Dinâmica De Partículas Inerciais Acopladas a Um Meio Viscoso

ANO

2019

No presente trabalho nós abordamos o estudo da dinâmica do Mapa de FERREIRADE WILLAMES MAGALHÃES Rede Modificado. Este sistema é obtido pelo método bailout embedding aplicado ao Mapa de Rede, que é Hamiltoniano. O método em questão é formulado ao se considerar o movimento de partículas esféricas num meio viscoso, sendo este o responsável pela dissipação do sistema. Matematicamente a característica do método é transformar um sistema UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC conservativo num dissipativo para se perceber a presença de atratores e, CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT consequentemente, o surgimento de alguma estabilidade no sistema. Para PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA – PPGF a caracterização do Mapa de Rede Modificado, utilizamo-nos das seguintes ferramentas da Dinâmica Não Linear e Mecânica Estatística: Espaço de Fases, Diagramas de Lyapunov, Séries Temporais, Espectro de Lyapunov, Coeficiente de Difusão (D) e Expoente de Difusão. Os resultados obtidos foram: a detecção de regularidade, caos, hipercaos e caos transiente. Além disso, nós abordamos acerca do limite conservativo do método bailout UMINERCIAISPARTÍCULASDE DINÂMICA ACOPLADAS MEIO A VISCOSO embedding, apesar de não caracterizá-lo, sendo que ainda não há uma abordagem sobre este assunto. O que há de inovador neste trabalho é a apresentação de uma nova forma de se estudar a dispersão das trajetórias no espaço de fases de um sistema dissipativo quadrimensional por meio de DISSERTAÇÃO DE MESTRADO D, observando o comportamento das curvas e constatando que tais modificações são devidas ao surgimento de atratores no sistema. DINÂMICA DE PARTÍCULAS INERCIAIS

ACOPLADAS A UM MEIO VISCOSO

Orientador: César Manchein

JOINVILLE, 2019

WILLAMES FERREIRA DE MAGALHÃES

JOINVILLE, 2019 WILLAMES FERREIRA DE MAGALHÃES

DINÂMICA DE PARTÍCULAS INERCIAIS ACOPLADAS A UM MEIO VISCOSO

Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física do Centro de Ciências Tecnológicas da Universidade do Estado de Santa Catarina, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Física.

Orientador: Prof. Dr. César Manchein.

Joinville-SC 2019 Ficha catalográfica elaborada pelo programa de geração automática da Biblioteca Setorial do CCT/UDESC, com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

Magalhães, Willames Ferreira de Dinâmica de partículas inerciais acopladas a um meio viscoso / Willames Ferreira de Magalhães. -- 2019. 96 p.

Orientador: César Manchein Dissertação (mestrado) -- Universidade do Estado de Santa Catarina, Centro de Ciências Tecnológicas, Programa de Pós-Graduação em Física, Joinville, 2019.

1. Mapa de Rede. 2. Mapa de Rede Modificado. 3. Bailout Embedding. 4. Diagramas de Lyapunov. 5. Difusão. I. Manchein, César. II. Universidade do Estado de Santa Catarina, Centro de Ciências Tecnológicas, Programa de Pós-Graduação em Física. III. Título.

Dedico este trabalho aos meus pais e a memória de meu avô, Leonardo Magalhães. Agradecimentos

Agradeço, inicialmente, por tudo e ainda mais à minha mãe, pela pessoa incrível, inspiradora e humana que é. Ao meu pai, pelos conselhos e ensinamentos da vida. Sou grato à minha irmã, pela cumplicidade de sempre e por sua presença constante, mesmo que de longe. Agradeço ao meu cunhado, pela amizade e conversas proveitosas. A gratidão também se estende à minha sobrinha, que nasceu para trazer mais alegria aos membros família. Além disso, agradecerei eternamente aos meus avós paternos (in memoriam) por eu ser um Magalhães. Sou extremamente grato ao meu orientador, Professor César Manchein, um cientista habilidoso e cheio de ideias originais que me permitiu trabalhar ao seu lado, e esta é uma experiência que jamais me esquecerei. Além disso, agradeço por todas as disponibilidades que teve para comigo ao longo destes dois anos. Agradeço a todos os Professores que tive na vida, pois reconheço que foram eles os responsáveis pela minha chegada até aqui. Gostaria de mencionar alguns dos que tiveram uma contribuição significativa na minha formação: Professor Alcindo Teles Galvão, Professor André de Lima Moura, Professor César Manchein, Professor Fabio Marcel Zanetti, Professor Moreno Pereira Bonutti e Professor Paulo Cesar Rech. Gostaria de agradecer ao Professor Marcus Werner Beims, por algumas disponibilidades que teve para comigo, e disso jamais me esquecerei. Agradeço a todos os que direta ou indiretamente me ajudaram quando precisei, em especial ao Anderson Hoff. Também sou grato ao Professor Edgard Pacheco Moreira Amorim, à técnica Susele Mussoi Rodrigues e ao técnico Sidnei da Costa Otero pela competência profissional e disponibilidade nos processos administrativos. Agradeço a CAPES, pelo financiamento dos meus estudos; a UDESC pelos custeios durante minhas apresentações em congressos e ao CNPq. “Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas?”.

Edward Norton Lorenz Resumo

No presente trabalho nós abordamos o estudo da dinâmica do Mapa de Rede Modificado. Este sistema é obtido pelo método bailout embedding aplicado ao Mapa de Rede, que é Hamiltoniano. O método em questão é formulado ao se considerar o movimento de partículas esféricas num meio viscoso, sendo este o responsável pela dissipação do sistema. Matematicamente a característica do método é transformar um sistema conservativo num dissipativo para se perceber a presença de atratores e, consequentemente, o surgimento de alguma estabilidade no sistema. Para a caracterização do Mapa de Rede Modificado, utilizamo-nos das seguintes ferramentas da Dinâmica Não Linear e Mecânica Estatística: Espaço de Fases, Diagramas de Lyapunov, Séries Temporais, Espectro de Lyapunov, Coeficiente de Difusão (D) e Expoente de Difusão. Os resultados obtidos foram: a detecção de regularidade, caos, hipercaos e caos transiente. Além disso, nós abordamos acerca do limite conservativo do método bailout embedding, apesar de não caracterizá-lo, sendo que ainda não há uma abordagem sobre este assunto. O que há de inovador neste trabalho é a apresentação de uma nova forma de se estudar a dispersão das trajetórias no espaço de fases de um sistema dissipativo quadrimensional por meio de D, observando o comportamento das curvas e constatando que tais modificações são devidas ao surgimento de atratores no sistema.

Palavras-chave: Mapa de Rede. Mapa de Rede Modiﬁcado. Bailout Embedding. Diagra- mas de Lyapunov. Difusão. Abstract

In the present work we study the dynamics of the Modified Web Map. This system is obtained by the bailout embedding method applied to the Web Map, which is Hamil- tonian. The method used is formulated by considering the movement of a particle in a viscous medium which is responsible for the dissipation of the system. Mathematically the characteristic of the method is to transform a conservative system into a dissipative one to detect a presence of attractors and, consequently, the emergence of some stability in the system. For the characterization of the Modified Web Map, the following Nonlinear Dynamics and Statistical Mechanics tools are used: Phase Space, Lyapunov Diagrams, Time Series, Lyapunov Spectrum, Diffusion Coefficient (D) and Diffusion Exponent. The results were: the detection of regularity, chaos, hyperchaos and transient chaos. Also, we approached the conservative limit of the bailout embedding method, although it does not characterize it, and there is still no approach on this subject. What is innovative in this work is a presentation of a new way of studying the dispersion of trajectories in the space of a four-dimensional dissipative system by means of D, observing the behavior of the curves and noting that such modifications are due to the appearance of attractors in the system.

Keywords: Web Map. Modiﬁed Web Map. Bailout Embedding. Lyapunov Diagrams. Diﬀusion. viii Lista de abreviações e entidades matemáticas

EDO: Equação Diferencial Ordinária.

EDO’s: Equações Diferenciais Ordinárias.

MR: Mapa de Rede (ou Web Map).

MRM: Mapa de Rede Modiﬁcado.

R: Conjunto dos números reais.

Z: Conjunto dos números inteiros.

Relação Trigonométrica Fundamental: sen 2(x) + cos2(x) = 1.

da dt ≡ a˙, sendo a uma variável qualquer. ix Lista de Figuras

Figura 1 – Representações esquemáticas e fora de escala (a) do modelo geocêntrico determinado por Ptolomeu, em que a Terra está no centro do Universo e os corpos celestes (Sol, Lua e outros planetas) giram ao seu redor descrevendo órbitas circulares perfeitas, estando fixas as estrelas e (b) a ilustração do deferente (círculo no qual o planeta se move em torno da Terra) e epiciclo (pequeno círculo em torno do deferente)...... 15 Figura 2 – Representação de um volume de condições iniciais V (t) no espaço de fases limitado por uma superfície S(t). O vetor gˆ é unitário e F~ designa um campo vetorial tangente a um ponto em S(t)...... 22 Figura 3 – Representação de um elemento de volume de condições iniciais no espaço de fases após uma evolução temporal. Na figura dS simboliza um elemento infinitesimal de área, que após passado um tempo infinitesimal dt, adquire um elemento de volume com base dS e altura (ˆg · F~ )dt. . . 23 Figura 4 – Representação da intersecção da linha de fluxo C que geram os pontos A e B na Seção de Poincaré bidimensional S, dentro de um espaço tridimensional...... 25

Figura 5 – Gráﬁcos associados à dinâmica do Mapa Logístico xn+1 = (1 − xn)rxn, sendo (a) o Diagrama de Bifurcação e (b) o Expoente de Lyapunov. As √ retas em cinza estão situadas em r = 3, r = 1 + 6 e r = 3, 55424: nos pontos que designam bifurcação em (a) e expoentes de Lyapunov nulos em (b), respectivamente...... 29 Figura 6 – Diagrama de Lyapunov α × γ para o MRM, tal que 0 ≤ α ≤ 10 e 0 ≤ γ ≤ 22, com uma malha de 1000 × 1000 pontos igualmente espaçados. Uma descrição mais detalhada deste diagrama pode ser encontrada na Figura 15...... 30 Figura 7 – Representação dos impulsos gerados no sistema...... 35 Figura 8 – O espaço de fases do Mapa de Rede para (a-d) q = 4; (a-b) K = 1, 5; (c) K = 3, 15 e (d) K = 6, 7. Estas ﬁguras foram construídas utilizando

200 condições iniciais de (v0, u0) escolhidas aleatoriamente no intervalo [0, 2π] com um tempo total de 105 iterações...... 46 Figura 9 – O espaço de fases do Mapa de Rede para (a-b) q = 3 e K = 1, 7; (c-d) q = 6 e K = 1, 2. Estas ﬁguras foram construídas utilizando

200 condições iniciais de (v0, u0) escolhidas aleatoriamente no intervalo [0, 2π] com um tempo total de 105 iterações...... 47 Lista de Figuras x

Figura 10 – O espaço de fases do Mapa de Rede para K = 0, 005; (a) q = 4 e (b) q = 3. Estas ﬁguras foram construídas utilizando 200 condições iniciais

de (v0, u0) escolhidas aleatoriamente no intervalo [0, 2π] com um tempo total de 105 iterações...... 48 Figura 11 – O espaço de fases do Mapa de Rede para (a-b) 200 condições iniciais

de (v0, u0) escolhidas aleatoriamente no intervalo [0, 2π], ﬁxando os parâmetros K = 0, 879645943 e q = 5 para um tempo total de 106 iterações. Já para os espaços de fases de (c-d) ﬁxamos K = 0, 81 e q = 8,

e escolhemos 100 condições iniciais aleatórias de (v0, u0) no intervalo [0, 2π] para um tempo total de 106 iterações...... 49 Figura 12 – Para q = 4; K = 1, 5; 200 condições iniciais e um tempo total de iteração de 105, ﬁxamos (a-c) α = 0, 5; γ = 107; cujas condições iniciais

em (a) foram escolhidas aleatoriamente num intervalo {(v0, u0) : 0 ≤ v u v u v u u0, v0 ≤ 2π}; (b) {(δ0 , δ0 ) : 0 ≤ δ0 , δ0 ≤ 2π}; (c) {(v0, u0, δ0 , δ0 ) : 0 ≤ v u u0, v0, δ0 , δ0 ≤ 2π} e (d) {(v0, u0) : 0 ≤ u0, v0 ≤ 2π}...... 54 Figura 13 – Para q = 4; K = 1, 5; α = 0, 5; 200 condições iniciais escolhidas v u v u aleatoriamente tal que v0 = u0 = 0 e {(δ0 , δ0 ) : 0 ≤ δ0 , δ0 ≤ 2π} num tempo total de iteração de 105, fixamos (a) γ = 20; (b) γ = 13; (c) γ = 9, 5; (d) γ = 7, 5 e (e) γ = 3, 5...... 55 Figura 14 – Para q = 4; K = 1, 5; α = 1, 2; 200 condições iniciais escolhidas v u v u aleatoriamente tal que v0 = u0 = 0 e {(δ0 , δ0 ) : 0 ≤ δ0 , δ0 ≤ 2π} num tempo total de iteração de 105, fixamos (a) γ = 20; (b) γ = 13; (c) γ = 9, 5; (d) γ = 7, 5 e (e) γ = 3, 5...... 57 Figura 15 – Os Diagramas de Lyapunov α × γ tal que 0 ≤ α ≤ 10 e 0 ≤ γ ≤ 22, para os valores fixos de q = 4 e K = 1, 5. O painel (a) é construído a partir do maior expoente de Lyapunov e o (b) é feito através do segundo maior expoente. Os expoentes positivos, relacionados ao caos no sistema, são representados pelas colorações indo do amarelo para o vermelho. Os expoentes nulos, referentes a regiões de bifurcação e quase- periodicidade, são representados pela coloração preta. Os expoentes negativos, associados às regiões de regularidade, possuem coloração branca. A reta em verde está em γ = 13, 2: uma limitação aproximada que divide a região de estrutura regular e bifurcação (coloração preta) da região de mistura entre estruturas caóticas (coloração amarela indo para o vermelho) e regulares (coloração branca e preta)...... 58 Lista de Figuras xi

Figura 16 – Secção v × u do MRM para 200 condições iniciais escolhidas aleatori- v u amente num intervalo {(v0, u0, δ0 , δ0 ) : 0 ≤ v0 ≤ 0, 05; −0, 01 ≤ u0 ≤ v u 0; 0 ≤ δ0 ≤ 0, 08; −0, 02 ≤ δ0 ≤ 0}, num tempo total de iteração de 105 com q = 4; K = 1, 5; γ = 0, 1 e α = 1, 8. A reta em verde está em γ = 8, 8: uma limitação que divide a região de estrutura caótica (coloração amarela indo para o vermelho) e da região de mistura entre estruturas caóticas e regulares, junto as bifurcações do sistema (coloração branca e preta)...... 59 Figura 17 – Diagramas de Lyapunov α × γ para 0 ≤ α ≤ 10 e 0 ≤ γ ≤ 22; ﬁxados os parâmetros q = 4 e K = 3, 15. A imagem (a) foi construída para o maior expoente de Lyapunov, e (b) obtida pelo segundo maior expoente de Lyapunov. Os expoentes positivos, relacionados ao caos no sistema, são representados pelas colorações indo do amarelo para o vermelho. Os expoentes nulos, referentes a regiões de bifurcação e quase- periodicidade, são representados pela coloração preta. Os expoentes negativos, associados às regiões de regularidade, possuem coloração branca...... 60 Figura 18 – Diagramas de Lyapunov α×γ, para uma grade de 400×400 pontos igualmente espaçados, cujos parâmetros são q = 4 e K = 6, 7; para um tempo 4 v u total de iteração de 10 , sendo (v0, u0, δ0 , δ0 ) = (0, 05; −0, 01; 0, 08; −0, 02) a condição inicial escolhida. A imagem (a) foi construída para o maior expoente de Lyapunov, (b) obtida pelo segundo maior expoente de Lyapunov e (c) é um corte da imagem (a). Os expoentes positivos, relacionados ao caos no sistema, são representados pelas colorações indo do amarelo para o vermelho. Os expoentes nulos, referentes a regiões de bifurcação e quase-periodicidade, são representados pela coloração preta. Os expoentes negativos, associados às regiões de regularidade, possuem coloração branca...... 62 Figura 19 – Uma ampliﬁcação do Diagrama de Lyapunov da Figura 17(a) na região 0 ≤ α ≤ 1, 2 e 0 ≤ γ ≤ 8...... 63 Figura 20 – As séries temporais das variáveis dinâmicas do MRM para a condição v u 5 inicial (v0, u0, δ0 , δ0 ) = (0, 05; −0, 01; 0, 08; −0, 02), utilizando 5 × 10 iterações do sistema, cujos parâmetros são K = 3, 15 (a-d) α = 0, 5; γ = 5, 3 e (e-h) α = 1, 2 e γ = 6, representados respectivamente, pelos

pontos P1 e P2 na Figura 19...... 64 v u Figura 21 – O Espectro de Lyapunov do MRM para a condição inicial (v0, u0, δ0 , δ0 ) = (0, 05; −0, 01; 0, 08; −0, 02) utilizando 105 iterações do sistema, cujos parâmetros são K = 3, 15 (a) α = 0, 5; γ = 5, 3 e (b) α = 1, 2 e γ = 6,

representados respectivamente, pelos pontos P1 e P2 na Figura 19.. . . 65 Lista de Figuras xii

Figura 22 – Secções v × u e δv × δu do Espaço de Fases do MRM, para a condição v u 5 inicial (v0, u0, δ0 , δ0 ) = (0, 05; −0, 01; 0, 08; −0, 02) utilizando 5 × 10 iterações do sistema. Os pontos em preto, destacados pelo retângulo vermelho, compõem a região periódica após passado o tempo de caos transiente...... 66 Figura 23 – Gráfico de D(K) do Mapa de Rede (3.36), construído a partir de 105 condições iniciais escolhidas aleatoriamente num intervalo v × u = [0, 2π] × [0, 2π] para um tempo total de 105 iterações. Os pontos em azul estão nas regiões de picos e vales, para os valores de K = {3, 15; 4, 29; 6, 48; 9, 26; 12, 64; 15, 77}...... 69 Figura 24 – O espaço de fases do Mapa de Rede para diferentes valores de K utilizando 200 condições iniciais escolhidas aleatoriamente no intervalo v × u = [0, 2π] × [0, 2π] com um tempo total de 105 iterações. Nos retângulos em vermelho, estão destacadas as escolhas das condições iniciais para se determinar o tipo de difusão que ocorre no sistema MR e são verificadas na Figura 25...... 70 2 Figura 25 – Os gráficos em escala logarítmica da variância h(u − u0) i em função do tempo n para os valores de K especificados em cada imagem. Utilizamos 104 condições iniciais escolhidas aleatoriamente nos seguintes intervalos: (a) {v, u ∈ R : 0, 8 ≤ v ≤ 1, 15; 3, 5 ≤ u ≤ 4, 5}; (b) {v, u ∈ R : 1, 6 ≤ v ≤ 2, 0; 3, 55 ≤ u ≤ 3, 9}; (c) {v, u ∈ R : 1, 5 ≤ v ≤ 2, 0; 3, 75 ≤ u ≤ 4, 2}; (d) {v, u ∈ R : 1, 15 ≤ v ≤ 1, 5; 4, 3 ≤ u ≤ 4, 6}; (e) {v, u ∈ R : 1, 5 ≤ v ≤ 1, 8; 4, 25 ≤ u ≤ 4, 4}; (f) {v, u ∈ R : 1, 2 ≤ v ≤ 1, 4; 4, 35 ≤ u ≤ 4, 75}; com um tempo total de 108 iterações. As curvas verde e vermelha representam, respectivamente, o fit e a curva numérica. As curvas seguem uma sequência pico-vale, de acordo com o gráfico da Figura 23...... 71 Figura 26 – (a) O espaço de fases do MR para K = 6, 349972 cuja construção se deu pela escolha de 200 condições iniciais aleatórias no intervalo v × u = [0, 2π] × [0, 2π] num tempo de 105 iterações do sistema. (b) 2 O gráfico em escala logarítmica da variância h(u − u0) i em função do tempo n, para o cálculo do coeficiente de difusão σ = 1, 27069...... 72 Figura 27 – Gráficos do coeficiente de difusão D(K) em função do parâmetro de não linearidade K para os valores de γ = {2; 3, 15; 3, 5; 7, 5; 13; 20} nos regimes: (a) aerossol, tal que α = 0, 5 e (b) bolha, tal que α = 1, 2.A construção do gráfico se deu por meio de 105 condições iniciais escolhidas v u v u aleatoriamente num intervalo de {(v0, u0, δ0 , δ0 ) : 0 ≤ v0, u0, δ0 , δ0 ≤ 2π} para um tempo total de 105 iterações do sistema...... 73 Lista de Figuras xiii

Figura 28 – (a) O Diagrama de Lyapunov K × γ para o maior expoente de Lya- punov, com α = 0, 5; construído numa malha de 1000 × 1000 pon- v u tos igualmente espaçados, com a condição inicial (v0, u0, δ0 , δ0 ) = (0, 05; −0, 01; 0, 08; −0, 02) e um tempo total de iteração de 105. (b) Os Diagramas de Lyapunov para o segundo maior expoente de Lya- punov. Os expoentes positivos, relacionados ao caos no sistema, são representados pelas colorações indo do amarelo para o vermelho. Os expoentes nulos, referentes a regiões de bifurcação e quase-periodicidade, são representados pela coloração preta. Os expoentes negativos, associados às regiões de regularidade, possuem coloração branca...... 75 Figura 29 – (a) O Diagrama de Lyapunov K × γ para o maior expoente de Lya- punov, com α = 1, 2; construído numa malha de 1000 × 1000 pon- v u tos igualmente espaçados, com a condição inicial (v0, u0, δ0 , δ0 ) = (0, 05; −0, 01; 0, 08; −0, 02) e um tempo total de iteração de 105. (b) O plano K × γ para o segundo maior expoente de Lyapunov. Os expoentes positivos, relacionados ao caos no sistema, são representados pelas colorações indo do amarelo para o vermelho. Os expoentes nulos, referentes a regiões de bifurcação e quase-periodicidade, são representados pela coloração preta. Os expoentes negativos, associados às regiões de regularidade, possuem coloração branca...... 77 Figura 30 – (a) Secção v×u do MRM construída para K = 3, 15, α = 1, 2 e γ = 0, 05; com 200 condições iniciais escolhidas aleatoriamente no intervalo [0, 2π] para todas as variáveis, num tempo total de iteração de 105...... 78 Figura 31 – Plotagens dos Diagramas de Lyapunov junto as curvas do coeficiente de difusão do MR em função do parâmetro K, com as mesmas descrições feitas na Figura 23, Figura 28 e Figura 29, sendo (a) para α = 0, 5 e (b) α = 1, 2. Os pontos em azul demarcam um valor fixo de γ = 3, 15 e um conjunto de valores de K para os quais existe um relação de regimes “mais caóticos” (regiões mais vermelhas que coincidem com os picos da curva de divergência do MR) e “menos caóticos” (regiões mais amarelas que coincidem com os vales da curva de divergência do MR) que são abordados na Figura 32...... 78 Figura 32 – Secções v × u do espaço de fases do MRM, para 200 condições iniciais v u v u escolhidas aleatoriamente em {(v0, u0, δ0 , δ0 ) : 0 ≤ v0, u0, δ0 , δ0 ≤ 2π} e um tempo total de iteração de 105, fixados γ = 3, 15; α = 1, 2...... 81 Figura 32 – Continuação...... 82 xiv Lista de tabelas

