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La mayoría de los docentes de matemática aparentemente se caracterizan por su deseo de obtener rápidamente buenos resultados en el aprendizaje de los estudiantes que atienden. Así, al trabajar un objetivo en función de una estrategia con anterioridad informada a los alumnos, si en los primeros momentos los resultados no son satisfactorios o son deficientes, muchos de ellos intentan dar un vuelco a su metodología en procura de mejores resultados. Esto posiblemente sea un error, sobre todo si es en un momento

intermedio del periodo lectivo, puesto que significa cambios GOTTLOB FREGE en el orden previamente establecido, lo que posiblemente (1848 - 1925) creará confusión en el estudiante. En la relación docente- Nació el 8 de noviembre de 1848 en Wismar, Mecklemburgo- alumno, un cambio intempestivo en la metodología puede no Pomerania Occidental; y murió el 26 de julio de 1925 en Bad dar origen a mejores logros. Es decir, el docente quizás ayude Kleinen, ambas localidades en Alemania. a que se suceda un fallo después de otro fallo. La experiencia da evidencia que todo docente, ante la expectativa del inicio de Fue uno de los fundadores de la lógica simbólica moderna, un nuevo curso, sobre todo en el caso de matemática, revisa el planteando la posición en cuanto a que es reducible a la lógica contenido a trabajar, evalúa los resultados que obtuvo en el matemática. curso anterior con la finalidad de mejorar las estrategias utilizadas, se auto critica responsablemente en cuanto al Friedrich Ludwig Gottlob Frege. Los padres de Gottlob Frege desarrollo de la labor realizada y después de analizar otros fueron Alexander Frege y Augusta Bialloblotzky. Alexander Frege detalles similares, prepara su nuevo plan de trabajo. Es decir, era en 1848, el director de una escuela secundaria para chicas si el docente se ha dedicado comedidamente a elaborar un en Wismar y por eso Gottlob nació en esa ciudad. Wismar, en el proyecto didáctico, no tiene que desesperarse si en un norte de Alemania, estaba situada a orillas del mar Báltico en la momento lo proyectado no se cumple como lo ha deseado. Hay bahía de Wismar, que goza de la protección de la isla de Poel. Había sido administrada por el estado de Mecklemburgo- que recordar que el plan se ha preparado en función de lo que Pomerania desde 1803, pero en el momento cuando Gottlob se ha de lograr al final del curso. Los estudiantes, debido a la nació allí, la ciudad todavía era reclamada por Suecia, país que la naturaleza de cada asignatura, asimilarán gradualmente los había controló desde el acuerdo de Paz de Westfalia en 1648 conocimientos que les van presentado. Posiblemente, la hasta 1803. Se cree que la madre de Gottlob era de una familia aprehensión significativa de una idea no se haga de inmediato no originaria de la zona y que probablemente provenía de sino quizás posteriormente al trabajar otro contenido. Es Polonia. aceptable y recomendable la revisión periódica por parte del docente de cómo ha desarrollado su labor finalizado cada Gottlob creció en Wismar, asistió al gimnasio (liceo) local donde curso. La auto-reflexión sobre situaciones inéditas que tuvo por maestro a Leo Sachse. Posiblemente fue por seguir ocurrieron durante ese tiempo, le permiten ser previsivo para consejos de Sachse que Frege eligió ir a la Universidad de Jena el próximo. Pero el maestro también tiene que darse para continuar sus estudios y en general Sachse tenía una gran oportunidad a sí mismo. Si lo planificado fue bueno o malo, influencia sobre su joven estudiante. [48] [54]. Frege estaba orgulloso de vivir en el estado de Mecklemburgo, amaba la casa debe ser una discusión consigo mismo posterior. La auto- ducal de Mecklemburgo y sin duda creyó en esta forma de formación y mejoramiento profesional en muchos casos se gobierno más que en uno democrático. Un período de grandes produce con la práctica. Desarrollar su plan tal como lo ha cambios políticos se avecinaba sobre esta parte de Europa y diseñado desde el principio y convertirlo en hábito cada algunos eventos comenzaron a sucederse rápidamente en 1866. período, le dará experiencia en superar dificultades, y esta Antes de detallar estos eventos, sin embargo, se debe señalar superación lo conducirá a formar fortalezas suficientes para que 1866 fue el año en que Alexander Frege, padre de Gottlob, hacerlo un docente competente y exitoso con sus alumnos. murió.

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Reflexiones “El valor de un hombre, dijo Herbart, no se mide por su saber, sino por su querer”. Es decir, que la cultura moral que forma la voluntad es más importante todavía que la cultura intelectual, fuente del saber. La instrucción sólo es válida si es para fines morales. La idea de moralidad debe dominar toda la enseñanza. La virtud es el fin supremo de la educación.

Gabriel Compayré, en “Herbart. La educación a través de la instrucción”. (2005, p. 55).

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(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR) De hecho el cambio político que inicia estos eventos es cuando Otto von Bismarck se convierte en Primer Ministro de Prusia en 1862. Bismarck vio que Prusia tendría más protagonismo si se le unían los estados alemanes como Mecklemburgo, pero Austria presentó fuerte oposición. El resultado fue la Guerra de las Siete Semanas de 1866 que vio a Mecklemburgo unirse a Prusia contra Austria y la seguida victoria prusiana que llevó a la creación de la Confederación Alemana del Norte, con Mecklemburgo como miembro, en 1867. Cuando Frege fue a la Universidad de Jena en 1869, Europa estaba políticamente cambiada, y durante los dos años que estudió allí más cambios tuvieron lugar. Prusia condujo a los Estados Alemanes a la victoria sobre Francia en la guerra franco-prusiana de 1870-1871 y en 1871 el Reich (Imperio alemán), con Guillermo I de Prusia como su emperador, entró en existencia. En Jena, Frege tuvo como profesores a Ernst Abbe y a K. Fischer. Después de dos años de estudios en la Universidad de Jena, Frege continuó su educación en 1871 entrando a la Universidad de Gotinga, donde estudió matemática, física, química y filosofía. Se doctoró en 1873 en Gotinga disertando la temática “Über eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde en der Ebene” (Sobre una representación geométrica de estructuras imaginarias de nivel), en la que trató de establecer bases para una porción de la geometría. La tesis fue publicada en Jena en el mismo año en que obtuvo su doctorado. Apoyado por Abbe, presentó su habilitación “Rechnungsmethoden, die sich auf eine Erweitung des Grössenbegriffes être”, esencialmente un trabajo sobre grupos abelianos y teoría invariante, en la Universidad de Jena en 1874 y fue nombrado Profesor Particular de Matemáticas en Jena en mayo de ese año. Enseñó allí por el resto de su carrera, llevó a cabo su trabajo tranquilamente con el mínimo contacto con sus estudiantes y sus colegas. Sin embargo Rudolf Eucken fue colega de Frege durante más de 40 años en la Facultad de filosofía, con quien mantuvo estrechos contactos científicos. Eucken - como Russell y Sartre - fue uno de los pocos filósofos que recibieron el Premio Nobel en literatura (1908). Antes de que Frege publicara alguna de sus obras principales, su madre murió en 1878. Frege fue uno de los fundadores de la lógica simbólica moderna planteando la posición que la misma es reducible a la lógica matemática. Ejerce la docencia en todas las ramas de las matemáticas, en particular geometría analítica, cálculo, ecuaciones diferenciales y mecánica, aunque sus publicaciones matemáticas fuera del campo de la lógica son pocos. Sus escritos sobre la filosofía de la lógica, la filosofía de las matemáticas y filosofía del lenguaje son de gran importancia. Una vez dijo: Cada buen matemático es al menos la mitad de un filósofo, y cada buen filósofo es al menos la mitad de un matemático. En 1879 Frege publicó su primer trabajo importante “Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens” (Notación Conceptual, un lenguaje formal modelado en la aritmética para el pensamiento puro). A. George y R. Heck señalan en la referencia [45]: En 1879, con extrema claridad, rigor y brillantez técnica, primero presentó su concepción de la justificación racional. En efecto, constituye tal vez la más importante contribución hecha a la lógica y era, en cualquier caso, el avance más importante desde Aristóteles. Por primera vez, fue posible un profundo análisis de inferencias deductivas que implicaban oraciones que contienen expresiones incrustadas de generalidad multiplicarse. Además, presentó un sistema lógico dentro del cual se podrían representar estos argumentos detalladamente: este fue el desarrollo más importante en nuestra comprensión de los sistemas axiomáticos desde Euclides. En este trabajo, Frege presentó por primera vez lo que hoy se le reconoce como un sistema lógico con negación, implicación, cuantificación universal, esencialmente la idea de las tablas de verdad (o de certeza) etc., pero lo que no se le reconoce hoy en día es la notación que utiliza Frege. Para la implicación A → B, Frege uliza una notación que se coloca a través de dos líneas con un escrito en la línea debajo de B. No es difícil ver por qué su notación no sobrevivió, pero no se debe permitir que esto de ninguna manera disminuya la magnitud de su logro. La publicación de la Begriffsschrift sucedió en el mismo año que Frege fue promovido, otra vez apoyado por Abbe, a Profesor Extraordinario en Jena, pero toda su notable obra tuvo, sorprendentemente, poco reconocimiento para él. Muy pocas personas parecían ser capaces de apreciar la importancia de este documento histórico. Sin embargo, en contraste con sus tratados más adelante, la Begriffsschrift recibió seis comentarios: desde Reinhold Hoppe, John Venn, Paul Tannery, Kurd Lasswitz, Karl Michaëlis y Ernst Schröder. Los tres primeros de estos comentarios, sin embargo, muestran que sus autores son desinteresados en el Tratado de Frege, mientras que los últimos tres, a pesar de algunas críticas, son más comprensivo (Léase referencia [81] para más detalles). Es razonable preguntar ¿qué impulsó a Frege a producir el revolucionario Begriffsschrift? Quería tener una forma precisa de indicar los resultados y probarlos, porque se dio cuenta que por las dificultades del lenguaje ordinario que era necesariamente impreciso y ambiguo. En el prefacio de la obra declaró que quería probar las verdades básicas de la aritmética "mediante la lógica pura". Este objetivo hace a Frege el primero en desarrollar plenamente la tesis principal del Logicismo: es reducible a la lógica matemática. Sin embargo, se debe señalar que sólo aplicó esta tesis a la teoría de Número y al Análisis Real. Su siguiente gran obra, “Die Grundlagen der Arithmetik” (La bases de la aritmética), publicado en 1884, fue escrita para lograr el objetivo que tenía claramente estipulado en el prefacio de la obra anterior y presentar una teoría axiomática de la aritmética.

Después de ajustar su agenda al inicio de la Grundlagen (Bases), Frege detalló las contribuciones hechas por los matemáticos anteriores a dos cuestiones fundamentales: ¿Qué son los números? ¿Cuál es la naturaleza de la verdad aritmética?

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(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR) En realidad, Frege deshace con claridad brillante todos los intentos anteriores por responder a estas preguntas. Quizás es una sorpresa para los lectores de este artículo saber que todos los esfuerzos por definir "número" antes de Frege contenían errores lógicos. De hecho esto es precisamente lo que mostró; para estas definiciones anteriores habían confundido la idea del "número" con la de "pluralidad". La pluralidad "dos" se refiere a una colección de dos objetos, por ejemplo dos sillas, dos lápices, dos casas, etc. El número "dos" es, sin embargo, la clase de todas las instancias de “pluralidad dos" y entonces es una "pluralidad de pluralidades" y el error lógico que se cometió al no reconocer esto, significaba que antes del Grundlagen de Frege nadie había logrado dar una definición lógicamente correcta de "número". Frege luego pasó a dar su propia definición de los conceptos básicos de aritmética basada puramente en la lógica, y de éstos dedujo, otra vez usando la lógica pura, las leyes básicas de la aritmética. Dummett escribe en la referencia [39]: El trabajo es fascinante incluso para los muy interesados en la filosofía de las matemáticas, ya que en el curso se presentan muchas ideas que son de importancia para el conjunto de la filosofía. ¿Cuál fue la reacción ante el Grundlagen (los fundamentos) por parte de los matemáticos y los filósofos? Se esperaba que una enorme cantidad de ellos mostraran intereses, pero esto no se materializó. El Grundlagen sólo recibió una revisión individual y eso fue por Cantor. ¿Qué pensaba de este brillante libro Cantor? Dummett escribe que la revisión [2]: ... fue devastadoramente hostil por parte Georg Cantor, el matemático cuyas ideas estaban lo más cercano a las de Frege, quien no se molestó en tratar de entender el libro de Frege antes de someterlo a totalmente a un inmerecido escarnio. El Grundlagen no fue un trabajo técnico, escrito sin simbolismo y con sólo los bocetos de las pruebas, que Frege vio como un primer paso hacia la realización de su objetivo de definir un marco lógico preciso para establecer los conceptos básicos de la aritmética y deducir las reglas de la aritmética. Aunque estaba extremadamente decepcionado por la reacción ante la Grundlagen, sin embargo en los años siguientes escribió una serie de artículos que pulió y extendió las ideas que necesitaría para llevar a cabo su proyecto. Dummett llama éstos: ... una serie de brillantes artículos filosóficos en os cuales elabora su filosofía de la lógica. Véase brevemente uno de estos, es decir “Über Sinn und Bedeutung” (En el sentido y referencia) publicado en 1892. En este da su famoso argumento para demostrar que el sentido y la referencia son distintos. Su ejemplo refiere al planeta Venus, que fue conocido como "la estrella de la noche" y como "la estrella de la mañana" antes de que se dieran cuenta de que ambos eran el mismo Venus. Frege sostiene: "la estrella de la noche" = "estrella de la mañana" no tiene el mismo sentido que "la estrella de la noche" = "la estrella de la noche" y "la estrella de la noche" no tiene el mismo sentido que "la estrella de la mañana". Sin embargo "la estrella de la noche" y "la estrella de la mañana" refieren al mismo objeto y la referencia de "la estrella de la noche" es distinta de su sentido. En 1893 apareció el Volumen1 de “Die Grundgesetze der Arithmetik” (Las leyes básicas de la aritmética), en el cual Frege estableció un sistema lógico formal con más reglas de inferencia que la de su anterior trabajo, el “Begriffsschrift”. Frege axiomatizó la aritmética con una colección intuitiva de axiomas y pruebas de los resultados de la teoría del número que él solamente había bosquejado anteriormente pero ahora lo formalizaba. El objetivo principal de este volumen fue desarrollar las reglas de la teoría de números y en los volúmenes posteriores Frege pretende ampliar el trabajo a los números reales. Su amarga decepción por la falta de reacción positiva ante su trabajo anterior se muestra explícitamente en el prefacio de volumen 1 donde se queja de otros autores que no llegan a familiarizarse con sus ideas. Esperaba que este primer volumen fuera bien recibido puesto que él consideraba iba a ser su mayor logro, pero salvo una revisión realizada por Peano, fue ignorado por sus contemporáneos. Frege, quien no permitió que la anterior falta de reacción lo desviara de sus tareas que él mismo se había trazado, decidió retrasar la publicación del segundo de sus tres volúmenes propuestos. Durante este período Frege fue nombrado Profesor Honorario Ordinario de Jena, un cargo financiado por la Fundación Carl Zeiss con la cual estaba estrechamente asociado Abbe. De hecho, sería diez años después de la publicación del volumen 1 de “Die Grundgesetze der Arithmetik” antes de que apareciera el volumen 2. Este segundo volumen presenta el desarrollo de Frege de los números reales los cuales construyó directamente de los enteros sin tomar la ruta de la primera definición de números racionales. La amargura que sentía ahora se demuestra claramente en este volumen con sus ataques abusivos sobre la labor de los matemáticos anteriores (lo que antes nunca había sido) y había claros indicios de que estaba golpeando a quienes habían ignorado sus contribuciones. En particular criticó fuertemente las teorías de Cantor y de Dedekind de números irracionales. Después de que la obra fue escrita, pero antes de que fuera publicada, Frege descubrió que este volumen y el volumen 1, se basaban en axiomas incoherentes. Mientras el volumen 2 de las leyes básicas de aritmética estaba en la imprenta, Frege recibió una carta (el 16 de junio de 1902) de Bertrand Russell. Russell señalaba, con gran modestia, que la paradoja de Russell daba una contradicción en el sistema de axiomas de Frege. Después de muchas cartas entre los dos, Frege modificó uno de sus axiomas y explica en un apéndice del libro que esto fue hecho para restaurar la coherencia del sistema. Sin embargo con este axioma modificado, muchos de los teoremas del volumen 1 no pasarían y Frege debe haber sabido esto. Probablemente nunca se dio cuenta de que incluso con el axioma modificado el sistema es inconsistente puesto que esto fue demostrado solamente por Lesniewski después de la muerte de Frege.

