New Jersey Institute of Technology Digital Commons @ NJIT
Dissertations Electronic Theses and Dissertations
Spring 5-31-2010
Variance reduction techniques for estimating quantiles and value- at-risk
Fang Chu New Jersey Institute of Technology
Follow this and additional works at: https://digitalcommons.njit.edu/dissertations
Part of the Databases and Information Systems Commons, and the Management Information Systems Commons
Recommended Citation Chu, Fang, "Variance reduction techniques for estimating quantiles and value-at-risk" (2010). Dissertations. 212. https://digitalcommons.njit.edu/dissertations/212
This Dissertation is brought to you for free and open access by the Electronic Theses and Dissertations at Digital Commons @ NJIT. It has been accepted for inclusion in Dissertations by an authorized administrator of Digital Commons @ NJIT. For more information, please contact [email protected]. C p r ht W rn n & tr t n
h p r ht l f th Un t d St t ( tl , Un t d St t C d v rn th n f ph t p r th r r pr d t n f p r ht d t r l.
Und r rt n nd t n p f d n th l , l br r nd r h v r th r z d t f rn h ph t p r th r r pr d t n. On f th p f d nd t n th t th ph t p r r pr d t n n t t b “ d f r n p rp th r th n pr v t t d , h l r h p, r r r h. If , r r t f r, r l t r , ph t p r r pr d t n f r p rp n x f “f r th t r b l bl f r p r ht nfr n nt,
h n t t t n r rv th r ht t r f t pt p n rd r f, n t j d nt, f lf ll nt f th rd r ld nv lv v l t n f p r ht l .
l t : h th r r t n th p r ht h l th r In t t t f hn l r rv th r ht t d tr b t th th r d rt t n
r nt n n t : If d n t h t pr nt th p , th n l t “ fr : f r t p t : l t p n th pr nt d l r n h n t n l br r h r v d f th p r n l nf r t n nd ll n t r fr th ppr v l p nd b r ph l t h f th nd d rt t n n rd r t pr t t th d nt t f I r d t nd f lt . A S AC
A IA CE- E UC IO EC IQUES O ES IMA I G QUA I ES A A UE-A - ISK b n Ch
Q nt l p rf r n r r n n pr t l nt xt In f n n n- t l r ll d v l - t-r ( A nd th r d l d n th f n n l nd tr t r p rtf l r Wh n th l t v d tr b t n f n t n n n n th nt l n n t b p t d x tl nd t b t t d In dd t n t p t n p nt t - t f r th nt l t p rt nt t l pr v d nf d n nt rv l f r th nt l f nd t n th rr r n th t t A pr bl th r d M nt C rl th t th r lt n nf d n nt rv l b l r h h ft n th h n t t n xtr nt l h t v t ppl n v r n -r d t n t hn ( t tr t bt n r ff nt nt l t t r M h f th pr v r n t t n n- t l n d d n t pr v d th d f r n tr t n pt t ll v l d nf d n nt rv l h r r h d v l p d pt t ll v l d nf d n nt rv l f r nt l th t r t t d n l t n th h n d r d r p rt n - pl n (IS tr t f d pl n (SS nt th t v r t (A nd ntr l v r t (C h th d f pr v n th pt t v l d t t f r t h th t th nt l t t r bt n d th t f h d r-Gh h r pr nt t n h n th pl d t pr v ntr l l t th r (C nd t bt n n t nt t t r f th v r n n th C h h r d t n tr t nf d n nt rv l Aft r th th r t l fr - r t bl h d xpl t l r th r pr nt d t n tr t nf d n nt rv l f r nt l h n ppl n IS+SS A nd C An p r l t d f th f n t - pl b - h v r f th nf d n nt rv l l p rf r d n t t h t d l t nd rd n r l/b v r t n r l d tr b t n nd t h t t v t n t r (SA •
A IA CE E UC IO EC IQUES O ES IMA I G QUA I ES A A UE A ISK
b n Ch
A rt t n S b tt d t th lt f r In t t t f hn l n rt l lf ll nt f th r nt f r th r f t r f h l ph n Inf r t n S t p rt nt f Inf r t n S t
M 20 0 C p r ht © 1 b n Ch A IG S ESE E A O A AGE
A IA CE E UC IO EC IQUES O ES IMA I G QUA I ES A A UE A ISK
n Ch
r M rv n rt t n Adv r l A t r f r f C p t r S n nd Inf r t n S t I
r nr Ch n C tt M b r t r f r f n n rdh Un v r t
r G r W d r C tt M b r t A t r f r f Inf r t n S t I
r l n S h r C tt M b r t A d t r f r f Inf r t n S t I
f A C lv n C tt M b r t A t r f r f C p t r S n I
r M h l C tt M b r t A t r f r f Inf r t n S t I IOG A ICA SKE C
A th r: n Ch r : t r f h l ph t : M 1
Und r r d t nd Gr d t Ed t n: • t r f h l ph n Inf r t n S t r In t t t f hn l r r 1 • h l r f S n n C p t r S n (S ft r En n r n nj n Un v r t Ch n 5 M j r: Inf r t n S t bl t n : Ch , ., nd M K Constructing Confidence Intervals for Quantiles When Us- ing Variance-Reduction Techniques, xt nd d b tr t pt d f r th Int rn t n l W r h p n r Ev nt S l t n n 1 C br d UK Ch , ., nd M K Confidence Intervals for Quantiles Estimated Using Im- portance Sampling, 1 nv t d nd t b b tt d t Proceedings of the 2010 Winter Simulation Conference. Ch , ., nd M K Confidence Intervals for Quantiles When Applying Variance- Reduction Techniques, 1 t b b tt d t j rn l
v M l v d W f , r nt nd Gr ndp r nt ACK OW E GME
I d p t r t t d t r M rv n d rt t n dv r I h v b n n r d bl f rt n t t h v n dv r h f ll nd r t d r r l nd h l h rt dl h lp d r l z t nt r h p p r nt n n r n t b r r h r nd t p rt ntl n nd p nd nt th n r r v r th n h v d n f r r th n I ld l l v t th n ll f tt b r f r th r d n nd pp rt r G r W d r n h d n- pp rt t l h d n p r d t xpl r th l t n ppl t n n b n h h v nt ll d v l p d nt th fr - r f r r h t p r nr Ch n h n t nl ntr d d t nt t t v f n n th h nl ht n n l t r b t l t v t d t nd t r r h nd p r- r r n th h ll n n f ld th nth W th t th v l bl f db nd n r t n fr r l n S h r r M h l nd r C lv n th r ld n v r h d b n pl t d I ld l t t th pp rt n t t th n r M h l b r nd r r W f r tt n r d t r r t rt d n th r ht f t nd pr v d n th f nd t n f r b n r r h r h n l t t ll th f lt b r h br ht nd r t nd n f nf r t n t t h h r l v l thr h th r p n n r r h nd t h n I ld l l t xt nd r t t d t ll th ll n th t IS l b A v r p l th n t fr nd Y nd Q n W n f r th pp rt nd t n th h v l nt v r r h n l t f r v r th n h n l t t Y n Y Y n W W n n W Y n n C Y x n b rt K n -E Ch n Al Avn M r l r n Ch n x n h n Y n Y n nd n " l pl n" b dd f r pr v d n h n d d h r nd nt rt n nt n h t ld h v b n th r h t tr f l h
v l f n ll nd t p rt ntl I ld l t th n f n n Sh r pp rt n r nt t p t n nd n v r n l v r nd n bl th b dr p n h h th p t f v r f l f h v b n b lt r n ld n d v t n nd l v h v v d fr th t d pr n nt n l f It nd r h r t hf l th t I n d h dr v nd n b l t t t l h ll n h d n I th n p r nt nd r ndp r nt f r th r f th n nd ll n t b b t I nt d Al I th n n n p r nt f r ll n t t th r d ht r v r x th nd l fr th " r d C t " n Ch n nd pr v d n th n nd n n r nt nd pp rt
TABLE OF CONTENTS
Chapter Page 1 I O UC IO 1 E IEW O EC IQUES O ES IMA I G MEA S 1 1 Cr d M nt C rl 1 r n d t n 1 1 Ant th t r t 1 C ntr l r t 15 3 Str t f d S pl n 17 I p rt n S pl n 19 3 Appl t n 1 3 1 U n Cr d M nt C rl t r n A n Opt n 3 U n C t r n A n Opt n 3 3 U n A t r Kn - t Opt n 5 3 U n IS t r Kn - n Opt n 7 3 QUA I E ES IMA IO O C U E MO E CA O 3 A A U -G OS E ESE A IO W E A YI G S 33 1 r f 3 1 1 r f f h r 1 3 1 S ff nt C nd t n f r A pt n A 1 3 r f f h r 1 r f f h r 3 5 QUA I E ES IMA IO USI G IS+SS 3 5 1 r f 9 5 1 1 r f f h r 9 5 1 r f f h r 5 5
viii A E O CO E S (C nt n d
Ch pt r
QUA I E ES IMA IO USI G A 5 1 r f 57 1 1 r f f h r 57 1 r f f h r 9 7 QUA I E ES IMA IO USI G C 1 7 1 r f 7 1 1 r f f h r 1 EM I ICA S U Y 7 1 r l tr b t n 7 St h t A t v t t r 1 IS f r SA 9 IS+SS f r SA 7 3 A f r SA 7 3 Ch n th S th n r t r 7 n f E p r l lt 7 5 r r r pt n nd t n 9 5 1 r r r pt n 9 5 r r t n 1 M tl b C d 1 9 1 A /C /CMC 1 9 IS nd IS+SS 13 9 CO C U I G EMA KS 155 E E E CES 157
x IS O A ES
bl
1 C v r f r IS th c = 1 f r th r l h n p = 95
Av r lf-W dth f r IS th c = 1 f r th r l h n p = 95
3 C v r f r IS th c = 5 f r th r l h n p = 95
Av r lf-W dth f r IS th c = 5 f r th r l h n p -- 95 5
5 C v r f r IS+SS th c 5 n th v r t r l tr b t n th p = 9 h n p = 95 5
Av r lf-W dth f r IS+SS th c = 5 f r th v r t r l th p = 9 Wh n p 95 5
7 C v r f r IS+SS th c = 5 n th v r t r l tr b t n th p = 9 h n p = 95
Av r lf-W dth f r IS+SS th c = 5 f r th v r t r l th p = 9 Wh n p = 95
9 C v r f r A th = 1 f r th r l h n p = 95
1 Av r lf-W dth f r A th = 1 f r th r l h n p = 95 7
11 C v r f r A th 5 f r th r l h n p = 95 7
1 Av r lf-W dth f r A th = 5 f r th th r l h n p = 95 7
13 C v r f r C th c = 1 f r th v r t r l th p = 9 h n p = 95 7
1 Av r lf-W dth f r C th c = 1 f r th r l th p = 9 h n p 95
15 C v r f r C th c = 5 f r th v r t r l th p = 9 h n p = 95
1 Av r lf-W dth f r C th c = 5 f r th v r t r l th p = 9 h n p = 95
17 C v r f r CMC th c = 1 f r th r l h n p = 95 9
1 Av r lf-W dth f r CMC th c = 1 f r th r l h n p = 95 9 IS O A ES (C nt n d bl
19 C v r f r CMC th c = 5 f r th r l h n p = 95 9
Av r lf-W dth f r CMC th c = 5 f r th r l h n p = 95 9
1 C v r f r IS th c = 1 f r th SA h n p = 95 9
Av r lf-W dth f r IS th c = 1 f r th SA h n p = 95 9
3 C v r f r IS th c = 5 f r th SA h n p = 95 9
Av r lf-W dth f r IS th c = 5 f r th SA h n p = 95 9
5 C v r f r IS+SS th c = 5 f r th SA h n p = 95 91
Av r lf-W dth f r IS+SS th c = 5 f r th SA h n p = 95 91
7 C v r f r IS+SS th c = 5 f r th SA h n p = 95 91
Av r lf-W dth f r IS+SS th c = 5 f r th SA h n p = 95 91
9 C v r f r A th c = 1 f r th SA h n p = 0.95 9
3 Av r lf-W dth f r A th c = 1 f r th SA h n p = 95 9
31 C v r f r A th c = 5 f r th SA h n p = 95 9
3 Av r lf-W dth f r A th c = 5 f r th SA h n p = 95 9
33 C v r f r C th c = 1 f r th SA h n p = 95 93
3 Av r lf-W dth f r C th c = 1 f r th SA h n p = 0.95 93
35 C v r f r C th c = 5 f r th SA h n p = 95 93
3 Av r lf-W dth f r C th c = 5 f r th SA h n p = 95 93
37 C v r f r CMC th c = 1 f r th SA h n p = 95 9
3 Av r lf-W dth f r CMC th c = 1 f r th SA h n p 95 9
39 C v r f r CMC th c = 5 f r th SA h n p = 95 95
Av r lf-W dth f r CMC th c = 5 f r th SA h n p = 95 95
x LIST OF FIGURES
Figure Page
1 1 95- nt l f d tr b t n 3
1 Inv rt n th C 3
1 3 Inv rt n th p r l C 5
1 St h t t v t n t r
C v r f r IS- nl f r th n r l f r p = 77
3 C v r f r IS- nl f r th n r l f r p = 95 77
C v r f r IS+SS f r p = f r th b v r t n r l th p = 5 77
5 C v r f r IS+SS f r p = 95 f r th b v r t n r l th p 5 7
C v r f r IS+SS f r p = f r th b v r t n r l th p = 9 7
7 C v r f r IS+SS f r p = 95 f r th b v r t n r l th p = 9 7
C v r f r A f r p = f r th n r l 79
9 C v r f r A f r p = 95 f r th n r l 79
1 C v r f r C f r p = f r th b v r t n r l th p 5 79
11 C v r f r C f r p 95 f r th b v r t n r l th p = 5
1 C v r f r C f r p = f r th b v r t n r l th p = 9
13 C v r f r C f r p = 95 f r th b v r t n r l th p = 9
1 C v r f r CMC f r p = f r th n r l 1
15 C v r f r CMC f r p = 95 f r th n r l 1
1 C v r f r IS- nl f r p 95 f r th SA
17 C v r f r IS+SS f r p = 95 f r th SA
1 C v r f r A f r p = 95 f r th SA
x IS O IGU ES (C nt n d r
19 C v r f r C f r p = 95 f r th SA 3
C v r f r CMC f r p = 95 f r th SA 3 CHAPTER 1
INTRODUCTION
Ma y sys ems a ocesses e i i com e e a io s a o e a e i u ce ai e i o - me s E am es i c u e com u e e wo ks a a ase sys ems e ecommu ica io e - wo ks a s o a io sys ems a i a cia ma ke s a om e e s suc as ai u es o com o e s u k ow u u e ema s a ices a a u a isas e s a e i e e o ese sys ems A sys em esig e mus e e mi e e e o ma ce o a o ose sys em e o e im eme i g i a a o e a o ee s o es ima e e e ec o ma ageme eci- sio s o u u e e o ma ce o e e u e s a ow suc a sys em o ocess e a es o e o e wi ui a ma ema ica mo e W e e s u ie ocess o sys em i c u es a om ess e mo e is o e a s oc as ic ocess isc e e-e e s oc as ic simu a io a Mo e Ca o simu a io (e g aw ( a e owe u oo s i scie ce a e gi ee i g o s u yi g e e a io o s oc as ic sys- ems a a e oo com ica e o a ow o i ec ma ema ica a a ysis W i e a a y ica me o s o e equi e sim i yi g a u ea is ic assum io s w e a ie o com e sys ems o ocesses e simu a io a oac a ows e use o i co o a e as muc e ai a u ce ai y as ee e o mo e accu a e y e sys em o ocess u e s u y Simu- a io o e mo e e ai s ge e a i g a om sam es om e o a i i y is i u io s i e mo e o imi a e e s oc as ic e a io o e sys em o ocess o e ime e simu a io o uces ou u a a w ic is co ec e a a a y e ecause a simu a io i c u es a om ess i s ou u is a so a om us ecessi- a i g e use o s a is ica me o s o a a y e e ou u Mos e ious wo k o s a is ica a a ysis o simu a io ou u ocuses o es ima i g e mea e o ma ce o e sys em u e s u y W e co si e i g e mea e o ma ce o e sys em o e a i i e ime o i- o e s a a a oac is o u i e e e a i e ica y is i u e (i i e ica- io s o e sys em o e e i i e ime o i o a e use c assica s a is ica me o s
1
(e g ogg e a ( o a a y e e ou u s om e e ica io s Mo e s eci ica y e e a a om a ia e e o i g e ( a om e o ma ce o a s oc as ic sys em o e a i i e ime o i o a su ose a we a e i e es e i com u i g e mea e o ma ce a = E[X], w e e E e o es e ec a io o e am e i o ec a i g may e ese e ( a om ime o com e e a o ec w ic is mo e e as a s oc as ic ac i i y e wo k a we a e i e es e i com u i g e mea ime o com e e e o ec u i g i i e ica io s o e sys em e yie s i i sam es 1 Xn . e sam e a e age I = (1/ Σ i=1 X, is e a es ima e o e ue mea a
o o i e a es ima e o e e o i n we ca a so gi e a co i e ce i e a o a w ic is y ica y e i e om a ce a imi eo em (C ; e g see Sec io 1 9 o
Se i g (19 S eci ica y a C o e sam e a e age n oug y s a es a (Xn D — α /σ = ( 1 o a ge sam e si es w e e is e a ia ce o X, ( 1 e o es a o ma a om a ia e wi mea a a ia ce 1 a mea s a o ima e y equa i is i u io us si ce ( ( 1 1 9 = 975 a y e symme y o e o ma e si y u c io e C im ies
(1 1
w ic gi es ( 1 9 c/ as a a o ima e 95% co i e ce i e a o a owe e
e a ia ce co s a i e C is y ica y u k ow so we e ace i wi a es ima-
o e sam e a ia ce S = (1/( — 1 Σ i=1 ( i — is e ea s o a a o ima e
95% co i e ce i e a o a as (I + 1 9 S / I ac si ce S is a co sis e es ima-
o o a (i e Sn co e ges i o a i i y o a as co; e g see 9 o Se i g (19 we ca s ow a e a o e a o ima e 95% co i e ce i e a is asym o ica y a i
r . 0.95-quantile of a distribution.
r .2 Inverting the CDF.
in the sense that {a E (In ± -+ 0.95 as n
In some situations, one may be interested in performance measures that are not simply means. One such measure is a quantile. For 0 < p < 1, the pth quantile of a con- tinuous random variable X is defined as the smallest constant 4p such that P {X < gp } = p.
Figure 1.1 gives an example of the 0.95-quantile of a distribution. In terms of the cumula- tive distribution function (CDF) F of X, we can express the pth quantile as 413 = F -1 (p), where F -1 (p) is the smallest value of x such that F(x) > p; see Figure 1.2. For example, the 0.5-quantile is the median. Quantiles arise in many practical contexts and are some- times of more interest than means. For example, some internet service providers charge a user based on the 0.95 quantile of the user's traffic load in a billing cycle (Goldenberg et al.
2004). In project planning, a planner may want to determine a time t such that the project
has a 95% chance of completing by t, so t = 95 is the 0.95-quantile. In finance, where 4 a qua i e is k ow as a a ue-a - isk a a a ys may e i e es e i e 99-qua i e
o 99 o e oss o a o o io o e a ce ai ime e io (e g wo weeks so e e is a
1% c a ce a e oss o e is e io wi e g ea e a 199 a ue-a - isk ( a is wi e y use i e i a cia i us y as a measu e o o o io isk; e g see u e a a (1997 I a oa e se se a is a so a e e e a oac o com u e ma ke isk o e o e ee com o e s o e i s i a o ase II e seco o e ase Acco s ( ecomme a io s o a ki g aws a egu a io s issue y e ase Commi ee o a ki g Su e isio e ase II amewo k esc i es a mo e com e e si e measu e a mi imum s a a o ca i a a equacy Ge e a y s eaki g qua i e es ima io is o g ea i e es o e i a cia i us y w ic mo i a es ou e o a io i ow o es ima e a qua i e a measu e e "accu acy" o qua i e es ima o s y co s uc i g co i e ce i e a s O e i ac ice e C F is u k ow o ca o e com u e e ici y u we s i may e a e o co ec sam es om F. We us seek a sam i g- ase es ima o o 4. O e com ica io a ises om e ac a a qua i e is o a mea ( o a u c io o a mea o a a om a ia e so we ca o es ima e a qua i e usi g a sam e a e age
I s ea e o owi g a oac (e g see Sec io 3 o Se i g (19 ca e a ie i s co ec i i sam es ,X2,... ,X, om is i u io F, a use ese o co s uc a es ima o o F. O e suc es ima o o F is e empirical CDF Fn , w e e Fri (x) is
e ac io o e n sam es ess a o equa o x. e e ac a 4/3 = F -1 (p)
sugges s co s uc i g a qua i e es ima o as 4Thn = — 1 (p). We ca a e a i e y com u e e qua i e es ima o i is case as o ows So e sam es 1 i o asce i g o e as ( 1 (2 • • • ( n w e e X(i) is e i sma es o e sam es
e 4 n = Xo-npl), w e e is e ou -u u c io igu e 1 3 i us a es a e am e o is W e a yi g simu a io o ge e a e e i i sam es o X use o co s uc Fn , we ca e me o crude Monte Carlo. I a i io o com u i g a oi es ima e o a qua i e i is im o a o a so o- 5
Figure 1.3 Inverting the empirical CDF. vide a confidence interval for the quantile as a way of indicating the error in the estimate.
