂă în sfera de inﬂu- ență a Pământului.

Asteroid d (UA) dR H (AU) A 0.44904 0.43462 B 0.00999 - 0.00443 0,5p C 0.00931 - 0.00510 D 1.66921 1.65480 E 1.64425 1.62984 În concluzie asteroizii B și C se aﬂă în sfera de inﬂuență

a Pământului la t0 Total 10p

Problema 26 (Seniori și Juniori) Într-o campanie de observare a curentului meteoric Perseide, un astronom amator a înregistrat următoarele date: Data: 11/12.08.2010 Centrul câmpului de observare: α = 30°, δ = + 70° Perioada de observare (UT): 22h30m – 23h50m Pauză: 6 minute Mențiune: Numărul stelelor vizibile într-un anumit triunghi de transparență, se convertesc în magnitudine limită. În perioada t1 = 25 minute, în triunghiul de transparență 6 s-au numărat 10 stele. În acest caz Lm1 = 6,14. În perioada t2 = 20 minute, în triunghiul de transparență 7 s-au numărat 17 stele. În acest caz Lm2 = 6,19. În perioada t3 = 35 minute, .în triunghiul de transparență 6 s-au numărat 12 stele. În acest caz Lm3 = 6,25.

Tabel observații Nr. Curentul meteoric Ora Magnitudinea aparentă Crt. (Cod IMO) (h m) (m) 1 SPO 22h32m + 3 2 PER 22h34m + 2 3PER22h39m0 4 PER 22h43m + 2,5 91

5 PER 22h52m + 3 6 PER 22h54m + 1 7 PER 22h59m + 4 8PER23h02m - 0,5 9 PER 23h06m + 2 10 SPO 23h13m + 3,5 11 PER 23h20m 0 12 PER 23h27m + 4,5 13 PER 23h33m - 2,5 14 SPO 23h35m + 2,5 15 PER 23h40m + 1,5 Notă: Cod IMO: PER–Perseide, SPO-sporadic

Cerințe: Folosind datele observaționale de mai sus: 1. Determinați timpul efectiv (Teﬀ) 2. Determinați magnitudinea limită (Lm) 3. Realizați distribuția magnitudinilor

Rezolvare: 1. 22h30m – 23h50m = 80 minute – 6 minute pauză = 74 minute ⇒

Teﬀ = 74 minute/60 minute = 1,23 h 2. Pentru un interval dat, media magnitudinii limită se calculează astfel: suma magnitudinilor limită înmulțite cu intervalul de timp cât acestea au fost valabile în zonele folosite, împărțit la timpul total cât aceste determinări au fost valabile:

Lm = (Lm1 · t1 + Lm2 · t2 + Lm3 · t3)/(t1 + t2 + t3) ⇒ m Lm = (6,14 · 25 + 6,19 · 20 + 6,25 · · 35/(25 + 20 + 35) = 6,2 3. Distribuția magnitudinilor Curentul - 3 - 2 - 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 Total meteoric 0,5 1 0,5 3 SPO 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 1 0,5 1 0,5 12 0,5 0,5 0,5 1 0,5 PER 1 1 0,5 ⇒ Curentul - 3 - 2 - 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 Total meteoric SPO 0,5 2 0,5 3 PER 0,5 0,5 0,5 2,5 1,5 3 1,5 1,5 0,5 12 92 93

Probleme pentru Proba Observaţională

Selecția echipei naționale pentru olimpiada internațională de astronomie Proba observațională – secțiunea juniori – 5 iunie 2011

1. determinați distanța unghiulară între polul nord ecliptic și M101 ...... 2p 2. estimați latitudinea galactică a lui M92 ...... 2p 3. ce declinație are M52 ? ...... 2p 4. determinați timpul sideral al observației ...... 4p 5. precizați 2 constelații care trec la meridian deasupra orizontului din partea de sud al localității Călimănești ...... 2p 6. precizați 2 constelații care apun ...... 2p 7. precizați 2 constelații care răsar ...... 2p 8. precizați steaua cea mai strălucitoare și magnitudinea ei, situată cel mai aproape de zenit în momentul observației ...... 4p 9. poziționați telescopul pe Cebalrai ...... 2p 10. poziționați telescopul pe M 57 si precizați tipul acestuia ...... 4p 11. estimați magnitudinea limită a cerului în vecinătatea zenitului ...... 4p

Timp efectiv de lucru 20 minute + 5 minute citirea cerințelor Total 30p

Proba observațională juniori 29 aprilie 2012

1. determinați timpul sideral in momentul observației ...... 1p 2. ce azimut are Algieba ? ...... 1p 3. ce latitudine ecliptică are Cor Caroli ? ...... 1p 4. numiți 2 constelații care vor ﬁ la culminație superioara peste 1 ora . . . . . 1p 5. numiți 3 constelații de pe ecuator care sunt acum vizibile ...... 1p 94 6. puneți telescopul pe Nekkar ...... 1p 7. prindeți în câmpul ocularului obiectul M92 precizând natura lui ...... 1p 8. apreciați magnitudinea lui Alphecca ...... 1p 9. precizați o stea multipla și aduceți imaginea ei in ocular ...... 1p 10. precizați o stea variabila și aduceți imaginea ei in ocular ...... 1p

timp total de lucru: 30 minute

Subiect propus de prof. Bica Marin Dacian

Proba observațională juniori 29 aprilie 2012

1. determinați timpul sideral in momentul observației ...... 1p 2. ce azimut are Algieba ? ...... 1p 3. ce latitudine ecliptica are Cor Caroli ? ...... 1p 4. numiți 2 constelații care vor ﬁ la culminație superioară peste 1 oră . . . . . 1p 5. numiți 3 constelații de pe ecuator care sunt acum vizibile ...... 1p 6. puneți telescopul pe Nekkar ...... 1p 7. prindeți in câmpul ocularului obiectul M92 precizând natura lui ...... 1p 8. apreciați magnitudinea lui Alphecca ...... 1p 9. precizați o stea multipla si aduceți imaginea ei in ocular ...... 1p 10. precizați o stea variabila si aduceți imaginea ei in ocular ...... 1p

timp total de lucru: 30 minute

subiect propus de prof. Bica Marin Dacian

Proba observațională seniori 29 aprilie 2012

1. determinați timpul sideral in momentul observației ...... 1p 2. ce azimut are Zavijava ? Ce știți despre ea? ...... 1p 3. ce latitudine ecliptica are Seginus ? ...... 1p 4. numiți 2 constelații care vor ﬁ la culminație superioara peste 1 ora . . . . . 1p 5. numiți 3 constelații de pe ecuator care sunt acum vizibile ...... 1p 6. puneți telescopul pe Kornephoros si spuneți ce știți despre ea ...... 1p 7. prindeți in câmpul ocularului obiectul M57 precizând natura lui ...... 1p 8. apreciați magnitudinea lui Eltanin ...... 1p 9. precizați o stea multipla si aduceți imaginea ei in ocular ...... 1p 10. precizați o stea variabila si aduceți imaginea ei in ocular ...... 1p

timp total de lucru: 30 minute

subiect propus de prof. Bica Marin Dacian 95 Propuneri proba observațională

1. Găsiți 3 variabile cu eclipsă din 3 constelații diferite vizibile din Polonia(19°E, 49°N) la ora locală 2400. 2. Găsiți 3 nove recurente, 3 WW Vir, 3 Miride, 3cefeide clasice, 3 RR Lyr, 3 RV Tau si 3 variabile neregulate. 3. Găsiți steaua lui Barnard. 4. Arătați și ordonați descrescător după diametrul unghiular 3 roiuri globulare aﬂate la o înălțime mai mare de 200. 5. Găsiți două roiuri deschise care trec la meridian la diferență de 2 ore. 6. Marcați tot ce se poate vedea din punctele de mai sus pe harta mută și speciﬁ- cați punctele cardinale, ecliptica, ecuatorul și luna hărții dacă a fost făcută la ora 23. 96 Proba observațională simulată IAO

1. trasați constelațiile 2. trasați ecuatorul ceresc, ecliptica, meridianul si ecuatorul galactic 3. reparați harta 4. plasați 5 obiecte Messier 5. încercuiți 3 stele variabile

Timp de lucru 30 minute 97 Proba observațională simulată IOAA

1. trasați constelațiile 2. trasați ecuatorul ceresc, ecliptica, meridianul si ecuatorul galactic 3. reparați harta 4. plasați 5 obiecte Messier 5. încercuiți 3 stele variabile

Timp de lucru 30 minute 98 Proba observațională simulată juniori 2012

1. reparați harta punând stelele lipsă și precizând numele lor pe foaia secretizată și tăind cu x cele care-s în plus (pix albastru) 2. trasați ecuatorul ceresc, ecliptica, meridianul și ecuatorul galactic 3. poziționați punctele cardinale 4. plasați planetele vizibile pe hartă 5. uniți stelele ca să formeze constelații 6. încercuiți 3 stele variabile precizând denumirea lor în foaia secretizată

timp de lucru 45 minute pe hartă se va lucra numai cu pix albastru

prof. Bica Marin Dacian 99 Proba observațională simulată seniori 2012

1. reparați harta punând stelele lipsa si precizând numele lor pe foaia secretizata și tăind cu x cel care-s in plus (pix albastru) 2. trasați ecuatorul ceresc, ecliptica, si ecuatorul galactic 3. puneți pe harta 5 obiecte Messier 4. plasați planetele vizibile pe harta 5. uniți stelele ca sa formeze constelații 6. încercuiți 3 stele variabile precizând denumirea lor pe verso

timp de lucru 45 minute pe harta se va lucra numai cu pix albastru

prof. Bica Marin Dacian 100 Rezolvarea probei observaționale simulate – categoria juniori

Am șters: Auva = d Virginis , Mebsuta = e Geminorum si d Cygni Am pus: in apropierea lui M101 si in Ophiucus lângă Rasalhague Planete: Saturn in Virgo , Marte in Leo si Venus in Taurus Profesor Bica Marin Dacian 101

Simulare observațională

Mai jos este data o fotograﬁe si se cere sa se determine direcția corespunzătoare mijlocului pozei. Trasați ecuatorul ceresc si apoi determinați latitudinea locului. Ce reprezintă lumina strălucitoare din partea stângă? 102 XV IAO 2010 Pregătirea lotului restrâns pentru

Olimpiada Internațională de Astronomie Sudak - Crimea - Ukraine Simularea probei observaționale

Problema 1. Precizați pe harta cerului constelațiile cunoscute. Precizați poziția planetelor și a Lunii, in seara zilei de 14 februarie 2004. 103 Problema 2. Harta arată un fragment de diagramă stelară. Ce constelație (con- stelații) sunt descrise pe ea? Ceea știi despre el (despre ele)? Vă rugăm să le mar- cați pe ﬁgura dată. Ce știți despre obiecte astronomice speciﬁcate pe hartă. Uniți stele principale pentru a obține forma constelațiilor și apoi desenați limitele aproximative ale constelațiilor.

Proba observațională

1. Indicați meridianul și ecuatorul 2. Precizați ce constelații zodiacale se văd și indicați-le 3. Indicați 3 constelații circumpolare precizând numele la câte o stea (juniori)/3 stele (seniori) 4. Numiți și indicați 1 constelație (juniori) / 3 constelații (seniori) care trec la meridian 5. Numiți și indicați 1 constelație (juniori) / 3 constelații (seniori) care au trecut la meridian acum o oră 6. Numiți și indicați 1 constelație (juniori) / 3 constelații (seniori) care vor trece la meridian peste 2 ore 7. Indicați 2 stele (cerute precis) și măsurați distanța dintre ele 8. Estimați magnitudinea stelei (seniori) 9. Puneți telescopul pe M (roi globular) și precizați natura obiectului Fiecare item are 2 puncte + 2puncte din oﬁciu = 20 puncte 104 Proba observațională pentru selecția loturilor reprezentative ale României pentru Olimpiada Internațională de Astronomie 2011 și Olimpiada Internațională de Astronomie și Astroﬁzică 2011 Seniori

SERIA...... NR...... T inițial...... T ﬁnal......

Partea I. Se desfășoară la telescopul EQ5 (D = 200 mm, F = 1000 mm)

1. Determinați distanța unghiulară dintre stelele Errai si Edasich ...... 1p 2. Îndreptați telescopul spre obiectul Messier M92 (precizați natura lui. . . . 2,5p 3. Ce constelație are înălțimea cea mai mare și intersectează ecliptica ...... 1p 4. Numiți trei constelații din cerul sudic care va trece la meridian peste 1,5 ore 1,5p 5. Îndreptați telescopul spre M29, speciﬁcați natura acesteia ...... 2,5p 6. Estimați magnitudinea lui δ Bootes și a lui δ Cygni...... 1p 7. Determinați latitudinea ecliptică a stelei Seginius...... 1p 8. Estimați azimutul (măsurat de la nord) și înălțimea deasupra orizontului a stelei Ras Algheti și indicați coordonatele orizontale pe care steaua aceasta le va avea peste două ore...... 2,5p

Barem de timp: 12 minute.

Partea II. Se desfășoară la telescopul Meade RCX 400 (D = 300 mm, F = 2400 mm)

Catalogul Hipparcos (HIP, ESA 1997), realizat pe baza prelucrării măsurăto- rilor realizate de satelitul cu același nume, furnizează pe lângă datele astrometrice foarte precise (paralaxe, mișcări proprii) și date fotometrice extrem de importante. Astfel au fost identificate o serie de noi stele variabile. O mare parte dintre acestea au putut fi încadrate din punct de vedere al tipului de variabilitate, dar există stele care nu au putut fi „rezolvate” cert, fiind catalogate ca „unsolved variables”. Toate acestea necesită monitorizare/observare cu telescoape terestre. Una dintre aceste stele este steaua cu indicativul de catalog HIP 84915. h m s Coordonatele stelei sunt: RA2000.0 = 17 21 12.18 ; DEC2000.0 = +73°29’21.6” Limitele de variație ale magnitudinii stelei în sistemul de magnitudini instrumen- tal propriu Hipparcos magHp ≈ magV (are caracteristica de răspuns spectral relativ apropiată cu magnitudinea vizuală) sunt: min magHp = 10.86; max magHp = 12.34. HIP 84915 este de fapt un sistem dublu cu mișcare proprie importantă. Paralaxa determinată de Hipparcos este: π = 11.10 milisecunde de arc.

1. Având la dispoziție telescopul Meade RCX400 12” (D = 300 mm, F = 2400 mm) și un set de 3 oculare: Meade Plössl 9mm (câmp aparent 60°); 105 Meade Plössl 25mm CCD framing Eyepiece (câmp aparent 60°); Meade UltraWideAngle 24 mm (câmp aparent 82°), să se aleagă ocularul potrivit pentru a realiza un ocular parafocal pentru observații cu camera CCD Canon DSLR EOS 50D folosită în sistem de binning mediu: 2352 pixeli ◊ 1568 pixeli, pixelii ﬁind pătrați cu latura de 9.5 μm. (2 puncte)

Notă: „Ocularul parafocal” este sistemul optic (obiectiv + ocular) astfel obținut încât diametrul câmpului aparent al instrumentului să ﬁe cât mai apropiat (mai mare sau egal) de diagonala câmpului aparent acoperit de cipul camerei CCD focalizată. Focalizarea ocularului parafocal se realizează din modiﬁcarea poziției ocularului fără a folosi reglajul de focalizare al telescopului .

2.Având la dispoziție imaginea digitizată a zonei de interes (ESO Digital Sky Survey)după plăcile fotograﬁce de la Mount Palomar Observatory, și folosind la ale- gere oricare dintre oculare poziționați cât mai aproape posibil de centrul câmpului această stea. Latura hărții este 30 minute de arc. (3 puncte) 3.Estimați observațional separarea unghiulară a celor două componente ale sistemului și determinați prin calcul rapid distanța dintre componentele sistemului. (2 puncte)

Notă: Poziționarea telescopului se va face prin introducerea manuală a coordonatelor stelei și ajustarea manuală a poziției și focalizării cu ajutorul telecomenzii telescopului. Telescopul este cu urmărire cu microprocesoare și microcontrollere. După poziți- onarea telescopului pe stea, examinatorul va înlocui ocularul cu camera CCD Canon DSLR EOS 50D și va obține o imagine a câmpului în prezența concurentului.

Barem de timp: 15 minute. 106

Sistemul HIP 84915 este în centrul imaginii. Câmpul imaginii este 30 minute de arc x 30 minute de arc. Nordul ceresc este în sus. Estul ceresc este la stânga. 107 SIMULAREA PROBEI OBSERVAȚIONALE-SALĂ

Figura alăturată reprezintă harta mută a cerului de la Călimănești în data de 14 aprilie 2009 ora 23, timp local.

Problema 1 Identiﬁcați si notați pe marginea foii punctele cardinale ...... 1 punct

Problema 2 Trasați pe hartă ecliptica si ecuatorul ceresc...... 2 puncte

Problema 3 Identiﬁcați planetele care se vad pe hartă...... 1 punct

Problema 4 Desenați pe hartă minim 12 constelații care sunt în totalitate prezente și pe care le-ați identiﬁcat...... 6 puncte

Problema 5 Identiﬁcați următoarele stele pe hartă precizând care sunt duble și care sunt multiple: Izar, Castor, Algieba, Cor Caroli...... 2 puncte

Problema 6 Marcați pe hartă pozițiile următoarelor obiecte Messier și precizați natura acestora (roiuri deschise, globulare, galaxii, nebuloase): M44, M3, M35, M51, M81, M65...... 6 puncte

Notă: Timp de lucru: 30 minute. Se acordă 2 puncte din oﬁciu.

Total 20 puncte 108 109 Figura alăturată reprezintă harta mută a cerului de la Călimănești în data de 14 aprilie 2009 ora 23h, timp local.

Problema1 Identiﬁcați și notați pe marginea foii punctele cardinale. Barem: Pentru ﬁecare punct cardinal indicat corect se acordă...... 0,25p Total 4 ◊ 0,25 = 1p

Problema2 Trasați pe hartă ecliptica si ecuatorul ceresc. Barem: Trasarea corectă a eclipticii ...... 1p Trasarea corectă a ecuatorului ceresc ...... 1p Total 2p

Problema3 Identiﬁcați planetele care se vad pe hartă. Barem: Identiﬁcarea corectă a planetei Saturn ...... Total 1p

Problema4 Desenați pe hartă minim 12 constelații care sunt în totalitate prezente și pe care le-ați identificat. Barem: Pentru fiecare constelație desenată și identificată correct se acordă ...... 0,50p Total 12 ◊ 0,5p = 6 puncte

Problema 5 Identificați următoarele stele pe hartă precizând care sunt duble și care sunt multiple: Izar, Castor, Algieba, Cor Caroli. Barem: Stele duble: Izar, Algieba, Cor Caroli. Stea multiplă: Castor. Pentru fiecare stea identificată pe hartă corect se acordă ...... 0,2p Pentru fiecare stea clasificată corect se acordă ...... 0,3p Total 4 ◊ 0,2 + 4 ◊ 0,3 = 2 puncte

Problema 6 Marcați pe hartă pozițiile următoarelor obiecte Messier și precizați natura acestora (roiuri deschise, globulare, galaxii, nebuloase): M44, M3, M35, M51, M81, M65. Barem: M44, M35 sunt roiuri deschise. M3 este roi globular. 110 M51, M81, M65 sunt galaxii Pentru fiecare obiect Messier identificat corect pe hartă ...... 0,4p Pentru identificarea corectă a naturii unui obiect Messier ...... 0,6p Total: 6 ◊ 0,4 + 6 ◊ 0,6 = 6puncte

Notă: Se acordă 2 puncte din oﬁciu. Total 20 puncte 111

The 2nd International Olympiad on Astronomy and Astrophysics Bandung, Indonesia

Thursday, August 21, 2008

Practical Competition: Observations

PART I: Naked Eye

Instructions: 1. All participants will receive a naked-eye observation problem set, a writing board, a pen, a ruler and a ﬂash light at the examination room. 2. Part I consists of three steps: distribution of problem sheets in examination room, naked eye observation on the observing ground (7 minutes), and returning to the examination room to answer questions (8 minutes). Bell ring will indicate the beginning and the end of each step. 3. All participants will be guided by assistants to go to the observing ground until return to the examination room. Assistants will collect the answer sheets from your table, after the 8 minute time is up. 4. Never forget to ﬁll in the boxes at the top of each answer sheet with your country and your student codes. Otherwise, it will be ignored.

PART II: Using Telescope and CCD

Instructions: 1. Part II consists of four steps: distributions of problem sheets in examination room, using telescope and CCD observations on the observing ground (15 minutes), print images and return to the examination room to answer questions (10 minutes). Bell ring will indicate the beginning and the end of each step. Works completed after the allocated time will not be considered. 2. All participants will be guided by assistants to go to the observing ground until return to the examination room. Assistants will collect the answer sheets from your table. 3. Never forget to ﬁll in the boxes at the top of each answer sheet with your country and your student codes. Otherwise, it will be ignored. 112 Friday, August 22, 2008

Practical Competition: Observation

Sky Simulator

Instructions: 1. All participants will receive a problem set, a writing board, and a pen at the examination room. 2. The time available is 15 minutes. Bell ring will indicate the beginning and the end of this session. 3. Assistants will collect the answer sheets from your table. 4. Never forget to ﬁll in the boxes at the top of each answer sheet with your country and your student codes. Otherwise, it will be ignored. 113

3rd International Olympiad of Astronomy and Astrophysics

Proba Observațională

Citește te rog cu atenție aceste instrucțiuni! 1. Toți participanții vor primi de la organizatori un set de probleme, o masă de scris, un stilou, o riglă, și o lanternă pentru frunte. 2. Proba este formată din două părți: i) Două întrebări la „Observație cu ochiul liber”. Ai la dispoziție 12 minute să răspunzi la aceste două întrebări. ii) O întrebare la „Utilizând telescopul”.Fiecare parte are alocat un interval de timp, care este indicat în foaia cu întrebări. 3. Toți participanții vor fi conduși de către asistenți la locul de observație până la întoarcerea în camera de așteptare. Asistenții vor strânge foile de răspuns și foile cu probleme. 4. Nu uita să completezi casetele din partea de sus a fiecărei foi de răspuns cu numele țării și codul ce ți-a fost alocat. 5. Ai la dispoziție 2 minute pentru a te familiariza cu terenul în care se va des- fășura observarea și acomoda cu întunericul, chiar înainte de începerea timpului de concurs. 6. Alarma ceasului examinatorului va marca începerea și finalul fiecărei părți a probei. 7. Fiecare problemă are indicații specifice care te vor ajute în timpul examenului.

Observational Competition Observație cu ochiul liber

Timp: 12 Minute

Întrebarea 1 Part 1: Figura 1 (dimensiunea cadrului ≅ 100° ◊ 70°) indică o parte a cerului, în data de 22 octombrie 2009, 21:00 ora locală. Patru stele din constelațiile Perseus și Andromeda lipsesc din această hartă. Privind cerul găsește aceste stele care lipsesc. Apoi, marchează printr-o cruce locația fiecăreia dintre stelele strălucitoare care 114 lipsesc de pe hartă din aceste două constelații (adică figura 1). Folosește în tabelul 1-1 numere pentru a indica aceste cruci. Notă: Polaris este indicată prin simbolul „N” în figura 1 (40 Puncte) Table 1-1 Number Common Name Bayer Names 1 Mirfak Alpha Persei 2 Alpheratz Alpha Andromeda 3- Epsilon Persei 4 Menkib Xi Persei 5- Gamma Persei 6AlgolBeta Persei 7AlmachGamma Andromeda 8- Delta Andromeda 9- 51 Andromeda 10 Mirach Beta Andromeda 11 Atik Zeta Persei

Întrebarea 1 - Figura 1

Întrebarea 2 Partea 1: Figura 2 ilustrează cerul care conține constelația Cepheus, in data de 22 octombrie 2009, 22:00, ora locală. Cinci stele strălucitoare sunt identiﬁcate prin numere (1,2,...,5) și nume comune. Estimați distanța unghiulară (în grade) dintre două perechi de stele indicate în tabelul 2-1 și completează tabelul cu răspunsurile tale. (40 Puncte) 115 Tabel 2-1 Distanță unghiulară Pereche de stele Distanță unghiulară (grade) 1 (Errai ) and 2 (Alﬁrk ) 1 (Errai ) and 3 (Alderamin)

Partea 2: Folosește Tabelul 2-2 și figura 2, estimează apoi „magnitudinea vizu- ală aparentă” a stelelor 2 (Alfirak ) și 3 (Alderamin) și completează Tabelul 2-3 . (40 Puncte) Tabel 2-2 Star Name Apparent Visual Magnitude Polaris 1.95 Altais 3.05 Segin 3.34 Toate aceste stele, sunt marcate în figura 2

Tabel 2-3 Estimarea magnitudinii Numărul stelei Numele stelei magnitudinea vizuală aparentă 2Alﬁrk 3Alderamin

Întrebarea 2 - Figura 2 116 Observational Competition Observația cu telescopul

Timp: 13 Minute Notă: Ai la dispoziție numai 13 minute pentru a răspunde la toate părțile acestei întrebări.

Înainte de a începe această parte, te rog ia aminte: Telescopul este orientat de examinator către Caph (α Cas). Te rugăm ia aminte la valorile de pe cercurile gra- date înainte de a muta telescopul (a se folosi în 3.2)

Întrebarea 3 3.1: Alege una dintre cele 4 stele recomandate, listate mai jos; scrie numele stelei pe care ai ales-o în tabelul 3-1 și orientează telescopul către această stea. Apoi, anunță examinatorul să veriﬁce. (40 Puncte) 1. Deneb (Alpha Cygni) 2. Alﬁrk (Beta Cephei) 3. Algol (Beta Persei) 4. Capella (Alpha Aurigae) (Ai 6 minute să răspunzi la întrebarea 3.1)

Table 3-1 Numele Stelei selectate

3.2: Telescopul a fost ﬁxat pe steaua Caph din constelația Cassiopeia (RA: 0h:9.7m; Dec: 59°:12’). Folosind ceasul de la telescop scrie timpul local ( în for- matul HH:MM:SS) în câmpul corespunzător din Tabelul B. Apoi, folosind cercul gradat de pe montura telescopului, estimează „declinația” și „unghiul orar” măsu- rat de la Sud, al stelei pe care ales-o în prima parte a acestei întrebări. Apoi, com- pletează tabelul B. (Ai 7 minute ca să răspunzi la 3.2)

Tabel 3-2 Numele și Coordonatele Stelei selectate Timpul local: Numele Stelei Unghiul Orar Declinația (°:’) selectate (hh:mm) 117 Observational Exam

Naked Eye Observations Solutions and Marking Scheme

Marking Scheme: Question 1 Part 1: Location of each bright star: (max: +40)

A) Small Circle + Correct Number: +10 points. B) Large Circle+ Correct Number: +5 Points. C) Small Circle without Identifier Number: +5 Points D) Large Circle without Identifier Number: No Point. E) Small or Large Circle+ Incorrect Identifier Number: No Point.

Figure 1 – Solution of Problem 1

Marking Scheme: Question 2 Part 1: Angular Distance (max: 40 point) For Each Pair: ∆ ≤ 2° : 20 points 2° < ∆ ≤ 4° : 10 Points ∆ > 4° : No Point 118 Table A Solution Angular Distance Stars Name Angular Distance (Degree) 1 (Errai) and 2 (Alﬁrk) 11°:09':10''~11° 1 (Errai) and 3 (Alderamin) 18°:36':50''~19°

Part 2: Magnitude estimation for Each Star (max: 40 Point) For Each Star: ∆ ≤ 0.2 : 20 points 0.2 < ∆ ≤ 0.5 : 15 Points 0.5 < ∆ ≤ 0.8 : 10 Points 0.8 < ∆ ≤ 1.0 : 5 Points 1.0 < ∆ ≤ 1.2 : 2 Points ∆ > 1.2 : No Point

Table B Solution Magnitude Estimation Number Star Name Visible Magnitude 2 Alﬁrk 3.2 3Alderamin2.4

Observational Problems

Telescopic Observations Solutions and Marking Scheme

Marking Scheme: Question 3 Part 1: Point the Telescope to the coordinates of the selected stars. (Max: 40 points) If the examiner confirms the star in the 32 mm eyepiece: 40 Points If the examiner confirms the star in the finder scope: 20 Points If the examiner doesn’t see the star in Finder: No Point

Part 2: Estimate Hour Angle and Declination. (Max: 40 Points) HA: ∆ ≤ 30 min : 40 points 30 min < ∆ ≤ 45 min : 30 Points 45 min < ∆ ≤ 1 Hour : 20 Points 1 Hour < ∆ ≤ 1.5 Hour : 10 Points ∆ > 1.5 Hour : No Point If Participant estimates R.A. Instead of H.A.: 2 Point Dec: ∆ ≤ 2° : 40 points 2° < ∆ ≤ 4° : 30 Points 119 4° < ∆ ≤ 8° : 20 Points 8° < ∆ ≤ 10° : 10 Points ∆ > 10° : No Point

Coordinate of Selected Star Local Hour Time: Star R.A. Dec. Angle 1. Deneb (Alpha Cygni) ST-RA 20h 41m 46.632s +45°19’15.675” 2. Alﬁrk (Beta Cephei) ST-RA 21h 28m 47.853s +70°36’35.254” Sidereal 3. Algol (Beta Persei) RA-ST 03h 08m 51.224s +40°59’43.119” Time: 120 AThe 4th IOAA Practical Competition Observation

Citește cu atenție aceste instrucțiuni! 1. Fiecare student va primi foile cu problema în limba engleză și în limba nativă. 2. Timpul disponibil pentru a răspunde la problemele de la proba de observație este de 0,5 ore. Veți avea 3 întrebări. 3. Notați răspunsul direct pe hârtie. 4. În antetul foii scrie numele țării și codul de student. 5. La sfârșitul examenului dă hârtiile personalului. 6. Competiția se va desfășura în Planetarium.

PARTEA I:

Ceea ce vedeți în Planetariu este cerul de la Beijing, in seara asta la 21:00, ora locală. Aveți 10 minute pentru a vă familiariza cu cerul întunecat. Răspundeți la următoarele întrebări: Întrebarea 1: Personalul îți va indica cu pointerul laser 5 constelații pe cer; câte un minut pentru fiecare. Completați spațiile libere cu numerele sau abrevierile lor IAU (vezi tabelul anexat), în ordinea în care cele 5 constelațiile au fost indicate. (5 puncte pentru fiecare răspuns corect) 1st numărul constelației sau abrevierea ...... 2nd numărul constelației sau abrevierea ...... 3rd numărul constelației sau abrevierea ...... 4th numărul constelației sau abrevierea ...... 5th numărul constelației sau abrevierea ...... 121 Întrebarea 2: Pe baza cerului actual, scrie numerele a 5 constelații pe care le poți vedea și care sunt traversate de ecuatorul ceresc. (10 minute, 5 puncte pentru fiecare constelație corectă) ...... , ...... , ...... , ...... , ......

PARTEA a II-a:

Întrebarea 3: Cerul arătat aici este cel din noaptea de la Beijing după aproximativ 1 oră de la apusul Soarelui. Estimează ce lună (utilizează numerele 1-12) ar trebui să ﬁe în conformitate cu cerul de noapte arătat. Care este vârsta Lunii (utili- zează 1-30 zile)? (10 minute, 20 de puncte). Cerul actual în Beijing este pentru luna ...... Vârsta actuală a Lunii este ......

Proba de observație – night round

Instrucțiuni: 7. Proba conține 2 întrebări fiecare valorând 25 puncte. Ai la dispoziție 80 minute pentru a le rezolva din care: (a) 25 minute pentru a citi întrebarea și a te pregăti pentru observații (b) 30 minute pentru a face toate observațiile cu telescopul (pentru ambele observații), (c) 25 minute pentru calcule și finalizarea lucrării. 8. Timp adițional va fi acordat numai pentru deplasarea la și de la locul de observare. 9. Alături de întrebări vei primi o hartă a cerului, pentru a o folosi la ambele întrebări. 10. La locul de observare vei găsi pregătite: At the observing site you will find ready: (a) Un telescop refractor cu o oglindă la unghi drept și ocular cu reticul luminat ce poate fi rotit în jurul axului optic, (b) O lanternă cu lumină roșie, cronometru, creion, radieră, și clipboard, (c) Un scaun.

Notă: telescopul este deja aliniat – nu schimba poziția trepiedului!

Luminozitatea reticulului poate fi ajustată prin rotirea butonului întrerupătorului. 122 11. Ai voie să ai asupra ta la telescop numai foile cu întrebări, foile de răspuns și foi albe pentru lucru suplimentar 12. Vor fi evaluate numai foile de răspuns. Celelalte foi suplimentare nu vor fi evaluate. 13. Marchează clar fiecare pagină cu codul tău de concurs. 14. Dacă întâmpini dificultăți în ceea ce privește echipamentul ( care nu sunt legate de rezolvarea cerințelor) sau ai deranjat alinierea telescopului, cheamă un asistent.

Proba de observație – night round

1. Micul Delfin O grupare de stele numit asterism cunoscut sub numele de Micul Delfin se află lângă linia ce unește stelele α Peg (Markab) și β Peg (Scheat). Este marcat cu un cerc pe harta la scară mare Pe hartă apar constelația Delfinul cu cele mai strălucitoare stele etichetate în notația Bayer (α, β, γ, δ și ε). Coordonatele lui α și β Peg și a Micului Delfin (în ordinea ascensiei drepte) sunt:

Right Ascensie Dreaptă Declinație α δ Micul Delﬁn 23h02m +23.0° β Peg 23h04m +28.1° α Peg 23h05m +15.2°

Pe baza observațiilor tale, fă două desene pe foaia de răspunsuri: Pe desenul 1: Desenează imaginea constelației Delphinus (Del) așa cum ai văzut-o prin căută- tor. Include cât mai multe stele pe care le poți vedea în câmpul vizual. Cu o săgeată, marchează direcția aparentă de mișcare a stelelor în câmpul vizual al căutătorului, datorată mișcării de rotație a Pământului. Etichetează stelele în notația Bayer dată pe hartă (α, β, γ, δ și ε).

Etichetează cele mai strălucitoare 5 stele cu „mmax”. Etichetează cele mai puțin luminoase 5 stele cu „mmin”. Pe desenul 2: Desenează imaginea Micului Delﬁn așa cum îl vezi prin telescop. Include cât mai multe stele câte poți vedea în câmpul vizual. Cu o săgeată, marchează direcția aparentă de mișcare a stelelor în câmpul vizual al căutătorului, datorată mișcării de rotație a Pământului. Etichetează stelele din Micul Delﬁn α′, β′, γ′, δ′ și ε′ astfel încât să se potrivească cu etichetele stelelor din constelația Delphinus așa cum este dat pe hartă.

Etichetează cele mai strălucitoare 5 stele cu „mmax”. 123 2. Determinarea declinației Cele două imagini de pe pagina următoare ilustrează o mică grupare de stele, asterism, așa cum este văzută pe cer precum și ca imagine în oglindă. Trei stele au fost etichetate S1, S2 și Sx. Poziția asterismului este de asemenea marcată cu un dreptunghi pe harta cerului la scară mare. Găsește acest asterism și orientează telescopul tău către acesta. Folosind reticulul luminos ca punct de referință fix, și cronometrul, măsoară timpul în care stelele S1, S2 și Sx traversează câmpul vizual. Poți roti ocularul astfel încât centrul reticulului să fie într-o poziție convenabilă pentru a face măsurătorile. Folosește măsurătorile și valorile cunoscute ale declinației stelelor S1 și S2 așa cum sunt date mai jos, pentru a determina declinația stelei Sx. Pe foaia de răspuns, scrie valorile obținute prin măsurare și modul de lucru și estimează eroarea aleatoare ce afectează răspunsul tău. Pentru fiecare set de măsurători făcute, desenează pe foaia de răspunsuri imaginea văzută prin căutător. (Folosește câmpul circular blak de pe foaia de răspuns) Marchează desenul cu direcțiile de tip compas N și E. Desenează reticulul și traiectoriile stelelor pentru a ilustra mișcarea a cărei durată ai măsurat-o cu cronometrul. Marchează capătul fiecărei traiectorii cronometrate și indică asocierea fiecărei măsurători de timp cu traiectoria pentru care a fost făcută – de exemplu, pentru măsurătoarea marcată la capăt „T1” vei marca „Start T1” și „End T1” Unghiul reticului poate fi ușor ajustat prin rotirea ocularului în jurul axului optic. Dacă schimbi unghiul reticulului pentru o nouă măsurătoare, atunci desenează o nouă diagramă. Declinațiile pentru stele din câmpul vizual S1 și S2 sunt:

S1: 19+º 48′ 18″ S2: 20+º 06′ 10″ Presupune că: S2) > Sx) > S1).

Imagine directă: Imagine în oglindă: 124 125 Proba de observație – planetarium round

Instrucțiuni generale: 15. Proba conține 2 întrebări, fiecare valorând 25 puncte. Ai la dispoziție 80 de minute pentru a le rezolva, din care: (d) 20 minute pentru a citi întrebarea și a te pregăti pentru observații, (e) 40 minute pentru a face toate observațiile în planetarium (20 minute pentru fiecare întrebare), (f) 20 minute pentru calcule și finalizarea lucrării 16. Timp adițional va fi acordat numai pentru deplasarea la și de la planetarium. 17. Alături de întrebări vei primi o hartă a cerului, pentru a o folosi la ambele întrebări. Harta este elaborată pentru epoca J 2000,0 folosind o proiecție polară cu o scală liniară în declinație, și sunt trecute pe ea stele de până la 5 magnitudine. Vei primi o foaie de hârtie pentru a lucra, pentru a lua notițe, pentru calcule, o ascuțitoare și o gumă de șters. Te rugăm să iei cu tine absolut totul de pe banca din prima cameră, atunci când vei merge în domul planetariului, pentru că ulterior vei merge în altă cameră pentru a finaliza lucrarea. 18. La locul tău din dom vei găsi o lanternă și un clipboard. La plecarea din dom te rugăm să lași aceste două obiecte pentru următorul concurent. 19. Vor fi evaluate numai răspunsurile scrise în spațiile potrivite de pe foaia cu întrebări și respectiv de pe hartă. Foile suplimentare nu vor fi luate în considerare. 20. Marchează clar fiecare pagină cu codul tău de concurs.

Referitor la întrebări La Question 1: (d) Cerul este staționar, observatorul este pe suprafața Pământului. (e) Sunt vizibile pe cer: o cometă, Luna și o novă cu magnitudinea 2. (f) Începând de la al 11-lea minut, o grilă reprezentând coordonatele orizontale va fi proiectată pe cer, și va rămâne până la finalul timpului alocat întrebării La Question 2: 3. Vor fi proiectate patru zile consecutive pe suprafața lui Marte. 4. La orizont este vizibilă o bază marțiană. 5. În timpul zilei marțiene strălucirea cerului va fi ușor mărită. 6. Sateliții lui Marte și alte planete nu vor fi proiectate. 7. Va fi continuu vizibil pe cer meridianul local.

Notă: Azimutul este măsurat de la 0° la 360° începând de la S prin W, N, E. 126 Proba de observație – planetarium round

1. Pământ A) Pe harta cerului, marchează (cu o cruce) și etichetați Nova (cu litera N) și Luna (marcați-o cu simbolul pentru Lună) și desenați forma și poziția cometei. B) În tabelul de mai jos, încercuiește numai acele obiecte care se găsesc deasupra orizontului astronomic. Notă: pierzi un punct pentru ﬁecare răspuns incorect.

M20 – Triﬃd Nebula o Cet – Mira δ CMa – Wezen α Cyg – Deneb M57 – Ring Nebula β Per – Algol M44 – Praesepe δ Cep – Alrediph α Boo – Arcturus (Beehive Cluster)

C) Atunci când grila de coordinate este vizibilă, marchează pe hartă partea nor- dică a meridianului local (de la zenith la orizont) și polul nord ecliptic ( cu o cruce și scrie litera P) D) Pentru cerul care este proiectat, scrie următoarele: Latitudinea geograﬁcă a observatorului: φ = ...... , Timpul Local Sideral: θ = ...... , Perioada din an, încercuind lunile din calendar: Jan, Feb, Mar, Apr, May, Jun, Jul, Aug, Sep, Oct, Nov, Dec. E) Denumește obiectele, ale căror valori aproximative ale coordonatelor orizontale sunt: azimuth A1 = 45° și altitude h1 = 58°: ...... , azimuth A2 = 278° și altitude h2 = 20°: ...... (Dacă poți, folosește denumirea Bayer, abrevierea IAU și numere Messier sau nume latine sau englezești.) F) Scrie coordonatele orizontale (azimutul și înălțimea ) pentru: Sirius (α CMa): A3 = ...... ; h3 = ...... The Andromeda Galaxy (M31): A4 = ...... ; h4 = ...... G) Scrie coordonatele ecuatoriale ale stelei indicate pe cer cu o săgeată roșie: α = ...... ; δ = ......

2. Marte H) Scrie latitudinea observatorului, areograﬁcă (marțiană) a acestuia: φ = ......

I) Scrie înălțimile culminației superioare (hu) și respectiv inferioare (hl) pentru: Pollux (β Gem): hu = ...... ; hl = ...... , Deneb (α Cyg): hu = ...... ; hl = ...... , J) Scrie declinația areocentrică (marțiană) pentru: Regulus (α Leo) δ = ...... Toliman (α Cen) δ = ...... 127 K) Schițează diagrame care să ilustreze ceea ce ai lucrat la întrebările (I) și (J) de mai sus: L) pe harta cerului, marchează (cu o cruce) și etichetează (M) Polul Nord ceresc Marțian. M) Scrie azimutul observatorului față de baza marțiană: A = ...... N) Estimați locația bazei de pe Marte și încercuiți descrierea concretă: a. lângă Ecuator b. lângă cercul tropical nord c. lângă cercul Arctic nord d. lângă Polul Nord O) Axa timpului de mai jos ilustrează anul marțian și anotimpurile în emisfera nordică. Marchează pe axă data ilustrată de proiecția în planetarium.

Zenith Zenith

S NS N

Nadir Nadir

Spring Summer Autumn Winter t 128

Observational Exam – 1st attempt

1. Folosește spotul laserului pentru a indica stelele Antares (α-Sco), Vega(α-Lyr), Altair (α-Aql) și Peacock (α- Pav). Pointează constelația Corona Australis. (Durata 3 minute) 2. Estimează diametrul câmpului vizual al acestui telescop, utilizând un ocular 10mm Plöss și harta stelară-1, ce reprezintă regiunea roiului deschis NGC 6231. Harta stelară 1 indică două distanțe unghiulare. Folosește-le ca referință. Exprimă răspunsul tău în arc minute. (Durata: 5 minute) 3. Utilizează harta stelară-2 pentru a estima magnitudinea stelei care lipsește, indicată printr-o cruce în interiorul NGC 6231. Folosește magnitudinea altor stele ca referință.

Notă: Pentru a evita confuzia între punctele zecimale și stelele reale, punctele au fost eliminate. Astfel, magnitudinea 60 corespunde valorii magnitudinii 6,0. Dă răs- punsul folosind o singură zecimală și preciza 0,1. (Durata: 5 minute)

4. Orientează telescopul către steaua binară e-Trianguli Australis folosind harta stelară-3 ca ghid. Dacă nu poți orienta telescopul, instructorul o va face pentru tine dar vei pierde 50% din puncte. Componentele pereche au magnitudinea 4,1 și respectiv 9,3 separate de 82’’ Evaluează culoarea fiecărei stele (Durată: 2 minute orientare, 3 minute determinarea culorii) Mai strălucitoare: Alb/Albastru ( ) Galben ( ) Roșu ( ) Mai puțin strălucitoare: Alb/Albastru ( ) Galben ( ) Roșu ( ) 5. Telescoapele individuale vor fi orientate spre câteva obiecte. Identifică care anume corespund la: Roi Deschis (OC), Roiuri Globulare (GC), Nebuloase de emisie (EN) sau Nebuloase planetare (PN). Durata: 2 minute, 30’ per object Obiect 1 ( ) Obiect 3 ( ) Obiect 2 ( ): Obiect 4 ( ) 129 Chart 1 – NGC 6231 Câmp vizual 130 CHART 2 - NGC 6231 – Star magnitudes 131 CHART 3 - e Trianguli Australis location Australis Triangulum 132 Observational Exam – 2nd attempt

1. Folosește poinerul laser pentru a indica trei constelații zodiacale. (Durata 3 minute). 2. Folosește harta stelară-4 pentru a pointa n Scorpii. Dacă nu ești capabil să orientezi telescopul către stea, poți ruga un instructor să o facă dar nu vei mai primi puncte pentru această cerință

Notă: folosește obiectivul 2x Barlow + 10mm pentru a desena ceea ce vezi prin ocular. (Durata: 3 min pentru orientare, 3 minute pentru desenul cerului)

3. Orientează telescopul către steaua SAO 209318 (harta stelară-5). Observă o mică pată nebuloasă de lângă stea. Folosește 10mm sau 10mm + 2x Barlow pentru a estima distanța, în arc minute, dintre stea și pata nebuloasă (coordonatele stelei SAO 209318 sunt RA: 17h50m51s și Dec: -37°02’). Exprimă răspunsul tău folosind precizia 0.5’, știind că câmpul vizual al ocularului de 10 mm al acestui telescop este 24 arcminute sau 0,4º. Dacă nu poți orienta telescopul, instructorul o va face pentru tine dar vei pierde 50% din puncte. Durata: 2 minute orientare, 3 minute determinarea distanței. 4. Orientează telescopul către steaua binară Albireo (b-Cygni) folosind harta stelară-6 ca ghid. Dacă nu poți orienta telescopul, instructorul o va face pentru tine dar vei pierde 50% din puncte. Această pereche de componente au magnitudinea 3,2 și 4,7 separate cu 34,8”. Evaluează culoarea corectă a fiecărei stele: Durata: 2 minute orientare, 3 minute determinarea culorii Mai strălucitoare: Alb/Albastru ( ) Galben ( ) Roșu ( ) Mai puțin strălucitoare: Alb/Albastru ( ) Galben ( ) Roșu ( ) 5. Telescoapele individuale vor fi orientate către anumite obiecte. Identifică care corespunde la: Roi Deschis (OC), Roiuri Globulare (GC), Nebuloase de emisie (EN) sau Nebuloase planetare (PN). Obiect 1 ( ) Obiect 3 ( ) Obiect 2 ( ): Obiect 4 ( ) 133 Chart 4 – Scorpius 134 Chart 5 – Scorpius 135 Chart 6 – Cygnus 136 OBSERVATIONAL ROUND – 3RD NIGHT

Proba constă 3 tabele și a 4 hărți cerești complete, în coordinate ecuatoriale, ale cerului din patru anotimpuri. Pe aceste hărți anumite obiecte sunt marcate diferit: cu litere mari sunt indicate constelațiile; stelele cu numere arabe și obiecte depărtate cu litere mici. Harta indică 20 de stele, 20 de constelații și 10 obiecte îndepărtate pentru a ﬁ marcate în tabelele I, II și III. Ți se cere să completezi corect tabelele cu indicativul obiectelor cerești.

Table I - LISTA CONSTELAȚIILOR (A, B, C, D, F, G, H, I, K, L, M, N, O, P, R, S, T, V, X, Z)

( ) Andromeda ( ) Antlia ( ) Apus ( ) Aquarius ( ) Aquila ( ) Ara ( ) Aries ( ) Auriga ( ) Bootes ( ) Caelum ( ) Camelopardus ( ) Cancer ( ) Canes Venatici ( ) Canis Major ( ) Canis Minor ( ) Capricornus ( ) Carina ( ) Cassiopeia ( ) Centaurus ( ) Cepheus ( ) Cetus ( ) Chamaeleon ( ) Circinus ( ) Columba ( ) Coma Berenices ( ) Corona Australis ( ) Corona Borealis ( ) Corvus ( ) Crater ( ) Crux ( ) Cygnus ( ) Delphinus ( ) Dorado ( ) Draco ( ) Equuleus ( ) Eridano ( ) Fornax ( ) Gemini ( ) Grus ( ) Hercules ( ) Horologium ( ) Hydra ( ) Hydrus ( ) Indus ( ) Lacerta ( ) Leo ( ) Leo Minor ( ) Lepus ( ) Libra ( ) Lupus ( ) Lynx ( ) Lyra ( ) Mensa ( )Microscopium ( ) Monoceros ( ) Musca ( ) Norma ( ) Octans ( ) Ophiuchus ( ) Orion ( ) Pavo ( ) Pegasus ( ) Perseus ( ) Phoenix ( ) Pictor ( ) Pisces ( ) Piscis Austrinus ( ) Puppis ( ) Pyxis ( ) Reticulum ( ) Sagitta ( ) Sagitarius ( ) Scorpius ( ) Sculptor ( ) Scutum ( ) Serpens ( ) Sextans ( ) Taurus ( ) Telescopium ( ) Triangulum ( ) Triangulum ( ) Tucana ( ) Ursa Major ( ) Ursa Minor Australis ( ) Vela ( ) Virgo ( ) Volans ( ) Vulpecula

Table II - LISTA STELELOR (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20)

( ) Achernar ( ) Atria ( ) Fomalhaut ( ) Pollux ( ) Acrux ( ) Avior ( ) Gacrux ( ) Procion ( ) Adhara ( ) Gamma Velorum ( ) Regulus ( ) Al Na’ir ( ) Bellatrix ( ) Hadar ( ) Rigel 137

( ) Aldebaran ( ) Betelgeuse ( ) Hamal ( ) Rigil Kentaurus ( ) Alhena ( ) Canopus ( ) KausAustralis ( ) Sargas ( ) Alioth ( ) Capella ( ) Menkaliman ( ) Shaula ( ) Alkaid ( ) Castor ( ) Miaplacidus ( ) Sirius ( ) Alnilan ( ) Delta Velorum ( ) Mirfak ( ) Spica ( ) Alphard ( ) Deneb ( ) Mirzam ( ) Vega ( ) Altair ( ) Deneb Kaitos ( ) Nunki ( ) Wezen ( ) Antares ( ) Dubhe ( ) Peacock ( ) Saiph ( ) Arcturus ( ) El Nath ( ) Polaris

Table III - LISTA OBIECTELOR ÎNDEPĂRTATE a, b, c, d, e, f, g, h, m, r

( ) Andromeda Galaxy ( ) Eta Carinae Nebula ( ) Perseus Double Cluster ( ) Centaurus A ( ) Great Rift ( ) Pleiades ( ) Coal Sack ( ) Helix Nebula ( ) Praesepe Cluster ( ) Cone Nebula ( ) Hercules Globular Cluster ( ) Ring Nebula ( ) Crab Nebula ( ) Large Magellanic Cloud ( ) Sagittarius A ( ) Dumbell Nebula ( ) Omega Centauri Cluster ( ) Small Magellanic Cloud ( ) Eagle Nebula ( ) Orion Nebula ( ) Triﬁd Nebula

Chart 1 138 Chart 2 139 Chart 3 140 Chart 4 141 OBSERVATIONAL EXAM – 1ST NIGHT - SOLUTIONS

1. Telescope already pointed to that region (or not?) (5 minutes) Answer: 24,0 arc minutes (0.4°). We will tolerate up to 10% error as correct answer. Error between 10 to 20% will be considered 70% correct. 2. Exact answer is magnitude 7.9 but we will assume values between 7.7 – 8.1 as correct (0.2 magnitude tolerance). Values between 7.5 – 7.7 or 8.1 – 8.3 will be considered as 70% correct. (5 minutes) 3. (5 minutes) Brighter: White/blue ( ) Yellow (X) Red ( ) (K0III) Dimmer: White/blue ( X) Yellow ( ) Red ( ) (B9IV) If the student is not able to point to the star the evaluator will do so, but student loses half of the points. 4. Targets pointed by the evaluator will be M22, M8, M7 and M57. Student will have 30 seconds to evaluate each target. Object 1 (M22) (GC) Object 3 (M7): (OC) Object 2 (M57) (PN): Object 4 (M8)(EN) 5. Students will have 3 minutes to complete this task.

OBSERVATIONAL EXAM – 2NDNIGHT - SOLUTIONS

1. Student will have 2 minutes to accomplish this task. 2. R: (6 minutes) a) 1.5 b) 0.5 3. R: ~ 4.5’ (4’18”). 4 to 5 arc minutes will be considered 100% correct answers. 3.0 – 3.9 or 5.1 – 6.0 arc minutes will be considered 70% correct. (5 minutes) 4. (5 minutes) Brighter: White ( ) blue ( ) Yellow (X) Red ( ) (K3II) Dimmer: White ( ) blue (X) Yellow ( ) Red ( ) (B8V) 5. Targets pointed by the evaluator will be M4, M8, M6 and M57. Student will have 30 seconds to evaluate each target. (2 minutes) Object 1 (M4) (GC) Object 3 (M6): (OC ) Object 2 (M57) (PN): Object 4 (M8) (EN) 142 OBSERVATIONAL ROUND – 3RD NIGHT - SOLUTIONS

This exam consists of 3 tables and 4 all sky charts – equator view – show- ing the sky for the four seasons. On those charts some objects are marked in capi- tal letters for constellations; arabic numerals for stars and small letters for deep sky objects. There are 20 stars, 20 constellations and 10 deep sky objects to be marked on tables I, II and III.

Correct answer

Constelations: Stars: Deepskyobjects: D – Cetus 1 – Achernar a - AndromedaGalaxy L – Libra 3 – Al na’ir f - CoalSack O– Vela 19 – Aldebaran b - EtaCarinaeNelula A –Cassiopeia 14 – Alkaid c - HelixNebula H - Corona Australis 13 – Alphard d - Hercules Globular Cluster K –Draco 6 – Altair r - LargeMagellanicCloud N – Hydra 7 – Antares g - OmegaCentauri Cluster B –Pisces 15 –Arcturus m - Orion Nebula T – Canis Minor 20 –Betelgeuse h - Praesepe Cluster I - Corona Borealis 18 –Canopus e - RingNebula G – Ophiuchus 17 –Capella X – Perseus 9 –Deneb P –Ursa Major 2 –Fomalhaut F – Aquarius 4 – Hamal S –Auriga 12 – Regulus C –Capricornus 10 - RigilKentaurus Z –Columba 8 – Shaula M –Corvus 16 – Sirius R –Musca 11 –Spica V – Puppis. 5 –Vega 143

7th International Olympiad on Astronomy & Astrophysics 27 July – 5 August 2013, Volos Greece

Proba Observațională

Când vei ajunge la telescop, ți se va oferi echipamentul corespunzător, precum și indicații referitoare la folosirea acestuia. Vei primi, totodată și un formular de răs- puns. Înainte de a începe să răspunzi la întrebări completează codul de participant. ( toate telescoapele sunt aliniate. Timpul va ﬁ măsurat după ce te vei familiariza cu echipamentele)

Notă: Dacă vei deranja alinierea telescopului vei pierde 10% din numărul de puncte alocat întrebării.

Întrebarea 1 (10 min). Alege unul dintre ocularele telescopului olimpiadei și folosind un obiect ceresc strălucitor, potrivit, ce poate ﬁ ales din catalogul pe care îl ai la dispoziție, măsoară câmpul vizual al telescopului. Răspunde și descrie modul de lucru pe formularul de răspuns.

Întrebarea 2 (6 min). Fără a folosi inelele de măsurare ale telescopului (inelele pentru RA și respectiv Dec), efectuează următoarele operațiuni: (a) Poziționează în centrul câmpului vizual al telescopului steaua ceam străluci- toare (m = 3.51 mag) γ Sagitta (RA = 19h58m45.39s, Dec = +19°29′31.5″). Cere asistentului să veriﬁce observația. (b) Poziționează în centrul câmpului vizual al telescopului celebra nebuloasă Dumbell Nebula, Μ27 (RA = 19h59m36.34s, +22°43′16.09″). Cere asistentului să veriﬁce observația.

Proba Observațională

Întrebare (16 min): La ora 14:00, timp local, în ziua echinoxului de primăvară, urmează să aibă loc fenomenul rar de tranzit al lui Mercur. O echipă de astronomi greci ajung pe vârful unui munte, undeva în Grecia, dimineața devreme, pentru a alinia telescopul și apoi pentru a observa tranzitul. Este prima dată când sunt în acel loc și nu cunosc coordonatele geograﬁce locale. Din păcate cerul este înnorat, nu este vizibilă nici-o stea. Telescopul nu poate ﬁ aliniat. Cerul este acoperit până la ora 11:00. Soarele devine vizibil. Un astronom cu experiență poate să alinieze telescopul în mai puțin de 2 minute!. Pentru aceasta folosește doar nivela cu bulă. 144 Ți se dă un telescop – cel pregătit pentru 7th IOAA și o nivelă cu bulă (cum- pănă). Presupune că este echinoxul vernal și că Soarele este la elevația maximă. Aliniază telescopul. Sarcina ta este să calibrezi inelele Orar și Dec ale telescopului.

