Introduç˜Ao `A Teoria De Movimentos Ressonantes Em Sistemas

Universidade de SãoPaulo Instituto de Astronomia, Geof´ısicae CiênciasAtmosféricas Departamento de Astronomia

Raphael Alves Silva

Introdu¸cãoàTeoria de Movimentos Ressonantes em Sistemas Planetários

S˜aoPaulo

Raphael Alves Silva

Introdu¸cãoàTeoria de Movimentos Ressonantes em Sistemas Planetários

Disserta¸cãoapresentada ao Departamento de Astronomia do Instituto de Astronomia, Geof´ısica e CiênciasAtmosféricasda Universidade de SãoPaulo como requisito parcial para a obten¸cãodo t´ıtulode Mestre em Ciências.

Area´ de Concentra¸c˜ao:Astronomia Orientador(a): Prof.a Dr.a Tatiana Alexan- drova Michtchenko. Vers˜aocorrigida. O original encontra-se dispon´ıvel na Unidade.

S˜aoPaulo

Aos meus pais

Agradecimentos

A Deus, primeiramente, por me dar a for¸capara continuar, e a sabedoria necessária para trilhar o caminho. A` minha fam´ılia,por todo o apoio dedicado diante das escolhas que tomei em minha vida, desde o in´ıciode minha trajetóriaacadêmica, quando trilhei os primeiros passos da carreira cient´ıfica.Por sempre terem acreditado em minha capacidade, e me estimulado a al¸carvôosmaiores. A` professora Tatiana A. Michtchenko, por haver aceitado assumir o papel de ser minha orientadora e, ao longo desses dois anos, pela paciência,conselhos e aux´ıliosdurante o processo de desenvolvimento deste trabalho; por haver me indicado um caminho a tomar, nos momentos em que pensei haver chegado àbecos sem-sa´ıda. Aos professores Sylvio Ferraz-Mello e Ramachrisna Teixeira, por suas aulas, discussões e ensinamentos, vozes de sabedoria e experiênciae verdadeiras inspira¸cõespara a minha carreira acadêmica. Aos colegas do IAG: Ronaldo e Douglas, com quem dividi o espa¸coda sala E-307, e que compartilharam comigo os questionamentos e discussõesque permeiam a cabe¸cado jovem pesquisador, seja no que tange os assuntos concernentes àpesquisa que desenvolvemos, seja quanto a assuntos muito mais profundos, perpectivas de carreira e vida profissional. Ao Paulo Jackson, que me acolheu e me deu muitas dicas sobre o Mestrado no IAG. Ao Hugo e ao Eduardo, membros mais experientes do grupo de DinâmicaOrbital, e que sempre se mostraram prontos a me auxiliar, no que fosse poss´ıvel. A` minha segunda fam´ılia,membros da RepúblicaTFP (Tradi¸cão,Fam´ıliae Proprie- dade), pelo ‘amor, carinho e dedica¸cão’,e por haverem compartilhado de minhas angústias acerca de meu trabalho e das dificuldades inerentes, e diante disso, haverem me apoiado e me aconselhado, ao longo de madrugadas regadas a cervejas e risadas. Minha gratidão aqui édedicada a Alda, Gustavo, Guilherme, Felipe e Irapuan. Ao IAG e seus funcionários,por contribuirem para o bom funcionamento da institui¸cão, e para a manuten¸cãode um ambiente de trabalho agradável.

Esta tese/disserta¸cãofoi escrita em LATEX com a classe IAGTESE, para teses e disserta¸cõesdo IAG. “O pensamento nãopassa de um clarãona noite; mas esse clarãorepresenta tudo.”

Henri Poincar´e(1854-1912)

“For it is the duty of an astronomer to compose the history of the celestial motions through careful and expert study.”

Nicolaus Copernicus (1473-1543)

Resumo

Neste trabalho, desenvolvemos um modelo anal´ıtico para o potencial perturbador de um problema de trêscorpos coplanar, utilizando o formalismo hamiltoniano expressado atravésdas coordenadas canônicasde Jacobi. Consideramos um sistema de trêsmassas pontuais, dentro de uma configura¸cãode ressonância de movimentos médiosgeneralizada do tipo n1/n2 = (p + q)/p. Desenvolver um modelo anal´ıticose mostra vantajoso no sentido de possibilitar o melhor entendimento da dinâmica dos fenômenos que caracterizam um determinado sistema, a identifica¸cãomais imediata das principais variáveis do problema, e a melhor caracteriza¸cão dos comportamentos poss´ıveis em fun¸cãodestas últimas. Aplicamos a metodologia clássicade expansõesem sériesde potências das excentricidades e semi-eixos maiores. Usando expansõesem sériesde Taylor e Fourier, obtivemos a expressãocompleta para o potencial perturbador, em fun¸cãodos elementos orbitais

λi, $i, ai, ei, i = 1, 2. Os termos de curto per´ıodo foram eliminados por simples inspe¸cão visual, removendo as contribui¸cõesadvindas de argumentos que continham os ângulos rápidos λ1 e λ2, exceto aqueles nos quais estavam contidos as combina¸cõescr´ıticas. Esse processo de média‘manual’ reduziu o sistema a um problema de dois graus de liberdade. O comportamento da fun¸cãoanal´ıticadesenvolvida foi testado para o caso espec´ıfico de ressonância3:1. Nossos resultados foram comparados com àqueles gerados atravésde um modelo semi-anal´ıticooutro, o qual tambémcomputa um Hamiltoniano médiopara um sistema ressonante.

Abstract

In this work we develop an analytical model for the disturbing potential of the planar Three-Body problem, using the Hamiltonian formalism expressed in canonical Jacobi coordinates. We consider a system of massive points in a general mean motion resonant conﬁguration of the general type n1/n2 = (p + q)/p. The development of an analytical model is very important once it allows us to better understand the dynamical phenomena of a system, identifying the main variables and the possible regimes of motion that the system may assume. As a methodology, we apply the classical method of expansions in power series of eccentricities and semi-major axes. Through the application of Taylor and Fourier series expansions, we obtain the exact expression for the disturbing potential as a function of the orbital elements λi, $i, ai, ei, i = 1, 2. The short-period terms were eliminated by removing those terms whose arguments were depending at least on one of the fast angles λ1 and λ2, except for those which contain the critical combination of the fast angles. This average process allows us to reduce the system to a two-degree-of-freedom problem. The behavior of the obtained analytical function is tested for the speciﬁc case of a 3:1 MMR. We compare the results with a semi-analytical model, which also gives the averaged Hamiltonian of a resonant system - in Jacobi coordinates.

Lista de Figuras

2.1 Sistema exemplificando 4 corpos, com os vetores posi¸cãodados dentro de um sistema de coordenadas inercial arbitráriocom origem em S...... 29 2.2 Sistema de 4 corpos, com os vetores posi¸cãodados em coordenadas referenciadas ao baricentro B do sistema...... 31 2.3 Sistema de 4 corpos, com os vetores posi¸cãodados em coordenadas referen-

ciadas ao corpo de massa m0...... 35 2.4 Sistema de 4 corpos, com os vetores posi¸c˜aodados para um sistema de

coordenadas de Jacobi. O ponto B1 ´eo baricentro de m0 e m1. B2 ´eo

baricentro de m0, m1 e m2...... 38

3.1 Representa¸cãográficado Problema de TrêsCorpos, referenciado em um sistema inercial arbitráriode origem S...... 53 3.2 Representa¸cãográficado sistema utilizando as coordenadas de Jacobi. O

ponto CM indica a posi¸cãodo centro de massa de m0 e m1; ψ éo ângulo

entre formado entre os vetores posi¸cãono sistema de Jacobi, r1 e r2; ri,j éo vetor de distânciaentre os repectivos corpos i e j. (Figura retirada da tese de Doutoramento de Eduardo A. Ines.) ...... 55

(j) 5.1 (a) Comportamento da s´eriedos coeﬁcientes de Laplace b1/2(˜α), 0 ≤ j ≤ 5,

em termos do´ındice i; ε2 ∼ 1 eα ˜ = 0.48. Essas séries,que nada mais sãoque P 2i os somatóriosnas fórmulas dos coeficientes i Biα , aparecem para a parte direta do potencial perturbador. (b) Comportamento da fun¸cãoanal´ıtica dos coef. Laplace, em termos do parâmetro α, para distintos valores do ´ındice j...... 89 5.2 Curvas de < R > vs e2, para os valores de e1 conforme indicado. Sãoto- mados diferentes intervalos para os coeficientes n, j e N. K e AM são

◦ ◦ constantes de movimento, σ1 = 90 , ∆$ = 0 . Em linha cont´ınua vermelha tem-se o compotamento do modelo semi-anal´ıticousado como padr˜ao.. . . 91

5.3 Curvas de ∂ < R > /∂e2 vs e2, tomadas para cada um dos casos de excen-

tricidades e1 indicados. O modelo anal´ıticofoi computado novamente para diferentes configura¸cõesde ordens em n, j e N. A linha vermelha cont´ınua novamente indica o comportamento utilizado como padrão,neste caso, a curva derivada numérica...... 93

5.4 Curvas de < R > vs e2, tomadas para e1 = 0.005. Os gráficosindicam os valores máximosde harmônicosconsiderados. A linha vermlha cont´ınua apresenta o comportamento do modelo padrão semi-anal´ıtico...... 95

5.5 Curvas de < R > vs e2, tomadas para e1 = 0.4. Nesse caso, testamos diferentes configura¸cõespara as ordens de expansão...... 96

5.6 Curvas de ∂ < R > /∂e2 vs e2, para e1 = 0.005...... 96

5.7 Curvas de ∂ < R > /∂e2 vs e2, para e1 = 0.005. Aqui, mostramos as configura¸cõesde ordem máxima que podem ser adotadas, de maneira tal a obter-se a melhor correspondênciaposs´ıvel com a curva padrão(vermelha cont´ınua)...... 97

5.8 Curvas de ∂ < R > /∂e2 vs e2, para e1 = 0.4...... 97

5.9 Curvas para a razãoentre os parâmetrosexterno e interno, γext/γint, seguindo a nota¸cãoque denominamos no Cap´ıtulo3, Se¸cão(3.1.1)...... 98

5.10 Planos representativos (e1, e2) tomados dentro da ressonˆanciaexata 3/1,

para raz˜oesde massa m2/m2: (a)0.1, (b)0.5 e (c)1. Os valores positivos

(negativos) de e1 indicam que σ1 = 0 (π/2), enquanto que valores positivos

(negativos) de e2 signiﬁcam ∆$ = 0 (π)...... 100

5.11 Planos representativos (e1, e2) tomados dentro da ressonˆanciaexata 3/1,

para a raz˜aode massa m2/m2 = 5. Os valores positivos (negativos) de e1

indicam que σ1 = 0 (π/2), enquanto que valores positivos (negativos) de e2 significam ∆$ = 0 (π)...... 101 5.12 Distribui¸cãodos pares planetáriosem termos das razõesde movimentos

médios n1/n2 e das maiores excetricidades entre os pares. Os s´ımbolos azuis determinam sistemas classificados (segundo nossa metodologia) em ressonânciasinteriores; s´ımbolos pretos representam ressonânciasexteriores. Os númerosidentificam cada sistema em acordo com a Tabela 5.1...... 103

5.13 Distribui¸cãodos pares planetáriosem termos das razõesde massas m2/m1 e das maiores excetricidades entre os pares. Os s´ımbolos azuis determinam sistemas classificados em ressonânciasinteriores; s´ımbolos pretos representam ressonânciasexteriores. Os númerosidentificam cada sistema em acordo com a Tabela 5.1...... 104

A.1 Problema de trêscorpos não-restrito. Os vetores r1 e r2 indicam as posi¸cões

astrocêntricas de m1 e m2, respectivamente; %2 éo vetor posi¸cãode m2 no sistema de Jacobi...... 117

Lista de Tabelas

5.1 Parâmetrosf´ısicosdos sistemas exoplanetáriosem quase-ressonância3:1. M designa a massa da estrela central, em unidades de massas solares; m éa massa dos planetas, em unidade de massas de Júpiter.Os semi-eixos a são dados em unidades atronômicasau. Os valores de a e de e foram obtidos apósa transforma¸cãodos elementos astrocêntricos para elementos de Jacobi. 102

Sum´ario

1. Introdu¸cão ...... 23 1.1 A Fun¸cãoPerturbadora ...... 23 1.2 Ressonânciasde Movimentos Médios ...... 24

2. Fundamenta¸cãoTeóricado Problema de N-corpos ...... 27 2.1 Integrais de Movimento ...... 27 2.1.1 Referencial inercial arbitrário ...... 28 2.1.2 Referencial baricêntrico ...... 31 2.1.3 Referencial astrocêntrico ...... 34 2.1.4 Coordenadas de Jacobi ...... 38 2.2 Formalismo Hamiltoniano ...... 41 2.2.1 Princ´ıpiode Hamilton ...... 42 2.2.2 Transforma¸cõesCanônicas ...... 43 2.2.3 Teoria de Hamilton-Jacobi ...... 44 2.2.4 Movimentos Periódicos:Variáveis de Angulo-A¸cão.ˆ ...... 45 2.3 Equa¸cõesde Hamilton para o problema de (N+1)-corpos ...... 47 2.3.1 Referencial Baricêntrico ...... 47 2.4 Variáveis Canônicasde Jacobi ...... 47 2.5 Variáveis Canônicasde Poincaré...... 49

3. O Problema de 3 Corpos - Expansãodo potencial perturbador ...... 53 3.1 Expansãodo termo perturbador ...... 57 3.1.1 Condi¸cãode aproxima¸cãodo par: close approach ...... 57 3.1.2 Primeira expansãoem sériesde Taylor: órbitasquase coplanares . . 58 3.1.2.1 Termos de inclina¸cão...... 59 3.1.3 Segunda expansãoem sériesde Taylor e expansãoem sériesde Fou- rier: órbitasquase circulares ...... 61 3.1.4 Coeficientes de Laplace ...... 62 3.1.5 Aproxima¸cãode órbitascoplanares ...... 64 3.1.6 Coeficientes de Hansen ...... 66 n,m 3.1.6.1 Derivadas dXk /de ...... 68 3.1.7 Operadores de Newcomb ...... 69 3.2 Desenvolvimento do termo indireto ...... 70 3.3 Longitudes médias ...... 71

4. Dinâmicada Ressonância ...... 73 4.1 Termos seculares ...... 75 4.2 Termos ressonantes ...... 76 4.2.1 Harmônicosressonantes ...... 77 4.3 Estudo teórico da dinâmica ...... 78 4.3.1 Evolu¸cãotemporal dos elementos ...... 80 4.4 Determina¸cãodo regime de ressonância:o ânguloressonante ‘verdadeiro’ . 83

5. Testes de Convergênciae Aplica¸cões ...... 87 5.1 Análisede convergência ...... 88 5.1.1 Modelo padrãode compara¸cão...... 88 5.1.2 Coeficientes de Laplace ...... 88 5.1.3 Compara¸cãocom o modelo semi-anal´ıtico...... 90

5.1.3.1 Curvas Rmédio vs e2 e ∂Rmédio/∂e2 vs e2 ...... 90 5.1.3.2 Planos representativos ...... 98 5.2 Sistemas exoplanetáriosem quase-ressonância3:1 ...... 101

6. Conclus˜oese Perspectivas ...... 105

Referˆencias ...... 109 Apˆendice 115

A. Equa¸c˜oesde Movimento em Coordenadas de Jacobi para o Problema de TrˆesCorpos117

B. Express˜oesExpl´ıcitasdas Derivadas ...... 121

C. Transforma¸cãode Elementos Orbitais ...... 123 C.1 Equa¸cõespara o sistema astrocêntrico ...... 123 C.2 Determina¸cãodas anomalias verdadeiras ...... 124 C.2.1 Expansõesel´ıpticas:fun¸cõesde Bessel ...... 125 C.2.2 Solu¸cõesiterativas da equa¸cãode Kepler ...... 126 C.3 Equa¸cõespara o sistema de Jacobi ...... 126 C.4 Transforma¸cãodos elementos orbitais: Astrocêntrico para Jacobi ...... 127 C.5 Equa¸cõespara o sistema de Poincaré ...... 128 C.6 Transforma¸cãodos elementos orbitais: Astrocêntrico para Poincaré . . . . 130

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao

1.1 A Fun¸c˜aoPerturbadora

Embora as metodologias puramente numéricasmostrem-se de importância´ımparaos estudos de MecânicaCeleste, especialmente nesta era dos grandes clusters, capazes de executar extensas simula¸cõese integra¸cõesde órbitas,éinegável o fato de que as abordagens anal´ıticase semi-anal´ıticassejam essenciais àanálisede váriosproblemas dessa área. De fato, os métodos anal´ıticos sãonecessáriospara o profundo entendimento de diversos problema, bem como para a interpreta¸cãocorreta de resultados obtidos. A posse de uma expansãoanal´ıticada fun¸cãoperturbadora permite compreender melhor a origem de fenômenosdinâmicoscaracter´ısticosde sistemas planetários, ao se ter em mãosa possibilidade de uma melhor compreensãoda influência dos termos que compõema fun¸cão sobre a dinâmicado sistema em estudo. Desde os trabalhos originais de Hansen, Le Verrier e Tisserand (Hansen, 1838; Le Verrier, 1855; Tisserand, 1885) no séculoXIX, distintas abordagens da expansãoanal´ıtica da fun¸cãoperturbadora têmsido apresentadas na literatura, para os casos do problema de trêscorpos restrito e não-restrito(Andoyer, 1923; Newcomb, 1895; Brown, 1932; Ferraz- Mello, 1987; Kamel, 1988; Yokoyama, 1994; Beaugé,1996). Sobre a problemáticadas trêsmassas que interagem devido àgravita¸cão,encontramos na literatura duas metodologias clássicasde computa¸cãoda fun¸cãoperturbadora. Tais metodologias diferem, sobretudo, na expansãoda parte principal da fun¸cão,a saber,

Gm1m2/∆ (onde mi designa as massas dos corpos orbitantes, ∆ a distância mútuaen- tre eles, e G a constante universal de gravita¸cão). Em uma dessas abordagens, utiliza-se expansõesem sériesde potênciasdas excentricidades e inclina¸cões,atravésdas sériesde 24 Cap´ıtulo1. Introdu¸cão

Taylor e sériesperiódicasde Fourier: formalmente, essa metologia éconhecida como ex- pansãode Laplace (Broucke e Smith, 1971; Ferraz-Mello, 1983; Laskar e Robutel, 1995; Klioner, 2000).

No segundo tipo de abordagem, a expansãoéfeita com rela¸cãoàrazão α = a1/a2 dos semi-eixos maiores (o sub´ındice1 refere-se ao corpo de órbitainterna, e 2 àquelede órbita externa), utilizando os polinômiosde Legendre. Na prática, essas metodologias se diferenciam quanto ao raio de convergênciadas séries de potências,bem como quanto a taxa na qual essa convergênciaéatingida. Devido a isso, os cenáriosde aplicabilidade sãodistintos: expansõesutilizando os polinômiosde Legendre apresentam uma convergênciabastante lenta para valores moderados e altos de α, sendo mais aplicadas aos estudos de sistemas hierárquicos,nos quais os corpos orbitantes apresentam semi-eixos bastante distantes. Em geral, tais sistemas ficam longe das principais ressonânciasde movimentos médios,casos em que se mostra mais adequado aplicar a expansãode Laplace. As maiores contribui¸cõesàexpansãoda fun¸cãoperturbadora, utilizando os métodos citados, foram realizadas ao longo do séculoXIX (Hill, 1875; Tisserand, 1885). Trabalhos recentes que utilizam as expansõesde Legendre sãoencontrados em (Ford et al., 2000; Lee e Peale, 2003; Laskar e Boué,2010). A descoberta de novos sistemas planetários,dentro de configura¸cõesdinâmicas que incluem fenômenoscomplexos como as ressonâncias,inspiraram a revisãodas teorias de expansãodas perturba¸cões.Apresentamos neste trabalho um estudo teóricoinserido nesse contexto. Revisitamos o problema de trêscorpos geral, e em seguida, adotamos a primeira simplifica¸cãoposs´ıvel, considerando o caso coplanar. Utilizando o formalismo hamiltoniano desenvolvido especificamente em coordenadas canônicas de Jacobi (e.g., (Ferraz-Mello et al., 2005)), realizamos a expansãodo potencial perturbador utilizando o método de Laplace.

1.2 Ressonˆanciasde Movimentos M´edios

A descoberta de um planeta orbitando uma estrela dentro da sequênciaprincipal revelou-se um dos maiores feitos da Astronomia no final de séculopassado (Mayor e Que- loz, 1995), e impulsionou o desenvolvimento cient´ıficoe tecnológicoda área,atravésdo Se¸cão 1.2. Ressonânciasde Movimentos Médios 25 aperfei¸coamento de teorias e técnicascapazes de viabilizar a deteçcãode novos planetas extrasolares. Diante dos váriosquestionamentos acerca dos fenômenosf´ısicosque regem a dinâmica dos corpos celestes, éde grande importânciaa caracteriza¸cãode diferentes sistemas pla- netários,quanto ao seu comportamento, mediante a obten¸cãoe o estudo dos parâmetros que determinam suas propriedades f´ısicas. Sistemas planetárioscom mais de um planeta apresentam, em determinados casos, configura¸cõesorbitais ressonantes entre seus movimentos médios.Na literatura, tal fenômenoé formalmente conhecido como Mean Motion Resonance (MMR), literalmente, ressonância de movimentos médios. Nela, os per´ıodos orbitais dos planetas sãocomensuráveis, i.e., obedecem uma rela¸cãode proporcionalidade do tipo T2/T1 = (p + q)/p,(p, q ∈ Z), 1 e 2 referindo-se ao planeta de órbitainterna e externa, respectivamente. Nesses casos, fala-se em uma rela¸cãode ressonânciado tipo p + q : p, onde q denota a ordem da ressonância. No Sistema Solar, por exemplo, a maioria dos casos de MMR envolvem corpos menores, satélitesnaturais e asteróides. Nos caso dos planetas, époss´ıvel observar configura¸cões quase-ressonantes: um exemplo éo sistema Júpiter-Saturno(Michtchenko e Ferraz-Mello, 2001), que se encontra em quase-ressonância5:2. Nesse caso, os dois planetas gigantes nãoestãoenvolvidos diretamente em uma intera¸cãoressonante, mas mostram um modo oscilatórioconhecido como ‘Grande Desigualdade’. A existênciade sistemas exoplanetárioscaracterizados por comensurabilidades de movimentos médiosabriu um novo cenáriodentro do problema clássicode trêscorpos. Entre muitos aspectos, éinteressante mencionarmos o estudo de solu¸cõesde equil´ıbrio e determina¸cãode regiõesde estabilidade e caoticidade no espa¸code fases, para diferentes configura¸cõesde massas e condi¸cõesiniciais (Callegari et al., 2004; Michtchenko et al., 2006, 2008a; Beaugéet al., 2007; Alves et al., 2016). Ao longo da evolu¸cãode um sistema, a proximidade a uma ressonânciapode tanto conduzir a cenáriosde estabilidades quanto de instabilidades. Deste ponto de vista, percebe-se a importânciaem se compreender melhor as caracter´ısticasdo fenômeno, a fim de explicar/prever as circunstânciasde (in)estabilidade. Nos últimosanos, muitos estudos foram desenvolvidos quanto àquestãoda origem e estabilidade de sistemas ressonantes (Ferraz-Mello, 1987; Hadjidemetriou, 2002; Lee e Pe- ale, 2003; Beaugée Michtchenko, 2003). Em muitos deles, o foco manteve-se em encontrar 26 Cap´ıtulo1. Introdu¸cão os dom´ıniosde condi¸cõesiniciais e paramétricosque caracterizam configura¸cõesdinâmicas estáveis. Uma vez que as deteçcõesindiretas, em geral, nãoapresentam os parâmetros f´ısicos e orbitais precisos, tais estudos se mostram essenciais para a determina¸cãodos limites desses parâmetros. Embora a maioria dos trabalhos apresentados utilizem métodos numéricos,tem havido um esfor¸cono intuito de desenvolver modelos anal´ıticospara o estudo de sistemas ressonantes, no caso não-restrito(Holman e Murray, 1996; Murray et al., 2002; Lee e Peale, 2003; Beaugée Michtchenko, 2003), aplicando-se, por exemplo, as expansõesde Laplace da fun¸cãoperturbadora. O objetivo principal do presente trabalho édesenvolver uma expansãoanal´ıticapara o Hamiltonino de um problema de trêscorpos coplanar, considerando uma configura¸cão de ressonânciade movimentos médiosgeneralizada (p + q): p. Em seguida, aplicamos o modelo para o caso espec´ıficoda ressonânciade segunda ordem 3:1. Como um últimocomentário,atentemos para o seguinte fato: o tratamento teóricoque aqui desenvolvemos pode ser formalmente aplicado considerando tanto órbitasplanetárias ressonantes, em torno de estrelas, quanto órbitasressonantes de satélitesem torno de planetas. Assim, abre-se a possibilidade para, futuramente, utilizar nossos estudos para comparar as diferen¸casentre a dinâmicaressonante t´ıpica de sistemas planetários,e a dinâmicade satélitescapturados - ou nas proximidades - de uma MMR. Cap´ıtulo 2

Fundamenta¸c˜aoTe´oricado Problema de N-corpos

O conceito fundamental da Mecânicaéo de movimento: a varia¸cãoda posi¸cãoespacial de um objeto ou ponto material, em rela¸cãoa um dado referencial e no decorrer de um certo intervalo de tempo. Investigar as causas desse movimento éa proposta da Dinâmica: fornecido um conjunto de corpos interagentes, descrever as for¸casque agem sobre cada um deles, relacionar a resultante àacelera¸cãoe então,determinar a lei de movimento para os corpos, correspondente àquelereferencial. Nesse sentido, fica clara a importânciade se ter bem definida a ideia de referencial, ou sistema de referência. Debru¸car-sesobre um problema dinâmicopressupõeescolher o melhor referencial para tal problema. Nas se¸cãoa seguir, expomos o problema de (N+1)-corpos interagindo sob a a¸cão do potencial gravitacional. A proposta édescrever, utilizando o formalismo newtoniano (princ´ıpiofundamental da dinâmica),as leis de movimento para trêscasos t´ıpicosde referencial: inercial arbitrário,inercial baricêntrico, e (não-inercial)astrocêtrico. Em seguida, introduzimos o formalismo hamiltoniano, o qual seráadotado no desenvolvimento metodológicodo restante deste trabalho. Os conceitos fundamentais de variáveis canônicassãoapresentados nas últimasse¸cõesdo cap´ıtulo.

2.1 Integrais de Movimento

Nãoéposs´ıvel trabalhar o movimento de um sistema de corpos, sem antes especificar um referencial, em rela¸cãoao qual tal sistema se move. Nas próximassubse¸cões,tratamos de apresentar o problema de (N+1)-massas que interagem dentro do potencial gravitacional. Utilizamos o formalismo de for¸canewtoniano, atravésda Lei da Gravita¸cãoUniversal. O 28 Cap´ıtulo2. Fundamenta¸cãoTeóricado Problema de N-corpos problema éapresentado em trêssistemas de referência. Em cada um deles, mostramos a conserva¸cãodas importantes quantidades que caracterizam o sistema: as integrais de movimento. Ao final, o conceito de um dos casos de referencial éutilizado para introduzir as coordenadas de Jacobi (Duboshin, 1969).