A common approach to developing a confidence interval is to first show that the quantile estimator satisfies a CLT, and then replace the variance constant in the CLT with a con- sistent estimator of it to construct a confidence interval. For crude Monte Carlo, one can appeal to the CLT for quantile estimators formed from i.i.d. samples; e.g., see Section 2.3.3 of Serfling (1980). More specifically, let 4,, = Fp I ( be the estimator of the p-quantile
A CLT for „ roughly states that i( 1 12 — 4 )/(p(1 — I ( ( 1 for large sample sizes where is the density function of Using a similar derivation to (1.1), we then obtain 1.96p(1 — 1 ( ( i as an approximate 95% confidence in- terval for 4 . Typically, ( 1 is unknown and must be estimated. Bloch and Gastwirth
(1968), Bofinger (1975) and Babu (1986) provide consistent estimators of ( 1 that are applicable for crude Monte Carlo, which we can then use to construct an approximate 95% confidence interval for as (4,, t 1.96p(1 — I ( „A A problem with crude Monte Carlo is that the resulting confidence interval may be large, which is often the case when estimating extreme quantiles (i.e., when is close to 0 or 1). This motivates applying variance-reduction techniques (VRTs) to try to obtain more efficient quantile estimators; see Chapter 4 of Glasserman (2004) for an overview of VRTs for estimating a mean. VRTs often increase efficiency by collecting additional data not or- 6
i a i y use o y ge e a i g sam es i a i e e way E e wi o ay s ig - owe e com u e s s a e s i use u (a i ce ai se i gs esse ia ecause com e sim- u a io mo e s es ecia y ig - ime sio a o es wi ma y sou ces o a om ess a com ica e a si io mec a isms may ake a e eme y o g ime us o com e e a si g e e ica io E am es o s i c u e im o a ce sam i g s a i ie sam i g a i e ic a ia es a co o a ia es a we ie y e iew ese me o s e ow I im o a ce sam i g (G y a Ig e a (19 9 w ic is y ica y use i a e- e e simu a io s e o a i is ic y amics o e sys em a e c a ge o make e a e e e o i e es (e g sys em ai u es o e eme o o io osses occu mo e eque y U iase es ima es a e eco e e y mu i yi g e sam es y a co ec io ac o k ow as e ike i oo a io W e a ie o e y im o a ce sam i g ca ea o a ia ce e uc io s o o e s o mag i u e; e g see ei e e ge (1995 owe e i o a o- ia e y use im o a ce sam i g ca ac ua y i c ease a ia ce (o e e ea o i i i e a ia ce S a i ie sam i g (e g Sec io s 3 a 9 3 o G asse ma ( co s ai s e o o io o sam es o e ou u X i o i e e s a a o e sam e s ace e sam es i eac s a um a e a e age a e sam e a e ages ac oss s a a a e com i e o o m a o e a es ima o is ca ea o a a ia ce e uc io w e e sam i g o o io s a e c ose a o ia e y A i e ic a ia es (e g Sec io 11 3 o aw ( ge e a es sam e ou u s i ai s w e e e ou u s wi i a ai a e ega i e y co e a e e asic i ui io is a i o e ou u is ge e a e y " a o a e" a om uc ua io s e is is ai e wi a o e ou u wi "u a o a e" uc ua io s A e agi g e wo ega i e y co e a e ou u s e smoo s ou e "goo " a " a " ou u s w ic ea s o a e uc io i a ia ce Co o a ia es (e g Sec io 11 o aw ( e uces a ia ce y aki g a - a age o e co e a io e wee a au i ia y a ia e C, w ose mea is k ow a e ou u X, w ose mea a we wa o com u e We ca C a control variate, a C 7 uses e k ow e o C — i C o co ec o e u k ow e o o as a es ima e o e u k ow a o e am e i a s oc as ic ac i i y e wo k we k ow e is i u io s o e imes o eac o e e ges so we wou a so ike y k ow ei mea s e we ca e e mi e e a oug e e wo k wi e a ges mea a e se C o e e a om e g o a a e e as ee some e ious wo k o a yi g s o es ima e a qua i e su a e so (199 a es e e g a e so (199 e e o qua i e es ima o s usi g co o a ia es A ami is a Wi so (199 co si e qua i e es ima io wi a ge e a c ass o co e a io -i uc io ec iques w ic i c u es a i e ic a ia es a a i y- e cu e sam i g ( S i e a ( 3 es a is e o e ia co e ge ce a es o qua - i e es ima o s i c u i g ose usi g S a a so e e o a y e o com i e s a i ie - S qua i e es ima o G y (199 uses im o a ce sam i g o qua i e es ima io a G asse ma e a ( com i e im o a ce sam i g wi s a i ie sam i g o es ima e a ue-a - isk a ia ce e uc io o qua i e es ima io y ica y e ai s a yi g
s o es ima e e C a e i e i g e esu i g C es ima o n Mos e ious wo k o es ima i g qua i es usi g s oes o o i e me - o s o co s uc i g asym o ica y a i co i e ce i e a s (A e ce io is su a e so (199 w o ge e a i e a i e a es ima io ec ique ase o e i omia is- i u io o ei co o - a ia e es ima o O e a oac o co s uc i g a co i e ce i e a is o i s es a is a C o e qua i e es ima o S eci ica y su ose a
= i 1 ( is e es ima o o e -qua i e ξ o me y i e i g En e es i- ma o o e C e a C o oug y s a es a (ξ ξ /κ C■-% ( 1 o a ge o some co s a κ We ca e u o is o o ai a a o ima e
95% co i e ce i e a o o e ( n + 1 9 κ / o is i e a o e use-
u we ee o o i e a co sis e es ima e o κ I u s ou a κ = ψ / (4), w e e yi is e a ia ce co s a i e C o (ξ (i e yip is e i e i e C n (Fn (4) (ξp / yip ( 1 a ( is e e si y u c io o e (u k ow
C e a ua e a e (u k ow qua i e G y (199 o es a o co s uc co i-
e ce i e a s " e ma o c a e ge is i i g a goo way o es ima i g" ( 1 "ei e e ici y o im ici y " u e oes o o i e a me o o oi g is I ee G asse - ma e a ( s a e ( 1357 a es ima io o (ξ "is i icu a eyo e sco e o is a e " e co sis e cy oo s o e ious y e e o e me o s (e g oc a
Gas wi (19 o i ge (1975 a a u (19 o es ima i g (ξ (o 1/ (ξ w e usi g c u e Mo e Ca o o o ge e a i e w e usi g s ( iewe as a u c- io o 1 11 ( is some imes ca e e s a si y u c io ( ukey (19 5 o e
qua i e - e si y u c io ( a e (1979 a ese wo e e e ces iscuss i s use u ess a a om qua i e es ima io i a a y i g a a a is i u io s I ou isse a io we o i e a way o co sis e y es ima e 1/ ( a 1 w e usi g s a aki g e o uc o ese es ima o s yie s a co sis e es ima o o κ is e a es us o co s uc a asym o ica y a i co i e ce i e a o e qua i e w e a yi g s w ic is e mai co i u io o ou wo k We es a is ou esu s wi i a ge e a amewo k o s s eci ie y a se o assum io s o e esu i g C es ima o We i s o e e qua i e es ima o esu i g om i e i g e C es- ima o sa is ies a weake o m o a so-ca e a a u (19 e ese a io es a is e y G os (1971 a we ca is a a a u -G os e ese a io A so o i e e e i e es is esu s ows a e qua i e es ima o ca e a o ima e y a i ea u c- io o e C es ima o e a ua e a wi a emai e e m a is i g i o a i i y as e sam e si e g ows We e a y e a a u -G os e ese a io o o e a C a o e i e a co sis e es ima o o e asym o ic a ia ce i e C We s ow a i e e s i c u i g a com i a io o im o a ce sam i g a s a i ie sam i g a i e ic a ia es a co o a ia es i i ou amewo k a we o i e a go i ms o co s uc i g co i e ce i e a s o qua i es es ima e usi g ese s As a a e a i e a oac o e cou i i e a e a a i o a c es (a so k ow as su sam es a e o uce a co i e ce i e a y co s uc i g a qua i e es ima e
om eac a c a com u i g e sam e a ia ce o e (i i qua i e es ima es; e g see 91 o G asse ma ( owe e a aw ack o a c i g is a accu a e qua i e es ima io o e equi es a ge sam e si es; e g see A ami is a Wi so (199 us i is e e a e o a e me o s a use a o e sam e a a o co s uc a si g e qua i e es ima o as we o e es o e isse a io as e o owi g o ga i a io C a e e iews a ia ce- e uc io ec iques o es ima i g a mea I is c a e a ew i a cia e - am es a e c ose o emo s a e a wi e a ge o a ica io s o Mo e Ca o me o s o es ima e e "mea e o ma ce" i i a ce C a e 3 iscusses qua i e es ima io a o i es e ackg ou o e a a u -G os e ese a io o c u e Mo e Ca o I C a e we es a is a ge e a amewo k o o i g a a a u -G os e ese a io a o e e o i g asym o ica y a i co i e ce i e a s o qua i es w e a yi g a ge e ic We e em oy is amewo k i C a e s 5-7 o e ami e s eci ic s (com i e im o a ce sam i g a s a i ie sam i g a i e ic a ia es a co o a ia es C a e ese s e e ime a esu s A oo s wi i a c a e a e co ec e a e e o a c a e C A E
E IEW O EC IQUES O ES IMA I G MEA S
e o e ese i g ec iques o es ima i g qua i es i e a e c a e s we i s e iew me o s o es ima i g mea s w ic is e mos commo use o simu a io We iscuss i e e Mo e Ca o ec iques o es ima i g e mea a = E[ ] o a a om a ia e
a i g C We s a y e iewi g es ima i g a usi g c u e Mo e Ca o a e we iscuss ow o a y s o es ima e a We a so e iew some co e ge ce co ce s om o a i i y A oug e iscussio e e ocuses o es ima i g mea s e ec iques ese e a so a y o es ima i g e C o eca a ( = { } o eac a we ca w i e ( = E[I ( ] w e e 1(A is e i ica o u c io o e e e A wi 1(A = 1 i A occu s a / (A = o e wise us ( is e mea o 1( As o e i C a e 1 we es ima e a qua i e y i s es ima i g e C a e i e i g e C es ima o We wi s ecia i e e ec iques e e o e e e o es ima e a C i C a e s 3 a 5-7 o sim i y o a io we wi use a o e o e e es ima o o a o a o e i e e s a e a e e o i e e o a io o eac me o
1 C u e Mo e Ca o
o im eme c u e Mo e Ca o o es ima e a = E [ ] w e e is a a om a i- a e wi C we aw i i o se a io s 1 om a e com u e e sam e a e age ( 1 as a oi es ima o o a e es ima o α is u iase si ce o a
1 11
ecause e i a e i i wi E[ i] = a As e sam e si e ge s a ge a ge s c ose o a a is co ce ca e ma e ecise oug e (weak o s o g aw o a ge um e s S eci ica y e weak aw o a ge um e s (W s a es a i a is i i e
e ( an — a E as o e e y ε We o e w i e is as an 4 a as
w ic is a so k ow as co e ge ce i o a i i y a we say a an is a (weak y co sis e es ima o o a e s o g aw o a ge um e s (S s a es a i a is i i e
e ( im -- ∞ an = a = 1 w ic is a so w i e as an a a mos su e y (a s o mo e e ai s o e weak a s o g aws see Sec io o i i gs ey (1995
A oug e W a S gua a ee a a n wi e c ose o a w e e sam e si e is a ge we wou ike o ge a se se o ow c ose ey a e o a a ge u
i e e ce a imi eo em (C o i es a way o oi g is S eci ica y e a = a [ ] = E[( — a ] e o e e a ia ce o e C s a es a i e
as on o a w e e (a 2 e o es a o ma a om a ia e wi mea a a
a ia ce We o e e o e is as (α — α /σ ( 1 as w e e " e o es co e ge ce i is i u io ; see Sec io 5 o i i gs ey (1995 o e ai s om e C we ca use e e i a io i (1 1 o o ai a a o ima e 95% co i e ce i e a o a as (
(O cou se we cou a so co s uc a a o ima e co i e ce i e a o a y o e co -
i e ce e e 1 (1 — 3 % y e aci g 1 9 wi e c i ica a ue = φ-¹(1 — 5/ w e e is e C o a ( 1 a om a ia e owe e si ce o is y ica y u k ow we ee o es ima e i o e a o e co i e ce i e a o e use u A es ima o o c is e sam e a ia ce 2
As o e i C a e 1 n a as (e g see 9 o Se i g (19 so a is a co sis e es ima o o a e co i uous-ma i g eo em ( 33 o i i gs ey
(1995 e e su es a σ n a as so à is a co sis e es ima o o a e ce si ce σ / σ 1 as y e co i uous-ma i g eo em S u sky s eo em ( 19 o Se i g (19 im ies
as As a co seque ce o a ge sam e si es
us a a o ima e 95% co i e ce i e a o a is
( 3
2.2 r n d t n
om ( a ( 3 we ca use 1 9 σ / o 1 9 σ / as a measu e o e e o
e es ima o an o a us o a gi e co i e ce e e o 95% e e a e wo ways
w ic we ca e uce e e o i c ease e um e o sam es o y o ec ease 7 A oug a = / a [ ] is i e a ca o e c a ge su ose a e e is a o e
a om a ia e wi e same mea a = E[Z] = E[X] as a wi a [ ] a [ ]
us a e a co ec i g sam es o we cou i s ea sam e o es ima e a a o ai a a ia ce e uc io S eci ica y we aw i i sam es 1 o a
o m e sam e a e age an = (1/ Σn i=1 i e = a [ ] a assume a -c 13 so e C im ies ( as - e ce usi g a a a ogous e i a io o (1 1 yie s a o e a o ima e 95% co i e ce i e a o a as ( 5
We ca e ace wi e sam e a ia ce i = (1/( — 1 ( i — e we ge a a o ima e 95% co i e ce i e a o a as
(
I a [ ] a [ ] e we see a e es ima o c11 as sma e e o a à o e same si e e ce e goa o ma y ( u o a a ia ce- e uc io ec iques is o i e i y a o e a om a ia e wi e same mea as u wi sma e a ia ce A o e way o esc i e e e e i o a yi g s is i e ms o e um e o sam es ee e o ac ie e a ce ai ecisio Su ose we wa a 95% co i e ce i e a
wi a wi o e; i e α ε o - 1 e us o c u e Mo e Ca o we equi e e 1.96a sam e si e o sa is y = E o = (1 9 /E Simi a y w e a yi g a we
ee a sam e si e = (1 9 τ/ε ² e ce i -c c e e es ima o equi es ewe sam es a c u e Mo e Ca o o ac ie e e same ecisio o a s we co si e ca e a ie w e e a is es ima e ia i i sam es o a a om a ia e Mo e ge e a y we may s a wi a es ima o an o a w e e
E[αn ] = a u an is o ecessa i y us a sam e a e age I e es ima o an sa is ies
e C ( o some co s a a i is a co sis e es ima o o e we o ai e a o ima e 95% co i e ce i e a s i ( 5 a ( I e e sec io s we e ami e s eci ic s Si ce ge e a i g a es ima o usi g a o e equi es mo e com u a io a e o a o c u e Mo e Ca o a s ou o y e a ie i e e uc io i a ia ce ou - 14 weig s e a i io a com u a io a e o o ou o ems e a i io a wo k ee e o a y a is o e eg igi e so is is o a issue o mo e e ai s o e mo e ge e a se i g see G y a W i (199
2.2.1 Antithetic Variates
e asic i ea o im eme i g a i e ic a ia es (A (e g Sec io 11 3 o aw ( o es ima e a = E[X] is o ge e a e sam es om C F i ai s (X ,X'), w e e X a X' a e ega i e y co e a e a e a e age e sam es wi i e ai as Z = (X +X')/2. Si ce X a a e e same is i u io we a e E[Z] = a a a [ ] =
(1/ ( a [X] a [Xi] Co [X Xi] = (1/ ( a [X] + Co [X XI]) w e e Co [A ,B] e- o es e co a ia ce o a om a ia es A a B e i e y Co [A ] E [(A — E [A]) (B — E[B])] = E[AB] — E[A]E[B]. I Co [X, XI e Z = (X +X')/2 as sma e a ia ce a e a e age o wo i e e e co ies o X. e e a e a ious ways i w ic we ca ge e a e ega i e y co e a e X a X' wi e same ma gi a is i u io F. o e am e su ose a e ou u X ca e e esse as X = h(U1, , Ud) o some u c io h, w e e U1 U a e i i u i o m a om a ia es o e u i i e a e X' = (1 — U1 1 — Ud) as e same is i- u io as X si ce 1— Ui is a so u i o m o [ 1] I h is mo o o ic i eac o i s a gume s e X a X' a e ega i e y co e a e ; e g see Sec io 1 o oss (1997 Su ose some im eme a io o a i e ic sam i g o uces n ai s o o se a- io s ( 1 1 ( XD, (Xn, X'n a a e e o owi g o e ies
1 e ai s a e i i ;
i eac ai i, Xi a eac a e ma gi a C F, a Xi a X: a e ega i e y co e a e 15
e A es ima o an is e a e age o a a om a ia es
w e e an is e i e i ( 1 a O = (1/ Σ i=1 us we see a an is e sam e a e age o i i sam es o Z = (X + / e es ima o an sa is ies Wen] = a si ce E[Xi] = E[X'i] = a ecause a I eac a e ma gi a C F. A so we a e e C i ( o s w e 'r2 = a [ ] sa is ies oo e i g Z1 = (Xi + 1 / we e o ai a es ima o o as
w ic we ca use i ( o o ai a a o ima e 95% co i e ce i e a o a
Co o a ia es
e key i ea o co o a ia es (C is o e e age k ow e ge o k ow qua i ies o e uce e e o i a es ima e o a u k ow qua i y; e g see Sec io 11 o aw ( e (X, C e a ai o co e a e a om a ia es w e e we a e i e es e i es ima i g e mea a o X, a su ose a we k ow e mea o C We ca C a control variate. o e am e i a queuei g sys em we mig ake C as e a e age o e i s 5 cus ome s se ice imes a we wou y ica y k ow e mea o e se ice- ime is i u io e i e = X — (C — v), a o e a E[Z] E[X] — (E[C] — v) = a so we ca co ec sam es o Z o es ima e a e i ui io e i co o a ia es is as o ows Su ose a X a C a e os- i i e y co e a e e X > a a C e o occu oge e e ce i C e Z = X — — v) < X, so co ec s o e ac a X is ike y a ge a i s mea a 6
Simi a y a a C e o occu oge e w e a C a e osi i e y co e a e
e ce i C e = — (C — so co ec s o e ac a is ike y sma e a i s mea a I e co e a io e wee a C is s o g e oug e we ca o ai a a ia ce e uc io om sam i g a e a
Mo e ge e a y we ca e i e = — p (C — o a y co s a p, so E[Z] = a o im eme C we ge e a e i i sam es ( i Ci i = 1 o ( C a e
= i — (Ci— We e o m a es ima o o a as
( 7
e a ia ce o is
(
a a [ ] a [ ] w e Co ( C β² a (C I o e wo s C yie s a a ia ce e uc io w e a C a e su icie y s o g co e a io
e a ia ce o (a do) e e s o e c oice o e co s a p. Si ce i ( is a qua a ic u c io o 0, i akes e mi imum a ue (1 — a ( a Cov(X,C) /Var(C), w e e = Co ( C / a ( a (C is e co e a io o a C owe e Co ( C a a [C] a e y ica y u k ow a mus e es ima e a we es ima e ia ( 9 w e e e = (1 / Σ i=1 Ci We e su s i u e Ai o p i ( 7 o o ai e C es ima o o a as ( 1
O e com ica io o e es ima o a is a i is o o ge e a e age o i i o se a-
io s si ce eac summa i ( 1 i c u es a w ic i uces e e e ce amo g e 17 summa s owe e i ca e s ow (e g 195-19 o G asse ma ( a an s i sa is ies e C i ( wi "c e i e i ( a
is a co sis e es ima o o us ( o i es a a o ima e 95% co i e ce i e - a o .
