Institutionen för naturvetenskap och teknik Ranka den som PerronFrobenius Sporttabellen du aldrig sett förut Emelie Borg Johanna Johansson Örebro universitet Institutionen för naturvetenskap och teknik Matematik C, 76 90 högskolepoäng Ranka den som PerronFrobenius Sporttabellen du aldrig sett förut Emelie Borg Johanna Johansson Januari 2013 Handledare: Niklas Eriksen Examinator: Marcus Sundhäll Självständigt arbete, 15 hp Matematik, Cnivå, 76 90 hp Sammanfattning Uppsatsen är skriven för att ta fram ett alternativt sätt att ranka lag i olika serier. Vi har lagt störst fokus på fotbollsallsvenskan, men även tabellerna i fotbolls-EM, basketligan och elitserien i hockey kommer att jämföras. Vi kommer att introducera Perron-Frobenius sats med en kortare beskrivning och förklara hur Google använder satsen genom PageRank för att du ska kunna hitta just den artikel eller hemsida som du letar efter. Senare i uppsatsen beskriver hur vi använder PerronFrobenius sats för att få fram en alternativ ranking till den som används idag. Därefter följer jämförelser och resultat av de olika metoderna. Vi undersöker dessutom om det med hjälp av det nya rankingsystemet blir lättare att förutse hur serien slutar. För att förstå alla matematiska begrepp och resonemang krävs Matema- tik B på universitet eller motsvarande. Med ett gediget sportintresse kan man ändå få ut något av att läsa uppsatsen men för att inte helt tappa intresset hoppa över kapitel 3. Innehåll 1 Introduktion 6 1.1 Bakgrund . .6 1.2 Uppsatsens struktur . .7 2 PageRank 8 2.1 Hur fungerar det praktiskt? . .8 2.2 Hur fungerar det matematiskt? . .8 2.2.1 Räkna ut egenvektorn med hjälp av potensmetoden . 10 2.2.2 En alternativ lösning . 12 2.2.3 Lösa knytpunkter . 12 2.2.4 Ett starkt sammanknutet internet . 13 2.2.5 Google-matrisen . 14 2.2.6 Att bestämma α ..................... 14 2.2.7 Så används α i uppsatsen . 15 3 Perron-Frobenius sats 16 3.1 PerronFrobenius sats . 16 3.2 Närmanden till ett bevis . 17 3.3 Användningsområden för satsen . 19 4 Rankingmetoden 20 4.1 Vi skapar en matris . 20 4.2 Vi lägger till ett β-värde . 22 4.3 Ranking . 23 5 Sport 25 5.1 Poängsystemet i fotboll Allsvenskan . 25 5.2 Poängsystemet i fotboll EM . 26 5.3 Poängsystemet i basket Basketligan . 26 5.4 Poängsystemet i ishockey Elitserien . 27 6 Resultat och jämförelser 28 6.1 Fotboll allsvenskan . 28 6.1.1 Vinster och förluster . 29 3 6.1.2 Mål . 30 6.1.3 Kommentarer . 30 6.2 Fotboll EM 2012 . 31 6.2.1 Vinster och förluster . 31 6.2.2 Mål med β1 ........................ 32 6.2.3 Mål med β2, β3 och β4 .................. 33 6.2.4 Kommentar . 33 6.3 Basket basketligan . 33 6.3.1 Vinster och förluster . 33 6.3.2 Mål . 34 6.4 Ishockey elitserien . 35 6.4.1 Vinster och förluster . 36 6.4.2 Mål . 37 7 Slumpade omgångar 38 7.1 Allsvenskan 2011 25 omgångar . 38 7.1.1 Resultat och analys av 25 omgångar . 38 7.2 Allsvenskan 2011 15 omgångar . 40 7.2.1 Resultat av 15 omgångar . 41 8 Slutsats 43 8.1 Det som talar för poänggivningsmetoden . 43 8.2 Det som talar för rankingmetoden . 44 8.3 Avslutande kommentar . 45 A Matchresultat i matriser 46 A.1 Fotboll allsvenskan . 46 A.2 Fotboll EM . 48 A.3 Basket basketligan . 50 A.4 Ishockey elitserien . 51 B Omgångar i tabeller 54 B.1 Poänggivningsmetoden 15 och 25 slumpade omgångar . 54 B.2 Rankingmetoden 15 och 25 slumpade omgångar . 56 C Matchresultat i fotbollsEM 2012 58 C.1 Gruppspel . 58 C.2 Slutspel . 59 Kapitel 1 Introduktion Sport. Ett ord som kan locka fram hur många olika associationer som helst, beroende på vem man frågar. Roligt, engagerande, viktigt, spännande, pre- stigefyllt, blodigt allvar, lek, tråkigt, utmanande, fanatiskt eller fantastiskt? Lagsporter är ofta extra engagerande och i många länder, däribland Sverige, är fotboll sporten som får folk att ursäktande lämna matborden tidigare. Fotboll ger en outtalad tillåtelse att utan vidare lägga beslag på TVdosan och byta kanal för att kunna betrakta viktiga matcher och resultat, oavsett vad den som redan satt vid TV:n tittade på. Fotboll, vilken prestige det är att vara bra på, vilken prestige att bo i en stad som har ett bra lag eller leva i ett land som kan kamma hem VMtitlar. Vem är då bäst på fotboll? Den som vinner mest tänker de esta nu, men här pausar vi bandet. Tänk om est vinster inte är det mest optimala sättet att vaska fram en vinnare ur en serie, det kanske nns ett mer lämpligt sätt att mäta storheten hos ett lag i denna ärofyllda sport? Vi kanske kan använda matematik för att utveckla ett nytt sätt att vinna. Om vi tar oss igenom ytterligare några sidor i denna uppsats kommer vi se hur matematiken kan öppna upp nya vägar för framgång inom sport. 