QFT, EFT and GFT

Aninda Sinha Centre for High Energy , Indian Institute of Science, Bangalore, India.

East Asian Stings Webina, 2021

1 Big picture

QFT 1960-

Crossing Symmetric Dispersion Relation

1916- GFT EFT 1980- Geometric Function Theory Efective Field Theory EFT-hedron

2 Big picture: amplified

QFT 1960- Quantum Field Theory

Crossing Symmetric Dispersion Relation

1916- GFT EFT 1980- Geometric Function Theory Efective Field Theory EFT-hedron

3 QFT+EFT motivation

4 • Consider 2-2 scattering of identical massive scalars. • In perturbative QFT we use Feynman diagrams. These manifest crossing symmetry. • A non-perturbative representation of the amplitude follows from fixed-t dispersion relation. This loses crossing symmetry, which needs to be imposed as a constraint.

5 • Where are the Feynman diagrams then from the dispersion relation point of view? • There is an analogous question one can ask in conformal field theory—this was our motivation to look into this question: Polyakov in 1974 proposed a crossing symmetric bootstrap. This looked like……

6 ?? (s, t)= c M ,` + + X,`

+ ??

Gopakumar, Kaviraj, Sen, AS PRL ’16; Gopakumar, AS ’18,…………

7 • How do we constrain Effective Field Theories? What role does the inaccessible high energies (unknown) play? • What are the correct mathematical ingredients? Are there known mathematical theorems which can help us?

8 • So imagine you were an EFT specialist and had access to 2-2 scattering. • Schematically you have low energy information of the form p q ℳ(s1, s2, s3) = ∑ �pqx y , x = s1s2 + s1s3 + s2s3 , y = s1s2s3 subject to s1 + s2 + s3 = 0

9 • Typically you have information about the first few Wilson coefficients at low energies. • Can these take on arbitrary values? Knowing these are there anything useful we can say about the higher order ones which we don’t know anything about?

Arkani-hamed, Huang, Huang; Caron-huot, Mazac, Rastelli, Simmons-Duffin, van-Duong; Tolley, Wang, Zhou;

Bern, Kosmopoulous, Zhiboedov……..

10 2103.12108

11 01 10

1.0

0.5

0.0 s 1 2 3 4 0

-0.5

12 • Based on 2012.04877 (PRL, 21) with Ahmadullah Zahed and 2101.09017 (PRL, 21) with and Ahmadullah Zahed, 2103.12108 with Parthiv Haldar and Ahmadullah Zahed and work in progress with Prashanth Raman.

13 A relatively unknown paper from 1972!

The most useful/ encouraging formula was in a NOTE ADDED!

See also Mahoux, Roy, Wanders 1974. 14 Crossing symmetric dispersion relation

∞ 1 ds1′  (+)   ℳ0(s1, s2) = α0 + � (s1′; s2 (s1′, a)) × H (s1′; s1, s2, s3) π ∫ 2μ s′ 3 1

s1 s2 s3 H (s1′; s1, s2, s3) = + + [ (s1′ − s1) (s1′ − s2) (s1′ − s3) ] 1/2 s1′ s1′ + 3a (+)  s2 (s1′, a) = − 1 − , 2 [ ( s1′ − a ) ]

s s s 2 1 2 3 α0 ≡ ℳ(s1 = 0,s2 = 0) s1 + s2 + s3 = 0 μ = 4m a = s1s2 + s1s3 + s2s3 4 4 4 NB: s = s − m2, s = t − m2, s = u − m2 1 3 2 3 3 3 15 Expand In terms of poles in Γ 1 − s Γ 1 − s Γ s + s + 1 s1, s2 & ( 1) ( 2) ( 1 2 ) s = − s − s −s1s2(s1 + s2)ℳ(s1, s2) = 3 1 2 Γ (s1 + 1) Γ (−s1 − s2 + 1) Γ (s2 + 1)

