DIPLOMOVÁ PRÁCE Polopravidelné Rovinné Grafy

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE

DIPLOMOVÁ PRÁCE

Polopravidelné rovinné grafy

Vedoucí diplomové práce: Vypracovala: RNDr. Zdeněk Dušek, Ph.D. Bc. Jitka Doležalová Rok odevzdání: 2010 Diskrétní matematika, 5. ročník Prohlášení

Prohlašuji, že jsem vypracovala tuto diplomovou práci samostatně, a že jsem v seznamu použité literatury uvedla všechny zdroje použité při zpracování práce.

V Olomouci dne 23. dubna 2010 Poděkování

Ráda bych na tomto místě poděkovala RNDr. Zdeňku Duškovi, Ph.D., za obětavou spolu- práci i za čas, který mi věnoval při konzultacích. Obsah

Úvod 2

1 Rovinné grafy 4

2 Konvexní mnohostěny 9

3 Pravidelné rovinné grafy a mnohostěny 11

4 Speciální polopravidelné rovinné grafy 13 4.1 Archimedovská tělesa, hranoly a antihranoly ...... 13 4.2 Johnsonovatělesa...... 22 4.3 Zobecněnéhranolyaantihranoly ...... 25

5 Polopravidelné rovinné grafy se stejnými vrcholy 26

6 Polopravidelné rovinné grafy se stejnými stěnami 41 6.1 Katalánskátělesa ...... 41 6.2 Duální grafy ke grafům Johnsonových těles ...... 44 6.3 Duální grafy ke grafům zobecněných hranolů a antihranolů...... 45 6.4 Duální grafy k obecným polopravidelným grafům ...... 46

Literatura 56

Příloha - přehled Johnsonových těles 58

1 Úvod

Dokonalost pravidelných mnohostěnů přitahovala lidskou pozornost již od dob antického Řecka. Jeden z nejvýznamnějších řeckých ﬁlozofů - Platon (427 př. n. l. 347 př. n. l.) v nich spatřoval podstatu struktury Vesmíru. Krychli, osmistěn, čtyřstěn a dvacetistěn považoval za představitele čtyř základních živlů, jimiž byly podle jeho učení země, vzduch, oheň a voda, a dvanáctistěn za představitele jsoucna. O matematický popis platonských těles se jako první pokusil Thaeten z Athén (417 př. n. l. - 369 př. n. l.), ovšem jejich kompletní popis podal až Euklides (325 př. n. l. - 265 př. n. l.) ve svém slavném díle Základy (Elementa). O několik desítek let později studoval další řecký ﬁlozof Archimedes (287 př. n. l. - 212 př. n. l.) konvexní mnohostěny, jeho práce se však nezachovala. Vyšší zájem o pravidelné a polopravidelné mnohostěny se objevil až v renesanční Itálii. Zabýval se jimi například matematik Luca Pacioli (1445 - 1514) a také učenec Johannes Kepler, který považoval za jeden ze svých nejdůležitějších objevů teorii, podle které rozestupy mezi drahami pla- net jsou určeny geometrií pravidelných mnohostěnů. Významného výsledku ve zkoumání konvexních mnohostěnů dosáhl americký matematik Norman W. Johnson, který v roce 1966 publikoval seznam 92 těles, která jsou tvořena pouze pravidelnými n-úhelníky. V roce 1969 izraelský matematik Victor Zallgaler ve své práci Convex polyhedra with regular faces dokázal, že nemohou existovat žádná další taková tělesa. Historie matematiky doplněná příběhy ze života slavných matematiků je přehledně zpracována v knize Příběhy matematiky profesora Milana Mareše [8].

Dostupná literatura zabývající se pravidelnými rovinnými grafy, se nezmiňuje o polopravi- delných rovinných grafech. Pravidelným grafům a pravidelným mnohostěnům se podrob- něji věnují práce [4], [9], [10], [11], v menší míře pak [1], [2], [3], [5], [6], [7], [12], [14], [16], [22]. Cílem této práce bylo sestavit přehled grafů, které jsou tvořeny vrcholy stupně p a n-úhelníky nebo m-úhelníky a grafů, které jsou tvořeny vrcholy stupně p nebo q a n-úhelníky. První kapitola zavádí pojmy a poznatky nutné k popisu rovinných grafů a vychází z prací [4], [9], [10], [11]. Druhá kapitola zavádí pojmy pro popis konvexních mno- hostěnů a konstrukci jim příslušných rovinných grafů, a to pomocí projekce do roviny určené stěnou grafu. Pro každý konvexní mnohostěn je možno pomocí této projekce sestro- jit rovinný graf. Třetí kapitola uvádí popis a speciální vlastnosti pravidelných rovinných grafů a mnohostěnů, které jim odpovídají. Tyto mnohostěny se nazývají Platonská tělesa. Konstrukce jejich grafů je dobře známa a provádí se pomocí stereograﬁcké projekce sféry do roviny. Její popis je znám například ze zdroje [4]. Čtvrtá kapitola se zabývá speciál- ními typy polopravidelných grafů. Tyto grafy jsou grafy Archimedovských těles, hranolů a antihranolů, Johnsonových těles a zobecněných hranolů a antihranolů. Stěny všech těchto těles jsou tvořeny pravidelnými n-úhelníky a s výjimkou Johnsonových těles mají všechny stejnou posloupnost stěn u vrcholu. To znamená, že u každého vrcholu se stýkají stejné n-úhelníky a to ve stejném pořadí. Všechny grafy zmíněných těles jsou zde ilustrovány. Informace o vlastnostech Archimedovských těles jsou čerpány z internetových zdrojů [13], [17], [18] a o Johnsonových tělesech ze zdroje [20]. Pro Archimedovská tělesa je v této práci uvedena jejich konstrukce pomocí odřezávání vrcholů a osekávání hran Platonských těles

2 a také jejich klasiﬁkace pomocí posloupnosti stěn ve vrcholech. Předposlední kapitola se snaží sestavit přehled polopravidelných rovinných grafů se stejnými vrcholy odpovídajících konvexním mnohostěnům a jejich grafy ilustrovat. Tento přehled není kompletní, některé grafy jsou odvozeny, pro některé je dokázána jejich neexistence a některé zůstávají jako otevřené problémy. Poslední kapitolou je pak přehled polopravidelných grafů se stejnými stěnami a jejich ilustrace. Uvedené vlastnosti vycházejí ze zdrojů [13], [18], [20], [19]. Jed- nou z metod pro získání takových grafů je vytváření duálních grafů ke grafům se stejnými vrcholy. Speciálními polopravidelnými grafy se stejnými stěnami jsou grafy Katalánských těles, které vznikají jako duální grafy grafů Archimedovských těles.

3 1 Rovinné grafy

Základní pojmy a vztahy nutné pro úvod do teorie rovinných grafů jsou dostupné ve standardně citované literatuře [4], [9], [10], [11].

Deﬁnice 1.1. Obyčejný neorientovaný graf G je uspořádaná dvojice (V, E), kde V ⊆ N V je množina vrcholů a E ⊆ 2 je množina hran - dvouprvkových podmnožin množiny vrcholů. Zapisujeme E = E(G ),V = V (G) a pro hranu píšeme e = {x, y}, kde x, y ∈ V . Deﬁnice obyčejného grafu je obecně komplikovanější, ale v této práci uvádíme její speciální případ, neboť nebudeme uvažovat násobné hrany ani smyčky.

Deﬁnice 1.2. Nechť G1 =(V1, E1) a G2 =(V2, E2) jsou obyčejné grafy. Zobrazení f : V1 → V2 nazýváme homomorﬁsmus grafu G1 do G2, jestliže platí ∀x, y ∈ V1 : {x, y} ∈ E1 ⇒{x, y} ∈ E2.

Definice 1.3. Nechť G1 = (V1, E1) a G2 = (V2, E2) jsou obyčejné grafy, f : V1 → V2 je # V1 V2 # zobrazení. Definujeme tzv. indukované zobrazení f : 2 → 2 předpisem f ({x, y})= # {f(x), f(y)}. Pak f je homomorfismus grafu G1 do G2, pokud proe ∈ E1 platí f (e) ∈ E2.

Definice 1.4. Nechť f : G1 → G2 je homomorfismus obyčejných grafů. Pak f nazýváme 1. vrcholový homomorfismus, je-li f : V1 → V2 prosté, 2. vrcholový epimorfismus, je li f : V1 → V2 surjektivní, # 3. hranový homomorfismus, je-li f : E1 → E2 prosté, # 4. hranový epimorfismus, je-li f : E1 → E2 surjektivní, # 5. vnoření, jsou-li f i f prosté a navíc platí ∀x, y ∈ V1 : {f(x), f(y)} ∈ E2 ⇒ {x, y} ∈ E1, 6. izomorfismus, je-li vrcholový i hranový monomorfismus i epimorfismus.

Existuje několik speciálních grafů:

• prázdný graf: ∅ =(∅, ∅)

• diskrétní graf: Dn =({1, 2, ..., n} , ∅) V • úplný graf: Km = V, 2 ,V = {1, 2, ..., n} • cesta: Pn =({0, 1, ..., n} ,{i − 1, i} , i =1, 2, ..., n)

• kružnice: Cn =({1, 2, ..., n} , {{i, i +1} , i =1, 2, ..., n − 1, {n, 1}})

• úplný sudý graf: Km,n =(U ∪ V, {{x, y} , x ∈ U, y ∈ V }), U ∩ V = ∅

Deﬁnice 1.5. Nechť G =(V, E) je obyčejný graf. Říkáme, že G je souvislý, jestliže ∀x, y ∈ V existuje homomorﬁsmus f : Pn → G takový, že f(0) = x, f(n)= y.

Deﬁnice 1.6. Nechť G je obyčejný graf. Symbolem degG(v) označme počet hran grafu G obsahujících vrchol v. Číslo degG(v) pak nazýváme stupněm vrcholu v v grafu G.

4 Deﬁnice 1.7. Nakreslením grafu G = (V, E) rozumíme předpis N , který vrcholům V přiřadí různé body v rovině E2 a hranám z E přiřadí oblouky s koncovými body v obrazech vrcholů. Deﬁnice 1.8. Nakreslení N grafu G do roviny E2 nazýváme rovinné, pokud každé hraně je přiřazena úsečka a každé dvě úsečky mají nejvýše jeden společný bod, který je koncovým bodem každé z nich. Graf, pro který existuje rovinné nakreslení, nazýváme rovinný.

