Geschiedenis Van De Wiskunde

Geschiedenis van de wiskunde

D.J. Struik

bron D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde. Uitgeverij Het Spectrum, Utrecht 2001 (vierde druk)

Zie voor verantwoording: http://www.dbnl.org/tekst/stru008gesc01_01/colofon.htm

Voor Ruth en Rebekka

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 7

Voorwoord bij de Nederlandse heruitgave

Vrienden hebben mij verzocht eens mee te delen hoe deze beknopte geschiedenis van de wiskunde is ontstaan. Dat gaat al een zestig jaar terug. Ofschoon ik in mijn Leidse studententijd wel eens op een college van J.A. Vollgraff ben geweest, dateert mijn actieve belangstelling in die geschiedenis van de jaren 1924-'25, toen ik, op de historische bodem van Italië, kennis maakte met Enea Bortolotti, G. Vacca, F. Enriques en Gino Loria. Vooral Bortolotti fascineerde me door me te vertellen van zijn studie der zestiende-eeuwse algebristen, waarvan in Bologna nog heel wat manuscriptmateriaal bestaat. Dat waren de lieden die de numerieke oplossing van de derde en vierdemachtsvergelijkingen vonden, in de ‘époque héroïque des algébristes italiens du seizième siècle’, zoals de Franse wiskundige Jean Dieudonné het heeft uitgedrukt. Ik ben toen ook begonnen met de Renaissance-wiskundigen te bestuderen in incunabelen en andere oude boeken en heb dit tussen allerlei andere bezigheden voortgezet, ook toen ik na dec. 1926 aan het Massachusetts Institute of Technology was verbonden. Af en toe heb ik ook wel iets gepubliceerd, o.a. over Paulus van Middelburg en Kepler als wiskundigen, en ik heb mijn belangstelling tot andere perioden van de geschiedenis der wiskunde uitgebreid. Ik heb ook wel eens een voordracht gegeven, zoals in 1935, toen ik in Haarlem voor GE-WI-NA (Genootschap voor Geschiedenis der Genees-, Wis- en Natuurkunde) over de Nederlandse wiskunde vóór Descartes sprak. Ik heb eveneens aan het M.I.T. enige colleges over de geschiedenis van de natuurwetenschappen en de wiskunde gegeven, maar daar was weinig belangstelling voor. Dat was vóór de Tweede Wereldoorlog, toen de humaniora nog weinig toegang hadden tot technische instituten.

Omstreeks 1946 kreeg ik van professor W. Prager, toentertijd aan de Brown University in Providence verbonden, het verzoek voor de toen pas opgerichte Dover uitgeversfirma in New York een korte geschiedenis der wiskunde te schrijven. Ik had al heel wat manuscriptmateriaal en ging op het aanbod in. Mijn Concise History of Mathematics kwam in 1948 uit, in twee kleine deeltjes. Ik geloof dat het het enige oorspronkelijke boek is dat Dover heeft uit-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 8 gegeven, de firma heeft zich geheel op de befaamde ‘reprints’ toegelegd. Het boek werd goed ontvangen. Er bestond eigenlijk niet veel in het Engels over de geschiedenis der wiskunde. Het boek van F. Cajori was van 1919, herzien in 1936, Chelsea herdruk 1985, wat lang en droog. De twee boeken van D.E. Smith beperkten zich voornamelijk tot elementaire wiskunde en waren van 1925. R. Archibald's Outline, uit 1932, had veel feitenmateriaal in voetnoten en een zeer beknopte tekst (een zesde druk verscheen in 1949). Dan was er nog dat zeer leesbare, maar verouderde boek van W. Rouse Ball van 1888 (een zesde druk verscheen in 1915 en niet zo lang geleden kwam zelfs een Dover-herdruk uit). Ik kon gebruik maken van nieuwe onderzoekingen, o.a. over de Babylonische wiskunde, en voor de negentiende eeuw gaf Felix Kleins boek van 1926-'27 uitstekende, zij het ook wat eenzijdige, leiding. Een Engelse uitgave van mijn boek kwam in 1954 uit en in 1967 kon ik een derde druk bewerken, nu in één deel. De eerste vertalingen kwamen uit in Japan en China, in 1956. Daarna zijn er nog andere verschenen, een aantal ervan in socialistische landen als de USSR en de DDR, waar men het ook waardeerde omdat ik kans had gezien, ondanks het korte bestek, enige aandacht te wijden aan de betrekkingen tussen wiskunde en maatschappij. Sommige van deze vertalingen bevatten ook iets meer over het eigen land, de Russische over Čebyšev en Ljapoenov, de Servische over Boscovich, de Italiaanse over de gehele negentiende eeuw (geschreven door prof. Umberto Bottazzini). Sommige vertalingen hebben een eigen voorwoord en in de bibliografieën zijn enige titels in de taal van het land opgenomen. De Nederlandse vertaling heb ik zelf bewerkt, met een beetje meer over Nederland.

Dit brengt ons tot de wiskunde in Nederland. Die kunnen we laten beginnen met bisschop Adalbold van Utrecht, die onder invloed stond van de toen beste wiskundige van West-Europa, Gerbert, van 999 tot 1003 paus onder de naam Sylvester II. Rond 1050 vinden we ook Franco van Luik, een geestelijke, geïnteresseerd in de cirkel-kwadratuur. Het peil van hun wiskunde was niet hoog en ze hebben geen school gemaakt. Uit de zuidelijke Nederlanden kwam Willem van Moerbeke, een dertiende-eeuwse Dominicaan, die veel uit het Grieks en het Latijn vertaalde, o.a. enige werken van Archimedes. Er zijn twee bloeiperioden in de Nederlandse wiskunde. De eerste is die van de Gouden Eeuw, beginnend omstreeks 1580 met Stevin

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 9 en eindigend rond 1700 met Johann Bernoulli in Groningen. Behalve Stevin en Bernoulli ontmoeten we hier als belangrijke figuren Snellius, Descartes, Van Schooten, Jan de Witt, Hudde en Christiaan Huygens. Hun werk is een belangrijke bijdrage tot de wetenschappelijke revolutie van die tijd. Als we het tegenwoordige België erbij betrekken, begint deze eerste bloeiperiode met Gemma Frisius in Leuven rond 1540. In de volgende eeuw vinden we in Antwerpen Grégoire de Saint Vincent en André Tacquet, twee Jezuïeten die bijdragen hebben geleverd tot de tegenwoordige integraalrekening. De tweede bloeiperiode is het tegenwoordige tijdperk, waarvan het begin samenvalt met de hele opleving van het geestelijk leven die het intreden van Nederland in de moderne industriële economie begeleidde. In de wiskunde vinden we hier de ‘mannen van '80’, D.J. Korteweg, J.C. Kluyver en P.H. Schoute, die getracht hebben de wiskunde in Nederland op internationaal peil te brengen. De ontwikkeling die zij hebben ingeleid, is doorgegaan. We hoeven alleen maar aan L.E.J. Brouwer, J.A. Schouten en J.G. van der Corput te denken, om van de levende wiskundigen nog niet eens te spreken.

Van deze geleerden heeft alleen Korteweg méér dan sporadisch aandacht besteed aan de geschiedenis van de wiskunde. De beoefening van deze geschiedenis gaat terug op Gerardus Joannes Vossius, de ‘hooghgeleerde Vos’ van Vondel, die in zijn De universae mathesius natura et constitutione (1650) een inderdaad hooggeleerde en uitvoerige opsomming heeft gegeven van namen, titels en soms inhoudsopgaven, met gelijksoortige vervelende compilaties van andere takken van wetenschap. Daarna komt de Nederlandse vertaling van Etienne Montucla's Histoire des mathématiques van 1758, even geestig als Vossius' opsomming dor. De vertaler was A.B. Strabbe, de stichter van het Wiskundig Genootschap (1778). Zijn Historie der Wiskunde kwam tussen 1782 en 1804 uit. Strabbe had in de jaren 1773-1780 al het populaire boek over sterrenkunde van Lalande (1764) vertaald. Men kan deze wiskundige leren kennen in M. van Haaftens geschiedenis van het Wiskundig Genootschap (1923). Dan komt David Bierens de Haan, hoogleraar in Leiden, met zijn studies over Nederlandse wiskundigen tussen 1874 en 1893, gedeeltelijk ook in boekvorm onder de titel Bouwstoffen uitgegeven. Tussen 1898 en 1909 heeft ook de leraar N.L.W.H. Gravelaar uit Deventer een aantal studies aan zestiende- en zeventiende-eeuwse

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 10 wiskundigen gewijd. Door J. Versluys is in 1902 een ‘Beknopte Geschiedenis der Wiskunde’ gepubliceerd, voornamelijk gebaseerd op de Duitse boeken van M. Cantor. In de eerste zestig jaar van onze eeuw leefden drie historici die ook buiten Nederland bekendheid hebben verworven, J.A. Vollgraff, C. de Waard en E.J. Dijksterhuis. Vollgraff kreeg die bekendheid voornamelijk door zijn werk tussen 1910 en 1950 aan de laatste zeven delen van de Oeuvres van Christiaan Huygens, De Waard door zijn editie van Isaac Beeckman en zijn bijdrage tot de edities van Mersenne en Paul Tannery, en Dijksterhuis door De Mechanisering van het Wereldbeeld (1950), dat met zijn vertalingen in het Duits en Engels één der beste, zo niet het beste werk over dit onderwerp is. We moeten ook pater H. Bosmans uit België niet vergeten, die in het Frans over verscheidene Nederlandse wiskundigen heeft geschreven. Ook nu bezit Nederland verdienstelijke historici der wiskunde.

De volgende afkortingen voor vaak geciteerde bronnen zijn gebruikt:

HM = Historia Mathematica AHES = Archive for History of Exact Science DSB = Dictionary of Scientific Biography

Dirk J. Struik Belmont, Massachusetts december 1988

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 11

Woord vooraf bij de eerste druk

Het grote gedachtenavontuur dat wiskunde heet brengt ons in aanraking met gedachten en redeneringen die vaak het denken van eeuwen hebben beïnvloed. Het is niet eenvoudig een overzicht te geven van de ontwikkeling van zulk een gebied, een overzicht dat ook maar enigszins recht doet aan de rijkheid van ideeën die het bezit en de invloed die ze hebben uitgeoefend. Zulk een overzicht samen te stellen wordt een oefening in zelfbeperking. De schrijver heeft het nochtans aangedurfd, nadat hij door de uitgever der Dover Boeken in New York daartoe werd aangemoedigd, en zo is de eerste uitgave van de Concise History of Mathematics in 1948 te New York verschenen. Sedertdien is dit boek herhaaldelijk herdrukt, herzien en vertaald. De tekst die we hier aanbieden, is door de schrijver zelf vertaald en bewerkt. In de eerste plaats moest grote aandacht worden besteed aan de keuze van de stof. Het was duidelijk dat alleen de ontwikkeling van de voornaamste ideeën kon worden geschetst, en vaak moest dan toch nog slechts terloops naar belangrijke gebeurtenissen worden verwezen. Verscheidene figuren van betekenis, zoals Roberval, Čebyčev of Schwartz, moesten stilzwijgend worden voorbijgegaan en de bibliografie moest tot de voornaamste geschriften worden beperkt. Het is te begrijpen dat we ook kort moesten zijn met het schetsen van de algemene maatschappelijke en culturele atmosfeer, waarin de wiskunde van een bepaalde periode tot verdere rijpheid - of verval - kwam. De wiskunde is in de loop der eeuwen beïnvloed door de handel en industrie, door de scheepvaart, de cartografie, de natuur- en sterrenkunde, het ingenieurswezen in oorlogen vredestijd, de wijsbegeerte en de godsdienst, en heeft ook op haar beurt andere gebieden beïnvloed. We denken bijvoorbeeld aan de wederzijdse beïnvloeding van hydrodynamica en functietheorie, van elektrodynamica en differentiaalvergelijkingen, van het landmeten en de meetkunde, van de invloed van het Cartesianisme of de Scholastiek op de infinitesimaalrekening. Zulke onderwerpen konden niet of slechts in een paar woorden worden behandeld. Toch kan men alleen een goed begrip van de loop en inhoud der wiskunde in een bepaald tijdvak verkrijgen, zo

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 12 men deze factoren in rekening brengt. Vaak moest ook in ons verhaal een verwijzing naar de literatuur de plaats innemen van een geschiedkundige beschouwing. Onze beschrijving gaat tot het einde van de negentiende eeuw. Het is, althans voor schrijver dezes, onmogelijk het grote terrein van de nieuwere wiskunde zó te overzien, dat het met voldoende zakenkennis en redelijkheid in zijn geheel kan worden omvat en besproken. In plaats daarvan verwijzen we naar enige monografieën, waarin een overzicht over gedeelten van het wiskundig onderzoek der laatste vijftig jaren wordt aangeboden.1 Wij hopen, dat wij, ondanks al deze beperkingen, toch in staat zijn geweest de hoofdtrekken van het wiskundig onderzoek in de loop der eeuwen, en ook die van haar maatschappelijke en culturele betrekkingen vrij redelijk te hebben weergegeven. De keuze kon ook met de beste wil van de wereld niet geheel objectief zijn, ze moest wel door de persoonlijke smaak, de kennis - of het gebrek aan kennis - van de schrijver worden beïnvloed. Het gebrek aan kennis komt bij voorbeeld tot uiting in de omstandigheid, dat het niet altijd mogelijk was de bronnen zelf te bestuderen, zodat de informatie tweedehands was. Wij raden daarom iedere lezer aan alle beweringen die hij in dit boek vindt, zo nodig aan de bronnen te toetsen, en dit geldt voor al zulke geschiedenissen. Er zijn verscheidene goede redenen voor een studie van de bronnen. Het is verkeerd schrijvers als Euklides, Diofantos, Descartes, Laplace, Gauss of Riemann alleen maar tweedehands te bestuderen. Er is in deze auteurs een oorspronkelijkheid en kracht van stijl, die op hun gebied niet onderdoen voor die van Cervantes of Shakespeare, en er zijn stukken van Archimedes, Fermat, Euler, Jacobi en vele andere wiskundigen, die even mooi zijn als de verzen van Vondel of van Horatius.

Hier volgen een aantal overwegingen, waardoor de schrijver zich heeft laten leiden. 1. Nadruk is gelegd op de continuïteit en het gelijksoortige karakter van de Oosterse wiskunde, ondanks de noodzaak van het soms mechanische opsplitsen in de culturen van Egypte, Babylonië, China, India en de Islam. 2. Getracht is een onderscheid te maken tussen vaststaand feit, hypothese en traditie, vooral in de wiskunde der Oudheid.

1 B.v. in de boeken van E.T. Bell (1945) en N. Bourbaki (1960), aangevuld door die van F. le Lionnais, zie inleiding. Zie verder het eind van hoofdstuk VIII.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 13

3. De twee stromingen in de Renaissance-wiskunde, de arithmetisch-algebraïsche en de ‘infinitesimale’ zijn in betrekking gebracht met de commerciële en ingenieursbehoeften van die periode. 4. In de beschouwingen over de negentiende-eeuwse wiskunde hebben wij ons op personen en scholen gericht, en ons in de eerste plaats laten leiden door de geschiedenis van deze periode zoals Felix Klein die heeft geschreven. Zo men een uiteenzetting naar onderwerpen verlangt, dan kan men die vinden in de boeken van Cajori en Bell, of, met veel meer technische details, in de Encyclopaedie der mathematischen Wissenschaften (Leipzig 1898-1935, 24 delen), of, in korter bestek, in Pascals Repertorium der höheren Mathematik (Leipzig 1910 - 29, 5 delen).

De schrijver spreekt hier gaarne zijn dank uit aan dr. O. Neugebauer die zo vriendelijk is geweest het eerste hoofdstuk van dit boek te lezen, hetgeen tot verschillende verbeteringen heeft geleid; aan dr. A.P. Joesjkewitsj heeft hij verbeteringen in de secties over de Islam en aan dr. Kurt R. Biermann verscheidene bibliografische gegevens te danken. Voor de hulp bij het opsporen van andere tekorten is hij aangenaam verplicht aan wijlen dr. R.C. Archibald, aan dr. E.J. Dijksterhuis, de heer S.A. Joffe en aan andere lezers. Bij de bewerking van deze Nederlandse uitgave zijn enige verbeteringen aangebracht en sommige details over de wiskunde in Nederland verder uitgewerkt. Ook zijn enige in het Nederlands geschreven publikaties aangehaald.

1948

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 15

I. Het begin

Voor onze eerste voorstellingen van getal en vorm moeten wij tot ver in het verleden teruggaan, tot in het Oudere Stenen Tijdperk, het Paleolithicum. Gedurende de honderdduizenden jaren van dit tijdperk, waarin de mensen vaak in holen leefden, was er in vele opzichten weinig verschil tussen de levenswijze van de mensen en die van de hogere dieren - met één belangrijke uitzondering: zij hadden het vuur. Ze verschaften zich voedsel door jacht of visserij, of door het plukken van wilde gewassen. Ze traden met elkaar in gemeenschap en zo begon de taal zich te ontwikkelen. In de loop der millennia werd hun scheppend vermogen vergroot, en zo kunnen we nu nog hun kunstzinnige holschilderingen bewonderen. Die schilderingen van dieren en jagers, die we in Spanje en Frankrijk vinden en die ongeveer 15.000 jaar oud zijn, hadden vermoedelijk rituele betekenis; in elk geval verraden ze een merkwaardige zin voor vormen. Meer dan dat, ze vertellen ons dat er een uitstekend begrip was voor een tweedimensionale afbeelding van ruimtevormen. De ontwikkeling van het getalbegrip en van ruimtelijke begrippen maakte grote vorderingen toen het uitsluitend vergaren van het voedsel begon plaats te maken voor de produktie van voedingsmiddelen. Dit betekent dat naast jacht en visserij ook landbouw en veeteelt werden beoefend. Dat was een wezenlijke verandering in het menselijk bestaan, een ware omwenteling, waarin de mens van een passieve tot een actieve verhouding ten aanzien van de natuur overging. Dit nieuwe tijdvak wordt met de naam Neolithicum, het Nieuwere Stenen Tijdperk, aangegeven. Deze grote omwenteling in de geschiedenis van de mensheid begon waarschijnlijk ongeveer 10.000 tot 15.000 jaar geleden, toen het ijsdek dat gedeelten van Europa en Azië had bedekt, zich had teruggetrokken en plaats had gemaakt voor vlakten, moerassen en wouden. Er waren nomadische volkeren die ophielden al zwervend naar voedsel te zoeken, en zich ontwikkelden tot aanvankelijk primitieve boeren, die ook nog wel jaagden of visten, maar die zich zo lang de bodem vruchtbaar bleef aan één lokaliteit verbonden hadden. Ze begonnen blijvende woningen te bouwen om zich tegen het weer of de aanvallen van rovers te beschermen. Vele zul-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 16 ke nederzettingen uit het Neolithicum zijn door opgravingen aan het licht gekomen en komen nog steeds aan het licht, ook in Nederland. Uit die opgravingen blijkt dat zich in die nederzettingen langzamerhand eenvoudige vormen van handwerk, zoals pottenbakkerij, timmermanswerk en weverij ontwikkelden. Er kwamen stapelplaatsen van koren, zodat het mogelijk was voorraden te verzamelen voor de winter of voor slechte tijden. Men bakte brood, men brouwde bier, en in latere perioden van het Neolithicum begon men koper en brons aan te wenden voor sieraden en gebruiksartikelen. Van de vele en belangrijke uitvindingen uit die tijden moeten we speciaal het wagen- en het pottenbakkerswiel vermelden. Zulke vernieuwingen traden gewoonlijk op binnen zekere gebieden, van waar ze zich dan naar andere streken verbreidden - of misschien ook niet. Zo is de kennis van het wiel, om een voorbeeld te noemen, niet vóór de komst der blanken tot de Amerikaanse bevolking gekomen, tenzij misschien als speelgoed. Men kan met zekerheid verklaren dat het tempo van de uitvindingen, vergeleken met dat van het Oudere Stenen Tijdperk, snel aan het toenemen was. Tussen de dorpen ontstond handel, die heel omvangrijk kon worden. Men kan betrekkingen aantonen tussen gebieden die honderden kilometers van elkaar af lagen. De ontdekking van het bewerken en smelten van ertsen en de daaruit voortkomende metallurgie, eerst van koper, dan van brons, en nog later van ijzer, heeft die handelsbetrekkingen zeer in de hand gewerkt. Dit bevorderde ook de ontwikkeling van de taal. Oorspronkelijk drukten de woorden zeer concrete dingen uit, zodat er geen plaats was voor abstracties, en slechts heel eenvoudige getallen- en vormrelaties konden worden aangegeven. Men vond zulk een taalniveau bij vele Amerikaanse, Afrikaanse en Australische stammen in de periode waarin zij met de blanken in aanraking kwamen. Ook nu bestaan zulke relaties nog wel, zodat het mogelijk is een studie te maken van de wijze waarop zulke stammen in hun cultuur getallenbetrekkingen uitdrukken.

Aangezien - om met Adam Smith te spreken - getallen behoren tot de meest abstracte ideeën die de menselijke geest kan vormen, kwamen speciale uitdrukkingen voor getallen slechts langzaam in gebruik. Aanvankelijk droegen die uitdrukkingen eerder een kwalitatief dan een kwantitatief karakter, omdat men slechts onderscheid maakte tussen één (of eigenlijk één man in plaats van een mán), twee en veel. Men kan die oorsprong van de getallenvoor-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 17 stellingen nog hier en daar terugvinden in de duale vervoegingen die men in sommige talen, b.v. in het Oud-Grieks of Keltisch vindt (b.v. Grieks: anèr, man; andre, twee mannen), het getal twee is hier nog aan een onderwerp gekoppeld. Wanneer dan de behoefte ontstaat het getalbegrip uit te breiden, worden grotere getallen aanvankelijk door optelling gevormd, b.v. drie door twee en één, vier door twee en twee op te tellen. Hier volgt een voorbeeld ontleend aan sommige Australische stammen:

Murray River: 1 = enea, 2 = petcheval, 3 = petcheval-enea, 4 = petcheval-petcheval Kamilaroi: 1 = mal, 2 = bulan, 3 = guliba, 4 = bulan-bulan, 5 = bulanguliba, 6 = guliba-guliba1

Door de ontwikkeling van het handwerk en de handel werd deze groei van het getalbegrip sterk bevorderd. Getallen werden gerangschikt en gebundeld tot grotere eenheden, en daarbij werd vaak van de vingers van een hand of van beide handen gebruik gemaakt, iets dat bij de handel heel natuurlijk is. Zo kwam het getal vijf en daarmee ook tien als hogere eenheid in gebruik en door deze werden weer andere getallen door optelling of aftrekking verkregen, b.v. twaalf als tien plus twee, of negen als tien minus één. We vinden ook wel 20, het aantal van vingers en tenen (of van de handen tweemaal) als basis in gebruik. W.C. Eels, die 307 getalsystemen van Amerikaanse volkeren heeft onderzocht, vond 146 systemen decimaal, en 106 op 5, 10, of 20, of op combinaties daarvan, berustend.2 Het vigesimale stelsel (dus dat stelsel dat op de basis 20 berust) komt in zijn meest karakteristieke vorm voor bij de Maya's in Mexico en bij de Kelten in Europa. Er bestonden verschillende manieren om numerieke resultaten voor te stellen: door bundelen, door strepen te kerven op een stuk hout of been, door knopen in een touw te leggen, door steentjes of schelpen in hoopjes van vijf opeen te stapelen - methoden die doen denken aan de kerfstok van een herbergier uit de oude tijd. Dit leidde weer tot de invoering van speciale symbolen voor 5, 10, 20, enz. en we vinden inderdaad in de periode, waarin de geschreven geschiedenis begint, zulke symbolen in gebruik.

1 L. Conant, The Number Concept (New York, 1896) blz. 106-107, met verscheidene andere voorbeelden. 2 W.C. Eels, Number Systems of North American Indians, Amer. Mathem. Monthly 20 (1913) blz. 293.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 18

Een vroeg voorbeeld van zulk een kerfstok gaat terug tot het Oudere Stenen Tijdperk. In 1937 werd bij Věstonice in Moravië de rib van een jonge wolf gevonden, ongeveer 20 cm lang, waarin 55 diepe kerven waren gesneden, de eerste 25 in groepen van 5. Dan volgt een kerf die tweemaal zo lang is en waarmee de rij van kerven eindigt; met een andere kerf, ook tweemaal zo lang als de eerste 25 kerven, begint een nieuwe reeks die tot 30 loopt.1 Men ziet dus dat het niet geheel juist is om met Jacob Grimm en anderen te zeggen dat tellen begon met vingertellen. Dit vingertellen, dat wil dus zeggen rekenen in groepen van vijf en tien, kwam eerst in gebruik nadat het tellen reeds een zekere ontwikkeling had doorgemaakt. Toen deze ontwikkeling ver genoeg was gevorderd, konden getallen worden uitgedrukt met behulp van een basis, waarin dan weer grotere getallen konden worden uitgedrukt. Zo ontstond een eenvoudige rekenkundige methode waarin b.v. 14 als 10 + 4, doch ook als 15 - 1 kon worden uitgedrukt. Vermenigvuldiging zien we daar optreden, waar 20 niet als 10 + 10, doch als 2 × 10 wordt opgevat. Zulke dyadische bewerkingen vindt men duizenden jaren lang, als een soort middenweg tussen optelling en vermenigvuldiging, in gebruik b.v. in oud Egypte en in de pre-Arische beschaving van Mohenjo-Daro aan de Indus. Deling begon daar waar 10 werd uitgedrukt als de ‘helft van een lichaam’, of in soortgelijke gevallen, doch bewuste breukenvorming kwam weinig voor. Bij Noordamerikaanse stammen bijvoorbeeld vinden wij slechts enkele uitdrukkingen voor breuken, en in bijna alle gevallen betreft dit ½, al vindt men ook wel eens uitdrukkingen voor ⅓ of ¼.2 Ook vindt men heel vroeg een merkwaardige voorliefde voor heel hoge getallen, iets dat misschien samenhangt met een al-te-menselijke drang om de grootte van kudden of van verslagen vijanden te overdrijven; zo'n voorliefde bespeuren we ook wel in de Bijbel en in andere heilige geschriften.

Men kreeg ook behoefte aan het meten van de lengte en inhoud van voorwerpen. Daarvoor moesten zekere eenheden worden ge-

1 Isis 28 (1938) bldz. 462-463, ontleend aan Illustr. London News van 2 Oct., 1937. 2 G.A. Miller heeft opgemerkt dat het woord helft (one-half, semis, moitié), niet in directe betrekking staat tot het woord twee (two, duo, deux) in tegenstelling tot de woorden één-derde, één-vierde, enz., hetgeen er op schijnt te wijzen dat het begrip ½ onafhankelijk van het begrip 2 ontstond. Nat. Mathem. Magazine 13 (1939) blz. 272.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 19 kozen, die nogal onnauwkeurig waren, vaak delen van het menselijk lichaam, zoals vingers, duimen of voeten. Aan deze gewoonte worden we ook herinnerd als we woorden als el, span of vadem gebruiken1. Bij de bouw van huizen, zoals bij de landbouwende Indiërs of de paalbewoners van Centraal Europa, moesten regels worden vastgelegd waarmee men langs rechte lijnen en volgens rechte hoeken kon bouwen. Het woord ‘recht’ hangt samen met ‘rekken’, het woord ‘lijn’ met ‘linnen’, het Engelse woord ‘straight’ (recht) met het werkwoord ‘stretch’ (strekken); al deze uitdrukkingen wijzen op metingen met koorden of touwen.2 Het woord ‘linnen’ wijst op een verband met het spinnen en weven. De neolithische mens had ook een levendig gevoel voor meetkundige patronen. Het bakken en kleuren van aardewerk, het vlechten van bindwerk en manden, het weven van doeken en later het bewerken van metalen, leidde allemaal tot een versterking van het gevoel voor vlakke en ruimte-relaties. We kunnen hier misschien ook dansfiguren aan toevoegen. Men treft in neolithische versieringen veel congruentie, symmetrie en gelijkvormigheid aan. Getalverhoudingen komen ook voor, zoals in sommige voorhistorische figuren die driehoeksgetallen voorstellen, of bij zgn. heilige nummers. Interessante meetkundige patronen op aardewerk, op mandwerk en op geweven stoffen vinden wij op neolithische potten in Bosnië en op kunstvoorwerpen van de Ur-periode in Mesopotamië3, op Egyptisch aardewerk der voordynastische periode (4000-3500 v. C.)4, op voorwerpen gebruikt door paalhuis-bewoners bij Loebljanka (Joegoslavië) in de Hallstadt periode (Midden Europa, 1000-500 v. C.)5, en op vele andere plaatsen. Op urnen uitgegraven bij Sopron in Hongarije zien we rechthoeken waarin driehoeken en driehoeken waarin cirkels. Deze figuren vertonen een

1 El staat in verband met elleboog, span is de breedte van de uitgestrekte hand (vgl. het woord omspannen), vadem is de afstand tussen de handen van de uitgestrekte armen (vgl. het woord omvademen). 2 In vele landen werden mensen, die metingen verrichtten ‘touwspanners’ genoemd, b.v. ‘harpedonaptai’ (Grieks), ‘massah’ (Arabisch), ‘masihānu (Assyrisch). Zie S. Gandz, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik I (1930), 255-277. 3 W. Lietzmann, Geometrie und Praehistorie, Isis 20 (1933), 436-439. 4 D.E. Smith, History of Mathematics (New York 1923) Dover herdruk 1951-53 I 15. Dit boek heeft ook een uitvoerige bibliografie. 5 M. Hoernes, Urgeschichte der bildenden Kunst in Europa (Wenen, 1915).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 20 neiging om tot driehoeksgetallen te komen, getallen die later in de wiskunde der Pythagoreeërs een belangrijke rol zullen spelen1. Zulke versieringen zijn ook in historische tijden populair gebleven en worden nog heden met succes aangewend. Men kan mooie voorbeelden vinden op de dipylon vazen uit de Minoïsche (Kreta) en archaïsch-Griekse tijd, in Byzantijnse en Arabische mozaïeken, of op Perzische en Chinese tapijten. Oorspronkelijk zullen sommige van deze figuren wel een magisch-godsdienstige betekenis hebben gehad, maar het esthetisch element heeft op den duur wel de overhand behouden2. De godsdiensten van het Stenen Tijdperk kunnen worden aangezien als pogingen om met de natuurkrachten te kampen. Godsdienstige ceremonies worden vaak begeleid door andere ceremonies, die men eerder magisch kan noemen, en dit magische element kan men weer terugvinden in bepaalde opvattingen omtrent getal en vorm in kunst en dagelijks leven. Voorbeelden van magische getallen zijn 3, 4, 7, 10, van magische figuren het pentagram en de swastika (links of rechtsgewonden). Sommige schrijvers hebben de godsdienstige zijde van de vroege wiskunde als het beslissende element van haar groei beschouwd3, maar al zijn ook de maatschappelijke wortels der wiskunde in moderne tijden vaak moeilijk te ontdekken, ze zijn in de vroege periode van de menselijke geschiedenis toch wel duidelijk te zien. De traditie van die getallenmystiek leeft nog voort in zo iets als de ‘moderne’ numerologie en de vrees voor het getal dertien. Er zijn hotels zonder ‘dertiende’ etage!

Zelfs bij volkeren met een maatschappelijke cultuur verwijderd van onze technische beschouwing vinden we een soort tijdrekening, dus een besef van de beweging van zon, maan en sterren. Door de uitbreiding van landbouw en handel begint deze kennis een meer wetenschappelijk karakter te krijgen. Zo ontstond een maankalender, doordat de veranderingen in de groei der gewassen

1 Vgl. ook F. Boas, General Anthropology (1930), blz. 273. 2 Men denke hier ook aan het werk van de Nederlandse kunstenaar M.C. Escher. Wie zich in de wiskundige theorie van deze vakversieringen interesseert raadplege A. Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. (Leipzig 1925, herdruk New York 1945). 3 W.J. Mc Gee, Primitive numbers, Nineteenth Annual Report, Bureau Amer. Ethnology 1897/98 (1900) 825-851. Vgl. A. Seidenberg, The ritual origin of geometry, Archive f. Hist. Exact. Sc. 1 (1962) 488-527; The ritual origin of counting, ibid. 2 (1962) 1-40.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 21 en andere periodiciteiten in de natuur in verband werden gebracht met de wisselingen van de maanstanden. Daarnaast ontwikkelde zich ook een zonnekalender, maar een nauwkeurige omschrijving van het verband tussen beide kalenders wordt eerst in de historische periode gelegd; in verschillende landen op verschillende manier. Bij ‘primitieve’ volkeren vinden we ook wel belangstelling voor zonnewendingen of de opgang van de Plejaden in de ochtendschemering, omdat deze dienst deden als gids bij de scheepvaart. Overigens placht men in historische tijden aan die vroegere, prehistorische, periode wel eens een overdreven astronomische kennis toe te schrijven. Algemeen gesproken kan men zeggen dat uit deze prehistorische studie der hemellichamen enige kennis van bol en cirkel werd verkregen. Ook kwam er enig besef van ruimtelijke richtingen.

Uit deze voorbeelden blijkt wel dat de historische groei van een wetenschap niet noodzakelijkerwijze dezelfde ontwikkeling moet doormaken als die waarop we haar in het huidige onderwijs doceren. Sommige meetkundige vormen, die eerst in de tegenwoordige tijd wetenschappelijk zijn bestudeerd, zoals knopen en patronen, waren al in vroege tijden bekend. Anderzijds zijn sommige tamelijk elementaire wiskundige gebieden van betrekkelijk jonge datum; wij denken b.v. aan de grafische voorstelling of aan de beginselen der statistiek. De Züricher professor A. Speiser heeft het eens met een zekere ironie en een zekere overdrijving aldus uitgedrukt: ‘Alreeds de uitgesproken neiging om vervelend te worden, die voor de elementaire wiskunde karakteristiek schijnt te zijn, kan voor zijn late oorsprong pleiten, daar de scheppende wiskundige liever zijn aandacht besteedt aan belangwekkende en mooie vraagstukken’.1

Hier is misschien een goede plaats om als overgang tot het volgende hoofdstuk iets te vermelden over de wiskunde van de Minoische-Myceense cultuur, die der Maya's en die der Inca's, culturen die nu slechts herinneringen zijn door nagelaten voorwerpen, teksten en monumenten, doch waarvan de invloed op het verdere verloop van de wiskunde op zijn best gering schijnt geweest te zijn. Toch blijft deze wiskunde voor ons interessant en leerzaam. In de Minoïsche en Myceense ruïnes op Kreta en het Griekse vasteland zijn wiskundige symbolen voor administratieve doelein-

1 A. Speiser, l.c., p. 3/6.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 22 den gevonden. Ze zijn in het zogenaamde Lineair A en B schrift en behoren tot de periode van circa 1800 tot 1200 v. C. Evenals in Egypte worden getallen additief geschreven met symbolen voor 1, 10, 100, 1000; die symbolen zijn geheel van die in Egypte verschillend. Ook voor eenvoudige breuken bestaan symbolen, doch er zijn (nog?) geen eenheidsbreuken als bij de Egyptenaren gevonden. De schrift is op kleitafeltjes als bij de Babyloniërs, doch de klerken bakten ze niet, zodat de enige tafeltjes die over zijn komen van de laatste brand die de paleizen heeft verwoest (als b.v. het zgn. paleis van Nestor). Het is dus niet bekend hoever de wiskundige vaardigheid van deze klerken ging. Wat we weten is dat de Homerische helden dienaars hadden die schriftelijk konden rekenen. De Maya's in Midden Amerika, speciaal in huidig Guatemala en Yucatan, bezaten een beschaving die meer dan duizend jaren heeft bestaan en haar hoogtepunt heeft bereikt in de zgn. klassieke periode, zo tussen 200 en 900 n. C. De arithmetica van deze Maya's is in hoofdzaak ontcijferd door de studie van hun gebeeldhouwde reliëfs en van sommige codices en Spaanse kronieken. Ze stond in direct verband met het kalendersysteem, en dit hing weer af van hun sterrenkunde. Het systeem was vigesimaal, dus gebaseerd op 20 als eenheid. We vinden hier stippen voor getallen van 1 tot 4, horizontale streepjes voor de vijven tot 15, en voor grotere getallen een positiestelsel waarin machten van 20 worden voorgesteld door hetzelfde symbool als 20. Er kwamen variaties voor in verband met periode en kalenderstelsel. Een positiesysteem eist een symbool voor de nul, die werd aangegeven door een soort schelp of halfgeopend oog. Deze soort arithmetica beïnvloedde die van andere volkeren - een voorbeeld is de beroemde grote, ronde kalendersteen der Azteken, nu in het Archeologische Museum in Mexico Stad - de Azteken kwamen in Mexico tegen het einde van de twaalfde eeuw (n. C.). De Inca's beheersten een uitgestrekt rijk in het Andes-gebied, dat van het midden der 13e eeuw tot de tijd der Spaanse verovering drie eeuwen later bestond met hoofdstad Cuzco (nu in Peru). Zij waren bekwaam in administratie, handen kunstwerk, stedenbouw en ingenieurstechniek, en dit alles zonder een schrift. Voor hun bureaucratie gebruikten ze een rekenmethode en statistiek gebaseerd op de quipu. De eenvoudigste quipu bestaat uit een hoofdkoord van gekleurd katoen of wol, waaraan andere koorden met knopen hangen. Die knopen vormen groepjes van één knoop tot 9 knopen, en een groep van 4 knopen gevolgd door een van 9 en dan door een van 2 stelt het getal 492 voor. Hier hebben we dus

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 23 een positiestelsel met de nul hier voorgesteld door een grotere afstand tussen knopengroepjes (zie hfdst. II, sectie 4). De kleuren van de koorden kunnen voedsel, kleding, soldaten, enz. voorstellen. Er kunnen weer koorden van de vorige koorden afhangen, zodat men een tamelijk gecompliceerde statistiek kan bijhouden. Met die quipus kan ook gerekend worden, zelfs in tamelijk ingewikkelde processen in een techniek die enigszins aan de Chinese ‘matrix’-methode doet denken. Quipu's zijn gevonden met honderden koorden, de meest gecompliceerde quipu tot nu gevonden heeft 1800 koorden; ze kan de samenstelling van een leger, een werkkracht, een opslagplaats hebben voorgesteld. De Spanjaarden plachten de quipu's als heidense instrumenten te vernielen. De ongeveer 400 quipu's die we nu hebben, zijn in graven gevonden in woestijngebieden. Deze quipu's leren ons dat een uitgebreide bureaucratisch georganiseerde maatschappij kan bestaan zonder een schrift. Dit doet allerlei vragen opkomen. Hadden b.v. de klerken (priesters, druiden?) die in het veronderstelde ‘astronomisch laboratorium’ Stonehenge (in Z. Engeland) werkten, ook een quipu-achtige manier om informatie te bewaren en te bewerken, maar waarvan geen overblijfselen bestaan?

In de laatste jaren wordt meer en meer aandacht geschonken aan de wiskundige ideeën die we aantreffen bij stammen of volksgroepen die nog geen of nauwelijks een geschreven schrift kennen. Door M. en R. Ascher is hiervoor de naam ‘ethnowiskunde’ (ethnomathematics) voorgesteld, als de studie van de wiskundige begrippen van niet-geletterde (non-literate) volken. Volken waarvoor men vaak de term ‘primitief’ gebruikt, maar wier cultuur verre van ‘primitief’ blijkt te zijn. Zulk een studie houdt zich bezig met de meet- en rekenkundige begrippen die men daar aantreft, de manier van weven, netten maken of pottenbakken, de versieringen van weefsels, potten of eigen lichaam, en de bloedverwantschappen (kinship relations) die vaak een merkwaardig wiskundig schema kunnen onthullen. Zulke volken kan men vinden in Afrika, in Poly- en Melanesië, Australië, doch het onderzoek kan zich uitstrekken tot geïsoleerde gebieden en getto's van industriële landen. Deze studie staat in nauw verband, vooral in de vroegere koloniale landen, met de wijze waarop wiskunde moet worden gedoceerd aan leerlingen die uit hun traditionele cultuur in de moderne beschaving worden gebracht, zij deze kapitalistisch of socialistisch. Het blijkt dan aanbevelenswaardig te zijn aan te knopen bij

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 24 zulke wiskundige begrippen als eigen zijn aan de traditionele cultuur, b.v. zulke ontleend aan het bouwen van hutten of gemeenschapshuizen, patronen bij textiel of keramiek, het maken en de vorm van knopen bij netten, enz. Geschiedenis, antropologie en opvoeding gaan hier hand in hand.

Literatuur

Behalve de reeds geciteerde boeken en artikelen van Conant, Eels, Smith, Lietzman en Speiser kunnen we nog noemen K. Menninger, Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahlen, Göttingen 2e ed., I Zahlreihen und Zahlsprache 1957, II Zahlschrift und Rechnen 1958. Ook in Engelse vertaling. D.E. Smith - v. Ginsburg, Numbers and Numerals, N.Y. Teachers College 1937. V. Gordon Childe, What Happened in History (Pelican Book, Harmondsworth-New York, 1942) Ned. vertaling: Van Vuursteen tot Wereldrijk (Amsterdam, 1952). D.J. Struik, Stone Age Mathematics, Scientific American, Dec. 1948.

Interessante ornamenten vindt men o.a. in het reeds geciteerde boek van Speiser en in de volgende artikelen beschreven: L. Spier, Plains Indian Parfleche Designs, Univ. Washington Publ. in Anthropology 4 (1931) 293-322. A.B. Deacon, Geometrical Drawings from Malekula and other Islands of the New Hebrides, Journal Royal Anthropol. Institute 64 (1934) 129-175. M. Popova, La géométrie dans la broderie bulgare, Comptes Rendus Premier Congrès des Mathématiciens des Pays Slaves (Warschau 1929) 367-369.

De wiskunde van de Amerikaanse Indianen wordt ook behandeld in: J.E.S. Thompson, Maya Arithmetic, Contributions to Amer. Anthropology and History 36, Carnegie Inst. of Washington Publ. 528 (1941) 37-62. E.C. Lounsbury, Maya Numeration, Computation and Calendrical Astronomy, DSB 15 (1978) 759-818 met uitvoerige bibliografie. M. en D. Ascher, Code of the Quipus. A study in Media, Mathematics and Culture, Ann Arbor, Mich. 1981. Zie ook AHES 8 (1972) 288-320, en Visible Language, Cleveland, Ohio, 1975, 329-356. D.J. Struik, Minoan and Mycenaean Numerals, HM 9 (1982) 54-58.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 25

C. Zaslavsky, Africa Counts, Boston, 1973. D.W. Crowe, The Geometry of African Art, Journal of Geometry, 1 (1971) 169-182; 2 (1975) 253-271.

Over ‘ethno-wiskunde’ raadplege men: M. en R. Ascher, Ethnomathematics, History of Science 24 (1986) 125-144. M. Ascher, Graphs in Culture. A Study in Ethnomathematics, HM 15 (1988)201-227. U. D'Ambrosio, Mathematical Education in a cultural Setting, Intern. Journ. f. Educ. Sci. Techn. 16 (1985) 469-477. P. Gerdes, On possible Roots of traditional Angolan Sand Drawings in the Mathematics Classroom. Educational Studies in Mathematics 19 (1988) 13-22. Zie ook Gerdes' proefschrift Zum erwachenden geometrischen Denken (Dresden, 1985, 2 dln.).

Over het verband tussen ritueel en wiskunde, zie de artikelen van A. Seidenberg, AHES 1 (1960-61) 480-527, 2 (1962) 1-40, 18 (1970) 301-342. Over de ontwikkeling van wiskundige begrippen bij kinderen vindt men beschouwingen en literatuur in: A. Riess, Number Readiness in Research (Chicago, 1947). J. Piaget, La Genèse du Nombre chez l'enfant (Neuchâtel 1941) en Le développement des Quantités chez l'enfant (ib. 1941). L.N.H. Bunt, The Development of the Ideas of Numbers and Quantity according to Piaget (Groningen, 1951). Over ‘megalitische’ sterrenkunde en wiskunde: G.S. Hawkins, Beyond Stonehenge, Londen, 1973. D.C. Haggie, Megalithic Science, Londen, 1981.

Interessant is ook: U. Seibt, ‘Zahlbegriffe und Zahlenverhältnisse bei Tieren’, Zeitschrift für Tierpsychologie 60 (1982), 325-341.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 27

II. Het oude Oosten

Gedurende het vijfde, vierde en derde millennium v. C. ontstonden nieuwe en meer ontwikkelde maatschappijvormen uit neolithische gemeenschappen die zich reeds eeuwen lang in subtropische of bijna subtropische gebieden langs de oevers van grote rivieren in Afrika en Azië hadden gevestigd. Deze rivieren waren de Nijl, de Tigris en de Eufraat, de Indus, en later de Ganges, de Hoang-ho en de Yang-tse. De landerijen langs die rivieren konden overvloedige oogsten opleveren wanneer de rivieren onder controle waren gebracht en moerassen waren drooggelegd. In scherpe tegenstelling tot de woestijnen en berggebieden die deze gebieden omringden, konden de rivierdalen in een paradijs van vruchtbaarheid worden herschapen. Dit werd in de loop der eeuwen volbracht door het bouwen van dijken en dammen, het graven van kanalen en het aanleggen van reservoirs. De regeling van de watertoevoer vereiste samenwerking tussen de verschillende gemeenschappen, ook al lagen die naar toenmalige verhoudingen een heel eind van elkaar verwijderd. Dit bracht centrale administratie-organen in het leven, die niet meer in primitieve dorpen, doch in steden moesten worden gelokaliseerd. Deze steden, op kruispunten van handelswegen in of ook buiten de administratieve centra, werden tegelijkertijd plaatsen waar de produkten van landbouw en veeteelt ter markt konden worden gebracht. Er ontstond een tamelijk hoog overschot van zulke produkten, dat niet alleen de algemene levensstandaard verhoogde, doch ook een stedelijke aristocratie met machtige opperhoofden schiep. Er kwamen vele gespecialiseerde beroepen: handwerkers, soldaten, beambten, priesters. Het beheer der openbare werken werd in de handen van een blijvende bureaucratie geplaatst, een groep die verstand had van het gedrag der jaargetijden, de bewegingen der hemellichamen, de kunst van het landmeten, het opstapelen van voedingsmiddelen, of de heffing van belastingen. Gaandeweg ontstond een schrift waarin de handelingen van de bureaucratie en de daden der opperhoofden konden worden beschreven en bewaard. Zulke handwerkers en bureaucraten verkregen langzamerhand heel wat speciale technische kennis, waartoe ook kennis van de metaalbewerking en van de geneeskun-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 28 de behoorde. En zo begonnen ze ook de kunst van het rekenen en meten te beheersen. De maatschappij ten tijde van deze opkomst der steden (men spreekt wel van een revolutie: the urban revolution) was ook langzamerhand in klassen gesplitst. Men had opperhoofden, vrije en pachtboeren, handwerkers, schrijvers en andere beambten, horigen en slaven. Plaatselijke hoofden werden soms zo rijk en machtig dat ze van feodale heerschappen met beperkte autoriteit opklommen tot plaatselijke koningen met absolute macht. Twisten en oorlogen tussen allerlei despootjes konden er wel toe leiden dat grote gebieden onder een enkele monarch verenigd werden. Deze althans in de centrale gebieden vaak op irrigatie berustende maatschappijvormen met intensieve landbouw konden op deze manier tot een ‘Oosters’ type van despotisme voeren. Zulk despotisme kon eeuwen lang gehandhaafd blijven en dan weer ineenstorten, soms onder de aanvallen van woestijn- of bergstammen die aangetrokken werden door de rijkdommen der rivierdalen, ook wel door de verwaarlozing van het uitgestrekte, ingewikkelde en levensbelangrijke systeem van irrigatie. Onder zulke omstandigheden kon de macht van het ene koningshuis naar het andere overgaan, of het kon gebeuren dat het staatsverband opgebroken werd in kleinere feodale eenheden, en dan kon het proces van hereniging weer opnieuw beginnen, soms op hogere technische grondslag. Maar ondanks al die dynastieke revoluties en overgangen van feodalisme tot absolutisme en omgekeerd bleven de dorpseenheden, die de basis vormden van die ‘Oosterse’ maatschappijvormen, door de eeuwen wezenlijk onveranderd, en daarmee de wezenlijke economische en sociale structuur. De Oosterse maatschappij beweegt zich vaak in cyclische perioden, doch zelfs tot de huidige dag toe bestaan er nog vele gemeenschappen in Azië en Afrika (of Zuid-Amerika) waarin al eeuwen en eeuwen lang het leven op dezelfde wijze voortgaat. Onder zulke omstandigheden blijft de vooruitgang langzaam en aan toevalligheden onderworpen; perioden van culturele groei kunnen door eeuwen van stilstand en verval van elkaar gescheiden zijn. Dit statische karakter van het Oosten verleende een zekere heiligheid aan zijn eeuwenoude instellingen, en maakte de vereenzelviging van de godsdienst met de staatsinstellingen mogelijk. De ambtenarij deelde vaak in dit godsdienstig karakter van de staat, en zo zien we in vele Oosterse landen de priesters als administrateurs van de domeinen. En aangezien de beoefening van de wetenschap de taak was van de bureaucratie vinden we in vele - maar ze-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 29 ker niet in alle - Oosterse landen priesters als de voornaamste dragers van wetenschappelijke kennis.

Oosterse wiskunde ontstond als een praktische wetenschap, nuttig voor het berekenen van de kalender, het beheren van de oogsten, de organisatie der openbare werken en de inzameling van belastingen. Oorspronkelijk werd uiteraard op praktisch rekenen en meten de nadruk gelegd. Doch wanneer een wetenschap eeuwen lang beoefend wordt door een speciale groep van mensen, wier taak het is, niet alleen die wetenschap toe te passen doch ook zijn geheimen aan leerlingen door te geven, dan ontwikkelen zich neigingen tot grotere abstractie en tot wetenschap om der wille van de wetenschap, zodat men haar als theorie gaat bestuderen. Rekenen ging zodoende over in algebra, niet alleen omdat het sommige praktische berekeningen gemakkelijker maakte, doch ook als de natuurlijke ontwikkeling van een wetenschap die in scholen van schriftgeleerden beoefend en ontwikkeld werd. Dit was ook de oorzaak dat het meten zich ontwikkelde tot een begin - maar ook niet veel meer dan een begin - van theoretische meetkunde. Ondanks alle handel en verkeer, die in deze oude maatschappijen bloeiden, bleef de landbouw, verspreid over geïsoleerde en traditioneel voortlevende dorpen, de economische basis van de maatschappij. Daarom vindt men, ondanks een zekere gelijkvormigheid in de economische grondslagen en het algemene niveau van de wiskundige kennis, steeds verrassende verschillen tussen de diverse culturen. De afgeslotenheid van de Chinezen en de Egyptenaren was spreekwoordelijk, al was ze bij de Chinezen slechts in zekere perioden van hun geschiedenis een feit. Het is gemakkelijk het verschil te zien tussen de kunstvormen en de schrift van de Egyptenaren, de Mesopotamiërs, de Chinezen en de Indiërs. Men kan dus van Egyptische, Mesopotamische, Chinese en Indische wiskunden spreken, ofschoon zij in hun arithmetisch-algebraïsch karakter veel principiële overeenkomsten vertonen. Zelfs dan, wanneer de wetenschap gedurende een bepaalde periode in één land grotere vooruitgang vertoont dan in een andere periode of een ander land, blijft het algemene karakter en zelfs de symboliek voortbestaan. Het is moeilijk nieuwe ontdekkingen in het Oosten precies te dateren. Het statische karakter van de economische structuur draagt er toe bij dat een wetenschappelijk leergebied eeuwen lang weinig veranderingen ondergaat. Het komt voor dat ontdekkingen die in het isolement van één stadsgebied worden gemaakt, nooit verder

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 30 doordringen of zelfs weer verloren gaan. Grote schatten in wetenschappelijke en technische kennis kunnen door dynastieke veranderingen, door oorlogen of natuurrampen verdwijnen. Zo vertelt men dat in het jaar 221 v.C., toen China voor het eerst onder de heerschappij van een absolute despoot, Shé Hunag Di (Chhin Shih Huang Té, de eerste keizer van China) verenigd werd, alle leerboeken met uitzondering van sommige (b.v. over de geneeskunst) op 's keizers bevel werden vernietigd. Later, zo zegt men, werd heel wat van de verloren schatten uit het hoofd weer opgeschreven, maar men begrijpt hoe moeilijk onder zulke omstandigheden het dateren of zelfs het bewaren van ontdekkingen wordt. Een andere moeilijkheid bij het dateren van ontdekkingen in de Oosterse wetenschap komt voort uit het materiaal waarin de resultaten werden opgeschreven. De Mesopotamiërs gebruikten kleitafeltjes, die gebakken werden en praktisch onverwoestbaar zijn zolang zij in de puinhopen der oude steden onder de grond liggen.1 De Egyptenaren gebruikten papyrus, en veel hiervan is in het droge klimaat bewaard gebleven. De Chinezen en Indiërs gebruikten materiaal dat veel minder bestand was tegen de tand des tijds, zoals schors of bamboe. In het tweede millennium v.C. begonnen de Chinezen papier te gebruiken, doch er is weinig behouden van wat vóór 700 n. C. is beschreven. Onze kennis van de Oosterse wetenschap is dus uiterst gebrekkig, en voor de eeuwen vóór onze jaartelling zijn we bijna uitsluitend op materiaal uit Egypte en Mesopotamië aangewezen. Het is niet onmogelijk dat nieuwe ontdekkingen onze opinies over de verschillende prestaties van de vóór-Griekse wiskundigen aanmerkelijk kunnen wijzigen. Er was een tijd dat onze rijkste historische bronnen uit Egypte kwamen, en dit was aan de ontdekking, in 1856, van de zgn. Papyrus Rhind te danken.2 Deze Papyrus is omstreeks 1650 v.C. geschreven, doch bevat veel materiaal dat eeuwen ouder is. In de laatste vijftig jaren is door de merkwaardige ontdekkingen van F. Thureau Dangin en O. Neugebauer onze kennis van de Mesopotamische wiskunde aanzienlijk vermeerderd. Deze geleerden hebben, door de ontcij-

1 Heel wat van die tafeltjes hebben na de opgravingen in de musea geleden. Bovendien is vaak de herkomst onzeker. 2 Zo genoemd naar de Schotse bankier en antiquair A. Henry Rhind (1833-'63), die de papyrus in Luxor aan de Nijl verkreeg. Ze bevindt zich in het Britse Museum, en wordt ook wel de Ahmes-papyrus genoemd, naar de klerk die de kopie maakte. Ahmes is de eerste persoonsnaam die we in de wiskunde kennen.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 31 fering van vele kleitabletjes, de superioriteit van de Mesopotamische wiskunde boven de Egyptische aangetoond. Dit oordeel is waarschijnlijk wel van een blijvend karakter, aangezien in de Babylonische zowel als in de Egyptische teksten door de eeuwen heen een soort van wiskundige karaktervastheid bestaat. Tot die superioriteit kan hebben bijgedragen dat de economische ontwikkeling van Mesopotamië in het algemeen hoger stond dan die van de andere landen in de zgn. Vruchtbare Halve Maan (‘Fertile Crescent’), die zich uitstrekte van Mesopotamië tot Egypte. Mesopotamië lag op het kruispunt van een groot aantal karavaanwegen, terwijl Egypte betrekkelijk geïsoleerd lag. Bovendien eiste het in bedwang houden van de onberekenbare Tigris en Eufraat meer technische kennis en bestuursbekwaamheid dan het in bedwang houden van de Nijl, de rivier die wel de ‘most gentlemanly of all rivers’, de rivier met de beste manieren, is genoemd (Sir William Willcocks).1 We zouden in het geheel niet verbaasd zijn als b.v. verdere studie van de oudste wiskunde der Hindoes merkwaardige resultaten zou opleveren, al hebben wij daarvan tot nu toe geen overtuigend bewijs gezien.

Wij putten onze kennis van de oud-Egyptische wiskunde voornamelijk uit twee mathematische papyri: allereerst uit de reeds vermelde Papyrus Rhind, die 84 opgaven bevat, en ten tweede uit de zgn. Moskouse Papyrus, die misschien twee eeuwen ouder is, en 25 opgaven heeft. Deze problemen waren al oude kost toen die papyri werden geschreven, doch er zijn papyri gevonden die van veel later, zelfs uit de tijd der Romeinen en Byzantijnen stammen, en die dezelfde methoden gebruiken. Deze methoden zijn gebaseerd op een tientallig getallenstelsel waarin iedere hoge eenheid, 1, 10, 100, 1000 enz. door een apart symbool wordt aangeduid. Aan zo'n systeem zijn wij gewend door de Romeinse schrijfwijze, want daar wordt b.v. 1878 uitgedrukt door MDCCCLXXVIII. Deze notatie is in wezen additief, omdat b.v. DC betekent dat men D = 500 bij C = 100 moet optellen, en zo was ook de Egyptische rekenkunde sterk additief ingesteld. Dit betekent in de eerste plaats dat vermenigvuldiging tot herhaalde optelling werd teruggebracht. Zo werd, bijvoorbeeld, een getal met 13 vermenigvuldigd door het eerst te verdubbelen, dan het resultaat nogmaals, en dit nogmaals te verdubbelen, en de som van de laatste twee uitkomsten bij het oorspronkelijke getal op te tellen.

1 W. Willcocks, Irrigation of Mesopotamia, 2e ed. (Londen, 1917) p. XI.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 32

Voorbeeld van de /1 11 berekening 13 × 11: 2 22 /4 44 /8 88

De met een streepje / aangegeven nummers worden opgeteld, hetgeen 11 + 44 + 88 = 143 geeft. Deling van 143 door 11 gaat analoog.

Het merkwaardigste kenmerk van de Egyptische rekenkunde was de breukrekening. Breuken met (wat wij zouden noemen) teller 1, zgn. stambreuken, werden aangegeven door het getal van de noemer, met een tekentje erboven, dat wij hier door een streepje aanduiden, zodat wij 1/10 als /10 zullen schrijven. Alleen voor ½ en ⅔ bestonden speciale tekens. Alle breuken werden teruggebracht op sommen van stambreuken en hiervoor werden speciale tafels voor de herleiding van breuken van de vorm 2/n tot stambreuken gebruikt. Met het oog op de dyadische vorm van de vermenigvuldiging was dit voldoende om alle breuken tot stambreuken terug te voeren. De Papyrus Rhind bevat zulk een tafel, die voor alle breuken met oneven n van 5 tot 101 een reductie tot stambreuken geeft. Bijvoorbeeld:

n = 5: /3 /15 (dus ⅖ = ⅓ + 1/15) 7: /4 /28 59: /36 /236 /531 97: /56 /679 /776

Het principe dat aan deze speciale herleiding tot stambreuken ten grondslag ligt (b.v. waarom voor n = 19 de herleiding /12, /76, /114 en niet /12, /57, /228) is niet geheel duidelijk en men heeft hiervoor verscheidene theorieën ontwikkeld.1 De eerste breuk is echter altijd zo groot mogelijk, zodat de ontbinding in stambreuken tevens een soort benadering is. De tafel is waarschijnlijk eerst in de loop der eeuwen tot stand gekomen. Maar het rekenen met stambreuken heeft, ondanks het gecompliceerde karakter dat het delen erdoor kreeg, duizenden jaren geduurd; we vinden het niet alleen terug bij de Grieken, ook in de Europese middeleeuwen.

1 O. Neugebauer, Arithmetik und Rechentechnik der Ägypter, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik B I (1931), pp. 301-380; B.L. v.d. Waerden, Die Entstehungsgeschichte der ägyptischen Bruchrechnung, ib 4 (1938), pp. 359-382; K. Vogel, Vorgriechische Mathematik (Hannover, 1958) I, p. 34-45. Vgl. ook E.M. Bruins, Verh. Kon. Akademie v. Wetensch. A 55 (1952).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 33

Vele problemen waren heel eenvoudig en gingen niet verder dan elementaire rekenkunde en een algebra bestaande uit één lineaire vergelijking met één onbekende:

Een grootheid daarbij haar ⅔, haar ½ en haar 1/7, samen opgeteld, geeft 33. Wat is deze grootheid?

Het antwoord, 14 28/97, wordt in stambreuken geschreven: 14 /4 /97 /56 /679 /776 /194 /388, hierbij vormen /56 /679 /776 juist /97 × 2.

Voor de onbekende in een vergelijking werd een hiëroglief ingevoerd, dat ‘hoop’, Eg. hau, betekende. Men spreekt dus wel van de Egyptische algebra als de ‘hau’ rekening. De opgaven behandelen onderwerpen als de sterkte van brood en bier, het voederen van dieren en het bewaren van graan, en laten duidelijk de praktijk zien waaruit deze omslachtige en primitieve algebra is voortgekomen. Soms vindt men een vraagstuk van meer theoretische aard, b.v. dat waarin gevraagd wordt 100 broden onder 5 man zó te verdelen, dat hun aandelen een rekenkundige reeks vormen, en 1/7 van de som van de drie grootste aandelen gelijk is aan de som van de twee kleinste (eerst wordt de reeks 23, 17½, 12, 6½, 1 opgezet, de som hiervan is 60, en wordt deze reeks met 100/60 vermenigvuldigd). In één vraagstuk vinden we zelfs een meetkundige reeks: hier hebben we te doen met 7 huizen, in ieder huis zijn 7 katten, iedere kat bespiedt 7 muizen, enz.1 Enige vraagstukken waren meetkundig en ook gewoonlijk van praktische aard. Verscheidene behandelen het meten van oppervlakken. We denken hier aan het bekende verhaal van Herodotus, dat de Egyptenaren de meetkunde hadden uitgevonden omdat ze gedwongen waren iedere keer na de overstromingen van de Nijl de grenzen van de landerijen opnieuw uit te meten. Het oppervlak

1 Men denkt hier aan het Engelse kinderrijmpje: As I was going to Saint Ives, I met a man with seven wives, Every wife had seven sacks, Every sack hat seven cats, Every cat had seven kits; Kits, cats, sacks and wives, How many were there going to Saint Ives? (vrij vertaald): Ik ging eens naar het eiland Schouwen En zag een man met zeven vrouwen, Elke vrouw had zeven zakken. Elke zak had zeven katten Elke kat had zeven poesjes Poesjes, katten, zakken, vrouwen Hoeveel gingen er naar Schouwen? Men ziet hoe eenzelfde soort vraagstuk door de eeuwen heen bewaard kan blijven.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 34 van een (gelijkbenige) driehoek werd als het halve produkt van basis en hoogte bepaald. Het oppervlak van de cirkel met middellijn d werd uit de formule (d - d/9)2 berekend, hetgeen tot een waarde van π = 256/81 = 3,1605... leidt. Men vindt ook enige recepten voor de bepaling van inhouden, zoals die van de kubus, een blok en een rechte cilinder, alle beschouwd als voorwerpen, b.v. pakhuizen. Het meest belangwekkende resultaat van deze Egyptische inhoudsbepalingen was de uitdrukking voor het volume van een afgeknotte vierkante pyramide V = h/3 (a2 + ab + b2), waar a en b de zijden zijn van de twee vierkanten en h de hoogte is. Dit resultaat dat tot nu toe nog niet in andere antieke wiskundevormen is aangetroffen, is daarom zo merkwaardig omdat er geen aanleiding is te geloven dat de Egyptenaren zelfs maar het theorema van Pythagoras hebben gekend - ondanks het onbevestigde verhaal, dat Egyptische landmeters - zgn. harpedonaptai, touwspanners -rechte hoeken afzetten met een touw waarin 3 + 4 + 5 knopen zaten.1 Maar we moeten niet vergeten dat de bouwers van de paleizen in Luxor en Karnak heel wat praktische meetkunde moeten hebben gekend. We moeten hier overigens wel even waarschuwen tegen allerlei overdrijvingen over de hoge ouderdom en diepte van de wiskundige kennis der Egyptenaren. Men heeft aan de bouwers van de piramiden, die omstreeks 3000 v.C. geleefd hebben, allerlei hogere wetenschappelijke kennis toegeschreven, en men treft nogal eens het verhaal aan dat de Egyptenaren in het jaar 4212 v. C. de zgn. Sothische periode voor de kalenderberekening hebben aangenomen. Zulk nauwkeurig wisen sterrenkundig werk kan moeilijk aan een volk worden toegeschreven, dat zich langzaam uit neolithische verhoudingen ontwikkelt. Vaak komen deze verhalen tot ons doordat de latere Grieken de een of andere Egyptische traditie hebben overgeleverd. Aan oude beschavingen is gemeen dat zij ervan houden aan de grondbeginselen van hun kennis een heel lang bestaan toe te kennen. Wat we aan oorspronkelijke teksten werkelijk bezitten, wijst op een Egyptische wiskunde van beperkte omvang, doch binnen die omvang goed ontwikkeld. Iets dergelijks kan men ook zeggen van de sterrenkunde der Egyptenaren. Doch nu ons respect voor de astronomische kennis van oude volken (zoals Stonehenge) aan het stijgen is, moeten we wel wat voorzichtig zijn met onze oordelen.

1 Vgl. S. Gandz, l.c. p. 7.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 35

De wiskunde van Mesopotamië (of Irak, zouden we nu moeten zeggen) staat op een hoger peil dan de wiskunde van Egypte. We kunnen hier zelfs in de loop der eeuwen vooruitgang ontdekken. Reeds de oudste teksten, die tot de laatste Soemerische periode (de Derde Dynastie van Oer, ca. 2100 v.C.) behoren, vertonen een aanzienlijke bedrijvigheid in het rekenen. Deze teksten bevatten tafels van vermenigvuldiging, waarin een goed ontwikkeld sexagesimaal (zestigtallig) stelsel was geënt op een oorspronkelijk decimaal (tientallig) stelsel. Slechts twee tekens werden gebruikt, het ene stond voor 1, het andere voor 10, en daarmee werden alle getallen gevormd. De manier waarop dit gebeurde, is het meest karakteristieke kenmerk van deze rekenwijze. Waar de Egyptenaren iedere hogere eenheid door een speciaal symbool aanduidden, gebruikten deze Soemeriërs hetzelfde symbool, maar lieten de waarde daarvan door de positie in het getal bepalen. Zo kon het symbool voor 1 door zijn positie zowel 60, 602,... als 60-1, 60-2,... betekenen. Als het symbool voor 1 naast een ander symbool voor 1 stond, had het eerste symbool de waarde zestig, en 11 betekende wat wij door 61 uitdrukken. Een 5, gevolgd door 6, gevolgd door 3 (we zullen dit 5, 6, 3 schrijven) betekende 5 × 602 + 6 × 60 + 3 = 18363 in onze manier van schrijven. Dit sexagesimale positiestelsel, dat dus in beginsel niet verschilt van het stelsel dat wij gebruiken, behalve dan dat wij niet als basis het getal 60, maar het getal 10 hebben (zodat voor ons 563 = 5 × 102 + 6 × 10 + 3), maakt het rekenen veel gemakkelijker dan een stelsel als het Romeinse, iets waarvan men zich licht kan overtuigen door eens in ieder stelsel een vermenigvuldiging te beproeven. Het positiestelsel maakt ook het rekenen met breuken niet moeilijk, zoals we dat weten uit onze praktijk van de decimale breuken. Dit handige sexagesimale stelsel schijnt gegroeid te zijn uit administratieve praktijken. We bezitten althans duizenden teksten van diezelfde periode met verslagen over de aflevering van vee, graan, enz. vergezeld van bijbehorende berekeningen. Zulk een schrijfwijze bracht dubbelzinnigheden mee, aangezien de waarde van ieder symbool niet altijd uit zijn positie duidelijk was. Het getal (5, 6, 3) kan ook wel 5 × 601 + 6 × 600 + 3 × 60-1 = 306 1/20 betekenen, en 11 niet alleen ons 61, maar ook 2 of 1/30. In zulke gevallen moest de waarde van het getal uit de verdere tekst worden afgeleid. Een andere dubbelzinnigheid kon optreden als een open plaats een nul moest voorstellen, zodat (11, 5) misschien 11 × 602 + 5 = 39605 kon betekenen. In de loop der tijden werd op zo'n plaats een bijzonder symbool voor nul geschreven,

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 36 doch dit gebeurde niet vóór de Perzische tijd. De zgn. ‘uitvinding van de nul’ is dus het logische resultaat van het werken met getallen in positiestelsel geschreven, doch deze uitvinding wordt eerst gedaan wanneer er reeds een aanzienlijke bedrevenheid in het rekenen is verkregen. Zowel het zestigtallig stelsel als het positiesysteem is blijvend bezit van de mensheid gebleven. Onze huidige indeling van een uur en een cirkelgraad in 60 minuten en de minuut in 60 seconden komt via de Grieken en de Babyloniërs van de Soemeriërs. Men gelooft wel dat de keuze van het getal 60 in plaats van 10 als eenheid samenhangt met het feit dat 60 vele delers heeft hetgeen in het stelsel van maten en gewichten een zekere eenheid kon brengen, en bovendien het delen eenvoudiger maakt. De vroege geschiedenis van het positiesysteem, waarvan de blijvende betekenis wel met die van het alfabet is vergeleken1 - omdat bij beide uitvindingen een ingewikkeld stelsel van symbolen vervangen werd door een stelsel dat gemakkelijk te begrijpen is - blijft nog steeds in tamelijk duister gehuld. We kunnen met vrij grote zekerheid vaststellen dat zowel de Hindoes als de Grieken ermee in aanraking kwamen langs de karavaanwegen door Babylon. We weten ook dat Mohammedaanse geleerden later het decimale positiestelsel als een Indische uitvinding beschreven. Wat de mogelijke rol van China, dat reeds vroeg een decimaal positiestelsel bezat, hierbij is geweest, is nog niet duidelijk. Het is niet onmogelijk, dat de Chinese zowel als de Babylonische traditie de gehele verdere ontwikkeling van het positiestelsel heeft beïnvloed.

De volgende groep van spijkerschrift-teksten behoort tot de periode van de eerste Babylonische dynastie, waartoe koning Hammurabi behoorde (1950 v. C.) en waaronder een Semitisch volk de oorspronkelijke bewoners, de Soemeriërs, had overwonnen. In deze teksten vinden we de rekenkunde voortgezet in een ontwikkelde algebra. Terwijl de Egyptenaren in deze periode slechts in staat waren eenvoudige lineaire vergelijkingen op te lossen, waren de Babyloniërs uit de tijd van Hammurabi in het volle bezit van de oplossing van vierkantsvergelijkingen (natuurlijk alleen voor positieve wortels). Ook losten zij lineaire en kwadratische vergelijkingen met twee veranderlijken op, en zelfs vraagstukken waarin derde- en vierdegraadsvergelijkingen optraden. Zij formuleerden zul-

1 O. Neugebauer, The History of Ancient Astronomy, Journal of Near Eastern Studies 4 (1945) 12.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 37 ke vraagstukken slechts met bepaalde getallenwaarden als coëfficiënten, maar hun methode laat geen twijfel bestaan, dat ze een algemeen oplossingsschema hadden. Het volgende voorbeeld vindt men op een kleitafeltje uit die tijd. We geven het met de getallen (als in de oorspronkelijke tekst) sexagesimaal uitgedrukt.

‘Ik heb het oppervlak van twee vierkanten gesommeerd, het is (16, 40). De zijde van het ene is ⅔ van de zijde van het andere. Ik heb 10 van de zijde van het kleine vierkant afgetrokken. Wat zijn de zijden van het vierkant?’ Dit leidt tot de vergelijkingen x2 + y2 = (16, 40); y = ⅔x - 10, waarvan de oplossing kan worden teruggebracht tot die van de vierkantsvergelijking

waarvan de oplossing is x = 30, y = 10. In onze notatie, waarin (16, 40) door 1000 wordt weergegeven, wordt deze vergelijking

Voor de oplossing zijn de leden der vergelijking met 5200 te vermenigvuldigen en links het kwadraat te complementeren. Hierbij moet de wortel uit (22,24,26,40) worden getrokken, dit is (36,40). De oplossing in de tekst beperkt zich - zoals altijd in deze Oosterse teksten - eenvoudig tot de opsomming van de stappen, die genomen moeten worden: Neem het vierkant van 10, geeft (1,40), trek (1,40) af van (16,40), geeft (15,0), (1,0)2 = (1,0,0), 402 = (26,40) enz.

Het aritmetisch-algebraïsch karakter van deze Babylonische wiskunde blijkt ook uit de meetkunde. Evenals in Egypte ontstond de meetkunde uit de behoeften van de praktijk, doch de meetkundige vorm van het vraagstuk werd vaak slechts een manier om een algebraïsch praktisch of theoretisch vraagstuk te formuleren. In ons vorige voorbeeld zagen we hoe een vraagstuk omtrent het oppervlak van vierkanten tot een stelsel van twee vergelijkingen voerde, en dat soort vraagstuk is typisch. Uit de teksten blijkt dat de Babylonische meetkundigen van de Semitische periode het oppervlak van eenvoudige rechtlijnige figuren en de inhoud van eenvoudige ruimtefiguren wisten te berekenen. Voor de inhoud van de afgeknotte piramide is de Babylonische formule (nog?) niet gevonden, wel zijn benaderingen bekend. Een benadering voor het oppervlak van een vierhoek met overstaande zijden a,c; b,d was

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 38

Het zgn. theorema van Pythagoras was bekend in volle algemeenheid als een getallenbetrekking tussen de zijden van een rechthoekige driehoek, en we hebben zelfs Pythagoreïsche drietallen uit die tijd, b.v. 120, 119, 169 (d.i. (120)2 + (119)2 = (169)2). Het algemene karakter van deze meetkunde bleef steeds behouden, ook in latere teksten, in het bijzonder die van de derde periode waaruit er een groot aantal aan het licht zijn gekomen, nl. die van de Nieuw-Babylonische, Perzische en Seleucidische rijken (van ca. 600 v. C.-300 n. C.). De teksten van die latere periode tonen de invloed van de Babylonische astronomie, die in die jaren een veel strenger wetenschappelijk karakter verkreeg door het tabelleren en analyseren van de loop van de maan en de planeten. De rekentechniek verscherpte zich, zodat algebraïsche vraagstukken werden opgelost die zelfs nu nog heel wat numerieke vaardigheid vereisen. Sommige berekeningen uit de Seleucidische tijd gaan tot zeventien sexagesimale plaatsen. Zulk ingewikkeld rekenwerk had niet veel meer te maken met de oude vraagstukken over landmeting of over belastingen, maar was beïnvloed door de sterrenkunde of eenvoudig door het feit dat men zulk werk leerzaam en plezierig vond. Al dit rekenen was vaak op het gebruik van tabellen gebaseerd. Men heeft tabletten gevonden, die eenvoudige tafels van vermenigvuldiging, en andere die tweede- en derdegraadswortels bevatten. Eén tafel bevat een lijst van getallen van de vorm n3 + n2, die blijkbaar is gebruikt om kubieke vergelijkingen van de vorm x3 + x2 = a op te lossen. Als benaderingswaarden vinden we voor √2 de waarde (1,25) = 1 5/12 (√2 = 1,4142..., 1 5/12 = 1,4167..)1 en voor 1/√2 (= 0,7071) vindt men 17/24 (= 0,7083). Het schijnt dat vierkantswortels berekend werden volgens een formule die we kunnen schrijven als

(voor A = 2 neme men a = 4/3). Wat de waarde van π betreft, die wordt in de meeste teksten eenvoudig op 3 gezet, de waarde die we ook in de Bijbel aantreffen (II Kron. 4:2). Hier wordt dus het oppervlak van de cirkel gelijk

1 O. Neugebauer, Exact Science in Antiquity. Univ. of Pennsylvania. Bicentennial Conference, Studies in Civilization, Philadelphia 1941, bldz. 13-29.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 39

1/12 het kwadraat van de omtrek genomen. Er zijn echter teksten die tot een waarde π = 3⅛ voeren.1

De vergelijking x3 + x2 = a wordt in een vraagstuk gevonden waarin de oplossing gezocht wordt van het systeem xyz + xy = 1 + ⅙, y = ⅔x, z = 12x. Dit leidt tot (12x)3 + (12x)2 = 252, of (uit de tabel:) 12x = 6.

Er bestaan ook spijkerschriftteksten met vraagstukken over samengestelde interest. Zo wordt berekend hoe lang het zal duren totdat een zekere som geld zich verdubbeld heeft, indien ze tegen 20% samengestelde interest uitstaat. Dit voert tot de vergelijking (1⅕) x = 2, die wordt opgelost door eerst vast te stellen dat x tussen 3 en 4 ligt, waarna het antwoord berekend wordt door lineaire interpolatie. In moderne schrijfwijze:

hetgeen voert tot x = 4 (jaar)minus (2,33,30) maanden. Een van de oorzaken van de ontwikkeling der algebra omstreeks 2000 v. C. is, naar het schijnt, het gebruik van het oude Soemerische schrift door de nieuwe Semitische heersers. Het oude schrift was, zoals de hiërogliefen, een collectie van ideogrammen, waarbij ieder teken een speciaal begrip aanduidde. De Semieten gebruikten ze om hun eigen taal fonetisch weer te geven en namen ook enige tekens in de oude betekenis over. Deze tekens drukten nu begrippen uit, doch werden nu anders uitgesproken. Zulke tekens waren zeer geschikt voor een algebraïsch schrift, evenals onze tekens +, -, enz., die ook ideogrammen zijn. In de administratiescholen van Babylon was deze algebraïsche taal gedurende vele generaties in de leercursus opgenomen, en ondanks alle veranderingen in de taal der heersers - Kassieten, Assyriërs, Meden, Perzen - bleef deze traditie bestaan. Die meer ingewikkelde vraagstukken behoren tot een periode - de Perzische en Seleucidische - waarin Babylon niet langer een politiek centrum was, doch nog steeds het culturele centrum bleef van een groot gebied, waar niet alleen Babyloniërs woonden, doch ook Perzen, Grieken, Joden, Hindoes en vele andere volkeren. In die spijkerschriftteksten kan men door alle eeuwen heen een conti-

1 E.M. Bruins-M. Rutten, Textes mathématiques de Suse (Parijs 1961), bldz. 18.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 40 nuïteit van wetenschappelijke traditie waarnemen, die er op schijnt te wijzen, dat althans in het centrum nooit veel op cultureel gebied veranderde. Men kan wel aannemen, dat deze plaatselijke ontwikkeling ook de invloed ondervond van andere beschavingen, en dat ook deze weer op hun beurt door de Babylonische wetenschap werden beïnvloed. Wij weten dat de Babylonische sterrenkunde van die periode de sterrenkunde van de Grieken aan materiaal heeft geholpen en dat de Babylonische wiskunde op de rekentechniek van andere volken bevruchtend heeft gewerkt. Griekse en Indische wetenschap hebben elkaar wel in de Babylonische geleerdenscholen ontmoet. Maar we weten nog heel weinig van de rol die Perzisch en Seleucidisch Mesopotamië in de verspreiding van de sterrenkunde hebben gespeeld, maar wat we weten wijst er op, dat die rol belangrijk was. De Middeleeuwse Arabische en Indische wetenschap kregen vele hunner ideeën niet alleen uit Alexandrië, doch ook uit Babylon.

Wij vinden nergens in de wiskunde van het Oosten iets dat op een bewijs lijkt. In plaats van gedocumenteerde redeneringen krijgen we alleen bepaalde voorschriften: ‘Doe het nu zó, dan weer zó!’ We weten niet hoe de theorema's en voorschriften zijn gevonden. Hoe b.v. zijn de Babyloniërs aan het theorema van Pythagoras gekomen? Verscheidene pogingen zijn gedaan om aan te tonen, hoe de Egyptenaren en Babyloniërs hun resultaten konden hebben verkregen, maar zulke pogingen blijven hypothesen. Dit schijnt aan ons, die onze wiskunde anders hebben geleerd en de school van Euclides' meetkunde hebben doorlopen, vreemd en hoogst onbevredigend toe. We begrijpen het echter beter, wanneer we bedenken dat heel wat van de wiskunde die we onze technici en ingenieurs doceren, nog steeds voornamelijk uit recepten bestaat, zonder dat veel werk van strenge bewijzen wordt gemaakt. In het middelbaar onderwijs wordt de algebra ook vaak niet als een deductieve wetenschap doch als een stel voorschriften geleerd. Oosterse wiskunde schijnt in de duizenden jaren van haar bestaan zich nooit hebben kunnen losmaken van de invloed der technologische en administratieve problemen waaruit ze is voortgekomen.

In hoeverre hebben de Grieken, Babyloniërs en Chinezen de oude Indische wiskunde beïnvloed? We weten hier weinig van, maar zeker is dat Indische geleerden van latere dagen nadruk hebben gelegd op de hoge ouderdom van hun wiskunde. Men kent evenwel geen wiskundige teksten die met zekerheid in de tijd vóór

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 41 de Christelijke jaartelling teruggaan. De oudste teksten kan men misschien in de eerste eeuwen n. C. plaatsen. Wij weten wel, dat de Hindoes in de oude tijd decimale getallenstelsels zonder positiewaarde gebruikten. Zulk een systeem was b.v. dat van de zgn. Brâhmî-getallen, waarin we speciale symbolen vinden voor de nummers 1, 2, 3,..., 9, 10; 20, 30, 40,..., 100; 200, 300...; 1000; 2000... enz. Deze symbolen gaan op zijn minst terug naar de tijd van Koning Açoka (300 v.C.). Ook bezitten we de zgn. Sūlvasūtras, die gedeeltelijk tot 500 v.C. of nog vroeger teruggaan, en die wiskundige voorschriften bevatten die van oude inheemse oorsprong zijn. Men vindt die voorschriften te midden van religieuze en ritualistische beschouwingen, waaronder er zich een aantal met de bouw van altaren bezighouden. Hier vindt men recepten voor de constructie van vierkanten en rechthoeken, uitdrukkingen voor de betrekking van diagonaal en zijde van het vierkant, en voor die tussen cirkels en vierkanten. In speciale gevallen is het theorema van Pythagoras bekend, en we ontmoeten enige eigenaardige benaderingswaarden met behulp van stambreuken, zoals b.v. (in onze notatie):

Ook π = 18 (3 - 2√2) (= 3,088).

Het is merkwaardig dat deze resultaten niet meer in latere geschriften der Hindoes voorkomen. De continuïteit van de traditie, die zo typisch is voor de Egyptische en Babylonische wiskunde, schijnt in die oude Indische wiskunde te ontbreken, en men kan dit misschien verklaren uit de uitgestrektheid van het Indische subcontinent. Er kunnen op verscheidene ver uiteengelegen plaatsen verschillende mathematische scholen hebben bestaan. Wij weten bijvoorbeeld, dat het Jainisme, dat ongeveer even oud is als het Boeddhisme (ca. 500 v. Chr.) de studie der wiskunde aanmoedigde. In heilige boeken van deze godsdienst vinden we b.v. de waarde π = √10.1

1 B. Datta, The Jaina School of Mathematics, Bulletin Calcutta Mathem. Society 21 (1929) 115-146.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 42

De studie van de oud-Chinese wiskunde wordt, evenals die van het oude Indië, bemoeilijkt door de schaarste van vertalingen, zodat we op tweedehands informatie aangewezen zijn, zolang we geen Chinees of Sanskriet kennen. Gelukkig kunnen we in de boeken van Mikami en Needham, die in het Engels zijn geschreven, een goede oriëntatie in de oud-Chinese wiskunde verkrijgen, en er komen nu ook geregeld artikelen over speciale Chinese teksten in vertalingen uit, vooral in het Engels en het Russisch. Wij hebben b.v. een Russische en een Duitse vertaling van de klassieke tekst Jiu zhang suan-shu (Chiu Chang Suan Ching), de ‘Negen Hoofdstukken over de kunst der wiskunde’.1 Dit boek is wel de oudst bewaarde Chinese leercursus in de wiskunde, en in de vorm waarin wij het thans hebben, dateert het van de tijd der Han-dynastie (202 v. C.-220 n. C.), doch kan veel ouder materiaal bevatten. Ditzelfde geldt voor een ander boek, de Zhou bei (‘Chou Pei’), doch dit is slechts gedeeltelijk wiskundig. Die ‘Zhou Pei’ is echter interessant, omdat het het theorema van Pythagoras bespreekt. De ‘Negen Hoofdstukken’ zijn daarentegen geheel wiskundig en ook daarom van belang, omdat ze al reeds geheel het karakter dragen, dat de Chinese wiskunde door de eeuwen heen tot de zeventiende eeuw heeft behouden. Zeer oud zijn ook zekere diagrammen uit boeken van de Han-periode, zoals de Yi-jing (I-ching, Boek der Veranderingen). Hiertoe behoort het legendarische toverkwadraat (Lo Shu):

4 9 2 3 5 7 8 1 6

De Chinezen hebben steeds decimaal gerekend, en reeds in het tweede millennium v. C. vinden we getallen die door negen symbolen in positie werden uitgedrukt. Deze schrijfwijze moet in de Han-periode of reeds eerder ingeburgerd zijn geraakt. De negen symbolen werden door bamboestaafjes in verschillende orde aangegeven, zo betekende ⊥ ⊤⊤ = ⊤⊤⊤⊤ het getal 6729, en dit was ook de manier waarop het getal werd geschreven. De elementaire rekenoperaties werden uitgevoerd op rekenborden, waarbij lege plaatsen de nul aangaven (eerst in de 13e eeuw n. C. vinden we een

1 We gebruiken hier de zgn. Pinyin-romanisatie, in 1956 ingevoerd en nu algemeen in gebruik, zodat bijv. Beijing nu staat voor het oude Peking. De oudere spelling is tussen haakjes bijgehouden. De Pinyin-transliteratie heb ik aan Dr. Raymond Lam van de Harvard Bibliotheek te danken.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 43 eigen symbool voor nul, 0, doch dit kan best veel ouder zijn). Bij de berekening van de kalender werd een soort sexagesimaalsysteem gebruikt, dat men vergelijken kan met een combinatie van twee met elkaar verbonden tandraderen, het ene met 12, het andere met 10 tanden. Op die manier ontstond 60 als een hogere eenheid, een ‘cyclus’. (Men denke aan Tennyson's ‘Locksley Hall’: better fifty years of Europe than a cycle of Cathay).1 De wiskundige inhoud van de ‘Negen Hoofdstukken’ bestaat voornamelijk uit vraagstukken en algemene recepten voor de oplossing. Deze vraagstukken hebben hun oorsprong in de praktijk, maar gaan er vaak bovenuit. Vierkants- en derdemachtswortels worden berekend, zo wordt b.v. 751½ als vierkantswortel uit 564752¼ gevonden. In berekeningen met de cirkel werd π = 3 aangenomen. Heel wat vraagstukken leiden naar algebraïsche vergelijkingen, zoals die worteltrekking die tot de vergelijkingen x2 - a = 0, x3 - b = 0 voert. Interessant zijn de systemen van lineaire vergelijkingen, b.v.

3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 die geschreven werden met behulp van de ‘matrix’ van de coëfficiënten. De oplossing werd aangegeven in een vorm die we thans een ‘matrixtransformatie’ zouden noemen. In zulke matrices komen ook negatieve getallen voor, voor de eerste keer in de geschiedenis van de wiskunde. Bij de Chinese wiskunde doet zich het ongewone geval voor, dat een wiskundige traditie van de Oudheid tot bijna de huidige dag zonder onderbreking zich heeft gehandhaafd, zodat men haar ontwikkeling en maatschappelijke rol beter kan bestuderen dan dit het geval is met de wiskunde van Egypte en Babylonië (of der Maya's in Amerika), die tot ondergegane beschavingen behoren. Zo weet men b.v. dat kandidaten voor staatsposities een nauwkeurige kennis van een aantal klassieke werken moesten bezitten, en bij het examen werd nadruk gelegd op geheugenwerk. Zo kon de traditionele theorie onveranderd van generatie tot generatie overgeleverd worden. Zulk een praktijk werkt stagnerend, en maakt

1 ‘Beter vijftig jaren van Europa dan een cyclus van Cathay’ - Cathay is een literaire naam voor China, sinds Marco Polo's tijd (13e eeuw) in gebruik.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 44 uitvindingen en ontdekkingen moeilijk, ofschoon de traditie gehandhaafd blijft. Grote historische catastrofen konden soms het doorwerken van de traditie verhinderen of vertragen. We hebben een dergelijke toestand ook in Indië aangetroffen, waar we zelfs wiskundige teksten hebben die in stanza's zijn geschreven om het uit het hoofd leren te vergemakkelijken. Misschien is de wiskundige praktijk van de oude Egyptenaren en Babyloniërs niet veel anders geweest. De verstening van de wiskunde kon slechts voorkomen worden door het ontstaan van een geheel nieuwe beschaving. Die kwam dan ook werkelijk. In de Griekse wereld, met zijn geheel andere levenshouding, werd de wiskunde op een nieuw en hoger wetenschappelijk standpunt verheven.

Literatuur

The Rhind Mathematical Papyrus, uitgeg. door T.E. Peet (Londen, 1923). The Rhind Mathematical Papyrus, uitgeg. door A.B. Chace, L. Bull, H.P. Manning en R.C. Archibald (2 dln. Oberlin, Ohio, 1927-29). Dit boek heeft een uitgebreide bibliografie van de Egyptische en Babylonische wiskunde. Een andere bibliografie, voornamelijk over antieke astronomie, in het geciteerde boek van Neugebauer, p. 18. Mathematischer Papyrus des staatlichen Museums der schönen Künste in Moskou, uitgeg. door W.W. Struve en B.A. Turajeff (Berlijn 1930). O. Neugebauer, Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften I. Vorgriechische Mathematik (Berlijn 1934). O. Neugebauer, Mathematische Keilschrift-Texte (3 dln. Berlijn, 1935-37). O. Neugebauer, The exact Sciences in Antiquity (Princeton, 1952, 2e uitg. 1957, Dover uitg., 1969, zie ook E.M. Bruins, Janus 17 (1958) 68-72. O. Neugebauer-A. Sachs, Mathematical Cuneiform Texts (New Haven, 1945). E.M. Bruins-M. Rutten, Textes mathématiques de Suse (Paris, 1961). F. Thureau-Dangin, Sketch of a History of the sexagesimal System, Osiris 7 (1939) 95-141. F. Thureau-Dangin, Textes mathématiques babyloniens (Leiden, 1938).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 45

R.J. Gillins, Mathematics in the Time of the Pharaos (Cambridge, Mass., 1972, Dover reprint 1982). Zie H.M. 4 (1977) 445-452. Tussen de hierboven genoemde geleerden bestaan zekere meningsverschillen omtrent de zin van zekere babylonische teksten. Zie daarbij ook S. Gandz, Conflicting interpretations of Babylonian Mathematics, Isis 31 (1940) 405-425. Een overzicht over de vóór-Griekse wiskunde vindt men ook in R.C. Archibald, Mathematics before the Greeks, Science 71 (1930) 109-121, 342; zie ook ib. 72 (1930) 36. D.E. Smith, Algebra of 4000 years ago, Scripta mathematica 4 (1936) 111-125. K. Vogel, Vorgriechische Mathematik (2 dln. Hannover, Paderborn, 1958, 1959). Een uitstekende beschrijving door een vooraanstaande autoriteit. De verschillende delen van het Bulletin of the Calcutta Mathematical Society bevatten vele artikelen over de oude Indische wiskunde.

Bovendien:

B. Datta-A.N. Singh, History of Hindu Mathematics (2 dln. Lahore, 1935-38). Zie ook bespreking door O. Neugebauer in Quellen und Studien 3 B (1936) 263-271. L.v. Gurjar, Ancient Indian Mathematics (Poona 1947, zie ook Mathem. Reviews 9, blz. 73). G.R. Kaye, Indian Mathematics, Isis 2 (1919) 326-356. A. Seidenberg, The ritual origin of geometry, Archives for Hist. Exact Sciences (1962) 408-527. C. Müller, Die Mathematik der Sulvasūtra, Abh. mathem. Sem. Hamburg 7 (1929) 173-207.

Over de Chinees-Japanse wiskunde:

Y. Mikami, The Development of Mathematics in China and Japan (Leipzig 1913, herdruk New York 1961). Y. Mikami, On the Japanese theory of determinants, Isis 2 (1914) 9-36, zie ook ib. 4 (1921-22) 70-77. Y. Mikami, Mathematical papers from the far East. Abh. zur Gesch. d. mathem. Wiss. 28 (Leipzig-Berlin, 1910). J. Needham (with the collaboration of Wang Ling), Science and civilization in China III (Cambridge, 1959). T. Hayashi, Brief History of Japanese Mathematics, Nieuw Archief v. Wiskunde, 2e ser., 6 (1905) 296-361, 7 (1907), 105-161. Zie ook ib. 9 (1911) 370-372, 373-386 (Y. Mikami).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 46

E L. van Hée, Le classique de l'ile maritime, ouvrage chinois du III siècle. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik B, Studien 2 (1932) 255-280.

In het Russisch:

E.I. Berezkina, De oudchinese verhandeling: ‘Wiskunde in negen boeken’, Istor. Matem. Issled. (Moskou) 10 (1957) 423-584. Duitse vertaling: Neun Bücher arithmetischer Technik, übersetzt und erläutert von K. Vogel. Ostwalds Klassiken, Neue Folge 4 (Brunswijk, 1968).

R. Wilhelm, ‘I Ging’ [I Ching] Das Buch der Wandlungen, 2 delen, Jena 1924. Engelse vertaling van C.F. Baynes, New York, 1950.

Over de structuur van de Oosterse maatschappij:

J. Needham: Science and Society in East and West, Science and Society 28 (1964) 385-408. Zie ook bldz. 127-149 van The Science of Science, ed. M. Goldsmith and A. Mackay, Londen, 1964. K.A. Wittfogel, Die Theorie der orientalischen Gesellschaft, Zeitschrift für Sozialforschung 7 (1938) 90-122. Ook Le mode de production asiatique, La Pensée 114 (1964) 3-78.

Verder nog:

B.L. van der Waerden, Ontwakende wetenschap, Groningen, 1950. Vol. XV, supplement I van DSB, New York 1978, heeft op blz. 531-818 ‘Topical Essays’ artikelen over wisen sterrenkunde en wetenschap in 't algemeen, in Indië, Mesopotamië, Egypte, Japan en de Maya's. B.L. van der Waerden, On Pre-Babylonian Mathematics, AHES 23 (1980) 1-26, 27-46. Zie ook A. Seidenberg, AHES 18 (1978) 301-342.

Zie verder de literatuurlijst na Hoofdstuk IV.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 47

III. Griekenland

Gedurende de laatste eeuwen van het tweede millennium v.C. hadden grote economische en politieke verschuivingen plaats in het gebied rondom de Middellandse Zee. In een woelige en ongetwijfeld vaak gewelddadige atmosfeer werd het Bronzen Tijdvak naar het verleden geschoven en vervangen door het IJzeren, het tijdvak waarin we nog heden verondersteld worden te leven. Over deze periode zijn maar weinig bijzonderheden bekend, maar het is de tijd van saga's, de tijd der Homerische liederen, de tijd van Mozes. Tegen het einde van deze periode van volksverhuizingen en oorlogen, misschien omstreeks 900 v.C., blijken de rijken der Minoërs (Kreta), der Myceners en der Hittieten (N. Klein Azië) verdwenen en de macht van Egypte en Babylonië sterk verminderd te zijn. Nieuwe volkeren verschijnen nu op het wereldtoneel op de plaats waar wij ze historisch kennen, volkeren als de Israëlieten, de Foeniciërs, de Assyriërs en de Hellenen of Grieken. Deze vervanging van brons door ijzer voor werktuigen voor dagelijks gebruik veranderde niet alleen de kunst van het oorlog voeren, doch ook het hele economische en politieke leven. Het gebruik van werktuigen werd goedkoper, gemakkelijker en meer doeltreffend, zodat het sociale surplus groter werd, wat weer handel en nijverheid bevorderde en de belangstelling van bredere kringen dan een eng verbonden bureaucratie in politieke, economische en ook technisch-wetenschappelijke vragen vergrootte. Twee grote uitvindingen illustreren deze veranderingen: die van het alfabet en die van het geld. Het alfabet verving de onhandige schrijfwijze die in de oudere periode gebruikelijk was, wat het lezen en schrijven vergemakkelijkte, ook voor niet-geleerden. De invoering van het gemunte geld bracht grote veranderingen in het oude ruilverkeer, wat de handel en ook de belangstelling in het rekenen en in de aardrijkskunde bevorderde. De tijd was aangebroken waarin de beschaving niet zonder meer het uitsluitend bezit van een beambtendom kon blijven. Aanvankelijk brachten de aanvallen van de ‘zeerovers’, zoals sommige dezer trekkende volkeren in de Egyptische teksten worden genoemd, meer culturele verliezen dan winsten. De Minoïsche beschaving op Kreta verdween, de kunst van Egypte ging achter-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 48 uit, Babylonische en Egyptische wetenschap stagneerden eeuwen lang. Wij kennen geen wiskundige teksten uit deze overgangsperiode. Toen na eeuwen het leven der volkeren wat stabieler werd, herstelden sommige rijken van het Oude Oosten zich weer, min of meer in traditionele banen. Maar nu was het toneel geopend voor een geheel nieuwe vorm van beschaving, die van de Grieken. De steden die langs de kust van Klein Azië, van Zuid-Italië en in het eigenlijke Griekenland ontstonden, waren in hoofdzaak niet langer administratieve centra van een irrigatie-economie. Zij waren in de eerste plaats handelscentra, waarin de feodale heren van de oude stempel hadden te strijden met een onafhankelijke, politiek zelfbewuste klasse van kooplieden; een strijd die ze op den duur moesten verliezen. Deze koopliedenklasse werd gedurende de zevende en zesde eeuw v. C. steeds machtiger, maar had nu zelf te kampen met de kleinere handelaren en ambachtslieden, de demos. Zo ontstond de Griekse polis, de zichzelf besturende stadstaat, een nieuw maatschappelijk experiment, verschillend niet alleen van steden zoals Thebe of Babylon, doch ook van vroegere stadstaten als we in Soemerië en andere Aziatische landen hebben aangetroffen. Tot de meest belangrijke Griekse stadstaten behoorden Milete en andere steden in Ionië aan de Klein-Aziatische kust van de Middellandse Zee, wier handel zich uitstrekte tot de kusten van de gehele Middellandse en Zwarte Zee, tot Mesopotamië, Egypte, Scythië (het tegenwoordige Z. Rusland) en nog verder verwijderde landen. Er waren ook steden aan andere kusten die in aanzien en rijkdom de Ionische evenaarden, b.v. Corinthe en later Athene in het eigenlijke Griekenland, Croton en Taras (Tarente) in Zuid-Italië, Syracuse op Sicilië. Deze nieuwe maatschappelijke orde bracht een nieuw soort mensen voort. De koopman-vaarder en reiziger had zelden zo veel onafhankelijkheid gekend, maar hij wist ook dat deze onafhankelijkheid alleen door constante en harde strijd verkregen en behouden kon worden. In zijn gedachtenwereld was weinig ruimte voor het statische, het behoudende, dat zoveel in het Oosten kenmerkt. Hij leefde in een tijdperk van aardrijkskundige ontdekkingen dat enigszins doet denken aan dat van het zestiende-eeuwse Europa; hij erkende noch absolute monarchie noch enige andere macht geworteld in een statische Godheid. Bovendien kon hij zich tijd gunnen voor verpozing en tot nadenken: het gevolg van rijkdom en althans gedeeltelijk, van slavernij. Hij kon over die nieuwe wereld filosoferen, wat, in de afwezigheid van een diep gewortelde godsdienst, vaak de bewoners van deze kuststeden tot de een of andere

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 49 vorm van mysticisme leidde, doch anderzijds ook juist tot de tegenpool van zulk mysticisme: een groeiend rationalisme en een wetenschappelijke wereldbeschouwing.