(Notă: Evident, pentru exercițiu, tubul telescopului a fost înlocuit cu un tub de hârtie și fără contragreutăți.)

Observational test

When you arrive at the telescope, you will be provided with suitable equipment and shown how to use it. You will also be given the answer form. Fill in your student code number before starting the questions.

Question 1. (penalty if student kicks the telescope) (1) Chose one of the two eyepieces of the Olympiad telescope and using a suitable, bright object measure the ﬁeld of view of the telescope. Give your answer and working on the answer form.

Answer: The attendant will provide a chronometer (his cell phone) and asks the student to get familiar with the stopwatch function. The student should select and observe any star from the „Bright Stars catalogue visible from Greece” that is provided by the attendant. The name of the star and its declination is written on the data sheet. (1 point)

(Note: If the student selects α UMi the attendant should not warn him).

The student measures and writes down the crossing time of the star that he/she has selected. (Marking scheme: ±4s: 100%, ±6s: 80%, ±8s: 60%, ±12s: 40%, ≥ 12s: 0). (5 points) The ﬁeld of view is then calculated by the student on the spot, by using the for- 360 mula: FoV t cos( dec )   t  cos( dec ) (4 points) 23hms 56 4 .1 (Example: for Capella [dec = 46°.0, cos(46.0) = 0.6947] and transit time (360 24) t = 3m31s = 3.53 min we get: FoV 3.53min 0.6947 36 .9 ) 1436.001min [Maximum allowed time 10 minutes] 145 Question 2. Without using the setting circles of the telescope, complete the following tasks: (a) bring the bright star (m = 3.51 mag) γ Sagitta (RA = 19h58m45.39s, Dec = +19°29′31.5″) to the centre of view of the telescope. Ask the attendant to verify the observation. (b) bring the famous Dumbell Nebula, Μ27 (RA = 19h59m36.34s, +22°43′16.09″) to the center of the ﬁeld of view. Ask the attendant to verify the observation.

The ﬁ eld in the vicinity of the Dumbell Nebula

Answer: (1) The student should recognize the constellation of Sagitta and point the telescope at γ Sagitta, which is the brightest star of the constellation. (3 point) (2) The students should notice that the two targets have very similar Right Ascension. Therefore given the RA and Dec of the bright star γ Sagitta (m = 3.51 mag), should be able to quickly locate M27 as the equatorial mounting is already aligned. Then should keep the RA axis locked, release the Dec knob and turn the telescope by about 3.25 degrees towards Polaris. The Dumbell Nebula will appear in the ﬁeld of view. (5 point) [Marking scheme: Points given according to time spent. Total time required: ≤4 min: 100%, ≤5 min: 80%, ≤6 min: 50%. [Maximum allowed time 6 minutes]

(Note: If the student fails to locate M27 and complains, the attendant does it 30 s and he notes this down) 146 Question 3: At 14 o’clock local time at day time of the spring equinox a rare transit of Mercury is going to take place. A team of astronomers reaches a mountain top, early in the morning, in order to align his telescope and then observe the transit. The site is new and they do not know the geographical coordinates. Unfortunately the sky is covered with clouds. No stars are visible. The telescope cannot be aligned. The sky is overcast until 11 o’clock. The Sun becomes visible. An expe- rienced astronomer manages to roughly align the telescope in less than 2 minutes! He only uses a water bubble. You are given the telescope of the 7th IOAA and a water level. Assume that it is vernal equinox and that the (simulated) Sun is at its maximum elevation. Align the telescope.

Note: Obviously for this exercise, a telescope tube is not necessary, therefore, for the sake of convenience, the telescope will be equipped with a rough paper-tube and without counter weights.

Answer: First the student levels the tripod with the help of the water bubble. Then he/ she adapts the equatorial mount on the tripod. Because it is spring equinox, the declination of the Sun is 0°. At this point the student should immediately set the Declination circle of the telescope at 0° and secures the locking knob. The declination axis is calibrated. Then he/she rotates the Hour Angle axis and, by using the water bubble, makes the tube of the telescope horizontal. Then he/she rotates again by 90° the Hour Angle axis. Obviously, if the azimuth axis had been correctly set, at this point the telescope should be pointing somewhere on the local meridian. Then, as he/she knows that the sun crosses the meridian, he turns the azimuthal axis of the telescope until he observes the Sun above or below the direction where the telescope is pointing. Now the telescope is pointing toward the local meridian. Finally he turns the latitude (altitude) axis of the telescope, up or down, until he/she aims the sun. The polar axis of the telescope is immediately aligned!

(Note: This is an indoors exercise). [Maximum allowed time 16 minutes] 147 THE TELESCOPE OF THE 7TH INTERNATIONAL OLYMPIAD ON ASTRONOMY & ASTROPHYSICS

SkyWatcher 150/750 Black Diamond EQ3-2

SPECIFICATIONS: The telescope of the 7th International Olympiad on Astronomy & Astrophysics will be a Newtonian reﬂector telescope on equatorial mount constructed by the SkyWatcher company.

SUMMARY Type: Reﬂector telescope Optical design: Newtonian Diameter: 150 mm (5.91″) (parabolic) Focal length: F 750 mm Focal Ratio: f/5 Focuser: rack and pinion type (with 1.25″ adapter)r) Mount: EQ3-2 Equatorial with 2 knobs for manualualmovementinRAandDe movement in RA and Dec and calibrated positioncircles. Tripod: Aluminum legs with adjustable height (71–123 cm) and leveling bubble Finder: achromatic 6×30 (inverted image) Eyepieces: SUPER Plossl 25mm (30×) WA, LE and SUPER Plossl 10mm (75×), Ø31.8mm Barlow: 2×, achromatic Maximum Usable Magniﬁcation: 3000 ×

Minimum Star Magnitude Size: mV = 13.6= 13.6 Theoretical Resolution: 0.8 arc sec 148 149

Probleme propuse pentru rezolvare

A. Trigonometrie și timp

1. În seara de 3 aprilie (η=3,5 min.) priveam apusul Soarelui dintr-un loc situat la cota 300. Discul solar a atins orizontul la ora 20:02:02 și a dispărut sub el la ora 20:05:10. Determinați coordonatele geograﬁce ale locului cunoscând: a=149,6 mil. km și R☼=696.000 km.

2. Alegeți-vă o constelație a cărei poziție să o puteți folosi ca ceas și stabiliți o regulă valabilă pentru zona ecuatorială și apoi pentru emisfera sudică. Pentru zona ecuatorială se pot folosi mai multe constelații, ﬁecare pentru un anotimp.

3. Cunoscând vitezele de modiﬁcare a declinației și ascensiei drepte pentru cei 2 aștri implicați în cea mai lungă eclipsă de Soare a secolului: ΔR.A.=9,958s/h și ΔDec.=–29,88”/h pentru Soare (Dec.=+20°16’03.00”) și ΔR.A.=155,021s/h și Δ Dec.=–684,39”/h pentru Lună (Dec.=+20°20’07.03”), să se determine vitezele unghiulare momentane de revoluție a Pământului în jurul Lunii și a Lunii în jurul Pământului. Se cunoaște unghiul de înclinare a orbitei lunare 5°,14. Cunoscând că vara durează 93 de zile și 15 ore, determinați momentul echinocțiului de toamnă. La ce distanță unghiulară este Luna de nod?

4. În data de 6 august (η=) Iustina observă din Fălticeni (φ=, L=) apusul Soarelui în heleșteu de pe un deal cu înălțimea de 150 m. La ce ora va vedea apusul și cât va dura trecerea discului solar sub orizont? Neavând răbdare să aștepte apusul începe să coboare pe panta vest-nord vestică a dealului cu panta de 10% cu viteza de 5m/s. Cât va dura apusul in aceasta situație?

5. Probabil ați auzit de peștera Lascaux. În seara solstițiului de vară și doar atunci ea este luminată de razele Soarelui pe toată lungimea. Determinați azimutul axei peșteri știind că aceasta face 8,6° cu orizontul locului. Latitudinea Văii Minunilor din Masivul Central francez este 45°. În această vale se aﬂă 130 peșteri dintre care 126 sunt orientate spre direcția de unde răsare sau unde apune Soarele la echinocții sau solstiții. Determinați azimuturile respective.

6. Navigatorii emisferei nordice foloseau Carul mare ca ceas stelar. Cunoscând că în 7 martie la ora 21 acesta are oiștea în jos răspundeți la următoarele între- bări fără a privi cerul și fără a folosi un program de planetariu gen Starry Night, Stelarium,... 150 a. ce poziție are Carul mare la ora 23 când începe școala? b. la ce oră e azi oiștea în sus? c. navigatorii moderni pot folosi aceste cunoștințe pentru a determina poziția vaporului. În ce loc se aﬂă nava la 20 februarie dacă ceasul indică miezul nopții timp universal, iar înălțimea lui Dubhe este 64,5° și a lui Merak 70°?

7. În 4 iulie 2009 la apusul Soarelui urc cu Denis un deal (φ=46°58’40”N, L=22°32’12”E) spre sud. Observăm că discul solar trece sub orizont între 21:23:38 și 21:27:28. Dacă viteza de deplasare este 1m/s să se calculeze panta dealului. Cât este corecția de ecuație a timpului? Se dau: a=149.597.887,5km, R☼=695.500km, e=0,016710219

8. În data de 20 iunie la ora 23:45 s-a observat din aceeași locație situația din imagine. Determinați distanța dintre Venus și 39Cnc și dintre Venus si εCnc, precum și distanța dintre cele 2 stele ale roiului. După o zi siderală distanța dintre Venus și cele 2 stele era 1°26’1” respectiv 1°25’3”. Calculați noile coordonate ecuatoriale ale planetei și viteza acesteia.

9. Să se determine înălțimea minimă și maximă la care culminează Luna la Hangzhou (φ=30°16’26”N, L=120°9’11”E). În ce zi a anului se întâmplă aceste extreme? Presupunând că atunci Luna este în fază plină determinați momentele și pozițiile de răsărit și apus. Înclinarea orbitei lunare este 5°3’. 151 10. Ești căpitan de vas și faci o expediție la 1880 în Paciﬁc. Vezi o insulă și captivat de frumusețea ei, uiți să-ți iei măsuri de precauție și astfel corabia ta rămâne blocată în reciful de corali. Ca să poți transmite SOS trebuie să cunoști coordonatele locului (soluție φ=29°7’20”S, L=167°57’2”E). Ai la tine un ceas care arata exact timpul universal, un catalog stelar, o luneta și un anuar astronomic. De asemenea dispui la bord de instrumente de măsură a lungimilor și a unghiurilor. Ziua în care ai eșuat este 20 octombrie (η=–15min6sec). Descrie modul de lucru pentru determinarea coordonatelor și efectuează calculele pentru Formalhaut (α=22h51m4s, δ=–30°15’7”). Ai observat că umbra catargului de 8 m are lungimea minima de 6,6 m. La culminația superioară a lui Formalhaut ceasul arată 9h43m41,37s UT.

11. În noaptea echinocțiului de primăvară (η=8min) am făcut maratonul Messier la Vadu Crișului (φ=46°59’20”, L=22°31’38”), astfel că m-am culcat când înce- pea crepusculul astronomic de dimineață și m-am trezit când înălțimea Soarelui era 20°. Când m-am culcat, când m-am trezit și cât timp am dormit?

12. Un pinguin urmărește răsăritul Soarelui la echinocțiu (când are diametrul aparent de 32’40”) de pe un bloc de gheata cu panta de 5% din Antarctica (φ=78°19’). Cât timp durează răsăritul? Cum poate mari pinguinul durata răsări- tului și cu cât știind ca el se poate deplasa cu viteza de 0,5m/s ?

13. Orbita planetei Jupiter are inclinarea de 1,3° si longitudinea nodului ascendent 100,5°. Determinați coordonatele orizontale, ecliptice si cele ecuatoriale acum (24/25 august) știind ca răsare la ora 21:30 în constelația Peștilor ușor sub punctul vernal într-un loc cu L=25°E și φ=45°N.

14. Un astronom amator din anul 3500 dorește să proiecteze o linie meridiană în camera sa ținând seama de următoarele condiții: grosimea peretelui 31 cm, un mic geam termopan pătrat pe latura de sud a camerei cu grosimea ramei de 5 cm și 2 bucăți de sticlă paralele cu grosimea de 1 cm și spațiu între ele tot de 1 cm. Geamul este proiectat astfel încât la amiază în ziua solstițiului de vară să intre la limită raza de lumină în camera, iar la cel de iarnă să ajungă la muchia camerei fără să urce vreodată pe perete. Ochii lui aflați la 165 cm înălțime să poată vedea perpendicular pe mijlocul geamului situat în mijlocul peretelui. Ce înălțime are geamul? Ce lățime are rama geamului? Ce lățime maximă are streașina casei pentru a nu împiedica mersul razelor de lumina? Ce dimensiune are camera? Ce distanță minimă și ce distanța maximă este între raza care intră la amiază pe geam si cea care iese din geam? La ce distanță de perete se va vedea pata luminoasă pe podea la solstițiul de vară? Ce dimensiune (aria) are pata luminoasă pe podea la amiaza zilei de echinocțiu? Cu cât timp înainte de amiaza adevărată intra prima raza de lumină în cameră la solstițiul de iarnă și la ce înălțime se ridică pe perete? Care sunt limitele momentelor de timp legal ale traversării liniei meridiane de către pata luminoasă într-un an? Locația: φ=47°25’36”N, L=26°14’35”E, η∊[–16,4min., +14,3min.], ε(t)=23,4969°–0,86°·sin(0,01532rad/julian centuries·(t+4,4 julian centuries)) unde t este în julian centuries, iar originea se ia la 1900.0. 152 15. Ε Indi (α=22h03m21.6571s, δ=−56°47′09.514″ J2000.0) aflată la 11,83 ani lumină de noi are magnitudinea aparentă 4,69 și mișcarea proprie μα= = 3,961.41mas/y și μδ=−2,538.33mas/y. Linia Hα (λ0=656,3nm) s-a observat la 656,2116nm. Determinați când va avea magnitudinea aparentă minimă și cât va fi aceasta. Corectați de precesie coordonatele sale ecuatoriale și aflați valorile actuale ale acestora.

16. Determinați faza Lunii aﬂată la 383.819 km cunoscând coordonatele sale orizontale (h=15°49’26”, A=236°46’50”) și cele ale Soarelui (h=15°49’21”, A=103°24’49”) observate în data de 20 iulie la ora 19:30:43 în locația determinată la problema 1.

17. Un astronom a observat trecerea unui astru la meridian (culminație superi- oară) la 7h35m15s timp sideral și a determinat distanta zenitala z=44°15’. Corecția pendulei in seara observației a fost –0m33,4s. Determinați coordonatele ecuatoriale ale stelei știind coordonatele geograﬁce ale locului: latitudine 46°2’N, și longitudine 1h35mE . Care este timpul sideral Greenwhich, timpul civil al locului de observație si data aprox. a observației (daca se pot determina). După cât timp unghiul orar al stelei devine 6h.

18. În momentul culminației superioare a unei stele din constelația Orion, de ascensie a=5h51m, ceasul indica ora 15h9m, timp sideral Greenwich. Știind că observația s-a făcut în 2 ian., să se determine timpul civil și longitudinea locului de observație.

19. Coordonatele stelei aUMaj. Sunt: a=10h56m19s și d=62°23’54”. La ce ora siderală distanța sa zenitala pt. un obs. aﬂat la latit. de 45°36’ va ﬁ egală cu 38°25’18”.

20. La București, (l=15,6m) în ziua de 21 sept. centrul soarelui se aﬂa exact în direcția S-V la 15h4,07m, timp legal al Europei centrale (E=7,5m). La ce ora de timp legal, respectiv timp sideral a trecut la meridian soarele, la București, în acea zi. Ce oră de timp sideral era la Greenwich în acel moment?

21. Într-un punct situat pe Ecuator se observă o stea de coordonate: a=6h48m27s, d=16°34’5”. Steaua se aﬂa la est de observator și are z= 32°12’20”. Se cere ora siderală a observației și cea a trecerii la meridian.

22. La ce ora și ce distanță de pct cardinal V apune soarele în ziua de 30 sept. la Călimănești φ=45°14’21” N, L=24°20’36”, știind δ=–2°39’36” și E=9m48s.

23. La Observatorul Astronomic din Râmnicu Vâlcea se determină coordonatele orizontale ale unei stele de ascensie dreapta 20h38m05s, aceasta având azimutul de 350 de grade și înălțimea de 50 de grade. Știind ca timpul legal în momentul observației este 2h03m52s iar timpul sideral 20h13m05s, să se determine care va ﬁ 153 timpul legal al următorului moment când steaua va avea din nou înălțimea de 50 de grade și care va ﬁ azimutul ei în acel moment.

24. Cât timp a trecut între conjuncția și opoziția unui asteroid dacă în acest interval de timp magnitudinea sa aparentă a scăzut cu 0.85 m?

25. Prin centrul câmpului unei lunete de la Observatorul din Beijing (latitudine 39054’22”N, longitudine 116023’17”E, zona de timp TU+8h) ﬁxată în planul meridianului locului, se poate observa culminația superioară a stelei Procyon (ascensia dreaptă 7h39m18s, declinația 5013’30”) de două ori în cursul unei anumite zile a anului 2007. Care este acea zi? Care este înălțimea deasupra orizontului la care este ﬁxată luneta? Se cunoaște timpul sideral la Greenwich la ora 0 timp universal în data de 1 ianuarie 2007: 6h41m05s.

26. Un astronom a observat trecerea unui astru la meridian (culminația superioara) la 7h35m15,4s timp sideral și a determinat distanța zenitală z=44°15'. Corecția pendulei determinata în seara observației a fost egală cu –0m33,4s. Care sunt coordonatele ecuatoriale ale stelei, latitudinea locului de observație ﬁind α?

27. Cunoscând perioada de revoluție sinodica a planetei Venus, 224,7 zile, deduceți perioada sa de revoluție siderală.

28. Aﬂați intervalul de timp în care Pământul parcurge un sfert din orbita sa eliptică, pornind de la periheliu.

29. Determinați ziua primei opoziții a lui Jupiter dacă știm că la 1 ianuarie 0 0 h m  99 55' și J 306 55' (coordonate heliocentrice). Timpul sideral este 21 14 . Ascensia dreapta a stelei este 14h30m. Găsiți unghiul orar.

30. Unde se găsește Sirius (α=6h41m) în 21 martie la o oră după apusul Soarelui? Dar la 23 septembrie la o oră după răsăritul Soarelui? (în zona temperată a emisferei nordice).

31. La cât timp după culminația superioară a Soarelui la 13 iunie in Kiev (φ=50°27’), se va găsi acesta la înălțimea h=35° dacă declinația sa este δ=+23°12’?

32. O stea se găsește la 15° de Polul Ceresc Nord. O vom vedea mereu deasupra orizontului la Leningrad (φ=59°57’)

33. Determinați unde se aﬂă pe suprafața Pământului punctele unde începe să se vadă Crucea Sudului, constelație care se aﬂa între –55° si –64° declinație și stabiliți apoi de pe hartă prin ce țări trece lina ce unește aceste puncte. 154 34. Care este declinația unei stele observate la Arhanghelsk (φ=64°35’) sub h=10° la culminație inferioară?

35. Distanța zenitală a marginii inferioare a Soarelui observată la culminație superioară a fost h=55°42’19”, raza unghiulara a Soarelui 10’10” iar declinația centrului Soarelui a fost δ=–14°34’56”. Determinați latitudinea locului.

36. Unghiul orar al unei stele este 20h și distanța zenitală 40°. Cât va ﬁ unghiul orar al stelei la aceeași înălțime după trecerea la meridian?

37. Să se calculeze ascensia dreapta a unei stele a cărei culminație superioară va avea loc peste 2h38m. Timpul sideral în acest moment este s=6h38m

38. La ce oră de timp solar mediu culminează Deneb (α=20h39m) în 1 octombrie (η= –11m)?

39. Calculați în ce sezon la ora 9 seara oiștea Carului Mare este îndreptată în jos, dacă se știe că această constelație este situată între 81/2h și 121/2h de ascensie dreaptă.

40. La ce dată, Sirius, cea mai strălucitoare stea va culmina la miezul nopții? (α=6h42m)?

41. Steaua δ Orionis răsare în 14 noiembrie la ora 8 seara. În ce dată va răsări la ora 5h30m seara? Care este ascensia ei dreapta dacă declinația este 0°?

42. Unde, pe suprafața Terrei și pentru ce stele, variația distanțelor zenitale în timp de 24h sunt proporționale cu variația unghiului orar?

43. Într-un punct din emisfera nordică se determină latitudinea cu o tijă ver- ticală de 2,5 m. La ora 3h40m timp sideral după culminația superioară a Soarelui umbra tijei are lungimea l=3,831 m. Care este latitudinea locului și ziua în care s-a făcut observația, dacă declinația Soarelui este δ=+15°20’?

44. Determinați înălțimea Soarelui la trecerea la meridian, în 22 decembrie, pe canalul ce leagă Marea Baltică de Marea Albă, unde înălțimea polului ceresc este 64°33’.

45. În data de 6 iunie 2009 urmăresc cu Denis și Cristi din Vadu Crișului (50 km est de Oradea) apusul Soarelui în Câmpia de Vest de pe un deal cu înălțimea de 379 m aflat la latitudinea 46°59’39” N și longitudinea 22°32’09”E. Am observat că tangenta inferioară a discului solar cu orizontul a avut loc la ora 20:21:38, iar tangenta superioară la ora 20:25:25. Să se determine diametrul unghiular al discului solar, azimutul punctului de apus și cât a durat acea zi (fără noapte). (Se va ține seama de refracție. Momentul echinocțiului de toamnă este in 22 septembrie 2009 ora 21:18 UT.) 155 46. Roiul globular M5 conține variabile RR Lyrae și cefeide. Cea mai străluci- toare dintre ele își modifică magnitudinea de la 10,6 la 12,1 cu o perioada de 26,5 zile. Determinați distanța la care se află M5 de noi. Determinați la ce distanță se află roiul de centrul galaxiei (RA 17h46m, Dec. –28°56′), aflat la 27.000 ani lumină de noi, știind coordonate lui: Right ascension 15h18m33,75s Declination +02°04′57,7″

47. Presupunând ca S Dorado este o variabilă cu eclipsa formată din 2 stele identice, determinați perioada sistemului folosind imaginea de mai jos. Determinați distanța la care se aﬂă Marele nor al lui Magellan. Calculați apoi masa galaxiei noastre al cărei satelit este acest nor. Calculați raza minimă și cea maximă a stelei și densitățile corespunzătoare.

Radial velocity (Rv) 228 km/s

Absolute magnitude (MV)–9.9 [1] Mass 45 M⊙ Temperature 9–20,000[1] K 156

48. Mișcarea Hyadelor a. Determinați mișcarea proprie medie a stelelor din roiul Hyadelor b. calculați viteza transversala a acestor stele c. când vor ajunge ele in punctul convergent?

B. Legile lui Kepler

1. Determinați în ce zile Pământul se aﬂa la distanța medie (r=a=149,6 mil. km) de Soare cunoscând că la periheliu trece în 4 iulie, iar la afeliu trece in 3 ianuarie și că excentricitatea orbitei terestre este e=0,0167. Calculați distanța la afeliu și la periheliu și aria orbitei în UA2. Cunoscând anul sideral 365,256363 zile solare medii determinați viteza areolară (in UA2/y), cea medie pe orbită și cea de la afeliu, respectiv periheliu (in km/s).

2. Sistemul Lună – Pământ își caută rezonanța. În acest proces Luna se înde- părtează de Pământ cu 3cm/an. Cunoscând datele actuale ale sistemului să se calculeze care va fi perioada acestuia când se va ajunge la rezonanță și la ce distanță vor fi atunci cele 2 corpuri. Cum se va vedea Luna atunci? Estimați acțiunea Soarelui asupra sistemului. 157 3. Un fragment de cometă se îndreaptă către zona troienilor. Să se calculeze sur- plusul minim de viteză pe care trebuie să o imprime unui asteroid aflat în marginea acestei aglomerări cu masa M și raza R pentru ca acesta să poată ieși din L4 al sistemului Soare-Jupiter. Ce traiectorie va avea apoi asteroidul? (calcul algebric).

22 4. Peste 3,5 miliarde de ani Triton (Trev=T rot=−5.877zile, M=2,14×10 kg, R=1353km) va ﬁ sfărmat de Neptun (Trot=16h6min36s, R=24.500km, M=1026kg). Să se determine cu cât se apropie satelitul de planetă la ﬁecare revolu- ție. Ce perioadă de rotație va avea planeta în momentul în care va începe dezinte- grarea lui Triton?

5. Când Soarele avea vârsta de 1 milion de ani se învârtea mai repede (T=2 zile) și era de 3 ori mai mare. Să se calculeze momentul cinetic transferat de atunci planetelor prin migrația acestora. Cunoscând poziția de atunci a planetelor (J: 5,5UA, S: 8UA, N: 13UA, U: 15UA) și de acum (J: 5,2UA, S: 9,6UA, N: 30UA, U: 19UA) și masele acestora (1,9*1027kg, 0,57*1027kg, 1026kg, 0,87*1026kg) să se 30 6 calculeze cât a luat/dat ﬁecare. Se dau M☼=2*10 kg, R☼=0,7*10 km. Calculați rezonanțele de atunci și de acum.

C. Sisteme binare

1. Folosind metoda graﬁcă determinați elementele orbitei reale pentru sistemul a cărui orbită aparentă este în imagine.

4. Pentru această planetă, cu orbita conținând raza vizuală, se dă curba de viteză și cea de lumină 158

Determinați semiaxa mare și masa sistemului, apoi raza stelei și cea a planetei. De câte ori este mai mica temperatura planetei față de cea a stelei? Cu ce axa e paralelă raza vizuală? Mai jos aveți curba de viteză a stelei. Calculați masa stelei și a planetei si stabiliți poziția centrului de masă. Determinați densitățile medii ale planetei și stelei și momentele lor cinetice orbitale și energia totală a sistemului. Cu ce viteză și în ce sens se mișcă sistemul față de noi?

5. Determinați perioada de revoluție pentru planeta cu curba de viteză a stelei sale în imaginea alăturată. Ce distanță este între centrul de masă al sistemului și centrul stelei? Care este perioada de rotație a stelei în jurul axei sale? Calculați raza stelei.

6. Sistemul Gliese 372 aflat la 25 pc are perioada de 47,7 zile. Mai jos este dată curba vitezelor radiale. Determinați semiaxa mare, excentricitatea și masa fiecărei componente. Desenați cele 2 orbite evidențiind pozi- ția centrului de greutate. Ce viteză radială are sistemul? Cele 2 stele sunt de clasă M2V (T=3500K) și au magnitudinile absolute 10,8 și 9,8. Ce raze au cele 2 stele? Desenați curba de lumină evidențiind fiecare tranzit ca poziție și formă. Ce magnitudine aparentă are sistemul? 159 7. O civilizație extraterestră aflată pe planeta Gliese 581c situată la 20 ani lumină măsoară magnitudinea Soarelui și obține 3,72. Din spectrul Soarelui deter- mină temperatura acestuia și clasa spectrală G5V. Se cunoaște magnitudinea absolută și luminozitatea lui Gliese 581 (o cauți pe net). Cât este masa, raza, temperatura, luminozitatea și magnitudinea absolută a Soarelui pe care au determinat-o extratereștri? Mai jos aveți imaginea curbei de viteza radială determinată de ei, care se află în planul orbitei lui Jupiter. Determinați masa, perioada siderală și semiaxa mare a orbitelor planetelor Jupiter ți Saturn. Calculați temperatura de echilibru a celor 2 planete. Indicație: folosiți diagrama HR pe care o luați de pe net.

8. Sistemul γ Centauri (α=12h41m31s, δ=−48°57′35″) format din 2 stele de clasă A0 (T=9300K) și magnitudine aparentă 2,9 fiecare aflat la 130,4 ani lumină de noi are orbita aparentă în figură (semiaxa mică se confundă cu linia nodurilor). Să se determine semiaxa mică, excentricitatea și semiaxa mare a orbitei reale. Ce înclinare are orbita? Calculați masa fiecărei stele. Desenați curba vitezei radiale considerând observatorul pe direcția semiaxei mari, dar cu înclinarea calculată. Calculați raza fiecărei stele și desenați curba de lumină pe care ar vedea-o observatorul dacă ar fi exact pe direcția axei mari. Elementele mișcării proprii a sistemului sunt: vr=–6km/s, μα=–0,18728”/an, μδ=–0,0012”/an. Când va fi sistemul la cea mai mică distanță de noi, cât va fi aceasta și ce magnitudine aparentă și ce înclinare va avea atunci sistemul? Puteți estima coordonatele de atunci ale sistemului? 160

9. Pentru sistemul care are curba vitezei radiale a stelei vizibile mai jos să se determine excentricitatea, semiaxa mare și masa. Desenați orbita. 161 10. Să se determine limitele zonei de habitabilitate a sistemului solar și temperaturile pe Venus, Pământ și Marte. Comparați efectele de seră ale acestor planete. 10 Se dau: RR=0,7 mil. km, TR=5778K, 1UA=15*10 m, aV=0,72UA, aM=1,56UA. Temperaturile medii măsurate pe aceste planete sunt 475°C, 15°C, –50°C. Ce efect de sera datorat CO2 era pe Marte când acolo curgea apa? Albedourile sunt 0,77; 0,376; 0,15.

11. Mai jos se dă linia Hα din spectrul componentelor unui sistem binar. Determinați perioada, semiaxa mare ți masele celor 2 stele.

12. S-a observat că poziția unei stele de clasă G1V (T=6500K) cu m=5 situ- ată la 34 ani lumina oscilează între 2 poziții extreme separate cu 0,2″ observate la un interval de 5 ani. Să se determine masa planetei, perioada și semiaxa mare a orbitei acesteia. Se cunosc: magnitudinea absoluta a Soarelui 4,73 și luminozitatea 3,84*1026W.

13. Mai jos este curba de lumină a unei stele cu temperatura de 6000K și masa de 1,13 mase solare prin fața căreia tranzitează o planetă jupiteriană o data la 3 zile și jumătate. Sistemul se aﬂă la 150 ani lumină. Determinați razele celor 2 corpuri și calculați magnitudinea aparentă. 162 14. În câmpul unui ocular de 25 mm al unui telescop cu distanța focală de un metru jumătate, s-a observat între cele 2 componente de aceiași clasă spectrală ale sistemului binar eta Cassiopeea o distanță de 1,5mm. Cunoscând că paralaxa sistemului este 19,6 ly și că raportul luminozităților celor 2 componente este 8, să se calculeze masa ﬁecărei stele dacă în urma unor observații de lungă durată s-a stabilit că perioada sistemului este de 480 ani. Care este raportul razelor celor 2 stele.

15. În câmpul unui ocular de 25 cm al unui telescop cu distanța focală de un metru jumătate, s-a observat între cele 2 componente de aceiași clasa spectrală ale sistemului binar eta Cassiopeea o distanță de 1,5mm. Cunoscând că paralaxa sistemului este și ca raportul luminozităților celor 2 componente este 8, să se calculeze masa ﬁecărei stele dacă în urma unor observații de lungă durată s-a stabilit că perioada sistemului este de . Care este raportul razelor celor 2 stele.

16. Mai jos sunt câteva curbe de lumină pentru planete. Determinați raza stelei și a planetei în unități de semiaxă mare a orbitei și calculați înclinările orbitelor. Calculați duratele tranzitului în ﬁecare parte.

17. Determinați vitezele și excentricitatea orbitelor celor 2 componente ale sistemului binar și viteza radială a acestuia față de noi 163 18. Determinați raza stelei și cea a planetei și înclinarea orbitei în funcție de elementele orbitei (a și T)

19. Pentru orbita din imagine determinați semiaxa mare, excentricitatea și încli- narea. Unde este linia nodurilor?

20. Din curba de viteză de mai jos determinați excentricitatea orbitei sistemului și semiaxa mare a orbitei componentei în jurul centrului de masa al sistemului. Cu ce axă este paralelă raza vizuală? 164 21. Din curba de viteză de mai jos determinați excentricitatea orbitei sistemului și semiaxa mare a orbitei componentei în jurul centrului de masă al sistemului. Cu ce axă este paralelă raza vizuală? Perioada este de 5,4 zile.

22. Determinați masele componentelor sistemului, semiaxele orbitelor în jurul centrului de masă și excentricitatea acestora cunoscând că perioada este de 4,892552 zile. Cu ce axă este paralelă raza vizuală? La cât se apropie cel mai mult și la cât se îndepărtează cel mai mult componentele?

23. Sistemul Mizar cu curba vitezei radiale în imaginea de mai jos se știe perioada 20 zile 12 ore 55 minute și 13 secunde. Determinați masele componentelor sistemului, semiaxele orbitelor în jurul centrului de masa și excentricitatea acestora. La cât se apropie cel mai mult și la cât se îndepărtează cel mai mult componentele? Cu ce axă este paralelă raza vizuală?

24. Determinați durata totală a tranzitului, cea de intrare/ieșire și cât timp trece toată planeta prin fața stelei. De câte ori este mai mare steaua decât planeta? 165

25. Planeta XO–2 a fost descoperită pe baza celor 2 imagini de mai jos. Determinați semiaxa mare a orbitei înclinarea acesteia fața de raza vizuală și excentricitatea. Calculați masa sistemului. Determinați raza stelei și cea a planetei. 166 26. Pentru sistemul V541 Cyg cu perioada de 15,34 zile situat la 863 pc se dă curba de viteză și curba de lumină. Determinați masele componentelor, excentricitatea orbitelor și semiaxele lor mari în sistemul centrului de masa. Cu ce axă e para- lelă raza vizuală? Determinați razele celor 2 stele cu temperaturi identice. Cât este aceasta temperatură? 167 27. Pentru sistemul MU Cas cu perioada de 22 ani situat la 25 ani lumină de noi s-au putut desena orbitele. Determinați excentricitatea, semiaxa mare și masele componentelor. Care este distanța maximă și cea minimă dintre ele?

28. Pentru sistemul V459 Cas cu perioada 8,45825381 zile situat la 631 pc se dă curba vitezelor radiale și cea de lumină și se cere să se determine semiaxa mare a sistemului precum și masele, magnitudinile aparente și absolute, temperaturile și razele componentelor. 168

29. Pentru sistemul RT CrB cu perioada 5,1 zile situat la 408 pc se dă curba vitezelor radiale și cea de lumină și se cere să se determine semiaxa mare a sistemului precum și masele, magnitudinile aparente și absolute, temperaturile și razele componentelor. 169

30. Două stele neutronice identice (R=10 km, M=1,44 mase solare) aflate la distanța de 20 raze formează un sistem binar aflat la rezonanță. Calculați perioada lor comună de rotație și revoluție, energia totala a sistemului si momentul cinetic total. Sub influența gravitației mutuale ele se apropie până la fuziune. Ce perioadă vor avea când se vor atinge? Ce energie se eliberează în urma procesului? (energia de rotație în jurul axei proprii se scrie cu formula Iω2/2, unde I este momentul de inerție egal cu 2MR2/5 pentru o sferă) Se conservă momentul cinetic sau există și o eliminare de moment cinetic? Dacă nu se conservă calculați cât se pierde în urma procesului.

31. Determinați masele celor 2 componente ale sistemului: 170 32. Să se stabilească dacă pe planeta Gl581c din sistemul situat la 6,26pc sunt condiții ca viața să se dezvolte. Se dă curba de lumină a tranzitului (unde L0=0,013L☼), cea a vitezei radiale a stelei și viteza radială a planetei dedusă din deplasarea spectrului liniilor oxigenului prezent în atmosfera sa: 6,8 km/s. (Pe o planetă se poate dezvolta viața dacă are suprafața solidă, oxigen și apă în stare lichidă). Să se determine semiaxa mare a sistemului, perioada acestuia, masele planetei și a stelei și razele acestora. Temperatura Soarelui este de 5770 K, iar raza acestuia de 0,696*106km.

33. Presupunând ca sistemul gama Coronae Borealis are planul orbitei perpendicular pe raza vizuală se dă imaginea orbitei relative a acestuia. Luând datele necesare din imaginea aceasta unde sunt date magnitudinile absolute determinați perioada sistemului, semiaxele orbitei (și desenați) și excentricitatea. Apoi din acestea calculați masa sistemului, viteza areolara și vitezele la apoastru și periastru, precum și viteza medie. Cu aceste date trasați o curbă de viteză, determinând mai întâi momentul când viteza are valoarea medie pentru un observator cu raza vizuală paralelă cu axa mică. Determinați magnitudinile aparente și magnitudinea sistemului, iar apoi știind ca steaua principala are TA=11.000K, iar steaua satelit are TB=8800K, determinați razele celor 2 stele și desenați o curbă de lumină a sistemului pentru același observator ipotetic. 171

34. Sistemul 34. Zeta Herculis are paralaxa de 0,09264”. Desenați orbita sistemului considerând coordonata x ascensia dreapta a satelitului relativă la cea a stelei centrale, iar coordonata y declinația relativă a stelei satelit, plasând corpul central în originea sistemului de axe. Determinați semiaxa mare și cea mică a orbitei aparente apoi calculați unghiul de înclinație. Folosind valoarea acestuia determinați semiaxele orbitei reale și apoi calculați excentricitatea. Obțineți perioada sistemului și calculați masa sistemului. În plus determinați viteza areolară a satelitului în jurul corpului central și apoi valorile vitezelor acestuia la periastru și apoastru. Calculați și viteza medie pe orbită. Desenați apoi curba de lumină ca și cum observatorul ar avea raza vizu- ală în planul orbitei. Folosind magnitudinile aparente de mai jos calculați magnitudinile absolute. Din luminozități și temperaturile determinați razele celor 2 componente. Calculați magnitudinea aparentă a sistemului. Cunoscând acum razele și magnitudinile ridicați o curbă de lumină perfectă (neafectată de zgomot parazit ca toate curbele reale) ca și cum observatorul ar avea raza vizuală în planul orbitei paralel cu axa mică. (Trebuie să determinați mai întâi momentul cores- punzător poziției când satelitul are viteza medie). Știind că pentru stele din secvența principală este valabilă relația TR  const. determinați masele stelelor. M 172 D. Practică

1. Luna începe să-l oculteze pe Venus. Determinați diametrele unghiulare ale celor 2 corpuri. Daca ocultarea se termină la ora 19:02:18 stabiliți lungimea trase- ului planetei în unități de unghi și în km (cât corespunde atât pe suprafața Lunii cât și pe orbita lui Venus).

2. Mai jos este surprins tranzitul lui Io prin fața lui Jupiter. Folosind și datele din partea stânga determinați masa și diametrul unghiular al planetei. Ce distanță unghiulara este intre satelit și umbra sa pe planetă? Încercați să determinați pozi- ția Soarelui și Pământului (unghiuri) față de corpurile din imagine. Cât durează tranzitul? 173 3. Mai jos sunt 3 imagini ale pupilei de intrare având ca obiecte de studiu sisteme binare observate cu un telescop de 5 inch. Determinați distanța unghiulară dintre componente dacă se știe că raportul aperturii este f/8.

4. Calculați timpul de viață al electronului pe primele 2 nivele excitate ale ato- mului de hidrogen pornind de la imaginea de mai jos. Se dau h=6,62*10–34Js și c=3*108m/s. Se consideră că lărgimea liniilor nu e afectată de efectele Doppler, Zeeman și Stark.

5. Determinați diametrul unghiular al planetei Venus folosind imaginea de mai jos unde Soarele are diametrul unghiular de 32’ 174 6. Veriﬁcați corectitudinea rezultatelor problemei 2 folosind imaginea de mai jos și determinați distanțele unghiulare dintre Luna, Venus și centrul roiului. Folosind ambele imagini determinați viteza Lunii. Determinați fazele celor 2 corpuri și elon- gația și longitudinea heliocentrică a planetei. 175 7. Luna începe ocultarea roiului M35. Estimați diametrul unghiular al roiului și momentul când se termină ocultarea roiului considerat circular în secțiune.

8.Determinați distanța dintre cele 2 galaxii aﬂate în interacțiune și dimensiunile acestora 176 9. Determinați distanța dintre cele 2 galaxii

10. La ce distanțe se aﬂă între ele cele mai importante stele ale roiului? 177 11. Estimați razele și grosimile inelelor: 1 roșu și 2 albastre

12. Determinați razele orbitelor sateliților lui Jupiter și perioadele orbitale ale acestora cunoscând raza ecuatorială a planetei: 71492km. Calculați masa planetei și exprimați eroarea făcută. 178 13. Determinați poziția centrului de masă al sistemului și raportul maselor celor 2 componente. Ce excentricități au cele 2 orbite?

35. Calculați perioadele celorlalte 3 planete si excentricitățile orbitelor. Determinați direcția către punctul vernal și calculați longitudinile ecliptice heliocentrice și geocentrice ale planetelor. În ce constelație se aﬂă ﬁecare planetă și Soarele? 179 36. Determinați excentricitatea orbitei lui Nereid și perioada acestuia cunoscând că cea lui Triton este

37. Determinați perioadele celor 4 cefeide din M33 și apoi determinați distanța pâna la această galaxie. Realizați și calculul erorilor. 180

38. În imaginea de mai jos este reprezentată planeta Saturn și o parte din sate- liții acesteia. Știind că planeta Saturn la momentul observației se află la distanța de 8,51 U.A. de un observator iar densitatea planetei este r= 0,7 kg/m3. Să se afle: a) Distanța exprimată în kilometri la care începe zona Cassini față de centrul planetei. b) Masa planetei Saturn și perioadele de revoluție a sateliților Encelandus și Rhea; c) Vitezele pe orbita a celor doi sateliți; d) Intervalul de timp după care satelitul Rhea iese din conul de umbră a lui Saturn (considerând conul de umbră fix); e) Perioada sinodică a sateliților. 181 39. Suntem într-o navă cosmică și ne apropiem de Sistemul Solar. Când am ajuns la distanța de 106,8 U.A. planetele pitice Sedna și Eris se văd așa cum sunt reprezentate în figura de mai jos. Să se afle: a) Perioadele de revoluție în jurul Soarelui a celor două planete pitice. b) Caracteristicele orbitelor (semiaxa mare, semiaxa mică și excentricitatea c) Viteza la periheliu a lui Sedna și viteza la afeliu a lui Eris d) Perioada sinodică a celor două planete pitice. e) Intervalul de timp cât Sedna se deplasează între punctele de intersecție ale orbitelor pe drumul cel mai scurt.

40. În 26 septembrie 2010 (η=8m24s) mergeam cu Sebi spre Călimănești (φ=45°14′21″N, L=4°20′36″E) și am fost plăcut surprinși de apariția unui curcubeu. Ajunși la destinație el a făcut la ora 19 o poză a curcubeului. Mai jos aveți o astfel de fotografie și cunoscând indicele de refracție al luminii verzi n=4/3 determinați: a) unde e centrul curcubeului pe poză; b) La ce înălțime e Soarele deasupra orizontului; c) În ce direcție (A) se vede curcubeul; d) Sub ce unghi față de orizont se vede fiecare culoare; e) Ce lărgime unghiu- lară are curcubeul; f) Unghiul de refracție pentru fiecare culoare; g) indicele de refracție al celorlalte culori; h) unghiul de inci- dență al luminii în picătu- rile de apă. 182 E. Planete

1. În 23 mai 2007 la ora 18:30:20 începe ocultarea lui Regulus de către Lună cu diametrul unghiular de 31’ și se termină la 19:08:53. Trasați coarda pe care se „deplasează” Regulus prin spatele Lunii și determinați lungimea ei și distanța la care se aﬂă de centrul Lunii.

2. Să se determine semiaxele mari ale asteroizilor grupați la rezonanțele 3:1, 2:1, 3:2 cu Jupiter aﬂat la 5,2 UA.

3. În dimineața zilei de 18 iulie a avut loc o ocultare unor stele din Pleiade de către Lună. Merope intră în spatele Lunii la ora 4:06 timp legal român și iese la 5:02:30. Calculați diametrul unghiular al Lunii ținând seama că traseul stelei prin spatele Lunii este diametral.

4. a) Acum este sezonul eclipselor și ocultărilor sateliților lui Saturn (a=1.433.449.370 km, T=29,657296 ani, R=57.000 km) care în 11 august va ﬁ în momentul echinocțiului de primăvară. Thetys (a=295.000 km) începe tranzitul la ora14:30 și îl termină la ora 16:10. Determinați perioada satelitului și masa planetei. Ce diametru unghiular are planeta? Calculați masa Soarelui. b) Cu cât scade magnitudinea planetei la opoziție acum față de acum 7 ani și 5 luni? (inelele mai luminoase se întind de la 67.000 km la 137.000 km, grosimea inelelor este 60 km, iar axa planetei este înclinată cu 27°)

5. Planeta Marte prezintă o particularitate interesantă: emisfera nordică este o vastă câmpie pe când cea sudică un înalt platou. Pentru a explica s-a emis ipoteza că planeta a fost lovită acum 4 miliarde de ani de un corp cu mărimea lui Pluto venind cu 32.000 km/h sub un unghi de 45°. Presupunând că cele 2 corpuri inițiale aveau aceeași densitate calculați viteza pe care a câștigat-o noul corp format după ciocnire. Care a fost câștigul de energie cinetică și ce consecințe a avut (Discuție după înclinarea axei și orientarea planetei față de corpul „agresor”)? Ce cantitate de căldură s-a degajat în urma ciocnirii și cu cât a crescut temperatura? Datorită ciocnirii orbita planetei s-a modiﬁcat. Care era orbita inițială a planetei Marte? Se dă căldura speciﬁcă a rocilor c=845J/kg · K.

6. Luna s-a format în urma ciocnirii Pământului cu un corp de dimensiunea lui Marte sub un unghi de 45° la viteza de evadare a fiecăreia. Se știe că Luna are densitatea scoarței și mantalei, mai mică decât a Pământului. Presupunând că cele 2 corpuri inițiale aveau aceeași structură, determinați masele lor și dimensiunea pe care o avea Pământul înainte de ciocnire. Ce cantitate de căldură s-a degajat în urma ciocnirii și cu cât a crescut temperatura? Se dă căldura specifică a rocilor c=845J/kg · K. 183 7. La formare (în urmă cu 4,5 miliarde ani) Luna era mai aproape de 15 ori ca acum. Care era diametrul ei aparent. Acum 4 miliarde de ani era la 138.400 km și ziua pe Pământ dura 6 ore, iar mareele erau de 2 ori mai mari. Care era perioada orbitală a Lunii și cât de mare se vedea? Acum Luna se îndepărtează cu 3,8 cm/ an. Peste 500 milioane de ani nu vor mai fi eclipse totale. Presupunând că excentricitatea ei se păstrează calculați la ce distanță va fi atunci și cât va dura ziua pe Pământ. Din toate aceste date rezultă că viteza de îndepărtare nu e constantă. Care era viteza de îndepărtare la început? Puteți stabili o relație pentru evoluția vitezei de îndepărtare a satelitului?

8. Când Luna nouă se aﬂă la perigeu (355.600 km) deasupra unei falii tectonice, iar Pământul e la periheliu se produc mari cutremure pentru că atunci stressul asupra plăcilor tectonice este maxim. Comparați accelerația gravitațională suplimentară exercitată de aceste 2 corpuri cerești asupra plăcilor tectonice cu situația când Luna plină se aﬂă la apogeu (407.000 km), iar Pământul la afeliu. Un exemplu: tsunami provocat de cutremurul din 26 decembrie 2004. Calculați data exactă a cutremuru- lui produs în octombrie 2005 în Pakistan după o eclipsă de Soare.

9. Acum mai multe milioane de ani în Sahara a căzut un meteorit cu viteza de 80.000 km/h care a topit 1400 tone de silicați (c=840J/kgK) la 2200°C transfor- mându-le în sticlă. Considerând că toată energia cinetică s-a transformat în căldură calculați masa meteoritului. Considerând că ciocnirea a avut loc la 45° ca majoritatea coliziunilor cosmice calculați câștigul de moment cinetic și modiﬁcarea în perioada de rotație.

10. Un meteorit de 8 km diametru și masă de 108 tone vine cu 10 km/s sub un unghi de 35° producând un crater eliptic cu aria de 2.a150 km2 cu formă conică cu adâncimea de 180 m. Calculați energia degajată și creșterea de temperatură. Determinați excentricitatea elipsei și volumul craterului. Ce densitate avea asteroidul? Densitatea scoarței terestre este 2200 kg/m3. Se dă căldura speciﬁcă a rocilor c=845J/kg·K.

11. Când sistemul solar avea vârsta de 700 milioane ani Jupiter se aﬂa la 5,7 UA și era în rezonanță 2:1 cu Saturn. Pe orbita lui se aﬂă „Grecii” și „Troienii” situați în punctele L4 și L5. Ce interval de timp minim se scurgea atunci între 2 opoziții ale lui Saturn văzute de pe acești asteroizi?

12. Știm ca Luna se îndepărtează cu o rată de 3,8cm/an și că pe Pământ cad anual 78.000 tone de praf cosmic cu densitatea de 2,7g/cm3. De asemenea Soarele consumă prin reacțiile nucleare o parte din masa sa. Să se calculeze durata zilei și câte zile avea anul la începutul Paleozoicului (acum 530 milioane ani). Se dau: 26 30 24 L☼=3,846·10 W, M ☼=1,9891·10 kg, M±=5,9735·10 kg, R±=6371km, 22 a±=149.598.261km, Mƒ=7,3477·10 kg, Rƒ=1737,1km, Tƒ=27,321582 zile, h m s T±=23 56 4 și 365,256363 zile (valori actuale). Ce rază și ce masă avea 184 Pământul atunci? Calculați și masa și raza Lunii presupunând ca atrage o cantitate de praf cosmic proporțională cu masa sa. La ce distanță era atunci Pământul de Soare și de Lună?

13. Pornind de la următoarele informații: „Venus (cea mai strălucitoare), Marte și Saturn. Cele trei planete își vor schimba conformația rapid pentru că două se mișcă rapid. Venus va veni dinspre vest, va trece la 3° sud de Saturn pe 7 august și la 2° sud de Marte pe 17 august. Și Marte se îndepărtează de Saturn. Se va afla la 2° sud-est de acesta pe 1 august și la 16° est la sfârșitul lunii. Cele trei planete sunt la depărtări diferite de Terra, după cum urmează: • pe 1 august: Venus la 125 milioane km, Marte la 298 milioane km și Saturn la 1515 milioane km; • pe 31 august: Venus la 90 milioane km, Marte la 321 milioane km și Saturn la 1562 milioane km; Astfel Venus este planeta care se apropie de Terra iar diametrul aparent al planetei va crește. Marte se va micșora (de la mic la foarte mic), iar Saturn se va vedea la aceleași dimensiuni. Strălucirea aparentă a lui Venus va crește (de la magnitudinea –4,2 la –4,4), iar a lui Marte și a lui Saturn va stagna. Venus se va mai apropia de un obiect, steaua Spica, pe 31 august. În data de 20 august, planeta se va afla la elongație maximă estică de Soare (cea mai mare depărtare unghiulară de acesta), 46°. Asta înseamnă că va apune după trei ore de la apusul Soarelui. Planeta Jupiter răsare cu puțin înainte de ora 23 la începutul lunii. Dar, pentru că va răsări în fiecare zi cu 4 minute mai devreme, planeta se va putea vedea, la sfârșitul lui august, la ora 21. Dacă observați înspre est sau sud est un astru găl- bui, foarte strălucitor, a cărui lumină nu pâlpâie (scintilează), priviți planeta Jupiter. Cu ochiul liber apare doar ca o stea luminoasă.” Determinați mersul planetelor pe bolta cerească în sistem de coordonate ecliptic heliocentric în cursul acestei luni (august 2010).

14. Mai jos este trasat mersul aparent al planetei Venus în acest an. Imaginea e surprinsă în diferite zile la aceeași oră în momentul apusului Soarelui la solstițiul de vară. Determinați coordonatele planetei atunci în ambele sisteme prezente în imagine. Ce elongație are planeta atunci? Când are elongația maximă? Traseul începe în 27 martie și se încheie în 30 august. 185

15. Pe Messenger circulă prostia că la o anumită dată Marte se va vedea cât Luna. Dacă ați reușit să rezolvați problema 3 din setul precedent decideți dacă o asemenea situație ar putea ﬁ posibilă când sistemul Lună-Pământ va ﬁ atins rezo- nanța. Dacă nu, estimați diferența de magnitudine dintre cele 2 corpuri presupu- nând că cele 2 planete nu-și vor schimba pozițiile față de Soare.

16. Descrieți modul de determinare a unității astronomice folosind tranzitul planetei Venus prin fața discului solar și bazându-vă pe imaginea de mai jos. Aplicație ; cele 2 localități se aﬂă pe același meridian dar în emisfere diferite (ex. Stockholm la 59°N si Cape Town 34°S). Ce distantă unghiulară este între cele 2 trasee ale planetei peste discul solar? Se cunoaște diametrul unghiular al Soarelui 32’, raza Pământului 6370km și poziția planetei la 0,7 UA. 186

17. 2 stele neutronice identice (R=10 km, M=1,4 mase solare) aflate la dis- tanța de 20 raze formează un sistem binar aflat la rezonanță. Calculați perioada lor comună de rotație și revoluție. Sub influența gravitației mutuale ele se apropie până la fuziune. Ce perioadă vor avea când se vor atinge? Ce energie se eliberează în urma procesului? (energia de rotație în jurul axei proprii se scrie cu formula Iω2/2, unde I este momentul de inerție egal cu 2MR2/5 pentru o sferă) Se conservă momentul cinetic sau există și o eliminare de moment cinetic? Dacă nu se conservă calculați cât se pierde în urma procesului.

18. În câmpul unui ocular de 25 cm al unui telescop cu distanta focala de un metru jumătate, s-a observat intre cele 2 componente de aceiași clasa spectrala ale sistemului binar eta Cassiopeea o distanta de 1,5mm. Cunoscând ca paralaxa sistemului este și ca raportul luminozităților celor 2 componente este 8, sa se calculeze masa ﬁecărei stele dacă in urma unor observații de lungă durata s-a stabilit ca perioada sistemului este de . Care este raportul razelor celor 2 stele.

19. Sistemul W Cephei aﬂat la 2400 ani lumina de noi conține cea mai mare stea, o giganta roșie de magnitudine 4,9 si 1600 raze solare. Ce magnitudine absoluta, luminozitate si temperatura are steaua? Companionul este o stea de clasa B0 de 10 ori mai mare ca Soarele si de 100.000 mai luminoasa se apropie la 17 UA de steaua centrala si se îndepărtează la 34 UA după 3715 zile. Determinați semiaxa mare, perioada și masa sistemului. Din relația între masă și luminozitate determinați masa companionului și apoi a stelei centrale. Ce temperatură are companionul? Cât durează transferul de masă de la gigantă la companion într-o peri- oadă? Eclipsarea durează 1300 zile. Ce înclinare are orbita sistemului? Cât va ﬁ semiaxa mare și perioada sistemului când acest transfer se va întrerupe pentru totdeauna presupunând că excentricitatea va rămâne aceeași? 187 20. Calculați și comparați magnitudinile lui Jupiter (0,343 a=778.547.200 km= =5,204267 AU și R=69.134,11725 km) la opoziție și Venus (0,75 a=108.208.930 km=0,723 332 AU și R=6.051,8 km) la elongație maximă cunoscând albedourile celor 2 planete, razele lor și semiaxele mari ale orbitelor. Pentru raportare se vor folosi datele Lunii pline: m=–12,74, albedo 0,12, raza 1.737,10 km și semiaxa mare 384,399 km=0,00257 AU. Juniori.

21. Se dă tabelul cu datele sateliților galileeni și a planetei. Să se stabilească dacă sunt posibile eclipse totale de Soare pe Jupiter, iar dacă da, de către cine, la ce interval se produc și cât durează eclipsa și faza de totalitate. (Se consideră că orbitele tuturor corpurilor implicate sunt în același plan). Se știe că perioada de rotație siderală a lui Jupiter este 9,925 ore iar diametrul Soarelui este 1,392*106 km.