Tabela 1 – Conjunto de valores do parâmetro de não linearidade do sistema MRM

(K) com os respectivos números de pontos contidos no retângulo R0 junto ao percentual do número total de pontos. As letras p e v contidas na primeira coluna da tabela, signiﬁcam pico e vale, respectivamente, relacionados aos valores de K posicionados em locais especiﬁcados pelos pontos em azul da curva D(K) na Figura 23. Em negrito estão destacados os valores de K que ocasionam mudanças abruptas na dinâmica do MRM...... 83 xv Sumário

Lista de Figuras ...... ix

Lista de tabelas ...... xiv

1 INTRODUÇÃO...... 13 1.1 Uma breve descrição histórico-cientíﬁca ...... 13 1.2 Dinâmica não linear e sistemas complexos ...... 16 1.3 Questionamentos e estrutura da dissertação ...... 18

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA...... 19 2.1 Sistemas Dinâmicos ...... 19 2.1.1 Deﬁnição e caracterização quanto ao tempo ...... 19 2.1.2 Sistemas Hamiltonianos ...... 21 2.1.3 Espaço de fases e atratores ...... 22 2.1.4 Seção de Poincaré ...... 24 2.2 Os expoentes de Lyapunov ...... 26 2.2.1 Diagramas de Lyapunov ...... 30 2.3 O método bailout embedding ...... 31

3 O MAPA DE REDE ...... 34 3.1 Dedução do Mapa de Rede ...... 34 3.2 Um estudo analítico do Mapa de Rede ...... 40 3.2.1 O Mapa de Rede é conservativo ...... 40 3.2.2 Pontos fixos e estabilidade ...... 41 3.3 O espaço de fases do Mapa de Rede ...... 44 3.3.1 Justificativa ...... 44 3.3.2 A influência do parâmetro K ...... 44 3.3.3 A influência do parâmetro q ...... 45 3.3.3.1 Simetria cristalina ...... 45 3.3.3.2 Simetria quase-cristalina ...... 46

4 O MAPA DE REDE MODIFICADO...... 50 4.1 O modelo ...... 50 4.2 Um resultado analítico: o sistema é dissipativo? ...... 51 4.3 Resultados numéricos do MRM para o caso q = 4 ...... 53 4.3.1 O estudo para K = 1, 5 ...... 53 4.3.1.1 Secções v × u do espaço de fases do MRM para o regime aerossol ...... 53 4.3.1.1.1 Efeitos da dinâmica do MRM pela variação gradativa de γ em ordem decrescente ... 55 4.3.1.2 Secções v × u do espaço de fases do MRM para o regime bolha ...... 56 4.3.1.2.1 Efeitos da dinâmica do MRM pela variação gradativa de γ em ordem decrescente ... 56 4.3.2 Os Diagramas de Lyapunov para K = 1, 5 ...... 58 4.4 O estudo para K = 3, 15 ...... 60 4.5 O estudo para K = 6, 7 ...... 61 4.6 Caos transiente ...... 62

5 SUPRESSÃO DA DIFUSÃO NO MAPA DE REDE MODIFI- CADO ...... 67 5.1 Definição de difusão e suas características em sistemas Hamiltonianos 67 5.2 Difusão no Mapa de Rede ...... 68 5.3 Difusão no Mapa de Rede Modificado ...... 73 5.3.1 Difusão no regime aerossol: α = 0, 5 ...... 73 5.3.1.1 Descrição do gráfico D(K) ...... 73 5.3.1.2 O Diagrama de Lyapunov de K × γ ...... 75 5.3.2 Difusão no regime bolha: α = 1, 2 ...... 76 5.3.2.1 Descrição do gráfico D(K) ...... 76 5.3.2.2 O Diagrama de Lyapunov de K × γ ...... 76 5.3.2.3 O coeficiente de difusão D(K), o Diagrama de Lyapunov K ×γ e as modificações topológicas no espaço de fases do MRM ...... 78

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ...... 84

REFERÊNCIAS ...... 87

A EXPOENTES DE LYAPUNOV PARA FLUXOS...... 90

B INTEGRAIS IMPRÓPRIAS ...... 92

C TEOREMA DE LIOUVILLE...... 94

D TEOREMA DE LAPLACE...... 95 13

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

Neste capítulo, abordamos elementos introdutórios acerca do estudo de sistemas dinâmicos não lineares, tais como: (i) uma breve descrição histórica, (ii) sistemas acoplados e (iii) questionamentos que serão respondidos ao longo do texto.

1.1 Uma breve descrição histórico-cientíﬁca

Na História da Ciência, as discussões sobre o movimento dos corpos (em especial os do Sistema Solar), foram ponto de partida para a constituição da Teoria dos Sistemas Dinâmicos. Aristóteles (384-322 a.C.), um dos principais ﬁlósofos gregos, sugeriu que 1

(i) o movimento dos corpos é mantido por causa de uma força que atua sobre eles, de tal forma que se for retirada, os objetos se encaminham para o repouso;

(ii) a força atuante num corpo é proporcional a sua velocidade e

(iii) os corpos mais pesados chegam ao solo antes dos mais leves ao serem soltos de uma mesma altura, ainda que estes objetos possuam o mesmo volume.

Além disso, Aristóteles pensava que o Universo era finito e esférico: finito, pois para ele o centro do Universo era a Terra que por se tratar de um corpo, não podia ser infinito; e esférico, porque esta forma geométrica simbolizava perfeição. O filósofo grego também acreditava que além dos quatro elementos fundamentais (água, terra, ar e fogo)

1 Todo o contexto histórico que será descrito neste capítulo, está embasado na referência [1]. Caso haja necessidade de outras obras, estas serão citadas ao longo do texto. Capítulo 1. Introdução 14

existia um quinto denominado éter ou quintessência, encontrado no Universo, sendo tal elemento um meio sem viscosidade nem resistência, no qual os corpos celestes se moviam em movimento circular, e portanto perfeito [1]. As concepções aristotélicas contribuíram para a continuidade dos estudos acerca do movimento dos corpos celestes, como por exemplo o modelo geocêntrico proposto por Cláudio Ptolomeu (±85-165), o qual afirmava que a Terra estava no centro do Universo, e na sequência vinham a Lua, Mercúrio, Vênus, Sol, Marte, Júpiter, Saturno e as estrelas fixas (Figura1(a)). Além disso, Ptolomeu introduziu o conceito de epiciclo (Figura1(b)), em que o planeta descreve um movimento circular em torno do deferente, sendo este um círculo onde os planetas giravam ao redor da Terra. Após Ptolomeu, surgiu Tycho Brahe (1546-1601), cujas observações astronômicas, concederam a Nicolau Copérnico (1473-1543) meios para afirmar que a Terra orbita em torno do Sol, e não o contrário. Com isto, Johannes Kepler (1571-1630) definiu três Leis que regem o Sistema Solar [2]:

(i) os planetas se movem em elipses ao redor do Sol situado num dos focos;

(ii) uma reta que liga um planeta ao Sol percorre áreas iguais em tempos iguais e

(iii) o cubo do semieixo maior é proporcional ao quadrado do período, sendo isto válido para qualquer planeta do Sistema Solar.

Entre 1609 e 1610, Galileu Galilei (1564-1642) utilizou o telescópio e observou: as irregulares da Lua, as fases de Vênus, e quatro satélites de Júpiter. Além disto, Galileu introduziu a concepção de Dinâmica, ou seja, os motivos que causam o movimento, afirmando, por exemplo, que uma força muda o movimento de um corpo e não o mantém com velocidade constante, deslocando-o numa linha reta. Através de experimentos com plano inclinado, Galileu concluiu que os corpos se movem com aceleração constante independente da quantidade de massa e percebeu que a força atuante num corpo é proporcional a aceleração e não a velocidade, como afirmava Aristóteles. Após os estudos de Galileu, Isaac Newton (1643-1727) se dedicou ao estudo do movimento dos corpos, e definiu três Leis que levam seu sobrenome:

(i) todo corpo permanece em seu estado de movimento (ou repouso), a não ser que uma força externa modiﬁque este estado;

(ii) a taxa de variação temporal do momento linear é igual ao somatório das forças atuantes num corpo (F~ = dP~ /dt) e

(iii) quando dois corpos interagem entre si, as forças que cada um exerce sobre o outro, são iguais em módulo e direção, porém com sentidos contrários. Capítulo 1. Introdução 15

Figura 1 – Representações esquemáticas e fora de escala (a) do modelo geocêntrico determinado por Ptolomeu, em que a Terra está no centro do Universo e os corpos celestes (Sol, Lua e outros planetas) giram ao seu redor descrevendo órbitas circulares perfeitas, estando ﬁxas as estrelas e (b) a ilustração do deferente (círculo no qual o planeta se move em torno da Terra) e epiciclo (pequeno círculo em torno do deferente).

(a) (b)

Fonte: Autor, 2018. Baseado em https://www.infoescola.com/astronomia/heliocentrismo/.

Isaac Newton queria unir a gravitação com a dinâmica do Sistema Solar, através da seguinte indagação [1]: “se a Terra realmente atrai a Lua, e vice-versa, então por que as duas não estão em rota de colisão?”. A resposta para esta pergunta foi: como a força de atração entre a Lua e a Terra é ortogonal à velocidade da Lua, tal força não altera o módulo da velocidade (constante), mas sim a direção. Neste movimento, a força gravitacional tem o caráter de força centrípeta. A partir disto, Newton formulou a Lei da Gravitação Universal, expressa por [3]

m m F~ = −G 1 2 ~e (1.1) r2 r ~ em que F é a força de interação entre os corpos, G a constante gravitacional, mi (i = 1, 2) são as massas dos corpos, r a distância entre eles e ~er o versor radial. O sinal negativo garante que a força é atrativa. Apesar da contribuição de Newton na formulação da Lei de interação entre corpos celestes, havia uma questão em aberto: como solucionar o problema dos três corpos, constituído pelo sistema Sol-Terra-Lua? Analiticamente, ainda não existia uma solução para as equações que regem este movimento, visto que a Dinâmica Newtoniana funcionava bem para sistemas com dois corpos. Entretanto, em 1886, o rei da Suécia e da Noruega, Capítulo 1. Introdução 16

Oscar II, no seu aniversário de 60 anos, propôs um prêmio àquele que provasse por meio de uma formulação matemática a estabilidade do Sistema Solar. Em 1889 Jules Henri Poincaré (matemático) ganhou a recompensa e além disso renovou a forma de se estudar as equações diferenciais não lineares. Até o ﬁm do século XIX, buscavam-se soluções analíticas para as EDO’s não lineares. No entanto, o matemático percebeu que as interpretações poderiam ter uma abordagem qualitativa, por meio de conceitos geométricos e topológicos.

Poincaré, ao tratar do Sistema Sol-Terra-Lua, de massas M1, M2 e m, respectivamente, fez a aproximação M1 ∼ M2 >> m, ou seja, considerou que os efeitos dinâmicos da Lua sobre a Terra e o Sol poderiam ser desprezados. Com isto, em 1903, Poincaré escreveu: “pode acontecer que pequenas diferenças nas condições iniciais produzam grandes diferenças no fenômeno final” [1], surgindo assim um primórdio de concepção sobre caos determinístico, ou seja, a causa de um comportamento irregular em sistemas não lineares, cujas leis dinâmicas determinam a evolução temporal dos estados sucessivos do sistema a partir de um conhecimento prévio dele [4]. Em 1963, Edward Norton Lorenz 2 se indagava sobre o porquê de não ser possível prever o tempo em dias posteriores com uma precisão adequada, mesmo se conhecendo as equações de circulação atmosférica e as condições climáticas. Através de um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem que descrevia o sistema, Lorenz fez simulações computacionais para responder aos questionamentos que tinha e com isto passou a obter resultados nos quais, dependendo da escolha das condições iniciais, o sistema evoluía para um comportamento atípico. Esta sensibilidade às condições iniciais do sistema ficou conhecida como o efeito borboleta, pois a afirmação de que o bater das asas de uma borboleta no Brasil pode causar um tornado no Texas foi uma ilustração feita por Lorenz para conceituar a imprevisibilidade do comportamento do sistema, ou seja, uma escolha de condições iniciais pode geralmente levar a um comportamento caótico.

1.2 Dinâmica não linear e sistemas complexos

A Teoria do Caos ainda continua em crescente desenvolvimento graças aos avanços da computação, como por exemplo no auxílio de computadores com ótimos processadores, nos quais se determinam soluções numéricas de sistemas não lineares. Além disso, por meio de análises numéricas, podemos nos utilizar de outras ferramentas para caracterização da dinâmica de um sistema, como: Diagramas de Bifurcação, Diagramas de Períodos, Diagramas de Lyapunov, Espaço de Fases, Análise de Séries Temporais e Espectro de Lyapunov. A dinâmica não linear se encontra em diferentes áreas da Ciência, como na Física, quando se estuda um oscilador harmônico submetido a impulsos periódicos (o Mapa de

2 Teve formação em matemática, mas por ter servido na Segunda Guerra Mundial como meteorologista, decidiu continuar a pesquisa nesta área. Capítulo 1. Introdução 17

Rede) [5] e dependendo do parâmetro de não linearidade, o sistema pode apresentar caos e/ou regularidade; em Economia onde se busca compreender o comportamento da bolsa de valores [6] num tempo futuro a depender do valor de uma aplicação; e em Biologia, como no desenvolvimento de um modelo não linear para a resposta imunológica [7]. Quando se tem o auxílio computacional, podemos investigar a dinâmica de um conjunto de sistemas cujas propriedades não podem mais ser compreendidas pelas caracte- rísticas individuais de cada sistema separadamente. Sendo assim, o sistema global é dito complexo. Um exemplo de sistema complexo é descrito nesta dissertação: Mapa de Rede Modiﬁcado (MRM), no qual nos utilizamos do acoplamento de dois sistemas distintos:

(i) O Mapa de Rede (MR), descrito por G. M. Zaslavsky [5], obtido pela formulação Hamiltoniana e também conhecido como oscilador “quicado”, por se considerar o sistema do oscilador harmônico unidimensional submetido à impulsos periódicos. Este sistema serve para simular diversos modelos físicos, como por exemplo, uma partícula carregada movendo-se num campo magnético constante submetida a impulsos periódicos. Além disso, o espaço de fases deste sistema possui uma mistura de regiões caóticas e periódicas e nos motiva a compreender os processos de difusão das trajetórias.

(ii) Um ﬂuido viscoso.

O MRM é obtido pelo método bailout embedding desenvolvido por J. H. Cartwright (et al)[8], que no contexto físico considera a imersão de partículas esféricas num fluido viscoso. Através deste método os estudos sobre propriedades de transporte de impurezas em fluidos, tem atraído a atenção de cientistas na investigação de diferentes áreas, tais como: nos efeitos de poluição atmosférica, populações de plânctons no oceano e aplicações em engenharia [9,10]. A dinâmica de sistemas como estes, apresenta comportamento caótico, pois se pensarmos no movimento do fluido e das partículas no fluido (em muitos casos) não poderemos prever onde se encontrarão as partículas após um determinado tempo. No bailout embedding considera-se um parâmetro definido por uma relação de densidades de massas do fluido e das partículas no regime aerossol (quando a densidade das partículas é maior que a do fluido) e no regime bolha (quando a densidade das partículas é menor que a do fluido). Além deste parâmetro, tem um outro que controla a viscosidade do fluido. O sistema MRM é dissipativo. A viscosidade do meio é definida por um parâmetro cuja magnitude controla a dissipação e a energia, implicando no surgimento de atratores no espaço de fases do MRM. Entretanto quando o parâmetro de viscosidade tende a zero, curiosamente, o MRM tende ao limite conservativo e a dinâmica do sistema é completamente caótica; já para valores suficientemente grandes deste parâmetro, o MRM aproxima-se do sistema individual MR. O método bailout embedding é utilizado somente Capítulo 1. Introdução 18

para sistema conservativos, podendo ser aplicados em sistemas contínuos ou discretos [8,11].

1.3 Questionamentos e estrutura da dissertação

Com base nesse sistema, pretendemos responder as seguintes perguntas: Quais tipos de dinâmica (regular, caótica e hipercaótica) são apresentadas pelo MRM? O MRM apresenta caos transiente? Se sim, existe alguma relação entre este fenômeno e os Diagramas de Lyapunov, cuja percepção notada na literatura aplica-se aqui? Existe uma nova forma de se estudar os processos de difusão e transporte no MRM? Se sim, como este novo método pode se aplicar a outros sistemas discretos? Será que também se aplica aos contínuos? Para responder aos questionamentos expressos no parágrafo anterior, estruturamos a dissertação na forma que segue. No capítulo 2, delineamos sobre os fundamentos teóricos do que vem a ser Sistemas Dinâmicos, apresentando sua forma matemática e abordando ferramentas para a análise destes tipos de sistemas, tais como espaço de fases, atratores e Seção de Poincaré. Na sequência deste mesmo capítulo, conceituamos o que vem a ser os expoentes de Lyapunov e, a partir destes, apresentamos como se analisa um sistema por meio de diagramas específicos. Finalizamos toda a fundamentação teórica, explicando sobre o método bailout embedding. No capítulo 3 apresentamos as características mais relevantes do Mapa de Rede, primeiro fazendo uma dedução para sua obtenção. Analiticamente, verificamos se o sistema é conservativo e explanamos um pouco sobre seus pontos fixos. Na sequência descrevemos suas características numéricas, primeiro justificando o porquê da escolha de se trabalhar com este mapa e em seguida demonstrando alguns comportamentos do espaço de fases para dois parâmetros do MR: K e q, sendo o primeiro o parâmetro de não linearidade e o segundo um número inteiro. No capítulo 4, fazemos um estudo do Mapa de Rede Modificado (i) analiticamente através do cálculo da matriz jacobiana e (ii) numericamente por meio dos Diagramas de Lyapunov, séries temporais e Espectro de Lyapunov. No capítulo 5, apresentamos os processos de difusão, inicialmente do MR e em seguida expomos sobre o sistema MRM. Finalizaremos a dissertação, com algumas conclusões e perspectivas futuras. 19

CAPÍTULO 2

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capítulo serão abordados os fundamentos teóricos dos Sistemas Dinâmicos. A primeira seção é dividida em três subseções, sequenciadas da seguinte forma: (i) conceitua- ção destes sistemas quanto ao tempo; (ii) um breve relato sobre os Sistemas Hamiltonianos; (iii) descrição do Espaço de Fases juntamente com atratores e (iv) abordagem sobre a Seção de Poincaré. Na segunda seção, as argumentações serão sobre os expoentes de Lyapunov (uma ferramenta matemática utilizada para quantiﬁcar a caoticidade de um Sistema Dinâmico), sendo isto importante para a abordagem acerca dos Diagramas de Lyapunov. Por ﬁm, a última seção é destinada à discussão do método bailout embedding.

2.1 Sistemas Dinâmicos

2.1.1 Deﬁnição e caracterização quanto ao tempo

Deﬁne-se um sistema como um conjunto de elementos agrupados por meio de alguma dependência mútua ou interação, tal que exista uma relação de causa e efeito ante os fenômenos decorrentes aos elementos deste conjunto [1]. O sistema torna-se dinâmico quando algumas de suas grandezas passam a variar com o tempo, podendo ser classiﬁcados como contínuos ou discretos. Um exemplo de sistema a tempo contínuo é um conjunto de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem autônomas (2.1), ou seja, aquelas que Capítulo 2. Fundamentação Teórica 20 não dependem explicitamente do tempo:

  dx(1)/dt = F (x(1), x(2), ..., x(N))  1   dx(2)/dt = F (x(1), x(2), ..., x(N))  2   . (2.1)  .    .   (N) (1) (2) (N)  dx /dt = FN (x , x , ..., x ).

O sistema (2.1) pode ser escrito numa notação vetorial como

d~x = F~ (~x), (2.2) dt cujos vetores são matrizes colunas, sendo d~x/dt uma derivada do vetor ~x de dimensão N e F~ um conjunto de funções lineares ou não na variável ~x. Este sistema é dinâmico porque dada uma condição inicial num tempo t0 é possível, a priori, resolver as equações e obter o estado futuro do sistema num tempo t > t0, ou seja, encontrar uma solução analítica das EDO’s em termos de funções elementares [12]. Em muitos casos, estas espécies de soluções não são possíveis, em especial para as EDO’s não lineares1. Entretanto, através de métodos computacionais, pode-se obter soluções numéricas destes sistemas para o tratamento dos aspectos qualitativos que ele possui. Os Sistemas Dinâmicos discretos são representados pelos mapas e possuem evo- lução temporal expressa por um número inteiro. Matematicamente, estes sistemas são caracterizados por uma equação de diferença (relação de recorrência) ou por um conjunto destas equações [13]. Vetorialmente, um mapa é expresso por

~ ~xn+1 = F (~xn), (2.3)

(1) (N) cujo n representa um valor discreto para o tempo e ~xn = (xn , ..., xn ) . Dada uma condição ~ inicial para n = 0, é possível determinar o estado futuro do sistema para ~x1 = F (~x0). Para os valores de n > 0 : n ∈ Z, o mesmo raciocínio serve para a determinação dos estados sucessivos do sistema. Nos Sistemas Dinâmicos, o tempo t é uma variável independente, pois t evolui livremente e ninguém pode ter um controle sobre ele. As variáveis dependentes, são aquelas que dependem das variáveis independentes, como por exemplo, a posição e a velocidade. Os parâmetros, são as quantidades que intervém na dinâmica do sistema, sendo classificados como fixos (quando os coeficientes de uma equação são constantes) ou variáveis (caso

1 d2x 2 Quando as variáveis dinâmicas possuem termos não lineares, como a equação diferencial dt2 = bx . Capítulo 2. Fundamentação Teórica 21 os coeﬁcientes sejam funções explícitas do tempo). Um exemplo disto são as relações de recorrência, representadas abaixo na ordem das deﬁnições anteriores:

x(t + 1) + a0x(t) = 0, (2.4) com a0 constante e x(t + 1) + a(t)x(t) = 0, (2.5) sendo a(t) uma função do tempo.