In deze geestelijke atmosfeer van het Ionische rationalisme werd een nieuw soort wiskunde geboren, een wiskunde die niet alleen de Oosterse vraag ‘hoe?’, doch ook de hogere wetenschappelijke vraag ‘waarom?’ stelde. We zouden dit het ontstaan van de moderne wiskunde kunnen noemen. De vader van deze nieuwe, deze Griekse, wiskunde is volgens de overlevering Thales van Milete, een koopman uit de eerste helft van de zesde eeuw, die geld en wijsheid had verkregen in verre landen zoals Babylon en Egypte. Zelfs zo men zijn figuur meer legendarisch dan historisch ziet, behoudt ze betekenis omdat ze iets zeer reëels belichaamt. Thales symboliseert de omstandigheden waaronder niet alleen de moderne wiskunde, doch ook onze gehele moderne wetenschap en wijsbegeerte in het leven kwamen. De vroege Griekse studie der wiskunde had als voornaamste doel de plaats van de mens in het heelal op redelijke wijze te begrijpen. De wiskunde leende daarbij haar hand door orde in de chaos te scheppen, gedachten in logische ketenen te leggen, en dus het vinden van grondbeginselen te vergemakkelijken. Wiskunde is van alle wetenschappen het meest op het redenerende verstand ingesteld, en ofschoon er weinig twijfel bestaat dat de Griekse kooplieden op hun handelswegen ook de Oosterse wiskunde leerden kennen, we kunnen ook begrijpen dat zij ontdekten dat de rationalisatie van de wiskunde nog grotendeels ongedaan was gebleven. Waarom had de gelijkbenige driehoek twee gelijke hoeken? Waarom was het oppervlak van een driehoek gelijk aan dat van de halve rechthoek met gelijke basis en hoogte? Zulke vragen kwamen op natuurlijke wijze op bij mannen en vrouwen die gelijksoortige kwesties stelden in de kosmologie, biologie, natuurkunde en staatsbestuur. Er bestaan geen bronnen waaruit we de vroege ontwikkeling der Griekse wiskunde uit de eerste hand kunnen bestuderen en na kunnen gaan hoe beslissend het contact met de oude beschavingen van Egypte en Babylonië is geweest. De bestaande wiskundige codices dateren uit Christelijke en Arábische tijden, en we hebben ook enige Egyptische papyri met fragmenten die wat ouder zijn. Uit dit materiaal hebben geleerden, thuis in klassieke talen en in de wiskunde, uitstekende teksten kunnen construeren. De vroegste van deze teksten, voor zover ze geen verspreide aanhalingen, doch

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 50 volledige geschriften zijn, gaan terug tot de vierde eeuw v. C. en niet verder. Op die manier bezitten we nu betrouwbare uitgaven van Euklides, Archimedes, Apollonios en andere grote wiskundigen van de Oudheid. Maar deze geschriften vertegenwoordigen een reeds geheel volwassen wiskunde, waarvan het moeilijk is de historische wortels uit te graven, zelfs met behulp van wat latere commentatoren aan gegevens hebben nagelaten. Om iets van de formatieve periode van de Griekse wiskunde te leren moeten we ons dus tot fragmenten beperken, overgeleverd door latere schrijvers of op verspreide opmerkingen bij wijsgeren en andere niet strikt wiskundige schrijvers. Toch hebben scherpzinnige tekstcritici uit dit materiaal vele duistere punten kunnen ophelderen en ons zo een beeld kunnen geven van de vroegste ontwikkeling van de Griekse wiskunde. We denken hier aan het werk van Paul Tannery, T.L. Heath, H.G. Zeuthen, E. Frank en anderen, die het ons mogelijk hebben gemaakt een samenhangend, zij het vaak hypothetisch beeld van deze periode te schetsen.

Op de ruïnes van het Assyrische Rijk ontstond in de zesde eeuw v. C. een nieuwe macht: het Perzische Rijk der Achaemenieden. Het veroverde de Anatolische steden, doch de maatschappelijke structuur van het eigenlijke Griekenland was alreeds te hecht om ontworteld te worden. De Perzische aanval werd afgeslagen in de beroemde slagen van Marathon, Salamis en Plataeae (490-479). Een belangrijk resultaat van deze overwinningen was de uitbreiding en de hegemonie van de macht van Athene. Onder Perikles, in de tweede helft van de vijfde eeuw, kregen de democratische elementen steeds meer invloed. Zij waren het die achter de militaire en economische expansie stonden, die het Athene van ca. 430 v. C. niet alleen tot de leidende macht van een Grieks Rijk, doch ook tot het middelpunt van een nieuwe en ondanks het bestaan van slavernij toch bewonderenswaardige beschaving maakte. Hier, temidden van het gewoel der maatschappelijke en politieke twisten, bewogen zich leraars en wijsgeren die hun theorieën verkondigden, en met die theorieën ook de nieuwe wiskunde. Voor het eerst in de geschiedenis hield zich een groep kritisch ingestelde mannen en vrouwen, minder dan ooit voorheen door traditie belemmerd, met wiskundige vraagstukken bezig ter wille van het zuivere begrip, en niet uit directe of indirecte nuttigheidsoverwegingen. Men noemt die kritisch ingestelde leraars vaak ‘sofisten’, een woord dat van ‘sofia’, wijsheid, afkomstig is en dus oorspronkelijk niet ‘drogredenaars’ betekent, al schenen zij die naam

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 51 wel eens door hun paradoxen te verdienen. Van die discussies der sofisten, die tot aan de wortel van het exacte denken reikten, is maar weinig bewaard, al kunnen wij er in de dialogen van Plato wel een indruk van krijgen. Wat de wiskunde betreft bezitten wij slechts één samenhangend fragment uit deze tijd, en dit is geschreven door de Ionische filosoof Hippokrates van Chios (ca. 440). Dit fragment toont al reeds een grote beheersing van de wiskundige redeneerwijze en behandelt, op karakteristieke wijze, een merkwaardig ‘onpraktisch’, doch theoretisch belangrijk onderwerp, de zgn. ‘lunulae’ of maantjes begrensd door twee of drie cirkelbogen. Dit onderwerp - zekere oppervlakken begrensd door cirkelbogen te vinden die rationaal kunnen worden uitgedrukt in hun middellijnen - hangt direct samen met het vraagstuk van de cirkelkwadratuur, een kernkwestie in de Griekse wiskunde. In de bespreking van zijn maantjes1 toont Hippokrates dat de wiskundigen van Griekenlands Gouden Eeuw reeds een stelselmatig geordende vlakke meetkunde hadden, waarin het beginsel, door logische gevolgtrekkingen van de ene stelling tot de andere (‘apagoge’) te komen, volledig was geaccepteerd. Men had al een soort axiomatiek, zoals men kan opmaken uit de naam van een boek dat op naam van Hippokrates staat, en dat Elementen (‘Stoicheia’) heet, en dus de naam heeft van alle Griekse axiomatische verhandelingen, ook die van Euklides. Hippokrates onderzocht de oppervlakken van vlakke figuren begrensd door lijnsegmenten of cirkelbogen. Hij leert dat de oppervlakken van gelijkvormige cirkelsegmenten zich verhouden als de kwadraten op hun koorden beschreven. Hij kent het theorema van Pythagoras en de corresponderende ongelijkheid voor niet-rechthoekige driehoeken. Het gehele fragment zouden we haast ‘in de Euklidische traditie’ willen noemen, maar het is meer dan een eeuw ouder dan Euklides. Het vraagstuk van de cirkelkwadratuur is een van de zgn. ‘drie beroemde wiskundige vraagstukken van de Oudheid’. Deze begonnen in de tijd van Hippokrates een onderwerp van studie te worden. Deze vraagstukken waren:

1 Een moderne onderzoeking van zulke maantjes door E. Landau, Über quadrierbare Kreisbogenzweiecke, Berichte Berliner Mathem. Gesellsch. 2 (1903) 1-6. Zie ook T. Dantzig, The Bequest of the Greeks (New York, 1955), Hoofdstuk 10, en DSB VI (1972) 411-416, zowel als C.J. Scriba, Welche Kreismonde sind elementar quadrierbar?, Mitt. Mathem. Ges. Hamburg 11 (1988) 517-539.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 52

1. De driedeling van de hoek, dwz. de vraag een gegeven hoek in drie gelijke delen te verdelen. 2. De verdubbeling van de kubus, dwz. een kubus te construeren, waarvan de inhoud het dubbele is van de inhoud van een gegeven kubus. 3. De kwadratuur van de cirkel, dwz. een vierkant te construeren, waarvan het oppervlak gelijk is aan dat van een gegeven cirkel.

Het belang van deze vraagstukken ligt daarin, dat ze niet meetkundig kunnen worden opgelost door een eindig aantal rechte lijnen en cirkels te construeren, behalve dan bij benadering, en daardoor dienden zij als een middel om nieuwe wiskundige gebieden aan te boren. De twee eerste problemen werden vaak teruggevoerd tot het vraagstuk twee lijnsegmenten x en y te construeren zo dat, voor gegeven lijnsegmenten a en b, de verhouding bestaat a : x = x : y = y : b (het vraagstuk een lijnsegment x te vinden zo dat a : x = x : b kan met passer en lineaal worden opgelost). Dit leidde weer tot de studie van kegelsneden, van sommige krommen van de derde en hogere graad (b.v. de cissoïde en de conchoïde) of van een transcendente kromme, de kwadratrix. De anekdotische vorm waarin die vraagstukken soms zijn overgeleverd (Delphische orakels, enz.) moet ons hun fundamentele betekenis niet doen vergeten. Het gebeurt wel meer dat zulk een gewichtig probleem met een anekdote of een puzzel is verbonden - wij denken b.v. aan Cardano's gebroken belofte, aan Keplers wijnvaten, aan Newtons appel. Wiskundigen van verschillende perioden, ook hedendaagse wiskundigen, hebben op het verband gewezen dat er bestaat tussen deze Griekse vraagstukken en de moderne leer der vergelijkingen, der algebraische getallen en de groepentheorie.1

Waarschijnlijk buiten de groep der sofisten, die tot op zekere hoogte met de democratische beweging waren verbonden, stond een andere groep van wiskundig geïnteresseerde wijsgeren, die meer tot de aristocratische richting werden aangetrokken. Zij zijn bekend als Pythagoreeërs, zo genaamd naar de min of meer legendarische stichter van de school, Pythagoras, waarvan verhaald wordt dat hij een mysticus, een man van wetenschap en een aristocratische staatsman was. In tegenstelling tot de sofisten, die de

1 Zie b.v. F. Klein, Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie (Leipzig, 1895); F. Enriques, Fragen der Elementarmathematik II (Leipzig, 1907, Italiaanse tekst, Bologne 1906).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 53 werkelijkheid van de verandering leerden - dit was althans het geval met de atomisten, volgelingen van Leukippos en Demokritos - vindt men bij de Pythagoreeërs de nadruk op het onveranderlijke in natuur en gemeenschap. In hun streven de eeuwige wetten van het heelal te onderkennen kwamen zij met religieuze eerbied tot de getallenleer, niet als de Babyloniërs en Egyptenaren, omdat ze behoefte hadden praktisch te rekenen, maar omdat zij in het getal het wezen van het heelal zagen. Dus ontwikkelden zij de theoretische getallenleer, zowel als de (theoretische) meetkunde, de astronomie en de muziekleer, die tezamen het latere ‘quadrivium’ zouden uitmaken. Hun meest bekende leider was Archytas van Taras (Tarente), die omstreeks 400 leefde en in wiens school, zo we de hypothese van E. Frank volgen, het voornaamste van de als ‘Pythagoreïsch’ bekende wiskunde moet zijn ontwikkeld. De getallenleer was niet alleen theoretisch, maar zelfs speculatief, en had weinig gemeen met de Babylonische rekentechniek van diezelfde tijd. Getallen werden in klassen verdeeld, even, oneven, even maal even, oneven maal oneven, ondeelbaar, samengesteld, volkomen; ook waren er vriendschaps-, driehoeks-, vierkants-, vijfhoeksgetallen, enz. In de driehoeksgetallen komt de verbinding tussen meetkunde en rekenkunde, zoals de Pythagoreeërs die zagen, duidelijk aan het licht:

enz. Evenzo hadden de Pythagoreeërs vierkantsgetallen

enz. die wij nog zo noemen (Grieks: tetragona, Lat.: quadrati), en ook vijfhoeks-, en viervlaksgetallen. De figuren zelf zijn vaak veel ouder, en sommige ervan kunnen wij op aardewerk uit de Nieuwe Steentijd zien. De Pythagoreeërs bestudeerden de eigenschappen van zulke polygonale en piramidale getallen, voegden er

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 54 hun soort getallenmystiek aan toe, en gaven hun een wezenlijke rol in hun kosmische filosofie, waarin zij trachtten alle betrekkingen tot getallenbetrekkingen te herleiden (‘alles is getal’). Een punt was ‘eenheid in positie’. Nadruk werd gelegd op de verhouding van getallen (‘logos’, Lat. ‘ratio’). Zo kenden zij een rekenkundige (2b = a + c), een meetkundige (b2 = ac) en een harmonische (2/b; = 1/a; + 1/c;) verhouding, die ze ook wijsgerig en maatschappelijk interpreteerden. De Pythagoreeërs kenden sommige eigenschappen van regelmatige veelhoeken en veelvlakken. Zij toonden aan hoe het vlak kan worden gevuld met mozaïeken van regelmatige driehoeken of zeshoeken, en de ruimte met kubussen, waaraan Aristoteles later ten onrechte de regelmatige viervlakken toevoegde.1 De Pythagoreeërs hebben waarschijnlijk ook de andere regelmatige veelvlakken gekend. De kennis van het twaalfvlak kunnen zij verkregen hebben doordat pyriet in regelmatige twaalfvlakken kristalliseert. Pyriet wordt in Italië aangetroffen, en was een voorwerp van belangstelling in een periode waarin het ijzer regelmatig verwerkt begon te worden. We vinden reeds bij de Etrusken modellen van regelmatige dodekahedra als sieraden of misschien als magische symbolen.2 Wat het theorema van Pythagoras betreft, de ontdekking hiervan werd door de Pythagoreeërs aan hun Meester zelve toegeschreven, die volgens een (laat) verhaal in dankbaarheid aan de goden een honderdtal ossen (een ‘hekatombe’) zou hebben geofferd - een eigenaardige handeling voor een man die zijn school in strikt vegetarisme moet hebben opgevoed. Wij hebben gezien dat het theorema al reeds in Hammurabi's Babylon bekend was als een getallenbetrekking, doch Pythagoras of een zijner leerlingen kan best het eerste bewijs uit axioma's hebben gegeven. Voor hen was het theorema een meetkundige betrekking tussen oppervlakken. Een der meest belangrijke ontdekkingen, die aan de Pythagoreeërs wordt toegeschreven, is die van de onderling onmeetbare Iijnsegmenten. Deze ontdekking van het irrationale is wellicht het

1 D.J. Struik, Het Probleem ‘de impletione loci’. Nieuw Archief v. Wiskunde 15 (1925), 121-137. Zie hiertoe: M. Senechal, Which Tetrahedra fill Space?, Mathematics Magazine 54 (1981) 227-243. 2 F. Lindemann, Sitzungsber. Bayer, Akad. Wiss. München 26 (1897) 625-768; ook 1934, 265-275.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 55 resultaat geweest van hun studie van de meetkundige verhouding a : b = b : c, die ook als een symbool van de aristocratie diende. Wat nu was de meetkundig evenredige tussen 1 en 2, twee gewijde symbolen? Deze vraag kwam ook op bij de vraag naar de verhouding van diagonaal en zijde van het vierkant. De Pythagoreeërs ontdekten dat deze verhouding niet kon worden uitgedrukt in wat zij ‘getallen’ (arithmoi) noemden, dat is, in wat wij met de naam rationale (dus gehele of gebroken) getallen aanduiden. In andere woorden, wat wij als √2 schrijven, kan niet als breuk worden uitgedrukt. Dit kan men met Aristoteles als volgt inzien. Veronderstel dat deze verhouding p : q was, waarbij we de getallen p en q als onderling ondeelbaar kunnen aannemen. Dan moet p2 = 2q2 zijn, dus p2 en daarom ook p moet even zijn, b.v. p = 2r. Dan moet q oneven zijn. Maar q2 = 2r2, waaruit volgen zou dat q even is. Deze tegenspraak werd niet, zoals in het Oosten of in het Europa van de renaissance, opgelost door het getalbegrip te generaliseren, doch door de getallentheorie voor zulke gevallen opzij te schuiven en een nieuwe synthese in de meetkunde te zoeken. Deze ontdekking, die de eenvoudige harmonie tussen de meetkunde en de getallenleer verstoorde, werd vermoedelijk gedurende de laatste tientallen jaren van de vijfde eeuw v. C. gemaakt. Uit die tijd dateert nog een andere moeilijkheid, voortgekomen uit de debatten over de werkelijkheid van de verandering, debatten die toen zowel als later de wijsgeren hebben beziggehouden. De moeilijkheid in kwestie wordt toegeschreven aan Zeno van Elea (ca. 450 v. C.), een leerling van Parmenides, een conservatief filosoof die leerde dat de rede alleen het absolute wezen erkent en dat verandering slechts schijnbaar is. Deze wijsgerige wijze van argumenteren kreeg een wiskundige betekenis toen het bleek dat men oneindige processen moest beschouwen, zoals b.v. bij de bepaling van de inhoud van een viervlak. Zeno's paradoxen kwamen hier in conflict met sommige oude en intuïtieve begrippen omtrent het oneindig kleine en het oneindig grote, en openden de discussie over het probleem der continuïteit. Men had steeds zonder veel bedenken aangenomen dat de som van een oneindig aantal grootheden zo groot kan worden gemaakt als men wil, zelfs als iedere grootheid zeer klein is (∞ × ε = ∞) en ook dat de som van een oneindig aantal grootheden van dimensie nul ook nul is (n × 0 = 0, ∞ × 0 = 0). Hier nu zette Zeno's kritiek in. Met zijn vier paradoxen ondermijnde hij het geloof in die opvattingen en van de steen die hij in de filosofische poel wierp kan men de rimpels nog heden ten dage waarne-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 56 men. Men kan Zeno's argumenten bij Aristoteles vinden; ze zijn bekend als de Achilles, de Pijl, de Dichotomie en het Stadium. Ze waren zo gekozen dat de tegenstrijdigheden in de begrippen van beweging en tijd scherp worden uitgebracht, en geen poging werd gedaan (zover we weten) om die tegenstrijdigheden te verzoenen. Wij geven hier de Achilles en de Dichotomie, waaruit we kunnen zien wat de geest is die uit de ‘paradoxen’ spreekt. Wij geven ze weer in onze eigen woorden.

Achilles. Achilles en een schildpad bewegen zich op een rechte weg in dezelfde richting. Achilles is achter de schildpad en wil hem inhalen. Hij loopt veel sneller dan de schildpad, doch om het dier te bereiken moet hij eerst het punt P passeren vanwaar de schildpad begon. Als Achilles in P is aangekomen, is de schildpad in het punt P1 gekomen. Achilles kan de schildpad niet bereiken voordat hij P1 passeert, maar dan is de schildpad alweer iets vooruit in P2 gekomen. Als Achilles in P2 is, is de schildpad in P3, enz. Daarom kan Achilles de schildpad nooit bereiken.

Dichotomie. Ik wil van A naar B langs een rechte lijn gaan. Om B te bereiken moet ik eerst B1 halfweg tussen en A en B bereiken, doch om B1 te bereiken moet ik eerst in B2 komen halfweg tussen A en B1. Dit kan men oneindig vaak voortzetten, zodat we zien dat de beweging zelfs niet kan beginnen.

Uit Zeno's argumenten bleek dat een eindig segment kan worden opgedeeld in een oneindig aantal segmenten, ieder van eindige lengte. Ook bleek daaruit dat er een moeilijkheid was in de uitspraak dat een lijn uit punten is ‘samengesteld’, want uit de samenvoeging van punten kan nooit meer dan een punt, en nooit een stuk lijn, worden gevormd. Het is wel mogelijk dat Zeno zelf niet besefte hoezeer zijn redenering de gedachten der wiskundigen na hem zou verontrusten. En niet alleen de wiskundigen: vraagstukken die verband houden met Zeno's paradoxen zijn ook geregeld in wijsgerige en theologische discussies opgekomen. In zulke discussies spreekt men wel van de tegenstelling tussen het potentieel en het actueel oneindige, dwz. tussen het oneindige beschouwd als een proces, en het oneindige beschouwd als iets voltooids (iets ‘wordt’ oneindig, en iets ‘is’ oneindig). Paul Tannery, de Franse historicus van de wiskunde, geloofde dat het Zeno er vooral om te doen was het Pythagoreïsche begrip van de ruimte als de som van haar punten aan te tasten (‘het punt is eenheid in positie’, volgens de Pythagoreeërs).1 Wat hiervan ook de

1 P. Tannery, La géométrie grecque (Paris, 1887)217-261. Een andere mening bij B.L. van der Waerden, Mathem. Annalen 117 (1940) 141-161. Zie ook E.J. Dijksterhuis, De Elementen van Euclides (Groningen 1929) I, 41-55, met een uitvoerige bespreking van de Griekse meetkunde vóór Euklides.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 57 waarheid moge zijn, het is zeker dat Zeno's redenering het mathematisch denken eeuwenlang heeft beïnvloed. Zijn paradoxen kunnen met die van George Berkeley worden vergeleken, toen deze achttiendeeeuwse bisschop aantoonde hoe de vage formulering van de grondbeginselen der differentiaalrekening tot logische absurditeiten leidt, eveneens zonder zelf een betere formulering voor te stellen. Ook in de tegenwoordige discussies omtrent de grondslagen der wiskunde spelen een aantal paradoxen over oneindige verzamelingen een rol (paradox van Russell, van Burali Forti, etc.). En de discussies over de betekenis van de paradoxen van Zeno gaan onverminderd voort.1 De paradoxen van Zeno kregen een diepere wiskundige betekenis ongeveer terzelfder tijd dat het irrationale werd ontdekt. Was het eigenlijk wel mogelijk de wiskunde als een exacte wetenschap te behandelen? Tannery2 heeft als zijn mening geuit dat we hier van een ‘waarlijk logisch schandaal’, van een crisis, in de Griekse wiskunde mogen spreken.3 Zo dit het geval geweest is, is deze crisis opgetreden in de latere jaren van de Peloponnesische oorlog, die eindigde met de val van Athene (404). Het is dan mogelijk een verband te ontdekken tussen de crisis in de wiskunde en de maatschappelijke crisis, aangezien de val van Athene de nederlaag betekende van de slavenhoudende democratie en een nieuw tijdperk inluidde waarin de aristocratie weer de overhand had. De crisis in de wiskunde werd opgelost in de geest van het nieuwe tijdperk.

Deze nieuwe periode in de Griekse geschiedenis zag de rijkdom der meer gegoeden vermeerderen en de lagere klassen meer en meer in armoede vervallen. De slavernij nam grotere afmetingen aan, wat aan menige vermogende familie de gelegenheid gaf meer aandacht te wijden aan kunsten, wetenschappen, wijsbegeerte of een persoonlijke ethiek, en daarbij tevens neer te zien op alle werk dat handwerkers of slaven konden verrichten. Wij zien deze geesteshouding bij Plato en bij Aristoteles, en het is in Plato's Repu-

1 Uitvoerige bespreking met literatuurlijst vindt men in het artikel van K. von Fritz in DSB XIV (1976) 607-612. 2 P. Tannery, ibid. p. 98. Op deze plaats houdt zich Tannery alleen bezig met het bankroet van de oude verhoudingsleer, een gevolg van de ontdekking van onderling onmeetbare lijnsegmenten. 3 Zie hierover H. Freudenthal, Y avait-il une crise des Fondaments des Mathématiques dans l'Antiquité? Bulletin Soc. Mathem. Belgique 18 (1966) 43-55.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 58 bliek (misschien omstreeks 360 v. C. geschreven), dat wij de helderste uitdrukking vinden van de idealen van de slavenhoudende aristocratie. De ‘wachters’ van Plato's republiek moeten het quadrivium bestuderen, dus de arithmetica, de meetkunde, de astronomie en de muziekleer, teneinde de wetten van het heelal te begrijpen.1 In zijn Timaeus geeft Plato het voorbeeld van zulk een begrijpen: de dialoog schetst een kosmogonie waarin als bouwstenen van het heelal de elementen vuur, aarde, lucht en water optreden, ieder opgebouwd uit regelmatige veelvlakken, waarbij het twaalfvlak de rol van een soort ether vervult. Zulk een Pythagoreïsche atmosfeer leidde, althans in haar eerste periode, tot de discussie van de meer theoretische kanten van de wiskunde, dus naar onderwerpen die met de grondslagen samenhangen. Minstens drie belangrijke wiskundigen waren met Plato's Akademie verbonden, Archytas, Theaitetos (die in 369 stierf) en Eudoxos (ca. 408-355). Theaitetos' naam is verbonden met het onderzoek van die irrationaliteiten die we nu met √2, √3, √5,..., √17 aanduiden, een onderzoek dat geheel meetkundig was; misschien is van hem de theorie der irrationale lijnstukken afkomstig die we in het tiende boek van Euklides' Elementen vinden. Eudoxos heeft, naar men met vrij grote stelligheid kan aannemen, de theorie der verhoudingen ontdekt die we in het vijfde boek van deze Elementen vinden, en ook de zgn. ‘exhaustie’-methode, waarmede oppervlak en inhoudsberekeningen streng konden worden behandeld zonder dat de moeilijkheden die lagen in de paradoxen van Zeno optraden. Dit betekent dat het Eudoxos is geweest die de zgn. crisis in de Griekse wiskunde heeft opgelost en wiens strenge formuleringen de koers van de Griekse axiomatica, en tot op zekere hoogte die van de gehele Griekse wiskunde, hebben bepaald. Eudoxos' leer der verhoudingen was een breuk met die van de Pythagoreeërs, die alleen voor onderling meetbare grootheden geldig was. Ze was zuiver meetkundig en in haar strikt axiomatische vorm maakte ze elk onderscheid tussen meetbare en onmeetbare grootheden overbodig. Voor die leer is Definitie 5 van Boek v van Euklides' Elementen karakteristiek:

1 Volgens late bronnen (o.a. Philoponos, 6e eeuw n. C.) was er een opschrift boven de ingang van Plato's school, de Akademia luidend: ‘Laat niemand hier binnentreden die geen meetkunde kent’ (‘ageōmetrêtos’). Zie D.H. Fowler, The Mathematics of Plato's Academy (Oxford, 1987).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 59

‘Men zegt, dat grootheden in dezelfde verhouding staan, de eerste tot de tweede en de derde tot de vierde, wanneer willekeurige zelfde veelvouden van de eerste en de derde tegelijk groter zijn dan, gelijk aan of kleiner dan willekeurige zelfde veelvouden van de tweede en de vierde, in overeenkomstige volgorde genomen’.

Dit betekent, in onze notatie, dat a : b = c : d, zo tegelijk met ma > nb ook mc < nd, tegelijk met ma = nb ook mc = nd, en tegelijk met ma < nb ook mc < nd, waar m en n gehele getallen zijn. Dat zo iets mogelijk is, moest eerst door het zgn. axioma van Archimedes worden vastgelegd, dat in Euklides als Definitie 4 aan de vorige definitie voorafgaat:

‘Men zegt dat grootheden een verhouding tot elkaar hebben als zij, vermenigvuldigd, elkaar kunnen overtreffen’.

Deze definitie zou dus wel beter als het axioma van Eudoxos aangeduid kunnen worden. De moderne theorie van de irrationale getallen, door Dedekind en Weierstrass ontwikkeld, vertoont grote overeenkomst met die van Eudoxos, ondanks het feit dat de moderne theorie aritmetisch, de klassieke theorie meetkundig is. De aritmetische opzet van de moderne theorie heeft echter wijdere perspectieven geopend. De ‘exhaustie’-methode (deze naam komt eerst voor in 1647 bij Grégoire de Saint Vincent) was het antwoord van de school van Plato op Zeno. Ze ontdook de struikelblokken van het oneindig kleine door ze te vermijden, door vraagstukken die tot infinitesimalen konden voeren, terug te brengen op vraagstukken die alleen formele logica inhielden. Wanneer, om een voorbeeld te noemen, men had te bewijzen dat de inhoud V van een viervlak gelijk is aan het derde deel van een prisma P met dezelfde hoogte H en hetzelfde grondvlak, dan werd bewezen dat de aannamen V > ⅓P en V < ⅓P allebei tot ongerijmdheden voeren, zodat de enige overblijvende mogelijkheid, V = ⅓P, de waarheid bevat. Om deze ongelijkheden te bewijzen moest weer een axioma worden ingevoerd equivalent aan dat van Archimedes (of Eudoxos). Bij Archimedes luidt het als volgt: ‘dat het verschil, waarmee het grootste van ongelijke oppervlakken het kleinste overtreft, bij zichzelf gevoegd, elk voorgeschreven begrensd oppervlak kan overtreffen’, waarbij dit bij zichzelf toevoegen willekeurig herhaald mag worden. In ons geval van het viervlak werd de hypothese V = A, A > ⅓P dan weerlegd door het viervlak in te sluiten in een omgeschreven trappenpiramide van n prisma's, ieder van hoogte H/n en dan te bewijzen dat n zo groot kan wor-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 60 den gemaakt dat de inhoud der trappenpiramide & A is. Aangezien de inhoud der trappenpiramide zeker > V is, komen we tot een tegenstrijdigheid. Evenzo bewijst men met een ingeschreven trappenpiramide dat ook V < ⅓P tot een ongerijmdheid voert. Euklides bewijst o.a. op deze manier dat de oppervlakken van twee cirkels zich verhouden als de vierkanten op de diameters. Deze indirecte behandeling van wat we nu met limietovergangen beredeneren bleef de geaccepteerde vorm van bewijs in de wiskunde der Grieken en later in die van de Renaissance. Zulke bewijzen waren streng, en kunnen zonder veel moeite in een vorm worden gebracht die de moderne analyse accepteert. Maar ze hadden het nadeel dat aan alle indirecte bewijsvoeringen kleeft: men moet eerst het antwoord weten vóór men het bewijs kan geven. Het antwoord zelf moet dus op een andere, meer heuristische en minder exacte methode worden gevonden. Er bestaan duidelijke aanwijzingen dat zulk een meer tastende methode ook werkelijk werd gebruikt. Wij bezitten een brief, door Archimedes omstreeks 250 v. C. aan zijn vriend Eratosthenes geschreven, en die eerst in 1906 door J.L. Heiberg is teruggevonden in een manuscript dat te Jeruzalem werd bewaard. In deze brief beschrijft Archimedes hoe hij het oppervlak van een segment van de parabool heeft berekend door het oppervlak als som van koorden te beschouwen, dan die koorden op te tellen en deze met behulp van de wetten van de hefboom te wegen. Zulk een methode is niet streng, maar geeft, in de handen van een goede wiskundige, resultaten, die dan later met de ‘exhaustie’-methode streng kunnen bewezen worden. Deze brief is uitgegeven en is bekend onder de naam ‘Methode’ (Ephodos). Er bestaat een theorie van S. Luria waarin de gedachte wordt uitgesproken dat de gehele gedachtengang van Eudoxos in een soort concurrentieverwantschap stond met die van een andere, de Platonische traditie tegenoverstaande, school, verbonden met de naam Demokritos, met Leukippos de stichter van de atoomtheorie. In deze school, zo zegt deze theorie van Luria, werd voor wiskundige beschouwingen het begrip ‘meetkundig atoom’ ingevoerd. Een lijnsegment, een oppervlak, een inhoud bestond dan uit een groot, doch eindig, aantal ondeelbare (indivisibile) atomen. Wilde men een inhoud berekenen dan moest men de som bepalen van de inhoud van al de atomen waaruit het betreffende lichaam bestaat. Deze theorie doet wel wat vreemd aan, totdat we beseffen dat verscheidene wiskundigen in de jaren vóór Newton, in het bijzonder Kepler, (en ook wel er na) zich eigenlijk van de-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 61 zelfde gedachtenwijze bedienden als ze, om een voorbeeld te noemen, de omtrek van een cirkel beschouwden als samengesteld uit een oneindig aantal kleine lijnsegmenten. Er bestaan geen documenten die bewijzen dat men in de Oudheid ooit een strenge methode op deze grondslag heeft ontwikkeld, doch ons moderne limietbegrip heeft het mogelijk gemaakt deze ‘atoom’-theorie om te zetten in een theorie die even streng is als die waarop Eudoxos' exhaustiemethode berust. Zelfs heden ten dage gebruiken we geregeld dit begrip van ‘atomen’ als we een vraagstuk uit de theorie der elasticiteit, der natuur- of scheikunde, of zelfs der differentiaalmeetkunde, opstellen, waarna we het strenge bewijs aan de specialist in de analyse overlaten.1 Het voordeel van de ‘atoom’-methode boven de ‘exhaustie’-methode was dat men er gemakkelijker resultaten mee bereikte. De Oudheid had dus de keuze tussen een strenge maar tamelijk steriele, en een onvoldoend gebaseerde doch veel vruchtbaarder theorie. Het is interessant te zien dat in bijna alle boeken die uit de Oudheid tot ons zijn gekomen de strenge theorie wordt aangewend. Dit heeft wel te maken gehad met het feit dat de wiskunde een lievelingsbezigheid was geworden van mannen en vrouwen die tot een klasse behoorden wier bestaan gedeeltelijk op slavernij berustte, geen belang had in uitvindingen, doch wel in een beschouwende levenswijze. Men moet met zulk een generalisatie evenwel voorzichtig zijn - Archimedes was b.v. wel in uitvindingen geïnteresseerd -, doch zij bevat toch een historische waarheid. Deze kan ook uitgedrukt worden door te zeggen dat het Platonische idealisme op het Demokritische materialisme althans op het gebied der wiskundige filosofie in de Oudheid de overwinning heeft behaald.

In het jaar 334 begon Alexander de Grote zijn veldtocht tegen Perzië. Toen hij in 323 in Babylon stierf, behoorde het gehele Nabije Oosten met Egypte en delen van Noord-Indië tot zijn rijk. Zijn generaals verdeelden het veroverde gebied, en tenslotte ontstonden drie grote koninkrijken: Egypte onder Ptolemaios, Meso-

1 Zie, om een voorbeeld te noemen, H.B. Phillips, Differential Equations, (New York 1922) bldz. 7 (een boek voor aanstaande ingenieurs): ‘Zo kan men, zolang men zich tot eerste differentialen beperkt, een klein deel van een kromme bij een punt als recht en een klein deel van een oppervlak als vlak beschouwen; voor korte tijdsperioden mag men aannemen dat een deeltje zich met constante snelheid beweegt en een willekeurig fysisch proces in een constant tempo verloopt’.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 62 potamië en Syrië onder de Seleuciden en Macedonië onder Antigonos en zijn opvolgers. Deze vorsten en hun hogere ambtenaren waren Grieken of waren vergriekst. Zelfs in de vallei van de Indus heersten een tijd lang Griekse vorsten. Het tijdperk van het Hellenisme was aangebroken. Als onmiddellijk gevolg van Alexanders veroveringstochten zien we een grote versnelling in de uitbreiding van de Griekse beschaving over grote gebieden van het Oosten. Egypte, Mesopotamië en een deel van Indië werden gehelleniseerd. De Grieken overstroomden het Oosten als beambten, handelaren, kooplieden, dokters, reizigers, huursoldaten en avonturiers. De steden, waarvan verscheidene, kenbaar aan hun Griekse namen, eerst onder Alexander en zijn navolgers waren gesticht, stonden onder Griekse militaire en ambtelijke controle en hadden een bevolking die een mengsel was van Grieken, Aziaten en Afrikanen. Het Hellenisme was in wezen een stedelijke beschaving; het platteland bleef vrijwel onberoerd of opstandig (men denke aan de Maccabeeën). In de steden kwam de oude Oosterse beschaving met de ingevoerde Griekse cultuur in aanraking, en ofschoon er een gedeeltelijke versmelting van die levenswijzen plaatsvond, een diepe kloof bleef bestaan. De Hellenistische monarchen namen Oosterse gewoonten over, hadden zich bezig te houden met Oosterse administratieproblemen, zoals irrigatie, doch moedigden Griekse kunsten en wetenschappen aan. De Griekse wiskunde, dus naar vreemde streken overgeplaatst, behield vele traditionele kenmerken, doch ondervond ook de invloed van de vraagstukken in administratie die het Oosten had op te lossen, en die de belangstelling wakker hielden in berekenende arithmetica en astronomie. Dit nauwe verband tussen Griekse en Oosterse wetenschap heeft grote resultaten gehad, vooral gedurende de eerste eeuwen, vóór de Romeinse overheersing begon. Praktisch al die werkelijk scheppende wiskunde die we ‘Grieks’ noemen is ontstaan in het betrekkelijk korte tijdperk van ca. 400-ca. 200, van Archytas en Eudoxos tot Apollonios, en zelfs de resultaten van de eerste decennia van deze periode zijn ons vrijwel alleen bekend door hun interpretaties bij Euklides en de andere Alexandrijnse wiskundigen. En het is ook merkwaardig dat de grootste bloei der Hellenistische wiskunde plaatsvond in Egypte onder de Ptolemeeën, en niet in Mesopotamië, ondanks het feit dat de oude Babylonische wiskunde veel verder ontwikkeld was dan de oude Egyptische, althans voor zover wij weten. Men kan de oorzaak van deze verschuiving zien in de verander-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 63 de rol van Egypte, dat in Hellenistische tijden een centrale positie in de gebieden rondom de Middellandse Zee innam. De nieuwe hoofdstad Alexandrië was aan de zeekust gesticht en werd het commerciële en intellectuele middelpunt van de Hellenistische wereld. Babylon bleef nog naleven als een centrum van karavaanwegen op de grens van deze wereld, maar verdween op den duur om plaats te maken voor Seleukia-Ktesiphon, de nieuwe hoofdstad der Seleuciden. Met Babylon, voor zover we weten, zijn nooit grote Griekse wiskundigen verbonden geweest, maar Antiochië en Pergamum, ook steden van het rijk der Seleuciden doch dichter bij de Middellandse Zee, hadden belangrijke Griekse scholen. Maar onder de Seleuciden bloeiden wel de oude Babylonische astronomie en wiskunde, die zelfs hun hoogtepunt in dit tijdperk bereikten, en deze ontwikkeling stimuleerde ook de Hellenistische astronomie. Naast Alexandrië bestonden er nog enige andere Hellenistische wiskundige centra, in het bijzonder Athene en Syracuse. Athene bleef een middelpunt van opvoedkundig werk, Syracuse bracht Archimedes voort, de grootste Griekse wiskundige.

In deze periode zien we de beroepsgeleerde optreden, de man die zijn leven aan de beoefening der wetenschap wijdt en er een salaris voor ontvangt. Enige van de allerbeste vertegenwoordigers van deze groep woonden in Alexandrië, waar de Ptolemeeën in het zgn. Museum (Mousaion) met haar beroemde bibliotheek een groot wetenschappelijk centrum gesticht hadden. Hier werd het grote Griekse erfgoed in wetenschap en letteren bewaard en met groot succes verder ontwikkeld. En zo vinden we onder de eerste geleerden die met dit Museum verbonden waren de figuur van Euklides, een der meest invloedrijke wiskundigen van alle tijden. Euklides, van wiens leven niets met zekerheid bekend is, leefde vermoedelijk ten tijde van de eerste Ptolemaios (306-283), tot wien hij moet gezegd hebben dat er voor koningen geen speciale weg naar de meetkunde bestaat. Zijn beroemdste en belangrijkste werken zijn de dertien boeken van de Elementen (Stoicheia), maar hem worden nog verscheidene andere werken toegeschreven, waarvan sommige ook bewaard zijn gebleven. Onder deze bevinden zich de Data, dat in zuivere meetkundige vorm toepassingen van de algebra op de meetkunde geeft. We weten niet hoeveel van deze werken van Euklides door hemzelf zijn geschreven en hoevele er compilaties zijn, maar ze tonen op vele plaatsen een treffende diepzinnigheid. De werken zijn de eerste volledige wiskundige geschriften die ons uit de Griekse Oudheid zijn overgeleverd.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 64

De Elementen is wel, op de Bijbel na, het boek geweest dat in de Westerse wereld het meest is gereproduceerd en bestudeerd. Sedert de uitvinding van de boekdrukkunst zijn er meer dan duizend uitgaven van verschenen, en vóór die tijd waren er vele exemplaren in manuscript en in verschillende talen in omloop. Het grootste deel van onze schoolmeetkunde is, soms letterlijk, aan negen van de dertien boeken ontleend, en de Euklidische traditie weegt nog steeds zwaar op ons onderwijs. Voor de beroepswiskundige hebben deze boeken steeds een grote bekoring gehad (al hebben ze aan zijn leerlingen menige zucht ontlokt), en als model van logische uiteenzetting hebben ze het wetenschappelijk denken door de eeuwen heen misschien meer beïnvloed dan enig ander boek. Euklides' uiteenzetting is gebaseerd op een aantal definities, postulaten en axioma's, waaruit dan de verdere stellingen streng logisch worden afgeleid. De eerste vier boeken behandelen de vlakke meetkunde voor zover ze niet op de leer der verhoudingen berust, en voeren van zeer elementaire stellingen en constructies (de eerste propositie van het eerste boek, dus I, 1 laat zien hoe men een gelijkzijdige driehoek construeert als een zijde is gegeven) over stellingen omtrent lijnen en hoeken tot de congruentie van driehoeken, de gelijkheid van oppervlakken, de cirkel en de regelmatige veelhoeken. De stelling van Pythagoras (I, 47) en de gulden snede (II, 11) worden ingevoerd als eigenschappen van oppervlakken. In het vijfde boek vinden wij de leer der verhoudingen van Eudoxos, die zoals wij hebben gezien, geen verschil kent tussen onderling meetbare en onmeetbare grootheden. Deze leer wordt dan in het zesde boek op de gelijkvormigheid van vlakke figuren aangewend; hier vinden we het theorema van Pythagoras en de gulden snede terug (VI, 31, 30) als stellingen over verhoudingen. In deze late invoering van de leer der verhoudingen verschilt de Euklidische behandeling van de vlakke meetkunde van de methode die tegenwoordig gebruikelijk is; dit moet worden verklaard uit het gewicht dat Euklides hechtte aan de in zijn tijd nieuwe leer der onmeetbare grootheden. In dit zesde boek (VI, 27) vinden we ook het eerste maximumvraagstuk dat ons heeft bereikt, en dat, algebraïsch uitgedrukt, leert dat ax - λx2 voor x = a/2λ haar grootste waarde bereikt, zodat van alle rechthoeken met gelijke omtrek het vierkant het grootste oppervlak heeft. Het meetkundige vertoog wordt hervat in het tiende boek, vaak als het moeilijkste deel der Elementen beschouwd (Stevin sprak van ‘het kruis der mathematici’), waarin we een meetkundige classificering vinden van de kwadratische irrationalen en hun vierkantswortels, grootheden die we

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 65

Gedeelte van een bladzijde uit de Elementen van Euklides (uitgave van 1482).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 66

nu met a ± √b, aangeven. De laatste drie boeken XI-XIII bevatten de stereometrie en brengen de lezer via ruimtehoeken, de inhouden van blokken, prisma's en piramiden tot de bol tot wat wel als de climax is beschouwd: de leer van de regelmatige (Platonische) lichamen met het bewijs dat hun aantal vijf bedraagt. De boeken VII-IX zijn aan de getallentheorie gewijd - niet aan rekentechniek doch aan zulke Pythagoreïsche onderwerpen als de deelbaarheid van getallen, de bepaling van volkomen getallen, de sommatie van een meetkundige reeks en sommige eigenschappen van priemgetallen. Ook vindt men hier weer een leer der verhoudingen, nu van (gehele) getallen. De methode waarbij (VII, 2) de G.G.D. van een gegeven aantal getallen wordt bepaald wordt nog steeds de algoritme van Euklides genoemd. Vaak aangehaald is het bewijs (IX, 20) dat het aantal priemgetallen onbeperkt is.

Gegeven de drie eerste priemgetallen α, β, γ. Vorm het produkt αβγ en tel er de eenheid bij op. Dan is αβγ + 1 noch deelbaar door α, noch door β, noch door γ en is dus òf priem, òf deelbaar door een priemgetal groter dan γ. Euklides beperkt zich tot 3 getallen, maar zijn bewijs geldt algemeen.

Van alle postulaten en axioma's in Boek I (het verschil tussen beide is niet zeer duidelijk) heeft het vijfde postulaat het meeste stof doen opwaaien. Het is equivalent met wat gewoonlijk het parallellenaxioma wordt genoemd en dat zegt dat er door een punt P buiten een lijn l één en slechts één lijn in het vlak door P en l kan worden getrokken die l niet snijdt, hoe ver ook verlengd. Gedurende meer dan tweeduizend jaren heeft men getracht dit axioma tot een stelling te maken, dus uit andere axioma's van Euklides af te leiden. In de negentiende eeuw heeft men tenslotte Euklides' wijsheid beseft en begrepen dat geen bewijs van de gezochte aard mogelijk is. Door het parallellenaxioma door een ander te vervangen is hieruit de niet-euklidische meetkunde ontstaan (zie ons hoofdstuk over de Negentiende Eeuw). Verwerping van het axioma van Archimedes heeft later ook tot niet-archimedische meetkunden gevoerd. We vinden geen algebra bij Euklides, maar in zijn meetkundige redeneringen zit veel dat wij nu liever algebraïsch uitdrukken. Wat wij √A schrijven wordt als de zijde van het vierkant A uitgedrukt, een produkt ab als het oppervlak van een rechthoek met zijden a en b. Lineaire en kwadratische vergelijkingen worden door meetkundige constructies opgelost met behulp van de zgn. leer der ‘aanpassing van oppervlakken’. Deze uitdrukkingswijze was een

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 67 consequent gevolg van Eudoxos' leer der verhoudingen, waarin vermeden werd de lengte van lijnsegmenten door getallen weer te geven. Wat had Euklides eigenlijk voor met zijn Elementen? Eén antwoord is dat hij in één werk systematisch drie grote ontdekkingen van het recente verleden wilde samenvatten: Eudoxos' leer der verhoudingen, Theaitetos' leer der irrationaliteiten, en de theorie der vijf regelmatige lichamen die zulk een belangrijke rol speelden in Plato's kosmogonie. Deze drie ontdekkingen waren karakteristiek ‘Grieks’.

De grootste wiskundige van het Hellenistische tijdvak - en van de gehele Oudheid - was Archimedes (287-212), die in Syracuse op Sicilië woonde als adviseur van Koning Hieron. Hij is een der weinige wetenschappelijke figuren van de Oudheid die meer is dan een naam: we weten iets van hem als persoon. Zo weten we dat hij gedood werd toen in 212 de Romeinen onder Marcellus Syracuse innamen na een lang beleg waarin de bejaarde geleerde zijn grote technische bekwaamheid in dienst der belegerden had gesteld. Zulk een ijver voor praktische toepassingen doet ons enigszins vreemd aan als wij aan de minachting denken waarmee de school van Plato op zulk ‘misbruik’ van de wetenschappen neerzag, maar Plutarchus heeft in zijn ‘Marcellus’ een soort verklaring gegeven:

‘Ofschoon deze uitvindingen hem de reputatie van bovenmenselijke wijsheid hadden verschaft, heeft hij het beneden zijn waardigheid geacht enig geschrift over die onderwerpen na te laten - doch, aangezien hij al dit construeren van werktuigen en andere kunsten die nut of winst afwerpen als onedel en minderwaardig verwierp, plaatste hij zijn gehele eerzucht in die speculaties waarvan de schoonheid en de diepzinnigheid buiten contact met de gewone noodzakelijkheden des levens blijven.’

Dat was echter geschreven door een Platonist ongeveer drie eeuwen na Archimedes' dood. Schrijvers als Polybius en Vitruvius, die nader tot Archimedes' tijd stonden, vermelden die gewetensbezwaren niet en zien in hem vooral de grote werktuigkundige. De belangrijkste bijdragen van Archimedes tot de wiskunde behoren tot het gebied dat we nu de integraalrekening noemen: de bepaling van het oppervlak van vlakke figuren en de inhoud van lichamen. In zijn Cirkelmeting berekende hij benaderingswaarden van de cirkelomtrek met behulp van ingeschreven en omgeschreven regelmatige veelhoeken. Hij berekende achtereenvolgens door een verdubbelingsformule de zijde van de veelhoek met 6, 12, 24,

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 68

48 en 96 zijden, en vond (in onze notatie)

een resultaat dat gewoonlijk geresumeerd wordt door te zeggen, dat Archimedes een waarde van π vond die dicht bij 3 1/7 ligt.1 In Archimedes' boek Over de bol en de cilinder vinden we de uitdrukking voor het oppervlak van de bol in de vorm dat dit oppervlak gelijk is aan het viervoud van het oppervlak van een grote cirkel, en ook een uitdrukking voor de inhoud van de bol als ⅔ van de inhoud van de omgeschreven cilinder. Archimedes' stelling, dat het oppervlak van een parabolisch segment met de koorde k als basis, gelijk is aan 4/3 maal het oppervlak van de ingeschreven driehoek met basis k en top in dat punt van de parabool, waar de raaklijn evenwijdig is aan k, vindt men in de ‘Kwadratuur van de parabool’. Het bewijs hier is volgens de strikte methode van het indirecte bewijs, doch wij hebben alreeds gezien dat Archimedes het op een meer directe wijze gevonden had (in de ‘Methode’). In het boek over ‘Spiralen’ vinden we berekeningen omtrent de ‘spiraal van Archimedes’, in het boek ‘Over Konoïden en Spheroïden’ vinden we de inhouden van zekere kwadratische omwentelingsoppervlakken. We herinneren ons nog wel uit onze schooljaren het zgn. theorema van Archimedes over ondergedompelde lichamen; dit vinden we in zijn boek over de hydrostatica: ‘Over drijvende lichamen’. Archimedes kende ook de wet van de hefboom. Deze natuurwetten behoren tot de eerste die ooit geformuleerd zijn, en hebben als model gediend toen in de 17e eeuw het begrip natuurwet in zijn moderne vorm werd ontwikkeld. In al deze werken verbond Archimedes een grote oorspronkelijkheid met een meesterlijke hantering van de rekentechniek ener-

1 Ofschoon π een Griekse letter is, hebben de Grieken daarmee nooit de verhouding van omtrek en middellijn van de cirkel aangegeven. Het symbool komt in enige geschriften van de 18e eeuw voor, doch werd het eerst algemeen aanvaard nadat. Euler het in zijn veel gelezen Introductio van 1748 geregeld had gebruikt. In decimale notatie betekent Archimedes' benadering: 3,1409... < π < 3,1429... Het rekenkundig gemiddelde van beide waarden geeft π = 3,1419... Correct is π = 3,14159... Archimedes gebruikte ook de letter π (of beter, de hoofdletter Π) als een getal. Maar dit getal betekende toen wat wij met 80 aanduiden.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 69 zijds en de strenge bewijsvoering anderzijds. Kenmerkend voor deze strengheid van wiskundig denken is het reeds vermelde ‘axioma van Archimedes’ en zijn gebruik van Eudoxos' ‘exhaustie’-methode. In zijn hantering van de rekentechniek verschilde Archimedes van de meeste grote Griekse wiskundigen. Zo kreeg zijn werk, door en door Grieks als het is, toch een Oosters trekje: Archimedes was nu eenmaal niet bang alle wiskunde die hij kende, scheppend te gebruiken. Dit ‘Oosterse’ trekje vinden we ook in het vaak aan Archimedes toegeschreven ‘Runderprobleem’, een ingewikkeld vraagstuk in onbepaalde analyse, dat men kan interpreteren als een probleem dat leidt tot een zgn. vergelijking van Pell t2 - Au2 = 1 waarvan de oplossing moet worden gevonden in gehele getallen t en u. In het ‘Runderprobleem’ is A = 4729494 en u is een veelvoud van 9304, het antwoord bestaat uit zeer grote getallen.1

Met de derde grote Hellenistische wiskundige, Apollonios van Perga, (ca. 260-ca. 170) zijn we weer geheel in de meetkundige traditie. Apollonios, die in Alexandrië en in Pergamum gedoceerd schijnt te hebben, schreef acht boeken over kegelsneden, de Konica. Hiervan zijn zeven boeken bewaard gebleven, de laatste drie alleen in een Arabische vertaling. Apollonios voert de kegelsneden in als snijlijnen van vlakken met een rechte of scheve cirkelkegel, en ofschoon zijn behandeling zuiver meetkundig is kan men ze licht herleiden tot de studie van de homogene vergelijkingen y2 = px (1 + ε x/d), waar ε = - 1 de ellips, ε = 0 de parabool, ε = + 1 de hyperbool geeft (p en d zijn lijnen). Deze namen, die wij aan Apollonios ontlenen, vinden hun verklaring in

1 Zulke vergelijkingen van Pell ontmoet men ook in de Pythagoreïsche getallenleer, waar speculaties over de verhouding van diagonaal en zijde van een vierkant tot de studie van t2 - 2u2 = ± 1 hebben gevoerd. Oplossingen zijn hier (3,2), (7,5), (17,12), enz. die de benaderde breuken 3/2, 7/5, 17/12,... van de kettingbreukenontwikkeling voor √2 geven. Hierover zie men b.v. E.J. Dijksterhuis, De Elementen van Euclides II (Groningen 1930), 20-25; B. v.d. Waerden, Ontwakende Wetenschap (Groningen, 1950) 141, 232. Dat de vergelijking naar Pell is genoemd berust vermoedelijk op een misverstand van Euler. John Pell (1611-1685) werd in 1643 professor aan de Amsterdamse Illustre Academie, in 1646 aan de pas geopende academie in Breda (waar de jonge Christiaan Huygens studeerde). Later keerde hij naar Engeland terug.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 70 de ‘aanpassingstheorie’ van oppervlakken die we in Euklides kunnen bestuderen, ε = - 1 is aanpassing met defect (‘elleipsis’), ε = 0 (precieze) aanpassing (‘parabolê’), ε = + 1 aanpassing met exces (‘hyperbolê’). Apollonios had onze coördinatenmethode niet, omdat hij geen algebraïsche notatie had, die misschien onder invloed van Eudoxos bewust verwerpend. Vele van zijn resultaten kunnen echter onmiddellijk in de taal van onze analytische meetkunde vertaald worden, ook zijn theorie van de evoluten der kegelsneden.1 Ook vele andere werken van Apollonios, waarvan gedeelten tot ons zijn gekomen, bevatten wat wij algebraïsche meetkunde zouden noemen, doch in meetkundige en dus homogene vorm. Tot die gedeelten behoort het zgn. raakprobleem van Apollonios: een cirkel te construeren die aan drie gegeven cirkels raakt, de cirkels mogen door punten of rechten vervangen worden.2 Bij Apollonios vinden we de eis dat men in meetkundige constructies zich moet beperken tot passer en lineaal, expliciet geformuleerd (ofschoon ze impliciet al in de Elementen voorkomt); deze eis was dus niet zo typisch Grieks als men soms wel gelooft.

10.

Het is moeilijk de wiskunde gedurende haar gehele verloop tot op betrekkelijk moderne tijd van de sterrenkunde te scheiden. In de Oosterse en Hellenistische wetenschap nam de sterrenkunde door haar belang voor de landbouw en speciaal de irrigatie een overwegende plaats in - om van de astrologie maar te zwijgen. Daardoor had de ontwikkeling van de astronomie een sterke invloed op die der wiskunde, vooral op de rekentechniek, doch ook op de begripsinhoud van de wiskunde. Anderzijds hing de voortgang der sterrenkunde weer van de beschikbare mathematische kennis af. De bouw van het planetensysteem is zo dat betrekkelijk eenvoudige wiskundige methoden reeds machtige resultaten ople-

1 ‘Mijn stelling, dan, is dat het wezen der analytische meetkunde bestaat in de studie van meetkundige plaatsen met behulp van hun vergelijkingen, en dat dit aan de Grieken bekend en de basis van hun studie der kegelsneden was’: J.L. Coolidge, A History of Geometrical Methods (Oxford 1940), bldz. 119. Zie in dit verband onze opmerkingen over Descartes. Coolidge's ‘Stelling’ is onzes inziens onhistorisch, het hele karakter van het wiskundig denken der Grieken verschilde van het onze. 2 Dit probleem heeft door de eeuwen heen wiskundigen beziggehouden, o.a. Viète, Newton en Steiner. Het algemeen probleem heeft 8 oplossingen. Zie b.v. P. Molenbroek, Leerboek der vlakke Meetkunde (10e druk, Groningen, 1948) 544-553.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 71 veren, doch terzelfder tijd is ze ingewikkeld genoeg om de verbetering van die methoden te stimuleren, hetgeen dan weer de astronomische theorieën beïnvloedt. Het Oosten had grote vooruitgang in de berekenende sterrenkunde geboekt in die periode die juist aan de Hellenistische voorafgaat, in het bijzonder in Mesopotamië gedurende de laat-Assyrische en Perzische perioden. Hier had de stelselmatige bestudering van waarnemingen over vele jaren tot een opmerkelijk begrip van vele verschijnselen gevoerd, b.v. van de beweging van de maan, die door haar schijnbare grilligheid de wiskundige steeds weer tot nieuwe studie heeft aangespoord, in de Oudheid zowel als in meer moderne tijden. Babylonische (‘Chaldese’) sterrenkundigen hadden tabellen van zulke efemeriden opgesteld, die, als we ze grafisch voorstellen, door trapfuncties kunnen worden voorgesteld. Toen, gedurende de periode der Seleuciden, Griekse en Babylonische wetenschap elkaar ontmoetten, leidde deze kennismaking tot vooruitgang, niet alleen in de berekenende, doch ook in de theoretische astronomie. Doch terwijl de Babylonische wetenschap in haar oude kalendarische tradities bleef voortgaan, behaalde de Griekse wetenschap nieuwe triomfen op theoretisch gebied. De oudste Griekse bijdrage tot de theoretische sterrenkunde was de planetentheorie van dezelfde Eudoxos die Euklides inspireerde. Ze was een poging om de beweging der planeten (rondom de vaststaande aarde) te verklaren door vier boven elkaar liggende, draaiende, concentrische bollen aan te nemen, ieder draaiende om zijn eigen as waarvan de eindpunten vast zaten in de omgevende bol. Dit was iets nieuws en typisch Grieks: een kinematisch model van het planetenstelsel in plaats van de tabellen waarmee de Babyloniërs zich vergenoegden: een meetkundige verklaring in plaats van een beschrijving. Ondanks haar tamelijk eenvoudige vorm bevat deze theorie van Eudoxos het centrale denkbeeld dat aan alle planetaire theorieën tot de zeventiende eeuw ten grondslag heeft gelegen, en dat daarin bestaat dat de onregelmatigheden in de schijnbare banen van maan, zon en planeten worden verklaard uit de superpositie van cirkelvormige bewegingen. Een moderne analogie is de techniek, waarbij we functies in trigonometrische reeksen ontwikkelen. Na Eudoxos krijgen we Aristarchos van Samos (ca. 280), de ‘Copernicus van de Oudheid’, waarvan we bij Archimedes lezen dat hij de hypothese opstelde dat niet de aarde, maar de zon het middelpunt is van de planetenbanen. Aristarchos' verhandeling zelf is nooit teruggevonden, wij bezitten van hem alleen een werk

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 72 over de bepaling van de afstand van maan en aarde. Wat zijn heliocentrische hypothese betreft, deze vond weinig bewonderaars in de Oudheid - waarschijnlijk om dezelfde reden waarom Copernicus' leer in den beginne weinig aanhangers had: de moeilijkheid om deze leer met die van Aristoteles in overeenstemming te brengen. In de Oudheid werden Aristarchos' theorieën door die van Hipparchos in de schaduw gesteld. Hipparchos van Nicaea, vaak als de grootste astronoom van de Oudheid beschouwd, verrichtte zijn observaties tussen 141 en 127 v. C. Directe kennis van zijn werk hebben we niet; wat we weten komt voornamelijk van Ptolemaios, die ongeveer drie eeuwen later leefde. Er is veel in Ptolemaios' groot astronomisch handboek, bekend als Almagest, dat op rekening van Hipparchos komt, speciaal het gebruik van eccentrische cirkels en epicykels om de beweging van zon, maan en planeten te beschrijven. Ook wordt aan Hipparchos de ontdekking van de precessie der nachteveningspunten toegeschreven. Van hem is misschien ook het denkbeeld afkomstig plaatsen op aarde door lengte en breedte aan te geven en deze ‘coördinaten’ door astronomische metingen te bepalen, doch men heeft nooit gedurende de Oudheid de wetenschappelijke organisatie gehad die zulk een geografisch program op grote schaal mogelijk maakte. Mannen van wetenschap waren in de Oudheid nu eenmaal dun gezaaid, zowel in tijd als in plaats. Het werk van Hipparchos stond in nauwe betrekking tot de Babylonische sterrenkunde, die in zijn dagen een periode van bloei beleefde, zodat we in dit werk een uiterst belangrijk wetenschappelijk resultaat van het contact tussen de Griekse en de Oosterse beschaving in het Hellenistische tijdvak kunnen zien.1

11.

De derde en laatste periode van de klassieke Oudheid is die van de Romeinse overheersing. Rome veroverde Syracuse in 212, Carthago in 146, Griekenland in 146, Mesopotamië in 64, Egypte in 30 v. C. Het Oosten, dat Rome had veroverd, werd een kolonie, beheerd door Romeinse bestuurders en beambten. Deze controle beïnvloedde de economische structuur van de Oosterse landen maar weinig zolang de belastingen en andere tributen maar rustig konden worden geïnd. Verder was het Romeinse Rijk nu op na-

1 O. Neugebauer, Exact Science in Antiquity, Studies in Civilization, Univ. of Pennsylvania Bicentennial Conference (Philadelphia, 1942) 22-31; en The exact Sciences in Antiquity (Princeton, 1952, 2e uitg. 1957, Dover herdruk 1969).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 73 tuurlijke wijze in twee delen verdeeld, een Westelijk gedeelte met extensieve landbouw die op massale slavenarbeid berustte, en een Oostelijk gedeelte met intensieve landbouw, waarin de slavernij in het algemeen alleen voor openbare werken en voor huisdiensten in aanmerking kwam. Ondanks het bestaan van een aantal steden en een handel die het hele Rijk omvatte, en zelfs het Rijk met landen als China en Indië verbond, vormde de landbouw de economische grondslag. De uitbreiding der slavernij in zulk een maatschappij ondermijnde steeds meer de mogelijkheid van oorspronkelijk wetenschappelijk werk. Slavenhouders zijn als een klasse bitter weinig geïnteresseerd in technische verbeteringen, zolang ze genoeg slaven kunnen vinden om al het werk te doen, en bovendien, het is gevaarlijk om enig werktuig in de hand van een slaaf te geven dat helpen zal zijn kennis te vergroten. Vele leden van de slavenhoudende klasse amuseerden zich met kunsten en wetenschappen, doch zulk een bezigheid gaf meer aanleiding tot middelmatig dan tot scheppend denken. En toen uiteindelijk de toevoer van slaven meer en meer beperkt werd en de gehele Romeinse volkshuisvesting in verval raakte, bleven er slechts weinig mensen over om zelfs de middelmatige wetenschap van de vergane eeuwen voort te zetten. Zolang als het Romeinse Rijk nog stabiliteit vertoonde, bleef in het Oostelijk deel de wetenschap bloeien in een merkwaardige vermenging van verschillende cultuurelementen, Hellenistische zowel als Aziatische en Egyptische. Het is waar dat scheppingskracht en oorspronkelijkheid langzamerhand minder en minder werden, doch de pax Romana, die verscheidene eeuwen het leven van velen voor grote schokken vrijwaarde, bevorderde wetenschappelijke en wijsgerige speculatie, in grotendeels traditionele banen. Naast de pax Romana genoot een ander deel van de wereld een tijdlang de pax Sinensis: in de gehele geschiedenis heeft het Eurazische continent nooit meer zulk een periode van ononderbroken vrede genoten als onder de Antonienen in Rome en de Han in China. In dit tijdperk kon zich wetenschappelijke en technische kennis gemakkelijker dan voorheen van West naar Oost en van Oost naar West verspreiden. Hellenistische wetenschap kwam naar Indië en misschien ook naar China, en werd zelf door intellectuele stromingen van het Oosten beïnvloed. Zekere trekken van de Babylonische sterrenkunde en de Griekse wiskunde kwamen naar Italië, Spanje en Gallië, zoals b.v. de sexagesimale indeling van uur en hoek, die zich over het gehele Romeinse Rijk verbreidde. Er bestaat een theorie van de Oriëntalist-wiskundige F.W. Woepcke (1863) waar-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 74 in de verspreiding van de zogenaamde Hindoe-Arabische getallen over Europa alreeds in de latere jaren van het Romeinse Rijk wordt verzet, een verspreiding waarbij misschien neo-Pythagoreïsche invloeden een rol hebben gespeeld. Dit kan wel waar zijn, doch zo de verspreiding van die getallen over de Westerse wereld reeds zo vroeg plaatsvond, is ze waarschijnlijk wel meer door de handel dan door de filosofie beïnvloed. Alexandrië bleef ook onder Rome het middelpunt van de wiskunde der klassieke Oudheid. Men bleef oorspronkelijk werk verrichten, ofschoon compilatie en exegese hoe langer hoe meer de plaats van scheppend denken begonnen in te nemen. De geleerden van die dagen hebben ons menig wisen sterrenkundig resultaat overgeleverd, dat anders zou zijn verloren gegaan, en het is niet altijd gemakkelijk om vast te stellen wat zij overgeschreven of wat zij zelf ontdekt hebben. Als we trachten de geleidelijke achteruitgang van de Griekse wiskunde te begrijpen moeten we ook aan haar technische zijde denken, haar vaak omslachtige meetkundige manier van uitdrukken zonder de hulp van een algebraïsche schrijfwijze. In de leer der krommen maakte dit elke systematische vooruitgang boven de kegelsneden bijkans onmogelijk. Algebra en rekentechniek werden aan de volkeren van het Oosten overgelaten, waar een rechtgeaarde Griek op neer zag, ook al was hun beschaving met een Grieks vernisje overdekt. Het is evenwel verkeerd te geloven dat de Alexandrijnse wiskunde zuiver ‘Grieks’ was in de traditionele Euklidisch-Platonische zin: er bleef steeds naast de abstracte meetkundige denkwijze een Egyptisch-Babylonische, algebraïsch-berekenende wiskunde bestaan. We hoeven slechts aan Heroon, Ptolemaios en Diophantos te denken om dit in te zien. Al die verschillende scholen hadden één kenmerk gemeen: ze gebruikten de Griekse taal voor wetenschappelijke doeleinden.

12.

Een der vroegste Alexandrijnse wiskundigen van de Romeinse periode was Nikomachos van Gerasa (ca. 100 n. C.), wiens Inleiding tot de Arithmetica de meest complete uiteenzetting van de rekenkunde der Pythagoreeërs is. Men vindt er, algemeen gesproken, dezelfde onderwerpen die men in de arithmetische boeken van Euklides' Elementen vindt, doch waar Euklides getallen door lijnsegmenten voorstelt, gebruikt Nikomachos een rekenkundige schrijfwijze, waarbij hij de gewone taal gebruikt als onbepaalde getallen moeten worden uitgedrukt. Zijn behandeling van polygonale en piramidale getallen heeft middeleeuwse rekenkunde, in het bijzonder het werk van Boëtius, beïnvloed.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 75

Een der belangrijkste documenten uit dit tweede Alexandrijnse tijdvak was het Grote Systeem (Megalè Syntaxis) van Klaudios Ptolemaios, beter bekend onder de gearabiseerde naam van Almagest (ca. 150 n. C.). Deze Almagest is het grote astronomische meesterwerk van de Oudheid, een werk dat zowel grote originaliteit als meesterlijke techniek tentoon spreidt, ook al zijn vele van de leidende ideeën afkomstig van Hipparchos of van Babylonische sterrenkundigen als Kidinnu (of Kidenas), die circa 450 v.Chr. zijn observaties verrichte, ongeveer terzelfder tijd als de Ionische filosofen. Voor ons is van belang dat de Almagest ook een goniometrie bevat, met een koordentafel voor verschillende hoeken, die dus equivalent is met een sinustafel volgens de formule: koorde α - 2R sin α/2, met R = 60. Ptolemaios' hoeken gaan van 0° tot 90° met inter vallen van 30′, de straal van de cirkel is 60 eenheden en de koorden worden in sexagesimale breuken uitgedrukt. Toegevoegd is een tabel voor interpolatie naar minuten. Als hij dus b.v. voor de koorde van 1° de waarde (1,2,50) geeft, betekent dit dat deze koorde 1/60 + 2/602 + 50/603 = 0,0174537 van de straal is. Voor π heeft de Almagest de waarde (3, 8, 30) = 3 17/120 = 3,14166. We vinden in dit boek de zgn. ‘stelling van Ptolemaios’ over de diagonalen en de zijden van een koordenvierhoek, zowel in het vlak als op de bol, en zo men in deze stelling voor de vlakke koordenvierhoek één zijde als middellijn kiest krijgt men een meetkundige betrekking equivalent met de tegenwoordige formules voor de sinus en cosinus van de som en het verschil van twee hoeken. Deze stelling wordt dan bij het berekenen der tafels gebruikt, omdat ze het mogelijk maakt van de koorde van α tot die van α/2 over te gaan. Zo vindt Ptolemaios uit de koorde van 72° en 60° die van 12°, 6°, 1°30′ en 45′, welke waarden dan weer gebruikt worden om de koorde van 1° te benaderen door de ongelijkheid

zodat koorde 1° < 4/3 koorde 45′ en > ⅔ koorde 1°30′.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 76

In Ptolemaios' boek Planisphaericum vinden we de stereografische projectie. Zijn Geographia heeft nog enige andere kaartprojecties, en voert lengte en breedte op aarde in. Dit zijn dus antieke voorbeelden van een coördinatenstelsel. Met deze stereografische projectie is de constructie verbonden van het astrolabium, reeds in de Oudheid bekend en later door de Arabische beschaving verder ontwikkeld, en in de vorm van werkelijke kunstwerken uitgevoerd.1 Iets ouder dan Ptolemaios was Menelaos (ca. 100 n. C.), wiens Sphaerica een meetkunde van het boloppervlak bevat. Hier vindt men een bespreking van boldriehoeken, iets wat bij Euklides ontbreekt, waarbij gebruik wordt gemaakt van ‘Menelaos' theorema’ over transversalen van een driehoek, in dit geval een boldriehoek. Waar Ptolemaios' sterrenkunde veel rekenwerk (in sexagesimale breuken) bevat, is de verhandeling van Menelaos meetkundig in de zuivere Euklidische traditie. Het is zeer waarschijnlijk dat tot deze periode ook Heroon (of Hero) behoort, wij weten althans dat hij een maaneclips van 62 n. C. precies beschrijft.2 Heroon was een encyclopedisch schrijver, hij schreef over meetkundige, rekentechnische en mechanische onderwerpen. In zijn Metrica vinden we de ‘Heronische’ formule voor het oppervlak van een driehoek: in een meetkundige vorm, een formule die ook wel aan Archimedes wordt toegeschreven. Bij Heroon komen Griekse en Oosters-Egyptische elementen beide voor, zo vindt men in de Metrica typische Egyptische stambreuken, als in de benadering voor √63 door 7 + ½ + ¼ + ⅛ + 1/16. Heroon's formule voor de inhoud van een afgeknotte vierzijdige piramide kan herleid worden tot die welke in de oude Moskouse papyrus voorkomt. Zijn uitdrukkingen voor de inhoud van de vijf regelmatige lichamen zijn daarentegen weer in de geest van Euklides.

1 H. Michel, Traité de l'astrolabe (Parijs, 1947), zie ook O. Neugebauer in Isis 40 (1949) 240-256, en P.H. van Cittert over astrolabia in het Utrechts Universiteitsmuseum (1954). Algemeen: Eva G.L. Taylor, The Haven-finding Art (1956). 2 O. Neugebauer, Über eine Methode zur Distanzbestimmung Alexandria-Rom bei Heron. Hist. fil. Medd. Danske Vid. Sels. 26 (1938) No. 2, 28 bldz.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 77

13.

De invloed van het Oosten is nog veel sterker in de Arithmetica van Diofantos (ca. 250 n. C.). Van de oorspronkelijke boeken zijn er nog zes over, hoeveel er totaal waren weten we niet precies. Uit de bekwame manier waarop bepaalde en onbepaalde vergelijkingen behandeld worden blijkt dat de aloude algebra van Babylon of misschien ook van Indië onder het Griekse vernis niet alleen nog voortleefde, doch ook verbeterd werd. Hoe en wanneer dit gebeurde weten we niet, evenmin als we weten wie Diofantos was, misschien wel een gehelleniseerde Babyloniër. Zijn Arithmetica is een der meest fascinerende verhandelingen die ons uit de Grieks-Romeinse oudheid zijn overgeleverd. Diofantos' verzameling van vraagstukken omvat vele gebieden en de behandeling is vaak hoogst vernuftig. ‘Diofantische analyse’ bestaat in het vinden van oplossingen van allerlei onbepaalde vergelijkingen, zoals (in onze notatie) y2 = Ax2 + Bx + C, of y3 = Ax3 + Bx2 + Cx + D of stelsels van zulke vergelijkingen. Karakteristiek was Diofantos' verlangen positief rationale oplossingen te vinden, dus niet noodzakelijk oplossingen in gehele getallen. Irrationale oplossingen waren ‘onmogelijk’, en hij zorgde ervoor dat zijn coëfficiënten getallen waren die tot positieve rationale oplossingen voerden. Onder zijn vergelijkingen vinden we x2 + y2 = z2 (de ‘Pythagoreïsche drietallen’), en de vergelijkingen van Pell x2 - 26y2 = 1, x2 - 30y2 = 1. Diofantos heeft ook verscheidene stellingen op het gebied der getallentheorie, zoals het theorema (III, 19) dat als elk van twee gehele getallen de som is van twee vierkanten hun produkt op twee manieren kan gesplitst worden in de som van twee vierkanten. Hij heeft ook theorema's over de splitsing van een getal in de som van drie en vier vierkanten. In Diofantos vinden we voor het eerst een stelselmatig gebruik van algebraïsche symbolen. Hij heeft een eigen teken voor de onbekende, voor het minteken, voor omgekeerden. De symbolen hebben nog meer de natuur van afkortingen dan van algebraïsche symbolen in onze zin, en zo spreekt men wel van Diofantos' ‘gesyncopeerde’ algebra in tegenstelling tot onze ‘symbolische’. Voor elke macht van de onbekende had hij een eigen symbool. Hier vinden we dus niet alleen, zoals in Babylon, arithmetische kwesties van een duidelijk algebraïsch karakter, doch ook een goed ontwikkelde algebraïsche notatie die meehielp om vraagstukken op te lossen die ingewikkelder waren dan die welke vroeger aan de orde

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 78 waren gesteld.1 Toen, in het laatst van de zestiende en het begin van de zeventiende eeuw de studie van Diofantos weer werd opgevat, door Stevin, Viète en vooral Fermat, heeft de ‘Arithmetica’ er toe bijgedragen dat zowel algebra als getallenleer een nieuwe bloeiperiode tegemoet ging.

14.

De laatste grote Alexandrijnse wiskundige verhandeling was de Verzameling (Synagoge) van Pappos (eind 3e eeuw). Dit werk, in acht boeken, was een soort inleiding tot de studie van de Griekse meetkunde met historische noten, verbeteringen en veranderingen in bestaande theorema's en bewijsvoeringen. Het behoorde eigenlijk met de oorspronkelijke werken tezamen gelezen te worden, en niet onafhankelijk ervan. Vele resultaten van antieke schrijvers zijn ons echter alleen bekend in de vorm waarin Pappos die aan ons heeft overgeleverd. Voorbeelden zijn vraagstukken die betrekking hebben op de driedeling van een hoek, de verdubbeling van de kubus, en de kwadratuur van de cirkel. In een sectie over isoperimetrische figuren (dat een boek van Zenodorus, misschien ca. 180 voor Chr., volgt) vindt men de uitspraak dat de cirkel een groter oppervlak heeft dan elke regelmatige veelhoek met dezelfde omtrek. Hier vindt men ook een opmerking over het feit dat de cellen in een honingraat een hexagonale vorm hebben, omdat zulk een figuur onder de gegeven voorwaarden van ruimtevulling een maximum aan honing kan bevatten.2 De dertien halfregelmatige lichamen van Archimedes (die van de vijf regelmatige lichamen daarin verschillen, dat zij niet door één doch door twee of drie stelsels van congruente regelmatige veelhoeken begrensd zijn), zijn ook door Pappos bekend gemaakt. Sommige eigenschappen die hij vermeldt behoren tot wat we nu de projectieve meetkunde noemen, maar ze zijn geïsoleerd en schijnen er op te wijzen dat de Oudheid nooit aan een systematische projectieve meetkunde is

1 Papyrus 620 van de Universiteit van Michigan, in 1921 verkregen, bevat sommige vraagstukken in Griekse algebra die tot een periode vóór Diofantos behoren, misschien tot het begin van de tweede eeuw na Chr. In dit manuscript vindt men al reeds sommige van Diofantos' symbolen. Zie F.E. Robbins, Classical Philology 24 (1929), 321-329, K. Vogel, ibid. 25 (1930) 373-375. De indeling van de algebra in ‘retorische’ (geheel in woorden), ‘gesyncopeerde’ (half en half), en ‘symbolische’ (algebra van heden) komt het eerst voor bij G.H.F. Nesselman, Die Algebra der Griechen (Berlijn, 1842). 2 Een uitvoerige discussie van dit probleem vindt men in D'Arcy W. Thompson, Growth and Form (2e uitg., Cambridge, 1942).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 79 toegekomen. Maar met zijn verscheidenheid van problemen, en juist door het feit dat hij zoveel vragen aanroert doch slechts ten dele oplost, heeft Pappos, met zijn Verzameling, evenals Diofantos met zijn Arithmetica, een boek achtergelaten dat vele latere geesten tot verder werk heeft aangespoord. Met het langzame verval van de antieke maatschappij verviel ook de Alexandrijnse school. Ze bleef, globaal gezien, een bolwerk van de heidense filosofie tegen het opdringende Christendom, en sommige wiskundigen van die school hebben zich ook een plaats verworven in de geschiedenis der antieke wijsbegeerte: Proklos (410-485), wiens commentaar tot het eerste boek van Euklides' Elementen een van onze voornaamste bronnen van de geschiedenis der Griekse wiskunde is, was de leidende figuur van een Neo-Platonische school in Athene. Een andere commentator van de Elementen was Theon van Alexandrië (ca. 370). Zijn behandeling van de Elementen is tot aan de negentiende eeuw toe voor de oorspronkelijke tekst aangezien. Theons dochter Hypatia heeft ook commentaren op klassieke wiskundigen geschreven. Ze werd in 415 door aanhangers van de heilige Cyrillus vermoord, hetgeen Charles Kingsley tot het schrijven van de roman Hypatia inspireerde (1853).1 In deze filosofenscholen met hun commentatoren wisselden eeuwen lang tijden van voorspoed af met tijden van achteruitgang. De Akademie in Athene werd in 529 door Keizer Justinianus als ‘heidens’ opgeheven, doch omstreeks die tijd waren er al weer andere scholen, b.v. in Constantinopel en in (Perzisch) Jundishapur. Vele oude teksten weerstonden de eeuwen in boekerijen van Constantinopel waar Grieks schrijvende commentatoren doorgingen, tot de val in 1453, de herinnering aan de Griekse wetenschap en wijsbegeerte levend te houden. In het jaar 641 werd Alexandrië door de Arabieren veroverd, die de Griekse beschaving van de opperste lagen der maatschappij door een Arabische vervingen. Men behoeft het verhaal dat de Arabieren de beroemde bibliotheek vernield hebben niet te geloven; het is best mogelijk dat er van die bibliotheek al niet veel meer over was.2 Aan het karakter van de wiskunde in Egypte hebben de Arabische veroveraars weinig veranderd. Er was een tijdelijke achteruitgang,

1 Ook: F. Mauthner, Hypatia, Roman aus dem Altertum (1892). Zie verder D.J.E. Schrek, Hypatia van Alexandrië, Euclides 21 (1945-46) 164-173. 2 A. Parsons, The Alexandrian Library. Glory of the Hellenistic World (Amsterdam enz., 1952) is anders van oordeel.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 80 maar als we weer van Egyptische wiskunde horen heeft ze nog steeds het Alexandrijnse half Grieks, half Oosterse karakter (b.v. Alhazen).

15.

Wij eindigen dit hoofdstuk met enkele opmerkingen over Griekse arithmetica en logistica. De ‘arithmetica’ was de leer der getallen (arithmoi), de ‘logistica’ was de praktische rekenkunst. De term ‘arithmos’ werd gebruikt voor wat wij een natuurlijk (dus positief geheel) getal noemen, een getal dat een grootheid is ‘bestaande uit 1 eenheden’ (Euklides VII, Def. 2); één werd dus niet als een getal beschouwd. Ons begrip reëel getal was onbekend, en een lijnsegment had dus niet altijd een lengte, die in getallen kan worden uitgedrukt. Waar wij reële getallen gebruiken, gebruikte de Griekse wiskundige theoreticus meetkundige beschouwingen. Als Euklides wil uitdrukken dat het oppervlak van een driehoek gelijk is aan het halve produkt van hoogte en grondlijn zegt hij dat dit oppervlak de helft is van dat van een parallellogram met gelijke grondlijn dat tussen dezelfde evenwijdige lijnen ligt als de driehoek (Euklides I, 4). De stelling van Pythagoras was een betrekking tussen de oppervlakken van drie vierkanten en niet tussen de lengten van drie zijden. Vierkantsvergelijkingen komen in de Elementen voor, doch als meetkundige constructies op de zgn. ‘aanpassing’ berustende. De wortels zijn dan zekere lijnstukken, en daarom altijd positief. Deze opvatting over lijnen en getallen was een welbewuste daad, die op de overwinning van het Platonische idealisme binnen de Griekse bezittende klasse (voor zover ze in de wiskunde belangstelling had) berustte, en die een afkeer vertolkte tegenover de Oosterse opvattingen, die in de betrekkingen tussen meetkunde, algebra en rekenkunde geen beperkingen aan het getalbegrip oplegden. Er bestaan voldoende redenen om aan te nemen dat deze opvattingen, b.v. dat van het theorema van Pythagoras als een getallenbetrekking, aan de Ionische wiskundigen bekend moeten zijn geweest, en die opvattingen moeten dus later bewust verworpen zijn. Toch is het gewone getallenrekenen, de logistica, gedurende alle perioden van de Griekse geschiedenis steeds levend gebleven, ook onder wiskundigen. Euklides moge het verworpen hebben en het aan de marktplaats hebben overgelaten, Archimedes en Heroon

1 Wij vinden nog bij Stevin, in zijn Arithmétique van 1585, een bijna hartstochtelijk betoog om ‘één’ als een getal te erkennen.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 81 gebruikten het met groot gemak en zonder gewetensbezwaren. Dit rekenen was gebaseerd op een notatie die met de tijd veranderde. Oorspronkelijk hadden de Grieken een stelsel waaraan een additief decimaal beginsel ten grondslag lag, als bij de Egyptenaren en later de Romeinen. In de Alexandrijnse periode, en misschien wel vroeger, kwam een methode in gebruik die anderhalf duizend jaar bestaan heeft, en niet alleen door mannen van wetenschap, doch ook door kooplieden en beambten werd aangewend. In dit stelsel gebruikte men de notatie van het Griekse alfabet om getallen uit te drukken1, eerst 1, 2,..., 9 (dus 1 = α, 2 = β, enz.), dan de tientallen van 10 tot 90, (dus ι = 10, κ = 20, enz.) en eindelijk de honderdtallen van 100 tot 900 (dus ρ = 100, σ = 200, enz.). Soms werd er een streepje boven gezet, b.v. ᾶ = 1. Drie verouderde letters werden aan de 24 letters van het Griekse alfabet toegevoegd om de nodige 27 symbolen te krijgen. Zo kon men elk getal beneden 1000 met ten hoogste 3 symbolen uitdrukken, b.v. 14 als ιδ, 257 als σνζ, getallen groter dan 1000 werden door een eenvoudige toevoeging van symbolen aangegeven, b.v., α voor 1000. Breuken kon men er ook mee uitdrukken. Men vindt dit stelsel zowel in de bestaande manuscripten van Archimedes, Heroon en andere klassieke auteurs, als in koopmanshandschriften. Er bestaat archeologisch materiaal dat laat zien dat het ook op school werd onderwezen. Dit was een decimaal, maar niet een positiestelsel, ιδ en δι konden beide alleen maar 14 betekenen. Dit ontbreken van een plaatswaarde en het gebruik van niet minder dan 27 symbolen zijn vaak als bewijzen voor de inferioriteit van dit stelsel aangevoerd. Het gemak, waarmee de antieke wiskundigen het gebruikten, het feit dat Griekse kooplui het zelfs voor ingewikkelde berekeningen accepteerden, de lange tijd dat het gebruikt werd (in het Oost-Romeinse Rijk tot aan zijn ondergang in 1453), wijzen er op dat dit Griekse stelsel ook enige voordelen had. Als men zich een beetje oefent in het gebruik, blijkt dat er weinig kunst voor nodig is om de elementaire operaties ermee te verrichten, zodra de betekenis van de 27 symbolen is begrepen (een taak niet moeilijker dan de 26 letters van ons alfabet te leren). Breukenrekening was ook vrij eenvoudig, maar hier waren de Grieken inconsequent, omdat een algemeen aanvaard systeem ontbrak. Ze gebruikten Egyptische

1 Eigenlijk werden hoofdletters gebruikt, dus Α voor α, Γ voor γ, enz. De letters α, β, γ, enz. zijn eerst in de Middeleeuwen ingevoerd, door Byzantijnse geleerden.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 82 stambreuken, Babylonische sexagesimaalbreuken en ook breuken in een notatie die enigszins aan de onze herinnert (Archimedes schrijft 10/71 als ῖοα´, met een accent om de noemer aan te wijzen). Decimale breuken werden niet gebruikt; deze verschijnen eerst in Europa nadat het rekenapparaat ver was uitgegroeid boven dat van de antieke wereld en in vele schoolboekjes vindt men decimale breuken niet voor de achttiende of zelfs negentiende eeuw. Men heeft wel beweerd dat deze alfabetische manier van schrijven een slechte invloed heeft gehad op de groei van de Griekse algebra, omdat het gebruik van letters voor bepaalde getallen hun gebruik voor getallen in het algemeen, zoals wij het in onze algebra doen, verhinderde. Wij kunnen zulk een formele verklaring voor de afwezigheid van een Griekse algebra vóór Diofantos moeilijk aanvaarden, ook al waarderen wij ten volle de betekenis van een goede notatie. Indien de klassieke schrijvers de behoefte hadden gevoeld aan een goede algebra hadden ze wel de bijbehorende notatie gevonden, zoals we dat dan ook bij Diofantos zien beginnen. Het vraagstuk dat het bestaan en niet-bestaan van de Griekse algebra opwerpt kan alleen worden benaderd door verdere studies over het verband tussen Griekse en Babylonische wiskundigen, en dit weer in de gehele samenhang van de betrekkingen tussen de Griekse en de Aziatische wereld.

Literatuur

De klassieke Griekse wiskundige auteurs zijn allen in moderne uitgaven te verkrijgen, en van bijna allen bestaan vertalingen in het Engels, het Duits of het Frans. In de Nederlandse taal bezitten wij: E.J. Dijksterhuis, De Elementen van Euclides (2 dln, Groningen, 1930). Dit boek bevat ook een kritisch overzicht van de literatuur vóór Euclides. E.J. Dijksterhuis, Archimedes (eerste deel Groningen, 1938; vervolgd in ‘Euclides’ 15-17, 20 (1938-44), het geheel ook in het Engels, Kopenhagen 1956). B.L. van der Waerden, Ontwakende wetenschap (Groningen 1950, ook in het Duits en Engels). E.M. Bruins, Fontes mateseos (Leiden 1953). Dit boek bevat een aantal Griekse teksten voor schoolgebruik met verklaringen in het Nederlands.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 83

Verder in andere talen: T.L. Heath, A History of Greek Mathematics (2 dln., Cambridge, 1912). T.L. Heath, A Manual of Greek Mathematics (Oxford 1931, ook in Dover herdruk 1963). T.L. Heath, The Thirteen Books of Euclid's Elements (3 dln., Cambridge 1908, ook in Dover herdruk 1955).

Al deze boeken van Heath (er bestaan nog andere, o.a. over Aristoteles, Diofantos en Archimedes) zijn standaardwerken.1 P. Ver Eecke, Oeuvres complètes d'Archimède (Brussel 1921, herdruk Parijs 1961, heeft ook het commentaar van Eutocius). P. Ver Eecke, Pappus d'Alexandrie. La Collection mathématique, (Parijs-Brugge 1933). P. Ver Eecke, Proclus de Lycie. Les Commentaires sur le Premier Livre des Eléments d'Euclide (Brugge 1948). I. Schneider, Archimedes (Darmstadt, 1979). K. Manitius, Ptolemäus' Handboek der Astronomie, 2e uitg., bewerkt door O. Neugebauer, 2 delen (Leipzig, 1963), eerste uitgave 1912-13. Engelse vertaling met commentaar van J.G.T. Toomer (Springer, New York enz., 1984). B.L. van der Waerden, Die Pythagoreër, Religiöse Bruderschaft und Schule der Wissenschaft (Zürich, München, 1979). G. Loria, Le Scienze esatte nell'antica Grecia (2e ed., Milaan 1914). G.J. Allman, Greek Geometry from Thales to Euclid (Dublin 1889). J. Gow, A Short History of Greek Mathematics (Cambridge, 1884). T. Dantzig, The Bequest of the Greeks (New York 1955). W. Blaschke, Griechische und anschauliche Geometrie (München, 1953). O. Becker, Das mathematische Denken der Antike (Göttingen, 1957). G. Hauser, Geometrie der Griechen von Thales bis Euklid (Luzern, 1955). K. Reidemeister, Die Arithmetik der Griechen, Einzelschriften

1 Thomas Little Heath (1861-1940) was een hoge beambte in het Engelse ministerie van financiën (tot 1926), Hij was een Fellow van de Universiteit van Cambridge. Zijn werken zijn klassieken op het gebied der Griekse wiskunde.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 84

Hamburger Mathem. Seminar 26 (1939). K. Reidemeister, Das exakte Denken der Griechen (Hamburg 1959). H. Wussing, Mathematik in der Antike (Leipzig, 1965) (behandelt ook de voor-Griekse wiskunde). A.D. Steele, Über die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik, Quellen und Studien A2 (1932) 61-89. A. Szabó, The Beginnings of Greek Mathematics, (Dordrecht enz., 1978). W.R. Knorr, Archimedes and the Pre-Euclidean Proportion Theory, Arch. intern. hist. sc. 28 (1978) 183-244.

Vergelijkende Griekse, Latijnse en Engelse teksten in J. Thomas, Selections illustrating the History of Greek Mathematics. (Londen, Cambridge Mass., 1939).

Verdere tekstkritiek in P. Tannery, Pour l'histoire de la Science hellène (2e ed., Parijs 1930). P. Tannery, Mémoires scientifiques (dln. 1-4) (Toulouse Paris 1912-20). H. Vogt, Die Entdeckungsgeschichte des Irrationalen nach Plato und anderen Quellen des 4ten Jahrhunderts, Bibliotheca mathematica (3e ser.) 10 (1909-10) 97-105. E. Sachs, Die fünf Platonischen Körper (Berlin 1917). E. Frank, Plato und die sogenannten Pythagoreer (Halle, 1923). S. Luria, Die Infinitesimaltheorie der antiken Atomisten, Quellen und Studien zur Gesch. d. Mathem. B 2 (1932) 106-185 vgl. hierbij het in het Russisch geschreven boek van dezelfde schrijver met dezelfde titel. Verh. Inst. v. Gesch. d. Wetenschap en Techniek II 5 (Akademie der Wetenschappen USSR, 1935).

Over de betrekking tussen Griekse en Oosterse astronomie: O. Neugebauer, The History of Ancient Astronomy. Problems and Methods, Journ. Near Eastern Studies 4 (1945) 1-38. Id. A History of ancient mathematical Astronomy (3 dln., Springer, New York enz., 1975).

Vgl. hierbij: B.L. van der Waerden, Die Anfänge der Astronomie. Erwachende Wissenschaft II (Groningen, 1967).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 85

Verdere literatuur: W. Lietzmann, Der Pythagoreische Lehrsatz. Mit einem Ausblick auf das Fermatsche Problem. (Leipzig, 1951). H.A. Naber, Das Theorem des Pythagoras (Haarlem, 1908). F. Cajori, The History of Zeno's Arguments on Motion. Amer. Math. Monthly 22 (1915). Acht artikelen. Zie ook Isis 3 (1920-21) 8-20. M.R. Cohen-J.E. Drabkin, A Source Book in Greek Science (New York, 1948). T.L. Health, Mathematics in Aristotle (Oxford, 1949). H.G. Apostle, Aristotle's philosophy of mathematics (Chicago, 1952). P. Lorenzen, Die Entstehung der exakten Wissenschaften (Berlin 1960).

In het Russisch: E. Kolman, Geschiedenis van de wiskunde in de Oudheid (Moskou, 1961). I.G. Bashmakova, Lessen over de geschiedenis van de Griekse wiskunde, Istor.-matem. issledovaniye 11 (1958) 225-438. De DSB heeft uitvoerige artikelen over Euklides, Archimedes en andere Griekse wiskundigen. In het Lexikon der antiken Welt (Stuttgart, 1965) vindt men ook artikelen over die wiskundigen, door K. Vogel en anderen.

Over Byzantijnse wiskunde, zie K. Vogel, Der Anteil von Byzanz an Erhaltung und Weiterverbreitung der griechischen Mathematik, in Miscellanea mediaevalae Ia, Berlin 1962, 112-128. Zie ook Istor.-matem. Issled. 10(1973) 249-263 (Russisch).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 87

IV. Het Oosten na het verval van de Griekse maatschappij

Ondanks alle hellenistische invloed was de oude beschaving van het Nabije Oosten nooit verdwenen: in de Alexandrijnse wetenschap zien we zowel Oosterse als Griekse invloeden duidelijk aan het werk. Oost en West konden elkaar ook ontmoeten in zulke plaatsen als Constantinopel of in India. In 395 stichtte Theodosius I het Byzantijnse Rijk met Constantinopel als hoofdstad, dat, ofschoon zelf Grieks, tegelijk het administratieve centrum was van grote gebieden waarvan de Grieken slechts een gedeelte van de stedelijke bevolking uitmaakten. Dit rijk streed duizend jaar lang tegen machten uit het Noorden, Oosten en Westen, en diende tevens als een bolwerk van Griekse beschaving en als een brug tussen de Arabische en Latijnse wereld. Alreeds in de tweede eeuw na Christus werd Mesopotamië onafhankelijk van de Romeinen, eerst onder de Parthische koningen, na 266 onder de zuiver Perzische dynastie der Sassanieden. In het Indusgebied treffen we enige eeuwen lang Griekse dynastieën aan, die in de eerste eeuw na Christus verdwenen, doch de volgende Indische heersers bleven culturele betrekkingen met Iran en het Westen onderhouden. Met de plotselinge opkomst van de Islam komt de politieke overheersing van het Nabije Oosten door de Grieken bijna geheel tot een einde. Na 622, het jaar van de Hegira, veroverden de Arabieren stormenderhand grote gedeelten van westelijk Azië en hadden voor het einde van de zevende eeuw niet alleen grote delen van het Oost-Romeinse, doch ook van het oude West-Romeinse Rijk bezet, landen als Sicilië, Noord-Afrika en Spanje. Waar zij kwamen poogden zij de Grieks-Romeinse cultuur door die van de Islam te vervangen. De ambtstaal en wetenschappelijke taal werd Arabisch, in plaats van Latijn of Grieks, maar ook al werden nu geleerde werken in het Arabisch geschreven, toch bleef onder de Arabische heerschappij de continuïteit van de oude Griekse en Oosterse beschaving voor een groot deel bewaard. De oude inheemse culturen hadden onder deze heerschappij zelf een betere kans om bewaard te blijven dan onder de Grieken, wier cultuur altijd een opgelegd karakter had gedragen. Zo bleef bijvoorbeeld Perzië ondanks het Arabische bestuur toch in menig opzicht het oude land der Sassanieden. De wedijver tussen de verschillende

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 88 tradities leefde voort, ook al nam hij nieuwe vormen aan. Gedurende de gehele periode van de heerschappij van de Islam bleef ook ononderbroken een Griekse traditie bestaan, een traditie die haar eigen karakter te midden van de inheemse culturen wist te handhaven.