Planeta Semiaxa mare Perioada siderală Diametrul Jupiter 778.547.200 km 4.331,572 zile 14*105 km Io 421.700 km 1,77 zile 3643 km Europa 671.034 km 3,55 zile 3122 km Ganymede 1.070.412 km 7,15 zile 5262 km Callisto 1.882.709 km 16,69 zile 4821 km

F. Fotometrie

1. Avem o conjuncție multiplă în care Marte, Saturn, Venus și Jupiter sunt așe- zate intr-un patrulater neregulat. Cunoscând magnitudinile (V:–7,1m, M:–2,9m, S:–0,24m, J:–2,94m) și diametrele unghiulare ale acestora (V:24”, M:25”, S:20”, J:50”) să se determine distanțele dintre ele astfel încât un ochi cu rezoluția de 1’ să nu distingă la limită planetele. Ce magnitudine are corpul văzut de ochi? Desenați pozițiile relative ale acestora și construiți patrulaterul.

2. Calculați magnitudinea sistemului multiplu Castor aﬂat la 51,6 ly cunoscând luminozitățile subsistemelor A (LA=34L☼) și B (LB=14 L☼) și ca cea a subsiste- mului C este 5% din cea a Soarelui care are magnitudinea absoluta 4,78.

3. Odată ca niciodată, Marte a fost la mare opoziție în timp ce se aﬂa în conste- lația Racului care este străbătută de ecliptică pe o distanță unghiulară de 19 grade. S-a măsurat atunci diametrul său unghiular (25”) și paralaxa (40”). Magnitudinea aparentă a planetei ﬁind –2,9.Calculați albedoul planetei știind că cel al lunii pline, care are magnitudinea de –12,7, este 0,12. Câte zile a fost Marte în Rac? Știind că opozițiile se repetă după 2 ani și 50 de zile, calculați elementele orbitei planetei Marte cunoscând excentricitatea orbitei Pământului (0,02). Se cunosc raza Pământului=6370km, raza Lunii=1737km și distanța Pământ-Lună=1/400UA. Calculați raza planetei Marte și distanța până la ea în acel moment. (1UA=15*1010m)

4. Un vultur vede un iepure de la 5 km distanță. Care este sensibilitatea ochilor lui (în mW/mm2 și în secunde de arc)? 188 G. Sateliți

1. Misiunea STEREO prin satelitul B a obținut această imagine a discului Lunar și a celui solar. La ce distanță se aﬂă satelitul față de Soare, Lună și Pământ? Se pot folosi datele problemei următoare.

2. Lansarea (26 oct. 2006) sateli- ților misiunii STEREO: prima orbită a fost una eliptică cu excentricitate mare (pe care trebuie s-o calculați) având apogeul pe orbita Lunii. Când era pe a cin- cea orbită comună, în 15 decembrie 2006 (în 6 decembrie erau la apogeu, iar în 12 decembrie erau la perigeu) interacțiunea gravitațională cu Luna trimite satelitul A pe o orbita heliocentrică cu perioada de 347 zile, iar satelitul B a rămas temporar pe o orbita geocentrică cu excentricitate mare. În 21 ianuarie 2007, după ce în 2 ianuarie 2007 a fost la apogeu, satelitul B întâlnește iar Luna și este trimis pe o orbită heliocentrică cu perioada de 387 zile. Determinați elementele orbitelor acestor sateliți cunoscând faptul că au fost planifi- cați să treacă prin L4 si L5. Calculați elementele orbitei comune. Cu cât s-a deplasat perigeul satelitului B între cele 2 întâlniri cu Luna? Cunoscând că masa fiecărui satelit este 620kg să se calculeze modificarea de energie și de moment cinetic pentru fiecare satelit în urma interacțiunii cu Luna. Calculați cu cât se modifică unghiul dintre direcția Pământ-Soare și satelit-Soare într-un an. În 24 ianuarie 2009 dis- tanța unghiulară dintre ei a fost de 90°, fiind la cuadratură. Când vor ajunge diametral opuși, și când vor trece prin L4 si L5? (considerând cea mai favorabilă situație). Când se vor întrerupe comunicațiile cu cei 2 sateliți?

3. Spre un satelit de cartografiere, plasat pe orbită în jurul Lunii în apropierea punctului Lagrange L2 al sistemului Pământ-Lună, se trimite, de pe un satelit al scutului antirachetă, o rază laser de mare putere care-i modifică viteza crescând- o cu 25%. Calculați elementele noii orbite a satelitului. Dacă presupunem că masa satelitului este 1200 kg, determinați cu cât se modifică energia mecanică totală a satelitului și momentul cinetic al acestuia. Se dau: masa Lunii și a Pământului 24 22 ( M  5.9736 × 10 kg , ML  7,349 × 10 kg ), razele acestora ( R  6.371 km ,

RkmL  1737 ) și elementele orbitei Lunii (a=384.400 km, T=27,32 zile). La ce înălțime se aﬂă satelitul scutului antiracheta?

4. Telescopul spațial James Weeb: O rachetă Ariane 5 va transporta telescopul spre punctul L2 al sistemului Soare – Pământ unde îl va plasa pe o orbită în jurul acestui punct, situată în plan perpendicular pe cel al elipticii. Unde se află punctul 189 Lagrange 2? Inițial telescopul va face o preluare simbolică de ștafetă făcând câteva ture pe orbita lui Hubble aflat a 600 km deasupra Pământului. Ce elemente are orbita de transfer? Câtă energie și cât moment cinetic primește satelitul pe traseul orbitei de transfer? Calculați în ce limite se află accelerația centripetă a mișcării lui în planul orbitei sale, cunoscând dimensiunile acestei orbite: 2×800.000 km în planul eclipticii și 2×250.000 km perpendicular pe acesta. Ce excentricitatea are orbita? Calculați perioada acestei orbite la care se aplică corecții de traiectorie o dată la 3 luni. Corecțiile sunt necesare și datorită presiunii radiației solare pe panourile de protecție care asigură o temperatură de lucru de 40K. Cunoscând că acest panou e confecționat din 5 foi suprapuse de formă romboidală cu diagonala de 22 m și un unghi de 60 grade, calculați accelerația imprimată telescopului cu masa de 6,5 tone de presiunea radiației. Cum scade temperatura de la o foaie la alta? Care este temperatura ultimului strat în ipoteza răcirii exclusiv pasive? Care este modificarea de înclinare a orbitei, între 2 corecții realizate când telescopul se află pe axa mare a orbitei sale, datorată presiunii radiației? Se dau: masa Soarelui, masa Pământului și distanța dintre acestea.

5. Mai jos este data poziția ISS în 16 iulie 2009 la ora indicată. Se cunosc: i=51°38’30,84”, M=303.663kg, L=73m, l=108,5m, cădere 2km/lună, T=91min, h=347÷358km.

Să se determine semiaxa mare și excentricitatea orbitei și intervalul de viteze. Ce moment cinetic, energie cinetică, potențială și totală are stația? Care este acce- lerația gravitațională, centrifugă și totală pe stație? Cât este valoarea forței de fre- care cu aerul? Ce magnitudine maximă (aparentă de la sol) poate avea stația? Ce 190 distanță este între cele 2 poziții aflate pe ecuator, deasupra cărora trece stația după o perioadă? Ce diametru are zona de unde poate fi văzută stația la un moment dat atunci când ea este deasupra și cât durează tranzitul? Ce suprafață are zona de pe Pământ de unde stația nu poate fi văzută? Ne aflăm la Călimănești (φ=45°15’N, L=24°25’E). Când va avea loc prima trecere vizibilă de aici, cât va dura, ce traseu va avea și la ce înălțime maximă vom vedea stația deasupra orizontului?

6. Anul 2050: pe Lună s-a stabilit o colonie umană pentru industria mini- eră. Dintr-un asteroid de 10 km din ﬁer se confecționează un cablu cilindric gol pe dinăuntru care să ajungă de la Pământ la Lună. Prin interiorul acestui cablu se va trimite minereul exploatat spre Pământ. Ce viteză trebuie imprimată minereului pentru a putea ajunge pe Pământ? Ce forță de tensiune este în cablu? Ce grosime au pereții cablului, dacă prin el trebuie să meargă un vagonet cilindric cu raza de 1m? La cât timp de la lansarea prin tub ajunge minereul pe Pământ?

7. Motoarele de corectare a orbitei unui satelit cu orbită inițial circulară s-au defectat, computerul de bord fiind afectat de un virus care acționează motoarele astfel încât distanța la perigeu (500.000 km) să rămână constantă, dar excentricitatea să crească cu 0,001 la fiecare revoluție. După câte orbitări va fi capturat de câmpul gravitațional al Soarelui? Ce excentricitate va avea atunci orbita lui?

8. Se lansează o racheta care trebuie să ajungă pe Marte (a=1,6 UA). Cât timp durează călătoria? Unde era Marte pe orbita în momentul lansării? (desen) Cât este viteza de lansare? Cu ce viteză ajunge racheta pe Marte? Caracterizați traiectoria rachetei (a, e).

9. Satelitul misiunii WISE (Wide-ﬁeld Infrared Survey Explorer) evoluează pe o orbită circulară polară ce rămâne mereu în planul ce separă ziua de noapte. Perioada lui de revoluție este 95 min. Să se determine câte orbite face pe zi (15) și ce unghi este între 2 orbite succesive. La ce înălțime se aﬂă? (326miles=525km) Ce înclinare are planul orbitei față de ecuator? (97,5°). Calculați viteza satelitului, energia cinetică, potențială și totală și momentul lui cinetic cunoscând că are masa de 750kg.

10. SOHO: Folosind datele din imagine determinați semiaxele orbitei, excentricitatea și înclinarea acesteia față de planul eclipticii. Perioada fiind de aproximativ 178 zile, determinați masa fictivă provenită din rezultanta forțelor de atracție de la Soare și Pământ. La ce distanță se afla focarul unde e masa virtuală față de L1? Calculați energia totală și momentul cinetic orbital al satelitului atât pe orbita lui în jurul lui L1 cât și pe cea în jurul Soarelui cunoscând masa satelitului 610 kg. Masa la lansare a fost 1850 kg. Calculați viteza pe orbita în jurul lui L1. Determinați accelerația presupusă constantă și viteza la lansare. Calculați eficiența panourilor solare cu suprafața de 1 m2 care furnizează 1150W. 191

11. Care este elongația maximă posibilă a planetelor interioare și exterioare? Cât timp pot ﬁ văzute aceste planete pe cer într-o noapte? Se va folosi aproximația: aV=0,7aT, aMe=0,4aT, aMa=1,5aT, aJ=5,2aT, aS=9,6aT .

12. Intervalul dintre 2 opoziții ale unei planete este 398,9 zile, iar diametrul aparent al acesteia este 47,2 la opoziție. Determinați perioada siderală, semiaxa mare și diametrul ral al planetei în km.

13. Mai jos este imaginea unui tranzit al Lunii prin fața Soarelui. Determinați poziția satelitului care a făcut fotografia. Se pot folosi datele despre Soare Pământ și Lună. 192 14. Determinați viteza unghiulară (în “/zi) a mișcării retrograde aparente a unei planete exterioare aflate în apropierea opoziției, presupunând că Pământul și planeta au orbite circulare. Planeta Pluto a fost descoperită în 1930 de pe 2 plăci fotogra- fice expuse la un interval de 6 zile în timpul opoziției acesteia, observând că pe plăci imaginea s-a deplasat. Pe plăcile plasate în focarul obiectivului o deplasare a imaginii cu 3 cm corespundea unui unghi de 1°. Ce distanță focală avea telescopul și câți cm s-a deplasat imaginea lui Pluto în cele 6 zile? Cu cât se deplasează un asteroid aflat la a=3UA în același timp?

15. O planetă este observată la opoziție sau conjuncție inferioară. Datorită vitezei ﬁnite a luminii direcția planetei în momentul în care este văzută diferă de cea adevărată. Găsiți o relație care să dea valoarea unghiului dintre cele 2 direcții în funcție de raza orbitei (considerată circulară) planetei. Care planetă are deviația maximă și cât este?

16. Se da tabelul cu datele sateliților galileeni și a planetei. Să se stabilească dacă sunt posibile eclipse totale de Soare pe Jupiter, iar dacă da, de către cine, la ce interval se produc și cât durează eclipsa și faza de totalitate. (Se consideră că orbitele tuturor corpurilor implicate sunt în același plan). Se știe că perioada de rotație siderală a lui Jupiter este 9,925 ore iar diametrul Soarelui este 1,392*106km.

17. Ocultarea lui Saturn de către Lună: determinați diametrul unghiular al lui Saturn și cel al inelelor sale știind că diametrul aparent al Lunii era 31 și folosindu- vă de imaginea de mai jos 193 18. Determinați diametrele aparente ale planetelor prin măsurători efectuate pe imaginea de mai jos

19. Calculați după cât timp se va repeta următoarea situație 194 20. Să se calculeze durata maximă și minimă a unei eclipse de Soare, respectiv de Lună (toată eclipsa și faza de totalitate). Se dau: aL= 384.403 km, aT= sid sid 149.597.887,5 km, eL= 0,0554, eT= 0,0168522, TL = 27,32166155 zile, TT = 365,256366 zile.

21. Să se calculeze lățimea maximă a benzii de totalitate considerând că eclipsa se observă la zenit. Se dau: RT=6378km, RL=1738km, RS=695.500km. Se pot folosi datele de la problema precedentă.

22. În imaginea de mai jos este prezentat tranzitul planetei Mercur peste discul solar. Să se determine unitatea astronomică știind că semiaxa lui Mercur are 0,4UA. Cât este diametrul unghiular al Soarelui? 195 H. Stele

1. Majoritatea stelelor se nasc din concentrări gazoase cu masa de 0,3 mase solare. Știind că temperatura este de 10K să se calculeze densitatea minimă a hidrogenului molecular din acea zonă. Ce dimensiune are zona (densitatea e cea cal- culată mai înainte)? În cât timp se formează protosteaua? Folosind diagrama masă- luminozitate și presupunând că 0,7% din masă se transformă în energie estimați timpul nuclear.

2. Două stele neutronice identice (R=10 km, M=1,4 mase solare) aflate la dis- tanța de 20 raze formează un sistem binar aflat la rezonanță. Calculați perioada lor comună de rotație și revoluție. Sub influența gravitației mutuale ele se apropie până la fuziune. Ce perioadă vor avea când se vor atinge? Ce energie se eliberează în urma procesului? (energia de rotație în jurul axei proprii se scrie cu formula Iω2/2, unde I este momentul de inerție egal cu 2MR2/5 pentru o sferă) Se conservă momentul cinetic sau există și o eliminare de moment cinetic? Dacă nu se conservă calculați cât se pierde în urma procesului.

3. 2 stele albe identice cu R=2 raze solare și M=5 mase solare dintr-un roi globular se ciocnesc cu viteza de 800.000 km/h. Ce perioadă de rotație va avea steaua ciudată albastră care se va forma? Care era viteza lor unghiulară cu milioane de ani înainte când se aﬂau la o distanță de 1000 ori mai mare decât raza lor? Ce cantitate de energie se eliberează în urma ciocnirii ducând la creșterea temperaturii (de aceea devin albastre)? Se va considera că datorită acțiunii gravitaționale mutuale foarte puternice cele 2 stele sunt la rezonanță completă. Considerând că gazul din cele 2 stele are căldura speciﬁcă de 21kJ/kg·K să se calculeze cu cât a crescut temperatura medie după ciocnire.

4. Să se estimeze densitatea unui pulsar cu perioada de rotație de 1s. Dacă masa este de 1,44 mase solare să se determine dimensiunea acestei stele. Cât este valoarea accelerației gravitaționale la suprafața acestui pulsar.

5. Pulsarul dublu PSR 1913+16 are perioada de rotație de 10–6s. Determinați densitatea și masa unui pulsar. Masa ﬁecărui pulsar este de 1,44 mase solare iar perioada sistemului este de 7h45m. Spectroscopic s-a determinat că viteza se modiﬁcă periodic între 75 km/s si 300 km/s. Determinați elementele orbitei (a, e). Desenați curba de viteză după ce ați determinat mai întâi momentele de 0 ale vitezei radiale. Se presupune cî raza vizuală este paralelă cu o axa a orbitei. Cu care?

6. Un nor de gaz de hidrogen molecular de forma unui elipsoid de rotație cu dimensiunile de 6000 ani lumină și 4000 ani lumină și cu densitatea de 0,1 atomi pe cm3 și temperatura de 100 K se aﬂă în apropierea nucleului galactic. Determinați masa norului și masa minimă a unei stele care se poate forma în acest nor. Ce dimensiune are „norișorul” din care formează o astfel de stea? În cât timp se formează? 196 7. În jurul marii găuri negre galactice se aﬂă un nor de gaz cu raza de 6 ani lumină și concentrația de 105 molecule/cm3 și temperatura de 104 K. S-au măsurat viteze de 100 km/s. Calculați masa de gaz și masa găurii negre. În cât timp o mole- culă din acest nor efectuează o rotație completă în jurul găurii negre?

8. În jurul nucleului galactic la 100 ani lumină de el s-au descoperit 2 roiuri de stele tinere albastre de clasa B5, ﬁecare stea având masa de 20 mase solare. S-a măsurat vârsta roiului 2 milioane de ani. Să se determine luminozitatea unei astfel de stele și masa nucleului galactic. Cât mai au de trăit aceste stele? Indicație: folosiți diagrama HR pe care o luați de pe net.

9. Un nor imens de gaz molecular de H2 cu dimensiunea de 20 pc și concentrație medie de 1010 molec/m3 este lovit de unda de soc a unei supernove. Ca urmare el se fragmentează și încep procesele de contracție gravitaționala urmând a se forma stele de diferite dimensiuni: 40% dintre ele vor avea masa de 0,25 mase solare, 20% vor avea masa de 0,5 mase solara, 10% vor avea masa de 1 masa solare, 5% vor avea masa de 2 mase solare, 4% vor avea masa de 3 mase solare 3% vor avea masa de 4 mase solare, 2% vor avea masa de 6 mase solare, 1,5% vor avea masa de 8 mase solare, 1% vor avea masa de 10 mase solare, 0,75% vor avea masa de 12 mase solare, 0,5% vor avea masa de 20 mase solare, 0,25% vor avea masa de 40 mase solare, 7,5% vor avea masa de 1,5 mase solare, 4,5% vor avea masa de 2,5 mase solare. Să se determine numărul de stele care se formează din acel nor și să se calculeze pentru fiecare tip de stea care se poate forma, concentrația minimă pentru ca să se poată forma acea stea presupunând că temperaturile diferitelor zone sunt proporționale cu masele stelelor (după o lege liniară pe care trebuie să o determinați) care se vor forma, temperatura maximă fiind 100K iar cea minimă 20K. Calculați pentru fiecare stea dimensiunea norului și timpul de formare.

10. Să se calculeze câți neutrini solari interacționează cu tabla de 2m2 orien- tată SV într-o secundă acum (23 august 2010 ora 18:27). Se dau: η=2,8 min, L=3,83*1026W, c=3*10 8m/s, 1 u.a.m.=5/3*10–27kg, φ=45°15’, L=24°20’, mP=1,0078u.a.m., mHe=4,0026u.a.m. 11. Estimați densitatea materiei din interiorul unui quasar cu masa de 25 milioane mase solare în limitele razei sale Schwarzschild.

12. În jurul lui SgrA* (M=4 milioane mase solare) orbitează mai multe stele albastre cu masele de 8 M☼ și razele de 2R☼. Una dintre acestea numită S2 are perioada de 15,2 ani și se apropie de SgrA* la 17 ore lumină. Calculați excentricitatea orbitei acesteia și desenați-o considerând că atunci când este la periastru are viteza îndreptată spre noi și se învârte în același sens cu galaxia. În ce interval spectral se va deplasa linia galbenă a sodiului (λ0=589nm) luând în considerare ambele efecte (Doppler relativist și Einstein)? Care este deplasarea periastrului? În cât timp se va realiza o rozetă completă? Calculați raza Schwartzchild a lui SgrA* și estimați ce dimensiune are bula din jurul ei care a fost golită de stele. 197 13. Giganta roșie: Când Soarele va avea vârsta de 10 miliarde ani și hidrogenul său se va ﬁ terminat, va crește în dimensiuni atingând o rază de 175 ori mai mare, iar luminozitatea lui va ﬁ de 2900 ori mai mare. Ce temperatură va avea Soarele atunci la suprafață? În același timp prin scăderea gravitației la suprafața sa, va începe sa piardă pe rând stratele externe și masa lui se va diminua treptat. Prin urmare Pământul se va găsi proiectat la 1,7 UA. Calculați noua perioadă a Pământului și masa pe care o va avea atunci Soarele. Ce diametru aparent va avea discul solar atunci? Se consideră că datorită desfășurării lente a situației orbita Pământului își păstrează excentricitatea.

14. Un observator determină coordonatele geografice ale locului folosind trecerea la meridian a stelei Alrescha (α=02h02m02,8s, δ=+02°45’49”) în 11 noiembrie 2009 (η=–16 min) și găsește înălțimea de 62°35’ la ora de timp solar mediu 23:38:30 a locului respectiv. Care sunt coordonatele geografice ale acestui loc? După aceea observatorul măsoară magnitudinile celor 2 componente ale acestui sistem binar aflat la 139 ani lumină separate printr-o distanță unghiulară de 1,8” și găsește 4,33 și 5,23. Calculați magnitudinile absolute și magnitudinea aparentă a sistemului. Aplicând relația masă-luminozitate găsește că cele 2 stele de clasa A au masele de 2,3 și 1,8 mase solare. Care este constanta din această formulă? Care este perioada sistemului? La ce distanțe se află cele 2 stele de centrul de masă și care sunt vitezele lor orbitale? Steaua mai mare are raza egală cu 3,2 raze solare. Care este temperatura acesteia? seniori

I. Galaxii

1. Determinați distanța la care se află fiecare galaxie a tripletului Leo folosind pentru constanta Hubble valoarea 74 km/s/Mpc. La ce distanță se află și ce coordonate are centrul de greutate a acestuia (considerați că masele galaxiilor sunt propor- ționale cu magnitudinile lor absolute)? Ce magnitudini absolute au aceste galaxii?

Members of the Leo Triplet Apparent Name Type[5] R.A. (J2000) Dec. (J2000) Redshift (km/s) Magnitude M65 SAB(rs)a 11h18m56.0s +13°05′32″ 807 ± 3 10.3 M66 SAB(s)b 11h20m15.0s +12°59′30″ 727 ± 3 9.7 NGC SAb pec 11h20m17.0 s +13°35′23″ 843 ± 1 9.4 3628

2. Nebuloasa M57 aﬂată la 2300 ani lumină de noi are diametrul unghiular 230”. Considerând că viteza de expansiune a ei este 1500 km/s calculați în ce an a avut loc explozia de supernovă care ia dat naștere.

3. Roiul M13 (α=16h41m41.44s, δ=+36°27′36.9″) aﬂat la 25100 ani lumină 5 36 de noi are masa 6×10 M⊙=10 kg și dimensiunea de 20’. Calculați dimensiunea 198 roiului (raza în ly) si concentrația medie a stelelor de clasa A cu masa medie de 3 mase solare. Determinați elementele orbitei roiului (a, T, inclinare față de ecuatorul galactic) în jurul nucleului galactic cunoscând că sistemul solar aﬂat la 25600 ani lumină face o mișcare completă în 220 milioane ani. Se dau coordonatele ecuatoriale ale nucleului galactic (α=17h45m40.04s, δ=−29°00′28.1″) și cele ale polului nord galactic (a=12h51m26.282s d=+27°07′42.01″J2000) și ascensia dreaptă a nodului ascendent A=18h49m.

4. Galaxia Andromeda aflată la 2,5 milioane ani lumină se apropie de galaxia noastră cu 300 km/s. Masa ei este de 5/4 ori masa galaxiei noastre și viteza de rotație atinge un maxim de 250 km/s la distanța de 33.000 ani lumină de centru. Estimați masa părții din galaxie aflată între centru și această distanță. Soarele aflat la 27.000 ani lumină de centru galaxie noastre se rotește cu 220 km/s. Estimați masa galaxiei noastre (tot până la acea distanță). Calculați cu ce viteză se apropie fiecare galaxie de centrul de masă al grupului local. Determinați limitele deca- lajului spectral relativ observat de pe Pământul aflat în mișcare de rotație cu 30 km/s în jurul Soarelui. Dimensiunea galaxiei este de 190’×60’, iar magnitudinea aparentă este 4,4. Care este unghiul de înclinare al planului galaxiei față de raza vizuală? Care este diametrul galaxiei? La ce distanță va fi de noi peste 1 miliard de ani (în ipoteza mișcării cu viteză constantă), ce dimensiune și magnitudine apa- rentă va avea? Masa galaxiei noastre este 6·1011 mase solare. Determinați perioada de revoluție a celor 2 galaxii în jurul centrului de masă al grupului local și vitezele de revoluție ale lor. Studiați mișcarea celor 2 galaxii în sistemul centrului de masă, compunând mișcarea de revoluție cu cea de apropiere pentru fiecare galaxie. De la nașterea lor cele 2 galaxii au făcut 20 rotații. Câte vor mai face până la tangența exterioară? Mișcarea reală: viteza de apropiere este invers proporțională cu dis- tanța, iar cea de revoluție este invers proporțională cu radicalul distanței față de centrul de masă! Recalculați cerințele problemei în cazul real.

J. Eclipse

1. În 22 iulie 2009 (η=–6min18s) la 2:30UT a avut loc cea mai lunga eclipsa de Soare (6min39,4sec) datorită faptului că Luna e aproape de perigeu iar Pământul aproape de afeliu, astfel că diametrul unghiular al Lunii este cu 8% mai mare decât al Soarelui. Calculați diametrele unghiulare ale celor 2 aștri. Și precizați cât va dura toată eclipsa în punctul de maxim (SE de Japonia: φ=25°07,4’N, L=142°20,4’E). Ce înălțime și azimut va avea acolo Soarele? Cât este lățimea benzii de totalitate acolo (ce formă are zona și ce dimensiuni)? Ce coordonate ecuatoriale are Soarele?

2. Pentru o eclipsă de Lună când Pământul este la afeliu, iar Luna la perigeu calculați lungimea conului de umbră al Pământului și intervalele de timp cores- punzătoare tangențelor interne și externe cu conul de umbră și penumbră. Se dau:

1 UA=149.597.887,5km, eTerra=0,016710219 distanța medie dintre Pământ și Lună=384.399 km, eLună=0,0549. 199 3. Care este durata maximă a unei eclipse inelare de Soare între cele 2 tan- gente interioare și în ce condiții se întâmplă? Se dau excentricitățile orbitelor Lunii (0,05) și Pământului (0,0167) și semiaxele lor mari (384.400 km si 149,6 mil. km) și razele lor (1737 km și 6370 km respectiv). Se mai cunosc perioadele siderale de revoluție (27,32 zile și 365,256 zile).

4. În imaginea de mai jos aveți cerul vizibil în timpul eclipsei. Determinați dis- tanța zenitală a Soarelui și planetelor. Calculați coordonatele ecuatoriale ale lui Sirius. Dimensiunile imaginilor discurilor corpurilor cerești pe această hartă sunt proporționale cu strălucirea aparentă. Determinați magnitudinea coroanei solare la această eclipsă cunoscând pe cea a următoarelor corpuri: Mercury (mV=–1.4), Capella (mV=+0.08), Saturn (mV=+1.1), Betelgeuse (mV=+0.5v), Procyon (mV=+0.38), Sirius (mV=–1.44), Rigel (mV=+0.12), Mars (mV=+1.1), Venus (mV=–3.9). Calculați apoi luminozitatea coroanei cunoscând magnitudinea –26.7 și luminozitatea Soarelui 3,846×1026W.

5. Hangzhou (φ=30°15’N, L=120°10’E) se aﬂă în interiorul benzii de totalitate a eclipsei, la sud de linia centrală. În ce parte va apărea „diamantul inelului”? Maximul are loc la ora 01:36:55,8sTU. Calculați unghiul orar al Soarelui și momentul de timp sideral corespunzător. Folosind imaginea de mai jos determinați la ce distanță se aﬂă Hangzhou de linia centrală și viteza cu care se deplasează umbra Lunii pe suprafața Pământului prin China. 200

6. În 15 ianuarie, anul acesta a avut loc o eclipsă inelara de Soare în Maldive. Mai jos, aveți imaginea discurilor la contact interior. Se cunoaște raza Lunii 1737 km, raza Soarelui 696.000 km, excentricitatea orbitei terestre e=0,0167 și semiaxa mare 149,6 mil. km. Determinați la ce distanță se aﬂă Luna. Cât a durat eclipsa în punctul de maxim și ce timp este între cele 2 momente de contact interior? Pentru seniori se cer și argumentele periheliului/perigeului în acea dată cunoscând excentricitatea orbitei lunare 0,055 și semiaxa mare 384.400 km, considerând mișcarea reală cu viteza unghiulară neconstantă. 201 7. Celebra eclipsă din 29 mai 1919 a durat 6min50sec (faza de totalitate) pt. că Luna era la perigeu iar Pământul aproape de afeliu. Lățimea benzii de totalitate care a străbătut ecuatorul a fost de 244 km. La ce distanță a fost vârful conului de umbră de centrul Pământului cu R=6378km? Ce diametru unghiular avea Soarele și la ce distanță era de Pământ? Dar Luna? Peste cât timp va ajunge Luna/Soarele la distanța minimă de Aldebaran (se consideră că ambele se deplasează pe eclip- tică)? Eddington era la 1,4°N si 7,5°E. La ce distanță era de punctul subsolar aﬂat pe L=16°42’30”V și după cât timp față de momentul de maxim a văzut el eclipsa?

8.Cât durează faza de totalitate a unei eclipse de Soare când Pământul este la afeliu iar Luna la perigeu? Cât timp se scurge între tangentele interioare ale unei eclipse inelare când Luna este la apogeu și Pământul la periheliu? Se consideră că punctul subsolar coincide cu cel de maxim și că cele 3 corpuri sunt perfect coliniare. Se va ține seama de vitezele unghiulare momentane.

K. Probleme cu evoluția stelelor

1. Un nor de hidrogen molecular cu masa de 1 masă solară și densitatea de 1010 atomi/cm3 se rotește lent cu o perioadă de 1000 ani. Calculați care este temperatura maxim a norului care mai face posibilă formarea unei stele prin acreție. Determinați în cât timp se va forma protosteaua. Ce perioadă de rotație va avea protosteaua la începutul etapei de variabilă T Tauri când dimensiunea ei a scăzut la 0,4 UA. Presupunând că excesul de moment cinetic este transferat discului protoplanetar în această perioadă de instabilitate fără pierdere de masă, să se calculeze cât moment cinetic a pierdut steaua ca sa ajungă la caracteristicile actuale ale Soarelui (T=27 zile, R=0,6*106km). 202

2. Determinați timpul de cădere liberă pentru un nor de H2 cu densitatea de 3 4 3000 atomi/cm . În galaxie sunt 100 astfel de nori ﬁecare având masa de 5*10 MS, 10% din această masă contribuind la formarea stelelor. Presupunând că masa medie a unei stele este 1MS estimați câte stele se nasc într-un an.

3. Presupunând că Soarele ar colapsa într-o stea neutronică cu raza de 20 km calculați densitatea unei stele neutronice. Care va ﬁ perioada de rotație a acesteia?

4. Ce rază ar avea o gaură neagră cu masa egală cu 5 mase solare?

5. O pitică albă are raza de 600 ori mai mare decât o stea neutronică cu aceeași masă. Calculați densitatea acesteia.

6. Masa unui pulsar este de 1,5 mase solare, raza de 10km iar perioada de rota- ție de 0,033s. Calculați momentul cinetic al stelei neutronice. Variații cu 0,0003s au fost observate la perioadă. Presupunând că acestea s-ar datora unor cutremure la suprafața stelei calculați amplitudinea acestora.

7. Steaua A este de 3 ori mai masivă și de 60 ori mai luminoasă decât steaua B. Comparați timpii de viață în secvența principală pentru cele 2 stele

8. Spre un satelit de cartografiere, plasat pe orbită în jurul Lunii în apropierea punctului Lagrange L2 al sistemului Pamânt-Lună, se trimite, de pe un satelit al scutului antirachetă, o rază laser de mare putere care-i modifică viteza crescând- o cu 25%. Calculați elementele noii orbite a satelitului. Dacă presupunem că masa satelitului este 1200 kg, determinați cu cât se modifica energia mecanica totala a satelitului și momentul cinetic al acestuia. Se dau: masa Lunii și a Pământului 24 22 ( M  5.9736 × 10 kg , ML  7,349 × 10 kg ), razele acestora ( R  6.371 km ,

RkmL  1737 ) și elementele orbitei Lunii (a=384.400 km, T=27,32 zile). La ce înălțime se aﬂă satelitul scutului antiracheta?

L. Stele variabile

42. Pentru a determina distanța la care se aﬂă roiul globular M2 s-au observat mai multe variabile RR Lyrae și 3 cefeide rezultând tabelul de mai jos Nr. Max. Min. Epoch Period Remarks 1 13.2 14.8 26607.8 15.568 Cep, Sp F-G 2 14.6 16.1 46107.877 0.5278619 RR0, Bl 3 15.1 16.4 45358.588 0.6197084 RR0 4 15.2 16.6 45620.869 0.5642512 RR0 5 13.2 14.9 26628.644 17.555 Cep, Sp F-G 6 13.2 14.9 22162.928 19.30 Cep, Sp F-G 7 15.1 16.4 45334.741 0.5948665 RR0 203

8 15.1 16.4 46056.841 0.6437059 RR0 9 15.2 16.4 45618.910 0.6092938 RR0 10 15.2 16.4 45333.680 0.8757413 RR0 12 15.1 16.5 46058.776 0.6656063 RR0 13 15.1 16.4 45333.692 0.7066260 RR0 14 15.4 16.4 45332.849 0.6937767 RR0, Bl 15 15.7 16.4 45618.910 0.3007852 RR1 16 15.3 16.5 45332.702 0.6558530 RR0, Bl 17 15.2 16.3 45333.744 0.6364715 RR0 18 15.95 16.85 45622.887 0.3621019 RR1 19 16.00 17.05 45618.954 0.3194156 RR1 20 16.00 16.75 46058.797 0.2863195 RR1 21 15.75 16.85 45622.887 0.7121582 RR0

Determinați distanța la care se află roiul folosind și graficul de mai jos unde este redată magnitudinea absolută în funcție de perioadă precum și graficele specifice cefeidelor din problemele precedente. 204 43. Strălucirea unei cefeide se modifică cu 2 magnitudini. Temperatura efectivă este de 6000K la maxim și 5000K la minim. Cât de mult se modifică raza?

41. Observații asupra mai multor variabile dintr-o mică galaxie sferică aparți- nând grupului local au dus la următoarele rezultate (unde pe curbele de lumină scrie perioada în zile deasupra lor): 205

Determinați distanța la care se aﬂă galaxia ca medie a rezultatelor pentru cele 10 variabile.

44. În tabelul de mărimi sunt date magnitudinile unei stele variabile pentru anumite momente ale timpului (în zile) Magnitudinea Magnitudinea Timpul d Timpul d stelei stelei –0.01 7.48 0,38 7,76 0.01 7.36 0,44 7,77 0,03 7,28 0,49 7,78 0,06 7,28 0,53 7,72 0,09 7,36 0,55 7,64 0,12 7,42 0,56 7,49 0,17 7,52 0,58 7,36 0,21 7,60 0,60 7,28 0,26 7,68 0,62 7,28 0,34 7,74 0,66 7,36 0,71 7,47 206 1. Construiește curba de strălucire a stelei. Calculați distanța până la stea.. 2. Determinați perioada stelei. 3. Determinați amplitudinea schimbării iluminării. 4. Numiți ce tip de stea variabilă este. 207

SELECȚIA LOTULUI NAȚIONAL PENTRU PARTICIPAREA LA OLIMPIADA INTERNAȚIONALĂ DE ASTRONOMIE ȘI ASTROFIZICĂ 2009

Proba teoretică

(5p) Problema I A (posibili vecini în galaxie?) În jurul stelei Gliese 876 aflată la 15 ani lumină de noi s-au descoperit prin metoda spectroscopică 3 planete. Să se calculeze temperatura medie anuală pe fiecare planetă, iar la planetele cu excentricitate mare să se determine și intervalul de temperaturi. Se cunosc: T = 3480K, M = 0,32 mase solare, R = 0,36 raze solare pentru stea și a1 = 0,02UA cu e1 = 0 pentru planeta d, a2 = 0,13UA cu e2 = 0,2683 pentru planeta c, a3 = 0,207UA cu e3 = 0,0363 pentru planeta b. Determinați mar- ginile zonei de habitabilitate (zona de habitabilitate este definită ca intervalul de distanțe la care se află planeta de stea pentru ca temperatura pe planetă să fie în intervalul în care apa există în stare lichidă). Barem problema I A R TTd 712 K = 439°C este temperatura primei planete a cărei orbită nu 2a1 are excentricitate ...... 1p R TTc 279,3 K = 6,3°C este temperatura medie a planetei cu excentrici- 2a2 tate mare. Când aceasta se află la apoastru are temperatura R TTc1 248 K = –25°C, iar când se află la periastru are temperatura 21ae22 R TTc2 326,5 K = 53,5°C ...... 1p 21ae22 R TT221 K = –52°C este temperatura medie a planetei cu excentrici- b 2a tate mică. 3 Când aceasta se află la apoastru are temperatura R TTb1 218 K = –55°C, iar când se află la periastru are temperatura 21ae33 R TTb2 225,4 K = –47,6°C ...... 1p 21ae33 208

2 R T Cele 2 limite ale zonei se calculează cu formula a  stea . Vom avea 2 T planeta atunci a1 = 0,073UA pentru temperatura planetei de 100°C și a2 = 0,136UA pentru o temperatură a planetei de 0°C. Concluzie: pe planeta Gliese876c se poate dezvolta viața ...... 1p Din oﬁciu 1p

(5p) Problema I B (formarea stelelor) 11 3 Un nor de H2 cu raza de 100 pc, concentrația de n = 10 molecule/m și temperatura de T = 10K se aﬂă între 2 brațe ale galaxie noastre. Calculați masa Jeans (masa minimă a unui nor de gaz cu densitatea și temperatura date pentru a putea colapsa în protostea) în mase solare luând pentru constanta de proporționalitate valoarea 3 · 104. Câte stele cu această masă se pot forma din fragmentarea acelui nor? O regiune din acel nor cu raza de 1 an lumină se rotește cu o perioadă de 10.000 ani. După un timp pe care trebuie să-l calculați ajunge, prin colaps gra- vitațional, să aibă raza de 0,4 UA când începe perioada de variabilă T Tauri. În această perioadă elimină excesul de moment cinetic pe direcția axei de rotație pier- zând 20% din masa Jeans inițială. La sfârșitul acestei perioade contracția gravi- tațională continuă ajungându-se la o stea cu raza de 1,4 raze solare și perioada de rotație de 30 zile. Să se calculeze pierderea de moment cinetic (sub formă de raport) din timpul perioadei de variabilitate T Tauri. (Se va lua pentru momentul de iner- ție al norului I = 2/5 · MR2, iar momentul cinetic este produsul dintre momentul de inerție și viteza unghiulară). Barem problema I B Din teorema virialului se deduce că masa minimă pentru a se forma o stea T 3 numită masă Jeans depinde de temperatură și concentrație după legea M  . J n T 3 Introducând constanta vom avea MMM3104  3 ...... 1p J n  Pentru a determina câte stele cu această masă se pot forma trebuie să calculăm –15 masa norului. Astfel se calculează mai întâi densitatea ρ = 2 · mH · n = 0,33 · 10 kg/ m3 care se înmulțește cu volumul norului obținând M = 205 mase solare. Astfel că din acest nor se pot forma 68 stele cu masa de 3 mase solare...... 1p Timpul de contracție pentru norul cu raza de 1 an lumină se găsește aplicând legea a 3-a a lui Kepler, unde pe post de semiaxă mare este jumătate din raza norului și se găsește 3.248.675 ani ...... 0,5p Momentul cinetic înainte de perioada T Tauri va ﬁ: 2 2 222  4MR1 12M  63.271UA LI11 MR    ...... 1p 5TT 51 50000 ani Cum o unitate astronomică este 215 raze solare iar 30 zile înseamnă 0,082 ani se poate scrie: 209

2 1 2 12 0,8 M  UA 4MR2 215 L2  ...... 0,5p 50,41Tani2 Raportând cele 2 valori de moment cinetic se obține că

L1/L2 = 1.896.750.391 ...... 0,5p Oﬁciu 1p

(10p) Problema II (stele canibale) Atunci când 2 stele orbitează în jurul centrului comun de masă și cel puțin una dintre ele umple suprafața Roche va avea loc un transfer de masă spre cealaltă. Să se analizeze această situație și să se stabilească ce se va întâmpla în timp cu sistemul binar. Sistemul lui Achernar (α Eridani) de clasă B3 situat la 144 ani lumină de noi conține 2 stele: una cu masa de 6,7 mase solare, luminozitatea de 2900 ori mai mare ca a Soarelui și temperatura de 14.510 K. Companionul care preia masă de la steaua principală este o stea de clasă A (T = 9000K) cu masa de 2 mase solare și raza de 5 raze solare. Steaua principală se rotește foarte rapid în jurul axei proprii, astfel că se turtește (raza ecuatorială = 12 raze solare și raza polară = 7,7 raze solare). Să se calculeze distanța limită dintre cele 2 componente când începe/înce- tează transferul de masă. Pentru aceasta se va folosi formula pentru limita Roche: 13 mc m 1311  M 33MRM dR 2.423  m 1 cR   unde apare raportul densităților medii ale celor 2 stele (rM este densitatea stelei care determină transferul de masă, iar rm este densitatea stelei care pierde masă) și raportul maselor (M este masa stelei care câștigă substanță, iar m este masa stelei care pierde substanță), iar c/R este turtirea (raza polară/raza ecuatorială) stelei care pierde masă. Formula elipsoidului de rotație în jurul axei mici (aplicată la 4 această stea): VRR2 . 3 eqp Barem problema II Cum și în acest caz momentul cinetic al sistemului se conservă, se va modifica distanța dintre ele deoarece se modifică masele lor și conform legii a III-a a lui Kepler se va modifica corespunzător și perioada sistemului.

2 stele cu masele m01 și m02 schimbă substanță cu masa ∆m și masele devin m1 = m01-∆m și m2 = m02 + ∆m. Inițial ele se aﬂă la distanțele r01 și r02 de centrul rm01 02 de masă, suma lor ﬁind a0 = r01 + r02 și  , apoi aceste distanțe vor deveni rm02 01

rm12 r1 și r2, suma devenind a = r1 + r2 și  . Scriind legea a III-a a lui Kepler rm21 210

22 Tmm00102 Tmm  12 înainte și după transfer, avem 33 ...... 1p aa0 Cum masa totală a sistemului nu se schimbă (semniﬁcativ, în realitate o pierdere 2 2 T0 T de masă există prin radiație) relația se simpliﬁcă: 33 ...... 1p aa0 Conservarea momentului cinetic al sistemului se poate scrie astfel:

mm012222 02 mm 1 2 rrrr01  02 1 2 . TTTT00 22 T mr11 mr 22 Obținem de aici raportul  22 ...... 1p Tmrmr001010202 Ta23 Același raport (la puterea a 2-a) îl putem obține din legea de mai sus 23 Ta00

și ținând seama că a = r1 + r2 și a0 = r01 + r02 putem scrie raportul astfel 3 3 2 22 2 T rr12 mr11 mr 22 rr12  3 . Egalând cele 2 relații obținem 22 3 . . .1p T0 2 mr01 01 mr 02 02 2 rr01 02 rr01 02

Scriind acum m1 = m01-∆m și m2 = m02 + ∆m vom avea 3 22 2 mmrmmrrr01 1  02  2 1  2 22 3 și efectuând calculele în membrul stâng mr01 01 mr 02 02 2 rr01 02 3 22 mr r 2 21 rr12 vom obține 122 3 ...... 1p mr01 01 mr 02 02 2 rr01 02 22 Discuție: sunt posibile 2 cazuri după semnul lui rr21 : a) dacă r2m1 (steaua mare preia masă de la steaua mică) și 3 rr 2 22 12 rr 3 21<0 ceea ce implică <1 adică a

b) dacă m2r1 și 3 rr 2 22 12 rr 3 21>0 ceea ce implică >1 adică a>a 0 și deci T>T0 și cele 2 stele 2 rr01 02 se vor îndepărta. Transferul de masă va înceta în acest caz când steaua care pierde masa nu va mai umple lobul său Roche sau va continua încă ceva timp dacă rotația stelei este rapidă...... 1p

442 2 Se calculează volumul celor 2 stele: VRRR1 eq p 12  7,7 R și 33 211

M1 3 442 11V VR22 5 R de unde vom obține 0,37 ...... 1p M 33 2 2

V2 Înlocuind în formula, unde R este raza ecuatorială 13 mc m 1311  M 33MRM dR 2.423  m 1 cR   1/3 vom avea raza lobului Roche al stelei care pierde masă d = 2,423 · 12R1 · (23) = 82,66 raze solare ...... 1p Din oﬁciu 1p

(10p) Problema III (navigatori stelari) În jurul Soarelui, pe orbita circulară a Pământului,evoluează un satelit special cu masa m. La un anumit moment pe satelit se deschide o „velă Solară” (un disc circular de rază r). Una din fețele sale este o oglindă plană,perfect reﬂectantă care va orientată permanent perpendicular pe direcția razelor solare. a) Să se determine elementele forței de presiune care acționează în orice moment asupra velei satelitului, din cauza radiației solare cu incidență normală pe planul velei. b) Să se descrie mișcarea satelitului după deschiderea velei. c) Să se determine perioada de rotație a satelitului în jurul Soarelui după deschiderea velei.

Notă: Se neglijează inﬂuența gravitațională a Pământului asupra satelitului.

Se cunosc: Luminozitatea integrală, L, a Soarelui L = 3,86 · 1036 W, raza orbi- 30 tei considerată circulară a Pământului Rp = 1U.A., masa Soarelui MS = 2 · 10 kg, viteza luminii c = 3 · 108m/s. Barem problema III L a) Iluminarea suprafeței velei este: E  4R2 Variația impulsului unui foton ca urmare a reﬂexiei luminii solare pe suprafața h ppp  r i 0 c velei într-un punct oarecare; ppp  pp  p iar r i r i 2h p c 212

   p Datorită principiului acțiunilor reciproce asupra velei va acționa o forță f  t

Dacă în timpul t pe suprafața reflectantă a velei solare se reflectă NK ,fotoni cu frecvența  K ,atunci forța care va acționa asupra velei va fi:

2hk pk 2 c FfN  N  Nrt  unde Nk este numărul fotonilor cu frecvența kkk ktt k υk care sosesc pe unitatea dea arie a suprafeței velei în unitatea de timp. 2Nh FE Frkk 2 Nh E p kk2 – reprezentând presiunea exer- k c kk k k rc2 citată asupra velei de componenta cu frecvența  K din lumina solară. Corespunzător n Ek E tuturor componentelor radiației solare (  , 2 , n ) calculăm forța rezul- k1 E n n  k Ek 2 tantă ce acționează asupra velei FF k 2 , FF k 2  r, n k1 c k1 c  Ek E unde E reprezintă iluminarea totală a suprafeței velei datorită tuturor k1 componentelor radiației solare. E Fr2 2 c Presiunea luminii solare asupra velei FE Lr 22 Lr Lr2 p 2 F 2  FR ...... 3p rc2 cR42 22 cR 2cR3 b) mișcarea pe orbită circulară este dată de: 2 3 mv0 mM KM R KF v  0 2 g0 0 T0 2 RR00 R0 KM Într-un moment oarecare, după deschiderea velei rezultanta forțelor care acțio- Lr2  KmM  FFF nează asupra satelitului este: rez g F  2c rez R2 Lr22 Lr  22KmM KmM    mv mv vR vR dL 0022cc 01 00 11, Lrp,  M F  dt 22RR01 2 Lr 222 22 KmM  mv01100 R20 R Mv r 2c R0 Lr2 2kmM  KmM 1 c R0 RR aRRa 2 10Lr2 2 01 Lr 2 KmM  kmM  ...... 3p c c c) Din legea a III-a lui Kepler putem scrie: 213

Forța rezultantă o identiﬁcăm ca pe o forță centrală, a cărui efect este mișcarea satelitului cu vela deschisă pe o orbită în formă de elipsă. Din conservarea momentului cinetic și a energiei mecanice totale, vom obține Lr2 2 KmM  2323mv 2r Tkr Tka cerc 2c 0 cerc 0 , elipsa , 2 Tcerc rr0 vcerc Lr2 2 KmM  T 2 3 ma3 v cerc 2c elipsa a   Telipsa 2 2 rmr23Tr23 Lr 00cerc 0 KmM  , 2c

2 2 Lr Lr RKmM2  2KmM  0 c TR2 c  ...... 3 elipsa 0 Lr2 Lr22 Lr 2KmM  2KmM KmM  2c 22cc La același rezultat se ajunge dacă admitem că perioada de rotație a satelitului cu vela deschisă,evoluând în jurul Soarelui pe o elipsă cu semiaxa mare a, este egală cu perioada aceluiași satelit dacă ar evolua pe cercul cofocal al elipsei (cercul de rază a și centrul Soarelui). Lr2 2 KmM  23 3 mu ama 2ama F 2c  TT2 aarez 2 u2 Lr2 u Lr2 KmM  KmM  2c 2c Oﬁciu 1p

(10p) Problema IV (precesia periheliului) În a doua jumătate a secolului al XIX-lea astronomul Simon Newcombe a descoperit că periheliul planetei Mercur are o deplasare unghiulară (avansul periheliului) 42,9”/secol. Mai târziu s-a pus în evidență faptul că și la celelalte planete există o deplasare unghiulară a periheliului și anume; 8,5”/secol pentru Venus și 5,4’’/secol pentru Pământ. Este cunoscut faptul că legea atracției universale a lui Newton nu poate explica deplasarea unghiulară (avansul) periheliului planetelor în 214 conformitate cu datele experimentale. De-a lungul timpului fizicienii au propus modifi- cări ale legii atracției universale, de exemplu Hall sau Laplace, dar aceste corecții nu explică simultan datele experimentale pentru toate planetele. Deplasarea unghiulară a periheliului conduce la faptul că traiectoria planetei nu se închide, fiind ca o rozetă adică ca și cum axa mare a elipsei suferă o mișcare cir- culară. Prima teorie care a dat o explicație consecventă a deplasării unghiulare a periheliului a fost T.R.G. a lui Einstein folosind metrica Schwarzchild în spațiul Riemann. Dar această teorie este foarte complicată din cauza calculelor matematice foarte complicate și a faptului că noțiunea de traiectorie își schimbă sensul în spațiul curbat Riemann. Din aceste păreri critice astrofizicienii au căutat o cale mai elegantă de a studia mișcarea planetelor dar în același timp să fie în acord cu T.R.G. a lui Einstein și cu datele experimentale. Propunem ca o cale de rezolvare să considerăm că ener- k  gia potențială de interacțiune gravitațională este de forma: Ur()  unde rr2 k = GMm0, iar M – masa Soarelui, m0 – masa planetei și a – este un termen corectiv care depinde G, M, c și m0 iar în cazul teoriei lui Newton a = 0. Prin această ipo- teză s-a realizat o proiecție a spațiului curb Riemann pe un spațiu plat Minkowski. Studiind mișcarea în câmp central de forțe s-a demonstrat că ecuația traiectoriei p este dată de formula: r  , unde p – parametru ce trebuie determinat, 1cos()e r e-excentricitatea, r-raza de la Soare la Planetă, r – unghiul dintre rază și axa 2m  k2 mare a elipsei iar W@ 10 , unde L este momentul cinetic. LLc222 Deplasarea unghiulară exprimată în radiani a periheliului într-o perioadă de revoluție este definită astfel: (.ptr perioadaT ) 2  Se cunosc: M – masa Soarelui, m0 – masa de repaus a planetei, a – semiaxa mare și excentricitatea e a elipsei a) Să se determine parametrul p în funcție a și e. b) Să se determine a știind că expresia avansului periheliului dată de T.R.G. a 6GM lui Einstein este  , unde c este viteza luminii în vid aec1 22 c) Să se determine expresia forței corective în legea atracției universale.

Notă: În formula perioadei T se neglijează masa planetei în raport cu masa 1 x Soarelui, se poate folosi relația: 11pentru x . 1 x 2 215 De asemenea se neglijează raportul dintre viteza planetei și viteza luminii. Barem problema IV pp()rr a) Din condiția rirº , iar a  min max min11ee max 2 rezultă pa(1 e2 ) ...... 1p p 1 pr b) Din r  rezultă (r ) arccos iar pentru o perioadă 1cos()e r  er T unghiul măturat de raza vectoare r este: 2 2 1 aer(1 ) min 1(1)(1)aeae 2 (rmin )  arccos = arccos =  er  er  2 2m  k2 ()r   2  cu W@ 10 min  LLc222   1 iar avansul de periheliu este: 22    1 2m  k2 10 LLc222 2 m0 k 1 x 2 222  unde am folosit 11pentrux  LLc2 1 x 2 2mab L  0 T 2 2 22 2 2 22 22 2224mab00 mab 4  mab 00 mbGM L () 2   TT23 1 a 4 a GM ba22(1 e 2 ) 22 2 ma0 1 e GM LmaeGM2221 a 0    GM 5 22 2    2 GMm0 ...... 6p ma121 e222 GM a e c 2c 0   k  GMm5 G22 M m b) Metoda I: Ur()  00   rr22 r2 r dU() r k 2 GMm G22 M m expresia forței corective Fr()   00  5 dr r23 r r 2 r 3 Metoda a II-a: Lucru mecanic LFr Ur() ...... 2p Ur() U21 U , r r 21 r Oﬁciu: 1p 216 (10p Titus Bode) Problemă practică. Următorul tabel oferă informații cu privire la sistemul planetar KIB,

Semiaxa Perioadele No Planeta Excentricitatea Masa(M ) mare (UA) revoluție (ani)  1. A 1.10 1.63 0.215 0.165 2. B 1.90 3.70 0.027 0.815 3. C 3.50 9.26 0.017 1.500 4. D 6.70 24.53 0.095 0.207 5. E 25.80 185.33 0.050 419.00 6. F 51.50 522.67 0.077 95.20 7. G 102.7 1471.87 0.065 14.50 unde UA este unitatea astronomică și M este masa Pământului.

a) Găsiți o formulă empirică, de tipul formulei lui Titius-Bode (semiaxele mari sunt cuantiﬁcate), prin care să exprimați semiaxa mare a orbitelor planetelor prezentate în tabel. b) Din datele de mai sus arătați că energia mecanică și momentul cinetic în func- ție de semiaxa mare sunt mărimi cuantiﬁcate (adică aceste mărimi pot avea anumite valori discrete). c) Exprimați semiaxa mare și perioada de revoluție a unei planete dispărute. d) Estimați masa stelei centrale în sistemul planetar KIB.

Răspuns:

Fie r și r razele la afeliu și periheliu. Semiaxa mare este dată de formula: 1 arr. Atunci la r și r energia mecanică devine: 2  Mm L2 EVr G rmr2 2 A cărei soluții sunt: 2 1/2 2 1/2 12mK mK mE 12mK mK mE    și    rL22 L L 2 rL22 L L 2     unde M și m sunt masele stelei centrale și a planetei. Mm Astfel, energia mecanică este dată de: EGn  ...... (30%) 2an Apoi, rezultă momentul cinetic din punctul de pornire iar excentricitatea se 2EL2 exprimă astfel: e 1 mK 2

22 De unde rezultă: LGMmeann1 ...... (30%)

c. Apoi exprimați semiaxa mare și perioada de revoluție a unei planete dispărute. 217 Răspuns: Trebuie să calculăm: No Planet Semimajor (AU) Orbital Period (year) Ta23/ (1034 y 2 /m 3 ) 1. A 1.10 1.63 2.00 2. B 1.90 3.70 2.00 3. C 3.50 9.26 2.00 4. D 6.70 24.53 2.00 5. E 25.80 185.33 2.00 6. F 51.50 522.67 2.00 7. G 102.7 1471.87 2.00

T 224 Astfel avem: 2 ...... (20%) aGM3 din Mm  . Planeta dispărută se aﬂă între D și E pentru n = 5.

Astfel avem a5  13.1 AU . De asemenea T5  67.05 ani...... (10%).

d. Estimați masa stelei centrale în acest sistem planetar.