2.2. Str t f d S pl n
S a i ie sam i g (SS (e g see Sec io s 3 a 9 3 o G asse ma ( co s ai s e o o io o sam es o e ou u X i o i e e s a a o e sam e s ace Sam es om eac s a um a e ake o es ima e e mea i a s a um a e esu i g es ima es om eac s a um a e com i e o o ai a o e a es ima o e (X ,Y) e a ai o e e e a om a ia es w e e we a e i e es e i es ima i g e mea a o X . We wi use Y as a stratification variable, w ic is some imes a au i ia y qua i y a is ge e a e i e ocess o ge e a i g ou u X. a i io e su o o Y i o k < 00 s a a Si S2, Sk; i e Si Si =0 o i j a (Y E Uki=1Si = 1 o e am e e Si may e is oi i e a s a Sec io s 3 a 9 3 o G asse ma ( esc i es o e ossi e c oices o e s a a e i e Ai = (Y E Si), w ic we assume is k ow e a = E [X] ca e w i e as
( 11
is mo i a es es ima i g y se a a e y es ima i g eac E [X |Y ES i] i ( 11 usi g a ac io o ou o a sam i g u ge n a com i i g e esu i g es ima o s wi
e weig s Xi. o o is we i s s eci y osi i e co s a s y i = 1,... , k, suc a
= 1 e e ni yin e e um e o sam es use o es ima e E [X IY E Si]. (We 1
iscuss a e ossi e c oices o yi o im eme s a i ie sam i g o e i s a um we ge e a e ni sam es Y1 j = 1 ni, om Si. e o eac j 1 i we ge e a e
Xi./ gi e Y = Yi is e esu s i ni i i ai s (Xij, Yi i = 1 ni, om s a um Si. e e SS es ima o o a is ( 1
ecause Xi.] as e is i u io o X gi e Y E Si, e es ima o is u iase si ce
y ( 11 e y e e a ia ce o Xij i e i s a um a we assume eac σ²i
e e a ia ce o an is
( 13
I ca s ow (e g 15- 1 o G asse ma ( a e SS es ima o an sa is ies e
C i ( wi = λ²iσ²i / γi /y We ca e co sis e y es ima e usi g
w ic we ca e u i ( o o ai a a o ima e 95% co i e ce i e a o a
W e e o o e SS es ima o a ac ie es a a ia ce e uc io e e s o e s a i ica io weig s y Wi proportional allocation, we se yi = i so a e sam- i g a ia i i y ac oss s a a is e imi a e wi ou a ec i g sam i g a ia i i y wi i s a a a is is gua a ee o esu i e SS es ima o an i ( 1 a i g o g ea e 19
a ia ce a e c u e Mo e Ca o es ima o i ( 1 ; e g see 17 o G asse - ma ( O e a oca io u es ca a so e a o e a a e a eas as e ec i e as o o io a a oca io e c oice o yi a mi imi es e a ia ce i ( 13 is gi e
y yi = λiσi / Σ σ i e o o io a o e o uc o e s a um o a i i y a e s a um s a a e ia io
2.2.4 Importance Sampling
Im o a ce sam i g (IS (G y a Ig e a 19 9 is a a is o e use i a e-e e simu a io s suc as es ima i g e mea ime o ai u e o a ig y e ia e sys em o es ima i g e u e -o e ow o a i i y i a queuei g sys em wi a a ge u i i e u e ( ei e e ge 1995 e asic i ea o IS is o c a ge e o a i i y is i u io s go e i g e s oc as ic sys em u e s u y o cause e a e e e o i e es (e g sys em ai u es o u e o e ows o occu mo e eque y U iase es ima es a e eco e e y mu i yi g e sam es y a co ec io ac o k ow as e ike i oo a io
Su ose X as C wi o a i i y e si y u c io a e E e e e - ec a io o e a o u e We wa o es ima e a = E[ ] = ( e e a - o e C wi e si y u c io a i g e o e y a o e e y ( im ies
(x) > e E e o e e e ec a io o e a o u e a e i e e ike i oo a io
( = ( ( A c a ge o measu e ca e ca ie ou y w i i g e e ec a io
a ue a o as
( 1 wi L L(X).
is e sugges s es ima i g a y a e agi g ou u s XL ge e a e usi g a e
a sam i g ou u om e o igi a C S eci ica y e i e i i sam- 20
ies ge e a e usi g F., a e Li f (Xi) / (X1) e e ike i oo a io o e i sam e e e IS es ima o o a is
w ic is u iase y ( 1 i e E.[66, ] = a us e a ia ce o XL u e is
( 15
w e e a is e a ia ce u e IS is i u io F. Assumi g a i e IS es ima o 5c, sa is ies e C i ( We ca es ima e e a ia ce ia
w ic we ca e use i ( o o ai a a o ima e 95% co i e ce i e a o a
e key o a yi g im o a ce sam i g is c oosi g F. a o ia e y so a i ( 15 is sma e a a [ ] Si ce E.[(34 ] = a IS ac ie es a a ia ce e uc io w e
E*[X² L ] < E [X ]. Su ose f (x) = o a x < so X is a o ega i e a om a ia e a a
e i e suc a ( 1
o a x a f (x) = o e f (x) > o a si ce a a f (x) > ecause f is a e si y u c io A so
us f, is a e si y u c io I we use is f o im eme IS eac sam e ou u is 2 so e e y sam e ou u is e ac y a e e o e e IS es ima o o a as e o a ia ce a we equi e o y o e sam e o es ima e a wi ou a y e o U o u a e y e e si y
i ( 1 is o im eme a e ecause i e e s o a w ic we o o k ow si ce we a e yi g o es ima e i owe e i ( 1 o i es us wi some i sig i o ow
o c oose a goo c a ge o measu e S eci ica y o e a e o ima IS e si y ( i ( 1 is a ge w e ( is a ge so we s ou y o c oose a c a ge o measu e a gi es mo e weig o a ues o o w ic ( is a ge
O e way o o ai i g a IS is i u io is o a y e o e ia i i g o wis i g (G y a Ig e a 19 9 o e e o is a oac we i s e i e e mome ge e a i g
u c io (MG m( o e a om a ia e u e e o igi a is i u io F wi
e si y as
e o a y o w ic m( we e i e e e o e ia y i e e si y
( 17
e key is c oosi g 0 o o ai a a ia ce e uc io is c oice o e c a ge o measu e is es ecia y e ec i e o es ima i g u e -o e ow o a i i ies i a queue wi a a ge u i i e u e ; e g see ei e e ge (1995
2. Appl t n
We ow o i e e am es i us a i g ow e es ima io ec iques us esc i e ca e a ie Ou e am es w ic a e a om i a ce e ami e ow o o ai a ai ice o a i a cia o uc k ow as a e i a i e A e i a i e is a co ac a e e s o e ice o o e o mo e u e yi g asse s suc as s ocks O e e am e o a e i a i e is a o io w ic g a s e o e e ig a e a e o iga io o uy (ca o io o se ( u o io a u e yi g asse a a i e ice K y a i e ime i e u u e
O io s a e i e e y es o e am e o e o e sim es o ms is ca e a Eu o ea ca o io w e e u e yi g asse is a s ock ayi g o i i e s a is o io ca o y e e e cise a (a o e o e ime T. Su ose e s ock ice is ST a ime T = mA ( e e i y ime is m ays wi A as o e ay a e e e e mi e ice i e co ac is K (a so k ow as strike price). A ime T, i e ice o e u e yi g asse is ST a ST > K, e e o e o e co ac wi e e cise e o io o u c ase o e s a e o e u e yi g asse a ice K a e imme ia e y se i a e cu e ma ke ice ST o gai a o i ST - K; i ST K, e o io wi o e e e cise a e e is e o ayo e e ayo o e Eu o ea ca o io o e a ime T is
We ee o make some assum io s a ou some ma ke a ici a s suc as a ge i es me a ks o e a ua e e a ue o o io s
I e e a e o a sac io cos s
A a i g o i s a e su ec o e same a a e
3 o owi g a e i g a e ossi e a e isk- ee i e es a e r.
I a risk-neutral wo i es o s equi e o com e sa io o isk U e e risk-neutral measure e e ec e e u o a secu i ies is e isk- ee i e es a e w ic mea s e ese a ue o e o io is i s e ec e ayo i a isk- eu a wo iscou e a e isk- ee a e is is a im o a i ci e i o io ici g k ow as risk-neutral valuation, w ic s a es e ice we o ai is co ec o o y i a isk- eu a wo u a so i e ea wo as we ; see u ( 3 o a mo e ge e a isc i io o isk- eu a a ua io us e e ec e ese a ue o e ayo o is Eu o ea ca o io is a = E [e-rT (ST — K)+] , w e e E is e e ec a io u e e isk- eu a measu e a e- is a iscou ac o wi r a co i uous y com ou e isk- ee a e us a is e 3
ai ice o e o io We assume e ice o e u e yi g s ock o ows a geome ic ow ia mo- io ame y a co i uous- ime s oc as ic ocess i w ic e oga i m o e s ock ice o ows a ow ia mo io ; see Sec io 1 3 o oss ( 7 o a asic esc i io o ge- ome ic ow ia mo io a a i o uc io o co i uous- ime s oc as ic ocesses a s oc as ic i e e ia equa io s (S E e we -k ow ack-Sc o es mo e o ose y ack a Sc o es (1973 esc i es e e o u io o e s ock ice oug e S E
( 1 w e e c is e o a i i y o e s ock ice a W is a s a a ow ia mo io e ow ia mo io W as e o e y a e c a ge ΔW u i g a e io o e g A sa is ies AW = ε Δ w e e e is a a om a ia e a i g s a a o ma is i u io ( 1 is i ica es AW i se as a o ma is i u io wi E [A141 = a a (ΔW =
A Su ose S is e s ock ice a i = iΔ o i = 1 o is Eu o ea ca o io i a mu i- e io ime i e a T mA so i g ( 1 ea s o
S = S i-1 + ψ i = So i+ ψ ( 19 =1 w e e 1 m a e i i s a a o ma s ( 1 p. = (r — σ²/ Δ is e isk- ee a e o e u u e e isk- eu a measu e So is e ese ice o e s ock a
= om ( 19 a c ose - o m so u io o a, e e ec e iscou e ayo o e Eu o ea ca o io ca e com u e ( ack a Sc o es 1973 w ic i ica es Mo e Ca o me o s a e o ee e o is case a ui g mo e com e o io s owe e may equi e a ious Mo e Ca o me o s o e a ie e we wi use i e e y es o Mo e Ca o ec iques o e a ua e com e o io s 24
2. . U n Cr d M nt C rl t r n A n Opt n
A Asia o io is a a e age a ue o io i e e om e usua Eu o ea o io a Ame ica o io e ayo o a Asia o io e e s o e a e age ice e e o e u e yi g asse o e e i e o e co ac o a Asia ca o io e ayo a ime is (g — K wi (
is mea s e o io is e e cise a i a o y i g K a e ayo is e amou y w ic S e cee s K o e a ua e e e ec e iscou e ayo
( 1 we i s ee o ge e a e sam es o
(
y simu a i g e a s S 1 St , S „, ase o ( 19 e o e i simu a e a e
iscou e ayo o e Asia ca o io is Xi = e - - K +, w e e Si is e a e age ice e e e i e i ( o e i a A e simu a i g n suc a s ca cu a e e sam e a e age o e as α = 1/ Σi=1 1 i w ic is a co sis e es ima o o e ai ice o is ca o io Com u i g e sam e a ia ce o e Xi e ea s o a co i e ce i e a o e ai ice a Sec io 1 1 o G asse ma ( o i es mo e e ai s o ici g a Asia ca o io wi c u e Mo e Ca o
2. .2 U n C t r n A n Opt n
Kem a a o s (199 sugges a e ec i e a oac o ice Asia o io s wi C o e a ua e e i e i ( 1 we ca e i e a C C o e e iscou e ayo o a 2 geome ic a e age o io
w e e SG mi=1 S i ¹/m We ca a a y ica y com u e = E [C] i c ose - o m y usi g e ac a
see a e a a io o ici g a geome ic a e age o io i Sec io 3 i G asse ma ( e we ca es a is a C es ima o o a as
w e e in is com u e acco i g o ( 9 a Ci is e iscou e ayo o e geome ic a e age o io o e i e ica io G asse ma ( makes com a iso s o i ica e a yi g a C C ca esu i a a o ima e i y- o s ee -u i simu a io ue o a ama ic a ia ce e uc io
2. . U n A t r Kn t Opt n
A k ock-ou o io is a o io wi a s eci ie a ie a i s ayo ceases o e is i e u e y i g asse ice c osses e a ie e o e e e i y Su ose a es eci ie owe a ie ice is A co a e o io is "k ocke ou i e ice o e u e yi g asse goes e ow e a ie A a a y ime i i = 1 m (We cou a so s eci y a u e
a ie u we o o o sim i y e iscussio us e ayo a is e i e as
Using (2.19), the discounted payoff of a knock-out option is
(2.23)
Now we want to compute the fair price a = E[h(Zi,Z2, ,Zm ] of this knock-out option.
Since Zj has a standard normal distribution N(0,1), we know —Z1 also has a standard nor- mal distribution N(0,1) with negative correlation to Zj due to its symmetry with respect to the origin. Then, it is natural to build an AV pair (h(Z1 , Z2, ,Zm), h(—Z1, —Z2, , —Zm ) with
where D= denotes equal in distribution. By (2.23), we see that h is mononotonic in each Z ] because
1. ψ is osi i e so o eac k > j, S k defined in (2.19) increases as Z ] increases;
2. indicator functions are monotonically increasing.
and h(Zk,1,Zk,2, ,Zk m ) is defined by (2.23) with k being the jth independent sample of a standard normal in the kth replication. 2
2. .4 U n IS t r Kn n Opt n
A k ock-i o io is simi a o a k ock-ou o io as a o io wi a ie s u a k ock-i o io equi es a e u e yi g asse ice i s a a ie e o e e e i a io
; see oy e e a (1997 o a ge e a esci io o k ock-i o io s e e a owe
a ie a e K e e s ike ice e k ock-i o io ays S - K a ime i S K a S ; o some i m I some co ac s e owe a ie is s eci ie o e muc sma e a e i i ia ice a e s eci ie s ike ice is muc a ge a I is case i is a a e e e o e u e yi g asse ice o o e ow e owe a ie a
e mo e u o e cee e s ike ice o ge e a e a osi i e ayo a ime e e o e mos a s o a c u e Mo e Ca o simu a io wi esu i a e o ayo a c u e Mo e Ca o is o e icie owe e IS ca o e ia y make k ock-i ess a e
Se = S e— as e owe a ie w e e a co s a is gi e Su ose
e s ike ice is K = S eC w e e co s a c We ca w i e ( 19 as
w e e 1/ = wi i i o ma a i g mea a a ia ce I? e = i (i
S w ic is e i s ime o o e ow o equi a e y U — o e i s ime
e = mi (τ m e e o a i i y o a osi i e ayo is e m Um c w ic is c ose o e o i a c a e o a ge
e κ( e e cumu a ge e a i g u c io o w e e κ( = m(θ a m( = E [eθ ] is e mome ge e a i g u c io o i o e e o e ia y i e
is i u io e i e i ( 17 wi i i g a ame e i u s ou i s mea is κ ( e
e i a i e o κ( ; e g see 1 o G asse ma ( W e e i i g a ame e
( es 0 > e e mea o e e o e ia y i e is i u io is sma e ( es
a ge a e o igi a mea o We wi esig a IS o a y a c a ge o measu e i e o owi g ma e use some 1 o e o e ia y wis e is i u io o i 28 u i e a ie H is i a e wis e seque ce { τ+1 ...} by some o su seque y us e ice owa s K. is mea s Ui is gi e a i o
( u i i = a e e i is ( 5 w e e i a o i c ease e c a ces a e o io ayo is osi i e y a c a ge o measu e we a e
w e e i ca e s ow a e ike i oo a io
wi f (X) as a e si y u c io o N(µ, y! ) a κ( = + ψ²/ is c a ge o measu e ocess is o e y c a gi g e mea o e o igi a measu e o i a p2 i e ew measu e as esc i e a o e ow we e ai ow o c oose i a p2. Mos o e a ia i i y i L comes om e a ie -c ossi g ime us we wi y o c oose 1 a so a 'r ca ce s ou i L, e e y owe i g e a ia i i y o L. o a ge b a c, e y ica way a osi i e ayo occu s is e u e yi g asse ice o s ow om e i i ia ice o a e y i e owe a ie a e mo e u o a e y i e s ike ice a e m s e is im ies
Per m; c (Uτ — Um c). I we c oose i a so a κ( 1 = κ(
e e ike i oo a io L e uces o L e (—(θ1 — 02)U, — Um + mκ(θ w ic 9
e e s o o y oug UT —b a us e imi a es e a ia i i y esu i g om Si ce κ( 1 = κ(9 i ca e s ow a = —p„ ue o ( a ( 5 o se ec 1 a we co si e e a ec o y o Ui wi i µ1 om e i i ia oi u i —b is i o e i s ime a e e i is u e ea e e i ca e s ow a we ee o se ec o sa is y
w ic esu s i µ = ( + c)/m. oy e e a (1997 ese em i ica esu s om simu a io s o a k ock-i o io wi a ious a ame e s a ey o ai a ia ce e uc io s o u o a ac o o 11 G asse ma ( o ai s a simi a esu a a so o es a e a ia ce a io e e s ima i y o e a i y o e ayo a o o e wise o e ma u i y CHAPTER 3
QUANTILE ESTIMATION FOR CRUDE MONTE CARLO
We ow u ou iscussio o es ima i g a qua i e e X e a ea - a ue a om a ia e wi C F. o a ea - a ue u c io G, e i e G-¹ (a) = i { G(x) > a}. o a i e
p < 1 we wa o com u e e qua i e /9 = F -¹ (p). Su ose F is i e e ia e a a a ( w e e f (x) = dF (x) I dx.