Wij hebben gezien dat gedurende het bloeitijdperk van het Romeinse Rijk de mooiste wiskundige resultaten waren verkregen in Egypte, waar Oosterse en Griekse beschaving enige eeuwen lang vruchtbaar op elkaar konden inwerken. Met de ondergang van het Romeinse Rijk kwam het centrum der scheppende wiskundige bedrijvigheid langzamerhand in India te liggen, en vandaar uit kwam het op den duur weer naar Mesopotamië toe (wij spreken hier niet van China, dat zijn eigen weg ging, doch met India in culturele uitwisseling stond.) De eerste Indische bijdragen tot de exacte wetenschappen, die tamelijk goed bewaard zijn gebleven, zijn de Siddhāntā's, waarvan een gedeelte, de Sūrya, bewaard is in een vorm die misschien nog de oorspronkelijke is. Ze dateert mogelijkerwijze uit de vierde eeuw na Christus. Deze boeken bevatten veel sterrenkundige bijdragen met de epicykeltheorie en sexagesimale breuken. Dit wijst op Griekse invloed, die misschien reeds teruggaat tot de tijd vóór de Almagest, maar een direct verband met de Babylonische astronomie is ook niet uitgesloten. De Siddhāntā's hebben overigens ook vele karakteristieke trekken. De Sūrya Siddhāntā bevat tafels van sinussen en niet, als die van Ptolemaios, van koorden. Die sinussen zijn halve koorden van de dubbele hoek bij een gegeven waarde van de straal R: R sin α = ½ koorde (2α). Eerst bij Euler (1748) wordt stelselmatig R = 1 gesteld en houdt de sinus op een lijn te zijn, maar is een getal. De resultaten van de Siddhāntā's werden in de Indische scholen van wiskundigen, die men o.a. in Ujjain (Centraal-India) en in Mysore (Zuid-India) vond, stelselmatig bestudeerd en verder uitgewerkt. Nu beginnen wij enige namen van individuele wiskundigen en hun geschriften te verkrijgen; enige dezer geschriften bestaan in een vertaling in een moderne taal. De meest bekende dezer wiskundigen zijn Āryabhata (wel de ‘Eerste’ genoemd, ca. 500)1 en Brahmagupta (ca. 625). Hoezeer zij door de Griekse, Babylonische of Chinese wetenschap zijn beïnvloed is niet met zekerheid uit te maken, doch het eigen karakter

1 Een Āryabhata II, ook een wiskundige en astronoom, leefde in de elfde eeuw n. C.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 89 van hun werk is niet te ontkennen. Dit werk heeft meer een arithmetisch-algebraïsch karakter, en in zijn nadruk op onbepaalde vergelijkingen (vaak ontstaan uit kalenderberekeningen) vertoont het een zekere verwantschap met dat van Diofantos enerzijds en dat van de Chinezen anderzijds. Deze auteurs werden in de volgende eeuwen door anderen gevolgd, die in dezelfde geest werkzaam waren; hun werk had gedeeltelijk een astronomisch, gedeeltelijk een arithmetisch-algebraïsch karakter, zijdelings werden praktische meetkunde en trigonometrie behandeld. Āryabhata had voor π de waarde 3,1416. Een geliefkoosd onderwerp was het vinden van rationale driehoeken en vierhoeken (hierbij moet het oppervlak geheel zijn als de zijden gehele getallen zijn); hierbij denken we in het bijzonder aan Mahāvirā, die tot de wiskundigen van Mysore behoort (ca. 850). En in Ujjain, waar Brahmagupta had gewerkt, vinden we omstreeks 1150 een andere uitstekende wiskundige, Bhāskara, genaamd Bhāskara II.1 Voor de oplossing van onbepaalde vergelijkingen van de eerste graad ax + by = c (a, b, c geheel), zoals we die o.a. bij Brahmagupta vinden, werden gehele getallen vereist. Het is daarom, als men precies wil zijn, niet juist om zulke vergelijkingen Diofantisch te noemen, omdat Diofantos oplossingen met breuken toeliet. De Hindoes waren de eersten die vasthielden aan de eis dat de oplossingen gehele getallen moeten zijn. Een ander verschil met Diofantos was dat in India ook negatieve wortels voor een vergelijking werden aanvaard, al was dit misschien een oudere praktijk, ontleend aan de Chinese wiskunde of misschien aan de astronomie. Hoe dit ook zijn moge, wij weten dat Bhaskara aan de vergelijking x2 - 45x = 250 de wortels x = 50 en x = -5 toekende, al was hij er niet geheel van overtuigd dat zulk een negatieve wortel zin had. Zijn Lilāvati (opgedragen aan een dame, naar men zegt zijn dochter) was eeuwen lang een standaardwerk over rekenen meetkunde in India en ook daarbuiten: Keizer Akbar liet het in het Perzisch vertalen (1587). In 1892 werd het nog weer eens in Calcutta uitgegeven. Bij de Indische wiskundigen vinden we ook studies in de oplossing van vergelijkingen van de gedaante x2 - Ay2 = 1 (A geheel) in gehele getallen, vergelijkingen die we nu naar Pell noemen. Ook vinden we alreeds bij Āryabhata rekenwijzen die als oplossingsmethoden van vergelijkingen met kettingbreuken kunnen worden opgevat. Bij Brahmagupta vindt men de formule

1 Een Bhāskara I, een astronoom, beïnvloed door Āryabhata I, leefde omstreeks 630 n. C.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 90

voor het oppervlak van een koordenvierhoek met zijden a, b, c, d.1 Overigens moeten we erop bedacht zijn, dat het oude India nog wiskundige schatten bezit die eerst nu weer langzaam aan het licht worden gebracht en uit de Sanskrietteksten in moderne wiskundige taal worden vertaald. Zo zijn we b.v. te weten gekomen dat de reeks voor π/4, die we naar Gregory of Leibniz noemen, reeds te vinden is bij Nïlakantha (ca. 1500), natuurlijk in een terminologie die zeer van de onze verschilt.2

Het meest bekende resultaat van de wiskunde der Hindoes is het decimale positiestelsel. Het decimale stelsel is zeer oud, en het positiestelsel zijn we alreeds in het oude Mesopotamië tegengekomen, doch de verbinding van die twee ontwikkelde zich naar het schijnt eerst in China, en daarna in India. Hier verkreeg het geleidelijk de overhand op oudere stelsels, die niet op positie berustten. In India wordt het decimale positiestelsel het eerst gevonden op een inscriptie van het jaar 595 na Chr., waar men de datum 346 aantreft, met de drie tekens voor 3, 4, 6 geschreven. De Indiërs hadden reeds vele eeuwen lang een systeem waarin getallen, ook zeer grote, in woorden werden uitgedrukt volgens een positiebeginsel, en er bestaan teksten uit vroege tijd met de term ‘sūnya’, dat nul betekent.3

1 Brahmagupta schrijft ergens in zijn boek dat hij sommige vraagstukken alleen ‘voor de aardigheid’ had opgenomen. Dit bewijst nog eens ten overvloede dat deze wiskunde van het Oosten zijn zuiver utilitaristisch karakter had verloren - iets dat we reeds bij de oude Babylonische wiskunde hadden opgemerkt. Honderdvijftig jaren na Brahmagupta vinden we dit speelse karakter ook in de Vraagstukken voor het scherpen van de geest der jongeren (Propositiones ad acuendos iuvenes), vermoedelijk geschreven door Alcuin van York, door Karel de Grote met het oprichten van scholen belast (ca. 800). Wiskunde in de vorm van puzzels heeft vaak tot nieuwe resultaten geleid en heeft zelfs nieuwe gebieden geopend, b.v. de analysis situs. Dit geldt ook heden nog, en sommige puzzels wachten nog steeds op hun opname in de hoofdgebieden der wiskunde. Eerst in onze dagen heeft men zich b.v. ernstig met de wiskundige theorie der knopen beziggehouden. 2 C.T. Rajagopal en T.V. Vedamurthi Aiyar, Scripta mathematica 17 (1951), 65-74, vgl. daarbij J.E. Hofmann, Mathem. physik. Semesterberichte 3 (1953), 194-206. 3 Men kan dit misschien vergelijken met het gebruik van het woord ‘kenos’ in het Grieks, b.v. b in Aristoteles' Physica IV 8, 215 , dat ‘het lege’ betekent. Zie C.B. Boyer, Zero; the symbol, the concept, the number, National Mathematics Magazine 18 (1944), 323-330.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 91

Het zgn. Bakshāli-manuscript, dat uit zeventig bladen van berkenschors bestaat, en dat van onzekere ouderdom is (schattingen variëren van de derde tot de twaalfde eeuw na Chr.) en traditioneel Indisch materiaal over benaderingen, onbepaalde vergelijkingen en vierkantsvergelijkingen bevat, heeft een punt om de nul uit te drukken. De eerste keer dat een teken voor nul in een opschrift verschijnt, is de negende eeuw. Dit is veel later dan het optreden van een teken voor nul in Babylonische teksten. Het teken voor nul dat wij hebben, de 0, kan Griekse invloed verraden (‘oudèn’ is het Griekse woord voor niets, een woord dat met een omikron begint). Terwijl de Babylonische punt voor nul slechts tussen cijfers wordt geschreven, komt de Indische nul ook aan het einde van een getal voor, en dit maakt 0, 1, 2,..., 9 tot gelijkwaardige symbolen.1 Het decimale positiestelsel verspreidde zich geleidelijk langs de karavaanwegen van India uit naar verschillende richtingen en veroverde zich een plaats te midden van allerlei andere stelsels. Details omtrent deze verspreiding kennen we eigenlijk alleen maar uit latere eeuwen, doch we kunnen ons voorstellen dat het decimale positiestelsel onder de Sassanieden (224-641) naar Perzië is gekomen: er bestond toen een vrij nauw contact tussen Mesopotamië, India en Egypte. Het is niet onmogelijk dat in deze periode de herinnering aan het oude Babylonische positiestelsel nog leefde. Ook tot Egypte is het decimale positiestelsel misschien toen al doorgedrongen. De oudste duidelijke vermelding van het Indische positiestelsel buiten India wordt gevonden in een uitlating van de Syrische bisschop Severus Sēbōkht, die van 662 dateert. Dan begint met Al-Fāzarī's vertaling van de Indische Siddhāntā's in het Arabisch (ca. 773) de wereld van de Islam met het Indische stelsel kennis te maken. Dit stelsel begint zich nu over de Arabische wereld en ook daarbuiten te verspreiden, ofschoon ook het Griekse getallensysteem en ook andere systemen in gebruik bleven, zowel als het rekenen op het telbord (abacus). Bij die verspreiding van het decimale positiestelsel kunnen ook maatschappelijke factoren een rol hebben gespeeld, omdat het positiestelsel tegenover het rekensysteem van de Grieken en dat van de Romeinen meer in de Oosterse traditie lag. Op den duur bleek het decimale positiestelsel, ook Indisch-Arabisch stelsel genoemd, van het standpunt van de rekentechniek aanzienlijke voordelen boven alle andere stelsels te

1 Vgl. H. Freudenthal, 5000 jaren internationale wetenschap (Groningen, 1946).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 92 hebben, en dit heeft het doen zegevieren. De symbolen die men voor het schrijven der tien cijfers gebruikte, lopen nogal uiteen. Men kan evenwel twee hoofdtypen onderscheiden: de symbolen waarmee men in de Oost-Arabische wereld de cijfers aangaf, en de zgn. ġobâr (of ghubär) cijfers, die in de West-Arabische wereld voorkwamen, o.a. in Spanje. Die Oostelijke vormen worden in de Arabische wereld nog steeds gebruikt, doch uit die gobârgetallen schijnt zich het stelsel ontwikkeld te hebben, dat wij gebruiken. Er bestaat ook een (reeds vermelde) theorie van Woepcke, volgens welke de gobâr getallen al in Spanje gebruikt werden voor de Arabieren daar aankwamen. Alexandrijnse Neo-Pythagoreeërs zouden dan reeds ca. 450 na Chr. die getallen naar het Westen hebben gebracht.1 De voornaamste overbrengers van de tien decimale getallen met hun rekenwijze zullen echter wel kooplieden en andere praktisch ingestelde mensen zijn geweest.2

Het woord ġobâr betekent stof, omdat het telbord (abacus) vaak bestond uit een bord met zand bestrooid, waarin de tekens werden aangegeven, dus een stof-bord. Ons woord cijfer komt van het Arabisch sifr, dat ‘leeg, nul’ betekent (vgl. bladz. 91); het woord voor nul werd overgebracht op alle negen andere symbolen.

Mesopotamië, dat onder haar Hellenistische en Romeinse heersers een grensgebied van het Grieks-Romeinse cultuurgebied was geworden, herwon haar centrale positie langs de handelswegen onder de Sassanieden, die als inheemse vorsten over Perzië en aangrenzende gebieden regeerden in de traditie van Cyrus en Xerxes. Over de stand der wetenschap onder de Sassanieden is niet veel bekend, al wijst de legendarische geschiedenis, zoals ze uit de Duizend-en-Een Nacht, de verzen van Firdawsi en Omar Khayyam te voorschijn treedt, op een periode van culturele bloei. Tussen Constantinopel, Alexandrië, India en China gelegen, was het Perzië der Sassanieden een land waar verscheidene beschavingen elkaar

1 Vgl. S. Gandz, The Origin of the Ghubar Numerals, Isis 16 (1931) 393-424. Er bestaat ook een theorie van N. Bubnov, waarin de ġobâr vormen uit oude Grieks-Romeinse symbolen, die op de abacus werden gebruikt, worden afgeleid. Zie ook de voetnoot op bldz. 90 in F. Cajori, History of Mathematics (New York 1938), en D.E. Smith-L.C. Karpinski, The Hindu-arabic Numerals (Boston 1911) blz. 71. 2 Zie verder: The Tjoe Tie, De oorsprong van het tientallig positiestelsel. Scientiarum Historia A (1962) 24-34.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 93 ontmoetten. Babylon was verdwenen om plaats te maken voor Seleukia-Ktesiphon, tot dit na de Arabische verovering van 641 weer plaats moest maken voor Bagdad. Al werd nu Arabisch de officiële taal, veel van het oude Perzië bleef onder de Islam onveranderd bestaan. Zelfs de Islam werd slechts in een gewijzigde vorm aanvaard (het Sjiisme). Christenen, Joden en aanhangers van Zoroaster bleven bijdragen tot het culturele leven onder het kalifaat van Bagdad. Evenals in Alexandrië en in India nemen we ook onder de Islam een vermenging van allerlei stromingen in de wiskunde waar. De grote tijd der ‘Arabische’ wiskunde1 begint met de kaliefs uit het huis der Abbasieden: Al-Mansor (754-775), Haroen-al-Rasjied (786-809) en Al-Mamoen (813-833), die ook de sterrenkunde en andere wetenschappen aanmoedigden. Al-Mamoen richtte zelfs in Bagdad een ‘Huis der Wijsheid’ op met een bibliotheek en een sterrenwacht. Dit wetenschappelijke werk dat aanving met Al-Fāzarī's reeds vermelde vertaling van de Siddhāntā's, leidde omstreeks 825 tot de activiteiten van Mohammed ibn Moesā Al-Chwārizmī, een wiskundige geboortig uit Khiwa. Van de boeken, die Al-Chwārizmī heeft geschreven, hebben er twee, ook door een Latijnse vertaling, aanzienlijke invloed uitgeoefend. Vooreerst hebben we een elementaire rekenkunde, bewaard gebleven in een Latijnse vertaling van de twaalfde eeuw, die tot de verspreiding van het decimale positiestelsel in de Arabische en later in de Latijnse landen heeft bijgedragen. De Latijnse vertaling met de aanhef ‘Algorismi de numero Indorum’ heeft het woord algoritme, een latinisering van Al-Chwārizmī, blijvend aan onze wiskundige taal toegevoegd. Iets dergelijks is ook geschied met Mohammeds tweede boek, zijn algebra, waarvan de titel luidde: Hisāb al-jabr wal-moeqābala, hetgeen ‘wetenschap van hergroeperen en tegenover-

1 Met dit woord ‘Arabisch’ bedoelen we alleen dat de taal waarin de verhandelingen geschreven werden, het Arabisch is. Onder de geleerden die Arabisch schreven, waren maar weinig Arabieren. Men vindt er Perzen, Tadjuks, Egyptenaren, Joden, Moren en anderen onder. Op dezelfde manier kunnen we vele Europese schrijvers van Boëthius tot Gauss ‘Latijnse geleerden’ noemen, omdat ze in het Latijn schreven. Overigens wordt het eerst in de laatste jaren iets makkelijker voor de niet-Arabist, om in directe vertaling uit het Arabisch de wisen sterrenkunde van dit tijdperk te bestuderen, zodat men niet meer bijna geheel op tweede- en derdehands informatie is aangewezen. Zie verder o.a. A.P. Juschkewitsch-B.A. Rozenfeld, Die Mathematik der Länder des Ostens im Mittelalter, Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaft (Berlin, 1960). Vele vertalingen en beschrijvingen zijn in het Russisch, maar komen nu ook uit in andere talen.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 94 stellen’ betekent, wat staat voor de leer der vergelijkingen. Het woord al-jabr heeft, ook door latinisering, tot het woord algebra gevoerd. Inderdaad was algebra tot aan de tweede helft van de negentiende eeuw niets anders dan de leer der vergelijkingen. Deze Algebra van Al-Chwārizmī bevat een bespreking van eerste- en tweedegraadsvergelijkingen, maar alles in woorden. Zelfs het gesyncopeerde algebraïsche formalisme van Diophantos is afwezig. De vergelijkingen worden in zes categorieën verdeeld, die we in onze notatie als volgt schrijven: ax2 = bx, ax2 = c, bx = c, x2 + bx = c, x2 + c = bx, x2 + c = bx, x2 = bx + c, waarin a, b, c constanten zijn. De manier waarop Al-Chwārizmī ze aangeeft is b.v. ‘kwadraten en getallen zijn gelijk wortels’ voor x2 + c = bx; het woord ‘wortel’, latijn ‘radix’, staat voor de onbekende x. In de gevallen die behandeld worden zijn a, b, c altijd positieve getallen, zodat we als voorbeelden o.a. de vergelijkingen x2 + 10x = 39, x2 + 21 = 10x, x2 = 3x + 4 vinden, die ieder afzonderlijk behandeld worden. Deze drie vergelijkingen komen geregeld in de literatuur voor, zodat L.C. Karpinski eens gesproken heeft over ‘de vergelijking x2 + 10x = 39’, die ‘verscheidene eeuwen lang als een gouden draad door de algebra loopt’.1 De oplossingen van deze vergelijkingen (alleen positieve wortels komen in aanmerking) worden gevonden met behulp van een algebraïsch recept, aangevuld met een meetkundig diagram, direct of indirect aan Euklides ontleend. Ook Mohammeds astronomische en trigonometrische tafels (met waarden van sinussen en tangenten) zijn later in het Latijn vertaald. Zijn meetkundeboek is een catalogus van meetrecepten, het is van enig belang omdat het de directe invloed toont van een Joodse tekst uit 150 na Chr. Het vertoont overigens geen spoor van sympathie voor de Euklidische traditie. Zijn sterrenkunde was een uittreksel uit de Siddhāntā's en kan daardoor via de tekst in het Sanskriet misschien enige Griekse invloed tonen. Algemeen gesproken zien we bij Al-Khwārizmī de Oosterse invloed veel sterker dan de Griekse2, en best mogelijk is dit opzet geweest.

1 L.C. Karpinski, Robert of Chester's Latin translation of the Algebra of Al-Khwārismi, New York, 1913, blz. 19. 2 S. Gandz, The sources of Al-khwārizmīs Algebra, Osiris 1 (1936), 263-277. Over Al-Chwārizmī's erfenisproblemen volgens Arabisch recht, zie Osiris 5 (1938) 319-391.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 95

Het werk van deze wiskundige, ofschoon verre van oorspronkelijk, en nogal elementair, blijft belangrijk omdat het mee heeft geholpen de Indische getallen en de Arabische algebra in Latijns Europa bekend te maken. Dat receptachtige is deze algebra tot in het midden van de negentiende eeuw bijgebleven, ze bleef haar Oosterse oorsprong getrouw door haar gebrek aan axiomatische opbouw, waardoor ze verschilde van de meetkunde zoals Euklides die uiteenzette. Zeer lang kon men dit verschil tussen algebra en meetkunde nog in het schoolonderwijs waarnemen.

Andere Arabisch schrijvende geleerden verdiepten zich in de studie van de wiskunde zoals die door de Grieken was beoefend. Met grote toewijding werden de Griekse klassieken, Apollonios, Archimedes, Euklides, Ptolemaios en anderen in het Arabisch vertaald en becommentarieerd. Het woord Almagest, waarmee we Ptolemaios' sterrenkundig handboek aanduiden, is een mengsel van het Arabische ‘al’ en het Griekse ‘magistë’ (grootst). Dit overschrijven en vertalen heeft menig Grieks werk, dat in het oorspronkelijk is verloren geraakt, voor ons behouden. Algemeen gesproken was er een voorliefde voor de berekenende en praktische zijde van de Griekse wisen sterrenkunde, al vinden we ook vele theoretische beschouwingen in de Arabische literatuur. Maar de gonio- en trigonometrie was een gebied waarin de wisen sterrenkundigen van de Arabische wereld bijzonder waren geïnteresseerd. Zo vinden wij heel wat tabellen van wat we nu goniometrische functies noemen. Met de Indiërs voerden ze de sinus in als de halve koorde van de dubbele hoek. Dit Latijnse woord ‘sinus’, dat ‘bocht’ of ‘boezem’ betekent, is een letterlijke vertaling van het Arabische woord ‘gaib’, dat uit ‘gîb’ ontstond, een woord dat de Arabische manier was om het Indische woord ‘jyā’, koorde, op te schrijven.1 Men vindt heel wat gonio- en trigonometrie in de geschriften van de astronoom Al-Battānī (ca. 858-929), als Albategnius beroemd om zijn planetentheorie. Hij beschouwde niet alleen sinussen, doch beschouwde ook als hoekmaat de schaduw van een gegeven staaf voor invalshoeken van de zon die van graad tot graad opklimmen. Deze ‘umbra extensa’ was dus een cotangens. Rekenregels voor boldriehoeken, die bij Al-Battānī voorkomen, kunnen als de cosinusregel worden geïnterpreteerd.

1 Zie o.a. E.J. Dijksterhuis, Van Koorde tot Sinus, van Umbra tot Tangens, Euclides 29 (1953-54), 271-285.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 96

Het werk van Al-Battānī toont dat de geleerden in de cultuurwereld van de Islam niet alleen kopieerden, doch ook tot nieuwe resultaten kwamen door hun kennis van Griekse, Indische, inheemse en misschien ook Chinese methoden. Dit geldt ook voor Aboe-I-Wafa (940-998), die zijn kennis der trigonometrie gebruikte om (sexagesimale) sinustabellen voor intervallen van 15' samen te stellen, met waarden tot in acht decimalen nauwkeurig. Hij werkte ook met tangenten en voerde in studies over zonnewijzers de secans en de cosecans in. Hij vergemakkelijkte de studie van boldriehoeken, waarbij hij het equivalent van de sinusregel gebruikte. In zijn Meetkundige Constructies vindt men werkstukken opgelost met behulp van een passer met één vaste opening. Al-Karagi (Al-Karkī), die ca. 1025 is gestorven, heeft een algebra geschreven die bij Diofantos aanknoopt. Men vindt bij hem werk over irrationalen, zoals de formules √8 + √18 = √50, ∛54 - ∛2 = ∛16, verder de sommen Εk2, Εk3 voor k = 1, 2,..., n, en onbepaalde vergelijkingen in de stijl van Diofantos. Hij had een duidelijke voorliefde voor de Grieken, zijn ‘verwaarlozing van de wiskunde der Hindoes moet opzettelijk zijn geweest’.1

Het is hier niet nodig een verslag te geven van alle politieke en etnologische veranderingen die de wereld van de Islam verstoorden. Soms kwamen zij de wetenschap ten goede, dan weer brachten zij achteruitgang, soms gingen centra van studie verloren, dan kwamen weer andere op. Het karakter van de wisen sterrenkunde bleef in het algemeen onaangetast. Wij kunnen slechts enige hoogtepunten aanstippen. Omstreeks het jaar 1000 verschenen in Noord-Perzië nieuwe heersers, de Seldsjoekse Turken, wier rijk een tijdlang bloeide rondom het irrigatiecentrum van Merw. Hier leefde Omar Khayyam (ca. 1038/48 tot 1123/24), sinds 1859 in het Westen bekend als de dichter van de Rubaiyat, kwatrijnen zeer vrij vertaald in het Engels door Edward Fitzgerald.2 Omar was een astronoom, wiskundige en (Aristotelisch) wijsgeer.

In een der kwatrijnen (LIX) leest men (vrij vertaald) Ah, but my Computations, Maar mijn Kalenderwerk. Wat is People say de Reden

1 G. Sarton, Introduction to the History of Science I (1927), 719. Zie ook M. Cantor, Vorlesungen I (3e uitgave, 1907), 763. 2 P.C. Boutens, J.H. Leopold en anderen hebben de Engelse versie in het Nederlands herdicht.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 97

Have squared the Year to Van dit gecijfer. Ach, mijn vriend, human Compass, eh? het Heden If so, by striking from the Viert in mijn rekening triomfen Calendar Over afwezend Morgen en het Unborn tomorrow, dood Verleden and dead Yesterday.

Dit schijnt een toespeling te zijn op Omars hervorming van de oude Perzische kalender, die de fout terugbracht op één dag in 5000 jaren (1540 of 3770 jaren volgens andere interpretaties), waar onze Gregoriaanse kalender een fout heeft van één dag in 3330 jaar. Deze hervorming werd in 1079 ingevoerd, doch later weer vervangen door de maankalender. Omar schreef een Algebra, die een systematische studie van derdegraadsvergelijkingen bevat.1 Hierbij gebruikte hij een methode die de Grieken wel eens hebben gebruikt (b.v. bij de constructies voor het vinden van de dubbele evenredigen x, y tussen twee lijnsegmenten a, b, zodat a : x = x : y = y : b), waarbij de oplossing wordt gevonden door de snijpunten van twee kegelsneden te bepalen. Omar was niet in de numerieke berekeningen van oplossingen geïnteresseerd en maakte een onderscheid tussen ‘meetkundige’ en ‘rekenkundige’ oplossingen; de laatste bestonden slechts - net als bij de Grieken - als de wortels positief rationaal waren. Zijn methode was dus in beginsel verschillend van die der latere wiskundigen, die, beginnende met de Bolognezen van de zestiende eeuw, naar een algemene numerieke oplossing streefden. In een ander geschrift over de moeilijkheden bij Euklides verving Omar het parallellenaxioma door een aantal andere veronderstellingen. Hierbij stelde hij de figuur op die we nu verbinden met de zgn. hypothesen van de stompe, de scherpe en de rechte hoek, en waarbij dan de eerste twee (die we tegenwoordig als beginselen van de niet-euklidische meetkunde erkennen) door vernuftige redeneringen ad absurdum werden gevoerd. Omar trachtte ook de euklidische leer der verhoudingen door een getalsmatige theorie te vervangen, waarbij hij tot een benadering van irrationale getallen werd gevoerd en dichtbij het begrip reëel getal kwam.2 Nadat Bagdad in 1256 door de Mongolen was geplunderd, ont-

1 Risāla fī'l-barāhin 'alā masā'cl il-jabr wa'l-muqābala = Verhandeling over de bewijzen van vraagstukken uit de algebra. Khayyams naam is vaak gevonden in de vorm Al-Khayyāmi. Zie DSB 7 (1973) 327. 2 Zie o.a. D.J. Struik, Omar Khayyam, Mathematician, Mathem. Teacher 51 (1958)280-285.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 98 stond in de omgeving een nieuw centrum van studie in de sterrenwacht van Marāgha, gesticht door de Mongoolse heerser Hoelāgoe voor de astronoom Nasīr-al-dīn at-Toesi (Nasir-eddin, 1201-1274). Hier werd weer getracht alle beschikbare wiskundige wetenschappen, zowel van het Oosten als van de Grieken, bijeen te brengen. Nasir is een der eersten geweest die de gonio- en trigonometrie als zelfstandige tak van wetenschap van de sterrenkunde heeft gescheiden. Zijn pogingen om het parallellenaxioma te bewijzen doen sterk aan die van Omar denken en tonen duidelijk Griekse invloed. De invloed van Nasir (of At-Toesi, zoals hij vaak wordt genoemd) was zeer groot, zowel in de richting van Indië en China als naar het Westen. Zijn werk is aan de Europeanen van de Renaissance-tijd bekend geweest: nog in 1651 en 1663 zien we John Wallis bezig met de studie van het parallellenaxioma volgens Nasir-eddin. Nasirs onderzoekingen over de leer der verhoudingen en de numerieke benadering van irrationale getallen zijn eveneens in de traditie van Omar Khayyam. Een andere Perzische wiskundige, Jamsjid Al-Kashi (eerste helft vijftiende eeuw, Samarkand) was bedreven in het maken van grote rekenkundige en algebraïsche berekeningen, zodat we hem kunnen vergelijken met de wiskundigen die we in het Europa van de laatste jaren der zestiende eeuw zullen ontmoeten, zoals Viète of Van Ceulen. Hij loste derdegraadsvergelijkingen op met behulp van iteratieprocessen of van trigonometrische methoden, en benaderde wortels van vergelijkingen van willekeurige graad met de benaderingsmethode die we gewoon zijn te noemen naar de Engelsman W.G. Horner, die ze in 1819 opnieuw heeft ontdekt.1 Bij Al-Kashi vindt men de binomiale formule voor positief gehele exponenten2 en een beheersing niet alleen van berekeningen met sexagesimale, doch ook met decimale breuken (b.v. 25,07 maal 14,3 is 358,501), hetgeen evenals het gebruik van ‘Horners methode’ op Chinese invloed schijnt te wijzen (zie bldz. 101). Om in decimale breuken het gehele deel van het gebroken deel te onderscheiden, gebruikte Al-Kashi verschillende kleuren, en niet zoals wij een

1 Zie over Horner: J.L. Coolidge, The Mathematics of Great Amateurs (London 1949, New York 1963), Hoofdstuk 15. 2 Zie M. Yadagari, The binomial Theorem. A widespread Concept in Medieval Islam, HM 7 (1980) 401-406. We vinden tiendelige breuken reeds bij Al-Uglīdīsī in Damascus, in de jaren 952/953. Zie onder Literatuur.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 99 scheidingsteken als komma of punt. Hij kent π in 16 decimalen, en schrijft π ook in sexagesimalen - met een versje om de getallen te onthouden. Een belangrijke figuur in Egypte was Ibn Al-Haitham (Alhazen, ca. 965-1039). Men beschouwt hem wel als de grootste Islamitische natuurkundige; zijn Optica (of Perspectiva) heeft in een Latijnse vertaling veel invloed in het Westen uitgeoefend, zoals we b.v. bij Kepler zien. Het ‘vraagstuk van Alhazen’ bestaat daarin, door twee punten in het vlak van een cirkel rechte lijnen te trekken die elkaar zó op de cirkelomtrek ontmoeten, dat zij met de cirkel-normaal in het snijpunt gelijke hoeken maken. Het vraagstuk leidt tot een vierdemachtsvergelijking, die door Al-Haitham op Griekse wijze werd opgelost door een cirkel met een hyperbool te snijden. Alhazen is ook vertrouwd met de exhaustiemethode om de inhoud te vinden van lichamen die ontstaan door de omwenteling van een parabool om een middellijn of een lijn er loodrecht op. Honderd jaar voor Alhazen vinden we in Egypte Aboe Kāmil, die het algebraïsche werk van Al-Chwārizmī voortzette en uitbreidde. Men kan zijn invloed zowel in Al-Kashi als in Leonardo van Pisa ontdekken. Andere wetenschappelijke centra bestonden in Spanje, waar de scholen van Cordoba en Toledo eeuwen lang een grote reputatie genoten. Een der beroemdste sterrenkundigen van Cordoba, later van Toledo, was Al-Zarqāli, (Arzaquiel, ca. 1029-ca. 1087), de beste waarnemer van zijn tijd en de samensteller van de zgn. Toledaanse planetentafels. Deze tafels, die ook gedeeltelijk in het Latijn werden vertaald, hebben op de verdere ontwikkeling der astronomie een zekere invloed uitgeoefend, vooral als voorgangers van de zgn. Alfonsinische tafels, naar koning Alfonso x, de Wijze, van Castilië (13e eeuw) genoemd. Ook het trigonometrische gedeelte van deze tafels heeft doorgewerkt tot in de trigonometrie van de Renaissance. Ofschoon een groot gedeelte van de ‘Arabische’ wiskunde en bijna de gehele Chinese wiskunde het algoritmisch-algebraïsch karakter van de Oostelijke wiskunde behield, betekende ze wel degelijk een fikse stap vooruit vergeleken bij de antieke methoden. West-Europa bereikte eerst tegen het einde van de zestiende eeuw een hoogte die met deze Arabisch-Chinese wiskunde kan worden vergeleken.

Wat deze Chinese wiskunde betreft, het is al wel gebleken dat men haar niet moet beschouwen als een geïsoleerd verschijnsel,

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 100 zoals b.v. de wiskunde der Maya's in Centraal Amerika. Reeds ten tijde van de Han-dynastie (ongeveer ten tijde van het Romeinse Rijk), ja, nog wel vroeger, onderhield China commerciële en culturele betrekkingen met andere gebieden van Azië, of zelfs Europa. Indische, Arabische en Chinese wetenschap hebben elkaar wederzijds beïnvloed. We denken b.v. aan de verspreiding van het decimale positiestelsel en de negatieve getallen, die mogelijkerwijze van China naar Indië zijn gekomen. Bij deze beïnvloeding kunnen we ook denken aan de komst van het Boeddhisme in China, die in de eerste eeuw na Chr. plaatsvond. Van een direct Chinees-Griekse beïnvloeding kunnen wij echter weinig bespeuren, ondanks het bestaan van parallelle ontwikkelingen, b.v. in het berekenen van de waarde van π. De onderzoekingen over de verhouding van omtrek tot middellijn in de cirkel, die typerend zijn voor de eeuwen na de Han-dynastie, zijn waarschijnlijk zonder kennis van Archimedes doorgevoerd. Liu Hui, de schrijver van een overgeleverde commentaar op de Negen Hoofdstukken (263 na Chr.) vond met behulp van in- en omgeschreven regelmatige veelhoeken dat 3,1401 < π < 3,1427, en twee eeuwen later gaven Zu Chong Zhi (Tsoe Chhung-Chih, 430-501) en zijn zoon niet alleen een waarde van π in zeven decimalen, doch ook de waarden π = 22/7 en π = 355/113.1 Onder de T'ang-dynastie (618-907) werd een verzameling van de gewichtigste wiskundige werken samengesteld en gebruikt als officieel tekstboek voor de keizerlijke beambtenexamens. In deze periode begon men boeken te drukken, doch de eerste gedrukte wiskundige werken, die wij kennen, dateren van 1084 of later. In 1115 verscheen een belangrijke gedrukte uitgave van de Negen Hoofdstukken. Reeds in een boek van Wan Xiaotong (Wang Hsiao Thung, omstreeks 625) vinden we een derdemachtsvergelijking die ingewik-

1 Deze laatste waarde van π kan ook uit de waarden van Ptolemaios en van Archimedes worden verkregen:

Deze waarde, die een tweede naderingsbreuk van π is zo men zijn decimale uitdrukking in een kettingbreuk ontwikkelt (de eerste is 22/7), wordt wel eens de waarde van Metius genoemd, naar de Alkmaarse burgemeester Adriaen Anthonisz (ca. 1543-1620), wiens zoon die zich Adriaan Metius noemde en die professor in Franeker was, vertelt dat zijn vader in 1584 deze waarde van π heeft aangegeven. Zie DSB IX (1974) 335.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 101 kelder is dan de vergelijking x3 = a uit de Negen Hoofdstukken. De bloeiperiode van de oud-Chinese wiskunde kwam echter eerst gedurende de Soeng-dynastie (960-1279) en de eerste jaren der Mongolenheerschappij van de Yüan (de ‘Grote Khan’ van Marco Polo's reisbericht). Van de leidende wiskundigen noemen wij Qin Jiushao (Chhin Chioe-Shao), die de toen reeds oude theorie der onbepaalde vergelijkingen verder ontwikkelde (zijn boek is 1247 gedateerd). Een zijner voorbeelden kunnen wij als volgt schrijven: x ≡ 32(mod 83) ≡ 70(mod 110) ≡ 30(mod 135). Qin was ook geïnteresseerd in de numerieke oplossing van vergelijkingen van hogere graad, b.v. van -x4 + 763 200x2 - 40 642 560 000 = 0. Zulke vergelijkingen loste hij op door een generalisatie van de methode der opvolgende benaderingen, die reeds in de Negen Hoofdstukken gebruikt was om vierkants- en derdemachtswortels uit te rekenen. Deze ‘methode van Horner’, is reeds vermeld bij de bespreking van de wiskunde onder de Islam. Nog een andere wiskundige van de Soeng-periode is Yang Hui. Hij werkte met decimale breuken en schreef deze in een vorm die wat doet denken aan onze moderne manier van schrijven. In zijn boek, dat van 1261 dateert, vindt men een vraagstuk dat tot de berekening 24,68 × 36,56 = 902,3008 voert. Yang Hui maakt ons ook bekend met de oudste ons overgeleverde afbeelding van de driehoek van Pascal, die we terugvinden in een boek van Zhu Shijie (Choe Chioe-Shao) van 1303 en die op de kennis van binomiale formules voor gehele exponenten wijst. Zhu wordt wel voor de meest vooraanstaande wiskundige van deze periode gehouden; in zijn boeken vindt men de meest uitgewerkte Chinese arithmetisch-algoritmische rekenmethoden.1 Hij generaliseert de ‘matrix’-oplossingen van een systeem van lineaire vergelijkingen op stelsels van vergelijkingen van hogere graad met verscheidene onbekenden en komt zo tot eliminatiemethoden die enigszins aan die van Sylvester herinneren. Voor zulke berekeningen moeten wel verscheidene telborden gebruikt zijn. In de tijd na de Soeng-dynastie bleef er wel wiskundig werk te doen, maar veel nieuws is er niet meer uitgevonden. Westerse wiskunde en astronomie kwamen tot China gedurende de Ming perio-

1 L.Y. Lam, The Chinese Connection between the Pascal triangle and the Solution of numerical Equations of any Degree, HM 7 (1980) 407-424.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 102 de met de Jezuïeten, geleid door Pater Matteo Ricci, die in 1583 kwam en tot zijn dood in 1610 te Peking woonde.1 Algemeen gesproken kan men zeggen dat de Chinese wiskundigen in hun vaardigheid gecompliceerde rekenkundige en algebraische vergelijkingen op te lossen niet alleen de evenknie waren van de Indische geleerden en die van het Arabische taalgebied, doch deze vaak voorbijstreefden. Zo vinden we Horner's methode en de tiendelige breuken weer, als gezegd, terug in het werk van Al-Kashi uit Samarkand (ca. 1420).2 Vanaf de twaalfde eeuw beginnen wij berichten te krijgen over de wiskunde in Japan. Hier ziet men duidelijk de Chinese invloed. Nieuwe vormen van wiskunde worden in de zeventiende eeuw en later ontwikkeld, gedeeltelijk onder Europese invloed, waarbij ook Nederlanders een rol spelen. De wiskundige Seki Kǒwa3 kwam ca. 1683 bij zijn werk over vergelijkingen tot een rekenwijze die met de determinantenmethode equivalent is, en die wij met de aloude ‘matrix’ methode in verband kunnen brengen. Dit was tien jaren voor Leibniz tot soortgelijke beschouwingen kwam.

Literatuur

Behalve de werken genoemd aan het einde van Hoofdstuk 1, noemen we nog over Chinese en Indische wiskunde: B. Datta, The Science of the Sulba, a Study in Early Hindu Geometry, (Calcutta 1932). D.E. Smith-L.C. Karpinski, The Hindu-Arabic Numerals (Boston, 1911). D.E. Smith, Unsettled Questions concerning the Mathematics of China, Scientific Monthly 33 (1931) 244-250. H.T. Colebrooke, Algebra, with Arithmetic and Mensurations from the Sanskrit of Brahmagupta and Bhascara (London, 1817, herzien door H.C. Banerji, 2e uitg. Calcutta, 1927). W.E. Clark, The Aryabhatya of Aryabhata (Chicago, 1930). D.J. Struik, On ancient Chinese mathematics, The Mathematics Teacher 56 (1963) 424-432, herdruk in Euclides 1964, 65-79. U. Libbrecht, Chinese Mathematics in the thirteenth Century.

1 H. Bosmans, L'oeuvre scientifique de Mathieu Ricci S.J., Revue des Questions scientifiques, Januari 1921, 16 blz. 2 Vgl. A.P. Joesjkewitsj, Over de resultaten van de Chinese geleerden op het gebied der wiskunde (Russisch), Istor.-Mat. Issled. 8 (1955) 539-572 en het reeds geciteerde boek van J. Needham, vooral deel III (1959). 3 Ook Seki Takakusu (1642-1708).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 103

The Shu-Shu Chiu-Chang of Ch'in Chiu-Shao (Cambridge, Mass., 1973). L.Y.A. Lam, A critical Study of the Yang Hui Suan Fa: A thirteenth Century Chinese mathematical Treatise (Singapore, 1977). Vgl. J. Needham, HM 6 (1979) 466-468. F.J. Swetz, A brief chronological and bibliographical Guide to the History of Chinese Mathematics HM 11 (1984) 39-56. Zie hierbij A.P. Joesjkewitsj, ib. 13 (1986) 36-38.

Over de wiskunde in het Arabisch: H. Suter, Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke (Leipzig, 1900, Nachträge, 1902). zie ook H.P.J. Renaud, Isis 18 (1932) 166-183. D.S. Kasir, The Algebra of Omar Khayyam (New York, 1931). Er bestaat nog een andere Engelse vertaling. (Journ. Roy. Asiatic Soc. of Bengali 16 (1950) 27-77) en een Franse vertaling van F. Woepcke (1951). F. Rosen, The Algebra of Mohammed ben Musa (London, 1931) zie S. Gandz, Quellen und Studien z. Gesch. d. Mathem. 2 A (1932) 61-85. L.C. Karpinski, Robert of Chester's Latin Translation of the Algebra of Al-Khwārizmī (New York, 1915). A.P. Joesjkewitsj, Geschiedenis van de Wiskunde in de Middeleeuwen, Moskou, 1963, in het Russisch. A.P. Joesjkewitsj-B.A. Rosenfeld, Kommentaar op de wiskundige verhandelingen van D.G. Al-Kashi (Istor, Matem. Issled, 7 (1954) 380-449, in het Russisch). Deze auteurs hebben ook de twee verhandelingen van Al-Kashi met fotografische reproduktie van de tekst en Russische vertaling uitgegeven (Moskou, 1956). In het Duits is van hen vertaald: A.P. Joesjkewitsj-B.A. Rosenfeld, Die Mathematik der Länder des Ostens im Mittelalter. Sowjetische Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaft (Berlin, 1960) 62-160 (ook afzonderlijk als boek uitgegeven). P. Luckey, Die Ausziehung der n-ten Wurzel und der binomische Lehrsatz in der islamischen Mathematik. Mathem. Annalen 120 (1947-49) 217-274. Zie ook Abh. Deutsche Akad. Wiss. Berlin, Klasse für Mathem. 1950, Nr. 6 (1953) 95 blz. D.J. Struik, De tiendelige Breuken bij Al-Kashi. Simon Stevin 33 (1959) 65-71. J. Macdonald S.J., Jesuit Geometers (Vaticaanstad, 1989).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 104

L.Y. Lam-K.S. Shen, Methods of solving linear equations in traditional China, H.M. 16 (1989) 107-122; met bibliografie van andere artikelen van mevr. Lam.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 105

V. Het begin in West-Europa

Het Westelijk deel van het Romeinse Rijk is steeds zowel in economisch als in cultureel opzicht bij het Oostelijk deel ten achter gebleven. Hier, in het Westen bestond de intensieve landbouw, door irrigatie georganiseerd, niet of nauwelijks; en daardoor ontbrak een voorname prikkel voor de bestudering van de sterrenkunde. Het Westen was best tevreden met het beetje sterrenkunde, praktische rekenkunde en meetkunde dat voor handel en landmeten nuttig was (sommige handleidingen voor landmeters, agrimensores, zijn bewaard gebleven). Eeuwenlang bleef de inspiratie voor de verdere ontwikkeling of de verdieping van de wiskunde uit het Oosten komen. Toen het Oost-Romeinse Rijk en het West-Romeinse Rijk politiek uiteengingen, leefde deze inspiratie vrijwel geheel niet meer. Vele eeuwen lang bleef de statische beschaving van het West-Romeinse Rijk zonder veel onderbrekingen voortbestaan en werd de eenheid van de cultuur die rondom de Middellandse Zee was ontstaan maar weinig onderbroken, zelfs niet eens door de veroveringen van de zgn. barbaren. In alle Germaanse koninkrijken (misschien die in Brittannië uitgezonderd) bleven de economische verhoudingen, de maatschappelijke instellingen en het geestesleven in beginsel gelijk aan wat ze in het ondergaande Romeinse Rijk waren geworden. Grondslag van het maatschappelijk leven was de landbouw, waarin slaven geleidelijk vervangen werden door vrije boeren of pachters. Steden bleven bloeien, een internationale handel met een geldeconomie bleef gehandhaafd. Nadat het centrale gezag in deze Grieks-Romeinse wereld na de val van het Westelijk Rijk in 476 gedeeld werd door de keizer van Constantinopel en de Paus van Rome, zette de Katholieke Kerk in het Westen zo goed en zo kwaad als ze kon, door haar taal en instellingen de culturele traditie van het Romeinse Rijk binnen de Germaanse koninkrijken voort. Kloosters en geletterde leken hielden althans enige bestanddelen van de Grieks-Romeinse beschaving in leven. Een dezer leken, de diplomaat en wijsgeer Anicius Manilius Severinus Boëthius, schreef enige wiskundige boeken die meer dan duizend jaar in de Westelijke wereld gezag hebben uitgeoefend.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 106

Ze zijn een weerspiegeling van de culturele verhoudingen waaronder zij ontstonden, want ze zijn arm aan wetenschappelijke inhoud. Het is niet onmogelijk dat het eeuwenlang aanzien, waarin ze hebben gestaan, samenhangt met het feit dat de schrijver in 524 als martelaar van het Katholieke geloof is gestorven. In Boëthius' Institutiones arithmeticae, een oppervlakkige bewerking van Nikomachos, kon men wat Pythagoreïsche getallentheorie vinden, die op deze manier als een bestanddeel van de zeven artes liberalis, namelijk het ‘quadrivium’ (arithmetica, geometria, astronomia, musica) naast het ‘trivium’ (grammatica, rhetorica, dialectica) in het onderwijs der Middeleeuwen werd opgenomen. Het is moeilijk precies de tijd aan te geven waarin de maatschappijvorm van het oude Romeinse Rijk plaats begon te maken voor de nieuwe feodale orde. Op deze kwestie wordt enig licht geworpen door de hypothese van de Belgische geschiedkundige Henri Pirenne (die overigens niet algemeen wordt aanvaard)1, volgens welke het einde van de West-Romeinse maatschappijvormen samenhangt met de opkomst van de Islam. De Arabieren beroofden het Byzantijnse rijk van al zijn provincies aan de Oost- en Zuidkust van de Middellandse Zee en maakten het Oostelijk bekken van die Zee tot een mohammedaans binnenmeer. Zij bemoeilijkten vele eeuwen lang de handelsbetrekkingen tussen het Nabije Oosten en het Christelijke Westen. Het intellectuele verkeer tussen de Arabische wereld en het noordelijk deel van het vroegere Romeinse Rijk werd daarbij eveneens aan grote moeilijkheden onderworpen, ofschoon het nooit geheel is stopgezet. Het gevolg was dat in het Frankische Gallië en in andere voormalige delen van het West-Romeinse Rijk de oude instellingen verschrompelden; de steden raakten in verval, de inkomsten uit tollen liepen sterk terug, de internationale geldeconomie werd vervangen door ruilhandel en plaatselijk marktverkeer. West-Europa ging terug tot een tamelijk primitieve landbouweconomie. Het verval van de handel kwam de landelijke aristocratie ten goede en in Noord-Frankenland werden de grondbezitters onder de leiding der Karo-

1 H. Pirenne, Mahomet et Charlemagne (Paris, 1937). Pirennes theorie heeft een heel debat tot gevolg gehad, speciaal naar aanleiding van de kritiek van A. Dopsch. Hier wordt meer de nadruk op interne invloeden gelegd. Zie A.E. Havinghurst, The Pirenne Thesis (Boston, 1958) en Jan Romein, Tussen Oudheid en Middeleeuwen, in Het onvoltooid Verleden (Amsterdam, 1937) 108-138.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 107 lingers tot heersende klassen. Het economische en culturele middelpunt werd naar het Noorden, naar Noord-Frankrijk en Brittannië verlegd. De scheiding van Oost en West beperkte het feitelijk gezag van de Paus, zodat het Pausdom zich verbond met de Karolingers. Dit verbond werd bezegeld door de kroning van Karel de Grote tot keizer van het Heilige Roomse Rijk in 800. De Westelijke wereld werd feodaal en kerkelijk, haar oriëntering Germaans en naar het Noorden gericht.

Gedurende de eerste eeuwen van het Westelijk feodalisme vinden we zelfs in de kloosters maar heel weinig belangstelling voor de wiskunde. Er ontbraken nu eenmaal de impulsen die tot wiskundig denken prikkelen; ook in het dagelijks leven had men niet meer dan een minimum aan rekenkennis nodig. Het aftellen op de vingers was gewoonlijk wel voldoende. Aan de kloosters bestond de ‘hogere’ wiskunde gewoonlijk uit niet veel meer dan de zgn. computus, die uit een stel regels bestond om de datum van het Paasfeest vast te leggen. Boëthius was op wiskundig gebied de autoriteit. Een mindere autoriteit was de monnik Alcuinus, die uit Brittannië stamde en aan het hof van Karel de Grote leefde; zijn verzameling opgaven ‘voor de verscherping van het verstand’ (zie voetnoot bldz. 90) heeft eeuwen lang stof tot lering en vermaak geleverd. Zo vinden we hierin oude bekenden als de volgende vraagstukken:

‘Een hond achtervolgt een konijn, dat oorspronkelijk een voorsprong heeft van 150 voet. De hond springt elke keer negen voet tegen de zeven voet van het konijn. Na hoeveel sprongen heeft de hond het konijn ingehaald?’

‘Een wolf, een geit en een kool moeten in een boot over een rivier worden gebracht. De boot kan behalve de veerman slechts één van deze drie op een overtocht meenemen. Hoe moet de veerman het aanleggen om alle drie naar de overkant te krijgen zonder dat de geit de kool of de wolf de geit opeet?’

Een andere klerikale wiskundige was de Franse monnik Gerbert, die in 999 de pauselijke troon beklom onder de naam Sylvester II. Hij schreef enige verhandelingen onder de invloed van Boëthius, doch zijn hoofdverdienste als wiskundige bestaat daarin, dat hij tot de eerste geleerden in de Latijnse wereld behoorde die belangstelling in de wiskunde door zijn invloed in West-Europa verhoogde. Een abacus met een bord met niet minder dan 27 kolommen staat op de naam van Gerbert of zijn invloed. Hij verbleef rondom 968 in Catalonië en kan dus wel door Arabische we-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 108 tenschap zijn kennis hebben vermeerderd.1

Er bestaan wezenlijk verschillen tussen de ontwikkeling van het Westelijke, het vroeg-Griekse en het Oosterse feodalisme. De landbouw in Westelijk Europa had een extensief karakter en dit maakte een breed opgezette bureaucratie overbodig, zodat de grondslagen voor een Oosterse vorm van despotisme ontbraken. Hier bestond ook geen mogelijkheid grote massa's slaven bijeen te brengen. Dit heeft uitvindersvernuft gescherpt, en zo vinden we nieuwigheden als een meer economisch harnassen van paarden en de invoering van stijgbeugels. Toen de dorpseenheden in West Europa tot steden uitgroeiden, en deze zich ontwikkelden tot zelfstandige bestuurs- en bedrijfseenheden, waarvan de burgers niet in staat waren een gemakkelijk leventje ten koste van slaven te leiden, kwam het uitvindersvernuft ook hun ten goede. Dit is een der voornaamste punten van verschil tussen de ontwikkeling van de Griekse stadstaat en de Westeuropese stad, die toch in het aanvangsstadium sommige gemeenschappelijke trekken vertoonden. De middeleeuwse stadsbevolking kon haar levensstandaard slechts verbeteren door hard werk met scherpe handel en vernuftige techniek te verbinden. In zware strijd met de feodale jonkers - en in veel geharrewar onderling - verkregen de steden in de twaalfde, dertiende en veertiende eeuw steeds grotere macht en zelfbewustzijn. Deze overwinningen berustten niet alleen op de snelle groei van handel, verkeer en geldeconomie, doch vaak ook op een geleidelijke uitbreiding van de industrie. In hun strijd met de landjonkers werden de steden vaak door de vorsten gesteund, waardoor de vorsten hun invloed in de steden versterkten. Botsingen tussen steden en vorsten bleven niet uit. Ten slotte leidde deze ontwikkeling tot de vorming van de eerste nationale staten in Europa. De steden begonnen of hervatten hun verkeer met het Oosten, dat nog steeds een hogere beschaving bezat. Deze betrekkingen

1 Uit deze tijd dateert het eerste teken van wiskundig leven in de Nederlanden. Ze bestaat uit een correspondentie tussen Ragimbold van Keulen en Radolf van Luik van omstreeks 1025. Het peil van wiskundig weten van deze kloostergeleerden is zeer laag. Zie hierover en over Adalbold, bisschop van Utrecht, die tot hun kring behoorde: Paul Tannery, Mémoires Vol. 5 (1922), artikelen van 1897 en 1904. Verder: B. Lefebvre, Notes d'histoire des mathématiques (Louvain, 1920), ook: Revue Quest. Scient. 1907-11. Tot de sfeer van Gerbert behoort ook Franco van Luik (ca. 1050), die een ‘De quadratura circuli’ heeft nagelaten.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 109 tussen Oost en West, Islam en Christendom, Arabische, Griekse en Latijnse wereld waren vaak vreedzaam, doch konden in oorlogen als de kruistochten ook een gewelddadig karakter aannemen. De Italiaanse steden waren de eerste, die de handelsbetrekkingen weer opnamen; zij werden in de loop der tijden door steden in Frankrijk, Duitsland en andere landen gevolgd. De koopman en de soldaat werden voorafgegaan of gevolgd door de geleerde, voor wie het punt van contact op Sicilië of in Spanje, soms ook in Constantinopel, lag. Nadat in 1085 de Christenen Toledo op de Moren veroverd hadden, stroomden van wijd en zijd Latijnse geleerden naar deze stad om de wetenschap van de Arabische wereld te leren kennen. Als tolken traden vaak Joden op, die ook hun bemiddeling bij het vertalen van teksten verschaften. Zo vindt men in het Spanje van de twaalfde eeuw Plato van Tivoli, Gherardo van Cremona, Adelard van Bath en Robert van Chester bezig met het vertalen van wiskundige en sterrenkundige handschriften uit het Arabisch in het Latijn. Op deze manier kreeg Latijns Europa een vermeerderde kennis van de Griekse klassieken door middel van Arabische vertalingen, en dit in een periode waarin deze kennis langzamerhand ook naar waarde kon worden geschat. Een ander cultuurcentrum was Constantinopel (nu Istanbul), meer dan duizend jaren een plaats waar de Griekse wetenschap werd bewaard. Hier kon men de Griekse klassieken zonder Arabische (of Syrische, of Hebreeuwse) tussenkomst studeren.

We hebben reeds vermeld dat de eerste machtige handelssteden in Italië ontstonden. Hier vinden we in de twaalfde en dertiende eeuw Genua, Pisa, Venetië, Milaan en Florence in een bloeiend handelsverkeer met de Arabische wereld en met het Noorden gewikkeld. Italiaanse kooplieden bezochten Egypte en Azië, waarvan zij ook de cultuur bestudeerden; de reizen van Marco Polo naar Centraal Azië en China geven een voorstelling van de onverschrokkenheid van sommige dezer avonturiers. Evenals de Ionische kooplieden van tweeduizend jaren te voren poogden zij de wetenschap en de kunst van een oudere beschaving niet alleen te bestuderen om ze te reproduceren, doch ook om haar te verwerken ten bate van de eigen cultuur, waarin reeds in de twaalfde en dertiende eeuw naast het bankwezen ook kapitalistische vormen van industrie voorkwamen. De eerste koopman van de Latijnse wereld, wiens wiskundige studies een zekere rijpheid vertonen, was Leonardo van Pisa. Leonardo, ook Fibonacci (lid van het huis der Bonacci) ge-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 110 naamd, reisde als koopman naar de Arabische wereld. Na zijn terugkeer schreef hij het Liber Abaci (1202), een groot handboek over het rekenen met het Hindoe-Arabische getallensysteem, dat ook algebraïsche vraagstukken bevat. In zijn Practica Geometriae (1220) beschreef Leonardo op gelijksoortige wijze wat hij aan meetkunde en trigonometrie had geleerd. Maar hij is meer dan leerling, hij is zelfstandig vorser, wiens boeken menig vraagstuk bevatten waarvan in de Arabische literatuur geen precies voorbeeld voorhanden schijnt te zijn.1 Hij citeert speciaal Al-Chwārizmī, b.v. in zijn discussie van de beroemde vergelijking x2 + 10x = 39. Het probleem dat tot de zgn. getallen van Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ... voert (waarvan elke term de som is van de twee voorafgaande termen), schijnt nieuw te zijn, evenals het merkwaardig diep doordachte bewijs van de stelling dat de wortels van de vergelijking x3 + 2x2 + 10x = 20 niet met behulp van Euklidische irrationaliteiten van de vorm kunnen worden uitgedrukt en dus ook niet met passer en lineaal kunnen worden geconstrueerd. Leonardo voerde het bewijs door ieder van de vijftien gevallen, die Euklides in zijn tiende boek van de Elementen heeft behandeld, apart te onderzoeken, waarna hij de positieve wortel van de vergelijking tot op zes sexagesimale plaatsen benaderde.

De reeks van getallen van Fibonacci wordt verkregen als de oplossing van het volgende vraagstuk in de Liber Abaci: Hoeveel paren konijnen kunnen in één jaar uit een enkel paar woorden gewonnen zo a) elk paar elke maand één nieuw paar gewint dat zichzelf wederom vanaf de tweede maand begint voort te planten, en b) geen enkel konijn sterft?

Leonardo stond niet alleen. In de Italiaanse handelssteden bestonden reeds vóór zijn tijd cursussen in het handelswezen, en dus ook in het rekenen, zowel op de abacus als in het Arabisch cijferen. Maar het Liber Abaci heeft aan de verspreiding van het Hindoe-Arabische positiestelsel in West Europa zeker bijgedragen. Deze verspreiding is een langdurig proces geweest, waarin allerhand soort lieden moeten hebben meegeholpen: kooplui, diplomaten, soldaten, pelgrims en geleerden. Het oudste Latijnse manuscript

1 L.C. Karpinski, Amer. Mathem. Monthly 21 (1914) 37-48, ontdekte na een studie van het Parijse manuscript van Aboe Kāmil's Algebra, dat Leonardo een aantal vraagstukken ontleend had aan deze algebra. Kurt Vogel, in zijn uitvoerig artikel over Fibonacci in DSB IV (1971) vermeldt ook andere Arabische bronnen.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 111 waarin Hindoe-Arabische getallen voorkomen is de Codex Vigilanus, in 976 in Spanje geschreven. Het oudste Franse handschrift waarin ze voorkomen dateert echter eerst van 1275. Langs de Adriatische Zee bleef de Griekse schrijfwijze eeuwenlang nog in gebruik. Gewoonlijk werden rekeningen uitgevoerd op de aloude abacus, het tel- of zandbord, waarbij rekenpenningen of eenvoudig steentjes (calculi) de aantallen aangaven. Men denke hierbij aan de telramen, nog steeds in Japan, China en de Sowjet-Unie in gebruik, en die bij ons nog wel op scholen of aan baby-boxen te zien zijn. Zo nodig werd dan het resultaat van zulk een abacusrekening met behulp van symbolen, b.v. Romeinse cijfers, opgeschreven. Gedurende de Middeleeuwen en nog wel later vindt men in vele koopmansboeken zulke Romeinse cijfers, waaruit blijkt dat op de kantoren telborden werden gebruikt. De invoering van het rekenen met de tien Indisch-Arabische symbolen stuitte zelfs op tegenstand, omdat niet iedereen uit die symbolen wijs kon worden. In de statuten van de Florentijnse ‘Arte del Cambio’, die van 1299 en later dateren, vinden we zelfs een verbod om Arabische cijfers te gebruiken. Op den duur drong het gebruik van zulke cijfers met hun positiewaarde toch door, maar eerst in de vijftiende en zestiende eeuw kan men van een overwinning van het Hindoe-Arabische stelsel spreken.1 Men vindt wel eigenaardige tussenvormen: op de graftombe van een vrouwe van IJsselstein vindt c 2 men het jaar 1471 aangeduid door XIIII LXXI.

1 In de koopmansboeken der Medici in de Selfridge-verzameling van de Harvard Graduate School of Business (in Cambridge, Mass. V.S.), die in 1406 aanvangen, verschijnen Hindoe-Arabische cijfers herhaaldelijk in de verhalende of beschrijvende kolommen. Van 1439 af vervangen ze de Romeinse cijfers in de financiële of effectenkolommen van de entreeboeken als journalen en kladschriften. Eerst vanaf 1482 komen geen Romeinse cijfers meer voor in de financiële kolommen van de zakenboeken van alle kooplieden der Medici-familie (op één na). Van 1494 af komen in alle koopmansboeken der Medici slechts Hindoe-Arabische cijfers voor (uit een brief van Dr. Florence Edler De Roover). Zie ook F. Edler, Glossary of Medieval Terms of Business (Cambridge, Mass, 1934) blz. 389. 2 m c m c Andere voorbeelden zijn II III XV voor 2315 en V VII voor 5700 in Franse rekeningen uit de c Middeleeuwen (mededeling van prof. J.F. Benton) en MVI XII voor 1612 in een Duits rekenboekje van 1514 (J. Tropfke I, 3e uitg. blz. 43). Over het verbod in Florence zie D.J. Struiks artikel in Archives intern. d'Histoire des Sciences 21 (1968) 291-294.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 112

Met de uitbreiding van de handel en nijverheid breidde zich ook de belangstelling voor de wiskunde naar de Noordelijke steden uit. Eerst had deze belangstelling voornamelijk een praktische kant, zodat het gewoonlijk niet-academisch opgevoede rekenmeesters waren die algebra, rekenkunde en praktische meetkunde onderrichten. Deze rekenmeesters waren praktische mannen, die weinig of geen Latijn kenden, maar wel boekhouden of scheepvaartkunde. Er waren kwakzalvers onder, maar de besten waren schrandere knapen, die ook wel almanakken samenstelden, of instrumenten en kaarten maakten. De wiskunde die zij doceerden behield heel wat sporen van haar Arabische afkomst, hetgeen ook de termen ‘algebra’ en ‘algoritme’ bewijzen. De theoretische wiskunde was gedurende de middeleeuwen in Europa niet volledig ten onder gegaan, doch zij werd niet zozeer door de practici dan wel door de scholastische wijsgeren beoefend. Bij deze, gewoonlijk geestelijke, geleerden leidde de studie van Plato en Aristoteles en speculaties over de natuur van God tot scherpzinnige beschouwingen over de eigenschappen der beweging, der continuïteit en der oneindigheid. De kerkvader Origines volgde Aristoteles in zijn verwerping van het actueel oneindige, doch Augustinus, in zijn De Civitate Dei (De staat Gods, ca. 420) aanvaardde het, schoon in theologisch gewaad. Zijn woorden waren zo goed gekozen dat Georg Cantor heeft opgemerkt dat het transfiniete niet energieker gewenst en niet beter bepaald en verdedigd kan worden dan Augustinus dat heeft gedaan.1 De scholastieke auteurs, in het bijzonder Thomas van Aquino, namen Aristoteles' stelling ‘infinitum actu non datur’ (actuele oneindigheid bestaat niet) over, en beschouwden ieder continuüm tevens als potentieel deelbaar tot in het oneindige. Voor hen bestond dus geen kleinste lijnsegment, aangezien ieder gedeelte van een lijn weer de deelbaarheidseigenschap van de Jijn bezit. Een punt was dus geen deel van een lijn, omdat het indivisibel, ondeelbaar was: ‘ex indivisibilibus non potest compari aliquod continuum’ (een continuüm kan niet uit indivisibilen bestaan). Een punt kan evenwel door beweging een lijn doen ontstaan. Zulke speculaties hebben later de uitvinders van de infinitesimaalrekening in de zeventiende eeuw en de wijsgeren van het transfiniete in de negentiende

1 G. Cantor, Brief aan Eulenberg (1886), Gesammelte Abhandlungen (Berlin 1932, bldz. 400-402). De plaats die Cantor citeert, Hoofdstuk 18 van boek XII van De staat Gods heeft de titel: ‘Weerlegging van de leer dat zelfs het weten Gods het onbegrensde niet zou kunnen vatten’.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 113 eeuw beïnvloed: Cavalieri, Tacquet, Bolzano en Cantor kenden de scholastieke auteurs en schonken veel aandacht aan hun meningen over het oneindig grote en het oneindig kleine. Deze mannen van de kerk hebben af en toe ook wel eens wiskundige resultaten bereikt, die minder speculatief zijn. Thomas Bradwardinus, die in 1348 aartsbisschop van Canterbury werd, onderzocht stervormige veelhoeken nadat hij Boëthius had bestudeerd. Een der meest belangrijke middeleeuwse kerkelijke wiskundigen was Nicole Oresme, bisschop van Lisieux in Norman-dië, die met gebroken exponenten speelde. Uitgaande van het feit dat 43 = 64 = 82 schreef hij 8 als

waarmee hij 4 1½ bedoelde. Hij schreef ook een verhandeling De latitudinibus formarum (ca. 1360), waarin hij een afhankelijke veranderlijke (latitudo) tegen een onafhankelijke veranderlijke (longitudo) grafisch afzet wanneer de laatste varieert. Men kan hierin een soort overgang van coördinaten op de bol (reeds aan Ptolemaios bekend) naar coördinaten in het vlak zien, en aangezien deze verhandeling tussen 1482 en 1515 verscheidene malen gedrukt is heeft ze misschien wel enige invloed op de wiskundigen van de Renaissance uitgeoefend, Descartes niet uitgezonderd. Oresme schreef ook over oneindige reeksen en bewees dat de harmonische reeks 1/1 + ½ + ⅓ + ¼ +... divergent is, een merkwaardig, verziend, resultaat voor die dagen!

Nu terug naar de grote handelssteden, waar de wiskunde onder de onmiddellijke invloed van koop- en scheepvaart, sterrenkunde en landmeting wordt bestudeerd in vormen die nog weinig van die der Mohammedaanse wereld verschillen. Deze belangstelling van de stedelijke burgerij in alles wat kwantitatief is en in het bijzonder wat berekend kan worden, heeft de Duitse econoom Werner Sombart met het woord ‘Rechenhaftigkeit’ gekarakteriseerd.1 Ofschoon men wel zeggen kan dat de rekenmeesters in de beoefening van de praktische wiskunde vooropliepen, vond men onder hen ook wel geleerden met een universitaire opleiding, die door hun kennis van wisen sterrenkunde de wiskundige methoden van de oudheid en de Islam konden uiteenzetten en ook mee konden

1 W. Sombart, Der Bourgeois (München-Leipzig 1913) blz. 164.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 114 helpen bij het verbeteren van het rekenkundig, algebraïsch en meetkundig apparaat. Brandpunten van dit nieuwe leven waren de grote Italiaanse steden, verder Neurenberg, Wenen, Praag, Leipzig, Parijs, Lyon en andere Noordelijke centra. De theoretische belangstelling nam toe toen door de val van Constantinopel in 1453 het Oost-Romeinse Rijk ten einde kwam en vele Griekse geleerden naar de steden van het Westen vluchtten. Daardoor werd het weer gemakkelijker de groeiende belangstelling voor oorspronkelijke Griekse handschriften te bevredigen. Universiteitsprofessoren konden zich met andere humanisten in lezen en vertalen oefenen, eerzuchtige rekenmeesters hielden hun oren open en poogden op hun manier de nieuw verworven kennis te verstaan. Dit is ook de periode waarin de uitvinding van de boekdrukkunst plaatsvindt, gewoonlijk toegeschreven aan Johannes Gutenberg (na 1440). Ze heeft de verspreiding van wiskundige kennis (b.v. rekenboeken) enorm bevorderd. Voor deze periode is Johannes Müller uit Königsberg in Frankenland1, bekend als Regiomontanus, een karakteristieke figuur. De werkzaamheid van deze veelzijdige man, wiskundige, instrumentmaker, drukker en humanist, die reeds op veertigjarige leeftijd stierf (1476), is tekenend voor de wijze waarop de Europese wiskunde in de twee eeuwen van Leonardo van Pisa was vooruitgegaan. Regiomontanus was ijverig bezig de wiskundige handschriften die hij kon krijgen, te vertalen en verder bekend te maken. Zijn leraar, de Weense astronoom Georg Peurbach, die sterrenkundige en trigonometrische tabellen had samengesteld, was reeds begonnen met de Almagest van Ptolemaios uit het Grieks te vertalen. Regiomontanus zette zijn werk voort en vertaalde ook werken van Apollonios, Heroon en zelfs van Archimedes, de moeilijkste klassieke auteur, in het Latijn. Zijn eigen hoofdwerk, De Triangulis omnimodis (1464, doch eerst in 1533 gedrukt) was een leerboek der trigonometrie, dat voornamelijk hierin van onze tegenwoordige leerboeken verschilt, dat onze handige notatie ontbrak. Alle stellingen worden in woorden uitgeschreven, zodat het boek een meetkundig karakter draagt. Men vindt er de sinusregel van de vlakke en boldriehoek. Van nu af werd de trigonometrie ook in het avondland een wetenschap, onafhankelijk van de sterrenkunde - men zal zich herinneren dat Nasir-Eddin dit reeds vroeger in Perzië had trachten te bereiken.

1 Dus niet uit Königsberg, Ned. Koningsbergen (nu Kaliningrad) in het oude Pruisen.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 115

Maar waar de invloed van Nasirs werk naar het schijnt niet heel groot is geweest, heeft Regiomontanus' werk op de verdere ontwikkeling der trigonometrie en haar toepassing op de sterrenkunde en de algebra ten sterkste doorgewerkt. Regiomontanus besteedde ook veel tijd aan de berekening van trigonometrische en sterrenkundige tabellen. In zijn tafels voor de verhouding van de sinus tot de straal R gebruikt hij eerst een sexagesimale schaal voor de straal, later een decimale (R = 6·104 later 6·107, dan 107). Een grotere waarde voor de straal betekende grotere nauwkeurigheid voor de sinus die, zoals we gezien hebben, als een lijnsegment werd opgevat. De overgang tot een decimale schaal bereidde de invoering van decimale breuken voor.

Tot nu toe waren nog geen stappen gedaan om de kennis van Grieken en Mohammedanen niet alleen in te halen, maar voorbij te streven. De klassieke auteurs bleven het nec plus ultra van de wetenschap. Daarom wekte het zulk een blijde verwondering, toen het bekend werd dat Italiaanse wiskundigen erin geslaagd waren een hoofdstuk van de algebra te ontwikkelen, dat aan vroegere generaties was ontsnapt. Dit hoofdstuk behelsde de algemene algebraïsche oplossing van de derdemachtsvergelijkingen, en werd omstreeks 1500 geopend door het werk van Scipio del Ferro en zijn collega's aan de Universiteit van Bologna. Zoals reeds gezegd is waren de Italiaanse steden ook na de dagen van Fibonacci centra van wiskundige bedrijvigheid gebleven, en hun rekenmeesters wisten met kwadratische vergelijkingen en irrationale getallen om te gaan zonder de meetkundige gewetensbezwaren van Euklides te voelen. Hun belangstelling in de wiskunde werd gedeeld door hun schilders en bouwmeesters. In zijn bekende boek over de renaissanceschilders (1550, 1568) legt Giorgio Vasari nadruk op de belangstelling van die schilders voor de meetkunde, een belangstelling die tot de ontwikkeling van de perspectief voerde. Bekende figuren uit de vijftiende eeuw (het Quattrocento) zijn hierbij Leon Battista Alberti en Pier della Francesca; deze laatste schreef niet alleen een boek over perspectief (1482), doch ook een boek over regelmatige lichamen. Deze liefde voor de meetkunde vindt men niet alleen in het werk van Rafael en Leonardo da Vinci, doch ook in dat van Albrecht Dürer, die zelfs een Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt (1525) schreef, dat ook orthogonale projectie bevat.1

1 Zie J.L. Coolidge, Mathematics of Great Amateurs (Oxford 1947); G. Wolff, Mathematik und Malerei (Leipzig, Berlin, 2e uitg., 1925).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 116

De rekenmeesters vonden hun leider in de Franciscaan Luca Pacioli, wiens Summa de Arithmetica in 1494 uitkwam - een der eerste gedrukte wiskundeboeken en het eerste boek dat een volledige uiteenzetting van de hele toenmalig voorhanden wiskunde poogde te zijn.1 Het boek was in het Italiaans geschreven en leidde tot de drempel van de theorie der derdemachtsvergelijkingen, die Pacioli als nog niet oplosbaar beschouwde. Hij zette ook de kunst van het ‘Italiaans boekhouden’ uiteen2 en in een boek van 1503 ontleende hij aan Pier della Francesca een beschouwing van regelmatige lichamen; hier voegde hij een verhandeling over de gulden snede (‘Divina Proportione’, 1509) aan toe. De figuren worden aan Leonardo da Vinci toegeschreven. Bij Pacioli is het gebruik van Hindoe-Arabische cijfers reeds vast ingeburgerd, en de rekenkundige notatie is niet moeilijk te volgen. De algebraïsche notatie is nog geheel van de onze verschillend. Het oplossen van de vergelijkingen x3 + mx = n, x3 + n = mx leek Pacioli even onmogelijk als het oplossen van het vraagstuk der cirkelkwadratuur. Op dit punt begint nu het werk der wiskundigen aan de universiteit van Bologna, toentertijd een der grootste en beroemdste scholen van Europa. Haar astronomische faculteit alleen telde bij gelegenheid zestien lectoren. Uit alle delen van Europa stroomden studenten naar Bologna om de colleges te horen en zich te verlustigen aan de publieke disputaten, die vaak de belangstelling trokken van grote en sportief ingestelde massa's van toehoorders. Tot deze studenten hebben te hunner tijd Pacioli, Albrecht Dürer en Nicolaas Copernicus behoord. Het lag in de geest der tijden, niet alleen het klassieke erfgoed te aanvaarden, doch het kritisch te waarderen en er zelfs door nieuwe scheppingen bovenuit te groeien. De ontdekking van de boekdrukkunst en de ontdekking van Amerika hadden getoond, dat men verder kon komen dan de Ouden. Waarom niet in de wiskunde? Waar in vroegere perioden sommige derdegraadsvergelijkingen algebraïsch konden worden opgelost, poogden de wiskundigen in Bologna de algemene oplossing te vinden. Deze derdegraadsvergelijkingen konden tot drie soorten worden teruggebracht; in onze tegenwoordige notatie:

1 De eerste gedrukte wiskundeboeken waren een rekenboek voor kooplieden (Treviso, 1478) en een Latijnse uitgave van Euklides' Elementen (Ratdolt, Venetië, 1494) - een nog steeds geliefd prachtwerk. 2 B. Pendorf, Luca Pacioli. Abhandlung über die Buchhandlung (Stuttgart, 1933).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 117 x3 + px = q, x3 = px + q, x3 + q = px, waar p en q positieve getallen waren. Zij werden door professor Scipio del Ferro (in 1526 gestorven) aan een nauwkeurig onderzoek onderworpen. Op gezag van professor E. Bortolotti kunnen wij aannemen dat Del Ferro werkelijk alle drie de soorten heeft weten op te lossen.1 De oplossingen werden echter niet gepubliceerd en slechts aan weinige vrienden bekend gemaakt. Doch de mare van de ontdekking verspreidde zich en zo werd de oplossing opnieuw ontdekt door een Venetiaanse rekenmeester die Tartaglia (de Stotteraar) werd genoemd. Omstreeks 1535 maakte hij zijn resultaten bekend, doch hield de methode waarmee hij ze had verkregen, geheim. Ten slotte openbaarde hij haar onder een eed van geheimhouding aan een geleerde arts uit Milaan, Hieronimo Cardano. Toen echter Cardano in 1545 zijn kort maar inhoudrijk boek met de trotse titel Ars Magna het licht liet aanschouwen, ontdekte Tartaglia tot zijn ontsteltenis, dat zijn methode in dat boek volledig was uiteengezet, weliswaar met vermelding van zijn naam, maar desondanks toch gestolen. Hieruit ontstond een bittere strijd, waarin Cardano verdedigd werd door zijn jonge leerling Ludovico Ferrari. Onder de geschriften, die gedurende deze twist geschreven werden, behoorden de Quaesiti van Tartaglia (1546) en de Cartelli van Ferrari (1547-48), waardoor de gehele geschiedenis van deze opzienbarende ontdekking publiek eigendom werd. Men noemt de oplossing nog steeds naar Cardano. De formule van Cardano ziet er in het geval x3 + px = q als volgt uit (in moderne notatie):

Ze is vervat in een Italiaans rijmpje dat van Tartaglia afkomstig is en waarvan de eerste regels luiden:

Quando che 'l cubo con le cose appresso Als x3 te zamen met px Se agguaglia à qualche numero discreto, Gelijk is aan een q, etc. etc.

1 E. Bortolotti, L'algebra nella Scuola Bolognese del secolo XVI, Periodico di Matematica Ser. 4, vol. 5 (1925) 147-184.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 118

Hier ziet men het woord ‘cosa’, dat deze Italianen voor de onbekende x (of een aantal x) gebruikten (‘de zaak’, Latijn ‘res’). In Duitsland werd daarom gedurende de zestiende eeuw de algebra vaak aangeduid met de term ‘Coss’ of ‘De regel Coss’.

Men ziet dat in de formule van Cardano vormen van de gedaante voorkomen in plaats van de Euklidische . De Ars Magna bevatte nog een andere opzienbarende ontdekking: de methode van Ferrari waarbij de oplossing van een algemene vierdegraadsvergelijking tot die van een vergelijking van de derde graad wordt teruggebracht. Ferrari's voorbeeld was x4 + 6x2 + 36 = 60x, welke vergelijking hij terugvoerde tot y3 + 15y2 + 36y = 450. Cardano beschouwde ook negatieve getallen, die hij fictieve noemde, maar hij wist niets aan te vangen met de zgn. ‘casus irreducibilis’, waarbij de oplossing van de derdegraadsvergelijking weliswaar reëel is, doch verschijnt als de som van getallen die we heden complex noemen.1 Deze moeilijkheid werd door de laatste der grote Bolognese wiskundigen van de zestiende eeuw, Rafaele Bombelli, onder de ogen gezien. In zijn Algebra, die in 1572 verscheen - en in een toen ongedrukt gebleven meetkunde van ongeveer 1550 - zette hij een theorie van imaginaire en complexe getallen uiteen. Hij schreef

(letterlijk R[0 m. 9], R voor radix, m voor meno) voor onze , en behandelde het irreducibile geval op zulk een manier, dat hij aantoonde dat b.v.

Bombelli's boek werd veel gelezen, we weten dat het gebruikt werd door Stevin, door Leibniz en door Euler. Aan Bombelli is zodoende te danken dat de imaginaire getallen iets van hun bovennatuurlijk karakter kwijtraakten, al duurde het tot de negentiende eeuw voor complexe getallen hun geheimzinnig waas geheel verloren en hun normale plaats in de wiskunde konden innemen. Het is wel merkwaardig dat de complexe getallen het eerst zijn ingevoerd in de studie der derdegraadsvergelijkingen, op die plaats waar reële oplossingen bestaan doch in vermomde gedaante optreden - en niet in de studie van kwadratische vergelijkingen, waar we ze tegenwoordig gewoonlijk het eerst tegenkomen.

1 Zie C.J. Vooys, Het denkbeeldig getal bij Cardano, Euclides 35 (1959/60) 162-166; N.L.W.H. Gravelaar, Cardano's Transmutatiemethoden, Nieuw Archief voor Wiskunde (2) 8 (1909) 408-444.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 119

Algebra en praktische rekenkunde bleven vele tientallen jaren het hoofdbestanddeel van het wiskundig dieet. Dit was niet alleen het gevolg van de ‘Rechenhaftigkeit’ van de mercantiele bourgeoisie, doch ook van de eisen die de leiders der zich vormende staten stelden aan landmeetkunde, scheepvaart en het oorlogswezen. Men had ingenieurs nodig voor openbare werken en voor de krijgsvoering. De sterrenkunde, van ouds een belangrijk gebied voor wiskundige studiën, werd nu ook gestimuleerd door de eisen die de wetenschappelijke scheepvaartkunde begon te stellen. De zestiende eeuw werd de tijd der grote astronomen, van Copernicus, Tycho Brahe en Kepler. Een nieuwe opvatting omtrent de samenstelling van het heelal begon zich baan te breken. Het wijsgerig denken weerspiegelde de grote veranderingen in maatschappij, wetenschap en techniek. Plato, met zijn eerbied voor het wiskundig denken en daardoor meer kwantitatief ingesteld dan Aristoteles, wiens natuurleer bijna zuiver kwalitatief is, vond een nieuwe aanhang. Wij zien de invloed van Plato's denken o.a. in het werk van Kepler. Het doorbreken van nieuwe gedachten in de natuurwetenschappen nam vaak een anti-Aristotelisch karakter aan. Van de grote werken die hieraan hebben bijgedragen, noemen wij slechts Andreas Vesalius' De fabrica corporis humani en Nicolaas Copernicus De Revolutionibus orbium celestium, beide van 1543, waarvan de eerste de nieuwe anatomie, de andere de nieuwe sterrenkunde inluidde. Hierbij kunnen wij nog Mercators grote wereldkaart van 1569 voegen, die uitdrukking gaf aan het nieuwe aardbeeld in een projectie met ‘wassende graden’, waarbij lijnen van constante koers als rechte lijnen worden afgebeeld. De eeuw wordt afgesloten met William. Gilberts De Magnete (1600), waarmede de nieuwe natuurkunde zich aankondigt. Ongeveer gelijktijdig met Cardano's Ars magna verscheen nog een ander boek dat grote invloed had op de rekenen stelkunde van deze periode. Dit was de Arithmetica integra (1544) van de Lutherse predikant Michael Stifel, waarin o.a. de driehoek van Pascal, de negatieve getallen, ingevoerd als 0 - 3, 0 - 8, etc., en de oplossing van allerlei vergelijkingen, ook van de derde en vierde graad, worden uiteengezet. Stifels ‘Coss’-notatie is weer zeer verschillend van die van Cardano, die weer van die van Bombelli verschilt. Astronomische en goniometrische tafels met steeds stijgende graad van nauwkeurigheid verschenen vooral in Duitsland. De tafels van G.J. Rhaeticus (die Copernicus' boek voor de uitgave had voorbereid), door zijn leerling Valentin Otho in 1596 voltooid, be-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 120 vatten de waarden van alle zes trigonometrische functies, met 10 seconden oplopend, in zes decimalen. De tafels van B. Pitiscus (1613) gingen tot 15 decimalen. Ook was er vooruitgang in de techniek van het oplossen van vergelijkingen en in het begrip van de natuur der wortels. Karakteristiek was de uitdaging, die de Zuidnederlandse wiskundige Adriaen van Roomen in 1593 aan alle belangstellenden zond, en waarin hij de oplossing eiste van een vergelijking van graad 45, die er als volgt uitzag (we geven slechts enige termen aan): x45 - 45x43 + 945x41 - 12300x39 +... - 3795x3 + 45x = A waarbij hij verder vermeldde dat voor

de waarde

aan de vraag voldeed. Dit was een probleem dat door de studie van regelmatige veelhoeken was geïnspireerd. Het antwoord liet niet lang op zich wachten. In 1594 merkte François Viète (Vieta), een Frans advocaat verbonden aan het hof van Hendrik IV, op, dat de linkerzijde van de vergelijking equivalent is met de ontwikkeling van sin φ naar machten van sin φ/45. De oplossing kan dan herleid worden tot een vergelijking van de 3e, de 3e en de 5e graad (45 = 3 × 3 × 5). Ook kan de oplossing met behulp van tafels worden gevonden. Viète vond 23 oplossingen van de vorm sin (φ/45 - n · 8°), zodat hij geen aandacht schonk aan negatieve wortels. Viète, die de goniometrie met vele formules verrijkte, bracht ook de oplossing van Cardano van de derdegraadsvergelijking over in trigonometrische vorm, waarbij het irreducibile geval zijn afschrikwekkende gedaante verloor, omdat nu geen complexe getallen meer nodig waren.1 Viètes belangrijkste bijdragen liggen op het gebied der theorie der vergelijkingen. In zijn In artem analyticam isagoge (1591) voerde hij voor het eerst stelselmatig letters in als coëfficiënten van de termen ener vergelijking. Het gebruik van speciale getallen-coëfficiënten, zelfs in de gesyncopeerde algebra van Diofantos, had de algemene discussie van algebraïsche vraagstukken bemoei-

1 Zie b.v. F. Schuh, Beknopte hoogere Algebrà (Groningen, 1926), Hoofdstuk XIX.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 121 lijkt. Viète kwam tot zijn rekening door een kritiek van de methoden der klassieke schrijvers, vooral van de ‘analyse’ en ‘synthese’ zoals die bij Pappos voorkomen. Uit deze kritiek leidde hij de noodzakelijkheid af, een algebra met getallen te vervangen door een algebra met zgn. species (lijnsegmenten, oppervlakken, enz.). In deze logistica speciosa vindt men dus een algemeen symbolisme, waarin lijnsegmenten door een letter, oppervlakken door een wijziging hiervan worden uitgedrukt, b.v. A is een lijnsegment, A quadratum een oppervlak, enz. De logistica speciosa onderscheidt zich dus van onze algebra daarin, dat Viète vasthoudt aan het homogeniteitsbeginsel, waarbij het produkt van lijnsegmenten A en B als oppervlak wordt beschouwd; lijnsegmenten kunnen slechts met lijnsegmenten, oppervlakken met oppervlakken worden vergeleken. Er bestond zodoende enige twijfel of vergelijkingen van hogere graad dan drie nog zin hadden, daar ze tot een ruimte van vier of meer afmetingen konden leiden. Maar Viète (en ook Stevin) vonden wel een driedimensionale interpretatie. De rekentechniek bereikte, zoals reeds is vermeld, nieuwe hoogtepunten. Viète, in Archimedes' geest, berekende π in negen decimalen, kort daarop vond Ludolph van Ceulen, een wiskundige en schermmeester in Delft, π eerst in 20 decimalen (Van den Circkel, 1596), later in 35 decimalen, steeds meer en meer in- en omgeschreven veelhoeken berekenend.1 Viète slaagde er in π als een oneindig produkt voor te stellen (1593), dat in onze notatie er zó uitziet: 2/π = cos π/4 · cos π/8 · cos π/16 · cos π/32 ... · cos (π · 2-n)... Bij deze verscherping van de techniek speelde de verbeterde notatie (speciaal het systematisch gebruik van het decimale positiestelsel met de tien ons bekende symbolen) een belangrijke rol. De rijkdom van nieuwe resultaten laat duidelijk zien hoe verkeerd het zou zijn te zeggen, dat mannen als Viète ‘alleen maar’ de notatie hebben verbeterd. Aan wie zo iets zegt, ontsnapt het diepliggende verband tussen vorm en inhoud. Vaak zijn nieuwe resultaten ontdekt als een gevolg van een verbeterde notatie. Een voorbeeld is de invoering van de Hindoe-Arabische cijfers, een ander voorbeeld is Leibniz' schrijfwijze voor differentiaalquotiënt en in-

1 Deze waarde van π in 35 decimalen was op zijn grafsteen in de Pieterskerk in Leiden uitgebeiteld. Over de resten van deze grafsteen zie Mathem. Gazette 22 (1938) 281-282.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 122 tegraal. Een goed gekozen notatie weerspiegelt de werkelijkheid beter dan een onhandige. Daardoor lijkt het wel of een goede notatie een eigen leven heeft, de symbolen ‘denken’ voor ons en zo komen nieuwe resultaten voor den dag. Op Viètes verbetering van de algebraïsche notatie volgt een generatie later die van Descartes, met haar toepassing in de coördinatenmethode.

Het nut van het decimale positiestelsel werd nog aanzienlijk vergroot door de invoering van decimale breuken. Ofschoon deze in het Oosten al lang bekend waren (zie blz. 98, 101), vangt het stelselmatig gebruik van deze breuken in Europa aan met het boekje De Thiende van Simon Stevin (1585). Stevin, een boekhouder uit Brugge, vestigde zich in 1581 te Leiden. Hij werd ingenieur in het Statenleger; Maurits van Oranje waardeerde de wijze waarop Stevin praktische zin met theoretisch inzicht verbond.1 De Thiende is een voorstel, het gehele toenmaals verwarde stelsel van maten en gewichten in een decimaal stelsel om te zetten, en daarbij laat Stevin ook zien hoe men met decimale breuken even gemakkelijk kan rekenen als met gehele getallen. Stevin schreef ook over statica en hydrodynamica en zijn Arithmétique (1585) is een uitvoerig leerboek der rekenen stelkunde, met een behandeling van hogere-machtsvergelijkingen aan Cardano ontleend, maar met een andere notatie, bij die van Bombelli aanknopend. Stevins manier om decimale breuken te schrijven is nogal omslachtig. Onze tegenwoordige notatie is ontstaan als een gevolg van een andere grote verbetering in de rekentechniek, de uitvinding der logaritmen. Gedurende de zestiende eeuw hadden verscheidene wiskundigen met de mogelijkheid gespeeld, een rekenkundige met een meetkundige reeks in correspondentie te plaatsen (b.v. Stifel), vaak met de bedoeling het werk met de ingewikkelde trigonometrische tafels te vergemakkelijken. Dit was ook het doel van de Schotse burchtheer John Napier (of Neper), die in 1614 een boek uitgaf met de titel Mirifici logarithmorum canonis descriptio. Zijn idee was twee reeksen getallen zodanig met elkaar te verbinden dat steeds, als de ene reeks volgens een rekenkundige reeks groeit, de andere volgens een meetkundige reeks afneemt. Dan bestaat er tussen het produkt van twee getallen in de tweede reeks en de som van de corresponderende getallen van de eerste reeks een eenvoudige betrekking, en zo kon vermenigvuldiging tot

1 Over Maurits en de wiskunde zie H. Turkstra, Euclides 12 (1935/36) 9-15.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 123 optelling worden teruggevoerd, mits men eens en voor altijd de bijbehorende tafels berekende. Door zijn uitvinding kon Napier het rekenen met trigonometrische waarden vereenvoudigen. Napier's eerste poging was nogal onbeholpen, aangezien zijn beide reeksen, in moderne schrijfwijze uitgedrukt, zich verhouden als x en y in y = a e-x/a of x = Nep. log y 7 1 waarin a = 10 . Is dan x = x1 + x2, dan a y = y1y2/a. Dit systeem bevredigde ook Napier niet, en met zijn bewonderaar Henry Briggs, een professor aan het nieuwe Gresham College in Londen, besloot hij een decimaal systeem op te bouwen, x 2 berustende op wat wij als y = 10 zouden schrijven, zodat y = y1y2 als x = x1 + x2. Na Napiers dood in 1617 voerde Briggs dit plan uit in zijn Arithmetica logarithmica (1624), dat de zgn. Briggse logaritmen van de gehele getallen van 1 tot 20.000 en van 90.000 tot 100.000 in 14 decimale plaatsen bevat. In voorbereiding hiervoor had Napier van Stevin de decimale breuken overgenomen, doch de schrijfwijze gewijzigd: gehelen en breukdeel werden door een punt gescheiden (gepubl. 1619). De leemte die nog in de logaritmentafel bestond, werd in Gouda gevuld. Hier had de landmeter Ezechiel de Decker in 1626 een Eerste deel der nieuwe telkonst uitgegeven. Met behulp van zijn stadgenoot Adriaen Vlacq gaf hij in 1627 een Tweede deel van de nieuwe telkonst uit, waarin de logaritmen van alle getallen van 1 tot en met 100.000 in 10 decimalen werden gepubliceerd.3 Dit werd gevolgd door Vlacqs Arithmetica logarithmica (1628). Met Stevins decimale breuken en Briggs' decimale logaritmen was zo-

1 Dus is Nep log y = 107 (ln 107 - ln y) = 161180957 - 107 ln y en Nep log 1 = 161180957; ln x staat voor onze natuurlijke logaritme. Men maakt dus een fout zo men de natuurlijke logaritmen de Neperiaanse noemt. 2 In Napiers zegswijze: de logaritme van 1 zou 0 moeten worden, en de logaritme van de gehele sinus 10 000 000 000. De ‘gehele sinus’, ‘sinus torus’, is de sinus van de rechte hoek, dus de straal van de cirkel. Over Napier zie o.a. N.L.W.H. Gravelaar, John Napiers Werken, Verh. Kon. Akad. v. Wetenschappen, Amsterdam 1e sectie 6, No. 6, 1899, 159 bldz. De term ‘logaritme’ schijnt ook van Napier afkomstig te zijn. 3 Over de ontdekking van dit ‘Tweede Deel’ in 1920 zie M. van Haaften De Verzekeringsbode 39 (1919-1920) No. 49 en 52, 40 (1920-21) Nos. 4, 5, 10 en 19; ook Nieuw Archief v. Wiskunde 15 (1925) 49-54.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 124 doende het Hindoe-Arabische stelsel tot dezelfde graad van vervolmaking gebracht als het nu bezit, en de twee boeken van De Decker waren een soort apotheose van dit stelsel. De nieuwe uitvinding werd onmiddellijk door astronomen en wiskundigen met vreugde begroet, vooral door Kepler, die een lange en pijnlijke ervaring met gecompliceerde berekeningen achter de rug had. De uiteenzetting die hier over het ontstaan der logaritmen is gegeven, werkt historisch gesproken een beetje verwarrend, omdat de exponentiële functies die we gebruikt hebben eerst in het laatste deel van de zeventiende eeuw zijn ingevoerd. Napier kende het begrip van een basis niet. Het verband tussen logaritmen, de afstand van breedtecirkels in een kaartprojectie van Mercator, de machten van het getal e en de integraal van x-1 (of het oppervlak tussen hyperbool en asymptoot) is eerst langzaam ontdekt, en wordt eerst door Euler in 1748 helder uiteengezet. Natuurlijke logaritmen, gebaseerd op wat wij nu y = e x schrijven, verschenen bijna gelijktijdig met de logaritmen van Briggs, maar hun fundamentele betekenis werd eerst begrepen toen de differentiaalen integraalrekening reeds ontwikkeld was.1 Van de Nederlandse wiskundigen uit het begin van de zeventiende eeuw moeten wij nog Willebrord Snell van Royen (Snellius) vermelden, een leerling van Van Roomen, Tycho Brahe en Kepler, en professor aan de in 1575 gestichte Leidse universiteit. Behalve als vertaler in het Latijn van werken van Van Ceulen en Stevin heeft hij zich op de triangulatie, de trigonometrie en de zeevaart-kunde toegelegd. In zijn Eratosthenes Batavus (1617) vinden wij het resultaat van zijn graadmeting, in zijn Tiphys Batavus (1624) wordt de lijn van gelijke koers op de bol, die een rechte lijn wordt in de Mercatorprojectie, met ‘loxodrome’ aangegeven. Wanneer hij de naar hem genoemde brekingswet heeft ontdekt weten we niet, daar we van het bestaan van het handschrift slechts door anderen weten.