2.1.2 Sistemas Hamiltonianos

Os Sistemas Hamiltonianos são uma subclasse dos sistemas conservativos, e portanto propriedades físicas tais como energia mecânica e momento angular não se alteram na evolução temporal do sistema [1]. A formulação Hamiltoniana se aplica em importantes contextos da Física, como na Mecânica Clássica e no Eletromagnetismo. Classicamente, a evolução temporal destes sistemas é descrita por suas variáveis dinâmicas, costumeiramente representadas pelas coordenadas generalizadas q(i) = q(i)(t) e pelos momentos conjugados p(i) = p(i)(t), cujo índice i refere-se a uma partícula individu- almente [14]. Um par (q(i), p(i)) representa um grau de liberdade do sistema; e estes q(i) e p(i) são determinados pelas soluções das Equações de Hamilton, dadas por

 (i)  dq ∂H  = ,  dt ∂p(i)  (2.6)  (i)  dp ∂H  = − ,  dt ∂q(i) um sistema com N graus de liberdade constituído por um conjunto de 2N equações diferenciais acopladas. Além disso, H é uma função dita Hamiltoniana, composta pela soma da energia cinética e potencial do sistema estudado. Em particular, quando a função Hamiltoniana é da forma H = H(q(i)(t), p(i)(t)), ou seja, não depende explicitamente do tempo, o sistema é autônomo e portanto H é uma constante de movimento. Isto é provado ao se utilizar a regra da cadeia, tal que

dH(q(i)(t), p(i)(t)) ∂H dq(i) ∂H dp(i) = + . (2.7) dt ∂q(i) dt ∂p(i) dt

Substituindo as relações de (2.6) em (2.7), obtemos

dH(q(i)(t), p(i)(t)) ∂H ∂H ∂H ∂H = − = 0, (2.8) dt ∂q(i) ∂p(i) ∂p(i) ∂q(i) Capítulo 2. Fundamentação Teórica 22 e isto se reduz a saber que a energia mecânica do sistema é conservada. Quando a Hamiltoniana depende explicitamente do tempo (H = H(q(i)(t), p(i)(t), t)), ao se fazer uso do mesmo procedimento descrito em (2.7), vem que

dH(q(i)(t), p(i)(t), t) ∂H = , (2.9) dt ∂t e isto ocorre quando existe, por exemplo, a aplicação de uma força externa e periódica no sistema.

2.1.3 Espaço de fases e atratores

O espaço de fases ou de estados é um espaço N−dimensional, constituído por N eixos coordenados. Neste espaço, a dimensão é deﬁnida pelo número de EDO’s de primeira ordem regentes da evolução temporal de um ponto ~x(t) = (x(1)(t), ..., x(N)(t)), que representa um estado do sistema, sendo todos os x(i) = x(i)(t) denominados de variáveis de estado. Para um sistema de w equações do tipo

d~x(t) = F~ (~x,t), (2.10) dt (1) (w) ~ cujas funções Fi = Fi(x , ..., x , t) determinam um campo vetorial F sempre tangente a um ponto no espaço de estados; a solução de ~x(t) caracteriza uma trajetória no espaço de fases e o conjunto de todas as curvas determinadas a partir da evolução temporal de um estado do sistema é deﬁnido como retrato de fases [1].

Figura 2 – Representação de um volume de condições iniciais V (t) no espaço de fases limitado por uma superfície S(t). O vetor gˆ é unitário e F~ designa um campo vetorial tangente a um ponto em S(t).

Fonte: Autor, 2018 Capítulo 2. Fundamentação Teórica 23

Ainda sobre a evolução temporal de um sistema, existe uma relação entre a classificação quanto ao seu tipo e a configuração de um certo conjunto de pontos (volume) no espaço de fases. Se com o passar do tempo o volume sofrer contrações, o sistema é dissipativo. Caso o volume permaneça o mesmo durante a evolução temporal, o sistema é conservativo. Para matematizar estas definições, considere um conjunto de EDO’s não autônomas, expresso em (2.10). Admita que um volume de condições iniciais V (t) esteja limitado por uma superfície S(t), como na Figura2. Após um intervalo de tempo infinitesimal dt, desejamos determinar V (t + dt). Na Figura2, gˆ é um vetor unitário que aponta para fora de S(t) e F~ é o vetor tangente a um ponto ~x. Então, o produto escalar gˆ · F~ é uma componente normal a ~x.

Figura 3 – Representação de um elemento de volume de condições iniciais no espaço de fases após uma evolução temporal. Na figura dS simboliza um elemento infinitesimal de área, que após passado um tempo infinitesimal dt, adquire um elemento de volume com base dS e altura (ˆg · F~ )dt.

Fonte: Autor, 2018.

Na Figura3, após o intervalo de tempo dt, a superfície dS adquire um volume (gˆ · F~ dt)dS. Assim, a expressão para o volume almejado será a soma da quantidade inicial com a soma de todos os elementos inﬁnitesimais gerados pela superfície. Portanto

V (t + dt) = V (t) + (ˆg · F~ dt)dS. (2.11) ˛S Rearranjando os termos da expressão anterior e utilizando o Teorema de Gauss, temos que

V (t + dt) − V (t) = ∇~ · F~ dV. (2.12) dt ˆV Para dt → 0, o lado esquerdo de (2.12) é interpretado como uma derivada. Assim,

dV = ∇~ · F~ dV. (2.13) dt ˆV

Perceba que, se dV/dt = 0 ⇒ ∇~ · F~ = 0, a integral se anula, e portanto, o volume é constante, sendo o sistema classiﬁcado como conservativo. Por sua vez, se Capítulo 2. Fundamentação Teórica 24

dV/dt < 0 ⇒ ∇~ · F~ < 0, significando que na evolução temporal o volume se contraiu e o sistema foi identificado como dissipativo. Os sistemas dissipativos apresentam no espaço de fases regiões definidas como atratores, sendo estes os locais para onde as trajetórias convergem. Com alguma intuição matemática aprimorada, um conjunto fechado de pontos K é definido como atrator se satisfizer três condições [1]:

•K é invariante. Ou seja, toda trajetória que se inicia em K, continuará em K durante todo o tempo.

•K atrai um conjunto aberto de condições iniciais. Se o conjunto ϑ contém K, e ~x(0) é um conjunto de condições iniciais de ϑ, então a distância entre a trajetória ~x(t) pertencente a ϑ e o conjunto K diminui, quando t → ∞.

•K é mínimo: não existe um subconjunto de K que obedeça as duas condições anteriores.

Os atratores regulares são basicamente três: (i) os pontos ﬁxos, sendo estes pontos que atraem as trajetórias; (ii) ciclos limite, deﬁnidos por uma trajetória fechada que atrai ou repele soluções próximas a si e (iii) os toros, que (pensando no R3) são superfícies de revolução construídas pela rotação de um círculo em torno de um eixo, onde as trajetórias se movem exibindo um comportamento quase-periódico, sugerindo uma situação em que as órbitas nunca se fecham sobre si mesmas [14,15]. O espaço de fases também pode possuir atratores caóticos, representando uma desordem no comportamento das trajetórias ou

sensibilidade às condições iniciais. As dimensões Dim dos atratores são determinadas a partir de uma expressão deﬁnida por A. N. Kolmogorov em 1958 [1], onde um conjunto de pontos no espaço de estados é dividido em hipercubos com lados iguais a µ. Assim,

ln N(µ) Dim = lim , (2.14) µ→0 ln(1/µ) em que N(µ) é o número total de hipercubos. Se os atratores são periódicos, os valores de

Dim são números inteiros. Se Dim possui números fracionários ou irracionais, os atratores são caóticos e possuem dimensão fractal [16].

2.1.4 Seção de Poincaré

A Seção de Poincaré é uma hipersuperfície no espaço de fases transversal a um ﬂuxo [12] que permite reduzir a dimensão de um sistema dinâmico k-dimensional para (k − 1)-dimensional por meio de uma discretização. Ou seja, transforma um sistema dinâmico a tempo contínuo num a tempo discreto. Como um exemplo do processo descrito anteriormente, considere a ilustração da Figura4. Uma trajetória C pertencente a um ﬂuxo Capítulo 2. Fundamentação Teórica 25

Figura 4 – Representação da intersecção da linha de ﬂuxo C que geram os pontos A e B na Seção de Poincaré bidimensional S, dentro de um espaço tridimensional.

Fonte: Autor, 2018. tridimensional perfura um plano S de cima para baixo, determinando os pontos A e B em S com coordenadas (x, y) para um valor de z constante. A Seção de Poincaré bidimensional é construída por um mapeamento G(A) = B. Isto signiﬁca que ao se considerar A como uma condição inicial do sistema, é possível determinar qualquer ponto subsequente (por exemplo B) ao se aplicar G em A. Seja G(A) = B. Depois G(B) = P0 ⇒ GG(A) = P0.

Em seguida, G(P0) = P1 ⇒ GGG(A) = P1. Ou seja, é como se G fosse aplicado duas, três ou mais vezes em A, deﬁnindo então outros pontos em S após um intervalo de tempo. Nestas seções podem existir regiões de regularidade, como:

• Pontos ﬁxos: São valores do mapa nos quais a linha de ﬂuxo passa pelo mesmo ponto. Estes pontos são estáveis quando as trajetórias são atraídas à eles e instáveis caso contrário [13].

• Órbitas periódicas: São conjuntos de pontos, partindo de x∗, que após τ iteradas do mapa a trajetória retorna a x∗. Matematicamente, signiﬁca que x∗ = f τ (x∗).O valor τ também designa o período da órbita. Por exemplo, se τ = 15, ter-se-á uma órbita de período 15.

Se nas Seções de Poincaré as perfurações são dadas desordenadamente, deﬁne-se tais regiões como caóticas. Algumas consequências vantajosas deste método, são que:

(i) uma trajetória do ﬂuxo é periódica se, e somente se, no plano do mapa houver uma órbita periódica e Capítulo 2. Fundamentação Teórica 26

(ii) conceitos físicos difíceis de serem analisados no sistema original (k-dimensional) tornam-se mais claros no mapa (k − 1)-dimensional [17].

2.2 Os expoentes de Lyapunov

O matemático russo A. M. Lyapunov (1857-1918) determinou os expoentes que levam seu sobrenome para medir a caoticidade de um sistema dinâmico. Num espaço de fases, duas trajetórias inﬁnitesimalmente próximas podem divergir exponencialmente, a depender da escolha das condições iniciais, implicando na ocorrência de caos no sistema [18]. Nesta seção será abordado o cálculo do expoente de Lyapunov para mapas, visto que há um tratamento para sistemas contínuos (Apêndice A). Com base na referência [12], será deduzida a expressão do expoente de Lyapunov, junto a algumas argumentações. Considere um mapa unidimensional dado por

xn+1 = F (xn). (2.15)

Num tempo inicial t0, tem-se no mapa os pontos x0 e y0 separados a uma distância

d = y0 − x0. (2.16)

Para um tempo t > t0, seja uma nova distância designada por

0 d = y1 − x1, (2.17) de maneira que

d0 = eλd, (2.18) onde λ é a taxa com a qual os pontos se distanciam exponencialmente.

Levando em consideração a Eq. (2.15), note que se n = 0, então x1 = F (x0).

Analogamente, y1 = F (y0). Portanto, substituindo estes resultados em (2.17), obtemos

0 d = F (y0) − F (x0). (2.19)

De (2.16), vem que y0 = x0 + d. Assim, (2.19) se torna

0 d = F (x0 + d) − F (x0). (2.20) Capítulo 2. Fundamentação Teórica 27

Igualando (2.18) e (2.20), adquirimos

F (x + d) − F (x ) λ 0 0 e = , (2.21) d onde os módulos não precisam ser postos no lado esquerdo de (2.21), pois neste caso a função exponencial nunca é negativa. Considerando n iteradas do mapa, com n → ∞, a Eq. (2.21) se torna

F n(x + d) − F n(x ) nλ 0 0 e = , (2.22) d n tal que na n−ésima iteração temos que F (x0) = F (F...(x0)...). Isto signiﬁca que podemos obter os próximos pontos no espaço de fases aplicando F uma, duas ou mais vezes na condição inicial x0, como foi visto na subseção (2.1.4). Matematicamente, isto é interpretado da seguinte forma, observando a Eq. (2.15):

• Para n = 0 ⇒ x1 = F (x0).

2 • Para n = 1 ⇒ x2 = F (x1) = F (F (x0)) = F (x0).

3 • Para n = 2 ⇒ x3 = F (x2) = F (F (F (x0))) = F (x0).

n • Para a n-ésima iterada, tem-se xn+1 = F (xn) = F (F...F (x0)) = F (x0).

Fazendo a distância entre as condições iniciais ser muito pequena, ou seja, d → 0 e aplicando este limite em ambos os lados de (2.22), temos

F n(x + d) − F n(x ) nλ 0 0 lim e = lim , (2.23) d→0 d→0 d onde do lado esquerdo da equação, a função pode ser considerada uma constante, pois não depende de d. Para o lado direito, temos a deﬁnição de derivada no ponto x0. Portanto, o resultado de (2.23) será

dF n(x ) nλ 0 e = . (2.24) dx0 Em termos de logaritmo, obteremos

1 dF n(x ) 0 λ = ln (2.25) n dx0 que para n → ∞ torna-se

1 dF n(x ) λ = lim ln 0 . (2.26) n→∞ n dx0 Capítulo 2. Fundamentação Teórica 28

Pela regra da cadeia, determinamos que

dF n(x ) dF (x ) dF (x ) dF (x ) n−1 dF (x ) 0 = n−1 n−2 ... 0 = Y i . (2.27) dx0 dxn−1 dxn−2 dx0 i=0 dxi

2 O resultado de (2.27) é compreendido, ao se analisar por exemplo, F (x2) = F (x0), onde x2 é uma função de x1 que consequentemente é uma função de x0. Então, utilizando a regra da cadeia, fazendo o produto de três derivadas, da seguinte forma

dF 2(x ) dF (x ) dF (x ) dF (x ) 3−1 dF (x ) 0 = 2 1 0 = Y i (2.28) dx0 dx2 dx1 dx0 i=0 dxi i onde se enfatiza n = 3. Generalizando (2.27), perceba que xi = F (xi−1) = F (x0), como por 2 exemplo, x2 = F (x1) = F (x0). Retomando a continuação do texto, fazendo a substituição de (2.27) em (2.26), obtemos

1 n−1 dF (x ) λ = lim ln Y i . (2.29) n→∞ n i=0 dx0 Portanto pela propriedade do logaritmo de um produto, vem que

1 n−1 dF (x ) λ = lim X ln i (2.30) n→∞ n i=0 dx0 sendo este o expoente de Lyapunov para o caso unidimensional. A partir deste resultado, constata-se que:

• se λ < 0, o sistema unidimensional apresentará comportamento regular e

• se λ > 0, ocorrerá a existência de caos no sistema.

Perceba que em (2.30) o expoente de Lyapunov está relacionado com a derivada no ponto especíﬁco x0. Pensando em x0 como um ponto de equilíbrio, esta diferenciação está associada a uma linearização [19] feita numa região próxima a x0, para analisar se tal ponto é de equilíbrio estável2 ou instável3. No caso de um mapa w-dimensional, para o estudo de estabilidade num ponto ~x∗, utiliza-se os autovalores da matriz jacobiana J , constituída por elementos de derivação, dados abaixo:

 

∂F1 ... ∂F1  ∂x(1) ∂x(w)   n ∗ n ∗   ~x=~x ~x=~x    J =  ......  . (2.31)     ∂Fw ∂Fw  (1) ... (w)  ∂xn ∂xn ~x=~x∗ ~x=~x∗ 2 Quando pontos no mapa se aproximam de x0. 3 Quando pontos no mapa se afastam de x0. Capítulo 2. Fundamentação Teórica 29

(0) (s) Se para o mapa w-dimensional, existe uma órbita de período s ( ~xn , ..., ~xn ), então uma matriz jacobiana é aplicada sobre cada um deles, e a estabilidade da órbita será estudada a partir do produto de matrizes

s Y (i) (s) (s−1) (s−2) (0) M = J (~xn ) = J (~xn )J (~xn )J (~xn )...J (~xn ). (2.32) i=0

n O que mede a estabilidade da órbita neste caso, são os autovalores ∆j de M, e os expoentes de Lyapunov são dados por [12]

1 n λj = lim ln ∆ , j = 0, 1, ..., s. (2.33) n→∞ n j O resultado de todos expoentes constitui o que se deﬁne por espectro de Lyapunov. Cada expoente de Lyapunov está associado a expansão ou contração do elemento de volume no espaço de fases.

Figura 5 – Gráﬁcos associados à dinâmica do Mapa Logístico xn+1 = (1 − xn)rxn, sendo (a) o Diagrama de Bifurcação e (b)√ o Expoente de Lyapunov. As retas em cinza estão situadas em r = 3, r = 1 + 6 e r = 3, 55424: nos pontos que designam bifurcação em (a) e expoentes de Lyapunov nulos em (b), respectivamente.

Fonte: Autor, 2018.

Uma exempliﬁcação do espectro de Lyapunov é observada na Figura5 para o

Mapa Logístico [20], que é unidimensional, e matematicamente representado por xn+1 =

(1 − xn)rxn, onde r é um parâmetro de controle. Na análise deste espectro, constata-se que para λ > 0, o sistema é caótico. Para λ < 0 o regime do sistema é regular. Se λ = 0, ocorre bifurcação, como pode ser observado na Figura5(b). O termo bifurcação foi introduzido por Poincaré em 1885 [1] para diagnosticar uma mudança qualitativa do retrato de fases do sistema dinâmico toda vez que se obtiver um valor crítico do parâmetro do sistema. Por exemplo, na Figura5(a) r = 3 é um valor crítico, pois é um ponto de bifurcação, e para Capítulo 2. Fundamentação Teórica 30

√ r > 3, o sistema apresentará órbitas com período 2. Próximo a r = 1 + 6 ≈ 3, 4494898 o sistema terá uma órbita de período 4 e assim sucessivamente, cujo processo é deﬁnido como duplicação de períodos. À frente de r = 3, 55424 se tem estes pontilhados desordenados, indicando a existência atratores caóticos. A conexão com o espectro de Lyapunov é que nos pontos de bifurcação existem quando λ = 0. O caos presente no diagrama de bifurcação é associado a λ > 0. Já os pontos ﬁxos e órbitas periódicas como é visto na Figura5(a), equivalem aos expoentes negativos no espectro de Lyapunov da Figura5(b). Para um mapa w-dimensional, teremos w expoentes de Lyapunov que serão obtidos na forma decrescente como λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λw. Basta que apenas um expoente seja positivo para ocorrer caos no sistema. Em sistemas conservativos, a soma de todos os expoentes deve ser igual a zero. Nos sistemas dissipativos, a soma resulta num valor negativo.

2.2.1 Diagramas de Lyapunov

Figura 6 – Diagrama de Lyapunov α × γ para o MRM, tal que 0 ≤ α ≤ 10 e 0 ≤ γ ≤ 22, com uma malha de 1000 × 1000 pontos igualmente espaçados. Uma descrição mais detalhada deste diagrama pode ser encontrada na Figura 15.

Fonte: Autor, 2018.

Os diagramas de Lyapunov (a exemplo da Figura6) são representados por um espaço bidimensional constituído por eixos coordenados, em que são postos os parâmetros do sistema. Além disso, ao lado do diagrama é colocada uma barra lateral, portando o maior expoente de Lyapunov. Tanto para o diagrama quanto para a barra, atribui-se um gradiente de cores tal que para cada uma delas se associa um valor do expoente de Lyapunov: negativo, nulo, ou positivo. As cores utilizadas nesta dissertação foram as seguintes: a branca está relacionada aos expoentes de Lyapunov negativos, representando Capítulo 2. Fundamentação Teórica 31 no diagrama regiões de regularidade; a cor preta representa os expoentes de Lyapunov nulos estando associados a regiões de quase-periodicidade. A transição do preto para o amarelo, que também equivale aos expoentes nulos, implica em regiões de bifurcação, sendo esta uma transição do comportamento periódico para o caótico. As colorações amarela e vermelha estão associadas aos valores dos expoentes positivos, e portanto à caracterização de caoticidade no sistema, que quanto mais intensa é a cor, mais caótico o sistema se torna.