Deﬁnice 1.9. Nechť G je obyčejný graf, e ∈ E, e = {v1, v2}, v∈ / V . Deﬁnujme graf 0 0 0 0 0 G = (V , E ), předpisem V = V ∪{v}, E = (E\{v}) ∪ {{v1, v} , {v, v2}}. Pak říkáme, že graf G0 je elementárním dělením grafu G. Dále říkáme, že graf G je dělením grafu G, pokud existuje posloupnost G = G ,G , ..., G = G taková, že G je elementárním 0 1 n ie+1 dělením G ∀i =0, 1, ..., n − 1. i e Věta 1.1 (Kuratowského věta). Obyčejný graf je rovinný právě tehdy, když žádná jeho část není izomorfní s žádným dělením grafu K5 nebo K3,3.

Deﬁnice 1.10. Nechť Cn = (x1, e1, x2, e2, ..., xn, en) je rovinné nakreslení kružnice. Část roviny uvnitř lomené čáry (e1, e2, ..., en) nazýváme vnitřek kružnice. Část roviny vně lomené čáry (e1, e2, ..., en) nazýváme vnějšek kružnice. Každou z těchto částí nazýváme oblast kružnice.

Deﬁnice 1.11. Kružnicí v grafu G rozumíme injektivní homomorfní obraz grafu Cn v G. Deﬁnice 1.12. Nechť G =(V, E) je souvislý rovinný graf a N je jeho rovinné nakreslení. Nechť C je kružnice v grafu G. Pak oblast kružnice C nazýváme stěnou grafu G, pokud neobsahuje žádnou oblast žádné jiné kružnice v G jako vlastní část. Dvě stěny nazýváme sousedními, jestliže společná část lomených čar, které je určují, je tvořena jednou nebo více úsečkami.

Příklad 1.1 Stěny závisí na nakreslení, jak ilustruje následující obrázek. Kružnice C1 = (2, 3, 4, 5, 6, 7) není stěnou v N1, ale je stěnou v N2. Naopak kružnice C2 = (2, 3, 6, 7) je stěnou v N2, ale není stěnou v N1.

8 7 6 5 8 7 6 5 4 1 2 3 4 1 2 3 N (G) N 1 2(G)

Věta 1.2 (Eulerova věta). Nechť G = (V, E) je souvislý rovinný graf, N jeho rovinné nakreslení a s(G) počet stěn při tomto nakreslení. Pak platí

|V (G)|−|E(G)| + s(G)=2. (1)

5 Počet stěn tedy nezávisí na nakreslení. Důkaz. Indukcí podle počtu hran

(1) |E(G)| = 0, pak G je izolovaný vrchol, |V (G)| =1,s(G) = 1 a tvrzení platí.

(2) Pokud neexistuje hrana e, která je součástí kružnice, pak G je strom a |V (G)| = |E(G)| +1,s(G) = 1 a tvrzení platí.

(3) Existuje hrana e, která je součástí kružnice, pak G0 = (V, E0), (kde E0 = E\{e}) je opět souvislý graf s menším počtem hran a splňuje indukční předpoklad. Protože počet |V (G)| = |V (G0)| , |E(G)| = |E(G0)| +1,s(G)= s(G0) + 1, tvrzení platí pro G, právě když platí pro G0.

Důsledek 1.1 Pro každý souvislý rovinný graf G =(V, E) platí |E(G)| ≤ 3 |V (G)| − 6.

Důkaz. Uvažujme graf na množině V , který má maximální počet hran. Pak každá stěna je trojúhelník. Platí tedy 2 2 |E(G)| =3s(G) ⇒ s(G)= |E(G)| . 3 Po dosazení do Eulerovy věty postupně dostáváme: 2 |V (G)|−|E(G)| + |E(G)| =2, 3 3 |V (G)|−|E(G)| =6, |E(G)| =3 |V (G)| − 6, což platí pro graf s maximálním počtem hran. Obecně tedy platí |E(G)| ≤ 3 |V (G)| − 6.

Důsledek 1.2 Pro každý souvislý rovinný graf bez trojúhelníků platí |E(G)| ≤ 2 |V (G)| − 4.

Důkaz. Uvažujme maximální graf s n vrcholy bez trojúhelníků. Každá stěna je pak čtyř- úhelník nebo pětiúhelník. Označme s4(G) počet stěn čtyřúhelníkových a s5(G) počet stěn pětiúhelníkových. 4s4(G)+5s5(G)=2 |E(G)| , 5 1 s (G)+ s (G)= |E(G)| , 4 4 5 2 1 s(G)= s (G)+ s (G) ≤ |E(G)| . 4 5 2

6 Po dosazení do Eulerovy věty 1 −|E(G)| + |E(G)|≥−|V (G)| +2, 2 |E(G)| ≤ 2 |V (G)| − 4.

Věta 1.3. Každý rovinný graf má alespoň jeden vrchol stupně d ≤ 5.

Důkaz. Předpokládejme, že existuje rovinný graf G, pro který platí, že degG(vi) ≥ 6 ∀vi ∈ G. Protože

degG(vi)=2 |E(G)| X a odtud

|E(G)| ≥ 3 |V (G)| > 3 |V (G)| − 6, což je spor s tím, že |E(G)| ≤ 3 |V (G)| − 6.

Deﬁnice 1.13. Nechť G = (V, E) je rovinný graf a mějme jeho rovinné nakreslení N . Uvažujme V 0 množinu stěn grafu G (při daném nakreslení). Každé dvě stěny jsou v grafu G odděleny hranou. Tuto hranu deﬁnujeme jako hranu mezi těmito vrcholy z V 0. Takto sestrojený rovinný graf G0 =(V, E0) nazýváme duální graf ke grafu G.

Příklad 1.2 Duální graf obyčejného grafu nemusí být obyčejný. Graf G na obrázku je obyčejný graf, ovšem k němu duální graf G0 obsahuje násobné hrany a tedy není prostým grafem.

G’

Deﬁnice 1.7 nakreslení grafu může být zobecněna i na jiné plochy než roviny. Kreslení grafu na sféru má těsný vztah ke kreslení na rovinu: graf lze nakreslit bez křížení hran na sféru právě tehdy, když je rovinný. Nakreslení na sféře a nakreslení na rovinu lze vzájemně pře- vádět mnoha způsoby. Jedním z nich je stereograﬁcká projekce: Na sféře S2 zvolíme dva souměrně sdružené body P1 a P2 („severní a jižní pólÿ) tak, že P1 leží uvnitř nějaké stěny a zvolíme rovinu ρ, která se dotýká koule v bodě P2. Nyní každému bodu X přiřadíme bod

7 0 0 X takto: body P1 a X vedeme přímku a ta protne ρ v bodě X . Stěny grafu na sféře, které neobsahují P1 přejdou v rovině na vnitřek kružnice, stěna grafu, která obsahuje P1 přejde na vnějšek kružnice. Toto zobrazení je prosté a zobrazuje celou sféru kromě bodu P1 na celou rovinu, existuje tedy inverzní zobrazení. Obě tato zobrazení jsou spojitá a jedná se 2 tedy o homeomorﬁsmus f : S \P1 → ρ.

X’ P2

Máme-li nakreslení G v rovině, pak stereograﬁckou projekcí f −1 přirozeně získáme nakres- lení tohoto grafu na S2. Jediná stěna v G, která byla vnějškem kružnice bude v nakreslení na sféru vnitřkem kružnice, uvnitř které leží severní pól sféry.

8 2 Konvexní mnohostěny

Deﬁnice 2.1. Libovolná rovina ρ rozděluje prostor E3 na dvě části, z nichž každá včetně roviny ρ se nazývá poloprostor. Rovina ρ se nazývá hraniční rovina poloprostoru.

Definice 2.2. Nechť S = {ρi, i =1, ..., s} je systém poloprostorů s různými hraničními ro- 3 s vinami v E . Je-li M = i=1 ρi omezená množina, pak tuto množinu nazýváme konvexním mnohostěnem. T s Zpravidla předpokládáme, že S je minimální systém s vlastností M = i=1 ρi, tedy že pro s libovolné j je M ( i=1 ρi. T i6=j T Definice 2.3. Nechťρ ˜ je hraniční rovina některého z poloprostorů určujících konvexní mnohostěn. Pokud je průnik mnohostěnu a rovinyρ ˜ neprázdná množina, nazýváme ji stěna konvexního mnohostěnu. Průnik dvou stěn nazýváme hrana mnohostěnu a průnik více než dvou stěn nazýváme vrchol. Pro konvexní mnohostěny je hrana definována jako průnik stěn, tedy jakou součást stěny. Pro rovinné grafy je hranou úsečka, která není součástí stěny. Tento rozdíl můžeme za- nedbat.

Z deﬁnice konvexního mnohostěnu je zřejmé, že pro stupeň p libvolného vrcholu platí, že p ≥ 3.

Lemma 2.1. Libovolná stěna konvexního mnohostěnu je konvexní n-úhelník.

Důkaz. Uvažujme hraniční rovinuρ ˜ libovolného poloprostoru ρ určujícího mnohostěn M. Průnik libovolného poloprostoru ρj ∈ S, ρj =6 ρ a rovinyρ ˜ je polorovina v roviněρ ˜. Stěna s = M ∩ρ˜ je jistě omezená množina a je průnikem polorovin v roviněρ ˜. Je tedy konvexním n-úhelníkem.

Lemma 2.2. Libovolné dvě stěny konvexního mnohostěnu mají společnou nejvýše jednu hranu.

Důkaz. Kdyby dvě stěny měli společné dvě hrany, pak by jejich deﬁnující roviny měly společné alespoň tři vrcholy, které neleží na přímce. Byly by tedy totožné. Konvexním mnohostěnům přirozeným způsobem odpovídají rovinné grafy. Nechť je dán s mnohostěn M = i=1 ρi s vrcholy X1, ..., Xm. Zvolíme stěnu sj tohoto konvexního mno- hostěnu a sestrojímeT rovinný graf v roviněρ ˜j, která určuje stěnu sj (tedy sj ⊆ ρ˜j). Deﬁ- s nujme N = i=1 ρi. Protože platí M ( N, můžeme zvolit bod P ∈ N\M. Protože P∈ / ρj i6=j T 0 a Xk ∈ ρj, každá úsečka PXk protne rovinuρ ˜j v bodě, který označíme Xk. Pro vrcholy 0 Xk ∈ sj položíme Xk = Xk. Protože N je konvexní množina, obrazy vrcholů Xk ∈/ sj leží uvnitř stěny sj.

9 Pokud úsečka X1X2 tvoří hranu v mnohostěnu M, pak průnik trojúhelníku X1PX2 s 0 0 rovinouρ ˜j je úsečka X1X2. Pokud X1...Xn určují stěnu v mnohostěnu M, pak průnik 0 0 0 jehlanu PX1...Xn s rovinouρ ˜j je n-úhelník X1...Xn. Je zřejmé, že si ⊂ sj a deﬁnujeme 0 sj =ρ ˜j\sj. Pro graf, který sestrojíme výše uvedeným způsobem je zřejmé, že všechny jeho vrcholy jsou alespoň stupně 3. S využitím Lemmat 2.1 a 2.2 a uvedené konstrukce plyne, že jeho stěny jsou konvexní n-úhelníky a libovolné dvě stěny mají společnou nejvýše jednu hranu.