2.1.1 Referencial inercial arbitr´ario

A solu¸cãoda equa¸cãode movimento de um corpo (princ´ıpiofundamental da dinâmica),

dx¨ F~ = M dt somente éalcan¸cável, com sentido f´ısicoadequado, quando se utiliza massas inerciais em um sistema de referênciainercial. Por inercial entendemos um sistema isento de acelera¸cão,i.e., que esteja imóvel ou em movimento retil´ıneo uniforme. Em rela¸cãoa este referencial, qualquer massa pontual nãoestarásob efeito de for¸casinerciais (ou pseudo- for¸cas) intr´ınsecas(por exemplo, a for¸cacentr´ıfugae a for¸ca de Coriolis). Nesta se¸cão, fazemos men¸cãoa um referencial inercial arbitrário,sobre o qual localizamos um ponto qualquer S, e que seráa origem do sistema de coordenadas. Seja tomado, então, o referencial inercial com origem no ponto S, e (N+1)-part´ıculas pontuais de massas mi nesse espa¸co. Denotaremos por ri (i = 0, 1, ...,N) os vetores de posi¸cãodos (N+1)-corpos em rela¸cãoao referencial, e pi = mir˙ i serãoos respectivos momentos lineares. A Fig. 2.1 ilustra tal sistema, para o caso de 4 corpos. Da Lei de Gravita¸cãoUniversal derivamos a equa¸cãode movimento do i-ésimocorpo:

N X Gmimj m ¨r = − (r − r ), (2.1) i i ∆3 i j j=0;j6=i ij onde G vem a ser a constante de gravita¸cãouniversal e ∆ij = |ri − rj| sãoas distâncias mútuasentre os corpos i e j. Teoricamente, para uma solu¸cão completa da Eq. (2.1), sãonecessárias6(N+1) constantes de integra¸cão. Se somarmos sobre os ´ındices i em (2.1), teremos

N N N X X X Gmimj m ¨r = − (r − r ) = 0. (2.2) i i ∆3 i j i=0 i=0 j=i+1 ij Se¸c˜ao2.1. Integrais de Movimento 29

Figura 2.1: Sistema exemplificando 4 corpos, com os vetores posi¸cãodados dentro de um sistema de coordenadas inercial arbitráriocom origem em S.

Integrando uma vez a equa¸c˜aoanterior, vem que

N N X X mir˙i = pi = ~a, (2.3) i=0 i=0 onde ~a = (a1, a2, a3) éum vetor constante de integra¸cão. A Eq. (2.3) determina a conserva¸cãodo momento linear total P do sistema. Integrando novamente,

N X ~ miri = ~at + b, (2.4) i=0 ~ e b = (b1, b2, b3) étambémum vetor constante de integra¸cão.A Eq. (2.4) fornece a equa¸cão do movimento do baricentro RB do sistema. Do momento linear total P = const têm-se trêsintegrais primeiras de movimento. Tomemos agora o seguinte produto vetorial:

N N N X X X Gmimj m r × ¨r = − r × (r − r ) = 0, i i i ∆3 i i j i=0 i=0 j=i+1 ij pois ri × rj = −rj × ri, e a somat´oria´etomada sobre todos os ´ındices.Mas

N N X d X dL m r × ¨r = m r × r˙ = = 0, (2.5) i i i dt i i i dt i=0 i=0 onde L éo momento angular total do sistema. L éuma constante de movimento, e a Eq. (2.5) fornece mais trêsintegrais do momento angular L = ~c, atravésdas trêscomponentes 30 Cap´ıtulo2. Fundamenta¸cãoTeóricado Problema de N-corpos constantes desse vetor. Escrevendo as componentes vetorias retangulares:

N X mi[yiz˙i − ziy˙i] = c1 = Lx, i=0 N X mi[zix˙i − xiz˙i] = c2 = Ly, (2.6) i=0 N X mi[xiy˙i − yix˙i] = c3 = Lz. i=0 A energia potencial do sistema ´edeﬁnida por

N N X X Gmimj U = − , (2.7) ∆ i=0 j>i ij e pode-se escrever

mi¨ri = −∇ri U, (2.8)

onde ∇ri ´eo operador gradiente dado por

∂ ∂ ˆ ∂ ∇ri = ˆı +ˆ + k . ∂xi ∂yi ∂zi

Tomamos o produto escalar r˙ i · (2.8), e somando sobre todos os ´ındices

N N X X dU m r˙ · ¨r = − r˙ · ∇ U = − . i i i i i dt i=0 i=0 Notando que d (r˙ · r˙) = 2r˙ · ¨r, dt então, X 1 d X dU m r˙ · ¨r = m r˙ 2 = − . i i i 2 dt i i dt i i Integrando em t, ficamos com N 1 X m r˙ 2 + U = E. (2.9) 2 i i i=0 E éuma constante de integra¸cãoescalar, e define a energia total do sistema. A Eq. (2.9)

éa integral de energia. O termo quadráticoem r˙ i éa energia cinética T dos corpos (T é uma fun¸cãohomogêneadas velocidades):

N N 1 X 1 X T = m r˙ 2 = m (x ˙ 2 +y ˙2 +z ˙2). (2.10) 2 i i 2 i i i i i=0 i=0 Se¸c˜ao2.1. Integrais de Movimento 31

A energia, o baricentro, o momento linear e o momento angular constituem as dez integrais clássicasdo problemas de N-corpos (ou, neste caso, de (N+1)-corpos), dadas respectivamente pelas Eqs. (2.9), (2.4), (2.3) e (2.7). Resolver a Eq. (2.1) significa resolver 3(N+1) equa¸cõesdiferenciais de 2a ordem. Esse númeropode ser reduzido, com a escolha adequada de uma mudan¸cade referencial, utilizando as integrais primeiras de movimento apresentadas.

2.1.2 Referencial baricˆentrico

Como mostrado anteriormente, o baricentro de um sistema de (N+1)-corpos tem sua equa¸cãode movimento satisfeita por uma fun¸cãolinear (movimento retil´ıneouniforme) (Eq. (2.4)). Um referencial centrado sobre este ponto espec´ıficoé,portanto, inercial. Vejamos como ficam as integrais de movimento. Introduzimos os vetores de posi¸cãorelativos ao baricentro do sistema de (N+1)-corpos

Ri = ri − RB, (2.11) onde N 1 X R = m r (2.12) B M i i i=0 PN e M = j=0 mj ´ea massa total do sistema. A Fig. 2.2 ilustra o sistema.

Figura 2.2: Sistema de 4 corpos, com os vetores posi¸c˜aodados em coordenadas referenciadas ao baricentro B do sistema.

Facilmente, verifica-se que ri − rj = Ri − Rj (distânciasmútuassãoconservadas, o que ¨ jáera esperado, pois independem do referencial). Da Eq. (2.4), tiramos RB = 0. Uma vez 32 Cap´ıtulo2. Fundamenta¸cãoTeóricado Problema de N-corpos que tomamos o baricentro como origem do novo sistema de referência, éfácilperceber que ˙ RB = 0 e RB = 0, e tem-se

N N N X X X ˙ miri = miRi = 0; miRi = 0. (2.13) i=0 i=0 i=0 Separando o ´ındice0, reservado para o que se conhece por corpo central, ficaremos com a seguinte rela¸cão N X mi R = − R . (2.14) 0 m i i=1 0 A equa¸cãodo movimento do i-ésimocorpo serádada entãopor

N X Gmimj Gm0mi m R¨ = − (R − R ) − (R − R ). (2.15) i i ∆3 i j ∆3 i 0 j=1;j6=i ij 0i

Agora, usando Eq. (2.14), temos que

N N X mj mi X mj Ri − R0 = Ri + Rj = Ri + Ri + Rj. m0 m0 m0 j=1 j=1;j6=i

Multiplicando a igualdade por m0mi, apósalgumas manipula¸cõessimples, obtém-se

N X m0mi(Ri − R0) = mi(m0 + mi)Ri + mimjRj. j=1;j6=i

Substituindo o resultado anterior em (2.15), obtéma equa¸cãode movimento do i-ésimo corpo.

N N X Gmimj(Ri − Rj) Gmi X m R¨ = − − (m + m )R + m R , (2.16) i i ∆3 ∆3 0 i i j j j=1;j6=i ij i0 j=1;j6=i onde i = 1, 2, ..., N. Facilmente, pode-se mostrar que

N X 0 L = miri × r˙ i = LB + L , i=0

˙ 0 onde LB = MRB × RB éconstante (verifica-se atravésde (2.4)), e L édado pela seguinte expressão: N N 0 X ˙ ˙ X ˙ L = miRi × (Ri + RB) + miRB × Ri = cte, (2.17) i=0 i=0 uma vez que a rela¸cãode conserva¸cãodo momento angular total L deve continuar sendo satisfeita. Se¸cão2.1. Integrais de Movimento 33

Para o referencial centrado no baricentro do sistema, valem as rela¸c˜oes(2.13), de maneira que pode-se, neste sistema, escrever:

N 0 X ˙ L = miRi × Ri, (2.18) i=0 quantidade que vem a ser o momento angular total do sistema calculado em rela¸cãoao baricentro. A inercialidade do sistema nos garante a conserva¸cãodo momento angular respectivo, i.e., L0 = c~0, onde c~0 éum vetor constante. Usando Eq. (2.14) na equa¸cãoanterior, obteremos

" N N # N 0 1 X X ˙ X ˙ L = mjRj × mj0 Rj0 + miRi × Ri. (2.19) m0 j=1 j0=1 i=1 As componentes retangulares ser˜aodadas, portanto, pelas seguintes express˜oes:

" N N N N # N 1 X X ˙ X X ˙ X ˙ ˙ 0 mjYj mj0 Zj0 − mjZj mj0 Yj0 + mi(YiZi − ZiYi) = c1, m0 j=1 j0=1 j=1 j0=1 i=1 " N N N N # N 1 X X ˙ X X ˙ X ˙ ˙ 0 mjZj mj0 Xj0 − mjXj mj0 Zj0 + mi(ZiXi − XiZi) = c2, (2.20) m0 j=1 j0=1 j=1 j0=1 i=1 " N N N N # N 1 X X ˙ X X ˙ X ˙ ˙ 0 mjXj mj0 Yj0 − mjYj mj0 Xj0 + mi(XiYi − YiXi) = c3. m0 j=1 j0=1 j=1 j0=1 i=1 De maneira análogaàanterior, podemos abrir a equa¸cãopara a energia cinéticado sistema. Partindo da Eq.(2.10), temos

N N 1 X 1 X T = m r˙ 2 = m (R˙ + R˙ )2 2 i i 2 i B i i=0 i=0 N 1 X h i = m R˙ 2 + 2R˙ · R˙ + R˙ 2 2 i B B i i i=0 N N 1 1 X X = MR˙ 2 + m R˙ 2 + R˙ · m R˙ = T + T 0, (2.21) 2 B 2 i i B i i B i=0 i=0 1 ˙ 2 onde definimos TB = 2 MRB. No referencial baricêntrico, usamos novamente a Eq.(2.13), e N 1 X T 0 = m R˙ 2 2 i i i=0 nada mais éque a energia cinéticados (N+1)-corpos relativa àorigem sobre o baricentro. Da Eq.(2.14), temos que

N N !2 X mj 1 X R˙ = − R˙ ⇒ R˙ 2 = m R˙ 0 m j 0 m2 j j j=1 0 0 j=1 34 Cap´ıtulo2. Fundamenta¸c˜aoTe´oricado Problema de N-corpos

Substituindo na express˜aode T 0, vem que

N !2 N 1 X 1 X T 0 = m R˙ + m R˙ 2, (2.22) 2m j j 2 i i 0 j=1 i=1 e a integral de energia T 0 + U = E0 ´ev´alida,com U dada pela Eq.(2.7) e E0 sendo uma

0 constante que satisfaz E = E − TB. Vemos, de Eq.(2.15), que a escolha por tal sistema de referêncianãoreduz o númerode equa¸cõesdiferencias a serem resolvidas: temos ainda 6(N+1) equa¸cões,e continuamos com as dez integrais primeiras. As fórmulas apresentadas para este caso de referencial podem ser de grande utilizadade para trabalhos de determina¸cãode órbitasa partir dos dados de velocidade radial, por exemplo. Alémdisso, utilizar o centro de massa como referênciaéo fundamento por trásdas coordenadas de Jacobi, conforme veremos mais adiante.

2.1.3 Referencial astrocˆentrico

As equa¸cõesdo movimento podem ser facilmente reduzidas para 6N equa¸cõesse tomar- mos como origem do referencial um dos próprioscorpos do sistema, o qual seráchamado corpo central. Em Astronomia, este éo referencial naturalmente escolhido, chamado as- trocêntrico. Introduzimos, então,os vetores de posi¸cãoem rela¸cãoao corpo central, ao se escolher a origem do sistema sobre m0:

0 ri = ri − r0. (2.23)

A Fig. 2.3 apresenta a ilustra¸cãodo caso. Nesse caso, perde-se o caráterinercial do sistema, uma vez que o movimento dos N- corpos estaráreferenciado ao corpo m0, que tambémtem movimento acelerado, segundo a Eq. (2.1) dado por N N X Gmj X Gmj ¨r = (r − r ) = r0 . (2.24) 0 ∆3 j 0 ∆3 j j=1 0j j=1 0j Agora, temos que

0 mi¨ri = mi(¨ri + ¨r0). A equa¸cãode movimento do i-ésimocorpo (i 6= 0) fica

N X Gmimj m ¨r0 = − (r0 − r0 ) − m ¨r = i i ∆3 i j i 0 j=0;j6=i ij N N Gmim0 X Gmimj X Gmimj = − r0 − (r0 − r0 ) − r0 , (2.25) r3 i ∆3 i j r3 j i j=1;j6=i ij j=1 j Se¸c˜ao2.1. Integrais de Movimento 35

Figura 2.3: Sistema de 4 corpos, com os vetores posi¸c˜aodados em coordenadas referenciadas ao corpo de massa m0.

onde introduzimos a distânciaastrocêntrica ri = ∆0i. Na expressãoanterior, o primeiro termo do lado direito representa a intera¸cãogravitacional entre a massa m0 e o i-ésimo corpo; o segundo termo determina as intera¸cõesentre este últimoe os demais (N-1)- corpos, enquanto que o último termo estárelacionado àacelera¸cãoda massa central m0. Se separarmos a contribui¸cãodo corpo i deste últimotermo, podemos finalmente escrever

N 0 0 0 G(m0 + mi) X ri − rj rj ¨r0 = − r0 − Gm + . (2.26) i r3 i j ∆3 r3 i j=1;j6=i ij j

O primeiro termo da expressãoacima tem a forma da equa¸cãode movimento para o problema de dois corpos: denota a intera¸cãogravitacional entre a i-ésimapart´ıculae o centro de for¸cade massa m0 + m1. O segundo termo trata-se do termo perturbativo do movimento do corpo, e édividido em duas partes: a primeira parte éa perturba¸cãodireta, devida àmútua intera¸cãogravitacional entre o i-ésimocorpo e os (N-1)-corpos restantes; a segunda parte, a perturba¸cãoindireta, éresultante da a¸cãodas (N-1)-massas acelerando o corpo central. Sejam definidas as fun¸cões

0 0 1 ri · rj Rij = −G − 3 . (2.27) ∆ij rj Tem-se que 0 mj rj mj∇iRij = −G∇i − mj 3 ∆ij rj 36 Cap´ıtulo2. Fundamenta¸cãoTeóricado Problema de N-corpos e N N N 0 X G X 1 X rj mj∇iRij = − mimj∇i − G mj 3 . mi ∆ij r j=1;j6=i j=1;j6=i j=1;j6=i j Combinando este últimoresultado com Eq.(2.26), vem que

N G(m0 + mi) X ¨r0 = − r0 + m ∇ R . (2.28) i r3 i j i ij i j=1;j6=i

A Eq.(2.28) éfundamental. Se os Rij forem nulos, fica-se com as equa¸cõesde movimento t´ıpicasdo problema de dois corpos. Os termos de Rij causam as perturba¸cõesno movimento do i-ésimocorpo: definem, assim, a quantidade f´ısicadenomida fun¸cãoperturbadora. O momento angular total do sistema pode ser escrito como

N N X X 0 0 L = miri × r˙ i = mi(r0 + ri) × (r˙ 0 + r˙ i). i=0 i=0

0 0 Da defini¸cãoadotada para as coordenadas, r0 = 0 = r˙ 0. Então

N X 0 0 0 0 L = Mr0 × r˙ 0 + mi [r0 × r˙ i + ri × r˙ 0 + ri × r˙ i] i=1 N N X 0 X 0 0 = r0 × [Mr˙ 0 + mir˙ i] + miri × (r˙ 0 + r˙ i). i=1 i=1 A expressão anterior fornece o momento angular do sistema em termos das coordenadas astrocêntricas e das respectivas velocidades astrocêntricas. O primeiro termo em colchetes pode ser expandido, e encontraremos que

N N N X X 0 X 0 r˙ 0(m0 + mi) + mir˙ i = m0r˙ 0 + mi(r˙ 0 + r˙ i) = i=1 i=1 i=1 N N X X = m0r˙ 0 + mir˙ i = mir˙ i. i=1 i=0 Finalmente, ﬁcamos com a seguinte express˜aopara o momento angular do sistema:

N N X X 0 0 L = r0 × mjr˙ j + mjrj × (r˙ 0 + r˙ j). (2.29) j=0 j=1

Agora, retomando o referencial baricêntrico, valem as rela¸cõesdadas pela Eq.(2.13). O primeiro termo da expressãoanterior énulo, e podemos calcular o momento angular em coordenadas astrocêntricas utilizando a Eq.(2.19) para o momento angular no referencial baricêntrico. Se¸cão2.1. Integrais de Movimento 37

0 Uma vez que ri = Ri − R0, usando Eq.(2.14), ﬁcamos com N N X X MR0 = − mjRj + mjR0 = j=1 j=1 N N X X 0 = − mj(Rj − R0) = − mjrj, j=1 j=1 e facilmente chega-se a N 1 X R = r0 − m r0 . (2.30) i i M j j j=1

Multiplicando a equa¸cãoanterior por mi, e somando sobre o ´ındice i, de 1 a N, vem que N " N N # N X 1 X X m0 X m R = M m r0 − (M − m ) m r0 = m r0 . i i M i i 0 j j M i i i=1 i=1 j=1 i=1 Substituindo as rela¸cõesobtidas anteriormente nos termos respectivos da Eq.(2.19), teremos " N N # 0 1 m0 X 0 m0 X 0 L = mjrj × mj0 r˙ j0 + m0 M M j=1 j0=1 N ( " N # " N #) X 1 X 1 X + m r0 − m r0 × r˙ 0 − m r˙ 0 . (2.31) i i M j j i M j j i=1 j=1 j=1 Se explicitarmos o produto vetorial, apósalgum algebrismo, teremos finalmente a expressão para o momento angular, utilizando somente as coordenadas astrocêntricas N N N 1 X X X L0 = − m r0 × m r˙ 0 + m r0 × r˙ 0 . (2.32) M j j j j i j i j=1 j=1 i=1 Em termos das componentes retangulares, ficaremos com " N N N N # N 1 X X X X X L0 = − m y0 m z˙0 − m z0 y˙0 + m [y0 z˙0 − z0y˙0 ] = c0 , x M j j j j j j j i j i i j 1 j=1 j=1 j=1 j=1 i=1 " N N N N # N 1 X X X X X L0 = − m z0 m x˙0 − m x0 z˙0 + m [z0 x˙0 − x0 z˙0 ] = c0 , (2.33) y M j j j j j j j i j i i j 2 j=1 j=1 j=1 j=1 i=1 " N N N N # N 1 X X X X X L0 = − m x0 m y˙0 − m y0 x˙0 + m [x0 y˙0 − y0x˙0 ] = c0 . z M j j j j j j j i j i i j 3 j=1 j=1 j=1 j=1 i=1 A mesma considera¸cãoéfeita para calcular a energia cinética,e aplicamos as mesmas substitui¸cõesna Eq.(2.22). Apósalgum cálculo,encontra-se

N !2 N 1 X 1 X 2 T 0 = − m r˙ 0 + m r˙0 , (2.34) 2M j j 2 i i j=1 i=1 e a integral de energia é E0 = T 0 + U. 38 Cap´ıtulo2. Fundamenta¸cãoTeóricado Problema de N-corpos

2.1.4 Coordenadas de Jacobi

Na teoria de dinâmicade muitos corpos, as coordenadas de Jacobi sãofrequentemente utilizadas a fim de se obter uma formula¸cãomatemáticamais simples (Duboshin, 1969), do ponto de vista da possibilidade de redu¸cãodo númerode graus de liberdade. Neste sistema, a posi¸cãoe velocidade do corpo 1 estãoreferenciadas àuma origem fixa no corpo 0; a partir disso, o i-ésimocorpo tem seus vetores posi¸cãoe velocidade tomados em rela¸cão ao centro de massa dos (i − 1)-corpos anteriores. A figura abaixo ilustra a explica¸cão,para o caso de 4 corpos.

Figura 2.4: Sistema de 4 corpos, com os vetores posi¸c˜aodados para um sistema de coordenadas de Jacobi.

O ponto B1 ´eo baricentro de m0 e m1. B2 ´eo baricentro de m0, m1 e m2.

Assim, partindo de um sistema de referênciainercial arbitrário,tomamos %i (i = 1, 2, ..., N) como o novo conjunto de vetores posi¸cão,definidos da seguinte maneira:

%1 = r1 − r0, 1 %2 = r2 − (m0r0 + m1r1), σ1 1 %3 = r3 − (m0r0 + m1r1 + m2r2), (2.35) σ2 ... 1 %N = rN − (m0r0 + m1r1 + ... + mN−1rN−1). σN−1 onde introduzimos k X σk = mj. j=0 Se¸c˜ao2.1. Integrais de Movimento 39

De forma mais geral, podemos escrever

%k = rk − gk−1, (2.36)

onde gk−1 ´eo baricentro dos (k − 1)-corpos tomados anteriormente, de tal modo que

k X σkgk = mjrj. (2.37) j=0

Temos entãoque k−1 1 X % = r − m r , (k = 1, 2, ..., N). (2.38) k k σ j j k−1 j=0 Algumas importantes rela¸cõesentre as coordenadas podem ser obtidas, e sãoexpostas a seguir (Duboshin, 1969).

Multiplicando a Eq.(2.38) por σk−1:

k−1 1 X % = m (r − r ). (2.39) k σ j k j k−1 j=0

Da Eq.(2.37), vem que

k k−1 X X σkgk − σk−1gk−1 = mjrj − mjrj = mkrk. (2.40) j=0 j=0

Usando que gk = rk+1 − %k+1, e mk = σk − σk−1 na expressãoanterior, apósalguns cálculos,encontraremos a rela¸cão:

σk−1 rk+1 − rk = %k+1 − %k, (k = 0, 1, 2, ..., N). (2.41) σk

Somando sobre o ´ındice k, de 0 a i − 1, tem-se:

i−1 i−1 i−1 i−1 X X X X σk−1 rk+1 − rk = %k+1 − %k ⇒ σk k=0 k=0 k=0 k=1 σ0 σ1 σi−2 ⇒ ri − r0 = (%1 + %2 + ... + %i) − %1 + %2 + ... + %i−1 ⇒ σ1 σ2 σi−1 i−1 X mk ⇒ ri − r0 = %i + %k. (2.42) σk k=1

E´ poss´ıvel obter, da Eq.(2.42),

N X mk r0 = gN − %k, (2.43) σk k=1 40 Cap´ıtulo2. Fundamenta¸c˜aoTe´oricado Problema de N-corpos e desse resultado, seguem

N X mk ri = %i + gN − %k, (2.44) σk k=i j−1 X mk rj − ri = %j − %i + %k, (j > i). (2.45) σk k=i Particularmente, se estabelecermos o baricentro como nosso sistema de referênciainer- cial, então gN = 0 nas equa¸cões acima. Agora, das Eqs.(2.36) e (2.40), vem que

mi%i = σigi − σigi−1, (2.46) e ﬁcamos com

miri = σigi − σi−1gi−1, (2.47)

mi%i = σigi − σigi−1. (2.48)

Da Eq.(2.48), apósexaustivo algebrismo, époss´ıvel chegar àexpressãoa seguir

2 miσi−1 2 2 2 mir˙ i − %˙i = σig˙ i − σi−1g˙ i−1 ⇒ σi−1 N N X X miσi−1 ⇒ m r˙ 2 − %˙2 = σ g˙ 2 − σ g˙ 2. i i σ i N N 0 0 i=0 i=0 i−1 Novamente utilizando a ideia do referencial baricˆentrico, vem que

N N X 2 X 2 mir˙ i = µ˜i%˙i , (2.49) i=0 i=0 onde deﬁnimos a massa reduzida da formula¸c˜aode Jacobi:

miσi−1 µ˜i = . (2.50) σi

Em termos das coordenadas jacobianas, mostra-se muito complicado escrever explicitamente a equa¸cãode movimento newtoniana para um corpo sob a a¸cãogravitacional de N massas. No ApêndiceA, apresentamos as formas anal´ıticasdessas equa¸cõespara o problema de trêscorpos. De maneira mais geral, temos que (Duboshin, 1969)

µ˜i%ï = −∇%i U, (i = 1, 2, ..., N), (2.51) Se¸cão2.2. Formalismo Hamiltoniano 41 onde U édada pela Eq.(2.7) e, para o cálculodo gradiente, usamos Eq.(2.45) para reescrever cada ∆ij em termos das quantidades %i. Se definimos, em termos de coordenadas retangulares, os vetores posi¸cão %ï = (ξi, ηi, ζi), entãoo operador diferencial édado por

∂ ∂ ˆ ∂ ∇%i = ˆı +ˆ + k . (2.52) ∂ξi ∂ηi ∂ζi

O momento angular total do sistema ´eexpressado como

N N X X L = miri × r˙ i = m0r0 × r˙ 0 + miri × r˙ i = i=0 i=1 N N X mk X mk = MgN × g˙ N + m0 %k × %˙k + σk σk k=1 k=1 N N ! N ! X X mk X mk + mi %i − %k × %˙i − %˙k , (2.53) σk σk i=1 k=1 k=1 e ´eposs´ıvel escrever (Duboshin, 1969)

N X L = LB + µ˜i%i × %˙i. (2.54) i=1 Em coordenadas retangulares (ξ, η, ζ), reduzimos novamente ao referencial baricˆentrico, e ﬁcamos com

N X ˙ 0 µ˜i(ηiζi − ζiη˙i) = c1, i=1 N X ˙ ˙ 0 µ˜i(ζiξi − ξiζi) = c2, (2.55) i=1 N X ˙ 0 µ˜i(ξiη˙i − ηiξi) = c3. i=1 Usando a igualdade estabelecida pela Eq.(2.49), pode-se expressar a energia cin´etica do sistema. N !2 N 1 1 X 1 X T = MR˙ 2 + T 0 = m R˙ + µ˜ %2. (2.56) 2 B 2M i i 2 i i i=0 i=1

2.2 Formalismo Hamiltoniano

Na se¸cãoanterior, apresentamos as integrais de energia e momento angular e as respectivas equa¸cõesde movimento para um problema de (N+1)-corpos, em diferentes sistemas de coordenadas, utilizando somente o formalismo newtoniano. Pode-se, também,optar 42 Cap´ıtulo2. Fundamenta¸cãoTeóricado Problema de N-corpos por outros tipos de formula¸cõesmatemáticas,como Lagrange e Hamilton. Neste trabalho, optamos pela aplica¸cãodo formalismo hamiltoniano. Introduziremos, a seguir, alguns conceitos importantes a esse respeito.