We wi es ima e ξ usi g simu a io C u e Mo e Ca o es ima io o e ai s
i s ge e a i g i i sam es X1 , om is i u io F. e we com u e e empirical distribution function F as
(3 1 as a es ima o o F (x), w e e /(A is e i ica o u c io o a se A a assumes a ue 1 o A a o AC We e com u e e -qua i e es ima o = F -¹ (p). A a e a i e way o com u i g is i e ms o o e s a is ics So e sam es i ,Xn i o asce i g o e as ( 1 ( • • • X( , w e e X(i) is e i sma es o e sam es
e „ = ([ ] w e e is e ou -u u c io
oug y s eaki g we a e a F (x)F(x) o a o a ge sam e si es n, so
1 4p us si ce p = F(4), a ay o a o ima io gi es
i n (ξp si ce (ξ e ce ξ ( (ξ — P) I f (4) • a a u (19 makes igo ous e a o e eu is ic a gume S eci ica y assum- i g a ( a a e seco e i a i e o F is ou e i a eig o oo o 1
30 31
e o es e o owi g w ic as ecome k ow as a Bahadur representation:
(3 w e e a mos su e y (a s
(3 3
e o a io "Yn = O(g(n)) a s " mea s a e e e is s a se suc a (5 = 1 a o eac co E e e e is s a co s a (ω suc a Y ( o (ω g( o n su icie y a ge Kie e (19 7 s ows e e ac o e o Rn is O( -³/ ( og og 3/
I is we k ow (e g Sec io 3 3 o Se i g (19 a j/( 4 n 4) co e ges i is i u io as n o a o ma a om a ia e wi mea a a ia ce p(1 - p)1 f (4), a so oes n(p - Fn ( / ( si ce Fn(ξ is e a e age o i i i ica o u c io s u a a u s e ese a io goes u e y s owi g e i e e ce e wee ese wo qua i ies a oac es a s a o i es e a e a w ic e i e e ce a is es
o pn p 0(n-11 ), e i e 4„,n 1 (pn ). Assumi g o y a f > G os (1971 s ows a (3 wi R'n i (3 sa is yi g (3 5 w e e e o es co e ge ce i o a i i y ( 33 o i i gs ey (1995 is weake o m o e a a u e ese a io i (3 a (3 5 w ic we ca a Bahadur-Ghosh representation, su ices o mos a ica io s i c u i g ou s O e co seque ce o e a a u -G os e ese a io o c u e Mo e Ca o is
a i im ies a C o e qua i e es ima o ξ n Fn-¹ (p), as s ow i eo em 1 3 3 o a i a aga a a ( 3 aki g p = p i (3 we ca w i e
(3
e e o e co e ge ce i is i u io ( i i gs ey (1995 Sec io 5 a e i e
N(a,b² ) as a o ma is i u io wi mea a a a ia ce ² a (ξ is e sam e a e age o /(Xi ξ1 = 1 n, w ic a e i i wi mea p a a ia ce (1 — p), im ies a e i s e m i e ig - a si e ( S o (3 co e ges i is i u io
o ( (1 —p)1 f² (ξ as n co Mo eo e e seco e m o e S o (3 a - is es i o a i i y as n y (3 5 e ce (ξ — N (0,p(1 — /f²(ξ as n y S u sky s eo em (Se i g (19 19 C A E
A A U -G OS E ESE A IO W E A YI G S
ecause c u e Mo e Ca o is some imes i e icie o es ima i g qua i es we may y o o ai im o e qua i e es ima o s y a yi g a a ia ce- e uc io ec ique ( s o e c a ge e way sam es a e ge e a e o co ec a i io a a a a is ea s o i e e es ima o s o e C We e i e e esu i g es ima e C o o ai a qua i e es ima o We ow es a is a ge e a ma ema ica amewo k a wi a ow us o s ow a a a a u -G os e ese a io o s w e a yi g i e e s We wi e a y is amewo k i su seque c a e s o e ami e im o a ce sam i g (IS s a i ie sam i g (SS a i e ic a ia es (A co o a ia es (C a ce ai com i a io s o em
e n e o e a ge e ic es ima o o e C o ai e w e usi g a w e e n is e "com u a io a u ge " w ic we e i e i e e y o a ious simu a io me - o s o e am e w e a yi g IS n is e um e o sam es ge e a e om a ew
is i u io * o ai e om a c a ge o measu e (see C a e 5 o e ai s W e em- oyi g A n e o es e um e o a i e ic ai s (C a e o C n is e um e o ai s o ou u a co o co ec e (C a e 7
ow se = i 1 ( as e es ima o o e n -qua i e o p = p
0(n - 11² ). A a ogous o e a a u -G os e ese a io i (3 o c u e Mo e Ca o we w i e ( 1
o o ai a esu simi a o (3 5 we equi e a n sa is ies e o owi g assum io s
Assum io A (Mn -- 1 as n co, where M is the event that Fn(x) is monotonically increasing in x.
is assum io a ows o e es ima e C o o ecessa i y e mo o o ica y
33 3 i c easi g i u e o a i i y o is occu i g mus a is as i c eases o ma y
( u o a s ( wi a ways e mo o o ica y i c easi g i o eac so As- sum io A wi i ia y o
Assum io A o e e y an = ( -11²
as --
is assum io equi es a e sca e i e e ce i e ac ua C a e C es ima o o e a ua e o e a i e a o e g o o e -11² wi a e oi ξ a - is es i o a i i y as We o i e a se o su icie co i io s o Assum io A i Sec io 1 We a so equi e a a C o s o e C es ima o a ξ
We wi s ow i e a e c a e s a A -A3 o o e s we co si e I
e case o c u e Mo e Ca o w e e n i (3 1 e aces Assum io A o s si ce
n ( is mo o o ica y i c easi g i o eac Mo eo e G os (1971 (a so see a i a aga a a ( 3 7 s ows a Assum io s A a A3 o y e oi i g e
ac a n ( as a i omia is i u io wi a ame e s a ( A so o c u e
Mo e Ca o ψ² = a [I( ξ ] = (1 - i Assum io A3 e o owi g eo em s ows a o a C es ima o o ai e w e a yi g s a sa is yi g ou assum io s a a a u -G os e ese a io o s o e e- su i g qua i e es ima o
eo em 1 Su ose sa is ies Assum io s A1-A3 I (ξ a n - = ( -11²
e ( 1 o s wi (
A sim e co seque ce o eo em 1 is a 4,n -¹ ( is a co sis e es ima o o ξ w ic we ca see as o ows Assum io A3 im ies 11(ξ (ξ y eo em 3 o e ma (1999 e ce ( 1 e su es
( 3 as y eo em 1 a S u sky s eo em Mo eo e eo em 1 a so im ies e o owi g C o e es ima o o e qua i e
h r 2 Su ose n sa is ies Assum io s AI A3 I (ξ e
(
p p as w e e κ = ψ is e i e i Assum io A3 a O = (ξ •
o c u e Mo e Ca o o a y e a ame e κ i ( a ways as e same
asic o m o ψ φ e a ue o ψ om Assum io A3 e e s o e a icu a
use (a equa s 9(1 - o c u e Mo e Ca o u Op oes o c a ge us e icie qua i e es ima io y ica y ocuses o a yi g a o e uce ψ e C i eo em o i es a way o co s uc co i e ce i e a s o a qua - i e es ima e usi g s o i e we a e co sis e es ima o s o ψ a Op. o a e
Op, we i s o e a ± ( -¹ ( = 1/ ξ = Op y e c ai u e o i e e ia io a we o ose e ow some i i e- i e e ce es ima o s (e g Sec io 7 1 o G asse ma ( o (1 e c e a y co s a a e i e n = + c -¹/² a = - c -¹/² e e i e e es ima o s
( 5
( 6
Note that φ 1 (c) is a forward (resp., backward) finite-difference estimator of Op when
c > 0 (resp., c < 0) since p n 1 (c) = [F„-¹ (p + cn -¹/²²) —Fri ¹(p)]/(cn-¹/²). Similarly,
(C is a central finite difference. To define additional estimators of Op, let C1,... , cr
• = 1 and WI , , w r be any nonzero constants (some possibly negative) with Σ j=1 W Then define estimators
(4.7) which are weighted combinations of the previous finite-difference estimators. The follow- ing theorem shows that all of our estimators of Op are consistent. In addition, if we also
a e a co sis e es ima o ψ o ψ i Assum io A3 e we ca co sis e y es ima e
= 16,0p in (4.4) by taking the product of the consistent estimators of 16, and Op , and the
C i ( s i o s w e κ is e ace y i s co sis e es ima o
h r Assume the conditions of Theorem 2 hold. Then for any nonzero constants c and ch... ,cr,
(4.8)
(4.9)
(4.10)
Hong (2009), Liu and Hong (2009) and Fu et al. (2009) develop consistent estima- tors for derivatives of quantiles with respect to certain model parameters, but their methods do not apply for estimating O = -¹ (p) and/or when using VRTs. When applying crude 37
Mo e Ca o (i e i i sam i g oc a Gas wi (19 a o i ge (1975 s ow
a es ima o s a a ogous o φ n,i(c), i = 1 i ( 5 a ( co sis e y es ima e O Mo eo e a u (19 co si e s es ima o s a a e weig e com i a io s as i ( 7 o i i sam i g A o ei co sis e cy oo s e y o e ese i g eac i i sam e Xi as
= F-¹(Ui), w e e Ui is u i o m y is i u e o e u i i e a owe e ese a gu- me s o o ge e a i e w e a yi g s suc as im o a ce sam i g so we equi e a i e e a oac o es a is ( a ( 9 I a icu a Co o a y 5 o Se i g (19 o i es a me o a e oi s e a s a a u e ese a io om (3 a (3 3
o i i sam i g o co sis e y es ima e O a we mo i y is i ea o wo k i s ea wi a a a u -G os e ese a io a s We ow o i e a a go i m a s ows ow o use ( 1 o co s uc a asym - o ica y a i co i e ce i e a o e qua i e ξ w e a yi g a ge e ic
Algorithm
Goa Co s uc a oi es ima e a 1 (1 — a % co i e ce i e a o ξ
Gi e C es ima o ase o a com u a io a u ge o ; r > 1 o e o co s a s
c1 c C a w1 w w wi Σ =1 w = 1; a a co sis e es ima o n o yi S e s
1 Com u e e oi es ima o ξ = 1 ( o ξ
Com u e κ = φ i(c1 c o ei e i = 1 o i = w e e φ i( c1 • • • c is e i e i ( 7
3 A asym o ica y a i 1 (1 — a % co i e ce i e a o ξ is e (
1_ a/ κ / w e e β = φ-¹ ((3 a (I is e C o a N ( 1 a om a ia e
I e o owi g c a e s we ese e ici o mu ae o e es ima o s a
ψ n i e a o e a go i m o i e e s a ese es ima o s ca e e use o 8
compute 4,n and φ i (C1 cr). To simplify notation, we will continue to use the same variables n ψ and , , c in each case rather than develop new notation for each different VRT.
4. r f
4. . r f f h r
To prove Theorem 1, we will first use the following lemma established by Ghosh
(1971); also see pp. 286-287 of David and Nagaraja (2003) for more details. We then transform Rn in (4.1) in terms of the two sets of variates described in the lemma to complete the proof as required.
(4.11)
(4.12) and note that (4.1) implies
(4.13)
We ow s ow a ( „ WO sa is ies co i io s I a o emma 1 o es a is ou eo- em i s Assum io A3 im ies co i io 1 o emma 1 y eo em 3 o e ma
(1999 We e o e co i io (a o emma 1 o s eca Mn is e e e a F (x) is mo o o ica y i c easi g i a e Mcn e i s com eme e
w e e
i E a si ce
( 1 es a is i g co i io (a o emma 1 is equi a e o o i g e i s e m o e S o ( 1 a oac es as ecause o Assum io A Si ce F is assume o e
i e e ia e a /3 You g s o m o ay o s eo em ( a y (195 7 im ies 40
si ce (ξp I is us c ea a y n y as si ce - = ( - ¹/²² e e o e
e e e is s suc a y - yn e/ o a so aki g e i e e ce o e wo i equa i ies i e i s e m o e S o ( 1 gi es
e ce o s ow e e - a si e o ( 1 a is es as i su ices o o e
( 15
o e a
a we a e n - = ( - ¹/²² y assum io so in +y -¹/² = ( -¹/²² Co seque y
( 15 o s y Assum io A us e ( n Wn ai sa is ies co i io (a i emma 1; co i io ( o e emma may e simi a y es a is e so ( 11 o s eca i g ( 13 e com e es e oo
4. .2 S ff nt C nd t n f r A pt n A2
As a a e a i e o i ec y s owi g Assum io A o s we ow o i e a se o su icie co i io s o e assum io
is co i io equi es e e ec a io o e i e e ce i e C es ima o a ξ a a
e u a io om ξ19 o o e -11² o equa e i e e ce o e C a e wo a ues 4
us a ias e m a goes o su icie y as o e a Co i io C1 o s w e n ( is a u iase es ima o o ( o a
C nd t n C2 o e e y an = ( -¹/²² E [ n(ξp + an — (ξ )] ² = [ (ξ + an — (ξ ]² +
S (an / w e e sn (an -- as
is co i io co si e s e seco mome o e i e e ce i e C es ima o a ξ a a e u a io om ξ o o e -¹/²² e co i io equi es a e seco mome ca e e esse as e squa e o e i e e ce i o a i i ies ue o is e u a io wi a emai e a oac i g su icie y as
r p t n Co i io s C1 a C oge e im y Assum io A
o es a is Assum io A i su ices o o e E[( — W ²] as o ; e g see
eo em 1 1 o e ma (1999 e o = ( + an — (ξ a (ξ + a -- (ξ e ( 1
Co i io s C1 a C im y E[ n] = o + (an I a E [13 n] = s (a / u i g ese i o ( 1 yie s
( 17
Acco i g o You g s o m o ay o s eo em ( + a — (ξ = ( (ξ + ( 1 a •
Si ce an = ( -¹/²² we a e o = (ξ + a — (ξ = ( -¹/²² ow we use e
o e ies o n a sn i Co i io s C1 a C w ic e su e ( 17 co e ges o as
so Assum io A o s 42
4. . r f f h r 2
y ( 1 we a e
( 1
e i s e m o e S o ( 1 co e ges i is i u io o a s a a o ma y Assum io A3 a e seco e m co e ges i o a i i y o y ( us e esu o ows om S u sky s eo em
4. .4 r f f h r
y eo em 1 a ( 1 we a e
as n w ic com e es e oo o ( o i = 1 We ca simi a y o e ( o i = A so ( 9 e o ows om S u sky s eo em si ce Σk =1 = 1.
o o e ( 1 we o y co si e w e k si ce κ ψp nφp n ( 1 • • • r
ψp nφp n ( is us a s ecia case wi r = 1 eca ψ ψp y assum io a a so ( 9 o s w e e i o cases e imi s a e e e mi is ic e ce S u sky s eo em im ies κp n κ as w e e κ is e e mi is ic e com i i g is wi ( usi g S u sky s eo em es a is es ( 1 C A E 5
QUA I E ES IMA IO USI G IS+SS
IS a SS a e wo s use o im o e e e icie cy o simu a io s a com i i g em may u e e a ce e e ec e o e esc i i g a com i e IS+SS qua i e es ima o e e o e y G asse ma e a ( we s a y a yi g us IS a o e wi ou SS as i G y (199 We i s e ai ow o a y IS i e sim e case w e e ou u X as C F a e si y u c io f . e e a o e C a e f e e e si y u c io o F* wi e o e y a o eac t, f (t) > im ies a f (t) o e am e i F is
o ma wi mea a a a ia ce σ e we ca c oose F* o a so e o ma u wi
i e e mea a a a ia ce σ e i e E* o e e ec a io u e C F. A so
e i e L(t) = f (t) I f*(t) o e e ike i oo a io a t. e we ca w i e
e a o e sugges s a o es ima e F (x) usi g IS we ge e a e i i sam es X_ ,Xn o X om C F* a a e age /(Xi x)L(Xi), i = 1 n. As e ai e i G y a Ig e a (19 9 IS a ies mo e ge e a y a e si u- a io we us esc i e e P e e o igi a o a i i y measu e go e i g e s oc as ic sys em o ocess ei g s u ie a e e a o e o a i i y measu e suc a o eac (measu a e e e A P(A) im ies P, (A) > ; i e P is a so u e y co i uous ( o i i gs ey (1999 wi es ec o e i e E* as e e ec a io o e a o u e e IS o a i i y measu e a e i e e ike i oo a io L = dP/dP*, w ic is a so ca e e a o - iko ym e i a i e o P wi es ec o ( 3 o i i gs ey
3 44
(1999 e we a e
(5 1 w ic is k ow as a yi g a c a ge o measu e is mo i a es es ima i g ( as o -
ows Ge e a e i i sam es ( i i ( n n o ( usi g a e IS es ima o o is e (5
I e i g os esu s i e IS qua i e es ima o
eca e c u e Mo e Ca o es ima o o is gi e i (3 1 w e e e i i
(3 1 a e ge e a e usi g e o igi a measu e i uce y C y eo em e key o a yi g IS o es ima i g ξ is c oosi g so a a . [/( ξ ] a [I(
ξ/3 )] = (1 — o ac ie e a a ia ce e uc io ( e a i e o c u e Mo e Ca o w e e a
e o es a ia ce u e measu e G y (199 a G asse ma e a ( ese a icu a c oices o o a ious se i gs
o a i io a y i co o a e s a i ie sam i g we i e i y a s a i ica io a ia e
Y suc a a Y a e e e e We a i io e su o o Y i o k s a a Si Sk suc a eac {Y E Si} is k ow a Σki=1 o e am e e s a a may e is oi i e a s a Sec io s 3 a 9 3 o G asse ma ( iscuss se e a o e c oices o se ec i g e s a a e e o e y (5 1 we ca w i e
o e a we e i e (5 3 y i s a yi g IS a e usi g s a i ica io so Y is is-
i u e u e e IS measu e (I s ea a yi g SS i s a e IS ea s o a i e e
e ese a io o a us a i e e es ima o ; see G asse ma e a ( a o e- 4
ai s
IS+SS es ima io o e ai s e aci g eac co i io a e ec a io i (5 3 wi a a e age o sam es om e co es o i g s a um We ow o i e e ai s o is a oac as e e o e i G asse ma e a ( a e i e e sam e si e i eac s a um i as i = yi w e e e yi a e use -s eci ie co s a s sa is yi g = 1 (We a e
iscuss ossi e c oices o yi o sim ici y we assume a i is a ways a i ege so
e o a um e o sam es ac oss a s a a is E i i i = o eac s a um i = 1 k we use e IS measu e /3 o aw i sam es Yi =1 i o Y co i io e
o ie i Si e o eac = 1 i ge e a e i as a sam e o a i g e co i io a
IS is i u io o gi e Y = Yi a e i e e co es o i g ike i oo a io We us
a e i i i sam es ( i = 1 i o ( Y om s a um i (G asse ma e a ( em oy a " i ossi g" me o o ge e a e sam es o e i e ( i Yi i
e ( 1 Yi i sam e i es ac oss s a a a e ge e a e i e e e y e e IS+SS es ima o o e C is
(5
We a ow o s = i w ic case e ike i oo a io EE 1 a we o o a y IS A so
e um e o s a a may e k = 1 i w ic case e e is o s a i ie sam i g e ce e o owi g esu s o IS+SS e com ass c u e Mo e Ca o IS-o y a SS-o y as s ecia cases
h r 4 Su ose (ξ a o eac s a um i su ose e e e is s E a
3 suc a E [I( i + δ ²i +ε] e n e e IS+SS es ima o o e i e i (5 e n sa is ies Assum io s AI A3 w e e yi λ²iζ²i / γi is e a ia ce co s a i Assum io A3 wi
(5 5 46
. - Thus, Theorem 1 impl es ξ n = Fri (p ) with p — p = 0(n -¹/²2) satisfies the Bahadur-
Ghosh representation in (4.1) and (4.2).
We ece y ou ou a i e e e y o ou wo k Su a o g ( 1 es-
a is a e IS-o y qua i e es ima o o ai e y i e i g is i (5 sa is ies a a s a a u e ese a io a a ogous o (3 a (3 3 usi g a i e e oo ec ique a u e a s o ge se o assum io s a we use S eci ica y ey u e assume a e e si y f is osi i e a co i uous y i e e ia e i a eig o oo o 4p a a e ike i oo a io L(x) is ou e i a eig o oo o ξ A so ey o o co si e IS+SS ( o A a C as we o Mo eo e ey e ami e o y e case o i e p a
o e u e p , e a e o w ic is esse ia o ou a oac o e e o i g co i e ce i e a s o ξ e e esu s ows a e IS+SS qua i e es ima o sa is ies a C
h r Su ose (ξ and for each stratum i, suppose there exists ε and
3 > such that E*[I(Xij < ξ ²i +ε] CC e „ = (p) with Fn defined in (5.4) satisfies
(5
(5 7
as w e e κ = ψ φ O = (ξ 1 is e i e i eo em e es ima o
κ = c c is from (4.7) with nonzero constants , c
and w sa is yi g Σ =1wj = 1 for i =1 or ψ² , = Σki=1 λ²iζ²i,n yi and
(5
We ow iscuss ossi e c oices o e s a um a oca io weig s y Se i g
= Ai o eac s a um i gua a ees a e C es ima o ( i (5 as o g ea e 4 variance than Fos (x) in (5.2), which implies the IS+SS quantile estimator has no greater variance than the IS quantile estimator does; e.g., see p. 217 of Glasserman (2004). We A can do even better by choosing y to minimize λ²ζ²i / /yi. yi subject to E,_ 1 y = 1 and yi > 0. The stratum allocation weights solving this optimization problem are given by
k1=i ;e g Ej=ζλζ λi/ see 17 o G asse ma ( Si ce e ζi a e y ica y u - k ow we mig i s es ima e em om i o u s a e use ese a ues o es ima e e yi* .
The right tail of Fn,IS in (5.2) may not behave as a proper CDF since it is possible
(and indeed likely) for limx—> Fn,IS (x) = a with a <1 or a > 1. To avoid such a situation,
Glynn (1996) also proposes another IS estimator of the CDF, F' IS (x) 1 — 1/nEni=1 I (Xi > x)L(X1), which can be more effective when estimating a quantile for p ti 1. (However, we may instead have lim -- / IS (x) = b with b < 0 or b > 0, so may not be appropriate when estimating a quantile for p ti 0.) Glasserman et al. (2000b) develop the corresponding
IS+SS estimator of F:
(5.9)
The following two theorems, in which primed variables replace non-primed variables from before, show that quantile estimators based on inverting F'n satisfy a Bahadur-Ghosh repre- sentation and CLTs. They can be shown by straightforward modifications of the proofs of
Theorems 4 and 5.
h r 6 Su ose (ξ 0, and for each stratum i, suppose there exists c 0 and
3 > 0 such that E*[I(Xij > ξp - +E ] < 0° Let Fn be the IS+SS estimator of F defined in (5.9). Then F n satisfies Assumptions Al—A3, where 16 = Σki=1 1 A,7 yi is the variance constant in Assumption A3 with 1 = > )L²ij ] - ( ξp | Y E Se). Thus,
Theorem 1 implies 1 = -¹( with p — p = 0(n -¹/²2) satisfies the Bahadur-Ghosh representation in (4.1) and (4.2).