10 3 Pravidelné rovinné grafy a mnohostěny

Pravidelnými rovinnými grafy a pravidelnými mnohostěny se zabývá velké množství do- stupné literatury, například [1], [2], [3], [5], [7], [12], [14], [15], [16], [22]. Autoři všech těchto prací zmiňují speciální vlastnosti pravidelných grafů a mnohostěnů i jejich vzájemnou ko- respondenci.

Deﬁnice 3.1. Pravidelným rovinným grafem nazveme takový rovinný graf, který má každý vrchol stupně p a každá jeho stěna je n-úhelník.

Deﬁnice 3.2. Pravidelným mnohostěnem nazveme takový konvexní mnohostěn, jehož stěny jsou stejné n-úhelníky a jehož všechny vrcholy mají stejný stupeň.

Je dobře známo, že pravidelných mnohostěnů je právě pět, nazývají se Platonova tělesa a jsou to pravidelný čtyřstěn, pravidelný šestistěn (krychle), pravidelný osmistěn, pravidelný dvanáctistěn a pravidelný dvacetistěn. Pomocí Eulerovy formule odvodíme, že pravidel- ných grafů je také tolik a jsou jimi právě grafy těchto těles.

Nechť G = (V, E) je pravidelný rovinný graf. Označme |V (G)| = v, |E(G)| = e, s(G) = s, stupeň vrcholů p, počet hran jedné stěny n. Počítáme-li dvěma způsoby počet uspořádaných dvojic (ei,sj), kde ei je hrana v grafu G a sj je stěna v grafu G, „přispějeÿ každá hrana 2 takovými dvojicemi a každá stěna n dvojicemi. Získáme tak rovnost 2e = ns. Obdobně uvažujeme dvojice (ei, vk)a(sj, vk), kde vk je vrchol v grafu G a získáme rovnost

2e = ns = pv. (2)

Pro zadané p, n ∈ N hledáme možná řešení pro v, e a s. Do Eulerovy věty

v − e + s =2 postupně dosazujeme ze vztahu (2) a vyjádříme hledaná v, e a s. v: pv pv v − + =2 2 n 4n v = 2n − pn +2p e: 2e 2e − e + =2 p n 2np e = 2n − pn +2p

11 s: ns ns − + s =2 p 2 4p s = 2n − pn +2p Protože v,e,s,p,n > 0, musí platit:

2n − pn +2p> 0

2n − pn +2p − 4 > −4 −2n + pn − 2p +4 < 4 (2 − p)(2 − n) < 4 Protože pro graf konvexního mnohostěnu platí, že p, n ≥ 3, odpovídá těmto podmínkám právě pět různých kombinací pro p a n a jsou uvedeny v následující tabulce.

Název p n v e s Obrázek čtyřstěn 3 3 4 6 4 1 šestistěn (krychle) 3 4 8 12 6 2 osmistěn 4 3 6 12 8 3 dvanáctistěn 3 5 20 30 12 4 dvacetistěn 5 3 12 30 20 5

Obrázek 1: Obrázek 2: Obrázek 3: Čtyřstěn Krychle Osmistěn

Obrázek 4: Obrázek 5: Dvanáctistěn Dvacetistěn

12 4 Speciální polopravidelné rovinné grafy

Deﬁnice 4.1. Polopravidelným rovinným grafem se stejnými vrcholy nazveme takový ro- vinný graf, jehož všechny vrcholy jsou stupně p a stěny jsou m-úhelníky nebo n-úhelníky. Polopravidelným rovinným grafem se stejnými stěnami nazveme takový rovinný graf, jehož stěny jsou tvořeny n-úhelníky a vrcholy jsou stupně p nebo q.

Literatura uvedená v minulé kapitole se nezmiňuje o polopravidelných rovinných grafech. Informace o jejich vlastnostech lze tedy čerpat velmi obtížné. Základní vlastnosti těchto grafů jsou dostupné pouze z internetového zdroje [17]. Vlastnosti konvexních mnohostěnů, jimž odpovídají polopravidelné grafy, lze čerpat z internetových zrojů [13], [18], [20], [19]. V této práci budeme studovat podrobně nejprve grafy prvního typu a grafy druhého typu odvodíme jako duální grafy grafů prvního typu. Významnými polopravidelnými grafy jsou grafy 10 Archimedovských těles, grafy nekonečných množin hranolů a antihranolů a grafy 9 Johnsonových těles.

4.1 Archimedovská tělesa, hranoly a antihranoly Archimedovská tělesem jsou taková tělesa, jež lze odvodit z Platonských těles pomocí několika metod, jimiž jsou odřezávání vrcholů typu A a B a osekávání hran.

• Odřezávání vrcholů typu A Každou hranu rozdělíme na třetiny a novými vrcholy vedeme roviny řezu podle následují- cího obrázku:

Jestliže původní těleso má vp vrcholů, e hran a sn stěn, pak nové těleso bude mít v3 =2e vrcholů, e = e + vp · p hran a sp = vp a s2n = sn stěn. Pomocí této metody vznikne pět Archimedovských těles: zkosený čtyřstěn, zkosená krychle, zkosený osmistěn, zkosený dvanáctistěn a zkosený dvacetistěn.

13 Příklad 4.1 Vytvoření zkoseného dvanáctistěnu.

• Odřezávání hran typu B Každou hranu rozdělíme na poloviny a novými vrcholy vedeme roviny řezu podle následu- jícího obrázku:

Jestliže původní těleso má vp vrcholů, e hran a sn stěn, pak nové těleso bude mít v4 = e vrcholů, e = v · p hran a sp = vp a sn = sn stěn. Pomocí této metody získáme ze čtyřstěnu osmistěn, z krychle a osmistěnu získáme stejné těleso - kubooktaedr, a z dvanáctistěnu a dvacetistěnu získáme opět stejné těleso - ikosadodekaedr.

14 Příklad 4.2 Vytvoření kubooktaedru z krychle.

Na nově vzniklá tělesa můžeme znovu aplikovat metodu typu A i B. Použitím metody typu A získáme zkosený kubooktaedr a zkosený ikosadodekaedr. Použitím metody typu B získáme rombokubooktaedr a rombododekaedr.

• Osekávání hran Stěny původního tělesa oddělíme od sebe, oddálíme a pootočíme tak, aby se prostor mezi nimi dal vyplnit rovnostrannými trojúhleníky, takto:

Jestliže původní těleso má vp vrcholů, e hran a sn stěn, pak nové těleso bude mít v5 = n·sn vrcholů, e =5e hran a s3 = s · sn + v a sn = sn stěn. Z čtyřstěnu tak získáme dvacetistěn, z krychle a osmistěnu získáme osekanou krychli (osekaný osmistěn) a z dvanáctistěnu a dvacetistěnu získáme osekaný dvanáctistěn (osekaný dvacetistěn). Popis jednotlivých kon- strukcí je znám z [13].

Grafy deseti Archimedovských těles společně s grafy hranolů a antihranolů splňují deﬁnici polopravidelných rovinných grafů se stejnými vrcholy. Navíc pro všechna Archimedovská tělesa, hranoly i antihranoly platí, že v každém vrcholu je stejná posloupnost stěn.

Tato tělesa můžeme také popsat pomocí pořadí jejich stěn ve vrcholu. Posloupnost (n1, n2, ..., np) pak označuje mnohostěn, který má vrcholy stupně p a v každém z nich se stýká n1-, n2- až np-úhelník. Například posloupnost (3, 3, 3, 3, 5) označuje polopravidelný mnohostěn, v

15 jehož každém vrcholu se stýkají čtyři trojúhelníky a jeden pětiúhelník.

Pro konvexnost mnohostěnu je nutné, aby součet vnitřních úhlů jednotlivých n-úhelníků stýkajících se ve společném vrcholu mnohostěnu byl menší než2π. Jelikož pro Archimedov- ská tělesa platí, že mají u vrcholu stejnou posloupnost stěn, snadno pro ně ukážeme níže uvedené podmínky. Uvažovat budeme pouze taková tělesa, jejichž grafy splňují podmínku pro polopravidelné rovinné grafy se stejnými vrcholy. Pomocí elementární geometrie odvo- n−2 díme, že vnitřní úhel při vrcholu pravidelného n-úhelníku je vždy n π. U vrcholu stupně p = 3 se mohou stýkat jedině dva n-úhelníky a jeden m-úhelník. Zřejmě pak musí platit

n − 2 m − 2 2 π + π < 2π. n m Pomocí jednoduchých úprav dostáváme, že

(n − 4)(m − 2) < 8. (3)

Odtud je zřejmé, že pro p = 3 možné posloupnosti ve vrcholu jsou (3, 3, m), (4, 4, m), (5, 5, 6), ..., (5, 5, 9), (3, 6, 6,), ..., (3, 11, 11), (4, 5, 5), (4, 6, 6), (4, 7, 7), (5, 6, 6,).

U vrcholu p = 4 se mohou stýkat tři n-úhelníky a jeden m-úhelník, nebo dva n-úhelníky a dva m-úhelníky. V prvním případě platí

n − 2 m − 2 3 π + π < 2π, n m

(n − 3)(m − 1) < 3, (4) což platí pro dvě posloupnosti u vrcholu (3, 3, 3, m) a (3, 4, 4, 4). Ve druhém případě analogicky dostáváme

n − 2 m − 2 2 π +2 π < 2π, n m

(n − 2)(m − 2) < 4, (5) což platí pouze pro (3, 3, 4, 4), (3, 3, 5, 5), (3, 4, 3, 4) a (3, 5, 3, 5).

U vrcholu stupně p = 5 se mohou stýkat čtyři n-úhelníky a jeden m-úhelník nebo tři n-úhelníky a dva m-úhelníky. Pro první případ dostáváme

n − 2 m − 2 4 π + π < 2π, n m

16 (3n − 8)(3m − 2) < 16, (6) což platí pro posloupnosti (3,3,3,3,4) a (3,3,3,3,5). Pro druhý případ analogicky vyjádříme

n − 2 m − 2 3 π +2 π < 2π, n m

(n − 2)(3m − 4) < 8. Tato nerovnice však nemá řešení v oboru přirozených čísel. Nyní využijeme získaných posloupností pro konstrukci grafů. Nechť G = (V, E) je polopravidelný rovinný graf se stejnými vrcholy. Označme |V (G)| = v, |E(G)| = e, s(G) = s = sm + sn, stupeň vrcholu p, počet hran stěn m a n. Zobecněním rovnosti (2) pro polopravidelné grafy se stejnými vrcholy získáme následující vztahy:

2e = msm + nsn, (7)

pvp = msm + nsn (8)

2e = pvp (9) přičemž m, n ≥ 3 a p ∈ {3, 4, 5}. Jelikož v každém vrcholu se stýká k m−úhelníků, a l n−úhelníků, musí platit kmsm = lnsn k + l = p (10) přičemž k, l =6 0.