Answer ∞ k (crossing) (−1) 1 1 1 3 −s1s2(s1 + s2)ℳ(s1, s2) = 1 + ∑ + + − k=0 [k!(k + 1)! ( k − s1 + 1 k − s2 + 1 k − s3 + 1 k + 1 )

Γ 1 −k 4a + 1 + k − 4a + 1 + 3 Γ 1 k 4a + 1 + k + 4a + 1 + 3 ( 2 ( −a + k + 1 −a + k + 1 )) ( 2 ( −a + k + 1 −a + k + 1 )) × , ] Γ 1 k 4a + 1 − 1 + 4a + 1 + 1 Γ 1 − 4a + 1 − k 4a + 1 + 1 + 1 ( 2 ( ( −a + k + 1 ) −a + k + 1 )) ( 2 ( −a + k + 1 ( −a + k + 1 ) ))

3 + k 3 + k s1s2s3 y Γ( − λ)Γ( + λ) a = ≡ ∼ 2 2 Γ( 1 − k − λ)Γ( 1 − k + λ) s1s2 + s1s3 + s2s3 x 2 2

16 Numerical checks

s2 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● 1 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● s s s s s ,s , s ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● - 1 2( 1+ 2)ℳcl( 1 2) 2= 13 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ◆●■ ● ●● ●●●●●●●■●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●◆●■●●●●● ◆●■ ●●●●●●◆●◆●■◆●■●■●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●◆●■●●●●●●●● 2.0 5 ●●●●●●◆●◆●■◆●■●■●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●◆●■●●●●●●● ●●●◆●◆●■◆●■●■●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●◆●■●●●●● ●●●●●◆●◆●■◆●■●■●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●◆●■●●●●●●●● ◆●■ ◆●■ ●●●●●●●◆●◆●■◆●■●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●◆●■●●●●●●●● ●●●●●●●◆●■◆●■◆●■●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●◆●■●●●●●●● ● ●●●●◆●■◆●■◆●■●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●◆●■●●●●●● ● ◆●■ ◆●■ ●●●●●●●●●●◆●■◆●■◆●■●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●◆●■●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●◆●■◆●■◆●■●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●◆●■●●●●●●●●● ◆●■ ◆●■ ●●●●●●●●●◆●■◆●■◆●■●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●◆●■●●●●●●● ● ●●●●●●●●●●◆●■◆●■●■●●●●●●●●●●●●●●●●●●●◆●■●●●●●●●●●● ◆●■ 1.5 ◆●■ ●●●●●●●●●◆●◆●■◆●■●●●●●●●●●●●●●●●●●◆●■●●●●●●●●●● ◆●■ ◆●■ ●●●●●●●●●●◆●■◆●■◆●■●●●●●●●●●●●●●●◆●■●●●●●●●●●● ◆●■ ◆●■ ●●●●●●●●●◆●■◆●■◆●■●●●●●●●●●●●◆●■●●●●●●●●●●● ◆●■ ◆●■ ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●◆●■●●●●●●●◆●■◆●■◆●■●●●●●●●●◆●■●●●●●●●●●◆●■●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ◆●■◆●■ ◆●■◆●■ ◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■ ◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■ ●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■ ◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■ ◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■● ◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■ ●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■ ◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■ ◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■ ◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■ ◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■ ◆●■◆●■◆●■◆● ◆●■◆●■ ◆●■◆●■ ◆●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆● ◆●■◆●■◆●■ ◆●■◆●■ ◆●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆● ◆●■◆●■ ◆●■◆●■ 0◆●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆● s ◆●■◆●■ ◆●■◆●■◆●■ ◆●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆● 1 ◆●■◆●■ ◆●■◆●■ ◆●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆● ◆●■◆●■ ◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■ ◆●■◆●■ ◆●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆● ◆●■ ◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■1.0 ◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■ ◆●■ 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◆●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆● ◆●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆● ◆●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆● ◆●■ s ◆●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆● 1 ◆●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆● ◆●■ ◆●■ ◆●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆● -2 ●-●1 ●●1 ●2 ◆●◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆●■◆● -5 0 5 ● Crossing ■ 2-channel ◆ Exact Crossing 2-channel Overlap 10% Contour a=1

Similar expansion exists for the 2d Ising Mellin Amplitude. Also similar expansion exists for the open string amplitude with only s,t symmetry (w P. Raman).