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(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR) Con frecuencia se indica que el trabajo de Frege es inútil debido a la inconsistencia señalada por Russell. En realidad eso está lejos de la verdad y se debe ver a Frege como la persona que hizo una de las contribuciones más importantes hechas a los fundamentos de las matemáticas. De hecho en muchas maneras Russell está en lo correcto cuando escribió en su “Historia de la filosofía occidental”: A pesar de la naturaleza trascendental de los descubrimientos de Frege, permaneció totalmente sin reconocimiento hasta que yo llamé la atención sobre él en 1903. La influencia inmediata del trabajo de Frege llegó a través de los trabajos de Peano, Wittgenstein, Husserl, Carnap y Russell. A largo plazo, sin embargo, Frege se convirtió en una gran influencia para el desarrollo de la lógica filosófica y el hombre que parece haber sido ignorado en gran medida por sus contemporáneos, ha sido leído ávidamente por muchos en la segunda mitad del siglo XX, particularmente después de que sus obras fueron traducidas al inglés. Otra afirmación a la que se aludía con frecuencia, era la de que Frege estaba tan deprimido después de las cartas de Russell que renunció a investigar. Esto no era totalmente cierto y aunque nunca publicó el tercer volumen previsto sobre las leyes básicas de aritmética, su depresión se debía a razones mucho más complejas. Otro factor en su depresión fue la muerte de su esposa Margarete. Frege se había casado con Margarete Lieseberg pero nunca tuvieron hijos. Frege y su esposa adoptaron a un hijo, Alfred, quien llegó a graduarse de ingeniero, pero después que la esposa de Frege murió en 1904, pareció hundirse más profundamente en sí mismo. La situación política en Alemania lo agobiaba. Frege, como ya se mencionó, era un firme creyente del estilo de la vieja monarquía establecida en los estados alemanes antes de la unificación. En el Imperio alemán había un Parlamento elegido democráticamente, además de los parlamentos regionales de un estado mayormente antidemocrático. Frege no le gustaba el movimiento para la democracia y aún más detestaba el poder obtenido por los socialistas. Atacó a la mayoría de sus colegas matemáticos con una crítica que iba más allá de lo profesional. Por ejemplo Thomae, quien también enseñó en Jena, llegó a recibir severos ataques personales de Frege. Parecía que arremeter contra muchas personas de diversas ciudadanías, era una muestra de un odio profundo hacia franceses, católicos y judíos. Frege se retiró de su cargo como profesor de Jena en 1917. No había publicado nada entre 1904 y el tiempo de su retiro (si se descuentan los amargos ataques argumentados que publicó contra sus compañeros matemáticos como Thomae). Russell lo invitó a realizar una conferencia en un congreso de matemática en Cambridge en 1912, pero como respuesta, Frege declinó la invitación, evidente muestra de su estado de depresión. Esta no es la respuesta que se espera de un hombre que antes estaba convencido de su gran genialidad y tenía una creencia total en que se reconocerían sus brillantes ideas. Pero, tiempo después, Frege comenzó a publicar artículos importantes nuevamente en 1918 consistentes en contribuciones a la naturaleza de los pensamientos. Estas publicaciones tienen la frescura de sus primeros trabajos y demuestran que la depresión que le había afectado durante muchos años la había, al menos parcialmente, superado. En 1923 Frege llegó a la conclusión que el objetivo que se había fijado durante la mayor parte de su carrera, es decir encontrar la aritmética de la lógica, era erróneo. Decidió, entonces, que había que basar la totalidad de la matemática en geometría. Él comenzó a trabajar en estas ideas, pero no había progresado mucho en ello al momento de su muerte. No publicó nada sobre estas ideas. Se han citado acá muchos homenajes al genio de Frege, pero considérese otro más. Weiner refiere en [20]: Los escritos de Gottlob Frege han tenido una influencia profunda en el pensamiento contemporáneo. Su nueva lógica revolucionaria fue el origen de la lógica matemática moderna - un campo de importancia no sólo para la matemática abstracta, sino también para la informática y la filosofía.

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(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR) 56. V V Mader, On the logical-arithmetic conception of Gottlob Frege (Russian),Istor.-Mat. Issled. No. 30 (1986), 261-305. 57. K Mainzer, Die Entwicklung des Zahlbegriffs bis G Frege und R Dedekind : Historisch-philosophische Voraussetzungen und logisch- mathematische Grundlagen, in Frege conference, 1984, Schwerin, 1984 (Berlin, 1984), 80-86. 58. W Marshall, Frege's theory of functions and objects, Philos. Review 62(1953), 374-390. 59. P Materna, Kritische Auseinandersetzung mit der Fregeschen Kategorie des Sinnes, in Frege conference, 1984, Schwerin, 1984 (Berlin, 1984), 162-174. 60. I Max, Freges 'selbstverständliche Voraussetzung' und die Behandlung von Existenzpräsuppositionen durch die free logic, in Frege conference, 1984, Schwerin, 1984 (Berlin, 1984), 240-245. 61. H Metzler, Freges Die Grundlagen der Arithmetik als bemerkenswerter Beitrag auf dem Wege zu einer Wissenschaft 'Methodologie', in Frege conference, 1984, Schwerin, 1984 (Berlin, 1984), 28-41. 62. O Neumann, Gottlob Frege als Mathematiker in seiner Zeit, in Frege in Jena, Jena, 1996 (Würzburg, 1997), 104-110. 63. K Nomoto, Why, in 1902, wasn't Frege prepared to accept Hume's principle as the primitive law for his logicist problem?, Ann. Japan Assoc. Philos. Sci. 9(5) (2000), 219-230. 64. J D North, Frege's attack on Hilbert's use of postulational definition in the Grundlagen der Geometrie, in Actes du Onzième Congrès International d'Histoire des Sciences, Varsovie-Cracovie, 1965 (Wroclaw, 1968), 278-282. 65. C Parsons, Frege's theory of number, in M Black (ed.), Philosophy in America (Ithaca, NY, 1965), 180-203. 66. C Parsons, Frege's theory of number, in Frege's philosophy of mathematics(Cambridge, MA, 1995), 182-207. 67. V Peckhaus, Formalistische Taschenspielertricks? Frege und Hankel, in Frege in Jena, Jena, 1996 (Würzburg, 1997), 111-122. 68. W V Quine, On Frege's way out, Mind 64 (1955), 145-159. 69. M C Rijk, Husserls Missverständnis betreffs Freges Identitätsauffassung, inBegriffsschrift - Jena Frege Conference, Friedrich-Schiller- Univ., Jena, 1979 (Jena, 1979), 341-357. 70. K-H Schlote and U Dathe, Die Anfänge von Gottlob Freges wissenschaftlicher Laufbahn, Historia Math. 21 (2) (1994), 185-195. 71. R Schmit, Gebrauchssprache und Logik : Eine philosophiehistorische Notiz zu Frege und Lotze, Hist. Philos. Logic 11 (1) (1990), 5-17. 72. P M Simons, Frege's theory of real numbers., Hist. Philos. Logic 8 (1) (1987), 25-44. 73. P M Simons, Frege's theory of real numbers, in Frege's philosophy of mathematics (Cambridge, MA, 1995), 358-385. 74. W Stelzner, Ernst Abbe und Gottlob Frege, in Frege in Jena, Jena, 1996(Würzburg, 1997), 5-32. 75. E Stepinska, The debate between Hilbert and Frege (Polish), Wiadom. Mat.34 (1998), 105-122. 76. G Sundholm, Frege, August Bebel and the return of Alsace-Lorraine : the dating of the distinction between Sinn and Bedeutung, Hist. Philos. Logic 22(2) (2001), 57-73. 77. C Thiel, A portrait; or, how to tell Frege from Schröder, Hist. Philos. Logic 2(1981), 21-23. 78. C Thiel, From Leibniz to Frege : mathematical logic between 1679 and 1879, inLogic, methodology and philosophy of science, VI, Hannover, 1979(Amsterdam-New York, 1982), 755-770. 79. C Thiel, Natorps Kritik an Freges Zahlbegriff, in Frege in Jena, Jena, 1996(Würzburg, 1997), 123-128. 80. A Veraart, Geschichte des wissenschaftlichen Nachlasses Gottlob Freges und seiner Edition : Mit einem Katalog des ursprünglichen Bestands der nachgelassenen Schriften Freges, in Studien zu Frege I (Stuttgart, 1976), 49-106. 81. R Vilkko, The reception of Frege's Begriffsschrift, Historia Math. 25 (4) (1998), 412-422. 82. K F Wehmeier, Aspekte der Frege-Hilbert-Korrespondenz, Hist. Philos. Logic 18 (4) (1997), 201-209. 83. M Wilson, Frege : the royal road from geometry, Nous 26 (1992), 149-180.

Versión en español por R. Ascanio H. del artículo en inglés de J. J. O'Connor y E. F. Robertson sobre “Gottlob Frege” (Noviembre 2002). Fuente: MacTutor History of Mathematics [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/ Frege.html]

Imágenes obtenidas de:

RETRATO DE GOTTLOB FREGE EN 1879

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Aportes al conocimiento Razonamiento Numérico: Ejercicios (Serie J)

A continuación, seguimos con la publicación sucesiva de una serie de ejercicios resueltos con la finalidad de mostrar representaciones de razonamientos numéricos que posiblemente se suceden cuando un estudiante es retado con algún tipo de situación problemática, contextualizada a la matemática. Ejercicio No 1: El Teorema de la Altura, una de las dos maneras de enunciar el Teorema de Euclides, utilizado al trabajar con triángulos rectángulos (uno de sus ángulos internos es igual a 90º), refiere que: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de los segmentos que determina sobre la misma”.

Con base en esta información, calcule el valor de x en la siguiente figura:

Razonamiento: Consideremos al triángulo dado de vértices A, B y C. La altura trazada desde el vértice B, corta a la base AC en el punto D formando dos segmentos siendo uno de ellos, el AD, de longitud x la cual debemos calcular.

“x” es la longitud de uno de los catetos del triángulo rectángulo ABD. Utilizando el Teorema de Pitágoras, se consigue la longitud del cateto DC (considerémoslo de longitud b) del triángulo rectángulo DBC que permite, mediante la utilización del Teorema de la Altura, calcular el valor de “x”: Teorema de Pitágoras: ( )2 ( )2 += 2 ⇒ 2 2 =−= 2 = 510 25100 mmbbmm 55125 mm Ahora se calcula “x” utilizando el Teorema de la Altura: 2 2 64m 32 1532 1532 () ⋅= 1528 ⇒ xmxm m === ⇒ xm = m 152 m 15 15 15

Ejercicio No 2: El Teorema de la Altura, una de las dos maneras de enunciar el Teorema de Euclides, utilizado al trabajar con triángulos rectángulos (uno de sus ángulos internos es igual a 90º), refiere que: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de los segmentos que determina sobre la misma”.

Con base en esta información, calcule el perímetro de la siguiente figura:

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Razonamiento: El perímetro es la suma de las longitudes de los lados del triángulo. Consideremos al triángulo dado de vértices A, B y C. La altura trazada desde el vértice B, corta a la base AC en el punto D formando dos segmentos, AD de 4m y DC de 6m.

Faltaría calcular las longitudes de los lados AB y BC, que se corresponden con las hipotenusas de los triángulos rectángulos ABD y DBC en los que ha sido dividido el triángulo ABC que los contiene. Utilizando el Teorema de la Altura, se calcula la longitud del cateto BD común a ambos triángulos:

2 ⋅= 64: ⇒ 2 == 6224 mmhmmhBD

Ahora se calculan las hipotenusas de ambos triángulos por Teorema de Pitágoras:

2 2 ()mxAB 2 += ( 624: ) ⇒ 2 2416 2 mmmxm 2 ==+= 10240 m ABD TI 2 ()2 += ()2 ⇒ 2 2 2 ==+= DBC mxBC 626: TD 2436 mmmxm 15260 m Luego el Perímetro es:

mmmmP [ ( )]m [ ( ++⋅=++=+++= 151052151021015210264 )] m ⇒ P [ ( ++⋅= 151052 )] m

Ejercicio No 3:

El Teorema de la Altura, una de las dos maneras de enunciar el Teorema de Euclides, utilizado al trabajar con triángulos rectángulos (uno de sus ángulos internos es igual a 90º), refiere que: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de los segmentos que determina sobre la misma”.

Con base en esta información, calcule el área de la siguiente figura:

Razonamiento: × hb El área de un triángulo se calcula utilizando la fórmula A = (A: área, b: base, h: altura). Consideremos al triángulo dado de vértices A, B 2 y C. La altura trazada desde el vértice B, corta a la base AC en el punto D formando dos segmentos, AD de 4m y DC de 6m, por lo que la base AC tiene una longitud de 10m.

Faltaría calcular BD que es la altura del triángulo ABC. Utilizando el Teorema de la Altura, se calcula su longitud: 2 ⋅= 64: ⇒ 2 == 6224 mmhmmhBD Ahora se calcula el área: × ⋅ 6210 mmhb A = = = 610 m2 ⇒ = 610 mA 2 2 2

En el próximo número, la siguiente serie. HOMOTECIA Nº 11 – Año 12 Lunes, 3 de Noviembre de 2014 9

Versión Del libro “Historia y Filosofía de las Matemáticas”. Autor: Ángel Ruiz Zúñiga. (Vigésima Séptima Entrega)

ÁNGEL RUIZ ZÚÑIGA, matemático, filósofo y educador nacido en San José, Costa Rica. Campo de investigación: educación matemática, historia y filosofía de las matemáticas, filosofía política y desarrollo social, sociología e historia de las ciencias y la tecnología, problemas de la educación superior, y asuntos de la paz mundial y el progreso humano. Autor de numerosos libros y artículos académicos, expositor y conferencista en más de un centenar de congresos internacionales, y organizador constante de eventos científicos internacionales y nacionales, ha sido, también, consultor y asesor en asuntos científicos, académicos, universitarios y políticos durante muchos años dentro y fuera de Costa Rica.

Continuación.-

Octava Parte: UNA RELACIÓN ENTRE HISTORIA, FILOSOFÍA Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA.- En esta parte nos interesa comprender con mayor profundidad algunos temas que hemos considerado en las partes anteriores. ¿Cómo afecta la visión que uno tiene sobre las matemáticas en su enseñanza y aprendizaje? ¿Son diferentes los posibles usos de la historia de las matemáticas en la educación matemática si se asumen diferentes visiones de esta disciplina? Pensamos que, en efecto, las ideas que se asuman, la ideología, la filosofía o la visión que se tenga de una ciencia como la matemática van a condicionar de alguna manera las orientaciones que intervienen en los propósitos educativos. Por eso, vamos a estudiar cómo las diferentes posiciones sobre la naturaleza de las matemáticas, desde el empirismo al racionalismo extremo, afectan la educación matemática. Pero, también, para poder responder a las múltiples preguntas que nos hemos ido formulando a lo largo de este libro sobre lo que son las matemáticas, decidimos incluir un capítulo en esta parte que aborde de una manera directa esa problemática, especialmente con nuestras propias ideas. Es decir, es el asunto que se puede resumir con la pregunta: ¿Qué son las matemáticas? Incluiremos al final algunas breves referencias a ideas recientes en la tendencia falibilista y no absolutista de las matemáticas, que pensamos deben ser conocidas por estudiantes y profesores de las matemáticas y por todos aquellos interesados en su historia y filosofía.