1 Enige natuurlijke logaritmen vindt men bij Edmund Wright (gepubl. 1618) en J. Speidel (1619). Wright was geïnteresseerd in verbeterde kaarten in Mercatorprojectie. Dan volgt geen publikatie van tabellen voor natuurlijke logaritmen vóór 1770. Zie F. Cajori, History of the Exponential and Logarithmic Concepts, Amer. Mathem. Monthly 20 (1913) - Onder de uitvinders van de logaritmen moet men ook de Zwitserse instrumentmaker Jost Bürgi noemen, die in 1620 in Praag zijn Progress-Tabulen uitgaf, die echter vrijwel onbekend bleven. Zie E. Voelling in Elemente der Mathematik, Supplement 5 (Basel, 1948).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 125

Literatuur

Over de verspreiding der Hindoe-Arabische cijfers in Europa: D.E. Smith-L.C. Karpinski, The Hindu-Arabic Numerals (Boston, Londen, 1911).

Over de theoretische wiskunde in de Middeleeuwen: C.B. Boyer, The History of the Calculus (New York, 1959).

Over de wiskunde der scholastici: N. Oresme, Questiones super Geometriam Euclidis (Leiden, 1961, met Engelse vertaling van H.L.L. Busard). E. Bodewig, Die Stellung des heiligen Thomas von Aquino zur Mathematik. Archiv für die Geschichte der Philosophie 11 (1931), 1-34. B. Geyer, Die mathematischen Schriften des Albertus Magnus. Angelicus 35 (1958) 159-175. Thomas of Bradwardine's Tractatus de Proportionibus, ed. and transl. by H.L. Crosby (Madison, Wis., 1955). H.L.L. Busard, Quaestiones super Geometriam Euclidis (van Nicole Oresme) (Leiden, 1961). M. Clagett, Archimedes in the Middle Ages (2 dln., Madison 1969, Philadelphia 1976).

De Italiaanse wiskunde van de 16e en 17e eeuw vindt men in een aantal verhandelingen besproken: E. Bortolotti, o.a. Periodico di Matematica 5 (1925) 147-184, 6 (1926) 217-230, 8 (1928) 19-59; Scientia 1923, 385-394, en: E. Bortolotti, I contributi del Tartaglia, del Cardano, del Ferrari e della Scuola matematica Bolognese alla Teoria algebrica della Equazione cubiche (Imola, 1920) 54 blz. Cardano's autobiografie ‘Vita mea propria’ (Basel 1542, 1575) in vertaling: H. Cardano, My life, vert. door J. Stoner (New York, 1930). Ook Duitse vertaling van H. Hefele (Jena, 1914). O. Ore, Cardano: the Gambling Scholar (Princeton, 1953). Met vertaling en bespreking van Cardano's ‘Liber de Ludo Aleae’. Zie ook S.H. Gould, The Book on Games of Chances (New York, 1961). A. Masotti, Quaesiti (van Tartaglia) en Cartelli (van Tartaglia en Ferrari) (Brescia, 1959, 1974). P.L. Rose, The Italian Renaissance of Mathematics (Genève, 1975).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 126

T.R. Witmer, The Great Art or the Rules of Algebra by Girolamo Cardano (Cambridge, Mass. en Londen, 1978). Dit is een Engelse vertaling van de ‘Ars Magna’, in moderne notatie.

Men vindt vele gegevens over de wiskundigen van de zestiende en zeventiende eeuw, en in het bijzonder de Vlaamse en Nederlandse wiskundigen, in de vele artikelen van H. Bosmans S.J., waarvan de meesten zijn te vinden in de Annales de la Société Scientifique de Bruxelles 1905-1927. De volledige bibliografie, door A. Rome, in Isis 12 (1929) 88-112. Ook vindt men belangrijke gegevens over Noord-Nederlandse wiskundigen in artikelen van het Nieuw Nederlandsch Biographisch Woordenboek (10 dln., Leiden 1911-37), vele van de hand van C. de Waard. P. Treutlein, Das Rechnen im 16. Jahrhundert, Abhandl. zur Geschichte der Mathematik 1 (1877) 1-100. P. Treutlein, Die deutsche Coss, Abhandl. zur Geschichte der Mathematik 2 (1879). M. Steck, Dürer's Gestaltlehre der Mathematik und der bildenden Künste (Halle, 1948). H.S. Carslaw, The Discovery of Logarithms by Napier, Mathem. Gazette 1915/16, 76-84, 115-119. [C.G. Knott e.a.], Napier Tercentenary Memorial Volume (London, 1915). E. Zinner, Leben und Wirken des Johannes Müller von Königsberg, genannt Regiomontanus (München, 1938). J.D. Bond, The Development of Trigonometric Methods down to the close of the Fifteenth Century, Isis 4 (1921/22) 295-323. F.A. Yeldham, The Story of Reckoning in the Middle Ages (London, 1926). E.J. Dijksterhuis, Simon Stevin ('s-Gravenhage, 1943). Simon Stevin, Selected Works (5 delen, 1955-1960). De inleidingen tot de boeken van Stevin bevatten vele historische gegevens, o.a. over de perspectief, de algebra en de uitvinding der decimale breuken. Nikolaus von Cues, Mathematische Schriften, vert. en uitg. door J. en J.E. Hofmann (Hamburg, 1952). L. Thorndike, The Sphere of Sacrobosco (Chicago, 1949). M. Clagett, The Science of Mechanics in the Middle Ages (Madison, Wis.-Londen, 1959). E.G.R. Taylor, The Mathematical Practitioners of Tudor and Stuart England (Cambridge, 1954).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 127

Hoofdstuk II van G. Sarton, Six Wings, Men of Science of the Renaissance (Bloomington, Ind. 1957). H. Averdunk-J. Müller-Reinhard. Gerhard Mercator. Ergänzungsheft 182 zu ‘Petermanns Mitteilungen’ (Gotha 1914, 188 bldz.) met een bespreking van Mercators verschillende kaartprojecties. N.Z. Davis, Sixteenth century French arithmetics and the business life. Journ. Hist. of Ideas 21 (1960) 18-48. A.J.E.M. Smeur, De zestiende-eeuwse Nederlandse Rekenboeken (Diss. Utrecht, Den Haag 1960). N.L.W.A. Gravelaar, Cardano's Transmutatiemethoden, Nieuw Archief voor Wiskunde (2) 8 (1909) 407-443. Id. De notatie der decimale breuken, Ib. (2) 4 (1900) 54-73. B. Hughes, Engelse vertaling van Regiomontanus' trigonometrie: Regiomontanus on Triangles (Madison, Wisconsin, 1967). Zie Scripta Mathematica 28 (1970) 364-365, bespreking door B. Rosenfeld. F. Viète, Opera mathematica (Leiden, 1646). Heruitgegeven door J.E. Hofmann, met voorwoord (Hildesheim, New York, 1970). N. Bubnow, Gerberti postea Silvestri II papae Opera Mathematica (Berlijn, 1899, nieuwe uitg. Hildesheim 1913). P. Bockstaele, Adriaan van Roomen, Nat. Biogr. Woordenboek 2 (Brussel, 1966) 752-765. G.E. Harig, Cardans und Tartaglias Streit um die kubische Gleichungen und seine gesellschaftlichen Grundlagen, Arch. Hist. Sc. Techn. 7 (1935) 67-104, 534. H. Wussing, Adam Ries (Leipzig, 1989).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 129

VI. De zeventiende eeuw

De snelle ontwikkeling van de wiskunde tijdens de Renaissance berustte niet alleen op de ‘Rechenhaftigkeit’ van de gegoede burgerij. Men begon geld te beleggen in industrie en daarmee in het gebruik en het verbeteren van werktuigen en machines. Deze waren reeds vanouds bekend, zij hadden Archimedes' genie en Heroons vernuft geïnspireerd. In die tijden moedigde evenwel noch de slavernij noch het stedelijk handwerk het gebruik van arbeidsbesparende mechanismen aan, en een economisch vooruitstrevende burgerklasse heeft de Oudheid (en het Oosten) slechts sporadisch bezeten. Bij Heroon vinden wij wel machines beschreven, doch alleen voor amusement of voor goocheltoeren. In de latere Middeleeuwen begint in deze toestand verandering te komen, machines worden aangewend in werkplaatsen, bij openbare werken en in het mijnbedrijf, niet zelden in het bezit van kooplieden, bankiers of vorsten, en door stedelijke gilden met tegenzin begroet. Transatlantische scheepvaart en krijgsbedrijf stimuleren ook uitvinding en verbetering van werktuigen en machines.

‘De constante bedrijvigheid die gij Venetianen in uw beroemde arsenaal tentoon spreidt, biedt de leergierige geest een groot gebied voor studie, vooral dat gedeelte van het werk dat betrekking heeft op de mechanica’ (Galilei 1632, Dialogi, eerste dag).

Reeds in de veertiende eeuw en nog vroeger bestond er in Lucca en Venetië een gevestigde zijde-industrie, gebaseerd op arbeidsverdeling en waterkracht. In Vlaanderen bloeide de lakenindustrie. In de vijftiende eeuw begon in Centraal Europa de mijnbouw zich te ontwikkelen tot een volledig kapitalistisch georganiseerde industrie, waarbij pompen en hijsmachines al een belangrijke technische rol speelden, zodat steeds dieper liggende lagen konden worden aangeboord. De voor Europa nieuwe uitvindingen van vuurwapens, boekdrukkunst, windmolens, de verbetering van schepen en het graven van kanalen, maakten ook op hun beurt weer brede lagen van de bevolking technisch bewust. We beginnen mannen aan te treffen die we nu ingenieurs zouden noemen. Uurwerken werden verbeterd en gebruikt in scheepvaart en sterrenkunde, en zo kreeg het publiek soms prachtige mechanismen te

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 130 zien. De regelmatigheid van de loop der uurwerken en de mogelijkheid daarmede de tijd precies aan te geven maakten op velen een diepe indruk. Menig wijsgeer der Renaissance en van later ziet in het uurwerk een model van het heelal. Deze filosofische opvatting heeft medegewerkt tot de ontwikkeling van het mechanische wereldbeeld. Het gebruik en de studie van machines voerden tot theoretische werktuigkunde, tot de studie van de beweging en de begrippen van snelheid en versnelling. Uit de Oudheid waren reeds geschriften over de statica bekend - b.v. die van Archimedes - en de hernieuwde studie der statica ging van deze klassieke geschriften uit. Er bestonden reeds vóór de uitvinding van de boekdrukkunst boeken over werktuigen en machines (b.v. van Kyeser, begin 15e eeuw), aangevuld door meer theoretisch opgezette studies, als het boek over bouwkunde van Leon Battista Alberti (ca. 1450) en sommige geschriften van Leonardo da Vinci. Leonardo's manuscripten bevatten het begin van een uitgesproken mechanistische natuurleer. Later in de zestiende eeuw verschijnen de mooie technische boeken van Vannoccio Biringuccio (Pirotechnia, 1540, Engelse vertaling 1943) en van Georg Agricola (De re metallica, 1556, Engelse vertaling 1912). Wat de wiskundigen betreft, Tartaglia behandelde in zijn Nuova scienzia (1537) de constructie van uurwerken en de baan van projectielen, ofschoon hij nog niet inzag dat deze baan (zonder wrijving) een parabool moet zijn. Dit werd eerst door Galilei in de Vierde Dag van zijn Discorsi (1638) bewezen. Deze soort van onderzoekingen werden ook door de uitgave van de werken van Archimedes gestimuleerd, vooral door die van de Italiaan Federigo Commandino (1558). Zo werden de antieke integratiemethoden binnen het bereik van vele wiskundigen gebracht. Commandino paste deze methoden zelf toe op de berekening van zwaartepunten (1565), al deed hij dit ook minder streng dan zijn meester. De berekening van zwaartepunten bleef nog lang een geliefkoosde bezigheid van hen die hun kennis van Archimedes zochten te verdiepen, en zodoende hun studie van de statica wisten te verbinden aan een beoefening van praktijken die we thans als de beginselen van de integraalrekening zien. Onder deze volgelingen van Archimedes treffen we de Nederlander Simon Stevin aan, die in zijn Weeghconst en Waterwicht (1586) over zwaartepunten en hydraulische problemen schreef, verder de Italiaan Luca Valerio, die in 1604 de berekening van zwaartepunten en in 1606 de kwadratuur van de parabool behandelde. In de Centrobaryca van de

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 131

Zwitser Paul Guldin (3 dln, 1635-'41) vinden we de zgn. theorema's van Guldin, die verband leggen tussen oppervlak en inhoud van omwentelingsoppervlakten en het zwaartepunt van het vlak uit wier wenteling ze ontstaan.1 Deze auteurs hebben wegen bewandeld waarlangs Kepler, Cavalieri, Torricelli en anderen tot methoden kwamen die tot de uitvinding van de differentiaalen integraalrekening hebben geleid.

Kenmerkend voor deze wiskundigen was hun bereidheid om de Archimedische strengheid van bewijs op te geven voor beschouwingen die veel minder streng, soms ‘atomisch’ waren - waarschijnlijk zonder te weten dat Archimedes in zijn brief aan Eratosthenes juist soortgelijke methoden om hun aanschouwelijke waarde had toegepast. Deze mindere scherpte was voornamelijk het gevolg van het verlangen naar resultaten, die met de Griekse methode moeilijk snel waren te verkrijgen, en zeker op omslachtige wijze. Ten dele speelde ook een zekere ontevredenheid met de scholastiek en haar subtiliteiten een rol, waarvan althans sommigen dezer wiskundigen goed op de hoogte waren, zeker de Katholieke priesters onder hen. Reken- en scheepvaartmeesters, ingenieurs en loodsen zochten naar methoden die gemakkelijk te begrijpen waren. De revolutie in de sterrenkunde, die met de namen Copernicus, Tycho Brahe en Kepler is verbonden, opende nieuwe visies over de plaats van de mens in het heelal en zijn vermogen deze met behulp van de wiskunde nader te bestuderen. Twijfel begon te rijzen aan de manier waarop in het Aristotelisme verband werd gelegd tussen de bewegingen en de krachten bij ‘ondermaanse’ en hemelse lichamen. Hoezeer de wiskunde bij deze revolutie een rol speelde, kan men in het werk van Johannes Kepler zien, waarin geweldig rekenwerk verbonden is met scherpzinnige meetkundige beschouwingen, waarin ook infinitesimalen een belangrijke rol speelden. Kepler, wiens Astronomica nova van 1609 zijn elliptische planetenbeweging bevat, heeft ook een boek over inhoudsberekeningen geschreven, zijn Nova stereometria doliorum vinariorum (‘nieuwe stereometrie van wijnvaten’, 1615), waarin hij, in Archimedes' voetstappen voortschrijdende, de inhoud afleidde van lichamen

1 Deze theorema's komen alreeds in Pappos' Verzameling voor (Boek VII), doch ze worden door sommigen als een latere invoeging beschouwd. Voor het geval van een torus vinden we het theorema reeds in Heroons Metrica.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 132 die ontstaan door rotatie van kegelsneden om een lijn in hun vlak gelegen. Hij brak met het Archimedische strenge doch indirecte bewijs, voor hem was een cirkelomtrek een veelhoek met oneindig veel zijden en de inhoud van een bol de som van de inhouden van oneindig veel spitse piramiden met gemeenschappelijke top in het middelpunt van de bol. Kepler zag in dat de bewijsvormen van Archimedes streng waren absolutae et omnibus numeris perfectae (absoluut en in elk opzicht volmaakt), maar hij liet ze gaarne over aan lieden die daar plezier in hadden. Iedere auteur van die dagen en nog veel later behield zich de vrijheid voor, zijn eigen maat van strengheid of gebrek aan strengheid te bepalen. Er bleven natuurlijk altijd wiskundigen die het met de strengheid van hun bewijsvoering heel ernstig namen.1 Op Copernicus en Kepler had Plato met zijn Pythagoreïsche verering van de wiskunde een diepe invloed. Bij Galileo Galilei neemt de verwerping van het Aristotelische wereldbeeld scherper en meer polemischer vormen aan. Aan hem hebben wij de nieuwe kinematica van vrij vallende lichamen, het begin van de elasticiteitsleer en een van geest tintelende verdediging van het Copernicaanse stelsel te danken. Hij is een der voorgangers van de moderne wetenschap, die op de harmonsiche samenwerking van theorie en experiment berust, waarbij nadruk wordt gelegd op wiskundige en in 't algemeen kwantitatieve beschouwingen - ook al speelt het experiment bij Galilei niet zulk een belangrijke rol als men soms wel aanneemt: zijn redenering is vaak a priori, terwijl het experiment (soms alleen een gedachtenexperiment) als verificatie dient. In de Discorsi van 1638 vindt men, in de Derde Dag, een scherp-

1 Een overgang van het Griekse, strenge, indirecte bewijs naar een direct bewijs vindt men in Valerio's boek over zwaartepunten (1604): ‘Indien een grootheid, die groter of kleiner is dan een eerste grootheid, een bepaalde verhouding heeft gehad tot een grootheid, die groter of kleiner is dan een tweede grootheid, met een exces of defect dat kleiner is dan welke voorgeschreven grootheid ook (excessu vel defectu quantacumque magnitudine proposita), dan zal de eerste grootheid tot de tweede dezelfde verhouding hebben.’ De redenering van Stevin bij het vinden van zwaartepunten kan als volgt worden weergegeven: Als grootheden verschillend zijn, kan een grootheid gesteld worden minder dan hun verschil. Maar stel dat tussen de grootheden P en Q geen grootheid kan gesteld worden minder dan hun verschil. Dan kan men concluderen dat deze grootheden P en Q ‘en verschillen niet’ (Selected Works I, 230). Zie E.J. Dijksterhuis, Elementen van Euclides II 242, C.B. Boyer, History of the calculus, 100-106.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 133 zinnige wiskundige afleiding der wetten van de eenparige en eenparig versnelde beweging (alles geheel meetkundig); in de Vierde Dag wordt de parabolische beweging van het projectiel afgeleid met tabellen over hoogte en worpswijdte als functie van aanvangshoek en aanvangssnelheid. Galilei heeft echter nooit zijn ideeën over de infinitesimaalrekening systematisch uiteengezet, doch dit aan zijn leerlingen Cavalieri en Torricelli overgelaten. Hij had ook over het oneindige zeer oorspronkelijke ideeën, zoals we ook in de Discorsi kunnen zien (Eerste Dag), waarin hij aantoont dat ‘het aantal kwadraatgetallen niet kleiner is dan het aantal van alle natuurlijke getallen, maar dit aantal ook niet groter is dan het eerste’, zoals blijkt uit de mogelijkheid van de één-éénduidige toevoeging der getallen

1 2 3 4 5 6... 1 4 9 16 25 36...

Dit was een verdediging van het actueel oneindige, bewust gevoerd tegen de meningen van Aristoteles en de Scholastici (Salviati, in de Discorsi, de woordvoerder van Galilei, verdedigt zijn standpunt tegenover Simplicio, de Aristoteliaan). Salviati maakt ook de opmerking dat de kettinglijn er uitziet als een parabool, doch berekent de kromme niet. Galilei heeft ook het eerst de cycloïde beschouwd (1590). Galilei schreef zijn hoofdwerken in het Italiaans, Stevin in het Nederlands, Bacon in het Engels en Descartes in het Frans (doch niet altijd). Ze schreven hun werken in de landstaal waarmee zij het breder publiek wilden bereiken, dat in deze periode bereid was van de nieuwe wetenschap kennis te nemen. De grote wetenschappelijke revolutie was in gang. En de wiskunde speelde daarin een belangrijke rol. De tijd was dus gekomen voor een eerste systematische samenstelling van de resultaten die men op het gebied der infinitesimaalrekening had bereikt. Het was Bonaventura Cavalieri, professor aan de universiteit van Bologna, die deze taak op zich nam. In zijn Geometria indivisibilibus continuorum nova (1635) ontwikkelde hij het begin van een integraalrekening, die gebaseerd was op het scholastieke begrip van het indivisibile.1 Volgens deze opvatting

1 F. Cajori, Indivisibles and ‘ghosts of departed quantities’ in the History of Mathematics, Scientia 1925, 301-306; E. Hoppe, Zur Geschichte der Infinitesimalrechnung bei Leibniz und Newton, Jahresber. Deutsch. Mathem. Verein 37 (1928) 148-187, vgl. hierbij C.B. Boyer, History of the Calculus (1959) 192, 206, 209.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 134 ontstond een lijn uit de sommatie (of beweging) van punten, en een oppervlak uit die van lijnen. Cavalieri had daarom geen oneindig kleine grootheden van ‘atomische’ vorm nodig. Men kan zijn gedachtengang leren kennen uit de stelling die we nog steeds als het ‘beginsel van Cavalieri’ in onze leerboeken aantreffen. Uit dit beginsel wordt geconcludeerd, dat de oppervlakten van twee driehoekachtige figuren met dezelfde basis en dezelfde hoogte gelijk zijn als de doorsneden, op gelijke afstand van de basis getrokken, gelijk zijn. Met zijn optelling van lijnen kon Cavalieri berekeningen voltrekken die equivalent waren met de integratie van rationale veeltermen, doordat hij het equivalent bezat van de integraal

Maar als men lijnen optelt, blijft men lijnen krijgen, en geen oppervlakken, evenmin als men door optelling van punten een lijn verkrijgt (hiervoor moet men b.v. een begrip als beweging invoeren). Cavalieri zag dat ook wel in. Toen Torricelli hem eens aantoonde, dat met zijn methode om oppervlakken als sommen van lijnsegmenten te beschouwen, men ‘bewijzen’ kon dat iedere driehoek door een hoogtelijn in twee gelijke helften kon worden verdeeld, veranderde Cavalieri zijn lijnen in ‘draden’, dus in oppervlakken van zeer geringe dikte, doch eerst andere wiskundigen trokken daaruit de nodige consequenties, door niet lijnen l, maar vlakelementen ldx op te tellen, om Leibniz' notatie te gebruiken.

De verschijning van Descartes Géométrie, in 1637, kwam de ontwikkeling van de infinitesimaalrekening zeer ten goede. Door deze Géométrie werd de gehele klassieke meetkunde binnen het bereik van de algebra gebracht, zodat van nu af aan meetkundige en algebraïsche methoden elkaar konden bevruchten. Het boek was gepubliceerd als een der appendices tot Descartes' Discours de la Méthode, zijn te Leiden verschenen verhandeling over de methode van het juiste redeneren. Réné Descartes (Cartesius) was een Fransman van lagere adel, uit de Touraine geboortig, die een tijdlang in het leger van Prins Maurits had gediend. In 1629 keerde hij naar de Republiek terug en bleef daar tot 1649, nogal eens van woning veranderende. Hier ontwikkelde en publiceerde hij zijn wiskunde en zijn wijsbegeerte. Hij stierf in 1650 te Stockholm, waar hij op uitnodiging van Koningin Christina naartoe was gereisd. In overeenstemming met vele andere denkers van de 17e eeuw

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 135

Bladzijde uit La géometrie van Descartes.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 136 zocht Descartes naar een methode om de waarheid in de wetenschappen te vinden en daardoor zowel de wereld door de rede te begrijpen alsook het maken van uitvindingen te bevorderen. Deze methode leidde in Descartes' handen tot een wijsbegeerte die voor vele tijdgenoten die van Aristoteles verving en tot op de huidige dag zijn invloed laat voelen. Voor deze wijsbegeerte was de sleutel tot de kennis der natuur de mechanica, en de sleutel tot de kennis der mechanica de wiskunde. Zo werd de wiskunde van een werkmethode voor loodsen, landmeters en rekenmeesters tot het belangrijkste wetenschappelijke denkgebied van de wijsgeer verheven. Hierbij speelde, naast de algemene kwantitatief gerichte geest des tijds, ook het feit mee dat de enige natuurwetenschappen die enigszins stelselmatig waren ontwikkeld, de astronomie en de statica, op wiskundige leest geschoeid waren. Daar kwam bij dat de wiskunde zelf, met haar overtuigende waarheden, een schitterend voorbeeld was van het feit dat de waarheid in de wetenschappen door de rede kon worden gevonden. Zo kwam de mechanistische filosofie van deze periode tot conclusies die veel overeenkomst hadden met die van de Platonici, al was hun uitgangspunt heel anders. De Platonici, die in de harmonie van het heelal, en de Cartesianen, die aan een op de rede gevestigde methode geloofden, vonden beiden in de wiskunde de koningin der wetenschappen. Descartes publiceerde zijn Géométrie als een voorbeeld van zijn rationalistisch denken, dat hier tot een nieuwe verbinding van de algebra en de meetkunde had gevoerd. Volgens een vaak verkondigde mening bestaat de verdienste van dit boek voornamelijk hierin, dat Descartes de analytische meetkunde schiep. Het is waar dat dit gebied van de wiskunde in de loop der tijden onder de sterke invloed van het werk van Descartes is ontstaan. De Géométrie zelf kan echter nauwelijks als een eerste leerboek over dit onderwerp worden beschouwd. Wij vinden er geen ‘Cartesiaanse assen’ en geen afleiding van de vergelijkingen van de rechte lijn en de kegelsneden, al werden enige kwadratische betrekkingen ingevoerd die kegelsneden weergaven. Daar komt bij dat een aanzienlijk deel van het boek uit een theorie over de algebraïsche vergelijkingen bestaat, die o.a. de zgn. ‘regel van Descartes’ over het aantal positieve en negatieve wortels van een vergelijking bevat. Wij moeten niet vergeten dat reeds Apollonios kegelsneden karakteriseerde met wat we nu (met Leibniz) coördinaten noemen, een karakterisering die natuurlijk geheel in meetkundige taal was vervat. Ook had Pappos in zijn Verzameling een Analuomenos, een ‘analyse’, gebruikt die men slechts heeft te moderniseren om

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 137 een consequente toepassing van de algebra op de meetkunde te kunnen afleiden. Bij Ptolemaios in zijn Geografia vinden we de punten op de bol door lengte en breedte, dus door numerieke coördinaten, aangegeven. Zelfs vindt men vóór Descartes nu en dan iets wat op een grafische voorstelling lijkt (Oresme). De verdiensten van Descartes liggen in de eerste plaats in de consequente toepassing van de in zijn tijd door Cardano en Viète ontwikkelde algebra op de geometrische analyse van de Grieken, waardoor deze een grote hoeveelheid nieuwe toepassingen vond. Descartes kon dit presteren omdat hij definitief met de homogeniteitsvoorwaarden van zijn voorgangers brak; voorwaarden die o.a. typisch waren voor Viète's logistica speciosa, zodat x2, x3, xy nu evenals x en y als lijnsegmenten konden worden beschouwd. Zo kon men uit de vergelijking 1: a = a : a2, de term a2 als een lijnsegment uit een evenredigheid construeren, indien een eenheidssegment en het segment a waren gegeven. Een algebraïsche vergelijking tussen x en y werd nu een betrekking tussen getallen, die lijnsegmenten voorstelden: een nieuwe wiskundige abstractie die de algemene algebraïsche behandeling van algebraïsche krommen mogelijk maakte. Descartes' notatie is in vele opzichten modern, men vindt in zijn boek uitdrukkingen als ½a + , die wat schrijfwijze betreffen, slechts hierin van onze schrijfwijzen verschillen dat Descartes aa schrijft waar wij a2 zetten, en aaa waar wij a3 zetten. De notatie a, b, c voor bekende grootheden en x, y, z voor onbekende is ook van Descartes. Het is niet moeilijk de Géométrie te lezen, maar men zal er onze analytische meetkunde niet in vinden.1 Iets dichter bij onze analytische meetkunde staat het werk van Pierre Fermat, een advocaat in Toulouse, die enkele vrij korte meetkundige verhandelingen schreef, zeer waarschijnlijk reeds vóór de publikatie van Descartes' boek, doch die pas in 1679 werden gepubliceerd. In een ervan, de Isagoge vinden we stelselmatige afleidingen van de vergelijkingen van de rechte lijn en de kegelsneden, zodat we hier de vergelijkingen y = mx + a, xy = k2, x2 + y2 = a2, x2 ± p2y2 = b2 vinden, vergelijkingen die zijn afgeleid aan de hand van een stelsel van (gewoonlijk rechthoekige) assen. Deze

1 De term ‘analytische meetkunde’ in de betekenis die wij er aan hechten wordt eerst in het begin van de negentiende eeuw gebruikt (zie blz. 199). Newton gebruikt de term geometria analytica, doch niet in onze betekenis. Zie verder E.J. Dijksterhuis, Descartes als wiskundige, Openbare les Leiden 1932.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 138 vergelijkingen waren echter volgens Viète's notatie geschreven, en werden dus ook homogeen geïnterpreteerd. Fermats verhandelingen zien er dus veel ouderwetser uit dan die van Descartes. Toen eindelijk Fermats werk in druk verscheen, was het werk van Descartes voortgezet door anderen die meer stelselmatig de algebra op de antieke meet kunde hadden toegepast. Wij denken hier b.v. aan de Tractatus de Sectionibus Con̄icis (1655) van John Wallis en een deel van de Elementa Curvarum Linearum (1659) van Raadpensionaris Jan de Witt. Voor de verspreiding van Descartes' wiskundige ideeën deed vooral de Leidse professor Frans van Schooten, leraar van De Witt en Huygens, veel moeite. Toch was er slechts matige vooruitgang in deze tak van wetenschap, zelfs L'Hospital's Traité analytique des Sections coniques (1707) was niet veel meer dan een vertaling van Apollonios in de taal van Descartes' algebra. Alle schrijvers aarzelden om aan hun coördinaten, die toch lijnen waren, negatieve waarden toe te kennen. De eerste, die onafhankelijk van de Grieken met algebraïsche vergelijkingen werkte, was Newton, in zijn studie over derdegraadskrommen (1703). De eerste analytische meetkunde van kegelsneden die niet meer afhankelijk was van Apollonios, vindt men in Eulers Introductio van 1748, waarin ook ruimtefiguren worden behandeld.

Het verschijnen van Cavalieri's boek droeg ertoe bij, dat de belangstelling van wiskundigen in verschillende landen voor vraagstukken uit infinitesimale beschouwingen voortgekomen groter werd. Beïnvloed door Descartes begonnen zij de fundamentele problemen meer abstract te formuleren, waardoor zij in algemeenheid wonnen. Naast de oudere vraagstukken over inhouden en zwaartepunten, die we nu bij de integraalrekening behandelen, kwam nu ook het vraagstuk: de raaklijn aan een kromme door een gegeven punt te vinden. Dit raaklijnenvraagstuk was door de Grieken nooit fundamenteel aangepakt, zodat, om moderne termen te gebruiken, de differentiaalrekening eerst tweeduizend jaar na de integraalrekening is ontwikkeld. Verwant met het raaklijnenvraagstuk is het probleem, snelheid en versnelling precies te formuleren, waarmee Galilei in de Derde Dag van zijn Discorsi (1638) begonnen is. In deze verhandelingen over beide soorten van infinitesimaalrekening vinden we twee stromingen, een meetkundige en een algebraïsche. De volgelingen van Cavalieri, in het bijzonder Torricelli en Isaac Barrow, Ieraar van Newton, hielden van de Griekse meetkundige manier van redeneren, al had hun redenering niet altijd de Griekse scherpte. Ook Christiaan Huygens hield van

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 139 de Griekse methode. Daarentegen zien we bij Fermat, Descartes en John Wallis een neiging de nieuwe algebra te gebruiken. Bijna alle auteurs in deze periode van ca. 1630 tot ca. 1660 beschouwden algebraïsche krommen, in het bijzonder krommen met de vergelijking amyn = bnxm, en ieder op zijn manier vond de formules die equivalent zijn aan onze formule eerst voor positieve gehele n, dan voor positief gebroken n. Ook het geval van negatieve n werd beschouwd. Hier gaf het geval n = - 1 bijzondere moeilijkheden, die eerst werden opgelost toen het verband met logaritmen en dat van logaritmen met exponentiële functies volkomen werd begrepen, dus niet voor het einde van de eeuw. Soms vinden we ook een niet-algebraïsche kromme, zoals de cycloïde. Deze cycloïde was zelfs zo populair en gaf aanleiding tot zoveel discussie en twistgeschrijf dat men haar wel eens de kibbelkromme (curve of contention) heeft genoemd. We vinden haar o.a. behandeld door Descartes en Pascal; Pascals Traité général de la roulette (1658) - de ‘roulette’ is de cycloïde - een deel van een boekje dat onder de naam A. Dettonville verschenen is, heeft o.a. de jonge Leibniz beïnvloed.1 In deze periode beginnen we ook andere gebieden van de infinitesimaalrekening aan te treffen. Fermat ontdekte in 1638 een methode om maxima en minima te vinden door de veranderlijke in een eenvoudige algebraïsche vergelijking een weinig te veranderen en dan te eisen dat de verandering nul werd; deze methode wordt voor meer algemenere algebraïsche krommen gebruikt door Van Schootens leerling, Johannes Hudde (1658), die later burgemeester van Amsterdam zou worden. Men vindt berekeningen van raaklijnen, oppervlakken, inhouden, zwaartepunten en ook van booglengten (die zowel differentiatie als integratie eisen). De betrekking tussen differentiatie en integratie als inverse bewerkingen, werd eerst in haar algemeenheid door Barrow in 1670 ontdekt, doch in een voor ons ongewone meetkundige vorm. Pascal, die formules opstelde die met de integratie van sin x en sin2 x en met partiële integratie equivalent zijn, werkte ook wel met ontwikkelingen in kleine grootheden waarin hij de termen van de kleinste

1 H. Bosmans. Sur l'oeuvre mathématique de Blaise Pascal, Revue des Questions Scientifiques 1929, 63 blz.; J. Guitton, Pascal et Leibniz (Paris, 1951).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 140 dimensies verwaarloosde, iets wat we later bij Newton en Leibniz terug vinden, als ze de bedenkelijke formule (x + dx)(y + dy) - xy = xdy + ydx (of een equivalente formule) gebruiken. Pascal verdedigde zijn methode door zich meer op zijn intuïtie (esprit de finesse) dan op zijn logica (esprit de géométrie) te beroepen; we vinden hiervan later in Berkeley's kritiek op Newton een weerklank terug.1 De invloed der scholastiek kan men niet alleen bij Cavalieri vinden, doch ook in het werk van de Belgische Jezuïet Grégoire de Saint Vincent en zijn collega's Paul Guldin en André Tacquet. Deze wiskundigen bestudeerden zowel het werk van hun tijdgenoten als de Middeleeuwse geschriften over de natuur van het continuüm en over de latitudo van vormen. In De Saint Vincents en Tacquets boeken vinden we voor het eerst de uitdrukking ‘exhaustie’ voor de indirecte bewijsmethode van Eudoxos en Archimedes (zie bldz. 59). Tacquets boek Cylindricorum et annularium liber (1651) heeft o.a. invloed op Pascal uitgeoefend. De jonge Huygens heeft De Saint Vincents cirkelkwadratuur bekritiseerd. Deze constante bedrijvigheid van wiskundigen in verschillende delen van Europa in een tijdperk waarin er nog geen wetenschappelijke tijdschriften bestonden, leidde tot een aanzienlijke briefwisseling (waarvan thans heel wat is gepubliceerd) en tot discussiegroepen. Sommige geleerden maakten zich verdienstelijk door als bemiddelaar tussen verschillende correspondenten op te treden. De meest bekende van deze bemiddelaars was de Minderbroeder Marin Mersenne, die ook zelf een verdienstelijk wiskundige was, en naar wie de getallen van Mersenne zijn genoemd (2 n - 1, als n priem is, b.v. 3, 7, 31, enz.) getallen die eigenlijk al bij Euklides voorkomen. Met Mersenne correspondeerden Descartes, Fermat, Desargues, Pascal en vele anderen. ‘Mersenne van een ontdekking te verwittigen betekende dat ze door heel Europa bekend werd gemaakt’.2 Uit die discussiegroepen hebben zich in Parijs en elders wetenschappelijke genootschappen en academies ontwikkeld. Hun oorsprong hangt ten dele samen met een oppositie tegen de universiteiten die nog in menig opzicht hun scholastiek karakter had-

1 Pascal, Oeuvres (Paris, 1908-14) Vol. XII, p. 9; XIII, p. 141-155. 2 H. Bosmans, l.c. blz. 43: ‘informer Mersenne d'une découverte, c'était le publier par l'Europe entière’. Het convent waar Mersenne zijn veelzijdig werk verrichtte, was aan de tegenwoordige Place des Vosges in Parijs. ‘Le bon père Mersenne’ stierf in 1648. Het grootste getal van Mersenne tot nu toe (met de computer) gevonden is 2216091 - 1 (D. Slowinski, 1985). Zie Science 245 (1989) 815.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 141 den behouden - niet zozeer de Leidse universiteit die eerst in 1575 was opgericht - en daardoor de gewoonte behielden om reeds verworven kennis in oude vaste vormen door te geven. De nieuwe academies daarentegen vertegenwoordigden de nieuwe manier van onderzoek. Zij waren de uitdrukking van de geest van het nieuwe tijdperk: ‘verzadigd in de roes van nieuwe kennis, bezig met het verbreken van verouderd bijgeloof, zich ontworstelend aan de tradities van het verleden, en met de uitbundigste hoop voor de toekomst. Hier leerde elke man van wetenschap er niet alleen tevreden mee, maar zelfs trots op te zijn als hij een individuele bijdrage, hoe klein ook, aan de totale som van kennis toe kon voegen. Hier ontwikkelde zich de moderne man van wetenschap’.1 De eerste Academie was in Napels opgericht (1560), ze werd gevolgd door de ‘Accademia dei Lincei’ in Rome (1603). De Royal Society van Londen dateert van 1662, de Franse Académie van 1666. Tot de stichters van de Royal Society behoorde Wallis, tot die van de Franse Académie Christiaan Huygens.

Een van de belangrijkste boeken na dat van Cavalieri in deze periode van voorbereiding was de Arithmetica infinitorum van John Wallis (1655). De schrijver was van 1643 tot aan zijn dood in 1703 Savilian-professor in de meetkunde te Oxford. Reeds de titel van het boek laat zien dat Wallis boven het boek van Cavalieri van de ‘meetkunde der indivisibilen’ uit wilde gaan: hij wilde tonen wat de nieuwe ‘arithmetica’, de algebra, vermocht te doen zonder de oude meetkunde. Zodoende ontwikkelde Wallis de algebra tot een echte analyse: de eerste wiskundige die dit deed. Zijn manier om met oneindige processen om te gaan is voor onze begrippen vaak gewaagd, maar hij kon resultaten boeken: hij werkte met oneindige reeksen en oneindige produkten en was niet bang voor imaginairen, voor negatieve en gebroken exponenten. Hij schreef ∞ voor 1/0 (en beweerde dat - 1 > ∞). Uit zijn integraties van machten en produkten van goniometrische functies (hij gebruikte uitdrukkingen die wij nu Beta-integralen noemen), die hij voor het bepalen van het cirkeloppervlak toepaste, vond hij het oneindige produkt dat zijn naam draagt:

1 Martha Ornstein, The Role of Scientific Societies in the Seventeenth Century (Chicago, 1913).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 142

Wallis was slechts één van die hele reeks scherpzinnige geleerden die in hun dagen de wiskunde met ontdekking na ontdekking verrijkten. De stuwende kracht voor deze bloei van scheppende wetenschap, ongeëvenaard sinds de grote Griekse tijd, was slechts ten dele de ontdekking van de nieuwe technieken waarmee nieuwe en moeilijke vraagstukken schijnbaar gemakkelijk konden worden opgelost. Vele denkers werden gedreven door diepere problemen: zij zochten, zoals Descartes, naar een ‘algemene methode’, soms in de meer beperkte vorm van een wiskundige methode, soms in een meer algemene vorm als een methode om de natuur te begrijpen om tot nieuwe uitvindingen en ontdekkingen te komen. Daarom waren in deze periode alle wijsgeren van betekenis ook wiskundigen en vrijwel alle wiskundigen van betekenis tevens wijsgeren. Het zoeken naar nieuwe uitvindingen leidde vaak direct tot wiskundige ontdekkingen. Een beroemd voorbeeld is het Horologium oscillatorium van Christiaan Huygens (1673), waarin het onderzoek naar verbeterde uurwerken niet alleen tot het slingeruurwerk voerde, doch ook tot de studie van de slingerbeweging en van evoluten en involuten van vlakke krommen. Christiaan was de zoon van Constantijn, dichter en diplomaat, vermogend en veelzijdig aristocraat, vriend van de Oranjes en van geleerden onder wie Descartes. Christiaan studeerde bij Van Schooten in Leiden, woonde verscheidene jaren in Parijs waar hij een leidende figuur in de nieuwe Académie werd; later keerde hij naar Nederland terug en hij overleed in 1695 op Hofwijck bij Voorburg. Hij was fysicus, astronoom, instrumentmaker en wiskundige, ontdekte de ring van Saturnus en verklaarde het gedrag van het licht uit zijn golfkarakter. Zijn boek over de slingeruurwerken bevat ook belangrijke bijdragen tot de mechanica; zowel door deze bijdrage als door zijn wiskundig werk heeft hij grote invloed uitgeoefend zowel op Newton als op Leibniz, die beiden naar Huygens, hun oudere tijdgenoot, opzagen en hem beschouwden als hun leermeester en criticus. Het boek van Huygens en dat van Wallis bevatten wel de meest geavanceerde infinitesimaaltheorieën vóór de publikaties van Newton en Leibniz. Huygens bestudeerde de tractrix, de logaritmische kromme, de kettinglijn en de cycloïde, waarvan hij het tautochrone karakter aantoonde: de tautochrone is de kromme, die verticaal opgesteld in het zwaartekrachtsveld als een goot, de eigenschap heeft dat een massapunt dat in deze goot rolt steeds in dezelfde tijd beneden in het laagste punt komt, onafhankelijk van de plaats van zijn uitgangspunt. Doch ondanks deze rijkdom van ontdekkingen, waarvan sommige dateren van een tijd toen Leib-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 143 niz zijn methoden van differentiëren en integreren alreeds had gevonden, behoort Huygens toch tot de periode van voorbereiding. Hij bekende aan Leibniz dat hij zich met alle respect toch met diens methoden niet vertrouwd kon maken. Hetzelfde gebeurde overigens met Wallis wat betreft de methoden van Newton. Huygens meende het met de wiskundige strengheid ernstig en sympathiseerde met Archimedische methoden al vond hij die vaak toch te omslachtig voor de praktijk. Deze uitvinding van de slingeruurwerken staat in nauw verband met één van de grote technische problemen van de vijftiende tot achttiende eeuw, de bepaling van de geografische lengte op zee. De oplossing van dit probleem, dat voor het transoceanische verkeer een levensvraagstuk was, vereiste òf goede uurwerken, òf goede tabellen van zekere hemelverschijnselen als eclipsen of de plaats van de maan tussen de sterren. Regeringen en vermogende heren loofden prijzen uit voor een bevredigende oplossing, en vooraanstaande geleerden van Stevin en Galilei tot Newton en Euler toe hebben aan deze oplossing meegewerkt. Dit heeft op vele takken van wetenschap bevruchtend gewerkt: op de wiskundige cartografie, de infinitesimaalrekening, de sterrenkunde, de werktuigkunde, de elasticiteitsleer, de optica en de instrumentenkunde. Men ziet de sporen van dit onderzoek bij Huygens, in Newtons Principia, in Hookes ontdekking van de wet die zijn naam draagt en later in Eulers theorie van de maan. In het midden van de achttiende eeuw heeft tenslotte een goede tabellering van de positie van de maan, tezamen met de uitvinding van de chronometers, het vraagstuk aan een oplossing geholpen, die bevredigend was tot de tijd van de radiosignalen.

De wiskundigen van deze tijd hebben klassieke problemen met nieuwe oplossingen verrijkt na er een geheel nieuw licht op te hebben doen vallen. Zij hebben ook geheel nieuwe terreinen geopend. Een voorbeeld van een nieuw en bevruchtend bewerken van klassieke problemen is de studie die Fermat van Diofantos heeft gemaakt. Een voorbeeld van een geheel nieuwe zienswijze op klassieke theorema's was Desargues' projectieve methode. En de waarschijnlijkheidstheorie was een geheel nieuw gebied. Diofantos werd voor kenners van het Latijn in 1621 toegankelijk.1

1 Hier zijn een aantal klassieke auteurs met het jaartal waarop hun werk het eerst in een leidende Latijnse uitgave verscheen: Euklides 1482, Ptolemaios 1515, Archimedes 1558, Proklos 1560, Apollonios I-IV 1566, V-VII 1661; Pappos 1589, Diofantos 1621.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 144

Fermat, die een ijverig bestudeerder van deze uitgave was, verrijkte zijn exemplaar met kanttekeningen, die zijn zoon later heeft uitgegeven. Een van deze kanttekeningen bevat het beroemde ‘grote theorema van Fermat’, dat zegt dat de vergelijking xn + yn = zn voor gehele positieve getallen x, y, z, n en n > 2 geen oplossingen bezit. Fermat's opmerking dat hij hiervoor een fraai bewijs had, berust waarschijnlijk op een vergissing. Het zoeken naar dit bewijs heeft vele nieuwe resultaten opgeleverd, zo heeft de Duitse wiskundige Kummer naar aanleiding van dit theorema in 1847 de theorie der ideale getallen opgesteld. Er bestaat nog steeds geen bewijs van dit theorema voor alle waarden van n, ofschoon bewezen kan worden dat het theorema voor een groot aantal waarden van n juist is, zeker voor priemgetallen.1 Een andere kanttekening van Fermat leert ons dat een priemgetal van de vorm 4n + 1 steeds éénmaal, en niet meer dan éénmaal, als de som van twee vierkanten kan worden geschreven, een theorema dat later door Euler bewezen werd. Het zgn. ‘kleine theorema van Fermat’ dat zegt dat ap-1 - 1 deelbaar is door p als p een priemgetal is en onderling ondeelbaar met a, vindt men in een brief van 1640; dit theorema kan heel eenvoudig worden bewezen. Fermat was ook de eerste die opmerkte dat de vergelijking x2 - Ay2 - 1 (A geheel maar geen vierkant) een oneindig aantal oplossingen heeft. Fermat en Pascal zijn de grondleggers van de waarschijnlijkheidstheorie. De ontwikkeling van de algemene belangstelling voor dit onderwerp hangt wel samen met de groei van de verzekeringswetenschap en van het loterijwezen, doch de speciale vraagstukken die aanvankelijk grote wiskundigen ertoe brachten om over deze kwesties na te denken, werden gesteld door nobele heren die in dobbelen of kaarten waren geïnteresseerd. Men denke aan de woorden van Poisson: ‘Een vraag over kansspelen, door een man van de wereld aan een ernstige Jansenist gesteld, is het begin geweest van de waarschijnlijkheidsrekening’.2 Deze man van de wereld was Antoine Gombaud, Chevalier de Méré, een geletterde

1 Zie P. Bachman Der Fermat'sche Satz (Berlin, 1919); H.S. Vandiver, Amer. Mathem, Monthly 53 (1946) 555-578: O. Ore, Number theory and its history (N.Y., 1948); H.M. Edwards, Fermat's last Theorem (New York, 1974). Voor n = 3 en n = 4 zie Eulers Algebra. 2 Un problème relatif aux jeux de hasard, proposé à un austère Janséniste par un homme du monde, a été l'origine du calcul des probabilités. (S.D. Poisson, Recherches sur la Probabilité des Jugements, 1837).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 145 edelman, en de Jansenist was Pascal. Het vraagstuk dat De Méré aan Pascal voorlegde was het zgn. problème des partis, het partijenvraagstuk: hoe de pot te verdelen als het spel tussen twee spelers voortijdig wordt afgebroken. Pascal begon over dit vraagstuk en over verwante kwesties met Fermat te corresponderen (1654), en aldus begon de waarschijnlijkheidsrekening. De wiskundige problemen waarop Pascal hierbij stootte, zette hij uiteen in zijn Triangle arithmétique (na zijn dood in 1664 gedrukt), waarin de eigenschappen der binomiaalcoëfficiënten aan de hand van de ‘driehoek van Pascal’ worden uiteengezet. Huygens, in Parijs gekomen, hoorde van het bestaan van deze briefwisseling; dit spoorde hem aan naar eigen oplossingen te zoeken en zo kwam zijn Rekeningh in Spelen van Geluck tot stand, dat door zijn leraar Van Schooten in het Latijn werd uitgegeven (1657) als De Ratiociniis in Ludo Aleae, de eerste gepubliceerde verhandeling over de kansrekening.1 De volgende stappen werden gedaan door de Raadpensionaris De Witt in Holland (1671) en de astronoom Halley in Engeland (1693), die verzekeringstafels berekenden. De titel van De Witts verhandeling is Waerdye van Lijfrenten naar proportie van Los-renten.2 Bij de samenstelling heeft Hudde hem geholpen. Blaise Pascal was de zoon van Etienne Pascal, die met Mersenne een briefwisseling had onderhouden. De ‘Limaçon van Pascal’ heet naar Etienne. Blaise maakte onder zijn vaders oog grote vorderingen, en op zestienjarige leeftijd ontdekte hij het ‘theorema van Pascal’ over de zeshoek in een cirkel ingeschreven, later ook bekend als hexagramma mysticum. Aangezien hij zijn ontdekking (1641) op een enkel blaadje papier, we zouden zeggen een strooibiljet, liet drukken, mogen we blij zijn dat er nog twee exemplaren zijn behouden gebleven, één in Parijs, een ander in Hannover. Pascals bewijs vertoont de invloed van Desargues. Enige jaren later vond Blaise een rekenmachine uit: de oudste waarvan ooit melding is gemaakt.3 Op vijfentwintigjarige leeftijd begon hij deel te

1 H. Freudenthal, Huygens' Foundation of Probability, HM 7 (1980) 113-117. 2 Opnieuw uitgegeven door het Wiskundig Genootschap te Amsterdam in 1879. 3 Tenzij men de eer van de ontdekking van een rekenmachine wil toekennen aan de wiskundige Wilhelm Schickard in Tübingen, die in een brief van 1623 aan Kepler een rekenmachine beschreef, die (als ze ooit is samengesteld) niet bewaard is gebleven. In het stadhuis van Tübingen is een kopie uit 1957 tentoongesteld.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 146

Sterk verkleinde weergave van het pamflet uit 1641 waarin Blaise Pascal het ‘theorema van Pascal’ publiceerde.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 147 nemen aan het ascetische leven van de Jansenisten in het convent van Port Royal bij Parijs. Hij bleef zich echter met de wetenschap en de letterkunde bezighouden. Wij hebben alreeds over zijn verhandelingen over de ‘roulette’ en de integratie van goniometrische uitdrukkingen gesproken. Pascal is ook de eerste geweest die het beginsel der volledige inductie in bevredigende vorm heeft uitgedrukt.1 Gérard Desargues was architect in Lyon en de auteur van een boek over perspectief (1636). Zijn wiskundige roem heeft hij voornamelijk te danken aan een boekje met de curieuze titel Brouillon project d'une atteinte aux événements des rencontres d'un cone avec un plan (1639).2 Hierin vinden we een schets van een projectieve meetkunde, waarin we begrippen als oneindig verre punten, involuties, harmonische verhouding en polariteiten vinden, maar dit alles verborgen in een eigenaardige botanische taal. Deze schets raakte ook al spoedig in vergetelheid, tot de Brouillon in de negentiende eeuw herontdekt en naar waarde geschat werd. Van Desargues' terminologie is slechts het woord ‘involutie’ in onze wiskundige taal overgegaan. Het zgn. theorema van Desargues over perspectivische driehoeken komt niet voor in de ‘Brouillon’, maar in een verhandeling van 1648. Ook van dit theorema werd eerst in de negentiende eeuw het belang begrepen.

Een algemene methode om te differentiëren en te integreren, met inbegrip van het feit dat het ene proces het inverse is van het andere, kon slechts worden ontwikkeld door wiskundigen die zowel de meetkundige methoden van de Grieken en van Cavalieri, als de algebraïsche methode van Descartes en Wallis beheersten. Inderdaad treffen wij na 1660 zulke wiskundigen aan in de personen van de jonge Newton en de jonge Leibniz. Er is heel wat geschreven over de prioriteit van de ontdekking der differentiaalen integraalrekening; heel wat over het twistgeschrijf dat al tijdens het leven van Newton en Leibniz is begonnen. Ik volsta met hier erop te wijzen dat beide mannen hun methoden onafhankelijk van

1 H. Freudenthal, Archives internationales des Sciences 22 (1953), 17-37; ook Alg. Ned. Tijdschr. v. Wijsbegeerte & Psychologie 54 (1962) 182-193. Over Pascal zie ook de verhandelingen van D. van Dantzig Euclides 25 (1949-50) 203-232 en E.J. Dijksterhuis, Med. Kon. Akad. v. Wetensch., Afd. Lett., nieuwe reeks 14, no. 11. 2 Een eerste poging tot een schets over wat gebeurt als een kegel een vlak treft.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 148 elkaar hebben ontdekt. Newton heeft zijn methode, de zgn. fluxierekening, het eerste ontwikkeld (1665-'66), Leibniz wat later (1673-'76), doch Leibniz publiceerde zijn methode, de differentiaalrekening (calculus differentialis), het eerst (1684). Zijn integraalrekening werd in 1686 het eerst aangekondigd. Newtons publikaties in de fluxierekening verschenen eerst in 1704 en later. Leibniz heeft veel genialere volgelingen gehad dan Newton, zijn methode was dan ook eleganter en handiger, en is nu algemeen aanvaard. Isaac Newton was de zoon van een gegoede landman in Lincolnshire. Hij studeerde in Cambridge onder Isaac Barrow, die in 1669 in zijn leerstoel door de zesentwintigjarige Newton werd opgevolgd. Newton bleef tot 1696 in Cambridge, waarna hij zich in Londen vestigde, eerst als Opzichter (Warden), later als Meester (Master) van de Munt, betrekkingen hem aangeboden door Koning-stadhouder Willem III in verband met zijn reorganisatie van de Engelse financiën. Newtons geweldige autoriteit berust in de eerste plaats op zijn monumentale Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687), een werk waarin de mechanica axiomatisch wordt gefundeerd, met invoering van de wet van de zwaartekracht - de wet volgens welke de appel ter aarde valt en de maan om de aarde beweegt. Door strenge wiskundige redenering bewees hij dat de wetten van Kepler over de planetenbeweging het gevolg waren van de wet die zegt dat de kracht waarmee massapunten elkaar aantrekken omgekeerd evenredig is met het kwadraat van hun afstand. Dit maakte een dynamische verklaring van de bewegingen der hemellichamen en van de getijden mogelijk. Hij loste het twee lichamenprobleem voor bolvormige lichamen op en legde de grondslag voor een nieuwe maantheorie. Door het vraagstuk van de aantrekking van twee bolvormige lichamen op te lossen maakte hij ook de latere potentiaaltheorie mogelijk. In zijn axiomatiek van de mechanica postuleerde hij een absolute ruimte en een absolute tijd. De bewijsvoering in de Principia is meetkundig en doet Grieks aan, al gebruikt Newton, die het limietbegrip kent (doch het slechts op tamelijk duistere wijze in zijn leer der ‘eerste en uiteindelijke verhoudingen’ uitdrukt) niet de indirecte methode. Men zou hieruit zeker niet afleiden dat de schrijver reeds lang in het bezit was van zijn fluxierekening, die hij reeds ontwikkeld had in de jaren 1665-'66, toen hij om de pest die in Cambridge en Londen heerste, te ontvluchten, zich in zijn vaderlijk huis had teruggetrokken. In die periode legde de jonge Newton ook de grondslagen van

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 149 zijn gravitatietheorie en van zijn theorie van het licht. Een wonderbaarlijk scheppende periode: ‘In de geschiedenis der wetenschappen kennen wij geen voorbeelden van scheppend werk die te vergelijken zijn met die van Newton gedurende die twee gouden jaren’.1 Newtons ontdekking van zijn fluxies was nauw verbonden met zijn studie van oneindige reeksen in Wallis' Arithmetica infinitorum. Zo kwam hij er toe de binomische stelling op gebroken en negatieve exponenten uit te breiden, waardoor hij de binomiale reeks ontdekte. Dit hielp hem weer om een theorie van fluxies op te stellen die geldig was voor ‘alle’ functies, algebraïsch of transcendent. Voor Newton was een fluxie, uitgedrukt door een stip boven een letter, als ẋ, (pricked letters) een eindige waarde, een snelheid. Hij noemde de grootheden voorgesteld door letters zonder stip fluents, als x. Hier laten we een voorbeeld volgen van de wijze waarop Newton zijn methode verklaarde. Het is uit zijn Method of Fluxions, eerst in 1736 na Newtons dood uitgegeven, doch in Newtons jonge jaren geschreven. Hij geeft de veranderlijken of fluents aan door v, x, y, z, ‘en de snelheden waardoor iedere fluent door zijn beweging wordt vermeerderd (en die wil ik “fluxies” noemen, of eenvoudig snelheden of celeriteiten) zal ik voorstellen door dezelfde letters met een stip er boven, aldus v̇, ẋ, ẏ, ż.’ Newton noemt zijn infinitesimalen ‘momenten van fluxies’, en stelt ze voor door v̇o, ẋo, ẏo, żo, waar o een ‘oneindig kleine grootheid’ is. (In onze notatie - die van Leibniz - is dus v̇o = dv, en v̇ = dv/dt). Dan gaat Newton als volgt verder: ‘Zij daarom een willekeurige vergelijking gegeven, b.v. x3 - ax2 + axy - y3 = 0. Zet hierin x + ẋo voor x, y + ẏo voor y, en we verkrijgen x3 + 3x2ẋo + 3xẋoẋo + ẋ3o3 - ax2 - 2axẋo - aẋoẋo + axy + ayẋo + aẋoẏo + axẏo - y3 - 3y2ẏo - 3yẏoẏo - ẏ3o3 = 0

1 L.T. More, Isaac Newton, A Biography (New York, London 1934) blz. 41. Men heeft wel geloofd dat Newton, bij het samenstellen van de Principia, zijn stellingen eerst met zijn fluxies heeft gevonden en dan daarna eerst zijn bewijsvoering in het ‘Grieks’ heeft omgezet. In zijn nagelaten papieren is daarvan geen spoor te vinden.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 150

Nu hebben we verondersteld dat x3 - ax2 + axy - y3 = 0, en als we deze termen wegnemen en de overblijvende termen door o delen, krijgen we 3x2ẋ - 2axẋ + ayẋ + axẏ - 3y2ẏ + 3xẋẋo - aẋẋo + aẋẏo - 3yẏẏo + ẋ3oo - y3oo = 0. Maar aangezien o oneindig klein wordt verondersteld opdat het momenten van kwantiteiten kan voorstellen, zullen de termen, die ermee vermenigvuldigd zijn, niets zijn, vergeleken met de overige. Ik laat ze dus weg, en wat overblijft is 3x2ẋ - 2axẋ + ayẋ + axẏ - 3y2ẏ = 0.’ Dit voorbeeld toont ons dat Newton zijn afgeleiden in de eerste plaats als snelheden dacht, maar ook dat er in zijn wijze van uitdrukking een zekere vaagheid was. Zijn nu die symbolen ‘o’ nullen, zijn ze infinitesimalen, of zijn ze eindige getallen? Newton heeft getracht zijn positie duidelijk te maken door zijn reeds vermelde theorie van ‘eerste en uiteindelijke verhoudingen’ (rationes primae et ultimae), die hij in zijn Principia invoerde, en die het limietbegrip bevat, doch in een vorm die zeer moeilijk is te begrijpen:

Die uiteindelijke verhoudingen waarmee grootheden verdwijnen, zijn in waarheid niet de verhoudingen van uiteindelijke grootheden, maar grenswaarden waartoe de verhoudingen van grootheden die onbegrensd verminderen, altijd convergeren; en waartoe zij meer en meer naderen tot op een willekeurig van te voren gegeven verschil, maar die ze, noch ooit overschrijden, noch werkelijk bereiken tot de grootheden tot in het oneindig kleine afnemen. (Principia Boek I, Sect I, laatste scholium). ‘Grootheden, en de verhouding van grootheden, die in een willekeurig eindig tijdsverloop ononderbroken naar gelijkheid streven, en die vóór het einde van dit tijdsverloop elkaar benaderen tot op een willekeurig van te voren gegeven bedrag, worden ten slotte gelijk’ (Principia Boek I, Sect 1 I, Lemma I).

Wij kunnen wel hieruit zien, dat Newton, evenals eigenlijk ook alreeds Valerio, het limietbegrip had, maar het is niet heel duidelijk uitgedrukt, en voor de tijdgenoot was het nog onduidelijker. Dit maakte het begrijpen van Newtons fluxietheorie een lastig werk, dat tot veel verwarring leidde en aanleiding gaf tot de scher-

1 Zie de bespreking in Hoofdstuk V van H.J.E. Beth, Newton's ‘Principia’ I (1932).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 151 pe kritiek van George Berkeley in 1734. Eerst de invoering van het moderne limietbegrip door Cauchy (omstreeks 1820) en latere wiskundigen heeft de misverstanden weggeruimd. Newton heeft ook over kegelsneden en vlakke derdegraadskrommen geschreven. In zijn Enumeratio linearum tertii ordinis (1704) gaf hij een classificatie van deze kubische krommen in 72 soorten, waarbij hij uitging van de stelling dat elke derdegraadskromme uit een ‘divergente parabool’ y2 = ax3 + bx2 + cx + d door centrale projectie van uit een vlak op een ander vlak kan worden verkregen. Dit was wel het eerste nieuwe resultaat van belang, dat verkregen was door de toepassing van de algebra op de meetkunde, aangezien zoals we reeds vermeld hebben vrijwel al het werk vóór Newton op dit gebied verricht, niet veel meer was dan de vertaling van Griekse resultaten in de taal van de algebra. Een andere bijdrage van Newton was zijn methode om wortels van numerieke vergelijkingen te benaderen, en die hij illustreerde aan het voorbeeld x3 - 2x - 5 = 0, waarvan x = 2,09455147 als oplossing wordt verkregen. Het is niet altijd gemakkelijk Newtons invloed op zijn tijdgenoten juist te schatten, omdat hij altijd aarzelde zijn ontdekkingen te publiceren. Hij ontdekte zijn wet van de zwaartekracht in 1665-'66, maar maakte die wet eerst bekend nadat hij het manuscript van de Principia aan de drukker had gezonden (1686). Zijn Arithmetica universalis, die verhandelingen over algebra en analyse bevat die tussen 1673 en 1683 zijn tot stand gekomen, werd in 1707 gepubliceerd. Zijn werk over oneindige reeksen, dat van 1669 dateert, vindt men in een brief van 1676 aan Henry Oldenburg (een brief die voor Leibniz was bestemd1) en verscheen in druk eerst in 1711. Zijn kwadratuur van krommen, uit 1671, zag eerst het licht in 1704, en dit was ook de eerste keer dat de fluxierekening werd gepubliceerd. Zijn Method of Fluxions zelf verscheen, zoals wij reeds vermeld hebben, eerst na zijn dood in 1736. Zelfs zijn hoofdwerk, de Principia, zou nooit tot stand zijn gekomen zonder het aandringen en de offervaardigheid van zijn jongere vriend Edmund Halley, de astronoom. Niet minder dan door de Principia beïnvloedde Newton door zijn Opticks (1704, naar een veel oudere tekst) de geleerde wereld (en de vele amateurs) van de achttiende eeuw. In 1705 sloeg Koningin Anna hem tot ridder en zo werd hij Sir Isaac.

1 Henry Oldenburg, de secretaris van de Royal Society, vervulde in die jaren enigszins de rol van bemiddelaar, die vroeger Mersenne had gespeeld. Hij heeft ook, evenals Leibniz, contact gehad met Spinoza.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 152

Gottfried Wilhelm Leibniz, geboortig uit Leipzig, bracht het grootste deel van zijn leven door in de buurt van het hof van Hannover en in dienst van de hertogen, van wie er een in 1714 koning van Engeland werd onder de naam van George I. Hij streefde zelfs de grootste denkers van zijn tijd voorbij in de breedte van zijn scheppend werk; zijn wijsbegeerte omvatte behalve de logica en de monadologie ook geschiedenis, theologie, linguïstiek, biologie, geologie, wisen natuurkunde, diplomatie en de uitvindingskunst. Hij was een der eersten na Pascal die een rekenmachine uitvond, hij voorzag de stoommachine, studeerde Chinese filosofie en werkte aan de eenheid van Duitsland. Zijn gehele wetenschappelijk en wijsgerig streven werd gedragen door zijn zoeken naar een universele methode, waarmee men ware kennis zou kunnen verkrijgen, uitvindingen kon verrichten en het wezen van de eenheid van het heelal kon begrijpen. Wij hebben gezien hoe dit zoeken ook Descartes' denken beheerste. De ‘Algemene Wetenschap’, de Scientia generalis, waarnaar Leibniz streefde, was zeer veelzijdig en bracht hem ook tot zijn wiskundige ontdekkingen. Hij hoopte de Algemene Wetenschap te kunnen uitdrukken in een aparte symboliek, de Characteristica Universalis en op weg daarheen bestudeerde hij permutaties en combinaties, en zocht naar een Algemene Taal, een Lingua Universalis, waarin alle gedachtenfouten als rekenfouten zouden optreden. Dit leidde hem niet alleen tot een begin van de symbolische logica, doch ook tot de infinitesimaalrekening met zijn sprekende notatie. Doch niet alleen hier, maar ook op andere wiskundige gebieden trachtte hij de symboliek te verbeteren, en zo werd Leibniz een van de grootste uitvinders van mathematische notaties. Er zijn weinig mensen geweest die zo diep de eenheid van vorm en inhoud hebben trachten uit te drukken. Zijn uitvinding van de differentiaalen integraalrekening (ook deze namen zijn van hem en van de Bernoulli's) was gedragen door zijn streven een lingua universalis van de verandering, speciaal van de beweging, te scheppen, al speelde hier natuurlijk ook de liefde tot de wiskunde om haar zelfs wille een belangrijke rol. Leibniz stelde zijn infinitesimaalrekening op gedurende zijn ‘gouden periode’, toen hij in de jaren 1672-'76 te Parijs in diplomatieke dienst was en persoonlijk met Huygens verkeerde. Hier bestudeerde hij ook Descartes, Pascal en andere voorgangers. Ook stimuleerde hem het bericht uit Engeland dat daar Newton een algemene methode had gevonden om problemen met infinitesimalen te beheersen. Terwijl Newtons methode, als later bleek, kinematisch was georiënteerd, was die van Leibniz aller-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 153

Begin van Leibniz' eerste publikatie over de infinitesimaalrekening in de Acta Eruditorum van 1684 (herdruk van C.I. Gerhardt uit 1858).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 154 eerst van meetkundige aard: hij dacht in de taal van de zgn. karakteristieke driehoek (dx, dy, ds), die reeds hier en daar in deze of verwante vorm voor de dag was gekomen, speciaal bij Pascal en bij Barrow in diens Lectiones geometricae van 1670.1 Leibniz' eerste publikatie van zijn resultaten geschiedde in 1684 in een artikeltje van zes pagina's in het nieuwe wetenschappelijke tijdschrift, de Acta Eruditorum, dat sinds 1682 in Leipzig was uitgekomen. De titel van het opstel is tekenend: ‘Een nieuwe methode voor maxima en minima alsook voor raaklijnen onafhankelijk of er gebroken of irrationale grootheden in optreden, en een merkwaardige soort symboliek hiervoor’.2 Als een verhandeling was het artikel dor en duister, maar het bevatte onze symbolen dx, dy en de differentiatieregels, zoals d(uv) = udv + vdu en de differentiaal voor het quotiënt, met de voorwaarde dy = 0 voor extreme waarden en d (dy) = 0 voor buigpunten. In 1686 liet Leibniz hierop, eveneens in de Acta Eruditorum, een ander artikel volgen (in de vorm van een boekbespreking), waarin hij de integraalrekening met het ʃ teken invoerde. Hier vinden we de vergelijking van de cycloïde in de vorm

Met deze verhandelingen, die door anderen werden aangevuld, opende Leibniz een buitengewone periode van wiskundige produktiviteit. Na 1687 werd hij daarbij vooral door de twee broeders Jakob en Johann Bernoulli geholpen, broeders die zijn methoden ijverig bestudeerden en verwerkten. Het resultaat was, dat nog vóór 1700 deze onderzoekers het voornaamste hadden gevonden van wat we nu de elementaire differentiaalen integraalrekening noemen, maar daarnaast waren al verscheidene dieper gelegen gebieden aangeboord, zelfs enige vraagstukken uit wat we nu de variatierekening noemen. In 1696 kon alreeds het eerste leerboek der differentiaalrekening verschijnen, dat de titel Analyse des infini-

1 De uitdrukking ‘triangulum characteristicum’ schijnt het eerst door Leibniz te zijn gebruikt, die haar bestudeerde bij het lezen van Pascals Traité des sinus du quart de cercle, een deel van de Dettonville brieven van 1658. Maar reeds bij Snellius in zijn Tiphys Batavus (1624) 22-25 vinden wij zulk een driehoek. 2 Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 155 ment petits voerde. De schrijver, de Markies De L'Hospital, was bij Johann Bernoulli in de leer gegaan wat we o.a. kunnen zien als wij zijn boek met de verhandeling over de differentiaalrekening bekijken die Johann Bernoulli heeft geschreven, doch die eerst in 1922 is gepubliceerd. L'Hospital bracht in zijn boek de stelling, die naar hem genoemd wordt, doch door Bernoulli is gevonden, en waarmee men de grenswaarde van een breuk kan bepalen als teller en noemer beide tot nul naderen.1 Onze voornaamste notaties in de infinitesimaalrekening zijn door Leibniz ingevoerd, ook de namen calculus differentialis en calculus integralis.2 Ook hebben onder zijn invloed tekens als = voor gelijkheid en · voor vermenigvuldiging algemene ingang gevonden. Ook de uitdrukkingen ‘functie’ en ‘coördinaten’, ‘ordinaat’ en ‘abscis’ komen van Leibniz, evenals de ondeugende term ‘osculeren’. De reeksen arc tg x = x - x3/3 + x5/5 - x7/7 + ... π/4 = 1 - ⅓ + ⅕ - 1/7 + ... heten naar Leibniz, ofschoon hij ze niet als eerste heeft ontdekt. Dat is waarschijnlijk gebeurd door James Gregory (zie echter wat we over de Indische wiskunde hebben geschreven). Gregory was een veelbelovende Schotse wiskundige die vóór zijn veertigste jaar is gestorven, en die gewerkt heeft op het gebied van reeksen en de onmogelijkheid met passer en lineaal de kwadratuur van de cirkel te vinden. Zijn brieven, en de drie boeken die hij schreef tijdens zijn verblijf in Italië (1664-'68) voor hij naar St. Andrews University ging, toonden zijn grote originaliteit. Hij kende de binomiale reeks (1670) en in 1671 vinden we reeds de zgn. reeks van Taylor bij hem. Had hij langer geleefd, dan zou hij waarschijnlijk met Newton en Leibniz tot de uitvinders van de differentiaalen integraalrekening moeten worden beschouwd. Wat de grondslagen van de differentiaalrekening bij Leibniz be-

1 J. Bernoulli, Briefwechsel I (Bazel, 1955), of D.J. Struik in Mathematics Teacher 56 (1963) 257-260. 2 Voor deze stelde Leibniz eerst de naam calculus summatorius voor, maar in 1696 werden Leibniz en Johann Bernoulli het eens over de naam calculus integralis. In de moderne analyse spreekt men vaak weer van sommatie. Zie verder: F. Cajori, Leibniz, The Master Builder of Mathematical Notations', Isis 7 (1925) 412-429.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 156 treft, die waren even vaag als bij Newton. Vaak waren zijn dx dy eindig kleine grootheden, vaak ook grootheden kleiner dan welk getal hoe klein dan ook, en toch niet nul. Bij gebrek aan een strenge definitie gaf hij analogieën en verwees b.v. naar de verhouding tussen de aardstraal en de afstand van de aarde tot de vaste sterren. Hij gebruikte verschillende manieren om het begrip ‘oneindig’ te benaderen, zo aanvaardde hij in een zijner brieven (aan Foucher, 1693) het actueel oneindige ten einde Zeno's paradoxen te overwinnen, en prees hij De Saint Vincent, die de plaats had berekend waar Achilles de schildpad inhaalt. En evenals Newtons vaagheid de kritiek van Berkeley uitlokte, zo lokte Leibniz' vaagheid de kritiek uit van Bernard Nieuwentijt, arts en burgemeester van Purmerend, die ook tegen Spinoza heeft geschreven. Leibniz heeft Nieuwentijt uitvoerig in de Acta Eruditorum beantwoord.1 We moeten erkennen, dat Berkeley's en Nieuwentijts kritiek recht van bestaan hadden, doch ze was geheel negatief. Beide mannen konden zelf geen strenge opbouw van de infinitesimaalrekening geven. Maar door hun kritiek, vooral door die van Berkeley, zijn andere wiskundigen aangespoord tot werkelijk opbouwend werk op dit gebied.

Literatuur

Men heeft moderne uitgaven van de verzamelde werken van Kepler, Galilei, Descartes, Pascal, Fermat, Torricelli, Huygens en Newton. Er bestaat een oude uitgave van Leibniz' wiskundige werken (die van C.I. Gerhardt), aan nieuwere uitgaven wordt gewerkt (zijn manuscripten bevinden zich in Hannover). [D.T. Whiteside-M.A. Hoskins, eds.] Mathematical Papers of Isaac Newton (8 dln, Cambridge, 1970-81). [Id] The Mathematical Works of Isaac Newton (2 dln, New York-Londen, 1964-67, met facsimile reproducties en inleidingen. [A. Koyré, I.B. Cohen, A. Whitman] Isaac Newton's Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Third Edition (1726) with Variant Readings (2 dln, Cambridge, Mass., & Cambridge, England, 1972). Correspondence of Isaac Newton, ed. H.W. Turnbull (tot zoverre 3 dln, Cambridge, 1959-61). [C.I. Gerhardt] G.W. Leibniz' mathematische Schriften (7 dln, Berlin, Halle, 1849-63, opnieuw uitg. Hildesheim 1962, met ‘Register’ van J.E. Hofmann, Hildesheim 1977.

1 e Zie M. Cantor, Geschichte III (2 Aufl. 1901) 254-256, Over Nieuwentijt als wijsgeer zie H. Freudenthal, Synthese 9 (1957) 454-464.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 157

Over de ontdekking van de differentiaalen integraalrekening zie het reeds enige malen geciteerde boek van C.B. Boyer (New York, 1959), met uitgebreide biblografie. Ook: G. Castelnuovo, Le origini del calcolo infinitesimale nell' era moderne (Bologna, 1938). O. Toeplitz, Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung I (Berlin, 1949).

Omtrent de historische en technische achtergrond vindt men gegevens in: H. Grossman, Die gesellschaftlichen Grundlagen der mechanistische Philosophie und die Manufaktur, Zeitschrift z. Sozialforschung 4 (1935) 161-231. R.K. Merton, Science, Technology and Society in the Seventeenth Century, Osiris 4 (1938). Ook als boek (New York, 1970.) B. Hessen, The social and economic Roots of Newton's ‘Principia’. In Science at the Crossroads (Londen, 1934). Duitse vertaling in P. Weingart, Wissenschaftssoziologie (Frankfurt, 1972) en over de wetenschappelijke achtergrond in: E.J. Dijksterhuis, De mechanisering van het wereldbeeld (Amsterdam, 1950), ook in Engelse en Duitse vertaling verschenen.

Over de leidende wiskundigen: J.F. Scott, The Mathematical Works of John Wallis, D.D., F.R.S., (Londen, 1938). A. Prag, John Wallis, Zur Ideengeschichte der Mathematik im 17. Jahrhundert. Quellen und Studies z. Geschichte der Mathematik B1 (1930) 381-412. I. Barrow, Geometrical Lectures, transl. and edited by J.M. Child (London, 1948). A.E. Bell, Christiaan Huygens and the Development of Science in the Seventeenth Century (London, 1948). L.T. More, Isaac Newton. A Biography (New York, London, 1934). S.I. Wavilow, Isaac Newton (Duitse vertaling uit het Russisch, Berlin, 1951). R.S. Westfall, Never at Rest. A Biography of I. Newton (New York, enz., 1981). De beste levensbeschrijving van Newton. H.W. Turnbull, The mathematical Discoveries of Newton (Glasgow, 1945).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 158

Er bestaan verzamelingen van artikelen over Newton: door de History of Science Society (Baltimore, 1928), de Mathematical Association (London, 1927) en de Royal Society (Cambridge, 1947). Er bestaat ook een Russische uitgave van Newtons werken.

Verder: H.J.E. Beth, Newton's ‘Principia’ (2 vols, Groningen, 1932). Een gedegen werk in het Nederlands. J.M. Child, The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz, transl. from the Latin texts (Chicago, 1920). J.E. Hofmann, Die Entwicklungsgeschichte der Leibnizschen Mathematik (München, 1949). Naar een aantal andere studies van J.E. Hofmann over wiskundigen van de 17e eeuw vindt men verwezen in zijn ‘Geschichte der Mathematik’ (Göschen). Ook: Frans van Schooten der Jüngere, (Wiesbaden, 1962). P. Montel, Pascal Mathématicien (Paris, 1951). Johann Kepler, A Tercentenary Commemoration of His Life and Work (Baltimore, 1931). E.J. Dijksterhuis, Descartes als wiskundige. Openbare les Leiden 1932. G. Milhaud, Descartes Savant (Paris, 1921). R. Taton, L'Oeuvre mathématique de G. Desargues (Paris, 1951). [H.W. Turnbull, red] James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939). Zie ook M. Dehn-E.D. Hellinger, Amer. Mathem. Monthly 50 (1943) 149-163. E.A. Fellman, Die Mathematischen Werke von Honoratius Fabri. Physis 1 (1959) 1-54. D.T. Whiteside, Patterns of mathematical thought in the later seventeenth century. Arch. for history of exact sc. 1 (1961) 179-388. J.O. Fleckenstein, Die Prioritätsstreit zwischen Leibniz und Newton (Basel, Stuttgart 1956). Over deze, vaak beschreven, prioriteitstwist, zie ook, behalve Cantor's Geschichte, P. van Geer, Wiskundig Tijdschrift 10 (1913-14) en de artikelen van D. Mahnke, Abhandl. Akad. Berlin, Phys. Math. Kl. 1 (1925) en Sitzungsber. Ges. z. Beförd. ges. Naturw. Marburg 67 (1932). Paul Tannery, Notions historiques, in J. Tannery, Notions de mathématiques (Paris, 1903) 324-348. M.S. Mahoney, The mathematical Career of Pierre Fermat (Princeton N.J., 1970).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 159

C.J. Scriba, James Gregorys frühe Schriften zur Infinitesimalrechnung, Mitt. mathem. Seminar Giessen 55 (1957) 80 bldz. J.A. Lohne, Thomas Harriot als Mathematiker, Centaurus 11 (1965) 19-45, ook DSBV 1 (1972) 124-129. H.J.M. Bos, Differentials, Higher-order Differentials and the Derivatives in the Leibnizian Calculus, Dissertatie Utrecht 1963, AHES 14 (1974) 1-90. R. Taton, L'oeuvre de Pascal en Géométrie projective, Revue Hist. Sciences Appl. 15 (1962) 197-252. H. Loeffel, Blaise Pascal 1623-1662 (Birkhäusen, 1987) gaat speciaal over Pascal's wisen natuurkunde. M.E. Baron, The Origins of the infinitesimal Calculus (New York, 1969). L. Auger, Un savant méconnu, Giles Personne de Roberval 1602-1675 (Paris, 1962). D. Bierens de Haan (1822-95), professor te Leiden, schreef tussen 1874 en 1893, 33 artikelen over Nederlandse wisen natuurkundigen van de ouden tijd voor de Versl. en Med. Kon. Akad. Amsterdam, bijna alle gepubliceerd in de ‘Bouwstoffen’. G.A. Vorsterman v. Oyen. 144 vraagstukken van Nederlandse wiskundigen der 17e eeuw (Schoonhoven, 1868). P. van Geer, Hugeniana geometrica I-XII, Nieuw Archief voor Wiskunde (2) 7-10 (1907-13). P. van Geer, Johan De Witt als Wiskundige, ib (2) 11 (1915) 98-126. A. Girard, Invention nouvelle en Algèbre. Réimpression (Leiden, 1884). Zie ook Nieuw Archief voor Wiskunde 11 (1884) 83-152. C.P. Burger, Amsterdamsche Rekenmeesters en Zeevaartkundigen in de zestiende eeuw (Amsterdam, 1908). Wiskunde in de Gouden Eeuw, vakantiecursus 1989 (Amsterdam, 1989). Een verzameling opstellen. Meer algemeen is D.J. Struik, Het Land van Stevin en Huygens (Amsterdam, 1958, Nijmegen 1979). Ook in het Engels (Dordrecht, enz., 1981). K. van Berkel, In het voetspoor van Stevin (Amsterdam, 1985).

Over de rekenmeesters en instrumentmakers van deze periode, zie, behalve het boek van Burger en het in Hoofdstuk V geciteerde boek van professor Eva Taylor: M. Rooseboom, Bijdrage tot de geschiedenis der Instrumentmakerskunst in de noordelijke Nederlanden (Leiden, 1950).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 160

D.J. de S. Price, Science since Babylon (New Haven, 1961), spec. Ch. 3.

Over de belangrijkste wiskundigen vindt men ook vaak een levensbeschrijving in hun verzamelde werken, b.v. een biografie van Huygens door J.A. Vollgraff in C. Huygens, Oeuvres XXII (La Haye, 1950).

Wat de Nederlandse en Belgische wiskundigen betreft vindt men vele bijzonderheden in de reeds geciteerde werken van H. Bosmans. Wij vermelden artikelen over Tacquet: Isis 9 (1927-28) 66-83; Stevin: Mathesis 37 (1923), Annales Soc. Sc. Bruxelles 37 (1913) 161-199, Biographie nationale de Belgique 23 (1923-24); Dela Faille: Mathesis 41 (1927) 5-11; van Roomen: Biographie nat. de Belg. 19 (1907); De Saint Vincent: Mathesis 38 (1925) 250-256; van Ceulen: Annales Soc. Sc. Bruxelles 34 (1909-10) 88-139, Mathesis 39 (1925); Nicolaas Pietersz van Deventer: Annales Soc. Sc. Bruxelles 32II (1907-08) 272-301. Over Stevin ook het reeds geciteerde boek van Dijksterhuis en G. Sarton, Simon Stevin of Bruges, Isis 21 (1934) 241-303; zie ook G. Sarton, The first Explanation of decimal Fractions and Measures, Isis 23 (1935) 153-244. Over Stevin en Huygens (over Huygens zie o.a. ook het reeds geciteerde boek van A.E. Bell. Zie verder J. en A. Romein, Erflaters van onze beschaving, (Amsterdam, 7e dr., 1956)): D.J. Korteweg, Het bloeitijdperk der wiskundige Wetenschappen in Nederland (Amsterdam, 1894). D. Bierens de Haan, Bouwstoffen voor de Geschiedenis der wisen natuurkundige Wetenschappen in de Nederlanden I, II (Amsterdam, 1878-1887).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 161

VII. De achttiende eeuw

De scheppingskracht van de grote achttiende-eeuwse wiskundigen was in de eerste plaats gewijd aan de uitbouw van de differentiaalen integraalrekening en haar toepassing op de aardse en hemelse mechanica. We kunnen de meest vooraanstaande figuren in een soort stamboom opstellen, om daarmee hun geestelijke verwantschap aan te duiden: Leibniz (1646-1716) De gebroeders Bernoulli: Jakob (1654-1705) Johann (1667-1748) Euler (1707-1783) Lagrange (1736-1813) Laplace (1749-1827)

Nauw verbonden met de werkzaamheid van deze mannen was die van een aantal Franse wiskundigen, van wie wij meer speciaal Clairaut, D'Alembert en Maupertuis willen noemen, en die met de filosofen van de Verlichting verbonden waren. Daarnaast staan nog, in nauwe betrekking, de Zwitserse wiskundigen Daniel Bernoulli en Johann Heinrich Lambert. De wetenschappelijke bedrijvigheid van deze periode had gewoonlijk een der grote Academies als middelpunt, vooral die van Parijs, Berlijn en St.-Petersburg. Het onderwijs aan universiteiten speelde daarbij slechts een geringe rol. Die Academies stonden vaak onder de bescherming van die monarchen, die als verlichte despoten bekend zijn, we denken aan Frederik II van Pruisen en Catharina van Rusland, zo men wil kan men daar Lodewijk XV en XVI van Frankrijk ook bij rekenen. Deze ‘verlichte’ koningen en keizers stelden er grote prijs op bekende geleerden aan hun academies of hun hof te verbinden. Dit was niet alleen een soort van snobisme, maar ook tot op zekere hoogte een erkenning van het feit dat toegepaste wiskunde en de natuurwetenschappen een rol speelden bij de verbetering van het produktieproces en de vergroting van de strijdbaarheid van het leger of de zeemacht. Men heeft wel eens gezegd, dat de uitstekende kwaliteit van de Franse vloot ten dele berustte op het feit, dat de bouwers van de fregatten en linieschepen zich ook door wiskundige ideeën lieten leiden. Zo bevatten Eulers werken vele toepassingen op vraagstukken die voor vloot en leger van belang waren. Ook de

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 162 sterrenkunde ging voort onder koninklijke en keizerlijke bescherming haar vraagstukken aan de wiskundigen voor te zetten, nu als toepassingen en uitbreidingen van Newtons leer der zwaartekracht.

Bazel, in Zwitserland, reeds in 1263 een vrije Rijksstad geworden, was al lange tijd een middelpunt van wetenschappelijk leven. Wij hoeven slechts aan Erasmus te denken, die ‘grote ster’ die in Rotterdam rees, ‘en ging in Bazel onder’. Evenals in de Hollandse steden bloeiden ook in Bazel kunsten en wetenschappen onder de bescherming van rijke koopmansfamilies. Een dezer families was die der Bernoulli's, in de zeventiende eeuw uit Antwerpen overgekomen, nadat deze stad blijvend weer Spaans was geworden. Deze familie heeft vanaf de laatste jaren van de zeventiende eeuw tot op heden, in ieder geslacht opnieuw mannen van wetenschap voortgebracht. Het is moeilijk in de geschiedenis der wetenschappen nog een andere familie te vinden, die op wetenschappelijk gebied zulke hoge prestaties heeft geleverd. Misschien de Darwin-familie in Engeland. Deze wetenschappelijke activiteit begon bij de twee broeders, Jakob en Johann. Jakob (Jacques), de oudste, begon met theologie, Johann (Jean) met medicijnen te studeren, doch toen Leibniz' artikelen in de Acta Eruditorum verschenen, besloten beiden zich op de wiskunde toe te leggen. Zo werden ze de eerste leerlingen van betekenis die Leibniz kreeg. In 1687 verkreeg Jakob aan de universiteit te Bazel de leerstoel voor wiskunde, welke hij tot zijn dood in 1705 bezette. Johann werd in 1697 professor in Groningen (op voorspraak van Huygens), maar toen zijn broeder stierf, ging hij als diens opvolger terug naar Bazel. Hier heeft hij drieënveertig jaar gedoceerd, tot aan zijn dood in 1748. In zijn latere levensjaren gold hij als de nestor van de wiskundigen van zijn tijd, kritisch en kribbig, doch bovenal trots op de prestaties van zijn leerling Euler. Jakob begon zijn briefwisseling met Leibniz in 1687. Door een constante uitwisseling van ideeën tussen Leibniz en de twee broeders - de broeders soms in heftige rivaliteit - ontdekten deze drie wiskundigen talloze schatten die door het pionierswerk van Leibniz aan het licht gebracht waren. Het aantal hunner ontdekkingen is groot en bevat vele onderzoekingen over integralen en gewone differentiaalvergelijkingen. We kunnen hier slechts enige voorbeelden geven. Bij Jakob vinden we het gebruik van poolcoördinaten, de studie van de kettinglijn (reeds door Huygens en ande-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 163 ren besproken), de lemniscaat (1694) en de logaritmische spiraal. In 1690 ontdekte hij de zgn. isochroon, waarnaar Leibniz in 1687 had gevraagd: ze is de kromme waarlangs een massapunt met eenparige snelheid valt en bleek de semikubische parabool te zijn. Jakob schreef ook over isoperimetrische figuren (1701), die tot een vraagstuk der variatierekening voerden. Jakob had zulk een genoegen in de logaritmische spiraal, die de eigenschap bezit zichzelf bij een aantal transformaties te reproduceren (haar evoluut is een logaritmische spiraal, en eveneens haar voetpuntskromme en brandlijn ten opzichte van de pool) dat hij die spiraal op zijn grafsteen liet graveren, met de inscriptie ‘eadem mutata resurgo’.1 Jakob Bernoulli hield zich ook bezig met de nog nieuwe waarschijnlijkheidsrekening, waarover hij zijn Ars conjectandi schreef, dat in 1713 na zijn dood verscheen. In het eerste gedeelte van dit boek vinden we Huygens' opstel over ‘spelen van geluk’; het andere gedeelte bevat een verhandeling over permutaties en combinaties, die haar hoogtepunt vindt in het meest beroemde gedeelte: het ‘theorema van Bernoulli’ over het gedrag van binomiale waarschijnlijkheidsdistributies. In dit zelfde boek vinden we een discussie over de driehoek van Pascal en treffen we ook de zgn. getallen van Bernoulli aan.

Johann Bernoulli's werk is in zijn jongere dagen met dat van zijn dertien jaar oudere broer nauw verbonden, en het is niet altijd gemakkelijk de resultaten van beide mannen precies uit elkaar te houden. Johann wordt wel als de uitvinder van de variatierekening beschouwd omdat hij het probleem van de brachistochroon oploste, dus het probleem van de kromme waarop een massapunt in de kortst mogelijke tijd naar beneden valt van een punt A naar een punt B (B niet verticaal onder A). Dit was in 1697, doch ook Jakob gaf een oplossing en ook Leibniz werkte eveneens mee. In deze tijd ontstond ook de oplossing van het vraagstuk van de geodetische krommen op een oppervlak, dat eveneens tot de variatierekening behoort.2 De oplossing van het brachistochroon probleem is de cycloïde, die ook de tautochroon is, zoals reeds Huygens had gevonden. Johann Bernoulli heeft ook, in samenwerking

1 ‘Ofschoon veranderd, ik blijf dezelfde.’ De spiraal op de grafsteen ziet er meer als een Archimedische spiraal uit. 2 Newton had reeds in een scholium van de Principia (Book II, Pro. 25) het omwentelingslichaam beschouwd dat met de minste weerstand zich in een vloeistof beweegt. Hij gaf geen bewijs.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 164 met Leibniz, het probleem der orthogonale trajectoriën van een familie krommen behandeld, waartoe Newton (na door Leibniz en Bernoulli te zijn uitgedaagd) eveneens een bijdrage heeft geleverd (1716). Onder de andere Bernoulli's, die tot de wiskunde hebben bijgedragen, vinden we twee zonen van Johann, Nikolaus en vooral Daniel.1 Nikolaus werd naar St.-Petersburg beroepen, de stad die slechts kort te voren door tsaar Peter de Grote was gesticht; hij stierf jong. Het probleem der waarschijnlijkheidstheorie dat hij gedurende zijn verblijf in die stad ter discussie stelde, is als ‘probleem (of meer dramatisch “paradox”) van St.-Petersburg’ bekend. De andere zoon van Johann, Daniel, is oud geworden; tot 1777 was hij professor aan de universiteit van Bazel. Zijn rijke wetenschappelijke arbeid was voornamelijk aan astronomie, fysica en hydrodynamica gewijd: van de hydrodynamica was hij een der stichters, zijn boek met deze naam is van 1738. Een der stellingen van dit boek, die over de hydraulische druk in buizen, draagt zijn naam. In deze Hydrodynamica vindt men ook de eerste beginselen van de kinetische gastheorie. Met D'Alembert en Euler heeft hij de theorie van de trillende snaar opgesteld, een theorie die voor het eerst door Brook Taylor aan de orde is gesteld (1715). Men kan dit werk als het begin van de leer der partiële differentiaalvergelijkingen beschouwen. Vader en oom ontwikkelden de theorie der gewone differentiaalvergelijkingen, hun neef daarentegen maakte zich verdienstelijk met de partiële vergelijkingen. Het snaarprobleem leidde ook tot trigonometrische reeksen.

Uit Bazel kwam ook de meest produktieve wiskundige van de achttiende eeuw - en misschien van alle tijden - Leonhard Euler. Zijn vader, een plattelandspredikant, had bij Jakob Bernoulli wis-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 165 kunde gestudeerd en Leonhard volgde zijn spoor bij Johann. Toen diens zoon Nikolaus in 1725 naar St.-Petersburg reisde, volgde hem de jonge Euler en bleef daar aan de Academie tot 1741. Van 1741 tot 1766 was Euler werkzaam aan de Academie te Berlijn die onder de speciale bescherming van Frederik de Grote stond, en daarna tot zijn dood in 1783 was Euler weer aan de Academie in St.-Petersburg, nu onder het patronaat van keizerin Catharina. Hij was tweemaal getrouwd en had dertien kinderen, van wie de oudste Johann Albrecht ook een wiskundige was. Het leven van deze typische achttiende-eeuwse academicus was bijna uitsluitend aan de verschillende gebieden der zuivere en toegepaste wiskunde gewijd. Ofschoon hij één oog in 1735 verloor en kort na zijn terugkeer in St.-Petersburg geheel blind werd, kon niets zijn enorme produktiviteit onderbreken. Met zijn fenomenaal geheugen en wiskundige intuïtie, geholpen door zijn zoon en door anderen, ging hij voort zijn ontdekkingen te dicteren. Gedurende zijn leven verschenen 560 boeken en artikelen, en na zijn dood heeft de Academie in St.-Petersburg er zevenenveertig jaar voor nodig gehad om zijn nagelaten manuscripten te publiceren. Dit verhoogt het aantal van zijn werken tot 771, maar door het onderzoek van Gustav Eneström is dit aantal tot 886 gegroeid. Euler verrijkte met aanzienlijke bijdragen elk gebied der wiskunde dat in zijn tijd bestond. Hij publiceerde zijn resultaten niet alleen in artikelen van allerlei lengte, doch ook in een indrukwekkend aantal lijvige leerboeken, waarin hij de reeds verworven kennis van zijn tijd systematisch uiteenzette en met nieuwe schatten verrijkte. Op sommige gebieden is zijn uiteenzetting bijna definitief geworden. Een voorbeeld hiervan is onze huidige goniometrie met haar interpretatie van de sinussen en tangenten als verhoudingen en hun tegenwoordige notatie, die men beschreven vindt in Eulers Introductio in Analysin Infinitorum van 1748. Het geweldige prestige van zijn boeken maakte een eind aan veel verwarring in terminologie en notatie; Lagrange, Laplace en Gauss kenden Euler en namen zijn notatie in al hun werken over. De Introductio van 1748 behandelt in zijn twee delen een groot aantal onderwerpen. Men vindt er een uiteenzetting over oneindige reeksen, waaronder die voor e x , cos x en sin x, verbonden door de betrekking eix = cos x + i · sin x (in verschillende vormen reeds voor Euler gevonden, o.a. door Johann Bernoulli). De betrekking tussen exponentiële en logaritmische grootheden wordt eindelijk duidelijk uiteengezet. Krommen en oppervlakken worden met behulp van hun vergelijkingen grondig onderzocht, zodat men in de

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 166

De pagina's uit de Introductio van Euler waarin e ix = cos x + i sin x wordt behandeld. (Uit een latere druk van de tekst uit 1748. Euler publiceerde de formule in 1743 en maakte er zelfs in brieven aan Goldbach in 1741 en 1742 reeds melding van.)