17 • Good match for complex values

18 • Notice something nontrivial. If we consider just a fixed k. • Expand around a=0. • You will get negative powers of x. • But LHS has no such powers. This means that once we sum over k, these negative powers will cancel. Keep this in mind. • Lesson: To have a crossing symmetric expansion, it seems we have to introduce “spurious”, “non-local” singularities to the basis elements. LOCALITY CONSTRAINTS/NULL CONSTRAINTS

19 A heuristic derivation of the crossing symmetric dispersion

• Auberson, Khuri 1972; AS, Zahed ’20. 20 The key steps

• We can parametrize the solution using a new variable z (z − z )3 s = a − a k k z3 − 1 Here are the cube roots of unity. Satisfying • zk z1 + z2 + z3 = 0

21 The key idea • Idea now is to write a dispersion relation in z for fixed a. • Conveniently one can show

27a3z3 Make a mental note −y ≡ s s s = of the forms of these. These 1 2 3 (z3 − 1)2 are what are called Koebe functions in the context of univalent functions. 27a2z3 −x ≡ s s + s s + s s = 1 2 2 3 1 3 (z3 − 1)2

• So that an expansion in powers of x, y is an expansion in powers of a, z3.

22 Case-I 1.5 z

1.0 ( u) 3 (z − zk) z2 s = a − a k 3 V+ z − 1 1 0.5

ϕ0(a) )

s z1 + z2 + z3 = 0 ( z1 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

s1s2s3 s1s2(s1 + s2) -0.5 a = = V- s s + s s + s s s s + s2 + s2 1 1 2 1 3 2 3 1 2 1 2

z3

(

t -1.0 ) Low energy

High energy

-1.5

8 2 − m < a ≤ 0 s1 → a, |s2 |, |s3 | → ∞ when z → z1 etc 9 23 The key idea Im(z) 1.5 Ce

3 1.0 1 z′ − 1 dz′ ℳ(z′, a) = ℳ(s1 = 0,s2 = 0) z ∮ 3  2 2πi Ce z′ (z′− z)

0.5

ϕ0(a) z 1 Re(z) -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 Ci

-0.5

z3 -1.0 3 3 1 z′ − 1 z − 1 ℳ(s1 = 0,s2 = 0) dz′ ℳ(z′, a) = ℳ(z, a) + ∮ 3  3 3 2πi Ci z′ (z′− z) z z -1.5

24 The key steps

Imposing the equation • s1 + s2 + s3 = 0 s s s a = 1 2 3 s1s2 + s1s3 + s2s3 Becomes a quadratic equation giving in terms of . • s2 s1 Call these ± s2 (s1, a) 1/2 (±) s1 s1 + 3a s2 (s1, a) = − 1 ∓ 2 [ ( s1 − a ) ]

25 26 27 Structure of “Dyson” and “Feynman” blocks

∞ 1 dσ (α) Dyson block expansion ℳ(s1, s2) = ℳ(0,0) + (2ℓ + 2α) H(σ; si)aℓ(σ)Cℓ ( ξ(σ, a)) π ∑ ∫ 2μ σ —“Regge bounded” ℓ 3

∞ Feynman 1 dσ Qℓ(s1, s2) Qℓ(s2, s3) Qℓ(s3, s1) ℳ(s , s ) = ℳ(0,0) + (2ℓ + 2α) a (σ) + + + poly block expansion 1 2 ∑ 2μ ℓ ℓ π ∫ 2μ ℓ [ σ − s1 σ − s2 σ − s3 ] —not “Regge bounded” ℓ 3 σ(σ − 3 )

eg . poly2 = c1x + c2y

2μ * Q (s , s ) = s (s − )ℓC(α)(cos θ) ℓ 1 2 1 1 3 ℓ

28 “Dyson” block expansion

Expansion of the massless pole subtracted dilation amplitude in terms of crossing symmetric partial waves (locality constraints implicit).