En realidad, como dijimos al principio de este libro, con rigor deberíamos haber empezado por establecer un criterio sobre qué son las matemáticas para poder estudiar con mayor precisión su revolución histórica. Pero el asunto es más complejo, por supuesto. Usted ya lo sabe. Se trata de una discusión todavía abierta, donde existen diferentes posiciones intelectuales y filosóficas. Es decir, nos hubiéramos visto obligados a enfrascarnos de primera entrada en un debate intelectual y filosófico muy rico pero complejo. Es mucho mejor tener como fundamento un conocimiento más amplio de la historia misma de las matemáticas, o de lo que se ha llamado matemáticas, y así poder reflexionar con mayor precisión sobre estos temas. Pero ya lo hicimos. Recorrimos un largo trecho de episodios y escenarios, desde las viejas civilizaciones del bronce en Egipto y Mesopotamia, pasando por Grecia, Roma, China, la India y los mundos islámicos y europeos. Geometría, álgebra y aritmética, topología: sin duda, ya tenemos una visión bastante amplia de lo que han sido las matemáticas. Ahora, en esta parte final, buscamos una reflexión que complete el estudio que hemos hecho, que integre teóricamente, de alguna manera, los diferentes capítulos y las diversas partes que hemos atravesado hasta ahora.

Capítulo XXVII: Usos de Historia en la Educación Matemática.-

Lo que haremos en este capítulo es estudiar el tema del uso de la historia de las matemáticas en la enseñanza y aprendizaje de estas disciplinas y determinar la forma en la que las diferentes visiones filosóficas lo pueden condicionar. Buscamos encontrar el enfoque filosófico que permitiría el uso más completo y edificante de la historia en la Educación Matemática.

27.1 Relevancia de la historia en la educación científica y matemática.- Ha sido reconocida desde hace algún tiempo la importancia de la historia de las matemáticas en la Educación Matemática. Una señal clara de esto es la existencia desde hace varios años del Grupo History and Pedagogy of Mathematics del International Committee of Mathematics Instruction. Importantes textos hacen constantes referencias a pasajes históricos y, en ciertas ocasiones, el orden histórico se ha tomado como base en la explicación de contenidos. La historia de la ciencia, después de largos años desde su profesionalización con Sarton, ha empezado a ocupar un lugar particular y un papel cada vez más significativo en las aproximaciones epistemológicas y educacionales alrededor de las ciencias. En América Latina diversas publicaciones e investigaciones periódicas en historia de la ciencia han empezado a desarrollarse y estos estudios tienden a abrirse un espacio cada vez más importante en universidades e institutos (esto se dio especialmente en los años treinta en Estados Unidos; Sarton contó entonces con el valioso apoyo del entonces Rector de la Universidad de Harvard). Sin embargo, durante mucho tiempo el uso de la historia de las matemáticas ha sido muy reducido; incluso en buena parte de la enseñanza moderna de las matemáticas no aparece en ninguna forma.

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La formación de los profesores de matemática, en general, se ha visto eximida de la historia de éstas (salvo tal vez por algún curso aislado y poco meditado de los currícula ordinarios). El énfasis de la educación matemática ha sido puesto en una vía abstracta y poco intuitiva. Detrás de esto, como hemos expresado antes, existe un sustrato filosófico. La concepción del uso de la historia en la educación varía en función de la filosofía de las matemáticas que se posea. Y éste constituye uno de los ejemplos más importantes de la relación entre la ideología o la filosofía y la práctica educativa matemática. A veces, es posible considerar la inclusión de referencias históricas aisladas de tipo anecdótico como recurso de motivación y, en otras ocasiones, programas estructurados con base en el devenir histórico concreto. La importancia o no de la introducción de la historia y el uso preciso de la educación matemática no es producto de un desarrollo intrínseco de los contenidos matemáticos, sino que está profundamente condicionado por objetivos que encuentran sentido y coherencia especialmente en las visiones aceptadas consciente o inconscientemente sobre la naturaleza de las matemáticas. Con esto, no quiero decir que los principios de la educación matemática alrededor de la historia son deducidos de una manera lógica de una filosofía de las matemáticas. Me refiero, sobre todo, a la necesidad de señalar el papel jugado por las creencias o ideologías, más o menos consistentes desde un punto de vista teórico, que los matemáticos, educadores, filósofos, administradores educativos y otros han asumido como correctas. Tampoco quiero decir que toda filosofía implica necesariamente una práctica educativa; como señalaba hace algunos años el profesor John Threlfall, de la University of Leeds: "La filosofía en el sentido de la consideración de verdades fundamentales brinda a las personas visiones que bien pueden sostener pero que no constituyen principios para la acción a no ser que otros pasos sean dados''. [Threlfall, John: "Absolutism or fallibilism What difference does it make to the classroom?'' en Philosophy of Mathematics Newsletter 7 (Febrero 1994)]. 27.2 Ideología y práctica matemática.- Sobre la contraposición entre ideología y práctica debemos hacer una digresión. No excluimos aquí la importancia de la práctica concreta con su multitud de experiencias, lecciones y resultados particulares en la educación y la acumulación de nuevos criterios, aproximaciones y resultados específicos que han cargado la mayoría de congresos internacionales sobre la enseñanza de las matemáticas. Muchos resultados positivos han emergido de los errores y desaciertos corregidos prácticamente en el pasado. Sin duda, la educación no gira en el vacío de las ideas al margen de dimensiones reales del mundo; las teorías y los métodos educativos asumen precisamente como puntos de referencia la realidad y su evaluación. Ellas evolucionan en relación esencial con el devenir de la práctica educativa particular, así como la totalidad sociohistórica. Es decir, yo reconozco el papel preciso de las actividades intelectuales de los hombres en su contexto histórico pero, al mismo tiempo, quiero enfatizar la importancia de la ideología entendida como conjunto más o menos coherente de representaciones de la conciencia en su construcción. Esta representa en efecto un adecuado punto de partida para entender las actividades de la evolución de los hombres. Considero, en general, a la ideología como un factor social que a veces determina el devenir no sólo intelectual sino también sociohistórico. En ese sentido no considero a la ideología sobre las matemáticas y sobre las ciencias en general como un "reflejo'' de la "práctica'' matemática o de las ciencias. No se trata meramente de una consecuencia determinada por esa práctica ni, por otro lado, determinada por otros estratos "materiales'' de la actividad humana. A veces, se considera a la ideología como una esfera pasiva y, en ocasiones, producto del movimiento de condiciones económico-productivas de la sociedad. Se busca con estas aproximaciones encontrar todos los determinantes ya sea del Positivismo o del Liberalismo, por ejemplo, en el "desarrollo de las fuerzas productivas''. Muchas actitudes metodológicas deterministas y doctrinarias han subestimado el papel de las esferas ideológicas y de la cultura en general en la comprensión de la misma cultura y de la sociedad. Por otro lado, tampoco las ideologías determinan "las leyes de la historia y la sociedad''. Se trata aquí de encontrar puntos de partida metodológicos que integren en una proporción justa el devenir de la sociedad con todos sus condicionantes y la ideología sobre las matemáticas y la práctica matemática concreta incluyendo su enseñanza. Es decir, se trata de abordar el estudio y la evaluación de las matemáticas y su enseñanza a partir de las realidades históricas particulares y concretas. Aquí afirmamos el imperativo de realizar el análisis histórico concreto a partir de la actividad global y particular de los hombres, a partir de la totalidad. En este terreno teórico las premisas a priori deterministas desaparecen. A veces un factor es esencial y decisivo, a veces otro. En todos los casos se da una profunda dialéctica que, en lugar de afirmar la existencia de "uniformidad'' o "leyes objetivas'' en el devenir de la historia y la conciencia social, afirma la multiplicidad y la diversidad. Una dialéctica que afirma el papel del azar en la configuración de la historia y frente a la necesidad implacable de las leyes. Se trataría de una interpretación metodológica que valora de manera sustancial el papel de los individuos y sus ideas en el devenir sociohistórico. La anterior discusión metodológica es importante en la medida en que es posible concluir que los procesos de desarrollo de las matemáticas deberían analizarse especialmente a partir de las realidades de las comunidades matemáticas, en cada momento histórico, así como sus relaciones con el resto de la sociedad. La evolución de sus tendencias debería entonces buscarse en un "debate'' teórico y práctico de paradigmas aceptados o no y en toda una serie de consideraciones similares a las necesarias en el escrutinio de la evolución de las demás ciencias "naturales''. Un punto de partida externalista sobre la estructura de las revoluciones científicas en general puede aplicarse mutatis mutandis sobre el devenir de las matemáticas para rastrear importantes "situaciones problema'' en la historia de la matemática: alrededor del Cálculo (en el siglo XVII y siglo XVIII) o alrededor de la Geometría no euclidiana y los cuaterniones (a principios del siglo XIX). Sin duda, importantes discusiones sobre los infinitesimales, el continuo y la teoría de conjuntos podrían estudiarse con una óptica más concreta y "situacional''. Ahora bien, si en el devenir del mundo de las matemáticas es adecuado asumir esta aproximación metodológica, con mucha mayor justicia esto se debería hacer en el estudio de la enseñanza de éstas. Pero vamos a dejar esta discusión en este punto. 27.3 Filosofías e historia de las matemáticas.- ¿Cuál sería el papel más adecuado de la historia en una educación matemática que afirma el carácter sintáctico y convencional de las matemáticas? Se trataría en el mejor de los casos de proporcionar ejemplos "motivantes'' de introducción a las teorías o de la aplicación de éstas en la realidad. Si las matemáticas son un lenguaje, por más importante que se le considere, lo decisivo para aprenderlo es usarlo tal cual; la evolución histórica de éste no es importante. Existen en esta visión algunas consideraciones epistemológicas razonables. Sin duda, buena parte de las matemáticas posee un carácter sintáctico y mucho es sujeto a la conveniencia y a la convención. La visión sintáctica de las matemáticas estuvo presente en las discusiones sobre los fundamentos de la matemática desde finales del siglo XIX. El Círculo de Viena lo hizo parte de su "catecismo'' principal en el libro de A. J. Ayer Lenguaje Verdad y Lógica. En el uso de la historia de un lenguaje para aprenderlo a usar, aparte de las motivaciones para su aprendizaje, lo importante es la aprehensión de las reglas de la sintaxis. Pero, además, si estas reglas son posibles de cambiar por conveniencia o convención el origen histórico de los contenidos matemáticos resulta todavía menos importante cuando la sintaxis es lo decisivo; la semántica con la que aparece históricamente no puede resultar importante. HOMOTECIA Nº 11 – Año 12 Lunes, 3 de Noviembre de 2014 11

Es claro que, asumida esta visión filosófica sobre la naturaleza de las matemáticas, su enseñanza no requiere de la historia de las matemáticas para la asimilación de sus contenidos (epistemológicamente) ni para la estructuración de sus planes de estudio. Supongamos que se asume que el corazón de las matemáticas lo constituye la axiomática y las estructuras formales. Es decir, lo central son las configuraciones estructurales formales, las reglas de consistencia y la organización axiomático-deductivas de las matemáticas. La educación matemática correspondiente buscaría enfatizar precisamente lo axiomático-formal y deductivo. La historia tal vez permitiría mostrar el origen y el desarrollo histórico de las estructuras. Pero el origen favorecido de presentación de los contenidos siempre sería el lógico. Las matemáticas no serían vistas como sucesiones de problemas históricos en las que es posible obtener incluso diferentes vías de solución o de orientaciones teóricas que dependen de una multiplicidad de factores no lógicos. Se favorece aquí una visión uniforme, racional y deductiva, y no una multiforme, intuitiva e histórica. Si se considera que las entidades de las matemáticas son parte de un mundo "platónico'' independiente de la voluntad de los hombres (sólo vinculado a éstos a partir de la razón), la historia jugaría cierto papel. La práctica matemática descansaría aquí en la búsqueda de verdades intemporales y la descripción de los objetos de ese mundo no material. (Esto es lo que se suele llamar platonismo en matemáticas. Se acepta la existencia de las entidades matemáticas al margen de la construcción individual humana. La dialéctica del crear-descubrir se resuelve unilateralmente en beneficio del segundo término). La historia de las matemáticas reproduciría los momentos y el cómo fueron descubiertas las verdades, pero se trataría en esta visión de procesos eminentemente mentales en los que la realidad natural y social poco tendrían que hacer. No se trataría de un proceso de creación y modificación de resultados con relación al mundo y la mente de los hombres, sino de una aprehensión espiritual-racional (aunque deductiva) de realidades intemporales e independientes. Si se quiere, la historia representaría un papel importante pero sería una historia de vivencias psicológicas, de recursos y mecanismos mentales, de situaciones motivantes de las aprehensiones de los objetos abstractos. Es decir, no se trataría de una historia material y social, cargada de debates, esfuerzos, individuales y colectivos (siempre parciales) y modificaciones a veces sustanciales producto de irrupciones poderosas de estratos sociales externos al mero pensamiento deductivo o racional; la educación aquí se concentraría en dos cosas: transmitir las verdades absolutas descubiertas y, por otra parte, los mecanismos de su aprehensión. La dialéctica de la mente y la realidad sociohistórica aparecería aquí distorsionada por un "mentalismo'' abstracto que, a lo sumo, favorecería una historia psicológica e "internalista'' y, por lo tanto, insuficiente para poder dar cuenta de la construcción matemática (de los procesos interrelacionados mentales, materiales, sociales que intervienen en ella). Pero, además, se trataría de una historia muy difícil de establecer teóricamente. Por eso mismo se iría descansando en un "fenomenalismo existencial'' que enfatizaría sobre todo la reproducción de experiencias mentales (que pueden ser deductivas) que desencadenen la aprehensión de las verdades y las entidades matemáticas. Pero esto mismo conduciría, entonces, a reducir las posibilidades de intervención de la historia en la enseñanza. Se podría asumir una visión diferente de las anteriores en la que las matemáticas fuesen producto-construcción del sujeto (epistemológicamente). Es decir, un constructivismo metodológico que afirme el rol del sujeto pero en donde lo material y social sirve apenas como punto (pasivo) de referencia. No se aprehenden aquí verdades absolutas, se trata de procesos de acumulación de resultados que la mente crea aunque la mente posea una referencia material biológica y social. Con esta aproximación la historia jugaría un rol más importante, sobre todo en la descripción y esclarecimiento de los pasos constructivos que históricamente se han dado. Pero existe una dificultad. El carácter pasivo de lo material y social del objeto epistemológico podría generar otra historia psicologista, individual y artificial, tomando en cuenta, por ejemplo, sólo los aspectos de orden psicogenético. Si esto fuera así, el papel de la historia de la matemática en la educación de ésta también se relativizaría. Si el punto de partida filosófico fuese el Empirismo clásico, la evolución histórica aparecería importante al enfatizar el carácter "aproximado'' de las verdades matemáticas. Estas serían el producto de experiencias sensoriales directas y concretas; lo que permitiría el cambio y la relativización. Las condiciones de su aprehensión-construcción y las influencias posteriores en su desarrollo parecen ser importantes en la medida que ayudan a esclarecer su gestación como recurso de nuevos resultados. La referencia al conjunto de experiencias sensoriales que generaron un resultado puede ayudar a dar un sentido intuitivo y reproducible para su asimilación. Es posible entender la base de relaciones materiales y sociales que presionaron en la decantación y cristalización de una noción matemática. Una visión empirista clásica aparece como un buen punto de partida. Sin embargo, es insuficiente. No es posible reducir las matemáticas a inducción y generalización de experiencias sensoriales directas. Ese tipo de reducciones rechaza las múltiples posibilidades del intelecto y condenan la mente a ser una pantalla donde sólo lo material y físico (externo) dibujan las imágenes prácticamente sin intervención del sujeto. Esta caracterización pasiva del sujeto encierra muchos problemas. Diferentes resultados epistemológicos revelan que los procesos mentales involucrados en las matemáticas y la ciencia en general trascienden de lejos el plano de la inducción y la generalización. (En el Empirismo clásico, el inductivismo en las teorías de la ciencia era la visión más aceptada. La noción de inducción ha sido desde entonces objeto de muchas discusiones en la Filosofía de la Ciencia. Tal vez sea más conveniente pensar, con Popper, que es más adecuada la visión del "error y corrección'' en la comprensión de la evolución de las teorías científicas). Por otra parte, existe una dimensión estructural de las matemáticas que no puede ser captada analíticamente si el sujeto epistémico es sólo el receptáculo del movimiento del objeto. En este tipo de visiones la historia que se usaría no incluiría la correlación de acciones del sujeto con el contexto social y, por ende, dejaría por fuera el mundo de acciones, construcciones y operaciones que los sujetos realizan creativa y libremente frente a la realidad externa. Todo parece apuntar a que el uso de la historia de las matemáticas jugaría un papel más importante en el seno de una visión filosófica que afirme al mismo tiempo una base de partida empírica y un papel activo del sujeto epistémico. Es decir, la historia se vuelve esencial cuando se establece un cierto constructivismo socioempírico. El sujeto epistémico es el que construye las nociones y entidades matemáticas en un proceso de múltiples recursos mentales pero siempre sobre la base activa también de realidades materiales y sociales. Se vuelve importante esclarecer los pasos constructivos así como el medio material-social en el que toman cuerpo. Al asumir esta aproximación epistemológica no se afirma una predeterminación a priori de los factores epistemológicos; es decir, no se afirma una "proporción teórica'' de aplicación universal. La proporción en la que los factores epistemológicos actúan en la práctica matemática es en sí un problema histórico concreto. 27.4 Historia y educación matemática.- El hecho de que en los últimos años se haya incrementado la presencia y uso de la historia como un recurso decisivo en la enseñanza de las matemáticas y, en especial, en la formación de los educadores, conduce a pensar que se trata de otro signo del avance de visiones filosóficas que se alejan de los paradigmas dominantes del pasado. Es decir, el desarrollo de una mayor intervención de la historia de las matemáticas en su enseñanza revela la existencia de modificaciones en la percepción que se tiene de la naturaleza de las matemáticas. Hasta dónde esto ha evolucionado es difícil de precisar.