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 167

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 168

Introductio ook een analytische meetkunde in leerboekvorm aantreft. Met de behandeling van tweedegraadsoppervlakken komt hier ook de ruimtemeetkunde tot haar recht. Ook vindt men in de Introductio een algebraïsche eliminatietheorie. Tot de spannendste delen van het boek behoort het gedeelte over de Zètafunctie en haar betrekking tot priemgetallen, zowel als het hoofdstuk over de partitio numerorum.1 Een ander groot en rijk tekstboek was Eulers Institutiones calculi differentialis (1755), gevolgd door drie dikke delen Institutiones calculi integralis (1768-'74). In die boeken vindt men niet alleen onze elementaire differentiaalen integraalrekening met de differentiaalvergelijkingen systematisch uiteengezet, doch ook de stelling van Taylor met vele toepassingen, de ‘sommatie’-formule van Euler, en de integralen die we nu met B en Γ aanduiden.2 Het deel over differentiaalvergelijkingen met zijn indeling in ‘lineaire’, ‘exacte’ en ‘homogene’ differentiaalvergelijkingen is nog steeds het voorbeeld voor onze elementaire leerboeken over dit onderwerp. Eulers Mechanica, sive motus scientia analytice exposita (1736) was het eerste leerboek waarin Newtons dynamica van het massapunt met de methode van Leibniz' differentiaalen integraalrekening werd ontwikkeld. Dit boek werd gevolgd door de Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765) met een soortgelijke behandeling van de mechanica van vaste lichamen. Hier vinden wij ‘de vergelijkingen van Euler’ voor de rotatie van een lichaam om een punt. De Vollständige Anleitung zur Algebra (1770) in het Duits geschreven en door een blinde Euler aan een dienaar gedicteerd, is het voorbeeld geweest voor vele latere boeken over de algebra. Het leidt ons tot de theorie der vergelijkingen van de derde en de vierde graad en heeft als appendix een verhandeling over onbepaalde vergelijkingen: een oud onderwerp geheel nieuw bewerkt. Hier vindt men de bewijzen van de stelling van Fermat voor n = 3 en n = 4, de stelling die zegt dat xn + yn = zn onmogelijk is voor positieve gehele getallen behalve in de gevallen n = 1 en n = 2. In het jaar 1744 verscheen Eulers Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes. Dit was de eerste

1 Zie het voorwoord tot de Introductio van A. Speiser in Euler, Opera Omnia, I, 9 (1945). 2 P.J. Davis, Leonhard Euler's integral. A historical profile of the Gamma function. Amer. Mathem. Monthly 66 (1959) 849-869.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 169 systematische uiteenzetting over de beginselen der variatierekening. Het boek bracht de ‘vergelijkingen van Euler’ met vele toepassingen, waaronder de ontdekking dat catenoïde en recht schroefoppervlak minimaaloppervlakken zijn.1 Andere beroemde ontdekkingen van Euler zijn zijn polyederstelling, dat tussen het aantal hoekpunten H, ribben Z en zijvlakken V van een gesloten veelvlak de betrekking H + V - Z = 2 bestaat2, verder de rechte van Euler in de driehoek, de krommen van constante breedte (die Euler orbiforme krommen noemde) en de constante van Euler C, die samenhangt met de manier waarop de harmonische reeks divergeert:

Enige verhandelingen zijn aan spelen en andere onderhoudende onderwerpen gewijd, zoals aan de paardesprong in het schaakspel, het bruggeprobleem van Koningsbergen, en aan tovervierkanten. Eulers bijdragen tot de getallentheorie, die hij als eerste na Fermat weer produktief aanpakt, zouden alleen al genoeg zijn om hem een nis te verschaffen in de Tempel van de Roem. Tot zijn bijdragen op dit gebied behoort de reciprociteitswet van de kwadraatresten (1772). Euler heeft ook veel op het gebied van de sterrenkunde gepubliceerd, waar vooral de maantheorie, en het drielichamenprobleem in het algemeen, zijn aandacht had. Daarmee heeft hij bijgedragen tot de samenstelling van nauwkeurige maantabellen, die voor de lengtebepaling op zee van groot nut bleken te zijn. Inderdaad heeft, zoals gezegd, het eeuwenoude probleem van de correcte lengtebepaling eerst in de tweede helft van de achttiende eeuw een bevredigende oplossing gevonden. Een algemene hemelmechanica vindt men in Eulers Theoria motus planetarum et cometarum (1774). Ook schonk Euler reeds in zijn jongere jaren zijn aandacht aan de aantrekking van ellipsoïden (1738). Er bestaan ook boeken van Euler over hydraulica, scheepsbouw en artillerie. In 1769-'71 verschenen drie delen Dioptrica met een theorie van de stralenbreking door een stelsel lenzen. In 1739 pu-

1 Zie het voorwoord tot de Methodus inveniendi van C. Caratheodory in Euler, Opera 1, vol. 24 (1952). 2 Ze was reeds bekend aan Descartes, maar is eerst veel later gepubliceerd, zie de Oeuvres (ed. Adam et Tannery), deel X, 257-276.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 170 bliceerde hij een muziektheorie, waarvan wel eens is gezegd dat ze te muzikaal was voor de wiskundigen, en te wiskundig voor de musici. Eulers wijsgerige beschouwingen over de belangrijkste problemen der natuurwetenschappen, in zijn Lettres à une princesse d'Allemagne, geschreven (1760-'61), zijn in vele talen, (ook Nederlands, 1785) uitgegeven en blijven nog altijd zeer leesbaar. De ongelofelijke produktiviteit van Euler is altijd voor iedereen die met zijn werk in aanraking is gekomen, een bron van bewondering zowel als verrassing geweest. Een studie van zijn werk is niet zo moeilijk als het misschien wel lijkt, omdat Eulers Latijn heel eenvoudig is en zijn notatie bijna geheel modern - eigenlijk moeten wij zeggen dat onze moderne notatie bijna geheel die van Euler is! Men kan een lange lijst van ontdekkingen opstellen die aan Euler kunnen worden toegeschreven, en een andere, met ideeën van Euler, waar men nog best verder aan kan werken. Grote wiskundigen hebben steeds dankbaar erkend hoeveel zij aan Euler hebben te danken gehad. ‘Lisez Euler,’ placht Laplace aan jongere mathematici te zeggen, ‘lisez Euler, c'est notre maître à tous.’ En Gauss, een beetje zwaarder op de hand, drukte zich als volgt uit: ‘Das Studium der Werke Eulers bleibt die beste Schule in den verschiedenen Gebieten der Mathematik und kann durch nichts Anderes ersetzt werden.’1 Riemann kende Eulers werken en in enkele van zijn meest diepzinnige werken voelen wij de geest van Euler. Uitgevers konden wel slechtere dingen doen dan eens een paar van Eulers geschriften in vertaling met modern commentaar uitgeven. Intussen kan men zich via de moderne inleidingen die aan verscheidene delen van de nog steeds verschijnende Opera omnia van Euler zijn toegevoegd, vaak heel mooi in Eulers werk oriënteren. Er is heel wat over hem geschreven, o.a. in 1983 bij de herdenking van zijn dood in 1783.

Het is wel nuttig om ook eens op een paar voor ons nogal zwakke zijden van Euler te wijzen. In zijn eeuw werd met oneindige processen nogal zorgeloos omgesprongen en er is heel wat werk, zelfs van vooraanstaande wiskundigen, dat ons nu aandoet als een avontuurlijk geëxperimenteer. Men experimenteerde met oneindige reeksen, met oneindige produkten, met integratie, met het gebruik van de symbolen 0 ent ∞, zowel als met √ - 1. Dat wij zovele

1 Lees Euler, hij is ons aller meester - De studie van Eulers werken blijft de beste school in de verschillende gebieden der wiskunde en kan door niets worden vervangen.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 171 resultaten uit die tijd kunnen accepteren is vooral daaraan te danken dat die vooraanstaande wiskundigen - zoals in alle tijden - een buitengewoon fijn gevoel hadden voor wat waar en wat verkeerd was. Maar soms moeten we wel eens bedenkingen hebben. We accepteren Eulers stelling dat log n een oneindig aantal waarden heeft die alle complex zijn, behalve in het geval dat n positief is, wanneer één dier waarden reëel is. Euler hield dit vol tegen D'Alembert, die had beweerd dat log (- 1) = 0 (brief van 1747). Doch we kunnen Euler niet volgen als hij 1 - 3 + 5 - 7 + ... = 0 neemt, of wanneer hij uit concludeert dat ... + 1/n2 + 1/n +1 - n - n2 - ... = 0 We moeten evenwel niet te haastig zijn met onze kritiek op de manier waarop Euler met divergente reeksen omspringt, hij paste gewoonweg niet enige van de tegenwoordig gebruikelijke (meest negentiende-eeuwse) convergentiecriteria toe. Er is onder dat zorgeloze gedoe met reeksen heel wat, waaraan de moderne wiskunde een strenge grondslag heeft kunnen geven. We kunnen ook niet al te geestdriftig worden over Eulers poging de differentiaalrekening te baseren op een theorie van nullen van verschillende orde. Een infinitesimale grootheid, schreef Euler in zijn Differentiaalrekening van 1755, is in werkelijkheid nul, zodat a ± ndx = a, dx ± (dx)n+1 = dx(n > 0) en a√dx + Cdx = a√dx.1 ‘Dus bestaan er oneindig vele orden van oneindig kleine grootheden, welke, ofschoon zij alle = 0, toch van elkaar moeten worden onderscheiden, zo we aan hun betrekking denken die door een meetkundige verhouding is gegeven,’ waarmee Euler bedoelt dat 0/0 allerlei waarden kan hebben, afhankelijk van de orde dezer nullen.2 Het hele gebied van de grondslagen der differentiaalreke-

1 Deze formules doen aan een verklaring van Zeno denken, overgeleverd door Simplicius: ‘Datgene wat bij additie tot iets anders het niet vergroot, en bij aftrekking het niet verkleint, is niets.’ 2 De reactie van de meeste wiskundigen is wel geweest (en is het nog) dat ook de grote Euler wel eens sliep. Professor Joesjkewitsj heeft er overigens op gewezen, dat er nog wel een andere kant aan die zaak zit: ‘Euler und Lagrange über die Grundlagen der Analysis’, Euler Sammelband zum 250. Geburtstages (Berlin 1959) 224-244.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 172 ning, evenals alle vraagstukken die op oneindige processen betrekking hadden, bleven evenwel het onderwerp van gedachtenwisseling en gedachtenverschil. Men kan (met Karl Marx) deze periode de ‘mystieke’ in de geschiedenis der differentiaalrekening noemen, en deze mystiek voerde soms weer tot conclusies die veel verder gingen dan de grondleggers ooit hadden gewild. Guido Grandi, een geestelijke, die professor in Pisa was, en die bekend is gebleven door zijn studie (1723) van rodoneeën (r = sin nθ) en andere krommen die op bloemen lijken1, beschouwde de vergelijking ½ = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... = (1 - 1) + (1 - 1) + + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... als het symbool van de Schepping uit Niets. Hij verklaarde de uitkomst ½ ook hiermee, dat wanneer een vader aan zijn twee zoons een juweel vermaakt met de bepaling dat iedere zoon op zijn beurt het juweel een jaar mag houden, iedere zoon het juweel half in zijn bezit heeft. We mogen Eulers verklaring van de grondslagen der differentiaalrekening zwak vinden, doch moeten erkennen dat hij zijn gezichtspunt met grote scherpte uitdrukt. Een geheel andere verklaring vinden we bij D'Alembert, in sommige artikelen van de beroemde Encyclopédie, waarvan hij een der leidende geesten was. Newton had de term ‘eerste en laatste verhouding’ voor de ‘fluxie’ gebruikt, als de verhouding van twee grootheden die juist in het leven komen of juist aan het verdwijnen zijn. D'Alembert verving dit begrip door dat van een limiet. Hij noemde een grootheid de limiet van een andere, wanneer de laatste de eerste nader komt dan welke grootheid, hoe klein ook genomen. ‘De differentiatie van vergelijkingen bestaat eenvoudig in het vinden van de limieten van de verhouding van eindige verschillen (différences) van twee veranderlijken die in de vergelijking voorkomen.’ Dit was een grote stap voorwaarts, evenals D'Alemberts idee van oneindige grootheden van verschillende orde. D'Alembert liet aan het voorbeeld van een parabool zien wat hij bedoelde. Maar zijn tijdgenoten waren niet overtuigd van het belang van D'Alemberts voorstel. Kwam niet D'Alembert in botsing met de moeilijkheden die in Zeno's paradoxen opgesloten waren, als hij verklaarde dat een snijlijn een raaklijn wordt, wanneer de twee snijpunten samenvallen? Hoe kan een veranderlijke zijn limiet bereiken, als we aan Zeno's kritiek van het bewegingsprincipe denken?

1 L. Tenca, Guido Grandi, Physis 2 (1960) 84-89.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 173

Wij hebben reeds Berkeley's kritiek op Newtons fluxies vermeld. George Berkeley, eerste deken van Derry, na 1734 bisschop van Cloyne in Zuid-Ierland (Anglicaans), en die van 1729-'31 in Newport (Rhode Island, nu V.S.) verbleef, is in de eerste plaats als een uitgesproken idealistische wijsgeer bekend: esse est percipi1 (en in de tweede plaats door zijn geloof in de geneeskracht van teerwater). Hij was ongelukkig met de steun die de theorie van Newton aan het ongeloof gaf, en zo viel hij de theorie der fluxies aan, speciaal in The Analyst van 1734. Hij maakte de oneindig kleine grootheden belachelijk als ‘geesten van overleden grootheden’2: wanneer x met o wordt vermeerderd, dan is de aanwas van xn, door o gedeeld, gelijk aan

Dit resultaat is verkregen door o ongelijk aan nul te stellen. Doch de fluxie van xn, nxn-1, wordt verkregen door o gelijk aan nul te stellen. Nu, wat is die geheimzinnige o, nul of niet nul? Dit was het, ‘klaar en open sofisme’3 dat Berkeley in de differentiaalrekening ontdekte. Hij ontkende niet dat het rekenen met fluxies juiste resultaten opleverde, maar geloofde dat ze verkregen waren doordat de fouten elkaar ophieven. Fluxies waren logisch onhoudbaar. ‘Maar hij die een tweede of derde fluxie, een tweede of derde differentiaal kan slikken’, riep Berkeley uit tegen de ‘ongelovige wiskundige’ die hij toesprak (Halley), ‘zo iemand hoeft heus geen aanmerking te maken over enig punt in de godgeleerdheid’. Dit is niet de enige keer geweest dat een kritische moeilijkheid in een wetenschap is gebruikt om een idealistische filosofie te versterken. John Landen, een autodidactische Engelse wiskundige, wiens naam is bewaard gebleven in de theorie der elliptische integralen, trachtte op zijn wijze de moeilijkheden in de grondslagen der differentiaalrekening te overwinnen. In zijn Residual Analysis (1764) kwam hij Berkeley's kritiek tegemoet door oneindig kleine 3 grootheden geheel te vermijden. Zo verkreeg hij de afgeleide van x door x in x1 te veranderen, waarna

1 Te zijn betekent waargenomen te worden. 2 Ghosts of departed quantities. 3 Manifest sophism.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 174

2 in 3x overgaat als x = x1. Bij meer ingewikkelde functies eist dit proces echter oneindige reeksen, en zo heeft Landens methode enige verwantschap met de ‘algebraïsche’ methode die Lagrange zou ontwikkelen.

Ofschoon Euler buiten kijf de meest vooraanstaande wiskundige van deze periode was, gingen Franse wiskundigen door met boeken en verhandelingen van grote oorspronkelijkheid te schrijven. In Frankrijk, misschien meer dan in andere landen, werd de wiskunde beschouwd als de wetenschap die de theorie van Newton tot grotere volmaaktheid moest voeren. De zwaartekrachtleer was zeer populair bij de wijsgeren van de Verlichting, die deze leer konden gebruiken in hun strijd tegen de feodale en half-feodale machten van kerk en staat. De Katholieke Kerk had in 1664 Descartes op de Index geplaatst, doch toen de eeuw ten einde liep, behoorde het Cartesianisme zelfs in conservatieve Katholieke kringen tot de goede smaak. De strijd van het Newtonianisme tegen het Cartesianisme - b.v. gravitatietheorie tegen werveltheorie - hield een tijdlang niet alleen de brandende belangstelling van de geleerde wereld, doch werd ook druk in de salons besproken. Voltaires Lettres sur les Anglais (1734) hielp eraan mee het Franse publiek van Engeland en zijn Newton op de hoogte te stellen; Voltaires vriendin Madame Du Châtelet vertaalde zelfs de Principia in het Frans (1759). In het bijzonder streden de aanhangers van Descartes en van Newton over de vorm van de aarde. Volgens de Cartesiaanse werveltheorie moest de aarde aan de polen uitgerekt zijn, volgens de Newtonianen was ze aan de polen afgeplat. De Cartesiaanse sterrenkundigen Cassini (Jean Dominique de vader, Jacques de zoon, de vader is in de meetkunde bekend door de zgn. ovalen van Cassini, 1680) hadden een boog van de meridiaan in Frankrijk gemeten (tussen 1700-'20) en dit had volgens hen de Cartesische stelling bewezen. Na een heftig debat waarin ook vele wiskundigen zich lieten horen, besloot de Académie twee expedities uit te rusten, de ene om een graad van de meridiaan dicht bij de evenaar, de andere om haar zo noordelijk mogelijk te meten. En zo ging in 1735 een expeditie naar Peru (het huidige Ecuador)1, en in 1736-'37 een andere naar de Tornea in Lapland (Zweden) om een lengtegraad te meten. Toen de resultaten van beide expedities

1 D.w.z. naar het Spaanse vicekoninkrijk Peru, veel groter dan de tegenwoordige staat Peru. Hoofdkwartier van de expeditie was in Quito, dat nu in Ecuador ligt.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 175 bekend werden, bleek Newton de overwinning te hebben behaald. Dit was ook een persoonlijke overwinning voor Pierre Louis Moreau de Maupertuis, de Académicien die de expeditie naar Lapland had geleid. De mi beroemde grand aplatisseur1 werd president van de Berlijnse Academie en koesterde zich verscheidene jaren in de zon van zijn roem aan het hof van Frederik de Grote. Dit duurde tot 1750, toen hij in een heftig debat werd gewikkeld met de Zwitserse en ook in het toenmalige Nederland bekende wiskundige2 Samuel König (naar wie een theorema over traagheidsmomenten is genoemd) over het zgn. principe der kleinste werking in de mechanica, en dat misschien al door Leibniz is uitgesproken. Maupertuis trachtte dit beginsel te formuleren, zoals Fermat vóór hem, en Einstein na hem hebben gedaan, in de hoop tot een alomvattend principe te geraken, een principe dat de eenheid van het heelal uitdrukt. Maupertuis' manier zijn beginsel te formuleren, was verre van duidelijk, maar hij definieerde zijn ‘actie’ als de grootheid m · v · s (m = massa, v = snelheid, s = afstand) van een stelsel massapunten, en daaraan verbond hij een bewijs van het bestaan van God. Het debat, dat aan de Berlijnse Academie woedde werd er niet vriendschappelijker op toen Voltaire met de ongelukkige president in zijn Diatribe du docteur Akakia, Médecin du pape (1752) de draak stak. Noch de allerhoogste steun van de koning, noch de wetenschappelijke steun van Euler kon Maupertuis in zijn gewonde eigenwaarde herstellen, en de ontnuchterde mathematicus stierf niet lang daarna in Bazel in het huis van de Bernoulli's.3 Euler heeft het beginsel van de kleinste werking in de betere vorm ʃm · v · ds = minimum uitgesproken, en hij deed ook niet mee aan de metafysica van Maupertuis. Zo werd het beginsel op solide basis gesteld en zo werd het dan verder uitgewerkt door Lagrange en later door Hamilton.4 De belangrijke rol die de zgn. Ha-

1 De grote afplatter. 2 Hij was in 1748 bibliothecaris van Stadhouder Willem IV en doceerde ook in die tijd in Franeker en Den Haag. 3 Details over deze strijd vindt men o.a. in de inleiding van J.O. Fleckenstein tot Ser 2, no. 5: Euler, Opera Omnia (1957). 4 Zie ook P.E.B. Jourdain, The Principle of Least Action (Chicago, 1913) en A. Kneser, Das Prinzip der kleinsten Wirkung (Leipzig, Berlin 1928), en de uitstekende kritische geschiedenis van de 18e eeuwse mechanica in C. Truesdell, The rational Mechanics of Flexible and Elastic Bodies 1630-1780 in Eulers Opera Omnia, 2e Ser 11 (1960).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 176 miltoniaan in de tegenwoordige mathematische fysica speelt pleit voor de belangrijkheid van Eulers bijdrage tot het debat tussen Maupertuis en König. Onder de geleerden die met Maupertuis naar Lapland zijn gegaan, behoorde ook de jonge Alexis Claude Clairaut, die alreeds in 1731, op achttienjarige leeftijd, met zijn Recherches sur les courbes à double courbure, een eerste poging om de ruimtelijke analytische meetkunde van krommen te ontwikkelen, de aandacht op zich had gevestigd. Na zijn terugkeer uit Lapland gaf Clairaut zijn Théorie de la figure de la terre (1743) uit, een belangrijke bijdrage tot de studie van het evenwicht van vloeistoffen en de aantrekking van omwentelingsellipsoïden. Laplace heeft dit onderwerp later nauwelijks beter kunnen behandelen. Men vindt in dit boek ook de voorwaarde dat Mdx + Ndy totaal is, en het begin van een potentiaaltheorie. Later publiceerde Clairaut ook een maantheorie: Théorie de la lune (1752), die zich aansloot aan Eulers maanleer en het drielichamenprobleem. Men vindt bij Clairaut ook onderzoekingen over lijnintegralen en differentiaalvergelijkingen en hij heeft zijn naam verbonden aan een der eerste voorbeelden van een singuliere oplossing ener differentiaalvergelijking (1734). Dat voor z = f(x, y) de waarden van ∂2z/∂ x∂y en ∂2z/∂y∂x gelijk zijn, is ook door Clairaut aangetoond (1730); dit was reeds door Nikolaus I Bernoulli beweerd (1721). Men vindt de stelling ook in Eulers Introductio van 1748.

De intellectuele oppositie tegen het ‘Ancien Régime’ vond na 1750 een sterke steun in de beroemde Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des Sciences, des Arts et des Métiers (28 dln. 1751-72). Redacteur was Denis Diderot, onder wiens leiding de Encyclopédie een gedetailleerd verslag bracht van de kennis en de levensopvatting van de Verlichting. Diderot was geen onbekwaam wiskundige1, maar D'Alembert was de leidende mathematicus van de Encyclopedisten. Jean le Rond D'Alembert, de natuurlijke zoon van een aristocratische dame, als vondeling neergelegd bij de kerk van St.-Jean Le Rond in Parijs, toonde reeds vroeg zijn hoge begaafdheid. In 1754 werd hij secrétaire perpétuel van de Académie en daarmee de invloedrijkste man van wetenschap in Frankrijk. Zijn Traité de Dynamique (1743) toonde aan hoe de dynamica van vaste lichamen op een statisch probleem kan worden teruggevoerd: dit is bekend als het beginsel van D'Alembert. Hij schreef

1 Er bestaat een vaak herhaald vertelseltje over Euler en Diderot, waarin Euler optreedt als een tegenstander van Diderot in een openbaar debat dat in St.-Petersburg zou hebben plaatsgevonden. Euler zou hierbij de vrijdenkende Diderot in verwarring hebben gebracht door hem een algebraïsch bewijs van het bestaan van God voor te houden: ‘Mijnheer, (a + bn)/n = x, dus bestaat God, wat is uw antwoord?’ Men zou dit een goed voorbeeld van een slechte historische anekdote kunnen noemen; want een goede anekdote over een historische persoon moet het een of andere trekje van zijn karakter belichten, terwijl deze anekdote slechts er toe dient het karakter van beide deelnemers te verdoezelen. Diderot kende heel wat wiskunde en heeft over involuten en over waarschijnlijkheid geschreven, en er is geen enkele reden om aan te nemen dat de gemoedelijke Euler zich op de aangegeven ezelachtige manier zou hebben aangesteld. Het verhaal schijnt van de Engelse wiskundige Augustus De Morgan (1806-73) afkomstig te zijn. Zie Isis 33 (1941) 219-231, ook L.G. Krakeur-R.L. Krueger, ib. 31 (1940) 431-432, B. Brown, Amer. Math. Monthly 49 (1944), A.M. Chouillet, Dix-huitième Siècle 10 (1978) 319-328. Het is waar dat er in de achttiende eeuw wel eens gespeeld werd met de idee het bestaan van God algebraïsch te bewijzen. Maupertuis deed eraan mee, zie Voltaires ‘Diatribe’, Oeuvres 41 (ed. van 1821) bldz. 19, 30.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde over vele onderwerpen in de toegepaste wiskunde, vooral over hydro-dynamica, aerodynamica en het drielichamenprobleem. In 1747

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 177 verscheen zijn theorie van de trillende snaar, waarbij hij een idee van Brook Taylor uitwerkte. Dit gaf aanleiding tot een lange gedachtenwisseling tussen hem, Euler en Daniel Bernoulli, die men kan aanzien als het begin van de theorie der partiële 2 differentiaal-vergelijkingen. Waar D'Alembert en Euler de vergelijking zu = k zxx oplosten door de uitdrukking z = f(x + kt) + φ(z - kt), merkt Euler op dat men ook oplossingen met behulp van trigonometrische reeksen kan krijgen. Dit leidde tot een gedachtenwisseling tussen Euler en Daniel Bernoulli over de algemeenheid van zulk een oplossing. Het karakter van die verschillende soorten van oplossing bleef tot op zekere hoogte onduidelijk. D'Alembert geloofde dat de aanvangsvorm van de snaar slechts kon worden gegeven door een enkele analytische uitdrukking, terwijl Euler geloofde dat ‘iedere’ continue kromme als aanvangskromme kon worden gebruikt. Bernoulli, die van de fysische werkelijkheid uitging, geloofde in het algemene karakter van de oplossing met trigonometrische functies, terwijl Euler daarbij reserves had. Het debat liet zien hoe veel moeilijkheden er in de achttiende eeuw in zulke begrippen als ‘analytische uitdrukking’ en ‘functie’ nog lagen. Eerst in 1824 bracht Fourier met zijn boek over de warmteleer klaarheid omtrent de mogelijkheid ‘iedere’ functie in een trigonometrische reeks te ontwikkelen; in die tijd begint ook een verheldering van het functiebegrip in verband met zulke reeksen.1

1 Over deze gedachtenwisseling zie H. Burckhardt, Jahresb. Deutsch. Mathem. Verein. 10 (1908), ook Encycl. Math. Wiss. II A 12. Een ander verslag bij C.A. Truesdell: Euler, Opera Omnia (2e ser.) 112 (1960). Voor de behandeling van het functiebegrip zie A.P. Joesjkewitsj, The Concept of Function up to the Middle of the 19th century, AHES 16 (1976) 37-85. Ook A.E. Monna, ibid 9 (1972) 57-84.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 178

D'Alembert had een vlotte pen, die vele onderwerpen kon bestrijken. Hij schreef ook over de grondslagen van de wiskunde: wij hebben reeds gezien hoe hij het limietbegrip invoerde. Men heeft wel het ‘hoofdprobleem’ van de algebra naar D'Alembert genoemd, en inderdaad heeft hij in 1746 een (niet al te wel geslaagde) poging gedaan te bewijzen dat iedere algebraïsche vergelijking minstens één wortel heeft. Het werken met complexe getallen was toen nog wat stroef: men moest b.v. eerst nog bewijzen dat ‘functies’ van complexe getallen ook complex zijn. Euler heeft toen een ander, meer begrijpelijk, bewijs geleverd, doch ook hier nog vragen opengelaten, die eerst Gauss in 1799 heeft beantwoord. D'Alembert heeft tevens over de grondslagen der waarschijnlijkheid nagedacht, zij het niet altijd met succes, zoals blijkt uit de zgn. paradox van D'Alembert (is de kans om minstens één kruis te gooien als men een munt tweemaal opwerpt ¾ of ⅔?). De waarschijnlijkheidstheorie werd in die dagen veel beoefend, ook al door de vele loterijen die gehouden werden en de opkomst van tontines en verzekeringsmaatschappijen. Daarbij volgde men het pad dat door Fermat, Pascal en Huygens was geëffend. Na de Ars Conjectandi van Bernoulli (1713) kwam de Doctrine of Chances (1716) van Abraham De Moivre, een Hugenoot die na de herroeping van het Edict van Nantes (1685) in Londen was komen wonen en daar door privaatlessen in zijn onderhoud voorzag. Men spreekt wel van het theorema van De Moivre (cos φ + i sin φ) n = cos nφ + i sin nφ, en terecht, doch in de vorm in welke wij het nu schrijven vinden we het eerst in Eulers Introductio. In een artikel van 1733 leidde De Moivre de normale waarschijnlijkheidsverdeling af als een benadering van Bernoulli's binomiale wet. Hij gaf ook een formule die met die van Stirling equivalent is. James Stirling, een Schotse wiskundige uit de school van Newton, publiceerde zijn benaderingsformule voor n! (n faculteit = 1 × 2 × ... × n)in 1730. De Moivres formule bevatte de zgn. getallen van Bernoulli. Euler heeft ook verscheidene vraagstukken van de waarschijnlijkheidsrekening behandeld. Doch ook nieuwe gezichtspunten kwamen naar voren. Zo bracht de Comte de Buffon, beroemd als

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 179 de auteur van een Histoire Naturelle in 36 prachtige delen en van een rede over de stijl (‘le style est l'homme même’)1 in 1733, in 1777 het eerste voorbeeld van een meetkundige waarschijnlijkheid. Dat was het zogenaamde naaldprobleem, dat steeds weer verrassend werkt als blijkt dat men de waarde van π ‘experimenteel’ kan bepalen door een naald een groot aantal malen op een vlak te werpen dat met evenwijdige lijnen op gelijke afstand is bedekt en dan het aantal malen te tellen dat de naald een der lijnen treft. Tot deze periode behoren ook de pogingen om de kansrekening toe te passen op 's mensen oordeel, door bij voorbeeld de waarschijnlijkheid te berekenen dat een rechtsgeding tot een juist oordeel kan komen zo aan iedere getuige en iedere andere deelnemer een getal kan worden toegekend dat de kans uitdrukt dat hij de waarheid òf spreekt òf herkennen kan. Deze curieuze ‘waarschijnlijkheid van oordelen’ (probabilité des jugements), waarin men iets van de filosofie van de Verlichting proeven kan, komt uit in het werk van de Marquis de Condorcet en later nog in dat van Laplace en zelfs van Poisson (1837).

De Moivre, Stirling en Landen waren vertegenwoordigers van de Engels-Schotse wiskunde van de achttiende eeuw. Wij moeten nog enige andere van hun collega's noemen, al bereikten ze niet de hoogte van sommige van hun continentale tijdgenoten. De traditie van de zo diep vereerde Newton lag zwaar op de Engelse wetenschap en de fluxienotatie, onhandig vergeleken met de soepelheid van Leibniz' symboliek, maakte vooruitgang ook moeilijker. Er waren diepliggende maatschappelijke redenen waarom Engelse wiskundigen weigerden buiten de banen te gaan die Newton had aangegeven. Engeland was constant in oorlog gewikkeld met Frankrijk om markten en koloniën en ontwikkelde daarin een gevoel van intellectuele superioriteit, dat niet alleen werd aangemoedigd door de overwinningen in handel en oorlog, maar ook door de bewondering die de continentale denkers hadden voor het Engelse politieke systeem. Engeland werd zodoende een tijdlang althans in de wiskunde het slachtoffer van zijn eigen werkelijke of vermeende superioriteit. Men vindt dit wel meer in de geschiedenis. Evenals bij de algebra in de laat-Alexandrijnse periode werd hier de vooruitgang technisch gesproken door een gebrekkige notatie gehandicapt, doch de ware oorzaken lagen dieper, in de maat-

1 De stijl is de mens zelf (de feiten kan hij wel van anderen verkrijgen).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 180 schappelijke verhoudingen. Overigens moet men niet te zeer generaliseren, de Engelse scheikunde en Schotse geneeskunde van de achttiende eeuw ontwikkelden zich wel heel goed, doch wat er was aan wetenschap was meest in handen van dissenters, niet geaccepteerd door de grote Engelse universiteiten. De belangrijkste wiskundige van het midden der achttiende eeuw was een Schot, Colin Maclaurin, professor aan de universiteit van Edinburgh, een leerling van Newton die hij nog persoonlijk had gekend. Zijn studie en toepassing van fluxiemethoden, zijn onderzoekingen over krommen van de tweede en hogere graad, en over de aantrekking van ellipsoïden vertonen verwantschap met die van zijn tijdgenoten Clairaut en Euler. We treffen in onze theorie der vlakke krommen een aantal theorema's van Maclaurin aan, sommige ervan behoren tot de projectieve meetkunde, waarvan Maclaurin een voorloper is. In zijn Geometria Organica (1720) vinden we de opmerking die gewoonlijk de paradox van Cramer wordt genoemd (Gabriel Cramer, een Zwitser, beschreef haar in zijn boek van 1750, n.l. dat een kromme van de graad n niet altijd volledig is bepaald door ½ n (n + 3) punten, zodat er stelsels van negen punten bestaan die een derdegraads kromme niet eenduidig bepalen). In dit boek van Maclaurin vinden we ook kinematische methoden om vlakke krommen van verschillende graad te beschrijven. Maclaurins Treatise of Fluxions (2 dln. 1742) - geschreven om Newton tegen Berkeley te verdedigen - is geen gemakkelijke lectuur vanwege de ouderwetse meetkundige vorm waarin het gedeeltelijk is geschreven, in tegenstelling tot het vloeiend lopende werk van Euler. Maar Maclaurin wenste de strengheid van het Archimedische betoog te bereiken, en geeft zelfs een convergentiecriterium voor een oneindige reeks, het zgn. integraalcriterium. We vinden in dit boek ook Maclaurins onderzoekingen over de aantrekking van omwentelingsellipsoïden en zijn theorema dat twee zulke ellipsoïden, mits confocaal, een massapunt op hun as of op de evenaar aantrekken met krachten evenredig tot hun inhouden. In dit Treatise ontmoeten we ook de beroemde ‘reeks van Maclaurin’. Deze reeks was evenwel geen nieuwe ontdekking, daar ze alreeds was ingevoerd in de Methodus incrementorum van Brook Taylor (1715), een kennis van Newton die enige tijd lang secretaris van de Royal Society was. Maclaurin gaf aan Taylor alle eer. De reeks van Taylor, die in dit boek van 1715 wordt afgeleid uit een reeks voor eindige verschillen, wordt nu gewoonlijk geschreven in de notatie van Lagrange:

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 181 f(x + h)= f(x) + hf′(x) + 1/21h2f″(x) + ... maar Taylor had geen f-notatie en gebruikte letters met stippen er boven. Hij vermeldt uitdrukkelijk het geval x = 0, dat nog steeds in leerboeken naar Maclaurin wordt genoemd. Taylor had geen convergentiecriteria, maar wilde benaderingsformules afleiden; we hebben al vermeld dat Maclaurin wel degelijk in convergentie geïnteresseerd was. Ofschoon Taylors reeks al oud was toen Taylor haar publiceerde, werd haar centrale betekenis toch eigenlijk pas erkend toen Euler haar toepaste in zijn Differentiaalrekening van 1755. Later voegde Lagrange er zijn restterm aan toe en gebruikte de reeks van Taylor als de basis van zijn functietheorie. Taylor zelf gebruikte zijn reeks om sommige differentiaalvergelijkingen op te lossen. Merkwaardig is ook, dat hij zoals reeds gezegd, in zijn boek voor het eerst de vergelijking van de trillende snaar afleidt. Hierbij is dan door D'Alembert en zijn tijdgenoten verder aangeknoopt.

10.

Joseph Louis Lagrange werd uit Italiaans-Franse ouders in Turijn geboren. Op negentienjarige leeftijd werd hij professor in de wiskunde aan de artillerieschool in Turijn (1755). In 1766, toen Frederik de Grote Euler niet meer kon terughouden van zijn wens naar St.-Petersburg terug te keren, nodigde hij op Eulers aanraden Lagrange uit om naar Berlijn te komen, met de bescheiden toevoeging dat het nodig was ‘dat de grootste wiskundige van Europa moest wonen bij de grootste der koningen’. Lagrange kwam en bleef in Berlijn tot de dood van Frederik in 1786, waarna hij naar Parijs verhuisde. Gedurende de revolutie hielp hij bij de hervorming van het stelsel van maten en gewichten, en werd professor, eerst aan de Ecole Normale (1795), daarna aan de Ecole Polytechnique (1797). De tijd voor pure académiciens was voorbij, de tijd van de docerende universiteitsprofessoren was aan het aanbreken. Tot Lagranges eerste werken behoren zijn bijdragen tot de variatierekening. Eulers boek, de Methodus, was in 1755 verschenen en ijverig bestudeerd door de jonge professor in Turijn. Lagrange ontdekte in Eulers methode ‘niet al de eenvoud die men in een gebied van zuivere analyse verwachten mag’. En zo schreef hij zijn eigen zuiver analytische variatierekening (1760-'61), die niet alleen vele originele resultaten bevat, doch ook het historische materiaal keurig ordent en verwerkt - iets dat voor Lagrange's werk karakteristiek is. De vorm die Lagrange aan de variatierekening gegeven

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 182 heeft, met zijn onderscheid tussen de variatie door δ aangegeven en de differentialen die met d worden aangeduid, is de blijvende geworden. Lagrange paste zijn leer toe op dynamische vraagstukken, waarin hij volop gebruik maakte van Eulers beginsel van de kleinste werking - bekend door de betreurenswaardige Akakiaepisode. Vele fundamentele gedachten in de latere Mécanique Analytique dateren dus reeds uit de Turijnse tijd. Lagrange droeg ook bij tot de maantheorie, die zijn wiskundige tijdgenoten zo zeer bezighield, en ontdekte de eerste bijzondere oplossingen van het drielichamenprobleem. Hier zegt het theorema van Lagrange, dat het mogelijk is drie eindige lichamen op zodanige wijze in beweging te zetten dat hun banen gelijkvormige ellipsen zijn, die in gelijke tijd worden beschreven (1772). In 1767 verscheen zijn verhandeling over de oplossing van numerieke vergelijkingen, waarin hij methoden aangaf om de reële wortels van een algebraïsche vergelijking te scheiden en ze te benaderen met behulp van kettingbreuken. Daarna publiceerde hij in 1770 de lijvige Réflexions sur la résolution algébrique des equations, waarin hij zich afvroeg waarom de methoden die het voor n ≤ 4 mogelijk maakten om de wortels van een vergelijking van de graad n te vinden niet voor n > 4 schenen te werken. Om hierin inzicht te verwerven beschouwde Lagrange rationale functies van de wortels en hun gedrag onder de permutaties van de wortels, en ontwikkelde zo het begrip van wat we nu de resolvent van Lagrange noemen. Het belang van deze verhandeling ligt vooral hierin, dat ze later Ruffini en Abel inspireerde tot hun onderzoekingen voor het geval n > 4, en ook Galois tot zijn groepentheorie. De verhandeling was een breuk met het verleden, doch de toekomst lag nog enige generaties verder. Lagrange heeft ook belangrijke bijdragen geleverd aan de getallentheorie, waar hij zich bezighield met kwadraatresten en onder andere bewees dat ieder geheel getal de som van vier of minder dan vier vierkanten is. Deze stelling brengt ons voor een ogenblik naar Engeland, waar in die zelfde tijd Edward Waring in zijn Meditationes algebricae van 1770 de stelling poneerde dat ieder geheel getal de som is van ten hoogste N machten van graad p, waar N een functie van p alleen is. Deze stelling, die, zoals Lagrange bewees, voor p = 2 de waarde N = 4 oplevert, heeft vele wiskundigen beziggehouden, tot ze eerst door Hilbert in 1909 is bewezen, doch alleen in die zin dat voor iedere p een N bestaat. De kleinste waarde voor N voor gegeven p is alleen voor enkele p bekend. Voor p = 3 is N = 9.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 183

Lagrange wijdde het tweede deel van zijn leven aan de samenstelling van zijn grote werken, de Mécanique analytique van 1788, de Théorie des fonctions analytiques van 1797 en haar voortzetting in de Leçons sur le calcul des fonctions van 1801. De twee boeken over functies waren een poging om de differentiaalrekening op algebra terug te voeren en haar op die wijze hecht te funderen. Lagrange verwierp zowel de nullen van Euler als de limieten van Newton en D'Alembert. Hij kon niet wel begrijpen wat er gebeurt als Δy/Δx zijn limiet bereikt. Om Lazare Carnot, de organisateur de la victoire in de Franse Revolutie en een goed wiskundige, die ook zijn hoofd brak over Newtons infinitesimaalmethode te citeren:

‘Die methode heeft het grote ongemak dat daarbij grootheden worden beschouwd in de toestand waarin zij, om zo te zeggen, ophouden als grootheden te bestaan; want al kunnen wij altijd de verhouding van twee grootheden goed begrijpen, zo lang zij eindig blijven, biedt die verhouding aan de geest geen klaar en helder begrip zodra haar termen beide tegelijk nul worden’.1

Lagranges methode verschilde van die van zijn voorgangers. Hij begon met de reeksen van Taylor, die hij afleidde met hun restterm, en toonde daarbij op een naar onze smaak nogal naïeve manier aan dat ‘iedere’ functie f (x) in zulk een reeks kon worden ontwikkeld met behulp van een zuiver algebraïsch proces. Dan definieerde hij de afgeleiden f′(x), f″(x), enz. als de coëfficiënten in de reeksontwikkeling van f(x + h) naar machten van h. (De notatie f′(x), f″(x) is van Lagrange). Ofschoon deze ‘algebraïsche’ methode om de differentiaalrekening aan vaste grondslag te helpen, onbevredigend bleek te zijn en ofschoon Lagrange te weinig aandacht schonk aan de convergentie van de reeksen, de abstracte behandeling van het functiebegrip was een grote stap vooruit. Hier verscheen voor het eerst een ‘theorie van functies van een reële veranderlijke’, met toepassingen op een groot aantal vraagstukken in algebra en meetkunde. Hier vindt men b.v. een uitgebreide theorie van het contact van krommen en oppervlakken. Lagranges Mécanique analytique is misschien zijn meest belangrijke boek en is nog heden het bestuderen overwaard. In dit boek, een honderd jaar na Newtons Principia verschenen, wordt

1 L. Carnot, Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal (1797) F. Cajori, Amer. Math. Monthly 22 (1915) 148 geeft dit citaat naar de 5e druk van 1881.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 184 de volle kracht van de nog pas kort te voren ontwikkelde analyse op de mechanica van punten en vaste lichamen aangewend. De ontdekkingen van Euler, van D'Alembert en de andere wiskundigen van de achttiende eeuw worden verwerkt en systematisch verder ontwikkeld. De toepassing van Lagranges eigen variatierekening maakte een consequente behandeling van statica en dynamica vanuit één gezichtspunt mogelijk, in de statica door het beginsel van de virtuele verplaatsingen, in de dynamica door het beginsel van D'Alembert. Dit voerde langs natuurlijke weg tot algemene coördinaten (de ‘coördinaten van Lagrange’ qi) en tot de bewegingsvergelijkingen in de vorm van ‘Lagrangiaan’:

Hier was niets meer over van Newtons Grieks-meetkundige vorm, dit boek van Lagrange was een triomf van zuivere analyse. De schrijver, in zijn voorbericht, legde er speciaal de nadruk op: ‘In dit werk zal men geen figuren vinden, alleen algebraïsche bewerkingen’.1 Lagrange was de eerste zuivere analist.

11.

Met Pierre Simon Laplace komen we tot de laatste der grote wiskundigen van de achttiende eeuw. Deze zoon van een kleine grondbezitter in Normandië ging op school in Beaumont en Caen en werd op voorspraak van D'Alembert hoogleraar in de wiskunde aan de militaire school in Parijs. Hij verkreeg verscheidene andere onderwijsposities en administratieve betrekkingen en gedurende de revolutie werkte hij mee aan de organisatie van de Ecole Normale en van de Ecole Polytechnique. Napoleon gaf hem menig bewijs van zijn hoogachting, maar Lodewijk XVIII deed hetzelfde. In tegenstelling tot Monge en Carnot veranderde Laplace gemakkelijk van politieke overtuiging en hij is wel eens van snobisme beschuldigd, iets waarvan de eenvoudige Lagrange altijd verre bleef. Deze karaktertrekken maakten het evenwel voor hem mogelijk ondanks alle politieke veranderingen zijn wiskundige arbeid onverdroten voort te zetten. De twee grote werken van Laplace die niet alleen zijn eigen werk, maar ook dat van al zijn voorgangers tot één geheel vereni-

1 ‘On ne trouvera point des figures dans cet ouvrage, seulement des operations algébriques’. Het woord ‘algebraïsch’ in plaats van ‘analytisch’ is kenmerkend voor Lagrange.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 185 gen zijn de Théorie analytique des probabilités (1812) en de Mécanique céleste (5 dln, 1799-1825). Beide monumentale werken werden ingeleid door uitgebreide uiteenzettingen in niet-technische termen, de Essai philosophique des probabilités (1814) en de Exposition du système du monde (1796). Deze Exposition bevat de beroemde nevelhypothese, die al reeds onafhankelijk was voorgesteld door Kant in 1755 (en zelfs vóór Kant door Swedenborg in 1734). Hierbij werd voor het eerst aan het planetenstelsel een geschiedenis toegekend. De Mécanique céleste was de culminatie van het werk van Newton, Clairaut, D'Alembert, Lagrange en Laplace zelf over de vorm van de aarde, de theorie van de maan, het drielichamenprobleem, de beweging der planeten en de storingen in hun baan. Dit leidde verder tot de behandeling van het grootse probleem van de stabiliteit van ons zonnestelsel. De naam ‘vergelijking van Laplace’

herinnert aan het feit dat de potentiaaltheorie ook een deel is van de Mécanique céleste (de vergelijking zelf treedt al in 1752 bij Euler op in een verhandeling waarin hij sommige hoofdvergelijkingen van de hydrodynamica afleidt en wordt ook bij Lagrange gevonden). Dit vijfbandige opus heeft tot menige anekdote aanleiding gegeven. Welbekend is het antwoord dat Laplace aan Napoleon moet hebben gegeven toen deze hem wilde plagen met de opmerking dat God in de boeken nergens voorkwam: ‘Sire, ik had deze hypothese niet nodig’.1 En Nathaniel Bowditch, de Bostonse actuaris, die vier delen van Laplaces boek in het Engels vertaalde, heeft eens opgemerkt: ‘Ik ben nooit op één van Laplaces “Dus kan men gemakkelijk zien” gestoten zonder er zeker van te zijn dat het mij uren hard werk zou kosten om de gapende afgrond te dempen en te ontdekken waarom het gemakkelijk te zien was.’ Hamiltons wiskundige loopbaan begon toen hij een fout vond in de Mécanique céleste. Green, bij het bestuderen van het boek, kwam op het denkbeeld dat een wiskundige theorie der elektriciteit mogelijk was. De Essai philosophique des probabilités is een zeer leesbare inleiding in de waarschijnlijkheidsrekening. Men vindt hier Laplaces

1 ‘Sire, je n'avais pas besoin de cette hypothèse’.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 186

‘negatieve’ of ‘subjectieve’ definitie van waarschijnlijkheden door ‘even mogelijke gebeurtenissen’ te postuleren: ‘De kansrekening bestaat in de terugvoering van alle gebeurtenissen van dezelfde soort tot een zeker aantal even mogelijke gevallen, dat zijn gevallen van dien aard dat wij over hun gebeuren gelijkelijk onzeker zijn, en de bepaling van het aantal gevallen waarin de gebeurtenis optreedt waarvan wij de waarschijnlijkheid willen weten.’ Vraagstukken over waarschijnlijkheid komen volgens Laplace op, omdat wij gedeeltelijk weten en gedeeltelijk niet weten. Dit bracht Laplace tot zijn vaak geciteerde uitspraak waarin in zekere zin het hele achttiende-eeuwse mechanische materialisme werd samengevat: ‘Een intelligentie, die op een bepaald ogenblik alle krachten, die in de natuur werkzaam zijn, kon overzien en bovendien de onderscheiden posities van alle delen waaruit ze bestaat, en die ook omvattend genoeg was om deze data aan wiskundige analyse te onderwerpen, zou in dezelfde formule de bewegingen van de grootste lichamen van het heelal en die van het lichtste atoom kunnen vatten: niets zou voor haar onzeker zijn, en de toekomst zowel als het verleden zou voor haar openliggen. De menselijke geest biedt een zwakke voorstelling van deze intelligentie door de vervolmaking welke hij aan de sterrenkunde heeft weten te geven’. Het eigenlijke leerboek is zo rijk aan ideeën dat vele ontdekkingen in de waarschijnlijkheidsrekening van later dagen alreeds in Laplace kunnen worden gevonden.1 Het statige werk bevat een uitgebreide discussie van kansspelen en van meetkundige waarschijnlijkheden, van het theorema van Bernoulli en de betrekking tussen dit theorema en de normale verdeling, en van de theorie der kleinste kwadraten, ontwikkeld door Legendre. Als leidend idee kunnen wij het gebruik van fonctions génératrices beschouwen, waarvoor Laplace ook de betekenis voor de oplossing van differentievergelijkingen aantoont. Hier wordt de Laplace-transformatie ingevoerd die later de sleutel werd tot de operatorenrekening van Heaviside. Laplace redde ook van de vergetelheid een theorie geschetst door Thomas Bayes, een tijdens zijn leven vrijwel onbekende Engelse geestelijke, na diens dood in 1763-'64 gepubliceerd. Laplace formuleerde die theorie opnieuw, ze is bekend als de leer der omgekeerde waarschijnlijkheden, of waarschijnlijkheden a posteriori.2

1 E.C. Molina, The Theory of Probability: Some comments on Laplace's Théorie analytique, Bulletin Amer. Mathem. Society 36 (1930) 369-392. 2 Uitvoerig behandeld in D.A. Gillies, Was Bayes a Bayesian?, HM 14 (1987)325-346.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 187

12.

Het is een merkwaardig feit dat tegen het einde der eeuw sommige leidende wiskundigen het gevoel schijnen te hebben gehad dat de wiskunde haar gebied tot op zekere hoogte had uitgeput. Het moeizame werken van een Euler, een D'Alembert, een Lagrange en van anderen had alreeds tot de belangrijkste theorema's geleid; de grote standaard tekstboeken hadden deze in hun logisch verband geordend en uiteengezet, of zouden dit spoedig doen: de weinige wiskundigen van de volgende generaties zouden alleen vraagstukken van minder belang hebben op te lossen. ‘Schijnt het u niet toe dat de sublieme wiskunde een beetje in verval aan het raken is?’ schreef Lagrange aan D'Alembert in 1772. ‘Zij heeft geen andere steun dan u en Euler’.1 Lagrange hield zelfs een tijdlang met de wiskunde op. D'Alembert kon slechts weinig hoop bieden. Later heeft Arago, de secretaris van de Académie, in zijn Lofspraak op Laplace (1842) een gevoel uitgedrukt dat misschien deze houding kan verklaren: ‘Vijf wiskundigen - Clairaut, Euler, D'Alembert, Lagrange en Laplace - verdeelden onder elkaar de wereld waarvan Newton het bestaan had geopenbaard. Zij onderzochten haar in alle richtingen, drongen door tot ontoegankelijk gedachte gebieden, wezen een ontelbaar aantal verschijnselen in die gebieden aan die nog niet waren opgemerkt, en ten slotte brachten zij alles - en daarin ligt hun onvergankelijke roem - wat ingewikkeld en geheimzinnig in de bewegingen van de hemellichamen is, onder de beheersing van één enkel beginsel, van één enkele wet. De wiskunde bezat ook de moed uitspraken over de toekomst te doen: als de eeuwen hun loop vervolgen, zullen zij de uitspraken van de wetenschap op nauwkeurige wijze bevestigen.’ In deze fraaie bewoordingen legde Arago de nadruk op de hoofdoorzaak van het ‘fin-de-siècle’-pessimisme: de neiging om de vooruitgang in de wiskunde te zeer met die in de mechanica en astronomie te identificeren. Van de tijden van het oude Babylon af tot op die van Euler en Lagrange is het de astronomie geweest, die de wiskunde tot vele van haar schoonste ontdekkingen heeft geïnspireerd. Nu scheen die ontwikkeling haar hoogtepunt voorbij te zijn gestreefd. Doch er kwam een nieuwe generatie, die de invloed van de Franse Revolutie en van de zich ontwikkelende natuurwetenschappen had ondergaan, en die nieuwe generatie be-

1 ‘Ne vous semble-t-il pas que la haute géométrie va un peu á décadence? Elle n'a d'autre soutien que vous et M. Euler.’ Géométrie, in achttiendeeeuws Frans, staat vaak voor wiskunde in het algemeen.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 188 wees met de daad hoe ongegrond dit pessimisme was.1 Deze verjongde wiskunde kwam slechts voor een deel uit Frankrijk, en zoals dat vaker gebeurt in de geschiedenis der wetenschappen, kwam de nieuwe inspiratie tevens uit een plaats waar nog weinig belangrijk werk was geleverd: deze keer uit Göttingen, waar Carl Friedrich Gauss zijn Olympus had geschapen.

Literatuur

De verzamelde werken van Lagrange en Laplace bestaan in moderne uitgaven. Van die van Euler zijn al vele delen (het totaal zal 74 worden) verschenen. Enige delen van de Euler-uitgave hebben uitgebreide inleidingen, o.a. van A. Speiser, C. Truesdell en C. Caratheodory. Aan een uitgave van de werken der Bernoulli's wordt gewerkt. Verschenen zijn reeds enige delen.

Verder: J.H. Lambert, Opera mathematica (2 dln, Berlin 1946) blz. IX-XXXI: voorwoord van A. Speiser. J.E. Hofmann, Ueber Jakob Bernoulli's Beiträge zur Infinitesimalmathematik. Monographies Enseignement Mathém. 3 (Genève, 1957). F. Cajori, A History of the Conception of Limits and Fluxions in Great Britain from Newton to Woodhouse (Chicago, 1931). L.G. du Pasquier, Léonard Euler et ses Amis (Paris, 1927). [Leonard Euler] Sammelband der zu Ehren seines 250. Geburtstages Leonard Euler's der deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin vorgelegten Abhandlungen (Berlin, 1959). Er bestaat ook een Russische verzameling, bij de 250e verjaardag uitgegeven (Moskou, 1958). Zie ook de Russische artikelen in Istor. Matem. Issled. 7 (1954) 451-640. Ook bij de herdenking van de 200e verjaardag werd een Euler Festschrift uitgegeven: Abhandl. z. Gesch. d. Mathem. Wiss. 25 (1907). Leonard Euler, Beiträge zu Leben und Werk. Gedenkbuch des Kantons Basel-Stadt. (Birkhäuser, 1983, 555 blz.), met een biografie van Euler door E.A. Fellmann, blz. 13-98.

1 In de natuurkunde heeft men dit fin de siècle-gevoel aan het einde van de negentiende eeuw kunnen constateren. Door Newtons mechanica en Maxwells elektromagnetisme was de natuur in beginsel verklaard. De ontdekking van de radioactiviteit en de quantumtheorie (ca. 1900) hebben het gehele beeld veranderd.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 189

A Tribute to Leonard Euler, Mathematics Magazine 56 (1983) 262-325. Leonard Euler's Elastic Curves, transl. and annot. by W.A. Old-father, C.A. Ellis, D.M. Brown, Isis 20 (1933) 72-160. C. Truesdell, Leonard Euler, Supreme Geometer, Studies in Eighteenth Century Culture 2 (1972) 51-95. L. Euler, Algebra (Reclame, 2e druk met levensbeschrijving door J.E. Hofmann, 1959). H.G. Green, H.J.J. Winter, John Landen, F.R.S. (1719-1790) Mathematician. Isis 35 (1944) 6-10. [Th. Bayes] Facsimile of Two Papers, with commentaries by E.C. Molina and W.E. Deming (Washington D.C., 1940). C. Truesdell, Notes on the history of the general equations of hydrodynamics, Amer. Math. Monthly 60 (1953) 445-448. G. Sarton, Montucla, Osiris 1 (1936) 519-567. N. Nielsen, Géométres français du XVIIIe siècle (Copenhagen, Paris, 1935). (J.A. Vollgraf, ed.) Les oeuvres de Nicolas Struyck (1687-1769)qui se rapportent au calcul des chances (Amsterdam, 1912). Nicolaas Struyck, van Amsterdam, was wel de belangrijkste Nederlandse wiskundige van zijn tijd. Behalve over kansrekening en sterftetafels schreef hij over aardrijkskunde en staartsterren. Een andere Nederlandse statisticus, tijdgenoot van Struyck, was Willem Kersseboom (1691-1771). Zie over hen M. van Haaften, Verzekeringsarchief 1924-25 en Levensverzekering 1935, 140-147. Zie ook: M. van Haaften, Het Wiskundig Genootschap (Groningen, 1923). Dit boek behandelt ook de negentiende en een gedeelte van de twintigste eeuw. J.G. Fleckenstein, Johann und Jakob Bernoulli, in Elemente der Mathematik, Suppl. 7 (Bazel, 1949). J.E. Hofmann, Über Jakob Bernoulli's Beiträge zur Infinitesimalrechnung, Enseignement mathématique (2) 5 (1956) 61-171. H. Andoyer, L'oeuvre scientifique de Laplace (Paris, 1922). H. Auchter, Brook Taylor der Mathematiker und Philosoph (Marburg, 1937).

Uit manuscripten van Leibniz wordt aangetoond, dat Leibniz van 1694 af, reeds de reeks van Taylor bezat. Overigens was ze reeds in 1668 aan James Gregory bekend. P. Stäckel, Zur Geschichte der Funktionentheorie im achtzehnten Jahrhundert, Bibliotheca mathematica 3 (1901) 111-121.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 190

L.E. Maystrov, Lomonossov, Father of Russian Mathematics, The Soviet Review 3, No. 3 (1962) 3-18. Vertaling van het artikel in Voprosy Filosofiǐ 5 (1961). J.F. Scott, Mathematics through the Eighteenth Century, Philosof. Mag., Commemoration Number 1948, 67-90 (voornamelijk over Engeland). I. Schneider, Der Mathematiker Abraham de Moivre (1667-1754) AHES 5 (1968) 177-317. O.B. Sheynin, R.J. Boscovitch's work on Probability, AHES 9 (1973) 306-324. (Rudjev Josip Boškovič, 1711-1787, was een Kroatische Jezuïet, bekend als een ‘polymath’). P. Brunet, La Vie et l'Oeuvre de Clairaut, Revue d'histoire des Sciences 4 (1951) 13-40, 109-153. Ook als boek (Parijs, 1952). C.C. Gillespie, Lazare Carnot, Savant (Princeton N.J. 1970).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 191

VIII. De negentiende eeuw

De Franse Revolutie en de Napoleontische tijd schiepen bijzonder gunstige voorwaarden voor de verdere ontwikkeling van de wiskunde. Het pad voor de industriële revolutie op het Europese continent was nu geopend. Dit werkte gunstig op de groei van de natuurwetenschappen; nieuwe maatschappelijke klassen werden gevormd die belang hadden in wetenschap en techniek. Democratische ideeën wisten binnen de academische muren in te sluipen, oude en verouderde denkwijzen en levenswijzen werden bekritiseerd. Het gehele onderwijs moest hervormd en vernieuwd worden. De nieuwe, onstuimige bloei van de wiskunde berustte niet zozeer op de technische problemen die de nieuwe industrie stelde. Engeland, het hart van de industriële revolutie, bleef, wat de scheppende wiskunde betreft, jaren lang vrijwel steriel. Het was in Frankrijk en wat later ook in Duitsland, dat de wiskundige wetenschappen het schoonste bloeiden - dus in die landen waar de ideologische breuk met het verleden het sterkst werd gevoeld, waar snelle economische en politieke veranderingen zich aan het voltrekken waren, waarbij de voorwaarden voor een moderne kapitalistische maatschappij werden geschapen. Nieuw leven kwam tot bloei aan scholen en universiteiten. Men voelt die breuk ook in de Romantiek aan, en het zou interessant zijn de betrekkingen tussen deze stroming in de letteren en de kunst aan de ene zijde en die in de wiskunde anderzijds aan een nader onderzoek te onderwerpen. Hoe dit ook zij, zeker is dat de zich nieuw ontwikkelende wiskunde zich langzamerhand van de oude traditie emancipeerde, waarbij mechanica en astronomie als een soort van einddoel in de ontwikkeling der exacte wetenschappen werden beschouwd. Ook algemeen gesproken begon de wetenschap zich meer en meer los te maken van de eisen die het praktische leven en het krijgswezen stelde. Wij krijgen de specialist, en die specialist was allereerst in de wetenschap om haar zelf geïnteresseerd. Ofschoon het verband met de praktijk nooit werd opgeheven, was deze vaak moeilijk te zien of verduisterd. Als nevenverschijnsel bij de toenemende specialisatie beginnen we nu ook tussen ‘zuivere’ en ‘toege-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 192 paste’ wiskunde te onderscheiden.1 De wiskundigen van de negentiende eeuw leefden niet meer aan vorstelijke hoven en vonden slechts zelden hun weg tot de salons der aristocratie. Hun voornaamste beroep was niet meer het lidmaatschap van academies, zij waren gewoonlijk hoogleraren aan universiteiten en technische instituten, waar zij onderwijs gaven en hun salaris verdienden. Sommige grote wiskundigen als de Bernoulli's hadden alreeds enig onderwijs gegeven. Nu namen de onderwijsverplichtingen toe met de grote uitbreiding die het schoolsysteem kreeg, wiskundeprofessoren werden opvoeders en examinatoren. De geleerden werden daardoor nauwer met hun eigen nationale instituties verbonden, wat zich ook uitte in het feit dat hun publikaties steeds meer in de taal van hun land verschenen en steeds minder in het Latijn. Dit deed schade aan het internationalisme van de vorige eeuwen, doch niet zozeer dat internationale gedachtenwisseling onderbroken werd. De wiskundigen werden meer en meer specialisten in één bepaald (ofschoon nog zeer ruim) gebied, en waar men Leibniz, Euler, D'Alembert als ‘wiskundigen’ (‘géomètres’ in de terminologie van de achttiende eeuw) kan aanduiden, vinden we in Cauchy allereerst een analyticus, in Cayley een algebrist, in Steiner een meetkundige (zelfs een ‘zuivere’ meetkundige) en in Cantor de schepper van de leer der verzamelingen. De tijd was gekomen waarin we ‘mathematische fysica’ beginnen te krijgen, en waarin er goede vaklui in ‘mathematische statistiek’ of ‘mathematische logica’ optreden. Deze specialisatie werd alleen op het hoogste niveau van genialiteit doorbroken en juist door het werk van deze grootsten der groten, een Gauss, een

1 Het verschil in opvatting vond klassieke uitdrukking in een uitspraak van Jacobi over de ideeën van Fourier, die nog het nuttigheidsstandpunt van de achttiende eeuw innam: ‘Het is waar dat de heer Fourier van mening was dat het hoofddoel van de wiskunde in het openbare nut en in de verklaring van de natuurverschijnselen lag; maar een filosoof als hij had moeten weten dat het enige doel van de wetenschap de eer van de menselijke geest is, en dat van dit standpunt gezien een vraagstuk over getallen even waardevol is als een vraagstuk over de bouw van de wereld’ (le but unique de la science, c'est l'honneur de l'esprit humain, et sous ce titre une question de nombre vaut autantqu'une question du système du monde). In een brief aan Legendre sprak Gauss zich uit voor een synthese van beide opvattingen (1830, Werke I, blz. 454); hij paste de wiskunde op grootse schaal toe op astronomie, natuurkunde en geodesie, doch terzelfder tijd zag hij in de wiskunde de ‘koningin der wetenschappen’ en in het bijzonder in de getallenleer de ‘koningin der wiskunde’.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 193

Riemann, een Klein of een Poincaré ontving de wiskunde in de negentiende eeuw haar grootste inspiratie.

Op de scheidingslijn tussen de achttiende en negentiende eeuw verheft zich de Olympische gestalte van Carl Friedrich Gauss. Hij was de zoon van een arbeider in Brunswijk, maar zijn vroege begaafdheid bracht hem onder de aandacht van de hertog van Brunswijk (uit de vaderlandse geschiedenis welbekend), die voor de opvoeding van het wonderkind zorg droeg. Na van 1795-'98 in Göttingen gestudeerd te hebben verkreeg de jonge Gauss in 1799 de graad van doctor in Helmstedt, waar J.F. Pfaff professor was (de man van het ‘probleem van Pfaff’). Van 1807 tot zijn dood in 1855 werkte hij ongestoord als directeur van de sterrenwacht en professor aan de universiteit te Göttingen. Zijn tamelijk streng isolement, zijn beheersing van de ‘zuivere’ als wel de ‘toegepaste’ wiskunde, zijn grote astronomische belangstelling en zijn voorliefde voor het Latijn als de taal waarin hij publiceerde, geven aan zijn figuur een achttiende-eeuws karakter, maar zijn werk als geheel ademt de geest van de nieuwe eeuw. Met zijn tijdgenoten Kant, Beethoven, Hegel en Goethe stond hij buiten de grote politieke strijd van zijn tijd, maar in zijn eigen gebied van de exacte wetenschappen wist hij aan de nieuwe ideeën op diepzinnige, doch ook klare wijze uitdrukking te verlenen. De dagboeken van Gauss tonen dat hij reeds op zeventienjarige leeftijd merkwaardige ontdekkingen begon te doen. In het jaar 1795 ontdekte hij, bij voorbeeld, de kwadratische reciprociteitswet der getallentheorie, onafhankelijk van Euler en Legendre. Sommige van zijn vroegste ontdekkingen werden in zijn dissertatie van Helmstedt in 1799 en in zijn indrukwekkende Disquisitiones arithmeticae van 1801 gepubliceerd. Het proefschrift bracht het eerste strenge bewijs van de zogenaamde hoofdstelling der algebra (zie bldz. 178). Deze stelling, volgens welke een algebraïsche vergelijking van graad n minstens één en dus n wortels heeft, gaat terug op Albert Girard, de uitgever van de werken van Stevin (Invention nouvelle en algèbre, 1629). Later hadden D'Alembert, Euler en Lagrange een bewijs gewaagd, dat door Gauss werd verbeterd. Gauss hield van deze stelling, gaf later nog twee bewijzen en keerde in 1849 terug naar zijn eerste bewijs. Het derde bewijs (1816) maakte van complexe integralen gebruik en toont hoe vroeg Gauss de theorie der complexe getallen beheerste. In de Disquisitiones arithmeticae bracht Gauss op zijn wijze alle belangrijke resultaten van zijn voorgangers samen en verrijkte ze

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 194 met zulk een meesterhand dat men wel in deze Disquisitiones het begin van de moderne getallentheorie heeft gezien. De kern bestaat uit de theorie der kwadratische congruenties en vormen, en culmineert in de reciprociteitswet der kwadratische resten - dat ‘theorema aureum’ waarvoor Gauss het eerste volledige bewijs gaf. Gauss was even geestdriftig over deze wet als over de hoofdstelling van de algebra en publiceerde later nog vijf andere bewijzen, één werd na zijn dood nog tussen zijn papieren gevonden. De Disquisitiones bevatten ook Gauss' onderzoekingen over de cirkelverdeling, dus over de wortels van de vergelijking xn = 1. Hier kwam de grote verrassing in de stelling dat de zijden van de regelmatige zeventienhoek met passer en lineaal kunnen worden geconstrueerd. Dit geldt voor alle regelmatige veelhoeken van n zijden zo n = 2 p + 1, p = 2k, n priemgetal, k = 0, 1, 2, 3, ..., dus b.v. ook n = 257. Dit was een merkwaardige aanvulling van de Griekse meetkunde zoals we die uit Euklides kennen. Gauss' belangstelling in de sterrenkunde werd opgewekt toen Giuseppe Piazzi in Palermo op 1 januari 1801, de eerste dag van de nieuwe eeuw, de eerste planetoïde ontdekte, die de naam Ceres kreeg. Van deze planetoïde konden slechts weinig observaties worden gemaakt, zodat het probleem ontstond de baan van een planeet uit een betrekkelijk klein aantal niet ver van elkaar af liggende observaties te bepalen. Gauss loste dit vraagstuk volledig op; het leidde tot een vergelijking van de achtste graad. Toen in 1802 Pallas, de tweede planetoïde, werd ontdekt, begon Gauss zich te interesseren in de seculaire storingen van de planeten. De reeks van onderzoekingen die met al deze verschijnselen samenhing, bevatte de Theoria motus corporum coelestium (1809), de verhandeling over de aantrekking van de algemene ellipsoïde (1813), een andere over mechanische kwadratuur (1814) en over seculaire storingen (1818), alsook Gauss' onderzoekingen met betrekking tot de hypergeometrische reeks (1812), die het mogelijk maakt een groot aantal functies vanuit één gezichtspunt te bekijken. Ze is de eerste stelselmatige studie van de convergentie van een reeks.

Na 1820 begon Gauss zich levendig voor de geodesie te interesseren, dit naar aanleiding van de triangulatie van het koninkrijk Hannover, waaraan hij praktisch deelnam. Op karakteristieke wijze verenigde hij weer toegepaste met theoretische wiskunde. Een van zijn resultaten was zijn uiteenzetting van de methode der kleinste kwadraten (1821, 1823), die reeds door Legendre (1806) en Laplace tot een onderwerp van studie was gemaakt. Misschien

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 195 zijn meest belangrijke wiskundige bijdrage uit dit tijdperk van zijn leven was zijn oppervlakkentheorie, die hij in de Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827) uiteenzette, en die de differentiaalmeetkunde van een geheel ander standpunt bezag dan Monge. Deze theorie van Gauss was weer het gevolg van praktische overwegingen, in dit geval aan de hogere geodesie ontleend. Ze hield de aandacht gevestigd op de inwendige meetkunde van een oppervlak, die dus niet van de omringende ruimte afhangt, en waarbij kromlijnige coördinaten u en v op het oppervlak worden aangewend, om het lijnelement ds in een kwadratische differentiaalvorm uit te drukken: ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2. Hier bereikte Gauss weer een hoogtepunt, het theorema egregium, dat leert dat de totale kromming van een oppervlak alleen afhangt van E, F en G en hun afgeleiden en dus een buigingsinvariante is. Zelfs in deze periode van ingespannen werkzaamheid in de praktische geodesie verwaarloosde Gauss zijn eerste liefde, de ‘koningin der wiskunde’ niet. In 1825 en 1831 verschenen zijn verhandelingen over bikwadraatresten. Deze vormen een voortzetting van de theorie der kwadraatresten in de Disquisitiones arithmeticae, maar een voortzetting met behulp van een nieuwe methode, de leer der complexe getallen. De verhandeling van 1831 bevatte niet alleen algebra, doch ook een rekenkunde der complexe getallen. Hierbij ontstond een nieuwe theorie van priemgetallen, waarin 3 een priemgetal blijft, maar 5 = (1 + 2i) (1 - 2i) niet langer priem is. Het getal 1 + 2i is een complex priemgetal. Met behulp van deze nieuwe getallentheorie kon Gauss vele duistere punten van de reële rekenkunde ophelderen. Zo bleek de kwadratische reciprociteitswet voor complexe getallen eenvoudiger dan voor reële. Het was in deze verhandeling dat Gauss voor altijd de geheimzinnigheid die de complexe getallen nog steeds hadden, verstoorde, doordat hij liet zien hoe complexe getallen door punten in het ‘vlak van Gauss’ kunnen worden voorgesteld. 1

1 Vgl. E.T. Bell, Gauss and the Early Development of Algebraic Numbers, National Mathem. Magazine 18 (1944) 188, 219. A. Speiser, in zijn inleiding tot Eulers Opera I (28), bldz. XXXVII, heeft erop gewezen dat reeds Euler en andere wiskundigen na 1760 gedacht hebben in de geest die aan deze opvatting van Gauss ten grondslag ligt. Een diagram van Gauss waarop de complexe priemgetallen zijn afgebeeld kan men o.a. vinden in het Tijdschrift Fortune (artikel ook in boekvorm uitgegeven). De idee, zulk een diagram te maken, kwam van B. van der Pol te Eindhoven (ca. 1943). Men heeft zelfs tafelkleedjes gemaakt met dit diagram als patroon.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 196

Een standbeeld in Göttingen stelt Gauss met zijn jongere medewerker Wilhelm Weber voor op het ogenblik dat zij bezig zijn de elektrische telegraaf te ontdekken. Dit gebeurde in de jaren 1833-'34 in de tijd dat Gauss begon de fysica te beoefenen. In die jaren voerde hij vele experimenten uit met het aardmagnetisme. Toch vond hij nog tijd voor een theoretische verhandeling van grote betekenis, zijn Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstöszungskräfte (1839-'40). In deze verhandeling werd de potentiaaltheorie als een eigen gebied in de wiskunde ingevoerd (de verhandeling van Green uit het jaar 1828 was toentertijd vrijwel onbekend gebleven). Men vindt er oppervlakte- en inhoudsintegralen met minimaalprincipes waarin men het zgn. beginsel van Dirichlet herkent. Gauss hield het bestaan van een minimum nog voor vanzelfsprekend, eerst later werd dit bestaan een onderwerp van veel studie, waaraan ten slotte Hilbert een exacte formulering heeft gegeven. Gauss bleef werkzaam tot aan zijn dood in 1855. In zijn latere levensjaren wendde hij zich meer en meer tot de toegepaste wiskunde. Toch leveren zijn publikaties geen voldoende beeld van zijn volle grootheid. Door de publikatie van zijn dagboeken en van sommige zijner brieven is het gebleken dat hij enige zijner diepste gedachten nooit heeft bekend gemaakt. We weten thans dat Gauss reeds in 1810 de elliptische functies had ontdekt (eerst later herontdekt door Abel en Jacobi) en omstreeks 1816 in het bezit was van de niet-euklidische meetkunde (later herontdekt door Lobačevskiï en Bolyai). Hierover heeft hij zich slechts in enige brieven aan vrienden uitgelaten, en daaruit zien we dat hij kritisch stond tegenover alle pogingen het parallellenaxioma te bewijzen. Wars van alle polemieken wilde hij in het openbaar geen onderwerp aansnijden waarmee hij controverses kon veroorzaken. Hij schreef over wespen die hem dan om de oren zouden vliegen en van het ‘geschreeuw der Boeotiërs’, dat hij dan te horen zou krijgen. Maar hij betwijfelde de toen vrijwel algemeen aanvaarde leer van Kant die onze ruimtevoorstelling a priori voor Euklidisch hield; voor Gauss was de meetkunde van de werkelijke ruimte een natuurverschijnsel dat men experimenteel moest onderzoeken.

Felix Klein, in zijn Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert heeft een vergelijking getrokken tussen Gauss en de vijfentwintig jaar oudere Franse wiskundige Adrien-Marie Legendre. Misschien is het niet helemaal fair om Gauss te vergelijken met een

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 197 andere wiskundige, tenzij die tot de allergrootste behoort; maar we leren uit deze vergelijking hoezeer Gauss' ideeën ‘in de lucht hingen’, want Legendre heeft, op zijn eigen onafhankelijke wijze, vele vragen die Gauss bezighielden, ook onderzocht. Legendre was van 1775 tot 1780 docent aan de militaire school in Parijs en had later vele regeringsbetrekkingen. Zo was hij professor aan de Ecole Normale, examinator aan de Ecole Polytechnique en had administratieve posities. Evenals Gauss heeft hij belangrijke onderzoekingen over de getallentheorie gepubliceerd (Essai sur les nombres, 1798; Théorie des nombres, 1830), waarin hij de kwadratische reciprociteitswet formuleerde. Hij schreef ook over geodesie en theoretische astronomie, was een even ijverig berekenaar van tafels als Gauss, schetste in 1806 de methode der kleinste kwadraten en bestudeerde de aantrekking van ellipsoïden - ook van de ellipsoïden die geen omwentelingsoppervlakken zijn. Hierbij voerde hij de ‘Legendre-functies’ in. Hij stelde evenals Gauss belang in elliptische integralen en integralen van Euler, en in de grondslagen en methoden der euklidische meetkunde. In al deze gebieden drong Gauss dieper door dan Legendre, zo vond Legendre nooit de stelling van de regelmatige zeventienhoek, de elliptische functies en de niet-euklidische meetkunde. Toch deed Legendre werk van blijvende betekenis. Zijn leerboeken werden lange jaren druk gebruikt, vooral zijn Exercises du calcul intégral (3 dln, 1811-'19) en zijn Traité des fonctions elliptiques et des intégrales euleriennes (1827-'32), dat nog steeds een standaardwerk is. In zijn Elements de géométrie (1794) brak hij met het Platonische ideaal van Euklides en gaf een leerboek der schoolmeetkunde dat met de eisen van de toen moderne opvoeding rekening hield. Dit boek is dan ook zeer populair geweest, het is in verscheidene talen vertaald en vaak herdrukt; de invloed van dit boek is blijvend geweest.

Men kan het nieuwe tijdperk in de geschiedenis van de wiskunde in Frankrijk misschien laten aanvangen met de oprichting van militaire scholen en academies, die in het tweede deel der achttiende eeuw plaatsvond. In deze scholen, waarvan er ook enige buiten Frankrijk bestonden (Turijn, Woolwich) werd op de wiskunde bij de opleiding van militaire ingenieurs en genieofficieren sterke nadruk gelegd. Lagrange begon zijn loopbaan aan de artillerieschool in Turijn, Legendre en Laplace doceerden aan de militaire school in Parijs, Monge aan de academie in Mézières, Carnot was een mi-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 198 litaire ingenieur. Napoleons belangstelling in de wiskunde dateert uit zijn studentenjaren aan de militaire scholen in Brienne en Parijs. Toen gedurende de Revolutie Frankrijk door buitenlandse legers werd bedreigd werd de behoefte aan een gecentraliseerde militaire ingenieursopleiding sterker dan ooit gevoeld. Dit leidde in 1794 tot de oprichting van de Ecole Polytechnique te Parijs. Spoedig begon deze school een leidende plaats in te nemen in de opleiding van ingenieurs van allerlei soort, zodat ze het voorbeeld werd van alle militaire ingenieursscholen die in de eerste jaren van de negentiende eeuw werden opgericht, in Nederland zowel als in de Verenigde Staten (West Point) en Rusland - ook al werd het militaire karakter van de Ecole Polytechnique bij andere technische hogescholen niet altijd overgenomen. Een wezenlijk bestanddeel van het leerplan was de studie van de zuivere en toegepaste wiskunde. Aan de Ecole Polytechnique werd niet alleen het onderwijs, doch ook het wetenschappelijk onderzoek met alle kracht ondersteund. Men trachtte de beste mannen van wetenschap aan de Ecole Polytechnique te verbinden, vele bekende Franse wiskundigen zijn studenten, examinatoren of professoren aan de Ecole Polytechnique geweest.1 De opleiding aan zulk soort scholen eiste een nieuw soort geleerde - de leraar - en een nieuw soort van wetenschappelijke tekst - een leerboek. De geleerde verhandelingen voor de ingewijden, die zo kenmerkend waren voor de tijd van Euler, moesten vervangen worden door handboeken die geschikt waren voor het klasseonderwijs. Zo zijn een aantal van de beste leerboeken van de eerste jaren van de negentiende eeuw uit het onderwijs aan de Ecole Polytechnique of verwante instituten voortgekomen. Hun invloed heeft continu doorgewerkt tot in de huidige tijd. Een goed voorbeeld van zulk een leerboek is de Traité du calcul différentiel et du calcul intégral (2 dln., 1797) van Sylvestre François Lacroix, waaruit hele generaties hun infinitesimaalrekening hebben geleerd. Lacroix heeft ook vele andere leerboeken der wiskunde geschreven. We hebben alreeds van Legendres boeken gesproken; nog een an-

1 Vgl. C.G.J. Jacobi, Werke 7, bldz. 355 (voordracht van 1835). Over de oprichting van de Ecole Polytechnique: J. Fayet, La révolution française et la science 1789-1795 (Paris, 1960). Verder zie H. Wussing in Pädagogik 13 (1958) 646-662. Voor de wetenschappelijke achtergrond zie M.P. Crosland, The Society of Arcueil (Cambridge, Mass. 1967). Laplaces woning in Arcueil, niet ver van Parijs, was van 1806 tot 1813 een plaats waar geleerde personen tezamen kwamen.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 199 der voorbeeld is het leerboek der beschrijvende meetkunde van Monge, dat ook nog lang voor het onderwijs in dit vak voorbeeldig is geweest.

Gaspard Monge, de eerste directeur van de Ecole Polytechnique, was de wetenschappelijke en pedagogische leider van de mannen van wetenschap die gedurende het Directoire, het Consulaat en het Keizerrijk met deze school waren verbonden. Hij was zijn loopbaan begonnen als docent aan de militaire school van Mézières (1768-'89), waar hem zijn voordrachten over vestingbouwkunde de gelegenheid boden de beschrijvende meetkunde als een bijzonder gebied van de wiskunde te ontwikkelen. Zijn boek Géometrie descriptive verscheen tussen 1795-'99. In Mézières begon hij ook met de toepassing van de differentiaalrekening op de leer der ruimtekrommen en oppervlakken; zijn verhandelingen hierover werden later verzameld in de Application de l'analyse à la géométrie (1809), het eerste boek over de differentiaalmeetkunde, doch nog niet in de vorm waarin we die tegenwoordig bestuderen. Monge was een der eerste moderne wiskundigen die als specialist kan gelden: als meetkundige. Ook zijn behandeling der partiële differentiaalvergelijkingen is typisch meetkundig. Door Monges invloed begon de meetkunde aan de Ecole Polytechnique te bloeien. In de beschrijvende meetkunde lag de kiem der projectieve meetkunde, en de toepassing van algebraïsche en analytische methoden op krommen en oppervlakken kwam de analytische meetkunde en de differentiaalmeetkunde ten goede. Jean Hachette en Jean-Baptiste Biot ontwikkelden stelselmatig de analytische meetkunde van kegelsneden en kwadratische oppervlakken, in Biots Essai de géométrie analytique (1802) beginnen wij onze huidige analytische meetkunde te herkennen; naar inhoud zowel als naam. Charles Dupin, een leerling van Monge, paste als jonge marine-ingenieur gedurende de Napoleontische tijd de methoden van zijn leraar op de oppervlakkentheorie toe, waarbij hij de asymptotische en geconjugeerde lijnen vond; de kromtelijnen waren reeds door Monge onderzocht. Dupin werd professor in de meetkunde in Parijs en werd later ook een bekend politicus en propagandist van de industrie. Hij vatte zijn meetkundige ontdekkingen samen in de Développements de géométrie (1813) en Applications de géométrie (1825), waar men de ‘indicatrix van Dupin’ en de ‘cycliden van Dupin’ bestuderen kan. Monges naam is ook verbonden aan de vernieuwing van de

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 200 scheikunde, waarbij zijn academische collega Lavoisier zulk een belangrijke rol speelde. Hij behoorde tot die groep van mannen die de samenstelling van water uit wat we nu waterstof en zuurstof noemen ontdekten (1783-'85), ook experimenteerde hij op het gebied van de uitzetting van gassen en de capillariteit. Gedurende de revolutie gaf hij advies aan de regering omtrent het maken van wapens en van buskruit. Ofschoon Monge een man van democratische opvattingen was, bleef hij trouw aan Napoleon, met wie hij in Egypte was (1798-'99) en in wie hij de man zag die de idealen van de Revolutie kon verwezenlijken. In 1815, bij de terugkomst der Bourbons, werd Monge ontslagen en hij stierf kort daarop. Doch Monges geest bleef heersen in de Ecole Polytechnique. Zo bleef er datzelfde nauwe verband tussen zuivere en toegepaste wiskunde bestaan dat er van de aanvang al geweest was. De mechanica werd druk beoefend, en de mathematische fysica begon zich eindelijk van de ‘katoptrika’ en de ‘dioptrika’ van de Ouden te bevrijden. Etienne Malus ontdekte in 1810 de polarisatie van het licht, later nam Augustin Fresnel Huygens' golftheorie van het licht weer op (1821). André-Marie Ampère, die met groot succes de partiële differentiaalvergelijkingen had bestudeerd, werd na 1820 een der grote pioniers van de nieuwe wetenschap van het elektromagnetisme. Uit deze beoefening der mathematische fysica kwamen ook resultaten voor de wiskunde zelve, we denken aan Fresnels golfoppervlak en aan Malus' meetkunde der lichtstralen, verbeterd door Dupin, en die weer vruchten afwierp voor de meetkundige optica en de meetkunde der stralencongruenties. Lagranges Mécanique analytique werd zorgvuldig bestudeerd en de methoden daarin uiteengezet, werden op allerlei vraagstukken toegepast. De statica had Monge reeds vroeg geïnteresseerd en hij beoefende haar met zijn leerlingen ook vanwege haar meetkundige mogelijkheden; in de loop der jaren verschenen verscheidene leerboeken over dit vak, waaronder een van Monge zelf (1788, vele uitgaven). De meetkundige inhoud van de statica werd klaar tot uiting gebracht in het werk van Louis Poinsot, vele jaren lang een lid van de Franse Hoge Onderwijsraad. In zijn Elements de statique (1804) en zijn Théorie nouvelle de la rotation des corps (1834) voegde hij aan het begrip van de kracht dat van het koppel (draaimoment) toe, gaf een voorstelling van Eulers leer der traagheidsmomenten met behulp van een traagheidsellipsoïde en onderzocht de beweging van deze ellipsoïde wanneer het lichaam zich in de ruimte beweegt of om een punt draait. Victor Poncelet en Gustave-Gaspard Coriolis gaven aan het streng analytische karakter

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 201 van Lagranges analytische mechanica een meetkundig gewaad, beide geleerden hebben met Poinsot ook de toepassing der mechanica op eenvoudige mechanismen behandeld. Een der resultaten van deze onderzoekingen is de ‘coriolisversnelling’, die optreedt wanneer een lichaam zich beweegt in een versneld systeem (1835). Victor Poncelet was een der meest oorspronkelijke leerlingen van Monge. Toen hij als soldaat van Napoleons Grande Armée in 1813 in Russische krijgsgevangenschap geraakte, vond hij ruimschoots tijd om over de methoden van zijn leraar na te denken. Speciaal voelde hij zich aangetrokken door het zuiver synthetische in Monges meetkunde en zo werd hij tot een gedachtengang gevoerd die reeds twee eeuwen te voren Desargues had geïnspireerd. Poncelet werd de ontdekker van de projectieve meetkunde. Hij zette zijn ideeën uiteen in de Traité des propriétés projectives des figures (1822). Dit omvangrijke boek bevat alle begrippen die deze nieuwe soort meetkunde karakteriseren, begrippen als dubbelverhouding, perspectiviteit, projectiviteit, involutie en zelfs de oneindig verre cirkelpunten. Poncelet liet zien dat de brandpunten van een kegelsnede kunnen worden beschouwd als snijpunten van de raaklijnen, door die cirkelpunten aan de kegelsnede getrokken. Ook vindt men in de Traité de theorie der veelhoeken die tegelijk door één kegelsnede omgeschreven en door een andere ingeschreven zijn (het zgn. sluitingsprobleem van Poncelet). Het verschijnen van dit boek werd gevolgd door zulk een geestdriftige bestudering van het nieuwe gebied, dat in weinige tientallen jaren de projectieve meetkunde een graad van ontwikkeling bereikte die haar tot een klassiek model van een afgerond wiskundig systeem zou maken. Naast Poncelet behoorden ook Siméon Poisson, Joseph Fourier en Augustin Cauchy tot de leidende wiskundigen wier naam met de eerste tientallen jaren der Ecole Polytechnique waren verbonden. Alle drie toonden diepe belangstelling voor de toepassing van de wiskunde op de natuur- en werktuigkunde, en alle drie werden door deze belangstelling weer tot ontdekkingen in de ‘zuivere’ wiskunde gevoerd. Poissons produktiviteit blijkt uit de vele manieren waarop zijn naam in onze leerboeken voorkomt: hier ontmoeten we de haakjes van Poisson in de leer der differentiaalvergelijkingen, de constante van Poisson in de elasticiteitsleer, de integraal en de vergelijking van Poisson in de potentiaaltheorie. Deze vergelijking van Poisson, gewoonlijk ΔV = 4πρ geschreven, vond haar oorsprong in Poissons ontdekking (1812), dat de vergelijking van Laplace, ΔV = 0, slechts daar geldt waar geen massa's zijn; het

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 202 exacte bewijs voor massa's van veranderlijke dichtheid werd eerst door Gauss in zijn Allgemeine Lehrsätze van 1839/'40 geleverd. Poissons Traité de mécanique (1811) was geschreven in de geest van Lagrange en Laplace, maar bevatte menige oorspronkelijke gedachte zoals het expliciet gebruik van de impulscoördinaten pi = ∂T/∂qi. Deze coördinaten hebben dan later in het werk van Hamilton en Jacobi een fundamentele rol gespeeld - en doen het nu nog. Poisson schreef ook een boek over de waarschijnlijkheidsrekening (1837) dat wij reeds citeerden. Onder de vele resultaten die dit boek bevat vinden we de ‘wet van Poisson’ als benadering van de binomiale wet voor kleine waarschijnlijkheden. De grote betekenis van deze wet voor de statistiek, o.a. van straling en verkeer, is eerst in de twintigste eeuw begrepen. Fourier wordt wel als de grondlegger van de mathematische fysica beschouwd. Hij heeft deze reputatie in de eerste plaats te danken aan zijn Théorie analytique de la chaleur, zijn analytische warmtetheorie (1822). Deze warmtetheorie is de theorie der warmtegeleiding, bepaald door de partiële differentiaalvergelijking ΔU = k∂u/∂t, die voor het geval van een ééndimensionale voortplanting van de warmte (door Fourier nog als stof, ‘calorique’, gedacht) als ∂2U/∂x2 = k∂U/∂t kan worden geschreven. Deze vergelijking moet dan worden opgelost onder gegeven randvoorwaarden. De methoden die Fourier hierbij gebruikte waren zo algemeen dat zijn werk het prototype is geworden voor de behandeling van de gehele theorie der oplossingen van partiële differentiaalvergelijkingen onder gegeven randvoorwaarden. Daarbij demonstreerde Fourier het nut van trigonometrische reeksen, die in de voorafgaande eeuw het onderwerp waren geweest van een gedachtenwisseling tussen Euler, D'Alembert, Daniel Bernoulli en Lagrange. Fourier loste de moeilijkheden die zich ontwikkeld hadden althans in beginsel op: elke ‘willekeurige’ functie (waaronder Fourier een functie verstond die door een continu gebogen of recht lijnsegment of door een aantal van zulke segmenten kan worden voorgesteld) kan in een gegeven interval worden uitgedrukt door een reeks van de vorm

Ondanks het feit dat Euler en zijn collega's reeds over de al of niet juistheid van dit feit van gedachten hadden gewisseld, was Fouriers resultaat toch nog zo nieuw en frapperend dat hij in 1807, toen hij zijn ideeën het eerst bekend maakte, op scherp verzet

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 203 stuitte, zelfs bij zulk een groot wiskundige als Lagrange. Van nu af aan werden de ‘Fourier-reeksen’ langzamerhand een algemeen aanvaard en goed doordacht middel voor de oplossing van partiële differentiaalvergelijkingen met randvoorwaarden. Maar ze waren ook, van zuiver wiskundig standpunt beschouwd, verbazend interessant, omdat hun gedrag zo afweek van dat van reeksen van Taylor. Wat moest men onder een ‘willekeurige functie’ verstaan? Uit vragen als deze is het te verklaren dat de wiskundigen van de negentiende eeuw zich veel meer inlieten met de exactheid van hun bewijzen dan hun voorgangers, en dat zij ernstiger ernaar streefden de grondbegrippen der wiskunde te verhelderen.1 Wat de Fourier-reeksen betreft werd deze verheldering door Dirichlet en Riemann gebracht, met consequenties die veel verder reikten dan die bijzondere reeksen.

Cauchy's talrijke bijdragen tot de theorie van het licht en de mechanica zijn door het succes van zijn prestaties in de analyse wel wat in de vergetelheid geraakt, en toch mogen we niet uit het oog verliezen dat hij met zijn tijdgenoot Louis Navier tot de grondleggers der wiskundige elasticiteitstheorie behoort. Zijn roem berust echter in de eerste plaats op zijn theorie van de functies van een complexe veranderlijke, en op zijn streven naar exactheid in de analyse. Functies van een complexe veranderlijke waren wel eens vroeger opgedoken, bijv. bij D'Alembert, die in een verhandeling van 1752 over de weerstand in vloeistoffen zelfs tot de vergelijking werd gevoerd die we nu als die van Cauchy-Riemann kennen. Ook Euler was bezig geweest dit gebied te ontginnen. Onder de handen van Cauchy werd nu de complexe functietheorie van een toevallig hulpmiddel bij hydrodynamica, aerodynamica of oppervlakkentheorie tot een nieuw en zelfstandig onderdeel van de wiskunde opgebouwd. Cauchy's publikaties op dit gebied begonnen in 1814 en volgden elkaar in ononderbroken volgorde op. Een van zijn belangrijkste publikaties is de Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires (1825). Hier vindt men de integraalstelling van Cauchy en het begrip van het residu van een pool. De stelling dat iedere analytische functie f(z) om ieder punt z = zo in een reeks van Taylor kan worden ontwik-

1 P.E.B. Jourdain, Note on Fourier's Influence on the Conceptions of Mathematics, Proc. Intern. Congress of Mathem. (Cambridge, 1912) II 526/527. Zie over Fourier ook J. Ravetz, Archives intern. de l'histoire des Sciences 13 (1960) 247-251.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 204 keld, en dat die reeks in een cirkel van het complexe vlak convergeert, die door het naastbijgelegen singuliere punt gaat, werd in 1831 gepubliceerd, dus in hetzelfde jaar dat Gauss zijn arithmetische theorie der complexe getallen het licht deed zien. Laurents generalisatie van Cauchy's stelling over de reeksen van Taylor is van 1843, toen ze ook in het bezit van Weierstrass was. Deze feiten illustreren waarom de theorie van Cauchy geen weerstand in vakkringen had te overwinnen: vanaf haar begin is de theorie der complexe functies geaccepteerd, zelfs in de notatie die Cauchy had voorgesteld. Cauchy behoort, met zijn tijdgenoten Gauss, Abel en Bolzano, tot de pioniers van de nieuwe exactheid in het wiskundig denken. De achttiende eeuw was in wezen een eeuw van mathematisch experimenteren geweest, waarbij de resultaten in overweldigend aantal zich ophoopten. Daarbij hadden de wiskundigen zich maar weinig beziggehouden met de grondslagen van hun wetenschap - ‘allez en avant, et la foi vous viendra’ (ga maar vooruit, het geloof zal wel komen) - deze aanmoediging wordt wel aan D'Alembert toegeschreven. En als deze wiskundigen, zoals Maclaurin, Euler of Lagrange, wel eens van hun gewetensbezwaren lieten blijken, waren hun redeneringen maar matig overtuigend. Nu echter was de tijd gekomen om zich consequent af te vragen wat de precieze zin van al die verkregen resultaten was. Wat was eigenlijk een ‘functie’ van een reële veranderlijke, die zich ten opzichte van een Taylor-reeks zo anders gedraagt als ten opzichte van een Fourier-reeks, en in welke betrekking stond ze tot een ‘functie’ van een complexe veranderlijke, die weer haar eigen gedrag heeft? Met vragen als deze kwamen alle onopgeloste kwesties in de grondslagen van de infinitesimaalrekening en in het vraagstuk van het bestaan van een potentieel en een actueel oneindige weer vooraan in het bewustzijn van de wiskundige.1 Wat Eudoxos had gedaan in de tijd na de val van de Atheense democratie begonnen Cauchy en zijn exact denkende collega's in de periode van een snel groeiend

1 P.E.B. Jourdain, The Origin of Cauchy's Conception of a Definite Integral and of the Continuity of a Function, Isis 1 (1913) 661-703, vgl. ook Bibliotheca Mathematica 6 (1905) 190-207. Over Cauchy zie het uitvoerig verslag door H. Freudenthal in DSB III (1971) 131-149, met vele anekdotes: ‘Cauchy beheerste niet de wiskunde, de wiskunde beheerste hem’. Verder: The Installation of Rigor in Analysis in M. Kline, Mathematical Thought from ancient to modern Times (New York, 1972), Hoofdstuk 40.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 205 industrialisme te voltooien. Dit grote verschil in maatschappelijke verhoudingen leidde tot grote verschillen in de wijze waarop de vraagstukken werden aangepakt: waar het succes van Eudoxos er op den duur toe leidde dat de wiskundige produktiviteit belemmerd werd, leidde het succes van de moderne hervormers tot nieuwe en verhoogde produktiviteit. Op Gauss en Cauchy volgden Weierstrass en Cantor, en op hen weer Hilbert en Lebesgue. Cauchy ontwikkelde de grondslagen der infinitesimaalrekening op de manier waarop ze nu algemeen in onze leerboeken worden uiteengezet. Men kan zijn methode bestuderen in zijn Cours d'Analyse (1821) en de Résumé des Leçons données à l'Ecole Royale Polytechnique I (1823). Cauchy's methode berustte op het limietbegrip zoals D'Alembert dit al eens bij gelegenheid had gebruikt. Nu werd dit begrip op strenge wijze geformuleerd en door voorbeelden verduidelijkt. Zo toonde Cauchy aan wat de limiet (grenswaarde) is van sin α/α voor α = 0. Daarna definieerde hij een oneindig kleine veranderlijke als een veranderlijk getal dat nul als grenswaarde heeft. Dan eiste hij dat Δy en Δx ‘seront des quantités infiniment petites’ (oneindig kleine grootheden zullen zijn). Vervolgens schreef hij:

en noemde de grenswaarde voor i → 0 de fonction dérivée (afgeleide functie) y′ ou f′(x). Verder zette hij i = αh, waar α een oneindig kleine grootheid is en h een eindige grootheid:

Dan werd h de différentielle de la fonction y = f(x) (differentiaal van de functie y) genoemd, en dy = df(x) = hf′(x); dx = h.1 Cauchy gebruikte zowel de notatie van Lagrange als vele van zijn bijdragen tot de reële functietheorie zonder concessies te doen aan Lagranges ‘algebraïsche’ formulering van de afgeleiden. Zo nam hij de stelling van de gemiddelde waarden en het restlid van de Taylor-reeks over zoals Lagrange die geformuleerd had, doch de reeksen werden nu onder passend onderzoek naar hun conver-

1 Résumé I (1823), Calcul différentiel 13-27. Een nauwkeurig onderzoek van dit proces bij M. Pasch, Mathematik am Ursprung (Leipzig 1927), 47-73. Verder: J.V. Grabiner, The Origins of Cauchy's rigorous Calculus (MIT Press, Cambridge, Mass, 1981).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 206 gentie besproken. Verschillende convergentiecriteria in de theorie der oneindige reeksen zijn naar Cauchy genoemd. In zijn geschriften vindt men duidelijke sporen van een overgang tot die ‘arithmetisering’ van de analyse, die later de kern van Weierstrass' onderzoekingen zou uitmaken. Cauchy gaf ook het eerste existentiebewijs voor de oplossing van een differentiaalvergelijking en van een stelsel van zulke vergelijkingen (1836). Op deze manier maakte Cauchy althans een begin met die reeks van problemen en paradoxen te beantwoorden, die in de wiskunde reeds van Zeno's tijd af hadden rondgespookt, en hij deed het niet door die moeilijkheden te loochenen of te omzeilen, maar door een wiskundige techniek te scheppen die het mogelijk maakte ze recht te doen wedervaren. Cauchy was evenals zijn tijdgenoot Honoré de Balzac, met wie hij een bijkans onbegrensde arbeidscapaciteit gemeen had, een legitimist en royalist. Beiden hadden zo'n diep inzicht dat ondanks hun reactionaire idealen hun werk ook voor latere generaties een grote betekenis blijft behouden. Na de revolutie van 1830 gaf Cauchy zijn leerstoel aan de Ecole Polytechnique op en bracht enige jaren door in Turijn en in Praag; in 1838 keerde hij naar Parijs terug. Na 1848 werd het hem niet moeilijk gemaakt: hij mocht blijven zonder de eed van trouw aan de nieuwe regering afgelegd te hebben. Zijn produktiviteit was zo enorm dat de Académie eenvoudig niet de publikatie van zijn artikelen kon bijhouden, zelfs niet in de wekelijks verschijnende Comptes Rendus. In 1826 begon hij zelfs zijn eigen tijdschrift uit te geven, de vijf delen bevatten alleen zijn eigen werk. Men zegt dat toen hij zijn eerste verhandeling over de convergentie van reeksen aan de Académie voorlegde, Laplace zo ongerust werd dat de grote man naar zijn kamer ijlde om de reeksen in zijn Mécanique céleste op hun convergentie te onderzoeken. Het schijnt dat hij geen belangrijke veranderingen hoefde aan te brengen.