48
h r Su ose (ξ and for each stratum i, suppose there exists E and
> such that E*[I(Xij > ξ - σ ²i +ε] °C Suppose = F'n-¹(p) with F' , defined in (5.9) satisfies
(5 1
(5 11
as n co w e e κ = ψ φ O = 1/ (ξ ψ is e i e i eo em e es ima-
tor κ = φ i i(c1 • • • c Op • • C uses I" n in (4.7) with nonzero constants
,c and w sa is yi g Σ =1 wj = 1 for i = 1 or ψ ²p,n = A 7 ζ²i /yi and 2 i = = E • n!7 1 I(Xij • > ξ' — ( Σ i =1 I(Xij • > i •
G asse ma e a ( a so o e a e qua i e es ima o 13 n o ai e usi g IS+SS sa is ies e C i (5 1 ( u ey o o co si e e C i (5 11 wi es ima e a ia ce A so G y (199 es a is es C s a a ogous o (5 a (5 1 ( u o (5 7
a (5 11 wi es ima e a ia ce o e IS-o y qua i e es ima o 4, equa o n-¹,IS (
o F " (p). o G asse ma e a ( a G y (199 a y e e y-Essée eo em (e g 33 o Se i g (19 i ei oo s a co seque y ey equi e
e ike i oo a io i o a e a i i e i mome (u e e IS measu e Ou oo o (5 uses a i e e a oac em oyi g e a a u -G os e ese a io w ic a ows us o e a e mome co i io o e ike i oo a io o i s ea equi e E*[I(Xij <
ξ + 5 a7 £ ] CO o some E a S > Mo eo e u e e s o ge assum io s
iscusse ea ie Su a o g ( 1 es a is a e IS-o y qua i e es ima o (p) ¯¹ IS o eys e C i (5 u ey o o co si e (5 7 wi es ima e a ia ce o IS+SS
We ow e ai ow o i e e es ima e C i (5 We a e gi e Ai, ni, a Li j, a eca e o a um e o sam es ac oss a s a a is n. o eac i = 1 , k,
a j = 1 ni, e i e Am = Xij a Bm = Li λi/ i w e e m = j. e so
Ai A ,A i asce i g o e as A( 1 A( • • • A ( a e (i co es o o A(i 4
o i e q 1 e i e e q qua i e es ima o 4,n o e i 1 (q = A w e e i q is
e sma es i ege o w ic Σ iqm=1 (m q Simi a y o e es ima e C i i (5 9 we com u e e q qua i e es ima o 4 n o e -¹ (q = AK w e e is e sma es i ege o w ic Σm=u +1 ( 1— q
. r f
. . r f f h r 4
eca e IS+SS es ima o ( o F (x) gi e i (5 Si ce Lid, I(Xij i a
Al a e a o ega i e ( is mo o o ica y i c easi g i o eac so Assum io A1 is sa is ie ow we wi s ow a Assum io A o s y e i yi g Co i io s C1 a C a a yi g o osi io 1 o a E 91 we a e
(5 1
y (5 3 so ( is u iase o a e ce Co i io C1 is sa is ie wi r (• = i is case
We ow s ow Co i io C o s e a = ( -¹/² a e i e D = 11(ξ + a ) — E ( ). Se ρ = mi ( ξ ξ13 + a ) a ρ = max( , ξ + a ), SO
(5 13 w e e 5 a y e i e e e ce o ( i Yi i a ( i Yi y' i o i i
We ca e e ess A = A1 +A w e e
(5 1
a y e i e e e ce o ( i Yi i a ( i Yi , i o
We e w i e A = A 1 -A w e e
(5 15
e (5 1 a (5 3 im y
= E, [I(ρ ρ ] = (ρ ρ (5 1 51
e ce su s i u i g (5 1 —(5 1 i o (5 13 yie s
(5 17
ow we ee o c eck i sn (an ) nA1 — A as n as equi e y
Co i io C We assume i E*[I(Xij + ²i +ε- ] o eac s a um i, a
e -c = ma i=1 k i¹/(¹+ε w ic isi i i e si ce k < co. eca ni = yin, a o e a
I²(• I( • e a yi g a c a ge o measu e a o e s i equa i y o (5 1 yie
o n su icie y a ge si ce e I(ρ 1 < < < ξ + σ ecause ρ =ma (ξ ξ + an ) a an ( -¹/² Simi a y we ew i e (5 15 as
w ic ea s o 2 sn (an as -- ecause yi 1 a co a e Co i io C o ows om (5 17 Co seque y Assum io A o s y o osi io 1
as y we ee o s ow Assum io A3 o s eca a i = yi so
(5 1
w e e G1,n = I < ξ i ( i1 ξ ] A so I ( is ξ i j = 1 i a e i i wi i i e a ia ce u e si ce i e ce Gi n ( V) i as °(3
o eac i w e e = a [I( i ξ i ] , w ic equa s (5 5 om a c a ge o measu e
e sam es ac oss s a a a e i e e e so e i e e e ce o Gi n i = 1 k im ies e i e e e ce o i i = 1 k I o ows a (Gi, ,i = 1, • • • , k) (Ni = 1 , . , k as co y eo em 11 o W i ( e a y e co i uous ma i g
eo em o (5 1 a o ai ( ( (ξ - " ( Σki=1 A 7 I yi w ic com- e es e oo
. .2 r f f h r
y a yi g eo em we see a (5 o ows om eo em o es a is (5 7 we wi s ow (5 19 as co so a we ca a y ( 1 om eo em 3 eca a ψ = / yi wi e i e i (5 5 A so we e i e ζ ²i i (5 as a es ima o o ow e i e
Zi, (x) = a i( = E [I( i ] so i,n (p,n) 1 e i s e m i (
i 1 1 a i (ξ is e i s e m i o o e (5 19 we i s s ow a o eac i =1 k
(5 53 as u e e IS measu e i a a i a y a a es a is i g (5 equi es
o i g a /3 (4,0 i( a } as ecause we assume a i
< ξ + + £ ] ( i ξ + 5 1 ] °° o some osi i e ε a a a so
a F is i e e ia e a ξ e e e is s suc a
(5 1
w e e we eca A = [Y E Si] e
(5 so we wa o s ow qi a q2,n 0 as co o es a is (5 Si ce 4,n -4 ξ y ( 3 (5 3
We ow a e q1 i (5 ecause Zi, (x) is mo o o ica y i c easi g i we
a e a ξ — ξ im ies ma ( i (ξ + — i(ξ i (ξ — 3 — i(ξ I
i (ξ i(ξ e ce
(5 5
O se e a
(5 5
y e ia g e i equa i y A so a c a ge o measu e a e ac / ( • = I(.) yie
(5 w e e e i s e o ows om ö e s i equa i y e ou s e o s ecause I(4
i ξ + 5 I(Xij p + 5) as 5 5 a (5 1 im ies e as s e us usi g (5 i (5 5 gi es
(5 7
I e e i i io o 17(ξ + 59, e summa s I(Xij ξ δ ²i = 1 ,ni, a e i i a eac summa as mea
y o e s i equa i y us e weak aw o a ge um e s im ies e S o (5 7 55 co e ges o as co so 1 n 0 as We ca simi a y o e a „ i (5 sa is ies 0, so q1 0 by (5.24). Using this together with (5.22) and (5.23) then es a is es (5 o e seco e m i (5 simi a a gume s s ow a 1/ i I(Xij
< i ] 13 { Y E Si} as so (5 19 o s y e co i uous-ma i g eo em a S u sky s eo em com e i g e oo C A E
QUA I E ES IMA IO USI G A
I e case o es ima i g e mea o a a om ou u X a i g C F, e asic i ea o A is o ge e a e wo co ies X a X' o e ou u a i g C F i suc a way a X a X' a e ega i e y co e a e a we a e age e wo ou u s Si ce a (( + / = [ a ( Co ( X')] / a ( / w e Co ( X') A e uces a ia ce com- a e o w e X a X' a e i e e e e e a e a ious ways i w ic we ca ge - e a e ega i e y co e a e X a X' wi e same ma gi a is i u io F. o e am- e su ose a e ou u X ca e e esse as X = h(111,. , Ud) o some u c- io h, w e e U1 Ud a e i i u i o m a om a ia es o e u i i e a e X' = (1 — U1 1 — Ud) as e same is i u io as X si ce 1 — Ui is a so u i o m o [ 1] I h is mo o o ic i eac o i s a gume s e X a X' a e ega i e y co e a e ; e g see Sec io 1 o oss (1997 I ge e a we im eme A o es ima e a qua i e o ou u X y ge e a i g (Xi,X'1), i = 1 n, as i i a i e ic ai s w e e i a X! eac a e ma gi a is- i u io F a Xi a a e ega i e y co e a e e e A es ima o o e C F is ( 1 w e e F is e i e i (3 1 a F = (1/ I(X1 I e i g E yie s e C qua i e es ima o w ic e o owi g s ows sa is ies a a a u -G os e ese a io
eo em Suppose f (ξ and let be the AV estimator of F defined in (6.I). Then
E satisfies Assumptions AI A3, where
( is the variance constant in Assumption A3 and (X ,X') is an antithetic pair. Thus, Theorem 1
5 implies 4n,n Fn (pn) with p — p = 0(n -¹/²2) satisfies the Bahadur-Ghosh representa- tion in (4.I) and (4.2).
e e esu s ows a e A qua i e es ima o sa is ies a C
h r I (ξ then 4, F -¹ (p) with F defined in (6.I) satisfies
( 3
(
as co w e e κ =ψ φ O =1/ f (ξ ψ is defined in (6.2), k -* = ψ i(c • • • C ),
φ i(c ,c ) is from (4.7) with nonzero constants ,cr and ,wr satisfying
Σ =1 w j = 1 for i = 1 or and
( 5
We ow esc i e ow o i e e A C es ima o i ( 1 o eac i =
1, . ,n, e i e A i-1 = i a A i = XI. e so A1 A A i asce i g o e as
A(1 A ( • • • o o i e q < 1, e i e e q qua i e es ima o ξq o e
Fn 1 (q) = A( [2nq w e e [·] e o es e ou -u u c io
6. r f
6. . r f f h r 8
eca e A es ima o F (x) o F(x) gi e i ( 1 Si ce o I(Xi a
I(XI x) a e o ega i e F (x) is mo o o ica y i c easi g i x o eac n, so Assum - io A1 o s e we wi s ow Assum io A is sa is ie y e i yi g Co i io s C1 a C a a yi g o osi io 1 O se e a F (x) is a s ecia case o e IS+SS es ima o 58
wi a si g e s a um (i e o SS a IS measu e /3 (so e ike i oo a io 1 w ic mea s o IS A so ' ( = Fn (x) si ce eac I g_ i w e e E e o es equa i y i is i u io so
y (5 1 e e o e e A C es ima o is u iase w ic im ies Co i io C1
We ow s ow Co i io C o s Se an = ( -¹²/ a ( 1 im ies
( w e e
As a s ecia case o e IS+SS C es ima o n ( a so sa is ies Co i io C as s ow i e oo o eo em e e o e si ce 21 ( n ( o a we a e
( 7
wi sn (an as w e e o = (ξ + a — (ξ o a e A3 e ρ = mi (ξ ξ + an a ρ' = ma (ξ ξ/9 + an e
( 59 w e e
( 9 wi ( a a i e ic ai a
( 1
si ce Xi a a e i e e e o i e ( —( 1 im y
Si ce (ρ ρ ρ ρ 5 (ρ e ia g e i equa i y yie s
ecause e i e e ia i i y o F a ξ im ies F is co i uous a ξ i o ows a o as si ce ρn ξ/9 a ξ as us -- as -- si ce s s (an w ic s ows Co i io C is sa is ie e ce Assum io A o ows y o osi io 1 as y we ee o s ow Assum io A3 o s We ca ew i e ( 1 as (ξ =
(1/ A w e e A = ( i ξ + I ( i ξ ] / i = 1 a e i i si ce i = 1 a e i i Si ce E[Mi] = (ξ e C i Assum io A3 o s 60 a e a ia ce ψ² i e C is gi e y
w ic com e es e oo
6. .2 r f f h r
y a yi g eo em we see a ( 3 o ows om eo em o es a is
( we wi s ow a ψ i ( 5 sa is ies
( 11
as —- so a we ca em oy ( 1 om eo em 3 ow we e i e n( = Σ 1=1I( i
i a ( = E ( i 'i ] so n(ξ , is e o y a om e m i ψ o o e ( 11 we us ee o s ow a (ξ ( as u we ca es a is is y a yi g a gume s simi a o ose use o s ow (5 so e oo is com e e C A E 7
QUA I E ES IMA IO USI G C
I ma y simu a io s o e o e k ows e mea o a au i ia y a om a ia e a is ge e a e i e ocess o ge e a i g e ou u a om a ia e o e am e i a sim- u a io o a queuei g sys em o e k ows e is i u io s (a y ica y a so e mea s o e i e a i a imes a se ice imes e me o o co o a ia es (C e uces a ia ce y e oi i g is k ow e ge
Su ose a ( C is a co e a e ai o a om a ia es w e e we a e i e - es e i es ima i g e qua i e o We assume a C as k ow mea a i i e
a ia ce a we wi use C as a co o a ia e o a oi i ia i ies we assume a a [C] Si ce I( — /3 (C — as mea ( o a y co s a we ca a e age i i sam es o o o ai a u iase es ima o o ( S eci ica y we ge - e a e i i sam es ( i CI i = 1 o e ai ( C e i g /3 e a y co s a we ca e i e a u iase es ima o o e C o as
(7 1
(7
w e e i is e em i ica C e i e i (3 1 a O = (1/ C ea y e a ia ce o ' ( e e s o e a ue o I ca e s ow (e g 1 o G asse ma ( a e c oice o 13 a mi imi es e a ia ce is
w ic e e s o owe e o e y ica y oes o k ow e a ue o Co [I( C]
1 62 so i mus e es ima e We us es ima e ( ia
(7 3
e aci g i (7 wi 13 (x) gi es us e C es ima o o e C F as
(7
w ic is y ica y o o ge u iase ecause o e co e a io o ( a On We o ai e C qua i e es ima o y i e i g n i (7 a e o owi g esu s ows e qua i e es ima o sa is ies a a a u -G os e ese a io
h r 0 Su ose (ξ and let C be a control variate with Var[C] < 00. Let
Fn be the CV estimator of F defined in (7.4). Then Fn satisfies Assumptions A1—A3, where
(7 5
is e a ia ce co s a i Assum io A3 us eo em 1 im ies ξ = (pn) with pn — p = 0(n -11 ) satisfies the Bahadur-Ghosh representation in (4.1) and (4.2).
e C qua i e es ima o sa is ies a C as s ow e We omi e oo si ce i ca e es a is e y a yi g a gume s simi a o ose em oye i e oo o eo em 5
h r Under the assumptions of Theorem 10, ξ = 11-1 (p) satisfies
as n w e e κ =ψ φ O = 1 1 (ξ ψ is e i e i (7 5 κ = ψ φ i(c1 ,cr), 3
φ i (c1 c is om ( 7 wi o e o co s a s c1 c a w1 w sa is yi g
Σ =1 w =1 o i =1 o a
I e i g „ i (7 i i ia y a ea s com ica e y e ac a 3 ( e e s o owe e es e e g a e so (199 s ow a ( ca e ew i e as
(7 w e e (7 7 w ic oes o e e o I i o eac i e i is c ea om (7 a ( is mo o o ica y i c easi g i (I is ossi e o i o e ega i e u es e e g a e so (199 o e a is u ike y i a se se ey make ecise e a a age o e
e ese a io o n i (7 is a i a ows e a ua i g n ( a i e e a ues o wi ou
ee i g o ecom u e n(x) i (7 3 eac ime A so we ca i e n as o ows We i s so i i asce i g o e as ( 1 ( • • • („ a e (i) co es o o
(1 e o q 1 we ca com u e e q qua i e es ima o ξ- n as -¹(q = (q i w e e i q = mi { Σ 1 (i q} We ow iscuss a a icu a c oice o a co o a ia e C Su ose a Y is a
a om a ia e co e a e wi e ou u a e G e e ma gi a C o Y We ca e e i e C = I(Y y o some co s a y w e G(y is k ow wi G(y 1
us we co ec i i ai s ( i Yi i = 1 a e i e Ci I(11i y I is s aig - o wa o s ow i is case a i a ways o s e su i g a I ( is mo o o ica y i c easi g i o eac Mo eo e es e e g a e so (199 o e a i i (7 7
ecomes i= (Y y /Σ i=1 1 1(11i y i Yi y a i= (Y I(Yi y i Yi y 64
W e es ima i g e qua i e ξ = -¹ ( o a a u a c oice o y is y = G - ¹ ( (assumi g a is is k ow u is is o equi e
We ca a so a y C wi mu i e co o s C( 11 C( 1 C(m w e e eac CU as k ow mea ; see es e e g a e so (199 o e ai s O e ossi e c oice is o s eci y co s a s y1 ym o w ic eac G(y is k ow a se CU = I(Y y
. r f
. . r f f h r 0
e a e a i e e ese a io o i (7 s ows a ( is mo o o ica y i - c easi g i w e e weig s i (7 7 a e o ega i e As o e y es e e g a e -
so (199 e o a i i y o a y i ei g ega i e is o( -¹ si ce we assume a [C] so Assum io A1 o s
o es a is Assum io A e a = ( - ¹/² a e i e
so we ee o e i y - W as co eca i g (3 1 a (7 we ca w i e
(7
Si ce n is a s ecia case o e IS+SS C es ima o i (5 wi /3 = (so e ike i oo a io 1 w ic mea s o IS a o y k = 1 s a um (i e o SS eo em s ows a
n sa is ies Assum io A w ic is e ac y a An as o y S u sky s eo em i e su ices o s ow a n as o e i y a Assum io A o s o C e c = a [C] Si ce we assume C co e C e im ies
(7 9
as co us i we o e a Qn E - 13 ( + a — (g as e n y S u sky s eo em si ce ( y assum io o e a (7 3 im ies
a n 6j > as ; e g see 9 o Se i g (19 us o es a is a
Q i is su icie o o e a n as co y S u sky s eo em We accom is
is y e e i yi g a E(I n I as co a a yi g eo em 1 3 o Se i g (19
e n = I i ( + a a = ma ( p + an so e ia g e i equa i y yie s
y e Cauc y-Sc wa i equa i y Usi g e ac s a e C1 i = 1 a e i i a
a E[C ] = 61,-+ v , we ca s ow a E[(C1 — en ] = ( — 1 1 1 so E(I I
I/ ( i ac Si ce p a pn 1 as cc we a e a P(p, < X < p,C) as co ecause is i e e ia e a e ce E(I n I - as co si ce ac Co seque y n 1 as s owi g a Assum io A is sa is ie y (7
o o e Assum io A3 o s o C o e a n (gp / ( as cc y e 66 weak aw o a ge um e s a S u sky s eo em us
as y (7 9 a S u sky s eo em so [ (ξ (ξ (C — ] a n[Fn (ξ — (ξ (C — ] a e e same weak imi as —- y e co e gi g- oge e emma (e g
eo em 5 o i i gs ey (1995 Si ce e summa s i (7 1 wi 3 e ace wi
3 (ξ a e i i wi i i e a ia ce ( ecause we assume a [C] e C gi es e
weak imi as ( 1 wi 1 = a [I( — (ξ (C - ] w ic wo ks ou o e (7 5 CHAPTER 8
EMPIRICAL STUDY
The previous chapters developed confidence intervals for a quantile of a random variable
X having CDF F, and we established the asymptotic validity of the intervals as the com putational budget n --+ 00. However, in practice, only finite sample sizes can be used, so we now carry out an empirical study to see how well the confidence intervals perform with· finite n. In particular, we ran simulations building confidence intervals having nominal confidence level I - ex and observe how close the estimated coverages of the intervals are to 1 - ex for different values of n. (The coverage of a confidence interval in for a parameter y based on a computational budget of n is defined to be P( y E in). In an ideal situation, the coverage equals the nominal level 1 - ex for any n, but when in is asymptotically valid, this is only achieved as n --+ 00. In practice, for finite n, the coverage often differs from 1 - ex, sometimes significantly.)
Our experiments entail applying crude Monte Carlo (CMC), IS, IS+SS, AV, and CV on two stochastic models: a normal distribution (described in Section 8.1), and a stochastic activity network (Section 8.2). The goal is to study how the computational budget nand the "smoothing parameter" c used in the finite-difference estimators in (4.5) and (4.6) affect the coverage of the intervals.