2.2.1 Princ´ıpiode Hamilton

Seja tomado um sistema definido por n coodenadas generalizadas qi (i = 1, 2, ..., n). Tem-se, em outras palavras, um sistema de n graus de liberdade. Seja T (q, q˙) a energia cinéticadesse sistema, definida como uma fun¸cãodas velocidades generalizadasq ˙i (i = 1, 2, ..., n); e U(q, t) a energia potencial do sistema, independente das velocidades. Portanto, o sistema éconservativo. O momento generalizado conjugado a coordenada qi édefinido como ∂T pi = , (2.57) ∂q˙i e o Hamiltoniano do sistema édado por

n X H = H(q, q,˙ t) = piq˙i − T (q, q˙) + U(q, t). (2.58) i=1 Segundo o princ´ıpiode Hamilton (Hamilton, 1834), a a¸c˜aodo sistema entre os instantes de tempo t1 e t2, deﬁnida pela integral

" n # Z t2 X A = piq˙i − H dt, (2.59) t1 i=0 éestacionáriaperante varia¸cõesarbitráriasdas solu¸cõesentre os estados inicial e final. Equivalentemente, escreve-se δA = δ R t2 Ldt = 0, onde L = L(q, q,˙ t) éa fun¸cãoLagrange- t1 ana do sistema: n X L = T (q, q˙) − U(q, t) = piq˙i − H. (2.60) i=0 Aplicando as equa¸cõesde Euler-Lagrange (Lemos, 2007; Thornton e Marion, 2004) para resolver o problema variacional de (2.59), obtêm-seas seguintes rela¸cões:

∂H ∂H q˙i = , p˙i = − . (2.61) ∂pi ∂qi Essas equa¸cõessãoconhecidas como equa¸cõesde Hamilton, ou equa¸cõescanônicasde movimento, e formam um conjunto de 2n equa¸cõesdiferenciais de primeira ordem. As variáveis qi e pi sãodenominadas variáveiscanônicas, e qualquer sistema dinâmicocapaz de ser caracterizado pela Eq.(2.61) échamado sistema hamiltoniano. Se¸cão2.2. Formalismo Hamiltoniano 43

Se o sistema for autônomo,i.e., H nãodepende de t, e o potencial étal que as for¸cas generalizadas podem ser derivadas segundo fi = ∇iU(q), entãoo Hamiltoniano equivale à energia total do sistema.

2.2.2 Transforma¸c˜oesCanˆonicas

Quando o Hamiltoniano éindependente de uma ou mais variáveis canônicas,diz-se entãoque tais variáveis são c´ıclicas, e a Eq.(2.61) implica que as respectivas variáveis conjugadas sãoconstantes de movimento. Pode-se, então,pensar em alguma maneira de se construir um Hamiltoniano segundo tais caracter´ısticas,de forma a simplificar as equa¸cõesdo sistema e facilitar a obten¸cãode uma solu¸cãocompleta. Tal procedimento époss´ıvel atravésda aplica¸cãode uma transforma¸cãocanônica: trata-se de uma transforma¸cãodo conjunto de coordenadas, de maneira tal que se pre- serve a forma canônicadas equa¸cões,i.e., as equa¸cõesde Hamilton continuam válidaspara as novas coordenadas.

Se considerarmos uma mudan¸cadas variáveis canônicasoriginais (qi, pi) para um novo conjunto (Qi,Pi), dado em fun¸cãodo primeiro conjunto,

Qj = Qj(q, p, t), (2.62)

Pj = Pj(q, p, t), (2.63) tal transforma¸cãoserádita canônicase

˙ ∂K ˙ ∂K Qj = , Pj = − (j = 1, 2, ..., n), (2.64) ∂Pj ∂Qj para alguma nova fun¸cão K(Q, P ). Uma das importantes aplica¸cõesdeste conceito consiste em buscar uma transforma¸cão na qual o novo Hamiltoniano dependa explicitamente apenas dos novos momentos Pi. Dessa forma, as equa¸cõesde Hamilton podem ser imediatamente integradas, uma vez que os novos momentos serãoconstantes:

˙ ∂K Pj = − = 0 ⇒ Pj = const. ∂Qj ˙ ∂K Qj = ≡ Ωj(P ) = const ⇒ Qj(t) = Qj0 + Ωj(P )t. ∂Pj 44 Cap´ıtulo2. Fundamenta¸c˜aoTe´oricado Problema de N-corpos

Equivalentemente, pode-se dizer que a transforma¸cãocanônicapreserva o Princ´ıpiode Hamiton. Assim, nas novas variáveis,

" n # Z t2 X ˙ δ PiQi − K(Q, P, t) dt = 0. t1 i=1 Comparando com (2.59), tem-se

" n n # Z t2 X X ˙ δ piq˙i − PiQi − (H − K) dt = 0. (2.65) t1 i=1 i=1 Resolvendo a últimaequa¸cão,encontra-se a solu¸cãopara a transforma¸cão. Pode-se inserir, de fato, uma diferencial exata de uma fun¸cãoarbitrária S das variáveis consideradas, dentro do sinal de integra¸cão,sem alterar-se o resultado. Uma vez que as 4n variáveis qi, pi,Qi,Pi nãosão independentes, toma-se arbitrariamente 2n variáveis independentes para a fun¸cão S. A partir de (2.65), obtém-se:

" n n # X X dS = pidqi − PidQi − (H − K) dt. (2.66) i=1 i=1 A fun¸cão S édenominada fun¸cãogeratriz da transforma¸cãocanônica. Escolhendo S = S(q, P ), da Eq.(2.66) obtêm-seas equa¸cõesda transforma¸cãocanônicadas variáveis:

∂S ∂S pi = ,Qi = . (2.67) ∂qi ∂Pi

A rela¸cãoentre os Hamiltonianos antes e depois da transforma¸cãoédada por

∂S K = H + . ∂t

Quando S independe do tempo, então K = H, e a transforma¸cãoédita conservativa.

2.2.3 Teoria de Hamilton-Jacobi

A idéiaprincipal da teoria hamiltoniana é,dado um sistema dinâmico,descrito por um Hamiltoniano espec´ıfico,por intermédiode transforma¸cõescanônicasoperadas sobre as variáveis de estado desse sistema, obter um novo Hamiltoniano, mais simples que o primeiro. De maneira ideal, espera-se que a transforma¸cãocanônicaempregada seja capaz de fornecer um novo Hamiltoniano dependente somente um dos momentos, i.e, possuindo apenas um grau de liberdade. Se¸cão2.2. Formalismo Hamiltoniano 45

Tomemos um sistema conservativo de n graus de liberdade. Seja o Hamiltoniano H(q, p) independente do tempo, e φ a transforma¸cãocanônicadefinida por (2.67), i.e. φ :(q, p) ⇒ (Q, P ). Busca-se um Hamiltoniano transformado K dependente somente de uma das novas variáveis canônicas.Assim:

K(Q, P ) = P1. (2.68)

Tem-se, ent˜ao,um novo sistema hamiltoniano trivial. A energia desse sistema ´edada por

E = P1, e a solu¸c˜aogeral ´e:

Q1 = t + α1,P1 = β1 = E,

Qµ = αµ,Pµ = βµ (µ = 2, 3, ..., n). (2.69)

onde αi, βi (i = 1, 2, ..., n) sãoconstantes de integra¸cão. Arbitrariamente, impomos que φ define uma transforma¸cãoconservativa, e portanto

H(q, p) = K(Q, P ). (2.70)

Seja S(q, P ) a fun¸cãogeratriz da transforma¸cão.Introduzindo (2.67) em (2.70), obtem-se a equa¸cãode Hamilton-Jacobi

∂S H qi, = P1 = E (2.71) ∂qi

A equa¸cãoacima éuma equa¸cãodiferencial parcial de primeiro grau nas n variáveis independentes q1, q2, ..., qn, e E ésomente um parâmetro. A solu¸cãode (2.71), S, deve ser uma fun¸cãode 2n variáveis. Nesse caso, os valores dos Pi sãotomados das respectivas constantes de integra¸cão βi. Conhecida a solu¸cãocompleta S(q, P ), a solu¸cãopara o sistema dinâmicoédada por

∂S(q, β) t + α1 = Q1 = , ∂β1 ∂S(q, β) αµ = Qµ = . (2.72) ∂βµ

2.2.4 Movimentos Periódicos:Variáveis de Angulo-A¸cãoˆ

Sistemas periódicosse mostram de grande importânciaem praticamente todos os ramos da F´ısica,e entre estes, destacamos a Mecânica Celeste. Problemas de dinâmicaenvolvendo fenômenosde ressonânciasãomodelados por meio de tais sistemas. 46 Cap´ıtulo2. Fundamenta¸cãoTeóricado Problema de N-corpos

Um sistema cujo Hamiltoniano nãodepende explicitamente do tempo échamado se- parável se, para o conjunto de coordenadas generalizadas (q1, q2, ..., qn), existe uma integral completa da equa¸cão2.71 independente do tempo, tal que

S(q1, q2, ..., qn, β1, β2, ..., βn) = S1(q1, β1, β2, ..., βn) + ... + Sn(qn, β1, β2, ..., βn). (2.73)

No caso de um sistema separ´avel, temos que:

∂S pi = = fi(qi, β1, β2, ..., βn). (2.74) ∂qi

A equa¸cãoanterior vem a ser proje¸cãosobre o plano (qi, pi) do movimento que o sistema realiza no espa¸code fase. Um sistema separável édito multiperiódicose a proje¸cãodo movimento sobre cada plano (qi, pi) étal que satisafa¸cauma das seguintes condi¸cões:

• a curva pi(qi, β) ´efechada, e qi oscila periodicamente entre dois limites deﬁnidos

qi,1 = ai e qi,2 = bi. A variável qi pode ser tanto um ânguloou um uma distância linear, e seu movimento caracter´ısticoédenominado libra¸cão;

• pi éuma fun¸cãoperiódicade qi, com per´ıdo qi,0, mas qi nãoéfun¸cãoperiódica do tempo. Refere-se a este caso usualmente como rota¸cão ou circula¸cão.

A dinâmicade sistemas multiperiódicospode ser abordada atravésdas variáveis de a¸cãoe ângulo,com as quais époss´ıvel calcular as frequênciast´ıpicasdo movimento. Tal advento foi introduzido originalmente por Delaunay na Astronomia. No caso de n graus de liberdade, as variáveis de a¸cãosãodefinidas da seguinte forma

1 I J = p dq , (2.75) i 2π i i com as integrais extendendo-se por um per´ıodo de libra¸cãoou de circula¸cão.As a¸cões Ji sãoidentificadas como os novos momentos Pi de uma dada transforma¸cãocanônica.

As variáveis canônicas conjugadas a Ji, chamadas de variáveis angulares ϕi, sãodadas por ∂S ϕi = . (2.76) ∂Ji Se¸cão2.3. Equa¸cõesde Hamilton para o problema de (N+1)-corpos 47

2.3 Equa¸c˜oesde Hamilton para o problema de (N+1)-corpos

Nas duas subse¸cõesa seguir, apresentamos o problema de (N+1)-corpos na perspectiva do formalismo de Hamilton da Mecânica. Definimos as equa¸cõesde movimento somente para o referencial baricêntrico.

2.3.1 Referencial Baricˆentrico

Denotemos por Xi (i = 0, 1, ..., N) os vetores de posi¸cãocom respeito a um referencial ˙ inercial (baricêntrico), sendo pi = miXi os respectivos momentos (lineares) conjugados. O Hamiltoniano do sistema fornece a energia total (2.9), e éescrito como

N 2 N N 1 X p X X Gmimj H = i − (2.77) 2 m ∆ i=0 i i=0 j=i+1 ij Notamos, novamente, que H = H(X, p) ´eum sistema de ordem 6(N+1), ou, equivalentemente, de 3(N+1) graus de liberdade.

As variáveis Xi e pi sãocanônicas,e portanto satisfazem (2.61):

dXi pi = ∇pi H = , (2.78) dt mi N dpi X Gmimj = −∇ H = − (X − X ). (2.79) dt Xi ∆3 i j j=0,j6=i ij Atravésde (2.78) e (2.79), no lugar de 3(N+1) equa¸cõesdiferenciais de segunda ordem em Xi, como em (2.4), têm-se6(N+1) equa¸cõesdiferenciais de primeira ordem, nas variáveis Xi e pi. E´ poss´ıvel reduzir o sistema para 3N graus de liberdade, utilizando as integrais de movimento clássicas(leis de conserva¸cãodos momentos, centro de massa e energia). De outro modo, ainda pode-se reduzir o númerode graus de liberdade para 3N adotando novas variáveis canônicas. Explicitamos abaixo duas abordagens clássicaspara o tratamento do problema de (N+1)-corpos.

2.4 Vari´aveis Canˆonicasde Jacobi

Em MecânicaCeleste, hádois conjuntos especiais de variáveis, que sãocanônicase que, alémdisso, permitem que o Hamiltoniano de um sistema de (N+1)-corpos seja reduzido a 3N graus de liberdade. 48 Cap´ıtulo2. Fundamenta¸cãoTeóricado Problema de N-corpos

O primeiro conjunto éobtido atravésdo conceito de transforma¸cõescanônicas,utilizando as coordenadas de Jacobi. O segundo égerado por uma trasforma¸cãocanônica definida por Poincaré(Laskar, 1991). Jáconhecemos a defini¸cãodas variáveis de Jacobi. Usando a nota¸cãoestabelecida anteriormente para as coordenadas do sistema inercial, de forma mais geral, tem-se:

k−1 1 X % = X − m X (2.80) k k σ j j k j=0

(k = 1, 2, ..., N ), onde k X σk = mj. j=0 A fim de completar o conjunto de vetores que descrevem a posi¸cãodos (N+1)-corpos, definimos: N 1 X % = m X (= 0). (2.81) 0 σ j j N j=0

Agora, háque se definir os novos momentos, conjugados àscoordenadas %k. O conjunto de novos momentos édeterminado de maneira tal que a condi¸cãode canonicidade (2.66) seja PN obedecida, i.e., j=0(pjdXi − πjd%j) = 0, onde πj designa os novos momentos. Pode-se PN R tambémpartir da fun¸cãogeratriz S(X, π) = i=0 %idπi. Os momentos originais podem ser obtidos da rela¸cão pi = ∇Xi S(X, π) (Ferraz-Mello et al., 2005). Calculando os N+1 momentos, teremos:

m1π2 m1π3 m1πN m1π0 p1 = π1 − − − ... − + σ1 σ2 σN−1 σN m2π3 m2πN m2π0 p2 = π2 − − ... − + (2.82) σ2 σN−1 σN ...

m0π0 m0π2 m0π3 m0πN p0 = − π1 − − − .... − σN σ1 σ2 σN−1

Aplicando o resultado anterior na expressãopara a energia cinética T, apósalgum exaustivo algebrismo, chega-se a

N π2 X π2 T = 0 + k , (2.83) 2σN 2˜µk k=1 Se¸cão2.5. Variáveis Canônicasde Poincaré 49

ondeµ ˜k éa massa reduzida da formula¸cãode Jacobi definida em (2.50). O Hamiltoniano do sistema édado entãopor

2 N 2 N N π X π X X Gmimj H = 0 + k − . (2.84) 2σN 2˜µk ∆ij k=1 i=0 j>i

Sabemos de antemãoque ∆ij = |Xi − Xj|. Mas, de (2.45), percebe-se que ∆ij depende somente dos vetores %1, %2, ..., %N , isto é, %0 éuma coordenada ignorável no Hamiltoniano

(portanto, c´ıclica). Sendo assim, π0 éconstante. Temos então: (i) pelas equa¸cõesde Hamilton

∂H π0 π˙ 0 = − = 0; %˙0 = ∇π0 H = (= const); (2.85) ∂%0 σN

(ii) assumindo π0 = 0 (podemos fazê-lo,pois π0 éconstante), a redu¸cãodo Hamiltoni- ano éimediata N X π2 H = k + U. (2.86) ˜ k=1 2βk

Escrevemos agora o Hamiltoniano na forma H = H0 + H1, onde

N 2 ˜ ! X πk Gσkβk H0 = − , (2.87) ˜ ρk k=1 2βk N N N X X mkmj X m0 σk−1 H1 = − G − Gmk − , (2.88) ∆kj ∆0k ρk k=1 j=k+1 k=1 onde ρk = |%k|.

As fun¸cões H0 e H1 definem um sistema de 3N graus de liberdade nas variáveis canônicas(%k, πk), k = 1, 2, .., N.

Nas equa¸cõesanteriores, H0 define a parte nãoperturbada do Hamiltoniano, enquanto que H1 éo termo devido àsperturba¸cões´ıntrinsecas do sistema.

2.5 Variáveis Canônicasde Poincaré

Na formula¸cãode Poincaré,as variáveis de posi¸cãosãodadas pelas coordenadas as- trocêntricas do respectivo corpo, enquanto que os momentos conjugados sãoos mesmos da formula¸cãobaricêntrica. Assim,

ri = Xi − X0, Πi = pi, (2.89) 50 Cap´ıtulo2. Fundamenta¸c˜aoTe´oricado Problema de N-corpos

(i = 1, 2, ..., N). Uma vez que o sistema possui (N+1)-corpos, deﬁnimos o par de vari´aveis

N X r0 = X0, Π0 = pi. (2.90) i=0

PN PN Partindo da condi¸cão i=0 pidXi = j=0 Πjdri, verifica-se a canonicidade das variáveis

(ri, Πj). Escrevendo o Hamiltoniano do sistema em termos das novas vari´aveis, teremos, para a energia cin´etica T : N 2 N 2 1 X p p0 · p0 1 X Π T = i = + i (2.91) 2 m 2m 2 m i=0 i 0 i=1 i PN Mas p0 = Π0 − i=1 Πi, e

N ! N ! X X p0 · p0 = Π0 − Πi · Π0 − Πi = i=1 i=1 N N N 2 X X X = Π0 − 2 Π0 · Πi + Πi · Πi = i=1 i=1 j=1 N N N N 2 X X 2 X X = Π0 − 2 Π0 · Πi + Πi + 2 Πi · Πj i=1 i=1 i=1 j=i+1

Finalmente, obt´em-se

N 2 2 N 2 N N N 1 X Π Π X Π X Π0 · Πi X X Πi · Πj T = i + 0 + i − + (2.92) 2 m 2m 2m m m i=1 i 0 i=1 0 i=1 0 i=1 j=i+1 0

A energia potencial:

N N N N N X X Gmimj X Gm0mj X X Gmimj U = − = − − , (2.93) ∆ ∆ ∆ i=0 j=i+1 ij j=1 0j i=1 j=i+1 ij onde ∆0j = |rj| = rj Observando as equa¸cõesanteriores, facilmente époss´ıvel observar a redu¸cãodo número de graus de liberdade. Verifica-se, principalmente, a ausênciada variável r0, fato que implica Π0 constante, de (2.79). Das equa¸cõescanônicas de Hamilton:

N Π0 X Πi Π˙ = 0; r˙ = − (2.94) 0 0 m m 0 i=1 0

Como temos Π0 constante, arbitrariamente definimos o mesmo como nulo. Assim, o Hamil- toniano H passa a ser uma fun¸cãosomente das 2N variáveis (r1, r2, ..., rN , Π1, Π2, ..., ΠN ). Se¸cão2.5. Variáveis Canônicasde Poincaré 51

De fato, uma redu¸c˜aopara 3N graus de liberdade. (Por quest˜aode simplicidade, voltamos

ànota¸cão pi, uma vez que, excluindo o ´ındice0, éequivalente à Πi)

Escrevemos o Hamiltoniano do sistema como H = H0 + R, tal que

N 2 2 N 2 X p p Gmim0 X p µiβi H = i + i − = i − ; (2.95) 0 2m 2m r 2β r i=1 i 0 i i=1 i i

N N X X Gmimj pi · pj R = − + , (2.96) ∆ m i=1 j=i+1 ij 0 onde m0mi µi = G(m0 + mi); βi = (2.97) m0 + mi

Na denomina¸cãoadotada, H0 vem a denotar a parte do Hamiltoniano livre de perturba¸cões,enquanto que R se mostra como o potencial que advémdas intera¸cõesentre os N corpos, ou seja, a parte perturbativa: o primeiro termo éreferente àperturba¸cãodireta, e o segunda, àparte indireta. 52 Cap´ıtulo2. Fundamenta¸cãoTeóricado Problema de N-corpos Cap´ıtulo 3

O Problema de 3 Corpos - Expans˜aodo potencial perturbador

O problema geral de 3 corpos da MecânicaCeleste consiste em determinar as posi¸cões e velocidades ao longo do tempo de trêsmassas pontuais interagindo gravitacionalmente.

Seja tomada, então,a seguinte configura¸cão:considere um sistema de massas pontuais m0, m1 e m2, cujas posi¸cões sãodefinidas pelos respectivos vetores R0, R1 e R2, relativos a um referencial inercial com origem em um ponto S arbitrário,conforme apresentado na Fig. 3.1.

Figura 3.1: Representa¸cãográficado Problema de TrêsCorpos, referenciado em um sistema inercial arbitráriode origem S.

Da Lei de Gravita¸cãode Newton, temos as acelera¸cõesde cada corpo, no referencial 54 Cap´ıtulo3. O Problema de 3 Corpos - Expansãodo potencial perturbador dado: ¨ R1 − R0 R2 − R0 R0 = G m1 3 + m2 3 , |R1 − R0| |R2 − R0| ¨ R0 − R1 R2 − R1 R1 = G m0 3 + m2 3 , (3.1) |R1 − R0| |R2 − R1| ¨ R0 − R2 R1 − R2 R2 = G m0 3 + m1 3 . |R2 − R0| |R2 − R1|

Em nosso estudo, utilizaremos do formalismo hamiltoniano apresentado no cap´ıtulo anterior. Assim, o Hamiltoniano desse sistema ´eescrito como:

2 2 2 2 2 P P P X X Gmimj H = 0 + 1 + 2 − , (3.2) 2m 2m 2m ∆ 0 1 2 i=0 j>i ij

˙ onde ∆ij = |Ri − Rj|, e Pi = miRi s˜aoos momentos lineares conjugados aos vetores Ri.

O Hamiltoniano (3.2) possui 9 graus de liberdade (em coordenadas retangulares, Xi,Yi,Zi, i = 0, 1, 2). Sabemos que époss´ıvel reduzir o número de graus de liberdade para 3(N - 1) = 6, se introduzirmos uma mudan¸cade referencial. Considere-se, então,um sistema de referênciaastrocêntrico, fixado sobre o corpo de massa m0. Nesse caso:

0 0 R1 = R1 − R0, P1 = P1 − P0 (3.3)

0 0 R2 = R2 − R0, P2 = P2 − P0 (3.4)

0 0 No entanto, (Ri, Pi) como definidos anteriormente nãoconstituem um conjunto de 0 ˙ 0 variáveis canônicas.Se computarmos os colchetes de Poisson [Xi, Xj], i, j = 0, 1, 2, facil- 0 ˙ 0 0 ˙ 0 mente veremos que sãodiferentes de zero (analogamente para [Yi , Yj ] e [Zi, Zj]) (Lemos, 2007; Ferraz-Mello, 2007). Dois sistemas de coordenadas canônicas aparecem como alternativas (conforme jádiscutiu- se no cap´ıtulo2): o sistema de coordenadas astrocêntricas de Poicaré,e o sistema de coordenadas de Jacobi. O estudo a seguir édesenvolvido utilizando a abordagem de Jacobi. As rela¸cões que definem as novas coordenadas sãodadas por:

r0 = 0,

r1 = R1 − R0, (3.5)

m0R0 + m1R1 r2 = R2 − , m0 + m1 conforme esquematizado na Fig. 3.2 Cap´ıtulo3. O Problema de 3 Corpos - Expans˜aodo potencial perturbador 55

Figura 3.2: Representa¸cãográficado sistema utilizando as coordenadas de Jacobi. O ponto CM indica a posi¸cãodo centro de massa de m0 e m1; ψ éo ânguloentre formado entre os vetores posi¸cãono sistema de Jacobi, r1 e r2; ri,j éo vetor de distância entre os repectivos corpos i e j. (Figura retirada da tese de Doutoramento de Eduardo A. Ines.)