2.3 O método bailout embedding

As técnicas para controle do caos4 tem sido muito bem implementadas no estudo de Sistemas Dinâmicos não lineares, particularmente para os dissipativos [11]. Contudo, em sistemas conservativos, como os Hamiltonianos, os procedimentos desenvolvidos mostram-se ineficientes no que se refere a construção de conjuntos de atratores, e portanto a dificuldade da existência de alguma estabilidade no sistema. Devido a isto, J. H. Cartwright [8](et al) desenvolveu um método denominado bailout embedding5. A ideia consiste em imergir um sistema dentro de um outro maior. Tal método permite controlar o caos em sistemas conservativos, mantendo o sistema original intacto, a partir de certos limites (que serão descritos adiante), e assim o termo bailout, cuja tradução é “resgate”, passa a ganhar um significado neste contexto. Porém, a estabilidade das órbitas será alterada, a medida que a dinâmica do sistema for modificada. Antes de mais nada, é necessário se conceituar intuitivamente o que vem a ser imersão. Na geometria diferencial, as variedades são uma generalização do conceito de superfícies do R3 para o Rn. Então, se uma variedade U é inserida dentro de uma V tal que T : U → V, então T (U) é a imagem de U em V. Geralmente existe uma transformação inversa T −1, caso T (U) seja suave (a este conceito dá-se o nome de difeomorfismo). Por exemplo, uma equação diferencial ordinária x˙ = f(x) com x ∈ R pode ser inserida num outro conjunto de EDO’s, fazendo-se x¨ = f 0(x)x˙, e portanto x¨ = f 0(x)f(x): ou seja, uma EDO de primeira ordem, foi inserida numa EDO de segunda ordem. O conceito físico da técnica bailout embedding considera a dinâmica de pequenas esferas flutuantes num fluido incompressível6. A equação que descreve o movimento de

4 Métodos que buscam suprimir o caos do sistema. 5 Conservamos o termo em inglês, pelo fato de ser um método. 6 Aquele cuja massa e volume não variam. Capítulo 2. Fundamentação Teórica 32 uma partícula, é dada pela equação de Maxey-Riley [21]

d~v(1) d~v(2) 9νρ a2 ! ρ = ρ + (ρ − ρ )~g − f ~v(1) − ~v(2) − ∇2~v(2) p dt f dt p f 2a2 6 " (1) 2 !# ρf d~v D a − − ~v(2) + ∇2~v(2) (2.34) 2 dt Dt 10 r t 2 ! 9ρf ν 1 d (1) (2) a 2 (2) − q ~v − ~v − ∇ ~v dξ 2a π ˆ0 (t − ξ) dξ 6

(1) (2) onde ~v e ~v são as velocidades da partícula e do fluido, respectivamente; ρp, a densidade da partícula e ρf a do fluido; ν a viscosidade cinemática do fluido; a, o raio da esfera e ~g a gravidade [22]. No lado direito da igualdade de (2.34), o primeiro termo representa a força que o fluido, ainda não perturbado, exerce sobre a partícula. O segundo, é referente aos efeitos de flutuação. O terceiro é a força de Stokes: estando relacionada à fricção viscosa na superfície da esfera. O quarto termo, é a adição de massa, devido ao “grude” do fluido na partícula. Por último, tem-se a denominada força de Basset-Boussinesq7. Matematicamente o método bailout embedding é baseado na Eq. (2.34), porém como ela é uma equação integro-diferencial e não possui solução analítica, é necessário se fazer as seguintes aproximações8 [9, 10]: desprezo dos efeitos de flutuação; um pequeno número de Reynolds9; consideração dos termos de Bernoulli (as densidades); da força de Stokes10, e a adição de massa. Com tudo isto temos a seguinte expressão [9]:

d~v(1) d~v(2) − α = −γ(~v(1) − ~v(2)), (2.35) dt dt onde γ é um parâmetro de dissipação relacionado a viscosidade do ﬂuido e α é uma relação entre as densidades, dado por α = 3ρf , tal que se 0 < α < 1 ou α > 1 tem-se, ρf +2ρp respectivamente os regimes

(i) aerossol: geralmente caracterizado pela imersão de partículas ﬁnas (naturais ou artiﬁciais) imersas num gás [25]. Como exemplos deste regime temos a fumaça, contaminação atmosférica e utilização de sprays.

7 Para um aprofundamento no assunto, consulte [21,23,24], pois não é objetivo deste trabalho a dedução ou enfoque detalhado desta força. 8 Consulte o apêndice da referência [9], onde está posta a dedução de como sair desta equação integro- diferencial (2.34) por meio destas aproximações e se chegar na Eq. (2.35). 9 avρf R = ν , onde a é o raio da esfera, v o módulo da velocidade com a qual o corpo se move no meio, ρf a densidade do ﬂuido e ν a viscosidade dinâmica. 2 10 2a V2 St = 9νL , cujos termos V2 e L são o módulo da velocidade do ﬂuido e a dimensão característica do obstáculo (geralmente do mesmo diâmetro da partícula), respectivamente. Capítulo 2. Fundamentação Teórica 33

(ii) bolha: quando se considera partículas leves [26], porém com um maior diâmetro. Existem diversas aplicações deste regime em Engenharia, como: colunas de bolhas, absorção e processos fermentativos.

Quanto a densidade da partícula e do ﬂuido, existe uma relação importante. Se:

3ρf • α = 1 ⇒ = 1 ⇒ ρf = ρp. Ou seja, teremos o regime de flutuação das ρf +2ρp partículas, e portanto elas não adentram no fluido ficando sobre a superfície da interface de um sistema ar-mel, por exemplo.

3ρf • α < 1 ⇒ < 1 ⇒ ρf < ρp. Ou seja, no regime aerossol, a densidade das partí- ρf +2ρp culas é maior que a do ﬂuido. Assim, as partículas adentram “mais profundamente no meio”.

3ρf • α > 1 ⇒ > 1 ⇒ ρf > ρp. Ou seja, no regime bolha, a densidade das partículas ρf +2ρp é menor que a do fluido. Portanto, as partículas adentram “menos profundamente no meio”, dando uma ideia de “flutuação”, mas ainda penetrada no fluido.

O método bailout embedding é utilizado somente em sistemas conservativos, podendo ser aplicado a sistemas contínuos ou discretos. Considere, portanto, um mapa conservativo ~ do tipo ~xn+1 = f(~xn). Então, o bailout embedding aplicado a ele será dado por

  ~x = f~(~x ) + ~δ , n+1 n n (2.36) ~ −γ ~  δn+1 = e [α~xn+1 − f(~xn)], sendo ~x as variáveis dinâmicas da partícula e ~δ as variáveis dinâmicas do ﬂuido designando o acoplamento com a partícula. É sabido que γ é um parâmetro de dissipação que indica a contração do elemento de volume no espaço de fases. Se ~δ =6 0, existe uma dinâmica conjunta da partícula e do ﬂuido. Note que, para os limites de ~δ → 0, γ → ∞ (quando a ~ dissipação no sistema é mínima) e α = 1, a dinâmica do sistema original (~xn+1 = f(~xn)) é recuperada. 34

CAPÍTULO 3

O MAPA DE REDE

Neste capítulo, faremos a dedução detalhada e diferenciada do Mapa de Rede. Em seguida, abordaremos dois resultados analíticos do MR: (i) a comprovação de que o sistema é conservativo e (ii) um estudo sobre pontos ﬁxos e estabilidade. A partir da seção 3.3, discutiremos sobre o porquê de escolhermos o MR para nossos estudos e mostraremos as implicações numéricas que o sistema apresenta em seu espaço de fases.

3.1 Dedução do Mapa de Rede

Para a dedução do Mapa de Rede nos baseamos nas referências [5, 27], que não serão citadas ao longo da dedução (a não ser que seja necessário). Partimos de uma função Hamiltoniana (H) que considera o movimento de uma partícula carregada sob a inﬂuência de um campo magnético constante (B~ ) e perpendicular a este, a propagação de um pacote de onda. A Hamiltoniana deste sistema é dada por

∞ ! 1 2 2 2 ω0K X t H = (p + ω0x ) − cos(x) δ − n (3.1) 2 T n=−∞ T cujo p é o momento linear da partícula, ω0 a frequência angular, K o parâmetro de não linearidade associado a amplitude de oscilação e T o período para a ocorrência de um impulso (“quique”) inferido ao sistema. Tais impulsos são representados pelo delta de Dirac, na expressão (3.1), e o termo do somatório implica em quantos quiques se aplica no sistema. Este modelo também é conhecido como oscilador quicado, pelo fato da função Hamiltoniana em (3.1) ser a mesma do oscilador harmônico unidimensional, acrescida do termo de impulsos [5,27]. Capítulo 3. O Mapa de Rede 35

Aplicando as Equações de Hamilton em (3.1), adquirimos o seguinte sistema de equações diferenciais

  x˙ = p  ∞ ! 2 ω0K X t (3.2)  p˙ = −ω0x − sen (x) δ − n .  T n=−∞ T

Para determinar a equação de movimento deste sistema, basta derivar a primeira equação de (3.2) em relação ao tempo, ou seja, fazer x¨ = p˙. Substituindo este último resultado na segunda equação de (3.2), e reorganizando os termos, obtemos

∞ ! 2 ω0K X t x¨ + ω0x = − sen (x) δ − n . (3.3) T n=−∞ T

Em (3.3), devido à presença do delta de Dirac, é necessário fazer uma análise para saber como o sistema se comporta num intervalo entre dois impulsos. Para isso, considere o gráﬁco da Figura7, que serve apenas para efeito de ilustração, pois esta largura no momento do impulso tenderá a zero em argumentações posteriores.

Figura 7 – Representação dos impulsos gerados no sistema.

Fonte: Autor, 2018. Capítulo 3. O Mapa de Rede 36

Considere que tenha o mesmo comprimento nos dois picos. Para o primeiro impulso, a ocorrência se dá num intervalo de tempo

nT − < t < nT + . (3.4)

Perceba que em

nT + < t < (n + 1)T − (3.5) não ocorre quiques no sistema. A partir dos intervalos (3.4) e (3.5), serão feitas as análises do comportamento do sistema.

• Análise do intervalo dado em (3.4)

Da primeira equação de (3.2), podemos fazer a integração entre o intervalo que ocorre o impulso, ou seja, para t restrito em nT − < t < nT + . Portanto, para a posição, temos

nT + dx nT + x(nT + ) − x(nT − ) = dt = p(t)dt. (3.6) ˆnT − dt ˆnT − No limite de → 0, no último termo de (3.6), a integral tende a zero e para o gráﬁco da Figura7, far-se-á com que o largura do pico tenda a nT . Isto é possível graças as propriedades de integrais para funções impróprias (Apêndice B), pois o momento p é descontínuo (devido o δ de Dirac) no intervalo da integração. Assim, de (3.6), temos que

x(nT − ) ≈ x(nT + ). (3.7)

Já integrando a segunda equação de (3.2), ou seja, o momento, no intervalo nT − < t < nT + , temos

nT + dp p(nT + ) − p(nT − ) = dt. (3.8) ˆnT − dt Portanto

nT + nT + ! 2 ω0K t p(nT + ) − p(nT − ) = −ω0 x(t)dt − δ − n sen (x(t))dt. (3.9) ˆnT − T ˆnT − T

Veja em (3.9), que no último termo não aparece mais o somatório, pois a integração se dá apenas em um impulso e não numa sequência de quiques, que neste caso, seria Capítulo 3. O Mapa de Rede 37 representado por uma soma de deltas. A última integral de (3.9), reorganizada, tem a forma abaixo

nT + " 1 !# δ t − nT sen (x(t))dt. (3.10) ˆnT − T Existem duas propriedades da função delta de Dirac. A primeira é que,

+∞ δ(x − x0)f(x)dx = f(x0). (3.11) ˆ−∞ A segunda é que para a > 0 e constante,

" x !# 1 " x !# δ(ax − x ) = δ a x − 0 = δ x − 0 , (3.12) 0 a a a tal que unindo as propriedades (3.11) e (3.12), vem que

+∞ +∞ " !# ! x0 1 x0 δ(ax − x0)f(x)dx = δ a x − f(x)dx = f . (3.13) ˆ−∞ ˆ−∞ a a a

Aplicando o conceito de (3.13) em (3.10), temos que

nT + " 1 # δ (t − nT ) sen (x(t))dt = T sen [x(nT )]. (3.14) ˆnT − T

Isto é válido, pois T > 0 =⇒ 1/T > 0. Então, no exato momento do impulso, fazendo → 0, a Eq. (3.9) é reescrita como

p(nT + ) − p(nT − ) ≈ −ω0K sen [x(nT )]. (3.15)

Portanto,

p(nT + ) ≈ p(nT − ) − ω0K sen [x(nT )]. (3.16)

Vale lembrar que o resultado da expressão (3.16) foi obtida tão somente por nossa análise, sem consultar resultados em outras referências.

• Análise do intervalo dado em (3.5)

t Perceba que neste intervalo a função δ T − n = 0. Isto signiﬁca que não existe impulsos inferidos no sistema. Assim sendo, a Eq. (3.3) é reescrita como

2 x¨ + ω0x = 0, (3.17) sendo esta a equação do oscilador harmônico simples unidimensional. Capítulo 3. O Mapa de Rede 38

Uma possível solução para (3.17) é

x(t) = Aeηt (3.18) onde A 6= 0 é uma constante, e η um valor a ser deﬁnido. A segunda derivada de (3.18) em relação ao tempo é

x¨ = Aη2eηt. (3.19)

Substituindo (3.18) e (3.19) em (3.17), temos que

2 ηt 2 ηt Aη e + ω0Ae = 0. (3.20)

Como A 6= 0, e a exponencial nunca é nula, então podemos dividir ambos os lados de (3.20) por Aeηt. Reescrevendo a equação anterior, temos que

2 2 η = −ω0 ⇒ η = ±iω0. (3.21)

A solução geral de x(t) é

x(t) = Beiω0t + Ce−iω0t. (3.22)

Utilizando a fórmula de Euler para a exponencial imaginária, e reorganizando a Eq. (3.22), temos que

x(t) = (B + C) cos(ω0t) + i(B − C) sen (ω0t). (3.23)

Seja (B +C) = A0 e i(B −C) = B0 constantes. Então, a equação anterior é redigida como

x(t) = A0 cos(ω0t) + B0 sen (ω0t). (3.24)

As constantes de (3.24) podem ser determinadas a partir das condições iniciais, considerando t = 0. Logo, (3.24) é escrita como

x(0) = A0 cos(ω0.0) + B0 sen (ω0.0) ⇒ x(0) = A0, (3.25) onde x(0) representa a posição inicial, no instante t = 0. Substituindo (3.25) em (3.24), obtemos

x(t) = x(0) cos(ω0t) + B0 sen (ω0t). (3.26) Capítulo 3. O Mapa de Rede 39

Da primeira equação de (3.2), podemos derivar (3.25) em relação ao tempo e obter

x˙ = p(t) = −x(0)ω0 sen (ω0t) + B0ω0 cos(ω0t). (3.27)

Para t = 0, de (3.27) temos que

p(0) B0 = . (3.28) ω0 Dado (3.28), as equações (3.26) e (3.27) são reescritas como

 p(0)   x(t) = x(0) cos(ω0t) + sen (ω0t), ω0 (3.29) p(0)   p(t) = ω0 cos(ω0t) − x(0)ω0 sen (ω0t). ω0 Para a primeira equação de (3.29), p(0) = p(nT + ), pois como o intervalo é (3.5), então este valor é o momento linear inicial, para o qual a partícula se moverá livremente. Então,

p(0) = p(nT + ) ≈ p(nT − ) − ω0K sen [x(nT )], (3.30) dado pela Eq. (3.16). Já de (3.7), podemos concluir que

x(0) = x(nT + ) ≈ x(nT − ). (3.31)

Substituindo (3.30) e (3.31) na primeira equação de (3.29), e fazendo t = (n + 1)T , sendo este o instante em que se obterá os novos valores das variáveis no próximo impulso, temos que

1 x[(n + 1)T ] = [p(nT − ) − ω0K sen [x(nT )]] sen [ω0(n + 1)T )] ω0 (3.32)

+ x(nT − ) cos[ω0(n + 1)T ].

Agora, ao substituir (3.30) e (3.31) na segunda equação de (3.29), obtemos

p[(n + 1)T ] =[p(nT − ) − ω0K sen (x(nT ))] cos(ω0(n + 1)T ) (3.33) − x(nT − )ω0 sen [ω0(n + 1)T ].

Devido a periodicidade das funções seno e cosseno, temos cos[ω0(n+1)T ] = cos(ω0T ) e sen [ω0(n + 1)T ] = sen (ω0T ). Fazemos também x[(n + 1)T ] = xn+1, p[(n + 1)T ] = pn+1, Capítulo 3. O Mapa de Rede 40

x(nT − ) = xn e p(nT − ) = pn. Anteriormente ﬁzemos → 0, e portanto se considera

que x(nT ) ≈ xn. Substituindo estas relações em (3.33) e (3.32), temos que

 pn  xn+1 = xn cos(ω0T ) + − K sen (xn) sen (ω0T ), ω0 (3.34)   pn+1 = [pn − ω0K sen (xn)] cos(ω0T ) − xnω0 sen (ω0T ).

Do sistema (3.2) é sabido que x˙ = p, e portanto substituindo isto em (3.34),

dividindo ambos os lados da segunda equação por ω0, e reconﬁgurando as equações, vem que

 x˙ x˙  n+1 n  = −xn sen (ω0T ) + − K sen (xn) cos(ω0T ), ω0 ω0 x˙ (3.35)  n  xn+1 = xn cos(ω0T ) + − K sen (xn) sen (ω0T ). ω0

Fazendo as seguintes transformações de variáveis [5]: u = x/ω˙ 0, v = −x e β = ω0T , em (3.35), chegamos no resultado esperado do Mapa de Rede, exposto abaixo [5].

  u = (u + K sen v ) cos β + v sen β, n+1 n n n (3.36)  vn+1 = −(un + K sen vn) sen β + vn cos β

2π onde estudaremos o caso de β = q [5], ∀ q ∈ Z.

3.2 Um estudo analítico do Mapa de Rede

Esta seção é destinada à exposição de alguns resultados analíticos relevantes do Mapa de Rede, no que se refere a conservação do volume do espaço de fases sistema e aos seus pontos ﬁxos.

3.2.1 O Mapa de Rede é conservativo

Como foi descrito em seções anteriores, deﬁnimos que os Sistemas Hamiltonianos são conservativos. Devido a isto, os mapas bidimensionais originados destes sistemas são nomeados na literatura [28–31] como area-preserving, pois, por deﬁnição, o determinante da matriz jacobiana J será igual a um (Apêndice C). Portanto, observando o sistema (3.36), temos que

 ∂un+1 ∂un+1  J = ∂un ∂vn . (3.37)  ∂vn+1 ∂vn+1  ∂un ∂vn Capítulo 3. O Mapa de Rede 41

Portanto, encontramos

  cos β K cos vn cos β + sen β J =   . (3.38) − sen β −K cos vn sen β + cos β Fazendo o cálculo do determinante da matriz acima, vem que

2 2 det(J ) = −K cos vn sen β cos β + cos β + K cos vn sen β cos β + sen β. (3.39)

Resolvendo a expressão (3.39), teremos um termo nulo somado a relação trigono- métrica fundamental, e portanto det(J ) = 1, (3.40) comprovando que o sistema é conservativo, pelo Teorema de Liouville (Apêndice C).

3.2.2 Pontos ﬁxos e estabilidade

Como visto na seção 2.2, a estabilidade de um ponto de equilíbrio para sistemas de altas dimensões é analisada a partir dos autovalores da matriz Jacobiana. Para se entender isto de uma melhor forma, considere um mapa bidimensional genérico deﬁnido abaixo [12].

  x = g(x , y ) n+1 n n (3.41)  yn+1 = h(xn, yn).

Tomamos um ponto ﬁxo (xn = g(xn, yn), yn = h(xn, yn)) e próximo a ele um outro ponto

(xn + εn, yn + ϕn). Agora, expandindo g e h em série de Taylor, até a primeira ordem, vem que

∂g ∂g

εn+1 = εn + ϕn (3.42) ∂x xn,yn ∂y xn,yn e

∂h ∂h

ϕn+1 = εn + ϕn. (3.43) ∂x xn,yn ∂y xn,yn Na forma matricial, temos que

~ ~ ψn+1 = J ψn (3.44)     ~ εn+1 ~ εn com ψn+1 =  , ψn =   e J é a matriz jacobiana que será calculada no ϕn+1 ϕn ponto ﬁxo. Todas estas argumentações foram feitas na seção 2.2 quando abordamos sobre a estabilidade do sistema. Para o caso bidimensional, J terá dimensão 2 × 2. Portanto,

 ∂g ∂g  J = ∂xn ∂yn . (3.45)  ∂h ∂h  ∂xn ∂yn Capítulo 3. O Mapa de Rede 42

Para determinar os autovalores da matriz acima, calculamos

det(J − ΛI) = 0, (3.46) sendo Λ os autovalores de J , e I uma matriz identidade de ordem 2. Portanto, seja

 ∂g ∂g  ∂x − Λ ∂y J − ΛI =  n n  . (3.47) ∂h ∂h − Λ ∂xn ∂yn Substituindo o resultado obtido em (3.47), na Eq. (3.46), obtemos

∂g ∂h ∂g ∂h ∂g ∂h Λ2 − Λ + + − = 0. (3.48) ∂xn ∂yn ∂xn ∂yn ∂yn ∂xn Perceba que o primeiro termo entre parêntesis em (3.48) representa o traço (T r(J )) de J e o segundo termo entre parêntesis é o determinante de J , que neste caso valerá um, pois agora restringimos a abordagem para um mapa conservativo. Assim, a Eq. (3.48) ﬁca

Λ2 − ΛT r(J ) + 1 = 0 (3.49) e pela fórmula de Bhaskara, chegamos em

T r(J ) ± i[4 − (T r(J ))2]1/2 Λ = . (3.50) 1,2 2

Existe uma relação entre os resultados dos autovalores e a forma das órbitas [32]:

• se |T r(J )| < 2, na expressão (3.50), os autovalores Λ1,2 serão complexos conjugados. Isto significa que órbitas elípticas são geradas em torno de um ponto fixo, sendo este denominado ponto fixo elíptico [32] e,

• se |T r(J )| > 2, o espaço de fases será formado por órbitas hiperbólicas [32], nas quais os pontos se movem sobre uma trajetória com esta forma geométrica. No caso do Mapa de Rede, para valores suﬁcientemente grandes do parâmetro de não linearidade K, o ponto ﬁxo elíptico é transformado num ponto de sela1 hiperbólico, e a órbita tomará a forma hiperbólica.

Na literatura [1,12] deﬁne-se que para |Λ1|,|Λ2| < 1 o sistema possui um atrator e o ponto de equilíbrio é estável. Porém, se |Λ1|,|Λ2| > 1 o sistema possui um repulsor, e portanto as soluções próximas ao ponto se afastam, indicando que o sistema está em equilíbrio instável. Se |Λ1| < 1 e |Λ2| > 1, ou vice-versa, o sistema tem um ponto de 1 São pontos de equilíbrio instáveis no qual a trajetória se aproxima por uma direção, e se afasta na outra. Capítulo 3. O Mapa de Rede 43

sela hiperbólico. Os atratores e repulsores não preservam o volume no espaço de fases, e portanto estas entidades não são encontradas em Sistemas Hamiltonianos. Entretanto, no espaço de fases destes sistemas, são encontrados pontos hiperbólicos, como se viu no último item que antecede este parágrafo. Este fato é notável ao se analisar o sistema (3.36), por exemplo, para o caso q = 3. Calculando o traço da matriz (3.38), vem que

T r(J ) = −K cos vn sen β + 2 cos β. (3.51)

Substituindo (3.51) em (3.49), temos

2 Λ + (K cos vn sen β − 2 cos β)Λ + 1 = 0. (3.52)

Portanto, de (3.50), obtemos

q 2 −(K cos vn sen β − 2 cos β) ± (K cos vn sen β − 2 cos β) − 4 Λ = . (3.53) 1,2 2

√ 2π 1 3 Se q = 3 ⇒ β = 3 e assim, cos β = − 2 e sen β = 2 . Logo, fazendo as manipulações algébricas em (3.53), chegamos em

√ q √ 2 −( 3K cos vn + 2) ± ( 3K cos vn + 2) − 16 Λ = . (3.54) 1,2 4

Se para as combinações de K e v na expressão acima, os valores de Λ re- √ n 1,2 2 caírem numa desigualdade ( 3K cos vn + 2) < 16, o resultado dos autovalores serão números complexos, e portanto o ponto em questão é do tipo elíptico. Analogamente, se √ 2 ( 3K cos vn + 2) > 16, os autovalores na Eq. (3.54) serão reais, implicando que |Λ1| < 1

e |Λ2| > 1 (ou vice-versa), e o ponto passará a ser hiperbólico.