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Es, también, previsible que sea precisamente en la enseñanza de las matemáticas donde se busque hacer modificaciones. La educación plantea de una manera práctica la mayoría de los problemas epistemológicos centrales, y exige soluciones concretas (que serán siempre sujetas a la crítica, al error y la corrección). La educación se convierte en un especial factor dinámico en el desarrollo de las reflexiones epistemológicas y filosóficas en general. No sería extraño entonces pensar en las comunidades de educadores de la matemática como el medio social más adecuado para construir importantes modificaciones en la percepción de la naturaleza de las matemáticas. En este sentido, lo que se podría conceptualizar como "filosofía de la educación matemática'' más que una parte de la filosofía tendría un sentido pragmático integrado a la misma educación matemática. Es éste precisamente el punto de vista que asume Paul Ernest en un debate, relativamente reciente, con el profesor de filosofía Zheng Yuxin de Nanjin University en China: "Mi posición es que la filosofía de la educación matemática es primariamente una parte de la educación matemática. Se trata de una perspectiva sobre los problemas y asuntos de la educación matemática, pero que integra y aplica los métodos y conceptos de la filosofía''. [Ernest, Paul: "In response to professor Zheng''. Philosophy of Mathematics Education Newsletter 7 (February 1994)]. Una nueva visión aceptada de las matemáticas que sustituya los anteriores paradigmas cuestionados no existe todavía. Podría decirse que el primero en introducir una visión crítica del paradigma de las matemáticas como verdades infalibles y siguiendo una estructuración axiomático-deductiva fue Lakatos a finales de los sesenta. [La principal influencia de Lákatos provenía de Popper quien ofrece el falibilismo como una respuesta a lo que llamó doctrinas "justificacionistas'': que establecen una categoría de conocimiento como fuente de autoridad y fundamento de otras o todas las demás (como la lógica, la aritmética, etc.)]. Frente a lo que él llamó un modelo "euclídeo'' de entender las matemáticas, ofreció una visión crítica falibilista de éstas. Desde entonces se han producido trabajos en esa dirección como los de Davis y Hersh, Kitcher, Tiles y Kline; y es, precisamente, el marco teórico de partida en el que encuentra sustento nuestro análisis. Este llamado a una nueva visión no podría entenderse al margen de la contribución del nuevo "externalismo'' en la historia de la ciencia que afirma una contextualización social y gremial de la evolución de la ciencia con Kuhn, Feyerabend, Toulmin, Lakatos, Laudan y otros. La asunción de una visión falibilista de las matemáticas tiene varias implicaciones. Ernest resume el asunto así: "El establecimiento del conocimiento matemático como falible y cuasi empírico significa que las matemáticas no están herméticamente selladas y separadas de otras áreas del conocimiento, la actividad y los valores humanos. Esto significa que en las matemáticas al igual que en las ciencias y otras áreas del conocimiento humano el contexto de descubrimiento y de justificación se penetran mutuamente. Consecuentemente, no se les puede negar a los asuntos sociales, culturales y éticos un impacto sobre las matemáticas y el conocimiento matemático y debe admitirse con un rol esencial y constitutivo en la naturaleza del conocimiento matemático''. [Ernest, Paul: "In response to professor Zheng''. Philosophy of Mathematics Education Newsletter 7 (Febrero 1994)]. En los congresos internacionales de educación matemática durante los años 80 y en los principales "journals'' de la disciplina lo que se ha llamado constructivismo se ha vuelto persistente. Podríamos decir que los puntos de partida filosóficos de esta tendencia los resume Glasersfeld en dos afirmaciones: "i-el conocimiento no se recibe pasivamente sino que se construye activamente por el sujeto epistémico, y ii-la función cognoscitiva es adaptativa y sirve a la organización de la experiencia con el mundo y no al descubrimiento de una realidad ontológica''. [Glaserfeld, E. von. "Constructivism in Education'' en la obra editada por Huse, T. y Postlethwaite, T. N. The international Encyclopedia of Education Suplementary Volume, Oxford: Pergamon Press, 1989, p. 162]. Existe influencia de Piaget en este tipo de visión. Ahora bien, del "falibilismo'' en la filosofía de las matemáticas al constructivismo en la educación matemática, pareciera que hay sólo un paso puesto que si se asume que una práctica cognoscitiva es falible, es muy comprensible considerarla como producto de la creación humana y su construcción, pero el asunto no es tan sencillo. El constructivismo enfatiza el papel del sujeto en el aprendizaje y establece una relación sujeto-objeto a partir de éste, pero alguien bien podría plantear estos procesos constructivistas en la búsqueda de verdades intemporales de las matemáticas. Ya lo hemos sugerido antes: puede darse un constructivismo desprovisto de contenido material y en donde la relación con el resto del conocimiento -al que se refiere Ernest- se da sólo por la acción del sujeto como en Kant. La realidad, sin embargo, es que la palabra "constructivismo'' ha sido como un paraguas donde se han cobijado muchas posiciones filosóficas: es decir, salvo por la referencia general a los métodos constructivos, no es posible un examen serio sin realizar análisis precisos sobre estas nuevas corrientes. Sin embargo, de manera general, la visión que ha predominado hasta ahora en las nuevas tendencias de la enseñanza de las matemáticas ha asumido una visión epistemológica constructivista en general pero ha procurado no adoptar un punto de partida ontológico que, por ejemplo y en particular, interprete de una nueva manera el carácter empírico de las matemáticas. También se ha dado una tendencia que se puede llamar socioculturalista que afirma los aspectos sociales en la construcción cognoscitiva. "En la visión sociocultural se asume un individuo que está inmerso en un medio social y cultural que es decisivo para la práctica educativa, que influencia y determina hasta cierto punto las condiciones de esa práctica. Es claro que una de las tradiciones ideológicas y filosóficas que más ha puesto en relevancia el papel de lo social y cultural en el conocimiento es el marxismo. Para el marxismo la ciencia y el conocimiento deben estudiarse como fenómenos sociales, y las condiciones sociales (normalmente las macrovariables) terminan determinando el curso de la práctica científica. Por ejemplo, en la disciplina de la Historia de la Ciencia fueron intelectuales de corte marxista los que más influencia tuvieron en las primeras fases del llamado Externalismo en los años 30. Por eso no resulta extraño que muchas ideas que se han usado en esta corriente socioculturalista en la reciente educación matemática posean la influencia del soviético Vygotsky así como de otros teóricos (como V. V. Davydov , A. N. Leontev , y Galperin )''. [Ruiz, A.: El desafío de las matemáticas, p. 79]. El escenario intelectual se puede resumir así: "Es interesante señalar que, precisamente, ya en los últimos años y de cara al nuevo milenio, por razones que convendría explicar en otra parte, crece una tendencia en la comunidad internacional de educadores de las matemáticas a buscar un plano de convergencia entre las dos principales tendencias metodológicas en la epistemología de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Más son los constructivistas que acuden a la presencia de lo social y más los socioculturalistas que aceptan la participación activa del individuo en los procesos cognoscitivos.

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Y en las filas del constructivismo se llega a afirmar que el individuo (en su accionar) no solo construye las nociones como autoorganización sino que, también, las recibe por el influjo del maestro y del entorno en el que se desarrolla la práctica educativa: no hay solo autoconstrucción cognoscitiva sino, también, influjo social y cultural. Existe una dirección hacia una visión más integrada de la dimensión activa del sujeto, la acción de lo social y cultural y del objeto material externo en el conocimiento y el aprendizaje''. [Ruiz, A.: El desafío de las matemáticas, p.]. Aunque las nuevas tendencias en la Educación Matemática favorecen un mejor aprovechamiento intelectual y formativo de la historia, todavía es necesario empujar hacia un mayor énfasis de la contextualización histórica, social y cultural, y empírica de la naturaleza de las matemáticas y su enseñanza. 27.5 Anexo: internalismo y externalismo en la Historia de la Ciencia.- Uno de los temas que debe estudiarse en torno a los posibles usos de la historia de las matemáticas en su enseñanza aprendizaje es la polémica que se dio hace algunos años en torno a la metodología de la historia de la ciencia. Para eso, como un anexo, vamos a introducir algunos fragmentos de la introducción de nuestro libro Historia de las matemáticas en Costa Rica. Una introducción: En los años sesenta Thomas Kuhn publicó su obra La estructura de las revoluciones científicas, la cual desencadenó una extraordinaria polémica entre los filósofos y estudiosos de la ciencia. Es una obra que, sin embargo, cristalizó actitudes y tendencias que se venían desarrollando en teóricos de la ciencia desde antes. Aclaremos primero los términos: el internalismo asume que la génesis y la validación de los conocimientos no están influenciados por factores externos y su estudio es de competencia de la historia y la filosofía de las ideas: la sociología y la psicología tienen muy poco que ver en el desarrollo de la ciencia. Los elementos que se tienden a enfatizar son los teóricos en sí mismos: la racionalidad y la lógica. El externalismo asume la posición opuesta. Su interés debe dirigirse hacia la estructura u organización de la ciencia: ciencia y tecnología, responsabilidad social de la ciencia, política científica, gobierno y ciencia, etc. Es decir, se da un énfasis a los factores psicosociales, políticos, orgánico-administrativos, etc., en detrimento generalmente de elementos lógico-deductivos de la ciencia. El externalismo encuentra sus raíces en tendencias teóricas que van de la fenomenología y la sociología descriptiva hasta el marxismo. El internalismo ha estado íntimamente vinculado al Neopositivismo: en gran medida, el 'reconstruccionismo lógico' que se derivara de las posiciones de muchos de los 'internalistas' fue consecuencia de los puntos de partida filosóficos asumidos por el Círculo de Viena y sus seguidores. Sarton, el formador de la profesionalización de los historiadores de la ciencia, fue claramente 'un internalista'. En realidad, excepto algunos casos provenientes del materialismo marxista y la escuela mertoniana la gran mayoría de los historiadores de la ciencia hasta los años cincuenta eran internalistas (con importantes distinciones entre ellos). Conviene distinguir dos tipos de internalismo: de primer grado y de segundo. Entre los internalistas del primer tipo se podrían alinear historiadores y filósofos como Koyré, Nef, Hall, Agassi para citar unos pocos. Para éstos, la Historia de la Ciencia sería la historia de las ideas eludiendo la incorporación del análisis de cualesquiera factores externos. Una posición más flexible (un segundo grado) podría muy bien estar representada por Popper y por los trabajos de Lakatos y su famosa teoría de las reconstrucciones racionales. En realidad, las primeras posiciones de Popper y de Lakatos eran mucho más cercanas al internalismo que las que plantearon posteriormente. Como historia externalista debe catalogarse el materialismo histórico marxista, en especial la escuela soviética. Esta posición se planteó en el Segundo Congreso Internacional de Historia de la Ciencia, en Londres, en 1931, cuando los enviados soviéticos, Bujarin y Hessen, iniciaron una perspectiva que rompía con el tipo de historia internalista. Las posiciones de intelectuales muy conocidos como John Bernal y Joseph Needham se inscriben en este materialismo histórico que, muchas veces, conduce a un determinismo simplista que remite el crecimiento de la ciencia meramente a la evolución de las fuerzas productivas. Por otra parte, también existía una sociología promovida por los trabajos de Robert Merton que intentaba una descripción sociológica cuantitativa (siguiendo cierta tradición de Durkheim) funcionalista. Se puede afirmar que hasta la década de los sesenta se daba un estancamiento extraordinario del externalismo entre los historiadores de la ciencia. Es, precisamente, la obra de Kuhn y la de otros autores de la misma época, como Feyerabend y Toulmin, lo que va a abrir nuevas posibilidades para abordar la historia de la ciencia. La idea metodológica central de Kuhn gira en torno a las revoluciones científicas y la intervención decisiva del factor psicosocial corporalizado en las comunidades científicas que escogen o desechan paradigmas en un complejo proceso. En el paso revolucionario de 'ciencia normal' a 'ciencia extraordinaria' aparecen conceptos que encuentran filiación con ideas de Koyré, Piaget y la escuela fenomenológica francesa de Bachelard o Michel Foucault (o incluso althuserianos como Michel Fichant y Michel Pecheux). El Positivismo desde Compte ha intentado apartar de la comprensión de la ciencia el proceso heurístico y poco diáfano del descubrimiento, así como los saltos no lineales ni acumulativos. El Neopositivismo del Siglo XX ha tenido una gran influencia intelectual en el mundo occidental moderno (especialmente en los países anglosajones). En esquema, podríamos señalar como dos de sus principales fundamentos teóricos los siguientes: por un lado, una teoría del conocimiento que reproduce lo que se considera es la esencia de las ciencias empíricas y, por otro lado, la sistemática utilización de la lógica matemática. El conocimiento científico es, para ellos, fundamentalmente una colección de derivaciones lógicas y otra de comprobaciones empíricas. Su interés reside en la justificación racional de ellas y su consistencia lógica, así como su 'correspondencia con los hechos'. Siguiendo la distinción de Reichenbach entre el 'contexto del descubrimiento científico' y el 'contexto de justificación', podemos decir que los neopositivistas enfatizan el segundo. Las leyes de la ciencia deben, para ellos, ser reformadas según los modelos lógico-formales. El tratamiento de la ciencia se reduce en gran medida, entonces, a los problemas de una lógica aplicada. Existe en esta visión una radical despreocupación por la génesis y, si se quiere, por la evolución auténticamente histórica del conocimiento científico. Por otra parte, también, es posición neopositivista asumir una supuesta neutralidad o descontextualización del lenguaje científico mediante el que se expresa el conocimiento. Es decir, la vieja teoría de un lenguaje de hechos, objetivo e incapaz de transmitir la contaminación humana o social. Es frente a esta visión filosófica imperante en la Historia de la Ciencia que intervinieron Kuhn y Feyerabend: una reacción no sólo contra el internalismo, que es más bien una consecuencia teórica, sino muy especialmente frente al Neopositivismo. El externalismo marxista, mientras tanto, se había revelado incapaz de dar cuenta de la estructura de las revoluciones científicas y de los procesos de la ciencia a partir del esquema, trivial y mecánico, que considera a la ciencia parte de las fuerzas productivas que, a su vez, determinan el resto de la estructura social (un determinismo de la base económica). En ocasiones, durante la era estaliniana, los marxistas y filomarxistas llegaron a afirmar que existían ciencia 'burguesa' y ciencia 'proletaria', esta última la desarrollada en la URSS. La lógica de la ciencia venía así a ser expresión directa de las contradicciones de clase, con lo que se eliminaba de un tajo la dinámica interna propia del decurso de las teorías científicas.