Os respectivos momentos conjugados sãoobtidos atravésda aplica¸cãoda condi¸cão canônica:

X X Pi dRi = pi dri ⇒ i i

⇒ P0 dR0 + P1 dR1 + P2 dR2 = p1 dR1 − p1 dR0 + p2 dR2 m0 m1 − p2 dR0 − p2 dR1 m0 + m1 m0 + m1

Fazendo a correspondênciaentre os termos que carregam os mesmos diferenciais de posi¸cão, encontraremos as expressõesfinais para os momentos:

p0 = 0, m0 m1 p1 = −P0 − P2 = P1 − P2, (3.6) m0 + m1 m0 + m1

p2 = P2

Aplicando as transforma¸c˜oespara as coordenadas de Jacobi dadas por (3.6) e (3.7) sobre o Hamiltoniano (3.2), obt´em-se

2 2 1 m0 1 m1 1 2 H = p1 + p2 + p1 − p2 + p2 2m0 m0 + m1 2m1 m0 + m1 2m2 Gm m Gm m Gm m − 0 1 − 0 2 − 1 2 (3.7) r1 |R2 − R0| |R2 − R1|

Analisando a Fig.3.2, vemos que:

m1 R2 − R0 = r2 − x0 = r2 + r1, m0 + m1 m0 R2 − R1 = r2 − x1 = r2 − r1, m0 + m1 56 Cap´ıtulo3. O Problema de 3 Corpos - Expans˜aodo potencial perturbador

m1 m0 onde definiu-se x0 = − r1 e x1 = r1 m0+m1 m0+m1 Podemos, assim, reescrever o termo de energia potencial do hamiltoniano em termos das variáveis de Jacobi. E´ poss´ıvel encarar esse problema como a superposi¸cãode dois sistemas dinâmicosde dois corpos. O primeiro édado pela intera¸cãogravitacional entre as massas m0 e m1, e o segundo pela intera¸cãoentre a massa m2 e o centro de massa do sistema m0 + m1. Reescrevemos o Hamiltoniano (3.2) como

H = HKep + R, (3.8)

onde HKep denota a parte kepleriana de nosso problema, i.e., a parte não-perturbada. Trata-se, exatamente, da superposi¸cãodos dois problemas de dois corpos. R vem a ser o termo originado pela perturba¸cãomútuaentre os sistemas. Temos que:

2 2 (m0 + m1) p1 Gm0m1 (m0 + m1 + m2) p2 Gm2(m0 + m1) HKep = − + − , (3.9) m0m1 2 r1 m2(m0 + m1) 2 r2 | {z } | {z } H1 H2 onde H1 e H2 denotam os Hamiltonianos respectivos de cada ‘sistema’ de dois corpos. Utilizando os elementos osculadores que surgem da an´alisedo problema de dois corpos, escrevemos Gm0m1 Gm2(m0 + m1) HKep = − − . (3.10) 2a1 2a2

Aqui, ai (i = 1, 2) éo semi-eixo maior descrito pela órbitael´ıpticado i-ésimocorpo, em rela¸cãoao centro de for¸carespectivo (m0 para o corpo m1; e o centro de massa de m0 e m1 para a massa m2). A parte da perturba¸cãoédada por:

Gm (m + m ) Gm m Gm m R = 2 0 1 − 1 2 − 0 2 (3.11) m0 m1 |r2| |r2 − r1| |r2 + r1| m0+m1 m0+m1 | {z } | {z } (I) (II)

Atendo-nos ao senso de posicionamento adotado (Jacobi), identificamos as partes do potencial perturbador da seguinte maneira: (I) designa a parte direta, enquanto que (II) vem a ser a parte indireta da perturba¸cão.Definimos, respectivamente, RD e RI tais que

R = RD + RI . Se¸c˜ao3.1. Expans˜aodo termo perturbador 57

3.1 Expans˜aodo termo perturbador

O potencial perturbador éuma fun¸cãoextremamente complicada. Ele nãoapresenta uma forma concisa quando o expressamos em termos de elementos orbitais, o que nos obriga a escrevê-loem sériesde potências.Tais sériespodem vir a apresentar problemas quanto à convergênciapara os pontos do espa¸code fase. Um dos principais entraves reside no fato de que o potencial gravitacional diverge no caso em que a distânciaentre o corpo considerado e o corpo perturbador tende a zero: neste caso, ocorre a interseçcãodas órbitas,e nãohá convergênciadas séries. E´ bem verdade que o conceito de convergênciapara as sériesde potência, especialmente no caso das expansõesde Laplace, se trata de uma questãomuito mais estrita do que a ‘simples’ nãointerseçcãodas órbitas(Ferraz-Mello, 1994). Jámencionamos, na introdu¸cão,diversas referênciasque aparecem na literatura, apre- sentando metodologias de expansãodo termo perturbador. No prosseguimento deste trabalho, nos propomos a desenvolver um resultado clássicodo método de Laplace, através de expansõesem sériesde Fourier.

3.1.1 Condi¸c˜aode aproxima¸c˜aodo par: close approach

Apresentamos, rapidamente, o critérioque aplicamos para garantir que os valores tomados para os elementos orbitais de m1 e m2 nãoconduzissem a configura¸cõestais que ∆ = 0, atingindo a singularidade do potencial perturbador. Analisando a Fig. (3.2) e a expressão(3.11), percebe-se que estabelecer ∆ > 0 implica em se ter m0 |r2 − r1| > 0 (3.12) m0 + m1 Precisamente, a equa¸cãoacima equivale a 2 2 m0 2m0 r2 + r1 − r1 · r2 m0 + m1 m0 + m1

Simplificamos a nossa condi¸cãode não-singularidadepara

m0 |r2| > |r1| m0 + m1

O fator m0/(m0 + m1) ≤ 1, de forma que

m0 r1 ≤ r1 < r2 (3.13) m0 + m1 58 Cap´ıtulo3. O Problema de 3 Corpos - Expans˜aodo potencial perturbador

Em termos dos valores absolutos dos vetores, queremos garantir que r2 > r1. Das leis clássicasde Kepler, sabemos que podemos escrever o módulodo vetor posi¸cãode uma órbitaplanetáriacomo: a(1 − e2) r = , (3.14) 1 + e cos f onde f éa anomalia verdadeira dessa órbita. E´ fácilperceber que o denominador da equa¸cãoacima varia dentro do intervalo 1 − e ≤ 1+e cos f ≤ 1+e. Para garantir que o dom´ınioconsiderado nãoinclua pontos que resultem em ∆ −→ 0, estabelecemos como critériode verifica¸cão:

2 2 a2(1 − e2) a1(1 − e1) γext = > = γint, (3.15) 1 + e2 1 − e1 no qual γint e γext designam quantidades que aqui denominamos de parâmetros interno e externo, respectivamente. A rela¸cão(3.15) nada mais éque uma forma de garantir, ma- tematicamente, que o periastro caracter´ısticoda órbitaexterna seja maior que o apoastro da órbitainterna. A equa¸cão(3.15) foi estabelecida como um critério simples de verifica¸cãode poss´ıveis cenáriosf´ısicos capazes de conduzir o problema ao caso (espec´ıfico)de singularidade ∆ =

0 (ou ' 0). Esclarecemos que os parâmetros γint e γext sãoquantidades cinemáticas, e os argumentos utilizados para chegar àrela¸cão(3.15) foram puramente geométricos. Na literatura, encontram-se textos que esclarecem, de maneira muito mais profunda, as confi¸cõesdinâmicasde aproxima¸cãode órbitas,utilizando, entre outras ideias, o conceito das esferas de influênciade Hill (Chebotarev, 1967). Em (Ferraz-Mello, 1994), encontra-se um estudo mais elaborado e aprofundado acerca dos critériosde convergênciapara a expansãode Laplace e da questãoda singularidade da parte principal ∆−1 do potencial perturbador, problema que necessita tratar nãosomente o espa¸covetorial real, mas tambémo dom´ıniodos complexo C.

3.1.2 Primeira expansãoem sériesde Taylor: órbitasquase coplanares

Consideremos, a princ´ıpio,o termo principal da parte direta do potencial perturbador, ∆−1: 1 1 = . (3.16) m0 ∆ |r2 − r1| m0+m1 Neste primeiro passo, tratamos de expandir o potencial perturbador em torno de órbitas aproximadamente coplanares. Se¸cão3.1. Expansãodo termo perturbador 59

Nas considera¸cõesabaixo, assumimos que r2 > r1: significa dizer que o corpo de massa m1 encontra-se numa órbitainterna, enquanto que m2 estáem uma órbitaexterna. Temos que

1/2 m0 m0 m0 |r2 − r1| = r2 − r1 · r2 − r1 m0 + m1 m0 + m1 m0 + m1 " 2 #1/2 2 m0 2 2m0 = r2 + r1 − r1 · r2 m0 + m1 m0 + m1

Tomamos r1·r2 = r1r2 cos ψ, onde ψ éo ânguloentre os dois vetores, conforme mostrado na Fig. 3.2. Definimos uma quantidade

Θ = cos ψ − cos(θ1 − θ2), (3.17)

onde θ1 = f1 + $1 e θ2 = f2 + $2 s˜aoas longitudes verdadeiras das massas m1 e m2, respectivamente; fi e $i,(i = 1, 2), designam a anomalia verdadeira e a longitude do pericentro. Reescrevemos

( 2 )−1/2 1 2 m0 2 2m0 = r2 + r1 − r1r2 [cos(θ1 − θ2) + Θ] (3.18) ∆ m0 + m1 m0 + m1

Para o prosseguimento desse desenvolvimento te´orico,deﬁnimos as seguintes quantida-

m1 m0 0 −1 des: = ε1, = ε2, ε1r1 = r e ε2r1 =r ˜1. Agora, expandimos a fun¸cão ∆ m0+m1 m0+m1 1 em uma sériede Taylor em torno de Θ = 0 (isto equivale a expandir em torno de órbitas coplanares).

1 1 1 3 1 2 15 1 3 = − 3 r˜1r2Θ + 5 (˜r1r2Θ) − 7 (˜r1r2Θ) + ... ∆ ∆0 ∆0 2! ∆0 3! ∆0 ∞ i X (2i)! r˜1r2Θ 1 = , (3.19) (i!)2 2 ∆2i+1 i=0 0 onde

1 2 −1/2 = [˜r1 + r2 − 2˜r1r2 cos(θ1 − θ2)] (3.20) ∆0

3.1.2.1 Termos de inclina¸c˜ao

No desenvolvimento anterior, obtivemos uma expansãoem Taylor em torno de Θ = 0, admitindo que a inclina¸cãoentre os corpos ésuficientemente baixa. Retornemos à(3.17):

r · r cos ψ = 1 2 r1r2 60 Cap´ıtulo3. O Problema de 3 Corpos - Expans˜aodo potencial perturbador

Tomemos o vetor r1. Temos que r1 = (x1, y1, z1), onde x1, y1 e z1 sãoas coordenadas cartesianas do corpo m1 com rela¸cãoa origem tomada em m0. De maneira análoga, x2, y2 e z2 sãoas coordenadas cartesianas de m2, agora com respeito ao centro de massa do binário m0 + m1. Então x x + y y + z z cos ψ = 1 2 1 2 1 2 . r1r2 Em termos de elementos orbitais:

x1 = cos Ω1 cos(ω1 + f1) − sin Ω1 sin(ω1 + f1) cos I1, r1 y1 = sin Ω1 cos(ω1 + f1) + cos Ω1 sin(ω1 + f1) cos I1, (3.21) r1 z1 = sin(ω1 + f1) sin I1, r1 onde ω1 éo argumento do pericentro, Ω1 éa longitude do nodo ascendente e I1 éa inclina¸cão do plano orbital do corpo m1 relativo a um plano de referência(arbitrariamente) definido.

Analogamente, obtém-seas mesmas expressõespara x2/r2, y2/r2 e z2/r2, com a devida modifica¸cãode identifica¸cãodas grandezas, com respeito àórbita externa.

Se assumimos que as inclina¸cões I1, I2 das órbitassãoconsideravelmente pequenas, tomando sin Ii ' 0, i = 1, 2, vem que

cos ψ = [cos Ω1 cos(f1 + ω1) − sin Ω1 sin(f1 + ω1)][cos Ω2 cos(f2 + ω2) − sin Ω2 sin(f2 + ω2)]

+[sin Ω1 cos(f1 + ω1) + cos Ω1 sin(f1 + ω1)][sin Ω2 cos(f2 + ω2) + cos Ω2 sin(f2 + ω2)]

= cos(f1 + $1) cos(f2 + $2) + sin(f1 + $1) sin(f2 + $2)

Usando as deﬁni¸c˜oesde θ1 e θ2, segue o resultado abaixo:

cos(θ1 − θ2) = cos θ1 cos θ2 + sin θ1θ2 = cos(f1 + $1) cos(f2 + $2)

+ sin(f1 + $1) sin(f2 + $2).

Ao constatarmos a igualdade entre as duas últimasexpressões, percebemos como, ao decidirmos expandir a fun¸cãoperturbadora em potênciasde Θ = cos ψ − cos(θ1 − θ2), estamos de fato aproximando o problema do caso coplanar (I1,I2 ' 0). Se, por outro lado, ignoramos tal aproxima¸cão,e definimos as seguintes quantidades

I s = sin j , (3.22) j 2 I c = cos j , (3.23) j 2 Se¸cão3.1. Expansãodo termo perturbador 61 apóslongo algebrismo, chegaremos àexpressãodefinitiva para a quantidade Θ

2 2 Θ = 2s1s2c1c2 cos(f1 + $1 − f2 − $2 − Ω1 + Ω2) + (c1c2 − 1) cos(f1 + $1 − f2 − $2)

2 2 +s1s2 cos(f1 + $1 − f2 − $2 − 2Ω1 + 2Ω2) − 2s1s2c1c2 cos(f1 + $1 + f2 + $2 (3.24)

2 2 2 2 −Ω1 − Ω2) + c1s2 cos(f1 + $1 + f2 + $2 − 2Ω2) + c2s1 cos(f1 + $1 + f2 − 2Ω1)

Expandir a fun¸cãoperturbadora em potênciasde Θ significa expandir a mesma em potências das inclina¸cões.Nãoéo foco deste trabalho prosseguir tal análise.A expressão (3.24) pode ser aproveitada para estudos em trêsdimensões.

3.1.3 Segunda expansãoem sériesde Taylor e expansãoem séries de Fourier: órbitas quase circulares

−2i−1 Agora, expandimos ∆0 , definido em (3.20), em torno dos valores a1 e a2 definidos para os semi-eixos maiores das órbitas. Nesse caso, equivale a formalmente expandir ∆0 em torno de órbitasquase-circulares de raios a1 (ao redor da massa m0) e a2 (ao redor do baricentro de m0 e m1). Seja definida a quantidade

" 2 #1/2 2 r1 r1 2 1/2 Γ = 1 + ε2 − 2ε2 cos(θ1 − θ2) = (1 + x − 2x cos(θ1 − θ2)) , (3.25) r2 r2

−2i−1 tal que ∆0 = r2Γ. Expandindo a fun¸c˜aoΓ em uma s´eriede Taylor em torno da quantidade x0 = ε2α =α ˜, onde α = a1/a2,

2 1 1 d 1 1 d 1 2 2i+1 = 2i+1 + 2i+1 |x=x0 (x − x0) + 2 2i+1 |x=x0 (x − x0) + ... Γ Γ0 dx Γ 2! dx Γ

p 2 2 e aqui definimos Γ0 = Γ |x=x0 = 1 + ε2α − 2ε2α cos(θ1 − θ2). Seja o operador diferencial d d D˜ = = (3.26) dx0 dα˜ e a diferen¸ca r1 a1 a1 r1 a2 x − x0 = ε2 − = ε2 − 1 = ε2αδ r2 a2 a2 a1 r2 Temos entãoque: 1 ˜ 1 2 ˜ 2 1 3 ˜ 3 1 2i+1 = 1 + ε2αδD + (ε2αδ) D + (ε2αδ) )D + ... 2i+1 (3.27) Γ 2! 3! Γ0 62 Cap´ıtulo3. O Problema de 3 Corpos - Expansãodo potencial perturbador

Vemos que a quantidade Γ0 éuma fun¸cãoperiódicanas variáveis θ1 e θ2. Assim, a mesma pode ser expandida em sériesde senos e cossenos por meio do desenvolvimento de Fourier. Em geral, para um dado γ, tal que 0 < γ < 1, tem-se que (Laskar, 2005)

∞ ∞ 1 X 1 X (1 + γ2 − 2γ cos S)−s = b(k) cos kS = b(0) + b(k) cos kS, (3.28) 2 s 2 s s k=−∞ k=1

(k) onde bs sãoos coeficientes de Laplace (Brouwer e Clemence, 1961; Ferraz-Mello, 1983; Laskar e Robutel, 1995), dados pela expansãoda fun¸cãoperiódicaem uma sériede Fourier de cossenos:

Z 2π (0) 1 2 −s bs (γ) = (1 + γ − 2γ cos S) dS, (3.29) π 0 Z 2π (k) 1 cos kS bs (γ) = ( 2 s dS (3.30) π 0 (1 + γ − 2γ cos S) Assim, ﬁcamos com

∞ 1 1 (0) X (j) = b (˜α) + b (˜α) cos(j(θ − θ )), (3.31) Γ2i+1 2 (2i+1)/2 (2i+1)/2 1 2 0 j=1 e a expans˜aoresultante completa ´edada por

∞ n ∞ ! 1 X (ε2αδ) 1 (0) X (j) = D˜ n b (˜α) + b (˜α) cos(j(θ − θ )) (3.32) Γ2i+1 n! 2 (2i+1)/2 (2i+1)/2 1 2 n=0 j=1

Aplicando a expansˆaobinomial sobre a quantidade δ, vem que

n n n−k n−k r1 a2 X n r1 a2 δn = − 1 = (−1)k (3.33) a1 r2 k a1 r2 k=0 onde n n! = k k!(n − k)! ´eo coeﬁciente binomial.

3.1.4 Coeﬁcientes de Laplace

(k) Os coeficientes de Laplace bs (α) sãointroduzidos naturalmente como os coeficientes da sériede Laurent (Laskar e Robutel, 1995)

∞ 1 X (1 − αz)−s(1 − αz−1)−s = b(k)(α)zk (3.34) 2 s k=i∞ Se¸c˜ao3.1. Expans˜aodo termo perturbador 63

Anteriormente, os mesmos foram definidos como os coeficientes resultantes de uma ex- pansãoem sériesde Fourier de uma fun¸cãogeratriz espec´ıfica (equa¸cões(3.29) e (3.30)). Alémdessas expressões,os coeficientes de Laplace tambémpodem ser relacionados àfun¸cão hipergeométricade Gauss (Laskar e Robutel, 1995; Süliet al., 2004):

1 s(s + 1)...(s + k − 1) b(k)(α) = αk × 2 s k! s(s + k) s(s + 1)(s + k)(s + k + 1) × 1 + α2 + α4 + ... = 1(k + 1) 1 × 2(k + 1)(k + 2) s(s + 1)...(s + k − 1) = αkF (s, s + k, k + 1; α2), k!

F (a, b, c; z) designa a fun¸cãohipergeométricade argumento z. Para |z| < 1, ela édefinida pela sériede potências ∞ n X (a)n(b)n z F (a, b, c; z) = , (3.35) (c) n! n=0 n onde (q)n éo s´ımbolo de Pochhammer, dado por  1, n = 0 (q)n = q(q + 1)...(q + n − 1) n > 0

Em (Laskar, 2005), époss´ıvel encontrar expressõespara os coeficientes generalizados (k) de Laplace bs,r (α), dados, em termos da fun¸cãohipergeométrica,por

1 s(s + 1)...(s + k − 1) b(k)(α) = αkF (r, s + k, k + 1; α2) para k ≥ 0, (3.36) 2 s,r k!

(k) (−k) e bs,r (α) = br,s (α) para k < 0. (3.37)

(k) k (k) Destacamos ainda uma importante propriedade desses coeficientes: bs (−α) = (−1) bs (α) (Laskar, 2005). (Süliet al., 2004) mostra que époss´ıvel encontrar uma fórmula expl´ıcitapara os coeficientes de Laplace e suas derivadas. Sejam Aj e Bi as seguintes quantidades:  1, j = 0, Aj = (3.38)  s(s+1)...(s+j−1)  j! , j > 0;  1, i = 0, Bi = (3.39) Qi−1 (s+k)(s+j+k)  k=0  Qi , i > 0. i! l=1(j+l) 64 Cap´ıtulo3. O Problema de 3 Corpos - Expansãodo potencial perturbador

Então,pode-se escrever: ∞ 1 X b(j)(α) = A αj B α2i (3.40) 2 s j i i=0 Derivando a equa¸cãoanterior em rela¸cãoa α, obtém-sea expressãoanal´ıticapara a n-ésimaderivada dos coeficientes de Laplace:

n ∞ d 1 X (j,n) bj(α) = A αj−n C B α2i, (3.41) dαn 2 s j i i i=0 onde l−1 (j,l) Y Ci = (2i + j − k) (3.42) k=0 Abaixo, algumas rela¸cõesúteisentre os coeficientes de Laplace e suas derivadas (Laskar e Robutel, 1995; Murray e Dermott, 2000):

(−j) j bs = bs, (3.43)

(j) (j−1) (j) (j+1) Dbs = s(bs+1 − 2αbs+1 + bs+1 ), (3.44)

n (j) n−1 (j−1) n−1 (j) D bs = s(D bs+1 − 2αD bs+1

n−1 (j+1) n−2 j +D bs+1 − 2(n − 1)D bs+1), (3.45) onde n ≥ 2 na últimaexpressão,e D = d/dα éum operador diferencial.

3.1.5 Aproxima¸c˜aode ´orbitascoplanares

Atéaqui, em nosso estudo, realizamos a primeira expansãode ∆−1 em sériesde Taylor na variável Θ, considerando uma rela¸cãoentre esta variável e as pequenas inclina¸cõesdos planos orbitais das massas m1 e m2. Essa dependênciaem Θ estáexpl´ıcitano termo da somatóriade (3.19). Partiremos para uma particulariza¸cãono tratamento do problema, assumindo a configura¸cãona qual os corpos encontram-se em órbitascoplanares: Θ = 0, e portanto

ψ = θ1 − θ2 = f1 − f2 + ∆$, ∆$ = $1 − $2. Neste sentido, facilmente verifica-se que os termos para os quais i > 0 anulam-se em (3.19), restando somente o termo i = 0. Aplicando (3.32), considerando agora as órbitas coplanares, a expansãodo termo de distânciamútuaentre as massas m1 e m2 fica dada Se¸cão3.1. Expansãodo termo perturbador 65 por:

∞ n k n−k k−n−1 " 1 1 1 X X (−1) n n r1 r2 ˜ n 1 (0) = = (ε2α) D b1/2(˜α) ∆ r2Γ a2 n! k a1 a2 2 n=0 k=0 ∞ # X (j) + b1/2(˜α) cos jψ . (3.46) j=1 Agora, reescrevemos 1 cos jψ = [eijψ + e−ijψ], 2 √ onde i = −1 éa unidade imaginária. Lan¸camosmãodas expansãoclássicade Fourier para o problema de dois corpos (Ferraz- Mello et al., 2006): ∞ r γ X eimf = Xγ,meikM . (3.47) a k k=−∞ γ,m As quantidades Xk sãoos coeficientes de Hansen, fun¸cõesda excentricidade do corpo or- bitante. Na equa¸cãoacima, M designa a anomalia média.A mudan¸ca f → −f transforma γ,−m γ,m M → −M, de maneira tal que vale a rela¸cão X−k = Xk . Facilmente époss´ıvel chegar àsseguintes igualdades:

r n−k r k−n−1 ∞ ∞ 1 2 ij(f1−f2+∆$) X X n−k,j k−n−1,−j e = Xq1 (e1)Xq2 (e2) (3.48) a1 a2 q1=−∞ q2=−∞ ×ei(q1M1+q2M2+j∆$) r n−k r k−n−1 ∞ ∞ 1 2 −ij(f1−f2+∆$) X X n−k,−j k−n−1,j e = Xq1 (e1)Xq2 (e2)(3.49) a1 a2 q1=−∞ q2=−∞ ×ei(q1M1+q2M2−j∆$)

Considerando somente o somat´orioem j na expans˜aode (3.46), e tomando a parte real, tem-se

∞ " 1 X (j) X X b (˜α) Xn−k,j(e )Xk−n−1,−j(e ) cos(q M + q M + j∆$) 2 1/2 q1 1 q2 2 1 1 2 2 j=1 q1 q2 # X X n−k,−j k−n−1,j + Xq3 (e1)Xq4 (e2) cos(q3M3 + q4M4 − j∆$) . (3.50) q3 q4 Agora, a primeira parcela da parte direta do potencial perturbador ´eproporcional a

−1 r2 (veriﬁque (3.11)), a qual, em termos dos coeﬁcientes de Hansen, pode ser escrita como:

∞ " ∞ # 1 1 r −1 1 2 X −1,0 iq2M2 X −1,0 = = Xq2 (e2)e = 1 + Xq2 (e2) cos q2M2 (3.51) r2 a2 a2 a2 q2=−∞ q2=1 66 Cap´ıtulo3. O Problema de 3 Corpos - Expans˜aodo potencial perturbador

Finalmente, temos a expans˜aocompleta para a parte direta:   " ∞ ∞ n ∞ k Gm2 X −1,0 0 X X X (−1) n RD = (m0 + m1) 1 + Xq0 (e2) cos q2M2 − m1 a 2 n! k 2 0 n=0 q2=1 k=0 j=0 n ∞ ∞ (ε2α) 1 X X × 1 − δ Xn−k,j(e )Xk−n−1,−j(e ) cos(q M + q M (3.52) 2 2 0,j q1 1 q2 2 1 1 2 2 q1=−∞ q2=−∞ ∞ ∞ ! # X X n−k,−j k−n−1,j ˜ (j) +j∆$) + Xq3 (e1)Xq4 (e2) cos(q3M1 + q4M2 − j∆$) Db1/2 . q3=−∞ q4=−∞

3.1.6 Coeﬁcientes de Hansen

Os coeficientes de Hansen (Cefola, 1977) sãouma importante classe de fun¸cões,frequen- temente utilizadas nos âmbitos da MecânicaCeleste. Sãodefinidos como os coeficientes de Fourier (Laskar, 2005) ∞ r n X eimf = Xn,m(e)eikM , (3.53) a k k=−∞ onde n, m e k sãointeiros positivos ou negativos, r éo módulodo raio vetor, a éo semi-eixo maior, e éa excentricidade, f a anomalia verdadeira e M a anomalia média. Individualmente, tais coeficientes sãodados pela integral (Hughes, 1981)

Z 2π n n,m 1 r Xk (e) = cos(mf − kM) dM. (3.54) 2π 0 a

n,m Particularmente, para k = 0, Xk (e) reduz-se a expressõespolinomiais em e, 1/e, √ √ 1 − e2 e 1/ 1 − e2. Alguns resultados importantes da literatura (Laskar e Boué,2010), utilizados na implementa¸cãode nosso modelo, sãoapresentados a seguir. √ 1 − e2 − 1 X−1,0 = 1; X−1,1 = (3.55) 0 0 e e, para n ≥ 2, 2 ≤ m ≤ n

[(n−2−m)/2] 1 X (n − 2)! em+2l X−n,m = , (3.56) 0 (1 − e2)n−3/2 l!(m + l)!(n − 2 − m − 2l)! 2 l=0

−n,m X0 = 0, n ≥ 2, m ≥ n − 1. (3.57)

Para n ≥ 0 e 0 ≤ m ≤ n:

[n+1−m]/2 (n + 1 + m)! X (n + 1 − m)! em+2l Xn,m = (−1)m (3.58) 0 (n + 1)! l!(m + l)!(n + 1 − m − 2l)! 2 l=0 Se¸c˜ao3.1. Expans˜aodo termo perturbador 67

Nas expressõesanteriores, [x] designa a parte inteira de x. As fórmulas (3.55), (3.56), (3.57) e (3.58) sãode grande importâncianeste trabalho: n,m todas foram implementadas em nosso modelo, a fim de se computar os coeficientes X0 −n,m (n ≥ 0) e Xk (n ≥ 2), 0 ≤ m ≤ n. Alémdas expressõesapresentadas anteriormente, encontramos na literatura outras formas de computa¸cãodos coeficientes de Hansen. Apresentamos a seguir duas metodologias que foram estudadas durante nossas atividades. (Breiter et al., 2004) apresentam as seguintes expressõesrecursivas: e Xn,m = [(n + 1 − m)Xn,m+1 − (n + 1 + m)Xn,m−1], (3.59) 0 2m 0 0 2n + 1 n2 − j2 Xn,m = Xn−1,m − η2Xn−2,m, (3.60) 0 n + 1 0 n(n + 1) 0 √ onde η = 1 − e2. Neste caso, nãohárestri¸cõesquanto aos valores do ´ındice m. Toma-se como valores iniciais 1 3 3 X0,0 = 1,X1,0 = 1 + e2,X1,1 = − e, X2,0 = 1 + e2 0 0 2 0 2 0 2 Fora do arcabou¸code fun¸cões anal´ıticas,pode-se tambémrecorrer ao métodos numéricos de integra¸cão.Para tanto, ao invésdo cálculodireto da integral (3.54), époss´ıvel utilizar as fun¸cões de Cayley (Cayley, 1861; Ferraz-Mello, 2015), definidas como

