Kalenderblätter 1001 - 1111
Ich übergebe sie mit zweifelhaften Gefühlen der Öffentlichkeit. Daß es dieser Arbeit in ihrer Dürftigkeit und der Finsternis dieser Zeit beschieden sein sollte, Licht in ein oder das andere Gehirn zu werfen, ist nicht unmöglich; aber freilich nicht wahrscheinlich. [Ludwig Wittgenstein: Philosophische Untersuchungen]
1001 120301 Mathematik für die ersten Semester: Top 10 1002 120302 The devil's offer 1003 120303 Enderton: Formulierungen des Auswahlaxioms 1004 120304 Heuser, Antisthenes 1005 120305 Rucker 1006 120306 Cantors Weltbild (33): Fest und unerschütterlich 1007 120307 V und Ù 1008 120308 Konstruierbar und unkonstruierbar 1009 120309 Moore 1010 120310 Cantors Weltbild (34): Verallgemeinerung des Zahlbegriffs 1011 120311 Syllogismus auf Griechisch 1012 120312 Grattan 1013 120313 Dummett 1014 120314 7. Auflage der Geschichte des Unendlichen, 3 Exemplare zu verschenken 1015 120315 Engel und große Kardinalzahlen 1016 120316 Opinions on continuum hypothesis and inaccessible cardinals 1017 120317 Schröter über Fischer 1018 120318 Fischer 1019 120319 Fischer 1020 120320 Fischer 1021 120321 Hilbert, Slater 1022 120322 Voltaire 1023 120323 Tait 1024 120324 Moore 1025 120325 Nietzsche 1026 120326 Taschner 1027 120327 Boolos 1028 120328 Kant, Galletti 1029 120329 Cantors Weltbild (35): Racenantisemitismus 1030 120330 Nietzsche über das Christentum, Cantor 1031 120331 Ramsey über Formalismus 1032 120401 In Sachen Georg Cantor 1033 120402 Corazza 1034 120403 Cattabriga 1035 120404 Mengenfolgen und Supertasks (1) 1036 120405 Mengenfolgen und Supertasks (2) 1037 120406 Mengenfolgen und Supertasks (3) 1038 120407 Mengenfolgen und Supertasks (4) 1039 120408 Mengenfolgen und Supertasks (5) 1040 120409 Mengenfolgen und Supertasks (6) 1041 120410 Mengenfolgen und Supertasks (7) 1042 120411 Mengenfolgen und Supertasks (8) 1043 120412 Mengenfolgen und Supertasks (9) 1044 120413 Mengenfolgen und Supertasks (10) 1045 120414 Kant, Gladis, Rosenthal 1046 120415 Gödels Geist in Ruckers Mindscape 1047 120416 Problem mit dem Begriff der Abzählbarkeit 1048 120417 Pascal 1049 120418 Slater, Koskensilta 1050 120419 Ramsey, Priest 1051 120420 Laotse, Adams, Schinkensemmel-Assoziation 1052 120421 Cantors Weltbild (36): Vom Sein des Seins - Heidegger, Sartre 1053 120422 Anwendungen der Mengenlehre (1) 1054 120423 Anwendungen der Mengenlehre (2) 1055 120424 Anwendungen der Mengenlehre (3) 1056 120425 Anwendungen der Mengenlehre (4) 1057 120426 Anwendungen der Mengenlehre (5) 1058 120427 Anwendungen der Mengenlehre (6) 1059 120428 Anwendungen der Mengenlehre (7) 1060 120429 Anwendungen der Mengenlehre (8) 1061 120430 Hume 1062 120501 Descartes 1063 120502 Spinoza, Gottesbeweis aus der Mengenlehre 1064 120503 Locke, über ω hinweg 1065 120504 Potentiell versus aktual (1) 1066 120505 Potentiell versus aktual (2) 1067 120506 Potentiell versus aktual (3) 1068 120507 Potentiell versus aktual (4) 1069 120508 Potentiell versus aktual (5) 1070 120509 Potentiell versus aktual (6) 1071 120510 Potentiell versus aktual (7) 1072 120511 Potentiell versus aktual (8) 1073 120512 Potentiell versus aktual (9) 1074 120513 Potentiell versus aktual (10) 1075 120514 Potentiell versus aktual (11) 1076 120515 Cantors Weltbild (37): Die Realität der Mathematik 1077 120516 Cantors Weltbild (38): Die Realität transfiniter Zahlen 1078 120517 Novalis 1079 120518 Undefinierbare Definitionen können geordnet werden 1080 120519 Rucker: Gödel 1081 120520 Hegel 1082 120521 Hegel 1083 120522 Hilbert, Slater 1084 120523 Cantor: Axiome 1085 120524 Reeken, Robinson, Gödel 1086 120525 Cantors Weltbild (39): Giganten 1087 120526 Abian: Inaccessible cardinal numbers, Widerspruch in ZFC 1088 120527 Cantors Pfingstepistel 1089 120528 St. Thomas Aquinas: Von der Menge der Engel 1090 120529 Die Hierarchien der Engel und der Kardinalzahlen 1091 120530 Anti-Überabzählbarkeitsbeweis 1092 120531 Grenzwert geschlossener Intervalle, Grelling-Nelson Antinomie 1093 120601 Rückblick 1094 120602 Locke, Mill 1095 120603 Slater, Priest 1096 120604 Rucker 1097 120605 Sollten Zahlen definierbar sein? 1098 120606 Cantors Weltbild (40): Anglophilie 1099 120607 Are real numbers countable in constructive mathematics? 1100 120608 Ramsey Priest 1101 120609 Moore 1102 120610 Open letter 1103 120611 MatheRealismus (1) 1104 120612 MatheRealismus (2) 1105 120613 MatheRealismus (3) 1106 120614 MatheRealismus (4) 1107 120615 MatheRealismus (5) 1108 120616 MatheRealismus (6) 1109 120617 MatheRealismus (7) 1110 120618 MatheRealismus (8) 1111 120619 Valet!
1001 Das Kalenderblatt 120301
"Mathematik für die ersten Semester" http://www.hs-augsburg.de/einrichtung/presse/mitteilungen_2012/feb/2012_02_03/index.html eines der erfolgreichsten Mathematiklehrbücher http://issuu.com/oldenbourg/docs/owv_mint_verlagsvorschau_120109_web/42?mode=a_p ist in dritter Auflage erschienen: http://www.oldenbourg-verlag.de/wissenschaftsverlag/mathematik-ersten- semester/9783486708219
1002 Das Kalenderblatt 120302
Ms C dies and goes to hell, or to a place that seems like hell. The devil approaches and offers to play a game of chance. If she wins, she can go to heaven. If she loses, she will stay in hell forever; there is no second chance to play the game. If Ms C plays today, she has a 1/2 chance of winning. Tomorrow the probability will be 2/3. Then 3/4, 4/5, 5/6, etc., with no end to the series. Thus every passing day increases her chances of winning. At what point should she play the game? The answer is not obvious: after any given number of days spent waiting, it will still be possible to improve her chances by waiting yet another day. And any increase in the probability of winning a game with infinite stakes has an infinite utility. For example, if she waits a year, her probability of winning the game would be approximately .997268; if she waits one more day, the probability would increase to .997275, a difference of only .000007. Yet, even .000007 multiplied by infinity is infinite. On the other hand, it seems reasonable to suppose the cost of delaying for a day to be finite - a day's more suffering in hell. So the infinite expected benefit from a delay will always exceed the cost. This logic might suggest that Ms C should wait forever, but clearly such a strategy would be self defeating: why should she stay forever in a place in order to increase her chances of leaving it? So the question remains: what should Ms C do?' [E.J. Gracely: "Playing games with eternity: The devil's offer", Analysis 48.3 (1988) p. 113] http://www.balliol.ox.ac.uk/sites/default/files/Dudman-1988-Indicative-and-Subjunctive.pdf
Die Sentenz zu ewiger Verdammnis - eine der wenigen praktischen Anwendungen der transfiniten Mengenlehre.
1003 Das Kalenderblatt 120303
The following statements are equivalent. (1) Axiom of choice, I. For any relation R there is a function F Œ R with domF = domR. (2) Axiom of choice, II; multiplicative axiom: The Cartesian product of nonempty sets is always nonempty. That is, if H is a function with domain I and if (" i œ I) H(i) ∫ «, then there is a function f with domain I such that (" i œ I) f(i) œ H(i). (3) Axiom of choice, III. For any set A there is a function F (a "choice function" for A) such that the domain of F is the set of nonempty subsets of A, and such that F(B) œ B for every B Œ A. (4) Axiom of choice, IV. Let A be a set such that (a) each member of A is a nonempty set, and (b) any two distinct members of A are disjoint. Then there exists a set C containing exactly one element from each member of A (i.e., for each B œ A the set C … B is a singleton {x} for some x). (5) Cardinal comparability. For any sets C and D, either C Ç D or D í C. For any two cardinal numbers κ and λ, either κ § λ or k ¥ λ. (6) Zorn's lemma. Let A be a set such that for every chain B Œ A, we have »B œ A. (B is called a chain iff for any C and D in B, either C Œ D or D Œ C.) Then A contains an element M (a "maximal" element) such that M is not a subset of any other set in A.
(6) fl (1) The strategy behind this application (and others) of Zorn's lemma is to form a collection A of pieces of the desired object, and then to show that a maximal piece serves the intended purpose. In the present case, we are given a relation R and we choose to define A = {f Œ R | f is a function}. Before we can appeal to Zorn's lemma, we must check that A is closed under unions of chains. So consider any chain B Œ A. Since every member of B is a subset of R, »B is a subset of R. To see that »B is a function, we use the fact that B is a chain. lf ‚x, yÚ and ‚x, zÚ belong to »B, then ‚x, yÚ œ G œ B and ‚x, zÚ œ H œ B for some functions G and H in A. Either G Œ H or H Œ G; in either event both ‚x, yÚ and ‚x, zÚ belong to a single function, so y = z. Hence »B is in A. Now we can appeal to (6), which provides us wich a maximal Function F in A. We claim that domF = domR. For otherwise take any x œ domR \ domF. Since x œ domR, there is some y with xRy. Define F' = F » {‚x, yÚ}. Then F' œ A is contradicting the maximality of F. Hence domF = domR.
We can give a plausibility argument for Zorn's lemma as follows. A cannot be empty, because « is a chain and so «= »« œ A. Probably « is not maximal, so we can choose a larger set. If that larger set is not maximal, we can choose a still larger one. After infinitely many steps, even if we have not found a maximal set we have at least formed a chain. So we can take its union and continue. The procedure can stop only when we finally reach a maximal set {{oder auch niemals?}}. So if only we are patient enough, we should reach such a set. {{Und wieder bewährt sich ein Sprichwort: Geduld bringt Rosen, vielleicht sogar vollständige Bäume.}}
The following example is due to Russell. If we have ¡0 pairs of shoes, then we can select one shoe from each pair without using the axiom of choice. We simply select the left shoe from each pair. But if we have ¡0 pairs of socks, then we must use the axiom of choice if we are to select one sock from each pair. For there is no definable difference between the two socks in a pair. {{Das ist eine ganz unbegründete Annahme, denn sie gilt ja nur für endlich viele Socken. Jeder wird Unterschiede finden, spätestens sobald er feststellt, dass er schon unendlich viele Socken verglichen hat.}}
[H.B. Enderton, Elements of Set Theory". Academic Press, New York (1977) p. 151ff] http://www.mediafire.com/?9rmzmacejqi
Mit dem Auswahlaxiom kann man zu jeder reellen Zahl des Einheitsintervalls n beliebige reelle Zahlen > 1 assoziieren. Damit erhält man überabzählbar viele Mengen von jeweils n Zahlen. Es ist nicht möglich, diese Mengen in der Reihenfolge ihrer Maximalelemente zu ordnen oder gar wohlzuordnen, denn es gibt nicht genügend viele endliche, also angebbare Bezeichnungen. Bleibt nur der Beweis durch Behauptung (aka Axiom). Deswegen ist auch die folgende Bemerkung verständlich:
Historically the axiom of choice has had a unique status. Initially some mathematicians objected to the axiom, because it asserts the existence of a set without specifying exactly what is in it. To this extent it is less "constructive" than the other axioms. {{Nein, daran liegt es gar nicht. Viel schlimmer ist der Beweis, dass dieses Axiom geradezu das Gegenteil mathematisch möglicher Wahrheit wäre, wenn die Mengenlehre mathematische Wahrheit wäre.}} Gradually the axiom has won acceptance (at least acceptance by most mathematicians willing to accept classical logic {{und unfähig diese anzuwenden}}). But it retains a slightly tarnished image, from the days when it was not quite respectable {{Niveaulimbo}}. [H.B. Enderton, Elements of Set Theory". Academic Press, New York (1977) p. 154]
1004 Das Kalenderblatt 120304
"Vier Bewegungstheoreme", schreibt Aristoteles, "hat Zenon aufgestellt, die den Widerlegungsversuchen große Mühe machen." Als der Sokratesjünger Antisthenes, ein naturbelassener Geselle, der leicht ohne Logik und Körperpflege auskam, mit der Widerlegung kein Glück hatte, versuchte er es mit einer sensualistischen Überrumpelung: Er demonstrierte "Bewegung", indem er einfach nur ging - hin und her, her und hin, auf und ab; es muss sehr beeindruckend gewesen sein. Parmenides aber hätte sich vor Lachen nicht halten können, vor Lachen über diesen "Verblödeten" der vom Trug der Sinne offenbar so wenig gehört hatte wie von geregelten Waschungen. [H. Heuser, "Unendlichkeiten" Teubner, Wiebaden (2008) p. 85]
Genau so triumphiert heute Zermelos Beweis der Wohlordbarkeit einer jeden Menge über die Schwäche des gebrechlichen Körpers und der unscharfen Sinne, welche die beweisbare und bewiesene Wohlordnung bei manchen Mengen einfach nicht zustande bringen wollen. Doch was, wenn auch die Logik als bloßer Bewusstseinsinhalt dem Trug der Sinne nicht entzogen wäre? Bliebe dann als verlässliche Konstante im Weltgefüge gar nichts weiter übrig als die dünkelhafte Dämlichkeit lachender Logiker?
Bedauerlicherweise vermittelt Heusers Beschreibung einen völlig falschen Eindruck von Antisthenes. Deshalb hier ein paar richtigstellende Fakten aus http://de.wikipedia.org/wiki/Antisthenes dort findet man auch ein Bild, das nach den Maßstäben von Lavater http://de.wikipedia.org/wiki/Lavater http://gutenberg.spiegel.de/buch/752/1 einen eher geistvollen Menschen zeigt.
Antisthenes war der Begründer des Kynismus (Ausgangspunkt der kynischen Lehre ist ein ethischer Skeptizismus). Einem Lobredner des luxuriösen Lebens bemerkte er: "Meinen Feinden wünsche ich, dass ihre Kinder in Luxus leben!" Er teilte die (für die griechische Oberschicht untypische) Ansicht des Sokrates, dass anstrengende Arbeit etwas Gutes sei. Xenophon beschreibt in seinem "Gastmahl" wie Antisthenes gemeinsam mit Sokrates an einem philosophischen Gespräch teilnimmt, wobei sich zeigt, dass Antisthenes aus eigener Initiative heraus kritische Beiträge leistet. Antisthenes wandte sich gegen jede Selbstüberhebung im geistigen Bereich und gegen jegliche Übertreibung in der materiellen Lebensführung. Den Athenern riet er provokativ, durch Volksbeschluss Esel zu Pferden zu erklären - und antizipierte damit die modernen Axiomatiker.
1005 Das Kalenderblatt 120305
Dedekind, on the other hand, accepted the actually infinite sets of the cut as fundamental. Whether or not one has a particular trick for constructing a length that drops a point down into the cut's gap is immaterial. All the different actually infinite cut-sets exist in the Mindscape, and all the real numbers are already there, whether or not they can be finitely named or constructed. The point is that the only way to get a stable mathematical representation of the notion "arbitrary real number" is to represent real numbers by actually infinite sets. There is no other way to get an absolute foundation of the real number System in terms of discrete mathematical objects.
{{Diese Aussage ist falsch. Selbstverständlich gehören alle Dedekind-Schnitte und damit alle reellen Zahlen, die jemals als Individuen in mathematischem oder anderem Kontext auftreten können, zu einer abzählbaren, sogar zu einer nur potentiell unendlichen Menge. Ordnungstheoretisch ist bekannt, dass alle Ordnungsmerkmale endlich darstellbar sein müssen, mathematisch ist bekannt, dass alle endlich darstellbaren Merkmale zu einer abzählbaren Menge gehören, und physikalisch ist bekannt, dass nicht einmal ein räumlich, zeitlich und von der sonstigen Dimensionszahl unendliches Universum überabzählbar viele unterscheidbare Punkte enthalten kann, geschweige denn eine ohne supernaturale Mittel erzeugte "Mindscape".}}
Once we realize that the irrational numbers are fundamentally infinite, in that they can be fully grounded only on a theory of infinite sets [...]
{{Diese Aussage ist falsch. Der Glaube ans Unendliche dient zwar vielen als ein probates Mittel, Enttäuschungen zu verarbeiten - woraus wieder andere Nutzen ziehen. Das ist in den meisten Religionen nicht anders als in der Matheologie. Irrationale Zahlen wie π oder ◊2 sind aber ebenso endlich wie jedes zur Identifikation dienende Informationsgefüge. Lediglich der Versuch, sie als Brüche auszudrücken, muss scheitern, wie wir seit Hippasos wissen (sollten).}}
[Rudy Rucker: "Infinity and the Mind", Princeton University Press, Princeton (2005), p. 63f]
1006 Das Kalenderblatt 120306 Cantors Weltbild (33): Fest und unerschütterlich
Die vielleicht bemerkenswerteste Stelle in den Entwürfen zu diesen Briefen aber hat Heman wohl nie zu Gesicht bekommen, da Cantor sie im Briefbuch wieder gestrichen hat. Zweifel an der Gültigkeit seiner Worte waren es gewiß nicht, die Cantor bewogen haben, diese Sätze fortzulassen. [H. Meschkowski, W. Nilson (Herausgeber): "Georg Cantor Briefe", Springer, Berlin (1991) p. 297]
Ich wundere mich nicht, daß noch kein ernstlicher Versuch gemacht worden ist, mich zu widerlegen; denn meine Lehre steht felsenfest, jeder gegen sie gerichtete Pfeil wird auf den Schützen selbst zurückschnellen. Woher ich dies weiß? Weil ich sie nach allen Beziehungen seit vielen Jahren erprobt, alle Einwände, die je gegen die unendlichen Zahlen gemacht worden sind, geprüft habe und vor allem, weil ich ihre Wurzeln gewissermaaßen bis zur ersten untrüglichen Ursache alles creatürlichen Seins verfolgt habe." [Entwurf eines Briefes von Cantor an Heman, 1887, wieder gestrichen.]
{{Diese feste Überzeugung wird auch von vielen seiner seinen Anhänger geteilt. Hier ein Beispiel:}} The notion of infinite sets appears to be logically consistent, so the finitist can never prove that infinite sets do not exist. [...] In pre-Cantorian times finitists sometimes thought that they had proved the impossibility of actually infinite sets. These proofs, however, were always fallacious. [Rudy Rucker: "Infinity and the Mind", Princeton University Press, Princeton (2005), p. 42]
{{Dass diese Aussagen falsch sind, wird schon durch die Notwendigkeit des Unendlichkeits- axioms bewiesen (wobei nicht einmal hervorgehoben werden muss, dass das Axiom im Widerspruch zur gängigen Mathematik steht, zum Beispiel zum Kontinuitätsprinzip: Es ist unmöglich im Binären Baum überabzählbar viele Pfade zu konstruieren, ohne zuvor abzählbar unendlich viele konstruiert zu haben). Die von Rucker verächtlichten Beweise sind ebenso richtig wie die Beweise gegen das rosafarbene Einhorn, das seine Existenz bekanntlich allein durch entsprechende Axiome nachweisen könnte.}}
Was Herr Veronese darüber in seiner Schrift giebt, halte ich für Phantastereien und was er gegen mich darin vorbringt, ist unbegründet. Ueber seine unendlich großen Zahlen sagt er, daß sie auf anderen Hypothesen aufgebaut seien, als die meinigen. Die meinigen beruhen aber auf gar keinen Hypothesen, sondern sind unmittelbar aus dem natürlichen Mengenbegriff abgezogen; sie sind ebenso nothwendig und frei von WiIlkür, wie die endlichen ganzen Zahlen. [Cantor an Killing, 5. 4. 1895]
{{Ohne Unendlichkeitsaxiom keine aktuale Unendlichkeit - und mit auch nicht.}}
1007 Das Kalenderblatt 120307
We know that the class V of all sets is not a set {{denn sie müsste eine größere Kardinalzahl besitzen, als sie besitzt}}. V is not the form of a possible thought. This means that whenever a person believes himself to be thinking of the true V, he is deluded. [Rudy Rucker: "Infinity and the Mind", Princeton University Press, Princeton (2005), p. 202]
Wir wissen, dass die Klasse aller natürlichen Zahlen keine Menge ist, denn sie müsste eine unnatürliche Zahl von Elementen haben, was, da die natürlichen Zahlen sich selbst abzählen, unmöglich ist. This means that whenever a person believes himself to be thinking of the true Ù, he is deluded.
NN: Falsch! Ich kann von jeder natürlichen Zahl entscheiden, dass sie eine natürlich Zahl ist. WM: Und ich kann von jeder Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten entscheiden, dass sie eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten, also eine Menge ist. "Jede" ist eben nicht dasselbe wie "alle".
1008 Das Kalenderblatt 120308
Dem vermeintlichen Widerspruch zwischen Cantors Diagonalverfahren und der Richardschen Antinomie von den Dezimalbrüchen seien im Anschluß an Poincaré noch einige klärende Bemerkungen angefügt. Beide Behauptungen sind richtig, der Widerspruch ist nur ein scheinbarer. Cantors Beweis zeigt ja nur die Unmöglichkeit einer Zuordnung zwischen den natürlichen Zahlen und den unendlichen Dezimalbrüchen von folgender Art: einer gegebenen Zahl entspricht ein Dezimalbruch, der durch jene völlig festgelegt ist und von vornherein bestimmt werden kann {{durch eine endliche Definition, die eine endliche Nummer trägt}}; ebenso wird umgekehrt jedem vorgelegten Dezimalbruch eine von ihm allein abhängige, in derselben Weise festlegbare Zahl zugeordnet. Dieser Charakter der Zuordnung drückt namentlich aus, daß durch die Vorschrift, wonach einer bestimmten Zahl (etwa der Zahl 1000) ein gewisser Dezimalbruch zugehört, sich nichts mehr ändern kann an den Zuordnungen zwischen allen Zahlen unter 1000 und den ihnen entsprechenden Dezimalbrüchen (wie überhaupt an allen anderen Zuordnungsvorschriften) {{das gilt bis zu jeder vorgelegten natürlichen Zahl, aber eben nicht für alle, denn bekanntlich gibt es keine letzte - und "jede" ist etwas anderes als "alle", weil auf ausnahmslos jede noch fast alle folgen}}. Eine Zuordnung dieser Art ist nach Cantor unmöglich, wenn man die Menge aller Dezimalbrüche der der ganzen Zahlen gegenüberstellt; es bleiben vielmehr immer Dezimalbrüche übrig, denen keine ganze Zahl entspricht. {{Nach jeder natürlichen Zahl n folgt noch einen natürliche Zahl 10n. Wer das vergisst, verdrängt oder bewusst verleugnet und meint, es gäbe eine natürliche Zahl, nach der das nicht mehr gölte, kann sehr in die Irre gehen. Das zeigt Cantors Satz.}} Von durchaus anderer Art ist die Zuordnung, um die es sich bei Richard handelt. Hat man hier den ganzen Zahlen die dem ersten Anschein nach "endlich definierbaren“ Dezimalbrüche zugeordnet, so zeigt sich alsbald. daß noch nicht alle Dezimalbrüche erfaßt sind: nämlich jedenfalls noch nicht diejenigen, in deren Definition die soeben hergestellte Zuordnung ihrerseits etwa unvermeidbar eingeht (z. B. nach dem Diagonalverfahren). Nimmt man diese "neuen“, jetzt ebenfalls endlich definierbaren Dezimalbrüche hinzu, so bleibt Richards Beweis immer noch gültig, also auch die vergrößerte Menge von Dezimalbrüchen noch abzählbar. Um aber all diese Dezimalbrüche den natürlichen Zahlen zuzuordnen, muß man natürlich die alte Zuordnung zerstören und an ihre Stelle eine von Grund auf neue setzen, die einem beliebigen Dezimalbruch jetzt im allgemeinen eine andere Zahl entsprechen läßt als vorher; {{Man könnte die Liste beliebig weit in die negativen Zahlen verlängern. Dann bliebe alles an seinem Platz und jede Diagonalzahl fände ihren Platz.}} der Sachverhalt ist genau entsprechend, wie man zwecks Zuordnung der rationalen zu den natürlichen Zahlen nicht etwa von einer Zuordnung zwischen den ganzen Zahlen und den natürlichen ausgehen kann, um hieran eine Ergänzung anzuflicken, sondern die alte Zuordnung total auflösen und durch eine völlig neue ersetzen muß. Man ist freilich mit der angegebenen Vervollständigung der Richardschen Zuordnung noch nicht am Ende angelangt, sondern sieht jetzt die erst mittels der neuen Zuordnung definierbaren Dezimalbrüche noch unbewältigt vor sich auftauchen; um auch sie noch in eine Abzählung mit einzuordnen, ist abermals eine von Grund auf neue Zuordnung zu konstruieren. Usw. Cantors Satz von der Nichtabzählbarkeit der Menge aller Dezimalbrüche besagt somit nichts anderes, als daß dieses Verfahren sich endlos fortsetzen läßt, ohne jemals zu einem Abschluß zu gelangen; jeder neue Versuch, durch Herstellung einer nunmehr ausreichenden Zuordnung endgültig der Hydra den Kopf abzuschlagen, zeitigt automatisch das Erscheinen mindestens eines neuen Kopfes. {{So ist das mit dem Unendlichen. Es geht immer noch weiter.}} [Adolf Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre", 3. Aufl., Springer, Berlin (1928) p. 215ff]
1009 Das Kalenderblatt 120309
Ultimately, there is a genuine paradox here. The point is this: in framing an appropriate response to the Löwenheim-Skolem theorem, we are forced to think self-consciously about the intended interpretation of the language of ZF [...] we use 'Set' when referring to Sets and 'member' when refering to their members. [...] The important point is that we use them to deal with all the Sets [...] by saying that our subject matter is the full hierarchy. But what kind of thing is the full hierarchy? Is it a thing at all? Presumably not, if there is no Set of all Sets. For a hierarchy can have no more definite an existence than the collection of things within it. But then with what right do we refer to the full hierarchy (as I have done several times throughout the last two chapters)? Surely not with any, if what we say is to be taken at face value. But how else is it to be taken? What is going on in these constant allusions? What are we doing when we - so we think - contrast the full hierarchy with small portions of it? Once again, it seems that we may be trying to express the inexpressible. The discussion here is indeed intimately related to the earlier discussion of scepticism. For it is the same compelling urge to step back and reflect self-consciously on our own set-theoretical practice that makes us think both that there must be a definite grouping together of all that we are dealing with and, correlatively, that this grouping together might exclude what it could just as well have included (indeed will do so; it will exclude itself). The thought persists that we have a limited point of view, though there is no satisfactory way of saying so. To be sure, we could just hold back from referring to the full hierarchy, and at the same time resist the temptation to entertain such thoughts. Or we could allow ourselves to refer to it, and then attempt to explain how what we are saying is not, after all, to be taken at face value: It is a facon de parler, to be paraphrased in this or that way. [...] But our self-consciousness will continue to whittle us. Our problem is, in a sense, the problem of the infinite. It rests on the fundamental paradox of the one and the many, that we both do and do not want to recognize unity in (truly) infinite multiplicity - or, more dramatically, that we seem both compelled to recognize unity there and compelled not to. We are also, of course, in the realm of the paradoxes of thought about the infinite. We seem forced to recognize the full hierarchy of Sets as something that we cannot - and a fortiori cannot be forced to - recognize as anything. Again, when we deny that there is a Set of all Sets, it seems fundamentally different from denying that there is a little green Martian behind the settee. We have a real sense of first getting into focus (seeing and acknowledging) what it is whose existence we are about to deny, then thinking, 'It is this - the totality of what we are talking about when we engage in Set theory, our very subject matter conceived as a whole - this which does not exist.' But this is absurd, just as it is absurd to suppose that we can grasp the (truly) infinite as that which is ungraspable. Yet this is what we seem to have done. We seem to have focused attention on the (truly) infinite as something that is not even there. [...] Somehow we have to come to terms with the fact that there is, strictly speaking, no hierarchy. [A.W. Moore: “The Infinite”, 2nd ed., Routledge, New York (2005) p. 170f]
1010 Das Kalenderblatt 120310 Cantors Weltbild (34): Verallgemeinerung des Zahlbegriffs
Unter zweiter Zahlenclasse (II) verstehe ich jetzt die Zahlen von ω an, soweit sie zur bisher als zweite Zahlenclasse bezeichneten gehören, u.s.w. [...] Den größten Vortheil gewinne ich jetzt durch die Einführung eines Ihnen bisher noch nicht mitgetheilten Begriffes, desjenigen der "Anzahl einer wohlgeordneten Menge". Sie wissen dass man bis jetzt keinen präcisen Anzahlbegriff für unendliche Mengen hatte; dies wird wohl auch der Grund sein warum vor mir Niemand die unendlichen ganzen Zahlen entdeckt hat. [Cantor an Mittag-Leffler, 17. 12. 1882]
Sie wissen, daß für mich Mächtigkeit und Anzahl zwei durchaus verschiedene Dinge sind. Unter Mächtigkeit einer Menge M verstehe ich den Allgemeinbegriff, d.h. Gattungsbegriff, welchen man erhält, indem man bei der Menge sowohl von der Beschaffenheit der Elemente, wie auch von allen Beziehungen, welche diese Elemente sowohl untereinander wie auch zu anderen Dingen haben können, also im besonderen auch von der Ordnung, welche unter den Elementen herrschen mag, abstrahiert und nur auf das reflectirt, was allen Mengen gemeinsam ist, die mit M aequivalent sind. [...] Unter Anzahl einer wohlgeordneten Menge M verstehe ich den Allgemeinbegriff (Gattungsbegriff), welchen man erhält, indem man bei der wohlgeordn. Menge M von der Beschaffenheit und Bezeichnung ihrer Elemente abstrahiert und nur auf die Rangordnung reflectirt, durch welche die Elemente miteinander verbunden sind; die Anzahl einer Menge ist also allen Mengen desselben Typus gemeinsam, gewissermaaßen dasjenige, was ihnen allen immanent ist. Diesen nämlichen Allgemeinbegriff können wir auch Zahl nennen und zwar diejenige Zahl, unter welcher die gegebene wohlgeordnete Menge steht oder die zu der die wohlgeordnete Menge M gehört. Hierin glaube ich eine Definition von Zahlgefunden zu haben, die zwar unvergleichlich allgemeiner ist, als die Euclidische, jedoch in dem speciellen Falle der endlichen Mengen mit ihr übereinstimmt, wenn das Wort (folgt griechischer Text: systema) in der nothwendigen Bedeutung des Typus einer wohlgeordneten Menge genommen wird. Es heißt nämlich in den Elementen des Euclides VII,2 (folgt griechischer Text: arithmos esti monadon systema). [Cantor an Laßwitz, 15. 2. 1884]
Da alle Dinge mit natürlichen Zahlen nummeriert werden können (wenn man nämlich immer dem nächsten Ding die nächste Zahl zuordnet und beim Eingehen auf die matheologische Vortäuschung des Verbrauchs aller natürlichen Zahlen wenigstens das willkürlich erlassene Nachmeldeverbot nicht beachtet, durch das ganz unsachgemäß die Dimension Zeit in die Matheologie eingeführt wird), liegt ein allfälliger Widerspruch schon in der Annahme der Gesamtheit aller endlichen ganzen Zahlen. Eine Erweiterung des Zahlbefriffs zu unendlichen ganzen Zahlen müsste an die letzte natürliche Zahl anschließen, die natürlich nicht existiert.
1011 Das Kalenderblatt 120311
Wer nicht mehr arbeiten kann, bezieht eine Rente. Das ist ein Gebot der Menschlichkeit. Wer tot ist, kann nicht mehr arbeiten. Das ist eine Härte des Schicksals. Wer tot ist, bezieht eine Rente. Das nennt man Syllogismus. Der Syllogismus gehört zur Logik. Die wurde in Griechenland erfunden. Wenn also in Griechenland einer tot ist ...
Nicht alle Ungereimtheiten sind auf die aktuale Unendlichkeit zurückzuführen - aber die meisten.
1012 Das Kalenderblatt 120312
A one-to-one mapping (i.e. a bijection) between natural numbers, and real numbers between 0 & 1, is constructed; the mapping formula is simple, direct, and easy to calculate and work with. The traditional Cantor diagonal argument is then traced through: but at each step we use the mapping formula to show that the number generated thus far, is present in our one-to-one mapping; thus contradicting the traditional conclusion of said diagonal argument. We then extend the range of the mapping to the full set of real numbers, using the traditional tangent- function approach. The existence of the bijection naturally appears to contradict results in Cantor’s analysis. The present author speculates - but doesn’t pursue or prove here - that the apparent contradiction may be due to how the mappings here and in Cantor’s analysis, are constructed; and may be analogous to phenomena seen in rates of convergence of, &/or in naive rearrangements of conditionally-convergent, infinite series. [Edward Grattan: "A One-to-One Mapping from the Natural Numbers to the Real Numbers" (2012)] http://www.cruziero.com/conglom/11nr-vcurr.pdf
1013 Das Kalenderblatt 120313
It might be objected that no contradiction results from taking the real numbers to form a definite totality. There is, however, no ground to suppose that treating an indefinitely extensible concept as a definite one will always lead to inconsistency; it may merely lead to our supposing ourselves to have a definite idea when we do not ... [M. Dummett: "The seas of language", Oxford University Press (1993) p. 442] http://books.google.de/books/about/The_Seas_of_Language.html?id=dzf_nY- wI5IC&redir_esc=y
1014 Das Kalenderblatt 120314
Die vorliegende siebente Auflage der Geschichte des Unendlichen ist gegenüber der sechsten Auflage kaum verändert. Nach nahezu 20 Vorlesungszyklen hat meine Darstellung damit wohl ihre endgültige Form gefunden. Dies habe ich nicht zuletzt vielen hundert engagierten Studentinnen und Studenten zu verdanken, die diese Vorlesung offenbar aus Neigung besucht und durch Nachfragen im Unterricht und in anschließenden Diskussionen zur Klärung undeutlicher Darstellungen und missverständlicher Formulierungen beigetragen haben. Zu danken habe ich auch zahlreichen Kollegen im In- und Ausland, die durch kritische Diskussionsbeiträge die Schärfung meiner Argumente erzwungen, interessante neue Aspekte eingebracht oder meine Ansichten unterstützt haben. Ich danke GUNTHER ILZIG für einen Hinweis auf HILBERTs Variante der PEANO-Kurve sowie SOLOMON FEFERMAN, EDWARD NELSON, WILLIAM THURSTON, NIK WEAVER und DORON ZEILBERGER für die Autorisierung meiner Übersetzungen ihrer Texte ins Deutsche. [W. Mückenheim: "Die Geschichte des Unendlichen", 7. Aufl., Maro-Verlag, Augsburg (2011) Vorwort] https://www.maroverlag.de/book.php?id=243&PHPSESSID=ad4ef4dc724b67d924368b7cbfba8 a1e
Ich verschenke 3 handsignierte Exemplare des Buchs im Wert von (12 + X) Euro an die Absender der drei Emails, die im engsten zeitlichen Abstand zum 14. 3. 2012, 12:00 Uhr MEZ bei mir eingehen. Bei Gleichzeitigkeit entscheidet das Los. Bitte die Postanschrift nicht vergessen! (Der Rechtsweg ist wie immer in solchen Fällen ausgeschlossen.) Meine Email-Adresse findet man hier: http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/
1015 Das Kalenderblatt 120315
Unser Schicksal können diese Engel nicht beeinflussen und dennoch, je häufiger wir um ihre Hilfe bitten, umso glücklicher ist unser Los. [Edna's Engelwelt: "Die Hierarchie der Engel"] http://www.engelwelt.de/engelwelt/engelhierarchie/engelhierarchie.html
Große Kardinalzahlen können auch dort hilfreich sein, wo sie nicht wirklich gebraucht werden. [Ralf Schindler: "Sind große Kardinalzahlen entbehrlich?", (2010)] http://wwwmath.uni-muenster.de/u/rds/kolloquium_muenchen.pdf
1016 Das Kalenderblatt 120316
Do you agree that the continuum hypothesis is a meaningful statement that has a definite truth value, even if we do not know what it is? No. Do you agree that the axiom which states the existence of an inaccessible cardinal is a meaningful statement that has a definite truth value, even if we do not know what it is? No. Arnon Avron http://www.intuitionism.org/people/arnavr.html
Do you agree that the continuum hypothesis is a meaningful statement that has a definite truth value, even if we do not know what it is? No. Do you agree that the axiom which states the existence of an inaccessible cardinal is a meaningful statement that has a definite truth value, even if we do not know what it is? No. Merlin Carl http://www.intuitionism.org/people/mercar.html
Do you agree that the continuum hypothesis is a meaningful statement that has a definite truth value, even if we do not know what it is? No. Do you agree that the axiom which states the existence of an inaccessible cardinal is a meaningful statement that has a definite truth value, even if we do not know what it is? No. Alexandre Costa-Leite http://www.intuitionism.org/people/alecos.html
Do you agree that the continuum hypothesis is a meaningful statement that has a definite truth value, even if we do not know what it is? No. Do you agree that the axiom which states the existence of an inaccessible cardinal is a meaningful statement that has a definite truth value, even if we do not know what it is? No. Gustavo Lacerda http://www.intuitionism.org/people/guslac.html
Do you agree that the continuum hypothesis is a meaningful statement that has a definite truth value, even if we do not know what it is? No. Do you agree that the axiom which states the existence of an inaccessible cardinal is a meaningful statement that has a definite truth value, even if we do not know what it is? No. Henrik Nordmark http://www.intuitionism.org/people/hennor.html
1017 Das Kalenderblatt 120317
Das vorliegende Buch behandelt die Grundlagen der Mengenlehre. Verf. versucht zu zeigen, dass so ziemlich alle wesentlichen Sätze der Mengenlehre zumindest nicht bewiesen, ja sogar falsch sind. - Nach dem Verf. gibt es z. B. keine unabzählbaren Mengen. Der Beweis, der auf S. 15 angegeben wird für die Abzählbarkeit der Menge aller Teilmengen der "ganzheitlich unendlichen Primzahlmenge", ist natürlich kein Beweis; denn die dort angegebene Menge enthält nur die endlichen Teilmengen dieser Menge. Es ist natürlich, möglich, den Begriff der Teilmenge einer Menge so zu fassen, dass die unendlichen Teilmengen nicht als Teilmengen bezeichnet werden. Aber von einer Widerlegung der Mengenlehre zu sprechen, scheint - dem Ref. - unsinnig. - Es ist tief bedauerlich, dass ein derartiges Buch erscheinen durfte. Denn welch ein Bild von den Grundlagen "der Philosophie und der Mathematik" muss der nicht orientierte Leser dieses Buches gewinnen! {{Verfemung weckt das Interesse. Wenn ein Matheologe sogar die Gefahr sieht, ein nichtorientierter, aber intelligenter Leser könne auf den Gedanken verfallen, die Orientierier selbst wären desorientiert, dann winkt sicher eine attraktive Lektüre (s. KB120318 - KB120320)}}
[K. Schröter: "Rezension von L. Fischer: 'Die unabzählbare Menge', Zweiter Teil von 'Grundlagen der Philosophie und der Mathematik', Meiner, Leipzig (1942)", JFM Electronic Research Archive for Mathematics, Jahrbuch Database] http://jfm.sub.uni-goettingen.de/cgi- bin/jfmen/JFM/en/quick.html?first=1&maxdocs=20&type=html&an=JFM%2068.0100.01&format= complete http://books.google.de/books/about/Die_Grundlagen_der_Philosophie_und_der_M.html?id=Ol9 KAAAAMAAJ&redir_esc=y
K. Schröter (vermutlich handelt es sich um den Berliner Mathematiker und Logiker Karl Schröter http://archiv.bbaw.de/archiv/archivbestaende/abteilung-nachlasse/nachlasse/schroeter_karl ) war offensichtlich nicht in der Lage, den von Ludwig Fischer zutreffend und präzise analysierten Bedeutungsunterschied zwischen potentiell und aktual unendlich zu erkennen - ein auch unter den moderneren Jüngern der Matheologie nicht seltener Defekt.
1018 Das Kalenderblatt 120318
Hat es schon Schwierigkeiten, die aktual-unendliche, ganzheitliche Menge "aller" natürlichen Zahlen zu denken, obgleich deren Folge nicht vollendet ist und es keine letzte Zahl gibt, so vermehren sich diese Schwierigkeiten noch gewaltig, wenn gefordert wird, eine Zahl zu denken, die der endlosen Folge nachfolgt, und die größer sein soll als jede natürliche Zahl, obgleich es keine größte natürliche Zahl gibt. [...] Die Zahl ω soll in engsten Beziehungen zu der Reihe der natürlichen Zahlen stehen. Sie bildet ein weiteres Glied der verallgemeinerten Zahlenreihe; ein erstes Glied einer Fortsetzung der Reihe jenseits der endlosen Folge aller natürlichen Zahlen. Daraus ergeben sich folgende Zusammenhänge zwischen den natürlichen Zahlen und der Zahl ω: Die Zahl ω soll quantitativ vergleichbar sein mit den natürlichen Zahlen und soll insbesondere größer sein, als jede von diesen. Sie muß daher ebenso wie diese einem "Inbegriff" von Elementen entsprechen (wie Cantor es ausdrückte). Sie muß durch die Gesamtheit solcher Elemente konstituiert sein. Ihr muß eine Ganzheit zukommen, eine Allheit von Elementen, Eindeutigkeit und Unendlichkeit. Gleichwohl kann sie in der aktual-unendlichen Reihe der natürlichen Zahlen selbst nicht vorkommen, sondern nur als Nachfolger der "ganzen" Folge. [...] Die Zahl ω [...] ist aber von jedem ihrer Vorgänger durch unendlich viele Zwischenglieder getrennt. In der ganzen ihr vorausgehenden Zahlenmenge jedoch gibt es nicht zwei Glieder, die durch eine unendliche Menge von Zwischengliedern getrennt wären; es gibt vielmehr ausschließlich endliche Mengen von Zwischengliedern. Das ist ein Zusammenhang, der nicht nur über das menschliche Vorstellungsvermögen, sondern auch über das verstandesmäßige Fassungsvermögen hinausgeht. Die Mengenlehre hält diese Aussagen für logisch zulässig, obgleich sie anerkennt, daß ein solcher Unendlichkeitesbegriff etwas ist, das sich "nirgends realisiert findet"; etwas, das "weder in der Natur vorhanden, noch als Grundlage in unserem verstandesmäßigen Denken zulässig ist". (Hilbert) [...] Es entsteht die Frage, ob bei einer transfiniten Zahl ω + n der Wert n auch negativ sein darf. An und für sich hätte einen "Rückwärtszählung" von der Form ω - 1, ω - 2, ... die gleich logische Berechtigung, wie die Folge ω + 1, ω + 2, ... Ließe man aber Vorgänger von ω zu [...]; sie müßten vielmehr bereits der transfiniten Zahlenklasse angehören. Die Zahl ω würde dann in einem nicht eindeutig definierten Verhältnis zu der Reihe der natürlichen Zahlen stehen [...] {{Deshalb erhält man eine Ventilwirkung. Zwar kann man laut Hilbert ganz bequem über das Unendliche hinauszählen, sozusagen an die schlusslosen natürlichen Zahlen anschließen, doch der Rückweg ist und bleibt versperrt, außer bei der vermeintlichen Anwendung der Mengenlehre im Falle von Goodsteinfolgen (s. KB 091028).}} Das potentiale und das aktuale Unendliche nebeneinander anzuwenden, ist keinesfalls angängig. Entweder ist die Menge ω ein abgeschlossenes Ganzes, das alle möglichen Elemente nicht ω ω nur "potential", sondern wirklich, "aktual" enthält; dann umfaßt M1 = 2 {{Fischer realisiert 2 durch die Menge aller endlichen Teilmengen der Primzahlmenge}} auch die aktual-unendliche Teilmengen. Oder die Menge ω ist nur potential-unendlich, d. h. die Folge der Faktoren 2 ist keine ganzheitliche Menge, sie kann über jede endliche Schranke hinaus fortsetzbar gedacht werden. Dann gibt es also in Wirklichkeit nur eine endliche, aber beliebig groß denkbare Menge. Dann gibt es überhaupt keine aktual-unendlichen Teilmengen der Primzahlmenge, wohl aber darf man eine endliche Teilmenge "beliebig groß" annehmen. Für eines von beiden muß man sich entscheiden. Mit zweierlei Maß zu messen, ist weder angängig, noch geeignet, den bestehenden Widerspruch in der Bewertung der unendlichen Potenz zu beseitigen. [...] Es ist nicht angängig, für die Menge der Primzahlen die Existenz "aller" zu behaupten, dagegen für die Menge der Teilmengen in der Teilmengen-Abzählfolge die Existenz aller abzulehnen. Das wäre ein Widerspruch - nicht nur eine "Schwierigkeit", die man überwinden kann. Über den Widerspruch kommt man weder durch ein Dekret hinweg, noch dadurch, daß man das Unendliche mit zweierlei Maß mißt. [L. Fischer: "Die unabzählbare Menge", Meiner, Leipzig (1942), pp. 5-16]
Doch, leider ist es in der Matheologie der Brauch und sogar unabdingbar, mit zweierlei Maß zu messen, denn andernfalls schwindet auch jeder intellektuelle Reiz an der ohnehin und aus gutem Grund völlig anwendungslosen transfiniten Mengenlehre. Die Einseitigkeit ist es ja gerade, die der Rezensent (s. KB120317) gerügt hat. Die Menge M1 aller endlichen Teilmengen T der Primzahlen genügt ihm nicht. Was zu tun wäre, um die unendlichen Teilmengen hinzuzufügen, wüsste er natürlich auch nicht zu sagen, denn alle Primzahlen sind ja in den endlichen Mengen T von M1 schon da. Zwar kann man zu jeder endlichen Teilmenge T weitere Primzahlen hinzufügen, die in T noch nicht enthalten waren. Aber dadurch erhält man immer nur eine Menge T', die in M1 bereits vorher als Element vorhanden war. Deswegen unterscheidet sich die von Fischer konstruierte Menge M2, die Menge aller Teilmengen der Primzahlmenge mit ¡0 der Kardinalzahl 2 , von M1 (mit der Kardinalzahl ¡0) nur durch Zaubersprüche wie "alle ungeraden Primzahlen" oder "alle Primzahlen größer als 2", nicht aber durch konkret angebbare Primzahlen. Doch selbst der größte Mengenmagier kennt nicht mehr als ¡0 Zahlenzaubersprüche.