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Los abanderados de la ciencia 'proletaria' llegaron, incluso, a negar la Genética y a cuestionar la Teoría de la Relatividad, y a buscar un condicionamiento social y económico sumamente rígido de la evolución de la ciencia, lo que tuvo un impacto negativo extraordinario durante décadas en la sociedad soviética: el caso Lysenko en la biología y en la agricultura soviéticas fue nefasto para ese país. La incapacidad del marxismo en la comprensión del papel esencial de la cultura y de las ideas en general en el devenir social no les permitía a sus teóricos dar una respuesta al internalismo. En síntesis: las nuevas ideas aparecían en un doble contexto, por un lado un internalismo unilateral idealista fuerte y extremo y, por el otro lado, un externalismo de carácter marxista poco útil y capaz para poder explicar el desarrollo de la ciencia. Ni los marxistas ni los mertonianos daban una explicación metodológica adecuada. Feyerabend reaccionó contra la deficiente metodología neopositivista y clamó por introducir la vida de nuevo en el entendimiento y práctica de la ciencia. Kuhn reaccionó contra el esquema aceptado de la ciencia y hundió su análisis en la práctica. El proceso psicosociológico de la misma encontró el corazón de las transformaciones paradigmáticas en los científicos mismos. Su análisis removió y ventiló metodológicamente la historia y la filosofía de la ciencia. La teoría de Kuhn lo que establece es, entonces, un puente con las comunidades científicas entre el devenir propiamente conceptual de la ciencia y el devenir social. Hace incidir, entonces, el análisis de la Historia de la Ciencia en objetos concretos de carne y hueso. Este es un buen punto de partida metodológico, a pesar de las dificultades de precisión que, posteriormente, otros teóricos han encontrado en los conceptos de Kuhn (paradigma, ciencia normal, ciencia extraordinaria). Me voy a permitir sobre este territorio sugerir algunas ideas para completar una visión sobre este conflicto entre externalismo e internalismo. En realidad, podríamos señalar dos posiciones en el internalismo: la primera posición es la neopositivista que apuntala el contexto de justificación y, entonces, los aspectos lógico-deductivos y formales de la ciencia; aunque ligados a las tareas de validación y por último de comprobación experimental. Es decir, se trata de una visión que se refiere a la lógica conceptual de la ciencia en sí misma. La posición de Alexandre Koyré y su escuela, por otro lado, no es la misma. Koyré va a afirmar que toda esa dimensión de la que hablan los neopositivistas no puede ser separada de la dimensión de la filosofía y de la historia de las ideas, de la cultura y la ideología en un sentido general. Ambas posiciones son internalistas: no hacen intervenir elementos externos al mundo de las ideas. En mi opinión, es correcta la crítica de Koyré a la idea neopositivista de la no contaminación de la ciencia con metafísica y filosofía y, añadiríamos, con el mundo de la opinión. No obstante, la posición de Koyré deja por fuera elementos valiosos de naturaleza externa al mundo de las ideas que juegan un papel en el desarrollo y evolución de las ciencias. Lo que es obvio es que ni un análisis internalista en el sentido neopositivista ni un análisis externalista en el sentido marxista, por ejemplo, son satisfactorios para entender la evolución de la ciencia: intervienen factores internos y externos, existe una participación múltiple y condicionada simultáneamente entre factores internos y externos. Cuáles factores juegan un papel más importante en un momento concreto, es algo que sólo se puede determinar sobre la base del análisis concreto. La mayor importancia de unos elementos sobre otros no se puede zanjar con una premisa a priori. En unos casos será de una forma, en otros casos será de otra. Esto es, sin duda, un llamado a una buena dosis de nominalismo metodológico en el análisis histórico. Yo afirmo la necesidad de reducir esa manía de buscar en la realidad histórica leyes generales, esa sobrestimación de la infalible necesidad. Resulta más conveniente abrir una dimensión amplia a la intervención del azar. Esto es un llamado al estudio serio de casos concretos con una enorme flexibilidad metodológica.

27.6 Biografías.-

Imre Lakatos nació el 9 de noviembre de 1922 en Hungría. Fue bautizado con el nombre Imre Lipschitz. Debido a su procedencia judía, su vida se vería seriamente afectada por el ascenso de los Nazis al poder durante la Segunda Guerra Mundial. Realizó estudios en matemáticas, física y filosofía en la Universidad de Debrecen y se graduó en 1944. Cambió su nombre a Imre Molnár con el objetivo de evitar su deportación. Él sobrevivió a la caza humana, pero su madre y abuela no fueron tan afortunadas y murieron en Auschwitz. Cuando la guerra acabó, Imre decidió cambiarse el nombre, otra vez, y escogió un nombre común de la clase obrera húngara: Lakatos. En 1947, obtuvo un puesto en el Ministerio de Educación pero no estaba dispuesto a seguir las órdenes de los soviéticos. En 1950, fue arrestado por problemas políticos y estuvo en prisión por tres años. Al salir de la cárcel trabajó traduciendo libros de matemáticas al húngaro. En 1956, al estallar la revolución, huye a Inglaterra. Ingresa en la Universidad de Cambridge con el fin de obtener un doctorado en filosofía. En 1960, obtuvo un puesto en la Escuela de Economía de Londres y enseñó ahí por catorce años hasta su muerte el 2 de IMRE LAKATOS febrero de 1974.

Dirk Struik nació el 30 de septiembre de 1894 en Rótterdam, Países Bajos. Inició sus estudios en Hogere Bugerschool, la cual era una escuela que educaba a los hijos de personas de clase media que aspiraban a mejorar su estado social. Después de aprobar los exámenes adicionales que la escuela requería, en 1912, ingresó a la Universidad de Leiden. Viajaba desde Rótterdam a Leiden en tren y nunca se involucró en la vida estudiantil. Estudió física y matemáticas. En 1917, dejó la universidad para tomar un puesto de enseñanza en una escuela en Alkmaar, al norte de Amsterdam, puesto que también dejó, al recibir la oferta de ser el asistente de Schouten. Después de presentar su tesis, obtuvo un puesto en la Universidad de Utrecht en 1923. Ese mismo año, se casó con la matemática checa Ruth Ramler, quien había obtenido su doctorado en la Universidad de Praga. Viajó a muchos lugares y se estableció en Estados Unidos. En 1949 fue acusado por el FBI de pertenecer al partido comunista y fue severamente multado. A partir de su retiro en 1960, aceptó invitaciones a Puerto Rico, Costa Rica y Utrecht. Promovió la historia de las ciencias, sobretodo de las matemáticas en América Latina. DIRK JAN STRUIK

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André Weil nació el 6 de mayo de 1906 en París, Francia. Estudió en universidades en París, Roma y Göttingen. Recibió su doctorado en ciencias en la Universidad de París en 1928. De 1930 a 1932, enseñó en la Universidad Musulmana Aligarh en la India. A partir de 1933, y hasta cuando estalló la Segunda Guerra Mundial, enseñó en la Universidad de Strasbourg. Para evitar ser enviado al ejército, huyó a Finlandia, pero fue encontrado y de vuelta en Francia encarcelado. Su hermana, Simone Weil, era una filósofa mística y figura principal de la Resistencia Francesa. Él no tuvo otra opción, debido a su condición de judío, que unirse al ejército. Cuando tuvo la oportunidad, escapó a Estados Unidos e impartió lecciones en 1941 en las Universidades de Haverford y Swarthmore, en Pensilvania. En 1945, obtuvo un puesto en la Universidad de Sao Paulo, Brasil, el cual mantuvo hasta 1947, cuando volvió a los Estados Unidos y comenzó a trabajar en la Universidad de Chicago hasta 1958. Por último, a partir de ese mismo año trabajó para el Instituto de Estudios Avanzados de la Universidad de Princeton hasta 1976, cuando se retiró como Profesor Honorario. ANDRÉ WEIL Recibió muchos reconocimientos a lo largo de su vida: fue miembro honorario de la Sociedad Matemática de Londres en 1959 y elegido miembro de la Sociedad Real de Londres en 1966. Además, fue elegido por la Academia de Ciencias en París y la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos. Murió el 6 de agosto de 1998 en Princeton, New Jersey, Estados Unidos.

George Pólya nació el 13 de diciembre de 1887 en Budapest, Hungría. Ingresó a la Universidad de Budapest a estudiar leyes, pero al poco tiempo las leyes le aburrieron y decidió estudiar idiomas y literatura. Con el fin de entender la filosofía, tomó algunos cursos de matemáticas y su interés en ellas creció; fue así como en 1912 obtuvo un doctorado en matemáticas. Un año después, partió a Göttingen y conoció a Hilbert y a Weyl. En 1914, fue a Zurich, a cumplir con una cita que había sido acordada por Hurwitz. En 1918, publicó sus primeros estudios acerca de la teoría de número; también publicó estudios referentes a la astronomía y a la probabilidad. En 1924, fue a Inglaterra, a trabajar junto a Hardy y Littlewood, en un proyecto que se llamó Desigualdades y que fue publicado en 1934. La situación política en Europa lo forzó a trasladarse a Estados Unidos en donde trabajó por dos años en la Universidad de Brown y luego se pasó a Stanford. Murió el 7 de septiembre de 1985 en Palo Alto, California, Estados Unidos. GEORGE PÓLYA

Florian Cajori nació el 28 de febrero de 1859 en San Aignan, Graubünden, Suiza. Sus padres fueron Georg Cajori, un ingeniero conocido por construir caminos y puentes en Suiza y Catherine Camenisch. Asistió a las escuelas de Zillis y Chur. A la edad de dieciséis años, emigró a Estados Unidos y estudió en el State Normal School en Whitewater, Wisconsin y se graduó de ahí dos años más tarde. Antes de ingresar a la Universidad de Wisonsin, enseñó en una escuela local. En 1883, obtuvo el título de bachillerato y un año después ingresó a la Universidad de Johns Hopkins, pero fue en la Universidad de Wisconsin en 1885, donde obtuvo su maestría. Ese mismo año, fue asignado asistente de profesor en la Universidad de Tulane en Nueva Orleáns. En 1887, inició a enseñar matemáticas aplicadas. Sostuvo la presidencia de física en Colorado College entre 1889 y 1898. En 1890, se casó con Elizabeth G. Edwards y tuvieron un hijo. En 1894, obtuvo su doctorado de la Universidad de Tulane. En 1918, obtuvo un importante puesto de matemáticas en la Universidad Berkeley, California, el primer puesto de este tipo que se fundó en Estados Unidos, lo cual le brindó una gran reputación. En 1917 y 1918, fue elegido presidente de la Asociación Matemática de América. En 1923, fue vice-presidente de la Asociación Americana del Avance de la Ciencia y además, formó parte de la Sociedad de la Historia de la Ciencia y del Comité Internacional de la Historia de las Ciencias entre 1924 y 1930. FLORIAN CAJORI Acercándose a la edad de setenta años comenzó a tener problemas de salud y en 1930 fue sometido a una operación de la cual nunca se recuperó totalmente, y murió seis meses después el 14 de agosto en Berkeley, California, Estados Unidos.

Marshall Stone nació el 8 de abril de 1903 en Nueva York, Estados Unidos. Marshall estaba destinado a estudiar derecho según la tradición familiar. Estudió en Harvard de 1919 a 1922, y durante los siguientes dos años fue instructor de la Universidad, fue allí donde se percató de que deseaba estudiar matemáticas. En 1926, obtuvo su doctorado en matemáticas, supervisado por George Birkhoff. Un año más tarde, comenzó a impartir lecciones en Harvard. De 1931 a 1933 aceptó un puesto en la Universidad de Yale y luego regresó a Harvard hasta 1937. En 1946, tomó el cargo de presidente de la sección de matemáticas en la Universidad de Chicago. En 1968, se retiró. Se le conocieron muchos intereses, entre ellos el amor a viajar desde que era muy joven, y fue en uno de sus viajes a la India en donde murió el 9 de enero de 1989. MARSHALL HARVEY STONE

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27.7 Síntesis, análisis, investigación.- 1. Investigue: haga una reseña biográfica de George Sarton. 2. ¿Cuál ha sido hasta ahora el papel que se le ha dado en Costa Rica a la historia de las matemáticas en los programas de formación de profesores y profesionales en la educación matemática? 3. Comente la relación entre ideologías (conjunto estructurado de ideas) y la práctica matemática. 4. Explique cuál sería el uso de la historia de las matemáticas en la visión sintáctica de las matemáticas? 5. ¿Qué papel tendría la historia de las matemáticas si se acepta una visión platonista de las matemáticas? ¿Y con una visión empirista? 6. En el siguiente texto se afirman dos dimensiones en las matemáticas. Estudie con cuidado el planteamiento del autor. "La historia de las matemáticas es, entonces, y de manera drástica, dual: no solo se refiere como en otras ciencias naturales especialmente a las situaciones socioculturales e individuales que crearon conceptos o explicaciones de un objeto físico; sino también, de manera privilegiada, a aquellas situaciones que crearon conceptos y explicaciones de otros conceptos y explicaciones: edificios que si bien empíricos en sus cimientos, en la argamasa de todo, así como en los constructores y albañiles, se elevan cada vez más 'hacia el cielo'. A pesar de esta elevación, por sus fundamentos empíricos (en sus nociones, métodos y artífices), se hace posible su aplicación en el mundo. En particular, nos parece que debe enfatizarse que las teorías matemáticas son aplicables en la realidad humana porque en sus edificios conceptuales las reglas de construcción no son cualesquiera (la poesía y la pintura no son matemáticas, aunque pueda que éstas sí sean poesía y pintura para el espíritu); las matemáticas refieren a operaciones y acciones precisas que se pueden asociar a manipulaciones de la realidad material o social. Tal vez el término de lógica no sea el más adecuado para referirnos al marco más general para encerrar el fundamento de estos quehaceres abstractos de las matemáticas pero, si se nos permite la imprecisión: asociamos ese término con procesos de validación de las construcciones matemáticas''. [Ruiz, A.: El desafío de las matemáticas, pp. 56, 57]. Explique con sus palabras el carácter dual de las matemáticas que se afirma en el texto. ¿Por qué son aplicables las matemáticas a la realidad? 7. Comente el uso de la historia de las matemáticas en la Educación Matemática y lo que en este texto se ha llamado constructivismo socioempírico. 8. Comente: la filosofía de la educación matemática debe formar parte activa de la educación matemática y no de la filosofía en general. 9. Explique cuáles consecuencias tiene para el uso de la historia en la Educación Matemática el asumir una visión falibilista y cuasiempírica de las matemáticas. 10. Explique la relación entre falibilismo y constructivismo en la educación matemática. 11. Investigue: haga una reseña biográfica de Thomas Kuhn. 12. Estudie el siguiente pasaje. "Así pues, los libros de texto comienzan truncando el sentido de los científicos sobre la historia de su propia disciplina y, a continuación, proporcionan un substituto para lo que han eliminado. Es característico que los libros de texto de ciencia contengan sólo un poco de historia, ya sea en un capítulo de introducción o, con mayor frecuencia, en dispersas referencias a los grandes héroes de una época anterior. Por medio de esas referencias, tanto los estudiantes como los profesionales llegan a sentirse participantes de una extensa tradición histórica. Sin embargo, la tradición derivada de los libros de texto, en la que los científicos llegan a sentirse participantes, nunca existió efectivamente. Por razones que son obvias y muy funcionales, los libros de texto científicos (y demasiadas historias antiguas de la ciencia) se refieren sólo a las partes del trabajo de científicos del pasado que pueden verse fácilmente como contribuciones al enunciado y a la solución de los problemas paradigmáticos de los libros de texto. En parte por selección y en parte por distorsión, los científicos de épocas anteriores son representados implícitamente como si hubieran trabajado sobre el mismo conjunto de problemas fijos y de acuerdo con el mismo conjunto de cánones fijos que la revolución más reciente en teoría y metodología científicos haya hecho presentar como científicos. No es extraño que tanto los libros de texto como la tradición histórica que implican, tengan que volver a escribirse inmediatamente después de cada revolución científica. Y no es extraño que, al volver a escribirse, la ciencia aparezca, una vez más, en gran parte como acumulativa.

