UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE DIPLOMOVÁ PRÁCE Polopravidelné rovinné grafy Vedoucí diplomové práce: Vypracovala: RNDr. Zdeněk Dušek, Ph.D. Bc. Jitka Doležalová Rok odevzdání: 2010 Diskrétní matematika, 5. ročník Prohlášení Prohlašuji, že jsem vypracovala tuto diplomovou práci samostatně, a že jsem v seznamu použité literatury uvedla všechny zdroje použité při zpracování práce. V Olomouci dne 23. dubna 2010 Poděkování Ráda bych na tomto místě poděkovala RNDr. Zdeňku Duškovi, Ph.D., za obětavou spolu- práci i za čas, který mi věnoval při konzultacích. Obsah Úvod 2 1 Rovinné grafy 4 2 Konvexní mnohostěny 9 3 Pravidelné rovinné grafy a mnohostěny 11 4 Speciální polopravidelné rovinné grafy 13 4.1 Archimedovská tělesa, hranoly a antihranoly . ........ 13 4.2 Johnsonovatělesa................................ 22 4.3 Zobecněnéhranolyaantihranoly . ... 25 5 Polopravidelné rovinné grafy se stejnými vrcholy 26 6 Polopravidelné rovinné grafy se stejnými stěnami 41 6.1 Katalánskátělesa ................................ 41 6.2 Duální grafy ke grafům Johnsonových těles . ...... 44 6.3 Duální grafy ke grafům zobecněných hranolů a antihranolů......... 45 6.4 Duální grafy k obecným polopravidelným grafům . ...... 46 Literatura 56 Příloha - přehled Johnsonových těles 58 1 Úvod Dokonalost pravidelných mnohostěnů přitahovala lidskou pozornost již od dob antického Řecka. Jeden z nejvýznamnějších řeckých filozofů - Platon (427 př. n. l. 347 př. n. l.) v nich spatřoval podstatu struktury Vesmíru. Krychli, osmistěn, čtyřstěn a dvacetistěn považoval za představitele čtyř základních živlů, jimiž byly podle jeho učení země, vzduch, oheň a voda, a dvanáctistěn za představitele jsoucna. O matematický popis platonských těles se jako první pokusil Thaeten z Athén (417 př. n. l. - 369 př. n. l.), ovšem jejich kompletní po- pis podal až Euklides (325 př. n. l. - 265 př. n. l.) ve svém slavném díle Základy (Elementa). O několik desítek let později studoval další řecký filozof Archimedes (287 př. n. l. - 212 př. n. l.) konvexní mnohostěny, jeho práce se však nezachovala. Vyšší zájem o pravidelné a polopravidelné mnohostěny se objevil až v renesanční Itálii. Zabýval se jimi například matematik Luca Pacioli (1445 - 1514) a také učenec Johannes Kepler, který považoval za jeden ze svých nejdůležitějších objevů teorii, podle které rozestupy mezi drahami pla- net jsou určeny geometrií pravidelných mnohostěnů. Významného výsledku ve zkoumání konvexních mnohostěnů dosáhl americký matematik Norman W. Johnson, který v roce 1966 publikoval seznam 92 těles, která jsou tvořena pouze pravidelnými n-úhelníky. V roce 1969 izraelský matematik Victor Zallgaler ve své práci Convex polyhedra with regular faces dokázal, že nemohou existovat žádná další taková tělesa. Historie matematiky doplněná příběhy ze života slavných matematiků je přehledně zpracována v knize Příběhy matema- tiky profesora Milana Mareše [8]. Dostupná literatura zabývající se pravidelnými rovinnými grafy, se nezmiňuje o polopravi- delných rovinných grafech. Pravidelným grafům a pravidelným mnohostěnům se podrob- něji věnují práce [4], [9], [10], [11], v menší míře pak [1], [2], [3], [5], [6], [7], [12], [14], [16], [22]. Cílem této práce bylo sestavit přehled grafů, které jsou tvořeny vrcholy