Noch etwas deutlicher wir das Dilemma hier:
Die unendliche Liste aller endenden Binärbrüche des Einheitsintervalls ist abzählbar. 0,0 0,1 0,00 0,01 0,10 0,11 0,000 ... Werden die Binärbrüche aber als endliche Pfade zum Binären Baum zusammegefügt, so enstehen wie durch Zauberhand und ohne die Möglichkeit einer Erklärung (selbst der Rezensent müsste hier scheitern) alle überabzählbar vielen unendlichen Pfade des Binären Baums.
Es ist ein Zaubertrick vonnöten - derselbe Zaubertrick, der die unvollständige Folge der unvollständigen Anfangsabschnitte natürlicher Zahlen zur vollständigen Folge aller unvollständigen Anfangsabschnitte der natürlichen Zahlen vervollständigt, ohne dafür eines vollständigen Anfangsabschnittes zu bedürfen.
1019 Das Kalenderblatt 120319
Eine Menge, wie die Dedekindsche "Menge aller möglichen Gedanken", ist nicht nur nicht eindeutig, sondern ein Unding, über das sich ernsthafte Aussagen überhaupt nicht machen lassen. Erst recht gilt das von logisch unfaßbaren Mengen, wie die "Menge aller Mengen". [L. Fischer: "Die unabzählbare Menge", Meiner, Leipzig (1942), p. 20]
{{Selbstverständlich ist die Menge aller Dedekindschnitte abzählbar, da jeder zu einer endlichen Definition gehört. Fischer betrachtet dazu den Zahlenstrahl mit seinen algebraischen und transzendenten Zahlen:}}
1. In einer algebraischen Urlücke ist kein algebraischer Punkt möglich, wohl aber eine Menge (mindestens die Einheitsmenge) transzendenter Punkte. 2. Jede algebraische Urlücke ist unendlich klein. (Denn: wäre sie endlich, so müßte es in ihr nach bekannten Sätzen noch unendlich viele algebraische Punkte geben, was zu Satz 1 im Widerspruch stände.) 3. Die Menge der algebraischen Urlücken ist abzählbar-unendlich. (Denn: Zwischen je zwei beliebigen algebraischen Punkten muß nach bekannten Sätzen mindestens ein transzendenter Punkt, also eine Urlückee, liegen; mithin müsten unendlich viele Urlücken vorhanden fein. Die Menge der Urlücken kann aber nicht größer sein, als die Menge der algebraischen Punkte, muß also ihr äquivalent, d. h. abzählbar sein.) 4. Die Menge der transzendenten Punkte in jeder algebraischen Urlücke ist unabzählbar- unendlich. (Denn: Die algebraische Urlücke bedeutet einen linearen Abstandswert algebraischer Punkte, der zwar unendlich klein, aber nicht absolut Null ist. Die Menge der transzendenten Punkte, die die Urlücken "erfüllen", ist aber nach den Voraussetzungen der Mengenlehre von höherer Kardinalzahl, als die Menge der algebraischen Punkte und die ihr äquivalente Menge der Urlücken. Es muß also mindestens eine algebraische Urlücke geben, die eine unabzählbar- unendliche Menge von transzendenten Punkten enthält und nur durch eine solche unabzählbare Menge erfüllt werden kann. - Dieser Nachweis genügt uns hier für das Nachfolgende. Im übrigen ist leichterkennbar, daß das gleiche für jede algebraische Urlücke gelten muß.) 5. Zwischen zwei beliebigen transzendenten Punkten liegt mindestens ein algebraischer Punkt. (Dies ist ein bekannter Satz der Mengenlehre.) 6. Jede algebraische Urlücke muß mindestens noch einen algebraischen Punkt enthalten. (Folgt unmitelbar aus den Sätzen 4 und 5.) Diefer Satz 6 steht nun im geraden Widerspruch zu dem Satz 1. Dieser Widerspruch entspringt lediglich der Voraussetzung, dass das Zahlenkontinuum eine eindeutige Menge sei und daß diese Menge als eine abgeschlossene Ganzheit behandelt werden dürfe. Mindestens eine dieser Voraussetzungen ist daher unzulässig. Anmerkung: Betrachet man das "eigentliche" (aktuale, abgeschlossene) Unendliche nur als eine Fiktion, die als solche nur innerhalb gewisser Gebrauchsgrenzen Gültigkeit hat, so kann man durch "Verbote" das Gebiet vor solchen Widersprüchen schützen. Die Mengenlehre dagegen, die das eigentlich-Unendliche ausdrücklich als eine logische Realität voraussetzt, muß alle Folgerungen gelten lassen, die sich aus ihren Voraussetzungen zwingend ergeben. {{Auch hier öffnet sich wieder der Zwiespalt in der Interpretation: Die Menge aller reellen Zahlen existiert vollständig Aber zu keiner Zahl existiert die nächst kleinere oder nächst größere Zahl. Im Umkreis einer Zahl "existieren" überabzählbar viele Zahlen für immer unerkannt und unerkennbar. "Ja wo laufen sie denn", möchte man mit Wilhelm Bendow fragen. http://www.youtube.com/watch?v=7LgWlAUnW9w }} [L. Fischer: "Die unabzählbare Menge", Meiner, Leipzig (1942), p. 35f]
{{Vergleich dazu auch Hilbert:}} R. Dedekind hat die mathematischen Schwierigkeiten bei der Begründung des Zahlbegriffs klar erkannt und in äußerst scharfsinniger Weise zuerst einen Aufbau der Theorie der ganzen Zahlen geliefert. Ich möchte aber seine Methode insofern als eine transzendentale bezeichnen, als er den Nachweis für die Existenz des Unendlichen auf einem Wege führt, dessen Grundidee wohl in ähnlicher Weise von philosophischer Seite benutzt wird - ein Weg freilich, den ich wegen des unvermeidlichen Widerspruches des dabei zur Verwendung kommenden Begriffes der Gesamtheit aller Dinge als gangbar und sicher nicht anerkennen kann. [D. Hilbert: "Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik", A. Krazer (Hrsg.), Verh. III. Intern. Math.-Kongr. in Heidelberg 1904, Teubner, Leipzig (1905) 174-185] http://www.mathunion.org/ICM/ICM1904/Main/icm1904.0174.0185.ocr.pdf
Diese Grundidee wird offensichtlich nicht von mathematisch gebildeten Philosophen wie L. Fischer benutzt. Den Ausdruck "transzendental" gebraucht Hilbert hier höflicherweise als Synonym für "inakzeptabel", denn Dedekinds Methode liefert "nur" eine potentiell unendliche Menge. Fischer sagt dasselbe wie Hilbert, nur etwas deutlicher: "die Dedekindsche 'Menge aller möglichen Gedanken' ist ein Unding" (s. o.). Nebenbei sei bemerkt, dass Zermelo nach eigenem Bekunden sein Unendlichkeitsaxiom Dedekinds Vorgang nachgebildet hat (vgl. KB090716).
1020 Das Kalenderblatt 120320
{{Das Cantorsche Diagonalverfahren}} ist nicht schlüssig. Folgendes sind die Gründe:
1. Die Diagonalzahl ist eine konstruktive Ziffernfolge [...] so bestimmt worden, daß die Ziffernfolge bis einschließlich zur jeweiligen Stelle (Index) s in den ersten s Dezimalbrüchen der Dezimalbruchfolge nicht vorkommt. Nun haben wir aber eine unendliche Folge von Dezimalbrüchen, und es folgen auf die ersten s Dezimalbrüche (wie groß s auch sein möge) stets noch unendlich viele weitere Dezimalbrüche. Die Diagonalzahl, die in den ersten s Dezimalbrüchen der Folge bis zu ihrer s-ten Stelle nicht vorkommt, kann bis zu dieser Stelle s der Diagonalzahl in der unendlichen Restmenge der Dezimalbruchfolge enthalten sein. {{Bei systematischer Auflistung, wie sie ein sorgfältig arbeitender Mathematiker analog zum Binären Baum ausführen würde, ist das sogar zweifellos der Fall. Leider wird gegenwärtig weniger Wert auf trocken-buchhalterische Sorgfalt gelegt, dafür mehr auf schwärmerisch-überwältigende Unendlichkeitsnähe - verbrämt mit dem Anspruch auf maschinell nachprüfbare Strenge.}} Da das für jeden Abschnitt der Ziffernfolge der Diagonalzahl über jede endliche Schranke hinaus gilt, so verbietet sich schon darum der Schluß, daß die Diagonalzahl in der Dezimalbruchfolge überhaupt nicht enthalten sein könne. Man kann aber auch eine abzählbar-unendliche Menge von Dezimalbrüchen definieren, die tatsächlich jede Diagonalzahl bis zu jeder Erstreckung über jede endliche Schranke hinaus enthält. Diese Menge ist die Menge der algebraischen unendlichen Dezimalbrüche zwischen 0 und 1. Diese Menge enthält jede mögliche Zusammenstellung der zehn Ziffern von 0 bis 9 bis zu jedem endlichen Stellenindex s. Da aber ein unendlicher Dezimalbruch in seiner ganzen endlosen Erstreckung nur endliche Stellenindizes enthalten kann, so umfaßt die ganze Menge der algebraischen Zahlen jeden überhaupt möglichen Dezimalbruch und erst recht jede konstruktive Diagonalzahl. Wie weit man auch die Konstruktion einer Diagonalzahl fortsetzen mag - über jede endliche Schranke hinaus stimmt sie mit einer Zahl der abzählbaren Menge der algebraischen Zahlen überein. (Man vgl. hierzu, was S. 33 ff. über die Unzulänglichkeit des Dezimalbruchsystems zur Darstellung der Menge aller transzendenten Zahlen gesagt ist.)
2. Bei seiner Anwendung auf unendliche Folgen führt das Diagonalverfahren zu einem Widerspruch. Dieser zeigt sich z. B., wenn man dem soeben entwickelten Gedankengang folgende Form gibt: Jeder Abschnitt der Ziffernfolge eines unendlichen Dezimalbruchs ist endlich. Wir wollen die Ziffernfolge eines Dezimalbruchs von der ersten bis einschließlich der x-ten Ziffer kurz den "x- ten Abschnitt" nennen. Die Menge A aller derjenigen unendlichen Dezimalbrüche, die jede mögliche Ziffernkombination eines jeden endlichen Abschnittes enthält, ist bekanntlich abzählbar. Wir wenden auf diese als Abzählfolge geordnete Menge das Diagonalverfahren an. [...] Jeder mögliche x-te Abschnitt, der in den x ersten Dezimalbrüchen nicht vorkommt, ist in der unendlichen Restfolge der oben definierten Menge A enthalten (denn die Folge A enthält jede mögliche Ziffernkombination eines jeden endlichen Abschnittes). Bezüglich der ganzen Diagonalzahl ergeben sich nun zwei Folgerungen: a) Die Mengenlehre folgert so: "Für jeden Wert von x ist der Abschnitt der Diagonalzahl verschieden von dem xten Abschnitt eines jeden der x ersten Dezimalbrüche der Folge A; folglich ist die ganze Diagonalzahl verschieden von jedem der Dezimalbrüche der ganzen Folge A; d. h. die Diagonalzahl ist in der ganzen Folge nicht enthalten." b) Wenn wir uns den von der Mengenlehre angewendeten Schluß von "jeder" auf "alle" zu eigen machen. folgern wir mit der gleichen Berechtigung aus demselben Zusammenhang: "Für jeden Wert von x ist der xte Abschnitt der Diagonalzahl in der ausnahmslos jedem endlichen Abschnitt folgenden unendlichen Restmenge der Folge A enthalten; folglich ist die ganze Diagonalzahl in der ganzen Folge A enthalten." Der Widerspruch zwischen a) und b) ist begründet in der ganzheitlichen Auffassung des Unendlichen und in der darauf gestützten (aber unzulässigen Schlußweise von "jeder" auf "alle". Das Diagonalverfahren, das sich jener Schlußweise bedient, führt im Unendlichen zu Widerspruch. Es ist daher nicht zulässig. {{Dem Diagonalverfahren liegt folgende Willkür zugrunde: Kann für jede Ziffer der Diagonalzahl nachgewiesen werden, dass sie nicht mit der entsprechenden Listenzahl übereinstimmt, so wird von jeder auf alle geschlossen. Kann von jeder Ziffer der Diagonalzahl nachgewiesen werden, dass sie mit der entsprechenden Ziffer der folgenden Zahl übereinstimmt, etwa in der Liste 0,0 0,1 0,11 0,111 ... so wird nicht von jeder auf alle geschlossen. Das ist Willkür und hat mit Logik auch nicht entfernt zu tun.}}
3. Ein anderer Grund ist folgender: Das Diagonalverfahren ist sogar im Endlichen nicht allgemein anwendbar. Es ist nur unter gewissen Voraussetzungen gültig. Seine Übertragung auf unendliche Zusammenhänge wäre also höchstens dann gerechtfertigt, wenn jene Voraussetzungen auch im Unendlichen als erfüllt angesehen werden dürften. Das ist aber nicht der Fall. [...] Das Diagonalverfahren beweist also das Nichtvorhandensein der Diagonalzahl in der endlichen Folge der m Zahlen nur dann, wenn m und n bestimmte Zahlen sind, und wenn dann m = n ist. Sind dagegen m und n nicht bestimmte Zahlen, die einander gleich sind, so ist das Diagonalverfahren überhaupt nicht eindeutig ausführbar; eine Aussage über das Vorhandensein oder Nichtvorhandensein der Diagonalzahl in der Folge ist dann logisch unmöglich. Wenn nun m und n beide nicht endlich, sondern unendlich groß sind, so sind m und n keine bestimmten Zahlen. m und n können dann wohl einander "äquivalent" sein, aber nicht "gleich". Man definiert allerdings: "äquivalente unendliche Mengen haben gleiche Kardinalzahl". Im Endlichen bedeutet "Kardinalzahl" die "Anzahl" der Elemente; im Unendlichen aber bedeutet "Gleichheit der Kardinalzahl" zweier Mengen nicht, daß die Mengen den gleichen Umfang haben. {{Zum Beispiel haben die Menge R aller rellen Zahlen, die jemals in Cantor-Listen (oder sonst in der Mathematik als Individuen) auftauchen und die Menge D aller Diagonalzahlen von Cantorlisten dieselbe Kardinalzahl ¡0. Selbst die Vereinigung beider besitzt diese Kardinalzahl. Trotzdem kann D nicht Untermenge von R sein. Das verbieten streng logische Gründe - genau dieselben übrigens, die verbieten, dass alle Zahlen, die außerhalb von Anfangsabschnitten der natürlichen Zahlen sind, einen Anfangsabschnitt der natürlichen Zahlen bilden.}} [...] Wenn aber zwei unendliche Mengen trotz gleicher Kardinalzahl [...] ganz verschiedenen Umfang haben können, dann ist schon allein darum die Voraussetzung nicht erfüllt, unter der das Diagonalverfahren beweiskräftig sein könnte.
Die abzählbare Menge reeller Zahlen, aus der eine Diagonalzahl gebildet werden kann, ist also - wie umfassend man sie auch wählen möge - stets nur eine Teilmenge einer noch umfassenderen abzählbaren Menge reeller Zahlen. Der Nachweis der Existenz einer Diagonalzahl solcher Herkunft kann aber keinesfalls die Nichtabzählbarkeit der Menge aller reellen Zahlen beweisen {{wenn unter Nichtabzählbarkeit ein Quantitätssprung verstanden werden soll}}.
[L. Fischer: "Die unabzählbare Menge", Meiner, Leipzig (1942), pp. 44-49]
1021 Das Kalenderblatt 120321
H. Helmholtz vertritt den Standpunkt des Empiristen; der Standpunkt der reinen Erfahrung aber scheint mir durch den Hinweis widerlegt, daß aus der Erfahrung, d. h. durch das Experiment, niemals die Möglichkeit oder die Existenz einer beliebig großen Zahl entnommen werden kann. Denn die Zahl der Dinge, die Gegenstand unserer Erfahrung sind, liegt, wenn sie auch groß ist, doch unterhalb einer endlichen Grenze. {{Diese Aussage scheint mir ebenso unbestimmt wie falsch. Ich kann jedenfalls keine endliche Grenze angeben, und ich bin sicher, Hilbert konnte es auch nicht. Oder hatte Hilbert hier eine Quantorenvertauschung im Sinn und meinte mit "beliebig groß" eine Zahl, die größer ist als alle anderen?}} [D. Hilbert: "Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik", A. Krazer (Hrsg.), Verh. III. Intern. Math.-Kongr. in Heidelberg 1904, Teubner, Leipzig (1905) 174-185] http://www.mathunion.org/ICM/ICM1904/Main/icm1904.0174.0185.ocr.pdf
What is it that inclines set-theoreticians to forget material amounts, and the irreducibly plural? It starts, I think, with losing contact with the material world, for certainly even finite sets are not directly perceptual. A flock is not the birds in it, nor even the mereological sum of them, and that can lead one to think that sets are quite abstract objects, not connected with the material world. But the flock is the birds seen together rather than separately, so it is a perceptual aspect of the mereological object, something it is 'seen as'. So while sets are never material things, as such, the link with the material world is not lost entirely, and in fact the number in such a flock of birds is a second order relation between a material thing (the mereological sum) and some property (being a bird).
The temptation has been to treat numbers as objects, and certainly they can be subjects, like any other property or relation; but number words are still attributive adjectives, with 'The pack is 4 suits, but 52 cards' paralleling 'It is a small elephant, but a large animal'. One central grammatical fact associated with this is that numbers (even 0 and 1) are always numbers of things (with 'things' crucially in the plural), and so a thing, in itself, does not have a number.[...]
Of course, an infinite series of things could never be gathered into such a seen unity. The totality of its members could never be available to any kind of intuition, since they cannot be completely given. But why the latter fact should mean there aren't any infinite totalities was also forgotten recently - except by the Intuitionists, of course. Indeed, against them, cannot consistent theories be formulated, which state that there are even non-denumerable sets? But, of course, Skolem's Paradox shows such theories must have a denumerable model. And the points above now show that they cannot have any other.
[H. Slater: "The Uniform Solution of the Paradoxes" (2004)] http://www.philosophy.uwa.edu.au/about/staff/hartley_slater/publications/the_uniform_solution_o f_the_paradoxes
1022 Das Kalenderblatt 120322
Où est le premier principe? Est-il infini? [...] Je le concois éternel, parce qu'il ne peut avoir été formé du néant; parce que ce grand principe, rien ne vient de rien, est aussi vrai que deux et deux font quatre; parce qu'il y a, comme nous avons vu ailleurs, une contradiction absurde à dire, l'ètre agissant a passé une éternité sans agir; l'ètre formateur a été éternel sans rien former; l'ètre nécessaire a été pendant une éternité l'ètre inutile. Mais je ne vois aucune raison pourquoi cet être nécessaire serait infini. [...] Newton a démontré le vide qu'on n'avait fait que supposer jusqu'à lui. S'il y a du vide dans la nature, le vide peut donc être hors de la nature. Quelle nécessité que les êtres s'étendent à l'infini? [...] Dieu est présent partout, dit Clarke. http://en.wikipedia.org/wiki/Samuel_Clarke Oui sans doute; mais partout où il y a quelque chose, et non pas où il n'y a rien. Être présent à rien me paraît une contradiction dans les termes, une absurdité. {{Gottlose leere Menge!}} Je suis forcé d'admettre une éternité, mais je ne suis pas forcé d'admettre un infini actuel {{zumindest nicht in der Mathematik.}} [Voltaire: "Il faut prendre un parti, ou le principe d’action", Oevres complètes de Voltaire, Tome Sixième, Paris (1817) p. 733] http://books.google.de/books?id=xzITAAAAQAAJ&pg=PA733&lpg=PA733&dq=%22Il+faut+pren dre+un+parti,+ou+le+principe+d%E2%80%99action%22&source=bl&ots=lVY- ur8Bz7&sig=u5AX7HbFXrOuAB_0_DEcyHm_07M&hl=de&sa=X&ei=8_VoT5SbPNDitQasz4yHC A&sqi=2&ved=0CDYQ6AEwAw#v=onepage&q=%22Il%20faut%20prendre%20un%20parti%2C %20ou%20le%20principe%20d%E2%80%99action%22&f=false
1023 Das Kalenderblatt 120323
There are many mathematicians who will accept the Garden of Eden, i.e. the theory of functions as developed in the 19th century, but will, if not reject, at least put aside the theory of transfinite numbers, on the grounds that it is not needed for analysis. {{In Wirklichkeit tun das fast alle Mathematiker, so wie heute auch nur noch selten ein Tischgebet gesprochen wird.}} Of course, on such grounds, one might also ask what analysis is needed for; and if the answer is basic physics, one might then ask what that is needed for. When it comes down to putting food in one’s mouth, the 'need' for any real mathematics becomes somewhat tenuous. Cantor started us on an intellectual journey. One can peel off at any point; but no one should make a virtue of doing so. The question of what numbers S(X) exist is precisely equivalent to the question of what sets X of numbers exist. {{So ist es. Und deswegen kann hier die Mythologik mit Hilfe der Zifferndarstellung reeller Zahlen leicht entlarvt werden durch die einfache Frage: Was unterscheidet den vollständigen, aktual unendlichen Binären Baum mit überabzählbar vielen unendlichen Pfaden vom potentiell unendlichen Binären Baum, der "nur" alle (abzählbar vielen) endlichen Pfade enthält? Diese Frage zu beantworten und die Unmöglichkeit einer Unterscheidung zu erkennen, ist sicher eine tugendreichere Tat, als sich Cantors intellektueller Reisegesellschaft anzuschließen.}} [W.W. Tait: "Cantor’s Grundlagen and the Paradoxes of Set Theory" (2000) p. 21f] http://home.uchicago.edu/~wwtx/cantor.pdf
1024 Das Kalenderblatt 120324
The (truly) infinite, I claim, can never be subjugated. Indeed I would go further: the (truly) infinite, as a unitary object of thought, does not and cannot exist. This is not to say that the concept of the infinite has no legitimate use. One such use, if I am right, is precisely to claim that the infinite does not exist. Another such use, I would further argue, is to claim that there are infinitely many possibilities (including endlessly recurring possibilities of set membership) afforded by all the finite things that do exist. And to claim these things is, in a suitably neoteric way, to repudiate the actual infinite and to acknowledge the potential infinite - the very thing that Aristotle was teaching us to do some two and a half millennia ago. [A.W. Moore: “The Infinite”, 2nd ed., Routledge, New York (2005) p. XV]
1025 Das Kalenderblatt 120325
Woher ist die Logik im menschlichen Kopfe entstanden? Gewiss aus der Unlogik, deren Reich ursprünglich ungeheuer gewesen sein muss. Aber unzählig viele Wesen, welche anders schlossen, als wir jetzt schliessen, giengen zu Grunde: es könnte immer noch wahrer gewesen sein! Wer zum Beispiel das "Gleiche" nicht oft genug aufzufinden wusste, in Betreff der Nahrung oder in Betreff der ihm feindlichen Thiere, wer also zu langsam subsumirte, zu vorsichtig in der Subsumption war, hatte nur geringere Wahrscheinlichkeit des Fortlebens als Der, welcher bei allem Aehnlichen sofort auf Gleichheit rieth. Der überwiegende Hang aber, das Aehnliche als gleich zu behandeln, ein unlogischer Hang – denn es giebt an sich nichts Gleiches –, hat erst alle Grundlage der Logik geschaffen. Ebenso musste, damit der Begriff der Substanz entstehe, der unentbehrlich für die Logik ist, ob ihm gleich im strengsten Sinne nichts Wirkliches entspricht, – lange Zeit das Wechselnde an den Dingen nicht gesehen, nicht empfunden worden sein; die nicht genau sehenden Wesen hatten einen Vorsprung vor denen, welche Alles "im Flusse" sahen. An und für sich ist schon jeder hohe Grad von Vorsicht im Schliessen, jeder skeptische Hang eine grosse Gefahr für das Leben. Es würden keine lebenden Wesen erhalten sein, wenn nicht der entgegengesetzte Hang, lieber zu bejahen als das Urtheil auszusetzen, lieber zu irren und zu dichten als abzuwarten, lieber zuzustimmen als zu verneinen, lieber zu urtheilen als gerecht zu sein – ausserordentlich stark angezüchtet worden wäre. – Der Verlauf logischer Gedanken und Schlüsse in unserem jetzigen Gehirne entspricht einem Processe und Kampfe von Trieben, die an sich einzeln alle sehr unlogisch und ungerecht sind; wir erfahren gewöhnlich nur das Resultat des Kampfes: so schnell und so versteckt spielt sich jetzt dieser uralte Mechanismus in uns ab. [F. Nietzsche: "Die fröhliche Wissenschaft", 3. Buch, Nr. 111, Schmeitzner, Chemnitz (1882)] http://gutenberg.spiegel.de/buch/3245/6 http://www.textlog.de/21280.html
1026 Das Kalenderblatt 120326
Vom Unendlichen, ja von Zahlen überhaupt zu sprechen ist Hilbert zufolge eine bloße Façon de parler – ähnlich wie eine Dame im Schachspiel, aller weiblichen Züge beraubt, nichts anderes als eine wertlose Figur auf dem Schachbrett ist. Und wie Bauern und Könige im Schach weder Felder bestellen noch Länder regieren, sondern nur stumme Statisten, starre Steine in der Hand von Spielern sind, so ist es auch mit der modernen Mathematik bestellt: Ihre Kalküle handeln von nichtssagenden Zeichen, ihre Sätze beziehen sich auf nichts Wirkliches, ihre Probleme betreffen ein Denken, das autistisch um sich selbst kreist. Nur eine verschwindend kleine Gruppe sogenannter konstruktiver Mathematiker überwindet das sinnlose Sprachspiel, indem sie, den eminenten Gelehrten Brouwer und Weyl folgend, die Mathematik bewusst der Dialektik zwischen dem naiven Ideal des absoluten Wahrheitsanspruchs und der abgeklärten Dekonstruktion aussetzt. Für die meisten Mathematiker jedoch ist mit der Botschaft, moderne Mathematik bestehe aus leerem Gerede, das letzte Wort gesprochen. Und es ist wundersam zu beobachten, wie sie sich in der ihnen verbliebenen Ruine wohlfühlen. [R. Taschner: "Das Unendliche ist nur ein Wort – oder irren die Mathematiker womöglich?", Die Presse, Wien, 19. 1. 2012] http://diepresse.com/home/meinung/quergeschrieben/rudolftaschner/724919/Das-Unendliche- ist-nur-ein-Wort-oder-irren-die-Mathematiker
1027 Das Kalenderblatt 120327
A charismatic speaker well-known for his clarity and wit, he once delivered a lecture giving an account of Gödel's second incompleteness theorem, employing only words of one syllable. [George Boolos: "Gödel's Second Incompleteness Theorem - Explained in Words of One Syllable", Mind, 103, Jan. 1994, p. 1ff] http://www2.kenyon.edu/Depts/Math/Milnikel/boolos-godel.pdf At the end of his viva, Hilary Putnam asked him, "And tell us, Mr. Boolos, what does the analytical hierarchy have to do with the real world?" Without hesitating Boolos replied, "It's part of it". http://en.wikipedia.org/wiki/George_Boolos
Witzig, überraschend und doch vor allem zutreffend! Alles was "existiert", gehört zur Wirklichkeit. Deshalb muss sich auch alles mit wirklichen Maßstäben messen lassen. Und da ergibt sich für manches, selbst wenn es sich unendlich brüstet: gewogen und für zu leicht befunden.
Der Vortrag endet übrigens so: So, if math is not a lot of bunk, then, though it can't be proved that two plus two is five, it can't be proved that it can't be proved that two plus two is five. By the way, in case you'd like to know: yes, it can be proved that if it can be proved that it can't be proved that two plus two is five, then it can be proved that two plus two is five. {{Also im Klartext: If math is not a lot of bunk, then math is a lot of bunk. Und dieser offenbare Unsinn wird von der Matheologie nicht nur in Kauf genommen, sondern sogar forciert und zum Prüfstein für die "intellektuelle" Kapazität ihrer Jünger geheiligt, um deren Glauben an das Aktual Unendliche und die Hierarchie der Unendlichkeiten nicht zu erschüttern. Denn wie schon Gödel selbst hervorhob (vgl. KB100825): Ohne die aktuale Unendlichkeit gelten seine Sätze nicht.}}
1028 Das Kalenderblatt 120328
Diese Prolegomena sind nicht zum Gebrauch vor Lehrlinge, sondern vor künftige Lehrer, und sollen auch diesen nicht etwa dienen, um den Vortrag einer schon vorhandnen Wissenschaft anzuordnen, sondern um diese Wissenschaft selbst allererst zu erfinden. [...] Man kann in der Metaphysik auf mancherlei Weise herumpfuschen, ohne eben zu besorgen, daß man auf Unwahrheit werde betreten werden. Denn wenn man sich nur nicht selbst widerspricht, welches in synthetischen, obgleich gänzlich erdichteten Sätzen gar wohl möglich ist: so können wir in allen solchen Fällen, wo die Begriffe, die wir verknüpfen, bloße Ideen sind, die gar nicht (ihrem ganzen Inhalte nach) in der Erfahrung gegeben werden können, niemals durch Erfahrung widerlegt werden. Denn wie wollten wir es durch Erfahrung ausmachen: ob die Welt von Ewigkeit her sei, oder einen Anfang habe, ob Materie ins Unendliche teilbar sei, oder aus einfachen Teilen bestehe {{[s. KB120614] oder ob ES Zahlen gebe, die ES nicht (und auch sonst niemand) angeben könne}}. Dergleichen Begriffe lassen sich in keiner, auch der größtmöglichen Erfahrung geben, mithin die Unrichtigkeit des behauptenden oder verneinenden Satzes durch diesen Probierstein nicht entdecken. Der einzige mögliche Fall, da die Vernunft ihre geheime Dialektik, die sie fälschlich vor Dogmatik ausgibt, wider ihren Willen offenbarete, wäre der, wenn sie auf einen allgemein zugestandnen Grundsatz eine Behauptung gründete, und aus einem andern ebenso beglaubigten mit der größten Richtigkeit der Schlußart gerade das Gegenteil folgerte. Dieser Fall ist hier nun wirklich, und zwar in Ansehung vier natürlicher Vernunftideen, woraus vier Behauptungen einerseits, und ebensoviel Gegenbehauptungen andererseits, jede mit richtiger Konsequenz aus allgemein zugestandnen Grundsätzen entspringen und dadurch den dialektischen Schein der reinen Vernunft im Gebrauch dieser Grundsätze offenbaren, der sonst auf ewig verborgen sein müßte. Hier ist also ein entscheidender Versuch, der uns notwendig eine Unrichtigkeit entdecken muß, die in den Voraussetzungen der Vernunft verborgen liegt. Von zwei einander widersprechenden Sätzen können nicht alle beide falsch sein, außer, wenn der Begriff selbst widersprechend ist, der beiden zum Grunde liegt; z. B. die zwei Sätze: ein viereckichter Zirkel ist rund, und ein viereckichter Zirkel ist nicht rund, sind beide falsch. Denn was den ersten betrifft, so ist es falsch, daß der genannte Zirkel rund sei, weil er viereckicht ist; es ist aber auch falsch, daß er nicht rund, d. i. eckicht sei, weil er ein Zirkel ist. Denn darin besteht eben das logische Merkmal der Unmöglichkeit eines Begriffs, daß unter desselben Voraussetzung zwei widersprechende Sätze zugleich falsch sein würden, mithin, weil kein Drittes zwischen ihnen gedacht werden kann, durch jenen Begriff gar nichts gedacht wird. [I. Kant: "Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik die als Wissenschaft wird auftreten können", Hartknoch, Riga (1783)] http://gutenberg.spiegel.de/buch/3511/1
Nach der Schlacht von Leipzig sah man Pferde, denen drei, vier und noch mehr Beine abgeschossen waren, herrenlos herumlaufen. (Johann Galletti) [Gustav Parthey: "Gallettiana", Nicolaische Verlagsbuchhandlung, Berlin (1876)] http://www.galletti.de/ http://de.wikisource.org/wiki/Gallettiana
Wie Kant theoretisch und Galletti praktisch zeigen, können Definitionen falsch sein. Nur in der "verbliebenen Ruine" (Taschner, KB120326) der Matheologie würde wohl ein Pferd, das fünf Beinen verloren hat, mit derselben "wissenschaftlichen Objektivität" akzeptiert werden wie eine Unendlichkeit, die vollendet oder ein Gedanke, der undenkbar ist.
1029 Das Kalenderblatt 120329 Cantors Weltbild (35): Racenantisemitismus
Da aus Ihrem lieben Briefe auf 's Deutlichste hervorgeht, daß Sie für Ihre Person meinen Standpunct theilen, so zögere ich nicht, mein großes Erstaunen über die Haltung des im Senate Ihre Facultät vertretenden Collegen, mit dem Sie offenbar nicht einverstanden sind, zum Ausdruck zu bringen. Hat er keinen andern und triftigeren Grund, sich in Bezug auf Herrn H[usserl] reserviert zu verhalten, als weil er (wie ich zu meiner Ueberraschung höre, ich kenne Herrn H. erst seit seinem Erscheinen in Halle, also seit 1886 nur als Christen) herausgebracht hat, daß derselbe aus dem Judenthum hervorgegangen und Christ geworden ist, so sehe ich hier wieder einmal den traurigen, in Deutschland leider häufig vorkommenden Fall eines katholischen Christen, der die heiligsten Traditionen der Kirche auf's Flagranteste verläugnet! Soll ich daran erinnern, daß, ganz abgesehen von der allerheiligsten Person unseres Erlösers, seine zwölf Apostel sämmtlich Juden waren? Ist denn dem sehr verehrten Collegen nicht bekannt, daß die Kirche von jeher die Judenfrage nur als eine religiöse Frage anzusehen befohlen hat? Glaubt er etwa dass das in so vielen deutschen Katholiken hervortretende Gift des Racenantisemitismus jemals von der Kirche sanctionirt worden ist? Oder meint er etwa, daß momentan, unter dem höchst glorreichen Pontificate Leo XIII. racenantisemitische Velleiten in Rom geduldet werden? Hat er etwa noch keine Kenntniß von dem in Oesterreich residirenden Fürsterzbischof Kohn erhalten, der der Sohn eines israelitischen Kleinbürgers ist? Ist ihm der Name des ehrwürdigen elsässischen Priesters Ratisbonne nicht zu Ohren gekommen? Sind die henotischen Encycliken des großen Leo vom 20 Juni 1894 und 14 April 1895 noch immer nicht in seine Hand gelangt? Glaubt er etwa das große Einigungswerk, welches S. Heiligkeit sich für seine letzten Lebensjahre vorgenommen hat, durch Beförderung des haßerfüllten widerchristlichen Racenantisemitismus unterstützen zu können? Es ist nicht ausgeschloßen, daß ich noch in diesen Osterferien in Rom Gelegenheit finden werde, das Material, welches ich in dieser Frage des Judenthums seit Jahren gesammelt habe, das mir aber am schmerzlichsten in den allerdings seltenen Fällen von katholischen Geistlichen entgegengetreten ist, an die richtige Stelle zu bringen. Uebrigens ist es ja nach Ihrem Schreiben noch nicht gänzlich ausgeschloßen, daß Herr Husserl die Stelle erhalten wird. Befindet sich doch sein Name auf der Liste und Sie selbst geben mir das Versprechen, auf welches ich baue, wenigstens noch den Versuch zu machen, durch aufgeklärte Abgeordnete die Hülfe zu erreichen, welche Ihnen von minder aufgeklärten Collegen verweigert worden ist. [Cantor an Heiner, 4. 2. 1896]
Es ist dies eine traurige rüde hohlphrasige Gesellschaft von Maulhelden, die ich von Halle her, wo sie eine Filiale in dem hiesigen "Verein deutscher Studenten" hat, sehr genau kenne. In der jüngst erschienenen Historie dieser Leute von Dr. phil. Herm. von Petersdorff (betitelt Die Vereine deutscher Studenten. Neun Jahre akademischer Kämpfe, Leipzig, Breitkopf u. Härtel) werde ich lügenhafterweise pag 80 als ein "Rufer im Kampfe für die Juden" bezeichnet, weil ich von Anfang an diesen Kinder- und Pastorenantisemitismus, der dem deutschen Volke nichts nützt, sondern nur schadet, als er auch mich kaufen wollte, höflich aber bestimmt und ehrlich abgelehnt habe, was sie mir fürchterlich übelgenommen haben, ich wurde damals vor 9 Jahren in den antisemitischen Zeitungen viel angegriffen. [Cantor an Langbehn, 26. 8. 1891]
1030 Das Kalenderblatt 120330
129. "Gott selber kann nicht ohne weise Menschen bestehen" – hat Luther gesagt und mit gutem Rechte; aber "Gott kann noch weniger ohne unweise Menschen bestehen" – das hat der gute Luther nicht gesagt!
135. [...] "Nur wenn du bereuest, ist Gott dir gnädig" – das ist einem Griechen ein Gelächter und ein Aergerniss: er würde sagen "so mögen Sclaven empfinden". Hier ist ein Mächtiger, Uebermächtiger und doch Rachelustiger vorausgesetzt: seine Macht ist so gross, dass ihm ein Schaden überhaupt nicht zugefügt werden kann, ausser in dem Puncte der Ehre. Jede Sünde ist eine Respects-Verletzung, ein crimen laesae majestatis divinae – und Nichts weiter! Zerknirschung, Entwürdigung, Sich-im-Staube-wälzen – das ist die erste und letzte Bedingung, an die seine Gnade sich knüpft: Wiederherstellung also seiner göttlichen Ehre! Ob mit der Sünde sonst Schaden gestiftet wird, ob ein tiefes wachsendes Unheil mit ihr gepflanzt ist, das einen Menschen nach dem andern wie eine Krankheit fasst und würgt – das lässt diesen ehrsüchtigen Orientalen im Himmel unbekümmert: Sünde ist ein Vergehen an ihm, nicht an der Menschheit! [...]
141. Wie? Ein Gott, der die Menschen liebt, vorausgesetzt, dass sie an ihn glauben, und der fürchterliche Blicke und Drohungen gegen Den schleudert, der nicht an diese Liebe glaubt! Wie? eine verclausulirte Liebe als die Empfindung eines allmächtigen Gottes! Eine Liebe, die nicht einmal über das Gefühl der Ehre und der gereizten Rachsucht Herr geworden ist! Wie orientalisch ist das Alles! "Wenn ich dich liebe, was geht's dich an?" ist schon eine ausreichende Kritik des ganzen Christenthums.
142. Buddha sagt: "schmeichle deinem Wohlthäter nicht!" Man spreche diesen Spruch nach in einer christlichen Kirche: – er reinigt sofort die Luft von allem Christlichen.
[F. Nietzsche: "Die fröhliche Wissenschaft", 3. Buch, Schmeitzner, Chemnitz (1882)] http://gutenberg.spiegel.de/buch/3245/6
Übrigens habe ich erst kürzlich Gelegenheit erhalten, mir über die sogenannte Nietzschesche Philosophie ein genaues Bild zu machen. Wegen der stilistischen Reize findet sie bei uns eine kritiklose Anerkennung, die im Hinblick auf den perversen Inhalt und die herostratischen antichristlichen Motive mir höchst bedenklich zu sein scheint. Das Bedürfnis nach Neuheit und Füllung des philosophiegeschichtlichen Schemas macht unsere Philosophen moralisch blind und eilfertig bereit, Jeden mit dem Anspruch eines neuen Systems Auftretenden in ihre historische Darstellung einzufügen. So erreicht der ehrgeizige Neuerer stets seinen Zweck; er wird zum berühmten Philosophen und die Verderbniss der Jugend vollzieht sich im großen Stile. [Cantor an Loofs, 24. 2. 1900, vgl. KB101031]
1031 Das Kalenderblatt 120331
The object of this paper is to give a satisfactory account of the Foundations of Mathematics in accordance with the general method of Frege, Whitehead and Russell. Following these authorities, I hold that mathematics is part of logic, and so belong to what may be called the logical school as opposed to the formalist and intuitionist schools. I have therefore taken Principia Mathematica as a basis for discussion and amendment; and believe myself to have discovered how, by using the work of Mr. Ludwig Wittgenstein, it can be rendered free from the serious objections which have caused its rejection by the majority of German authorities, who have deserted altogether its line of approach.
In this chapter we shall be concerned with the general nature of pure mathematics, and how it is distinguished from other sciences. (Footnote: In the future by 'mathematics' will always be meant 'pure mathematics'.) Here there are really two distinct categories of things of which an account must be given -- the ideas or concepts of mathematics, and the propositions of mathematics. This distinction is neither artificial nor unnecessary, for the great majority of writers on the subject have concentrated their attention on the explanation of one or other of these categories, and erroneously supposed that a satisfactory explanation of the other would immediately follow. Thus the formalist school, of whom the most eminent representative is now Hilbert, have concentrated on the propositions of mathematics, such as '2 + 2 = 4'. They have pronounced these to be meaningless formulae to be manipulated according to certain arbitrary rules, and they hold that mathematical knowledge consists in knowing what formulae can be derived from what others consistently with the rules. Such being the propositions of mathematics, their account of its concepts, for example the number 2, immediately follows. '2' is a meaningless mark occurring in these meaningless formulae. But, whatever may be thought of this as an account of mathematical concepts, it is obviously hopeless as a theory of mathematical concepts; for these occur not only in mathematical propositions, but also in those of everyday life. Thus '2' occurs not merely in '2 + 2 = 4', but also in 'It is 2 miles to the station', which is not a meaningless formula, but a significant proposition, in which '2' cannot conceivably be a meaningless mark. Nor can there be any doubt that '2' is used in the same sense in the two cases, for we can use '2 + 2 = 4' to infer from 'It is two miles to the station and two miles on to the Gogs' that 'It is four miles to the Gogs via the station', so that these ordinary meanings of two and four are clearly involved in '2 + 2 + 4'. So the hopelessly inadequate formalist theory is, to some extent, the result of considering only the propositions of mathematics and neglecting the analysis of its concepts, on which additional light can be thrown by their occurrence outside mathematics in the propositions of everyday life.
[F.P. Ramsey: "The Foundations of Mathematics", Proc. Lond. Math. Soc., Vol.s2-25, Issue 1 (1926) 338-384] http://www.hist-analytic.org/Ramsey.htm http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Mathematicians/Ramsey.html
Das hehre Ziel der Formalisten bei der Schaffung ihrer Ruine (Taschner, KB120326) war eine reine und von der Wirklichkeit völlig befreite Mathematik. Dieses Ziel ist Menschen unerreichbar, weil jedes Atom jeder formalen Sprache und vor allem dessen Auffassung und Verarbeitung in einem Hirn oder anderen Maschinen ein Stück Wirklichkeit bedeutet und ist.
1032 Das Kalenderblatt 120401
In Sachen Georg Cantor
Der Staatsanwalt (sachlicher Tonfall): Ich stelle fest, Ihre Liste enthält zur Nummerierung nur die natürlichen Zahlen. Die letzte Zeile ist nicht omega, denn das ist keine natürliche Zahl. (Cantor flüstert ihm etwas zu. Darauf der Staatsanwalt, trocken): Ach, Ihre Liste besitzt gar keine letzte Zeile? - Könnte man denn, um das Ganze etwas zu aktualisieren, von einer letzten erkennbaren Zeile sprechen? Nein? Aber wenigstens die erste Hälfte der Liste wird doch wohl deutlich sichtbar sein? Auch nicht? Und die ersten 2 Prozent, das erste Zehntel Promille? (mit erhobener Stimme) Auch nicht? (sehr laut) Ja, was ist denn dann noch übrig (donnernd) von Ihrer Liste??? (mühsam sich fassend) Und Sie wollen beschwören, dass Ihre Liste jede natürliche Zahl enthält und dass jede einzelne - und damit auch die letzte - reelle Zahl in Ihrer Liste von der erzeugten Diagonalzahl verschieden ist ?????? (bedeutungsschwanger drohend) Ich mache Sie darauf aufmerksam ...
1033 Das Kalenderblatt 120402
Cantor’s intuition about the Absolute Infinite was the original motivation for the work done in the last quarter century on the Reflection Principle. Moreover, recent research by Jensen, Friedman, and others, provides impressive ways of demonstrating the transcendent vastness of V; they show that it is impossible to prove that V can be obtained by expanding any of the known highly structured well understood models of set theory by means of standard expansion techniques. Before explaining how the Reflection Principle is used to justify large cardinals, let’s consider a simpler application of this principle. Consider the following property: R(x): x has infinitely many predecessors. R is a property which is true of the class ON of all ordinals: if we think of ON as the largest of all ordinals, then R(ON) is true because ON does indeed have infinitely many predecessors. The Reflection Principle then tells us that there must be an actual ordinal number α (i.e., an ordinal not equal to ON) which also has the property R. The simplest example of such an α is the least infinite ordinal ω. Let us now turn to the justification of the existence of inaccessibles offered by the Reflection Principle. The property R(x) we wish to consider is R(x): (1) x is a cardinal > ω, and Vx is a stage of the universe which is not the union of fewer than x previous stages, and (2) the size of Vα is less than x for all α < x. If we assume for the moment that V = VON, as if V were obained as its own last stage, then V is not the union of fewer than ON many stages, so part (1) of R(V) holds. As for (2), it is also clear that the size of any stage is an actual cardinal number, hence less than ON itself. Thus (2) holds as well. By the Reflection Principle, there must be an ordinal κ such that R(κ) holds. Hence, there is an inaccessible cardinal in the universe. The Reflection Principle goes a long way toward justifying the presence of large cardinals in mathematics, but is not entirely successful. First, as far as anyone knows, the very largest of the large cardinals cannot be justified with these reflection arguments. Second, and more importantly, the Reflection Principle is not entirely precise in its formulation - which “properties” R(x) are we allowed to use? If, for example, we try the property R(x): Every set is a member of x, we are faced with the undesirable fact that although R(V) is true, R(A) is false for every set A. To fully understand the origin of large cardinals, we need a deeper and more exact principle than the Reflection Principle. Although the Reflection Principle does not give a complete solution to the problem of large cardinals, it does give us a significant hint: Large cardinals exhibit properties of the universe as a whole. As we observed earlier, the most noticeable omission in the development of modern set theory - at least from the point of view of Maharishi’s Vedic Science - is the lack of an axiom describing the nature of the universe V as a whole. The Reflection Principle tells us that the information about the nature of the wholeness of V is revealed ever more fully in the properties of ever larger large cardinals. {{Wer sich einmal beim Teufel zum Essen eingeladen hat, der braucht einen immer längeren Löffel. Hätte die Matheologie darauf verzichtet, das Unendliche als vollendet zu glauben, den Zeitpunkt nach dem Niemals in Betracht zu ziehen, das zweite Ende des Strahls zu überzeichnen, dann würde keine Notwendigkeit bestehen, immer noch größere Zahlen zu erfinden - sie böten sich auf ganz natürliche Art aus dem Fundus der natürlichen Zahlen an.}} [P. Corazza: "Vedic Wholeness and the Mathematical Universe: Maharishi’s Vedic Science as a Tool For Research in the Foundations of Mathematics", p. 154ff] http://pcorazza.lisco.com/papers/MVS/mvsResearchInfinite.pdf
1034 Das Kalenderblatt 120403
In both the cases of Cantor’s power set theorem and Cantor’s diagonal argument, the definition of the complement of the object of diagonalization leads to the rejection of the diagonalization itself.