Răspuns: T 224 Avem 2 , apoi MM 1.5  ...... (10%) aGM3 unde M este masa Soarelui. 218 XV IAO 2010 Pregătirea lotului restrâns pentru

Olimpiada Internațională de Astronomie Sudak - Crimeea - Ucraina

Simularea probei practice

1. Sistemul binar În ﬁgura de mai jos se dă curba de lumină unui sistem binar (axa x reprezintă timpul în zile, iar axa y magnitudinea vizuală a sistemului binar). Pentru ambele stele s-a măsurat viteza radială heliocentrică. Variația vitezei radiale a primei stelei este de ±50 km/s, iar la a doua de ±80 km/sec. Este cunoscut faptul că orbitele stelelor sunt circulare, eclipsele centrale, temperatura primei stele este egală cu 10000 K care este și cea mai ﬁerbinte și mai mică. Determinați perioada si razele orbitelor. Calculați masa sistemului. Determinați razele stelelor si apoi luminozitățile lor. La ce distanta este sistemul de noi?

2. De pe partea opusă a Lunii Vă arătăm o fotograﬁe, luata de la bordul unei stații orbitale care se aﬂa in spatele părții nevăzute a Lunii pe direcția care unește cei 2 aștri. Care este viteza minimă (în raport cu Luna) pentru această Space Station, astfel încât, ulterior, fără cheltuieli suplimentare de energie să părăsească sistemul Pământ-Lună? Se 219 presupune că orbita Lunii este cir- culară. La ce distanță este stația de Luna? Se cunoaște raza Lunii, cea a Pământului, masele acestora și distanța dintre ele.

3. Cefeide in planul eclipticii. Cefeidele acestea sunt situate pe cer in apropierea polului ecliptic. În interval de 6 luni cefeida s-a deplasat lateral pe cer cu maxim 0.00325” exact in planul eclipticii. Știm că această Cefeidă este membru al unui sistem binar, cu orbite circulare în plan paralel cu planul eclipticii și o perioadă de 1 an. Estimați masa celei de-a doua componente, știind că ea este semnificativ mai mică decât cea a primei componente, care este egală cu 5 mase solare. Figura dă curba luminii cefeidelor și dependența de logaritmul perioadei medii pentru magnitudinea absolută. Sistemului este observat de pe Pământ ca un întreg (strălucire suficientă pentru a putea fi văzută are doar steaua mai mare) și absorbția interstelară nu este luată în considerare.

4. Rainbow

Vi se oferă imaginea unui curcubeu. Obiectivul aparatului de fotografiat are distanta focală de 7 mm. Senzorul CCD are o dimensiune de 4.5mm×6mm și rezoluția HD (1920 pixeli pe orizontală). Determină înălțimea Soarelui în momentul lucrului. La ce înălțime trebuie să fie Soarele pentru ca observarea acestui curcubeu să nu se mai poată fi văzut de pe Pământ? Refracția este neglijată. Se da indicele de refracție al apei n = 4/3 pentru lumina verde, iar pentru roșu si violet valorile diferă cu 5% față de valoarea pentru verde. Ce dimensiune va avea pe senzor lățimea curcubeului și câți pixeli va ocupa pe senzor imaginea curcubeului? Cum va arata imaginea obținută (desen schițat)? 220 5. Găsiți coordonatele navei. O echipă de pescari s-a pierdut pe Marea Neagră. Totuși ei au la dispoziție un sextant cu care pot determina înălțimea maximă a Soarelui la marginea de jos a discului sau aparent. Încep măsurătorile în 9 iunie și le încheie in 30 iunie și obțin tabelul de mai jos. Ajutați-i să determine poziția la care se aflau în ultima zi în care au notat măsurătorile în acest tabel. Raza aparentă unghiulară a Soarelui este de 15’48’’. Trasați graficul înălțimii Soarelui folosind datele din tabel. Când vor ajunge la Sudak (φ = 44°51′5″N, L = 34°58′21″E) dacă viteza lor medie de deplasare este de 8 noduri (mile maritime/oră)?

UT Înălțime (°) UT Înălțime (°) 08:45:00 63.36 10:35:00 67.95 08:54:00 64.38 10:41:00 67.92 09:00:00 65.75 10:44:00 67.38 09:11:00 66.34 10:57:00 66.75 09:20:00 67.25 10:58:00 66.60 09:28:00 67.80 09:33:00 68.10 10:08:00 68.88 09:40:00 68.40 10:13:00 68.81 09:47:00 68.65 10:19:00 68.70 09:50:00 68.70 10:24:00 68.50 09:55:00 68.80 10:30:00 68.32 10:00:00 68.85 10:33:00 68.12 10:04:00 68.88

Rezolvări simulare proba practica 5 octombrie 2010

1. Rezolvare. Sistemul binar. Folosind graficul, se definesc valorile: perioada orbi- tală a stelei P = 20d, durata totală a eclipsei ΔT = 2d, durata fazei totale de ΔF = 1d, adâncimea de principalele m m minim Δm1 = 1 , adâncimea minimă Δm2 de 0. 5. Durata totală a eclipsei ΔT – valoare proporțională cu suma diametrelor stelelor și durata fazei ΔF – o cantitate proporțio- nală cu diferența în diametrele lor; pentru coeficientul k de d d proporționalitate, avem: DD12 k2; DD12 k1 , D 2  3 de unde Dk1 0.5 ; Dk2 1.5 și . Știind timpul D1 stelei care se deplasează pe orbita sa, la valoarea dia- metrului său (și acest lucru este de 0,5 și 1,5) și viteza

relativă a orbitei ( vv12 ), vom calcula razele stelei 1 Rvv0.5d  (  )  2.8  106 km și RR38.4106 1122 21 km. Razele orbitelor se obțin din condiția 2avP, unde 221

vP vP v este viteza stelei și avem a 1 1.47 107 km; a 2 2.2 107 km. 1 2 2 2 La timpul minim, steaua ﬁind eclipsată, luminozitatea sistemului în afara eclip- 24 24 sei este dată de luminozitatea totală a sistemului: LL1 L 24( RTRT 11 22 ), L RT24 RT 24 11 12 0.4m1 indicele 2 se referă la steaua rece și după Pogson avem 24 10 . LRT222

Dacă Δm1 = 1m, atunci raportul luminozităților este 2.512. Se poate găsi tempe- TR ratura stelei reci T 115200 K. 2 4 2.512 1 R2 2. De pe partea opusă a Lunii Din figură putem determina razele vizibile de pe Pământ și Luna dacă acestea la  exterior K L 11.5 E Unitatea zboară în spatele Lunii (când este văzut de pe Pământ), pe partea din spate de o sută de ¬ Rhone, la o distanță d de centrul de Lună. Notăm distanța dintre centrele Pământului și Lunii prin L. rR  rLd K :  dLd  Rd Aici am luat în considerare faptul că atât spectrul vizibil nu este prea mare (aproape Luna raza HN vizibilă de pe Pământ va fi de aproximativ 1°, respectiv, rL raza vizibilă a Lunii este de aproximativ 12°). Din ultima formulă: d  , care KR r este de 9300 km. Pentru a părăsi sistemul Pământ-Lună, dispozitivul trebuie să depășească influența gravitațională a Lunii și apoi are o viteză suficientă pentru a depăși câmpul gravitațional al Pământului. Viteza de evadare relativă la 2GM Pământ la o distanță (L plus d) să fie v  , în cazul în care Μ – masa 2 Ld Pământului. Dar aceasta este viteza relativă pe Pământ. Rata Scho aparatului de pe Lună poate fi mai mic în cazul în care se va deplasa în aceeași direcție cu Luna. Viteza minimă, la rândul său, va fi egală cu GM2 GM GM GM vv    21 . 02 LLdL L S-a considerat că valoarea D este mult mai mică decât L. Conform legii de conservare a energiei, viteza ambarcațiunii în câmpul gravitațio- nal al Lunii, la o distanță d față de centrul acestuia, trebuie să fie egală 22GM GM GM vv22 322   . 0 dL d Aici m – masa Lunii. Înlocuind valorile numerice, se obține viteza: 1.1 km/s. 222 3. Cefeide în planul eclipticii. Rezolvare: Segmentul care descrie stelele pe ecliptică, are toate semnele distinctive unei mișcări paralactice. Aceasta corespunde faptului că, la momentul de confruntare steaua este în mijloc. În acest caz, paralaxa trigonometrică este 0.0010”. Cu toate acestea, putem determina distanța la Cepheids în alt mod: prin „paralaxa fotome- trică”. În curba de lumină măsurată prin media Cepheids t (5.7t) și perioada de oscilație a luminii Ρ (5 zile). După cum se știe, perioada de oscilație este legată de mărimea absolută a raportului, programul este de la ¬ a intrat în starea de a problemei. Pe ea vom găsi: r = –3.4. Cu mărimea absolută și aparent, putem determina paralaxa fotometrice: lg20 0.2mm   1. Valoarea este egală cu 0.0015, care este jumătate din paralaxa măsurată trigo- nometrice În acest caz, de absorbție interstelar este absent. Putem concluziona că paralaxa fotometrică caracterizează distanța adevărată la Cefeide (670 la număr), și două mișcări paralactice a stelelor este distorsionată influențată de aceeași perioadă de un 1 an. Trebuie să găsim un rang pentru această denaturare. Influența unui satelit nu se afișează o stea de pe linia de ecliptică dar rotația orbitei circulare, de asemenea, apare în planul EQ. Putem conchide că mișcarea orbitală în planul ecliptic este fie în aceeași direcție ca paralel ING extragalactic sau exact opuse (cu alte cuvinte, dată diferență de fază este fie zero sau 180°). Să α tăiere la jumătate, a descris steaua în timpul mișcării sale orbitale. Apoi, pentru primul caz și al doilea,

211, ceea ce implică 22 1, .

2,1 2 1. Valorile α este unghiul pentru primul și al doilea caz, 0.0005 si 0.0025, respectiv. Știind distanta la Cepheids, putem gasi raza orbitală a stelei principale:  a (a.e.)1,2 0.3; 1.7. C1,2  2

a M Razele de orbitele de două stele (AC și αχ) sunt legate de C  X , în cazul în aM care Mc și Μχ – masele de aceste stele. XC

MC Distanța dintre stele este aaXC a a C1  . M X Exprimând masa, în mase solare, axa semi-majoră în UA, perioada de absorbție formarea în ani (este egal cu unitatea), putem scrie a III-a legea lui Kepler: MM 13 aMM3 ; a  XC XCC M 1 C M X 223 De starea problemei, masa prin satelit mult mai mici decât cea a Cepheids. În 13 MMXC() 23 acest caz, ecuația simplifică la: aC  ; MaMXCC . MC Înlocuind cele două valori posibile ale Al, vom obține Μχ valori. 1 și 5 mase solare. În al doilea caz, masa este comparabil cu cel obținut în greutate SOI Cepheids, care contrazice problema și presupunerea făcută. Putem concluziona, prin urmare, că cele două scenarii descrise în figură, nu poate fi decât primul și masa Cepheids este egală cu o masă solară.

4. Rainbow. Rezolvare: Consideră o unitate de lungime fictivă a dimensiunii orizontale. Neglijând cur- bura circuitelor optice, vom defini unghiul corespunzător ca unitate de lungime dată în imagine: Φ = 46.4°. Aici lungimea CCD, P este distanța focală a obiectivului. Rază curcubeului este de 0.88 unități. Dat fiind faptul că centrul curcubeului este jos dreapta, putem calcula raza sa cu formula: 0.88 */n .. r = 2ags1e = 41°. Centrul Rainbow este situat la 0.16 unități mai jos de orizont, care este, de asemenea, vizibilă în fotografie. Această distanță este mică și acesta poate fi transfor- mată în radiani. Se transformă această valoare în grade și obținem 8°. Se știe că un curcubeu este format datorită luminii Soarelui prin pică- turile de apă sub un unghi fix în func- ție de lungimea de undă (de culoare), din care cauză lumina Soarelui într-un curcubeu apare în culori diferite. Centrul curcubeului coincide punctul de pe cer de la care se poate concluziona că înălțimea Soarelui deasupra orizontului în momentul de filmare a fost de 8°. Mai mare fiind deasupra orizontului Soarelui și este mai mică scăzând sub orizont, față de centrul cercului. La înălțimea Soarelui deasupra orizontului, de 41°și mai sus este posibil să se formeze un curcubeu.

5. Găsiți coordonatele navei. Egal graﬁce reprezentând izmeneieto înălțime de soare a lungul timpului. Petreceți o curbă prin punctele de rezultat. Determinați înălțimea sa maximă, care se ridica la marginea inferioară a slanchv disc vizibil. Este hmax 68.9 . Dacă 15  48 este raza aparent unghiulară a Soarelui, înălțimea maximă deasupra orizontului centrul său este hhmax max 69.163 . Apoi latitudinea barca va ﬁ

90 hmax  . În cazul în care δ este declinație a Soarelui. Având în vedere de pe pagina noastră pentru iunie 2008 în Almanahul Astronomic, vedem că 224 declinație de duminică la 0h UT la 2 iunie a fost de 22°12’, iar la 3 iunie a fost de 22°20’. Din graficul vom găsi că Soarele se afla în punctul culminant superioară în jurul 10h UT pe 2 iunie. Prin interpolare găsim declinație lui din acest moment: 10h 22  12  22  20  22  12  22  15 24h Astfel, obținem: 42  57 Longitudine pot găsi, vom determina ora exactă când soarele koato a fost punctul culminant în sus. Noi facem acest lucru prin intermediul graficului folosind metoda coardă. Bazându-se pe informațiile primite de la seria noastră de curba de coardă și se determină mediile lor. Petreceți linie dreaptă prin aceste puncte și de a defini punctul de mijloc în care se intersectează cu curba. Acest punct corespunde cerin- țelor timpului nostru. Datorită simetrie a curbei întocmite în linia noastră de mijloc de coardă este perpendicular pe axa de timp. La punctul în care intersectează axa timpului stabilește momentul culminant superioară a Soarelui. Este T  10hms 03 22 h UT. Momentul culminant superioară a Soarelui trebuie să fie T1  12 Ora locală.

Compararea timpului două pot presmetnem longitudine: TT1   unde ecu- ația de timp este egal cu timp solar mediu minus adevărat. Diagrama dată de ecuația de timp, totuși, că pe 2 iunie este aproximativ egală cu 0. latitudine ﬁnal de a obține: 20322hms Am stabilit coordonatele barca arată că marinarii Alex și Michael au fost deja destul de aproape de Bulgaria și este situat în natal Mării Negre.

Formarea stelelor 11 3 Un nor de H2 cu raza de 100 pc, concentrația de n = 10 molecule/m și temperatura de T = 10K se aﬂă între 2 brațe ale galaxie noastre. Calculați masa Jeans în mase solare luând pentru constantă valoarea 3 · 104. Câte stele cu această masă 225 se pot forma din fragmentarea acelui nor? O regiune din acel nor cu raza de 1an lumină se rotește cu o perioadă de 1000 ani. După un timp pe care trebuie să-l cal- culați ajunge, prin colaps gravitațional, să aibă raza de 0,4 UA când începe perioada de variabilă T Tauri. În această perioadă elimină excesul de moment cinetic pe direcția axei de rotație pierzând 20% din masa Jeans inițială. La sfârșitul acestei perioade contracția gravitațională continuă ajungându-se la o stea cu raza de 1,4 raze solare și perioada de rotație de 30 zile. Să se calculeze pierderea de moment cinetic (sub formă de raport) din timpul perioadei de variabilitate T Tauri. (Se va lua pentru momentul de inerție al norului I = 2/5 · MR2, iar momentul cinetic este produsul dintre momentul de inerție și viteza unghiulară)

Rezolvare: Din teorema virialului se deduce că masa minimă pentru a se forma o stea T 3 numită masă Jeans depinde de temperatură și concentrație după legea M ~ . J n T 3 Introducând constanta vom avea MMM3104  3 ...... 0,5p J n  Pentru a determina câte stele cu această masă se pot forma trebuie să calculăm –15 masa norului. Astfel se calculează mai întâi densitatea ρ = 2 · mH · n = 0,33 · 10 kg/ m3 care se înmulțește cu volumul norului obținând M = 205 mase solare. Astfel că din acest nor se pot forma 68 stele cu masa de 3 mase solare...... 1p Timpul de contracție pentru norul de 24,5pc se găsește aplicând legea a 3-a a lui Kepler, unde pe post de semiaxă mare este jumătate din raza norului și se găsește 9,2 milioane ani ...... 0,5p Momentul cinetic înainte de perioada T Tauri va ﬁ 2 2 4MR1 12M  63,27UA L1  ...... 1p 5T1 5000ani Cum o unitate astronomică este 215 raze solare iar 30 zile înseamnă 0,082 ani 2 1 2 12M  UA 4MR2 215 se poate scrie L2  ...... 0,5p 50,41aniT2

Raportând cele 2 valori de moment cinetic se obține că L1/L2 = 15173,5 . . 0,5. Din oﬁciu 1p.

Simularea probei teoretice

Timp de lucru: 4 ore

1 Două olimpiade În mijlocul celor două concursuri organizate în regiunea Krasnodar - Olimpiada de Astronomie (Anapa, 08.04.2010) și la a XXII-a ediție a Jocurilor Olimpice de 226 Iarnă (Soci, 15.2.2014), un obiect Neptunian a fost observat pe o orbită circulară în același punct de pe cer (relativ la stele). Găsiți raza minimă posibilă a orbitei acestui obiect. Orbita Pământului poate ﬁ considerată tot circulară, astronomic neglijată ca dimensiune comparativ cu orbita obiectului.

2. Mercur La polul nord a planetei Mercur s-a stabilit un cadran solar orizontal. Cum evo- luează viteza unghiulară (în grade/zi pământești) a umbrei coloanei verticale intr- o zi mercuriană? Poate un astfel de ceas să ofere informații corecte despre timp? Mercur se mișcă în jurul Soarelui pe o orbită eliptică cu o excentricitate de 0,205 și o perioadă orbitală de 88 zile. Rotația în jurul axei lui Mercur face 2/3 din perioada orbitală în același sens. Planul ecuatorului al lui Mercur coincide cu planul orbitei sale, relieful planetei nu se ia în considerare.

3. Fotbal cosmic Pe suprafața sferică a unui asteroid cu raza de 1 km și o densitatea de 3 g/cm3 se aﬂa un mare teren de fotbal. Porțile au lățimea de 7 metri și înălțimea de 3 metri, ﬁind instalate la polii asteroidului. Mingea este exact pe linia porții la mijloc. Ce valoare și orientare are viteza șutului de la o poartă, astfel încât să intre în poarta opusă fără a atinge suprafața asteroidului în zbor? Rotația asteroidului se neglijează.

4. O eclipsă inelară Pe Pământ începe o eclipsă inelară totală. La începutul eclipsei pe centrul benzii de totalitate eclipsa inelară durează 20 de secunde. La ce altitudine minima deasupra orizontului de pe Pământ se va vedea o eclipsă totală? Refracție este neglijată.

5. Doi sori. Un ipotetic Pământ are nu unul, ci doi sori, identici cu Soarele nostru. În acest sistem de stele duble planeta este situata într-unul din punctele lui Lagrange, care formează un triunghi echilateral cu două stele. Masa planetei este mult mai mică decât masele stelelor, deci stelele nu sunt afectate gravitațional de prezența sa. Caracteristicile sistemului: Raza planetei este aceeași cu cea a Pământului. Planeta primește de la cei doi sori aceeași cantitate de energie radiantă pe unitatea de timp si de suprafața, câtă primește Pământul de la Soare. Cerințe: Găsiți în unități astronomice latura triunghiului echilateral format de stele si planeta. Găsiți perioada orbitală a sistemului, în anii de-ai noștri. Perioada de rotație a planetei este de 66 de ore, iar axa sa este perpendiculara pe planul orbitei. Determinați durata de zi și durata de noapte pe planeta. Nu se tine cont de refracție.

6. Eclipse pe Jupiter Astronomul Daniel Tsvetkov când era tânăr a stat acasă cu un picior luxat și a observat printr-o fereastră, cu un telescop, pe Jupiter la opoziție. La 0h UT Daniel 227 a observat eclipsarea lui Callisto de către Jupiter. Apoi a început a calcula când se vor întâmpla eclipsările viitoare. Estimați timpul între două eclipse ale lui Callisto, știind că perioada orbitală a lui este de 16,689 zile. Mai târziu, când Jupiter era la conjuncție, din nou Daniel a observat eclipsarea lui Callisto, dar a constatat că acestea au loc mai târziu cu 455s decât cele calculate la datele anterioare (când planeta era la opoziție). El știe că, observații similare a făcut în secolul al 19-lea astronomul danez Ole Ryomer și a determinat viteza luminii. Refaceți calculul acestuia. Context: Perioada orbitală a lui Jupiter 11,857 ani; Raza lui Jupiter 778,3 × 106 km; Raza orbitei Pământului 149,6 × 106 km

7. Supernova nebuloasă Bright vizibilă pe o întindere de un 1°este o rămășiță a unei explozii de supernovă care a avut loc acum 10.000 de ani. Nebuloasa este iluminată de stele calde de clasa spectrală O (temperatura unei stele de clasă spectrală O este de aproximativ 50000 K) situate foarte în apropiere, a căror strălucire este de 3 magnitudini. În nebuloasa linia de hidrogen Hα se extinde într-o zonă de lungimi de undă 6541–6585 Ångströmi. Evaluează dimensiunea liniară a nebuloasei și distanța până la ea. Determină raza unei astfel de stele în raze solare cunoscând magnitudinea abso- lută, luminozitatea și temperatura Soarelui. Context: magnitudinea absolută a Soarelui 4,76 magnitudini, temperatura foto- sferei T = 5778K, luminozitatea L = 3,83x1026W

8. Cer nefamiliar Astronauți au ajuns pe suprafața unei planete locuibile. Ei privesc cerul noaptea și au văzut un satelit natural al planetei, precum și o alta planetă situată mai aproape de steaua centrală. Perioada sinodică a satelitului și planetei par a se potrivi (sunt egale) si mai mult perioada siderală a planetei este jumătate din perioada side- rală a satelitului. De câte ori planeta interioară este mai aproape de steaua ei decât planeta de pe care s-au făcut observațiile? Toate orbitele circulare sunt coplanare.

9. „Revolta de pe Elsinore” (Н.I. Petrov) „Steaua Sudului, a fost vizibilă mult timp pentru cel puțin câteva săptămâni. Steaua Polară este ascunsă în spatele Pământului iar Ursa Mare aproape in totalitate, înălțimea oricărei stele din ea este foarte mică chiar și la culminație superioara. În curând va dispărea și ne-am apropiat de Strâmtoarea Magellan”. Având această descriere a cerului din cartea lui Jack London „Revolta de pe Elsinore” să se determine care este latitudinea de navigație. 228 Propuneri de probleme pentru selecția loturilor României pentru olimpiadele internaționale de astronomie și astroﬁzică

1. Giganta roșie: când Soarele va avea vârsta de 10 miliarde ani și hidrogenul său se va ﬁ terminat, va crește în dimensiuni atingând o rază de 175 ori mai mare, iar luminozitatea lui va ﬁ de 2900 ori mai mare. Ce temperatură va avea Soarele atunci la suprafață? În același timp prin scăderea gravitației la suprafața sa, va începe să piardă pe rând straturile externe si masa lui se va diminua treptat. Prin urmare Pământul se va găsi proiectat la 1,7 UA. Calculați noua perioadă a Pământului și masa pe care o va avea atunci Soarele. Ce diametru aparent va avea discul solar atunci? Se consideră că datorită desfășurării lente a situației orbita Pământului își păstrează excentricitatea.

Rezolvare: Calculăm temperatura din luminozitate: 24 4 LR  T2  T  2900 175  TT 0,5547 3200K LR  T   T  Aplicăm conservarea momentului cinetic: viteza areolară este aceeași 2 aa22'' a TT' 2,89ani TT'  a . Aplicăm acum legea a III-a a lui Kepler 22 23 MT M'' T Ta' a 33MM' M  0,588 M  aa''' Taa 175 raze solare înseamnă aprox. 120 mil. km iar 1,7 UA înseamnă 255 mil. km ceea ce înseamnă că marginea Soarelui va ﬁ la 135 mil. km de noi și vom vedea nu dia- 120 metrul său ci o coardă. Diametrul unghiular al Soarelui va ﬁ: 256arctg 255 Telescopul spațial James Weeb:

O rachetă Ariane 5 va transporta telescopul spre punctul L2 al sistemului Soare – Pământ unde îl va plasa pe o orbită în jurul acestui punct, situată în plan perpendicular pe cel al elipticii. Unde se află punctul Lagrange 2? Inițial telescopul va face o preluare simbolică de ștafetă făcând câteva ture pe orbita lui Hubble aflat a 600 km deasupra Pământului. Ce elemente are orbita de transfer? Câtă energie și cât moment cinetic primește satelitul pe traseul orbitei de transfer? Calculați în ce limite se află accelerația centripetă a mișcării lui în planul orbitei sale, cunoscând dimensiunile acestei orbite: 2×800.000 km în planul eclipticii și 2×250.000 km perpendicular pe acesta. Ce excentricitatea are orbita? Această orbită este parcursă în 6 luni cu corecții de traiectorie la 3 luni. Corecțiile sunt necesare și datorită presiunii radiației solare pe panourile de protecție care asigură o temperatură de lucru de 40K. Cunoscând ca acest panou e confecționat din 5 foi suprapuse de forma rombo- idală cu diagonala de 22 m și un unghi de 60 grade, calculați accelerația imprimată 229 telescopului cu masa de 6,5 tone de presiunea radiației. Cum scade temperatura de la o foaie la alta? Care este temperatura ultimului strat în ipoteza răcirii exclusiv pasive? Care este modificarea de înclinare a orbitei, între 2 corecții realizate când telescopul se află pe axa mare a orbitei sale, datorată presiunii radiației? Se dau: masa Soarelui, masa Pământului și distanța dintre acestea.

Rezolvare: Să determinăm mai întâi poziția punctului Lagrange 2 știind că acesta se aﬂă pe orbită sincronă cu Pământul în jurul Soarelui

În L1: FFFSPC111, în L2: FFSPC22 F 2, iar în L3: FFSPC33 F 3 unde: GM m GM  m GM  md F  12 1 S1 22rr2  rd 1 2 d1  r 1 r cu m = masa satelitului plasat într-un astfel de punct GM m GM  m GM  md F  12 2 S2 22rr2  rd 2 2 d2  r 1 r GM m GM  m GM  md F  12 3 S3 22rr2  rd 3 2 d3  r 1 r GM m GM m  ,  și FP1  2 FP2  2 d1 d2 GM m GM  m GM  mdd GM  m  F   1233    1 , P3 22424rrrr22  2rd 3 2 d3   41r  2r 230 iar în forța centrifugă înlocuim perioada cu cea din legea a III-a a lui Kepler scrisă 42 GM pentru Pământ: 2   , atunci: Tr23 GM m GM  m d 2 1 , FC11 m rd 32  rd 1  1 rrr GM m GM  m d 2 2 și FC22 m rd 32  rd 2  1 rrr

2 GM m GM  md3 FC33 m rd 32  rd 3  1 rrr Înlocuim în relațiile de echilibru ale forțelor și vom avea:

GM mdd11GM m GM  m  22212     1 rrdrr1  și aranjând termenii vom obține

GM m d1 GM m33 M 3 2233  dM11   rM   d  r   1,5. milkm și rrd1 3 M

GM mdd22GM m GM  m  22212     1 rrdrr2  și aranjând termenii vom obține:

GM m d2 GM m33 M 3 2233  dM22   rM   d  r   1,5. milkm, rrd2 3 M iar în L3:

GM mdd33GM m  GM  m  d 3 22212    1    1 rrrrrr4   și aranjând termenii vom obține:

GM mdd33GM m M M dd 33 M 22222133      444rrrrrrrrr

M M de unde dr4  r 37,4 km 3 M 12MM 3M     4 Găsim astfel că distanța de la noi la L2 este 1,5 mil. km și atunci distanțele la perigeu și apogeu ale orbitei de transfer vor ﬁ 6978 km și respectiv 1,5 mil. km ceea ce va da 753.489 km pentru semiaxa mare și 0,99 pentru excentricitatea orbitei de transfer. GMm Energia totală a mișcării orbitale este E  și vom avea t 2a GM m GM m E   pentru orbita situată la 600 km și E   pentru t1 2 Rh t2  2(adL2 ) 231

2ma2 orbita punctului Lagrange. Momentul cinetic este Lm2v   unde v ar T ar este viteza areolară în cazul unei orbite circulare și vom avea nevoie atunci de perioada pe prima orbită. Mișcarea pe orbita in jurul punctului Lagrange cu semiaxa mare de 800.000 km se datorează accelerației centripete pe care o calculăm ca ﬁind proiecția pe plan perpendicular pe ecliptică a forțelor de atracție din partea Soarelui și Pământului în punctul L2

F 800.000kmF 800.000 km a   unde a = 800.000 km este semiaxa cp mkmmkm150.000.000 1.500.000 FGM FGM mare a orbitei în jurul lui L2, iar  și  de unde obținem: 2 m 2 mad() L2 dL2 GM GM a 0,005(3)  0,5(3)  cp ()ad 2 2 L2 dL2 pentru poziția telescopului pe axa mare a orbitei sale și FGM250.000kmFGM 250.000 km   a   0,001(6)   0,1(6)   cp mkmmkmad150.000.000 1.500.000 ( )2 2 L2 dL2 pentru poziția telescopului pe axa mică 82,522 Excentricitatea orbitei telescopului este e 0,95 8 Aria trapezului cu diagonala de 22 m și unghi de 60°este egală cu produsul diagonalelor S = 242m2 și atunci accelerația produsă de presiunea radiației este P  S a  rad . Temperatura scade de la o foaie la alta pentru că ﬁecare foaie primește m energie pe o fața și cedează pe ambele fețe astfel că ﬂuxul pe care îl trimite spre următoarea foaie este jumătate din cel primit. Astfel că ținând seama de numărul 232

TT4 de plăci vom avea TT4 initial initial pentru temperatura ultimei plăci final224 final pornind de la cea expusă radiației solare.

Faza lui Venus În 17 aprilie 2010 (η = 0m25s) la ora 21:30 observam din Oradea (φ = 47°4’33’’N, L = 21°54’26’’E) Luceafărul de seară și Luna. Astrul nopții era la înălțimea de 30 grade deasupra orizontului iar planeta la 15 grade, diferența de azimut între acestea ﬁind de 9 grade. Luna prezenta un frumos corn cu grosimea egală cu jumătate din raza ei. Calculați fazele celor 2 aștri și longitudinile lor heliocentrice. Cât este elongația lui Venus? Cunoscând semiaxele mari ale orbitelor acestora (0,7UA și 1/400UA) și albedourile lor (0,6 și 0,12), determinați magnitudinile momentane ale celor 2 aștri, raportându-vă la cea a Lunii pline (–12,7) și cunos- când razele lor (6000 km și respectiv 1737 km). Ce dimensiuni are cornul lui Venus (în secunde de arc)?. Se consideră cele 4 corpuri în același plan, cel al eclipticii. Determinați faza planetei și poziția acesteia pe orbita si fata de Pământ. Estimați magnitudinea Lunii in momentul in care a fost făcută fotograﬁa cunoscând-o pe cea a Lunii pline (–12,74)

Rezolvare: Calculăm coordonatele ecuatoriale ale Soarelui în acea zi: sin sin  sin  28 unde  90  27,4  este longitudinea geocentrică a Soarelui și obținem δ = . 92 hhh Aplicăm acum tHl  12 L 2 1 de unde scoatem unghiul orar al Soarelui. Construim triunghiul de poziție și determinăm din el înălțimea Soarelui (sub orizont) și unghiul paralactic. Asta ne permite sa determinăm distanța unghiu- lară de la Venus la Soare văzute de pe Pământ ceea ce reprezintă elongația. Aplicăm apoi teorema sinusului și determinăm unghiul de fază si de aici putem calcula faza planetei. Din forma cornului Lunii calculăm unghiul de fază și obținem 120°ceea ce ne permite calcularea fazei Lunii. Apoi calculam longitudinile heliocentrice ale celor 2 corpuri ținând seama că Pământul s-a mișcat de la echinocțiu pe traiectorie cu un unghi egal cu longitudinea calculată mai sus pentru Soare. Pentru magnitudini calculăm mai întâi aria suprafeței pe care o vedem noi ilumi- nată de la Lună și de la Venus. 233 Avatar Analizați din punct de vedere astrofizic realismul filmului cunoscând: sistemul αCen are 2 stele cu perioada de 80 ani situate la distanțe între 11 si 36 UA. Ce masă are componenta B și cât este excentricitatea orbitei? αCenA are temperatura de 5800K, 1,09 mase solare și 1,2 raze solare. Planeta Polypheme de dimensiunea (R = 60.000km) și densitatea lui Saturn (0,5g/cm3) se vede de pe Pandora ca având diametrul unghiular de 25°. Pandora are 1012 arbori pe toata suprafața uscatului sa care este 1/3 din cea a satelitului. Considerând că pe un hectar pot crește în medie 100 arbori determinați dimensiunea satelitului cu densitate simi- lară Pământului și calculați atracția ei gravitațională. Stabiliți dacă gravitația acesteia poate reține atmosfera bogată într-un gaz pe care trebuie să-l intuiți ținând seama de următoarele aspecte: te sufoci in 20 secunde și vegetația este luxuriantă. La ce distanță este Pandora de Polypheme și la ce distanța este acesta de stea pentru ca temperatura sa fie similară celeia de pe Pământ? Cât durează ziua (cu noapte cu tot) pe Pandora? Ce magnitudine are steaua B (T = 5260K si R = 0,865 raze solare) văzută de pe Pandora când e la opoziție maximă și sub ce diametru aparent se vede? Cât durează o eclipsă totală a lui αCenA în ipoteza unei orbite coplanare și cât de dese sunt eclipsele? Planeta se vede tot timpul la orizontul satelitului. Ce faze are ea în timpul nopții și respectiv al zilei? De ce s-au stabilit Na’vi in acea regiune a Pandorei? Ce magnitudine are planeta văzută de pe Pandora la faza plină ști- ind că albedoul Lunii este ¼ din cel al planetei?ce magnitudine are αCenA? Există noapte reală pe Pandora? Considerând că numărul moleculelor din atmosferă este 1041 calculați presiunea atmosferică.

Rezolvare: Semiaxa mare este 26,5 UA iar excentricitatea 0,53. Masa sistemului este 1,9 mase solare așa că masa componentei B este 0,79 mase solare. Polypheme se află la 270.000 km de Pandora. Ca să fie aceeași temperatură ca pe Pământ trebuie ca poziția lui Polypheme să fie de 1,2 UA, ceea ce înseamnă că perioada siderală a lui Polypheme este 1,259 ani. Suprafața satelitului este 3*1014m2 ceea ce da 2387 km pentru raza lui. Masa lui 5% din a Pământului. Gravitația lui va fi atunci 37% din cea terestră. Se deduce ca predomină CO2 cu masa molară de 44g vom putea atunci calcula viteza termica (583m/s) ca sa o comparăm cu cea de evadare (0,36*vII, unde vII este a doua viteză cosmică). Deci satelitul poate reține atmosfera bogată în CO2. Perioada de revoluție este 1,66 zile solare medii sau 40 ore și datorită apropi- erii de planetă apare sicronismul ceea ce face ca și perioada de rotație să fie tot 40 ore. Eclipse ar fi în fiecare zi seara (daca locația este în emisfera vestică) sau dimi- neața (daca locația este în emisfera estică). Pentru a calcula durata totalității trebuie să calculăm lungimea conului de umbră al planetei (13,80923 mil. km) și unghiul acestuia (14’56,2”) apoi lărgimea lui la locul satelitului (58.826,4km) ceea ce dă un unghi pe care trebuie să-l parcurgă planeta de 25°10’7”. Eclipsele sunt zilnice în aceasta ipoteză și durează 2h47m4s. Planeta are faza de pătrar la amiază și la miezul nopții și e plină la răsărit (emisfera estică) și la apus (emisfera vestică), respectiv nouă la apus (emisfera estică) și la răsărit (emisfera vestică) – adică în timpul 234 unei nopți cunoaște toate fazele, pentru că Na’vi s-au așezat acolo unde planeta e la orizont și accelerația mare- ică a planetei este minimă și atracția acesteia este orien- tată pe orizontală ceea ce micșorează riscul cutremurelor și al erupțiilor vulcanice adică pe marginea discului satelitului văzut de pe planetă. La opoziție maximă αCenB se află la 9,8 UA și se vede sub diametrul unghiular de 2,84’ = 2’50”și are luminozitatea de 0,506 luminozități solare și va avea o strălucire de 5,26864*10–3 strălu- ciri solare aparente ceea ce dă o magnitudine cu 5,7 mai mică decât a Soarelui adică va avea –21. Magnitudinea lui αCenA este egală cu cea a Pământului –26,7 iar cea a planetei la faza plină este cu 10 magnitudini mai mare decât cea a Lunii –22,7, ceea ce înseamnă că pe Pandora practic nu e noapte, mai ales din cauza planetei. Presiunea este de 3,7 atm. Sistem binar și planetar: Sistemul HW Virginis situat la 590 ani lumină de noi are 2 stele și 2 planete. Determinați masele celor 2 stele, excentricitatea orbitei și semiaxa mare a sistemului folosind curba de viteză de mai jos (unde presupunem ca planul orbitei conține raza vizuală – și va trebui să precizați cu care axă este paralelă raza vizuală), apoi determinați excentricitățile, semiaxele mari și perioadele orbitale ale celor 2 planete folosind imaginea alăturată a orbitelor acestora. Ce unghi este între semiaxele mari ale celor 2 planete? Din curba de lumină încercați să determinați razele stelelor. De ce palierul nu este orizontal? Descrieți cele 2 eclipse. Determinați luminozită- țile și temperaturile celor 2 stele. Să se stabilească daca are loc transfer de masă între stele. Ce distanță unghiulară maximă este între cele 2 stele văzute din sistemul planetar? Determinați distanța minimă dintre cele 2 planete și după cât timp se va întâmpla asta din momentul surprins în figură. (sensul mișcării de revoluție este cel trigonometric)

Rezolvare

Măsurând pe curba de viteză obținem v1 = 246km/s = 51,93UA/an și –4 v2 = 86,7km/s = 18,3UA/an și T = 2,4h = 0,1zile = 2,73785*10 ani de unde putem vT calcula distanțele celor 2 stele față de centrul de masă r 1 22,628  104 UA și 1 2 235

vT r 2 7,974 104 UA și atunci semiaxa mare a sistemului binar va ﬁ 2 2 30,6*10–4UA = 4.577.760km. Aplicând legea a 3-a a lui Kepler determinăm masa sistemului

MM120,38 M iar raportul maselor este egal cu raportul invers al distanțelor Mv la centrul de masa care este tot același cu raportul vitezelor 212,84 . Mv12 Din acest sistem determinăm masele celor 2 stele M1 = 0,1 mase solare și M2 = 0,28 mase solare. Alura curbelor de viteză corespunde paralelismului între axa mică si raza vizuală.

Se măsoară pe elipse și se determină elementele lor: a1 = 3,6UA si a2 = 5,36 UA semiaxe mari care fac un unghi de 30°, apoi b1 = 3,43UA si b2 = 4,7UA, excentri- citățile ﬁind e1 = 0,31 si e2 = 0,45. Se determină poziția unde distanța dintre orbite este cea mai mică si se măsoară unghiul față de poziția de periastru: se găsesc valorile θ1 = 90°si θ2 = 60°și se înlocuiesc în formula elipsei calculând distanțele la care se aﬂa planetele față de centrul de masă al sistemului binar: 2 2 ae111 ae2 1 r1 3,254UA și r2 3,49UA . 1cose11  1cose22  Vom obține atunci o distanță de 0,3547UA = 35,2 mil. km. Având acum masa sistemului și semiaxele mari ale orbitelor putem calcula perioadele de revolu-

ție ale celor 2 planete: T1 = 11ani si T2 = 20,13ani. Pozițiile planetelor sunt astfel încât unghiul dintre ele este 128°. Planetele vor ﬁ la distanța minimă după t un timp pe care-l determinăm astfel: 2nm 2  128  tmT   m  2 T t tt 2 tnTn 1   de unde vom obține ecuația: 2 2 128 și vom T 1 TT12 128 TT determina: t 12 8,62ani 360TT21 Distanța unghiulară maximă dintre stele se va realiza când prima planetă e la periastru (r = a1(1–e1) = 2,484UA), iar stelele au semiaxa mare a sistemului per- pendiculară pe cea a planetei. Atunci distanța unghiulara dintre stele este de 4’14”. Din alura curbei de lumină se deduce că razele stelelor sunt apropiate ca valoare. Pe curba de lumina măsurăm adâncimea ﬁecărui minim (0,05m și 0,37m) și lăr- gimea lui la bază și sus pe care le comparăm cu perioada pentru a obține durata eclipsei (≈1/4h = 15,23min) și a totalității ei (1,523min) din care vom putea calcula 15,23min razele stelelor: 2RR  2 a  RR 1521038,84km și 122,4h 12 1,523min 2RR  2 a  RR 152103,88km 122,4h 12

RR1 836571,36km  1,2  și RR2 684467,48km 0,98  . Platoul nu este orizontal datorită reflexiei luminii stelei mai fierbinți la suprafața stelei mai reci, la eclipsa mai puțin adâncă steaua fierbinte fiind în fața iar la cea mai adâncă 236 steaua mai rece este în față. Cum razele sunt apropiate vom presupune mai întâi că steaua mai mare este cea cu masa mai mare și temperatură mai mare, întru- cât cele 2 stele s-au născut deodată și cea mai mică este deformată mai mult de atracția celei mai mari, crescându-și astfel dimensiunea mai mult decât cea mare (de fapt amândouă suferă o umflare datorită interacției gravitaționale mutuale). Astfel minimul eclipsei mai puțin adânci corespunde magnitudinii stelei mai mari și mai calde, iar scăderea de magnitudine (0,1m) corespunde luminozității stelei mai mici și nu este așa de pronunțată din cauza reflexiei de pe aceasta a radia- ției emise de steaua mai fierbinte. Vom stabili astfel că magnitudinea aparentă a sistemului este 13,5m și ținând seama de distanță ne da 7,2m pentru magnitudinea absolută a lui care corespunde sumei luminozităților (0,106 luminozități solare). Scăzând 0,1 vom obține magnitudinea stelei mai mari și mai calde și de aici luminozitatea ei: 0,097 luminozități solare. De aici luminozitatea celeilalte stele este 0,009 luminozități solare. Scăderea mai mare a luminozității (0,74m) corespunde eclipsă- rii stelei mai calde și mai mari de steaua mai mică și mai rece. Acum dacă presupunem invers ca steaua mai rece este mai mare decât cea caldă vom avea 0,054 luminozități solare pentru steaua rece 0,052 pentru cea caldă, rezultat care ar da valori apropiate pentru temperaturile stelelor întrucât și razele sunt de valori apropiate și atunci nu se mai explică discrepanța dintre cele 2 minime. Deci numai prima variantă e valabilă. Să determinăm temperaturile: scriem luminozitățile ste- 24 24 24 lelor și cea a Soarelui: LRT1114  , LRT2224  și LRT4  și rapor-

R L1 R L2 tându-le obținem: TT1  4 3527 K și TT2  4 1759 K. RL1  RL2  Pentru a determina daca are loc transfer de substanță între stele trebuie să deter-

11M 33 minăm limita Roche a ﬁecăreia dR11221,07  R 2  R respectiv 22M

22M 33 dR22221,75 R 1  R de câteva ori mai mici decât distanța dintre 11M stele deci nu are loc transfer de masa de la o stea la alta.

Problemă Satelitul misiunii WISE (Wide-ﬁeld Infrared Survey Explorer) evoluează pe o orbită circulară polară ce rămâne mereu în planul ce separă ziua de noapte. Perioada lui de revoluție este 95 min. Să se determine câte orbite face pe zi (15) și ce unghi este între orbite 2 orbite succesive. La ce înălțime se aﬂă? (326 miles = 525 km). Ce înclinare are planul orbitei față de ecuator? (97,5°). Calculați viteza satelitului, energia cinetică, potențială și totală și momentul lui cinetic cunoscând care are masa de 750kg.

Răspuns: Nr. de orbite pe zi = 15; Înălțime = 525 km; Înclinare = 97,5° 237 Problemă Pornind de la datele de mai jos determinați mersul planetei Marte pe bolta cerească stabilind punctele de stație și cele de opoziție și conjuncție precum și momentele corespunzătoare. Desenați traseul planetei printre constelații și deter- minați elementele orbitei lui Marte și a Pământului (a, e, unghiul dintre semiaxe) cunoscând momentele de periheliu (3/4 ian.) și afeliu (3/4 iul.)

Precizați pe harta cerului constelațiile cunoscute. Precizați poziția planetelor și a Lunii, în seara zilei de 14 februarie 2004. 238

Rezolvare: Găsiți răspunsurile în harta următoare

HERCULES

LIRA

DRAGONUL LEBADA

URSA MICA PEGAS

URSA MARE STEAUA POLARA CASIOPEA

VENUS JUPITER PERSEU LEU PESTI   CORONA BOREALIS MARTE

CANCER SATURN SEXTANT   ORION

ERIDANUS 239 Problema 3 Determinați la care latitudine nu este noapte astronomică la data de 23 februarie. (Noaptea astronomică începe după ce Soarele apune la 18 grade sub orizont).

Rezolvare Noaptea astronomică nu va veni pe latitudinile unde Soarele chiar și în partea de jos culminația nu va scădea sub 18°sub orizont. Pentru rezolvare vom utiliza convenabil o diagramă care arată sfera cerească. Gândiți-vă la emisfera nordică pentru declinația δ și altitudinea φ, care este h 900 . Să definim declina- ția Soarelui la 23 februarie. Pe 22 decembrie, solstițiul de iarnă în 1923 are decli- nația Soare negativă și în valoare absolută este numeric egal cu panta eclipticei la ecuatorul ceresc, adică –23,°5. Pe 22 martie declinația echinocțiului de primă- vară este 0°. Presupunem că rata de schimbare a declinației este constantă (eroarea va fi mică). Apoi declinația Soarelui pe 22 februarie va fi aproximativ egală

60 0 cu 23,5 23,5  8 (conform cu calendarul astronomic –10°). Latitudinea la care 90 apune Soarele la 180 sub orizont va fi de φ=90–h–δ = 90°–18°–(–8°) = 80°. În mod similar se calculează în punctul culminației inferioare a Soarelui în emisfera sudică. Găsim că în emisfera sudică noaptea astronomică va fi la latitudinea nordică de 64°. Răspuns final: Noaptea astronomică din 23 februarie nu a apare în regiunile circumpolare a Pământului (aproximativ latitudine –90°<φ<–64° și 80°<φ<90°).

Problema 4 Harta arată un fragment de diagramă stelară. Ce constelație (constelații) sunt descrise pe ea? Ceea știi despre el (despre ele)? Vă rugăm să le marcați pe figura dată. Ce știți despre obiecte astronomice specificate pe hartă. Uniți stele principale pentru a obține forma constelațiilor și apoi desenați limitele aproximative ale constelațiilor. 240 Rezolvare: Pe harta dată se vede constelația Orion. Trebuie să indicați numele constelații- lor, numele stelelor strălucitoare: Betelgeuse, Rigel, Bellatrix. Se poate trasa Marea Nebuloasa din Orion (M42) și asterismul numit centura Orion. Unele obiecte (puncte pe hartă) pot fi observate pentru constelația Taurul, care prezintă două obiecte luminoase: Aldebaran și nebuloasa M1

Problema 5 Harta arată un fragment de diagramă stelară. Ce constelație (constelații) sunt descrise pe ea? Ceea știi despre el (despre ele)? Vă rugăm să le marcați pe ﬁgura dată. Ce știți despre obiecte astronomice speciﬁcate pe hartă. Uniți stele principale pentru a obține forma constelațiilor și apoi desenați limitele aproximative ale constelațiilor.

Rezolvare: Harta prezintă constelația Cygnus. Va trebui să indicați numele stelei Deneb (la coada de Cygnus), Albireo (șeful Swan) – celebra și frumoasa stea dublă, clusterele deschise M29 și M39. În plus, putem se poate indica M57 din Lyra, cu cele patru stele ε Lyrae, cluster globular M56 din Lyra și Nebuloasa Dumbbell (M27). 241 IOAA–2010 CHINA Pregătirea Lotului Restrâns a României Călimănești-august – 2010

Simularea probei Teoretice

Partea I (15 probleme – 300 puncte) Problema 1. Considerând modelul newtonian de Univers, aﬂați: a) Ecuația evoluției Universului și tipurile de soluții; km b) Durata expansiunii Universului: H  72,1 . sMpc Rezolvare: m este masa unei galaxii M M este masa Universului 1 GmM m Emv2 este energia totală t 2 Rt R(t) a unei galaxii la un moment t. 1 GmM Emv2 este energia totală t0 0 2 Rt00 a unei galaxii la un moment t0. Din conservarea energiei: 1 GmM 1 GmM 1 GM 1 GM E  E  mv2  = mv2  v2 = v2  t t0 0 0 2 Rt 2 Rt00 2 R 2 R0 Din conservarea masei MM3    4R3 4R3   33 1 2 1 2 GM GM 3  RR 00 v = v0  2 2 RR 3M  0 0 3  4R0  dR dR Dar vR , iar v  0 = RHR  dt 0 dt 000 33 11 222GRGR0044  ⇒ RHR00 22  22 3RR0 3 GR 2 GR 2 Avem RHR  22 – 8 00 8 00 33 RR23R2 ⇒ RHR 222 – 8 000GG8  ⇒ 00 330 R3 33 GR33 RG3 H 2  22 GR00  R 0  00  0 0 ⇒ RHR00 88 O G ⇒ R 880 33R 338Rg 242

2 3H0 ecuația de evoluție a Universului, unde am notat cu c și care este densitatea critică a Universului. 8G crit I). Dacă 00- soluția este periodică, expansiunea Universului (funcția R(t)) atinge un maxim, după care urmează contracția ( R 0, ) care va produce un nou Big Bang, apoi evoluția se repetă ciclic. Acest model de Univers este pulsatoriu. crit II). Dacă 00, atunci după explozia Big Bang Universul se dilată la nesfâr- șit. Graficul funcției R(t) este un anumit tip de perioadă de aceea modelul corespun- zător se numește Univers parabolic. crit III). a) Dacă 00, atunci după explozia Big Bang universul se dilată la nesfârșit, cu o cu o viteză mai mare ca în cazul II. Soluția R(t) se exprimă prin funcții hiperbolice, de aceea acest model se numește Univers Hiperbolic. b) Din ecuația de evoluție a Universului se poate calcula derivata de timp care a trecut din momentul când densitatea Universului era foarte mare (teoretic infi- nită) până în momentul actual. Această durată t0 se numește durata expansiunii 1 Universului t0  H0 Problema 2 Să se afle fluxul de radiație emis în procesul de acreție în cazurile: a) relativist; b) clasic.

dM 3 M Se cunoaște viteza de captare a masei 210 , iar MM 50  este masa corpului care captează masa. dt s

Rezolvare Fluxul de energie emis în procesul de acreție. a) Relativist:  122 GM dM dM 3 M Lc11 2 , iar 210 , R  20 km. 2 cR dt dt s b) Clasic: 1 dM GM L  , unde  2 dt R 2 11 30 11GM dM GM50 5 6,673 10 2 10 LM 2103 L  W 2Rdt 2 20 103 m  4210 4 26 20 L 3,86 10 W și LL1,729 10  .

Problema 3 Care este rata de pierdere de energie prin fenomenul de frânare magne- tică în cazul pulsarului P0533 de masă MM 1, 2  și rază Rkm 12 , iar Pts0,15 1 103 , unde timpul t este măsurat de la momentul actual. Care este vârsta caracteristică a acestui pulsar. 243 Rezolvare: 1 Energia unui corp în rotație axială este I 2 , unde I este momentul de rot 2 inerție al corpului iar w este viteza unghiulară de rotație. Fluxul de energie eliberat d d prin frecarea mișcării de rotație este: LIrot   ; dt dt 22dd  d 1 210  3  unde ;2      2 . pdtdtp dt0,15 1 103 t 0,16 3   110 t 222103 LMR 2   ; 3 3 50,150,15 1 10 t 110 3 t 800MR22 32 MR MR 2 . L 33  0,711  3 112511033tt 45  110 110   3 t 1 11dp 3 1 Vârsta caracteristică a pulsarului pt 0,15 1 10 22dt 0,15 Problema 4 Diametrul aparent al galaxiei NGC 3159 este de 1,3’, Magnitudinea sa aparentă este 14.4, iar viteza sa radială este 6940 km/s. Să se determine: a) Distanța la care se aﬂă; b) Diametrul său; c) Magnitudinea absolută.

Rezolvare:   a) d  ; 1, 3 60''  78d UA rad dpc dpc

vr 6940 vHdrad  ⇒ dMpcMpc  96,255 H 72,1 b) D 78 96,255  1069 UA  7,508  10 UA Mm5 5lg d  14,4  5 5lg96,255  106 ⇒ M 20,52

Problema 5 Estimați densitatea materiei din interiorul unui quasar cu masa de 25 milioane mase solare în limitele razei sale Schwarzschild.

Rezolvare: MM33 Mc6  333  și după efectuarea calculelor se obține: VR448s MG 3c64848 2187 10 10   0,293  0,293  105 kg/m3. 32 8 MG2 3  2  10 16  297,14  10 33  4  10 60 10 43 244 Problema 6 Masa stelei Vega este egală cu 2 mase solare și raza R egală cu 3 raze solare iar L = 60 luminozități solare. a) Calculați durata de viață a stelei Vega pe baza combustibilului său nuclear. b) Cât timp ar putea trăi pe baza energiei sale termice?

Rezolvare: 2 410cM  a) tnuclear = 710  10 ani; L 2 442cM 2M 2 tnuclear VEGA = 710  710 c  LL60  60 1 t = 109 ani = 0,33 109 ani; nuclear Q 3 33M Et b) t  ENkTNtA    kT EMRTt  3 t L 22

24 24 4 LRT4   LR T 2 TT 4    60 = 3 1,606 LRT4 0   LR T  TT00 Tk1,606 5800 9319,77 3MRT 3 1,9891 1030 8,315 9319,77 ttermic 26 0,61ani 60L 60 3,36 10

Problema 7 Determinați momentul când faza lui Marte are valoarea minimă. Cât este valoarea acestei faze? Se dau semiaxele mari și excentricitățile celor 2 planete: 1,523679 UA, 0,093315, 0,0167.

Rezolvare: Valoarea minimă a fazei lui Marte are loc atunci când unghiul format între razele incidente de la Soare și cele reﬂectate spre Pământ este maxim. Asta se întâmpla atunci când Pământul este la afeliu iar Marte la periheliu în cuadratură.

sinφ = [aÅ(1 + eÅ)]/[aM(1-eM)] de unde φ = 57,6° faza se deﬁnește Φ = [1 + cosφ]/2 = 0,7676

Problema 8 Se lansează o rachetă care trebuie să ajungă pe Marte. Cât timp durează călă- toria? Unde era Marte pe orbită în momentul lansării? (desen). Cât este viteza de 245 lansare? Cu ce viteză ajunge racheta pe Marte? Caracterizați traiectoria rachetei (a, e). Se dau perioadele siderale ale celor 2 planete: 686,971 zile și 365,2564 zile.

Rezolvare: Determinăm mai întâi raza orbitei lui Marte din legea a III-a a lui

Kepler și obținem aM = 1,5237UA pe care o consideram afeliu pentru traiectoria rachetei iar poziția Pământului periheliu. Făcând media celor 2 valori obținem semiaxa mare a traiectoriei a = 1,26UA, iar apoi putem calcula excentricitatea e = 1–1UA/a = 0,26. Aplicând acum legea a III-a a lui Kepler și considerând durata zborului rachetei jumătate din perioada: Δt = 258d20h43m46,55s; în acest timp Marte s-a deplasat cu 135°39’17,44” ﬁind în poziția cea mai de jos din desen in momentul lansării rachetei. Viteza de lansare este atunci viteza la periheliu iar cea cu care ajunge pe Marte este viteza la afeliu.

Scriind legea a 2-a a lui Kepler vP*rP = vA*rA = 2var = 2πab/T calculam cele 2 viteze obținând 34,365 km/s la lansare si 20,288 km/s la ajungerea pe Marte.