Fractional

deviation% dev 0.0012 s1 = 0.3

0.0010 ℓmax = 6, kmax = 6 0.0008

0.0006 s1 = 0.1 s1 = 0.7 0.0004 a 0.4 0.0002 0.3

0.2 s2 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 0.1

s2 -0.4 -0.2 0.2 0.4

-0.1

-0.2 29 “Feynman” block expansion Expansion of the massless pole subtracted dilation amplitude in terms of crossing symmetric partial waves (locality constraints imposed—operationally throw away negative powers of x, partialwave*kernel wise).

Fractional deviation

ℓmax = 6, kmax = 6

30 Importance of contact terms

31 Fractional deviation Dyson

Feynman

Singularity removed block/ Feynman block seems to do better.

32 Proposed nomenclature

QFT CFT

Partial wave with singularity—Dyson block Conformal partial wave with singularity—Polyakov block

Partial wave with singularities removed—Feynman block CPW with singularities removed—Witten block

QFT CFT

33 GFT

• 2103.12108 with P. Haldar and A. Zahed; but mainly work in progress with P. Raman 34 • Is dispersion (closing of contour, dropping of arcs) enough to give bounds? • No. What gives two-sided bounds is crossing symmetry and locality. On the math side we have additional analytic properties like univalence, typically realness etc on either a disc, punctured disc or annulus.

• 2103.12108 with P. Haldar and A. Zahed; but mainly work in progress with P. Raman

35 Power of univalence: a simple example

Defnition g(z1) = g(z2) ⟹ z1 = z2

Example in a disk f(z) = z + az2, |z| < 1

f(z1) = f(z2) ⟹ (z1 − z2)(1 + az1 + az2) = 0

|1 + az1 + az2 | ≥ |1 − |a||z1 + z2 || Reverse triangle

Triangle |a||z1 + z2 | ≤ |a|(|z1 | + |z2 |) ≤ 2|a| 1 |a| < BOUND!! 2

36 A bit of math history ∞ Univalent n f(z) = z + ∑ anz , |z| < 1 n=2

Bieberbach 1916 conjectured |an | ≤ n Real version proved by Rogosinski,… 1931 Most general version proved by Louis de Branges in 1985 Interesting subclasses, more relevant to give stronger bounds • 2103.12108 with P. Haldar and A. Zahed; but mainly work in progress with P. Raman

37 “Convex sum of typically real univalent functions is typically real”

Im f(z) Im z > 0

2 Mobius transformation of Kernel 27a (3a − 2s1) z˜ H(a, s , z˜) = Koebe function— 1 3 2 s1 1 + γz˜ + z˜ univalent with real coefcients. Univalent functions with When absorptive part>0, ℳ(s , s ) ∼ absorptive part × Kernel real coefcients are also we have a convex sum 1 2 ∫ typically Real**

** Convex sum of univalent functions are not necessarily univalent BUT convex sum of typically real functions are typically real! With P. Raman, to appear

Geometric function theory—Bieberbach, Rogosinski, Wigner, Nehari, Schwarz, Komatu,

Goodman, papers dating over a 100 years or so. 38 39 01 10

1.0

9 �0,1 9 0.5 − < < 16 �1,0 8 0.0 s 1 2 3 4 0

-0.5

2103.12108; 2012.04877

b | 2 |-2 b1

20

2 15 27a (a(a�02 + �11) + �20) −2 ≤ 2 − ≤ 2 10 a�01 + �10 5

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 02

1.7778 1.7444 1.7111

40 With P. Raman, to appear

41 With P. Raman, to appear

42 Future is bright

QFT 1960- Quantum Field Theory

Crossing Symmetric Dispersion Relation

1916- GFT EFT 1980- Geometric Function Theory Efective Field Theory EFT-hedron

43 44