Se q = 4 teremos que T r(J) = −K cos vn, pois β = π/2 e portanto cos β = 0 e sen β = 1. Pela Eq. (3.53)

√ −K cos v ± K2 cos2 v − 4 Λ = n n . (3.55) 1,2 2 levando a conclusão de que os pontos ﬁxos elípticos surgirão no espaço de fases do MR, 2 2 2 2 quando K cos vn < 4, pois os autovalores serão complexos conjugados. Para K cos vn <

4 aparecem no espaço de fases pontos hiperbólicos, pois Λ1,2 ∈ R. √ Se q = 6 teremos que T r(J) = −( 3K cos v + 2)/2, pois β = π/3 e portanto √ n cos β = 1/2 e sen β = 3/2. Pela Eq. (3.53)

√ q √ 2 −( 3K cos vn − 2) ± ( 3K cos vn − 2) − 16 Λ = (3.56) 1,2 4 Capítulo 3. O Mapa de Rede 44 cuja argumentação é análoga ao caso q = 3. Ou seja, a depender da combinação de K e vn, o argumento da raiz quadrada em (3.56) for um número negativo, ter-se-á o resultado de um complexo conjugado para os autovalores, e portanto o ponto é do tipo elíptico. No mais, se o argumento da raiz quadrada for um número positivo, recair-se-á num ponto hiperbólico.

3.3 O espaço de fases do Mapa de Rede

Nesta seção, temos por objetivo justiﬁcar a escolha do Mapa de Rede como objeto de estudo para esta dissertação, bem como descrever a inﬂuência dos parâmetros K e q no espaço de fases do mapa.

3.3.1 Justiﬁcativa

O Mapa de Rede desperta interesse cientíﬁco devido a sua riqueza de caráter dinâmico, como por exemplo, para diferentes valores de q a dinâmica do mapa possuirá características distintas. Outra justiﬁcativa da escolha deve-se ao fato deste sistema ser útil para simular diversos modelos físicos, a exemplo da partícula carregada movendo-se num campo magnético constante submetida a impulsos periódicos, como se viu no início deste capítulo. Outra explicação para a utilização do mapa é o fato de se querer estudar o processo de difusão de partículas (condições iniciais) no espaço de fases, como será visto no capítulo 5.

3.3.2 A inﬂuência do parâmetro K

Para certos valores do parâmetro de não linearidade K, o espaço de fases do Mapa de Rede possui tanto a dinâmica regular quanto a caótica. A presença da dinâmica regular é representada por um conjunto de ilhas de regularidades, que são separadas por camadas estocásticas, onde em seus canais existe um movimento caótico das trajetórias. A medida que K aumenta, a camada estocástica começa a tomar conta do espaço de fases cada vez mais, provocando um processo de transição do comportamento regular para o caótico, sendo este efeito conhecido como rota para o caos [27], mais usados em diagramas de bifurcação. Quando se tem o valor de K ainda maior, a dinâmica do sistema se tornará completamente caótica. Se K é muito pequeno, a perturbação2 ξ do sistema será pequena, e no limite ξ → 0 a espessura das redes estocásticas tenderão a zero, formando no espaço de fases a então chamada rede esquelética.

2 É uma teoria da Mecânica Clássica, na qual um sistema Hamiltoniano tem a forma H = H0 + ξ∆H em que ξ é o termo de perturbação. Capítulo 3. O Mapa de Rede 45

3.3.3 A inﬂuência do parâmetro q

A depender do valor de q, o espaço de fases do Mapa de Rede pode apresentar o tipo de simetria cristalina, se q = qc = {1, 2, 3, 4, 6}, ou quase-cristalina, se q 6= qc.A discussão sobre estas simetrias é apresentada na sequência, em paralelo com a inﬂuência de alguns valores de K (sendo K = {1, 2; 1, 5; 1, 7; 3, 15} dados em [5] e K = 6, 7 um valor que escolhemos), para se analisar as modiﬁcações da dinâmica em diferentes casos.

3.3.3.1 Simetria cristalina

Nas Figuras8(a-d), para os valores de q = 4 e K = 1, 5 se percebe que as trajetórias do sistema estão espalhadas pelo espaço de fases. Este espalhamento ocorre de forma ordenada, devido ao espaço possuir simetria translacional em v : v → v + 2πm com m ∈ Z, o que significa que de 2π em 2π estas redes possuem a mesma estrutura geométrica. Fizemos um corte na região de v × u = [0, 2π] × [0, 2π], para se ter uma melhor noção sobre as órbitas periódicas presentes no espaço de estados. Perceba o conjunto de órbitas que formam as ilhas de regularidades (estruturas que possuem movimento regular), tal que qualquer condição inicial escolhida nesta região se moverá ali durante a evolução temporal do sistema. Quanto à análise das órbitas, é notável que na Figura8(a-b) o ponto fixo (0, 0) é elíptico e quando se aumenta os valores de K [5,27], este ponto passa a ser hiperbólico, significando que a órbita antes elíptica, obterá a forma hiperbólica. Note também, a presença das camadas estocásticas que separam as regiões de regularidade. A medida de K aumenta, a camada estocástica começa a tomar conta do espaço de fases, como pode ser visto na Figura8(c) para o valor de K = 3, 15. Já para K = 6, 7 na Figura Figura8(d), a dinâmica do sistema se torna completamente caótica. Entretanto, a análise feita para estes valores de K são particulares, pois se K > 6, 7 pode acontecer que ilhas de regularidade surjam no espaço de fases do MR, entretanto talvez não possamos mais visualizá-las. Para os valores de q = 3 e q = 6, os padrões de simetria translacional e rotacional3 coexistem no espaço de fases, assim como para q = 4. Esta comprovação pode ser notada nas Figuras9(a,c). Entretanto, as formas geométricas do aglomerado de ilhas presentes no centro do espaço de fases possuem estruturas diferentes para os valores de q = 3, q = 4 e q = 6. Isto pode ser visto e comparado ao se observar as Figuras9(b,d). A presença da rede esquelética no espaço de fases, é obtida para um K muito pequeno, tal que as camadas estocásticas que separam a dinâmica regular da caótica, são bastante finas; tornando possível a percepção das simetrias denominadas na literatura [5,27] como hexagonal para de q = 3 e quadrada, quando q = 4, estando bem representadas no espaço de fases da Figura 10(a-b) para K = 0, 005.

3 Quando uma ﬁgura possui as mesmas características geométricas ao ser rotacionada por um ângulo θ ∈ (0, 2π). Capítulo 3. O Mapa de Rede 46

Figura 8 – O espaço de fases do Mapa de Rede para (a-d) q = 4; (a-b) K = 1, 5; (c) K = 3, 15 e (d) K = 6, 7. Estas ﬁguras foram construídas utilizando 200 condições iniciais de (v0, u0) escolhidas aleatoriamente no intervalo [0, 2π] com um tempo total de 105 iterações.

(a) (b)

Fonte: Autor, 2018.

3.3.3.2 Simetria quase-cristalina

O tipo de simetria quase-cristalina não apresenta simetria translacional e rotacional simultaneamente no espaço de fases. A maneira como as trajetórias são espalhadas no espaço de estados é na forma de caminhada aleatória (Figura 11(a)), e não descreve uma trajetória uniforme com o passar do tempo. Estas estruturas apresentam diferentes Capítulo 3. O Mapa de Rede 47

Figura 9 – O espaço de fases do Mapa de Rede para (a-b) q = 3 e K = 1, 7; (c-d) q = 6 e K = 1, 2. Estas ﬁguras foram construídas utilizando 200 condições iniciais de (v0, u0) escolhidas aleatoriamente no intervalo [0, 2π] com um tempo total de 105 iterações.

(a) (b)

Fonte: Autor, 2018. tamanhos e formas a depender da escolha das condições iniciais. O espaço de fases para esta situação encontra-se nas Figuras 11(a-b) para q = 5 e K = 0, 879645943 (este valor é deﬁnido em [5]) e nas Figuras 11(c-d) para q = 8 e K = 0, 81. Capítulo 3. O Mapa de Rede 48

Figura 10 – O espaço de fases do Mapa de Rede para K = 0, 005; (a) q = 4 e (b) q = 3. Estas ﬁguras foram construídas utilizando 200 condições iniciais de (v0, u0) escolhidas aleatoriamente no intervalo [0, 2π] com um tempo total de 105 iterações.

(a) (b)

Fonte: Autor, 2018. Capítulo 3. O Mapa de Rede 49

Figura 11 – O espaço de fases do Mapa de Rede para (a-b) 200 condições iniciais de (v0, u0) escolhidas aleatoriamente no intervalo [0, 2π], ﬁxando os parâmetros K = 0, 879645943 e q = 5 para um tempo total de 106 iterações. Já para os espaços de fases de (c-d) ﬁxamos K = 0, 81 e q = 8, e escolhemos 100 condições iniciais aleatórias de (v0, u0) no intervalo [0, 2π] para um tempo total de 106 iterações.

(a) (b)

Fonte: Autor, 2018. 50

CAPÍTULO 4

O MAPA DE REDE MODIFICADO

Neste capítulo, temos por objetivo estudar o comportamento do sistema MRM através de resultados analíticos e numéricos. Na investigação analítica fazemos o cálculo do determinante da matriz jacobiana do sistema para discutirmos a respeito dos limites dissipativo e conservativo do MRM. Além disto, através dos resultados numéricos, iniciaremos uma descrição sobre as mudanças estruturais que ocorrem no espaço de fases do MRM para os regimes aerossol e bolha. Em seguida serão demonstrados e discutidos os regimes dinâmicos (regular, caótico e hipercaótico) que ocorrem nos Diagramas de Lyapunov do MRM para diferentes valores do parâmetro de não linearidade K. Finalizaremos o capítulo abordando o caos transiente.

4.1 O modelo

O sistema abaixo será identiﬁcado como Mapa de Rede Modiﬁcado (MRM) e foi obtido a partir do processo descrito pela Eq. (2.36). O MRM constitui um conjunto de quatro equações discretas, dadas por:

 u  un+1 = (un + K sen vn) cos β + vn sen β + δn   v  vn+1 = −(un + K sen vn) sen β + vn cos β + δn u −γ u (4.1)  δn+1 = e [αun+1 − (un+1 − δn)]   v −γ v  δn+1 = e [αvn+1 − (vn+1 − δn)].

Vale lembrar que u e v são as variáveis associadas a velocidade e a posição da partícula, respectivamente, δ o termo de acoplamento do meio à partícula, K o parâmetro de não linearidade, β = 2π/q, γ o parâmetro de dissipação e α o parâmetro inercial. Capítulo 4. O mapa de rede modiﬁcado 51

4.2 Um resultado analítico: o sistema é dissipativo?

Para responder a pergunta feita nesta seção, precisamos analisar se o determinante da matriz jacobiana J do sistema é menor que 1 (det(J ) < 1)[33]. Portanto, observando o sistema (4.1), temos que

 ∂un+1 ∂un+1 ∂un+1 ∂un+1  u v ∂un ∂vn ∂δn ∂δn  ∂vn+1 ∂vn+1 ∂vn+1 ∂vn+1   u v   ∂un ∂vn ∂δn ∂δn  J =  ∂δu ∂δu ∂δu ∂δu  . (4.2)  n+1 n+1 n+1 n+1  u v  ∂un ∂vn ∂δ ∂δ   v v vn vn  ∂δn+1 ∂δn+1 ∂δn+1 ∂δn+1 u v ∂un ∂vn ∂δn ∂δn Efetuando o cálculo de (4.2), obtemos

  cos β K cos β cos vn + sen β 1 0      − sen β −K sen β cos vn + cos β 0 1  J =   . (4.3)  −γ −γ −γ   e (α − 1) cos β e (α − 1)(K cos β cos vn + sen β) e α 0   −γ −γ −γ  −e (α − 1) sen β e (α − 1)(−K sen β cos vn + cos β) 0 e α

Para facilitar os cálculos, considere as seguintes substituições de variáveis, postas abaixo

(i) A = e−γ(α − 1).

(ii) B = K cos β cos vn + sen β.

(iii) C = −K sen β cos vn + cos β.

(iv) D = e−γα.

Substituindo (i), (ii), (iii) e (iv) em (4.3), vem que

  cos β B 1 0      − sen β C 0 1  J =   . (4.4)    A cos β AB D 0    −A sen β AC 0 D

Pelo Teorema de Laplace (Apêndice D), escolhemos a terceira coluna da matriz J , pois é a que tem dois elementos nulos. Assim, o determinante será

det(J ) = a13Ω13 + a23Ω23 + a33Ω33 + a43Ω43, (4.5) Capítulo 4. O mapa de rede modiﬁcado 52

i+j sendo aij os elementos da matriz J e Ωij = (−1) Dij seus cofatores. Ao se observar (4.4), a Eq. (4.5) reduz-se a

det(J ) = Ω13 + DΩ33. (4.6)

Portanto, 1+3 Ω13 = (−1) D13 = D13, (4.7) e se

− sen β C 1

2 2 D13 = A cos β AB 0 = −ABD sen β+A C cos β+A B sen β−ACD cos β, (4.8)

−A sen β AC D então 2 2 Ω13 = −ABD sen β + A C cos β + A B sen β − ACD cos β. (4.9)

Temos também que

3+3 Ω33 = (−1) D33 = D33, (4.10) e se

cos β B 0

D33 = − sen β C 1 = CD cos β − AB sen β − AC cos β + BD sen β, (4.11)

−A sen β AC D então

Ω33 = CD cos β − AB sen β − AC cos β + BD sen β. (4.12)

Substituindo (4.9) e (4.12) em (4.6), e fazendo as manipulações algébricas necessá- rias, obtemos

det(J ) = (A − D)2(B sen β + C cos β). (4.13)

Observando as transformações feitas em (i) e (iv), temos que

A − D = e−γ(α − 1) − e−γα = −e−γ ⇒ (A − D)2 = e−2γ. (4.14)

A partir de (ii) e (iii), note que

B sen β + C cos β = (K cos β cos vn + sen β) sen β + (−K sen β cos vn + cos β) cos β 2 2 = K sen β cos β cos vn − K sen β cos β cos vn + sen β + cos β = 1, (4.15) Capítulo 4. O mapa de rede modiﬁcado 53

devido a relação trigonométrica fundamental. Agora, substituindo (4.14) e (4.15) em (4.13), temos que

det(J ) = e−2γ. (4.16)

Observe que o resultado de (4.16) expressa o que se queria provar: det(J ) 6 1. Se γ = 0, isto implica dizer que o sistema não possui dissipação, e portanto det(J ) = 1, tornando o sistema 4D conservativo (assunto este que não é abordado na dissertação, a não ser os valores 0 < γ < ∞), cuja dinâmica será governada pelos parâmetros K e α para um dado valor de q. À medida que se infere dissipação no sistema, o det(J ) < 1, signiﬁcando que o hipervolume1 no espaço de fases será contraído. Entretanto, para γ → ∞ a dissipação no sistema é mínima e o det(J ) → 0, recaindo numa propriedade de determinantes, pois neste caso se a matriz tem uma linha ou uma coluna com elementos nulos, seu determinante será nulo. Isto é verdade, pois para γ → ∞ os elementos da terceira e quarta linha da matriz J (veja em (4.3) e nas relações (i) e (iv)) tenderão a zero e basicamente o sistema (4.1) reduz-se a dinâmica do Mapa de Rede, com a adição dos termos δ, tal que se δ → 0, a dinâmica original do MR é readquirida por completo.

4.3 Resultados numéricos do MRM para o caso q = 4

Com base no mapa (4.1) e no caso q = 4, serão expostos os resultados numéricos referentes ao estudo do Mapa de Rede Modificado, primeiramente analisando secções v × u do espaço de fases quadridimensional nos regimes aerossol e bolha para o valor fixo do parâmetro K = 1, 5. Na sequência, variamos o valor da dissipação γ para encontrar uma resposta à seguinte pergunta: qual a validade da aplicação do método bailout embedding para o Mapa de Rede? Em seguida será feito inspeção dos Diagramas de Lyapunov para valores fixos de K = {1, 5; 3, 15; 6, 7} e a variação dos parâmetros inercial (α) e viscoso (γ).

4.3.1 O estudo para K = 1, 5

4.3.1.1 Secções v × u do espaço de fases do MRM para o regime aerossol

Começando a discussão pelo o regime aerossol, no sistema (4.1), ﬁxamos os valores de α = 0, 5 e K = 1, 5 como é mostrado na Figura 12. Na Figura 12(a) foram escolhidas

200 condições iniciais aleatórias, tal que u0 e v0 estivessem num intervalo de [0, 2π], e u v 5 7 fizemos δ0 = δ0 = 0. O sistema foi iterado num tempo total de 10 , fixando γ = 10 , sendo este um valor suficientemente grande do parâmetro de dissipação para a análise em questão. Comparando Figura 12(a) e Figura 12(d), que é o espaço de fases para o

1 É o nome dado a um volume num espaço N dimensional. Neste caso N = 4 > 3. Capítulo 4. O mapa de rede modiﬁcado 54

Figura 12 – Para q = 4; K = 1, 5; 200 condições iniciais e um tempo total de iteração de 105, ﬁxamos (a-c) α = 0, 5; γ = 107; cujas condições iniciais em (a) foram escolhidas aleatoriamente num intervalo {(v0, u0) : 0 ≤ u0, v0 ≤ 2π}; (b) v u v u v u v u {(δ0 , δ0 ) : 0 ≤ δ0 , δ0 ≤ 2π}; (c) {(v0, u0, δ0 , δ0 ) : 0 ≤ u0, v0, δ0 , δ0 ≤ 2π} e (d) {(v0, u0) : 0 ≤ u0, v0 ≤ 2π}.

(a) Secção v x u do espaço de fases do MRM. (b) Secção v x u do espaço de fases do MRM.

Fonte: Autor, 2018.

MR, podemos perceber a semelhança que existe entre elas. Isto significa que a validade do método de bailout embedding é verificada, pois para γ → ∞, δ → 0 a dinâmica do sistema original (Figura 12(d)) é retomada. No interior da ilha central, existe uma distinção entre os planos vu na Figura 12(a) e Figura 12(d), pois na primeira imagem, existe uma maior densidade de pontos do que na segunda figura. Capítulo 4. O mapa de rede modificado 55

Para se perceber a validade do método em outras circunstâncias, fizemos novas simulações numéricas para os parâmetros definidos anteriormente (α, K e γ), porém mudando os valores das condições iniciais. Na Figura 12(b), escolhemos as condições u v iniciais u0 = v0 = 0 e δ0 e δ0 distribuídas aleatoriamente no intervalo [0, 2π], sendo interessante notar como as componentes do meio (δ) influenciam na dinâmica do MRM no tocante a retomada do sistema original (MR) ao observar na Figura 12(b) e na Figura 12(d). Para a Figura 12(c), escolhemos todas as condições iniciais aleatoriamente no v u v u intervalo {(v0, u0, δ0 , δ0 ) : 0 ≤ v0, u0, δ0 , δ0 ≤ 2π}. Comparando a Figura 12(c) e Figura 12(d), vemos a semelhança entre as dinâmicas apresentadas nos planos de fases, induzindo à conclusão que para diferentes condições iniciais, o método bailout embedding é verificado, no limite de γ → ∞.

4.3.1.1.1 Efeitos da dinâmica do MRM pela variação gradativa de γ em ordem decrescente

Figura 13 – Para q = 4; K = 1, 5; α = 0, 5; 200 condições iniciais escolhidas aleatoriamente v u v u tal que v0 = u0 = 0 e {(δ0 , δ0 ) : 0 ≤ δ0 , δ0 ≤ 2π} num tempo total de iteração de 105, ﬁxamos (a) γ = 20; (b) γ = 13; (c) γ = 9, 5; (d) γ = 7, 5 e (e) γ = 3, 5.

(a) (b) (c)

(d) (e)

Fonte: Autor, 2018.

Foi mostrado na Figura 12 que para γ → ∞ a dinâmica do Mapa de Rede é recuperada. Então, pensamos em analisar como a dinâmica do MRM pode ser alterada Capítulo 4. O mapa de rede modificado 56 devido as gradativas modificações do parâmetro de dissipação, partindo (na Figura 13) de γ = 20, sendo este o valor no qual o MRM começa a modificar sua dinâmica de uma forma mais perceptível nos planos vu, cuja análise é feita na sequência. Para isto, foram v u utilizadas 200 condições iniciais para valores de δ0 e δ0 escolhidos aleatoriamente num 5 intervalo de [0, 2π], com u0 = v0 = 0 num tempo total de iteração de 10 . Comparando a Figura 13(a) (γ = 20) com Figura 12(d), que é o espaço de fases do Mapa de Rede, não se percebe uma grande diferença entre os planos vu. Já na Figura 13(b), para γ = 13, o conjunto de órbitas regulares centrais são agora mais afetadas pelo parâmetro de dissipação, e no plano vu já se percebe uma maior densidade de pontos nas laterais das antigas ilhas de regularidade pois a viscosidade do meio diminui e há uma movimentação de partículas no fluido, e através do espaço de fases na Figura 13(b) notamos o surgimento de atratores no sistema indicando uma espécie de estabilidade no MRM. Com γ = 9, 5 (Figura 13(c)) o conjunto de órbitas centrais são agora mais afetadas pelo parâmetro de dissipação, havendo uma nítida diferença entre as imagens anteriores. Através de simulações numéricas visualizamos que quando γ é diminui de 0, 5 em 0, 5 as áreas ocupadas pelos pontos vão se tornando cada vez menores, cuja mudança é fortemente notada para γ = 7, 5 na Figura 13(d). Na Figura 13(e), γ = 3, 5; o sistema converge para um subconjunto de pontos ainda menor. Diante destas análises, pode-se concluir que no regime aerossol, com a diminuição de γ, as condições iniciais adentraram nas antigas ilhas de regularidade, sendo este efeito também observado no espaço de fases da referência [9], para o bailout embedding aplicado ao Mapa Arnold-Beltrami-Childress (ABC). Observamos que para γ → ∞, as trajetórias no espaço de fases obterão comportamento caótico.

4.3.1.2 Secções v × u do espaço de fases do MRM para o regime bolha

Para o regime bolha, foi fixado o valor de α = 1, 2. As mesmas condições empregadas na subseção 4.3.1.1 foram feitas aqui. Ou seja, γ = 107, q = 4; K = 1, 5 com 200 condições iniciais escolhidas nos intervalos descritos na legenda da Figura 13, para um tempo total de iteração de 105. Não reproduzimos os planos vu nesta subseção, para não tornar a análise repetitiva. Mas, garantimos que assim como no caso do aerossol, para o regime bolha, a validade do método de bailout embedding é verificada no limite de γ → ∞ com a escolha de diferentes condições iniciais e a modificação da dinâmica do MRM começa a ser percebida a partir de γ = 20, como será descrito na sequência.