Problema 9 Să se estimeze densitatea maximă a unui pulsar cu perioada de rotație de 1s. Dacă masa este de 1,44 mase solare să se determine dimensiunea acestei stele. Cât este valoarea accelerației gravitaționale la suprafața acestui pulsar.

Rezolvare: Luam un element de masa de la ecuatorul pulsarului și scriem ca la limita forța de coeziune gravitațională este egală cu forța centrifugă exprimând relația ca ega- lități de accelerații: GM/R2>ω2R unde exprimăm masa M = 4/3ρπR3. Astfel obți- nem T2>3π/Gρ de unde ρ<3π/T2G și vom obține pentru densitatea maximă 141,37*10 9kg/m3.

Problema 10 Nebuloasa M57 aﬂată la 2300 ani lumină de noi are diametrul unghiular 230”. Considerând că viteza de expansiune a ei este 1500 km/s, calculați în ce an a avut loc explozia de supernovă care ia dat naștere.

Rezolvare Se calculează extinderea pe lateral a nebuloasei: D(UA) = d(pc)*Du(“) = 162.270UA Transformăm viteza în UA/y: (1500km/s)/4,74(UA/y)/(km/s) = 316,4557UA/y 246 Δt = (D/2)/v = 256,3866 ani Dacă ne raportăm la momentul prezent atunci supernova a explodat în 1754.

Problema 11 Care este cel mai mic unghi pe care l-ar putea reda un telescop care are oglinda de 1 metru, observând la o lungime de undă de 500 nm? (Ignoră efectele atmosferei) Rezolvare 500 109 1 1,22 1,22  1,22 109 Ä 1000 2 (rad), 1 rad = 206265”. 69 1,22 0,206265 10 10 3     = 0,20610

Problema 12 Soarele va transforma hidrogenul în heliu, în secvența principală, pentru aproximativ 1010 ani. Aproximativ cât timp va ﬁ în secvența principală o stea care are de opt ori masa Soarelui?

Rezolvare: Timpul nuclear al unei stele, care caracterizează stabilitatea ei ca stea normală în echilibru termic, este dat de expresia t = 7 · 10–4 · M · c2/L. → t/tSun = (M/MSun)–2,5 Se obține: t = tSun · (M/MSun)–2,5 t = 1010 · (8 MSun/MSun)–2,5 t = 1010 · (8)–2,5 t = 1010 · 5,5 · 10–3 ani t = 5,5 · 107 ani

Problema 13 Opoziția lui Marte: Odată ca niciodată, Marte a fost la mare opoziție în timp ce se aﬂa în constelația Racului care este străbătută de ecliptică pe o distanță unghiu- lară de 19 grade. S-a măsurat atunci diametrul sau unghiular (25”) și paralaxa (40”). Magnitudinea aparentă a planetei ﬁind de 2,9.Calculați albedoul planetei ști- ind că cel al lunii pline, care are magnitudinea de 12,7, este de 0,12. Câte zile a fost Marte în Rac? Știind că opozițiile se repetă după 2 ani și 50 de zile, calcu- lați elementele orbitei planetei Marte cunoscând excentricitatea orbitei Pământului (0,0167). Se cunosc raza Pământului = 6370km, raza Lunii = 1737km și distanța Pământ-Lună = 1/400 UA. Calculați raza planetei Marte și distanța până la ea în acel moment. (1UA = 15 · 1010m).

Rezolvare: Calculăm mai întâi perioada sinodică a lui Marte: 2 ani + 50 zile = 780,5 zile și de aici aﬂăm perioada siderală 686,52 zile. 111 111 TT M T  T  S M M TTTMMM TT TTTSM MS S 2 TM 323 2 Din aceasta aﬂăm semiaxa orbitei planetei 3 1 aTMM   a M  T M ⇒ aM aM = 1,523UA. 247 Din paralaxa găsim distanța la mare opoziție între Marte și Pământ și apoi raza planetei (în această formulă am notat cu Du = 25”/2)

RR RM tg  dM  tgDu RMM d tg Du dM tg  dM obținem dM = 32.847.670 km și RM = 1990,625km și scriind distanța Pământ- Marte se dM = aM(1–eM)–a(1 + e) se poate calcula excentricitatea orbitei lui Marte eM = 0,18865. Ca să determinăm câte zile a fost Marte în Rac trebuie să calculăm viteza relativă 22 a planetei văzută de pe Pământ față de această constelație         M TT Apoi calculăm timpul cât parcurge cele 19°  M 360 ...... 2 19 ...... x 219  x  360 x xtt    obținând 41,193 zile = 41zile4h38m pentru timpul cât a trecut Marte prin Rac Calculăm acum strălucirea Soarelui pe Marte și apoi fluxul reflectat de planetă L E M   ERkM 2  S 4d2 rS MM M 22M MM2 LRkSMM refl LRk SMM pe care-l exprimăm reflERk S  M M 2222  E M   4444ddddSM M SM M obținând strălucirea lui Marte văzut de pe Pământ la mare opoziție Facem la fel și pentru Lună și apoi le raportăm. LRk 2 E  E   SLL L  100,4(mmML ) L 44dd22E  SL L M  2 22 ERLLddSM M k L0,4( 2,9 ( 12,7))  22 2 10 kM ERddkMMSLLM pentru a obține albedoul planetei 0,136 Problema 14 Luna la Beijing: Luna se află pe orbita sa la 50°după nodul ascendent care are argumentul de 40°la data de 15 septembrie în Beijing. Determinați momentul si poziția de răsărit cunoscând că a fost la faza plină în 24 august. Ce fază are acum Luna? Ce magnitudine aparentă are ? Se dau: raza Lunii 1737 km, distanța medie Pământ-Lună 384.400 km, distanța medie Pământ-Soare 149.597.870,691 km, excentricitatea orbitei lunare 0,055 și inclinarea față de ecliptică 5,14°și excentricitatea orbitei terestre 0,0167, albedoul Lunii 0,12, luminozitatea Soarelui 3,83*1026W și magnitudinea lui absolută în vizual 4,83, perioada siderala a Lunii 27d7h43m42s. Indicație: se considera o viteza unghiulara constanta pe orbita într-o primă aproxi- mație, apoi se recalculează ținând seama de situația reală. 248 Rezolvare Calculăm declinația Lunii: sinL = sin50°*sin5,14°unde L este distanța unghiu- lară la care se află Luna față de ecliptica obținând L = 3,9353°. Declinația Soarelui sinδ = sinε*sinλ, unde λ = 8/93*90° = 7,74°obținând δ = 3,00156°și atunci declina-

ția Lunii va fi δL = 6,94686° Aplicăm acum formula răsăritului cosH = –tgφ*tgδL și obținem H = –95,85° = –6,39h = –6h23m24s față de culminația superioară a Lunii care ca moment din zi depinde de faza Lunii. Determinăm faza Lunii: în 15 septembrie mai sunt 8,5 zile până la faza de Lună plină adică Luna are etatea de 6,25 zile când are faza 0,38 aproape de faza de primul pătrar pe care o atinge la etatea de 7,375 zile când culminează la ora 18 timp mediu local de unde deducem că la data de 15 septembrie culminează la ora 17h5m5s timp mediu local. Atunci răsăritul ei este la ora 10h41m41s timp mediu local pe care-l convertim în timp legal: Convertim longitudinea L = 116°23’30’’ = 7h45m34s și apoi scriem h tl = tm–L + n = 10h41m41s–7h45m34s + 8h = 10h56m7s Poziția de răsărit o determinăm din triunghiul de poziție: sinA = cosH*cosδ și obținem A = 360°–95,8° = 264,2° Suprafața luminată a Lunii la aceasta fază se obține din faza: unghiul pe care-l fac razele incidente și cele reflectate este 103,73°de unde S = πR2/2(1 + cos103,73°) = = 0,76*πR2/2 = 0,38 din suprafața luminată la Lună plină ceea ce înseamnă că dacă luăm magnitudinea Lunii pline –12,6 vom avea –11,55 în această fază (varianta simplificată de rezolvare)

Problema 15 Telescopul spațial Herschel a fost lansat cu succes la 13:12:02 UT în 14 Mai 2009 de la centrul spațial din Guiana franceză aﬂat la φ = 5°14’14’’N cu o rachetă Ariane. Orbita de transfer er a fost una cu excentricitate foarte mare și înclinată la 6°față de ecuator. Se cunoaște perigeul la 270km și apogeul în apropierea punctului L2. Ce excentricitate are orbita de transfer și după cât timp trebuiesc inițiate pro- cedurile de plasare pe orbita Lissajous? La ce distanță va ﬁ atunci racheta de planul eclipticii? Să se calculeze accelerația centripetă care deplasează satelitul pe orbită și cea care deplasează orbita. Se știe că satelitul se apropie cel mai mult la 1,2 mil. km și se îndepărtează la 1,8 mil. Km, iar semiaxa orbitei sale în jurul punctului L2 este de 0,7 mil. km. Determinați celelalte elemente ale orbitei (b, e, i).

Rezolvare: Pentru orbita de transfer se poate calcula excentricitatea din distanța la perigeu (6378km + 260km) și la apogeu (1.500.000 km) obținând 0,991188 semiaxa mare a orbitei ﬁind 753.319 km. Calculăm perioada unei astfel de orbite și obținem 75,5189 zile astfel că va ajunge în apropierea punctului L2 după 37,75945 zile. Distanța față de planul eclipticii la intrarea pe orbita Lissajous 1,5 mil. km*tg(j) se obține calculând unghiul pe care-l face orbita de transfer cu acest plan la perigeu j = δR–φ. 249

Calculăm δR: λ = 44/92*90° = 43°, apoi sinδ = sinλ*sinε ⇒ δ = 15,438°de unde j = 10,2° ⇒ distanța = 270.000km. De aici se poate calcula în ce punct are loc injecția pe traiectorie și se obține aproape de normala la ecliptică care trece prin L2. Pentru a afla elementele orbitei Lissajous lucrăm în milioane km pentru ușurința calculelor de unde rezultă înclinarea și excentricitatea 1,22 = 1,52 + 0,72(1 + e)2–2* *1,5*0,7*(1 + e)*cosi și 1,82 = 1,52 + 0,72(1–e)2 + 2*1,5*0,7*(1–e)*cosi iar din aceste 2 relații vom putea determina excentricitatea și înclinarea orbitei: e = 0,5088 și i = 32,3°. Apoi vom obține semiaxa mică a orbitei 0,6 mil. Km. Distanța maximă la care se află satelitul față de planul eclipticii este b*sini = 320.000 km Aplicând legea Lui Kepler obținem valoarea masei virtuale 0,87*1014kg. Pentru calculul accelerațiilor alegem cele 2 puncte ale orbitei aflate în planul eclipticii situate de o parte și de alta a punctului L2 la distanța y = a(1–e2) = = 518.785,8km. În planul orbitei acționează proiecțiile a 2 forțe: din partea Soarelui 3 3 și din partea Pământului aZ = Gy(MR/dRL2 + M/dL2 ) iar în planul eclipticii 2 2 aY = G(MR/dRL2 + M/dL2 ), unde dRL2 = 0,99UA, iar dL2 = 0,1UA.

Partea a II-a (3 probleme – 300 puncte)

Problema 16 (Eddington) În modelul stelelor introdus de A. Eddington se definesc următoarele mărimi: Lr r , numită generarea medie de energie (pe kilogram de materie și Mr secundă) a sferei de rază r. L  , numită generarea medie de energie a stelei. M  r Definim de asemenea funcția r .  Modelul standard introdus de A. Eddington are al bază ipoteza conform căreia Kr  r  constant, unde Kr reprezintă coeficientul de opacitate radioactiv. Se cunoaște dependența presiunii în funcție de r, unde r este arbitrar cu r2 pp 1 0 rR și gaz mingaz 2 , unde pmin reprezintă presiunea minimă pe care R p o poate avea o stea în centrul ei, iar gaz 2,5 , unde p este presiunea totală. Să se determine: p a) Valoarea constantei K și indicile politropic n în expresia pKn ;

b) Densitatea și presiunea în centrul stelei. (Aplicație Rasamotalah: RR 3  și

MM 1,5  . c) Calculați temperatura în centrul stelei Rasamotalah și aﬂați dependența TTr . d) Aﬂați dependența MMr  și LLr . 250 Rezolvare: Lr L a) r , iar  . Mr M 1 4 daT dp 2 KrLr  Din ecuația echilibrului radiotiv avem rad =  . dr dr4 cr2 4acr24 dT Rezultă că Kr  . Dar din ecuația echilibrului hidrostatic avem 3Lr dr 2 dp r GM r r dp r  r ⇒ Mr  . dr r2 dr dr În modelul standard introdus de A. Eddington avem Kr  r const., unde r LrM Lr M G rdr  ,    . Deci Kr  r const.. r r  2  Mr L L rdpr 24 4acr dT LrM G rdr 4acr24 dT  2 const. ⇒ const. 390L R dp L r dp r 390LR dp Prin integrarea acestei ecuații diferențiale cu condiția la limită p  0 și T  0 (la suprafață) pTconst 4 .

gaz Fie  și atunci se poate scrie ppgaz p rad care este presiunea totală. P 1 Avem ppp   p1   p  aT4 (*) dar rad rad 3 K mH p pT . Deci T  (**) gaz mH K  Înlocuind formula (**) în (*) va rezulta: 4 4 4 1 mH P 3431 K pa1   p   3 K  amH 4 K 31 3 4 n 3 pK 4 mH a  . 4 K 31 4 Deci constanta K 3 , iar n  este indicele politropic. mH a 4  3 b) Presiunea minimă în centrul unei stele dp r GM r Din ecuația echilibrului hidrostatic avem  r dr r2 dM r și din ecuația continuității masei rezultă că 4 rr2 . dr dp r GM r Împărțim cele două ecuații și obținem  . dM r4 r4 251

M GM r Se integrează ecuația: pp = dM r . Deoarece pentru toate punctele cs  4  0 4r 11 GM22 GM din interior rR vom avea  și rezultă că pp  conside- rR44 cs88Rr44 rând că ps  0 . GM 2 Deci p  este presiunea minimă în centru. min 8R4

În cazul stelei Rasamotalah avem RR 3  și MM1,5  și 2 2 GM  1,5 88 pmin 4 0,0833 4,5 10 atm 0,375 10 atm . 827R 8 Deci pentru r  0 ⇒ ppgaz centrumin  gaz 0,375 10 atm . 3 3/4 3/4 2 4 p 4 1 r2 p r 3  min Din pK ⇒  ; r 1  ; r 1 2 , K 3/4 2 KR  K R  unde K este o constantă. 3/4 pmin Dacă = 0 ⇒ min . K 1 3p c) pT1  4 ⇒ T 4 1 3 a 1/4 1/4 331pr  r2 Tr11 Tr p   min 2 aaR 1/4 31  În centrul stelei Rasamotalah temperatura va ﬁ: Tp0 mingaz a d) Din ecuația echilibrului hidrostatic avem rr22dp r 2 r Mr p   mingaz   2 Gr dr Gr  R; 33 ppmingaz22rr min gaz Mr22 GR r GR 3/4 2 3/4 pmin r 1 2 KR. 1/4 3/4 3 pKmin gaz  2K  , pentru rR 0,  . Mr2 3/4  GR r2 1 2 R 4acr24 dT dT4 31 2 r Din Kr  ;   ⇒ pmin 2 3Lr dr dr a R 42acr2 31  r 1 Lr p 8c  3 min 2 Lr  p r. 3KR a R  R2 min 252 Problema 17 (Henrietta Leawitt) Cefeidele constituie clasa cea mai îndepărtată de stele variabile. Cefeidele sunt caracterizate printr-o perioadă foarte regulată și prin forma caracteristică a curbei de lumină. Cea mai importantă caracteristică a cefeidei este însă existența unei rela- ții între perioada și magnitudinea absolută MfP . H. S. Leawitt și-a propus să caute această relație pe calea empirică, alegând în acest scop un număr de circa 100 de cefeide descoperite în sistemul solar (nebuloasa extragalactică neregulată) cunoscut sub denumirea de Micul Nor al lui Magelan. Din datele observaționale H. S. Leavitt a găsit relația: MABlg P, unde A și B sunt două constante. Cunoscând temperatura cefeidei T, masa acesteia M și perioada P, demonstrați teoretic legea lui H.S. Leawitt, exprimând pe A și B în funcție de M și T. În demonstrația teoretică se ține seama că un punct material de pe suprafața stelei este supus numai de forța de atracție gravitațională (se neglijează alte forțe).

(Se utilizează xaxxctac  12cos  sin ta)

Rezolvare: Mm 4r3 mr G  MV  M r3 3 Gr443  G  m rr    33r2 r Ecuația diferențială are soluția 44 rccost G ct G 12 33 Din ecuația de mai sus se vede că p fiind perioada variației strălucirii cefeidei, adică intervalul de timp după care raza r revine la aceeași valoare, avem: 2 2 4 3 4 2334 2 GM 3 pG2  (*) din care se obține pr sau rp2 . 3 GGM 4 Pentru simplificare s-a neglijat presiunea gazului stelar. Introducerea acestei presiuni nu modifică forma relației obținute. Din legea Stefan-Boltzmann rezultă că: LrTkrT4,24  24unde k = 4 este o constantă de proporționalitate. 2 4 GM 3 Înlocuind r2 în formula luminozității vom obține 4 3 și în vir- Lk2 Tp 4 2 3 GM 4 10 M2,5 lgL  2,5 lg k2 T  lgp tutea formulei lui Pogson se obține 43 .  2 GM 3 4 10 AkT2,5lg 2  Deci MABlogp ; 4 și B  . 3 Se mai constată că în cazul cefeidelor p  = const. ceea ce reiese din relația (*) 253 Problema 18 (La plaja in China) În data de 15 septembrie 2010 (432m ). Vrem să urmărim răsăritul Soarelui din Mare la Tianjin (  3900 8 ;L 117 11') a) La ce oră trebuie să fim pe plajă cel mai târziu pentru a nu rata evenimentul ținând seama și de fenomenul refracției atmosferice. b) Cât durează tranzitul discului solar peste linia orizontului dacă Pământul se află la o distanță d = 1,0058UA. c) Doi observatori se află pe plajă dar la înălțimi diferite. Ochiul primului observator se află la înălțimea de 1500 m, iar ochiul celuilalt la 2 m. Care dintre cei doi observatori vede mai repede răsăritul Soarelui și cu cât timp față de celălalt. d) Aflați azimutul punctelor de tangență a discului solar cu orizontul locului pentru observatorul situat la înălțimea h = 1500. 254

SIMULARE PROBA TEORETICĂ PENTRU A VI-A OLIMPIADĂ INTERNAȚIONALĂ DE ASTRONOMIE ȘI ASTROFIZICĂ 04 to 14 August, 2012 - Rio de Janeiro – BRAZILIA

PROBLEME SCURTE (15×10puncte = 150puncte) Problema 1. Neglijând refracția astronomică, determinați care este latitudinea locului de pe Pământ, pentru care centrul Soarelui se află, la miezul nopții de 22 iunie, aproape de orizont. Rezolvare: La miezul nopții, pentru locul a cărei latitudine se cere, Soarele trece la meridianul inferior. Pentru treceri inferioare se utilizează relația φ = 180o – (δ + Zm) Declinația δ = 23°27’ (la 22 iunie Soarele se află în punctul solstițial de vară, unde declinația sa este egală cu înclinarea eclipticii pe ecuator). Distanța zenitală Zm = 90° (deoarece Soarele se află aproape de orizont, înălți- mea sa deasupra orizontului este aproximativ nulă). φ = 180o–23o27’–90° φ = 66o33’

Problema 2. Luați în considerare o stea pitică roșie cu jumătate din masa Soarelui (2 · 1030 kg). Să presupunem că 25% din masa sa este formată din Heliu. Acum, presupunem cumva că este capabilă să parcurgă procesul triplu mai degrabă decât ciclul proton-proton (aceasta ar ﬁ o încălcare a legilor ﬁzicii). Masa Elementul chimic (Unități atomice de masă) H1 1.00794 He4 4,002603 C12 12,00000 O16 15.9949 Calculează suma totală a energiei disponibile pentru ca acest proces să meargă.

Rezolvare: 30 = 29 Masa heliului este MHe = 0,25 · 0,50 · 2 · 10 2,50 · 10 kg. Nu toată este trans- formată în energie. Triplul proces α pentru această problemă este 3 · He4 → C12 Trebuie să înmulțim cu eﬁciența procesului triplu, adică acea fracțiune de masă care este transformată în energie. 255 Din tabelul anexat, masa He4 este m = 4,002603 u, astfel încât cele trei nuclee vor avea o masă de 12,007809 unități atomice de masă. Un nucleu de carbon 12 are o masă de 12,00000 unități atomice de masă, astfel încât diferența care trebuie să ﬁe transformată în energie este 0,007809 unități atomice de masă, sau 6,51 · 10–4 din masa totală implicată. Astfel, „masa totală transformată” în energie prin procesul triplu este ΔM = 6,51 · 10–4 · 2,50 · 1029 = 1,63 · 1026 kg Energia eliberată prin aceasta este E = Δ M · c2 = 1,46 · 1043 J.

Problema 3. Considerăm roiul de stele deschis și omogen care are un diametru unghiular egal cu 30minute. În acest roi se aﬂă o cefeidă care are densitatea medie –6 ρmedie = 6 · 10 ρ® și magnitudinea aparentă vizuala medie 4,1. Se cunoaște că den- –5 sitatea medie a lui δCepheu este ρmedie = 5,1 · 10 ρ® iar perioada de pulsație este P = 5,37day. Viteza de evadare la marginea roiului este de 40km/s. Să se calculeze; a) Masa roiului deschis b) Numărul de stele din roi c) Magnitudinea aparentă a roiului.

Problema 4.Să se calculeze temperatura maximă a discului de acreție și luminozitatea acestuia din jurul unei stele neutronice cu masa M1 = 1,5M®, R = 15Km, și rata de transfer de masă este dM/dt = 2 · 1014kg. De asemenea să se calculeze lungimea de undă maximă emisă de steaua neutronică. Ce fel de radiații sunt acestea? Cunoscând masa stelei secundare M2 = 0,65M® să se estimeze raza discului de acreție . Rezolvare:  GM m dE d GM m GM m GM M t E  1 dE dr()111 dr  dr  2r dr dr22 r r22 2 r MMt MM dL t dE G1 dr. dL4 r T4 dr  G1 dr ring 2r2 ring 2r2 14 34 GMM  R T  3  8Rr 14 34 34 3GMM  R14  R 14 TRrTRr11, 3 disk  unde 8Rr  r 14 14 3GMM 3GMM 500nm 5780 K Tdisk  TTmax0.488 0.488 disk ,  8R3 8R3 max T   max 256

Momentul cinetic L 4 4 12MMM  2 2 LmGMr 1circ, racirc1 a 0.500 0.227log 10  1  . aM111  M M

Raza discului de acreție este: Rrdisk 2 circ

Problema 5. Să se calculeze temperatura și densitatea Universului după un timp de 300 milioane de ani de la Big-Bang. Demonstrați.

Rezolvare: 3 Densitatea de masă(medie) a Universului m Rt() 4 Densitatea de energie a radiației r Rt() Relația de mai sus rezultă din expansiunea adiabatică a unui gaz fotonic situat într-o incintă perfect reﬂectantă în expansiune: pV  const. Unde pentru gazul fotonic indicele politropic este 4/3 VRt 3(). Deci presiunea PRt 4(). 1 Din ecuația de stare a gazului fotonic Pc. 2 3 r În stadiile inițiale ale Universului în expansiune aT 4 854k   unde aJmK7,6 1016 / 3 4 rm r m r c2 15hc33 3 aT4 kT kT Înlocuind a în formula densității se obține: 22   unde kT h cc c Corespunde energiei medii a unui foton, mărimea kT/ c2 3 Este echivalentă masei acestuia, prin urmare mărimea kT/ hc Va reprezenta numărul de fotoni din unitatea de volum. Funcția R(t) poate ﬁ dedusă din rata (viteza) actual a expansiunii și din decelerația ei. Dacă se utilizează expresia Rt() t 22 Atunci rr tt   257

1010 Înlocuind în formula densității rezultă temperatura TK () t Pentru t = 300milioane de ani rezultă o temperatură de 1000 K Timpul exprimat în secunde. 92 Înlocuind în formula densității 10 t

Problema 6. Ziua crește cu 3ms/secol ca urmare a îndepărtării Lunii cu 38 mm/an. Câte zile avea anul când au pierit dinozaurii (acum 65 milioane ani)?

Problema 7. Găsiți o expresie pentru masa M a unui cluster de galaxii formate 2 din N galaxii (N ≫ 1) de masă m, în funcție de viteza pătratică medie med = v a galaxiilor și media distanțelor care le separă, med = r.

Rezolvare: VR4 3  ...... 1p NN3 V  r3 – volumul ocupat de o singură galaxie ...... 1,5p N 20KU – teorema virialului ...... 1p Mv223 GM 20N  ...... 2p NR25 5 vR2 M  ...... 1p 3 G 53vN2 Mr3 ...... 1p 34G  vr2 MN 3 ...... 1,5 G Din oﬁciu 1p

Problema 8. O stea neutronică are masa egală cu masa Soarelui M = 2 · 1030 kg. Raza stelei neutronice este r = 10 km, iar cea a Soarelui este R = 7 · 108 m. Știind că o rază de lumină ce trece pe la marginea discului solar este deviată spre interio- –6 rul Soarelui cu un unghi S = 2 · 10 radiani. Să se determine unghiul de deviere al unei raze luminoase ce trece pe la marginea stelei neutronice. (G 6.673 1011 Nm 2 kg 2 )

Problema 9. Cu ajutorul unui telescop cu oglindă de rază r = 3 m se fotograﬁ- ază, în vizibil (λ = 500 nm) nebuloasa Andromeda. Ce interval de timp este necesar pentru ca prin compararea fotograﬁilor obținute să putem constata rotația reciprocă a Galaxiei noastre și a nebuloasei Andromeda în jurul centrului de inerție comun. 258

11 Distanța până la Andromeda este dR1, 4 10 p Rp  6400km , iar masa nebu- 11 loasei Andromeda MMA 3,6 10  (M – masa Soarelui). Masa Galaxiei noastre 11 MMG 2,5 10  .

Rezolvare: Barem de rezolvare: Problema 9 Punctaj Distanța unghiulară minimă dintre două obiecte ce mai pot ﬁ obser- 500 109 vate distinct este   810  8 rad . 2p 212r Fie T perioada mișcării de rotație în jurul centrului de inerție comun.  Timpul în care este parcurs unghiul  este tT 2p 2

Între perioada T și perioada T0  365zile terestre există relația: 23 TdMMGA   3p    TM0   RP  3 2  d M 3 tT0   10 ani 2p 4rRPGA MM Oﬁciu 1p Total Problema 9 10p

Problema 10. Considerând că, puterea tuturor surselor energetice de pe Pământ folosite este PW 1013 , în timp ce puterea energiei solare primită pe Pământ este 17 PW  10 și Tk0  300 . Să se determine supraîncălzirea T a suprafeței terestre datorată surselor energetice de pe Pământ (valoarea admisă este TK0,1 ) care este valoarea maximă admisibilă a lui P? (1xnx )n 1 ...; x≪1

Rezolvare: Problema 10 Punctaj 4 2p Puterea radiată de un corp cu temperatura T este PTR  (legea lui S-B)

44TT 44 3p PP ( T00 T ) T (1 )  T 0 (1 4  ...) TT00

TT0   2p P 2 TT0 0,75  10 K 4P 259

T 4 max PW1, 4 10 TTmax 0,1 K PPmax  4  max  2p T0 Oﬁciu 1p Total problema 10 10p

Problema 11. O radiație infraroșie, cu o anumită lungime de undă, se absoarbe

în metan (CH4). În condiții normale de presiune și temperatură un strat de metan, de a = 1cm, absoarbe 98% din energia radiației incidente. De câte ori se micșorează energia radiației incidente la propagarea pe verticală, de sus în jos, în atmosfera 63 terestră, densitatea metanului este m 1,410 kg m , iar densitatea aerului 3 a 1,14kg m , R  8,31J molK

Problema 12. Dacă pentru o stea dublă vizuală, componenta principală are intensitatea aparentă de 4 ori mai mare decât satelitul ei, care este diferența dintre magnitudinile lor absolute.

Rezolvare:

Fie M0 magnitudinea absolută a stelei principale și M magnitudinea absolută a satelitului și m0 și m magnitudinile aparente corespunzătoare. Distanța comună a sistemului dublu față de noi ﬁind D, putem scrie:

M0 = m0 + 5 – 5 lgD M = M + 5 – 5 lgD, de unde M0 – M = m0 – m I 0,4mm 0  10 0 , unde I0 și I sunt intensitățile aparente ale stelei principale și I respectiv satelitului. I mm2,5lg0  mmMM    2,5lg 4  2,5.2lg2  M  M  5lg2 0000i

Problema 13. În sistemul binar A0620-00, care emite în domeniul X, vitezele radiale orbitale pentru steaua normală și pentru obiectul compact sunt vsr = 457 km/s și respectiv vcr = 43 km/s. Perioada orbitală este de 0.3226 zile. a) Calculați funcția de masă. Notații: ms – masa stelei normale, mc – masa companionului compact, i – unghiul de înclinare al orbitei. Ce ne spune acest rezultat despre masa obiectului compact? (Rețineți că valoarea vcr nu a fost necesară pentru a obține acest rezultat.) b) Utilizați acum valoarea vitezei radiale orbitale a obiectului compact pentru a determina masa acestuia, presupunând că i = 90°. Ce ne spune acest rezultat despre masa obiectului compact? c) Care este masa obiectului compact dacă unghiul de înclinare este de 45°?

Rezolvare: a) Pentru deducerea funcției de masa ...... 1,5 p 260

m3 P c sin33iv Pentru scrierea 2 2G sr (1) ...... 1p mmsc m3 c sin330ikgM 6.35 10  3.19 2  ...... 1p mmsc deoarece masa membrului stâng trebuie să ﬁe mai mică decât mc, mc trebuie să ﬁe 30 mai mare decât 6.35×10 kg = 3.19M ...... 1.5p mv b) scr0.0941 (2) ...... 1p mvcsr Pentru i = 90°, din (1) și (2) se obține

ms 2 mMc 3.19 ( 1) 3.82 M ...... 1p mc Care este limita superioară pentru mc 3 Deoarece sini  1 , mMc  3.19  ...... 1p c) i = 450 1 2.83,mM 10.8 ...... 1p sin3 i c  din oﬁciu 1p

Problema 14. Mărimea unei stele variabile crește cu 7 unități de magnitudine între minim și maxim. De câte ori crește strălucirea în acest interval de timp?

Rezolvare: Notăm cu m magnitudinea stelei și cu I strălucirea sau intensitatea luminoasă. I  100,4m sau lg I = –0,4m Notăm cu m2 și m1 maximul și respectiv minimul magnitudinii m2 – m1 = 7 0,4m2 0,4m1 I2  10 și I1  10 , de unde II100,4m2 II 1 22lg 0,4mm 2,8 21 102,8 639,35 0,4m1 21 2,8 II1110 II 12 10 dacă magnitudinea crește cu 7 unități, strălucirea crește de 639 ori.

Problema 15. O stea dublă are componentele de magnitudine aparente vizuale m1 = 2,6 și m2 = 4,2. privită cu ochiul liber, cele două componente se confundă. Ce magnitudine aparentă integrală are, privită fără instrument ?

Rezolvare:

Fie I1 și I2 intensitățile aparente ale ﬁecărei componente în parte I intensitatea integrală a cuplului I = I1 + I2 m magnitudinea integrală a cuplului m ≠ m1 + m2 I I I 2  100,4mm12 ,  100,4mm1  sau 1102 0,4mm1  I1 I1 I1 261

0,4mm 0,4  mm 0,4mmmm0,4mm 0,4 0,4 0,4  0,4 1 1012 10 1 1 101212 10 10 10 10 10 100,4m  100,4mm21 10 0,4 , de unde m = –2,5 lg(10–1,04 + 10–1,64) = –2,5 lg 0,11412 = –2,5.(-0,94225) = 2,35

Probleme lungi (4×30p = 120p) Problema 1. Galaxie vizibilă O galaxie vizibilă de la distanța de 3 Mpc având viteza de circa 210 km/s, are m magnitudinea (totală) bolometrică m1 = 7 18. 1) (a) O stea din galaxie are magnitudinea absolută M = –7. Dacă această stea este observată din galaxia sa de la distanța de 3 Mpc, care ar fi magnitudinea sa aparentă? Care este modulul distanței la această galaxie? (b) Luminozitatea diferențială a stelei, ∆L, în aproximația spectrului corpului negru, este: ∆L = {8π2c2R2/λ5[ehc/(λkT) –1]} · ∆λ, unde R este raza stelei, T este temperatura sa efectivă și λ este lungimea de undă. ∆L este puterea de emisie a stelei în intervalul lungimilor de undă λ și ∆λ (se poate considera ∆λ≪λ) (b1) Găsiți intensitatea spectrală corespunzătoare stelei I (λ) de pe Pământ, unde I (λ) este definită ca puterea pe unitatea de arie pe unitatea de interval de lungime de undă. (b2) Arătați cum se poate determina temperatura T a stelei utilizând măsurarea intensității spectrale la două lungimi de undă diferite, I(λ1) și I(λ2). Se consideră cunoscute mărimile d și R care apar în expresia pentru T. 2) Presupuneți că o galaxie identică se află la distanța de 3 Gpc de noi. Aflați care este magnitudinea bolometrică a acestei galaxii îndepărtate. Se va considera H = 72 (km/s)/Mpc.

Rezolvare: 1) a) Magnitudinea aparentă: m = M + 5 lgd. Deoarece M = −7 și d = 3 Mpc, rezultă: m = −7 + 5 lg[3 · 106] = 25,38 Modulul distanței: DM = m − M = 25,38 + 7 = 32,38 b) (b1) I(λ) = (1/4πd2)(∆L/∆λ) = (2πc2R2)/{λ5[ehc/(λkT) –1] · d2} (b2)Intensitățile spectrale corespunzătoare lungimilor de undă λ1 și λ2, se pot scrie sub forma: I1 = I(λ1) = (2πc2R2)/{λ15[ehc/(λ1kT) –1] · d} I2 = I(λ2) = (2πc2R2)/{λ25[ehc/(λ2kT) –1] · d2} Atunci: (I1/I2) = {λ25[ehc/(λ2kT) –1] · d2}/{λ15[ehc/(λ1kT) –1] · d2} Deoarece I1 și I2 se găsesc prin măsurare, rezultă că T este singura necunos- cută în această ecuație și poate ﬁ determinată. 2) În cazul primei galaxii, efectul cosmologic nu este important. În schimb, a doua galaxie are o viteză (conform legii lui Hubble) v2 = 72 (km/s)/Mpc · 3 · 1000 Mpc = 216.000 km/s = 0,72 · c. Deoarece distanța este în scala cosmologică, trebuie 262 să ținem cont de efectele cosmologice (deplasarea spre roșu). Luăm în considerare faptul că ﬁecare foton emis de stelele din galaxie ajunge la noi cu energie mai mică. Magnitudinea stelară vizibilă este mai mare ca urmare a acestei reduceri de energie a tuturor fotonilor.

Avem: εemis = h · c/λemis; εobservat = h · c/λobservat → εobservat/εemis = λemis/λobservat Pentru prima galaxie se ține cont de efectul Doppler clasic:

Utilizăm relația lui Pogson: Δm = 2,5 · lg(E2/E1) Deoarece raportul λemis/λobservat este același pentru orice foton, rezultă că raportul E2/E0 pentru întreaga galaxie este egal cu raportul pentru orice foton. Δmclasic = 2,5 · lg(λobservat/λemis ) Δmclasic = 2,5 · lg(1 + v2/c) Δmclasic = 2,5 · lg(1 + 0,72) Δmclasic = 2,5 · lg1,72 Δmclasic = 0,588 Pentru a doua galaxie se ține cont de efectul Doppler relativist:

Λobservat = λemis √(c + v2)/(c – v2) λobservat/λemis = √(c + v2)/(c – v2) Δmrelativist = 2,5 · lg[√(c + v2)/(c – v2)] Δmrelativist = 2,5 · lg[√1,72/0,28] Δmrelativist = 2,5 · lg[√1,72/0,28] Δmrelativist = 2,5 · lg[√1,72/0,28] m → Δmrelativist = 0 ,980 m m 3 m m2 = m1 + 5 · lg(r2/ r1) + Δmclasic → m2 = 7 18 + 5 · lg10 + 0 ,588 m m m m → m2 = 7 18 + 15 + 0 ,588 → m2 = 22 ,768

Problema 2. Calendarul Analizați implicațiile reacțiilor termonucleare din Soare asupra calendarului, combinat cu efectul frânării mareice din partea Lunii asupra rotației Pământului care este de 3 ms/secol. Cate zile solare medii avea anul tropic pe vremea lui Ion din peștera cu oase care a trăit acum 40.000 ani? Se știe ca Luna se îndepărtează cu 38 mm pe an si ca Soarele pierde prin radiație 0,7% din masa în toată viața lui 30 24 pe secvența principală. Se dau M☼ = 2 · 10 kg, M° = 6 · 10 kg, ML = 1/81 M°și aL = 384.400 km, a° = 149,6 mil. km.

Rezolvare: 22 22aa12 Din conservarea momentului cinetic 11aa 22  TT12 22 MT11 MT 22 Din legea a 3-a a lui Kepler 33 aa12 MT MT Din acestea obținem 11 22 aa12

Notând M2 = M1–ΔM, a2 = a1 + Δa, T2 = T1 + ΔT MT MMTT   Vom avea 11 11 aaa11 263

Împărțim relația pe rând cu M1 si cu T1 și înmulțim cu a1 și vom avea MT 11 MT 1  11 și neglijând produsul ΔM · ΔT vom obține a 1 a1 aMT aMT 11 adică   aMT aMT 2 111 111 a 2 aa Acum vom diferenția legea a 2-a unde mai întâi înlocuim 1  1 TTT11 2 Ta Împărțim cu a 2 și înmulțim cu T și vom avea 11 1 1 Ta 1 1 Ta Și neglijând termenul pătratic vom avea 2  pe care o înlocuim pentru Ta1 1 MT a avea dependența între masă și perioadă 2 sau dacă vrem între masă MT11 aM și semiaxă 3 . Cum pe noi în problemă ne interesează cum se modiﬁcă aM11 anul sideral o vom folosi pe prima. Se știe ca pierderea de masă la reacția termo- nucleară este de 0,7% ceea ce ar însemna că în toată viața Soarelui de 10 miliarde ani pe secvența principală va pierde 1,4 · 1028 kg. Și atunci pentru 40.000 ani M vom înmulți cu 4 · 10–6 și vom avea ΔM = 5,6 · 1022 kg astfel ca 2,8 108 și M1 T atunci 5,6 108 adică ΔT = 1,767s adică 0,00002 zile solare medii de acum T deci anul tropic avea 365,242169 zile solare medii de acum. Cum durata zilei crește cu 3 ms/secol în 400 secole ziua a crescut cu 1200 ms adică 1,2 secunde adică 0,00013888888 zile solare medii de acum deci în 365,242189 zile vom avea 0,005 zile diferența în sensul că anul tropic avea atunci 365,247169 zile solare medii de atunci pentru că zilele erau mai scurte deci într-un an erau mai multe zile. (pe vremea celui mai vechi calendar atestat documentar era 365,243 zile).

Problema 3. Călătorim printre stele Un astronaut călătorește într-o navă spre a Centauri, aflat la o distanță de aproximativ 4 a.l., măsurată față de Pământ, cu o viteză de u = 0,8 c. a) Cât timp durează excursia până la a Centauri, măsurată cu un ceas de pe Pământ? b) Cât timp durează excursie la a Centauri, măsurată de către pilotul de pe navă? c) Care este distanța dintre Pământ și a Centauri, măsurată de către pilot de pe navă? 264 d) Un semnal radio este trimis de pe Pământ la nava la fiecare 6 luni, interval măsurat de un ceas de pe Pământ. Care este intervalul de timp dintre semnalele consecutive primite la bordul navei? e) un semnal radio este trimis de la nava pe Pământ la fiecare 6 luni, măsurată de un ceas la bordul navei. Care este intervalul de timp dintre semnalele consecutive primite pe Pământ? f) În cazul în care lungimea de undă semnalului radio trimis de pe Pământ este l = 15 cm, pe ce lungime de undă trebuie reglat receptorul de pe navă?

Rezolvare: u2 10.6 c2 a) Pentru un observator aﬂat pe Pământ 4a.l. t ...... 1p 0.8c t 5ani ...... 0,5p b) Pentru un observator aﬂat pe navă u2 tt1  ...... 1p 0 c2 t 5ani  0.6  3ani 0 ...... 0,5p u2 c) ll1 ...... 1p 0 c2 l 4a.l. 0.6 2.4a.l...... 0,5p u t0(1 cos  ) d) t c cu 0 ...... 1p u2 1 c2

tt0 6luni, 18luni ...... 0,5p e) la fel ca la d) ...... 1,5p cu f)  ,  45cm ...... 1,5p 0 cu Din oﬁciu 1p

Problema 4. Asteroidul Un asteroid de tip M (forțe de coeziune foarte mari),omogen de masă m și densitate ρ = 5,2g/cm3, având formă sferică, datorita unor perturbații anterioare se mișcă pe o orbită circulară de rază R = 1,0375UA în jurul Soarelui. Asteroidul de formă sferică de raza r = 60km are și o mișcare de rotație proprie cu viteza unghiulară –3 Ω0 = 0,993·10 rad/s în același sens cu sensul de mișcare pe orbită, în jurul unei axe care trece prin centrul de simetrie a asteroidului și care este perpendiculară 265 pe planul orbitei circulare. În decursul timpului la un moment dat asteroidul trece prin vecinătatea planetei Pământ la o distanță minimă de aceasta egală cu dmin = 0,0375UA. Influența planetei Pământ asupra orbitei circulare a asteroidului este neglijabilă dar nu se poate neglija influența asupra mișcării de rotație proprie în jurul axei sale atunci când trece prin vecinătatea Pământului. În momentul în care va avea o viteză unghiulară maximă de rotație proprie datorită influenței Pământului, asteroidul se va rupe în două fragmente de mase egale aproximativ sferice care vor avea o viteză unghiulară de rotație proprie în același sens Ω, cu sensul lor de mișcare pe o orbită circulară în jurul centrului de masă. Influența Lunii asu- 26 pra asteroidului se neglijează. Se cunosc: luminozitatea Soarelui, L☼ = 3,84·10 W, 24 masa Pământului MP = 5,97·10 kg, distanța Pământ-Soare dPS = 1UA, momentul 2 2 30 de inerție a unei sfere Imr , masa Soarelui M☼ = 2·10 kg. Să se calculeze: 5

a) Viteza unghiulară Ωmax maximă de rotație proprie a asteroidului datorită inﬂu- enței planetei Pământ.

b) Distanța maximă dmax la care se depărtează unul de altul cele două fragmente de asteroid și viteza unghiulară Ω de rotație proprie a unui fragment de asteroid. c) Magnitudinea aparenta a asteroidului înainte de a se rupe știind ca albedoul acestuia este A = 0,04, iar magnitudinea aparenta pentru Lună este mL = –12,7 atunci când se aﬂa la o distanță de 384000 km iar albedoul pentru Lună este

AL = 0,12, raza Lună RL = 1738Km și distanța Soare-Lună este dSL = 1,0026UA.

Barem de corectare: Parțial Subiectul Detaliere Punctaj Problema (Asteroidul) punctaj a) Energia mecanică a asteroidului pe orbită

EEA cinetica E potentiala  E rotatie. proprie 0,50 mv2 mM 1 2 EGI 2 unde Imr 2 este momentul A 22R2 0 5 0,25 de inerție 2 mv mM 0,25 Din condiția de stabilitate pe orbită  G 2 mM 1 RR  2 3 puncte EGA   I 0 0,50 22R Energia asteroidului la distanța minimă de Pământ mM mM 1 EG  G  I 2 0,50 B max unde dPS  1UA ()22Rd PS R

Din legea conservării energiei mecanice EA = EB, rezultă 11mM 22 0,50 IG0max  I  2()2Rd PS 266

Parțial Subiectul Detaliere Punctaj Problema (Asteroidul) punctaj 0,50 2 2mM 2 5M max 0 G max 0 G 2 IR() dPS rRd() PS

3 max 9,96  10 rad/s h m s adică o perioadă de rotație proprie Pmin = 0 10 30,1 Inițial asteroidul avea o perioadă de rotație proprie h m s P0 = 1 45 23,53 b) Datorită acțiunii forțelor centrifuge asteroidul se rupe în două fragmente sferice. Din legea conservării energiei rezultă: – inițial asteroidul avea energie cinetica de rotație proprie, energie cinetica de mișcare pe orbita și energie potențială gravitațională datorată atât Pământului dar și Soarelui. – în ﬁnal cele două fragmente sferice de asteroid au energie cinetică de rotație proprie, energie cinetică de mișcare pe orbita circulară în jurul centrului de masă (fragmentele ﬁind identice se vor depărta simetric față de CM la o distanță

rmax), energie cinetică de mișcare a CM și energie potenți- ală de interacțiune gravitațională dintre cele două fragmente, energie potențială gravitațională dintre cele două fragmente și câmpul gravitațional al Pământului și Soarelui. Deoarece distanța la care se vor depărta cele două fragmente este mică comparativ cu distanțele până la Pământ sau până la Soare atunci energia potențială gravitațională datorată Pământului 4 puncte și Soarelui înainte de fragmentarea asteroidului este egală cu energia potențială gravitațională datorată Pământului și Soarelui după fragmentarea asteroidului. EE initial final mm 1111mm  0,25 EvvIIG222222 final22 22 2 fr 2 fr 2r max 0,25 1 2 EIinitial max 2 0,25 mm2 1 vI22 G  I  2 fr max 0,25 282rmax 2 m unde Ir 2 este momentul de inerție a unui fragment 0,25 fr52 fr de asteroid. 267

Parțial Subiectul Detaliere Punctaj Problema (Asteroidul) punctaj 44 r 33r  Vr2 rfr fr 3 33 2 0,25 Legea conservării energiei devine: 11m 1 0,25 vrGr22222 3 max 28554 rmax Din condiția de stabilitate pe orbita circulară a celor două fragmente rezultă: mmm v2  222 FGF  0,25 centrifugar 2 atractie.. gravit max 2rmax m vG2  8rmax Din legea conservării momentului cinetic

LIinitial max m LI22   vr final fr 2 max m 0,25 LI22   vrIL   final fr2 max max initial 22r2 vr r2  553 4 max max

Înlocuim expresia lui rmax în expresia de mai sus 22rGm2 vr2  5853 4 v2 max 4r3 2 G 22r  0,25 3 r2  5853 4 v max

3 5 Gr 4  max   12 v Înlocuim această expresie în formula legii conservării 3 2 1422 5Gr 1 22 energiei vr max  r max 2 5 12v 5 33 3 0,25 1414542 vvGrvGr42   2       0 2r2 max 5 6 max 144 numeric: 1,39 1064vvv 0,1162 2  1,722 2,35 0 268

Parțial Subiectul Detaliere Punctaj Problema (Asteroidul) punctaj Primul termen este neglijabil astfel încât din rezolvarea ecuației de gradul al II-lea rezultă următoarele soluții reale: Viteza unui fragment în sistemul CM. m v1  13,29 s 0,25 m v  1,52 2 s

Pentru prima viteză obținem r1max mr rG222km r  47,62km 1max 2 fragment 3 8v1 2 soluție bună din punct de vedere ﬁzic;

dr1max2 1max  2 222km  444km

Pentru a doua viteză obținem r2max 0,25 m rG2max 2 16970km 8v2 soluție bună din punct de vedere ﬁzic Distanța maximă dintre cele două fragmente de asteroid

este: dr2max2 2max  2 16970km  33940km Iar viteza unghiulară de mișcare proprie a unui fragment

3 5radGr 3 este: 2max4     12,63  10 0 deci 12v2 s soluția a doua nu este bună; 0,25 3 5radGr 3 1max4     12,56  10 0 12v1 s soluție bună

Iar dr1max2 1max  2 222km  444km Adică ﬁecare fragment are o perioada de rotație proprie h m s 0,25 Pfr = 0 08 20 și masa asteroidului m = ρV 3 4r 18 mV  4,702  10 kg 0,25 3 c) Strălucirea Soarelui la nivelul asteroidului este: L E   0,25  4R2 Fluxul incident de lumină care cade pe suprafața asteroi- L r 2 dului este: 22  0,25 incident Er222 rL 4RR 269

Parțial Subiectul Detaliere Punctaj Problema (Asteroidul) punctaj Fluxul de lumină reﬂectat de suprafața asteroidului: A 0,25 reflectat ast. incident Strălucirea asteroidului pe suprafața Pământului este:  AL r 2 reflectat ast.   0,25 Easteroid 22 4 Rd R 4Rdps PS Analog pentru Lună: 2 ALL  rL ELuna  0,25 4dd2 PL SL 2 puncte 2 2 2 EAasteroid ast. drPL  d SL    0,25 EARdrRLuna L PS L  E asteroid 100,4mmLast .  0,25 ELuna 2 2 2 Addr mm2,5lg ast. PL   SL ast L  0,25 ARdrLPSL  R

mast  6,70 Oﬁciu 1p 1p Total 10p 270 Proba teoretică pentru selecția lotului reprezentativ al României pentru Olimpiada Internațională de Astronomie și Astroﬁzică 2011

Seniori

I. Probleme scurte (30 puncte) 1. Calculați durata crepusculului civil pentru un observator aﬂat la Cluj-Napoca (46°47’45” latitudine nordică) în ziua echinocțiului de primăvară și a solstițiului de vară. (5 puncte)

2. Într-un loc din emisfera nordică este înfipt vertical în pământ un gnomon din care au rămas afară 2,5 metri. La 3 ore și 40 de minute după culminația superi- oară a Soarelui umbra gnomonului în planul orizontului locului este de 3,831 metri. Aflați latitudinea geografică a locului în care se află gnomonul știind că declinația Soarelui în aceea zi a fost + 15°20’? (5 puncte)

3. La răscruce de drumuri se găsesc plăci indicatoare care ne dau direcția și dis- tanța până la anumite locuri de pe Pământ. (5 puncte) a) Aflați unghiul dintre două plăci indicatoare amplasate în curtea liceului din Călimănești orientate spre locul de desfășurare a olimpiadelor internaționale de anul acesta. Olimpiada internațională de astronomie va fi găzduită de Alma Ata. Coordonatele geografice ale acestei localități sunt latitudine 43°16’39”N, longitudine 76°53’45”E. Considerați că gazda olimpiadei de astronomie și astrofizică este Cracovia de coordonate 50°03’41” latitudine nordică, 19°56’18” longitudine estică. Coordonatele geografice ale orașului Călimănești sunt latitudine 45°14’21” N, longitudine 24°20’36”E. b) Dacă presupunem că Pământul este sferic, distanța dintre două locuri de pe el este egală cu lungimea arcului mic de cerc mare ce trece prin cele două puncte. Aflați distanța dintre Călimănești și Alma Ata, respectiv Călimănești și Cracovia. Raza medie a Pământului este 6371 km. Neglijați altitudinea la care se află orașele considerate.