Za pomoci Eulerovy věty a incidenčních podmínek (7) - (10) získáme následující soustavu rovnic

(2m − pm +2p)sm + (2n − pn +2p)sn =4p

kmsm − lnsn =0. (11)

Zvolíme-li parametry p, k a l tak, aby splňovaly p ∈{3, 4, 5} a k + l = p, získáme soustavu rovnic pro neznámé m, n, sm a sn. Tuto soustavu budeme postupně řešit pro přípustné hodnoty parametrů. V tabulce uvedeme, zda graf existuje či neexistuje.

• p =3,k =2, l =1

8m s = n 4m +2n − mn 4n s = m 4m +2n − mn

17 n m sn sm Graf 3 4 12 6 neexistuje graf 3 5 40 12 neexistuje graf 4 m m 2 hranol 5 6 12 5 neexistuje graf 5 8 32 10 neexistuje graf 5 9 72 20 neexistuje graf 6 3 4 4 zkosený čtyřstěn 6 4 8 6 zkosený osmistěn 6 5 20 12 zkosený dvacetistěn 7 4 16 14 neexistuje graf 8 3 6 8 zkosená krychle 9 3 8 12 neexistuje graf 10 3 12 20 zkosený dvanáctistěn 11 3 24 44 neexistuje graf Rovinné nakreslení neexistuje pro takové posloupnosti, kde se stýkají u vrcholu dva n- úhelníky pro n liché, jak je vidět na následujícím obrázku.

? 5

? 3 m m m 5

• p =4,k =3, l =1

6m s = n 3m + n − mn 2n s = m 3m + n − mn

n m sn sm Graf 3 m 2m 2 antihranol 4 3 18 8 rombokubooktaedr • p =4,k =2, l =2

4m s = n 2m +2n − mn 4n s = m 2m +2n − mn

18 n m sn sm Graf 3 4 8 6 kubooktaedr 3 5 20 12 ikosododekaedr

Pro posloupnosti (3, 3, 4, 4,) a (3, 5, 3, 5) neexistuje rovinné nakreslení, jak ukazuje obrá- zek níže.

4 4

? ?

• p =5,k =4, l =1

16m s = n 8m +2n − 3mn 4n s = m 8m +2n − 3mn

n m sn sm Graf 3 4 32 6 osekaná krychle 3 5 80 12 osekaný dvanáctistěn

Nyní sepíšeme přehledně tabulky Archimedovských těles, hranolů a antihranolů. Jejich přehled je dostupný na [18].

19 • Archimedovská tělesa splňující podmínku pro polopravidelné rovinné grafy se stej- nými vrcholy

Uspořádání Název ve vrcholu v e s Obrázek Zkosený čtyřstěn (3, 6, 6) 12 18 8 6 Zkosená krychle (3, 8, 8) 24 36 14 7 Zkosený dvanáctistěn (3, 10, 10) 60 90 32 8 Zkosený osmistěn (4, 6, 6) 24 36 14 9 Zkosený dvacetistěn (5, 6, 6) 60 90 32 10 Kubooktaedr (3, 4, 3, 4) 12 24 14 11 Rombokubooktaedr (3, 4, 4, 4) 24 48 26 12 Ikosododekaedr (3, 5, 3, 5) 30 60 32 13 Osekaná krychle (3, 3, 3, 3, 4) 24 60 38 14 Osekaný dvanáctistěn (3, 3, 3, 3, 5) 60 150 92 15

• Hranoly a antihranoly

Uspořádání Název ve vrcholu v e s Obrázek Hranol (4, 4, n) 2n n +2 3n 16 Antihranol (3, 3, 3, n) 2n 2n+2 4n 17

• Archimedovská tělesa tvořená třemi typy mnohoúhelníků

Uspořádání Název ve vrcholu v e s Obrázek Zkosený kubooktaedr (4, 6, 8) 48 72 26 18 Zkosený ikosododekaedr (4, 6, 10) 120 180 62 19 Romboikosododekaedr (3, 4, 5, 4) 60 120 62 20

Tělesa z poslední tabulky lze také odvodit rozšířením používaných vztahů pomocí jejich posloupnosti ve vrcholech. Nyní ilustrujeme všechny výše uvedené grafy.

Obrázek 6: Obrázek 7: Obrázek 8: Zkosený dvanácti- Zkosený čtyřstěn Zkosená krychle stěn

20 Obrázek 10: Obrázek 9: Obrázek 11: Zkosený dvacetis- Zkosený osmistěn Kubooktaedr těn

Obrázek 12: Obrázek 13: Obrázek 14: Rombokubooktaedr Ikosododekaedr Osekaná krychle

Obrázek 15: Obrázek 16: Obrázek 17: Osekaný dvanác- Hranol Antihranol tistěn

Obrázek 18: Obrázek 20: Obrázek 19: Zkosený Zkosený Romboikosododekaedr kubooktaedr ikosododekaedr

21 4.2 Johnsonova tělesa Deﬁnice 4.2. Johnsonovým tělesem je takové konvexní těleso, jehož všechny stěny jsou pravidelné mnohoúhelníky. Johnsonovými tělesy nejsou Platonská tělesa, Archimedovská tělesa, hranoly ani antihranoly.

Vrcholy Johnsonova tělesa tedy nejsou stejného stupně nebo vrcholům nenáleží stejná posloupnost vrcholů.

Johnsonova tělesa získala název po matematikovi Normanu W. Johnsonovi, který v roce 1966 publikoval seznam 92 těles, přiřadil jim jejich jména a čísla. V roce 1969 Victor Zal- galler dokázal, že nemohou existovat žádná další taková tělesa. Důkaz je uveden v [21]. Ukazuje se, že stěnami Johnsonových těles mohou být pouze pravidelné troj-, čtyř-, pěti-, šesti-, osmi- a desetiúhelníky. Jejich kompletní přehled je obsažen v příloze a je dostupný na [20]. Pouze 9 grafů Johnsonových těles patří mezi polopravidelné rovinné grafy se stej- nými vrcholy. Jejich přehled uvádí následující tabulka a za ní následují obrázky.

Číslo Název v4 v5 e s s3 s4 s5 Obrázek J15 Elongated square bipyramid 10 20 12 8 4 21 J27 Triangular orthobicupola 12 24 14 8 6 22 J28 Square orthobicupola 16 32 18 8 10 23 J29 Square gyrobicupola 16 32 18 8 10 24 J34 Pentagonal orthobirotunda 30 60 32 20 12 25 J35 Elongated triangular orthobicupola 18 36 20 8 12 26 J36 Elongated triangular gyrobicupola 18 36 20 8 12 27 J37 Elongated square gyrobicupola 24 48 26 8 18 28 J85 Snub square antiprism 16 40 26 24 2 29

Obrázek 21: Obrázek 22: Obrázek 23: Elongated square Triangular Square bipyramid orthobicupola orthobicupola

22 Obrázek 26: Obrázek 24: Obrázek 25: Elongated Square Pentagonal triangular gyrobicupola orthobirotunda orthobicupola

Obrázek 27: Obrázek 28: Obrázek 29: Elongated Elongated square Snub square triangular gyrobicupola antiprism gyrobicupola

Pět grafů Johnsonových těles je tvořeno vrcholy stupně p nebo q a jejich stěny jsou n- úhelníky. Pro všechna tato tělesa platí, že n = 3. Jejich grafy tedy patří do množiny polopravidelných rovinných grafů se stejnými stěnami. Tato tělesa se řadí mezi tzv. deltaedry, tedy ryze konvexní tělesa, jejichž stěny jsou tvořeny pouze pravidelnými trojúhelníky. Jejich duální tělesa pak jsou polopravidelnými tělesy se stejnými vrcholy. Mezi deltaedry patří tedy také pravidelný čtyřstěn, pravidelný osmistěn a pravidelný dvacetistěn. Nyní uvedeme přehled deltaedrů, které nepatří mezi Platonská tělesa, jejich duály a všechny ilustrace.

Číslo Název v v3 v4 v5 e s3 Obrázek Dual Obrázek J12 Triangular dipyramid 5 2 3 9 6 30 Hranol 35 J13 Pentagonal dipyramid 7 5 2 15 10 31 Hranol 36 J84 Snub Polopravidelný disphenoid 8 4 4 18 12 32 graf 37 J51 Triaugmented Polopravidelný triangular prism 9 3 6 21 14 33 graf 38 J17 Gyroelongated Zobecněný square bipyramid 10 2 8 24 16 34 hranol 39

23 Obrázek 30: Obrázek 31: Obrázek 32: Triangular dipyramid Pentagonal dipyramid Snub disphenoid

Obrázek 33: Obrázek 34: Triangular prism Square bipyramid

Obrázek 35: Obrázek 36: Obrázek 37: Hranol pro n=3 Hranol pro n=5 Polopravidelný graf

Obrázek 39: Obrázek 38: Zobecněný hranol Polopravidelný graf pro n = 4

24 4.3 Zobecněné hranoly a antihranoly Zobecněnými hranoly a antihranoly rozumíme nekonečné množiny takových těles, které se dají odvodit modiﬁkací hranolů a antihranolů. Uvedeme jejich přehled s několika příklady.

• zobecněný hranol: p =3, m =5, n libovolné

Obrázek 40: Obrázek 41: Obrázek 42: zobecněný hranol zobecněný hranol zobecněný hranol pro n=3 pro n=6 pro n=7

Pro n = 5 je graf zobecněného hranolu totožný s grafem dvanáctistěnu.

• zobecněný antihranol: p =5, m =3, n libovolné

Obrázek 43: Obrázek 44: Obrázek 45: zobecněný antihranol zobecněný antihranol zobecněný antihranol pro n=5 pro n=6 pro n=7

Pro n = 3 je graf zobecněného antihranolu izomorfní s grafem dvacetistěnu a pro n =4 je graf izomorfní s grafem Johnsonova tělesa snub square antiprism.

25 5 Polopravidelné rovinné grafy se stejnými vrcholy

Polopravidelné rovinné grafy splňují Eulerovu větu

|V (G)|−|E(G)| + s(G)=2, a incidenčí podmínky (7), (8) a (9):

2e = msm + nsn,

pvp = msm + nsn

2e = pvp. Z těchto odvodíme obecné rovnice pro hledání polopravidelných rovinných grafů. Jestliže polopravidelný rovinný graf se stejnými vrcholy přísluší konvexnímu mnohostěnu, pak stupeň jeho vrcholů p ∈{3, 4, 5}, jeho stěny jsou konvexní n-úhelníky a libovolné dvě jeho stěny mají společnou nejvýše jednu hranu. Eulerovu větu zapíšeme ve tvaru

vp − e + sm + sn =2. (12)

Vhodnou úpravou incidencí a Eulerovy věty dostáváme

(2m − pm +2p)sm + (2n − pn +2p)sn =4p. (13)

Při daných parametrech p, m a n tak získáme rovnici o dvou neznámých sm a sn. Pomocí ní hledáme polopravidelné rovinné grafy příslušné konvexním mnohostěnům.