Dit Parijse milieu met zijn intensieve wiskundige bedrijvigheid bracht omstreeks 1830 een genie van de eerste rang voort, dat als een komeet even snel verdween als het verschenen was. Evariste Galois, de zoon van een burgemeester van een stadje bij Parijs, trachtte tweemaal tevergeefs als student tot de Ecole Polytechnique te worden toegelaten, en toen hij het ten slotte klaarspeelde in de Ecole Normale te komen, werd hij spoedig weer weggestuurd. Hij poogde met privaatlessen in de wiskunde aan de kost te komen, waarbij hij moeite had enig evenwicht te bewaren tussen zijn hartstocht voor de wetenschap en voor de democratie. Als republi-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 207 kein nam hij met vuur aan de revolutie van 1830 deel, bracht verscheidene maanden in de gevangenis door en werd kort daarop, éénentwintig jaren oud, in een duel gedood. Twee van zijn verhandelingen, die hij ter publikatie had aangeboden, raakten zoek op de schrijftafel van de redacteur, enkele andere werden pas lang na zijn dood gepubliceerd. Op de vooravond van het fatale duel schreef hij aan een vriend een verslag van zijn ontdekkingen in de leer der vergelijkingen. Dit ontroerende en diepzinnige document, waarin hij zijn vriend verzoekt die ontdekkingen in het geval van zijn dood aan het oordeel van vooraanstaande wiskundigen te onderwerpen, eindigde met de woorden:

‘Je zult Jacobi af Gauss in het openbaar verzoeken, hun oordeel te uiten niet over de waarheid, maar over de betekenis van deze stellingen. Daarna zullen er naar ik hoop, wel enige lieden zijn die het de moeite waard vinden dit gekrabbel te ontcijferen.’

Dit gekrabbel (ce gâchis) bevatte niet meer of minder dan de groepentheorie, sleutel tot de moderne algebra en de moderne meetkunde. De idee van deze theorie komt tot op zekere hoogte al bij Lagrange en de Italiaan Ruffini voor, doch bij Galois vindt men een doordachte, scherpomlijnde groepentheorie. Hier vindt men het fundamentele begrip van de permutatiegroep die wordt bepaald door de wortels van een algebraïsche vergelijking, en die door haar samenstelling op haar beurt het karakter van de wortels bepaalt. Galois wees op de beslissende rol die invariante ondergroepen spelen bij de vorming van de resolvente. Oude en eerwaardige vraagstukken, zoals de driedeling van de hoek, de verdubbeling van de kubus zowel als de oplossing van de vergelijkingen van de derde, vierde en algemene graad, vonden hun natuurlijke plaats in de theorie van Galois. Doch zijn laatste brief is, zover wij weten, nooit aan Gauss of Jacobi ter hand gesteld. Het wiskundige publiek kreeg haar niet eerder te zien voor Liouville in 1846 een aantal verhandelingen van Galois in zijn Journal de mathématiques publiceerde. Dat was omstreeks de tijd dat ook Cauchy over groepentheorie was beginnen te schrijven (1844-'46). Nu eerst begonnen enige wiskundigen zich voor de theorieën van Galois te interesseren. Maar eerst nadat in 1870 Camille Jordans Traité des substitutions verschenen was, gevolgd door de publikaties van Klein en Sophus Lie, is de betekenis van de theorie van Galois in wiskundige kringen algemeen erkend. Thans ziet men in haar een der schitterendste resultaten der negentiende-eeuwse wiskunde, waaraan deze theorie een

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 208 groot omvattend beginsel heeft geschonken.1 Galois had ook ideeën over de integralen van algebraïsche functies van één veranderlijke; integralen die we nu naar Abel noemen. Die laten ons zien dat er verband bestaat tussen de gedachtenwereld van Galois en van Riemann. We kunnen ons afvragen of de moderne wiskunde, als Galois was blijven leven, niet haar diepste gedachten uit Parijs en de school van Lagrange in plaats van uit Göttingen en de school van Gauss had kunnen putten.

De jaren van de Romantiek zijn rijk aan geniale jongemannen, wie slechts een korte levensduur was gegund, mannen, ‘die door de Goden bemind worden’. Wij ontmoeten een ander jong genie in Niels Henrik Abel, de zoon van een Noorse dorpspredikant. Abels kort bestaan verliep bijna zo tragisch als dat van Galois. Als student in Christiania (Oslo) geloofde hij een tijdlang dat hij de vergelijking van de vijfde graad had opgelost, maar in een geschrift van 1824 verbeterde hij zijn werk. Dit geschrift is beroemd geworden, omdat hier eindelijk de onmogelijkheid werd aangetoond een algemene vergelijking van de vijfde graad met behulp van radicalen op te lossen - een vraagstuk dat de wiskundigen reeds vanaf Bombelli en Viète heel wat hoofdbrekens had gekost. Overigens bestond er reeds een bewijs van de onmogelijkheidsstelling, dat in 1799 de Italiaan Paolo Ruffini had gegeven, maar Poisson en andere wiskundigen hadden dit bewijs nooit geheel aanvaard. Nu kreeg Abel een stipendium waardoor hij met enige vrienden naar Berlijn, Italië en Frankrijk kon reizen. Maar ondanks enige prettige reisavonturen kon de jonge wiskundige, die wat schuchter en teruggetrokken was, niet slagen de nodige contacten te leggen voor zijn toekomst. Hij leed aan chronisch geldgebrek, dat hem bleef kwellen ook toen hij naar Noorwegen terugkwam en een bescheiden academisch baantje kreeg. Hij verzwakte en stierf in 1829 op zesentwintigjarige leeftijd, op een tijdstip dat de geleerde wereld juist zijn genie begon te erkennen. Abels baanbrekend werk bestrijkt vele gebieden: convergentie van reeksen, ‘Abelse’ integralen, algebraïsche vergelijkingen en elliptische functies. Zijn stellingen in de theorie der oneindige reeksen tonen dat Abel, evenals Cauchy, erin slaagde deze theorie op exacte grondslagen te construeren. ‘Kun je je iets verschrikkelijkers voorstellen dan de bewering dat 0 = 1 n - 2 n + 3 n - 4 n + etc.,

1 H. Wussing, Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes (Berlijn, 1969).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 209 waarbij n een geheel positief getal is?’ schreef hij aan een vriend en voegde eraan toe:

‘Er bestaat in de hele wiskunde nauwelijks een enkele oneindige reeks, waarvan de som op strenge wijze is bepaald’ (brief aan Holmboe, 1826).

Abels onderzoekingen over elliptische functies vonden plaats in een korte, maar spannende wedkamp met Jacobi. Gauss had in zijn persoonlijke aantekeningen al lang opgemerkt, dat de omkering van de elliptische integralen tot dubbelperiodieke functies voert, doch hij heeft zijn ideeën nooit gepubliceerd. Aan Legendre, die zoveel tijd en moeite had besteed aan elliptische integralen, schijnt dit feit geheel ontgaan te zijn en hij was diep bewogen toen hij als man op leeftijd van Jacobi's en Abels ontdekkingen op de hoogte werd gesteld. Abel, met al zijn tegenspoed, had het geluk in A.L. Crelle, een invloedrijke en vermogende constructie-ingenieur in Berlijn (hij heeft wegen gebouwd en ook de eerste spoorweg in Duitsland), een man te vinden die zijn talenten wist te waarderen. In het eerste deel van Crelles Journal für die reine und angewandte Mathematik verschenen niet minder dan vijf verhandelingen van Abel, in het tweede deel (1827) verscheen het eerste deel van Abels Recherches sur les fonctions elliptiques, waarmee de theorie der dubbelperiodieke functies begint. Wij spreken van de integraalvergelijking van Abel en over de stelling van Abel over de som van integralen van algebraïsche functies, een stelling die tot de functies van Abel voert. Commutatieve groepen heten ook Abelse groepen, een naam die erop wijst hoe nauw de gedachtenwereld van Galois en van Abel aan elkaar verwant waren. Twee jongemannen, beiden omstreeks dezelfde tijd in Parijs, beiden onbekend aan of zelfs genegeerd door de oudere geleerde heren en beiden onder tragische omstandigheden gestorven - wij schijnen een roman van Balzac te lezen.1

10.

In 1829, Abels sterfjaar, verscheen in Crelles Journal de Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum van Carl Gustav Jacob Jacobi. De auteur was een jeugdige hoogleraar aan de universiteit in Koningsbergen, toen een gedeelte van Pruisen. Hij was de zoon van een bankier in Berlijn en behoorde tot een intellectuele familie; zijn broeder Moritz, lid van de Academie in St.-Peters-

1 De levens van beide jongemannen zijn in interessante boeken beschreven, dat van Galois (in meer romantische vorm) door L. Infeld, dat van Abel (strikt biografisch) door O. Ore. Zie de literatuurlijst.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 210 burg, was de uitvinder van de galvanoplastiek en een der eersten die met elektromagnetische instrumenten experimenteerde. Jacobi studeerde in Berlijn en gaf van 1826-'43 onderwijs in Koningsbergen, waarna hij om gezondheidsredenen enige tijd in Italië doorbracht. Hij stierf in 1851, zesenveertig jaar oud, als hoogleraar in Berlijn. Hij was een geïnspireerde en liberale denker, een uitstekend docent en een wiskundige, wiens helder en oorspronkelijk denken, gepaard aan onstuimige energie, op vele gebieden der wiskunde vruchtbaar heeft gewerkt. Jacobi baseerde zijn theorie der elliptische functies op vier functies die door oneindige reeksen waren gedefinieerd en die als thètafuncties bekend zijn. De dubbelperiodieke functies sn u, cn u en dn u zijn quotiënten van thètafuncties, zij voldoen aan bepaalde identiteiten en additietheorema's die lijken op die waaraan de sinus- en cosinusfuncties der gewone goniometrie voldoen. De additietheorema's der elliptische functies kunnen ook als toepassingen van Abels stelling over de som van integralen van algebraïsche functies worden beschouwd. Nu kon men zich dus afvragen of hyperelliptische integralen ook konden worden omgekeerd zoals elliptische integralen, die tot elliptische functies leiden. In 1832 publiceerde Jacobi het antwoord, dat luidde dat zulk een omkering mogelijk was met behulp van functies van meer dan één veranderlijke. Zo ontstond de theorie der functies van Abel in p veranderlijken, een theorie die vooral in de negentiende eeuw verscheidene beoefenaars vond. Sylvester heeft aan de functionaaldeterminant de naam van Jacobi verbonden om Jacobi's werk op het gebied van de algebra en de eliminatietheorie te eren. De meest bekende verhandeling van Jacobi op dit gebied is zijn De formatione et proprietatibus determinantium (1841), waarmee de theorie der determinanten het gemeengoed der wiskundigen werd. Onze schrijfwijze van de determinanten is aan deze verhandeling ontleend, doch het begrip is ouder; dit gaat in beginsel terug op Leibniz (1693), op de Zwitserse wiskundige Gabriel Cramer (1750) en op Lagrange (1773); de naam gaat op Cauchy (1812) terug. Y. Mikami heeft erop gewezen dat de Japanse wiskundige Seki Kōwa dit begrip van de determinant voor 1683 reeds kende. Hier denkt men aan de ‘matrix’- methode, ontwikkeld door de Chinese wiskundigen van de Sung- periode, wier werk Seki goed heeft gekend.1

1 Y. Mikami, On the Japanese theory of Determinants, Isis 2 (1914) 9-36, zie ook T. Hayashi, A brief history of the Japanese Mathematics, Nieuw Archief voor Wiskunde (2) 6 (1905) 296-361, 7 (1907) 105-163, en Mikami's ‘Development of mathematics in China and Japan’ (1913) 191-199. Volgens Needham, Science and civilization in China III, 117 zegt men beter Seki Takakusu (met ziet ook Takakazu).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 211

Een uitstekende inleiding tot het werk van Jacobi krijgt men uit zijn mooie Vorlesungen über Dynamik, die in 1866 naar collegedictaten uit 1842-'43 zijn uitgegeven. Ze zijn in de traditie van de Franse school van Lagrange en Poisson geschreven, maar ze zijn vol nieuwe gedachten. Men kan hier Jacobi's onderzoekingen over partiële differentiaalvergelijkingen der dynamica vinden. Een interessant hoofdstuk van deze Vorlesungen bevat de bepaling van de geodetische lijnen op een ellipsoïde, die tot een betrekking tussen twee integralen van Abel voert.

11.

Jacobi's voordrachten over dynamica voeren ons tot een andere wiskundige wiens naam vaak met die van Jacobi verbonden wordt, tot William Rowan Hamilton (die men niet met zijn tijdgenoot, de Schotse wijsgeer uit Edinburgh, William Hamilton, moet verwarren). W.R. Hamilton was de zoon van een advocaat in Dublin, die als kind met zijn ouders uit Schotland was gekomen. Hij bezocht Trinity College in zijn geboortestad Dublin, waar hij in 1827, tweeëntwintig jaar oud, professor in de sterrenkunde werd en kort daarop ‘Astronomer Royal’ voor Ierland. Deze positie behield hij tot het einde van zijn leven, in 1865. Als knaap leerde hij de wiskunde van het continent, nog steeds iets bijzonders in het Verenigd Koninkrijk, door de studie van Clairaut en Laplace en bewees door zijn originele verhandelingen over optica en dynamica dat hij deze nieuwe wiskunde beheerste. Zijn theorie van de lichtstralen (1824) was veel meer dan alleen een differentiaalmeetkunde van lijnencongruenties, ze was tevens een theorie van optische instrumenten, die het Hamilton mogelijk maakte de zgn. conische refractie in tweeassige kristallen te voorspellen. Ze werd in 1832 door een van Hamiltons collega's experimenteel geverifieerd. In de verhandeling van 1824 treedt Hamiltons ‘karakteristieke functie’ op, die het grondmotief werd van zijn General Method in Dynamics van 1834-'35. De hoofdgedachte in deze methode was: optica en dynamica tezamen uit een enkel algemeen beginsel af te leiden. Euler had in zijn verdediging van Maupertuis er reeds op gewezen hoe men de stationaire waarde van de actie-integraal voor dit doel kon gebruiken. En zo toonde Hamilton aan, dat lichttheorie en dynamica twee verschillende manieren zijn om een bepaald variatieprobleem te bekijken. Hij vroeg naar de stationaire waar-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 212 de van een zekere integraal en beschouwde die als functie van haar grenzen. Dit was de ‘karakteristieke functie’, die voldoet aan twee partiële differentiaalvergelijkingen. Een dezer vergelijkingen, die gewoonlijk

wordt geschreven, werd door Jacobi speciaal uitverkoren voor zijn theorie der dynamica en is nu bekend als de vergelijking van Hamilton-Jacobi. Hierdoor is de betekenis van Hamiltons karakteristieke functie een beetje in het vergeetboek geraakt, ofschoon het juist die functie was die de eenheid van mechanica en mathematische fysica had moeten teweegbrengen. Zo werd ze in 1895 door de astronoom Heinrich Bruns in de geometrische optica herontdekt, en als ‘eikonal’ treffen we haar aan in de theorie der optische instrumenten.1 Het deel van Hamiltons werk over dynamica dat gemeengoed van alle wiskundigen en theoretische fysici is geworden, bevat allereerst de theorie der ‘kanonische’ vorm q̇ = ∂H/∂p, ṗ = -∂H/∂q, waarin Hamilton de vergelijkingen der dynamica schreef. Sophus Lie heeft dan later aangetoond hoe kanonische vorm en differentiaalvergelijking van Hamilton-Jacobi de overgang van de dynamica naar de contacttransformaties vormen. Deze ideeën van Hamilton, de wetten der theoretische fysica en der mechanica uit de variatie van een integraal af te leiden, hebben doorgewerkt, zodat ze ook in de relativiteitstheorie en de quantummechanica een fundamentele rol hebben vervuld. Men ontmoet ook hier steeds weer de ‘functies van Hamilton’. Het jaar 1843 was een keerpunt in het leven van de koninklijke astronoom van Dublin. In dit jaar ontdekte hij de quaternionen, waaraan hij een belangrijk deel van zijn latere leven wijdde. Wij komen hier nog op terug.

12.

Peter Gustav Lejeune-Dirichlet stond zowel met Gauss en Jacobi als met de Franse wiskundigen in nauw verband. Van 1822-'27 woonde hij als gouverneur in Parijs, en ontmoette in het huis van zijn patroon bekende Franse geleerden, onder wie Fourier, wiens warmteleer hij bestudeerde. Ook drong hij diep door in de gedachtenwereld van Gauss' Disquisitiones arithmeticae. Na zijn

1 Vgl. M. Herzberger, Geschichtlicher Abriss der Strahlenoptik. Zeitschrift für Instrumentenkunde 52 (1932) 429-435, 485-493, 534-542.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 213 terugkeer naar Duitsland werd hij privaatdocent, eerst in Breslau, daarna in Berlijn, waar hij professor werd, en in 1855 volgde hij Gauss in Göttingen op; hij stierf reeds in 1859. Zijn persoonlijke bekendheid met de Franse zowel als met de Duitse wiskunde maakte het hem bijzonder goed mogelijk om zowel Gauss' getallentheorie als Fouriers reeksen te interpreteren. Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie (gepubl. 1863) zijn nog steeds een der beste inleidingen tot Gauss' onderzoekingen in de leer der getallen, en bevatten ook vele nieuwe resultaten. In een verhandeling van 1840 liet hij zien hoe men de theorie der analytische functies in haar volle omvang op de getallentheorie kon toepassen; het was in deze onderzoekingen dat hij de ‘reeksen van Dirichlet’ invoerde. Hij generaliseerde ook het begrip van kwadratische irrationaliteiten tot dat van algemene algebraïsche rationaliteitsgebieden. Dirichlet was de eerste die een streng convergentiebewijs gaf voor Fourier-reeksen. Dit was ook een bijdrage tot het probleem: de aard van een functie juist te begrijpen.1 Hij voerde in de variatierekening het zgn. beginsel van Dirichlet in, waarbij het 2 2 2 bestaan van een functie v, die de integraal ∫[vx + vy + vz ]dt onder gegeven randvoorwaarden tot een minimum maakt, wordt gepostuleerd. Dit beginsel was een wijziging van een principe dat Gauss in zijn potentiaalthesis van 1839-'40 had ingevoerd, en later werd het door Riemann gebruikt als een uitnemend hulpmiddel om vraagstukken in de potentiaaltheorie op te lossen. Wij hebben reeds vermeld dat de geldigheid van dit beginsel later door Hilbert streng werd bewezen.2

13.

Met Bernhard Riemann, Dirichlets opvolger in Göttingen, komen we tot de man die misschien meer dan enige andere man van wetenschap de loop van de moderne wiskunde heeft beïnvloed. Hij was de zoon van een plattelandspredikant en studeerde aan de universiteit in Göttingen, waar hij in 1851 promoveerde. In 1854 werd hij privaatdocent, in 1859 hoogleraar aan dezelfde universiteit. Evenals Abel had hij last van een zwakke gezondheid; zijn laatste dagen bracht hij in Italië door, waar hij in 1866 op veertigjarige leeftijd stierf. In dit korte leven publiceerde hij slechts een betrekkelijk klein aantal verhandelingen, maar iedere publikatie van zijn hand was - en is - belangrijk, en sommige van deze publikaties hebben nieuwe en vruchtbare gebieden opengelegd.

1 A.E. Monna, The Concept of Function in the 19th and 20th Centuries, AHES 9 (1972) 51-84. 2 A.E. Monna, Dirichlet's Principle (Utrecht, 1975).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 214

In 1851 verscheen Riemanns proefschrift over de theorie der complexe functies u + iv = f(x + iy). Evenals D'Alembert en Cauchy vóór hem was hij door hydrodynamische beschouwingen beïnvloed. Hij beeldde het (xy)-vlak conform af op het (uv)-vlak en liet zien dat een functie bestond die een willekeurig enkelvoudig samenhangend gebied in het ene vlak in een enkelvoudig samenhangend gebied van het andere vlak, b.v. de eenheidscirkel, transformeert. Dit bracht hem tot het begrip Riemann-oppervlak en zo werden in de analyse topologische beschouwingen ingevoerd. Topologie was in die dagen nog een bijna maagdelijk terrein, waaraan J.B. Listing in 1847 een artikel in de Göttinger Studien had gewijd - Euler had het onderwerp alreeds eenmaal aangesneden in een artikel over het probleem van de zeven bruggen van Koningsbergen.1 Riemann liet zien hoe gewichtig deze topologische beschouwingen in de theorie der complexe functies zijn. In dit proefschrift werd ook het begrip analytische functie verduidelijkt: haar reële en haar imaginaire doel moeten in een bepaald gebied aan de zgn. vergelijkingen van Cauchy en Riemann, ux = vy, uy = - vx, voldoen, en verder aan zekere voorwaarden met betrekking tot de rand en singulariteiten. Riemann paste zijn ideeën toe op hypergeometrische functies en op functies van Abel (1857), waarbij hij vrij gebruik maakte van het beginsel van Dirichlet (zo noemde hij het). Hierbij ontdekte hij het geslacht van een oppervlak van Riemann als een topologische invariante, waarmee hij o.a. de functies van Abel kon classificeren. In een verhandeling, na zijn dood (1867) gedrukt, paste hij zijn ideeën op minimaaloppervlakken toe. Tot dit gedeelte van Riemanns werkzaamheid behoren ook zijn onderzoekingen over elliptische modulaire functies, thètareeksen in p veranderlijken en lineaire differentiaalvergelijkingen met algebraïsche coëfficiënten. Bij zijn toelating tot privaatdocent bood Riemann niet minder dan twee gewichtige verhandelingen aan, de ene over trigonometrische reeksen en de grondslagen van de analyse, de andere over de grondslagen van de meetkunde. In de eerste verhandeling onderzocht Riemann de voorwaarden van Dirichlet voor de convergentie van Fourier-reeksen. Een van die voorwaarden was de ‘integreerbaarheid’ van de functie. Maar wat is de betekenis van het ‘bestaan’ van een integraal? Cauchy en Dirichlet hadden deze

1 Uit deze eerste tijd dateren ook de voor de topologie belangrijke wetten van Kirchhoff (1846-49) en het werk van Möbius en Listing over eenzijdige oppervlakken (1858).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 215 vraag reeds op hun manier beantwoord. Riemann verving hun definities door een nieuwe, die meer omvattend was en die wij kennen als de definitie van de ‘Riemann-integraal’. Eerst in de twintigste eeuw bleek dat het voor vele doeleinden beter was, deze integraal te vervangen door de Lebesgue-integraal (1902). Riemann bewees verder dat functies, door Fourier-reeksen gedefinieerd, zeer goed in het bezit kunnen zijn van een oneindig aantal maxima en minima, iets dat wiskundigen van een oudere school niet in een functie zouden hebben aanvaard. Het begrip ‘functie’ begon zich nu toch wel zeer los te maken van dat van de curva quaecumque libero manus ductu descripta van Euler.1 In zijn colleges gaf Riemann een voorbeeld van een continue functie zonder afgeleiden; in 1875 werd een voorbeeld van zulk een functie, door Weierstrass ontdekt, gepubliceerd. In die dagen weigerden de meeste wiskundigen om zulke functies au sérieux te nemen, ze spraken van ‘pathologische’ functies. De moderne analyse heeft aangetoond hoe fundamenteel zulke functies zijn, zodat Riemann ook hier de vinger heeft gelegd op een belangrijk wiskundig verschijnsel. De andere verhandeling van 1854 is een onderzoek naar de hypothesen die aan de meetkunde ten grondslag liggen. Riemann voerde de ruimte in als een topologische uitgebreidheid van een willekeurig aantal afmetingen, in zulk een uitgebreidheid werden de metrische eigenschappen ingevoerd door middel van een kwadratische differentiaalvorm, zodat in het oneindig kleine de betrekkingen euklidisch waren. Waar Riemann, in zijn analyse, een complexe functie had gedefinieerd door haar lokale gedrag, zo bepaalde hij in deze verhandeling over de meetkunde het karakter van de ruimte op dezelfde manier. Zo kon Riemann niet alleen de verschillende vormen, die de meetkunde had aangenomen, als een eenheid overzien, zelfs de nog tamelijk onbekende en ongewaardeerde niet-euklidische meetkunde, doch hij kon ook een onbepaald aantal nieuwe ruimtevormen scheppen. Verscheidene van deze ruimtevormen hebben sedert Riemanns tijd een bruikbare plaats gevonden in de meetkunde of in de mathematische fysica en speciaal in Einsteins relativiteitstheorie. Deze verhandeling bevatte nauwelijks een enkele formule, ze was zuiver beschrijvend, hetgeen de bestudering ervan geenszins vergemakkelijkte. Later verschenen sommige der bijbehorende formules in het antwoord op

1 De een of andere kromme met de vrije hand beschreven (Institutiones Calculi Integralis III § 301).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 216 een prijsvraag over het warmtetransport in vaste lichamen, uitgeschreven door de Académie in Parijs (1861). Wij vinden hier een schets van de transformatietheorie der kwadratische vormen en ze bevat tevens de uitdrukkingen die later bekend zijn geworden als de componenten van de krommingstensor. De laatste verhandeling van Riemann die we willen vermelden bevat zijn onderzoek naar het aantal priemgetallen F(n) minder dan een gegeven geheel getal n (1859). n -1 Gauss had reeds aangegeven dat F(n) tot de logaritmische integraal ʃ 2(log t) dt nadert. Riemann onderzocht Gauss' ontdekking met complexe getallen en kwam tot bepaalde conclusies door een hypothese op te stellen die sedert die tijd heel beroemd is geworden en door vele wiskundigen als een uitdaging is - en wordt - beschouwd. Deze hypothese houdt in dat de zgn. zètafunctie van Euler ζ(s) die bij Euler voorkomt voor s geheel positief als ζ(s) = 1/1 s + 1/2 s + 1/3 s + ... + 1/ns + ..., nu als functie van complexe s = x + iy beschouwd alle niet-reële nulpunten op de lijn x = ½ heeft (de notatie ζ(s) is van Riemann). Deze hypothese is tot nu toe noch bewezen noch weerlegd, ondanks veel waardevol onderzoek.1

14.

Men heeft vaak Riemanns opvatting van een complexe functie vergeleken met die van Weierstrass. Karl Weierstrass doceerde vele jaren als wiskundeleraar aan een Pruisisch gymnasium en werd in 1856 hoogleraar in de wiskunde aan de universiteit van Berlijn waar hij dertig jaar onderwijs gaf. Zijn steeds voorbeeldig voorbereide colleges genoten een steeds groter wordende beroemdheid; het is vooral door die colleges dat Weierstrass' ideeën diep in het tegenwoordige wiskundige bewustzijn zijn binnengedrongen. Gedurende zijn gymnasiale periode schreef Weierstrass verscheidene verhandelingen over hyperelliptische integralen, functies van Abel, en algebraïsche differentiaalvergelijkingen. Zijn meest bekende bijdrage is zijn gebruik van de machtreeks als grondslag voor de leer der complexe functies. In zekere zin was dit

1 R. Courant, Bernhard Riemann und die Mathematik der letzten hundert Jahre. (Die Naturwissenschaften 14 (1926) 813-818). Zie ook het uitvoerige artikel van H. Freudenthal, DSB XI (1975) 447-456, met literatuur.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 217 een terugkeer tot de opvattingen van Lagrange, met het verschil dat Weierstrass in het complexe vak en met volkomen strengheid werkte. De waarden van de machtreeks binnen haar convergentiecirkel vormden het ‘functie-element’, waarbuiten dan, zo mogelijk, de functie over het vlak wordt uitgebreid door zgn. analytische voortzetting. In het bijzonder onderzocht Weierstrass gehele functies en functies door oneindige produkten gedefinieerd. Zijn functie ℘ (u) heeft naast de oudere functies sn u, en u en dn u van Jacobi een blijvende plaats in de leer der elliptische functies ingenomen. De roem van Weierstrass is in de eerste plaats gebaseerd op zijn uiterst verzorgde redenering, op de ‘strengheid van Weierstrass’, niet alleen in zijn leer der reële en complexe functies, doch ook in zijn variatierekening. Hij verhelderde de begrippen van het minimum, van de functie, van de afgeleide, en bevrijdde op deze wijze de differentiaalen integraalrekening van verscheidene overblijfsels van de oude vaagheid die nog uit de tijd van Newton en Leibniz dateerden. Hij was bij uitstek het wiskundige geweten, methodisch en logisch. Zo kwam hij ook op het begrip uniforme convergentie. Met hem begon de reductie van de beginselen der analyse tot rekenkundige begrippen die we de arithmetisering der wiskunde noemen.

‘Als heden in het volgen van bewijsredenen, die op het begrip irrationaal getal en limiet in het algemeen berusten, in de analyse volmaakte eensgezindheid en zekerheid bestaat, en in de meest ingewikkelde vragen die de theorie der differentiaalen integraalrekening betreffen, toch overeenstemming over alle resultaten bestaat, ondanks de meest gedurfde en verschillende combinaties met gebruik van super-, juxta- en transpositie van limieten - dan is dit in principe een verdienste van de wetenschappelijke activiteit van Weierstrass.1

15.

Deze arithmetisering was een karaktertrek van de zogenaamde Berlijnse school, en in het bijzonder van Leopold Kronecker. Tot deze school behoorden wiskundigen als Kronecker, Kummer en Frobenius, die uitblonken in algebra en in de theorie van algebraische getallen. Wij kunnen in zekere zin tezamen met hen Dedekind en Cantor noemen. Ernst Kummer werd in 1855 als opvolger van Dirichlet naar Berlijn beroepen, waar hij tot 1883 doceerde; daarna gaf hij vrijwillig zijn wiskundig werk op, omdat hij voelde

1 D. Hilbert, Über das Unendliche. Mathem. Annalen 95 (1926) 161-190, Franse vertaling: Acta Mathematica 48 (1926) 91-122.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 218 dat zijn scheppende kracht af zou nemen. Kummer ontwikkelde de differentiaalmeetkunde van de lijnencongruenties, die door Hamilton was begonnen, hetgeen hem o.a. bracht tot het vierdegraadsoppervlak met zestien knooppunten dat zijn naam draagt. Zijn beroemdheid heeft hij eveneens te danken aan de ‘ideale’ getallen in zijn theorie van de algebraïsche rationaliteitsgebieden (1846). Deze theorie dankt haar ontstaan ten dele aan Kummers pogingen het grote theorema van Fermat (xn + yn = zn onmogelijk voor positief gehele x, y, z, n > 2) te bewijzen en ten dele aan Gauss' theorie der kwadraatresten, waarin hij in het gebied der complexe getallen het begrip priemgetallen had ingevoerd. Kummers ‘ideale’ getallen maakten het mogelijk eenduidige ontbinding van getallen in priemfactoren binnen algemenere rationaliteitsgebieden in te voeren. Met deze nieuwe begrippen kon men nu diep in de rekenkunde van de algebraïsche getallen doordringen, hetgeen tot ontdekkingen voerde die David Hilbert in 1897 voor de Deutsche Mathematische Gesellschaft op meesterlijke wijze heeft samengevat. De theorie van Richard Dedekind en Heinrich Weber, die de theorie der algebraïsche functies en die der algebraïsche getallen in bepaalde rationaliteitsgebieden op elkaar betrokken (1882), waren een voorbeeld van de vruchtbaarheid van Kummers ideeën in de arithmetisering van de wiskunde. Leopold Kronecker, die op het gymnasium door zijn leraar Kummer de liefde voor de wiskunde was bijgebracht, vestigde zich na enige omzwervingen in 1855 te Berlijn, waar hij jarenlang zonder een formele leerstoel doceerde. Hij aanvaardde die eerst in 1883 toen zijn oude leermeester Kummer aftrad. Kroneckers voornaamste verhandelingen betreffen elliptische functies, ideaaltheorie en de aritmetica van kwadratische vormen; zijn gepubliceerde voordrachten over getallentheorie zijn zorgvuldige uitwerkingen van zijn eigen en van voorafgaande ontdekkingen en laten duidelijk zien hoe hij geloofde in de noodzakelijkheid de wiskunde te aritmetiseren. Deze overtuiging was een gevolg van zijn zoeken naar strenge bewijzen; en zo geloofde hij dat de wiskunde op het getal als grondslag moest worden opgebouwd, en het getal zelf weer op het natuurlijke getal. Zo moest het getal π niet, zoals gewoonlijk het geval was, meetkundig worden ingevoerd; het was beter met de reeks 1 - ⅓ + ⅕ - 1/7 + etc. te beginnen, dus met een betrekking van gehele getallen. Hetzelfde doel kon worden bereikt met bepaalde oneindige produkten voor π. Kroneckers streven alles wat wiskundig was op de getallenleer terug te voeren, wordt belicht door zijn bekende uitspraak tijdens een vergadering in Ber-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 219 lijn in 1886: ‘De gehele getallen zijn door de goede God gemaakt, al het andere is mensenwerk’.1 Hij aanvaardde een definitie van een mathematisch begrip alleen als het in een eindig aantal stappen kon worden geverifieerd. Op die manier loste hij de moeilijkheid van het actueel oneindige op door te weigeren het te aanvaarden. Plato's leuze dat God altijd ‘geometriseert’ werd in Kroneckers school vervangen door de leuze dat God altijd ‘arithmetiseert’. Kroneckers beschouwingen over het actueel oneindige stonden in scherp contrast tot die van Dedekind en vooral die van Cantor. Richard Dedekind, éénendertig jaar lang professor aan de Technische Hogeschool in Brunswijk, schiep een strenge theorie van het irrationale getal. In twee boekjes, Stetigkeit und Irrationalzahlen (1872) en Was sind und was sollen die Zahlen (1882) volbracht hij voor de moderne wiskunde met haar aritmetisering wat Eudoxos had gedaan voor de Griekse wiskunde met haar geometrisering. Er is, met alle verschil, een zekere overeenkomst tussen de ‘snede van Dedekind’, waarmee de moderne wiskunde (met uitzondering van de school van Kronecker) het irrationale getal postuleert en de antieke theorie van Eudoxos zoals we die uit het vijfde boek van Euklides' Elementen kennen. Cantor en Weierstrass gaven rekenkundige definities van irrationale getallen die enigszins van die van Dedekind verschilden, doch op hetzelfde beginsel berustten. De grootste ketter in Kroneckers ogen was echter Georg Cantor. Cantor, die van 1869 tot 1905 in Halle doceerde, heeft zijn beroemdheid niet zozeer aan zijn theorie van het irrationale getal, maar aan zijn theorie der oneindige verzamelingen (‘Mengenlehre’) te danken. Met deze theorie ontsloot Cantor een geheel nieuw wiskundig gebied, dat, als eenmaal de grondbeginselen worden aanvaard, aan de hoogste eisen van strengheid voldoet. Cantors publikaties begonnen in 1870 en volgden elkaar regelmatig op; in 1883 verschenen zijn Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. In deze verhandeling schiep hij een theorie van transfiniete kardinaalgetallen die voortvloeide uit een systematische wiskundige behandeling ,aleph) noemde) א van het actueel oneindige. Het laagste transfiniete getal, dat hij gaf hij aan een verzameling zoals die der gehele getallen, dus een zgn. aftelbare verzameling. Aan het continuüm kende hij een hoger transfiniet getal toe, omdat het onmogelijk is een een-eenduidige afbeelding van een aftelbare verzameling op de punten van het continuüm te con-

1 Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles Andere ist Menschenwerk.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 220 strueren. Zo was het mogelijk een arithmetica van transfiniete getallen te scheppen. Cantor definieerde ook transfiniete ordinaalgetallen, die samenhingen met de wijze waarop oneindige verzamelingen geordend zijn. In deze ontdekkingen gelukte het Cantor een wiskundige grondslag te geven aan vele oude scholastieke speculaties over de natuur van het oneindige en hij was zich van dit resultaat wel bewust. Hij verdedigde Augustinus' volkomen aanvaarding van het actueel oneindige (in een theologische vorm)1, maar moest zich zelf verdedigen tegen de oppositie van vele zijner collega's die weigerden het oneindige te aanvaarden behalve als een proces gesymboliseerd door het teken ∞. Cantors voornaamste tegenstander was Kronecker, die in hetzelfde proces van de arithmetisering der wiskunde een geheel tegenovergestelde richting vertegenwoordigde. Tenslotte gelukte het Cantor zijn inzichten door de meeste wiskundigen aanvaard te zien, vooral toen de enorme betekenis van de leer der verzamelingen voor de theorie der reële functies en de topologie werd beseft. Dit werd vooral duidelijk nadat H. Lebesgue in 1902 de theorie van Cantor verrijkt had met zijn maattheorie. Er bleven echter logische moeilijkheden in de theorie der transfiniete getallen die tot paradoxen aanleiding gaven, zoals die van Burali Forti en Bertrand Russell. Dit leidde weer tot scholen, wier opvattingen over de grondslagen der wiskunde scherpe verschillen vertoonden - en nog vertonen. De strijd in de twintigste eeuw tussen logistici, formalisten en intuïtionisten is een vervolg op de strijd tussen Cantor en Kronecker, maar op een nieuw niveau.2

16.

Deze merkwaardige ontwikkelingen in de algebra en analyse gingen samen met even merkwaardige ontwikkelingen in de meetkunde. Als uitgangspunt kunnen wij het onderwijs van Monge nemen, omdat deze zowel het ‘synthetische’ als het ‘algebraïsche’ element in de meetkunde had doen uitkomen. In het werk van zijn leerlingen zien wij een splitsing van beide methoden, die ieder een eigen weg gaan: de ‘synthetische’ methode voert naar de projectieve meetkunde, de ‘algebraïsche’ naar onze moderne analytische en algebraïsche meetkunde. De projectieve meetkunde begon als een zelfstandige wetenschap met Poncelets boek van 1822. Er waren prioriteitskibbelarijen, zoals zo vaak ontstaan als iets belangrijks

1 Zie de voetnoot bij Augustinus, hoofdstuk V, p. 112. 2 Zie b.v. M. Black, The Nature of Mathematics (New York, 1934), ook E.N.S.I.E. Encyclopedie IV (Amsterdam 1949) 14-16.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 221 wordt ontdekt: en hier was het Joseph Gergonne, professor in Montpellier, die als rivaal van Poncelet optrad. Gergonne publiceerde verscheidene belangrijke artikelen over onderwerpen uit de projectieve en analytische meetkunde, waarin hij o.a. gelijktijdig met Poncelet het begrip dualiteit ontwikkelde. Artikelen hierover verschenen in de Annales de mathématiques, het eerste tijdschrift dat geheel aan de wiskunde gewijd was en waarvan Gergonne redacteur was; het verscheen van 1810 tot 1831. Reeds in 1806 had Monges leerling Charles Julien Brianchon dit dualiteitsbeginsel toegepast op Pascals zeshoek, ingeschreven in een kegelsnede en op die manier de duale stelling over een omgeschreven zeshoek met zijn ‘punt van Brianchon’ verkregen. In 1836 werden de Annales voortgezet door Liouvilles Journal de mathématiques pures et appliquées, titel in navolging van die van Crelles Journal (dan van 1826 af was verschenen). Voor Poncelets manier van denken is ook een ander beginsel karakteristiek, het beginsel der continuïteit. Dit beginsel, dat het hem mogelijk maakte uit de eigenschappen van de ene figuur die van een andere af te leiden, formuleerde hij als volgt:

Wanneer een figuur uit een andere figuur door een continue verandering kan worden voortgebracht, en even algemeen is als de eerste, dan kan een eigenschap die voor de eerste figuur bewezen is zonder meer naar de tweede worden overgebracht.

Dit was een beginsel dat wel met de grootste voorzichtigheid moest worden behandeld, want het liet aan nauwkeurige formulering veel te wensen over. Eerst met de hulpmiddelen van de moderne algebra heeft men het scherper kunnen omschrijven. Gehanteerd door Poncelet en zijn school leidde het tot belangwekkende, nieuwe en juiste resultaten, zelfs als het werd toegepast op veranderingen van het reële naar het imaginaire gebied. Zo werd Poncelet ertoe gebracht te verklaren dat alle cirkels in het vlak ‘twee imaginaire punten in het oneindige’ gemeen hadden, hetgeen ook de invoering betekende van de ‘lijn in het oneindige’ van het vlak. Hier, en op andere plaatsen, nam hij dus de gedachtengang weer op die Desargues in de zeventiende eeuw had geschetst, doch die niet meer verder was gevolgd. Wat de lijn in het oneindige betreft, G.H. Hardy heeft opgemerkt dat met dit begrip de projectieve meetkunde niet geaarzeld heeft het actueel oneindige te aanvaarden.1 De analisten bleven in dit opzicht verdeeld.

1 G.H. Hardy, A Course of Pure Mathematics (Cambridge, 6e uitg. 1933), Appendix IV.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 222

Poncelets ideeën werden verder ontwikkeld door Duitse meet-kundigen. In 1826 verscheen de eerste publikatie van Steiner, in 1827 Der barycentrische Calcul van Möbius, in 1828 het eerste deel van Plückers Analytisch-geometrische Entwicklungen. In 1831 verscheen het tweede deel, in 1832 gevolgd door Steiners Systematische Entwicklung. Het laatste van deze Duitse pionierswerken op het gebied van deze meetkunde verscheen in 1847 met de axiomatische Geometrie der Lage van Von Staudt. Wij vinden onder deze Duitse meetkundigen zowel vertegenwoordigers van de synthetische als de algebràïsche opvatting. De typische vertegenwoordiger van de synthetische (of ‘zuivere’) meetkundige school was Jakob Steiner, een Zwitserse boerenzoon, een ‘Hirtenknabe’, self-made, wiens geestdrift voor de meetkunde werd gewekt toen hij kennis maakte met de opvoedkundige ideeën van Pestalozzi. Hij besloot naar Heidelberg te gaan om te studeren en gaf later onderwijs in Berlijn, waar hij van 1834 tot aan zijn dood in 1863 een leerstoel aan de universiteit bezat. Steiner was een meetkundige door-en-door, hij verafschuwde het gebruik van algebra en analyse zozeer dat hij zelfs bezwaar had tegen figuren als hulp bij het zuiver meetkundig denken.1 Dit, zo dacht hij, kon het best geschieden door geconcentreerd denken. Dit was zeker het geval met Steiner zelf, wiens denken onze meetkunde met een groot aantal mooie en soms ingewikkelde theorema's heeft verrijkt. Zo hebben wij aan hem de ontdekking van het zgn. Romeinse oppervlak (of oppervlak van Steiner) te danken, dat een tweevoudige oneindigheid van kegelsneden bevat. Hij publiceerde zijn stellingen vaak zonder bewijs, hetgeen zijn verzamelde werken tot een goudmijn heeft gemaakt voor meetkundigen op zoek naar vraagstukken die nog bewezen moeten worden. Steiner bouwde de projectieve meetkunde streng systematisch op, van perspectiviteit tot projectiviteit en vandaar tot de kegelsneden. Daarnaast was hij ook in isoperimetrische vraagstukken geïnteresseerd, waarvan hij er een aantal op zijn eigen karakteristieke meetkundige manier oploste. Zijn bewijs van 1836, dat de cirkel van alle gesloten krommen met gegeven omtrek het grootste oppervlak heeft, werd geleverd door aan te tonen dat iedere figuur van dien aard die niet een cirkel is, kan worden veranderd in een andere figuur met dezelfde omtrek doch groter oppervlak. In zijn

1 Dit doet denken aan N.L.W.A. Gravelaar, wiskundeleraar in Deventer (1851-1913), van wie verteld werd dat hij geloofde dat men het best de meetkunde kon doceren in een donker vertrek.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 223 conclusie dat daarom de cirkel het maximum voorstelde, miste hij een schakel, namelijk het bewijs dat een maximum werkelijk bestaat. Dit heeft Dirichlet aan Steiner trachten duidelijk te maken, doch eerst Weierstrass heeft het strenge bewijs geleverd.1 Steiner had nog een metriek nodig om de dubbelverhouding van vier punten op een rechte lijn of van vier lijnen door een punt in een vlak te definiëren. Dit was geen zuivere projectieve meetkunde. Deze tekortkoming werd door Christian von Staudt, vele jaren lang hoogleraar in Erlangen, verbeterd. In zijn Geometrie der Lage (1847) definieerde hij de Wurf Van vier punten op een rechte op zuiver projectieve wijze, en toonde dan aan dat deze Wurf met de dubbelverhouding geïdentificeerd kan worden. Hiervoor gebruikte hij de zgn. netconstructie van Möbius, die tot axiomatische beschouwingen leidt die in verband staan met de snede van Dedekind als men irrationale waarden van projectieve coördinaten wil invoeren. In 1857 liet Von Staudt zien hoe men op strenge wijze imaginaire elementen in de meetkunde kan invoeren als dubbelelementen van elliptische involuties.2 Op deze grondslagen, door Poncelet, Steiner en Von Staudt gelegd, werd in de volgende jaren een uitgebreide synthetische meetkunde opgebouwd, die dan in tekstboeken werd vastgelegd. Een der meest invloedrijke van deze boeken was de standaardtekst van K.T. Reye, de Geometrie der Lage (1868, 3e uitg. 1886-92). Er bestaan ook Nederlandse leerboeken.3

17.

Vertegenwoordigers van de algebraïsche richting in de meetkunde waren Möbius en Plücker in Duitsland, Chasles in Frankrijk en Cayley in Engeland. August Ferdinand Möbius, gedurende meer dan vijftig jaren waarnemer, later directeur van de sterrenwacht in Leipzig, was een veelzijdige geleerde. In zijn boek Der barycentrische Calcül (1827) was hij de eerste die homogene coördinaten invoerde. Wanneer in de hoekpunten van een vaste driehoek de massa's m1, m2, m3 worden geplaatst, gaf Möbius aan het

1 W. Blaschke, Kreis und Kugel (Leipzig 1916) 1-12. 2 H. Freudenthal, The Impact of Von Staudt's Foundations of Geometry, in For Dirk Struik (Reidel, 1974), 189-200. 3 Vele historische bijzonderheden over deze meetkundigen vindt men in H. de Vries, Historische Studiën, tussen 1923 en 1954 in het Nieuw Tijdschrift van Wiskunde en enige andere tijdschriften gepubliceerd. Zie N.T.v. Wisk (1953) 298-299. De meeste van deze studiën zijn ook in boekvorm uitgegeven (2 delen).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 224

zwaartepunt (barycentrum) deze massa's de homogene coördinaten m1 : m2 : m3. Deze coördinaten bleken dan zeer geschikt te zijn om niet alleen projectieve, doch ook affiene eigenschappen van het vlak af te leiden - het woord ‘affiniteit’ ontleende Möbius aan Euler. Zo werden homogene coördinaten in de loop der jaren het algemeen aanvaarde hulpmiddel voor de algebraïsche behandeling der projectieve meetkunde. Möbius, die evenals zijn tijdgenoot Von Staudt, een rustig en tamelijk geïsoleerd geleerdenleven leidde, kwam tot menige belangrijke ontdekking, zoals die van het nulsysteem in de leer der lijnencongruenties, die men in zijn boek over statica van 1837 vindt. De tegenwoordig zo bekende band van Möbius, een eerste voorbeeld van een eenzijdig (niet oriënteerbaar) oppervlak, herinnert ons aan het feit dat Möbius ook zijn aandeel heeft aan de grondlegging der topologie. Julius Plücker, die jarenlang in Bonn doceerde, was niet alleen een meetkundige, doch ook een experimenteel fysicus. Hij deed een reeks ontdekkingen omtrent het magnetisme van kristallen, over elektriciteitsgeleiding in gassen (hij ontdekte de kathodestralen) en in de spectroscopie. In een aantal verhandelingen en boeken, speciaal de Neue Geometrie des Raumes (1868/'69) bouwde hij een analytische meetkunde op met behulp van vele nieuwe ideeën. In het bijzonder demonstreerde Plücker de voordelen van een afgekorte notatie, waarin b.v. C1 + λC2 = 0 een bundel kegelsneden kan voorstellen die door de snijpunten van de kegelsneden C1 = 0 en C2 = 0 gaan. Zo leerde hij eigenschappen van de figuur uit de constructie van hun vergelijkingen af te lezen. In dit boek van 1868/'69 voerde Plücker homogene coördinaten als ‘projectieve’ coördinaten in met betrekking tot een fundamenteel viervlak en formuleerde ook het belangrijke beginsel dat de meetkunde niet noodzakelijk op het punt als primair element behoeft te worden opgebouwd, lijnen, vlakken, cirkels, bollen, enz. kunnen ook als zodanig in het vlak of in de ruimte en als de grondslag van bepaalde meetkunden worden ingevoerd. Deze vruchtbare gedachte wierp nieuw licht op de synthetische en op de algebraïsche meetkunde en schiep nieuwe vormen van dualiteit. De dimensie van een bepaalde meetkunde kon een willekeurig positief getal zijn, dat gelijk is aan het aantal parameters waarvan het primaire element afhangt. Plücker publiceerde ook een algemene theorie van algebraïsche krommen in het platte vlak, waarin hij de ‘relaties van Plücker’ tussen het aantal der verschillende singulariteiten afleidde (1834, 1839). Michel Chasles, gedurende een lange tijd de leidende meetkun-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 225 dige in Frankrijk, was een leerling van de Ecole Polytechnique in de latere jaren van Monge. Hier werd hij in 1841 tot hoogleraar benoemd. In 1846 aanvaardde hij de speciaal voor hem ingestelde leerstoel in de hogere meetkunde aan de Sorbonne en gaf daar jarenlang onderwijs. Er is een zekere overeenkomst tussen het werk van Plücker en van Chasles, vooral in hun bedrevenheid om uit de vorm van de vergelijkingen een maximum aantal meetkundige stellingen te halen. Zo vindt men bij Chasles een handig manipuleren met isotrope lijnen (asymptoten van de cirkel) en oneindig verre cirkelpunten. Chasles nam van Poncelet het gebruik van zgn. ‘aftellende’ methoden over, en onder zijn behandeling ontwikkelden deze methoden zich tot een nieuw meetkundig gebied, de zgn. ‘aftellende’ meetkunde. Dit gebied werd later door Hermann Schubert in zijn Kalkül der abzählenden Geometrie (1879), gevolgd door H.G. Zeuthens Abzählende Methoden (1914), systematisch onderzocht. Beide boeken openbaren zowel de sterke als de zwakke punten van deze vorm van algebra in meetkundige taal. Haar aanvankelijk succes riep een tegenstroming in het leven, waaraan o.a. E. Study leiding gaf met zijn uitspraak: ‘Exactheid mag in de meetkunde niet eeuwig als iets bijkomstigs worden behandeld’.1 Chasles had een grote belangstelling voor de geschiedenis van de wiskunde, en in het bijzonder van de meetkunde. Zijn gevoel voor het historische openbaart zich in zijn bekend Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie (1837), een der eerste belangrijke geschriften over de geschiedenis van de meetkunde. Dit nog zeer leesbare boek behandelt zowel de Griekse als de toen moderne meetkunde en is een goed voorbeeld van een geschiedenis der wiskunde geschreven door iemand die zelf een zelfstandig onderzoeker was. Deze liefde voor de geschiedenis maakte Chasles ook wel eens wat blind en zo is hij het slachtoffer geworden van een grappenmaker, die aan Chasles tussen 1861 en 1870 duizenden valse documenten verkocht, brieven van Galilei, Pascal en Newton tot brieven van Plato en zelfs van de apostelen toe.2

18.

Gedurende deze jaren, waarin in bijna koortsachtig tempo gehele nieuwe meetkundige gebieden werden ontsloten, bleef een an-

1 E. Study, Verhandl. des dritten Mathem. Kongresses, Heidelberg 1905, 388-395, zie ook B.L. van der Waerden, Dissertatie Leiden 1926. 2 J.A. Farrer, Literary forgeries (Londen, 1907) Chapter XII.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 226 der, nieuw en in haar consequenties nog veel meer revolutionair gebied verborgen in enkele obscure verhandelingen, die door de meeste leidende wiskundigen vrijwel geheel geïgnoreerd werden. De vraag, of het euklidische parallellenpostulaat een onafhankelijk axioma is of een stelling die uit andere, meer eenvoudig schijnende, axioma's kan worden afgeleid, had voor meer dan tweeduizend jaar de wiskundige wereld verontrust. Ptolemaios had in de Oudheid getracht, een antwoord te vinden, Omar Khayyam en Nasīr al-dīn in de Middeleeuwen, de Italiaan Girolamo Saccheri, de Zwitser Lambert en de Fransman Legendre in de achttiende eeuw.1 Al deze geleerden hadden geprobeerd het axioma te bewijzen, wat niet gelukte, al vonden ze in de loop van hun onderzoek menig interessant resultaat. Gauss schijnt wel de eerste geweest te zijn, die aan de onafhankelijkheid van het parallellenaxioma geloofde en dus tot de conclusie kwam dat andere meetkunden, die op een ander axioma berusten, logisch mogelijk waren. Gauss maakte zijn gedachten over dit onderwerp niet publiek. De eersten die openlijk de autoriteiten van tweeduizend jaar wiskundig onderzoek durfden tegen te spreken en een niet-euklidische meetkunde construeerden2 waren een Rus, Nikolai Iwanowitsch, Lobačevskiǐ en een Hongaar, Janos (Johan) Bolyai. Van hen heeft Lobačevskiǐ zijn ideeën het eerst gepubliceerd. Zijn eerste boek verscheen in 1829/'30, doch al reeds in 1826 had hij er over in Kazan, waar hij professor was, voordrachten gehouden. Het boek was in het Russisch geschreven, toen een taal die weinig mensen buiten het tsarenrijk lazen; doch ook van een latere uitgave in het Duits onder de naam Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien (1840) werd weinig notitie genomen, ofschoon Gauss belangstelling toonde. In de tussentijd had ook Bolyai zijn gedachten over dit onderwerp gepubliceerd.

1 F. Engel-P. Stäckel, Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss (2 delen, Leipzig) 1895. Het is merkwaardig dat de Schotse wijsgeer Thomas Reid in 1764 een niet-euklidische meetkunde (van het elliptische type) ontwikkelde, waaraan verder niemand enige aandacht schonk, in: An inquiry into the human Mind. Reid, die tegenover Berkeley een realistische en ‘common sense’ filosofie vertegenwoordigde, polemiseerde tegen Berkeley's theorie van het gezichtsvermogen. Zie N. Daniels, Thomas Reid's Discovery of Non-Euclidean Geometry, Philosophy of Science 39 (1972) 219-234. 2 Behalve dan Thomas Reid, maar diens niet-euklidische meetkunde, die slechts enige bladzijden innam, was polemisch tegenover Berkeley maar niet tegenover Euklides.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 227

Janos (Johan) Bolyai was de zoon van een wiskundeleraar in een Hongaarse provinciestad. Deze leraar, Farkas (Wolfgang) Bolyai, had in Göttingen gestudeerd in dezelfde tijd als Gauss, en wisselde wel eens een brief met hem. Farkas besteedde veel tijd aan een poging het parallellenaxioma te bewijzen, doch kon tot geen bevredigende conclusie komen. Zijn zoon had deze hartstocht geërfd en begon ook naar een bewijs te zoeken, ondanks de waarschuwing van zijn vader:

Je moet dit evenzo verafschuwen als liederlijk verkeer; het kan je van al je vrije tijd, je gezondheid, je rust en je hele levensgeluk beroven. De pikdonkere duisternis van dit probleem kan wel duizend reuzen als Newton verslinden, het zal nooit licht op aarde geven (brief van 1820).

De zoon werd voor het leger opgeleid en verwierf zich een naam als een officier, handig met degen en viool. Maar hij begon ook in te zien dat het euklidische axioma werkelijk onafhankelijk van de andere axioma's was en ontdekte dat het mogelijk was een meetkunde op te stellen waarin door een gegeven punt in een vlak een oneindig aantal lijnen lopen die een gegeven lijn in dit vlak niet snijden. Dit was hetzelfde denkbeeld waarmee Gauss en Lobačevskiǐ hadden gespeeld. Bolyai schreef zijn ideeën op en had ze in 1832 gepubliceerd als een appendix bij een boek van zijn vader, dat de titel had: Appendix scientam spatii absolute veram exhibens.1 De vader was ongerust over de onorthodoxe opinies van zijn zoon en schreef aan Gauss om raad. Toen het antwoord uit Göttingen binnenkwam, bevatte het een warme waardering voor het werk van de jongere Bolyai. Gauss voegde eraan toe, dat hij Bolyai niet kon prijzen daar dit zou betekenen dat hij zichzelf zou prijzen, aangezien de gedachten van de Appendix hem reeds jaren bekend waren geweest. De jonge Janos was van deze lofbrief, die hem verhief tot een positie van een groot man van wetenschap, en tegelijk hem van zijn prioriteit beroofde, ten zeerste ontdaan. Zijn teleurstelling verdiepte zich, toen bleek dat men zich van zijn theorie maar heel weinig aantrok. Hij werd nog meer ontmoedigd toen hij Lobačevskiǐ's boek in de Duitse vertaling van 1840 te zien kreeg. Hij heeft geen wiskunde meer gepubliceerd. De theorieën van Bolyai en van Lobačevskiǐ waren in beginsel gelijk, doch verschilden zeer in de wijze waarop zij werden uitge-

1 H.J.E. Beth, Inleiding tot de Niet-Euclidische Meetkunde op historischen grondslag (Groningen, 1929), ook E.J. Dijksterhuis, De Elementen van Euclides I (Groningen 1929) Hoofdstuk II.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 228 werkt. Het blijft intussen interessant te zien hoe de nieuwe ideeën onafhankelijk van elkaar in Göttingen, Budapest en Kazan ontstonden, en dat ongeveer tegelijkertijd, na een periode van relatieve stilstand die tweeduizend jaar heeft geduurd. Ook is het interessant dat ze gedeeltelijk buiten de grenzen van de scheppende wiskundige wereld van die dagen hun oorsprong vonden. Het komt wel meer voor dat grote en nieuwe ideeën buiten en niet binnen de scholen worden geboren. Toch was er verband tussen die ontdekkers: Gauss was als student een vriend van de oudere Bolyai, en Lobačevskiǐ's leraar in Kazan was J.M. Bartels, een van de leraren van Gauss. En we moeten ook niet vergeten dat het probleem van het parallellenaxioma in Göttingen om zo te zeggen ‘in de lucht hing’, want professor A.G. Kästner, van 1756 tot zijn dood in 1800 professor in Göttingen, besteedde veel tijd en moeite aan dit postulaat.1 Niet-euklidische meetkunde - de naam is van Gauss - bleef jarenlang een vrijwel onbekend gebied van wetenschap. De meeste wiskundigen trokken er zich niets van aan, en zij die onder de invloed van Kants filosofie stonden, weigerden haar in beginsel ernstig te nemen.2 De eerste wiskundige van de eerste rang, die haar belang volledig begreep, was Riemann, in wiens algemene theorie van uitgebreidheden (1854) niet alleen de bestaande niet-euklidische meetkunde haar juiste plaats verwierf, maar ook ruimte overliet voor vele andere vormen van meetkunde, die men nu als meetkunde van Riemann samenvat. Volledige erkenning van deze meetkunden kwam eerst toen, na 1870, een jongere generatie Riemanns ideeën begon te begrijpen en uit te werken. Er bestond nog een andere generalisatie van de klassieke meetkunde die ontstaan was in de jaren voor Riemann, doch eerst na zijn dood werd gewaardeerd. Dit was de meetkunde van meer dan drie dimensies. Ze kwam volledig uitgerust ter wereld in de Ausdehnungslehre (‘leer der uitbreiding’) van Hermann Grassmann, die in 1844 gepubliceerd werd. Grassmann was een leraar aan het gymnasium in Stettin en een man van buitengewone veelzijdigheid; hij schreef met grote scherpzinnigheid over de meest verschillende onderwerpen zoals elektrische stromen, kleuren, geluidsleer, linguïstiek, plantkunde en folklore. Zijn Sanskriets woordenboek over de Rigveda (1873-75) wordt nog gebruikt. De Ausdehnungslehre, waarvan een herziene en beter leesbare editie

1 Zie hierover o.m. G. Goe's artikel over Kästner in DSB VII (1973) 206. 2 En dat ofschoon Kant het werk van Reid kende.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 229 in 1862 uitkwam, was in strikt euklidische vorm geschreven; stelling na stelling werd afgeleid in logische volgorde. Hier vinden wij een meetkunde in een ruimte van n dimensies, eerst affien, later metrisch. Hierbij gebruikte Grassmann een invariante notatie, waarin wij nu vectoren en tensoren herkennen (zijn Lückenprodukte zijn tensoren), maar die voor zijn tijdgenoten vrijwel onleesbaar was. Een latere generatie nam gedeelten van Grassmanns breed opgezette theorie over, om een vectoranalyse voor affiene en metrische ruimten op te bouwen. Grassmann zelf gebruikte zijn theorie o.a. om het zgn. probleem van Pfaff aan te pakken, een probleem dat inzicht geeft in de structuur van lineaire differentiaalvormen. Ofschoon de Engelse wiskundige Cayley in 1843 eveneens dit begrip van meerdimensionale ruimte invoerde, en dit in een veel minder afschrikwekkende vorm, bleef de meetkunde van deze ruimten een onderwerp dat met wantrouwen en ongeloof werd aangezien. Hier was het weer Riemanns verhandeling van 1854 die een beter begrijpen mogelijk maakte. Daar kwam bij dat Plücker, door erop te wijzen, dat men een meetkunde niet alleen op punten, maar ook op andere figuren als primaire elementen kan opbouwen, een nieuwe en gemakkelijk te aanvaarden interpretatie van meerdimensionale ruimten mogelijk maakte. Zo kon de meetkunde van rechte lijnen in de gewone ruimte van Euklides beschouwd worden als een vierdimensionale ruimte, omdat zulk een lijn van vier parameters afhangt. Felix Klein wees later op het voordeel verkregen door diezelfde meetkunde te interpreteren door de punten van een tweedegraadsoppervlak in een vijfdimensionale ruimte. Zulke ‘afbeeldingen’ van de ene meetkunde op een andere werden steeds meer onderzocht. Daarbij werd de overeenstemming in de begrippen van dimensie en vrijheidsgraad, reeds sinds Lagrange uit de mechanica bekend, meer en meer als bijna vanzelfsprekend erkend. Toch ging men eerst laat in de negentiende eeuw de meetkunde in ruimten van meer dan drie dimensies waarderen, voornamelijk om zijn nut in de interpretatie van algebraïsche vormen en van differentiaalvormen in meer dan drie veranderlijken. De Groninger hoogleraar P.H. Schoute (1846-1912) heeft de vierdimensionale meetkunde ook op ‘Euklidisch-Cartesiaanse’ wijze beoefend, waarbij hij speciale aandacht wijdde aan de regelmatige lichamen (de zgn. polytopen).1

1 Zie hoofdstuk IX, sectie 8.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 230

19.

De namen Hamilton en Cayley getuigen van het feit dat rond 1840 en later Engels schrijvende wiskundigen ernstig met hun continentale collega's begonnen te concurreren. Tot diep in de negentiende eeuw werd, onder de invloed van de koloniale en Napoleontische oorlogen, door de meeste academici, en vooral de dons van Cambridge en Oxford, elke poging om continentale wiskunde te beoefenen beschouwd als een vergrijp tegen de door fluxies geheiligde naam van Sir Isaac Newton. Reeds Euler, in zijn Integraalrekening (1768) bezag de mogelijkheid van een compromis tussen beide richtingen met een zwaar hoofd. Het dilemma werd in 1812 door een aantal jonge wiskundigen in Cambridge doorbroken toen ze, in overleg met de oudere Robert Woodhouse, een ‘analytische club’ oprichtten om de differentiaalmethodes van de school van Leibniz te verbreiden. Leiders waren George Peacock, Charles Babbage en John Herschel. Zij trachtten, om met Babbage te spreken, ‘the principles of pure d-ism, as opposed to the dot-age of the university’1 te propageren. Deze poging werd in het begin van de zijde van de oudere academici nogal bekritiseerd, maar deze kritiek werd beantwoord door acties als de publikatie van een Engelse vertaling van de Traité élémentaire du calcul differentiel et intégral van Lacroix, de Franse leerboekschrijver (1816). Zo werd de jongere generatie in het Verenigd Koninkrijk van een voor die tijd modern leerboek voorzien. De eerste belangrijke bijdrage kwam echter niet van de groep in Cambridge, doch van enige wiskundigen die onafhankelijk van hen de continentale wiskunde hadden verwerkt. Wij denken hierbij allereerst aan Hamilton en Green. Zowel voor hen als voor hun tijdgenoot Nathaniel Bowditch in Boston (VS) was het boek dat zij speciaal bestudeerden de Mécanique céleste van Laplace, waarin het ‘d-isme’ de grootste triomfen had geboekt. George Green, een ‘self-made’ molenaarszoon uit Nottingham, was vooral in de nieuwe ontdekkingen op het gebied der elektriciteit geïnteresseerd. Dit was de tijd van de grote ontdekkingen van Oersted en Ampère, de tijd van het ontdekken van het elektromagnetisme. In die dagen (ca. 1825) bestond er haast geen wiskundige theorie om de elektrische verschijnselen te verklaren; Poisson had in 1812 slechts een begin gemaakt. Green las Laplace en - om zijn eigen woorden te gebruiken:

1 Woordenspel op de d-notatie van Leibniz en de punt (dot)notatie van Newton; dx/dt tegenover ẋ. Het woord ‘d-ism’ betekent zowel d-isme als Deisme, ‘dot-age’ zowel de periode van de dot als ‘seniliteit’. Vertaling: ‘de beginselen van het “deisme” tegen de “seniliteit” van de universiteit’.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 231

‘Gezien hoe wenselijk het was dat een universeel werkende macht als de elektriciteit zo ver mogelijk aan berekening zou worden onderworpen, en nadenkende over de voordelen die voortspruiten uit de oplossing van moeilijke problemen, zo men ervan wordt bevrijd iedere kracht die op de verscheidene lichamen in een willekeurig systeem werkt op zichzelf te onderzoeken en de aandacht alleen vestigt op diè bijzondere functie, van welke differentialen al deze krachten afhangen - zo werd ik ertoe geleid te proberen of het mogelijk zou zijn enige algemene betrekkingen te ontdekken tussen deze functie en de hoeveelheden elektriciteit in de lichamen die haar voortbrengen’.

Het resultaat van deze overwegingen was Greens Essay on the Application of Mathematical Analysis to Theories of Electricity and Magnetism (1828), de eerste poging om tot een wiskundige theorie van het elektromagnetisme te komen. Hiermee begon in Engeland de mathematische fysica, en tevens, naast Gauss' verhandeling van 1839, de potentiaaltheorie als een speciaal wiskundig gebied. Gauss wist, naar het schijnt, niets af van Greens werk, dat eerst beter bekend werd toen William Thomson (de latere Lord Kelvin) het in Crelles Journal van 1846 opnieuw publiceerde. Toch was de gedachtengang van Gauss en van Green zo verwant dat Green de term ‘potential function’ en Gauss met zijn ‘Potential’ bijna een zelfde term invoerden om een oplossing van de vergelijking van Laplace aan te geven. Twee verwante identiteiten, die lijnen oppervlakte- en ruimte-integralen verbinden, worden de formules van Green en van Gauss genoemd. Het gebruik van ‘functies van Green’ in de oplossing van partiële differentiaalvergelijkingen is een herinnering aan de molenaarszoon die in zijn vrije tijd Laplace bestudeerde. Green kon later zijn werk voortzetten aan Caius College, Cambridge, waar hij echter eerst in 1833, op veertigjarige leeftijd, kwam. Doch dit is niet de plaats om de verdere ontwikkeling der mathematische fysica in Engeland - of in welk ander land dan ook - te schetsen. Met deze ontwikkeling zijn de namen van Stokes, Rayleigh, Kelvin, Maxwell, Kirchhoff, Helmholtz, Gibbs, Boltzmann en van vele anderen verbonden. Deze fysici droegen zozeer bij tot de oplossing van vele, gewoonlijk lineaire, partiële differentiaalvergelijkingen, dat het soms scheen dat de mathematische fysica en de leer van zulke differentiaalvergelijkingen identiek waren. De mathematische fysica verrijkte de wiskunde evenwel ook in andere opzichten, zoals in haar bijdragen tot de waarschijnlijkheidsrekening en de theorie der complexe functies. Ook de meetkunde profiteerde van haar onderzoekingen. Wij vermel-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 232 den slechts James Clerk Maxwells Treatise on Electricity and Magnetism (2 delen, 1873) met haar systematische ontwikkeling van de elektromagnetische theorie gebaseerd op Faraday's experimenten. Ze bevat o.a. een mooie theorie der bolfuncties. Deze theorie van Maxwell werd op den duur algemeen aanvaard en leidde later tot de theorie van H.A. Lorentz over het elektron en tot de relativiteitstheorie van Albert Einstein en tot de vectoranalyse in de wiskunde.

20.

De zuivere wiskunde was in Engeland gedurende de negentiende eeuw voornamelijk algebra met toepassingen op de meetkunde. Wij denken hier in de eerste plaats aan Cayley, Sylvester en Salmon. Arthur Cayley begon als advocaat, doch aanvaardde in 1863 het nieuwe ‘Sadlerian professorship’ in de wiskunde aan de universiteit van Cambridge, waar hij dertig jaar lang doceerde. Toen hij in de jaren veertig in Londen nog advocaat was, ontmoette hij Sylvester, die toen actuaris was, en van die jaren dateert de gemeenschappelijke belangstelling van Cayley en Sylvester voor algebraïsche vormen - of ‘quantics’ zoals Cayley ze noemde. Uit de samenwerking van deze twee mannen ontwikkelde zich de algebraïsche invariantentheorie. Deze theorie hing al verscheidene jaren in de lucht, in het bijzonder nadat men begonnen was de determinantentheorie verder te bestuderen. In hun eerste periode gingen Cayley en Sylvester reeds verder dan de leer der determinanten, zij trachtten stelselmatig een invariantentheorie van kwadratische en hogere algebraische vormen op te bouwen, een theorie met eigen notatie en compositieregels. Deze theorie werd later door Aronhold en Clebsch in Duitsland verder ontwikkeld en vormde het algebraïsche complement van Poncelets projectieve meetkunde. Cayley schreef vele verhandelingen, over eindige groepen, -algebraïsche krommen, determinanten, matrices en analytische meetkunde. Zijn negen verhandelingen over ‘quantics’ zijn vooral bekend gebleven door de Sixth Memoir on Quantics (1859), omdat in deze verhandeling werd aangetoond hoe men ten opzichte van een kegelsnede een projectieve metriek kan definiëren. Dit leidde tot een projectieve definitie van een euklidische metriek, waardoor het aan Cayley gelukte deze meetkunde een plaats aan te wijzen binnen de projectieve meetkunde - daarbij het historische proces omkerende, omdat de projectieve meetkunde uit de euklidische was afgeleid en eerst door Von Staudt een eigen plaats had gekregen. Cayley miste echter de betrekking tussen zijn projectieve metriek en de niet-eukli-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 233 dische meetkunden; deze werd een tiental jaren later door Felix Klein ontdekt. James Joseph Sylvester was niet alleen een wiskundige, maar ook op zijn manier een dichter en in het algemeen een geestige kerel met zoveel fantasie dat zijn repertoire van nieuwe wiskundige termen met die van Leibniz wedijvert. Van 1855 tot 1869 doceerde hij aan de Militaire Academie in Woolwich. Hij was tweemaal in de Verenigde Staten, de eerste keer als professor aan de door Thomas Jefferson gestichte Universiteit van Virginia (1841-'42), de tweede keer als professor aan Johns Hopkins University in Baltimore (1877-'83). Gedurende deze tweede periode was hij een der eersten die aan een Amerikaanse school de moderne wiskunde doceerde; zijn invloed is blijvend geweest. Twee van Sylvesters vele bijdragen tot de algebra zijn klassiek: zijn theorie der elementaire delers (1851, herontdekt door Weierstrass in 1868) en zijn traagheidswet der kwadratische vormen (1852, reeds bekend aan Jacobi en Riemann, doch toen niet gepubliceerd). Van de vele termen die Sylvester heeft ingevoerd zijn verscheidene blijvend bezit van de wiskundigen gebleven, wij denken b.v. aan de woorden invariant, covariant, contravariant, cogrediënt en syzygie. Er plachten over Sylvester nogal wat anekdoten de ronde te doen - gewoonlijk van de verstrooide-professorsoort. De derde Engelse meetkundige en algebraïcus was George Salmon, die zijn lang leven doorbracht aan Hamiltons Alma Mater, Trinity College in Dublin, waar hij zowel wiskunde als godgeleerdheid doceerde. Zijn hoofdverdienste ligt in zijn nu nog wel bekende leerboeken, die uitmunten in helderheid en charme. Deze boeken hebben, ook door vertalingen, hele generaties in de geheimen van de analytische meetkunde en de invariantentheorie ingewijd. Zij zijn de Conic Sections (1848), Higher Plane Curves (1852), Modern Higher Algebra (1859) en Analytic Geometry of Three Dimensions (1862). Al deze boeken kunnen ook nu nog wel aan studenten in de analytische meetkunde worden aanbevolen, al doen ze misschien een beetje ouderwets aan.

21.

Twee onderwerpen, door Engelse wiskundigen in de algebra ingevoerd, verdienen onze speciale aandacht: Hamiltons quaternionen en Cliffords biquaternionen. Nadat Hamilton, de Astronomer Royal van Ierland, zijn werk over mechanica en optica had voltooid, keerde hij zich in 1835 tot de algebra. Zijn Theory of Algebraic Couples definieerde de algebra als de zuivere wetenschap

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 234 van de tijd en bracht een strenge theorie van het complexe getal als een getallenpaar. Dit deed hij waarschijnlijk zonder van Gauss' theorie van bikwadraatresten te weten, waarin ook de complexe getallen streng waren ingevoerd, maar nu door punten in het complexe vak. Beide methoden worden nu algemeen aanvaard. Hamilton trachtte daarna in de algebra van drietallen en viertallen van getallen binnen te dringen. Zijn bewonderaars vertellen ons, dat hij een ingeving kreeg, toen hij op een zekere oktoberdag van 1843 langs een brug bij Dublin wandelde en het quaternion ontdekte.1 Zijn onderzoekingen over quaternionen zijn in twee dikke boeken gepubliceerd, de Lectures on quaternions van 1853 en de Elements of Quaternions, in 1866 na zijn dood verschenen. Het best bekende gedeelte van de quaternionenleer is de vectortheorie die ook in de Ausdehnungslehre van Grassmann is besloten (de term ‘vector’ is van Hamilton). Het is vooral om deze reden, dat de algebraïsche werken van beide mannen nu vaak worden geciteerd. In de dagen van Hamilton echter, en lang daarna, waren de quaternionen zelf het onderwerp van overdreven bewondering. Sommige Engels-Schotse wiskundigen zagen er - om met Leibniz te spreken - een soort Arithmetica universalis in, en die opvatting kweekte weer een reactie, die o.a. in het dispuut tussen P.G. Tait en Oliver Heaviside aan het licht kwam. De theorie der hypercomplexe getallen, door Benjamin Peirce, Georg Frobenius, Eduard Study en anderen ontwikkeld, plaatste inmiddels de quaternionen op hun natuurlijke plaats als het eenvoudigste associatieve getallenstelsel van meer dan twee eenheden. De cultus van de quaternionen leidde in zijn bloeitijd zelfs tot een International Association for the Promoting of the Study of Quaternions and Allied Systems of Mathematics, dat verdween als slachtoffer van de Eerste Wereldoorlog. De gemoederen werden ook bewogen door de strijd tussen Hamiltonianen en Grassmannianen toen in de jaren tachtig jaren door het werk van Oliver Heaviside in Engeland en Josiah Willard Gibbs in Amerika, de vectoranalyse zich als een eigen wiskundig gebied be-

1 Deze brug heet nu Hamilton Bridge en draagt de inscriptie: ‘Here as he walked by on the 16th of October 1843 Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental formula for quaternion multiplication i2 = j2 = k2 = ijk = - 1 and cut it on a stone of the bridge’. (Toen op 16 Oktober 1843 Sir William Rowan Hamilton hier voorbij wandelde ontdekte hij door een geniale ingeving de grondformule voor de vermenigvuldiging van quaternionen i2 = j2 = k2 = ijk = - 1 en kerfde die in een steen van de brug).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 235 gon te ontpoppen. De twist, die vooral tussen 1890 en de Eerste Wereldoorlog woedde, verliep, toen betere kennis van de groepentheorie en de lineaire algebra het mogelijk maakte aan elke methode haar eigen operatieterrein toe te wijzen.1 Het gebrek aan internationale eenheid in de vectornotatie is als een soort litteken uit deze verwarring overgebleven. William Kingdon Clifford, die in 1879 op drieëndertigjarige leeftijd overleed, was verbonden aan Trinity College in Cambridge en aan University College in Londen. Hij behoorde tot de eersten in Engeland die Riemann begrepen en met hem zijn kritische belangstelling in onze ruimteopvattingen deelden. Daarbij ontwikkelde Clifford een meetkunde van de beweging, en daarbij kwam hij tot zijn biquaternionen als generalisatie van de quaternionen (1873-'76). Deze biquaternionen zijn quaternionen, waarvan de coëfficiënten complexe getallen zijn van de vorm a + be, waarbij e2 + 1, - 1 of 0 mag zijn, die voor e2 = 0 voor de studie van euklidische, voor e2 = ± 1 voor die van niet-euklidische bewegingen kunnen worden gebruikt. Cliffords Common Sense in the Exact sciences blijft nog steeds het lezen waard; men kan hierbij Cliffords gedachtenwereld met die van Felix Klein vergelijken. Dit komt ook uit in de benaming ‘ruimten van Clifford-Klein’ voor zekere gesloten euklidische uitgebreidheden in niet-euklidische ruimten. Zo Clifford langer had geleefd, hadden de ideeën van Riemann de Engelse wiskunde een generatie eerder kunnen bereiken dan het geval is geweest. Tientallen jaren lang bleef de nadruk op de formele algebra karakteristiek voor de zuivere wiskunde in de Engelssprekende landen. Wij denken hierbij o.a. aan Benjamin Peirce, professor aan Harvard College in Massachusetts, een leerling van Nathaniel Bowditch, die Laplace had vertaald en met wie (en met Peirce) de scheppende wiskunde in de Verenigde Staten begint. Peirce, die ook verdienstelijk werk in de hemelmechanica heeft verricht, publiceerde in 1870 zijn Lineair Associative Algebra, dat een der eerste onderzoekingen was over hypercomplexe getallenstelsels. Deze formalistische trek in de Engelse wiskunde van die tijd komt ook

1 F. Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert II (Berlin, 1927) 27-52; J.A. Schouten, Grundlagen der Vektor- und Affinoranalysis (Leipzig, 1914), en de vele bijdragen van E. Cartan. Voor de geschiedenis van de vectoranalyse met het gekibbel tussen Tait en Heaviside zie M.J. Crowe, A History of Vector Analysis (Notre Dame Press 1967, Dover herdruk 1985).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 236 tot uitdrukking in het werk van George Peacock, die in 1830 het zgn. principe van de permanentie van equivalente vormen formuleerde (later scherper geformuleerd door Hermann Hankel in Leipzig1), en van Augustus De Morgan, van 1828 tot 1866 professor in Londen. Zijn pogingen in de jaren '40, om tot een symbolische logica te komen leidde tot het fundamentele onderzoek van George Boole, van Queens College, Cork (Ierland). In zijn hoofdwerk The Laws of Thought (1854) toonde hij aan hoe de wetten van de formele logica, zoals die het eerst door Aristoteles waren opgesteld en later in eeuwenlange lessen en onderzoekingen aan de universiteiten verder zijn bestudeerd, aan een mathematische rekenwijze kunnen worden onderworpen. Boole schiep een symbolische taal voor een brede ontleding van logische processen. Met deze rekenwijze, verwant aan Leibniz' characteristica generalis, begon de herleiding van logica tot wiskunde en daarbij de vernieuwing van de axiomatiek. Hier was daarna het werk van Gottlob Frege, die professor in Jena was, van grote invloed. In zijn boek Die Grundlagen der Arithmetik (1884) gaf hij een logische afleiding van de grondbeginselen der rekenkunde. Deze onderzoekingen die tot verschillende richtingen in de vraag naar de verhouding van wiskunde en logica voerden, bereikten in de twintigste eeuw een voorlopig hoogtepunt in de driedelige Principia Mathematica van Bertrand Russell en A.N. Whitehead (1910-'13); zij hebben ook het werk van Hilbert over de grondslagen van de rekenkunde en het overwinnen van de paradoxen van het oneindige ten sterkste beïnvloed. In deze debatten kwam ook de oude strijdvraag omtrent de rol van het actueel oneindige, die met de namen Cantor en Kronecker is verbonden, in een nieuw licht te staan.2

1 H. Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme (Leipzig, 1867) gaf een nog steeds leesbare uiteenzetting van het werk van Grassmann zowel als van Hamilton. Zowel Hankel als De Morgan waren ook in de geschiedenis der wiskunde geïnteresseerd. 2 D. Hilbert-W. Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, 4e Aufl. (Berlin 1959); M. Black, The Nature of Mathematics (New York-London 1934). Zie ook, behalve de eerder geciteerde geschiedenissen van E.W. Beth, en I.M. Bochenski, Formale Logik (Freiburg-München 1956). Bochenski (blz. 314) onderscheidt in de geschiedenis der formele logica vier perioden: 1) de voorgeschiedenis van Leibniz tot Boole, 2) de periode van Boole, tot aan de Operationskreis des Logikkalküls (1877) en de Vorlesungen über die Algebra der Logik (1890) van Ernst Schröder, 3) de periode van Frege, van Freges Begriffschrift van 1877 tot de Principia Mathematica (1910-'13) en 4) de jongste periode, na de Principia, waarin het werk van Hilbert en vele anderen valt.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 237

22.

Het werk van Cayley en Sylvester over de invariantentheorie vond in Duitsland grote belangstelling. Hier, onder leiding van Hesse, Aronhold, Clebsch en Gordon, werd deze theorie verder ontwikkeld met behulp van een speciale en handige notatie. Otto Hesse, die eerst in Koningsbergen en later in Heidelberg en München professor was, bewees evenals Plücker hoeveel nut men in de analytische meetkunde kan trekken van een verkorte wijze van schrijven; daarbij gebruikte hij graag homogene coördinaten en determinanten. Siegfried Heinrich Aronhold, die aan de Technische Hogeschool in Berlijn doceerde, publiceerde in 1858 een verhandeling, waarin hij met behulp van ‘ideale’ factoren (die met die van Kummer niets te maken hadden) zijn eigen symboliek voor de invariantentheorie ontwikkelde; en daar ongeveer terzelfder tijd Clebsch zulk een schrijfwijze ontwikkelde (1861), spreekt men vaak van de ‘symboliek van Clebsch en Aronhold’, die algemeen werd aanvaard voor het systematisch onderzoek van de invarianten en covarianten van algebraïsche vormen. Tegenwoordig zien wij in deze rekenwijze, evenals in de vectoren van Hamilton, de uitwendige produkten van Grassmann en de dyaden van Gibbs, bijzondere vormen van de tensoralgebra. Deze invariantentheorie werd later nog door Paul Gordan, professor in Erlangen, verrijkt met het bewijs dat tot iedere binaire vorm een eindig stelsel van rationale invarianten en covarianten behoort, en dat hierin alle andere rationale invarianten en covarianten op rationale manier kunnen worden uitgedrukt (1868-69). Deze zgn. eindigheidstelling van Gordan werd in 1890 door Hilbert op algebraïsche vormen in n veranderlijken uitgebreid. Alfred Clebsch was hoogleraar in Karlsruhe, Giessen en Göttingen en stierf in 1872, nog geen veertig jaar oud. In zijn korte leven heeft hij heel wat mooie resultaten kunnen boeken. Hij publiceerde een werk over de elasticiteitsleer (1862), waarin hij van de ideeën van Lamé en De Saint Venant in Frankrijk uitging, en hij paste zijn invariantenleer toe op de projectieve meetkunde. Hij was ook een der eersten die Riemanns theorieën begreep en legde de grondslagen voor die tak der algebraïsche meetkunde waarin Riemanns functietheorie en zijn theorie van meervoudig samenhangende oppervlakken op reële algebraïsche krommen werden toegepast. Men vindt een breed opgezette schets van deze ideeën in de Theorie der Abelschen Funktionen van Clebsch en Gordan (1866). Clebsch was eveneens de stichter der Mathematische Annalen, dat meer dan een halve eeuw lang het leidende wiskundige tijdschrift was, en nog steeds van belang is. Zijn voordrachten

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 238 over meetkunde, door F. Lindemann uitgegeven (‘Clebsch-Lindemann’) gaven een solide inleiding in de algebraïsche behandeling der projectieve meetkunde.

23.

Tegen 1870 was de wiskunde uitgegroeid tot een enorm en vrijwel onoverzichtelijk wetenschappelijk gebied, dat verdeeld was in een aantal gebieden waarin alleen specialisten de weg wisten. Zelfs grote wiskundigen als Hermite, Weierstrass, Cayley en Beltrami beheersten slechts enkele van deze vele deelgebieden. Deze specialisatie is steeds toegenomen en heeft tegenwoordig alarmerende proporties aangenomen. Maar ze heeft ook steeds tot een reactie geleid, en een aantal van de belangrijkste en mooiste resultaten van de wiskunde der laatste honderd jaren zijn juist het gevolg geweest van pogingen om tot een synthese van de verschillende wiskundegebieden te geraken. In het eind van de achttiende en het begin van de negentiende eeuw stelden de grote boeken van Lagrange en Laplace zulk een synthese voor, en zij vormden weer het uitgangspunt voor verder werk van grote diepte. Tot de beginselen die in de negentiende eeuw tot eenheid van opvatting leidden, behoren de groepentheorie en Riemanns begrip functie en ruimte. Hun betekenis kan het best begrepen worden in het werk van Klein, Lie en Poincaré. Felix Klein was Plückers assistent in Bonn gedurende de jaren '60 en hier leerde hij diens meetkunde. In 1870 bracht hij een bezoek aan Parijs, waar hij Sophus Lie, een Noor, ontmoette. Klein was toen tweeëntwintig, Lie zes jaar ouder en nog slechts kort in de wiskunde geïnteresseerd. Wij hebben reeds vermeld hoe in Parijs vooral Camille Jordan, van de Ecole Polytechnique, een grote indruk op hen maakte. Jordan had juist in 1870 zijn Traité des substitutions geschreven, waarin hij een uiteenzetting gaf van Galois' leer der substitutiegroepen. Klein en Lie begonnen de centrale positie te begrijpen die door de groepentheorie wordt ingenomen. Zij verdeelden het grote rijk der wiskunde min of meer in twee delen: Klein gaf gewoonlijk zijn aandacht aan discontinue, Lie aan continue groepen. In 1872 kreeg Klein een leerstoel te Erlangen. In een artikel van dat jaar schetste hij, hoe het groepenbegrip dienstbaar kon worden gemaakt aan de classificatie van de verschillende wiskundige gebieden, vooral de meetkunde. Het artikel, dat bekend is geworden als het ‘Erlanger program’, verklaarde elke meetkunde als een theorie van de invarianten van een speciale transformatiegroep. Door de groep uit te breiden of te beperken kunnen wij van de ene

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 239 meetkunde overgaan in de andere. De euklidische meetkunde is de leer van de invarianten van de groep der translaties, rotaties en spiegelingen, projectieve meetkunde die der projectieve groep. De classificatie van transformatiegroepen geeft ons de classificatie der meetkunden, de theorie der algebraïsche en differentiaal invarianten van iedere groep geeft ons de algebraïsche en analytische structuur van de bijbehorende meetkunde. Cayley's projectieve definitie van een metriek laat ons toe de metrische meetkunde als een vorm van projectieve meetkunde te zien. Zelfs de toen nog tamelijk onbekende topologie vond haar speciale plaats als de theorie van de invarianten van de groep der continue punttransformaties. In het voorafgaande jaar had Klein een belangrijk voorbeeld gegeven van deze beschouwingswijze, door aan te tonen hoe de niet-euklidische meetkunde ook kan worden opgevat als projectieve meetkunde met een metriek van Cayley. De ontdekking van deze afbeelding bracht tenslotte nog steeds verwaarloosde theorieën van Bolyai en Lobačevskiǐ in het volle daglicht. Vele wiskundigen hadden nog steeds geloofd, dat ergens in die niet-euklidische meetkunde wel een logische fout zou zitten. Nu bleek dat zulke logische fouten, als ze bestonden, ook in de projectieve meetkunde moesten voorkomen, en dus ook in de euklidische, en dat was een ketterij die de meeste, zo niet alle, wiskundigen toch te ver ging. De niet-euklidische meetkunde van Bolyai en Lobačevskiǐ werd nu algemeen geaccepteerd als een hyperbolische meetkunde, terwijl een andere vorm van deze meetkunde, door Riemann alreeds aangegeven, als elliptische werd aangeduid. In deze meetkunde bestaan in het vlak alleen maar lijnen die elkaar snijden. Wij hebben reeds vermeld dat deze methode van Klein, waarbij een gebied van de wiskunde op een ander wordt afgebeeld, zeer vruchtbaar bleek te zijn, ze is o.a. door Hilbert in zijn axiomatiek van de meetkunde veel gebruikt.1 De groepentheorie maakte een synthese mogelijk van vele ontdekkingen van Monge, Poncelet, Gauss, Cayley, Clebsch, Grassmann en Riemann. Riemanns ruimteleer, waaraan het Erlanger program menig idee ontleende, inspireerde niet alleen Klein doch ook Helmholtz en Lie. Hermann Helmholtz, bekend als fysicus en fysioloog, onderzocht in 1868 en 1884 Riemanns ruimtebegrip, gedeeltelijk omdat hij zocht naar een meetkundig beeld voor zijn

1 Zie o.a. H.J.E. Beth, Inleiding tot de niet-euklidische meetkunde op historischen grondslag (Groningen, 1932).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 240 kleurentheorie, en gedeeltelijk omdat hij de oorsprong van onze visuele ruimteopvatting zocht. Dit bracht hem tot een studie van het wezen van onze meetkundige axioma's en in het bijzonder van dat van Riemanns kwadratische metriek. Lie verscherpte Helmholtz' analyse omtrent het karakter van de kwadratische metriek door de transformatiegroepen te onderzoeken die daaraan ten grondslag liggen (1890). Dit ruimteprobleem van Lie en Helmholtz heeft de aandacht blijven trekken, niet alleen omdat het van belang bleek te zijn voor de relativiteitstheorie, doch ook voor de fysiologie’.1 In zijn boekje Über Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen (1882) gaf Klein een uiteenzetting van Riemanns begrip der complexe functie. Hier legde hij er de nadruk op, dat ook fysische beschouwingen tot subtiele wiskundige bespiegelingen kunnen leiden. In zijn Vorlesungen über das Ikosaeder (1884) maakte hij op verrassende wijze duidelijk hoe de toen moderne algebra vele nieuwe en merkwaardige eigenschappen van de welbekende Platonische lichamen aan het licht kon brengen. Hiertoe bestudeerde Klein de draaiingsgroepen der regelmatige lichamen en hun betrekkingen tot de groepen van algebraïsche vergelijkingen van Galois. In uitgebreide onderzoekingen, ondernomen met de medewerking van collega's en studenten, paste Klein de groepentheorie toe op lineaire differentiaalvergelijkingen, elliptische moduulfuncties, op functies van Abel en op automorfe functies, op deze laatste in een interessante en vriendschappelijke wedstrijd met Poincaré. Onder de inspirerende invloed van Klein werd Göttingen, waar hij in 1886 professor werd, met haar op Gauss, Dirichlet en Riemann teruggaande traditie, een Mekka voor wiskundig onderzoek en onderwijs, waar jongere en oudere wiskundigen van vele landen elkaar ontmoetten om de studie over gespecialiseerde vraagstukken ter hand te nemen als een bijdrage tot de wiskundige kennis als een geheel gezien. Kleins voordrachten waren steeds op dit geheel gericht, afschriften ervan circuleerden in verscheidene landen en vele wiskundigen hebben van Klein of uit zijn collegedictaten hun begrip van de wiskunde als een één en ondeelbaar totaalgebied verkregen, een gebied dat verder in de nevengebieden van natuur- en sterrenkunde haar vele vertakkingen heeft. Na de dood van Klein in 1925 zijn verscheidene dezer dictaten in boekvorm uitgegeven, o.a. zijn voordrachten over de geschiedenis van

1 H. Freudenthal, Neuere Fassungen des Riemann-Helmholtzschen Raumproblems. Math. Zeitschr. 63 (1956) 374-405.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 241 de wiskunde in de negentiende eeuw, die vele persoonlijke herinneringen bevatten. In de tussentijd had Sophus Lie in Parijs de contacttransformaties ontdekt en daarbij de sleutel tot de dynamica van Hamilton als een speciaal gebied van de groepentheorie gevonden. Na zijn terugkeer in Noorwegen werd hij professor in Christiania (Oslo); van 1886 tot 1898 doceerde hij in Leipzig. Zijn hele leven was aan de studie der continue transformatiegroepen en hun invarianten gewijd, waarbij hij hun centrale positie in de meetkunde, in de mechanica, in de gewone en in de partiële differentiaalvergelijkingen met vele voorbeelden aantoonde. Het resultaat van dit levenswerk werd in een aantal standaardboeken neergelegd, die samengesteld werden met behulp van zijn leerlingen Georg Scheffers en Friedrich Engel: Transformationsgruppen (1888-'93), Differentialgleichungen (1891), Kontinuierliche Gruppen (1893) en Berührungstransformationen (1896). Lie's werk is sindsdien in het bijzonder door de Franse wiskundige Elie Cartan naar alle zijden uitgewerkt en verdiept.

24.