Z 2π n (n) 1 a Es,r (e) = cos[sf + (r − s)M] dM. (3.61) 2π 0 r

(n) Se fazemos r − s = k, reescreve-se (3.61) como Es,s−k. Facilmente, vê-seque as fun¸cões (n) −n,m de Cayley conectam-se com os coeficientes de Hansen atravésda rela¸cão Em,m−k = Xk . A integral (3.61) éfeita sobre a anomalia média. Dentro dessas solu¸cõesaparecem expansõesem sériesde Taylor da solu¸cãoda equa¸cãode Kepler. Para evitar integra¸cõesque trabalhem resolvendo essa equa¸cão,o que énumericamente dispendioso, pode-se integrar √ sobre as anomalias verdadeiras, via a expressãoclássica r2df = a2 1 − e2dM (da Silva Fernandes, 1996; Ferraz-Mello, 2013), e escreve-se

Z 2π n−2 (n) 1 a Es,s−k = cos[sf − kM] df. (3.62) 2π 0 r A razão a/r pode, então,ser expressada em termos da anomalia verdadeira, atravésda equa¸cãoque define a elipse a(1 − e2) r = . (3.63) 1 + e cos f 68 Cap´ıtulo3. O Problema de 3 Corpos - Expansãodo potencial perturbador

Escrevendo a anomalia médiaem fun¸cãoda anomalia excêtrica u, fica-se com

M = u − e sin u, (3.64) que nada mais éque a equa¸cãode Kepler. Por fim, a anomalia excêntrica pode ser escrita como fun¸cãoda anomalia verdadeira (Murray e Dermott, 2000) como

u r1 − e f tan = tan . (3.65) 2 1 + e 2

A expressãofinal para os coeficientes de Hansen seráuma fun¸cãoda excentricidade e da anomalia verdadeira

Z 2π −n,m 1 1 n−2 Xk (e) = 2 n−3/2 (1 + e cos f) cos[mf − kM(u(f))] df. (3.66) 2π (1 − e ) 0 A equa¸cãoacima pode ser utilizada no desenvolvimentos dos métodos numéricospara integra¸cão(Press et al., 1993). Outros trabalhos importantes, e que tambémforam estudados ao longo do desenvolvimento de nosso modelo, sãoencontrados em (Izsak et al., 1964; Giacaglia, 1987; Bra- nham, 1990; Laskar, 2005; Sadov, 2008). Neles, sãoapresentadas metodologias anal´ıticas e rela¸cõesrecursivas. n,m Para a computa¸cãode Xk , quando k > 0, utilizamos o método de von Zeipel-Andoyer (VZA) (Izsak et al., 1964; Cherniack, 1972; Hughes, 1981; Murray e Dermott, 2000), o qual expressa os coeficientes de Hansen como fun¸cõesdadas pela seguinte rela¸cão

∞ n,m |m−k| X n,m 2σ Xk = e Yσ+ϕ,σ+χe , (3.67) σ=0

a,b onde ϕ = max(0, k − m) e χ = max(0, m − k). As quantidades Yc,d s˜aodenominados operadores de Newcomb (Chebotarev, 1967; Murray e Dermott, 2000).

n,m 3.1.6.1 Derivadas dXk /de

Desenvolver as equa¸cõesde movimento do sistema pressupõeresolver as equa¸cões(2.61). Para tanto, énecessáriodeterminar as respectivas derivadas parciais do Hamiltoniano, em rela¸cãoas variáveis independentes do problema. Tendo isto em mente, apresentamos abaixo as expressõesutilizadas para as derivadas dos coeficientes de Hansen. Se¸cão3.1. Expansãodo termo perturbador 69

n,m As derivadas dX0 /de foram calculadas diretamente das expressões(3.55) e (3.56), obtendo [(n−2−m)/2] d 3 2e X em+2l X−n,m = n − f + de 0 2 (1 − e2)n−1/2 n,l,m 2 l=0 [(n−2−m)/2] 1 X em+2l−1 f (m + 2l) , (3.68) 2(1 − e2)n−3/2 n,l,m 2 l=1 n ≥ 2, e [(n+1−m)/2] d (n + 1 + m)! X em+2l−1 Xn,m = (−1)n g (m + 2l) , (3.69) de 0 2(n + 1)! n,l,m 2 l=1 onde fn,l,m e gn,l,m designam os coeficientes de fatoriais que aparecem nas respectivas expressões,e em ambas as equa¸cões,0 ≤ m ≤ n. Analogamente, derivando diretamente de (3.67), obtem-se  P∞ n,m 2σ−1  σ=1(2σ + |k − m|)Yσ+ι,σ+νe , se e = 0 e |k − m| = 0;  d n,m  X = e|k−m| P∞ (2σ + |k − m|)Y n,m e2σ (3.70) de k σ=1 σ+ι,σ+ν   n,m |k−m|−1  +|k − m|Yι,ν e , nos demais casos. Na fórmula acima, ι =max(0, k − m) e ν =max(0, m − k).

3.1.7 Operadores de Newcomb

n,m A dependênciaem excentricidades dos coeficientes de Hansen Xk , k > 0, pode ser a,b explicitada em uma sériede potências,com o aux´ıliodos operadores de Newcomb Yc,d , onde a, b, c e d sãovalores inteiros. Estes últimos,por sua vez, podem ser calculados recursivamente (Hughes, 1981), utilizando as seguintes equa¸cões

a,b Y0,0 = 1, (3.71) a Y a,b = b − , (3.72) 1,0 2 para d = 0, a,b a,b+1 a,b+2 4cYc,0 = 2(2b − a)Yc−1,0 + (b − a)Yc−2,0 (3.73) e, para d 6= 0,

a,b a,b−1 a,b−2 a,b 4dYc,d = −2(2b + a)Yc,d−1 − (b + a)Yc,d−2 − (c − 5d + 4 + 4b + a)Yc−1,d−1 X 3/2 +2(c − d + b) (−1)j Y a,b . (3.74) j c−j,d−j j≥2 70 Cap´ıtulo3. O Problema de 3 Corpos - Expans˜aodo potencial perturbador

a,b Ao utilizar-se as duas últimas equa¸cões,nota-se que Yc,d = 0 sempre que c ou d énegativo. a,b a,−b Alémdisso, se d > c, entãovale a rela¸cão Yc,d = Yd,c . Isto advémdo fato de que a,b a,−b Xk = X−k .

3.2 Desenvolvimento do termo indireto

Na equa¸cão(3.11), voltamos nossa aten¸cãopara a parte (II), o termo indireto do potencial perturbador. Fundamentalmente, trata-se de expandir a fun¸cão −1/2 1 1 1 2 r1 r1 = = 1 + ε + 2ε1 cos ψ . (3.75) p 2 2 1 r02 r2 + (ε1r1) + 2ε1r1r2 cos ψ r2 r2 r2 Em suma, o que fazemos éaplicar a mesma metodologia utilizada na expansãoda parte direta: expansãoem sériesde Taylor em torno de órbitasquase-circulares, seguida de expansãoem sériesde cossenos de Fourier, a qual nos conduziránovamente aos coeficientes de Laplace. h i1/2 2 r1 r1 Chamaremos χ a quantidade 1 + ε + 2ε1 cos ψ , y = ε1(r1/r2) e y0 = ε1α. 1 r2 r2 A expansãofica: 1 0 1 2 02 1 3 03 1 = 1 + ε1αδD + (ε1αδ) D + (ε1αδ) D + ... (3.76) χ 2! 3! χ0

0 0 onde δ émesma quantidade que havia sido definida para a parte direta, α = ε1α, D = 0 02 0 1/2 d/dα , e χ0 = [1 + α + 2α cos ψ] . Novamente, temos uma fun¸cãoperiódica em ψ, e pode-se expandir em sériesde Fourier. Fazemos a seguinte mudan¸cade variável: α00 = −α0. Assim:

p 002 00 χ0 = 1 + α − 2α cos ψ.

Agora, utilizando a propriedade dos coeﬁcientes de Laplace (Laskar, 2005) que garante

(k) k (k) que bs (−α) = (−1) bs (α), tem-se

∞ ∞ 1 1 (0) X (j) 1 (0) X (j) = b (α00) + b (α00) cos jψ = b (α0) + (−1)jb (α0) cos jψ (3.77) χ 2 1/2 1/2 2 1/2 1/2 0 j=1 j=1 e assim,

∞ n k n−k k−n " 1 X X (−1) n n r1 r2 0n 1 (0) 0 = (ε1α) D b1/2(α ) (3.78) χ n! k a1 a2 2 n=0 k=0 ∞ # X j (j) 0 + (−1) b1/2(α ) cos ψ . j=1 Se¸c˜ao 3.3. Longitudes m´edias 71

Utilizando os resultados deduzidos para a parte direta, obtemos a express˜aocompleta para a expans˜aoda parte indireta

∞ n ∞ k+j n ∞ ∞ Gm0m2 X X X (−1) n (ε1α) 1 X X n−k,j RI = − 1 − δ0,j Xq1 (e1) a2 n! k 2 2 n=0 k=0 j=0 q1=−∞ q2=−∞ ∞ ∞ k−n−1,−j X X n−k,−j k−n−1,j ×Xq2 (e2) cos(q1M1 + q2M2 + j∆$) + Xq3 (e1)Xq4 (e2) q3=−∞ q4=−∞ ! 0n (j) 0 × cos(q3M1 + q4M2 − j∆$) D b1/2(α ). (3.79)

3.3 Longitudes m´edias

´ E prefer´ıvel, ao invésdas anomalias médias Mi, trabalhar com as longitudes médias λi =

Mi +$i, i = 1, 2. Dessa maneira, o potencial perturbador édado em fun¸cãode argumentos que contêm somente longitudes, o que significa que todos os ângulossãotomados em rela¸cão a mesma dire¸cãofixa. Assim:

cos(q1M1 − q2M2 + j∆$) = cos(q1λ1 − q2λ2 − q1$1 − q2$2 + j∆$),

cos(q1M1 − q2M2 − j∆$) = cos(q1λ1 − q2λ2 − q1$1 − q2$2 − j∆$).

Seja φ o argumento do cosseno que aparece na fun¸c˜aodo potencial perturbador, e que possui a forma geral

φ = g1λ1 + g2λ2 + g3$1 + g4$2 + g5Ω1 + g6Ω2. (3.80)

A condi¸cãosobre os coeficientes gi implica que seja satisfeita a seguinte rela¸cão

6 X gi = 0. (3.81) i=1 A igualdade anterior éelementar no tratamento das expansõesdo potencial perturbador, se tratando de uma particularidade conhecida como propriedade de d’Alembert (ou caracter´ıstica de d’Alembert) (Murray e Dermott, 2000; Ferraz-Mello, 2007). 72 Cap´ıtulo3. O Problema de 3 Corpos - Expansãodo potencial perturbador Cap´ıtulo 4

Dinˆamicada Ressonˆancia

A fim de aplicarmos o formalismo hamiltoniano e os métodos da teoria canônicade perturba¸cõesno estudo de nosso problema, introduzimos os pares conjugados das variáveis de ângulo-a¸cão,obtidos da solu¸cãoda equa¸cãode Hamilton-Jacobi para o problema de 2 corpos (caso planar) (Ferraz-Mello, 2007; Beaugéet al., 2007)

m0m1 p √ M1,L1 = G(m0 + m1)a1 = β1 µ1a1; m0 + m1 m2(m0 + m1) p √ M2,L2 = G(m0 + m1 + m2)a2 = β2 µ2a2; m0 + m1 + m2 q 2 $1,G1 = L1 1 − e1; (4.1) q 2 $2,G2 = L2 1 − e2.

As expressões das a¸cõessãotambémchamadas variáveis modificadas de Delaunay. Pode-se mostrar que tal conjunto éobtido via transforma¸cãocanônicadas variáveis de Delaunay originais, tomadas para um sistema de referênciaque utiliza variáveis de Jacobi (Beaugéet al., 2007). Como optamos por trabalhar utilizando somente variáveis angulares de longitude (ao invésdas anomalias) aplicamos uma transforma¸cãocanônica,de maneira tal a obter novas variáveis de ângulo-a¸cão: √ λi; Li = βi µiai, (4.2) q 2 −$i; Li − Gi = Li(1 − 1 − ei ), (4.3) i = 1, 2.

Reescrevendo o termo kepleriano HKep em termos dessas vari´aveis, teremos

2 µ2β3 µ2β3 X µ2β3 H = − 1 1 − 2 2 = − i i (4.4) Kep 2L2 2L2 2L2 1 2 i=1 i 74 Cap´ıtulo4. Dinˆamicada Ressonˆancia

De maneira análoga,pode-se reescrever a parte do potencial perturbador como uma fun¸cão R = R(Li,Gi; λi, $i) = RD + RI . Assim, inicialmente, temos um problema de quatro graus de liberdade: os quatro ângulos λ1,λ2, $1 e $2. O espa¸code fases, dado pelas variáveis de ânguloe o respectivo momento conjugado, possui portanto oito dimensões. Com o intuito de investigar as contribui¸cõesde longo per´ıodo para a evolu¸cãodinâmica do sistema, i.e., o movimento nos regimes secular e ressonante, os termos de curto per´ıodo (da ordem dos per´ıodos orbitais) foram removidos de R, tomando-se a médiaaritmética da perturba¸cãosobre os ângulosrápidos λ1 e λ2. Na prática,essa médiafoi tomada via inspe¸cãovisual, atravésda elimina¸cãodas contribui¸cõesao Hamiltoniano advindas de termos cujos argumentos dependessem das longitudes médias λi. Na literatura, tal metodologia écomumente conhecida como “tesoura”, uma vez que, de fato, “cortam-se”os termos de curto-per´ıodo do Hamiltoniano. Na teoria canônicade perturba¸cões,verifica-se que o método de “tesoura”coincide com a chamada médiaem primeira ordem em massa da teoria de sériesde Lie (Ferraz-Mello, 2007). Tomemos a parte direta do potencial perturbador. Separando as contribui¸cõesde diferentes regimes, époss´ıvel escrever:

(sec) •RD - parte secular, em geral dada por termos que n˜aopossuem argumentos peri´odicos;

(lp) •RD - parte que cont´emargumentos de longo per´ıodo. Consideramos aqui os termos

que surgem apóstomar-se a médiasobre os ângulosrápidos λ1eλ2, excluindo as combina¸cõescr´ıticas que caracterizam os casos ressonantes;

(cp) •RD - parte que cont´emtermos de curto per´ıodo em RD. Trata-se do conjunto de

todos os termos periódicosdependentes de ao menos um dos ângulosrápidos(λ1, λ2),

e que n˜aoconstituem as combina¸c˜oescr´ıticas.Como temos que λi = nit + τ0,i, onde

ni éo movimento médioe τ0,i uma constante inicial, vemos que esses ângulosvariam

muito rapidamente, com per´ıodos que s˜aoda ordem dos per´ıodos orbitais T1 = 2π/n1

e T2 = 2π/n2, e por esse mtoivo, fala-se em ângulos rápidosou ângulosde curto- per´ıodo (curto, quando comparados aos per´ıodos que caracterizam os demais modos de movimento t´ıpicosdo sistema); Se¸cão 4.1. Termos seculares 75

(k) •RD - parte cr´ıtica, na qual temos o conjunto de termos periódicoscujos argumentos apresentam as combina¸cõescr´ıticasdos ângulosrápidos,e que determinam as ressonâncias.

As combina¸cõescr´ıticasque podem aparecer nos argumentos da perturba¸cãosãodadas na forma (p + q)λ2 − pλ1, e sãotais que dãoorigem aos pequenos divisores, quantidades definidas nominalmente pela rela¸cão(p + q)n2 − pn1 ' 0. Os termos da pertuba¸cãoque podem gerar tais fatores sãoseparados, constituindo, portanto, o que denominamos de parte cr´ıtica. A médiatomada sobre os ângulosde curto per´ıodo fornece

Z 2π Z 2π (sec) (lp) 1 RD + RD = 2 RD dλ1 dλ2. (4.5) (2π) 0 0 Por simples inspe¸cãovisual, eliminamos as contribui¸cõesadvindas dos termos de curto per´ıodo, e separamos os termos cr´ıticose termos seculares e de longo-per´ıodo. Os termos nos quais o argumento depende somente de ∆$, ou que apresentem a combina¸cãocr´ıtica mencionada, saem como constantes em 4.5.

4.1 Termos seculares

Inclu´ımosnessa parte os termos que advêm das contribui¸cõesde longo per´ıodo, juntamente com os termos que sãotomados como constantes dentro do processo de integra¸cão (4.5). Na parte secular, os argumentos do potencial perturbador nãodependem das longitudes médias.Ao calcular (4.5), facilmente verifica-se que os termos periódicosde (3.52) anulam-se na integra¸cão,com excessãoàquelescaracterizados por longos per´ıodos. Sãoos termos para os quais qi = 0 (i = 1, 2, 3, 4) na equa¸cão(3.52). Assim sendo,

∞ n ∞ k (sec) Gm2 X X X (−1) n n 1 n−k,j RD = (m0 + m1) − m1 (ε2α) 1 − δ0,j X0 (e1) a2 n! k 2 n=0 k=0 j=0 k−n−1,j ˜ n (j) ×X0 (e2)D b1/2(˜α) cos j∆$ . (4.6)

Analogamente, a parte indireta secular ﬁca

∞ n ∞ k+j (sec) Gm0m2 X X X (−1) n n 1 n−k,j RI = − (ε1α) 1 − δ0,j X0 (e1) (4.7) a2 n! k 2 n=0 k=0 j=0 k−n−1,j 0n (j) 0 ×X0 (e2)D b1/2(α ) cos j∆$. 76 Cap´ıtulo4. Dinˆamicada Ressonˆancia

Nas equa¸cõesacima, vemos que a parte secular éreduzida a um problema unidimensi- onal, tendo por grau de liberdade a variável ∆$ = $1 − $2. Em geral, j = 0 define o que chamamos, na se¸cãoanterior, de parte secular; para j > 0, tem-se a parte com argumentos de longo per´ıodo.

4.2 Termos ressonantes

No estudo das contribui¸cõesde longo per´ıodo do movimento do sistema, tomamos a média do Hamiltoniano sobre as duas longitudes médias λ1 e λ2. Esse procedimento nãoéválidoquando os corpos se movimentam com órbitasde per´ıodos comensuráveis

(ou muito próximasde uma dada comensurabilidade). Neste caso, λ1 e λ2 nãosãomais independentes, valendo a rela¸cão T p + q 2 ' , (4.8) T1 p onde p e q sãovalores inteiros positivos. Sabemos que a médiasobre as longitudes iráeli- minar todos os termos cujo argumento depende de ao menos uma das longitudes, inclusive aqueles dentro do que denominamos combina¸cãocr´ıtica:(p + q)λ2 − pλ1. A comensurabilidade dos per´ıodos orbitais édenominada ressonânciade movimentos médios(MMR - Mean Motion Resonance) (Michtchenko e Ferraz-Mello, 2001; Michtchenko et al., 2008a; Alves et al., 2016; Callegari et al., 2004). A integra¸cãodas equa¸cõesde movimento dos termos ressonantes (cr´ıticos)do Hamiltoniano introduzem nas solu¸cõesdo problema os chamados pequenos divisores (Ferraz-Mello, 2007), da forma pn1 − (p + q)n2 ' 0, os quais sãoresponsáveis por causar a divergênciadas solu¸cões. A ressonância énominalmente caracterizada pelos valores inteiros p e q. Mais especificamente, q denota a ordem da ressonância.No desenvolvimento a seguir, apresentamos as expressõesbuscando a generaliza¸cãodo fênomeno, ou seja, deixamos a ordem livre, com os resultados dados em termos de p e q. No fenômenode ressonância,espera-se encontrar argumentos do potencial perturbador da forma genéricaΦ = (p + q)λ2 − pλ1 − g$1 − h$2, de tal forma que, satisfazendo a propriedade de d’Alembert,

p + q − p − g − h = 0 ⇒ g + h = q.

Analisando as expressõesgerais do potencial perturbador, (3.52) e (3.79), percebe-se que os termos ressonantes aparecem para as combina¸cõescr´ıticas q1 = ±p e q2 = ∓(p + Se¸cão4.2. Termos ressonantes 77

q). Ao abrirmos as somat´oriasem qi, considerando somente as combina¸c˜oesressonantes, teremos:

n−k,j k−n−1,−j n−k,j X−p (e1)Xp+q (e2) cos[(p + q)λ2 − pλ1 + p$1 − (p + q)$2 + j∆$] + Xp (e1)

k−n−1,−j n−k,−j k−n−1,j ×X−p−q (e2) cos[pλ1 − (p + q)λ2 − p$1 + (p + q)$2 + j∆$] + X−p (e1)Xp+q (e2)

n−k,−j k−n−1,j × cos[(p + q)λ2 − pλ1 + p$1 − (p + q)$2 − j∆$] + Xp (e1)X−p−q (e2) cos[(p + q)λ2

−pλ1 + p$1 − (p + q)$2 + j∆$]

n,m Usamos da propriedade de simetria dos coeficientes de Hansen, segundo a qual Xk = n,−m ´ X−k , juntamente com a paridade da fun¸cãocosseno. E poss´ıvel chegar a seguinte ex- pressão,mais contra´ıda,para as combina¸cõesressonantes:

n−k,j k−n−1,j 2(X−p (e1)X−p−q (e2) cos[(p + q)λ2 − pλ1 + p$1 − (p + q)$2 + j∆$] (4.9)

n−k,j k−n−1,j +Xp (e1)Xp+q (e2) cos[(p + q)λ2 − pλ1 + p$1 − (p + q)$2 − j∆$]).

Finalmente, as partes ressonantes direta e indireta do potencial perturbador s˜aoapre- sentadas abaixo: ∞ n k (res) Gm1m2 X X (−1) n n n−k,0 k−n−1,0 RD = − (ε2α) Xp (e1)Xp+q (e2) cos[(p + q)λ2 − pλ1 a2 n! k n=0 k=0 ∞ ˜ n (0) X n−k,j k−n−1,j +p$1 − (p + q)$2]D b1/2(˜α) + X−p (e1)X−p−q (e2) cos[(p + q)λ2 − pλ1 j=1 n−k,j k−n−1,j +p$1 − (p + q)$2 + j∆$] + Xp (e1)Xp+q (e2) cos[(p + q)λ2 − pλ1 (4.10) ˜ n (j) +p$1 − (p + q)$2 − j∆$] D b1/2(˜α) ;

∞ n k (res) Gm0m2 X X (−1) n n n−k,0 k−n−1,0 RI = − (ε1α) Xp (e1)Xp+q (e2) cos[(p + q)λ2 − pλ1 a2 n! k n=0 k=0 ∞ 0n (0) 0 X j n−k,j k−n−1,j +p$1 − (p + q)$2]D b1/2(α ) + (−1) X−p (e1)X−p−q (e2) cos[(p + q)λ2 − pλ1 j=1 n−k,j k−n−1,j +p$1 − (p + q)$2 + j∆$] + Xp (e1)Xp+q (e2) cos[(p + q)λ2 − pλ1 (4.11) 0n (j) 0 +p$1 − (p + q)$2 − j∆$] D b1/2(α ) .

4.2.1 Harmˆonicosressonantes

E´ fácilenxergar que a combina¸cãocr´ıticageradora da ressonância,e que dáorigem aos pequenos divisores, ainda existe dentro do conjunto de seus múltiplosinteiros. Isto 78 Cap´ıtulo4. Dinâmicada Ressonância

é: se pn1 − (p + q)n2 ' 0 então N[pn1 − (p + q)n2] ' 0, N = 1, 2, 3, ...; e tais múltiplos dos pequenos divisores sãogerados pelos múltiplos da combina¸cãocr´ıtica, N[(p + q)λ2 − pλ1]. Denominaremos harmônicosressonantes de ordem N tais estruturas do argumento perturbador. Neste trabalho, mostraremos a necessidade de levá-losem considera¸cãoao se computar o Hamiltoniano. Uma vez que a regra de d’Alembert deve continuar sendo satisfeita, o argumento completo da parte ressonante éreescrito como:

ϕ = N[(p + q)λ2 − pλ1 + p$1 − (p + q)$2] ± j∆$. (4.12)

O fator N éadicionado àexpressãoressonante do potencial perturbador como um somatórioque age sobre os argumentos dos cossenos e sobre os ´ındices inferiores dos coeficientes de Hansen (indicando, de fato, a influênciados harmônicossobre as potênciasdas excentricidades). Assim, por exemplo, a parte direta éreescrita como:

∞ n ∞ k " (res) Gm1m2 X X X (−1) n n n−k,0 k−n1−1,0 RD = − (ε2α) XNp (e1)XN(p+q) (e2) (4.13) a2 n! k n=0 k=0 N=1 ∞ ˜ n (0) X n−k,j k−n−1,j × cos(N[(p + q)λ2 − pλ1 + p$1 − (p + q)$2])D b1/2(˜α) + X−Np (e1)X−N(p+q)(e2) j=1 n−k,j k−n−1,j × cos(N[(p + q)λ2 − pλ1 + p$1 − (p + q)$2] + j∆$) + XNp (e1)XN(p+q) (e2) ! # ˜ n (j) × cos(N[(p + q)λ2 − pλ1 + p$1 − (p + q)$2] − j∆$) D b1/2(˜α) , e analogamente obt´em-sea parte indireta contendo os termos harmˆonicos.