Pro existenci polopravidelného rovinného grafu tvořeného m-úhelníky a n-úhelníky je nutnou podmínku, aby alespoň jeden z koeﬁcientů rovnice (13) byl kladný: 2m − pm +2p> 0. (14)

Vhodnou úpravou pak dostáváme, že pro p = 3 musí existovat m< 6 (tedy musí existovat alespoň jedna trojúhelníková, čtyřúhelníková nebo pětiúhelníková stěna) pro p = 4 musí existovat m < 4 ( musí existovat alespoň jedna trojúhelníková stěna) a pro p = 5 musí 10 existovat m< 3 , (tedy také musí existovat alespoň jedna trojúhelníková stěna).

26 Možná řešení s příslušnými parametry popíšeme případ od případu a u každého uvedeme příslušnou rovnici a tabulku hodnot.

• p=3, m=3, n=4

3s3 +2s4 = 12

s3 s4 v e Graf Obrázek 4 0 4 6 čtyřstěn (P) 1 2 3 6 9 hranol (H) 35 0 6 8 12 krychle (P) 2

• p=3, m=3, n=5

3s3 + s5 = 12

s3 s5 v e Graf Obrázek 4 0 4 6 čtyřstěn (P) 1 3 3 8 12 neexistuje - Lemma 5.2 2 6 12 18 zobecněný hranol (H) 40 1 9 16 21 neexistuje - Lemma 5.3 0 12 20 24 dvanáctistěn (P) 4

Lemma 5.1. Jestliže pro polopravidelný rovinný graf platí, že p = 3, n = 3, m =6 n pak žádné dvě trojúhelníkové stěny nejsou sousední.

Důkaz. (sporem) Nechť existuje takový polopravidelný rovinný graf, pro který platí p = 3, n =3, m =6 n a dvě jeho trojúhelníkové stěny jsou sousední. Pak ovšem je buď další sousední stěnou trojúhelník a těleso se tak uzavře na čtyřstěn, nebo dva sousední m-úhelníky mají společné dvě hrany, což je spor s Lemmatem 1.5.

Lemma 5.2. Neexistuje polopravidelný rovinný graf se stejnými vrcholy, který je tvořen třemi trojúhelníky, třemi pětiúhelníky, osmi vrcholy stupně 3 a dvanácti hranami.

Důkaz. Zvolme libovolný z pětiúhelníků tvořících stěny daného grafu. Vzhledem k počtu stěn daného grafu je jisté, že všechny ostatní stěny musí být se zvoleným pětiúhelníkem sousední.

27 3 3 3 3

5 3 5 5

5 3

Pak neexistuje uspořádání sousedních stěn takové, aby žádné dva trojúhelníky nebyly sou- sedními stěnami, což dle Lemmatu 5.1 je nutnou podmínkou.

Lemma 5.3. Neexistuje polopravidelný rovinný graf se stejnými vrcholy stupně 3, který je tvořen jedním trojúhelníkem a devíti pětiúhelníky.

Důkaz. Pětiúhelník, který sousedí s trojúhelníkem označíme jako pětiúhelník typu (1,4). Pětiúhelník, který sousedí s dalšími pětiúhelníky a ty sousedí opět pouze s pětiúhelníky označíme jako pětiúhelník typu (0,5)-(0,5). Takový pětiúhelník, který sousedí s pěti pětiú- helníky, kde dva z nich sousedí s trojúhelníkem a tři pouze s pětiúhelníky označíme jako typ (0,5)-(1,4). Jelikož v daném grafu má být pouze jeden trojúhelník, musí v něm být pouze tři pětiúhelníky typu (1,4) a tři typu (0,5)-(1,4). Ostatní musí být typu (0,5)-(0,5). Kdyby ale v grafu byl takový pětiúhelník, musel by tento graf mít alespoň 11 pětiúhelníků.

5 3

5 5 5 5 (0,5)-(0,5) (0,5)-(1,4)

5 5 5 5

28 • p=3, m=3, n=6

3s3 =4

s3 s6 v e Graf Obrázek 4 0 4 6 čtyřstěn (P) 1 4 1 6 9 neexistuje - Lemma 5.4 4 2 8 12 neexistuje - Lemma 5.4 4 3 10 15 neexistuje - Lemma 5.4 4 4 12 18 zkosený čtyřstěn (A) 6 4 6 16 24 polopravidelný graf 46 4 8 20 30 polopravidelný graf 47 4 10 24 36 polopravidelný graf (46) 4 12 28 42 polopravidelný graf 47 . . 4 22 48 72 polopravidelný graf 48, (46) . . Lemma 5.4. Neexistuje polopravidelný rovinný graf se stejnými vrcholy stupně 3, jehož stěny jsou tvořeny čtyřmi trojúhelníky a nejvýše třemi šestiúhelníky. Důkaz. Zvolme libovolný z šestiúhelníků tvořících stěny daného grafu. Pak tento šestiú- helník podle Lemmatu 5.1 může sousedit nejvýše se třemi trojúhelníky a tedy nejméně se třemi šestiúhelníky. Daný graf musí tedy mít minimálně čtyři šestiúhelníkové stěny.

Obrázek 46: Obrázek 47: Obrázek 48:

• p=3, m=3, n=7

3s3 − s7 = 12

s3 s7 v e Graf Obrázek 4 0 4 6 čtyřstěn (P) 1 5 3 12 18 neexistuje - Lemma 5.5 6 6 20 30 polopravidelný graf 49 8 12 36 54 polopravidelný graf 50 . .

29 Lemma 5.5. Neexistuje polopravidelný rovinný graf se stejnými vrcholy stupně 3, jehož stěny jsou tvořeny pěti trojúhelníky a třemi sedmiúhelníky.

Důkaz. Zvolme libovolný ze sedmiúhelníků tvořících stěny grafu. Pak podle Lemmatu 5.1 tento sedmiúhelník může sousedit nejvýše se třemi trojúhelníky a tedy nejméně se čtyřmi sedmiúhelníky. Daný graf musí tedy mít minimálně pět sedmiúhelníkových stěn.

Obrázek 49: Obrázek 50:

• p=3, m=3, n=8

3s3 − 2s8 = 12

s3 s8 v e Graf Obrázek 4 0 4 6 čtyřstěn (P) 1 6 3 14 21 neexistuje - Lemma 5.6 8 6 24 36 zkosená krychle (A) 7 12 12 44 66 polopravidelný graf 51 . . Lemma 5.6. Neexistuje polopravidelný rovinný graf se stejnými vrcholy stupně 3, jehož stěny jsou tvořeny šesti trojúhelníky a třemi osmiúhelníky.

Důkaz. Zvolme libovolný z osmiúhelníků tvořících stěny grafu. Pak podle Lemmatu 5.1 tento osmiúhelník může sousedit nejvýše se čtyřmi trojúhelníky a tedy nejméně se čtyřmi osmiúhelníky. Daný graf musí tedy mít minimálně pět osmiúhelníkových stěn.

30 Obrázek 51:

• p=3, m=3, n=9

3s3 − 3s9 = 12

s3 s9 v e Graf Obrázek 4 0 4 6 čtyřstěn (P) 1 5 1 8 12 neexistuje - Lemma 5.7 6 2 12 18 neexistuje - Lemma 5.7 7 3 16 24 neexistuje - Lemma 5.7 8 4 20 30 neexistuje - Lemma 5.7 9 5 24 36 neexistuje - Lemma 5.7 . . 16 12 52 78 polopravidelný graf 52 Lemma 5.7. Neexistuje polopravidelný rovinný graf se stejnými vrcholy stupně 3, jehož stěny jsou tvořeny trojúhelníky a nejvýše pěti devítiúhelníky. Důkaz. Zvolme libovolný z devítiúhelníků tvořících stěny grafu. Pak podle Lemmatu 5.1 tento devítiúhelník může sousedit nejvýše se čtyřmi trojúhelníky a tedy nejméně s pěti devítiúhelníky. Daný graf musí tedy mít minimálně šest devítiúhelníkových stěn.

• p=3, m=4, n=5

2s4 + s5 = 12

s4 s5 v e Graf Obrázek 6 0 8 12 krychle (P) 2 5 2 10 15 hranol (H) 35 4 4 12 18 polopravidelný graf 37 3 6 14 21 polopravidelný graf 38 2 8 16 24 polopravidelný graf 39 1 10 18 27 neexistuje - Lemma 5.8 0 12 20 30 dvanáctistěn (P) 4

31 Obrázek 52:

Lemma 5.8. Neexistuje polopravidelný rovinný graf se stejnými vrcholy stupně 3, jehož stěny jsou tvořeny jedním čtyřúhelníkem a deseti pětiúhelníky.

Důkaz. (Analogicky jako pro p =3, m =3, n = 5.) Pětiúhelník, který sousedí se čtyřúhelní- kem, označíme jako pětiúhelník typu (1,4). Pětiúhelník, který sousedí s dalšími pětiúhelníky a ty sousedí opět pouze s pětiúhelníky označíme jako pětiúhelník typu (0,5)-(0,5). Takový pětiúhelník, který sousedí s pěti pětiúhelníky, kde dva z nich sousedí se čtyřúhelníkem a tři pouze s pětiúhelníky označíme jako typ (0,5)-(1,4). Jelikož v daném grafu má být pouze jeden čtyřúhelník, musí v něm být pouze čtyři pětiúhelníky typu (1,4) a čtyři typu (0,5)- (1,4). Ostatní musí být typu (0,5)-(0,5). Kdyby ale v grafu byl takový pětiúhelník, musel by tento graf mít alespoň 11 pětiúhelníků. Pro další hodnoty parametrů uvádíme pouze stručný výčet polopravidelných grafů s ne- kompletními tabulkami. Pro neuvedné části tabulky není dokázano, zda s těmito hodnotami polopravidelný graf existuje či ne.

• p=3, m=4, n=6

2s4 = 12

s4 s6 v e Graf Obrázek 6 0 8 12 krychle (P) 2 6 2 12 18 hranol (H) 16 6 4 16 24 polopravidelný graf 53 6 6 20 30 polopravidelný graf 54 6 8 24 36 zkosený osmistěn (A) 9 6 10 28 42 polopravidelný graf 6 12 32 48 polopravidelný graf . .

32 Obrázek 53: Obrázek 54:

• p=3, m=4, n=7

2s4 − s6 = 12

s4 s7 v e Graf Obrázek 6 0 8 12 krychle (P) 2 7 2 14 21 hranol (H) (16) . .