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Por supuesto, los científicos no son el único grupo que tiende a ver el pasado de su disciplina como un desarrollo lineal hacia su situación actual. La tentación de escribir la historia hacia atrás es omnipresente y perenne. Pero los científicos se sienten más tentados a volver a escribir la historia, debido en parte a que los resultados de las investigaciones científicas no muestran una dependencia evidente sobre el contexto histórico de la investigación y, en parte, debido a que, excepto durante las crisis y las revoluciones, la posición contemporánea de los científicos parece ser muy segura. Un número mayor de detalles históricos, tanto sobre el presente de la ciencia como sobre su pasado o una mayor responsabilidad sobre los detalles históricos presentados, sólo podría dar un status artificial a la idiosincrasia, los errores y las confusiones humanas. ¿Por qué honrar lo que los mejores y más persistentes esfuerzos de la ciencia han hecho posible descartar? La depreciación de los hechos históricos se encuentra incluida, profunda y es probable que también funcionalmente, en la ideología de la profesión científica, la misma profesión que atribuye el más elevado de todos los valores a detalles fácticos de otros tipos. Whitehead captó el espíritu no histórico de la comunidad científica cuando escribió: 'Una ciencia que vacila en olvidar a sus fundadores está perdida'. Sin embargo, no estaba completamente en lo cierto, ya que las ciencias, como otras empresas profesionales, necesitan a sus héroes y preservan sus nombres. Afortunadamente, en lugar de olvidar a esos héroes, los científicos han estado en condiciones de olvidar o revisar sus trabajos. El resultado de ello es una tendencia persistente a hacer que la historia de la ciencia parezca lineal o acumulativa, tendencia que afecta incluso a los científicos que miran retrospectivamente a sus propias investigaciones''. [Kuhn, Thomas S.: La Estructura de Las Revoluciones Científicas, págs. 214-215-216]. ¿Qué quiere decir que una ciencia progresa linealmente? ¿Cuál es el sentido de la historia de la ciencia en su desarrollo? 13. Lea con cuidado el siguiente texto de un gran matemático inglés del siglo XX. "Decidirse a escribir sobre matemáticas es una experiencia realmente melancólica para todo matemático profesional. La función de un matemático es trabajar probando nuevos teoremas, acrecentar el campo de los conocimientos matemáticos, y en modo alguno hablar sobre lo que él u otros matemáticos han hecho. Los estadistas menosprecian a los agentes de publicidad, los pintores menosprecian a los críticos de arte, y Fisiólogos, físicos o matemáticos comparten muy a menudo tales sentimientos; no existe desdén más profundo, o en su conjunto más justificable, que el que sienten los hombres que crean hacia los hombres que explican. Exposición, crítica y apreciación es una labor reservada para inteligencias de segunda fila''. [Hardy, G. H.: Autojustíficación de un matemático, pág. 65]. En esta cita se expresa una visión de lo que debe ser un intelectual en las matemáticas, un matemático, y de lo que no debe ser. También su juicio se puede aplicar a quien estudia las matemáticas desde la historia o la filosofía. Explique la posición de Hardy. Coméntela. 14. Este es un buen momento para retomar el concepto de paradigma. Kuhn en un libro posterior a la Estructura de las revoluciones científicas abandona este concepto, de cierta forma. "Volvamos, finalmente, al término 'paradigma'. Fue introducido en La estructura de las revoluciones científicas porque yo, el autor historiador del libro, al investigar la población integrante de una comunidad científica, no logré detectar las suficientes reglas compartidas que explicasen la problemática conducta de investigación del grupo. Llegué a la conclusión de que los ejemplos compartidos en una práctica exitosa podían suplir la deficiencia en reglas del grupo. Estos ejemplos constituían sus paradigmas y, en cuanto tales eran esenciales para su continuada investigación. Por desgracia, después de alcanzar esta meta pensé en ampliar las aplicaciones del término hasta abarcar todos los compromisos compartidos del grupo, todos los componentes de lo que ahora prefiero llamar matriz disciplinar. Inevitablemente el resultado fue la confusión, y ello oscureció los motivos originales para la introducción de un término especial. Pero tales motivos todavía permanecen. Los ejemplos compartidos pueden desempeñar funciones cognoscitivas comúnmente atribuidas a reglas compartidas. Cuando las desempeñan, el conocimiento se desarrolla de forma diferente de como lo hace cuando está gobernado por reglas. Este escrito ha sido, ante todo, un esfuerzo por aislar, clarificar y hacer comprensibles estos puntos esenciales. Si se los entiende, será posible prescindir del término 'paradigma', aunque no del concepto que llevó a su introducción''. [Kuhn, Thomas S.: Segundos pensamientos sobre paradigmas, pág. 40]. Explique por qué abandona el concepto de paradigma. 15. Con base en la información que se ofrece en este libro y una investigación adicional, explique qué es el internalismo y el externalismo en la metodología de la historia de la ciencia

Continuará en el próximo número…

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NNoorrrriiss BBrraaddbbuurryy Nació en Santa Bárbara, California, EE. UU., el 30 de mayo de 1909; y murió el 20 de agosto de 1997 en Los Álamos, Nuevo México, a la edad de 88 años. Físico. Se desempeñó como director del Laboratorio Nacional Los Álamos durante 25 años (1945-1970), sucediendo J. Robert Oppenheimer, quien personalmente eligió a Bradbury para el cargo de director después de trabajar muy cercano a él en el Proyecto Manhattan. Durante la guerra estuvo a cargo del montaje final del "gadget", detonada en julio de 1945 para la Prueba Trinity. Él supervisó la transición del laboratorio desde la II guerra mundial hasta la guerra fría. El Museo de Ciencia Bradbury fue nombrado así en su honor. NORRIS BRADBURY (1909-1997) Fuente: Wikipedia INFANCIA.-

Norris Bradbury nació en Santa Bárbara, California, el 30 de mayo de 1909, uno de los cuatro hijos de Edwin Pearly y su esposa Elvira née Clausen. Una de sus hermanas murió siendo bebé, y la familia adoptó a los gemelos Bobby y Betty, sirviendo ambos en el cuerpo de marines de Estados Unidos durante la II Guerra Mundial. Bradbury fue educado en las escuelas secundarias de Hollywood y en la Chaffey de Ontario, California, graduándose a la edad de 16 años. Luego asistió al Pomona College de Claremont, California, donde se graduó summa cum laude con un Bachelor de Artes (BA) en química en 1929. Esto le valió ser miembro de la Sociedad Phi Beta Kappa. [2][3] En Pomona, conoció a Lois Platt, una

importante literata inglesa quien era hermana de su compañera de colegio. Se casaron en 1933. [4] Tuvieron tres hijos, James, John y David. [5] BRADBURY A LA EDAD DE 16 AÑOS Bradbury se interesó en la física y al graduarse trabajó en la Universidad de California, de Berkeley, donde fue parte del cuerpo docente desde 1929 a 1931, y luego hizo lo mismo en la Fundación Whiting de 1931 a 1932. Presentó su tesis doctoral sobre la Movilidad de Iones Envejecidos en el Aire, bajo la tutoría de Leonard B. Loeb y le fue otorgada una beca por el Consejo Nacional de Investigación. [6]

Además de supervisar la tesis de Bradbury, Loeb, quien había servido como reservista naval durante la I Guerra Mundial, alentó a Bradbury para solicitar una Comisión como reservista naval. La Comisión de Bradbury como alférez fue firmada por el capitán de Corbeta Chester W. Nimitz, quien era el jefe del Cuerpo de Entrenamiento para Oficiales de la Reserva Naval en Berkeley en ese momento. [7]

Después de dos años en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT), se convirtió en Profesor Asistente de física en la Universidad de Stanford en 1935, ascendiendo a Profesor Asociado en 1938 y Profesor Titular en 1943. Se convirtió en experto en conductividad eléctrica de los gases, las propiedades de los iones y el comportamiento de la electricidad atmosférica, publicando en revistas, incluyendo Physical Review, Journal of Applied Physics, Journal of Chemical Physics, y el Journal of Atmospheric Electricity and Terrestrial Magnetism.[6] Él inventó el obturador Bradbury-Nielsen, un tipo de puerta del ion eléctrica, [8] ampliamente utilizada para la espectrometría de masas en espectrómetros de masas de tiempo de vuelo y espectrómetros de movilidad de iones.[9]

LA SEGUNDA GUERRA MUNDIAL.-

Bradbury fue llamado para el servicio militar durante la Segunda Guerra Mundial a principios de 1941, aunque la Marina le permitió quedarse en Stanford hasta el final del año académico. Luego fue enviado a la Naval Proving Ground en Dahlgren, Virginia para trabajar en balística externa. Ya estaban trabajando en Dahlgreen Loeb y el comandante Deak Parsons. [7]

En junio de 1944, Bradbury recibió órdenes de Parsons de reportarse a Albuquerque, Nuevo México, donde conoció a Parsons, quien era el Director Adjunto del Laboratorio de Los Álamos del Proyecto Manhattan. Parsons explicó que necesitaba Bradbury para trabajar en las lentes explosivas requeridas para un arma nuclear tipo implosión. Bradbury estaba poco menos entusiasmado con este proyecto, pero al ser un oficial naval debía subordinarse y al final accedió a ir. [10][11]

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En Los Álamos, Bradbury se convirtió en director de la E-5, el Grupo de Experimentación sobre Implosión, [12] lo que significaba que estaban a cargo del programa de prueba del campo de implosión. [13] En agosto, el director del laboratorio, Robert Oppenheimer, implementó una amplia reorganización. El E-5 se convirtió en parte de la nueva División de Explosivos (División X) de George Kistiakowsky, y fue reenumerada X- 1. [14]

A estas alturas, Bradbury estaba a cargo de algunos de los más importantes trabajos en el laboratorio, mientras que luchaba con los motores que estropeaban la requerida forma esférica perfecta deseada para el proceso de implosión. Estos fueron examinados con una combinación de magnetismo, rayos x y técnicas RaLa. [15]

En marzo de 1945, Oppenheimer creó el Proyecto Alberta bajo la dirección de Parsons, con la finalidad de llevar a cabo la misión final del Proyecto Manhattan: la preparación y entrega de las armas nucleares de combate. Bradbury fue transferido al Proyecto Alberta para encabezar el Grupo de Ensamble “Fat Man” (“Hombre Gordo”). [16] En julio de 1945, Bradbury supervisó la preparación del Gadget mediante la prueba nuclear Trinity. [17][18] "Para decirlo", recordó

Bradbury más tarde, "tenía pensamientos emocionales profundos sobre el Trinity... No lo hice. LA PRUEBA TRINITY , JULY 1945. BRADBURY SE No estaba nada contento de que haya funcionado".[19] ENCUENTRA AL LADO DEL GADGET PARCIALMENTE ENSAMBLADO EN LA CIMA DE LA TORRE DE PRUEBA. DIRECTOR DE LOS ÁLAMOS.-

Oppenheimer presentó su renuncia como director del Laboratorio de Los Álamos, pero permaneció hasta encontrar un sucesor. El director del Proyecto Manhattan, Mayor General Leslie R. Groves, Jr., quería a alguien que tuviera tanto una sólida formación académica y como gran jerarquía dentro del proyecto. Oppenheimer recomendó a Bradbury. Esto le agradó a Groves, quien le gustó el hecho que un oficial naval como Bradbury fuera científico y militar. Bradbury aceptó la oferta por un periodo de prueba de seis meses. [20][6]

Parsons arregló todo para que Bradbury fuera desincorporado rápidamente de la Marina.[21] Por sus servicios en tiempo de guerra, la Fuerza Armada Naval le otorgó el premio Legión al Mérito.[22] Sin embargo, permaneció en la reserva naval hasta finalmente retirarse en 1961 con el rango de capitán.[23] El 16 de octubre de 1945,

hubo una ceremonia en Los Álamos en la cual Groves condecoró al Laboratorio con el BRADBURY (IZQUIERDA) SENTADO EN UNA MESA JUNTO A LESLIE GROVES DEL PROYECTO DE ARMAS Premio “E” de la Marina de Guerra, y a Oppenheimer con el Certificado de Aprecio. ESPECIALES DE LAS FUERZAS ARMADAS (AL CENTRO) Y ERIC JETTE. Bradbury se convirtió en el segundo director del laboratorio al día siguiente. [20] [6] Los primeros meses de la dirección de Bradbury fueron los más difíciles. Él había esperado que la Ley de Energía Atómica de 1946 sería aprobada rápidamente por el Congreso y el Proyecto Manhattan podría ser reemplazado por una nueva organización permanente durante la guerra. Pronto quedó claro que esto llevaría más de seis meses. El Presidente Harry S. Truman no firmó el acta que creó la Comisión de Energía Atómica como ley hasta el 1° de agosto de 1946, y no fue activada sino hasta el 1° de enero de 1947. Entretanto, la autoridad de actuar para Groves estaba limitada. [24]

La mayoría de los científicos en Los Álamos estaba ansiosa por regresar a sus laboratorios y universidades, y para febrero de 1946 todos los jefes de división durante la guerra habían partido, pero seguía siendo un núcleo de talentos. Darol Freeman se convirtió en jefe de la división Robert Bacher G., ahora rebautizada División M. Eric Jette se convirtió en responsable de la de Química y Metalurgia, John H. Manley de la de Física, George Placzek de la de Teoría, Max Roy de Explosivos y Roger Wagner de Artillería. [20] El número de efectivos militares en Los Álamos disminuyó desde más de 3000 durante la guerra a alrededor de 1000, pero muchos aún seguían viviendo en los alojamientos que usaron temporales durante la guerra. Para empeorar las cosas, se congeló la tubería de agua que servía a Los Alamos y el agua debía ser suministrada por camiones cisterna. [24] A pesar del reducido personal, Bradbury todavía tenía que prestar apoyo para el Cruce de Operaciones, pruebas nucleares realizadas en el Pacífico. [25]

Bradbury impulsó el continuo desarrollo de armas nucleares para llevarlos de aparatos de laboratorios a modelos de producción. Hubo numerosas mejoras que podrían hacerlos más seguro, confiables y fáciles de almacenar y manejar, y hacer un uso más eficiente del escaso material fisionable.