4.3 Estudo te´oricoda dinˆamica

Para a caracteriza¸cãoqualitativa da dinâmicado problema, definimos o seguinte conjunto de variáveis canônicas

λ1,J1 = L1 + r(K1 + K2);

λ2,J2 = L2 − (1 + r)(K1 + K2);

(1 + r)λ2 − rλ1 − $1 = σ1,K1 = L1 − G1; (4.14)

(1 + r)λ2 − rλ1 − $2 = σ2,K2 = L2 − G2, onde r = p/q; σ1 e σ2 sãocomumente conhecidos como ângulosressonantes ou ângulos cr´ıticos. Introduzindo tais ângulos,os argumentos genéricosdo potencial perturbador Se¸cão4.3. Estudo teórico da dinâmica 79

ressonante (p + q)λ2 − pλ1 + p$1 − (p + q)$2 ± j∆$ sãoreescritos como (p + q)σ1 + ((p + q) ± j)∆$. Redefinindo os argumentos ressonantes, em termos das novas quantidades, fica-se com

ϕ0 = qσ1 + (p + q)∆$, (4.15)

(j) ϕ1 = Nqσ1 + [N(p + q) + j]∆$, (4.16) (j) ϕ2 = Nqσ1 + [N(p + q) − j]∆$, (4.17) e reescrevemos a parte ressonante como

∞ n ∞ k (res) Gm2 X X X (−1) n nh R = − α In,k,N (α, e1, e2; ε1, ε2) cos Nϕ0 (4.18) a2 n! k n=0 k=0 N=1 ∞ X (1) (j) (2) (j)i + Jn,k,N,j(α, e1, e2; ε1, ε2) cos ϕ1 + Jn,k,N,j(α, e1, e2; ε1, ε2) cos ϕ2 , j=1

(1) (2) ˜ onde In,k,N , Jn,k,N,j e Jn,k,j sãofun¸cõesdos elementos orbitais, atravésdos operadores D e D0 e dos coeficientes de Hansen, e sãodadas em termos dos ´ındices n, k, N e j, e dos parâmetros ε1 e ε2, atravésdas seguintes equa¸cões:

h i n−k,0 k−n−1,0 n ˜ n (0) n 0n (0) 0 In,k,N = XNp (e1)XN(p+q) (e2) m1ε2 D b1/2(˜α) + m0ε1 D b1/2(α ) (4.19) h i (1) n−k,j k−n−1,j n ˜ n (j) j n 0n (j) 0 Jn,k,N,j = X−Np (e1)X−N(p+q)(e2) m1ε2 D b1/2(˜α) + (−1) m0ε1 D b1/2(α ) (4.20) h i (2) n−k,j k−n−1,j n ˜ n (j) j n 0n (j) 0 Jn,k,N,j = XNp (e1)XN(p+q) (e2) m1ε2 D b1/2(˜α) + (−1) m0ε1 D b1/2(α ) (4.21)

Notamos que o Hamiltoniano, escrito em termos das variáveis de ressonância,não dependeráexplicitamente dos ângulosde curto per´ıodo λ1 e λ2. Consequentemente, as a¸cõesconjugadas a esses ângulossãointegrais de movimento do sistema:

J1 = L1 + r(K1 + K2) = const,

J2 = L2 − (1 − r)(K1 + K2) = const. (4.22)

A combina¸c˜aolinear dessas duas integrais resulta ainda em uma constante

(1 + r)L1 + rL2 = (1 + r)J1 + rJ2 = K = const. (4.23) denominada parâmetro de espa¸camento (Michtchenko e Ferraz-Mello, 2001; Michtchenko et al., 2008a; Alves et al., 2016). K éuma integral de movimento do sistema ressonante: 80 Cap´ıtulo4. Dinâmicada Ressonância

implica no fato de os semi-eixos maiores a1 e a2 oscilarem em anti-fase, e com amplitudes que sãoinversamente proporcionais àsmassas dos corpos orbitantes. Alémdisso, temos tambémque

J1 + J2 = G1 + G2 = AM = const, (4.24) que éo momento angular total do sistema, tambémuma integral de movimento. Quando eliminamos os ângulosde curto per´ıodo, e escrevemos o potencial perturbador em termos dos ânguloscr´ıticos,percebemos que, de um problema inicial de quatro graus de liberdade (λ1, λ2, $1 e $2), reduziu-se o sistema a somente dois graus, com os outros dois graus vinculados atravésdas integrais K e AM. Isso implica que a estrutura do espa¸code fases édefinida, então,por dois ângulosconjugados a duas a¸cões(espa¸co quadridimensional).

4.3.1 Evolu¸c˜aotemporal dos elementos

A invariânciade K e de AM tem importantes consequênciassobre a evolu¸cãoorbital do sistema. Jámencionamos que, apósprocessar-se a média,no conjunto de variáveis

(L1,L2,G1,G2) (ou de elementos (a1, a2, e1, e2)), somente duas sãoindependentes, e o problema ressonante planar possui assim dois graus de liberdade, com dois modos de movimento caracter´ısticos. Um deles édefinido como modo secular, e estáassociado ao ângulosecular ∆$ (Michtchenko e Ferraz-Mello, 2001). O outro vem a ser o modo ressonante, caracterizado pela libra¸cãodo ânguloresso- nante. Pela defini¸cão,∆$ = σ2 − σ1, o que significa que somente um dos ângulos cr´ıticos éindependente (o outro é,logicamente, definido pelo v´ınculo).Podemos nos referir, especificamente, a um ânguloressonante verdadeiro do sistema (Alves et al., 2016). A questão a ser respondida, então,équal dos ânguloscr´ıticos desempenha esse papel. Trataremos mais sobre esse assunto na próximasessão. Por ora, atentamos para a evolu¸cãodinâmicado sistema. Assumiremos, na formula¸cão a seguir, (σ1, ∆$) como o conjunto de variáveis angulares independentes.

Em termos das a¸c˜oes cl´assicasde Delaunay, (L1,G1) formam o conjunto independente

(em termos de elementos, (a1, e1)). Os v´ınculosque fornecem a rela¸cãoentre os elementos Se¸cão4.3. Estudo teórico da dinâmica 81 orbitais dependentes vêmpelas equa¸cões(4.23) e (4.24).

2 [K − (1 + r)L1] a2 = 2 2 , (4.25) µ2r β2 s 2 (AM − G1) e2 = 1 − 2 . (4.26) L2 Utilizando a condi¸cãode canonicidade, derivamos as respectivas a¸cõesconjugadas às variáveis angulares, obtendo (em termos somente de L1 e G1) as novas a¸cõesΛ1 e Λ2: K − L σ , Λ = K + K = 1 − AM; (4.27) 1 1 1 2 r K − (1 + r)L ∆$, Λ = K = G + 1 − AM. (4.28) 2 2 1 r As equa¸cões de Hamilton fornecem a evolu¸cãotemporal das variáveis canônicas: dσ ∂ dΛ ∂ 1 = < H >, 1 = − < H >; dt ∂Λ1 dt ∂σ1 d∆$ ∂ dΛ ∂ = < H >, 2 = − < H > . (4.29) dt ∂Λ2 dt ∂∆$ Aplicamos, nos próximosdesenvolvimentos, a seguinte propriedade: seja tomada uma

2 fun¸cão f(y1, y2) derivável qualquer, tal que f : R → R, e seja uma transforma¸cãoar- bitráriadefinida por

x1 = x1(y1, y2), (4.30)

x2 = x2(y1, y2), (4.31) tal que possamos escrever f(x1, x2) = f(x1(y1, y2), x2(y1, y2)). Tome-se a fun¸cãoinversa −1 g dessa transforma¸cão, g(y) = x = g(y1(x1, x2), y2(x1, x2)), e agora, pode-se escrever f(x1, x2) = f ◦ g = f(g(y1, y2)). Derivando a fun¸cão f em rela¸cãoa x1, obtém-se: ∂f ∂f ∂y ∂f ∂y = 1 + 2 . ∂x1 ∂y1 ∂x1 ∂y2 ∂x1

Analogamente ocorre para as derivadas em rela¸cãoa x2. Seja definido, então,um operador da deriva¸cãoinversa, ∂ X ∂yj ∂ = . ∂x ∂x ∂y i j i j

Temos, em nosso problema, Λ1 = Λ1(L1,G1) e Λ2 = Λ2(L1,G1). Escrevendo as express˜oesinversas:

L1 = L1(Λ1, Λ2) = K − r(Λ1 + AM), (4.32)

G1 = G1(Λ1, Λ2) = K − r(Λ1 + AM) − Λ1 + Λ2. (4.33) 82 Cap´ıtulo4. Dinˆamicada Ressonˆancia

Aplicando a equa¸cãoobtida para a derivada da fun¸cãoinversa, teremos que ∂ ∂ ∂ = −r − (r + 1) , (4.34) ∂Λ1 ∂L1 ∂G1 ∂ ∂ = . (4.35) ∂Λ2 ∂G1 Agora, se utilizamos as defini¸cõesdas a¸cõesde Dalaunay, époss´ıvel repetir os passos anteriores para obter as fun¸cõesinversas que nos fornecem os elementos independentes a1 = a1(L1,G1) e e1 = e1(L1,G1). As rela¸cõesentre os operadores de derivadas parciais sãodadas por

−1/2 2 " 2# ∂ 2L1 ∂ G1 G1 ∂ = 2 + 3 1 − , (4.36) ∂L1 µ1β1 ∂a1 L1 L1 ∂e1 " 2#−1/2 ∂ G1 G1 ∂ = − 2 1 − . (4.37) ∂G1 L1 L1 ∂e1 Computar as derivadas do Hamiltoniano médiotorna-se uma tarefa mais direta se operamos as derivadas em termos dos elementos orbitais, uma vez que < H > énaturalmentes escrito como fun¸cãodesses elementos. As expressõesacima sãoaplicadas na determina¸cãoda evolu¸cãodas variáveis angulares. Voltando para as equa¸cõesde Hamilton, podemos reescrever a evolu¸cãotemporal das a¸cõescanônicas: dΛ 1 dL µ β rµ da 1 = − 1 = − 1 1 1 1 , (4.38) dt r dt 2r a1 dt dΛ dG (1 + r) dL 2 = 1 − 1 = dt dt r dt e L de β rµ q (1 + r) da = − 1 1 1 + 1 1 1 − e2 − 1 , (4.39) p 2 dt 2 a 1 r dt 1 − e1 1 e invertendo as rela¸cõesobtemos as expressõespara a evolu¸cãotemporal dos elementos orbitais: da 2rr a ∂ 1 = 1 < H >, (4.40) dt β1 µ1 ∂σ1 p 2 q de1 1 − e1 ∂ 2 ∂ = − √ − < H > −(r 1 − e1 + 1 + r) < H > . (4.41) dt e1β1 µ1a1 ∂∆$ ∂σ1 O mesmo tratamento que aplicamos anteriormente éadotado se optamos por tomar

(σ2, ∆$) como as variáveis angulares independentes, nesse caso levando em considera¸cão as devidas altera¸cõesnas rela¸cões(4.25) e (4.26), e as implica¸cõesem se tomar a2 e e2 como os novos elementos independentes. Se¸cão4.4. Determina¸cãodo regime de ressonância:o ânguloressonante ‘verdadeiro’ 83

4.4 Determina¸cãodo regime de ressonância:o ângulo ressonante ‘verdadeiro’

Abordamos o conceito de ânguloressonante verdadeiro, conforme exposto em (Alves et al., 2016). Mencionamos que, para o problema ressonante planar, os dois graus de liberdade possuem dois modos própriosde movimento, um secular e outro ressonante, sendo este últimocaracterizado pela libra¸cão do ângulorespectivo, i.e., o ângulocr´ıticocarac- ter´ısticodesse modo. Da rela¸cãode v´ınculoentre as variáveis angulares, σ2 − σ1 = ∆$, tem-se que, enquanto o ânguloressonante descreve um movimento de libra¸cão,o outro ângulocr´ıticoiráapresentar um regime de circula¸cão/oscila¸cão, juntamente com o ângulo secular. Dependendo das condi¸cõesdinâmicasque caracterizam o sistema, a libra¸cãopode ocorrer para o ângulointerno (σ1) ou para o ânguloexterno (σ2), e convencionou-se de- nominar os regimes de ressonânciainterior, para o primeiro caso, e ressonânciaexterior para o segundo (Michtchenko et al., 2008b). Com isso em mente, apresentamos nesta se¸cãouma metodologia elaborada para uma determina¸cão“prévia”doregime de ressonânciade um sistema. Nãofizemos uso, propriamente, do modelo de Hamiltoniano médiodesenvolvido neste trabalho. Mas utilizamos o mesmo conceito das expansõesem sériesde potências, e aplicamos as quantidades matemáticasapresentadas no cap´ıtuloanterior (a saber, os coeficientes de Hansen e de Laplace). Explicamos a ideia principal, invocando o caso-limite da dinâmicade ressonânciapara o problema de trêscorpos restrito. No caso de um asteroide cuja órbitaevolui dentro de um cenáriode ressonânciacom Júpiter,o ânguloque libra éo ângulocr´ıticointerno (σ1). No entanto, para o caso de objetos localizados no cinturão de Kuiper (transnetunianos), e que se encontram em ressonância com Netuno, o ânguloressonante éo externo (σ2). Quando muda-se o panorama do sistema, trabalhando com intera¸cõesentre planetas de massas consideráveis, a dinâmicaapresenta consequênciasmais complexas (Michtchenko et al., 2008a,b): para um corpo externo mais massivo, a situa¸cãoésimilar àressonância asteroidal, e o ângulointerno σ1 libra. Contudo, quando o corpo interno éo mais massivo, ambas as configura¸cõesressonantes sãoposs´ıveis. Levando em conta tais informa¸cões,concebemos o seguinte recioc´ınio: determinar o ânguloressonante pressupõedeterminar qual das massas orbitantes sofre maior influência 84 Cap´ıtulo4. Dinâmicada Ressonância em decorrênciadas perturba¸cões. Então,tomamos as equa¸cõesde movimento newtonianas, para o problema de três corpos descrito em coordenadas de Jacobi. Tais equa¸cõesestãoexpostas no ApêndiceA. Vamos utilizar os resultados ali derivados, mas considerando a nota¸cãoadotada atéaqui.

As equa¸cões de movimento para as massas m1 e m2 são,respectivamente,: r m m ¨ 1 ¨ 0 1 r1 + µ1 3 = F1, r2 +µ ˜2 3 + 3 r2 = F2, (4.42) r1 ∆02 ∆ onde definem-se as quantidadesµ ˜2 = G(m0 + m1 + m2)/(m0 + m1), ∆02 = |r2 + ε1r1|; F1 e F2 sãoos termos de acelera¸cãogerados pela perturba¸cão: Gm2 m0 m1 1 1 F1 = − 3 + 3 r1 + Gm2 3 − 3 r2, (4.43) m0 + m1 ∆ ∆02 ∆ ∆02 1 1 F2 = −µ˜2β1 3 − 3 r1. (4.44) ∆02 ∆

Podemos separar as parcelas advindas das intera¸c˜oesdiretas e indiretas, e tem-se F1 =

F1,d + F1,i e F2 = F2,d + F2,i, onde Gm r F = 2 (r − ε r ),F =µ ˜ β 1 ; (4.45) 1,d ∆3 2 2 1 2,d 2 1 ∆3 Gm2 r1 F1,i = − 3 (r2 + ε1r1),F2,i = −µ˜2β1 3 , (4.46) ∆02 ∆02 e os sub´ındices d e i significam direta e indireta, respectivamente. Nesse estudo mais simples, queremos comparar a intensidade das acelera¸cõesa que são submetidas as massas m1 e m2. Tomando o módulo de F1, por exemplo, vem que: 1 1 |F1| = Gm2 | 3 (r2 − 2r1) − 3 (r2 + 1r1) |= (4.47) ∆ ∆02 1 1 1 1 = Gm2 4 + 4 − 2 3 3 (r2 − ε2r1) · (r2 + ε1r1) ∆ ∆02 ∆ ∆02 Usamos os métodos explicados nas se¸cõesanteriores para expandir as expressões(4.43) e (4.44). Adotamos como primeira aproxima¸cãoexpandir somente a parte direta das equa¸cões. Assim o fizemos pois esta parte do trabalho éapresentada apenas como um estudo preliminar, com a inten¸cãode averiguar uma (possibilidade de) aplicabilidade do modelo. Um estudo mais detalhado, no entanto, éessencial para atestar os resultados derivados daqui. Tomando o módulodas quantidades referidas, obtemos Gm µ˜ β |F | = 2 , |F | = 2 1 r (4.48) 1,d ∆2 2,d ∆3 1 Se¸cão4.4. Determina¸cãodo regime de ressonância:o ânguloressonante ‘verdadeiro’ 85

2 3 Ent˜ao,vemos que a tarefa consiste em expandir 1/∆ e r1/∆ . Utilizando resultados apresentados no cap´ıtuloanterior, sabemos que

∞ n " ∞ # 1 1 1 1 X (ε2αδ) 1 (0) X (j) = = D˜ n b (˜α) + b (˜α) cos ψ , (4.49) ∆ r Γ2i+1 r n! 2 (2i+1)/2 (2i+1)/2 2 2 n=0 j=1 onde ψ vem a ser o ânguloentre os vetores posi¸cão r1 e r2, e i assume somente valores inteiros. Relembramos que Γ éa fun¸cãodefinida por (3.25). Aqui, adotamos a segunda aproxima¸cão:sem o advento da demonstra¸cão,utilizamo a rela¸cãode desigualdade: 1 1 2 < > ≤ < > , (4.50) ∆2 ∆ i.e., a médiado quadrado émenor ou no máximoigual ao quadrado da média. Isso foi feito pois nãohácomo aplicar a expansãoem coeficientes de Laplace, com as fórmulas apresentadas, no caso de ∆−2 (o expoente 2 implicaria em i = 1/2, o que nãoéposs´ıvel, pois jáafirmamos que i assume somente valores inteiros). Então,repetindo resultados anteriores, ficamos com

( ∞ n k n−k k−n−1 " 1 1 X X (−1) n n r1 r2 ˜ n 1 (0) 2 = 2 α˜ D b1/2(˜α) (4.51) ∆ a n! k a1 a2 2 2 n=0 k=0 ∞ #)2 X (j) + b1/2(˜α) cos ψ . j=1

A expans˜aopara F2,d vem de forma mais direta:

∞ n k n−k+1 k−n−3 " r1 a1 X X (−1) n n r1 r2 ˜ n 1 (0) 3 = 3 α˜ D b3/2(˜α) (4.52) ∆ a n! k a1 a2 2 2 n=0 k=0 ∞ # X (j) + b3/2(˜α) cos jψ j=1 m As quantidades (ri/ai) e cos ψ s˜aoexpandidas utilizando os coeﬁcientes de Hansen.

Tomamos a médiasobre os ângulosde curto per´ıodo λ1 e λ2, e para o caso de < F1,d >, aplicamos a desigualdade assumida para as médias.Para ambas as perturba¸cões,ficamos no final com expressõesseparadas para os termos seculares e ressonantes, de maneira análogaao que hav´ıamosobtido para o potencial perturbador médio < R >. Nesta metodologia adotada, o regime de ressonânciaédeterminado da seguinte forma:

(sec) (res) (sec) (res) se | < F1,d > | = |F1,d + F1,d | > |F2,d + F2,d | = | < F2,d > | ⇒

⇒ σ1 ressonante; (4.53)

(sec) (res) (sec) (res) se | < F1,d > | = |F1,d + F1,d | < |F2,d + F2,d | = | < F2,d > | ⇒ σ2 ressonante 86 Cap´ıtulo4. Dinˆamicada Ressonˆancia Cap´ıtulo 5

Testes de Convergˆenciae Aplica¸c˜oes

Neste cap´ıtulo, apresentamos os testes de convergênciarealizados para a valida¸cão do modelo anal´ıticoapresentado nos cap´ıtulosprecedentes. Ao final, apresentamos uma aplica¸cãopreliminar. O modelo proposto pelas equa¸cões(4.6), (4.7) e (4.18) foi implementado em código Fortran 90. Realizaram-se testes quanto a convergênciadessas expressões,visto que se tratam de séries- teoricamente - infinitas. O principal padrão utilizado na avalia¸cãodos resultados foi a compara¸cãoentre as computa¸cõesgeradas atravésdo modelo proposto e aquelas obtidas via modelo semi-anal´ıtico, o qual jáhavia sido desenvolvido e validado pelo grupo de Astronomia Dinâmicado Departamento de Astronomia do IAG. E´ necessário,antes de tudo, definir os parâmetrosf´ısicose as condi¸cõesiniciais para o problema. E´ de nosso interesse, em particular, o estudo de sistemas dentro ou próximosà ressonância3:1. Isto significa estabelecer p + q = 3, onde p = 1 e q = 2, ou seja: tratamos de uma ressonânciade segunda ordem. Tendo em perspectiva aplica¸cõesao estudo do sistema de Plutãoe suas duas primeiras luas (Caronte e Styx), utilizou-se os seguintes valores de massas e semi-eixos: m0 = 1.3029· 22 10 kg e a1 = 19597 km, os quais vêma ser os valores de massa de Plutãoe do semi- eixo da órbitade Caronte em rela¸cãoa Plutão(Brozovićet al., 2015), respectivamente;

19 m1 = 1.5864 · 10 kg, valor que ´eequivalente a 1% da massa gravitacional do sat´elite

Caronte (Brozovićet al., 2015). O semi-eixo da órbitaexterna, a2, étomado de tal modo que se tenha o sistema, inicialmente, dentro da ressonânciaexata, i.e., n1/n2 = (p + q)/p

(= 3/1, neste caso). Em todos os testes aplicados, a razãode massas m2/m1 foi mantida unitária,exceto nos casos em que indicamos outro valor. Utilizando a rela¸cão(4.8), é 88 Cap´ıtulo5. Testes de Convergênciae Aplica¸cões poss´ıvel chegar a seguinte equa¸cão

" 2 #1/3 p + q µ2 a2 = a1 , p µ1 que determina o valor nominal para a2 dentro da ressonânciaexata (jáexplicamos que, em nosso trabalho, chamamos ressonância‘exata’ ao caso em que verifica-se a igualdade n1/n2 = (p + q)/p). Para o caso m2 = m1, e fazendo p = 1 e q = 2, obtém-se a2 ' 40736 km.

5.1 An´alisede convergˆencia

5.1.1 Modelo padr˜aode compara¸c˜ao

Explicamos, em linhas gerais, o funcionamento do modelo semi-anal´ıticoque usamos como padrãode compara¸cãoneste trabalho. Nele, o Hamiltoniano médioécomputado tambémem códigoFortran, atravésde uma médianuméricaefetuada sobre o ângulo sinódico Q = (λ1 − λ2)/q (Beaugée Michtchenko, 2003; Michtchenko et al., 2006). As quantidades r/a sãoobtidas atravésda fórmula r = a(1 − e cos u), onde u denota a anomalia excêntrica, que écomputada atravésda solu¸cãoda equa¸cãode Kepler ( onde toma-se u0 = M como primeira aproxima¸cão. As anomalias médias,nesse modelo, vêmatravésdas rela¸cões

M1 = σ1 + (p + q)Q,

M2 = σ2 + pQ.

As anomalias verdadeiras s˜aoobtidas de " # r1 + e u f = 2 arctan tan . (5.1) 1 − e 2

As distânciasmútuas∆ e r02 sãocalculadas atravésdas rela¸cõesvetorias envolvendo r1, r2 e o ângulo ψ = f1 + f2 − ∆$ (Cap. 3). Nas se¸cõesa seguir, analisamos a convergênciado modelo anal´ıtico, em termos dos ´ındices n, N e j, que caracterizam a expansãoapresentada nos cap´ıtulos anteriores.

5.1.2 Coeﬁcientes de Laplace

Ao implementar as fórmulas (3.40) e (3.41) para computa¸cãodos coeficientes de La- place, énecessárioestabelecer um limite superior para o somatóriono ´ındice i que aparece Se¸cão5.1. Análisede convergência 89 no somatóriodessas fórmulas. Estudamos o comportamento da sériedeα ˜, para diferentes valores limites, conforme mostrado na figura abaixo.

(a) (b)

(j) Figura 5.1: (a) Comportamento da sériedos coeficientes de Laplace b1/2(˜α), 0 ≤ j ≤ 5, em termos do ´ındice i; ε2 ∼ 1 eα ˜ = 0.48. Essas séries,que nada mais sãoque os somatóriosnas fórmulas dos coeficientes P 2i i Biα , aparecem para a parte direta do potencial perturbador. (b) Comportamento da fun¸cãoanal´ıtica dos coef. Laplace, em termos do parâmetro α, para distintos valores do ´ındice j.

Na Fig. (5.1a), verifica-se um comportamento rapidamente convergente para a série deα ˜, independentemente do ´ındice j do coeficiente calculado. Vemos que o desempenho da fun¸cãotorna-se estável para i ≥ 4. Para α0, espera-se um comportamento que seja, no m´ınimo,tãoestável quanto o mostrado acima, uma vez que α0 << α˜. (j) Na Fig. (5.1b), mostramos o comportamento dos coefientes b1/2(˜α) em fun¸cãoda razão α e para diferentes valores do ´ındice j. Pode-se perceber certa estabilidade nos valores da fun¸cão,aparecendo um aumento abrupto somente quando α → 1, o que jáera de certo (j) modo esperado, jáque os b1/2 sãocoeficientes de expansõesem sériesde Fourier. Para o desenvolvimento do trabalho (e portanto, no prosseguimento do estudo aqui descrito), definiu-se imax = 10 para as sériesde cálculo.De acordo com o gráficoda Fig. (5.1a), este parece ser um valor razoável para o ´ındicemáximo de cálculo. Em nossos estudos, averiguamos que a precisãocomputacional éatingida para imax = 20. 90 Cap´ıtulo5. Testes de Convergênciae Aplica¸cões

5.1.3 Compara¸c˜aocom o modelo semi-anal´ıtico

5.1.3.1 Curvas Rm´edio vs e2 e ∂Rm´edio/∂e2 vs e2

Para compara¸cãoentre os desempenhos dos modelos anal´ıticoe semi-anal´ıtico, testou- se o comportamento das curvas < R > vs e2 e ∂ < R > /de2 vs e2, geradas por cada um dos modelos. Testes similares foram sugeridos em (Beaugée Michtchenko, 2003). Em nossa metodologia, tratamos os dados de duas maneiras distintas, quanto a esta parte de averigua¸cãoda convergência. Tomamos os parâmetrosde massa e semi-eixos já estabelecidos como as condi¸cõesiniciais do sistema. As variáveis angulares foram definidas

◦ ◦ σ1 = 90 e ∆$ = 0 .

No primeiro caso de teste (o qual chamaremos T1), fixou-se e1 = 0.005 e e2 = 0.01. Para esses elementos orbitais, obtêm-se K = 0.96423 e AM = 1.06042. Para os mesmos valores de K e AM, computou-se < R >= Rmédio(e1, e2, σ1, ∆$) em fun¸cãode e2, dentro do intervalo 0 ≤ e2 ≤ 0.5. Em cada ponto (e2, < R >), os ângulosforam mantidos fixos nos valores mencionados, e1 tomado como um parâmetroconhecido, e os semi-eixos foram recalculados atravésdas rela¸cões(4.23) e (4.24), em fun¸cãode e1 e e2:

2 " p 2 # 1 rAM − K 1 − e2 a1 = a1(e1, e2) = , (5.2) µ β2 p 2 p 2 1 1 r 1 − e1 − (1 + r) 1 − e2 2 1 K − (1 + r)L1(a1(e1, e2)) a2 = a2(e1, e2) = . (5.3) µ2 rβ2

Com K e AM invariantes ao longo das computa¸cõesde < R >, garantimos que o estudo éfeito sobre um sistema caracterizado pelas mesmas constantes f´ısicas,i.e, tratamos sempre o mesmo sistema, submetido a diferentes condi¸cõesiniciais. No segundo caso de teste, permitiu-se que AM pudesse variar livremente, como fun¸cão de e1 e e2, enquanto K foi mantido fixo, ao tomar-se a1 e a2 com valores únicos: a1 = 19.576 km e a2 ' 40.736 km. A excentricidade e2 foi novamente tomada dentro do intervalo [0, 0.5], e para cada ponto computamos < R > em fun¸cãode e2, novamente.