• p=3, m=4, n=8

2s4 − 2s8 = 12

s4 s8 v e Graf Obrázek 6 0 8 12 krychle (P) 2 8 2 16 24 hranol (H) (16) . .

• p=3, m=4, n=9

2s4 − 3s9 = 12

s4 s9 v e Graf Obrázek 6 0 8 12 krychle (P) 2 9 2 18 27 hranol (H) (16) . .

33 • p=3, m=5, n=6

s5 = 12

s5 s6 v e Těleso Obrázek 12 0 20 30 dvanáctistěn (P) 4 12 2 24 36 zobecněný hranol (H) 41 12 6 32 48 polopravidelný graf 55 12 10 40 60 polopravidelný graf 56 12 14 40 60 polopravidelný graf 57 12 20 60 90 zkosený dvacetistěn (A) 10 12 26 72 108 polopravidelný graf 58 . .

Obrázek 55: Obrázek 56:

Obrázek 57: Obrázek 58:

34 • p=3, m=5, n=7

s5 − s7 = 12

s5 s7 v e Graf Obrázek 12 0 20 30 dvanáctistěn (P) 4 14 2 28 42 zobecněný hranol (H) 42 . .

• p=3, m=5, n=8

s5 − 2s8 = 12

s5 s8 v e Graf Obrázek 12 0 20 30 dvanáctistěn (P) 4 16 2 32 48 zobecněný hranol (H) (41) . .

• p=3, m=5, n=9

s5 − 3s9 = 12

s5 s9 v e Graf Obrázek 12 0 20 30 dvanáctistěn (P) 4 18 2 36 54 zobecněný hranol (H) (41) . .

35 • p=4, m=3, n=4

s3 =8

s3 s4 v e Graf Obrázek 8 0 6 12 osmistěn (P) 3 8 2 8 16 antihranol (H) (17) 8 3 9 18 polopravidelný graf 59 8 4 10 20 elongated square bipyramid (J) 21 8 6 12 24 kubooktaedr (A) 11 8 6 12 24 triangular orthobicupola (J) 22 8 8 14 28 polopravidelný graf 60 8 9 15 30 polopravidelný graf 61 8 10 16 32 square orthobicupola (J) 23 8 10 16 32 square gyrobicupola (J) 24 8 12 18 36 elongated triangular orthobicupola (J) 26 8 12 18 36 elongated triangular gyrobicupola (J) 27 8 15 21 42 polopravidelný graf (59) 8 16 22 44 polopravidelný graf (60) 8 18 24 48 rombokubooktaedr (A) 12 8 18 24 48 elongated square gyrobicupola (J) 28 8 20 26 52 polopravidelný graf (59) 8 21 27 54 polopravidelný graf (60) 8 24 30 60 polopravidelný graf 62 8 26 32 64 polopravidelný graf 63 . .

36 Obrázek 59: Obrázek 60: Obrázek 61:

Obrázek 62: Obrázek 63:

• p=4, m=3, n=5

s3 − s5 =8

s3 s5 v e Graf Obrázek 8 0 6 12 osmistěn (P) 3 10 2 10 20 antihranol (H) (17) 20 12 30 60 ikosododekaedr (A) 13 20 12 30 60 pentagonal orthobirotunda (J) 25 . .

• p=4, m=3, n=6

s3 − 2s6 =8

s3 s6 v e Graf Obrázek 8 0 6 12 osmistěn (P) 3 12 2 12 24 antihranol (H) (17) . .

37 • p=4, m=3, n=7

s3 − 3s7 =8

s3 s7 v e Graf Obrázek 8 0 6 12 osmistěn (P) 3 14 2 14 28 antihranol (H) (17) . .

• p=4, m=3, n=8

s3 − 4s8 =8

s3 s8 v e Graf Obrázek 8 0 6 12 osmistěn (P) 3 16 2 16 32 antihranol (H) (17) . .

• p=4, m=3, n=9

s3 − 5s9 =8

s3 s9 v e Graf Obrázek 8 0 6 12 osmistěn (P) 3 18 2 18 36 antihranol (H) (17) . .

• p=5, m=3, n=4

s3 − 2s4 = 20

s3 s4 v e Graf Obrázek 20 0 12 30 dvacetistěn (P) 5 24 2 16 40 snub square antiprism (J) 29 32 6 21 60 osekaná krychle (A) 14 . .

38 • p=5, m=3, n=5

s3 − 8s6 = 20

s3 s6 v e Graf Obrázek 20 0 12 30 dvacetistěn (P) 5 36 2 24 60 zobecněný antihranol (H) 43 80 12 60 150 osekaný dvanáctistěn (A) 15 . .

• p=5, m=3, n=6

s3 − 8s6 = 20

s3 s6 v e Graf Obrázek 20 0 12 30 dvacetistěn (P) 5 36 2 24 60 zobecněný antihranol (H) 44 . .

• p=5, m=3, n=7

s3 − 11s7 = 20

s3 s7 v e Graf Obrázek 20 0 12 30 dvacetistěn (P) 5 42 2 28 70 zobecněný antihranol (H) 45 . .

• p=5, m=3, n=8

s3 − 14s8 = 20

s3 s8 v e Graf Obrázek 20 0 12 30 dvacetistěn (P) 5 48 2 32 80 zobecněný antihranol (H) (43) . .

39 • p=5, m=3, n=9

s3 − 17s9 = 20

s3 s9 v e Graf Obrázek 20 0 12 30 dvacetistěn (P) 5 54 2 36 90 zobecněný antihranol (H) (43) . .

40 6 Polopravidelné rovinné grafy se stejnými stěnami

Polopravidelné rovinné grafy se stejnými stěnami jsou takové grafy, které jsou tvořeny jedním typem stěn a dvěma typy vrcholů. Jednou z možností, jak konstruovat takové grafy, je vytváření duálních grafů k polopravidelným grafům se stejnými vrcholy. Významnými grafy se stejnými stěnami jsou pouze grafy Katalánských těles, které jsou duální ke grafům Archimedovských těles. Údaje o těchto tělesech čerpáme zejména ze zdroje [19]. Další práce [13], [18], [20] se jimi zabývají pouze jako duály k Archimedovským a Johnsonovým tělesům.

6.1 Katalánská tělesa Katalánská tělesa tvoří duální tělesa k Archimedovským tělesům. Své jméno získala po Belgickém matematikovi Eugenovi Catalanovi, který je popsal jako první a to v roce 1865. Katalánská tělesa jsou všechna konvexní, jejich stěny však nejsou tvořeny pravidelnými mnohoúhelníky. Dále uvádíme tři tabulky Katalánských těles, duálních hranolů a duál- ních antihranolů a jejich ilustrací. Vlastnosti Katalánských těles uvedené v tabulkách jsou známy z [19].

• Katalánská tělesa, která jsou tvořena dvěma typy vrcholů

Název v e s Typ stěny Obrázek Dual Triakis rovnoramenný Zkosený tetrahedron 8 18 12 trojúhelník 64 čtyřstěn Triakis rovnoramenný Zkosená octahedron 14 36 24 trojúhelník 65 krychle Triakis rovnoramenný Zkosený icosahedron 32 90 60 trojúhelník 66 dvanáctistěn Tetrakis rovnoramenný Zkosený hexahedron 14 36 24 trojúhelník 67 osmistěn Pentakis rovnoramenný Zkosený dodecahedron 32 90 60 trojúhelník 68 dvacetistěn Rhombic dodecahedron 14 24 12 kosočtverec 69 Kubooktadedr Deltoidal icositetrahedron 26 48 24 deltoid 70 Rombokubooktaedr Rhombic triacontahedron 32 60 30 kosočtverec 71 Ikosododekaedr Pentagonal nepravidelný Osekaná icositetrahedron 38 60 24 pětiúhelník 72 krychle Pentagonal nepravidelný Osekaný hexecontahedron 92 150 60 pětiúhelník 73 dvanáctistěn

41 • Duální hranoly a antihranoly

Název v e s Typ stěny Obrázek Dual Dual hranol rovnoramenný 3n n +2 2n trojúhelník 74 hranol Dual antihranol 4n n +2 2n deltoid 75 antihranol

• Katalánská tělesa, která jsou tvořena třemi typy vrcholů

Název v e s Typ stěny Obrázek Dual Disdyakis obecný Zkosený dodecahedron 26 72 48 trojúhelník 76 kubooktaedr Disdyakis obecný Zkosený triacontahedron 62 180 120 trojúhelník 77 ikosidodekaedr Deltoidal hexecontahedron 62 120 60 deltoid 78 Romboikosododekaedr

Obrázek 64: Obrázek 65: Obrázek 66: Triakis tetrahedron Triakis octahedron Triakis icosahedron

Obrázek 68: Obrázek 69: Obrázek 67: Pentakis Rhombic Triakis hexahedron dodecahedron dodecahedron

42 Obrázek 70: Obrázek 71: Obrázek 72: Deltoidal Rhombic Pentagonal icositetrahedron triacontahedron icositetrahedron

Obrázek 73: Obrázek 74: Obrázek 75: Pentagonal Dual hranol Dual antihranol hexacontahedron

Obrázek 76: Obrázek 77: Obrázek 78: Disdyakis Disdyakis Deltoidal dodecahedron triacontahedron hexecontahedron

43 6.2 Duální grafy ke grafům Johnsonových těles Johnsonova tělesa jsou všechna tvořena pravidelnými n-úhelníky. Tělesa, která jsou k nim duální již tuto vlastnosti mít nemusí. Uvedeme zde tabulku duálních těles k Johnsonovým tělesům, která jsou tvořena dvěma typy stěn. Jejich duály pak mají dva typy vrcholů.

Název v e s Typ stěny Obrázek Dual čtverec (2), Square bifrustum 12 20 10 lichoběžník (8) 79 square bipyramid (J15) Trapezo-rhombic kosočtverec (6), Triangular dodecahedron 14 24 12 lichoběžník (6) 80 orthobicupola (J27) Dual of Square Square orthobicupola 18 32 16 81 orthobicupola (J28) Dual of Square Square gyrobicupola 18 32 16 82 gyrobicupola (J29) Dual of Pentagonal Pentagonal orthobirotunda 32 60 30 83 orthobirotunda (J34) Dual of Elongated Elongated triangular triangular orthobicupola 20 36 18 84 orthobicupola (J35) Dual of Elongated Elongated triangular triangular gyroobicupola 20 36 18 85 gyrobicupola (J36) Pseudo-deltoidal Elongated square icositetrahedron 26 48 24 86 gyrobicupola (J37) Dual of Snub Snub square antiprism 26 40 16 87 square antiprism (J85)

Obrázek 79: Obrázek 80: Obrázek 81: Dual J15 Dual J27 Dual J28

44 Obrázek 82: Obrázek 83: Obrázek 84: Dual J29 Dual J34 Dual J35

Obrázek 85: Obrázek 86: Obrázek 87: Dual J36 Dual J37 Dual J85

6.3 Duální grafy ke grafům zobecněných hranolů a antihranolů Duální grafy ke grafům zobecněných hranolů a antihranolů tvoří nekonečné množiny a vzniknou modiﬁkací duálních grafů hranolů a antihranolů. Oba typy ilustrujeme na příkla- dech.