By common consent Russell’s antinomy is the reason why in Zermelo-Fraenkel set theory, there is no set which comprehends all sets. Furthermore, given any set A, there is no set which contains all sets which are not members of A (in particular, there is no set which is the complement of A). In other words, given any set A, the absolute complement of A, i.e. {x | x – A}, cannot be defined and the complement of A, can only be defined as relative to another given set. For instance, if A is a subset of B, then the relative complement of A in B is defined by B - A = {x œ B | x – A}. The existence of the relative complement is ensured by the axiom schema of the Subsets. [...] To complete the proof {{den Hessenbergschen Beweis}}, we assume, toward a contradiction, that there exists a one to one correspondence g : A Ø P(A) which establishes that A ~ P(A) and we define the set (4) B = {x œ A | x – g(x)}. Now B is a subset of A and g is a surjection, so there must exist some b œ A such that B = g(b) (diagonalization), and (as for each x œ A) either b œ B or b – B. (*) If b œ B then b œ g(b) since B = g(b), so that b does not satisfy the condition which defines B, and hence b – B, contrary to hypothesis. (**) If b – B, then b – g(b), so that b now satisfies the defining condition for B and hence b œ B, which again contradicts the hypothesis. [...] Let us read the above so-called Cantor’s theorem and connect again to (4), i.e. the step of the definition of B within Cantor’s argumentation. As previously observed, the relative complement can always be defined. Accordingly let us define B' = A - B as the relative complement of B in A, i. e. (5) B' = {x œ A | x – B}. One can easily see that (6) B' = {x œ A | x œ g(x)}. Consequently we have in ZF the following situation g : A Ø P(A) by assumption, B = {x œ A | x – g(x)} by Subset axiom, B' = {x œ A | x œ g(x)} by Subset axiom. We can then state that B and B' are subsets of A. By its definition g is a surjection and for each x œ A we have either x œ B or x – B, i.e. by (5) either x œ B or x œ B'. Let us reconsider the statement there must exist some x œ A such that B = g(b) (diagonalization), within Cantor’s argumentation. If such b exists, from B ∫ B', we obtain B = g(b) ñ B' ∫ g(b), i.e. B = g(b) or B' = g(b) but not both. We have then the main consequence of taking into consideration the definition of the relative complement with respect to Cantor’s argumentation in ZF. Applying {{extensionality}} we obtain (7) (b œ B' ñ b œ g(b)) fl B' = g(b), hence by (6) (8) B' = g(b). Moreover since b œ B or b œ B' but not both, and B = g(b) or B' = g(b) but not both we have (9) B ∫ g(b). Accordingly the assertion there must exist some b œ A such that B = g(b) is false. By the axiom schema of Subsets and the axiom of Extensionality, diagonalization can not be stated as true in ZF. Consequently (*) and (**) cannot be accomplished and Cantor’s theorem does not hold in ZF. In fact we have only two cases 1. b œ B and B' = g(b), then b – g(b) so that b satisfies the condition in (4) which defines B, and hence b œ B, accordingly to the hypothesis; 2. b œ B' and B' = g(b), then b œ g(b) so that b satisfies condition in (6), and hence b œ B', accordingly to the hypothesis. We have thus established the following theorem. Theorem 1. By the definability of the relative complement, Cantor’s proposition does not hold as a theorem in ZF. [P. Cattabriga: "Beyond Uncountable", arxiv (2006)] http://arxiv.org/pdf/math/0312360v2.pdf
1035 Das Kalenderblatt 120404 Mengenfolgen und Supertasks (1)
Die zehn folgenden Kalenderblätter sind dem Thema Mengenfolgen und Supertasks gewidmet; sie zeigen die Unvereinbarkeit der transfiniten Mengenlehre mit grundlegenden Prinzipien der Mathematik. Die einzige Möglichkeit, einen Widerspruch auf diesem Gebiet zu vermeiden, besteht darin, die notwendige Identität |Limnض Mn| = Limnض |Mn| nicht anzuerkennen. Damit wird aber zum einen die mathematische "Realität" des Mengenbegriffs negiert, denn was sollte der Limes der Kardinalzahlfolge anzeigen, wenn nicht die Kardinalzahl der Grenzmenge selbst? Zum anderen wird die Grundlage der Analysis verworfen, wonach eine Zahlenfolge nur dann "gegen Unendlich strebt", wenn dies auch für die Zahl der Ziffern ihrer Glieder gilt.
Dass eine Folge den uneigentlichen Grenzwert ¶ besitzt, während die Zahl der Ziffern ihrer Glieder gegen 0 konvergiert, ist mathematisch unmöglich. Der Kettenbruch ((((((10^0)/10)+10^1)/10)+10^2)/10)+... mit den Näherungen 1 0.1 10.1 1.01 101.01 10.101 1010.101 101.0101 ... wächst über jede Schranke, strebt also gegen Unendlich. Wenden wir dagegen die Mengenlehre à la Tristram Shandy an, dann ist von jeder 1, die vor dem Komma auftritt, bekannt, wann sie hinter dem Komma verschwindet. Also ist der Grenzwert des Kettenbruchs nach Mengenlehre 10/99 oder weniger - genau genommen sogar 0, denn von jeder 1 ist bekannt, wann sie eine gegebene Stelle hinter dem Komma hinter sich lässt.
1036 Das Kalenderblatt 120405 Mengenfolgen und Supertasks (2)
Die Cantorsche Abzählung der Brüche ist eine Supertask, ebenso wie die Summation aller natürlichen Zahlen oder aller Zahlenpaare m + n. Natürlich kann man bis zu jeder gewünschten Zahl addieren. Aber nicht alle! Denn nach jeder Summation kommt nochmal so viel, das man nicht summiert hat. Und wenn man es doch summiert hat, dann kommt nochmal so viel und mehr - nämlich immer noch unendlich viel.
Der Unterschied zu summierbaren Reihen liegt darin, dass letztere konvergieren. Man kann für keine unendliche Reihe alle Glieder summieren, aber man kann zeigen, dass die noch verbleibenden unendlich vielen Glieder einen Fehler verursachen, der beliebig klein wird. Derartiges kann man für die divergente harmonische Reihe nicht ausrechnen. Und ganz genau so ist es mit der Cantorschen Abzählung. Die Zickzack-Nummerierung aller positiven Brüche 1/1, 1/2, 2/1, 3/1, 2/2, 1/3, 1/4, ... zeigt, dass zu jedem Dreieck nummerierter Brüche ein Dreieck noch nicht nummerierter Brüchen vorhanden ist, in dem keine der Zähler- und Nennerzahlen die bereits verwendeten übertrifft: 1/1, 1/2, 1/3, ... 2/1, 2/2, 2/3, ... 3/1, 3/2, 3/3, ...... , ganz abgesehen von den unendlich vielen noch folgenden Zahlenpaaren.
Eine derartige Abzählung benutzte auch Cauchy (lange vor Cantor) für den Beweis der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion. Aber im Unterschied zu den rationalen Zahlen, die alle gleichberechtigt sind, deren Bedeutung für den Zählprozess also nicht abnimmt, geht es bei Cauchy um eine Summe und jeder Summand enthält die Faktoren 1/n! und 1/m!. Deshalb spielt der Rest, also das prinzipiell nicht abzählbare untere Dreieck, keine tragende Rolle. So wie Cantor sich das dachte, funktioniert es leider nicht. Und es gibt noch einen anderen Grund dafür.
Liegt die vollständige Abzählung der rationalen Zahlen aus dem Einheitsintervall erst einmal vollständig vor, so dass die Position jeder Zahl bestimmt ist, 1/2, 1/3, 1/4, 2/3, 1/5, 1/6, 2/5, 3/4, 1/7, ... dann können die aufeinander folgenden Zahlen zu Paaren zusammengefasst und so geordnet werden, dass jeweils der kleinere Partner an die erste Stelle gelangt. Für jedes Paar ist diese Entscheidung mit derselben Sicherheit und derselben Automatisierbarkeit möglich wie die ursprüngliche Nummerierung: (1/3, 1/2), (1/4, 2/3), (1/6, 1/5), (2/5, 3/4), (1/7, ... Nun fassen wir die Zahlen mit Ausnahme der ersten zu Paaren zusammen und ordnen sie wiederum so, dass jeweils der kleinere Partner an die erste Stelle gelangt. Das ergibt die Folge 1/3, (1/4, 1/2), (1/6, 2/3), (1/5, 2/5), (1/7, 3/4), ... Als nächstes bilden wir wieder Paare mit Einschluss der ersten Zahl und ordnen die Partner abermals so um, dass jeweils der kleinere Partner an die erste Stelle gelangt: (1/4, 1/3), (1/6, 1/2), (1/5, 2/3), (1/7, 2/5), ... Dann wiederholen wir dasselbe ohne die erste Zahl und dann wieder mit ihr. Fährt man auf diese Weise fort, so erhält man nach ¡0 Permutationen mit jeweils ¡0 Transpositionen die Folge der rationalen Zahlen des Einheitsintervalls nach Größe wohlgeordnet. In jeder Permutation kann die Position jeder Zahl berechnet werden. Was unterscheidet diese Supertask von Cantors ursprünglicher, nämlich der Konstruktion der Ausgangsfolge? Nichts Grundsätzliches! Anstelle einer unendlichen Folge bilden die Permutationen nun eine unendliche Matrix. Anstelle von ¡0 Gliedern einer Folge sind ¡0ÿ¡0 = ¡0 Glieder einer Matrix angeordnet. Sind sie? Nein! Beides kann bis zu jedem beliebigen Grade getrieben werden, dennoch ist stets nur ein endlicher Teil der unendlichen Aufgabe bewältigt. Jede endliche Teilmenge der rationalen Zahlen ist abzählbar und nach Größe anordbar - die rationalen Zahlen sind es nicht.
1037 Das Kalenderblatt 120406 Mengenfolgen und Supertasks (3)
Das im Folgenden beschriebene Experiment fußt auf der matheologischen Ansicht, dass "niemals" in gewissem Sinne "fertig" bedeutet, wie die Geschichte von Tristram Shandy nahelegt, "der daran geht, seine Lebensgeschichte zu schreiben, und zwar so pedantisch, daß er zur Schilderung der ersten Tage seines Lebens je ein volles Jahr benötigt. Er wird natürlich mit seiner Biographie niemals fertig, wenn er so fortfährt. Würde er indes unendlich lang leben (etwa "abzählbar unendlichviele“ Jahre), so würde seine Biographie "fertig“; es würde dann nämlich, genauer ausgedrückt, jeder noch so späte Tag seines Lebens schließlich eine Schilderung bekommen, weil das für diese Arbeit an die Reihe kommende Jahr eben irgend einmal in seinem Leben erschiene." (A. Fraenkel, vgl. KB100610)
Doch die aktuale Unendlichkeit, sofern sie in der transfiniten Mengenlehre Verwendung finden soll, bedarf einer feinen Unterscheidung. Sie muss zur Aufspaltung fähig sein, denn zwar wird die Menge der natürlichen Zahlen "voll", in dem Sinne, dass sie mehr als jede natürliche Zahl von natürlichen Zahlen enthält, doch werden die natürlichen Zahlen niemals "voll", in dem Sinne, dass eine größer als jede natürliche Zahl wäre. Wie denn auch? Denn dann wäre es ja keine natürliche Zahl. Die folgenden Aufnahmen eines ständig expandierenden Quadrates, dessen Breite die Größe und dessen Höhe die Anzahl natürlicher Zahlen darstellt, dokumentieren dies zum ersten Mal:
o
oo oo
ooo ooo ooo
oooo oooo oooo oooo
...
Für jedes endliche Quadrat gilt Höhe = Breite.
Das unendliche Quadrat besitzt jedoch eine Höhe, welche die Breite übertrifft. Es besteht aus einer aktual unendlichen (also jede endliche Zahl übertreffenden) Folge endlicher (also weniger als unendlich viele Zeichen enthaltenden) Zeilen:
∂
(Maßstab geändert).
Es scheint, als seien Gravitationseffekte untrennbar mit der transfiniten Mengenlehre verwoben.
1038 Das Kalenderblatt 120407 Mengenfolgen und Supertasks (4)
Da die in KB120405 etwas implizit dargestellte Supertask offenbar nicht für jeden als solche erkennbar ist, sei hier eine deutlicher erkennbare beschrieben. Um den Effekt zu drastifizieren, beträgt die Zufügungsrate nunmehr 10 statt 2. Nach oben hin sind keinen Grenzen gesetzt, die Zufügungsrate ist also nicht beschränkt, aber natürlich und somit endlich. Anstelle der 10 könnte auch 10100 gewählt werden. Das Ergebnis der Mengenlehre ist dasselbe wie in KB120405 und das Ergebnis der Mathematik auch - und beide schließen sich gegenseitig aus.
Supertask 1. Beginne mit einer leeren Menge, füge die Zahlen 1 bis 10 hinzu, entferne die 1, füge die Zahlen 11 bis 20 hinzu, entferne die 2, füge die Zahlen 21 bis 30 hinzu, entferne die 3, usw. Die Grenzmenge ist leer, denn von jeder Zahl ist bekannt, in welchem Schritt sie entfern wird.
Supertask 2. Beginne mit einer leeren Menge, füge die Zahlen 1 bis 10 hinzu, entferne die 10, füge die Zahlen 11 bis 20 hinzu, entferne die 20, füge die Zahlen 21 bis 30 hinzu, entferne die 30, usw. Die Grenzmenge enthält unendlich viele Zahlen, nämlich alle nicht durch 10 teilbaren.
Die Kardinalzahlen beider Folgen sind in allen endlichen Schritten identisch. Das zeigt sich, wenn die Zahlen durch Indizes unterschieden werden. Wählt man zum Beispiel römische Zahlen (wobei von technischen Problemen mit Zahlen ¥ 5000, wie sie in KB100210 beschrieben sind, abgesehen werden soll) mit arabischen Indizes, so ergibt sich im ersten Schritt I 1 II 2 III 3 ... X 10 wovon die römische I entfernt wird und die verbliebenen Zahlen neu indiziert werden: II 1 III 2 IV 3 ... X 9 Im zweiten Schritt fügt man XI bis XX hinzu, indiziert durch 11 bis 20, entfernt anschließend die II und re-indiziert mit dem Ergebnis III 1 IV 2 V 3 ... X 8 XI 9 XII 10 ... XX 18 Der Grenzwert hängt allein von der Bezeichnung der entfernten Zahlen ab. Daran wird klar, dass die transfinite Mengenlehre für wissenschaftliche Zwecke ungeeignet ist. Jede wissenschaftliche Anwendung der Mathematik ist von Bezeichnungswillkür unabhängig.
1039 Das Kalenderblatt 120408 Mengenfolgen und Supertasks (5)
Mit Anfangsabschnitten Sk = {1, ..., k} der natürlichen Zahlen Ù ergibt sich " m œ Ù: » S = » S = Ù. kœÙ\Sm k kœÙ k Wenn "für alle" dasselbe bedeutet wie "für jedes", dann kann man alle m œ Ù weglassen, ohne die Vereinigungsmenge Ù zu verändern. Notfalls kann man auch jedes m œ Ù zuerst "festhalten", dann aber doch weglassen. Wenn man alle m erst festhält und dann weglässt, bleiben "am Ende" immer noch alle m œ Ù übrig. Ist es nicht merkwürdig, dass keine mathematische Grenze für dieses Weglassen angegeben werden kann?
Ein ganz anderes Ergebnis erhält man aus der folgenden Supertask. Man beginnt mit der leeren Menge. Im n-ten Schritt fügt man n weitere natürliche Zahlen hinzu und entfernt die n-1 bereits vorhandenen. In den einzelnen Schritten hat man damit die Mengenfolge: 1 2, 3 4, 5, 6 ... Ich schreibe die einzelnen Glieder untereinander. Das spart Zeichen. Früher schrieb man die Folgenglieder nebeneinander. Das sparte Platz. Papier war teuer. Pixel sind billig. Der mengentheoretische Grenzwert ist bekanntlich leer. Indiziert man aber die Zahlen, wie hier gezeigt: 11 21, 32 41, 52, 63 ... so ist der Grenzwert der Indizes Ù. Das führt bei der Anwendung der Mengenlehre auf folgende putzige Situation, die ich zur nächsten Esoterikmesse einreichen möchte: In eine Urne legt man wie oben mit natürlichen Zahlen nummerierten Kugeln und entnimmt die vorher darin befindlichen, so dass der erste Schritt um 12 Uhr erfolgt, der zweite um halb eins, der dritte um dreiviertel eins usw. Pünktlich um 1 Uhr ist dann die Urne leer. Doch wenn der Urnenboden durch jede Kugel ein wenig eingedrückt wird, so dass jede Kugel in einer kleinen Mulde liegt, so sind nach dem n-ten Schritt n kleine Mulden im Urnenboden, eventuell sogar von außen sichtbar. Pünktlich zum Ende der Geisterstunde {{die Glocke, sie donnert ein mächtiges Eins - ich werde nie vergessen, wie Gert Westphal zu nächtlicher Stunde im doppelten Kreuzgang des alten Zisterzienserklosters zu Walkenried Goethes Totentanz rezitierte}} sind unendlich viele gefüllte (besser: gefühlte) Mulden im Urnenboden, doch wenn man nachschaut, sind sie alle leer.
Man kann das auch folgendermaßen mit vollkommen gleichberechtigten Partnern anschreiben: 1-1 2-1, 3-2 4-1, 5-2, 6-3 ... Die Folge der zweiten Partner 1 1, 2 1, 2, 3 ... besitzt den Grenzwert Ù. Doch die Folge der ersten Partner 1 2, 3 4, 5, 6 ... "konvergiert" gegen die leere Menge.
1040 Das Kalenderblatt 120409 Mengenfolgen und Supertasks (6)
Die Matrix 0,000000000000000... 0,100000000000000... 0,110000000000000... 0,111000000000000... 0,111100000000000...... enthält in jeder Zeile unendlich viele Nullen hinter einer letzten Ziffer 1, denn der Grenzwert 1/9 gehört nicht zur Folge der Zeilen. Enthält die Matrix eine Spalte hinter dem Komma mit ausschließlich Nullen, also Nullen in allen Zeilen? Zumindest kann man sie nicht finden, doch bis zu jeder Zeile reichen unendlich viele Spalten, die nur Nullen enthalten.
Noch deutlicher wird das Problem anhand der Folge 10 1100 111000 11110000 1111100000 ... Sicher existiert keine Zeile mit ausschließlich Einsen.
Auch diese Folge kann als Supertask interpretiert werden: Fädele zwei Kugeln auf eine Stange, entferne die linke, füge von rechts zwei weitere Kugeln hinzu, entferne wiederum die linke und so fort. Indiziert man die aufgefädelten Kugeln mit 0, die entfernten mit 1, so ergibt sich folgendes Schema. 00 10 1000 1100 110000 111000 ... Die Folge kann verkürzt auch so angegeben werden: 10 1100 111000 ... Die Grenzmenge ist leer, denn von jeder Kugel steht fest, in welchem Schritt sie entfernt wird. Die Grenzzeile enthält also nur Einsen. Doch das ist nur in Europa und Amerika richtig. In Arabien schreibt man von rechts nach links. Dort bezeichnet dieselbe Folge das Auffädeln von zwei Kugeln (die nun mit Einsen indiziert werden) von links, von denen die rechte entfernt (mit 0 markiert) wird. Fortsetzung dieser Interpretation liefert genau dieselbe Folge mit einem einzigen Unterschied: Nun besteht die Grenzzeile ausschließlich aus Nullen.
1041 Das Kalenderblatt 120410 Mengenfolgen und Supertasks (7)
Gegeben sei die Folge f(n) = 101-n + 10ÿf(n-1) mit dem Anfangsglied f(0) = 0 Die Folge divergiert gegen den (uneigentlichen) Grenzwert ¶. Besitzt die Kardinalzahl der Indizes der Vorkommastellen einen Grenzwert? Besitzt die Menge der Indizes der Vorkommastellen einen Grenzwert? Besitzt die Kardinalzahl der Indizes der Nachkommastellen einen Grenzwert? Besitzt die Menge der Indizes der Nachkommastellen einen Grenzwert?
Die mengentheoretische Definition des Grenzwertes einer Mengenfolge findet man in Kalenderblatt 100728 http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/KB/KB%20401-600.pdf Doch ist sie für das Verständnis gar nicht nötig, wenn man Fraenkels Tristram-Shandy- Interpretation kennt: http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU12c.PPT#395,21,Folie 21 Etwas (genauer um 363, 25) vereinfacht, ergibt sich die folgende anschauliche Mengenfolge: Zu einer zunächst leeren Menge werden der Größe nach unendlich viele Paare von natürlichen Zahlen 1,2; 3,4; 5,6; ... hinzugefügt, und direkt nach jeder Operation wird die kleinste verbliebene Zahl der Menge wieder entnommen. Wenn das Komma die Menge von den daraus wieder entfernten Zahlen abgrenzt, so findet man die Mengenfolge vor dem Komma, die entfernten Zahlen dahinter: 2,1 43,21 654,321 8765,4321 ... Wer PowerPoint hat, kann die Folge in ihrer Entstehung betrachten. http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU12c.PPT#402,24,Folie 24 Später wird die Notation allerdings unübersichtlich, weil mehrstellige Zahlen vorkommen. Substituiert man indessen eine gerade Zahl durch 1 und für eine ungerade durch 0, so erhält man 1,0 10,10 101,010 1010,1010 ... Diese Zahlenfolge lässt sich rekursiv durch f(n) = 10n-1 + f(n-1)/10 mit dem Anfangsglied f(0) = 0 [1] bzw. die oben angegebene Formel f(n) = 101-n + 10ÿf(n-1) mit dem Anfangsglied f(0) = 0 [2] bestimmen: 1 10,1 101,01 1010,101 ... Die mathematische Beschreibung ist eindeutig: Die Folge divergiert gegen den uneigentlichen Grenzwert ¶. (Ich möchte bei reellen Folgen, die jede Schranke übersteigen, nicht von Konvergenz sprechen.) Die Kardinalzahlen der Indexmengen von Vorkomma-Indizes und Nachkomma-Indizes divergieren gegen unendlich (oder aleph_0) Die mengentheoretische Beschreibung der Grenzmengen der Indexmengen ist von der Wahl des Standpunktes und von nicht formelmäßig niedergelegtem Wissen (bzw. Glauben) abhängig. Benutzt man das durch Formel [1] beschriebene, oben erläuterte Bild, so ist der Grenzwert der Folge der Indexmengen vor dem Komma die leere Menge. Die Menge der Indizes nach dem Komma ist Ù, denn jeder Index wandert irgendwann hinter das Komma (Tristram Shandy beschreibt jeden Tag). Wendet man dagegen Formel [2] an, so ergibt sich zwar mathematisch genau dieselbe Folge, aber nun stehen die zur Menge hinzugefügten Zahlen rechts des Kommas, die entfernten links (wobei hier 0 eine gerade und 1 eine ungerade Zahl repräsentieren, doch besäße die Folge auch ohne diese Vertauschung mathematisch dasselbe Verhalten). Nun ist der Grenzwert der Indexmengen der Stellen nach dem Komma die leere Menge, weil von jedem Index bekannt ist, wann er vor das Komma rückt.
Grenzwerte, die sich nicht allein aus den endlichen Gliedern einer Folge berechnen lassen, sondern darüber hinaus Insiderwissen erfordern und von der Indizierung abhängen, sind unwissenschaftlich und in jedem Falle unbrauchbar.
1042 Das Kalenderblatt 120411 Mengenfolgen und Supertasks (8)
Wir bilden ein über alle Grenzen wachsendes Dreieck aus natürlichen Zahlen 1 1, 2 1, 2, 3 und behalten uns vor, ob wir das Dreieck jeweils an seiner Basis 1 1, 2 1, 2, 3 x, x, x, x oder an seiner Diagonale x 1, x 1, 2, x 1, 2, 3, x erweitern. Anstelle der Zahlen 1, 2, 3, 4 habe ich hier x, x, x, x geschrieben, weil man sonst den Unterschied gar nicht erkennen könnte. Dennoch besteht matheologisch eine unüberbrückbare Diskrepanz. Das aktual unendliche, fertige Dreieck besitzt nur im ersten Falle eine aktual unendlich Diagonale, im zweiten Falle nicht, denn zwar werden alle endlichen Folgen natürlicher Zahlen der Reihe nach diagonal hinzugefügt, aber niemals eine unendliche Folge. Diese muss auf der Diagonale von selbst ins Unendliche wachsen, was nur möglich ist, wenn es unbemerkt geschieht, wie bei der Vereinigung aller endlichen Zahlen zu einer Menge mit unendlicher Kardinalzahl, also bei der ersten Konstruktion. Im zweiten Falle dagegen erhält das Dreieck durch Anfügung aller endlichen Diagonalen eine aktual unendliche Basis.
Doch die Form des Dreiecks ändert sich auch im Unendlichen nicht. Und deshalb führt die Lehre des aktual Unendlichen in die Irre. Wenn alle Elemente der natürlichen Zahlen in der Breite existieren, so müssen auch alle in der Diagonale existieren, denn die Folgen von arithmetisch dargestellten geometrischen Dreiecken sind so konstruiert, dass die Breite niemals die Diagonale und die Diagonale niemals die Breite übertrifft.
Ganz unklar wären die Verhältnisse bei der folgenden Dreieckskonstruktion, wo im ersten Schritt die mit a bezeichneten Elemente hinzugefügt werden, im zweiten Schritt die mit b bezeichneten, im dritten Schritt die mit c bezeichneten usw.
a
a bb
c ac bbc
d dc dac dbbc
d dc dac dbbc eeeee
...
Keine der Dreiecksseiten kann bei diesem baumkuchenartigen Wachstum eine aktual unendliche Menge von Zahlen enthalten, denn in jedem Schritt wird eine endliche Folge hinzugefügt, so dass sich jeder überzeugen kann: Dort, wo er schaut, ist nichts aktual unendlich. Und doch ist das ganze Dreieck unendlich, ohne Ende also. Und wenn das Unendliche aktual ist, so ist auch das Dreieck aktual unendlich.
1043 Das Kalenderblatt 120412 Mengenfolgen und Supertasks (9)
Fibonacci-Folge mit Todesfällen
Die Fibonacci-Folge f(n) = f(n-1) + f(n-2) für n > 2 mit f(1) = f(2) = 1 die erste rekursiv definierte Folge in der Menschheitsgeschichte (Leonardo von Pisa, 1170 - 1240), dürfte allgemein bekannt sein. Ein Pärchen Kaninchen, das sich ab dem vollendeten zweiten Lebensmonat einmal monatlich reproduziert, ergibt ohne Todesfälle nach 12 Monaten 144 Pärchen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.
Nimmt man an, dass sich jedes Pärchen mit 2 Monaten ein letztes Mal fortpflanzt und dann stirbt, so erhält man eine viel trivialere Folge: 1, 1, 1, ... Doch die Repräsentanten dieser 1 wechseln. Benennt man sie nach der etwas ideenlosen, aber sehr rationellen Art der Alten Römer, so wird man Namen wie Prima, Secunda, Tertia, Quarta, Quinta, Sexta, Septima, Octavia, Nona, Decima usw. wählen. (Die alleinige Aufführung der weiblichen Form erfolgt aus Gründen der Textkürze und stellt keine Diskriminierung des männlichen Geschlechts im Sinne der EU-Richtlinie 2002/73/EG vom 23. 9. 2002 zur Änderung der Richtlinie 76/207/EWG zur Verwirklichung des Grundsatzes der Gleichbehandlung von Männern und Frauen dar.)
Eine interessantere Folge ergibt sich aber, wenn das Elternpärchen unmittelbar nach der Geburt des zweiten Kinderpärchens stirbt. Dann gebären im Monat n nur Pärchen, die in den Monaten n-2 und n-3 geboren wurden: g(n) = g(n-2) + g(n-3). Die Anzahl f(n) der Pärchen im Monat n setzt sich zusammen aus den im Monat n geborenen g(n) und den im Monat n-1 vorhandenen f(n-1), abzüglich der im Monat n gestorbenen (also im Monat n-3 geborenen): f(n) = g(n) + f(n-1) - g(n-3) = g(n-2) + f(n-1) g(n-2) = f(n) - f(n-1) g(n-2) = g(n-4) + g(n-5) = f(n-2) - f(n-3) + f(n-3) - f(n-4) = f(n-2) - f(n-4) Für n > 4 gilt dann mit f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 2. f(n) = f(n-1) + f(n-2) - f(n-4) Die Anzahl der Pärchen in den ersten 12 Monaten ist 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21. Die Folge wächst zwar langsamer als die ursprüngliche, doch würde auch hier die Pärchenzahl ohne natürliche Feinde oder Ressourcenbeschränkung jede Schranke übertreffen. Wartet man ¡0 Tage (oder benutzt den Trick mit jeweils halber Fortpflanzungsdauer aufgrund genetischer Fortentwicklung), so sind unendliche viele Pärchen vorhanden, also eine namenlose Zahl, allerdings namenloser Kaninchen, denn sie können nicht unterschieden werden. Alle Altrömischen Namen sind längst aufgebraucht, und selbst Peanos neurömische Zahlen S0, SS0, SSS0, ... sind alle schon für verschiedene verschiedene Pärchen vergeben. Das ist erstaunlich, zumal kein Kaninchenpaar aus der ursprünglichen, viel reichhaltigeren Folge des Leonardo auf einen Namen verzichten muss.
Diese Folge mit Sterbefällen kommt auch ohne Sterbefälle (Schlachtungen) zustande, wenn sich nämlich jedes Pärchen nach jeder Fortpflanzung zwei Monate Pause gönnt, um sich im darauf folgenden Monat wiederum zu vermehren. Mathematisch besteht jedenfalls kein Unterschied. Die Mengenlehre liefert in diesem Falle allerdings einen ganz anderen Grenzwert. Die Grenzmenge der lebenden Kaninchen ist nun nicht mehr leer, sondern eine unendliche Menge, und jedes Kaninchen hat einen Namen.
Die Mengenlehre lehrt also: Das Kulturgut der Unterscheidbarkeit unterschiedlicher Gegenstände durch Symbole oder Gedanken gehört nicht zu den Gegenständen von Cantors Paradies. So schließt sich der Kreis. Namenlose Freude und sonst nichts herrschte auch weiland im ersten Paradies, bevor Adam begann, allen Tieren Namen zu geben.
Paradiesische Zustände. Aber keine Mathematik.
1044 Das Kalenderblatt 120413 Mengenfolgen und Supertasks (10)
Wir betrachten die Mengenfolgen
n A(n) B(n) 1 {1} {3} 2 {1, 3} {5, 7} 3 {1, 3, 5} {7, 9, 11} ...... A(n) Ø {alle ungeraden natürlichen Zahlen} B(n) Ø { }
n C(n) D(n) 1 {1} {2} 2 {1, 3} {2, 4} 3 {1, 3, 5} {2, 4, 6} ...... C(n) Ø {alle ungeraden natürlichen Zahlen} D(n) Ø {alle geraden natürlichen Zahlen}
n E(n) F(n) 1 {1} {a} 2 {1, 3} {b, c} 3 {1, 3, 5} {d, e, f} ...... E(n) Ø {alle ungeraden natürlichen Zahlen} F(n) Ø ?
Wir schreiben die Zahlen der Folge B nun unär
n B(n) 1 {III} 2 {IIIII, IIIIIII} 3 {IIIIIII, IIIIIIIII, IIIIIIIIIII} ......
Sollte der Grenzwert der Strichzahl wirklich davon abhängen, ob die einzelnen Abteilungen durch Kommata getrennt sind?
Auch die Supertask "Füge 2n+1 hinzu, entferne 2n", welche ausgehend von der Menge {1} die Mengenfolge {1}, {2}, {4}, {8}, ... ergibt, in unärer Schreibweise also I II IIII IIIIIIII ..., besitzt die Grenzmenge { }, obwohl die wie Pantoffeltierchen (Paramecium, http://101science.com/paramecium.htm 2007 zum Einzeller des Jahres ernannt) ständig sich verdoppelnden Striche gar nicht davon wissen können, dass sie als natürliche Zahlen einer speziellen Folge interpretiert "schließlich" (also "am Ende" synonym mit "niemals") alle verschwinden müssen.
Die in den letzten 10 Kalenderblättern besprochenen Mengenfolgen sind natürlich irreal. Wäre aber die transfinite Mengenlehre "richtig" und "das Unendliche" in irgendeiner Weise real, dann müssten sich die gezeigten Widersprüche in der Realität nachweisen lassen, oder, bei genauerer Betrachtung, nicht nachweisen lassen, denn eine dermaßen inkosistente Realität wäre nicht existenzfähig und ein Nachweiser somit auch nicht.
1045 Das Kalenderblatt 120414
Wenn ich ein Ganzes, das in der Anschauung gegeben ist, teile, so gehe ich von einem Bedingten zu den Bedingungen seiner Möglichkeit. Die Teilung der Teile (subdivisio oder decompositio) ist ein Regressus in der Reihe dieser Bedingungen. Die absolute Totalität dieser Reihe würde nur alsdann gegeben sein, wenn der Regressus bis zu einfachen Teilen gelangen könnte. {{Das kann er nicht. Das niemals Erreichbare wird tatsächlich niemals erreicht.}} Sind aber alle Teile in einer kontinuierlich fortgehenden Dekomposition immer wiederum teilbar, so geht die Teilung, d. i. der Regressus, von dem Bedingten zu seinen Bedingungen in infinitum; weil die Bedingungen (die Teile) in dem Bedingten selbst enthalten sind, und, da dieses in einer zwischen seinen Grenzen eingeschlossenen Anschauung ganz gegeben ist, insgesamt auch mit gegeben sind. Der Regressus darf also nicht bloß ein Rückgang in indefinitum genannt werden [...] Diesem ungeachtet ist es doch keineswegs erlaubt, von einem solchen Ganzen, das ins Unendliche teilbar ist, zu sagen: es bestehe aus unendlich viel Teilen. Denn obgleich alle Teile in der Anschauung des Ganzen enthalten sind, so ist doch darin nicht die ganze Teilung enthalten, welche nur in der fortgehenden Dekomposition, oder dem Regressus selbst besteht, der die Reihe allererst wirklich macht. Da dieser Regressus nun unendlich ist, so sind zwar alle Glieder (Teile), zu denen er gelangt, in dem gegebenen Ganzen als Aggregate enthalten, aber nicht die ganze Reihe der Teilung, welche sukzessivunendlich und niemals ganz ist, folglich keine unendliche Menge, und keine Zusammennehmung derselben in einem Ganzen darstellen kann. [...] Hieraus folgt auch ganz natürlich die weite Anwendung, auf eine in ihren Grenzen eingeschlossene äußere Erscheinung (Körper). Die Teilbarkeit desselben gründet sich auf die Teilbarkeit des Raumes, der die Möglichkeit des Körpers, als eines ausgedehnten Ganzen, ausmacht. Dieser ist also ins Unendliche teilbar, ohne doch darum aus unendlich viel Teilen zu bestehen {{= potentiell unendlich}}. [I. Kant: "Kritik der reinen Vernunft", Kap. 90, Meiner, Hamburg (1990)] http://gutenberg.spiegel.de/buch/3508/90
Ich weiß, dass es einen Gegenbeweis gibt, aber dieser hat mich nicht wirklich überzeugt. Da dieser erst im Unendlichen eine Zahl konstruiert, die es noch nicht geben soll. Man könnte ja auch sagen, man schafft es nie eine solche Zahl fertig zu stellen. [Olaf Gladis: "Beweis für die Abzählbarkeit von R", de.sci.mathematik, 10. 10. 2008]
Du vergisst dabei aber die brutal riesige Menge der reellen Zahlen, die gar nicht daran denken aufzuhören {{weil sie noch nicht denken können, denn der entscheidende Unterschied fehlt ja noch, solange niemals niemals ist.}} Da gibt es die berühmten e und π und ◊2 usw., aber da gibt es die vielen vielen namenlosen anderen! Und alle zusammen sind eben nicht mehr abzählbar unendlich. Wenn Du Dir das mal in Ruhe durch den Kopf gehen lässt, findest Du das Loch in Deinen Argumentationen ganz von alleine. [Rainer Rosenthal: "Beweis für die Abzählbarkeit von R", de.sci.mathematik, 10. 10. 2008]
Das Loch wurde schon gefunden (vgl. auch Kant): "Man schafft es nie eine solche Zahl fertig zu stellen", nämlich so, dass sie sich von allen anderen unterscheidet. Dass sie sich von jeder gegebenen anderen Zahl unterscheidet, genügt nicht. Es ist kein Beweis für eine Sonderstellung, denn das tun auch unendliche viele Ratio-Zahlen. Man schafft es nicht, das niemals erreichbare zu erreichen. Deswegen kann nur eine endliche Definition wie e oder π den Namenlosen eine Identität verleihen. Doch es gibt nur abzählbar viele Namen für die Namenlosen. Deswegen muss jeder Matheologe glauben, dass der Brei des Kontinuums doch aus Identitäten besteht, wenn auch aus nicht und niemals identifizierbaren.
1046 Das Kalenderblatt 120415
What if I were to travel back in time and kill my past self? If my past self died, then there would be no I to travel back in time, so I wouldn't kill my past self after all. So then the time-trip would take place, and I would kill my past self. And so on. I was also disturbed by the fact that if the future is already there, then there is some sense in which our free will is an illusion. Gödel seemed to believe that not only is the future already there, but worse, that it is, in principle, possible to predict completely the action of some given person. {{Da glaubte er also an completeness?}} I objected that if there were a completely accurate theory predicting my actions, then I could prove the theory false-by learning the theory and then doing the opposite of what it predicted. According to my notes, Gödel's response went as follows: "It should be possible to form a complete theory of human behavior, i.e., to predict from the hereditary and environmental givens what a person will do. However, if a mischievous person learns of this theory, he can act in a way so as to negate it. Hence I conclude that such a theory exists, but that no mischievous person will learn of it. In the same way, time-travel is possible, but no person will ever manage to kill his past self." Gödel laughed his laugh then, and concluded, "The a priori is greatly neglected. Logic is very powerful." Apropos of the free will question, on another occasion he said: "There is no contradiction between free will and knowing in advance precisely what one will do. If one knows oneself completely then this is the situation. One does not deliberately do the opposite of what one wants." {{Der Wille ist frei, aber niemand benutzt ihn, um alternativ zu entscheiden. Ein Widerspruch ist darin ebensowenig wie in ZFC erkennbar.}} [...] Gödel's credo, "I do objective mathematics." By this, Gödel meant that mathematical entities exist independently of the activities of mathematicians, in much the same way that the stars would be there even if there were no astronomers to look at them. For Gödel, mathematics, even the mathematics of the infinite, was an essentially empirical science. [...] Cantor's Continuum Problem is undecidable on the basis our present-day theories of mathematics. For the formalists this means that the continuum question has no definite answer. But for Platonist like Gödel, this means only that we have not yet "looked" at the continuum hard enough to see what the answer is. [...] the same possibilities of thought are open to everyone, so that we can take the world of possible forms as objective and absolute. Possibility is observer- independent, and therefore real, because it is not subject to our will. [...] anyone who takes the trouble to learn some mathematics can "see" the set of natural numbers for himself. So, Gödel reasoned, it must be that the set of natural numbers has an independent existence, an existence as a certain abstract possibility of thought. I asked him how best to perceive pure abstract possibility. He said three things. i) First one must close off the other senses, for instance, by lying down in a quiet place. It is not enough, however, to perform this negative action, one must actively seek with the mind. ii) It is a mistake to let everyday reality condition possibility, and only to imagine the combinings and permutations of physical objects - the mind is capable of directly perceiving infinite sets. iii) The ultimate goal of such thought, and of all philosophy, is the perception of the Absolute. Gödel rounded off these comments with a remark on Plato: "When Plautus could fully perceive the Good, his philosophy ended." Gödel shared with Einstein a certain mystical turn of thought. {{Mag Gödel ein großer Mythologiker gewesen sein. Einsteins bekannte Äußerungen liefern für Ruckers Behauptung keinen Beleg, im Gegenteil: http://www.hillmanweb.com/reason/inspiration/einstein.html }} The central teaching of mysticism is this: Reality is One. The practice of mysticism consists in finding ways to experience this higher unity directly. The One has variously been called the Good, God, the Cosmos, the Mind, the Void, or (perhaps most neutrally) the Absolute. No door in the labyrinthine castle of science opens directly onto the Absolute. But if one understands the maze well enough, it is possible to jump out of the system and experience the Absolute for oneself. {{Selbsterfahrung des Absoluten, wesentliches Element jeder Religion.}} [...] I asked Gödel if he believed there is a Single Mind behind all the various appearances and activities of the world. He replied that, yes, the Mind is the thing that is structured, but that the Mind exists independently of its individual properties. I then asked if he believed that the Mind is everywhere, as opposed to being localized in the brains of people. Gödel replied, "Of course. This is the basic mystic teaching." {{Mit Geist außerhalb des Hirns fiel die Überleitung zum nächsten Thema sicher nicht schwer.}} We talked a little set theory, and then I asked him my last question: "What causes the illusion of the passage of time?" Gödel spoke not directly to this question. [...] He went on to relate the getting rid of belief in the passage of time to the struggle to experience the One Mind of mysticism. Finally he said this: "The illusion of the passage of time arises because we think of occupying different realities. In fact, we occupy only different givens. There is only one reality." I wanted to visit Gödel again, but he told me that he was too ill. In the middle of January 1978, I dreamed I was at his bedside. There was a chess board on the covers in front of him. Gödel reached his hand out and knocked the board over, tipping the men onto the floor. The chessboard expanded to an infinite mathematical plane. And then that, too, vanished. There was a brief play of symbols, and then emptiness - an emptiness flooded with even white light {{wodurch die interzerebrale Aufenthaltsform des Geistes und damit die mögliche Existenz einer "Mindscape" zur Aufnahme überabzählbarer Zahlen- und Gedankenmengen bestätigt wäre. (The rocks of the Moon were there before the lunar module landed; and all the possible thoughts are already out there in the Mindscape. An idea is already there in the Mindscape whether or not someone is thinking it. (Rucker))}} The next day I learned that Kurt Gödel was dead {{Um den Mystizismus im Sinne des Autors voll auszukosten, imitiere (oder imaginiere - je nach Begabung) man abschließend den Ruf des Steinkauzes.}} [Rudy Rucker: "Infinity and the Mind", Princeton University Press, Princeton (2005), pp. 36, 168ff]
1047 Das Kalenderblatt 120416
Im Einheitsintervall [0, 1] gibt es abzählbar viele rationale Zahlen. Jeweils ein Mäntelchen der Größe 1/10n um die n-te gelegt, bedeckt man Intervalle vom Maß §1/9. Abzählbar viele Intervalle vom Maß ¥ 8/9 bleiben als Komplement übrig. Was liegt darin? Liegt in jedem Intervall des Komplements nur eine irrationale Zahl? Dann wären die irrationalen Zahlen im Komplement abzählbar und man könnte jede mit einem Mäntelchen umgeben, so dass alle mit 1/9 bedeckt wären. 7/9 des Einheitsintervalls blieben völlig leer. Liegen in einigen Intervall des Komplements mehrere irrationale Zahlen? Dann wären mehrere irrationale Zahlen nicht durch rationale Zahlen separiert. Das ist mathematisch ausgeschlossen.
Was ist die Lösung? Der Begriff Abzählbarkeit wird falsch interpretiert. Zwar kann man jeder rationalen Zahl eine natürliche Zahl zuordnen, doch bleiben nach jeder Zuordnung noch unendlich viele nicht zugeordnete Zahlen beider Arten übrig. Man kann mit "jeder" nicht "alle" ausschöpfen, sondern nur potentiell unendlich viele, also eine zwar unbeschränkte aber stets endliche Menge.
Die "Abzählung" ist eine Summenbildung über Einsen, wie Cantor es selbst beschrieb: "Da aus jedem einzelnen Elemente, wenn man von seiner Beschaffenheit absieht, eine 'Eins' wird, so ist die Kardinalzahl selbst eine bestimmte aus lauter Einsen zusammengesetzte Menge, die als intellektuelles Abbild oder Projektion der gegebenen Menge in unserm Geiste Existenz hat." [Ernst Zermelo (Hrsg.): "Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts" Springer, Berlin (1932) p. 283] Der Umgang mit divergenten Summen führt erfahrungsgemäß zuweilen zu Problemen - ganz sicher jedenfalls in der vorliegenden Anwendung.
M: Das Diagonalargument von Cantor beweist, dass die Menge der reellen Zahlen größer ist als die der rationalen Zahlen. 2 Artikel, nachzulesen unter http://arxiv.org/pdf/math.GM/0305326 http://arxiv.org/pdf/math.GM/0305310 behaupten jetzt aber das Gegenteil bzw. stellen das ganze Diagonalverfahren in Frage. Mich würde interessieren was ihr davon haltet. Mir selbst erscheinen nämlich bei Argumentationsketten (also von Cantor und von Mückenheim) schlüssig. DM: "Proof 1 (based upon ordinary logic). If any pair of irrational numbers is separated by at least one rational number, then every second of all real numbers is a rational number." Dieser Schluss ist falsch. Denn warum sollten zwei Irrationale Zahlen nicht von ein und der selben rationalen Zahl separiert werden? Weiter braucht man nicht zu lesen. {{Aber man sollte weiter denken.}} Drollig ist auch der Teil, wo fuer eine Liste der Natuerlichen Zahlen eine Zahl N(n) gefunden wird, die unter den ersten n Zahlen in der Liste nicht vorkommt ... auch das geht mit dem Diagonalargument (ohne natuerlich zu implizieren, dass ebendiese Zahl nicht auch spaeter in der Liste vorkommen kann {{genau so wie bei Cantors Original übrigens}}). Dummerweise konvergieren diese N(n) nicht gegen eine Natuerliche Zahl, wie es aber im Reellen der Fall ist ... {{Wie es bei der Nummerierung der Folge "aller rationalen Zahlen" aber nicht der Fall ist, denn dort konvergiert nichts - und bei einer Folge von Diagonalziffern oder w-m-Symbolen auch nicht.}} MK: Zwei Irrationale haben eine Rationale zwischen sich. Was ist an der selb? Oder sollte es heißen "zwei Paare irrationaler Zahlen"? Dann müssen aber die vier Irrationalen Zahlen mindestens drei rationale zwischen sich haben. So hat er wohl gedacht. DM: Ja, natuerlich, sorry. Das Problem bleibt, dass ebendiese drei Trenner auch als Trenner von (ueberabzaehlbar) unendlich vielen anderen 4-Tupeln reeller Zahlen dienen! {{Das Problem bleibt, dass eben diese überabzählbar vielen irrationalen Zahlen nicht identifizierbar sind ohne ebensoviele Trenner zwischen ihnen.}} GH: Sie haben sogar unendlich viele zwischen sich. Von beiden Sorten... Das macht ohnehin die ganze Argumentation kaputt, finde ich. {{Finde ich nicht. Denn für jedes Paar irrationaler Zahlen wird eine rationale Zahl benötigt. Das ist eine Minimumbedingung und macht Cantors ganzes Argument kaputt.}} [Matthias, D. Müller, M. Kauffmann, Gottfried Helms, "Cantor widerlegt?", de.sci.mathematik, 7.- 18. 8. 2003] https://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_thread/thread/4d94cf47a18d213a/8 9054b4cdfd12636?hl=de&q=Cantor+widerlegt&lnk=nl&
Ist es verwunderlich, dass Matthias nie wieder eine Frage an die Experten in dsm gestellt hat?