Em ambos os testes, e2 éo únicoelemento independente que varia: em nosso problema, e1, σ1 e ∆$ sãoconstantes dentro do dom´ınioda fun¸cão < R >. Teste I: a Fig. (5.2) apresenta os resultados do comportamento do potencial perturbador, para o primeiro tipo de testes proposto (AM e K constantes ao longo das curvas).

Foram adotados quatro valores para e1: 0.005, 0.05, 0.1 e 0.4. Em cada gráfico,o resul- Se¸cão5.1. Análisede convergência 91 tado obtido atravésdo método semi-anal´ıticoémostrado em linha cont´ınua vermelha. Os demais pontos foram obtidos utilizando o modelo desenvolvido.

(a) (b)

Figura 5.2: Curvas de < R > vs e2, para os valores de e1 conforme indicado. Sãotomados diferentes ◦ ◦ intervalos para os coeficientes n, j e N. K e AM sãoconstantes de movimento, σ1 = 90 , ∆$ = 0 . Em linha cont´ınua vermelha tem-se o compotamento do modelo semi-anal´ıticousado como padrão.

Cada curva foi computada utilizando diferentes valores limites para os ´ındicesde so- matórios n (relacionado àordem de expansãoem sériede Taylor), j (relacionado àordem da expansãoem sériede Fourier) e N (relacionado àordem do harmônicomáximotomado). 92 Cap´ıtulo5. Testes de Convergênciae Aplica¸cões

Analisando os resultados acima, époss´ıvel perceber alguns pontos importantes: na Fig. (5.2 a), nota-se a diferen¸casens´ıvel em se tomar o primeiro harmônico(i.e, o harmônicode ordem N = 2), pois vemos uma mudan¸caconsiderável no perfil da curva gerada analiticamente, para N = 1 e N = 2. Conforme mais harmônicossãotomados, a correspondência entre os resultados anal´ıticoe semi-anal´ıticotorna-se mais evidente. O mesmo acontece para os demais casos, em (b), (c) e (d). Para os valores mais altos de e1 (Figs. (5.2 c) e (5.2 d)), a melhor convergênciafoi atingida para ordens n = 10, j = 10 e N = 10, nos casos em que a excentricidade interna . Para cada um dos gráficosmostrados na Fig.(5.2), computamos as derivadas ∂ < R >

/∂e2. No caso das curvas semi-anal´ıticas,tais derivadas foram calculadas numericamente, atravésde uma rotina de deriva¸cãoescrita no software Wolfram Mathematica, a qual utiliza métodos de interpola¸cãopara obter a derivada numérica.Os resultados foram comparados com as computa¸cõesda derivada anal´ıticade nosso modelo, de forma análogaaos testes anteriores, e sãoapresentados na Fig.(5.3).

Uma vez que e1 e e2 sãoas variáveis independentes nesse problema, significa que

∂e1/∂e2 = 0. Derivar o potencial perturbador em rela¸cãoa e2 implica derivar implici- (j) (j) 0 tamente os coeficientes de Laplace b1/2(˜α) e b1/2(α ), alémde derivar explicitamente os coeficientes de Hansen. As expressõesutilizadas sãodadas abaixo. dα 1 da1 da2 = 2 a2 − a1 ; (5.4) de2 a2 de2 de2 ∂ ˜ n (j) ˜ n+1 (j) dα D b1/2(˜α) = D b1/2(˜α)2 ; (5.5) ∂e2 de2 ∂ 0n (j) 0 n+1 (j) 0 dα D b1/2(α ) = D b1/2(α )1 , (5.6) ∂e2 de2 e ∂ai/∂e2, i = 1, 2, sãocalculadas de (5.2) e (5.3). As derivadas dos coeficientes de Hansen foram apresentadas na subse¸cão 3.1.6 do cap´ıtulo 3. As expressõescompletas para as derivadas ∂ < R > /∂e2, e que foram implementadas em nosso modelo, sãoapresentadas no ApêndiceB. Se¸cão5.1. Análisede convergência 93

(a) (b)

Figura 5.3: Curvas de ∂ < R > /∂e2 vs e2, tomadas para cada um dos casos de excentricidades e1 indicados. O modelo anal´ıticofoi computado novamente para diferentes configura¸cõesde ordens em n, j e N. A linha vermelha cont´ınua novamente indica o comportamento utilizado como padrão,neste caso, a curva derivada numérica.

Vemos que nãoháum correspondênciaprecisa entre as curvas derivadas exatamente dos melhores modelos de “fitagem”para < R > (e que ocorre para ´ındicesiguais a 10) e a curva obtida por interpola¸cãonumérica.Tomando-se ordens mais altas para os ´ındices, atestamos uma convergênciasatisfatóriapara os casos de n = 20, j = 20 e N = 20. 94 Cap´ıtulo5. Testes de Convergênciae Aplica¸cões

E´ interessante mencionar a concordânciaqualitativa entre as curvas derivadas em cada um dos casos (anal´ıticoe numérico),no que concerne propriamente ao comportamento: percebe-se, em todos os casos apresentados, que os pontos cr´ıticose os pontos de inflexão sãopraticamente coincidentes. Teste II: os resultados para o segundo teste sãoexpostos a seguir. Agora, os coeficientes de Laplace sãoconstantes ao longo de todas as curvas, sendo a razão α ' 0.481 e K' 0.964. Apresentamos os casos de excentricidade interna m´ınimoe máximoque vinham sendo considerados, e1 = 0.005 e e1 = 0.4, respectivamente. O resultado semi-anal´ıticoé novamente indicado pela linha cont´ınua vermelha.

Para e1 = 0.005, vemos, da Fig.(5.4), que mesmo em casos nos quais N = 10, onde antes t´ınhamosuma boa correspondˆencia,os resultados anal´ıticosdivergem do semi-anal´ıtico, para e2 > 0.3. Para N = 15, os modelos se aproximam mais, e come¸cam a divergir em e2 > 0.4. Ainda nessa ﬁgura, com N = 20, os modelos divergem quando e2 > 0.45.

Na Fig. 5.5, temos as curvas para e1 = 0.4. Vemos que a divergência entre os resultados anal´ıticose semi-anal´ıticopersiste, ocor- rendo em valores intermediários de e2, nos casos de menor valor para N. Analisando ainda a Fig. 5.5, para N = 20, vemos que a coincidênciaentre os resultados érazoavelmente melhor, e as curvas anal´ıticasdivergem em e2 > 0.4. Fica claro que tomar ordens n > 20 nãogera melhores aspectos de convergênciados resultados.

De maneira análogaao que jáfoi apresentado, temos as derivadas em rela¸cãoa e2.

Agora, com α constante ao longo de toda a curva, e portanto ∂ai/∂e2 = 0. A Fig. 5.6 mostra os resultados para e1 = 0.005. Na Fig. 5.7, os resultados sãomostrados para computa¸cõesfeitas considerando o intervalo 15 < N < 20. Averiguamos que, a partir de N = 17, as curvas apresentam satura¸cões extremas, com tendênciade divergências tanto para +∞ quanto −∞.

Para e1 = 0.4, mostramos o comportamento das curvas no caso de N = 15, e depois no intervalo 15 < N < 20, atravésda Fig.5.8. Em todos eles, as divergênciassãoevidentes, a partir de e2 = 0.3. Computar ordens mais altas em n, j ou N nãorevelou-se uma alternativa para melhorar tais comportamentos.

Uma questãoéaqui pontuada. Quando mantemos α constante, e tomamos e1 = 0.4, a condi¸cãode close approach (3.15) nãoésatisfeita para e2 > 0.3275: i.e., nos casos acima desse valor, os parâmetrosinterno e externo apresentam valores muito próximos,sendo Se¸cão5.1. Análisede convergência 95

(a) (b)

Figura 5.4: Curvas de < R > vs e2, tomadas para e1 = 0.005. Os gráficosindicam os valores máximos de harmônicosconsiderados. A linha vermlha cont´ınua apresenta o comportamento do modelo padrão semi-anal´ıtico.

a razão γext/γint muito próximade 1, nestes casos (γext e γint se referem aos parâmetros definidos (3.15)). O que supomos éque, em tais cenários,a distância∆ entre os corpos orbitantes encontra-se em um dom´ıniode valores muito próximoa singularidade, e o modelo nãoésufucientemente satisfatório nessas regiões.

No gráficoapresentado na Fig.5.9, mostramos a curva de γext/γint vs e2, dentro do 96 Cap´ıtulo5. Testes de Convergênciae Aplica¸cões

(a) (b)

Figura 5.5: Curvas de < R > vs e2, tomadas para e1 = 0.4. Nesse caso, testamos diferentes configura¸cões para as ordens de expansão.

(a) (b)

Figura 5.6: Curvas de ∂ < R > /∂e2 vs e2, para e1 = 0.005.

intervalo 0 ≤ e2 ≤ 0.5, e para e1 = 0.005 e e1 = 0.4. Consideramos o comportamento para os dois casos de testes aplicados, conforme indicado pela legenda do gráfico. E´ poss´ıvel notar que, para os testes T1, a razão entre os parâmetrosésempre maior que 1.5, para ambos os casos de excentricidade interna, e a condi¸cão(3.15) ésatisfeita. O Se¸cão5.1. Análisede convergência 97

Figura 5.7: Curvas de ∂ < R > /∂e2 vs e2, para e1 = 0.005. Aqui, mostramos as configura¸cõesde ordem máximaque podem ser adotadas, de maneira tal a obter-se a melhor correspondênciaposs´ıvel com a curva padrão(vermelha cont´ınua).

(a) (b)

Figura 5.8: Curvas de ∂ < R > /∂e2 vs e2, para e1 = 0.4. sistema f´ısicoconsiderado encontra-se distante das configura¸cõesque caracterizam singula- ridades. Jáem T2, percebe-se a queda cont´ınua da razão γext/γint, em ambas as situa¸cões consideradas para e1. Quando e1 = 0.005, por exemplo, a razãotorna-se muito próximo de 1 para valores mais altos de e2. Para e1 = 0.4, a razãoéunitáriaem e2 = 0.3275, e 98 Cap´ıtulo5. Testes de Convergênciae Aplica¸cões

Figura 5.9: Curvas para a razãoentre os parâmetrosexterno e interno, γext/γint, seguindo a nota¸cãoque denominamos no Cap´ıtulo3, Se¸cão(3.1.1).

´emenor que 1 para valores superiores de e2. Tais fatos podem explicar as divergˆencias encontradas nas curvas de < R > e ∂< R >/∂e2.

5.1.3.2 Planos representativos

Sabemos que, juntamente com a energia total (média) < H >, AM e K sãotambém quantidades invariantes do sistema, o qual tem a sua dinâmicadeterminada por dois graus de liberdade. O espa¸code fases é,portanto, quadridimensional, dado por dois ângulos e duas a¸cõesindependentes. A estrutura desse espa¸co,embora possua quatro dimensões (o que dificulta sua representa¸cãocompleta) pode ser estudada atravésda constru¸cãode superf´ıcies de se¸cão. Para um dado conjunto de condi¸cõesiniciais fixadas, i.e., valores pré-estabelecidos de K e AM, o espa¸code fases pode ser visualizado, por exemplo, atravésdo plano representativo

◦ ◦ (e1, e2) de condi¸cõesiniciais: fixam-se os valores para o ângulocr´ıtico σ1 em 0 e 90 , e para o ângulosecular ∆$ em 0◦ e 180◦. Os semi-eixos maiores sãonovamente obtidos atravésdas equa¸cões(5.2) e (5.3). Nas Figs. 5.10 e 5.11 époss´ıvel comparar os resultados obtidos atravésde nosso modelo com os resultados gerados atravésda metodologia semi-anal´ıtica.Tais planos representativos foram constru´ıdos para as razõesde massa m2/m1 = 0.1, 0.5, 1 e 5. O modelo anal´ıtico foi computado em ordens razoáveis de expansões,conforme verificou-se para os casos de Se¸cão5.1. Análisede convergência 99 baixas excentricidades: n ∈ [0, 5], j ∈ [0, 5] e N ∈ [1, 5]. Os planos àesquerda nas Figs. 5.10 e 5.11 foram obtidos utilizando o modelo semi- anal´ıtico,enquanto que àdireita estãoos resultados gerados por nosso modelo. A análise superficial dos gráficospermite perceber, em um primeiro momento, uma concordância, principalmente qualitativa, entre os resultados obtidos por cada metodologia. Cada curva representa uma superf´ıcie equipotencial, e pode-se ver uma grande semelhan¸caentre o perfil das mesmas, para cada um dos casos. Os pontos vermelhos indicam os máximos globais de energia do sistema, para as condi¸cõesiniciais e parâmetrosconsiderados. Em cada um dos planos, esses pontos aparecem para valores bastante próximos(visualmente) de (e1, e2), quando comparamos os casos de mesmas razões de massas. 100 Cap´ıtulo5. Testes de Convergênciae Aplica¸cões

(a)

(b)

(c)

Figura 5.10: Planos representativos (e1, e2) tomados dentro da ressonânciaexata 3/1, para razões de massa m2/m2: (a)0.1, (b)0.5 e (c)1. Os valores positivos (negativos) de e1 indicam que σ1 = 0 (π/2), enquanto que valores positivos (negativos) de e2 significam ∆$ = 0 (π). Se¸cão5.2. Sistemas exoplanetáriosem quase-ressonância3:1 101

(a)

Figura 5.11: Planos representativos (e1, e2) tomados dentro da ressonânciaexata 3/1, para a razãode massa m2/m2 = 5. Os valores positivos (negativos) de e1 indicam que σ1 = 0 (π/2), enquanto que valores positivos (negativos) de e2 significam ∆$ = 0 (π).

5.2 Sistemas exoplanet´ariosem quase-ressonˆancia 3:1

Reservamos esta últimase¸cãopara uma breve aplica¸cãoteóricade nosso modelo. To- mamos os dados dispon´ıveis na literatura para os sistemas planetáriosque encontram-se em configura¸cõespróximasàressonâncias3:1 (considerou-se o intervalo 2.8 ≤ n1/n2 ≤ 3.2). Esses dados encontram-se dispon´ıveis em catálogos,e fornecem os valores estimados para as massas da estrela e dos pares planetários,e para os elementos orbitais (a, e, ω e Ω). Tambémédado o tempo de passagem pelo periastro τ e per´ıodo orbital T , com os quais époss´ıvel calcular o valor da anomalia média. Todos os valores fornecidos para as grandezas orbitais sãoastrocêntricos. Aplicar tais quantidades como parâmetrosem nosso modelo levaria a resultados sem qualquer sentido f´ısico,uma vez que modelamos o problema de trêscorpos utilizando um referencial baricêntrico de Jacobi. Foi necessário,portanto, realizar a transforma¸cãodos elementos orbitais astrocêtricospara elementos de Jacobi. Com tal finalidade, foi desenvolvida uma rotina de Fortran. As equa¸cõesutilizadas sãoapresentadas no ApêndiceC desta disserta¸cão. A tabela 5.1 apresenta os parâmetrosf´ısicosque caracterizam os sistemas exoplanetários considerados, apósa transforma¸cãodos elementos orbitais de um sistema astrocêntrico para um sistema de coordenadas de Jacobi. A ordem de exposi¸cão,em cada um dos 102 Cap´ıtulo5. Testes de Convergênciae Aplica¸cões

Tabela 5.1 - Parâmetrosf´ısicosdos sistemas exoplanetáriosem quase-ressonância3:1. M designa a massa da estrela central, em unidades de massas solares; m éa massa dos planetas, em unidade de massas de Júpiter. Os semi-eixos a sãodados em unidades atronômicasau. Os valores de a e de e foram obtidos apósa transforma¸cãodos elementos astrocêntricos para elementos de Jacobi. o N /Sistema M(M ) Pares m(MJ ) a(au) e T2/T1 1 - 55 Cnc 0.905 55 Cnc-b 0.802 0.113 0.004 3.0090 55 Cnc-c 0.165 0.236 0.067 2 - GJ 163 0.4 GJ 163-b 3.4·10−2 0.061 0.11 2.9702 GJ 163-c 2.2·10−2 0.125 0.10 3 - HD 10180 1.06 HD10180-c 4.2·10−2 0.064 0.077 2.8391 HD10180-d 3.8·10−2 0.129 0.143 3.0408 HD10180-e 8.0·10−2 0.270 0.065 4 - HD 60532 1.44 HD 60532-b 1.04 0.760 0.28 3.0016 HD 60532-c 2.46 1.581 0.021 5 - HD 7924 0.832 HD 7924-b 2.7·10−2 0.057 0.058 2.8337 HD 7924-c 2.5·10−2 0.113 0.098 6 - Kepler-1129 1.0·10−9 Kepler-1129-b 2.6·10−2 0.164 0.0 3.1445 Kepler-1129-c 2.3·10−2 0.353 0.00001 7 - Kepler-430 1.166 Kepler-430-b 3.3·10−2 0.225 0.0 3.0850 Kepler-430-c 1.3·10−2 0.476 0.00012 8 - Kepler-770 0.94 Kepler-770-c 6.0·10−3 0.025 0.0 2.8145 Kepler-770-d 9.0·10−3 0.050 0.00002 9 - TYC 1422-614-1 1.150 TYC 1422-614-1-b 2.5 0.700 0.06 2.7864 TYC 1422-614-1-c 10.0 1.386 0.047 Se¸cão5.2. Sistemas exoplanetáriosem quase-ressonância3:1 103 pares, éplaneta interno-planeta externo, em todos os casos. Para o sistema HD 10180, por exemplo, temos trêsplanetas: nesse caso, expomos primeiro a ressonânciaentre o par c-d, e em seguida, entre o par d-e. Uma vez com os respectivos valores de elementos no referencial de Jacobi, constru´ımos os gráficosa seguir: na Fig. 5.12 os pares planteráriosaparecem distribu´ıdosem termos da razãoentre os movimentos médiose das maiores excentricidades de cada par. A linha em destaque define a regiãode pontos dentro da ressonânciaexata 3:1. Utilizamos o critério de determina¸cãodo regime de ressonância,conforme apresentado na Se¸cão4.4 do Cap´ıtulo 4, e classificamos cada sistema em ressonânciainterior ou exterior.

Figura 5.12: Distribui¸cãodos pares planetáriosem termos das razõesde movimentos médios n1/n2 e das maiores excetricidades entre os pares. Os s´ımbolos azuis determinam sistemas classificados (segundo nossa metodologia) em ressonânciasinteriores; s´ımbolos pretos representam ressonânciasexteriores. Os números identificam cada sistema em acordo com a Tabela 5.1.

Verificamos, por exemplo, que o sistema HD 60532 b-c encontra-se em configura¸cãode ressonânciainterior, em concordânciacom o que éapresentado em (Alves et al., 2016).

Na Fig. 5.13 a seguir, a distribui¸cãoéapresentada para a razão de massas m2/m1 e a maior excentricidade entre os pares. Novamente, separamos os sistemas de acordo com os regimes de ressonância. 104 Cap´ıtulo5. Testes de Convergênciae Aplica¸cões

Figura 5.13: Distribui¸cãodos pares planetáriosem termos das razõesde massas m2/m1 e das maiores excetricidades entre os pares. Os s´ımbolos azuis determinam sistemas classificados em ressonânciasin- teriores; s´ımbolos pretos representam ressonânciasexteriores. Os númerosidentificam cada sistema em acordo com a Tabela 5.1.

Percebemos, na Fig. 5.13, que os sistemas em configura¸cõesde ressonânciainterna ocorrem para razões m2/m1 < 0.5. Entretanto, temos posse de poucos sistemas para garantir com assertividade tal afirma¸cão,e um estudo mais aprofundado se faz necessário. Cap´ıtulo 6

Conclus˜oese Perspectivas

Neste trabalho, realizamos um estudo teóricodo problema clássicode trêscorpos, nos atendo ao caso planar. Iniciamos nossas atividades compreendendo o desenvolvimento das equa¸cõesde Newton dentro do problema de N-corpos, realizando as mudan¸casde referen- ciais (inercial arbitrário,inercial baricêntrico e astrocêntrico), e verificando a conserva¸cão das constantes de movimento (10 integrais clássicas).Atestamos como a existênciade tais integrais tem papel crucial na redu¸cãodo númerode graus de liberdade do sistema. A mesma problemática foi abordada, utilizando as coordenadas de Jacobi. Ainda dentro desta primeira parte, introduzimos o formalismo hamiltoniano, o qual foi adotado no desenvolvimento fundamental deste trabalho. A compreensãoda teoria de Hamilton-Jacobi e das variáveis canônicas,bem como o entendimento das variáveis de ângulo-a¸cão(que sãoque pares canônicosutilizados no estudo dos movimentos planetários), foram fatores de suma importânciaao longo das atividade de Mestrado. Finalmente, a primeira parte do trabalho foi conclu´ıdacom a constru¸cãodo Hamil- toniano de um sistema de (N+1)-corpos, primeiro para um referencial baricêntrico, e em seguida, utilizando os dois tipos clássicosde variáveis canônicas:Jacobi e Poincaré. De posse dos fundamentos básicospara o estudo de sistemas dinâmicosdentro da MecânicaCeleste, iniciaram-se os trabalhos que compreendiam a parte principal do projeto. O cerne de nossas atividades consistiu, primeiramente, no pleno entendimento das metodologias mais conhecidas na literatura de expansãoda fun¸cãoperturbadora (ou, como preferimos dizer, potencial perturbador, no caso de se trabalhar com o Hamiltoniano ao invésdas for¸casnewtonianas), dentro das quais se destacam o método de expansõesde Laplace (o qual foi adotado aqui) e o método de expansõesem polinômiosde Legendre. Ambos os caminhos foram estudados. No entanto, ésabido que as expansõesem coeficientes 106 Cap´ıtulo6. Conclusõese Perspectivas de Laplace sãomais adequadas ao estudo de sistemas dentro (ou próximos)de ressonâncias de movimentos médios,e assim justificamos a escolha por essa metodologia. As expansõesda parte principal do potencial perturbador foram realizadas utilizando métodos anal´ıticosde desenvolvimentos em sériesde potênciasdos elementos orbitais ai e ei (i = 1, 2), via expansõesem sériesde Taylor e Fourier. Foi necessárioo completo entendimento dessa parte, diante do surgimento de trêsnovas quantidades (bem conhecidas nos âmbitos da MecânicaCeleste): os coeficientes de Laplace (k) n,m a,b bs (α), os coeficientes de Hansen Xk (e) e os operadorde de Newcomb Yc,d . A leitura de diversas bibliografias foi de fundamental importânciapara a compreensãodos métodos de computa¸cãodesses elementos. Obtivemos, primeiramente, duas expressõesgerais para o potencial expandido: a parte direta RD e a parte indireta RI . Por critériosdinâmicosbásicos,tais expressõesgerais foram reduzidas via método das médiassobre os ângulosde curto per´ıodo (as anomalias médias M1 e M2 ou, equivalentemente, as longitudes médias λ1 e λ2). Tal médiafoi tomada, na prática,como uma simples elimina¸cão,por inspe¸cão,dos termos de curto per´ıodo, dependentes de ao menos uma das longitudes médias,e que nãoenvolvessem combina¸cões cr´ıticasdestas últimas. Consideramos, teoricamente, o caso para uma MMR qualquer, tendo o argumento cr´ıticouma forma generalizada dada nominalmente por (p+q)λ2 −pλ1. Sendo assim, ao final de nosso desenvolvimento teórico,o potencial perturbador estava (sec) dividido em quatro componentes, a saber: as partes direta secular RD e ressonante (res) (sec) (res) RD , e as análogasindiretas, RI e RI . Acreditamos que este talvez seja o tra¸comais sobressalente, i.e., o diferencial maior da expansãoobtida: temos em mãos,separadamente, cada uma das contribui¸cõesdinâmicasao sistema, tanto no que se refere àsrela¸cõesde intera¸cãogravitacinal entre as massas (direta/indireta) quanto aos regimes àque estão submetidas (secular/ressonante). Além disso, nosso modelo estáapto a tratar qualquer razão(p + q)/p de ressonânciade movimentos médios. Introduzimos as variáveis clássicasde Delaunay, adaptadas para o estudo de sistemas ressonantes. Das defini¸cõesdas a¸cõesclássicas,foi poss´ıvel obter duas integrais de movimento para o problema, K e AM, as quais contribuiram para a redu¸cãodo númerode graus de liberdade do sistema, de inicialmente quatro graus para somente dois. As equa¸cõesde movimento de Hamilton foram derivadas, de maneira tal a obter explicitamente as rela¸cões para as varia¸cõestemporais dos elementos orbitais ai e ei e das variáveis angulares, σi e Cap´ıtulo6. Conclusõese Perspectivas 107

∆$. Ao final, elaboramos um critérioanal´ıticosuperficial (uma primeira aproxima¸cão, por assim dizer) para a determina¸cãodo ânguloressonante “verdadeiro”, mas deixamos claro, uma vez mais, a necessidade de estudos mais aprofundados nesta parte. A última parte de nosso estudo consistiu nos testes de convergênciado modelo, através da verifica¸cãodo comportamento qualitativo e quantitativo das curvas do Hamiltoniano em fun¸cãodas excentricidades, geradas pelo modelo teórico aqui introduzido e comparadas com o modelo semi-anal´ıticodesenvolvido pelo Grupo de DinâmicaOrbital do IAG. Os resultados obtidos foram considerados bastante satisfatórios. Para o caso de uma ressonânciana razão3:1, as curvas de < R > vs e2 geradas analiticamente apresentaram comportamentos bastante similares com o modelo semi-anal´ıticopadrãoutilizado, em diferentes valores tomados para e1, e dentro de um intervalo razoavelmente extenso para a excentricidade do corpo externo, 0 ≤ e2 ≤ 0.5. As curvas das derivadas ∂< R >/∂e2, computadas analiticamente, apresentaram comportamentos qualitativos e quantitativos muito próximosdas derivadas numéricas,mostrando a mesma tendênciade convergência e concavidade. A boa correspôndenciaqualitativa entre os modelos foi atestada novamente atravésda confeçcãodos planos representativos de condi¸cõesiniciais (e1, e2) tomados para diferentes razõesde massa. Em todos os casos, nosso modelo reproduziu muito bem os resultados esperados (semi-anal´ıtico),no que tange a simples inspe¸cão visual das configura¸cões apresentadas pelas curvas. Como esta últimaetapa do trabalho tratava somente da compara¸cãoentre as solu¸cões obtidas pelo modelo desenvolvido e o modelo padrão,mais estudos acerca do espa¸code configura¸cõesdo sistema considerado nãoforam empregados. Na se¸cãofinal do cap´ıtulode resultados, realizamos um estudo básicode alguns sistemas conhecidos da literatura, próximosa ressonâncianominal 3:1. Somente para aqueles sistemas de parâmetrosf´ısicosbem determinados, realizamos a transforma¸cãodos elementos orbitais astrocêntricos para o caso de um sistema de referênciade Jacobi, utilizando as equa¸cõesderivadas no ApênciceC deste trabalho. Constru´ımosos gráficosde n1/n2 vs emaior, e dos critérios teóricosestabelecidos anteriormente, definimos os regimes de res- sonânciados pares (interna/externa). Os mesmos sistemas foram apresentados para um gráficode m2/m1 vs e2. Entendemos que o objetivo do trabalho foi bem contemplado: desenvolvemos uma 108 Cap´ıtulo6. Conclusõese Perspectivas ferramenta anal´ıtica,capaz de reproduzir de forma viável e satisfatóriao Hamiltoniano para longos per´ıodos de um sistema ressonante de trêscorpos coplanar, utilizando-nos do conjunto canônicode variáveis de Jacobi. Ao final de nosso trabalho, vislumbramos algumas possibilidades de continuidade:

• Aplica¸cãode nosso modelo ao estudo da dinâmicaressonante de sistemas aproximadamente coplanares em quase-ressonânciasde movimentos médios.Por lidarmos com variáveis de Jacobi, abre-se a possibilidade para trabalhar com sistemas de estrelas binárias,por exemplo.