1.1 Bakgrund I fotbollsallsvenskan, fotbollsEM, basketligan och elitserien i hockey an- vänds ett poängsystem som handlar om vinster och förluster. Detta system kommer vi att benämna med poänggivningsmetoden. Rangordningen av la- gen i vardera serie görs genom parvisa jämförelser mellan varje lag och avgörs av antalet poäng som laget tjänat in genom de matcher som spelats dittills. Vad gäller rangordning inom sport så är det matchernas resultat som används i jämförelsen mellan två lag. Så hur fungerar poänggivningsmetoden som rankingsystem? För att be- skriva detta utgår vi från allsvenskan där lagen belönas med tre poäng för varje vinst och ett poäng för varje match de spelar lika, det lag som förlorar 6 matchen blir utan poäng. På liknande sätt delas poäng ut till lagen under fotbollsEM, i basketligan och under elitserien i hockey. Vi kommer i denna uppsats att jämföra detta poängsystem med ett an- nat som vi kallar rankingmetoden. I rankingmetoden ställs resultaten upp i en matris till vilken en specik egenvektor beräknas som då kommer att motsvara tabellens ranking. Kriterierna som matrisen måste uppfylla för att detta ska fungera formuleras i PerronFrobenius sats. Jämförelser som tidigare gjorts är till största delen från USA där serier med collegelag rankas med hjälp av Perron-Frobenius sats. Det nns era olika sätt att använda sig av denna sats, både direkt och indirekt i ranking- en. Dessutom nns metoder för att jämföra lagens ranking både vad gäller vinster och förluster och mål. De största skillnaderna mellan rankingsyste- men är med de matematiska algoritmerna och inte med de olika system som idag alltså används [7]. Största skillnaden mellan det som gjorts tidigare och vad vi kommer att göra är att vi jämför lag där alla möter alla, vilket inte är situationen vid collgefotboll där lagen möter sin region och därefter går vidare till spel mot de bästa lagen inom varje region. Dessutom är poängsystemet inte på samma sätt vad gäller ranking för collegelagen. Egentligen är det svårt att bestämma hur bra ett rankingsystem är eftersom varje ranking är subjektiv, det vill säga att inget rankingsystem egentligen är rätt eftersom varje system har sina egna fördelar och nackdelar speciellt beroende av vem som observerar rankingen [6], [7]. Ett annat sätt att använda Perron-Frobenius sats är till att ranka la- gen först både oensivt och defensivt och sedan lägga ihop dessa till en gemensam ranking i form av en kvot. Detta rankingsystem kallas oense- defense-metoden och har utvecklats av Govan, Langville och Meyer i [4]. 1.2 Uppsatsens struktur I kapitel 2 beskriver vi hur Google använder PageRank för att du ska kunna hitta just den artikel eller hemsida som du letar efter, ty PageRank baseras på samma teori som rankingmetoden. I kapitel 3 introduceras Perron-Frobenius sats med en kort beskrivning. Senare i uppsatsen under kapitel 4 beskriver vi hur vi använder Perron Frobenius sats för att få fram den alternativa rankingen och i kapitel 5 för- klarar vi hur tabellerna i de olika serierna rangordnas idag. Därefter följer jämförelser och resultat av de olika metoderna. Vi undersöker dessutom om det med hjälp av det nya rankingsystemet blir lättare att förutse hur serien slutar. 7 Kapitel 2 PageRank Har du någonsin undrat hur Google, bland alla miljoner hemsidor som nns på internet, kan hitta och presentera för dig precis vad du letar efter och ofta lyckas med att visa den exakta hemsidan du vill ha allra först? Jo, det kallas PageRank. Det är en rankingmetod som utvecklades i slutet av nittiotalet av två doktorander i datavetenskap från USA. Dessa två studenter, Larry Page och Sergey Brin, använde sina studentrum som kontor för sitt nya företag som senare utvecklade sig till just Google [9]. 2.1 Hur fungerar det praktiskt? PageRank i sig är en väldigt genial lösning på ett enormt problem. Matema- tiken bakom principen grundar sig på Perron-Frobenius sats. I korta drag så går PageRank ut på att den skapar ett rankingsystem för alla internetsidor i vilken den mäter hur viktiga alla sidor är genom att räkna länkarna de har till sig. Dessa länkar räknas inte bara genom antal, det är inte alltid den som har est länkar till sig som får högst ranking utan även efter hur viktig sidan som länken kommer ifrån är. Så en länk från en viktig sida kan ge högre ranking än era länkar från fullständigt oviktiga sidor. Viktigheten hos en sida mäts i en ranking, så kallad PageRank. Eftersom att länkar hela tiden ändrar sig, folk tar bort eller lägger till, så är rankingen i konstant rörelse, man skulle kunna kalla ranking för en färskvara. Dessvärre fungerar det inte att Google till varje sökning räknar ut rankingen, det tar alldeles för lång tid. Istället görs varje månad en ge- nomgång av alla sidor som Google hittar och låter datorer ställa upp dem i en gigantisk matris där egenvektorn räknas ut.