4.3.1.2.1 Efeitos da dinâmica do MRM pela variação gradativa de γ em ordem decrescente

A análise feita aqui é análoga a que se fez na seção 4.3.1.1.1: diminuímos grada- v u tivamente o parâmetro de dissipação γ, fazendo uso de 200 condições iniciais de δ0 e δ0 5 escolhidas de forma aleatória em [0, 2π], tal que u0 = v0 = 0 para 10 iterações do sistema. Capítulo 4. O mapa de rede modiﬁcado 57

Figura 14 – Para q = 4; K = 1, 5; α = 1, 2; 200 condições iniciais escolhidas aleatoriamente v u v u tal que v0 = u0 = 0 e {(δ0 , δ0 ) : 0 ≤ δ0 , δ0 ≤ 2π} num tempo total de iteração de 105, ﬁxamos (a) γ = 20; (b) γ = 13; (c) γ = 9, 5; (d) γ = 7, 5 e (e) γ = 3, 5.

(a) (b) (c)

(d) (e)

Fonte: Autor, 2018.

Os fenômenos presentes no espaço de fases do MRM para o regime bolha são semelhantes aos do regime aerossol, no que se refere ao parâmetro γ = 20, sendo este valor o qual o sistema começa a “sentir” o efeito da dissipação (Figura 14(a)). Para o valor de γ = 13, as ilhas de regularidade nas laterais da Figura 14(b) começam a ser destruídas, e a trajetória permanece mais tempo nas proximidades da ilha central existente no espaço de fases do MR, cuja camada estocástica que a rodeia torna-se agora um atrator. Na Figura 14(c) para γ = 9, 5 as trajetórias iniciadas dentro das ilhas centrais são expelidas para esta região estocástica que agora é um atrator. Este efeito é mais percebido nas Figuras 14(d-e), obtidas para γ = 7, 5 e γ = 3, 5 respectivamente. Percebemos que na Figura 13(e) (no regime aerossol para α = 0, 5 com γ = 3, 5) os pontos aglomerados estão concentrados em regiões bem pequenas na secção v × u e na Figura 14(e) (no regime bolha para α = 1, 2 com γ = 3, 5) os pontos espalhados se concentram num atrator com uma área maior. A explicação para a frase em negrito é que as partículas estão mais espalhadas pelo meio e precisam de um menor valor de γ para que elas possam convergir para um atrator com uma região menor. Observamos que para γ → ∞, as trajetórias no espaço de Capítulo 4. O mapa de rede modiﬁcado 58 fases obterão comportamento caótico.

4.3.2 Os Diagramas de Lyapunov para K = 1, 5

Os resultados obtidos com relação ao espaço de fases mostram uma particularidade do comportamento do sistema para valores ﬁxos de certos parâmetros. Entretanto, pode-se fazer o seguinte questionamento: como é possível obter alguma informação sobre o sistema, variando dois ou mais parâmetros simultaneamente? A resposta à isso, é construir os Diagramas de Lyapunov, em que dois parâmetros são variados, com base no maior expoente de Lyapunov, para se notar sob quais circunstâncias o mapa apresenta comportamento de caos e regularidade em sua dinâmica. Figura 15 – Os Diagramas de Lyapunov α × γ tal que 0 ≤ α ≤ 10 e 0 ≤ γ ≤ 22, para os valores ﬁxos de q = 4 e K = 1, 5. O painel (a) é construído a partir do maior expoente de Lyapunov e o (b) é feito através do segundo maior expoente. Os expoentes positivos, relacionados ao caos no sistema, são representados pelas colorações indo do amarelo para o vermelho. Os expoentes nulos, referentes a regiões de bifurcação e quase-periodicidade, são representados pela coloração preta. Os expoentes negativos, associados às regiões de regularidade, possuem coloração branca. A reta em verde está em γ = 13, 2: uma limitação aproximada que divide a região de estrutura regular e bifurcação (coloração preta) da região de mistura entre estruturas caóticas (coloração amarela indo para o vermelho) e regulares (coloração branca e preta).

Fonte: Autor, 2018.

Para a construção dos planos de parâmetros presentes na Figura 15, escolhemos v u a condição inicial (v0, u0, δ0 , δ0 ) = (0, 05; −0, 01; 0, 08; −0, 02), e iteramos o sistema num Capítulo 4. O mapa de rede modiﬁcado 59

Figura 16 – Secção v × u do MRM para 200 condições iniciais escolhidas aleatoriamente v u v num intervalo {(v0, u0, δ0 , δ0 ) : 0 ≤ v0 ≤ 0, 05; −0, 01 ≤ u0 ≤ 0; 0 ≤ δ0 ≤ u 5 0, 08; −0, 02 ≤ δ0 ≤ 0}, num tempo total de iteração de 10 com q = 4; K = 1, 5; γ = 0, 1 e α = 1, 8. A reta em verde está em γ = 8, 8: uma limitação que divide a região de estrutura caótica (coloração amarela indo para o vermelho) e da região de mistura entre estruturas caóticas e regulares, junto as bifurcações do sistema (coloração branca e preta).

Fonte: Autor, 2018. tempo de 105, expondo os resultados no plano com uma malha de 1000 × 1000 pontos igualmente espaçados. No plano αγ, consideramos o intervalo {(α, γ) : 0 ≤ α ≤ 10, 0 ≤ γ ≤ 22} para compreender simultaneamente o comportamento do sistema para o regime aerossol (0 < α < 1) e bolha (α > 1). Com relação à escolha de restringir a análise até γ = 22, é pelo fato dos efeitos de dissipação serem “sentidos” pelo MRM próximo a este valor. Começamos a análise pela Figura 15(a), construída para o maior expoente de Lyapunov indicado pelas cores. Note que acima de γ ≈ 13, 2; existe uma área em preto que está associada ao comportamento quase-periódico do sistema bem como a existência de bifurcação, ou seja, aos valores dos expoentes de Lyapunov nulos. Abaixo de γ ≈ 13, 2 existe uma mesclagem de comportamento caótico e regular no sistema. Especialmente no caso de α > 1, no regime bolha, existe uma granulação de pontos pretos na área em amarelo e vermelho (estando isto relacionado ao caos transiente no MRM, assunto que será abordado na seção 4.6), ou seja, regiões em que o expoente de Lyapunov é positivo, apresentando caos no sistema. Na Figura 15(a), existe uma pequena região em branco, caracterizando os regimes regulares do sistema, para os quais os expoentes de Lyapunov são negativos. Para γ ≈ 0, tanto para o regime bolha quanto no aerossol, é notável que nos diagramas a coloração está em vermelho e amarelo, significando que para baixos valores de dissipação Capítulo 4. O mapa de rede modificado 60 o sistema é completamente caótico. Para a percepção do comportamento caótico, veja a secção v × u do MRM, para 200 condições iniciais escolhidas aleatoriamente num intervalo 0 u v u {(v0, u0, δn, δ0 ) : 0 ≤ v0 ≤ 0, 05; −0, 01 ≤ u0 ≤ 0; 0 ≤ δ0 ≤ 0, 08; −0, 02 ≤ δ0 ≤ 0}, num tempo total de iteração de 105 com q = 4; K = 1, 5; γ = 0, 1 e α = 1, 8. Nos resultados apresentados até aqui, para q = 4 e K = 1, 5 o sistema MRM apresenta um comportamento hipercaótico, significando que existem dois (poderia ser mais que dois) expoentes de Lyapunov positivos e o sistema possui uma alta complexidade em sua dinâmica, ou seja, existe uma maior imprevisibilidade de seu comportamento para as condições iniciais que foram escolhidas. Isto é comprovado na Figura 15(b), construída a partir do segundo expoente de Lyapunov, cuja predominância de hipercaos se encontra no regime bolha (α > 1).

4.4 O estudo para K = 3, 15

Figura 17 – Diagramas de Lyapunov α × γ para 0 ≤ α ≤ 10 e 0 ≤ γ ≤ 22; ﬁxados os parâ- metros q = 4 e K = 3, 15. A imagem (a) foi construída para o maior expoente de Lyapunov, e (b) obtida pelo segundo maior expoente de Lyapunov. Os expoentes positivos, relacionados ao caos no sistema, são representados pelas colorações indo do amarelo para o vermelho. Os expoentes nulos, referentes a regiões de bifurcação e quase-periodicidade, são representados pela coloração preta. Os expoentes negativos, associados às regiões de regularidade, possuem coloração branca.

Fonte: Autor, 2018.

A partir de agora, não é necessário mais plotar secções v × u do espaço de fases do Capítulo 4. O mapa de rede modiﬁcado 61

MRM, pois assim recairíamos em argumentações análogas às feitas no caso de K = 1, 5. Portanto, somente pelo Diagrama de Lyapunov é possível se estudar a dinâmica do sistema. Na Figura8(c) está claro a existência de dinâmica regular e caótica para o valor de K = 3, 15. Entretanto, o MRM implicará em mudanças nas secções v × u devido à variação dos parâmetros α e γ. Esta análise é veriﬁcada na Figura 17 para os Diagramas de v u Lyapunov, escolhendo-se a condição inicial (v0, u0, δ0 , δ0 ) = (0, 05; −0, 01; 0, 08; −0, 02), numa malha 1000 × 1000 pontos igualmente espaçados, com 105 iteradas do sistema. Na Figura 17(a), acima de γ ≈ 8, 8 existe uma área preenchida pela cor amarela e laranja, estando isto relacionado aos expoentes de Lyapunov positivos e portanto ao caos para qualquer valor de α escolhido. Abaixo de γ ≈ 8, 8 existem regiões pretas imersas áreas amarelas e laranjas. Isto implica que para pares de parâmetros (α, γ) escolhidos ali haverá um comportamento regular do sistema. Especialmente no caso de α > 2, notamos a maior predominância destas estruturas periódicas bem como regiões de regularidade, associados à coloração branca, ou seja, aos expoentes de Lyapunov negativos. Nas Figuras 17(a-b) existe uma região em α ≈ (0, 6; 1, 4) e γ ≈ (1; 9) em que a reta α = 1 divide um procedimento de organização de estruturas no espaço dos parâmetros, e isto nada mais é do que a “transição comportamental” do sistema MRM do regime aerossol (α < 1) para o bolha (α > 1) ou vice-versa. Ainda para K = 3, 15 o sistema apresenta comportamento hipercaótico para valores de γ ≈ 0, como mostra a Figura 17(b), onde uma faixa amarela existe separando as regiões regulares das hipercaóticas.

4.5 O estudo para K = 6, 7

Na Figura8(d) ao se observar o espaço de fases do Mapa de Rede para K = 6, 7; há indícios de que a dinâmica apresentada pelo sistema seja completamente caótica. Contudo, através da aplicação do método bailout embedding, pretendemos responder à seguinte indagação: é possível encontrar valores de α e γ para os quais o MRM obtenha comportamento regular? A resposta à isto está nos Diagramas de Lyapunov das Figuras 18(a-b). Para a construção dos planos dos parâmetros, escolhemos a condição inicial v u (v0, u0, δ0 , δ0 ) = (0, 05; −0, 01; 0, 08; −0, 02), com uma malha de 400×400 pontos igualmente espaçados nos respectivos intervalos α × γ apresentados nas ﬁguras, para um tempo total de iteração de 104 (pois percebemos que a convergência do maior expoente de Lyapunov não é afetada por uma ordem de grandeza). Observando a Figura 18(a), é notável que para a maioria dos pares de parâmetros apresentados o sistema continuará tendo um comportamento caótico, como indicado pela grande região alaranjada, relacionada aos expoentes de Lyapunov positivos. Entretanto, para valores abaixo de γ ≈ 4, 4 (como enfatizado na Figura 18(c)); surgem pequenas regiões em branco e preto, indicando que para alguns pares (α, γ) o sistema apresenta comportamento regular. Este efeito é mais Capítulo 4. O mapa de rede modiﬁcado 62 presente no regime bolha, especialmente para α > 2. Na Figura 18(b), plotamos o plano de parâmetros para o segundo maior expoente de Lyapunov que é positivo para a região que vai do amarelo para o vermelho, e portanto tendo-se dois (ou mais) expoentes positivos, o sistema apresenta comportamento hipercaótico.

Figura 18 – Diagramas de Lyapunov α×γ, para uma grade de 400×400 pontos igualmente espaçados, cujos parâmetros são q = 4 e K = 6, 7; para um tempo total de 4 v u iteração de 10 , sendo (v0, u0, δ0 , δ0 ) = (0, 05; −0, 01; 0, 08; −0, 02) a condição inicial escolhida. A imagem (a) foi construída para o maior expoente de Lyapunov, (b) obtida pelo segundo maior expoente de Lyapunov e (c) é um corte da imagem (a). Os expoentes positivos, relacionados ao caos no sistema, são representados pelas colorações indo do amarelo para o vermelho. Os expoentes nulos, referentes a regiões de bifurcação e quase-periodicidade, são representados pela coloração preta. Os expoentes negativos, associados às regiões de regularidade, possuem coloração branca.

Fonte: Autor, 2018.

4.6 Caos transiente

O conceito de caos transiente se dá quando um sistema dinâmico apresenta comportamento caótico por um determinado tempo (denominado transiente) e depois passa a descrever um comportamento periódico ou quase-periódico. Ou seja, as trajetórias que antes se moviam caoticamente convergem para um atrator regular. A análise deste processo dinâmico se dá pela observação das séries temporais nas variáveis dinâmicas e pela inspeção do espectro de Lyapunov, após se ﬁxar as condições iniciais e os parâmetros do sistema [34]. Na referência [15], encontramos uma vinculação entre caos transiente e Diagramas de Lyapunov, que são construídos a partir de um circuito de Chua, regido por um conjunto de equações diferenciais. Nos Diagramas de Lyapunov da referência [15], existe um granulado Capítulo 4. O mapa de rede modiﬁcado 63

de regiões periódicas imersas nas caóticas, como pode ser observado nas Figuras 15e 17. Ainda se tratando de sistemas contínuos, este efeito também é evidenciado em [35] para o sistema phase-locked loop. Em mapas, a granulação aparece nos planos de parâmetros (α × γ) de sistemas com bailout embedding para o mapa padrão [10] e o Mapa de ABC [9], porém as investigações de caos transiente não são apresentadas nestes trabalhos. Na referência [15], afirma-se que quando há este granulado no Diagrama de Lyapunov, pode existir caos transiente no sistema. Tal granulação está associada a perturbações que o sistema possui, e consequentemente à modificações estruturais no espaço de fases, pois neste caso os atratores não são estruturalmente estáveis. Figura 19 – Uma amplificação do Diagrama de Lyapunov da Figura 17(a) na região 0 ≤ α ≤ 1, 2 e 0 ≤ γ ≤ 8.

Fonte: Autor, 2018.

Através da conexão entre os Diagramas de Lyapunov e caos transiente, poderíamos analisar os Diagramas da Figura 15 e Figura 17, para o caso de K = 1, 5 e K = 3, 15, respectivamente. Entretanto, como os dois diagramas apresentam granulação, escolhemos explorar apenas o caso K = 3, 15 para investigar o fenômeno de caos transiente. Na Figura

19 (ampliﬁcação de uma região da Figura 17(a)) estão ﬁxados os pontos P1 = (0, 5; 5, 3) e

P2 = (1, 2; 6, 0) correspondendo aos regimes aerossol e bolha, respectivamente, presentes na região granulada e separados pela reta azul em α = 1, sendo este o regime de ﬂutuação das partículas, quando a densidade destas é igual a do ﬂuido.

Após deﬁnirmos os pontos P1 e P2, construímos as séries temporais demonstradas

na Figura 20, feitas para os valores dos parâmetros dados pelos pontos P1 e P2, cuja v u condição inicial escolhida foi (v0, u0, δ0 , δ0 ) = (0, 05; −0, 01; 0, 08; −0, 02) e um tempo total de iteração de 5 × 105. Nas Figuras 20(a-d), relacionadas ao regime aerossol, tem uma linha vermelha tracejada centrada em n = 145983, que separa o período de comportamento caótico (linha em cinza) do período de comportamento regular (linha em preto). Isto Capítulo 4. O mapa de rede modiﬁcado 64

corrobora com espectro de Lyapunov da Figura 21(a), cuja linha tracejada preta está

em n = 145983, no exato momento em que o maior expoente (λ1) começa a decair em

direção a λ1 = 0, comprovando a convergência do sistema para um atrator regular. Efeitos de mudança topológica do espaço de fases do MRM também são percebidos nas secções bidimensionais v ×u e δv ×δu, da Figura 22. Em cinza estão os pontos que designam o caos no sistema, e os pontos pretos são justamente aqueles que na série temporal existe uma “reta” constante na variável dinâmica. Por exemplo, nas séries temporais das Figuras 20(a- b), para n > 145983, uma reta em v ≈ 1, 89438 e u ≈ 1, 65264 se estende até n = 500000, sendo os valores destes pontos (v e u) exatamente os que se aglomeram na região destacada da Figura 22(a). Na Figura 20(c), para n > 145983 o δv vale aproximadamente 0, 107470, ou seja, um ponto em preto (destacado no retângulo vermelho) na Figura 22(b) que representa o comportamento regular do sistema. Na 22(b) existe uma densidade desordenada de pontos em cinzas centradas em δv = 0 e δv = 2π, representando o comportamento caótico como podemos observar na 20(c) da série temporal do MRM para n < 145983.

Figura 20 – As séries temporais das variáveis dinâmicas do MRM para a condição inicial v u 5 (v0, u0, δ0 , δ0 ) = (0, 05; −0, 01; 0, 08; −0, 02), utilizando 5 × 10 iterações do sistema, cujos parâmetros são K = 3, 15 (a-d) α = 0, 5; γ = 5, 3 e (e-h) α = 1, 2 e γ = 6, representados respectivamente, pelos pontos P1 e P2 na Figura 19.

Fonte: Autor, 2018.

A descrição das Figuras 20(e-f) é análoga a que se fez no parágrafo anterior, sendo que a linha tracejada em vermelho está em n = 116612, separando o período de dinâmica caótica (linha em cinza) do período de dinâmica regular (linha em preto). Isto também é notado no espectro de Lyapunov da Figura 21(b), cuja curva vermelha, que representa

o maior expoente de Lyapunov (λ1) começa a decair exatamente em n = 116612, cuja reta tracejada representa enfaticamente este efeito. As “retas” nas variáveis dinâmicas Capítulo 4. O mapa de rede modiﬁcado 65 das Figuras 20(e-f) para n > 116612 são v ≈ 4, 65652; u ≈ 3, 15381; δv ≈ 6, 28219 e δu ≈ 0, 00156551. Os valores anteriores correspondem às regiões de pontos (regime regular) destacados pelos retângulos em vermelho nas secções v × u e δv × δu das Figuras 22(c-d). Em suma podemos estudar a dinâmica do espaço de fases a partir do conhecimento de caos transiente e perceber qualitativamente as mudanças topológicas que ocorrem no espaço quadridimensional por meio de secções v × u e δv × δu.

v u Figura 21 – O Espectro de Lyapunov do MRM para a condição inicial (v0, u0, δ0 , δ0 ) = (0, 05; −0, 01; 0, 08; −0, 02) utilizando 105 iterações do sistema, cujos parâme- tros são K = 3, 15 (a) α = 0, 5; γ = 5, 3 e (b) α = 1, 2 e γ = 6, representados respectivamente, pelos pontos P1 e P2 na Figura 19..

Fonte: Autor, 2018. Capítulo 4. O mapa de rede modiﬁcado 66

Figura 22 – Secções v × u e δv × δu do Espaço de Fases do MRM, para a condição inicial v u 5 (v0, u0, δ0 , δ0 ) = (0, 05; −0, 01; 0, 08; −0, 02) utilizando 5 × 10 iterações do sistema. Os pontos em preto, destacados pelo retângulo vermelho, compõem a região periódica após passado o tempo de caos transiente.

Fonte: Autor, 2018. 67

CAPÍTULO 5

SUPRESSÃO DA DIFUSÃO NO MAPA DE REDE MODIFICADO

Neste capítulo, temos por finalidade analisar resultados estatísticos dos processos de difusão das trajetórias no espaço de fases do Mapa de Rede e do Mapa de Rede Modificado, a fim de perceber quais as diferenças e semelhanças que existem entre estes dois sistemas. Inicialmente abordamos acerca do MR, utilizando-nos do gráfico do coeficiente de difusão D em função do parâmetro de não linearidade K junto a algumas arguições já existentes na literatura. Em seguida, selecionamos alguns valores de K para determinar o tipo de difusão que ocorre no sistema, a partir do cálculo do expoente de difusão. Na sequência, analisamos o processo de difusão do MRM, usando um diagrama D(K) para percepção de modificações nas curvas à medida em que diminuímos o valor da dissipação γ, deixando fixo o valor de α: um no regime aerossol e outro no bolha. Por fim, plotamos Diagramas de Lyapunov K × γ e fazemos um paralelo entre secções v × u do MRM para alguns valores de K.

5.1 Deﬁnição de difusão e suas características em sistemas Hamil- tonianos

Os sistemas Hamiltonianos possuem a característica de apresentarem coexistência de regiões caóticas e regulares em seu espaço de fases, a depender do valor do parâmetro de não linearidade, como foi discutido no capítulo 3. Por causa disto, há um interesse em se estudar os processos de dispersão das trajetórias no espaço de fases, sendo este Capítulo 5. Supressão da difusão no Mapa de Rede modificado 68 efeito denominado por difusão [36]. Neste fenômeno, qualquer trajetória iniciada dentro de um domínio periódico ou quase-periódico, terá seu movimento descrito regularmente ali, e por outro lado, qualquer ponto escolhido numa região caótica, desencadeará num movimento desordenado das trajetórias, que podem ser aprisionadas em regiões próximas as ilhas de regularidade, ficando ali por longos tempos, e depois retornando ao mar de caos. Estudos sobre difusão têm sido feitos, por exemplo, para o Mapa Padrão [37] e o mapa originado do oscilador quicado de Harper [38], sendo estes mapas que preservam o volume no espaço de fases. Entretanto, com a aplicação bailout embedding em sistemas Hamiltonianos, existe a adição de amortecimento, implicando no surgimento de atratores ocasionando uma mudança na dinâmica do mapa, e consequentemente nos fenômenos de difusão das trajetórias. Investigações sobre este assunto foram feitas para o Mapa Padrão [10] e para o Mapa de Arnold-Beltrami-Childress [9], após a aplicação do bailout embedding. Os estudos de difusão das trajetórias são analisados pelo coeficiente de difusão D, representado matematicamente por [37,39]

h∆r2i h(r − r )2i D = lim = lim 0 , (5.1) n→∞ n n→∞ n cujo n é o número total de iterações do mapa, r é a variável que se deseja estudar o transporte e h...i simboliza a média feita sobre um conjunto de condições iniciais (variância), que em muitos casos é feita sobre a variável momento e calculada da seguinte forma:

2 σ h(r − r0) i = Dn , (5.2) sendo σ deﬁnido como expoente de difusão ou expoente de transporte, tal que se σ = 1 o sistema apresenta difusão normal, e se σ =6 1, a difusão é dita anômala. Se 0 < σ < 1, o sistema tem caráter subdifusivo, signiﬁcando que haverá uma retardação do espalhamento das trajetórias geradas por diferentes condições iniciais no espaço de fases, e se 1 < σ < 2, o sistema apresenta comportamento superdifusivo, ou seja, quando as trajetórias sofrem grandes deslocamentos ao saírem das regiões de aprisionamento, conhecidas como armadilhas dinâmicas. Um exemplo destas armadilhas são as órbitas de modos aceleradores, que no espaço de fases aprisionam a trajetória e depois as lançam para longe num processo de “voo”.