• A partir das teorias canˆonicasde perturba¸c˜ao,desenvolver um modelo anal´ıticode Segunda Ordem em massa para o problema planar.

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Apˆendice A

Equa¸c˜oesde Movimento em Coordenadas de Jacobi para o Problema de TrˆesCorpos

A seguir, equacionamos o problema de trêscorpos não-restrito,atravésdo formalismo newtoniano, utilizando a ideia do sistema de coordenadas de Jacobi.

Vamos partir do problema escrito para o sistema astrocêntrico. Seja m0 a massa do corpo central, m1 e m2 as massas dos corpos orbitantes. Em rela¸cãoao corpo m0, definimos os vetores de posi¸cão r1 e r2, conforme ilustrado a seguir.

Figura A.1: Problema de trêscorpos não-restrito.Os vetores r1 e r2 indicam as posi¸cõesastrocêntricas de m1 e m2, respectivamente; %2 éo vetor posi¸cãode m2 no sistema de Jacobi.

Na ﬁgura acima, ∆ representa a distˆanciaentre os corpos orbitantes: ∆ = |r2 − r1|.

Introduzimos os vetores posi¸cãoem coordenadas de Jacobi, %1 e %2. Pela defini¸cão:

%1 = r1, %2 = r2 − ε1r1, (A.1) e definimos as quantidades ε1 = m1/(m0 +m1) e ε2 = m0/(m0 +m1). Invertendo as rela¸cões acima, escrevemos os vetores astrocêntricos em termos das coordenadas de Jacobi:

r1 = %1, r2 = %2 + ε1%1 (A.2) 118 Apêndice A. Equa¸cõesde Movimento em Coordenadas de Jacobi para o Problema de TrêsCorpos

Facilmente, vemos que ∆ = |%2 − ε2%1|.

Vamos escrever as equa¸cõesde movimento das massas m1 e m2, em coordenadas as- trocêntricas. Temos que: r r − r r ¨ 1 2 1 2 r1 + G(m0 + m1) 3 = Gm2 3 − 3 , (A.3) r1 ∆ r2 r r − r r ¨ 2 1 2 1 r2 + G(m0 + m2) 3 = Gm1 3 − 3 (A.4) r2 ∆ r1 onde identificamos, no lado esquerdo, a parcela da acelera¸cãoque édevida ao movimento kepleriano (problema de dois corpos), e do lado direito da igualdade temos os termos perturbativos.

Agora, vamos reescrever as equa¸cõesanteriores, em termos dos vetores %i, e dos respectivos módulos ρi = |%i|, i = 1, 2. Para a massa m1, a transforma¸cãovem direta: % % − ε % % + ε % ¨ 1 2 2 1 2 1 1 %1 + G(m0 + m1) 3 = Gm2 3 − 3 , (A.5) ρ1 ∆ ∆02 onde ∆02 = |r2|. No caso da massa m2, temos: % + ε % % − ε % % ¨ ¨ 2 1 1 2 2 1 1 %2 + ε1%1 + G(m0 + m2) 3 = −Gm1 3 + 3 (A.6) ∆02 ∆ ρ1 Se abrimos todos os parênteses da equa¸cãoanterior, chegaremos àseguinte expressão: Gm m 1 1 Gm m m m ¨ 1 2 1 2 0 1 %2 + 3 − 3 %2 − 2 3 + 3 %1 + (A.7) m0 + m1 ∆ ∆02 (m0 + m1) ∆ ∆02 m0 + m2 m1 Gm1 m0 + m1 m0 G 3 + 3 %2 + 3 − 3 %1 = 0 ∆02 ∆ m0 + m1 ∆02 ∆

Separando os termos que multiplicam %1 daqueles que multiplicam %2, chega-se a: G(m + m + m ) m m Gm m m + m + m 1 1 ¨ 0 1 2 1 0 0 1 0 1 2 %2 + 3 + 3 %2 + 3 − 3 %1 (A.8) m0 + m1 ∆ ∆02 m0 + m1 m0 + m1 ∆02 ∆ Se deﬁnimos as seguintes quantidades:

G(m0 + m1 + m2) µ1 = G(m0 + m1);µ ˜2 = , m0 + m1 m0m1 β1 = , m0 + m1 podemos, finalmente, escrever as equa¸cõesde movimento de Newton, em termos das coordenadas de Jacobi: % Gm m m 1 1 ¨ 1 2 0 1 %1 + µ1 3 = − 3 + 3 %1 + Gm2 3 − 3 %2, (A.9) ρ1 m0 + m1 ∆ ∆02 ∆ ∆02 m m 1 1 ¨ 0 1 %2 +µ ˜2 3 + 3 %2 = −µ˜2β1 3 − 3 %1 (A.10) ∆02 ∆ ∆02 ∆ ApêndiceA. Equa¸cõesde Movimento em Coordenadas de Jacobi para o Problema de TrêsCorpos 119

Novamente, o lado esquerdo apresenta a parcela que reduz ao movimento kepleriano, e do lado direito tem-se os termos devidos àperturba¸cão. Se denominamos F1 e F2 as perturba¸cõessofridas por m1 e m2, respectivamente, então:

% m m ¨ 1 ¨ 0 1 %1 + µ1 3 = F1, %2 +µ ˜2 3 + 3 %2 = F2 (A.11) ρ1 ∆02 ∆

Mais além,identificamos as partes direta e indireta das perturba¸cões: F1 = F1,d + F1,i e

F2 = F2,d + F2,i.

Gm % F = 2 (% − ε % ); F =µ ˜ β 1 (A.12) 1,d ∆3 2 2 1 2,d 2 1 ∆3 Gm2 %1 F1,i = − 3 (%2 + ε1%1); F2,i = −µ˜2β1 3 (A.13) ∆02 ∆02 120 Apêndice A. Equa¸cõesde Movimento em Coordenadas de Jacobi para o Problema de TrêsCorpos Apêndice B

Express˜oesExpl´ıcitasdas Derivadas

Apresentamos aqui as formas anal´ıticasexpl´ıcitasque foram utilizadas para o desenvolvimento das derivadas do potencial perturbador, conforme proposto atrav´esdos testes descritos no Cap´ıtulo4, e atrav´esdas quais obtivemos os resultados ali discutidos.

Trata-se de obter as derivadas parciais do Hamiltoniano médio < H > = Hmédio(e1, e2, σ1, ∆$) em rela¸cãoa excentricidade externa, e2.

Primeiramente, apresentamos as derivadas impl´ıcitasde a1 e a2.

∂a 2 rAM − Kp1 − e2 re (Kp1 − e2 − rAM) 1 = − 2 1 2 (B.1) ∂e µ β2 p 2 p 2 3 p 2 2 1 1 (r 1 − e1 − (1 + r) 1 − e2) 1 − e1 ∂a ∂a ∂a 2 = 2 1 (B.2) ∂e2 ∂a1 ∂e2 r ∂a2 (1 + r)β1 µ1 = 2 [(1 + r)L1 − K] (B.3) ∂a1 µ2(rβ2) a1

A derivada do fator α: ∂α 1 ∂a1 ∂a2 = 2 a2 − a1 (B.4) ∂e2 a2 ∂e2 ∂e2 (j) Os coeficientes de Laplace bs sãofun¸cõesde α também,bem como as n-ésimasderiva- das Dn. Em nosso problema, o fator α aparece multiplicado por uma constante κ. Temos então:

(j) (j) ∂ n (j) ∂ ∂bs (κα) ∂ ∂bs (κα) ∂α n+1 (j) ∂α D bs (κα) = = κ = D bs (κα)κ (B.5) ∂e2 ∂e2 ∂(κα) ∂(κα) ∂(κα) ∂e2 ∂e2

Escrevemos a derivada do potencial perturbador como

∂ ∂ ∂ (sec) (res) (sec) res < R > = (RD + RI ) = (RD + RD + RI + RI ) (B.6) ∂e2 ∂e2 ∂e2 122 Apˆendice B. Express˜oesExpl´ıcitasdas Derivadas

Para a parte direta secular, tem-se:

k ∂ (sec) Gm2(m0 + m1) ∂a2 Gm1m2 X (−1) n 1 RD = − 2 + 1 − δj,0 (B.7) ∂e2 a ∂e2 a2 n! k 2 2 n,k,j " 1 ∂a2 n n−k,j k−n−1 ˜ n (j) n n−1 n−k,j k−n−1,j × (ε2α) X0 (e1)X0 (e2)D b1/2(˜α) − nε2 α X0 (e1)X0 (e2) a2 ∂e2 # ˜ n (j) n n−k,j ∂ k−n−1,j n−k,j k−n−1,j ∂ ˜ n (j) ×D b1/2(˜α) +α ˜ X0 (e1) X0 (e2) + X0 (e1)X0 (e2) D b1/2(˜α) ∂e2 ∂e2 × cos j∆$

A parte indireta secular possui a forma an´alogaa anterior, com a presen¸cado fator (−1)j:

k+j " n ∂ (sec) Gm0m2 X (−1) n 1 (ε1α) ∂a2 n−k,j RI = 1 − δj,0 X0 (e1) (B.8) ∂e2 a2 n! k 2 a2 ∂e2 n,k,j

k−n−1,j 0n (j) 0 n n−1 ∂α n−k,j k−n−1,j 0n (j) 0 0n n−k,j ×X0 (e2)D b1/2(α ) − nε1 α X0 (e1)X0 (e2)D b1/2(α ) + α X0 (e1) ∂e2 !# ∂ k−n−1,j 0n (j) 0 n−k,j k−n−1,j ∂ 0n (j) 0 X0 (e2)D b1/2(α ) + X0 (e1)X0 (e2) D b1/2(α ) cos j∆$ ∂e2 ∂e2

A derivada para o termo ressonante na parte direta ´edada por

k n " ∂ (res) Gm1m2 X (−1) n α˜ ∂a2 n n−1 ∂α n−k,0 k−n−1,j RD = − nε2 α XNp (e1)XN(p+q) (e2) (B.9) ∂e2 a2 n! k a2 ∂e2 ∂e2 N,n,k # ˜ n (0) X n−k,j k−n−1 n−k,j k−n−1 ˜ n (j) ×D b1/2(˜α) cos ϕ0 + X−Np (e1)X−N(p+q)(e2) cos ϕ1 + XNp (e1)XN(p+q)(e2) cos ϕ2 D b1/2(˜α) j " n n−k,j ∂ k−n−1,j ˜ n (0) n−k,j k−n−1,j ∂ ˜ n (0) −α˜ XNp (e1) XN(p+q) (e2)D b1/2(˜α) + XNp (e1)XN(p+q) (e2) D b1/2(˜α) cos Nϕ0 + ∂e2 ∂e2 ( X ∂ ∂ (j) Xn−k,j(e ) Xk−n−1,j (e ) cos ϕ + Xn−k,j(e ) Xk−n−1,j(e ) cos ϕ D˜ nb (˜α) + −Np 1 ∂e −N(p+q) 2 1 Np 1 ∂e N(p+q) 2 2 1/2 j 2 2 )#! n−k,j k−n−1,j n−k,j k−n−1,j ∂ ˜ n (j) X−Np (e1)X−N(p+q)(e2) cos ϕ1 + XNp (e1)XN(p+q) (e2) cos ϕ2 D b1/2(˜α) ∂e2

A parte indireta éanáloga,com a presen¸cado fator (−1)j e do fator α0 ao invésdeα ˜. Apêndice C

Transforma¸c˜aode Elementos Orbitais

Tomemos um sistema de trêsmassa pontuais, m0, m1 e m2, sobre o mesmo plano orbital, interagindo atraves da a¸cãoda for¸cagravitacional. Assumiremos que conhecemos os elementos orbitais osculadores astrocêntricos, definidos em rela¸cãoao corpo central m0: (A) (A) (A) (A) ai , ei ,Mi , $i , i = 1, 2. Queremos encontrar as rela¸cõesque expressam os elementos (J) (J) (P ) (P ) osculadores de Jacobi ai e ei , e de Poincaré, ai e ei , como fun¸cões dos primeiros elementos conhecidos. Dados os semi-eixos maiores e excentricidades, conhece-se portanto os movimentos médios n(A) i s (A) µi ni = ; µi = G(m0 + mi), (C.1) (A) 3 (ai )

(A) (A) e os per´ıodos orbitais, Ti = 2π/ni de cada corpo.

C.1 Equa¸c˜oespara o sistema astrocˆentrico

(A) (A) Sejam r1, r2 os vetores de posi¸cãoastrocêntrica das respectivas massas, e f1 e f2 (A) as anomalias verdadeiras. A longitude verdadeira de cada corpo édada entãopor li = (A) (A) fi + $i . No desenvolvimento a seguir, consideramos sempre um sistema referenciado ao corpo central m0. Para nãocarregar uma nota¸cãomuito pesada, nos permitimos não indicar o ´ındicesuperior (A) nos elementos. Em coordenadas retangulares, podemos escrever:

ri = ri[cos liˆı + sin liˆ], (C.2) ˙ vi = r˙ i =r ˙i[cos liˆı + sin liˆ] + rili[− sin liˆı + cos liˆ] (C.3) 124 Apˆendice C. Transforma¸c˜aode Elementos Orbitais

Do problema cl´assicode dois corpos, sabe-se que (Murray e Dermott, 2000)

2 ai(1 − ei ) ri = , (C.4) 1 + ei cos fi niai r˙i = ei sin fi (C.5) p 2 1 − ei ˙ ˙ Uma vez que consideramos os elementos osculadores das órbitas, li = d(fi +$i)/dt = fi édado por ˙ niai fi = (1 + ei cos fi) (C.6) p 2 ri 1 − ei Da fórmula clássica vis viva, tem-se o modulo da velocidade orbital dos corpos 2 2 1 vi = µi + (C.7) ri ai

Abaixo, seguem alguns resultados necess´ariospara o desenvolvimento das transforma¸c˜oes:

r1 · r2 = r1r2 cos Φ, (C.8)

ri · vi = rir˙i, (C.9) ˙ r1 · v2 = r1r˙2 cos Φ + r1r2f2 sin Φ, (C.10) ˙ r2 · v1 = r2r˙1 cos Φ − r1r2f1 sin Φ, (C.11) ˙ ˙ ˙ ˙ v1 · v2 = (r ˙1r˙2 + r1r2f1f2) cos Φ + (r ˙1r2f2 − r1r˙2f1) sin Φ, (C.12)

onde Φ = l1 − l2 = f1 − f2 + ∆$.

C.2 Determina¸c˜aodas anomalias verdadeiras

Apresentamos dois caminhos poss´ıveis para o cálculodas anomalias verdadeiras fi (de- terminá-lasse faz necessário,conforme vemos nas equa¸cõesapresentadas acima). Ambas as abordagens podem facilmente ser implementadas em linguagens computacionais, e são resultados de diferentes maneiras de se trabalhar a equa¸cãode Kepler

M = E − e sin E, (C.13)

onde E denota a anomalia excêntrica. Se¸cãoC.2. Determina¸cãodas anomalias verdadeiras 125

C.2.1 Expans˜oesel´ıpticas:fun¸c˜oesde Bessel

O primeiro método épuramente anal´ıtico. Se reescrevemos a equa¸cão(C.2) como E − M = e sin E, vemos que E − M éuma fun¸cãoperiódica´ımpar,e pode portanto ser expandida em sériede senos de Fourier

∞ X e sin E = ck(e) sin kM, (C.14) k=1 onde os coeficientes de expansão ck(e) sãodados por

2 Z π ck(e) = e sin E sin kM dM (C.15) π 0 Usando (C.2) para escrever d(e sin E) = d(E − M) e reescrevendo a integral, chega-se a seguinte rela¸c˜ao(Murray e Dermott, 2000):

2 Z π 2 ck(e) = cos(kE − ke sin E) dE = Jk(ke), (C.16) kπ 0 k onde 1 Z π Jk(ke) = cos(ke − ke sin E) dE (C.17) π 0 éa fun¸cãode Bessel de primeira espécie(Bowman, 1958). Para m ≥ 0, époss´ıvel tomar a seguinte forma anal´ıtica:

∞ X (−1)n x2n+m J (x) = (C.18) m n!(n + m)! 2 n=0 Pode-se entãoreescrever a equa¸cãode Kepler, usando os últimosresultados:

∞ X 1 E = M + 2 J (ke) sin kM (C.19) k k k=1 Em (Brouwer e Clemence, 1961) encontram-se as deriva¸c˜oesdas rela¸c˜oesabaixo:

∞ √ X 1 d sin f = 2 1 − e2 J (ke) sin kM (C.20) k de k k=1 ∞ 2(1 − e2) X cos f = −e + J (ke) cos kM (C.21) e k k=1 As equa¸cõesacima sãoexpressõesanal´ıticasque podem ser aplicadas nos resultados da se¸cãoanterior. 126 Apêndice C. Transforma¸cãode Elementos Orbitais

C.2.2 Solu¸c˜oesiterativas da equa¸c˜aode Kepler

A equa¸cão(C.2) éuma equa¸cãotranscendental. Isto significa que ela nãoépass´ıvel de ser expressa atravésde fun¸cõeselementares, pois nãopossui uma solu¸cãoexata: para obter suas ra´ızes,se faz necessáriorecorrer ao cálculonumérico. Em (Murray e Dermott, 2000) éapresentado um método iterativo bastante simples para obter a solu¸cão:

Ei+1 = M + e sin Ei i = 0, 1, ..., (C.22) onde toma-se E0 = M como a primeira aproxima¸cão. As itera¸cõespodem ser realizadas atéque um determinado critériode precisãoseja satisfeito: por exemplo, que a diferen¸ca

δE = Ei+1 − Ei seja inferior a um limite previamente estabelecido. Conhecendo a anomalia excêntrica E, pode-se determinar univocamente a anomalia verdadeira f, atravésde: f r1 + e E tan = tan (C.23) 2 1 − e 2 O módulodo raio vetor r éconhecido atravésda rela¸cão

r = a(1 − e cos E) (C.24)

As quantidadesr ˙ e f˙ podem ser obtidas aplicando os valores encontrados para f, dentro das respectivas equa¸c˜oesapresentadas na se¸c˜ao(C.1).

C.3 Equa¸c˜oespara o sistema de Jacobi

Sejam %1 e %2 os vetores de posi¸c˜aoastrocˆentrica das respectivas massas. Em termos das quantidades conhecidas, tem-se:

%1 = r1, %˙1 = v1; (C.25)

%2 = r2 − γr1, %˙2 = v2 − γv1; (C.26)

onde γ = m1/(m0 + m1) Háque se ter aten¸cãoquando tratamos dos módulosdas quantidade acima. Temos que:

√ (J) p ρ1 = |%1| = %1 · %1 = r1 ⇒ ρ˙1 =r ˙1, v1 = |%˙1| = %˙1 · %˙1 = v1 (C.27) Se¸cãoC.4. Transforma¸cãodos elementos orbitais: Astrocêntrico para Jacobi 127

Para obter as express˜oesda varia¸c˜ao temporal das segundas quantidades, atente-se:

2 2 2 1/2 ρ2 = |%2| = r2 + γ r1 − 2γ%1 · %2 , (C.28) " dρ2 1 2 ρ˙2 = = r2r˙2 + γ r1r˙1 − γ[(r ˙1r2 + r1r˙2) cos Φ (C.29) dt ρ2 # ˙ ˙ −r1r2(f1 − f2) sin Φ] ,

e a velocidade d%2/dt

(J) 2 2 2 1/2 v2 = |%˙2| = v2 + γ v1 − 2γv1 · v2 (C.30)

Nas equa¸cõesanteriores, %1 · %2 = ρ1ρ2 cos ϑ, onde ϑ vem a ser o ângulo entre os vetores posi¸cão %1 e %2. Em termos das quantidade conhecidas:

2 2 %1 · %2 = r1 · r2 − γr1 = r1r2 cos Φ − γr1 (C.31)

Algumas rela¸c˜oespertinentes ao problema:

%1 · %˙1 = r1 · v1 (C.32)

2 %2 · %˙2 = r2 · v2 − γ(r2 · v1 + r1 · v2) + γ r1 · v1 (C.33)

Obtivemos todas as rela¸cõesacima em termos de quantidades que assumimos serem conhecidas, atravésdas equa¸cõesdadas na se¸cãoC.1.

C.4 Transforma¸c˜ao dos elementos orbitais: Astrocˆentrico para Jacobi

Os semi-eixos maiores e excentricidades podem ser obtidos atravésdas rela¸cõesclássicas do problema de dois corpos (Ferraz-Mello et al., 2005): µr a = , (C.34) 2µ − rw2 s r 2 (r · w)2 e = 1 − + , (C.35) a µa onde usamos a velocidade definida no referencial de movimento kepleriano p w = w = |w|, (C.36) β e βi = Mmi/(M + mi), com M designando a massa do corpo central (o qual, atente-se, nem sempre seráo corpo m0, como podemos ver na formula¸cãojacobiana). O vetor p define o momento linear conjugado a coordenada r. 128 Apêndice C. Transforma¸cãode Elementos Orbitais

No referencial de Jacobi, as rela¸cõesque definem os elemetos orbitais sãoreescritas como:

(J) µ˜iρi ai = 2 , µ˜i = Gσi; (C.37) 2˜µi − ρiwi v u !2 u ρ (% · w ) (J) t i i i ei = 1 − (J) + (J) ; (C.38) ai µ˜iai

i X σi = mi (C.39) k=0 Para as coordenadas de Jacobi, tem-se

(J) σk wk = πk, (C.40) mkσk−1 onde πk éo vetor momento conjugado àrespectiva coordenada %k. Na se¸cão2.4 do cap´ıtulo 2, apresentamos as expressõesque fornecem os momentos conjugados àscoordenadas de Jacobi, em termos dos momentos dados em um referencial baricêntrico inicial. Observando as rela¸cões,époss´ıvel obter que (J) wk = %˙k (C.41) Temos, finalmente:

(J) (A) (J) (A) a1 = a1 , e1 = e1 ; (C.42) v u !2 µ˜ ρ u ρ (% · %˙ )2 (J) 2 2 (J) t 2 2 2 a2 = (J) , e2 = 1 − (J) + (J) (C.43) 2˜µ2 − ρ2w2 a2 µ˜2a2

C.5 Equa¸c˜oespara o sistema de Poincar´e

Jáconhecemos a formula¸cãode coordenadas de Poincaré,na qual a posi¸cãodo i- ésimocorpo éastrocêntrica, enquanto o momento conjugado àrespectiva coordenada é baricêntrico. Sejam ζ1 e ζ2 os vetores de posi¸cãoutilizando as coordenadas de Poincaré,e os respectivos momentos conjugados definidos por Π1 e Π2.

ζ1 = r1, Π1 = P1; (C.44)

ζ2 = r2, Π2 = P2, (C.45) onde Pi = miVi éo momento no referencial baricêntrico (Vi denota a velocidade ba- ricêntrica do i-ésimocorpo). Vale, então,a rela¸cão

Π0 + Π1 + Π2 = 0 (C.46) Se¸cão C.5. Equa¸cõespara o sistema de Poincaré 129

Retomando as expressõesderivadas para os momentos canônicosde Jacobi, apresentadas na se¸cão2.4 do cap´ıtulo2, éfácilencontrar, de (2.4), que

P1 = π1 − γπ2, (C.47)

P2 = π2 (C.48)

Usando a defini¸cãode velocidade kepleriana, temos que π σ w(J) = %˙ = i , β˜ = i i i ˜ i βi miσi−1 Dos resultados derivados nas se¸cõesanteriores, obtemos π (m + m + m ) w(J) = 2 = 0 1 2 m V = v − γv (C.49) 2 ˜ 2 2 2 1 β2 m2(m0 + m1) e, em termos das velocidades astrocêntricas, tem-se 1 V = [(m + m )v − m v ], (C.50) 2 M 0 1 2 1 1

M = m0 + m1 + m2. Fazendo analogamente para V1, chega-se a 1 V1 = [(m0M + m1m2)v1 − (m0 + m1)m2v2] (C.51) M(m0 + m1) Da rela¸cãode conserva¸cão(C.46), facilmente tem-se 1 V0 = − (m1V1 + m2V2) (C.52) m0 No senso das coordenadas de Poincaré, as defini¸cõesdas velocidades keplerianas ficam

(P ) m1 (P ) m2 w1 = V1, w2 = V2 (C.53) β1 β2 Os módulosdas velocidades baricêntricas serãodados por: p 1 2 2 V1 = |V1| = V1 · V1 = (m0M + m1m2) v1 + (C.54) M(m0 + m1) 2 2 2 m2(m0 + m1) v2 − 2m2(m0M + m1m2)(m0 + m1)v1 · v2 ,

p 1 V = |V | = V · V = (m + m )2v2 + m2v2 − 2m (m + m )v · v (C.55) 2 2 2 2 M 0 1 2 1 1 1 0 1 1 2 Fornecemos abaixo alguns resultados ´uteis,em termos das quantidades conhecidas (as- trocˆentricas): (P ) m1 m1 r1 · w1 = r1 · V1 = (m0M + m1m2)r1 · v1 (C.56) β1 Mβ1(m0 + m1)

−m2(m0 + m1)r1 · v2, (P ) m2 m2 r2 · w2 = r2 · V2 = (m0 + m1)r2 · v2 − m1r2 · v1 (C.57) β2 Mβ2 130 Apˆendice C. Transforma¸c˜aode Elementos Orbitais

C.6 Transforma¸cãodos elementos orbitais: Astrocêntrico para Poincaré

Usando as expressõesde (C.35), podemos calcular os elementos orbitais de Poincaré (ou elementos astrocêntricos canônicos(Ferraz-Mello et al., 2006)):

µ r µ β2r a(P ) = 1 1 = 1 1 1 , (C.58) 1 (P )2 2µ β2 − m2r V 2 2µ1 − r1w1 1 1 1 1 1 v u !2 (P ) u r (r · w )2 (P ) t 1 1 1 e1 = 1 − (P ) + (P ) , (C.59) a1 µ1a1 µ r µ β2r a(P ) = 2 2 = 2 2 2 , (C.60) 2 (P )2 2µ β2 − m2r V 2 2µ2 − r2w2 2 2 2 2 2 v u !2 (P ) u r (r · w )2 (P ) t 2 2 2 e2 = 1 − (P ) + (P ) (C.61) a2 µ2a2