• Duální grafy ke grafům zobecněných hranolů

Obrázek 88: Obrázek 89: Duál k zobecněnému Duál k zobecněnému hranolu hranolu pro n = 3 pro n = 4

Speciálně pro n = 5 je graf duálu zobecněného hranolu izomorfní s grafem dvacetistěnu.

45 • Duální grafy ke grafům zobecněných antihranolů

Obrázek 90: Obrázek 91: Duál k zobecněnému Duál k zobecnému antihranolu antihranolu pro n = 4 pro n = 5

Speciálně pro n = 3 je graf duálu zobecněného antihranolu izomorfní s grafem dvanácti- stěnu.

6.4 Duální grafy k obecným polopravidelným grafům Nyní uvedeme případ od případu všechny duální grafy ke grafům uvedeným v 5. kapitole. Pro grafy odpovídající již výše zmiňovaným tělesům odkazujeme na jejich ilustraci uvedenou výše.

• n=3, p=3, q=4

v3 v4 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 4 0 4 6 čtyřstěn (P) 1 čtyřstěn (P) 1 2 3 6 9 triangular dipyramid (D) 30 hranol (H) 35 0 6 8 12 osmistěn (P) 3 krychle (P) 2

• n=3, p=3, q=5

v3 v5 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 4 0 4 6 čtyřstěn (P) 1 čtyřstěn (P) 1 2 6 12 18 duální zobecněný hranol (DH) (88) zobecněný hranol (H) (40) 0 12 20 24 dvacetistěn (P) 4 dvanáctistěn (P) 4

46 • n=3, p=3, q=6 v3 v6 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 4 0 4 6 čtyřstěn (P) 1 čtyřstěn (P) 1 4 4 12 18 triakis tetrahedron (K) 64 zkosený čtyřstěn (A) 6 4 6 16 24 polopravidelný graf 92 polopravidelný graf 46 4 8 20 30 polopravidelný graf 93 polopravidelný graf 47 4 10 24 36 polopravidelný graf (92) polopravidelný graf (46) 4 12 28 42 polopravidelný graf (93) polopravidelný graf (47) . . 4 22 48 72 polopravidelný graf 94 polopravidelný graf 48 . .

Obrázek 92: Obrázek 93: Obrázek 94:

• n=3, p=3, q=7

v3 v7 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 4 0 4 6 čtyřstěn (P) 1 čtyřstěn (P) 1 6 6 20 30 polopravidelný graf 95 polopravidelný graf 49 8 12 36 54 polopravidelný graf 96 polopravidelný graf 50 . .

Obrázek 95: Obrázek 96:

47 • n=3, p=3, q=8 v3 v8 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 4 0 4 6 čtyřstěn (P) 1 čtyřstěn (P) 1 8 6 24 36 triakis octahedron (K) 65 zkosená krychle (A) 7 12 12 44 66 polopravidelný graf 97 polopravidelný graf 51 . .

Obrázek 97: Obrázek 98:

• n=3, p=3, q=9

v3 v9 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 4 0 4 6 čtyřstěn (P) 1 čtyřstěn (P) 1 16 12 52 78 polopravidelný graf 98 polopravidelný graf 52 . .

• n=3, p=4, q=5 v4 v5 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 6 0 8 12 osmistěn (P) 3 krychle (P) 2 5 2 10 15 pentagonal dipyramid (D) 31 hranol (H) 36 4 4 12 18 snub disphenoid (D) 32 polopravidelný graf 37 3 6 14 21 triaugmented triangular prism (D) 33 polopravidelný graf 38 2 8 16 24 gyroelongated square bipyramid (D) 34 polopravidelný graf 39 0 12 20 30 dvacetistěn (P) 5 dvanáctistěn (P) 4

48 • n=3, p=4, q=6

v4 v6 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 6 0 8 12 osmistěn (P) 3 krychle (P) 2 6 2 12 18 duální hranol (DH) 74 hranol (H) 16 6 4 16 24 polopravidelný graf 99 polopravidelný graf 53 6 6 20 30 polopravidelný graf 100 polopravidelný graf 54 6 8 24 36 tetrakis hexahedron (K) 67 zkosený osmistěn (A) 9 6 10 28 42 polopravidelný graf (99) polopravidelný graf (53) 6 12 32 48 polopravidelný graf (100) polopravidelný graf (53) . .

Obrázek 99: Obrázek 100:

• n=3, p=4, q=7

v4 v7 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 6 0 8 12 osmistěn (P) 3 krychle (P) 2 7 2 14 21 duální hranol (DH) (74) hranol (H) (16) . .

• n=3, p=4, q=8

v4 v8 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 6 0 8 12 osmistěn (P) 3 krychle (P) 2 8 2 16 24 duální hranol (DH) (74) hranol (16) . .

49 • n=3, p=4, q=9

v4 v9 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 6 0 8 12 osmistěn (P) 3 krychle (P) 2 9 2 18 27 duální hranol (DH) (74) hranol (H) (16) . .

• n=3, p=5, q=6 v5 v6 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 12 0 20 30 dvacetistěn (P) 5 dvanáctistěn (P) 4 duální zobecněný 12 2 24 36 hranol (DH) 88 zobecněný hranol (H) 41 12 6 32 48 polopravidelný graf 101 polopravidelný graf 55 12 10 40 60 polopravidelný graf 102 polopravidelný graf 56 12 14 48 72 polopravidelný graf 103 polopravidelný graf 57 12 20 60 90 pentakis zkosený dodecahedron (K) 68 dvacetistěn (A) 10 12 26 72 108 polopravidelný graf 104 polopravidelný graf 58 . .

Obrázek101: Obrázek102:

Obrázek103: Obrázek104:

50 • n=3, p=5, q=7

v5 v7 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 12 0 20 30 dvacetistěn (P) 5 dvanáctistěn (P) 4 12 2 24 36 duální zobecněný hranol (DH) (88) zobecněný hranol (H) 42 . .

• n=3, p=5, q=8

v5 v8 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 12 0 20 30 dvacetistěn (P) 5 dvanáctistěn (P) 4 16 2 32 48 duální zobecněný hranol (DH) (88) zobecněný hranol (H) (40) . .

• n=3, p=5, q=9

v5 v9 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 12 0 20 30 dvacetistěn (P) 5 dvanáctistěn (P) 4 18 2 36 54 duální zobecněný hranol (DH) (88) zobecněný hranol (H) (40) . .

51 • n=4, p=3, q=4

v3 v4 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 8 0 6 12 krychle (P) 2 osmistěn (P) 3 8 2 8 16 duální antihranol (DH) (90) antihranol (17) 8 3 9 18 polopravidelný graf 105 polopravidelný graf 59 8 4 10 20 square elongated bifrustum (DJ) 79 square bipyramid (J) 21 8 6 12 24 rhombic dodecahedron (K) 11 kubooktaedr (A) 64 8 6 12 24 trapezo-rhombic triangular dodecahedron (DJ) 80 orthobicupola (J) 22 8 8 14 28 polopravidelný graf 106 polopravidelný graf 60 8 9 15 30 polopravidelný graf 107 polopravidelný graf 61 8 10 16 32 dual of square square orthobicupola (DJ) 81 orthobicupola (J) 23 8 10 16 32 dual of square square gyrobicupola (DJ) 82 gyrobicupola (J) 24 8 12 18 36 dual of elongated elongated triangular triangular orthobicupola (DJ) 84 orthobicupola (J) 26 8 12 18 36 dual of elongated elongated triangular triangular gyrobicupola (DJ) 85 gyrobicupola (J) 27 8 15 21 42 polopravidelný graf (105) polopravidelný graf (59) 8 16 22 44 polopravidelný graf (106) polopravidelný graf (60) 8 18 24 48 deltoidal icositetrahedron (K) 70 rombokubooktaedr (A) 12 pseudo-deltoidal elongated 8 18 24 48 icositetrahedron (DJ) 86 square gyrobicupola (J) 28 8 20 26 52 polopravidelný graf (106) polopravidelný graf (59) 8 21 27 54 polopravidelný graf (107) polopravidelný graf (60) 8 24 30 60 polopravidelný graf 108 polopravidelný graf 62 8 26 32 64 polopravidelný graf 109 polopravidelný graf 63 . .

52 Obrázek 105: Obrázek 106: Obrázek 107:

Obrázek 108: Obrázek 109:

• n=4, p=3, q=5 v3 v5 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 8 0 6 12 krychle (P) 2 osmistěn (P) 3 10 2 10 20 dualní antihranol (DH) (90) antihranol (H) (17) 20 12 30 60 rhombic triacontahedron (K) 71 ikosododekaedr (A) 13 20 12 30 60 dual pentagonal (DJ) pentagonal orthobirotunda (DJ) 83 orthobirotunda (J) 25 . .

• n=4, p=3, q=6

v3 v6 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 8 0 6 12 krychle (P) 2 osmistěn (P) 3 12 2 12 24 dualní antihranol (DH) (90) antihranol (H) (17) . .

• n=4, p=3, q=7

v3 v7 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 8 0 6 12 krychle (P) 2 osmistěn (P) 3 14 2 14 28 dualní antihranol (DH) (90) antihranol (H) (17) . .

53 • n=4, p=3, q=8

v3 v8 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 8 0 6 12 krychle (P) 2 osmistěn (P) 3 16 2 16 32 dualní antihranol (DH) (90) antihranol (H) (17) . .

• n=4, p=3, q=9

v3 v9 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 8 0 6 12 krychle (P) 2 osmistěn (P) 3 18 2 18 36 dualní antihranol (DH) (90) antihranol (H) (17) . .

• n=5, p=3, q=4

v3 v4 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 20 0 12 30 dvanáctistěn (P) 4 dvacetistěn (P) 5 24 2 16 40 dual of snub snub square square antiprism (DJ) 87 antiprism (J) 29 . .

• n=5, p=3, q=5

v3 v5 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 20 0 12 30 dvanáctistěn (P) 4 dvacetistěn (P) 5 30 2 20 50 duální zobecněný zobecněný antihranol (DH) 90 antihranol (H) (44) . .

• n=5, p=3, q=6

v3 v6 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 20 0 12 30 dvanáctistěn (P) 4 dvacetistěn (P) 5 36 2 24 60 duální zobecněný zobecněný antihranol (DH) (90) antihranol (H) 44 . .