1048 Das Kalenderblatt 120417
Nous connaissons la vérité, non seulement par la raison, mais encore par le coeur; c'est de cette dernière sorte que nous connaissons les premiers principes, et c'est en vain que le raisonnement, qui n'y a point de part, essaye de les combattre. Les pyrrhoniens, qui n'ont que cela pour objet, y travaillent inutilement. Nous savons que nous ne rêvons point ; quelque impuissance où nous soyons de le prouver par raison, cette impuissance ne conclut autre chose que la faiblesse de notre raison, mais non pas l'incertitude de toutes nos connaissances, comme ils le prétendent. Car la connaissance des premiers principes, comme qu'il y a espace, temps, mouvements, nombres, est aussi ferme qu'aucune de celles que nos raisonnements nous donnent. Et c'est sur ces connaissances du coeur et de l'instinct qu'il faut que la raison s'appuie, et qu'elle y fonde tout son discours. (Le coeur sent qu'il y a trois dimensions dans l'espace et que les nombres sont infinis {{womit Pascal natürlich potentiell unendlich meint}}; et la raison démontre ensuite qu'il n'y a point deux nombres carrés dont l'un soit le double de l'autre. Les principes se sentent, les propositions se concluent; et le tout avec certitude, quoique par différentes voies.) Et il est aussi inutile et ridicule que la raison demande au coeur des preuves de ses premiers principes, pour vouloir y consentir, que le coeur demandât à la raison un sentiment de toutes les propositions qu'elle démontre, pour vouloir les recevoir. Cette impuissance ne doit donc servir qu'à humilier la raison, qui voudrait juger de tout, mais non pas à combattre notre certitude, comme s'il n'y avait que la raison capable de nous instruire. [B. Pascal: "Pensées de M. Pascal sur la religion et sur quelques autres sujets", Guillaume Desprez, Paris, 1669, no. 282] http://philosophie-et-litterature.oboulo.com/pascal-pensees-opuscules-pensees-282-278- 68580.html http://www.ub.uni-freiburg.de/fileadmin/ub/referate/04/pascal/pensees.pdf
1049 Das Kalenderblatt 120418
In some material stuff there are just proportions. Indeed, it is forgetting that proportions rather than cardinal numbers are involved with continuous quantities which is the first error that makes Cantor's diagonal argument seem to show that there is no one-one correlation between the natural numbers and, say, the decimals. For what is the decimal '0.1111', for instance, but a proportion, namely '1111/10000'? So while it makes sense to talk about '0.111...1' with n 1's, for any finite n - and even say that the limit of such is 1/9 - there is no sense at all in saying there is still a decimal, or indeed any proportion, when n is (somehow, actually) infinite. For '111.../1000...' is what fraction of what? All fractions, and hence all decimal fractions must have finite denominators. Now clearly all the decimals, if finite, can be ordered, but any anti-diagonal product of them, in the Cantorian manner, being endless would not be a ratio of anything. That is what the diagonal argument, therefore, shows in this connection: it does not construct another decimal not in the ordering of the decimals, but shows merely that there is no anti-diagonal decimal, entirely in parallel with Russell's Paradox showing there is no anti-diagonal set of non-self-membered sets. Indeed both paradoxes are now seen to be entirely parallel to the Barber's Paradox, which shows there is simply no barber who shaves all and only those who do not shave themselves. The same point can be made with respect to the sets (now all finite) of natural numbers. The diagonal argument does not show that there is a set of numbers, namely the set of those x's for which x does not belong to the xth set, which escapes any ordering of the sets. It shows merely that there is no such set: those x's for which x does not belong to the xth set do not themselves form into a set, there is again only 'them' and no 'it'. [H. Slater: "The Uniform Solution of the Paradoxes" (2004)] http://www.philosophy.uwa.edu.au/about/staff/hartley_slater/publications/the_uniform_solution_o f_the_paradoxes
A well-ordering < of the reals is said to be definable if there is a formula Φ(x, y) in the language of set theory such that for any reals r and q we have r < q iff Φ(r, q) is true. We say a well-ordering is undefinable if it is not definable. [Aatu Koskensilta, "Who is able to answer these simple questions in ZF-set theory coherently?", sci.math, 20. 11. 2011]
Wir können das Kontinuum als aus allen seinen Elementen aufgebaut denken. Werden jeweils drei bis vier Elemente mit Mengenklammern umgeben, so besitzt das Kontinuum überabzählbar viele Teilmengen. Wollten wir aus jeder ein Element auswählen, wie täten wir das? Mit dem Finger auf der Zahlengeraden darauf zu zeigen geht nicht - zu grob. Die Elemente zu beschreiben geht auch nicht - nur abzählbar viele Namen sind vorhanden. (Beweis, dass nicht jede Menge wohlgeordnet werden kann.)
1050 Das Kalenderblatt 120419
These contradictions fall into two fundamentally distinct groups, which we will call A and B. The best known ones are divided as follows:
A. (1) The class of all classes which are not members of themselves. (2) The relation between two relations when one does not have itself to the others. (3) Burali Forti's contradiction of the greatest ordinal.
B. (4) "I am lying." (5) The least integer not nameable in fewer that nineteen syllables. (6) The least indefinable ordinal. (7) Richard's Contradiction. (8) Weyl's contradiction about "heterologisch".
The principle according to which I have divided them is of fundamental importance. Group A consists of contradictions which, were no provision made against them, would occur in a logical or mathematical system itself. They involve only logical or mathematical terms such as class and number, and show that there must be something wrong with our logic or mathematics. But the contradictions of Group B are not purely logical, and cannot be stated in logical terms alone; for they all contain some reference to thought, language, or symbolism, which are not formal but empirical terms.
The contradictions of Group A are removed by pointing out that a propositional function cannot significantly take itself as argument, and by dividing functions and classes into a hierarchy of types according to their possible arguments. Thus the assertion that a class is a member of itself is neither true nor false, but meaningless. This part of the Theory of Types seems to me unquestionably correct, and I shall not discuss it further.
We now construct the hierarchy of propositions as follows: Propositions of order 0 (elementary), containing no apparent variable. [...] Propositions of order n, containing an apparent variable whose values are functions of type n-1.
We shall show briefly how this theory solves the remaining contradictions of group B. (Footnote: It may be as well to repeat that for the contradictions of group A my theory preserves the solutions given in Principia Mathematica.)
"I am lying" in the sense of "I am asserting a false proposition of order n" is at least of order n+1 and does not contradict itself.
[F.P. Ramsey: "The Foundations of Mathematics", Proc. Lond. Math. Soc., Vol.s2-25, Issue 1 (1926) 338-384] http://www.hist-analytic.org/Ramsey.htm
In hindsight, it is clear that Ramsey's criterion has the flimsiest basis. For a start, if one wants to draw a fundamental distinction, this ought to be done in terms of the structure of the different paradoxes. Ramsey's distinction depends on the relatively superficial fact of what vocabulary is used in the paradoxes and, in particular, whether this belongs to mathematics properly so called. But worse, this is a notoriously shifting boundary. [...] Had he been writing ten years later, it would have been clear that a number of items of vocabulary occurring in paradoxes of Group B do belong to mathematics. [...] Despite the collapse of the effective basis of the distinction, the distinction itself, like the grin of the Cheshire Cat, survives and continues to provide an hypnotic fixation for work on the paradoxes. To make matters worse, it is now customary to draw Ramsey's distinction in even more misleading terms. [G. Priest: "Beyond the Limits of Thought", Clarendon Press, Oxford (2006) p. 142]
1051 Das Kalenderblatt 120420
Wer es ansieht, sieht es nicht es ist das Unsichtbare Wer es anhört, hört es nicht es ist das Unhörbare Wer es anfasst, fasst es nicht es ist das Unfassbare Diese Drei sind untrennbar sie sind verbunden und das Eine Sein Aufgehen ohne Helligkeit sein Untergehen ohne Dunkelheit Es ist das Unendliche Es ist das Unnennbare [Laotse: "Tao Te King", Kapitel 15, 6. Jh. v. Chr, übersetzt von B. Kirchner] http://gutenberg.spiegel.de/buch/195/15
{{Zur Erhebung der Seele wohl geeignet, zur Erhebung der Wissenschaft aber nicht.}}
If it rained it didn't rain hard. It rained hard. So, it didn't rain. [E.W. Adams: "Modus tollens revisited", Analysis 48.3 (1988) p. 112] http://www.balliol.ox.ac.uk/sites/default/files/Dudman-1988-Indicative-and-Subjunctive.pdf
Und noch 'ne Assoziation: Eine Schinkensemmel ist besser als nichts. Nichts ist besser als die ewige Glückseligkeit. Eine Schinkensemmel ist besser als die ewige Glückseligkeit. [Verfasser unbekannt.]
Nicht alle Ungereimtheiten sind auf das Unendliche zurückzuführen - aber viele.
1052 Das Kalenderblatt 120421 Cantors Weltbild (36): Vom Sein des Seins
Cantor wollte [...] ganz im Sinne des Thomismus bzw. Neothomismus, seine Wissenschaft auch metaphysisch begründen und ausdeuten. Auf einem Zettel in seinem Nachlaß, vermutlich aus dem Jahre 1913 stammend, finden sich die Worte: "Ohne ein Quentchen Metaphysik läßt sich, meiner Überzeugung nach, keine exacte Wissenschaft begründen. Man entschuldige daher die wenigen Worte, welche ich im Eingang über diese in neuerer Zeit meist so verpönte Doctrin zu sagen wage. Metaphysik ist, wie ich sie auffasse, die Lehre vom Seienden, oder was dasselbe bedeutet vom dem was da ist, d. h. existirt, also von der Welt wie sie an sich ist, nicht wie sie uns erscheint. Alles was wir mit den Sinnen wahrnehmen und mit unserm abstracten Denken uns vorstellen ist Nichtseiendes und damit höchstens eine Spur des an sich Seienden. Daß aber ein Seiendes ist, wird von uns nicht durch abstractes Denken erkannt, vielmehr wird es an uns selbst empfunden und wir sind damit des Seienden ohne einen Beweis dafür nötig zu haben, vollkommen sicher. Wir sind, da wir existieren, also giebt es ein Seiendes. Nicht nur wir sind da, auch andere von uns verschiedene Seiende sind da, wir leben zusammen und machen eine Welt aus, deren Teile alle miteinander in Verkehr stehen. Wer dies zu leugnen wagt, ziehe sich in sein eignes Selbst zurück und sehe zu, wie weit er damit komme. Jedes Seiende kann Gegenstand unsres Denkens sein. Dann nennen wir es ein Ding, und alles Nichtseiende, das Gegenstand unseres Denkens ist, nennen wir ein Unding (non ens). So bin ich ein Ding, und jeder andre Mensch ist auch ein Ding." [W. Purkert, H.-J. Ilgauds: "Georg Cantor 1845 - 1918", Birkhäuser, Basel (1987) S .108]
Die Phänomenologie des Geistes ist die Parusie des Absoluten [...] die Parusie ist das Sein des Seienden. [M. Heidegger: "Holzwege", Klostermann, Frankfurt (1972) p. 189]
Die menschliche-Realität ist das Sein, insofern es in seinem Sein und für sein Sein einziger Grund des Nichts innerhalb des Seins ist. [Jean Paul Sartre: "Das Sein und das Nichts", Rowohlt (1993)]
Gäbe es übrigens einen Gegenstand "Sein", so würde die Schwierigkeit entstehen, dass man vom Sein dieses Gegenstandes reden könnte (worauf schon Husserls Lehrer Franz Brentano hingewiesen hatte). Es gäbe das Sein des Seins des Seins usw., das heisst also nicht nur einen Gegenstand "Sein" sondern eine unendliche Zahl von Seinsgegenständen. Dieser infinite Regress ist eine weitere Widerlegung der Auffassung, dass Sein ein Gegenstand ist. {{Andere sehen darin einen Beweis für die Existenz des Unendlichen.}} [Martin Welzel: "Jean Paul Sartres Philosophie in 'Das Sein und das Nichts'"] http://www.mwelzel.de/sartre/
1053 Das Kalenderblatt 120422 Anwendungen der Mengenlehre (1)
Bis vor kurzem war ich davon überzeugt, dass die transfinite Mengenlehre jeder wissenschaftlichen Anwendung entbehrt, ja geradezu trotzt. Indessen musste ich mich eines Schlechteren belehren lassen. Die nächsten Kalenderblätter werden davon künden.
Ein Anwender der transfiniten Mengenlehre, also ein Mann der dort ankommt, wo man nie ankommt, ist Mohamed El Naschie. http://www.el-naschie.net/bilder/file/Photo-Gallery.pdf
Then came the next quantum jump, around 1990, when M.S. El Naschie who was originally working on elastic and fluid turbulence began to work on his Cantorian version of fractal space- time. He showed that the n-dimensional triadic Cantor set has the same Hausdorff dimension as the dimension of a random inverse golden mean Sierpinski space to the power n-1. [...] Sometime later El Naschie using the work of Prigogine on irreversibility showed that the arrow of time may be explained in a fractal space-time. A few years later two of El Naschie’s papers on the subject were noted by Thompson essential science indicators as the most cited New frontier paper in physics and as Hot paper in engineering. {{Na, das dürfte wohl noch etwas verfrüht sein. An der HS Augsburg jedenfalls wird El Naschies Theorie noch nicht zu den Ingenieurwissenschaften gerechnet.}} [...] In E-infinity theory El Naschie admit formally infinite dimensional ‘‘real” space-time. This infinity is hierarchical in a strict mathematical way and he was able to show that E-infinity has finite number of dimensions when observed from a distance. At low resolution or equivalently at low energy the E-infinity Cantorian space-time appear as a four dimensional space-time manifold. [...] The eigenvalues like equation have a very simple interpretation: Dim E8 E8 = 496 represent all fundamental interactions. Thus it is equal to particle physics 339 symmetries plus the R(4) = 20 of gravity plus α0. From that we deduce α0 = 496 - 339 - 20 = 137. {{Die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante besitzt zwar den Wert 137,036, wovon sich schon mancher Numerologe und Zahlenmystikus exorzieren ließ, doch wird hier das Problem der krummen Stellen durch Index Null und Überstrich (der im vorliegenden Text aus technischen Gründen entfallen musste) geschwind beseitigt.}} [...] El Naschie’s Cantorian theory undergone an important transformation by the recent discovery of the exceptional Lie groups and Stein space hierarchy. {{Beruhigend, zu erfahren, dass noch nicht alles ganz festgeklopft zu sein scheint. Jedenfalls kommen ästhetische Aspekte nicht zu kurz. Man beachte besonders "An artist Impression of E(¶) space- time" auf S. 2703 direkt über dem Beweis für α0 = 137 mit Hilfe des Holographic principle applied to string theory und die vielen anderen schönen bunten Bilder. Deswegen war die Würdigung El Naschies im ZKM angemessen http://basic-research.zkm.de/lectures/raumzeitphysik.html }} [...] The author is indebted to the many members of the fractal-Cantorian space-time community {{Cantors Idee der abzählbaren Körperatome und der überabzählbaren Ätheratome (s. KB091026) gewinnt also neuen Auf- und Antrieb. Die fatale Space-Time-Community wächst, scheint's, über alle Grenzen.}} [L. Marek-Crnjac: "A short history of fractal-Cantorian space-time", Chaos, Solitons and Fractals 41 (2009) 2697–2705] http://www.msel-naschie.com/pdf/cantorian-history.pdf
1054 Das Kalenderblatt 120423 Anwendungen der Mengenlehre (2)
One of the remarkable observations made by the Voyager 2 probe was of the extremely fine structure of the Saturn ring system. [...] The Voyager 1 and 2 provided startling images that the rings themselves are composed of thousands of thinner ringlets each of which has a clear boundary separating it from its neighbours. This structure of rings built of finer rings has some of the properties of a Cantor set. The classical Cantor set is constructed by taking a line one unit long, and erasing its central third. This process is repeated on the remaining line segments, until only a banded line of points remains. {{Materialisierte Punkte gibt es im Saturnring sicher nicht.}} [H. Takayasu: "Fractals in the physical sciences", Manchester University Press (1990) p. 36] http://books.google.de/books?id=NRYNAQAAIAAJ&pg=PA180&lpg=PA180&dq=Takayasu:+%2 2Fractals+in+the+physical+sciences%22&source=bl&ots=- _jQrSNVTs&sig=ttuEDGX_6381_T2AdLEBT8HIT20&hl=de&sa=X&ei=Yb6GT- iFDcvUsgao6ITPBg&sqi=2&ved=0CDMQ6AEwAQ#v=onepage&q=Takayasu%3A%20%22Fract als%20in%20the%20physical%20sciences%22&f=false
Mandelbrot conjectures that radial cross-sections of Saturn's rings are fat Cantor sets. For supporting evidence, click each picture for an enlargement in a new window. http://classes.yale.edu/fractals/labs/paperfoldinglab/fatcantorset.html http://www.youtube.com/watch?v=Ztgqa_5vumI
{{Hielt er die Ringsubstanz für antiabzählbare Übermaterie? Die Idee indessen ist nicht neu:}}
I propose here, then, first to illustrate, and then to discuss theoretically, the nature and ideal outcome of any recurrent operation of thought, and to develope, in this connection, what one may call the positive nature of the concept of Infinite Multitude.
Prominent among the later authors who have dealt with our problem from the mathematical side, is George Cantor. [...] With this theory of the Mächtigkeiten I shall have no space to deal in this paper, but it is of great importance for forming the conception of the determinate Infinite.
A map of England, contained within England, is to represent, down to the minutest detail, every contour and marking, natural or artificial, that occurs upon the surface of England.
Our map of England, contained in a portion of the surface of England, involves, however, a peculiar and infinite development of a special type of diversity within our map. For the map, in order to be complete, according to the rule given, will have to contain, as a part of itself, a representation of its own contour and contents. In order that this representation should be constructed, the representation itself will have to contain once more, as a part of itself, a representation of its own contour and contents; and this representation, in order to be exact, will have once more to contain an image of itself; and so on without limit. We should now, indeed, have to suppose the space occupied by our perfect map to be infinitely divisible, even if not a continuum.
That such an endless variety of maps within maps could not physically be constructed by men, and that ideally such a map, if viewed as a finished construction, would involve us in all the problems about the infinite divisibility of matter and of space, I freely recognize.
Suppose that, for an instance, we had accepted this assertion as true. Suppose that we then attempted to discover the meaning implied in this one assertion. We should at once observe that in this one assertion, "A part of England perfectly maps all England, on a smaller scale," there would be implied the assertion, not now of a process of trying to draw maps, but of the contemporaneous presence, in England, of an infinite number of maps, of the type just described. The whole infinite series, possessing no last member, would be asserted as a fact of existence.
We should, moreover, see how and why the one and the infinitely many are here, at least within thought's realm, conceptually linked. Our map and England, taken as mere physical existences, would indeed belong to that realm of "bare external conjunctions." Yet the one thing not externally given, but internally self-evident, would be that the one plan or purpose in question, namely, the plan fulfilled by the perfect map of England, drawn within the limits of England, and upon a part of its surface, would, if really expressed, involve, in its necessary structure, the series of maps within maps such that no one of the maps was the last in the series.
This way of viewing the case suggests that, as a mere matter of definition, we are not obliged to deal solely with processes of construction as successive, in order to define endless series. A recurrent operation of thought can be characterized as one that, if once finally expressed, would involve, in the region where it had received expression, an infinite variety of serially arranged facts, corresponding to the purpose in question.
[Josiah Royce: "The world and the individual", MacMillan, London (1900) p. 500ff] http://www.archive.org/stream/worldindividual00royciala#page/n0/mode/2up http://www.archive.org/stream/worldindividual00royciala/worldindividual00royciala_djvu.txt
Man hat auch schon den Fotokopierer als billigen Ersatz für das teure Elektronenmikroskop empfohlen. (Leider ist mir der Urheber dieser großartigen Idee entfallen.) Bereits 10 Skalierungen von A5 auf A3 erreichen tausendfache, 20 Skalierungen sogar Millionenfache Vergrößerung. - Und die Küste von England bietet immer dasselbe Bild.
1055 Das Kalenderblatt 120424 Anwendungen der Mengenlehre (3)
Set theory and its basic foundations were developed by George Cantor, a mathematician from Germany, toward the end of the 19th century. Set theory revolves around understanding the properties of sets that are unrelated to the specific elements of which they are composed. Therefore, both the theorems and axioms involved in set theory relate to all general sets, regardless of whether the sets are physical objects or numbers. There are many practical applications of set theory.
Read more: Applications of Set Theory | eHow.com {{Was finden wir da?}}
Function: From formulating logical foundations for geometry, calculus and topology to creating algebra revolving around fields, rings and groups, applications of set theory are most commonly utilized in science and mathematics fields like biology, chemistry and physics, as well as in computer and electrical engineering.
Mathematics: Since set theory is abstract in nature, it has vital functions and applications in the mathematics field. One branch of set theory is called "analysis." In analysis, integral and differential calculus are major components. Continuity of function and limit points understanding are both derived from set theory. These operations lead to boolean algebra, which is helpful for the production of personal computers and calculators. {{Und auf dem Umweg über Computers und Calculators hilft die Mengenlehre bei der Rettung der PIGS. Die Idee ist einfach: Man kann alle Schulden abzählen und sie irgendwann abzahlen - später vielleicht viel leichter, viel später.}}
[Isabel Prontes: "Applications of Set Theory" (2011] http://www.ehow.com/about_4810301_applications-set-theory.html#ixzz1rpxaHYd6
1056 Das Kalenderblatt 1200425 Anwendungen der Mengenlehre (4)
I'm asking about the practicality of the knowledge of the properties of infinite sets, and their cardinality. [...] Seeing as how there was so much resistance to infinite sets at the beginning, even among mathematicians, I wonder has the math of infinite sets be 'proven worthwhile' by having a practical application outside of mathematics, so that no one can say it's just some imaginative games? [NN: "What practical applications does set theory have?" mathoverflow (2010)]
{{Die Antworten sind ernüchternd. Ein Beispiel: Mengenlehre ist wichtig für Topologie, Topologie ist wichtig für Differentialgeometrie, Differentialgeometrie ist wichtig für die Allgemeine Relativitätstheorie.}}
Topology changes infinite sums from nonsense into legitimate mathematical objects because it allows us to talk about convergence. [Harry Gindi] {{Das ist falsch. Grenzwerte unendlicher Reihen sind auch ohne Mengenlehre legitim, niemals endende Additionen sind auch mit Mengenlehre Humbug.}}
There are many uses of infinite sets and their properties. [...] Transfinite induction covers all possible ways in which one could show that a program terminates, while the ordinal numbers are used to express how complex the proof of termination is (the bigger the number, the more complicated it is to see that the program will actually terminate). [Andrej Bauer] {{Abgesehen davon, dass diese Antwort falsch ist, möchte ich einmal einen Programmierer sehen, der sein Programm mit transfiniter Induktion überprüft. Die übrigen, um die nützliche Symbolik der endlichen Mengenlehre, Maßtheorie und transzendente Zahlen kreisenden Antworten mag der interessierte Leser selbst aufsuchen. Seit den Tagen des A.A. Fraenkel hat sich die Behauptung gehalten, die transfinite Mengenlehre sei als Grundlage der Mathematik nützlich bis unverzichtbar. Mit demselben Recht könnte man den Alkoholverkauf an Tankstellen als Grundlage des sozialen Friedens bezeichnen. Eine Anwendung der transfiniten Mengenlehre auf das praktische Leben wird der Leser jedenfalls auch in dieser Diskussion vergeblich suchen:}} http://mathoverflow.net/questions/10334/what-practical-applications-does-set-theory-have
1057 Das Kalenderblatt 120426 Anwendungen der Mengenlehre (5)
1. The ideal of compact operators The purely analytic question "Is the ideal of compact operators on Hilbert space the sum of two properly smaller ideals?" is equivalent to purely set-theoretic combinatorics. 2. A characterization of free groups The proof that "an Abelian group is free if and only if it has a discrete norm" exploits the use of model theory within set theory. 3. The fundamental group The proof that "the fundamental group of a nice space is either finitely generated or has cardinality of the first uncountable cardinal" uses methods related to consistency results. 4. The Hawaiian Earring Questions in strong homology theory are related to consistency results and the continuum hypothesis. 5. A Banach space with few operators An example of a nonseparable Banach space where every linear operator is a scalar multiplication plus an operator with separable range is connected to set theory through infinite combinatorics on the first uncountable ordinal. 6. The free left-distributive algebra on one generator Questions on free left-distributive algebras on one generator are connected to large cardinal theory. I have presented a few theorems of mainstream mathematics that have been proved by set- theoretic techniques. In some cases we know that set theory is necessary; in other cases it has certainly proved convenient. The theorems presented are just a small percentage of such applications. One suspects that the existing applications are just a small fraction of the applications to be found in the near future. My thesis has been that set theory is an important tool of mathematics, whose use extends far outside the obvious. [Judith Roitman: "The Uses of Set Theory" The Mathematical Intelligencer, Vol. 14, No. 1 (1992), 63-69] http://www.springerlink.com/content/g726778j51840830/ http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/abstracts/roitman_abstract3.htm
{{Man darf also sicher sein, dass diese sechs Gebiete der Mathematik unsicher sind. Indessen handelt es sich nicht um Anwendungen der Mengenlehre auf die Realität - es sei denn wir ziehen noch Zermelos bahnbrechendes, gegen die "wissenschaftlichen Reaktionäre und Antimathematiker" gerichtetes und über "die ungeheure Bedeutung und unbegrenzte Anwendbarkeit der Mengenlehre überhaupt" aufklärendes Werk zu Rate. [E. Zermelo: "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche", Fund. Math 16 (1930) pp. 29 - 47] Dort lesen wir über das}} "Axiom der Fundierung: Jede (rückschreitende) Kette von Elementen, in welcher jedes Glied Element des vorangehenden ist, bricht mit endlichem Index ab bei einem Urelement. Oder, was gleichbedeutend ist: Jeder Teilbereich T enthält wenigstens ein Element t0, das kein Element t in T hat. Dieses letzte Axiom, durch welches alle "zirkelhaften" namentlich auch alle "sich selbst enthaltenden", überhaupt alle "wurzellosen" Mengen ausgeschlossen werden, war bei allen praktischen Anwendungen der Mengenlehre bisher immer erfüllt {{Stop! An dieser Stelle aus dem Jahre 1930 springt nun doch eine praktische Anwendung der Mengenlehre geradezu schmerzhaft ins Auge, nämlich das von Zermelo selbst erfundene Element, das selbst gar keine Elemente besitzt, die leerreiche Menge aller praktischen Anwendungen der Mengenlehre.}}
1058 Das Kalenderblatt 120427 Anwendungen der Mengenlehre (6)
In the present paper I would like to develop a different point of views on the continuum. [...] As a background this point-set theoretic concept is influenced by individualism in modern civilization. 19th and 20th centuries are the centuries of individualism and the individualism played an important role in the revelation of people and high advancement of science and technology. Historically individualism came from liberalism, which in turn came from Reform of Religion by earlier Protestants, and the fundamental roots can even go upstream to Apostle Paul. Anyway by historical reason Protestantism performed an important role to the development of civilization. It is marvelous, if it is taken into consideration that religion is conservative in nature, that Protestantism contributed the advancement of science that sometimes contradicts against Bible (This is caused because Protestantism abandoned to be a religion.) {{Anwendungen der transfiniten Mengenlehre machen sich selten dieser Häresie schuldig.}} [...] New point of view I am now going to propose is a "missing ring", whose trace can be seen in many part of mathematics and philosophy, and these traces and "holes" will be fulfilled by the proposal introduced below. First of all I propose that continuum is never a gathering of points and is a thing that can never be counted out by points. Continuum and point, they can co-exist but are very different concept and have no relations each other. [...] Of course we can embed numbers (points) in the continuum. By doing so we sometimes measure the length of continuum or divide continuum. But it is just embedding and not any more. {{Die Indivisiblen von Körpern sind Körper. (Bonaventura Cavalieri, 1598-1647)}} Looking from the continuum embedded points exist only ideally or as an intersecting limit of stringlets. So even though you may measure continuum or do addition using continuum, it is just virtual, and what you are really doing is only arithmetical operation on conventional point-set theory. [...] As a counterpart of point-set theory string-set theory is proposed. It is asserted that the string-set is the essence of continuum in one aspect [...] And importance of introducing string-set theoretical point of view not only to make mathematics useful but also correct crippled modern civilization. {{Das klingt verheißungsvoll.}} [Akihiko Takizawa: "String Set Theory" (2002)] http://www.geocities.co.jp/SweetHome-Ivory/6352/sub7/string.html
1059 Das Kalenderblatt 120428 Anwendungen der Mengenlehre (7)
Die Cantorsche Idee von überabzählbar vielen Ätheratomen (vgl. KB091026 http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/KB/KB%20001-200.pdf lässt sich nicht unterdrücken. Sie tritt immer wieder hervor, wenn auch in leicht modifizierter Gestalt.
An uncountable number of string-like vibrations creating subatomic and then atomic particles forming a nearly substance-less multiplex of universes! Particles of so little actual substance and with so much space between them that an electromagnetic field surrounds all objects and matter to keep everything from flowing through everything else. We never actually touch anything or anyone, only our fields rub against each other and all the things we come into contact with! [Reverend T. D. Spoon, ARN Visionary Division: "String Theory: The Control Mechanism Of Creation? Holographic Virtual Universe?", Alternative Reality News (2011)] http://www.myspace.com/alternativerealitynews/blog/531113731
One remark that Penelope Maddy makes several times in Naturalism in Mathematics, is that if the indispensability argument was really important in justifying mathematics, then set theorists should be looking to debates over quantum gravity to settle questions of new axioms. Since this doesn’t seem to be happening, she infers that the indispensability argument can’t play the role Quine and Putnam (and perhaps her earlier book?) argued that it does. [...] I don’t know much about the details, but from what I understand, physicists have conjectured some deep and interesting connections between seemingly disparate areas of mathematics, in order to explain (or predict?) particular physical phenomena. These connections have rarely been rigorously proved, but they have stimulated mathematical research both in pursuing the analogies and attempting to prove them. Although the mathematicians often find the physicists’ work frustratingly imprecise and non-rigorous, once the analogies and connections have been suggested by physicists, mathematicians get very interested as well. If hypothetically, one of these connections was to turn out to be independent of ZFC, I could imagine that there would at least be a certain camp among mathematicians that would take this as evidence for whatever large cardinal (or other) principle was needed to prove the connection. Set theorists themselves haven’t paid too much attention to these issues, because the interesting connections are in mathematical areas traditionally considered quite distant from set theory. Instead, they have traditionally looked at intra-set-theoretic considerations to justify large cardinals. But if it became plausible that some of these other debates would turn out to be connected, I’m sure they would start paying attention to the physics research, contrary to what Maddy suggests. [Kenny Easwaran: "Set Theory and String Theory" (2006)]
Und ein Greg antwortet: This strikes me as a Very Good Point. I guess the next relevant question to ask is: is it at all reasonable (or even conceivable) that any mathematical claim that these physicists are making could end up being independent of ZFC? {{Ja, selbstverständlich. Jedes physikalische Ergebnis ist davon unabhängig.}} http://antimeta.wordpress.com/2006/10/29/set-theory-and-string-theory/
1060 Das Kalenderblatt 120429 Anwendungen der Mengenlehre (8)
Rough set theory has an overlap with many other theories dealing with imperfect knowledge [...] {{Diese Eigenschaft teilt sie mit der transfiniten Mengenlehre.}} Let us start our considerations from a very simple tutorial example concerning churn modeling in telecommunications [...] In Table 1, six facts concerning six client segments are presented. In the table condition attributes describing client profile are: In – incoming calls, Out – outgoing calls within the same operator, Change – outgoing calls to other mobile operator, the decision attribute describing the consequence is Churn and N is the number of similar cases. [Zdzisław Pawlak: "Rough set theory and its applications", J. Telecomm. Information Theory (3/2002) 7-9] http://www.nit.eu/czasopisma/JTIT/2002/3/7.pdf
Fuzzy Set Research in Production Management 1. Job Shop Scheduling 2. Quality Management 3. Project Scheduling 4. Facility Location and Layout 5. Aggregate Planning 6. Production and Inventory Planning 7. Forecasting [A.L. Guiffrida, R. Nagi, "Fuzzy Set Theory Applications in Production Management Research"] http://neuro.bstu.by/ai/To-dom/My_research/failed%201%20subitem/For-courses/Job- SSP/Fuzzy/Garbage.tmp/fuzzy-set-theory-applications.pdf
Leider fehlt es den Rough- und Fuzzy Set Theories an jeglicher Transfinitude, weshalb sie hier off topic sind. Deshalb muss die Serie "Anwendungen der Mengenlehre" mangels verwertbarer Substanz eingestellt werden. Es bleibt zu vermelden: Alle interessanten und teilweise sogar verblüffenden Anwendungen der transfinite Mengenlehre "auf die Wirklichkeit" wurden bereits in den Kalenderblättern "Mengenfolgen und Supertasks" KB120404 - KB120413 http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/KB/KB%201001-.pdf beschrieben. Weiter gibt es keine.
Oder vielleicht doch? Sogar in der täglich benutzten Umgangssprache?
English nouns are often described as "countable" or "uncountable". http://www.englishclub.com/grammar/nouns-un-countable.htm
1061 Das Kalenderblatt 120430
Every thing capable of being infinitely divided contains an infinite number of parts {{das sah Kant ganz anders, vgl. KB120414 http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/KB/KB%201001-.pdf Welch ein Unterschied! Dagegen ist die Differenz zwischen (K,A,N,T) und (H,U,M,E), gemessen am Betrag, nicht groß. Man könnte sogar beide addieren, subtrahieren und das Skalarprodukt bilden.}}; otherwise the division would be stopt short by the indivisible parts, which we should immediately arrive at. {{How long lasts eternity? Soon we shall know.}} If therefore any finite extension be infinitely divisible, it can be no contradiction to suppose, that a finite extension contains an infinite number of parts: And vice versa, if it be a contradiction to suppose, that a finite extension contains an infinite number of parts, no finite extension can be infinitely divisible. But that this latter supposition is absurd, I easily convince myself by the consideration of my clear ideas. I first take the least idea I can form of a part of extension, and being certain that there is nothing more minute than this idea, I conclude, that whatever I discover by its means must be a real quality of extension. I then repeat this idea once, twice, thrice, &c. and find the compound idea of extension, arising from its repetition, always to augment, and become double, triple, quadruple, &c. till at last it swells up to a considerable bulk, greater or smaller, in proportion as I repeat more or less the same idea. When I stop in the addition of parts, the idea of extension ceases to augment; and were I to carry on the addition in infinitum, I clearly perceive, that the idea of extension must also become infinite. {{So dachten auch Bolzano und Dedekind, was Zermelo dann übernahm.}} Upon the whole, I conclude, that the idea of an infinite number of parts is individually the same idea with that of an infinite extension; that no finite extension is capable of containing an infinite number of parts; and consequently that no finite extension is infinitely divisible. [David Hume: "A Treatise of Human Nature: Of the infinite divisibility of space and time", Oxford: Clarendon Press (1896)] http://oll.libertyfund.org/title/342/55071
1062 Das Kalenderblatt 120501
Diese Vorstellung eines vollkommensten und unendlichen Wesens, sage ich, ist (material) vollkommen wahr: Könnte man vielleicht auch sich einbilden, ein solches Wesen existiere nicht; das kann ich mir doch nicht einbilden, daß die Vorstellung desselben mir nichts Reales biete [...] Es liegt nämlich in der Natur des Unendlichen, daß es von mir, der ich endlich bin, nicht begriffen werden kann, und es genügt, daß ich dies einsehe und erkenne, daß alles, was ich klar auffasse, und worin ich eine gewisse Vollkommenheit erkannt habe, ebenso wie vielleicht noch unzähliges andere, von dem ich nichts weiß, in Gott wirklich enthalten oder in seiner Seinsfülle einbegriffen sei. Die Vorstellung, die ich von Gott habe, ist dann die wahrste, klarste und deutlichste aller meiner Vorstellungen. {{Das ist der sicherere Weg, den auch Cantor beschritten hat: Wird das Unendliche mit Gott verknüpft, so ist es schwerer, einen Widerspruch nachzuweisen - und auch gefährlich, weil in manchen Staaten mit besonders friedlicher Staatsreligion die Leugnung des Unendlichen mit der Todesstrafe bedroht wird.}} Vielleicht aber bin ich mehr als ich selbst meine; vielleicht sind alle jene Vollkommenheiten, die ich Gott zuschreibe, gewissermaßen potential in mir, wenn sie sich auch noch nicht äußern und zur Wirklichkeit gelangen? – Ich bemerke ja, wie meine Erkenntnis sich allmählich erweitert, und ich sehe nicht ein, warum sie sich so nicht mehr und mehr bis ins Unendliche erweitern sollte, und warum ich ferner nicht mit Hilfe dieser so vermehrten Erkenntnis zu allen übrigen Vollkommenheiten Gottes gelangen könnte, und endlich, warum das Vermögen zu diesen Vollkommenheiten, wenn es in mir ist, nicht hinreichen sollte, die Vorstellung derselben hervorzubringen! Doch alles dies ist unmöglich! Erstens nämlich, gesetzt auch, meine Erkenntnis nehme allmählich zu, und vieles sei potential in mir, das noch nicht in Wirksamkeit getreten, so gehört doch nichts von alledem zur Vorstellung Gottes, in der es überhaupt nichts Potentiales giebt. Gerade das allmähliche Zunehmen ist ja der sicherste Beweis der Unvollkommenheit! – Nähme aber auch zweitens meine Erkenntnis immer mehr zu, so sehe ich gleichwohl nicht ein, wie sie je dadurch ein aktual Unendliches werden sollte, da sie niemals dahin gelangen wird, daß sie keines weiteren Zuwachses mehr fähig wäre. Gott aber fasse ich als ein aktual Unendliches auf, und seiner Vollkommenheit kann nichts zugefügt werden. – Ich sehe aber drittens auch ein, daß das objektive Sein der Vorstellung nicht durch ein bloß potentiales Sein, das richtig gesagt, Nichts ist, hervorgebracht werden kann, sondern lediglich durch aktuales oder formales Sein. [R. Descartes: "Betrachtungen über die Grundlagen der Philosophie - Kapitel 6, Dritte Betrachtung. Das Dasein Gottes." übersetzt von L. Fischer, Projekt Gutenberg (2008)] http://gutenberg.spiegel.de/buch/326/6
Descartes wies Pascals Überlegungen {{zum Vakuum}} zurück. Zwei Tage herrschte zwischen beiden Streit. Als Descartes dem Physiker Christiaan Huygens später in einem Brief von der Auseinandersetzung berichtete, merkte er etwas hochmütig an, Pascal habe wohl "zu viel Vakuum im Kopf" {{nach anderer Überlieferung bemerkte er, der einzige Platz im Universum, der ein Vakuum enthalte, sei Pascals Kopf.}} [K. Devlin: "Pascal, Fermat und die Berechnung des Glücks", C.H.Beck (2009)] http://books.google.de/books?id=C6rcl7YfyBAC&hl=de&source=gbs_navlinks_s
Failed twice.
1063 Das Kalenderblatt 120502
Lehrsatz 13. Die absolut unendliche Substanz ist unteilbar. Beweis. Denn wenn sie teilbar wäre, behielten die Teile, in die sie geteilt würde, entweder die Natur der absolut unendlichen Substanz, oder nicht. Wenn das erste, so wird es also mehrere Substanzen von derselben Natur geben, was (nach Lehrsatz 5) widersinnig ist. Wenn das zweite gesetzt wird, könnte also (wie oben gezeigt) die absolut unendliche Substanz zu sein aufhören, was (nach Lehrsatz 11) ebenfalls widersinnig ist. Folgesatz. Hieraus folgt, daß keine Substanz, und folglich keine körperliche Substanz, insofern sie Substanz ist, teilbar ist. Anmerkung. Daß die Substanz unteilbar ist, wird noch einfacher daraus allein erkannt, daß die Natur der Substanz nur als unendliche begriffen werden kann, und daß unter einem Teil der Substanz nichts anderes verstanden werden kann, als eine endliche Substanz, was (nach Lehrsatz 8) einen offenbaren Widerspruch enthält. Lehrsatz 14. Außer Gott gibt es keine Substanz und läßt sich auch keine begreifen. Beweis. Da Gott das absolut unendliche Seiende ist, welchem kein Attribut, das das Wesen der Substanz ausdrückt, abgesprochen werden kann (nach Def. 6), und er notwendig da ist (nach Lehrsatz 11), so müßte, wenn es eine Substanz außer Gott gäbe, diese durch ein Attribut Gottes erklärt werden, und so wären zwei Substanzen mit demselben Attribut da, was (nach Lehrsatz 5) ungereimt ist; also kann es auch keine Substanz außer Gott geben, und folglich kann auch keine begriffen werden. Denn, wenn sie begriffen werden könnte, müßte sie notwendig als daseiend begriffen werden. Dieses ist aber (nach dem ersten Teil dieses Beweises) widersinnig; also kann es außer Gott keine Substanz geben und keine begriffen werden. W. z. b. w. Folgesatz 1. Hieraus folgt auf das Deutlichste, erstens: daß Gott einzig ist, d. h. (nach Def. 6), daß es in der Natur der Dinge nur eine Substanz gibt, und daß diese absolut unendlich ist, wie wir in der Anmerkung zu Lehrsatz 10 schon angedeutet. Folgesatz 2. Es folgt zweitens: daß das ausgedehnte Ding und das denkende Ding entweder Attribute Gottes, oder (nach Ax. 1) Affektionen der Attribute Gottes sind. Lehrsatz 15. Alles, was ist, ist in Gott, und nichts kann ohne Gott sein, noch begriffen werden. Beweis. Außer Gott gibt es keine Substanz und kann keine begriffen werden (nach Lehrsatz 14), das heißt (nach Def. 3) ein Ding, das in sich ist und aus sich begriffen wird. Die Modi aber können (nach Def. 5) ohne Substanz weder sein noch begriffen werden; weshalb diese allein in der göttlichen Natur sein, und aus ihr allein begriffen werden können. Nun gibt es außer Substanzen und Modis nichts (nach Ax. 1). Also kann nichts ohne Gott sein, noch begriffen werden. W. z. b. w. [Baruch de Spinoza: "Ethik", Kapitel 3, Berthold Auerbach (Übers.)] http://gutenberg.spiegel.de/buch/5217/3
Klingt das nicht ebenso wissenschaftlich wie ein Aufsatz zur transfiniten Mengenlehre? Und auch der Inhalt ist brennend aktuell.
Gottesbeweis aus der Mengenlehre: 1. Es gibt überabzählbar viele reelle Zahlen. 2. Biologisch erzeugte Kreaturen können nur abzählbar viele Zahlen identifizieren. 3. Biologisch erzeugte Kreaturen können wohl nur ordnen, was sie identifiziert haben. 4. Biologisch erzeugte Kreaturen können nicht alle reellen Zahlen wohlordnen. 5. Alle reellen Zahlen können wohlgeordnet werden. QED
1064 Das Kalenderblatt 120503
Though our idea of infinity arise from the contemplation of quantity, and the endless increase the mind is able to make in quantity, by the repeated additions of what portions thereof it pleases; yet I guess we cause great confusion in our thoughts, when we join infinity to any supposed idea of quantity the mind can be thought to have, and so discourse or reason about an infinite quantity, viz. an infinite space, or an infinite duration. For our idea of infinity being as I think, an endless growing idea, by the idea of any quantity the mind has, being at that time terminated in that idea, (for be it as great as it will, it can be no greater than it is) to join infinity, to it, is to adjust a standing measure to a growing bulk; and therefore I think it is not an insignificant subtilty, if I say that we are carefully to distinguish between the idea of the infinity of space, and the idea of a space infinite: the first is nothing but a supposed endless progression of the mind, over what repeated ideas of space it pleases; but to have actually in the mind the idea of a space infinite, is to suppose the mind already passed over, and actually to have a view of all those repeated ideas of space, which an endless repetition can never totally represent to it; which carries in it a plain contradiction. [J. Locke: "The Works of John Locke in Nine Volumes", 12th ed., Vol. 1. Chapter XVII, §7: "Of Infinity", Rivington, London (1824)] http://oll.libertyfund.org/title/761/80750/1923478
John Locke, Vater der Aufklärung. Viele denken dabei auch an Immanuel Kant (manche an Oswalt Kolle). Leider hat der Contra-Revolutionär Cantor einen erheblichen Teil dieser Aufklärung wieder zunichte gemacht. Das zeigt sich u. a. im Folgenden:
Limnض {1, 2, 3, ..., n} = {1, 2, 3, ...} = ٠Limnض {1+1, 1+2, 1+3, ..., 1+n} = {2, 3, 4, ...} = ٠\ {1} Limnض {2+1, 2+2, 2+3, ..., 2+n} = {3, 4, 5, ...} = ٠\ {1, 2} ... Limnض {k+1, k+2, k+3, ..., k+n} = {k+1, k+2, k+3, ...} = ٠\ {1, 2, ..., k} ... Limkض Limnض {k+1, k+2, k+3, ..., k+n} = { }
Aber für das aktual Unendliche ω wird der Abgrund überwunden und es ersteht eine neue, nicht leere Menge:
Limnض {ω+1, ω+2, ω+3, ..., ω+n} = {ω+1, ω+2, ω+3, ...}
1065 Das Kalenderblatt 120504 Potentiell versus aktual (1)
Wenn Du mit solchen Banalitäten wie, daß es unendlich viele endliche (natürliche) Zahlen gibt, Probleme hast, würde ich ernsthaft über einen Wechsel des Studienfachs nachdenken. [Ralf Bader, "Beweis für die Abzählbarkeit von —", de.sci.mathematik, 10.10.2008] http://de.narkive.com/2008/10/10/1419471-beweis-f-r-die-abz-hlbarkeit-von-r.html https://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/msg/9ab59616b741e737?hl=de&dmode=so urce
Der Unterschied zwischen potentiell unendlich und aktual unendlich ist für den Anfänger immer wieder eine Verständnishürde, für die Beurteilung der transfiniten Mengenlehre aber von größter Bedeutung. Die nächsten Kalenderblätter sollen helfen, diese Hürde zu vermindern und Ratschläge wie den obigen in einen passenden Kontext zu stellen, der - womöglich - nicht nur dem Fragenden, sondern auch dem Belehrenden hilft.