4. Aﬂați distanța maximă dintre două poziții de pe Pământ de unde se vede Luna ocultând simultan aceeași stea. Se presupune că Pământul este sferic, raza Lunii este egală cu 1738 km, iar raza medie a Pământului 6371 km. (5 puncte)

5. Considerând mai multe stele pe sfera cerească, să se discute cum variază abe- rația anuală în funcție de coordonatele lor ecliptice. La ce poziții corespunde abera- ția maximă și minimă. (5 puncte)

6. Într-un loc de latitudine geograﬁcă φ cunoscută, se observă cu teodolitul cele două treceri la meridian ale stelei αCephei, de coordonate ecuatori- 271 ale cunoscute(teodolitul dă distanțele zenitale z1 și z2 ). Ținând seama de relația RAtg zB  tg3 z, să se calculeze constantele A și B ale refracției. (5 puncte)

II. Probleme lungi (20 puncte) 1. O cefeidă are densitatea medie 0,657kg m3 iar magnitudinea apa- rentă variază între valorile m (3,6 4,3) . Temperatura corespunzătoare razei 3 medii la suprafața cefeidei este egală cu 310 T int erior (unde T int erior este valoarea minime a temperaturii medii din interiorul Soarelui) iar raportul razelor extreme ale cefeidei este egal cu 1,5. Se cunoaște: R  695800km ,TK  5770 , 824 27 23 5,6704  10 WK, M  4,74 , mH 1,67 10 kg , kJK1,38 10 și 3  1,41kg m Să se aﬂe: a) Magnitudinea absolută medie a cefeidei si distanța exprimată în parseci până la cefeidă. b) Valorile extreme a razei cefeidei exprimate în raze solare. c) Temperatura maximă și temperatura minimă în funcție de temperatura de la suprafața Soarelui. (10 puncte)

2. Un „obiect cosmic” se apropie de o gaură neagră masivă pe o traiectorie para- bolică. Observatorul de pe Pământ, periastrul traiectoriei și centrul găurii negre sunt coliniare. Folosind un spectrofotometru, observatorul de pe Pământ a măsu- rat o deplasare relativă a liniei spectrale λ0: Δλ/λ0, și a separat o deplasare Doppler zD = 0.4, atunci când obiectul trece la periastru. Se consideră că masa obiectului cosmic este mult mai mică decât masa găurii negre. a. Să se aﬂe distanța minimă la care trece obiectul cosmic față de centrul găurii negre, dacă se cunoaște densitatea găurii negre ρBHole. b. Să se calculeze deplasarea spre roșu gravitațională la periastru.

c. Să se calculeze Δλ/λ0 = zD, în funcție de ρBhole, atunci când obiectul cosmic se aﬂă pe traiectorie sub un unghi θ = 60°în raport cu direcția ce unește centul găurii negre cu periastrul. d. Presupunând că gaura neagră se comportă ca un corp negru perfect, a cărui hc3 temperatură este dată de formula: TH  2 , iar constanta Stefan este dată 54 16 GMk 2 k  de expresia  15hc32 Puterea emisă de gaura neagră sub formă de radiație Hawking respectă legea Stefan-Boltzmann. Să se calculeze timpul de evaporare a găurii negre pentru gaura neagră. (Aplicație numerică MH = 3MSoare). (10 puncte)

Rezolvare problema 1 lungă: Mm GM a) FG Fma ⇒ a  – accelerația unui punct material pe supra r2 r2 fața cefeidei 272

4r3 4 MV  ⇒ aGrr2 forța este de tip elastic – deci o cefeidă poate 3 3 ﬁ modelată ca un oscilator armonic iar ω reprezintă pulsația cefeidei. 4 442 3 2 G , G ⇒ P  P = 5,365 zile 3 P2 3 G Din relația lui Henrietta Leavitt MP2,81lg  1,43  3,48 magnitudinea absolută medie a cefeidei. 3,6 4,3 7,9 Mm55lg d m 3,95 medie medie 22 3,48 3,95 5 5lg d ⇒ dpcal306,19 998,2 distanța până la cefeidă.

b) Fie L – luminozitatea medie a cefeidei L L 0,4(MM  ) 0,4(4,74 3,48)  10 10 1941 LL 1941  L L

m1  3,6 – magnitudinea aparentă minimă

Mm115 5lg d  3,6 5 5 2,486  3,83 – magnitudinea absolută la luminozitate maximă

m2  4,3 – magnitudinea aparentă maximă

Mm225 5lg d  4,3 5 5 2,486  3,13 – magnitudinea absolută la luminozitate minimă L 1 0,4(MM  1 ) 0,4(4,74 3,83) 10 10 LL1  2679  luminozitatea maximă L L 2 0,4(MM  2 ) 0,4(4,74 3,13) 10 10 LL2  1406  luminozitatea minimă L Temperatura minimă medie din interiorul Soarelui se determină folosind teo- V V Pr rema virialului astfel: 30PdV  30dM r    r 0 0  M Mr Dar GdMr  – energia potențială gravitațională a Soarelui. 0 r 11 Întrucât rR Soare peste tot în interiorul Soarelui, deci  din ecuația de rRSoare mai sus obținem o limită inferioară pentru mărimea energiei potențiale gravitațio- M MrdMr  M 2 nale a Soarelui, adică:   GG  Soare 0 RRSoare2 Soare k Din ipoteza că materia solară este un gaz perfect PPP0, T rad gaz m M kk H 33TrdMr T M    SS 0 mmHH unde temperatura medie a Soarelui este dată de formula: 273

 M k MT 3 TrdMr SSoare    0 mH

mGMH  6 De unde rezultă formula TK int erior 210 6kR

mGMH  6 TK int erior 210 este temperatură minimă medie din interiorul 6kR 1 Soarelui unde  pentru hidrogen ionizat 2 36 TKKS 3 10  2 10  6000 – temperatura la suprafața cefeidei 24 L 4RTmedie S  24 de unde rezultă LRT4

RR 40,74  – raza medie a cefeidei. R 1 RR12 1,5RR12 1,5 R R  2 2 3 2 RR1 48,89 R RR2 32,59 R 2,5 2,5

24 24 c) LRT1 4 1min  LRT2 4 2max  L 2679L TTK1  1,12 6462,4 min 4R2 2 2  1 448,89R L 1406L TTK2  1,32 7616,4 max 4R2 2 2  2 432,59R 274 Proba practică și de analiză a datelor pentru selecția loturilor reprezentative ale României pentru Olimpiada Internațională de Astronomie 2011 și Olimpiada Internațională de Astronomie și Astroﬁzică 2011

Seniori

Problema 1. (10 puncte) Sistemul binar din figura (a) realizat la scară are perioada orbitală P = 30 zile, iar semiaxa mare a orbitei aparente este înclinată cu un unghi i = 450 față de direcția razei de vizare. Într-o bună aproximație se va considera ca maximele vitezei radiale sunt atinse în punctele de pe elipse unde vectorii viteză sunt paraleli cu direcția de vizare. În figura (1b) sunt reprezentate cantitativ graficele vitezelor radiale ale componentelor sistemului reduse la același ciclu v1, v2 Să se determine: a. Excentricitatea orbitei sistemului binar; (2 puncte)

b. Semiaxele mari a1 și a2 a celor două orbite; (5 puncte) c. Masele celor două stele. (2.5 puncte)

←

To Earth

Figura (a) Figura (b) Problema 2. (10 puncte ) În următorul tabel sunt cuprinse observațiile fotometrice realizate pentru stelele dintr-o zonă de pe cer pe parcursul mai multor nopți de observații în domeniul fotometric VJohnson. Observațiile au relevat existența a trei stele variabile în zonă. Steaua folosită ca stea de comparație are magnitudinea în sistemul standard

Johnson: mc = 8.40. Pentru măsurătorile diferențiale din tabel se neglijează efectele de ordin 2 sau mai mare în expresia coeficientului de extincție. a. Să se reprezinte grafic curbele de lumină observate pentru stelele variabile. (3 puncte) b. Să se estimeze perioadele și amplitudinile celor trei curbe de lumină. Să se justifice estimările. (3 puncte) c. Pe baza curbelor de lumină să se stabilească pentru fiecare din cele trei stele variabile tipul de variabilitate. (1.5 puncte) 275 d. Să se estimeze distanța până la stelele variabile în cazul în care acest lucru este posibil. (2 puncte)

Tabelul cu observații fotometrice HJD HJD V1-C V2-C V3-C V1-C V2-C V3-C 2455600 + 2455600 + 0.2025 0.387 –1.137 1.595 2.2815 0.427 –1.210 0.843 0.2160 0.367 –1.135 2.079 2.2950 0.443 –1.216 0.828 0.2295 0.353 –1.132 2.816 2.3085 0.450 –1.222 0.825 0.2430 0.350 –1.129 3.305 2.3220 0.446 –1.228 0.820 0.2565 0.358 –1.127 2.808 2.3355 0.431 –1.235 0.819 0.2700 0.375 –1.125 2.066 2.3490 0.410 –1.241 0.814 0.2835 0.397 –1.122 1.588 2.3625 0.387 –1.247 0.811 0.2970 0.420 –1.120 1.268 2.3760 0.367 –1.253 0.808 0.3105 0.439 –1.118 1.055 2.3895 0.353 –1.258 0.805 0.3240 0.449 –1.115 0.918 2.4030 0.350 –1.264 0.805 0.3375 0.448 –1.113 0.843 2.4165 0.358 –1.270 0.801 0.3510 0.437 –1.111 0.828 2.4300 0.375 –1.275 0.801 0.3645 0.418 –1.109 0.825 2.4435 0.397 –1.281 0.802 0.3780 0.395 –1.107 0.820 2.4570 0.420 –1.286 0.804 0.3915 0.373 –1.106 0.819 2.4705 0.439 –1.291 0.805 0.4050 0.357 –1.104 0.814 2.4840 0.449 –1.296 0.806 0.4185 0.350 –1.102 0.811 2.4975 0.448 –1.301 0.810 0.4320 0.354 –1.100 0.808 2.5110 0.437 –1.305 0.814 0.4455 0.369 –1.099 0.805 2.5245 0.418 –1.310 0.817 0.4590 0.390 –1.097 0.805 2.5380 0.395 –1.314 0.820 0.4725 0.413 –1.096 0.801 2.5515 0.373 –1.319 0.825 0.4860 0.433 –1.094 0.801 3.3480 0.405 –1.295 0.808 0.4995 0.447 –1.093 0.802 3.3615 0.427 –1.292 0.805 0.5130 0.450 –1.091 0.804 3.3750 0.443 –1.289 0.805 2.2005 0.361 –1.172 2.808 3.3885 0.450 –1.286 0.801 2.2140 0.351 –1.178 2.066 3.4020 0.446 –1.282 0.801 2.2275 0.352 –1.184 1.588 3.4155 0.431 –1.279 0.802 2.2410 0.363 –1.191 1.268 3.4290 0.410 –1.276 0.804 2.2545 0.382 –1.197 1.055 3.4425 0.387 –1.272 0.805 2.2680 0.405 –1.203 0.918 3.4560 0.367 –1.269 0.806

Tabelul cu observații fotometrice (continuare) HJD HJD V1-C V2-C V3-C V1-C V2-C V3-C 2455600 + 2455600 + 3.4695 0.353 –1.265 0.810 5.5485 0.450 –1.016 0.887 3.4830 0.350 –1.262 0.814 5.5620 0.446 –1.018 0.906 3.4965 0.358 –1.258 0.817 6.2100 0.375 –1.267 0.820 276

HJD HJD V1-C V2-C V3-C V1-C V2-C V3-C 2455600 + 2455600 + 3.5100 0.375 –1.255 0.820 6.2235 0.397 –1.273 0.819 3.5235 0.397 –1.252 0.825 6.2370 0.420 –1.278 0.814 3.5370 0.420 –1.248 0.828 6.2505 0.439 –1.283 0.811 4.3065 0.442 –1.092 0.811 6.2640 0.449 –1.288 0.808 4.3200 0.425 –1.091 0.808 6.2775 0.448 –1.294 0.805 4.3335 0.403 –1.089 0.805 6.2910 0.437 –1.298 0.805 4.3470 0.380 –1.088 0.805 6.3045 0.418 –1.303 0.801 4.3605 0.361 –1.087 0.801 6.3180 0.395 –1.308 0.801 4.3740 0.351 –1.086 0.801 6.3315 0.373 –1.312 0.802 4.3875 0.352 –1.085 0.802 6.3450 0.357 –1.317 0.804 4.4010 0.363 –1.084 0.804 6.3585 0.350 –1.321 0.805 4.4145 0.382 –1.083 0.805 6.3720 0.354 –1.325 0.806 4.4280 0.405 –1.082 0.806 6.3855 0.369 –1.328 0.810 4.4415 0.427 –1.081 0.810 6.3990 0.390 –1.332 0.814 4.4550 0.443 –1.080 0.814 6.4125 0.413 –1.336 0.817 4.4685 0.450 –1.079 0.817 6.4260 0.433 –1.339 0.820 4.4820 0.446 –1.078 0.820 6.4395 0.447 –1.342 0.825 4.4955 0.431 –1.077 0.825 6.4530 0.450 –1.345 0.828 4.5090 0.410 –1.077 0.828 6.4665 0.442 –1.348 0.831 5.2380 0.395 –1.011 0.820 6.4800 0.425 –1.350 0.840 5.2515 0.373 –1.010 0.819 6.4935 0.403 –1.352 0.854 5.2650 0.357 –1.008 0.814 6.5070 0.380 –1.355 0.869 5.2785 0.350 –1.008 0.811 6.5205 0.361 –1.357 0.887 5.2920 0.354 –1.007 0.808 6.5340 0.351 –1.358 0.906 5.3055 0.369 –1.006 0.805 6.5475 0.352 –1.360 0.923 5.3190 0.390 –1.005 0.805 6.5610 0.363 –1.362 0.932 5.3325 0.413 –1.005 0.801 6.5745 0.382 –1.363 0.923 5.3460 0.433 –1.004 0.801 6.5880 0.405 –1.364 0.906 5.3595 0.447 –1.004 0.802 6.6015 0.427 –1.365 0.887 5.3730 0.450 –1.004 0.804 6.6150 0.443 –1.366 0.870 5.3865 0.442 –1.004 0.805 6.6285 0.450 –1.366 0.854 5.4000 0.425 –1.004 0.806 7.4655 0.369 –1.215 0.854 5.4135 0.403 –1.004 0.810 7.4790 0.390 –1.212 0.869 5.4270 0.380 –1.005 0.814 7.4925 0.413 –1.208 0.887 5.4405 0.361 –1.005 0.817 7.5060 0.433 –1.205 0.906 5.4540 0.351 –1.006 0.820 7.5195 0.447 –1.202 0.923 5.4675 0.352 –1.007 0.825 7.5330 0.450 –1.198 0.932 5.4810 0.363 –1.008 0.828 7.5465 0.442 –1.195 0.923 5.4945 0.382 –1.009 0.831 7.5600 0.425 –1.192 0.906 5.5080 0.405 –1.010 0.840 7.5735 0.403 –1.188 0.887 5.5215 0.427 –1.012 0.854 7.5870 0.380 –1.185 0.870 5.5350 0.443 –1.014 0.869 7.6005 0.361 –1.182 0.854 277 Problema 3. (10 puncte) Imaginea CCD următoare (printată ca negativ) a fost obținută la Observatorul Astronomic Cluj–Stația Feleac (Latitudine: 46°42’36.3”N; Longitudine: 1h34m22.47sE) în data de 8 martie 2011 la ora 20:05:53 Timp Legal Român (Timp Universal Coordonat + 2h). Timpul de expunere al imaginii a fost de 5 secunde. a. (1.5 puncte) Identificați pe imagine următoarele stele: h m s Alfa Aur (Capella) [RA2000.0 = 5 16 41.3 , Dec2000.0 = 45°59’53”]; h m s Beta Tau (Elnath) [RA2000.0 = 5 26 17.5 , Dec2000.0 = 28°36’27”]; h m s Alfa Per (Mirfak) [RA2000.0 = 3 24 19.3 , Dec2000.0 = 49°51’40”]; și indicați direcția aproximativă spre polul nord ceresc. b. (2 puncte) Neglijînd aberațiile sistemului optic determinați: b1. Câmpul imaginii (în grade pe latura lungă a CCD-ului = orizontală și cea scurtă a CCD-ului = verticală). b2. Scara imaginii (în minute de arc/pixel sau grade de arc/pixel) ști- ind că dimensiunile camerei CCD folosite pentru achiziția imaginii sunt: 2352 pixeli × 1568 pixeli, pixelii fiind pătrați cu latura de 9.5 μm. b3. Distanța focală a obiectivului folosit. c. (6 puncte) Calculați distanța topocentrică (punct de observație–obiect ceresc) până la satelitul artificial surprins în zona centrală a imaginii. Se consideră orbita satelitului ca fiind circulară, și de asemenea se consideră că trecerea observată face parte dintr-o trecere zenitală. Timpul sideral la ora 0h Timp Universal Coordonat în data de 8 martie 2011 a fost: 11h 01m24.394s. (Sursa: Anuarul Astronomic 2011, Ed. Academiei Române) Valorile constantelor astronomice primare și derivate necesare în problemă sunt: Constanta gravitației: G = 6,673 × 10–11m3kg–1s–2;

Raza medie a Pământului: RE med = 6367444,2 m ; 24 Masa Pământului: ME = 5,972138 × 10 kg. Se vor neglija efectele precesiei și nutației pentru toate calculele necesare în problemă.

Observație: Satelitul observat are indicativul 1990-018-B și este de fapt un corp de rachetă: Okean 2 Rocket, iar orbita reală este eliptică: 622×645 km, 82.5°.

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se scrie pe o pagină de concurs separată.

Timp de lucru 3 ore. 278 279 Rezolvare problema1: 22 xy!! a) Ecuația elipsei în sistemul de coordonate Oxy este: 1 ab22 22 xy Ecuația elipsei în sistemul de coordonate Oxy este: 221 Fie M(x,y) un punct arbitrar pe elipsă: ab xr! cos( i ) r (cos i cos sin i sin ) y yr! sin( i ) r (sin i cos cos i sin )

Vx =VA A y’ x xrcos cos r β y y’ yrsin sin r M(x,y) (x’,y’) i r

α x i x ! xy 0 xr(cos i sin) ix cos iyi sin b rr x’ xy yr! (sin i cos) ix sin iyi cos a rr Ecuația elipsei în sistemul de coordonate Oxy va ﬁ: 22 (cosxiyi sin) (sin xiyi cos) 1 x’ ab22 Din desen se măsoară lungimea axei mari a elipsei 23,4acm1  și distanța de la centrul de masă la punctul de afeliu al elipsei mari 2,4 cm.

acm1  1, 7 2,4cm a11 ea e 0,4 excentricitatea elipsei 2 b) Pentru i = 45° ⇒ cosi = sini = Ecuația elipsei va fi: 2 22 ()()xy xy 22 222 2 sau (xy ) (1 e ) ( xy ) 2 a (1 e ) aae222(1 ) Pentru o variație foarte mică x a lui x și o variație foarte mică y a lui y obținem: (xxyy   )22 (1  e )  ( xxyy    ) 222  2 a (1  e ) (xy )22 (1 e ) ( xy ) 222 2 a (1 e ) Scădem cele două ecuații și obținem: ()(22)(1)()(22)0xyxyxy      e2   xyxyxy      Raportăm la intervalul de timp t și obținem: 11 11 ()(22)(1)()(22)0xyxyxyexyxyxy     2        tt  tt x y Dar V  și V  sunt componentele vitezei unui punct A(x,y) de pe elipsă. x t y t 2 ()()(1)()()0VVxyxy e VV xy xy , deoarece x 0 iar y 0 280 Impunem condiția ca în punctul A(x,y), viteza să fie paralelă cu axa Ox (direcția de vizare), adică în punctul A să înregistrăm maximul vitezei radiale din figura (b).

Deci VVAx iar Vy  0. 2 (VxyeVxyxx 0)( ) (1 ) ( 0)( ) 0 ey2 x  coordonata x a punctului A 2  e2 Înlocuim în ecuația elipsei și vom obține coordonata y a punctului A e2 ea2 yaA 1  iar xA   2 2(2 e2 ) Vom avea două puncte deoarece avem două valori extreme ale vitezei. ea2 e2 ea2 e2 A(  , a 1 ) și A! ( , – a 1 ) 2(2 e2 ) 2 2(2 e2 ) 2 2 yA 2  e tg(i +β ) =  2 i + β = 79,21° iar β=34,21° xeA y U – reprezintă anomalia excentrică v – reprezintă anomalia adevarată β’ veu1 A tg tg Vx 21 e 2 unde u = 180 – β = 145,78° θ γ – anomalia adevărată β iar v = 157,21°– anomalia adevărată. u M(x,y) Dar OA · VVsin! 2 (x’,y’) 1max ar i α ab x Var – este viteza areolara = 0 i x 2 P b ae(1 ) x’ CM v iar OA = – ecuația elipsei u’ 1cos ev V’ a

Din graﬁc V1max 58km s 12,24UA an iar din OAF vu  11,43  și A’

90 i  10,79  β’’ ! OA· VV1max sin 2 ar ! 90  90  10,79  11,43  67,78 ae(1 2 ) 21aa   e2 · V · sin67,78 = deci aUA 0,215 semiaxa mare a 1cos ev1max P 1 orbitei stelei 1 a Din ﬁgură rezultă că aUA1 0,107 2 2 Deci semiaxa mare a orbitei aparente a sistemului binar va ﬁ: aa12 a0,322 UA 281

PM2() M a3 c) 12 1 ⇒ MM5 M a3 12P2  Ma Ma MM 1, 67 MM 3,33 11 22 1  2 

Problemă propusă pentru proba teoretică (Pământul) Se dă latitudinea geograﬁcă ϕ a unei localități. 1) Să se determine raza Pământului ρ în acel loc și latitudinea geocentrică ! știind că raza ecuatorială a Pământului este a  6378km , iar turtirea la pol ab 1  , 45 . a 297 2) Care este locul de pe Pământ pentru care ! este maxim și care este valoarea acestui maxim? 3) Pentru locul de la punctul 1) se cunoaște la o anumită dată,declinația geocen- trică δ și distanța geocentrică Λ a centrului Lunii, când aceasta trece la meridian. Se cere declinația aparentă a centrului Lunii.

Rezolvare:

Fie APA o secțiune meridiană a elipsoidului Pământului, M localitatea dată. ϕ – latitudinea geografică (unghiul format de verticala locului MN cu ecuatorul). !  – latitudinea geocentrică = = unghiul MOA ρ = OM raza geocentrică a locului. Ψ = unghiul MOA! = latitudinea excentrică( M ! fiind punctul de pe cercul principal care se proiectează în M pe elipsă). ab22 e2  = excentricitatea secțiunii eliptice a Pământului. a2 Raza geocentrică este dată de formula: 22 b ae1sin   sau ținând seama că tg tg  a 42 42 2 2 abcos sin  b b 1 296  1 e2 ; 1  ab22cos 22 sin  a2 a 297 297 b ρ poate fi exprimat în funcție de și ϕ 4 a 22b cos4 sin  22a a b2 cos22 sin  a2 282

2 ! b  ! Latitudinea geocentrică este dată de relația tg2 tg  Numeric: a 4 1 296 1   2 2 297 2 296 6378 6367km !  !!44 48 2  tg,  1 296 297   2 297

2) Unghiul ! ﬁind foarte mic și pozitiv, rămâne întotdeauna cuprins între 0°  și  . 2 Unui maxim al său îi corespunde un maxim al funcției tg()! , b2 tg1 2 tg tg ! a tg()!    1tg tg ! b2 1tg2 a2 Derivata funcției b2 ! 2 1tg 2 dtg 2 b a (1 ) 0 2 2 dtg b 2 a 12 tg a b2 a Pentru maxim 10tg2 sau tg . a2 b Semnul pozitiv corespunde latitudinilor boreale, iar negative celor austral. 297 Numeric tg 45 5!!! 50 296 3) Secțiunea APA! a Pământului reprezintă meridianul locului. 283

OL = distanța geocentrică a Lunii  AOL – declinația geocentrică ME paralel cu AA! este ecuatorul aparent al locului M.

a  EML = declinația aparentă a Lunii. ! a  BML Din triunghiul OML în care cunoaștem laturile ρ, Δ și unghiul ! , aﬂăm unghiul OML prin formulele de trigonometrie plană. Notăm OML M, si MLO L rezultă ML! ML(), tg ctg iar a !(M ). 22

Problemă propusă pentru proba practică: Determinați diametrul unghiular al planetei știind că imaginea are 3008x2008 pixeli și a fost făcută cu un Canon 350D atașat la un Schmidt-Cassegrain de 200mm f/10. Acest aparat are 12MP și dimensiunile senzorului de 11,1x7,5mm. a) Ce diametru unghiular are Luna? b) Care este magnitudinea limită a sistemului folosit ? c) Ce planetă este? Estimați elongația planetei. d) Care este puterea separatoare unghiulară a sistemului?

Rezolvare: Lungimea pozei corespunde lungimii senzorului 11,1mm, iar lățimea pozei corespunde lățimii senzorului 7,5mm și cunoscând distanța focală a obiectivului telescopului putem calcula unghiurile corespunzătoare pe orizontală și verticală ale câmpului vizual înregistrat pe senzor de unde putem aﬂa diametrul unghiular al Lunii și al planetei Venus. Pentru aceasta se duce o coardă pe oriunde pe imaginea Lunii și se determină mijlocul ei. Perpendicular pe coardă se duce un segment din mijlocul ei până întâlnește marginea discului lunar și apoi se unește acest punct cu unul din capetele coardei. Diametrul Lunii în imagine este raportul dintre acest ultim segment la pătrat și cel anterior (în cm). Transformăm apoi în minute cunos- când câmpul vizual pe sensor. 284

DLuna = 31,25cm, DVenus = 0,8cm, faza = 0,3cm. Lungimea pozei este 18,6cm care corespunde la 11,1mm și care dă un câmp vizual pe senzor de 19’4”. De aici deducem că diametrul unghiular al Lunii din imagine este 32’și atunci cel al lui Venus va fi de 49” iar lărgimea zonei luminate este 18,43” si aplicând formula 1cos 0,3  ceea ce dă un unghi de fază de φ = 105°. Aplicând acum teorema 20,8 sin sin sinusului sin 0,72 sin ținând seama că semiaxa planetei Venus 10,72 este 0,72 UA, obținem elongația ε = 44°. Pentru diametrul aparent al discului planetei Venus obținem 8mm, iar termina- torul e la maxim 3mm de marginea discului. De aici putem calcula faza și unghiul pe care-l fac razele de lumină ce vin de la Soare spre Venus cu cele reflectate spre Pământ. Apoi aplicăm teorema sinusului pentru a găsi elongația știind că semiaxa mare a planetei este 0,72UA. Pentru a calcula puterea separatoare a sistemului va trebui să determinăm mai întâi numărul de pixeli ai senzorului pe verticală și orizontală pornind de la rezoluția de 17,9 MP și raportul dimensiunilor senzorului. Apoi considerăm că 2 stele foarte apropiate pot fi văzute distinct dacă între imaginile lor este cel puțin un pixel neiluminat. Astfel puterea separatoare unghiulară este distanța unghiulară dintre 2 raze de lumină care ajung pe senzor pe 2 pixeli situați la o distanță egală cu dublul dimensiunii pixelului pe care o găsim împăr- țind dimensiunea senzorului la numărul de pixeli pe orizontală sau verticală. Din rezoluția totală a senzorului și dimensiunile acestuia, reies dimensiunile acestuia exprimate în pixeli, și anume pe verticală 2848 pixeli, iar pe orizontală 4366 pixeli. Raportând dimensiunea în mm la cea în pixeli, reiese dimensiunea pixelului, de 2,54 μm. Separația unghiulară fiind distanța unghiulară dintre razele de lumină ce vin pe 2 pixeli, între care mai este unul rezultă separația unghiulară de 0.77”. 285

Simularea probei teoretice

1. Wawel (J + S) În curtea castelului Wawel din Cracovia sunt pe toate laturile bolți semicirculare cu raza de 2m. Să se calculeze aria zonei luminate din spatele unei bolți a peretelui nordic în data de 25 august ora 9 dimineața. Se dau coordonatele locației: latitudinea 50ºN, longitudinea 19ºE, ecuația timpului 1 min 31 sec.

2. Aselenizarea unei nave cosmice (J) O navă cosmică cu masa M = 12 t evoluează în jurul Lunii pe o orbită circulară, la înălțimea h = 100 km. În vederea trecerii pe orbita de aselenizare, se cuplează, pentru un timp foarte scurt, un motor cu reacție. Viteza de zbor a gazelor din aju- 4 tajul motorului cu reacție este u  10 m/s . Raza Lunii este RL = 1700 km, iar 2 accelerația căderii libere pe suprafața Lunii este g0L  1,7 m/s . a) Ce cantitate de combustibil trebuie să se consume pentru aceasta, dacă traiectoria de cobo- râre conduce nava din punctul A (unde se cuplează motorul de frânare), până în punctul B de pe Lună (desenul a)? b) Într-o a doua variantă de aselenizare, când nava se aﬂă în punctul A i se comunică acesteia un impuls orientat spre centrul Lunii, care conduce nava pe o orbită tangentă la suprafața Lunii în punctul C (desenul b). Ce cantitate de combustibil se consumă în acest caz?

  v v

C B A A

a b 286 3. Eclipsa (S + J) În 21 iunie 2020 va avea loc o eclipsă de Soare cu maxim în India. Știind că în momentul de maxim coordonatele ecuatoriale și semidiametrele aparente ale R.A. 06h01m33.0s R.A. 06h01m30.1s celor 2 corpuri implicate sunt Dec. 23  26 09.7 Dec. 23  32 57.2 pentru S.D. 00 15 44.2 S.D. 00 15 24.0 Soare, respectiv Lună. Calculați ce procent din discul solar rămâne vizibil și cât durează faza de „totalitate”. Ce lățime are banda de totalitate? Se presupune că în acel moment Soarele e la meridian și eclipsa e centrală. Ce latitudine are locul de maxim? Se dau elementele orbitei lunare și pământești și dimensiunile celor 2 corpuri implicate: aP = 149.597.887,5km, eP = 0,0167, aL = 384.400km, eL = 0,0554, i = 5°8’43”, 695500km, 1738km.

4. Galaxia (J) Într-o galaxie cu raza de 15 kpc și masa de 1011 mase solare studiem 2 stele aﬂate la distanțe de 5 kpc respectiv 10 kpc de centrul galaxiei aﬂate de aceeași parte. Presupunând distribuția uniforma a masei în galaxie calculați perioada sino- dică a uneia față de alta.

5. Roiul (J) a) Dacă un roi de stele este format din 104 stele, ﬁecare având o magnitudine absolută M = - 5, calculați magnitudinea aparentă combinată a roiului în cazul în care este situat la o distanță de 1 Mpc. b) Una dintre stelele roiului are o planetă extrasolară. În cazul în care planeta este observată când trece (tranzitează) în fața stelei de care aparține, considerând că este întunecată și aria suprafeței sale este 2% din cea a stelei, găsiți scăderea magnitudinii sistemului în timpul tranzitului. c) Steaua tranzitată este de tipul spectral G0. Cunoscând că indicele de culoare este IC = 0,57, determinați temperatura corespunzătoare acestei clase spectrale.

6. Doi sori (S + J) Undeva departe în galaxie s-a descoperit un sistem binar curios cu o planetă similară Pământului situată în punct Lagrange care face un triunghi echilateral cu cele 2 stele a căror mase sunt dublu respectiv jumătate din cea a Soarelui. Știm că temperatura medie pe acea planetă este egală cu cea medie de pe Pământ. Să se determine distanța dintre cele 2 stele și perioada sistemului. Dacă perioada de rota- ție a planetei este egală cu cea a Pământului calculați cât timp e zi și cât timp e noapte pe acea planetă.

7. Inel ecuatorial gravitațional la suprafața Soarelui (S) Datorită rotației proprii a Soarelui, raza ecuatorială a acestuia este cu puțin mai mare decât raza sa polară, astfel încât distribuția materiei solare în jurul axei de rotație nu mai are o simetrie sferică. Din această cauză se produce precesia orbitelor 287 planetelor din sistemul nostru solar (alunecarea/devierea/rotirea periheliului orbitei ﬁecărei planete). Într-un model simplu, putem considera că rotația Soarelui are ca efect formarea unui inel ecuatorial gravitațional la suprafața sferei solare, cu grosimea neglijabilă și masa MM S , unde MS este masa Soarelui (în care este inclusă și masa inelului). Pentru a dovedi existența acestui efect vom considera că materia solară este dis- tribuită uniform și simetric față de axa perpendiculară pe planul orbitei planetei, iar energia potențială gravitațională a sistemului Soare – planetă, corespunzător modelului propus, când planeta cu masa m se aﬂă la distanța rR față de centrul Soarelui, este dată de expresia: 24 6 kRR13  5  R EJJJp2461   ...... , rrr2816   r unde R este raza Soarelui. Constantele J24, J , J6 ,...... depind de distribuția exactă a materiei solare în jurul axei de rotație a Soarelui. a) Utilizând argumente de natură calitativă să se determine constanta k din expresia anterioară a energiei potențiale gravitaționale Ep . Se cunoaște constanta atracției universale, K.

Să se determine constanta J2 din expresia anterioară a energiei potențiale gravi- taționale Ep , utilizând modelul propus. n 1 Se va admite că: 11  nnn   1; 2 1. 2 b) Pentru orbite eliptice cu excentricitate foarte mică, deviația foarte mică a unei planete de la orbita circulară ecuatorială se poate explica admițând că planeta efec- tuează oscilații radiale cu amplitudine foarte mică, în jurul unei distanțe r = r0, oscilații care se suprapun peste mișcarea circulară a planetei în jurul Soarelui. (Dacă acest proces se analizează în condițiile respectării legii conservării momentului cinetic, atunci se demonstrează că oscilațiile radiale ale planetei trebuie să ﬁe însoțite și de oscilații unghiulare cu aceeași perioadă. În această problemă se negli- jează acest efect.) Să se determine perioada oscilațiilor radiale ale planetei, conside- rând că J2  0. Se cunoaște perioada de revoluție a planetei în jurul Soarelui, Trev .

Considerând J2  0 să se scrie expresia energiei cinetice a planetei în funcție de: proiecția impulsului planetei pe direcție radială, prad ; momentul cinetic al planetei, L; masa planetei, m; distanța de la planetă la centrul Soarelui, r. c) Având în vedere că momentul cinetic al planetei este L = constant, să se iden- tifice, ca fiind potențialul gravitațional efectiv al punctului unde se află planeta,

VVref ef , toți termenii din expresia energiei totale a sistemului Soare – planetă, care nu depind de impulsul radial al planetei. Introducerea noțiunii de potențial gra- vitațional efectiv reduce mișcarea plană a planetei la o mișcare radială a acesteia.

dVef Să se determine distanța r0 pentru care forța gravitațională efectivă, Fef  , se anulează. dr d) Utilizând aproximația propusă în problemă să se determine expresia apro- ximativă a energiei totale a sistemului Soare – planetă, pentru rr0 r, unde 288

2 rr0 , reținând cel mult termenii în R și apoi, comparând această expresie cu expresia energiei totale a unui oscilator armonic, să se determine perioada oscilații- lor radiale ale planetei, Tosc , în cazul J2  0. Caz particular: J2  0.

8. Racheta interstelară (S) Pe două din părțile laterale opuse ale unei rachete, care se depărtează rectili- niu și uniform față de o stea fixă Σ, pe direcția centrului acesteia, sunt fixate două oglinzi plane, paralele, așa cum indică figura alăturată, distanța dintre planele oglinzilor, măsurată de pe rachetă, fiind l0 . Un semnal electromagnetic cu frecvența v0 , trimis de pe stea spre rachetă, se reflectă normal pe fiecare oglindă. a) Să se determine viteza rachetei, v, în raport cu steaua Σ, știind că la sta- ția S de pe suprafața stelei, de unde a fost lansată racheta și de unde, la un anumit moment, a fost emis semnalul electromagnetic, se recepționează două semnale electromagnetice succesive, la un interval de timp Δt. Se cunoaște viteza semnalelor vv2 v electromagnetice în vid, c. Se va considera că: . cc2 c Pe stația S se recepționează numai semnalele electromagnetice reflectate de cele două oglinzi. Suprafețele exterioare ale rachetei absorb semnalele electromagnetice primite de la stația S sau le reflectă pe alte direcții, astfel încât acestea nu pot reveni la stația S. b) Să se determine frecvențele semnalelor electromagnetice, reflectate de oglin- zile de pe rachetă, atunci când ele revin la steaua Σ și sunt recepționate pe stația S.

c) Să se determine intervalul de timp  dintre aceleași două semnale electromagnetice, recepționate la stația S de pe steaua Σ dacă racheta se apropie rectili- niu și uniform de stea, pe direcția centrului acesteia, având, în raport cu steaua Σ, viteza determinată anterior.

9. Oscilațiile Sistemului Solar în Galaxie (S) Sistemul Solar efectuează o mișcare de oscilație de o parte și de alta a planului de simetrie al Galaxiei Noastre. Când Sistemul Solar parcurge regiunea mai densă a Galaxiei, cometele sunt perturbate și unele dintre ele pot lovi Pământul. Traversarea acestei zone se realizează odată la 35–40 milioane de ani. Craterele de pe Pământ arată creșterea numărului de coliziuni odată la 36 milioane de ani, 289 perioada acestora coincizând cu dispariția în masă a unor viețuitoare de pe Pământ. În acest mod poate fi explicată, de exemplu, dispariția dinozaurilor acum 65 milioane de ani. Presupunând că Sistemul Solar se mișcă de o parte și de alta a planului de simetrie al unei pături gravitaționale cu extindere infinită, dar cu grosime finită și cu densitatea materiei interstelare ρ=constant, să se demonstreze că miș- carea Sistemului Solar în interiorul Galaxiei Noastre este o mișcare oscilatorie armonică și să se determine perioada oscilațiilor sale. Se dau: 1020 kg/m 3 ; K 6,67 1011 Nm 2 /kg 2 .

10. Astronauții dintr-un satelit sărbătoresc Crăciunul!

În misiune pe orbită, de zilele Crăciunului, astronauții dintr-un satelit doresc să aibă parte de lumânări aprinse și de limonadă. Să se justiﬁce dacă ei vor reuși să aprindă lumânările din bra- dul de Crăciun existent la bordul navei lor. Să se precizeze direcțiile și sensurile mișcărilor bulelor gazoase în limonada din pahare.

Rezolvare problema 7: a) Din expresia dată pentru energia potențială gravitațională a sistemului Soare – planetă, ade- vărată în cazul abaterilor de la distribuția sferică: 24 6 kRR13  5  R EJJJp2461   ...... rrr2816   r , unde termenii superiori apar doar în cazul abaterilor de la distribuția sferică, trebuie să rezulte expresia cunoscută a energiei potențiale a sistemului Soare–planetă, mM atunci când distribuția masei Soarelui este sferică: EK S . p r În aceste condiții, prin neglijarea termenilor datorați abaterilor de la distribuția sferică, rezultă: kKmM S , unde m – masa planetei, MS – masa Soarelui, K – constanta atracției universale. În ﬁgura 1 este evidențiat un sector elementar, cu masa dM, de pe conturul inelului circular cu masa M. Energia potențială gravitațională elementară a sistemului format din planeta cu masa m și sectorul elementar cu masa dM de pe conturul ine- mMd lului circular, este: dE K ; MR2, unde γ – densitatea p 22 liniară a inelului; rR2cos rR  M mMd ddd;MsR   dd;M  dEp  K . 2 22cosrR22 rR  Energia potențială gravitațională a sistemului format din planeta cu masa m și întregul inel circular cu masa M este: 290

d m  R

Fig. 1

mM 2 d EK ; p,inel-planeta  22 2 0 rR2cos rR  mM 2 d EKp,inel-planeta  ; 2  RR2 0 r 12cos  rr2 1  mM2 1  R2 R 2 EK12cosd    ; p,inel-planeta  2 2 0 rrr 2 RR n 1 2cos 1; 11  nnn   1; 2 1; rr2 2 1  2 RR2222 13 RR RR 1222 2cos  1 2cos  2cos;  rr28 rr rr 1  224322 RR13 RR RR R2  122432 2cos  1 2cos  4cos4cos;   rr28 rr rr r  R4 R3  0;  0 ; r4 r3 1  2222 RR13 RR R2 1222 2 cos  1 2 cos  cos  ; rr22 rr r 1    R 2 R  2 R R 2 3cos2  1 1   2 cos   1 cos  ;   2  2   r r  r r 2 mM2 13cos1 R R22 EK1cos   d . p,inel-planeta  2 22 0 rr r 291 Energia potențială gravitațională a sistemului format din planeta cu masa m și Soarele în cadrul modelului propus, este: EEE; p,model Soare-planeta p,Soare-planeta p,inel-planeta mM M EKS  p,model Soare-planeta r mM2 13cos1 R R22 K 1cos2 d 22 rr r  0 ; 2 13cos1RR22 1cos d   2 0 rr r 2 1322RRR22 2  2  d  cos  d  cos2 d  d  ; 233   rr0022 r 0 r 0

2 1sin2 cos d -sin  ; cos d  ;   22 2 13cos1RR22 1cos d   2 0 rr r 2

222 131sin222RR R 2  sin ; 0023    3  0 rr22 r 20 2 r 2 13cos1131RR22 R 2 R 2 1cos d  2 2 2;  233 0 rr r2222 r r r 2 13cos1131RR22 R 2 R 2 1cos d  2 2 2;  233 0 rr r2222 r r r 2 13cos12RR22  R 2 1cos d  1 ;  22 0 rr r24 r r

2 mMS  M KmM R EKp,model Soare-planeta   1 2 ; r rr4 mM mM R2 EKKS  . p,model Soare-planeta rrr4 2 Comparând cu expresia: 24 6 kRR13  5  R EJJJp2461   ...... , rrr2816   r din care reținem numai primii doi termeni, rezultă: 2 2 2 1 M mMS mM R kR1  mMS 1 R KK 1 J = KJ1 ; J2  . 2 2  2 2 2 M rrr4 rr2  rr2 S 292

b) Dacă J2  0 , însemnează că traiectoria planetei în jurul Soarelui este o elipsă. În acest caz, orbita planetei ﬁind închisă, pe durata unei revoluții complete, repre- zentând perioada de revoluție a planetei, Trev , distanța dintre planetă și Soare are exact o valoare minimă (când planeta este la periheliu) și o valoare maximă (când planeta este la apheliu). Ca urmare, perioada oscilațiilor radiale mici ale planetei,

Tosc , este strict egală cu perioada revoluției planetei în jurul Soarelui, TTosc rev . Din ﬁgura 2, unde am descompus vectorul viteză tangențială al planetei în două   mv12 1 componente, rezultă: vv v;vv22  v 2; Emmvv;22  // // c 22// 2   L Lrmv; L = rmv sina = rmv; v;  mr 2 2 1 2 L 1 2 L Emc v;// 2 Epcrad2 . 22mr 22mmr   v //  v rad

  v  v  r

Fig. 2

c) Utilizând expresia generală a energiei potențiale gravitaționale a sistemului 24 6 kRR13  5  R planetă – Soare: EJJJp2461   ...... , rrr2816   r 2 kR1  scrisă pentru orbita eliptică a planetei: EJp21  , rr2  precum și expresia generală a energiei cinetice, dedusă mai sus: 1 L2 Ep2 , crad22mmr2 rezultă că energia totală a sistemului planetă – Soare, este: 1 L2 kR1 2 EE E p2 . cp rad  2 1 J2  22mmrrr2  Potențialul gravitațional efectiv al punctului unde se aﬂă planeta (Vef, ﬁind reprezentat de suma tuturor termenilor din expresia energiei totale a sistemului Soare – planetă, care nu depind de impulsul radial al planetei, rezultă: 293

L2 mM 1 R2 L2 mM mM J R2 V KJS 1 V SS2 ef  2 2 2 ; ef  2 KK3 ; 2mr rr2 2mr rr2 2 2 L k kJ2 R Vref   . 2mr2 rr2 3

Distanța r0, față de Soare, unde forța efectivă se anulează, se obține ca ﬁind

dVef soluția ecuației: Fef 0. Rezultă: dr 2 2 Lkm2  22 2  223kmr L r kmJ R  0;rJR1,2116 2 2 . 2 2km L 

Dacă J2  0 , soluția cu „minus”  0,iar potențialul efectiv corespunzător- Vef→+∞. Pentru a-i asigura potențialului efectiv o valoare ﬁnită, păstrăm numai Lkm2 2 2  soluția cu „plus”, astfel încât avem: rJR021162 . 2km L  L2 k kJ R2 d) Știind că: Vr  2 , rezultă că: ef 2mr2 rr2 3 L2 k kJ R2 Vr r  2 ; ef 0 2 rr 3 2mr0  r 0  2rr0 

21  3 Lrkr2 kJ R2   rr Vr r  112 1;   1; ef 0 23 r 22mr00 r r 00 r r 0  r 0 0

n 1 11  nnn   1; 2 1; 2 22 Lr2 rr kr Vr r  2212 3  1 2  ef 0 2mr r r r r r 000000 2 kJ R2 r r 2 13 6 ; 2rrr32 000 Lk2 kJ R2 Lk2 3kJ R2 Vr r  2 2 ef 0 23 + 32 4 r 22mr00 r r 0 mr00 r2 r 0 2 2 2 2 3Lk3kJ2 R 2 LkkJ2 R r ;  Vref 0 ; 2mr43 r r 5 22mr23 r r 00 0 00 0 2 2222 Lk3223kJ2002 R1 kmr L r kmJ R 32 4  2 2 0; mr00 r22 r 0 r 0 mr 0 2 2 3Lk3kJ R 2 Vr r Vr 2 ef 0 ef 0 43 5 r ; 2mr00 r r 0 294

Lkm2 2 2  rJR021162 ; 2km L  1 2 2 22km  km 2 km 16JR 16 JR ; 61;JR2  2222  2 LL  L n 1 11  nnn   1; 2 1; 2 1 2 2 22km  km 16JR 16 JR 2222  LL  24 2 224km9  km 2 km 13JR2222  JR 13JR2 2 ; LL2  L 2 2 2 2 Lkm2  Lkm3 2  rJR02232 ; rJR021;2 2km L km2  L 4 2 2 24 42 3Lk3kJ2 R 33Lkm2  km   1JR2 2mr43 r r 5 22mL82 L 00 0  3 5 332 25 52 kk m3 2  km 3kJ2 R k m 3 2 km 621 JR2  101;JR2  2 LL2  LL2  2 2 432 3Lk3kJ2 R 33km2  km   14JR2 2mr43 r r 5 22LL62 00 0  432 65 22 km3 2  km 3kmJR2 3 2 km 6213JR2 1015JR2  2 ; LL2  LL2    2 2 4322 3Lk3kJ2 R k m3322 km 9  km   61JR22 JR 2mr43 r r 5 LLL62222 2  00 0   65 22 3kmJR2 15 2 km 101;JR2  2 LL2  2 2 432 65 2 3Lk3kJ2 R km19 2  km 3kmJR2  JR2  ; 2mr43 r r 5 LLL621022  00 0  2 2 4322 3Lk3kJ2 R k m19 22 km  km   JR223; JR 2mr43 r r 5 LLL62222   00 0   2 2 432 3Lk3kJ2 R km2  km   13 JR2 ; 2mr43 r r 5 2LL62 00 0  295

2 2 3Lk3kJ R 2 Vr r Vr 2 ef 0   ef 0 43 5 r ; 2mr00 r r 0 2 km43 km 2 r Vr r Vr 2  ef 0 ef 0 6213JR2  . LL 2

În aceste condiții energia totală a sistemului Soare–planetă, pentru rr0 r, p2 este: EVrrrad  ; rr0  2m ef 0

2 2 43 2 p km2  km r E  rad 13 JR . rr0  Vref 0 622  2m LL 2 Pentru un oscilator armonic, energia totală și perioada oscilațiilor sale sunt date px22 m de expresiile: Ek0 ; T 2. 22m k0 Comparând cele două expresii ale energiilor totale, rezultă: 43 2 km2  km k0  6213 JR2 ; LL  1  332 2 LLkm1 2  TJR2213;   osc km2222 km2  L 2 km  13 JR2 2 L 2 km n 1 2 2  11  nnn   1;  1; 31;JR2 2    L 2 LkmR32223 TJosc2124  2 . km2 L Pentru o planetă care evoluează în jurul Soarelui, pe o orbită eliptică cu semiaxele a și respectiv b, se demonstrează că momentul cinetic și perioada de revoluție 3 KMS a sunt date de expresiile: Lmb ; Trev 2. a KMS În particular, dacă orbita este aproximativ circulară ab , rezultă: LL33 3 kmR222 22 T ; TT1; J TT . km2 2 rev osc rev4 2 osc rev KmMS m 2 L

Caz particular: J2  0 → TTosc rev .

Rezolvare problema nr. 8: a) Metoda 1 În figura 1 sunt reprezentate pozițiile rachetei (S′) în raport cu sistemul fix (S), în momentele corespunzătoare reflexiilor de pe fiecare din cele două oglinzi. 296

O 2

S'  v S

d O 2 l  l0

S S' O1

Fig. 1 Durata pauzei (∆t) dintre cele două semnale recepționate în sistemul ﬁx S este egală cu durata parcurgerii de către lumină a distanței (d + l), dus–întors, unde d – distanța parcursă de rachetă, în raport cu steaua, în timp ce lumina străbate într-un singur sens distanța dintre oglinzi, iar l – distanța dintre oglinzi în raport cu S. ' Fie t1 durata propagării luminii din planul oglinzii O2 până pe oglinda O1,

' l0 măsurată de S′: t1 . c ' t1 v Durata aceluiași eveniment, măsurată de S, este: t1 ;;  12 c l0 t1 . c 12

l0 2 Rezultă: dtv 1 ; ll0 1; 12  2 2dl 2 l 2l0 1 0 2 t 2 tl  0 1;   ; ; cc 2 c 2 1 1 2 2l 1 tc224 l t 0 ; v  c 0 . c 1 2 22  tc4 l0

Metoda 2 Durata pauzei t dintre cele două semnale recepționate în sistemul ﬁx S este:

Δt = Δt1 + Δt2, unde t1 – durata propagării luminii, dus–întors, între planele celor două oglinzi (în raport cu S), iar t2 – durata parcurgerii de către lumină, în sens invers, a distanței d pe care racheta a parcurs-o față de S în timpul t1 . Dacă t – durata parcurgerii distanței dintre planele oglinzilor, dus – întors, de

2l0 t către lumină, în raport cu S′, rezultă: tt ;; 1 dtctv;12 c 12 297

2 22 v 2l 1 tc4 l0 tt t1; t t 0 ; v  c 11    1  2 22. c c 1 tc4 l0 b) Pentru semnalul electromagnetic incident, sursa de oscilații este fixă (sistemul S), iar observatorul (racheta S ) se depărtează de sursă. Frecvența semnalului înre- 1 gistrat pe rachetă este: vv'. 0 1 Pentru semnalul electromagnetic reflectat, observatorul (sistemul S) este fix, iar sursa de oscilații (racheta S’) se depărtează de observator. Frecvența semnalului 1 înregistrat pe stația de pe stea este: vv '. 1 1 Rezultă: vv . 0 1 c) Metoda 1 În figura 2 sunt reprezentate pozițiile rachetei (S′) în raport cu sistemul fix (S), în momentele diferite, corespunzătoare reflexiilor de pe fiecare din cele două oglinzi. Durata pauzei  dintre cele două semnale recepționate în sistemul fix S este egală cu durata parcurgerii de către lumină a distanței ld , dus–întors, unde d – distanța parcursă de rachetă, în raport cu steaua, în timp ce lumina străbate într- un singur sens distanța dintre oglinzi, iar l – distanța dintre oglinzi în raport cu S. ' Fie t1 durata propagării luminii din planul oglinzii O1 până pe oglinda O2,

' l0 măsurată de S′: t1 . c ' t1 v Durata aceluiași eveniment, măsurată de S, este: t1 ;;  12 c l0 t1 . c 12 l  0 2 Rezultă: dtv 1 ; ll1; 12 0 2 ld l 2l 2 2 2  0 0 1 2   l0 1;     ; ; cc 2 c 2 1 1 2 22 2 2l 1 tc4 l0 4l   0 ; v; c   0 . 2 22 ct2 c 1 tc4 l0 

Metoda 2 Durata pauzei  dintre cele două semnale recepționate în sistemul ﬁx S este:

  12   , unde 1  durata propagării luminii, dus–întors, între planele celor două oglinzi (în raport cu S), iar 2  durata parcurgerii de către lumină, în sens invers, a distanței d pe care racheta a parcurs-o față de S în timpul 1 . 298

O1 '  S v S

O 2 d

O1 l  l0

S S' O 2

Fig. 2

Dacă t – durata parcurgerii distanței dintre planele oglinzilor, dus–întors, de

2l0 t 2l0 1 către lumină, în raport cu S′, rezultă: t ;; 1 1  ; c 12 c 12 dcv; 12  

v 2l0 1      1;     ; 11 1 c 1 c 2 22 2 22 tc4 l0 tc4 l0 2 v; c v ; 4l0 2 22  2 22  . tc4 l tc4 l 2  0 c  0 ct

Rezolvare problema nr. 9: Metoda 1 Fie pătura cu extindere infinită din figura alăturată. Considerăm Sistemul Solar la distanța x față de planul de simetrie. Datorită simetriei cele două pături hașurate își anulează efectul, deci acțiunea rezultantă asupra Sistemului Solar este dată doar de acțiunea păturii cu grosimea 2x. Deplasarea față de planul de simetrie al Galaxiei este mică în raport cu grosimea acesteia. Pentru a calcula această acțiune împăr- țim pătura în cilidri cu Sistem Solar grosimea dr, respectiv  sumăm forțele exerci- x planul de simetrie al galaxiei tate de fiecare cilindru.

2x 299

Pentru fiecare element de masă  dF există un altul simetric față de nor-  mala dusă din Sistemul Solar pe pătura de grosime 2x, deci compo- R D nentele paralele cu pătura infinită se anulează. Singura acțiune este dată dm d de componentele normale pe pătură. r Notații: R – distanța de la Sistemul Solar rr d la elemental de masă dm; D – distanța de la Sistemul Solar la pătura infinită de grosime 2x; dφ – unghiul sub care se vede elemental de masă din centrul cilindrului, în planul suprafeței păturii; M – masa Sistemului Solar. Acțiunea elementelor de masă din cilindrul cu raza interioară r și raza exterioară 2 Mmcos d r + dr este dată de relația: dFK , unde: d2ddmxrr   . c 0 R2 2 D În aceste condiții: d2ddFKM   xrr, deci c 022 ()Dr22 ()Dr rrd d4FKMDxc   3 . ()Dr22 2 Acțiunea întregii pături se găsește însumând toate acțiunile elementare: rrdd rr FKMDx44   KMDx  4 KMx, 0033 ()Dr2222 () Dr 22   sau, ținând cont de orientarea vectorilor: Fkelastic  x, unde kKMelastic 4 . Constatăm că deplasarea Sistemului Solar se efectuează sub acțiunea unei forțe de tip elastic, deci mișcarea acestuia este oscilatorie armonică. M  Perioada mișcării este dată de relația: T 2  kKelastic  Înlocuind valorile numerice date în enunț se obține: T 2,17 1015 s  69 milioane de ani Este normal ca regiunea cea mai densă să fie în planul de simetrie al Galaxiei, deci traversarea acesteia se face o dată la circa 35 milioane de ani.

Metoda 2   q ESd int Teorema lui Gauss pentru câmpul electric are forma:  S , adică ﬂuxul 0 câmpului electric printr-o suprafață închisă este egal cu raportul dintre sarcina elec- trică din interiorul suprafeței și permitivitatea dielectrică absolută a vidului. Prin analogie, aceasta se poate scrie și pentru câmpul gravitațional: 300   d4SKm     S int , unde:  = intensitatea câmpului gravitațional; K = constanta atracției universale; mint = masa din interiorul suprafeței. Alegem o suprafață cilindrică, cu bazele paralele cu planul de simetrie al păturii, la distanțe egale de acesta. Datorită simetriei, intensitatea câmpului gravitațional este perpendiculară pe baze. Fluxul câmpului gravitațional prin suprafața laterală este nul. Deci, ﬂuxul câm- 2 pului gravitațional prin suprafața închisă este: 24 RKm   int unde R este 2Km 22KRx 2 raza unei baze a suprafeței cilindrice. Rezultă: int  4 Kx  RR22 iar forța care acționează asupra Sistemului Solar: FM 4  KMx  .     Evident F și x au aceeași direcție și sens opus deci, putem scrie: Fkelastic  x, adică o forță de tip elastic

Constanta de elasticitate are expresia: kKMelastic 4 . Perioada de oscilație este: M 1  T 2  2   2,17  1015 s  69 milioane ani . kKelastic 4K 

Rezolvare problema nr. 10: Pentru ca o flacără să ardă în câmp gravitațional, trebuie ca oxigenul, necesar arderii, să fie adus de jos, iar produsele arderii să se deplaseze în sus. În absența gravitației, flacăra lumânării va folosi oxigenul din jurul său și apoi se va stinge. Astronauții trebuie să susțină arderea, suflând în flacăra acesteia. Referitor la bulele gazoase din limonadă, dacă nu există o accelerație a paha- rului, acestea vor staționa acolo unde ele au apărut. Din considerente de simetrie, nu există direcție pe care bulele pot merge. Efectele datorate câmpului gravitațional neuniform sunt neglijabile. De îndată ce paharul începe să se deplaseze, bulele vor pleca pe direcția și sensul vectorului accelerație, a. 301

Simularea probei practice

Problema 1 Kepler 45: având curba de viteza de mai jos determinați excentricitatea orbitei planetei. Masa stelei este 0,59 mase solare iar perioada orbitala a planetei de 2,5 zile. Ce masă are planeta? Folosind curba de lumină varianta de sus deter- minați raza stelei și a planetei. Cât este înclinarea?

Problema 2 Tranzitul lui Venus prin fața lui Jupiter în 1818: pornind de la imagine determinați pozițiile celor 2 planete față de Pământ și Soare. Se cunosc:

RVenus = 6052km, aVenus = 0,72UA, RJupiter = 69915km, aJupiter = 5,2UA . Ce fază și ce elongație are Venus? Se cere desenul orbitelor cu pozițiile planetelor în sistem heliocentric.

Problema 3 Într-o campanie de observare a curentului meteoric Perseide, un astronom amator a înregistrat următoarele date: Data: 11/12.08.2010; Centrul câmpului de observare: α = 300, δ = + 700; Perioada de observare (UT): 22h30m–23h50m 302 Mențiune: Numărul stelelor vizibile într-un anumit triunghi de transparență, se convertesc în magnitudine limită. În perioada Δt1 = 25 minute, în triunghiul de transparență 6 s-au numărat 10 stele. În acest caz Lm1 = 6,14. În perioada Δt2 = 20 minute, în triunghiul de transparență 7 s-au numărat 17 stele. În acest caz Lm2 = 6,19. În perioada Δt3 = 35 minute, în triunghiul de transparență 6 s-au numărat 12 stele. În acest caz Lm3 = 6,25.

Tabel observații Nr. Curentul meteoric Ora Magnitudinea aparentă Crt. (Cod IMO) (h m) (m) 1 SPO 22h32m + 3 2 PER 22h34m + 2 3PER22h39m0 4 PER 22h43m + 2,5 5 PER 22h52m + 3 6 PER 22h54m + 1 7 PER 22h59m + 4 8PER23h02m-0,5 9 PER 23h06m + 2 10 SPO 23h13m + 3,5 11 PER 23h20m 0 12 PER 23h27m + 4,5 13 PER 23h33m –2,5 14 SPO 23h35m + 2,5 15 PER 23h40m + 1,5

Notă: Cod IMO: PER –Perseide, SPO - sporadic Cerințe: Folosind datele observaționale de mai sus: 1. Determinați timpul efectiv (Teﬀ) 2. Determinați magnitudinea limită (Lm) 3. Realizați distribuția magnitudinilor

Problema 4 În această imagine făcută de Mars Orbiter, apare Mars Rover Spirit, parașuta folosită la aterizare și urma lăsată de rover între locul în care a aterizat și crate- rul Bonneville. Se știe ca lățimea imaginii este de 895 m. Imaginea a fost făcută de Mars Orbiter, un satelit care are o orbită circulară la o înălțime de 275 km de suprafața lui Marte care are raza de 3396 km și masa Mkg6,42 1023 . Se dă G  6,67 10-11 N(m/kg) 2 303

În a doua imagine se prezintă un detaliu mărit în care apare Mars Rover, la marginea craterului Bonneville. Aﬂați: a) Diametrul mediu al craterului Bonneville; b) Dimensiunea aproximativă a Roverului. Explicați pe scurt metoda folosită; c) Dimensiunile unghiulare ale imaginii; d) Numărul aproximativ de pixeli ai senzorului; e) Distanța focală a obiectivului. Dimensiunea unui pixel este de 5 mm; f) Timpul maxim de expunere care poate ﬁ utilizat; g) Luminozitatea minimă a obiectivului (f/D). Se va considera l = 550 nm.

Problema 5 Presupunem ca ați obținut graﬁcul/tabelul următor în urma unor observații consecutive. Calculați: a. perioada variabilei, emițând o ipoteză justiﬁcată referitoare la tipul ei;

b. Pentru tabelul m = f(tzile) de la pct. II ridicați graficul m = f(Ψ) unde Ψ este faza; c. ridicați graficul O-C și explicați forma sa; d. dacă graficul O-C ar avea o formă de două segmente cu pante diferite, ce explicație ați da acestui lucru? 304 I.