8.1 Normal Distribution
The first set of experiments involves estimating the pth quantile ~p of a standard normal random variable X, so F is the standard normal CDF IS distribution F* by exponentially tilting F with tilting parameter e, defined by F*(dx) = e8x-t;(8) F(dx), where S"( e) = In(E[e 8X]) = e2/2 is the cumulant generating function of X. It is straightforward to show that F* is also normal with unit variance and mean S"'(e) = e, the derivative of S" (e). To choose a value for e, consider the following approximation 67 68 applied by Glynn (1996): P(X > x) e (— θ ζ( for x >> 0, where Ox is the root of e equa io ζ ( = x, so θ = Since we are interested in x satisfying P(X > x) =1— p (i.e., the p quantile), we arrive at the equation - + / = ln(1 — p). Solving for 0 gives ζ ( 0) = -21n(1 — p) as the mean of F. For IS+SS, consider a bivariate normal pair (X, Y), where the goal is to estimate the p-quantile of X and Y is used as a stratification variable. Under the original distribution, both X and Y have standard normal marginals, and the correlation is ρ Under the IS measure, (X, Y) is again bivariate normal with marginal means C(0), unit variances, and the same correlation ρ For AV, the distribution of X is F = 413, and the antithetic pair is (X, X') = (X, —X). For CV, define (X, Y) as a bivariate normal pair with standard normal marginals and corre- lation ρ and define the control C = I(Y < G -¹ (p)) when estimating the pth quantile of X, where G = (13 is the marginal distribution of Y. 8.2 St h t A t v t t r The other model we considered is a stochastic activity network (SAN). SANs are often employed to model the time to complete a project and are useful in project planning. We consider a simple SAN with 5 activities, which was previously considered in Hsu and Nelson (1990). Figure 8.1 illustrates the model. r 8. Stochastic activity network. 9 e A1 A A5 e e u a io s o e i e ac i i ies w ic a e i i e o e ia s wi mea 1 e i e o e e e si y u c io o Ai so i( = e — o o eac i = 1 5 e e a e 3 a s i e e wo k e 1 = {1 } B2 =11,3,51 a B3 = w e e is e se o ac i i ies o a j. e mj = e um e o ac i i ies o a j. e = Σie Ai e e e g o a j, w ic as mea m e X ma ( 1 T2, T3) e e e g o e o ges a Ou goa is o es ima e a co s uc co i e ce i e a s o e qua i e ξ o As o e y su a e so (199 e C o is gi e y o a e e si y u c io o is w ic is osi i e o a us we a e (ξ > o a y 1 I e o owi g sec io s we o i e e ai s o ow IS IS+SS a A a e a ie o e SA o C we c ose e co o a ia e C as o ows o e a a as e o ges e ec a io a we e Y T2 e e ( a om e g o is a e G e o e e C o Y w ic is E a g- We e ake C = I(Y G-¹(p)) w e es ima i g e qua i e o 1 IS o SA We a y IS as i u e a e a ( 7 y usi g a mi u e o e o e ia y i e is i u io s e i e o o e e e o e ia y i e e sio o i u e i i g a ame e so fie (t) = eθ — i(θ i( w e e i(θ E[eθAi] = —1 (1 — is e cumu a ge - e a i g u c io o Ai w ic e is s o 0 < 1. o e a ie ( = (1 — (1-θ e—( ¹—θ o 70 and 0 otherwise; i.e., fie is the density of an exponential with rate 1 — 0. We will define the IS distribution to be a mixture of 3 distributions, each defined by exponentially tilting one path length Tj and not changing the distribution of activities not on that path. To do this, define positive constants a a² a3 such that a + a² + a3 = 1; these will be the mixture weights, and we will later discuss how we choose specific values for a Let 01, ² 93 be positive constants, and O will be the tilting parameter under the jth distribution in the mixture; we will define 0j later. For each j = 1,2, 3, define probability measure Pj such that Ai has density ie' when i E Bj and density fi when i Bj, and A1, ,A5 are mutually independent. Now define the IS measure P to be the mixture of the Pj using weights α ; i.e., 13 (A α (A for any event A. The likelihood ratio is then (8.1) where cj (0) = Σiє i (9 = -m ln(1 — 0) is the cumulant generating function of T. We now discuss how to choose each tilting parameter 0j using an approach de- scribed in Glynn (1996). Large-deviations theory suggests that under certain conditions (8.2) for x E[7 ] m w e e θ is e oo o e equa io ζ;( = x and prime denotes derivative, so (0) = mj/ (1— 0). Setting the RHS of (8.2) equal to 1—p yields —0 (0) + ζ ( (1 — p), or (8.3) We e ake o e e oo o ( 3 us we o ai ζ (0) = mj/(1 — 0j) as a (crude) approximation for the pth quantile of Tj (under the original measure) when p 1. Since we will be estimating the pth quantile of X for p 1, we will use the IS CDF estimator F' IS (x) = 1 ( i The resulting quantile estimator 71 We ow esc i e ow o c oose e IS mi u e weig s α y mo i yi g a eu is ic i u e a e a ( 7 e Ej e o e e ec a io u e measu e P , a e E, e e - ec a io u e measu e Si ce ζ (θ is oug y equa o e qua i e o Tj a X = ma Tj, we ow a o ima e ξ ia ξ; EE ma ζ ( w ic ea s o a o ima i g e i s e m ( e seco mome i 1 ² y E*[I²I(X > 4)]. ow we e e o a u e ou o is qua i y O e e e { i we a e a K I α o y ( 1 w e e Kj = e (— ξ + ç ( e ce si ce { } = U³j=1 > ξ 1 we ge C oosi g α o mi imi e e a o e ou su ec o Σ1. =1 as = 1 gi es a = Kj/ Σ I K1. We ow u is a oge e i e a go i m e ow i w ic a sam es a e ge - e a e i e e e y a w e e E (η e o es a e o e ia is i u io wi a e . IS algorithm for SAN example: 1 o eac j 1 3 e i e θ o e e oo o ( 3 a e i e aj = =1Kl,K /Σ³ w e e K1 = (1 — θ —m e (-θ ξ a ξ ma m /(1 — θ A so e i e η = 1 - O. Se N = w ic is e o a um e o sam es co ec e us a e N = N 1 a ge e a e UN ~ u i [ 1] 3 I UN < a e ge e a e A1 E (η1 A² E (η1 A3 E (1 A E (1 A5 E (1 I a UN < a + a² e ge e a e A1 E (η² A E (1 A3 E (η A Ex (1 A5 E (η² • 7 5 I a + a UN a + a + a3 e ge e a e A1 i E (1 A E (1 A3 E (1 A E (η3 A5 E (η3 • Com u e 1 =A1 +A = A1 +A3 +A5 3 = A +A5 XN ma ( 1 3 a e ike i oo a io LN as i ( 1 7 I N < n, e go o s e O e wise com u e e IS es ima o a co i e ce i e a a s o IS+SS for SAN We wi use Y = as a s a i ica io a ia e so we ow wa o com u e e C G* o Y u e IS measu e i s e Gj e e C o Y u e measu e Pj, a e i e =U e a ηjO.A3 measu e1 — 1 we a e a A1 is e o e ia wi a e η1 w i e A5 a e o e o e ia wi a e 1 wi A1 A3 A5 mu ua y i e e e us o t > we a e Simi a y we ca s ow a i a y u e measu e we a e a A1 A3 A5 a e i i e o e ia wi a e T1 , so as a E a g-3 is i u io wi sca e a ame e 77 ; i e G2(t) = 1 — e -71 1 — η e-η — 73 (11 e -11 7 us e C o Y u e IS measu e is gi e y Gs (t) = α G ( e i e k s a a 51 52, , Sk o e s a i ica io a ia e Y a e Ai = P {Y E Si} . A so e i e yi wi Σki = 1 a e i = yi I ou e e ime s we ge e a e s a i ie sam es usi g e " i ossi g" me o o G asse ma e a ( e E (η e o e a e o e ia is i u io wi a e We e a e e o - owi g a go i m i w ic a ge e a e sam es a e i e e e IS+SS a go i m wi i ossi g for SAN: 1 o eac j = 1 3 e i e θ o e e oo o ( 3 a e i e a = K /Σ³ =1 w e e K1 = (1 - 1 -"1/ e (--θ1 ξ a ξ = maxr mr/ (1 — Or). A so e i e 1 - θ Se Ni = o i = 1 k w e e Ni is e um e o sam es i s a um i co ec e us a e N = w ic is e um e o s a a a a e e oug sam es co ec e e N = N + 1 a ge e a e UN ~ u i [ 1] 3 I UN < a e ge e a e A1 E (η1 A E (η A3 E (1 A E (1 A5 E (1 I al UN < α1 + a e ge e a e A1 E (η A E (1 A3 E (η A E (1 A5 E (η • 5 I a1 + a UN < a1 + a + a3 e ge e a e A1 E (1 A E (1 A3 E (1 A •-■ E (η3 A5 E (η3 • Com u e 1 -A1 +A T2 = A 1 +A3 +A5, T3 = A -+ A5 X = ma ( 1 T2, 3 Y = T2, a L as i ( 1 7 i i suc a Y E Si, a e Ni + 1. I Ni < ni, e se Xi,Ni, = i i = Y a Li ,Ni = L; o e wise isca (X, Y,L). 4 I e go o s e O e wise com u e e IS+SS es ima o a co i e ce i e a a s o 8.2. A f r SA o a y A we ge e a e eac sam e as o ows e U1 U5 e i i u i [ 1] a om um e s a o eac i = 1 5 se Ai = —1 (1 — Ui a = — (Ui e o = 1 3 se 7 = Σiє Ai a I = Σie i a y se = ma ( 1 3 a = ma ( 1 as e a i e ic ai o ou u s Si ce is mo o o ic i eac Ui we a e a a a e ega i e y co e a e ; see 1 1 o oss (1997 8. Ch n th S th n r t r c eca φ C( 1 om ( e ce e e i i e- i e e ce es ima o o O w e e is e com u a io a u ge e es ima o φ (c sca es e i e e ce o qua i e es ima o s a +c / a o some smoo i g a ame e c a we ca use φ (C i e as s e o e a go i m o 37 i C a e o co s uc a 1 (1 — % co i e ce i e a o ξ We ow iscuss some ecomme a io s o c oosi g c O e ossi e goa gui i g e se ec io o c is o mi imi e e mea -squa e e o (MSE o (C as a es ima o o O A e a i e y we ca c oose c o mi imi e e co e age e o o e esu i g co i e ce i e a o ξ I e case o c u e Mo e Ca o e e as ee some e ious wo k ca yi g ou asym o ic e a sio s o s u y ese wo o ems o i ge (1975 s ows a u e ce ai egu a i y co i io s e MSE o φ (c as co akes e o m w e e Q( = -¹ ( a Q" is i s i e i a i e Si ce e seco e m i ( s i ks mo e s ow y a e i s se ec i g c as a ge as ossi e wi ma imi e e a e ( o i s 75 o e a w ic MSE (c) ec eases as n g ows As o e co e age e o e i e e 1 (1 - a) % co i e ce i e a o ξ as J (c) ((ξ ± 1-α/ 9(1 - n (c wi 1_a/ = -¹ (1 - a/ U e ce ai egu a i y co i io s a a S ea e (19 s ow a e co e age o J (c) o a ge n sa is ies w e e u ( = - 3 / u3(x) = ax wi a = [3 (ξ - f (ξ " (ξ ] [ (ξ 4]-¹ , a 9 is e s a a o ma e si y u c io e acke e e m i ( 5 e ese s e i s -o e e o e m i e co e age e i s summa i is ec eases mo e s ow y a e o e so we s ou c oose c as a ge as ossi e o ma imi e e a e a w ic e i s -o e e o s i ks as n co W e com i i g i e e a ues o c as i ( 7 we ca use e o owi g i ea om G asse ma ( Agai e Q(x) = -¹ (x), so O = (p), w e e ime e o es e i a i e e h = cn - ¹/²2, a a ay o e a sio o Q(p) yie s w e e o owe s o h ca ce ou Simi a y so we ca ca ce ou e o e e m y com i i g e wo a o e esu s as is sugges s a w e com i i g r = a ues o c i ( 7 se ec i g c1 a c wi c = c1 w1 = /3 a w = -1/3 may ea o e es ima o φ ,n,2(c1 c a i g ow 76 bias. 8.4 Discussion of Empirical Results In our experiments, we constructed confidence intervals for the pth quantile ~p using CMC, IS, IS+SS, AV and CV, where the intervals have a nominal confidence level of 1 - a = 0.9. In each case, we constructed a confidence interval using the algorithm on p. 37 in Chapter 4, which consistently estimates the variance constant 1(2. This requires specifying a value for the smoothing parameter c of the finite-difference estimators of cjJp in (4.5) and (4.6), or values for CI, ... ,Cr and weights WI, ... , wr for the combined estimator in (4.7). We experimented with different values for these parameters and the computational budget n to study their effect on the coverage. j The experiments used n = 50 and n = 100 x 4 for 0 :s; j :s; 4. Also, we took C = 2t for -4 :s; t :s; 2. In all cases we estimated coverage levels using m = 103 independent replications. Also, we applied common random numbers (CRN) when possible, which can lead to sharper comparisons. For example, in tables containing results for both CV and crude Monte Carlo, the simulated output (X, C) for CV shares the same value of X used in crude Monte Carlo. In our IS+SS experiments, we used k = 5 equiprobable strata defined by the intervals Si = (G- 1 ((i -1 )lk),G-1 (ilk)] for i = 1, ... ,5, where G is the CnF of the stratification variable Y, so each Ai = 11k. Also, we let '}1 = Ai. We first discuss how coverage converges as n increases for different values of c. Figures 8.2 and 8.3 are for IS-only on a normal for p = 0.8 and p = 0.95, respectively. Figures 8.4-8.7 are for IS+SS on the bivariate normal for p = 0.5 and 0.9 and for p = 0.8 and p = 0.95. Figures 8.8 and 8.9 are for AVon the normal for p = 0.8 and p = 0.95. Figures 8.1 0-8.13 are for CV on the bivariate normal with p = 0.5 and p = 0.9 for p = 0.8 and p = 0.95. Figures 8.14 and 8.15 are for CMC on the normal for p = 0.8 and p = 0.95. 77 Figure 8.2 Coverage for IS-only for the normal for p = 0.8. Figure 8.3 Coverage for IS-only for the normal for p = 0.95. Figure 8.4 Coverage for IS+SS for p = 0.8 for the bivariate normal with ρ = 0.5. 78 Figure 8.5 Coverage for IS+SS for p = 0.95 for the bivariate normal with ρ = 0.5. Figure 8.6 Coverage for IS+SS for p = 0.8 for the bivariate normal with ρ = 0.9. Figure 8.7 Coverage for IS+SS for p = 0.95 for the bivariate normal with ρ = 0.9. r 8.8 Coverage for AV for p = 0.8 for the normal. r 8. Coverage for AV for p = 0.95 for the normal. r 8. 0 Coverage for CV for p = 0.8 for the bivariate normal with ρ = 0.5. 80 igu e 11 Coverage for CV for p = 0.95 for the bivariate normal with ρ = 0.5. Figure 8.12 Coverage for CV for p = 0.8 for the bivariate normal with ρ = 0.9. igu e 13 Coverage for CV for p = 0.95 for the bivariate normal with ρ = 0.9. 8 r 8. 4 Coverage for CMC for p = 0.8 for the normal. r 8. Coverage for CMC for p = 0.95 for the normal. In general we see that as n increases for a fixed c and method, the coverage levels converge to the nominal level of 0.9 in each case. Also, for fixed n, larger values of c seem to lead to coverages that are closer to 0.9 than the smaller c for CMC and all of the VRTs. Moreover, as n increases, the convergence appears to be faster for large c. Thus, the observations in Section 8.3 for CMC that choosing large c is better appear to also be valid for VRTs. Figures 8.16-8.20 are for IS-only, IS+SS, AV, CV and CMC on the SAN for p = 0.95. The same patterns appear in the results for the SAN that were previously exhibited for the normal case. 82 r 8. 6 Co e age o IS-o y o p = 95 o e SA r 8. Co e age o IS+SS o p = 95 o e SA r 8. 8 Co e age o A o p = 95 o e SA 83 Figure 8.19 Coverage for CV for p = 0.95 for the SAN. Figure 8.20 Coverage for CMC for p 0.95 for the SAN. Tables 8.1-8.40 provide more detailed results about coverage and average half- widths, where Tables 8.1-8.20 are for the normal or bivariate normal model, and Ta- bles 8.21-8.40 contain results for the SAN. In each table the first column gives the com- putational budget n. The next three columns give the results for the centered, forward and backward finite-difference (FD) estimators of O from (4.6) and (4.5). Two boundary conditions of pn in (4.6) and (4.5) need to be satisfied while esti- mating O : 1) p c/ < 1, when c > 0; 2) |n x c/ > 1, which, equivalently, means the perturbation position needs to be at least one. If one of them is not satisfied, then cor- responding coverages and half-widths will display "NaN". For instance, when p= 0.95, c = 1 and n < 400, the coverages and half-widths display "NaN". 84 bl 8. : Coverages for IS with c = 0.1 for the Normal when p = 0.95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mea 5 a a a 9 1 5 193 1 7 7 1 53 7 55 19 9 9 393 1 1 7 5 9 9 1 5 5 9 7 7 9 9 1 5 97 9 93 99 9 7 5 bl 8.2: Average Half-Widths for IS with c = 0.1 for the Normal when p = 0.95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mean 5 a a a 71 1 1 757 1 119 1 1 9 1 5 119 1 1 7 1 3 1 31 31 3 3 31 77 1 1 1 17 1 337 5 7 7 9 I e ms o co e age e ackwa es ima o a ea s o o wo se a e o e wo a e ce e e es ima o mig e o m s ig y e e a e o wa es ima o is com eme s e MSE a a ysis i Sec io 7 1 o G asse ma ( s owi g a ce e e i i e- i e e ce es ima o s o e e i a i e o a mea a e asym o ica y sma e MSE a o wa es ima o s bl 8. : Coverage for IS with c = 0.5 for the Normal when p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mea 5 a a a 1 1 3 1 1 1 7 7 73 1 91 959 9 9 3 1 1 91 9 9 9 99 9 3 917 5 9 97 5 9 9 9 9 7 5 8 bl 8.4: A e age a -Wi s o IS wi c = 5 o e o ma w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n t h n E ac O Mea 5 a a a 71 1 1 15 1 5 1 9 1 3 119 51 73 1 1 31 35 3 31 1 1 1 17 1 3 5 7 3 bl 8. : Co e ages o IS+SS wi c = 5 o e i a ia e o ma is i u io wi p = 9 w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mea 5 a a a 7 7 1 1 1 1 75 73 5 915 953 1 9 7 1 9 9 93 7 99 9 531 9 71 9 5 11 5 9 9 9 9 9 9 bl 8.6: A e age a -Wi s o IS+SS wi c = 5 o e i a ia e o ma wi p = 9 W e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mea 5 a a a 71 1 971 1 11 7 1 1 1 1 7 79 59 7 7 55 19 1 31 31 5 5 1 15 13 15 1 9 5 7 7 7 7 33 86 bl 8. : Co e ages o IS+SS wi c = 5 o e i a ia e o ma is i u io wi p = 9 w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g Com i i g n a c i g E ac O Mean C1 = 5 a c = 5 5 915 9 5 731 7 7 1 a 1 9 9 7 779 73 5 3 91 9 7 7 1 9 91 99 9 531 9 9 95 77 9 5 11 7 5 9 5 9 9 97 9 9 9 3 bl 8.8: A e age a -Wi s o IS+SS wi c 5 o e i a ia e o ma wi p = 9 W e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g Com i i g n a c i g E ac O Mea c1 = 5 a c = 5 5 17 35 113 71 1 971 a 1 115 139 9 1 1 7 79 1 5 5 55 19 55 1 3 5 31 5 5 1 1 13 15 1 9 1 5 7 7 7 7 33 7 bl 8. : Co e ages o A wi c = 1 o e o ma w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mea 5 a a a 5 791 1 1 a a a 59 53 1 99 1 751 7 1 1 93 9 7 7 59 91 1 911 9 75 9 9 9 1 5 9 5 9 3 97 9 9 7 1 87 Table 8.10: A e age a -Wi s o A wi c = 1 o e o ma w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mea 5 a a a 315 5 1 a a a 31 11 7 37 1 3 11 1 3 77 5 59 3 3 7 3 3 5 15 1 1 1 15 Table 8.11: Co e ages o A wi c = 5 o e o ma w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mea 5 a a a 5 791 1 1 9 3 979 9 59 53 1 9 95 7 1 1 9 9 93 59 59 91 1 9 9 9 9 5 9 9 9 1 5 9 7 913 95 9 9 7 1 Table 8.12: A e age a -Wi s o A wi c =- 5 o e e o ma w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mea 5 a a a 315 5 1 3 1 93 1 9 31 11 1 3 15 9 1 3 11 1 5 59 3 3 3 3 5 15 15 15 1 15 Table 8.13: Co e ages o C wi c = 1 o e i a ia e o ma wi p = 9 w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n FD a c i g E ac O Mean 5 a a a 113 7 913 1 a a a 1 9 7 9 5 9 999 75 777 9 9 1 91 9 9 7 9 9 9 9 5 9 7 5 9 3 9 5 9 5 9 91 9 3 9 5 9 88 bl 8. 