54 • n=5, p=3, q=7

v3 v7 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 20 0 12 30 dvanáctistěn (P) 4 dvacetistěn (P) 5 42 2 28 70 duální zobecněný zobecněný antihranol (DH) (90) antihranol (H) 45 . .

• n=5, p=3, q=8

v3 v8 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 20 0 12 30 dvanáctistěn (P) 4 dvacetistěn (P) 5 48 2 32 80 duální zobecněný zobecněný antihranol (DH) (90) antihranol (H) (44) . .

• n=5, p=3, q=9

v3 v9 s e Graf Obrázek Dual Obrázek 20 0 12 30 dvanáctistěn (P) 4 dvacetistěn (P) 5 54 2 36 90 duální zobecněný zobecněný antihranol (DH) (90) antihranol (H) (44) . .

55 Literatura

[1] Bělov V. V., Vorobjev E. M., Šatalov V. E., Těorija grafov. Vysšaja škola, Moskva 1962

[2] Berge C., Těorija grafov i jeje primenenija. Moskva 1962

[3] Cvetkovič, Dragoš M., Spectra of graphs - theory and application. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1980

[4] Demel J., Grafy a jejich aplikace. Academia, Praha 2002

[5] Goodaire E., Parmenter M., Discrete Mathematics with Graph Theory. Prentice Hall, New Yersey 2002

[6] Gross, Jonathan L., Yellen J., Handbook of graph theory. CRC Press, New York 2004

[7] Harray F., Graph Theory. Addison Wesley, London 1969

[8] Mareš M., Příběhy matematiky. Pistorius & Olšanská, Příbram 2006

[9] Matoušek J., Nešetřil J., Kapitoly z diskrétní matematiky. Karolinum, Praha 2000

[10] Nečas J., Grafy a jejich použití. SNTL, Praha 1978

[11] Nešetřil J., Teorie grafů. SNTL, Praha 1980

[12] Sachs H., Einfu¨hrung in die Theorie der endlichen Graphen. Mathematisch- Naturwissenschaftliche Bibliothek, Leipzig 1972

[13] Scott, Paul. Archimedean polyhedra [online] http://web.me.com/paulscott.info/polyhedra/semiregular/semiregularpolyh.html

[14] Sedláček J., Kombinatorika v teorii a praxi. ČSAV, Praha 1964

[15] Sedláček J., Úvod do teorie grafů. Academia, Praha 1977

[16] Šišma P., Teorie grafů. Prometheus, Brno 1997

[17] Weisstein, Eric W. Archimedean Graph. [online] From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ArchimedeanGraph.html

[18] Weisstein, Eric W. Archimedean Solid. [online] From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ArchimedeanSolid.html

[19] Weisstein, Eric W. Catalan Solid. [online] From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CatalanSolid.html

56 [20] Weisstein, Eric W. Johnson Solid. [online] From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/JohnsonSolid.html

[21] Zalgaller, Viktor A. Convex polyhedra with regular faces. Consultants Bureau, New York 1969

[22] Zykov, Aleksandr A. Teorija konečnych grafov. Izdatel’stvo Nauka. Sibirskoje otde- lenije, Novosibirsk 1969

57 Příloha - přehled Johnsonových těles

Číslo Název v v3 v4 v5 e s s3 s4 s5 s6 s8 s10 J1 Square pyramid 5 4 1 8 5 4 1 J2 Pentagonal pyramid 6 5 1 10 6 5 1 J3 Triangular cupola 9 6 3 15 8 4 3 1 J4 Square cupola 12 8 4 20 10 4 5 1 J5 Pentagonal cupola 15 10 4 25 12 5 5 1 1 J6 Pentagonal rotunda 20 10 10 35 17 10 6 1 Elongated J7 triangular pyramid 7 4 3 12 7 4 3 Elongated square J8 pyramid 9 4 5 16 9 4 5 Elongated pentagonal J9 pyramid 11 5 5 1 20 11 5 5 1 Gyroelongated J10 square pyramid 9 5 4 20 13 12 1 Gyroelongated J11 pentagonal pyramid 11 5 6 25 16 15 1 J12 Triangular bipyramid 5 2 3 9 6 6 J13 Pentagonal bipyramid 7 5 2 15 10 10 Elongated J14 triangular bipyramid 8 2 6 15 9 6 3 Elongated J15 square bipyramid 10 10 20 12 8 4 J16 pentagonal bipyramid 12 10 2 25 15 10 5 Gyroelongated J17 square bipyramid 10 2 8 24 16 16 Elongated J18 triangular cupola 15 6 9 27 14 4 9 1 Elongated J19 square cupola 20 8 12 36 18 4 13 1 Elongated J20 pentagonal cupola 25 10 15 45 22 5 15 1 1 Elongated J21 pentagonal rotunda 30 10 20 55 27 10 10 6 1 Gyroelongated J22 triangular cupola 15 6 3 6 33 20 16 3 1 Gyroelongated J23 square cupola 20 12 8 44 26 20 5 1

58 Číslo Název v v3 v4 v5 e s s3 s4 s5 s6 s8 s10 Gyroelongated J24 pentagonal cupola 25 15 10 55 32 25 5 1 1 Gyroelongated J25 pentagonal rotunda 30 1 20 10 65 37 30 6 1 J26 Gyrobifastigium 8 4 4 14 8 4 4 J27 Triangular orthobicupola 12 12 24 14 8 6 J28 Square orthobicupola 16 16 32 18 8 10 J29 Square gyrobicupola 16 16 32 18 8 10 J30 Pentagonal orthobicupola 20 20 40 22 10 10 2 J31 Pentagonal gyrobicupola 20 20 40 22 10 10 2 Pentagonal J32 orthocupolarotunda 25 25 50 27 15 5 7 Pentagonal J33 gyrocupolarotunda 25 25 50 27 15 5 7 Pentagonal J34 orthobirotunda 30 30 60 32 20 12 Elongated J35 triangular orthobicupola 18 18 36 20 8 12 Elongated J36 triangular gyrobicupola 18 18 36 20 8 12 Elongated J37 square gyrobicupola 24 24 48 24 8 18 Elongated J38 pentagonal orthobicupola 30 30 60 32 10 20 2 Elongated J39 pentagonal gyrobicupola 30 30 60 32 10 20 2 Elongated pentagonal J40 orthocupolarotunda 35 35 70 37 15 15 7 Elongated pentagonal J41 gyrocupolarotunda 35 35 70 37 15 15 7 Elongated pentagonal J42 orthobirotunda 40 40 80 42 20 10 12 Elongated pentagonal J43 gyrobirotunda 40 40 80 42 20 10 12 Gyroelongated J44 triangular bicupola 18 6 12 42 26 20 6 Gyroelongated J45 square bicupola 24 8 16 56 34 24 10 Gyroelongated J46 pentagonal bicupola 30 10 20 70 42 30 10 2

59 Číslo Název v v3 v4 v5 e s s3 s4 s5 s6 s8 s10 Gyroelongated J47 pentagonal cupolarotunda 35 15 20 80 47 35 5 7 Gyroelongated J48 pentagonal birotunda 40 20 90 52 40 12 Augmented J49 pentagonal prism 7 2 5 13 8 6 2 Biaugmented J50 triangular prism 8 6 2 17 11 10 1 Triaugmented J51 triangular prism 9 3 6 21 14 14 Augmented J52 pentagonal prism 11 6 5 19 10 4 4 2 Biaugmented J53 pentagonal prism 12 12 23 13 8 3 2 Augmented J54 hexagonal prism 13 8 5 22 11 4 5 2 Parabiaugmented J55 hexagonal prism 14 4 10 26 14 8 4 2 Metabiaugmented J56 hexagonal prism 14 4 10 26 14 8 4 2 Triaugmented J57 hexagonal prism 15 15 30 17 12 3 2 Augmented J58 dodecahedron 21 15 5 1 35 16 5 11 Parabiagmented J59 dodecahedron 22 10 10 2 40 20 10 10 Metabiagmented J60 dodecahedron 22 10 10 2 40 20 10 10 Triaugmented J61 dodecahedron 23 5 15 3 45 24 15 9 Metabidiminished J62 icosahedron 10 2 6 2 20 12 10 2 Tridiminished J63 icosahedron 9 6 3 15 8 5 3 Augmented tridiminished J64 icosahedron 10 4 6 18 10 7 3 Augmented truncated J65 tetrahedron 15 6 9 27 14 8 3 3 Augmented J66 truncated cube 28 16 12 48 22 12 5 5

60 Číslo Název v v3 v4 v5 e s s3 s4 s5 s6 s8 s10 Biaugmented J67 truncated cube 32 8 24 60 30 16 10 4 Augmented truncated J68 dodecahedron 65 50 15 105 42 25 5 1 11 Parabiaugmented J69 truncated dodecahedron 70 40 30 120 52 30 10 2 10 Metabiaugmented J70 truncated dodecahedron 70 40 30 120 52 30 10 2 10 Triaugmented J71 truncated dodecahedron 75 30 45 135 62 35 15 3 9 Gyrate J72 rhombicosidodecahedron 60 60 120 62 20 30 12 Parabigyrate J73 rhombicosidodecahedron 60 60 120 62 20 30 12 Metabigyrate J74 rhombicosidodecahedron 60 60 120 62 20 30 12 Trigyrate J75 rhombicosidodecahedron 60 60 120 62 20 30 12 Diminished J76 rhombicosidodecahedron 55 10 45 105 51 15 25 11 1 Paragyrate diminished J77 rhombicosidodecahedron 55 10 45 105 51 15 25 11 1 Metagyrate diminished J78 rhombicosidodecahedron 55 10 45 105 51 15 25 11 1 Bigyrate diminished J79 rhombicosidodecahedron 55 10 45 105 51 15 25 11 1 Parabidiminished J80 rhombicosidodecahedron 50 20 30 90 40 10 20 10 2 Metabidiminished J81 rhombicosidodecahedron 50 20 30 42 40 10 20 10 2 Gyrate bidiminished J82 rhombicosidodecahedron 50 20 30 90 40 10 20 10 2 Tridiminished J83 rhombicosidodecahedron 45 30 15 75 29 5 15 9 3 J84 Snub disphenoid 8 4 4 18 12 12 J85 Snub square antiprism 16 16 40 26 24 2 J86 Sphenocorona 10 6 4 22 14 12 2 J87 Augmented sphenocorona 11 3 8 26 17 16 1 J88 Sphenomegacorona 12 4 8 28 18 16 2 J89 Hebesphenomegacorona 14 4 10 33 21 18 3

61 Číslo Název v v3 v4 v5 e s s3 s4 s5 s6 s8 s10 J90 Disphenocingulum 16 4 12 38 24 20 4 J91 Bilunabirotunda 14 4 10 26 14 8 2 4 Triangular J92 hebesphenorotunda 18 18 36 20 13 3 3 1