Die folgenden Diskussionen bieten typische Beispiele für die mangelnde Unterscheidung zwischen potentiell und aktual:
Man kann auch nicht alle natürlichen Zahlen benennen - obwohl er da ja auch irgend so einen Quatsch mit beweist. Mit seiner Argumentation können unendliche Mengen nicht existieren. Denn man kann unmöglich allen Elementen einen (einzigartigen) Namen geben. Und es liegt auf der Hand, dass es unendliche Mengen geben muss. Wäre Ù endlich, könnte man ein Maximum m angeben. Durch die induktive Definition würde man dann aber ein n = m + 1 angeben, welches aus Ù ist, gleichzeitig aber größer als m und damit nicht aus Ù ist fl 0. {{Hier wird automatisch das potentiell Unendliche herangezogen.}} Was er darüberhinaus mit "vollständig existieren" meint, ist mir schleierhaft. {{Das für Cantors Diagonalargument notwendige aktuale Unendliche ist also unbekannt.}} [O.D. "Endliche überabzählbare Mengen...", Informatik-Studium an der RWTH Aachen, 18. 10. 2008] http://www.infostudium.de/viewtopic.php?p=39284&sid=423eccc29fe883e131e9be45f2d45465
The following statements are accepted by WM: - if an entity X satisfies the Peano axioms then X is a potentially infinite set - the natural numbers are a potentially infinite set. - given x and a potentially infinite set S, it makes sense to ask the question "is x an element of S". {{Ja, dies gilt für jedes x, nach dem gefragt werden kann, das also eine endliche Definition besitzt und deswegen zu einem endlichen Anfangsabschnitt der Menge Ù gehört.}} [W. Hughes, "Cantor Confusion", sci.math, 7. 12. 2006]
WM: In my opinion neither the complete sequence 0.1 0.11 0.111 ... nor the complete sequence 0.111... exist. I do not believe in an actually infinite linear (i.e. inclusion monotonic) set that has all elements but no last one. BK: So, you are saying that every sequence has a last element, right? WM: Wrong. BK: What is the last element of (0, 1, 2, 3, ...) ? WM: There is no last element in a potential infinity. BK: (This sequence is precisely defined by "for all i, Si = i"). WM: The number x > 10 and x < 9 is also precisely defined. -i BK: What is the last element of (1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...) ? (For all i, Si = 2 ). WM: You should know that all mathematicians until Cantor had no problems with infinity and incomplete sets. And mathematics has neither. Your sequence has no last element because it is not complete. There are infinitely many elements missing from completeness. Think of the many paths in the Binary Tree. But I know that you and many fellow mathematicians believe that. Therefore I assume its existence and show what follows. BK: Do you believe that mathematics which includes infinite sets and sequences is internally inconsistent? WM: No, I do not believe it, I know it. Mathematics is communication (at least with oneself). Uncountability requires undefinable numbers, undefinable definitions. - That is what I call inconsistent. Every real number that is a part or the result of a finite calculation belongs to a countable set. Every real number that is part or the result of an infinite calculation with a finite definition belongs to a countable set. Every diagonal of a Cantor-list that has a finite definition (such that every line is known) belongs to a countable set. The union of these three sets is a countable set. So, for what purpose needs a mathematican uncountable sets? Regards, WM [Barb Knox, "every is not all", sci.logic, 20. 8. 2011] http://groups.google.com/group/sci.logic/msg/46bfe1b2e6050acf?dmode=source
1066 Das Kalenderblatt 120505 Potentiell versus aktual (2)
Alle sogenannten Beweise (und es dürfte mir wohl keiner verborgen geblieben sein) gegen das geschöpfliche A. U. beweisen nichts, weil sie sich nicht auf die richtige Definition des Transfiniten beziehen. Die beiden für seine Zeit und auch heute noch kräftigsten und tiefsinnigsten Argumente des S. Thomas Aquinatus (S. Th. I, q. 7, a. 4 "1. Omnem multitudinem oportet esse in aliqua specie multitudinis. Species autem multitudinis sunt secundum species numerorum. Nulla autem species numeri est infinita; quia quilibet numerus est multitudo mensurata per unum. Unde impossibile est esse multitudinem infinitam actu; sive per se, sive per accidens. 2. Item omnis multitudo in rerum natura existens est creata; et omne creatum sub aliqua certa intentione creantis comprehenditur, non enim in vanum agens aliquod operatur. Unde necesse est quod sub certo numero omnia creata comprehendantur. Impossibile est ergo esse multitudinem infinitam in actu, etiam per accidens.") [1. Jede Menge muß irgendeiner Art von Mengen angehören. Die Arten einer Menge aber richten sich nach den Arten der Zahlen. Keine Art von Zahlen aber ist unendlich; denn jede Zahl ist eine durch die Eins gemessene Menge. Also kann es unmöglich, sei es per se, sei es per accidens, eine aktual unendliche Menge geben. 2. Desgleichen ist jede Menge, die in der Natur der Dinge existiert, geschaffen; und jedes Geschaffene unterliegt einer bestimmten Absicht des Schaffenden; denn kein Wirkender wirkt ziellos. Also ist es notwendig, daß alles Geschaffene unter eine ganz bestimmte Zahl fällt. Daher kann es unmöglich eine aktual unendliche Menge geben auch nicht per accidens.] werden hinfällig, sobald ein Princip der Individuation, Intention und Ordination actual unendlicher Zahlen und Mengen gefunden ist; ein solches Princip liegt in meinen actual unendl. Mächtigkeiten (Kardinalzahlen), Ordnungszahlen und Ordnungstypen. Solange man dieses Princip noch nicht kannte, war es von den Scholastikern durchaus consequent und richtig, das infinitum actu in natura creata zu bekämpfen. Meiner festen Ueberzeugung nach widerspricht es aber ebensowenig den grossen Principien der christlichen Scholastik, das Transfinitum zu acceptiren, anzuerkennen und in den Speculationen zu verwerthen, sobald es von irgend Jemandem als wahr demonstrirt worden ist. [Cantor an Schmid, 26. 3. 1887, zitiert und übersetzt in C. Tapp: "Kardinalität und Kardinäle", Franz Steiner Verlag (2005) p. 500] ]
— ist in der œ-Sprache ganz klar unterschieden von –, und zwar ohne Referenz auf das eingebettete –, welches seinerseits als ganz normale Untermenge in — enthalten ist. Im übrigen bestimmt die Mengenlehre unendlich viele irrationale Zahlen eindeutig {{unendlich viele, ja - aber nicht mehr}}, während die nonstandard Objekte in der artifiziellen Mengenstruktur des nonstandard Modelles unbestimmbar sind. [Michael Reeken: "C’est une facon de parler" (2008)] http://www2.math.uni-wuppertal.de/~reeken/msp.pdf
Es ist möglich, mit Hilfe von zwei in einer Folge beliebig angeordneten Symbolen 2n unterscheidbare Zeichenketten der Länge n zu erstellen. Ein Bildungsgesetz kann sogar Zeichenketten unendlicher Länge erzeugen. Es ist nicht möglich, anhand einer unendlichen Zeichenkette das erzeugende Bildungsgesetz zu identifizieren. Die Information ist nicht perfekt, bevor das Ende der Zeichenkette bekannt ist, was durch Betrachtung der Zeichen nicht möglich ist.
Cantor "bewies" für ein Alphabet aus 10 Ziffern, 30 Buchstaben und ein paar mathematischen Zeichen, dass die in deutscher Sprache verständlichen und unterscheidbaren reellen Zahlen überabzählbar sind. Dazu benötigte er "unendliche Wörter" aus Ziffern, die als Individuationsmerkmale für Zahlen nicht verwendbar sind. Mögen in Sprachen mit unendlichen Alphabeten überabzählbar viele Zahlen existieren (*), (**) - in der von Cantor verwendeten deutschen Sprache existieren sie nicht.
(*) Ein unendliches Alphabet müsste "aktual" existieren, denn jeder Buchstabe müsste zur Verfügung stehen - nicht nur potentiell zu jedem ein Nachfolger existieren. Außerdem müsste das Alphabet definiert sein. Selbst wenn für jeden Buchstabe nur ein Kubikfemtometer benötigt würde, so überträfe das erforderliche Speichervolumen die Größe einer Kugel von einer Myriade Googolplex Lichtjahrtausenden und noch viel mehr.
(**) Auch ein unendliches Alphabet hülfe indessen nichts. Informationsübermittlung ist immer auf eine endliche Bitfolge beschränkt. Betrachten wir die natürlichen Zahlen als Buchstaben eines Alphabets, so erhalten wir doch nur eine abzählbare Menge von endlichen Teilmengen. Und auch die für jede endliche Teilmenge endliche Anzahl von unterschiedlichen Reihenfolgen der Elemente öffnet keine Tür ins Überabzählbare.
1067 Das Kalenderblatt 120506 Potentiell versus aktual (3)
Ordnet man aber jeder geraden Zahl (jedem Element der Folge der geraden Zahlen) folgeweise ein Element der Folge der natürlichen Zahlen zu, so gibt es, wie weit man auch die Folge der natürlichen Zahlen fortgesetzt denkt, kein Element dieser Folge, das bei der folgeweisen Zuordnung nicht einen Partner in der Folge der geraden Zahlen fände. Man kann dies so ausdrücken: Die Menge der natürlichen Zahlen ist ihrer Teilmenge, der Menge der geraden Zahlen "äquivalent", und zwar deshalb weil beide beliebig ("endlos") fortgesetzt werden können. Diese Äquivalenz einer Folge und einer ihrer echten Teilfolgen ist eine unmittelbare Folge der Unbeschränktheit der Vorschrift, nach der die Folgen hergestellt werden können. Sie kann zur Definition der uneigentlich-unendlichen Folge ("Menge") benutzt werden, denn bei konkret gegebenem, also endlichen Folgen ist eine Äquivalenz zwischen einer Folge und einer ihrer echten Teilmengen unmöglich. Das eigentlich-Unendliche wurde von Cantor in die Mathematik eingeführt, und zwar im bewußten, scharfen Gegensatz zu dem uneigentlich-Unendlichen. Es bildet die Grundlage der heutigen Mengenlehre. Die Mengenlehre lehnt den Begriff der Menge in dem vorhin angegebenen indefiniten Sinne ausdrücklich ab. Sie versteht unter einer Menge etwas Ganzheitliches, eine Allheit, ein Abgeschlossenes, eine Vielheit als Einheit gedacht (Hausdorff), eine Zufammenfassung von Elementen zu einem "Ganzen"( Cantor), eine "Gesamtheit" (Encyclop. 1939), oder wie man es sonst ausdrücken mag. Das Urbild der eigentlich-unendlichen Menge in diesem Sinne ist für die Mengenlehre die Menge der natürlichen Zahlen. Im Sinne der Mengenlehre ist diese Menge eine abgeschloßene Ganzheit; sie umfaßt "alle" ganzen Zahlen, die nach dem Bildungsgesetz der Folge hergestellt werden könnten. Sie werden über alle Grenzen hinaus als tatsächlich hergestellt und "gegeben" behandelt. Sind die Zahlen in eindeutiger Folge, z. B. nach Größe, geordnet, so soll in dieser Folge jede Zahl, die nach dem Gesetz der Folge hergestellt werden könnte, ohne Ausnahme "gegeben" sein; gleichwohl aber soll es unter diesen Zahlen (obgleich dies erschöpfend "alle" Zahlen sind) keine geben, der nicht noch unendlich viele weitere Zahlen nachfolgen die ebenfalls in der Folge gegeben find. [L. Fischer: "Die unabzählbare Menge", Meiner, Leipzig (1942), p. 4]
Auf jede Zahl folgen unendlich viele weitere, von denen unendlich viele unerkennbar sind, denn auf welche Zahl n man auch zugreift: Es folgen immer noch unendlich viele Zahlen, von denen man nur auf endlich viele zugreifen kann. Jede Zahl n, auf die man zugreift, bestätigt dies, indem sie zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört. Das Unendliche ist lediglich das Unbeschränkte, das fehlende Ende, niemals aktuell mehr als endlich viel.
Zu jeder natürlichen Zahl j gibt es einen Anfangsabschnitt Ak, der sie enthält. Zu jedem Anfangsabschnitt Am natürlicher Zahlen, gibt es eine natürliche Zahl n, die sich außerhalb von Am befindet. So ist es und so geht es immer weiter.
Mengenlehrer sehen nur die erste Aussage. Für die zweite sind sie blind.
1068 Das Kalenderblatt 120507 Potentiell versus aktual (4)
Trotz wesentlicher Verschiedenheit der Begriffe des potentialen und aktualen Unendlichen, indem ersteres eine veränderliche endliche, über alle Grenzen hinaus wachsende Größe, letztere ein in sich festes, konstantes, jedoch jenseits aller endlichen Größen liegendes Quantum bedeutet, tritt doch leider nur zu oft der Fall ein, daß das eine mit dem andern verwechselt wird. [E. Zermelo: "Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer (1932) p. 374] http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ru/dms/load/toc/?PPN=PPN237853094
Will man in Kürze die neue Auffassung des Unendlichen, der Cantor Eingang verschafft hat, charakterisieren, so könnte man wohl sagen: in der Analysis haben wir es nur mit dem Unendlichkleinen und dem Unendlichengroßen aIs Limesbegriff, als etwas Werdendem, Entstehendem, Erzeugtem, d. h., wie man sagt, mit dem potentiellen Unendlichen zu tun. Aber das eigentlich Unendliche selbst ist dies nicht. Dieses haben wir z. B., wenn wir die Gesamtheit der Zahlen 1, 2, 3, 4, . . . selbst als eine fertige Einheit betrachten oder die Punkte einer Strecke als eine Gesamtheit von Dingen ansehen, die fertig vorliegt. Diese Art des Unendlichen wird als aktual unendlich bezeichnet. [D. Hilbert: "Über das Unendliche", Math. Annalen 95 (1926) p.167] http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=26816
The set of all integers is infinite (infinitely comprehensive) in a sense which is "actual" (proper) and not "potential". (p.6) One may doubt whether this example really illustrates the abyss between finiteness and actual infinity.(p.6) Thus the conquest of actual infinity may be considered an expansion of our scientific horizon no less revolutionary than the Copernican system or than the theory of relativity, or even of quantum and nuclear physics. (p. 240) [.A. Fraenkel, A. Levy: "Abstract Set Theory" North Holland, Amsterdam (1976)]
Until then, no one envisioned the possibility that infinities come in different sizes, and moreover, mathematicians had no use for “actual infinity.” The arguments using infinity, including the Differential Calculus of Newton and Leibniz, do not require the use of infinite sets. [T. Jech: "Set Theory", Stanford Encyclopedia of Philosophy (2002)] http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/
1069 Das Kalenderblatt 120508 Potentiell versus aktual (5)
{{Das aktual Unendliche ist für die Mengenlehre zwingend erforderlich, doch war es niemals unumstritten.}}
Cantor's work was well received by some of the prominent mathematicians of his day, such as Richard Dedekind. But his willingness to regard infinite sets as objects to be treated in much the same way as finite sets was bitterly attacked by others, particularly Kronecker. There was no objection to a 'potential infinity' in the form of an unending process, but an 'actual infinity' in the form of a completed infinite set was harder to accept. [H.B. Enderton, Elements of Set Theory". Academic Press, New York (1977) p. 14f] http://www.mediafire.com/?9rmzmacejqi
Schon Galileo Galilei (1564-1642) hat bemerkt, daß die Menge der natürlichen Zahlen vermöge der Zuordnung n Ø n2 bijektiv auf die Menge der Quadratzahlen abgebildet werden kann [...] Der ansonsten so beherzte Galilei zog daraus den defätistischen Schluß, daß die "Attribute des Gleichen, Größeren und des Kleineren bei Unendlichem nicht statt haben, sondern nur bei endlichen Größen gelten". Aristoteles (384-322 v. Chr.), der gewaltige Fleischbeschauer des Wissens, den das Mittelalter mit überschießender Verehrung einfach "den Philosophen" nannte, war noch defätistischer gewesen: Er wollte überhaupt kein aktual Unendliches gelten lassen, sondern nur ein potentiell Unendliches (d. h. nur ein beliebig vermehrbares Endliches). Ihm folgte Thomas von Aquin (1224-1274) mit seinem lähmenden Diktum: "Multitudinem actu infinitam dari, impossibilie est" Cantor und Dedekind haben dann schließlich gegen alle Tradition den kühnen Schritt getan, aus einem Einwand gegen das Unendliche den Begriff desselben zu gewinnen - nämlich eine Menge genau dann unendlich zu nennen, wenn sie einer ihrer echten Teilmengen äquivalent ist. [Harro Heuser: "Lehrbuch der Analysis", Teil 1, Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 17. Aufl. (2009) p. 137f]
There are at least two different ways of looking at the numbers: as a completed infinity and as an incomplete infinity. [Edward Nelson: Completed versus incomplete infinity in arithmetic] http://www.math.princeton.edu/~nelson/papers/e.pdf
Es gibt kein aktual Unendliches, das haben die Cantorianer vergessen und haben sich in Widersprüche verwickelt. [H. Poincaré, Les mathématiques et la logique III, Rev. métaphys. morale 14 (1906) p. 316]
Meine Zurückweisung von Mückenheims "Infinite sets are non-denumerable" ist mathematisch basiert. Das ist ja das Schöne an der Mathematik; die Aussage "Es gibt sehr wohl Bijektionen von Ù auf Ù." ist auch dann wahr, wenn der Hallenwart von Castrop-Rauxel sie ausspricht. Mückenheims Kritik an Cantor ist seine zentrale These, in "Infinite sets are non-denumerable" ist der "Unmöglichkeitsbeweis" einer Bijektion von Ù auf Ù das zentrale Argument. Die Sache mit der Bijektion ist geklärt (es gibt sie trivialerweise), und die Tatsache, dass seine "Diagonalisierung von Ù" etwas konstruiert, das überhaupt kein Element von Ù ist, würde ich als Referee ihm auch um die Ohren hauen. [Lothar Brendel, Forum Physik, 22. 10. 2004] Es gibt sie, weil die identische Abbildung n Ø n naemlich bijektiv ist. Der Beweis ist trivial (injektiv ist trivial, surjektiv ist auch trivial). Damit gibt es eine Bijektion von Ù auf Ù und der Beweis des FH-Profs ist falsch und die Mathematik muss nicht neu geschrieben werden. Eigentlich ist das alles eher Abitursniveau. [Chris Bakayaro, Forum Physik, 22. 10. 2004] http://www.molecularstation.com/forum/forum-physik/58225-wer-erkl%E4rt-mir-2-a.html
Es gibt für jede Zahl die Abbildung auf sich selbst. Es gibt aber nicht alle Zahlen. In obigen Texten manifestiert sich die übliche Verwechslung von potentiell und aktual unendlich.
Die "Diagonalzahl" der unär dargestellten Liste aller natürlichen Zahlen
1 11 111 ... ist keine natürliche Zahl, weil sie unendlich viele Stellen besitzt? Weil die Liste unendlich viele Zeilen besitzt? Wie kann das sein, wenn jede Zahl der Liste nur endlich viele Stellen besitzt und die Diagonalzahl nur Stellen aus diesen endlichen Zahlen enthält?
Eine alle natürlichen Zahlen enthaltende Liste ist laut Cantor selbstverständlich unendlich lang, indem sie mehr als jede natürliche Anzahl von Zeilen besitzt. Also besitzt sie aus Symmetriegründen auch mehr als jede endliche Anzahl von Einsen. Aber es gibt keine Zeile, in der mehr als jede endliche Anzahl von Einsen stehen.
Diese Behauptungen widersprechen einander im Falle von Inklusionsmonotonie. Gibt ES keine Zeile mit mehr als endlich vielen Einsen, dann gibt ES auch nicht mehr als endlich viele Einsen, denn die Einsen können nur in Zeilen stehen, die ES gibt.
1070 Das Kalenderblatt 120509 Potentiell versus aktual (6)
Die Ergebnisse unserer Betrachtungen können wir in zwei Thesen zusammenfassen:
A) Der Begriff der Wiederholung setzt den endlichen Anzahlbegriff in irgend einer Form voraus.
B) Demnach enthält der Versuch, die Reihe der ganzen Zahlen durch successive Wiederholung ein und derselben Operation zu "erzeugen", eine petitio principii, die eine logische Begründung der mathematischen Induktion auf diesem Wege unmöglich macht.
Beide Thesen sind in zahlreichen Einzelfällen so allgemein anerkannt, daß man sie mit Recht für trivial erklären kann. Die konvergenten Prozesse der Analysis mit ihren unendlichen Wiederholungen von Additionen, Multiplikationen, Divisionen oder Integrationen bilden ein schlagendes Beispiel für die erste These. In meinem ersten Referate behauptete ich bereits: eine unendliche Reihe von Additionen fördert kein Resultat zu Tage, weil sie kein Ende hat. Die Resultate solcher Prozesse werden vielmehr mittelst des analytischen Limesbegriffes gesondert definiert. Auf der Inhaltlosigkeit des Begriffs einer unendlichen Wiederholung beruht auch die Unfruchtbarkeit aller Versuche, die Infinitesimalrechnung auf einer Theorie unendlich kleiner Größen aufzubauen. Daß eine solche Theorie überflüssig ist, war das Ergebnis der Untersuchungen meines ersten Referates. Daß sie unfruchtbar ist, haben alle Versuche einschließlich des jüngsten von Herrn Geißler unternommenen schlagend bewiesen. Den Grund dieser Unfruchtbarkeit haben Cantor, Peano und andere aufgedeckt: Zum Beweise beispielsweise des Taylorschen Satzes oder zur Definition eines bestimmten Integrals bedarf man, um von unendlich kleinen zu endlichen Größen zu gelangen, einer unendlich wiederholten Addition. Die Definition dieser Wiederholung stößt auf Schwierigkeiten, die, wahrscheinlich unüberwindlich, sicher bis heute nicht überwunden sind. Und eine Begründung der Infinitesimalrechnung, die auf das Integral und den Taylorschen Lehrsatz verzichten muß, versperrt sich von vornherein die Möglichkeit produktiver Betätigung.
Dagegen bietet die Lehre von den wohlgeordneten Mengen eine der glücklichsten Definitionen der unendlichen Wiederholung vermittelst ihres mengentheoretischen Limes {{vgl. dazu auch die KB-Serie zu Mengenfolgen und Supertasks, insbesondere KB120407}} der bei analogen formalen Eigenschaften, die er mit dem analytischen Grenzbegriff gemeinsam hat, im Gegensatz zu diesem über den Ordnungstypus ω hinauszugehen gestattet. Daß aber diese 2 unendliche Wiederholung, beispielsweise der Multiplikation durch αω , einer besonderen Definition bedarf und nichts von Hause aus gegebenes ist, wie a3, tritt gerade in dieser Theorie mit besonderer Deutlichkeit zu Tage, während es für unendliche Summen, Produkte, Kettenbrüche etc. in der Analysis erst das Ergebnis langer und mühevoller kritischer Arbeit war.
Unsere zweite These dürfte auch heute noch auf vielfachen Widerspruch stoßen. Und doch ist es klar, daß es keinen Satz geben kann, der für alle ganzen Zahlen gilt, wenn nicht alle diese ganzen Zahlen als existierend angesehen werden. Und es kann nicht im Ernst behauptet werden, daß die Zahl Zehn erst zu existieren begonnen habe, als man zum erstenmale alle Finger der beiden Hände zu zählen gelernt habe, noch wird man einen Menschen finden können, der schon bis zu einer Billion gezählt hat. Welchen andern Sinn aber soll es haben, wenn man das Zählprinzip als ein Erzeugungsprinzip bezeichnet? Es ist eine unter vielen Methoden und unter diesen logisch die erste, uns eine bestimmte Zahl vor das Bewußtsein zu stellen; die Zahl wird aber dadurch nicht erzeugt. Das Zählprinzip ist ein Ordnungsprinzip. Es ordnet jeder Zahl a eine unmittelbar folgende a + 1 zu.
[Gerhard Hessenberg; "Grundbegriffe der Mengenlehre", Sonderdruck aus den „Abhandlungen der Fries'schen Schule", I. Band, 4. Heft, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen (1906) p. 172ff]
1071 Das Kalenderblatt 120510 Potentiell versus aktual (7)
Die Folge F aller endlichen Anfangsabschnitte von ω: {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ... enthält ... MK: jedenfalls nicht Ù = »n œ Ù {1, ..., n} als Folgenglied, WM: Mit diesem expliziten Ziel habe ich die Folge gewählt. Nur frage ich mich, welcher Anfangsabschnitt von Ù in den unendlich vielen Vereinigungen von Anfangsabschnitten von Ù fehlt oder welches Element n von Ù in all den unendlich vielen Vereinigungen von Anfangsabschnitten fehlt. Natürlich fehlt überhaupt nichts, das mathematisch soweit konkretisierbar wäre, dass man es bezeichnen könnte. Deswegen ist die Behauptung, es würde eine nochmalige Vereinigung nun aber endgültig und unausweichlich zu Ù führen, nur Matheologie, die nicht einmal ihr eigenes Extensionalitätsdogma beachtet. Die Folge F aller endlichen Anfangsabschnitte von ω {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ... enthält die Vereinigung aller endlichen Anfangsabschnitte von ω {1} = {1} {1, 2} = {1} » {1, 2} {1, 2, 3} = {1} » {1, 2} » {1, 2, 3} ... und wenn ω unendlich viele endliche Anfangsabschnitte enthält, so enthält die Folge F auch die Vereinigung von unendlich vielen endlichen Anfangsabschnitten, was dem Sprachgebrauch nach als unendliche Vereinigung bezeichnet werden sollte. ω sind wir damit um keinen Schritt näher gekommen. Dazu müssen wir alles noch einmal vereinigen, denn erst die unendliche Vereinigung der Glieder der Folge F ist ω. Doch nach ZFC gilt: »(»(Fk)) = »(Fk) [Michael Klemm, "A question for WM", de.sci.mathematik, 27. 11. 2011]
WM: If there are infinitely many FISONs {{Fininite Initial Segments Of Naturals}}, then my sequence contains infinite unions, because no FISON is left out. »(»(FISONs)) = »(FISONs) V: Since »(FISONs) = Ù, it follows that »(»(FISONs)) = Ù WM: The only thing added in the second union is a good portion of matheological belief. But that's not mathematics. V: The union of those infinitely many FISONS, or any infinite set of FISONS, is not itself a FISON, as such a union is not finite. WM: All FISONs are unioned in terms of the partial-union-sequence. The limit is not a term of the sequence. V: Any union of ALL FISONs is already Ù, which is not a FISON. WM: Not in mathematics. A sequence that assumes its limit at a finite term cannot be strictly increasing as the partial- union-sequence is. Compare: The sequence 0.1, 0.11, 0.111, ... does not assume its limit 1/9. [Virgil, "Who is able to answer this simple question (again) concerning the set of the naturals?", sci.math, 27. - 29. 11. 2011]
Definition: Eine Partialvereinigungsfolge (Mk) ist eine Abbildung von der Folge der natürlichen Zahlen (k) auf Mengen, so dass jedes Glied der Partialvereinigungsfolge die Vereinigung aller seiner Vorgänger und seiner selbst ist. Analogie: Partialsummenfolge. Beispiel: Die Partialvereinigungsfolge (Mk) = {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ... mit Mk = {1} » {1, 2} » ... » {1, 2, ..., k} = {1, 2, ..., k}. Besondere Eigenschaft: Diese Partialvereinigungsfolge enthält (wie jede streng monoton wachsende Folge) nicht ihren Grenzwert Ù. Die Folge enthält (wie jede unendliche Folge) kein letztes Glied. Doch alles, was sie enthält, wurde per Definition bereits mindestens einmal vereinigt, so dass eine abermalige Vereinigung mathematisch genau so wirkt wie keine abermalige Vereinigung. Hier haben wir den besonderen Fall, dass der Wert der Reihe und der Limes der Partialvereinigungsfolge Ù nur dann übereinstimmen, wenn eine unwirksame mathematische Operation doch eine Wirkung besitzt. [WM, "Definition der Unbedingten Konvergenz mittels Ketten", de.sci.mathematik, 29. 11. 2011]
Die Mengenlehre leidet im Zusammenhang mit den Anfangsabschnitten unter einem unüberwindlichen Dilemma: Jeder Schritt erfolgt im Endlichen. Kein Schritt erreicht Ù. Selbst unter unendlich vielen Schritten findet sich Ù nicht. Es ist der niemals angenommene Grenzwert. Jeder Schritt ist aber gleichzeitig eine Vereinigung. Unendlich viele Vereinigungen liefern den Grenzwert.
1072 Das Kalenderblatt 120511 Potentiell versus aktual (8)
RB: Wenn Mückenheim so etwas wie die Vereinigungsmenge der Anfangsabschnitte Ai von Ù bildet, dann nimmt er das erste Ai, vereinigt es mit dem zweiten Ai, dann mit dem dritten und so geht das weiter. Das ist nicht irgendwie metaphorisch zu verstehen, sondern absolut direkt und wörtlich. Da diese Prozedur nie an ein Ende gelangt, ist die entstehende, aber eben nie fertig werdende Menge unendlich. WM: Wer hätte das für möglich gehalten? Doch kann man die unendliche Folge dieser endlichen Anfangsabschnitte durchaus mathematisch unter die Lupe nehmen und ihre Eigenschaften betrachten. RB: Die Ergebnisse der einzelnen Schritte sind aber auch nur immer wieder ein Ai und nichts weiter. WM: So ist es. Einen Grenzwert enthält die Folge nícht. Noch eine wichtige Erkenntnis. RB: Deshalb ist die entstehende Menge auch wieder nur ein Anfangsabschnitt, denn im Laufe des Entstehungsprozesses entsteht niemals mehr als ein Anfangsabschnitt. Da man den Prozeß aber immer weiterführen kann und dabei auch das Produkt des Prozesses immer weiter wächst, ist es "potentiell unendlich"; und die tatsächlich erreichte Größe ist unbestimmt. Also immer, im Verlaufe des Prozesses, endlich, und ebenso immer mit Wachstumspotential. WM: Richtig. Die Vereinigung von endlichen Anfangsabschnitten ist endlich. RB: Eine "aktual unendliche" Menge müßte nach Mückenheim das Resultat eines zu Ende geführten Prozesses sein, WM: auch nach Cantor übrigens. Ich folge ihm da bedingungslos, RB: und das Ende wäre der letzte Schritt in dem Prozeß, und das dabei hinzugefügte Element das "letzte" Element der Menge; wenn es sich bei der Menge um die Glieder einer konvergenten Folge handelt, dann wäre dieses letzte Element insbesondere der Grenzwert. WM: Genau. RB: Da aber für Entstehungsprozesse nur endliche Zeiträume gegeben sind, und nur endliche Materialvorräte, kann es so etwas empirisch nicht geben. WM: Nein, damit hat es nichts zu tun. Das ist in der Mathematik belanglos (wir sprechen hier nicht vom MatheRealismus, denn darin ist ohnehin nichts unendlich). Aber ansonsten ist die Analyse erstaunlich genau. RB: So sieht das für Mückenheim aus, es hat sogar eine gewisse Folgerichtigkeit, die allerdings nirgendwo hinführt, WM: es sei denn, das Unendliche wäre irgendwo, RB: und daran wird Deine Erklärung nichts ändern. Deine Erklärung beruht auf Voraussetzungen, die in Mückenheims Welt einfach nicht gegeben sind. WM: Ob sie in irgendeiner anderen Welt gegeben sind, wird sich herausstellen, wenn eine mathematische (nicht matheologische) Erklärung des folgenden Sachverhalts erfolgt, insbesondere, der von mir behaupteten doppelten Vereinigung mit unterschiedlichen Ergebnissen Die Folge F aller endlichen Anfangsabschnitte von ω {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ... enthält die Vereinigung aller endlichen Anfangsabschnitte von ω {1} = {1} {1, 2} = {1} » {1, 2} {1, 2, 3} = {1} » {1, 2} » {1, 2, 3} ... und wenn ω unendlich viele endliche Anfangsabschnitte enthält, so enthält die Folge F auch die Vereinigung von unendlich vielen endlichen Anfangsabschnitten (keiner fehlt und auch kein n fehlt, obwohl ω selbst nicht vorhanden ist), was dem Sprachgebrauch nach als unendliche Vereinigung bezeichnet werden sollte. ω ist jedoch nicht enthalten. ω erhält man erst, wenn man die Folgenglieder, die bereits alle Vereinigungen der Folgenglieder enthalten, nochmals vereinigt. Richtig so? [Ralf Bader, "A question for WM", de.sci.mathematik, 27. 11. 2011]
WM: Betrachte einfach die Folge: 0,1222... 0,11222... 0,111222...... Dass unendlich viele Zweien Asyl suchen, wird einfach übersehen. In jedem Folgenglied sind sie vorhanden. Im Grenzwert sind sie futsch. MK: Du "übersiehst", dass die Begriffe der Mathematik eine genau definierte Bedeutung haben. WM: Die Matheologie ist auf die uneingeschränkte Gültigkeit des Tertium non datur aufgebaut. Diesen Punkt verwende ich. In der Liste 0,0 0,1 0,11 0,111 ... ist die Zahl 0,111... nicht enthalten. Besitzt sie mehr Einsens als alle Zahlen der Liste? Ja oder nein? Tertium non datur lässt nur diese beiden Alternativen. Doch nun kommt der Matheologe und erklärt (nach langem Nachfragen und möglichst verklärt): Die Existenz der gesamten Liste wird anerkannt. Die Existenz der gesamten Antidiagonalzahl 0,111... wird anerkannt. Es ist aber nicht statthaft, diese mit der gesamten Liste zu vergleichen, sondern für diesen Vergleich dürfen immer nur endliche Abschnitte der Liste herangezogen werden. Ergebnis: Die Antidiagonalzahl unterscheidet sich von jedem ihrer endlichen Anfangsabschnitte. Heureka! Erkenntnis!! Und daraus schließen wir, dass es größere Unendlichkeiten als unendlich gibt!!! [Michael Klemm, "Beweis für Ueberabzaehlbarkeit von R?", de.sci. mathematik, 15. 3. 2011]
1073 Das Kalenderblatt 120512 Potentiell versus aktual (9)
MB: For the record, I don't know what is supposed to be meant by "believing in actual infinity", WM: Potential infinity: ∀n ∃m: m > n Actual infinity: ∃m ∀n: m > n
There is no infinite path P in any Bk. ∀k: P à Bk. On the other hand, the union of all finite paths is the complete Binary Tree. MB: Potential infinity: There cannot be any set which is a superset of all finite initial segments of the naturals. Actual infinity: There is a set which is a superset of all finite initial segments of the naturals, the union of them. WM: Completely correct! MB: Those are principles, not definitions. They don't define "x is a potentially infinite set" nor "x is an actually infinite set". WM: As you may know, there is no definition of set. But everybody knows that in ZFC only actual infinity is used - except when a contradiction might appear. Then potential infinity is used - like in the following example: 000000000000000000000... 100000000000000000000... 110000000000000000000... 111000000000000000000... 111100000000000000000...... There are four propositions: ¡0 lines of the list exist. Forall n œ Ù: n < ¡0 In every line j there exists an index k with ajk = 0 There is no index k such that for all j : ajk = 0 At least one of these proposisiton is wrong. [MoeBlee, "Balls and vase dyslexia", sci.logic, 15. - 16. 7. 2011]
WM: Ich weiß nicht, ob Du tatsächlich der Meinung bist, eine fest gewählte Einserfolge (die Diagonalzahl) könne sich von jeder endlichen Einserfolge unterscheiden, und dabei doch nicht mehr Einsen als jede endliche Einserfolge besitzen. Ich kann diesen Schluss nicht nachvollziehen - und ich kenne auch keinen Menschen persönlich, der dies könnte. WT: Wir sind uns doch bereits einig, dass sich 1/9 von jedem einzelnen Glied der Folge 0, 1/10, 11/100, 111/1000,... unterscheidet. Wir stimmen auch darin ueberein, dass 0,1111... die Dezimalentwicklung von 1/9 ist, genauso wie 0, 0,1, 0,11, 0,111,... die entsprechenden Dezimalentwicklungen obiger Folgenglieder sind. Weiterhin ist unstrittig, dass zwei Brueche genau dann verschieden sind, wenn sich ihre Dezimalentwicklungen an mindestens einer Stelle unterscheiden. Daraus folgt, dass sich 0,111... von jedem einzelnen Dezimalbruch unterscheidet, und nach ueblichem Sprachgebrauch sagt man synonym dazu auch, er unterscheide sich von allen. WM: Alles Obige ist richtig, und wir stimmen darin völlig überein, unter der Voraussetzung, dass 0,111… ein sinnvoller und möglicher Ausdruck ist, also eine fertige und unveränderliche Zahldarstellung (ohne die das Cantorsche Argument in seiner populären Form nicht bestehen kann). Um das zu prüfen, untersuche ich die Anzahl der Einsen in diesem Ausdruck. WT: Dabei ist es bis hierhin voellig belanglos, wie viele Einsen er enthaelt. WM: Nein. Es geht hier um die Zahl 1/9 und deren feste, unveränderliche Dezimaldarstellung 0,111…. WT: Man koennte definieren, dass eine Dezimalentwicklung von i1 "mehr" einsen als eine von i2 besitzt, falls jede in i2 mit einer eins belegte Position auch in i1 mit eins belegt ist, und es in i1 darueber hinaus mindestens eine mit eins belegte Position gibt, die in i2 nicht mit eins belegt ist. WM: Darüber hinaus sollten wir noch festhalten, dass es in den betrachteten Einserfolgen keine Lücken gibt, wodurch die Sache besonders einfach und übersichtlich wird. WT: In diesem Sinne (und zunaechst nur in diesem) besitzt 0,111... mehr einsen als jeder einzelne Dezimalbruch (und wieder voellig sprachlich synonym mehr als alle). WM: Genau das ist meine Beobachtung. Dazu kommt nun noch, dass alle endlich indizierten Einsen bereits zu Zahlen gehören, die in der Liste stehen. Wenn also 0,111… mehr Einsen besitzt als alle Listenzahlen, dann kann mindestens eine dieser Einsen nicht an einer endlich indizierten Stelle Platz finden. [Wolfgang Thumser, "Unterscheidet man in der Mathematik zwischen (mindestens) zwei Klassen von irrationalen Zahlen?", de.sci.mathematik, 6. 2. 2011]
1074 Das Kalenderblatt 120513 Potentiell versus aktual (10)
Potentiell oder aktual unendliche Existenz: Wie ist der Unterschied am besten zu verstehen?
Wir betrachten dazu den binären Baum und färben alle Pfade der Form P(0) = 0,111... P(1) = 0,0111... P(2) = 0,00111... P(3) = 0,000111...... gelb (weil das eine sehr auffallende Farbe ist). Im Rahmen der aktualen Unendlichkeit verbleibt noch der Grenzpfad P(¶) = 0,000.... Da nur alle Listenpfade gänzlich vergilbt sind, sollte der Grenzpfad als nicht in der Liste enthaltenes Individuum auch nicht ganz gelb sein. Da aber kein einziger ungefärbter Knoten in P(¶) nachweisbar ist, behaupten die Anhänger der aktualen Unendlichkeit, dass die Pfade P(n) der obigen Liste zwar alle Knoten von P(¶) gelb färben, aber kein einzelner Listenpfad existiert, der allein alle Knoten gelb färbt. Viele Matheologen, die sich gegenseitig für kompetente Mengentheoretiker halten, vermögen hier nämlich folgenden Unterschied zu erkennen: 1) " Knoten $ Pfad aber 2) ¬$ Pfad " Knoten
NN: "" Topf $ Deckel (für jeden Topf gibt's einen passenden Deckel) aber ¬$ Deckel " Topf (es gibt keinen Deckel, der auf alle Töpfe passt) Allquantor und Existenzquantor kommutieren eben nicht. Dafür reichen sogar endlich viele Töpfe und Deckel."
Doch was will uns solch nassforsche Glaubenbezeugung sagen? Wie hilft sie uns zu erkennen, warum die überabzählbar vielen unendlichen Pfade im Binären Baum nicht durch Knoten identifiziert werden können, die überzähligen reellen Zahlen in Form der Diagonalzahl in Cantors Liste aber schon? Der in de.sci.mathematik als "Mengenlehrer" auftretende Matheologe wird gut daran tun, sein Pseudonym zu wahren. Placebos helfen nur und aktual unendliche Pfade existieren nur, wenn man daran glaubt.
Der Fehler in der Übertragung des Quantorenkriteriums vom Endlichen auf das Unendliche zeigt sich deutlich am Argument des eindeutigen Namens. Der Name Christa unterscheidet sich zwar durch keinen einzigen Buchstaben von allen Namen Antonia, Barbara, Carla, Clara, Christine, Christiane, Edith, Elisabeth, Eva, Lina, Maria, Mimi, Rita, aber er unterscheidet sich von jedem einzelnen Namen an mindestens einer Stelle. Und spätestens nach 7 + 1 Proben steht das Ergebnis Identität oder Nichtidentität fest. Dies Argument gilt aber nicht für lineare oder inklusionsmonotone unendliche Folgen. Bis zu jeder Stelle von 0,111... gibt es unendlich viele identische aber endliche Folgen 0,111...1. Ohne eine endliche Definition der Zahl 0,111... ist ihre Unterscheidung von allen endlichen Einserfolge nicht in einer endlichen Anzahl von Versuchen und daher überhaupt nicht möglich.
1075 Das Kalenderblatt 120514 Potentiell versus aktual (11)
In meinen Lehrveranstaltungen bin ich mit den folgenden beispielhaften Erklärungen zur Unterscheidung zwischen potentiell und aktual unendlich auf das beste Verständnis gestoßen:
Es gibt aktual unendlich viele (¡0 = mehr als jede endliche Anzahl) Näherungsbrüche 0,1; 0,11; 0,111; ... zur Zahl 1/9. Die Anzahl der Ziffern 1 ist potentiell unendlich, nämlich in keinem Näherungsbruch größer als jede endliche Anzahl. Aktual unendlich ist die Anzahl der Ziffern 1 in der Darstellung der Zahl 1/9 als Dezimalbruch 0,111...
Es gibt aktual unendlich viele Polynome mit potentiell unendlich vielen Termen. Sie liefern als Wurzeln alle aktual unendlich vielen algebraischen Zahlen, deren Abzählbarkeit Dedekind mittels der Höhen der Minimalpolynome und des Fundamentalsatzes der Algebra bewies. Aktual unendlich ist die Anzahl der Terme in einer Reihe, wie sie u. a. zur Konstruktion transzendenter Zahlen verwendet werden.
Es gibt aktual unendlich viele Primzahlleitern mit potentiell unendlich vielen Primzahlen. Es gibt keine Primzahlleiter mit aktual unendlich vielen Primzahlen.
Diese Sätze gelten natürlich nur unter der inzwischen widerlegten Prämisse, dass ES das aktual Unendliche überhaupt gäbe. Nur weil früher diese beiden Unendlichkeiten wahllos und unbedacht durcheinandergewürfelt wurden, konnte man an die Existenz des aktual Unendlichen in der Mathematik glauben. Dies zeigte sich in besonderer Deutlichkeit am Binären Baum: Pfade, die nur aus Knoten ent- und bestehen, können nicht aktual unendlich lang sein. Die aktual unendliche Menge der Knoten erzeugt lediglich einen potentiell unendlichen Binären Baum, bestehend aus der aktual unendlichen Menge aller potentiell unendlichen (also jeweils endlichen) Pfade. Um die aktual unendlichen Pfade hinzuzufügen, müsste also noch etwas hinzukommen, das aber durch Knoten nicht ausgedrückt werden kann. Denn jeder dazu aufgeforderte Mengenlehrer hat bisher versagt, zwischen dem Binären Baum mit allen endlichen Pfaden und dem Binären Baum mit allen unendlichen Pfaden anhand von Knoten zu differenzieren. Irgendwann muss man einsehen, dass keine größere Aussicht für die Lösung dieser Aufgabe besteht, als auf einen Stein zu treffen, der nach oben fällt.
Das aktual Unendliche kann nur in schummrigen Schlüften und dämmrigen Grüften träumen und keimen; wie jede Geisterbeschwörung muss es das helle Licht der Nachprüfbarkeit scheuen.