II. m*10–4 t*10–3 2458 9631 5280 8157 1. Aveți graficul următor. Faceți o presupunere justificată referitor la tipul obiectului observat. 8003 9989 2. În tabel se află datele observate pentru un obiect galac- 10839 8012 tic necunoscut iar în diagramă sunt poziționate aceleași date. 13572 9845 Interpretați datele. 19098 9246 30180 8056 33015 10000 35851 8038 38686 9834 41415 8457 44221 9237 49760 8516 52472 9805 55213 8027 57919 9980 60624 8196 63428 9561 66169 8806 68936 8822 71704 9525 77158 9982 79973 8009 82815 9906 85657 8260 88405 9426 91128 8978 93902 8661 96609 9703 99325 8066 305

Selecția echipei naționale pentru olimpiada internațională de astronomie Proba teoretică – secțiunea juniori – 4 iunie 2011

Problema 1 Piramida: Pe vremea când au fost construite piramidele Thuban (α = 14h04m23,3498s, δ = 66°22′33″,062) era stea polară. Egiptenii stabileau anul după răsăritul heliacal al lui Sirius (α = 06h45m08,9173s, δ = −16°42′58″,017) când începeau inundațiile Nilului. Cunoscând coordonatele geografice ale piramidei Keops (φ = 29°58′45″,03 N, L = 31°8′3″,69 E) determinați anul în care Sirius răsărea la începutul crepusculului civil la 20 zile după solstițiul de vară (când a fost construită piramida). Se știe că punctul echinocțiului de primăvară se mută cu o zi în 71 ani sau 1° în 72 ani. Când a fost construit Sfinxul dacă se știe că atunci el privea exact spre E imaginea sa pe cer la răsăritul Soarelui în momentul când începea crepusculul civil dacă se cunoaște ca atunci Soarele răsare exact în E și are aceeași longitudine ecliptica ca Denebola (acum λDenebola = 171°45′50″)? La ce oră răsărea atunci (în acea zi și în acel an) Regulus (λ = 338°38′24″ atunci) și ce înălțime are în acel moment Soarele? Se neglijează ecuația timpului. Coordonatele ecuatoriale sunt cele de acum. Ce magnitudine avea atunci Sirius și la ce dis- tanță era? Se dau valorile actuale pentru: π = 0,38″, μα = -0,546″/y, μδ = –1,223″/ y, vR = –7,6km/s, m = –1,46. Ce magnitudine va avea când se va afla la distanța minimă de noi? Se presupune înclinarea eclipticii constanta: ε = 23°26′. Se mai dau coordonatele ecuatoriale ale polului nord ecliptic: α = 18h, δ = 66°33′44″ și cele ale lui Polaris (α = 02h31m49,09s, δ = + 89°15′50″8). Care era distanța minimă dintre polul nord ceresc și Thuban? Cât va fi aceasta prin 2100 pentru Polaris? Din camera funerară a piramidei duce un tunel înclinat la A = 70°și h = 39° către o față laterală a piramidei și care a fost proiectat să indice către Sirius unde se ducea sufletul faraonului pentru a-și întâlni strămoșii. În ce zi a anului lumina stelei Sirius e de-a lungul tunelului la miezul nopții? Se neglijează mișcările proprii ale celor 2 stele polare. Acordare punctaj: 19p + 1p din oficiu = 20p.

Problema 2 Variabila: Sistemul δ Cephei este format din o stea cu magnitudinea 6,3 de clasa B7(13500K) și una variabilă cu magnitudinea între 3,5 și 4,4 și perioada 306 de 5d8h47m31,9s trecând de la clasa F5(6800K) la clasa G3(5720K). Separația dintre componente este de 0,45” iar perioada de 500 ani. Determinați masele celor 2 stele și intervalul de variație a razei în raze solare. Se dă legea cefeidelor M = –2,81 · logP–1,43 cu perioada în zile. Considerând că oscilațiile radiale ale stelei sunt sinusoidale să se determine viteza maximă radială datorată acestora? Cât este lărgimea liniei Hα în momentul în care viteza radială atinge valoarea maximă (datorită numai efectului acestei viteze) ? Se cunoaște temperatura, luminozitatea și magnitudinea absolută a Soarelui: 5778K, 3.89 · 1026W, + 4,76. Lungimea de undă în laborator pentru Hα este 656nm. Acordare punctaj: 12p + 1p din oﬁciu = 13p.

Problema 3. Spre Lună: Artemis studiază librațiile lunare și pentru aceea va face câteva orbi- tări cu perioada între 14 și 15 zile în jurul punctelor L1 și L2 din apropierea Lunii. Determinați pozițiile acestor puncte și stabiliți elementele orbitei știind că distanța față de L1/L2 la periastru este de 100km, iar la apoastru de 14.000km și înclina- rea orbitei este de 60°. Se dă masa Lunii 1/81 din a Pământului care are 6 · 1024kg

și distanța medie dintre ele 384.400km. Deplasarea spre L1 se face folosind o orbită de transfer pornind de la una geostaționară. Calculați elementele acesteia, știind că

Luna se aﬂa la perigeu în momentul ajungerii la L1. Se dă excentricitatea orbitei lunare 0,055. Calculați accelerația totala care se „simte” din partea Pământului și –10 2 2 Lunii asupra punctului L2. Se dă constanta gravitației: G = 2/3 · 10 Nm /kg . Acordare punctaj: 15p + 1p din oﬁciu = 16p

Problema 4 Verișori în Univers: la 40 ani lumina de noi o civilizație extraterestră locuiește pe o planetă cu raza de 10.000km si densitate similară cu a noastră care are un satelit natural cu densitate ca a Lunii noastre și se află într-un sistem stelar a căror caracteristici trebuie să le determinați. Sistemul lor planetar a avut o istorie simi- lara cu cea de la noi densitatea medie a stelei lor fiind aceeași cu a Soarelui, iar raza 0,95 raze solare. Temperatura pe planetă e aceeași cu cea de pe Pământ. Se știe că înălțimea ființelor vii depinde de accelerația gravitațională la suprafața planetei. Pe Pământ înălțimea medie a oamenilor este 170cm și masa medie de 60kg. Omuleții a căror metabolism e asemănător cu al nostru (au un ritm cardiac care trebuie să asigure un flux sanguin ce e stabilit de viteza metabolismului care este determi- nată de alternanța zi-noapte și aceeași densitate) stabilesc sistemul lor de unități de măsură fundamentale în mecanică luându-se după ritmul cardiac, înălțimea lor medie și masa corespunzătoare acesteia conform unei relații ca cea folosita la noi: mkg() hcm ( ). Câte unități are raza orizontului vizibil? Cu ce unghi coboară orizontul ca urmare a înălțimii ochilor considerați la 8 cm mai jos de creștet? Care e înălțimea medie a omuleților si masa lor medie? Soarele lor cu diametrul aparent de 0,009 radiani răsare de 400 ori în timpul în care aspectul cerului lor se schimbă. Luna lor are diametrul aparent de 0,0085 radiani și răsare de 350 ori în același interval de timp. Pe planeta cresc plante albastre a căror proces de fotosinteza are 307 eficiența maximă la o lungime de unda de 0,45 milionimi din unitatea de măsură. Ce masă și rază are steaua, planeta și satelitul în unitățile noastre de măsură? Determinați distanțele medii între stea și planetă și între planetă și satelit. Calculați perioadele de rotație și revoluție ale planetei și satelitului său în unitățile noastre de măsură. Se cunosc datele pentru Soare, Pământ și Lună: 2 · 1030kg, 7 · 105km, 5778K, 150 mil. km, 6 · 1024kg, 6370km, 23h56m4s, 365,256363d, 384.400km, 7,4 · 1022kg, 1738km, 27,32d. Se cunosc constantele valabile în tot Universul: σ = 5,67 · 10–8W/m 2K4, b = 2,9 · 10–3mK, c = 3 · 108m/s, h = 6,62 · 10–34Js, –23 23 –10 2 2 kB = 1,38 · 10 J/K, NA = 6 · 10 molec./mol, G = 2/3 · 10 Nm /kg . Ce relații de transformare există între unitățile lor de măsură și ale noastre? Acordare punctaj: 10p + 1p din oficiu = 11p Punctaj total: 60 p Timp efectiv de lucru: 4 ore.

Notă: se cunosc următoarele aproximații algebrice: 1 1  12 x și 2  12 x . 1 x 2 1 x 308 PROBA DE SELECȚIE A LOTULUI REPREZENTATIV LA OLIMPIADA INTERNAȚIONALĂ DE ASTRONOMIE MARTI 1 MAI CĂLIMĂNEȘTI 2012

S1 Forța gravitațională în sistemul Solar Sa presupunem că masa ta este de 60 kg și te afli la altitudinea de 45°Nord. a) Cu ce forță de gravitație ești atras de către Pământ? b) Cu cât variază această forță atunci când te deplasezi de la ecuator la poli? c) Care ar fi forță maximă de gravitație dacă ai fi pe Jupiter? d) Presupunând că Jupiter se află într-o poziție de minimă distanță față de Pământ, cu cât va scădea greutatea ta pe Pământ față de cazul în care Jupiter nu ar acționa deloc? e) Care va fi forță gravitațională între tine și un prieten când vă dați mâna? (dis- tanța este de 0,3m între voi și aveți aceeași masă). Obs. În tabele aveți raza Pământului la ecuator și la poli și se consideră că forma Pământului este un elipsoid regulat de semiaxe a și b. (a = 6378 km și b = 6357 km)

Răspuns: a) Forță gravitațională între două corpuri de mase M și m, aflate la distanță d Mm unul de altul, este dată de legea lui Newton FG . Știind că masa Pământului d2 24 –11 3 –2 este de MP = 2,597⋅10 Kg și că G = 6,67⋅10 m kg s Distanța de la centrul Pământului la suprafața lui va depinde de latitudinea la care vă aflați. Ecuația elipsei care permite calculul distanței de la suprafața Pământului la centrul lui, funcție de latitudine se poate calcula folosind ecuația elip- xy22 sei scrisă față de axele de coordonate carteziene, x, y, astfel 1 ab22 Iar dacă dorim să exprimăm în funcție de proiecția distanței pe cele două axe, trebuie să scriem: xrcosyrsin; Și luând = 0°, 45° și respectiv 90° se pot calcula distanțele. De fapt pentru ecuator și pentru pol distantele sunt date, se calculează distanță doar pentru latitudinea de 45°. ab Distanță al 45° este r  2 de 6367 km. ab22 Forță se calculează cu formula lui Newton de mai sus sau calculează g funcție de „creștera” sau descreșterea „altitudinii” față de o valoare considerată de referință. Calculul conduce la următoarele forțe: F(45°) = 589,958 N, F(pol) = 591,936 N și F(ecuator) = 587,980 N. Diferența de forțe de la pol la ecuator este de 3,956 N sau aproximativ de o variație echivalentă de masă de aproximativ 3,956/9,81 = 0,403 kg Pentru celelalte puncte calculele sunt asemănătoare. 309 S2 Nemesis În jurul anului 1980 s-a făcut ipoteza că Soarele are un companion care are o excentricitate foarte mare și deci este greu de depistat. Acest companion ar putea fi responsabil de perturbații în norul lui Oort, astfel încât să „arunce” corpuri spre Soare care să devină comete. Companionul a fost denumit Nemesis, cu alu- zie la posibila „stea a morții” care a determinat acum 65 milioane de ani dispariția dinozaurilor. Nemesis ar avea o orbită eliptică alungită cu distanță la afeliu de aproximativ raf = 160.000 u.a. și la periheliu de rper = 0,5 u.a. a. Să se calculeze care este perioada aproximativă de revoluție a lui Nemesis; b. Să se calculeze excentricitatea orbitei lui Nemesis, c. Să se calculeze parametrii a și b ai elipsei lui Nemesis, 30 –11 2 2 Se dau: MS = 1,991´10 kg; G = 6,67´10 N.m /kg ; G/411–10´ N.m2/kg2;

Răspuns: a) Pentru că atât Pământul cât și Nemesis se mișcă în jurul Soarelui se pot scrie 33 aaPNG egalitățile: 222 , PMPS M P4 PM NS  M N 33 3 aaPNMMSP a N de unde: 22 2; PPMMPNSN P N În prima aproximație perioada de revoluție se va calcula considerând estimația distanței de la afeliu data în problemă cu relația: 3 3 22aN (160.000) 2 15 PPNP33 1 4,096 10 aP 1 15 7 6 PN 4,096 10 6,4 10 ani = 64´10 ani ae(1 2 ) r rae(1 ) a  per per 1 e 1 e b) ae(1 2 ) r rae(1 ) reper (1 ) af 1 e af 1 e

r 1 e r rr rraf af af  ; af (1ee ) 1 afee af 1 11e  re1 r rr rr per per per per per per r af 1  rper r 160.000 e   af 320.000 e  1 raf rper 0,5 1 r per c) Semiaxele a și b sunt legate prin relația ba2210 e 2 care pentru o excentricitate apropiată de 1 conduce la valoarea b≫0, adică se mișcă aproape pe o 310

r linie dreaptă, dus și întors. Dacă mișcarea ar ﬁ fost perfect circulară, af = 1 și e r ar ﬁ fost = 0. per

S3. Stea dublă. In imaginile de mai jos sunt prezentate două situații de observare a unor stele binare (de exemplu Algol). Cele două componente au masele M1 și respectiv M2 și razele R1 și R2.

(a) (b)

1. Știind că cele două componente gravitează unul în jurul celeilalte, să se exprime poziția baricentrului (centrului de masă) a sistemului fața de un sistem de referință ales de dumneavoastră (de indicat acest sistem de referință), 2. Fiind un sistem binar, privit de la distanță, ar putea să se comporte ca o binară cu eclipsă. Care din ele două cazuri va prezenta variația curbei de lumină tipică pentru o binară cu eclipsă (a) sau (b)? 3. Pentru acel cuplu care prezintă fenomenul de variație să se calculeze formula generală a curbei de lumină (dependența intensității luminii recepționate de un observator de pe Pământ de timp, adică de gradul de acoperire reciprocă) presupu- nând că luminozitatea celor două componente este proporțională cu proiecția ariei stelei pe direcția de vizare.

Răspuns:

mr11 mr 22 1) rc  mm12

2) Cazul (a). Schematica ar ﬁ așa: 311 3) Calitativ curba de lumină apare astfel.

S4 Jules Verne „Hector Servadac în lumea ssolarăolară”. Într-un roman cunoscut de iubitorii SF-ul cla-clasic, câțiva oameni au supraviețuit unei ciocniriiri de necrezut, în care Pământul s-a rupt în douăă fragmente neegale, unul mai mic și unul mai mare. Romanul se numește „Hector Servadac în lumea solară”. Pe cel mai mic supraviețu- itorii au tot felul de întâmplări prin care des- coperă lumea lor nouă, cu toate atributele unui „Pământ” mult mai mic. Având ceva cunoș- tințe de astronomiei înțeg situația gravă în caree se aﬂă, dar speră că „legile lui Kepler” să-i aducăucă odată și odată înapoi pe Pământul inițal. Ne putemputem imagina ce s-a întâmplat la momentul A când Pământul s-a rupt în două fragmente B și C. (vezi ﬁgura). Analizați posibilitatea reîntâlnirii cu Pământul inițial prin prisma legilor dinami- cii lui Newton. În acest scop alegeți-vă niște condiții ale evenimentului și încercați să analizați consecințele acestei rupturi pentru personajele de pe micul corp ceresc B (Pământul se mișcă în continuare pe o orbită circulară!) Care este perioada de timp după care se pot eventul întâlni. Sau această întâlnire nu poate să aibă loc. Imaginați un sce- nariu pe cere să-l dezvoltați cu cunoștințele voastre de mecanică cerească. (Această problemă este una de creativitate dar și de cunoștințe exacte de astronomie).

S5 Activitatea solară. Numărul petelor solare apărute într-un anumit interval de timp este o măsură a activității solare. Acest număr se calculează folosindu-se un indicator denumit numărul lui Wolf, definit prin relația: R = K(10g + f) Unde g – numărul total al grupurilor de pete vizibile pe discul solar, f – numă- rul total de pete (atât izolate cât și cuprinse în grupuri), iar K este un coeficient ales astfel încât să unifice toate măsurătorile de la diferiți observatori. Se constată că există o anumită periodicitate (denumite cicluri) a acestei activități exprimabile prin variația numărului de pete (medie pe o săptămână, pe o lună sau pe un an) în timp, așa cum se poate vedea în graficul de mai jos. 312

7 a) Să se localizeze în timp maximele de activitate solară. b) Să se calculeze care este intervalul de revenire a maximului numărului de pete (periodicitatea activității solare). Indicați cum ați găsit maximul unui ciclu de activitate și argumentați alegerea. c) Apreciați erorile făcute în alegerea maximului. Cum ați putea să îmbunătățiți rezultatele. Explicați ideile pe care le propuneți și încercați să le utilizați.

Răspuns: a) Maximele din grafic par a fi în anii: 1958; 1969,5; 1980; 1990; 2001. b) Diferențele sunt: 11,5 ani, 10,5 ani; 10 ani; 11 ani; în medie = 43/4 = 10,75 ani; aproximativ 11 ani. c) Erorile sunt numeroase de la plecare căci datele (așa cum se văd pe grafic) fluctuează puternic. În al doilea rând maximele nu sunt simetrice în general (panta din dreapta si panta din stânga a unui maxim). În continuare în unele cicluri maximele sunt cam „despicate” ceea ce creează dificultăți în a poziționa maximul. În fine este necesar să se definească ce se înțelege printr-un maxim, adică „vârful” sau mijlocul ariei subîntinse de vârf sau axa de simetrie sau...!? 313 Stagiu de pregătire 2, septembrie 2007 Lot astronomie Test 1 – astronomie sferică

1. Întorcându-se victorioasă de la Olimpiada Internațională de Astronomie, desfășurată la Siemiz, ( 44o 30')Ucraina, echipa României vrea sa observe celebra Cruce a Sudului (constelație care se aﬂa între declinațiile –55° și –64°). Se poate observa Crucea Sudului de la Siemiz? Dacă nu, până la ce latitudine minimă ar trebui să ajungă?

2. Distanța zenitală a marginii inferioare a Soarelui, observată în momentul cul- minației superioare, a fost, ținând seama de erori, de 55o 42'19''. Semidiametrul aparent al Soarelui este de 16o 10'', iar declinația centrului Soarelui 14o 34'56''. Să se determine latitudinea locului de observație.

3. O stea se găsește la 48° de polul ceresc. Se va putea vedea totdeauna deasupra orizontului: a) la Siemiz, 44o 30' b) la Kiev, 50o 27'.

4. De pe un spărgător de gheață s-a măsurat, la miezul nopții, înălțimea marginii inferioare a Soarelui, h  14o 11'05''. Declinația Soarelui era 21o 19'34'' , iar semidiametrul aparent al sau d  15'47''. Ținând seama de refracție ( R  3'39'',8 ) se calculeze latitudinea  la care se găsea nava în momentul observației.

5. La ce distanță unghiulară se aﬂă stelele o Vega ( Lyr ) ( VV18hms 36 56 ,  38 47'01''), o Arcturus (Boo ) ( AA14hms 15 39 ,  19 10'57'' ) o și Polaris ( UMi ) ( PP02hms 31 48 ,  89 15'51'') unele de altele?

Rezolvare: 1. Se utilizează relația: z . Rezultă 9000  (  55 )  35 0

2. Fie zmi – distanța zenitală a marginii inferioare a Soarelui

zc – distanța zenitală a centrului Soarelui d Se obține: zz55o 26'09'' . Din z , rezulta 40o 51'13'' cmi2 3. Se utilizează relația: 0 hm 90 ; 00000 hm1190 44 30' 90 42 4 30' ; NU 00 hm22 90  2 36' DA d 4. zh9000 75 48'55'' , zz750 33'8''  z mi mi cmi2 ap 314

0 Valoarea adevărată a distanței zenitale va ﬁ: zzap R75 36'47'',8 și se va obține: 180  ( z )  820 4'38'',2 , (la miezul nopții Soarele trece la meridianul inferior).

5. În triunghiul sferic NPV, se cunoaște  NP  44'89''  NV  510 11'59''

VNP VP Se poate aﬂa distanța unghiulară astfel:  cosPV cos VN cos NP sin NV sin PN cos  VNP . La fel pentru distanța PA și VA.

N P

A 315

Studii teoretice

Determinarea orbitei unui sistem binar prin 6 măsurători

Prof. Marin Dacian Bica, Școala cu clasele I-VIII „Dacia” Oradea

Se măsoară poziția corpului satelit față de corpul central în coordonate polare pornind de la situații ca cea din imagine și se transformă în coordonate cartezi- xSEPPA'cos(90)  ene  , unde SEP este separația unghiulară dintre compo- ySEPPA'sin(90)  nente în acel moment, adică distanța unghiulară dintre ele, iar PA este unghiul de poziție față de Nord, adică unghiul dintre direcția determinată de cele 2 stele și direcția către polul nord ceresc, unghi măsurat cu vârful în corpul central. Apoi ținând seama că orbita aparentă are sistemul de coordonate cu originea în cor- xy22 pul central care se aﬂă în focar, iar o elipsa are binecunoscuta ecuație 1, ab22 atunci când originea axelor e în centrul elipsei, înseamnă că au loc transformările:

xx'cossin  y  x0  pentru o deplasare a originii sistemului în (x0,y0) și o yx'sincos  x  y0 rotație cu unghiul θ (față de OX), astfel că vom exprima pe x și pe y din cele 2 ecu-

xxx'cos'sin 00    yy   ații  și le vom înlocui în ecuația elipsei: yyy'cos'sin00  xx  22 xx'cos'sin'cos'sin    yy   yy    xx   00 001 ab22 316

și după ce aducem la același numitor și separam termenii vom avea: xb'cossin'cossin22 2  a 2 2  ya 2 2 2  b 2 2 22 2222 xy' ' 2 b sin cos 2 a sin cos x ' 2 b x00 cos  2 x a sin  2222222222 ybx' 200 sin cos 2 xa sin cos bx 00 cos  ax sin ab 0 Și cum ecuația elipsei se poate atunci scrie 22 Cx123''''''0 Cy CxyCxCyC 456, vom avea sistemul 22 22 Cb1 cos  a sin   22 22 Ca2 cos  b sin   22 Cb3 2sincos2sincos a  22 22 Cbx402cos2sin  xa 0   22 Cbx502sincos2sincos  xa 0   22 2 22 2 22 Cbx60 cos  ax 0  sin  ab

cu necunoscutele (a, b, x0, y0, θ). Dar înainte de acest sistem vom rezolva un sistem liniar cu necunoscu-

tele (C1, C2, C3, C4, C5, C6) cu 6 ecuații obținut prin scrierea a 6 relații de 22 genul Cx123''''''0 Cy CxyCxCyC 456 prin înlocuirea cu valorile măsurate în 6 momente de timp și calcularea a 6 perechi (x’, y’) folosind xSEPPA'cos(90)   . ySEPPA'sin(90)  22 Se observă că CC12 ab și ca CxC4012  de unde obținem deplasarea

CC4522 x0  și bCCa12 . 2 2CC13 222C5 2 2 Apoi observăm că CxCab601 CaCCa 1  12 pe care o C3 2 2 C5 rezolvăm făcând notația CC12  44  C 6   C 1  și de aici putem determina C3 317

CC CC semiaxa mare a  12 și apoi cea mică b  12 alegând ca a 2 2 sa fie valoarea mai mare decât b. 22 22 Observăm apoi că Cbaba3 2  sin  cos    sin 2    , relație care ne C3 permite determinarea unghiului: sin 2 . Apoi se poate calcula yx00tg  pentru cealaltă coordonată a centrului elipsei. Cele 2 semiaxe și coordonatele centrului elipsei sunt în secunde de arc și dacă cunoaștem distanța până la acel sistem putem transforma în unități astronomice. Se poate determina și perioada ținând evi- dența în timp a măsurătorilor. Ne plasăm în punctul de coordonate (x0, y0) și tra- săm un segment cu lungimea 2a centrat în acest punct și orientat sub unghiul θ față de axa OX. Am obținut astfel axele orbitei aparente. Apoi putem desena obținând o elipsă ca cea de mai jos, unde axa mare a orbitei reale se determină unind centrul cu focarul aflat în origine. Cum centrul orbitei reale și cel al orbitei aparente coincid iar focarul orbitei aparente este proiecția focarului orbitei reale înseamnă caă excentricitatea orbitei reale se păstrează (ca raport dintre distanța până la focar și semiaxa mare și se demonstrează prin asemănări de triunghiuri). După ce avem orbita apa- rentă putem încerca să o construim pe cea reală. Pentru aceasta se calculează excen- CF tricitatea e  și se duce CP un segment paralel cu pro- iecția semiaxei mari, apoi se unește mijlocul acestui segment cu centrul elipsei obți- nându-se proiecția semiaxei mici. De pe axa mare se duc 318 segmente paralele cu semiaxa mică și se prelungesc cu un 1 factor k  obținându-se astfel puncte de pe elipsa 1 e2 excentrică, proiecția cercului excentric al orbitei reale. Acest factor este calculat astfel pentru că raportul dintre raza cercului excentric și semiaxa mică este tocmai acest număr, iar atât cercul excentric cât și orbita reală fiind înclinate cu același unghi raportul se păstrează. Semiaxa mare a elipsei excentrice este egală ca valoare cu semiaxa mare a orbitei reale iar linia nodurilor este paralelă cu semiaxa mare a acestei elipse întrucât ori- cum am înclina cercul excentric diametrul paralel cu linia nodurilor rămâne neschimbat ca valoare și devine semiaxa mare a elipsei excentrice. Putem găsi acum și unghiul de înclinare din raportul semiaxelor elipsei excentrice:  cos i  , iar ducând linia nodurilor prin focarul unde e  componenta principală a sistemului, paralel cu axa mare a orbitei excentrice vom tg obține un unghi din care se poate calcula argumentul periastrului tg . cos i Având acum semiaxa mare, excentricitatea, linia nodurilor, înclinarea și argumentul periastrului putem reconstitui orbita reală. Mai jos este un exemplu interesant. Măsurătorile au fost efectuate în momentul echinocțiului de primăvară al anului respectiv. Să exemplificăm pe acest sistem binar: • în 2005: x'=0,8" cos 232 90 =-0,63" și y'=0,8" sin 232 90 =0,49253" de unde obținem ecuația

0,3969CCCCCC123456 0,242585  0,31  0,63  0,49253   0 • în 2006: x' 0,82" cos 241  90 0,717" și y' 0,82" sin 241  90 0,3975" de unde obținem ecuația

0,514CCCC123 0,158  0,285  0,717  4 0,3975  CC 56  0 • în 2007: x' 0,84" cos 249  90 0,7842" și y' 0,84" sin 249  90 0,3" de unde obținem ecuația

0,615CC12 0,09  0,236  C 3 0,7842  CCC 456 0,3   0 • în 2008: x' 0,85" cos 257  90 0,8282" și y' 0,85" sin 257  90 0,1912" de unde obținem ecuația

0,686CCCCCC123456 0,03656  0,15836  0,8282  0,1912   0 • în 2009: x' 0,85" cos 265  90 0,846755" și y' 0,85" sin 265  90 0,074" de unde obținem ecuația

0,717CC12 0,0055  0,06273  CCCC 3456 0,8467  0,074   0 • în 2010: x' 0,84" cos 273  90 0,83885" și y' 0,84" sin 273  90 0,044" de unde obținem ecuația

0,7CCC123 0,002  0,037  0,83885  CCC 456 0,044   0 319 Cu cele 6 ecuații formăm sistemul din care determinăm cele 6 constante:

0,3969CCCCCC123456 0,242585  0,31  0,63  0,49253   0 0,514CCCC 0,158  0,285  0,717  0,3975  CC  0  123 4 56 0,615CC12 0,09  0,236  C 3 0,7842  CCC 456 0,3   0  0,686CCCCC 0,03656 0,15836 0,8282 0,1912 C 0  12345    6 0,717CC 0,0055  0,06273  CCCC 0,8467  0,074   0  12 3456 0,7CCC123 0,002  0,037  0,83885  CCC 456 0,044   0 Apoi calculăm elementele orbitei aparente: semiaxa mare și cea mică, orientarea celor 2 axe și coordonatele centrului elipsei cu formulele: 2 2 C5 CC12 CC12 CC12  44  C 6   C 1 , a  , b  , C3 2 2 C CC 3 45yxtg sin 2 , x0 , 00.  2CC13 De aici cu metoda graﬁcă de mai sus determinăm orbita reală cu toate elementele ei, linia nodurilor și înclinarea acesteia.

Bibliografie: 1. http://spiff.rit.edu/classes/phys440/lectures/tilt/tilt.htm 2. http://spiff.rit.edu/classes/phys440/lectures/fix_tilt/fix_tilt.html 3. http://www.dbonsmith.com/peg_85.gif 4. http://mm04.nasaimages.org 320 Originea apei, inelelor și cometelor în migrația planetară

Prof. Marin Dacian Bica, Școala cu clasele I-VIII „Dacia” Oradea

În acest articol vom analiza modul în care a ajuns pe Pământ elementul esen- țial pentru existența vieții. Pornind de la simulările evoluției sistemului solar timpu- riu, în care a avut loc o migrație interesantă a planetelor gazoase, se poate calcula momentul cinetic și energia pentru fiecare gigant gazos și se poate estima pentru centura Kuiper. În evoluția nebuloasei planetare inelele de substanță din care s-au format planetele erau circulare așa că și orbitele planetelor trebuiau să fie inițial circulare. Ulterior din cauza interacțiunilor gravitaționale reciproce, pe măsură ce se stabilea rezonanța între ele, au devenit eliptice unele. Un caz particular este cel al planetei Mercur care fiind așa aproape de Soare suportă un câmp gravitațional foarte puternic care a obligat-o la o rezonanță atât a rotației cât și a revoluției cu rotația Soarelui. Dar la giganții gazoși orbitele erau circulare inițial iar excentricitatea obținută în urma interacțiunilor gravitaționale dintre ele este una mică. Întrucât în centura Kuiper sunt multe obiecte am ales să calculez constantele mișcării orbitale presupunând toată masa acesteia adunată pe o orbită medie situ- ată la o distanță estimată ținând seama de distribuția acestor obiecte care respectă de asemenea o rezonanță cu Neptun. Estimările masei centurii acum și înainte de migrația planetelor gazoase s-a făcut pornind de la modele ce au luat în calcul mai multe valori inițiale și au ajuns la valorile care oferă stabilitate sistemului. În urma migrației s-a modificat atât energia cât și momentul cinetic pentru fiecare planetă și pentru centură, dar pe ansamblul sistemului solar trebuie să rămână constante. Din diferența constatată am dedus că o parte din obiectele centurii au devenit comete și am estimat masa totală, energia totală și momentul cinetic total al acestora, iar o parte au bombardat planetele aducând apa atât de prețioasă pe Pământ. Am estimat și masa totală a acestora și energia totală care s-a degajat în momentul ciocnirilor. Am presupus că masa planetelor a rămas constantă într-o primă aproximație ceea ce mai poate fi corectat într-o viitoare lucrare în care îmi propun un model recursiv care să ia în calcul și modificarea masei planetelor în urma acestor procese. Calculul energiei și momentului cinetic s-a bazat pe următoarele date: masa Pământului, orbita acestuia și anul sideral, iar elementele similare ale planetelor au fost exprimate relativ la acestea. Pentru energia totală a mișcării orbitale folosim for- Mm 2 mula EG   iar pentru momentul cinetic Lmvrm a22 m a, 2a T iar perioada o determinăm din legea a 3-a a lui Kepler. Din modelul Nice ar rezulta că inițial Jupiter era la 5,45 UA fiind în rezonanță cu Saturn situat la 8,18 UA, iar Neptun era la 11,5 UA și Uranus la 14,2 UA. Centura Kuiper era situată între 15,5 și 34 UA si conținea corpuri înghețate cu masa totala de 35 mase terestre. Am ales aici o valoare medie de 26,42 UA pe baza unei distribuții inițial uniforme. Am folosit următorul tabel cu date planetare 321

planets not shown to scale >> Mercury Venus Earth Mars Jupiter Saturn Uranus Neptune Mean Distance from the 0.3871 0.7233 1 1.524 5.203 9.539 19.19 30.06 Sun (AU) Sidereal period 0.24 0.62 1 1.88 11.86 29.46 84.01 164.79 of orbit (years) Mean Orbital Velocity 47.89 35.04 29.79 24.14 13.06 9.64 6.81 5.43 (km/sec) Orbital 0.206 0.007 0.017 0.093 0.048 0.056 0.046 0.010 Eccentricity Inclination to ecliptic 7.00 3.40 0 1.85 1.30 2.49 0.77 1.77 (degrees) Equatorial 2439 6052 6378 3397 71490 60268 25559 25269 Radius (km) Polar Radius same same 6357 3380 66854 54360 24973 24340 (km) Mass of planet 0.06 0.82 1 0.11 317.89 95.18 14.53 17.14 (Earth=1) Body rotation 1408 5832 23.93 24.62 9.92 10.66 17.24 16.11 period (hours) Tilt of equator to orbit 2177.323.4525.193.1226.7397.8629.6 (degrees) Number of observed 0012>2830248 satellites iar valorile calculate le-am trecut în următorul tabel Momentul Momentul Energia inițială Energia actuală cinetic inițial cinetic actual (în J) × 1034 (în J) × 1034 (în Js) × 1042 (în Js) × 1042 Jupiter –51,114 –48,77 19,45 19 Saturn –9,28 –7,96 7,2 7,8 Uranus –0,2 –0,6 1,46 1,7 Neptun –0,734 –0,455 1,55 2,5 centura –1,173 –0,231 4,785 2,24 Kuiper Se observă că energia totală inițială pentru aceste corpuri ale sistemului solar era –63,557×1034J, iar momentul cinetic total era 34,53×1042Js. Acum energia 322 lor totală este –58,016×1034J, iar momentul cinetic total al lor este 33,24×1042Js. Astfel pentru momentul cinetic avem o modificare cu 1,29×1042Js sau 3,734% iar pentru energie cu 5,54×1034J sau 8,718%. Diferența ar însemna energia care s-a degajat sub formă de căldura la impactul unor corpuri înghețate cu planetele și sate- liții acestora în timpul masivului bombardament târziu pentru că momentul cinetic al acestor corpuri a fost preluat de către planete. Am considerat că celelalte planete (solide) nefiind implicate în migrație nu și-au modificat semnificativ momentul cinetic orbital și energia totală orbitală. În prezent după aceleași modelări Nice, în urma impunerii unor condiții de stabilitate, masa totală a centurii Kuiper este de 13 mase terestre, iar întinderea acesteia e între 39,5 UA si 48 UA, iar datorită distribu- ției acestora o să iau orbita medie la 43,446 UA. Din diferența de procente 4,984% se pot trage următoarele concluzii: energia totală a cometelor provenite din centura Kuiper este –2,3744×1034J iar cea care s-a degajat la impactul unor corpuri înghe- țate cu planetele și sateliții lor în timpul bombardamentului ar fi 3,16658×1034J. Raportul dintre aceste 2 energii este 1,333628 care este și raportul dintre masele corpurilor ce au bombardat planetele și sateliții lor, și masele totale ale cometelor apărute ca urmare a migrației planetelor gazoase. Cum diferența de masă în centura Kuiper este 22 mase terestre obținem 9,42738 mase terestre pentru masa cometelor și 12,57262 mase terestre pentru masa corpurilor „proiectil”. Evident ca multe din acestea au căzut pe Jupiter iar o parte se regăsesc în inelele planetelor. Procesul de interacțiune dintre planetele gazoase și corpurile înghețate a decurs astfel: prin deplasarea lui Neptun dincolo de Uranus și intrarea lui în centură, corpurile înghețate de acolo au fost „bulversate” gravitațional și o parte s-au îndepăr- tat dar cele mai multe au fost trimise spre planete. Preluate pe rând de Neptun, Uranus și Saturn și „pasate” lui Jupiter vor fi dirijate de acesta, o parte înapoi, alta parte spre sistemul solar interior. O parte au fost transformate în comete cu peri- oadă mică, altele în comete cu perioada mare, altele au fost sfărâmate și transformate în inele ale celor 4 planete gazoase. Elementul esențial care a decis soarta lor ulterioară a fost distanța la care s-au apropiat de acești giganți: cele care s-au ținut la distanță au fost transformate în comete, cele care s-au apropiat prea mult au fost sfărâmate, iar cele mai multe au fost trimise ca „proiectile de bombardament”. Tot atunci s-au ordonat după rezonanțe și asteroizii, iar Jupiter a capturat pe unii în punctele Lagrange 4 și 5 ale sale. Cum unele corpuri înghețate cu mare conținut în apa au ajuns și pe Pământ putem concluziona că aceste evenimente au o mare însemnătate pentru existența vieții. Unele au ajuns și pe Marte și cum prin ciocnire s-a degajat multă căldura au determinat formarea oceanelor (acum reduse la calote polare) și a cursurilor de apă a căror urme s-au descoperit pe această planetă. Unele corpuri au ajuns și pe Lună și pe Mercur, dar acestea neavând atmosferă și câmp magnetic nu au putut reține vaporii de apă formați în urma impactului și aceștia au fost suflați de vântul solar. Recent pe Lună s-au descoperit ceva urme de gheață dar e foarte puțină, iar pe Marte gravitația suficientă pentru a reține o atmosferă și mai ales câmpul magnetic încă prezent au fost elementele care au permis reținerea apei. Ulterior planeta răcindu-se și-a pierdut câmpul magnetic și astfel treptat și o parte din atmosferă, 323 rămânând numai cu apa care e în stare solidă. Pe Pământ câmpul magnetic (planeta fiind mai mare se răcește mai încet) și gravitația ceva mai mari au permis reținerea apei și în stare lichidă și gazoasă. Trebuie menționat că și cantitatea de apă care ne-a parvenit e exact cea necesară: prea multa și nu ar fi continente, prea putină nu ar putea menține echilibrul climatic.

Bibliografie: http://astro1.panet.utoledo.edu/~gthomps/Presentations/ABL_Fall06.ppt.pdf http://www.spaceref.com/news/viewpr.rss.html?pid=33763 http://www.wbabin.net/physics/abruzzo6.pdf http://www.boulder.swri.edu/~hal/PDF/migration.pdf http://www.stsci.edu/jwst/doc-archive/white-papers/JWST_planetary.pdf http://www.gps.caltech.edu/classes/ge133/reading/migration.pdf http://www3.geosc.psu.edu/~jfk4/Meteo_466/Lectures/Lecture%204_Moon%20forma- tion_bombardment.pdf http://www-hpcc.astro.washington.edu/grads/gwl/thesis.pdf http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1105/1105.2235v1.pdf http://www.ice.csic.es/files/upload_files/File/nature10201_mars_jupiter_migration.pdf http://www.oca.eu/morby/papers/PPV.pdf http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/53/02/84/PDF/morby-HAL.pdf http://www.webalice.it/mizar02/articoli/MorNatu2.pdf http://www.nature.com/nature/journal/v435/n7041/pdf/nature03676.pdf http://hypertextbook.com/facts/2009/JeffreyYep.shtml http://www.springerlink.com/content/q2p26v0521hj7lg3/ http://www.answersingenesis.org/tj/v16/i2/comets.asp 324 Sisteme binare în contact care realizează schimb de masă

Marin Dacian BICA, Școala cu clasele I-VIII „Dacia” Oradea, Bd. Dacia Nr. 25, [email protected]

Rezumat: lucrarea este un model de predicție a evoluției sistemelor binare strânse care realizează transfer de masă. Se obțin 2 concluzii diferite corespunzând cazurilor în care steaua cu masă mai mare preia substanță de la steaua cu masă mai mică și respectiv situației inverse. Cuvinte cheie: sistem binar strâns, suprafața Roche, forțe mareice, conservarea momentului cinetic

1. Introducere: cadru teoretic Atunci când 2 stele orbitează în jurul centrului comun de masă și cel puțin una dintre ele umple suprafața Roche va avea loc un transfer de masă spre cealaltă. Cum și în acest caz momentul cinetic al sistemului se conservă, se va modiﬁca dis- tanța dintre ele și conform legii a III-a a lui Kepler se va modiﬁca corespunzător și perioada sistemului.

Două stele cu masele m01 și m02 schimbă substanță cu masa ∆m și masele devin m1=m01–∆m și m2=m02+∆m. Inițial ele se aﬂă la distanțele r01 și r02 de centrul de rm01 02 masă, suma lor ﬁind a0=r01+r02 și  , apoi aceste distanțe vor deveni r1 și r2, rm02 01

rm12 suma devenind a=r1+r2 și  . Scriind legea a III-a a lui Kepler înainte și rm21 22 Tmm00102 Tmm  12 după transfer, avem 33 . Cum masa totală a sistemului aa0 nu se schimbă (semniﬁcativ, în realitate o pierdere de masă există prin radiație) 2 2 T0 T relația se simpliﬁcă: 33 aa0 Conservarea momentului cinetic al sistemului se poate scrie astfel:

mm012222 02 mm 1 2 rrrr01  02 1 2 TTTT00 T mr22 mr Obținem de aici raportul  11 22 Tmrmr22 001010202 Ta23 Același raport (la puterea a 2-a) îl putem obține din legea de mai sus 23 și Ta00 3 2 T rr12 ținând seama că a=r1+r2 și a0=r01+r02 putem scrie raportul astfel  3 T0 2 3 rr01 02 22 2 mr11 mr 22 rr12 Egalând cele 2 relații obținem 22 3 . mr01 01 mr 02 02 2 rr01 02 325

Scriind acum m1=m01-∆m și m2=m02+∆m vom avea 3 22 2 mmrmmrrr01 1  02  2 1  2 22 3 și efectuând calculele în membrul stâng mr01 01 mr 02 02 2 rr01 02 3 22 mr r 2 21 rr12 vom obține 122 3 . mr01 01 mr 02 02 2 rr01 02 22 Sunt posibile 2 cazuri după semnul lui rr21 : a) dacă m2>m1 (steaua mare preia masă de la steaua mică) atunci r2

b) dacă m2r1 și 3 rr 2 rr22 12 21>0 ceea ce implică 3 >1 adică a>a 0 și deci T>T0 și cele 2 stele 2 rr01 02 se vor îndepărta. Transferul de masă va înceta în acest caz când steaua care pierde masa nu va mai umple lobul său Roche sau va continua încă ceva timp dacă rotația stelei este rapidă.

2. Exemple concrete 2.1. sistemul dublu Sheliak (β Lyrae) Cazul a) corespunde sistemului dublu Sheliak (β Lyrae): steaua albastră are 13 mase solare și diametrul de 15 ori cel al Soarelui, iar cea roșie 3 mase solare și diametru de 19 ori al Soarelui. În jurul stelei albastre de clasă B7 se întinde pe 20 mil. km un disc de gaz smuls de la companionul roșu. Perioada sistemului este de 12,94 zile iar distanța actuală dintre ele este mai puțin de 90 mil. km = 0,28 U.A. adică mai mult decât raza Roche și astfel transferul de substanță se explică doar prin efectul forței centrifugi datorată rotației rapide, care se adaugă forțelor mareice. Temperaturile lor sunt de 13.000 K respectiv 8.000 K și luminozitățile de 2500, respectiv 230 ori mai mari ca ale Soarelui. Sistemul se află la 900 ani lumină de noi și mai are în componență alte 4 stele de clase B, F și G. Toate aceste informa- ții despre sistem au fost obținute studiind curba de lumină (figura 8 și 11) pentru a afla luminozitatea, razele celor 2 stele relativ la distanta dintre ele și perioada, apoi din spectru (figura 7 și 9) se pot determina vitezele de deplasare și combinând cu perioada se pot determina distanțele la care se află cele 2 stele de centrul de masă și de aici semiaxa mare (a se vedea [1], [3], [5], [6]). Adaug mai jos încă câteva imagini ale sistemului necesare pentru determină- rile de care vorbeam mai sus. Se observă cum steaua mai mică a fost deformată și mărită la o de acțiunea gravitațională a celei mari albastre, ajutată și de forța cen- trifugă a rotației de spin. Totodată temperatura ei a scăzut și de aceea este roșie 326 chiar dacă clasa ei inițială era A8 (deci ar trebui să fie albă). Din imaginile obți- nute aplicând tehnica interferometrică se pot determina dimensiunile componentelor și distanțele dintre ele precum și raportul dintre diametrul polar și cel ecuatorial și din spectru se poate obține o curbă a vitezelor radiale din care se poate calcula perioada de rotație și cea de revoluție, iar de aici se poate calcula accelerația centrifugă la ecuatorul stelei care pierde masă (figurile 5 și 10 ).

Figurile 1 și 2. discul de acreție Figura 3. transferul de gaz

Figurile 4 și 5: locația stelei în constelația Lyra și imagini ale sistemului obținute cu noua tehnică de fotograﬁ ere interferometrică pentru jumătate de perioadă

Figura 6. imagine artistică a sistemului Figura 7. spectrul sistemului binar β Lyrae 327 Figurile 4,5,6, 12, 13 și 14 sunt scanate din [1]. Figurile 1, 2, 3, 7, 8, 9, 10 și 11 sunt preluate din [3].

Figurile 8 și 9: curba de lumină și spectrul prelucrat al sistemului

Figura 10: curba vitezei radiale

Figura 11: curba de lumină a lui Sheliak 328 2.2. Sistemul Achernar (α Eridani) Cazul b) corespunde lui Achernar (α Eridani) de clasă B3 situat la 144 ani lumină de noi cu masa de 6,7 mase solare, luminozitatea de 2900 ori mai mare ca a Soarelui și temperatura de 14.510 K, dar aici transferul de masă mai continuă câtva timp chiar și după acest moment, deoarece pe lângă forțele mareice ale companionului mai mic (de 2 mase solare și de clasă A) există și o puternică forță centrifugă datorată rotației rapide a stelei, care a determinat deformarea sa (raza polară (7,7 raze solare) este puțin mai mult de jumătate din raza ecuatorială (12 raze solare)). Interferometrele au măsurat o viteză de rotație de 225 km/s ceea ce implică o peri- oadă de rotație de 63,661 ore, adică 2,2 zile și o accelerație centrifugă de 0,0728 N/kg în planul ecuatorial (a se vedea [2], [4], [7]). Accelerația gravitațională în ace- lași loc este de 12,857 N/kg ceea ce dă o accelerație rezultantă de 12,784 N/kg adică 1,3 g.

Figura 12: imagine artistică a lui Achernar comparativ cu Soarele

Figurile 13 și 14: forma stelei Achernar și poziții ale companionului în cursul unui an 329 3. Calculul poziției companionului în momentul încetării transferului de substanță Teoretic, transferul de masă va înceta când semiaxa mare a sistemului va ajunge la valoarea care rezultă din relația 32 MR MR a 3121 21 cf 10  , Mae1111 Mae  agrav unde a(1–e) este distanța la periastru și M1 și R1 sunt masa și raza stelei mari albastre, iar M2 este masa companionului la momentul încetării transferului de a masă, iar raportul cf este raportul dintre accelerația centrifugă și cea de coezi- agrav une gravitațională la ecuatorul stelei mari. Această relație se obține dacă scriem că accelerația de atracție din partea companionului + accelerația centrifugă datorată rotației sale rapide = accelerația cen- trifugă a mișcării orbitale + accelerația de coeziune gravitațională a stelei albastre (asupra elementului de masă din steaua albastră la ecuatorul acesteia). Date fiind valorile pentru mase și raze/distanțe transferul de masă nu ar trebui să aibă loc dacă nu ar fi această rotație rapidă a stelei pentru că în cazul lui Achernar, distanța dintre cele 2 stele la care substanța este smulsă din ea ar tre- 1 3 M2 bui să fie maxim (în absența forței centrifuge mari) dR12  , distanță mai M1 mică decât cea de la periastru. Rezolvând ecuația având ca necunoscută tocmai dis- tanța la periastru când se întrerupe transferul de masă se obține o soluție (singura reală) din care rezultă că distanța la periastru este de 2,26 ori mai mare decât dis- tanța obținută mai sus fără a lua în calcul forța centrifugă.

Figura 15: forțele care acționează la ecuatorul lui Achernar

Fg12 este forța gravitațională de atracție din partea companionului, Fcf12 este forța centrifugă datorată mișcării orbitale, Fg1 este forța de coeziune gravitațională a stelei, Fcf1 este forța centrifugă datorată rotației stelei. 330 După încetarea transferului, distanța dintre componente va crește pentru că companionul preia moment cinetic încetinind astfel rotația stelei mari (la fel cum se îndepărtează Luna în sistemul cu Pământul).

Bibliograﬁe: [1] Pierre Kervella, (2007). Une nouvelle astronomie donne des formes aux etoiles, „Ciel&Espace”, Numero 465, fevrier 2009, pages 40–43 [2] C.C. Lovekin, R.G. Deupree & C.I. Short (2006). Surface temperature and synthetic spectral energy distributions for rotationally deformed stars, Institute for Computational Astrophysics and Department of Astronomy and Physics, St.Mary’s University, Halifax, NS [3] http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_Lyrae [4] http://en.wikipedia.org/wiki/Achernar [5] http://www.aavso.org/vstar/vsots/summer05.shtml [6] http://www.portalciencia.net/binarias/binarias1.html [7] http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/Achernar.html 331 Sistem binar cu curba de lumină

Prof. Marin Dacian Bica, Școala cu clasele I-VIII „Dacia” Oradea

Dacă raza vizuală este în planul orbitei atunci se poate observa eclipsarea reci- proca a componentelor. Sunt 2 cazuri extreme: a) dacă raza vizuală este paralelă cu semiaxa mare; graficul vitezei va fi astfel încât minimul și maximul au aceeași valoare întrucât reprezintă valoarea medie corespunzătoare poziției satelitului în punctul situat pe axa mică a elipsei. Viteza radială a satelitului (relativ la centrul de masă al sistemului) este 0 în poziția de apoastru și periastru. Dacă nu este așa se deplasează axa orizontală în sus sau jos până maximul și minimul au aceeași valoare. Valoarea deplasării reprezintă viteza radială a centrului de masă al sistemului. Graficul de mai jos corespunde situ- ației în care satelitul se afla mai aproape de observator la periastru.

Se măsoară Δt și T–Δt apoi v1, v2 și vr și se calculează excentricitatea

Tt2 vp 1 e e  apoi întrucât v=v=v=120 v pa v și  se poate calcula 2T vea 1 1 e 1 e viteza la periastru și apoastru: vv și vv . Apoi se calculează p 0 1 e a 0 1 e vT semiaxa mare: a  0 și de aici semiaxa mică ba1 e2 și distanțele la periastru 2 a3 ra(1 e ) și apoastru ra(1 e ) precum și masa sistemului: MM. p a 12T 2 332 Primul minim corespunde situației când steaua mai mică dar mai caldă este în față. Se măsoară cei 4 timpi și perioada și din raportarea lor se poate obține excen- tt1 e tricitatea pentru ca 12 care se poate compara cu valoarea dedusă din tt134 e curba vitezei și asta va ﬁ o veriﬁcare a corectitudinii normalizării curbei de lumină LL la fel ca raportarea 12. L1 Se analizează tranzitul din corpul central folosind legea a II-a a lui Kepler: 2 2 rp 1 ra 2 ab  unde θ1 si θ2 sunt unghiurile corespunzătoare tranzitului la 22ttT24 periastru și apoastru, iar întrucât acestea sunt mici, tangenta este egală cu unghiul

2RR12 2RR12 în radiani și de aceea 1 și 2 . Înlocuind în relația de rp ra at  1 e at  1 e mai sus se obține RR 2 sau RR 4 . 12 Te1 12 Te1 at  1 e at  1 e De asemenea se obține RR 1 sau RR 3 și 12 Te1 12 Te1 de aici rezolvând sistemul găsim valorile pentru R1 și R2. Din luminozitate și raza se poate calcula temperatura fiecărei stele folosind legea Stefan-Boltzmann. b) dacă raza vizuală este paralelă cu semiaxa mică vom avea curba vitezelor similară cazului sistemului fără curba de lumină dar acum curba de lumină va avea intervalele de timp egale la cele 2 minime, dar între minime intervalele de timp nu vor fi egale întrucât eclipsarea are loc în dreptul focarului, raza vizuală fiind per- pendiculară pe semiaxa mare. Se poate calcula excentricitatea și în acest caz din aceste intervale dar numai cu ajutorul unei integrale pe o zonă a suprafeței elipsei.

Notăm cu Sa suprafața nehașurată a elipsei și cu Sp suprafața hașurată. S S ab Aplicând legea a II-a a lui Kepler vom avea p a , unde Sa=πab–Sp, iar tt T T=ta +tp. pa 333 Totul revine atunci la exprimarea aarieiriei Sp. Pentru aceasta se scrie legea în coordo-do- xy22 nate carteziene a elipsei: 1 ab22 x2 și de aici se exprimă yb1 a2 care se integrează pentru x între ae a x2 și a: Sp21 b dx și rezolvândnd  2 ae a suprafața hașurată corespunde la tp

 2 se obține Sp abarcsin e  e 1 e de unde se poate determina e prin metoda 2 grafică, adică intersecția graficului funcției arcsin(e) cu al funcției ee1 2 , ca o măsură de verificare a valorii obținute din analiza curbei vitezei radiale dacă din cei 2 timpi se calculează în paralel Sp. Apoi se calculează valoarea lui y pentru x=ae care va fi distanța la care se află componentele sistemului în momentul tranzitului yb11 e22 a e. În ipoteza unghiurilor mici vom avea 2 2RR ae12 12 ae1 2 ab at2 1  de unde se calculează RR12 2 2tT2 Te1 2 2RR ae12 12  2 ae1 ab at1 1 Analog  de unde RR . Din 12 Te1 2 2tT1  cele 2 relații se formează un sistem care se rezolvă dând valorile pentru R1 si R2 . În cazul general când raza vizuală face un unghi cu semiaxa mare curba de viteze are o forma de tipul celei din figura de mai jos 334 APunctele Lagrange – locații pentru sateliți

1. sistemul Soare–Pământ Condiția care se pune este ca aceste puncte să evolueze sincron cu Pământul în jurul Soarelui.

Punctele L1, L2 și L3 sunt instabile dar zonele L4 și L5 sunt stabile și se găsesc în vârfurile unor triunghiuri echilaterale având celelalte vârfuri în Soare și Pământ. Scriem echilibrul forțelor în ﬁecare punct și vom face aproximația ca distanțele d1, d2 și d3 sunt mult mai mici decât distanța r de la Soare la Pământ folosind atunci n (1–x) =1–n⋅x unde x=d1,2,3/r. Vom obține că punctele L1 și L2 sunt situate simetric față de Pământ la 1,5 mil. km, iar punctul L3 este situate puțin mai încolo de pozi- ția simetrica Pământului față de Soare la 37,4 km de această poziție simetrică.

2. sistemul Pământ–Lună

Punctul L3 se aﬂă la 384.795 km de Pământ în direcția opusă Lunii, iar punctele L1 și L2 se aﬂă dispuse simetric la distanța de 61.600 km față de Lună.