4: A e age a -Wi s o C wi c = 1 o e o ma wi p = 9 w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac Op Mea 5 a a a 799 3 1 1 a a a 71 3 7 3 373 1 3 17 137 3 1 73 5 7 1 35 3 31 37 3 9 5 17 19 1 19 17 5 bl 8. : Co e ages o C wi c 5 o e i a ia e o ma wi p = 9 w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac Op Mea 5 a a a 113 7 913 1 5 5 75 1 9 7 9 5 9 91 777 9 9 1 97 917 51 9 9 9 9 1 91 75 9 3 9 5 9 5 9 3 9 91 9 3 9 5 9 bl 8. 6: A e age a -Wi s o C wi c = 5 o e i a ia e o ma wi p = 9 w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac Op Mea 5 a a a 799 3 1 1 3 9 19 71 3 7 1 5 17 11 17 137 3 1 9 7 7 1 3 3 3 37 3 9 5 17 1 1 19 17 5 8 bl 8. : Co e ages o CMC wi c = 1 o e o ma w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac Op Mea 5 a a a 333 91 7 1 a a a 3 91 91 9 7 99 7 3 9 7 9 1 91 95 1 11 9 1 911 9 933 75 9 9 5 9 5 9 9 9 91 91 9 bl 8. 8: A e age a -Wi s o CMC wi c = 1 o e o ma w e p 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac Op Mea 5 a a a 37 9 3 1 a a a 33 3 7 1 3 1 9 171 17 1 9 111 73 91 7 1 9 39 3 1 5 3 3 1 bl 8. : Co e ages o CMC wi c = 5 o e o ma w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac Op Mea 5 a a a 333 91 97 1 939 9 711 3 91 91 9 3 9 3 9 7 9 1 9 1 11 9 1 911 9 1 9 7 5 9 9 5 9 5 9 91 97 91 91 9 bl 8.20: A e age a -Wi s o CMC wi c = 5 o e o ma w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac Op Mea 5 a a a 37 9 3 1 55 33 3 7 1 1 1 15 1 7 171 17 1 97 79 91 7 1 3 1 3 1 5 1 3 1 9 a e 1 Co e ages o IS wi c = 1 o e SA w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mean 5 a a a 5 1 a a a 3 91 9 3 1 1 9 97 97 1 95 997 7 9 9 3 95 95 913 95 9 3 9 1 9 5 9 931 71 91 9 1 7 a e A e age a -Wi s o IS wi c = 1 o e SA w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mea 5 a a a 3 53 1 3 1 a a a 53 7 1 75 19 157 35 7 35 1 13 1 5 9 11 1 17 55 5 57 5 9 5 9 5 9 5 a e 3 Co e ages o IS wi c = 5 o e SA w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mea 5 a a a 5 1 1 1 7 7 3 91 9 3 91 9 1 7 97 97 1 9 937 9 3 95 95 9 919 79 9 3 9 1 9 5 9 1 9 9 9 91 9 1 7 a e A e age a -Wi s o IS wi c = 5 o e SA w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g 11 a c i g E ac O Mea 5 a a a 3 53 1 3 1 3 9 7 53 7 9 17 35 7 35 1 1 1 93 11 1 17 53 5 5 57 5 9 5 9 5 9 5 bl 8.2 : Co e ages o IS+SS wi c = 5 o e SA w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mea 5 a a a 9 5 5 1 1 1 7 7 1 9 3 9 5 17 9 99 9 1 9 35 9 91 9 911 7 9 9 9 5 9 99 3 93 95 91 bl 8.26: A e age a -Wi s o IS+SS wi c = 5 o e SA w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mea 5 a a a 1 9 53 1 9 9 5 57 1 5 33 391 19 3 1 3 191 175 1 1 9 1 79 97 1 1 51 5 3 5 bl 8.2 : Co e ages o IS+SS wi c = 5 o e SA w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g Com i i g n a c i g E ac O Mea c1 = 5 a c = 5 5 9 93 7 9 5 5 a 1 9 7 937 5 7 1 79 913 91 9 99 9 95 1 95 5 9 91 1 91 9 7 9 9 9 9 5 93 9 5 93 95 91 9 bl 8.28: A e age a -Wi s o IS+SS wi c = 5 o e SA w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g Com i i g n a c i g E ac Op Mean c1 = 5 a c = 5 5 5 3 73 3 3 1 9 53 a 1 3 5 7 5 33 391 7 177 19 157 19 175 173 1 93 3 97 1 1 3 51 5 5 2 bl 8.2 : Co e ages o A wi c = 1 o e SA w e p = 95 Ce e e o wa rd Es ima i g n a c i g E ac φ Mea 5 a a a 5 7 79 1 a a a 9 55 9 99 1 75 7 9 9 7 1 917 971 9 915 93 1 9 9 5 9 9 9 79 93 95 91 bl 8. 0: A e age a -Wi s o A wi c = 1 o e SA w e p 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n E a c i g E ac O Mea 5 a a a 7 7 1 1 1 a a a 5 5 5 15 751 1 7 33 3 1 75 1 17 13 17 1 3 9 7 9 19 5 1 39 1 9 bl 8. : Co e ages o A wi c 5 o e SA w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mea 5 a a a 5 7 79 1 9 1 9 9 7 9 55 9 915 9 11 7 9 9 7 1 9 7 31 9 9 5 9 75 9 9 5 9 9 3 93 95 91 bl 8. 2: A e age a -Wi s o A wi c = 5 o e SA w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mean 5 a a a 7 7 1 1 1 1 1 1 3 5 5 5 15 3 1 33 3 1 75 1 1 7 1 1 17 1 3 7 7 9 19 5 1 3 1 9 bl 8. : Co e ages o C wi c = I o e SA w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac Op Mea 5 a a a 11 531 1 1 a a a 19 533 7 9 995 7 7 9 1 1 9 95 77 9 9 9 3 9 5 91 5 9 9 9 79 9 95 91 bl 8. 4: A e age a -Wi s o C wi c = I o e SA w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g a c i g E ac Op Mea 5 a a a 79 9 1 1 a a a 13 133 59 9 13 1 9 1 1 5 1 5 17 15 3 77 7 3 7 17 5 3 1 3 1 3 bl 8. : Co e ages o C wi c = 5 o e SA w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g a c i g E ac φ Mea 5 a a a 11 531 1 1 1 593 19 533 7 9 91 3 7 9 1 1 77 9 5 3 77 9 7 9 1 5 9 5 91 5 9 9 9 95 91 bl 8. 6: A e age a -Wi s o C wi c = 5 o e SA w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac Op Mea 5 a a a 79 9 1 1 9 9 5 375 13 133 3 3 393 53 1 9 1 153 171 135 17 15 3 7 1 7 3 7 17 5 3 39 3 1 3 4 bl 8. : Coverages for CMC with c = 1 for the SAN when p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac O Mea 5 a a a 91 97 1 a a a 9 5 99 1 75 7 9 9 1 9 97 5 39 99 9 9 9 7 55 93 93 91 5 91 93 9 7 913 915 bl 8. 8: Average Half-Widths for CMC with c = 1 for the SAN when p = 0.95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac φ Mea 5 a a a 933 1 3 39 1 a a a 9 95 79 9 1 595 33 5 7 1 1 5 3 1 19 53 3 7 1 1 13 1 1 9 119 35 5 3 5 1 bl 8. : Co e ages o CMC wi c = 5 o e SA w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac Op Mea 5 a a a 91 97 1 935 9 7 71 9 5 915 9 79 7 9 9 1 93 9 39 99 9 9 95 93 93 91 5 9 5 915 9 9 7 913 915 bl 8.40: A e age a -Wi s o CMC wi c = 5 o e SA w e p = 95 Ce e e o wa ackwa Es ima i g n a c i g E ac Op Mea 5 a a a 933 1 3 39 1 1 373 1 5 3 9 95 79 5 3 3 3 5 7 1 1 5 11 53 3 7 1 1 11 1 9 119 35 5 5 1 We a so wa e o see e " e a y" o es ima i g O o co s uc co i e ce i e - a s o o is we a so co s uc e i e a s usi g e e ac a ue o O e co um s i e a es a e e "E ac O " co ai ese esu s I ge e a we see a co e age e e s a e c ose o e omi a e e o 9 w e e e ac a ue o O is use i s ea o ei g es ima e o com a iso we a so use a c i g (wi b = 1 a c es as a a e a i e a - oac o co s uc co i e ce i e a s; see e co um s a e e " a c i g" i e a es (I a c i g we a oca e a com u a io a u ge o n/b o eac a c wi a c es simu- a e i e e e y We o m a es ima o o e qua i e om eac a c a e ake e sam e mea a sam e a ia ce o e esu i g b qua i e es ima o s o co s uc a co i e ce i e a o e e em i ica esu s s ow a a c i g ge e a y ea s o somew a e e co e age e e s a e me o s ase o e i i e- i e e ce es ima o s o O owe e e co i e ce i e a s o a c i g a e a ge a e age a -wi s 96 We a so co s uc e co i e ce i e a s o e mea as a o e e c ma k o com a iso o A as s ow i a es 9— 1 e co e age a es a e a 1s o i e e sam e si es w i e e a -wi s a e a Os emo s a i g a yi g A o e s a a o ma is a s ecia case w e e e mea es ima o is i e ica o e eo e ica mea a a ia ce es ima o equa s o a e e a i e ic ai s ca ce ou i co s uc i g e mea es ima o a e a ia ce es ima o o C e co e age a es o e co i e ce i e a s o e mea a e c ose o e omi a e e o a a ues o emo s a i g a o e sam e mea s e C asym o ics a ea o ake e ec ai y quick y a i ge e a mo e a i y a o e qua i e es ima o s o IS-o y a IS+SS o e SA co e ages w e es ima i g e mea a e agai c ose o e omi a e e owe e o IS-o y a IS+SS o e o ma a i a ia e o ma co e age o e mea i e a s a e oo is may e ecause e im o a ce-sam i g is i u io was c ose o es ima e e qua i e u is is i u io is ossi y e y i a o ia e o es ima i g e mea ea i g o co e age o ems i a y some o e a es ese esu s om a yi g e com i e es ima o o O om ( 7 We com i e r = a ues o c, usi g e s a egy esc i e a e e o Sec io 3 om a es 7 7 a i is o c ea i e com i i g es ima o ou e o ms e si g e es ima o o O i e ms o is ayi g a as e co e ge ce a /o a sma e a -wi " a " e ese s a a o a ai a e ue o wo easo s e ow e sum o e o a i i y a e osi i e e u e e m e cee s 1; e e u e os io is ess a 1 8.5 Program Description and Testing 8.5.1 Program Description e em i ica s u y is a se o simu a io e e ime s a equi e e e si e ume - ica com u a io Ma a wi e y use y e gi ee s a scie is s o scie i ic com u i g a o o y i g as s a e y Ku cicky ( is a a u a e e o me oo As a i e - 97 e e og ammi g a guage owe e Ma a as i e i a y s ow ow e icie cy e ce o ma i - ea y com u a io s e e o e a e e e ime s we e ca ie ou o ig - e o ma ce com u i g c us e s O y e i o s u y a some es cases we e co uc e o e so a com u e s o im eme C e ec i e y e e i e og am ackage co sis s o ee u c- io a com o e s CMC/A /C IS a IS+SS a yi g CMC A C IS a IS+SS o o e o ma / i a ia e o ma a e SA e e ime s I e o owi g eac i e a su og am/su ou i e w ic is a Ma a m- i e wi ow e esc i e i mo e e ai s A /C /CMC • A C CMC m a mai og am a i eg a es co e ages a a -wi s om e SA e e ime s a yi g A C a CMC i a 1 x ec o • A C CMC m a mai og am a i eg a es co e ages a a -wi s om e o ma / i a ia e o ma e e ime s a yi g A C a CMC i a 1 x ec o • a c m i i es a co um ec o i o a i e um e o i e a s a ea a ge em i a ma i o a c i g e e ime s • CII m a m- i e a com u es co e ages a a -wi s o e e e ime s usi g i i e i e e ce o es ima e 1 (ξ acco i g o ( 5 a ( • C m com u es co e ages a a -wi s o e a c i g e e ime s • CMC a c m com u es e sam e mea a sam e a ia ce o e qua i e es i- ma o s om a c i g w i e a yi g CMC • Com u e e a m com u es β ( o e e e ime s w i e a yi g C acco i g o (7 3 • Com u e m com u es i o e e e ime s w i e a yi g C acco i g o (7 7 8 • C m com u es es ima o s o ξ Op a ψ o e e e ime s a yi g C a i eg a es em i a 5 1 ec o • C a c m e o ms a c i g w i e a yi g C a com u es e sam e mea a e sam e a ia ce o e qua i e es ima o s om a c i g • Em i ica m e o ms as a i ica o u c io • m com u es e o wa a e ackwa i i e i e e ce i ge e a • Ge A m com u es es ima o s o ξ O a ψ o e e e ime s a yi g A a i eg a es em i a 5 1 ec o • Ge CMC m com u es es ima o s o ξ Op a ψ o e e e ime s a yi g CMC a i eg a es em i a 5 1 ec o • Ge si m com u es e es ima o o I o e e e ime s a yi g A acco i g o ( • Ge Q m com u es e es ima o o o o e e e ime s usi g i i e i e e ce o es ima e 1/ (ξ acco i g o ( 5 a ( • sam i g m ge e a es C sam es o e SA e e ime s a yi g CMC A a C Mo e s eci ica y e ou u is a 1 3 ec o wi e 1s e y as e o ges a om e o igi a is i u io e y as e o ges a om e is i u io a yi g A a 3 e y as a seco a om e o igi a is i u io • Si e m ca s sam i g m o ge e a e C sam es o e SA e e ime s a - yi g A C a CMC es ec i e y a i eg a es em i a 1 3 ec o • Si e m i eg a es sam es om e o ma / i a ia e o ma e e ime s a y- i g A C a CMC es ec i e y i a 1 3 ec o • S m com u es a i e me ia e esu o a [C] i (7 5 99 • iMa m e u s e g ea es um e i i u s a e ee um e s; e u s a ec o wi e g ea es um e i eac e y i i u s a e ee ec o s; e u s a ma i wi e g ea es um e i eac e y i i u s a e ee ma ices • WEIG m a m- i e a assig s weig s o Op es ima o s o com i i g e e i- me s acco i g o ( 7 e og ams o o e SA a e o ma / i a ia e o ma e e ime s a e e o owi g s uc u e u c io A C CMC( am a m i c u es e i u am a as e a e a- ame e o e e o e ia is i u io as e o a i i y o i e es as e um e o a c es as e sam e si e a m as e e ica io imes o e simu a io e e ime 1 e ocessi g e i e e eo e ica qua i e q o e eo e ica qua i e q o e co o a ia e C a e eo e ica mea o ; ea oca e memo y o mu i e ec o s a ma ices o s o e i e me ia e a e esu s Use sam i g m a Si e m o ge e a e sam es o A C a CMC a i eg a e em i a ow ec o 3 Use m o o uce o wa a ackwa i i e i e e ce o Use Ge CMC m Ge A m a C m o com u e es ima es o Op wi ce e e o wa a ackwa i i e i e e ce a ψ 5 Use CII m o co s uc e co i e ce i e a s o e e ime s a yi g A C a CMC i e ms o O es ima o s wi i e e c a ues Use WEIG m a esu s om S e ( o co s uc e co i e ce i e a s i e ms o com i i g O es ima o s 7 Use CMC a c m A a c m a C a c m o co s uc co i e ce i e a s o e a c i g e e ime 1 Use e sam es om S e (3 o co s uc co i e ce i e a s o e mea es ima- io 9 e ea S e ( —( m imes o com e e e co e age e e ime IS: Below are brief reviews of the Matlab m-files used for IS • a c m a ima m same as a c m i e A /C /CMC com o e • Com a e m se s e ag o sam i g o s a i ica io • Ge A a m com u es a o e SA e e ime s as s eci ie i Sec io 1 • Ge K m com u es K o e SA e e ime s as s eci ie i Sec io 1 • Ge m com u es e ike i oo a io o e SA e e ime s i ( 1 as s eci ie i Sec io 1 • Ge m com u es e ike i oo a io o e o ma / i a ia e o ma e e ime s • Ge si m com u es ψ es ima o o e o ma / i a ia e o ma e e ime s • Ge si m com u es ψ es ima o o e SA e e ime s acco i g o eo- em • Ge Q m com u es es ima o o e e e ime s w i e a yi g IS • Ge S m e o ms s a i ica io o o ma / i a ia e o ma e e ime s • Ge e a m com u es as s eci ie i Sec io 1 • Ge i m com u es ζ o e e e ime s w i e a yi g IS as s eci ie i Sec- io 1 • IS m com u es co e ages a a -wi s o e SA w i e a yi g IS 1 1 • IS m com u es co e ages a a -wi s o e o ma / i a ia e o ma e e i- me s w i e a yi g IS e og am o e SA e e ime s as e o owi g s uc u e e og am o e o ma / i a ia e o ma e e ime s as a simi a s uc u e e ce o e sam i g a u c io IS( i c u es e i u as e o a i i y o i e es as e um e o a s o e SA as e um e o a c es as e sam e si e a as e e ica io imes o e simu a io e e ime s I e ocessi g e i e e eo e ica qua i e q o a e eo e ica mea o ; ea oca e memo y o mu i e ec o s a ma ices o s o e i e me ia e a e esu s; eca cu a e a α y usi g Ge e a m Ge i m Ge i m ima m Ge K m a Ge A a m o a yi g IS Use Ma a ui -i u c io a ( o ge e a e u i o m a om sam es e wee a 1 a e com a e i wi a(1 1 a(1 1 + a ( 1 a 1 o eci e o w ic a IS s ou e a ie 3 Use ima m a Ge m o com u e e o ges a o e SA a e co e- s o i g ike i oo a io Use ge Q m o com u e e ξ es ima o 5 Use Ge si m o com u e e ψ es ima o Co s uc co i e ce i e a s w e e O a e es ima e y ce e e / o wa / ackwa i i e i e e ce wi i e e c a ues 7 Co s uc co i e ce i e a s o com i i g Op es ima o s Use a c m a Ge Q m o co s uc i e a s o e a c i g e e ime 02 9 Co s uc i e a s o mea es ima io 1 e ea ( —(9 imes o com e e e co e age e e ime IS+SS e ow a e ie e iews o e Ma a m- i es use o IS+SS • a c m a ima m same as a i A /C /CMC a IS com o e s Com- a e m Ge A a m Ge K m Ge Q m Ge i m same as ose i IS com o e • a c 1 m e o ms a c i g o e e e ime s w i e a yi g IS+SS • Ge m com u es e ike i oo a io o e e e ime s w i e a yi g IS+SS as s eci ie i Sec io • Ge si m com u es ψ es ima o acco i g o eo em o e e e ime s w i e a yi g IS+SS • Ge a m com u es e sam e a ia ce o o mea es ima io w i e a yi g IS+SS • s a a m e o ms s a i ica io i a equi o a e way as s eci ie i Sec io • S m com u es co e ages a a -wi s o e SA e e ime s w i e a y- i g IS+SS • S m com u es co e ages a a -wi s o e o ma / i a ia e o ma e - e ime s w i e a yi g IS+SS e og am o e SA e e ime s as e o owi g s uc u e e og am o e o ma / i a ia e o ma e e ime s as a simi a s uc u e e ce o e sam i g a u c io S ( w i c u es e i u as e o a i i y o i e es as e um e o a s o e SA w as e um e o s a a as e sam e si e i eac 103 s a