Um eine Beschwörung erfolgreich durchzuführen, muss der Magier die im Ritual vorgeschriebenen Texte und stereotypen Redewendungen benutzen. Die Beschwörungsformeln weisen einen gleichförmigen Aufbau auf [...] Damit diese Beschwörungsformeln für einen Außenstehenden und Nichteingeweihten unverständlich sind, werden Wörter aus fremden Sprachen, deren äußere Form noch verändert wird, oder Kunstsprachen eingeflochten. http://sphinx-suche.de/satanismus/beschwoerungsformeln.htm
Fachliteraturempfehlungen: Friedrich Schiller: Der Geisterseher http://www.reclam.de/detail/978-3-15-007435-0/Schiller__Friedrich/Der_Geisterseher Justinus Kerner: Die Seherin von Prevorst http://www.mianba.de/heimatforschung/texte/zeitreise/kernertxt.htm Thomas Mann: Der Zauberberg (Die Beschwörung des Joachim Ziemßen) http://www.amazon.de/Der-Zauberberg-Roman-Thomas-Mann/dp/3596294339
Castorp bricht brüsk ab und verlässt die Szene. Der Erzähler enthält sich des Urteils darüber, ob es sich um Täuschung oder Sinnestäuschung handelt. http://literaturlexikon.uni-saarland.de/index.php?id=3267
1076 Das Kalenderblatt 120515 Cantors Weltbild (37): Die Realität der Mathematik
Graßmann ist der Einzige, mit dem ich hier darüber gesprochen und das Merkwürdige ist, daß ich ihn in dieser Sache sofort von seinem Vater ab und auf meine Seite gebracht habe. Er zeigte mir die Stellen der Ausdehnungslehre, in welchen geradezu die Meinung ausgesprochen wird, die Arithmetik sei eine Formale Wissenschaft, keine Reale Wissenschaft. D. h. wohl dasselbe, was Dedekind meint, der die Zahlentheorie für einen Theil der Logik erklärt. Wie ich die Sache ansehe, so sind folgende zwei Axiome als Grundlage unserer endlichen Zahlentheorie nothwendig und hinreichend. I. Es giebt Dinge (d. h. Gegenstände unseres Denkens). (Ohne dieses Axiom würde der Begriff I nicht möglich sein. Es läßt sich ja eine dermaßen utrirte Skepsis denken, die selbst dieses Axiom verwirft.) II. Ist V eine consistente Vielheit von Dingen und d ein nicht in V als Theil enthaltenes Ding, so ist die Vielheit V + d auch consistent. Diese beiden Axiome liefern mir die unbegrenzte Zahlenreihe 1, 2, 3, 4, ... der endlichen ganzen Cardinalzahlen und alle Gesetze unter ihnen lassen sich beweisen, ohne Zuhülfenahme weiterer Axiome. [Cantor an Hilbert, 20. 2. 1900]
In der Überzeugung, daß Zahlen auch transiente Realität besitzen, also Wirklichkeit insofern, "als sie für einen Ausdruck oder ein Abbild von Vorgängen und Beziehungen in der dem Intellekt gegenüberstehenden Außenwelt gehalten werden müssen", besteht denn auch die wesentliche Differenz zu Dedekind, dem die Zahlen "freie Schöpfungen des menschlichen Geistes" sind. Es ist der Gegensatz zwischen dem "Finden oder Entdecken" einerseits und dem "Erfinden oder Schöpfen" andererseits, der in den Auffassungen dieser beiden Mathematiker zum Ausdruck kommt. [H. Meschkowski, W. Nilson: Georg Cantor Briefe, Springer, Berlin (1991) p. 429]
Was Herr Veronese darüber in seiner Schrift giebt, halte ich für Phantastereien und was er gegen mich darin vorbringt, ist unbegründet. Ueber seine unendlich großen Zahlen sagt er, daß sie auf anderen Hypothesen aufgebaut seien, als die meinigen. Die meinigen beruhen aber auf gar keinen Hypothesen, sondern sind unmittelbar aus dem natürlichen Mengenbegriff abgezogen; sie sind ebenso nothwendig und frei von WiIlkür, wie die endlichen ganzen.Zahlen [Cantor an Killing, 5. 4.. 1895]
Es ist mir sehr lieb, dass Sie sich jetzt meiner Auffassung, dass ω, ωω etc. als wirkliche Zahlen, was sie in der That mit demselben Rechte sind, wie 1, 2 oder 7, angeschlossen haben, da sonst die Leute eine bezügliche Differenz zwischen uns vermuthet hätten. [Cantor an Mittag-Leffler, 18. 2. 1884]
1077 Das Kalenderblatt 120516 Cantors Weltbild (38): Die Realität transfiniter Zahlen
Gegenüber Ihrer Bemerkung, dass die Irrationalität ◊2 durch die Diagonale eines Quadrates eine Realität gewinne, welche beispielsweise der Ordnungszahl ω nicht zuerkannt werden könne, bitte ich Sie zu erwägen, dass ω Ordnungstyp realer wohlgeordneter Mengen ist, z. B. der realen Punktmenge mit den steigenden Abszissen 0, 1/2, 3/4, 7/8, ... (2n - 1)/2n, ... . Das Gleiche gilt von den übrigen Zahlen der zweiten Zahlenclasse. Kommt also der endlichen Zahl 7 oder der irrationalen Zahl ◊2 in gewissem Sinne Realität zu, so stehen die transfiniten Zahlen sowohl die transf. Kardinalzahlen (= puissances) wie auch die transfiniten Ordnungszahlen und Ordnungstypen an Realität gewiss nicht nach. [Cantor an Tannery, 10. 10. 1888]
Die transfiniten Zahlen sind in gewissem Sinne selbst neue Irrationalitäten und in der Tat ist die in meinen Augen beste Methode, die endlichen Irrationalzahlen zu definieren, ganz ähnlich, ja ich möchte sogar sagen im Prinzip dieselbe wie meine oben beschriebene Methode der Einführung transfiniter Zahlen. Man kann unbedingt sagen: die transfiniten Zahlen stehen oder fallen mit den endlichen Irrationalzahlen; sie gleichen einander ihrem innersten Wesen nach; denn jene wie diese sind bestimmt abgegrenzte Gestaltungen oder Modifikationen (folgt griechischer Text: aphorismena) des aktualen Unendlichen. {{Cantors Aussage bezieht sich offensichtlich auf die Definition von irrationalen Zahlen mit Hilfe von unendlichen Ziffernfolgen. Diese Verknüpfung besteht in der Tat.}} [Cantor an Laßwitz, 15. 2. 1884]
And what continua have in place of a number of points is most easily seen in a correlation between two of them. Two parallel lines, for instance, one maybe double the length of the other, would be said by Cantor to contain the same number, or power of points, as seemingly can easily be seen by drawing a projection of the one line onto the other. But what is demonstrated by such a projection is not that, mysteriously, there is the same number, or power of things in each line, but simply that on each line there is the same proportion of it as on the other. [H. Slater: "The Uniform Solution of the Paradoxes" (2004)] http://www.philosophy.uwa.edu.au/about/staff/hartley_slater/publications/the_uniform_solution_o f_the_paradoxes
1078 Das Kalenderblatt 120517
Novalis, Friedrich Freiherr von Hardenberg http://www.textlog.de/novalis.html http://de.wikipedia.org/wiki/Novalis pries die Mathematik:
Das höchste Leben ist Mathematik. [Fragmente] Alle Wissenschaften sollen Mathematik werden. Die bisherige Mathematik ist nur die erste und leichteste Äußerung oder Offenbarung des wahrhaft wissenschaftlichen Geistes. [Mathematisches Heft] http://de.wikiquote.org/wiki/Novalis
Das Leben der Götter ist Mathematik. Alle göttlichen Gesandten müßten Mathematiker sein. [Ziiert nach: H. Simon: "Der magische Idealismus: Studien zur Philosophie des Novalis", Carl Winter's Universitätsbuchhandlung, Heidelberg (1906) p. 31]
Aber er riet auch zur Vorsicht:
Wenn man einen Riesen sieht, so untersuche man erst den Stand der Sonne - und gebe acht, ob es nicht der Schatten eines Pygmäen ist. [Novalis: Neue Fragmente] http://gutenberg.spiegel.de/buch/5231/4
Theologie und Matheologie sind Parallelwelten. Theologie: Gott ist vom Menschen unabhängig. Es ist seiner Gnade zu verdanken, dass der Mensch gottähnlich ist. Matheologie: Mathematik hat nichts mit Realität zu tun. Es ist Zufall oder eine Gnade, dass die Mathematik teilweise auf die Realität anwendbar ist. http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/KB/Matheology.pdf
Dagegen steht der MatheRealismus (s. KB120611-120618 und http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/MR.mht ): Alle anthropomorphen Götter wurden vom Menschen nach seinem Bilde geschaffen. Alle richtige Mathematik wurde der Realität abgeschaut.
1079 Das Kalenderblatt 120518
Gödel proved the existence of God in a relatively complicated way using the positive and negative properties introduced by Leibniz and the axiomatic method ("the axiomatic method is very powerful", he said with a faint smile). http://www.stats.uwaterloo.ca/~cgsmall/ontology.html http://userpages.uni-koblenz.de/~beckert/Lehre/Seminar-LogikaufAbwegen/graf_folien.pdf
Couldn't the following simple way be more effective? 1) The set of real numbers is uncountable. 2) Humans can only identify countably many words. 3) Humans cannot distinguish what they cannot identify. 4) Humans cannot well-order what they cannot distinguish. 5) The real numbers can be well-ordered. 6) If this is true, then there must be a being with higher capacities than any human. QED
[I. K. Rus: "Can the existence of god be proved from mathematics?", Philosophy.StackExchange, May 1, 2012] http://philosophy.stackexchange.com/questions/2702/can-the-existence-of-god-be-proved-from- mathematics
I. K. Rus stellte diese Frage gleichzeitig und -lautend in den Foren Christianity.StackExchange, Mathematics.StackExchange und Mathoverflow, wo sie aber nach mehr oder weniger langer Lebensdauer erbarmungslos ausradiert wurde. Die Matheologen scheinen peinlich berührt. Den Grund für diese Orthodoxie mag der Leser aus den Antworten zur folgenden Frage entnehmen (die selbstverständlich auch nicht mehr auffindbar sind):
We use the axiom of choice and prove from it that every set of real numbers can be well- ordered. From the fact that there are not enough names available and that ordering of numbers without names is impossible, we can conclude that the axiom must be abolished. [user]
Could you spell out what you mean by "ordering of numbers without names is impossible"? That seems to be the crucial point. In the usual treatment of the subject, this is not true. [Joriki]
Your claim that "ordering numbers without names is impossible" is simply unjustified. [M. Suárez-Alvarez]
Likewise "real numbers belong to the set of names". Numbers are not names. [C. Eagle]
The axiom you need to abolish is "an immaterial object cannot be put in any well-ordering unless you can refer to it". [sdcvvc]
A countable sequence can have uncountable limit points, as an enumeration of the rationals shows. [M. Greinecker]
[Mathematics.StackExchange (2012) inzwischen entfernt]
1080 Das Kalenderblatt 120519
The proof of Gödel's Incompleteness Theorem is so simple, and so sneaky, that it is almost embarrassing to relate. His basic procedure is as follows:
1. Someone introduces Gödel to UTM, a machine that is supposed to be a Universal Truth Machine, capable of correctly answering any question at all. 2. Gödel asks for the program and circuit diagrams of the UTM. The program may be complicated, but it can only be finitely long. Call the program P(UTM) for Program of the Universal Truth Machine. 3. Smiling a little, Gödel writes out the following sentence: "The machine constructed on the basis of the program P(UTM) will never say that this sentence is true." Call this sentence G for Gödel. Note that G is equivalent to "UTM will never say G is true." 4. Now Gödel laughs his high laugh and asks UTM whether G is true or not. 5. If UTM says G is true, then "UTM will never say G is true" is false. If "UTM will never say G is true" is false, then G is false (since G = "UTM will never say G is true.") So if UTM says that G is true, then G is in fact false, and UTM has made a false Statement. So UTM will never say that G is true, since UTM makes only true Statements. 6. We have established that UTM will never say G is true. So "UTM will never say G is true" is in fact a true sentence. So G is true (since G = "UTM will never say G is true."). 7. "I know a truth that UTM can never utter," Gödel says. "I know that G is true. UTM is not truly universal." Think about it - it grows on you. [...] Gödel was able to find a way (for any given P(UTM)) actually to write down a complicated polynomial equation that has a solution if and only if G is true. {{s. KB091107}} So G is not at all some vague or non-mathematical sentence. G is a specific mathematical problem that we know the answer to, even though UTM does not!
{{Auch dieses Argument scheitert ohne die Voraussetzung der vollendeten Unendlichkeit (was Gödel ja selbst betonte (s. KB091108) - was aber seine Epigonen nur leider immer wieder vergessen). Die Antwort der UTM ist nämlich: "Satz G ist keine wahre Ausage, da sinnlos." Aber wie kann der Satz falsch sein, wenn die UTM, wie der Satz ja zutreffend voraussagt, niemals seine Richtigkeit bestätigt? "Niemals" ist keine vor Ende der Ewigkeit überprüfbare Angabe. Wir können nur überprüfen, ob die UTM den Satz bis zum Zeitpunkt t für richtig erklärt hat. Das ist für jeden Zeitpunkt t falsch. Aber da jeder Zeitpunkt t vor dem Ende der Ewigkeit liegt und nach jedem t noch unendlich lange Zeit folgt, ist niemals klar, ob die UTM den Satz wirklich niemals als wahr klassifizieren wird. Selbst für ein einmalig eintretendes reines Zufallsereignis wäre die Einrittswahrscheinlichkeit vor dem Zeitpunkt t gleich 0. Die Aussage der UTM, der Satz sei falsch, ist also niemals falsifizierbar.}}
Gödel's Incompleteness Theorem flew in the face of the formalist and logicai positivist movements of the time. But everyone who was capable of following the many steps of the detailed proof was forced to concede its correctness. {{Zu diesem illustren Kreis gehörten Hilbert und Zermelo offensichtlich nicht [vgl. die Kalenderblätter 100211, 100323, 110128}}
The Kafkaesque aspect of Gödel's work and character is expressed in his famous Incompleteness Theorem of 1930. Although this theorem can be stated and proved in a rigorously mathematical way, what it seems to say is that rational thought can never penetrate to the final, ultimate truth. A bit more precisely, the Incompleteness Theorem shows that human beings can never formulate a correct and complete description of the set of natural nurnbers, {0, 1,2, 3, . . . }. But if mathematicians cannot ever fully understand something as simple as number theory, then it is certainly too much to expect that science will ever expose any ultimate secret of the universe. Scientists are thus left in a position somewhat like K. in The Castle. {{ http://www.dieterwunderlich.de/Kafka_schloss.htm }} Endlessly we hurry up and down corridors, meeting people, knocking on doors, conducting our investigations. But the ultimate success will never be ours. Nowhere in the castle of science is there a final exit to absolute truth. This seems terribly depressing. But, paradoxically, to understand Gödel's proof is to find a sort of liberation. For many logic students, the final breakthrough to full understanding of the Incompleteness Theorem is practically a conversion experience.
{{Es ist nicht weiter verwunderlich, wenn ein Gödel, der ebenfalls einen logischen "Beweis für die Existenz Gottes" lieferte [s. KB101022 - KB 101024 ] und Fragen zu unendlichen Mengen für ebenso so sinnvoll wie Fragen zur Physik ansah, mit den Konsequenzen des Satzes G zufrieden war, doch ein vom Cantorschen Antidarwinismus [s. KB090622] freier Geist sollte die Konversionserfahrung zu meiden versuchen.}}
[Rudy Rucker: "Infinity and the Mind", Princeton University Press, Princeton (2005), p. 162ff]
1081 Das Kalenderblatt 120520
Das Große noch so sehr erweitert, schwindet zur Unbeträchtlichkeit zusammen; indem es sich auf das Unendliche als auf sein Nichtseyn bezieht, ist der Gegensatz qualitativ; das erweiterte Quantum hat daher dem Unendlichen nichts abgewonnen; dieses ist vor wie nach das Nichtseyn desselben. Oder, die Vergrößerung des Quantums ist keine Näherung zum Unendlichen, denn der Unterschied des Quantums und seiner Unendlichkeit hat wesentlich auch das Moment ein nicht quantitativer Unterschied zu seyn. Es ist nur der ins Engere gebrachte Ausdruck des Widerspruchs; es soll ein Großes d. i. ein Quantum, und unendlich, d. i. kein Quantum seyn. - Eben so das Unendlichkleine ist als Kleines ein Quantum und bleibt daher absolut d. h. qualitativ zu groß für das Unendliche, und ist diesem entgegengesetzt. Es bleibt in beiden der Widerspruch des unendlichen Progresses erhalten, der in ihnen sein Ziel gefunden haben sollte. Diese Unendlichkeit, welche als das Jenseits des Endlichen beharrlich bestimmt ist, ist als die schlechte quantitative Unendlichkeit zu bezeichnen. Sie ist wie die qualitative schlechte Unendlichkeit, das perennirende Herüber- und Hinübergehen von dem einen Gliede des bleibenden Widerspruchs zum andern, von der Grenze zu ihrem Nichtseyn, von diesem aufs neue zurück zu ebenderselben, zur Grenze. Im Progresse des Quantitativen ist das, zu dem fortgegangen wird, zwar nicht ein abstrakt Anderes überhaupt, sondern ein als verschieden gesetztes Quantum; aber es bleibt auf gleiche Weise im Gegensatze gegen seine Negation. Der Progreß ist daher gleichfalls nicht ein Fortgehen und Weiterkommen, sondern ein Wiederholen von einem und eben demselben, Setzen, Aufheben, und Wiedersetzen und Wiederaufheben; eine Ohnmacht des Negativen, dem das, was es aufhebt, durch sein Aufheben selbst als ein Kontinuirliches wiederkehrt. Es sind zwei so zusammengeknüpft, daß sie sich schlechthin fliehen; und indem sie sich fliehen, können sie sich nicht trennen, sondern sind in ihrer gegenseitigen Flucht verknüpft
Anmerkung 1. Die schlechte Unendlichkeit pflegt vornehmlich in der Form des Progresses des Quantitativen ins Unendliche, - dieß fortgehende Ueberfliegen der Grenze, das die Ohnmacht ist, sie aufzuheben, und der perennirende Rückfall in dieselbe, - für etwas Erhabenes und für eine Art von Gottesdienst gehalten zu werden, so wie derselbe in der Philosophie als ein Letztes angesehen worden ist. Dieser Progreß hat vielfach zu Tiraden gedient, die als erhabene Produktionen bewundert worden sind. In der That aber macht diese moderne Erhabenheit nicht den Gegenstand groß, welcher vielmehr entflieht, sondern nur das Subjekt, das so große Quantitäten in sich verschlingt. Die Dürftigkeit dieser subjektiv bleibenden Erhebung, die an der Leiter des Quantitativen hinaufsteigt, thut sich selbst damit kund, daß sie in vergeblicher Arbeit dem unendlichen Ziele nicht näher zu kommen eingesteht, welches zu erreichen freilich ganz anders anzugreifen ist.
Bei folgenden Tiraden dieser Art ist zugleich ausgedrückt, in was solche Erhebung übergeht und aufhört. Kant z. B. führt es als erhaben auf, (Kr. d. prakt. V. Schl.) "wenn das Subjekt mit dem Gedanken sich über den Platz erhebt, den es in der Sinnenwelt einnimmt, und die Verknüpfung ins unendlich Große erweitert, eine Verknüpfung mit Sternen über Sternen, mit Welten über Welten, Systemen über Systemen, überdem noch in grenzenlose Zeiten ihrer periodischen Bewegung, deren Anfang und Fortdauer. - Das Vorstellen erliegt diesem Fortgehen ins Unermeßlich-Ferne, wo die fernste Welt immer noch eine fernere hat, die so weit zurückgeführte Vergangenheit noch eine weitere hinter sich, die noch so weit hinausgeführte Zukunft immer noch eine andere vor sich; der Gedanke erliegt dieser Vorstellung des Unermeßlichen; wie ein Traum, daß einer einen langen Gang immer weiter und unabsehbar weiter fortgehe, ohne ein Ende abzusehen, mit Fallen oder mit Schwindel endet." Diese Darstellung, außerdem daß sie den Inhalt des quantitativen Erhebens in einen Reichthum der Schilderung zusammendrängt, verdient wegen der Wahrhaftigkeit vornehmlich Lob, mit der sie es angiebt, wie es dieser Erhebung am Ende ergeht: der Gedanke erliegt, das Ende ist Fallen und Schwindel. Was den Gedanken erliegen macht, und das Fallen desselben und den Schwindel hervorbringt, ist nichts anderes, als die Langeweile der Wiederholung, welche eine Grenze verschwinden und wieder auftreten und wieder verschwinden, so immer das eine um das andere, und eins im andern, in dem Jenseits das Diesseits, in dem Diesseits das Jenseits perennierend entstehen und vergehen läßt, und nur das Gefühl der Ohnmacht dieses Unendlichen oder dieses Sollens giebt, das über das Endliche Meister werden will und nicht kann.
Auch die hallersche, von Kant sogenannte schauderhafte Beschreibung der Ewigkeit pflegt besonders bewundert zu werden, aber oft gerade nicht wegen derjenigen Seite, die das wahrhafte Verdienst derselben ausmacht:
"Ich häuffe ungeheure Zahlen, Gebürge Millionen auf, Ich setze Zeit auf Zeit, und Welt auf Welt zu Hauf Und wenn ich von der grausen Höh Mit Schwindeln wieder nach dir seh, Ist alle Macht der Zahl, vermehrt zu tausendmalen, Noch nicht ein Theil von dir." "Ich zieh sie ab, und du liegst ganz vor mir."
Wenn auf jenes Aufbürgen und Aufthürmen von Zahlen und Welten als auf eine Beschreibung der Ewigkeit der Werth gelegt wird, so wird übersehen, daß der Dichter selbst dieses sogenannte schauderhafte Hinausgehen für etwas Vergebliches und Hohles erklärt, und daß er damit schließt, daß nur durch das Aufgeben dieses leeren unendlichen Progresses das wahrhafte Unendliche selbst zur Gegenwart vor ihn komme.
Das unendliche Quantum, als Unendlichgroßes oder Unendlichkleines, ist selbst an sich der unendliche Progreß; es ist Quantum als ein Großes oder Kleines, und ist zugleich Nichtseyn des Quantums. Das Unendlichgroße und Unendlichkleine sind daher Bilder der Vorstellung, die bei näherer Betrachtung sich als nichtiger Nebel und Schatten zeigen. […] Das Unendliche, welches im unendlichen Progresse nur die leere Bedeutung eines Nichtsseyns, eines unerreichten, aber gesuchten Jenseits hat, ist in der That nicht anderes als die Qualität.
[G.W.F. Hegel: "Wissenschaft der Logik, I. Die objektive Logik", Duncker und Humblot, Berlin (1833), p. 266ff] http://gutenberg.spiegel.de/buch/1653/57
1082
Das Unendliche, welches im unendlichen Progresse nur die leere Bedeutung eines Nichtsseyns, eines unerreichten, aber gesuchten Jenseits hat, ist in der That nichts Anderes als die Qualität.
Anmerkung 1. Die gewöhnliche Bestimmung des mathematischen Unendlichen ist, daß es eine Größe sey, über welche es, - wenn sie als das Unendlichgroße - keine größere oder, - wenn sie als das Unendlichkleine bestimmt ist - kleinere mehr gebe, oder die, in jenem Falle, größer, in diesem Falle kleiner sey, als jede beliebige Größe. - In dieser Definition ist freilich der wahre Begriff nicht ausgedrückt, vielmehr nur, wie schon bemerkt, derselbe Widerspruch, der im unendlichen Progresse ist;
Von welcher Art nun die Unendlichkeit der Reihe sey, erhellt von selbst; es ist die schlechte Unendlichkeit des Progresses. Die Reihe enthält und stellt den Widerspruch dar, etwas, das ein Verhältniß ist und qualitative Natur in ihm hat, als ein Verhältnißloses, als ein bloßes Quantum, als Anzahl, darzustellen. Die Folge davon ist, daß an der Anzahl, die in der Reihe ausgedrückt ist, immer etwas fehlt, so daß über das, was gesetzt ist, immer hinausgegangen werden muß, um die geforderte Bestimmtheit zu erreichen. Das Gesetz des Fortgangs ist bekannt {{Das ist der springende Punkt. Jede unendliche Reihe in der Mathematik besitzt eine endliche Definition.}}, es liegt in der Bestimmung des Quantums, die im Bruche enthalten ist, und in der Natur der Form, in der sie ausgedrückt werden soll. Die Anzahl kann wohl durch Fortsetzung der Reihe so genau gemacht werden, als man nöthig hat; aber immer bleibt die Darstellung durch sie nur ein Sollen; sie ist mit einem Jenseits behaftet, das nicht aufgehoben werden kann, weil ein auf qualitativer Bestimmtheit beruhendes als Anzahl auszudrücken der bleibende Widerspruch ist.
Der Gedanke kann nicht richtiger bestimmt werden, als Newton ihn gegeben hat. Ich trenne dabei die Bestimmungen ab, die der Vorstellung der Bewegung und der Geschwindigkeit angehören, (von welcher er vornehmlich den Namen Fluxionen nahm), weil der Gedanke hierin nicht in der gehörigen Abstraktion, sondern konkret, vermischt mit außerwesentlichen Formen erscheint. Diese Fluxionen erklärt Newton (Princ. mathem. phil. nat. L. 1. Lemma XI. Schol.) dahin, daß er nicht untheilbare - eine Form, deren sich frühere Mathematiker, Cavalleri und andere, bedienten, und welche den Begriff eines an sich bestimmten Quantums enthält, - verstehe, sondern verschwindende Theilbare. Ferner nicht Summen und Verhältnisse bestimmter Theile, sondern die Grenzen (limites) der Summen, und Verhältnisse. Es werde die Einwendung gemacht, daß verschwindende Größen kein letztes Verhältniß haben, weil es, ehe sie verschwunden, nicht das Letzte, und wenn sie verschwunden, keines mehr ist. Aber unter dem Verhältnisse verschwindender Größen sey das Verhältniß zu verstehen, nicht eh sie verschwinden, und nicht nachher, sondern mit dem sie verschwinden ( "quacum evanescunt“ ). Eben so ist das erste Verhältniß werdender Größen, das mit dem sie werden.
Newton fügt hinzu, daß daraus, daß es letzte Verhältnisse der verschwindenden Größen gebe, nicht zu schließen sey, daß es letzte Größen, Untheilbare, gebe. Dieß wäre nämlich wieder ein Absprung von dem abstrakten Verhältnisse auf solche Seiten desselben, welche für sich außer ihrer Beziehung einen Werth haben sollten, als Untheilbare, als etwas, das ein Eins, ein Verhältnißloses seyn würde.
Gegen jenen Mißverstand erinnert er noch, daß die letzten Verhältnisse nicht Verhältnisse letzter Größen seyen, sondern Grenzen, denen die Verhältnisse der ohne Grenze abnehmenden Größen näher sind als jeder gegebene d. h. endliche Unterschied, welche Grenze sie aber nicht überschreiten, so daß sie Nichts würden.
[G.W.F. Hegel: "Wissenschaft der Logik, I. Die objektive Logik", Duncker und Humblot, Berlin (1833), p. 282ff] http://gutenberg.spiegel.de/buch/1653/58
1083 Das Kalenderblatt 120522
Ich bin der Meinung, daß alle die berührten Schwierigkeiten sich überwinden lassen und daß man zu einer strengen und völlig befriedigenden Begründung des Zahlbegriffes gelangen kann, und zwar durch eine Methode, die ich die axiomatische nennen und deren Grundidee ich im folgenden kurz entwickeln möchte.
Hiermit ist, wie ich glaube, der Grundgedanke, um die Richtigkeit meiner Behauptung zu erkennen, dargelegt. [...] Wegen der so gefundenen Eigenschaft der aufgestellten Axiome erkennen wir, daß dieselben überhaupt nie zu einem Widerspruch führen, und bezeichnen daher die durch dieselben definierten Gedankendinge u, f, f' als widerspruchsfreie Begriffe oder Operationen oder als widerspruchsfrei existierend. [...] Die eben skizzierte Betrachtung bildet den ersten Fall, in dem es gelingt, den direkten Nachweis für die Widerspruchslosigkeit von Axiomen zu führen [...]
Indem wir die bekannten Axiome für die vollständige Induktion in die von mir gewählte Sprache übertragen, gelangen wir in ähnlicher Weise zu der Widerspruchsfreiheit der so vermehrten Axiome, d. h. zum Beweise der widerspruchsfreien Existenz des sogenannten kleinsten Unendlich (d. h. des Ordnungstypus 1, 2, 3, ...). {{Ja, aber damit gewinnen wir lediglich die potentiell unendliche Folge!}} Vgl. meinen auf dem Internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 gehaltenen Vortrag: Mathematische Probleme, 2. Die Widerspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome. {{Vgl. meine KB-Serie dazu (KB120504ff.}}
In gleicher Weise zeigt sich, daß den Grundbegriffen der Cantorschen Mengenlehre, insbesondere den Cantorschen Alefs die widerspruchsfreie Existenz zukommt. {{Diese Schlussformel ist ebenso apodiktisch wie falsch. Wären die Alefs mathematisch sinnvoll, so würden Gödels Beweise stichhaltig sein und damit den Konsistenznachweis für die Widerspruchslosigkeit der axiomatische Methode zunichte machen.}}
[D. Hilbert: "Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik", A. Krazer (Hrsg.), Verh. III. Intern. Math.-Kongr. in Heidelberg 1904, Teubner, Leipzig (1905) 174-185] http://www.mathunion.org/ICM/ICM1904/Main/icm1904.0174.0185.ocr.pdf
The fact that some discrete items might lack a determinate number, this being connected with the possibility of them being given as a complete whole, was, of course, the traditional, Aristotelian point of view, which Intuitionists, more recently, have still held to. But many others now doubt this fact. Is there any way to show that Aristotle was right? I believe there is.
For when discrete items do clearly collect into a further individual, and we have a finite set, then we determine the number in that set by counting. But what process will determine what the number is, in any other case? The newly revealed independence of the Continuum Hypothesis shows there is no way to determine the number in certain well known infinite sets. [...] The key question therefore is: if there is a determinate number of natural numbers, then by what process is it determined? Replacing 'the number of natural numbers' with 'Aleph zero' does not make its reference any more determinate. The natural numbers can be put into one-one correspondence with the even numbers, it is well known, but does that settle that they have the same number? We have equal reason to say that they have a different number, since there are more of them. So can we settle the determinate number in a set of discrete items just by stipulation?
Indeed, if all infinite sets could be put into one-one correspondence with each other, one would be justified in treating the classification 'infinite' as an undifferentiated refusal of numerability. But given Cantor's discovery that there are infinite sets which cannot be put into one-one correspondence with each other, this conclusion is less compelling.
For Dedekind defined infinite sets as those that could be put into one-one correlation with proper subsets of themselves, so the criteria for 'same number' bifurcate: if any two such infinite sets were numerable, then while, because of the correlation, their numbers would be the same, still, because there are items in the one not in the other, their numbers would be different. Hence such 'sets' are not numerable, and one-one correlation does not equate with equal numerosity [...]
[H. Slater: "The Uniform Solution of the Paradoxes" (2004)] http://www.philosophy.uwa.edu.au/about/staff/hartley_slater/publications/the_uniform_solution_o f_the_paradoxes
1084 Das Kalenderblatt 120523
Ich unterscheide in der reinen Mathematik dreierlei Axiome: 1) Die logischen Axiome, die sie mit allen anderen Wissenschaften gemein hat, und die in der formalen Logik, neuerdings im Logikcalcül systematisch behandelt werden. 2) Die physischen Axiome der Mathematik, z. B. die geometrischen Axiome und die Axiome der Mechanik. Sie sind dadurch kenntlich, daß ihnen der Charakter der Nothwendigkeit fehlt, sie können durch andere ersetzt werden (man denke an das Parallelenaxiom Euclid's und die nichteuclidische Geometrie). Ich nenne sie "physische Axiome", weil sie sich auf besondere Naturen beziehen, wie etwa auf Raumdinge, Zeitdinge, Kraftdinge, Massendinge etc. Ausser diesen beiden Arten von Axiomen, existirt noch eine dritte, die bisher unbeachtet geblieben zu sein scheinen, weil sie mehr versteckt sind, als jene. Ich nenne sie die: 3) Metaphysischen Axiome der Mathematik (ich nenne diese Axiome "metaphysisch", weil sie sich auf Dinge überhaupt, gleichviel welche Natur sie haben, beziehen); zu diesen gehören vor Allem die Axiome der Arithmetik, sowohl der endlichen, wie auch der transfiniten Zahlentheorie. Das Axiom der endlichen Zahlentheorie lässt sich kurz so aussprechen: "ede endliche Vielheit ist consistent." [Cantor an Hilbert, 27. 1. 1900]
A: Axioms are not right or wrong. WM: Axioms are required to make mathematics understandable for those who have problems to think without them. Axioms try to simulate mathematics. If they fail to do so, then they are rong. Or what do you believe why Zermelo chose just the axioms he chose? A: What would be significant would be a strong counterexample. WM: Here it is. The set of numbers that can be used in mathematics is countable: Every real number that is a part or the result of a finite calculation belongs to a countable set. Every real umber that is part or the result of an infinite calculation with a finite definition belongs to a ountable set. Every diagonal of a Cantor-list that has a finite definition (such that every line is known) belongs to a countable set. The union of these three sets is a countable set. So, for what purpose does a mathematician need uncountable sets? A: For everyone that thinks the conclusion of the diagonal argument is wrong, please give a function from Ù onto [0,1] or even a function from Ù onto — or a function from any set you like hich is onto its powerset. WM: There is an uncountable set D of devil's numbers. One of them is X with 7 < X < 6. If you deny that, please give a function f from Ù onto D. Otherwise your position is not sensible. A: This situation is exactly like trying to fit a small carpet (x) into a large room (the powerset of x). WM: This carpet is a good example for the set of all finite indices. The set of numbers of the form 0.1 0.11 0.111 ... contains all 1's that are possible at finite positions. The number 0.111... is not among that set. How can it exist if only 1's at finite positions are possible and all are already used? The carpet is too small. [at1with0, "Who's up for a friendly round of debating Cantor's proof?", sci.math, 20. 8. 2011]
Siehe auch: Norman Wildberger: "Logical weakness in modern pure mathematics". http://www.youtube.com/watch?v=JpEd1Mmgggc
1085 Das Kalenderblatt 120524
Robinson ist nach eigenem Zeugnis Formalist. Ich zitiere aus seinem Artikel Formalism 64.
To those who believe that on all matters of principle the correct answers have already been given by one existing school of thought or another, this presents no problem. Personally, I have to admit that I cannot share this optimistic opinion. It seems to me that all points of view that have been put forward as a philosophical basis for Mathematics involve serious gaps and difficulties, including the point of view which I now hold and which I propose to expound in this address. ... My position concerning the foundations of Mathematics is based on the following two main points or principles. (i) Infinite totalities do not exist in any sense of the word (i.e. either really or ideally). More precisley, any mention, or purported mention, of infinite totalities is, literally, meaningless. (ii) Nevertheless, we should continue the business of Mathematics "as usual”, i.e. we should act as if infinite totalities really existed.
Man muß das auf sich wirken lassen, bis man das ganze Ausmaß dieser Deklaration erfaßt. Sie ist von außerordentlicher intellektueller Ehrlichkeit, indem sie das klaffende Loch in einer der für die Mathematik des 20. Jahrhundert wesentlichen Denkrichtungen schonungslos offenlegt und gleichzeitig dazu aufruft, weiterzumachen wie bisher. Er macht aber klar, daß er das Ziel einer Aufklärung nicht aus dem Auge verlieren möchte. Er weist auch darauf hin, daß es in der Logik üblich geworden sei, überabzählbar viele Namen für die Objekte des Objektbereiches zu vergeben, womit die Mengenlehre als metamathematischer Hintergrund akzeptiert wird, was Hilbert’s aufklärerischen Intentionen, diametral zuwiderläuft {{und außerdem nutzlos ist, denn Cantor führte seinen "Beweis" in deutscher Sprache mit endlichen Wörten eines endlichen Alphabets (vgl. KB120305)}}. Man beachte hier die Ähnlichkeit in der rigorosen Zurückweisung aktualer Unendlichkeiten. Der Philosoph Leibniz war in der Mathematik offenbar näher an den Formalisten als z.B. Cantor mit seiner Mengenlehre, der übrigens auch ein philsophisches Interesse und eine substantielle philsophische Ausbildung in seine Mengenlehre einbrachte. Cantor hat die Mengenlehre in einer nicht formalisierten Weise entwickelt, die von Hausdorff und anderen aufgegriffen worden ist, bevor die Axiomatisierung durch Zermelo und Fraenkel vollendet war. Es ist möglich die Mengenlehre (oder zumindest die Theorie der Ordinalzahlen) als eine philosophische Theorie des (transfiniten) Unendlichen in mathematischem Gewand zu sehen. Als formale Theorie erster Stufe ist sie zum Objekt auch für den Formalisten geworden, während der sogenannte "working mathematician” zumindest in seinem Alltag eine informelle Interpretation des Mengenbegriffes vornimmt. Robinson äußert ernste Zweifel daran, daß der Mengenbegriff eine fundamentale mathematische Bedeutung hat und seine Argumente sind von allen Kritikern in der einen oder anderen Form vorgebracht worden.
[Michael Reeken: "C’est une facon de parler" (2008)] http://www2.math.uni-wuppertal.de/~reeken/msp.pdf
"However, this negative attitude towards Cantor's set theory, and toward classical mathematics, of which it is a natural generalization, is by no means a necessary outcome of a closer examination of their foundations, but only the result of a certain philosophical conception of the nature of mathematics, which admits mathematical objects only to the extent in which they are interpretable as our own constructions of our own mind, or at least, can be completely given in mathematical intuition. For someone who considers mathematical objects to exist independently of our constructions and of our having an intuition of them individually, and who requires only that the general mathematical concepts must be sufficiently clear for us to be able to recognize their soundness and the truth of the axioms concerning them, there exists, I believe, a satisfactory foundation of Cantor´s set theory in its whole original extent and meaning." [K. Gödel: "Collected Works II" (1964) OUP/1990, p. 258]
{{Was Gödel aber nicht hinderte, Robinson sehr zu schätzen und ihn als seinen Nachfolger zu favorisieren}}: Meanwhile, he was meeting with Gödel at Princeton, where they discussed their mutual interests in mathematics and logic. Gödel was especially impressed by nonstandard analysis and its potential applications in other parts of mathematics. He had suggested in fact that Robinson come to the Institute for an extended period of time, and even hoped that Robinson might one day be his successor. [Robinson to Gödel, April 14, 1971; Gödel papers #011957, Princeton University archives; cited in Dauben, 1995, p. 458]
1086 Das Kalenderblatt 120525 Cantors Weltbild (39): Giganten
Lassen Sie uns Kürze halber die der zweiten Zahlenclasse angehörigen Wurzeln der Gleichung ωx = x die Giganten der zweiten Zahlenklasse nennen; es fragt sich, auf welche Weise wir uns einen Ueberblick über sämmtliche Giganten, einen Einblick in ihre gesetzmäßige Folge verschaffen. Der kleinste Gigant, wir wollen ihn γ1 nennen ist: γ1 = Li (ω, ω1, ω2, ... ), ω ω1 ω2 wenn ω1 = ω ; ω2 = ω ; ω3 = ω ; ... gesetzt werden. Es kommt nun darauf an, den nächstfolgenden Giganten γ2 und allgemein die wohlgeordnete Menge zweiter Mächtigkeit vom Typus Ω sämmtlicher Giganten der zweiten Z. cl.: γ1, γ2, ... γν, ... γω, γω+1, ... zu characterisiren.
1. Ist α irgend eine Zahl ¥ 1 der ersten oder zweiten Z. cl. und bildet man: α α1 α2 α1 = ω ; α2 = ω ; α3 = ω ; ... so ist, wie leicht zu sehen, die Zahl Li(α, α1, α2,...) stets ein Gigant; wir wollen ihn in seiner Abhängigkeit von α mit G(α) bezeichnen.
2. Ist nun γ irgend ein Gigant, γ' der auf ihn nächstfolgende Gigant und η irgend eine Zahl zwischen beiden, so daß: γ < η < γ', so ist immer: G(η) = γ' Denn man hat wegen γ < η < γ' auch: ωγ < ωη < ωγ' d. h. (da γ und γ' Giganten sind) γ < ωη < γ' η Bezeichnet man also ω mit η1, so ist: γ < η1 < γ'
[....]
8. Folgende Gleichungen: 2 ωx = xω; ωx = xω; ωx2 = x2; ωx = xω haben respective die folgenden Lösungen: x = γ + 1 ; x = γω ; x = γ2 ; x = γω2 wo γ irgend einen Giganten bedeutet und es lässt sich auch beweisen, dass keine anderen Lösungen von ihnen existiren.