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Mientras que Bradbury dio prioridad a la mejora de las armas de fisión, la investigación continuaba sobre “Alarm Clock” ("Despertador"), un arma nuclear muy promovida y el "Super", un diseño de armas termonucleares. [26] Los nuevos diseños de fisión fueron probados durante la operación Sandstonein 1948. La bomba nuclear Mark 4 se convirtió en la primera arma nuclear para ser producida en serie en una línea de montaje. [27]

Como el futuro llegó a ser más seguro, Bradbury comenzó a buscar un nuevo sitio para el laboratorio en el centro poblado de la ciudad. En 1948, Bradbury presentó una propuesta a la Comisión de Energía Atómica de una nueva planta por un costo de 107 millones de dólares en South Mesa, comunicada a la ciudad por un puente nuevo sobre el cañón. [27]

Todo este tiempo, Bradbury seguía siendo nominalmente un profesor ausente del servicio en Stanford. El nombramiento en el laboratorio de Los Álamos fue bajo un contrato durante tiempo de guerra firmado con la Universidad de California, pero una cláusula en el contrato permitía a la Universidad rescindir del mismo tres meses después del final de la guerra. La Universidad debidamente lo notificó, pero Bradbury logró que se anulara, y en 1948 la Universidad le renovó el contrato. En 1951, fue nombrado profesor en la Universidad de California. [28][22]

En 1951, el laboratorio había surgido con el diseño del Teller-Ulam y pruebas termonucleares se realizaron durante la Operación Efecto Invernadero. [29] Las tensiones entre Bradbury y Edward Teller sobre el grado de prioridad dado al desarrollo de armas termonucleares condujo a la creación de un segundo laboratorio de armas nucleares, el Laboratorio Lawrence Livermore. [30]

En años posteriores, Bradbury se expandió, construyendo las Instalaciones físicas del Mesón de Los Álamos para desarrollar el laboratorio de ciencia nuclear. [31] Durante la carrera espacial de los años sesenta, el laboratorio trabajó en el Proyecto Rover, desarrollando el Reactor Nuclear para la Aplicación Vehículo Cohete (NERVA, siglas en inglés). El laboratorio demostró la viabilidad y el valor de la propulsión de cohetes nucleares. [32]

Durante muchos años, Bradbury fue responsable de gran parte de la administración de la comunidad de Los Álamos. En la ciudad se edificaron impresionantes instalaciones de salud y educación. Finalmente se construyó la nueva área técnica fuera de la ciudad, y 18 de febrero BRADBURY (A LA IZQUIERDA) DELANTE DEL REACTOR KIWI B4-A, UTILIZADO PARA DARLE de 1957 fueron eliminadas las puertas de seguridad. Finalmente, la ciudad se convirtió en una POTENCIA A UN COHETE NUCLEAR. comunidad incorporada y las responsabilidades cívicas del director terminadas. [33][34]

En 1966, Bradbury fue galardonado con la medalla del Departamento de Defensa por Servicio Público Distinguido por "servicio civil excepcionalmente meritorio a las fuerzas armadas y a los Estados Unidos en una posición de gran responsabilidad como director del Laboratorio Científico de Los Álamos". [35] En la invitación que se le dirigió se pudo leer: "La excelente reputación internacional del laboratorio de Los Álamos es directamente atribuible a su liderazgo excepcional. Estados Unidos está en deuda con el Dr. Bradbury y su laboratorio, en un alto grado para nuestra actual capacidad nuclear". [35] También recibió el premio de Enrico Fermi en 1970. [35]

VIDA POSTERIOR.-

BRADBURY CON SU PREDECESOR ROBERT Bradbury se retiró como director en 1970. Su sucesor, Harold Agnew, le invitó a convertirse en OPPENHEIMER EN EL LABORATORIO NACIONAL Consultor Sénior del laboratorio. DE LOS ÁLAMOS EN 1964. Pero Bradbury no aceptó, aunque sirvió como consultor para otras agencias gubernamentales, incluyendo la Academia Nacional de Ciencias, y se desempeñó como miembro de los consejos del Centro Médico de Los Álamos, del First National Bank de Santa Fe, de la YMCA de Los Álamos y de la Sociedad Neurológica de Santa Fe. Fue nombrado rector de la Universidad de Nuevo México en 1969, pero en 1970, respondiendo a un llamado que se le hizo, la Guardia Nacional de Nuevo México tuvo que ingresar al campus universitario para restablecer el orden, entonces el gobernador Bruce King decidió reemplazar a Bradbury.[36]

A mitad de los años1990, Bradbury se golpeó accidentalmente su pierna derecha mientras cortaba leña. La pierna se le gangrenó, y le fue amputada por debajo de la rodilla. La enfermedad se extendió a su pierna izquierda, y parte de su pie izquierdo fue amputado, dejándolo en una silla de ruedas. La enfermedad eventualmente resultó fatal, y murió el 20 de agosto de 1997. [37] A él le sobrevivió su esposa Lois, quien murió en enero de 1998, y sus tres hijos. [5] Un funeral se celebró en Los Álamos, y fue enterrado en el cementerio Los Pinos de Guaje de Los Álamos. [38][39] HOMOTECIA Nº 11 – Año 12 Lunes, 3 de Noviembre de 2014 21

NOTAS.-

1. Seaborg, Glenn T. (January 1998). "Obituary: Norris Edwin Bradbury". Physics Today 51 (1): 74–75. doi:10.1063/1.882111. 2. Agnew & Schreiber 1998, p. 3. 3. Ebinger 2006, p. 62. 4. Ebinger 2006, pp. 63–68. 5. Agnew & Schreiber 1998, p. 11. 6. Agnew & Schreiber 1998, p. 4. 7. Ebinger 2006, pp. 69–70. 8. Norris E. Bradbury and Russel A. Nielsen (1936). "Absolute Values of the Electron Mobility in Hydrogen". Physical Review 49 (5): 388– 93.Bibcode:1936PhRv...49..388B. doi:10.1103/PhysRev.49.388. 9. Szumlas, Andrew W; Hieftje, Gary M (2005). "Design and construction of a mechanically simple, interdigitated-wire ion gate". Rev. Sci. Instrum. (AIP) 76 (8).Bibcode:2005RScI...76h6108S. doi:10.1063/1.2006308. 10. Christman 1998, p. 139. 11. Ebinger 2006, p. 71. 12. Hoddeson et al. 1993, p. 175. 13. Hewlett & Anderson 1962, p. 310. 14. Hoddeson et al. 1993, p. 245. 15. Hoddeson et al. 1993, pp. 272–277. 16. Hewlett & Anderson 1962, p. 319. 17. Hoddeson et al. 1993, pp. 367–368. 18. Hewlett & Anderson 1962, p. 378. 19. Ebinger 2006, p. 79. 20. Hoddeson et al. 1993, pp. 398–402. 21. Ebinger 2006, pp. 82–83. 22. Agnew & Schreiber 1998, p. 9. 23. Ebinger 2006, p. 98. 24. Agnew & Schreiber 1998, p. 5. 25. Agnew & Schreiber 1998, p. 6. 26. Hewlett & Duncan 1969, pp. 58–59. 27. Hewlett & Duncan 1969, p. 176. 28. Ebinger 2006, pp. 88–90. 29. Hewlett & Duncan 1969, pp. 539–542. 30. Hewlett & Duncan 1969, pp. 568–572, 584–584. 31. Ebinger 2006, p. 93. 32. Agnew & Schreiber 1998, p. 8. 33. Hunner 2004, pp. 130–132, 218–219. 34. Ebinger 2006, pp. 91–92. 35. Agnew & Schreiber 1998, pp. 9–10. 36. Ebinger 2006, pp. 187–188. 37. Ebinger 2006, pp. 190–193. 38. Ebinger 2006, p. 185. 39. "Norris Edwin Bradbury". Find a Grave. 20 August 1997. Retrieved 7 April 2013. Referencias.- • Agnew, Harold; Schreiber, Raemer E. (1998). Norris E. Bradbury 1909–1996: A Biographical Memoir. Washington, D.C.: National Academies Press. OCLC 79388516. Retrieved 6 April 2013. • Christman, Albert B. (1998). Target Hiroshima: Deak Parsons and the Creation of the Atomic Bomb. Annapolis, Maryland: Naval Institute Press. ISBN 1-55750-120-3.OCLC 38257982. • Ebinger, Virginia Nylander (2006). Norris E. Bradbury 1909–1997. Los Alamos, New Mexico: Los Alamos Historical Society. ISBN 0941232344. OCLC 62408863. • Hewlett, Richard G.; Anderson, Oscar E. (1962). The New World, 1939–1946. University Park: Pennsylvania State University Press. ISBN 0-520-07186-7.OCLC 637004643. Retrieved 26 March 2013. • Hewlett, Richard G.; Duncan, Francis (1969). Atomic Shield, 1947–1952. A History of the United States Atomic Energy Commission. University Park: Pennsylvania State University Press. ISBN 0-520-07187-5. OCLC 3717478. • Hoddeson, Lillian; Henriksen, Paul W.; Meade, Roger A.; Westfall, Catherine L. (1993). Critical Assembly: A Technical History of Los Alamos During the Oppenheimer Years, 1943–1945. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-44132-3. OCLC 26764320. • Hunner, Jon (2004). Inventing Los Alamos: The Growth of an Atomic Community. Norman: University of Oklahoma Press. ISBN 978-0- 8061-3891-6. OCLC 154690200.

Imágenes obtenidas de:

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Una desierta heredad costanera

Tomado de: La Costa > Crónicas Coloniales 30/05/2014

EN LA COSTA NO HUBO UNA GRAN CONCENTRACIÓN INDÍGENA DURANTE LOS TIEMPOS DE LA CONQUISTA.

Don Rodrigo de Navarrate, quien se autodefinió “escribano de su Majestad”, elaboró presumiblemente entre los años 1574 y 1578 una RELACIÓN DE LAS PROVINCIAS Y NACIONES DE LOS LLAMADOS INDIOS ARAUCOS, a quienes señaló como habitantes de la “...costa de Tierra Firme, doscientas leguas de la Isla de Margarita, hacia donde sale el sol”; en otro lugar de su narración los definió como “...una Nación de Indios que habitan desde el Golfo de Paria hasta el río Marañon” (léase Amazonas). Conoció el escribano real de las cosas que narra (son sus palabras), “...por lengua e intérpretes que a los dichos indios entendieron, en especial de un morisco que entre ellos estuvo en sus tierras doce años, y por otros que han dado a entender la dicha lengua y los han conversado en sus tierras”.

¿Y qué tienen que ver los indios Araucos, habitantes de tan lejos, con el tema de nuestro estudio, que abarca la región geográfica desde la punta de Patanemo hasta la estribación occidental del Golfo Triste? Y respondemos: al final de la relación y después de la firma de Navarrete, aparecen descripciones geográficas desde la isla de Trinidad hacía occidente, con informaciones sobre la ciudad de Borburata, recién despoblada... Cuando se refiere al cabo Codera, señala que desde ese punto al puerto borburateño, “... que son treinta leguas, todas estas serranías son muy pobladas de naturales, gente muy belicosa y grandes herbolarios de la yerba con que flechan” (Nota Buena: se refiere al curare). Copiamos a la letra lo referente a Borburata:

“El Puerto de Borburata es el mayor puerto que hay en toda esta costa; en otros tiempos fue bien poblado: despoblóse por causas de los corsarios franceses y por ser pobre la provincia a causa de los pocos naturales y del poco favor de su Majestad, y por no poder edificar una fortaleza en la boca de este Puerto, que se pudiera hacer a poca costa, y vedar la gran contratación que los franceses tiene en este Puerto, porque de ordinario hay franceses en él que nunca faltan, y de este Puerto hasta el Nuevo Reino es camino muy seguido por tierra, de donde los franceses llevan mucha suma de dinero”.

Se refiere el relacionista a Valencia, que “esta diez leguas la tierra adentro a las espaldas de la Sierra”, y menciona su lago, “que es una laguna de agua dulce de más de quince leguas, y algunas islas en medio pobladas de naturales”. Menciona a El Tocuyo y a Barquisimeto, “pueblos que atan la tierra adentro”; y a Trujillo recién fundado, “postrero pueblo de la Provincia de Venezuela”.

En contraposición a la región oriental borburateña (hasta el cabo Codera) que señaló muy poblada de indios, el sotavento de Borburata, que incluye al lugar donde estará después Puerto Cabello (desde esos tiempos así denominado por su pertenencia a don Alonso Cabello), lo encuentra semidesierto. Copiemos la Relación...: “Desde el puerto de Borburata hasta el puerto de Coro, que hay sesenta leguas, es tierra despoblada y de muy pocos naturales, y los ríos pequeños, capaces de solamente canoas”.

Se comienza tratando de indios Araucos, ubicados lejanos en el espacio, quienes son estudiados con muy buena visión antropológica, y se concluye hablando de geografía... La fecha tentativa del escrito a que nos referimos la señalan algunos historiadores en el año 1571, pero allí se dice del puerto despoblado de Borburata, despoblamiento que se efectúa en el año 1547, y que se atribuya esta narración a un tal Antonio Barbudo, de quien no hemos encontrado referencia alguna... Lo cierto es que para el empeño propuesto, de conocer la historia de Puerto Cabello mientras la ciudad aparece, y de la región donde se halla enclavado, la relación de Navarrete o de Barbudo (y el autor nos es indiferente) cumple los objetivos de la divulgación. Y así debe quedar establecido en estas letras cronicales...

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GAETANO FICHERA

Nació el 8 de febrero de 1922 en Acireale, Catania, Sicilia; y murió el 1° de junio de 1996, en Roma, ambas localidades de Italia. Imágenes obtenidas de:

Los padres de Gaetano Fichera fueron Giuseppe Fichera y Marianna Abate. Giuseppe y Marianna tuvieron cuatro hijos, todos varones, y Gaetano era el mayor. Giuseppe Fichera se había graduado obteniendo su licenciatura en matemáticas en la Universidad de Catania en el año 1921. Había sido discípulo de Bernardino Gaetano Scorza, que enseñó en Catania de 1916 a 1920, y Giuseppe se había convertido en un experto en representaciones sobre la Teoría de Grupo. Después que Scorza se mudó a Nápoles, Giuseppe Fichera se convirtió en asistente de Mauro Picone quien fue designado Jefe de Matemáticas en Catania en 1921. Sin embargo, después de nacer su segundo hijo, Giuseppe Fichera dejó de enseñar en la Universidad convirtiéndose en un maestro de matemática de escuela secundaria. Se vio obligado a esto ya que en ese cargo ganaba más que como asistente en la Universidad y, con una joven familia que mantener, necesitaba mayores ingresos. De todas manera, Giuseppe Fichera siguió siendo amigo cercano de Picone toda su vida y esto debió tener un considerable efecto beneficioso sobre el joven Gaetano. Al tener un excelente matemático como padre, no sorprende que el joven Gaetano rápidamente desarrolló un profundo amor por el tema. Sus estudios secundarios en el liceo local clásico sólo duraron dos años y, en 1937 ingresó a la Universidad de Catania para estudiar matemáticas. Allí fue estudiante de Pia Nalli, quien había sido nombrada Jefe de la Cátedra de Análisis Algebraico en 1927. Ella hizo importantes contribuciones al análisis, particularmente con su artículo “Esposizione e confronto critico delle diverse definizioni proposte per l'integrale definito di una funzione limitata o no” (1914). Pero, cuando estudiaba con ella Fichera, Nalli se interesó en cálculo tensorial. Después de dos años en la Universidad de Catania, Fichera fue a Roma en 1939 para estudiar con Mauro Picone. Obtuvo su licenciatura, con desempeño distinguido, en 1941 y permaneció en Roma como asistente de Picone. También fue investigador en el Istituto Nazionale de Picone per le Applicazioni del Calcolo que tuvo un efecto muy significativo en sus futuros estudios matemáticos [11]:

Esta situación ejerce una influencia considerable en la formación científica de Gaetano Fichera. De hecho, fue en un Instituto donde estudiaron problemas de matemáticas puras junto con otros planteados por la industria, ingeniería y ciencias aplicadas. Por lo tanto, el rendimiento de Gaetano Fichera pertenece en parte a las matemáticas puras, en parte a sus aplicaciones a la física matemática. En estos dos campos obtuvo importantes resultados que le hicieron famoso en todo el mundo de la matemática. Después de que Italia entró en la Segunda Guerra Mundial en junio de 1940, el Instituto trabajó sobre aplicaciones militares como contribución a la guerra. Sin embargo, la guerra tuvo un impacto mayor para el joven Fichera para; en febrero de 1943 cuando llegó a la edad de 21 años, fue llamado a combate. Fichera se negó a alistarse en el ejército italiano porque este colaboraba con la Alemania Nazi. Después de ser llamado por el ejército el 1° de febrero de 1943, Fichera deserta pero fue capturado en septiembre de 1943 por las tropas nazis y encarcelado en Teramo. Por este tiempo Italia se rindió a los aliados y declaró la guerra a Alemania. Después de un tiempo Fichera fue enviado, aún como prisionero de los alemanes pero ahora condenado a muerte, a Verona, pero se las arregló para escapar de allí en su tercer intento y dirigiéndose a la localidad de Emilia-Romagna donde se encontró con un grupo de partidarios (los cuales actuaban como guerrilleros).