3. Calcule

GM m GM  m GM  md F  12 2 S2 22rr2  rd 2 2 d2  r 1 r GM m GM  m GM  md F  12 3 S3 22rr2  rd 3 2 d3  r 1 r GM m GM m  ,  și FP1  2 FP2  2 d1 d2 GM m GM  m GM  mdd GM  m  F   1233    1 , P3 22424rrrr22  2rd 3 2 d3   41r  2r iar în forța centrifugă înlocuim perioada cu cea din legea a III-a a lui Kepler scrisă 42 GM pentru Pământ: 2   , atunci: Tr23 GM m GM  m d 2 1 , FC11 m rd 32  rd 1  1 rrr

2 GM m GM  md2 FC22 m rd 32  rd 2  1 rrr

2 GM m GM  md3 și FC33 m rd 32  rd 3  1 rrr Înlocuim în relațiile de echilibru ale forțelor și vom avea:

GM mdd11GM m GM  m  22212     1 rrdrr1  și aranjând termenii vom obține:

GM m d1 GM m33 M 3 2233  dM11   rM   d  r  și rrd1 3 M

GM mdd22GM m GM  m  22212     1 rrdrr2  și aranjând termenii vom obține:

GM m d2 GM m33 M 3 2233  dM22   rM   d  r  , rrd2 3 M iar în L3:

GM mdd33GM m  GM  m  d 3 22212    1    1 rrrrrr4   și aranjând termenii vom obține:

GM mdd33GM m M M dd 33 M 22222133      444rrrrrrrrr 336

M M de unde dr4  r  3 M 12MM 3M     4

4. Sateliți plasați în aceste puncte

Dintre acestea cel mai folosit este punctul L2 al sistemului Soare – Pământ unde sunt plasați mai mulți sateliți (Herschel pe o orbită cu raza de 800.000 km (încli- nare de 16’9”) și Planck pe o orbită cu raza de 400.000 km (înclinare de 9’4,6”)) și unde s-a planiﬁcat a ﬁ plasat telescopul spațial James Webb pe orbită în plan perpendicular pe planul eclipticii după cum se poate observa din imaginea de mai jos

Întrebarea care se pune este: cum e posibilă o asemenea orbită a telescopului spațial James Webb sau a celorlalte telescoape spațiale plasate pe orbite în jurul lui L2? E posibilă pentru că forțele de atracție din partea Pământului (forța dese- nată cu cărămiziu) și Soarelui au o componentă în planul orbitei îndreptată spre

L2 (forța desenată cu galben) și o componentă perpendiculară pe planul orbitei (forța desenată cu mov pentru Pământ) care deplasează punctul L2 împreună cu planul orbitei. Se poate considera că acea componentă situată în planul orbitei poate ﬁ înlocuită cu o masă ﬁctivă situată în L2. Efectuând calculele obținem acce- GM 101 dd lerația centripetă aa sat L22 sat L . Analizând orbita dedu- cp dd2 100 101  d 100  cem că excentricitatea ei este 0,9684, iar semiaxa mare este 750.000km ceea ce

înseamnă că se va apropia de L2 la 23.700km și se va îndepărta la 1.476.300km (în plan perpendicular pe ecliptică). Perioada mișcării se calculează scriind că 337

2 a 2 4 cp a GM  23    de unde obținem că perioada oricărui satelit pla- Tdsat L2 d d  sat pe o orbită în jurul punctului L2 este egală cu cea a Pământului. Dacă ținem seama și de deplasarea planului orbitei vom obține o orbită înclinată cu 4’14,6” a telescopului spațial față de planul eclipticii pentru un observator situat pe Soare. Motoarele satelitului vor trebui să corecteze această orbită pe care presiunea radia- ției solare care acolo are valoarea de aprox. 10–5Pa tinde să o lărgească. Pentru o anvergură de 22m a panourilor de protecție care dă o suprafață de 105m2 si o masă de 6,2 tone aceasta duce la o accelerație de 1,6*10–10m/s2. Efectul e o lărgire a orbitei cu aprox. 80m într-o perioadă care trebuie corectată. Energia totală a satelitului pe orbită este aprox. –27,5*1012J iar momentul cinetic este aprox. 278*1015Js. Panourile de protecție reduc pasiv temperatura de la 276K la 116K. Cum trebuie să se obțină o temperatură de 40K e nevoie de răcire activă care se realizează cu un randament de maxim 65,5%.

Un alt satelit, de data aceasta plasat în punctul L1 este SOHO si mai jos este data orbita acestuia in jurul acestui punct. Perioada orbitei este de 178 zile. Are masa de 610 kg și cele 2 panouri solare cu suprafața de 18 m2 furnizează 1150W. Orbita s-a ales astfel încât unghiul format de direcția Pământ-Soare și direcția Pământ-satelit să ﬁe mai mare de 4,5° pentru a nu avea interferențe în comunicații datorate radiației solare.

În punctul L3 nu se plasează sateliți pentru că sunt imposibile comunicațiile din cauza radiației solare. Prin Punctele L4 și L5 urmează să treacă perechea de sate- liți ai misiunii STEREO pentru a studia existența unor posibile corpuri acumulate acolo ce ar putea să se îndrepte spre pământ în cazul unor perturbații gravitaționale.

Bibliograﬁe: http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/sats_n_data/satellites/jwst_L2.html http://www.esa.int/esapub/bulletin/bullet88/images/vand88f3.gif http://en.wikipedia.org/wiki/Halo_orbit 338 Sisteme binare generale

autori: prof. Crăciun Petru, Colegiul „Vasile Lovinescu” Fălticeni, str. Maior Ioan nr.10 Fălticeni,cod: 725200, jud. Suceava ([email protected]) prof. Nicolae Dobrescu, Palatul Copiilor Tulcea prof. Marin Dacian Bica, Școala cu clasele I-VIII „Dacia” Oradea

Argument De multe ori am fost impresionați de sistemele binare din Univers și am dorit să aﬂăm caracteristicele orbitelor reale ale stelelor care alcătuiesc aceste sisteme. În acest scop prezentăm un algoritm făcut din mai mulți pași prin care utilizând o cameră CCD și un număr de imagini se poate determina: longitudinea nodului ascendent, înclinarea orbitei sistemului binar, excentricitatea orbitei, semiaxele orbitelor reale, argumentul periheliului, momentul de trecere la periheliu, perioada de revoluție și masele stelelor ce alcătuiesc sistemul binar. În acest articol este prezentat suportul teoretic de rezolvare a sistemelor binare dar se poate folosi un program pe calculator astfel încât caracteristicele sistemului binar vor ﬁ găsite într-un timp foarte scurt.

Fig 1. Elementele orbitei unei stele componente a sistemului binar

Pasul 1. Se realizează mai multe fotograﬁi cu ajutorul unei camere C.C.D. la diferite momente de timp t1 ,t2 ,...., tn . Imaginea dată de camera C.C.D. se suprapune peste harta cerului și se deter- mină α (ascensia dreaptă) și δ (declinația) pentru cele două stele a sistemului binar la momentele de timp t1 ,t2 ,...., tn .

Se obțin o serie de valori la momentele t1 ,t2 ,...., tn t1 t1 A(  A ,A ) – pentru steaua de masă M1 – la momentul t1 339

t1 t1 B( B ,B ) – pentru steaua de masă M2 – la momentul t1 ...... , tn tn A(  A ,A ) – pentru steaua de masă M1 – la momentul tn tn tn B( B ,B ) – pentru steaua de masă M2 – la momentul tn Se poate determina coordonatele centrului de masă a celor două stele C.M.

Fig. 2. Coordonate geocentrice ecuatoriale (rectangulare și polare) Pasul 2. Se determină coordonatele carteziene (ξ,η,ς) a fiecărei stele A și B la momentele de timp t1 ,t2 ,...., tn față de reperul (Tξης) fixat pe Pământ. Deoarece sistemul binar se află la distanțe de ordinul anilor lumină considerăm că stelele A și B se află la aceeași distanță ρ față de un observator aflat pe Pământ. ttt111ttt111 AAAcos  cos  BBBcos  cos 

ttt111 ttt111 AAAcos  sin  iar BBBcos  sin  (2.1)

tt11 tt11 AAsin  BBsin ...... , tttnnntttnnn AAAcos cos  BBBcos cos 

tttnnn tttnnn AAAcos  sin  iar BBBcos  sin  (2.2)

ttnn ttnn AAsin BBsin

Pasul 3. Se determină ecuațiile dreptelor AB determinate de poziția stelelor A și B la diferite momente de timp t1 ,t2 ,...., tn t1 t1 t1 t1 t1 t1 A( A ,A , A ) și B( B ,B ,B ) – coordonatele stelelor A și B la momentul t1 ...... , tn tn tn tn tn tn A( A ,A , A ) și B( B ,B ,B )-coordonatele stelelor A și B la momentul tn 340 Ecuația dreptelor AB la diferite momente de timp sunt:

ttt111 AAA    ecuația dreptei AB la momentul t1 (3.1) tt11 t 1 t 1 tt 11 BA  B A  BA

ttt222 AAA    ecuația dreptei AB la momentul t2 (3.2) tt22 t 2 t 2 tt 22 BA  B A  BA ...... , tttnnn AAA    ecuația dreptei AB la momentul tn (3.3) ttnn t n t n tt nn BA  B A  BA În mod ideal centrul de masă CM se aﬂă la intersecția acestor drepte Una din metodele de determinare a coordonatelor CM este să grupăm câte două ecuații la diferite momente de timp și să rezolvăm sistemele de ecuații. Soluțiile acestor sisteme vor reprezenta coordonatele centrului de masă. nn(1) Vom obține C 2 adică sisteme de câte două ecuații. n 2 În mod ideal ar trebui ca:

12,..... nCM ,.... nn(1)  (3.4) 2

12,...... nCM ,...... nn(1)  (3.5) 2

12,...... nCM ,...... nn(1)  (3.6) 2 dar din cauza erorilor de măsură vom obține valori ușor diferite așa încât vom calcula valorile medii ale coordonatelor CM față de un reper situat pe Pământ.

12...... nn(1)  2 (3.7) CM nn(1) 2

12...... nn(1)  2 (3.8) CM nn(1) 2

12...... nn(1)  2 (3.9) CM nn(1) 2 Pasul 4. Aﬂăm coordonatele ecuatoriale ale centrului de masă CM.

Față de reperul (Tξης) ﬁxat pe Pământ exprimăm coordonatele carteziene în funcție de coordonatele polare.

CM cosCM cos  CM (4.1) CM cosCM sin CM (4.2)

CM sin CM (4.3) 341 Din rezolvarea acestui sistem rezultă:

CM CM arctg() – ascensia dreaptă a CM (4.4) CM

CM CM arctg cos  CM – declinația CM (4.5) CM

Pasul 5

Determinăm distanțele unghiulare între steaua A și CM la momentele de timp t1 , t2 ,...., tn , respectiv între steaua B și CM la momentele de timp t1 ,t2 ,...., tn . Din teorema cosinusului aplicată triunghiului sferic vom obține:

ttkk t k cosAA cos( CM ) cos(  CM  A ) (5.1) unde kn1,...,

tk iar A – reprezintă distanța unghiulară dintre steaua A și CM la momentul tk

ttkk t k AAarccos(cos( CM ) cos(  CM  A )) (5.2) Analog pentru steaua B

ttkk t k cosBB cos( CM ) cos(  CM  B ) (5.3) unde kn1,...,

tk iar A – reprezintă distanța unghiulară dintre steaua B și CM la momentul tk

ttkk t k BBarccos(cos( CM ) cos(  CM  B )) (5.4)

Pasul 6. Aﬂăm distanța exprimată în (UA) dintre stelele A și B și CM la momentele de timp t1 ,t2 ,...., tn , cu ajutorul relației:

ttkk r A ACM  (6.1)

ttkk222 rACMCMA  2cos    (6.2)

Deoarece r putem să presupunem că CM – distanța dintre Terra și sistemul binar.

ttkk Deci: rAA22cos   (6.3)

ttkk distanța dintre steaua A și CM la momentul tk rBB22cos   (6.4) distanța dintre steaua B și CM la momentul tk tk tk tk tk Deoarece unghiurile A șiA sunt mici exprimate în arcsecunde atunci rA și rB

tk tk " pot ﬁ calculate astfel: rAA (6.5) tk – unde ρ este exprimat în parseci iar A în arcsecunde. Înlocuind (5.2) în (6.5) obținem: tk ttkk t k t k tk " rAA arccos(cos(  A CM )  cos(  CM  A )) (6.6) rBB (6.7)

tk – unde ρ este exprimat în parseci iar B în arcsecunde. Înlocuind (5.4) în (6.7) obținem: 342

ttkk t k t k rBB arccos(cos(  B CM )  cos(  CM  B )) (6.8)

tk tk Deci rA și rB vor ﬁ exprimate în UA.

Pasul 7. tk tk tk Aﬂăm coordonatele carteziene xA , yA , zA a stelei A la momentele de timp t1 ,t2

,...., tn față de sistemul CM t k ttkk xAA CM (7.1)

t k ttkk yAA CM unde kn1,..., (7.2)

t k ttkk zAA CM (7.3) tk tk tk Analog aﬂăm coordonatele carteziene xB , yB , zB a stelei B la momentele de timp t1 ,t2 ,...., tn față de sistemul CM

t k ttkk xBB CM (7.4)

t k ttkk yBB CM unde kn1,..., (7.5)

t k ttkk zBB CM (7.6)

(PNE) (PNC) ze z



S  ye  y  x xe Fig 3. Sistemul de referință ecliptic Fig 4. Trecerea de la coordonatele ecliptice la cele ecuatoriale. Pasul 8.

ttkk t k t k Se poate demonstra că: xrAAcos u A cos sin u A sin cos i (8.1)

ttkk t k t k t k yrAAcos u A  sin  cos  sin u A  cos  cos i  cos  sin u k  sin i  sin  (8.2)

ttkk t k t k t k t k t k zrAAcos u A  sin  A  sin  sin u A  cos  A  cos i  cos  sin u k  sin i  cos  (8.3) unde kn1,..., 2 Vom obține (3n) ecuații din care putem forma C3n sisteme de ecuații adică 3!n sisteme cu două ecuații și necunoscutele Ω (longitudinea nodului ascen- 23n  1! 343 dent) și i (unghiul de înclinare a planului orbitei stelei A față de planul eclipticii). Datorită erorilor de măsură vom obține soluții ușor diferite pentru  , 1A 2A ,...... ,  ,...... , și i , i ,...... , i nA 1A 2A nA Se găsește un algoritm de rezolvare numerică a acestor sisteme și vom determina valorile medii ale lui  A (valoarea medie a longitudinii nodului ascendent pentru steaua A) și i A (valoarea medie a unghiului de înclinare a planului orbitei stelei A față de planul eclipticii). ......  ii......  i 12AAn A 12AAn A A (8.4) iar i  (8.5) n A n Analog se face pentru steaua B.

ttkk t k t k xrBBcos u B cos sin u B sin cos i (8.6) ttkk t k t k t k yrBBcos u B  sin  cos  sin u B  cos  cos i  cos  sin u B  sin i  sin  (8.7) ttkk t k t k t k t k t k zrBBcos u B  sin  B  sin  sin u B  cos  B  cos i  cos  sin u B  sin i  cos  (8.8) unde kn1,..., . 2 Vom obține (3n) ecuații din care putem forma C3n sisteme de ecuații adică 3!n sisteme cu două ecuații și necunoscutele Ω (longitudinea nodului ascen- 23n  1! dent) și i (unghiul de înclinare a planului orbitei stelei B față de planul eclipticii). Datorită erorilor de măsură vom obține soluții ușor diferite pentru  , 1B 2B ,...... ,  ,...... , și i , i ,...... , i nB 1B 2B nB Se găsește un algoritm de rezolvare numerică a acestor sisteme și vom determina valorile medii ale lui B (valoarea medie a longitudinii nodului ascendent pentru steaua B) și i B (valoarea medie a unghiului de înclinare a planului orbitei stelei B față de planul eclipticii). ......  ii......  i 12BBn B 12BBn B B (8.9) iar i  (8.10) n B n

În mod ideal ar trebui ca i A = i B = i (valoarea medie a unghiului de înclinare a planului orbitei sistemului binar față de planul eclipticii).Dacă valorile sunt ușor diferite atunci se calculează valoarea medie a unghiului de înclinare.

iii()/2AB (8.11)

Pasul 9. tK tK Fie VA și VB – anomaliile adevărate ale stelei A respectiv B la momentele de timp tk unde kn1,..., VEttkk1 e VEttkk1 e Atunci: tgAA tg (9.1) iar tgBB tg (9.2) 21 e 2 21 e 2

tk tk unde EA și EB – reprezintă anomaliile excentrice ale stelei A respectiv B la momentele de timp tk 1 e V tk E tk 2 arctg  tg A Va rezulta: A , kn1,..., (9.3) 12 e 344

1 e V tk E tk 2 arctg  tg B B  (9.4) 12 e

Fie A și B – argumentul periheliului orbitei stelei A respectiv B atunci se ttkk ttkk poate demonstra că: VuAAA, kn1,..., (9.5) VuBAB (9.6)

Deci anomaliile excentrice ale stelei A respectiv B la momentele de timp tk 1 e utk  E tk 2 arctg  tg AA A , (9.7) 12 e 1 e utk  E tk 2 arctg  tg BB kn 1,..., B  (9.8) unde  12 e Pasul 10. Se poate demonstra că: ttkkttkk raAA(1 e cos E A ) , (10.1) raBB(1 e cos E B ) (10.2) unde kn1,..., unde aA și aB reprezintă semiaxa mare a orbitei reale a stelei A respectiv a stelei B. tk tk iar rA și rB – reprezintă distanța dintre steaua A și CM (centrul de masă) respectiv dintre steaua B și CM (centrul de masă) la diferite momente de timp tk , kn1,..., .

Pasul 11. Înlocuind (9.7) în (10.1) vom obține următorul sistem de n ecuații: kn1,..., 1 e utk tk  AA raAA1 e cos 2  arctg  tg 12e   Înlocuind (9.7) în (10.1) vom obține

ttkk arccos(cos( AA CM )  cos(  CM  )) 

tk 1 e uAA aeA 1 cos 2 arctg  tg, (11.1) 12e   cu două necunoscute aA ( semiaxa mare a orbitei reale a stelei A), eA (excentricitatea orbitei reale a stelei A) și ωA (argumentul periheliului orbitei reale a stelei A). Înlocuind (9.7) în (10.1) vom obține. Una din metodele de determinare a celor două necunoscute este să grupăm câte trei ecuații la diferite momente de timp și să rezolvăm sistemele de ecuații. Vom nn(1)(2) n obține C 3 adică sisteme de câte trei ecuații. n 6 În mod ideal ar trebui ca:

aa12AA,..... a nA ,.... ann(1)(2) n AA  a (11.2) 6 ee12AA,......  e nA ,......  enn(1)(2) n AA  e (11.3) 6 12AA,.....  nA ,.... nn(1)(2) n AA  (11.4) 6 345 dar din cauza erorilor de măsură vom obține valori ușor diferite așa încât vom calcula valorile medii ale acestora.

aa12AA......  ann(1)(2) n 6 A a A  (11.5) nn(1)(2) n 6 ee......  e 12A A nn(1)(2) n e  6 A (11.6) A nn(1)(2) n 6 12AA...... nn(1)(2) n 6 A A (11.7) nn(1)(2) n 6 Până acum am determinat pentru orbita reală a stelei A următoarele mărimi:

 A (valoarea medie a longitudinii nodului ascendent)

iA (valoarea medie a unghiului de înclinare a planului orbitei stelei A față de planul eclipticii).

a A (valoarea medie a semiaxei mari a orbitei reale a stelei A),

e A (valoarea medie a excentricității orbitei reale a stelei A)

A (valoarea medie a argumentului periheliului orbitei reale a stelei A). În mod analog se poate calcula aceste mărimi și pentru steaua B. Înlocuind ( ) în ( ) vom obține al doilea sistem de n ecuații: 1 e utk  rtk  a(1 e cos 2  arctg  tg BB ) kn1,..., BB , (11.8) unde  12 e 

ttkk arccos(cos( BCM  )  cos( CM  B )) 

1 e utk  ae(1 cos 2 arctgtg BB ) B  12 e  cu două necunoscute aB (semiaxa mare a orbitei reale a stelei B), eB (excentricitatea orbitei reale a stelei B) și ωB (argumentul periheliului orbitei reale a stelei B). Una din metodele de determinare a celor două necunoscute este să grupăm câte trei ecuații la diferite momente de timp și să rezolvăm sistemele de ecuații. Vom nn(1)(2) n obține C 3 adică sisteme de câte trei ecuații. n 6 În mod ideal ar trebui ca: aa,..... a ,.... a a 12BB nBnn(1)(2) n BB  (11.9) 6

e1B  e2 B ,......  en B ,......  en(n1)( n2)  eB (11.10) 6 B

12BB,.....  nB ,.... nn(1)(2) n BB  (11.11) 6 346 dar din cauza erorilor de măsură vom obține valori ușor diferite așa încât vom calcula valorile medii ale acestora.

aa12BB......  ann(1)(2) n 6 B a B  (11.12) nn(1)(2) n 6 ee......  e 12B B nn(1)(2) n e  6 B (11.13) B nn(1)(2) n 6

12BB...... nn(1)(2) n 6 B B (11.14) nn(1)(2) n 6 Până acum am determinat pentru orbita reală a stelei B următoarele mărimi:

B (valoarea medie a longitudinii nodului ascendent a stelei B)

iB (valoarea medie a unghiului de înclinare a planului orbitei stelei B față de planul eclipticii).

a B (valoarea medie a semiaxei mari a orbitei reale a stelei B),

e B (valoarea medie a excentricității orbitei reale a stelei B)

B (valoarea medie a argumentului periheliului orbitei reale a stelei B).

Pasul 12. Se demonstrează că: 2 Eettkksin E   ( tt  ) (12. 1) AAk0A PA 2 Eettkksin E   ( tt  ) (12. 2) BBk0B PB unde PA respectiv PB reprezintă perioadele de revoluție în jurul CM a stelei A respectiv a stelei B. t t Iar 0A respectiv 0B reprezintă momentele pentru care stelele trec pe la periheliul orbitelor lor.

Se rezolvă cele două sisteme de ecuații și se calculează valorile medii ale lui PA respectiv PB astfel încât vom obține: PP......  P P  12AAn A (12. 3) A n PP......  P P  12BBn B (12. 4) B n

În mod ideal ar trebui ca PPAB adică cele două stele A și B au aceeași peri- oadă de revoluție în jurul CM dar din cauza erorilor de măsură vor ﬁ ușoare dife- rențe astfel încât se va calcula valoarea medie a perioadei de revoluție: 347

PP P  AB (12. 5) și reprezintă perioada de revoluție a sistemului binar. 2 t t respectiv valorile medii ale 0A și 0B tt......  t tt......  t 01AA 02 0n A 01BB 02 0n B t0  (12. 6) t0  (12. 7) A n B n

În mod ideal ar trebui ca tt00AB adică cele două stele A și B trec în același moment pe la periheliu dar din cauza erorilor de măsură vor ﬁ ușoare diferențe ast- tt fel încât se va calcula valoarea medie t  00AB (12. 8) 0 2 și reprezintă momentul de timp de trecere pe la periheliu a celor două stele A și B.

Pasul 13. M M Determinarea maselor 1 respectiv 2 a stelelor ce alcătuiesc sistemul binar. PM2() M Din legea a III a lui Kepler rezultă: 12 1 (13. 1) a3 unde aaAB a (13. 2) – reprezintă semiaxa mare a orbitei aparente a sistemului binar. 2 aa Ma Ma  A Din condiția ca: 12AB (13. 3) rezultă: M1  2 (13. 4) 2 P aaB  reprezintă masa stelei A; M2  2 (13. 5) reprezintă masa stelei B P Concluzie: Utilizând o cameră CDD se realizează mai multe fotograﬁi la diferite momente de timp t1 ,t2 ,...., tn . Imaginile obținute de camera C.C.D. se suprapun peste harta cerului și se determină α (ascensia dreaptă) și δ (declinația) pentru cele două stele a sistemului binar la momentele de timp t1 ,t2 ,...., tn . Cu ajutorul algoritmului descris anterior se poate determina caracteristicele sistemului binar: longitudinea nodului ascendent, înclinarea orbitei sistemului binar, excentricitatea orbitei, semiaxele orbitelor reale, argumentul periheliului, momentul de trecere la periheliu, perioada de revoluție și masele stelelor ce alcătuiesc sistemul binar. De asemenea acest suport teoretic se poate modiﬁca și aplica pentru calculul orbitelor asteroizilor și planetelor pitice. La acest suport teoretic se poate atașa un soft astfel încât prelucrarea datelor se poate face automatizat.

348 Problemă (model pulsatoriu de Univers)

autori: prof. Crăciun Petru, Colegiul „Vasile Lovinescu” Fălticeni, prof. Marin Dacian Bica, Școala cu clasele I-VIII „Dacia” Oradea

Dacă proiectăm spațiul Riemann pe un spațiu plat minkowskian atunci trebuie să aducem o corecție la energia potențială gravitațională. Presupunem că energia 2  potențială gravitațională este de forma: Umce2 2r 2r2 1 r 0   unde: λ=2MG/c2 iar α este o constantă care trebuie determinată Pentru r foarte mare adică r≫λ atunci expresia energiei potențiale gravitaționale se reduce la expresia dată de Newton:

222 2MG mM Umc11 mc mc UG0 r 000 2 r  22rr 2 rc r a) Determinați intervalul de valori pentru constanta α astfel încât să avem un Univers pulsatoriu. b) Determinați valoarea numerică a vitezei maxime pe care o poate avea o galaxie în timpul expansiunii. c) Dacă se cunoaște constanta lui Hubble H=72,1 Km/s.Mpc, aﬂați valoarea minimă a masei Universului. d) Aﬂați valoarea numerică maximă respectiv valoarea minimă a „razei” Universului (adică limitele Universului în acest model pulsatoriu) față de „centrul de simetrie” a Universului e) Să se calculeze numeric intervalul de timp în care o galaxie de la „marginea” Universului își mărește viteza de la zero la valoarea vitezei maxime. f) Analizând radiația de fond s-a constatat că „Big-Bang” s-a produs acum 13,72 miliarde de ani. Determinați poziția și viteza „absolută” de deplasare a galaxiei noastre față de „centrul” Universului. g) Determinați „raza actuală” a Universului. h) Determinați expresia densității Universului într-un punct arbitrar situat la distanța r de „central” Universului i) Determinați numeric valoarea medie a densității materiei negre. Explicați pe baza acestui „model de Univers” existența materiei negre. Se cunoaște valoarea 28 3 medie din datele observaționale a densității Universului: obs. 410kg / m

Rezolvare: Dacă proiectăm spațiul Riemann pe un spațiu plat minkowskian atunci trebuie să aducem o corecție la energia potențială gravitațională. Presupunem că energia 2  potențială gravitațională este de forma: Umce2 2r 2r2 1 r 0   Pentru r foarte mare adică r≫λ atunci expresia energiei potențiale gravitaționale se reduce la expresia dată de Newton: 349

222 2MG mM Umc11 mc mc UG0 r 000 2 r  22rr 2 rc r 2 2 2   2 2 2  2r 2r 2 2 2r 2r2 Umcr 0 23 e Umc 1 e  22rr r 0 2   2rr  pentru rU20r 

r rmin rmax

------0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

  2 8 Umcemin 0 1 

rmax v = 0 rmin v = 0 vmax (inițial) (final)

Scriem legea conservării energiei: EUciir E cmax  U minr   EU cf fr 

Analizăm posibilitatea ca Universul se va opri din expansiune Ecf  0 2 2  mc 2 220 2 Umce2 2r 2r 1 Umcmcfr00   mc fr 0 v2  1  c2 2 2     mc0 228 22r 2r2 mc00 mc e 1 mce 0 v2  1 c2

2 2     mc0 228 2 22r 2r2 Vom obține: mc00 mce  mc 0 mc 0 e 1 v2  1 max  c2  2   1 2 Deci: ee8 1 2r 2r v2 1 max c2 350

  1 Notăm cu: Ae8 1 v2 1 max c2 2  2 2 2   eA2r 2r  ln A sau: 2lnA 22rr2 rr2  Notăm: yyyA2 2ln  0 r 118lnAA  118ln  Δ = 1 + 8αlnA y  sau 1,2 22r 2 r1,2  118lnA  1  Impunem condiția de axistență: CE..:18ln A  0  ln A  ; A  e 8 8 2 2 r1  ; r2  118lnA 118lnA

Trebuie ca: 018ln1A  sau 8lnA 0 pentru ca r1 să aibă sens ﬁzic:   eAeeA880  1   1 Înlocuim expresia lui A: ee8811  v2 1 max c2 v2 Notăm cu: n 1 max c2    1 1  1 Deci: ee8811 ee881  e 8 11  n n n 1 v2 Prima ecuație este adevărată deoarece se reduce la  1 dar n 11max  n c2   11 1 A doua ecuație: e 8 2202  nn n

  1 13 Dar: e 8  0  2 4 vc  2 2 max v vmax 2 1 1 2 c2 c   3 8 1 Presupunem vccmax 0,865 Ae1 2 1 0,865 2 Dar A 1 0,02523 Dacă 0,02523 se poate atinge o viteză maximă 351

2 Din: r2  pentru 0,02523 118lnA 2  18ln A = 1 + 4lnA r  2 2 4 lnAA 1  2 ln viteza maximă se poate atinge pentru r 2 3 Viteza crește de la 0 la vc pe distanța 2     max 2 Considerăm valabilă legea lui Hubble 33c cH c H72,1Km   sMpc 22H – constanta lui Hubble Din această expresie se poate determina masa minimă pe care o poate avea 3 c 2MG 31c3    M   Universul: max min min 2 min 2 H c 4 HG max 54 Dar: 0,02523 Considerăm: max 0,02522 Mmin 310kg Reprezintă masa minimă pe care o poate avea Universul 2 2  Dacă analizăm acest caz r1  ; r2  118lnA 118lnA 2lnA 33c 13,56 milioane de ani lumină max min 22H

max min 11,74 milioane de ani lumină

Deci: r1=11,74 miliarde de ani lumină  r 12259,9  12260  r2=143932,4 miliarde de ani lumină, 2 2lnA deci raza Universului va oscila între aceste limite: rRr12 11,74R 143932,4 milioane de ani lumină Se poate calcula timpul în care galaxiile de la marginea Universului își măresc viteza de la 0 la vmax.

În starea inițială atunci când v =0 pentru r1  2  1   Umce222r 2r2 110 mce22r  r 00  energia potențială este egală cu 0 Noi am impus condiția ca pentru rv 0 2 2   mc0 222r 2r2 Deci EUc 0 mc00 mc e 10 r v2  1  c2 v2 1 1 2 2 c  2  e 2r 2r2 352

2 2   1 d 1 Deci vc1  r c 1  2 2  d  2 t 2 2  e 2r 2r 2  e 2r 2r 1 r dr t c  2    11 1 2 4  2 e 2r 2r 1 2

2  Analizând expresia de sub radical e 2r 2r2  1 Integrala se poate aproxima astfel: rr2  122dr 2 tredr   2r 2r 2   ccc33631 2  1 e 2r 2r 6 2  2r 2r2 Analizăm funcția: fer 

2 2 2   2 2 2 2 fe' r 2r fer'1r 2r 2 r 23 r 23   2r  2r

------0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

1 1  minim e 8

r r 353

r fdr aria porțiunii hașurate ≈ aria unui trapez  r  r rf1   r fdr  r  2 21 Deci: tr11 f pentru  r 2     r c 3 12 1 1   8 8 5 Pentru rfe2 2  0,025 ee   0,0067166  0 2126   Deci: tr 11,25     t   c 312312 cc  1,25 11,74milioane de ani  14,675milioane de ani Se poate afla la ce distanță ne aflăm de „centrul” Universului și la ce distanță ne aflăm de la r1  Deoarece pentru: rv 0 și adică energia Universului în stare de 11U repaus deci static.

r1  iar pentru un punct interior r Densitatea acestuia crește pentru r MM3 M MM3' 11 33  33  V 4r1 4 4r1 4' 3 3 34MM 33 3 22MG M G 33 3 M 22;    1 43  MM cc Mrc2 1 Mrc2 1 2MG 1   3    3  2 VG2  4r VG 2  4r c 3 3 2  rc23234 G r 2MG rc 1 rM 23 cG2 2  243Grcr  22 2  rrr 11  1  1  1  1  rr  r 2 r1 Deci r 1  pentru 0r  r

Pentru r  0 și r se produc reacții nucleare foarte puternice iar temperatura tinde spre inﬁnit. Existența radiațiilor de fond și estimarea vârstei Universului analizând aceste radiații conﬁrmă aceste lucruri. Astfel: s-a constatat că vârsta Universului este de 13,72 miliarde de ani lumină.

r1 11,74 miliarde de ani lumină Rezultă că noi ne aﬂăm la o distanță de r1 354

13,72 11,74 1,98 miliarde de ani lumină   11,74 miliarde de ani lumină 2 r 1,168 vc0,168 vc 0,19 3 Se poate afla raza actuală a Universului  21 r 1 r 1,8 1,8 11,74 miliarde de ani lumină c c 3 12 R  21,132 miliarde de ani lumină, iar noi ne aflăm la o distanță de r  13,72 miliarde de ani lumină față de „centrul” Universului. 2  Dacă r  atunci Umce 2 22  10  iar E =0 r 0,  0 c  2  Ur  mc2  er 2r2 10  0   2MG Deci va rezulta că: r unde  c2 dM rdVrdr  4 2 densitatea la distanța r’ dV c2 Va rezulta că densitatea: r pentru r 0, atunci când Uni- 8Gr2 versul are contracția maximă, iar dacă r  0 atunci r rezultă că se produc reacții nucleare de maximă intensitate. La momentul contacției maxime vom impune condiția ca toate particulele sistemului să fie în repaus, iar U(r’)=0 La momentul actual am demonstrat că raza Universului este r 1, 8 Deci: r1, 8 c2 Densitatea Universului r pentru r 0,1.8 14,4Gr2 Densitatea Universului măsurată din observații astronomice este: 28 3 obs. 410 kg/m 1, 8 19, 05 obs.

Galaxia noastră se aﬂă la o distanță egală cu 1,18 ; 1,18 44,32 obs.

Densitatea la o distanță medie 1,49 27,80 obs. Din această expresie rezultă că densitatea Universului la o distanță medie este mult mai mare decât densitatea măsurată observațional. Rezultă deci existență unei mase suplimentare nedetectabilă observațional pe care o numim materie neagră: 1,49materie neagrã  96,40%  obs. Această valoare este în acord cu alte estimări (din măsurarea vitezei de rotație a brațelor galaxiilor) 355 Explicarea paradoxului sateliților coorbitali Janus și Epimetheus ai planetei Saturn

prof. Crăciun Petru ,Colegiul ,,Vasile Lovinescu” Fălticeni prof. Marin Dacian Bica , Școala cu clasele I-VIII „Dacia” Oradea

Janus și Epimetheus sunt doi sateliți coorbitali ai planetei Saturn care au urmă- toarele caracteristici:

A.) Janus: B.) Epimetheus:

1. Semiaxa mare: a1 151460 10km 1. Semiaxa mare: a2 151410 10km

2. Excentricitatea: 1 0,0068 2. Excentricitatea: 2 0,0098

3. Înclinarea orbitei: 1 0,163  3. Înclinarea orbitei: 2 0,351  18 18 4. Masa: m1 1,912 10 kg 4. Masa: m2 0,5304 10 kg 5. Dimensiuni: 193×173×137 km 5. Dimensiuni: 135×108×105 km 6. Descoperit: 6. Descoperit: Audouin Dollfus, 15 dec. 1966 Richard Walker, 18 dec. 1966

Mișcarea celor doi sateliți în jurul planetei Saturn are următorul paradox care este unic în Sistemul Solar. Odată la aproximativ 4 ani cei doi sateliți își schimbă simultan orbitele adică: Epimetheus trece de pe orbita interioară pe orbita exterioară Janus trece de pe orbita exterioară pe orbita interioară (practic își schimbă orbitele între ei) 356 Ultima schimbare a celor doi sateliți a avut loc pe data de 21 ianuarie 2006 atunci când distanța dintre ei este cuprinsă între 10000 și 15000 km. Sonda Cassini a observat că distanța dintre orbitele celor doi sateliți este de aproximativ 50 km. În studiul de față încercăm să explicăm mișcarea celor doi sateliți și să descifrăm paradoxul celor doi sateliți.

Deoarece excentricitățile celor doi sateliți sunt foarte mici 1 0,0068 (pentru Janus) și 2 0,0098 (pentru Epimetheus) putem considera orbitele lor practic circulare și situate în planul ecuatorial al lui Saturn (deoarece 1 0,163  și

2 0,351 )

r1 Janus

Epimetheus

Perioadele mișcării circulare a celor doi sateliți sunt: 3 a1 T1 2  0,696041413zile MmK11

3 a2 T2 2  0,695696776zile MmK22 357

26 MS 5,6846 10 kg – masa lui Saturn Intervalul de timp la care cei doi sateliți se apropie la distanța minimă dintre ei  se calculează astfel: 12 tt   111222tt

212  (atunci când cei doi sateliți se apropie la distanța minimă)

22  11 TT12 21 tt  22221   t   t    t    t    TT21 TT 21  TT 12 TT t 1 – intervalul de timp după care cei doi sateliți se apropie la distanța 21TT 2 minimă. t 3,849464378ani Dacă ar ajunge la distanța minimă între ei (adică 50 km) ei s-ar ciocni și se vor distruge iar acest lucru nu se întâmplă. Cei doi sateliți când ajung la o distanță d pe care o vom calcula își schimbă orbitele. De ce? Epimetheus fiind pe o orbită interioară îl ajunge din urmă pe Janus iar când ajunge la o distanță d intră în acțiune forțele de atracție gravitațională dintre ei astfel încât Janus va fi frânat și micșorându-și viteza va trece pe o orbită mai aproape de Saturn, iar Epimetheus fiind accelerat va trece pe o orbită exterioară deci mai departe de Saturn. S-a constatat (sonda Cassini) că și după acest schimb de orbite distanța dintre orbitele lor este tot de aproximativ 50 Km.

Explicarea fenomenului: Din legea conservării energiei pentru cei doi sateliți avem: 2 mV22 KmM mV KmMmv v KmM 11122211 1  1 22RR12 2 R 1 2 mv v Km M Km m 22 21 212 2 Rd2 Din condițiile de stabilitate: 2 mV11 KmM 1 KmM 1 2 Km21 M 2 2 mv11 iar  mv21 2 RR11 R 1 R21

22 2222 mv mvmv1122 vv 11   v 1 mv 22  vv 2  2  v 2 Kmm 11 22  12 22 2 2 d mv222 mv mv m v 22 mv Kmm mv 2 Deci: 11 22 11mv v 1 1 22 mv v 1 2 22 22211 1 2 2 22 2 d 2 mv22 mv Kmm Deci: 11 22mv v mv v 1 2 0 (1) 2211 1 22 2 d Din conservarea impulsului obținem: 358

mv12 m 1 v 1 v 1 m 2 v 2 v 2

mv11 (2) mv11 mv 22  v 2 m2 222 mv11 mmv 2 1 1 mv 11  Kmm 12 Înlocuim în (1) obținem: 2 mv11  v 1 mv 22  0 22mmd22

2 mv11  m 1 Kmm 12 10mvv112 v 1  2 md2

2 mKm122 vvvv112112  0 md2

2 8Km21 m 410vv21     dm2

2 8Km m 1 41vv  21  21 d 2 4vv21

2Km21 m 21vv21   2 dv21 v

2Km12 m 221vv21 vv 21  dv v 2 v 21 1 m 1 1 m2 m 2Km m vvv2 1112 Deci 121  2  (3) mm dv v 12 21 m 2Km m vvv2 1112 iar 221  2  (4) mm dv v 12 21

v1 – reprezintă variația vitezei satelitului Janus în urma frânării

v21 – reprezintă variația vitezei satelitului Epimetheus în urma accelerării

În urma frânării Janus trece pe o orbită mai aproape de Saturn. Fie R1 raza

ﬁnală a lui Janus și R2 raza ﬁnală a lui Epithemeus. Din conservarea energiei avem: 2 mv 2 KmMmv v KmM 11 111 1  1 (5) 22RR11 2 mv11  KmM 1 KmM 122 KmM 1 Deci: 2 mv11  mv 11 RR11 R 1 RR 359 Deci: vv KM KM v2 11 vv 1 22RR 11 2 11 v1 Janus

2R1 1  2 KM KM v1 vv11 22R1 R1 R2 KM R  2 (6) 1 2 S KM v1 vv11 22R1 KM 2 RRRR1111 2 (7) KM v1 vv11 22R1 2 2 v1 KM KM v v1 1 vvRR vvR1111 vvRR111 1 111 1 2v 22 2R 2  1 R1 2 1 2222 KM v vv11 vvvv2  1 vv 1111 vv 11 122 22R 11 222 vv 1 11

v1 21vR11 2v 2v RR1 1  112 (8) 2vv11 v 1 v1 v1 122 vv11

Deoarece vv11 RR R 2v2 11 1 Analog: RR22  (10) Deci: (11) v2 RR22  R 2 Din rezultatele observaționale ale sondei Cassini și după schimbarea orbitelor celor doi sateliți distanța dintre ei este tot de 50 Km. Deci:

RRRR21 1250km

RRRRRR221112     1 (12)

2RR12 R 1 R 2

22vv12 Înlocuind pe RR12, obținem: 2RR12 R 1  R 2  vv12

vv12 RR12 R 1  R 2 vv12

mv11 v 1 mvR 112 mv11 mv 22  v 2  R 1  R 2  R 1  mvvm2122 360

RRm 121 RR12 m RR12 v 1  v 1,134896 (13) vvm 1 RRm s 122 121 vvm122 KM 6,672 1011 5,6846  10 26 v  15,8244636km 1 3 s R1 151460 10 KM 6,672 1011 5,6846  10 26 v  15,82707624km 1 3 s R2 151410 10 vv2,612632m 21 s m vv1 4,091103m 21 s (14) m2

Înlocuim pe v1 în expresie putem să obținem pe d 0,5304 4,774702763 1017 1,134896 2,612632 1  2,4424 d m 7 dm 0,596711897 10 m (15)

dm  5967,11897km d dd11934,23796 m 2 Deci d = 11934,24km în conformitate cu datele observaționale date de sonda Cassini. Să calculăm unghiul la centrul dintre razele vectoare ale celor doi sateliți atunci când s-au apropiat la distanța d.

vv11

R1 

vv22 R2 361

222 dRR122cos RR 12  (16) RRd222 cos 12  0,999834926 2RR12 Deci:  1,041076292  transformăm în radiani   0,018170209 radiani Calculăm timpul după care cei doi sateliți încep modiﬁcarea orbitelor. 2 tt 0,997108121  t 0,99710812  3,849464378  0 2  3,838332194 ani

tt0 4,063247 zile (17) Să calculăm razele orbitelor în urma schimbului 2 1,134896m 2v1 s RR11  151460km  21,725km v 15,82446361km 1 s (18)

2v21 RR221 78,275km v2

' RR11 R 1151438,275km ' Deci: RR21 R 2151488,275km (19) '' RR2150km Deci Janus în urma frânării se apropie de Saturn cu 21,725 Km iar Epimetheus în urma accelerării având masa mai mică de 3,6 ori decât Janus se depărtează cu 78,275 Km. '3 ' R1 T1 2  60125,039578  0,695891661zile KMs (20) '3 ' R2 T2 2  60154,819035  0,696236331zile KMs După cât timp se întâlnesc cei doi sateliți iarăși? '' ' TT21 t '' 1405,705zile  3,851247686ani (21) TT21 KM KM v s 15,82559864km v s 15,82298674km iar 1 s 2 s R1 R2 vv2,611903m 12 s (22) După încă aproape 3,85 ani Janus îl ajunge din urmă pe Epimetheus și îl frâ- ' ' 2v 2v '' ' '' '' ' '' ''1 ' ''2 ' RR R RR R nează RR11' RR22' 11 1 22 2 v1 v2 362

'' '' ' ' '' '' RR12 RR 12 R 1 R 2 '' '' ' ' RR12 RR 12 '' '' ' ' RR122 RR 21 

'' '' ' Dar: mv11 mv 22 m 1 v 11  v 1 m 2 v 2 v 2 '''mm11 ' mv11 mv 22  v 2   v 1 mm22 '' 22vRm121'''' ''RvRR11212 vvm122 '' ' RR21 50 v1 ''   RmR1129569,197251 34512,38152 '' vmv122 v 1,13426m 1 s este accelerat (23) v 4,088812m este frânat 2 s 2 1,13426 R'' 151438,275  21,70791km (24) 1 15,82559864 '' R2 78,29208465km '' ' '' RR11 R 1151438,275  21,70791  151459,9829km Deci '' ' '' RR22 R 2151488,275km  78,29208465km  151409,9829km

Concluzie: Mișcarea este ciclică. RR' 17,1m 11 (25) '' RR2217,1m Deci sateliții se apropie de Saturn cu 17,1 m odată la 3,83833 ani.

Referințe: 1. Spitale, J. N.; et al. (2006). The orbits of Saturn’s small satellites derived from combined historic and Cassini imaging observations. The Astronomical Journal 132 (2): 692–710. doi: 10.1086/505206. http://www.iop.org/EJ/article/1538-3881/132/2/692/205235.html. 2. Porco, C. C.; et al. (2006). Physical Characteristics and Possible Accretionary Origins for Saturn’s Small Satellites. Bulletin of the American Astronomical Society 37: 768. http://www.lpi.usra.edu/meetings/lpsc2006/pdf/2289.pdf. 3. Verbiscer, A.; French, R.; Showalter, M.; and Helfenstein, P.; Enceladus: Cosmic Graﬃti Artist Caught in the Act, Science, Vol. 315, No. 5813 (February 9, 2007), p. 815 (supporting online material, table S1) 4. IAUC 1987: Probable New Satellite of Saturn January 3, 1967 (discovery) 5. IAUC 1995: Saturn X (Janus) February 1, 1967 (naming the moon) 6. IAUC 1991: Possible New Satellite of Saturn January 6, 1967 363

7. Fountain, J. W.; and Larson, S. M.; Saturn’s ring and nearby faint satellites, Icarus, Vol. 36 (October 1978), pp. 92–106 8. IAUC 3417: New Ring and Satellites of Saturn October 25, 1979 9. IAUC 3454: Saturn February 25, 1980 10. IAUC 3456: 1980 S 2 February 29, 1980 11. Transactions of the International Astronomical Union, Vol. XVIIIA, 1982 (con- ﬁrms Janus, names Epimetheus, Telesto, Calypso) (mentioned in IAUC 3872: Satellites of Jupiter and Saturn, September 30, 1983) 12. NASA JPL, Cassini-Huygens Multimedia: The Dancing Moons, May 3, 2006 13. Lloyd, R.; More Moons Around Earth? Its Not So Loony, Space.com, October 29, 1999 14. NASA Planetary Photojournal, PIA08328: Moon-Made Rings 15. Cassini-Huygens press release, NASA Finds Saturn’s Moons May Be Creating New Rings, October 11, 2006. 364

Olimpiada Internatională de Astronomie și Astroﬁzică Perioada 1-10 august 2014 Locația: Suceava-Gura Humorului Organizatori: Ministerul Educației Naționale Consiliul Județean Suceava Inspectoratul Școlar al Județului Suceava Universitatea ,,Ștefan cel Mare” Suceava Societatea Științiﬁcă Cygnus – centru UNESCO 365

Bibliografie

Mihail, Sandu, Astronomie și Științe, Editura Conphys, Rm. Vâlcea, 2007; C. C. Lovekin, R. G. Deupree & C. I. Short (2006). Surface temperature and synthetic spectral energy distributions for rotationally deformed stars, Institute for Computational Astrophysics and Department of Astronomy and Physics, St.Mary’s University, Halifax, NS Pierre Kervella, (2007). Une nouvelle astronomie donne des formes aux etoiles, Ciel&Espace, Numero 465, fevrier 2009, pages 40-43 Porco, C. C.; et al. (2006). Physical Characteristics and Possible 11. Accretionary Origins for Saturn’s Small Satellites. Bulletin of the American Astronomical Society 37: 768. http://www.lpi.usra.edu/meetings/lpsc2006/pdf/2289.pdf; Spitale, J. N.; et al. (2006). The orbits of Saturn’s small satellites derived from combined historic and Cassini imaging observations. The Astronomical Journal 132 (2): 692–710. doi:10.1086/505206. http://www.iop.org/EJ/article/1538-3881/132/2/692/205235.html; Verbiscer, A.; French, R.; Showalter, M.; and Helfenstein, P.; Enceladus: Cosmic Graffiti Artist Caught in the Act, Science, Vol. 315, No. 5813 (February 9, 2007), p. 815 (supporting online material, table S1); IAUC 1987: Probable New Satellite of Saturn January 3, 1967 (discovery); IAUC 1991: Possible New Satellite of Saturn January 6, 1967; Fountain, J. W.; and Larson, S. M.; Saturn’s ring and nearby faint satellites, Icarus, Vol. 36 (October 1978), pp. 92–106; Transactions of the International Astronomical Union, Vol. XVIIIA, 1982 (confirms Janus, names Epimetheus, Telesto, Calypso) (mentioned in IAUC 3872: Satellites of Jupiter and Saturn, September 30, 1983); NASA JPL, Cassini-Huygens Multimedia: The Dancing Moons, May 3, 2006; Lloyd, R.; More Moons Around Earth? Its Not So Loony, Space.com, 1999; NASA Planetary Photojournal, PIA08328: Moon-Made Rings; Cassini-Huygens press release, NASA Finds Saturn’s Moons May Be Creating New Rings, October 11, 2006; www1: http://www.sym454.org/seasons/ accesat la 14 februarie 2013 http://spiff.rit.edu/classes/phys440/lectures/tilt/tilt.htm http://spiff.rit.edu/classes/phys440/lectures/fix_tilt/fix_tilt.html http://www.dbonsmith.com/peg_85.gif http://mm04.nasaimages.org http://astro1.panet.utoledo.edu/~gthomps/Presentations/ABL_Fall06.ppt.pdf http://www.spaceref.com/news/viewpr.rss.html?pid=33763 http://www.wbabin.net/physics/abruzzo6.pdf 366 http://www.boulder.swri.edu/~hal/PDF/migration.pdf http://www.stsci.edu/jwst/doc-archive/white-papers/JWST_planetary.pdf http://www.gps.caltech.edu/classes/ge133/reading/migration.pdf http://www3.geosc.psu.edu/~jfk4/Meteo_466/Lectures/Lecture%204_Moon%20 formation_bombardment.pdf http://www-hpcc.astro.washington.edu/grads/gwl/thesis.pdf http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1105/1105.2235v1.pdf http://www.ice.csic.es/files/upload_files/File/nature10201_mars_jupiter_migration. pdf http://www.oca.eu/morby/papers/PPV.pdf http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/53/02/84/PDF/morby-HAL.pdf http://www.webalice.it/mizar02/articoli/MorNatu2.pdf http://www.nature.com/nature/journal/v435/n7041/pdf/nature03676.pdf http://hypertextbook.com/facts/2009/JeffreyYep.shtml http://www.springerlink.com/content/q2p26v0521hj7lg3/ http://www.answersingenesis.org/tj/v16/i2/comets.asp http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_Lyrae http://en.wikipedia.org/wiki/Achernar http://www.aavso.org/vstar/vsots/summer05.shtml http://www.portalciencia.net/binarias/binarias1.html http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/Achernar.html http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/sats_n_data/satellites/jwst_L2.html http://www.esa.int/esapub/bulletin/bullet88/images/vand88f3.gif http://en.wikipedia.org/wiki/Halo_orbit 367

CONSTANTE

Semiaxa Perioada Diametrul Masa în unități Semiaxa Nume mare în de revoluție la ecuator de masă a Albedo mare în ua 106 km (siderală) în km Pământului Mercur 0,3871 57,9 87,97 zile 4.878 0,055 0,11 Venus 0,7233 108,2 224,7 zile 12.104 0,815 0,65 Pamant 1,0 149,6 365,3 zile 12.756 5,974⋅1024 kg 0,37 Marte 1,523 227,9 687,0 zile 6.787 0,107 0,15 Jupiter 5,202 778,3 11,86 ani 142.980 317,9 0,52 Saturn 9,539 1.427 29,46 ani 120.540 95,2 0,47 Uranus 19,19 2.870 84,01 ani 51.120 14,5 0,40 Neptun 30,06 4.497 164,8 ani 49.530 17,1 0,35 Pluto 35,53 5.900 248,5 ani 2.300 0,002 0,6 Luna 384,4⋅103 27,32 zile 3476 7,35⋅1022 kg 0,12 u.a. = 149,6⋅106 km

Semiaxa Perioada Diametrul Semiaxa Nume mare de revoluție la ecuator Masa Albedo mare în km în ua în zile în km 0,107 din masa Marte 1,523 227,9⋅106 km 687,0 zile 6787 0,15 Pământului 1,8⋅10–7 din Phobos 9400 0,32 24 0,07 masa Lunii 2,4⋅10–8 din Deimos 23500 1,26 14 0,07 masa Lunii Luna 384,4⋅103 km 27,32 3476 7,35⋅1022 kg 0,12 u.a. = Pământul 1 365,3 12.756 5,974⋅1024 kg 0,37 149,6⋅106 km

Cele mai apropiate 10 stele de Soare Steaua Strălucire aparentă Log (strălucire Magnitudine (relativ la Mizar) aparentă) vizuală aparentă Proxima centauri 2,54.10–4 –3,60 11,05 Cen A 6,72. 0,83 –0,01 Cen B 1,96. 0,29 1,33 Steaua lui Barnard 1,02⋅10–3 –2,99 9,54 Wolf 359 2,58⋅10–5 –4,59 13,53 BD+36 2147 6,66⋅10–3 –2,18 7,50 L726–8=A 6,56⋅10–5 –4,18 12,52 UV Cet=B 4,12⋅10–5 –4,38 13,02 Sirius A 2,55⋅101 1,41 –1,46 Sirius B 2,20⋅10–4 –3,66 11,2 368

Per. Perioada Raza siderală  medie Planeta a(×109km) e rot siderală Masa ecuato- albedou orbitală (g/cm3) (zile) rială (ani) Mercur 57,910 0,206 58,6462 0,2408 0,0553 0,382 5,43 0,06 Venus 108,200 0,007 –243,0185 0,6152 0,8150 0,949 5,25 0,77 Pamant 149,600 0,017 0,997269 1,0000 1 1 5,52 0,30 Marte 227,940 0,093 1,025956 1,8809 0,1074 0,533 3,93 0,15 Jupiter 778,233 0,048 0,41354 11,8622 317,894 11,19 1,33 0,51 Saturn 1429,400 0,056 0,44401 29,4577 95,184 9,46 0,71 0,50 Uranus 2870,990 0,046 –0,71833 84,0139 14,537 4,01 1,24 0,66 Neptun 4504,300 0,009 0,67125 164,793 17,132 3,81 1,67 0,62 Pluto 5913,520 0,248 –6,3872 248,54 0,0022 0,182 2,1 0,60 An sideral = 365d 6h 09m 10s

Constante ﬁzice generale

Relații de transformare

Constante ﬁzice Constanta Simbol Valoare numerică unitate de măsură 23 –1 Numărul lui Avogadro NA 6,0222⋅10 mol Constanta lui Boltzmann k 1,3806⋅10–23 J K–1 Constanta gazelor R 8,3143 J K–1⋅mol–1 –18 Constanta lui Rydberg Roo 2,179⋅10 J Viteza luminii în vid c 2,9979⋅108 m s–1 Constanta lui Planck h 6,6262⋅10–34 J s Constanta Wien sw 0,02898 mK Constanta Stefann-Boltzmann s 5,6697⋅10–8 W/m 2⋅K4 Sarcina elementară e 1,6022 C –31 Masa de repaus a electronului me 9,1096⋅10 kg –27 Masa de repaus a protonului mp 1,6725⋅10 kg –27 Masa de repaus a neutronului mn 1,6748⋅10 kg 4 –1 Constanta lui Faraday F=NA⋅e 9,6487⋅10 C⋅mol –24 2 2 Magnetonul Bohr me –9,2732⋅10 A⋅m A⋅m –27 2 Magnetonul nuclear mp 5,0505⋅10 A⋅m 369

–12 –1 Constanta dielectrică a vidului e0 8,859⋅10 F⋅m –11 Raza Bohr a0 5,2917 10 m Constanta structurii ﬁne a 7,2972⋅10-3 - Constanta gravitațională G 6,673⋅10-11 Nm2/kg2

Constante astronomice Constanta Simbol valoare numerică unitate de măsură Unitate astronomică AU 1,4959789⋅1011 m 206264,806 AU Parsec pc 3,2616 Ly 3,0856⋅1016 m 9,46053⋅1015 m An lumina (light year) Ly 6,324⋅104 AU An sideral y 3,155815⋅107 s 30 Masa Soarelui MS 1,989⋅10 kg 26 Luminozitatea Soarelui LS 3,90⋅10 W Constanta solară S 1370 W/m2 5 Raza Soarelui RS 6,96⋅10 km Temperatura efectivă a Soarelui TS 5770 K 24 Masa Pământului MP 5,9742⋅10 kg 3 Raza ecuatorială a Pământului RP 6,37814⋅10 km 22 Masa Lunii ML 7,348⋅10 kg 3 Raza Lunii RL 1,738⋅10 Km Ziua siderală 23h 56m 04,09054s Ziua solară 86400 s Anul sideral 3,155815⋅107 s Distanța Pământ-Lună 384,4⋅103 km 370