[Cantor an Goldscheider, 11. 10. 1886]
{{Leider besitzt seither die einfache und altehrwürdige Gleichung (3) Li(y) = 2x x (in moderner Schreibweise: ¡0 = 2 ) keine Lösung mehr.}} That is questionable from the historical as well as from the mathematical point of view. The historical point is the following. There have been always equations without solutions. One of them was 1 + x = 0 until Leonardo of Pisa introduced negative numbers, another one was 1 + x2 = 0 and it remained so even longer, like negative logarithms and related notions. But it was never heard of, in any branch of mathematics, that an equation which once upon a time had had a solution, later on lost it. Now, in finite mathematics all equations of the form y = 2x have solutions. Before the advent of set theory, equation (3) had a solution too, namely x = ¶. Meanwhile there is no longer any solution at all. This is the only case in history where the set of solutions has shrunk. The mathematical point is that some bijections have become impossible and that variables have to jump over large gaps. There are bijections which are well defined, or at least can be defined, over the whole sequence of natural numbers (so far it exists) like n ¨ 2n and some others [...] Bijections like n ¨ 2n [...], however, are discontinuous. n n ¡0 (4) 2 < ¡0 for n < ¡0 and 2 = 2 > ¡0 for n = ¡0 ¡0 n This bijection is undefined between ¡0 and 2 . There is a gap where n in 2 is neither finite nor infinite. [W. Mückenheim: "The Meaning of Infinity", arXiv, math.GM/061213 (2004)] http://arxiv.org/pdf/math.GM/0403238
Etwas kleinere große Zahlen findet man hier: Norman Wildberger: "Extremely big numbers". http://www.youtube.com/watch?v=wPEYoW0Mj1U&feature=relmfu
1087 Das Kalenderblatt 120526
In what follows we call an initial ordinal number a cardinal number. Thus, if c is an infinite cardinal number then c = ωu = ¡u, for some ordinal number u. A cardinal number m is called accessible if the existence of m can be established (say in the Zermelo-Fraenkel set theory) as a result of addition, multiphcation and exponentiation of cardinals involving cardinal numbers less than m. For instance, the cardinal number 3 is accessible since 3 = 2 + 1. Also, each of the following cardinal numbers ¡0 ¡0 ¡1 (1) ¡ω, ¡ω , ¡ω , ¡ω 1 is accessible. Because, ¡ω = Σi < ω ¡i where each summand as well as the index set is of ¡0 cardinality less than ¡ω. Similarly, ¡ω = Πi<ω ¡i where each factor as well as the index set is of ¡0 cardinality less than ¡ω . [...] On the other hand, for mi < ¡0 we have
(2) Σi (9) Πi On the other hand, in mathematics, the existence of cardinal numbers greater than infinity can easily be disproved: Bedeckt man jede rationale Zahl qn des Einheitsintervalls [0, 1] mit einem -n Intervall In vom Maß 10 , so bleiben mehr als 8/9 des Einheitsintervalls unbedeckt, können aber keine rationale Zahl enthalten. Es kann sich also nur um "Cantor-Staub" handeln - einzelne Partikel, die voneinander durch mindestens eine rationale Zahl und damit durch mindestens ein Intervall In getrennt sind. Staubpartikel sind demnach nicht zahlreicher als Intervallgrenzen. Davon gibt es nur abzählbar viele. Übrigens könnte man diesen Beweis auch "verschärfen", indem mit der Überdeckung aller rationalen Zahlen der gesamten reellen Achse (-¶, ¶) begonnen und statt dem Maß 1/9 das Maß ein Googolplextel gewählt wird. 1088 Das Kalenderblatt 120527 Cantors Pfingstepistel Ich hege keinerlei Zweifel an der Wahrheit des Transfinitum, das ich mit Gottes Hilfe erkannt habe [...] Ich bin zufällig außer in der Mathematik auch in mehreren anderen Wissenschaften ein wenig zu Hause und kann daher Vergleiche in Bezug auf den Grad der objectiven Sicherheit und Gewißheit der Sätze hüben und drüben anstellen; eine sicherere und, wenn dieser Ausdruck gestattet ist, eine gewissere Erkenntnis als von den Sätzen der transfiniten Zahlen- und Typentheorie besitze ich von keinen anderen Gegenständen der geschaffenen Natur. Darum bin ich auch fest überzeugt, daß diese Lehre dereinst Gemeingut der objectiv-gerichteten Wissenschaft werden und im Besonderen von derjenigen Theologie bestätiget werden wird, welche auf die heilige Schrift, Tradition und auf die natürliche Beanlagung des menschlichen Geschlechts sich gründet, welche drei in nothwendiger Harmonie zu einander stehen. Wenn man sich dieses Fundament für die Lehre vom act. Unendlichen wählt, steht man fest und ist, fast möchte ich sagen, spielend imstande, alle seit Jahrtausenden ausgesonnenen Einwände gegen die unendlichen Zahlen abzuweisen und auf ihre Scheingründe zurückzuführen. [...] Wenn man [...] die Form resp. Zahlenspecies einer wohlgeordneten Menge von Dingen (d. h. nach meiner Auffassung u. Redeweise, ihren Ordnungstypus) durch die letzte darin vorkommende Eins bestimmt sein läßt [...] ist es nicht zu verwundern, wenn der Beweis gelingt, die unendlichen Zahlen ohne letztes Element seien keine solche Zahlen (mit letztem Element), folglich überhaupt keine Zahlen (nach diesem beschränkten Zahlbegriff). Haben die Vertreter solcher Lehren Recht, so erscheint es doch höchst überflüssig, daß sie sich in langen Kapiteln mit den Andersdenkenden überhaupt so viel befassen und sich mit dem Nachweis abquälen, es gäbe keine act. unendl. Zahlen; denn dieser Satz würde ja ganz unmittelbar aus ihrem Begriff der Zahl folgen. Haben dieselben aber Unrecht, von so beschränktem einseitigen Zahlbegriff auszugehen, so sind ihre betreffenden Deductionen nichts, als beklagenswerthe Trugschlüsse; und so verhält es sich in der That. Ganz einverstanden bin ich [...] daß alles Endliche (und, ich füge noch hinzu, in noch viel höherem Maaße alles Tansfinite) von den verschiedensten Seiten direct auf das Absolute hinführt, d. h. mit Nothwendigkeit durch dialectischen Vernunftschluß auf das Bestehen des Absoluten schließen läßt, gemäß dem Ausspruch des S. Bonaventura: "Unveränderliche Regeln (des menschlichen Verstandes) wurzeln im ewigen Licht und führen zu ihm." "Könnte Gott, nachdem er eine unendliche Menge z. B. von Steinen oder Engeln hervorgebracht hat, nicht noch andere Engel hervorbringen?" {{fragt Durandus de Sancto Porciano, OP.}} Gewiß kann Er dies, muß hier die Antwort sein. Wenn er daraus weiter schließt: "Also waren die zuerst hervorgebrachten Engel nicht unendlich viele." so ist dieser Schluß grundfalsch, weil die supponirte Menge geschaffener Engel ein Transfinitum ist, das der Vermehrung und Verminderung fähig ist. Sein zweites Argument gegen die unendliche Menge lautet so: "Wenn es eine unendliche Menge gäbe, würde folgen, daß der Teil gleich dem Ganzen ist; denn in so einer Menge wären unendlich viele Paare den Quadrupeln gleich." In der hier gebrauchten Bedeutung ist der Satz: "Das Ganze ist größer als sein Teil" falsch, wie von mir ausführlich in der Abb. "Mittheilungen zur Lehre vom Transfiniten pag. 52-55" gezeigt worden ist. Die einer Menge zukommende Cardinalzahl ist eine accidentale Form derselben, die unter Umständen bei materieller Vermehrung oder Verminderung der Menge, falls letztere actual unendlich ist, sehr wohl dieselbe bleiben kann. Nur bei endlichen Mengen ändert sich dies Form stets bei Vermehrung oder Verminderung der Elemente (d. i. des materiellen Substrats); es versteht sich dies aber auch hier nicht von selbst, sondern kann und muß bewiesen werden. Während das hier Hervorgehobene (daß der Satz "totum majus est sua parte“ in gewissem Sinne falsch ist) in Bezug auf die Substanzialformen allgemein anerkannt ist (beispielweise bleibt die Seele eines lebenden Organismus beim Wachsen oder Abnehmen des Körpers ihrem wesentlichen Sein nach stets dieselbe), scheint man zu glauben, daß es für die accidentalen Formen nicht auch zutreffe. Dieses Vorurtheil ist eben aus der Wahrnehmung entstanden, daß, wie ich soeben hervorhob, bei endlichen Mengen, auf die man allein seine Betrachtungen beschränkt hatte, der Satz "tot. e. majus sua parte“ in Bezug auf die diesen Mengen zukommenden Cardinalzahlformen stets richtig ist; ohne weitere Untersuchung, aber auch ohne jegliche Berechtigung, wurde seine Gültigkeit im bezeichneten Sinne auch auf unendliche Mengen übertragen, und man darf sich daher über die Widersprüche nicht wundern, die aus einer so grundfalschen Voraussetzung sich ergaben. [Georg Cantor: Brief zu Pfingsten 1888 an P. Ignatius Jeiler, OFM {{das bedeutet nicht "Online Football Manager" sondern "Ordo Fratrum Minorum", bezeichnet also den von Franz von Assisi gegründeten Orden}}, Praefect. Coll. S. Bonav., zitiert in C. Tapp: "Kardinalität und Kardinäle: Wissenschaftshistorische Aufarbeitung der Korrespondenz zwischen Georg Cantor und katholischen Theologen seiner Zeit." Boethius Bd. 53, Franz Steiner Verlag (2005) p. 410ff] http://www.steiner-verlag.de/programm/fachbuch/geschichte/universitaets-und- wissenschaftsgeschichte/reihen/view/titel/54670.html 1089 Das Kalenderblatt 120528 ... weil die supponirte Menge geschaffener Engel ein Transfinitum ist, das der Vermehrung und Verminderung fähig ist. [G. Cantor, KB.120527] Während die Gesamtheit der natürlichen Zahlen jedem bekannt ist, werden die meisten Leser des Kalenderblattes über die ähnlich geartete Menge aller Engel nur unzureichende Informationen besitzen. Was läge da näher, als am zweiten Pfingstfeiertage des (bisher) letzten Jahres der Menschheit diese Menge ins allgemeine Bewusstsein zu rücken: Die Gesamtheit der Theologie des Hl. Thomas besteht aus mehren Bänden. In der Wirklichkeit sind es fünf Bände. In der Logik {{auch hier findet man also den grundlegenden Unterschied zwischen Wirklichkeit und Logik wieder bestätigt}} aber hat es der große Theologe in drei unterteilt. Die Engel finden sich in den Fragen: 1. Teil, 50. - 94. Die Engelwelt 50. FRAGE: Vom Wesen der Engel überhaupt 51. FRAGE: Das Verhältnis der Engel zu den Körpern 52. FRAGE: Vom Verhältnis der Engel zum Ort 53. FRAGE: Von der Ortsbewegung der Engel 54. FRAGE: Von der Erkenntnis der Engel 55. FRAGE: Von dem Erkenntnismittel der Engel 56. FRAGE: Über die Erkenntnis der Engel im Bereich der unstofflichen Dinge 57. FRAGE: Von der Erkenntnis der Engel hinsichtlich der stofflichen Dinge 58. FRAGE: Von der Weise des Erkennens der Engel 59. FRAGE: Vom Willen der Engel 60. FRAGE: Von der Liebe oder Zuneigung der Engel 61. FRAGE: Von der Hervorbringung der Engel zum Sein der Natur 62. FRAGE: Von der Vollendung der Engel im Sein der Gnade und Herrlichkeit 63. FRAGE: Von der Schlechtheit der Engel in bezug auf ihre Schuld 64. FRAGE: Von der Strafe der bösen Geister 65. FRAGE, Artikel 3: Sind d. Körperdinge unter Vermittlung d. Engel hervorgebracht? 65. FRAGE, Artikel 4: Sind die Wesensformen der Körper von den Engeln? 75. FRAGE, Artikel 7: Ist die Seele von derselben Art wie der Engel? 88. FRAGE, Artikel 1: Kann die menschliche Seele d. Stofflose durch diese selbst erkennen? 88. FRAGE, Artikel 2: Kann unser Verstand durch Stoffliches das Stofflose erkennen? 90. FRAGE, Artikel 3: Ob die Vernunftseele unmittelbar von Gott hervorgebracht wurde 93. FRAGE, Artikel 3: Ob d. Engel vollkommener ein Ebenbild Gottes ist als d. Mensch 94. FRAGE, Artikel 2: Ob Adam im Unschuldsstande die Engel in ihrem Wesen geschaut hat 1. Teil, 106-114 Von den Engeln in Wirkung auf die Schöpfung 106. FRAGE: Wie ein Geschöpf das andere bewegt 107. FRAGE: Von der Sprache der Engel 108. FRAGE: Von den Stufen der Engel nach Rangfolgen und Chöre 109. FRAGE: Von den Stufenordnungen der bösen Engel 110. FRAGE: Das Walten der Engel über die körperliche Schöpfung 111. FRAGE: Von der Einwirkung der Engel auf den Mensch 112. FRAGE: Von der Sendung der Engel 113. FRAGE: Vom Beschützeramt der guten Engel 114. FRAGE: Von der Anfechtung der bösen Engel 2. Teil, Einzelaspekte der Engel im 1. Teil des 2. Teiles 3. FRAGE, Artikel 7: Ob uns die Erkenntnis der Engel glücklich macht? 89. FRAGE, Artikel 4: Ob ein guter oder schlechte Engel leicht sündigen kann? 98. FRAGE, Artikel 3: Wurde das Alte Gesetz durch Engel gegeben? 2. Teil, Einzelaspekte der Engel im 2. Teil des 2. Teiles 5. FRAGE, Artikel 1: Hatten Engel und Mensch in ihrer ursprünglichen Seinsweise Glauben? 5. FRAGE, Artikel 2: Ist in den gefallenen Engeln (noch) Glaube? 25. FRAGE, Artikel 10: Müssen wir die Engel aus der heiligen Liebe lieben? 25. FRAGE, Artikel 11: Müssen wir die Dämonen aus heiliger Liebe lieben? 172. FRAGE, Artikel 2: Ergeht die prophetische Offenbarung durch Engel? 3. Teil Einzelaspekte der Engel im 3. Teil 8. FRAGE, Artikel 4: Ist Christus als Mensch das Haupt der Engel? 11. FRAGE, Artikel 4: War das eingegossene Wissen Christi geringer als das der Engel? 12 FRAGE, Artikel 4: Hat Christus von den Engeln Wissen empfangen? 30. FRAGE, Artikel 2: Musste der Maria die Botschaft durch einen Engel gebracht werden? 30. FRAGE, Artikel 3: Musste der Engel bei der Verkündigung an Maria sichtbar erscheinen? 36. FRAGE, Artikel 5: Musste die Geburt Christi d. den Engel und den Stern verkündet werden? 59. FRAGE, Artikel 5: Erstreckt sich die richterliche Gewalt Christi auf die Engel? 64. FRAGE, Artikel 7: Können die Engel Sakramente spenden? 80. FRAGE, Artikel 2: Können auch die Engel dieses Sakrament geistig empfangen? Einzelaspekte der Engel in der Ergänzung 16. FRAGE, Artikel 3: Ist der Engel, der gute oder böse, für die Buße empfänglich? 76. FRAGE, Artikel 2: Werden die Engel auf irgendeine Weise zur Auferstehung beitragen? 89. FRAGE, Artikel 3: Müssen die Engel richten? 89. FRAGE, Artikel 4: Vollstrecken die Dämonen ihr Gerichtsurteil an den Verdammten? 95. FRAGE, Artikel 4: Besitzen die Engel Brautgaben? 96. FRAGE, Artikel 9: Gebührt den Engeln ein Siegeszeichen? [Thomas von Aquin: Summa Theologiae] http://www.himmelsboten.de/Engel/KirchL/StThom/Sumtheol.htm Es gibt übrigens 72 Engel (vgl. KB120529): http://www.ucm.ca/de/engellehre/aussprache-der-engelnamen.html 1090 Das Kalenderblatt 120529 Schon lange wird darüber diskutiert, wieviele Engel ES wohl geben mag. In Anbetracht der unüberschaubaren Engelzahl, "weil die supponirte Menge geschaffener Engel ein Transfinitum ist, das der Vermehrung und Verminderung fähig ist" [G. Cantor, KB120527], liegt es nahe, Ordnung in die Himmelsscharen zu bringen, sie zu ordinieren sozusagen. 1. Seraphim Sie sind der ranghöchste Chor der Engel. Sie absorbieren das Licht Gottes und reflektieren es zum nächsten Chor der Engel. Die Seraphim haben sechs Flügel. Zu ihren regierenden Fürsten zählen Seraphiel und Metatron. 2. Cherubim Die machtvollen Cherubim sind der zweithöchste Engelchor. Die Cherubim haben vier Flügel, welche die vier Elemente symbolisieren. 3. Throne Die Throne sind die Engel der Lebensenergie und des kosmischen Willens. 4. Herrschaften Die Herrschaften regeln die Pflichten der unter ihnen stehenden Engelklassen. 5. Mächte Sie regieren alle Naturgesetze und sind von daher auch verantwortlich für alle Wunder, die diese Gesetze brechen. 6. Gewalten Sie halten die Welt im Gleichgewicht und kämpfen fortwährend gegen die Dämonen. 7. Fürstentümer Die Fürstentümer leiten die irdischen Regenten, Führer, Völker, Gemeinschaften {{Also gehört auch er dazu http://www.youtube.com/watch?v=zCAbuUk8bwQ }} 8. Erzengel Die Erzengel sind die Boten Gottes, die den Menschen Botschaften und Verkündigungen bringen. Im Alten Testament und den Apokryphen werden Michael, Gabriel und Rafael als die drei wichtigsten Erzengel erwähnt. 9. Engel Die Engel der letzten Ordnung stehen der Menschheit am nächsten und haben am meisten mit menschlichen Angelegenheiten zu tun. Unser Schicksal können diese Engel nicht beeinflussen und dennoch ... {{vgl. KB 120313}}. [Edna's Engelwelt: "Die Hierarchie der Engel"] http://www.engelwelt.de/engelwelt/engelhierarchie/engelhierarchie.html Die vollständige Namensliste aller 72 Engel findet man hier http://www.lichtsegen.de/strahlen3.htm#kabbalah Die unvollständige Liste von mehr als 1333.306.668 gefallenen Engeln (Stand um 1500): http://www.satanshimmel.de/goetia_siegel.htm bietet Anlass zu zwei interessanten Beobachtungen: 1) Es gibt viel mehr gefallenene Engel als Engel überhaupt. 2) Im Schnitt fällt pro Dekade ein Engel. Doch die Zahl der umgefallenen Engel vermindert die Zahl der ungefallenen Engel nicht. Ein Hinweis auf 72 = ¶. Schon lange wird darüber diskutiert, wieviele Kardinalzahlen ES wohl geben mag. Natürlich unendlich viele. Doch ES könnte sogar noch mehr und noch größere geben. Deren Existenz wird man aber, ebenso wie die der Engel, niemals verifizieren können, denn die Existenz gewisser unerreichbarer Kardinalzahlen impliziert die Existenz eines Modells für ZFC und damit einen Konsistenzbeweis, der nach Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz nur geführt werden könnte, wenn ZFC inkonsistent wäre, was Seraphiel und Gabriel verhüten mögen. Es gibt Nachfolgekardinalzahlen wie 2 = 1+ oder (bei Gültigkeit der Kontinuumhypothese) ¡1 = ¡0+ und Limeskardinalzahlen wie ¡0, den Grenzwert |{1, 2, 3, ...}|. Eine Kardinalzahl K heißt unerreichbar, wenn sie weder durch Addition noch Multiplikation von weniger als K Zahlen z < K und auch nicht durch Potenzierung ab von Zahlen a, b < K gebildet werden kann (vgl. KB 120526) Das gilt zwar schon für 0, (1) und 2, so richtig geht es aber erst mit K = ¡0 = ω los. Haben wir das einmal erreicht, so gelangen wir unter Voraussetzung der verallgemeinerten ¡0 ¡1 Kontinuumhypothese durch Potenzierung zu immer größeren Kardinalzahlen 2 = ¡1, 2 = ¡2 usw. Doch wenn es eine reguläre Kardinalzahl K gibt (eine Kardinalzahl K heißt regulär, wenn sie nicht das Supremum von weniger als K Ordinalzahlen z < K ist; Beispiel: ¡0 ist das Supremum von nicht weniger als unendlich vielen endlichen Zahlen), die auf diesem Wege niemals erreichbar ist, weil für alle z < K gilt 2z < K, dann nennt man sie (stark) unerreichbar, und man kann nur an sie glauben oder ihre Existenz "per Axiom beweisen". Doch muss ES unendlich viele unerreichbare Kardinalzahlen geben, denn ohne sie wäre W, die Menge aller Mengen (political correctness gebietet an dieser Stelle die gschamigere Bezeichnung "Klasse" - gemeint ist jedenfalls eine irgendwie geartete Kollektion "mit allem", wie man bei der Pizza sagen würde) - wäre also diese Unmenge angesichts ihrer Nichtexistenz doch zu leicht erreichbar. Jede Aussage nämlich, mit der sie eindeutig beschrieben werden könnte, die also auf W zutrifft, muss bereits für eine kleinere Ordinalzahl gelten. Sonst wäre W ja definiert, somit existent und ein Widerspruch vorhanden. Die Bezeichnung "Menge aller Mengen" bildet eine Ausnahme. Sie trifft natürlich auf keine kleinere Menge als W zu - aber diese Bezeichnung wird als ungültig disqualifiziert. {{So vermeiden wir wieder einen Widerspruch.}} Hier nun die Himmelsleiter in Stichworten: 1) Unerreichbare KZ ¡θ = θ, ist die erste reguläre Kardinalzahl nach ¡0 2) Mahlo-KZ Stark unerreichbar, 1911 von Mahlo erfunden. 3) Schwach kompakte KZ Eine schwach kompakte Kardinalzahl ist stark unerreichbar und in jedem Falle eine Mahlo- Kardinalzahl, unter der es unendlich viele weitere Mahlo-Kardinalzahlen geben muss. 4) Unbeschreibbare KZ Bleiben weitgehend unbeschrieben, liegen aber zwischen schwach kompakten und meßbaren KZ, wodurch eine Beschreibung der Unbeschreiblichen erfolgte. 5) Meßbare KZ Die von Ulam 1930 erfundenen messbaren KZ sind reguläre, stark unerreichbare Limeskardinalzahlen. Ihre große Bedeutung wurde erst 1960 erkannt. 6) Woodin-KZ Für jedes n œ Ù gibt es eine Maus mit n Woodinschen Kardinalzahlen. 7) Superkompakte KZ Sind übermäßig kompakt, entartete Matherie sozusagen. 8) Riesige KZ (Das ist allerdings eine etwas phantasielose Bezeichnung.) 9) W-erweiterbare KZ Sie sind beweisbar inkonsistent: Falls W ein Modell für ZFC ist, können sie gar nicht existieren. Deswegen erheben sich ernsthafte Zweifel an ihrer Existenz. Andere meinen, dass dies nun aber endlich die allergrößten KZ sein müssten, auf die nichts mehr folgt. Nach mathelogischen Maßstäben ist die alternative Bezeichnung erweiterbare KZ also angemessen. Die KZ der letzten Ordnung stehen den Menschen am fernsten - mit Ausnahme der Cardinals at Giants Stadium: http://www.azcardinals.com/news-and-events/article-1/Cardinals-Notch-A-Giant-Win/e5845b6f- 264e-4987-968f-c72fc8fd358f {{Weitere Kardinalzahlen finden sich in KB 091217 oder hier http://peter-ripota.de/mathe/transfinitezahl-de-474.html mit extrembeinahekreativen Namenskonstruktionen wie extremunbeschreibbar oder superbeinaheriesig und auch hier, http://www.catholic-pages.com/hierarchy/cardinals.asp wo festgestellt wird, dass}} Cardinals who had reached the age of 80 could not enter into conclave, and that the number of electors could not go beyond 120. Pope John Paul II continued this limitation [...] However, in the 2001 Consistory and again in 2003, the Holy Father ignored the limit he had set and appointed a large number of Cardinals, taking the number of Cardinals under 80 (and therefore eligible to vote) to 137 {{den Fastbeinahewert der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante. Sollte das kein deutlicher Hinweis auf Mohamed El Naschies fractal space-time sein? (s. KB120422)}}. Es ist tatsächlich kein Widerspruch, denn zum Zeitpunkt des letzten Konklaves (2005) waren nur 117 Kardinäle wahlberechtigt, von denen 115 tatsächlich teilnahmen. http://de.wikipedia.org/wiki/Konklave_2005 Die katholische Kirche ist demnach noch widerspruchsfreier als die transfinite Mengenlehre - und einen größeren Gläubigenkreis besitzt sie auch. 1091 Das Kalenderblatt 120530 All rational numbers of the unit interval [0, 1] can be covered by countably many intervals, such that the n-th rational is covered by an interval of measure 1/10n. There remain countably many complementary intervals of measure 8/9 in total. Does each of the complementary intervals contain only one irrational number? Then there would be only countably many which could be covered by another set of countably many intervals of measure 1/9. My question: Can this contradiction be formalized in ZFC? [user31686, 15. 4. 2012] http://math.stackexchange.com/questions/132022/formalizing-an-idea/150674#150674 It has been mentioned already that the irrationals ξα of the set Ξ of the remaining part of measure 8/9 (or more), that is not covered by your intervals, form a totally disconnected space, so called "Cantor dust". Every particle ξα œ Ξ is separated from every other particle ξβ œ Ξ by at least one rational qn, and, as every qn is covered by an interval In, it is separated by at least one interval In. Since the end points an and bn of the In are rational numbers too, also being covered by their own intervals, the particles of Cantor dust can only be limits of infinite sequences (an) or (bn) of endpoints of overlapping intervals In. (If they don't overlap, then the limits must come earlier, but in any case infinitely many endpoints are required to form a limit.) Such an infinite set of overlapping intervals is called a cluster. In principle, given a fixed enumeration of the rationals, we can calculate every cluster Ck and the limits of its union. Since two clusters are disjoint (by their limits), there are only countably many clusters (disjoint subsets of the countable set of intervals In). Therefore, every irrational ξα can be put in bijection with the cluster lying right of it, say, between ξα and its next right neighbour ξβ. (Note that there is no next irrational to ξα but there is a next right ξβ œ Ξ to ξα.) So, by this bijection we prove that the set of uncovered irrational numbers ξα œ Ξ is countable. [Stentor Schicklgruber, StackExchange (2012)] http://math.stackexchange.com/users/32353/stentor-schicklgruber Let all rational numbers qn of the interval (0,¶) be covered by intervals In =[sn, tn] of measure −n |In| = 2 , such that qn is the center of In. Then there remain uncountably many irrational numbers as uncovered "Cantor dust". Every uncovered irrational xα must be separated from every uncovered irrational xβ by at least one rational, hence by at least one interval In covering that rational. But as the end points sn and tn of the In also are rational numbers and also are covered by their own intervals, the irrationals xα can only be limits of infinite sequences (sn) or (tn) of endpoints of overlapping intervals In. In principle we can calculate the limit xα of every such sequence (sn) or (tn) of endpoints of overlapping intervals. Therefore, every irrational xα can be put in bijection with the infinite set of intervals lying right of it, say, between xα and its right neighbour xβ. There are countably many disjoint sets like {t | t œ (tn)} of elements of the sequences (tn) converging to one of the xα. By this bijection we get a countable set of not covered irrational numbers xα. Where are the other irrational numbers that are not covered by intervals In? Nowhere. Uncountability is contradicted. [Quidquid pro quo, MathOverflow (2012)] http://mathoverflow.net/users/24011/quidquid-pro-quo 1092 Das Kalenderblatt 120531 Wir können die geschlossenen Intervalle, die sich von 0 bis 1 - 1/n erstrecken A(n) = [0, 1-1/n] = {x in — | 0 § x § 1-1/n}, mit den endlichen Anfangsabschnitten der natürlichen Zahlenfolge vergleichen. Die Vereinigung aller Intervalle ist dann das offene Intervall [0, 1) = {x in — | 0 § x < 1}, denn jeder Stammbruch 1/n einer natürlichen Zahl n, ist in einem Intervall enthalten. Die aktual unendliche Menge aller natürlichen Zahlen würde aber dem geschlossenen Intervall A(ω) = [0, 1] entsprechen, denn dieses Intervall ist das einzige geschlossene Intervall, das alle Intervalle A(n) umfasst (und auf den nicht kontinuierlich verteilten natürlichen Zahlen gibt es überhaupt kein offenes Intervall). Aber A(ω) ist nicht deren Vereinigung, sondern mehr als das, denn es enthält außerdem den Punkt x = 1, den keines der Intervalle A(n) zur Vereinigung beiträgt. Eine alternative Darstellung ist die Liste 0,9 0,99 0,999 ... Keine Zeile enthält 1 = 0,999... Die steht an keiner endlichen Stelle, sondern allenfalls an der Stelle ω. Die Grelling-Nelson-Antinomie ist ein semantisches Paradoxon, das 1908 von Kurt Grelling und Leonard Nelson als Variante der Russellschen Antinomie formuliert wurde. [K. Grelling, L. Nelson: "Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell und Burali-Forti", Abh. der Fries’schen Schule II, Göttingen (1908) p. 301-334] Grelling und Nelson gehen bei der Bildung ihrer Antinomie davon aus, dass jede Klasse durch ein Merkmal definiert ist, das ein Wort bezeichnet. Zum Beispiel bezeichnet das Wort „einsilbig“ das Merkmal der Klasse aller einsilbigen Wörter. Sie zerlegen dann die Wörter in zwei Klassen, die folgendermaßen definiert sind: Ein autologisches Wort besitzt selbst das Merkmal, das es bezeichnet, ein heterologisches Wort dagegen nicht. Die Wörter "deutsch“ oder "dreisilbig“ sind autologisch, denn "deutsch“ ist ein deutsches Wort und "dreisilbig“ ein dreisilbiges Wort. Die meisten Wörter sind aber heterologisch, zum Beispiel "englisch“ und "einsilbig“, denn "englisch“ ist kein englisches Wort und "einsilbig“ kein einsilbiges Wort. Dagegen scheitert der Versuch, das Wort "heterologisch“ in diese beiden Klassen einzuordnen, an einem Widerspruch: Angenommen "heterologisch“ ist ein autologisches Wort, dann ist es laut Definition ein heterologisches Wort im Widerspruch zur Annahme. Angenommen es trifft das Gegenteil zu und "heterologisch“ ist ein heterologisches Wort, dann ist es laut Definition kein heterologisches Wort, also ist es autologisch im Widerspruch zur Annahme. Grelling und Nelson übertrugen in ihrer Antinomie die Russellsche Antinomie auf die Sprachebene, indem sie jeder Klasse ein Wort als Namen zuordneten durch eine umkehrbar eindeutige Funktion; dabei entspricht der Russellschen Klasse die Klasse der heterologischen Wörter [...] Daher ist die Lösung der Grelling-Nelson-Antinomie völlig parallel zur Lösung der Russellschen Antinomie: Man kann beweisen, dass die Klasse aller heterologischen Wörter keine Menge ist, sondern eine sogenannte echte Klasse. Die Grelling-Nelson-Antinomie hat damit folgende logische Konsequenz: Da jede übliche Sprache durch eine Wortmenge über einem Alphabet beschrieben werden kann, bedeutet sie, dass nicht alle Klassen durch ein Wort benannt werden können. Dazu wäre eine echte Klasse von Wörtern nötig, die mit einem endlichen Alphabet nicht erzeugt werden kann. http://www.hyperkommunikation.ch/lexikon/heterologie.htm Nein, mit einer Klasse hat das überhaupt nichts zu tun. Die Heterologie oder Homologie des Wortes "heterologisch" sind genau so alogisches Bestimmungen wie die Menge aller roten Mützen, die nicht rot sind oder die Abbildung eines Elementes auf eine Menge die nur Elemente enthält, die nicht auf sie enthaltende Mengen abgebildet werden oder eine fertige unendliche nicht konvergierende Folge wie 1, 2, 1, 2, 1, 2, ... oder jede andere Cantorsche Diagonalzahl. 1093 Das Kalenderblatt 120601 Nachdem ich verschiedenes Material über Ansichten zum Unendlichen gesammelt hatte, habe ich eine Vorlesung zu dem Thema zu halten beschlossen; das ist auch ein probates Mittel zur Klärung eigener Gedanken. Zum einen zwingt es dazu, das Material zu ordnen, und erlaubt weiterhin, es an den Fragen der Studenten weiterzuentwickeln. Zu dieser Vorlesung habe ich ein Skriptum verfaßt. Im Juni war ich damit ziemlich fertig, hatte nur noch ein paar abschließende Worte zu formulieren. In allen Bereichen hatte ich das aktual Unendliche (das ich für die widersinnigste Idee halte, die je in die Wissenschaft Einlaß gefunden hat) ausschließen oder zumindest als sehr unwahrscheinlich erkennen können, mit Ausnahme der Irrationalzahlen und insbesondere der transzendenten Zahlen, die ja im Gegensatz zu allen anderen schon bei ihrer Erzeugung (durch Reihen = Polynome unendlichen Grades) des aktual Unendlichen bedürfen. Um diese Zeit kam mir dann langsam - die Erkenntnis, daß irrationale Zahlen gar nicht existieren können. Cantor hat davon gesprochen, daß seine transfiniten Zahlen mit den endlichen Irrationalzahlen stehen und fallen. Nun waren beide gefallen. Damit ist Ihre letzte Frage bereits beantwortet: Als ich meinen im Vortrag benutzten Beweis verfaßte, in den Grundzügen bereits im Mai vergangenen Jahres, hatte ich über die mangelhafte Existenz der irrationalen Zahlen noch gar nicht nachgedacht. Ich wußte damals lediglich, daß zwischen zwei reellen Zahlen immer eine rationale Zahl liegen muß, so genau man auch hinschaut. Daraus folgt m. E., daß es nicht mehr irrationale als rationale geben kann. Denn wie weit man auch ins unendlich Kleine vordringt, es bietet sich immer wieder dasselbe Bild. Das ist wie bei einem Fraktal. Jedenfalls gibt es keine Chance, daß sich mehr irrationale Zahlen als rationale irgendwie einmogeln könnten. Ich habe diesen Beweis einigen Mathematikern und Logikern mitgeteilt und bin natürlich nur auf Ablehnung gestoßen. Das Erstaunliche daran war allerdings, daß die Ablehnung jeweils anders begründet wurde. Da gab es, von "führenden deutschen und amerikanischen" Mengenlehrern die Aussage, daß mir die Indizes zur Numerierung der Rationalzahlen ausgehen könnten, oder daß ich nicht mehr in der Lage sei, die Zahlen zu unterscheiden, wenn ich "ins Unendliche käme". Ich habe meinen Beweis daher verbessert; indem ich schon mit der vollständig indizierten Menge rationaler Zahlen beginne, ist das erste Argument entkräftet. Ich habe Cantors Beweis eingeflochten, um zu zeigen, daß ich immer in der Lage bleibe, die Zahlen zu unterscheiden. Zuletzt nun sind mir die Omegazahlen entgegengehalten worden. Weil ich aber für meinen Beweis die Wohlordnung der Irrationalzahlen nicht unbedingt benötige (wenn sie den Beweis auch etwas vereinfachen) kann ich auch diesem Einwand begegnen. Darum bin ich weiterhin auf der Suche nach stichhaltigen Argumenten gegen meinen Beweis, der natürlich nur unter der Annahme der Existenz von Irrationalzahlen sinnvoll ist, dessen Gültigkeit vom Standpunkt der ML mich aber trotzdem interessiert. Meines Wissens gibt es vier Definitionsmöglichkeiten für Irrationalzahlen (IZ). (1) Dedekinds Schnitte (1872), die eine Möglichkeit bieten, IZ aufzufinden oder zu schaffen, wie Dedekind sich ausdrückt. (2) Grenzwerte von Folgen, eine Methode, die ich früher immer Cauchy zugeschrieben habe, die aber Cantor auch für sich in Anspruch nimmt. Er sagt zu recht: "Hier ist in erster Linie die Theorie der irrationalen Zahlgrößen anzuführen, deren Begründung nicht durchführbar ist, ohne daß das A.-U. in irgendeiner Form herangezogen wird." Und weiter: "Ich habe mich dazu schon früher (Math. Ann. Bd. 5, S. 123) besonderer aktual-unendlicher Mengen rationaler Zahlen bedient, welche ich Fundamentalreihen nenne. Herr E. Heine ist mir darin gefolgt (Crelles Journ. Bd. 74, S. 172); seine Abweichungen beziehen sich nur auf die Ausdrucksweise, in der Sache stimmt er mit mir ganz überein. Ich erwähne hier den eigentümlichen, meines Erachtens rückschrittlichen Versuch des Herrn Molk (Acta math. t. VI), die irrationalen Zahlen gänzlich aus dem Gebiet der höheren Arithmetik zu vertreiben; Herr Kronecker geht sogar noch weiter und will diese Zahlen auch in der Funktionentheorie nicht dulden, aus welcher er sie durch höchst künstliche Subsidiaritätstheorien zu verdrängen sucht; es bleibt abzuwarten, welchen Erfolg und welche Dauer diese unnötigen Bemühungen haben werden." Im Gegensatz zu Ihnen erkennt Cantor aber an, daß der Grenzwert ◊3 keine Zahl, sondern lediglich ein Symbol ist, das erst durch die Folge Bedeutung gewinnt: "... während offenbar ◊3 nichts anderes ist als eine Umschreibung der aufgeworfenen Frage: eine Zahl zu suchen, deren Quadrat 3 ist. ◊3 ist also nur ein Zeichen für eine Zahl, welche erst noch gefunden werden soll, nicht aber deren Definition. Letztere wird jedoch in meiner Weise etwa durch (1,7, 1,73, 1,732, ...) befriedigend gegeben. Cantor hatte noch das Recht, die Reihe unendlich weit fortgesetzt zu denken, weil er von der unendlichen Menge von Monaden in jedem Volumen des Universums ausging. Dieses Recht aber existiert inzwischen nicht mehr. (3) Über Weierstraß' Theorie ist mir wenig bekannt. Es soll Darstellungen von Kosak (1872) und Mittag-Leffler geben, die ich aber nicht gelesen habe. Da Cantor Weierstraß' Schüler war, gehe ich davon aus, daß die Theorien sich nicht sehr stark voneinander unterscheiden. (4) Schließlich hat man noch die Intervallschachtelung, wie sie z. B. in H. Bachmann: "Transfinite Zahlen", Springer, Berlin (1967) und in vielen Lehrbüchern für die Schulen dargestellt wird und wohl allgemein bekannt ist. Im Grunde ist diese Methode nicht sehr von der Cauchy-Cantorschen verschieden, da die Intervallgrenzen ebenfalls monotone, beschränkte und damit konvergente Folgen darstellen. Gegenüber der Dedekindschen haben alle anderen Theorien den Nachteil, daß sie für jede Zahl unendlich viele Darstellungen liefern. Deshalb lehre ich diese als letztes Axiom der reellen Zahlen ohne Kommentar. Mit den Problemen, die sich aus der mangelhaften Unendlichkeit ergeben, möchte ich ja meine Studenten, die keine Mathematiker werden wollen, nicht belasten. Sie können nun behaupten: Wenn ich Dedekind als Axiom betrachte, dann gibt es die entsprechenden Zahlen. Punkt. Ich bin mathe-realistischer eingestellt. Wenn ich die Wurzel aus meinem Schreibtisch axiomatisiere, so existiert sie trotzdem nicht, weder in der Realität, noch in irgendeinem ideellen mathematischen Universum. Gruß, WM [WM, "Hat Cantor doch geirrt?", de.sci.mathematik, 22.10. 2004] 1094 Das Kalenderblatt 120602 We have, it is true, a clear idea of division, as often as we think of it; but thereby we have no more a clear idea of infinite parts in matter, than we have a clear idea of an infinite number, by being able still to add new numbers to any assigned numbers we have: endless divisibility giving us no more a clear and distinct idea of actually infinite parts, than endless addibility (if I may so speak) gives us a clear and distinct idea of an actually infinite number; they both being only in a power still of increasing the number, be it already as great as it will. So that of what remains to be added (wherein consists the infinity) we have but an obscure, imperfect, and confused idea, from or about which we can argue or reason with no certainty or clearness, no more than we can in arithmetic, about a number of which we have no such distinct idea as we have of 4 or 100; but only this relative obscure one, that compared to any other, it is still bigger: and we have no more a clear positive idea of it when we say or conceive it is bigger, or more than 400,000,000, than if we should say it is bigger than 40, or 4; 400,000,000 having no nearer a proportion to the end of addition, or number, than 4. For he that adds only 4 to 4, and so proceeds, shall as soon come to the end of all addition, as he that adds 400,000,000 to 400,000,000. And so likewise in eternity, he that has an idea of but four years, has as much a positive complete idea of eternity, as he that has one of 400,000,000 of years: for what remains of eternity beyond either of these two numbers of years is as clear to the one as the other; i. e. neither of them has any clear positive idea of it at all. For he that adds only four years to 4, and so on, shall as soon reach eternity, as he that adds 400,000,000 of years, and so on; or, if he please, doubles the increase as often as he will: the remaining abyss being still as far beyond the end of all these progressions, as it is from the length of a day or an hour. For nothing finite bears any proportion to infinite; and therefore our ideas, which are all finite, cannot bear any. Thus it is also in our idea of extension, when we increase it by addition, as well as when we diminish it by division, and would enlarge our thoughts to infinite space. After a few doublings of those ideas of extension, which are the largest we are accustomed to have, we lose the clear distinct idea of that space: it becomes a confusedly great one, with a surplus of still greater; about which, when we would argue or reason, we shall always find ourselves at a loss; confused ideas in our arguings and deductions from that part of them which is confused always leading us into confusion. [J. Locke: "The Works of John Locke in Nine Volumes", 12th ed., Vol. 1. Chapter XXIX, §16: "Of Clear and Obscure, Distinct and Confused Ideas", Rivington, London (1824)] http://oll.libertyfund.org/title/761/80774/1923786 1. Finite cannot comprehend, contain, the Infinite. - Yet an inch or minute, say, are finites, and are divisible ad infinitum, that is, their terminated division incogitable. 2. Infinite cannot be terminated or begun. - Yet eternity ab ante ends now; and eternity a post begins now. So apply to Space. 3. There cannot be two infinite maxima. - Yet eternity ab ante and a post are two infinite maxima of time. 4. Infinite maximum if cut in two, the halves cannot be each infinite, for nothing can be greater than infinite, and thus they could not be parts; nor finite, for thus two finite halves would make an infinite whole. 5. What contains infinite quantities (extensions, protensions, intensions) cannot be passed through, - come to an end. An inch, a minute, a degree contains these; ergo, &c. Take a minute. This contains an infinitude of protended quantities, which must follow one after another; but an infinite series of successive protensions can, ex termino, never be ended; ergo, &c. 6. An infinite maximum cannot but be all-inclusive. Time ab ante and a post infinite and exclusive of each other; ergo, &c. 7. An infinite number of quantities must make up either an infinite or a finite whole. I. The former. - But an inch, a minute, a degree, contain each an infinite number of quantities; therefore an inch, a minute, a degree, are each infinite wholes; which is absurd. II. The latter. - An infinite number of quantities would thus make up a finite quantity, which is equally absurd. [John Stuart Mill: "An Examination of William Hamilton’s Philosophy", The Collected Works of John Stuart Mill, Volume IX, CHAPTER XXIV: "Of Some Natural Prejudices Countenanced by Sir William Hamilton, and Some Fallacies Which He Considers Insoluble" (1865), John M. Robson (ed.), Routledge and Kegan Paul, London (1979)] http://oll.libertyfund.org/?option=com_staticxt&staticfile=show.php%3Ftitle=240&chapter=40898 &layout=html#a_761210 1095 Das Kalenderblatt 120603 We should not say that the least number not definable in less than 19 words is 'definable' in less than 19 words [...] Of course one could replace 'definable' in the phrase with a bare 'referrable to' and then it might seem that the paradox would reappear in another guise: the least number not referrable to in 19 words is clearly referrable to in less than 19 words. But now Donnellan's Distinction comes into its own: for there is no paradox in the man with martini in his glass having no martini in his glass - once one appreciates the difference between reference and attribution. [H. Slater: "The Uniform Solution of the Paradoxes" (2004)] http://www.philosophy.uwa.edu.au/about/staff/hartley_slater/publications/the_uniform_solution_o f_the_paradoxes The Liar paradox [...] does not mention totalities at all. Russell held there to be a common cause of, and solution to, all the paradoxes of self-reference. He therefore had to manipulate the Liar paradox into a form where the theory of orders could be applied to it. He did this by parsing the Liar sentence as: there is a proposition that I am affirming and that is false, i.e., ∃p(I assert p and p is false). If the quantifier in this proposition has order i, it, itself, is of order i+1, and so does not fall within the scope of the quantifier. This breaks the argument to contradiction. Russell's parsing, by insisting that the self-reference involved be obtained by quantification, strikes one as totally artificial. For a start, the Liar does not have to be asserted to generate a contradiction. But, more fundamentally, the self-reference required may be obtained by ways other than quantification, for example, by a demonstrative: this proposition (or sentence) is false Notoriously, some 40 years after Tarski's proposal, there is no evidence to show that English is a hierarchy of metalanguages - indeed, there is evidence to show that it is not. Nor is there any reason to suppose that the extensions of words like "true" are context-dependent, in the way that, for example "past" is. [...] It is certainly true that the domains of some quantifiers are contextually determined ("everyone has had lunch"); but, equally, those of others are not ("every natural number is odd or even"), and Parsons gives no reason independent of the paradoxes to suppose that the quantifiers in question are context-dependent. Finally, the claim that different sentences of the same non-indexical type can have different truth values is patently ad hoc. Tarski obtains the fact that the Liar sentence at level n is true at level n+1, and not at level n, purely by definition: the way the hierarchy is defined, the sentence just is a sentence of level n+1, and not n. But, unless this is pure legerdemain, the question remains as to why things should be defined in this way. Thirdly, and crucially, the parameterisation does not avoid the paradox, merely relocates it. [...] Suppose that this is true in some context/ tokening, then it follows that it is not true in that context/tokening. Hence it is true in no contex/tokening. I.e., it is true in this context/tokening, and so in some context/tokening. There are a few ways that one might try to avoid this conclusion. The first is to claim that ϕ* cannot be defined, since one cannot legitimately quantify into the parametric place. This is not only false, it is selfrefuting (if one wishes to be consistent {{sollte das in diesem Kontext tatsächlich jemand wünschen?}}): even to explain the view that ϕ is parameterised one needs to say that things can be ϕ in some respect, and not others, and hence quantify into the parametric place. Another possible suggestion is to attack the proof that δ is a diagonaliser with respect to ϕ*. [...] Exactly how plausible this is, depends on the paradox and the understanding of the parameter. It may not be implausible to suppose, for example, that every natural number is definable in less than 99 words in some context. But it is most implausible to suppose that every ordinal is definable in some context, at least if a context is anything that humanly accessible. [...] A third possibility is to deny Closure, possibly on the ground that δ(Ω*) does not exist. This, however, brings other, and familiar, problems. For the very solutions offered always provide the wherewithal to construct δ(Ω*) and demonstrate that it is ϕ "in some sense". (For example, the least ordinal definable in no context is defined in this context; and "this sentence is not true in any laguage in the Tarski hierarchy" is a true statement of some language.) But now we are faced with a choice: either this sense is one of the parameters, and hence we have a contradiction; or it is not, and since we had enumerated all possible parameters, this fact is not expressible at all: it follows that the solutions themselves are beyond the limit of the expressible. [...] parameterisation is less of a solution to the contradictions at the limit of thought than a manifestation of them. [G. Priest: "Beyond the Limits of Thought", Clarendon Press, Oxford (2006) pp. 143, 153ff] 1096 Das Kalenderblatt 120604 I use the symbol Ω to stand for the end of the path, the last ordinal, the Absolute Infinite, "that than which no greater can be conceived." If Ω is really the greatest ordinal, then the collection of all the steps or ordinals before Ω is just On, the class of all ordinals. Ω exists as a single meaningful concept exactly to the extent that all the ordinals exist together in a single unified entity. But this seems to be a rather small "extent". For if Ω exists as a single definite step attainable by repeatedly taking the next step," then Ω is an ordinal, which means that Ω < Ω, since every ordinal is less than Ω. But no ordinal can be less than itself (since you can never "count up to" something if you have to count up to it before you can count up to it). Another way of putting this is to say that On cannot be a set, since there are so many ordinals that it is irnpossible in principle that they could ever exist together in a single unified entity. So there is certainly a strong sense in which Ω is not really an ordinal and On is not really a unified colletion. But yet, but yet ... I am able to throw around the symbols "Ω" and "On" pretty casually, and on the face of it, it seems to make sense to say "Ω has such-and-such a property" (indeed, I just finished saying "Ω is not really an ordinal"). Why not just go ahead and talk about Ω as if it existed as a single defined object, as a sort of imaginary ordinal. Strictly speaking, Ω is not an ordinnal because it is too big, but it turns out that most of the kinds of things that we say about ordinals seem meaningful when they are said about Ω. Talking about Ω is an extremely useful and productive thing for set theorists to do. Georg Cantor, the founder of set theory, had quite a lot to say about Ω; and in the last ten or fifteen years this type of discussion has again become respectable. The fact that set theorists are able to talk meaningfully about Ω is a bit surprising, since Ω does not (strictly speaking) exist. The problem of how we do talk about such inconceivable things as the Absolute Infinite is an extremely deep and beautiful question in the foundations of set theory. But it is better just to go ahead and start talking about Ω here, leaving aside a deeper analysis of how this is done. Let me only remark that this question is really another variation of the One-Many problem. As ungraspable Absolute, Ω is Many, yet as a single guiding idea it is One. [...] We know that there are uncountably many subsets of ω; but we are tempted to believe that insofar as a finitely conceivable property of natural numbers has a finite description, there are only countably many such properties, leading to the conclusion that not every set of natural numbers corresponds to some finitely conceivable property of natural numbers. So why should every X Œ Ω correspond to some conceivable property or ordinals? There are two responses. First of all, it is really not so evident that there are indeed only countably many finitely conceivable properties of natural numbers. The whole issue of whether or not there are more properties than there are sets is quite complex [...]. Secondly, one must realize that Ω really is different from any set-sized ordinal. Although we can talk of Ω, it is not really a single finished thing, so one should not expect that there will automatically be a whole lot of subclasses of Ω. If Ω is so big that it can never be thought of as finished, then one cannot really talk about randomly picking out Ω ordinals. Instead, one must accept that a subclass of Ω exists only if there is some conceivable property to hold it together. So, if you swallow that, then you can go ahead and say that Ω is measurable, where a class of ordinals is thought of as big, dense, or nodal iff this class corresponds to a property of ordinals that is enjoyed by Ω. The mode of thought employed here (where Ω is thought of one minute as a Many, as a bare concept, and is thought of the next minute as a One, as an object that may or may not have a certain property) is a bit odd, and perhaps even a little shady. Although I find it intelligible, it seems reasonable to call this type of talk doubletalk. [Rudy Rucker: "Infinity and the Mind", Princeton University Press, Princeton (2005), pp. 253f, 264] Eine klassische Matheologie-Predigt. Zur gesunden Balance empfehle ich: Norman Wildberger: "Why infinite sets don't exist": http://www.youtube.com/watch?v=XKy_VTBq0yk&feature=relmfu 1097 Das Kalenderblatt 120605 sb: Das Diagonalenargument verstehe ich so, daß immer ein Quadrat betrachtet wird, weil die Anzahl der betrachteten Spalten mit der Anzahl der betrachteten Zeilen gleichgesetzt wird, was wohl mit der Bijektivität der geforderten Abbildung zusammenhängt. Aber obige Abbildung ist surjektiv, was für die Gleichmächtigkeit der beiden Mengen — und Ù reichen sollte, und die Anzahl der zu betrachtenden Zeilen n ist klar durch die Anzahl der Spalten m durch n =2m+1 - 2 festgelegt. Ich muß auch nicht nachträglich neue Zeilen erfinden, sie sind ja sozusagen a priori vorhanden, ich muß nur akzeptieren, daß in jedem Schritt stets mehr Zeilen als Spalten betrachtet werden müssen. Eine beliebige reelle Zahl, von der man die ersten m Ziffern kennt, findet man in dieser Liste also innerhalb der ersten n § 2m+1 - 2 Zeilen. FN: Auf welchem Listenplatz liegt die Binärdarstellung von 1/3? sb: Mh... es kann keine (endliche) Binärdarstellung von 1/3 geben. Tja, irgendwo im unendlichen. Wenn Spalte n = ¶ gefordert wird, dann ist m zwangsläufig ebenfalls unendlich. Wird das bei Cantor denn anders geregelt? {{Bingo! Cantor regelt das so, dass eine unendliche Folge von endlichen Darstellungen entsteht. Potentiell unendlich, versteht sich. Denn aktual unendlich hieße ja fertig. Nun, das geht nicht, ohne dass auch die Binärfolgen fertig unendlich wären.