um as e e ica io imes o e simu a io e e ime s a as e um e o a c es 1 e ocessi g e i e e eo e ica qua i e q o a e eo e ica mea o ; ea oca e memo y o mu i e ec o s a ma ices o s o e i e me ia e a e esu s Use s a a m o se u e s a i ica io i a equi o a e way as s eci ie i Sec- io 3 Use Ge e a m Ge i m ima m Ge K m a Ge A a m o com u e 19 κ a a o a yi g IS Same as S e ( i e IS com o e 5 Use com a e m o eci e i mo e sam es a e ee e o i u eac s a um Mo e s eci ica y a s a us a ia e ag = 1 is se i i ia y e o e e oo o ge e a i g sam es s a s e o y co i io o e oo o s o is ag 1 I a e s a a a e sam es com a e m wi u a e ag = a e e oo s o s; o e wise e oo co i ues o ge e a e mo e sam es Use ima m a Ge m o com u e e o ges a o e SA a e co e- s o i g ike i oo a io 7 Use Ge Q m a Ge si m o co s uc co i e ce i e a s i e ms o i e e c a ues Co s uc co i e ce i e a s o e com i i g e e ime 9 Use a c 1 m a Ge Q m o co s uc co i e ce i e a s o a c i g 1 Co s uc co i e ce i e a s o e mea es ima io 11 e ea S e ( —(1 o com e e e co e age e e ime 04 8. .2 r r t n Sys em e i ica io a a i a io ( ac i i ies ake ace a eac s age o e so wa e ocess om equi eme s e iews oug co e i s ec io Ca yi g ou is o o y o c eck i e so wa e co o ms o i s s eci ica io o om u c io a a o - u c io a equi eme s u a so o e su e a e sys em mee s e "cus ome s" e ec a io s e u ima e goa co c u e y Somme i e ( is o es a is e co i e ce a e sys em is a goo i o i s i e e use Si ce ese og ams a e esig e a icu a y o e simu a io e e ime s e o ma ocesses ca e sim i ie o og am es i g w ic is i e e o isco e a i sys em e ec s a e og am s age wo u ame a es i g ac i i ies com- o e es i g ( es i g a s o e og am a sys em es i g ( es i g e sys em as a w o e a e ee a ie o es e a i i y o e og am S eci ica y i eg a io es - i g is e mos wi e y use a oac i i i g e sou ce o o ems a i e i yi g e com o e s i e sys em a ee o e u e e ugge a a a y e ake e A /C /CMC u c io a com o e as a e am e I s su og ams ca e ace ack o ee i e e e og ams esig e o com u e co e ages a a - wi s o e e e ime s w i e a yi g A C a CMC es ec i e y e e o e i is a o ia e o es eac u i og am i s a e a i a e e i eg a io i e a mi u e o o - ow ( e e o e o e a ske e o o e sys em i s a e a com o e s o i a o om - u (i eg a e e com o e s a o i e commo se ices i s a e a e u c io a com o e s i c eme a y i is case o a s eci ic u c io i is case wo es i g me o s a e ee ea i y use com a iso es i g a sce a io- ase es i g Com a iso es i g is o com a e e e- su s ge e a e y og ams a e i e om ca cu a io s w e e esu s ca e com- u e a a y ica y As ma y i e me ia e esu s o ou e e ime s a i is ca ego y com a iso es i g as ee wi e y use Sce a io- ase es i g is o e ea e ec s y e ecu i g og ams u e e e e mi e es cases W e esu s ca o e com u e 0 a a y ica y es cases a e esig e o i c ease e c a ces o e osi g e ec s e o owi g ee sec io s a e e o e o e ai i g i mo e e ai s ow ese wo me o s we e use o e ug e og am AV/CV/CMC Si ce i is a ig y i eg a e og am o e o i s u c io s ca e es e o - oug y y com a iso es i g a o e wo u c io s a e c ose o emo s a e ow sce a io- ase es i g is ui o a - i a e ei co ec ess • a c m a c ( A w e e b, n a A e o es e um e o a c es e e i e sam e si e o A a e co um ec o es ec i e y e ou u s ou e a (n/ b) x b ma i 1 I u b = 5 n = 10, A = [1; ; 3; ; 5; ; 7; ; 9; 1 ](a co um ec o o si e 1 Ou u [1 3 5 7 9; 1 ] (a 5 ma i is aye a e e e ecu io o e og am Co c usio ue as e co um ec o is i i e i o i e a c es wi wo sam es eac I u b 5 n = 3 A = [1; ; 3] (a co um ec o o si e 3 Ou u Wa i g Si e ec o s ou e a ow ec o wi i ege e eme s Co c usio ue as a c i g ca o e o e a e o e co um ec o 3 I u b = n = A = [1 ] Ou u A em e o access A( 1 ; i e ou o ou s ecause si e(A =[1 ] Co c usio ue as e ow ec o oes o sa is y e equi eme s o e i u 106 • Ge Q m Ge Q ( w e e n, p a F e o es e ow si e o F, e o a i i y o i e es a a n ma i ge e a e om sam i g 1 Sce a io(i u o e SA e e ime w i e a yi g C se sam e si e n is 1 a e o a i i y o i e es p is 95 a e ma i F ge e a e om e i s a i C m = [ 59 7 1 3; 7 33 1 3; 791 1 3; 1 75 1 3; 1 11 9 1 3; 1 1 7 1 3; 1 3395 1 3; 1 35 9 1 3; 1 3 1 3; 1 33 1 3; 1 7 7 1 3; 1 9 1 3; 1 7 37 1 3; 1 7975 1 3; 1 9 1 3; 1 9 7 1 3; 1 9 1 3; 1 9 5 1 3; 17 1 3; 3 9 1 3; 5 1 3; 5 1 3; 59 1 3; 7 1 3; 11 5 1 3; 1371 1 3; 15 1 3; 1 1 3; 37 1 3; 7 1 3; 3 1 3; 311 1 3; 31 1 3; 31 9 1 3; 3 3 1 3; 3 3 1 3; 3 1 3; 133 1 3; 3 1 3; 35 1 3; 9 1 3; 51 1 3; 55 1 3; 1 1 3; 5 3 1 3; 5 9 1 3; 5 1 1 3; 3 1 3; 7 3 1 3; 5 1 3; 79 1 3; 9375 1 3; 9 1 1 3; 9 95 1 3; 3 7 1 3; 3 7 1 3; 3 1139 1 3; 3 13 1 3; 3 1 13 1 3; 3 1 95 1 3; 3 1 7 1 3; 3 199 1 3; 3 9 1 3; 3 779 1 3; 3 933 1 3; 3 955 1 3; 3 9 1 3; 3 9 3 1 3; 3 5 1 3; 3 7155 1 3; 3 57 1 3; 3 911 1 3; 3 9 1 1 3; 11 1 3; 3 1 1 3; 33 1 3; 35 1 3; 1 1 3; 5 5 1 3; 5 1 3; 77 1 3; 799 1 3; 97 5 1 3; 5 3 1 3; 5 31 7 1 3; 5 3 5 1 3; 5 3775 1 3; 5 97 1 3; 5 5 1 3; 5 55 1 3; 997 3; 3 3; 3 13 3; 39 3; 57 3; 7 179 1 3; 7 3; 7 7 3; 7 9 37 1 3; 1971 3;] Ou u 5 Co c usio ue as e sum o F(:,2) ( a ues i e seco co um u i e 1 7 o e co es o i g 57 o e i s ime e cee s 95 IS u i g com a iso es i g ca a i a e e co ec ess o se e a u c io s i IS u c io a com o e Ge A a m Ge K m Ge e a m a Ge i m ecause ese co es o i g qua i ies ca e ca cu a e a a y ica y as s eci ie i e IS a go i m i Sec io 1 S eci ica y 0 is e oo o ( 3 w ic ca e com u e usi g so e( a Ma a ui -i u c io o ca cu a e e oo s o equa io s e esu a ea s o e [ 7399; 19; 7399] w ic ca e co i me y uggi g ack i e u c io e ase o e IS a go i m as s eci ie i Sec io 1 IC a a ca e e com u e a co i me w ic a e [ 13 ; 5 ; 13 ] a [ 177 ; 9; 177 ] U o is oi e eca cu a io a e o e e sam i g a qua i e/mea es ima io as ee co i me o e co ec O e u c io is c ose o emo s a e ow sce a io- ase es i g is e o me o a i a e co ec ess • ima m ima (a c w e e a, b a c e o es ee ma ices o ec o s e same si e o um e s 1 I u a = [1 ;3 ] b = [1 1 ; ] c = [1 ; ] ( ee ma i Ou u [1 ; 3 ] Co c usio ue as eac e y i e ew ma i is occu ie y e g ea es um e o ee i u ma ices I u a = [1; 3; ; ] b = [ ;1; ; 5] c = [ ; ; ; ] ( ee co um ec o s o si e Ou u [ ;3; ;5] 08 Co c usio ue as eac e y o e esu a ec o is occu ie y e g ea - es um e o eac osi io om e o igi a ec o s co i me y o se a io 3 I u a = [1 ] b = [ ;3] (o e ow ec o o si e a o e co um ec o o si e Ou u Ma i ime sio s mus ag ee Co c usio ue as e i u ec o s o o sa is y e equi eme s o e u c io IS+SS u i g com a iso es i g ca a i a e co ec ess o se e a u c io s Ge A - a m Ge K m Ge e a m a Ge i m i IS+SS u c io a com o e ecause ese qua i ies ca e ca cu a e a a y ica y e esu s om e ecu i g e og am ca e co i me y a i e as sec io 7399; 19; 7399] κ 13 ; 5 ; 13 ] a- 177 ; 9; 177 ] wo u c io s a e c ose o emo s a e ow sce a io- ase es i g a e e o me o e ug e og am • s a a m s a a( e a a a w w e e =[ 7399; 19; 7399] a a 177 ; 9; 177 ] w ic a e o e i e om ea y s e s o e SA a a e ee co i me o e co ec w is e um e o s a a 1 I u w = 5 Ou u [3 9 3;5 ; 33 ;1 55] Co c usio ue as e ies o e esu a ec o a e e ac y e same as e i e a s S = (G - ¹ (( - 1 G - ¹ ( I ] o i = 1 5 w e e G is e C o e s a i ica io a ia e Y as s eci ie i e i s a o Sec io I u w = 1 0 Ou u Co c usio ue as e e is o y o e s a a e o igi a ec o 3 I u w = 1 Ou u [ 5 57; 3 9 3; 757 ; 5 ; 7 115; 33 ; 9 9 17; 1 55; 15 3 1 ] Co c usio ue as e ies o e esu a ec o a e e ac y e same as e i e a s Si = (G-¹ ((i — 1 /k G - ¹ (ilk)] o i = 1 1 w e e G is e C o e s a i ica io a ia e Y as s eci ie i e i s a o Sec io • Com a e m com a e(C w w e e C, w a n e o es e cu e s a us o sam- es i eac s u um e um e o s a a a e sam e si e i a " u " s a um as s eci ie ea ie 1 I u C = [1 ; ;1] w = 3 n = 5 Ou u 1 Co c usio ue as e seco a e i e y o e ec o a e o " u " ye I u C = [1 ;1 ] w = n = 1 Ou u Co c usio ue as o e ies a e co si e e " u " com a i g wi e e- e e mi e e c ma k 1 8.6 M tl b C d 8.6. A C CMC AVBatch.m 0 2 4 115 6 118 119 20 1 1 1 2 124 2 26 2 28 129 0 13 f n t n r lt IS(p j b n r % n f n t n f r IS f r SA % S t p nd pr pr n t 6 664 %th r t l v l 13 6 13 139 40 4 142 4 144 4 146 4 48 4 0 151 152 15 C A E 9 CO C U I G EMA KS e mai co i u io is a we a e e e o e a ge e a amewo k o o uci g a asym o ica y a i co i e ce i e a o a qua i e ξ es ima e usi g a e ious esea c o c u e Mo e Ca o a so o uce me o s o co uc i g co i e ce i e a s u ei esu i g co i e ce i e a s may e a ge es ecia y o e eme qua i es a ei me o s ca o e ge e a i e o s Ou me o o e o e a a esses is issue y o i i g a eo e ica amewo k o mu i e s Mos e ious wo k o es ima i g ξ usi g i e e s i o o uce asym o ica y a i co i e ce i e a s o ξ Ou eo e ica amewo k ca e use i ec y o accomo a e i e e s o co s uc co i e ce i e a s S eci ica y ou amewo k w ic equi es e C es ima o o ai e y a yi g a o sa is y Assum io s A1—A3 i C a e e com asses IS+SS A a C Mo eo e we a e a so ese e e ici a go i ms o co s uc co i e ce i e a s o qua i es o ai e usi g IS IS+SS A a C A o e mai co i u io is a we a e o e e co sis e cy o e es ima- o s o 1/ (ξ (i e e o wa i i e- i e e ce e ackwa i i e- i e e ce a e ce a i i e- i e e ce es ima o s o s Acco i g o G y (199 e "ma o c a e ge" o co s uc i g co i e ce i e a s o qua i es w e usi g s is es ima - i g O = 1/ (ξ w ic G asse ma e a ( ca e a " i icu " o em We e- i e a co sis e es ima o o φ y i s es a is i g a e qua i e es ima o sa is ies a a a u -G os e ese a io a e e oi i g is o es ima e O e qua i y O ca e e esse as / - ¹ ( a we es ima e i ia a i i e i e e ce o e i e se o e es ima e C a oi s a a e 1 -¹²2/ a a w e e c is a use -s eci ie smoo i g a ame e a is e com u a io a u ge I e case o c u e Mo e Ca o e ious a a ysis sugges e a o e s ou c oose c as a ge as ossi e o mi imi e MSE a e co e age e o a ou e e ime a esu s w e a yi g s seem o co i m ese 155 156 sugges io s u ow o c oose c is s i a o goi g o ic o u e esea c O e co i u io s a e e iewe as o ows I ou eo e ica amewo k we a e es a is e a weake o m o e a a u -G os e ese a io o s w ic im ies C s a me o s o e e o i g co sis e es ima o s o O I IS+SS we a e es a is e a weake mome co i io a a i G asse ma e a ( e co i u io s o e mai esu s i is esea c a e su e a ei sig i ica o e i a cia i us y So a e mos commo y use measu e is s i e oi es ima o o e a w ic ca e e ace y a o e measu e — e co i e ce i e a o e a — wi mo e accu acy Ou amewo k o i es e ici a go i ms o co s uc i g co i e ce i e a s o e a s w e usi g s is ca e e y use u i es ima i g e eme qua i es a /o i e ig - ime sio a se i g w ic is a i e es i g i a ce esea c o ic e imi a io o is esea c is a we a e o y co si e e e o ma is i u- io a e SA o s u y e i i e-sam e e a io o e co i e ce i e a s co s uc e usi g e eo e ica amewo k We may wa o e o e a ew mo e s oc as ic mo e s; e g ose o i e es o e i a cia i us y I may e i e es i g o o ose ew IS+SS me o s o es ima i g e a o a o o io G asse ma e a ( e e o IS+SS ec iques w e e ice c a ges i e o o io s " isk ac o s" (e g i e es a es cu e cy e c a ge a es s ock ices e c o ow a mu i a ia e o ma is i u io owe e a o ma /mu i a ia e o ma is i u- io oes o ag ee wi e ma ke a a wi ig e eaks a ea ie ai s e e o e i e e s oc as ic mo e s o e isk ac o s o o ow a ea o e i a cia i us y Some ossi e e e sio s o i es iga e i c u e mi u es o mu i a ia e o ma s a Ma ko egime-swi c i g ocess (Go e a Qua (1973 o a um - i usio ocess (Me - o (197 E E E CES A ami is A a Wi so (199 "Co e a io -i uc io ec iques o es ima - i g qua i es i simu a io " Operations Research, 57 -591 a u G (19 "E icie es ima io o e eci oca o e e si y qua i e u c io a a oi " Statistics and Probability Letters, 133-139 a a u (19 "A o e o qua i es i a ge sam es " Annals of Mathematical Statistics, 37 577-5 i i gs ey (1995 Probability and Measure, ew Yo k o Wi ey & So s 3 e — (1999 Convergence of Probability Measures, ew Yo k o Wi ey So s e ack a Sc o es M (1973 " e ici g o o io s a co o a e ia i i ies " Journal of Political Economy, 1 37- 5 oc A a Gas wi (19 "O a sim e es ima e o e eci oca o e e si y u c io " Annals of Mathematical Statistics, 39 1 3-1 5 o i ge E (1975 "Es ima io o a e si y u c io usi g o e s a is ics " Australian Journal of Statistics, 17 1-7 oy e oa ie M a G asse ma (1997 "Mo e Ca o me o s o secu i y ic- i g " Journal of Economic Dynamics and COntrol, 1 1 7-13 1 a i A a aga a a ( 3 Order Statistics, o oke Wi ey 3 e u e a a (1997 "A o e iew o a ue a isk " Journal of Derivatives, 7- 9 u M C o g a u -Q ( 9 "Co i io a Mo e Ca o Es ima io o Qua i e Se si i i ies " Management Science, 55 19- 7 G os K (1971 "A ew oo o e a a u e ese a io o qua i es a a a i- ca io " Annals of Mathematical Statistics, 1957-19 1 G asse ma ( Monte Carlo Methods in Financial Engineering, ew Yo k S i ge G asse ma ei e e ge a S a a u i ( a "Im o a ce Sam i g a S a i ica io o a ue-a - isk " i Computational Finance 1999, Proceedings of the Sixth International Conference on Computational Finance, e s A u-Mos a a Y S a o o A W a Weige A S 7- — ( " a ia ce e uc io ec iques o es ima i g a ue-a - isk " Management Sci- ence, 13 9-13 157 15 G y W (199 "Im o a ce sam i g o Mo e Ca o es ima io o qua i es " i Mathematical Methods in Stochastic Simulation and Experimental Design: Pro- ceedings of the 2nd St. Petersburg Workshop on Simulation, u is i g ouse o S e e s u g U i e si y S e e s u g ussia 1 -1 5 G y W a Ig e a (19 9 "Im o a ce sam i g o s oc as ic sys ems " Management Science, 35 13 7-1393 G y W a W i W (199 " e asym o ic e icie cy o simu a io es ima o s " Operations Research, 5 5-5 Go e e g K Qiu ie Ya g Y a a g Y ( "O imi i g cos a e o ma ce o mu i omi g " i SIGCOMM '04 Proceedings, 79-9 Go e S M a Qua E (1973 "A Ma ko Mo e o Swi c i g eg essio s " Journal of Econometrics, 1 3-1 a a S ea e S (19 "O e is i u io o a S u e i e Qua i e " Journal of the Royal Statistical Society B, 5 3 1-391 a y G (195 A Course in Pure Mathematics, ew Yo k Cam i ge U i e si y ess 1 e ei e e ge (1995 " as simu a io o a e e e s i queuei g a e ia i i y mo e s " ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation, 5 3- 5 es e e g C a e so (199 "Co o a ia es o o a i i y a qua i e es ima io " Management Science, 1 95-131 ogg McKea W a C aig A ( Introduction to Mathematical Statistics, E g ewoo C i s ew e sey e ice a e o g ( 9 "Es ima i g qua i e se si i i ies " Operations Research, 57 11 -13 su C a e so (199 "Co o a ia es o qua i e es ima io " Management Science, 3 35- 51 u C ( 3 Options, Futures and Other Derivatives, ew e sey ea so - a I c 5 e i u M C a io g ( 3 " o a i is ic E o ou s o Simu a io Qua - i e Es ima io " Management Science, 9 3 - u e a S Ka a ika a S a a u i ( 7 "Asym o ics a as Simu a- io o ai o a i i ies o Ma imum o Sums o ew a om a ia es " ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation, 17 a ic e 35 ages Kem a A G a o s A C (199 "A ici g me o o o io s ase o a e age asse a ues " Journal of Banking and Finance, 1 113-1 9 Kie e (19 7 "O a a u s e ese a io o sam e qua i es " Annals of Mathemet- ical Statistics, 3 135 -1353 Ku cicky C ( Matlab Programming, U e Sa e i e ea so E uca io aw A M ( Simulation Modeling and Analysis, ew Yo k McG aw- i e e ma E (1999 Elements of Large-Sample Theory, ew Yo k S i ge iu G a o g ( 9 "Ke e es ima io o qua i e se si i i ies " Naval Re- search Logistics, 5 511-5 5 Me o C (197 "O io ici g w e u e yi g s ock e u s a e isco i uous " Journal of Financial Economics, 3 1 5-1 a e E (1979 " e si y Qua i e Es ima io A oac o S a is ica a a Mo e i g " i Smoothing Techniques for Curve Estimation, e i S i ge oss S (1997 Simulation, Sa iego CA Aca emic ess e — ( 7 Introduction to Probability Models, Sa iego CA Aca emic ess i e e Se i g (19 Approximation Theorems of Mathematical Statistics, ew Yo k o Wi ey So s Somme i e I ( Software Engineering, Seventh Edition, ea i g Massac use s A iso -Wes ey Su a o g ( 1 "Asym o ic e ese a io s o Im o a ce-Sam i g Es ima o s o a ue-a - isk a Co i io a a ue-a - isk " Operations Research Letters, o a ea ukey W (19 5 "W ic a o e Sam e Co ai s e I o ma io ?" Proc Natl Acad Sci USA, 53 1 7-13 W i W ( Stochastic-Process Limits: An Introduction to. Stochastic-Process Limits and Their Application to Queues, ew Yo k S i ge - e ag