stupně p a n-úhelníky nebo m-úhelníky a grafů, které jsou tvořeny vrcholy stupně p nebo q a n-úhelníky. První kapitola zavádí pojmy a poznatky nutné k popisu rovinných grafů a vychází z prací [4], [9], [10], [11]. Druhá kapitola zavádí pojmy pro popis konvexních mno- hostěnů a konstrukci jim příslušných rovinných grafů, a to pomocí projekce do roviny určené stěnou grafu. Pro každý konvexní mnohostěn je možno pomocí této projekce sestro- jit rovinný graf. Třetí kapitola uvádí popis a speciální vlastnosti pravidelných rovinných grafů a mnohostěnů, které jim odpovídají. Tyto mnohostěny se nazývají Platonská tělesa. Konstrukce jejich grafů je dobře známa a provádí se pomocí stereografické projekce sféry do roviny. Její popis je znám například ze zdroje [4]. Čtvrtá kapitola se zabývá speciál- ními typy polopravidelných grafů. Tyto grafy jsou grafy Archimedovských těles, hranolů a antihranolů, Johnsonových těles a zobecněných hranolů a antihranolů. Stěny všech těchto těles jsou tvořeny pravidelnými n-úhelníky a s výjimkou Johnsonových těles mají všechny stejnou posloupnost stěn u vrcholu. To znamená, že u každého vrcholu se stýkají stejné n-úhelníky a to ve stejném pořadí. Všechny grafy zmíněných těles jsou zde ilustrovány. Informace o vlastnostech Archimedovských těles jsou čerpány z internetových zdrojů [13], [17], [18] a o Johnsonových tělesech ze zdroje [20]. Pro Archimedovská tělesa je v této práci uvedena jejich konstrukce pomocí odřezávání vrcholů a osekávání hran Platonských těles 2 a také jejich klasifikace pomocí posloupnosti stěn ve vrcholech. Předposlední kapitola se snaží sestavit přehled polopravidelných rovinných grafů se stejnými vrcholy odpovídajících konvexním mnohostěnům a jejich grafy ilustrovat. Tento přehled není kompletní, některé grafy jsou odvozeny, pro některé je dokázána jejich neexistence a některé zůstávají jako otevřené problémy. Poslední kapitolou je pak přehled polopravidelných grafů se stejnými stěnami a jejich ilustrace. Uvedené vlastnosti vycházejí ze zdrojů [13], [18], [20], [19]. Jed- nou z metod pro získání takových grafů je vytváření duálních grafů ke grafům se stejnými vrcholy. Speciálními polopravidelnými grafy se stejnými stěnami jsou grafy Katalánských těles, které vznikají jako duální grafy grafů Archimedovských těles. 3 1 Rovinné grafy Základní pojmy a vztahy nutné pro úvod do teorie rovinných grafů jsou dostupné ve standardně citované literatuře [4], [9], [10], [11]. Definice 1.1. Obyčejný neorientovaný graf G je uspořádaná dvojice (V, E), kde V ⊆ N V je množina vrcholů a E ⊆ 2 je množina hran - dvouprvkových podmnožin množiny vrcholů. Zapisujeme E = E(G ),V = V (G) a pro hranu píšeme e = {x, y}, kde x, y ∈ V . Definice obyčejného grafu je obecně komplikovanější, ale v této práci uvádíme její speciální případ, neboť nebudeme uvažovat násobné hrany ani smyčky. Definice 1.2. Nechť G1 =(V1, E1) a G2 =(V2, E2) jsou obyčejné grafy. Zobrazení f : V1 → V2 nazýváme homomorfismus grafu G1 do G2, jestliže platí ∀x, y ∈ V1 : {x, y} ∈ E1 ⇒{x, y} ∈ E2. Definice 1.3. Nechť G1 = (V1, E1) a G2 = (V2, E2) jsou obyčejné grafy, f : V1 → V2 je # V1 V2 # zobrazení. Definujeme tzv. indukované zobrazení f : 2 → 2 předpisem f ({x, y})= # {f(x), f(y)}. Pak f je homomorfismus grafu G1 do G2, pokud proe ∈ E1 platí f (e) ∈ E2. Definice 1.4. Nechť f : G1 → G2 je homomorfismus obyčejných grafů. Pak f nazýváme 1. vrcholový homomorfismus, je-li f : V1 → V2 prosté, 2. vrcholový epimorfismus, je li f : V1 → V2 surjektivní, # 3. hranový homomorfismus, je-li f : E1 → E2 prosté, # 4. hranový epimorfismus, je-li f : E1 → E2 surjektivní, # 5. vnoření, jsou-li f i f prosté a navíc platí ∀x, y ∈ V1 : {f(x), f(y)} ∈ E2 ⇒ {x, y} ∈ E1, 6. izomorfismus, je-li vrcholový i hranový monomorfismus i epimorfismus. Existuje několik speciálních grafů: • prázdný graf: ∅ =(∅, ∅) • diskrétní graf: Dn =({1, 2, ..., n} , ∅) V • úplný graf: Km = V, 2 ,V = {1, 2, ..., n} • cesta: Pn =({0, 1, ..., n} ,{i − 1, i} , i =1, 2, ..., n) • kružnice: Cn =({1, 2, ..., n} , {{i, i +1} , i =1, 2, ..., n − 1, {n, 1}}) • úplný sudý graf: Km,n =(U ∪ V, {{x, y} , x ∈ U, y ∈ V }), U ∩ V = ∅ Definice 1.5. Nechť G =(V, E) je obyčejný graf. Říkáme, že G je souvislý, jestliže ∀x, y ∈ V existuje homomorfismus f : Pn → G takový, že f(0) = x, f(n)= y. Definice 1.6. Nechť G je obyčejný graf. Symbolem degG(v) označme počet hran grafu G obsahujících vrchol v. Číslo degG(v) pak nazýváme stupněm vrcholu v v grafu G. 4 Definice 1.7. Nakreslením grafu G = (V, E) rozumíme předpis N , který vrcholům V přiřadí různé body v rovině E2 a hranám z E přiřadí oblouky s koncovými body v obrazech vrcholů. Definice 1.8. Nakreslení N grafu G do roviny E2 nazýváme rovinné, pokud každé hraně je přiřazena úsečka a každé dvě úsečky mají nejvýše jeden společný bod, který je koncovým bodem každé z nich. Graf, pro který existuje rovinné nakreslení, nazýváme rovinný. Definice 1.9. Nechť G je obyčejný graf, e ∈ E, e = {v1, v2}, v∈ / V . Definujme graf 0 0 0 0 0 G = (V , E ), předpisem V = V ∪{v}, E = (E\{v}) ∪ {{v1, v} , {v, v2}}. Pak říkáme, že graf G0 je elementárním dělením grafu G. Dále říkáme, že graf G je dělením grafu G, pokud existuje posloupnost G = G ,G , ..., G = G taková, že G je elementárním 0 1 n ie+1 dělením G ∀i =0, 1, ..., n − 1. i e Věta 1.1 (Kuratowského věta). Obyčejný graf je rovinný právě tehdy, když žádná jeho část není izomorfní s žádným dělením grafu K5 nebo K3,3. Definice 1.10. Nechť Cn = (x1, e1, x2, e2, ..., xn, en) je rovinné nakreslení kružnice. Část roviny uvnitř lomené čáry (e1, e2, ..., en) nazýváme vnitřek kružnice. Část roviny vně lomené čáry (e1, e2, ..., en) nazýváme vnějšek kružnice. Každou z těchto částí nazýváme oblast kružnice. Definice 1.11. Kružnicí v grafu G rozumíme injektivní homomorfní obraz grafu Cn v G. Definice 1.12. Nechť G =(V, E) je souvislý rovinný graf a N je jeho rovinné nakreslení. Nechť C je kružnice v grafu G. Pak oblast kružnice C nazýváme stěnou grafu G, pokud neobsahuje žádnou oblast žádné jiné kružnice v G jako vlastní část. Dvě stěny nazýváme sousedními, jestliže společná část lomených čar, které je určují, je tvořena jednou nebo více úsečkami. Příklad 1.1 Stěny závisí na nakreslení, jak ilustruje následující obrázek. Kružnice C1 = (2, 3, 4, 5, 6, 7) není stěnou v N1, ale je stěnou v N2. Naopak kružnice C2 = (2, 3, 6, 7) je stěnou v N2, ale není stěnou v N1. 8 7 6 5 8 7 6 5 4 1 2 3 4 1 2 3 N (G) N 1 2(G) Věta 1.2 (Eulerova věta). Nechť G = (V, E) je souvislý rovinný graf, N jeho rovinné nakreslení a s(G) počet stěn při tomto nakreslení. Pak platí |V (G)|−|E(G)| + s(G)=2.