}} n strebt da doch auch (nur) gegen unendlich, der betrachtete Index ist immer eine natürliche Zahl, und über die unendlich vielen undefinierten Ziffern rechts wird keine Aussage getroffen. {{Immer wieder der gleicher Taschenspielertrick, den ein argloser Neuling nicht leicht durchschaut. Mit größter Wahrscheinlichkeit durchschauen ihn die meisten Matheologen aber auch nicht, sonst müsste man ihnen bewussten Betrug vorwerfen. Aber es ist wohl nur ein Mangel an Durchblick. Im Unendlichen verzeichlich.}} Als nächstes kommen die irrationalen Zahlen. Wenn ich dann noch jede soundsovielte Zeile als n-ten möglichen Algorithmus definiere, erwische ich auch alle praktisch relevanten, also definierbaren irrationalen Zahlen. FN: Definiere "definierbare irrationale Zahl". {{Die letzte Rückzugsbastion der Matheologie stürzt hier in sich zusammen. Eine Zahl ist definierbar, wenn es möglich ist, dass zwei Mathematiker sich darüber verständigen. Beispiele: 2, 4711, ◊3, π, e, und noch einige andere Zahlen sind definierbar}}. sb: Hm, ich bin kein Mathematiker. Meine Vorstellung ist also, daß man jede irrationale Zahl in irgend einer Weise definieren können muß, um sie als Zahl gelten zu lassen. Ich glaube, daß der Begriff Zahl bedeutet, daß eine Zahl von allen anderen Zahlen unterscheidbar sein muß. Wenn ich an alle mir geläufigen irrationalen Zahlen denke, dann sind das Zahlen wie π, e oder ◊2, und alle diese Zahlen sind in irgend einer Weise mathematisch exakt definiert. Diesem Verständnis nach sollte für jede definierbare irrationale Zahl (prinzipiell) ein Rechenverfahren existieren, mit der sich die unendlich vielen Dezimalstellen prinzipiell errechnen lassen. Falls zu so einer Zahl keine mathematische Definition existiert, würde ich sie als undefinierbar bezeichnen, was sie ununterscheidbar von anderen undefinierbaren irrationalen Zahlen macht {{und damit den Zahlencharakter vernichtet. Genau so ist es. Leider glauben Mathematiker heute an undefinierbare Definitionen und beendetes Unendliches. Die jedenfalls, die am lautesten tönen, die Matheologen.}} [sbwerbe, Franziska Neugebauer, "Cantor / Abbildung N auf R", de.sci. mathematik, 17. 11. 2008] https://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/ae51e32203523882/f2bd 3ae8f64e5d9a?hl=de&lnk=gst&q=%22%2C+da%C3%9F+immer+ein+Quadrat+betrachtet+wird %22#f2bd3ae8f64e5d9a 1098 Das Kalenderblatt 120606 Cantors Weltbild (40): Anglophilie Das Zusammenarbeiten mit den englischen Collegen ist mir sehr sympathisch. Am liebsten würde ich auch örtlich mich mit Ihnen zusammenfinden. Halten Sie es für möglich, daß ich eine Stellung an einer Ihrer Universitäten bekäme? [Cantor an Jourdain, 17. 4. 1904] First of all you must know that there are only two Universities in England (Oxford and Cambridge) of any great importance - for London, Birmingham, the Welsh and Scotch universities are much smaller and comparatively modern and of less reputation. The reason for this is probably that a university education is considered a luxury in England, rather than a necessity (as it is, I think, in Germany). [Jourdain an Cantor, 23. 9. 1904] Von jetzt ab, hoffe ich, da ich mich nächstens (nachdem ich 36 Jahre dem preußischen Staat gedient habe) pensioniren lassen will, alljährlich ein paar Monate nach Großbritannien oder America zu kommen, in welchen Ländern allein, so scheint es mir, ich gute und ehrliche Freunde habe! [Cantor an Jourdain, 15. 3. 1905] I am longing for England and hope, that it will become possible to go there for several months in this spring; because, that I have no want, to recommence my mathematical lectures in Halle in the next Sommersemester. [Cantor an Mrs. Chisholm-Young, 5. 4. 1905] Ich hatte, wie ich Ihnen wohl geschrieben, in Naunhof die Absicht, mir für dieses Semester Urlaub geben zu lassen, um endlich meinen großen Wunsch, England zu besuchen, in Erfüllung gehen zu sehen. Allein mir nahestehende Personen haben mich davon abgebracht und so fange ich denn morgen 4. Mai meine angekündigte 5 stündige Vorlesung über analyt. Mechanik an. Ich befinde mich Gottlob vollkommen wohl, abgesehen von einem gutartig und schmerzlos verlaufenden Mittelohrkatarrh, der unter der täglichen Behandlung eines tüchtigen Specialisten hoffentlich bald beseitigt sein wird. Ob es aber unter diesen Umständen zweckmäßig ist, für diesen Sommer einen kurzen, höchstens zweiwöchigen Besuch um die Pfingstzeit in England in Aussicht zu nehmen, ist fraglich. Wäre es in meinem Alter nicht besser, auf eine spätere geeignete Zeit zu warten, um gleich längere Zeit , ein paar Monate, dort verweilen zu können? [Cantor an Jourdain, 3. 5. 1905] Cantor's longawaited visit to England took place only in September, 1911, and then it was a disaster, for another bout of mental illness overtook him and he had to return home early and enter the Nervenklinik again. [I. Grattan-Guinness: "The Correspondence between Georg Cantor and Philip Jourdain", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 73 (1971) p. 128] Cantor hatte lange Zeit keine besonders hohe Meinung von der "englischen Mathematik" und stand auch den politischen Aktivitäten Englands ablehnend gegenüber. Mit der Anerkennung seiner Lehre durch die englischen Mathematiker, die in den Ehrungen und zunehmenden Kontakten zum Ausdruck kam, änderte sich diese negative Einschätzung. Den ersten Schritt zu dieser Wandlung beschreibt Kowalewski [*] eindrucksvoll: Es war damals gerade die Zeit des Burenkrieges (1899 -1902). Cantor stand ganz auf Seiten der Buren, er sprach immer mit großem Abscheu von den Engländern. Die Sache lag ihm so sehr am Herzen, daß er oft darauf zurückkam. Eines Tages wurde ihm von der Royal Society die Sylvester-Medaille verliehen, wohl die höchste Auszeichnung, die einem Mathematiker zuteil werden kann. Wir lasen es in Leipzig in den Zeitungen. Als wir das nächste Mal in Halle waren, beglückwünschten wir Cantor. Er nahm unsere Glückwünsche mit einem verlegenen Lächeln entgegen und sagte dann: Ja, meine Herren, mir ist im Zusammenhang mit dieser Ehrung etwas Merkwürdiges passiert: Ich fühlte, daß ich die Engländer nicht mehr so hassen kann wie früher. So sind wir Menschen. [*] G. Kowalewski: "Bestand und Wandel", Oldenbourg, München (1950) p. 107 [H. Meschkowski, W. Nilson: "Georg Cantor Briefe" Springer, Berlin (1991) p. 455f] 1099 Das Kalenderblatt 120607 Vag: Are real numbers countable in constructive mathematics? We are talking about ordinary reals in constructive mathematics. 1. Let represent each real number by infinite converging series: r = [(a0, b0), (a1, b1), ..., (ai, bi), ...] where ai § bi and ai § ai+1 and bi § bi+1 And interval (ai, bi) converges: for any given rational ε > 0 there is index j such that bk - ak < ε for all k ¥ j. 2. There are only one way to construct such a number: to build an algorithm that produces (ai+1, bi+1) from (ai, bi) (or some nearly equivalent). 3. Let model algorithms by lambda terms (we are able to do so because lambda calculus is Turing complete). 4. It is easy to show that each lambda term may be represented by unique natural number (this is simple serialization/deserialization process, well known for every programmer). 5. So there is a one-to-one correspondence between real numbers and subset of natural numbers. 6. This imply that constructive reals and naturals are equipotent sets. What are not ok with this reasoning and why? {{Der Fragesteller beschwerte sich dann, dass niemand einen Fehler in seinem Argument angegeben habe:}} For example, Neel Krishnaswami states below: 1. Reals are not countable because of diagonal argument. 2. Computable reals are not countable because of Halting problem but said nothing about why my judgments flawed and where the flaw is. Neel Krishnaswami: Let me apologize for not being more explicit! The specific trouble with your argument is that there are multiple lambda terms which compute the same sequence, and so to form the reals we need to quotient by an equivalence relation on lambda terms. However, for two arbitrary programs, we can't decide whether two lambda terms compute the same sequence or not. {{There is no algorithm that takes as input two lambda expressions and outputs true or false depending on whether or not the two expressions are equivalent. http://en.wikipedia.org/wiki/Lambda_calculus }} But if we had a bijection between syntactic codes and reals, we could decide this - we could take two reals, pick representatives, and use the bijection to see if they go to the same code or not. So no bijection exists. {{Ein völlig fehlgehendes Argument! Wenn einige oder auch viele der abzählbar vielen Terme dieselbe reelle Zahl erzeugen, dann kann daraus doch nicht auf ein Mehr an reellen Zahlen geschlossen werden! Die Unmöglichkeit einer Bijektion aufgrund von zuwenigen reellen Zahlen wird hier flugs als Argument für zuviele reelle Zahlen missbraucht.}} Carl Mummert: Even in the Russian school, they would not say that the set of real numbers is countable. Because, if you identify real numbers with algorithms, there is no computable enumeration of computable reals that lists all computable reals, and so the translation of "the real numbers are countable" into this setting is false. {{Wieder wird ein Strohmann aufgebaut und bravourös gefällt, um vom eigentlichen Thema abzulenken. Es interessiert nicht im mindesten, ob alle berechenbaren Zahlen aufgelistet werden können. Ist "überabzählbar" viel? Gibt es mehr berechenbare reelle Zahlen als Rechenschritte? Das ist die Frage! Und das ist offenbar unmöglich.}} Joel David Hamkins: The resolution of the resulting paradox is that the property of "being definable" is not first-order expressible. Although the model thinks that there are uncountably many reals, each of which happens to uniquely fulfill a definition, and it thinks that there are only countably many definitions, it is nevertheless unable to map those definitions onto the reals, since by Tarski's theorem, there is no universal truth definition. {{Es geht weder um first-order- definability noch um eine universelle Wahrheitsfunktion. Es geht lediglich um die einfache Frage, wieviele Zahlen es gibt, sodass zwei Mathematiker sich über jede einzelne verständigen können! Das sind unabhängig von jeder Auslegung, Ordnung, Wahrheitsdefinition, Modellwahl und "what the model thinks" und "all we know" nicht mehr als einfach unendlich viele.}} If we are using a fixed first order set structure in a countable language, then there will be reals that we cannot define in that structure. {{Das ist sogar absolut richtig - und deswegen gar nicht auf irgendwelche "order" beschränkt.}} Second, we cannot generalize this to conclude abstractly that there are necessarily reals that we cannot define in set theory at all, because there are models of ZFC in which every real is definable {{vermutlich so definable so wie auch jede Menge wohlgeordnet werden kann? Gäbe es überhaupt ein Modell für ZFC, dann wäre damit dessen Widerspruchsfreiheit erwiesen und ZFC würde mindestens einen Widerspruch enthalten, könnte also kein Modell besitzen}}, and for all we know, we live inside such a universe. The resolution of the paradox is that the notion of being definable is not first-order expressible inside the structure {{Nein, die Lösung ist ganz einfach, dass "all we know" recht wenig ist.}} ["Are real numbers countable in constructive mathematics", MathOverflow (2010)] http://mathoverflow.net/questions/30643/are-real-numbers-countable-in-constructive- mathematics 1100 Das Kalenderblatt 120608 Similarly the Axiom of Infinity in the logic of the whole world, if it is a tautology, cannot be proved, but must be taken as a primitive proposition. And this is the course which we must adopt, unless we prefer the view that all analysis is self-contradictory and meaningless. We do not have to assume that any particular set of things, e.g. atoms, is infinite, but merely that there is some infinite type which we can take to be the type of individuals. {{Eine bedauerliche Fehleinschätzung. Selbstverständlich benutzt die Analysis unendliche Folgen und Reihen, aber eben nur potentiell unendliche, nicht aktual unendliche Mengen. Deswegen benötigt die Mathematik kein Unendlichkeitsaxiom, sondern nur die vollständige Induktion. Doch in seinem kurzen Leben hat Ramsey diese Fehleinschätzung auch wieder kompensiert:}} Suppose a contradiction were to be found in the axioms of set theory. Do you seriously believe that a bridge would fall down? http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Quotations/Ramsey.html {{Was außer dem Unendlichkeitsaxiom sollte auch zu Widersprüchen Anlass geben? Nicht einmal das Auswahlaxiom wäre dazu noch fähig, ganz abgesehen davon, dass zusammen mit dem Unendlichkeitsaxiom als überflüssig verschwände.}} "There are at least n individuals" is always either a tautology or a contradiction, never a genuine proposition. We cannot, therefore, say anything about the number of individuals, since, when we attempt to do so, we never succeed in constructing a genuine proposition, but only a formula which is either tautological or self-contradictory. The number of individuals can, in Wittgenstein's phrase, only be shown, and it will be shown by whether the above formulae are tautological or contradictory. The sequence "There is an individual", "There are at least 2 individuals", "There are at least n individuals", "There are at least ¡0 individuals", "There are at least ¡1 individuals", {{Diese Aussage ist bekanntlich falsch, wenn ein Individuum als solches individuelle Eigenschaften besitzen soll, also von allen anderen Individuen unterscheidbar sein soll und nicht nur tautologisch von jedem "anderen" "gegebenen" Individuum.}} begins by being tautologous; but somewhere it begins to be contradictory, and the position of the last tautologous term shows the number of individuals. {{Die richtige Antwort ist "weniger als ¡0".}} I mean Weyl's contradiction concerning "heterologisch", which must now be explained. {{Ursprünglich bei K. Grelling, L. Nelson: "Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell und Burali-Forti", Abh. der Fries’schen Schule II, Göttingen (1908) p. 301-334.}} Some adjectives have meanings which are predicates of the adjective word itself; thus the word "short" is short, but the word "long" is not long. Let us call adjectives whose meanings are predicates of them, like "short", autological; others heterological. Now is "heterological" heterological? If it is, its meaning is not a predicate of it; that is, it is not heterological. But if it is not heterological, its meaning is a predicate of it, and therefore it is heterological. So we have a complete contradiction. According to the principles of Principia Mathematica this contradiction would be solved in the following way. An adjective word is the symbol for a propositional function, e.g. "ϕ" [...] "heterological" [...] is not itself an adjective in the sense in which "ϕ" is. [...] So that when heterological and autological are unambiguously defined, "heterological" is not an adjective in the sense in question, and is neither heterological nor autological, and there is no contradiction. Thus this theory of a hierarchy of orders of functions of individuals escapes the contradictions; but it lands us in an almost equally serious difficulty, for it invalidates many important mathematical arguments which appear to contain exactly the same fallacy as the contradictions. In the First Edition of Principia Mathematica it was proposed to justify these arguments by a special axiom, the Axiom of Reducibility, which asserted that to every non-elementary function there is an equivalent elementary function. This axiom there is no reason to suppose true; and if it were true, this would be a happy accident and not a logical necessity, for it is not a tautology. [...] Such an axiom has no place in mathematics, and anything which cannot be proved without using it cannot be regarded as proved at all. [...] The principal mathematical methods which appear to require the Axiom of Reducibility are mathematical induction and Dedekindian section, the essential foundations of arithmetic and analysis respectively. Mr. Russell has succeeded in dispensing with the axiom in the first case, but holds out no hope of a similar success in the second. Dedekindian section is thus left as an essentially unsound method, as has often been emphasized by Weyl, and ordinary analysis crumbles into dust. {{Aber nein! Die gab's doch schon lange vor Dedekind.}} What appears clearly from the contradictions is that we cannot obtain an all-inclusive relation of meaning for propositional functions. Whatever one we take there is still a way of constructing a symbol to mean in a way not included in our relation. The meanings of meaning form an illegitimate totality. [F.P. Ramsey: "The Foundations of Mathematics", Proc. Lond. Math. Soc., Vol.s2-25, Issue 1 (1926) 338-384] http://www.hist-analytic.org/Ramsey.htm How successful is Ramsey's proposed solution? It has a variety of problems before it can even get off the ground. First, it is not at all clear that a word similar to "means" occurs in all the paradoxes of Group B. Ramsey [...] attempts to argue that there are reasons for supposing functions of different orders to have different meaning-relations. His explanation [...] goes, essentially, as follows. To say that x means Y is to say that there is a relationship of a certain kind between x and the objects "involved in" Y. Now a function of (for example) order 1 contains a quantifier (over objects of type 0) and so(?) the relationship of involvement is different from that of (for example) a function of order 0, which contains no such quantifier. Ramsey's account of meaning is not one that most would now find plausible. And even if it were right, I know of no way of cashing out the notion of involvement employed in such a way as to validate the problematic inference. But even if Ramsey's explanation of why "means" is ambigiuous is correct, another objection looms. Given some collection of meaning-relations we can simply form a single relation which is their logical sum. And this fact appears to reinstate the paradox. Ramsey himself is alive to this objection [...] But even if he could substantiate his, he is still not out of the woods. For, even if his arguments so far are correct all that has been shown is that the logical sum of a class of meaning-relations is a meaning-relation which diagonalise so out of the class. Hence, Ramsey falls back on, essentially, Russell's solution: there is no totality of a certain kind. We saw that this made Russell's theory self-refuting. Ramsey is in an even worse situation. For the existence of an appropriate totality can be demonstrated by principles that Ramsey can hardly object to. Observe that a meaning-relation for functions of type 1 (which are all that are in question here) is a relation whose left-hand argurnents are all predicates - which are objects of type 0 - and whose right-hand arguments are functions of type 1. Thus, all meaning-relations are legitimate, according to the theory of types, and, more importantly, are all of the same (relational) type. Hence, the set of all such relations is a sub-set of this type, and hence is perfectly well defined. What has turned Russell's self-refutation into a flat contradiction is simply Ramsey's simplification of Russell's theory. For Russell, the relevant collection does not exist since it contains members of arbitrarily high order. By supposing that all propositional functions of a certain kind (but of arbitrarily high order) form a determinate type (totality), this safeguard is no longer available to Ramsey. [G. Priest: "Beyond the Limits of Thought", Clarendon Press, Oxford (2006) p. 149ff] 1101 Das Kalenderblatt 120609 It is true, I believe, that the meaning of an expression is a matter of how it is used. But this does not mean that meaning can be reduced to use. Rather, meaning permeates use. We manifest our understanding of expressions in our use of them. We communicate with others by shared access to one another's use of them. There is nothing here to suggest that we should always be able to "pin down" what an expression means. [...] How then do people manage to grasp such meaning? Well, how do they? They observe expressions being used. They try to see the point of the use. They try to use the expressions in the same way, under the guidance of promptings, corrections, and encouragement from others. Yes, but if there is nothing in how an expression is used which they can have access to before understanding it and which actually serves to determine the expression's (full infinite) meaning, how does any of this help? Will they not be confronted by something which strikes them as being, at best, radically inconclusive and, at worst, so much incomprehensible babble? Initially perhaps. But they eventually come to understand. It is true that this can seem quite mysterious. What we have to do, however, is to see it as perfectly natural. People just do have shared interests, and a shared sense of what is significant and of how things relate to one another. (These are partly innate and partly inculcated.) As a result, people are able to understand one another. They are able to see what other people are up to. They are able to grasp what expressions mean. In the mathematical case, there is no reason why being subjected to (some of) the truths of a formal theory - seeing how these truths are proved and the kinds of justifications that are proffered for them - should not give someone a sense of how to carry on, even though not all the truths have been, or could be, captured. I am leaning heavily at the moment on some of Wittgenstein's later work on meaning and language use. [...] Wittgenstein was regarded by many as one of the chief architects, along with Russell, of what became known as logical atomism. [...] "What we cannot speak about," he wrote in conclusion, "we must pass over in silence." However - and this is the twist - what we cannot speak about, or what cannot be said, can, Wittgenstein maintained, be shown: the nonsense in the Tractatus had arisen from an attempt to put genuine insights into words. This distinction between what can be said and what can be shown - the saying/showing distinction - was a linchpin of the whole book. No feature of the world as a whole could properly be conveyed in words. The framework in which all the facts were held together was not itself a fact. Features of the world as a whole, its overall shape and form, were a matter not of its being how it was but of its being however it was. They were a matter not of what could be said but of what was involved in saying anything at all. They were what could be shown. [A.W. Moore: “The Infinite”, 2nd ed., Routledge, New York (2005), p. 183-188] 1102 Das Kalenderblatt 120610 Open letter to a non-mathematician Georg Cantor's ideas of finished infinity and a time after never have infected many mathematicians. Their love of these ideas is so strong that they try to punish everyone who dares to present counter arguments. The following case occurred in mathematics stackexchange.com http://math.stackexchange.com/questions a forum for discussing simple mathematical questions including homework and the like. Usually even contributions of low quality enjoy a long lifespan. Not so, however, if someone tries to convince freshmen of the irrationality of Cantor's ideas. Moderators and "experienced users" mercilessly delete any heresy. A recent example is this: Question When Dag Duck receives a heap of dollar coins he counts them all in order to make sure it's the correct amount. In reality this is often impossible. How much has to be counted in order to be fairly sure about the result? If you get a string of information but can't wait until the end-signal is given, how sure can you be to have received the correct meaning? My answer There is no chance to determine the result unless you have counted the last coin. Similarly, the information is not transferred until transfer has been complete by the end-signal. Otherwise a negation could appear in the subsequent part of the string. All the more it is astonishing that mathematicians are satisfied with Cantor's "enumeration" of the rational numbers. If you count an infinite set like – you never count a share of more than -n limnض 2 = 0 because every natural number is followed by infinitely many others. How can you obtain anything sensible from the result? ("All natural numbers" means all elements of a set of which you cannot have all elements. Infinite means never, not arrived at after all.) Same is true for infinite "words". They cannot be used for communicating information. Therefore the following reversion of implication, usually applied in set theory, is wrong: A finite formula defines an infinite sequence. ñ An infinite sequence defines a finite formula. We can never obtain a finite formula like 1/9 or ◊2 from an infinite sequence unless we know the last term (which is impossible by definition). An infinite sequence (like Cantor's diagonal) never defines a number. Up to every digit it defines an interval out of countably many. In order to know the limit, you need information about the infinitely many digits to follow. That requires a finite formula. There is nothing in this answer that could be accused to be wrong or difficult to understand. Nevertheless the answer was deleted after a short time of existence by Henning Makholm who qualified it as "an anti-Cantorian rant with no connection to the question at all" (he was in error, as I know) and Asaf Karagila. The vote of the latter is understandable, because he is preparing his MSc-work in set theory. If it turns out that set theory does not belong to science (as, several decades before, it happened to astrology), his efforts would have been in vain. Meanwhile I have been completely excommunicated from stackexchange (as before from mathoverflow and some other centers of what I therefore call matheology). In fact, I had expected, and a little bit provoked, the outcome. It proves with breathtaking evidence what everybody not yet infected by Cantor's ideas should know: Many mathematicians are addicts of finished infinity. They refuse to listen to simple truths, like those discussed in my answer above, and are trying everything to prevent to be cured. They are not dangerous. Cantor's ideas have not the slightest chance of any application outside of mathematics (because they are blatant humbug) - and even inside they merely cause confusion, namely if actual infinity is actually taken literally, cp. numbers 1035 to 1044 of http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/KB/KB%201001-.pdf So be prepared: Many mathematicians believe in finished infinity and may get very angry if you doubt that belief. 1103 Das Kalenderblatt 120611 MatheRealismus (1) Does the infinitely small exist in reality? Quarks are the smallest elementary particles presently known. Down to 10-19 m there is no structure detectable. Many physicists including the late W. Heisenberg are convinced that there is no deeper structure of matter. On the other hand, the experience with molecules, atoms, and elementary particles suggests that these physicists may be in error and that matter may be further divisible. However, it is not divisible in infinity. There is a clear-cut limit. Lengths which are too small to be handled by material meter sticks can be measured in terms of wavelengths λ of electromagnetic waves, for instance. λ = c/ν (c = 3ÿ108 m/s) The frequency ν is given by the energy E of the photon ν = E/h (h = 6,6ÿ10-34 Js) and a photon cannot contain more than all the energy of the universe E = mÿc2 which has a mass of about m = 5ÿ1055 g. This yields the complete energy E = 5ÿ1069 J. So the unsurpassable minimal length is 4ÿ10-95 m. Does the infinitely large exist in reality? Modern cosmology teaches us that the universe has a beginning and is finite. But even if we do not trust in this wisdom, we know that theory of relativity is as correct as human knowledge can be. According to relativity theory, the accessible part of the universe is a sphere of 50ÿ109 LY radius containing a volume of 1080 m3. (This sphere is growing with time but will remain finite forever.) "Warp" propulsion, "worm hole" traffic, and other science fiction (and scientific fiction) does not work without time reversal. Therefore it will remain impossible to leave (and to know more than) this finite sphere. Modern quantum mechanics has taught us that entities which are non-measurable in principle, do not exist. Therefore, also an upper bound (which is certainly not the supremum) of 10365 for the number of elementary spatial cells in the universe can be calculated from the minimal length estimated above. [W. Mückenheim: "The infinite in sciences and arts", Proc. 2nd Intern. Symp. of Mathematics and its Connections to the Arts and Sciences (MACAS 2), B. Sriraman, C. Michelsen, A. Beckmann, V. Freiman (eds.), Centre for Science and Mathematics Education, University of Southern Denmark, Odense 2008, p. 265 - 272] http://arxiv.org/abs/0709.4102 1104 Das Kalenderblatt 120612 MatheRealismus (2) Am Sonntag {{dem 12. 2. 2012, vor genau einem Dritteljahr also}} jährt sich der Geburtstag von Charles Darwin zum 203. Mal; ein krummer Geburtstag, kein Jubiläum. Für immer mehr Menschen ist dieses Datum, der "Darwin Day", allerdings ein Tag, den sie alljährlich feiern - als "Hommage an Darwins Beitrag zur Wissenschaft" (Wikipedia). Erstmals begangen wurde der weltweite, wenn auch informelle Gedenktag 1995 an der Stanford University. Seitdem würdigen vor allem Wissenschaftler Darwins Geburtstag und verstehen das als "Feier der Wissenschaften und der Menschheit", wie es auf der Koordinationsseite der International Darwin Day Foundation heißt - die Seite ist vor allem ein Verzeichnis der weltweiten Veranstaltungen. Für religiöse Fundamentalisten ist das wissenschaftliche Weltbild und besonders die Evolutionstheorie mehr als ein Affront - sie ist Gotteslästerung, weil sie religiöse Schöpfungsmythen verneint. So seltsam das klingt, vier Jahrhunderte nach Descartes und 228 Jahre nach Kants Hoffnung, der Mensch werde sich "aus seiner selbstverschuldeten Unmündigkeit" befreien: Antiwissenschaftliche, fundamentalistisch-religiöse Weltbilder sind auf dem Vormarsch - im islamischen wie christlichen Kulturraum. {{Nicht zu vergessen die Matheologie, in der ein Dogma gebietet, an die Wohlordbarkeit einer Unmenge von Objekten zu glauben, die kein Einwohner des Universums unterscheiden kann - nicht einmal alle zusammen. Doch wird nicht allein der Glaube gefordert, sondern auch der Glaube daran, dass dieses Glaubensziel mathematisch beweisbar sei - so wie ein Dogma der katholischen Kirche die wissenschaftliche Beweisbarkeit Gottes fordert. In Theologie und Matheologie gilt der Glaube an den Beweis als Beweis für den Glauben und die Zugehörigkeit zur Community.}} Dass bibeltreue Fromme Darwin so erbittert ablehnen, ist nachvollziehbar. Es war seine Evolutionstheorie, die die religiösen Lehren mehr als alles andere in Frage stellte. Dass der Kosmos anders strukturiert war als lange Zeit gepredigt, konnte den Schöpfungsmythos noch nicht grundsätzlich entkräften. Dass aber der Mensch auch nur ein Tier sein sollte, den Gesetzen der Natur unterworfen und alles Leben zudem Produkt evolutionärer Prozesse, das war ungeheuerlich: Es stellte die Notwendigkeit eines aktiv eingreifenden Schöpfers generell in Frage, vor allem aber die quasi-göttliche Sonderstellung des Menschen. Zelle wird Mehrzeller wird einfache Lebensform, wird komplexere Lebensform, entwickelt sich weiter und weiter und weiter? Ein Angriff auf das Fundament des Glaubens! Dass Darwin seitdem vieltausendfach bestätigt wurde, hat die Fronten nur verhärtet. Der christliche Schöpfungsglaube verträgt sich nicht damit, dass die menschliche DNA mehr mit der eines Schimpansen gemein hat als mit der chemischen Zusammensetzung von Lehm - laut Bibel der Stoff, aus dem Gott einst Adam knetete, aus dem er später Eva klonte. {{Der Mann war nur ein Stück zur Probe. Die Frauen sind das Meisterstück!}} Für Evangelikale ist die Alternative dazu Häresie: die Einordnung des Menschen in die Familie der Primaten. Die antiwissenschaftliche Stimmung schwappt längst auch über den Atlantik und hat Europa erreicht. In den USA läuft seit drei Jahrzehnten eine auch juristisch geführte Schlacht um die Köpfe der Jugend. Fundamentalisten wollen erreichen, dass denen die Prinzipien der Evolution in Schulen nicht mehr beigebracht werden - und wenn, dann nur als alternatives Modell zur biblischen Schöpfungsgeschichte: Soeben hat sich der republikanische Präsidentschaftskandidaturanwärter Rick Santorum öffentlich für diese "Lösung" ausgesprochen. In Großbritannien errang dagegen die British Humanist Association einen Punktsieg gegen den Vormarsch der Kreationisten. Dort gelang es, mittels einer von Prominenten wie David Attenborough und Richard Dawkins unterstützten Petition zu erwirken, dass Privatschulen, die Kreationismus statt Evolution lehren, die staatliche Unterstützung entzogen wird. [Frank Patalong: "Fisch frisst Fisch", Der Spiegel, 12. 2. 2012] http://www.spiegel.de/wissenschaft/natur/0,1518,814314,00.html MatheRealismus steht in scharfem Gegensatz zur Matheologie. "A matheologian is a man, or, in rare cases, a woman, who believes in thoughts that nobody can think, except, perhaps, a God, or, in rare cases, a Goddess." http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/KB/Matheology.pdf Wie lange wird wohl die Matheologie noch staatlich gefördert werden? 1105 Das Kalenderblatt 120613 MatheRealismus (3) Im Folgenden wird der Logarithmus zur Basis 2 mit lb abgekürzt. Sei x ¥ 2 die Anzahl der Buchstaben (Ziffern) eines Alphabets, z.B. 8, und sei y = lbx die Anzahl der zur Notierung jeder Ziffer benötigten Bits (im Beispiel y = 3). Mit z Bits können dann z/y Ziffern notiert werden, also eine von xz/y Zahlen. Im Beispiel für z = 30 sind das zehn Ziffern, mit denen eine Zahl aus einer Menge von 810 Zahlen dargestellt werden kann. Da aber für die Definition der Ziffern mindestens z0 = xlbx Bits verbraucht werden, ist die Anzahl der mit z Bits ohne weitere Abkürzungen darstellbaren Zahlen höchstens xz/lbx - x = ezln2 - xlnx = 2z/xx, im Beispiel 82. Die maximal darstellbare Anzahl von Zahlen ergibt sich aus 0 = dxz/lbx - x/dx = (-1 - lnx)ezln2 - xlnx . Das Maximum der für alle x ¥ 0 definierten Funktion liegt bei x = 1/e (dem Minimum von xx) so dass wegen der Beschränkung auf x ¥ 2 das binäre Alphabet vorzuziehen ist. Für große Bitmengen z sind alle kurzen Alphabete ziemlich gleichwertig, da lediglich die zur Definition der Ziffern verbrauchte Bitmenge xlbx differiert, aber gegen z vernachlässigbar ist. Für z = 10100 ist die Anzahl der ohne Exponenten und andere Abkürzungen binär darstellbaren 100 10100/3 100 Zahlen genau so groß wie die der oktal darstellbaren: 210 = (23) = 23ÿ10 /3. Eine analoge Überlegung ergibt, dass ohne zusätzliche Hilfsmittel auch die Einteilung einer 100 Strecke in mehr als 210 Intervalle nicht möglich ist. In beiden Fällen existiert aber keine 1010 10 Schranke für eine größte Zahl oder ein kleinstes Intervall. 101010 oder dessen Kehrwert sind Beispiele für viel weitergehende Notationen. Vgl. Ackermann-Funktion http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Ackermann_function oder Knuthsche Pfeilschreibweise http://mathworld.wolfram.com/ArrowNotation.html 1106 Das Kalenderblatt 120614 MatheRealismus (4) Auch die Kritik der reinen Vernunft und ihr Gipfel, die Antinomien, sind nicht zum Gebrauch "vor Lehrlinge" (vgl. KB120328) gedacht: 1.Antinomie Die Welt hat einen Anfang in der Zeit, und ist dem Raum nach auch in Grenzen eingeschlossen. Die Welt hat keinen Anfang und keine Grenzen im Raume, sondern ist, sowohl in Ansehung der Zeit, als auch des Raums, unendlich. {{Diese Antinomie lässt sich nicht durch den MatheRealismus auflösen. Doch gibt es eine bemerkenswerte Konsequenz: Ob die Welt räumlich und zeitlich unendlich ist oder nicht - die Anzahl aller vorhandenen Speicherplätze ist abzählbar.}} 2.Antinomie Eine jede zusammengesetzte Substanz in der Welt besteht aus einfachen Teilen, und es existiert überall nichts als das Einfache, oder das, was aus diesem zusammengesetzt ist. Kein zusammengesetztes Ding in der Welt besteht aus einfachen Teilen, und es existiert überall nichts Einfaches in derselben. {{Hier kann man eine klare Antwort geben (s. KB120611).}} 3.Antinomie Die Kausalität nach Gesetzen der Natur ist nicht die einzige, aus welcher die Erscheinungen der Welt insgesamt abgeleitet werden können. Es ist noch eine Kausalität durch Freiheit zur Erklärung derselben anzunehmen notwendig. Es ist keine Freiheit, sondern alles in der Welt geschieht lediglich nach Gesetzen der Natur. {{Diese sind aber im Detail nicht deterministisch.}} 4.Antinomie Zu der Welt gehört etwas, das, entweder als ihr Teil, oder ihre Ursache, ein schlechthin notwendiges Wesen ist. Es existiert überall kein schlechthin notwendiges Wesen, weder in der Welt, noch außer der Welt, als ihre Ursache. {{Ein göttliches Wesen wäre wohl allwissend und möchte geglaubt werden. Determinismus bedingt Fatalismus und ist außerdem durch die Quantenmechanik ausgeschlossen. Religiosität erfordert Glauben an Zweifelhaftes. Wissenschaftlichkeit bedingt Zweifel am Glaubhaften.}} [Kant, Ausgabe der Preußischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 1900ff, AA 0003III, 281- 382] http://de.wikipedia.org/wiki/Antinomien_der_reinen_Vernunft#cite_note-0 1107 Das Kalenderblatt 120615 MatheRealismus (5) Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit. [A. Einstein: "Geometrie und Erfahrung", Festvortrag, Berlin (1921), abgedruckt in: A. Einstein: "Mein Weltbild", C. Seelig (Hrsg.), Ullstein, Frankfurt (1966) p. 119f] Es handelt sich um eine Kontraposition: W fl ŸS S fl ŸW Beide Aussagen sind äquivalent. Beide sind falsch. Um Einsteins allgemeine Behauptung zu widerlegen, genügt ein Gegenbeispiel: Ein Satz der Mathematik ist das kommutative Gesetz der Addition von Zahlen: a + b = b + a Es wird in jedem Falle in der Wirklichkeit eines Portemonnaies mit mindestens zwei Fächern bestätigt. Wie ist es möglich, dass die Mathematik, die doch ein von aller Erfahrung unabhängiges Produkt des menschlichen Denkens ist, auf die Gegenstände der Wirklichkeit so vortrefflich passt? [A. Einstein, a.a.O] Ohne Erfahrung ist kein Denken möglich. Ohne Wirklichkeit - zu der übrigens die zum Denken verwendeten Apparaturen ebenso gehören wie die Gegenstände des Denkens (wir denken niemals an eine abstrakte Zahl 3, sondern an drei Gegenstände oder an das Schriftbild oder an die gesprochene Silbe oder sonst eine Materialisation, aus der die Abstraktion entnommen sein könnte) - hätte sich Mathematik ebensowenig entwickeln können wie ein Universum ohne Energie oder Masse. Deswegen stimmt die Mathematik mit der Wirklichkeit überein - jedenfalls richtige Mathematik. 1108 Das Kalenderblatt 120616 MatheRealismus (6) Die moderne Mathematik setzt auf Axiome - und seien sie noch so widersinnig. Es werden keinen Wahrheiten bewiesen, sondern Ableitungen aus dem Axiomensystem nach den Regeln der Logik. Wenn das Auswahlaxiom angenommen wird, dann lässt sich beweisen, dass die Menge der reellen Zahlen wohlgeordnet werden kann (obwohl bewiesen ist, dass es weniger Ordnungsmerklmale als Zahlen gibt). Wenn das Auswahlaxiom nicht angenommen wird, dann lässt sich beweisen, dass die Menge der reellen Zahlen nicht wohlgeordnet werden kann. Und darin ist kein Widerspruch enthalten. Solche Sätze haben nichts mit Wahrheit und wenig mit der der Realität zu tun: Wenn Kuhfladen nach Honig schmecken, dann sollten wir Pferdeäpfel probieren. Müssen wir das für Mathematik hinnehmen? Wollen wir nicht wissen, ob Pferdeäpfel schmecken? Doch, es gibt sie, die absolute Wahrheit, nämlich solche Erkenntnisse der Mathematik wie "nimm zwei Hölzchen und noch zwei Hölzchen, dann hast Du vier Hölzchen", wahlweise auch Steinchen, Murmeln oder Erdnüsse, etwas abstrakter formuliert 2 + 2 = 2ÿ2 = 22. Das ist eine absolute Wahrheit, eine Erkenntnis, die jede Zivilisation, die bis ins Atrium der Mathematik vorgedrungen ist, auf genau diese selbe Weise besitzt - auch wenn sie sie in anderer Form codiert. Dabei gibt es übrigens keinen Unterschied zwischen Realität und Mathematik. Hätte ich zum Schmucke eines meiner Bücher nur die Wahl zwischen dem Symbol ¡ und einem Bild des Ishango-Knochens, http://www.google.de/search?q=ishango&hl=de&rlz=1R2ADFA_deDE425&biw=898&bih=606&pr md=ivns&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=jt0bTsmELM2c-wabm- TRCA&sqi=2&ved=0CE0QsAQ http://de.wikipedia.org/wiki/Ishango-Knochen so würde ich mich für diesen entscheiden, denn im Gegensatz zu jenem besitzt der Knochen mathematischen Gehalt. 1109 Das Kalenderblatt 120617 MatheRealismus (7) There are three ways in which our world appears to be unbounded and thus, perhaps, infinite. It seems that time cannot end. It seems that space cannot end. And it seems that any interval of space or time can be divided and subdivided endlessly. Suppose that the human race was never going to die out - that any given generation would be followed by another generation. Would we not then have to admit that the number of generations of man is actually infinite? {{Man muss sorgfältig unterscheiden. Es gibt keine Generation, die eine unendlich Zahl in ihren Kalender schreiben dürfte. Jede Generation gehört zu einem endlichen Anfangsabschnitt abgelaufener Sekunden. Merke: Jeder endliche Anfangsabschnitt des Binären Baums (vgl. KB111030 - KB120229 ) enthält nur endlich viele unterscheidbare Pfade. Indem wir die Menge als aktual unendlich bezeichnen, wird die Anzahl der Pfade nicht überabzählbar. Das würde erst gelten, wenn ein Pfad mehr als jede endliche Anzahl von Knoten enthielte. Die aktual unendliche Zeit würde also eine Anzahl von Sekunden benötigen, die größer als jede endliche Anzahl ist. Doch wie gesagt, es gibt durchaus keine Generation, die ¡0 Sekunden, Jahre oder Äonen hinter sich wüsste, selbst wenn die Folge der Generationen so feststände, dass man sie als aktual unendlich bezeichnen dürfte.}} Aristotle argued against this conclusion, asserting that in this situation the number of generations of man would be but potentially infinite; that is, infinite only in the sense of being inexhaustible. {{Damit hatte er recht.}} It is my opinion that this sort of distinction rests on a view of time that has been fairly well discredited by modern relativistic physics. In order to agree with Aristotle that, although there will never be a last generation, there is no infinite set of all the generations, we must believe that the future does not exist as a stable, definite thing. {{Nicht einmal das würde helfen. Um das zu verstehen, betrachte man die aktual unendliche Folge der dezimalen Näherungsbrüche für 1/3. Sie enthält keine Zahl mit aktual unendlich vielen Dreien, denn eine solche Zahl besäße mehr Dreien als jeder Näherungsbruch.}} For if we have the future existing in a fixed way, then we have all of the infinitely many future generations existing "at once." But one of the chief consequences of Einstein's Special Theory of Relativity is that it is space- time that is fundamental, not isoIated space which evolves as time passes. I will not argue this point in detail here, but let me repeat that on the basis of modern physical theory we have every reason to think of the Passage of time as an illusion. Past, present, and future all exist together in space-time. {{Glücklicherweise leben wir aber nicht in dem völlig leeren Raumzeitgefüge der Speziellen Relativitätstheorie, sondern in einem Universum, in dem deswegen vom Fatalismus abgesehen werden kann.}} To understand how something can be endless but not infinite, think of a circle. A fly can walk around and around the rim of a glass without ever coming to a barrier or stopping point, but none the less he will soon retrace his steps. Quantum mechanics puts no upper limit on the precision with which one can, in principle, determine-the position of an electron. It is just that the more precisely the electron's position is known, the less precisely are its speed and direction of motion known. Infinite precision is basically a nonphysical notion, but any desired finite degree of precision is, in principle, obtainable. The precision with which something can be measured is thus a good example of something that is potentially infinite, but never actual infinite. {{Letzteres ist richtig, doch schon von potentieller Unendlichkeit kann keine Rede sein, denn die Verbesserung der Messgenauigkeit erfordert eine Erhöhung der Energie (zur Verkürzung der Wellenlänge des "Messgerätes") und diese Energie ist durch die Gesamtenergie des ausnutzbaren Teils des Universums beschränkt.}} But this still gives us an actual infinity in the world. {{Die Folge "aller" potentiell unendlich vielen Messgenauigkeiten, würde eine aktuale Unendlichkeit darstellen (ohne dass eine Messung aktual unendlich genau wäre), doch existiert die vollständige Folge nicht.}} The point of all this is that just as the finiteness of our physical bodies does not imply that every physical object is finite, the finiteness of the number of cells in our brains does not mean that every mental object is finite. {{Der Vorstellung und vor allem der Bezeichnungsweise sind keine Grenzen gesetzt, aber jedes mentale Objekt besteht mit Sicherheit aus nur endlich vielen Einzelheiten.}} Well ... are there any infinite minds, thoughts, ideas, or forms or what have you in the Mindscape? [...] If infinite forms are actually out there in the Mindscape, then maybe we can, by some strange trick of mental perspective, see some of these forms. {{Der Konsum von genügend Alkohol ist vermutlich einer dieser strange tricks.}} [Rudy Rucker: "Infinity and the Mind", Princeton University Press, Princeton (2005) pp. 9, 10, 16, 29, 36, 38] 1110 Das Kalenderblatt 120618 Matherealismus (8) Die Frage nach der Existenz von Zahlen, Sätzen und anderen mathematischen Ideen besitzt selten eine einfache Ja-Nein-Antwort. Die Zahl 1 existiert, zum Beispiel hier, aber auch in jeder Abstraktion aus einer Menge mit einem Element. Die Zahl 1/727 existiert hier. Ihre Dezimaldar- stellung mit einer Peridenlänge von 726Ziffern 0,[00137551581843191196698762035763411279229711141678129298486932599724896 8363136176066024759284731774415405777166437414030261348005502063273727647 8679504814305364511691884456671251719394773039889958734525447042640990371 3892709766162310866574965612104539202200825309491059147180192572214580467 6753782668500687757909215955983493810178817056396148555708390646492434662 9986244841815680880330123796423658872077028885832187070151306740027510316 3686382393397524071526822558459422283356258596973865199449793672627235213 2049518569463548830811554332874828060522696011004126547455295735900962861 0729023383768913342503438789546079779917469050894085281980742778541953232 46217331499312242090784044016506189821182943603851444291609353507565337] hat möglicherweise noch nie in einem menschlichen Kopf existiert und wird dies wegen Unbe- deutendheit vermutlich auch niemals tun, es sei denn, jemand wollte aus sportlichen Gründen die Ziffern auswendig lernen oder einen geeigneten Algorithmus im Kopf anwenden. Doch existiert die Dezimaldarstellung hier auf dem Bildschirm unmittelbar und in jedem einfachen Rechenprogramm - zwar latent, aber mit einem hohen Präsenzgrad. Die Nelsonsche Zahl (vgl. KB 090610) existierte schon, zumindest latent, bevor sie jemand ausgerechnet hat. Existierte sie auch schon, bevor Nelson sie formulierte? Vielleicht war ihr Präsenzgrad vorher 0,1 nachher 0,9 und nun 1,0? Das ist schwer quantifizierbar. Eine Zahl, für deren Ermittlung 1010 Rechenschritte erforderlich sind, existiert aber sicher wesentlich schwächer, und eine Zahl, für deren Ermittlung mehr Rechenschritte als möglich erforderlich sind, existiert nicht. Ihr Präsenzgrad ist und bleibt 0. Um die arithmetische Reihe der natürlichen Zahlen von 1 bis 100 zu summieren, nahm sich der kleine Gauß (1777 - 1855) der Anekdote nach die doppelte Reihe vor 1 + 2 + 3 + ... + 100 100 + 99 + 98 + ... + 1 101 + 101 + 101 + ... + 101 und fand die konstante Summe 101 genau 100 Mal. Elias Misrachi (1455 - 1526) wählte einen induktiven Weg: 11 = 22 12+ 2 = 32 123++ 3 = 42 ... http://www.jewishencyclopedia.com/articles/10894-mizrahi#anchor3 Die seit alters her bekannte Summenformel, mit der Euler (1707 - 1783) sogar die Summe ¶ÿ(¶+1)/2 aller natürlichen Zahlen ermittelte, erlaubt es, beliebig lange Zahlenreihen wie die von 1 bis 1010100 zu summieren. Mit etwas aufwendigeren Methoden http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU02c.PPT#314,8,Folie 8 kann man auch die harmonische Reihe bis zur Summe 100 oder weiter summieren. Selbst unter Aufbietung aller Mittel des Universums könnten nicht alle Zahlen zwischen 1 und 1010100 dargestellt werden, jedoch kann jede dieser Zahlen als Unbekannte x mit einer komplementären Unbekannten y derart gepaart werden, dass x + y = 1010100 + 1, so dass die Summe (1010100+ 1)ÿ1010100/2 bekannt ist. Diese Summierbarkeit ist eines der ungelösten Rätsel des MatheRealismus. 1111 Das Kalenderblatt 120619 Dieses Kalenderblatt trägt die Nummer 1111, in binärer Interpretation eine Ziffernfolge, die bei der üblichen Leserichtung den letzten Pfad eines Binären Baums mit 4 Niveaus kennzeichnet. Wir sind nach 3 Jahren, 2 Wochen und 1 Tag an dessen rechter Flanke angelangt - und damit soll es genug sein. In Abwandlung eines Satzes von Cantor kann ich feststellen: Alle sogenannten Beweise (und es dürfte mir wohl keiner verborgen geblieben sein) für die widerspruchsfreie Existenz des Aktual Unendlichen beweisen nichts, weil sie sich nicht auf die richtige Definition des Transfiniten festlegen, sondern ständig und notwendig immer wieder zwischen dem aktual Unendlichen und dem potentiell Unendlichen hin und her springen. Ich danke allen ab und zu zu- und abgeneigten Lesern für die erfreuliche Diskussionsbereit- schaft und das anhaltende Interesse, das sich selbst in sehr negativen Rückmeldungen immer wieder äußerte. Abfällig geäußerte Aufmerksamkeit ist besser als gar keine und jedenfalls nützlicher als beifällig bekundete Interesselosigkeit. Zum feinen Malen genügen ein paar dünne Pinsel, aber zum feinen Mahlen gehören immer zwei grobe Steine. Valet!