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Los partidarios interrogaron a Fichera quien les dijo que él era matemático. Inmediatamente esto les hizo sospechar pero uno del grupo, Giorgio Pescarini, era profesor de matemáticas e interrogó a Fichera para probar si realmente era un matemático. Por supuesto, sus respuestas rápidamente convencieron Pescarini y por lo tanto, a todo el grupo de partidarios, que Fichera decía la verdad. Fichera después en broma comentó que este evento efectivamente demostraba que las matemáticas podían ser útiles en la vida cotidiana. Fichera vivió con los partisanos en Alfonsine cerca de Ravena, luchando contra los alemanes, en tanto el fin de la guerra se acercaba. Se hizo muy amigo de la monja Giocondiana, una enfermera de un hospital local. Las fuerzas alemanas en Italia se rindieron en abril de 1945 y fue declarado el cese al fuego. Uno del grupo de partidarios al cual estaba unido Fichera, describe las últimas horas de la guerra: Apenas nos habíamos acostado cuando oímos el rugido de un avión e inmediatamente se escuchó la explosión de una bomba. No había caído muy lejos de nosotros, pero afortunadamente no hubo ninguna víctima ni ningún daño. Una batería antiaérea, unos cincuenta metros de donde estábamos, abrió fuego luego se detuvo. Fue el último destello de guerra que tuvimos que soportar. La noche siguiente alguien tocó a la puerta: eran tres ingleses que formaban parte de esa batería con dos prisioneros alemanes. Cuando preguntaron si había alguien que hablara inglés, Gaetano se adelantó y habló con los tres soldados británicos en una manera muy normal. Luego se dirigió a los dos alemanes, les habló en su propio idioma, traduciendo lo que decían a los británicos. Acabado el interrogatorio, los británicos agradecieron a Gaetano y a todos nosotros, nos saludaron y se fueron llevando los prisioneros con ellos. Para nosotros fue una agradable sorpresa descubrir que Gaetano, aunque muy joven, así como era un licenciado en matemáticas, podía hablar dos idiomas extranjeros con facilidad, algo muy raro en aquellos días. Después de la rendición alemana, Fichera permaneció en Alfonsine con los partisanos durante varios meses. Se fue junto con la monja Giocondiana a Roma. Se separaron cuando en Roma, Fichera reanudó su trabajo para Picone donde se convirtió en 'Libero Docente' en análisis matemático en 1948. Esto es similar a la habilitación que otorga el derecho a ser conferencista en las universidades. En este mismo año publicó “Teoremi di silenzio sulla frontiera di un dominio por taluni sistemi di funciones” (Teoremas de integridad en el límite de un dominio de ciertos sistemas de funciones). Escribió en la introducción: La primera parte se extenderá por unos teoremas sobre la teoría potencial de las superficies. Luego estableceremos teoremas de singularidad de problemas del valor límite para funciones armónicas consideradas en una cierta clase. Por último, de estos se deducen teoremas de exhaustividad relativos a los espacios de la función de Hilbert para ciertos sistemas de funciones. Los métodos utilizado por Fichera se basaron en los que habían sido desarrollados por su maestro Picone. En 1949 publicó el importante trabajo “Analisi esistenziale per le soluzioni dei problemi al contorno misti relativi all'equazione e ai sistemi di ecuaciones del secondo ordine di tipo ellittico, autoaggiunti”, que trata sobre la unicidad y la existencia de soluciones de ciertos problemas del valor límite mixto. En el mismo año entró en competencia por una Cátedra de Matemática en la Universidad de Trieste. Renato Caccioppoli, quien estaba en la Universidad de Nápoles, fue uno de los árbitros que recomendó a Fichera para este cargo. De hecho también había sido árbitro un año antes cuando Fichera recibió su 'Libero Docente'. Después de esto Fichera y Caccioppoli siguieron siendo amigos hasta la muerte de Caccioppoli en 1959. Mientras en Trieste, conoció a Matelda Colautti; se casaron en 1952 (ella es la autora del libro sobre la vida de Fichera [2]). En 1956 Fichera se mudó a Roma cuando fue nombrado para la Cátedra de Análisis Matemático La Sapienza, en la Universidad de Roma. Tres años más tarde fue ascendido a la Jefatura de Cátedra de Análisis, también en La Sapienza. M. Zerner, en su informe [3], escribe: Gaetano Fichera estaba conectado con el corazón de los acontecimientos importantes que ocurrían en física (sobre todo la elasticidad), el análisis funcional y en la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales y las desigualdades que se llevaron a cabo después de la Segunda Guerra Mundial, muchas de ellas en Italia donde el estudio matemático de la mecánica de medios continuos era una tradición bien establecida. ... Fichera de ninguna manera tenía una visión cerrada del tema y contribuyó en otras áreas de las matemáticas, uno de ellos la teoría de funciones de varias variables complejas... [El artículo Cialdea y Lanzara contiene] una impresionante lista de trabajos de Fichera: 256 artículos publicados entre 1941 y 1999 y 18 libros. Una característica notable es que el ritmo de publicación era ya el mismo antes de la era de "publicar o perecer". Más detalles de su investigación es dada por Giuseppe Grioli en [11]: En matemáticas puras Gaetano Fichera logró resultados considerables en los siguientes campos: problemas del valor de límites mixtos de ecuaciones elípticas; potencial generalizado de una capa simple; ecuaciones elípticas-parabólicas de segundo orden; buen planteamiento de problemas; soluciones débiles; semicontinuidad de integrales cuasi-regulares del cálculo de variacional; aproximación bilateral de los valores propios de un determinado tipo de operadores positivos y cómputo de su multiplicidad; aproximación uniforme de una función compleja f(z); extensión y generalización de la teoría para potenciales de simple y doble capa; especificación de las condiciones necesaria y suficiente para el paso al límite bajo el signo integral para un conjunto arbitrario; funciones analíticas de varias variables complejas; solución del problema de Dirichlet para una función holomorfa en un dominio acotado con un límite conectado, sin las fuertes condiciones asumidas por Francesco Severi en un estudio anterior; construcción de una teoría axiomática abstracta general de formas diferenciadas; prueba de la convergencia de un método aproximado en análisis numérico y límites explícitos para el error.

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Sus trabajos en matemáticas aplicadas y física matemática:

... se refieren a la existencia, la singularidad y la regularidad de las soluciones. Tales estudios consideran sobretodo la teoría matemática de la elastostática lineal, en particular al problema del límite mixto y al de Signorini, que es el problema del equilibrio de un cuerpo elástico con una restricción de apoyo unilateral de una parte de su límite. La situación requiere condiciones de límite expresadas por las desigualdades. Otros estudios consideran que el enfoque de energía se aproxima al problema de Saint-Venant. Numerosos trabajos sobre la teoría de materiales con memoria contienen interesantes observaciones sobre el concepto de 'pérdida de memoria'. Los resultados de Gaetano Fichera en este campo dan información útil sobre la estructura analítica del ' núcleo de memoria'. Algunas investigaciones matemáticas se refieren a la electrología y biología. Además de este trabajo en matemática pura y física matemática, Fichera también hizo algunas contribuciones importantes a la historia de las matemáticas. Escribió sobre la vida y obra de un número de matemáticos: Solomon Grigoryevich Mikhlin, Francesco Severi, Guido Fubini, Luigi Fantappiè, Pia Nalli, Mauro Picone, Francesco Giacomo Tricomi, Alexander Weinstein, Vito Volterra, Renato Caccioppoli, Bruno de Finetti y Maria Adelaide Sneider. También escribió un valioso estudio sobre Arquímedes. Fichera fue un profesor excepcional, dando conferencias valiosas fascinantes. Fue un muy buen trabajador, y esto se reflejaba en sus conferencias que él revisaba cada año. Siempre dijo que cualquier maestro que da las mismas conferencias dos años seguidos es perezoso. Wolfgang Wendland, quien era un estudiante de Fichera, escribe en [25]:

Fue un ser extraordinario, muy caballero, muy hermoso e impresionante, era educado y amable con nosotros los jóvenes; incluso cuidadoso de nuestros trabajos y daba consejos en las discusiones. Sus conferencias eran preparadas y decoradas con buen gusto, expresadas elegantemente con brillante claridad. Publicó varios libros de texto basados en las conferencias que había pronunciado y las monografías realizadas sobre su la labor de investigación en su tiempo en Roma. Publicó “Lezioni sulle trasformazioni lineari. Introduzione all'analisi lineare”, el primer volumen de una obra de tres volúmenes previstos, en 1954:

A través del libro el autor da especial atención a los métodos y resultados con aplicaciones en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales. También en 1954, Fichera publicó el volumen dos de “Trattato di analisi matematica”. En 1965 publicó “Sistemas diferenciales lineales elípticos y problemas de valor propio”. H. F. Weinberger comienza un informe sobre el mismo de la siguiente manera:

Estas notas de la conferencia se dedicaron a dos temas estrechamente relacionados: la teoría de los problemas del valor límite elíptico y la aproximación de valores propios de los operadores elípticos. El Logro más notable del autor es la presentación, en un estilo lúcido accesible a cualquier estudiante graduado con cierta familiaridad con el análisis funcional, de la teoría de

regularidad L2 de sistemas elípticos en dominios acotados. En 1967, en conjunto con Luciano de Vito, publicó “Funzioni analitiche di una variabile complessa”. En el siguiente año publicó una serie de lecciones titulada “Lezioni sulla teoria spettrale degli operatori”:

En este conjunto detallado de conferencias, el autor comienza con la definición de un espacio de Hilbert. Desarrolla las propiedades geométricas elementales y culmina con las pruebas de los teoremas espectrales para Hermitianos y de operadores unitarios. Publicó en 1978 una traducción al Inglés de su texto en Italiano de 1974, titulándolo “Numerical and quantitative analysis” (Análisis numérico y cuantitativo). Sin embargo, la edición en inglés contiene capítulos extras que permitieron actualizar dicho libro. Alan Andrew escribe en un informe sobre el mismo:

Este libro tiene éxito en su objetivo principal que es dar un resumen sistemático de la investigación del autor y sus alumnos desde la década de 1950. Para poner sus resultados en perspectiva, se discuten los resultados pertinentes de los demás cuando es procedente. El énfasis está en la obtención de límites rigurosos para cantidades deseadas. Esto contrasta con muchos trabajos actuales sobre ecuaciones diferenciales donde "límites de error" comúnmente involucran constantes no especificadas. La mayoría de la obra del autor ha sido formulada en un entorno bastante abstracto pero se acentúan los aspectos prácticos aquí. ... El libro contiene importantes resultados previamente diseminadas en una amplia literatura. [Este libro] proporciona una referencia compacta y conveniente que será útil para los investigadores en áreas relacionadas con las comprendidas aquí. Debería estar en todas las bibliotecas universitarias. En 1985 Fichera publicó otro libro basado en sus conferencias sobre física matemática, titulado “Problemi analitici nuovi nella fisica matematica classica”. Trata varios temas diferentes de elasticidad lineal.

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Fichera fue miembro de la Accademia Nazionale dei Lincei y recibió su prestigioso Premio Antonio Feltrinelli en 1976. Fue elegido a la Academia Nacional de Ciencias de Italia (la "Academia de cuarenta"), la Academia de Ciencias de Turín, la Academia de Palermo, la Academia de Bolonia, el Instituto Lombardo, la Academia Peloritana, la Academia Zelantea, la Academia de Módena, la Academia Gioenia, la Academia Alemana de Ciencias Leopoldina, la Real Sociedad de Edimburgo, la Academia Europea, la Academia Rusa de Ciencias y la Academia de Ciencias de Georgia. De hecho él fue electo Compañerismo Honorario de la Real Sociedad de Edimburgo en 1976. Se le otorgó la Medalla Ivane Javakhishvili por la Universidad Estatal de Tbilisi en 1982 y la Medalla de la Università por el di de Stranieri Perugia en 1993. Recibió el Premio del Ministro de Educación italiano en 1961, y la Medalla de Oro della Benemeriti Scuola, della Cultura, dell'Arte de parte del Presidente de la República italiana en 1979.

Referencias.- Libros: 1. A Cialdea (ed.), Homage to Gaetano Fichera (Seconda Univ. Napoli, Caserta, 2000). 2. M Colautti Fichera, ... ed è subito sera... La lunga, brevissima vita di Gaetano Fichera (Rome, 2007). Artículos: 3. A Cialdea and F Lanzara, Some contributions of G Fichera to the theory of partial differential equations, in Homage to Gaetano Fichera (Seconda Univ. Napoli, Caserta, 2000), 79-143. 4. M Colautti Fichera, Elenco delle pubblicazioni di Gaetano Fichera, Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Rendiconti Lincei, Matematica e Applicazioni 9 8 (1) (1997), 14-33. 5. C Cosentini, Ricordo del Prof. Gaetano Fichera, socio d'onore (Italian),Memorie e Rendiconti della Accademia di scienze, lettere e belle arti degli Zelanti e dei Dafnici, Serie IV 6 (1996), 429-434. 6. D Galletto, Ricordo di Gaetano Fichera a dieci anni dalla morte, Atti Ufficiali dell'Accademia delle Scienze di Torino 2004-2006 (2007), 135-142. 7. A M Gasca, Gaetano Fichera (1922-1996), Lettera dall'Italia 11 (43-44) (1996), 114-115. 8. G Grioli, Remembrance of Gaetano Fichera (Italian), Ann. Mat. Pura Appl.(4) 174 (1998), iii-iv. 9. G Grioli, In memoriam Professor Gaetano Fichera (1922-1996), GAMM Mitt. Ges. Angew. Math. Mech. 21 (1) (1998), 7-8. 10. G Grioli, Ricordo di Gaetano Fichera [1922-1996], Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. Appl. (5) 20 (1) (1996), 221-224. 11. G Grioli, Gaetano Fichera (1922-1996), Meccanica 32 (1997), 259-260. 12. A Kósa, Mauro Picone e Gaetano Fichera, Italia & Italy (30 March 2006), 36-38. 13. P Lax, Thoughts on Gaetano Fichera, Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. Appl. (5) 30 (2006), 1. 14. List of publications of Gaetano Fichera, Appl. Anal. 65 (1-2) (1997), 3-18. 15. V Maz'ya, In memory of Gaetano Fichera, in P E Ricci (ed.), Problemi attuali dell'analisi e della fisica matematica, Taormina, 1998 (Aracne, Rome, 2000), 1-4. 16. C S Morawetz, A memory of Gaetano Fichera, Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. Appl. (5) 30 (2006), 3-5. 17. U Mosco and P E Ricci, Volume dedicated to Gaetano Fichera, Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. Appl. (5) 30 (2006), vii-ix. 18. F Nicolosi and P E Ricci, In memory of Gaetano Fichera (Italian),Matematiche (Catania) 62 (2) (2007), 3-5. 19. O A Oleinik, The scientific work of Gaetano Fichera, in Problemi attuali dell'analisi e della fisica matematica, Taormina, 1992 (Univ. Roma 'La Sapienza', Rome, 1993), 7-29. 20. On the 80th birthday of Gaetano Fichera, in Homage to Gaetano Fichera(Seconda Univ. Napoli, Caserta, 2000), xi-xiv. 21. P E Ricci and R P Gilbert, A short biography of Gaetano Fichera [1922-1996],Appl. Anal. 65 (1-2) (1997), 1-2. 22. R S Rivlin, Biography: Gaetano Fichera, Applicable Anal. 15 (1-4) (1983), 3-6. 23. G Salvini, Salute to Gaetano Fichera on his 70th birthday (Italian), in Problemi attuali dell'analisi e della fisica matematica, Taormina, 1992 (Univ. Roma 'La Sapienza', Rome, 1993), 1-6. 24. G Tomassini, Gaetano Fichera's contribution to complex analysis (Italian), inHomage to Gaetano Fichera (Seconda Univ. Napoli, Caserta, 2000), 325-333. 25. W Wendland, In memory of Gaetano Fichera, Matematiche (Catania) 62 (2) (2007), 7-9.

Versión en español por R. Ascanio H. del artículo en inglés de J. J. O’Connor y E. F. Robertson sobre “Gaetano Fichera” (Julio 2012). Fuente: MacTutor History of Mathematics. [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/References/Fichera.html]