5.2 Difusão no Mapa de Rede

Em alguns trabalhos [32, 40, 41] é comum encontrar resultados analíticos que colocam o coeﬁciente de difusão D em função do parâmetro de não linearidade do mapa Hamiltoniano. Para elucidar um destes estudos, é destacado aqui o resultado encontrado na referência [41], na qual o autor aborda sobre as soluções analíticas de D(K) do Mapa de Capítulo 5. Supressão da difusão no Mapa de Rede modiﬁcado 69

Rede para os casos de simetria cristalina, quando q = {3, 4, 6}1. No trabalho da referência [41], o autor demonstra que para q = 4 (o parâmetro que utilizaremos para todas as simulações numéricas deste capítulo), 1 1 1 D(K) = K2 + K2J (K) + K2J 2(K), (5.3) 4 2 0 2 0 tal que J0(K) é a função de Bessel de primeira espécie e de ordem zero. É sabido que estas funções tem caráter oscilatório [42], e isto significa que quando o coeficiente de difusão D é posto em função de K, a curva terá um caráter oscilatório também. Apesar de existir resultados analíticos para os coeficientes de difusão, as investigações feitas sobre estes processos são de caráter numérico. Assim, o Mapa de Rede na variável u terá D(K) expresso por

h(u − u )2i D(K) = lim 0 , (5.4) n→∞ n e com base nesta expressão, obtivemos o gráﬁco da Figura 23, representado abaixo.

Figura 23 – Gráﬁco de D(K) do Mapa de Rede (3.36), construído a partir de 105 condições iniciais escolhidas aleatoriamente num intervalo v × u = [0, 2π] × [0, 2π] para um tempo total de 105 iterações. Os pontos em azul estão nas regiões de picos e vales, para os valores de K = {3, 15; 4, 29; 6, 48; 9, 26; 12, 64; 15, 77}.

Fonte: Autor, 2018.

Perceba algumas coisas na Figura 23: apesar das divergências de D(K), a curva apresenta o caráter oscilatório, como previsto analiticamente pela função de Bessel (5.3); a 1 Deixamos claro que não é do escopo desta dissertação demonstrar a solução de D(K), mas apenas abordar o resultado já existente na literatura. Capítulo 5. Supressão da difusão no Mapa de Rede modificado 70 segunda é que geralmente D aumenta quando K aumenta [37], significando que haverá um maior deslocamento de trajetórias no espaço de fases. Na curva da Figura 23, a existência dos picos, estão associadas as ilhas de modos aceleradores, ou seja, órbitas periódicas que lançam as trajetórias para regiões longínquas no espaço de fases. O gráfico da Figura 23 serve para nos informar como ocorre o processo de difusão no sistema para diferentes valores de K, permitindo-nos escolher alguns deles para estudar o espalhamento das trajetórias no espaço de fases.

Figura 24 – O espaço de fases do Mapa de Rede para diferentes valores de K utilizando 200 condições iniciais escolhidas aleatoriamente no intervalo v×u = [0, 2π]×[0, 2π] com um tempo total de 105 iterações. Nos retângulos em vermelho, estão destacadas as escolhas das condições iniciais para se determinar o tipo de difusão que ocorre no sistema MR e são veriﬁcadas na Figura 25.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Fonte: Autor, 2018.

Fazendo um paralelo entre o MR e o Mapa Padrão, os autores da referência [37] afirmam que as regiões de vale no gráfico de D(K) para este último mapa estão associadas a reduções abruptas das ilhas do espaço de fases. Fazendo um paralelo entre a Figura 24 e a Figura 23, podemos obter algumas informações sobre o espaço de fases do MR e seus processos de difusão. Para o MR, tais vales (destacados pelos pontos em azul na Figura 23) se relacionam com a quantidade de ilhas presentes no espaço de estados: para os valores de K = {4, 29; 9, 26; 15, 77}, o espaço de fases possui quatro ilhas visíveis. Quando nos tratamos dos picos na Figura 23 e portanto aos modos aceleradores, Capítulo 5. Supressão da difusão no Mapa de Rede modificado 71 para os valores de K = {3, 15; 6, 48; 12, 64}, o espaço de fases apresenta oito ilhas. Para os valores de K = {18, 93; 21, 41; 25, 17; 28, 28; 31, 44; 34, 29; 37, 72; 40, 79; 43, 96; 47, 56; 50, 30; 54, 10; 57, 40; 59, 64} numa sequência do tipo pico-vale, conforme a Figura 23, o espaço de fases apresenta comportamento caótico, e não enxergamos ilhas de regularidade. É importante ressaltar que na Figura 23 para K = 57, 40 não há uma divergência da curva D(K), sendo ali uma região de máximo local, significando que apesar da difusão ser alta, as ilhas de regularidades (caso existam) no espaço de fases não serão do tipo modo acelerador e portanto não lança trajetórias para regiões longínquas.

2 Figura 25 – Os gráficos em escala logarítmica da variância h(u − u0) i em função do tempo n para os valores de K especificados em cada imagem. Utilizamos 104 condições iniciais escolhidas aleatoriamente nos seguintes intervalos: (a) {v, u ∈ R : 0, 8 ≤ v ≤ 1, 15; 3, 5 ≤ u ≤ 4, 5}; (b) {v, u ∈ R : 1, 6 ≤ v ≤ 2, 0; 3, 55 ≤ u ≤ 3, 9}; (c) {v, u ∈ R : 1, 5 ≤ v ≤ 2, 0; 3, 75 ≤ u ≤ 4, 2}; (d) {v, u ∈ R : 1, 15 ≤ v ≤ 1, 5; 4, 3 ≤ u ≤ 4, 6}; (e) {v, u ∈ R : 1, 5 ≤ v ≤ 1, 8; 4, 25 ≤ u ≤ 4, 4}; (f) {v, u ∈ R : 1, 2 ≤ v ≤ 1, 4; 4, 35 ≤ u ≤ 4, 75}; com um tempo total de 108 iterações. As curvas verde e vermelha representam, respectivamente, o fit e a curva numérica. As curvas seguem uma sequência pico-vale, de acordo com o gráfico da Figura 23.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Fonte: Autor, 2019. Capítulo 5. Supressão da difusão no Mapa de Rede modiﬁcado 72

Na Figura 25 estão postos os gráficos em escala logarítmica da variância em função do tempo, tal que por meio da inclinação da reta (σ) conseguimos identificar a difusão como anômala ou normal. Em nossas análises, utilizamos os valores de K descritos na Figura 25. Para determinar o tipo de difusão em todos os casos da Figura 25, escolhemos 104 condições iniciais em regiões próximas as ilhas de regularidade superiores à esquerda da Figura 24, cujos valores foram selecionados aleatoriamente nos intervalos dados na Figura 25, utilizando-nos de um tempo total de 108 iteradas do sistema. As imagens da Figura 25 estão na sequência pico-vale de acordo com a Figura 23. Consideramos que se 0, 9 ≤ σ < 1, 07 a difusão é do tipo normal, e se 1, 07 < σ < 2 o processo é superdifusivo2. Observando a Figura 25, podemos constatar que para as ilhas de modos aceleradores os valores do coeficiente de transporte são σ > 1, 07 e portanto o sistema apresenta superdifusão, como havia sido previsto na referência [5]. Para os valores de K relacionados aos vales, nas Figuras 25(b,d,f) percebemos que o expoente de difusão está entre 0, 9 ≤ σ < 1, 07; e portanto associados ao valor em que a difusão é do tipo normal. Nós creditamos

Figura 26 – (a) O espaço de fases do MR para K = 6, 349972 cuja construção se deu pela escolha de 200 condições iniciais aleatórias no intervalo v × u = [0, 2π] × [0, 2π] num tempo de 105 iterações do sistema. (b) O gráﬁco em escala logarítmica 2 da variância h(u − u0) i em função do tempo n, para o cálculo do coeﬁciente de difusão σ = 1, 27069.

(a) (b)

Fonte: Autor, 2019. confiabilidade para nossas análises com base na referência [5], na qual o autor investigou a difusão do Mapa de Rede para o caso K = 6, 349972 e constatou que o coeficiente de difusão é σ = 1, 26 para condições iniciais escolhidas numa região caótica próxima à uma das ilhas. Então, refizemos a simulação numérica da situação em questão e encontramos

2 Estimamos que estas restrições para σ são relevantes, pois no trabalho [10] os autores deﬁnem que o expoente de transporte para difusão normal está no intervalo de (0, 92; 1, 08) e para superdifusão no intervalo de (1,08;1,92). Portanto, σ = 1, 07 é um bom parâmetro para avaliarmos os processos de difusão no MR. Capítulo 5. Supressão da difusão no Mapa de Rede modiﬁcado 73 que σ = 1, 27069. Inclusive, observando a Figura 23, vemos que K = 6, 349972 está numa região de pico, e seu espaço de fases na Figura 26 possui as mesmas características das Figuras 24(a,c,e): oito pequenas ilhas de modo acelerador.

5.3 Difusão no Mapa de Rede Modiﬁcado

Figura 27 – Gráficos do coeficiente de difusão D(K) em função do parâmetro de não linearidade K para os valores de γ = {2; 3, 15; 3, 5; 7, 5; 13; 20} nos regimes: (a) aerossol, tal que α = 0, 5 e (b) bolha, tal que α = 1, 2. A construção do gráfico se deu por meio de 105 condições iniciais escolhidas aleatoriamente v u v u num intervalo de {(v0, u0, δ0 , δ0 ) : 0 ≤ v0, u0, δ0 , δ0 ≤ 2π} para um tempo total de 105 iterações do sistema.

Fonte: Autor, 2019.

5.3.1 Difusão no regime aerossol: α = 0, 5

Nesta seção nós apresentaremos o estudo da difusão do MRM por meio de duas análises. A primeira se dará pela observação do aspecto global das curvas do coeficiente de difusão num gráfico de D(K), presentes na Figura 27(a), no qual variamos um conjunto de valores do parâmetro de dissipação γ para o valor fixo de α = 0, 5 e α = 1, 2 na Figura 27(b). Em segundo lugar abordaremos as características gerais da dinâmica presente no Diagrama de Lyapunov K × γ.

5.3.1.1 Descrição do gráﬁco D(K)

Nas Figuras 27(a-b) o gráfico do coeficiente de difusão D em função do parâmetro de não linearidade K, foi construído para o conjunto de valores de γ = {2; 3, 15; 3, 5; 7, 5; 13; 20}, Capítulo 5. Supressão da difusão no Mapa de Rede modificado 74 tal que no plano DK será analisado o comportamento das curvas em ordem decrescente dos valores de γ. Para a construção do gráfico, escolhemos, aleatoriamente, 105 condi- v u v u ções iniciais no intervalo {(v0, u0, δ0 , δ0 ) : 0 ≤ v0, u0, δ0 , δ0 ≤ 2π} num tempo total de iterações 105 do sistema MRM. Além disso, colocamos o módulo 2π para o cálculo das variáveis de acoplamento (δv e δu), para restringir o movimento das trajetórias numa região δv × δu = [0, 2π] do espaço de fases do MRM. Além disso, não limitamos as variáveis do MRM relacionadas ao momento u e da posição v em nenhum intervalo do MRM, para que pudéssemos perceber a dispersão das trajetórias mais frequente no plano v × u do espaço de fases tetradimensional. Na Figura 27(a), em preto está a curva do MR e as outras cores são pertinentes ao MRM, associadas a diminuição gradativa do parâmetro γ, para o conjunto de valores de γ = {2; 3, 15; 3, 5; 7, 5; 13; 20}. Começamos a investigação para γ = 20, pois até este valor a secção v × u do MRM não sofre tanta perturbação (assim como visualizado na Figura 13(a)) nas estruturas que ali se apresentam, o que significa que a dinâmica do Mapa de Rede ainda é preservada. Observando as curvas em preto e verde (esta última associada a γ = 20), a primeira mudança significativa entre elas é a quantidade de divergências: nove para o MR e oito para o MRM. A diferença ocorre exatamente em K = 3, 15; e isto significa que as ilhas de modos aceleradores geradas para este valor de K impedem a dispersão das trajetórias no espaço de fases, e se transformam em atratores. Observe que a curva verde está acima da curva preta, demonstrando que a dispersão das trajetórias no espaço de fases do MRM é maior do que no MR, ainda que o limite do sistema original seja recuperada (γ = 20). A curva originada pelo valor de γ = 13 se sobrepõe a curva de γ = 20, porém o comportamento delas são diferentes: as divergências diminuem, como observado na curva azul (γ = 13). Esta mudança enfatiza que para o aumento dos valores de K, as ilhas de modo acelerador (quando existem) se transformam em regiões de atratores, e não dispersam as trajetórias para regiões longínquas do espaço de fases do MRM e de fato a dissipação começa a transformar o sistema MR (conservativo) no MRM (dissipativo). Na curva rosa, associada a γ = 7, 5; percebemos a extrema diferença comportamental em relação às curvas anteriores (verde e azul), começando principalmente no intervalo 10 ≤ K ≤ 20, pois a frente destes valores o caráter oscilatório não mais existe no gráfico D(K). Quando se diminui o valor de γ partindo de 3,5 se evidencia os diferentes comportamentos das curvas, que quanto mais baixo é o valor da dissipação (γ = {2; 3, 15}), menores valores de D(K) serão atingidos, e portanto as trajetórias do espaço de fases do MRM convergem para regiões de atratores. Note também que até K ≈ 2 temos D(K) ≈ 0, e para K > 2 é que as curvas D(K) começam a obter a forma característica para o conjunto de valores de γ = {2; 3, 15; 3, 5}. Isto ocorre, porque o regime é aerossol, no qual a densidade das partículas é maior que a do fluido e portanto as partículas estarão mais imersas no fluido; assim o movimento dentro do fluido faz com que as partículas se dispersem mais a medida que o “quique” (intensificado pelo parâmetro K) no sistema Capítulo 5. Supressão da difusão no Mapa de Rede modificado 75 aumenta.

5.3.1.2 O Diagrama de Lyapunov de K × γ

Figura 28 – (a) O Diagrama de Lyapunov K × γ para o maior expoente de Lyapunov, com α = 0, 5; construído numa malha de 1000 × 1000 pontos igualmente v u espaçados, com a condição inicial (v0, u0, δ0 , δ0 ) = (0, 05; −0, 01; 0, 08; −0, 02) e um tempo total de iteração de 105. (b) Os Diagramas de Lyapunov para o segundo maior expoente de Lyapunov. Os expoentes positivos, relacionados ao caos no sistema, são representados pelas colorações indo do amarelo para o vermelho. Os expoentes nulos, referentes a regiões de bifurcação e quase- periodicidade, são representados pela coloração preta. Os expoentes negativos, associados às regiões de regularidade, possuem coloração branca.

Fonte: Autor, 2019.

Na Figura 28(a), construída utilizando o maior expoente de Lyapunov, notamos a predominância de comportamentos caóticos devido ao gradiente de cores indo do amarelo ao vermelho, estando isto relacionado aos expoentes de Lyapunov positivos. Além disso, vemos na Figura 28(a) uma grande faixa preta indo até K ≈ 2, 43 limitando regiões de comportamento regular do sistema. No intervalo de 0 . K . 4, 5 e 0, 9 . γ . 6, 8 são encontradas regiões granuladas que estão associadas ao caos transiente presente no sistema. Abaixo de γ . 0, 9 para todo valor de K, o sistema apresentará um comportamento completamente caótico. Além destas informações retiradas a partir da Figura 28(a), ao observar a Figura 28(b) constatamos a presença de hipercaos no sistema, associada ao valor positivo do segundo expoente de Lyapunov. Capítulo 5. Supressão da difusão no Mapa de Rede modiﬁcado 76

5.3.2 Difusão no regime bolha: α = 1, 2

Nesta seção, temos o mesmo objetivo da anterior, ou seja, descrever o comportamento das curvas de D(K) para diferentes valores de γ. Em seguida, exploraremos o Diagrama de Lyapunov K × γ, onde discutiremos as modiﬁcações estruturais que ocorrem no espaço de fases quadridimensional do MRM.

5.3.2.1 Descrição do gráﬁco D(K)

A primeira curva da Figura 27(b) (em verde) é para o valor de γ = 20, cujo comportamento é muito semelhante ao do Mapa de Rede (curva em preto) principalmente nos locais em que ocorrem divergências. Entretanto, podemos notar que o número de picos diminuiu: a curva verde (associada a γ = 20) quando comparada a preta (na qual existem 9 picos, relacionados aos modos aceleradores) apresenta apenas 8 divergências, assim como ocorreu no caso do regime aerossol, descrito anteriormente. Isto caracteriza a primeira diferença significativa entre o MR e o MRM. O pico que desaparece na Figura 27(b) é em K ≈ 3, 15 e isto significa que a antiga ilha de modo acelerador não é mais responsável por lançar as trajetórias para regiões longínquas do espaço de fases e transformou-se numa região de atração das condições iniciais. Quando se diminui a dissipação para γ = 13 (curva azul) percebemos a presença de duas divergências relevantes: a primeira em K ≈ 6, 4 e a segunda K ≈ 12, 7; acima destes valores, o caráter oscilatório da curva permanece sem divergências até K = 60, indicando que para este valor (γ = 13) as muitas ilhas de modo acelerador passam a não mais existir. Para γ = 7, 5 (curva rosa) até K ≈ 18, 9 o comportamento da curva é semelhante ao dos valores de γ citados anteriormente, e à frente deste último valor de K ela atinge altos valores na difusão, ou seja, ocorre uma maior dispersão das trajetórias no espaço de fases do MRM. Quando γ = 3, 5 (curva cinza), o caráter oscilatório é completamente modificado, tal que até K ≈ 10 temos que D(K) ≈ 0, e por se tratar do regime bolha, no qual a densidade das partículas é menor que a do fluido. Quando o quique (intensificado pelo parâmetro K) é inferido no sistema são necessários valores de K > 10 para se perceber que a curva de D(K) adquire um caráter “linear”, “quebrando” todas as divergências que vinha apresentando. Outra característica para D(K) ≈ 0 estendida até K ≈ 10 é que o comportamento do sistema se direciona para regiões de atratores no sistema. Para γ = 3, 15 (curva laranja) os valores de difusão são ainda mais baixos (γ = {2; 3, 15}), indicando que a difusão é parcialmente suprimida, ainda que se aumente os valores do parâmetro K.

5.3.2.2 O Diagrama de Lyapunov de K × γ

Na Figura 29(a), temos o Diagrama de Lyapunov K ×γ para o valor fixo de α = 1, 2 construído a partir das condições descritas na legenda da figura. Analisando a imagem de uma forma geral, notamos que a maior parte da dinâmica do MRM é caótica devido o Capítulo 5. Supressão da difusão no Mapa de Rede modificado 77 gradiente de cores, partindo do amarelo e indo até o vermelho, com cores relacionadas aos expoentes de Lyapunov positivos. Notamos, também, uma faixa preta no intervalo 0 ≤ γ ≤ 12 para qualquer valor de K tal que 0 ≤ K . 3, 15. O surgimento de granulações também ocorrem no diagrama no intervalo de 0 ≤ γ . 12 e 0 ≤ K . 3, 15 e tal granulação está associada ao fato de existir caos transiente, cujo conceito teórico foi visto no capítulo 4. Algo interessante ocorre para qualquer valor de K escolhido abaixo de γ ≈ 5, pois existem estruturas semelhantes à pinças que estão na coloração amarela e para o conjunto de valores de K ≈ {10; 15, 7; 21}. Tais estruturas amarelas (“menos caóticas”) estão imersas em domínios vermelhos (“mais caóticos”). O sistema também apresenta regime hipercaótico, como é notado na Figura 29(b) para valores abaixo de γ ≈ 0, 05, pois a coloração é variada de amarelo para vermelho, relacionado aos valores do segundo expoente de Lyapunov positivo. Isto exemplifica o porquê da seção v × u do espaço de fases do MRM possuir a característica expressa na Figura 30, para o valor de γ = 0, 05.

Figura 29 – (a) O Diagrama de Lyapunov K × γ para o maior expoente de Lyapunov, com α = 1, 2; construído numa malha de 1000 × 1000 pontos igualmente v u espaçados, com a condição inicial (v0, u0, δ0 , δ0 ) = (0, 05; −0, 01; 0, 08; −0, 02) e um tempo total de iteração de 105. (b) O plano K × γ para o segundo maior expoente de Lyapunov. Os expoentes positivos, relacionados ao caos no sistema, são representados pelas colorações indo do amarelo para o vermelho. Os expoentes nulos, referentes a regiões de bifurcação e quase-periodicidade, são representados pela coloração preta. Os expoentes negativos, associados às regiões de regularidade, possuem coloração branca.

Fonte: Autor, 2019. Capítulo 5. Supressão da difusão no Mapa de Rede modiﬁcado 78

Figura 30 – (a) Secção v × u do MRM construída para K = 3, 15, α = 1, 2 e γ = 0, 05; com 200 condições iniciais escolhidas aleatoriamente no intervalo [0, 2π] para todas as variáveis, num tempo total de iteração de 105.

Fonte: Autor, 2019.

5.3.2.3 O coeﬁciente de difusão D(K), o Diagrama de Lyapunov K × γ e as modiﬁcações topológicas no espaço de fases do MRM

Figura 31 – Plotagens dos Diagramas de Lyapunov junto as curvas do coeﬁciente de difusão do MR em função do parâmetro K, com as mesmas descrições feitas na Figura 23, Figura 28 e Figura 29, sendo (a) para α = 0, 5 e (b) α = 1, 2. Os pontos em azul demarcam um valor ﬁxo de γ = 3, 15 e um conjunto de valores de K para os quais existe um relação de regimes “mais caóticos” (regiões mais vermelhas que coincidem com os picos da curva de divergência do MR) e “menos caóticos” (regiões mais amarelas que coincidem com os vales da curva de divergência do MR) que são abordados na Figura 32.

Fonte: Autor, 2019. Capítulo 5. Supressão da difusão no Mapa de Rede modiﬁcado 79

Na Figura 31 estão expostos os Diagramas de Lyapunov γ × K dos regimes (a) aerossol e (b) bolha, junto às curvas do coeficiente de difusão D(K) do MR. Na Figura 31(a) percebemos uma relação significativa entre os vales da curva D(K), em K ≈ 10 e K ≈ 15, correspondentes a uma fina faixa amarela, na qual denominamos como pinças. Entretanto, intervalo 0 < γ < 5 do plano de parâmetros da Figura 31(b), existe uma maior quantidade de pinças, coincidindo com os vales da curva no gráfico de D(K) da Figura 27. Para valores de γ abaixo de 5, talvez exista alguma relação para pensarmos em regimes “menos caóticos” (região amarela) e “mais caóticos” (região vermelha), isto porque as cores na Figura 31(b) relacionam-se com os expoentes de Lyapunov positivos, que quanto mais intensa é a cor, mais “caótico” o sistema se torna. Para análise deste comportamento do MRM, escolhemos o conjunto K = {6, 48; 9, 26; 12, 64; 15, 77} (que foram os mesmos analisados na seção 5.2 para o caso do MR), numa sequência pico-vale, cujos primeiro e terceiro valores correspondem aos picos de D(K); já o segundo e quarto estão relacionados aos vales de D(K) e à região onde as pinças da Figura 31(b) começam a surgir. Esta discussão é feita sob a análise das secções v × u do espaço de fases do MRM, disposto na Figura 32, tal que fixamos o valor da dissipação γ = 3, 15. Comparando as secções v × u das Figuras 32(a-b), para K = 6, 48 e K = 9, 26; temos a impressão de que há uma maior densidade de pontos na primeira imagem do que na segunda, ao observarmos os pontos restritos no retângulo vermelho superior na região R0 = {0, 30 ≤ v ≤ 6, 2; 3, 89 ≤ u ≤ 6, 00}. Além disso, podemos perceber que o parâmetro K varia de um domínio “mais caótico” (em vermelho na Figura 31(b)) para um “menos caótico” (região de uma pinça na Figura 31(b)). Ainda analisamos outros valores do parâmetro K, nas regiões onde existem e não existem pinças. Na sequência pico-vale (com base na Figura 23), para K = {18, 93; 21, 41; 25, 17}, percebemos o mesmo comportamento que o descrito anteriormente, ou seja: regiões de maior e menor densidade de pontos. Mas o problema desta análise está em obter informações do MRM somente pela visualização da Figura 32. O que podemos afirmar sobre os pontos contidos em R0 ao observarmos as Figuras 32(c-d), para os valores de K = 12, 64 e K = 15, 77? A grande diferença qualitativa percebida entre as secções v × u destes dois últimos valores de K

é que para K = 15, 77 a região R0 possui atrator com pontos mais concentrados numa área que se refere a uma antiga ilha de regularidade do MR. Mas qual das duas secções da (Figura 32(c-d)) possuem mais pontos em R0? Aparentemente poderíamos dizer que é para o valor de K = 12, 64. Mas veremos que isto não está correto. Apesar de percebermos estas modificações estruturais nas secções v × u do espaço de fases do MRM, precisamos analisar numericamente se as implicações feitas no último parágrafo estão corretas. Para isto, durante as simulações numéricas que geram as secções da Figura 32, implementamos no programa computacional a condição de que o número de pontos que adentrassem na região R0 fossem salvos num arquivo de dados, o que resultou num total 200000 pontos salvos (de 100 em 100, para que as secções v × u Capítulo 5. Supressão da difusão no Mapa de Rede modificado 80 não ficassem completamente preenchidas pelos pontos) no espaço de fases do MRM. Com isto, construímos a Tabela 1 para os valores de K definidos na parte superior das imagens na Figura 32 (numa sequência pico-vale), junto com o número de pontos contidos em R0 e um percentual do número total de pontos que adentram nesta região. Antes de mais nada, é necessário mencionar que durante as simulações numéricas da Figura 32, utilizamo-nos de 200 condições iniciais escolhidas aleatoriamente no intervalo v u v u 5 {(v0, u0, δ0 , δ0 ) : 0 ≤ v0, u0, δ0 , δ0 ≤ 2π}, para um tempo total de 10 iterações do MRM. Observando os resultados da Tabela 1, podemos confirmar a afirmação de que existe uma maior densidade de pontos no retângulo R0 da Figura 32(a), para K = 6, 48 do que na Figura 32(b), para K = 9, 26; pois 33, 0770% do número total de pontos do MRM adentram R0 na Figura 32(a), com uma diferença de 2, 3595% entre os valores de K = 6, 48 e K = 9, 26. Notamos na Figura 31(b) que esta variação dos parâmetros ocorre na transição de um domínio “mais caótico” (K = 6, 48) para um “menos caótico”, representado por uma pinça (em K = 9, 26). Já na transição de K = 12, 64 (num domínio “mais caótico”) para K = 15, 77 (num local de pinça) ocorre uma mudança abrupta na dinâmica do MRM, pois para este último valor de K estimamos que 95, 9685% dos pontos totais se concentram em

R0. Na Tabela 1 após analisarmos os três valores de K = {18, 93; 21, 41; 25, 17}, notamos uma outra mudança abrupta no comportamento dinâmico do MRM, pois em K = 28, 28 estimamos que 93, 2270% do número total de pontos se encontram em R0 na Figura 32(h).

Após notarmos o percentual de pontos em R0 para K = {31, 44; 34, 29; 37, 72} mais uma vez o sistema apresenta comportamento estrutural diferente, pois em K = 40, 79 apenas

9, 6260% de todos os pontos penetram R0. Com estas discussões, concluimos até aqui que a cada três variações do parâmetro K, o MRM apresenta uma mudança comportamental abrupta. Quando a mudança ocorre, é interessante notar que todos os valores de K estão nas regiões de pinças, e coincidem com as regiões de vales das curvas D(K) do MR, onde havia redução abrupta da quantidade de ilhas no espaço de fases do Mapa de Rede. Portanto, pensamos que as regiões de pinças talvez impliquem na redução das áreas dos atratores no espaço de fases do MRM. Por fim, após variarmos mais três parâmetros de K, ou seja, K = {43, 96; 47, 56; 50, 30}, não percebemos uma mudança significativa na secção v × u do MRM para K = 54, 10 (localizado numa pinça) visto na Figura 32(p), pois a média dos pontos contidos em R0 vinha sendo de aproximadamente 31, 2272% e tal média é mantida próxima para este valor quando K = 54, 10, ou seja, 31, 4515%. O porquê disto talvez seja pelo fato do impulso no sistema ser tão intenso de forma que as partículas se movem com maior caoticidade no fluido viscoso e portanto o sistema não apresenta mais os padrões que vinha estabelecendo. Maiores estudos devem ser feitos, para se investigar o porquê de alguns valores de K apresentarem um maior conjunto de pontos concentrados nas regiões R0. Capítulo 5. Supressão da difusão no Mapa de Rede modificado 81

Figura 32 – Secções v×u do espaço de fases do MRM, para 200 condições iniciais escolhidas v u v u aleatoriamente em {(v0, u0, δ0 , δ0 ) : 0 ≤ v0, u0, δ0 , δ0 ≤ 2π} e um tempo total de iteração de 105, ﬁxados γ = 3, 15; α = 1, 2.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Fonte: Autor, 2019. Capítulo 5. Supressão da difusão no Mapa de Rede modiﬁcado 82

Figura 32 – Continuação.

(j) (k) (l)

(m) (n) (o)

(p) (q) (r) Capítulo 5. Supressão da difusão no Mapa de Rede modiﬁcado 83

Tabela 1 – Conjunto de valores do parâmetro de não linearidade do sistema MRM (K) com

os respectivos números de pontos contidos no retângulo R0 junto ao percentual do número total de pontos. As letras p e v contidas na primeira coluna da tabela, signiﬁcam pico e vale, respectivamente, relacionados aos valores de K posicionados em locais especiﬁcados pelos pontos em azul da curva D(K) na Figura 23. Em negrito estão destacados os valores de K que ocasionam mudanças abruptas na dinâmica do MRM.

o o K N pontos em R0 Percentual do n total de pontos 6, 48 (p) 66154 33, 0770% 9, 26 (v) 61435 30, 7175% 12, 64 (p) 65232 32, 6160% 15,77 (v) 191937 95,9685% 18, 93 (p) 63538 31, 7690% 21, 41 (v) 63388 31, 6940% 25, 17 (p) 62662 31, 3310% 28,28 (v) 186454 93,2270% 31, 44 (p) 62674 31, 3370% 34, 29 (v) 65112 32, 5560% 37, 72 (p) 62724 31, 3620% 40,79 (v) 19252 9,6260% 43, 96 (p) 62548 31, 2740% 47, 56 (v) 62667 31, 3335% 50, 30 (p) 62148 31, 0740% 54,10 (v) 62903 31,4515% 57, 40 (p) 62576 31, 2880% 59, 64 (v) 62733 31, 3665%

Fonte: Autor, 2019. 84

CAPÍTULO 6

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste capítulo abordaremos sobre as conclusões gerais dos capítulos anteriores e também discutiremos sobre as perguntas feitas na introdução do texto. Por fim, apresentaremos algumas perguntas em aberto, que nos servem como perspectivas para elaboração de futuros trabalhos. No Capítulo 2, explicamos alguns elementos básicos sobre a Teoria dos Sistemas Dinâmicos, como sua definição matemática para fluxos e mapas; a classe dos Sistemas Hamiltonianos; o que são: atratores, sistemas conservativos e dissipativos. Também repre- sentamos a essência do método bailout embedding em termos matemáticos e intuitivos, sem demonstrações, mas apenas com discussões que já haviam na literatura. No Capítulo 3, deduzimos a expressão do Mapa de Rede de uma forma diferente da encontrada na referência [5]. No gráfico da Figura7, o caráter matemático intuitivo do δ de Dirac é a representação de impulsos, e queríamos enfatizar isto para depois tender a zero e mostrar que sobre o sistema não se aplicava um impulso longo, mas sim instantâneo. Através do estudo analítico, provamos que o MR é conservativo e por meio dos autovalores da matriz jacobiana do sistema discutimos qualitativamente sobre os pontos fixos que se apresentam no espaço de fases. Quanto às simulações numéricas para o espaço de fases do MR, garantimos estarem corretas, pois reproduzimos valores já definidos na referência [5] e os resultados obtidos neste trabalho corroboram com o que está na literatura. No Capítulo 4 apresentamos o MRM, definimos o determinante da matriz jacobiana e vimos que quando tendemos o parâmetro de dissipação (viscosidade) γ para valores suficientemente grandes retomamos a dinâmica do MR; já para valores baixos, o determinante Capítulo 6. Considerações finais 85

é menor que 1 (o que caracteriza um sistema dissipativo) implicando no surgimento de atratores, enquanto que para valores γ = 0 o sistema é totalmente conservativo, pois o determinante da matriz jacobiana é 1, e este fato é bem conhecido na literatura. Tais resultados corroboram com as análises numéricas, feitas para secções v × u do espaço de fases do MRM, onde verificamos atratores no sistema. Após esta percepção, analisamos os Diagramas de Lyapunov para diferentes valores do parâmetro de não linearidade (K), e obtivemos resultados que serão descritos mais adiante. No Capítulo 5 estudamos os processos de difusão do MR e do MRM. Neste último, verificamos como a difusão no sistema é afetada pela diminuição da dissipação γ, e isto serve como um método de estudo para análise estatística de Sistemas Dinâmicos com muitas dimensões, a princípio servindo para mapas quadridimensionais obtidos pela técnica do bailout embedding. A primeira conclusão obtida nesta dissertação é que a caracterização de alguns aspectos da dinâmica do MRM permitirá a pesquisadores interessados no sistema o acesso a uma base teórica introdutória, visto que este trabalho é pioneiro na aplicação do método bailout embedding ao Mapa de Rede. Entretanto, com os resultados obtidos ao longo da dissertação, será possível agora responder aos questionamentos feitos na página 16 da Introdução, destacados aqui: Quais tipos de dinâmica (regular, caótica e hiper- caótica) são apresentadas pelo MRM? O MRM apresenta caos transiente? Se sim, existe alguma relação entre este fenômeno e os Diagramas de Lyapunov, cuja percepção notada na literatura aplica-se aqui? Existe uma nova forma de se estudar os processos de difusão e transporte no MRM? Se sim, como este novo método pode se aplicar a outros sistemas discretos? Será que também se aplica aos contínuos? Para responder a primeira pergunta, utilizamo-nos dos Diagramas de Lyapunov, nos quais identificamos regiões regulares e caóticas no sistema, bem como fenômeno hipercaótico. Ainda sobre estes Diagramas, pudemos comprovar que há prováveis condições de suprimir o caos global no sistema, pois percebemos estruturas de regularidade no sistema MRM, como visto na Figura 18, onde no regime bolha se encontra uma faixa em branco, para alguns valores do par (α, γ), associados aos expoentes de Lyapunov negativos, e portanto a regiões de regulares. Nos Diagramas de Lyapunov do MRM encontramos granulações de regiões regulares imersas nas caóticas, e isto implicou no efeito de caos transiente, em que caracterizamos pelas séries temporais, pelo espectro de Lyapunov e pela visualização das secções do espaço de fases do MRM, com pontos em cinza e preto representando regiões de caos e regularidade do MRM, respectivamente. Tal investigação havia sido feitas até então para sistemas contínuos [15,35] e comprovamos a argumentação feita no trabalho [15], de que tal granulação no Diagrama de Lyapunov, pode ser um indício de caos transiente, e isto Capítulo 6. Considerações finais 86

responde a segunda e terceira pergunta da introdução. Nesta dissertação também pudemos caracterizar processos de difusão no MR com base no gráfico D(K), para o qual selecionamos valores de K em regiões de divergências associadas às ilhas de modo acelerador no espaço de fases do Mapa de Rede e regiões de vale. Ainda com base nestes valores de K, estabelecemos uma relação entre o processo de difusão (normal ou anômala) e a quantidade de ilhas de regularidade no espaço de fases do MR. Algo inovador que propomos neste trabalho é a forma de se estudar um sistema dissipativo quadrimensional por meio do coeficiente de difusão, e isto responde a penúltima pergunta feita na Introdução. Vale ressaltar que em outros trabalhos com o método bailout embedding os processos de difusão foram estudados, porém através do cálculo do expoente de difusão definindo qual processo de transporte ocorria no espaço de fases: normal, superdifusivo ou subdifusivo. Através do nosso método, inovamos na percepção da dinâmica entre os Diagramas de Lyapunov dos parâmetros de não linearidade do sistema (K) e o de dissipação (γ) especialmente no regime bolha, pois os vales das curvas de D(K) coincidem com as pinças do plano de parâmetros K × γ. Talvez para outros tipos de sistemas dissipativos estas pinças estejam relacionadas a regiões mais e menos caóticas implicando em diferentes maneiras de ocorrer um espalhamento das trajetórias no espaço de fases, como pôde ser percebido nas secções v × u do espaço de estados do MRM. Como uma futura perspectiva de estudos, pensamos em explorar o limite conservativo do método bailout embedding para o MRM, pois esta abordagem ainda não foi investigada na literatura. Ao se tratar do limite conservativo do MRM a viscosidade do meio será desprezível, pelo fato do parâmetro de controle viscoso γ ser igual a zero. Assim a dinâmica do sistema MRM pode ser estudada a partir das relações de massas entre o meio e as partículas, para os regimes aerossol e bolha. Talvez se houver uma forma de acoplar ao sistema MRM um termo de temperatura e tendendo-a para um valor muito baixo, o fluido poderá obter o caráter de superfluido, cuja característica deste é ter viscosidade nula. Finalizamos este trabalho com algumas perguntas a serem obtidas, que nos servem como perspectivas futuras:

• A aplicação do bailout embedding a sistemas conservativos possui sempre uma dinâmica hipercaótica, em especial no regime bolha?

• A dinâmica dos sistemas com bailout embedding sempre apresentam caos transiente?

• Será que os efeitos dinâmicos encontrados neste sistema de equações discretas são os mesmos apresentados em sistemas contínuos com bailout embedding? 87

REFERÊNCIAS

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43 STEWART, J. Cálculo, vol.2. [S.l.]: Pioneira Thomson Learning, 2001. 90

APÊNDICE A

EXPOENTES DE LYAPUNOV PARA FLUXOS

Considere que num espaço de fases, no tempo t = 0, duas órbitas próximas estão separadas por uma distância 0(x0), e após um certo instante elas se deslocam exponencialmente a partir da expressão

λit i(t) ∼ 0(x0)e (A.1) onde λi são os expoentes de Lyapunov. De (A.1), concluímos que:

• para um ou mais expoentes de Lyapunov positivos ocorre uma instabilidade orbital1;

• para a existência de caos, basta apenas um λi > 0 e

• para soluções periódicas ou quase-periódicas, λi < 0 determinando movimentos

perpendiculares ao sistema e se λi = 0, o movimento ocorre ao longo da linha de ﬂuxo.

Em um tempo t, o elemento de hipervolume no espaço de fases é dado por

m Y δV (t) = i(t). (A.2) i=1 1 Um comportamento aperiódico do sistema. Apêndice A. Expoentes de Lyapunov para ﬂuxos 91

Substituindo (A.1) em (A.2), temos que

m ! X δV (t) = δV (0) exp λit (A.3) i=1 Qm onde δV (0) = i=1 0(t). De (A.3), concluímos que, de acordo com o Teorema de Liouville:

Pm • Se i=1 λi = 0 ⇒ δV (t) = δV (0), e portanto o sistema é conservativo.

Pm • Se i=1 λi < 0 ⇒ δV (t) < δV (0) e o sistema é dissipativo.

A partir do sinal dos expoentes de Lyapunov, é possível determinar o tipo de atrator. Para efeito de entendimento, considere um espaço de fases em três dimensões (m = 3). Então para o atrator do tipo:

• ponto ﬁxo, os sinais dos λi são (-,-,-);

• ciclo limite, os sinais dos λi são (0,-,-);

2 • toro T , os sinais dos λi são (0,0,-) e

• atrator caótico, um dos expoentes devem ser positivo, e satisfazer a condição de que

os λi são (+,0,-). 92

APÊNDICE B

INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

As integrais impróprias são deﬁnidas em dois casos:

(i) Quando os limites de integração para uma função f(x) são inﬁnitos:

∞ f(x)dx (B.1) ˆa ou

b f(x)dx. (B.2) ˆ−∞

(ii) Quando a função f(x) possui uma descontinuidade inﬁnita num intervalo.

Seja uma integral é do tipo:

b I = f(x)dx. (B.3) ˆa Então,

∞ b I = f(x)dx = lim f(x)dx (B.4) ˆa b→∞ ˆa . Apêndice B. Integrais impróprias 93

Isto é válido para o caso contrário. Ou seja,

a a I = f(x)dx = lim f(x)dx. (B.5) ˆ−∞ b→−∞ ˆb Se o limite existe (resulta num número), diz-se que a integral é convergente. Caso o limite não exista (vá para o inﬁnito), diz-se que a integral é divergente. 94

APÊNDICE C

TEOREMA DE LIOUVILLE

0 Seja A uma região no espaço de fases (qi, pi) mapeada na região A num outro espaço de fases (Qi,Pi). O volume V da região A é dado por

2n V = dq1...dqndp1...dpn ≡ d z. (C.1) ˆA ˆA Para a região A0, o procedimento é o mesmo, ou seja, o volume V 0 é dado por

0 2n V = dQ1...dQndP1...dPn ≡ d Z. (C.2) ˆA0 ˆA0 Pelo teorema de mudança de variáveis [43], temos que

V 0 = d2nZ = |det(J )|d2nz, (C.3) ˆA0 ˆA onde det(J ) é o determinante da matriz jacobiana, e se det(J ) = 1, obteremos

V 0 = V (C.4) e portanto o volume do espaço de fases do sistema é conservado. 95

APÊNDICE D

TEOREMA DE LAPLACE

Seja uma matriz M de ordem n ≥ 2. Então, o determinante de M é dado pela soma de produtos dos elementos de uma linha ou coluna, com seus respectivos cofatores i+j Aij = (−1) Dij, onde Dij é o determinante da matriz que se obtém, ao eliminar a coluna e a linha que contém o elemento aij da matriz original. Ou seja, (a) Escolhendo uma coluna j, cujos elementos estão destacados em negrito na matriz abaixo, teremos então

  a11 a12 ... a1j ... a1n      a21 a22 ... a2j ... a2n  M =   (D.1)    ......    an1 an2 ... anj ... ann e portanto,

det(M) = a1jA1j + a2jA2j + ... + anjAnj. (D.2)

1+j Para o cálculo de A1j = (−1) D1j, observamos o elemento a1j, e calculamos D1j, como sendo o determinante da seguinte matriz

  a21 a22 ... a2n      ......  (D.3)   an1 an2 ... ann Apêndice D. Teorema de Laplace 96 obtida ao eliminarmos a primeira linha e a coluna j da matriz M. Para o cálculo dos outros cofatores, seguimos o raciocínio análogo. (b) Escolhendo uma linha i, cujos elementos estão destacados em negrito na matriz M abaixo, teremos então

  a11 a12 ... a1n      a21 a22 ... a2n       ......  M =   (D.4)    ai1 ai2 ... ain       ......    an1 an2 ... ann

e portanto

det(M) = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ainAin. (D.5)

i+1 Para o cálculo de Ai1 = (−1) Di1, observamos o elemento ai1, e calculamos Di1, como sendo o determinante da seguinte matriz

  a12 ... a1n      a22 ... a2n    (D.6)    ......    an2 ... ann obtida ao eliminarmos a primeira coluna e a linha i da matriz M. Para o cálculo dos outros cofatores, seguimos o raciocínio análogo. Para o cálculo do det(M), é mais conveniente escolher uma linha ou uma coluna que contenha o maior número de elementos nulos, para que se facilite os cálculos, tendo em vista que ter-se-á uma certa quantidade de multiplicação por zeros. Um cálculo como este é feito para a matriz jacobiana em (4.3).