Gelijktijdig met de kolossale ontwikkeling der wiskunde in Duitsland heeft Frankrijks wiskunde het hoge niveau behouden waarop ze zich sinds de tijd van Viète en Descartes had bewogen. Het is niet on-interessant Franse en Duitse wiskundigen van die dagen met elkaar te vergelijken, b.v. Hermite met Weierstrass, Darboux met Klein, Hadamard met Hilbert, Paul Tannery met Moritz Cantor.1

1 De laatste twee waren historici der wiskunde. De beoefening der geschiedenis der exacte wetenschappen, die in de achttiende eeuw in Montucla, in de helft van de negentiende eeuw in Chasles uitstekende vertegenwoordigers had gevonden, begon zich in de tweede helft tot een speciaalgebied te ontwikkelen. Hoogtepunten waren Moritz Cantors Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik (4 delen, 1900-1908), de vele artikelen van Paul Tannery (later in zijn Mémoires verenigd), de uitgave van het tijdschrift ‘Bibliotheca mathematica’ (1884-1914) door de Zweed Gustav Eneström, en de uitgave van de verzamelde werken van grote wiskundigen van het verleden, als Euklides, Archimedes, Descartes, Fermat, Lagrange, Galilei en Huygens. De Huygens-uitgave door Nederlandse geleerden begon in 1888 en eindigde eerst met deel XXII in 1950. De leiding was eerst in handen van J. Bosscha, later van D.J. Korteweg, later van J.A. Vollgraff. Andere Nederlandse historici der wiskunde van die dagen waren de Leidse hoogleraar David Bierens de Haan (1822-95), ook bekend door zijn nog steeds nuttige integraaltafels (1858, 1864, 1867), en de Deventer leraar N.L.W.H. Gravelaar (1851-1913).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 242

In de jaren 1840-'60 was de leidende Franse wiskundige Joseph Liouville, professor aan het Collège de France in Parijs. Hij was een goed docent en organisator, vele jaren lang redacteur van het Journal de mathématiques pures et appliquées. Hij onderzocht de rekenkundige theorie van kwadratische vormen in twee en meer veranderlijken, doch het ‘theorema van Liouville’ in de statische mechanica laat hem weer van een geheel andere zijde kennen. Ook maakte hij het verschil tussen algebraïsche en transcendente getallen duidelijk en bewees in 1844 dat noch e noch e2 wortels kunnen zijn van een vierkantsvergelijking met rationale coëfficiënten. Dit was een stap vooruit in de reeks van onderzoekingen over de natuur van e en π, die in 1761 tot Lamberts bewijs gevoerd hadden dat π irrationaal is, en later voerden tot het bewijs van Hermite (1873) dat e, en dat van F. Lindemann (1882) dat π transcendent is. Liouville en enige zijner medewerkers hielden zich ook bezig met de differentiaalmeetkunde van krommen en oppervlakken: zo zijn de formules van Serret-Frenet (1847) in de leer der ruimtekrommen in de kring om Liouville ontstaan. Charles Hermite, professor aan de Sorbonne en aan de Ecole Polytechnique, werd na de dood van Cauchy in 1857 de leidende vertegenwoordiger van de analyse in Frankrijk. Evenals bij Liouville vindt men bij Hermite vele onderzoekingen in de traditie van Gauss en Jacobi, andere vertonen een zekere verwantschap met het werk van Riemann en Weierstrass. Elliptische functies, moduulfuncties, thètafuncties, getallen- en invariantentheorie - Hermite bewoog zich op al deze gebieden, zoals de namen ‘getallen van Hermite’, ‘vormen van Hermite’, ‘veeltermen van Hermite’ getuigen. Zijn vriendschap met de Hollandse wiskundige Thomas Jan Stieltjes, die in Delft gestudeerd had, en die door hem zijn bescheiden positie als rekenaar aan de Leidse sterrenwacht voor dat van een professoraat in Toulouse kon verwisselen (1889) was een grote aanmoediging voor de ontdekker van de Stieltjes-integraal en de toepassing van kettingbreuken op de theorie van momenten in de theoretische statistiek. De waardering was wederzijds: ‘Vous avez toujours raison et j'ai toujours tort’1 schreef Hermite eens aan zijn vriend. De vierdelige briefwisseling tussen Hermite en Stieltjes, door het Wiskundig Genootschap te Amsterdam uitgege-

1 ‘U hebt altijd gelijk en ik heb altijd ongelijk’. De wiskundige Stieltjes was de zoon van Thomas Joannes Stieltjes, ingenieur van de Overijsselsche Kanaalmaatschappij en ontwerper van havenwerken in Feyenoord bij Rotterdam.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 243 ven, bevat een schat van interessant materiaal, voornamelijk over functies van een complexe veranderlijke. Door J.C. Kluyver, hoogleraar te Leiden, zijn de methoden van Hermite ook in Nederland beter bekend geworden. In de verhandelingen en boeken van Gaston Darboux bleef de grote Franse meetkundige traditie gehandhaafd. Darboux was een meetkundige in de zin van Monge: bij hem ging een diep ruimtegevoel gepaard met de beheersing van de theorie der differentiaalvergelijkingen en van de analytische mechanica. Hij was professor aan het Collège de France en doceerde meer dan een halve eeuw. Nog steeds bekend is zijn elegant standaardwerk Leçons sur la théorie générale des surfaces (4 delen, 1887-'96), waarin hij de resultaten van een eeuw van onderzoek in de differentiaalmeetkunde van krommen en oppervlakte verwerkte. Darboux liet zien hoe deze differentiaalmeetkunde op de meest verschillende wijzen met de leer der gewone en partiële differentiaalvergelijkingen zowel als met de mechanica, verbonden kon worden. Met zijn administratieve en pedagogische bekwaamheid, zijn fijne meetkundige intuitie, zijn beheersing van de analytische techniek en zijn begrip van Riemanns ideeën, nam Darboux in Frankrijk een positie in die aan die van Klein in Duitsland doet herinneren. Dit tweede deel van de negentiende eeuw was in Frankrijk de periode van de grote Franse leerboeken, waarin de resultaten van het analytisch onderzoek en zijn toepassingen in brede lijnen werden uiteengezet. De bekendste van deze leerboeken zijn de Cours d'analyse van Camille Jordan (3 dln, 1882-87) en de Traité d'analyse van Emile Picard (3 dln, 1891-96), waaraan we de Cours d'analyse mathématique van Edouard Goursat (2 dln, 1902-05) mogen toevoegen.

25.

De grootste Franse wiskundige van deze periode was Henri Poincaré, van 1881 tot aan zijn dood in 1912 professor aan de Sorbonne in Parijs. Geen wiskundige van zijn tijd beheerste zulk een breed gebied, en was in staat op zoveel gebieden de theoretische zowel als de toegepaste wiskunde te verrijken. Elk jaar placht hij college te geven over een verschillend gebied; deze colleges werden door studenten uitgegeven en bestrijken een geweldig terrein: potentiaaltheorie, licht, elektriciteit, warmtegeleiding, capillariteit, elektromagnetisme, hydrodynamica, hemelmechanica, thermodynamica, waarschijnlijkheidsrekening. Al deze voordrachten hadden hun eigen verdiensten, zij hebben ideeën verbreid die weer in het werk van anderen vrucht hebben gedragen of die nog vrucht

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 244 kunnen dragen. Poincaré schreef bovendien een aantal populaire of half-populaire boeken die ertoe bij hebben gedragen in brede kringen begrip te wekken voor de kardinale vraagstukken der moderne wiskunde. Bekende titels zijn La Valeur de la Science (1905) en La Science et l'hypothèse (1906).1 Daarnaast publiceerde Poincaré een aantal verhandelingen over de zgn. automorfe functies en functies van Fuchs, over differentiaalvergelijkingen en de topologie waartoe zij voeren, en de grondslagen der wiskunde. Hier legde hij de nadruk op de scheppende rol van de volledige inductie, het eerst door Pascal geformuleerd. Zo doorzocht hij met volmaakte beheersing van de mathematische techniek welhaast alle belangrijke gebieden van de theoretische en toegepaste wiskunde. Met Gauss en Riemann behoort hij tot de wiskundigen van de vorige eeuw die meer dan anderen latere generaties tot een inspiratie zijn geweest. Misschien kan men de sleutel tot het werk van Poincaré vinden in zijn beschouwingen over de hemelmechanica, en in het bijzonder het drielichamenprobleem (Les méthodes nouvelles de Mécanique céleste, 3 dln, 1893). Hier ziet men zijn verwantschap met Laplace en het bewijs dat de eeuwenoude mechanische problemen die met de hemellichamen samenhangen, nog steeds de scheppende geest van de wiskundige konden inspireren. In verband met deze vraagstukken schonk Poincaré hernieuwde aandacht aan divergente reeksen, waarbij hij de theorie der asymptotische ontwikkelingen schiep, ontwikkelde hij de leer der integraalinvarianten, en bestudeerde de stabiliteit der planetenbanen en de vorm van de hemellichamen. Ook zijn fundamentele onderzoekingen over het gedrag van de integraalkrommen van differentiaalvergelijkingen, zowel bij singulariteiten als in hun globale ontwikkeling, houden met zijn werk over het gedrag der hemellichamen verband. Dit geldt zelfs voor zijn onderzoekingen in de waarschijnlijkheidsrekening, een ander gebied waarin hij Laplace' belangstelling deelde. Onze tegenwoordige theorieën over relativiteit, kosmogenie, waarschijnlijkheidsrekening en topologie zijn alle beïnvloed door de geest van Poincaré.

26.

Het Risorgimento, de nationale wedergeboorte van Italië, betekende ook de wedergeboorte van de Italiaanse wiskunde. Onder

1 Lenin heeft het idealisme dat in Poincarés opvattingen over de verhouding van geest en natuur tot leven komt bestreden in zijn Empiriokriticisme en Materialisme (1908).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 245 de wiskundigen die aan dit herstel hebben meegewerkt waren er verscheidenen die deel hadden genomen aan de strijd die hun land van de Oostenrijkers bevrijdde en tot eenheid bracht, later verbonden zij vaak politieke posities met de bezetting van hun leerstoelen. Riemanns invloed woog zwaar, en door Klein, Clebsch en Cayley verkregen de Italiaanse wiskundigen hun kennis van de meetkunde en de invariantentheorie. De elasticiteitsleer trok hen aan door haar verband met de meetkunde. Onder deze stichters van de nieuwe Italiaanse school van wiskundigen vinden wij Brioschi, Cremona en Betti. In 1852 werd Francesco Brioschi professor in Pavia, en in 1862 organiseerde hij het technisch instituut in Milaan waar hij tot zijn dood in 1897 onderricht gaf. Hij was een der oprichters van de Annali di matematica pura et applicata (1858), dat in zijn naam de wens der redacteuren uitdrukte om voor Italië te doen wat Crelle voor Duitsland en Liouville voor Frankrijk hadden gedaan. In het gezelschap van Betti en Casorati bezocht Brioschi in 1858 de leidende Franse en Duitse wiskundigen. Vito Volterra, de invloedrijkste Italiaanse wiskundige van de volgende generatie, heeft later eens geschreven dat ‘het wetenschappelijk bestaan van Italië als een natie’ bij deze reis begon.1 Brioschi was de Italiaanse vertegenwoordiger van de algebraïsche invariantentheorie in de geest van Cayley en Clebsch. Luigi Cremona, na 1873 directeur van de ingenieursschool te Rome, heeft zijn naam gegeven aan de birationale transformaties in het vlak en de ruimte, de zgn. Cremona-transformaties (1863-'65). Hij was ook een der eersten die de zgn. grafostatica ontwikkelde. Eugenio Beltrami, een leerling van Brioschi, was hoogleraar aan de universiteiten van Bologna, Pisa, Pavia en Rome. Zijn voornaamste verhandelingen over de meetkunde verschenen tussen 1860 en 1870, toen hij met zijn differentiaalparameters de rekening met differentiaalinvarianten in de oppervlakkentheorie invoerde. Een andere bijdrage uit die periode was zijn onderzoeking van zgn. pseudosferische oppervlakken, oppervlakken met negatieve kromming van Gauss. Beltrami merkte op, dat men op zulke oppervlakken de niet-euklidische meetkunde van Bolyai kan afbeelden zo men als ‘lijnen’ de geodetische krommen van het oppervlak beschouwt. Dit was dus, evenals de projectieve interpretatie van Klein, een methode om te bewijzen dat elke inwendige tegenspraak in de niet-euklidische meetkunde zich ook als zodanig

1 V. Volterra, Bulletin American Mathem. Soc. 7 (1900) 60-62.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 246 in de euklidische ruimte zou openbaren. Deze verhandeling, die van 1868 dateert en dus aan die van Klein nog voorafgaat, gaf dus aan de niet-euklidische meetkunde om zo te zeggen haar eerste legitimatiebewijs. Omstreeks 1870 waren de ideeën van Riemann meer en meer tot het gemeenschappelijke bezit van de jongere generatie van wiskundigen geworden. Zijn theorie der kwadratische differentiaalvormen werd door de twee Duitse mathematici E.B. Christoffel en R. Lipschitz uitgewerkt (1869-'70). In de verhandeling van de eerstgenoemde, een professor in Zürich, Berlijn en na 1871 professor te Straatsburg, vindt men de uit de relativiteitstheorie zo bekende ‘symbolen van Christoffel’. Lipschitz, hoogleraar te Bonn, is ook bekend door zijn ‘voorwaarden van Lipschitz’ in de leer der reële functies (Lehrbuch der Analysis, 1877-'80). Door de onderzoekingen van Christoffel en Lipschitz over differentiaalvormen en van Beltrami over differentiaalparameters werd Gregorio Ricci-Curbastro in Padua op de idee van de zgn. absolute differentiaalrekening gebracht (1884). Deze rekening was op een nieuwe invariante notatie gebaseerd, die in het eerste werk van Ricci op de transformatie van partiële differentiaalvergelijkingen werd toegepast; en ook toepasselijk bleek op de transformatietheorie van de kwadratische differentiaalvormen. Uit deze absolute differentiaalrekening ontwikkelde zich, door het werk van Ricci en van enige zijner leerlingen, onder wie Tullio Levi-Civita, de methode die we met Einstein nu tensorrekening noemen. Met behulp van tensoren konden verscheidene invariante symbolismen vanuit één standpunt worden bezien, en zij hebben ook in de behandeling van algemene stellingen der elasticiteitstheorie, hydrodynamica en relativiteitstheorie hun waarde bewezen. De naam tensor voor deze symbolen is in de elasticiteitstheorie ontstaan (W. Voigt, omstreeks 1890). De studie der lineaire differentiaalvormen, was reeds door Euler en Monge begonnen, en, als reeds gezegd, is de eerste algemene theorie met de naam Pfaff verbonden (J.F. Pfaff, professor in Helmstedt, bij wie Gauss promoveerde). Pfaffs artikel van 1815 verwierf door Jacobi in 1827 bekendheid. De vele onderzoekingen op dit gebied, o.a. door Grassmann en Frobenius, leidden in het eind der negentiende eeuw Elie Cartan tot die studies over Liegroepen en hun betekenis voor algebra en meetkunde, die juist heden ten dage de grote belangstelling der wiskundigen hebben verworven.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 247

27.

David Hilbert, sinds 1895 professor in Göttingen, hield in 1900 voor het tweede internationale congres van wiskundigen in Parijs een voordracht, waarin hij voor de nieuwe eeuw drieëntwintig gebieden aangaf waarop belangrijk werk kon worden verricht. Toen Hilbert deze voordracht hield, had hij reeds een naam verworven door zijn onderzoekingen op het gebied van algebraïsche getallen-lichamen en door zijn juist verschenen Grundlagen der Geometrie (1899), dat opnieuw de vraag naar een bevredigende axiomatiek der euklidische meetkunde aan de orde stelde (de 8e druk kwam in 1956, na Hilberts dood, uit). Het was in menig opzicht voorbereid door het pionierswerk van Moritz Pasch in Giessen, in het bijzonder door diens boek Vorlesungen über neuere Geometrie (1882), waarin Pasch op de grondslagen der meetkunde een axiomatische methode had aangewend, te vergelijken met die welke Frege in diezelfde tijd op de grondslagen der rekenkunde had toegepast. Hilbert gaf in zijn boek aan hoe de resultaten der Grieken in hun opbouw van de meetkunde verbeterd konden worden, en ook hoe zekere meetkunden eruit zien die op gewijzigde axioma's zijn gebouwd.1 In zijn voordracht van 1900 trachtte Hilbert de geest van het wiskundig onderzoek van de afgelopen tientallen jaren te begrijpen en enige aanwijzingen te geven voor vruchtbare arbeid in de toekomst.2 Een overzicht van enige der problemen die Hilbert aangaf, kan misschien ons inzicht in de betekenis van de wiskunde in de negentiende eeuw verhelderen. Daar ze de eerste schreden zijn van de wiskunde in de 20e eeuw, worden ze in het volgende hoofdstuk behandeld.3 Hilberts program bewees de levenskracht van de wiskunde aan

1 Een bespreking van dit boek van modern standpunt bij H. Freudenthal, Zur Geschichte der Grundlagen der Geometrie, Nieuw Archief v. Wisk. (4) 5 (1957) 105-142, ook Mathem.-Physik. Semesterberichte (Göttingen) 7 (1960) 2-25, 10 (1963) 114-117; O. Bottema, ib. 9 (1962) 164-168; M.M. Toepell, Über die Entstehung von D. Hilberts Grundlagen der Geometrie (Göttingen, 1986). 2 Göttingen Nachrichten (1901) 253-297. 3 Een discussie van de problemen door Hilbert voorgesteld en hun status na dertig jaar vindt men in E. Bieberbach, Über den Einfluss von Hilberts Pariser Vortrag über ‘Mathematische Probleme’ auf die Entwicklung der Mathematik in den letzten dreizig Jahren. Naturwissenschaften 18 (1936) 1101-1111. Sedert die tijd heeft men verdere vooruitgang kunnen boeken. Zie Die Hilbertschen Probleme door P.S. Aleksandrov, Ostwalds Klassiker 252 (Leipzig, 1971), uit het Russisch vertaald.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 248 het eind der negentiende eeuw en vormt een scherp contrast met het pessimisme dat we tegen het einde van de achttiende eeuw hebben waargenomen. Tegenwoordig zijn verscheidene problemen van Hilbert opgelost, andere wachten nog steeds op een bevredigende behandeling. De ontwikkeling der wiskunde in de jaren na 1900 heeft de verwachtingen die aan het einde van de negentiende eeuw zijn gekoesterd, niet bedrogen, en men kan wel zeggen dat de verwachtingen overtroffen zijn. Toch heeft zelfs Hilberts scherpe geest sommige der meest belangrijke en verrassende ontwikkelingen niet kunnen voorzien. De wiskunde der twintigste eeuw heeft haar eigen weg moeten vinden onder haar eigen voorwaarden.

Literatuur

De nog steeds beste geschiedenis der wiskunde in de negentiende eeuw is F. Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert (2 dln, Berlin, 1926/27). Men vindt ook vele gegevens in het boek van E.T. Bell, The Development of Mathematics (2e uitg. New York-London 1945), zowel als in sommige monografieën, in onze inleiding aangegeven. Een lijst van biografieën van leidende wiskundigen, ook van de negentiende eeuw, vindt men in: G. Sarton, The Study of the History of Mathematics (Cambridge, Mass. 1936) blz. 70-98. Verder biografisch materiaal o.a. in DSB en in de verschillende jaargangen van Scripta Mathematica (New York, van 1932 tot heden). Van vele negentiende eeuwse wiskundigen zijn de verzamelde werken uitgegeven, die vaak ook een levensbeschrijving bevatten. Ook sommige tijdschriften, bijv. het Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung, bevatten levensbeschrijvingen. Van de in dit hoofdstuk vermelde wiskundigen zijn de verzamelde werken geheel of gedeeltelijk uitgegeven: Abel, Beltrami, Betti, Bolzano, Bolyai, Brioschi, G. Cantor, E. Cartan, Cauchy, Cayley, Clifford, Cremona, Dedekind, Dirichlet, Fourier, Fuchs, Galois, Gauss, Gibbs, Grassmann, Green, Hamilton, Hermite, Hilbert, Jacobi, Klein, Kronecker, Levi-Civita, Lie, Lobačevskiǐ, Möbius, Plücker, Poincaré, Ricci, Riemann, Ruffini, Steiner, Sylvester, Weierstrass.

Verder: L. de Launay, Monge, Fondateur de l'Ecole Polytechnique (Pa-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 249 ris, 1934) R. Taton, Monge (Paris 1951). ook, korter: Elemente der Mathematik, Beiheft 49 (Basel 1950). N. Nielsen, Geomètres français sous la Révolution (Copenhagen 1929). F. Klein e.a. Materialen für eine wissenschaftliche Biographie von Gauss (8 dln, Leipzig 1911-20). G.W. Dunnington, Carl Friedrich Gauss, Titan of Science (New York, 1955). E. Worbs, Carl Friedrich Gauss, Ein Lebensbild (Leipzig, 1955). [C.F. Gauss] Gedenkband anläszlich des 100. Todestages, he rausg. von H. Reichardt (Leipzig, 1957). Bij diezelfde gelegenheid werd ook een Russisch gedenkboek uitgegeven. (Moskou, 1956). S. Picard, Lobačevskiǐ, grand mathématicien russe. Conférence Palais de la Découverte D 47 (Paris, 1957). Quaternion centenary celebration, Proc. Roy Irish Acad A 50 (1945) 69-98, bevat o.a. A.J. Mc Connell, The Dublin Mathematical School in the First Half of the Nineteenth Century. De Scripta Mathematica Studies (New York, 1945) bevatten een aantal artikelen over William Rowan Hamilton. F. Kötter, Die Entwicklung der synthetischen Geometrie von Monge bis auf von Staudt, Jahresber. Deutsche Mathem. Verein. 5 (1901) 1-486. H. Burckhardt, Entwicklungen nach oscillierenden Funktionen. Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 10 (1908). M. Simon, Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert (Leipzig, 1906). V.F. Kagan, Lobačevskiǐ (Moskou, Leningrad, 1944, in het Russisch). [A.P. Norden, red] Honderd vijf en twintig jaren niet-euklidische meetkunde van Lobačevskiǐ (Moskou, Leningrad, 1952, in het Russisch). D.J. Struik, Outline of a History of Differential Geometry, Isis 19 (1933) 92-120, 20 (1934) 161-191. J.L. Coolidge, Six female mathematicians, Scripta mathematica 17 (1951) 20-31. Besproken worden Hypatia, M.G. Agnesi, E. du Chatelet, M. Sommerville, S. Germain en S. Kowalewskaja. Voortgezet door E.G. Kramer, ib. 23 (1957) 83-95. Sonia Kowalewskaja, Her recollections of childhood, vertaald uit het Russisch door I.F. Hapgood (New York, 1895). In dit boek ook de biografie van A.C. Leffler uit het Zweeds vertaald, ook uitg. in Sammlung Reclam, Leipzig.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 250

Ter herinnering aan S.V. Kowalewskaja. Een verzameling van essays (Moskou, 1951, in het Russisch). Zie ook Istor. Mathem. Issled 7 (1954) 666-715 (Russisch). A.H. Koblitz, A convergence of lives. Sofia Kovalevskaja, Scientist, Writer, Revolutionary (Birkhäuser, Boston etc., 1983). Een uitstekende levensbeschrijving. L.P. Wheeler, Josiah Willard Gibbs (New Haven, 1951). I. Kollros, Jakob Steiner, Elemente der Mathematik, Beiheft 7 (Basel, 1947). G. Prasad, Some Great Mathematicians of the Nineteenth Century: Their lives and their Works (2 dln, Benares 1933/34). bevat biografieën van Gauss, Cauchy, Abel, Jacobi, Weierstrass, Riemann, (deel I) en Cayley, Hermite, Kronecker, Brioschi, Cremona, Darboux, G. Cantor, Mittag-Leffler, Klein en Poincaré (deel II). E. Winter, B. Bolzano und sein Kreis (Leipzig, 1933; Halle, 1949). E. Kolman, Bernard Bolzano (Moskou, 1955, in het Russisch, ook in het Duits). O. Ore, Niels Henrik Abel (Minneapolis 1957, in het Engels. Ook een uitgave in het Noors). L. Infeld, Whom the Gods love (New York, 1948). een roman berustend op het leven van Galois; ook in een Duitse vertaling: Wen die Götter lieben (Wien 1954). Over Galois zie ook R. Taton, Revue Hist. Sci. appl. 1 (1947) 114-130, en A. Dalmas, Evariste Galois, Révolutionnaire et Géomètre (Paris, 1958). J. Hadamard, The Psychology of Invention in the Mathematical Field (Princeton, N.Y. 1945). K.R. Biermann, Über die Förderung deutscher Mathematiker durch Alexander von Humboldt. Gedenkschrift zum 100. Wiederkehr seines Todestages (Berlin 1959) 83-159. K.R. Biermann, J.P.G. Lejeune Dirichlet, Dokumente für sein Leben und Wirken, Abh. Deutsch. Akad. d. Wiss., Klasse für Mathem. 1959, No. 2. L. Koenigsberger, C.G.J. Jacobi (Leipzig, 1904). H. de Vries, Historische Studies (3 dln, Groningen 1918-40). 21 opstellen, meestal over meetkundigen, oorspronkelijk verschenen in ‘Christiaan Huygens’, ‘Euclides’ en het ‘Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde’. Zij zijn door verdere studies gevolgd, no. 30 (het laatste) verscheen in het N.T.v.W 42 (1955). Mathematics of the 19th century: Mathematical Logic, Algebra, Theory of Numbers, Theory of Probability, uitg. door A.N.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 251

Kolmogorov en A.P. Juškevič (Moskou, 1978, in het Russisch). E. Scholtz, Geschichte des Mannigfaltigkeitsbegriffs von Riemann bis Poincaré (Boston, 1980). P. Dugac, Richard Dedekind et les fondements des Mathématiques (Paris, 1976). I. Grattan-Guinness, The Development of the Foundation of Mathematics from Euler to Riemann (Cambridge, Mass., 1970). J. Herivel, Joseph Fourier, the Man and the Physicist (Oxford, 1975). zie I. Grattan-Guinness, Annals of Science 32 (1975) 503-514. J.W. Dauben, George Cantor, his Mathematics and Philosophy of the Infinite (Cambridge, Mass., 1979). B.A. Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry (Springer, New York etc. 1988). Vertaling van de Russische uitgave, Moskou, 1975. Zie ook HM 6 (1979) 460-464. P. en E. Morrison, Babbage's calculating Machine or Differential Engine (New York, 1965). J.V. Grabiner, The Origins of Cauchy's rigorous Calculus (Cambridge, Mass., Londen, 1981). C. Reid, Hilbert (New York, 1970). M. Métivier, P. Costabel, P. Dugac, Siméon-Denis Poisson et la Science de son Temps (Paris, 1981). G. Temple, Thirty Years of Mathematics. A personal Viewpoint (Springer, New York etc., 1981). Speciaal de periode 1850-1900. H. Kennedy, Life and Works of G. Peano (Dordrecht, 1980). U. Bottazzini, Il Diciannovesimo Secolo in Italia pp. 249-312 van D.J. Struik, Matematica, un Profilo Storico (Il Mulino, Bologna, 1981). K. Marx, Matematičeskie Rukopisi (Moskou, 1968). Marx's wiskundige manuscripten in het oorspronkelijk Duits met Russische vertaling en commentaar. Zie hierover: D.J. Struik, Marx and Mathematics, Science and Society 12 (1948) 181-196, zie ook A.P. Gokieli, De wiskundige handschriften van Karl Marx (Tiflis 1947, Russisch). H.C. Kennedy, Karl Marx and the Foundations of the differential Calculus, HM 4 (1977) 303-18. H. Mehrtens, H. Bos, I. Schneider, Social History of Nineteenth Century Mathematics (Birkhäuser, Boston etc., 1981). H.J.M. Bos-H. Mehrtens, The Interactions of Mathematics and Society in History, HM 4 (1977) 7-30 met uitgebreide bibliografie.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 252

Over Nederlandse wiskundigen, behalve de reeds geciteerde geschriften van M. van Haaften en de artikelen van D. Bierens de Haan, zie het artikel van D.J. Struik in A.J. Barnouw-B. Landheer, The contribution of Holland to the Sciences (New York, 1943). en dat van C.J. van der Corput in K.F. Proost, J. Romein, Geestelijk Nederland 1920-1940 II (1942) en dat van H.D. Kloosterman, op blz. 234-255, in Natuurwetenschappelijk onderzoek in Nederland (Amsterdam, 1942), zowel als biografieën in ‘Nieuw Archief voor Wiskunde’.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 253

IX. De eerste helft der twintigste eeuw

Wanneer onze eeuw begint, staat de wiskunde in volle bloei. Wel waren de leidende figuren nog steeds mannen, en die mannen waren van Europese afkomst. De voornaamste landen waren nog steeds Frankrijk en Duitsland, met Parijs als het wiskundige hart van Frankrijk, terwijl in het minder gecentraliseerde Duitsland Göttingen en Berlijn vooraan stonden. Maar ook elders kon men verdienstelijke wiskundigen aantreffen, in Scandinavië, Rusland, Zwitserland, België, Engeland en in Nederland, en reeds toonden de Verenigde Staten en Japan, dat het monopolie dat Europa sinds de Renaissancedagen had genoten, aan het verdwijnen was. Van personen gesproken: de meest vooraanstaande internationale figuren waren wel Felix Klein in Göttingen en Henri Poincaré in Frankrijk, maar ook elders kon men wiskundigen van grote verdienste vinden, als Vito Volterra in Italië, of Hermann Minkowski in Zürich, terwijl ook in Göttingen David Hilbert en in Parijs Gaston Darboux en Jacques Hadamard een vooraanstaande rol speelden. Ofschoon wetenschappelijke academies in de negentiende eeuw de belangrijke plaats hadden verloren die ze in de eeuw van Euler en D'Alembert hadden genoten, waren sommige nog zeer actief, zoals de Franse Académie des Sciences of de Italiaanse Accademia dei Lincei. Toch waren nu bijna alle wiskundigen voornamelijk in het onderwijs betrokken, en de wetenschappelijke geesten onder hen in hogescholen en technische universiteiten. Sommige van hen, bijvoorbeeld in Nederland en Scandinavië, waren als adviseurs aan verzekeringsmaatschappijen verbonden. Doch ofschoon polytechnische instituten en technische hogescholen wiskundige faculteiten hadden, waren er toch maar weinige mathematici direct in het produktieproces betrokken. Een begin vormde de loopbaan van Charles Proteus Steinmetz, student in Breslau en Zürich, en van 1895 verbonden aan de General Electric Co. in Schenectady (V.S.) als consulting engineer. Zijn wiskundig werk omvatte de toepassing van complexe functies op de wisselstroomtechniek. Dat deed ook Arthur Kennelly, vanaf 1902 aan Harvard, later ook aan Mass. Institute of Technology (MIT), beiden in Cambridge, Massachusetts. In Engeland leerde Oliver Heaviside, in de

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 254

1880's en later adviseur van telefoon- en andere elektrische organisaties, hoe moderne wiskunde, als in de zgn. telegraafvergelijking, op elektromagnetische theorie kan worden toegepast. Hij hield er onorthodoxe ideeën op na, als op het gebied van vectoren en operatoren, doch die later streng wiskundig konden worden gerechtvaardigd. Heaviside had de reputatie van een zonderling, een kluizenaar, te zijn. Hij en Kennelly hebben hun naam gegeven aan wat we nu doorgaans de ionosfeer noemen. Felix Klein, die een goed begrip had van de belangrijke rol die de moderne wiskunde in de industrie begon te spelen, sprak met industriëlen en verkreeg hun financiële steun voor de organisatie van wiskundig onderzoek op technische problemen. Een van zijn successen was het Instituut voor Aerodynamisch en Hydrodynamisch Onderzoek in Göttingen, met als directeur de werktuigkundige ingenieur Ludwig Prandtl (1908). Toenmaals waren er nog weinig instellingen van dien aard. De belangrijkste wiskundigen van deze tijd moeten we dus aan de universiteiten zoeken. Evenals hun vakgenoten waren ze doorgaans in genootschappen georganiseerd. Twee ervan waren eerwaardige overlevenden uit de oude tijd, de wiskundige kring in Hamburg, die van 1690, en het Wiskundig Genootschap in Amsterdam, dat van 1776 dateert. Nieuwere vakorganisaties vinden we in Moskou (1860), Londen (1865), Frankrijk (1870), Edinburgh (1883), Palermo (1884), Duitsland (1890), New York (1888, de kern van de American Mathematical Society, 1894). Tot de nieuwe eeuw behoren die van Indië (1907, en een andere in 1908), en van Spanje en Polen (1911). Wiskundigen konden zodoende elkaar op congressen ontmoeten en hun werk bespreken. Als de eerste internationale bijeenkomst van belang kan men de verzameling van wiskundigen beschouwen die in 1893 naar Chicago ter gelegenheid van de wereldtentoonstelling aldaar waren uitgenodigd. Hier gaf Klein de voordrachten gepubliceerd als de Evanston Colloquium Lectures. Daarop volgde in 1897 in Zürich het eerste werkelijk internationale congres, met ongeveer 200 deelnemers. De congrestalen waren Frans en Duits. Een der voornaamste voordrachten was die van Adolf Hurwitz, professor in Zürich, over analytische functies. Onderwerpen van discussie waren de toen nog nieuwe leer der verzamelingen van Cantor, de logische grondslagen der wiskunde (Peano, Schröder) en functies van functies (Volterra). Jacques Hadamard stelde hiervoor de naam fonctionelles voor. Het volgende internationale congres, weer tijdens een wereld-

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 255 tentoonstelling, kwam in 1900 bijeen te Parijs, en is in de herinnering gebleven door de 23 problemen die waren naar voren gebracht door Hilbert. Dat congres was een der vele die dat jaar in Parijs plaatsvonden, waaronder het eerste filosofencongres dat ook voor de wiskunde van belang was. Hier discussieerden Peano, Russell en Whitehead over de grondslagen der wiskunde. Wijsbegeerte en wiskunde, in de loop der negentiende eeuw nogal vervreemd geraakt (met sommige uitzonderingen als Boole en Riemann), waren weer aan het convergeren. Emile Picard had er al in 1897 in Zürich op gewezen: Les mathématiques sont en grande coquetterie avec la philosophie.1 De vraag was maar: met wat voor soort van filosofie. De volgende internationale congressen waren in Heidelberg (1904), Rome (1908) en Cambridge (Engeland, 1912). De Eerste Wereldoorlog onderbrak de keten, en eerst in 1928 kwam in Bologna het eerste werkelijk internationale congres na de oorlog weer bijeen. Met de stadige groei van de verschillende takken van wiskunde werd het steeds moeilijker het gehele terrein te overzien. Dit bracht Klein en sommige van zijn Duitse collega's ertoe de Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften te organiseren, een onderneming op grote schaal, met het eerste deel, over Arithmetik und Algebra uit in 1908, en daarna voortgezet over vele jaren als een verzameling van monografieën, tot Sectie VI, 2 Astronomie. Getracht werd, niet zonder moeite, om in de geest van Klein het onderlinge verband der verschillende gebieden tot uitdrukking te brengen. In 1904 begon een herziene uitgave in het Frans, maar deze werd het slachtoffer van de Eerste Wereldoorlog. Wie een korter overzicht wenste kon het Repertorio (1897-1900) onder redactie van Ernesto Pascal (Pavia, later Napels) raadplegen. Dit Repertorio was een soort prototype van het Duitse Repertorium der höheren Mathematik, dat tussen 1910 en 1929 in 5 delen uitkwam eveneens met artikelen van specialisten. Ook verschenen er encyclopedieën over de meer elementaire delen der wiskunde (Weber-Wellstein, Berzolari). Wie de literatuur wilde volgen keek geregeld naar het Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, dat al in 1871 was begonnen en ieder jaar korte berichten gaf over de recente literatuur. In het Jahrbuch van 1900 vinden we ongeveer 2000 titels en 1500 auteurs.

1 ‘De wiskunde is bezig hevig met de filosofie te koketteren.’

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 256

Aangezien drie jaren moesten verlopen voordat het Jahrbuch verslag over een publikatie bracht, begon het Wiskundig Genootschap in 1892 de Revue Semestrielle des Publications Mathématiques uit te geven, gewoonlijk alleen met titels, maar die dan gepubliceerd met een korter interval. In 1938 werd de uitgave gestaakt, maar de Fortschritte bleven doorgaan. Vele wiskundigen werkten aan deze berichtgeving mee. Het aantal wiskundige tijdschriften was ook aan het groeien. ‘Crelle’ en ‘Liouville’ bestonden al lang, en zo ook sommige meer lokale publikaties als het ‘Nieuw Archief’, dat van 1875 stamt als voortzetting van het ‘Archief’, begonnen in 1856 - beide uitgaven van het Wiskundig Genootschap. Nu kwamen, in regelmatige successie, andere tijdschriften uit, te beginnen met de Annali di Matematica (1858), gevolgd door de Matematičeskiǐ Sbornik (Moskou, 1866), de zeer gezaghebbende Mathematische Annalen (1868), het Bulletin des Sciences mathématiques (1870), het American Journal of Mathematics (1878), de Acta mathematica (1882, Zweden), de Rendiconti di Palermo (1885) en de Transactions of the American Mathematical Society (1899). Later kwamen o.a. de Mathematische Zeitschrift (1918) en de Poolse Fundamenta mathematica (1920). Al deze tijdschriften bestaan nog, en er komen er geregeld bij. Ook academies publiceerden, sommige van hun tijdschriften waren al oud, zoals de Comptes Rendus van de Franse Académie, en ook de Göttinger Nachrichten. Ook sommige scholen hadden hun organen, als de Parijse Ecole Normale, en in 1922 kwam MIT erbij. Het was een heel karwei om bij te blijven, en daar was ook kennis van talen voor nodig; want Latijn was verdwenen als internationale taal. Gauss en Jacobi waren wel zowat de laatsten die althans somtijds in het Latijn schreven. Maar sommige tijdschriften hadden groot prestige. Met een artikel in de Mathematische Annalen kon men een brede kring van invloedrijke lezers bereiken. De meeste leerboeken uit die tijd zijn nu wel wat verouderd. Een aantal hebben evenwel hun aantrekkingskracht behouden, zoals die van Hilbert, Hausdorff, Borel, Russell, Whitehead, Lebesgue, Sierpinski. Brouwers dissertatie is van 1907.

Jan Romein, de Amsterdamse historicus, heeft in een zeer gedocumenteerde studie de aandacht gevestigd op de vele en diepe veranderingen in onze cultuur, die tussen 1890 en 1910 op bijna alle gebieden hebben plaatsgevonden, van economie en geschiedenis

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 257 tot muziek.1 De wiskunde was geen uitzondering. De oorzaken van de vernieuwing waren voornamelijk van inwendige aard, zoals de groeiende invloed van Cantors leer der verzamelingen (dit ging niet zonder moeilijkheden), de daarmee verwante studies (en debatten) over de grondslagen der wiskunde (wat is waarheid?) en de ontwikkeling van abstracte structuur in algebra, logica en ruimteleer. De aloude opvatting van de wiskunde als de leer van de kwantiteit kwam meer en meer op de achtergrond, althans in leidende kringen, en meer en meer zag men daar de wiskunde als de algemene theorie van structuur, met vele variaties. Nieuwe gebieden werden geopend, zoals de integratietheorie van Lebesgue, de functie-analyse, de operatorenrekening, tensors en dit begeleid door de debatten tussen de intuïtionisten (Brouwer), formalisten (Hilbert) en logistici (Russell), debatten die soms zelfs een persoonlijk karakter aannamen. Maar al deze veranderingen werden ook van buiten beïnvloed, vooral door de diepgaande omwentelingen in de fysica, waar na 1905 relativiteitstheorie en quantumtheorie de hoogste eisen begonnen te stellen aan wiskundige scheppingskracht. Eisen kwamen ook in van schei- en sterrenkundigen, filosofen en theologen speelden mee. En laten we ook niet de biologen (biometrica) en de ingenieurs, vooral de elektrotechnische ingenieurs, niet vergeten. De leidende figuur van de oudere generatie werd meer en meer Hilbert, vooral na de dood van Poincaré in 1912 en door de afnemende rol van Klein, die in 1925 stierf. (Hilbert zelf leefde tot 1943). Een vrij goed begrip van de toestand in de wiskunde omstreeks 1900 kan men uit de studie van de 23 problemen verkrijgen die Hilbert in 1900 in Parijs aan de wereld had voorgedragen. We zullen ze hier de revue laten passeren. Ze dragen sterk de stempel van Hilberts werk, maar dit was veelomvattend. Hier zijn ze: 1. Cantors vraag betreffende het kardinaal karakter van het continuüm. Wat is de betrekking tussen het continuüm en de aftelbare verzameling? Kan het continuüm als welgeordend worden beschouwd? 2. De logische consistentie (contradictieloosheid) van de arithmetische axioma's. Zo deze bestaat, dan kan de consistentie van de meetkundige axioma's worden bewezen. 3. De inhoudsgelijkheid van twee viervlakken met gelijke hoogte en gelijk grondvlak. Kan dit zonder infinitesimaalrekening

1 Jan Romein, Op het Breukvlak van twee Eeuwen (2 dln, Leiden-Amsterdam, 1967) Hoofdstuk XXII (deel II, 7-25) behandelt de natuur- en wiskunde.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 258

worden bewezen? 4. Wanneer is de rechte lijn de kortste verbinding van twee punten? Dit komt op in zekere vormen van meetkunde, b.v. die van Minkowski. 5. Lie's conceptie van een continue transformatiegroep zonder de voorwaarde van de differentieerbaarheid van de functies die de groep definiëren. Dit probleem kan tot functievergelijkingen voeren. 6. De wiskundige behandeling van de axioma's der natuurkunde. Van de axioma's der meetkunde kan men overgaan tot die van de rationale mechanica (als b.v. Boltzmann het in 1897 uitvoerde) en tot zulke gebieden als waarschijnlijkheidsrekening, statistische mechanica, enz. 7. De irrationaliteit en de transcendentie van zekere getallen, b.v. getallen van de vorm αβ als α ≠ 0 algebraïsch is en β algebraïsch irrationaal, zoals 2√2 of eπ = r2i. Zijn deze getallen irrationaal of transcendentaal? Hilbert dacht hierbij aan het werk van Hermite en Lindemann in verband met het getal π. 8. Vraagstukken in de leer der priemgetallen. Hier kunnen we aan Riemanns Zètafunctie denken of aan het vermoeden van Goldbach dat elk even getal op minstens één manier kan worden geschreven als de som van twee priemgetallen (brief aan Euler, 1742).1 9. Het bewijs van de algemeenste reciprociteitswet in willekeurige getalvelden. Dit had te doen met Hilberts eigen onderzoekingen over relatief kwadratische getalvelden. 10. Te onderzoeken of een Diofantische vergelijking met een willekeurig aantal veranderlijke en gehele rationele coëfficiënten door gehele rationale getallen kan worden opgelost. Dit was een oud probleem en van tijd tot tijd weer opgevat, o.a. in het zgn. grote probleem van Fermat (xn + yn = zn). 11. De theorie van kwadratische vormen met algebraïsche coëfficiënten. Dit had eveneens een rechtstreeks verband met Hilberts eigen werk. 12. De generalisatie van Kroneckers theorema over Abelse lichamen tot een willekeurig rationaliteitsgebied. Dit is een terrein

1 Christian Goldbach was een Duitser verbonden met de Academie in St.-Petersburg, en correspondeerde met Euler tussen 1729-'63. Zie A.P. Yuškevič (Jouschkevich) en E. Winters Briefwechsel tussen beiden (Berlijn, 1965). Hier een paar voorbeelden waarop het vermoeden van Goldbach berust: 10 = 3 + 7 = 5 + 5,24 = 1 + 23 = 5 + 19.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 259

waarop algebraïsche functies, getallentheorie en abstracte algebra elkaar ontmoeten. 13. De onmogelijkheid de algemene zevendegraadsvergelijking op te lossen met functies van slechts twee veranderlijken. Dit was een kwestie die opgekomen was in nomografie, zoals D'Ocagne die had uiteengezet.1 14. Het bewijs van het eindige karakter van zekere stelsels van ‘relatief gehele’ functies. Hier wordt het begrip van gehele functie algemener gemaakt tot relativganz. Dit houdt verband met theorema's over de eindigheid van stelsels van invarianten in de theorieën van Gordan en Hilbert. 15. Scherpe formulering van de aftellende meetkunde, door H. Schubert ingevoerd. Hiervoor moet een strenge algebraïsche basis worden gevonden.2 16. De topologie van algebraïsche krommen en oppervlakken. Dit onderwerp is nog weinig ontwikkeld, al weten we al enkele eigenschappen, speciaal van krommen. 17. De voorstelling van definiete functies (functies die voor reële waarden van de veranderlijken nooit negatief zijn) door sommen van kwadraten van rationale functies met reële coëfficiënten. Dit was in een speciaal geval door Hilbert zelf gedaan. 18. De ruimtevulling door congruente veelvlakken. Dit is een probleem in groepentheorie en kristallografie, geïnspireerd door het werk van E.S. von Fedorov en A. Schoenfliesz.3

1 Maurice D'Ocagne, van de Ecole Polytechnique in Parijs, kan beschouwd worden als de stichter van de nomografie, d.i. de wetenschap vergelijkingen op te lossen met behulp van grafische voorstellingen (nomogrammen); hij voerde ook de naam in: Nomographie (1891), Traité de nomographie (1899). Het principe is ouder, o.a. te zien in het werk van Junius Massau in Gent (1884). 2 Deze zgn. aftellende meetkunde was ook een geliefde vorm van onderzoek in Nederland, o.a. van Jan de Vries in Utrecht. De dissertatie van B.L. van der Waerden (Amsterdam) was een bijdrage tot de strenge formulering. 3 Von Federov was een mijningenieur in de Oeral. Schoenfliesz, later een professor in Frankfurt a. M., was bij Klein in Göttingen toen zijn eigen werk en dat van Federov (over de 230 kristallografische ruimtegroepen) verscheen, in 1891 en 1896. Zie AHES 4 (1967) 235-240. Federov, in 1891, ontdekte ook dat er precies 17 tweedimensionale symmetriegroepen van zich herhalende patronen (zoals op behangselpapier) bestaan. Dit werd door G. Polya en P. Niggli in 1924 herontdekt. Zie H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry (New York, 1981), Hoofdstuk 4.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 260

19. Zijn de oplossingen van reguliere variatieproblemen van de vorm δJ = O, J = ∬F (x, y, z, p, q) dxdy altijd analytisch, als F analytisch is? Hilbert merkt op dat ieder oppervlak van constante positieve kromming analytisch moet zijn, doch dit is niet het geval voor oppervlakken van constante negatieve kromming. 20. Het algemene randwaardeprobleem, in het bijzonder het bewijs van de existentie van oplossingen van partiële differentiaalvergelijkingen met gegeven randwaarden, en generalisaties van reguliere variatieproblemen. 21. Het onderzoek naar lineaire differentiaalvergelijkingen met voorgeschreven monodromiegroep. Dit gaat reeds op Riemann terug. 22. De uniformisering van analytische betrekkingen door automorfe functies. Dit gaat in principe op Poincaré terug. 23. Uitbreiding van de methoden der variatierekening. Hilbert voegde deze laatste opgave, die meer een soort oproep is, aan de andere toe omdat, ondanks de bijdragen van Weierstrass en zijn school de variatierekening nog steeds een wijd open veld was, en dat onderzoekingen hier bevruchtend op verscheidene andere gebieden van wiskunde en mechanica (b.v. het drielichamenprobleem1) konden werken.

‘Du hast die Mathematik für das 20.te Jahrhundert in Generalpacht genommen’ schreef Minkowski in een brief aan zijn vriend Hilbert na zijn Parijse voordracht.2 Die opmerking mag nu wel ietwat overdreven lijken, maar het blijft een feit dat de onderwerpen aangeroerd door Hilbert tot heel veel onderzoek van grote diepte hebben geleid, een onderzoek dat nog steeds wordt voortgezet. Sommige van deze problemen zijn opgelost, b.v. no. 3 door Max Dehn (de infinitesimaalrekening is nodig), no. 17 door Emil Artin in 1920. Andere problemen zijn gedeeltelijk opgelost, zoals no. 7, o.a. door A. Gelfond in 1929 - per slot van rekening was dit probleem meer een program dan een vraagstuk, evenals no. 16, dat de mogelijkheid van een geheel gebied van wiskunde opent.

1 Tussen 1907 en 1912 gaf K.F. Sundman in Helsinki een algemene oplossing van dit oude probleem, maar ze was weinig praktisch voor numeriek werk - dit was vóór we computers hadden. 2 ‘Je hebt de gehele wiskunde van de 20e eeuw aan je verpacht’. Over al deze problemen zie de laatste sectie van Hoofdstuk VIII plus voetnoot, zowel als het overzicht door H. Freudenthal in DSB VI (1972) 393-394.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 261

In het jaar 1900 kwam ook het tweedelige verslag uit van Schoenfliesz over de ontwikkelingen van de leer der verzamelingen, opgesteld in opdracht van de Deutsche Mathematische Gesellschaft. Het vormde een soort triomf voor deze theorie, nu vrijwel algemeen aanvaard, en toonde haar belang voor de theorie van functies van reële veranderlijken, en het begrip maat. De auteur besprak verscheidene vormen van aanpak, zoals die van Cantor, Peano, Jordan en Borel. Het was onder de invloed van Borel dat verdere vooruitgang werd gemaakt, en nu in Frankrijk.

In de latere jaren van de 19e eeuw had deze theorie van reële functies belangrijke nieuwe resultaten opgeleverd, vooral op gebieden van functionele afhankelijkheid en kwesties van scherpe definities inzake differentiatie en integratie, vaak in verband met de theorie van trigonometrische reeksen. Uit deze theorie was ook Cantors leer der verzamelingen voortgesproten, en andere kwesties van harmonische analyse. We ontmoeten hier zulke onderzoekers als Paul DuBois Reymond in Berlijn, Ulisse Dini in Pisa en Camille Jordan in Parijs. Jordan, in de jaren '80 en later, vooral in zijn veel bestudeerde Cours d'Analyse (3 delen, 1882-84, 3e uitg. 1909-15) voerde het begrip fonctions de variation bornée (beperkte variatie) in en kwam, evenals Poincaré, ongeveer terzelfder tijd, met topologische beschouwingen. Hij zocht naar een streng bewijs voor wat we als stelling van Jordan kennen, een stelling die zegt dat een enkelvoudige gesloten kromme in het vlak dit vlak in twee delen verdeelt: een binnen- en een buitenzijde. Hij plaatste ook integratie binnen het begripsgebied van een ‘meetbare’ verzameling. Deze gedachtengang werd verder gevolgd door Emile Borel aan de Parijse Ecole Normale. Hier, als een student, rond 1890, was hij extrêmement séduit1 door Cantors leer der verzamelingen. In zijn proefschrift van 1894 bracht hij het ‘theorema van Heine-Borel’2, zowel als het bewijs dat een aftelbare verzameling de maat nul heeft, ‘maat’ hier gedefinieerd uitgaande van een eindige verzameling van intervallen tot een meer uitgebreide verzameling (de ‘maat van Borel’). In 1898 publiceerde hij zijn Leçons sur la théorie des fonctions (heruitgegeven in 1950).

1 In hoge mate verleid. 2 Deze naam is vaak gekritiseerd. Eduard Heine, een professor in Halle (waar ook Cantor doceerde), had in 1872 een theorema opgesteld dat met dat van Borel overeenstemt, maar Borel was de eerste die de betekenis ervan begreep.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 262

Dit was het uitgangspunt voor Henri Lebesgue, ook aan de Ecole Normale, toen hij daar rond 1890 studeerde. Hij was hier in nauwe betrekking tot de vier jaar oudere Borel en zijn eigen tijdgenoot Réné Baire.1 Het proefschrift van Baire Sur les fonctions de variables réelles (1899) paste Cantors leer toe op de limietfuncties van continue functies en kwam zo tot functies behorende tot verschillende ‘klassen van Baire’. Op dit proefschrift volgde het beroemde van Lebesgue Intégrale, longueur, aire (1902). Met een direct beroep op Jordan en Borel voerde Lebesgue zijn maatbegrip in. ‘Er is geen begrip meer fundamenteel dan dat van maat’ schreef hij in 1931, wijzend op de rol die dit begrip had gespeeld. Zijn op dit begrip van maat gebaseerde integratie is nu algemeen aanvaard naast de oudere integratie van Riemann, omdat ze een hogere eenheid bracht op dit veel besproken gebied. Een van Lebesgues theorema's was dat een continue functie van beperkte variatie een eindige afgeleide heeft, behalve misschien op een verzameling van maat nul. Lebesgue, na enige provinciale betrekkingen te hebben aanvaard, keerde in 1910 terug naar Parijs, eerst als professor aan de Sorbonne, dan (1921) aan het Collège de France. Baire doceerde eerst in Montpellier, daarna in Dijon, maar slechte gezondheid belette hem na 1914 verder wiskundig werk te verrichten. Het latere werk van Lebesgue, ook voortgezet door andere wiskundigen als Maurice Fréchet (ook van de Ecole Normale) brachten meer en meer wiskundigen ertoe zijn denkwijze te aanvaarden. Niet zonder aarzeling - waarom moet men zich met al die ‘pathologische’ functies bezighouden? - was de gedachte van vele heren van de oudere school. Maar de Lebesgue-integraal was in staat allerlei moeilijkheden te overwinnen die men sedert Riemann en Weierstrass had ontmoet. Het was in de ideeënkring van Lebesgue en Baire dat Fréchet in 1908 tot zijn begrip van abstracte ruimte kwam en Arnaud Denjoy (die in Utrecht professor werd) tot zijn generalisatie van de Lebesgue-integraal. Fréchets ideeën werden weer opgenomen door anderen, als Stefan Banach in Polen, die in 1920 de ‘Banach-ruimten’ invoerde, in dezelfde tijd dat ook Nor-

1 Lebesgue en Baire, met Gauss en Monge, behoren tot de weinige vooraanstaande wiskundigen van het verleden die afkomstig zijn uit de arbeidersklasse. Elie Cartans vader was een hoefsmid, Loezins grootvader was een lijfeigene. Newton stamde uit een geslacht van onafhankelijke boeren (yeomen). De meeste leidende wiskundigen van de laatste eeuwen kwamen uit de middenklasse (onderwijs, kerk, rechten).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 263 bert Wiener in Amerika met gelijksoortige ideeën speelde. De jonge Lebesgue, zo wordt verteld, was zo kritisch ingesteld ten opzichte van de functietheorie van zijn tijd dat hij eens opmerkte dat een verfrommelde zakdoek een regeloppervlak moet zijn, omdat zijn professor in Nancy ‘bewezen’ had dat een oppervlak dat op een plat vlak kan worden afgewikkeld uit rechte lijnen bestaat. Die kritische instelling was typisch voor die tijd, ze blijkt uit andere ‘anomaliën’ als de ‘kromme van Peano’, een afbeelding van een lijnsegment op een vierkant door continue functies x en y van een veranderlijke t, dus een kromme die een vlak vult. Ook Hilbert vond zulk een ‘anomale’ kromme. Zulke vondsten leidden tot de vraag naar wat nu eigenlijk een kromme is en voerden tot onderzoek naar het dimensiebegrip. Vanuit Duitsland kwam nu een verdere bijdrage tot onderzoek in topologie en verzamelingenleer, welke ertoe bijdroeg deze gebieden algemeen tot respectabele academische onderwerpen te maken. Bedoeld is het boek van de professor in Bonn Felix Hausdorff, in 1914 gepubliceerd als Grundzüge der Mengenlehre, later uitgegeven als Mengenlehre (1927, derde uitg. 1937). Het bevatte een axiomatische definitie van wat men een topologische ruimte begon te noemen. Een andere generalisatie van het ruimtebegrip, zo typisch voor deze tijd, had een metrieke maat en werd naar Hilbert genoemd. We hebben alreeds vermeld dat wiskundigen van de oude stempel nogal wantrouwend stonden tegenover al die belangstelling voor ‘pathologische’ functies en figuren die zo geheel anders waren dan de ‘gladde’ objecten waarmee ze vertrouwd waren. ‘Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions qui n'ont pas de dérivées’ schreef Hermite eens aan Stieltjes.1 Giuseppe Peano, van 1886 tot zijn dood in 1932 professor in Turijn, was een pionier in de wiskundige logica en axiomatiek, met nadruk op volle strengheid. Dit bracht hem tot zijn Formulario matematico in 5 delen (1895-1908, herdrukt in 1960), een samenvatting van de wiskundige stellingen (ze kwamen tot 4200), lo-

1 ‘Ik wend me met vrees en afschuw af van deze betreurenswaardige pestilentie als functies zonder afgeleide.’ Ik zelf hoorde nooit iets over integratie van Lebesgue tijdens mijn studentenjaren rond 1916 in Leiden. Zelfs in 1925 vond ik weinig waardering in Göttingen. Het was Wiener, die ik in Göttingen ontmoette, die me erop wees hoe belangrijk het werk van Lebesgue was.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 264 gisch precies met hulp van een speciaal symbolenschrift. Hij zag ook in hoe fundamenteel het werk van Grassmann was. Peano was niet in staat de hele wiskundige wereld te overtuigen, ook niet van zijn wereldtaal Latino sine Flexione, maar zijn invloed is groot geweest, o.a. op Russell en Whitehead.

De theorie der reële functies nam steeds uitgebreider vormen aan, speciaal door de studie van trigonometrische reeksen en harmonische analyse. Lebesgue schreef hier in 1906 een boek over. Een ander gebied was functionaalanalyse en in het bijzonder de leer der integraalvergelijkingen. De naam fonctionelle kwam, als we zagen, van Hadamard, en nam de plaats in van het meer beperkte begrip van fonction de ligne, lijnfunctie. De idee van lijnfuncties kwam eerst uit Italië, waar Volterra, de veelzijdige leerling van Betti en Dini in Pisa, professor in Turijn van 1893 tot 1900, en daarna in Rome voor veertig jaren, deze functies in 1889 had ingevoerd. Evenals in andere gebieden waarin hij werkzaam was, werd hij door fysische beschouwingen geleid, zoals de afhankelijkheid van de stroomenergie van de vorm van de draad die in een elektrisch veld wordt bewogen of verbogen. Hadamard, later ook Fréchet, hadden hun uitgangspunt in de variatierekening, en dit was ook één der wijzen waarop Fréchet tot zijn abstracte ruimten kwam. Hadamard, een van de meest invloedrijke en veelzijdige mathematici van zijn tijd - en die liep van zijn dissertatie in 1892 tot ver in de jaren '50 (hij werd bijna 98 jaar oud), was werkzaam in logica en getallentheorie, in analyse en hydrodynamica. Hij kan met Hilbert, Weyl en Kolmogorov tot de weinige wiskundigen van de eerste helft der 20e eeuw gerekend worden die vrijwel de gehele wiskunde scheppend konden overzien. Zijn Série de Taylor et son prolongement analytique van 1901, een voortzetting van zijn dissertatie, is weleens de ‘bijbel’ genoemd van allen die in dit onderwerp waren geïnteresseerd. Een andere bijdrage tot de functionaalanalyse brachten de integraalvergelijkingen. Dit gebied was al tamelijk oud, we kunnen b.v. aan de transformatie van Laplace (1792), en zeker vergelijkingen van Abel (1823) en Liouville (1832 en later) denken. Deze formules waren echter geïsoleerd. Maar het waren in het bijzonder grenswaardeproblemen in de potentiaaltheorie en andere gebieden waarin differentiaalvergelijkingen een belangrijke rol spelen, als b.v. bij trillingen in een continuüm, die leidden tot een systematische aanpak. Volterra stelde in 1887 de lineaire integraalvergelijking op die naar hem is genoemd. Zijn voorbeeld werd in 1900 en

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 265

1903 gevolgd door Ivor Fredholm in Stockholm. Het was eerder Fredholm dan Volterra die de stoot gaf en dit voornamelijk, zegt men, doordat een van zijn studenten een voordracht over zijn werk in Hilberts seminarium gaf, gedurende de winter van 1900-'01. De analogie tussen een lineaire integraalvergelijking en een stelsel van n lineaire vergelijkingen in n veranderlijken was bijzonder aantrekkelijk.1 Hilbert was gefascineerd. Hij zag het verband met potentiaaltheorie, de constructie van Greens functies voor gegeven grenswaarden en het berekenen van eigenwaarden en eigenfuncties2, en deze weer met het herleiden van kwadratische vormen in n veranderlijken tot kanonische vorm. En dit kan weer leiden tot oneindige matrices, begrippen die later zulk een rol in de mathematische fysica zouden spelen. Hilberts Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Integralgleichungen van 1912 opende dus een nieuw gebied. Verwant met deze onderzoekingen waren abstracte ruimten gedefinieerd door vectoren, abstracte metrische ruimten, als reeds gezegd naar Hilbert genoemd. Hierin traden orthogonale functies op (generalisatie van orthogonale vectoren). Deze waren karakteristiek voor het werk van Erhardt Schmidt, die bij Hilbert in 1905 promoveerde en vele jaren professor in Berlijn was. In dit verband denken we ook aan het theorema van Riesz-Fischer over een zekere convergente reeks in de leer der orthogonale functies (1907), genoemd naar de Duitser E. Fischer en de Hongaar F. Riesz. Riesz publiceerde menig artikel over functionaalanalyse, waarbij hij ideeën van Borel en Lebesgue met die van Hilbert en zijn school verbond. Hij bracht zijn zienswijze o.a. uit in het boek Leçons d'analyse fonctionelle (samen met zijn leerling B. Szökafnalvy-Nagy, 1952, Engels 1955). Banachs bijdragen zijn weer hiermee verwant. Ook op het klassieke gebied van reële en complexe analytische functies, waar Poincaré en Picard zo veel succes hadden geboekt,

1 Herman Weyl heeft opgemerkt dat ‘Fredholms ontdekking me altijd heeft getroffen als iets dat veel te laat kwam. Wat is natuurlijker dan het denkbeeld dat een stelsel van lineaire vergelijkingen verbonden met een eindig stelsel van massapunten leidt tot een integraalvergelijking als we tot de grenzen van een continuüm overgaan?’ (Am. Math. Monthly 1 58 (1951)). De vergelijking van Fredholm kan als volgt worden geschreven φ(x) + ∫ 0 f(x, y) φ(y) dy = ψ(x), φ(x) is de onbekende functie. 2 Deze curieuze Germanismen (in het Engels eigen values en eigen functions), die nu ingeburgerd zijn, tonen aan hoe groot de Duitse invloed op dit gebied is geweest.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 266 brachten Borel, Hadamard en anderen nieuwe resultaten. Hadamard richtte zijn aandacht op de analytische getallentheorie en het probleem van Riemanns Zètafunctie, waar hij bewees dat π(x), het aantal priemgetallen ≤x, asymptotisch gelijk wordt aan x/log x, een stelling reeds door Gauss gepostuleerd. Dat was in 1896, hetzelfde jaar waarin de Leuvense professor Charles De la Vallée Poussin een ander bewijs gaf van dit ‘priemgetallentheorema’. (Beide mannen waren even oud, dertig, en leefden even lang.) Poussin verscherpte later zijn theorema en bewees het vermoeden van Legendre dat de log x in de formule log x - 1.08366 moet zijn. Zijn Cours d'Analyse infinitésimale gedurende 1903 en 1906 gepubliceerd en meermalen heruitgegeven bracht de nieuwere onderzoekingen van Lebesgue, Fréchet, Féjer en anderen als een standaardwerk. Borel, van 1909 tot 1940 aan de Sorbonne, schreef en redigeerde een aantal monografieën, zoals die van 1917, door hemzelf geschreven, over monogene functies (functies die in ieder gebied een afgeleide hebben). Die monografieën vormden de Collection de monographies sur la théorie des fonctions, gepubliceerd tussen 1898 en 1950, een verzameling van meer dan 50 delen. Borel redigeerde ook andere Collections, waaronder een in 7 delen over waarschijnlijkheidstheorie (1937-50). Na 1880 begon Poincaré een serie (eine stürmische Publikations serie, schreef Klein, wiens werk in die dagen sterk erdoor was beïnvloed) over complexe functies die onveranderd blijven bij een groep van lineaire transformaties. Zulke functies werden automorfe functies genoemd, ze zijn generalisaties van trigonometrische en elliptische functies. Zij maken het mogelijk dat een analytische betrekking tussen twee veranderlijken kan worden geüniformeerd, d.w.z. dat de veranderlijken ieder kunnen worden uitgedrukt door een eenwaardige automorfe functie. Hilberts 22e Parijse probleem had hierop betrekking. In 1908 gaf Poincaré een bewijs en ongeveer terzelfder tijd als Kleins leerling Paul Koebe. Koebe, die eerst in Jena en daarna in Leipzig heeft gedoceerd, heeft ook over conforme afbeelding gepubliceerd.1 Paul Painlevé, negen jaren jonger dan Poincaré, eerst professor in Rijssel (1887), daarna in Parijs (1892), werkte op het gebied van algebraïsche krommen en de singuliere punten bij de oplossingen van differentiaalvergelijkingen; de resultaten ervan paste hij toe

1 Over Kleins sterke reactie tot Poincarés werk op dit gebied zie zijn Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19.ten Jahrhundert I (Berlin, 1926) 376-381.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 267 op het gebied van rationale mechanica. Wij ontmoeten in hem een type dat in Frankrijk en Italië meer voorkomt dan elders: een man van wetenschap die ook een voorname plaats in het politieke leven inneemt. Painlevé was minister van onderwijs in 1905, van oorlog in 1917, en was verantwoordelijk voor de benoeming van generaal Foch in het Conseil Général der Geallieerden. En was weer eens minister in 1925. Hij doceerde niet alleen aeronautica, maar was een pionier vlieger. Tot zijn geschriften behoort de tweedelige Leçons sur la résistance des fluides non visqueux (1930-31).

De bloei der moderne wiskunde strekte zich ook uit tot de Verenigde Staten, van waar in de jaren '80 en '90 vertegenwoordigers van een jongere generatie naar Europa, en speciaal naar Duitsland reisden, om moderne meetkunde en analyse te studeren en zo mogelijk te promoveren. De eerste Amerikaanse wiskundige school had als leider Eliakim Hastings Moore, vanaf 1892 professor aan de juist opgerichte (en door Rockefeller gefinancierde) universiteit van Chicago. Moore had in Berlijn de invloed ondergaan van de strenge bewijsvoering in de school van Kronecker en Weierstrass. En zo werd hij in Chicago een meester in abstracte vormen van wiskunde, van axiomatiek tot integraalvergelijkingen en verbond zijn naam aan een theorie van functieklassen van zeer algemene aard, beïnvloed door Cantor en Russell, de general analysis, algemeen genoeg om een eenheid in verschillende theorieën te omvatten. Hij legde ook nadruk op notatie en bracht Florian Cajori, de Amerikaanse historicus der wiskunde (en een geboren Zwitser) ertoe, zijn History of mathematical Notations (2 dln, 1928-29) samen te stellen. Zowel als organisator en leraar was Moore gelukkig. Hij had uitstekende studenten, die op hun beurt de wiskunde in de VS moderniseerden: Robert L. Moore in Texas, Oswald Veblen in Princeton, George D. Birkhoff aan Harvard. In Chicago was Leonard E. Dickson zijn collega (na 1900), de Dickson van de monumentale driedelige History of the Theory of Numbers (1919-23) en studies over eindige groepen. Zij behoorden tot de eerste generatie van Amerikaanse wiskundigen, die hun voornaamste opleiding in hun eigen land hadden verkregen. R.L. Moore1 en Veblen waren vertegenwoordigers van dat ge-

1 Men moet drie Moores uit elkaar houden: E.H. Moore in Chicago (general analysis), R.L. Moore in Texas (topologie) en Clarence L.E. Moore (meetkunde, tensors) aan het MIT.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 268 bied dat eerst de naam analysis situs had, doch na 1900 meer en meer als de combinatorische tak der topologie werd beschouwd, in tegenstelling tot de topologie der verzamelingen; deze gebieden werden op den duur niet altijd scherp gescheiden, o.a. in en door het werk van L.E.J. Brouwer. Die analysis situs begon met een aantal vraagstukken die meer op puzzels leken, zoals Eulers probleem van de zeven bruggen in Koningsbergen, of het beroemde eenzijdige lint van Möbius, maar met de Riemann-oppervlakken in complexe functietheorie begon ze zich tot een meer algemeen gebied te ontwikkelen. Deze ontwikkeling werd dan verder door een reeks onderzoekingen in de hand gewerkt, als die van Jordans en Peano's krommen, en vooral door de reeks van onderzoekingen door Poincaré tussen 1895 en 1904 ingesteld, met betrekking tot simplexen, complexen en de getallen van Betti in oppervlakkentheorie. Dit bracht ook de theorie der homologie met haar groepbeschouwingen, ketenen en cyclussen, en haar onderzoekers als Veblen en zijn Princetonse collega James W. Alexander met zich mee. Speciale belangstelling wekten de publikaties van de Nederlander L.E.J. Brouwer, die zijn debuut maakte met zijn Amsterdamse dissertatie Over de grondslagen der Wiskunde (1907, met Korteweg als promotor). Zijn belangstelling richtte zich daarna op continue groepen (Hilberts 5e probleem) en topologie. Tussen 1908 en 1912 vond hij zijn theorema dat iedere continue afbeelding van een n-dimensionale bol op zichzelf minstens één punt invariant laat. Hier kwam hij tot het probleem van de invariantie van het dimensiegetal, dat al geregeld sinds de dagen van Cantor en Peano was opgekomen, en bewees dat een afbeelding van ruimten op ruimten van verschillende dimensie niet homeomorf kan zijn, d.w.z. dat geen een-eenduidige continue afbeelding mogelijk is (1910). Brouwer toonde ook aan hoe het mogelijk is een cirkelvormige schijf in drie gebieden te delen met dezelfde grenskromme. Heel wat van de topologie van deze periode kan men vinden in Veblens Analysis situs (1922) en in L'analyse situs et la géometrie algébrique (1924) door Solomon Lefschetz, na 1928 Veblens collega in Princeton.

In deze tijd veranderde algebra geheel van karakter. Vanouds was ze de leer der algebraïsche vergelijkingen geweest, en daar was dan in de 19e eeuw met de groepentheorie de leer der co- en invarianten bijgekomen. Nu werd de algebra het gebied van heden met zijn ringen, lichamen, idealen en verwante abstracte begrippen.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 269

Dit was gedeeltelijk het gevolg van de ontwikkeling van de theorie van Galois met haar oorsprong in de oude algebra tot een zelfstandig abstract gebied, dat der groepentheorie. Men kan deze ontwikkeling volgen in het Lehrbuch der Algebra (2 dln, 1895-'96) van Heinrich Weber, eerst professor in Koningsbergen (waar hij de leraar was van Hilbert en Minkowski), later in Straatsburg.1 Dit boek heeft speciale hoofdstukken over groepen en algebraïsche lichamen. Frege en Peano deden ook hun pionierswerk op dit gebied, totdat Ernst Steinitz, toen in Breslau, in 1910 zijn Algebraische Theorie der Körper publiceerde. In dit boek waren lichamen (Körper) het centrale abstracte begrip, een stelsel van elementen met twee operaties, optelling en vermenigvuldiging, die voldoen aan associatieve en distributieve wetten. Steinitz' program was al zulke lichamen te onderzoeken. Als een invloed op zijn werk noemde Steinitz ook Kurt Hensel's Theorie der algebraischen Zahlen (1908, Hensel was in Marburg) met zijn studies over ‘padische getallen’. Met Steinitz begint de nieuwe algebra een vlucht te nemen, vooral in de periode tussen de twee wereldoorlogen. Hier was de invloed van Emmy Noether, de dochter van Max Noether, de algebraïcus van Erlangen, naar vele zijden duidelijk. Zij promoveerde in 1907 bij Paul Gordan, collega van haar vader en de invariantentheoreticus. Haar proefschrift ging over ternaire bikwadratische vormen. In 1915 begon zij onder Hilbert in Göttingen te doceren, maar als vrouw en als Jodin had zij met zware vooroordelen te kampen. Haar hoogste titel was nicht-beambtete ausserordentliche Professor. Toen Hitler kwam, verloor zij haar slecht betaalde Lehrauftrag, ze moest uitwijken en van 1933 tot haar dood twee jaar later (ze was 53 jaar oud) had ze een betrekking aan Bryn Mawr, een vrouwenuniversiteit bij Philadelphia. In Göttingen, met haar studenten, ontwikkelde ze de ideaaltheorie en de theorie van niet-commutatieve algebra, alles streng axiomatisch.2 ‘Om dit

1 Weber, met zijn vriend Dedekind, was de uitgever van Riemanns werken (1870) en was ook de uitgever van Riemanns voordrachten over partiële differentiaalvergelijkingen, in een boek lang bekend als ‘Riemann-Weber’, later herzien door anderen, doch na 1924 gedeeltelijk vervangen door de reeds geciteerde ‘Hilbert-Courant’. We hebben ook reeds de Enzyklopädie der Elementar-mathematik vermeld, die Weber met zijn Straatsburgse collega J. Wellstein en anderen te zamen heeft uitgebracht (3 delen, 1903-07). 2 Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionen Körper, Mathem. Annalen 96 (1927).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 270 onderwerp grondig te begrijpen moeten we het ganz abstrakt fassen hoorde ik haar eens zeggen. Onder haar leerlingen bevonden zich Emil Artin, Richard Brauer en Bartel R.L. van der Waerden, die allen dit werk met groot succes hebben voortgezet. Het werk van Van der Waerden, neergelegd in zijn Moderne Algebra (1930 en later) was geïnspireerd door voordrachten van Emmy Noether in Göttingen en Emil Artin in Hamburg. In de Sovjet-Unie vond de nieuwe algebra een beoefenaar in Otto Schmidt, ook bekend als geofysicus en een organisator van poolonderzoek. Er bestaan allerlei relaties tussen deze algebraïsche onderzoekingen en andere gebieden als algebraïsche meetkunde en verzamelingenleer. Steinitz zelf vestigde de aandacht op het feit dat zekere theorema's met het Auswahlprinzip, het keuzeaxioma, van Zermelo samenhingen. Ernst Zermelo, in die tijd in Göttingen (van 1910-'16 was hij in Zürich, later in Freiburg) publiceerde zijn welorderingstheorema in 1902, dit theorema dat zegt dat in iedere verzameling een betrekking kan worden ingevoerd zodat voor elk tweetal elementen a en b ofwel a = b of a < b(a komt vóór b) of b < a, en dat voor drie elementen a, b, c uit de betrekkingen a < b en b < c de betrekking a < c volgt, terwijl iedere deelverzameling een eerste element heeft. De noodzaak van dit theorema bleek uit de algemene ontwikkeling van Cantors leer, waarin menige lacunes waren achtergelaten. Een ervan was de axiomatiek, waarvoor in 1908 Zermelo het eerste systeem opzette. Een ander was het continuümprobleem (Hilberts eerste probleem). Zermelo baseerde zijn bewijs op het keuzeaxioma, dat zegt dat in een familie van verzamelingen X er een keuzefunctie F(X) met F(X) ∊ X voor alle X in de familie bestaat. Dit ontmoette oppositie van sommige zijden omdat er geen methode kon worden aangegeven om zulk een functie te vinden. Hadamard en Hilbert waren bereid het te aanvaarden, Poincaré en Borel waren niet zo gewillig.1 Er waren meer zulke conflicten. Er werden zekere contradicties, ‘paradoxen’, in de structuur zelf van de wiskunde ontdekt - in de

1 Zermelo's publikaties werden druk besproken en hadden grote invloed in die dagen. Ik herinner een ‘Bierrede’ van Alfred Pringsheim, een wiskundige van München en een beroemd ceremoniemeester (evenals Julian Lowell Coolidge van Harvard), waarin hij zei dat de functietheorie van die dagen ‘ist bekleidet mit dem Zermelin der Mengenlehre’ (Mengenlehre = verzamelingenleer). Pringsheim was een wiskundige uit de school van Weierstrass en - tussen haakjes - de schoonvader van Thomas Mann.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 271 wiskunde nota bene, die wetenschap van volkomen zekerheid! Maar iets dergelijks was al meer voorgekomen, in de Pythagoreische ontdekking van het irrationale dat in tegenspraak was met de natuur van het getal (arithmos), en in de moeilijkheden die men ontmoette bij de differentiaalrekening van Newton en Leibniz, waar een veronderstelde ‘infinitesimaal’ als dx in dezelfde operatie als nul en als niet-nul moest worden beschouwd. In beide gevallen werd de tegenstelling uiteindelijk opgeheven in een dialectisch proces, waarin de tegenstellingen in een wijder verband werden ‘opgeheven’. Eerlijk gesproken braken de meeste wiskundigen hun hoofd niet over die paradoxen en gingen rustig hun weg, overtuigd dat hun wetenschap toch per slot van rekening ‘waar’ was. Maar er was ditmaal weer heel wat discussie, die nog niet ten einde is gebracht. De paradoxen die volgden uit Cantors leer waren van verschillende aard. Eén voorbeeld moge een denkbeeld geven, dat van Russell (1903). Laat S de verzameling zijn van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten. De vraag is nu: is S een element van zichzelf? Zo ja, dan is S niet een element van zichzelf. Zo neen, dan is ze een element van zichzelf. Dit herinnert ons aan de oude paradox van de Kretenzer die zei dat alle Kretenzers liegen. Het bleek maar al te duidelijk dat de verzamelingenleer met grote voorzichtigheid moet worden gehanteerd, speciaal als de term ‘alle’ wordt ingevoerd, en men semantisch onachtzaam is. Om Picard te parafraseren: de wiskunde was bezig en grande coquetterie met de semantiek te raken - eigenlijk al sinds de dagen van Boole. Verscheidene pogingen werden aangewend om de waarheidswaarde der wiskunde te handhaven. Een strenge axiomatisering van Cantors theorie was nodig. We hebben die van Zermelo vermeld, zijn axiomatiek had een stelsel van zeven axioma's en het gebruik van slechts twee technische termen, ‘verzameling’ en ∊ (element van). Een restrictie in de formulering van de eigenschappen van een deelverzameling maakte het mogelijk de paradox van Russell te omzeilen. Het zesde axioma was het keuze-axioma. Zermelo ging niet diep in op de vraag naar de onafhankelijkheid en de consistentie der axioma's. Hierin brachten Adolf Fraenkel, toen in Marburg, en Thoralf Skolem, later in Oslo, verscherpingen aan. Toch bleef axioma 6 een punt van discussie, speciaal ook na de kritiek van Kurt Gödel (1930). Fraenkel werd, ook buiten de kring van zijn engere vakgenoten, bekend door zijn elegante Einleitung in die Mengenlehre (1919, meer uitgebreide editie, 1923), een boek dat zijn oorsprong had in

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 272 voordrachten die Fraenkel gedurende de Eerste Wereldoorlog in de loopgraven voor zijn medesoldaten hield (dit herinnert ons aan Poncelet in zijn Russische gevangenschap). Na 1929 doceerde Fraenkel in het land dat Israël zou worden. Hilbert, die in zijn boek over de grondslagen der meetkunde (1899) de consistentie van de meetkundige axioma's had teruggevoerd op die der rekenkunde, was diep ongerust over de moeilijkheden die zich aan het ophopen waren in de grondslagen der wiskunde. Hij trachtte die moeilijkheden te overwinnen door een methode die formalisme wordt genoemd. Hierbij werd de wiskunde in principe teruggebracht tot een eindig spel met een oneindig, eindig gedefinieerd, apparaat van formules. De regels van dit spel mochten geen tegenstrijdigheden bevatten, zodat men nooit het spel zo kon spelen dat men op zoiets uitkomt als 0 = 1. Dit leidde tot een gebied dat als metamathematica zelf buiten de eigenlijke wiskunde lag, een theorie van bewijsgeving, een wetenschap (of wijsbegeerte) waaronder geformaliseerde wiskunde kan worden beoefend zonder vicieuze cirkels en tegenstrijdigheden. Hilberts ideeën, later neergelegd in een boek met W. Ackermann (1928) en in een ander met Paul Bernays (1934)1 werden niet algemeen aanvaard. De scherpste kritiek kwam van L.E.J. Brouwer, die in 1907 in het strijdperk trad met zijn reeds vermelde proefschrift en erop stond dat het wezen der wiskunde veeleer bestond in het vinden van de waarheid door constructief te werk te gaan dan in het leveren van consistentiebewijzen. En zo, tussen 1913 en 1919 ontwikkelde Brouwer zijn intuïtionisme, waarin de oorsprong van de wiskunde wordt gezien als een Oerintuïtie, en deze brengt ons de natuurlijke getallen. Dan worden slechts zulke begrippen erkend, waarvan een wijze van constructie kan worden aangegeven. Volgens deze gedachtengang behoeft men het principe van het uitgesloten derde niet voor oneindige verzamelingen te aanvaarden. Dit intuïtionisme, dat heel wat klassieke wiskunde verwierp, voerde tot soms nogal scherpe meningsverschillen in de jaren '20, waarin Herman Weyl, toen in Zürich (hij was bij Hilbert gepromoveerd) de zijde van Brouwer koos. Weyl had in die tijd reeds belangrijk werk gepubliceerd over integraalvergelijkingen en grenswaardeproblemen. In zijn boek Die Idee der Riemannschen Fläche (1913) verscherpte hij, steunend op Brouwers topologische theorema's, de grondslagen der complexe functietheorie. Weyl

1 Grundzüge der theoretischen Logik (1928); Grundlagen der Mathematik (1934).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 273 wijzigde in de loop der jaren zijn standpunt inzake de grondslagen enigszins; wie zijn latere ideeën wil bestuderen kan ze vinden in zijn Philosophy of Mathematics and Natural Sciences, een boek van 1949, gebaseerd op een artikel dat hij in 1926 schreef.1 Ofschoon de meeste wiskundigen Brouwer niet konden volgen in zijn verwerping van zoveel delen uit de wiskunde die niet in zijn theorie pasten, waren ze het wel eens met hem dat een aan te geven constructiemethode te verkiezen is boven een postulaat zonder meer, zelfs als deze met de axioma's consistent is. Belangstelling in Brouwers voor sommigen nog al verontrustende theorie nam af en nam toe, maar nadat Kurt Gödel in 1931 had aangetoond dat Hilberts programma onuitvoerbaar was, kon Brouwers intuïtionisme in een hernieuwde staat voortleven, in het bijzonder door het streven van Arend Heyting, professor in Amsterdam (van 1930 af). Het artikel van Gödel dat zulk een slag toebracht aan Hilberts opzet, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme2 verscheen vóór Hilberts Grundlagen der Mathematik van 1934. Het voornaamste resultaat was dat, in het geval dat een arithmetisch systeem S geen tegenstrijdigheden bevat, men deze contradictieloosheid niet kan bewijzen binnen het raam van dit systeem. Dit artikel, met zijn beschouwingen over volledigheid, beslisbaarheid en consistentie opende een nieuwe periode in de grondslagendiscussie. De Principia Mathematica, in drie imposante delen, van 1910-'13, waren samengesteld door Bertrand Russell en Alfred North Whitehead in Cambridge, onder de invloed, als we zagen, van Frege, Cantor en Peano. Deze Principia waren het hoogtepunt in een programma bekend als logistiek. Het verschilde van Hilberts formalisme in zoverre dat het trachtte de gehele wiskunde op te bouwen door logische deductie van een klein aantal begrippen en beginselen. Die drie delen waren in een ingewikkeld, maar precies symbolisme geschreven, en zij die het bestudeerd hebben, hebben de logische schoonheid bewonderd. Maar Gödels kritiek trof de logistiek alswel als het formalisme, en toonde aan dat in laatste instantie het doel niet kan worden bereikt. Toch is de bijdrage van

1 In R. Oldenburg, Handbuch der Philosophie (1926). 2 Monatsheft für Mathematik und Physik 38 (1931) 173-198. Zie E. Nagel en J.R. Newman, Gödel's Proof (New York, 1958). Zeer interessant is ook D.R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach (New York, 1979), waarin Gödels ideeën, Bachs muziek en de kunst van de Nederlander Maurits Cornelis Escher in een ‘eeuwige gouden band’ zijn verbonden.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 274 de Principia, evenals die van Hilbert, tot de wiskundige logica aanzienlijk geweest. Whitehead, elf jaren ouder dan Russell (die van 1872 tot 1970 heeft geleefd) had reeds een Universal Algebra (1898) geschreven, op Grassmann, Boole en Hamilton gebaseerd, en had ook over de axiomatiek der projectieve en beschrijvende meetkunde gepubliceerd (1906-'07). In 1924 werd hij professor aan Harvard en maakte naam als een filosoof. Zijn veelgelezen Science and the modern World (1925) heeft een enigszins Platonisch karakter. Russell is ook de auteur van een Essay on the Foundations of Geometry (1897).

Deze grondslagen der meetkunde, onderwerp van de studies van Pasch, Whitehead en Russell werden in het volle daglicht der wiskundige wereld getrokken door Hilberts Grundlagen der Geometrie. Dit boek, voor het eerst in 1899 gepubliceerd, is herhaaldelijk herdrukt, ook na de dood van Hilbert, waarbij de herziening in handen was van Paul Bernays, vele jaren Hilberts medewerker en professor in Zürich (9e uitg. 1962), zelf een grondige Grundlagenforscher. Met dit boek, dat ook buiten wiskundige kringen blijvende aandacht genoot, werd een nieuw tijdperk geopend in het onderzoek naar de grondslagen der meetkunde, en niet alleen van die van Euklides. Projectieve, affiene, niet-Pascalse, niet-Archimedische, niet-Euklidische meetkunden werden onderzocht of opgesteld. Als een voorbeeld kunnen we Max Dehns Göttinger theorema nemen, dat de noodzakelijkheid van het Archimedische postulaat voor het bewijs van Legendres theorema aantoont. (Legendres theorema zegt dat de som van de hoeken van een vlakke driehoek niet groter kan zijn dan twee rechte hoeken, 180°). We vermeldden reeds Dehns oplossing van Hilberts derde Parijse probleem. In het voorbericht van zijn boek wijdt Hilbert aandacht aan Giuseppe Veronese, professor in Padua. Veronese was een der eersten die een niet-Archimedische meetkunde schiep, en hij was eveneens een pionier in de metrische en projectieve theorie van meerdimensionale ruimten Sn. In de S5 ligt een oppervlak dat zijn naam draagt en dat, op een S3 geprojecteerd, een oppervlak van Steiner geeft (zie Hoofdstuk VIII, sectie 3). Een aantal collega's volgden hem in die studies. Corrado Segre onderzocht lineaire transformaties en algebraïsche oppervlakken in zulke ruimten. Een zijner leerlingen was J.L. Coolidge, na 1908 aan Harvard, die ook, evenals C.L.E. Moore, later aan het MIT, een leerling was

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 275 van Eduard Study in Bonn. Study had vele oorspronkelijke ideeën op het gebied van meetkunde en groepentheorie, b.v. in een uitvoerige studie van boldriehoeksmeting; hij kon nogal polemisch worden als het erop aankwam slordige formuleringen in de meetkunde te verwerpen, ook op het gebied van de invoering van complexe getallen in de meetkunde, waarin vanaf de dagen van Poncelet nogal vrijmoedig consequenties waren getrokken.1 We ontmoeten op dit Italo-Duitse gebied van Sn een Nederlander: Pieter Hendrik Schoute, professor in Groningen. Hij was de auteur van een tweedelige Mehrdimensionale Geometrie. Het tweede deel (1905) gaat over polytopen, de analogie van de veelvlakken der gewone ruimten. Een der regelmatige polytopen in S4 is de tessaract (hyperkubus). Hij werkte op dit gebied samen met Alice Boole Stott, een dochter van George Boole, de logicus. In 1913, bij gelegenheid van het 300-jarige bestaan van de universiteit, hielden Schoute en Alice Boole een tentoonstelling van hun modellen.2 Op een geheel andere en meer fundamentele wijze werd Riemann in zijn publikatie van 1854 tot het begrip van een meerdimensionale ruimte gebracht. Voor hem was zulk een ruimte een topologische uitgebreidheid, waaraan hij een metriek toekende door de introductie van een kwadratisch lijnelement, dat we nu ds schrijven, met 2 i j ds = gij dx dx . Dit voerde, door het werk van Christoffel, Beltrami en anderen, tot de zgn. absolute differentiaalrekening van Gregorio Ricci-Curbastro in Padua (1883 en later). Een samenvatting van zijn resultaten en die van zijn leerling Tullio Levi-Civita, met toepassingen op differentiaal-invarianten, differentiaalmeetkunde en mechanica kwam uit in de Mathematische Annalen van 1901, met titel Méthodes de calcul différentiel absolu. Dit artikel werd na 1913 beroemd, omdat Einstein deze calcul voor zijn algemene relativiteitstheorie overnam en de naam gaf van tensorrekening. Wis- en natuurkundigen begonnen nu

1 Zie Hoofdstuk VII, sectie 17. 2 George Boole had vijf dochters, alle zeer getalenteerd. Mary Ellen (1853-1907) huwde de wiskundige C.H. Hinton van Princeton, schrijver van het semi-populaire boek The fourth Dimension (1909). Alice (1860-1940) huwde Walter Stott, een actuaris. Margaret (1858-1934) was de moeder van de fysicus Geoffrey Taylor, biograaf van Boole. Lucy (1862-1904) was een scheikundige. En Ethel (1864-1960), die de Poolse bibliofiel en nationalist W.M. Voynick huwde, schreef de roman The Gadfly (1895), die vooral in Rusland vele lezers vond.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 276 deze tensorrekening toe te passen op allerlei vraagstukken in relativiteitstheorie, differentiaalmeetkunde en mechanica, vooral toen Levi-Civita, in 1917 het begrip parallellisme invoerde (evenals J.A. Schouten in 1918). Dit voerde weer tot generalisaties van Riemanns meetkunde, vooral door het werk van Herman Weyl (1918) en Arthur Eddington (1923). Een algemene classificatie van de nieuwere meetkunde werd door Schouten gegeven en samengevat in zijn Ricci-Calcül van 1924 (in het Duits, een complete herziening verscheen in het Engels in 1954). Geleid door zijn grondige beheersing van Lie's theorie der continue groepen, reeds het onderwerp van zijn Parijse dissertatie van 1894, en zijn theorie van formes extérieures differentielles ω(d) = ν1dx1 + ... + ν11dx11, met hun directe verbinding met het probleem van Pfaff, trad Elie Cartan, na 1909 professor in Parijs, nu met zijn eigen ideeën in deze wereld van nieuwe meetkunden, waarin zijn (ω-theorie op 1 elegante manier in de tensorrekening paste, waar ω als ν1dx covariante vectorvelden beschrijft. Hier bracht hij ook topologische beschouwingen in. Zijn artikelen en boeken over ruimten van euklidische, affiene en projectieve connecties tonen groot meesterschap in de hantering van meetkundige en analytische begrippen, in de traditie van Monge en Darboux, zoals in La Méthode du Repère mobile, la Théorie des Groupes continus et les Espaces généralisés (1935) en La Théorie des groupes finis et continus et la Géométrie différentielle traitées par la Methode du Repère mobile (1937). De term tensor in de moderne betekenis (reeds Hamilton had deze term gebruikt in een andere zin) was ingevoerd door de natuur- en kristalkundige Woldemar Voigt in Göttingen omstreeks 1900. Voor Voigt was deze tensor een generalisatie van de vectorrekening, het werk van Gibbs en Heaviside gedurende de jaren '80, en die in kringen van ingenieurs en natuurkundigen na 1900 meer en meer gewaardeerd werd. Hier was de Vector Analysis van E.B. Wilson, een leerling van Gibbs, van grote invloed. Dit boek was van 1901, doch reeds vroeger had de fysicus-ingenieur August Föppl in Leipzig de vectoranalyse in Duitsland bekendgemaakt, ook door Grassmanns erfenis beïnvloed: Einführung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität (1894). Met de generalisaties van vectors tot dyaden, tensoren, affinoren, rotoren enz. kwam een grote verwarring in notatie en nomenclatuur, zodat er scholen waren van Grassmannianen, Hamiltonianen, en zo meer. Toen Minkowski in zijn rede van 1908 Raum und Zeit Einsteins speciale relativiteitstheorie een vierdimensionale betekenis had gegeven,

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 277 kwamen er nu ook Vierer- en Sechservektoren op de markt. Deze anarchie werd vaak besproken en L'Enseignement mathématique van 1909 en 1910 bracht een hele discussie. De zaak raakte langzamerhand op de achtergrond door de op groepentheorie gebaseerde classificatie dezer begrippen, waarvan Klein, Schouten1 en Cartan de noodzakelijkheid aantoonden. De groeiende invloed van de tensorrekening na 1915 bracht ook meer eenheid, en ook de mogelijkheid de grondslagen van deze rekening vast te leggen.2 Sommige nieuwe theorema's werden ook in de oude elementaire meetkunde ingevoerd. In de negentiende eeuw was de zgn. nieuwere driehoeksmeetkunde door verscheidene wiskundigen ontwikkeld - we denken aan K.W. Feuerbach (de jong gestorven broer van de filosoof) en de negenpuntcirkel (1822), van Pierre Brocard en Emile Lemoine met de naar hen genoemde punten (1886, 1873). Een theorema dat omstreeks 1900 door Frank Morley werd geformuleerd en voor vele jaren een geliefd onderwerp van wiskundigendiscussie was, en vaak op verschillende wijze bewezen, stelde vast dat de drie snijpunten van corresponderende trisectrices van de hoeken van een driehoek een gelijkzijdige driehoek vormen.3

Ook de klassieke getallentheorie werd belangrijk verrijkt. We hebben reeds enige ontdekkingen van Hadamard en De la Vallée Poussin in analytische getallenleer vermeld. De vertegenwoordiger van dit gebied in Göttingen was Edmund Landau met zijn gedrongen euklidische stijl, zoals blijkt uit zijn Handbuch der Lehre von den Primzahlen (1909). In Engeland ontmoeten we het beroemde tweetal G.H. Hardy en J.E. Littlewood, waarover later, in Rusland G.E. Voronoǐ, die de Nederlander J.G. van der Corput beïnvloedde. Voronoǐ beoefende ook de door Minkowski ingevoerde Geometrie der Zahlen (1896, 2e uitg. 1910), resultaat van zijn werk in ternaire kwadratische vormen. Hier vindt men ook stellin-

1 J.A. Schouten, Gründlagen der Vektor und Affinoranalysis (Leipzig, 1914). 2 F. Klein, Elementarmathematik von höheren Standpunkte aus II (Berlin, 1908). Wat de grondslagen der tensoranalyse betreft, vindt men deze wel het eerst in O. Veblen-J.H.C. Whitehead, The Foundations of Differential Geometry (1932). In R. Weitzenböck, Invariantentheorie (1923) kan men de betrekkingen tussen de tensorrekening en de klassieke invariantentheorie vinden. 3 Zie H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry (1967) 23-25. Morley was een Engelsman en werd professor aan Johns Hopkins in Baltimore (hij was de vader van de schrijver Christopher Morley).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 278 gen over convexe lichamen en de ‘stapeling’ van bollen en andere lichamen in een gegeven ruimte. Minkowski, die in 1881 de Grand Prix van de Parijse Académie had verkregen toen hij 18 jaar oud was (over de samenstelling van gehele getallen door sommen van vijf kwadraten van gehele getallen) was, na een professoraat in Zürich van 1896 tot 1902, de collega van zijn vriend Hilbert tot zijn vroege dood (45 jaar) in 1909. Hij beheerste vele gebieden in de wiskunde en de mathematische fysica, zoals elektromagnetisme, zodat hij de geleerde wereld in 1908 kon verbazen met zijn Raum und Zeit: ‘Von Stund an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren.’1 De weg naar de algemene relativiteitstheorie was gebaand, maar deze rede heeft ook tot veel zuiver wiskundig onderzoek geleid. Dicksons geschiedenis der getallentheorie is al vermeld.

10.

De Eerste Wereldoorlog (1914-'18) onderbrak en vernielde zelfs allerlei internationale betrekkingen. Wiskunde was geen uitzondering. Duitse wiskundigen beschuldigden hun Franse collega's (Klein deed mee, Hilbert niet), de Fransen op hun beurt beschuldigden de Duitsers. Sommige wiskundigen, als Volterra en Veblen, werden adviseurs van hun regering. Maar vergeleken met wat in de Tweede Wereldoorlog gebeurde was de wiskunde nog maar weinig in de oorlog betrokken. De ‘Internationale Commissie over het Onderwijs in de Wiskunde’, in 1908 op het congres in Rome gesticht, met Klein als voorzitter, beleefde nog net een veelbelovende conferentie in Parijs gedurende april 1914 tot ze uiteenviel en niet vóór 1928 in Bologna werd hersteld.2 Na de oorlog kwam er een internationaal congres in Straatsburg (1920) en in Toronto (1924) bijeen, maar de verslagen naties waren uitgesloten. Eindelijk, in 1928 kwam een werkelijk internationaal

1 Vanaf dit uur moeten ruimte op zichzelf en tijd op zichzelf volledig tot schaduwen zinken, en slechts een soort unie van beiden moet zelfstandigheid behouden. 2 Deze commissie werd door de Duitsers IMUK genoemd. Op het Parijse congres waren er 160 deelnemers uit 17 landen. Onder hen vinden we Castelnuovo (voorzitter), Borel, Darboux, D'Ocagne en Stäckel. Zie hierover de Comptes Rendus, geredigeerd door H. Fehr (Genève, 1914) en het daarop volgende verslag van R.C. Archibald van Brown University in Providence, Rhode Island, met bijdragen uit 18 landen (1918).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 279 congres bijeen in Bologna, met als voorzitter S. Pincherle, waar ook Volterra, een pionier in de functionaalanalyse, aanwezig was. Nog steeds was Europa overheersend; onder de 826 deelnemers waren er slechts 52 van buiten Europa, en die waren allen uit de VS. De Internationale Mathematische Unie, in 1919 in Brussel gesticht, werd nu ook in werkelijkheid internationaal. Op het volgende internationale congres, in Zürich (1932) waren er 667 deelnemers uit 40 landen, 66 uit de VS, en 10 uit de Sovjet-Unie (die ook in Bologna met 37 afgevaardigden vertegenwoordigd was). Het congres van 1936, in Oslo, was wat kleiner (487 deelnemers, 27 landen), we zijn in de Hitlerperiode van wereldspanning. De wereldoorlog was oorzaak dat de volgende internationale conferentie pas in 1950 bijeenkwam. Het centrum van de wiskundige wereld bleef, ook na 1918, in de traditionele gebieden van Europa, doch de VS en de nieuwe Sovjet-Unie waren grote sprongen vooruit aan het maken. Reeds waren, in de jaren '20, Cambridge (Mass.), Princeton, Moskou en Leningrad belangrijke centra. In Polen (sinds 1918 onafhankelijk) bestond een school van zeer getalenteerde wiskundigen die zich toelegden op topologische en grondslagenkwesties. De bloei der wiskunde in Italië en Centraal Europa werd echter in de jaren '30 onderbroken door de komst van het fascisme, waarvan echter andere landen, speciaal de VS, profiteerden. Moderne wiskunde kwam nu ook uit Canada, Japan, Australië en Brits-Indië. Het aantal wiskundige publikaties steeg meer en meer. Nu kwamen er ook tijdschriften gewijd aan speciale gebieden. De Fundamenta Mathematica, een Poolse uitgave die in 1920 was begonnen, was gericht op topologie en grondslagenonderzoek. Het Duitse ZAMM (Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik) begon in 1921 en had als stichter Richard von Mises, een Oostenrijkse wiskundige die was gespecialiseerd in mechanica en aerodynamica en die, na in 1933 uit Europa te zijn verdreven, professor aan Harvard werd. Hij had ook zijn eigen waarschijnlijkheidstheorie (de zgn. frequentietheorie), o.a. in het Mathematische Zeitschrift van 1919 te vinden. Een aantal reeksen van monografieën verschenen, als de Mémorial des Sciences mathématiques (Frankrijk), de Ergebnisse der exakten Wissenschaften en de Grundlehren (Springers bekende ‘gele boeken’) in Duitsland, de Monografie Matematyczne in Polen. Er kwamen nu ook internationale conferenties over speciale onderwerpen als die in Delft over toegepaste wiskunde en mechanica van 1924, georganiseerd door professors Biezeno en Burgers. Of die in Moskou over tensors (1934) en topologie (1935).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 280

11.

Göttingen behield gedurende de jaren van de Weimarse Republiek de leidende rol die ze al lang had gehad, vooral na Kleins komst in 1886, en na zijn dood in 1925 door Hilberts positie, zelfs na diens pensionering in 1930. Rond hem bevond zich een sterke faculteit, met Landau (getallenleer), Gustav Herglotz (verschillende gebieden van analyse en mathematische fysica), Richard Courant, Kleins opvolger (die zich bezighield met grenswaarden en het beginsel van Dirichlet), Emmy Noether, Paul Bernays, Prandtl. Een even sterke natuurkundige faculteit werd geleid door Max Born en speelde een belangrijke rol bij de ontdekking van de nieuwe mechanica der quanta door Walter Heisenberg, Wolfgang Pauli en anderen. Numerieke problemen waren het gebied van Carl Runge, en vanaf 1921 was Felix Bernstein het hoofd van het Instituut voor Wiskundige Statistiek, nadat hij alreeds naam had gemaakt in de leer der verzamelingen, met het equivalentietheorema van Cantor-Bernstein. Studenten en bezoekers bleven naar dit Mekka stromen. Hilbert, in 1922 zestig jaar oud, kwam in 1896 naar Göttingen van Koningsbergen in Pruisen, op initiatief van Klein. Zijn eerste werk lag op het terrein van algebraïsche invarianten en algebraïsche getallenleer, waar zijn Zahlbericht, in 1897 voor de Deutsche Mathematische Gesellschaft samengesteld, voor vele jaren toonaangevend was. We hebben zijn verdere algemene onderzoekingen alreeds gevolgd, maar moeten toevoegen dat hij ook speciale problemen aanvatte, als dat van Waring (ieder positief geheel getal kan worden voorgesteld door de som van hoogstens n hde machten, waar n alleen van h afhankelijk is, b.v. een som van hoogstens 4 tweedemachten) en de stelling dat alle oppervlakken van constante negatieve kromming in de gewone ruimte singulariteiten hebben, b.v. de pseudosfeer van Beltrami. Als gezegd, hij nam afscheid in 1930, en werd opgevolgd door-Weyl; hij stierf onder de nazi's, zijn Göttingen als een wiskundige ruïne achterlatend. Weyl moest in 1933 Göttingen verlaten en ging naar het juist opgerichte Institute for Advanced Study in Princeton, waarheen ook Einstein en Gödel (en later Von Neumann) waren gegaan. Van zijn boeken, alle invloedrijk, noemen we nog Gruppentheorie und Quantenmechanik (1928) en Algebraïsche Zahlentheorie (1938), die al in hun titels Weyls veelzijdigheid uitdrukken. Hij stierf in 1955. Andere Duitse universiteiten konden ook op uitstekende wiskundigen bogen. In Berlijn vinden we I. Schur (algebra en groepentheorie), zowel als Erhardt Schmidt, die zijn naam aan het

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 281 zgn. orthogonaliseringsprincipe in Hilbert-ruimten gaf (1907). Na 1924 vinden we in München Constantin Carathéodory, een Berlijner van Griekse afkomst (zijn vader was een diplomaat), die elegant werk deed in variatierekening, o.a. in zijn inleiding tot Eulers Methodus inveniendi in diens Opera Omnia.

12.

Frankrijk had vele jonge mannen in de oorlog verloren, maar behield toch nog menige belangrijke wiskundigen: Hadamard, Borel, Fréchet, Lebesgue, Gaston Julia, Paul Lévy, Cartan, wier onderzoekingen in vele richtingen gingen. Parijs bleef het centrum, met (evenals in Göttingen) grote fysici - Madame Curie, Paul Langevin, zijn student Louis de Broglie (proefschrift van 1908) naast grote mathematici. Naast de reeds vermelde series Mémorial en Actualités bevatten ook de Annales van het Institut Henri Poincaré (1930 en later) studies in zuivere en toegepaste wiskunde. De oudere generatie leefde lang genoeg om een jongere te inspireren, de generatie die in 1940 de Bourbaki-groep vormde. Een ander centrum, weer met een eigen karakter, ontwikkelde zich in Cambridge, waar tenslotte de jarenlange Britse insulaire positie definitief doorbroken werd. Ook hier vond men naast de wiskundigen grote fysici: van 1919 af aan presideerde Ernest Rutherford (een geboren Nieuw-Zeelander) over het Cavendish Laboratorium. Alreeds vermeld is de vertegenwoordiging van de moderne analyse door J.E. (John Edensor) Littlewood en G.H. (Godfrey Harold) Hardy was vanaf zijn studententijd in 1896 tot zijn 65e jaar aan Trinity College verbonden, met uitzondering van een periode in Oxford van 1919 tot 1931; Littlewood bleef in Cambridge vanaf zijn studententijd tot 1950 (en van 1910 ook aan Trinity), met slechts drie jaren in Manchester. Hardy's Course in pure Mathematics (1908) bracht op strenge wijze de toen moderne begrippen in de analyse tot Engeland - getal, limiet, functie. In het opus van Hardy en Littlewood vindt men studies in harmonische analyse, de problemen van Waring en Goldbach, diofantische approximaties en het priemgetallenprobleem. Alles ‘zuivere’ wiskunde, bewonderend beschreven in Hardy's veelbesproken en niet altijd geapprecieerde Mathematicians Apology1 (1940). De ‘romantische gebeurtenis’ (Hardy's woorden) was zijn ontdekking van het Indische getallengenie Srinivasa Ramanujan uit Madras, die het op voorspraak van Hardy mogelijk werd gemaakt om naar

1 Herdrukt in 1967 met een voorwoord van C.P. Snow (Hardy was in 1947 overleden).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 282

Cambridge te komen. Hier verbleef hij van 1917 tot 1919, om daarna terug te keren, een ziek man; hij stierf op 32-jarige leeftijd. Hardy en Ramanujan werkten samen aan vele problemen, meestal in partitio numerorum.1 Hardy's collega's in Cambridge waren A.E. Besikovitch en E.C. Titchmarsh (beiden analyse), de laatste de auteur van een veelgebruikte Theory of Functions (1932). Tussen de zuivere wiskunde van Hardy en deze collega's en de experimentele fysica van Rutherford stond R.H. Fowler die zich bewoog op het terrein van de toegepaste wiskunde. Tot zijn breed opgezette Statistical Mechanics (1929) hadden zowel Littlewood als zijn leerling P.A.M. Dirac bijgedragen. Dirac, die de golfmechanica met de speciale relativiteitstheorie verbond, verkreeg in 1933 de Nobelprijs tezamen met Schrödinger. Hun werk beïnvloedde vele gebieden van de wiskunde, van differentiaalvergelijkingen tot tensorrekening. Toen in en na 1933 vele wiskundigen in Duitsland en elders tot ballingschap werden gedwongen, kwamen verscheidene van hen naar Cambridge, dat een der brandpunten der wisen natuurkundige wetenschappen werd. Van deze uitgestotenen vertrokken een aantal naar Amerika, waar zij meehielpen het wetenschappelijk leven op hoger peil te brengen. Edmund T. Whittaker, van 1912 tot 1946 professor in Edinburgh, was een wiskundige en mathematisch fysicus (en een Katholiek filosoof), die generaties van studenten aan zich verplichtte met de Modern Analysis van 1915, geschreven samen met G.N. Watson, toen in Cambridge. Deze ‘Whittaker-Watson’ is een mooi uitgegeven presentatie van de meest bekende functies als die van Legendre, Bessel, enz., ook in het complexe gebied. Het boek bevat oefeningen, verscheidene lastig genoeg, een eigenschap die dit boek deelt met andere Engelse boeken als die van Hardy en Titchmarsh. Dit is in een oude traditie geworteld, die verband houdt met de oude Tripos-examens met hun nadruk op de techniek van het oplossen van soms moeilijke oefeningen, een traditie die nog lang niet is vergeten. William Henry Young, die ook in Cambridge had gestudeerd,

1 Hardy vertelt de volgende, nu beroemde, anekdote. Hij bezocht Ramanujan in het hospitaal. Hij kwam in een taxi. ‘Het nummer ervan was 1729,’ zei Hardy, ‘een niet erg interessant getal.’ ‘Integendeel,’ antwoordde Ramanujan onmiddellijk, ‘het is het kleinste getal dat op twee wijzen als som van twee derdemachten kan worden uitgedrukt.’ Inderdaad 1729 = 13 + 123 = 93 + 103.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 283 bekleedde verscheidene academische posten, o.a. een in Calcutta (1913-1916). Hij was het die reeds vroeg (ca. 1902) de ideeën van Lebesgue en Baire naar Engeland bracht. Met zijn vrouw, Grace Chisholm Young schreef hij de Theory of Sets of Points (1906). Mevrouw Young behoorde tot de eerste vrouwen die in de wiskunde promoveerden (niet de eerste, Sofia Kowalewskaja was haar voorgegaan, in 1874), haar onderwerp was een groepentheoretische behandeling der boldriehoeksmeting (1895). Young publiceerde ook op het terrein van de harmonische analyse en verwante gebieden. Zij waren de ouders van Laurence Young, die ons een zeer persoonlijk verslag heeft gegeven van het Cambridge in de dagen van Hardy en Littlewood, enigszins te vergelijken met de (of-schoon niet zo persoonlijke) schets die Constance Reid ons heeft gegeven van het Göttingen in de dagen van Hilbert en Courant.1

13.

De Oktober-revolutie van 1917 gaf een machtige stoot aan de ontwikkeling der wetenschappen in Rusland en de Oekraïne, en de wiskunde deelde in die ontwikkeling. Er bestond reeds een sterke traditie, die van zulke mathematici als N.I. Lobačevskiǐ, M.V. Ostrogradskiǐ en P.L. Čebyšev (Tsjebychef), de laatste de leider van de zgn. school van St. Petersburg (nu Leningrad), waaruit A.A. Markov en A.M. Ljapoenov voortkwamen. Čebyšev was in St. Petersburg, van 1847 tot zijn dood in 1894, werkzaam op verscheidene gebieden, getallentheorie (o.a. het priemgetallenvraagstuk), benaderingsproblemen, integratie, differentiaalmeetkunde, kinematica en waarschijnlijkheidsrekening, gebieden van zuivere en toegepaste wiskunde. In de waarschijnlijkheidsrekening stelde

1 L. Young, Mathematicians and their Times (Amsterdam etc., 1981); C. Reid, Hilbert (New York, 1970) en Courant in Göttingen and New York (New York, 1976). Het hoofd van een Londense school, waar Young een leerling was, was de theoloog Edwin A. Abbott, schrijver van Flatland (1884), een fantasie over een wereld van twee afmetingen, meer dan eens herdrukt en vertaald, ook in het Nederlands als Platland, een Roman van vele Afmetingen, door een Vierkant (1886, 4e druk 1920). De populariteit van dit geestige boek werd verhoogd nadat Minkowski en Einstein hun vierdimensionale wereld hadden gelanceerd. In aansluiting hierop: D. Burger, Bol-land door een Zeshoek (Blommendaal, 's-Gravenhage, 1957), ook in het Duits: Silvestergespräche eines Sechsecks (Aulis Verlag, Köln). Deze familie Young stond niet in betrekking tot John Wesley Young in Amerika, medewerker van Veblen, zie sectie 15. En deze stonden niet in betrekking tot Alfred Young die met J.H. Grace, medeleerling in Cambridge, de schrijver was van The Algebra of Invariants (1903) in de geest van Gordan.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 284 hij scherpe definities en bracht Markov, van 1886 tot 1905 professor in St. Petersburg, daarna emeritus, tot de bekende Markov-ketens in stochastische processen (1906 en later). Deze ketens hebben hun waarde bewezen in de statistische natuurkunde, in de erfelijkheidsleer, in de economie en andere vakken; hun theoretische basis werd versterkt door A.N. Kolmogorov.1 Ljapoenov volgde in zijn vele onderzoekingen de lijn van Laplace, in de hemelmechanica zowel als in de waarschijnlijkheidsrekening. Misschien het meest bekend is hier zijn generalisatie en verscherping van het fundamentele limiettheorema (1900-'01), dat in zijn oorsprong tot Jakob Bernoulli teruggaat. Tot de school van St. Petersburg behoort ook G.E. Voronoǐ, na 1894 professor in Warschau (toen onder de Tsaar), reeds vermeld als een getallentheoreticus. Na de Revolutie werd Moskou de hoofdstad van het Sovjet-bestuur. Hier bestond reeds de zgn. Moskouse school onder de sterke invloed van N.N. Loezin, een leerling van D.T. Egorov, naar wie een theorema over meetbare functies is genoemd (1911). Loezin bezocht Göttingen en Parijs (1901, 1910) en doceerde in Moskou van 1914 tot zijn dood in 1953. Hij behoorde tot de eersten die de maattheorie op reële functies toepaste; ook gaf bij veel aandacht aan trigonometrische reeksen. Door zijn seminaries, zijn colleges en zijn tekstboeken leidde hij hele generaties van jongere wiskundigen op in vele gebieden van analyse, integratie, en de leer der verzamelingen. Sierpinski, in menig opzicht voor Polen wat Loezin voor Moskou was, stond met hem in nauw contact. Onder de jongere wiskundigen die door Loezin werden beïnvloed, waren Paul S. Aleksandrov, A. Ya. Hinčin (Chintchin), P.S. Urysohn, A.N. Kolmogorov, P.A. Ljoesternik en L.S. Pontrjagin. Aleksandrov, met Pontrjagin en Urysohn waren de stichters van de Moskouse topologische school, die met het Westen (Brouwer, Göttingen, Hausdorff) in regelmatig contact stond. Urysohn stierf reeds in 1924 op 26-jarige leeftijd (hij verdronk in Bretagne tijdens een vakantie). Kenmerkend voor deze wiskundigen, volgelingen van Loezin in de functietheorie en de topologie, was het nauwe verband tussen hun zuivere en toegepaste wiskunde, een richting reeds aangewezen door Čebyšev, en verder verwelkomd door de Sovjetregering. Waarschijnlijkheidsrekening bleef een onderwerp van intense studie, een der meest bekende resulta-

1 Voor de theorie der Markovketens zie o.a. M. Fréchet, Recherches théoriques modernes sur le calcul des Probabilités (Parijs, 1934).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 285 ten was de axiomatiek vanuit de verzamelingenleer, neergelegd in de Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (1934) van Kolmogorov. De leidende getallentheoreticus was I.M. Vinogradov, eerst in Leningrad, na 1934 in Moskou. Zijn vele bijdragen, beïnvloed door de oudere Voronoǐ en in menig opzicht verwant met die van Hardy en Littlewood, behandelen de klassieke en eeuwig jonge problemen van partitio numerorum, van Waring, Goldbach en Riemann - zie Hilberts achtste probleem. Na 1929 begint ook de reeks van publikaties van A.O. Gelfond in Moskou. De meetkunde was vertegenwoordigd door V.F. Kagan, eerst in Odessa, na 1922 in Moskou. Hij begon zijn onderzoekingen van de grondslagen der meetkunde in de geest van Hilbert, en bestudeerde Lobačevskiǐ's werk, doch in Moskou wijdde hij zich aan de differentiaalmeetkunde en de tensorrekening, waaraan hij een seminarium met tijdschrift Troediǐ (1933 en later) wijdde. Zijn boek over Lobačevskiǐ is van 1944 (en 1948). In Charkov in de Oekraïne vinden we Serge Bernstein, aldaar docent van 1907 tot 1933, waarna hij eerst naar Leningrad, en dan in 1943 naar Moskou overging. Hij had in Göttingen gestudeerd en schreef zijn proefschrift in Parijs (1907). Zijn publikaties tonen de invloed van Čebyšev (benaderingen, waarschijnlijkheidsrekening) en van Weierstrass. Bij hem zien we weer die Russische verbinding van zuivere en toegepaste wiskunde - in dit geval op het terrein van de biologie. Reeds in 1911, voor Polen onafhankelijk werd, had Sierpinski de grondslag gelegd voor de Poolse topologische school met het tijdschrift Fundamenta Mathematica, het eerste wiskundige tijdschrift dat aan één speciaal gebied was gewijd. Onder Sierpinski studeerden Kazimierz Kuratowski en Alfred Tarski, de laatste, die in 1946 professor werd in Berkeley, Californië, werd bekend door zijn werk in logische semantiek, beslisbaarheid en waarheidsbegrip: Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen (1936).1 Naast die in Warschau kwam een tweede school tot stand in Lwów (Duits: Lemberg), van 1919-45 in Polen, geleid door Stefan Banach. Banachs naam is aan vele bijdragen tot functionaal-analyse verbonden; hij heeft geholpen deze tak van wiskunde, na Volterra en Hilbert, tot een zelfstandig gebied te maken. Dit werk was nauw verbonden met zijn beschouwingen over de genormeer-

1 K. Kuratowski, A half Century of Polish Mathematics: Remembrances and Reflections (Oxford, Warsaw, 1980).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 286 de lineaire ruimten die naar Banach zijn genoemd (1922 en later). In het nabijgelegen Lublin, aan de nieuwe universiteit, werkte Banachs collega Hugo Steinhaus, die veel aandacht schonk aan toepassingen, op verschillende gebieden van waarschijnlijkheidsrekening alsook biologie en ingenieurswetenschappen. Hij heeft velen aan zich verplicht door zijn Mathematical Snapshots, een mooi voorbeeld van visuele wiskunde. Banach en Steinhaus publiceerden vanaf 1929 de Studia Mathematica. De bezetting van Polen door de Nazi's, van 1939 tot 1945, was een catastrofe voor de wetenschap. Verscheidene wiskundigen zagen kans hun land te verlaten, anderen verdwenen in concentratiekampen. Steinhaus en Banach overleefden de ellende, maar Banach stierf kort na zijn bevrijding. Sierpinski leefde tot 1969. Een van zijn eerste boeken was zijn Hypothèse du Continu (1934).

14.

Italië had een sterke meetkundige traditie, in het bijzonder in de algebraïsche meetkunde, zoals die door Brill en Noether in de jaren '70 en '80 was ontwikkeld. Wij hebben reeds C. Segre en G. Veronese vermeld. Hun werk werd voortgezet door Guido Castelnuovo, Francisco Severi en Federigo Enriques. Vele van hun resultaten kunnen in Severi's publikaties worden bestudeerd, speciaal in de Duitse Vorlesungen über algebraische Geometrie (1921). Hier behandelt de schrijver algebraïsche krommen en variëteiten van twee en meer dimensies, Riemann-oppervlakken en Abelse integralen. Enriques stelde ook veel belang in wiskundig onderricht, en zijn Problèmes de la Science et la Logique (1909) zowel als de Storia del Pensiero Scientifica (1932, met G. de Santillana) tonen hoe diep Enriques ook in de wijsbegeerte der wiskunde was geïnteresseerd - hier nam hij een rationalistische positie in tegenover positivistische en idealistische stromingen. Al deze wiskundigen werden naar Rome beroepen, waar ook Volterra (sinds 1900) en Levi-Civita (sinds 1918) doceerden. Dit gaf Rome een atmosfeer die vele studenten en bezoekers trok, met Parijs en Cambridge een secundair Mekka naast Göttingen, (althans tot 1933). Levi-Civita leverde bijdragen aan differentiaalmeetkunde en tensorrekening, hydrodynamica, mechanica (het drielichamenprobleem) en relativiteit. Zowel Levi-Civita als Cartan waren toegewijde correspondenten van Einstein. In Pisa vinden we, tot zijn dood in 1928, Luigi Bianchi, wiens publikaties over differentiaalmeetkunde lange jaren groot gezag hadden, o.a. door de Duitse ‘Bianchi-Lukat’: Vorlesungen über

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 287

Differentialgeometrie (vertaling van M. Lukat, 1899). Hij schreef ook over groepentheorie.1 Zowel hij als Volterra waren senatoren van het koninkrijk. In Turijn, van 1910 tot 1938, doceerde Guido Fubini, en behandelde op zijn eigen, oorspronkelijke, wijze de tensorrekening en de differentiaalmeetkunde, hier speciaal de projectieve differentiaalmeetkunde, eerst ontwikkeld in Chicago door E.J. Wilczynski, doch uitgaande van lineaire differentiaalvergelijkingen. In 1938 moest hij Italië verlaten en nam een uitnodiging van Princeton aan. Gino Loria, een meetkundige in Genua, is vooral bekend geworden door zijn in het Duits vertaalde boek over allerlei speciale krommen in het platte vlak, een ware encyclopedie op dit gebied.2 In Nederland begint de beoefening der moderne wiskunde in de jaren '80, gelijktijdig met het herleven van het gehele economische en intellectuele leven. In de fysica vinden we J.D. van der Waals en H.A. Lorentz, in de biologie Hugo de Vries, in de sterrenkunde J.C. Kapteyn. De Theory of Electrons van Lorentz dateert van 1909. Stieltjes moest nog naar Franrkijk gaan om waardering te vinden (1885), maar in Nederland konden D.J. Korteweg in Amsterdam, P.H. Schoute in Groningen en J.C. Kluyver in Leiden de leiding geven. Korteweg is bekend gebleven door de vergelijking van Korteweg-De Vries in de theorie van kanaalgolven (1895), hij redigeerde ook 5 delen van de Oeuvres van Huygens.3 Van de tweede generatie hebben we reeds J.A. Schouten, Van der Corput en Brouwer vermeld. G. Mannoury, een autodicact wiskundige, voerde de topologie in Nederland in. Hij was ook de stichter van dat type van semantiek dat hij significa noemde, en waarin hij in D. van Dantzig een aanhanger vond. Van Dantzig, begonnen als medewerker van Schouten in projectieve en andere vormen van differentiaalmeetkunde, werd later een leidende wiskundige statisticus.

1 Lezioni sulla teoria dei gruppi di sostituzioni e delle equazioni algebraiche secondo Galois (Pisa, 1900). 2 Spezielle algebraische und transcendente ebene Kurven (1902). Een andere uitgebreide ‘catalogus’ van zulke krommen kwam terzelfder tijd in Madrid uit: Gomes Teixeira, Tratado de las curvas especiales notables. 3 De eerste redacteur was D. Bierens de Haan, opgevolgd door J. Bosscha, D.J. Korteweg en J.A. Vollgraff (1888-1950). De redacteuren bleven anoniem tot op het laatste deel, waarin Vollgraff onder eigen naam optrad, o.a. met een (Franse) biografie van Huygens.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 288

Wij hebben ook reeds B.L. van der Waerden vermeld, wiens Amsterdams proefschrift van 1926 aftellende meetkunde kritisch behandelt. In de Naziperiode kwam Hans Freudenthal naar Nederland, in 1940 werd hij professor in Utrecht.1 In Hongarije waren er eminente beoefenaars der analyse, zoals F. Riesz in Szeged (na 1946 in Boedapest), reeds vermeld bij het Riesz-Fischer-theorema. Hier was ook L. Fejér, van 1911 tot zijn dood in 1959 (met een korte onderbreking) in Boedapest, een levendige, interessante geest wiens voornaamste onderzoekingen lagen op het terrein van Fourier-reeksen en harmonische analyse in het algemeen. Wat het Oostenrijk van die tijd betreft denken we allereerst aan Hans Hahn, na 1921 in Wenen. Hij werkte, evenals Banach en Fréchet, op het terrein van reële functies, functionalen en abstracte ruimten. Hij was ook filosofisch geïnteresseerd en hielp de fysicus-filosoof Max Schlick naar Wenen te brengen, waar deze de leerstoel van Mach en Boltzmann verkreeg en spoedig de zgn. Wiener Kreis om zich verzamelde. Deze Weense Kring bestond uit wiskundigen en andere wiskundig-filosofisch ingestelde personen die streefden naar een wereldbeschouwing gebaseerd op wetenschap ‘zonder metafysica’. Tot deze groep van zgn. logische positivisten behoorden naast Hahn ook Rudolf Carnap, Kurt Gödel en Karl Menger. Ook Ludwig Wittgenstein, wiens Logisch-philosophische Abhandlung2 in 1921 was verschenen, had met deze groep contact. Carnap werd bekend als de semanticus, de auteur van Die logische Syntax der Sprache (1934). De deelnemers aan deze Kreis zochten, ieder op zijn manier, een wereldbeschouwing gebaseerd op semantiek, wiskundige logica en de beginselen van wetenschappelijk onderzoek.3 De meeste leden van de kring waren nogal links (en verscheidene waren Joods), zodat de komst der Nazi's het einde bracht. Schlick werd vermoord (1936). Sommigen konden zich invloedrijke posities in Engeland en Amerika verwerven, Carnap in Chicago, Menger (Dimensionstheorie, 1928) aan

1 Zie verder Two Decades of Mathematics in the Netherlands, 1920-1940 door E.M.J. Bertin e.a. (2 dln, Amsterdam, 1970). 2 Later bekend als Tractatus logico-philosophicus (1922). 3 Het standpunt van de Kreis is vaak gekritiseerd als idealistisch, zie b.v. M. Cornforth, Marxism and the linguistic Philosophy (New York, 1965). Cornforth als student bezocht Wittgensteins discussiezittingen in Cambridge. Zie ook J. Schreiter, Zur Kritik der philosophischen Grundpositionen des Wiener Kreises (Berlin, 1977).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 289

Notre Dame (Indiana), later ook Chicago, Gödel in Princeton. Wittgenstein kwam naar Cambridge, Engeland. In Scandinavië vermelden we T.A. Skolem in Noorwegen, Gösta Mittag-Leffler en zijn opvolger als directeur van het M.L. Instituut in de buurt van Stockholm: T. Carleman, en Harald Bohr (de broer van de fysicus Niels Bohr) in Kopenhagen. Mittag-Leffler, een leerling van Weierstrass, maakte het mogelijk voor Sofia Kowalewskaja een professoraat in Stockholm te krijgen (1891), het eerste vrouwelijke professoraat sinds Maria Gaetana Agnesi. Carlemans onderzoekingen lagen op het terrein van integraalvergelijkingen en zgn. quasi-analytische functies. Bohr, door zijn studie van het beginsel van Dirichlet en de Fourier-reeksen, kwam tot zijn quasi-periodieke functies (1924-'46), waardoor hij weer Weyl, Wiener en anderen beïnvloedde. Wat Zwitserland betreft vermeldden we reeds Hurwitz en Minkowski. We voegen hier nog Andreas Speiser aan toe, al was het maar om zijn mooie boek over eindige groepen met fraaie toepassingen.1 Vanaf 1911 begon men hier ook dat grote werk, de Opera omnia van Euler, te publiceren, een taak thans nauwelijks ten einde gekomen. Ook Japan begon van zich te laten spreken. Hier bestond een oude traditie die aanknoopte aan de ‘matrix’-methode van de oude Chinese wiskunde. De nieuwe Europese algebra vond een vertegenwoordiger in Tejii Takagi, die in Duitsland bij Hilbert had gestudeerd en in 1900 aan de universiteit in Tokyo begon te doceren. Hij stichtte een school waarin problemen in verband met het twaalfde Parijse probleem van Hilbert (Abelse lichamen) werden onderzocht. In de jaren '30 begon A. Kawaguchi de tensorrekening op algebraïsche en meetkundige problemen toe te passen, hierin gevolgd door Kentaro Yano en anderen, in het tijdschrift Tensor.

1 A. Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung (Berlin, 1923, 4e uitg. Basel, 1956). Het verband tussen wiskunde en de kunsten (perspectief, mozaïeken, architectuur) werd ook gelegd in het veel gelezen boek van de Amerikaanse schilder en illustrator Jay Hambidge, The Elements of dynamic Symmetry (1926, Dover herdruk 1967). Zie ook Hermann Weyl, Symmetry (1952) en G.D. Birkhoff, Aesthetic Measure (1933, herzien 1961). We hebben reeds Steinhaus' Mathematical Snapshots vermeld. Bij het 18e Parijse probleem van Hilbert hebben we ook op het verband tussen groepentheorie en kristallografie gewezen en in Hoofdstuk I op de etnowiskundige betrekkingen.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 290

In Tsjechoslowakije werd de tensorrekening beoefend door V. Hlavaty, die met Schouten, en E. Čech, die met Fubini (in projectieve differentiaalmeetkunde) samenwerkte.

15.

De wiskunde in de Verenigde Staten na de eerste Wereldoorlog had verscheidene vertegenwoordigers die zich met de beste mathematici in Europa konden meten. Aan Harvard University vinden we George D. Birkhoff, die na zijn succes in 1913 met het bewijs van Poincaré's ‘laatste theorema’ over het drielichamenprobleem voortging in de geest van Poincaré te werken. Hier verrijkte hij diens nalatenschap met het begrip metrische transitiviteit en de studie van ergodische theorema's. Hij was een veelzijdig wiskundige, die ook een gravitatietheorie publiceerde (1944), waarin hij met Einstein instemde in de speciale, doch niet in de algemene relativiteitstheorie. Wij hebben reeds even zijn Aesthetic Measure (1944)1 vermeld, en hij bewoog zich van kunst en wiskunde tot ethiek en wiskunde. Zijn zoon Garrett Birkhoff begon zijn studies in de algebra's van Boole (lattices) in de jaren '40. Veblen, aan Princeton, wendde zich na 1920 van topologie naar differentiaalmeetkunde en tensorrekening, aangespoord door de publikaties van Levi-Civita en Weyl. Hier, met zijn collega Luther Pfahler Eisenhart, en enige leerlingen, ontwikkelde hij een nieuwe aanpak van de meetkunde der ruimten van Riemann en hun generalisatie in de zgn. meetkunde der paden, generalisaties van geodetische lijnen. In dit gebied vormden zich dus drie scholen, die van Schouten, die van Cartan en die van Veblen. Maar hij bracht ook zijn ideeën over topologie en axiomatiek over tot dit gebied in de Foundations of differential Geometry (1932), geschreven met J.H.C. Whitehead. Verwant met Veblens werk was dat van zijn collega's J.W. Alexander en Solomon Lefschetz, die zich toelegde op algebraïsche topologie en homologische algebra. Veblen was van 1932 tot 1950 verbonden aan het Institute for Advanced Study, een nieuwe onderneming, namelijk een instituut voor zuiver wetenschappelijk onderzoek, opgericht in Princeton naast de universiteit. Dit Instituut, financieel onafhankelijk, was gesticht in de geest van ideeën neergelegd in het kritische boek Universities, American, British, German (1930), geschreven door Abraham Flexner. Het Instituut begon met een School voor Wiskunde, geleid door Veblen, en waaraan uitstekende geleerden werden verbonden, speciaal ook toen de Nazi-vervolgingen kwamen.

1 Zie W.L. Schaaf, Amer. Math. Monthly 55 (1951) 157-177.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 291

Hier vonden Weyl, Von Neumann en Einstein een plaats voor ononderbroken studie. Ook Marston Morse, student en collega van Birkhoff, die in zijn geest diep in de variatierekening drong, vond zijn weg naar het Instituut. John von Neumann, Hongaar van geboorte, kwam na een lectorschap in Göttingen naar Princeton in 1930. Tot zijn onderzoekingen behoorden studies in groepentheorie en Hilbert-ruimten, operatoren en ergodische theorema's, met bijdragen tot Hilberts vijfde probleem. Hij was een der meest geniale wiskundigen van zijn tijd, wiens veelomvattend werk zich uitstrekte tot quantum-mechanica en quantum-thermodynamica, en tot de theorie der elektronische computers. Hij was een grondlegger van de moderne speltheorie (1926), met haar vele ‘strategische’ toepassingen, vooral in economie. Zijn boek erover, met O. Morgenstern als co-auteur, is Theory of Games and economie Behavior (1944). Er is een zekere verwantschap tussen zijn werk en dat van Norbert Wiener, vanaf 1919 verbonden aan Massachusetts Institute of Technology (MIT), evenals Harvard in Cambridge, Massachusetts. Wiener, na een begin in logica beïnvloed door Russell, vond zijn eigen terrein in de wiskunde van de Brownse beweging, in harmonische analyse en in theorema's van het Tauber-type.1 Zijn onderzoekingen, in samenwerking met leerlingen als Raymond Paley en Claude Shannon, voerden hem tot de formering van de communicatietheorie en de verbetering van computers, en na 1946 tot zijn cybernetica. Andere wiskundigen uit deze periode waren Marshall Stone aan Harvard (later Chicago) met zijn studies over lineaire operatoren in Hilbert-ruimten en algebra's van Boole, en G.A. Bliss in Chicago, collega van E.H. Moore, wiens onderzoekingen in variatierekening zijn neergelegd in zijn Calculus of Variations (1925) en Lectures on the Calculus of Variations (1946). Zijn collega E.J. Wilczynski was, als reeds vermeld, een beoefenaar der projectieve differentiaalmeetkunde. Aan Harvard vinden we nog Julian Lowell Coolidge, een meetkundige, leerling van Segre en Study, die goede leerboeken schreef over niet-euklidische en complexe meetkunde, zowel als een Introduction to mathematical Probability (1923), een der eerste tekstboeken over dit onderwerp in het Engels. Historici der wiskunde

1 Alfred Tauber (1866-1942) in Wenen, publiceerde zekere integraalvoorwaarden in een studie over reeksen (1896), die door Hardy en Littlewood (en door Wiener) werden verder ontwikkeld.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 292 vinden veel interessants in zijn History of Geometrical Methods (1940). Aan Harvard was ook William E. Osgood verbonden, die bij Klein had gestudeerd en in Göttingen was gepromoveerd (1890). Zijn Lehrbuch der Funktionentheorie (1907) was een der meest gebruikte leerboeken van zijn tijd, het had een pedagogische precisie die typerend was voor zijn onderwijs. De wiskunde in de VS profiteerde geweldig van de komst van eminente mathematici die uit Europa door de Nazi's waren verdreven. Naast degenen die we reeds genoemd hebben als Weyl, Courant, Emmy Noether en Von Mises, denken we aan E. Artin, G. Polyá, H. Rademacher, V. Hurewicz, O. Neugebauer, André Weil en O. Scász. J.D. Tamarkin, aan Brown University in Providence, bevond zich daar reeds als emigrant uit Rusland.

16.

De grote tijd van de computer kwam eerst na de Tweede Wereldoorlog, maar er was een lange voorbereidingsperiode, die, zo men wil, met de abacus in de Oudheid aanvangt. In de moderne periode kunnen we beginnen met Wilhelm Schickard, een vriend van Kepler, met een instrument van 1623-'24, gevolgd door Pascal (1641) en Leibniz (1673). In 1808 vond de Franse wever Joseph-Marie Jacquard een methode uit om een weefgetouw van buitenaf te besturen met behulp van geponste kaarten. Deze gedachte werd door Charles Babbage overgenomen voor zijn ‘analytical engine’ (1833), hierbij ondersteund door Byrons dochter Lady Ann Lovelace. In deze nooit voltooide rekenmachine waren vele ideeën belichaamd die in de moderne automatische computer verwezenlijkt zijn, ze kon opslaan (store, het geheugendeel), besturen (control) en bewerkingen uitvoeren (mill). Maar deze machines waren geheel mechanisch en stelden eisen die alleen de elektronica van de tegenwoordige tijd in praktijk heeft kunnen brengen.1 Tussen 1884 en 1890 ontwikkelde Herman Hollerith, een statisticus in de V.S. die aan de volkstelling van 1890 werkte, een systeem waarbij uit geponste kaarten gegevens mechanisch konden worden gelezen, één kaart voor iedere persoon waarbij iedere ponspositie een toestand (beroep, leeftijd, enz.) voorstelde. Konrad Zuse, een Duitser, verbeterde dit systeem in 1934 door ideeën van Leibniz over het gebruik van het tweetallig stelsel over te nemen. Onafhankelijk hiervan bouwde Vannevar Bush, een ingenieur

1 Een handig overzicht van deze voorgeschiedenis kan men vinden in het artikel van S.F.A.M. Nillen, Grote Winkler Prins 5 (1968) 643-649.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 293 en professor aan het MIT, ondersteund door Wiener en andere collega's, in de jaren '30 een analog-computer om zekere integralen uit te werken en zekere differentiaalvergelijkingen op te lossen. In Princeton, in 1936, definieerde Alan M. Turing, een jonge Engelsman, de ‘Turing-machine’, een abstract model van een mogelijke logische machine, geconstrueerd om zulke vraagstukken als Hilberts beslissingsprobleem in de grondslagendiscussie aan te brengen.1 In 1945 paste Turing, na 1948 in Manchester, zijn ideeën toe op de bouw van een werkelijke computer (MADAM).2 Claude E. Shannon, toen aan het MIT, werkte deze ideeën verder uit in zijn communicatietheorie. Het nieuwe tijdperk in praktische computers begon met de Mark I, waaraan in 1937 aan Harvard werd begonnen door Howard H. Aiken, met hulp van de International Business Machine Corporation (IBM). Computers begonnen de belangstelling te wekken van grote ondernemingen. De Mark I had de voordelen van moderne technologie en moderne financiering. Er waren evenwel nog vele mechanische operaties. In de Mark II (1945, 1947) werden alle rekenkundige en overdrachtoperaties verricht door elektromagnetische relays. De eerste zuivere elektronische computer, de ENIAC, werd tussen 1943 en 1946 in Philadelphia aan de Universiteit van Pennsylvanië gebouwd. Dit was nog altijd academisch geëxperimenteer. In de jaren '50 begonnen computers in de handel te komen, en het computertijdperk was aangebroken.

Literatuur

Er zijn algemene overzichten van bepaalde gebieden van de wiskunde van deze eeuw in de reeds geciteerde boeken van Boyer, Kline, Bourbaki en Wussing, zowel als in de bijdrage van Pogrebysski tot de Russische en Duitse vertaling van de Concise History of Mathematics. Verder, naast de publikaties die in de voetnoten zijn geciteerd: J.M. Dubbey, Development of Modern Mathematics, New York, 1970. H. Freudenthal, The implicit Philosophy of Mathematics today, in Contemporary Philosophy, a Survey, gered. door R. Kilbansky (Florence 1968) 342-368.

1 On computable Numbers, with an application to the Entscheidungsproblem, Proc. London Math. Soc. 42 (1937) 230-265. 2 Turing werd maar 42 jaar oud. Hij stierf in 1954. Zie S. Turing, Alan M. Turing (1959).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 294

G. Prasad, Mathematical Research in the last twenty Years (Berlin 1923). H. Weyl, Half a Century of Mathematics, Amer. Math. Monthly 58 (1961) 523-583.

De levensbeschrijvingen in de vijftien delen van de D.S.B. bevatten een schat van gegevens over wiskundigen en hun werk, en vaak goede bibliografieën. Ook sommige encyclopedieën hebben gegevens met korte bibliografie, o.a. de Grote Winkler Prins. Korte schetsen vindt men ook in Meschkowski's Mathematiker-Lexikon (Mannheim etc., 3e Aufl. 1980). Zie ook P. Benacerraf en H. Putnam, Philosophy of Mathematics, Selected Readings. (Englewood Cliffs, N.J.) 1969. Artikelen van Carnap, von Neumann, Bernays, Gödel, Wittgenstein e.a. P. Bockstaele, Het Intuitionisme bij de Franse Wiskundigen, Verh. Kon. Vlaamse Acad. Wet 11 (1949) No. 2. R. Bott, Marston Morse and his mathematical works, Bull. Amer. Math. Soc. (New Ser.) 3 (1980) 907-950. Cahiers du Seminaire d'Histoire des Mathématiques (1980 - heden). Vele artikelen over hedendaagse auteurs en onderwerpen. D. van Dalen-A.F. Monna. Sets and Integration. An Outline of the Development (Groningen 1972). J. Dieudonné, Cours de géometrie algébrique I (Paris, 1974) (heeft een geschiedenis van dit gebied tot na 1950). History of functional Analysis (Amsterdam, 1981). L. Felix, The modern Aspect of Mathematics. H.H. Goldstine, The Computer from Pascal to Von Neumann (Princeton, N.J. 1970). I. Grattan-Guinness, On the Development of Logic between the two World Wars. Amer. Math. Monthly 88 (1981) 495-529. J. Hawkins, Lebesgue's Theory of Integration. Madison, Wis. 1970. S.J. Heins, John von Neumann and Norbert Wiener. (Cambridge, Mass 1980). F. Le Lionnais, Les grands Courants de la Pensée mathématique. (Paris, 1948, 2e ed. augmentée 1962). Een verzameling artikelen van Borel, Fréchet, Denjoy e.a. Ch. Loezin: Uspechi Matem. Nauk 6 (1951), 7 (1952), 8 (1953). H. Kennedy: Life and Work of Giuseppe Peano (Dordrecht-Boston, 1980). Emmy Noether, A Tribute to her Life and Work, gered. door J.W. Brewer en M.K. Smith (New York, Bazel 1981).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 295

C. Reid, Hilbert (Berlin etc., 1970). C. Reid, Courant in Göttingen and New York (New York, 1976). Ook in het Duits: Richard Courant 1888-1972 (Springer Berlin 1979). M.D. Resnik, Frege and the Philosophy of Mathematics (Ithaca-Londen, 1980). J.C. van der Corput, Wiskunde in Geestelijk Nederland 1920-1940, gered. door K.F. Proost en J.M. Romein (Amsterdam-Antwerpen, 1949) 255-291. Zie ook The Development of Science in the Netherlands during the last half Century (Leiden, 1930) 44-51. Over Volterra: Rendiconti Semin.-Matem. e Fis. Milano 17 (1946) 6-61. A. Weil, L'Avenir des mathématiques, in Le Lionnais, hierboven 307-320 Over N. Wiener: Bull, Am. Math. Soc. 72 No. 1, p. 2, 1966 (1451). B.A. MacKenzie, Statistics in Britain 1865-1930. The Social Construction of scientific Knowledge, Edinburgh, 1981.

Levensbeschrijvingen van gestorven of jubilerende wiskundigen vindt men geregeld in de maandelijkse nummers van de Mathematical Reviews.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 297

Literatuuroverzicht

In het volgende geven wij een titellijst van belangrijke geschriften over de geschiedenis der wiskunde als een geheel, en over belangrijke wiskundige gebieden. Zulk een lijst van titels (tot 1936) kan men ook vinden in G. Sarton, The Study of the History of Mathematics (Cambridge, Mass. 1936, 103 blz., herdruk New York 1957), waarin men ook een belangrijke inleiding tot ons onderwerp vindt. Een uitgebreide andere literatuurlijst kan men vinden in K.O. May, Bibliography and Research Material of the History of Mathematics (Toronto 1973, 2e uitg. 1978), met 827 bladzijden met bio- en bibliografische informatie en in J.W. Dauben, The History of Mathematics from Antiquity to the Present: a selective Bibliography (New York, 1985), met 508 bladzijden. Ook L.N. Malclès, Les Sources du Travail Bibliographique III (Genève, Paris 1958), met vele literatuuropgaven over andere takken van wetenschap. Nieuwe literatuur over de geschiedenis der wiskunde vindt men geregeld in de tijdschriften Historia Mathematica (HM) en Mathematical Reviews

Hier volgt een reeks van geschriften over de gehele geschiedenis der wiskunde. In het Nederlands bestaat er helaas niets anders dan: J. Versluis, Beknopte geschiedenis van de wiskunde (Amsterdam 1902) en de korte verhandeling van G. Mannoury, Geschiedenis der wiskunde, blz. 91-110 van ‘Geschiedenis der Wetenschappen’ (Baarn, 1917). en onze Geschiedenis van de wiskunde.

In het Engels hebben we in de eerste plaats twee tamelijk uitvoerige tekstboeken, goed voor klassikaal onderricht: C.B. Boyer, A History of Mathematics (New York, 1957, XV + 717 bldz.) en H. Eves, An Introduction to the History of Mathematics (New York, etc. 1953, 4th ed., enlarged, 1976). Dit boek heeft vraagstukken (‘problem studies’).

Verder: R.C. Archibald, Outline of the History of Mathematics (1932, 6e uitg. American Mathematical Monthly 56, Jan. 1949). Deze schets brengt in 114 blz. een uitstekend overzicht, verrijkt met een massa bibliografische verwijzingen. F. Cajori, A History of Mathematics (New York 1938, 2e ed., Chelsea reprint (New York, 1980). Een standaardwerk van 514 bldz., de eerste, kortere ed., is van 1919. Nogal droog. D.E. Smith, History of Mathematics (Boston 1923-25, 2 vols; herdruk Dover, New York 1951-53).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 298

Dit boek beperkt zich in het algemeen tot de meer elementaire gebieden der wiskunde, doch heeft bio- en bibliografische gegevens over alle leidende wiskundigen. Het bevat vele illustraties. E.T. Bell, Men of Mathematics (New York 1937). E.T. Bell, The Development of Mathematics (New York - London, 2e uitg. 1945). Beide boeken bevatten een rijke stof. Het eerste behandelt het leven en de werken van enige grote wiskundigen. Het tweede boek is een uitvoerig overzicht van de geschiedenis der wiskunde, met veel materiaal over de nieuwe periode. H.W. Turnbull, The great Mathematicians (London 1929, herdruk New York, 1961, ook als hoofdstuk in het boek van J.R. Newman, zie beneden). Een korte, prettige beschrijving van het werk van enige grote wiskundigen uit vroegere tijd. J.F. Scott, A History of Mathematics from Antiquity to the Beginning of the Nineteenth Century (London, 1958). V. Sanford, A short History of Mathematics (Boston 1930). Voornamelijk elementaire wiskunde. Wat zwaar op de hand is M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (New York, 1972, XVII + 1238 bldz.) met hoofdstukken over gehele gebieden, b.v. gewone en partiële differentiaalvergelijkingen, abstracte algebra, enz. W.W. Rouse Ball, A short Account of the History of Mathematics (6e uitg. Londen 1915; Dover herdruk, New York 1953). Leesbaar, maar op vele plaatsen verouderd. L.N.H. Bunt, E.S. Jones en J.D. Bedient, The historical Roots of elementary Mathematics (Englewood Cliffs, New Jersey, 1976). Speciale onderwerpen, discussies en vraagstukken. Historical Topics for the Mathematical Classroom (31st Yearbook Nat. Council of Teachers of Mathematics, Washington DC, 1969). Speciale onderwerpen, ieder onderwerp door een speciale auteur. In het Duits heeft men o.a.: M. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der-Mathematik (Leipzig, 4 delen, I 3e uitg. 1907, II 2e uitg. 1899-1900, III 2e uitg. 1901, IV, 1908). Een standaardwerk, breed opgezet, waarvan het vierde deel, door een aantal specialisten geschreven, tot 1799 gaat. Ofschoon in vele opzichten verouderd, vooral de hoofdstukken over de antieke wiskunde, en vaak in details onnauwkeurig, is het voor een eerste oriëntering nog steeds bijzonder geschikt. In de delen van het tijdschrift Bibliotheca mathematica, dat tot 1914 bestond, hebben G. Eneström en anderen onnauwkeurigheden en fouten verbeterd. Deze boeken zijn ook een goede wegwijzer naar de oudere literatuur. S. Günther - H. Wieleitner, Geschichte der Mathematik (Leipzig, 2 delen, het eerste deel door Günther, Leipzig 1908, het tweede door Wieleitner, in twee gedeelten, 1911-21. Uitg. Wieleitner, (Berlin 1939).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 299

J. Tropfke, Geschichte der Elementarmathematik (7 delen, 2e ed. Leipzig, 1921-24, delen 1-4 in 3e druk 1930-40). Nieuwe uitg. begonnen in 1980. Een standaardwerk over de elementaire wiskunde, met bijna volledige bronvermeldingen. Die Kultur der Gegenwart III, 1 (Leipzig, Berlin 1912). Dit boek bevat: H.G. Zeuthen, Die Mathematik im Altertum und im Mittelalter; A. Voss, Die Beziehungen der Mathematik zur allgemeinen Kultur; H.E. Timerding, Die Verbreitung mathematischen Wissens und mathematischer Auffassung. O. Becker-J.E. Hofmann, Geschichte der Mathematik (Bonn 1951). J.E. Hofmann, Geschichte der Mathematik (3 delen, Sammlung Göschen 226, 875, 822, Berlin 1953-57). Deze boekjes bevatten o.a. omvangrijk biografisch en bibliografisch materiaal. O. Becker, Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung (Freiburg-München 1954). H. Meschkowski, Denkweisen groszer Mathematiker (Braunschweig 1961). F. Müller, Zeittafeln zur Geschichte der Mathematik, Physik und Astronomie bis zum Jahre 1500 (Leipzig, 1892). H. Wussing, Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik (VEB Deutsch. Verl. Wiss., Berlin 1979, 365 bldz.) H. Wussing-W. Arnold. Biographien bedeutender Mathematiker (2e uitg., Berlin 1978). 41 levensbeschrijvingen van Pythagoras tot Emmy Noether.

In het Frans verscheen: J.E. Montucla, Histoire des Mathématiques (Paris 1752, nieuwe uitg. 1799-1802, 4 delen, heruitgave 1960). Dit geschrift, wel het oudste leerboek over de geschiedenis der wiskunde, blijft zeer leesbaar. Het beschouwt ook het verband tussen de wiskunde en verwante natuurwetenschappen. N. Bourbaki, Eléments d'Histoire des Mathématiques (Paris 1960). Een verzameling historische artikelen uit de meerdelige Eléments de mathématiques (Paris, sinds 1939). J. Dedron-J. Hard, Mathématiques et Mathématiciens (Parijs, 1960). Vele illustraties.

Een goed Italiaans boek is: G. Loria, Storia delle Matematiche (3 delen, Torino 1929-33).

Verder: S. Maracchia, La Matematica come Sistema ipotetico-deduttivo, profile storico (Florence, 1975). A. Frajese, Attraverso la Storia della Matematica (Florence, 1973).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 300

In het Russisch verscheen: K.A. Rybnikov, Geschiedenis der wiskunde I (Moskou 1960).

Er bestaan bloemlezingen uit het werk van wiskundigen: D.E. Smith, A Source Book in Mathematics (New York 1929). H. Wieleitner, Mathematische Quellenbücher (4 delen, Berlin 1927-29). A. Speiser, Klassische Stücke der Mathematik (Zürich-Leipzig 1925). J.R. Newman, The World of Mathematics (4 delen, New York 1956). Dit is een bloemlezing uit opstellen over wiskunde en wiskundige onderwerpen. Het begint met Turnbulls boek (zie boven). D.J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200-1800 (Cambridge, Mass., 1969; Princeton Un. Press 1987).

Dan zijn er een aantal historische geschriften over bepaalde wiskundige gebieden. Onder deze treft men aan: L.E. Dickson, History of the Theory of Numbers (3 delen, Washington 1919-27). T. Muir, The Theory of Determinants in the Historical Order of Development (4 delen, Londen 1906-23). Met supplement: Contributions to the History of Determinants 1900-1920 (Londen 1930). A. von Braunmühl, Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie (2 dln, Leipzig 1900-03). T. Dantzig, Number. The Language of Science (3e uitg. New York 1943). Een goed voorbeeld van een populair-wetenschappelijk boek. G. Loria, Il passato e il presente della principali teorie geometriche (4e uitg. Turijn 1931). G. Loria, Storia della geometria descrittiva delle origini sino ai giorni nostri (Milaan 1921). G. Loria, Curve piani speciali algebriche e transcendenti (Milaan 1930, Duitse vertaling in 2 delen, reeds in 1910-11 te Leipzig uitgegeven). F. Cajori, A History of Mathematical Notations (2 dln, Chicago 1928-29). L.C. Karpinski, The History of Arithmetic (Chicago 1925). Een schoolboek, heel eenvoudig. Helen M. Walker, Studies in the History of Statistical Methods (Baltimore 1929). R. Reiff, Geschichte der unendlichen Reihen (Tübingen 1889). Een beknopt, nog steeds nuttig boek. I. Todhunter, History of the Progress of the Calculus of Variations during the Nineteenth Century (Cambridge 1861). I. Todhunter, History of the Mathematical Theory of Probability from the Time of Pascal to that of Laplace (Cambridge 1865). I. Todhunter, History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth from the Time of Newton to that of Laplace (Londen 1873). Deze boeken van Todhunter bestaan uit een chronologische beschrijving van alle betreffende artikelen en boeken.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 301

C. Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development (herdruk Dover, New York 1959), 2e uitg. van The concepts of the calculus (New York 1949). C. Boyer, History of Analytic Geometry (New York 1956). J.L. Coolidge, The Mathematics of Great Amateurs (Oxford 1949, Dover N.Y. herdruk 1963). Over Plato, Omar Khayyám, Pietro dei Franceschi, Leonardo da Vinci, Dürer, Napier, Pascal, Arnauld, De Witt, Hudde, Brouncker, L'Hospital, Buffon, Diderot, Horner, Bolzano. J.L. Coolidge, A History of Geometrical Methods (Oxford Un. Press 1940, Dover herdruk 1963). R.C. Archibald, Mathematical Table Makers (New York 1948). R. Dugas, Histoire de la Mécanique (Neufchatel 1950). E.W. Beth, Geschiedenis der Logica ('s-Gravenhage 1944). E.W. Beth, De wijsbegeerte der wiskunde van Parmenides tot Bolzano (Antwerpen, Nijmegen, 1944). E.J. Dijksterhuis, Vreemde woorden in de wiskunde (Groningen, Batavia, 1948). Les grands courants de la pensée mathématique, présentés par F. le Lionnais, (Cahiers du Sud 1948). Een verzameling van korte monografieën. Naar andere boeken wordt aan het eind der hoofdstukken verwezen. A.I. Markuchewitz, Skizzen zur Geschichte der analytischen Funktionen (Berlin, 1955, uit het Russisch). H.H. Goldstine, A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century (New York, etc., 1980). E. Caruccio, Matematica e Logica nella Storia e nel Pensiero contemporaneo (Turijn, 1958, Engelse vertaling, Londen 1964). N.I. Styazhkin, History of mathematical Logic from Leibniz to Peano (Cambridge, Mass., 1960, uit het Russisch, zie HM 2 (1975) 361-365. H. Tietze, Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit (München, 1949, 2e ed. Zürich, 1959). J. Dieudonné, Cours de Géometrie analytique (Paris, 1974). Het eerste deel is historisch. H. Lebesgue, Notice d'Histoire des Mathématiques (Genève, 1959). Biografische schetsen van Viète, Vandermonde, Jordan, Borel, Ampère, Humbert, Roberval, Ramus. L.E. Maistrov, Probability Theory, a historical Sketch (New York, Londen, 1974, uit het Russisch, 1967). I. Grattan-Guinness, From the Calculus to Set Theory 1630-1910 (Londen, 1980). Een aantal artikelen van verschillende auteurs. N.C. Biggs, Graph Theory, 1736-1936 (Oxford, 1976). A. Glaser, A History of binary and other non-decimal Numeration (Southampton, Penns., 1971). H. Eves, Great Moments in Mathematics, 2 delen. Mathem. Ass. of America, Washington DC (1980, 81). Eerste deel vóór 1650, tweede deel na 1650.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 302

A. Weil, Number Theory. An Approach through History, from Hammurapi to Legendre (Boston, 1984, xv + 375 pp, zie HMB (1986) 86-88). Heel wat over Fermat en Euler.

De geschiedenis der wiskunde wordt ook besproken in boeken over de geschiedenis der wisen natuurkundige wetenschappen in het algemeen. Het (op zekere hoogte) standaardwerk is G. Sarton, Introduction to the History of Science (5 delen, Washington-Baltimore, 1927-48). Dit werk voert ons echter slechts tot de veertiende eeuw, maar aan iedere persoon van wetenschap wordt aandacht gewijd, met bibliografieën. Andere boeken van Sarton zijn The Study of the History of Science, with an Introductory Bibliography (Cambridge 1936). Horus, A Guide to the History of Science (Waltham, Mass. 1952).

Verder: [R. Taton, red.] Histoire générale des sciences Tome I. La science antique et médiévale (des origines à 1450) (Paris 1957). Tome II. La science moderne (de 1450 à 1800) (Paris 1958) Tome III. In voorbereiding. Het Mathematisches Wörterbuch uitgegeven door de Deutsche Akademie der Wissenschaften in Berlijn bevat ook vele bibliografische gegevens over de geschiedenis der wiskunde. W.T. Sedgwick-H.W. Tyler, A short History of Science (2e uitg. - New York 1939). Een schoolboek. C. Singer, A short history of scientific ideas to 1900 (Oxford Un. Press 1959). De algemene culturele rol van de wiskunde wordt besproken in M. Kline, Mathematics in Western Culture (New York, 1953). In het ‘National Mathematics Magazine’ (Ver. Staten), deel 13-19 (1939-45) zijn tien artikelen van G.A. Miller verschenen: A first Lesson in the History of Mathematics, A second Lesson, enz. Men kan ook de volgende tijdschriften raadplegen: Bibliotheca mathematica. Reeks 1-3 (1884-1914). Archiv für Geschichte der Mathematik, der Naturwissenschaften und der Technik (1909-31). Scripta mathematica (New York, sinds 1932). Isis (sinds 1913). Revue d'histoire des sciences (sinds 1947). Archives internationales d'histoire des sciences (Parijs, sinds 1947). Centaurus (Kopenhagen, sinds 1950). NTM, Zeitschrift für die Geschichte der Naturwissenschaften, Technik und Medizin (sinds 1960). Physis (Florence, sinds 1959).

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 303

Lychnos (Uppsala-Stockholm, sinds 1936). Istoriko-Matematičeskie Issledovanija (Moskou, sinds 1949). Archive for the History of Exact Sciences (sinds 1960), AHET). Annals of Science (sinds 1938). Historia mathematica (sinds 1974, HM). Bolletino di Storia delle Scienze Matematiche (sinds 1981). Annals of the History of Computers (sinds 1979). ‘Historia Mathematica’ (HM) en ‘Archive for the History of Exact Sciences’ (AHES) zijn voor de geschiedenis der wiskunde de belangrijkste, HM bevat ook veel personalia, congresberichten en literatuuroverzichten. ‘Isis’ geeft af en toe een bibliografie over de gehele wetenschapsgeschiedenis. De lezer van ‘Mathematical Reviews’ en van het ‘Zentralblatt zur Geschichte der Mathematik’ blijft op de hoogte van de literatuur. Levensbeschrijvingen van de meest bekende wiskundigen vindt men in de veertien delen van het ‘Dictionary of Scientific Biography’ (1970-80, deel 15 is de index). Korte verslagen in H. Meschkovski, Mathematiker Lexikon (Mannheim etc., 3e uitg. 1980) met portretten en uitvoerige bibliografie.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 305

aardmagnetisme 195 abacus 111 Abbott, E.A. 283 Abel, N.H. (1802-1829) 182, 196, 204, 208, 209, 211, 213, 214, 264 Aboe-I-Wafa (940-998) 96 Aboe Kāmil (ca. 850-930) 99, 100 Academie, Franse 141 Achilles 56 Ackermann, W. (1896-1962) 272 Açoka 41 actueel oneindige 133, 221 Adalbold 8, 108 Adelard van Bath (1120) 109 affiniteit 224 aftellende meetkunde 225 Agricola, G. (1494-1555) 130 Ahmes-papyrus 30 Aiken, H.H. 293 Albategnius zie Al-Battānī Al-Battānī (ca. 850-929) 95, 96 Alberti, L.B. (1404-1472) 115, 130 Al-Chwārizmī (ca. 780-850) 93, 94 Alcuin van York (735-804) 90, 107 Alcuinus zie Alcuin van York Aleksandrov, P.S. 284 Alexander de Grote (356-323 v. Chr.) 61 Alexander, J.W. (1888-1971) 268, 290 Alexandrië 63 alfabet 47 -, Griekse 81 Al-Fāzarī (gest. ca. 800) 91, 93 Alfonsinische tafels 99 algebra (afkomst woord) 94 algoritme 93 Al-Haitham (965-1039) 80, 99 Alhazen zie Al-Haitham al-jabr 94 Al-Karagi (Al-Karkī) (gest. ca. 1029) 96 Al-Kashi (gest. ca. 1430) 102 Almagest 72, 75, 88, 95 Al-Mamoen (786-833) 93 Al-Uglīdīsī 98 Al-Zarqāli (ca. 1029-1087) 99 Ampère, A.-M. (1775-1836) 200, 230 analog-computer 293 analysis situs 90 analytische meetkunde 136 Anthonisz, A. (ca. 1543-1620) 100 Antigonos 62

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde Antonienen 73 Apollonios (ca. 262-190 v. Chr.) 50, 62, 69, 70, 95, 136, 138 -, raakprobleem van 70 Aquino, Thomas van (ca. 1225-1274) 112 Arago, F. (1786-1855) 187 Archibald, R.C. (1875-1955) 13, 278 Archimedes (ca. 287-212 v. Chr.) 12, 50, 59, 60, 63, 66-69, 78, 81, 95, 100, 130-132, 140, 143 Archytas van Taras (ca. 400-360 v. Chr.) 53, 58, 62 Aristarchos van Samos (280-260 v. Chr.) 71

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 306

Aristoteles (384-322 v. Chr.) 55-57, 112, 131, 133, 136, 236 arithmos 80, 271 Aronhold, S.H. (1819-1884) 232, 237 Artin, E. (1898-1962) 260, 270, 292 Āryabhata (gest. 476) 88, 89 Arzaquiel zie Al-Zarqāli Ascher, M. 23 Ascher, R. 23 Augustinus (350-430) 112, 220 Azteken 22

Babbage, Ch. (1792-1871) 230, 292 Bacon, F. (1561-1626) 133 Baire, L.-R. (1874-1932) 262 Bakshāli-manuscript 91 Balzac, H. de (1799-1850) 206, 209 Banach, S. (1892-1945) 262, 285, 286 band van Möbius 224 Barrow, I. (1630-1677) 138, 139, 148, 154 Bartels, J.M. 228 Bayes, Th. (gest. 1763) 186 Beeckman, I. 10 Bell, E.T. 12, 13 Beltrami, E. (1835-1900) 245, 280 Berkeley, G. (1685-1753) 57, 151, 156, 173, 226 Bernays, P. 272, 274, 280 Bernoulli, D. (1700-1782) 161, 164, 177, 178, 202 Bernoulli, getallen van 178 Bernoulli, Jakob (1654-1705) 152, 154, 161-163, 175, 186, 284 Bernoulli, Johann (1667-1748) 9, 152, 154-155, 161-163, 165, 175, 186 Bernoulli, N. (I) (1687-1759) 176 Bernoulli, N. (II) (1695-1726) 164, 165 Bernstein, F. 280 Bernstein, S. (1880-1968) 285 Berzolari, L. 255 Betti, E. (1823-1892) 245 Bhāskara(1114-ca. 1185) 89 Bianchi, L. (1856-1928) 286 Bienzeno 279 Bierens de Haan, D. 9, 241, 287 Biermann, K.R. 13 bikwadraatresten 195 Biot, J.-B. (1774-1862) 199 biquaternionen 233, 235 Biringuccio, V. 130 Birkhoff, G. 290 Birkhoff, G.D. (1884-1944) 267, 289, 290, 291 Bliss, G.A. 291 Bochenski, I.M. 236 Boek der Veranderingen zie I-Ching Boëthius, A.M.S. (ca. 480-524) 105, 106, 107, 113

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde Bohr, H. (1887-1951) 289 Bohr, N. 289 Boltzmann, L.E. 231, 258 Bolyai, F. (1775-1856) 227, 228 Bolyai, J. (1802-1860) 226, 227, 239 Bolzano, B. (1781-1848) 113, 204 Bombelli, R. (1526-ca. 1572) 118, 122, 208 Boole, G. (1815-1864) 236, 274, 275 Borel, F.E.J.E. (1871-1956) 256, 261, 266 Born, M. (1882-1970) 280 Boscovich, A.E. 8 Bosmans, H. (1852-1948) 10 Bosscha, J. 287 Bottazzini, U. 8 Bourbaki, N. 12, 281 Bowditch, N. (1779-1838) 185, 230, 235

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 307 brachistochroon 163 Bradwardinnus, Th. (ca. 1290-1349) 113 Brahe, T. (1546-1601) 119, 124, 131 Brahmagupta (625) 88, 89, 90 Brâhmî-getallen 41 Brauer, R. 270 brekingswet 124 Brianchon, Ch.J. 221 Briggs, H. (1561-1631) 123, 124 Brioschi, F. (1824-1897) 245 Brocard, P. 277 Broglie, L. de 281 Brouwer, L.E.J. (1881-1961) 9, 256, 257, 268, 272, 273, 284, 287 bruggeprobleem van Koningsbergen 169 Bruns, H. (1848-1919) 212 Buffon, Comte de (1707-1783) 179 Burali Forti, C. (1861-1931) 57, 220 Burger, D. 283 Burgers 279 Bürgi, J. 124 Bush, V. (1890-1974) 292 Byron, A.L. 292

Cajori, F. (1859-1930) 8, 13, 267 Cantor, G. (1845-1918) 112, 113, 192, 205, 217, 219, 220, 236, 254, 257, 261, 267, 270, 271 Cantor, M. (1829-1920) 10, 241 Carathéodory, C. (1873-1950) 281 Cardano, H. (1501-1576) 52, 117, 118, 119, 137 Carleman, T. 289 Carnap, R. 288 Carnot, L. (1753-1823) 183, 184, 197 Cartan, E. (1869-1951) 241, 246, 276, 277, 281, 286, 290 Casorati, F. (1835-1890) 245 Cassini, J. (1677-1756) 174 Cassini, J.D. (1625-1712) 174 Cassini, ovalen van 174 Castelnuovo, G. 286 casus irreducibilis 118 Catharina II (1729-1796) 165 Cauchy, A.L. (1789-1857) 192, 201, 203, 204, 206-208, 210, 214 Cavalieri, B. (1598-1647) 113, 131, 133, 134, 138, 147 Cayley, A. (1821-1895) 192, 223, 229, 230, 232, 239, 245 Čebyšev, P.L. (1821-1894) 8, 11, 283, 284, 285 Čech, E. 290 Ceulen, L. van 98, 121 Chasles, M. (1793-1880) 223, 224, 225, 241 Châtelet, Mme Du (1706-1749) 174 Chin Chioe-Shao (13e eeuw) 101 Chiu Chang Suan Ching 42 Choe Chioe-Shao (ca. 1300) 101

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde Chou Pei 42 Christoffel, E.B. (1829-1900) 246 chronometer 143 Clairaut, A.C. (1713-1765) 161, 176, 180, 185, 211 Clebsch, A. (1833-1872) 232, 237, 245 Clifford, W.K. (1845-1879) 235 Commandino, F. (1509-1575) 130 complexe getallen 118, 195 complexe functies 203, 204 computer 292, 293 Condorcet, Marquis de (1743-1794) 179

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 308 constante van Euler 169 contacttransformaties 212 continuïteit 221 continuüm 219, 257 contravariant 233 Coolidge, J.L. (1873-1954) 270, 274, 291 Copernicus, N. (1473-1543) 116, 119, 131 Coriolis, G.-G. (1792-1843) 200 Corput, J.G. van der 9, 277, 287 Coss 118, 119 Courant, R. (1888-1972) 280, 283, 292 covariant 233 Cramer, G. (1704-1752) 180, 210 Cramer, paradox van 180 Crelle, A.L. (1780-1855) 209 Cremona, L. (1830-1903) 245 Curie, Mme 281 cycloïde 133, 139, 142, 154, 163

D'Alembert, J. Le Rond (1717-1783) 161, 164, 171, 172, 176, 178, 181, 183-185, 192, 193, 197, 202, 203, 205, 214 D'Ocagne, M. 259, 278 Dantzig, D. van 287 Darboux, G. (1842-1917) 241, 243, 253 decimale positiestelsel 90, 91, 100 decimale breuken 122, 123 Decker, E. de (ca. 1630) 123, 124 Dedekind. R. (1831-1916) 59, 217, 218, 219 Demokritos (ca. 460-370 v. Chr.) 53, 60, 61 demos 48 Denjoy, A. 262 Desargues, G. (1593-1662) 140, 143, 145, 147, 221 Descartes, R. (1596-1650) 9, 12, 122, 133-135, 137-140, 142, 147, 152, 174 determinanten 210 dichotomie 56 Dickson, L.E. 267, 278 Diderot, D. (1713-1784) 176, 177 Dieudonné, J. 7 differenttaalmeetkunde 199 Dijksterhuis, E.J. 10, 13 Diofantos (ca. 250) 12, 74, 76, 77, 89, 96, 120, 143 dipylon vazen 20 Dirac, P.A.M. 282 Dirichlet, P.G. Lejeune 196, 203, 212, 214, 240, 289 driedeling van een hoek 52, 78 driehoek van Pascal 163 drielichamenprobleem 169, 185 dualiteit 221 Dupin, Ch. (1784-1873) 199, 200 Dürer, A. (1471-1528) 115, 116

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde e 242 Ecole Polytechnique 198 Eddington, A.S. 276 Eels, W.C. 17 Egorov, D.T. 284 eigenwaarden 265 eikonal 212 Einstein, A. (1879-1955) 175, 215, 232, 275, 276, 286, 291 Eisenhart, Pf. 290 elektromagnetisme 200 elementaire delers 233 elliptische functies 196, 197, 209, 210 Eneström, G. (1852-1923) 165, 241 Engel, F. (1861-1941) 241 ENIAC-computer 293 Enriques, F. (1871-1946) 7, 286 Erasmus (1469?-1536) 162 Eratosthenes (ca. 276-196 v. Chr.) 60, 131

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 309

‘Erlanger program’ 238 Escher, M.C. 20 etnowiskunde 23, 289 Etrusken 54 Eudoxos (ca. 408-355 v. Chr.) 58, 59, 62, 67, 71, 140, 204, 205 Euklides (ca. 300 v. Chr.) 12, 50, 51, 59, 60, 62-65, 67, 80, 94, 95, 97, 115, 194, 197 Euler, constante van 169 Euler, J.A. 165 Euler, L. (1707-1783) 12, 68, 88, 118, 124, 143, 161, 164, 165, 168, 170-172, 174, 175, 177, 178, 180, 181, 184, 187, 192, 193, 198, 202, 214, 230, 258, 289 exhaustie 58, 59, 140 existentiebewijs 206

Faraday 232 Fedorov, E.S. von 259 Fehr, H. 278 Fejér, L. (1880-1959) 266, 288 Fermat, P. (1601-1665) 12, 78, 137-140, 143, 144, 168, 169, 175, 178, 218, 258 Ferrari, L. (1522-1565) 117, 118 Ferro, Scipio del (ca. 1465-1526) 115, 117 Feuerbach, K.W. 277 Fibonacci, getallen van 110 Fibonacci zie Leonardo van Pisa Fischer, E. (1875-1954) 265 Fitzgerald, E. (1809-1883) 96 Flexner, A. 290 fluxies 148, 149, 173, 180 fonctionelle 254, 264 fonctions génératrices 186 Föppl, A. 276 formalisme 272 formalisten 220 Fourier, J. (1768-1830) 177, 192, 201-204, 212, 213, 289 Fourier, reeksen van 203, 204, 213, 289 Fowler, R.H. 282 Fraenkel, A. 271 Francesca, P. della (ca. 1414-1492) 115, 116 Frank, E. 50, 53 Franse Revolutie 191 Fréchet, R.M. (1878-1973) 262, 266 Frederik de Grote (1712-1786) 165, 181 Fredholm, I. (1866-1927) 265 Frege, G. (1848-1925) 236 Fresnel, A. (1788-1827) 200 Freudenthal, H. 288 Frisius, G. 9 Frobenius, G. (1848-1917) 217, 234, 246 Fubini, G. 287

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde Fuchs, functies van 244 functie 213 functies, elliptische 197 - van Fuchs 244 functionaaldeterminant 210

Galilei, G. (1564-1642) 129, 130, 132, 133, 138, 143 Galois, E. (1811-1832) 182, 206-208, 269 gammafunctie 168 gastheorie, kinetische 164 Gauss, C.F. (1777-1855) 12, 165, 178, 188, 192, 193, 202, 204, 207, 208, 209, 213, 216, 226, 228, 231, 240,256 Gauss, getallentheorie 213 Gelfond, A.O. (1906-1968) 260, 285 general analysis 267 geodesie 195 geografische lengte(bepaling op zee) 143 Gerbert (ca. 940-1003) 8, 107 Gergonne, J.D. (1771-1859) 221 gesyncopeerde algebra 78 getallen

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 310

-, Brâhmî- 41 -, complexe 118, 195 -, ideale 144, 218 -, imaginaire 118 Gherardo van Cremona (1175) 109 Gibbs, J.W. (1893-1903) 231, 234, 276 Gilberts, W. 119 Girard, A. (ca. 1590-1623) 193 gobar 92 Gödel, K. 271, 273, 288, 289 Goldbach, Ch. (1690-1764) 258, 281, 285 goniometrie 165 Gordan, P. (1837-1912) 237, 259, 269 Goursat, E. (1850-1936) 243 Grace, J.H. 283 grafostatica 245 Grandi, G. (1671-1742) 172 Grassmann, H. (1809-1877) 228, 229, 246, 274, 276 Gravelaar, N.L.W.H. 9, 241 Green, G. (1793-1841) 185, 230, 231, 265 Gregory, J. (1638-1675) 90 Griekse alfabet 81 Grimm, J. (1785-1863) 18 groepentheorie 207 gulden snede 116 Guldin, P. (1577-1643) 131, 140 Gutenberg, J. (ca. 1394-1468) 114

Haaftens, M. van 9 Hachette, J.N.P. (1769-1834) 199 Hadamard, J. (1865-1963) 241, 253, 254, 264, 266 Hahn, H. (1879-1934) 288 halfregelmatige lichamen 78 Halley, E. (1656-1742) 145, 151, 173 Hallstadt-periode 19 Hambidge, J. 289 Hamilton, W. (1788-1856) 211 Hamilton, W.R. (1805-1865) 175, 185, 202, 211, 218, 230, 274 Hammurabi (ca. 2100 v. Chr.) 36, 54 Han-dynastie (207 v. Chr.-220 n. Chr.) 42, 73, 100 Hankel, H. 236 Hardy, G.H. (1877-1947) 221, 277, 281, 282, 285 harpedonaptai 19, 34 Hastings Moore, E. 267 Hausdorff, F. (1868-1942) 256, 263, 284 Heath, T.L. (1861-1940) 50 Heaviside, O. (1805-1925) 186, 234, 253, 276 Hegira 87 Heiberg, J.L. 60 Heine-Borel, theorema van 261 Heisenberg, W.K. (1901-1976) 280

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde Helmholtz, H. von (1821-1894) 231, 239, 240 Hensel, K. 269 Herglotz, G. 280 Hermite, Ch. (1822-1901) 241, 242, 258 Heroon (ca. 75) 74, 76, 81, 129 Herschel, J.F.W. (1792-1871) 230 hexagramma-mysticum 145 Heyting, A. 273 Hilbert, D. (1862-1943) 182, 196, 205, 213, 218, 238, 241, 247, 248, 253, 255-260, 264, 265, 269, 272, 274, 278, 283, 285, 289, 291 Hindoe-Arabische getallen 111, 116, 121, 124 Hinton, C.H. 275 Hippokrates van Chios (ca. 440 v. Chr.) 51 Hlavaty, V. 290

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 311

Hollerith, H. 292 Homerische helden 22 homologie 268 Hooke, wet van 143 Horner, W.G. (1786-1837) 98, 101 Hudde, J. (1633-1704) 9, 139 Hurewicz, V. 292 Hurwitz, A. 254 Huygens, Ch. (1629-1695) 9, 69, 138, 141-143, 145, 152, 162, 163, 178, 241 hydrodynamica 164 Hypatia (ca. 370-415) 79 hypergeometrische reeks 194 Hypparchos van Nicaea 72

I-Ching 42 ideale getallen 144, 218 imaginaire getallen 118 Inca's 21, 22 intuïtionisme 220, 272 invariant 233 ionosfeer 254 isochroon 163 isoperimetrische figuren 78 isoperimetrische vraag-stukken 222

Jacobi, C.G.J. (1804-1851) 12, 192, 196, 202, 207, 209, 211, 233, 246, 256 Jacquard, J.-M. 292 Jainisme 41 Joesjkewitsj, A.P. 13, 102, 171 Joffe, S.A. 13 Jordan, C. (1838-1922) 207, 238, 261 Julia, G. 281 Justinianus (483-565) 79

Kagan, V.F. (1869-1953) 285 Kant, I. (1724-1804) 185, 228 Kapteyn, J.C. 287 Karpinski, L.C. (1878-1956) 94 Kästner, A.G. 228 Kawaguchi, A. 289 Kelten 17 Kelvin, Lord (W. Thomson)(1824-1907) 231 Kennelly, A. 253 Kepler, J. (1571-1630) 7, 52, 60, 99, 119, 124, 131, 132, 148 kettinglijn 142, 162 keuze-axioma 271 Khayyam, O. (ca. 1050-1130) 92, 96, 97, 98, 226 Kidinnu (Kidenas) (3e of 2e eeuw v. Chr.) 75 kinetische gastheorie 164 Kingsley, Ch. (1819-1875) 79 Kirchhoff, G.R. 214, 231

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde Klaudius Ptolemaios zie Ptolemaios Klein, F. (1849-1925) 8, 13, 192, 196, 207, 229, 238, 240, 241, 245, 254, 257, 266, 278, 292 kleinste kwadraten 197 Kluyver, J.C. 9, 243, 287 knopen, theorie der 90 Koebe, P. 266 Kolmogorov, A.N. (1903-) 264, 284, 285 König, S. (1712-1757) 175, 176 Koningsbergen, bruggeprobleem van 169 Korteweg, D.J. 9, 241, 268, 287 Kowalewskaja, S. 283, 289 Kronecker, L. (1823-1891) 217-220, 236, 258 Kummer, E.D. (1810-1893) 217, 218, 144 Kuratowski, K. 285 kwadraatresten 195 kwadraten, kleinste 194, 197 kwadratuur van de cirkel 52, 78 Kyeser, K. (1405) 130

L'Hospital, G.-F.-A. (1661-1704) 138, 155 Lacroix, S.F. (1765-1843) 198, 230

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 312

Lagrange, J.-L. (1736-1813) 161, 165, 174, 175, 180-185, 187, 193, 197, 200-202, 205, 208, 210, 217 Lalande, J.J. de 9 Lambert, J.H. (1728-1777) 161, 226, 242 Lamé, G. (1795-1871) 237 Landau, E. (1877-1938) 277 Landen, J. 173, 179 Langevin, P. 281 Laplace, P.-S. (1749-1827) 12, 161, 165, 170, 179, 184, 185, 194, 197, 202, 206, 211, 230, 231, 235, 244, 264 Laplace-transformatie 186 Laurent, P.M.H. (1813-1854) 204 Lavoisier, A.L. (1743-1794) 200 Lebesgue, H. (1875-1941) 205, 215, 220, 256, 262, 263, 266 Lebesgue-integraal 262 Lefschetz, S. (1884-1972) 268, 290 Legendre, A.-M. (1752-1833) 186, 192, 194, 196-198, 226, 266, 274 Leibniz, G.W. (1646-1716) 90, 118, 121, 134, 136, 140, 142, 143, 147-148, 152, 161-162, 175, 179, 192, 210, 234, 236, 292 lemniscaat 163 Lemoine, E. 277 Leonardo da Vinci (1452-1519) 115, 116, 130 Leonardo van Pisa (ca. 1180-1250) 109, 114, 115 Leukippos (ca. 500 v. Chr.) 53, 60 Levi-Civita, T. (1873-1941) 246, 275, 286, 290 Lévy, P. 281 Lie, M.S. (1842-1899) 207, 238, 239, 240, 241 lijnencongruentie 211, 218 limiet 148, 172 Lincei, Accademia dei 141 Lindemann, F. (1852-1939) 238, 242, 258 Lionnais, F. le 12 Liouville, J. (1809-1882) 207, 242, 264 Lipschitz, R. (1832-1903) 246 Listing, J.B. (1808-1882) 214 Littlewood, J.E. (1885-1977) 277, 281, 285 Liu Hui (ca. 260 n. Chr.) 100 Ljapoenov, A.M. 8, 283, 284 Ljoesternik, P.A. 284 Lobačevskiǐ, N.I. (1793-1856) 196, 226, 239, 283, 285 Loezin, N.N. (1883-1950) 262, 284 logaritmen 122 logaritmische kromme 142 logaritmische spiraal 163 logica, symbolische 152 logistica 80 logistica speciosa 121 logistici 220 logistiek 273 logos 54 Lorentz, H.A. (1853-1928) 232, 287

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde Loria, G. 7, 287 loxodrome 124 Luik, F. van 8, 108 lunulae 51 Luria, S. 60 maantheorie 148, 169, 176, 185 Maclaurin, C. (1698-1746) 180, 181 Maclaurin, reeks van 180 Mahāvirā (850) 89 Malus, E. (1775-1812) 200 Mannoury, G. 287 Marco Polo (ca. 1254-1324) 101 Markov, A.A. (1856-1922) 283

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 313

Markov-ketens 284 Marx, K. (1818-1883) 172 Massau, J. 259 mathematische fysica 202 Maupertuis, P.L.M. de (1698-1759) 161, 175, 176, 211 Maurits van Oranje (1567-1879) 122 Maxwell, J.C. (1831-1879) 188, 231, 232 Maya's 17, 21, 22, 43 mechanisch materialisme (18e eeuw) 186 mechanistische filosofie 136 Menelaos (ca. 100) 76 ‘Mengenlehre’ 219 Menger, K. 288 Mercator, G. (1512-1594) 119, 124 Mercatorprojectie 124 Méré, G.B. Chevalier de (1610-1685) 144 Mersenne, getallen van 140 Mersenne, M. (1588-1648) 10, 140 metamathematica 272 Metius, A. 100 Middelburg, P. van 7 Mikami, Y. (1875-1950) 42 Miller, G.A. (1863-1951) 18 Minkowski, H. (1864-1909) 253, 258, 260, 269, 276, 278 Minoïsche-Myceense cultuur 21 Mises, R. von 279, 292 Mittag-Leffler, G. 289 Möbius, A.F. (1790-1868) 214, 222, 223, 224 Möbius, band van 224 Moerbeke, W. van 8 Moivre, A. de 178, 179 Monge, G. (1746-1818) 184, 195, 197, 199, 201, 220, 225 Montucla, J.-E. 241 Moore, C.L.E. 267, 274 Moore, E.H. (1862-1932) 267, 291 Moore, R.L. (1882-1974) 267 Morgan, A. de 177, 236 Morgenstern, O. 291 Morley, F. 277 Morse, H.M. 291 Moskouse Papyrus 31 Museum van Alexandrië 63 naaldprobleem 179 Napier, J. (1550-1617) 122, 123 Napoleon I (1769-1821) 185, 198 Nasīr-al-dīn at Toesi (Nasir-Eddin)(1201-1274) 98, 114, 115, 226 natuurwetten 68 Navier, L.M.H. (1785-1836) 203 Needham, J. 42 negatieve getallen 100, 118

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde Negen hoofdstukken over de kunst der wiskunde zie Chiu Chang Suan Ching Neo-Pythagoreeërs 92 Neolithicum 15, 16 Nestor 22 Neugebauer, O. 13, 30, 292 Neumann, J. von 280, 291 nevelhypothese 185 Newton, I. (1642-1727) 52, 138, 140, 142, 143, 147-148, 150-152, 172-175, 179, 183, 188, 230 niet-euklidische meetkunde 196, 197, 215, 245 Nieuwentijt, B. (1654-1718) 156 Nikomachos (100) 74, 106 Nīlakantha (ca. 1500) 90 Noether, E. (1882-1935) 269, 280, 292 Noether, M. 269 nomografie 259 nulsysteem 90, 91, 224

Oersted, H. Ch. (1777-1851) 230

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 314

Oldenburg, H. 151 orbiforme krommen 169 Oresme, N. (1323-1382) 137 Origines (ca. 185-254) 112 Osgood, W.E. (1864-1943) 292 Ostrogradskiǐ, M.V. (1801-1861) 283 Oudere Stenen Tijdperk 18 ovalen van Cassini 174

Pacioli, L. (1445-ca. 1514) 116 Painlevé, P. (1863-1933) 266, 267 Paleolithicum 15 Paley, R. 291 Pappos(ca. 320) 121, 136 Papyrus Rhind 30, 31, 32 paradox van Cramer 180 paradoxen 57, 271 parallellenaxioma 97, 226, 228 Parmenides (ca. 500 v. Chr.) 55 partitio numerorum 168 Pascal, B. (1623-1662) 139, 140, 145, 178, 292 Pascal, driehoek van 101, 145, 163 Pascal, Ernesto 255 Pascal, Etienne (1588-1651) 145 Pasch, M. (1843-1930) 247, 274 Pauli, W. (1900-1958) 280 Peacock, G. (1791-1858) 230, 236 Peano, G. (1858-1932) 254, 255, 263 Peirce, B. (1809-1880) 234, 235 Peirce, Ch.S. (1839-1914) 235 Pell, J. (1611-1685) 69 pentagram 20 Pestalozzi, J.H. (1746-1827) 222 Peurbach, G. (1423-1461) 114 Pfaff, J.F. 193, 229, 246 pi(π) 37, 41, 68, 99, 100, 121, 218, 242 Piazzi, G. (1746-1826) 194 Picard, E. (1856-1941) 243, 255 Pincherle, S. 279 Pirenne, H. (1862-1935) 106 Pitiscus, B. (1561-1613) 120 planetoïde 194 Platland 283 Plato (429-348) 51, 57, 58, 112, 119, 132, 219, 225 Plato van Tivoli (ca. 1150) 109 Platonici 136 Platonische lichamen 240 Plücker, J. (1801-1868) 222, 224, 225, 229 Plutarchus (ca. 50-100) 67 Poincaré, H. (1854-1912) 192, 240, 243, 244, 257, 266 Poinsot, L. (1777-1859) 200, 201

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde Poisson, S.-D. (1781-1840) 144, 179, 201, 202, 211, 230 polis 48 Polyá, G. 292 Polybius 67 polytopen 229, 275 Poncelet, V. (1788-1867) 200, 201, 220, 225, 272 poolcoördinaten 162 potentiaaltheorie 148, 176, 185 Prager, W. 7 Prandtl, L. 254, 280 precessie 72 priemgetallen 216 Pringsheim, A. (1850-1941) 270 problème des partis 145 projectieve meetkunde 201 Proklos (ca. 410-485) 79 Ptolemaios (ca. 85-165) 61, 63, 72, 74, 75, 95, 113, 137, 226 Pythagoras (ca. 580-500 v. Chr.) 34, 37, 40, 52, 54, 64, 80 -, theorema van 37, 40 Pythagoreeërs 52, 53, 54, 74 Pythagoreïsche drietallen 37 quadrivium 106

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 315 quaternionen 212, 233, 234 quipa 22

Rademacher, H. (1892-1969) 292 radix 94 Ramanujan, S. (1887-1920) 281, 282 ratio 54 Rayleigh, J.W.S. 231 Rechenhaftigkeit 113, 119, 129 reciprociteitswet 169, 194, 197 regelmatige lichamen 66, 67, 78 Regiomontanus 114, 115 Reid, Th. 226 rekenmachine 145, 152 retorische algebra 78 Reye, K.T. (1837-1919) 223 Reymond, P.D. 261 Rhaeticus, G.J. (1514-1576) 119 Rhind, A.H. (1833-1863) 30 Rhind, Papyrus zie Papyrus Rhind Ricci, M. (1552-1610) 102 Ricci-Curbastro, G. (1853-1925) 246, 275 Riemann, B. (1826-1866) 12, 170, 203, 208, 213, 228, 229, 233, 235, 239, 240, 245, 246, 262, 285 Riemann-integraal 215 Riesz, F. (1880-1956) 265, 288 Robert van Chester (ca. 1150) 109 Roberval, G.P. de (1602-1675) 11 rodoneeën 172 Romantiek 191 Romein, J. 256 Roomen, A. van (1561-1615) 120, 124 Rouse Ball, W. 8 Royal Society 141 Rubaiyat 96 Ruffini, P. (1765-1822) 182, 207, 208 ‘Runderprobleem’ 69 Runge, C.D.T. (1856-1927) 280 Russell, B. (1872-1970) 57, 220, 236, 255, 256, 257, 264, 267, 271, 273, 274

Saccheri, G. 226 Saint Venant, B. de (1797-1886) 237 Saint Vincent, G. de (1584-1667) 9, 59, 140, 156 Salmon, G. (1819-1914) 232, 233 Santillana, G. de 286 Sassanieden 92 Scász, O. 292 Scheffers, G. (1866-1945) 241 Schickard, W. 145, 292 Schlick, M. 288 Schmidt, E. (1876-1959) 265, 280

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde Schmidt, O. 270 Schoenfliesz, A. 259, 261 Schooten, F. van 9, 138, 142, 145 Schoute, P.H. 9, 229, 275, 287 Schouten, J.A. 9, 275, 277, 287 Schröder, E. (1841-1902) 254 Schrödinger, E. 282 Schubert, H. (1848-1911) 225 Schur, I. (1875-1941) 280 Schwartz, H.A. (1843-1921) 11 Sēbōkht, S. (ca. 650) 91 Segre, C. (1863-1924) 274 Seki Kōwa (Seki Takakusu) (1624-1708) 102, 210 Seleuciden 62, 63 semantiek 271, 288 Serret-Frenet, formules van 242 Severi, F. 286 Shannon, C.E. (1916-) 291, 293 Shé Hunag Di (ca. 213 v. Chr.) 30

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 316

Siddhāntā's 88, 93, 94 Sierpinski, W. (1882-1969) 256, 284, 286 significa 287 Simplicio 133 sinus 95 Skolem, Th.A. (1887-1963) 271, 289 sluitingsprobleem 201 Smith, A. (1723-1790) 16 Smith, D.E. 8 snaarprobleem 164 Snellius, W. (1580-1626) 9, 124, 154 Soemeriërs 35, 36 Soeng-dynastie (960-1279) 101 sofisten 50, 52 Sombart, W. (1863-1941) 113 Sothische periode 35 Speiser, A. 21, 289 speltheorie 291 Spinoza, B. (1632-1677) 151, 156 spiraal, logaritmische 163 Staudt, K.Ch. von (1798-1867) 222, 224, 232 Steiner, J. (1796-1863) 192, 222 Steinhaus, H. 286 Steinitz, E. (1871-1928) 269, 270 Steinmetz, Ch.P. 253 Stevin, S. (1546-1620) 8, 64, 78, 80, 118, 121-123, 130, 133, 143 Stieltjes, Th.J. (1856-1894) 242, 287 Stifel, M. 119 Stirling, J. (1692-1770) 178, 179 Stokes, G.G. (1819-1903) 231 Stone, M.H. (1903-) 291 Stonehenge 23, 34 Strabbe, A.B. 9 Study, E. (1862-1930) 225, 234, 275 Sūlvasūtras 41 Sundman, K.F. 260 sūnya (nul) 90 Sūrya Siddhāntā 88 swastika 20 Swedenoorg, E. (1688-1772) 185 Sylvester II zie Gerbert Sylvester, J.J. (1814-1897) 210, 232, 233 symbolische algebra 78 symbolische logica 152 Szökafnalvy-Nagy, B. 265

Tacquet, A. (1612-1660) 9, 113, 140 Tait, P.G. (1831-1901) 234 Takagi, T. 289 Tamarkin, J.D. 292 Tannery, P. (1843-1904) 10, 50, 56, 241

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde Tarski, A. (1902-) 285 Tartaglia, N. (1500?-1557) 117, 130 Tauber, A. (1866-1942) 291 tautochroon 142, 163 Taylor, B. (1685-1731) 164, 168, 177, 180, 181, 183 Taylor, reeksen van 180, 183, 203-205 Tennyson, A. (1809-1892) 43 tensor 229, 246, 275, 277 tessaract 275 Thales van Milete (ca. 626-545 v. Chr.) 49 Theaitetos (ca. 415-368 v. Chr.) 58, 67 Theon van Alexandrië 79 Thureau Dangin, F. 30 Titchmarsh, E.C. 282 Toledaanse planetentafels 99 topologie 214 Torricelli, E. (1608-1647) 131, 133, 134, 138 tovervierkanten 169 traagheidswet 233 tractrix 142

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 317 transfiniete kardinaalgetallen 219 trigonometrie 114 trillende snaar 164 trivium 106 Tsoe Chhung-Chih (430-501) 100 Turing, A.M. 293

Urysohn, P.S. (1898-1924) 284

Vacca, G. 7 Valerio, L. (1552-1618) 130, 150 Vallée, Poussin, Ch. de la (1866-1962) 266 variatierekening 217, 281 Vasari, G. (1511-1574) 115 Veblen, O. (1880-1960) 267, 268, 278, 290 vectoren 229, 234 Verlichting 174, 179 Veronese, G. 274 Versluys, J. 10 Vesalius,, A. 119 Viète, F. (1540-1603) 78, 98, 120-122, 137, 208 Vinogradov, I.M. 285 Vitruvius 67 Vlacq, A. (ca. 1600-1667) 123 Voigt, W. (1850-1919) 245, 276 volledige inductie 147 Vollgraff, J.A. 7, 10, 241, 287 Voltaire, F.M.A. (1694-1778) 175 Volterra, V. (1860-1940) 245, 253, 264, 278 Voronoī, G.E. 277, 284 Vossius, G.J. (1577-1649) 9 Vries, J. de 259 vrijheidsgraad 229

Waard, C. de 10 Waerden, B.R.L. van der 259, 270, 288 Wallis, J. (1616-1703) 98, 138, 139, 141-143, 147, 149 Wang Hsiao Thung (begin 7e eeuw) 100 Waring, E. (1734-1798) 182, 280, 281, 285 warmtetheorie 202 Watson, G.N. 282 Weber, H. (1842-1913) 218, 269 Weber, W. (1804-1891) 196 Weber-Wellstein 255 Weierstrass, K. (1815-1897) 59, 204-206, 215-217, 219, 241, 285, 289 Weil, A. 292 Wellstein, J. 269 Weyl, H. (1885-1955) 264, 265, 272, 290-292 Whitehead, A.N. (1861-1947) 236, 255, 256, 264, 273, 274 Whitehead, J.H.C. 290 Whittaker, E.T. 282

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde Wiener, N. (1894-1964) 263, 288, 291, 293 Wiener Kreis 288 Wilczynski, E.J. 287, 291 Wilson, E.B. 276 Witt, J. de (1625-1672) 9, 138, 145 Wittgenstein, L. (1889-1951) 288 Woepcke, F.W. 73, 92 Woodhouse, R. (177-1827) 230 Wright, E. (1558-1615) 124

Yang Hui (ca. 1260) 101 Yano, K. 289 Young, A. (1873-1940) 283 Young, G.Ch. 283 Young, J.W. (1879-1932) 283 Young, L. 283 Young, W.H. (1863-1942) 282

Zeno van Elea (ca. 450 v. Chr.) 55, 56, 57, 156, 172, 206 Zenodorus 78 Zermelo, E. (1871-1953) 270

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 318 zètafunctie 168, 216, 258 Zeuthen, H.G. (1839-1920) 50, 225 zeventienhoek 194, 197 Zuse, K. 292

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 319

Over de auteur

Dirk Jan Struik werd geboren in 1894 in Rotterdam, waar hij ook de Hogere Burger School (HBS) bezocht gedurende de jaren 1906-1911. Na zijn HBS-tijd ging hij studeren aan de Leidse Universiteit nadat hij eerst een jaar privé-lessen in Grieks en Latijn had gevolgd. In Leiden kreeg hij algebra en analyse van J.C. Kluyver, meetkunde van P. Zeeman (een neef van de beroemde Zeeman van het Zeeman-effect), en natuurkunde van Paul Ehrenfest. Na zijn afstuderen werd hij leraar aan de HBS in Alkmaar, maar na een jaar vertrok hij weer naar Delft waar hij zeven jaar de assistent was van J.A. Schouten, een van de grondleggers van de tensorrekening. Hun samenwerking leidde tot Struiks proefschrift Grundzüge der mehrdimensionalen Differentialgeometrie in direkter darstellung, uitgegeven door Springer in 1922, en vele andere werken in de daaropvolgende jaren. Van 1923 tot 1925 ontving Struik een stipendium, de Rockefeller Fellowship, wat hem in staat stelde te gaan studeren in Rome en het jaar daarop in Göttingen. In deze jaren ontmoetten hij en zijn vrouw Ruth, die bij Gerhard Kowalewski in Praag was gepromoveerd, vele vooraanstaande wiskundigen uit die tijd, zoals Levi-Civita, Volterra, Hilbert, Landau en anderen. In Göttingen raakte hij bevriend met Norbert Wiener die hem voorstelde om zijn collega aan het MIT in de Verenigde Staten te worden, hetgeen hij in 1926 daadwerkelijk werd. Hij bleef tot aan zijn pensionering aan het MIT verbonden, alleen onderbroken door een periode van vijf jaar gedurende het McCarthy-tijdperk, toen hij ervan beschuldigd werd betrokken te zijn bij subversieve activiteiten. Hij heeft ook gastcolleges gegeven in Mexico, Costa Rica, Puerto Rico en Brazilië. Behalve door zijn studies op het terrein van de differentiaalmeetkunde en de tensoranalyse is Dirk Jan Struik internationaal bekend om zijn werk op het terrein van de geschiedenis van de wiskunde en de natuurwetenschappen. Zijn Concise History of Mathematics - waaraan nu dus een hoofdstuk over de eerste helft van de twintigste eeuw is toegevoegd - beleefde vele herdrukken en is in minstens zestien talen vertaald. Zijn Yankee Science in the Making, een klassieke verhandeling over wetenschap en techniek

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde 320 in het koloniale Nieuw-Engeland, wordt door velen beschouwd als een modelstudie van de economische en sociale achtergronden van een wetenschappelijke cultuur. Als een van de oprichters van het tijdschrift Science and Society was Dirk Jan Struik een van de meest vooraanstaande exponenten van de marxistische benadering van de historische analyse van de wiskunde en de natuurwetenschappen.

D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde